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• Maricarmen Mederos

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TEORÍA DE CIRCUITOS:

TRANSITORIOS

J. Castillo A. Pulido J. Romero Mayo de 1997

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

Departamento de Ingeniería Eléctrica

TEORÍA DE CIRCUITOS:

TRANSITORIOS

J Castillo A. Pulido J. Romero

Maquetación e ilustraciones Los Autores

Editado e impreso Escuela Universitaria Politécnica (EUP) Edificio de Ingenierías. Campus de Tafira. 35017 LAS PALMAS COPYRIGHT © marzo de 1997. Los autores. All rights reserved ISBN 84-7806-160-6. Depósito legal GC 446-1997 Printed in Spain

Agradecimientos A Manuel Morán Araya, Director del Departamento de Ingeniería Eléctrica, fuente de una parte importante de nuestra formación, referencia de conocimiento de los circuitos eléctricos, maestro de maestros, y amigo.

Teoría de circuitos: TRANSITORIOS

J. Castillo C A. Pulido C J. Romero

Reseña de los autores por orden alfabético Jesús Castillo Profesor del Área de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Antonio Pulido Profesor del Área de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Secretario del Departamento de Ingeniería Eléctrica Jesús Romero Profesor del Área de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Jefe de Servicio y Responsable de Calidad del Centro de Metrología y Calibración Tel.: 928-45.19.79 / 87 / 78 Fax: 928-45.18.74

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J. Castillo C A. Pulido C J. Romero

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Prólogo Es para mi un orgullo el presentar este libro, fruto de la experiencia de los autores tras años de docencia en el Área de la Ingeniería Eléctrica. Esta publicación, cuyo objetivo no es otro sino facilitar al alumno el aprendizaje de la materia teoría de transitorios, cuenta con un rigor conceptual en las exposiciones, abundancia de ejemplos y gran riqueza de gráficos, resultando una obra completa y estructurada. Animo desde aquí a los autores a abordar otros temas de interés para los alumnos, manteniendo la alta calidad e intensidad aquí reflejada.

Octavio Pulido Castro

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Índice de la unidad CAPÍTULO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Circuitos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1. RÉGIMEN TRANSITORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. RESPUESTA NATURAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1. Ecuación característica del circuito. Resolución empleando el método de integración directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. Constante de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. RESPUESTA COMPLETA. SISTEMAS FORZADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. TRANSITORIOS DEBIDOS A LA VARIACIÓN BRUSCA DE UN ELEMENTO PASIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5. RESPUESTA A ENTRADA CERO Y A ESTADO CERO . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6. CASO EN EL QUE LA FUENTE ES ALTERNA SENOIDAL . . . . . . . . . . . . 23 1.7. LINEALIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 CAPÍTULO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Circuitos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. RESPUESTA NATURAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. CIRCUITO SOBREAMORTIGUADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. CIRCUITO SUBAMORTIGUADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5. CIRCUITO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6.1. Subamortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6.2. Sobreamortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6.3. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7. RESPUESTA FORZADA EN UN SISTEMA DE 2º ORDEN . . . . . . . . . . . . 41 2.8. RESPUESTA COMPLETA DE SISTEMAS DE 2º ORDEN . . . . . . . . . . . . 41 2.9. PARÁMETROS DE UNA RESPUESTA TRANSITORIA ANTE UN ESCALÓN45 2.9.1. Tiempo de subida (tr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.9.2. Tiempo de pico (tp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.9.3. Máximo sobreimpulso o máxima elongación (Mp) . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.9.4. tiempo de establecimiento (ts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 CAPÍTULO 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espacios transformados. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. TRANSFORMADA UNILATERAL DE LAPLACE. DEFINICIÓN . . . . . . . . . 3.2. TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Traslación en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Traslación en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Teorema de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6. Teorema de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7. Cambio de escala en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.8. Teorema del valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.9. Teorema del valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoría de circuitos: TRANSITORIOS

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47 47 47 48 48 48 49 50 50 51 52 52 53

x

3.2.10. Funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES BÁSICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Función escalón unitario u(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Función impulso unitario δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Funciones sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Transformación inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Métodos de desarrollo en fracciones parciales para hallar transformadas inversas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1.1. Polos reales y distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1.2. Polos reales y repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1.3. Polos complejos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. COMENTARIO SOBRE LA TRANSFORMADA DE FOURIER . . . . . . . . . .

