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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA

Villahermosa, Tabasco. México 2009

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CURSO PROPEDÉUTICO: ÁLGEBRA OBJETIVO GENERAL. El alumno adquirirá los conocimientos básicos de Álgebra como una herramienta para cursar las matemáticas superiores y los aplicará en la solución de problemas relacionados con la ingeniería que desea cursar. INTRODUCCION

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1. OPERACIONES ALGEBRAICAS (Monomios y Polinomios)  Expresión algebraica  Monomios  Polinomios  Leyes de exponentes  Adición  Sustracción  Multiplicación  División  Potencias  Raíces  Ejercicios propuestos

5

2. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN  Factor común  Máximo común divisor De monomios De polinomios  Cuadrado de un binomio  Factorización trinomio cuadrado perfecto  Cubo de un binomio  Producto de dos binomios con un término común y de binomios conjugados.  Descomposición en factores, trinomio de segundo grado.  Binomio de Newton  Ejercicios propuestos

16

3. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES  Teorema del residuo  Teorema del factor  División sintética

24

2

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA         

Fracción algebraica Suma, resta, multiplicación y división de fracciones Radicales Partes de una raíz Números racionales e irracionales Raíz cuadrada y cúbica de una fracción Simplificación de un radical Operaciones con radicales Ejercicios propuestos

4. ECUACIONES Y DESIGUALDADES  Ecuación  Ecuaciones de primer grado con una incógnita y su resolución  Ecuaciones de segundo grado completas  Ecuaciones de segundo grado incompletas  Aplicaciones  Desigualdad de primer grado  Desigualdad de segundo grado  Ejercicios propuestos

36

5. SISTEMAS DE ECUACIONES  Métodos de resolución i. Reducción ii. Igualación iii. Sustitución iv. Determinantes  Representaciones gráficas  Ejercicios propuestos

49

6. ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES  Los logaritmos y sus propiedades  Solución de ecuaciones logarítmicas  La exponencial y sus propiedades  Solución de ecuaciones exponenciales  Aplicaciones y gráficas  Ejercicios propuestos

55

ACERCA DE LOS AUTORES

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BIBILOGRAFÍA

69

3

INTRODUCCIÓN

“El propósito de la educación es convertir una mente vacía en una mente abierta” M. Forbes

Este libro guía está dirigido para estudiantes del curso de nivelación de todas las áreas del Instituto Tecnológico de Villahermosa, con la mejor de las intenciones de que estos aspirantes encuentren de manera clara y sencilla los temas del álgebra necesarios para su aplicación en diversas carreras de ingeniería que ofrece el instituto, como así mismo en el futuro, sirvan como herramientas para formular modelos matemáticos de situaciones reales en el ejercicio de su práctica profesional. Los temas se desarrollan en detalle, de manera sencilla con apoyo de problemas resueltos, los cuales ilustran la utilidad de los conceptos matemáticos que servirán para darle un conocimiento conceptual y dotar de confianza al alumno, para enfrentarse con la resolución de problemas en su vida profesional. Por otro lado, al final de cada tema se proponen la realización de ciertos ejercicios con la finalidad de que el alumno ponga en práctica sus conocimientos procedimentales y actitudinales, como es el Saber, Saber Hacer y el Ser.

LOS AUTORES

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA 1. OPERACIONES ALGEBRAICAS (Monomios y Polinomios)

3 hrs

El álgebra es la parte de las matemáticas que tiene por objeto generalizar todas las estructuras y relaciones de las cantidades. Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden ser de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas.

 Expresión algebraica En álgebra es la forma de expresar una operación mediante signos algebraicos, el uso de letras que representan cantidades desconocidas y números que representan cantidades conocidas Término algebraico. Es una expresión algebraica que contiene uno o más símbolos (números o letras) que no están separados entre sí por un signo de operación de + o -. Partes de un término algebraico 1) Signo

4) Grado −4

2) Coeficiente

3) Parte literal

El grado de un término algebraico se puede determinar con relación a una letra o bien desde su grado absoluto. Grado con relación a una letra es el exponente de dicha letra Término semejante Son los términos que presentan la misma parte literal, y solo difieren en su signo y/o coeficiente Ejemplos: 1) − 4 ; 2 2) 3 ; 6 ;− 4 3) 4 ; −2 ; 5

;− ; etc. ; etc.

; etc.

5

Clasificación de expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas pueden contener n-ésimos términos y se clasifican según el número de ellos. Las expresiones algebraicas que tienen un solo término se llaman MONOMIOS Las expresiones algebraicas que tienen más de un término se llaman POLINOMIOS.

Ley = =1 = 1/ =

= (

) =

(

) =

( / ) =

/

= 1/

√

6

=

/

Leyes de exponentes Descripción Todo número elevado al exponente 1 el resultado es el mismo número Todo número elevado al exponente 0 el resultado es la unidad Todo número elevado al exponente -1 el resultado es el reciproco del número En el producto de potencias con bases iguales, se copia la base y los exponentes se suman. En el cociente de potencias con bases iguales, se copia la base y los exponentes se restan. En potencias de potencias se copia la base y los exponentes se multiplican En el producto de bases elevado a una potencia se copia cada factor de la base y se elevan al exponente indicado En el cociente de bases elevado a una potencia se copia tanto el dividendo como el divisor de la base y se elevan al exponente indicado Toda base elevada a un exponente negativo es igual al reciproco de la base pero elevada al exponente positivo La raíz de una base elevada a una potencia es igual a la base elevada a un exponente fraccionario resultado de dividir el exponente de la base entre el índice de radical.

Ejemplo 4 =4 4 =1 4

= 1/4 =

=

= (

= 

) = (

=

) =

( / ) =

/

= 1/

=

/

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA  Adición La suma o adición es el resultado de reunir dos o más sumandos en una sola cantidad. Desde el punto de vista algebraico la suma es la operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica. La suma y la resta algebraica son muy parecidas, se relacionan con el tema de reducción de términos semejante. Para sumar dos o más expresiones algebraicas, se deben escribir éstas una a condición de las otras con sus propios signos y posteriormente reducir los términos semejantes. La adición o suma tiene una ley conmutativa que dice que el orden de los sumandos no altera la suma, es lo mismo + + que + + que + + . Suma de monomios Ejemplos: 4) Sumar 6 + 3 = =9 5) Sumar 3 + 4 + 5 + 6 = 3 +6 =9 4 +5 =9 =9 +9 6) Sumar 5 + 3 = =5 +3 El motivo, no se pueden sumar peras con manzanas. Es importante recordar que solo se suman términos semejantes por lo tanto no es igual que . Sumar 3 , 7 − 5 , 4 , −2 = = +2 +4 Suma de monomios con polinomios Esta suma consiste en agregar al monomio dado a su respectivo término semejante en el polinomio, si es que existe; y si no fuese el caso, agregar el monomio al polinomio. Ejemplos: 7) Sumar (3 +

+ 5 ) + (2 ) = 3 +2 + +5 =

8) Sumar (2 + 3 − 5 ) + (− ) = 2 +3 −

=5 + −5 =

+5

= 2 +2 −5

Suma de polinomio con polinomio En este tipo de sumas, el procedimiento consiste en acomodar adecuadamente los términos semejantes, teniendo mucho cuidado en los signos. Ejemplos: 9) Sumar (2 + 3 + 5 ) + (2 + 2 − 4 ) + (−4 + 3 − 2 ) = Se procede a acomodar los términos semejantes en forma de suma:

7

2 +3 +5 2 +2 −4 −4 + 3 − 2 −2 + 5 + 10 − 6

= −2 + 5 + 10 − 6

10) Sumar (−2 − 3 − 4 ) + (−6 − 2 + 3 ) + (3 − 5 ) = Quitando los paréntesis, aplicando la regla de signos. −2 − 3 − 4 − 6 − 2 + 3 + 3 − 5 Se procede a acomodar los términos semejantes en forma de suma: −2 − 3 − 4 +3 − 6 − 2 = −2 + − 15 +3 −5 + − 15 − 2 En la suma de polinomios, no importa el número de sumandos que existan o el número de términos que tenga cada polinomio, únicamente se debe tener cuidado con los signos y en acomodarlos adecuadamente debajo de su término 100% semejante (cuidado con los exponentes)

Sustracción La sustracción (resta) es la operación que tiene por objeto dada una suma de dos sumandos (uno recibe el nombre de minuendo y el otro de ellos sustraendo), hallar otro sumando que recibe el nombre de resta o diferencia. Desde el punto de vista algebraico la resta, es la operación que tiene por objeto unir dos o más expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica. Existe una regla general para la resta que dice que para restar dos expresiones algebraicas, se debe escribir el minuendo y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y, posteriormente, reducir términos semejantes. Monomio con monomio 11) De 10 restar 6 Es igual a escribir 10-6 Respuesta=4 12) De -10 restar 6 Es igual a escribir -10-(6) Cambiando el signo queda -10-6 Respuesta= -16 13) De -5x2y restar 6x2y Es igual a escribir -5x2y – (6x2y) Cambiando el signo queda -5x2y – 6x2y Respuesta –11x2y 8

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA Polinomio con polinomio La resta de polinomios es muy parecida a la suma en cuanto a su procedimiento, lo importante en este caso es restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, cambiando el signo a todos los términos del sustraendo. 14) De 4 − 3 + restar 2 + 5 − 6 Es igual a escribir (4 − 3 + ) − (2 + 5 − 6) Cambiando el signo queda 4 − 3 + − 2 − 5 + 6 Ordenando y reduciendo términos semejantes queda: 4 −3 + −2 −5 +6 2 −3 −4 +6 15) De 5 − 3 + 6 restar 12 − 8 − 2 Es igual a escribir (5 − 3 + 6) − (12 − 8 − 2 ) Cambiando el signo queda: 5 − 3 + 6 − 12 + 8 + 2 Ordenando y reduciendo términos semejantes: 5 −3 +6 8 +2 − 12 +13 − −6

 Multiplicación La multiplicación en algebra ratifica la propiedad aritmética de que el orden de los factores no altera el producto. A esto se le conoce como la ley conmutativa de la multiplicación. Ejemplo: 16) Es lo mismo multiplicar

AxBxC

que

BxCxA

que

CxAxB

Así mismo, la multiplicación tiene otra propiedad que recibe el nombre de ley asociativa que nos dice que los factores de un producto pueden agruparse de cualquier forma. Ejemplo: 17) Es lo mismo escribir A B C D que: A x B x C x D que A (B C D) que A (B x C x D) que (A x B) (B x C), etcétera. La multiplicación es una operación que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto, la cual se logra a través de dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador. Es importante que el producto sea respecto del multiplicando, el valor absoluto y signo lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Para lograr lo anterior, existen una serie de leyes que son importantes en la multiplicación, entre estas tenemos: 9

