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• Física y matemáticas

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Matemática

Dirección de contenidos Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile

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Jefatura de Área Matemática Mg. Cristian Gúmera Valenzuela

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Edición Lic. Alejandro Sepúlveda Peñaloza Lic. Javiera Setz Mena

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Autoría Prof. Vivian Marambio Fuentes Prof. Carlos Castro Maldonado Asesoría pedagógica Prof. Claudia Fariña Kutz Prof. Paula Vigar Robles Prof. Mirtha Seguel Riquelme Prof. Gabriela Zúñiga Puyol

El texto de Matemática 7º básico, parte del proyecto , es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana.



Subdirección editorial: Marcelo Cárdenas Sepúlveda Corrección de estilo: Alejandro Cisternas Ulloa

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Dirección de contenidos Rodolfo Hidalgo Caprile

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Solucionario: Matías Ávila Indo Rafael Castro Aguayo Tania Roa Rojas

Documentación: Cristian Bustos Chavarría Paulina Novoa Venturino



Subdirección de diseño: María Verónica Román Soto Jefatura de diseño: Raúl Urbano Cornejo

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Diseño: Roberto Peñailillo Farías



Diagramación: Daniel Monetta Moscoso



Ilustraciones: Oscar Chávez Jofré

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Fotografías: Shutterstock Archivo editorial Wikimedia Commons

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Cubierta: Miguel Bendito López Roberto Peñailillo Farías Raúl Urbano Cornejo

Ilustración de cubierta: Roberto del Real Ekdahl Producción: Rosana Padilla Cencever

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Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del derecho de autor, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

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La editorial ha hecho todo lo posible por conseguir los permisos correspondientes para las obras con derecho de autor que aparecen en el presente texto. Cualquier error u omisión será rectificado en futuras impresiones a medida que la información esté disponible.

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© 2016, by Santillana del Pacífico S. A. de Ediciones. Avda. Andrés Bello 2299, piso 10, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHINA. Impreso en China y producido por Asia Pacific Offset Ltd. ISBN: 978-956-15-2868-0 – Inscripción nº 258.200 www.santillana.cl [email protected] ® Santillana es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S. L. Todos los derechos reservados.

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Hola, amiga, amigo.

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Te damos la bienvenida a esta nueva etapa que comienzas en Séptimo básico. Este año te acompañaremos para que lleves a cabo este viaje de aprendizaje.

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Desde ahora, te invitamos a que descubras un mundo en el que disfrutarás la magia de aprender mediante contenidos, textos, imágenes y actividades creados para ti.

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No estarás solo en esta aventura: junto con tus compañeros, profesores y familia, encontrarás un espacio para compartir , a través de actividades que te invitan a conocer más del mundo que nos rodea.

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Este viaje también tendrá una ventana que te permitirá complementar tu aprendizaje por medio del uso de tecnología para que puedas trabajar con tu familia en un ambiente seguro.

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A través de sus páginas te enfrentarás a diversas situaciones en las que podrás desarrollar habilidades para explorar, aprender y construir conceptos matemáticos a partir de los ejes Números, Álgebra, Geometría y Probabilidad y estadística.

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Deja que tu curiosidad te lleve a conocer más y disfruta este desafío de aprender ¡ !

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Sello de Transparencia Santillana es una iniciativa que busca promover en los colegios la adopción de proyectos y servicios educativos de acuerdo con criterios pedagógicos, principios de integridad y responsabilidad, y actúa en todo momento conforme a las normas de buena fe y ética profesional.

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es más que un texto escolar. es un proyecto cuya finalidad es invitarte a asumir tu educación desde una nueva perspectiva. Para que aprendamos, necesitamos la colaboración de los demás, con quienes compartimos un mismo entorno y tiempo, que respetamos y valoramos.

Aprender Convivir Valorar

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La propuesta educativa de Todos juntos se basa en tres grandes ejes que orientan todo el trabajo:

Eje 1:

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Todos juntos aprendemos si tenemos la voluntad e intención por compartir nuestro esfuerzo. El proyecto contribuye a este eje con distintas herramientas:

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• Fortalece el aporte de la tecnología a la experiencia de aprendizaje. • Ofrece diferentes tipos de actividades para permitir a todos encontrar su propia forma de aprender. • Aprovecha los recursos visuales como herramientas de aprendizaje que invitan a la reflexión sobre cómo aprender más y mejor.

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Eje 3:

Todos juntos convivimos cuando comprendemos que cada uno contribuye a la construcción de una sociedad más democrática y justa, en la que todos tenemos cabida.

Todos juntos valoramos nuestro entorno natural y social y nos hacemos responsables del impacto que nuestras acciones tienen en él: el respeto por la naturaleza, por su diversidad de plantas y de animales y también por el patrimonio que heredamos, compartimos y que debemos entregar a las futuras generaciones.

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Eje 2:

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El proyecto aporta a este eje por distintas vías: un programa articulado de educación en valores. Lo encontrarás no solo en los ejemplos y actividades, sino también en la sección .

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Contenido digital

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El Texto del estudiante del proyecto tiene como pilar fundamental el concepto de aprendizaje ubicuo, por lo cual ofrece oportunidades de aprendizaje en diversos espacios por medio del uso de la tecnología en red. Con ese afán, encontrarás a tu disposición un conjunto de recursos digitales, a los que podrás acceder desde cualquier dispositivo conectado a Internet.

Aula Virtual

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USUARIO

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INGRESAR

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Te invitamos a crear un usuario y contraseña en el sitio www.santillana.cl para que puedas acceder a los recursos digitales complementarios del proyecto. Utiliza para tu registro el código inserto en tu libro.

INGRESA TU C ÓDIGO APRENDE CÓM

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Recursos digitales en el libro Cada vez que te encuentres en tu texto con alguno de estos íconos, ingresa a tu Aula Virtual, en donde hallarás los recursos digitales complementarios asociados a los contenidos o evaluaciones propuestas.

Recursos digitales

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Utiliza estos recursos para apoyar tu aprendizaje. Entre ellos podrás encontrar: actividades digitales, presentaciones multimedia, audios, videos, galerías de imágenes y fichas de trabajo.

Pon a prueba tus conocimientos respondiendo las preguntas en el juego propuesto en las evaluaciones inicial, intermedia y final. En él podrás ir superando etapas y acumulando puntaje que te será útil a la hora de navegar en tu sesión del Aula Virtual.

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Juego

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Libro digital

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Texto en formato digital que podrás revisar y personalizar en tu sesión del Aula Virtual. Puedes acceder a él utilizando cualquier dispositivo conectado a Internet.

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Aprendo a usar mi texto Matemática 7° básico

se compone de:

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Tu texto de

¿Qué veo?

Inicio de unidad

Preguntas que te conectan con la imagen de inicio para que trabajes con ella.

Encontrarás una atractiva imagen que deberás trabajar a partir de las secciones:

¿Qué sé?

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Actividades que relacionan lo que ya sabes con los contenidos que aprenderás en la unidad.

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Temas

Secciones que apoyan tu proceso de enseñanza-aprendizaje:

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Detente

Más informado Recuerda que... Cálculo rápido

Íconos que te indican dónde utilizar cada componente del proyecto:

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Además encontrarás:

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Cada tema tiene asociada una serie de contenidos de aprendizaje que trabajarás de acuerdo con una situación contextualizada. Luego, ejercitarás lo aprendido.

Podrás saber cómo vas en tu proceso de enseñanza-aprendizaje en los tres momentos evaluativos...

Evaluación intermedia

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Evaluación inicial

...que apoyarás con Me pongo a prueba, que te enseñará cómo responder preguntas desafiantes y vincular tu trabajo con la plataforma .

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Evaluación final

También complementarás lo aprendido en páginas como: Taller de habilidades matemáticas Leo y relaciono con...

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Resolución de problemas

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Preparo la prueba

Revisa una unidad e identifica en ella los distintos componentes presentados en esta página.

9

Índice Unidad

Números

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1 14

✔✔Evaluación inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

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Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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■■ Representación de la multiplicación entre fracciones positivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ■■ Multiplicación entre fracciones positivas . . . . . . . . 40 ■■ Representación de la división entre fracciones positivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ■■ División entre fracciones positivas. . . . . . . . . . . . . 44

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El conjunto de los números enteros ( ) . . . . . . . . 18 Representación de los números enteros . . . . . . . . 20 Comparación y orden en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Adición en la recta numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Adición en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Sustracción en la recta numérica. . . . . . . . . . . . . . 30 Sustracción en  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

38

Taller de habilidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . 46 ■■ Relación entre números decimales y fracciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ■■ Multiplicación entre números decimales . . . . . . . . 50 ■■ División entre números decimales . . . . . . . . . . . . . 52

de

■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■

18

Tema 2: Fracciones y números decimales

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Tema 1: Números enteros

✔✔Evaluación intermedia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Tema 3: Potencias

58

■■ Interpretación de una potencia. . . . . . . . . . . . . . . . 58 ■■ Potencias de base 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ■■ Representación de números con potencias de 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 ■■ Notación científica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Uso de la calculadora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Leo y relaciono con … Geografía. . . . . . . . . . . . . . . . 68 ✔✔Evaluación final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Me pongo a prueba 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

10

Unidad

2

3

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Unidad

Relaciones de proporcionalidad 80

Álgebra

✔✔Evaluación inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

✔✔Evaluación inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Tema 1: Porcentajes

Tema 1: Expresiones algebraicas

Tema 2: Proporcionalidad directa

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96

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■■ Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 ■■ Proporcionalidad directa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 ■■ Representación de la proporcionalidad directa . . 102

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Uso de software. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 ✔✔Evaluación intermedia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

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Tema 3: Proporcionalidad inversa

■■ Lenguaje algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 ■■ Regularidades numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 ■■ Expresiones algebraicas y términos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 ■■ Adición y sustracción de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

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Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

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Representación del porcentaje. . . . . . . . . . . . . . . . 84 Porcentajes, fracciones y decimales . . . . . . . . . . . 86 Cálculo de porcentajes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Aplicaciones del porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

134

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■■ ■■ ■■ ■■

84

130

108

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■■ Proporcionalidad inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 ■■ Representación de la proporcionalidad inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

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Uso de software. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Taller de habilidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . 116 Leo y relaciono con … Estética. . . . . . . . . . . . . . . . 118

✔✔Evaluación final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Taller de habilidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . 144

✔✔Evaluación intermedia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Tema 2: Ecuaciones e inecuaciones lineales ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■

148

Representación de ecuaciones lineales. . . . . . . . 148 Resolución de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . . 150 Planteamiento de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . 152 Desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Inecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Planteamiento de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . 160

Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Uso de software. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Leo y relaciono con … Deporte. . . . . . . . . . . . . . . . 168 ✔✔Evaluación final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Me pongo a prueba 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Me pongo a prueba 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

11

Unidad

Unidad

4

5

✔✔Evaluación inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Tema 1: Ángulos en polígonos



184

■■ Polígonos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 ■■ Ángulos interiores de un polígono . . . . . . . . . . . 186 ■■ Ángulos exteriores de un polígono. . . . . . . . . . . 190

Tema 2: Área de polígonos



232

✔✔Evaluación inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Tema 1: Construcciones geométricas



194

236 238 240 242

■■ Bisectriz de un ángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ■■ Bisectrices de un triángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . ■■ Transversales de gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . Uso de software. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

244 246 248 250

■■ Rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ■■ Construcción de triángulos y cuadriláteros congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . Uso de software. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✔✔Evaluación intermedia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

252 254 258 260 262

Tema 2: Plano cartesiano

264

de

■■ Área de un paralelógramo . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 ■■ Área de un triángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

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Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

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■■ Área de un polígono regular. . . . . . . . . . . . . . . . 200 ■■ Área de un trapecio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

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Uso de software. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 ✔✔Evaluación intermedia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Tema 3: Círculo



210

236

■■ Simetral entre dos puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . ■■ Simetrales en un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . ■■ Alturas de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uso de software. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G

Taller de habilidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . 192

Construcciones geométricas y plano cartesiano

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180

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Polígonos y círculos

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Índice



■■ Puntos en el plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . 264 ■■ Vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 ■■ Vectores en el plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . 270

Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Leo y relaciono con … Deporte. . . . . . . . . . . . . . . 220

Taller de habilidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . 272 Leo y relaciono con … Geografía y tecnología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 ✔✔Evaluación final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

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■■ Circunferencia y círculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 ■■ Perímetro del círculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 ■■ Área del círculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

✔✔Evaluación final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Me pongo a prueba 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Me pongo a prueba 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

12

6 Estadística y probabilidad

286

✔✔Evaluación inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

290 292 294 296 298 300 302

la

Población y muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Muestreo aleatorio simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabla de frecuencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabla de frecuencias con datos agrupados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ■■ Gráfico de barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ■■ Gráfico de líneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ■■ Gráfico circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de

■■ ■■ ■■ ■■

290

Uso de software. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

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Tema 2: Medidas de tendencia central



306

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■■ Media aritmética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 ■■ Moda y mediana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 ✔✔Evaluación intermedia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

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■■ Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ■■ Frecuencia relativa asociada a un evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ■■ Regla de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ■■ Principio multiplicativo y diagrama de árbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ■■ Tendencia de resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Tema 3: Probabilidad

G

Tema 1: Estudio de una población

Zú ñi ga

Unidad

314 314 316 318

320 322

Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Taller de habilidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . 326 Leo y relaciono con... Genética. . . . . . . . . . . . . . . . 328 ✔✔Evaluación final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

Me pongo a prueba 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Índice temático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Glosario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Bibliografía consultada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Preparo la prueba 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preparo la prueba 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preparo la prueba 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preparo la prueba 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preparo la prueba 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preparo la prueba 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

345 347 349 351 353 355

13

Unidad

Números

G

ab rie

la

Zú ñi ga

1

de

El Tatio, que en lengua indígena atacameña significa “El abuelo que llora”, se encuentra a 4.321 m sobre el nivel del mar, siendo el campo geotermal que está a mayor altura en el mundo.

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El sector está rodeado de grandes y hermosos cerros y volcanes que llegan a 5.900 m sobre el nivel del mar.

U

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Fuente: San Pedro de Atacama en http://www.enlacesantillana.cl/#/tj_mat7u1_e1

14

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multimodalidad

Observa la imagen y responde.

1. ¿Cómo describirías el recorrido del vapor que sale de un géiser?

la

Las columnas de agua de los géiseres del Tatio llegan a los 7 m de altura y se pueden ver en su máxima expresión entre las 6 y las 9 de la mañana todos los días.

¿Qué veo?

ab rie

Los géiseres son zonas de aguas subterráneas cercanas al magma volcánico, donde se pueden ver descargas intermitentes de agua caliente, lanzadas con turbulencia y acompañadas de vapor.

2. ¿A cuántos metros sobre el nivel del mar se encuentran los géiseres del Tatio? Marca con un 4 la opción correcta.

G

11 Cuatro mil trescientos veintiún metros. 11 Cinco mil novecientos metros.

1. El Tatio tiene cerca de 80 géiseres. ¿Cuál es la expresión que permitiría calcular la suma de las alturas máximas de las columnas de agua de estos géiseres? Marca con un 4 la opción correcta.

11 (80 7) m 11 (80 + 7) m •

2. La cantidad de géiseres que hay en el Tatio corresponden aproximadamente a un 8% del total que hay en el mundo. Representa en la cuadrícula este porcentaje.

U

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ex cl

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iv o

de

¿Qué sé?

15

Evaluación inicial Resuelve las siguientes actividades.

1. Completa la tabla con los primeros 7 múltiplos consecutivos de cada número. Luego, responde.. Múltiplos consecutivos

2

Número

8

Múltiplos consecutivos

5

3

24

30

7

28

¿ Existen múltiplos comunes entre los números? ¿Cuáles y entre qué números?

24

Descomposición en factores primos

ab rie

Factores primos

la

2. Completa la tabla. Número

Zú ñi ga

Número

2•3•7

3 y 11

1 

El único número primo par es el 2.

de

a.

Justificación:

1 

Todos los números enteros se pueden escribir como multiplicación de números primos.

Justificación:

iv o

b.

G

3. Escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa. Justifica en cada caso.

us

4. Completa la tabla con la representación correspondiente. Porcentaje

Fracción irreducible

U

so

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Representación gráfica

16

25%

7 10

Juego

Marca con una

7 la alternativa correcta.

C. $ 120.000

B. $ 180.000

D. $ 90.000

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1 3 6. ¿Qué resultado se obtiene al resolver 2  + ? 5 10 1 A. 2  2 1 B. 2  15 2 C. 2  5 7 D. 10

la

A. $ 240.000

Zú ñi ga

5. Andrea ganó un premio de $ 150.000 en un juego. Con él pagó una deuda de $ 60.000 y el resto lo invirtió durante 6 meses en un banco que le entregará $ 5.000 mensuales de interés, siempre que no retire el dinero. ¿Cuánto tendrá en total después de los 6 meses?

A. Representa la fracción

iv o

de

G

7. Respecto de la siguiente figura, ¿cuál de las afirmaciones es incorrecta?

3 . 4

us

B. Representa el número decimal 0,75. C. Representa un 75%.

ex cl

D. Representa una fracción impropia.

8. ¿Qué resultado se obtiene al dividir 0,2 en 100?

so

A. 0,002 B. 200

C. 0,02 D. 50

U

9. Si un establecimiento educacional determina que debe haber un profesor por cada 30 estudiantes, ¿cuántos profesores deberían tener 150 estudiantes? A. 4.500 profesores.

C. 5 profesores.

B. 6 profesores.

D. No se puede saber.

Unidad 1. Números

17

Tema

1

Números enteros El conjunto de los números enteros ()

40

40

30

30

20

20

10

10

0

0

–10

–10

–16 °C

–20

–20

Más informado

28 °C

Las temperaturas bajo cero, los saldos de una cuenta bancaria, la profundidad bajo el nivel del mar, entre otras situaciones, son ejemplos en los que se pueden usar números enteros para representarlas.

la

50

ab rie

50

Zú ñi ga

A lo largo de nuestro país las temperaturas son muy extremas. Hay lugares que si la temperatura es muy baja, se registran grados bajo cero. Observa los siguientes termómetros ambientales.

• ¿Cómo se podría escribir 16 grados bajo cero?

de

11 16 ºC 11 –16 ºC

G

Fíjate cómo se marcaron en el termómetro con color azul las temperaturas bajo 0 y con rojo las sobre 0. A partir de la información anterior, marca con un 4 la opción correcta en cada caso.

iv o

• Usando el mismo criterio, ¿cómo escribirías con números las temperaturas sobre los 0 ºC del otro termómetro?

us

11 28 ºC 11 –28 ºC

ex cl

• Remarca el signo que se usó para representar los grados bajo cero. •

–

:

+

U

so

Existen situaciones en las que es necesario utilizar números menores que cero. Estos se conocen como números negativos y se les antepone el signo menos (–), mientras que los números que son mayores que cero se conocen como números positivos. En la situación inicial los 16 ºC bajo cero se pueden escribir como –16 ºC.

Los números enteros () corresponden al conjunto formado por los números enteros positivos (+ = {1, 2, 3, 4, ... }), el cero (0) y los números enteros negativos ( – = {..., –3, –2, –1}).  ={…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

18

Ejercito

Zú ñi ga

a. La altura a la que está el paracaidista. 7m

–7 m

ab rie

3m

c. El coral rosado que está en el fondo del mar.

2. Representa con un signo + o – cada información.

d. Perdimos por 5 goles.

iv o

b. Nos dieron 5 dulces para los dos.

c. Los géiseres del Tatio se elevan hasta 7 m.

de

a. 5 m bajo el nivel del mar.

G

–8 m

8m

Metros bajo el nivel del mar.

la

b. El pez anaranjado que se encuentra bajo el nivel del mar. –3 m

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Metros sobre el nivel del mar.

1. Observa la imagen y remarca cómo se puede representar cada ubicación con números enteros.

3. Con respecto a los números enteros ( ), escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa. Justifica en cada caso.

1 

El 0 es un número entero.

b.

ex cl

Justificación:

us

a.

1 

El conjunto  está formado por  – y +.

Justificación:

1 

Los números enteros son un conjunto finito.

so

c.

U

Justificación:

4. Escribe dos situaciones que se podrían representar con números enteros.

Recuerda que...

Finito quiere decir que tiene fin.

• •

Unidad 1. Números

19

Tema 1 / Números enteros

Representación de los números enteros

0

1

2

3

4

5

6

la

Remarca la opción correcta.