53 54 54 55 55 55 57 57 58 59 61 62

CAPÍTULO 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Otros métodos de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. MÉTODO DE LAS VARIABLES DE ESTADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 63 63 63 69 72

APÉNDICE A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Ecuaciones de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 A.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 A.2. NOTACIÓN OPERACIONAL: OPERADOR p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 A.3. ECUACIONES DE DEFINICIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS (MEDIANTE EL OPERADOR p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 APÉNDICE B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Señales aperiódicas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1. ESCALÓN UNITARIO: u(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2. RAMPA UNITARIA: ρ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3. IMPULSO UNITARIO: δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4. RELACIONES ENTRE SEÑALES APERIÓDICAS FUNDAMENTALES . . .

85 85 85 85 86 87

APÉNDICE C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2. CONDENSADOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.3. BOBINA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.4. CIRCUITOS EQUIVALENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89 89 89 90 91 91

PROBLEMAS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Teoría de circuitos: TRANSITORIOS

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CAPÍTULO 1

Circuitos de primer orden

1.1.

RÉGIMEN TRANSITORIO

Antes de que un circuito o máquina pueda llegar a una situación estacionaria o de régimen permanente de funcionamiento ha tenido que pasar por un periodo de transición durante el cual las tensiones y corrientes varían en función del tiempo hasta llegar finalmente a la condición de equilibrio. El transitorio se produce al conectar, desconectar o conmutar cualquier parte de un circuito que contenga elementos acumuladores de energía. Una variación brusca en el valor de una fuente o una carga puede ser considerada como una conmutación produciéndose, por tanto, un transitorio.

1.2.

RESPUESTA NATURAL

En circuitos sin fuentes de excitación se pueden producir corrientes y tensiones debidas a la energía almacenada por los elementos acumuladores. A las respuestas en tensiones y corrientes en este tipo de circuitos se les denomina natural.

1.2.1. Ecuación característica del circuito. Resolución empleando el método de integración directa El transitorio es el efecto de un cambio brusco en un circuito. Por ello, su estudio comienza una vez producido dicho cambio. Para comprenderlo analizaremos el circuito de la figura 1, planteando las ecuaciones para un tiempo mayor que cero, o sea un instante después de la conmutación, resultando el circuito de la figura 2.

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Capítulo 1. Circuitos de primer orden

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Figure 2.

Figure 1.

Aplicando la 2ª ley de Kirchhoff: (1-1)

despejando e integrando:

siendo el resultado de la integración:

por lo que se obtiene (1-2) Como siempre vamos a llegar a una solución del mismo tipo en los sistemas de primer orden, no será necesario volver a integrar, sino que pondremos el tipo de solución directamente.

Figure 3.

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En la figura 3 está representada gráficamente la ecuación (1-2), siendo Io la condición inicial y τ la constante de tiempo, de las que se hablará en los apartados siguientes. Se puede observar como la energía en la bobina se va disipando en la resistencia hasta descargarse totalmente.

1.2.2. Constante de tiempo El cálculo directo de la constante de tiempo se realiza con sencillez al trabajar con el operador p, que como se puede repasar en el apéndice A, es:

(a las raíces las

denominaremos por la letra s), luego, la ecuación (1-1) puede ponerse de la forma:

Tomando al polinomio que multiplica a la variable, e igualando a cero se obtiene la inversa de la constante de tiempo cambiada de signo:

Por tanto:

y, como se puede observar, su unidad es el segundo. La constante de tiempo da idea de la mayor o menor velocidad con la que se extingue la componente libre del transitorio.

Figure 4.

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En el caso anterior:

para un tiempo transcurrido de t=3τ luego la señal ya se encuentra dentro del 5% del valor de convergencia y se podría dar por acabado el transitorio.

Ejemplo 1. ¿Qué tiempo habría de transcurrir para que la función alcance el valor de convergencia en un 99% como mínimo? i(t) = 0.01AIo = Io e-t/τ -t/τ = Ln 0.01 t $ 4.6Aτ s

1.2.3. Condiciones iniciales Como hemos visto, la respuesta natural en los sistemas de primer orden es siempre del tipo: Se pretende calcular el valor de A particularizando la ecuación al instante t=0+, resaltando que al poner 0+ nos estamos refiriendo a un instante posterior al cero, ya que la ecuación sólo es válida para valores de t>0, es decir, una vez producida la variación. Por tanto: luego será necesario obtener el valor de la variable en dicho instante. Esta valor podría ser un dato de partida o tener que calcularlo, que es el caso que vamos a considerar. Consideremos de nuevo el circuito planteado en la figura 2 cuando se encuentra en régimen permanente y resolvámoslo para t=0-, es decir, un instante antes de la conmutación. La ecuación diferencial será:

Como es una fuente de continua, en régimen permanente todas las variables serán constantes:

Al tratarse de una variable de estado corriente en una bobina, se conserva, luego podemos decir:

En el caso de no tratarse de una variable de estado habría que resolver el circuito para t=0+.

