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Curso fundamental de microeconomía con perspectiva histórica y reflexiones críticas acerca de la microeconomía neoclásica

Volumen 2

Competencia bajo equilibrio general

Sergio Monsalve

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Económicas Sede Bogotá 2018

Índice general

Índice de figuras

IX

Presentación

XVII

Introducción: León Walras, fundador del concepto general económico 1. León Walras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Walras y el laissez-faire . . . . . . . . . . . . . . 3. Walras y el concepto de equilibrio económico . .

de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Sobre 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

la obra científica de Walras Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoría del intercambio puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoría de la producción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoría del capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoría monetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bienestar económico: el teorema de la máxima satisfacción social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. La economía social y la economía aplicada en Walras . . . . . 1.8. Tradiciones poswalrasianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Vilfredo Pareto y la tradición paretiana 2.1. Introducción: Vilfredo Pareto . . . . . . . 2.2. La escuela de Lausanne después de Pareto 2.3. John Hicks . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Maurice Allais . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Paul Samuelson . . . . . . . . . . . . . . . iii

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1 1 3 5 9 9 11 13 16 17 20 22 24 29 29 34 37 40 45

Índice general

iv

3. El modelo paretiano simple 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. El modelo paretiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Los consumidores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Los productores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Equilibrio competitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Equilibrio en economías de intercambio puro . . . . . . . . 3.4. Óptimos de Pareto en una economía de intercambio puro 3.5. Teoremas del bienestar económico . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Economías con sector productivo . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Economías autárquicas Robinson Crusoe . . . . . . . . . . 3.8. Sobre el origen de la caja de Edgeworth . . . . . . . . . .

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51 51 52 54 63 73 77 82 88 92 95 97

4. La nueva economía del bienestar 4.1. Introducción: Arthur C. Pigou . . . . . . . . 4.2. La gran frontera de posibilidades de utilidad 4.3. El criterio de Kaldor-Hicks . . . . . . . . . . 4.4. El criterio de Scitovsky . . . . . . . . . . . . 4.5. La función de bienestar social . . . . . . . . 4.6. Axiomática y funciones de bienestar social . 4.6.1. Axiomas éticos . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Solución Bernoulli-Nash . . . . . . . 4.6.3. Solución utilitaria . . . . . . . . . . . 4.6.4. Solución igualitaria . . . . . . . . . . 4.7. Y mientras tanto... . . . . . . . . . . . . . .

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105 105 108 109 111 113 118 121 123 126 127 129

5. La tradición alemana del equilibrio general 5.1. Introducción: Gustav Cassel . . . . . . . . . 5.2. El modelo de Cassel . . . . . . . . . . . . . 5.3. Las síntesis de Wald . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Wald, el alemán . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Wald, el paretiano . . . . . . . . . . . 5.4. El modelo de von Neumann . . . . . . . . . 5.4.1. Hipótesis del modelo . . . . . . . . . . 5.4.2. Sobre la solución al modelo . . . . . . 5.5. La fundación Cowles y el neowalrasianismo

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133 133 135 137 139 142 144 146 148 150

6. Los modelos “lineales” 6.1. Introducción: Wassily Leontief . . . . . . . . . . . . . 6.2. El análisis insumo-producto . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Tjalling Koopmans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. El análisis de actividades: eficiencia en la producción 6.4.1. Sobre los bienes . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2. Sobre las posibilidades técnicas de producción 6.4.3. El teorema de Koopmans . . . . . . . . . . . . 6.5. Los Tres Ensayos... de Koopmans . . . . . . . . . . .

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155 155 157 169 173 173 174 177 178

Índice general 6.6. 6.7. 6.8.

v

Lionel McKenzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 El modelo Graham-McKenzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Modelos económicos lineales hacia 1959 . . . . . . . . . . . . 189

7. El modelo neowalrasiano Arrow-Debreu 7.1. Introducción: Kenneth Arrow y Gerard Debreu . . . . . . 7.2. El modelo Arrow-Debreu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. La noción de mercancía . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Los consumidores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3. Los productores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4. Los conceptos de economía y equilibrio competitivo 7.2.5. El teorema de existencia de equilibrios competitivos 7.2.6. Los dos teoremas del bienestar económico . . . . . . 7.3. Ejemplos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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195 195 198 198 199 207 213 217 220 224

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239 239 240 244 251 253 254 261 263 267 269 272

9. Dinámicas y equilibrio general 9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. El concepto de equilibrio intertemporal . . . . . . . . . . . . . 9.3. El dinero bajo equilibrio general . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. El dinero en la función de utilidad . . . . . . . . . . . . 9.3.2. Demanda de dinero por transacciones . . . . . . . . . . 9.3.3. El modelo monetario de generaciones traslapadas . . . 9.4. El modelo de Ramsey con inspiración paretiana . . . . . . . . 9.4.1. Los productores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2. Los consumidores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3. El concepto de equilibrio competitivo . . . . . . . . . . 9.4.4. El problema de un planificador central . . . . . . . . . . 9.4.5. Los dos teoremas del bienestar económico . . . . . . . . 9.4.6. Estabilidad del equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Breve nota sobre equilibrio general computable y calibración .

277 277 282 284 284 285 288 298 298 300 303 305 308 309 314

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8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales 8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Unicidad del equilibrio competitivo . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Estabilidad tâtonnement del equilibrio competitivo . . . . . 8.4. Procesos non-tâtonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Francis Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Un proceso tipo Edgeworth y la noción de núcleo . . . 8.4.3. Otros procesos non-tâtonnement . . . . . . . . . . . . 8.5. El modelo Arrow-Debreu bajo un criterio de incertidumbre 8.6. Cálculo de equilibrios competitivos y el algoritmo de Scarf . 8.7. El teorema Sonnenschein–Mantel–Debreu . . . . . . . . . . 8.8. Falsabilidad: el teorema Brown-Matzkin . . . . . . . . . . .

Índice general

vi

10. Discusiones finales 10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Sobre la “mano invisible” de Adam Smith . . . . . . . . . . 10.3. Crítica a las hipótesis del modelo Arrow-Debreu . . . . . . . 10.4. Nota sobre la crítica poskeynesiana a la teoría neoclásica . . 10.5. Nota sobre la crítica sraffiana a la teoría neoclásica del valor 10.6. Nota sobre la crítica institucionalista a la teoría neoclásica . 10.7. Nota sobre la teoría de complejidad . . . . . . . . . . . . . . A.

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general A.1. Producto cartesiano y clases de relaciones . . . . . . . . . A.2. Sistemas de ecuaciones lineales y algoritmo gaussiano . . . A.3. Noción formal de matriz y sus operaciones . . . . . . . . . A.4. Matriz traspuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5. Producto interno (o punto) entre vectores . . . . . . . . . A.6. Determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6.1. Determinantes n × n . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.7. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . A.8. Valores propios de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . A.9. La matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.10. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . A.11. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.12. Formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.13. Elementos básicos de topología en R2 . . . . . . . . . . . . A.14. El teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.15. Matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.16. Optimización con restricciones de desigualdad . . . . . . . A.16.1. El algoritmo (de) Kühn-Tucker . . . . . . . . . . . A.17. Teorema de separación de Minkowski . . . . . . . . . . . . A.18. El teorema de dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.19. Optimización en correspondencias: el teorema del máximo A.20. Teoremas de punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.21. Teorema de la envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.22. Sistemas dinámicos (continuos) en una dimensión . . . . . A.22.1. Diagramas de fase unidimensionales . . . . . . . . . A.22.2. Estabilidad unidimensional . . . . . . . . . . . . . . A.23. Sistemas dinámicos (continuos) en dos dimensiones . . . . A.23.1. Diagramas de fase en dos dimensiones . . . . . . . A.23.2. Estabilidad en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . A.23.3. Sistemas lineales (continuos) en dos dimensiones . . A.23.4. El método de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . A.24. Optimización dinámica (caso discreto) . . . . . . . . . . . A.24.1. Solución por el principio del máximo . . . . . . . . .

Bibliografía

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319 319 320 322 325 327 . 330 . 332

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335 335 339 341 343 344 345 345 347 349 350 352 356 358 360 367 368 370 371 376 378 380 383 384 387 390 392 395 396 398 399 404 405 405 411

Índice general

vii

Respuestas y sugerencias a los problemas impares

445

Índice alfabético

461

Índice de figuras

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17. 3.18.

Caja Edgeworth-Bowley para economías de intercambio puro. La frontera Pareto (FP) de consumo es la frontera superior del conjunto señalado en color gris. . . . . . . . . . . . . . Curva de contrato en el ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . Frontera Pareto para el ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . Curva de contrato para el ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . Frontera Pareto para el ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . Caja Edgeworth-Bowley para producción. . . . . . . . . . . Conjunto y frontera de posibilidades de producción (FPP). La FPP es la frontera superior del conjunto señalado en gris. Dos tipos de frontera de posibilidades de producción FPP con precios asociados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frontera de posibilidades de producción (FPP) para el ejemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frontera de posibilidades de producción (FPP) para el ejemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frontera de posibilidades de producción (FPP) para el ejemplo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frontera de posibilidades de producción (FPP) para el ejemplo 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución al problema de optimización y frontera de posibilidades de producción (FPP) en el ejemplo 7. . . . . . . . . Equilibrio en el sistema paretiano simple. . . . . . . . . . . Equilibrio competitivo en la caja para la economía del ejemplo 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equilibrio competitivo en la curva de contrato del ejemplo 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Descripción de los óptimos de Pareto en la curva de contrato. ix

57 57 59 60 61 62 65 65 66 68 69 70 71 72 73 78 80 83

Índice de figuras

x 3.19. 3.20. 3.21. 3.22. 3.23.

Curva de contrato en el ejemplo 12. . . . . . . Conjunto y frontera Pareto del ejemplo 12. . . Segundo teorema de la economía del bienestar. Caja Edgeworth-Bowley para el ejemplo 14. . Robinson en equilibrio. . . . . . . . . . . . . .

4.1.

4.16. 4.17. 4.18. 4.19.

Construcción de la Gran Frontera de Posibilidades de Utilidad (GF P U ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compensación Kaldor-Hicks. . . . . . . . . . . . . . . . . . Imposibilidad de comparación Kaldor-Hicks. . . . . . . . . Paradoja de Scitovsky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intransitividad en el criterio de Scitovsky. . . . . . . . . . . Conjunto y gran frontera de posibilidades de utilidad (F). Solución al problema de elección social. . . . . . . . . . . . Condición de tangencia en la solución al problema de maximización de la función de bienestar social. . . . . . . . . Axioma de eficiencia Pareto. . . . . . . . . . . . . . . . . . Axioma de simetría. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axioma de invarianza escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . Axioma de independencia de alternativas irrelevantes (IAI). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución Bernoulli-Nash. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caracterización geométrica de la solución Bernoulli-Nash: propiedad de los ángulos iguales. . . . . . . . . . . . . . . . La nueva solución Bernoulli-Nash perjudica al agente 1 en relación al agente 2, pues el conjunto inicial de acuerdos se contrajo en detrimento del agente 1. . . . . . . . . . . . . . Solución utilitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axioma de monotonicidad individual (fuerte). . . . . . . . Ilustración de la solución igualitaria. . . . . . . . . . . . . . Comparación entre las tres soluciones. . . . . . . . . . . . .

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

Condición Hawkins-Simon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Aditividad de las actividades a y b. . . . . . . . . . . . . . 174 Proporcionalidad de la actividad a. . . . . . . . . . . . . . 175 Actividades derivadas de producción: un cono y un poliedro.176 Poliedro conformado por las tres actividades básicas. . . . 177 Actividades eficientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.1. 7.2.

Conjuntos de consumo en el modelo Arrow-Debreu. . . . . Preferencias que no satisfacen condiciones del modelo ArrowDebreu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis de cuasiconcavidad. . . . . . . . . . . . . . . . . Conjuntos factibles Ti (p) de consumo a los precios p. . . . En las figuras a) y b) se muestra la formación de las respectivas demandas Di (p) a los precios p. . . . . . . . . . .

4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.11. 4.12. 4.13. 4.14. 4.15.

7.3. 7.4. 7.5.

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87 87 90 91 96 108 111 111 112 112 120 120 121 122 122 123 123 124 125 125 127 128 128 129

201 202 203 204 206

Índice de figuras 7.6.

7.7. 7.8. 7.9. 7.10. 7.11. 7.12. 7.13. 7.14. 7.15. 7.16. 7.17. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5.

xi

Sobre la idea de correspondencia de demanda semicontinua superiormente. En el panel izquierdo, al vector de precios p1 le corresponden los planes de consumo óptimos del segmento horizontal (1), que colocamos en el panel de la derecha como el segmento vertical (1); al vector de precios p2 le corresponden los planes de consumo óptimos del segmento (2) que va del punto B al punto A, y que ilustramos en el panel derecho como el segmento vertical (2); al vector de precios p3 le corresponden los planes de consumo óptimos del segmento (3) que va del punto B verticalmente hacia arriba, y que ilustramos en el panel derecho como el segmento vertical (3); etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Típico conjunto de producción en el modelo Arrow-Debreu. Tipos de rendimientos a (de) escala. . . . . . . . . . . . . . Maximización del beneficio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sobre la idea de semicontinuidad superior de la correspondencia de oferta. La justificación de esta figura es similar a la llevada a cabo en la figura 7.6. . . . . . . . . . . . . . . Hiperplano Q que “soporta” a H ′ . . . . . . . . . . . . . . . Ilustración del ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustración del ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustración del ejemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formación de óptimos de Pareto en el ejemplo 4. . . . . . Ilustración ejemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustración del ejemplo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207 208 209 211 212 222 225 228 229 231 231 232 248 255 258 258

8.6.

Diagrama de fase para el ejemplo 5. . . . . . . . . . . . . . Núcleo de una economía de intercambio. . . . . . . . . . . Representación gráfica del núcleo. . . . . . . . . . . . . . . Equilibrio en la frontera Pareto. . . . . . . . . . . . . . . . Ilustración de la contracción del núcleo. La asignación CA , a pesar de estar en el núcleo original, ya no está en la 2réplica de la economía. Notemos que CA no puede ser el equilibrio competitivo EC porque, entonces, el segmento de recta entre CA y WA no cortaría otra vez la curva de nivel en ninguna asignación DA sin desmejorar la utilidad de B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algoritmo de Scarf (Arrow & Kehoe, 1994). . . . . . . . .

9.1. 9.2. 9.3. 9.4.

Dinámica de precios para el teorema 4. Dinámica de precios en el ejemplo 3. . Estabilidad del equilibrio estacionario. . Cambios exógenos en la productividad.

296 297 311 317

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260 268

A.1. Plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 A.2. Dependencia e independencia lineal. . . . . . . . . . . . . . 352

Índice de figuras

xii A.3. A.4. A.5. A.6. A.7. A.8. A.9. A.10. A.11. A.12. A.13. A.14. A.15. A.16. A.17. A.18. A.19. A.20. A.21. A.22. A.23. A.24. A.25. A.26. A.27. A.28. A.29.

A.30. A.31. A.32. A.33. A.34.

Ilustración del ejemplo 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forma cuadrática definida positiva. . . . . . . . . . . . . . Forma cuadrática definida negativa. . . . . . . . . . . . . . Conjunto clausura S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto cerrado y conjunto no cerrado. . . . . . . . . . . Disco abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Son conjuntos abiertos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Máximo y mínimo global de una función continua sobre un conjunto compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución gráfica del ejemplo 44. . . . . . . . . . . . . . . . En el problema (KT) las soluciones de esquina tienen pendiente negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución gráfica del ejemplo 46. . . . . . . . . . . . . . . . H es el hiperplano soporte de C en p. . . . . . . . . . . . . Ilustración del ejemplo 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Correspondencia ϕ(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Correspondencia semicontinua superiormente. . . . . . . . Una correspondencia ϕ(s) con graf ϕ cerrado. . . . . . . . Teorema de punto fijo de Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . Teorema del punto fijo de Kakutani. . . . . . . . . . . . . . Soluciones al sistema x(t) ˙ = cx(t) para x(0) > 0. . . . . . . Soluciones al sistema x(t) ˙ = x(t)2 . . . . . . . . . . . . . . . Solución al sistema dinámico x(t) ˙ = t. . . . . . . . . . . . . Diagramas de fase del sistema dinámico x(t) ˙ = cx(t), con c 6= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramas de fase unidimensionales para x(t) ˙ = cx(t), c 6= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramas de fase del sistema x(t) ˙ = x(t)2 − 1. . . . . . . . Equilibrios estables e inestables. . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos de puntos de equilibrio estables e inestables. Los puntos de equilibrio x1 y x5 son asintóticamente estables y se tiene f ′ (x1 ) = 0 y f ′ (x5 ) < 0. Los puntos de equilibrio x2 , x3 , x4 son inestables con f ′ (x2 ) = f ′ (x4 ) = 0 y f ′ (x3 ) > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramas de fase del sistema x(t) ˙ = x(x − 1)(2 − 3x). . . Diagrama de fase en dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . Construcción del diagrama de fase del sistema x˙ = 2x + y, y˙ = x − 2y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos de estabilidad e inestabilidad local. . . . . . . . . Diagrama de criterios de estabilidad. . . . . . . . . . . . .

353 359 359 361 362 363 364 364 368 370 372 376 377 380 381 382 382 384 384 388 388 389 391 392 392 393

394 394 397 398 399 403

Es cierto que los economistas han dicho con frecuencia que preconizan el laissezfaire, laissez-passer. Desgraciadamente, cabría decir hasta nuestros días que los economistas se han preocupado menos de demostrar su laissez-faire, laissez passer que de defenderlo contra los socialistas, viejos y nuevos, que a su vez defienden, también sin demostrarla, la intervención del Estado. Soy consciente de que expresándome de esta forma, voy a herir ciertas susceptibilidades. Sin embargo, se me permitirá preguntar:¿Cómo podrían demostrar los economistas que los resultados de la libre competencia son buenos y ventajosos si no sabían cuáles eran dichos resultados? Y, ¿cómo podrían conocerlos si no habían planteado las definiciones ni formulado las leyes relevantes para relacionarlos y probarlos? Este es un razonamiento de naturaleza apriorística.

León Walras, 1900, p. 424.

Si nos interesamos solo en la teoría pura, Walras es, en mi opinión, el más grande de todos los economistas. Este sistema económico de equilibrio, al unificar, como lo hace, la calidad de creatividad “revolucionaria” con la calidad de síntesis clásica, es el único trabajo realizado por un economista que se podrá comparar con los de la física teórica. Comparados con esta obra, la mayoría de los trabajos teóricos de ese período -y aún más allá- aunque valiosos por sí mismos y también subjetivamente originales, lucen como botes al lado de un transatlántico, como intentos inadecuados por atrapar algún aspecto particular de la verdad walrasiana. [El trabajo de Walras] es un notable punto de referencia que hace que la economía viaje hacia el estatus de ciencia rigurosa y exacta y, aunque anticuada ya, aún permanece respaldando mucho del mejor trabajo teórico de nuestro tiempo.

Joseph Schumpeter, 1954, p. 827.

A la memoria de María del Pilar Tejada

Presentación

Después del análisis del concepto de equilibrio parcial realizado en el volumen I, el problema que se busca desarrollar en este segundo volumen del Curso Fundamental de Microeconomía es el estudio de la teoría del equilibrio general económico. Con origen en las obras de los economistas franceses François Quesnay (1694-1774) y León Walras (1834-1910), este paradigma de la teoría neoclásica moderna estudia cómo influyen en los precios, factores tales como los gustos, la tecnología y la distribución de riqueza en una economía de mercados interconectados. Es, a fin de cuentas, estudiar la “teoría del valor” desde la perspectiva neoclásica, algo en lo que, en principio, la teoría del equilibrio parcial se quedaría corta, pues esta requiere que los precios sólo se vean afectados ante la variación de unos cuantos parámetros y no de la economía en su totalidad. En este volumen teórico-histórico, diseñado explícitamente para un segundo curso de microeconomía del pregrado en Economía, se ha tratado, entonces, de desarrollar un recuento compacto, coherente y sistemático sobre cómo se ha entendido, extendido y malinterpretado el concepto original de equilibrio competitivo de Walras, señalando algunas de las numerosas falacias que hemos arrastrado hasta hoy. En particular, se busca mostrarle al lector que la historia del desarrollo conceptual de la teoría del equilibrio general indica la presencia de algunos sesgos ideológicos durante siglo y medio de discusiones económicas y políticas. Y como era de esperarse, esto ha impactado, a veces ingenua o inconscientemente, en la formación de nuestros economistas. Al fin y al cabo, ese riesgo se presenta, precisamente, porque en nuestras aulas y textos de estudio se disocian las ideas económicas del contexto histórico, social y político en que se desarrollan, presentándolas como verdades sin tiempo. Con todo esto en mente, en la introducción y en la semana 1 se tomó la opción de comenzar esta colección de ensayos haciendo un poco de justicia con Walras, presentando un estudio en la fuente de su teoría del equilibrio general, además de una aproximación a su pensamiento sobre economía social y economía aplicada, sin los cuales es imposible entender a cabalidad su obra. De paso, esto xvii

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Presentación

permitirá justificar, en particular, por qué la arraigada costumbre de llamar al equilibrio competitivo como “equilibrio walrasiano”, no es consecuente con la obra original de Walras: observaremos que el “equilibrio walrasiano”, como hoy lo conocemos, es sólo un equilibrio competitivo con inspiración walrasiana, pero no un equilibrio dentro del marco de su pensamiento original. Después, en las semanas 2 y 3, se buscó hacer algo de funambulismo teórico al presentar la forma un tanto maniquea cómo Vilfredo Pareto (1848-1923) y sus seguidores (en particular, John Hicks), tomaron de Walras algunas ideas y desdeñaron otras, dejando de esta manera, completamente desarticulada la obra original del francés. Aun así, los notables aportes del modelo paretiano de equilibrio general y, por encima de todo, su innegable coherencia interna, lo han convertido en paradigma de la teoría neoclásica moderna. Precisamente es esta la versión más simple de equilibrio “walrasiano” que desprevenidamente enseñamos en nuestras aulas. Por su parte, en la semana 4 se estudia la nueva economía del bienestar económico que comienza formalmente, con los aportes de Arthur Pigou y se solidifica con el teorema de (im)posibilidad de Arrow sobre la existencia de una función de bienestar social, que es la piedra angular de la teoría moderna del bienestar. También aquí señalaremos las pertinentes críticas y las puertas de salida a esta teoría del bienestar que planteara el economista hindú Amartya Sen. Más adelante, en la semana 5 se discuten los aportes de la escuela alemana del Coloquio de Viena (particularmente, Schlesinger, Morgenstern, Wald y von Neumann) a partir del modelo de equilibrio general original de Cassel. De allí saldrían, entre muchas otras, algunas de las ideas matemáticas centrales para las posteriores pruebas generales de existencia de equilibrios competitivos, que era un tema fundamental que desde Walras venía teniendo una presencia invisible. Aunado esto, el modelo de von Neumann sería inspirador de numerosas estructuras de crecimiento económico neowalrasianos (desde la perspectiva del equilibrio general) y también de aproximaciones heterodoxas. Por su parte, en la semana 6 se presentan los modelos de análisis insumoproducto de Leontief, de análisis de actividades de Koopmans y de comercio internacional de McKenzie. Estas estructuras matemáticas mostrarían dos aspectos fundamentales y extremos: la construcción de modelos de equilibrio general desde lo empírico y desde lo axiomático. Se señala claramente que este período en la historia del desarrollo del modelo de equilibrio general, sería de bifurcación: quizás la historia de los modelos de mercado nos habría orientado por un camino muy diferente, si el modelo dominante hubiera seguido las conceptualizaciones presentes en algunas de estas estructuras. En la semana 7 se discute la concepción más desarrollada –y, desde cierta particular perspectiva (la neowalrasiana), final– de la teoría del equilibrio general competitivo: el modelo Arrow-Debreu. En este, se hace un balance sobre los

Presentación

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trabajos (en los años 1950) de Kenneth Arrow y Gerard Debreu acerca de la que muchos consideran la síntesis mejor lograda y formalmente más perfecta de esta teoría. En la semana 8 se presentan las distintas líneas de investigación que se desataron a partir de los trabajos de Arrow, Debreu y McKenzie en 1954: los problemas de unicidad, estabilidad, incertidumbre, el cálculo efectivo de equilibrios competitivos, el problema de la incertidumbre en la información y, por supuesto, el teorema Sonnenschein-Mantel-Debreu que, en una medida importante, inhabilitó al modelo de equilibrio general Arrow-Debreu como teoría científica, a pesar de los extraordinarios esfuerzos de rehabilitación por parte de Brown y Matzkin. La semana 9 analiza algunos modelos dinámicos con variables agregadas (de manera crítica, el capital agregado y el agente representativo) que tienen su clara inspiración en el modelo Arrow-Debreu. Se discutirán allí el modelo de equilibrio temporal (Hicks), los modelos de equilibrio general monetarios, el modelo de generaciones traslapadas (Allais, Samuelson) y una versión paretiana del modelo de crecimiento de Ramsey. Al final nos referiremos brevemente a los modelos de equilibrio general computable y, particularmente, a la técnica de calibración de estos modelos. Para terminar, en la semana 10 se llevarán a cabo algunas críticas con respecto a las hipótesis del modelo de equilibrio general Arrow-Debreu, resaltando que este, difícilmente, nos permitirá entender el funcionamiento de los mercados reales. En particular, analizaremos contrastes entre el modelo neowalrasiano y la noción de la “mano invisible” de Smith, e indicaremos algunas alternativas heterodoxas (el modelo de Sraffa, la economía poskeynesiana, la economía institucionalista y los modelos de complejidad) para este siglo XXI. Así, a través de estas semanas aquí someramente presentadas, se intentará que el lector tenga la sensación de estar aumentando su comprensión teórica de los problemas discutidos y también de su genealogía, aun cuando, en ocasiones, no se estuviera tratando de decir nada nuevo. Esto se afirma sabiendo que existe el riesgo de que una descripción demasiado detallada de los eventos históricos pudiera sacrificar la perspectiva general del texto. Sin embargo, no se encontró otro camino que permitiera responder a las preguntas que lo motivaban, excepto excavando alrededor de las raíces históricas (y bibliográficas) de las ideas económicas. Por todo ello, al reconocer que sólo se ha perseguido síntesis y claridad más que originalidad, también podría esperarse que este trabajo no será juzgado desde la perspectiva del historiador profesional. Ya de otro lado, y con respecto a los requisitos de preparación para asumir con propiedad el material de este volumen, basta afirmar que son suficientes los cursos típicos de Fundamentos de economía, Matemáticas para economistas (en particular, el Cálculo diferencial en dos variables es condición sine qua non), Microeconomía I (tal como lo presentamos en el volumen I) y Macroeconomía

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Presentación

I:

este texto está destinado como un segundo curso de microeconomía a nivel de pregrado, aunque debe reconocerse que en algunas partes podría ser de un nivel superior. Para complementar, en el apéndice del texto el lector interesado encontrará un conveniente resumen de las matemáticas de la teoría del equilibrio general, que podría facilitarle un tanto el acceso a este tema1 . Y, precisamente, como este material presenta en algunos capítulos un nivel un tanto superior al correspondiente a un segundo curso de microeconomía de pregrado, se podría sugerir una breve guía que abarque un curso semestral siguiendo el presente texto. Los dos primeros capítulos son un material de lectura obligatoria que ambientarán al estudiante en el estudio de las ideas profundas del pensamiento de Walras, Pareto, Hicks, Samuelson y Allais. Luego, el profesor del curso podría continuar con la semana 3 estudiando con buen detalle el modelo paretiano simple con todos sus ejemplos resueltos. A continuación, podría pasar al capítulo 4 y analizar la modelación de la teoría del bienestar y las funciones del bienestar social, además de las críticas de Amartya Sen. A renglón seguido, podría enseñarse en una sola clase, una pequeña introducción a las síntesis de la tradición alemana (semana 5) para después, en la semana 6, mostrar al estudiante los modelos de equilibrio general de Leontief (insumo-producto) y de Koopmans (análisis de actividades) con varios ejemplos de ilustración.

Ya al pasar a la semana 7, el estudiante encontrará un material inevitablemente más formal y difícil matemáticamente; sin embargo, a este nivel de pregrado, el objetivo inicial del capítulo será entender, discutir y aplicar los resultados del modelo Arrow-Debreu en casos más generales que el modelo paretiano simple de la semana 3. Finalmente, en la semana 8 el profesor podría analizar los problemas de unicidad, estabilidad y posibles dinámicas tâtonnement y no-tâtonnement, en especial, haciendo énfasis en el concepto de núcleo como solución de negociación que coincide con la asignación competitiva en economías grandes, mostrando con esto que algunos modelos de negociación “justifican” las criticables hipótesis del modelo Arrow-Debreu; aquí, además, la discusión de los teoremas SonnenscheinMantel-Debreu y Brown-Matzkin son insoslayables. Si al profesor le quedara un poco más de tiempo, podría también intentar presentar un buen esquema de los modelos monetarios de equilibrio general (semana 9) y del modelo de Ramsey, para después llevar a cabo una o dos clases de críticas al modelo neowalrasiano de equilibrio general de mercado (semana 10). Es aquí, cuando el profesor esté finalizando el curso, que se espera que pueda ser claro el porqué del énfasis histórico del texto: ambientar el estudio del problema del equilibrio general con su contexto temporal a medida que los conceptos 1 No sobra recordar, como lo hicimos en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial), que a lo largo del texto utilizaremos, de nuevo, la ya convenida notación  para indicar que una demostración (prueba de un teorema o lema), ha finalizado; y la notación N para indicar que un ejemplo o una nota, ha culminado. Cabe observar, de todas maneras, que este último símbolo solo aparecerá si es necesario indicar el punto exacto en el texto donde, efectivamente, el ejemplo o la nota ha terminado y, por ende, la presentación del tema continúa.

Presentación

xxi

se van “desarrollando”, permite entender que el relativamente fallido modelo Arrow-Debreu fue el resultado de urgencias políticas e ideológicas del siglo XX, todas asociadas con la toma de decisiones en mercados centralizados y descentralizados. Y por eso, hoy estamos frente a la obligación histórica de reconsiderar y volver a pensar los problemas económicos no solo desde los mercados, sino también desde perspectivas más profundas, más ricas conceptualmente, más reales y, principalmente, más relevantes empíricamente. Algunas corrientes económicas de pensamiento holístico, como se señala en la semana 10, están hoy comprometidas en ello. Para terminar, quisiera agradecer a todos aquellos que hicieron posible la elaboración de este segundo volumen del Curso Fundamental de Microeconomía. A la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Colombia-Sede Bogotá por haber financiado este trabajo y por haber dispuesto los recursos académicos de la Escuela de Economía y así tener el tiempo y la tranquilidad suficiente para llevar a cabo este esfuerzo. En especial, a los profesores Edgar Bejarano, José Guillermo García, Germán Guerrero y Gustavo Junca, les debo un reconocimiento por el decidido apoyo y gestión a este proyecto. Asímismo al Centro Editorial de la Facultad, a su director, profesor Álvaro Zerda, y a su equipo de trabajo (en especial, a su coordinadora, señora Nadeyda Suárez), mi agradecimiento por el trabajo realizado en la edición y publicación de este texto. A los profesores Ana Teresa Aldana, Carlos Andrés Álvarez, Angélica Chappe, Liliana Franco, Norman Maldonado, Olga Manrique y Giancarlo Romano, y a todos de los que recibí comentarios, críticas y observaciones a versiones preliminares, también les envío mi reconocimiento. Para Diego Ávila, Sebastián Bernal, Lina María Castillo, Leidy Gómez, Matilde Jiménez, Nathalie Jiménez, Juan Camilo Lesmes, Carolina Peláez, Juliana Peláez, Juan David Ramírez, René Ramírez, Brian Salamanca y David Siervo, quienes tanto me ayudaron en el muy difícil levantamiento y revisión de estos ensayos (escritos, cada uno, por etapas y en notas dispersas, durante más de nueve años de intensa búsqueda intelectual), únicamente tengo palabras de afecto y gratitud. Lina y Diego fueron los encargados de proveernos de algunas respuestas a los ejercicios impares del texto. Al final, sólo resta agradecer profundamente a quienes me dieron el soporte emocional y espiritual durante estos tantos y difíciles años. No necesito nombrarlos: ellos saben quiénes son. Sergio Monsalve Escuela de Economía Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá Abril de 2018

Introducción: León Walras, fundador del concepto de equilibrio general económico1

1.

León Walras Reconozco la prioridad de Gossen en lo que respecta a la curva de utilidad y la de Jevons en cuanto a la ecuación de utilidad máxima del intercambio, pero estos autores no fueron la fuente de mis ideas. Mi mayor deuda es la contraida con mi padre, Auguste Walras, en lo que respecta a los principios fundamentales de mi doctrina económica, y con Augustin Cournot por la idea de utilizar el cálculo de funciones en la elaboración de aquella.

Walras, 1900, p. 122. Marie-Ésprit León Walras nació en Évreux en 1834, en la Francia posterior a la Revolución Francesa. Con una educación primaria y secundaria estándar, a los 18 años lee los Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses (1838) de Antoine Augustin Cournot, y queda tan impresionado por la forma en que allí se utilizan las formas funcionales y el cálculo diferencial para el análisis económico, que creyó posible la construcción de una economía política científica, o, más específicamente, comenzó a creer firmemente en la economía política como ciencia matemática (Walras, 1905). Además de los Recherches de Cournot, el De la Nature de la Richesse et de L’Origine de la Valeur (1831) de su padre (el economista amateur) Auguste Walras, y algunas lecturas de Jean Baptiste Say, David Ricardo, Adam Smith y de los clásicos ingleses, serían el acervo cultural económico de Walras para la consolidación de su obra. Sin embargo, el camino hacia este inmenso objetivo fue difícil. Walras no tenía medios económicos, y los economistas franceses de la época formaban una corporación cerrada de individuos muy ricos a quienes no les interesaba la economía como rama de la ciencia sino de la política. Además, como este mismo grupo controlaba los journals de economía, el joven Walras se encontró casi excluido de esta posibilidad2 . Por lo tanto, en su tiempo libre escribía pequeños ensayos 1 El material de la presente introducción y del próximo capítulo se basa, parcialmente, en Monsalve (2009, 2010a). 2 Excepto por algunas publicaciones en el Journal des Economistes y La Presse.

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Introducción: León Walras

de literatura y de aplicación de las matemáticas a la economía, y reflexionaba sobre la estructura general del sistema económico y social que tenía en mente, aunque gastaba su tiempo principalmente en trabajos de sobrevivencia alejados del mundo académico. Desde 1858 (a los 24 años), cuando juró ante su padre que abandonaría la literatura y le dedicaría su vida a la economía, hasta 1892, cuando se retiró de la actividad académica oficial en la Universidad de Lausanne (Suiza), Walras tuvo que pasar por situaciones personales y económicas muy difíciles. Desde muy joven estaba convencido de que su vida estaría consagrada a dos problemas aparentemente distintos: primero, a la creación de una ciencia pura de la economía y, muy particularmente, a la economía de la libre competencia; segundo, a la creación de una ciencia aplicada de la economía que incluyera una teoría de cómo escoger la organización económica más eficiente y más útil desde el punto de vista de la producción de riqueza social, y de sus mecanismos impositivos para la justicia social. Y en sus tres principales libros, confirma su consagración. El primer libro es Éléments d’Économie Politique Pure de 1874-77, en el que estudia un sistema de relaciones económicas de equilibrio; el segundo libro son los Études d’Économie Sociale de 1896 en donde se preocupa por problemas ético-sociales tales como el comunismo, el individualismo, la propiedad privada, la nacionalización de la tierra, y las finanzas públicas; y el tercer libro es Études d’Économie Politique Appliquée de 1898, en el que analiza problemas como bimetalismo vs. monometalismo, monopolio vs. competencia libre, y temas como el libre comercio, el papel de la banca y el crédito, entre otros. Los años posteriores a la primera edición de los Éléments en 1874, fueron muy ricos en correspondencia científica, tratando de popularizar su nueva teoría. Con el mismo Cournot, con Menger, Marshall, Jevons, Wicksteed, Edgeworth, Bohm-Bawerk, Barone, Pantaleoni, I. Fisher, y con muchos otros. Sin embargo, fue en gran medida ignorado por los economistas y matemáticos de su época. Al final de los años ochenta en Lausanne, su salud comenzó a debilitarse, y en 1892 tomó un año sabático de su cátedra a la espera de recuperarse, pero pronto notó que tendría que resignarse a dejar su cargo académico. Lo sucedería su estudiante Vilfredo Pareto (1848-1923) quien trató a Walras con formalidad hasta que lo reemplazó en la cátedra, pero de allí en adelante fue un crítico de su maestro hasta el punto de considerar absurdas todas sus conclusiones en economía social y aplicada: sólo consideraba importantes los aportes de los Éléments. La denominada Escuela de Lausanne (de la que a Walras y Pareto se les considera fundadores), tuvo desde entonces más una tendencia hacia las ideas de Pareto que hacia las del propio Walras, y este sesgo, sin duda, marcaría y prejuiciaría el estudio del pensamiento walrasiano. Sin embargo, Walras continuaría trabajando el resto de su vida en los otros dos pilares de su teoría económica general (Economie Sociale y Economie Politique Apliquée), aunque también dedicaba tiempo a otras publicaciones y a revisiones de sus Éléments.

2. Walras y el laissez-faire

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Un capítulo interesante de los años finales de Walras fue su postulación por parte de algunos colegas de la Universidad de Lausanne y por sí mismo, al Premio Nobel de Paz de 1906. El sustento para esto era que bajo la propuesta central de laissez faire (que comentaremos más adelante), nacionalización de la tierra y eliminación de todos los impuestos, habría paz y justicia social. Sin embargo, el Comité del Premio Nobel no fue tan entusiasta al respecto, y sus miembros no veían cómo esta teoría fuera suficientemente benéfica como para que sirviera a la causa de la paz, y resolvieron entregarle el premio a Theodore Roosevelt (Sandmo, 2007). William Jaffé, el mejor biógrafo de Walras3 , narra la historia de una delegación de economistas extranjeros que llegó a Clarens, un pueblo pequeño cercano a Lausanne al que Walras se había retirado desde 1901, para presentar sus respetos al maestro, y preguntaron por su lugar de vivienda. Alguien de allí les dijo: “¡Ah!, ustedes buscan es al profesor que está continuamente leyendo sus propios libros y buscándoles errores”. Y así permaneció Walras en sus últimos años: revisando, corrigiendo y repensando su obra. Entre las notas que Jaffé (1935, p. 187) encontró dentro de los manuscritos de Walras, apareció una muy particular escrita a lápiz que decía: La única inmortalidad que podemos esperar es la de nuestro propio trabajo. Debemos trabajar y disfrutar del éxito de nuestro trabajo en vida. Este es el secreto de la moralidad y el secreto de la felicidad.

Walras murió en enero de 1910.

2.

Walras y el laissez-faire (...) Me parece que usted me considera un defensor de la competencia libre absoluta... pero lo que es cierto es lo opuesto; más bien ha sido el deseo de responder a la mal fundada e ininteligible aplicación de la noción de competencia, lo que me ha llevado al estudio de la competencia libre en el comercio y la producción.

Jaffé, 1965, p. 36, citando a Walras. (...) ¿Cómo podrían demostrar los economistas que los resultados de la libre competencia son buenos y ventajosos si no sabían cuáles eran dichos resultados?

Walras, 1900, p. 424. 3 El historiador norteamericano William Jaffé (1898-1980) fue reconocido por todos los economistas de su época como la máxima autoridad sobre el trabajo de Walras. Es a él a quien le debemos la traducción al inglés de los Éléments (1954) y el estudio sistemático de la obra de Walras a través de numerosos artículos, y de esta manera facilitó que la visión walrasiana se diera a conocer en la corriente principal del pensamiento económico. Sin embargo, quizás el hecho de que los otros dos pilares de la obra de Walras (Économie Sociale y Économie Politique Appliquée) no fueran traducidos a la par de los Éléments, contribuiría al ya mencionado sesgo sobre la obra del maestro, marcado por el pensamiento paretiano y hicksiano. Una corta pero interesante biografía de Jaffé aparece en Walker (1981).

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Introducción: León Walras

Desde muy joven, Walras tenía el convencimiento intuitivo de que la libre competencia no tenía rival en cuanto a eficiencia, aunque reconocía que no era aplicable a cualquier situación, ni resolvía el problema de la distribución justa de la riqueza. Afirmaba que la solución competitiva era superior desde el punto de vista científico, pero no era aplicable mecánicamente a las situaciones reales. No creía, además, que la competencia perfecta en un mercado fuera la mejor manera de generar la máxima suma de la satisfacción total para la sociedad, sino que era un sistema diseñado para eliminar cualquier beneficio individual del intercambio y de la producción. De hecho, en equilibrio, nadie se hace más rico ni más pobre; allí, la única forma en que un individuo se hace más rico es mediante la formación de capital a través del ahorro, y la única forma en que se hace más pobre es consumiendo más allá de sus ingresos: el sólo intercambio bajo competencia perfecta nunca tiene efectos reales de distribución 4 . Y esto no era por condenar la natural búsqueda de beneficio en las actividades económicas, sino para realizar la función moral de no dar algo por nada. Walras nunca fue abogado del laissez-faire, laissez-passer, a veces (equivocadamente) asociado a la noción de competencia perfecta. Por el contrario, creía firmemente en la intervención del Estado, pero solo hasta el punto en que asegurara “igualdad de condiciones” (que requiere que la tierra sea propiedad del Estado) y evitara la “desigualdad de posiciones” (que requiere que las habilidades personales les sean dejadas a los individuos). Sólo en esta forma, según él, podrían evitarse los posibles perjuicios, por ejemplo, del monopolio privado. De hecho, como reformador social presentó algunas teorías sobre la propiedad de la tierra y la reforma de su distribución, llamando la atención sobre la urgencia en este punto de la intervención del Estado en la economía. Esto, en contravía de los economistas políticos franceses de la época que insistían en limitar al máximo el papel del Estado en la economía. Libertad del individuo, autoridad del Estado, igualdad de condiciones, desigualdad de posiciones: esta es la fórmula general de la constitución de la ciencia social. Una vez se aplique esta fórmula (...) la ley del comportamiento del Hombre estará científicamente establecida, como lo es la ley del movimiento de la Tierra alrededor del Sol.

Walras, 1898, p. 453. Por esto, Walras se vería obligado a estudiar los límites del hombre como parte del Estado y al hombre como individuo, y los respectivos dominios de la propiedad individual y de la propiedad del Estado en asuntos de distribución, y esto lo haría en su Économie Appliquée y Économie Sociale, como veremos más adelante. Para él, la economía aplicada (Économie Appliquée) fue, precisamente, la aplicación de sus concepciones de economía pura (Éléments) y filosofía científica (Économie Sociale) como fórmula para alejarse del laissez-faire, laissez-passer. 4 Esto

fue ya discutido en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial).

3. Walras y el concepto de equilibrio económico

3.

5

Walras y el concepto de equilibrio económico

Aunque el pensamiento económico desde al menos la época de Adam Smith (1723-1790) tiene en su centro al individuo que toma decisiones, la formulación de la perspectiva individualista en economía se acostumbra asociar con la escuela austriaca y, muy en particular, con Carl Menger y su Grundsätze Der Volkswirthschaftslehre (traducido al inglés como Principles of Economics) de 1871. Sin embargo, no es claro que Walras recibiera influencia de Menger en este aspecto. Según Jaffé (1965), su visión sobre una “economía en equilibrio” provino de una fuente precisa: fue sugerida por su lectura, a los 19 años, de los Éléments de Statique (1803) –particularmente el capítulo 2 (“Sobre las condiciones de equilibrio expresadas por ecuaciones”) y su complemento La teoría del equilibrio general y de movimientos expresados en sistemas (1806)– sobre el equilibrio de fuerzas mecánicas de Louis Poinsot, en donde aprendió cómo se deducían condiciones de equilibrio general de un sistema mecánico, a partir de condiciones de equilibrio de las partículas5 . En Walras, esta inspiración lo condujo a la idea simple (aunque no bien formulada) de que en un sistema económico, todo afecta a todo: cada cambio induce cambios y cada uno de estos, a su vez, induce otros cambios. Y esta nebulosa idea de interdependencia lo condujo a que las partículas eran los consumidores y los productores, que las “fuerzas” del mercado eran la oferta y la demanda por los productos, y que estas dependían de los precios de todos los productos (incluyendo, entre los precios, a los salarios y a los precios de servicio de capital –rentas–). Finalmente, llamó “precios de equilibrio” a los precios que hacían que la demanda igualara a la oferta en cada mercado6 . Pero una cosa es tener una idea primitiva de interdependencia y una posible noción de equilibrio, y otra muy distinta es la de construir una teoría matemática explícita que revelara claramente esa interdependencia económica dentro de un sistema de equilibrio general. Además, responder a las dificultades teóricas y conceptuales asociadas con este inmenso esfuerzo, lo obligó a limitarse en sus hipótesis y construcciones, y esto, por supuesto, le valdría las críticas y ataques de los economistas de la época. Nueve meses antes de morir, Walras publicaría un particular artículo, Économique et Mécanique (1909), en el que revelaba cómo podría haber devenido el concepto de equilibrio económico a su pensamiento de “arquitecto”7 . Particularmente interesante es la justificación que da para que, a diferencia del equilibrio 5 Además, Poinsot creía que para resolver este sistema de equilibrio, bastaba con que el número de ecuaciones coincidiera con el número de incógnitas, una afirmación que fue recurrente en los Éléments de Walras. 6 Sin embargo, Jaffé (1969) sostenía que, además de Poinsot y de sus colegas de Lausanne (Picard y Amstein), el Traité des Richesses de Isnard (1781) influyó notablemente en la matemática del sistema de equilibrio general de Walras. 7 En una nota aislada encontrada por Jaffé dentro de los manuscritos de Walras, apareció una frase muy curiosa que decía: “No soy economista, soy arquitecto. Pero sé más de economía que lo que saben los economistas.”