Ley de los exponentes  Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se pone por exponente la suma de los exponentes de los factores. Ejemplos: = = =

18) 19) 20)

= = =

Ley de los coeficientes  El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores. Ejemplos: 21) 3 5 )(−5 ) 22) (3

= =

3∗5∗ ∗ 3 −5

= 15 = −15

En la multiplicación de monomios con monomios se aplica: Primero: multiplicar los signos, aplicando la ley de los signos. Segundo: multiplicar los coeficientes. Tercero: multiplicar las partes literales, ponerlas en orden alfabético y aplicar la ley de los exponentes. Ejemplos: 23) Multiplicar 3 por 5 1° Signos +por+ =+ 2° Coeficientes 3 x 5 =15 3° Parte literal Respuesta final =15

=

)(−5 )= 24) Multiplicar (2 1° Signos +por - = 2° Coeficientes 2 x 5 =10 3° Parte literal = Respuesta final =−10 Monomio con polinomio Pasos: Primero: se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Segundo: se ordena y reducen términos semejantes si los hay.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA Ejemplo: 25) Multiplicar 2 3 +2 −7 (2 )( 3 ) = +6 (2 )(2 ) = +4 (2 )(−7 ) = −14 Respuesta: 6 +4 −14 Polinomio con polinomio Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen términos semejantes. Ejemplo: 26) (5 − 3 )(3 + 2 ) +5 − 3 +2 + 3 10 − 6 +15 10 − 9

−9 −9

 División Es una operación que tiene por objeto que a través del dividiendo y el divisor, se obtenga el resultado que recibe el nombre de cociente. Se debe de tener en cuenta la ley de los signos y los exponentes se restan si tienen la misma base, y se escribe como respuesta la diferencia existente entre el dividendo y el divisor. Ejemplos: 27) Dividir 28) Dividir

entre

Respuesta = = Respuesta = = La se iguala a uno por tener exponente cero

Monomio con Monomio Pasos: a) Se tiene el signo aplicando la ley de los signos. b) Se dividen los Coeficientes y se escribe el resultado. c) Se dividen las partes literales, aplicando lo visto en los ejemplos anteriores. Ejemplo: 29) 8 2 Primero: positivo entre positivo = positivo Segundo: 8 entre 2 = 4 Tercero: = Respuesta: = +4 11

Monomio con Polinomio Se debe de dividir cada uno de los términos del polinomio por el monomio. Ejemplo: 30) Dividir 5 −3 +2 Se divide 5 entre Se divide −3 entre Se divide +2 R=5 −3 +2

=5 = −3 = +2

Polinomio con Polinomio Para la división entre dos polinomios es necesario seguir una serie de reglas: 1. Se ordenan los dos polinomios con relación a una misma letra (dividendo y divisor). 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y con ello se obtiene el primer término del cociente. 3. El cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta al dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor. 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y con ello se obtiene el segundo término del cociente. 5. Este término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta al dividendo, cambiando los signos. 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúa las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero o en su caso no sea factible dividir el resto entre el primer término del divisor. Ejemplo: Dividir 28

31)

− 30

− 11

÷ −5 + 4 7 +6 _________________________ 4 − 5 | 28 − 11 − 30 −28 + 35 0 + 24 −24

− 30 + 30 0

12

0

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA  Potencias Es la operación que multiplica un mismo término, determinado número de veces. El término que se multiplica toma el nombre de base, y el que indica las bases que se ha de multiplicar por si misma dicha base, se le nombra exponente. Al resultado obteniendo de esta operación se le da el nombre de potencia. Se siguen los siguientes pasos: 1. Se eleva el coeficiente al exponente del término. 2. Se multiplica el exponente por cada literal, por el exponente del término. Para el signo, las reglas son: 1. Cuando la base es negativa y el exponente es un número par, la potencia siempre será positiva. 2. Cuando la base es negativa y el exponente es un número impar, la potencian será negativa. 3. Cuando la base es positiva, siempre la potencia será positiva, sin importar si el exponente es par o impar. Ejemplos: 32)

(3 ) Signo = + 3 por 3 = 9 = R=9

33)

(−4 ) Signo = 4 por 4 por 4 = 64 = R = −64

 Raíces Es la operación que determina el término que, al multiplicarse por si mismo un número de veces indicando por el índice del radical, da por resultado el término propuesto que, al quedar alojado dentro del radical, recibe el nombre de radicando o subradical. Para su resolución se siguen los siguientes pasos: 1. Se calcula la raíz del coeficiente, indicada por el índice del radical. 2. Se divide el exponente de cada literal del subradical, entre el índice del radical.

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Pueden presentarse los siguientes casos:  

Que el coeficiente no tenga un valor exacto de acuerdo con la raíz propuesta. En este caso se trataran por métodos adecuados que proporciona el estudio de los radicales. También es posible que uno o mas exponentes no sean divisibles entre el exponente del radical, dando lugar a exponente fraccionarios. Al igual que en el caso anterior, su solución esta comprendida dentro del estudio de los radicales.

Ejemplos: Obtener la raíz cuadrada de 144 Signo = + Raíz cuadrada de 144 = 12 Raíz cuadrada de = R = +12

34)

Obtener −343 Signo = -

35)

√343 = 7 = R = −7

14

/

/

=

/

/

/

=

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA  Ejercicios propuestos: 1. 4 + 3 − 15 − + 10 . 3 −5 +3 2. 3 + 2 +5 . 3 + 7 3. ( + 4 − − + 5 + 8 ) + (4 ) . 4 + 4 + 12 4. ( + 4 − − + + 8 ) + (2 ) . 7 +4 +3 ( ) ( ) 5. −2 −2 −3 + 5 −2 −3 + +( −3 + ) (−56 − 2 − 5 ) + (9 − 4 −7 +8 ) . (−41 − 8 − 14 − 3 +2 ) 6. 10abc restar -5abc . 15 7. 2x restar -6xy . 2 +6 8. 3y restar 8y . −5 9. De 4 −2 + 6 restar 12 − 5 −2 .6 + 3 −6 10. Restar 9 +6 − de −2+3 −6 . − 15 −3 + −2 )(−5 ) 11. (7 . −35 12. 3 por 5 . 15 ) (5 ) 13. (7 −7 +6 . 35 − 49 + 42 14. (7 − 3 − 34)(3 + 3 + 4 ) . 21 − 102 + 12 + 28 − 9 − 102 − 12 − 136 15. 5

6

16. 6 17. 5 18. 6 19. 20. 21. 22.

.

2 −3

+2

−7

11 − 3 (−5 ) (−5 ) (3 )

.

+2 − 46

+ 32 ÷ 8 − 3 − 6 . = −125 . = 25 . = 81

23. Obtener:

25

.= 5

24. Obtener:

−32

. = −2

.

− 3

.

− 7

.

−2

+ 2 + 2 + 3 +4

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2. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

3 hrs

Existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables, y son los que se pueden obtener sin efectuar la multiplicación término a término. Para el estudio de la factorización, es conveniente que el estudiante este familiarizado con los productos notables estudiados, para reconocerlos e invertir el procedimiento que es precisamente “factorizar”. Dicho de otra manera, factorizar una expresión significa escribir una expresión equivalente que sea un producto de dos o más expresiones.

 Factor común Usamos el factor común de cada término con el coeficiente más grande posible y la variable a la potencia más alta. Ejemplos: 1) 5x4 – 20x3 = 5x3 (x) – 5 x3 (4) = 5 x3 (x – 4) 2 2 2 = 2 2 2 2) 16 a b + 20 a 4 a (4b ) + 4a (5) = 4a2 (4b2 + 5 ) 3) 15y5 – 12y4 + 27y3 - 3y2 = 3y2(5y3) - 3y2 (4y2) + 3y2 (9y) - 3y2(1) = 3y2 (5y3 - 4y2 + 9y – 1) 2 3 2 2 2 4) 4m n + 2m n + 6m n = 2m2n (2n 2) + 2m2n(n) + 2m2n(3) = 2m2n(2n 2 + n + 3)

La agrupación junto con la propiedad distributiva nos permite entender la mayor parte de la factorización de los polinomios. Ejemplos: 5) x2 + 2x + x + 2

= (x2 + 2x ) + (x + 2) = x(x + 2) +1 (x + 2) =(x + 2) (x + 1) = (x + 1) (x + 2) 6) x2 – 4x + 2x – 8 = (x2 – 4x) + (2x – 8) = x(x – 4) + 2(x – 4) = (x – 4) (x + 2) = (x + 2) (x – 4) 7) ax + by + ay + bx = ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (x + y) + (a + b) 3 2 3 8) x – 6x – x + 6 = (x – 6x2)– (x - 6) = x2 (x – 6) – 1(x - 6) = (x2 – 1)(x – 6) = (x + 1)(x – 1)(x – 6)

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA  Máximo común divisor El Máximo común divisor m.c.d. de monomios y polinomios, se obtiene por factorización o por medio de las divisiones sucesivas.

De monomios El m.c.d se obtiene en 1er. lugar de los coeficientes tomando los factores comunes con mayor exponente y después de las literales con el menor exponente común a todos los factores. Ejemplo: 9) Hallar el m.c.d. de 24a2b4, 48 a3b4, 36a4b3

Descomponiendo 24a2b4= 2 por 2 por 2 por 3 a2b4 = 23por3 a2b4 48 a3b4=2 por 2 por 2por 2 por 3 a3b4=24 por 3 por a3b4 36a4b3=2 por 2 por 3 por 3 = 22 por 32 a4b3 El m.c.d. es 22por 3 por a2 b3 = 12 a2 b3

De polinomios El m.c.d. de los polinomios se obtiene por factorización, se descomponen los polinomios en sus factores primos, se multiplican los factores comunes con exponentes menores. Ejemplos 10) Hallar el m.c.d. de 6x2 + 9x y 12x4 +24x2y2

Factorizando 6x2 + 9x =3 x (2x +3) 12x4 +24x2y2 =12x2(x2 + 2y2) =3 por22 x2(x2 + 2y2) De las dos factorizaciones los factores comunes son: 3, x Por tanto el m.c.d. es 3x 11) Hallar el m.c.d. de x2 + 8x +15 , x2 +6x+9 y x2 - 9

Factorizando x2 + 8x +15 =(x +3)( x +5) x2 +6x+9 = (x + 3)2 x2 – 9 = (x+3) (x-3) De las tres factorizaciones los factores comunes son: (x+3) Por tanto el m.c.d. es x+3