Zú ñi ga

En la siguiente recta numérica se representan algunos números enteros positivos. Sigue la secuencia y complétala hacia la derecha.

ab rie

• En la recta numérica, ¿cuándo un número x es mayor que otro y? Cuando x está a la derecha de y.

Cuando x está a la izquierda de y.

• Si los números enteros positivos se ubican a la derecha del cero, ¿en qué posición se podrían ubicar los números enteros negativos?

Intercalados con los números naturales.

A la izquierda del cero.

G

Sobre los números naturales.

de

• Situación: Los números enteros negativos pueden representar la profundidad del mar; el cero, el nivel de la superficie; y los enteros positivos, la altura respecto del nivel del mar.

iv o

Si la recta numérica representara esta situación, ¿dónde ubicarías los números negativos y en qué orden? Representa algunos números en la siguiente recta numérica.

us

0

ex cl

• ¿Para qué puedes usar la recta numérica? Remarca las opciones que creas correctas. Representar la sustracción.

Representar números.

Representar la adición.

so

Comparar números.

U

Los números enteros (Z) se pueden representar en la recta numérica de la siguiente manera: Recta numérica Negativos (Z –)

–7 –6 –5 –4 –3 –2

20

Positivos (Z+)

Cero

–1

0

1

2

3

4

5

6

7 Z

Ejercito

–11

–9

–8

–7

–5

–4

–3

–2

0

1

2

3

4

5

2. En cada caso, ubica con un • los números enteros en la recta numérica. 7

–3

–7

0

6

7

9

0

Z

Z

5

7

G

–4

11

ab rie

–6

b.

10

–12

la

a.

Zú ñi ga

1. Escribe los números enteros que faltan en la recta numérica.

de

Z

iv o

3. Gradúa la recta numérica y representa los números enteros desde el –15 al 15.

ex cl

us

4. Completa el siguiente esquema.

so

Dibujo

– 50 – 40 – 30 – 20 – 10 –0 – 10 – 20 – 30 – 40

ºC

U

Situación

Número entero

Unidad 1. Números

21

Tema 1 / Números enteros

Comparación y orden en Z

31 ºC

17 ºC

Zú ñi ga

A continuación se muestran las temperaturas de una ciudad en las distintas estaciones del año.

31 ºC

17 ºC

C

B

31 ºC Remarca la opción correcta.

17 ºC

–1 ºC

17 ºC

–1 ºC

–5 ºC

–1 ºC

de

B

–5 ºC

–1 ºC

–5 ºC

G

• ¿En qué caso la temperatura es más alta? A

–5 ºC

ab rie

31 ºC

D

la

A

C

D

C

D

iv o

• ¿En qué caso la temperatura es la más baja? A

B

us

• Ordena las estaciones de menor a mayor temperatura. B

C

ex cl

A

D

D

C

B

A

C

D

B

so

Al comparar dos números enteros a y b, se cumple solo una de las siguientes relaciones:

U

a es mayor que b (a > b) b

22

–4

a es igual a b (a = b) b

a

a



–3

–2

b



a



–3 está ubicado a la izquierda del –2.

–3 < –2

Ejemplo:

a es menor que b (a < b)

–1

0

Equivalentemente, –2 está ubicado a la derecha de –3. Por lo tanto, –3 < –2.

A

Recuerda que...

El símbolo > se lee “mayor que” y el símbolo < se lee “menor que”.

Ejercito

Zú ñi ga

1. Construye una recta numérica y ubica a los números 8, –11, 4, 9, –3, 0 y –1. Luego, escríbelos de mayor a menor.

2. Completa con >, < o = según corresponda.

b. 4

6

c. –3

6

d. 7

–7

e. –5

–8

la

–4

f. –10

–9

ab rie

a. –2

  0, y > 0.

Y II (–, +)

iv o

• II cuadrante si tiene abscisa negativa y ordenada positiva; x < 0, y > 0. • III cuadrante si tiene ambas coordenadas negativas; x < 0, y < 0.

us

• IV cuadrante si tiene abscisa positiva y ordenada negativa x > 0, y < 0.

ex cl

Escoge un punto, en cada caso, perteneciente al:

O III (–, –)

IV (+, –)

X

Más informado

c. I cuadrante. N

b. IV cuadrante. N

d. Eje Y.

so

a. II cuadrante. N

N

10. Determina el signo de k para que se cumpla cada condición. Remárcalo.

U

I (+, +)

a. (k, 2) en el II cuadrante.

Positivo

Negativo

b. (3, k) en el IV cuadrante.

Positivo

Negativo

c. (–1, –k) en el II cuadrante.

Positivo

Negativo

Unidad 5. Construcciones geométricas y plano cartesiano

Todo par ordenado que tenga una de las coordenadas cero representa un punto que está ubicado sobre uno de los ejes. Si la primera coordenada es cero, el punto está en el eje Y; si la segunda coordenada del eje Y es cero, está en el eje X.

267

Tema 2 / Plano cartesiano

Vectores

Zú ñi ga

Observa el mapa y sigue las trayectorias que han hecho Vicente y Andrea desde la Plaza de la Independencia:

ab rie

la

Valores sociales, cívicos y solidarios Averigua sobre los lugares históricos de tu ciudad. De este modo, puedes conocer tus raíces y valorar a tus antepasados.

G

Vicente ( ) caminó por Aníbal Pinto hasta Chacabuco, y dobló hacia su izquierda hasta Colo-Colo. Andrea ( ) se fue por O’Higgins hasta llegar a Tucapel. Más tarde, Vicente y Andrea se reunieron en la Plaza Perú.

de

• Dibuja en el mapa el recorrido de cada uno. ¿Quién recorrió más? Vicente

Andrea

Recorrieron lo mismo

iv o

• Ahora, dibuja una flecha que indique el desplazamiento total de cada uno. ¿Qué flecha es más larga? La de Andrea

Son iguales

us

La de Vicente

ex cl

Un vector se puede representar con una flecha que tiene las siguientes características:

• módulo: corresponde a su longitud. • dirección: está dada por la orientación en el plano de la recta que lo contiene. Vectores iguales

so

• sentido: corresponde a la punta de la flecha e indica hacia qué lado se dirige el vector.

U

Dos o más flechas representan al mismo vector si son paralelas (tienen la misma dirección), tienen el mismo sentido y el mismo módulo, sin importar dónde esté ubicado su origen. Si alguna de estas condiciones no se cumple, los vectores son distintos.

Vectores opuestos

Además, dos vectores son opuestos si tienen igual módulo y dirección, pero sentido contrario. Un vector se puede asociar al desplazamiento o a una traslación de un punto o de una figura en el plano.

268

Ejercito 1. Determina si los siguientes vectores son iguales, opuestos o distintos en cada caso. Justifica. a.

b.

Zú ñi ga

N

c.

N

N

2. La figura ABCDEF es un hexágono regular. Determina en cada caso:

ab rie

la

a. Dos parejas de vectores con igual dirección y módulo.

b. Una pareja de vectores de distinta dirección, pero con igual módulo.

3. En cada caso, dibuja dos vectores:

de

G

c. Una pareja de vectores con distinto módulo, pero con igual dirección.

B

F

C

E

D

c. de la misma dirección, el mismo sentido y módulos diferentes.

ex cl

us

iv o

a. que tengan la misma dirección, distinto sentido y que el módulo de uno sea el triple del módulo del otro.

A

d. de módulo y dirección iguales, pero distintos sentidos.

U

so

b. con el mismo módulo, pero distinta dirección.

Unidad 5. Construcciones geométricas y plano cartesiano

269

Tema 2 / Plano cartesiano

Vectores en el plano cartesiano

Zú ñi ga

En el siguiente plano cartesiano, el triángulo verde se obtiene al aplicar una traslación por el vector v al triángulo de color rojo.

• Escribe las coordenadas del triángulo de color rojo: A(

,

), B(

,

) C(

,

)

• Ahora, escribe las del triángulo de color verde: A’(

,

) B’(

,

) C’(

,

C

)

• Marca con un ✔ si la afirmación es correcta.

la

ab rie

11 La traslación horizontal es de 7 unidades hacia la izquierda. 11 La traslación vertical es de 3 unidades hacia arriba.

A

–4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3

Y

B'

C'

A'

v

1 2 3 4 5 6 7X

G

• Explica cómo se puede representar el vector v usando coordenadas.

9 8 7 B 6 5 4 3 2 1

,

)

iv o

v (

de

• ¿Cuáles son las coordenadas del vector v que representa la traslación del triángulo de color rojo al de color verde?

Y P

4

ex cl

us

En el plano cartesiano, un vector se puede representar por v = (x, y), donde (x, y) se conocen como las componentes del vector. Si el vector se asocia a una traslación, x simboliza la traslación horizontal e y, la vertical.

3

v = (x, y) es un vector traslación:

2

x < 0 N traslación hacia la izquierda (!).

so

y < 0 N traslación hacia abajo (.).

U

y > 0 N traslación hacia arriba (-).

Ejemplo: Al desplazar el punto P de coordenadas (–4, 4) según el vector v = (2, –3), resulta el punto P’ de coordenadas (–2, 1), ya que P se desplaza 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia abajo.

270

1

P’

x > 0 N traslación hacia la derecha (").

O –4

–3

–2

–1

1

2

–1 –2 –3

v = (2, –3)

X

Ejercito 1. En el siguiente plano cartesiano se representan figuras y el resultado de desplazarlas. a. Traza en el plano el vector correspondiente a cada traslación.

Zú ñi ga

El punto (o la figura) que resulta del desplazamiento de otro lo llamamos imagen y generalmente se denota con la misma letra acompañada de una comilla. Por ejemplo, P’ representa el desplazamiento del punto P.

b. Representa cada uno de los vectores anteriores utilizando coordenadas cartesianas. Y F'

F

g=

la

4

G J' G'

–4

k=

O

ab rie

j =

K

G

–4

X

Páginas 96 a 99

de

Integr lo aprendid

Tema

iv o

• Analiza los puntos marcados en el plano cartesiano y luego responde.

us

4

J

b. ¿Qué puntos tienen abscisa cero?

ex cl

d. ¿Qué vector representa la traslación del punto L al punto B?

so

Marca con un 3 en Sí o en No según lo descrito.

H –6

2

Y L 6

K

a. ¿Cuáles tienen la misma ordenada?

c. ¿Cuáles puntos tienen abscisa y ordenada negativas?

dern ua

o

J

4 K'

C

f =

Más informado

–4

M

2

I –2

G

2

B

–2

E F

X

A O

–4

4

C D

–6

Sí

No

U

Identifiqué puntos en el plano cartesiano usando coordenadas. Determiné si dos o más vectores eran iguales, opuestos o distintos. Representé puntos en el plano cartesiano usando vectores. Utilicé vectores para representar la traslación de una figura en el plano.

Unidad 5. Construcciones geométricas y plano cartesiano

271

Taller de habilidades matemáticas Al elegir y utilizar lo concreto, lo pictórico y lo simbólico para expresar enunciados, desarrollas esta habilidad.

Paso 1

Se representará de manera gráfica en el plano cartesiano cada uno de los vértices del rectángulo para luego aplicar las propiedades de los paralelógramos y determinar la ubicación del vértice D del rectángulo ABCD.

la

Identifica qué se representará

Zú ñi ga

1. Josefina quiere representar un rectángulo en el plano cartesiano; sin embargo, olvida las coordenadas de uno de sus vértices. Si los vértices que recuerda Josefina son los puntos A(–5, –2), B(−2, −2) y C(−2, 2), ¿cuáles son las coordenadas del vértice D necesario para formar el rectángulo ABCD?

Representar

Paso 2

ab rie

Se representarán las coordenadas de los vértices en un plano cartesiano.

Elige una representación

de

G

5 4 3 C 2 1

• Se ubican los vértices conocidos en el plano cartesiano. • Se traza una recta L que pase por C paralela al lado AB y una recta T que

so

ex cl

us

Utiliza la representación según la situación

U

1 2 3 4 5X

iv o

Paso 3

–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 A B –3 –4 –5

Y

pase por A paralela al lado BC, ya que en un rectángulo sus lados opuestos son paralelos.

• Luego se ubica el vértice D en la intersección de ambas rectas y se determinan sus coordenadas. T D

5 4 3 C 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 A B –3 –4 –5

Y

L 1 2 3 4 5X

Las coordenadas del vértice D son (−5, 2).

272

Ahora tú

Zú ñi ga

2. Un triángulo isósceles ACB de base AB tiene como vértices los puntos A(1, –2) y B(5, –2), y la ordenada del vértice C es 4. Si el triángulo ACB es trasladado según el vector v = (–3, 1), ¿cuáles son las coordenadas del vértice C’? a. Representa en un plano cartesiano los puntos A y B. Luego, determina la ubicación del vértice C. 7

Y

6 5 4 3

–2 –3 –4 –5 –6

2

3

4

5

6

7 X

4

5

6

7 X

G

–7

1

ab rie

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

la

2 1

de

b. Dibuja el triángulo A’B’C’ trasladado según el vector v . Y

6 5 4 3 2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

1

2

3

–2 –3 –4 –5 –6 –7

U

so

ex cl

us

iv o

7

c. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice C’?

Unidad 5. Construcciones geométricas y plano cartesiano

273

Meridiano de Greenwich

Leo y relaciono con...

la de

G

ab rie

Línea del ecuador

iv o

Al igual como localizamos puntos en el plano cartesiano, el uso de GPS permite conocer con cierta exactitud la ubicación de un punto en el mapa. En muchos de los teléfonos celulares modernos viene incorporada una unidad de GPS que, por lo general, se utiliza para conocer el trayecto entre un lugar y otro con una serie de indicaciones de cómo llegar.

Zú ñi ga

Los sistemas de posicionamiento global (GPS) constituyen una de las aplicaciones más notables de la tecnología de la información. Esta tecnología está formada por una red de satélites que desde el espacio cubren toda la superficie terrestre y suministran información como la localización, la velocidad y la altura en cualquier condición climática.

us

Geografía y tecnología

ex cl

Marca con un ✔ la opción correcta en cada caso.

• La sigla GPS significa:

so

11 Señal de gran posicionamiento. 11 Sistema de posicionamiento general.

11 Sistema de posicionamiento global. 11 Gran posición del sol.

• El sistema GPS usa:

U

11 la señal de celular para ubicar un punto. 11 la información de satélites alrededor del mundo.

274

11 una gran brújula para orientar a los usuarios. 11 las antenas telefónicas de cada ciudad.

Zú ñi ga

Los dispositivos GPS pueden entregar la información sobre la latitud y la longitud en que se encuentran.

la

La latitud y la longitud son coordenadas geográficas. La primera corresponde a la distancia, medida en grados, a la línea del ecuador; mientras que la segunda es la distancia, en grados, al meridiano de Greenwich.

iv o

de

G

ab rie

Si se pensara en una equivalencia entre las coordenadas geográficas y las coordenadas cartesianas, la latitud correspondería a la coordenada y, la que sería positiva si se encuentra en el norte y negativa, en el sur, mientras que la longitud correspondería a la coordenada x, y sería positiva si se ubica en el este, y negativa, en el oeste.

¿Qué veo?

multimodalidad

us

Matemática

ex cl

Marca con un ✔ la opción correcta.

• Si un punto en el mapa tiene coordenadas 20º latitud sur y 70º longitud oeste, un punto equivalente en el plano cartesiano sería:

11 (–20, –70)

11 (–70, –20)

11 (70, –20)

11 (70, 20)

so

Responde.

• ¿Qué diferencias hay entre el sistema de coordenadas cartesianas y el sistema de coordenadas geográficas?

U

Nombra por lo menos tres.

Unidad 5. Construcciones geométricas y plano cartesiano

275

Evaluación final Resuelve las siguientes actividades.

A C

ab rie

la

B

Zú ñi ga

1. Los puntos A, B y C representan la ubicación de tres edificios turísticos de una ciudad. Un comerciante quiere construir tres sucursales de ventas en puntos estratégicos, P, Q y R, de la ciudad.

• P está a igual distancia de los tres edificios turísticos.

• Q se construirá en un punto que divide el sector triangular formado por los centros A, B y C en zonas con igual área. • R se construirá en el punto de intersección de las rectas perpendiculares a los lados que pasan por el vértice

G

opuesto a él.

a. Representa en el esquema la ubicación de las sucursales P, Q y R.

de

b. ¿Qué elementos del triángulo fueron considerados en la ubicación de las sucursales en el territorio?

us

iv o

c. ¿Las sucursales están situadas en línea recta?

U

so

ex cl

2. Copia, usando regla y compás, la siguiente figura formada por cuatro triángulos equiláteros.

276

3. Escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa. Justifica en cada caso.

1  Dos vectores opuestos tienen distintas direcciones y diferentes módulos.

b.

1  La diferencia entre dos vectores es otro vector.

c.

1  Si dos vectores tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, entonces son iguales.

la

Zú ñi ga

a.

ab rie

4. El minutero de un reloj mide 5 cm. Si el minutero parte a las doce en punto, representa gráficamente el vector desplazamiento de su punta, en cada caso, después de: b. tres cuartos de hora.

de

G

a. quince minutos.

a.

5

Y

4 3 1

E X

F 1

2

3

4 5

6

7

ex cl

–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2

v

us

2

D

iv o

5. Representa la posición de cada polígono al desplazarse según el vector que corresponda.

–3

–4

b.

5

Y

4

u

3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4

X 1

2

3

C E

4 5

6

7

D F

6. Respecto del plano cartesiano, el triángulo EFG se desplaza según el vector v . ¿Cuáles serán las nuevas coordenadas de los vértices del triángulo?

so

Y

E

4 3

G

U

2

F

1 –3 –2 –1

O

–1 –2

1

2

3

4

5

6 X

v

–3

Unidad 5. Construcciones geométricas y plano cartesiano

277

Evaluación final Marca con una

✘ la alternativa correcta.

7. Al trazar la bisectriz de un ángulo obtuso se obtienen dos ángulos:

Zú ñi ga

A. rectos. B. de igual medida. C. complementarios. D. suplementarios.

8. ¿Qué nombre recibe el punto donde se intersecan las bisectrices de un triángulo?

la

A. Incentro.

ab rie

B. Baricentro. C. Ortocentro. D. Circuncentro.

G

9. ¿En cuál de los siguientes tipos de triángulos el ortocentro se ubica al exterior del triángulo? A. Rectángulo.

de

B. Acutángulo. C. Obtusángulo.

iv o

D. Escaleno.

A. las bisectrices. B. las alturas.

ex cl

C. las simetrales.

us

10. El centro de la circunferencia inscrita en un triángulo corresponde al punto de intersección de:

D. las transversales de gravedad.

so

11. El triángulo CDE es isósceles de base CD, CG es bisectriz y EF es altura. ¿Qué medida angular representa x? A. 34°

E

U

B. 44°

C. 56°

x

D. 136°

G

68°

C

278

F

D

Juego

12. Un segmento de recta con su simetral forman un ángulo: A. agudo. B. obtuso.

Zú ñi ga

C. recto. D. completo.

13. ¿En cuál de los siguientes triángulos las alturas, bisectrices y transversales de gravedad coinciden? A. Equilátero. B. Obtusángulo.

la

C. Rectángulo.

ab rie

D. Isósceles. 14. Para construir las transversales de gravedad de un triángulo:

A. se deben construir rectas perpendiculares a cada lado del triángulo.

G

B. se deben construir los puntos medios de cada lado y unirlos por rectas.

C. se construye el punto medio de cada lado y se une por una recta al vértice opuesto correspondiente.

de

D. se construye el punto medio de cada lado y luego se traza la perpendicular al lado que pasa por este punto. 15. ¿Qué elementos del triángulo ABC se construyeron?

iv o

A. Las transversales de gravedad y el baricentro. B. Las alturas y el ortocentro.

C

us

C. Las bisectrices y el incentro.

ex cl

D. Las simetrales y el circuncentro.

A

B

16. El circuncentro corresponde a la:

A. intersección de las simetrales.

so

B. intersección de las alturas.

C. intersección de las transversales de gravedad.

U

D. intersección de las medianas.

Unidad 5. Construcciones geométricas y plano cartesiano

279

Evaluación final 17. ¿A qué cuadrante pertenece el punto (–5, 12)? A. I cuadrante. C. III cuadrante. D. IV cuadrante. 18. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del cuadrado ABCD? 3

D 2

B. A(–1, –2), B(–1, 2), C(3, 2) y D(3, –2).

1

Y

C

la

A. A(–1, –2), B(3, –2), C(3, 2) y D(–1, 2).

Zú ñi ga

B. II cuadrante.

–3 –2 –1 O –1

1

2

ab rie

C. A(3, 2), B(–1, 2), C(–1, –2) y D(3, –2). D. A(–1, 2), B(3, 2), C(–1, 2) y D(–1, –2).

A

–2

3

4

5

6 X

B

–3

G

19. ABCD es un cuadrilátero cuyos vértices son: A(–2, 2), B(8, 1), C(12, 5) y D(2, 6). ¿Qué tipo de cuadrilátero es? A. Rombo.

de

B. Cuadrado. C. Rectángulo.

iv o

D. Romboide.

A. (3, –5) B. (–5, 3)

ex cl

C. (–3, 5)

us

20. ¿Cuáles son las componentes del vector v ?