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Introducción: León Walras

mecánico de Poinsot, al concepto de equilibrio económico se le pudieran incorporar elementos subjetivos. Decía: La teoría de la satisfacción máxima del intercambio y la de la energía máxima de la balanza romana, la teoría del equilibrio general del mercado y la del equilibrio universal de los cuerpos celestes, encontraremos, entre las dos teorías mecánicas una sola y única diferencia: la exterioridad de los fenómenos mecánicos y la interioridad de los fenómenos económicos, (...); se tienen instrumentos para determinar la caída de los astros los unos hacia los otros. No se tienen para medir la intensidad de las necesidades en las personas que intercambian. Pero no importa, puesto que cada individuo que intercambia se encarga de operar él mismo, consciente o inconscientemente, esta medida y de decidir en interior profundo si sus últimas necesidades satisfechas son o no proporcionales a los valores de las mercancías. Que la medida sea exterior o que sea interior, en razón de que los hechos que se van a medir sean físicos o psíquicos, no impide que exista medida, es decir, que la comparación de las cantidades y la relación sea cuantitativa, y que, en consecuencia, la ciencia sea matemática. Una de las materias de la ciencia moderna, después de haber citado y criticado los ensayos de definición de masa de Newton por Thomson y Tait, de la fuerza de Lagrange por Kirchhoff, concluye que: las masas son coeficientes fáciles de introducir en el cálculo. ¡Bienvenido sea! Esto es hablar claro y me motiva a preguntarme si las masas y las fuerzas al igual que las utilidades y las raretés 8 , no serán simplemente nombres dados a las causas hipotéticas que serán indispensables y legítimas de hacer aparecer en los cálculos en vista de incorporarlas a sus efectos si se quiere elaborar la ciencia físico-psíquico-matemática con la precisión y concisión y en la forma rigurosa y clara de la lengua matemática. Las fuerzas serán así causa del espacio recorrido, las masas serán causa del tiempo empleado en recorrer,(...) y las utilidades y las raretés serán las causas de la demanda y de la oferta, de las cuales resultará el valor en el intercambio (...). Las matemáticas serán la lengua especial para hablar de hechos cuantitativos, y en consecuencia la economía será una ciencia matemática con el mismo título de la mecánica y de la astronomía.

Walras, 1909, pp. 322–23. Así, inspirado en la Física, para él se debían distinguir los hechos matemáticos en dos categorías: los primeros son exteriores, suceden fuera de nosotros, en la naturaleza, y son los objetos de las ciencias físico-matemáticas; los segundos son internos, ocurren dentro de nosotros, en el interior profundo, y son los hechos psíquicos-matemáticos. La mecánica y la astronomía pertenecen a la primera categoría; la economía pertenece a la segunda. Y aquí, el concepto de equilibrio económico también tendrá su participación: serán entidades abstractas creadas por la subjetividad. Al final, los Éléments de 1874-1877 tendrían como trasfondo los conceptos de laissez-faire (asimilado –en principio, equivocadamente– a la noción de compe8 “La rareté es la derivada de la utilidad efectiva respecto a la cantidad poseída, exactamente como se define la velocidad: la derivada de la distancia recorrida respecto al tiempo empleado en recorrerla” (Éléments, §101).

3. Walras y el concepto de equilibrio económico

7

tencia perfecta) y de equilibrio económico. Alrededor de ellos dos, giraría todo el aparato teórico de Walras.

Semana 1

Sobre la obra científica de Walras1

1.1.

Introducción La obra de León Walras (1834-1910) es, en su mayoría, casi desconocida, incluso por el público especializado. La escasa lectura directa de Walras ha dado lugar a la transmisión de una imagen incompleta y, lo que es peor, deformada, de uno de los economistas más importantes de la historia del pensamiento económico.

Segura2 , 1988, p. 73. Por razones que la historia del pensamiento económico tendrá que evaluar (y sobre las que discutiremos adelante), es típicamente aceptado que la contribución más importante de Walras fue su teoría del Equilibrio General tal como aparece en Éléments 3 . No obstante, la “visión general” de una economía, como hilo conductor de tal equilibrio, ya tenía antecedentes en el Tableau Économique de François Quesnay (1758) en donde se explicaba la interdependencia de sectores definidos en términos de estructura de clase (productivos, propietarios, clases manufactureras “estériles”, etc.), y donde los flujos de bienes, servicios y dinero eran controlados por el empresario4 . También Jaffé (1969) afirmaba que Walras se habría inspirado en algunas de las ecuaciones del Traité des Richesses de 1 Algunos conceptos teóricos que se presentarán en esta sección, ya fueron discutidos en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial). 2 Julio Segura es un politólogo y economista español, traductor de Walras al castellano. 3 La primera edición de los Élements fue publicada en dos partes, una en 1874 (que es la que comúnmente se cita en las bibliografías de Walras) y otra en 1877; la segunda edición fue publicada en 1889; la tercera en 1896; la cuarta en 1900; y la quinta en 1926, después de su muerte. Fue la edición de 1900 a la que Walras llamaría su “edición definitiva” que, de hecho, no contiene diferencias esenciales con la edición de 1926. 4 Para Walras, como veremos más adelante, el papel del empresario también era central.

9

10

Semana 1. Sobre la obra científica de Walras

Isnard (1781) para la construcción de su sistema de equilibrio general. Aún así, no existe duda de que el modelo walrasiano iba mucho más allá de Quesnay y de Isnard, y que fue la más amplia visión de la economía hasta entonces conocida. Walras supone una economía en régimen de competencia perfecta en el que todos los agentes (consumidores y productores) responden a precios tomados paramétricamente, es decir, a precios dados por el mercado, justificándo esto sobre la base de que, en su ideal de “igualdad de condiciones” y “desigualdad de posiciones”, no era posible ningún comportamiento manipulativo dentro de la economía. Al respecto, afirmaba: (...)Los mercados mejor organizados desde el punto de vista de la competencia son aquellos en que las ventas y las compras se hacen mediante subasta, a través de agentes tales como los agentes de cambio, corredores de comercio o voceadores que las centralizan, de tal forma que ningún cambio tiene lugar sin que las condiciones sean anunciadas y conocidas y sin que los vendedores tengan la oportunidad de rebajar sus precios y los compradores de aumentarlos. Así funcionan las bolsas de valores públicos, las bolsas de comercio, los mercados de grano, de carne, etc. Al lado de estos mercados existen otros donde la competencia, aunque no tan bien organizada, funciona todavía de una manera bastante adecuada y satisfactoria: tales son los mercados de frutas y legumbres, de volatería5 . Las calles de una ciudad donde se encuentran almacenes y panaderías, carnicerías, tiendas de ultramarinos, sastrerías, zapaterías, constituyen mercados con una organización un poco más defectuosa desde el punto de vista de la competencia pero, sin embargo, ésta está presente de forma suficiente. (...) Supondremos un mercado perfectamente organizado 6 desde el punto de vista de la competencia, de igual forma que en la mecánica pura se supone que las máquinas se encuentran libres de rozamientos7 .

Walras, 1900, 5, §41. Y para que esta economía bajo competencia perfecta esté en equilibrio, Walras explica que se necesitan cinco condiciones: i) Que cada consumidor, caracterizado por curvas de utilidad sobre los bienes y servicios de la economía, alcance el máximo de satisfacción. Esto se obtiene cuando los precios son proporcionales a sus respectivas utilidades marginales (raretés). 5 Un

mercado de volatería es uno de carne de aves (pollo, pavo, codorniz, etc.). de aquí proviene el término “competencia perfecta”. 7 Un experto en la obra de Walras (Walker, 1996), niega que el francés hubiera definido una economía bajo competencia perfecta como aquella en que los precios eran tomados paramétricamente. En su lugar, aseguraba (como se puede pensar de esta cita) que era aquella en donde los individuos interactuaban libremente y colocaban los precios a los que estaban dispuestos a negociar. Siguiendo esta línea, se podría sugerir que los equilibrios alcanzados al asumir que los agentes toman los precios paramétricamente, son los mismos alcanzados al asumir que los agentes llevan a cabo negociaciones de cierto tipo. Esto acercaría el pensamiento de Walras al de Edgeworth y su idea de renegociación. Sobre esto discutiremos en la semana 8. 6 Quizás

1.2. Teoría del intercambio puro

11

ii) El precio de mercado de cada bien o servicio producido u ofrecido, debe coincidir con su costo (marginal) unitario de producción. iii) La oferta de cada bien o servicio (finales), debe ser igual a su demanda. iv) Que la demanda y la oferta de los bienes de capital sean iguales8 . v) Que la cantidad de dinero en circulación debe ser tal que su precio sea el mismo como capital circulante (o sea, dinero que se utiliza mientras se va llevando a cabo el proceso productivo o de consumo) y como dineromoneda. Esta igualdad se logra a través de fundición o acuñación. Y todo esto lo analiza en los Éléments en cuatro bloques: la teoría del intercambio puro, la teoría de la producción, la teoría de la formación de capital, y la teoría monetaria y de la circulación.

1.2.

Teoría del intercambio puro El descubrimiento [de la teoría económica] no se llevó a cabo completamente hasta Walras, cuyo sistema de ecuaciones, que define los equilibrios (estáticos) en un sistema de cantidades interdependientes, es la Carta Magna de la teoría económica.

Schumpeter, 1954, p. 242. En ocasiones es difícil separar el pensamiento de Walras-hijo del de Walraspadre pues sus similaridades fueron realmente notables. Como caso particular, Walras tomó del De la Nature de la Richesse (1831) de su padre Auguste, su conveniente clasificación de los bienes, que hace la útil distinción entre capital e ingreso, siendo el primero aquella riqueza social que puede utilizarse más de una vez, y el segundo, aquella riqueza social que es utilizada una sola vez. Más aún, muchas de las categorías y definiciones de factores de producción fueron tomadas casi al pie de la letra del libro de su padre. Por ejemplo, ambos Walras rechazaban la común clasificación clásica de tierra-mano de obra-capital, colocando en su lugar servicios-tierra, cuya fuente es la tierra; servicios-mano de obra, cuya fuente son las capacidades de las personas; y servicios-capital, cuya fuente es el capital en el sentido de bienes de capital producidos. Con respecto al problema mismo del intercambio, aunque Gossen, Menger, Jevons y Marshall desarrollaron de manera casi simultánea la ecuación de proporcionalidad (en equilibrio) de las utilidades marginales (que, como ya habíamos afirmado, Walras llamaba raretés) y los precios de los bienes, sólo Walras atacó este mismo problema para más de dos mercancías. Y la forma de resolver este problema fue la de conectar los diferentes mercados a través de la condición de 8 La definición más socorrida de un bien de capital es la de aquel bien producido que es utilizado como insumo (factor) en posteriores procesos productivos. Obviamente, esto lo llevaría a disgresiones muy profundas sobre el significado del término “bien de capital” y, en particular, a diferenciar estos, de los bienes finales que sólo son utilizados una vez.

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Semana 1. Sobre la obra científica de Walras

equilibrio de “oferta igual a demanda”, y mediante la aparición endógena de un precio uniforme que llamó numerario9 , el cual permite reducir los precios de todos los bienes en términos de éste. De hecho, Walras establece un teorema que llamó de las redistribuciones equivalentes: Dadas varias mercancías en un mercado en estado de equilibrio general, los precios corrientes de estas mercancías no cambiarán si se redistribuyen las cantidades de éstas entre los individuos de una forma cualquiera, siempre que la suma de las cantidades poseídas por cada uno de los individuos se mantenga igual en valor.

Walras, 1900, 14, §143.

Según esto, se puede definir la restricción presupuestaria individual en términos del numerario y, por tanto, plantear el problema de equilibrio del consumidor como uno de maximizar la utilidad sujeta a una restricción presupuestal, tal como lo explicamos, previamente, en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial). De esta manera se llegaba al “Principio de satisfacción máxima” que se determinaba... (...) mediante la triple condición: 1° Que cada individuo obtiene la satisfacción máxima de sus necesidades, siendo las proporciones entre las raretés iguales a los precios; 2° Que cada individuo debe recibir en proporción a lo que entrega y entregar en proporción a lo que recibe, teniendo cada mercancía un sólo precio en términos del numerario, aquel para el cual la demanda total efectiva iguala a la oferta total efectiva; 3° Que no se realiza arbitraje10 , porque el precio de equilibrio de cualesquiera dos mercancías en términos de una de ellas es igual al cociente entre los precios de equilibrio de ambas en términos de una tercera cualquiera11 .

Walras, 1874, p. 187.

Y para encontrar un sistema de precios que satisficiera las tres condiciones anteriores, fue que Walras introdujo su famoso tâtonnement 12 (1874). Este es un proceso mediante el cual el mecanismo de mercado “resuelve” el problema de intercambio13 . En palabras del propio Walras, el mercado lleva este proceso a cabo de la siguiente forma:

9 Término

acuñado por Auguste Walras, padre de León. término “arbitraje” significa una operación comercial que involucra la compra y venta de una misma mercancía en dos o más mercados entre los que existen diferencias en precios. 11 La interpretación matemática de esta cita de Walras, debería ser un ejercicio simple a partir del estudio de las primeras semanas del volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial). 12 Curiosamente, Walras nunca utilizó la palabra “subastador” (auctioneer en inglés y que ocasionalmente Jaffé, su traductor, sí utilizó) en los Éléments. Muy seguramente, la palabra francesa para auctioneer es commissaire-priseur, pero Walras siempre utilizó alternativamente courtier o crieur. 13 Pero no sólo de intercambio, sino también de producción y de capitalización, como veremos más adelante. 10 El

1.3. Teoría de la producción

13

Si la demanda es superior a la oferta, el precio de dicha mercancía en términos del numerario, subirá; si es la oferta la que supera a la demanda, bajará.

Walras, 1900, 12, §125. Era claro que Walras no tenía una conciencia clara sobre el problema de la existencia del equilibrio, y la confundía con el problema de su estabilidad a través del tâtonnement. De hecho, trató el problema de la existencia del equilibrio y su unicidad, con un argumento que descansaba en la idea de que si un sistema contenía exactamente el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, no tendría porqué dejar de haber soluciones (la llamaba “solución científica”), ni habría más que una solución, y esto se resolvía “en el mercado por el mecanismo de la competencia”, es decir, por tâtonnement (Walras, 1874, 12, §125)14 .

1.3.

Teoría de la producción

Sobre el equilibrio en la producción bajo libre competencia decía que esta operación debería arrojar precios para cada servicio y para cada producto, de tal manera que la oferta y la demanda fueran iguales, y que aquellos precios deberían ser iguales al costo (marginal) unitario de los servicios empleados en su producción. En esta instancia, Walras tuvo que enfrentar el reto de conectar los mercados de productos y de servicios productivos, y al hacerlo incorpora dentro de la teoría económica los conceptos de terrateniente, trabajador, capitalista y empresario [entrepreneurs]. Walras (1900, 18, §184) los define así: Llamamos terrateniente a cualquier poseedor de tierras, trabajador al poseedor de facultades personales, capitalista al poseedor de bienes de capital. Y ahora llamamos empresario a una cuarta figura, totalmente distinta de las precedentes, cuyo papel consiste en tomar en arriendo la tierra del terrateniente, las facultades personales del trabajador y los bienes de capital de los capitalistas, para combinar los tres servicios productivos en la agricultura, la industria o el comercio.

El objetivo de esta particular figura del empresario es, obviamente, recibir ganancias por su tarea. Pero Walras resaltaba que, en condiciones de equilibrio competitivo, el precio de venta de los productos y servicios productivos iguala 14 Lo anterior no es del todo sorprendente si pensamos en que la Física del siglo XIX nunca se preocupaba por la existencia de los equilibrios. El mismo Poinsot (1803) en su sistema mecánico podría haber influido en Walras al asegurar que un sistema de n ecuaciones con n incógnitas siempre tenía solución. Además, dicho sea de paso, en aquella época tampoco se tenían disponibles las herramientas matemáticas adecuadas para un propósito de tal nivel. Para establecerlo claramente, notemos que el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas x2 + y 2 = 0; x2 − y 2 = 1 no tiene solución en los números reales; y que el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

x2 − y 2 = 0; tiene infinitas soluciones.

x + y + z = 0;

xz = 0

14

Semana 1. Sobre la obra científica de Walras

a los costos (marginales) unitarios de producción15 , lo que conlleva a que el empresario realmente no obtendrá ningún beneficio por su trabajo, y que su papel sólo será conectar los mercados de productos y servicios. Sin embargo, al intentar generalizar la existencia del equilibrio productivo a través del tâtonnement, Walras encontró que había un problema: al vocearse determinados precios que no son de equilibrio, se requerirá fabricar cantidades de productos que no son tampoco de equilibrio, y esto podría llevar en la siguiente etapa a producciones inferiores a las que ya se tenían. Para resolver este problema, asume que los empresarios operarán entonces con vales hasta que se alcance la cantidad de equilibrio. Sin embargo, hay más problemas: aún si hubieran sido voceadas las cantidades de equilibrio, es un hecho que llevar a cabo la producción, toma tiempo. Walras esquiva este problema asumiendo que tal hecho no sucede, y entiende que deberá estudiar los problemas del capital circulante y, fundamentalmente, del dinero. Esto lo haría en capítulos posteriores. La mayoría de las críticas a la teoría de la producción de Walras se dirigían a la condición de que, en equilibrio, los empresarios no tienen ni pérdidas ni ganancias. Sin embargo, la clave aquí estaba en la utilización que le daba Walras a la palabra “beneficio”. Lo que quería entender por esto es lo que obtiene un empresario en otras funciones, pero no en su función de empresario en sí misma. Es decir, esta función comercial, tomada aisladamente, equilibra las pérdidas y las ganancias. Y, de hecho, esto lo afirmaba el mismo Walras: En estado de equilibrio en la producción, los empresarios no tienen ni pérdidas ni beneficios. Ellos se ganan la vida, no como empresarios, sino como propietarios de la tierra, trabajadores o capitalistas en su propio negocio o en otros. (...) Creo que para llevar una contabilidad racional, un empresario que sea propietario de una tierra que explota u ocupa, que participe en la dirección de su empresa, que tenga fondos comprometidos en su negocio, debe anotar en los débitos sus gastos generales y abonar en su propia cuenta las [correspondientes] rentas de la tierra, salario y cargos por intereses calculados a los precios del mercado de los servicios productivos, que es gracias a lo que subsiste, sin obtener desde un punto de vista estricto, como empresario, ni beneficio ni pérdida.

Walras, 1900, 18, §188. Una vez incorporada esta definición contable, la condición de “beneficio cero bajo competencia perfecta” ha sido adoptada por muchos economistas, aunque sin darle ningún crédito a Walras16 . Otra de las críticas a la teoría de la producción de los Éléments se concentró en los coeficientes de producción constantes17 . Es aparentemente claro (ver Stigler, 15 O

“precio igual a costo marginal” [Cournot (1838)]. sobre el problema de beneficio cero en equilibrio ya habíamos estudiado en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial) pero desde la perspectiva de la libre entrada y salida de empresas. 17 Un coeficiente de producción, recordemos, es un número fijo a ij que mide cuántas unidades del bien i se requieren para producir una unidad del bien j. Y afirmar que este coeficiente 16 Precisamente

1.4. Teoría del capital

15

1941) que no antes de la aparición, en 1894, del Il Massimo di Utilità dato dalla Libera Concorrenza de Pareto, tuvo claridad Walras con respecto a la teoría de la productividad marginal, es decir, al estudio de coeficientes marginales variables de producción. Walras le da el crédito a Pareto de ser uno de los descubridores de la teoría de la productividad marginal, aunque reconoce que el germen de esta ya había aparecido en el Theory of Political Economy (1871) de Jevons. Pues cabe mencionar que en 1877, Walras había tenido en sus manos una carta de un colega de Lausanne en donde este le mostraba cómo podría calcular los coeficientes de producción utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, una técnica que jamás usó. Pero no tuvo en cuenta esta sugerencia, quizás debido a su débil entrenamiento matemático. Sea como hubiera sido, Walras sí incorporó en la última edición de sus Éléments una teoría de la productividad marginal que implicaba los coeficientes variables que siempre buscó. Primero (en notación original) definió una ecuación de producción [“équation de la fabricatión”] con rendimientos constantes a escala de la forma Q = φ(T, P, K, ...) (∗) donde Q es la producción de cierto servicio productivo B, y donde T , P , K, . . ., son las cantidades variables de los servicios productivos implicados en esa producción. Así, el costo de producción es Qpb = T pt + P pp + Kpk + . . . donde pb es el precio unitario de B, pt es el precio unitario de T , etc. Y minimizar este costo llevó a Walras a la “teoría de la productividad marginal”: pp pk pt = = = ... ∂φ ∂φ ∂φ ∂T ∂P ∂K

[18]

(∗∗)

Los sistemas (∗) y (∗∗) consistían de n ecuaciones con n incógnitas (incluídos allí los “coeficientes variables” de producción) que, según Walras, obligaría la existencia de soluciones a ellos. Quizás debido a que este intento fue tardío dentro de su trabajo científico, Walras nunca incorporó una teoría completa de la productividad marginal en su modelo de equilibrio general, como sí lo hiciera con la teoría subjetiva del valor: He preferido no introducir la teoría de la productividad marginal en mi teoría general del equilibrio económico, ya suficientemente complicada por sí misma, por temor a que resulte demasiado difícil de asimilar en su conjunto.

Walras, 1900, 36, §326. es constante significa asegurar que durante todo el proceso productivo ese coeficiente no cambiará, sin importar cuántas cantidades deban producirse. 18 Para confirmar esta ecuación, ver el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial).

16

1.4.

Semana 1. Sobre la obra científica de Walras

Teoría del capital 19

En el modelo de Walras la única forma de que un individuo sea más rico, es mediante la formación de capital a través del ahorro; y la única forma en que se hace más pobre es consumiendo más allá de su ingreso. El sólo intercambio bajo competencia perfecta nunca tiene efectos de distribución 20 , y es claro que el hecho de que un individuo se haga más rico o más pobre implica cambios en gustos, tecnología, recursos, capital, etc. Pero aunque no es explícito en esto, Walras asumía que todas las variables permanecían constantes hasta que el equilibrio se alcanzara. Inclusive su teoría de formación de capital está restringida al cálculo del equilibrio en el momento de hacer las inversiones, y todo lo demás es estático. En los Éléments, Walras forzó la teoría de la formación de capital dentro de una estructura estática como es la que tiene su modelo de equilibrio general, y así era imposible que pudiese estudiar allí las consecuencias de la inversión. Posteriormente, en el artículo La Bourse, la Spéculation et l´Agiotage de 188021 , sí discutió los efectos de nuevas inversiones y de otros cambios en los parámetros del modelo. Así, Walras consideraba cuatro mercados separados en la formación del capital y del crédito en una economía: a) Servicios; b) Productos para el consumo; c) Nuevos bienes de capital; y d) Un bien abstracto E (“ingreso neto perpetuo”) que es una expresión del ahorro22 . Aquí, al igual que en las economías de intercambio y producción, los nuevos bienes de capital y el ahorro E son intercambiados de acuerdo a las reglas de la libre competencia, y sus precios son indexados en términos del numerario. Ahora: los precios de equilibrio del ahorro E y de los nuevos bienes de capital se establecen mediante igualación de oferta y demanda. El precio del ahorro E será 1/i donde i es la tasa de ingreso neto; con esto, la cantidad E podía ser demandada u ofrecida por los agentes de la economía, como cualquier otro servicio de capital, además de ser incluida en la función de utilidad y ser entonces asignada de manera óptima. Por su parte, el precio de venta de un bien de capital lo define Walras mediante la fórmula p Π= i+µ+ν donde p es el ingreso bruto del bien de capital; µ es la tasa de depreciación, que variará para los diferentes bienes de capital; y ν es la tasa de prima del seguro (para prevenir situaciones de desastre), que también variará con los diferentes bienes de capital. 19 Esta sección presenta un nivel superior al del resto del texto, pero es inevitable si queremos ser fieles al pensamiento original de Walras. 20 Lo que Walras quiere decir con esto es que, aunque el intercambio permite mejorar en utilidad, no permite mejorar en riqueza debido a la restricción presupuestaria. 21 Aparecido después en su Économie Politique Appliquée (1898). 22 Con este concepto, Walras eludió el estudio del problema dinámico inherente a cualquier aproximación a la noción de capital.

1.5. Teoría monetaria

17

Ya para establecer “efectivamente” el equilibrio entre los bienes nuevos de capital y el bien E , Walras lo hace de manera similar a como lo llevara a cabo en intercambio y producción: recurrió nuevamente a su tâtonnement. Sin embargo, además de los procesos tâtonnement para los sectores de intercambio y producción, en este nuevo modelo existen dos procesos iterativos adicionales. El primero es para establecer el equilibrio en el mercado de nuevos bienes de capital mediante los precios de venta y los costos de producción: si el precio de venta es mayor que el costo de producción, la cantidad producida aumentará, y su precio de venta caerá; si el precio de venta es menor que el costo de producción, la cantidad producida disminuirá y su precio de venta aumentará. El segundo es para establecer el equilibrio en el mercado del bien abstracto E llamado ingreso neto. Si el ahorro total (valor total del ingreso neto) es menor que el valor total de los nuevos bienes de capital, entonces la tasa de ingreso neto subirá (con lo que el precio del ahorro total disminuirá); y en el caso opuesto tendrá que caer. En equilibrio, la tasa de ingreso neto se determina una vez que el valor del ahorro total E sea igual al valor total de nuevos bienes de capital. En la sección “Teoría de la Formación de Capital y Crédito” de los Éléments, Walras proponía entonces un modelo macroeconómico de equilibrio más general que el de intercambio y producción. Con incógnitas adicionales para los nuevos bienes de capital y sus respectivos precios, y también para el ahorro total E y su precio, el sistema funciona, entonces, como una versión extendida del modelo de economía de producción previamente estudiado. Por ello, no es de extrañar que llegara a un resultado similar al de este último modelo: Dados varios servicios, sobre la base de cuyos precios es posible obtener un excedente de la renta [ingreso] sobre el consumo para transformarlo en nuevos bienes de capital, y cuyo intercambio se realiza contra varios bienes de consumo y nuevos bienes de capital (...), para que exista equilibrio en el mercado de bienes de capital, (...) es necesario y suficiente: 1° que a los precios de venta iguales al cociente entre las rentas netas y la tasa común de renta neta, la demanda y la oferta efectivas de estos bienes de capital nuevos en términos de numerario sean iguales, y 2° que los precios de venta y costos de producción de estos nuevos bienes de capital sean iguales. Cuando esta doble igualdad no se cumple es preciso, para alcanzar la primera, un alza en los precios de venta mediante una reducción de la tasa de renta neta si la demanda efectiva es superior a la oferta efectiva, y una baja de los precios de venta mediante una elevación de la tasa de renta neta si la oferta efectiva es superior a la demanda efectiva; y para alcanzar la segunda igualdad, será preciso el aumento de la cantidad de bienes de capital nuevos cuyo precio de venta exceda al costo de producción y la disminución de la cantidad de aquellos cuyo costo de producción exceda al precio de venta.

Walras, 1900, 25, §260

1.5.

Teoría monetaria

Después de muchas dudas e intentos que vienen desde su Théorie de la Monnaie (1886), en donde la idea central de Walras era la de estabilizar variaciones de

18

Semana 1. Sobre la obra científica de Walras

precios mediante regulaciones de la oferta monetaria, es sólo hasta la cuarta edición de los Éléments (1900) que le da cierta coherencia interna al modelo con la inclusión del dinero. Allí lo define como aquél que (...) permite sincronizar en el tiempo los flujos de ingresos y gastos de los consumidores, los flujos de materias primas y bienes intermedios con los de producción de los empresarios. Es decir, el dinero cubre desfases temporales psicológicos, institucionales y técnicos; tiene, por tanto, utilidad, y su demanda puede obtenerse del proceso de maximizar la utilidad de los individuos.(...) Una vez logrado el cierre del sistema, todo vuelve a ser teoría del intercambio,...pero con dinero.

Walras, 1900, p. 525. De esta manera, Walras incorpora el dinero mediante la solución de una ecuación de “oferta igual demanda”, similar a lo que había hecho previamente con su modelo de intercambio. Y para hacerlo, distingue entre el inventario de dinero (que no tiene utilidad alguna por sí mismo) y los “servicios de disponibilidad” de ese inventario, que es el que entra como otro bien en las funciones de utilidad del consumidor y en los planes de producción de las empresas. Y sólo esto de Walras sobre teoría monetaria ha tenido algún impacto en la historia del pensamiento económico: el planteamiento (mas no la solución) al problema de la integración del dinero en su sistema de equilibrio general. Más específicamente, Walras entendía el problema de darle lugar al dinero en un ambiente bajo certidumbre y estático. La primera limitante la “resolvió” asimilando el dinero como “capital circulante”, es decir, como capital que se utiliza inmediatamente o en espera, mientras se lleva a cabo el proceso productivo o de consumo, lo que, según él, permitía procesos completamente predecibles. Por su parte, la segunda condición la resolvió creando una figura similar a la E del modelo de capital: incluyó el encaisse désirée (o cantidades monetarias deseadas ex ante)23 . Cada unidad de este se destina y conserva en unidades monetarias con el propósito de comprar capital fijo o circulante. Deduciendo estas demandas como las de cualquier otra mercancía, y agregándolas, obtenía, entonces, las demandas de saldos monetarios que, igualadas a las ofertas de saldos monetarios, arrojaban los precios de equilibrio de los services d’approvisionnement del dinero. Fue así entonces como pudo integrar el complemento monetario a la estructura de equilibrio general. Sin éxito, hacia el final de los Éléments, Walras también intenta mostrar cómo hacer el paso a un “mercado continuo”, tratando de evitar el problema del modelo estático. Pero para esto también tuvo que recurrir al tâtonnement: Finalmente, y para acercarnos más y más a la realidad, vamos por ahora a reemplazar nuestra hipótesis de un mercado anual periódico por la de un mercado 23 “Este valor de la totalidad o parte de los productos consumibles que los participantes en el intercambio desean comprar y mantener materializados en forma de dinero o de ahorros monetarios, constituyen los saldos líquidos deseados [encaisse désirée].” (Éléments, §275).

1.5. Teoría monetaria

19

continuo; en otras palabras, debemos pasar de lo estático a lo dinámico...[El mercado continuo] está perpetuamente tendiendo hacia el equilibrio sin realmente alcanzarlo nunca, ya que el mercado no tiene forma de aproximarse al equilibrio distinta a la del tâtonnement, y antes de que el objetivo se alcance, tienen que empezar a agruparse todos los datos básicos del problema, tales como las cantidades iniciales poseídas, las utilidades de los bienes y servicios, los coeficientes técnicos, el exceso del ingreso sobre el consumo, los capitales de trabajo requeridos, etc., que han venido cambiando mientras tanto.

Walras, 1900, p. 579. Walras planteó sus ideas generales sobre moneda fundamentalmente en cuatro trabajos: Éléments, Économie Appliquée, Théorie Mathématique du Bimétallisme (1881) y Théorie de la Monnaie (1886). Y aunque en los tres últimos nunca alcanzó el alto nivel formal del primero, sus aportes más sustantivos en teoría monetaria podrían resumirse en tres puntos: 1. En primer lugar, acepta la teoría cuantitativa del dinero en el sentido de que el nivel de precios únicamente lo determina la masa monetaria en circulación (Walras, 1874-77). Para él, no había motivos para mantener saldos monetarios y, así, la función del dinero era la de ser únicamente unidad de cuenta y medio de intercambio. El dinero no era un activo y, por lo tanto, no estudió las posibles interdependencias entre los mercados de mercancías y los mercados de valor. 2. En segundo lugar, defiende el monometalismo: el oro debería ser la única moneda aceptable en cualquier transacción internacional. Todo el dinero circulante tendría que estar respaldado en oro, aunque con un billon regulateur en plata, pues, para él, esta era la única forma de controlar los precios. Consecuente con ello, era un defensor de la nacionalización de las minas de oro y plata, pues creía que era esperar demasiado que intereses privados actuaran de manera responsable con los intereses de la sociedad. Uno debería utilizar oro en todas las transacciones internacionales, junto con una cantidad limitada de plata como moneda para pagar las transacciones domésticas. Por consiguiente, siempre que la cantidad de oro aumente o disminuya, la cantidad de plata también disminuirá o aumentará de tal forma que se eviten las crisis de altos o bajos precios.

Walras, 1898, p. 163. Y es que Walras estaba convencido de que cambios en el nivel de precios podrían tener dañinas consecuencias (unas veces para los empresarios, y otras para los trabajadores –salarios–); es decir, negaba que el dinero fuera simplemente un “velo” en el sentido de que todos los intercambios funcionarían bien, simplemente con una unidad de cuenta. Su recomendación en esto era utilizar la oferta monetaria como factor crucial de estabilización

20

Semana 1. Sobre la obra científica de Walras de precios en aquellos niveles que garantizaran el funcionamiento equilibrado de la economía. Pero aquí, el punto clave del pensamiento monetario de Walras aparecería claro: la economía es un sistema (en equilibrio o en desequilibrio) en el que cualquier política monetaria tendría impacto en sus distintos sectores: Cuando la cantidad de dinero aumenta (...) los productores ganan, mientras que los trabajadores y otros consumidores, pierden. De otro lado, cuando la oferta de dinero disminuye, los empresarios sufren, mientras que los terratenientes, los trabajadores, y los capitalistas, ganan. En cada caso se destruye el equilibrio económico. La crisis durará hasta que se establezca un nuevo equilibrio.

Walras, 1898, p. 163. 3. En tercer lugar, para controlar la oferta monetaria, Walras no era partidario de que un banco central lo implementara, pues dudaba de su independencia con respecto al partido político en el poder. En su lugar, creía que las políticas monetarias de un país debían tomarse en comunión con los bancos centrales de todos los otros países con que tenía relaciones comerciales. De hecho, estaba convencido de que en el futuro, la oferta monetaria sería universalmente controlada (Walras, 1898). Al final de cuentas, la teoría monetaria de Walras estuvo casi totalmente concentrada en el lado de la oferta de dinero desde su perspectiva de equilibrio general estático: nunca mostró cómo podría integrarse el dinero como activo en un sistema de equilibrio general. Sin embargo, le era claro que si no se llevaba a cabo un control responsable de la oferta monetaria, no podría garantizarse que se alcanzara el equilibrio, y que las fluctuaciones en la actividad económica dependían de los cambios en la cantidad de dinero. Muchas de estas visiones serían respaldadas posteriormente por Irving Fisher (1911) y Milton Friedman (1989), entre otros.

1.6.

Bienestar económico: el teorema de la máxima satisfacción social

Desde su primer trabajo sobre economía (L´Économie Politique et la Justice, 1860), publicado a los 26 años, hasta su muerte en 1910, la preocupación fundamental de Walras fue el problema de la justicia social. De hecho, su división entre économie sociale (normativa) y économie pure (positiva) muestra bien esto, y, cabe notarlo, el propósito de su modelo de equilibrio general no era únicamente analizar el funcionamiento del sistema económico real, ni tampoco sólo describir las relaciones económicas de mercados bajo un régimen de competencia perfecta, sino demostrar la posibilidad de formular un sistema económico racionalmente consistente que satisficiera las demandas de justicia social sin traspasar los

1.6. Bienestar económico: el teorema de la máxima satisfacción social

21

límites impuestos por las exigencias naturales del mundo real. Y afirmaba que intentaba... (...) [estudiar] al hombre y a su destino desde un punto de vista psicológicoeconómico y psicológico-moral, buscando concordancia entre interés y justicia; [definir] al individuo y al Estado, llegando a discusiones sobre el interés privado y el interés general, y sobre los servicios privados y públicos; [resolver] los problemas de orden al conciliar libertad y autoridad, y los problemas de justicia al conciliar igualdad y desigualdad; [mostrar] el principio de igualdad de condiciones como opuesto a la igualdad de posiciones 24 .

Jaffé, 1965, p. 119, citando a Walras. En Théorie de la Proprieté (1896b), Walras definió la justicia en el intercambio (a la que llamó “justicia conmutativa”) en términos de dos condiciones. Primero, la total libertad de cada individuo para buscar su propia ventaja en el mercado; y segundo, la completa eliminación en el mercado de cualquier oportunidad para un individuo de beneficiarse en el intercambio a expensas de su contraparte o de cualquier otro. Sin duda, bajo esta mirada, el sistema de equilibrio general walrasiano es profundamente moralista (al menos en términos de la moral individualista y burguesa de la Europa del siglo XIX). Cabe advertir, además, que Walras no creía que la competencia perfecta en un mercado fuera la mejor manera de generar la máxima suma de satisfacción total para la sociedad, sino que era un sistema diseñado para eliminar todo beneficio individual del intercambio y de la producción. Y esto no era por condenar la natural búsqueda del beneficio en las actividades económicas, sino para realizar la función moral de no dar algo por nada, no ganado, o el fruto de “conspiraciones antisociales”, todas ellas injustas. En su primera formulación (para intercambio) del Teorema de la Máxima Satisfacción Social, Walras (1874, p. 141) afirma que: El intercambio de dos mercancías en un mercado regido por la libre competencia es una operación por medio de la cual todos los poseedores, tanto de una como de las dos mercancías, pueden lograr la mayor satisfacción posible de sus necesidades, con la condición de entregar la mercancía que venden, y recibir la mercancía que compran en una proporción común e idéntica25 .

Y en su segunda formulación (para producción) decía (Walras, 1900, 22, §221): La producción en un mercado regido por la libre competencia es una operación mediante la cual los servicios pueden combinarse y convertirse en productos de 24 Pero, irónicamente, Walras creó un modelo que posteriormente sería utilizado para estudiar aspectos más positivistas, u otros objetivos sociales distintos a los originalmente planteados por él. 25 Esta es la condición de que, en equilibrio, las tasas marginales de sustitución de ambos poseedores deben ser iguales a la relación de precios (ver volumen I –Competencia bajo equilibrio parcial–).

22

Semana 1. Sobre la obra científica de Walras tal naturaleza y en las cantidades necesarias para proporcionar la mayor satisfacción posible de las necesidades, dentro de los límites de la doble condición de que tanto para cada servicio como para cada producto, sólo hay un precio en el mercado, aquél para el cual la oferta y la demanda son iguales, y de que el precio de venta de los productos sea igual al costo [unitario] de los servicios empleados en su producción26 .

Llegó a pensarse entonces que Walras pretendía, con este teorema, establecer que la libre competencia arrojaría un mayor estado social de satisfacción que cualquier otro sistema de determinación de precios. Sin embargo, no se encuentra ningún rastro de esto en los Éléments, ni en ninguno de sus otros escritos.

1.7.

La economía social y la economía aplicada en Walras

La propuesta general de Walras en sus tres trabajos principales (Éléments, Économie Sociale, y Économie Appliquée) era un “semi-socialismo” que conciliaba las doctrinas del laissez-faire y del socialismo. Jaffé (1965, p. 32) describía esta idea así: (...)[era] un esquema social fundado en la justicia exacta de acuerdo con la ley natural. Es del interés material de la sociedad el que el producto social sea lo más grande posible, pero una justa distribución de este producto, precisa de que todo individuo tenga libre disposición del producto de sus facultades personales. Con respecto al Estado, que L.W. 27 considera como entidad económica a la par de los individuos, la justicia obliga que obtenga el ingreso que necesita para llevar a cabo los servicios sociales, no privando a los individuos del fruto de sus facultades personales, sino explotando los recursos colectivos de producción, tales como la tierra, los medios de transporte y comunicación, y los instrumentos de pago. El precio normal que el Estado debería pagar en la recompra de la tierra de los actuales individuos propietarios debería tomar en cuenta el valor descontado del aumento futuro en la renta de la tierra que se espera del crecimiento de la población y del capital, pero no el valor descontado de los futuros incrementos en renta esperados de la evolución de la sociedad de la etapa agrícola a la etapa industrial. Así, el Estado eventualmente podrá amortizar el costo de la recompra y luego podrá apoyarse a sí mismo sin recurrir a los impuestos, lo que es siempre esencialmente confiscatorio28 .

El primer paso para substanciar esta propuesta fue el estudio de un modelo de laissez-faire (asociado equívocamente con la competencia perfecta) y de sus 26 Es

fácil interpretar esto a la luz de lo estudiado en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial). 27 L.W. es León Walras. 28 Pero en esto también Walras recibió críticas de Knut Wicksell: en primer lugar, le señalaba que los valores futuros de la tierra podrían no crecer por encima del valor capitalizado de las rentas futuras esperadas; en segundo lugar, que emitir bonos para la recompra de la tierra, como Walras proponía, podría precipitar una caída en la tasa de interés; y en tercer lugar, que la compra de la tierra implicaría una redistribución del ingreso, pues podría suceder que la clase propietaria del capital comprara los bonos de tierra a expensas de otras inversiones, haciendo que los salarios de la clase trabajadora bajaran con la subida de las tasas de interés.

1.7. La economía social y la economía aplicada en Walras

23

consecuencias; este fue el objetivo de los Éléments y su modelo de equilibrio general. En particular, al tratar el problema de la organización de la producción, recordemos que Walras definía la esencia de la economía pura como la teoría de la determinación de los precios bajo un régimen hipotético de competencia libre perfecta; y tenía el convencimiento de que la libre competencia no tenía rival en cuanto a eficiencia, aunque reconocía que no era aplicable a cualquier situación, ni resolvía el problema de la distribución justa de la riqueza. Afirmaba que la solución competitiva era superior desde el punto de vista científico, pero no era aplicable mecánicamente a las situaciones reales. El segundo paso, lo hace en Économie Sociale de 1896. Este trabajo consta de cuatro capítulos: “Investigación del ideal social”, “Propiedad”, “Realización del ideal social” e “Impuestos”. Allí estudia inicialmente el problema del individuo y el Estado desde diferentes perspectivas (filosófica, psicológica, económica, entre otras), para después seguir a una discusión del problema de la propiedad, incluyendo aquí una teoría de los precios de la tierra en el caso de recompra por parte del Estado. Al igual que su padre, y muy seguramente por su influencia, Walras era un defensor de la nacionalización de la tierra mediante la recompra. Según él, el Estado obtendría de allí un ingreso, rentándola en el libre mercado. Esto lo estudia en el capítulo III (“Realización del ideal social”) en donde hace un estudio matemático de este problema29 . Finalmente, lleva a cabo un análisis de los impuestos (aquellos que pensaba eliminar) y de problemas fiscales en general. El tercer paso en su propósito fue el Économie Politique Appliquée de 1898. Este trabajo consta de siete capítulos: “Moneda”,“Monopolios”, “Agricultura”, “Industria y comercio”, “Crédito”, “Banca”, “Bolsa” y, finalmente, una “Disquisición breve sobre doctrina económica y social”. Allí se dedica, fundamentalmente, a problemas de política monetaria tales como el de la estabilización de los precios mediante regulaciones de la oferta monetaria a la luz de la teoría cuantitativa. Propone el monometalismo (oro) con la plata como regulador, en lugar del bimetalismo (oro y plata), además de tener más confianza en una oferta monetaria universalmente controlada que en un banco central del Estado (ver sección 1.5 anterior). Más adelante, hace un análisis muy general del monopolio30 y después estudia el problema de que el Estado asumiera el monopolio de los ferrocarriles como servicios públicos, y la asignación de tarifas. Este asunto de las comunicaciones era central pues Walras era consciente de la transición que se vivía de una Europa agrícola a una industrializada y de mayor comercio. Y finalmente, dedicó los siguientes dos capítulos al problema de la banca y la bolsa (con el objetivo de estudiar la posibilidad de nacionalizar algunos medios de pago), y a una nueva 29 Parecía asumir que el Estado podría fungir como uno de los “empresarios”, y, la tierra, como uno de los bienes de capital descritos en los Éléments. 30 Curiosamente, aquí lo hace sin recurrir al tratamiento formal de la teoría del monopolio tal como aparece en los Recherches de Cournot del que había sido asiduo lector. Esto aparece así, sólo en la última edición (1900) de los Éléments.

24

Semana 1. Sobre la obra científica de Walras

disquisición sobre problemas éticos, morales y económicos de la ciencia y de la práctica económica. Una mirada general nos muestra, entonces, que el pensamiento walrasiano era una propuesta de filosofía social y económica que él creía que era la mejor forma de armonizar con el espíritu de la época, es decir, con aquella Europa en que se desarrollaba la Revolución Industrial bajo la creación y empobrecimiento de una creciente clase trabajadora industrial que provenía de una sociedad agraria31 . Inspirado y modelado por su concepción de una sociedad en evolución, y motivado por sus observaciones, la obra de Walras fue, por encima de todo, una inmensa formulación científica de nuevos ordenamientos sociales y económicos, que generaciones posteriores no hemos estudiado a cabalidad.

1.8.

Tradiciones poswalrasianas (...) fue este libro [los Éléments de Walras] el que directamente inspiró a Vilfredo Pareto, Enrico Barone, Knut Wicksell, Irving Fisher, Henry Ludwell Moore y Joseph Schumpeter en vida del propio Walras.

Jaffé, en Walras (1954), p. 5. [traducción al inglés de Walras (1874)] El reconocido economista italiano Maffeo Pantaleoni (1889)32 decía que todo economista ve en un nuevo trabajo únicamente lo que ya sabe, más, en el mejor de los casos, una pequeña “dosis de novedad”, que es minúscula en comparación con el cuerpo acumulado de la doctrina económica. En la historia del pensamiento económico quizás pocos ejemplos ilustran esto mejor que el tratamiento que se le dio a las contribuciones de León Walras, por parte, no sólo de sus contemporáneos, sino de aquellos que vinieron después de él, incluyendo al mismo Pantaleoni. Como decíamos en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial), a partir del trabajo pionero de Walras [Éléments (1874-77)] sobre el equilibrio general económico bajo competencia perfecta, y sus posteriores ediciones, los seguidores sólo interesados en teoría pura, marcaron un derrotero de desconexión entre esta y su economía aplicada y social. Este hecho sería parcialmente responsable de que en adelante el estudio de la economía se dividiera entre las aproximaciones normativa y positiva y, además, allanó el camino para que falsearan el modelo de equilibrio general de Walras, presentándolo como la restauración de la teoría liberal económica. Hicieron del mercado competitivo eficiente, la base objetiva científica para comparar todo tipo de problemas sociales y económicos: si una política económica fallaba, entonces la razón era que no cumplía con alguno 31 En particular, la clase trabajadora francesa, llevada a lamentables condiciones salariales y de vivienda, desembocaría en las manifestaciones en Paris de la “Revolución de 1848”, en la abdicación de Louis Phillippe, y en el comienzo de la Segunda República con Louis Bonaparte como presidente (y posteriormente como el emperador Napoleón Bonaparte III) implementando represivas políticas sociales y económicas. 32 Algunas veces llamado “el Marshall de Italia”.

1.8. Tradiciones poswalrasianas

25

de los principios de mercado del modelo walrasiano. Y este programa de investigación (sobre el cual Walras no podría haber coincidido) comenzaría con la bifurcación en dos grandes “escuelas” de pensamiento poswalrasiano: 1. La primera, conocida como la “tradición paretiana”33 , tuvo su inspiración en el Manuel d’Économie Politique (1909) de Pareto, quien (como ya habíamos afirmado) fuera alumno y sucesor de Walras en la Universidad de Lausanne. Y aunque reconocía la teoría pura formal (es decir, los Éléments) de Walras como su principal fuente de inspiración, una y otra vez aseguraba que el resto del trabajo de su maestro era especulación metafísica: La más grande contribución del profesor Walras a la discusión económica fue su descubrimiento de un sistema general de ecuaciones que expresan el equilibrio económico. No puedo, por mi parte, admirar suficientemente esta porción de su trabajo, pero debo agregar que estoy completamente en desacuerdo con él respecto a lo que tiene que decir en su trabajo titulado “Études d’Économie Sociale”. El profesor Walras piensa que es posible obtener ciertas deducciones económicas de principios metafísicos de jurisprudencia34 . Esta opinión merece respeto, pero no puedo aceptarla. Yo soy un creyente en la eficiencia de los métodos experimentales hasta el punto de excluir todos los otros. Para mí no existen demostraciones valiosas excepto aquellas basadas en los hechos.