 Mínimo común múltiplo De monomios Se m.c.m está formado por los coeficientes con factores comunes de mayor exponente y no comunes, después las literales con el mayor exponente común y las literales no comunes. Ejemplo: 12) Hallar el m.c.m. de 24a2b4, 48 a3b4, 36a4b3

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Descomponiendo 24a2b4= 2 por 2 por 2 por 3 a2b4 = 23por3 a2b4 48 a3b4=2 por 2 por 2 por 2 por 3 a3b4=24 por 3 por a3b4 36a4b3=2 por 2 por 3 por 3 = 22por 32 a4b3 El m.c.m. es 24por 32 por a4 b4 = 144 a4 b4

De polinomios El m.c.m. de los polinomios se obtiene por factorización se descomponen los polinomios en sus factores primos, se multiplican los factores comunes y no comunes con exponentes mayores. Ejemplo 13) Hallar el m.c.m. de (a-1)2(a+1)2 y de (a-2) (a+1)

De los binomios se toman los de mayor exponente comunes y no comunes Por tanto el m.c.m. es (a-1)2(a+1)2(a-2)

 Cuadrado de un binomio Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama BINOMIO. El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de binomio. El desarrollo de un cuadrado de binomio siempre tiene la misma estructura. “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término” Por ejemplo, al elevar al cuadrado el binomio "a+b", multiplicando término a término, se obtendrá a: (a+b)2 = (a+b)·(a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a2+ab+ba+b2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = (a-b)·(a-b) = a · a - a · b - b · a + b · b = a2-ab-ba+b2 = a2-2ab+b2

Algunos ejemplos: 14) (x + 2y)2 = x2 + 2x(2y) + (2y)2 = x2 + 4xy +4y2 15) (3x - 5y)2 = (3x)2 - 2(3x)(5y) + (5y)2 = 9x2 - 30xy +25y2 16) (2 - y)2= 22 – 2(2)y + y2 = 42 – 4y + y2 17) (cx + b)2 = (cx)2 + 2 cxb + b2

 Factorización trinomio cuadrado perfecto Los trinomios de la forma x2 + 2ax + a2, se llaman trinomios cuadrados perfectos ya que se obtienen cuando se eleva un binomio al cuadrado. Las siguientes características, nos ayudan a identificar un trinomio cuadrado perfecto:

18

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA a) Dos de los términos deben ser cuadrados. b) No debe de haber signo menos en los términos que son cuadrados. c) Si multiplicamos las raíces de los términos cuadrados, y duplicamos el resultado, obtenemos el segundo término del trinomio. Ejemplos: 18). x2 + 10x + 25

a) x2 y 25 tienen raíz, o sea, son cuadrados. b) No hay signo menos en ninguna de las dos cantidades anteriores. c) Si multiplicamos x y 5, sus raíces, y lo duplicamos, obtenemos el segundo término del trinomio. Por consiguiente, x2 + 10x + 25 es el cuadrado del binomio (x + 5) 19). x2 + 6x + 11, es un trinomio cuadrado perfecto? La respuesta es no, porque solo hay un

término al cuadrado. 20)16x2 - 56xy + 49y2 a) 16x2 =(4x)2 y 49y2 = (7y)2 b) No hay signo menos antes de 16x2 ni de 49y2 c) Si multiplicamos 4x y 7y y duplicamos el resultado, obtenemos 56 xy Por lo tanto, 16x2 - 56xy + 49y2 es el cuadrado del binomio (4x - 7y) y se factoriza: (4x - 7y)(4x - 7y)

 Cubo de un binomio El desarrollo del cubo de un binomio siempre tiene la misma estructura. “El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más (o menos) el triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, más (o menos) el cubo del segundo término”. Ejemplos: 21) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 22) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 23) (2x + y) 3 = (2x) 3 + 3(2x) 2y + 3(2x)y2 + y3 = 8x3 + 6x2y + 6xy2 + y3 24) ( 3 – a) 3 = 33 – 3(3) 2a + 3(3)a2 – a3 = 27 – 27a + 9 a2 – a3

 Producto de dos binomios con un término común y de binomios conjugados. Producto de dos binomios con un término común Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma "a+b" por "a+c". Al desarrollar el producto se tiene: 19

(a+b)(a+c)= a2 +ac + ba + bc y factorizando queda (a+b)(a+c)= a2 + (b + c)a + bc

La fórmula para el producto de binomios con un término común se enuncia como sigue: El cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común, más el producto de los términos distintos. Ejemplos: 25) (x + 3)(x + 2)= x2+ (3 + 2)x + 3(2) = x2 + 5x + 6 26) (a + 8)(a – 7) = a2 + (8 – 7)a + 8 (7) = a2 + a - 56

Producto de dos binomios conjugados Consideremos el producto de la suma de dos términos "a+b" por su diferencia "a-b". Al desarrollar el producto: (a+b)(a-b) = a·a - a·b + b·a - b·b = a2 - b2

Es decir, la suma de dos términos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadrados de los términos. La fórmula para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue: “El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo” Algunos ejemplos son: 27) (x + 5)(x - 5) = x2 - 25 28) (a2 - 3)(a2 + 3) = a4 - 9 29) (4x + 2y)(4x – 2y)= (4x)2 – (2y)2 = 16x2 – 4y2 30) (5x + 4y)(5x – 4y) = (5x)2 – (4y) 2 = 25x2 – 16y2

 Factorización diferencia de cuadrados Para poder factorizar un binomio es necesario que este sea la diferencia de dos cuadrados, para lo cual se debe cumplir dos condiciones: A. Debe haber dos términos, ambos cuadrados. B. Debe haber un signo menos entre los dos términos. Ejemplo: 31) x2 – 4, x2 y 4 son cuadrados, entre los dos términos hay un signo menos

Por lo tanto su factorización es: (x +2) (x – 2) 32)4x2 – 25 = (2x) 2 – 52 = (2x – 5)(2x + 5) 33) m6 – 16n2 = (m3) 2 – (4n) 2 = (m3 + 4n)(m3 – 4n) 34) 4x2 – 49 = (2x) 2 – 72 = (2x – 7)(2x +7) 35) 9 a8b4 – 25 = (3a4b2) 2 – 52 = (3 a4b2 + 5)(3 a4b2 – 5)

20

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA  Descomposición en factores, trinomio de segundo grado. Trinomios cuadrados de la forma: x2 + Bx + C En un trinomio cuando solo un término es cuadrado, se dice que no es cuadrado perfecto, este trinomio no puede factorizarse como el cuadrado de un binomio, sin embargo, es posible que se pueda factorizar como el producto de dos binomios diferentes: (x + b) (x + c) Para factorizar se siguen las siguientes condiciones: La raíz del término cuadrado, aparece en los dos binomios, “x” Los números “b” y “c”, se obtendrán de tal forma que su producto sea igual al término independiente “C”, y su suma sea igual al coeficiente del término en “x”, B Ejemplos: 36) x2 + 5x + 6

Solo existe un término que tiene raíz, x2 , este se repetirá en los dos binomios: (x +___)(x +___) Las otras dos cantidades, serán tales que, su producto sea igual a 6, y su suma sea igual a 5. Esos números son 3 y 2. Por lo tanto la factorización de x2 + 5x + 6 es (x + 3)(x + 2) 37) y2 – 8y + 12 = (y - 6 )(y – 2) El término y2 es el único cuadrado.

Dos números que multiplicados sea igual a +12 y su suma sea igual a -8, son -6 y -2. 38) a2 – 14a + 48 = (a – 6)(a – 8)

El término a2 es el único que es un cuadrado. Dos números que multiplicados sea igual a +48 y su suma sea igual a -14, son -6 y -84 39) c2 – 7cd + 10d2 = (c - 5d)(c – 2d)

El término c2 es el único que es un cuadrado. Dos números que multiplicados sea igual a +10d2 y su suma sea igual a -7d, son - 5d y – 2d

 Binomio de Newton Cuando se requiere elevar el binomio a una potencia mayor que 3 es justificable el uso del binomio de Newton para números enteros, el cual consiste en aplicar el teorema

( + ) =

( )

Donde:

21

( )

Representa la sumatoria desde el limite inferior k=0 hasta el limite superior n del producto de la combinación n,k por el término a elevado a la n-k y el término b elevado a la k. Ejemplo: 40) Encuentre el resultado de elevar el binomio (x+4)4 Desarrollando el teorema ( + 4) = ( )

4 +( )

4 +( )

4 +( )

4 +( )

4

Realizando operaciones ( + 4) = (1)

(1) + (4)

(4) + (6)

(16) + (4)

(64) + (1)

Finalmente ( + 4) =

+ 16

Ejercicios propuestos.

PRODUCTOS NOTABLES 1) (2x + 5)

Sol. 4x + 20x + 25

2) (y − 2)

Sol. y − 4y + 4

3) (c + 2b )

Sol. c + 4b c + 4b

4) (3x − )

Sol. 9x − x +

5) (2y + 1)(2y − 1) Sol. 4y − 1 6) a +

a−

7) (x − 5)(x + 4) 22

Sol. a − Sol. x − x − 20

+ 96

+ 256 + 256

(256)

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA 8) (y − 4)(y − 3) 9)

+b

Sol. y − 7y + 12 Sol.

+

10) x +

Sol. x +

11) (2x − 3)

Sol. 32x

+

+

+b

+

− 240x + 720x − 1080 x + 810x − 243

FACTORIZACION 1) 12m n + 9m n + 6 m n

Sol. 3m n (4m n + 3m + 2n)

2) 5x − 10 xy + 3x − 6y

Sol. (5x + 3)(x − 2y)

3) 20a + 4a − 25a − 5

Sol. (4a − 5)(5a + 1)

4) 16y − 25

Sol. (4y − 5)(4y + 5)

5) (2 − 7) − 1

Sol. (2x − 6)(2x − 8)

6) 16y − 56xy + 49 x

Sol. (4y − 7x)

7) 4a + 4a + 1

Sol. (2a + 1)

8) a + a − 42

Sol. (a + 7)(a − 6)

9)

− 7m − 60

Sol. (m − 12)(m + 5)

10)

+ 2ax − 35a

Sol. (x + 7a)(x − 5a)

23

3. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES

4 hrs

 Teorema del residuo Si un polinomio ( ) es dividido por

− , entonces el residuo es ( ).