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Ejemplo 2. En el circuito de la figura 2 hallar la condición inicial de la tensión en la bobina vL(0+). Resolveremos primeramente el circuito de la figura 1 para t=0-, calculando las variables de estado, en nuestro caso la única sería la corriente en la bobina. Obsérvese que como se supone el circuito en régimen permanente en continua

. Es como si la bobina se tratara

de un cortocircuito: no tiene tensión. Por tanto:

A continuación se calcula el circuito para t=0+, que se muestra en la figura 2, sabiendo que las variables de estado se conservan. Dado que las leyes de Kirchhoff se cumplen en cada instante:

1.3.

RESPUESTA COMPLETA. SISTEMAS FORZADOS

El método a emplear será el de superposición. Primero se eliminarán las fuentes del circuito y se procederá al cálculo de la respuesta natural tal como hemos visto. Posteriormente se procede al cálculo de la respuesta forzada. El procedimiento es el mismo que se usa en matemáticas para el cálculo de ecuaciones diferenciales, llamándose solución homogénea y particular. Ilustremos el desarrollo con un ejemplo.

Ejemplo 3. Calcular la respuesta completa de la corriente que circula por el circuito de la figura 5.

Figure 5.

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1º. Cálculo de la ecuación diferencial.

2º. Respuesta natural. La constante de tiempo se halla a partir de la ecuación característica:

luego la respuesta natural será:

3º. Respuesta forzada. De la ecuación diferencial, el término que no multiplica a la variable es una constante: E. Por tanto, la respuesta forzada será una constante:

Para calcularla la introduciremos en la ecuación diferencial:

4º. Aplicar superposición. La respuesta completa será la suma de ambas respuestas:

5º. Condiciones iniciales. Para t=0- el circuito está abierto, es decir iL(0-)=0, y como es variable de estado se conserva, por tanto iL(0+)=0, luego:

6º. Solución.

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Capítulo 1. Circuitos de primer orden

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Figure 6.

Observaciones:

1ª. Inicialmente la bobina está descargada, por lo que por ella no circula corriente. 2ª. Posteriormente se irá cargando más o menos rápido, según el valor de la constante de tiempo τ=L/R; cuanto mayor sea más lenta será la carga. 3ª. Al final, transcurrido un tiempo de tres veces la constante de tiempo, prácticamente se habrá alcanzado un nuevo régimen permanente: estaremos a un 5% de conseguirlo. 4ª. El valor de la corriente que circula en el nuevo régimen permanente sólo será función de la tensión de la fuente y el valor de la resistencia, es decir i(4)=E/R, ya que la bobina se comporta como un cortocircuito.

Ejemplo 4. Dado el circuito de la figura 7. a) Calcular la tensión en el condensador para t>0. b) ¿Qué valor debe tener R si la capacidad es de 1μF y queremos que se cargue en 100ms?. c) Calcular que corriente máxima instantánea deberá soportar el circuito si la tensión de la fuente es de 24V. DATO: suponer el condensador inicialmente descargado, es decir, vC(0!)=0V. a) 1º. Cálculo de la ecuación diferencial para t>0.

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Figure 7.

Ahora bien, como

2º. Respuesta natural. La constante de tiempo es: luego la respuesta natural será:

3º. Respuesta forzada. De la ecuación diferencial, el término que no multiplica a la variable es una constante: E. Por tanto, la respuesta forzada será una constante:

Para calcularla la introduciremos en la ecuación diferencial:

4º. Respuesta completa. Será la suma de ambas respuestas:

5º. Condiciones iniciales. Ya que el condensador está inicialmente descargado, y dado que en él la tensión es una variable de estado vC(0-)=vC(0+)=0, luego:

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6º. Solución.

b) Si consideramos que el circuito ha alcanzado el nuevo equilibrio para t=3τ:

c) Aplicando mallas:

Como se puede observar, la corriente máxima es al principio del transitorio, para t=0 y sólo depende de la tensión de la fuente y el valor de la resistencia siendo su valor:

1.4.