Pareto, 1897a, p. 491. Este tipo de afirmaciones de Pareto haría que se sesgara el estudio de Walras sólo a la teoría pura, dejando de lado sus trabajos en economía política aplicada y social, los que Walras apreciaba como inseparables de sus Éléments, y sin los cuales su obra no podría entenderse a cabalidad. John R. Hicks (1904-1989), aunque reconoció la importancia de los Éléments, pues afirmaba que: Muy pocos economistas han contribuido tanto al cuerpo permanente de verdad establecida, como lo hiciera Walras.

Hicks & Allen, 1934a, p. 347. también aseguraba que si de estudiar el problema del equilibrio general planteado por Walras se trataba, era mejor ir al mismo Pareto o a Wicksell (Hicks & Allen, 1934a). Inclusive profundizó la idea que Pareto tenía de él cuando afirmaba: El trabajo de Walras sobre teoría monetaria, y sus relativamente no-interesantes escritos sobre economía aplicada, no nos pueden detener aquí. Es en economía pura en donde se encuentra su interés, y el descubrimiento de las condiciones de equilibrio estático bajo competencia perfecta fue su logro central.

Hicks & Allen, 1934a, p. 345. 33 También

llamada “tradición anglosajona”. recordarse que los economistas ortodoxos de la Francia en la época de Walras formaban un grupo heterogéneo en el que la disciplina económica no se había establecido aún como rama de la ciencia, sino como una disciplina a la sombra de la filosofía moral y de las leyes. De hecho, en Lausanne, Walras estaba adscrito a una Facultad de Leyes. 34 Debe

26

Semana 1. Sobre la obra científica de Walras

De hecho, en el prólogo de Value and Capital de 1939, Hicks aseguraba que su propósito general era examinar la teoría de Pareto y aplicar después esta teoría del valor perfeccionada a aquellos problemas del capital que estaban fuera del alcance de Wicksell a causa de la imperfección de los instrumentos de que disponía. Sin embargo, en la teoría del intercambio afirmaba que habría de seguir más a Walras que a Marshall, y, efectivamente, así lo hizo. [La] esterilidad del sistema walrasiano se debe en gran parte a que no desarrolló las leyes del cambio para su sistema de equilibrio general. Podía decir qué condiciones habían de llenar los precios establecidos con determinados recursos y preferencias; pero no explicó qué ocurriría en caso de que cambiaran los gustos o los recursos.

Hicks, 1939a, p. 61. Pareto y Hicks fueron, sin duda, los pioneros de una corriente muy influyente en el pensamiento económico del siglo XX: el estudio del concepto de equilibrio general competitivo y su profunda relación con el problema del bienestar económico. Sólo que, en su propósito, no sólo limitaron el pensamiento original walrasiano, sino que aplicaron y discutieron sobre objetos de los que no tenían la seguridad de que existieran, pues, por cualquiera que haya sido la razón, los problemas de existencia del equilibrio general competitivo nunca estuvieron en su agenda de investigación. Pareto y Hicks, al igual que Walras, se contentaban con el argumento falaz de que si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, entonces la existencia de solución estaba garantizada. Pareto, por ejemplo, decía: (...) Las condiciones de un problema son traducidas algebraicamente por ecuaciones. Éstas contienen cantidades conocidas y cantidades desconocidas. Para determinar cierto número de [cantidades] desconocidas es necesario un número igual de condiciones (ecuaciones) distintas. (...)

Pareto, 1909,

III,

§38.

(...) El número de las condiciones es ahora igual al de las incógnitas, y el problema está completamente determinado.

Pareto, 1909,

III,

§203.

Por su parte, Hicks, implícitamente, argumentaba que la solución debería existir basándose en el significado económico de las ecuaciones, y se apoyaba en el argumento de Walras: (...) Si el sistema de precios es tal que iguala estas ofertas y demandas, tendremos una posición de equilibrio. Si no, por lo menos algunos precios habrán de bajar y subir. Walras demostró que el carácter determinado de esta solución se lograba mediante la igualdad entre el número de ecuaciones y el número de incógnitas (...).

Ejercicios

27

(...) Tenemos así n − 1 ecuaciones y n − 1 incógnitas; por consiguiente, debe existir un conjunto de precios que satisface las condiciones de equilibrio35 .

Hicks & Allen, 1934a, p. 341. La tradición paretiana del trabajo original de Walras, que ignoró los teoremas de existencia de equilibrios competitivos de Abraham Wald (1936) y John von Neumann (1937), sería apuntalada por la saga, entre otros, de Hicks & Allen (1934a, 1934b), Hicks (1939a), Lerner (1932), Kaldor (1939) y, de manera muy importante y fundamental, por los tratados clásicos À la Recherche d´une Discipline Économique de Maurice Allais (1943)36 , Foundations of Welfare Economics de Oskar Lange (1942), y el Foundations of Economic Analysis de Paul Samuelson (1947). 2. Por otra parte, la segunda aproximación, conocida como la “alemana”, se dirigió, fundamentalmente, al problema matemático de la existencia del equilibrio general. Esta línea, basada en el modelo Walras-Cassel aparecido en la sección IV (“Teoría de la producción de los precios”) del Theoretische Sozialökonomie (1918) de Gustav Cassel37 , continuó con los trabajos de Wald (1936), Karl Schlesinger (1935) y von Neumann (1937). De hecho, la primera prueba que se conoce sobre la existencia de un equilibrio competitivo, la obtuvo precisamente Wald (1936, 1951), aunque también von Neumann ya había alcanzado a mostrar la existencia de equilibrios en su modelo de crecimiento de 1937. Sobre estas dos tradiciones poswalrasianas discutiremos en capítulos posteriores.

Ejercicios 1. Brevemente, nombre algunos autores anteriores a Walras que también desarrollaron (de manera primitiva) la idea de interdependencia económica. 2. Describa en sus propias palabras, las cinco condiciones de equilibrio en el modelo de equilibrio general de Walras. 3. ¿Cuáles son los cuatro bloques con los que Walras analiza el mercado? 35 Si el lector considera que garantizar la existencia de un objeto que cumple cierta característica, es un ejercicio importante pero sin consecuencia alguna, lo invitamos a considerar el siguiente muy sencillo ejemplo: “Supongamos que existe un único número natural que es el más grande de todos los números naturales. Entonces ese número es el 1, puesto que si otro número natural x > 1 fuera el más grande, se tendría que, como x2 > x, ya x no sería el más grande. Así, el más grande de los números naturales es el número 1”. Esta es una simple muestra de a qué conclusiones podemos llegar si comenzamos el argumento lógico con una hipótesis que es falsa. 36 Aunque Allais fuera, quizás, el más fiel al pensamiento original walrasiano. 37 Cabe advertir, de paso, que para el mismo Cassel el problema de la existencia del equilibrio competitivo no fue preocupación central.

28

Semana 1. Sobre la obra científica de Walras 4. Describa el “Principio de Satisfacción Máxima” e interprete la condición de equilibrio del consumidor. 5. Explique el mecanismo de “tâtonnement”. 6. Escriba en sus propias palabras, el criterio walrasiano de que, en equilibrio, el empresario tiene beneficios nulos. 7. Interprete la condición de productividad marginal de equilibrio del productor. ¿Esta condición fue desarrollada en las primeras ediciones de los Éléments? 8. Explique por qué el solo intercambio, bajo competencia perfecta, no tiene efectos de distribución. 9. Señale el mecanismo de Walras para asignar precios a los bienes de capital.

10. Interprete la noción de “ingreso neto perpetuo”, definida por Walras. 11. Describa la noción de “encaisse desirée” (cantidades monetarias deseadas ex ante). 12. Señale tres de los aportes más sustantivos de la teoría monetaria de Walras. 13. ¿En qué consiste el “Teorema de la máxima satisfacción social”? 14. Diferencie, de manera breve, algunos de los objetivos centrales de los tres trabajos más importantes de Walras: Éléments (1874), Économie Sociale (1896b) y Économie Politique Appliquée (1898).

Semana 2

Vilfredo Pareto y la tradición paretiana1

2.1.

Introducción: Vilfredo Pareto (...) Establecer una teoría viene a ser, en cierta manera, como hacer pasar una curva por cierto número de puntos determinados. Una infinidad de curvas pueden satisfacer esta condición.

Pareto, 1909, II, §6. De madre francesa y padre italiano aristócrata, Vilfredo Frederigo Damaso Pareto nació en París en 1848. Sin embargo, a los 10 años fue llevado a Italia en donde realizó todos sus estudios hasta graduarse de doctor en ingeniería en 1869. Su carrera profesional comenzó como administrador industrial y de ingeniería, en donde, además de su relativa fortaleza en matemáticas, se familiarizaría profundamente con la práctica industrial. Pareto también se caracterizaba por tener un interés apasionado en los asuntos de actualidad política y económica (de hecho, fue un convencido anti-étatiste) y este bagaje científico, económico y político, lo llevó en 1889 a los cuarenta años a abandonar su actividad empresarial, y a disponer de todos sus esfuerzos hacia la investigación económica y sociológica. En 1890, a raíz de su lectura de Principi di Economia Pura (1889) de Maffeo Pantaleoni, Pareto comienza un intercambio epistolar en el que le decía que aspiraba a replantear la economía en términos matemáticos, y Pantaleoni le recomendó leer a Walras: sólo hasta finales de 1890, Pareto conocería este trabajo. A partir de allí, aprendió economía con rapidez, y en 1892-93, a los 44 años, 1 El material de la presente semana y de la semana 4 se basa, parcialmente, en Monsalve (2009).

29

30

Semana 2. Vilfredo Pareto y la tradición paretiana

publicó, en cinco entregas, su primer trabajo en economía: Considerazioni sui Principi Fondamentali dell’Economia Politica Pura. Además, estas comunicaciones con Pantaleoni fueron el origen de que, una vez él se enteró del deseo de Walras de retirarse por problemas de salud de la cátedra de Lausanne, recomendara a Pareto a finales de 1891 para sucederle. Efectivamente, en 1893 se convertiría en el sucesor de Walras en la Universidad de Lausanne, cátedra a la que renunciaría en 1906 para retirarse de la actividad académica oficial y dedicarse a la investigación personal. Durante los 13 años que estuvo Pareto allí, ejerció su liderazgo para conformar un círculo de investigadores y estudiantes que, eventualmente, llegaría a conocerse como la Escuela de Lausanne. En 1894, a la sociedad tácita entre Pareto y Pantaleoni, se unió Enrico Barone, y la influencia de ellos tres se extendió durante varias décadas. A su alrededor se formaría un grupo importante de economistas: Amoroso, Antonelli, Boninsegni, De Pietri-Tonelli, Ricci, Sensini, del Vecchio, Fanno, La Volpe, Palomba y Fossati, entre otros, y a los que algunos llamaron la Escuela italiana. La primera pieza maestra de Pareto en Lausanne fue su Cours d’Économie Politique Professé à l’Université de Lausanne, cuyo primer volumen apareció en 1896 y el segundo en 1897; de estos Pareto nunca autorizó la reimpresión. Lo primero que se nota allí es que, a diferencia de Walras que era más pesado en su escritura, Pareto tenía un estilo elegante y fino; además, no hay duda, era más diestro con las matemáticas que su maestro. En este trabajo, Pareto siguió a Walras en sus Éléments y se basó en sus ecuaciones de equilibrio, pero no fue ni un centímetro más allá. En particular, sus teorías semi-socialistas de nacionalización de la tierra y de los medios de comunicación (especialmente, los ferrocarriles), y también del papel del dinero en la economía, contrariaban a Pareto. Además, aunque partían del mismo sistema teórico puro, pronto se hizo claro que el pensamiento, visión y estructura paretianos eran muy distintos de los walrasianos: eran teorías que partían del mismo molde teórico pero con programas de investigación y preocupaciones socio-económicas muy diferentes. A diferencia de Walras, para quien la esencia de la economía pura era la determinación de los precios bajo un régimen hipotético de competencia perfecta, para Pareto, los problemas económicos eran problemas de transformación de cantidades económicas en otras, con distintas restricciones: (...) las teorías de la economía no derivan directamente de la consideración de un mercado donde existen ciertos precios, sino más bien de la consideración del equilibrio, que nace de la oposición de los gustos y los obstáculos.

Pareto, 1909, II, §152. Esto, en la teoría del intercambio y la producción, llevó al italiano a crear los términos “gustos” (o fuerzas que llevan a la acción) y “obstáculos” (o restricciones que se oponen a los gustos), y a desarrollar un sistema lógico-matemático que develara ciertas características intrínsecas de la economía a partir de allí: para cada individuo, los gustos de aquellos con quienes contrata, son obstáculos;

2.1. Introducción: Vilfredo Pareto

31

si debe dividirse una cantidad de bienes entre varios individuos, el hecho de que la cantidad sea fija es un obstáculo; si el bien a ser dividido va a ser producido, el hecho de que se requieran insumos, también constituye un obstáculo; de igual manera, el hecho de que un bien no esté disponible en un lugar y fecha determinados, es un obstáculo. Inclusive el orden legal y la organización económica son obstáculos a las acciones individuales. Parecía que Pareto buscaba un núcleo lógico del proceso económico por encima de cualquier situación institucional, y esto se ve en el trabajo final en Lausanne, hoy considerado su más importante obra: Manuale di Economia Politica con una Introduzione alla Scienza Sociale (1906). Además de las partes introductorias y complementarias, el Manuale consiste esencialmente de tres capítulos: en el primero, lleva a cabo un estudio sintético de los gustos; en el segundo, trata de los obstáculos; y en el tercero, estudia las configuraciones de equilibrio que surgen del contraste entre gustos y obstáculos. Y como ejemplo de su separación de lo institucional, baste con afirmar que sólo hasta el capítulo III (§152) viene a introducir los precios en su teoría. En Lausanne, el italiano apreció notablemente el trabajo de Edgeworth, Wicksteed y Fisher, aunque no tanto el de Marshall, y sin duda fue influenciado por Pantaleoni, Barone, y los economistas ingleses y franceses del período clásico. Y después de un proceso paulatino, su máxima altura en teoría económica pura la alcanzó con la edición de 1909 de su Manuel d’Économie Politique, que es la traducción al francés del Manuale di Economia Politica de 1906 [2] . Pareto nunca estuvo del todo satisfecho con la teoría del valor walrasiana, en particular con el concepto de utilidad cardinal, como aparece en los Éléments. Esto último trató de remediarlo en el Manuel recurriendo a las “curvas de indiferencia” introducidas (con otra perspectiva y objetivos) por Edgeworth en 1881, y reemplazando las hipótesis sobre la función de utilidad por postulados acerca de comportamientos observables que dieran origen a esas curvas de indiferencia. De esta manera, Pareto creía que se le daban bases más sólidas a la teoría económica, y, en particular, al modelo walrasiano. Después mostraba cómo a partir de aquellas se llegaba al cálculo del equilibrio económico en competencia perfecta. En este proceso intentó también introducir alguna terminología sustancialmente insignificante como ophélimité 3 en lugar del de “utilidad”, y ophélimité elemental en lugar del término “utilidad marginal” (o “rareté”, como la llamaba el propio Walras). Pero, como afirmara Schumpeter (1949, p. 160) sobre Pareto, para él, (...) la teoría de la utilidad fue una hipótesis heurística extremadamente útil y nada más. Pero ni Walras ni los austríacos eran de esta opinión. Por el contrario, 2 Y que se diferencian en que el apéndice matemático de la versión en italiano había sido completamente reelaborado. 3 “Ophélimité” es el término de Pareto para lo que hoy llamamos “utilidad” económica. En el Manuel (Pareto, 1909) explica esto afirmando que “la morfina no es útil en el sentido ordinario de la palabra, puesto que es perjudicial al morfinómano, [pero] por el contrario, le es útil económicamente, puesto que satisface una de sus necesidades, aun cuando sea malsana”.

32

Semana 2. Vilfredo Pareto y la tradición paretiana para ellos la teoría de la utilidad era nada menos que la verdad última, el descubrimiento de la clave para todos los secretos de la economía.

Y algunos economistas como Hicks y Allen (1934a, 1934b) felicitaban a Pareto por esto, considerando su posición sobre este punto, como algo de primera importancia. Pero quizás donde las contribuciones de Pareto son más reconocidas es en la teoría del bienestar económico. En ese entonces, la teoría de la utilidad cardinal venía jugando un papel muy importante al tratar de definir lo que era un concepto económico muy confuso como es el de “bienestar público (o social)”, y se pensaba que la teoría de las curvas de indiferencia de Pareto destruirían las bases de los argumentos que funcionaban bien con la utilidad cardinal y, particularmente, con el problema de la comparación interpersonal de utilidades4 . Sin embargo, Pareto no fue sobre este punto, sino que se dirigió a atacar el problema de la “máxima satisfacción colectiva”, notando que este estado5 se alcanza en intercambio bajo libre competencia. Pero fundamentalmente, observó que este maximum no se alcanzaba cuando se introduce la producción, inclusive bajo competencia perfecta, si a la condición original de Walras de “precio=costo marginal”, no se le agregaba la condición de que este costo tiene que ser mínimo6 . Bajo tales condiciones, Pareto mostró entonces (matemáticamente) que una sociedad “colectivamente organizada” es similar a una sociedad regida por la competencia perfecta. Por ello afirmaba que: (...) si un gobierno socialista quiere obtener un bienestar máximo para su sociedad, debe modificar la distribución de la riqueza únicamente en una forma directa (digamos gravando a algunas personas en beneficio de otras, o por medios similares). Una segunda aproximación deberá tomar en cuenta el gasto de diseñar el mecanismo de libre competencia en su totalidad, y comparar este gasto con el que es necesario para establecer algún otro mecanismo que la sociedad pueda querer probar.

Pareto, 1909, p. 500. De otro lado, la teoría de Pareto sobre moneda es, sin duda, inferior a la de Walras, y si algún mérito tiene su teoría del capital y del interés, se lo debe todo a su maestro. Para Pareto, aquellos bienes cuyo uso es igualmente un bien, los identifica con los servicios del capital y la depreciación como un gasto, reduciendo toda la teoría del capital a un problema contable. Es por esto que para Pareto el término mismo de “capital” a duras penas tuvo sentido por sí mismo: 4 La comparación interpersonal de utilidades se da cuando requerimos que la utilidad de dos (o más) agentes sea medido en las mismas unidades. Si esto es posible o imposible, está en el centro de ciertas discusiones en la teoría del bienestar social (ver semana 4 adelante). 5 Ahora conocido como “óptimo de Pareto”. 6 Sin embargo, Walras aseguraba que la libre competencia, por sí misma, implicaba que los costos de producción eran llevados al mínimo (Éléments).

2.1. Introducción: Vilfredo Pareto

33

Me aventuraría hasta ahora a decir que podría reescribir la totalidad de mi Cours, y obtener los mismos resultados, sin siquiera mencionar el término “capital” (...)

Pareto, 1897b, pp. 485-502. Se ha dado un nombre a las cosas que no se consumen, o que se consumen lentamente, en el caso de la producción; se les ha llamado “capitales”. El punto preciso donde se detiene la clase de los capitales y donde empiezan las otras clases de los elementos de la producción no ha sido mejor determinado que aquél donde termina la juventud y empieza la vejez.

Pareto, 1909, V, §21. De igual manera con respecto a su teoría del monopolio, aunque en su teoría del comercio internacional sí aplicó, por primera vez, el aparato teórico del equilibrio general como indicaremos más adelante. Luego de sus trece años académicos en Lausanne, en donde todos sus esfuerzos estuvieron dedicados al estudio del equilibrio económico, y en la tranquilidad de su retiro, el ahora marqués Pareto comenzó en 1906 otra etapa de su vida: integrar la economía política dentro del amplio marco de la sociología. Y mientras más sociología entendía, más admitía la insuficiencia de considerar el homo œconomicus como centro de las discusiones económicas. Por ejemplo, el hasta entonces convencido de las bondades del libre comercio (tanto por inclinación como por razonamiento teórico), terminó admitiendo en su Trattato di Sociologia Generale (1916) (e inclusive ya en ciertas partes del Manuale de 1906), la necesidad de una cierta cantidad de proteccionismo por razones sociológicas. Y en este camino, dedicando mucho tiempo a la interpretación de datos de la historia social, convergió en negar la validez del racionalismo en el comportamiento humano (sobre todo en las masas), dándole mayor importancia a los hábitos, a los impulsos, al sentido del deber, a la imitación. Inclusive llegó al punto de asegurar que la Razón nada tenía que ver con el gobierno de los hombres: El gran error de la época actual es creer que se puede gobernar a los hombres por el puro razonamiento, sin hacer uso de la fuerza, que es el contrario del fundamento de cualquier organización social.

Pareto, 1909, II, §107 bis. Además, sin reservas aseguraba que las soluciones racionales no eran soluciones políticas y que uno debería (...) hacer actuar a los hombres y hacerles seguir el camino que uno desee.

Pareto, 1909, II, §108. También, algunos estudios sobre la circulación de clases lo llevaron a creer que la democracia era un intento fallido:

34

Semana 2. Vilfredo Pareto y la tradición paretiana La igualdad de los ciudadanos ante la ley es un dogma para muchas gentes, y en ese sentido escapa a la crítica experimental. Si queremos hablar de una manera científica, veremos inmediatamente que no es del todo evidente y a priori obvio que esta igualdad sea ventajosa para la sociedad; más bien, dada la heterogeneidad de la misma sociedad, lo contrario parece más probable.

Pareto, 1909, II, §109. (...) la sociedad no es homogénea, y los que no cierren voluntariamente los ojos, deben reconocer que los hombres difieren mucho los unos de los otros desde el punto de vista físico, moral e intelectual.(...) A estas desigualdades propias del ser humano corresponden las desigualdades económicas y sociales, que se observan en todos los pueblos, desde los tiempos más antiguos hasta los tiempos más modernos, y sobre todos los puntos del globo, de tal suerte que estando siempre presente ese carácter, se puede definir a la sociedad humana como una colectividad jerárquica.

Pareto, 1909,

VII,

§2.

El Pareto liberal se fue entonces transformando gradualmente en el más profundo y vigoroso crítico del socialismo y también de la democracia (Pareto, 1921), y por ello algunos autores (Amoroso, 1938; Jaffé, 1980) han advertido de las posibles actitudes filofascistas de Pareto. Es un hecho que Benito Mussolini fue alumno de Pareto en Lausanne, y que el fascismo ascendió a Pareto como uno de sus profetas debido a las similitudes entre ciertas partes del Manuel con el Political and Social Doctrine of Fascism de Mussolini, además de que Pareto fue nombrado por el gobierno fascista como senador del Reino de Italia (junto con Pantaleoni). Sin embargo, esto no lo podríamos asociar a las coincidencias en teoría económica, ya que el fascismo avisoraba un homo corporativus que vivía en un Estado nacional colectivo y sindicalizado, y no es claro cómo el modelo teórico del Manuel podría asimilarse a esto. Tal vez se parezca más al Pareto sociólogo de los últimos capítulos del Manuel y de la Sociologia Generale, pero esto es, quizás, ir demasiado lejos aquí. Al final, Vilfredo Pareto se dedicó en sus últimos años al estudio de la sociología porque consideraba que las leyes deducidas de la economía pura no explicaban la realidad concreta. Previó claramente la insuficiencia del análisis puro, y lo confirmó con escrutinios detallados de hechos y datos. Buscó una síntesis de gran escala. Pero, quizás, la buscó demasiado grande. Murió en agosto de 1923.

2.2.

La escuela de Lausanne después de Pareto

En el período comprendido entre la Primera y la Segunda Guerra Mundial, es decir, fundamentalmente en los últimos años de 1920 y casi durante toda la década de los años 30, la teoría del equilibrio general recibió mucho ímpetu con el trabajo de la Escuela italiana conformada, como dijimos, por Amoroso, La

2.2. La escuela de Lausanne después de Pareto

35

Volpe, Fossati y Palomba, entre otros. Ellos adoptaron las técnicas matemáticas más avanzadas disponibles en su época: no sólo el cálculo diferencial e integral, sino inclusive, técnicas matemáticas avanzadas como el cálculo de variaciones, el análisis funcional y la teoría de grupos7 , buscando en el análisis dinámico una respuesta a la necesidad de mayor realismo en la teoría paretiana, pues aseguraban que los fenómenos económicos eran intrínsecamente dinámicos, y que la estática de Walras y Pareto era sólo un necesario primer paso. Esta aproximación dinámica a la teoría del equilibrio general tuvo su origen en los trabajos de los matemáticos norteamericanos Griffith Evans (1922, 1925) y Charles Roos (1927, 1934)8 , siendo el primero de ellos, alumno del famoso matemático italiano Vito Volterra (1860-1940) en Italia, y Roos alumno de Evans en Rice Institute (USA); serían los primeros en utilizar el cálculo de variaciones en economía, además de incorporar el concepto de expectativa. Sin embargo, esta línea de investigación creada por Evans y Roos y seguida por los italianos, tuvo poco éxito en los Estados Unidos donde los trabajos sobre dinámicas y expectativas en la teoría de los ciclos reales partiendo de la tradición de inspiración keynesiana Frisch (1933), Kalecki (1935), Samuelson (1939a), Harrod (1939), Hicks (1939a), Kaldor (1940), Goodwin (1948) entre otros, predominaron. Que la mentalidad de la Escuela italiana fue concreta y (casi) práctica, se ve en el hecho de que su modelo epistemológico de referencia fue siempre el de las ciencias naturales, particularmente el de la física, y no el de las matemáticas, aunque, como dijimos, hicieron un uso amplio de ellas como instrumento. De hecho, los últimos de esta escuela (Fossati y Palomba) fueron fuertes críticos de la aproximación axiomática al modelo de equilibrio general a la manera de Arrow y Debreu (1954) (ver semana 7), considerándola más un virtuosismo formal que un avance real en la comprensión de los fenómenos económicos. Luigi Amoroso [1886-1965] fue, quizás, el más influyente economista de la escuela de Lausanne después de Walras y Pareto y también hizo parte de la Escuela italiana. Habiendo estudiado con Pantaleoni y colaborado con el mismo Pareto, publicó en 1921 un influyente libro de texto que llamó Lezioni di Economia Matematica, en donde hace un recorrido por la teoría del equilibrio general de Pareto. Allí, en particular, Amoroso, matemático por entrenamiento, reconoce que el argumento de la igualdad entre ecuaciones e incógnitas para la existencia de solución al sistema de Pareto, es inadecuado por decir lo menos. Posteriormente, en Lezioni di Meccanica Economica de 1942, sí se aproxima a este problema introduciendo ciertas hipótesis matemáticas9 que garantizaban la existencia y unicidad, aunque sólo para el equilibrio del consumidor: a diferencia de Pareto, Amoroso nunca evitó las funciones de utilidad y no requirió de partir siempre de curvas de indiferencia para su análisis. 7 Ver,

por ejemplo, Courant & Robbins (1941). último sería uno de los fundadores de la Econometric Society en 1930 y de su adjunta, la revista Econometrica, que fuera la primera publicación explícitamente interesada en problemas económicos matematizados. 9 Asumía, por ejemplo, primeras derivadas positivas de la función de utilidad, y matriz hessiana definida negativa (ver Apéndice matemático al final del texto). 8 Este

36

Semana 2. Vilfredo Pareto y la tradición paretiana Se ha probado que bajo ciertas condiciones, que reproducen substancialmente los establecidos en la lección II respecto a la curvatura de la pendiente de ophélimité, el sistema formado por las ecuaciones p1 x1 + p2 x2 + · · · + pn xn = R es decir, la restricción de balance tradicional donde R es el presupuesto o ingreso, y 1 ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ = = ··· = p1 ∂x1 p2 ∂x2 pn ∂xn admite en general una y sólo una solución. Ésta, por consiguiente, determina unívocamente las incógnitas x1 , x2 , . . . , xn . Sin recurrir a este teorema general mostramos su validez en el caso particular en que la función de utilidad asume la siguiente forma: φ = Axa1 xb2 · · · xkn donde A es una constante positiva; y a, b, . . . , k son también constantes positivas cuya suma es menor que la unidad.

Amoroso, Lezioni di Meccanica Economica, 1942, pp. 22–23. Sin embargo, nunca fue más allá de este punto sobre el problema de existencia y unicidad. De hecho, Amoroso y todos los de la Escuela italiana, le daban muy poca importancia a los problemas puramente matemáticos si consideraban que esto no le agregaba mucho a la explicación real del fenómeno económico. Y en este caso, así lo creían. Otro de los más importantes miembros de la Escuela italiana posterior fue Eraldo Fossati [1902-1962]. El creador de la famosa revista Metroeconomica, publicaría la versión en inglés del (quizás) más importante trabajo de los italianos sobre la teoría paretiana del equilibrio general: The Theory of General Static Equilibrium (1954) 10 . En esta versión inglesa, Fossati ignoró los desarrollos recientes de Arrow y Debreu (1954) (e inclusive los anteriores de Wald y von Neumann) sobre la existencia del equilibrio competitivo, y dejó intacto ese tema que venía de la versión de 1946: la consistencia lógica del sistema mediante la igualdad entre el número de ecuaciones y el de incógnitas, fue (al igual que en Walras y Pareto) también su argumento. Posteriormente se entendió la razón de Fossati: creía que con los métodos inaugurados por estos matemáticos, la teoría económica estaba perdiendo su naturaleza como ciencia empírica y tendía a convertirse en una rama más de las matemáticas. No hay duda de que Fossati representaba bien el pensamiento de casi todos los italianos. La Escuela italiana de Lausanne no tuvo el impacto que, sin duda, debiera haber tenido en el desarrollo del pensamiento económico moderno, quizás en razón, no de sus muy importantes avances en dinámica económica, sino a que, en general, publicaron en italiano (y no en inglés) y a que, además, aparte del Giornale degli Economisti, sus trabajos aparecían en revistas poco conocidas. 10 Traducción

de su Elementi di Economia Razionale de 1946.

2.3. John Hicks

37

Sólo a través de los trabajos de Wicksell (1898), Fisher (1892, 1911) y Cassel (1918) (entre otros), inspirados en los Éléments de Walras, fue que comenzó a ser conocido, por continuidad, el trabajo de Pareto y de sus seguidores de la Escuela de Lausanne11 . Hoy, sin embargo, parece claro que el momento clave del despegue del sistema paretiano dentro de la corriente principal (mainstream) de la teoría económica, no fue a partir de los aportes de la escuela italiana, sino cuando John Hicks conoció el trabajo de Pareto hacia finales de los años 1920.

2.3.

John Hicks Cuando, en 1939, John Hicks publicó su libro “Valor y Capital”, arrojó nueva vida en la teoría del equilibrio general. Construyó un modelo de equilibrio general completo, de manera sistemática, hasta un grado mucho mayor que los de esfuerzos previos en este campo, basándose en hipótesis acerca del comportamiento de los consumidores y los productores. Esto dio mayor concreción a las ecuaciones del sistema e hizo posible estudiar los efectos producidos debido a impulsos provenientes del exterior. Por ejemplo, el modelo podía mostrar cómo algunos cambios en fenómenos tales como las cosechas, los gustos de los consumidores y las expectativas de precios en las empresas, tenían consecuencias que impactaban a través de todo el sistema económico y afectaban los precios, la producción, el empleo, las tasas de interés, etc. Sin embargo, Hicks no podía haber llegado tan lejos si no hubiera él mismo creado, en varios puntos, los fundamentos necesarios para esta construcción, entre otras cosas, desarrollando teoría previas del consumo y de la producción, y construyendo una teoría del capital sobre la base de hipótesis acerca de la maximización del beneficio.

Lindbeck (ed.), Nobel Lectures, 1992, p. 132. Desde una vertiente del pensamiento económico completamente distinta a la de la Escuela de Lausanne y sus posteriores seguidores italianos, el premio Nobel en Economía de 1972 (compartido con Kenneth Arrow), el inglés John Hicks (1904-1989), conoció el Manuale de Pareto alrededor de 1929 cuando el director del departamento de Economía de London School of Economics, Hugh Dalton, le dijo: “Usted lee italiano, así que debería leer a Pareto” al que Dalton había conocido en 1917 a través de sus lecturas de convaleciente de guerra en Italia12 . Así lo hizo Hicks, e inicialmente se sintió muy interesado por las actitudes políticas tan explícitamente reaccionarias que aparecían en el Manuale. Después pasó a estudiar gradualmente el apéndice matemático, y allí, a diferencia de sus seguidores italianos, llegó a la conclusión de que Pareto no había finalizado el trabajo que estaba haciendo. 11 Sobre los aportes de la Escuela italiana a la teoría del equilibrio general dinámico, discutiremos en la semana 9, y allí daremos otras posibles razones del porqué del relativamente débil impacto de esta Escuela en el desarrollo del pensamiento económico paretiano. 12 Resulta curioso que Hicks hubiera sido invitado a leer el Manuale en italiano y no el Manuel en francés que era, quizás, una lengua mejor conocida en Inglaterra.

38

Semana 2. Vilfredo Pareto y la tradición paretiana

Dos artículos y un texto clásico, A Reconsideration of the Theory of Value (Part I and II) (1934a, 1934b) de Hicks y Allen, y el clásico Value and Capital (1939a)13 apuntalarían la teoría del valor desde la perspectiva paretiana: equilibrio del consumidor, equilibrio de la firma, teoría del interés y de los salarios, y el equilibrio general del sistema. Fue el apogeo de la teoría de la demanda basada en la teoría del valor ordinalista. Y la clave de todo esto consistió en que Hicks, al asumir que el consumidor maximiza su utilidad bajo una restricción de presupuesto, podía deducir una notable cantidad de resultados sobre su comportamiento. Por ejemplo, las reacciones del consumo ante cambios en los precios, la implicación sobre la demanda y los precios de que los bienes fueran sustitutos o complementarios, el comportamiento del excedente del consumidor, etc. Es decir, Hicks diseñó una colección de potentes herramientas que enriquecieron los procesos formales de la estática comparativa de la teoría del consumidor y del productor.14 De allí en adelante, virtualmente todos los trabajos sobre estática comparativa tanto teóricos como aplicados seguirían los pasos de Hicks. En Value and Capital, además mostraría los límites y el potencial del sistema de equilibrio general paretiano. Antes de este trabajo, se abatía un aire de aridez sobre buena parte de esta teoría, pues, en términos prácticos, no se sabía qué hacer con el sistema de ecuaciones simultáneas del sistema de Pareto. Además de los resultados de estática comparativa en la teoría del consumidor ya mencionados, y de haber acuñado nuevos términos (efecto ingreso, efecto sustitución, variación compensada, variación equivalente15 ), una de las principales contribuciones del Value and Capital son los “mecanismos de agregación”. Allí mostraba, por ejemplo, que si los precios de una canasta de bienes cambian en la misma proporción (en tandem), ese grupo de bienes se comporta como si fuera una sola mercancía16 . Con este resultado se construirían muchos modelos macroeconómicos de equilibrio general con variables agregadas (tales como “consumo”) desde donde se estudiarían las implicaciones económicas para cada una de esas componentes17 . Como se advierte en la cita al comienzo de esta sección, Value and Capital también trata sobre el análisis “dinámico” de una economía en equilibrio general acompasada por discusiones sobre expectativas. Y aunque su dinámica “se 13 Además

de A Revision of Demand Theory (1956). técnica de la estática comparativa (o ceteris paribus) la hemos ya utilizado en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial). El estudio de los cambios parciales en las variables involucradas en los equilibrios (por ejemplo, diferenciación parcial) está sustentado en el teorema de la envolvente. Para el lector interesado en conocer este teorema, que recurre a matemáticas un tanto avanzadas a este nivel, puede consultar el Apéndice al final del texto. 15 Estos términos ya fueron estudiados en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial). 16 Este es el famoso teorema de la mercancía compuesta, también ya mencionado en el volumen I. 17 Sin duda, este resultado de Hicks sería importante para la mecanización “walrasiana” del modelo “keynesiano” que hoy llamamos “modelo IS-LM” (ver Mr. Keynes and the “Classics”, 1937), en el que Hicks separa la economía en dos mercados, uno de bienes y otro monetario. Debe advertirse, sin embargo, que en esto también la Escuela italiana había anticipado a Hicks, con justificación diferente, en la utilización de variables agregadas tales como “consumo” dentro del modelo de equilibrio general. 14 La

2.3. John Hicks

39

detiene” rápidamente, y no es difícil reconocer que el “equilibrio intertemporal” hicksiano allí desarrollado es “semi-estático”, además de que no se podría alcanzar con él el objetivo de estudiar a fondo el problema del capital, Hicks había claramente abierto la puerta al problema de cómo entender los valores esperados en el futuro (allí incluidos los equilibrios), basados, obviamente, en la experiencia pasada18 . Más explícitamente, ayudaba a explicar una situación en que los agentes no cometen errores sistemáticamente debido al aprendizaje inducido por los errores pasados 19 . Debido a su keynesianismo temprano, Hicks siempre pensó que Value and Capital había sido “demasiado walrasiano”. De hecho, a él se le asocia con la inserción de la macroeconomía “keynesiana” dentro del sistema de equilibrio general “walrasiano” (conocida como “síntesis neoclásica”), al utilizar un modelo de equilibrio general agregado con cuatro mercados (mercancías, mano de obra, bonos y dinero), y llevando a cabo allí análisis de estática comparativa y de políticas de estabilización; todo en el corto plazo. El modelo IS-LM fue demasiado atractivo y simple para ser abandonado por quienes se encontraban con él en los libros de texto o en el artículo mismo. De hecho, aún hoy en día, cuando muchos economistas comienzan el estudio de algún problema macroeconómico, toman el IS-LM como primer paso20 . Aunque, en 1932, Hicks había publicado The Theory of Wages siguiendo la “línea clásica” de la London School of Economics, poco a poco fue divergiendo para ir hacia ideas que estaban más del lado de las de Keynes. Por ejemplo, en la edición de 1963 de este texto (p. 313), escribía: No tenía sentido asegurar que el desempleo de 1932 fue, de alguna forma, causado por salarios excesivamente altos... el movimiento de los salarios reales durante la Gran Depresión debería claramente tratarse... como un efecto y no como una causa.

Y afirmaba que el mercado laboral no podía tratarse como el mercado de una mercancía corriente; en particular, recurriendo a una versión acomodada del tâtonnement walrasiano, aseguraba que era evidente que los salarios no se movían instantáneamente para igualar la oferta y la demanda. De otro lado, también la teoría monetaria fue de su preocupación, aunque en esto, al final de cuentas, fue más apegado a la tradición clásica británica que a la keynesiana. En 1935, publicó A Suggestion for Simplifying the Theory of 18 Anticipado

también en esto por la Escuela italiana. posteriormente, Marcet & Sargent (1988) y Grandmont (1987), entre otros, seguirían los fértiles pasos de Hicks y su análisis secuencial. Sobre el equilibrio intertemporal de Hicks, discutiremos en la semana 9. 20 Aún así, cabe advertir, este modelo puede llevar a errores a aquellos que no tengan una buena formación como economistas, y no es cierto que allí esté encapsulado todo el pensamiento keynesiano, como tampoco es cierto que la teoría del capital y del trabajo esté representada en una función de producción neoclásica como las estudiadas en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial). En cierta forma, llegar sólo hasta estas estructuras, es un homenaje a la pereza intelectual. 19 Y

40

Semana 2. Vilfredo Pareto y la tradición paretiana

Money; en 1967, Critical Essays in Monetary Theory; y, en 1975, The Crisis in Keynesian Economics. En este último escribía (p. 38): (...) la liquidez no es una propiedad de una sola elección; es un problema de una sucesión de elecciones, una sucesión relacionada.

Pensaba que Keynes había sobrevalorado el “motivo especulación” y subvalorado la virtud de la liquidez en tiempos de presiones inflacionarias21 . Además, parecía que Hicks no consideraba muy promisoria la política de estimular la inversión bajando las tasas de interés, particularmente en “malos” tiempos. Ya con respecto a la teoría cuantitativa del dinero y al “monetarismo”, Hicks nunca tuvo una posición sistemática. Al final de cuentas, era escéptico con respecto a cualquier aparato mecánico estático para el estudio profundo de cuestiones monetarias. Para él, lo importante era el estudio de la estructura secuencial y de las expectativas en la formación de las variables. Quizás por ello, al igual que Pareto, tampoco emprendió intento alguno por integrar el dinero a la teoría del equilibrio general. Aunque no todo lo que Hicks escribiera en sus muchos libros y artículos fue importante o fundamental, Value and Capital fue el replanteamiento de la teoría paretiana del equilibrio general dentro de la tradición anglosajona. Y nunca, en su obra, dejamos de notar la claridad de su escritura y pensamiento, y cómo llevó asuntos económicos difíciles y muy técnicos a un lenguaje sencillo. Con eso allanó el camino de generaciones e hizo del modelo paretiano uno más accesible y popular. John Hicks murió en mayo de 1989.

2.4.

Maurice Allais La más importante contribución de Maurice Allais la hizo en los 1940’s, cuando continuó el desarrollo del trabajo de Walras y Pareto al proveer de formulaciones matemáticas crecientemente rigurosas del equilibrio de mercado y de las propiedades de su eficiencia. (...) Sobre la base de modelos matemáticos de planeación y elección de los consumidores y las firmas, introdujo una formulación muy general de las condiciones del equilibrio de mercado.

Mäler, Prize Lectures in Economic Sciences 1981-1990, 1992, p. 215. El Premio Nobel en Economía de 1988, Maurice Allais, nació en París en 1911, un año después de la muerte de Walras. Aunque, al igual que Pareto, fue ingeniero 21 La visión keynesiana de la demanda por dinero asegura que existen tres motivos que dan origen a la demanda por dinero. El primero, el “motivo transacciones”, que afirma que los individuos demandarán dinero para financiar sus compras diarias de bienes y servicios; otro, el “motivo precaución”, que afirma que demandarán dinero a manera de contingencia contra gastos imprevistos; y el tercero, el “motivo especulación”, que asegura que los individuos demandarán dinero con fines especulativos debido a que no están seguros de los retornos que puedan ofrecer otros activos (por ejemplo, bonos).

2.4. Maurice Allais

41

de formación, después, en los años de 1930, sería conducido a la economía debido a un viaje que hizo a los Estados Unidos en 1933, donde vería la devastación que causaba la Gran Depresión. Impresionado por el “cementerio de empresas” que encontró, entró en una mezcla entre confusión y curiosidad: Qué podría ser una mejor forma de preparar las secuelas de la guerra que tratar de encontrar una solución al problema fundamental de cualquier economía, esto es, cómo promover la mayor eficiencia económica posible pero asegurando una distribución del ingreso que sea aceptable generalmente.

Allais, An Outline..., 1997, p. 3. Allais leyó entre 1940 y 1941 a Walras, Pareto y Fisher que, para él, fueron “los tres grandes economistas que tuvieron la más honda influencia en [su] pensamiento”. En esa medida, creía tanto en las ciencias sociales como en las naturales, y reiteradamente afirmaba que la teoría siempre tendría que confrontarse con los hechos del mundo cotidiano, pues los modelos deberían dar elementos de aplicación práctica. Por ello, durante su vida publicaría numerosos artículos sobre las minas públicas de carbón en Francia (1949) (en donde recomendó comprar carbón importado más barato y cerrar algunas minas ineficientes); sobre los efectos de la competencia en las industrias del acero y del carbón en el Mercado Común Europeo (1957) (en donde tomó en cuenta, tanto la ganancia esperada como la probabilidad de ruina en el proyecto); sobre la economía del sistema energético (1960); y sobre las políticas de inversión y precios en los sectores del transporte con altos costos fijos (1964), entre otros. Y en ese camino, Allais también se interesó en problemas de política general e instituciones. Creía en la unión federal europea y en la adopción de una moneda única. Aunque fue un defensor del libre comercio entre las naciones (apoyado por instituciones y organizaciones sociales eficientes), como una manera de generar bienestar y riqueza social (1946, 1970), nunca creyó que el libre mercado resolviera todo (o casi todo) problema económico. Su experiencia en la Gran Depresión (1929-1934) y su fuerte inclinación hacia los hechos y los datos, lo llevarían a tener una actitud cuidadosa a este respecto. Por ejemplo, aseguraba que los monopolios naturales deberían ser propiedad del Estado, pero que si no lo podían ser, deberían tener una regulación muy estricta. Además, al igual que Walras, aunque sólo en un primer período de su producción intelectual, apoyaba la nacionalización de la tierra y que el Gobierno la rentara a los particulares. Sin embargo, después de 1948, admitió que esto podría limitar las libertades políticas y económicas de los ciudadanos, y cambió de opinión. Inspirado en los Études d´Économie Sociale de Walras, una de las más grandes contribuciones de Allais a la teoría económica fue su volumen masivo de 1000 páginas (escritas en dos años y medio) À la Recherche d’une Discipline Économique publicado en 194322 . Este importante aporte a la teoría del equilibrio económico y de la eficiencia, contiene una impresionante cantidad de contribuciones originales, algunas de ellas todavía completamente inexploradas. Algo 22 Del

que se publicó una segunda edición en 1952, bajo el título de Traité d´Économie Pure.

42

Semana 2. Vilfredo Pareto y la tradición paretiana

similar podría decirse de su segundo libro principal, Économie et Intérêt, publicado en 1947, y que originalmente hacía parte de À la Recherche. De hecho, el Comité Nobel de 1988, equiparaba estas dos obras de Allais con el Value and Capital de Hicks (publicado cuatro años antes de À la Recherche) y el Foundations of Economic Analysis de Paul Samuelson (publicado el mismo año de Économie et Intérêt). Más notable aún sabiendo de la independencia académica de Allais con respecto a la corriente principal anglosajona (UK) y norteamericana (USA); al igual que Pareto y Walras, siempre fue un autodidacta en economía. Los amateurs generalmente son detestados por los profesionales y miembros de toda clase del “establecimiento”; sin embargo, ellos poseen una ventaja excepcional, que es la de nunca haber sido condicionados por el entrenamiento universitario y la repetición constante de “verdades establecidas”, y, por consiguiente, la de ser capaces de examinar cualquier problema con ojo fresco, sin ninguna pre-concepción o prejuicio.

Allais, An Outline ..., 1997, p. 4. En su discurso Nobel (1988) publicado en 1997, afirmaba que sus contribuciones a la economía podrían, fundamentalmente, distribuirse en cinco áreas: la teoría del equilibrio general y su eficiencia, la teoría del capital, la teoría del dinero y el crédito, la teoría de la elección bajo riesgo, y el análisis de series de tiempo económicas. Aquí, para efectos de nuestro trabajo en este volumen, sólo nos concentraremos en las tres primeras. Sobre la teoría del equilibrio general y su eficiencia, sus mayores aportes se encuentran en À la Recherche. El resultado central es la primera prueba “de gran generalidad” de los “teoremas de equivalencia” que estudiaremos más adelante y que afirman que todo equilibrio de una economía de mercado es un estado de máxima eficiencia (óptimo de Pareto), y, viceversa, que todo estado de máxima eficiencia es un equilibrio (siempre que existan redistribuciones apropiadas del ingreso agregado)23 . Además de esto, incluyó allí útiles nociones que posteriormente serían rescatadas o redescubiertas por otros bajo diferentes nombres: la “superficie de máximas posibilidades” (hoy conocida como la “frontera de posibilidades de consumo” o “frontera Pareto”), y el concepto de “surplus (excedente) distribuible”, entre otros. De allí parte a restablecer la teoría paretiana de mercado alrededor de aquel concepto de surplus distribuible: allí donde no haya excedente (surplus) se encontrará el equilibrio económico, y, por tanto, se tendrá la máxima eficiencia.