Ejemplo: 1) Verifique que el teorema del residuo si ( ) = −3 + + 5 =2 (2) = (2) −3(2) + (2) + 5 Primero notamos que (2) = 8 − 3(4) + (2) + 5 (2) = 8 − 12 + 2 + 5 (2) = 15 − 12 (2) = 3 Por tanto de acuerdo con el teorema del residuo, el residuo, cuando ( ) es dividido por − 2, deberá ser 3. Dividiendo tenemos entonces: − −1 _____________________ −2| −3 + +5 − +2 0+ + + −2 − +5 + −2 3 Que es lo que deseábamos demostrar

 Teorema del factor Un polinomio ( ) tiene un factor − si y solo si ( ) = 0 Demostración: conforme al algoritmo de la división para polinomios tenemos ( ) = ( − ) ( ) + ( ). Si ( ) = 0, entonces ( ) = ( − ) ( ); esto es, − es un factor de ( ). Inversamente, el teorema del residuo tenemos ( ) = 0 El teorema del factor es bastante útil para encontrar factores de polinomios en ciertos problemas, como se ilustra en el siguiente ejemplo: + − 7 − 3 es divisible entre + 3 → = −3 (−3) = (−3) + (−3) − 7(−3) − 3 (−3) = −27 + 9 + 21 − 3 (−3) = 30 − 30 = 0 Como el residuo es cero x = -3 es una raíz del polinomio, por ser divisible entre el binomio x+3. 2) Demostrar que el polinomio Primero notamos que

24

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA  División sintética a) Se ordena el polinomio y se copian los coeficientes del mismo, los términos nulos tienen coeficiente cero y forman el primer renglón b) El binomio divisor x - c se iguala a cero y se despeja x = c c) El primer coeficiente del primer renglón se copia hasta el tercer renglón. d) El valor de c multiplicará a cada coeficiente formando un segundo renglón e) Se suman algebraicamente los renglones uno y dos, los resultados de esta suma forman el renglón tres. f) El último término del renglón tres que se obtiene, representa el residuo del cociente Ejemplo: 3) 3 2

−8

+ 9 + 5 es dividido por

− 2.

= 2.

Polinomio original grado 4

3−8+0+9+5 +6 − 4 − 8 + 2 3−2−4+1+7

Resultado 3

−2

−4 +1

7

Polinomio resultado del cociente grado 3

A este proceso se le conoce como división sintética. Ejemplos: 4) Usar la división sintética para encontrar el cociente y el residuo, cuando 2 2 es dividido por − 2.

+3

−

+

−

Como vamos a dividir − 2, la c en la expresión − se convierte en x = 2. Entonces la división sintética toma la forma: 2 2 + 3 − 1 + 1 − 2 4 + 14 + 26 + 54 2 + 7 + 13 + 27 + 52 Por lo tanto, el cociente es 2 + 7 + 13 + 27 y el residuo es 52. Comprobación con el teorema del residuo x = 2 (2) = 2(2) + 3(2) − 2 + 2 − 2 = 52

 Fracción algebraica Se debe de recordar que toda fracción consta de dos términos que son: El denominador: indica las partes iguales en que se dividió la unidad. 25

El numerador: indica el número de partes que se tomará. Fracción = Si el numerador de una fracción es menor que su denominador se le conoce como fracción propia. Si el numerador de una fracción es igual o mayor que su denominador se le conoce como fraccción impropia. Las fracciones algebraicas son las mismas que se efectúan con las fracciones comunes a saber: simplificación, adición, resta, producto, cociente, potencia y raíz. Los métodos que se aplican son también los mismos que aquellos casos, con las adaptaciones necesarias, y que ya han sido analizadas. Fracción algebraica: es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas enteras. Expresión algebraica entera: es aquella en que los exponentes de las literales son números enteros. Una expresión algebraica entera es aquella que no tiene denominador literal, o dicho de otra forma, aquella que no tiene parte literal en su denominador.

 Suma, resta, multiplicación y división de fracciones a) Suma: En su solución se presentan dos posibilidades: que las fracciones propuestas tengan mismo denominador, o bien que los denominadores sean diferentes. 1) Suma con mismo denominador. Al igual que como se vio en el análisis de las fracciones sin parte literal, bastara con que se efectúe con los numeradores las operaciones que estén indicadas, dejando el mismo denominador. Ejemplos: +

5) 6)

+

+ − −

= =

+ (

− )

=

=−

=

2) Suma con diferente denominador. Cuando los denominadores son diferentes, se calcula un denominador común, el cual corresponde al mínimo común múltiplo de los denominadores parciales, después se transforma las fracciones en sus equivalentes con un denominador común, para lo cual se divide el m.c.m. entre el denominador y el resultado se multiplica por su correspondiente numerador, se efectúan las reducciones de términos semejantes y se simplifica.

26

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA Ejemplo:

+

7)

(

=

)

(

)

=

8 2 +5 2

Otro caso, cuando en el denominador se presenta alguna expresión polinomial, para lo cual será necesario factorizarla y, a partir de estos resultados formar el m.c.m. para poder efectuar la suma. Ejemplo: −

8) = =

(

) ( (

(

=( )(

)(

)(

)

)

)(

=

)

(

−

=

)(

)

=

)

b) Resta Similares a las sumas. Solo que se encuentran formadas por dos fracciones denominadas minuendo y sustrayendo. El signo afecta directamente al sustrayendo cambiándole su propio signo. Ejemplo. 9)

− −

=

+

=

=

c) Multiplicación Se multiplican entre si los numeradores y denominadores: posteriormente se simplificarán. Si existen expresiones polinómicas, se procede a factorizar de modo que facilite la operación. Ejemplo: 10)

∗

=

∗

(

)(

)

=

(

)(

) (

)

(

)(

)(

)

=

(

)

d) División El mecanismo para la solución es similar al empleado para la resolución de fracciones sin parte literal, al igual que en el caso de la multiplicación una vez efectuado el producto se deberá simplificar la fracción. Si aparecen expresiones polinomias se factorizarán de modo que facilite y propicie la simplificación. Ejemplo: 11)

÷

=(

( )(

) )

=

=

27

 Radicales Un radical se le llama al símbolo que se utiliza para indicar la operación llamada “encontrar la raíz n” de un número llamado radicando, así, en la expresión √15 , el número 3 se llama índice del radical, mientras que el número 15 es el radicando. Ya que los radicales pueden ser sustituidos por potencia, las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes. Ejemplos: 12) √ √ = √ 13)

√ √

=

≠0

Estas leyes se utilizan para simplificar radicales y efectuar operaciones algebraicas donde los tipos más comunes de simplificación de radicales son: a) Simplificación del radicando: se factoriza el radicando, de tal forma que algún factor tenga raíz exacta. b) Racionalización de una fracción que posee radicales: consiste en convertir el radicando en no fraccionario. c) Simplificación del índice del radical: se convierte un radical a otro radical de índice menor. d) Incluir un factor dentro del símbolo radical. Ejemplos: Simplificar el radicando: (9)(3) = √9√3 = 3√3

14) √27 = =

15)

√

=

√

√ .

=

√

= √27.3

16) √81

= √27

√3 = 3

Simplificando el índice del radical: =

17) √

=√

√

Racionalizar: =

18)

√ √

=

19)

28

=

√ √ √ √

∗

=

√ √

=

=

√

=

=

√3

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA Simplificando el radical: =

20)

= =

21) √27

√

=

√ √

√

=

=

√

= √3

√27

=

√

=

√

√3

El factor que multiplica al radical incluido dentro de él: 22) 5

(5

√ =

) √ =

=

23)

(5

)

=

= √25 =

=

Sumas y restas de radicales La suma y resta de dos o más radicales se pueden realizar, si estos son semejantes. Son radicales semejantes, aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Ejemplo: 24) √3 + 2√3 = (1 + 2)√3 = 3√3 25) 4√2 − 6√2 = (4 − 6)√2 = −2√2 26) 3√12 − √12 − 4√12 = (3 − 1 − 4)√12 = −2√12 = −2 (4)(3) = −2(2)√3 = −4√3 27) 4 √ = 3 √ = (4 + 3) √ = 7 √ Producto y División de radicales Dos o mas radicales que se multiplican y que tienen el mismo índice, se pueden indicar con el mismo radical. Ejemplo: =

28) √

De la misma forma, dos radicales se dividen, y que tienen el mismo índice, se pueden indicar con el mismo radical, ejemplo: 29)

√ √

=

Ejemplos: 30) √2 √3 = 31) 3√2

(2)(3) = √6 2 3

= 6 (2 )(3

)=6 6

=6

6 29

32)

√

=

√

= √5

Para multiplicar o dividir radicales de diferente índice, se debe hacer la transformación a radicales del mismo índice, esto se logra multiplicando el índice del radical y el exponente del radicando por un mismo número. Ejemplos: ∗

∗

33) √5 √3 = √5 34)

√ √

∗

=

∗

√ √

=

√3 = √125 √9 =

√ √

=

(125)(9) = √1125

= √32

 Partes de una raíz El radical √ √25 √9

indica que se extrae una raíz a determinado número o expresión.

Indica que se debe extraer la raíz cuadrada de 25. Indica que se debe extraer la raíz cuadrada de 9.

En los ejemplos anteriores los números 25 y 9 son unas cantidades afectadas por un radical y reciben el nombre de radicando. Otra parte que tienen las raíces es el índice el cual es el número colocado en el ángulo del radical para indicar la clase de raíz que se debe extraer al radicando. El índice 2, que indica raíz cuadrada suele no ponerse. Ejemplos: 35) √8 Indica que se debe sacar raíz cubica de 8. 36) √625 Indica que se debe sacar raíz cuarta de 625. 37) √32 Indica que se debe de sacar la raíz quinta de 32. 38) √3

Indica que se debe de sacar la raíz emésima de 3 .

39) √5

Indica que se debe de sacar la raíz enésima de 5b.

 Números racionales e irracionales Todo número que pueda expresarse como cociente exacto de dos números enteros es un número racional. Todo número que no puede expresarse como cociente exacto de dos números enteros, es un número irracional

30

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA Las raíces cuadradas aritméticas de números cuadrados perfectos son racionales: las raíces cubicas aritméticas de números cubos perfectos son racionales; las raíces cúbicas aritméticas de números cubos perfectos son racionales; las raíces enésimas aritméticas de números elevados a la enésima potencia son racionales. Todas las raíces cuadradas aritméticas de números que no son cuadrados perfectos son números irracionales. Todas las raíces cubicas aritméticas de números que no son cubos perfectos son números irracionales. Ejemplos: 40) √2

√3

√5

√7

√8

√10

etcetera.

41) √2

√3

√5

√7

√8

√9

etcetera.

42) √2

√4

√5

√7

√9

√10

etcetera.

Todas las anteriores, por no ser raíces exactas.