D. (5, –3)

v

3

Y

2 1

–5 –4 –3 –2 –1 O

1

2

3 X

so

21. Si el punto A(1, 5) se desplaza respecto del vector v = (3, –7), ¿cuáles son las nuevas coordenadas de este punto? A. (–2, 2)

U

B. (–2, 12) C. (4, –2) D. (4, 12)

280

22. El punto A(–1, 3) se desplaza según el vector v = (5, 2). ¿En qué cuadrante se ubicaría el punto resultante? A. I cuadrante. B. II cuadrante.

Zú ñi ga

C. III cuadrante. D. IV cuadrante.

23. El triángulo se desplaza según el vector v . ¿Cuáles serán las nuevas coordenadas de los vértices del ∆ABC? 3

Y

A

1

B

C 1

2

v

–2 –3

4

5

6 X

G

A. A’(2, 4), B’(0, 5) y C’(0, 3)

3

ab rie

–3 –2 –1 O –1

la

2

B. A’(2, 5), B’(3, 4) y C’(1, 4)

de

C. A’(4, 1), B’(5, –1) y C’(3, –1) D. A’(5, 2), B’(4, 3) y C’(4, 1)

C'

3

Y

A

2

A' 1 –3 –2 –1 O –1

B

C 1

2

B'

3

4

5

6 X

–2 –3

so

ex cl

us

iv o

24. El triángulo A'B'C' que se muestra en la imagen se obtuvo por la traslación del triángulo ABC. ¿Con qué vector se puede asociar esta traslación?

A. v = (7, 2)

D. v = (7, –2)

Pre p

C. v = (–7, 2)

ar

Pá

Unidad 5. Construcciones geométricas y plano cartesiano

o la pr

5

ba ue

U

B. v = (–7, –2)

g ina 353

281

Antes de empezar...

ME PONGO a prueba 5 Te invitamos a desarrollar la siguiente actividad, en la que pondrás a prueba lo estudiado en esta unidad. En esta sección especial, trabajarás en tu texto y también en tu hogar junto a un adulto o un familiar responsable. ¡Éxito!

Zú ñi ga

Ítem 1

Marca con una

7 la alternativa de tu respuesta.

Triángulo 4

de

Triángulo 3

Triángulo 2

G

Triángulo 1

ab rie

la

En la siguiente cuadrícula se han dibujado cuatro triángulos rectángulos.

Al trazar la bisectriz del ángulo recto en cada triángulo, ¿en cuál de ellos se obtienen dos triángulos congruentes?

iv o

A. En el triángulo 1.

D. En el triángulo 4.

us

B. En el triángulo 2.

C. En el triángulo 3.

1

2

3

ex cl

Sigue los pasos 1

4

.

Observo y comprendo

so

Marca con un ✔ tu(s) respuesta(s).

• ¿De qué trata el ítem?

U

Comienzo mi trabajo...

Cómo lo resuelvo...

De una cuadrícula en la que se han dibujado 4 triángulos. De una cuadrícula en la que se han dibujado 4 triángulos rectángulos. De analizar 4 triángulos rectángulos dibujados en una cuadrícula en los que se pide trazar la bisectriz.

282

Analizo

¿Qué es lo que se pide responder?

A partir de los triángulos dibujados en la cuadrícula,

3

congruentes al trazar la

¿Cómo se resuelve el ítem?

A partir de los triángulos dibujados en la cuadrícula, con la ayuda de instrumentos geométricos se traza la bisectriz del ángulo recto.

.

7 la alternativa de tu respuesta.

ab rie

3 Marca con una

Planifico

Zú ñi ga

determinar en cuál de ellos se obtienen triángulos

la

2

Triángulo 2

iv o

de

Triángulo 1

G

En la siguiente cuadrícula se han dibujado cuatro triángulos rectángulos.

Triángulo 4

us

Triángulo 3

2 Al trazar la bisectriz del ángulo recto en cada triángulo, ¿en cuál de ellos se

ex cl

obtienen dos triángulos congruentes?

A. En el triángulo 1.

C. En el triángulo 3.

B. En el triángulo 2.

D. En el triángulo 4.

U

so

4

4

Respondo

¿Cuál es la alternativa correcta?

La alternativa correcta es la

, ya que este triángulo es

y al trazar la bisectriz se

obtienen dos triángulos congruentes.

283

Refuerzo mi resolución Analizo

¿Qué es lo que se pide responder?

1. Dos niños determinaron que se puede responder de maneras distintas. Marca con un 4 la que se parece más a la que utilizarías.

Zú ñi ga

Para reforzar lo trabajado, te invitamos a desarrollar las siguientes actividades.

Primero hay que analizar los triángulos dibujados en la cuadrícula y determinar cuál cumple con la condición de que al trazar la bisectriz se obtengan dos triángulos congruentes.



Primero hay que trazar la bisectriz en cada triángulo dibujado en la cuadrícula y luego identificar la alternativa correcta.

Planifico

de

G

¿Por qué elegiste esa opción? Justifica.

ab rie

la



¿Cómo se resuelve el ítem?

iv o

2. Dos niños planificaron su resolución de maneras distintas. Observa cada una y determina cuál se parece más a la que tú utilizarías. Fundamenta tu elección. Primero se debe identificar en cada una de las alternativas lo solicitado y luego determinar cuál es correcta.



Primero se comienza determinando si la alternativa es correcta. De no serlo, se continúa con la alternativa B, y así sucesivamente hasta determinar la alternativa correcta, para luego responder.

ex cl

us



so

¿Por qué elegiste esa opción? Justifica.

U

Ahora te invitamos a trabajar, junto con un adulto, las actividades que hemos preparado para ti en . Para ello, ingresa a www.pleno.cl. Ten a mano tu texto y úsalo para trabajar en la página siguiente mientras realizas las actividades.

284

ME PONGO a prueba 5

Reviso mi trabajo en

Zú ñi ga

En conjunto con un compañero, conversen sobre el modo en que cada uno resolvió las preguntas. Toma apuntes de lo que él o ella diga y que te parezca importante. Pregunta 1

ab rie

la

Pregunta 2

de

G

Ítem

ex cl

us

Pregunta 1

iv o

En conjunto, expliquen una forma eficiente de responder cada pregunta.

so

Pregunta 2

U

Ítem

285

Unidad

6

Estadística y probabilidad

Zú ñi ga

Fuente: Instituto Nacional de la Juventud en http://www.enlacesantillana.cl/#/tj_mat7u6_e3

cada 10 jó vene activ sp idad física ractican a lguna o dep ortiv a.

so

ex cl

us

iv o

de

G

4 de

ab rie

la

rios. edenta s n o s enes da 4 jóv a c e d 3

U

De aquellos jóvenes que no realizan ninguna actividad física, 62,0% antes practicaba algún deporte o actividad.

286

Syda Productions_shutterstock

¿Qué veo?

multimodalidad

Zú ñi ga

Las principales actividades que practican los jóvenes son el fútbol, las salidas a trotar y el acondicionamiento físico.

Observa la imagen y responde.

ab rie

2. De los jóvenes que practican deporte, ¿la mayoría lo hace al aire libre o en recintos cerrados? Justifica tu respuesta.

de

G

Goran Bogicevic_shutterstock

la

1. ¿Hay más jóvenes deportistas o sedentarios?

Syda Productions_shutterstock

U

so

ex cl

us

iv o

35,3% de lo depo s jóv rte lo enes q hace en re ue practic cinto an 48,2% s priv lo ha a dos. ce co n am igos.

¿Qué sé?

1. Según los datos, ¿qué porcentaje de jóvenes son sedentarios? 75%

45%

2. En un colegio con 500 alumnos, ¿cuántos se esperaría que realicen alguna actividad física? 200

300

3. En el caso anterior, ¿cuántos jóvenes que no realizan actividad física alguna vez lo hicieron?

287

Evaluación inicial Resuelve las siguientes actividades.

1. La siguiente información corresponde a las respuestas que se obtuvieron en una encuesta realizada a un grupo de personas acerca de su fruta preferida. Manzana

Plátano

Naranja

Otra

Otra

Naranja

Manzana

Plátano

Plátano

Otra

Manzana

Zú ñi ga

Manzana

G

ab rie

la

Cantidad de preferencias

a. Representa los datos en un gráfico de barras simples.

Fruta

iv o

de

b. Escribe dos conclusiones a partir de la información obtenida.

us

2. Los siguientes diagramas de tallo y hojas muestran información de las notas obtenidas por dos cursos de 7º básico en la primera prueba de Matemática. 7º A

Hojas

Tallo

1-1-5-8

3,

1-2-2-8-9

4,

5-5-5-8-8

4,

5-5-5-9-9

5,

2-2-5-8-9-9-9

5,

1-1-1-5-5

6,

0-0-2-2-5

6,

0-0-0-0-2-5

7,

0-0-0

7,

0-0-0

a. ¿Cuántos alumnos rindieron la prueba en el 7º A?, ¿y en el 7º B?

b. ¿Qué curso tuvo más notas mayores o iguales que 4?

288

Hojas

3,

U

so

ex cl

Tallo

7º B

Juego

Marca con una

7 la alternativa correcta.

3. ¿Cuál es el promedio de los siguientes datos que representan las temperaturas máximas en una semana?

A. 20 ºC

C. 22 ºC

B. 21 ºC

D. 23 ºC

Zú ñi ga

20 ºC - 24 ºC - 25 ºC - 26 ºC - 24 ºC - 19 ºC - 23 ºC

4. ¿Cuál de los siguientes eventos es más posible que ocurra al lanzar un dado de seis caras?

la

A. Que salga un punto.

ab rie

B. Que salgan dos puntos. C. Que la cantidad de puntos que salgan sea un número par.

D. Que la cantidad de puntos que salgan sea un número mayor que 2.

52 41

55 42

60 48

52 50

58 52

45 53

52 60

de

50 48

G

5. Durante un mes se registró diariamente la cantidad de gente que compra pan en una panadería. Los siguientes fueron los resultados: 50 52

61 54

60 49

58 56

51 53

55 47

60 50

iv o

De los siguientes sucesos, ¿cuál se podría considerar poco posible?

A. Que vayan a comprar entre 50 y 60 personas.

us

B. Que vayan a comprar más de 60 personas.

C. Que vayan a comprar menos de 45 personas.

ex cl

D. Que vayan a comprar más de 55 personas. 6. Un vendedor registró, durante 15 días, la cantidad de personas que entraban a la tienda y que compraban algún producto. En la siguiente tabla se muestra el porcentaje de personas que compran diariamente: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

so

Días

Personas que compran 60% 61% 62% 60% 65% 63% 58% 59% 60% 59% 61% 62% 63% 58% 60%

U

Según los resultados y si se sigue esta tendencia, ¿qué porcentaje de compradores se esperaría el día 16, aproximadamente?

A. Bajo del 58%.

C. Cercano al 60%.

B. Más del 62%.

D. No se puede determinar.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

289

Tema

1

Estudio de una población Población y muestra

ab rie

la

Zú ñi ga

Un comerciante compra un contenedor con 15.000 poleras guardadas en cajas con 100 poleras cada una. Él quiere conocer el estado y la calidad de las poleras que compró, pero la cantidad es muy grande como para revisar cada una, por lo que decide sacar al azar 10 cajas, tomar tres poleras de cada una y revisarlas.

Responde las siguientes preguntas. Marca con un 4 si la opción es correcta.

• Del total de poleras, ¿cuántas revisará?

11 20

iv o

11 10

11 El tamaño de las poleras.

de

11 El color de las poleras.

G

• ¿Qué le interesa saber al comerciante?

11 La calidad y el estado de las poleras.

11 30

us

• ¿Crees que el método usado por el comerciante es el más adecuado? Comenta con tus compañeros.

ex cl

Algunos conceptos estadísticos básicos son los siguientes. Población: es el conjunto de todos los elementos sobre los que se realiza un estudio y que tienen una o más características en común. Los elementos pueden ser personas, hogares, frutas, juguetes, comidas, escuelas, hospitales, empresas, entre otros.

so

Muestra: es un subconjunto de la población, a partir del cual se pretende realizar inferencias para dicha población. El proceso estadístico por el que se obtiene una muestra se llama muestreo.

U

Variable: es el atributo o característica observable en la población en estudio. Se dice cualitativa si representa un atributo o característica no numérica, por ejemplo, el color de ojos, nivel educacional, entre otras. A los valores que toma una variable cualitativa se les llama categoría; la variable se dice cuantitativa si es posible representarla con un número, por ejemplo, la estatura, la masa corporal, entre otras. En la situación inicial, la población corresponde al total de poleras; la variable en estudio, al estado en que venían, y la muestra, a las 30 poleras que sacó al azar.

290

Ejercito

N

b. El tiempo que demora una persona en ser atendida en una tienda.

N

c. La etnia de las personas que viven en una comuna.

N

d. El tipo de música que escuchan los alumnos de 7º básico.

N

e. La temperatura corporal de las personas que entran al hospital.

N N

ab rie

f. Las universidades a las que los estudiantes de 4º medio postulan.

la

a. La cantidad de personas que asisten al banco cada hora.

Zú ñi ga

1. Identifica, en cada caso, si la variable en estudio es cualitativa o cuantitativa.

2. Identifica en cada situación la población, la muestra y la variable en estudio.

G

a. Se quiere analizar los índices de desempleo del país. Para esto, se realizó una encuesta a las personas de algunos hogares de cada región y se les preguntó si estaban desempleadas.

iv o

de

b. Una empresa deportiva está interesada en la calidad de los productos que venden a sus clientes. Para esto, registra la información de contacto de los clientes durante un mes y luego llama a algunos de ellos después de 6 meses para saber cómo calificarían sus productos del 1 al 7 respecto a su calidad.

us

c. Los administradores de un edificio encuestan al azar a tres personas de cada piso para saber qué tan satisfechos están con la administración del edificio en una escala del 1 al 10.

ex cl

3. Lee la información y escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa. Justifica en cada caso. Se quiere saber el número promedio de niños por familia de una comuna. Para esto se encuestan a 50 familias.

1 La población en estudio son las familias encuestadas.

so

a.

1 La muestra del estudio corresponde a las 50 familias que serán encuestadas.

c.

1 La variable de estudio es la familia.

U b.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

291

Tema 1 / Estudio de una población

Muestreo aleatorio simple

cada alumno). Completa la tabla con la cantidad de frutas que hay de cada tipo. 1

3

2 11

10 19

12 21

13 22

14

15 24

23

8

7

6

Fruta

9 16 25

17

Cantidad

Porcentaje

Manzana Naranja

18

Plátano

26

Total

la

20

5

4

Zú ñi ga

• En la imagen se muestran frutas que trajeron los alumnos de un curso. Cada uno trajo la fruta que más le gusta (una

• Supongamos que se quiere estudiar la variable "preferencias de frutas" en los alumnos del curso (población). Para

ab rie

esto, queremos extraer tres muestras distintas de 10 elementos cada una, mediante un método de muestreo llamado muestreo aleatorio simple. Para ello, sigue los pasos. NN Corta papelitos y anota los números de cada fruta. Cada número representa a un alumno del curso.

G

NN Ponlos en una bolsa y revuélvelos.

de

NN Saca los seis papeles de la bolsa, sin mirar ni devolver el papel a la bolsa después de sacarlo. Registra la preferencia de cada fruta en una de las tablas y devuelve los papeles a la bolsa para extraer otra muestra. Muestra 1 Cantidad Porcentaje

Manzana Naranja

Cantidad Porcentaje

Muestra 3 Fruta

Manzana

Manzana

Naranja

Naranja

Plátano

Plátano

Cantidad Porcentaje

us

Plátano

Fruta

iv o

Fruta

Muestra 2

Compara las tablas de las muestras con las de la población y responde.

ex cl

• ¿Los porcentajes de fruta en las muestras fueron similares a los de la población?

so

• Escribe una conclusión de la actividad.

U

Una manera de obtener muestras que puedan representar, de la mejor manera posible, las características de la población es realizar un muestreo aleatorio simple. En un muestreo aleatorio simple cada elemento de la muestra es extraído al azar, uno a uno, sin reposición. El hecho de que cada elemento de la población sea extraído al azar quiere decir que cada uno tiene la misma posibilidad de estar en la muestra (no hay preferencias, ni distinción en los elementos de la población). Sin reposición significa que en la muestra no puede aparecer dos veces un mismo elemento de la población.

292

Ejercito 1. Realiza la siguiente actividad con datos de tu curso. Para ello, sigue estos pasos.

Zú ñi ga

a. Elige una variable que quieras analizar. Por ejemplo, alguna preferencia de música o deporte (dato cualitativo) o datos de estatura o cantidad de hermanos (datos cuantitativos). Variable:

b. Clasifica las posibles respuestas en tres categorías. Por ejemplo, si preguntas por música puedes dar las opciones rock, romántica u otra; si preguntas por estatura, crea tramos como 150 cm a 159 cm, 160 cm a 169 cm, 170 cm a 180 cm.

la

Categorías:

ab rie

c. Selecciona una muestra que considere el 30% de tu curso mediante un muestreo aleatorio simple. Para esto, puedes cortar papeles con los números de lista de tus compañeros y los sacas al azar de una bolsa. Completa la tabla con el registro de las respuestas de tus compañeros. Cantidad de preferencias

Porcentaje de preferencias

G

Categoría

de

Total

us

iv o

d. Haz un resumen de las conclusiones que pudiste sacar a partir de la encuesta realizada a la muestra.

ex cl

e. Consigue los datos de todo tu curso y comprueba si los porcentajes de cada preferencia en la muestra son similares a los porcentajes en el total de tu curso.

so

2. Otra manera de obtener números aleatorios es usar una calculadora científica. Sigue los pasos y obtén una muestra aleatoria simple compuesta por 10 integrantes de tu curso. Utiliza la lista de asistencia para asignar a cada uno de tus compañeros un número.

U

a. En tu calculadora, presiona las teclas números diferentes.

y

b. Para buscar el número aleatorio, presiona las teclas,

. Si presionas repetidas veces la tecla ,

,

, aparecerán

“cantidad de alumnos del curso” y

.

c. Si aparece un número decimal, por ejemplo 15,2, escoge de la lista el compañero que ocupe el lugar 15. Si el número que aparece es superior al de alumnos del curso, simplemente ignóralo. d. Repite este procedimiento hasta que hayas escogido la cantidad de compañeros para tu muestra. Unidad 6. Estadística y probabilidad

293

Tema 1 / Estudio de una población

Tabla de frecuencias

1 2 3

0 0 2

2 2 1

1 2 3

0 3 2

3 0 1

0 4 1

2 0 0

4 1 2

0 2 2

2 1 1

Los datos se resumen en la siguiente tabla:

Zú ñi ga

Los siguientes datos corresponden a una encuesta realizada a los alumnos de un colegio sobre la cantidad de hermanos que tienen. 0 1 2

la

Estudio sobre la cantidad de hermanos Frecuencia Frecuencia Frecuencia relativa acumulada (F) relativa (fr) porcentual (fr%)

1 0 1

0 1 1

2 0 2

0

12

12

≈ 0,267

26,7%

0,267

1

13

25

≈ 0,289

28,9%

0,556

2

14

39

≈ 0,311

31,1%

0,867

3

4

43

≈ 0,089

8,9%

0,956

4

2

45

≈ 0,044

4,4%

1

G

ab rie

Cantidad

Frecuencia absoluta (f)

a. ¿Cuántos datos tiene la muestra?

d. ¿En qué te fijaste para responder la pregunta c?