23 No sobra recordar que estos teoremas ya eran conocidos por el mismo Pareto y, aunque es más discutible, por el mismo Walras. El aporte de Allais consistió en ofrecer demostraciones rigurosas de estos teoremas utilizando, básicamente, el cálculo diferencial.

2.4. Maurice Allais

43

Creo que mi teoría general de surpluses constituye un progreso muy considerable, y es en realidad muy revolucionario, en comparación no solo con todas las teorías previas sino también con todas las teorías contemporáneas.

Allais, An Outline ..., 1997, p. 5. Sobre la teoría del capital, sus mayores aportes se encuentran en Économie et Intérêt (1947), en donde recurre a cierta dinámica de generaciones (vieja y joven) para el estudio de la eficiencia máxima en el modelo de equilibrio general con capital24 . Allí muestra, notablemente, que aunque la unicidad de la tasa de interés es condición necesaria para la eficiencia en el sector productivo, no es así en el total de la economía. Ya sobre la teoría monetaria, los aportes centrales de Allais se encuentran en Économie et Intérêt y en dos artículos publicados en 1954 y 1955. Según él mismo (Allais, 1988), lo que lo condujo inicialmente al estudio de los problemas monetarios fue el notar que no es posible ninguna eficiencia económica ni distribución equitativa de los recursos en una economía con inestabilidad monetaria, como fue el caso de la Gran Depresión. Allais mostró en los artículos mencionados un modelo no-lineal que expresaba las variaciones del “gasto global” (que es la suma de todo lo gastado por los individuos en una unidad de tiempo) como función de la diferencia entre la oferta y la demanda de dinero (a este modelo lo llamó “la ecuación fundamental de la dinámica monetaria”). En esa dinámica no-lineal, para ciertos valores Allais encontró ciclos límites25 con comportamientos muy cercanos a los calculados empíricamente. Posteriormente, en artículos publicados entre 1965 y 1967 (Allais, 1965; 1966; 1967), replantearía su teoría monetaria para establecerla alrededor de... (...) la ecuación fundamental de la dinámica monetaria, y (...) tres formulaciones hereditarias y relativistas de la demanda de dinero, la oferta de dinero, y las tasas de interés psicológicas y las tasas de olvido.

Allais, An Outline ..., 1997, p. 6. Y es que “herencia” y “relatividad” son los términos claves de su teoría de la demanda de dinero. Para él, el término “herencia” está enraizado en la idea de que el comportamiento de un individuo está condicionado por su memoria del pasado, pero que esta es olvidada a una tasa decreciente que se relaciona con una tasa de descuento típica. Por su parte, el término “relatividad” proviene de que Allais creía que había dos tipos diferentes de tiempo: el estándar (físico) y el psicológico. Dentro del marco del tiempo psicológico, la tasa de olvido y la tasa “pura” de descuento (o “tasa de interés psicológica”, como la llama) serán constantes e iguales. Sin embargo, la tasa de olvido en el tiempo físico estándar es variable pues, según él, mientras más rápidamente evolucionan las 24 Luego conocido como el “modelo de generaciones traslapadas” (ver, por ejemplo, McCandless Jr. & Wallace, 1991). Sobre este modelo discutiremos en la semana 9. 25 Los ciclos límites son un tipo particular de equilibrio que surge en los sistemas dinámicos no-lineales (Hirsch & Smale, 1974).

44

Semana 2. Vilfredo Pareto y la tradición paretiana

magnitudes económicas dentro de este sistema de referencia, más rápidamente olvidará la gente, es decir, más rápida será la tasa de olvido. Por ejemplo, en una hiperinflación olvidamos rápidamente inclusive, lo que sucedió ayer, mientras que en una economía con inflación estable, el comportamiento monetario está condicionado, en gran medida, por lo que sucedió varios meses atrás. Al final, en el fondo, para Allais el lado de la demanda monetaria (al igual que para Walras), es una sutil presentación de la teoría cuantitativa del dinero, en el que la velocidad de la circulación monetaria no es constante, sino una función que incorpora eventos pasados y otros eventos psicológicos, que son susceptibles de verificación empírica siempre que se tenga una medida apropiada de la cantidad de dinero. (...) [Estas variables] muestran que estamos condicionados por el pasado, y abren nuevas perspectivas en el debate general sobre determinismo y libre elección.

Allais, An Outline..., 1997, p. 6. Por el lado de la oferta monetaria, su manejo está en la raíz de la regulación de la actividad económica. Al explicar (Allais, 1977; 1986) las condiciones monetarias para economías con mercados que funcionan eficientemente, afirma que los bancos deberían diferenciarse entre bancos de préstamo y bancos de depósito; que la creación de moneda sólo debe estar a cargo del Banco Central; que el impuesto de renta debería ser reemplazado por un impuesto general sobre todos los activos físicos durables (Allais, 1990), y que todas las obligaciones futuras deberían indexarse en una unidad de cuenta estable. La influencia del trabajo de Allais fue muy grande en varias generaciones de estudiantes franceses, entre ellos Marcel Boiteux, Edmond Malinvaud, y el premio Nobel de 1983, Gerard Debreu (quien lo obtuviera cinco años antes que su maestro). Sin embargo, en el exterior el nombre de Allais no fue en general bien reconocido hasta que el Comité Nobel colocó reflectores sobre él en 1988. Por esta época, el famoso economista norteamericano Paul Samuelson sí reconoció a Allais como “una fuente de descubrimiento independiente y original” agregando que Si sus primeros trabajos hubieran sido en inglés, toda una generación de teoría económica habría tomado un curso diferente.

Clarke, 1988, p. 164. Su caso fue como el de tantos otros: el no escribir en inglés fue un impedimento para la amplia circulación y completa apreciación de su trabajo. Aunado al hecho de que su obra es, no sólo extensa (más de mil artículos –no todos sobre economía–, y alrededor de treinta y cinco libros), sino densa. Sin embargo, al igual que en el caso de Walras, el mainstream anglosajón tomó de Allais sólo partes aisladas de su programa de investigación, y, muy particularmente, sus trabajos sobre los teoremas del bienestar económico presentados en À la Recherche. Tras una longeva y vital existencia, Maurice Allais falleció en octubre de 2010.

2.5. Paul Samuelson

2.5.

45

Paul Samuelson Mientras fue estudiante graduado en Harvard, [Paul Samuelson] ya había ganado renombre internacional y había hecho significativas contribuciones a la teoría económica. Confrontado por contradicciones, traslapaciones y falacias en el lenguaje clásico de la economía, [Samuelson] buscó unificación –y claridad– a través de las matemáticas. En su primer trabajo principal, Foundations of Economic Analysis, publicado en 1947, demostró que esta aproximación realmente funcionaba. Y les dijo a los economistas que lo que habían estado practicando era “gimnasia mental de un tipo particularmente depravado”, y que eran como “atletas altamente entrenados pero que nunca corrían una carrera”. Y aunque no aseguraba que las matemáticas eran las cura-todo o el fin último del análisis económico, sí insistía en que eran esenciales a la comprensión de lo que trataba la economía.

Lindbeck (ed.), Nobel Lectures, 1992, p. 53. Una de las principales características de la teoría económica durante las últimas décadas ha sido la creciente formalización de la técnicas analíticas del equilibrio general, y en esto John Hicks y Paul Samuelson tuvieron mucha influencia. El magnum opus de Samuelson fue su Foundations of Economic Analysis de 1947 (que fuera la versión ampliada de su tesis doctoral de 1941), donde muestra cómo unificar metodológicamente y bajo una misma estructura teórica, el estudio del comportamiento del consumidor, la economía del productor, la teoría del comercio internacional, la teoría de las finanzas públicas y el análisis macroeconómico. Al igual que en las ciencias naturales (y, en particular, la Física), Samuelson proponía en sus Foundations que la maximización o minimización bajo restricciones era una metodología útil de análisis en economía, aún si los agentes no estaban implicados de manera consciente en ese comportamiento. Allí también ayudaría a distinguir entre variables endógenas y exógenas, entre parámetros y constantes; entre estática comparativa y dinámica; entre equilibrio parcial y equilibrio general: eran las bases estructurales de la moderna teoría económica neoclásica. Y aunque quizás Samuelson no abrió campos completamente nuevos en la investigación económica durante el siglo XX, con su amplia visión desarrolló nuevas y refinadas herramientas analíticas para el estudio de problemas centrales de la teoría económica, tanto neoclásica como neokeynesiana. En particular, y a pesar de lo vasto de su pensamiento e intereses científicos, nos concentraremos aquí en sus contribuciones dentro de seis áreas fundamentalmente: la teoría del consumo, la teoría del bienestar, la dinámica y estabilidad, la teoría del equilibrio general, la teoría del capital y de la eficiencia intertemporal y, finalmente, la teoría monetaria. En la teoría del consumo, quizás uno de los principales aportes de Samuelson fue la teoría de las preferencias reveladas (1938), que era la visión empírica de

46

Semana 2. Vilfredo Pareto y la tradición paretiana

la “dudosa y psicológica” función de utilidad26 . Esta teoría está basada en la hipótesis de que si se escoge cierta canasta de bienes de consumo cuando otra está disponible, esta última no será escogida cuando la primera esté disponible. Al comparar los costos de diferentes canastas a diferentes precios, es posible obtener conclusiones acerca de los comportamientos de preferencia del individuo, y Samuelson muestra la conexión de este procedimiento empírico con la teoría de las preferencias ordinales de Pareto (1909), Slutsky (1915) y Hicks & Allen (1934a, 1934b). Por su parte, en la teoría del bienestar, sus nociones de “ingreso nacional” (1950), de “frontera de posibilidades de utilidad” (1947), de “gran frontera de posibilidades de producción” (1947)27 , y su confrontación con los “mapas de indiferencia social” de Abram Bergson (1938), permitían determinar posiciones de “óptimo social”. Samuelson siempre fue escéptico sobre políticas públicas que iban más allá de la noción de eficiencia paretiana. Sobre la dinámica y estabilidad, no hay duda de que el Foundations de 1947 colocó bases sólidas de análisis teórico a los trabajos anteriores de Frisch (1933), Frisch & Holme (1935), del mismo Samuelson (1939a), Hicks (1939a), Tinbergen (1942), Kalecki (1935), Harrod (1939) y Kaldor (1940), entre otros. De hecho, Samuelson mostró la conexión entre la estática comparativa (ceteris paribus) y la dinámica, y desarrolló un “verdadero” análisis de estabilidad dinámico. En particular, fue él quien primero estudió sistemáticamente el problema del comportamiento de un sistema económico fuera del equilibrio competitivo, con comportamientos tâtonnement tipo walrasianos, donde los precios reaccionan ante aumentos o disminuciones de los correspondientes excesos de demanda, o con comportamientos de telaraña “marshallianos” (ver volumen I, Competencia bajo equilibrio parcial), en donde las cantidades producidas reaccionan a la diferencia entre los correspondientes precios de demanda y de oferta. Discutió a fondo ecuaciones en diferencias para movimientos de precios y cantidades, y estudió sus comportamientos de estabilidad alrededor de los equilibrios. Fue allí donde apareció el término “principio de correspondencia”, que consistía en desarrollar analogías entre la dinámica económica y los sistemas dinámicos de la mecánica clásica. Sobre la teoría del Equilibrio General, y a diferencia de Hicks (quien fundamentalmente buscaba estudiar políticas de estabilización macroeconómica de sistemas de equilibro general), para Samuelson el objetivo fue estudiar problemas de asignación, también en equilibrio general. Y una de estas aplicaciones directas fue a la teoría del comercio internacional, en particular, su famoso teorema de igualación de precios de factores (1948a, 1949, 1953). También el artículo con Stolper (1941) sobre los efectos de tarifas en la distribución del ingreso de un país, y el de los beneficios del comercio internacional (1939b), serían piedras angulares de la teoría del comercio internacional en un contexto de equilibrio general. En este último, por ejemplo, Samuelson mostraba que bajo 26 Ver

ejercicio 16 de la semana 2 del volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial). esto discutiremos en la semana 3.

27 Sobre

2.5. Paul Samuelson

47

ciertas condiciones, el libre comercio es “mejor” que el no-comercio, y también que el comercio restringido. Sobre el capital y la eficiencia intertemporal, Samuelson tuvo un preponderante papel en el debate sobre la “agregación capital” que sostuvieron entre Joan Robinson, Luigi Pasinetti, Piero Sraffa, etc. (Cambridge, UK) y Paul Samuelson, Robert Solow, etc. (Cambridge, USA). Sus conceptos sobre el capital y su incidencia en la teoría de la asignación y del crecimiento son sus principales contribuciones en esta área. Por ejemplo, Samuelson mostró que era posible hablar de un precio bien definido del capital aunque no fuera posible definir, de una manera satisfactoria, un stock de capital agregado (Samuelson & Solow, 1956; Samuelson, 1962a). Además, mostraría que el problema de sustitución entre capital y trabajo podría formularse como un problema “dual” en términos de los rendimientos reales de cada factor28 . Otra importante contribución de Samuelson a la teoría dinámica del capital es el modelo de consumo-préstamo (consumption-loan model) (1958) en el que se trata de establecer la trayectoria de equilibrio de consumos y préstamos entre generaciones: la generación “media” presta parte de su producción a la generación “joven”, de tal forma que cuando aquella generación se hace “vieja”, se sostiene con los pagos (en términos de producción), de la generación que obtuvo los préstamos, y que ahora es la generación “vieja”. Así, en este modelo, la asignación intertemporal de consumo se hace prestando (lending) y recibiendo préstamos (borrowing) en términos de producción; en ningún caso esto se logra mediante inversión. Este modelo de consumo-préstamo de Samuelson ha sido adaptado para hacer de este toda una máquina de análisis macroeconómico, incluyendo problemas de crecimiento de población, tasa de interés óptima y de mercado, y análisis monetarios. A este, anticipado por Allais (1943), se le llama hoy “modelo de generaciones traslapadas”. Sobre este modelo discutiremos en la semana 9. Samuelson también hizo algunas contribuciones significativas a la teoría monetaria, al ser uno de los primeros economistas en adaptar la economía keynesiana para que jugara un mayor papel en las políticas monetarias. El movimiento inicial que siguió a la General Theory (1936) de Keynes, llevaba a la idea de que las políticas monetarias no eran efectivas sobre la demanda agregada. Sin embargo, Samuelson junto con F. Modigliani (1966), desarrollaron una versión ecléctica de keynesianismo con neoclasicismo (conocida como “síntesis neoclásica”), en la que la política monetaria sí impactaba en el manejo de la demanda. De hecho, en su famoso libro de texto Economics (1948b), incluía una discusión sobre cómo la política monetaria tenía impacto importante en el gasto nacional29 . Aún así, siempre tuvo un serio alejamiento conceptual del monetarismo de Milton Friedman30 . 28 Este problema también fue analizado (brevemente) en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial). 29 Este texto ha tenido más de diecinueve ediciones. 30 El monetarismo es una escuela de pensamiento económico que asegura que las perturbaciones dentro del sector monetario son la causa principal de la inestabilidad en una economía.

48

Semana 2. Vilfredo Pareto y la tradición paretiana

Paul Samuelson gustaba de llamarse a sí mismo “the last generalist in economics”, lo que significaba que había escrito y enseñado en temas aparentemente disímiles, tales como comercio internacional, econometría, ciclos económicos, demografía y economía laboral; finanzas y competencia monopolística; historia de las doctrinas económicas, y geografía económica. Pero todo esto tiene sus razones. En 1935, siendo aún un estudiante de posgrado en Harvard, el famoso economista Joseph Schumpeter (1883-1950), le decía a la clase que de los cuatro más grandes economistas del mundo, tres eran franceses. Uno era Walras31 , y los otros dos eran Cournot y Quesnay: el no-francés era Marshall. No obstante, y un poco escéptico sobre la clasificación de Schumpeter, y de la fuerte influencia de sus maestros en Harvard, Samuelson se inclinó más por los economistas políticos clásicos: Smith, Ricardo, Mill y Marx. Y, aparentemente, no ocultaba su incomodidad cuando se ensalzaba el papel de Marshall en el pensamiento económico, y se minimizaba el de Walras como “el predecesor de Pareto”. Hoy puede haber poca duda de que la mayoría de la teoría literaria y matemática que aparece en nuestras revistas profesionales es más de origen de Walras que de cualquier otro (y hago énfasis en el adjetivo “literario”).

Samuelson, 1962b, p. 3.

[32]

Hacia el final de su vida, Samuelson escribió un controversial artículo (Dixit et al, 2005) en el que pareciera ubicarse como líder intelectual del proteccionismo en el comercio internacional de los Estados Unidos. Sin embargo, aclaró su posición enfáticamente: La historia económica y la mejor teoría económica en conjunto, me persuaden de que dejar o comprometer las políticas de libre comercio muy probablemente reducirán el futuro crecimiento del bienestar, tanto en las regiones más avanzadas como en las menos productivas del mundo. El proteccionismo alimenta el monopolio y el capitalismo lento. No permite alcanzar una sociedad igualitaria, feliz y serena.

Dixit, Grossman & Samuelson, 2005, p. 242. El último de los economistas eruditos, Paul Samuelson, murió en diciembre de 2009. Nota 1. (Sobre el orígen del término “neoclásico”) El término “neoclásico”, lo afirmábamos en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial), fue acuñado por Thorstein Veblen (1900, pp. 242, 260-2, 2658) buscando caracterizar la economía marshalliana, especialmente en el sentido de que Marshall daba continuidad a elementos esenciales de la escuela clásica. Pero quizás el término mismo llegaría a ser aceptado comúnmente cuando a la 31 A quien Schumpeter nunca dudó en considerar el más grande economista de todas las épocas por su formulación del modelo de equilibrio general. 32 Y sin embargo, curiosamente, aseguraba que así como sólo existe un “sistema del mundo” y fue Newton el que “lo encontró”, también fue asunto de “buena suerte” que Walras “encontrara” el concepto de equilibrio general.

Ejercicios

49

teoría marshalliana se le asoció con el marginalismo de Walras, Jevons y Menger, entre otros [ver Hicks (1932a, p. 84) y Stigler (1941, pp. 8, 13, 297)]. No obstante, ni Hicks ni Stigler hicieron ninguna reafirmación a las críticas surgidas por los orígenes de este nuevo término pues, sin duda, habían diferencias sustanciales entre la escuela clásica y la marginalista. El término reaparecería después en los debates de los años 1950 y 1960 sobre los problemas del capital y el crecimiento. De hecho, Samuelson (1955, p. vi) presenta la tercera edición de su Economics como la “gran síntesis neoclásica”. No hay duda de que Hicks, Stigler y Samuelson fueron las voces principales que hicieron que este término se instalara profundamente en el lenguaje económico del siglo XX y aún hoy en el XXI.

Ejercicios 1. Describa, a nivel general, las diferencias principales entre los modelos de equilibrio general de Walras y Pareto. 2. Señale, a nivel general, alguno de los aportes de la Escuela italiana al modelo de Pareto. 3. Diferencie los aportes de John Hicks a la teoría paretiana y a la teoría keynesiana. 4. Señale los avances de Allais a la teoría del equilibrio general paretiano y su eficiencia. 5. Contraste brevemente los aportes de Allais a la: a) Teoría del capital, con los de Walras y Hicks. b) Teoría monetaria, con los de Walras y Hicks. 6. Indique algunos de los aportes de Samuelson a la teoría del equilibrio general paretiano y a la teoría del bienestar. 7. Discuta los aportes de Walras, Pareto, la Escuela italiana, Hicks, Allais y Samuelson, al problema de la existencia del equilibrio competitivo. 8. Lo mismo que en el ejemplo anterior, pero ahora con respecto a la estabilidad del equilibrio competitivo.

Semana 3

El modelo paretiano simple

3.1.

Introducción

Después de un zigzagueante camino desde el punto de vista conceptual que va desde Walras y Pareto, hasta la síntesis de Hicks, Samuelson y Allais (entre otros), la teoría neoclásica homogénea desembocó en lo que actualmente se conoce como el “modelo paretiano simple”. Una de las razones por las cuales este sistema de equilibrio general en consumo y producción (ignorando capital y moneda)1 , se instaló en el corazón de las discusiones del siglo XX sobre el equilibrio económico “walrasiano”, es porque es “pedagógicamente conveniente” para ilustrar algunas de las ideas centrales de Pareto (mas no necesariamente las de Walras), y su intuición gráfica es muy simple a través de tres herramientas fundamentales: primero, las curvas de nivel (estudiadas por el mismo Pareto para representar los niveles de ophélimité); segundo, las cajas de EdgeworthBowley (confusamente vislumbradas por el mismo Edgeworth en su obra magna de 1881, pero introducidas en propiedad por Pareto en el Manuale de 1906); y tercero, las fronteras de posibilidades de producción –introducidas por Abba Lerner (1932)– y las fronteras Pareto –introducidas por Allais (1943)–. 1 Al fin y al cabo, si el capital podía agregarse en una unidad uniforme, no requería considerarse como un concepto distinto al de las mercancias típicas, a pesar de las serias advertencias en sentido contrario (ver “controversia Cambridge del capital” en la semana 8 del volumen I –Competencia bajo equilibrio parcial–). Y con respecto al papel de la moneda en el modelo paretiano, basta que este sea, simplemente, unidad de cuenta con respaldo, para que cumpla su único rol fundamental en el modelo. Finalmente, los mercados financieros (incluida allí una teoría dinámica del capital), también serían abarcados por el modelo de equilibrio general una vez se le incorporaron estructuras de incertidumbre (Arrow, 1964; Radner, 1972). Esto último lo estudiaremos en la semana 8.

51

52

Semana 3. El modelo paretiano simple

Y aunque con ellas se ilustran claramente las condiciones del equilibrio general planteadas por el italiano, desafortunadamente el costo de esta aproximación (además de hacer a un lado capital y moneda) es que, en general, se apoya en fuertes hipótesis sobre las distintas funciones empleadas, y las ilustraciones gráficas inevitablemente requieren reducirlo a una economía compuesta por dos consumidores, dos productores, y dos factores (2 × 2 × 2). Es básicamente allí donde se desarrolla todo el modelo, aunque el camino hacia su generalización es claro.

3.2.

El modelo paretiano

En términos generales, el sistema paretiano podría describirse con los siguientes cinco elementos: a) Un conjunto de mercancías; es decir, “cosas valiosas e intercambiables” (Walras, 1900, 5, §41), o, “ciertas cosas susceptibles de satisfacer sus [del hombre] gustos” (Pareto, 1909, III, §16). b) Un mercado de esas mercancías; es decir, “el lugar donde se cambian las mercancías” (Walras, 1900, 5, §41). c) Precios tomados de manera paramétrica (competencia perfecta). Esto implica que los agentes del mercado no tienen ninguna capacidad individual estratégica de alterar los precios. Cada uno de ellos es parte insignificante del mercado, aunque, en el agregado, su acción microscópica sí se verá reflejada. Veamos lo que Pareto afirmaba al respecto: Si observamos la realidad, vemos que el tipo (I) [[de individuo]][2] se encuentra donde hay competencia entre los que se conforman. Las personas con las cuales contratan pueden no estar en competencia y no seguir en consecuencia el tipo (I). El tipo (I) es tanto más neto cuando la competencia es más extensa y perfecta. Es precisamente porque cada día en la Bolsa de París hay muchas personas que compran y venden renta francesa, que sería locura pretender modificar las condiciones de ese mercado comprando o vendiendo algunos francos de renta. Evidentemente, si todos los que venden (o compran) se pusieran de acuerdo, podrían efectivamente modificar esas condiciones en provecho suyo; pero no se conocen unos a otros, y cada uno actúa por su cuenta. En medio de esta confusión, y de esta competencia, cada individuo no tiene otra cosa que hacer, sino ocuparse de sus propios negocios y buscar cómo satisfacer sus propios gustos, según las diferentes condiciones que pueden presentarse en el mercado. Todos los vendedores (o los compradores) de renta, modifican el precio, pero lo modifican sin previo designio, y no es el fin sino el efecto de su intervención.

Pareto, 1909, 2 Para

III,

§46.

Pareto, un individuo tipo (I) es aquel que únicamente busca satisfacer sus gustos. De otro lado, un individuo tipo (II) es el que busca modificar las condiciones del mercado para “sacar ventaja, o para otro fin cualquiera”.

3.2. El modelo paretiano

53

d) Cierto número de consumidores que poseen dotaciones de factores (incluída allí la mano de obra) y que desean consumir bienes producidos por cierto número de firmas (empresas), que son las que organizan la producción demandando factores de los consumidores y ofreciendo bienes producidos. El resto consiste en que los consumidores escojan vía la maximización de la utilidad, y los productores vía la maximización del beneficio (siendo esta última una de las principales contribuciones de Pareto al sistema de equilibrio general). El equilibrio competitivo (insistimos, a veces mal llamado “walrasiano”) se alcanza cuando se consigue un conjunto de precios que haga que en los mercados de los productos y de los factores, la oferta y la demanda se igualen. e) También se asume que los consumidores tienen los derechos de propiedad sobre las firmas. Este es el principio básico de una economía de propiedad privada. Y lo anterior lo reflejamos, desde el plano puramente notacional, de la siguiente forma: i) Los consumidores los notaremos por A y B, y los factores por v1 y v2 . ii) uA (·, ·) : R2+ → R será la función de utilidad del agente A que depende del consumo de bienes (xA , yA ), donde xA es la cantidad del bien x consumido por el agente A, y yA es la cantidad del bien y consumido por el mismo agente A. La dotación inicial de factores que el consumidor A coloca a disposición del mercado en el período bajo estudio es WA = (v1A , v2A ) donde v1A denota la cantidad de factor (o insumo) 1 que posee el agente A, y v2A es la cantidad de factor (insumo) 2 que posee el mismo agente. Aquí, si el lector lo desea, puede pensar en que v1A y v2A son las cantidades de dos tipos de trabajo que ofrece el consumidor (por ejemplo, un hogar con dos personas que trabajan le ofrecen dos tipos de trabajo al mercado (o, más específicamente, a las empresas (productores) que describiremos enseguida)). De manera análoga, asumiremos que el consumidor B tiene su función de utilidad uB (·, ·) : R2+ → R que depende del consumo (xB , yB ), y que su dotación inicial es WB = (v1B , v2B ) [3] . iii) Los productores (firmas) los notaremos por x y y. Aquí se acostumbra a asumir que cada firma produce los bienes, que con abuso de notación también notaremos por x y y, mediante funciones de producción x = f x (v1x , v2x ) : R2+ → R+ y y = f y (v1y , v2y ) : R2+ → R+ donde v1x denota la cantidad del insumo 1 implicada en la producción de x, y v2x denota la cantidad del insumo 2 implicada en la producción del mismo x; de manera similar, v1y denota la cantidad del insumo 1 implicada en la producción de y, y v2y denota la cantidad del insumo 2 implicada en la producción también de y. 3 Fue el trabajo de Hermann Heinrich Gossen (1854), prácticamente desconocido hasta su traducción al inglés en 1983, el primero en presentar la noción de función de utilidad y, particularmente, la de utilidad marginal.

54

Semana 3. El modelo paretiano simple

Nota 1. (Sobre el origen de las funciones de producción) Las funciones de producción, ya lo mencionábamos antes en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial), tienen una historia que se remonta hasta von Thünen (1826) quien en su Der Isolierte Staat (vol. II) encontró que para su Estado agrícola, Q/L = h(K/L)n , donde Q/L es el producto per cápita, K/L es el capital per cápita, h es un parámetro que representa la fertilidad del suelo y la eficiencia del trabajo, y n está entre 0 y 1. Sin embargo, fue Wicksteed (1894) el primero en escribir algebraicamente la relación entre insumos y productos de la forma x = f (v1 , v2 ). Walras (1900) y Pareto (1909) en las últimas ediciones de sus trabajos clásicos, también plantearon funciones de producción abstractas pero no las incorporaron efectivamente en sus esquemas teóricos. Específicamente, para Pareto, La empresa es la organización que reúne los elementos de la producción y que los dispone de manera que se cumpla. Es una abstracción, como el homo œconomicus, y tiene con las empresas reales la misma relación que el homo œconomicus con el hombre verdadero, el hombre concreto.

Pareto, 1909, V, §4. y a párrafo seguido afirmaba que: Se puede hacer una representación material de la empresa, considerando un recipiente donde terminan numerosos canales, que representan los elementos de la producción y de donde sale una corriente única que representa el producto.

Pareto, 1909, V, §5. De otro lado, algunos investigadores (por ejemplo, Whitaker, 1975), han encontrado que Marshall, en trabajos no publicados, estudió funciones de producción de la forma P = f (L, E, C, A, F ) donde L es trabajo, E es eficiencia, C es capital, A es nivel tecnológico, y F es la fertilidad del suelo. En 1928, Charles Cobb y Paul Douglas describieron la relación entre las series de tiempo de producción manufacturera, mano de obra y capital para la economía norteamericana entre 1889 y 1922. Esto daría origen a la famosa función de producción Cobb-Douglas que hoy conocemos: y = (v1 )α (v2 )β donde α y β son constantes positivas conocidas.

3.2.1.

Los consumidores

La deducción [de las funciones generales de demanda] es el propósito absoluto de nuestro análisis del comportamiento del consumidor.

Samuelson, 1947, p. 96. La primera condición del sistema paretiano que plantearemos es la optimización por parte de los consumidores: Dados los precios px (por unidad del producto

3.2. El modelo paretiano

55

x), py (por unidad del producto y), w1 (del factor v1 ) y w2 (del factor v2 ), el consumidor A se enfrentará al problema4 Maximizar xA ,yA ≥0

sujeta a

uA (xA , yA ) px xA + py yA = w1 v1A + w2 v2A

(A)

Y puesto que el modelo paretiano asumirá, a menos que se explicite lo contrario, diferenciabilidad con continuidad, monotonicidad creciente estricta (en cada uno de sus argumentos) y cuasiconcavidad estricta de la función uA (·, ·) en R2+ , entonces podemos aplicar el método de Lagrange (ver Apéndice matemático del volumen I –Competencia bajo equilibrio parcial–)5 planteando, primero, el lagrangiano: L = uA (xA , yA ) − λA (px xA + py yA − w1 v1A − w2 v2A ) donde λA es el correspondiente multiplicador de Lagrange para el agente A. De aquí, derivando con respecto a xA , yA y λA obtenemos las condiciones necesarias y suficientes para que el consumidor A maximice su utilidad uA : ∂uA = λ A px ∂xA

;

∂uA = λ A py ∂yA

;

px xA + py yA = w1 v1A + w2 v2A

Obsérvese que, inmediatamente, se obtiene la conocida ecuación de Jevons (1871): ∂uA px ∂xA = (3.1) py ∂uA ∂yA que afirma que la tasa marginal de sustitución entre xA y yA es igual a la razón de precios de los bienes px /py . Por su parte, la segunda condición es la del consumidor B, cuyo problema es similar al del consumidor A: Se enfrenta al problema Maximizar xB ,yB ≥0

sujeta a

uB (xB , yB ) px xB + py yB = w1 v1B + w2 v2B

(B)

y con las mismas condiciones analíticas sobre uB (·, ·) de diferenciabilidad con continuidad, monotonicidad creciente estricta y cuasiconcavidad estricta en R2+ , 4 Al presupuesto w v 1 1A +w2 v2A que aparece a continuación en el problema del consumidor, se le incorpora, usualmente, las participaciones en el beneficio de las empresas de las que el consumidor es, parcialmente, dueño. Sin embargo, esto no afectará la ecuación básica de equilibrio del consumidor, como es la ecuación de Jevons que se deducirá enseguida. 5 Tradicionalmente se afirma que Edgeworth (1877), en su New and Old Methods of Ethics, fue el primero en utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange. Walras y Pareto, aunque bien dispuestos hacia las matemáticas (mucho más Pareto que Walras), y advertidos por colegas de su existencia, omitieron siempre su utilización.

56

Semana 3. El modelo paretiano simple

las condiciones de Lagrange, son, en este caso: ∂uB = λ B px ∂xB

;

∂uB = λ B py ∂yB

;

px xB + py yB = w1 v1B + w2 v2B

donde λB es el multiplicador de Lagrange para el agente B. Como consecuencia, es fácil observar que también aquí se obtiene la respectiva condición de sustitución entre bienes en equilibrio (ecuación de Jevons): ∂uB ∂xB ∂uB ∂yB

=

px py

(3.2)

Así, de (3.1) y (3.2), llegamos a que ∂uA ∂uB px ∂xA ∂xB = = py ∂uA ∂uB ∂yA ∂yB

(3.3)

Es decir, las tasas marginales de sustitución entre los dos bienes serán las mismas para ambos agentes. 3.2.1.1.

La caja Edgeworth-Bowley

Este útil instrumento gráfico (Edgeworth, 1881; Pareto, 1906; Bowley, 1924), que tiene la virtud de poder incorporar muchas variables en una sola figura, se presenta actualmente, en al menos tres versiones. Una, en que únicamente se describe la interrelación entre dos consumidores pero sin la intervención de los dos productores (economías –competitivas– de intercambio puro); otra, en que se incorpora únicamente a los dos productores; y una tercera en que se incluye a toda la economía. La primera la estudiaremos enseguida y las dos últimas, las discutiremos más adelante. En el caso de una economía de intercambio puro, las dimensiones de la caja (ver figura 3.1), están determinadas por las cantidades totales de las dos mercancías que ellos ofrecen en la economía (y que son las cantidades totales que van a intercambiar): el lado de la caja mide v1A + v1B unidades del bien x, y la altura mide v2A + v2B del bien y [6] . El consumidor A mide sus consumos desde la esquina inferior izquierda de la caja, y el consumidor B mide sus consumos desde la esquina superior derecha. Así, un punto de la caja Edgeworth-Bowley nos da completa información sobre la cantidad de cada una de las mercancías 6 Note aquí cómo nos vemos obligados a cierta manipulación de notación debido a la “desaparición” de las firmas: v1A será, aquí, la cantidad de bien x que posee A; v1B será la cantidad de bien x que posee B; v2A será la cantidad de bien y que posee A; v2B será la cantidad de bien y que posee B.

3.2. El modelo paretiano

57

que demanda cada consumidor: la cantidad xA del bien x que demanda el consumidor A se mide desde la esquina inferior-izquierda hacia la derecha, y su cantidad yA del bien y se mide desde la esquina inferior-izquierda hacia arriba. La cantidad xB del bien x que demanda el consumidor B se mide desde la esquina superior-derecha hacia la izquierda, y su cantidad yB del bien y se mide desde esa misma esquina pero hacia abajo. Por lo tanto, cualquier punto dentro de la caja identifica ambas demandas por parte de los consumidores, y, de esta manera, se tendrá inmediatamente la condición de equilibrio “oferta igual a demanda”: xA + xB = v1A + v1B , yA + yB = v2A + v2B . xB yA

x∗B

consumidor B curva de contrato

∗ yA

consumidor A

∗ yB

x∗A

yB

recta con pendiente − ppxy

xA

Figura 3.1. Caja Edgeworth-Bowley para economías de intercambio puro.

En la misma figura 3.1 podemos también observar que las intersecciones tangenciales de las curvas de nivel de las funciones de utilidad de A y B, dan origen a la curva de contrato (Edgeworth, 1881) de la economía, que es la curva que va, allí, desde el extremo inferior izquierdo de la figura, hasta el extremo superior ∗ derecho. Los puntos de esta curva son, precisamente, aquellos pares (x∗A , yA ), ∗ ∗ (xB , yB ) de la caja Edgeworth-Bowley que satisfacen la ecuación (3.3) de optimalidad para los consumidores A y B. La pendiente de la recta tangente a ambas curvas debe ser, entonces, −px /py [7] . uB Frontera Pareto

uA Figura 3.2. La frontera Pareto (FP) de consumo es la frontera superior del conjunto señalado en color gris. 7 Aquí los puntos de la curva de contrato se determinarán para las distintas razones de precios px /py que satisfacen la ecuación (3.3).

58

Semana 3. El modelo paretiano simple

∗ ∗ Ahora: si tomamos los pares (uA (x∗A , yA ), uB (x∗B , yB )) y contruimos una curva, obtendremos la conocida frontera Pareto de consumo (FP) introducida por Allais (1943), como se muestra en la figura 3.2 [8] . Esta curva, veremos más adelante, mostrará los niveles máximos de utilidad que obtendría un consumidor, dada una determinada utilidad fija del otro consumidor. Obviamente, los niveles de utilidad que obtendrían ambos consumidores estarán determinados por sus dotaciones iniciales.

Ejemplo 1. Supongamos una economía competitiva de intercambio con los precios px , py , w1 y w2 dados por el mercado, y dos agentes (A y B) cuyas funciones de utilidad son: uA (xA , yA ) = xA yA ; uB (xB , yB ) = (xB )1/2 + (yB )1/2 con dotaciones respectivas WA = (3, 1) y WB = (4, 2). Encontremos la curva de contrato y la frontera Pareto. Solución Aquí, el problema del consumidor A es: Maximizar xA ,yA ≥0

sujeta a

uA (xA , yA ) = xA yA px xA + py yA = 3px + py

Y el problema del consumidor B es: Maximizar xB ,yB ≥0

sujeta a

uB (xB , yB ) = (xB )1/2 + (yB )1/2 px xB + py yB = 4px + 2py

Del lagrangiano del primer problema L = xA yA − λA (px xA + py yA − 3px − py ) se obtiene, derivando con respecto a xA y yA , y eliminando λA , la correspondiente ecuación de Jevons: px yA = xA py Similarmente, del segundo problema se obtiene (mediante el lagrangiano) la correspondiente ecuación de Jevons: (yB )1/2 px = py (xB )1/2 Igualando las dos ecuaciones anteriores obtenemos: yA (yB )1/2 = xA (xB )1/2 8 También

conocida como frontera de posibilidades de consumo.

3.2. El modelo paretiano

59

Pero como xA + xB = 7 y yA + yB = 3, entonces tendremos que: (3 − yA )1/2 yA = xA (7 − xA )1/2

(*)

Y despejando yA de esta última ecuación (∗) (habrá que resolver una ecuación cuadrática y escoger la solución siempre positiva en la caja de Edgeworth) se llega a la solución:
xA xA − (x2A − 12xA + 84)1/2 yA = , 0 < xA < 7 2 (xA − 7) que es, precisamente, la curva de contrato de esta economía (ver figura 3.3)9 . xB yA 3 7

6

5

4

3

2

1

B

2

1

1

2

A

1

2

3

4

5

6

3 yB 7 xA

Figura 3.3. Curva de contrato en el ejemplo 1.

Ahora: sobre la curva de contrato se tiene que: x2 xA − (x2A − 12xA + 84)1/2 u (xA , yA ) = xA yA = A 2 (xA − 7) A




uB (xB , yB ) = (xB )1/2 + (yB )1/2 = (7 − xA )1/2 + (3 − yA )1/2 1/2

= (7 − xA )

+

xA xA − (x2A − 12xA + 84)1/2 3− 2 (xA − 7)


!1/2

Y estas, para 0 < xA < 7, son las ecuaciones paramétricas (uA , uB ) de la frontera Pareto (ver figura 3.4)10 . Llama la atención, a primera vista, la noconvexidad del conjunto conformado interiormente por esta curva. Sin embargo, en la teoría paretiana, es usual que al conjunto conformado interiormente por 9 En

la ecuación cuadrática (∗ ) resulta otra solución. ¿Por qué esta no fue escogida? embargo, debemos estudiar, por separado, los casos xA = 0 y xA = 7 ya que en tales instancias la ecuación (*) arriba, no se puede obtener. Cómo proceder en estos casos, lo ilustraremos en el ejemplo 2. 10 Sin

60

Semana 3. El modelo paretiano simple

la frontera Pareto se le considere, a priori, convexo, debido a que se toman los valores esperados (von Neumann & Morgenstern, 1944) de los valores seguros del conjunto, y esto “convexifica” el conjunto. En este caso particular, al hacer convexo el conjunto de la figura 3.4 (es decir, al construir el menor conjunto convexo que lo contiene), se obtendrá un triángulo rectángulo, como, con un poco de paciencia, el lector puede comprobar. uB 3 Frontera Pareto 2 1 5

10

15

20

uA

Figura 3.4. Frontera Pareto para el ejemplo 1.

Nota 2. (Otro método para obtener la frontera Pareto) La frontera Pareto también se puede obtener sin recurrir a la maximización de la utilidad sujeta a restricción presupuestaria. Basta con resolver el problema Maximizar xA ,yA ≥0

sujeta a

uA (xA , yA ) uB (xB , yB ) = uB xA + xB = x yA + yB = y

donde uB , x y y son constantes positivas. Y para comprobarlo, se recurre al método del lagrangiano escribiendo inicialmente, para λ1 , λ2 , λ3 distintos de cero, L = uA (xA , yA ) − λ1 (uB (xB , yB ) − uB ) − λ2 (xA + xB − x) − λ3 (yA + yB − y) para luego derivar con respecto a xA , yA , xB y yB y obtener que ∂uA = λ2 , ∂xA

∂uA = λ3 , ∂yA

−λ1

∂uB = λ2 , ∂xB

−λ1

∂uB = λ3 ∂yB

con las cuales se llegará a la ecuación de equilibrio ∂uB ∂uA ∂xA ∂xB = ∂uA ∂uB ∂yA ∂yB

(3.4)

3.2. El modelo paretiano

61

Queda como ejercicio para el lector mostrar que si cambiamos A por B en el problema de optimización anterior, se obtiene exactamente la misma ecuación (3.3) de igualdad de tasas marginales de sustitución. Ejemplo 2. Obviamente, el problema general de optimización de la nota 2 se mantiene como el método más general de encontrar una FPP aunque su solución sea “de esquina” y, por lo tanto, la ecuación (3.4) no se satisfaga. Para ver un ejemplo de esto, supongamos una economía competitiva de intercambio con dos mercancias (x y y) y dos consumidores (A y B) con funciones de utilidad cuasilineal y separable, respectivamente, definidas así: uA (xA , yA ) = (xA )1/2 + yA

;

uB (xB , yB ) = (xB )1/2 + (yB )1/2

con dotaciones respectivas WA = (3, 1) y WB = (2, 2). Entonces, por la condición de la ecuación (3.4) tenemos que: (yB )1/2 1 = 1/2 2(xA ) (xB )1/2 Y haciendo uso de las ecuaciones de restricción de dotaciones de los consumidores dadas por xA + xB = 5 y yA + yB = 3, llegamos, entonces, a que: 1/2

1

=

2xA 1/2

(3 − yA )

1/2

(5 − xA )

Y despejando yA obtenemos la curva de contrato (ver figura 3.5): yA =

13xA − 5 4xA

5 < xA < 5 13

,

xB yA

5 3

4

3

2

1

B 0.5

2.5

1

2

1.5

1.5

2

1

2.5

0.5 A

1

2

3

4

3 5 xA

Figura 3.5. Curva de contrato para el ejemplo 2.

yB

62

Semana 3. El modelo paretiano simple

Finalmente, insertando apropiadamente esta expresión para yA en las funciones de utilidad, se obtiene que: A

1/2

u = (xA )

13xA − 5 + 4xA

1/2

B

;

u = (5 − xA )

 1/2 13xA − 5 + 3− 4xA

Y estas, para xA ∈ (5/13, 5), son las curvas paramétricas (uA , uB ) de la frontera Pareto (ver figura 3.6). uB 5 Frontera de Pareto

4 3 2 1 1

2

3

4

5

uA

Figura 3.6. Frontera Pareto para el ejemplo 2.

Sin embargo, aquí nos podemos preguntar qué sucede, por ejemplo, cuando xA = 5. Es decir, si la frontera Pareto también incluye este extremo. Y la respuesta, en este caso, es afirmativa. En efecto, si xA = 5 entonces xB = 0 y, de esta manera, uA = (5)1/2 + yA y uB = (yB )1/2 , lo que nos conduce a que el problema de optimización es: Maximizar xA ,yA ≥0

sujeta a

uA = (5)1/2 + yA uB (xB , yB ) = (yB )1/2 = uB yA + yB = 3

De aquí se deduce que yB = (uB )2 y yA = 3−(uB )2 . Y para hacer uA = 51/2 +yA máximo, requerimos de hacer yA máximo; es decir, hacer yA = 3 bajo uB = 0. Notemos que, en tal caso, uA = (5)1/2 + 3 y uB = 0 que es el punto extremo derecho de la FP de la figura 3.6. Queda como ejercicio para el lector analizar el caso xA = 5/13. N La observación final del anterior ejemplo 2, no es menor. Decidir si las soluciones extremas son o no parte de la frontera Pareto se aparta del método paretiano de funciones diferenciables y nos adentra en la posibilidad de analizar el problema desde un punto de vista topológico11 , y no del cálculo diferencial. Este paso sería, precisamente, uno de los mayores avances en el estudio del problema de una economía bajo equilibrio general y, fundamentalmente, de la existencia 11 Ver

el Apéndice matemático al final del texto para una breve introducción a la topología.

3.2. El modelo paretiano

63

de sus equilibrios competitivos. El adelanto en entender que las funciones diferenciables son más la excepción que la regla, y que, de hecho, son apenas una conveniencia analítica y de aula de clases, fue uno de los logros de la economía neoclásica homogeneizada del siglo XX.

3.2.2.

Los productores

Si la competencia es completa, el equilibrio no puede tener lugar sino allí donde el costo [marginal] de producción es igual al precio de venta. En efecto, si es más elevado, el productor pierde y debe abandonar la lucha; si es más bajo, el productor gana y otros vendrán a compartir ese provecho.

Pareto, 1909,

III,

§205.

Continuando con la construcción del modelo paretiano simple, pasamos ahora a la condición de optimización por parte de los productores: cada firma intentará maximizar sus beneficios sujeta a sus restricciones tecnológicas y a los precios dados paramétricamente por el mercado12 . Dados los precios px (del producto x), py (del producto y), w1 (del factor v1 ) y w2 (del factor v2 ), la firma que produce x enfrentará el problema de optimización: Maximizar v1x ,v2x ≥0

sujeta a

px x − w1 v1x − w2 v2x x = f x (v1x , v2x )

(X)

y también la firma que produce y enfrentará el problema de optimización: Maximizar v1y ,v2y ≥0

sujeta a

py y − w1 v1y − w2 v2y y = f y (v1y , v2y )

(Y)

Nuevamente, el modelo paretiano asume, para las funciones de producción x = f x (·.·) y y = f y (·.·), diferenciabilidad con continuidad, monotonicidad estricta, concavidad estricta en R2+ , además de f x (0, 0) = 0 y f y (0, 0) = 0. Lo anterior, a su vez, implica rendimientos decrecientes a escala en ambas firmas. Así, tal como lo enseñamos en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial), debemos derivar e igualar a cero las siguientes funciones de beneficio (estrictamente cóncavas): Πx = px (f x (v1x , v2x )) − w1 v1x − w2 v2x Πy = py (f y (v1y , v2y )) − w1 v1y − w2 v2y

(para el productor x) (para el productor y)

De donde obtenemos que las condiciones suficientes y necesarias de maximización del beneficio Πx y Πy de las empresas x y y, respectivamente, son: w1 = px

∂f x ; ∂v1x

w2 = px

∂f x ∂v2x

(3.5)

12 Reconocer este comportamiento maximizador del beneficio por parte del productor competitivo, fue uno de los aportes de Pareto a la teoría del equilibrio general. Recordemos que, para Walras, este problema se reducía a la condición cournotiana –Cournot (1838)– “precio igual a costo unitario”.

