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• Daniel Melgarejo Burgos

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Universidad del Atlántico. Moreno, Jiménez, Padilla, Melgarejo, Caballero,

LINES EQUIPOTENTIALES Gabriel Moreno, Sergio Jiménez, Kevin Padilla, Daniel Melgarejo, Ronny Caballero, Samir Álvarez [email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected] Facultad de Ingenierías, Universidad del Atlántico, A.A 2016, Barranquilla

Resumen Este informe nos ayuda a comprender y entender los comportamientos de las líneas equipotenciales en forma gráfica, el objetivo principal de este informe es verificar y comprobar de forma experimental la teoría estudiada para las líneas equipotenciales con ayuda de diferentes dispositivos que se encuentran seleccionados en el laboratorio especialmente para esta práctica en particular, se contó con electrodos y a partir de estos y otra serie de instrumentos se obtuvieron unas gráficas para los diferentes ensayos realizados como lo fueron la circunferencia, la carga puntual y las placas paralelas. Estas líneas dibujadas fueron obtenidas de acuerdo al valor del potencial en distintos puntos del sistema, con los datos tomados en la práctica es posible realizar graficas de voltaje vs. Posición que nos permiten analizar la relación de estos, con las superficies equipotenciales encontrando se en el experimento una paralelismo con la literatura concerniente a las superficies equipotenciales obteniendo resultados semejantes. Palabras claves: campo eléctrico, líneas de campo eléctrico, líneas equipotenciales, potencial. Abstract This report helps to comprehend and understand the behaviors of team-tential lines in graphic form, the main objective of this report is to verify and test the theory experimentally studied for the equipotential lines with help. Of different devices that are selected in the laboratory especially for this particular practice was available electrodes and from these and a number of instruments were obtained some graphics for various tests as were the circumference, the point charge and the parallel plates. These lines drawn were obtained according to the value of the potential at different points in the system, with data taken in practice it is possible vs. voltage graphs. Position that allow us to analyze the relationship of these with the equipotential surfaces in the experiment is finding one for parallelism with the literature concerning the equipotential surfaces obtained similar results. Keywords: electric field, electric field lines, equipotential lines, potential 1

LINEAS EQUIPOTENCIALES

1. Objetivos:  Analizar las características principales del campo eléctrico.  Graficar las superficies equipotenciales y las líneas de campo eléctrico en el plano.  Calcular la diferencia de potencial entre dos puntos.

En esta práctica trazamos y verificamos experimentalmente la existencia de las líneas equipotenciales y líneas de campo. Pusimos en práctica la teoría enseñada en clase, para justificar la existencia de las líneas de campo se realizó esta práctica. Se observó y se verifico que los potenciales en las líneas de campos deben de ser iguales. Se realizaron mediciones con los instrumentos administrados para este laboratorio tales como el multímetro y el plano cartesiano, para llevar a cabo la elaboración de las tablas y graficas pertinentes. El campo eléctrico es igual al negativo de la derivada del potencial eléctrico con respecto a alguna coordenada. El cambio de potencial es cero para cualquier desplazamiento perpendicular al campo eléctrico, esto concuerda con el concepto de superficie equipotencial perpendicular al campo dv=−E × ds −dv Ex= dx Si la distribución de cargas tiene simetría esférica de modo que la densidad de carga depende únicamente de la distancia radial r, el campo eléctrico es radial y se expresa así: E ×ds=Er ×dr −dv dr= dr

 Encontrar y dibujar las líneas equipotenciales para dos configuraciones diferentes. 2. Introducción Las superficies equipotenciales son las formas geométricas que se forman a partir de una partícula cargada, y están conformadas por puntos de campo en los cuales el potencial de campo no varía. Una de las características de las líneas equipotenciales es que son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico. Estas figuras geométricas varían de acuerdo a la forma de la partícula, por ejemplo para el caso de una esfera las líneas equipotenciales serán entonces esferas también, que a medida que se alejan de su centro de carga su potencial de campo va a disminuir uniformemente dentro de la línea equipotencial hasta hacerse cero encontrarse con otra superficie equipotencial de otro cuerpo.

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LINEAS EQUIPOTENCIALES

Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es:

moviéndose en un campo eléctrico. Fueron establecidas por Faraday y se relacionan con el campo eléctrico de una región en el espacio: El vector E del campo eléctrico es tangente a la línea del campo eléctrico en cada punto. La dirección de la línea, indicada por una punta fecha, es igual a la dirección del vector del campo eléctrico. La cantidad de líneas por unidad de superficie que pasan a través de un área perpendicular a dichas líneas es proporcional a la magnitud del campo eléctrico en dicha región. Las líneas de campo están cerca donde el campo eléctrico sea fuerte y separadas donde el campo es débil.

Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. Representaremos las líneas resultantes de la intersección de las superficies equipotenciales con un plano. A partir de la figura se puede deducirse la ecuación de las líneas equipotenciales

3. Marco Teórico: Líneas de campo eléctrico: Son líneas curvas paralelas al vector del campo eléctrico existente a cualquier punto en el espacio. No son objetos materiales, se usan como una representación gráfica para tener una descripción cualitativa del campo eléctrico, solo se debe dibujar un número finito de líneas partiendo de cada carga, parecería que el campo fue cuantiado y que solo existen en unas partes del espacio, pero todo el campo es continuo. Las líneas de campo eléctrico representan el campo en diversos puntos, hay casos especiales, pero en general no representan la trayectoria de una partícula cargada 3

LINEAS EQUIPOTENCIALES

La figura 2, muestra un dibujo bidimensional donde solo están las líneas de campo que están en el plano que contiene a la carga puntual. Las líneas están dirigidas radialmente en todas las direcciones hacia el exterior de la carga, pero en realidad es una distribución esférica de líneas y no una rueda plana de líneas. Las líneas de campo eléctrico que representan al campo generado por una sola carga puntual negativa están dirigidas hacia la carga. Las líneas siguen una dirección radial y se extiende hacia el infinito. Las líneas se aproximan entre sí conforme se aproxima la carga, la fuerza del campo se incrementa conforme nos movemos hacia la carga fuente.

Cq es el número de líneas de campo partiendo de cualquier objeto con carga positiva y C|q| es el número de líneas que termina en cualquier objeto con carga negativa y C es una constante de proporcionalidad arbitraria. Si selecciona C queda un número fijo de líneas. Si el objeto 1 tiene carga Q1 y el objeto 2 tiene carga Q2, la relación de número de líneas es: N 2 Q2 = N 1 Q1

Para dibujar las líneas de campo eléctrico:

(1)

Las líneas de campo eléctrico para dos cargas puntuales de igual magnitud pero de signos opuestos, se muestras en la figura 3. Como las cargas son de igual magnitud, el número de líneas que empiezan en la carga deben ser igual al número que termina en la carga negativa. Cuando la densidad de líneas es alta indica un campo eléctrico fuerte. También se muestra el campo eléctrico entre dos cargas puntuales iguales. Las líneas son radiales en puntos cercanos a cada carga, las líneas que salen de cada carga son de igual magnitud. A una distancia considerable de las cargas, el campo es aproximadamente igual al de una sola carga puntual de magnitud 2q. Superficies Equipotenciales Por lo explicado anteriormente sobre el campo eléctrico en un conductor y como el potencial es el mismo en todo el conductor, se refiere a que ocupa un volumen equipotencial y su superficie es una superficie equipotencial. Como el potencial es constante sobre una superficie así, el cambio de V cuando una carga testigo experimenta un desplazamiento ds paralelo a la superficie dV= -E.ds. La única forma de que el campo E pueda

1. Las líneas deben empezar en una carga positiva y terminar en una carga negativa. Cuando hay un exceso de carga, algunas líneas empezaran o terminaran en el infinito. 2. La cantidad de líneas dibujadas saliendo de una carga positiva o acercándose a una carga negativas será proporcional a la magnitud de dicha carga. 3. Las líneas de carga eléctrica no se deben cruzar

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LINEAS EQUIPOTENCIALES

ser perpendicular a cualquier elemento de longitud trazado sobre la superficie, es que lo sea a la superficie misma. Por ello cualquier línea de campo eléctrico que atraviese una superficie equipotencial debe ser perpendicular a esta.

 Electrodos (cilindro y plano)  Voltímetro 5. Métodos experimentales

Para poder realizar la medición de una diferencia potencial, ambos puntos sobre los que se desea medir deben encontrarse en paralelo, es decir, lo quiere decir que se encuentre en derivación sobre los puntos de los cuales queremos realizar la medición.

 Se realizó el montaje indicado en la fig. 1 (manteniendo la fuente apagada).

Debido a lo anterior, el voltímetro debe contar con una resistencia interna lo más alta que sea posible, de modo que su consumo sea bajo, y así permitir que la medición de la tensión del voltímetro se realice sin errores.

