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• Mauricio Andres Diaz Flores

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FMF-241

Electromagnetismo Edición 2014

Luis Alvarez Thon

Universidad Andrés Bello

L U I S A LV A R E Z T H O N

ELECTROMAGNETISMO FMF-241 (2014)

D E PA R TA M E N T O D E C I E N C I A S F Í S I C A S UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

© 2014 Luis Alvarez Thon

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.en_US.

Contenido 1. Matemáticas del curso 1.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Operadores vectoriales . . . . . . . . . 1.3. Integrales especiales . . . . . . . . . . 1.4. Teoremas integrales importantes . . . 1.5. Coordenadas curvilíneas . . . . . . . . 1.6. Operadores en coordenadas curvilíneas 2. Electrostática 2.1. Carga eléctrica . . . . . . . . . . 2.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . 2.3. Principio de Superposición . . . . 2.4. Campo eléctrico . . . . . . . . . . 2.5. Distribuciones continuas de carga 2.6. Flujo eléctrico . . . . . . . . . . . 2.7. La ley de Gauss . . . . . . . . . . 2.8. Aplicaciones de la ley de Gauss .

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9 9 22 29 32 33 38

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43 43 47 52 55 58 73 81 84

3. El potencial electrostático 3.1. Significado físico del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Potencial eléctrico de cargas puntuales . . . . . . . . . . . 3.3. Potencial eléctrico de distribuciones continuas de carga . . 3.4. Energía potencial electrostática . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Cálculo del potencial por integración . . . . . . . . . . . . 3.7. Las ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . . . . . . . . 3.8. Conexión entre el campo eléctrico, el potencial eléctrico y la densidad de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. El momento dipolar eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12. Dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 95 96 97 98 101 104

4. Corriente eléctrica 4.1. Corriente eléctrica . . . 4.2. Densidad de corriente . 4.3. Ecuación de continuidad 4.4. La ley de Ohm . . . . . 4.5. Conexión de resistencias 4.6. Dieléctricos imperfectos 4.7. Densidad de corriente en 4.8. Leyes de Kirchhoff . . . 4.9. El método de las mallas

141 141 143 144 145 147 152 153 155 160

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . régimen . . . . . . . . . .

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105 110 112 119 123

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4.10. La ley de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5. Magnetismo 5.1. Campo magnéticos y fuerzas . . . . . . . . . . . . . 5.2. Fuerza magnética sobre un conductor con corriente . 5.3. Torque sobre una espira con corriente . . . . . . . . 5.4. La ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Propiedades del campo magnético en el espacio libre 5.6. La ley de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Propiedades magnéticas de la materia . . . . . . . . 5.8. Intensidad de campo magnético . . . . . . . . . . . 5.9. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. Inducción electromagnética . . . . . . . . . . . . . . 5.12. Inductancia e inductancia mutua . . . . . . . . . . . 5.13. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . Índice alfabético

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163 163 164 168 170 174 176 181 182 187 188 189 192 195 201

Introducción Estos son apuntes complementarios para el curso de “Electromagnetismo” (FMF241) y están basados en varios libros de texto y otras fuentes de información. Si bien existe una buena cantidad de excelentes libros de texto, a veces el alumno se ve sobrepasado por la gran cantidad de información y no sabe distinguir lo que es más relevante. Estos apuntes siguen, en estricto rigor, el orden de materias que aparecen en el “syllabus” del curso. Debo recalcar que el objetivo de estos apuntes no es reemplazar los excelentes libros de texto disponibles en la biblioteca, sino que tienen como objetivo guiar al alumno a consultar esos textos. La bibliografía tentativa es la siguiente: Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería David K. Cheng Edit. Addison-Wesley Longman Fundamentos de la Teoría Electromagnética Reitz/Milford/Christy AddisonWesley Iberoamericana Teoría Electromagnética Hayt/Buck Edit. Mc Graw Hill Electromagnetismo M. Furman Electricidad y Magnetismo Berkeley Physics Course- Volumen 2 Edit. Reverté Física Universitaria Sears - Zemansky - Young Edit. Pearson El primer capitulo del curso es opcional y tiene como objetivo refrescar y reforzar los conocimientos de matemáticas que se necesitan en este curso.