64

Semana 3. El modelo paretiano simple w1 = py

∂f y ; ∂v1y

w2 = py

∂f y ∂v2y

(3.6)

De estas ecuaciones (3.5) y (3.6) se obtiene la conocida condición de equilibrio de los productores: ∂f y ∂f x w1 ∂v1y ∂v1x = = (3.7) w2 ∂f x ∂f y ∂v2x ∂v2y que asegura que, en equilibrio, las tasas de las productividades marginales de los factores (o tasas marginales de sustitución entre factores –insumos–) son iguales a la tasa de sus respectivos precios. Sin embargo, hay algo más que se puede decir con respecto a las ecuaciones del productor. De la primera de las ecuaciones (3.5) y de la primera de las ecuaciones (3.6), también se puede deducir que: ∂ fy ∂ v1y ∂ fx ∂ v1x

=

px py

(3.8)

Y similarmente, de la segunda de las ecuaciones (3.5) y de la segunda de las ecuaciones (3.6), se deduce que: ∂ fy ∂ v2y ∂ fx ∂ v2x

=

px py

(3.9)

Las dos ecuaciones (3.8) y (3.9) son conocidas en algunos libros de texto como las ecuaciones de Lerner (Lerner, 1932). Luego igualando estas ecuaciones obtenemos que: ∂ fy ∂ fy px ∂ v1y ∂ v2y = (3.10) = ∂ fx ∂ fx py ∂ v1x ∂ v2x En la figura 3.7 aparece una caja Edgeworth-Bowley para la producción (Lerner, 1933-1952) con v1A +v1B unidades del insumo v1 (base del rectángulo) y también v2A + v2B del insumo v2 (altura del rectángulo). Allí, las intersecciones tangenciales de las curvas de nivel de las funciones de producción de x y y (que corresponden a variaciones de la razón de precios de insumos w1 /w2 ), dan origen a una curva similar a la ya mencionada curva de ∗ ∗ ) y , v2x contrato de los consumidores. Esta nueva curva consiste de pares (v1x ∗ ∗ (v1y , v2y ) que satisfacen la condición (3.7) de optimalidad para los productores x y y, además, claro está, de la condición ∗ ∗ v1x + v1y = v1A + v1B

;

∗ ∗ v2x + v2y = v2A + v2B

(3.11)

3.2. El modelo paretiano

65 v1y ∗ v1y

Productor y

v2x

∗ v2x

∗ v2y

Productor x

∗ v1x

v2y Recta con pendiente −w1 /w2

v1x

Figura 3.7. Caja Edgeworth-Bowley para producción.

De otro lado, utilizando estos dos pares de asignaciones óptimas de insumos, podemos construir una curva particularmente importante en el estudio de los problemas de producción en el marco del sistema paretiano: la frontera de posibilidades de producción (FPP), introducida por Lerner (1932) y Haberler (1933), y que consiste, simplemente, en los puntos de la forma ∗ ∗ ∗ ∗ (x, y) = (f x (v1x , v2x ), f y (v1y , v2y ))

tal como aparece en la figura 3.8. y Frontera de posibilidades de producción

x Figura 3.8. Conjunto y frontera de posibilidades de producción (FPP). La FPP es la frontera superior del conjunto señalado en gris.

Esta curva define los niveles máximos de producción de la economía, determinados por su nivel tecnológico (funciones de producción); es decir, dado un nivel fijo de uno de los dos bienes, la curva nos señala el máximo nivel del otro bien que puede producir la economía. Es recurrente que bajo rendimientos decrecientes a escala de las funciones de producción, la FPP tome la forma de la curva en la figura 3.8 (ver teorema 1 en este mismo capítulo). Así, un par (x, y) dentro

66

Semana 3. El modelo paretiano simple

de la zona gris de esta figura es “ineficiente” en el sentido de que la economía subutiliza su capacidad de producción; y, similarmente, un par (x, y) por fuera de la zona gris es absolutamente imposible de producir para esta economía dadas sus limitaciones tecnológicas. De esta manera, solo las producciones (x, y) en la FPP son posibles sin subutilizar recursos. Más aún: según las ecuaciones de Lerner, la pendiente de la recta tangente a la FPP en un punto (x, y) será el negativo de la relación de precios de venta px /py (figura 3.9). En particular, si la FPP es un segmento de recta, entonces, en equilibrio, las producciones satisfarán siempre una ecuación de la forma y = a − bx donde a > 0 y b = px /py . y

y Vector de precios variables (px , py )

Vector de precios constante (px , py )

Recta con pendiente = −px /py

(x, y)

(x, y)

x

b)

a)

x

Figura 3.9. Dos tipos de frontera de posibilidades de producción FPP con precios asociados.

Nota 3. (Otro método para obtener la FPP) Como podría esperarse por lo sucedido con el comportamiento de los consumidores, la frontera de posibilidades de producción (FPP) también se puede obtener sin recurrir a la maximización del beneficio. Bastaría con resolver el problema Maximizar v1x ,v2x ≥0

sujeta a

x = f x (v1x , v2x ) y = f y (v1y , v2y ) = y¯ v1x + v1y = v¯1 v2x + v2y = v¯2

donde y¯1 , v¯1 y v¯2 son constantes. Y para comprobarlo, basta recurrir al método del lagrangiano planteando L = f x (v1x , v2x ) + λ1 (f y (v1y , v2y ) − y¯) − λ2 (v1x + v1y − v¯1 ) − λ3 (v2x + v2y − v¯2 ) con los multiplicadores de Lagrange λ1 , λ2 , λ3 distintos de cero, para luego derivar con respecto a v1x , v2x , v1y y v2y y obtener que

λ1

∂f x (v1x , v2x ) = λ2 , ∂v1x

∂f x (v1x , v2x ) = λ3 ∂v2x

∂f y (v1y , v2y ) = λ2 , ∂v1y

λ1

∂f y (v1y , v2y ) = λ3 ∂v2y

3.2. El modelo paretiano

67

y así arribar a la conocida ecuación de equilibrio que afirma que las tasas marginales de sustitución técnica deben coincidir si se busca maximizar el beneficio: ∂f x ∂v1x ∂f x ∂v2x

=

∂f y ∂v1y ∂f y ∂v2y

(3.12)

De hecho, este método es más general que el proceso de maximización del beneficio pues permite calcular la FPP en el caso de funciones con rendimientos constantes a escala, como lo mostramos en el ejemplo siguiente. Ejemplo 3. (Con funciones de producción Cobb-Douglas y rendimientos constantes a escala) Para calcular la FPP de la economía cuyo sector productivo está determinado por las funciones de producción Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala 1

1

x = f x (v1x , v2x ) = (v1x ) 2 (v2x ) 2

;

1

2

y = f y (v1y , v2y ) = (v1y ) 3 (v2y ) 3

(3.13)

donde v1x + v1y = 3 y v2x + v2y = 3 son las ofertas fijas de insumos, recurrimos directamente a la ecuación (3.12). De allí tenemos que: 2/3

1/2

(v2x ) 2 (v1x ) 1/2 1/2

(v1x ) 2 (v2x ) 1/2

=

(v2y ) 3 (v1y ) 2/3 1/3

2 (v1y ) 3 (v2y ) 1/3

Y simplificando la expresión se tiene que: v2y v2x = v1x 2v1y Ahora: escribiendo v2y = 3 − v2x y v1y = 3 − v1x a partir de las ofertas fijas de insumos, llegamos a la curva de contrato para la producción: v2x =

3v1x 6 − v1x

(3.14)

E insertando la ecuación (3.14) en la ecuación (3.13) para la función de producción x, llegamos a que: 1 3 2 v1x x= (3.15) 1 (6 − v1x ) 2

Y, similarmente, recurriendo a (3.13) para la función de producción y, obtenemos que:  2/3 3v1x y = (3 − v1x )1/3 (3 − v2x )2/3 = (3 − v1x )1/3 3 − 6 − v1x

(3.16)

68

Semana 3. El modelo paretiano simple

Las ecuaciones (3.15) y (3.16) son, para 0 < v1x < 3, las ecuaciones paramétricas de la frontera de posibilidades de producción (FPP), que se ilustran mediante la figura 3.10. y 3 Frontera de posibilidades de producción

2

1

1

2

3

x

Figura 3.10. Frontera de posibilidades de producción (FPP) para el ejemplo 3.

Ejemplo 4. (Con funciones de producción Cobb-Douglas y rendimientos decrecientes a escala) Para calcular la FPP de la economía cuyo sector productivo está determinado por las funciones de producción Cobb-Douglas con rendimientos decrecientes a escala 1

1

x = f x (v1x , v2x ) = (v1x ) 3 (v2x ) 6

1

1

y = f y (v1y , v2y ) = (v1y ) 8 (v2y ) 4

;

(3.17)

donde v1x + v1y = 7 y v2x + v2y = 3 son las ofertas fijas de insumos, aplicamos la ecuación (3.12) de optimalidad y arribamos a que: 1/4

1/6

(v2x ) 3 (v1x ) 2/3

=

1/3

(v1x ) 6 (v2x ) 5/6

(v2y ) 8 (v1y ) 7/8 1/8

(v1y ) 4 (v2y ) 3/4

Y simplificando esta expresión se tiene que: 2v2x v2y = v1x 2v1y Ahora: escribiendo v2y = 3 − v2x y v1y = 7 − v1x a partir de las ofertas fijas de insumos, llegamos a la curva de contrato para la producción: v2x =

3v1x 28 − 3v1x

(3.18)

Ya insertando la ecuación (3.18) en la ecuación (3.17) para la función de producción x, llegamos a que: 1

x=

1

3 6 (v1x ) 2 1 (28 − 3v1x ) 6

(3.19)

3.2. El modelo paretiano

69

Y, similarmente, para la función de producción y, obtenemos que:   y = (7 − v1x )1/8 (3 − v2x )1/4 = (7 − v1x )1/8 3 −

3v1x 28 − 3v1x

1/4

(3.20)

Las ecuaciones (3.19) y (3.20) son, para 0 < v1x < 7, las ecuaciones paramétricas de la frontera de posibilidades de producción (FPP). La FPP se ilustra mediante la figura 3.11. y

Frontera de posibilidades de producción

1.5 1 0.5 0.5

0.5

1

1.5

2.0

x

Figura 3.11. Frontera de posibilidades de producción (FPP) para el ejemplo 4.

Ejemplo 5. (Con funciones de producción cuasilineales) Calculemos ahora la frontera de posibilidades de producción (FPP) de una economía competitiva, cuyo sector productivo está definido por las funciones cuasilineales de producción x = f x (v1x , v2x ) = (v1x )1/2 + v2x

;

y = f y (v1y , v2y ) = (v1y )1/3 + v2y

donde v1x + v1y = 5 y v2x + v2y = 3 son las ofertas fijas de insumos. Entonces, aquí, recurriendo a la ecuación (3.12), tendremos que: 2(v1x )1/2 = 3(v1y )2/3

(3.21)

y después, recurriendo a las anteriores ecuaciones de escasez, se obtiene la ecuación (2)6 (v1x )3 − (3)6 (5 − v1x )4 = 0 que arroja como solución v1x ≈ 3.58 y, por tanto, v1y ≈ 1.42. Así, x ≈ (3.58)1/2 + v2x

;

y ≈ (1.42)1/3 + v2y

Y como v2x + v2y = 3 esto nos lleva, sumando término a término las dos ecuaciones anteriores, a que la FPP está dada por el segmento de recta x + y = 6.01 (ver figura 3.12).

70

Semana 3. El modelo paretiano simple y 6

Frontera de posibilidades de producción y = 6.01 − x

5 4 3 2 1 1

2

3

4

5

6 x

Figura 3.12. Frontera de posibilidades de producción (FPP) para el ejemplo 5.

3.2.2.1.

Concavidad de las FPP

Finalizamos ahora esta sección señalando una característica esencial de las fronteras de posibilidades de producción (FPP), que es aparentemente clara: las FPP de funciones de producción diferenciables con rendimientos decrecientes o constantes a escala son curvas cóncavas. Y, en efecto, es así, tal como lo muestra el siguiente teorema. Teorema 1. (Concavidad de las FPP) Si x = f x (v1x , v2x ), y = f y (v1y , v2y ) son funciones de producción del modelo paretiano y presentan rendimientos decrecientes a escala, entonces la FPP es una curva cóncava y decreciente. Y, por su parte, si las dos funciones presentan rendimientos constantes a escala y aún se satisface la condición (3.12) de optimalidad, entonces la FPP es un segmento de recta decreciente. Demostración. Sólo presentaremos un esquema de la prueba con algún nivel de dificultad. En primer lugar, las ecuaciones de Lerner nos dicen que: ∂y ∂ v1y ∂x ∂ v1x

px = = py

∂y ∂ v2y ∂x ∂ v2x

(3.22)

Después, sabiendo que v1x +v1y = vˆ1 y v2x +v2y = vˆ2 con vˆ1 , vˆ2 > 0, obtenemos que: ∂y dy ∂ v1y px =− =− 0 fijos. Guiándonos por la ecuación (3.12) y simplificando llegamos a que: βv2y αv2x = (1 − α)v1x (1 − β)v1y

Ahora: puesto que v2y = v2 − v2x y v1y = v1 − v1x , obtenemos la curva de contrato para esta economía: v2x =

β(1 − α)v2 v1x α(1 − β)v1 + (β − α)v1x

(3.24)

Ya insertando la ecuación (3.24) en la primera de las ecuaciones (3.23) para la función de producción x, llegamos a que: x=

(β(1 − α)v2 )1−α v1x (α(1 − β)v1 + (β − α)v1x )1−α

Y, similarmente, para la función de producción y, obtenemos que:  1−β β(1 − α)v2 v1x y = (v1 − v1x )β v2 − α(1 − β)v1 + (β − α)v1x

(3.25)

(3.26)

Las ecuaciones (3.25) y (3.26) son, para 0 < v1x < v1 , las ecuaciones paramétricas de la frontera de posibilidades de producción (FPP) de esta economía (figura 3.13).N y Frontera de posibilidades de producción

x Figura 3.13. Frontera de posibilidades de producción (FPP) para el ejemplo 6.

72

Semana 3. El modelo paretiano simple

De todas maneras, cabe advertir que si las funciones presentan rendimientos decrecientes a escala, aún es posible que la FPP sea recta (ver ejemplo 5). Es decir, a una FPP recta no necesariamente le subyacen tecnologías con rendimientos decrecientes a escala. Y más aún, es posible que se presenten rendimientos constantes a escala pero que no se satisfaga la ecuación (3.12), y todavía la FPP sea una línea recta. Para demostrar esto, requeriremos técnicas más avanzadas de optimización que los multiplicadores de Lagrange (ver el método de KuhnTucker en el Apéndice matemático al final del texto). Veamos un ejemplo de esto último. Ejemplo 7. (Con funciones de producción lineales) Calculemos la frontera de posibilidades de producción (FPP) en el caso en que el sector productivo está definido por las funciones lineales de producción x = f x (v1x , v2x ) = 2v1x + 3v2x

;

y = f y (v1y , v2y ) = v1y + v2y

donde v1x + v1y = 4 y v2x + v2y = 1 son las ofertas fijas de factores (insumos). y

v2x

5

Solución 5 − y¯

v1x + v2x = 5 − y¯

Frontera de posibilidades de producción 15 − x y= 3

4 3 2 1

v1x

3

6

a)

9

12

15

x

b)

Figura 3.14. Solución al problema de optimización y frontera de posibilidades de producción (FPP) en el ejemplo 7.

Aquí, el problema que nos conduce, para cualquier y¯ fijo, a calcular la FPP es: Maximizar v1x ,v2x ≥0

sujeta a

x = 2v1x + 3v2x y = v1y + v2y = y¯ v1x + v1y = 4 v2x + v2y = 1

que es equivalente, insertando las dos últimas restricciones en la primera restricción, al problema Maximizar v1x ,v2x ≥0

sujeta a

x = 2v1x + 3v2x v1x + v2x = 5 − y¯

3.2. El modelo paretiano

73

cuya solución gráfica [ver figura (3.14a)] es v1x = 0, v2x = 5 − y¯. Por lo tanto, x = 3(5 − y¯), y = y¯, y así, la FPP estará definida mediante la recta x = 3(5 − y) [ver figura (3.14b)].

3.2.3.

Equilibrio competitivo

El problema general del equilibrio se escinde, en consecuencia, en otros tres que consisten: 1° En determinar el equilibrio en lo que concierne a los gustos; 2° En determinar el equilibrio en lo que concierne a los obstáculos o en lo que concierne a los productores; 3° En encontrar un punto común a esos dos equilibrios, que formará un punto de equilibrio general.

Pareto, 1909,

III,

§90.

Encontrar un equilibrio competitivo del sistema paretiano básico consistirá en hallar cuatro precios de mercado (px , py , w1 y w2 ) que satisfagan las cuatro ecuaciones siguientes: ∗ ∗ x∗A + x∗B = f x (v1x , v2x ) ∗ ∗ y ∗ ∗ yA + yB = f (v1y , v2y )

(3.27) (3.28)

∗ ∗ v1x + v1y = v1A + v1B

(3.29)

∗ v2x

(3.30)

+

∗ v2y

= v2A + v2B

Es decir, que se tengan las conocidas condiciones paretianas de “oferta igual a ∗ ∗ , , v2x demanda”. Claramente, estos precios px , py , w1 y w2 y asignaciones v1x ∗ ∗ ∗ ∗ v1y , v2y , x∗A , yA , x∗B , yB , se calculan utilizando las ecuaciones de equilibrio de los consumidores junto con sus respectivas restricciones presupuestales, y también las condiciones de equilibrio de los productores, todas ellas desarrolladas en las secciones 3.2.1 y 3.2.2 anteriores. FPP

Y0

B(x, y)

Y

C

A

X

X0

Figura 3.15. Equilibrio en el sistema paretiano simple.

En la figura 3.15 se ilustran las asignaciones que satisfacen las ecuaciones (3.3), (3.7) y (3.10), además de las cuatro ecuaciones de equilibrio de arriba. En efecto,

74

Semana 3. El modelo paretiano simple

en primer lugar, la ecuación de equilibrio (3.7) junto con las ecuaciones (3.29) y (3.30), determinan la forma de la frontera de posibilidades de producción (FPP); en segundo lugar, las ecuaciones (3.3), (3.27) y (3.28) determinan el tamaño de la caja Edgeworth-Bowley construida dentro de la FPP y también la curva de contrato dentro de esta caja; finalmente, según la ecuación (3.10), por los puntos B y C de equilibrio, deben pasar rectas tangentes que además tendrán que ser paralelas entre sí con pendiente −px /py .

Nota 4. (Existencia del numerario en el modelo paretiano) Debemos notar aquí que los precios de equilibrio (px , py , w1 , w2 ) en el modelo paretiano son independientes de una multiplicación por escalar. En efecto, en el caso de los consumidores esto se ve claro porque si en las restricciones px xA + py yA = w1 v1A + w2 v2A

;

px xB + py yB = w1 v1B + w2 v2B

se cambia de (px , py , w1 , w2 ) a (tpx , tpy , tw1 , tw2 ) para t > 0, ellas no cambian para ninguno de los dos agentes y, por ende, las demandas de los consumidores tampoco cambian. También sucede que para los productores, ninguna de las condiciones de equilibrio (3.7) y (3.10) cambia si multiplicamos los precios por el escalar t. Es por esto que, en equilibrio, podemos escoger algún precio diferente de cero (por ejemplo, px = 1), y representar los otros precios en términos de éste. Así, es natural encontrar que, en equilibrio, las demandas se escriban en términos de precios relativos como veremos en los siguientes ejemplos. De esta manera aparece en este modelo el “numerario” de Auguste Walras. Nota 5. (Ley de Walras) También vale la pena notar que en el modelo paretiano simple, a partir de las restricciones de los problemas de optimización de los consumidores A y B, se tiene que px (xA + xB ) + py (yA + yB ) − w1 (v1A + v1B ) − w2 (v2A + v2B ) = 0

A esta igualdad colateral, que Lange (1942) denominó ley de Walras, el propio fundador de la escuela de Lausanne le dio mucha importancia (Walras, 187477). Nótese que esta, que sólo es una “restricción presupuestal” y nada tiene que ver con el proceso de optimización en que están involucrados los agentes, afirma que en el agregado, la valoración de la demanda iguala a la valoración de la oferta en término de los precios vigentes. Y, quizás, la observación más importante: de ella se deduce que si los mercados de todas, menos una, de las mercancías están en equilibrio, entonces también lo estará el otro mercado. Esta anotación aparentemente inocua, tendría implicaciones profundas en teoría monetaria, pues algunos creyeron que haría las veces de vínculo con la entonces naciente teoría keynesiana del dinero (ver Patinkin, 1957). Ejemplo 8. (Una extensión del modelo paretiano a producción con rendimientos constantes a escala) Consideremos una economía conformada por dos mercancías x (alimento) y l (ocio), dos consumidores A y B determinados por uA (xA , lA ) = ln(xA ) + ln(lA )

;

uB (xB , lB ) = ln(xB ) + ln(lB )

3.2. El modelo paretiano

75 WA = (0, 1) = WB

y dos productores de alimento que indicaremos, con abuso de notación, con x1 y x2 : 1 x1 = CL1 con C > 0 fijo ; x2 = (L2 ) 2 donde L1 y L2 son las manos de obra involucradas, respectivamente, en las producciones de alimento x1 y x2 . [13] Aquí asumiremos, a manera de ejemplo, que la empresa que fabrica alimento con x1 es propiedad del consumidor A, y la empresa que fabrica alimento con x2 es del consumidor B. En primer lugar, supongamos que el precio por unidad del alimento es px = 1, el del trabajo (y el ocio) por hora pL = w y resolvamos los dos problemas de optimización de los productores: Maximizar

x1 − wL1

sujeta a

x1 = CL1

Maximizar

x2 − wL2

L1 ≥0

L2 ≥0

sujeta a

(productor 1 de alimento)

1

x2 = (L2 ) 2

(productor 2 de alimento)

Resolviendo estos dos problemas tal como ya lo hemos indicado en ejercicios anteriores, llegamos (asumiendo beneficio cero en equilibrio para firmas que operan con rendimientos constantes a escala), a que las funciones de demanda por factores estarán dadas por: w=C

(empresa 1)

Es decir, se asume que se produce, en principio, una cantidad x1 > 0 con beneficio 0; y para la otra empresa se tiene que: 1 (empresa 2) 4w2 Es decir, la empresa 2 produce x2 = 1/2w unidades de alimento con beneficio 1/4w. Ahora debemos encontrar las demandas de los dos consumidores A y B incorporando en sus presupuestos los beneficios de las empresas de las que son propietarios: L2 =

13 Note que en el modelo paretiano hemos escogido funciones de producción con rendimientos decrecientes a escala que arrojan beneficios positivos en equilibrio. Pero podríamos preguntarnos por qué habría de tener algún productor un beneficio positivo si, bajo competencia perfecta, no existen barreras a la entrada a la industria (ver volumen I, Competencia bajo equilibrio parcial, para una discusión sobre este punto). Por ello es corriente asumir que, en competencia perfecta, las firmas tienen rendimientos constantes a escala que obligan, bajo maximización del beneficio, a que los beneficios sean cero. Sin embargo, en contravía, algunos pensamos que es poco creíble que empresas tecnológicamente “fuertes” (en este caso, con rendimientos constantes a escala) no hagan interferencia con el sistema de precios del mercado.

76

Semana 3. El modelo paretiano simple Maximizar xA , lA ≥0

sujeta a

Maximizar xB , lB ≥0

sujeta a

ln(xA ) + ln(lA ) xA + wlA = w

(consumidor A)

ln(xB ) + ln(lB ) xB + wlB = w +

1 4w

(consumidor B)

Sin embargo, como ambas funciones de utilidad son transformaciones monótonas de una función Cobb-Douglas, entonces esas demandas ya las sabemos calcular: 1 w ; lA = 2 2 1 1 1 w ; lB = + xB = + 2 8w 2 8w2 Y como los precios (1, C) están determinados por la maximización del beneficio de la empresa 1, entonces, haciendo w = C, obtendremos las asignaciones de consumo en equilibrio competitivo: xA =

C 1 ; lA = 2 2 1 1 1 C + ; lB = + xB = 2 8C 2 8C 2 De otro lado, las asignaciones de producción en equilibrio las obtenemos así: haciendo w = C sabemos que xA =

1 1 ; x2 = (empresa y) 2 4C 2C y para hallar L1 y x1 hacemos primero lA +lB +L1 +L2 = 2 (pues, inicialmente, sólo existen 2 unidades de ocio disponibles para repartir); es decir,   1 1 1 1 + L1 + =2 + + 2 2 8C 2 4C 2 L2 =

de donde se obtiene que

L1 = 1 −

3 8C 2

;

x1 = C −

3 8C

Notemos que para que estas cantidades sean positivas, debe tenerse que C > p 3/8. Si esto último no se da, la empresa x1 deberá cerrar y tendremos que recalcular el equilibrio suponiendo que la firma x1 no produce. Esto último queda como ejercicio para el lector. Es muy conveniente aquí llevar a cabo algo de ceteris paribus. Por ejemplo, si C crece (es decir, si la empresa x1 es más productiva), entonces xA crece, p y también la demanda xB crece (ya que C > 3/8 ≈ 0.612). Pero, además, lB , L2 , x2 decrecen, y L1 crece (¿por qué?).

3.3. Equilibrio en economías de intercambio puro

3.3.

77

Equilibrio en economías de intercambio puro

Un caso particular muy importante (y muy simple) del modelo paretiano, son las ya mencionadas economías de intercambio puro. Estas son economías en las que no existe sector productivo alguno, y de lo que se trata es de que cada consumidor intercambie las mercancías que son de su propiedad, con los otros consumidores, dadas sus preferencias sobre ellas, y dados los precios. La razón por la cual este tipo de economía es fundamental en el modelo paretiano simple, es que allí se pueden ilustrar magníficamente algunos de los principales resultados asociados con el modelo de equilibrio general paretiano. Ejemplo 9. (Otra economía de intercambio puro) Consideremos una economía de intercambio puro conformada por dos mercancías x y y, y dos consumidores A y B, donde las preferencias están representadas por las funciones de utilidad uA (xA , yA ) = xA yA

;

uB (xB , yB ) = xB yB

y las dotaciones de los consumidores son WA = (1, 2), WB = (2, 2). Así, el problema del consumidor A sería uA (xA , yA ) = xA yA

Maximizar xA ,yA ≥0

sujeta a

px xA + py yA = px + 2py

De las condiciones de primer orden se obtiene que: px yA = xA py

;

px xA + py yA = px + 2py

Resolviendo estas dos ecuaciones, arribamos a las funciones de demanda del consumidor A: xA (px , py ) =

1 py + 2 px

;

yA (px , py ) = 1 +

px 2py

El problema del consumidor B es similar, y se obtienen sus funciones de demanda: px py ; yB (px , py ) = 1 + xB (px , py ) = 1 + px py Recurriendo al concepto de funciones de exceso de demanda (Hicks, 1939a), zx (para el bien x) y zy (para el bien y), podemos ver que: 3 2py − px 2 3px zy (px , py ) ≡ yA (px , py ) + yB (px , py ) − (wyA + wyB ) = −2 2py

zx (px , py ) ≡ xA (px , py ) + xB (px , py ) − (wxA + wxB ) =

78

Semana 3. El modelo paretiano simple

Para esta economía de intercambio, las dos últimas ecuaciones satisfacen la correspondiente ley de Walras, que en estas economías toma una forma muy simple: 3 3 px zx (px , py ) + py zy (px , py ) = 2py − px + px − 2py = 0 2 2 Por tanto, para determinar precios relativos de equilibrio (ambos no nulos), es suficiente igualar a cero sólo una de las funciones de exceso de demanda. Por ejemplo, de zy (px , py ) = (3px /2py ) − 2 = 0 se tiene que la relación de precios de equilibrio es p∗x /p∗y = 4/3. Y reemplazando estos precios en las funciones de demanda que encontramos más arriba, xi (px , py ), yi (px , py ) para i = A, B, llegamos a que (ver figura 3.16) el único equilibrio competitivo de esta economía es (tomando como numerario p∗y = 1): p∗x =

4 , 3

p∗y = 1, yA

x∗A =

5 , 4

∗ yA =

5 , 3

7/4

4

A

5/4

7 , 4

∗ yB =

7 3

B

•

5/3

x∗B =

7/3

3

xA

Figura 3.16. Equilibrio competitivo en la caja para la economía del ejemplo 9.

En este equilibrio, el consumidor A ganó 1/4 del bien x (con respecto a su dotación inicial) y entregó 1/3 del bien y. Por el contrario, el consumidor B ganó 1/3 del bien y (con respecto a su dotación inicial) pero entregó 1/4 del bien x. Esta es la única ventaja que tomó el consumidor B con respecto al consumidor A, sabiendo que el consumidor B era “más rico” que el consumidor A en sus dotaciones iniciales. Pues, de hecho, ambos alcanzaron un aumento de 1/12 en su utilidad: este fue el “premio” por llevar a cabo el intercambio. Obviamente, ninguno de los dos es ahora más rico que lo que lo era antes, pero sí son más “felices” porque el intercambio les ha permitido obtener más utilidad. El lector podría preguntarse por qué, en el ejemplo anterior, podemos asumir que los dos precios, px y py , son estrictamente positivos. La razón está en que si, por ejemplo, px = 0 (es decir, x es un bien gratuito) entonces, dado que ambas funciones de utilidad son crecientes estrictas en cada uno de sus argumentos, los

3.3. Equilibrio en economías de intercambio puro

79

dos agentes desearían tomar lo máximo que hubiera disponible de la mercancía x (en este caso, x = 3), y esto no podría corresponder a un equilibrio (¿por qué?). Algo distinto sucedería si, por ejemplo, la función de utilidad no fuera creciente estricta como es el caso con la función u(x, y) = Mín{x, y} (bienes complementarios). Esto lo ilustraremos más adelante en la semana 7. De otro lado, también podríamos preguntarnos por qué en el análisis del ejemplo anterior pudimos asumir que todas las variables de consumo, xA , yA y xB , yB , eran estrictamente positivas. Y la razón es que, dado que las dotaciones iniciales de ambos consumidores son positivas, y dado el tipo de función de utilidad que presentan, cada consumidor preferirá consumir su dotación inicial antes que demandar una cantidad nula de alguno de los dos bienes. Con esto queda planteado el problema sobre qué tipo de dificultades tenemos con el modelo paretiano simple, si alguno de los consumidores comienza el intercambio sin alguna de las dos mercancías, un tema que estudiaremos más adelante en la semana 7. Ejemplo 10. (Con funciones cuasilineales) Suponga una economía de intercambio puro con los precios px , py y también dos consumidores (A y B) cuyas funciones de utilidad son: uA (xA , yA ) = (xA )2/3 + yA

;

uB (xB , yB ) = (xB )1/2 + yB

y con dotaciones WA = (3, 2) y WB = (1, 2). Calculemos el equilibrio competitivo y dibujemos la respectiva caja Edgeworth-Bowley para esta economía. Solución El problema del consumidor A será: Maximizar xA ,yA ≥0

sujeta a

uA (xA , yA ) = (xA )2/3 + yA px xA + py yA = 3px + 2py

y, por lo tanto, recurriendo al método del lagrangiano, encontramos que las condiciones de primer orden (asumiendo py = 1) son:   2 (xA )−1/3 = px ; px xA + yA = 3px + 2 3 De donde se obtiene que:

xA =



2 3px

yA = 3px + 2 − px xA = px

3 3−



2 3px

3 !

+2

De la misma manera, el problema del consumidor B será: Maximizar xB ,yB ≥0

sujeta a

uB (xB , yB ) = (xB )1/2 + yB px xB + py yB = px + 2py

80

Semana 3. El modelo paretiano simple

y, así, según el método del lagrangiano, encontramos que las condiciones de primer orden (nuevamente con py = 1) son: (xB )−1/2 = px ; px xB + yB = px + 2 2   2   2 + 2. De donde se llega a xB = 2p1x y yB = px + 2 − px xB = px 1 − 2p1x

Por consiguiente, las funciones de exceso de demanda son: 3  2  1 2 + −4 zx (px , 1) = xA + xB − 4 = 3px 2px

zy (px , 1) = yA + yB − 4 # " # "   3 ! 2 ! 1 2 + 2 + px 1 − +2 −4 = px 3 − 3px 2px   3 ! 2 ! 2 1 = px 3 − + px 1 − 3px 2px

Es fácil comprobar que se satisface la ley de Walras px zx (px , 1) + zy (px , 1) = 0, y así, para encontrar el equilibrio competitivo, basta con hacer zx (px , 1) = 0; es decir, 3  2  1 2 + =4 3px 2px De donde despejando px , tenemos que p∗x ≈ 0.47, y reemplazando px en las ecuaciones de xA , yA , xB y yB , (ver figura 3.17) tenemos que : x∗A ≈ 2.87

∗ yA ≈ 2.06

;

;

x∗B ≈ 1.13

;

∗ yB ≈ 1.94

Con cálculos elementales, podemos notar que aunque ninguno de los dos agentes se hizo más rico, sí aumentaron su bienestar ya que uA (3, 2) < uA (2.87, 2.06) y uB (1, 2) < uB (1.13, 1.94). 1.13

2.06

A

b

B

1.94

2.87

Figura 3.17. Equilibrio competitivo en la curva de contrato del ejemplo 10.

3.3. Equilibrio en economías de intercambio puro

81

Ejemplo 11. (Ejemplo general con dos consumidores) En una economía de intercambio puro hay dos consumidores y dos bienes. El consumidor i = A, B tiene función de utilidad ui (xi , yi ) = (xi )αi (yi )1−αi con 0 < αi < 1 y dotaciones (Wxi , Wyi ) no todas cero. Para buscar los precios de equilibrio (px , py ) hagamos px = 1 y py = p (> 0). Entonces la función de demanda del consumidor i por el bien y es: yi∗ (1, p) =

1 − αi (Wxi + pWyi ) p

Por lo tanto, para hallar el precio de equilibrio p∗ , basta con hacer el exceso PB de demanda por el bien y, zy = i=A [(yi )∗ (1, p) − Wyi ], igual a cero. De esta ecuación, se obtiene, con un poco de manipulación algebraica, que p∗ =

PB

i i=A (1 − αi )Wx PB i i=A αi Wy

Y en el caso en que αi = α, entonces: p∗ = y para i = A, B se tendrá que: (yi )∗ (1, p) =

αWxi

PB (1 − α) i=A Wxi PB α i=A Wyi

PB

i=A

Notemos que py > px = 1 si, y sólo si, (1 − α)

B X

i=A

PB

Wyi + (1 − α)Wyi PB i i=A Wx

Wxi > α

B X

PB

i=A

Wxi

Wyi

i=A

i y, por tanto, suponiendo α y i=A Wx fijos, el precio py crece más allá de PB px = 1 si i=A Wyi decrece hacia cero (es decir, si la mercancía y es cada vez más escasa hasta cerca de no estar disponible en el mercado). Y similarmente, PB PB si i=A Wxi y i=A Wyi son fijos, entonces py crece por encima de px = 1 si α tiende a cero (es decir, si el bien y es, paulatinamente, más deseado que el bien x)14 .

Nota 6. (Observaciones generales) En general, el modelo paretiano de intercambio puro permite las siguientes observaciones: i) Únicamente si el mercado coloca los precios de equilibrio, podrán 14 Recordemos

que 1 − α es la elasticidad de la utilidad con respecto al consumo del bien y.

82

Semana 3. El modelo paretiano simple

los dos consumidores tener satisfechas sus demandas de bienes: cualquier otro precio los obligaría a tomar decisiones sub-óptimas. ii) Los precios de equilibrio, si existen, son una consecuencia de la riqueza y de los gustos de los agentes. Más precisamente, de las dotaciones iniciales y de las utilidades marginales de los agentes. iii) En general, las mercancías más escasas y más deseadas tienen precios de equilibrio más altos. iv) En general, en un equilibrio competitivo, el más “rico” en dotaciones puede tomar ventaja de su posición (en cantidades), con respecto al menos favorecido; sin embargo, en este proceso no se hace más rico: la ventaja es sólo en bienestar. Nota 7. (El número de agentes, importa) Obviamente, es poco creíble que en el modelo paretiano se asuma la existencia de sólo dos consumidores o dos productores, pues esto podría implicar algún tipo de colusión para fijar precios o algún otro tipo de pacto comercial. Por ello es corriente asumir que los consumidores A y B son tipos de consumidores y que existe un “número grande” de consumidores clasificados en ellos, es decir, un número grande de consumidores tipo A y un número grande de consumidores tipo B cuyas asignaciones son las mismas dentro de cada tipo (Edgeworth, 1881). Esto justificaría el hecho de que los agentes son, individualmente, “tomadores de precios”; aunque como colectividad, sea tipo A o tipo B, sí son determinantes de los precios. Sobre esto discutiremos en la semana 8. Nota 8. (Propiedades de la función de exceso de demanda) Para finalizar la primera parte de este capítulo, será conveniente resumir en un solo resultado, algunas de las características esenciales (y ya demostradas) de la función de exceso de demanda agregada z(p) = (zx (p), zy (p)) con p = (px , py ) ≥ 0 pero p 6= 0: i) z(p) es continua.

ii) z(p) es homogénea de grado cero. iii) z(p) satisface la ley de Walras: p · z(p) = 0.

Este resultado será muy importante más adelante porque, como el lector ya podrá observar, la función de exceso de demanda resumirá toda la información microeconómica del modelo paretiano de equilibrio general. De esta información, ahora macroeconómica, se deducirán los equilibrios competitivos (z(p) = 0) y sus características.

3.4.

Óptimos de Pareto en una economía de intercambio puro

La historia del pensamiento económico no reconoce totalmente el criterio profundamente moralista del teorema walrasiano de la máxima satisfacción social (ver semana 2), y tampoco ve en este teorema el zumo de una condición de optimalidad social inherente al equilibrio competitivo. En su lugar, y con la confirmación

3.4. Óptimos de Pareto en una economía de intercambio puro

83

gráfica de las cajas de Edgeworth-Bowley, ha establecido este mismo concepto alrededor de la siguiente definición de Pareto (1909): Diremos que los miembros de una colectividad gozan, en cierta posición, del máximum de ophélimité, cuando es imposible encontrar un medio de alejarse muy poco de esta posición, de tal suerte que la ophélimité de que gozan cada uno de los individuos de esta colectividad, aumenta o disminuye. Es decir que cualquier pequeño desplazamiento a partir de esta posición tiene necesariamente por efecto aumentar la ophélimité de que gozan ciertos individuos, y disminuir aquella de la cual gozan otros; de ser agradable a unos y desagradable a otros.

Pareto, 1909,

VI,

§33.

Para introducirnos al problema de identificar estos puntos de máximum ophélimité en una caja Edgeworth-Bowley, fijemos un punto B en la frontera de posibilidades de producción y0 x0 de la figura 3.18; bajemos perpendiculares a ambos ejes del diagrama, y midamos las cantidades agregadas fijas Ax de la mercancía x y Ay de la mercancía y para construir la caja15 . En el rectángulo AxBy se han dibujado dos conjuntos de curvas de indiferencia: las del consumidor A (con respecto al origen A) y las del consumidor B (con respecto al origen B). La curva de contrato AB estará conformada, como dijimos antes, por los puntos de tangencia, tales como C y D, entre las curvas de indiferencia de los agentes A y B. y0

y

B

uB 2

F C

uB 1

uA 2 D

A

G

uA 1

x

x0

Figura 3.18. Descripción de los óptimos de Pareto en la curva de contrato.

Ahora: si nos movemos, por ejemplo, del punto F al punto D mejoraríamos el bienestar del agente B sin empeorar el del agente A; y si nos movemos del punto F al C mejoraríamos al agente A sin empeorar al agente B. O si nos movemos de F a un punto en la curva de contrato entre D y C, les mejoraríamos el bienestar a ambos agentes. Pero lo notable es que de los puntos de la curva de contrato, tales como C ó D, no nos podemos mover sin desmejorarle el bienestar a alguno de 15 En lo que sigue, observaremos que asumiendo una oferta fija ya en equilibrio sobre la FPP, es posible llevar a cabo el análisis del bienestar por óptimos de Pareto; sólo en economías de intercambio puro: al fin y al cabo, el centro de esta noción es el bienestar de los consumidores y no de las empresas.

84

Semana 3. El modelo paretiano simple

los dos agentes. Por ejemplo, un movimiento de D a F implicaría que, aunque el bienestar de A se mantiene, el bienestar de B empeora; y, de manera similar, un movimiento de C a F implicaría que el bienestar de B se mantiene, pero ahora es el bienestar de A el que empeora. Es claro que esta característica de los puntos de la curva de contrato es precisamente la de posición de máximum ophélimité de Pareto. A estos puntos, siendo quizás inconsecuentes con la historia (ver nota 9 adelante), hoy los llaman óptimos de Pareto. Definición 1. (Óptimo de Pareto) Dos asignaciones, (xA , yA ) para A y (xB , yB ) para B, en una caja EdgeworthBowley de una economía de intercambio puro, conforman un óptimo de Pareto ′ ′ si, y sólo si, no existen otras asignaciones, (x′A , yA ) para A y (x′B , yB ) para B, también en la caja Edgeworth-Bowley, tales que ui (x′i , yi′ ) ≥ ui (xi , yi ) para i = A, B, pero uj (x′j , yj′ ) > uj (xj , yj ) para j = A ó j = B. Así, una asignación es un óptimo de Pareto si está dentro de la caja EdgeworthBowley y, además, a partir de allí, ningún agente puede mejorar su bienestar sin desmejorar el bienestar del otro agente. Observemos cómo esta definición no implica ninguna comparación entre las utilidades de los dos agentes. Continuando con nuestra discusión, y basándonos en las descripciones geométricas anteriores alrededor de la figura 3.18, podemos ahora hacer explícita una manera analítica de describir los óptimos de Pareto que, inspirados en el Evaluation of Real National Income (1950) de Samuelson, consiste en fijar cada cantidad de utilidad para uno de los agentes, y después calcular el máximo posible de utilidad para el otro agente. Es decir, son las soluciones simultáneas (dentro de la caja Edgeworth-Bowley) a los dos problemas siguientes: Maximizar xA ,yA ≥0

sujeta a

Maximizar xB ,yB ≥0

sujeta a

uA (xA , yA ) uB (xB , yB ) = uB = constante

uB (xB , yB ) uA (xA , yA ) = uA = constante

Para ilustrarlo, observemos de nuevo la figura 3.18, y allí escojamos un punto como el F en la curva de indiferencia uA 1 del agente A, y nos movemos sobre esta en la dirección sureste. Entonces, note el lector, iremos paulatinamente aumentando el bienestar del agente B, hasta llegar al punto D de la curva de contrato, a partir de donde este bienestar comienza a disminuir. Esto hace de D un punto de la caja que resuelve el segundo de los problemas de arriba. Lo mismo podemos hacer con un punto como G en la curva de indiferencia de nivel fijo, y asegurar que D es un óptimo de Pareto.

3.4. Óptimos de Pareto en una economía de intercambio puro

85

Teorema 2. (Caracterización de los óptimos de Pareto) Supongamos que las funciones de utilidad uA y uB son cuasicóncavas estrictas, crecientes estrictas en cada uno de sus argumentos, y diferenciables con con∗ ∗ tinuidad en R2+ . Entonces una asignación (x∗A , yA ) para A y (x∗B , yB ) para B, en la caja Edgeworth-Bowley, es óptimo de Pareto (interior) si, y sólo si, las tasas marginales de sustitución son iguales; es decir, en este punto se tiene la ecuación ∂uB ∂uA ∂xA ∂xB = ∂uA ∂uB ∂yA ∂yB Por lo tanto, las asignaciones de óptimo de Pareto coinciden con la curva de contrato. Demostración. Al resolver en la caja Edgeworth-Bowley (es decir, con xA + xB = x∗A + x∗B y ∗ ∗ yA + yB = yA + yB ) el problema que caracteriza a los óptimos de Walras-Pareto Maximizar xA ,yA ≥0

sujeta a

uA (xA , yA ) uB (xB , yB ) = uB

(L)

donde uB es un nivel de utilidad fijo para el agente B, obtenemos que su lagrangiano es: L = uA (xA , yA ) − λ (uB (xB , yB ) − uB )

donde λ es el multiplicador de Lagrange correspondiente. Y debido a las condiciones de cuasiconcavidad estricta y diferenciabilidad con continuidad de las funciones de utilidad, las condiciones de primer orden nos conducen a condiciones suficientes y necesarias para el óptimo16 : ∂uB ∂uB ∂uA =λ = −λ ∂xA ∂xA ∂xB

,

∂uA ∂uB ∂uB =λ = −λ ∂yA ∂yA ∂yB

El paso hacia la conclusión del teorema es inmediato, pues los óptimos de Pareto y las asignaciones en la curva de contrato, satisfacen exactamente las mismas ecuaciones de optimalidad.  Nota 9. Cabe advertirse que, además de Walras, también Edgeworth (1881) se adelantó a Pareto en la noción de optimalidad que lleva su nombre: Se requiere encontrar un punto (x, y) tal que, en cualquier dirección en la que demos un paso infinitamente pequeño, P y Π no aumenten a la vez, sino que cuando uno aumente, el otro disminuya. Puede demostrarse desde una diversidad de puntos de vista que el lugar geométrico del punto deseado es dP ∂Π dP ∂Π − =0 dx ∂y dy ∂x 16 Ver

Apéndice matemático del volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial).

86

Semana 3. El modelo paretiano simple cuyo lugar geométrico aquí proponemos denominar curva de contrato17 .