 Llenamos con agua la cubeta, hasta alcanzar una profundidad de 6mm  Mantuvimos los electrodos separados una distancia determinada y colocamos la sonda fija equidistante de los electrodos.

En otras palabras un voltímetro está constituido por un galvanómetro que nos permitirá medir la intensidad de corriente que pasa a través de una bobina y una resistencia cuyo valor sea tan grande que la corriente que deba pasar por el circuito tenga un valor despreciable y pueda ser medida. La diferencia de potencial corresponde al producto entre la corriente y la resistencia en el voltímetro, des esta forma se conoce la resistencia y se averigua la intensidad de corriente por medio del galvanómetro pudiendo calcular la diferencia de potencial.

 Prendimos la fuente e introducimos en la solución la sonda móvil del voltímetro y busque las posiciones para las cuales este indique; tome unos 10 puntos. Anotamos en la tabla de datos el voltaje y las posiciones (xi, yi) correspondientes.  Buscamos con la sonda móvil un voltaje de 2.5V y repita el paso 4. Haga lo mismo para voltajes de 2V y (-3, -2.5 y -2).

4. Materiales  Plano 5

LINEAS EQUIPOTENCIALES

 Repetimos los pasos anteriores para los electrodos: cilindro – cilindro y plano – cilindro.

Las propiedades de las líneas de campo se pueden resumir en: 

El vector campo eléctrico es tangente a las líneas de campo en cada punto.



Las líneas de campo eléctrico son abiertas; salen siempre de las cargas positivas o del infinito y terminan en el infinito o en las cargas negativas.



El número de líneas que salen de una carga positiva o entran en una carga negativa es proporcional a dicha carga.



La densidad de líneas de campo en un punto es proporcional al valor del campo eléctrico en dicho punto.



Las líneas de campo no pueden cortarse. De lo contrario en el punto de corte existirían dos vectores campos eléctricos distintos.



A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas están igualmente espaciadas y son radiales, comportándose el sistema como una carga puntual.

6. Análisis de resultados y discusión:  Potencial electico El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar una fuerza eléctrica para mover una carga positiva q desde la referencia hasta ese punto, dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria q desde la referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica.

Considérese una carga puntual de prueba positiva, la cual se puede utilizar para hacer el mapa de un campo eléctrico. Para tal carga de prueba localizada a una distancia r de una carga q, la energía potencial electrostática mutua es: De manera equivalente, el potencial eléctrico es

 Superficies equipotenciales Las superficies equipotenciales son aquellas en las que el potencial toma un valor constante. Por ejemplo, las superficies equipotenciales creadas por cargas puntuales son esferas concéntricas centradas en la carga, como se deduce de la definición de potencial (r = cte).

 ¿Por qué las líneas de campo eléctrico deben ser en cada punto perpendiculares a las superficies equipotenciales? Las superficies equipotenciales son aquellas en las que todos sus puntos tienen el mismo potencial. Las líneas de fuerza son líneas

 Propiedades más importantes de las líneas de campo eléctrico 6

LINEAS EQUIPOTENCIALES

tangentes en todos sus puntos al vector intensidad de campo.

Dos líneas no se cortan (chocan o cruzan) en ninguna forma, pues ello significaría que en dicho punto existen direcciones para el campo eléctrico.

Las superficies equipotenciales y las líneas de fuerza son perpendiculares entre sí. Al igual que se emplea la representación gráfica del campo eléctrico a través de las líneas de fuerza , se puede representar el POTENCIAL ELÉCTRICO mediante las denominadas superficies equipotenciales, que son el lugar geométrico de los puntos del espacio en los que el potencial tiene un mismo valor, es decir, la familia de superficies V(x, y, z) = cte

Y dos líneas se cortan solo en los puntos en donde el campo es nulo. No pueden cruzarse

Una característica importante de las superficies equipotenciales es que son perpendiculares a las líneas de fuerza del campo eléctrico en todo punto, lo cual resulta de las propiedades del operador gradiente. Al igual que en el caso de las líneas de fuerza , el cálculo y visualización de las superficies equipotenciales es en general un proceso muy complicado, salvo en el caso simple de una única carga puntual.

Análisis de resultados.