 Raíz cuadrada y cúbica de una fracción El cuadrado de una fracción es igual al cuadrado del numerador entre el cuadrado del denominador. La raíz cuadrada de una fracción es igual a la raíz cuadrada del numerador entre la raíz cuadrada del denominador. Ejemplos: 43) La raíz cuadrada de

= ±

44) La raíz cuadrada de

=

±

El cubo de una fracción es igual al cubo del numerador entre el cubo del denominador. La raíz cúbica de una fracción es igual a la raíz cúbica del numerador entre la raíz cúbica del denominador. 45) La raíz cúbica de 46) La raíz cúbica de

= =

31

 Simplificación de un radical Muchos radicales se simplifican extrayendo al radicando la raíz indicada. Otros, cuyos radicandos no son cuadrados perfectos, en el caso de la raíz cuadrada; cubos perfectos en caso de raíz cúbica; potencia enésima en caso de la raíz enésima, se simplificarán cambiándolos en otros radicales equivalentes. Un radical esta simplificado cuando:   

El radicando no contienen factores que tangan raíz exacta. El radicando no contiene fracciones. El índice del radical es el menor entero.

a) Simplificación de radicales con radicales enteros Se descompone el radicando en dos factores, uno de ellos cuadrado o cubo perfecto según se trate de raíz cuadrada o raíz cubica. Se extrae la raíz indicada al factor cuadrado o cubo perfecto, la raíz pasa a ser coeficiente del nuevo radical cuyo radicando es el otro factor. Ejemplo: 47) Simplificar √75 Se descompone 75 en 25*3 donde 25 es cuadrado perfecto. √75 = √25 ∗ 3 = 5√3 b) Simplificación de radicales con radicando fraccionario Se multiplican ambos términos de la fracción por una cantidad, tal que el denominador sea el mínimo cuadrado perfecto posible o mínimo cubo perfecto según sea el caso. Se extrae la raíz del denominador y se simplifica el numerador Ejemplos: 48) Simplificar 49) Simplificar

= =

=

= =

√2 =

 Operaciones con radicales a) suma y resta Se reducen radicales con términos semejantes. 32

√15

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA Ejemplos: 50) Sumar 2√5 + 6√5 + 3√5 = (2 + 6 + 3)√5 = 11√5 6√5 + 3√5 = (6 + 3 − 2)√5 = 7√5

51) Restar 2√5 b) Racionalizar

Operación por la cual una fracción irracional se transforma en otra facción equivalente pero racional. Ejemplos: 52) Racionalizar

= =

53) Racionalizar

√

√

√

√

=

√

√

√

√

√ √

=

= √ √

√

=

√

c) Potencia con radicales Se eleva el radicando a esa potencia empleando leyes de exponentes y se simplifica el radical. Ejemplos: 54) Calcular (3

) = √27

55) Calcular (4

) = (4

= √9

3

=3

√3

) = 16

d) Raíz con radicales Se multiplican los índices de los radicales y el producto es el índice del nuevo radical y se simplifica el radical. Ejemplos: 56) Calcular

√

57) Calcular

√

= =

√ = √ √

= √

=√

33

 Problemas propuestos 1. Dividir ( ) = 2 − 3 + Sol. 2 + + 3 residuo 5.

− 1, entre x -2 y determine su residuo, utilizar división sintética

2. Dividir ( ) = 2 + − 18 + 7, entre x -2 y determine su residuo, utilizar división sintética Sol. 2 + 5 − 8 residuo -9. 3. Demostrar que el polinomio ( ) = − 4 + 3 + 8, es divisible entre x +1 empleando el teorema del factor. Sol. Residuo igual a cero, x+1 es una raíz del polinomio dado. +

4. Resolver 5. Resolver

+

+

−

=

7. Resolver

− −

8. Resolver

∗

= = ∗

÷

10. Resolver

=

15. Evaluar radicales

=

17. Evaluar radicales

=

=

)

)

. .

=

6

√

.

18. Evaluar radicales √32 − √18 + 5√50 = 34

)(

.2

= (

.

. 2 √2

27

16. Evaluar radicales

)

. 3√8

=

14. Evaluar radicales

.(

.(

11. Evaluar radicales √72 =

13. Evaluar radicales 24

)

. =

12. Evaluar radicales √8

(

. =

÷

. .

+

6. Resolver

9. Resolver

=

3 √ √

. . 26√2

( − 1)

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA 19. Simplificar √8 =

. 2√2 =

20. Simplificar √12 21. Simplificar

=

.2 .

√3

22. Simplificar

=

.

23. Racionalizar

=

.

=

.

) =

. 8

24. Racionalizar 25. Calcular (4

√

26. Calcular (√3 + 2 ) =

√3

√6 √

√

√

. (3 + 2 )

/

35

4. ECUACIONES Y DESIGUALDADES

4 hrs

 Ecuación Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Igualdad. Con ella expresamos que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. 1) 10 = 8 +2 Si c =10 a=8 c= a+ b b=2 Incógnita: Estas se representan por las últimas letras del alfabeto, por ejemplo: x, u, v, w, y, z 4

2)

+ 3 = 23

Es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita, en este caso x, y esta igualdad sólo se verifica para el valor x =5. Demostrando lo anterior se tiene: 4(5) + 3 = 23 Donde: 23 = 23 Para otro valor distinto de 5, la igualdad no se cumple

 Identidad Es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que se utilizan en ella. Por ejemplo: 3) 4)

(

– =( − )( − ) − ) = ( − ) ( − )( − )

Son identidades porque se verifican para cualesquiera valores de las letras m y n, como así mismo de las letras a y b.

 Clases de ecuaciones Estas pueden ser del tipo numérica y literal en cuanto a la incógnita-literales, entera o fraccionaria de acuerdo a la razón o proporción en los coeficientes, es decir haya o no denominadores diferentes de la unidad. Ecuación numérica es aquella donde la única letra es la incógnita. Por ejemplo: 5) 6 −7 = +3 Ecuación literal es una ecuación que contempla otras letras, que representan cantidades conocidas. 36

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA Por ejemplo: 6)

6 + 4 = 10 −

Por otro lado se puede tener una ecuación entera y fraccionaria. La ecuación es entera cuando sus términos están libres de denominador por ejemplo: 7) 8 − 10 = 2 + 8 La ecuación es fraccionaria cuando al menos uno o todos sus términos tienen denominadores por ejemplo: 8)

+

=5

 Grado De una ecuación con una incógnita es el mayor exponente a la que está elevada la incógnita en dicha ecuación. 9) 3 = 10 + 5 Es una ecuación de primer grado porque el mayor exponente de x es 1. 10) +5 +6 =0 Es una ecuación de segundo grado porque el mayor exponente de la incógnita “y” es 2. 11) −7 +6 =0 Es una ecuación de tercer grado porque el mayor exponente de x es 3.

 Ecuaciones de primer grado con una incógnita y su resolución Una ecuación de primer grado es una igualdad en la que entra una cantidad desconocida. Por ejemplo, la igualdad 3 = 18 es una ecuación. La cantidad desconocida x, se llama incógnita. Miembros. La parte de una ecuación que está a la izquierda del signo que expresa la igualdad (=) es al que se le denomina, primer miembro de la ecuación. por otro lado la parte de la ecuación que está a la derecha del signo (=) recibe el nombre de segundo miembro de la ecuación. Así, en la ecuación 3 = 18, el primer miembro es 3 , en tanto que 18 es el segundo miembro. Propiedades de las ecuaciones: 1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad, la ecuación no se altera. Si 3 = 18 3 + 2 = 18 + 2 2. Si de los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad la ecuación no se altera. Si 3 = 18 3 − 2 = 18 − 2 37

3. Si se multiplican por un mismo número los dos miembros de la ecuación, esta no se altera. Si 3 = 18 3 (2) = 18(2) 4. Si se dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero, esta no se altera. Si 3 = 18 3 18 = 2 2 Ejemplos: 12) Resolver la ecuación de primer grado 6 −4 =6+4 Restando 4 y sumando 4 a ambos miembros de la igualdad obtenemos 6 −4−4 +4 =6+4 −4 +4 Obtenemos 6 −4 =6+4 Reduciendo 2 = 10 Dividendo ambos miembros entre 2, obtenemos 10 = 2 Por lo tanto =5 Comprobación. Sustituyendo la incógnita (x), por el valor 5 en ambos miembros de la ecuación se obtiene. (6) (5) -4 = 6 + (4) (5) 30-4 = 6+20 26 = 26  La solución x = 5 es correcta 13) Resolver la ecuación de primer grado 8+ 2( + 3) = 2 3 Como es una ecuación fraccionaria, primero se deberá obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores para dividir este, entre cada uno de los denominadores y el cociente obtenido se multiplica por el numerador respectivo. Así el mínimo común múltiplo de los denominadores 2, 3 es 6. Ahora dividiendo 6 entre 2 y 3, multiplicando el resultado obtenido por su numerador correspondiente, se tiene: (3)(8 + ) = (2)(2)( + 3) Efectuando operaciones del producto se tiene: 24 + 3 = 4 + 12 38

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA Ahora trasponiendo términos se tiene: 3 − 4 = 12 − 24 Reduciendo términos semejantes tenemos − = −12 Multiplicando ambos términos por (-1) a efecto de obtener la incógnita (x) positivo se tiene: = 12 Comprobación. Sustituyendo x por 12 en la ecuación se obtiene: (8 + 12) 2(12 + 3) = 2 3 20 2(15) = 2 3 20 30 = 2 3 10 = 10  La solución x = 12 es correcta 14) Resolver la ecuación de primer grado 2

+

2 5 = 2 + 3 6

El mínimo común múltiplo de los denominadores 2, 3, 1, 6 es 6. Ahora dividiendo 6 entre 2,3,1 y 6, multiplicando el cociente por cada uno de los numeradores se tiene: (3)( ) + (2)(2 ) = (6)(2 ) + (1)(5) Ahora trasponiendo términos se tiene: 3 + 4 − 12 = 5 Reduciendo términos semejantes tenemos −5 = 5 5 = −5 = −1 Comprobación. Sustituyendo x por -1 en la ecuación se obtiene: −1 2(−1) 5 + = 2(−1) + 2 3 6 1 2 5 − − = −2 + 2 3 6 39

3 4 12 5 − − = − + 6 6 6 6 7 7 − =− 6 6  La solución x = -1 es correcta

 Ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado es aquella en la cual una vez simplificada, el mayor exponente en la incógnita es el 2, el cual indica el número de raíces solución que satisfacen la ecuación, estas raíces son . La forma general de una ecuación de segundo grado es: + + =0

Completas Una ecuación de segundo grado completa es aquella que presenta la forma general + + =0 Donde a es el coeficiente del término cuadrático, b es el coeficiente del término lineal y c es el término independiente, es decir un valor numérico. Fórmula cuadrática para obtener la incógnita (x) o solución. =

− ±√ −4 2

Ejemplo: 15) Resolver la ecuación de segundo grado 4

+ 7 =5

+

Primero se ordena a la forma general 4 Ahora se identifica que:

+ = 0, y se tiene:

+ 7 −5 =0

=4,

= 7,

= −5

Y luego aplicando la fórmula cuadrática tenemos: =

−7 ± (7) − 4(4)(−5) 2(4) =

−7 ± √49 + 80 8

=

40

−7 ± 11.357 8

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA De donde un primer valor de la incógnita es: =

−7 + 11.357 8 = 0.544

El segundo valor de la incógnita es: =

−7 − 11.357 8 = −2.294

Comprobación. Sustituyendo x por 0.544 en la ecuación se obtiene: (4) (0.544) + (7)(0.544) − 5 = 0 1.183744 + 3.808 − 5 = 0 5−5 =0 = 0.544 es correcta

 La solución

Idem para la solución

= −2.294

 Ecuaciones de segundo grado incompletas Ecuaciones de segundo grado incompletas son las que en determinado momento carecen del término lineal o del término independiente c, es decir carecen del término en x o del valor numérico c. La forma general es por tanto incompleta y puede presentarse de las siguientes maneras: 1. 2.