45

iv o

40

30

de

Marca la opción correcta.

b. ¿En qué te fijaste para responder la pregunta a? En la tabla

us

En los datos

c. ¿Cuántos alumnos tienen 1 hermano? 12

ex cl

11

Frecuencia relativa acumulada (Fr)

13

En la tabla

En los datos

e. ¿Cuántos alumnos tienen más de 2 hermanos? 20

6

4

f. ¿En qué te fijaste para responder la pregunta e? En los datos

En la tabla

Los datos de una muestra se pueden organizar en tablas de frecuencias. En una tabla de frecuencias se puede representar la frecuencia absoluta (f), la frecuencia relativa (fr) y la frecuencia relativa porcentual (fr(%)).

so

• La frecuencia absoluta (f) es el número de veces que • Cuando la variable es cuantitativa o se puede se repite un dato en la muestra (o población).

U

• La frecuencia relativa (f r) es la razón entre la frecuencia absoluta y el total de datos.

• Al multiplicar la frecuencia relativa por 100, se obtiene la frecuencia relativa porcentual (fr(%)), que es el porcentaje de los datos que tienen cierto valor de la variable.

294

establecer un orden (de menor a mayor) es posible calcular la frecuencia absoluta acumulada (F), la frecuencia relativa acumulada (Fr) y la frecuencia relativa acumulada porcentual (Fr(%)), que suman las frecuencias absolutas menores o iguales a esa categoría.

Ejercito

Película

f

Los superamigos

320

Locas aventuras

450

Un amor de verano

146

Terror nocturno

200

Zú ñi ga

1. En la tabla se registró la frecuencia absoluta (f), la frecuencia relativa (fr) y la frecuencia relativa porcentual (fr(%)) de la cantidad de público que asistió durante un día de función a ver distintas películas. Complétala y responde las preguntas. fr

d. ¿Qué porcentaje de las personas que fue al cine vio la película Terror nocturno?

b. ¿Cuántas personas asistieron al cine ese día?

ab rie

la

a. ¿Cuántas películas había en función?

fr(%)

e. Escribe otra conclusión que puedas extraer a partir de la tabla.

de

G

c. ¿Qué película tuvo menos porcentaje de asistencia?

2. Los siguientes datos muestran la cantidad de unidades de pan diario que come un grupo de personas. 1 3 1

2 4 1

1 4 2

2 3 3

2 5 2

iv o

1 2 1

3 3 2

2 2 3

3 2 2

2 3 2

2 2 3

3 4 4

3 2 1

1 1 2

3 1 2

us

a. Construye una tabla de frecuencias que incluya la frecuencia absoluta (f), relativa (fr) y porcentual (fr(%)). Cantidad de unidades de pan diario

f

fr

fr(%)

U

so

ex cl

Cantidad

b. ¿Es posible agregar a la tabla las frecuencias acumuladas? Justifica tu respuesta. Si tu respuesta es afirmativa, agrega las columnas correspondientes.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

c. Escribe tres conclusiones a partir de la tabla.

295

Tema 1 / Estudio de una población

Tabla de frecuencias con datos agrupados

0,0 11,3

0,0 7,6

0,0 17,2

24,3 8,7

0,0 12,2

0,0 20,0

5,1 21,8

3,4 10,2

2,9 0,0

• Completa las siguientes afirmaciones. NN La variable en estudio es

.

NN El mayor registro de agua caída es

, y el menor,

• Observa la siguiente tabla de frecuencias y complétala. [0, 5[

18

[5, 10[

4

[10, 15[

4

[15, 20[

1

fr

2,8 0,0

2,8 0,0

12,8 1,0

.

.

fr(%)

G

f

6,0 0,0

de

Milímetros de agua

ab rie

NN La diferencia entre el mayor y el menor registro de agua caída es

0,2 0,3

la

0,0 4,8

Zú ñi ga

Los siguientes datos corresponden a los milímetros de agua caída cierto día del año en distintas estaciones de medición del país.

[20, 25]

3

iv o

• ¿Qué crees que significa [0, 5[ en la tabla?, ¿y [20, 25]?

ex cl

en la muestra.

us

• Escribe dos ventajas y dos desventajas de esta tabla respecto de una que tenga cada valor que presenta la variable

so

Para una variable cuantitativa, los datos se pueden agrupar por intervalos del mismo tamaño, según el interés del estudio. Al valor medio de cada intervalo se le llama marca de clase.

U

Un intervalo es el conjunto de los valores que toma una magnitud entre dos límites dados. Se denotan de la siguiente manera: (a, b) o ]a, b[: intervalo de todos los números mayores que a y menores que b (no se consideran ni a, ni b). [a, b]: intervalo de todos los números mayores o iguales que a y menores o iguales que b (se incluyen a y b). [a, b[ o [a, b): intervalo de todos los números mayores o iguales que a y menores que b (se incluye a, pero no b). (a, b] o ]a, b]: intervalo de todos los números mayores que a y menores o iguales que b (no se incluye a, pero sí b).

296

Ejercito

Zú ñi ga

1. Los siguientes datos muestran las temperaturas mínimas registradas en cierto día en las distintas estaciones del país en grados Celsius. 19,5

17,3

7,0

15,3

21,8

13,5

12,3

11,8

13,6

11,7

11,0

9,6

13,7

7,4

5,6

8,3

6,7

2,8

3,3

4,6

4,6

5,4

4,8

6,8

1,1

4,8

5,6

12,4

8,4

6,8

Sigue los pasos para construir una tabla de frecuencias y luego responde.

la

a. Calcula el rango de los datos, esto es, la diferencia entre el dato mayor y el menor.

ab rie

b. Para determinar el tamaño de cada intervalo, divide el rango de los datos por la cantidad de intervalos que deseas que tenga la tabla. En esta actividad, construye una tabla con 5 intervalos.

G

c. Para construir los intervalos suma sucesivamente el cociente obtenido en la actividad anterior, desde el menor valor de los datos. f

F

fr

Fr

fr(%)

Fr(%)

us

iv o

de

Intervalos

ex cl

d. ¿Qué intervalo de temperaturas mínimas tuvo mayor frecuencia? ¿Cómo se puede interpretar esta información?

so

e. ¿En cuántas estaciones se presentaron las temperaturas mínimas más bajas?

U

f. Escribe tres conclusiones que se puedan extraer de la tabla. Una, usando las frecuencias relativas porcentuales, y las otras dos, con cualquiera de las frecuencias acumuladas.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

297

Tema 1 / Estudio de una población

Gráfico de barras

Estatura de un grupo de personas Cantidad de personas

Cantidad de personas

Edad de un grupo de personas 20 15 10 5 0

14

15

16

17

18

19

Zú ñi ga

Los siguientes gráficos representan la información de la estatura y edad de un grupo de jóvenes encuestados en la calle.

20 15 10 5 0

20

[150, 155[ [155, 160[ [160, 165[ [165, 170[ [170, 175[ [175, 180[ Estatura

la

Edad

G

ab rie

• Escribe dos similitudes que observes en las dos representaciones gráficas.

ex cl

us

iv o

de

• Escribe dos diferencias que observes en las dos representaciones gráficas.

so

Los gráficos de barras simples son representaciones de las frecuencias de cada dato en la muestra por medio de barras donde el valor de la altura es proporcional a la frecuencia de la categoría correspondiente. Cuando se quieren comparar dos muestras, es común usar gráficos de barras dobles, en las que para cada categoría se presenta una barra que representa la frecuencia de cada muestra en dicha categoría. En la situación inicial, el gráfico de las edades corresponde a un gráfico de barras simples.

U

Un histograma es una representación gráfica de las frecuencias de datos que están agrupados en intervalos. Está formado por barras contiguas que representan el intervalo al que corresponden los valores de la variable. Las alturas están dadas por la frecuencia de cada uno. Los polígonos de frecuencias corresponden a una secuencia de líneas rectas que unen los puntos medios de la parte superior de cada barra de un histograma, y se cierran en la marca de clase del intervalo anterior al primero, y posterior al último. Usando un polígono de frecuencias, se puede observar cómo varía la frecuencia entre cada intervalo. En la situación inicial, en el gráfico de las estaturas están presentes el histograma y el polígono de frecuencias.

298

1. Considera el histograma de frecuencias acumuladas de los tiempos que toma para un grupo de 1.100 competidores correr 21 km de una carrera. a. ¿Cuántos de los participantes terminaron la carrera?

b. ¿Cuántos de los participantes tardaron menos de 1,5 h?

110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

Zú ñi ga

Cantidad de personas

Ejercito

0

1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

d. Construye el histograma de frecuencias relativas.

la

ab rie

c. ¿Cuántos de los participantes tardaron menos de 1,75 h, pero más de 1,25 h?

Frecuencia relativa

Tiempo en horas

0

1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 3,25

Tiempo en horas

de

G

e. ¿Es correcto afirmar que el 50% de los participantes que llegaron a la meta lo hicieron en menos de 2 h?

iv o

2. Se encuestó a alumnas de 7º básico de un colegio de niñas y a alumnos de 7º básico de un colegio de varones. Se les preguntó por su preferencia en algunas competencias de los sudamericanos. Los resultados se muestran en la tabla.

us

a. ¿Cuántos alumnas fueron encuestadas? ¿Y cuántos varones?

Deportes preferidos Niñas

Niños

Básquetbol

12

5

Gimnasia

15

1

Patinaje artístico

5

0

Nado sincronizado

8

0

Hockey

7

3

Remo

3

3

Tenis

11

10

Vóleibol

6

2

U

so

ex cl

b. Construye un gráfico de barras dobles para comparar las frecuencias de los niños y niñas de 7º básico. Escribe dos conclusiones a partir del gráfico.

Preferencias de deporte

Unidad 6. Estadística y probabilidad

299

Tema 1 / Estudio de una población

Gráfico de líneas

Zú ñi ga

El siguiente gráfico representa la cantidad de lluvia mensual durante el año 2012 registrada en la estación Tepual de Puerto Montt. Lluvias año 2012 Puerto Montt

Meses

mm 1.400

Febrero

146,8

Marzo

36,4

1.273,3

Mayo

1.186,1 959,7

Junio

400 200 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 Meses

G

1

716,7

Agosto

549,9

Septiembre

387,5

Octubre

304,1

Noviembre

253,2

Diciembre

226,6

de

Fuente: Datos del gobierno en http://www.enlacesantillana.cl/#/tj_mat7u6_e4 Responde las siguientes preguntas.

Julio

ab rie

600

0

70,2

Abril

1.000 800

Enero

la

1.200

Lluvia (mm)

iv o

• ¿Qué variables se representan en el gráfico?

us

• ¿Por qué crees que este gráfico no corresponde a un polígono de frecuencias?

ex cl

• ¿Qué tendencia o comportamiento observas en la cantidad de agua caída registrada por la estación?

so

• ¿Con qué información se podría construir una tabla de frecuencias o un gráfico de barras?

U

Los gráficos de líneas son representaciones que entregan información por medio de puntos que son unidos por líneas. Además, las alturas de los puntos son proporcionales a las magnitudes representadas. Estos son muy útiles para comunicar información referida a valores numéricos que varían en el tiempo. En el gráfico de la situación inicial, puedes observar que la cantidad de precipitaciones aumenta abruptamente de enero a abril, que es el mes en el que hay un máximo de agua caída. Luego, esta va decayendo lentamente en los siguientes meses del año.

300

Ejercito Temperatura (ºC)

1. Los siguientes datos muestran la temperatura máxima registrada el primer día de cada mes de los años 2012 y 2014 en la estación Carriel Sur, Concepción.

2014

Enero

29,1

21,3

Febrero

24,3

21,2

Marzo

22,5

21,6

Abril

21,5

20,2

Mayo

17,9

13,6

Junio

15,4

15,9

Julio

13,1

11,8

Agosto

12,6

13,4

Septiembre

18,3

14,9

Octubre

14,9

19,4

Noviembre

20,1

17,3

Diciembre

22

22,7

Zú ñi ga

2012

ab rie

la

a. Construye un gráfico de líneas para las temperaturas máximas de ambos años.

Mes

G

b. ¿Observas algún cambio brusco de temperatura en alguno de los años?, ¿en qué te fijaste para responder?

de

c. ¿En qué mes se presentó la temperatura máxima más alta del año 2012?, ¿y en el año 2014?

us

iv o

d. ¿Se podría decir que, en general, las temperaturas máximas del año 2014 son más altas que las del año 2012? Justifica tu respuesta.

ex cl

2. El gráfico de líneas muestra la estimación de la esperanza de vida en Chile.

so

a. ¿Qué sucede con la esperanza de vida en Chile a medida que pasan los años?

U

b. ¿Entre qué períodos hubo un mayor aumento en la esperanza de vida?

Años

Esperanza de vida

80 79 78

77,74

77 76 75

78,45

79,1

79,68

75,71

74 73

[1995, 2000[ [2000, 2005[ [2005, 2010[ [2010, 2015[ [2015, 2020]

Periodo

c. ¿Qué condiciones (sociales, personales, físicas, etc.) crees tú favorecen la esperanza de vida en las personas? Comenta con un compañero.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

301

Tema 1 / Estudio de una población

Gráfico circular

Zú ñi ga

De acuerdo con el “Boletín Área Estudios” elaborado por la INJUV, la clasificación de los jóvenes según la frecuencia de actividad física es la siguiente: Practica alguna actividad física. Son sedentarios.

57%

43% 8,3%

5 o más veces por semana.

16,1%

57%

3 o 4 veces por semana.

la

18,6%

Menos de 3 veces por semana.

ab rie

No realiza ninguna actividad física.

Remarca la opción correcta.

G

• Según esta representación, ¿cuántas veces a la semana hace alguna actividad física la mayoría de los jóvenes? La mayoría de los jóvenes no realiza actividad física

Tres veces a la semana

de

Cinco o más veces a la semana

• ¿Cuántos jóvenes no realizan actividad física?

Aproximadamente 19.

No se puede determinar.

iv o

55 jóvenes.

• Si la población comprendiera a 500 jóvenes, ¿cuántos de ellos realizarían actividad física 3 o 4 veces a la semana,

us

aproximadamente? Completa la resolución.

•

500 =

•

=

.

ex cl

16,1% de 500 N 161

Por lo tanto,

harían actividad física 3 o 4 veces a la semana.

so

Los gráficos circulares se utilizan para representar cómo se distribuye la frecuencia relativa porcentual mediante sectores circulares. El ángulo de cada sector circular se obtiene calculando el producto de fr • 360º.

U

Si se conoce el total de la muestra (o población) en estudio, es posible determinar la frecuencia de cada categoría a partir del cálculo del porcentaje. Por ejemplo, en la situación inicial, si la población de jóvenes fuera de 500, entonces, aproximadamente: NN 41 realizarían cinco o más veces a la semana actividad física. NN 81 realizarían tres o cuatro veces a la semana actividad física.

NN 93 harían actividad física menos de 3 veces a la semana. NN 285 no realizarían actividad física.

302

Ejercito

Zú ñi ga

1. La siguiente tabla de frecuencias representa el resultado de los puntajes obtenidos por un grupo de estudiantes en una evaluación. Puntajes obtenidos en una evaluación

3

[10, 20[

10

[20, 30[

15

[30, 40[

30

[40, 50[

25

[50, 60[

12

[60, 70]

2

ab rie

[0, 10[

la

Puntajes obtenidos en una evaluación Puntajes f fr(%)

de

G

a. Calcula la frecuencia relativa porcentual de cada intervalo y completa la tabla.

b. Identifica en el gráfico el sector circular que le corresponde a cada intervalo.

iv o

c. ¿Cuántos estudiantes rindieron la evaluación?

us

d. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron entre 20 y 70 puntos?

ex cl

e. ¿Qué rango de puntaje tuvo mayor cantidad de personas en pocentaje?

U Frecuencia

0 A B C D E F Categoría

Unidad 6. Estadística y probabilidad

26,08%

6,34%

14,04%

17,39% 8,69%

dern ua

o

8 7 6 5 4 3 2 1

C

so

2. ¿Podrías afirmar que el gráfico circular representa correctamente la información presentada en el histograma construido? Justifica tu respuesta.

31,43% Páginas 104 a 111

303

Uso de software En la siguiente actividad usarás una planilla de cálculo del programa GeoGebra para graficar datos.

Zú ñi ga

Considera los siguientes datos correspondientes a la cantidad de frutas diarias que consume un grupo de personas. Tabla de frecuencias Cantidad de fruta

Frecuencia 10

0

0

0

5

4

1

0

2

3

3

0

1

1

1

1

1

0

2

0

3

2

2

0

0

1

3

4

3

1

0

3

2

1

0

4

8 4 5 2

la

Datos

ab rie

5

1

• Abre el programa GeoGebra. En la opción Vista, selecciona Hoja de cálculo y desmarca las otras opciones. Este programa te permite analizar datos organizados en tablas de frecuencia o los datos brutos.

I

A

B

C

D

de

N

G

• Para graficar los datos ingrésalos en la planilla, uno en cada celda.

E

0

0

0

5

2

2

3

3

0

3

1

1

0

2

4

2

0

5

1

0

F

4

1

1

1

0

3

iv o

1

6

0

1

3

4

3

2

1

0

us

• Selecciona los datos y haz clic en el ícono

10 8

G

6 4 2



0

1

2

3

4

5

y luego Analiza. Aparecerá un gráfico como el que se muestra arriba.

• El programa dibujará un histograma. Puedes A B C cambiar los parámetros del histograma, como el número de intervalos, 0.

Esta 10 opción también te permite visualizar una tabla de frecuencias.

ex cl

haciendo clic en el1 ícono

1

2

9

• Para graficar la tabla de frecuencias 3 2 4 ingresa los datos de las categorías en una columna y los datos de las frecuencias 4 3 la imagen. 4 en otra, como se muestra en 5

A

6

4

B

5

0

10

2

1

9

3

2

4

4

3

4

5

4

2

6

5

1

U

so

1

C

2 1

10

Nota: La aplicación GeoGebra (www.geogebra. org), creada por Markus Hohenwarter, fue incluida en este texto con fines de enseñanza y a título meramente ejemplar.

8 6 4 2



• Selecciona una columna y haz clic en el ícono

0

1

2

3

4

5

6

. Después, haz clic en . Luego, en Datos con frecuencias, seleccionas la otra columna y hacer clic en para que se ingresen los datos. Posteriormente, hacer clic en Analiza y aparecerá un gráfico como el de la imagen. Podrás acceder a las opciones del gráfico haciendo clic en .

304

Tema

1

Integr lo aprendid

3,2 2,8

5,8 6,5

2,4 3,4

2,9 3,7

5,5 3,1

1,7 3,1

3,5 2,2

5,9 4,5

4,5 3,1

6,7 4,3

Zú ñi ga

• Los siguientes datos corresponden a las notas de un grupo de alumnos en una evaluación. 5,9 4,7

6,4 2,5

1,7

ab rie

la

a. Agrupa los datos en los intervalos [1, 2[, [2, 3[,[3, 4[, [4, 5[, [5, 6[, [6, 7] y construye una tabla de frecuencias. Luego, dibuja un histograma a partir de las frecuencias absolutas y uno con las frecuencias relativas.

de

G

b. ¿En qué intervalo(s) se registró la menor cantidad de puntajes?, ¿y la mayor cantidad?

iv o

c. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron notas entre 4 y 7?

us

d. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron notas menores que 4?

ex cl

e. Elabora un informe que resuma todas las conclusiones que puedas obtener a partir de las representaciones que usaste.

Sí

No

U

so

Marca con un 3 en Sí o en No según lo descrito.

Estimé el porcentaje de algunas características de una población desconocida por medio del muestreo. Representé datos obtenidos en una muestra mediante tablas de frecuencias absolutas y relativas utilizando gráficos.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

305

Tema

2

Medidas de tendencia central Media aritmética

0 1

1 2

1 3

2 3

1 4

3 1

3 3

2 2

1 2

0 3

2 3

• Completa la tabla de frecuencias. Cantidad

f

fr

1 2 3 4

G

• Completa las siguientes afirmaciones.

2 0

3 1

1 1

ab rie

0

1 2

la

Cantidad de televisores en el hogar

3 1

Zú ñi ga

Los siguientes datos muestran la cantidad de televisores que un grupo de personas encuestadas tienen en su hogar.

de

NN La cantidad máxima de televisores en un hogar encuestado fue de de televisores fue . NN La diferencia entre la cantidad máxima y la mínima de televisores fue de

, mientras que la cantidad mínima

.

ex cl

us

iv o

• Calcula el promedio de la cantidad de televisores. Recuerda que...

El promedio se calcula por la suma de los datos dividido por la cantidad de datos.

so

Las medidas de tendencia central son valores que representan distintas características de una muestra. Estas son la media (x), la mediana (Me) y la moda (Mo).