Edgeworth, Mathematical Psychics, 1881, p. 63. Aún así, difícilmente el término “óptimo de Pareto”, podría tener una posibilidad de hacer justicia con Walras y Edgeworth quienes, sin ninguna duda, lo antecedieron. Por esto, en ocasiones (y testarudamente) llamaremos “óptimo de Walras-Pareto” al tradicional “óptimo de Pareto”, así como algunas veces hemos llamado “caja de Pareto-Edgeworth” a la conocida como caja EdgeworthBowley. N Es conveniente destacar que las asignaciones paretianas, aunque óptimas en un sentido muy particular, no son necesariamente “justas” o equitativas, y esto lo veremos muy claramente en el siguiente ejemplo, en donde, típicamente, existen infinitas de ellas: unas que favorecen a un agente, y otras que favorecen al otro. Se resalta nítidamente que eficiencia y equidad tienen, aquí, dos direcciones normativas no necesariamente compatibles. No obstante, podemos también observar que si, por alguna razón normativa o de otra índole, se requiere mejorar la situación de óptimo de Pareto de un consumidor a expensas del bienestar del otro consumidor, lo mejor (en el sentido de cumplir el objetivo del primer consumidor pero con la mínima pérdida de bienestar del segundo consumidor), es ubicarnos en un nuevo óptimo de Pareto. Ejemplo 12. Consideremos la economía de intercambio puro de dos consumidores, A y B, con funciones de utilidad uA (xA , yA ) = xA yA

;

uB (xB , yB ) = xB yB

y dotaciones iniciales agregadas (3, 4). Escribiendo la correspondiente condición de eficiencia paretiana del teorema 2, obtenemos que ∂uA ∂uB 4 − yA yA yB ∂xA ∂xB = = = = xA xB 3 − xA ∂uA ∂uB ∂yA ∂yB   4 − yA o, lo que es equivalente, yA = xA , y, de aquí, arribamos a la curva 3 − xA (en este caso, una recta) de óptimos de Pareto (curva de contrato) para esta economía: yA = 4xA /3 , 0 ≤ xA ≤ 3, pues los casos xA = 0 y xA = 3 también pertenecen a esta recta, como el lector puede observar geométricamente a partir de las curvas de nivel: fije la curva de nivel 0 (cero) de uno de los consumidores y maximice la utilidad del otro consumidor (ver figura 3.19). Las distribuciones de la curva de óptimos de Pareto podrían, entonces, ofrecer todo a uno de los consumidores y absolutamente nada al otro. 17 Pareto,

en su lugar, la llamó “línea de los cambios”.

3.5. Teoremas del bienestar económico xB 43

yA

2

87 1

B

3

1

2

2

1

3 1

A

4 yB 3 xA

2

Figura 3.19. Curva de contrato en el ejemplo 12.

Ahora: para calcular la correspondiente frontera de posibilidades de utilidad (o frontera Pareto), con yA = 4xA /3, xB = 3 − xA , yB = 4 − yA , escribimos: uA = xA yA =

4 (xA )2 3

;

  4xA uB = xB yB = (3 − xA ) 4 − 3

(∗)

para 0 ≤ xA ≤ 3, son las ecuaciones paramétricas que determinan esta curva. uB 12

Frontera Pareto

uA

12

Figura 3.20. Conjunto y frontera Pareto del ejemplo 12.

Sin embargo, podemos decir más: despejando xA de la primera ecuación (∗) obtenemos que xA = B

u =



(3uA )1/2 , 2

(3uA )1/2 3− 2



y reemplazando xA en uB , llegamos a la ecuación 4−



4uA 3

1/2 !

= 12 − 4(3uA )1/2 + uA

que determina la frontera de Pareto (ver figura 3.20).

88

3.5.

Semana 3. El modelo paretiano simple

Teoremas del bienestar económico

Existen dos relaciones muy importantes entre la optimalidad paretiana y el equilibrio competitivo. La primera, aparentemente formaliza (aunque lo logra muy parcialmente) una creencia largamente sostenida desde, por lo menos, el siglo XVIII de Adam Smith, que afirmaba que la competencia perfecta “conducía” a un estado “óptimo” de la economía. El problema aquí era que se creía que tal “óptimo” debería contener criterios de justa distribución de la riqueza y del ingreso y, esa, no es una característica de los equilibrios competitivos. La conexión entre equilibrio competitivo y óptimo se aplazó hasta la aparición de la noción de óptimo de Pareto. Esta, que fue claramente visualizada por el mismo Walras, y explicitada por Pareto utilizando la caja Edgeworth-Bowley, asegura que, bajo las hipótesis del modelo paretiano, el mecanismo de precios competitivos asigna eficientemente (en el sentido de Pareto). Al parecer, las primeras veces que se tiene registro explícito y formal de este teorema es en Lerner (1934), Hotelling (1938), y en los textos clásicos de Lange (1942) y Allais (1943). Teorema 3. [Primer teorema de la economía del bienestar (Walras, 1874; Edgeworth, 1881; Pareto, 1906)] Sean ui (xi , yi ) para i = A, B, funciones de utilidad diferenciables con continuidad, estrictamente crecientes en sus dos argumentos, y, además, cuasicóncavas ∗ ∗ estrictas en R2+ . Si las asignaciones (x∗A , yA ) para A, (x∗B , yB ) para B, y el sis∗ ∗ ∗ tema de precios (px , py ) conforman un equilibrio competitivo, entonces (x∗A , yA ) ∗ ∗ 18 y (xB , yB ) también conforman una asignación óptima de Pareto . Demostración. En el equilibrio competitivo, además de las condiciones de caja Edgeworth∗ ∗ Bowley, xA + xB = x∗A + x∗B y yA + yB = yA + yB , las condiciones de Lagrange que satisfacen los problemas de optimización de los consumidores A y B son, respectivamente, ∂uA = λ A px , ∂xA

∂uA = λ A py ; ∂yA

px xA + py yA = px v1A + py v2A

∂uB = λ B px ; ∂xB

∂uB = λ B py ; ∂yB

px xB + py yB = px v1B + py v2B

donde λA y λB son los multiplicadores de Lagrange para los respectivos agentes. Luego recurriendo al teorema 2 anterior, el resultado es inmediato.  Ejemplo 13. Consideremos la economía de intercambio puro del ejemplo 12, en el que dos consumidores, A y B, tienen funciones de utilidad uA (xA , yA ) = xA yA

;

uB (xB , yB ) = xB yB

18 Recordemos que aunque este teorema está aparentemente aplicado a economías de intercambio puro, realmente se está asumiendo que la oferta está fija y en equilibrio sobre la FPP.

3.5. Teoremas del bienestar económico

89

y dotaciones iniciales agregadas (3, 4). Allí encontramos que la curva de óptimos de Pareto (curva de contrato) para esta economía es la recta yA =

4xA 3

0 ≤ xA ≤ 3

(*)

Para ilustrar el primer teorema del bienestar, basta darnos cuenta de que la asignación de equilibrio competitivo (xA , yA ) = ( 54 , 35 ) calculado en el ejemplo 9, está en esta curva de contrato como fácilmente se comprueba mediante la ecuación (∗). Una manera alternativa de ilustrar esto es observar que, en 25 el equilibrio competitivo, los agentes A y B tienen utilidades uA ( 54 , 35 ) = 12 49 B 7 7 y u ( 4 , 3 ) = 12 , respectivamente, y estos valores satisfacen la ecuación que 1 describe la frontera Pareto uB = 12 − 4(3uA ) 2 + uA . N El teorema anterior nos ilustra, explícitamente, la calidad normativa que tiene un equilibrio competitivo: no es, necesariamente, una asignación equitativa ni “justa”, pero satisface cierto criterio de eficiencia. En parte por ello mismo, este equilibrio no tendría la importancia que se le ha dado, si no fuera porque también aparece conectado con los problemas de la descentralización. En efecto, el problema de asignar recursos óptimamente mediante el vehículo de los precios, ha estado en el corazón de los estudios sobre la descentralización de una economía. De hecho, la sola hipótesis de que si los consumidores y los productores resuelven sus problemas independientemente, sin saber nada uno del otro, sino a través del mecanismo de información que son los precios, asegurará una implementación efectiva del óptimo previamente establecido por las autoridades económicas, era y continúa siendo, uno de los más importantes problemas que enfrenta la economía política. Un resultado así permitía entrever la posibilidad de descentralizar las decisiones de los agentes de una economía centralizada a través de los precios. El segundo teorema de la teoría del bienestar, que asegura que podemos hacer de un óptimo de Pareto un equilibrio competitivo, no parece haber sido detectado por Walras, ni por Edgeworth. Quizás Pareto lo vislumbró, pero lo que sí es cierto es que nunca lo estableció con claridad: Para los fenómenos del tipo (I)19 , cuando el equilibrio tiene lugar en un punto donde son tangentes las curvas de indiferencia de los contratantes, los miembros de la colectividad considerada gozan del máximo de ophélimité.

Pareto, 1909,

VI,

§34.

Para los fenómenos (I) si existe un punto donde el sendero recorrido por los individuos que contratan es tangente a las curvas de indiferencia de esos individuos, ese es un punto de equilibrio.

Pareto, 1909, Cap. 19 Es

decir, en condiciones de competencia perfecta.

III,

§112.

90

Semana 3. El modelo paretiano simple

Teorema 4. [Segundo teorema de la economía del bienestar (Pareto, 1906; Lange, 1942; Allais, 1943)] Sean ui (xi , yi ) para i = A, B, funciones de utilidad diferenciables con continuidad, estrictamente crecientes en sus dos argumentos, y, además, cuasicóncavas ∗ ∗ ), (x∗B , yB )] una asignación óptima de Pareto en estrictas en R2+ . Sea [(x∗A , yA la que cada agente tiene una cantidad positiva de cada mercancía. Entonces ∗ ∗ existen unos precios p∗x y p∗y tales que [(x∗A , yA ), (x∗B , yB ), (p∗x , p∗y )] es un equili∗ ∗ brio competitivo para las dotaciones iniciales v1A = xA , v2A = yA , v1B = x∗B , ∗ v2B = yB . Demostración. De las condiciones suficientes y necesarias para el óptimo de Pareto ∂uB ∂uA = −λ ∂xA ∂xB

,

∂uA ∂uB = −λ ∂yA ∂yB

se obtiene, con −λ = px /py , las mismas condiciones suficientes y necesarias para el equilibrio competitivo. Sin embargo, estos precios pueden no satisfacer las restricciones presupuestales, ya que sólo estamos determinando las pendientes de las tangentes y no la asignación exacta (que depende de las dotaciones). Por lo tanto, basta con ajustar estas restricciones (es decir, reasignar dotaciones 20 ) para obtener el resultado21 .  x∗B

∗ yA

•

B

∗ yB

recta con pendiente −px /py A x∗A Figura 3.21. Segundo teorema de la economía del bienestar.

Claramente, aquí el problema era encontrar el sistema de precios que hiciera del óptimo de Pareto un equilibrio competitivo para dotaciones iniciales idénticas a las asignaciones de Pareto dadas en principio (es decir, bajo redistribución de la riqueza). Pero esto no era muy difícil (y fue extraño que el mismo Pareto no lo hubiera deducido) pues, en la figura 3.21, bastaba con encontrar la pendiente de la recta tangente a las curvas de nivel que pasaban por el óptimo de Pareto, y redistribuir. Veamos un ejemplo de esto. 20 Por

ejemplo, mediante política fiscal. nuevamente, que aunque también este teorema está aparentemente aplicado a economías de intercambio puro, se está asumiendo que la oferta está fija sobre la FPP. 21 Recordemos

3.5. Teoremas del bienestar económico

91

Ejemplo 14. Para la economía de intercambio puro entre los agentes A y B, donde uA (xA , yA ) = xA (yA )2

WA = (3, 4)

uB (xB , yB ) = (xB )2 yB

WB = (4, 3)

la curva de contrato es 28xA donde 0 < xA < 7 7 + 3xA Si tomamos una asignación Pareto-óptima fija cualquiera     28xA 28xA xA , , 7 − xA , 7 − donde 7 + 3xA 7 + 3xA yA =

0 < xA < 7

podemos hacer de este un equilibrio competitivo encontrando un par de precios (px , py ) tal que este óptimo de Pareto maximice las utilidades de A y B, sujetas a las respectivas restricciones presupuestales   28xA px x + py y = px xA + py para A 7 + 3xA y   28xA px x + py y = px (7 − xA ) + py 7 − para B 7 + 3xA

que, obviamente, se van a satisfacer en el óptimo de Pareto escogido22 . Escribiendo la relación de optimalidad “tasa marginal de sustitución = relación de precios”, llegamos a que 28xA px px yA 7 + 3xA = que es equivalente a = 2xA py 2xA py 14 px = que es la buscada relación de precios de equilipy 7 + 3xA brio que ilustra el segundo teorema del bienestar (ver figura 3.22). N o, lo que es igual,

B

4 b

A

3

Figura 3.22. Caja Edgeworth-Bowley para el ejemplo 14. 22 Aquí

es donde se efectúa la “redistribución de la riqueza” entre A y B.

92

Semana 3. El modelo paretiano simple

Así mostramos un ejemplo de cómo el segundo teorema garantiza que si tenemos una cierta distribución inicial de recursos que ya es un óptimo de Pareto, entonces es posible establecerlo descentralizadamente como equilibrio competitivo, si se asignan las señales de precios adecuadamente, desde el comienzo del periodo. Y aunque en la práctica esto es difícil, en ocasiones (por ejemplo, en algunos modelos macroeconómicos), se utiliza en situaciones donde es muy complicado establecer equilibrios competitivos pero es simple identificar, al menos, un óptimo de Pareto. Entonces se recurre al segundo teorema del bienestar, al decir que la asignación Pareto puede ser sustentada como un equilibrio competitivo. De esta manera se soslaya el problema mismo de la existencia de equilibrios competitivos, que tan ignorado fue por los pioneros neoclásicos: al fin y al cabo, y contrario a ciencias “duras” como la física, la buena formación matemática casi siempre estuvo ausente en las discusiones económicas centrales hasta mediados del siglo XX.

3.6.

Economías con sector productivo

Para generalizar la definición de óptimo paretiano en el caso de economías paretianas simples con producción (Lange, 1942) bastaría, en principio, con resolver los siguientes dos problemas de optimización: Maximizar xA ,yA ≥0

sujeta a

uA (xA , yA ) uB (xB , yB ) = uB = constante xA + xB = f x (v1x , v2x ) yA + yB = f y (v1y , v2y ) v1x + v1y = v1A + v1B v2x + v2y = v2A + v2B

y también Maximizar xB ,yB ≥0

sujeta a

uB (xB , yB ) uA (xA , yA ) = uA = constante xA + xB = f x (v1x , v2x ) yA + yB = f y (v1y , v2y ) v1x + v1y = v1A + v1B v2x + v2y = v2A + v2B

Esto, suponiendo, por supuesto, que las funciones involucradas satisfacen las condiciones analíticas ya discutidas en este capítulo. Ahora: escribiendo el lagrangiano del primer problema como L = uA (xA , yA ) − λ1 (uB (xB , yB ) − uB )

− λ2 (xA + xB − f x (v1x , v2x )) − λ3 (yA + yB − f y (v1y , v2y )) − λ4 (v1x + v1y − v1A − v1B ) − λ5 (v2x + v2y − v2A − v2B )

3.6. Teoremas del bienestar económico con sector productivo

93

se obtiene, con un poco de manipulación algebraica, que: ∂uA ∂xA ∂uA ∂yA

=

∂uB ∂xB ∂uB ∂yB

∂f x ∂v1x ∂f x ∂v2x

(3.31)

=

∂f y ∂v1y ∂f y ∂v2y

(3.32)

Esta última ecuación (3.32) también puede escribirse como ∂f y ∂v2y ∂f x ∂v2x

=

∂f y ∂v1y ∂f x ∂v1x

(3.33)

Y es claro, como el lector puede comprobar fácilmente, que el segundo problema de optimización (para el agente B), nos conducirá a las mismas ecuaciones. Estas caracterizarán, entonces, lo que es un óptimo de Pareto para una economía con sector productivo: una asignación (xA , yA ; xB , yB ) es un óptimo de Pareto si cumple las condiciones anteriores más las restricciones de escasez, con lo cual, a partir de allí, ningún consumidor de esta economía puede encontrar otra asignación que satisfaga las restricciones del problema de optimización de arriba y en donde mejore su bienestar (utilidad), sin desmejorar el bienestar del otro agente (es decir, sin disminuir la utilidad del otro) 23 . Definición 2. (Óptimo de Pareto) Los asignaciones (xA ,yA ,xB ,yB ), que satisfagan las condiciones (3.31), (3.32) además de las restricciones de escasez xA + xB = f x (v1x , v2x ), yA + yB = f y (v1y , v2y ), v1x + v1y = v1A + v1B , v2x + v2y = v2A + v2B en una economía paretiana con producción, conforman un óptimo de Pareto. Con esta definición, podemos extender los teoremas del bienestar económico para economías con producción, de la siguiente forma: Teorema 5. (Primer teorema de la economía del bienestar) Todo asignación de equilibrio competitivo es un óptimo de Pareto. 23 Debe resaltarse aquí que este concepto de óptimo de Pareto en el contexto del equilibrio general no coincide, necesariamente, con el concepto de óptimo de Pareto en el ambiente del equilibrio parcial. En este último, recordamos –ver volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial)– los dos agentes representativos (uno para los consumidores y otro para la industria) compiten por el surplus que surge de la competencia perfecta. En el contexto del equilibrio general, la competencia es entre los mismos consumidores sin que en esto intervenga el sector productivo. ¿Y por qué no se define el concepto de optimalidad paretiana de la misma forma en ambos escenarios? Una razón es que en el modelo de equilibrio general usualmente no es posible garantizar la existencia de agentes representativos; en equilibrio parcial (ya lo mostramos en el volumen I–Competencia bajo equilibrio parcial–) esto sí es posible. Y otra razón fundamental es que, en equilibrio general, el excedente del consumidor no es una buena medida del bienestar de los consumidores pues las funciones de utilidad ya no son, necesariamente, cuasilineales; ahora lo es el concepto de variación compensada (ver volumen I) que, para bienes normales, es una cantidad menor que el excedente del consumidor.

94

Semana 3. El modelo paretiano simple

Demostración. Es inmediata al observar que en un equilibrio competitivo se satisfacen las condiciones (3.31), (3.32) de óptimo de Pareto.  Teorema 6. (Segundo teorema de la economía del bienestar) Toda asignación de óptimo de Pareto puede tenerse como un equilibrio competitivo después de una apropiada redistribución de las dotaciones iniciales. Demostración. En efecto: cualquier asignación de óptimo de Pareto satisface las ecuaciones (3.31), (3.32). Por lo tanto, bastaría, en primer lugar, igualar (3.31) y (3.33) a px /py ; y la ecuación (3.32), a w1 /w2 . Sin embargo, estos precios pueden no satisfacer las restricciones presupuestales, ya que sólo estamos determinando las pendientes de las tangentes y no la asignación exacta (que depende de las dotaciones). Por lo tanto, basta con ajustar estas restricciones (es decir, reasignar dotaciones), para obtener el resultado.  Al final, debemos señalar que los dos teoremas del bienestar económico han estado en la médula de la política económica desde la Segunda Guerra Mundial. De hecho, no es exagerado decir que toda la teoría microeconómica moderna de intervención gubernamental en la economía, se basa en estos teoremas. Por tanto, no es exagerado decir que estos teoremas son el centro del capitalismo occidental. Pero en este punto surgen numerosas confusiones conceptuales, pues, aún confiando en que un mercado real se pareciera a uno del modelo paretiano (algo que ya es muy preocupante), algunos hacedores de política económica, leyendo al pie de la letra el segundo teorema del bienestar, consideran que si se tiene un resultado inequitativo como consecuencia de procesos de mercado, entonces la única forma de corrección es implementar algún tipo de cambios en dotaciones (impuestos, subsidios, etc.), en lugar de intervenir el sistema de precios del mercado, ya que esto causaría ineficiencia en la asignación. Por ejemplo, si a cierto grupo de individuos le es imposible comprar una casa, el hacedor de política aplica el teorema para recomendar que (colocando impuestos no-distorsivos a otros agentes de la economía), se le otorguen subsidios a ese grupo, en lugar de imponer control de precios u otorgar algún otro tipo de subsidio. Pero, por supuesto, aferrados a la lógica más pura y dadas las hipótesis conceptuales del hacedor de política económica, nada asegura que estas medidas “corrijan” esa “falla de mercado”. De hecho, estas prácticas han sido objeto de múltiples críticas desde diversas corrientes heterodoxas, afirmando algunos que la teoría neoclásica homogénea, desde su misma concepción en la dualidad entre competencia perfecta y eficiencia-Pareto, es un error y un fracaso (ver volumen III: Competencia bajo equilibrio de Nash). No obstante, sobre la tradición en “economía del bienestar” que comenzara con Dupuit, Walras, Marshall, Edgeworth, Pareto y sus seguidores (entre ellos, fundamentalmente, Barone), y que fuera sistematizada por Arthur Pigou en Cambridge (UK), discutiremos más adelante en la semana 4.

3.7. Economías autárquicas Robinson Crusoe

3.7.

95

Economías autárquicas Robinson Crusoe

La más elemental economía paretiana con producción es la economía (autárquica24 ) de Robinson Crusoe25 , consistente, en esta versión, en que el náufrago Crusoe se encuentra en una isla, solitario, y tratando de sobrevivir con sólo dos opciones: recolectar fruta o pescar. Se asume que puede hacer esto utilizando únicamente sus horas de trabajo, mediante las siguientes fórmulas: x=

p

y=

lx ,

1p ly 2

(3.34)

donde x es el número de frutas, y es el número de pescados, lx es el número de horas empleadas en conseguir frutas, y ly es el número de horas empleadas en pescar. Aquí, las raíces cuadradas indican que los rendimientos son decrecientes pues existen limitadas cantidades de estos recursos en la isla. Además, notemos que con el mismo número de horas empleado en pesca y recolección de frutas, se obtiene el doble de fruta que de pescado. Supongamos que Robinson sólo tiene L horas diarias disponibles para estos dos oficios. Por lo tanto, lx + ly = L, y esto, a partir de la ecuación (3.34), nos conduce a que la frontera de posibilidades de producción es el sector de elipse (ver figura 3.23) x2 + 4y 2 = L

ó

y=

1p L − x2 2

(3.35)

Sin embargo, también Robinson tiene gustos sobre las frutas y el pescado. De hecho, le gustan igualmente, y siempre necesita combinar de los dos alimentos. Esto se confirma mediante la función de utilidad U (x, y) =

√ xy

(3.36)

El problema para Robinson es, precisamente, cómo distribuir adecuadamente su tiempo diario entre los dos oficios, de tal manera que se sienta satisfecho al máximo con su alimento. El modelo paretiano nos señala entonces que Robinson debe resolver Maximizar x,y≥0

sujeta a

U (x, y) x2 + 4y 2 = L

lo que lleva (mediante el correspondiente lagrangiano) a que la tasa marginal de sustitución es igual a la tasa marginal de transformación ∂U  ∂U dy =− ∂x ∂y dx

24 La autarquía es una situación en la que un agente se aisla del comercio, requiriendo ser autosuficiente. 25 Término éste, proveniente de la famosa novela de Daniel Defoe (1719).

96

Semana 3. El modelo paretiano simple

Es decir, cuando se tiene que y (3.36) se llega a que: x∗ =

x y = √ . Por tanto, de las ecuaciones (3.35) x 2 L − x2 p

L/2

y∗ =

;

p

L/8

(3.37)

Siguiendo esto, Robinson debe recoger diariamente el doble de frutas que de pescados, dependiendo esta cantidad del número de horas L que le dedique a la recolección de alimentos. En este punto de equilibrio, √ al unir, en una sola gráfica (ver figura 3.23), la curva de utilidad máxima L/2 y la frontera de posibilidades de producción determinada por x2 + 4y 2 = L, nos lleva a mostrar que las pendientes, allí, son iguales a y ∗ /x∗ = 1/2. Esta es la tasa de intercambio (o “precios”) para Robinson: en ese equilibrio, por cada unidad de pescado que obtenga, habrá dejado de obtener dos unidades de fruta. En otras palabras, es el costo de oportunidad (von Wieser, 1914) que debe enfrentar Robinson. A la manera del modelo paretiano, él habría tomado una decisión óptima basado en su capacidad de recolección y en sus gustos de consumo, pero siempre restringido por la escasez. y

p

b

L/8

p

L/2

x

Figura 3.23. Robinson en equilibrio.

Nota 10. En general, ya estaría claro, el problema general de una economía Robinson Crusoe puede escribirse a través del problema de optimización Maximizar x,y≥0

sujeta a

U (x, y) F (x, y) = 0

lo que nos llevaría, mediante la condición de lagrangiano, a la ya mencionada ecuación de primer orden ∂F ∂U ∂x = ∂x = − dy dx ∂U ∂F ∂y ∂y

3.8. Sobre el origen de la caja de Edgeworth

97

donde U (x, y) satisface las condiciones típicas de cuasiconcavidad estricta y diferenciablidad con continuidad en R2+ , y, por su parte, F (x, y) es una función diferenciable con continuidad y convexa estricta, también en R2+ . Todos los argumentos y discusiones presentados en el ejemplo concreto anterior, se aplicarán, entonces, también aquí. N Cabe señalar, al final, que el modelo paretiano fue apropiado, casi exclusivamente26 , por la teoría del comercio internacional como indicaremos en la próxima sección. El modelo autárquico Robinson Crusoe (un agente sin comercio), el modelo ricardiano (Ricardo, 1817) de ventajas comparativas, el modelo StolperSamuelson (1941) y el modelo Heckscher-Ohlin (Heckscher, 1919; Ohlin, 1933), entre muchos otros, así lo demuestran.

3.8.

Sobre el origen de la caja de Edgeworth

Ya habíamos afirmado que fue Edgeworth (1881), quien vislumbró el instrumento gráfico de la “caja de intercambio” que hoy conocemos como “caja EdgeworthBowley” –A. Bowley (1869-1957)– o, simplemente, como “caja de Edgeworth”. Y dibujaba los primeros tipos de “cajas” para demostrar la infinitud de posibilidades de negociación entre dos agentes en monopolio bilateral –que él llamó “curva de contrato”– y la aparición del equilibrio competitivo (con sus respectivos precios –o tasas de intercambio–) como una de esas soluciones, cuando se estaba en presencia de muchos agentes (ver semana 8). Veinticinco años después, en su Manuale (1906), Pareto presentaba la caja en la forma que hoy la conocemos. A diferencia de Edgeworth, que creía en las “comparaciones interpersonales de utilidad” (es decir, que las utilidades de dos agentes distintos se podían medir en una unidad común), Pareto negaba que eso fuera posible. Y de acuerdo con esto, aseguraba que sólo las asignaciones que implicaban ganancias (más ophélimité) para al menos uno y pérdidas para ninguno, serían de mejora de bienestar social. Esta fue, precisamente, la noción de óptimo de Pareto que, recordemos, no implica la comparación interpersonal de utilidades. Inspirado por Edgeworth y Pareto, en 1924 Arthur Bowley (Mathematical Groundwork of Economics), generalizó la caja colocando las dotaciones iniciales en el interior de ella tal como hacemos hoy, y también recurriendo a la noción de “región de negociación” que es una solución de negociación en precios (no en cantidades) que está sobre las curvas de indiferencia y no sobre la curva de contrato. Con ello mostraba que cuando se negocia en precios únicamente, el resultado es típicamente ineficiente. De otro lado, Bowley, a diferencia de Edgeworth, permitía los intercambios a precios que no eran de equilibrio. Se imaginaba a los negociantes yendo a través de una sucesión de posiciones intermedias a situaciones mejores en el sentido de Pareto, cambiando el precio de intercambio. Y así se seguía hasta alcanzar la curva de contrato (ver semana 26 Excepto

por la nueva teoría del bienestar.

98

Semana 3. El modelo paretiano simple

8). Todo esto lo hacía basándose en las curvas de oferta de los dos agentes, que no son más que representaciones, en la caja, de las demandas marshallianas estudiadas en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial). Obviamente, la intersección de las respectivas curvas de oferta eran los equilibrios competitivos que, lo sabemos, están sobre la curva de contrato. Después de Bowley, la caja desapareció de la literatura económica hasta que en 1941, Tibor Scitovsky la empleó para explicar un problema que existía en los criterios de compensación de bienestar. Estos criterios que Scitovsky criticaba provenían de Kaldor y Hicks, quienes intentaban ir un poco más allá del criterio paretiano de optimalidad. La idea era preguntarse si el cambio de una situación no-óptima a otra era, en total, mejor socialmente aunque algunos ganaran y otros perdieran. Y este proceso pasaba la prueba del criterio si los que ganaban podían compensar a los que perdían y que, al final, todos ganaran. Sin embargo, una paradoja que encontró Scitovsky era que dos estados podían ser mejores uno a otro (ver semana 4). Cinco años más tarde, Wassily Leontief (1906-1999) en The Pure Theory of the Guaranteed Annual Wage Contract (1946b), emplearía la más elaborada versión de la caja Edgeworth-Bowley encontrada hasta ese momento. Allí, lúcida y elegantemente, Leontief resume, consolida y clarifica todo el trabajo anterior, estableciendo en la literatura las nociones de curva de contrato, zona de ventajas mutuas (en forma de lente), curvas de oferta, etc., y estudiaba allí el monopolio simple, la discriminación de precios y el monopolio bilateral, todo esto enmarcado en las respectivas implicaciones de bienestar. No hay duda de que Leontief reavivó el interés de los economistas por la caja, y, en particular, captó la atención de Kenneth Arrow y Paul Samuelson. Arrow, en An Extension of the Basic Theorems of Classical Welfare Economics de 1951, introdujo conceptos de teoría de conjuntos en la caja. Las regiones de posibles negociaciones comenzaron a entenderse como conjuntos convexos y apareció el concepto de hiperplano (que en nuestro capítulo actual, sólo eran rectas), y así las derivadas comenzaron a ser desplazadas por conceptos topológicos. Precisamente con estas herramientas establecería los dos teoremas fundamentales del bienestar económico, señalando con claridad cuándo estos teoremas se satisfacían en las esquinas (bordes) de la caja. Por ejemplo, Arrow señalaba que sin hipótesis extras, podrían haber asignaciones óptimas en las fronteras que no son equilibrios competitivos (ver ejemplo 6, semana 7). Y, por su parte, Samuelson en su artículo clásico de 1952 The Transfer Problem and Transport Costs recurrió a la caja para determinar si una transferencia hecha por Europa a USA mejoraría o empeoraría los términos del comercio internacional entre ellos. Estos desarrollos serían ya un punto cumbre en la evolución de este intrumento como caja de intercambio pues estaba casi agotado su potencial analítico, a pesar de los aportes posteriores a la teoría de los mercados bajo incertidumbre (Arrow, 1964; Niehans, 1990). De otro lado, la versión de la caja Edgeworth-Bowley como caja de producción venía encontrando nuevas aplicaciones. En 1933, Abba Lerner presentó la

3.8. Sobre el origen de la caja de Edgeworth

99

caja de producción en un seminario de Lionel Robbins en la London School of Economics. Sin embargo, no lo publicó hasta 1952, año en que apareció como Factor Prices and International Trade y por ello el crédito, en gran medida, se lo llevarían Stolper y Samuelson quienes publicaron la primera caja de producción en Protection and Real Wages de 1941, en donde muestran, primero, que comparada con la autarquía27 , el comercio libre aumenta el precio de los factores relativamente abundantes y baja el precio de los relativamente escasos; y, recíprocamente, que las restricciones al comercio aumentan los precios de los factores escasos y bajan los precios de los factores abundantes; segundo, afirma que una restricción por aranceles puede beneficiar la mano de obra en países donde esta es escasa y que en estos países un arancel puede aumentar los salarios reales (en términos absolutos y relativos) como porcentaje del PIB nacional28 . Posteriormente, en 1948, el mismo Samuelson recurriría de nuevo a la caja de producción en International Trade and the Equalisation of Factor Prices al presentar el famoso teorema de igualación de precios de los factores en la teoría del comercio internacional que afirma, en palabras un tanto vagas, que bajo competencia perfecta se tiende a igualar los precios de factores tales como salarios o rentas a través de los países que comercian. Y también, siete años después, Tadeusz Rybczynski (1955), utilizaría la caja de producción para conectar los cambios en la dotación de factores con cambios en la producción de dos mercancías. Allí mostraba que cuando un factor aumenta en cantidad (manteniendo los precios de los dos productos constantes), se produce un aumento más que proporcional en la producción de uno de los bienes y una caída absoluta en la producción del otro bien. Años después, una aplicación importante de los pioneros en la utilización de la caja de producción fue el trabajo de Kelvin Lancaster The Heckscher-Ohlin Trade Model: A Geometric Treatment de 1957, en donde presenta los elementos esenciales del famoso modelo 2 × 2 × 2: dos países que producen dos productos a partir de dos insumos. Allí los países, en competencia perfecta, fabrican ambos productos, pero uno de ellos es más intensivo en capital que el otro. La dotación de insumos también difiere entre ellos y además presentan rendimientos constantes a escala, bajo funciones de producción lineales. Entonces Lancaster, superponiendo dos cajas de producción (una para cada país), demuestra el famoso teorema de Heckscher-Ohlin (que asegura que cada país exportará el bien intensivo en su factor abundante e importará el bien intensivo en su 27 En

este contexto, la autarquía es una situación donde un país se aisla del comercio internacional, en un intento por ser autosuficiente. Usualmente sucede por razones políticas. 28 La razón de por qué tardó tanto Lerner en publicar su artículo es curiosa. En 1948, Samuelson presentó aquella famosa prueba del teorema de igualación de los precios de los factores, y Robbins, al leer esto, recordó el artículo de Lerner de 1933 y lo invitó a publicarlo. Sin embargo, Lerner no tenía copia de él, debido a que le había entregado la única versión corregida que tenía a un estudiante para que le ayudara a pasarlo a máquina de escribir, pero el estudiante lo dejó olvidado en un bus y nunca pudo recuperarlo. Lerner, ocupado en otros artículos, nunca reprodujo el manuscrito. Entonces la versión que se publicó en 1952 fue una copia de reserva que Robbins había guardado de aquella conferencia del año 1933.

100

Semana 3. El modelo paretiano simple

factor escaso) y también el teorema de igualación de los precios de factores. Estos dos teoremas, junto con el teorema Stolper-Samuelson y los resultados de Rybczynski, constituyen lo que hoy se conoce como la teoría Heckscher-Ohlin del comercio internacional. Sin duda, la caja Edgeworth-Bowley en sus distintas versiones, ha capturado la atención de los economistas desde hace más de 70 años. Allí donde se discuta la teoría del comercio, la asignación de recursos y el bienestar, es muy seguro que aparezca. De hecho, ningún libro de texto moderno de microeconomía o comercio internacional, la excluye.

Ejercicios (Observación: los ejercicios señalados con uno (∗) o dos asteriscos (∗∗) tienen, a juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.) 1. Considere una economía de intercambio puro conformada por dos mercancías x y y, y dos consumidores A y B cuyas preferencias están representadas por las siguientes funciones de utilidad uA (xA , yA ) = 3 ln(1 + xA ) + ln(1 + yA ) uB (xB , yB ) = ln(1 + xB ) + 4 ln(1 + yB ) Las dotaciones de los consumidores son WA = (3, 4), y WB = (4, 3). a) Obtenga la función de demanda del consumidor A. b) Obtenga la función de demanda del consumidor B. c) ¿Cuáles son las funciones de exceso de demanda? d) Verifique que estas dos ecuaciones satisfacen la ley de Walras. e) Calcule la curva de contrato (óptimos de Pareto). f) Calcule el equilibrio competitivo y dibújelo en la curva de contrato. g) Escoja cualquier asignación en la curva de contrato y haga de ella un equilibrio competitivo mediante redistribución de riqueza. 2. Realice el mismo ejercicio 1 pero ahora para las siguientes funciones: a) uA (xA , yA ) = 3xA yA ; uB (xB , yB ) = 5xB yB √ √ b) uA (xA , yA ) = xA yA ; uB (xB , yB ) = xB yB c) uA (xA , yA ) = (xA 2 + yA 3 )1/2 ; uB (xB , yB ) = (xB 2 + yB 3 )1/2 √ √ √ A d) u uB (xB , yB ) = xB − 1 + √ (xA , yA ) = xA − 1 + yA − 2 ; yB − 2 1/2

e) uA (xA , yA ) = 3xA + yA ;

1/3

uB (xB , yB ) = 5xB + yB

Ejercicios

101

f) uA (xA , yA ) = xA eyA ;

uB (xB , yB ) = yB exB

En cada caso, asuma las mismas dotaciones iniciales del ejercicio anterior. 3. Encuentre el equilibrio del problema de intercambio uA (xA , yA ) = (xA )1/2 + (yA )1/2 ,

uB (xB , yB ) = (xB )1/3 yB

con dotaciones WA = (1, 2), WB = (3, 1). 4. (∗) Hay m consumidores y tres bienes (x, y, z) en una economía de intercambio puro en donde las dotaciones agregadas respectivas son wx , wy , wz . Suponga que el bien z es el numerario. Aquí, las funciones de demanda agregada por los bienes x∗ y y ∗ (cuando wz es “suficientemente grande”) están dadas, para αi , βi , γ > 0, (i = 1, 2) fijos, por: x∗ (p1 , p2 , 1) = α1 − β1 p1 − γp2

;

y ∗ (p1 , p2 , 1) = α2 − γp1 − β2 p2

Si α1 > wx , α2 > wy y β1 β2 > (γ)2 entonces: a) Calcule los precios de equilibrio competitivo. ¿Por qué se asume que wz es “suficientemente grande”? b) ¿Puede encontrar funciones de utilidad individual que dan origen a las demandas x∗ , y ∗ ? [Sugerencia: Recuerde la función cuadrática enseñada en la semana 1 del volumen I, Competencia bajo equilibrio parcial] 5. En el modelo paretiano simple, calcule las fronteras de posibilidades de producción (F P P ) en los siguientes casos: a) x = (v1x )1/5 (v2x )1/4

,

y = (v1y )1/3 (v2y )2/3

b) x = (v1x )1/2 (v2x )1/2

,

y = (v1y )3/4 (v2y )1/4

c) x = v1x + (v2x )1/4

,

y = v1y + (v2y )2/3

d) x = 5v1x + v2x

,

y = v1y + 2v2y

Asuma siempre que v1x + v1y = 7, v2x + v2y = 3. 6. Siguiendo algunos ejemplos resueltos en esta semana 3, dé justificaciones generales sobre las tecnologías (funciones de producción) de las empresas para que su frontera de posibilidades de producción (FPP) sea recta. 7. Calcule (si existe) el equilibrio competitivo para la economía paretiana simple definida por UA (xA , yA ) = xA (yA )2

;

UB = (xB )1/3 yB

con dotaciones WA = (WAx , WAy ) y WB = (WBx , WBy ), si la oferta total es fija: la oferta del bien x es 100, y la oferta del bien y es 90. Lleve a cabo estática comparativa en equilibrio con WAx y WAy .

102

Semana 3. El modelo paretiano simple

8. Resuelva los siguientes problemas de economías Robinson Crusoe: a) U (x, y) = x1/2 + y, b) U (x, y) = x

1/2

+y

1/2

,

F (x, y) = 3x2 + 5y 2 − L = 0,

F (x, y) = e + e − L = 0, x

y

L>0 L>0

En cada caso, calcule la tasa de cambio e interprete el costo de oportunidad. 9. (*) Muestre que en una economía de intercambio como las estudiadas en este capítulo, los óptimos de Pareto se pueden calcular resolviendo el problema maximizar la suma α1 uA (xA , yA ) + α2 uB (xB , yB ) sujeta a xA + xB = x ¯, yA + yB = y¯ donde α1 , α2 , x ¯, y¯ > 0. Explique por qué esto es así. 10. (Calero & Castelao, 2012) Suponga una economía con dos bienes X1 y X2 , dos consumidores A y B, y una firma que produce ambos bienes. La tecnología viene dada por las siguientes funciones de producción: X1 = (L1 )1/2

,

X2 = (L2 )1/2

donde Li representa la cantidad de trabajo contratada por la firma para producir el bien i. Suponga además que cada consumidor tiene una dotación inicial Li fija para repartir entre ocio y trabajo, igual a 0.5 y que cada uno es dueño del 50 % de la firma. Las preferencias son las mismas para ambos consumidores: a) Resuelva el equilibrio competitivo. Encuentre los precios y cantidades de equilibrio. b) ¿Qué condición se cumple en el óptimo? Grafique. 11. (Economía de distribución) (Calero & Castelao, 2012) Supongamos una economía compuesta por dos individuos, dos bienes y un distribuidor central de la economía que administra las dotaciones iniciales de esos bienes. Este distribuidor asigna de manera totalmente arbitraria una renta monetaria a cada uno de los individuos con el objeto que ellos puedan comprar los bienes disponibles en la economía. Se supone, además, que los individuos son idénticos en cuanto a sus preferencias, las cuales vienen representadas por la función de utilidad U (xi1 , xi2 ) = (xi1 )1/2 (xi2 )1/2

i = 1, 2

Las dotaciones iniciales agregadas de los bienes (en manos del distribuidor central de la economía) son W1 = 20 y W2 = 40. Por último, las rentas monetarias asignadas por el distribuidor a cada uno de los individuos son: R1 = $100 y R2 = $60. a) Solucione el problema de equilibrio general y verifique que, en una economía de distribución, los precios monetarios quedan determinados.

Ejercicios

103

b) Suponga que el distribuidor central incrementa en una misma proporción la renta monetaria de ambos individuos simultáneamente ¿Qué efectos producirá esto sobre los precios de equilibrio? c) Luego del aumento decretado por el distribuidor, un economista afirmó que “el problema de la economía era que las rentas de los individuos eran muy bajas, ahora los individuos tendrán un mayor nivel de utilidad”. Comente esta afirmación, sus supuestos, y formalice su fundamentación.

Semana 4

La nueva economía del bienestar

4.1.

Introducción: Arthur C. Pigou

La teoría de la elección social como disciplina sistemática tiene sus origenes en las épocas de la Revolución Francesa (J.C. Borda -1784-, Marqués de Condorcet -1785-), y su preocupación por construcciones razonadas del orden social. Entre las motivaciones estaba el evitar tanto la inestabilidad como la arbitrariedad en los acuerdos de elección social, y por ello concentraron sus esfuerzos en desarrollar sistemas que les permitieran tomar decisiones racionales y democráticas. Sin embargo, sus investigaciones teóricas típicamente condujeron a resultados un tanto pesimistas, y un ejemplo de ello fue la inconsistencia de la “regla de mayoría” en votaciones, en donde A vence a B por mayoría, B vence a C también por mayoría, pero, a su vez, C vence a A igualmente por mayoría. De la economía del bienestar del siglo XIX y, en particular, de los esfuerzos de los economistas utilitaristas Walras, Pareto, Barone, Edgeworth, Marshall (entre otros) en la teoría de la economía del bienestar, ya habíamos discutido. No obstante, debe señalarse que el camino seguido por ellos tuvo un apuntalamiento diferente al de la teoría de la elección social con énfasis en los procesos de votación que tanto caracterizaron a la teoría de la elección social del siglo XVIII. Es tradicional afirmar que la “historia oficial” de la economía del bienestar (o “vieja” economía de bienestar), comienza con Arthur C. Pigou (seguidor de Marshall en la cátedra de Cambridge) y su The Economics of Welfare (1920). Este libro está dividido en cuatro partes que, exceptuando la tercera (sobre las relaciones industriales entre empleadores y empleados), tienen un sello bien definido: es el estudio del producto social (o “dividendo nacional” como Pigou lo llama) y la forma como es distribuido entre la población. 105

106

Semana 4. La nueva economía del bienestar (...) el bienestar económico de una comunidad consiste en el balance de satisfacciones que se obtienen del uso del dividendo nacional sobre las insatisfacciones implicadas al hacer ese dividendo.

Pigou, 1920, p. 85. La parte I discute la definición y medición del Producto Social Real; la parte estudia los cambios en la medida del Producto Social (qué lo hace disminuir o aumentar); y la parte IV la dedica al problema de la distribución. Era una muy amplia estructura, pero una estructura que, obviamente, no inventó él, sino que la tomó de sus predecesores, quienes, es casi seguro, no pensaban en absoluto que estuvieran haciendo “economía del bienestar”: era la teoría clásica de la producción y distribución; era, en el fondo, el mismo problema de The Wealth of Nations de Adam Smith. Pero no sólo de Smith, pues recordemos que David Ricardo, con el evidente propósito de corregir lo que él creía que era un descuido de Smith, afirmaba, en el prefacio de sus Principles (1817), que “determinar las leyes que regulan la distribución es el principal problema de la Economía Política”. Inclusive Mill comienza sus Principles (1848) con el problema de la producción (Libro I) y la distribución (Libro II). II

Pero había que medir el heterogéneo producto nacional, y Adam Smith y sus sucesores creyeron que podía reducirse a una medida común que podía valorarse en términos de dinero. Sin embargo, ya los economistas clásicos habían advertido que la medida monetaria tenía sus complicaciones, en particular la distinción entre el “valor de mercado” y el “valor natural”, y esto lo llevó a la búsqueda del “valor estándar” que permitiera corregir los cambios en el valor del dinero. Nótese que, para los clásicos, el propósito principal de esta “teoría del valor” era identificar los valores que se requerían para ponderar el Producto Social, es decir, medir el valor de las mercancías heterogéneas con una medida común; en ningún momento fue para explicar el papel de los precios en el mercado. Por su parte, Pigou también afirmaba al definir el “bienestar económico” como: Aquella parte del bienestar social que puede llevarse, directa o indirectamente, en relación con la medida (measuring-rod) del dinero.

Pigou, 1920, p. 11. Donde el valor del dinero jugaba un papel esencial en la medida del producto nacional. Sin embargo, se apartó de los clásicos en que, en lugar de valorar, por ejemplo, en términos del valor-trabajo (Ricardo), lo asumió (como buen seguidor de Marshall), mediante utilidad marginal, y esto, obviamente, conllevaba problemas de “comparaciones interpersonales” de utilidades, es decir, que las utilidades pudieran medirse en una unidad común. Así, el sector público, que en el método clásico de Ricardo no conllevaba problema alguno para la medida del producto nacional, estaba ahora confusamente descrito. Y, como era de esperarse, las críticas llegarían (Robbins, 1932, 1938):

4.1. Introducción: Arthur C. Pigou

107

Todo lo que me propongo hacer es poner en claro que la afirmación de que la riqueza social aumenta [por el libre comercio], implica ella misma un elemento arbitrario que la proposición debería decir: si se asume igual capacidad de satisfacción por parte de los agentes económicos entonces puede decirse que la riqueza social aumenta.

Robbins, 1938, p. 549. El punto aquí, fue que este problema de la comparación interpersonal de utilidades se estaba convirtiendo en tema central, pero por una razón diferente: la atención dada a la teoría de la demanda (ver, por ejemplo, Hicks & Allen -1934a, 1934b-) desde el punto de vista de la teoría de la utilidad1 . Sin embargo, curiosamente, la dificultad con las comparaciones interpersonales de utilidad ya había sido resuelta (antes del trabajo de Pigou) en el Manuel de Pareto de 1906. Él, bien advertido de las dificultades de adicionar utilidades, encontró una manera en la que la “utilidad colectiva” podía definirse: era el concepto de óptimo de Pareto (que ya tenía, lo sabemos, un antecedente en Walras). Sin embargo, aunque esta noción fue posteriormente retomada por Barone (1908), sólo se instauraría como parte esencial de la teoría económica del bienestar, en los trabajos de Bergson (1938), Samuelson (1938), Kaldor (1939) y Hicks (1939b), y se fortalecería con los trabajos de Scitovsky (1941) y con el Foundations de Samuelson (1947). Era el comienzo de un nuevo derrotero en la historia del pensamiento económico. Aunque en un sentido real sólo existe una economía del bienestar, que alcanza su más completa formulación en los escritos de Bergson, es posible distinguir entre la Nueva Economía del Bienestar, (...) que no hace hipótesis respecto a la comparación interpersonal de utilidad, y la Vieja Teoría del Bienestar que comienza con esta hipótesis. En pocas palabras, es la diferencia entre Pareto y Pigou. (...) el primero está incluido en el segundo, pero no viceversa.

