• Author / Uploaded
• pedro hernandez

Citation preview

ALUMNO: HERNANDEZ ORTEGA PEDRO

MATRICULA: ES1410900455

DEMOSTRACION. ) Sea 𝐻 = ∆ ∈ 𝐺 × 𝐺 un grupo índice 2. Entonces si 𝑔 ∉ 𝐻, se tiene que gH es el conjunto de los elementos que no están en H, pues si 𝑔ℎ ∈ 𝐻 𝑐𝑜𝑛 ℎ ∈ 𝐻 implicaría que 𝑔 ∈ 𝐻. Lo mismo ocurre con Hg. Luego si 𝑔 ∉ 𝐻 se tiene que gH = Hg = G/H, es decir 𝑔𝐻𝑔−1 = 𝐻 y si g  H entonces se tiene trivialmente que 𝑔𝐻𝑔−1 = 𝐻 , 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 ∀𝑔 ∈ 𝐺 se tiene que 𝑔𝐻𝑔−1 = 𝐻 ) En el caso de H es normal en G se tiene la operación 𝑔1 𝐻𝑔2 𝐻 = 𝑔1 𝑔2 𝐻

esta bien definida en G / , de hecho si g1H = g1’H y g2H = g2’H entonces existen h1 y h2 tales que g1h1 = g’1 y g2 h2 = g2’. De esta forma 𝑔1′ 𝑔2′ 𝐻 = 𝐻 = 𝑔1 ℎ1 𝑔2 ℎ2 𝐻 = 𝑔1 ℎ1 𝑔2 𝐻 Como H es normal en G se tiene que 𝑔2 𝐻 = 𝐻𝑔2 por lo tanto 𝑔1′ 𝑔2′ 𝐻 = 𝐻 = 𝑔1 ℎ1 𝑔2 ℎ2 𝐻 = 𝑔1 ℎ1 𝑔2 𝐻 = 𝑔1 ℎ1 𝐻𝑔2 = 𝑔1 𝐻𝑔2 De nuevo como H es normal en G se tiene que 𝑔2 𝐻𝑔2 por tanto 𝑔1′ 𝑔2′ 𝐻 = 𝐻 = 𝑔1 ℎ1 𝑔2 ℎ2 𝐻 = 𝑔1 ℎ1 𝑔2 𝐻 = 𝑔1 ℎ1 𝐻𝑔2 = 𝑔1 𝐻𝑔2 = 𝑔1 𝑔2 𝐻 Lo cual implica que es abeliano. QED

DEMOSTRACION. Sea x  G, entonces su estabilizador o grupo de isotropía es 𝐺𝑥 = {𝜎 ∈ 𝐺 ∶ 𝜎𝑥 = 𝑥 } = {𝜎 ∈ 𝐺 ∶ 𝜎𝑥𝜎 −1 = 𝑥 } = {𝜎 ∈ 𝐺 ∶ 𝜎𝑥 = 𝑥𝜎} = 𝐶𝐺 (𝑥) Para determinar su órbita O(x) 𝑂(𝑥 ) = {𝜎𝑥 ∶ 𝜎 ∈ 𝐺 }0{ 𝜎𝑥𝜎 −1 = 𝑥 ∶ 𝜎 ∈ 𝐺 } = 𝐶(𝑥) Que es la clase de conjugación utilizada comúnmente Para demostrar que solo hay una órbita demostramos el número de elementos en la clase de conjugación así |𝐶 (𝑥)| = |𝑂(𝑥 )| = |𝐺 ∶ 𝐺𝑥 | = |𝐺 ∶ 𝐶𝐺 (𝑥 )| Finalmente hay solo una órbita en esta acción. QED

Sabemos que el orden de S5 es 20 = 22 ∗ 5. Sea G un grupo de orden 20. Por el tercer teorema de Sylow ( Si G es un grupo y p es un primo que divide el orden de G entonces 𝑛𝑝 = 1, 𝑛𝑝 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎 |𝐺 | 𝑦 𝑛𝑝 = [𝐺 ∶ 𝑁𝐺 (𝑃)] donde 𝑃 ∈ 𝑆𝑦𝑙𝑃 (𝐺 )), el numero de 5 - subgrupos de Sylow que G contiene es congruente con 1 modulo 5 y divisor de 20 es solamente un grupo. Entonces este 5 – subgrupo de Sylow tiene que ser normal esto debido al siguiente corolario,

Entonces G no es simple. QED

REFERENCIAS 1) PDF. Recuperado de: https://rodas5.us.es/file/a774213d-a15a-41df-816c-e633fb1a5876/1/02-PresentacionPermutaciones.pdf

2) PDF. Recuperado de https://www.ucursos.cl/ingenieria/2010/1/MA3101/1/material_docente/bajar?id_material=277788

3) PDF. Recuperado de http://www.dim.uchile.cl/~mkiwi/ma31a/05/apunte.pdf