U

La media (x) se calcula como el promedio de los datos de la muestra. Tiene como característica que su diferencia promedio con todos los valores de los datos de una muestra es la más pequeña posible. Si los valores de los datos de la muestra son muy dispersos, es decir, difieren mucho entre sí, entonces la media puede que no sea muy representativa. Una manera de determinar la representatividad de la media es analizar el rango de los datos, o sea, la diferencia entre el valor más alto de la muestra y el más bajo. Si el rango es un valor grande, indica que los datos presentan mucha dispersión; mientras que si es pequeño, la dispersión de la muestra es pequeña. Por esto, el rango no es una medida de tendencia central, sino que una medida de dispersión.

306

Ejercito

3,9

3,3

4

3,2

3,7

5,7

1

3,4

1,2

1

1

3,5

5,1

4,9

5,6

5,2

5,1

6,5

2,8

3,9

3,4

4,4

2,8

2

4,3

1,2

1

4,3

4,8

4,6

1,1

4,1

4,2

3,3

6,2

3,1

2

6,8

6,9

1,4

c. ¿Cuál es el rango de las 40 notas?

la

a. Calcula el promedio de estas 40 notas.

Zú ñi ga

1. Los siguientes datos corresponden a las notas de 40 de los 45 alumnos de un curso de 7º básico en la prueba de Matemática:

ab rie

de

G

b. Si tuvieras que completar el cuadro con las 5 notas faltantes, ¿cómo las elegirías de manera que no cambie el promedio?, ¿cómo las seleccionarías para que el promedio fuera mayor o igual que 4?

d. El profesor le ha dado la posibilidad de repetir la prueba a los 22 alumnos que tuvieron nota bajo 4. ¿Cuál podría ser el nuevo rango de notas?, ¿qué valores podría tomar el nuevo promedio de estos 40 alumnos?

1

14

20

20

18

25

17

15

13

15

7

7

us

13

15

12

14

8

10

25

25

15

15

16

17

2

1

6

6

10

1

6

11

7

6

8

20

15

8

9

1

16

19

1

5

7

9

10

6

15

ex cl

15

iv o

2. Se encuestó a 50 personas acerca de cuántos días de vacaciones toman al año y los resultados fueron los siguientes.

U

so

a. En promedio, ¿cuántos días de vacaciones se toma la gente encuestada?

Unidad 6. Estadística y probabilidad

b. ¿Cuál es el valor mínimo? ¿Cuál es el valor máximo? ¿Cuál es el rango?

c. ¿Considerarías que la media es una medida que representa a todas las personas? Justifica tu respuesta.

307

Tema 2 / Medidas de tendencia central

Moda y mediana

Zú ñi ga

En la entrada al cine se registró la edad de los asistentes. 18

17

15

15

21

22

23

15

17

23

14

27

25

20

11

10

15

16

12

16

11

26

16

21

19

20

18

18

18

25

15

17

25

21

27

21

20

22

17

14

15

23

26

22

11

• Con los datos construye una tabla de frecuencias que incluya la frecuencia, la frecuencia relativa porcentual y la

G

ab rie

la

frecuencia relativa porcentual acumulada.

Remarca la opción correcta.

iv o

23

de

• ¿Qué dato es el que tiene mayor frecuencia?

22

15

• ¿En qué valor la frecuencia relativa porcentual acumulada supera el 50% de los datos? 18

19

us

17

ex cl

La moda (Mo) es el dato que más veces se repite en una muestra, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. En caso de que existan dos valores de la variable que cumplan la condición, el conjunto de datos tendría dos modas. En la situación inicial, la moda de los datos fue 15, o sea, la categoría de los 15 años superó a las otras.

U

so

Si el conjunto de datos de una muestra se ordena de manera creciente o decreciente, la mediana (Me) es el valor central, pues divide al conjunto de datos en dos partes iguales. El 50% de los datos tendrá un valor menor o igual que la mediana, y el otro 50%, un valor mayor o igual. Si la cantidad de datos es impar, la mediana es el valor del centro, y si es par, se calcula con el promedio entre los dos valores centrales. En la situación inicial, había 45 datos, los cuales en la tabla de frecuencias los organizaste de manera creciente y obtuviste que el dato que ocupaba el lugar 23 estaba en la categoría de los 18 años, por lo tanto, el 50% de las personas a lo más tenía 18 años. Para comparar dos o más muestras se pueden utilizar gráficos, las medidas de tendencia central o el rango.

308

Ejercito 1. Calcula la mediana y la moda de los siguientes conjuntos de datos. b. 9 - 8 - 6 - 7 - 9 - 5 - 8 - 7

Zú ñi ga

a. 3 - 4 - 2 - 6 - 4 - 3 - 5 - 1

la

2. A continuación, se muestran las notas de dos cursos de 7º básico de un colegio.

7º occidental

7

6,5

7

3,5

4

5,5

4,5

3

6

6

4,8

5

3,5

5

6

3,5

3,5

7

4

6

7

6

3

4,5

4

5,5

6

2

6,5

5,5

iv o

de

G

a. ¿Qué curso tuvo mejor promedio de notas?

ab rie

7º oriental

us

b. ¿Cuál fue la moda de cada curso?, ¿qué significa?

ex cl

c. ¿Cuál fue la mediana de cada curso?, ¿qué significa?

U

so

d. En general, ¿qué curso tuvo mejor rendimiento? Justifica tu respuesta.

e. Si se ignora la mayor y la menor nota de cada curso y se calcula la media, la mediana y la moda, ¿qué medidas cambian y cuáles se mantienen?, ¿por qué ocurren estos cambios?

Unidad 6. Estadística y probabilidad

309

Tema 2 / Medidas de tendencia central 3. El rendimiento de un automóvil, según su fabricante, es de 16,6 km por litro. sesenta propietarios se reunieron para verificar si la información entregada por el fabricante es cercana a la realidad o no. A continuación, se muestran los datos recopilados por los propietarios (en km por litro). 16 16,46 16,8 16,63 15,05

16,56 16,55 16,77 16,52 16,13

16,9 16,33 16,46 16,16 16

15,48 16,83 15,08 16,96 15,91

16,31 16,6 16,31 16,02 15,1

15,8 16,77 16,87 16,43 15,11

15,75 15,86 15,63 16,96 16,6

16,85 15,05 16,55 16,62 15,26

15,72 16,85 16,3 15,21 16,83

16,89 15,31 16,47 16,11 16,72

16,76 16,4 16,13 16,58 15,83

Zú ñi ga

15,5 16,18 16,86 15,35 16,43

la

a. Calcula el promedio de los datos usando una calculadora. ¿Puedes decir que el fabricante tiene razón?

ab rie

b. ¿Cuál es la mediana de los datos?, ¿cómo podrías usar este dato para analizar la veracidad de la afirmación del fabricante?

G

c. Hay un propietario que dice haber calculado mal el dato y registró un rendimiento de 16,02 km por litro en vez de 17,76 km por litro de combustible. ¿Qué sucede con la mediana?, ¿qué sucede con el promedio?

iv o

17,42 16,49 17,49 17,82 17 17,66 17,51 17,17 16,11 16,21 17,99 16,45 17,38 17,26 17,15 17,25 16,56 16,03 16,3 17,08 17,28 17,9 17,29 17,87 17,64 16,01 16,08 17,02 17,81 16,15 17,24 16,51 16,22 17,84 17,4 17,01 17,7 16,56 16,07 17,49

17,73 17,86 17,23 17,05

16,54 16,16 17,56 17,49

17,87 17,38 16,71 17,14

17,59 17,65 17,67 17,94

us

17 16,66 16,32 16,8

de

d. El fabricante asegura que el experimento está mal hecho y ofrece los siguientes datos.

ex cl

e. Usa una calculadora y determina las medidas de tendencia central que son interesantes para el problema y escribe una conclusión.

so

4. Responde las siguientes preguntas. Justifica tu respuesta en cada caso.

dern ua

o

b. Cuando dos muestras presentan la misma media, ¿en qué otra medida te fijarías para comparar los datos?

C

U

a. ¿Qué aportan las medidas de tendencia central en la comparación de dos muestras de datos?

Páginas 112 y 113

310

Tema

2

Integr lo aprendid

Grupo 1

Zú ñi ga

A continuación hay dos tablas que muestran los tiempos (en segundos) que tardaron dos grupos de personas en responder correctamente una adivinanza Grupo 2

66

13

50

67

6

64

78

46

30

67

64

67

61

43

2

76

83

90

4

6

65

2

64

64

65

63

58

10

5

80

28

5

93

38

48

52

9

74

95

36

79

36

96

67

51

41

98

67

81

98

11

59

13

63

7

36

69

12

36

53

89

31

32

56

70

38

82

25

57

77

46

77

19

97

47

2

95

44

5

91

G

ab rie

la

• Calcula la media, la moda y la mediana para cada grupo de datos. ¿Hay coincidencias?

de

• Usando las medidas de tendencia central, ¿cómo podrías argumentar qué grupo demoró menos en responder?

iv o

• ¿Cómo podrías estimar el tiempo que tardaría una persona en responder la adivinanza? ¿Este dato cambia el promedio

ex cl

us

de los datos? Explica a tus compañeros tu razonamiento y discute.

Marca con un 3 en Sí o en No según lo descrito. No

so

Sí

U

Realicé inferencias de la población usando medidas de tendencia central.

Usé la medida de tendencia central adecuada para responder a la pregunta de un problema.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

311

Evaluación intermedia Resuelve las siguientes actividades.

93

120

101

97

111

123

105

103

100

88

97

93

99

101

91

87

83

142

103

93

101

97

Zú ñi ga

1. Los siguientes datos corresponden a los tiempos (en segundos) que 30 alumnos de 7º básico se tardaron en dar cuatro vueltas a una cancha del colegio (aproximadamente 400 m). 86

90

91

87

109

93

101

150

ab rie

la

a. Organiza los datos en una tabla de frecuencias con datos agrupados en 5 intervalos. Luego, a partir de la tabla, construye un gráfico de barras simples o un histograma, y finalmente un gráfico circular según las frecuencias relativas porcentuales.

iv o

de

G

b. Escribe tres conclusiones de acuerdo con la tabla o los gráficos construidos.

us

c. Determina el valor máximo, el valor mínimo y el rango de los valores de la muestra.

so

ex cl

d. Calcula la media, la moda y la mediana de los tiempos.

U

e. ¿Coinciden los datos anteriores? Si tu respuesta fue negativa, explica las diferencias.

f. Un alumno nuevo asegura tardar 45 segundos en dar las cuatro vueltas. ¿Será posible?

312

Juego

Marca con una

7 la alternativa correcta.

2. ¿Cuál de las siguientes definiciones corresponde a la de la mediana?

B. Es el promedio de los datos de la muestra. C. Es el valor central de la muestra. D. Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la muestra. Responde de la pregunta 3 a la 5 a partir de la siguiente información.

Zú ñi ga

A. Es el valor que más se repite en una muestra.

ab rie

la

Se realizó un experimento para comparar el efecto de tres regímenes alimenticios sobre la disminución de masa corporal. Se formaron tres grupos, uno con 10 individuos, otro con 12 y el tercero con 16. El primer grupo fue sometido a la dieta A, el segundo a la dieta B y el tercero a la dieta C. Después de un mes se observaron las disminuciones de masa, en kilógramos, y se registraron los siguientes resultados: Dieta B

Dieta C

1,0 0,0 2,1 3,1 3,3

3,0 4,0 5,7 5,2 6,9 7,0

3,1 0,0 2,1 3,1 3,1 4,3 5,2 5,5

4,3 5,2 5,5 5,0 6,8

7,2 7,3 2,8 3,5 5,0 6,0

5,0 6,8 1,5 1,1 2,6 3,2 3,8 4,8

G

Dieta A

3. ¿Cuál es el rango de cada muestra, respectivamente?

de

A. 5,5 - 4,3 - 6,8 B. 6,8 - 4,5 - 6,8 D. 5,8 - 4.3 - 6.8

iv o

C. 6,8 - 7,2 - 6,8

A. 3,63 - 5,3 - 3.45

ex cl

B. 5,0 - 5,0 - 3,2

us

4. ¿Cuál es la media de cada muestra?

C. 5,1 - 5,1 - 3,15 D. 5,2 - 5,2 - 3,2

so

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A. El 50% de las personas que hizo la dieta A bajó a lo más 5,5 kg.

U

B. La moda de masa perdida en la dieta C fue de 3,1 kg. C. El 50% de las personas que hizo la dieta B por lo menos perdió 4 kg. D. Todas las dietas presentan la misma moda.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

313

Tema

3

Probabilidad Experimentos aleatorios

Zú ñi ga

Las imágenes muestran a un grupo de personas que espera un bus de transporte que pasa todos los días, durante todo el día, con distinta frecuencia. Además, se destaca la hora a la que llegó la última persona a la fila.

15 : 33 h

la

15 : 32 h

ab rie

15 : 30 h

15 : 45 h

G

15 : 40 h

de

Marca la(s) opción(es) que creas correcta(s).

• Cuando una persona se dirige a esperar el bus, ¿cuál de los siguientes sucesos crees que considera seguro que pasará? Tendrá que esperar.

iv o

Pasará un bus.

Habrá mucha gente esperando.

us

• Cuando una persona se dirige a esperar el bus, ¿de cuál de los siguientes sucesos no conoce el resultado? El tiempo que tendrá que esperar.

Que el bus pase.

ex cl

La cantidad de personas que está esperando antes que ella.

so

Un experimento aleatorio es una acción en la cual se conoce el procedimiento que se va a seguir y los posibles resultados, pero no se sabe con certeza cuál será el resultado final. Un experimento que no es aleatorio es determinístico. En la situación inicial, el tiempo de espera y la cantidad de personas que está esperando son resultados inciertos, por lo tanto son aleatorios. Que pase el bus se podría considerar determinístico, ya que siempre lo hace, pero aleatorio su horario de llegada.

U

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral y se denota por la letra griega Ω (omega). Un evento o suceso es una agrupación de algunos de los resultados posibles de un experimento aleatorio (un subconjunto del espacio muestral) y se denota con letras mayúsculas. Por ejemplo, lanzar un dado tiene seis resultados posibles: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y un evento (A) puede ser que el número que salga sea par, es decir, el conjunto A = {2, 4, 6}.

314

Ejercito

b. Escoger al azar una letra de la palabra AMOR.

d. Extraer al azar un número del 1 al 10.

ab rie

c. Lanzar dos dados de seis caras y sumar sus valores.

la

a. Lanzar dos monedas al aire y ver su resultado.

Zú ñi ga

1. Escribe el espacio muestral (Ω) de los siguientes experimentos aleatorios.

G

2. Para escoger presidente, vicepresidente y secretario del consejo estudiantil se han postulado Pedro, Juan y María. Estos se pueden ubicar en las posiciones que muestra el siguiente espacio muestral.

de

Ω = {(Pedro, Juan, María), (Pedro, María, Juan), (Juan, Pedro, María), (Juan, María, Pedro), (María, Pedro, Juan), (María, Juan, Pedro)} Determina cuántos elementos del espacio muestral tiene cada evento y cuáles son.

us

iv o

a. E1: Pedro queda de presidente.

ex cl

b. E2: María queda de presidenta.

c. E3: Juan queda de presidente.

U

so

d. E4: María queda de presidenta y Pedro de vicepresidente.

e. E5: Juan queda de vicepresidente y María queda de secretaria.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

315

Tema 3 / Probabilidad

Frecuencia relativa asociada a un evento

Zú ñi ga

La siguiente tabla muestra algunos enfrentamientos que han tenido dos grandes tenistas mundiales: Rafael Nadal y Roger Federer. Año

Torneo

Superficie

Ronda

Ganador

2011

Masters de Miami

Dura

Semifinal

Nadal

2011

Masters de Madrid

Tierra batida

Semifinal

2011

Roland Garros, París

Tierra batida

Final

2011

ATP World Tour Finals, Londres

Dura

RR

Federer

2012

Abierto de Australia, Melbourne

Dura

Semifinal

Nadal

2012

Masters de Indian Wells

Dura

Semifinal

2013

Masters de Indian Wells

Dura

Cuartos de final

Nadal

2013

Masters de Roma

Tierra batida

Final

Nadal

2013

Masters de Cincinnati

Dura

Cuartos de final

Nadal

2013

ATP World Tour Finals, Londres

Dura

Semifinal

Nadal

2014

Abierto de Australia, Melbourne

Dura

Semifinal

Nadal

la

Nadal

Federer

ab rie

G

• Completa la tabla de frecuencias.

Nadal

Lev radin / Shutterstock

de

Triunfos obtenidos en los encuentros f fr Jugador Rafael Nadal

iv o

Roger Federer

respuesta.

us

• A partir de estos datos, ¿quién crees que debería ganar el siguiente encuentro entre estos tenistas? Justifica tu

ex cl

• ¿Qué otros registros se podrían considerar para determinar quién podría ser el ganador en el siguiente partido?

so

Para medir numéricamente la posibilidad de un evento se usa un objeto matemático llamado probabilidad, el cual asigna un valor entre 0 y 1 a cada evento. Puede ser un número decimal o una fracción, o representarse como un porcentaje si se multiplica por 100. La probabilidad de un evento A se denota como P(A).

U

Existen varias maneras de determinar la probabilidad de un evento. Una de ellas es analizar la tendencia de las frecuencias relativas del evento al repetir el experimento aleatorio muchas veces.

En la situación inicial se analiza quién sería el ganador del siguiente encuentro entre Nadal y Federer. La respuesta es incierta, sin embargo, los registros apuntan a que Nadal tiene cierta superioridad sobre Federer, lo que se puede observar al analizar las frecuencias relativas porcentuales. A pesar de los registros, estos solo indican una medida de probabilidad, pero no aseguran que el resultado sea el que se espera.

316

Ejercito

a. Construye una tabla de frecuencias a partir de los datos.

Zú ñi ga

1. Una empresa fabrica ampolletas y realiza pruebas para determinar la probabilidad de que alguna salga fallada. En la tabla se muestran los experimentos realizados. Se asignó el número 0 si la ampolleta sale fallada y un 1 si no. 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0

ab rie

la

0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0

b. Según los datos obtenidos, ¿cuál es la probabilidad de que una ampolleta salga fallada?, ¿y de que salga buena?

de

G

2. Consigue un dado y pega un papelito en una o más caras para que no quede equilibrado. Luego, lánzalo 100 veces y registra los datos en la siguiente tabla marcando con un ticket. 1 2

iv o

3 4 5

us

6

U

so

ex cl

a. A partir de los datos que registraste, construye una tabla de frecuencias.

b. De acuerdo con los datos de la tabla, estima la probabilidad de ocurrencia para cada cara.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

317

Tema 3 / Probabilidad

Regla de Laplace

Zú ñi ga

En la imagen se muestran dos tómbolas para un concurso.

ab rie

la

El concurso consiste en acertar a la bola que saldrá. El participante puede elegir la tómbola de la cual se extraerá la bolita y luego debe decir el color o el número de bola que va a salir.

Responde las siguientes preguntas suponiendo que todas las bolas tienen las mismas características y quieres tener la mayor chance de ganar.

• Si debes elegir una bola de la primera tómbola, ¿optarías por un número de bola o por un color?, ¿y en la segunda

de

G

tómbola? Justifica tu respuesta en ambos casos.

• Si debes elegir un color de la primera tómbola, ¿cuál elegirías?, ¿y de la segunda? Justifica tu respuesta en ambos

us

iv o

casos.

ex cl

Hay experimentos aleatorios en que se puede argumentar que los resultados posibles son equiprobables, o sea, tienen la misma probabilidad de ocurrir. La equiprobabilidad de un resultado se puede justificar por las características del experimento. Por ejemplo, al lanzar una moneda, si supones que la moneda es simétrica y equilibrada (se dice que la moneda es honesta), que salga cara o sello debería tener la misma probabilidad, es decir, 0,5.

P(A) = Cantidad de resultados favorables Cantidad de resultados posibles

U

so

Si los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables, entonces la probabilidad de ocurrencia de un evento A se puede definir teóricamente de la siguiente manera:

La cantidad de resultados del experimento que componen el evento A se denota por #A. La cantidad de resultados posibles (o la cantidad de elementos que tiene el conjunto Ω), se simboliza por #Ω. La probabilidad del evento A es: P(A) = #A #Ω Este modelo es conocido como regla de Laplace.

318

Ejercito 1. Un naipe inglés de 52 cartas se distribuye de la siguiente manera:

Zú ñi ga

NN Cuatro pintas (colores o palos): trébol negro, pica negra, corazón rojo y diamante rojo.