+ = 0 . Carece de término lineal b = 0. + = 0 . Carece de término independiente c = 0.

Ejemplos: 16) Resolver la ecuación de segundo grado 3 Se despeja la incógnita

− 18 = 0 3

= 18

18 3 = ±√6 Las dos raíces o soluciones son: = +√6 = −√6 La ecuación 3 − 18 = 0 también se puede resolver aplicando la fórmula general teniendo en cuenta que la ecuación presenta la forma + = 0 . Carece de término lineal b = 0. =

41

Por lo tanto

=3

=0

= −18 =

−0 ± (0) − 4(3)(−18) 2(3) =

0 ± √0 + 216 6

=

± (36)(6) 6

±6√6 6 Las dos raíces o soluciones son: = +√6 =

= −√6

Comprobación. Sustituyendo x por +√6 en la ecuación se obtiene: 3

− 18 = 0

(3) (√6) − 18 = 0 (3)(6) − 18 18 − 18 = 0 = √6 es correcta

 La solución

Idem para la solución

= −√6

17) Resolver la ecuación de segundo grado 20 − 15 = 0 Se factoriza la incógnita (20 − 15) = 0 Igualando estos dos factores a cero se obtiene =0

20

− 15 = 0

= 15/20 Las dos raíces o soluciones son:

=0

= 3/4

La ecuación 20 − 15 = 0 también se puede resolver aplicando la fórmula general teniendo en cuenta que la ecuación presenta la forma + = 0 . Carece de término independiente c = 0. Por lo tanto = 20 = −15 =0 42

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA =

−(−15) ± (−15) − 4(20)(0) 2(20)

=

15 ± √225 40

=

15 ± 15 40

Las dos raíces o soluciones son:

=0

= 3/4

Comprobación. Sustituyendo x por 3/4 en la ecuación se obtiene: 20

− 15 = 0

(20) (3/4) − 15(3/4) = 0 (20)(9/16) − 45/4 45/4 − 45/4 = 0  La solución

= 3/4 es correcta

Idem para la solución

=0

Aplicaciones Las herramientas del álgebra nos permiten plantear modelos matemáticos mediante simples ecuaciones para resolver situaciones reales. 18) La cafetería del Tecnológico vendió 726 bebidas. El número de refrescos de lata es el quíntuple del de jugos. ¿Cuántos refrescos de lata y cuántos jugos se vendieron? Primero identificamos las cantidades desconocidas y las nombramos = Número de refrescos de latas = Número de jugos Se establece la ecuación en base a la operación aritmética que aplique, o alguna fórmula establecida, para este caso 43

+

= 726

Tenemos dos incógnitas y una sola ecuación, no podemos resolverla en estas condiciones necesitamos una relación más para darle solución. Analizando el texto “El número de refrescos de lata es el quíntuple del de jugos” de aquí podemos establecer otra relación =5 Sustituyendo x en la ecuación esta se transforma en: 5 +

= 726 resolviendo para

se tiene

6 = 726 726 = 6 = 121 número de jugos Entonces para el número de refrescos de lata =5 ( ) = 5 121 = 605 refrescos de lata Comprobando en la ecuación original +

= 726

605 + 121 = 726 726 = 726 lo cual verifica la ecuación

 Desigualdad de primer grado Se dice que una cantidad b es menor que otra cantidad c cuando la diferencia b-c es negativa, porque -3 es menor que -2 ya que la diferencia -3 - (-2) = -3 + 2 = -1 siendo el resultado negativa. Se dice que una cantidad b es mayor que otra cantidad c cuando la diferencia b-c es positiva, teniéndose que 3 es mayor que -1 ya que la diferencia 3 – (-1) = 3 + 1 =4 el resultado es positiva. El cero es un entero y por lo tanto es mayor que cualquier cantidad negativa. Los signos de desigualdad son: < que se lee menor que, > que se lee mayor que, y  que se lee mayor o igual.  que se lee menor o igual. 44

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA Desigualdad.- es una expresión que indica que una cantidad es menor o mayor que otra. Miembros.- se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del signo de dicha desigualdad. Así, b+c < d-e se tiene que el primer miembro es b+c y el segundo miembro d-e. Términos.- son las cantidades que estén separadas de otras por el signo positivo ó negativo.

Propiedades de las desigualdades. 1).- Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía. b > c b+m > c + m y b-m > c - m 2).- Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varia. b c b > c y siendo m una cantidad positiva, se tiene b m > c m y  m m 3).- Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varia. b > c multiplicando ambos miembros por –m se tiene: -mb < -mc. Y dividiéndolo por – m equivale a multiplicar por el inverso teniéndose: 

b c   m m

4 > 2 si b

= 4, c = 2 y m = -2 se tiene: -2 < -1 4). Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. Así, si b > c entonces se tiene que c < b 5).- Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo. Así, siendo b > c se tiene que

1 1  b c

45

6). Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia. 6 > 3 elevando al cuadrado se tiene que 36 > 9

7). Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Así, -2 > -5 se tiene:

2  5 3

3

o sea  8   125

3 2

3  2 3

3

o sea 27   8

8).- Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia. Así, -4 >-5

 4  16 2

y

 5   25 quedando 16  25 Cambia 2

9).-Si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar. Así, 3  4

3  9 2

y

 4   16 quedando 9  16 Cambia 2

6  3 elevando al cuadrado 36  9 No cambia

10).-Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Así,

b > c y n es positivo, se tiene que

n

b nc

11).- Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo. Así,

b > c y d > e, se tiene entonces que: b+d > c+e y (bd) > (ce)

12).- Si dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo signo, pudiendo tenerse una igualdad. 46

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA Así, 20 > 16 y 10 > 4 Al restar cada uno de los miembros se tiene: 20 - 10 = 10 16 - 4 = 12 luego queda que 10 < 12; se observa que el signo cambia. Por otro lado si dividimos miembro a miembro las desigualdades 20 > 16 y 10 > 8 se tiene: 20/10 = 2 y 16 / 8 = 2; por lo que se tiene que 2 = 2, representando esto una igualdad.

Ejemplos: 2x  5  1  3  x como esta contiene un término con fracción, para 3 multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por 3>0, para librar la fracción

19) Siendo la desigualdad, resolverlo teniéndose:

2x - 5 - 3 > 9 - 3x. Ahora pasando las incógnitas al primer miembro, y los valores numéricos al segundo se tiene: 5 x 17 2x + 3x > 9 + 5 + 3 donde; 5x > 17 Dividiéndose ambos miembros por 5 > 0, se obtiene  5 5 donde x > 3.4

 Desigualdad de segundo grado Aplicando los caracteres y propiedades de las desigualdades se van obteniendo inecuaciones equivalentes que, siguiendo un proceso similar a la solución de ecuaciones de segundo grado, nos conduce a la solución de las inecuaciones de segundo grado. 21) Resolver la desigualdad

y 2  3 y  4 procedemos a restar 4 a ambos miembros teniéndose;

y 2  3 y  4  0 ahora el signo de desigualdad < lo sustituimos por el signo = con lo que obtenemos una ecuación cuadrática y 2  3 y  4  0 procediendo a resolver por factorización se tiene: (y - 1) (y + 4) = 0 de modo que las raíces solución son y = 1, y = -4

47

Ejercicios propuestos. 1. Hallar el precio original de un reactivo si debido a la crisis internacional ha disminuido 23 unidades y actualmente tiene un precio de 55 unidades Sol. x = 78 unidades 2. ¿Cuál es el precio original que tenía un consumible de tal forma que al aumentarlo con 30 unidades, llega a ser cuatro veces mayor de lo que costaba antes? Sol. x = 10 unidades 3. La suma de las edades de 3 de tus compañeros de la carrera de Ingeniería Civil es 85 años calcular la edad de cada uno, sabiendo que la edad del segundo compañero es el doble de la edad del primer compañero, y que el tercer compañero tiene 15 años menos que el segundo. Sol. 1º = 20 años, 2°= 40 años, 3°= 25 años 4. Un comerciante de ganado compró 1000 reses a U$150 c/u vendió 400 obtuvo una ganancia del 25% ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la utilidad del lote completo ha de ser del 30%? Sol. x = U$ 200 5. Resolver la ecuación de segundo grado Sol. x1 = 2, x2 = 3

−5 +6 =0

6. Resolver la ecuación de segundo grado Sol. x1 = 0, x2 = 2

−3 = 2

−5

7. Encuentre las dimensiones de un terreno rectangular cuya área es de 280m2, si su largo es 5 m más que el triple de su ancho. Sol. ancho = 8.86m, largo = 31.59m 8. Resolver la ecuación de segundo grado 3 Sol. x1 = -6, x2= 6

− 108 = 0

9. Resolver la desigualdad: 3 5x  2 x  1 4 3

Sol.

