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CALCULO ADM – MA459 Taller Examen Final Ciclo 2017-1

Profesores del Taller : Jhon Bravo , Luis Cottos, Ana Holgado, Adelaida Salinas, Edwin Olivares, Brian Valenzuela, William Taquire Coordinador : Agustín Curo 1. Responda concretamente y justifique su respuesta.

a. Calcule la siguiente integral



ln x dx x2

b. Dada la función f ( x; y)  ye 3 x  2 xe 2 y , ¿ f x (1;0)  f y (0;1)  0 ? c. Si



m

0

xe x dx  1 Hallar el valor de m

2. Resolver las siguientes integrales:

a.

I 

dx

 x  2

2

x

2

 4 x  3

b.

x2  x  x 2  1 dx

3. Considere la función de producción QK ; L   8K

c.

1 4

 4 x

 x 2  ln xdx

3

L 4 . Los valores de K y L varían con

el tiempo t en horas y la tasa de interés r , mediante K t ; r   Calcular

3

Q Q y , cuando t  10 y r  0,05 . r t

5t 2 y Lt ; r   5t 2  2 500r . r

4. Dada las funciones de oferta y demanda p  q 2  4q  c y p  q 2  100 respectivamente,

dadas en soles y se sabe que a un precio de 51 soles se tiene un exceso de demanda en 4 unidades. Determine y represente gráficamente el excedente del productor para un precio de 91 soles. 5. Sean q1  p1 ; p2   3  2  mln 3 p1  100  n  5 p2 y

q2  p1 ; p2   6  m  4 p12  3  n p2 las demandas de dos productos complementarios, determine los valores de m y n si se sabe que son números enteros.

6.

En un informe sobre la producción y venta de calculadoras de una empresa se observó lo siguiente: I ´ ($/unidad) La oferta de calculadoras en el mercado se modela con la siguiente ecuación: p  24q  1 , donde p se expresa en dólares y q, en unidades. El ingreso marginal de la empresa se modela con una función cuadrática (de vértice V) y su gráfica se muestra en la figura.

81

q (unidad)

V (6; - 27)

1

a.Demuestre que el ingreso se modela con la función I (q)  q 3  18q 2  81q . b.Grafique la oferta y demanda de calculadoras en el mismo plano y calcule el gasto del consumidor en el equilibrio. c.Si el precio de las calculadoras en el mercado se fija en $ 25, ¿cuál es el excedente del consumidor a ese precio? 7. Una tienda vende dos marcas de polos competidores, una de ellas de marca POLISTER y la

otra de marca CANVAS. El propietario de la tienda puede obtener ambos tipos a un costo de $2 por polo y estima que si los polos POLISTER se venden a dólares por pieza, y los polos CANVAS en dólares por pieza, los consumidores comprarán aproximadamente polos POLISTER y polos CANVAS todos los días. ¿A qué precio debe vender el propietario los polos para generar la máxima utilidad? 8. Una empresa vende dos tipos de botas. Por su experiencia, ha decidido que si produce

x pares de botas del primer tipo, e y pares de botas del segundo tipo, se pueden vender respectivamente a p1  90  x y p2  80  y dólares cada par de botas. El costo de la fabricación de ambos pares de botas es: C ( x; y)  6 x  6 y  500 dólares a. Represente matemáticamente el ingreso de ambos productos. b. Represente la ecuación de la Utilidad de la empresa. c. ¿Cuántos pares de botas de cada tipo debería fabricar a fin de lograr una ganancia máxima? d. ¿Cuál sería dicha ganancia? 9.

Empleando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto, con 2 3

P( L, K )  50 L K

1 3

Le cuesta a la empresa $100 por cada unidad de mano de obra y $300 por cada unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma de $45,000 para propósitos de producción. a.Determine las unidades de mano de obra y de capital que la empresa debería utilizar con el objetivo de maximizar su producción. b.Demuestre que en este nivel máximo de producción la razón de los costos marginales de mano de obra y capital es igual a la razón de sus costos unitarios.

10. La empresa NECTARES S.A. desea captar nuevos clientes, para ello además de producir el

néctar que ya comercializa con el nombre de néctar FRAMBUESA, decide producir otra variedad de néctar, cuyo nombre es néctar GUANABANA.  Los estudios realizados indican que la demanda de este nuevo producto (néctar GUANABANA) está dada por p1  6q  3q1  584 donde q es la cantidad de cajas de néctar FRAMBUESA, q1 es la cantidad de cajas de néctar GUANABANA y p1 es el precio (en soles) por caja de néctar GUANABANA.

2

 Con la incorporación de este nuevo producto, el costo (en soles) de la empresa está dado por

C (q; q1 )  2q 2  q1  2qq1  36000 , donde q es la cantidad de cajas de néctar 2

FRAMBUESA y q1 es la cantidad de cajas de néctar GUANABANA.  Se sabe que el Ingreso por la venta de néctar FRAMBUESA está dada por 1 I (q)  q 3  16q 2  800q 12 a. Actualmente la empresa produce y vende 45 cajas de néctar FRAMBUESA, y 80 cajas de néctar GUANABANA. La empresa desea estimar el cambio en la utilidad, si se vendiera una caja de néctar FRAMBUESA y se mantiene constante la de néctar GUANABANA. b. La empresa pensando en mejorar sus ganancias plantea las siguientes situaciones:  Ampliar su planta de producción, con lo cual podrá producir un número ilimitado de ambos productos.  Mantener sin cambios su planta de producción y por restricciones de espacio, la empresa solo podrá elaborar 142 cajas semanales de ambos productos (cajas de néctar FRAMBUESA y néctar GUANABANA). ¿En cuál de las situaciones planteadas la utilidad máxima obtenida es mayor y a cuánto asciende? ¿Cuántas cajas de cada producto se debe producir y vender?

UPC, Julio del 2017

3

Respuestas. 1) x 1 ln x  x 1  k m=1 2)

a. 

1 1 x 3  ln C x  2 2 x 1

b.

 x3  x 4 x3 c.  x 4   ln x   c 3 4 9  3)

Q unidades  1700 t hora

Q unidades  20 000 r nivel de tasa 4) EP  156 soles. 5) m  3 y n  4 6) 7) Polos POLISTER $ 2,70

Polos CANVAS $ 2,50 8)

a) I ( x; y)  90 x  x 2  80 y  y 2 b) U ( x; y)   x2  y 2  84 x  74 y  500 . c)Par de botas de tipo I 42 unidades y tipo II 37 unidades. d)La utilidad máxima es de 2633 dólares. 9)

a. 300 unidades de mano de obra y 50 de capital. b. Se demuestra que la razón es 1/3. 10)

soles caja nectar FRAMBUESA b. U (52;99)  7849,3 soles a. 6,25

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