NN Cada pinta tiene 13 cartas, 9 numeradas del 2 al 10, a la primera carta se le conoce como as, y tres cartas con las figuras del rey (K), la reina (Q) y el Jack (J). Si se extrae una carta al azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar:

c. un as?

ab rie

la

a. un corazón?

d. una J, una Q o una K?

de

G

b. una carta numerada?

2. En la biblioteca de tu colegio 1 de los libros de lectura complementaria son de ficción, 1 son románticos y 1 cómics. 3 6 2

us

iv o

a. Si escoges un libro al azar, ¿cuál es la probabilidad que este sea un cómic?

ex cl

b. Si escoges un libro al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea un cómic?

c. Si escoges un libro al azar, ¿cuál es la probabilidad que este sea uno romántico?

d. Si sabes que la biblioteca tiene 1.200 libros, ¿cuántos libros de ficción, románticos y comics hay en la biblioteca?

U

so

3. ¿Cuántas bolitas y de qué color se deben agregar o sacar de las urnas para que al extraer una al azar de cualquiera de ellas, en ambas se tenga la misma probabilidad de sacar una bolita de color rojo? Da un ejemplo.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

319

Tema 3 / Probabilidad

Principio multiplicativo y diagrama de árbol

Zú ñi ga

Observa la bicicleta de montaña de la imagen. Más informado

7 discos

3 discos

ab rie

la

La cadena de la bicicleta une dos discos dentados, uno trasero y otro delantero. Cada unión da al ciclista una resistencia distinta al pedalear y regular la velocidad. A esta unión de los discos comúnmente se le denomina cambio. La cantidad de cambios dependerá del número de discos delanteros y traseros que tenga la bicicleta.

G

La cadena de la bicicleta pasa por un disco dentado delantero y por uno trasero.

• ¿De cuántas maneras diferentes se pueden combinar los discos delanteros con los traseros? En otras palabras,

us

iv o

de

¿cuántos cambios tiene la bicicleta?, ¿cómo lo calculaste?

ex cl

Para calcular probabilidad de un evento, usando la regla de Laplace, no es necesario conocer todos los resultados posibles del experimento ni del evento mismo, solo se requiere saber cuántos elementos tiene cada conjunto. Para esto se puede usar el principio multiplicativo. La cantidad de resultados posibles que se pueden obtener cuando se realizan dos (o más) experimentos aleatorios queda determinada por el producto entre las cantidades de elementos de cada uno, las que se pueden representar mediante un diagrama de árbol. Por ejemplo, si se lanza una moneda dos veces, los resultados posibles son los siguientes:

U

so

1er lanzamiento de la moneda

2° lanzamiento de la moneda

Resultados posibles

Cantidad de resultados posibles: 2•2=4

320

!

Detente

El problema inicial se puede resolver utilizando un diagrama de árbol.

Ejercito

Camisetas

4

Jeans

3

Zapatos elegantes

4

Zapatos deportivos

5

Vestidos

6

c. Si los zapatos deportivos son blancos, rojos, azules, morados y negros, ¿cuál es la probabilidad de que en su atuendo use zapatos deportivos rojos?

ab rie

la

b. Cuántas posibilidades tiene M a r ia na d e c ombina r sus vestidos y sus zapatos elegantes.

de

G

a. Cuántas posibilidades tiene Mariana de combinar sus jeans, las camisetas y los zapatos deportivos.

Zú ñi ga

1. Mariana está organizando su clóset y encontró que tiene muchas posibilidades de combinar sus atuendos. A continuación te presentamos un inventario de su ropa y de sus zapatos.

us

iv o

2. Uno de tus compañeros te propone el juego dado-moneda. En él, primero se lanza un dado y luego una moneda. Representa los posibles resultados en un diagrama de árbol.

ex cl

a. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 3 y un sello en una jugada de dado-moneda?

so

b. ¿Cuál es la probabilidad de que en el dado salga un 1 o un 5 y en la moneda una cara?

U

c. Calcula la probabilidad de sacar un número impar en el dado y cara en la moneda.

d. Calcula la probabilidad de sacar un número par en el dado y sello en la moneda. ¿Coincide con el resultado del ítem anterior? Justifica tu respuesta.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

321

Tema 3 / Probabilidad

Tendencia de resultados

Zú ñi ga

La siguiente tabla muestra los resultados reales obtenidos al lanzar 45 veces un dado. 2

5

6

4

6

1

3

6

4

3

4

6

3

3

5

5

5

1

1

1

5

1

5

6

1

1

3

1

3

5

3

5

1

3

4

2

6

6

2

3

3

1

6

6

2

• Completa la tabla de frecuencias. Punto

f

fr

4 5

de

6

ab rie

3

G

2

la

1

1 2

iv o

• ¿Cuál es la probabilidad teórica de cada resultado del lanzamiento del dado? Marca la opción correcta. 1 3

1 6

U

so

ex cl

de cada resultado.

us

• Observas alguna relación entre las frecuencias relativas obtenidas al repetir el experimento y la probabilidad teórica

Si los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables, se esperaría que al repetir el experimento muchas veces las frecuencias relativas de cada resultado tendieran a su probabilidad teórica, es decir, la obtenida por la regla de Laplace. Por ejemplo, en la situación inicial, si el dado está equilibrado, se esperaría que en 120 lanzamientos, cada cara saliera aproximadamente 20 veces.

322

Ejercito

• • • •

Lanza el dado y anota los puntos. Lanza la moneda y anota 1 si es cara o 0 si es sello.

Zú ñi ga

1. Busca un dado y una moneda y realiza el siguiente experimento:

Suma los puntos obtenidos en cada uno de los dos procesos anteriores y regístralos en una tabla. Repite los 3 pasos anteriores 30 veces y responde las siguientes preguntas.

la

a. Teóricamente, ¿cuál es la probabilidad de sacar 7 puntos en el experimento? Compárala con la frecuencia relativa obtenida en tu ensayo anterior.

ab rie

b. Teóricamente, ¿cuál es la probabilidad de sacar menos 3 puntos en el experimento? Compárala con la frecuencia relativa acumulada obtenida en tu ensayo anterior.

de

o

Páginas 114 a 121

Tema

iv o

Integr lo aprendid

C

G

c. Realiza 60 repeticiones del experimento y vuelve a responder las preguntas anteriores. ¿Observas grandes dern cambios en las frecuencias? ua

3

elegirá solo a dos.

us

• En un equipo de fútbol hay tres jugadores para el puesto de delantero. Uno de ellos es Andrés, pero el entrenador

ex cl

a. Explica bajo qué condiciones usarías la frecuencia relativa y la probabilidad teórica para determinar la probabilidad de que Andrés sea uno de los escogidos.

so

b. Calcula la probabilidad teórica de que Andrés sea elegido para el puesto.

U

Marca con un 3 en Sí o en No según lo descrito. Sí

No

Calculé probabilidades de manera intuitiva, por frecuencias relativas y de manera teórica. Comparé la probabilidad obtenida por frecuencias relativas con la probabilidad teórica.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

323

Resolución de problemas Analiza y completa la resolución del siguiente problema.

Zú ñi ga

1. Alejandro quiere comprar un regalo a su hermana, por lo que va a un minicentro comercial. Este centro tiene 3 pisos y en cada uno hay 4 tiendas. Se sabe que hay solo 4 tiendas que pueden tener el regalo. Si elige una tienda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que escoja una donde esté el regalo?

Comprende

El centro comercial tiene 3 pisos y cada piso tiene 4 tiendas y solo hay 4 tiendas que tienen el regalo que quiere Alejandro.

¿Qué datos se presentan en el problema?

la

Se quiere saber cuál es la probabilidad de que al elegir al azar una tienda, esta tenga el regalo para su hermana. Este evento se puede nombrar de la siguiente manera: A = “Elegir una tienda que tenga el regalo para su hermana”

¿Qué se pregunta en el problema?

ab rie

¿Cuál es la probabilidad de elegir una tienda que tenga el regalo? Se necesita saber la cantidad de posibles resultados al elegir al azar, considerando que cada tienda tiene la misma probabilidad de ser escogida.

Planifica

Se pueden representar los datos en un diagrama de árbol.

G

¿Qué harás para resolver el problema?

de

ex cl

us

iv o

Resuelve ¿Cómo resolverás el problema?

Comprueba

U

so

¿Cómo comprobarás el resultado?

¿Cuál es la respuesta?

324

PISO 3 PISO 2 PISO 1

CENTRO COMERCIAL

Tienda 3-1 Tienda 3-2 Tienda 3-3 Tienda 3-4 Tienda 2-1 Tienda 2-2 Tienda 2-3 Tienda 2-4 Tienda 1-1 Tienda 1-2 Tienda 1-3 Tienda 1-4

Se puede comprobar, por el principio multiplicativo, que hay doce posibles tiendas para elegir: 3 • 4 = 12 Solo hay 4 tiendas que tienen el regalo, por lo que la probabilidad de escoger una tienda correctamente es: P(A) =

=

La probabilidad de que Alejandro escoja una tienda que tenga el regalo que 1 quiere para su hermana es . 3

Resuelve el siguiente problema.

Zú ñi ga

2. En un juego de azar desde dos tómbolas se extraen dos bolas numeradas para formar un número de dos cifras. El número de la bola de la primera tómbola representa la cifra de las decenas y el de la segunda, el de las unidades. La primera tómbola tiene los números 1, 2, 3, 4, 5, y la segunda, los números 3, 4, 5, 6, 7. Si una persona apuesta por los números pares que se pudieran formar, ¿cuál es la probabilidad de que gane?

Comprende

la

¿Qué datos se presentan en el problema?

ab rie

¿Qué se pregunta en el problema?

Planifica

iv o

de

G

¿Qué harás para resolver el problema?

ex cl

¿Cómo resolverás el problema?

us

Resuelve

Comprueba

U

so

¿Cómo comprobarás el resultado?

¿Cuál es la respuesta?

Unidad 6. Estadística y probabilidad

325

Taller de habilidades matemáticas 1. Observa la imagen de la tómbola. Si se extrae una bolita al azar, ¿hay más probabilidad de obtener una que tenga un número par o una que sea de color rojo?

Representar

Paso 1

Se representarán los siguientes eventos:

us

G

iv o

Elige una representación

ex cl

Utiliza la representación según la situación

so

B = “Extraer una bolita de color rojo”

Se representarán mediante dibujos (o los nombres) para escribir detalladamente cada evento.

Paso 2

U

A = “Extraer una bolita par”

de

Representa la información

Paso 3

ab rie

la

Zú ñi ga

Al elegir y utilizar lo concreto, lo pictórico y lo simbólico para expresar enunciados, desarrollas esta habilidad.

Utiliza la representación según la situación A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} B = {1, 3, 7, 9, 10, 12} Dada las características del experimento, se puede suponer que cada bolita tiene la misma posibilidad de ser extraída. El experimento tiene 12 resultados posibles. Luego, usando la regla de Laplace, para saber cuál de los dos sucesos tiene más posibilidades, basta con contar qué evento tiene más resultados a favor. Como cada evento tiene 6 resultados posibles, ambos tienen la misma probabilidad de ocurrir, esto es: P(A) = P(B) =

326

6 1 = . 12 2

Ahora tú

Zú ñi ga

2. Considera una tómbola con 15 bolitas, 7 de color rojo, 3 de color verde y 5 de color amarillo. Las bolitas están numeradas como se muestra en la imagen.

a. ¿Qué fracción de las bolitas hay de cada color?

ab rie

la

b. Si se extrae una bolita al azar desde la tómbola, ¿cuál es la probabilidad que esta sea roja?, ¿que sea verde?, ¿y que sea amarilla?

c. ¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar una bola roja con número par?

us

iv o

de

G

d. Supón que la bolita con el número 1 fue retirada de la tómbola. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita verde?, ¿de sacar una amarilla?, ¿y de extraer una roja?

U

so

ex cl

3. Si se lanzan una moneda y un dado a la vez, ¿hay más posibilidades de que salga una cara y un número primo de puntos o que salga sello y un número par de puntos? Representa la situación usando un diagrama de árbol.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

327

Leo y relaciono con...

Zú ñi ga

La genética estudia la distribución de los genes en las poblaciones, así como los factores que mantienen o cambian de una generación a otra. En cada una de nuestras células los seres humanos tenemos 46 cromosomas que son los que poseen el material genético (22 pares no sexuales y 2 cromosomas sexuales, que en las mujeres son XX y en los hombres XY).

de

G

Los alelos son las formas alternativas de cada gen. Si un individuo posee los dos alelos idénticos para un mismo carácter, se llama homocigoto, y si son diferentes, se llama heterocigoto.

ab rie

Mendel, un monje austriaco, considerado el padre de la genética, planteó que la herencia de cada característica está determinada por un gen que proviene de la madre y uno del padre, los que se encuentran en pares en cada célula. Estos pares se llaman alelos.

la

Un gen es una partícula de material genético que, junto con otras, se halla dispuesta en un orden fijo a lo largo de un cromosoma, y que determina la aparición de los caracteres hereditarios en los seres vivos.

iv o

Si un alelo impide manifestarse a otro, recibe el nombre de dominante; el alelo no dominante se denomina recesivo.

us

Genética Remarca la opción correcta.

46

ex cl

• ¿Cuántos cromosomas no sexuales posee una célula humana? 44

2

so

• Los genes se ubican en:

Los alelos

Los homocigotos

U

Los cromosomas

• Los alelos que impiden manifestarse a otro son: Heterocigotos

328

Dominantes

Recesivos

Relaciones interpersonales Respeta y cuida a tu familia. Siempre serán parte fundamental de tu vida.

Zú ñi ga

Cada una de las personas posee en su material genético la información correspondiente a las características que se heredan de los padres. Por ejemplo, el rasgo del lóbulo de la oreja: adherido y no adherido. El gen “lóbulo de la oreja no adherido” domina sobre el gen “lóbulo de la oreja adherido”. Entonces, para que una persona tenga el lóbulo adherido debe poseer dos alelos recesivos para esta característica del lóbulo. Cualquier otra combinación de estos genes se expresará como lóbulo no adherido.

la

Dominante (O): lóbulo de la oreja no adherido.

ab rie

Recesivo (o): lóbulo de la oreja adherido.

OO

O

O

Oo

G

Papá

Mamá Oo

oO

o

o oo

iv o

de

Oo

¿Qué veo?

multimodalidad

us

Matemática

• Para calcular la probabilidad de que una persona de ojos

ex cl

oscuros y otra de ojos claros tengan hijos de ojos oscuros, se plantea el siguiente esquema, en el que O simboliza el gen para ojos oscuros (dominante) y o simboliza el gen para ojos claros (recesivo).

so

• Observa la imagen y completa la tabla donde el padre tiene

Ojos oscuros (O) Madre

Ojos claros (o) o

Padre

o

ojos oscuros y la madre ojos claros. O

U

• ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo tenga los ojos claros?

• ¿Qué característica del genotipo del padre hace posible que haya hijos de ojos claros?

Unidad 6. Estadística y probabilidad

Color

Color

Color

Color

o

329

Evaluación final Resuelve las siguientes actividades.

Turistas que llegaron al país fr Lugar de origen f África

1.885

América Central

8.795

América del Norte

Zú ñi ga

1. La siguiente tabla muestra la cantidad de turistas extranjeros que llegaron al país desde enero a junio del 2015. fr(%)

129.490

América del Sur

1.710.800

Asia

29.878

Europa

198.721

Medio Oriente

11.897

Oceanía

26.382

la

6.181

Fuente: Sernatur en http://www.enlacesantillana.cl/#/tj_mat7u6_e5

d. ¿Qué porcentaje de los turistas venía de Europa?

G

a. Completa la tabla de frecuencias y construye un gráfico de barras que no incluya a América del Sur.

ab rie

Caribe

e. Si no se incluye a los turistas de América del Sur, ¿de qué lugar visitan el país con mayor frecuencia?, ¿y con menos frecuencia?

iv o

de

b. ¿Cuántos turistas visitaron el país desde enero a junio del 2015?

us

c. ¿Cuántos turistas no eran de América?

ex cl

2. Los siguientes datos corresponden a los puntajes obtenidos por 100 estudiantes en una a prueba, ordenados en 5 filas y 20 columnas. Cada dato se puede identificar por su número de fila y número de columna. Por ejemplo, el dato (1, 2) corresponde a 564, que está en la primera fila, segunda columna. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

so

1 538 564 541 547 547 537 545 542 562 528 566 571 570 530 536 543 555 544 554 566

U

2 558 562 543 565 557 559 553 531 550 560 528 564 556 548 551 566 553 560 546 552

3 558 557 534 547 549 554 537 549 553 562 565 534 549 561 569 548 564 555 549 547 4 545 554 552 549 554 551 566 562 555 554 559 562 564 565 541 553 527 553 546 548 5 549 536 554 546 568 545 542 539 546 575 540 546 547 560 549 546 566 563 553 549

330

Zú ñi ga

a. Construye una tabla de frecuencias con datos agrupados usando los datos de la primera fila. Explica cómo la construiste y escribe dos conclusiones.

la

b. Supón que las dos primeras filas corresponden a los puntajes de dos grupos distintos de estudiantes. Calcula la media, la moda, la mediana y el rango de cada grupo y compáralos. Escribe tres conclusiones.

1

2

3

4

5

6

Muestra 1

8

9

10

Media

Mediana

Moda

Rango

G

Muestra 2

7

ab rie

c. Realiza tres muestreos aleatorios simples con el 10% de la población. Registra los datos de cada muestra en la tabla.

de

Muestra 3

us

iv o

d. La media de todos los datos es 552 y su mediana también. El rango de los datos es 48. Compara estos datos con los que obtuviste en las muestras y escribe una conclusión.

ex cl

3. Mariela va a un parque de diversiones y observa el juego de la ruleta. Cada jugador elige un color: rojo, azul, verde y amarillo. Antes de jugar, Mariela observa y registra los colores que salen durante 20 lanzamientos de la ruleta. Estos fueron los resultados.

Frecuencia

Rojo

6

Azul

4

Verde

5

Amarillo

5

so

a. ¿Qué manera de estimar la probabilidad usa Mariela, la teórica o la tendencia de la frecuencia relativa? Justifica tu respuesta.

Color

U

b. Teóricamente, ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia de cada color?

c. Con el registro obtenido por Mariela, ¿es posible concluir que algún color tenga más probabilidades de ocurrir por sobre los demás? Justifica tu respuesta.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

331

Evaluación final 7 la alternativa correcta.

15%

25%

A partir de la siguiente situación, responde de la pregunta 4 a la 7.

Película 1 Película 2

10%

Un sábado del mes pasado fueron 3.400 personas a un cine (cada una vio solo una película). El porcentaje de asistencia a cada una de las 5 películas en cartelera se muestra en el siguiente gráfico.

40%

Película 3

10%

Zú ñi ga

Marca con una

Película 4 Película 5

4. ¿Cuáles fueron las dos películas más vistas? A. Película 1 y 2.

la

B. Película 2 y 3.

ab rie

C. Película 3 y 4. D. Película 4 y 5. 5. ¿Cuántas personas vieron la película 1?

G

A. 510 personas. B. 850 personas.

de

C. 340 personas. D. 1.360 personas.

iv o

6. ¿Cuántas personas no vieron la película 3?

B. 1.360 personas. C. 60 personas.

ex cl

D. 40 personas.

us

A. 2.040 personas.

7. ¿Cuál de las siguientes tablas de frecuencias representa la información del gráfico?

U

so

A. Película Frecuencia

332

B. Película Frecuencia

C. Película Frecuencia

D. Película Frecuencia

1

510

1

850

1

510

1

510

2

850

2

510

2

850

2

1.360

3

1.360

3

1.360

3

1.360

3

850

4

340

4

340

4

350

4

340

5

340

5

340

5

330

5

340

Juego

8. Si el 50% de los datos es menor o igual que x entonces x corresponde a: A. La media. C. La mediana. D. El rango. A partir de la siguiente situación, responde de la pregunta 9 a la 11.

Zú ñi ga

B. La moda.

El siguiente conjunto de datos muestra la estatura, en centímetros, de dos grupos de jóvenes.

167 154 157 166 171 165 147 158 167 157 152 171 166 158 152

Grupo 2

172 167 163 166 163 162 183 162 160 174 169 173 158 171 169

ab rie

la

Grupo 1

9. La media de estaturas del grupo 1 es. A. 161 cm B. 158 cm

G

C. 157 cm

de

D. 147 cm

10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta sobre el grupo 1?