TRANSITORIOS DEBIDOS A LA VARIACIÓN BRUSCA DE UN ELEMENTO PASIVO

Un transitorio puede ser originado por la variación brusca de una carga, y no sólo por la variación de las fuentes. ¿Quién no ha notado en su casa que al entrar en funcionamiento un determinado electrodoméstico de alto consumo ha bajado momentáneamente el nivel de iluminación?. Para analizarlo resolvamos el caso siguiente.

Ejemplo 5. Calcular la respuesta completa de la corriente que circula por la rama serie formada por L y R1 del circuito de la figura 8.

Figure 8.

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Capítulo 1. Circuitos de primer orden

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1º. Cálculo de la ecuación diferencial (t>0).

2º. Respuesta natural. La constante de tiempo es:

luego la respuesta natural será:

3º. Respuesta forzada. Para calcularla la introduciremos en la ecuación diferencial:

4º. Respuesta completa.

5º. Condiciones iniciales. Supuesto inicialmente régimen permanente t=0-:, y como es variable de estado se conserva, por tanto i(0-)=i(0+)=I, luego:

6º. Solución.

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Capítulo 1. Circuitos de primer orden

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Observación: Para t=4 se alcanza un nuevo régimen permanente en continua por lo que la bobina no tendrá tensión ya que:

.

Como se puede comprobar, se comporta como un divisor de intensidad con:

Figure 9.

1.5.

RESPUESTA A ENTRADA CERO Y A ESTADO CERO

De otra forma, se puede imaginar la respuesta completa como el desglose de otras dos respuestas con componentes muy diferentes: " Respuesta a entrada cero: la respuesta completa de la variable que nos interese, debida a cualquier estado inicial no cero de los elementos acumuladores de energía sin fuentes activas (XZi ). " Respuesta a estado cero: la respuesta completa de la variable con fuentes conectadas, pero con todas las condiciones iniciales puestas a cero (XZs ).

Ejemplo 6. En el circuito de la figura 10, calcular: a) respuesta completa vC(t) para t>0, suponiendo que vC(0!)= 5V; b) descomponer la respuesta completa en las componentes de entrada cero y estado cero. Datos: vS(t)= 2t u(t) V; R= 3Ω; C=4 F

Figura 10.

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a) Respuesta completa: Respuesta natural + Respuesta forzada. 1º. Ecuación Diferencial. Para el cálculo de las raíces se realiza mediante la ecuación característica:

y la constante de tiempo:

2º. Respuesta natural.

3º. Respuesta forzada. Para el cálculo de las constantes A y B, se introduce en la ecuación diferencial quedando:

4º. Respuesta completa. Será la suma de ambas respuestas.

5º. Condiciones iniciales. El condensador está inicialmente cargado, siendo su tensión en el instante t=0! igual a 5V. Por ser vC(t) una variable de estado se verifica: vC(0!) =vC(0+) = 5V luego:

6º. Solución.

b) Respuesta a entrada cero. Es sencillamente la respuesta completa cuando todas las fuentes se anulan.

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para t=0; vC Zi (0) = 5 = A, entonces:

c) Respuesta a estado cero. Cuando las condiciones iniciales son cero.

para t=0; vC Zs (0) = 0 = A e0 + 2A0 ! 24, entonces: A = 24, quedando la respuesta a estado cero como:

Observar que la suma de las respuestas a entrada cero y estado cero es la respuesta completa.

Para t>0:

1.6.

CASO EN EL QUE LA FUENTE ES ALTERNA SENOIDAL

Ejemplo 7. El interruptor del circuito de la figura 11 se cierra para t=0. Calcular la expresión de la intensidad i(t) para t>0. Datos: e(t) = 100 sen 500t V; R = 10 Ω; L = 0.2 H

Figure 11.

1º. Ecuación diferencial.

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(Cuando se procede al cálculo de las raíces, se cambia la letra del operador p=d/dt por la s)

La constante de tiempo es:

2º. Respuesta natural.

3º. Respuesta forzada.

Empleando notación fasorial:

Pasando a forma temporal:

4º. Respuesta completa.