10. Resolver la desigualdad x 2  2 x  8 Sol. -4 < x < 2

48

x  5/8

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA 5. SISTEMAS DE ECUACIONES

3 hrs

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las cuales se busca una solución común así, en un sistema de dos ecuaciones con dos variables denominadas x, y, es una pareja ordenada que satisface ambas ecuaciones. Para la resolución de los casos de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas existen cinco métodos diferentes estos son Método de reducción Método de igualación Método de sustitución Método por determinantes Método por gráfica

 Métodos de resolución A continuación tomaremos un sistema de dos ecuaciones lineales y encontraremos la solución simultánea de ambas ecuaciones utilizando los cinco métodos.

i. Reducción 1) Solución de sistema de ecuaciones por el método de reducción: x + 2 y = 7 primera ecuación x - y = 4 segunda ecuación En este método lo que se busca es hacer iguales los coeficientes de una de las incógnitas del sistema de ecuaciones para efecto de eliminarlas al momento de sumar o restar ambas ecuaciones ejemplo: x +2y = 7 primera ecuación x - y = 4 segunda ecuación Para este caso se observa que los coeficientes para “x” tanto en la primera como en la segunda ecuación ya son iguales a uno por lo que para eliminarlos basta con multiplicar por (-1) todos los términos de la primera o segunda ecuación y se procede a sumar estas ecuaciones: -x -2y = -7 primera ecuación x - y = 4 segunda ecuación y sumando estas ecuaciones: 0x -3y=-3 teniéndose que -3 y = -3 para efecto de obtener la raíz solución de la variable dependiente “y” se procede a multiplicar ambos miembros por (-1/3) y se tiene que y=1

49

x +2y = 7 primera ecuación x - y = 4 segunda ecuación Por otro lado si queremos eliminar la variable “y” se observa que se debe multiplicar por (+2) todos los términos de la segunda ecuación teniéndose: x +2y = 7 primera ecuación 2x - 2y = 8 segunda ecuación y sumando estas ecuaciones: 3x +0y = 15, de donde 3x=15 para efecto de obtener la raíz solución de la variable independiente “x” se procede a multiplicar ambos miembros por (1/3) y se tiene que x = 5

ii. Igualación 2) Solución de sistema de ecuaciones por el método de Igualación: x +2y = 7 primera ecuación x - y = 4 segunda ecuación Para este método como su nombre lo dice igualación, es decir se despeja “x” tanto en la primera como en la segunda ecuación y se igualan procediéndose a su solución ejemplo. Para este caso se despeja “x” en la primera ecuación y se despeja “x” en la segunda ecuación siendo esta

x = 7 - 2y x=4+y

Ahora igualando ambos resultados para la variable independiente “x” se tiene que; 7 – 2 y = 4 + y para su solución se procede a pasar al primer miembro las variables de “y”, y al segundo miembro los valores numéricos teniéndose: -2 y – y = 4 -7 por lo qué; -3 y = -3 para efecto de obtener la raíz solución de la variable dependiente “y” se procede a multiplicar ambos miembros por (-1/3) y se tiene que y = 1, con este valor obtenido lo sustituimos en cualesquiera de las ecuaciones planteadas en el sistema para obtener la raíz solución de la variable independiente “x” así, x + 2 y = 7, x + 2 (1) = 7 x = 7 - 2 donde x = 5, por lo qué queda demostrado que las raíces solución para este sistema son: x = 5, y = 1

iii. Sustitución 3) El sistema de ecuaciones se resolverá por el método de Sustitución. x +2y = 7 primera ecuación x- 4-y = 0 segunda ecuación x-y = 4

50

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA Despejando la variable equis en la primera ecuación se tiene que x = 7-2y, ahora como la segunda ecuación establece que (x-y) y 4 son expresiones equivalentes. Por lo tanto, podemos sustituir x con 7 - 2y en la segunda ecuación teniéndose: 7- 2y – y = 4, -3y = 4 - 7 por lo que -3 y = -3 multiplicando ambos miembros por (-1/3) se tiene que y = 1 Ahora sustituimos “y” por el valor 1 en cualquiera de las ecuaciones originales para efecto de obtener el valor de x. Así, en la segunda ecuación se tiene x-y = 4 por lo qué x – 1 = 4 donde x = 5 Ahora sustituyendo el valor de “y” en la primera ecuación se tiene x +2y = 7 x + 2(1) = 7 x = 7 - 2 donde x = 5, por lo qué queda demostrado que las raíces solución para este sistema son: x = 5, y = 1

iv. Determinantes 4) Solución de sistema de ecuaciones por el método de determinante Para este método el sistema de ecuaciones se debe considerar como un arreglo Matricial en la que los coeficientes de las variables forman filas y columnas, luego entonces se buscará la matriz del sistema, para que ha esta se le obtenga su determinante. Después se procederá ha determinar el determinante para la variable “x” y de la variable “y”, una ves obtenido los determinantes correspondientes se procede ha efectuar el cociente del determinante de “x” con el determinante del sistema para obtener con ello el valor de la variable “x”, y de la misma manera se hace para la variable “y”. Siendo el sistema de ecuaciones:

x +2y = 7 primera ecuación x - y = 4 segunda ecuación

ax +by =7  a b  1 2 cx –dy =4 El determinante del sistema lo forman  =   c  d  1  1  Donde su valor numérico está dado por el producto de la diagonal principal ad restado del producto bc siendo: -1-2= -3 7 b 7 2 El determinante para “X” lo forman  =   = -7-8= -15 4  d  4  1 

51

 a 7 1 7  El determinante para “Y” lo forman    = 4 – 7 = -3 c 4  1 4 

x

det X det Sistema

Por otro lado, y 

=

 15 5 3 det Y

det Sistema



3 1 3

Por lo qué queda demostrado que las raíces solución para este sistema son: x=5, y= 1

 Representaciones gráficas Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es graficando cada una de ellas para encontrar las coordenadas del punto de intersección. Ya que el punto coordenado corresponde a ambas rectas. Ejemplo. 5) Resolver el sistema de ecuaciones:

x + 2y = 7 x–4-y =0 Se procede a despejar la variable dependiente “y” en cada una de las ecuaciones y asignándoles valores a la variable independiente “x” se obtiene un valor para la variable “y” teniéndose: 2y = 7-x y

7x 2

X 0 3 5 x- 4-y = 0

y=x-4 X 0 3 5

52

Y 3.5 2 1

Y -4 -1 1

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA Por lo que se determina gráficamente que el punto de intersección para este sistema tiene coordenadas (5,1).

Ahora si las soluciones no son enteras, la resolución de estos sistemas de ecuaciones por el método de Graficación suele ser no muy exacta.

53

Ejercicios propuestos. Utilizando el método de determinante resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. 1. y + 2z+ w = 4 2y + z – w = 5 3y – z + 2w = -1 Sol. y = 1,

z = 2,

w = -1

2. 3x – 2y 5x + y Sol. x = 1,

=1 =6 y=1

3. 2x + 2y x - 14y Sol. x = 1,

= 16/7 = -1 y = 1/7

4. 2x - y + 3z = 9 x +4y +4z = 5 3x +2y +2z = 5 Sol. x = 1,

y = -1,

z=2

5. Resolver la siguiente aplicación de sistemas de ecuaciones lineales El propietario de una tienda de televisores desea expandir su negocio, comprando y poniendo a la venta dos nuevos modelos de televisores que acaban de salir al mercado. Cada televisor del primer tipo cuesta U$300 y cada televisor del segundo tipo U$400. Cada T.V. del primer tipo ocupa un espacio de 4 pies cuadrados mientras que cada uno del segundo tipo ocupa 5 pies cuadrados. Si el propietario solo tiene disponibles U$12,000 para su expansión y 156 pies cuadrados de espacio, ¿Cuántos modelos de cada tipo deberá comprar y poner a la venta haciendo uso completo del capital disponible y del espacio?

Sol. x = 24,

54

y = 12

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA 6. ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES

3 hrs

 Los logaritmos y sus propiedades Se llama logaritmo de un número respecto de la base base para obtener el número .

el exponente , al que hay que elevar la

Así log = esta expresión se debe leer del siguiente modo; El logaritmo del número de base es igual a . Por ejemplo: 2 = (2)(2)(2)(2)(2) = 32 log 32 = 5 = =2 = 32 = =5 3 = 81 log 81 = 4 5 = 125 log 125 = 3 = log = PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS

1. El logaritmo de un producto de dos o varios números es igual a la suma de los logaritmos de los factores. ) = log log ( + log 2. El logaritmo de un cociente o una fracción es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. log

= log

− log

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. ) = ∗ log log ( Por ejemplo Si tenemos dos números = 20 En forma aritmética se tiene: 1)

=4

a. El producto de (20)(4) = 80 b. Utilizando la propiedad del producto se tiene: log (20)(4) = log (20) + log (4) = = 1.3010209996 + 0.6020 = 55

= 1.903089987 log Base 10 2) Determinar

.

80 = 1.903089987 b=numero c=exponente

= 80 que corresponde a la forma aritmetica del inciso a. =5

Utilizando el logaritmo de un cociente, se tiene: 20 log = log 20 − log 4 = 1.301029996 − 0.602059991 4 = 0.698970004 Este representa el exponenteal que se debe elevar la base 10 para obtener el numero 5.

log

Base

5

=

0.698970004

b=numero c=exponente 10

.

=5

3) Determinar 5 = (5)(5)(5) = (25)(5) = 125 Utilizando logaritmo de una potencia se tiene: log (5 ) = 3log 5 = 2.096910013 = 2.096910013 Este representa el exponenteal que se debe elevar la base 10 para obtener el numero 125

log

Base

125

= 2.096910013

b=numero c=exponente 10

.

= 125

4) Resolver √12 = (12) log

12

1 = log 12 = 0.215836249 5 = 0.215836249

Exponente que hay que elevar

56

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA la base 10 para obtener el numero , .

log (1.64375183) = 0.216

Base

b=numero 10

.

c=exponente = 1.644

5) Obtener el valor de la incógnita x en la siguiente expresión.5 + 5 = 750 ( )( ) ( Puesto que 5 = 5 5 sacando el factor común se tiene 5 )(5 + 1) = 750, teniéndose 5 (6) = 750 5 = 125 = 5 log (5) = 3 log (5) De donde se obtiene que =3 Utilizando la base

= 2.71828182

Es de observar que cuando se utilizan las propiedades logarítmicas se deben elegir la base 10 o la base , es decir todas las operaciones se realizan con ellas hasta el final. 6) Así, 20x5=100 si se elige la base se tiene; ln(20)(5) = ln 20 + ln 5 = 2.9957322774 + 1.609437912 ln(100) = 4.605170186

Base “e”

Numero

Exponente

Esto nos indica que la base “e” deberá ser elevada al exponente 4.605170186 para obtener el numero 100. Es decir; . = (2.71828182) . = 100 7) Obtener la raíz cuadrada de ochenta y uno. √81 = (81) , aplicando logaritmo de base se tiene; ln( ) = ln 1 1 (4.39444915) ln(81) = ln(81) = 2 2 57

ln(81) = 2.197224577 → Exponente al que se eleva la base "e "para obtener la raiz cuadrada del numero 81. . = 9 → Resultado buscado

8) Por otro lado si se elige la base 10 se tiene aritméticamente:20 x 5= (20)(5)=100, por lo tanto, con uso de logaritmos: log(20)(5) = log(20) + log(5) log(20)(5) = 1.301029996 + 0.698970004 log(100) = 2 → Exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener el numero buscado. 10 = (10)(10) = 100

9) Obtener la raíz cuadrada de 81, utilizando la base 10. 1 1 log √81 = log(81) / = log(81) = (1.908485019) = 2 2 log √81 = 0.9542425094 → Exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener el numero buscando la raiz cuadrada de 81. 10 . =9 Luego entonces; √81 = 9

 Solución de ecuaciones logarítmicas 10). Resuelve la ecuación ln( + 6) − ln 10 = ln( − 1) − ln 2 ln( + 6) − ln( − 1) = ln 10 − ln 2 +6 10 = ln −1 2

ln

+6 =5 −1 +6=5 −5 =

11 4

58

2

ln

í −1

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA 11) Despejar x de la ecuación log √ =

log

para x.