 Por qué dos líneas de campo eléctrico Dos Barras Al tomar el potencial en los puntos entre las barras, este no cambia mucho ya que el potencial de las dos barras es de (3,00±0,02) V por lo que se tomaron muestras de puntos del mismo potencial por línea, variando de una línea a otra el potencial con intervalos ∆� de (0,20±0,02) V. Con esos datos (Tabla 1) se realiza la gráfica correspondiente a esta configuración (Fig. 2) donde se observa que las líneas situadas hacia el centro de la distancia entre las dos varillas son prácticamente paralelas a la línea de frontera que demarca el largo de la varilla y a partir de dicho punto comienzan a curvarse hacia el electrodo más cercano. Potencial Eléctrico (1.30±0,02)V

(1.50±0,02)V

(1.70±0,02)V

(1.90±0,02)V

x(±0,3)cm y(±0,3)cm x(±0,3)cm y(±0,3)cm x(±0,3)cm y(±0,3)cm x(±0,3)cm y(±0,3)cm 7

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11.0

-8.0

9.5

-11.0

6.5

-10.5

3.7

-12.0

11.0

-7.5

8.7

-7.0

6.0

-7.0

3.5

-9.2

10.5

-4.0

8.5

-4.0

6.0

-4.0

3.2

-6.5

10.5

-1.5

8.5

-2.0

5.7

-2.0

3.0

-3.0

10.0

0.0

8.0

0.0

5.5

0.0

3.0

0.0

10.0

1.5

8.0

2.0

6.0

2.0

3.0

2.0

10.0

4.0

8.0

4.0

5.5

5.0

3.0

5.0

10.5

8.0

8.0

7.0

5.7

8.0

3.0

9.0

10.5

11.0

8.5

11.0

6.0

10.5

3.0

11.7

(2.10±0,02)V

(2.30±0,02)V

(2.50±0,02)V

(2.70±0,02)V

x(±0,3)cm y(±0,3)cm x(±0,3)cm y(±0,3)cm x(±0,3)cm y(±0,3)cm x(±0,3)cm y(±0,3)cm 0.5

-12.0

-2.0

-12.0

-5.5

-12.0

-9.0

-13.0

0.3

-9.0

-2.0

-9.0

-5.0

-9.0

-8.5

-9.0

0.3

-6.0

-2.0

-6.0

-5.5

-6.0

-8.5

-6.0

0.2

-3.0

-2.2

-3.0

-6.0

-3.0

-9.0

-5.3

0.2

0.0

-2.5

0.0

-5.0

0.0

-8.2

0.0

0.2

3.0

-2.5

3.0

-5.0

3.0

-8.0

3.0

0.2

6.0

-2.5

6.0

-5.0

6.0

-8.7

6.0

0.2

9.0

-2.5

9.0

-4.7

9.0

-8.0

9.0

0.2

12.0

-2.5

12.0

-5.0

12.0

-9.0

12.0

Tabla 1, muestra los datos recolectados experimentalmente con la primera configuración de electrodos

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LINEAS EQUIPOTENCIALES

Fig. 2. Muestra las líneas equipotenciales para la configuración de dos barras. Como se puede ver en la figura 2, el potencial aumenta al acercarse a la barra con carga positiva, también llamada Ánodo, la línea de potencial (2.70±0,02)V tiene dos puntos que quiebran la curva, contando de arriba hacia abajo en la figura 2, se puede dar cuenta que son los putos 3 y 6, sin embargo, la línea tiende a curvarse en los extremos como se espera. En la de potencial (2.50±0,02)V hay un punto que quiebra la línea aunque esta también se curva en los puntos extremos, las líneas de potencial (2.30±0,02)V, (2.10±0,02)V y (1.90±0,02)V se acercan a ser paralelas ya que se encuentran en el centro de las dos barras y puede verse una simetría en la curvatura de las líneas equipotenciales, siendo la de (2.10±0,02)V la línea más recta y aquella que está próxima a la mitad de la distancia entre los electrodo. Las de potencial (1.70±0,02)V, (1.50±0,02)V y (1.30±0,02)V se van curvando a medida que se acercan a la barra negativa. Puede verse claramente que la distancia entre las líneas de potencial (2.70±0,02)V y (2.50±0,02)V es mayor que la distancia entre las líneas de potencial (1.50±0,02)V y (1.30±0,02)V a pesar que el 9