5º. Condiciones iniciales. Dado que en el circuito se halla una inductancia inicialmente descargada, y que en el circuito no se presentan potencias infinitas, se considera la energía iL(0-)=iL(0+)=0. Igualando la respuesta completa para t=0 a cero:

6º. Solución.

con lo que la representación es:

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25

Figure 12.

Observaciones:

1ª. Como es sabido, el régimen permanente se alcanza transcurrido un tiempo . 2ª. En determinados casos el término exponencial podría anularse, estableciéndose el régimen permanente desde el instante inicial. En el ejemplo anterior, como i(0-)=0, bastaría que se cumpliese que la respuesta forzada para t=0 fuese nula. Esto se consigue si el valor de la f.e.m. de la fuente fuese , es decir, si la fase inicia de la tensión fuese igual al argumento de la impedancia. 3ª. Si multiplicamos por dos el valor de e(t), la respuesta i(t) que se obtendría sería el doble; o sea, la respuesta completa es proporcional a la excitación de la fuente.

1.7.

LINEALIDAD

Figure 13.

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En un sistema lineal, si son conocidas la fuente de entrada x(t) y la correspondiente respuesta a estado cero y(t), cuando la fuente se sustituye por su derivada dx(t)/dt, se deduce que la respuesta a estado cero será la derivada dy(t)/dt de la respuesta original a estado cero. Esto significa que la respuesta a estado cero h(t) a un impulso unidad es la derivada respecto al tiempo de la respuesta a estado cero w(t) a un escalón unidad, o como suele decirse, la respuesta a un impulso unidad es la derivada de la respuesta a un escalón unidad.

Ejemplo 8. Dado el circuito de la figura 14, calcular la tensión en el condensador aplicando el teorema de linealidad, comprobar el resultado mediante el método de integración directa.

Figure 14. Aplicando el teorema de linealidad, es decir, calcularemos el ejemplo como si la fuente fuese un escalón y luego se deriva la respuesta original, obteniendo la respuesta ante un impulso. 1º. Superposición:

2º. Ecuación diferencial y constante de tiempo. Por divisor de tensión tenemos, al ser un sistema de primer orden se ha calculado directamente la constante de tiempo:

3º. Respuesta completa. En problemas de primer orden solamente conociendo los valores iniciales, finales y la constante de tiempo, se puede aplicar la siguiente expresión para el cálculo de la respuesta: w(t) = w(0) + [w(0) -w(4)] e-t/τ

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4º. Valor inicial. Estamos resolviendo para el caso de entrada escalón, luego se conservará la tensión inicial en el condensador: w(0) = 0 V 5º. Valor final. Será el valor que se alcanza en régimen permanente, cuando se halla terminado el transitorio. El circuito resultante será el de la figura 15.

Figure 15. Circuito con entrada escalón en t=4.

Por divisor de tensión se obtiene: w(4) = 2/5 V 6º. Respuesta completa ante entrada escalón. Sustituyendo los valores en la ecuación uno resulta:

7º. Respuesta completa ante el impulso unitario. Aplicando el teorema de linealidad:

Resolución del ejemplo aplicando el método de integración directa. La constante de tiempo es la misma mientras que las condiciones iniciales y finales serán distintas. Volviendo a aplicar la expresión: v(t) = v(0) + [v(0) -v(4)] e-t/τ 1º. Valor inicial. Dado que existe un impulso podría producirse una carga instantánea, por lo que procederemos al cálculo de dicho valor, partiendo de la figura 16.

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Por el condensador circulará una intensidad de corriente de valor: ic(t) = 2 δ(t) +

En el instante t= 0 la tensión en el condensador es de:

Figure 16. Circuito en el intervalo 0!0, a traves de vC(t), suponiendo que las condiciones iniciales son iL(0!)=2V. y vC(0!)=!9V. Datos: R=3Ω; C=1/2F; L=1H.

Figure 3 La ecuación diferencial, en función del operador p.

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Capítulo 2. Circuitos de segundo orden

32

entonces,

De la ecuación característica se obtiene los valores característicos s1 y s2:

siendo las raíces de dicha ecuación valores reales y distintos, por lo que se trata de un sistema SOBREAMORTIGUADO. La respuesta natural será del tipo:

Se utiliza las condiciones iniciales para el cálculo de las constantes K1 y K2 , necesitándose dos ecuaciones: 1ª Ecuación, para t=0, vC(0)=!9=K1+K2. 2ª Ecuación se obtiene de la siguiente forma:

Por lo tanto: K1 + K2 = - 9 - K1 - 2 K2 = 4 6 K1 = -14; K2 = 5 La respuesta natural de la tensión del condensador será:

Como nos piden la respuesta de la corriente iL(t) y se sabe que:

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Capítulo 2. Circuitos de segundo orden

2.4.