Sol. log

=

log

√x =

1 log = 3

log

log

= log

1 (log ) = log 9 (log ) = 9log

9

(log ) − 9 log = 0 (log )(log − 9) = 0 log = 0,

log

log − 9 = 0

log = 9 = 10 = 1 ó

9 = 10

log

=

↔

= 10

 La exponencial y sus propiedades Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función f: → →

( ) =

Esta función se escribe también como f(x) = exp a x y se lee «exponencial en base a de x». Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias: 1. ° = 1

59

2.

=

3.

= √

4.

=

=

√

Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales. No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar. Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades: 1. = ↔ = Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base. 2. = 3.

=

4. (

)

=

.

El uso de los logaritmos, como se verá más adelante, facilita en muchas ocasiones la resolución de estas ecuaciones.

Propiedades de la función exponencial

=

1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f (0) = a° = 1 2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f (1) = a¹ = a 3a. La función es positiva para cualquier valor de x: ( ) > 0 Esto es debido a que la base de la potencia, , es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo. 4a. Si la base de la potencia es mayor que 1,

> 1, la función es creciente.

5a. Si la base de la potencia es menor que 1,

< 1, la función es decreciente.

60

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA  Solución de ecuaciones exponenciales 12) Resuelve la ecuación 3

=9

.

Sol. 3

=9

3

= (3 )

3

=3

5 −8 =2 +4 3 = 12

í 2

8

=4

61

=5

13) Resuelve la ecuación Sol. =5 ln(

) = ln( 5)

ó

2 = ln (5) 2 = 1.60944 = 1.60944/2 = 0.80472

62

á 2

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA  Aplicaciones y gráficas Ejemplos: 14) Ley de Pareto. La ley de Pareto en países capitalistas afirma que la relación entre el ingreso anual y el número de individuos cuyos ingresos rebasa es: log Donde

= log − log

son constantes positivas. Resolver esta ecuación para

63

15) Velocidad del viento. Si

denota la velocidad del viento (en m/seg) a una altura de metros

sobre el suelo, entonces, en ciertas condiciones

= ln

, donde es una constante positiva y

es la altura a la que la velocidad es cero. Traza esta ecuación en un plano = 0.1m. Sol.

64

para = 0.5 y

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA 16) Eliminación de contaminación. Si la contaminación del lago Erie se detuviera de pronto, se ha . calculado que el nivel de contaminantes disminuiría según la formula = , donde es el tiempo en años y es el nivel de contaminantes en que dejó de haber más contaminación. ¿Cuántos años tardaría en limpiarse el 50% de los contaminantes?

=

1 ln (. 5) . 381 = 1.82 años 65

Ejercicios propuestos 1. log[(100)(10000)] =

. 6

2. log

. 2

=

3. ln[(100)(10000)] =

. 13.8155

4. ln

. 4.6051

=

5. Resolver la ecuación exponencial 3 = 21

.

= 2.77

6. Resolver la ecuación exponencial 5

.

= −3.64 = 20.0855

=6

7. Resolver la ecuación logarítmica ln(

) + ln( ) = 9

.

8. Resolver la ecuación logarítmica ln(

+ 2) − ln(

.

9. Resuelve la ecuación 10. Resuelve la ecuación

66

= 20 = 405

)=2

= 0.31303

.

= 0.9986

.

= 2.501943534

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA ACERCA DE LOS AUTORES CARLOS RODRÍGUEZ JIMÉNEZ CARRERA

INGENIERÍA CIVIL

Nació el 13 de noviembre de 1965 en la ciudad de Villahermosa, Tabasco, estudió en la esc. Prim. Vesp. “Dolores Ocaña Brindis”, obtuvo el premio al mejor estudiante del estado de Tabasco en nivel primaria junio de 1978, la instrucción media básica la estudió en la E.S.T. #11, obtuvo el mejor promedio de su generación, el 1er. Lugar estatal en matemáticas, 1er. Lugar del sureste en matemáticas y el derecho a participar en los CONCURSOS NACIONALES CULTURALES Y ACADÉMICOS en la ciudad de Morelia, Michoacán en junio de 1981, en el nivel medio superior cursó sus estudios en el C.B.T.I.S. #32 obtuvo la representación del estado de Tabasco en el VI CONCURSO NACIONAL ESTUDIANTIL DE CIENCIAS BASICAS (MATEMATICAS) en San Cristóbal de las Casas, Chiapas en junio de 1984. El nivel superior lo cursó en la UNIVERSIDAD JUAREZ AUTONOMA DE TABASCO, obteniendo el título de Ingeniero Civil presentando examen general de conocimientos. Diplomado en “AVALUOS”, Y “ACABADOS APARENTES, REVESTIMIENTOS, CANCELARIA, CERRAJERIA Y HERRAJES EN LA CONSTRUCCION” por la UNIVERSIDAD JUAREZ AUTONOMA DE TABASCO. Diplomado en DOCA (PROGRAMA NACIONAL DE FORMACION DOCENTE CENTRADO EN EL APRENDIZAJE) SEPSISTEMA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR TECNOLOGICA. En el ámbito laboral ha participado en la construcción de obras importantes como el parque Tomás Garrido Canabal el parque más emblemático de la Cd. de Villahermosa; en la elaboración de cálculo estructural de diversas obras, como los museos de sitio de Palenque, Ocosingo, Toniná, Pomoná, en el parque ecológico y de interpretación de la naturaleza YUMKA. Entre otros. Es miembro fundador de la asociación de ingenieros estructuristas del estado de Tabasco desde 1989. Colaborador en el Club de Ciencias Arturo Rosenblueth, A.C. desde 2006.miembro del Colegio de Ingenieros civiles desde 2009. Asesor de jóvenes tabasqueños representantes del estado de Tabasco en concursos nacionales de matemáticas, obteniendo dos campeonatos nacionales en el nivel medio básico. Colaborador externo de varios proyectos académicos asesor de la empresa C.I.C. en el IV concurso nacional de emprendedores de los Institutos Tecnológicos (fase nacional) Puebla, Puebla marzo de 1998. Asesor de la empresa LOCKERSPACE en el VII concurso nacional de emprendedores fase local Villahermosa, Tabasco dic. 2000. Asesor externo con la empresa “GESTIC DISEÑO” en el VIII concurso nacional de emprendedores, fase local Villahermosa, Tabasco ene 2002. Ha sido jurado invitado de los concursos de matemáticas en la E.S.T. #9, E.S.T. #11 y C.B.T.I.S. #32. Ha formulado reactivos para diversos concursos de Matemáticas y Física nivel superior en fases local, regional y nacional de los Institutos Tecnológicos. Actualmente es el asesor en el área de Física de los alumnos representantes nacionales del Instituto Tecnológico de Villahermosa (ITV) en el XVI concurso nacional de ciencias básicas de los Institutos Tecnológicos y director del proyecto “BLOCKINTAB” BLOCK INNOVADOR TABASQUEÑO en el XXIV concurso nacional de creatividad de los Institutos Tecnológicos. Es catedrático del ITV impartiendo las materias de matemáticas I, II, III, IV y V, probabilidad, estadística, estática, dinámica, física I y II en las especialidades de Ingeniería Civil, Ingeniería Industrial, Ingeniería en Sistemas Computacionales, Ingeniería Bioquímica, y en la Universidad Olmeca impartiendo las materias de matemáticas I, matemáticas IV, cálculo diferencial, cálculo integral, física II, dinámica, ecuaciones diferenciales en las carreras de Ingeniería en Petróleo y Gas Natural, Ingeniería en Electrónica, Ingeniería en Sistemas. E M A I L : [email protected] Villahermosa, Tabasco. México 2009

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DIEGO COBOS ALMENDRA

CARRERA

INGENIERÍA MECÁNICA ELECTRICISTA

El Ing. Diego Cobos Almendra nació el 22 de Abril del 1952 en la ciudad de Cosamaloapan de Carpio Veracruz, cursó sus estudios primarios en la escuela primaria.”Gral. Manuel Ávila Camacho", la instrucción media básica la estudió en la Esc. Secundaria Tecnológica Industrial No.47 Clave ET61-3, en el nivel medio superior curso sus estudios en Esc. Secundaria y de Bachilleres "Luis A. Beaurregard" El nivel superior lo cursó en, Unidad Docente Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Químicas Universidad Veracruzana obteniendo el título de Ingeniero Mecánico Electricista presentando examen de tesis "Proyecto de las instalaciones eléctricas de fuerza y alumbrado para la batería de separación de aceite y gas de baja presión. Arroyo Zanapa en el municipio de Reforma Chiapas". Cursó Diplomado con duración de 240 horas en enseñanza de las matemáticas impartido en el Instituto Tecnológico de Villahermosa, y Postgrado Maestría en Ciencias en enseñanza de las Ciencias impartido por el CIIDET. Formación Extra Académica  Publicación de artículos en la revista ORBITAS  Conferencias impartidas del área Ingeniería  Instructor de cursos del área ingeniería  Asesor de proyecto de creatividad  Cursos de docencia del área ingeniería aprobados Experiencia laboral Puesto Empresa Periodo

Supervisor de obras, y analista de precios unitarios Petróleos Mexicanos Junio del 1977 a Enero de 1993

Puesto Institución Periodo

Docente del área Ciencias Básicas Instituto Tecnológico de Villahermosa Agosto de 1994 a Mayo de 2009

Puesto Institución Periodo

Docente del área Ingeniería Petróleo Universidad Olmeca Marzo de 2007 a Mayo de 2009

Manejo de software y habilidades Sistemas operativos Windows (98, 2000, XP) Software de Oficina Office (2000, Xp) Software educativo Cabri Geometra, Derive 6 y LabVIEW Habilidades Uso de Software para lograr conocimientos Significativos en el aprendizaje de las Matemáticas Calculo diferencial e integral. Instituciones a la que pertenece Club de Ciencias Arturo Rosenblueth, A.C. E M A I L : [email protected]

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Villahermosa, Tabasco. México 2009

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA BIBLIOGRAFÍA  Álgebra. A. Baldor  Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Earl W. Swokowski y Jeffery A. Cole. Cengage Learning. México 2007.

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