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CIRCULO DE MATEMATICAS

3. Hallar la suma de valores de “x” que satisfacen:

SEMINARIO

e 4x  6  ex 5

LOGARITMOS

A)Ln5 B)1 C)Ln 3 D)Ln 5 E)Ln 6 1. Simplificar:

Log 8

2

2x  9  Log 5 5 2x  9  0

SOLUCION: Elevando al cuadrado:

A)1 B)12 C)2 D)2/3 E)5

2 e 4x  6  e x  → 5

SOLUCION:

e 

2x 2

Para que la igualdad se cumpla, necesariamente:

2x  9  1

ya que: Log 8

2

x  5 H

2. Calcular:

 

 5 e2x  6  0

e2x

3

e2x

2

e

1  Log 5 5 1  0

e 4x  6  5e 2x

2x





 3 e 2x  2  0

→ e 2x  3  e 2x  2 Tomando logaritmo natural:

1  Log 2 3 1  Log 3 2  1  Log 2 3 1  Log 3 2

Lne 2x  Ln3

A)0 B)1 C)log2 D)log3 E)log6

2x 1  Ln3

SOLUCION:



Lne 2x  Ln2 2x 2  Ln2

Sumando ambos:

Se sabe que:

2x 1  x 2   Ln3  Ln2  Ln6

Log 2 3  Log 3 2  1

1 x 1  x 2  Ln6 2  x 1  x 2  Ln 6

Sea:

Log 2 3  k → Log 3 2  Reemplazando:

1 k

1 k  1 k  k  1 1 1 k k  1 1 k 1 k k  1 H     k 1 k 1

1 k H  1 k

1

4. Determine la base “a” tal que:

Log a 27  

1 2

A)1/243 B)1/81 C)1/27 D)1/9 E)1/3

H  0

1

CIRCULO DE MATEMATICAS

SOLUCION: 3Log 2 x  2Log 22 x 1  4Log 23 x 1  32

Por definición:

27  a

1  2

1 a



27 

→

 1  1 3Log 2 x  2 Log 2 x  4 Log 2 x  32 2 3

1 a

simplifica ndo :

Elevando al cuadrado y finalmente: a 

16 Log 2 x  32  Log 2 x  6 3

1 27

 x  2 6  64

5. Halle el producto de valores de “x” que satisfacen la

7. Hallar los valores de “x” que satisfacen la ecuación:

ecuación:

5Logx x

Log x  5Log 2 x  6  0 2 2

2

 5x  15

  3Log

x

25

A)12 B)6 C)32 D)30 E)5

A)2 y 3 B)2 y 4 C)3 y 4 D)3 y 5 E)2 y 5

SOLUCION:

SOLUCION:

Log 2 x 2  5Log 2 x   6  0

Usando:

x Logby  y Logbx

Aspa simple, tendremos:

Log 2 x  3Log 2 x  2  0

Intercambiando el segundo miembro:

Log 2 x  3



5Logx x

→ x1  23  8



Log 2 x  2

5Logx x

x 2  22  4

 x 1  x 2  32

2

 5x 15

  25Log 3  52Log 3

2

 5x 15

  5Log 9

x

x

De los exponentes:  x 2  5x  15  9  x 2  5x  6  0

6. El valor de “x” en la expresión:

Resolviendo:

3Log 2 x  2Log 4 x  4Log 8 x  32 es:



A)32 B)16 C)64 D)8 E)36 SOLUCION: Usando:

x1  2 x2  3

8. Resolver la ecuación:

2Log8  x 1  3 Log bm x n

n Log b x m

A)15 B)9 C)26 D)21 E)63

2

x

CIRCULO DE MATEMATICAS

10  xn n  1 n  1  .......... .Ι n!

SOLUCION:

n

Usando:

x Logby  y Logb x

x  1Log 2 8

En lo pedido, reemplazamos:

 3  x  1

1

x  13Log 2 2

Log 3 21 2

H  n  1  n

3

H  1

1

 3  x  13  3 10. Si se verifica que:

Elevando al cubo:

 x  26

 1 1 1 1  Log 11     ...  1 2 2  3 2  4 nn  1 10 

9. En logaritmos de base 10, si: 2

3 4  n  1 x n  Log   Log   .....  Log  2 3  n 

n

Calcule: H  Logn 2  10n 

n1

A)3Log2 B)2Log2 C)3+Log2 D)2+Log2 E)2+Log3

10  xn n  1 n n! n

Entonces el valor de: H 

n

SOLUCION: Por el método inductivo, tendremos que:

A)3 B)2 C)1/2 D)1 E)1/3

 1 1 1 1  n 1 2  2  3  2  4  ...  nn  1  n  1  

SOLUCION: Usamos:

Logb xy  Logb x  Logb y

Reemplazando:  n  Log 11  n  1 10 

De la condición:

n

n

 n  n   n  1

n

 11    10 

n

 n  1  11   n   10   n  10    

 3  4  2  5  3  6  4  n  1  n1  x n  Log       .....    n    2  3   4   5  Simplificamos analizando, tendremos:

Finalmente, reemplazamos en lo pedido:



  n  1n1 x n  Log  1 2  3  4  ....  n   n  1n1  n  1n1 xn x n  Log  10   n!  n!  Dando forma:



H  Log 10 2  10  10  Log2  100 H  Log100  Log2  Log10 2  Log2  H  2  Log2

3

n

CIRCULO DE MATEMATICAS n

 1 11. Si: A   b  , B  a x a  Donde a  0 y x  0 , calcule el valor de

13. Si x  1 es una solución de la ecuación: 2

Logx Logx  Logx 5  Log1000  0

H  xLogB A  A)n-b B)nb

C)-nb

D)nb-x

Determine el valor de: H  x 2 

E)n-b+x

A)10 B)20 C)100 D)15 E)12

SOLUCION:

10 1 x2

SOLUCION:

Tomando logaritmo en base (B) a ambas condiciones:

x Logby  y Logb x

Usando:

 

n

 LogB A  LogB a b LogB A  bnLogB a......... .(I)

Logx 2Logx  5Logx  Log10 3  0 2Logx  Logx  5Logx - 3  0

 LogBB  LogB a x  1  xLogB a......(II )

2Logx   5Logx  3  0 2

Dividiendo (I) y (II):

Aspa simple, tendremos:

 bn LogB A  x

2Logx  1Logx  3  0

 xLogB A  bn

1  Logx  3 2 x 1  101/2  x 2  10 3

 Logx 

12. Si Log15  a; Log21  b; Log35  c ; calcule: Log49

A)b+c-a B)a-b+c C)2ª-b+c D)b-2a+c E)c-a-b

Solo con x  1 ; x 1  10 1/2  x 2  10 Finalmente, reemplazamos en lo pedido:

SOLUCION: Sumando los datos:

 H  10 

Log15  Log21  Log35  a  b  c Log15  21  35   a  b  c Log3  5  3  7  7  5  a  b  c 2Log3  5  7  a  b  c 2Log15  Log7   a  b  c  2a  2Log7  a  b  c 2Log7  b  c - a  Log7 2  Log49  b  c  a

4

10  1  12 10