33

CIRCUITO SUBAMORTIGUADO

Si las raíces de la ecuación característica son complejas conjugadas, nos hallamos ante una respuesta que converge a su valor final de forma oscilatoria, nos referimos a el como caso subamortiguado. Volviendo al ejemplo del circuito RLC serie, sería los casos que cumplieran la siguiente inecuación:

Llamando s1, s2 a las dos raíces complejas conjugadas, serán del tipo:

El modelo de respuesta a ensayar es el que aparece en la siguiente ecuación, observándose que las dos expresiones que se presentan son matemáticamente equivalentes.

Pasando la ecuación de forma Euleriana a forma binómica, reagrupando obtendremos la segunda expresión:

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34

Figure 4.Ejemplo respuesta subamortiguada. En todos los casos nos encontramos con dos constantes de integración. (K1, K2) o (A, B) o (K, Φ), que serán calculadas en base a las condiciones iniciales. La forma de la señal para la corriente i(t) converge a su valor final de forma oscilatoria, tomando valores por encima y por debajo del mismo, como se aprecia en la figura 4. En la misma se puede observar: # # # #

las exponenciales son las curvas envolventes los máximos y mínimos no coinciden con los de la función senoidal pura la pulsación es constante (función pseudo periódica) su amplitud está amortiguada exponencialmente.

Ejemplo 2. En el circuito de la figura 1, calcular la respuesta natural de iL(t) para t>0, suponiendo que antes de cerrar el interruptor iL(0!)= 0V y vC(0!)= 5V. Datos: R = ½ Ω; C = 1/4 F; L = 1/4 H

Figure 5.

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La ecuación diferencial, en función del operador p.

De la ecuación característica se obtiene los valores característicos s1 y s2: siendo las raíces de dicha ecuación valores complejos conjugados (s1,2 = !α ± jβ), por lo que se trata de un sistema SUBAMORTIGUADO. La respuesta natural será del tipo:

utilizándose las condiciones iniciales para el cálculo de las constantes D y E.

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1ª Ecuación, para t=0: iL(0)=0=e ! 0[D cos 0 + E sen 0] = D Y D = 0

Observando el circuito de la figura 6, se pueden hallar las condiciones iniciales para la obtención de la 2ª ecuación, y con posterioridad el cálculo de la constante E:

Figure 6. Condiciones iniciales. Por otro lado se tiene que:

Para t=0

la respuesta natural será:

2.5.

CIRCUITO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO

Es el límite entre los dos casos estudiados, ocurre cuando ambas raíces son reales e iguales

Llamando a las dos raíces, s1, s2 será del tipo. s1,2 = -R/2L. En este caso se ensaya la solución:

Una vez calculadas las constantes se representará la curva obteniendose la siguiente gráfica: Teoría de circuitos: TRANSITORIOS

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Figure 7. Ejemplo respuesta Críticamente amortiguada.

Se caracteriza por lo siguiente: # su máximo es mayor que en el caso sobreamortiguado # converge más rápidamente al valor final, que el caso sobreamortiguado, pero más lentamente que el subamortiguado # no presenta oscilaciones. En la práctica, en los sistemas de control que se diseñan, se busca que sus respuestas se aproximen a este caso, ya que es el más rápido sin producir sobreoscilaciones. La realidad es que es prácticamente imposible el hallarnos justo en este caso, dado que como hemos dicho es una situación límite.

Ejemplo 3. En el circuito de la figura 8, calcular la respuesta natural de vC(t) para t>0, suponiendo que las condiciones iniciales son iL(0-)= 5/9A. y vC(0-)= 2V. Datos: R= 3Ω, C=1/18F, L=2H.

Figure 8.

La ecuación diferencial, en función del operador p es:

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De la ecuación característica se obtiene los valores característicos s1 y s2:

siendo las raíces de dicha ecuación valores reales e iguales, por lo que se trata de un sistema CRITICAMENTE AMORTIGUADO. La respuesta natural será del tipo:

Condiciones iniciales para el cálculo de las constantes K1 y K2 , necesitándose dos ecuaciones: 1ª Ecuación, para t=0 vC(0) =2 = K1 + K2A 0

6 K1 = 2 Observando el circuito de la figura 9, se puede hallar las condiciones iniciales para la obtención de la 2ª ecuación, y luego calcular la constante K2:

Figure 9. Condiciones iniciales.