Samuelson, 1947, p. 249. La Nueva Economía del Bienestar ha tenido siempre como norte el intentar formular principios normativos que muestren las restricciones de la búsqueda de equidad. Y, sin duda, en este propósito, el concepto de óptimo de Pareto y los dos teoremas del bienestar económico se convirtieron en el núcleo de la teoría, pues pensaban que los juicios de bienestar podrían hacerse a partir de modificaciones adecuadas del concepto de óptimo de Pareto. Precisamente sobre las herramientas y los refinamientos del concepto de óptimo de Pareto enmarcado por las asignaciones asociadas al funcionamiento de un “mercado libre” a la manera de Pareto, discutiremos enseguida. 1 El problema con la comparación interpersonal de utilidades radica en que no hay forma de ver que la satisfacción que obtiene un individuo de consumir un bien sea mayor que la satisfacción alcanzada por otro individuo al consumir otro bien. Inclusive si ambos individuos tuviesen su satisfacción medida cardinalmente tampoco tendríamos manera de relacionar las unidades de estas escalas, y, por lo tanto, tampoco podríamos sumarlas. Debido a estas y otras muchas críticas al trabajo de Pigou, sus seguidores a ultranza se restringieron a un pequeño círculo académico en la Universidad de Cambridge. No obstante, la necesidad de una reestructuración del problema estaba en el orden del día.

108

Semana 4. La nueva economía del bienestar

4.2.

La gran frontera de posibilidades de utilidad

Entre las más potentes e ingeniosas herramientas de la economía del bienestar, está la ya mencionada frontera de posibilidades de utilidad (FPU ) [o frontera Pareto (FP)], que le da a cada nivel de utilidad de un agente, la máxima cantidad de utilidad del otro agente. Recordemos que para calcularla (ver figura 4.1), habíamos escogido primero un punto B en la frontera de posibilidades de producción y0 x0 ; después formamos la caja de Edgeworth AxBy, y, de allí, construimos su curva de contrato AB. Ahora notemos que a cada punto C sobre la curva de contrato le corresponde un par de valores de utilidad uA y uB que son las medidas de bienestar de los agentes A y B, respectivamente. De esta manera, a la curva de contrato en sí, le corresponde una curva en el espacio de utilidad, tal como aparece en la figura. Esta describe el conjunto de distribuciones de utilidad que genera una caja de medida determinada por una oferta fija de bienes. Todo esto ya lo sabemos. Sin embargo, la curva de posibilidades de utilidad así definida tiene un problema: depende del punto de oferta B. Es decir, si cambiamos ese punto en la FPP, tendremos otra curva de posibilidades de utilidad, puesto que la correspondiente caja de Edgeworth, a su vez, también cambia. Para “resolver” esto, escojamos, para cada punto de la curva de posibilidades de producción, el punto en la curva de contrato que satisface la condición de equilibrio (incluyendo las ecuaciones de Lerner), y luego calculamos las correspondientes utilidades de ambos agentes en ese punto. Por ejemplo, en la figura 4.1, al punto B le corresponde el punto C; y bastaría ubicar el punto (uA , uB ) evaluado en C. y0 B

y

C A

x

x0

Figura 4.1. Construcción de la Gran Frontera de Posibilidades de Utilidad (GF P U ).

Con este procedimiento aplicado a cada punto de la FPP, generaremos una curva llamada la gran frontera de posibilidades de utilidad (GFPU ), que puede verse también como la envolvente formada por una familia de curvas de posibilidades de utilidad, cuando los puntos se mueven a lo largo de la FPP. La curva GFPU describe, entonces, las utilidades máximas de los dos agentes en los puntos de equilibrio competitivo formadas cuando nos movemos a lo largo de la frontera de posibilidades de producción FPP. Y recordemos que la FPP

4.3. El criterio de Kaldor-Hicks

109

está determinada precisamente por las dotaciones iniciales de los consumidores y por la tecnología. De esta manera, al movernos a lo largo de la GFPU, nos movemos a través de los posibles niveles de utilidad que ofrecen los equilibrios competitivos, dependiendo, cada uno de estos, de los gustos y las dotaciones iniciales de los consumidores, además de la tecnología; es decir, de la riqueza de la economía. Así construída, la GFPU nos permite, en principio, determinar el impacto sobre el bienestar económico potencial de cualquier cambio en la cantidad agregada disponible de mercancías. Y estos cambios han permitido estudios de mejoramientos potenciales del bienestar social, que, vagamente, consisten en que si la magnitud de las ganancias (en utilidad) de moverse de un estado de la economía a otro, es mayor que la magnitud de las pérdidas (en utilidad), entonces existe un mejoramiento del bienestar social haciendo el cambio, inclusive si no se lleva a cabo ninguna compensación de los que ganan a los que pierden (de allí el término “potencial”). En el fondo, el problema es el de intentar hacer comparables los distintos estados de la economía, bajo algún criterio de “deseabilidad” social. Entre estos se encuentran, de manera resaltable, el criterio Kaldor-Hicks y el criterio de Scitovsky, que a continuación discutimos.

4.3.

El criterio de Kaldor-Hicks

Las discusiones sobre criterios de compensación comenzaron en las controversias de 1938-1939 sobre la Leyes del Maíz de la Inglaterra victoriana2 . Estas leyes eran políticas mercantiles (arancelarias) de protección de la producción doméstica de ese producto, que fueron introducidas en 1815 (potenciando la propiedad de la tierra por parte de los terratenientes –landlords–), y derogadas en 1846 (lo que daba paso a un comercio libre en beneficio de otros productores y de los consumidores). Roy Harrod, en su Scope and Method of Economics de 1938, afirmaba con respecto a la “Revocatoria de las Leyes del Maíz”3 en la Inglaterra victoriana: Consideremos la Revocatoria de las Leyes del Maíz. Esto tendía a reducir el valor de un factor específico de producción –la tierra–. Sin duda puede probarse que las ganancias totales de la comunidad exceden las pérdidas de los terratenientes -pero solo si los individuos son tratados, en algún sentido, como iguales. En otro caso, ¿cómo puede compararse la pérdida de alguien – y que había pérdida apenas podía negarse – con la ganancia general? Si la imposibilidad de comparar la utilidad de diferentes individuos es estrictamente observada, entonces no solo debemos descartar las prescripciones de la escuela del bienestar, sino todas las demás prescripciones. El economista, como recomendante, queda completamente minusvalorado, y a menos que sus especulaciones sean consideradas de notable valor estético, tendría mejor que suprimirse completamente.

Harrod, 1938, p. 396-97. 2 Aunque

ya hay trazos claros de ellos en Pareto (1897a) y Barone (1908), entre otros. conocidas como “Leyes del grano”.

3 También

110

Semana 4. La nueva economía del bienestar

Nicholas Kaldor (1939) le replicó a Harrod que podía demostrarse que este elemento arbitrario no estaba implicado en absoluto, al menos con respecto a afirmaciones prescriptivas: Los efectos de la Revocatoria de las Leyes del Maíz pueden resumirse como sigue: (i) Se produce una reducción en el precio del maíz, y así el mismo ingreso monetario representará ahora un ingreso real mayor; (ii) Conduce a un cambio en la distribución del ingreso, así que algunos ingresos (i.e., los de los terratenientes) (en cualquier caso, en términos monetarios) serán más bajos que antes, y el ingreso de otras personas (presumiblemente el de otros productores) será mayor. Como podemos asumir que el ingreso monetario agregado, no cambia si se reduce el ingreso de los terratenientes, el ingreso de otras personas debe, por lo tanto, aumentar. Es sólo como resultado de este cambio en la distribución del ingreso, que habrá cierta pérdida de satisfacción en ciertos individuos y, por lo tanto, necesidad de comparar las ganancias de algunos con las pérdidas de otros. Pero siempre es posible para el Gobierno asegurar que la anterior distribución del ingreso pueda mantenerse intacta: compensando los “terratenientes” por cualquier pérdida de ingreso proveyéndoles de fondos mediante un impuesto extra sobre aquellos cuyos ingresos hayan aumentado. En esta forma, todos estarán mejor que antes como receptores de ingreso; y todos estarán mejor que antes como consumidores.

Kaldor, 1939, p. 550. Este criterio de compensación sería asimilado en adelante como un criterio objetivo de eficiencia económica pues, según Kaldor, toda prescripción basada en este tenía un status científico apartado de cualquier juicio de valor. Esta propuesta, sin embargo, tan enraizada en el Economics of Welfare de Pigou (el ingreso real como medida de bienestar), fue traducida por la Nueva Economía del Bienestar en la forma que explicamos a continuación. Supongamos que el paso de una distribución C a una distribución D conlleva que haya un “ganador” y un “perdedor”; entonces la distribución D es preferida a la distribución C, si el “ganador” en la nueva distribución D puede hacer transferencias lump-sum 4 al perdedor para compensarlo, y todavía obtener ambos una ganancia a partir de la primera distribución C (figura 4.2). En otras palabras, si una persona valora sus ganancias (de cierto cambio económico), más que lo que otra persona valora sus pérdidas, el bienestar total potencial aumenta. Claramente, aquí no se requiere comparación de utilidades, pero sí medidas de valor transferibles. Y dado que hasta ese momento el único criterio normativo que permitía elegir una distribución sin recurrir a la comparación de utilidades, era el óptimo paretiano, la propuesta de Kaldor fue escuchada aunque también criticada. Casi inmediatamente, Hicks (1939b) examinó el criterio de Kaldor con respecto a su eficiencia paretiana (algo que éste no había señalado explícitamente en su artículo de 1939), pues si la “distribución potencial” (es decir, después de la transferencia lump-sum) no era un óptimo de Pareto, entonces quizás ambos 4 El

término lump-sum se refiere a pagos de una sola vez, y no periódicos.

4.4. El criterio de Scitovsky

111

agentes podrían mejorar aún más, moviéndose a una posición que sí lo fuera, recurriendo, de ser necesario, a una transferencia lump-sum diferente. Es decir, para Hicks la distribución D (ver figura 4.2), es preferida a la distribución C si el “ganador” en la nueva distribución D puede hacer transferencias lump-sum al “perdedor”, y alcanzar una distribución óptima de Pareto (E) –es decir, que pertenezca a la misma gran frontera de posibilidades de utilidad (GF P U ) de D– donde ambos mejoren su bienestar con respecto a la primera distribución C. Obviamente, bajo este criterio, dos distribuciones en la misma GFPU no pueden compararse, y este, en sí mismo, es una de las dificultades con el criterio Kaldor-Hicks (figura 4.3)5 . u2

u2 D

•

D

•

C•

•C

•E u1

Figura 4.2. Compensación Kaldor-Hicks.

4.4.

u1 Figura 4.3. Imposibilidad de comparación Kaldor-Hicks.

El criterio de Scitovsky

Dos años más tarde, Tibor Scitovsky (1941), mostró algo realmente paradójico con el criterio anterior: aún si la distribución (D) es preferida a la distribución (C) según Kaldor-Hicks, cuando los agentes asumían la posición D, resultaba ser que C también era preferida a D (ver figura 4.4). Ante esto, la propuesta de Scitovsky no podría ser distinta: que hubiera consistencia del criterio KaldorHicks “en ambos sentidos”. Es decir, que si se aplicaba el criterio Kaldor-Hicks a un movimiento de C a D, y resultaba ser D el preferido, entonces al aplicar el mismo criterio al movimiento de D a C, también D resultará preferido. Por ejemplo, en la figura 4.2, D es preferida a C según Scitovsky, ya que ninguna distribución sobre la frontera Pareto de C es preferida en el sentido de Pareto a D. Una de las más fuertes críticas recibidas por los criterios de compensación de Kaldor-Hicks y Scitovsky fue la de Little (1962), quien afirmaba que las políticas de compensación eran sólo hipotéticas, en el sentido de que nada obligaba al agente “ganador” a desprenderse de lo obtenido, en bien del “perdedor” a 5 Al proceso anterior del criterio Kaldor-Hicks se le conoce como “Mejoramiento Potencial Pareto (MPP)” y es la justificación normativa del “análisis costo-beneficio”, es decir, es la justificación de la búsqueda de políticas que maximicen las diferencias positivas entre beneficios y costos. Y, así, el análisis costo-beneficio resalta que el libre mercado (que no coincide con la competencia perfecta) recurrentemente asigna recursos ineficientemente. De hecho, la identificación de MPP´s para evaluar costos y beneficios, es central cuando de establecer políticas ambientales se trata, pues la asignación ineficiente causa problemas tales como aire y agua contaminadas (ver Russell, 2001).

112

Semana 4. La nueva economía del bienestar

menos que, como recomendaba Kaldor, el Gobierno interviniera a través de algún mecanismo (por ejemplo, impuestos). Así que, según Little, decir que ellos habían descubierto un método objetivo para detectar aumentos en “riqueza” o “eficiencia”, era desviar la opinión mediante palabras persuasivas. Y que lo único que Kaldor y Hicks habían logrado, era acuñar una definición de eficiencia, cuyas implicaciones éticas eran difíciles de aceptar. u2

u2

•F

F

• •

D

C•

D

•

•E u1

Figura 4.4. Paradoja de Scitovsky.

•C

u1

Figura 4.5. Intransitividad en el criterio de Scitovsky.

Pero más allá de las objeciones éticas de Little (y otros), con respecto a utilizar criterios de compensación como mecanismos para mejorar una organización económica, también se encontraron dificultades lógicas. En 1955, William Gorman mostró que el criterio de Scitovsky puede “llevarnos en círculos”: la relación de preferencia definida por Scitovsky, ¡no es transitiva! Y para verlo, observemos la figura 4.5, en donde, según Scitovsky, F es superior a D y D es superior a C. Pero la propiedad de transitividad de esta relación afirma que deberíamos tener que F es superior a C y, sin embargo, estos dos ni siquiera son comparables. Uno de los problemas que hace difícil que los criterios de compensación sean útiles en las aplicaciones prácticas es que no existe ninguna forma de hacer juicios de bienestar sin, de alguna forma, llevar a cabo cierta comparación interpersonal de utilidad, y esto no es permisible bajo los requisitos de la Nueva Economía del Bienestar. Hace ya un tiempo, Chipman & Moore (1978, p. 581), resumieron las discusiones Kaldor-Hicks-Scitovsky así: Después de 35 años de discusiones técnicas, nos vemos forzados a regresar a la posición de Robbins de 1932. No podemos hacer recomendaciones políticas excepto sobre la base de juicios de valor, y estos juicios de valor deberían hacerse explícitos.

Algunos críticos posteriores (por ejemplo, Gowdy, 2004), creen que el análisis teórico ha ido reforzando la posición de Chipman y Moore. Aún así, recientemente, problemas tales como los planteados por Scitovsky y otros, han venido siendo considerados como “anomalías de poca relevancia” en la aplicación práctica del análisis costo-beneficio, a pesar de que la economía del comportamiento (Kahneman & Tversky, 1979; Kahneman, 2003), viene mostrando que el comportamiento humano lo explican mejor las “paradojas” que el modelo estándar de la teoría ortodoxa (neoclásica) de la elección.

4.5. La función de bienestar social

4.5.

113

La función de bienestar social Un camello es un caballo diseñado por un comité.

Anónimo, citado por Sen, 1999b, p. 349. Está claro que el criterio Kaldor-Hicks era un intento por ampliar el criterio de Pareto sin llevar a cabo comparaciones interpersonales. Por ello, en el mismo sentido y profundamente enraizada en sus aspectos normativos, la nueva teoría del bienestar también recurrió a otra de sus herramientas más reconocidas: la función de bienestar social (FBS). Introducida por Abram Bergson en 1938 y desarrollada aún más por Lange (1942), Allais (1943) y Samuelson (1947), el propósito aquí era escoger, entre equilibrios competitivos para distintas distribuciones de las dotaciones agregadas (que son los que conforman la GF P U ), cuál era “más deseable desde el punto de vista de la sociedad”, medido esto, de alguna forma, mediante tal función. Era el problema de alcanzar el máximo social a partir de los deseos individuales. Originalmente, la función de bienestar social propuesta por Bergson estaba diseñada, no para colocar en ranking las posibles combinaciones de las utilidades (en el sentido de “bienestar”) de los individuos de la sociedad, sino las combinaciones de todas aquellas variables que determinaban esas mismas utilidades; en particular, los bienes que consumían y los servicios que ofrecían. Pero Lange fue un poco más allá y formalizó algunas de las ideas de Bergson suponiendo un modelo de bienestar económico en el que xi1 , xi2 , . . . , xin son las cantidades de n bienes que posee el i-ésimo individuo donde i = 1, 2, . . . , m, y que su función de utilidad es Ui (xi1 , xi2 , . . . , xin ) donde definimos Xr =

m X

xir

(4.1)

i=1

como la cantidad total de la mercancía r = 1, 2, . . . , n en la sociedad, y donde cierta función F (X1 , X2 , . . . , Xn ) = 0 (4.2) rige la transformación tecnológica de estas cantidades agregadas de las mercancías (esta es la misma frontera de posibilidades de producción (FPP) de la economía). Con esto, Lange buscaba maximizar el “bienestar total” sujeto a la restricción tecnológica; es decir, resolver los problemas, para los índices i, j = 1, 2, . . . , m; i 6= j; r = 1, 2, · · · , n: Maximizar sujeta a

Ui (xi1 , xi2 , . . . , xin ) Uj (xj1 , xj2 , . . . , xjn ) = constante F (X1 , X2 , . . . , Xn ) = 0 m X xir Xr = i=1

114

Semana 4. La nueva economía del bienestar

Aquí se asume que todas las funciones involucradas (Ui , Uj , F ) satisfacen condiciones típicas: son cuasicóncavas estrictas, monótonas crecientes en cada uno de sus argumentos y diferenciables con continuidad6 en Rn+ y que, por tanto, las condiciones (suficientes y necesarias) de primer orden nos llevan, para r, s = 1, 2, . . . , n a: ∂F ∂Ui ∂xir ∂Xr = (4.3) ∂Ui ∂F ∂xis ∂Xs Es decir, para cada individuo i la tasa marginal de sustitución de cualquier dos mercancías (r y s) debe igualar a la tasa marginal de transformación de estas dos mercancías. Notemos, además, que esto implica que: ∂Uj ∂Ui ∂xjs ∂xir = ∂Ui ∂Uj ∂xis ∂xjs

(4.4)

y así el problema plantedado no conlleva comparación interpersonal de utilidades pues es similar a la manera como se calculan los óptimos paretianos y sabemos que estos últimos no conllevan la comparación entre las utilidades de los agentes. Por lo tanto, el problema que planteaba Lange era el de encontrar asignaciones que le maximizaran el bienestar (utilidad) de cada uno de los agentes de la economía, desde un punto de vista centralizado. Es decir, dadas unas ciertas funciones de utilidad (una para cada agente) y una restricción tecnológica (FPP) de la economía formada por ellos, encontraba condiciones suficientes para la asignación de recursos entre los agentes, de tal forma que cada uno maximizara su bienestar. De esta manera, se podría generar una función de bienestar social f = f (U1 , U2 , ..., Un , F ) que asociara a cada (n + 1)-tupla (U1 , U2 , ..., Un , F ), una matriz A = (xir )ir donde xir es la cantidad del bien r (para r = 1, 2, ..., n) que se le asigna al agente i = 1, 2, ..., m. Pero ni Bergson ni Lange plantearon la posibilidad de la existencia de este tipo de solución con aportes explícitos desde la ética, más allá de esta idea “bienestarista”. Y era improbable que lo hubieran resuelto, pues hoy está claro que la solución al problema planteado por Lange era formalmente equivalente a la existencia del equilibrio competitivo de un modelo paretiano con n agentes, y ni Lange ni Bergson estaban, seguramente, advertidos de que la primera prueba de esto apenas acababa de llevarla a cabo Abraham Wald en 19367 . Con esta dirección en desarrollo, la teoría del bienestar social recibió muchos ataques desde la filosofía positivista –por ejemplo, del mismo Robbins (1932) 6 Ver 7 Ver

el Apéndice matemático del volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial). semana 5.

4.5. La función de bienestar social

115

y de Baumol (1952)– debido a que, inclusive, algunos no creían que la ética tuviera ningún papel qué jugar en los problemas económicos: Cada mente es inescrutable para cualquier otra mente, y no es posible un común denominador de sentimientos.

Robbins, 1938, p. 636. Está de moda para el economista moderno en insistir que los valores éticos no tienen lugar en el análisis científico. El profesor Robbins, en particular, ha insistido en este punto, y hoy es costumbre distinguir entre el análisis puro de Robbins como economista y su propaganda, condenaciones y recomendaciones políticas como ciudadano. En la práctica, si fuera presionado hasta extremos, esta regla un tanto esquizofrénica sería difícil de admitir, y conduciría a circunloquios un tanto tediosos. Pero, en esencia, Robbins está indudablemente en lo cierto. Pensar con el deseo es un potente limitador del buen análisis y de la buena descripción, y las conclusiones éticas no pueden deducirse en la misma forma que se deducen o verifican las hipótesis científicas.

Samuelson, 1947, p. 219-20. Sin embargo, unos años después, esta visión de Robbins (y la aquiescencia de Samuelson), tendría un reto inmenso con la aparición del clásico Social Choice and Individual Values (1951b) de Kenneth Arrow, en donde mostraba, de una manera general y abstracta, que bajo ciertas condiciones éticamente aceptables, sólo existía una función de bienestar social que representaba las preferencias de todos los individuos de una sociedad, a partir de las preferencias individuales: la dictadura. Así, dado que sólo la dictadura evitaría inconsistencias, esto parecía ser el sacrificio final de las decisiones participativas y también la imposibilidad de representar los intereses heterogéneos de una población diversa. En su momento, este resultado se consideró como el deus ex machina que coronaba la elegancia formal de la teoría del bienestar social, también desde la perspectiva del equilibrio general paretiano; al fin y al cabo, el mecanismo de mercado produce una elección social colectiva8 . Buscando precisar, Arrow lo formalizó de la siguiente manera. Supongamos que hay n personas a las que indexaremos con i = 1, ..., n, donde cada una de estas tiene una función de utilidad Ui sobre un conjunto con al menos tres elementos, X, al que llamaremos “conjunto de estados sociales’. A cada n-tupla de funciones de utilidad, (Ui )ni=1 , la llamaremos un perfil de preferencias (o, simplemente, un “perfil”). Definimos una función de bienestar social (o constitución) de la forma U = f ((Ui )ni=1 ), donde a cada perfil de preferencias (Ui )ni=1 le asigna una “preferencia 8 El mercado al igual que los procesos de votación son procesos con ciertas similitudes (Bowen, 1943; Knight, 1931; Black, 1948). Si el lector lo prefiere, podría pensar que la compra de un artículo en el mercado es un voto que se hace por ese artículo. Al fin y al cabo, en ambos procesos están involcradas decisiones personales entre un número de alternativas que, además, producen un resultado social.

116

Semana 4. La nueva economía del bienestar

social” U sobre X, a la que le imponemos las siguientes condiciones “éticamente aceptables”: i) Dominio no-restringido (NR): El dominio de f incluye todas las posibles n-tuplas de preferencia individual sobre X. ii) Principio débil de Pareto (P): Para x, y ∈ X, si Ui (x) ≤ Ui (y) para todo i, entonces U (x) ≤ U (y). Es decir, el orden social debe estar positivamente asociado con los órdenes individuales. iii) No-dictadura (ND): No existe i tal que para todos los perfiles de preferencias en el dominio de f y para todos los estados sociales x, y ∈ X, si Ui (x) ≤ Ui (y) entonces U (x) ≤ U (y). Es decir, el orden social no debe ser impuesto por ninguno de los agentes de la sociedad. iv) Independencia de alternativas irrelevantes (IAI): Dados dos perfiles mediante (Ui )ni=1 y (Ui′ )ni=1 sobre X, si para cualquier subconjunto S ⊂ X, cualquier x, y ∈ S y cualquier i se tiene que Ui (x) ≤ Ui (y) si, y sólo si, Ui′ (x) ≤ Ui′ (y), entonces f ((Ui )ni=1 ) = f ((Ui ′ )ni=1 ). Entonces Arrow mostró que, bajo estas condiciones, no existe ninguna función de bienestar social: Teorema 1. (Teorema de imposibilidad de Arrow) No existe función de bienestar social que satisfaga las condiciones N R, P , N D y IAI 9 . O, en otra forma, si una función de bienestar social satisface las condiciones N R, P y IAI entonces no satisface la condición N D. Este resultado daría orígen a una inmensa cantidad de literatura (incluyendo muchos otros “resultados de imposibilidad”), en la que los aportes del premio Nobel de Economía (1998) Amartya Sen, han sido los mayores y más importantes. En 1970, Sen publicó el survey Collective Choice and Social Welfare en el que muestra cómo orientar el teorema de Arrow en un “teorema de posibilidad”. Una de las formas que propuso Sen fue cambiar la base informacional del teorema, es decir, que el orden social no dependa sólo de las preferencias de cada individuo sino de ciertos valores cardinales que requieren de comparación interpersonal; y la otra forma fue la de restringir el dominio de la función de bienestar. De hecho, uno de los más brillantes aportes de Sen fue incluir otras categorías tales como los derechos y la justicia dentro de las consideraciones al escoger entre 9 La razón del porqué la hipótesis de que haya más de tres en el conjunto de elección, se explica si imaginamos a dos personas abandonadas en una isla, y que tienen ideas opuestas respecto a las horas dedicadas a recolectar la fruta y pescado (Robinson Crusoe). E inclusive se ve en el caso de la Paradoja de Condorcet (1785), también conocida como la Paradoja del Votante, en donde tres personas que votan por tres candidatos en una decisión por mayoría, no logran elegir a ningún candidato.

4.5. La función de bienestar social

117

estados sociales. Por ejemplo, en el artículo The Impossibility of a Paretian Liberal de 1970, Sen prueba un resultado sorprendente: bajo las condiciones de no-restricción de dominio (NR), el principio débil de Pareto (P) y el de “liberalismo”(L) (es decir, que para cualquier individuo existen al menos dos estados sociales para los que su ranking social es exactamente el mismo que el del individuo)10 , no existe una función de bienestar social11 . Este resultado, según el mismo Sen, mostraba que los más básicos valores liberales entran en conflicto con el principio de Pareto (P), y así, los economistas que toman en serio este principio entrarán en problemas de consistencia con algunos valores liberales. Y en otro artículo de 1970 (Interpersonal Aggregation and Partial Comparability), Sen profundiza en su programa de investigación sobre la sistematización de las restricciones de información en la elección social (es decir, sobre el debilitamiento de la condición NR), al reconocer que la imposibilidad de comparación interpersonal de preferencias en Arrow (1951b) es un caso extremo, y en Sen (1977) abre un abanico de posibilidades a la creación de procedimientos aceptables de elección social. Basar los juicios sociales en el bienestar individual de los miembros de una sociedad (hoy conocido como “bienestarismo”), incluyendo allí sus diferentes medidas (ordinal, cardinal, cardinal con comparación interpersonal, etc.) ha tenido en Sen un fuerte crítico, pues, según él, deberían distinguirse la agregación de juicios (de las diferentes personas acerca de las políticas sociales), de la agregación de intereses. Para el primero, sólo se requiere de información acerca de las preferencias de los individuos, y allí los teoremas de posibilidad e imposibilidad de funciones de bienestar social operan; en su lugar, para la agregación de intereses se requiere de información adicional más allá de cualquier medida de bienestar individual, por ejemplo, de indicadores objetivos de desigualdad (ingreso, racial, género, discapacidad) (Sen 1985, 1992). En definitiva, para Sen el juicio sobre un estado debe depender, racionalmente, no sólo de su “uso alternativo”, sino del rango de alternativas disponibles para escoger, es decir, en una palabra, de la “libertad para escoger” (1999a). Esta perspectiva resalta que la condición de Pareto y la subyacente estructura de mercado competitivo paretiano se tornan muy cuestionables: Sen se aleja de la tradición paretiana y se acerca más a aquel Walras que veía los juicios de valor como necesarios e inseparables a su socioeconomía, y que afirmaba que esta debería incluir: El estudio del hombre y su destino desde el punto de vista psicológico-económico y psicológico-moral, dirigido al problema de concordancia entre interés y justicia12 ; definición del individuo y del Estado, conduciendo a la discusión 10 Y allí daba ejemplos muy simples e incontroversiales, tales como que es el individuo (y no la sociedad), el que debería escoger qué libro leer o de qué color pintar su cuarto. 11 Notemos que aquí no se asume la condición IAI, que tan importante es en la “imposibilidad” del teorema de Arrow. 12 Sobre esto afirmaba que el hecho de que alguien tenga más hambre no le da el derecho de comerse la cena de otro –Walras (1885) en carta a Launhardt aparecida en Jaffé (1965)–, lo

118

Semana 4. La nueva economía del bienestar de interés privado y general, y de servicios privados y públicos; solución a los problemas de orden conciliando libertad y autoridad, y de los problemas de justicia conciliando igualdad y desigualdad; demostración del principio de igualdad de condiciones13 como opuesto al de desigualdad de posiciones. Jaffé (1965, p. 211) citando a Walras.

4.6.

Axiomática y funciones de bienestar social

Como decíamos antes, a partir del teorema de imposibilidad de Arrow (1951b) sobre la existencia de una función de bienestar social, surgieron numerosas discusiones formales alrededor del problema teórico-práctico de su existencia. En particular, comenzó a ser claro que la implementación de la teoría de la elección social, a través de una función agregada de bienestar, conllevaba fuertes implicaciones éticas y también un regreso a la “vieja” teoría de las comparaciones interpersonales. De hecho, uno de los esfuerzos primarios se dirigió, precisamente, hacia la construcción de unos axiomas normativos que determinaran funciones explícitas de bienestar: al fin y al cabo, el problema de agregación también implicaba derivar, para determinado colectivo y sus alternativas de elección, un juicio social explícito acerca de la forma de elección14 . En principio, es bien sabido que el criterio de comparación interpersonal de utilidades permite, por ejemplo, construir funciones explícitas de bienestar social de varios tipos entre los que se encuentran: i) La función de bienestar social (Bentham, 1789; Harsanyi, 1955) definida mediante sumas de las utilidades individuales: f (U1 , U2 , ..., Un ) =

n X

Ui

i=1

A este tipo de función también se le conoce como función de bienestar social utilitaria o benthamita, ya que la idea central de Bentham (hoy llamado “Principio utilitario de la teoría ética”), era que la mejor política social es la que le da el mayor bienestar total a los individuos miembros de la sociedad, donde el “bienestar total” se mide sumando las utilidades de esos individuos. Una consecuencia era que, entonces, la utilidad total de una comunidad no debería tener en cuenta la distribución de ese bienestar total. Esto, por supuesto, conllevaba limitaciones informacionales de considerable importancia ética y política: al fin y al cabo, una función de este que podría interpretarse en el sentido de que la utilidad de una persona no puede compararse con la de otra persona, sin recurrir a juicios de valor. 13 Que debe prevalecer para permitir una elección individual libre. 14 Como se ha argüido por parte de algunos economistas y filósofos (Sen, 1970, 1997; Blackorby, 1975; Davidson, 1986), es difícil ver cómo la gente puede comprender algo acerca de las mentes y los sentimientos de otras personas, sin hacer algunas comparaciones con sus propias mentes y sentimientos. Y aunque esas comparaciones pueden no ser extremadamente precisas, tampoco se requiere hacer comparaciones interpersonales muy precisas para hacer un uso sistemático de ellas en la teoría de la elección.

4.6. Axiomática y funciones de bienestar social

119

tipo se puede maximizar dándole a un solo individuo toda la participación del ingreso. El problema distribucional, en principio, se hacía de lado. ii) La función de bienestar social tipo Bernoulli-Nash (Bernoulli, 1738; Nash, 1950a, 1953) definida como el producto de las utilidades individuales: f (U1 , U2 , ..., Un ) =

n Y

Ui

i=1

iii) La función de bienestar social de inspiración rawlsiana (Rawls, 1971) f (U1 , U2 , ..., Un ) = Mín{Ui }ni=1 A este tipo de función se le conoce como función de bienestar social rawlsiana (Rawls, 1971), ya que la idea principal de Rawls (hoy llamado “Principio igualitario de la teoría ética”) era que la mejor política social es la que da el mayor bienestar sujeta a la restricción de que todos los individuos deberían disfrutar de iguales beneficios de la sociedad. Puede verse fácilmente, entonces, que el principio igualitario es el mismo del “maximin” en el que prevalece la preferencia del individuo más desafortunado (con menor nivel de utilidad), aunque el mismo Rawls le hubiera dado una interpretación diferente, más en términos de “bienes primarios” o “cosas que se presume que todo hombre racional desea” y que hacen posible el bienestar. Está claro que el análisis a fondo del problema general de la existencia de una función de bienestar y de sus axiomas subyacentes, rebasan, por mucho, los objetivos de este texto. Sin embargo, para introducir al lector en el problema y pueda alcanzar una intuición clara de la dificultad subyacente, presentaremos enseguida un programa de investigación reducido a “acuerdos por negociación” entre dos agentes en conflicto. Veremos enseguida cómo la construcción de una función de bienestar social, aún en este escenario, también implica fuertes restricciones éticas. Comencemos asumiendo, como dada, una típica gran frontera de posibilidades de utilidad (GF P U ) de un modelo paretiano simple de mercado y el subyacente conjunto convexo generado al asumir que (0, 0) es parte de este conjunto, después de tomar valores esperados de las asignaciones inicialmente dadas (ver figura 4.6)15 . A ese conjunto lo llamaremos, en adelante, F. No sobra recordar aquí que la GF P U está conformada mediante los distintos equilibrios de la economía competitiva paretiana, para diferentes distribuciones de las dotaciones iniciales agregadas. 15 A la función generada a partir de estas combinaciones lineales se le llama función de utilidad von Neumann-Morgenstern (von Neumann & Morgenstern, 1944). Este proceso de tomar valores esperados es muy socorrido por el análisis matemático cuando de tratar problemas de asignación de utilidad en mercados competitivos se trata. Sin embargo, como se estudiará en la semana 8, asumir convexidad en estos mercados, no es suponer demasiado debido a que la suma de un gran número de agentes “convexifica” el conjunto de consumo agregado.

120

Semana 4. La nueva economía del bienestar U2 Gran Frontera de Posibilidades de Utilidad (GFPU)

F

U1 Figura 4.6. Conjunto y gran frontera de posibilidades de utilidad (F ).

Entonces, definiremos una solución al problema de elección social a través de la función f = f (U1 , U2 ) como una solución al problema de optimización Maximizar U1 ,U2 ≥0

sujeta a

f (U1 , U2 ) (U1 , U2 ) ∈ F

(ES)

Es decir, un par óptimo (U1∗ , U2∗ ) ∈ F para cada uno de los dos agentes (ver figura 4.7). U2 Curvas de indiferencia de la función de bienestar social f (U1 , U2 ) Solución (U1∗ , U2∗ ) b

F

H(U1 , U2 ) = 0

U1 Figura 4.7. Solución al problema de elección social.

Si H(U1 , U2 ) = 0 es la forma analítica suave (es decir, sin picos) de la gran frontera de posibilidades de utilidad GF P U , entonces la solución del problema (ES) anterior, debe satisfacer (después de aplicar el correspondiente lagrangiano): ∂f ∂H ∂U1 ∂U1 = ∂f ∂H ∂U2 ∂U2

(4.5)

4.6. Axiomática y funciones de bienestar social

121

Sin embargo, como sabemos que, por construcción de la GF P U , ∂H px ∂U1 = ∂H py ∂U2 donde px , py son los correspondientes precios de equilibrio en el punto solución (U1∗ , U2∗ ) del problema (ES), entonces la pendiente de la recta tangente entre la curva H(U1 , U2 ) = 0 y la curva de nivel en (U1∗ , U2∗ ) es −px /py (ver figura 4.8). U2

Solución b

F

Pendiente −

px py

H(U1 , U2 ) = 0

U1 Figura 4.8. Condición de tangencia en la solución al problema de maximización de la función de bienestar social.

Es precisamente sobre estas soluciones (U1∗ , U2∗ ) que se desarrolla la teoría axiomática de la función de bienestar social. Es decir, si escojemos uno entre los distintos equilibrios de una economía (dependiendo de la distribución de dotaciones de los agentes), por qué y bajo qué criterios éticos lo hacemos así. Definir este problema normativo es lo que conduce a pensar en que pueda existir una imaginaria función de bienestar social que señale, exactamente, esos resultados éticos deseados.

4.6.1.

Axiomas éticos

Sin duda, decidir cuáles son los axiomas éticos mínimos que “debiera” satisfacer una solución de bienestar social (y, por ende, una función de bienestar social) es un problema muy difícil. Además, siempre está la “amenaza” de que no exista ninguna función de bienestar social si escogemos “equivocadamente” los axiomas que discriminan. Es cuestión de avanzar de la imposibilidad a la posibilidad. Para bien de la teoría positiva, John Nash (1950a, 1953) mostró que bajo ciertos axiomas éticos razonables, la solución que se escogía era “como si”, en el trasfondo, estuviera operando una función de tipo Bernoulli-Nash. Los axiomas que señaló Nash para que esto ocurriera fueron los siguientes: 1. Axioma de eficiencia Pareto: Toda solución de un problema de elección social debe ser una asignación eficiente Pareto. Es decir, la solución debe

122

Semana 4. La nueva economía del bienestar estar en la gran frontera de posibilidades de utilidad (GF P U ), tal como se ilustra en la figura 4.9. De esta manera, la solución no puede ser subóptima en el sentido de Pareto porque se estarían subutilizando recursos. U2

Solución eficiente de Pareto F

U1 Figura 4.9. Axioma de eficiencia Pareto.

2. Axioma de simetría: Toda solución de un problema de elección social debe ser simétrica; es decir, si sucediera que el conjunto F es simétrico con respecto a la recta U2 = U1 entonces la solución también está en esa recta (ver figura 4.10). En otras palabras, si cuando intercambiamos un agente por otro, sus posibilidades no cambian, las asignaciones de utilidad no deberían ser distintas. U2 U1 = U2

F

U1 Figura 4.10. Axioma de simetría.

3. Axioma de invarianza escalar: Si se lleva a cabo una transformación afín16 del conjunto F, entonces también se transformará la solución de manera afín (ver figura 4.11). En otras palabras, si las medidas de utilidad 16 Una transformación afín T es una función de la forma T (x, y) = ax + by + c donde a, b, c son constantes fijas. Es lo que algunos llaman una “transformación rígida”.

4.6. Axiomática y funciones de bienestar social

123

U1 y U2 se transforman de manera afín –por ejemplo, el tipo de moneda (pesos a euros, etc.)–, la solución quedará indexada equivalentemente. U2

U2

Solución original

Solución después de

Transformación afín b

F

b

la transformación

F

U1

U1

Figura 4.11. Axioma de invarianza escalar.

4. Axioma de independencia de alternativas irrelevantes (IAI): Si para cada par de conjuntos F y F ′ con F ⊆ F ′ se tiene que la solución al problema con posibilidades en F ′ está incluida en el conjunto F, entonces esa solución debe ser la misma del problema con posibilidades en F. Así, el conjunto de posibilidades F ′ − F (zonas blancas internas en la figura 4.12) es irrelevante al escoger la solución. U2 F′

Solución para F b

Por el axioma IAI también es la solución para F ′

F

U1 Figura 4.12. Axioma de independencia de alternativas irrelevantes (IAI).

Y con estos cuatro axiomas pudo Nash caracterizar las soluciones escogidas por la función de bienestar social Bernoulli-Nash. Veamos.

4.6.2.

Solución Bernoulli-Nash

El resultado de Nash afirma que la única función de bienestar social que arroja soluciones que satisfacen los axiomas de eficiencia Pareto, simetría, invarianza escalar e independencia de alternativas irrelevantes es la función Bernoulli-Nash.

124

Semana 4. La nueva economía del bienestar

Es decir, las únicas soluciones (U1∗ , U2∗ ) que satisfacen aquellos cuatro axiomas son las soluciones al siguiente problema (ver figura 4.13): Maximizar U1 ,U2 ≥0

sujeta a

U1 U2 (U1 , U2 ) ∈ F

Curvas de indiferencia U1 U2 = constante

U2

Solución Bernoulli - Nash b

F U1 Figura 4.13. Solución Bernoulli-Nash.

Ahora: por definición, sabemos que nuestra GF P U es “suave” (es decir, diferenciable con continuidad en sus derivadas parciales), y que podemos describirla mediante una función suave de la forma H(U1 , U2 ) = 0, entonces el problema que debemos resolver es de la forma Maximizar U1 ,U2 ≥0

sujeta a

U1 U2 H(U1 , U2 ) = 0

y esto nos lleva a la ecuación diferencial ∂H U2 ∂U1 = U1 ∂H ∂U2 (Ecuación para soluciones Nash) Esto nos muestra, evocando un poco de la geometría de triángulos isósceles aprendida en el bachillerato, la igualdad de ángulos (α) señalada en la figura 4.14, bastando, para esto, interpretar la tasa marginal de sustitución de la ecuación anterior como el valor absoluto de la pendiente de la recta tangente a la GF P U en el punto de solución seleccionado por la función de bienestar social Bernoulli-Nash.

4.6. Axiomática y funciones de bienestar social

125

U2 Solución Bernoulli-Nash b

F

α

α

U1 Figura 4.14. Caracterización geométrica de la solución Bernoulli-Nash: propiedad de los ángulos iguales.

Los siguientes son ejemplos simples del cálculo de soluciones Bernoulli-Nash: Ejemplo 1. (Premio al que tiene más opciones; pero esto no siempre es cierto) Supongamos que la GF P U y su interior de un modelo paretiano simple está dada, para λ < 1 fijo, por: F = {(U1 , U2 ) ∈ R2+ | λU1 + U2 6 1} Entonces el problema es: Maximizar U1 ,U2 ≥0

sujeta a

U1 U2 λU1 + U2 6 1

U2 U1 = U2 1


1

1 , 2 2

b

1 1 , 2λ 2 b




λU1 + U2 = 1

1←λ

1

1/λ

U1

Figura 4.15. La nueva solución Bernoulli-Nash perjudica al agente 1 en relación al agente 2, pues el conjunto inicial de acuerdos se contrajo en detrimento del agente 1.

126

Semana 4. La nueva economía del bienestar

cuya solución, recurriendo a un lagrangiano, es U1 = 1/2λ; U2 = 1/2. Esto muestra que si el mercado pondera más al agente 2 que al agente 1, la solución Bernoulli-Nash también le asignará mayor bienestar. Así, la solución BernoulliNash “premiará” al más rico (ver figura 4.15). Ejemplo 2. (Aversión al riesgo) En general, la solución Bernoulli-Nash también premia a aquellos agentes más “amantes al riesgo” 17 como se muestra en el siguiente ejemplo. Sea, para α > 0 fijo, F = {(U1 , U2 ) ∈ R2+ | U1 + (U2 )α 6 1}

Entonces el problema es:

Maximizar U1 ,U2 ≥0

sujeta a

U1 U2 U1 + (U2 )α 6 1

cuya solución, a través del recurso de un simple lagrangiano, es U1 = α/(1 + α); U2 = 1/(1 + α)1/α . Y podemos notar que U1 < U2 si, y sólo si, α  α 1}

b) F = {(U1 , U2 ) ∈ R2+ | α(U1 ) + U2 ≤ 3, α > 0} c) F = {(U1 , U2 ) ∈ R2+ | ln(1 + U1 ) + U2 ≤ 1}

d) F = {(U1 , U2 ) ∈ R2+ | exp (U1 ) + exp (U2 ) ≤ 10} 3. (Ejemplo simple de la Paradoja del marqués de Condorcet). Se están debatiendo tres políticas públicas: A, B y C; y se sugiere elegir entre ellas mediante un “referendum”. Los votantes tienen opiniones divididas entre esas políticas: El partido 1 prefiere A a B, y prefiere B a C; el partido 2 prefiere B a C, y prefiere C a A; finalmente, el partido 3 prefiere C a A, y también prefiere A a B. Supongamos, además, que la población está dividida de manera igual entre los tres partidos. Muestre que no es posible diseñar un “referendum” que escoja por regla de mayoría (la mitad más 1) a cualquiera de las tres políticas. Por ejemplo, si el “referendum” le pide al electorado escoger entre las políticas A y B, entonces una mayoría de dos tercios escogerá A. Y similarmente para B y C. Así, ¿cuál de las tres políticas será la elegida? Este es el problema que surge al no darse la hipótesis de transitividad en la preferencia social. 4. (Ejemplo clásico de la Paradoja de Condorcet). Un comité compuesto por 21 miembros necesita elegir un individuo entre tres candidatos A, B y C. Los miembros del comité tienen sus preferencias en un ranking de la siguiente forma: un miembro del comité coloca en un ranking los candidatos donde A es primero, segundo B, y tercero C; siete miembros del comité comparten el ranking en donde A es primero, C es segundo y B es tercero; otros siete miembros comparten el ranking en donde B es primero, C es segundo y A es tercero; y, finalmente, seis miembros comparten el ranking con C primero, B segundo y A tercero. ¿Qué candidato escogerán? Eso, está claro, dependerá de qué sistema de votación se utilice. Si se utiliza la regla de mayoría, muestre que el candidato que gana es el C. A este candidato se le llama, en la literatura de la teoría de la elección social, un “ganador Condorcet”. El problema con este método de votación es que podría no haber ganador Condorcet y esto lo mostraría el mismo Condorcet (1785) con el siguiente ejemplo. Un comité de 60 miembros necesita elegir un individuo entre tres

132

Semana 4. La nueva economía del bienestar opciones: A, B y C. De estos 60 miembros, 23 están de acuerdo en que A es mejor que B, y B mejor que C; 2 miembros afirman que B es mejor que A, y A mejor que C; 17 miembros afirman que B es mejor que C, y C mejor que A; por su parte, otros diez miembros aseguran que C es mejor que A, y que A es mejor que B; finalmente, 8 miembros afirman que C es mejor que B, y que B es mejor que A. Muestre que en competencia por pares, A vence a B por 33 a 27; B vence a C por 42 a 18, y C vence a A por 35 a 25; y que, por lo tanto, esta votación no tiene un “ganador Condorcet” pues el orden de preferencia de votación por mayoría entre pares de candidatos, no es transitiva. También muestre que el orden en que compitan por pares entre los candidatos, afectará la decisión final. Otra consecuencia de la no-transitividad del orden de preferencia es que cualquier método de votación que generalice la regla de mayoría por pares a un número mayor de candidatos, mostrará que los resultados pueden depender de la presencia o ausencia de un candidato que no es el ganador. Por ejemplo si, en cierto caso, el método de votación conduce a que A es el ganador, pero que si B declinara participar, y A y C compitieran, entonces C ganaría por mayoría, muestra cómo la presencia del candidato B afecta la elección, aún cuando B no ganara si compitiera. Este problema se conoce en la literatura (lo podemos entender) como la “independencia de alternativas irrelevantes” y nos señala que estos sistemas de votación no la satisfacen.