B. La moda es 158 cm. C. El rango es 24 cm.

us

D. La mediana es 161 cm.

iv o

A. La media es igual a la mediana.

ex cl

11. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A. La media del grupo 2 es mayor que la del grupo 1. B. El rango del grupo 2 es mayor que el del grupo 1.

so

C. La mediana del grupo 1 es menor que la del grupo 2.

U

D. En ambos grupos no es posible establecer una moda.

Unidad 6. Estadística y probabilidad

333

Evaluación final 12. ¿Qué experimento no es aleatorio? A. Lanzar un dado y ver la cantidad de puntos que aparecen en la cara superior. C. Observar si la siguiente persona que entrará a una tienda es hombre o mujer. D. Observar qué ocurre con el agua de un hervidor prendido. 13. ¿Cuál es el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de dos monedas? A. {cara, sello} B. {sello, cara}

la

C. {cara-cara, sello-cara, sello-sello}

Zú ñi ga

B. Lanzar dardos a un blanco y ver donde caen.

ab rie

D. {cara-cara, cara-sello, sello-cara, sello-sello}

14. Considera el experimento aleatorio de sacar, sin mirar, una carta de un naipe inglés (52 cartas). Sabiendo que sus resultados son equiprobables, ¿cuál de los siguientes eventos tiene igual probabilidad?

G

A. Sacar un as y sacar una carta de corazón.

B. Sacar un número del 2 al 10 y sacar una carta que sea J, Q o K.

de

C. Sacar un 10 y sacar un 2. D. Sacar un diamante y una pinta negra.

B. Gato.

ex cl

C. Perro.

us

A. Loro.

iv o

15. En una tienda de mascotas hay 5 perros, 6 gatos, 3 loros y 5 conejos. Si se elige uno de ellos al azar, ¿qué mascota tiene más posibilidades de ser escogida?

D. Conejo.

so

16. Una prueba de Historia consistía en 2 preguntas de verdadero y falso. Si un alumno respondió al azar las 2 preguntas, ¿qué probabilidad tiene de acertar a todas las preguntas? A. 0,5

U

B. 0,25 C. 0,75

D. 0,125

334

17. Si un niño lanza una moneda honesta 100 veces, ¿cuántas caras se estima que obtendrá? A. 0,5 caras. B. 25 caras.

Zú ñi ga

C. 50 caras. D. 75 caras.

18. Al lanzar un dado equilibrado (honesto), ¿cuál es la probabilidad de que no salga un número par? A. 0 B. 1

ab rie

la

C. 1 2 D. 1 3

19. Una persona está en un concurso y debe elegir uno de tres sobres, de los cuales solo uno tiene premio. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona pierda?

de

G

A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3

iv o

D. 0

ex cl

so

A. 1 4 B. 1 12 C. 11 12

us

20. Juan va a visitar a su amiga Francisca, pero solo sabe la dirección de edificio en el que vive, el cual es de 3 pisos y en cada piso hay 4 departamentos. Si Juan elige al azar un departamento del edificio, ¿cuál es la probabilidad de que se equivoque?

Pre p

ar

Pá

Unidad 6. Estadística y probabilidad

o la pr

6

ba ue

U

D. 1

gina 355

335

Antes de empezar...

ME PONGO a prueba 6 Te invitamos a desarrollar la siguiente actividad, en la que pondrás a prueba lo estudiado en esta unidad.

Zú ñi ga

En esta sección especial, trabajarás en tu texto y también en tu hogar junto a un adulto o un familiar responsable. ¡Éxito!

Ítem 1

Marca con una

7 la alternativa de tu respuesta.

Mediana de las edades

Edad (Me)

Cocina Ajedrez

13 12

15 14

G

Teatro

ab rie

Taller Guitarra

la

En la siguiente tabla se ha registrado la mediana de las edades, en años, de las alumnas que asisten a los talleres que se realizan en un colegio.

A partir de esta información, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre correcta?

de

A. La mitad de las integrantes del taller de guitarra tienen 13 años. B. La mayoría de las estudiantes del taller de teatro tienen 14 años.

iv o

C. La mitad de las integrantes del taller de cocina tienen 12 años o menos.

us

D. La mayoría de las estudiantes del taller de ajedrez tienen 15 años o más.

ex cl

Sigue los pasos 1

3

4

.

Observo y comprendo

so

1

2

Completa el siguiente párrafo. En el ítem se presenta un contexto relacionado con las asistentes a los talleres que se realizan en un

U

Comienzo mi trabajo...

Cómo lo resuelvo...

colegio. Además, esta información se registra en una visualizan los talleres y la mediana de las edades de las asistentes.

336

, en donde se

2

Analizo

¿Qué es lo que se pide responder?

3

.

Zú ñi ga

Se pide verificar cuál de las afirmaciones propuestas es Planifico

¿Cómo se resuelve el ítem?

Para resolver el ítem, es necesario verificar cada una de las afirmaciones y determinar el valor de verdad que ellas tienen.

• En la alternativa A. se considera que la mediana corresponde al dato que se repite en la mitad de los casos. Lo que es incorrecto.

la

• En la alternativa B. se considera que la mayoría de las estudiantes del taller de teatro tienen 14 años y no la mediana. Por lo tanto, es incorrecta.

ab rie

• En la alternativa D. se considera a la mayoría de las estudiantes y no el dato central. Por lo tanto, es incorrecta.

7 la alternativa de tu respuesta.

G

3 Marca con una

de

En la siguiente tabla se ha registrado la mediana de las edades, en años, de las alumnas que asisten a los talleres que se realizan en un colegio. Mediana de las edades Edad (Me)

Guitarra

13

Cocina

12

Ajedrez

15

Teatro

14

us

iv o

Taller

ex cl

2 A partir de esta información, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre correcta?

A. La mitad de las integrantes del taller de guitarra tienen 13 años. B. La mayoría de las estudiantes del taller de teatro tienen 14 años. C. La mitad de las integrantes del taller de cocina tienen 12 años o menos. D. La mayoría de las estudiantes del taller de ajedrez tienen 15 años o más.

4

¿Cuál es la alternativa correcta?

U

so

4

Respondo

En este caso, la afirmación correcta es la

, ya que la mediana (Me) representa el dato central.

Por lo tanto, la mitad de las integrantes del taller de cocina tienen menos de

años.

337

Refuerzo mi resolución Para reforzar lo trabajado, te invitamos a desarrollar las siguientes actividades.

Zú ñi ga

1. El estudiante resolvió un ítem de la siguiente manera. ¿Cuál pudo ser su error? Remárcalo en la explicación dada por el estudiante.

Primero interpreté la información representada en la tabla. En ella, se registraron los talleres y la mediana de las edades de las integrantes. Para responder la pregunta, busqué en cada una de las afirmaciones la que entregara información correcta a partir de la situación y la tabla presentada en el ítem.

de

G

ab rie

la

2. Un estudiante marcó en el ítem la alternativa B. ¿Cuál pudo ser su error? Fundamenta.

so

ex cl

us

iv o

3. De los pasos trabajados en la resolución del ítem, ¿cuál te pareció más útil?

U

Ahora te invitamos a trabajar, junto con un adulto, las actividades que hemos preparado para ti en . Para ello, ingresa a www.pleno.cl. Ten a mano tu texto y úsalo para trabajar en la página siguiente mientras realizas las actividades.

338

ME PONGO a prueba 6

Reviso mi trabajo en

Zú ñi ga

En conjunto con un compañero, conversen sobre el modo en que cada uno resolvió cada pregunta. Toma apuntes de lo que él o ella digan y que te parezca importante. Pregunta 1

ab rie

la

Pregunta 2

de

G

Ítem

ex cl

us

Pregunta 1

iv o

En conjunto, expliquen una forma eficiente de responder cada pregunta.

so

Pregunta 2

U

Ítem

339

Índice temático A.................................................................. Abscisa, 264

Divisor, 42 Dodecágono, 184

Adiciones de números enteros, 28 Ángulo, 182

Ecuación, 148

agudo, 182 completo, 182 del centro, 188 extendido, 182 exterior, 190 interior, 186 obtuso, 182 recto, 182 Área de

Encuesta, 288 Eneágono, 184 Equiprobable, 318 Espacio muestral, 314 Evento, 314

Experimento aleatorio, 314 Exponente, 58

ab rie

Expresiones algebraicas, 134

F................................................................... Factores, 16

Factor literal, 138

Frecuencia absoluta, 294

G

B................................................................... Baricentro, 248

Frecuencia relativa porcentual, 294 Frecuencia relativa, 294

de

Base, 58 Bisectriz, 244

G..................................................................

Centro de gravedad, 248

us

Círculo, 210

iv o

C..................................................................

Gráfico

circular, 302 de barra, 298

H.................................................................. Heptágono, 184

Constante de

Hipérbola, 112

proporcionalidad directa, 98 proporcionalidad inversa, 108 Cuadrantes, 264

Histograma, 298

so

ex cl

circunscrita, 238 Coeficiente numérico, 138

D..................................................................

U

Decágono, 184

Diagrama de tallo y hojas, 298 Directamente proporcionales, 98 División entre dos fracciones positivas, 42 División entre números decimales, 52

340

la

Experimento determinístico, 314

un círculo, 214 un rectángulo, 194 un rombo, 194 un romboide, 195 un trapecio, 202 un triángulo, 207

Circunferencia, 210

Zú ñi ga

E..................................................................

Altura, 196

Hexágono, 184

I................................................................... Incentro, 246

Inecuación, 158 Inversamente proporcionales, 108 Inverso aditivo, 32 Inverso multiplicativo, 44

L................................................................... Lenguaje algebraico, 134

R.................................................................. Radio, 210

Rango de los datos, 306 Media, 306

Razón, 84 Regla de Laplace, 318

Mediana, 308

Rombo, 194

Medidas de tendencia central, 306

Romboide, 195

Moda, 308 Muestra, 290

Zú ñi ga

M..................................................................

S...................................................................

Muestreo aleatorio simple, 292

Simetral, 236 Suceso, 314

Multiplicación entre números decimales, 50

Sustracciones entre números enteros, 30

la

Muestreo, 290 Multiplicar entre fracciones, 40

ab rie

T

Múltiplos, 16

Tabla de frecuencias, 294

N.................................................................. Notación científica, 64

Tasa de interés, 92

Términos semejantes, 138 Transversal de gravedad, 248

Números enteros, 18

Triángulo,

G

negativos, 18

O..................................................................

de

Octágono, 184

Ordenada, 264

V..................................................................

Origen, 264

iv o

Ortocentro, 240

us

P................................................................... Pentágono, 184

acutángulo, 182 obtusángulo, 182 rectángulo, 182

Valor absoluto, 24 Valorizar, 139

Variable cualitativa, 290 Variable cuantitativa, 290 Variable, 290

Pi, 212

Vector, 268

ex cl

Perímetro del círculo, 212 Plano cartesiano, 102 Población, 290 Polígono, 184

U

so

cóncavo, 184 convexo, 184 de frecuencias, 298 regular, 200 Porcentaje, 84 Potencia, 58 Probabilidad, 316 Promedio, 306

341

Glosario Circuncentro:  punto de intersección de las simetrales de un triángulo.

Abscisa:  valor que se representa en el eje horizontal o eje X en el plano cartesiano.

Circunferencia:  curva cerrada cuyos puntos están a igual distancia de un punto común llamado centro.

Ángulo:  región del plano encerrada por dos rayos con un origen en común.

Coeficiente numérico:  constante que multiplica la parte literal de un término algebraico.

Ángulo interior:  es el formado por dos lados contiguos de un polígono, y se encuentra dentro de este.

Cuerda:  línea recta que une dos puntos de una circunferencia.

Ángulo exterior:  en un polígono convexo es el formado por uno de los lados del polígono y la prolongación de su lado contiguo, y se encuentra fuera del polígono.

D

Ángulos suplementarios:  ángulos cuyas medidas suman 180°. Aleatorio:  azaroso, que no se puede predecir.

la E

Ecuación:  es una igualdad entre expresiones algebraicas que contiene uno o más valores desconocidos llamados incógnitas.

G

Altura:  cada uno de los segmentos perpendiculares trazados desde un vértice al lado opuesto o a una prolongación de este.

Diámetro:  en una circunferencia es la cuerda de mayor longitud.

ab rie

Ángulos opuestos por el vértice:  ángulos que tienen un vértice común. Los lados de uno son semirrectas opuestos a los lados del otro.

Zú ñi ga

A

Evento:  subconjunto del espacio muestral.

iv o

B

us

Baricentro:  punto de intersección de las transversales de gravedad de un triángulo.

ex cl

Base de una potencia:  corresponde al factor que se repite en una potencia. Bisectriz de un ángulo:  rayo que parte del vértice y divide al ángulo en dos ángulos de igual medida.

C

so

Centro de gravedad:  punto de intersección de las transversales de gravedad de un triángulo.

U

Círculo:  es una figura de dos dimensiones (2D) formada por todos los puntos cuya distancia a un punto fijo llamado centro (C) es menor o igual a un valor dado. A este valor se le conoce como radio (r).

342

Espacio muestral:  conjunto formado por los posibles resultados de un experimento aleatorio.

de

Área:  Medida de una superficie.

Equiprobable:  que tiene igual probabilidad de ocurrir.

Experimento aleatorio:  experimento del cual no se puede prever el resultado.

F Factor literal:  corresponde a la parte no numérica de un término algebraico. Frecuencia absoluta (f):  es el número de veces que se repite cierto valor de la variable. Frecuencia relativa (fr):  es la razón entre la frecuencia absoluta y el total de datos de la muestra o población.

G Gráficos circulares:  se utilizan para representar los porcentajes de cada categoría de la variable en estudio mediante un sector circular.

P

Incentro:  punto de intersección de las bisectrices de un triángulo.

Paralelógramo:  cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. Estos son los cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.

M Mediana (Me):  es el valor central, pues divide al conjunto de datos en dos partes iguales. Moda (Mo):  es el dato que más veces se repite en una muestra, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta.

Muestreo:  método de selección de una muestra.

Población:  conjunto de individuos, objetos o fenómenos de los cuales se desea estudiar una o varias características. Polígono:  es una figura plana compuesta por una cantidad finita de segmentos rectos que encierran una porción del plano. Porcentaje:  es una razón cuyo consecuente es 100.

R

G

Muestra:  es un subconjunto de la población a partir del cual se pretende realizar inferencias para dicha población.

Plano cartesiano:  está formado por dos rectas perpendiculares llamadas ejes, cuyo punto de intersección recibe el nombre de origen (O).

la

Inverso multiplicativo de un número a:  es un número b que cumple: a • b = 1.

Perímetro de un círculo:  corresponde a la medida de su contorno.

ab rie

Inversamente proporcionales:  dos variables lo son, cuando al aumentar n veces una, la otra disminuye a su enésima parte.

Zú ñi ga

I

de

Muestreo aleatorio simple:  cada elemento de la muestra es extraído al azar, uno a uno, sin reposición

Razón:  es una comparación de dos cantidades o magnitudes por medio del cociente entre ellas.

us

N

iv o

Múltiplos de un número positivo n:  se obtienen al multiplicarlo por cualquier otro número natural.

ex cl

Números enteros (  ):  conjunto numérico que incluye a los números naturales, al cero y a los inversos aditivos de los números naturales.

O

Rectas coincidentes:  son aquellas en que todos sus puntos son comunes. Rectas paralelas:  son aquellas en que la distancia que las separa es siempre la misma. Rectas perpendiculares:  son rectas secantes, pero forman cuatro ángulos rectos. Rectas secantes:  son aquellas que se cortan en un punto.

V

Ordenada:  valor que se representa en el eje vertical (eje Y) en el plano cartesiano.

Valor absoluto:  representa la distancia que existe entre el número y el cero.

Origen:  punto en el que se intersecan los ejes que conforman el plano cartesiano. Se representa con la coordenada (0, 0).

Variable:  es el atributo o característica observable en la población en estudio. Puede ser cualitativa o cuantitativa.

U

so

Obtuso:  ángulo cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°.

Valorizar:  remplazar las variables de una expresión algebraica por valores numéricos y realizar las operaciones respectivas.

Ortocentro:  punto de intersección de las alturas de un triángulo.

Vector:  segmento orientado determinado por su origen y su extremo. Se caracteriza por tener magnitud, dirección y sentido.

343

Bibliografía consultada • Arenas, F. y equipo (1993). Geometría Elemental. Santiago, Chile: Ediciones Universidad Católica de Chile.

Zú ñi ga

• Borjas, D. (2009). Aprendizaje de los números enteros una “Experiencia significativa” en estudiantes de séptimo grado de la Escuela Nacional de Música. • Brousseau, Guy. Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemática. Traducción realizada por Dilma Fregona (FaMAF), Universidad de Córdoba, y Facundo Ortega, Centro de Estudios Avanzados, UNC, Argentina, 1993. • Cantoral, R., Montiel, G. (2001) Funciones: Visualización y Pensamiento Matemático. Pearson Educación México.

la

• Chevallard Y. La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Aique, Buenos Aires, 1991.

ab rie

• Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Horsori, Barcelona, 1997. • Cortes, C. (1994). Rectas: Software de apoyo al aprendizaje.

G

• Corzo, M. Delgado, P. (2010). Traslación+Teoría de Situaciones Didácticas+Cabri Geometry = Una nueva herramienta para la clase de geometría.

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• Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las Matemáticas. Barcelona, España: Editorial Labor.

iv o

• Duval, R. (2004). Semiosis y Pensamiento Humano, Capítulo V. Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía, Grupo de Educación Matemática. Peter Lang S. A. Editions scientifiques européennes, 1995.

U

so

ex cl

us

• Duval, R. (1998). Gráficas y ecuaciones: la articulación de dos registros. Traducción del Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAVIPN, México.

• E.T. Bell. (1948). Los grandes matemáticos. Buenos Aires, Argentina: Editorial Losada S.A. • Figueroa, L. (2001). Para qué sirve medir. España: Cuadernos de Pedagogía, Nº 302. • Fouz, F., Berritzegune, A. (2001) Modelo de Van Hiele para la didáctica de la geometría. • Godino, J., Batanero C. 2002. Sistemas numéricos y su Didáctica para Maestros. • Guedj, D. (1998). El imperio de las cifras y los números. Barcelona, España: Ediciones B S. A. • Gustafson, D. (1997). Álgebra Intermedia. México: International Thomson Editores.

344

Unidad

1

Preparo la prueba

Nombre:

Curso:

Tema 1: Números enteros

Zú ñi ga

• Los números enteros ( ) son el conjunto formado por los números enteros positivos  +, el cero y los números enteros negativos  – , es decir,  ={…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …} • En la recta numérica, un número entero es mayor que todos los números que están a su izquierda y es menor que cualquier número que esté a su derecha. Negativos

Positivos

–7 –6 –5 –4 –3 –2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

• El valor absoluto de un número entero representa la distancia a la que está del cero.

ab rie

la

• Para sumar números enteros de igual signo, se suman sus valores absolutos y se conserva el signo. Si son de distinto signo, restamos sus valores absolutos y, al resultado, le asignamos el signo del número con mayor valor absoluto. • Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el inverso aditivo del sustraendo. Practica

G

1. Representa con números enteros la información numérica en cada situación.

de

a. La temperatura más baja registrada ayer en Chile fue de 11 ºC bajo cero. b. La boya se encuentra flotando a nivel del mar.

iv o

c. El helicóptero sobrevoló la zona costera a 25 m de altura.

us

2. Representa el conjunto A = {–9, 5, 4, –4, –8, 0, –3, 2, 8, –7, 1} en una recta numérica.

ex cl

3. Resuelve las siguientes operaciones con números enteros. a. –12 + 17 =

b. 654 – (–234) =

c. –312 + (–96) =

d. 45 – (–28) =

so

4. Resuelve los siguientes problemas.

U

a. Un buzo que se encuentra a 12 m bajo el nivel del mar, sube 8 m hacia la superficie y luego desciende 6 m. ¿A qué profundidad se encuentra ahora? b. Un filósofo nació el año 13 a. C. y falleció el año 38 d. C. ¿Cuántos años vivió? c. La temperatura de un frigorífico es de –12 ºC. Después de un corte de luz sube 15 ºC, luego, cuando vuelve la energía, baja rápidamente 8 ºC. ¿Cuál es la temperatura del frigorífico después de esta disminución de temperatura?