Por otro lado se tiene que:

Para t=0: Teoría de circuitos: TRANSITORIOS

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la respuesta natural será:

2.6.

LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

Se pueden extraer importantes conclusiones si representamos en plano de Gauss el lugar geométrico de los valores de las raíces (s). Cualquier ecuación diferencial de 2º orden sin fuentes se puede expresar de la forma:

Su ecuación característica será:

siendo sus raíces: (2-1)

Siendo:

ζ factor de amortiguamiento ωn frecuencia natural no amortiguada

A fin de obtener el lugar geométrico analicemos los tres casos que se nos pueden presentar.

2.6.1. Subamortiguado Las raíces son complejas y conjugadas, luego el interior de la raíz cuadrada será negativo

ζ < 1, obteniendose

.

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Figure 10.Lugar geométrico de las raíces, caso subamortiguado.

El lugar geométrico es el semicírculo representado en la figura 10, su radio es ωn , siendo ζ = cos θ. A la componente del eje de ordenadas se le conoce como frecuencia natural amortiguada Observaciones:

1. Si ζ = 0 las dos raíces son imaginarias puras estando ante un caso oscilatorio no amortiguado, sería el caso de un circuito con un condensador y una bobina, sin ningún elemento disipativo, se corresponden con los puntos P1, P2 de la figura 10. La solución sería x(t) = K cos ( ωnt + φ). 2. Si 1>ζ > 0 las dos raíces son complejas conjugadas , estando ante un caso oscilatorio amortiguado, sería el caso de un circuito con un condensador y una bobina que se van descargando sobre una resistencia, se corresponden con los puntos s1 y s2 de la figura 10. La solución sería x(t) = K e-ζωnt cos ( ωdt + φ). 3. Si ζ = 1, la parte imaginaria se anula y tendremos una raíz real doble, caso críticamente amortiguado, punto P3 (s1,2=!ωn). La solución sería x(t) = (K1+K2t) e-ωnt.

2.6.2. Sobreamortiguado Ambas raíces son reales, de la ecuación (2-1), observamos que cuando ζ > 1 ambas raíces son reales y negativas, valiendo:

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Observese que |s1|ωn, por lo que el lugar geométrico será el representado en la siguiente figura:

Figure 11. Lugar geométrico de s con sobreamortiguamiento.

Se trata del eje de abscisas en su parte negativa, cuando ambas raíces sean iguales nos hallaremos frente al caso límite, el críticamente amortiguado.

2.6.3. Conclusión El lugar geométrico de las raíces es la superposición de los dos casos, en el límite de ambos se halla el críticamente amortiguado. En la siguiente figura 12 se representa

Figure 12. Lugar Geométrico de las raíces. Teoría de circuitos: TRANSITORIOS

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42

2.7.

RESPUESTA FORZADA EN UN SISTEMA DE 2º ORDEN

La obtención de la respuesta forzada es la misma que en sistemas de primer orden. Salvo dos casos especiales: 1. Si una de las raíces de la ecuación es cero, la respuesta forzada se obtiene mediante una primera integración normal de dicha ecuación. 2. Si la fuente contiene un término que aparece en la respuesta natural, éste deberá ser tratado como el críticamente amortiguado y se multiplicará dicho término en la respuesta forzada por K1t + K2.

2.8.

RESPUESTA COMPLETA DE SISTEMAS DE 2º ORDEN

Al igual que vimos en el capítulo anterior se puede hallar por superposición de las respuestas a entrada cero y estado cero, o por superposición de la respuesta natural y la forzada.

Ejemplo 4. En el circuito de la figura 13, calcular: a) respuesta completa de vC(t) para t>0; b) respuesta a entrada cero y estado cero; c) comprobar que la suma de las respuestas a entrada cero y estado cero es la respuesta completa obtenida en el apartado a). Condiciones iniciales: iL(0-)= 1A. y vC(0-)= 4V. Datos: R=4Ω; C=1/24F; L=3H.

Figure 13. a) Respuesta completa: Respuesta natural + Respuesta forzada. 1º. Ecuación diferencial, en función del operador p:

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43

2º. Respuesta natural. Mediante el cálculo de las raíces de la ecuación característica podemos deducir en que caso nos encontramos.