LINEAS EQUIPOTENCIALES

intervalo ∆� es el mismo, de lo cual puede decirse que no es lineal el aumento del potencial eléctrico con respecto a la distancia a uno de los electrodos. Dos Anillos Con los dos anillos las medidas son un poco más sencillas de tomar ya que los electrodos en forma de círculo demarcan mucho la dirección que toman las líneas de potencial e igual que con los anteriores casos dichas líneas se curvan cuando se encuentran cerca de alguno de los dos electrodos, además, el potencial aumenta a medida que va acercándose al electrodo de carga positiva. Los datos se consignan en la Tabla 3 y se utilizan para hacer la figura 4. Potencial Eléctrico (1.90±0,02)V

(2.10±0,02)V

(2.30±0,02)V

(2.50±0,02)V

x(±0,3)c y(±0,3)c x(±0,3)c y(±0,3)c x(±0,3)c y(±0,3)c x(±0,3)c y(±0,3)c m m m m m m m m 6.5

12.0

2.8

12.0

-0.8

2.0

-4.0

12.0

5.2

9.0

2.5

9.0

-0.5

9.0

-3.0

9.0

4.0

6.0

2.0

6.0

0.2

6.0

-2.3

6.0

3.2

3.0

1.8

3.0

0.0

3.0

-1.8

3.0

3.0

0.0

1.5

0.0

0.0

0.0

-1.5

0.0

3.5

-3.0

1.8

-3.0

0.0

-3.0

-1.8

-3.0

4.4

-6.0

2.0

-6.0

-0.2

-6.0

-2.5

-6.0

6.0

-9.0

2.3

-9.0

-0.5

-9.0

-3.2

-9.0

7.5

-12.0

2.8

-12.0

-0.8

-12.0

-4.5

-12.0

Tabla 3, muestra los datos recolectados con la configuración de los dos anillos. Dentro del anillo con carga positiva el potencial es constante de (3,27±0,02)V y dentro del anillo con carga negativa es de (1,28±0,02)V. Como se vio anteriormente, se puede observar que al ser constante el potencial eléctrico el campo eléctrico es nulo y nuevamente se hace uso de la ecuación (5) para 10

LINEAS EQUIPOTENCIALES

comprobar teóricamente este resultado experimental, en el que se observa un constante potencial eléctrico al interior de ambos anillos sin importar si estan cargados positiva o negativamente, ya que en este caso, también se midió el potencial a una distancia al eje de simetría igual a cero ya que se está experimentando (como en las demás configuraciones) únicamente sobre el plano ��.

Figura 4. Configuración con los dos anillos. La primera línea de potencial (2,50±0,02)V se curva siguiendo muy bien la forma circular del electrodo, la de potencial (2,30±0,02)V está más lejana y con cuatro puntos en el medio casi verticales pero también siguen la curvatura acercándose al electrodo positivo, la línea de potencial (2,10±0,02)V está más cerca la electrodo negativo por lo tanto se curva acercándose a este y la última línea de potencial (1,90±0,02)V está completamente afectada por el electrodo negativo con su curvatura acercándose hacia este. Se puede ver que la simetría vertical no se encuentra en el origen ya que hay una línea curvada hacia el electrodo positivo sobre el eje de las ordenadas a pesar de que los electrodos fueron colocados a la misma distancia de éste. 11

LINEAS EQUIPOTENCIALES

mayor precisión en cada medida, al obtener criterios para eliminar valores atípicos o anormales.  Las líneas equipotenciales son concéntricas a las cargas que las generan, además son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico.

7. Conclusiones  Pudimos concluir que hay muchas causas de error para nosotros determinar exactamente la dirección de las líneas equipotenciales, como por ejemplo: 

Los caimanes mal puestos



La medición poco exacta



La conductividad del agua Referencias

 El campo eléctrico puede representarse mediante líneas del campo eléctrico o de fuerza que se originan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas, dirigidas hacia la región de menor potencial

[1] A. R, Serway, J. W. Jewett. Física para ciencias e ingeniería. Editorial Thomson. (Junio 2005). Volumen II [2] http://www.scribd.com/doc/20575974/LINEASEQUIPOTENCIALES-Y-CAMPO-ELECTRICO Consultado el día 24/08/11. [3] http://www.scribd.com/doc/19512298/Lab-2Completo Consultado el día 25/08/11. [4] http://www.slideshare.net/guestd93ebf/infome-2lineas-equipotenciales-y-campo-electrico Consultado el día 25/08/11

 El potencial eléctrico es inversamente proporcional a la distancia y directamente proporcional a la carga.  La serie de repeticiones que se realizó en la práctica permite realizar un tratamiento estadístico sobre los datos y obtener una

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