CAPÍTULO

1

Matemáticas del curso En un curso de esta categoría se asume que el estudiante tiene la preparación adecuada en cálculo integral y diferencial, cálculo vectorial y en el manejo de sistemas de coordenadas curvilíneas. En el transcurso de las materias, nos encontraremos que las leyes del electromagnetismo serán expresadas mediante integrales de línea, integrales de superficie, ecuaciones y operadores diferenciales, y operadores vectoriales. Usted se puede preguntar porqué he incluido este capítulo de matemáticas si ya ustedes han pasado por cursos avanzados de álgebra y cálculo. El problema es que las matemáticas y la física se enseñan en forma independiente y a veces existe una desconexión entre ellas. Pero las matemáticas es el lenguaje natural de la física y fueron desarrolladas para describir y resolver problemas de la vida real. La experiencia de los profesores de física es que los prerrequisitos matemáticos no son suficientes y que los alumnos necesitan más experiencia en usar las matemáticas eficientemente y en poseer una intuición acerca de los procesos físicos. Este capítulo no pretende ser un curso de “Métodos Matemáticos de la Física” sino que tiene como objetivo cubrir, en forma específica, las técnicas y métodos justos y necesarios para resolver problemas avanzados de electromagnetismo.

1.1 Vectores Muchas cantidades en física e ingeniería son tratadas como vectores porque tienen asociadas un magnitud y una dirección; la velocidad, fuerza, momentum angular, campo eléctrico o magnético son algunos ejemplos de vectores. En cambio cantidades tales como tiempo, temperatura o densidad sólo tienen magnitud y son llamadas escalares. ¿Esto quiere decir que un vector es todo aquello que tiene magnitud y dirección? Bueno, hay que reconocer que esta definición no es la más correcta pues usted podría preguntarse: ¿acaso un auto tiene magnitud y dirección?, ¿eso convierte a un auto en un vector?. Un matemático diría: un vector es un elemento de un espacio vectorial. En términos simples, un espacio vectorial en un conjunto de “cosas” para las cuales se ha definido la operación de adición y también la operación de multiplicación por un escalar. Un vector puede ser representado gráficamente mediante una flecha y un largo proporcional a su magnitud. Además los vectores pueden ser

Vector: magnitud y dirección Escalar: magnitud

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electromagnetismo fmf-241 (2014)

representados en dos o tres dimensiones.1 Si dos o más vectores tienen la misma dirección y magnitud entonces son iguales (ver figura 1.1). No hay diferencia donde empieza la cola del vector, aunque por conveniencia se prefiere localizarla en el origen de coordenadas. Simbólicamente un vector se representa por medio de una letra con ~ y el largo (magnitud) como A = A ~ . una flecha arriba, A

1

Por simplicidad vamos a dibujarlos en dos dimensiones por el momento.

~ se representa con En la mayoría de los libros de texto, un vector A el símbolo en negrita A y la magnitud mediante A. Por lo tanto, en los libros de texto, hay que tener cuidado de no confundir A con A. Figura 1.1: Todos los vectores de la figura son iguales porque tienen la misma dirección y largo.

1.1.1 Operaciones con vectores En esta representación gráfica, la adición de vectores2 ~ =A ~ +B ~ C ~ en la punta del vector A. ~ El consiste en colocar la cola del vector B ~ vector C es entonces representado por una flecha dibujada desde la cola ~ hasta la punta del vector B. ~ Esta forma de sumar vectores del vector A se llama regla del triángulo. (Fig. 1.2). La figura 1.2 también muestra la regla del paralelogramo que consiste en trasladar los dos vectores hasta formar un paralelogramo de tal manera que el vector resultante será aquel formado por la diagonal que parte de las dos colas hasta el punto donde se encuentran las dos puntas. Además, esto demuestra gráficamente que la adición de vectores es conmutativa, ~ +B ~ =B ~ + A. ~ es decir A La generalización de este procedimiento para la adición de tres o más vectores es clara y conduce a la propiedad de asociatividad de la adición (ver figura 1.3), por ejemplo ~ + (B ~ +C ~ ) = (A ~ +B ~) +C ~ A La sustracción de dos vectores es muy similar a la adición (ver figura 1.4), es decir, ~ −B ~ =A ~ + (−B ~) A ~ es un vector de igual magnitud pero en dirección exactamente donde −B ~ La sustracción de dos vectores iguales, A ~ + (−A ~ ), opuesta al vector B. ~ da como resultado el vector nulo 0, el cual tiene magnitud cero y no tiene asociada ninguna dirección.

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La adición de dos vectores solo tiene sentido físico si ellos son de la misma clase, por ejemplo si ambos son fuerzas actuando en dos o tres dimensiones.

Figura 1.2: Adición de dos vectores mostrando la relación de conmutación.