Se obtiene dos raíces reales y distintas (SISTEMA SOBREAMORTIGUADO), siendo la respuesta natural de la forma:

3º. Respuesta forzada. Será del tipo: Para el cálculo de las constantes A y B, se introduce dicha respuesta en la ecuación diferencial, quedando:

4º. Respuesta completa. Será la suma de ambas respuestas:

5º. Condiciones iniciales. El condensador está inicialmente cargado, siendo su tensión en el instante t=0- igual a 4 voltios. Por ser vC(t) una variable de estado se verifica: vC(0!) =vC(0+) = 4V luego, para t=0, se obtiene la primera ecuación para el cálculo de las constantes K1 y K2:

Figure 14. Condiciones iniciales.

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Observando el circuito de la figura 14, se puede hallar las condiciones iniciales para la obtención de la segunda ecuación: Por otro lado se tiene que:

Para t=0:

6º. Respuesta completa.

b) Respuesta a entrada cero. Es la respuesta completa cuando todas las fuentes se anulan: vC(0)=4V, iL(0)=1A.

Sustituyendo en las dos ecuaciones anteriores para t=0,

por lo tanto K1=-16 y K2= 20, quedándonos dicha respuesta:

b) Respuesta a estado cero. Es la respuesta completa cuando las condiciones iniciales son cero: vC(0)=0V, iL (0)=0A.

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Para t=0,

con las dos ecuaciones hallamos los valores K1=6 y K2= -3/2, siendo la respuesta a estado cero:

c) La suma de las respuesta a estado cero y entrada cero coincide con la respuesta completa.

2.9.

PARÁMETROS DE UNA RESPUESTA TRANSITORIA ANTE UN ESCALÓN

Figure 15. En la figura anterior se ha representado una respuesta aleatoria a un escalón, sobre dicha gráfica se han reflejado los parámetros que a continuación definiremos.

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46

2.9.1. Tiempo de subida (tr) Es el tiempo en que la respuesta sube desde el: 10% al 90% en el caso sobreamortiguado 0% al 100% en el caso subamortiguado dichos porcentajes referidos al valor final de la función. El valor aproximado de dicho tiempo en función de las raíces ya definidas, sabiendo que ζ=cos θ es:

2.9.2. Tiempo de pico (tp) Es el tiempo en el que la respuesta alcanza su primer pico, resultando su expresión:

2.9.3. Máximo sobreimpulso o máxima elongación (Mp) El máximo sobreimpulso se produce en el tiempo de pico. Es el valor máximo que adquiere la variable:

2.9.4. tiempo de establecimiento (ts) Periodo transcurrido desde el comienzo del transitorio, hasta que la respuesta queda delimitada en un intervalo del ±5% en torno a su valor final. Será menor de tres veces la mayor constante de tiempo del sistema.

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CAPÍTULO 3

Espacios transformados. Transformada de Laplace

3.1.

TRANSFORMADA UNILATERAL DE LAPLACE. DEFINICIÓN

Es una poderosa herramienta matemática, la cual nos permite trabajar en el dominio de la frecuencia s, siendo mucho más sencillo el análisis de circuitos lineales complejos. Hasta el momento, se presentaba el comportamiento transitorio de los circuitos en el dominio del tiempo t, limitándose el análisis de circuitos sencillos, que se describían mediante ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. A partir de este momento extenderemos el análisis a conjuntos de ecuaciones diferenciales ordinarias, con el fin de considerar el comportamiento transitorio de circuitos cuya descripción necesita más de una ecuación diferencial. En consecuencia, la Transformada de Laplace consiste en la transformación de un conjunto de ecuaciones integrodiferenciales lineales en el dominio del tiempo en ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia, introduciendo en las ecuaciones algebraicas los correspondientes valores iniciales de las variables en cuestión. La transformada unilateral de Laplace de la función temporal f(t) viene dada por una expresión que sólo está definida para tiempos positivos: (3-1)

donde el símbolo ‹{f(t)}=F(s) se lee la transformada de Laplace de f(t), siendo s la frecuencia compleja y es igual s=ρ+jw (Hz). Para poder realizar la transformada de Laplace se debe cumplir una serie de condiciones que a continuación enumeramos: 1º que la función, en cuestión, f(t) sea continua a tramos: entre 0