345

Tema 2: Fracciones y números decimales

Zú ñi ga

• El producto de dos o más fracciones es una fracción cuyo denominador corresponde al producto entre sus denominadores, y el numerador al producto entre sus numeradores. • Para dividir dos fracciones se multiplica el primer término con el inverso multiplicativo del segundo. Recuerda que a b a b el inverso multiplicativo de una fracción es , con a, b ≠ 0, ya que se cumple que • = 1. b a b a • Para representar una fracción como un número decimal, se divide su numerador por su denominador. Por otra parte, un decimal finito se puede transformar en fracción si se escribe como fracción decimal y se simplifica. • Para multiplicar o dividir números decimales, puedes usar la siguiente estrategia:

la

Escribir cada número decimal como una fracción. Luego, calcular la multiplicación o la división entre estas fracciones, según corresponda. Finalmente, se escribe la fracción resultante como un número decimal.

ab rie

Tema 3: Potencias

• Una potencia es la multiplicación de un factor repetidas veces por sí mismo. Por ejemplo, a4 = a • a • a • a. El factor es la base y la cantidad de veces que se repite es el exponente. El valor de una potencia es el producto total. Además 1n = 1 para cualquier valor de n y a1 = a para cualquier valor de a.

G

• Cuando la base es 10 y el exponente es un número natural, el valor de la potencia se expresa con la cantidad de ceros que indica el exponente. Así, grandes cantidades se pueden expresar como el producto de un número natural y una potencia de base 10.

Practica

b. 2 9

•

9 = 4

c. 10 : 8 = 6 3

d. 5 : 25 = 7 21

ex cl

a. 5 • 6 = 12 7

us

1. Resuelve cada operación.

iv o

de

• La notación científica consiste en representar un número como el producto de dos factores, el primero mayor o igual que 1 y menor que 10, y el segundo, una potencia de base 10. Esto es, a • 10 b, donde 1 G |a| < 10 y b un número natural.

2. Paula tiene un saco con 14,9 kg de harina. Si usa 4,4 kg y luego decide envasar lo restante en bolsas de 0,5 kg, ¿cuántas bolsas necesita?

so

3. Representa cada multiplicación como una potencia. Luego, determina la base, el exponente y el valor de la potencia.

U

a. 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = b. 6 • 6 • 6 • 6 • 6 • 6 • 6 =

Base:

Exponente:

Valor:

Base:

Exponente:

Valor:

4. Utiliza la notación científica para representar la información numérica de cada situación. a. Un electrón se mueve con una rapidez de 300.000.000.000 mm/s. b. El Sol se formó aproximadamente hace 4.650.000.000 años.

Unidad

2

Preparo la prueba

Nombre:

Curso:

Tema 1: Porcentajes

ab rie

la

Zú ñi ga

• La razón que hay entre una cantidad (antecedente) y 100 partes de la misma (consecuente) se conoce como porcentaje. Un porcentaje se puede representar con una fracción o con un número decimal. a • n • Para determinar a% de una cantidad dada n se calcula 100 • Para determinar el porcentaje de una cantidad a respecto de otra b se calcula a • 100 b • Para determinar la cantidad total teniendo una cantidad a a la que corresponde un b% de ella se calcula a • 100 b • La cantidad que aumenta o disminuye una magnitud suele representarse como porcentaje. y • x. • Si una cantidad x disminuye en un y%, entonces la cantidad resultante es x – 100 y • x. • Si una cantidad x aumenta en un y%, entonces la cantidad resultante es x + 100 Practica

1. Calcula los siguientes porcentajes.

d. 42% de 3.500 N

N

G

a. 19% de 100

e. 18% de 12.400 N

de

b. 25% de 1.200 N c. 10% de 6.250 N

f. 25% de 13.504 N

iv o

2. Resuelve los siguientes problemas.

ex cl

us

a. En una tienda se vende una polera en $ 9.500, pero se hace una rebaja del 9%, mientras que en otra tienda se vende la misma polera a $ 9.100, pero con una rebaja del 5%. ¿En cuál de las tiendas conviene comprar la polera?

U

so

b. Para los fines de semana largos, el valor de los pasajes de buses se incrementa. Si el pasaje de ida y vuelta entre Santiago y Concepción aumentó en un 50% y Alexis pagó $ 16.200 por él, ¿cuál era el valor normal del pasaje?

347

Tema 2: Proporcionalidad directa • Una razón es una comparación entre dos o más cantidades que se realiza por medio de una división.

Zú ñi ga

• El valor de la razón es el cociente entre las cantidades. Dos razones son equivalentes si su valor es el mismo.

• Una proporción es una igualdad entre dos o más razones. a c En toda proporción se cumple que = si y solo si a • d = b • c. b d • Dos variables son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una, la otra aumenta o disminuye en el mismo factor.

ab rie

Tema 3: Proporcionalidad inversa

la

• Si dos variables x e y son directamente proporcionales, el cociente entre sus valores correspondientes es constante. La relación entre dos variables directamente proporcionales se puede representar en el plano cartesiano mediante un conjunto de puntos que están en una línea recta que pasa por el origen.

• Dos variables son inversamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una, la otra disminuye o aumenta en un factor igual al inverso multiplicativo del aumento o disminución de la primera variable.

Practica

iv o

1. Resuelve los siguientes problemas.

de

G

• Si dos variables x e y son inversamente proporcionales, el producto entre sus valores correspondientes es constante. La relación entre dos variables inversamente proporcionales se puede representar en el plano cartesiano mediante un conjunto de puntos que están en una línea curva que corresponde a una de las ramas de una hipérbola.

ex cl

us

a. Un listón de madera de 34,5 cm de alto proyecta una sombra de 22,5 cm. ¿Qué altura tiene un edificio que en ese mismo minuto proyecta una sombra de 27 m?

U

so

b. Nancy organiza las sillas en un sala de conferencias. Cuando reparte 12 sillas en cada fila, le alcanzan para formar 50 filas. Si las quisiera en filas con 20 sillas cada una, ¿cuántas filas podría formar?

Unidad

3

Preparo la prueba

Nombre:

Curso:

Tema 1: Expresiones algebraicas

Zú ñi ga

• Cuando se usan letras y operaciones para generalizar relaciones entre números, o establecer y formular reglas (patrones) en una secuencia o en una tabla de valores, se está usando lenguaje algebraico. • Si en una expresión algebraica hay términos semejantes, estos se pueden reducir, es decir, se pueden sumar o restar sus coeficientes numéricos y conservar el factor literal. • Para traducir expresiones escritas en lenguaje natural, se asignan letras para representar las cantidades desconocidas, y otras palabras se relacionan con operaciones matemáticas, como "más" y "aumentado" con la adición (+) y "menos" y "disminuido" con la sustracción (–).

la

• Una secuencia de números presenta una regularidad numérica cuando es posible determinar una regla de formación que permita predecir y calcular los términos siguientes.

Practica

G

1. Expresa en lenguaje algebraico cada enunciado.

ab rie

• El término general de la secuencia corresponde a una expresión algebraica que depende de una variable n, la que al remplazarse por un número natural permite obtener el valor de la secuencia en esa posición. Es decir, a medida que n toma los valores 1, 2, 3, ... se obtienen, en el mismo orden, los términos de la secuencia.

de

a. El triple de un número aumentado en la quinta parte del mismo número es igual a veinte. b. Un número disminuido en ocho es igual a cuatro veces otro número.

iv o

2. Reduce los términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas: c. 6s – s + 7t – 3s + 12t =

b. 6ab + 3ab – 2ab =

d. bc + 3c + bc – c =

us

a. 4xy – 2yx + 3x + y =

so

ex cl

3. La siguiente secuencia de figuras, construida con palitos de fósforo, está formada solo con cuadrados. Cada figura tiene un cuadrado más que la anterior.

U

a. ¿Cuántos fósforos se necesitan para formar la figura que continúa en la secuencia? b. ¿Cuántos fósforos se necesitan para formar la figura 10 en la secuencia? c. ¿Cómo representarías la cantidad de fósforos usados para formar n cuadrados en la secuencia?

349

Tema 2: Ecuaciones e inecuaciones lineales

Zú ñi ga

• Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que hay uno o más valores desconocidos llamados incógnitas. La ecuación se dice de primer grado o lineal cuando el o los términos donde está la incógnita son de grado 1. Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor de la incógnita que la satisface. • Una desigualdad es toda relación de orden entre números u otras expresiones matemáticas mediante la comparación “menor que” (). • Propiedades de las desigualdades:

• Dados dos números a y b, se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: a < b, a = b o bien a > b. A esta propiedad se le llama propiedad de tricotomía.

la

• Si se suma o resta un mismo número c a ambos lados de la desigualdad, el sentido de la desigualdad no cambia. Esto es, si a > b, entonces, a + c > b + c y a – c > b – c.

G

ab rie

• Cuando se multiplican o dividen ambos lados de una desigualdad por un mismo número positivo c, el sentido a b de la desigualdad no cambia. Esto es, si a > b y c > 0, entonces a • c > b • c y > . c c • Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas en la que hay uno o más valores desconocidos llamados incógnitas. Se resuelven de manera similar a las ecuaciones lineales, aplicando las propiedades de las desigualdades para ''despejar'' la incógnita. • Para plantear una ecuación o una inecuación que permita resolver un problema debes considerar lo siguiente:

de

• Leer el problema para identificar lo que se pide responder, asignar una letra que represente la incógnita del problema y plantear la ecuación o inecuación que permita dar solución al problema

Practica

iv o

• Resolver la ecuación o inecuación y analizar que la solución sea pertinente al problema.

us

1. Resuelve los siguientes problemas.

so

ex cl

a. Andrés compró cuatro helados iguales para compartir con sus primos. Luego adquirió un paquete de galletas para la once en $ 480. Si llevaba $ 2.000 y recibió $ 200 de vuelto, ¿cuánto costaba cada helado?

U

b. Si Daniela tiene solo $ 2.800 para pagar un estacionamiento, y en este se cobra una tarifa de $ 450 por cada media hora, ¿cuál es el máximo tiempo que podrá dejar su automóvil estacionado?

Unidad

4 Preparo la prueba

Nombre:

Curso:

Tema 1: Ángulos en polígonos • Un polígono es una figura plana cerrada limitada por segmentos de recta.

• La apotema de un polígono regular es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de uno de sus lados. • En un polígono convexo, sus ángulos interiores miden menos de 180º.

Lado

Zú ñi ga

• Un polígono es regular cuando todos sus lados y sus ángulos tienen la misma medida.

Ángulo interior

Diagonal

Vértice Ángulo exterior

Apotema

• La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo se puede calcular mediante la expresión 180° • (n – 2), donde n es la cantidad de lados del polígono.

Tema 2: Área de polígonos

ab rie

la

• La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono convexo es 360º.

• Para calcular el área (A) de un paralelógramo puedes considerar lo siguiente: Rectángulo a

Cuadrado

Rombo

A = a2

A=a b

A=

d D

D

•

2

de

•

G

b

d

Romboide h b A=b•h

us

iv o

b•h • El área de un triángulo es la mitad del producto de la medida de la base por la medida de la altura: A = 2 n•l•a • El área de un polígono regular se calcula usando A = , donde n es la cantidad de lados del polígono, l, 2 la medida de cada lado y a, la medida de la apotema. a+b • h, donde a y b corresponden a la medida de sus bases, y h, a la medida de • El área de un trapecio es 2 su altura.

ex cl

Practica

1. Determina la medida x del ángulo en cada caso. a.

so

91º

U

34º

x

b. D

84º 30º

x 111º

A

C

B

2. Calcula el área de la figura del ítem b de la pregunta anterior sabiendo que AB = 32 cm, BC = 12 cm y AD = 24 cm.

351

Tema 2: Círculo

C

Zú ñi ga

• El círculo es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro (O) es menor o igual que una distancia dada llamada radio.

la

r

ab rie

• El cociente entre el perímetro de un círculo y su diámetro es constante. Su valor se simboliza con la letra π (pi). • El perímetro (P) de un círculo (o la longitud de una circunferencia) de radio r se puede calcular por la fórmula: P=2•r•π

G

• Como d = 2 • r es el diámetro del círculo, también se puede usar P = d • π.

• El área (A) de un círculo de radio r se puede calcular usando la siguiente fórmula:

de

A = π • r2

iv o

Practica

ex cl

a. r = 2 cm

us

1. En cada caso, calcula el perímetro y área de un círculo dado su radio (r) o su diámetro (d).

d. d = 25 m

U

so

b. r = 18 m

c. d = 10 m

2. Resuelve el siguiente problema. Un antena de señal WIFI de Internet emite una señal que cubre un área de 379,94 m2. Si una computadora se ubica a 15 m de distancia de la antena, ¿cuántos metros le falta acercarse para poder captar la señal? Considera que la señal emitida tiene forma circular. Usa calculadora.

Unidad

5

Preparo la prueba

Nombre:

Curso:

Tema 1: Construcciones geométricas

Zú ñi ga

• La simetral entre dos puntos A y B son todos los puntos equidistantes de A y B. Si se considera el segmento de recta que los une, la simetral es una recta perpendicular a este segmento y lo corta en su punto medio. • Las tres simetrales de los lados de un triángulo se intersecan en un punto llamado circuncentro (C). Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, la que pasa por los tres vértices del triángulo. • Se llama altura de un triángulo a cada uno de los segmentos trazados desde un vértice al lado opuesto o a una prolongación de este de manera perpendicular. Las tres alturas de un triángulo siempre se intersecan en un punto llamado ortocentro (H).

la

• Se define como bisectriz de un ángulo a todos los puntos que son equidistantes de los lados del ángulo. La bisectriz es una semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos de igual medida.

ab rie

• Las tres bisectrices de un triángulo se intersecan en un único punto llamado incentro (I). Este punto es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, esto es, la que toca a cada uno de los lados del triángulo en un solo punto. • En un triángulo se llama transversal de gravedad a cada uno de los segmentos de recta que unen uno de los vértices con el punto medio del lado opuesto a él. Se intersecan en el baricentro o centro de gravedad (G). El baricentro corta cada una de las transversales de gravedad en la razón 2 : 1.

G

• Dos rectas son paralelas (//) si la distancia que las separa es siempre la misma, o si al prolongarse indefinidamente nunca se intersecan.

de

• Dos figuras son congruentes cuando tienen igual medida de sus lados y de sus ángulos interiores. Se pueden construir triángulos congruentes, usando regla y compás, a partir de la medida de los tres lados.

iv o

Practica

U

so

ex cl

us

1. Construye las alturas, una bisectriz, una transversal de gravedad, las simetrales y la circunferencia circunscrita del siguiente triángulo.

2. Construye en tu cuaderno un triángulo congruente al anterior.

353

Tema 2: Plano cartesiano

Y

• El plano cartesiano está formado por dos rectas perpendiculares llamadas ejes, cuyo punto de intersección recibe el nombre de origen (O) y tiene coordenadas (0, 0). Al eje horizontal o de las abscisas se le llama eje X y al eje vertical o de las ordenadas, eje Y. Al incluir los números negativos, los ejes dividen al plano cartesiano en cuatro regiones denominadas cuadrantes.

Cuadrante II

(x > 0, y > 0)

Zú ñi ga

(x < 0, y > 0)

Cuadrante I

O

(x < 0, y < 0)

X

(x > 0, y < 0)

Cuadrante III

Cuadrante IV

la

• Un vector puede representarse por una flecha y se caracteriza por el módulo, que corresponde a la longitud de la flecha; la dirección, que está dada por la orientación en el plano de la recta que lo contiene; y el sentido, que se muestra mediante la punta de flecha indicando hacia qué lado se dirige el vector.

ab rie

• Dos vectores son iguales si tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo. Si alguna de estas condiciones no se cumple, decimos que los vectores son distintos. Además, dos vectores son opuestos si tienen igual módulo y dirección, pero sentido contrario.

de

G

• En el plano cartesiano, un vector se puede representar por v = (x, y). Si se asocia a una traslación, x simboliza la traslación horizontal e y, la vertical. Entonces, si x < 0, la traslación es a la izquierda y si x > 0, a la derecha. De manera similar, si y < 0, la traslación es hacia abajo y si y > 0, hacia arriba. Practica

1. Escribe las coordenadas de los puntos del plano cartesiano.

iv o

B

v = (6, –3)

ex cl

v = (8, –7)

us

2. Une con una línea cada par de vectores iguales. CE DA CD

v = (1, 9)

EA

so

v = (–3, 6)

BE

A

–6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 X –1 –2 E C –3 –4 –5 D –6

U

v = (10, 0)

Y 6 5 4 3 2 1

3. Construye las siguientes figuras geométricas en el plano cartesiano. a. El triángulo con vértices en (1, 2), (–3, 4) y (–6, 2). b. El cuadrilátero de vértices en (–6, –6), (–2, –6), (–2, –4) y (–4, –5). c. Un cuadrado si se sabe que tres de sus vértices son los puntos (6, –4), (6, 2) y (0, –4).

Unidad

6 Preparo la prueba

Nombre:

Curso:

Tema 1: Estudio de una población

Zú ñi ga

• Una población es un conjunto de elementos sobre el cual se realiza un estudio. Este se efectúa sobre alguna característica de interés a la que llamamos variable. • Puede que el tamaño de la población (cantidad de elementos) sea muy grande como para obtener información de todos sus elementos, por lo que es necesario extraer una muestra, o sea, un subconjunto de la población. • A partir de métodos de muestreo se pueden obtener muestras que sean representativos de la población. En el muestreo aleatorio simple, cada elemento de la muestra es extraído aleatoriamente de la población. • Los datos obtenidos de una muestra se pueden ordenar en tablas de frecuencias y representar en gráficos de barras simples, histogramas, polígonos de frecuencias, gráficos circulares, entre otros.

la

Tema 2: Medidas de tendencia central

ab rie

• Las medidas de tendencia central entregan información sobre alguna característica en particular que se quiera conocer. Por ejemplo, la moda corresponde al valor con mayor frecuencia, la mediana, al valor sobre el cual está el 50 % de los datos de la muestra y la media, es el promedio de los datos que podría ser representativo cuando los datos no son muy variables.

G

• Una manera de saber qué tan dispersos son los datos de una muestra, es posible calcular el rango, que corresponde a la diferencia entre el dato mayor y el menor.

de

Practica

El siguiente conjunto de datos corresponde a las repuestas obtenidas por un grupo de estudiantes en un curso. 8 8 6

6 10 9

8 7 8

9 5 8

iv o

11 8 9

4 8 7

9 6 7

6 5 5

9 7 7

5 7 5

7 11 6

10 10 4

7 4 4

6 11 7

us

9 10 7

ex cl

1. ¿Cuáles son la población y la variable en estudio? 2. Realiza un muestreo aleatorio simple para obtener una muestra de 15 alumnos.

so

3. Calcula el promedio de la muestra y compáralo con el promedio de la población.

U

4. Representa los datos de la muestra en una tabla de frecuencia y en un gráfico adecuado. Calcula las medidas de tendencia central y escribe tres conclusiones generales sobre el rendimiento del curso.

355

Tema 3: Probabilidad

Zú ñi ga

• Un experimento aleatorio es una acción cuyos resultados son conocidos, pero no se puede asegurar cuál de todos ocurrirá, es decir, existe incertidumbre. • El espacio muestral corresponde al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Un evento o suceso es un subconjunto del espacio muestral. • La probabilidad permite medir numéricamente la ocurrencia de un evento mediante un número entre 0 y 1, que también se puede escribir como porcentaje.

la

• Si de alguna manera se puede determinar que los resultados del experimento aleatorio son equiprobables, entonces la probabilidad de un evento será igual al cociente entre la cantidad de resultados favorables al evento y la cantidad de resultados posibles del experimento. Esta se conoce como la regla de Laplace.

ab rie

• Si los resultados de un experimento son equiprobables, entonces las frecuencias relativas que se obtienen al repetir el experimento sucesivas veces se aproximan a la probabilidad obtenida por la regla de Laplace. Practica

iv o

de

G

1. Gabriel le muestra a su amigo Rodrigo las siguientes cartas.

us

Gabriel le pide a Rodrigo que saque una carta al azar sin que él la mire y luego la vuelve a meter a la baraja.

ex cl

a. Si Rodrigo sacó un as, ¿cuál es la probabilidad de que Gabriel adivine el número de la carta? b. Si Rodrigo saco una reina, ¿cuál es la probabilidad de que Gabriel adivine la carta? 2. Se lanza un dado 100 veces. La tabla muestra los resultados obtenidos. Puntos

Frecuencia

1

10

b. Según los datos de la tabla, ¿cuál sería la probabilidad aproximada de sacar a lo más dos puntos en el lanzamiento del dado?

2

20

3

25

4

10

5

30

6

5

U

so

a. ¿Se podría decir que los resultados son equiprobables, es decir, que el dado esté equilibrado?