5. El matemático francés Jean Charles Borda (1784), propuso el siguiente método de votación. Todo votante ranquea los candidatos desde el más preferido al menos preferido. Un candidato recibe k puntos (llamados “puntos Borda”) de un votante, si éste ranquea al candidato más arriba que a otros k candidatos. El “ranking Borda” de un candidato lo determinará la suma de los puntos Borda que reciba de todos los votantes. El candidato ganador será el que reciba más puntos Borda. Calcule el ranking Borda y también el ganador Borda en el ejemplo de Condorcet (1785), señalado en el ejercicio 4 inmediatamente anterior.

Semana 5

La tradición alemana del equilibrio general

5.1.

Introducción: Gustav Cassel

Gustav Cassel nació en Estocolmo (Suecia) en 1866. Luego de obtener su doctorado en matemáticas, a los treinta y dos años decidió estudiar Economía en Alemania e Inglaterra. Y después de un tiempo corto de preparación, creyó adecuado construir una “ciencia económica real” que se apartara de conceptos tales como la teoría de la utilidad y el valor subjetivo que de ella se desprendía pues, según él, no eran claros cuantitativamente y tampoco tenían una comprensión concreta. Los precios fueron para Cassel el elemento de cohesión de la economía. De hecho, el valor económico de un objeto debía expresarse en dinero, es decir, el valor del objeto era solamente su precio expresado en dinero. Pero como creía que los precios se determinaban mediante un sistema de ecuaciones, entonces se vería obligado a encontrar la forma de determinar el valor de la unidad monetaria, y al intentarlo, al igual que Walras, recurrió a la teoría cuantitativa del dinero (Cassel, 1918, libro III, cap. XI, §50). Por lo tanto, la base del sistema económico “real” de Cassel consistió en una combinación de sus ecuaciones de equilibrio de precios (tomadas, sin duda, de Walras1 ), y la teoría cuantitativa del dinero2 (Cassel, 1918, libro IV, cap. XVIII). En lo que concernía a la elección de un sistema político u organización social, Cassel se basaba más en intuiciones y predilecciones, que en teoría bien fundamentada. Aseguraba, por ejemplo, que prefería la libertad y el progreso a la 1 Aunque

él mismo nunca lo reconociera así. embargo, cuando intenta incorporar su teoría del capital al equilibrio general, encuentra que algo similar a un “principio de substitución” está implícito allí, y esto era algo que creía haber eliminado desde que desterrara también cualquier concepto de marginalidad. 2 Sin

133

134

Semana 5. La tradición alemana del equilibrio general

regulación gubernamental. Más aún, aseguraba que la función del Estado era garantizar ciertas condiciones para que las empresas privadas funcionaran. Entre estas condiciones estaban el tener moneda y tasas de cambio estables; una razonable libertad de comercio internacional; control de monopolios y demandas de los sindicatos; y moderación en el gasto público (Cassel, 1918, libro I). Por ejemplo, con estos argumentos criticó fuertemente las políticas económicas de la Alemania posterior a la Primera Guerra Mundial (1914-1918). Decía que las posibilidades de recuperación estaban en desarrollar políticas de comercio libre, flujos internacionales de capitales, y estabilización de la moneda en sus valores externo e interno. Y como parte de esta estabilización hacía un llamado al regreso del patrón oro, urgiendo a los bancos centrales a ahorrar en oro para prevenir fluctuaciones en los precios. A pesar del reconocimiento internacional que tuvo Cassel en vida, también fue muy criticado y, entre ellos, el más agudo fue su coterráneo Knut Wicksell (18511926). Aunque ya habían tenido discusiones y diferencias previas, en 1919, al revisar la principal obra de Cassel, el Theoretische Sozialökomie de 1918, Wicksell afirma que, así el autor lo desee, su trabajo no podía considerarse como original ni tampoco pionero, pues mucho le debía a Walras. Pero, Cassel, reconociendo poco o nada de Walras en su obra, respondió diciendo que cualquier pensamiento es nuevo si difiere de manera importante del punto de vista prevalente (Cassel, 1940-41, vol. I, p. 262). Aunque de carácter áspero, Cassel siempre fue un fuerte defensor de las libertades democráticas y de la unión entre las naciones, y buscó llevar su influencia más allá de los muros académicos de la Universidad de Estocolmo, a amplias audiencias públicas. En sueco, inglés y alemán, dictó conferencias en toda Europa, desde la Royal House en Suecia, hasta pequeños grupos de obreros y comerciantes. Aseguraba que el progreso social y económico provendría de la libertad pero dentro de sus raíces culturales, y no únicamente consagrada en constituciones. Habiendo tenido entre sus alumnos en Suecia a Gunnar Myrdal (Premio Nobel en Economía -1974- en conjunto con F. Hayek) y Bertil Ohlin (fundador de la teoría del comercio internacional con perspectiva neoclásica), se le considera, junto con Knut Wicksell, uno de los fundadores de la Escuela Sueca. Sobre esto decía: (...) no vale la pena formar muchos economistas, sino más bien economistas de jerarquía que ayuden a avanzar la ciencia económica y estimulen su prestigio en nuestro país... Nunca he fundado ninguna “escuela” y nunca busqué hacerlo. Desde el comienzo mi programa ha sido formar gente joven dentro del pensamiento independiente, restringiéndolos a la cientificidad, pero nunca a ninguna filosofía ya hecha que los estudiantes sólo tuvieran que aceptar.

Cassel, 1940-41, p. 374. Cassel, que había enseñado economía desde 1903 en la Universidad de Estocolmo, se retiró de allí en 1933, y lo sucedió Myrdal. En los últimos años de su vida,

5.2. El modelo de Cassel

135

al cerrar sus memorias, y ante los acontecimientos que avizoraban una nueva confrontación desde Alemania (Segunda Guerra Mundial), escribía de manera pesimista acerca del futuro de Europa: libertades suprimidas, violencia, claridad científica subvalorada, dominación, esclavitud. (...) ¡A donde uno mire, solo desolación! Desolación, en cualquier caso, de todo lo que había buscado construir (...) [pero a todo ello] sólo tengo una respuesta: He hecho lo que he tenido que hacer. Y lo he hecho con alegría.

Cassel, 1940-41, pp. 456–457. Gustav Cassel murió en enero de 1945.

5.2.

El modelo de Cassel Los pocos economistas de ese período [años 1920 y 1930], familiarizados con la teoría de Walras, estaban tan fuertemente condicionados por la entonces prevalente “aproximación al equilibrio estacionario”, como para ver la teoría de Walras (e inclusive la de Pareto) como una teoría del equilibrio estacionario. Tal errónea creencia fue posteriormente fortalecida por el hecho de que desde los años 20 se abandonó completamente la lectura de los Éléments (aún por los economistas académicos), siendo reemplazados por la más fácil lectura del modelo simplificado puesto en escena por Cassel.

De Vroey, 2002, p. 411. En su Theoretische sozialökomie de 1918 (que después fuera traducido al inglés en 1923, bajo el título de The Theory of Social Economy), y evidentemente basado (aunque no lo reconociera explícitamente) en los Éléments de Walras, Cassel (1918) considera una economía con n mercancías (bienes finales) y m factores (insumos) de producción, con Rj la cantidad (fija) ofrecida del factor j y con Ai la cantidad producida de la mercancía i. Las posibilidades técnicas de la producción las caracteriza por mn coeficientes fijos aji , que representan la cantidad física del factor j-ésimo utilizado en la fabricación de una unidad de la mercancía i-ésima3 . De esta forma, la demanda total del factor j-ésimo es aj1 A1 + aj2 A2 + · · · + ajn An . E igualando la oferta a la demanda en cada uno de los factores, obtenemos m ecuaciones de equilibrio: n X

aji Ai = Rj

j = 1, 2, . . . , m

(5.1)

i=1

De otro lado, llama p1 , . . . , pn los precios de las n mercancías y q1 , . . . , qm los precios de los m factores. Las ecuaciones de demanda del mercado por las mer3 Aunque el modelo Walras-Cassel analiza una economía en la cual ciertos “bienes primarios” se transforman en bienes finales, es posible extenderlo para incluir bienes intermedios.

136

Semana 5. La tradición alemana del equilibrio general

cancías las escribe mediante las condiciones de equilibrio Ai = Fi (p)

i = 1, 2, . . . , n

[4]

(5.2)

donde p = (p1 , . . . , pn ) y las Fi son funciones de demanda típicas (ver volumen I: Competencia bajo equilibrio parcial). Ahora: la relación de equilibrio entre precios de factores y precios de bienes finales (o productos) es directa, (pues no existen, en este modelo, bienes intermedios –o de capital–), y allí muestra la típica hipótesis del empresario walrasiano que es la de beneficio cero en cada actividad, es decir, el valor de los bienes finales iguala el valor de los factores –von Wieser (1889)–: m X

aji qj = pi

i = 1, 2, . . . , n

(5.3)

j=1

Finalmente, lo que se necesita para “cerrar” el sistema de Cassel es cierta consideración con respecto a la oferta de recursos; es decir, que la oferta de recursos dependa de los precios de los bienes finales y de los precios de los factores: Rj = Gj (p, q)

j = 1, 2, . . . , m

(5.4)

donde p = (p1 , p2 , . . . , pn ), q = (q1 , q2 , . . . , qm ) y las Gj son también funciones de demanda típicas. Según Cassel, así el problema quedaba totalmente resuelto mostrando “la verdadera naturaleza de la formación de los precios, [con un] proceso [que] no puede ser reproducido exactamente en forma más sencilla” (Cassel, 1923, I, cap. IV, §16). Notemos que de estos cuatro sistemas de ecuaciones, también se desprende la ley de Walras: si multiplicamos a ambos lados de las ecuaciones del sistema (5.1) por qj , y agregamos a ambos lados de la ecuación desde j = 1, . . . , m, y reordenamos las sumatorias, obtenemos, utilizando el sistema (5.3), que n X i=1

pi Ai =

m X

qj R j

(ley de Walras)

j=1

Esta ecuación de equilibrio (que no es más que cierto tipo de “restricción presupuestaria”) afirma que, en el agregado, la valoración de la demanda iguala a la valoración de la oferta en términos de la unidad monetaria de los precios. Observemos que de la ley de Walras se deduce que, en realidad, sólo 2m + 2n − 1 ecuaciones de los sistemas (5.1), (5.2), (5.3), (5.4) son las fundamentales: si 4 Obsérvese que Cassel (a diferencia de Walras), no recurrió a las funciones de utilidad, sino que dirigió únicamente su atención a las demandas; es decir, en el modelo de Cassel no aparecen los consumidores individualmente, ni, por supuesto, sus utilidades marginales. De hecho, para Cassel el valor económico (es decir, el precio de equilibrio), surgía de lo que llamó “principio de escasez”, y no de consideraciones utilitaristas. Así, los precios surgían porque los factores primarios eran escasos.

5.3. Las síntesis de Wald

137

2m + 2n − 1 ecuaciones de oferta-demanda se satisfacen, entonces el total de 2m + 2n ecuaciones igualmente se satisfarán. Cabe advertir, sin embargo, que el conteo de ecuaciones e incógnitas no fue ni siquiera tenido en cuenta por Cassel. Notemos que Cassel, a diferencia de Walras y Pareto, asume que las cantidades de los factores Rj son fijas. Y lo hace sólo por conveniencia de exposición de la parte matemática de su The Theory of Social Economy (1923), y así lo asegura (I, cap. IV, §16): En nuestro análisis de asignación por precios hemos hasta ahora tomado como dadas las cantidades de los medios elementales de producción disponibles (es decir, los hemos asumido como si fuesen determinados por circunstancias extrínsecas, y por consiguiente, como factores objetivos independientes del proceso de asignación por precios). Esta hipótesis sólo se justifica en un primer repaso del problema. De hecho, es, en cualquier caso, sólo aproximado, y sólo cumplido dentro de ciertos límites de las fluctuaciones de precios. Los precios de los factores de producción tienen una influencia real sobre la oferta de ellos a la comunidad. Puede ser latente en condiciones normales, pero en otras circunstancias puede ser muy activa. Por consiguiente, sobre este punto se debe avanzar en el análisis.

Pero no lo hace. De hecho, el sistema de Cassel es muy distinto al de Walras, ya que no presenta una teoría completa del equilibrio económico en forma matemática. Por ejemplo, no incluye ecuaciones de capitalización y circulación, y tampoco de moneda, que son parte fundamental del sistema de Walras. Además, su descripción de la forma en que el mercado resuelve las ecuaciones es muy diferente de la correspondiente descripción del tâtonnement. El The Theory of Social Economy (1923) de Cassel se convirtió en un texto muy utilizado, particularmente en Inglaterra y Estados Unidos, incluso comparable en este sentido con los Principles de Marshall5 . Allí, Cassel también extendería este modelo a una economía con crecimiento uniforme, aunque lamentablemente lo hizo de manera verbal, en lugar de darle un tratamiento matemático adecuado. Aún así, se cree que este trabajo fue la base para el modelo de crecimiento de von Neumann, que presentaremos más adelante.

5.3.

Las síntesis de Wald

A partir de la aparición del The Theory of Social Economy, diversas críticas le surgieron al modelo “walrasiano” simplificado de Cassel. Tres de las más importantes fueron las de Neisser (1932), Zeuthen (1933), von Stackelberg (1934) y Schlesinger (1935). Según Neisser, el modelo casseliano podría arrojar precios o cantidades negativas, y mostraba ejemplos significativos donde esto efectivamente sucedía. Para von Stackelberg la preocupación surgía del hecho de que en el sistema de ecuaciones (5.1), si el número de factores (m) excede el número de bienes (n), habría más ecuaciones que variables, y así el sistema podría no tener 5 Por lo tanto, Cassel y Pareto fueron traducidos mucho antes que el mismo Walras –que fuera traducido por Jaffé en 1954 (Jaffé & Walras, 1954)–.

138

Semana 5. La tradición alemana del equilibrio general

solución. Por su parte, Zeuthen advertía que este mismo sistema de ecuaciones (5.1) deberían ser de inecuaciones (desigualdades), y en su lugar escribir n X i=1

aji Ai ≤ Rj

j = 1, 2, . . . , m

donde Ai ≥ 0 pero Aj = 0 cuando la desigualdad sea una igualdad. Todo esto significaba, en primer lugar, que la demanda por factores no podía exceder las ofertas; y, en segundo lugar, que si la demanda está por debajo de la oferta, entonces el factor no podía considerarse escaso, y así debería tener un precio nulo. Zeuthen sería el primero en reconocer que esa diferenciación entre factores escasos (precio positivo) y factores gratuitos (precio cero), no era un a priori del modelo, sino una consecuencia de la solución a este. Schlesinger (1935), por su parte, notaba que tanto Walras como Cassel utilizaban Ri únicamente para referirse al insumo “escaso” i, y esto lo criticaba afirmando que los recursos no siempre deberían ser un dato exógeno, sino que también dependían de las curvas de demanda, de las posibilidades técnicas de producción, etc. Después de leer a Neisser, a von Stackelberg y a Zeuthen, le hizo fuertes modificaciones al modelo de Cassel; en particular, reemplazó las ecuaciones (5.2) y (5.4) del modelo de Cassel por la hipótesis de que el precio de cualquier bien sólo depende de las demandas de bienes producidos: pi = fi (A1 , . . . , An )

para i = 1, 2, . . . , n

Y con estas hipótesis creyó que la demostración de la existencia del equilibrio general estaba al alcance. No siendo él mismo un matemático, contrató para este propósito a Abraham Wald, quien en el mismo 1936 muestra, por primera vez en la historia de la economía matematizada, un teorema de existencia de equilibrios competitivos, utilizando las hipótesis de Schlesinger. Más adelante, en su artículo de 1936, Wald debilitaría la hipótesis (5.3), con el precio de cada bien ahora como función de todas las cantidades demandadas, y esa función satisfaciendo lo que hoy conocemos como axioma débil de preferencias reveladas (Samuelson, 1938)6 . El problema radicó en que asumió esta fuerte hipótesis no para el comportamiento individual, sino para el agregado del mercado total, y así es como si sólo un agente representativo maximizara. Básicamente debido a estas hipótesis es que la prueba provista por Wald no jugó un papel más destacado en la historia y desarrollo del problema de la existencia del equilibrio general competitivo. A petición de Schlesinger, Wald escribió un excelente artículo expositorio (Uber einige Gleichungssysteme der Mathematischen Ökonomie) que apareció en 1936, y que fue traducido para Econometrica en 1951 como On Some Systems of Equations of Mathematical Economics. Allí revisaba los teoremas (no las pruebas) de 6 Ver

volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial).

5.3. Las síntesis de Wald

139

los dos artículos publicados, y explicaba detalladamante las intuiciones detrás de las hipótesis, en particular, del crítico argumento sobre las preferencias reveladas. Después, también a petición de Morgenstern, dirigiría toda su atención a problemas estadísticos en economía, y fue alejándose de la teoría económica matemática. En 1937 huyó hacia los Estados Unidos ante la amenaza Nazi, yendo primero a la influyente Comisión Cowles en Colorado Springs, y finalmente a la Universidad de Columbia en Nueva York7 . Wald murió en 1950, a los 48 años, en un accidente aéreo en India.

5.3.1.

Wald, el alemán

El solo argumento de que el número de ecuaciones y de incógnitas es el mismo, no es suficiente para concluir que las ecuaciones tienen solución. Tampoco deberíamos contentarnos con argumentar que la solución debe existir, basados en el significado económico de las ecuaciones, ya que algo puede fácilmente pasar desapercibido. Únicamente, la más estricta investigación será satisfactoria.

Wald, 1951, p. 403 Wald planteaba su sistema de ecuaciones de equilibrio general de la siguiente manera: en primer lugar, similar al sistema de Cassel, pero incorporando las sugerencias de Schlesinger y otros, escribía (con notación diferente) # " n X j = 1, 2, . . . , m (5.5) Rj = aji Ai + µj i=1

donde µj ≥ 0 para todo j, pero µj > 0 cuando el factor j es gratuito (qj = 0). Y esto lo escribe así: µj qj = 0 j = 1, 2, . . . , m (5.6) Después escribe m X

aji qj = pi

i = 1, 2, . . . , n

(5.7)

j=1

Finalmente, postula que el sector consumo estará determinado por pi = fi (A1 , . . . , An ) para i = 1, 2, . . . , n

(5.8)

para ciertas funciones de demanda fi , y a paso seguido presenta el siguiente teorema de existencia de soluciones (no-negativas) y unicidad del sistema compuesto por las ecuaciones (5.5), (5.6), (5.7), (5.8) anteriores. 7 Ante el ascenso y empoderamiento del fascismo durante los años 1930 y 1940, numerosos economistas europeos arribarían a los Estados Unidos. Es obvio que este flujo de académicos fue cualitativa y cuantitativamente significativo en la creación de varias escuelas de economía en los Estados Unidos. Además de Morgenstern y Wald, también huyeron Modigliani, Domar, Hurwicz, Griliches, Kamien, Kalecki, Koopmans, Lange y Scitovsky, entre muchos otros.

140

Semana 5. La tradición alemana del equilibrio general

Teorema 1. Dados Rj , aji y fi (donde i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , m), el sistema de ecuaciones (5.5), (5.6), (5.7), (5.8) tiene un conjunto único de soluciones no-negativas Ai , qj , µj , pi siempre y cuando se tengan las siguientes condiciones: a) Rj > 0 para todo j = 1, 2..., m. b) aji ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , m. c) Para cada i existe al menos un j tal que aji > 0. d) fi (A1 , A2 , . . . , An )(≥ 0) es continua cuando (A1 , A2 , . . . , An ) > 0. e) Sea l´ımk→∞ (Ak1 , . . . , Akn ) = (A1 , . . . , An ) con Aki > 0 para todo k. Entonces, si Ai = 0 para algún i, se tendrá que l´ımk→∞ fi (Ak1 , . . . , Akn ) = ∞. f) Si {A′i } con P i = 1, 2, ...n son n números menos uno de ellos menor Pncon al n ′ ′ ′ que 0, y si p A ≤ 0 entonces p A i i i=1 i=1 i i < 0 donde se tiene que p′i = fi (A1 + A′1 , . . . , An + A′n ) para i = 1, 2, . . . , n. g) El rango de la matriz de coeficientes técnicos [aji ] es m Demostración. Ver Wald (1951).

[8]

.



Aquí la hipótesis a) significa que existen cantidades positivas de cada factor de producción; la hipótesis b) implica que la cantidad del factor i necesario para la producción del bien j, no es negativo; la hipótesis c) significa que para la producción de un producto, es necesario al menos uno de los factores; y la hipótesis e) implica que si la cantidad disponible de un producto es 0 entonces su precio es infinitamente grande (ver ecuación 5.8). La condición f ) que podemos reconocer como una de “preferencias reveladas en el agregado” –ver volumen I, Competencia bajo equilibrio parcial, y también la semana 8–, fue la que más críticas recibió en aquella época 9 ; y la condición g) es la condición técnica que garantiza que el sistema (5.7) tiene, a lo más, una solución, llevando esto a que, al asegurar la existencia de solución, ésta sea única. Ejemplo 1. Si ingenuamente intentamos resolver el sistema de ecuaciones simultáneas A1 + 2A2 = 10 4A1 + 5A2 = 30 q1 + 4q2 = p1 ; 2q1 + 5q2 = p2 1 10 ; A2 = A1 = p1 p2

(5.9) (5.10) (5.11)

8 Recordemos que esto significa que el mayor número filas linealmente independientes de la matriz es m (ver el Apéndice matemático al final del texto). 9 En la semana 8 mostraremos que los A pueden interpretarse como “excesos de oferta” i −zi del bien i, y la condición f ) puede leerse como diciendo que el vector de exceso de oferta −z(p) = (−zi )n i=1 de una economía satisface el axioma débil de preferencias reveladas.

5.3. Las síntesis de Wald

141

encontramos que: A1 = A2 =

10 3

;

p1 = 3 ;

p2 =

3 10

q1 = −

;

23 5

;

q2 =

19 10

Pero como el precio q1 es negativo, procedemos según el modelo de Wald y hacemos (a priori) q1 = 0, transformando la primera ecuación de (5.9) en A1 + 2A2 + µ1 = 10

;

µ1 > 0

lo que ahora sí permite resolver el sistema satisfactoriamente: 75 11

A1 =

p1 =

22 15

;

;

p2 =

A2 = 11 6

;

6 11

;

µ1 =

q1 = 0

;

23 11 q2 =

11 30

Para terminar, no es muy difícil probar –excepto por las condiciones e) y f)– que los parámetros del modelo satisfacen las condiciones del teorema 1. N En el mismo artículo de 1951, Wald hace una fuerte observación con respecto al modelo representado por las ecuaciones (5.5), (5.6), (5.7) y (5.8), que no debería pasar inadvertida: (...) [en él] se asume que nada se ahorra, y de allí que no sean tratados el problema de la formación de capital ni el de la tasa de interés...; segundo, se ha asumido que la producción de una unidad (...) es técnicamente posible por sólo un método... En una nota posterior, el autor tratará un sistema dinámico de ecuaciones correspondiente en el que sí serán considerados la formación de capital y la tasa de interés, y en la cual se asuman variables los coeficientes técnicos. La solución de este sistema se examinará entonces.

Wald, 1951, p. 379. Pero no lo hizo, o, al menos, no quedó rastro de ello. De otro lado, no hay duda de que la habilidad matemática (específicamente la postulación de la hipótesis de preferencias reveladas) de Wald, le permitió evitar utilizar algún teorema de punto fijo (Brouwer, 1912; Kakutani, 1941)10 que, posteriormente, Nikaido (1968) probó que era absolutamente necesario para garantizar la existencia del equilibrio competitivo11 . 10 Ver

el Apéndice matemático al final del texto. el mismo artículo de 1936, Wald hace un análisis del problema del duopolio (ver volumen I, Competencia bajo equilibrio parcial, semana 11) en el que establece este equilibrio como un punto fijo (aunque no utiliza ningún teorema específico de punto fijo). Wald se anticipa así a Nash (1950b, 1951), en este resultado. 11 En

142

5.3.2.

Semana 5. La tradición alemana del equilibrio general

Wald, el paretiano

Wald también se interesó por el problema del intercambio bajo competencia perfecta según la versión paretiana. En su artículo clásico de 1936, consideraba (con notación diferente a su “modelo alemán”) n individuos, cada uno con función de utilidad ui (x1 , ···, xm ) dependiente de m bienes de la economía, y asume que cada individuo i posee las cantidades (wi1 , wi2 , . . . , wim ) de los respectivos bienes, y que pj , j = 1, 2..., m, son los precios por unidad de la mercancía j. Entonces, escribiendo p1 = 1 (numerario), plantea encontrar solución al siguiente sistema de ecuaciones de Jevons: ∂ui ∗ ∗ (a , a , · · ·, a∗im ) pk ∂xk i1 i2 = i pj ∂u ∗ ∗ (a , a , · · ·, a∗im ) ∂xj i1 i2

(5.12)

donde los a∗ij son los consumos realizados por el consumidor i de la mercancía j; k = 1, 2, ...m; y a∗ij 6= 0 para todo i, j. No obstante, ∂ui ∗ ∗ (a , a , · · ·, a∗im ) pk ∂xk i1 i2 ≥ i pj ∂u ∗ ∗ (a , a , · · ·, a∗im ) ∂xj i1 i2

(5.13)

para k = 1, 2, ...m, siempre que a∗ij = 0 para todo i, j, pero a∗ik 6= 0 para cierto k. También, para j = 1, 2..., m, plantea la condición de equilibrio de mercado ∗ ∗ ∗ a∗1j + a∗2j + · · · + a∗nj = w1j + w2j + · · · + wnj

(5.14)

y, para i = 1, 2, . . . , n, establece la restricción presupuestal ∗ ∗ a∗i1 + p2 a∗i2 + ... + pm a∗im = wi1 + p2 wi2 + ... + pm wim

(5.15)

Y a continuación escribe el siguiente teorema: Teorema 2. El sistema de intercambio (5.12), (5.13), (5.14), (5.15) anterior, tiene una única solución para precios positivos p2 , p3 , . . . , pm y cantidades no-negativas a∗ij (i = 1, 2..., n; j = 1, 2, . . . , m) siempre que a) wij ≥ 0 i = 1, 2..., n; j = 1, 2, . . . , m. Pn b) j = 1, 2, . . . , m. i=1 wij > 0 Pm c) i = 1, 2, . . . , n. j=1 wij > 0

d) Las funciones ui son de la forma ui (x1 , . . . , xm ) = fi (x1 , . . . , xm )hij (xj ) donde fi es cualquier función no-nula, y hij (xj ) es una función continua, no-negativa y estrictamente decreciente.

5.3. Las síntesis de Wald

143

e) Las funciones hij (x) tienden a ∞ cuando x → 0; además, para todo λ > 1 se tiene que 1 hij (λx) > hij (x) λ Demostración. Ver Wald (1951).  Las hipótesis del teorema anterior se pueden entender así: las tres primeras son hipótesis económicas básicas; la cuarta –d)– es la condición walrasiana de que la utilidad marginal de un bien es independiente de las cantidades que posee el agente de los otros bienes, y es estrictamente decreciente con respecto a las cantidades que posee de ese bien. Sobre ésta, decía Wald: Con seguridad la condición no se tiene completamente en el mundo real. En general, hay relaciones complementarias y substitutivas entre ciertos bienes. Pero la condición [d)] puede considerarse una buena aproximación a la realidad. El mismo Walras basa su teoría de formación de precios en esta hipótesis (...). Las condiciones [a)] a [d)], que prueban la solubilidad de las ecuaciones de intercambio coinciden sustancialmente con las hipótesis walrasianas. Así que Walras estaba en lo cierto al asegurar la solubilidad de sus ecuaciones de intercambio. Sin embargo, esto sólo puede probarse con la ayuda de difíciles métodos de la matemática moderna, y el método que utiliza Walras para intentar probar la existencia de los precios de equilibrio es completamente inadecuado.

Wald, 1951, pp. 383–384. Finalmente, como lo advierte el mismo Wald, la condición e) es equivalente a la desigualdad ′ xh (x) ij 1:

hA (λyA ) = hA (yA )

!1/3 1  1/3 λyA 1 1 > !1/3 = λ λ 1 yA

y similarmente para hA (xA ). N Eran claras las restricciones impuestas por Wald al modelo de equilibrio general paretiano: solo ciertos tipos de funciones de utilidad podrían satisfacerlas.

5.4.

El modelo de von Neumann

Tres años antes de que Abraham Wald publicara su prueba sobre la existencia de un equilibrio general en una economía Walras-Cassel, y de que apareciera la versión inglesa del Theoretische de Cassel, el matemático húngaro John von Neumann presentó uno de los modelos de equilibrio general mejor logrados de la historia de la economía matemática. Su artículo A Model of General Economic Equilibrium de 1945-1946, fue discutido por primera vez en 1932 en el Seminario

5.4. El modelo de von Neumann

145

de Matemáticas de la Universidad de Princeton por invitación de Karl Menger (hijo del famoso economista de la escuela austriaca, Carl Menger) y del mismo Wald, y después publicado en alemán bajo el título Über ein Ökonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes en 1937. En este artículo, von Neumann va mucho más allá (en algunos aspectos importantes), que el modelo de Cassel. De hecho, la discusión de Cassel (1923) sobre una economía con crecimiento uniforme, basada, al parecer, en el esquema de reproducción extendida de Marx (1885), se cree que fue el origen de las ideas centrales del artículo de von Neumann. Explícitamente refiriéndose a su sistema de ecuaciones de equilibrio (5.12), (5.13), (5.14) y (5.15), Cassel (I, cap. IV, §16) afirmaba: Hasta ahora, nuestro análisis se ha basado en el supuesto de una economía estacionaria. Ahora tenemos que considerar también la economía uniformemente progresiva. En ella, las cantidades de medios de producción disponibles en cada unidad de período, es decir, nuestros R1 , . . . , Rm se encuentran en progresión uniforme. Al porcentaje fijo que caracteriza este crecimiento y, en general, al progreso uniforme de la economía, lo llamaremos c. (...) En la economía uniformemente progresiva, (...), el grado de ahorro es constante y las cantidades de dinero que están disponibles en cada período del consumo aumentan igualmente con el porcentaje c. Con ayuda de los coeficientes técnicos [aij ], los precios de los bienes finales se determinan, de la misma manera que en el caso precedente, según las ecuaciones (...). Por esto debemos suponer en la economía uniformemente progresiva que nuestros [A1 , . . . , An ], crecen todos con el porcentaje c fijo.

Sin embargo, no parece que en el trabajo de von Neumann de 1932 (von Neumann, 1937) hubiese habido influencia alguna de Wald y del Menger Colloquium de Viena, aunque sí lo hubo para su versión de 1937. De hecho, cuando Wald escribió el survey de 1936, no conocía el artículo de von Neumann de 1932. Además, la influencia de Cassel y Schlesinger sobre el trabajo de Wald es muy evidente, pero no así sobre el de von Neumann. Con el artículo de 1932 de von Neumann, aparecen por primera vez en la literatura de la economía matematizada, la noción de dualidad precio-cantidad, la noción de convexidad en los conjuntos de producción y de precios, y un teorema de existencia de equilibrios en el que recurre al teorema de punto fijo de Brouwer, y que más tarde utilizaría John Nash (1950b, 1951) para garantizar la existencia de equilibrios en la teoría de juegos; y Kenneth Arrow y Gerard Debreu (1954) para garantizar la existencia de un equilibrio competitivo –aunque estos últimos recurrieron a una generalización del teorema de Brouwer, hoy conocida como el teorema de punto fijo de Kakutani (1941)–12 . Von Neumann describe una economía en expansión caracterizada por una producción lineal en la cual todos los productos sirven de insumos a posteriores 12 Los modelos de Schlesinger (1935) y de Wald (1936) no utilizan ningún teorema de punto fijo para probar la existencia de equilibrios, debido a que lo redujeron, básicamente, a uno en que es sólo un agente el que maximiza (agente representativo).

146

Semana 5. La tradición alemana del equilibrio general

procesos productivos (aquí no hay “factores primarios” como en el modelo de Cassel). La función de produccción procesa insumos en productos, todos en proporciones fijas. Además, asume que cada mercancía es un insumo o un producto de todos los procesos; el sector consumo se describe mediante un proceso donde bienes finalizados se utilizan como insumos en la producción de trabajo. Así, el consumo es aquí un fenómeno tecnológico y, por tanto, las relaciones de demanda no aparecen. Cuando la economía se expande en períodos, von Neumann asume que no hay un límite a la oferta de tierra, mano de obra, u otros factores que pongan fin a la expansión. Y se pregunta si existe una tasa constante de crecimiento que brinde beneficios nulos y que satisfaga el requerimiento tecnológico de que las intensidades del proceso durante cualquier período no requieran más que los insumos disponibles (es decir, los productos del período anterior). A este comportamiento de la economía lo llama de equilibrio, y demuestra que, efectivamente, existe tal tasa de crecimiento; que esta tasa es igual a la tasa de interés que satisface la condición de que la tasa de crecimiento de la producción sea exactamente suficiente para cubrir el costo de inversión en insumos (que es una consecuencia de la condición de beneficios cero); que podrían haber muchas combinaciones producto-precio de equilibrio, a menos que se adicionen hipótesis al modelo; que podrían tenerse procesos donde el empleo implica pérdidas financieras pero que estos procesos, en equilibrio, no se utilizan; y, finalmente, que algunas producciones podrían crecer a una tasa mayor que la de equilibrio en algunos periodos, pero que no habrá tasa de crecimiento sostenible mayor que la de equilibrio. Veamos en detalle esta estructura.

5.4.1.

Hipótesis del modelo

En notación del propio von Neumann, consideremos una economía donde hay n bienes G1 , G2 , ..., Gn que pueden producirse mediante m procesos P1 , P2 , ..., Pm , y que, “para evitar posteriores complicaciones”, se asume que tienen rendimientos constantes a escala, y que los factores naturales de producción, incluyendo la mano de obra, pueden expandirse en cantidades ilimitadas. Y lo que se pregunta es: i) ¿Cuál es la velocidad relativa con la que crece la cantidad de bienes producidos?; ii) ¿A qué precios se venderán?; iii) ¿Cuál es la tasa de interés? Para ello, entonces, asume más: el consumo de bienes toma lugar sólo a través del proceso de producción que incluye los bienes necesarios de los trabajadores. En segundo lugar, en cada proceso Pi (i = 1, 2, . . . , m) se utilizan cantidades conocidas aij (expresadas en unidades convenientes) y se producen las cantidades conocidas bij , de los respectivos bienes Gj (j = 1, 2, . . . , n). El proceso, entonces, puede expresarse de la siguiente forma: Pi =

n X j=1

aij Gj →

n X j=1

bij Gj

(5.20)

5.4. El modelo de von Neumann

147

Estos procesos Pi (i = 1, 2, . . . , m) serán utilizados con ciertas intensidades xi (i = 1, 2, . . . , m), lo que significa que, para la producción total, las cantidades de la ecuación (5.20) deben multiplicarse por xi . Von Neumann escribe, entonces, E=

m X

(5.21)

xi Pi

i=1

donde xi = 0 significa que el proceso Pi no será utilizado. Y luego se pregunta por aquellos estados en donde la economía se expande sin cambio de estructura; xm−1 x1 x2 , , ..., igualan es decir, donde las proporciones de las intensidades x2 x3 xm un factor común α. A este lo llama el coeficiente de expansión de la economía. Las incógnitas del modelo son, entonces, i) Las intensidades x1 , ..., xm de los procesos P1 , . . . , Pm . ii) El coeficiente de expansión (o tasa de crecimiento) α

[13]

iii) Los precios y1 , . . . , yn de los bienes G1 , ...Gn . y2 yn−1 y1 = = ... = iv) El factor de interés β, donde β = y2 y3 yn Obviamente, se deberá asumir xi ≥ 0 ;

.

[14]

.

yj ≥ 0

(5.22)

con al menos alguna xi , y alguna yj , estrictamente positivas. Las ecuaciones económicas son, para j = 1, 2, . . . , n, α

m X i=1

aij xi ≤

m X

bij xi

(5.23)

i=1

x1 x2 xm−1 = = ... = ; es decir, es imposible consumir de un x2 x3 xm bien Gj en el proceso total (5.21) más que lo que está siendo producido. Y para i = 1, 2, . . . , m, n n X X bij yj (5.24) aij yj ≥ β y donde α =

j=1

j=1

yn−1 y1 = ... = ; es decir, en “equilibrio” no puede haber beneficio. donde β = y2 yn Von Neumann, sin embargo, hace las siguientes salvedades: • Si en (5.23) se tiene la desigualdad estricta, entonces xi = 0.

(5.25)

• Si en (5.24) se tiene la desigualdad estricta, entonces yj = 0.

(5.26)

es decir, si Pi da pérdidas entonces no se utiliza y su intensidad será nula. es decir, si se consume menos de lo que se produce de algún bien Gj , entonces su precio cae a yj = 0. 13 Aquí, 14 Aquí,

α es igual a 1 + (tasa de crecimiento). β es igual a 1 + (tasa de interés).

148

5.4.2.

Semana 5. La tradición alemana del equilibrio general

Sobre la solución al modelo

Teniendo en cuenta las condiciones xm−1 x1 = ... = =α x2 xm

;

y1 yn−1 = ... = =β y2 yn

entonces (5.23) y (5.24) conforman un sistema de m+n desigualdades con m+n incógnitas. Pero como estas no son ecuaciones sino desigualdades, el hecho de que el número de ellas iguale el número de incógnitas, no constituye ninguna garantía de que el sistema pueda resolverse. Von Neumann entonces prueba que su modelo tiene al menos una solución x1 , . . . , xm ; y1 , . . . , yn ; α; β. Pero que si se tiene la condición aij + bij > 0 entonces α y β estarán determinados unívocamente y que, además, (notablemente) α = β; es decir, el factor de interés y el coeficiente de expansión de la economía son iguales y únicamente determinados por los procesos productivos P1 , . . . , Pm , y lo hace reduciendo la solución del problema a probar la existencia de cierto “punto de silla”, es decir, a probar la existencia de un par (X, Y ) ∈ Rm × Rn que satisfaga la ecuación MáxY MínX F (X, Y ) = MínX MáxY F (X, Y ) donde F (X, Y ) es el cociente de formas cuadráticas15 F (X, Y ) =

X T AY X T BY

;

A = (aij )mxn

;

B = (bij )mxn

El punto de silla es entonces, tanto la tasa de interés (β), como la tasa de crecimiento (α) de equilibrio. Al hacerlo, como ya advertimos, utilizó un resultado muy particular que posteriormente se vio que era una generalización del teorema de punto fijo de Brouwer –teorema de punto fijo de Kakutani (1941) [16] –. Sin embargo, más adelante se mostró (Loomis, 1946), que el problema de existencia de puntos de silla para esta forma cuadrática era equivalente a un problema mucho más simple: el teorema minimax de la teoría de juegos de suma cero, que el mismo von Neumann ya había descubierto en 1928 [17] . Finalmente, von Neumann hace las tres siguientes observaciones: i) Que aunque α > 0 por hipótesis podríamos tener α T 1; y que aunque uno esperaría α > 1, la posibilidad α ≤ 1 no podría excluirse: los procesos P1 , . . . , Pm podrían ser “subproductivos”. ii) Que el máximo factor de expansión de la economía es α = β; y así, podrían haber períodos de expansión por debajo del equilibrio. 15 Ver

Apéndice matemático al final del texto. Apéndice matemático al final del texto. 17 El teorema minimax asegura la ecuación Máx T T Y Mín X X AY = MínX MáxY X AY tiene solución para cierta matriz A. 16 Ver

5.4. El modelo de von Neumann

149

iii) Que el mínimo factor de interés en el que el sistema económico no recibe beneficios es β = α; y así, podrían haber períodos de expansión con tasas de interés superiores a las de equilibrio. Una característica resaltable del modelo de von Neumann es la de que utiliza desigualdades en lugar de igualdades: es posible que la oferta de un factor no sea igual a su uso al producir mercancías, ni que el precio de una mercancía sea igual a su costo de producción. En el primer caso, si la oferta excede a la demanda, entonces el precio de esa mercancía es cero; y en el segundo caso, si el precio está por debajo del costo de producción, entonces la mercancía, simplemente, no se producirá. El establecer estas desigualdades explícitamente será fundamental en los desarrollos posteriores de los teoremas de existencia del equilibrio general competitivo. Ejemplo 3. Supongamos que la tecnología del modelo de von Neumann está determinada por     0 1 1 0 y B= A= 1 0 0 1 Entonces es fácil probar, siguiendo las desigualdades del modelo, que, αx1 ≤ x2

;

αx2 ≤ x1

;

βy1 ≥ y2

;

βy2 ≥ y1

y como x1 /x2 = α y y1 /y2 = β, entonces α2 ≤ 1 y β 2 ≥ 1, y así, si α = β entonces α = β = 1 (crecimiento equilibrado con tasa de interés equilibrada) es la solución única del sistema (aquí, aij + bij > 0). Por lo tanto, para cualquier x1 = x2 = y1 = y2 > 0 el modelo de von Neumann se resolverá. Pero si suponemos que la tecnología de la economía está determinada por     2 0 1 0 y B= A= 0 3 0 1 es decir, G1 → 2G1 y G2 → 3G2 , el sistema de von Neumann nos lleva en este caso a αx1 ≤ 2x1 ; αx2 ≤ 3x2 ; βy1 ≥ 2y1 ; βy2 ≥ 3y2

y como x1 /x2 = α y y1 /y2 = β, entonces si α = 1, β = 3; x1 = x2 = 1; y1 = 3, y2 = 1 el sistema se satisface. Nótese que α 6= β pues aij + bij ≥ 0 (no siendo estricta la desigualdad). Obviamente, existen muchas soluciones a este problema. ¿Podría el lector señalar una más? N En su momento (y todavía), el modelo de von Neumann tuvo un profundo impacto en el desarrollo del pensamiento económico. Como modelo “dinámico” de una economía en expansión, ha sido el padre de muchos modelos de crecimiento; pero también como modelo estático ha tenido influencia. El hecho de que fuera construido como una secuencia de etapas de un solo período, y que cada uno de estos períodos pudiera ser considerado estático (ya que no había oportunidades

150

Semana 5. La tradición alemana del equilibrio general

de ajuste dentro de ellos), hizo que pareciera un modelo Walras-Cassel extendido, aunque también era un modelo de análisis de actividades a la manera de Koopmans (ver semana 6). Pero no solo eso: fue inclusive, mucho más importante que los resultados de Wald en la historia de la existencia de equilibrios competitivos y, de hecho, así lo atestiguaba el mismo Debreu (1983), p. 6: (...) el artículo que von Neumann escribió para el “Ergebnisse” en 1937 sobre la existencia de trayectorias óptimas de crecimiento balanceado fue muy influyente en el período que estaba por comenzar. El artículo de von Neumann, que apareció traducido al inglés en “The Review of Economic Studies” en 1945-46, contenía un lema que fue reformulado por Shizuo Kakutani como un teorema de punto fijo para correspondencias en el “Duke Mathematical Journal” de septiembre de 1941. El artículo de Nash de 1950 sobre la existencia de puntos de equilibrio en juegos de N personas, y el artículo de Morton Slater, “Lagrange Multipliers Revisited”, publicado por la Comisión Cowles, también en 1950, introdujo a los científicos sociales al resultado de Kakutani, que pronto llegaría a ser la más potente herramienta para pruebas de existencia de equilibrio en sistemas sociales.

5.5.

La fundación Cowles y el neowalrasianismo

A pesar de la influencia de la tradición alemana, hoy no hay duda de que los más impactantes desarrollos en la teoría matemática del equilibrio general competitivo no sucederían en Europa, sino en los Estados Unidos, y uno de los más importantes pasos hacia esa consolidación fue la firma del acta inaugural de la Econometric Society en 1930 por Irving Fisher, Ragnar Frisch y Charles Roos. Teniendo entre sus primeros miembros a Luigi Amoroso, Arthur Bowley, Joseph Schumpeter, Harold Hotelling, Karl Menger, Ladislaus Bortkiewicz y Henry Schultz, su reunión inicial fue, curiosamente, en 1931, en Lausanne (Suiza)18 . En la página oficial de la Econometric Society hoy se lee: (...) Aunque el problema sobre la conveniencia de hacer de la economía matemática un “ghetto” fue arduamente debatido, lo que resultó particularmente difícil fue la cuestión de la financiación. En 1931, el hombre de negocios norteamericano Alfred Cowles ofreció ayudar a financiar toda la empresa. Cowles también ofreció crear una “Fundación Econométrica” que, después de alguna resistencia, eventualmente llegó a ser la Comisión Cowles. Cowles, sin embargo, permaneció para servir como tesorero y administrador de circulación para la Sociedad Econométrica. Durante un tiempo, la Sociedad Econométrica y la Comisión Cowles compartían las mismas oficinas en Colorado Springs19 .

Y todo esto se desarrollaba en una época muy hostil a la economía matematizada. De hecho, tanto en Europa continental como en Estados Unidos, las escuelas 18 Quizás sugerido por Frisch y Roos, quienes recibieron fuerte influencia de Walras pero, sobre todo, de Pareto y de la Escuela italiana. 19 En aquella época, Alfred Cowles tenía serias preocupaciones sobre la pobre perfomance de los pronósticos del mercado de valores (y en general, de toda la economía) en la “crisis del 29”.

5.5. La fundación Cowles y el neowalrasianismo

151

dominantes eran la institucionalista y la historicista, y en Gran Bretaña dominaba la poco matemática escuela marshalliana. Además, en los años 1930, el interés de la ciencia económica se había focalizado en la Gran Depresión, y el impacto del General Theory of Employment, Interest and Money (1936) de Keynes tomó mucho del interés teórico y práctico del mundo académico y profesional. De manera que en aquel entonces, los que seguían las ideas de una economía matematizada eran escasos y dispersos (Wicksell en Noruega, la Escuela italiana en Suiza e Italia; Bowley y Hicks en Gran Bretaña, Tinbergen en Holanda y Marschak en Rusia, entre otros), y por ello, no era fácil para Frisch conseguir artículos con substantivo contenido matemático. Para resolver esto, encargó la realización de algunos surveys sobre temas que habían sido tratados matemáticamente, entre ellos sobre equilibrio general, ciclos económicos y técnicas estadísticas (Marschak, 1933; Tinbergen, 1935; Hicks, 1935b; Frisch, 1933), además de algunos artículos sobre “economistas matemáticos” famosos ya desaparecidos –Roy sobre Cournot (1933), Hicks sobre Walras (1934), Bowley sobre Edgeworth (1934) y Amoroso sobre Pareto (1938)–, entre otros. También aparecieron artículos importantes en la tradición paretiana, tales como Hicks (1937), Hotelling (1938), Samuelson (1941) y Lange (1942). Por su parte, durante la Segunda Guerra Mundial, la Comisión Cowles acogió a muchos de los mejores economistas europeos que huían del régimen Nazi y a algunos economistas norteamericanos20 tales como Arrow, Debreu, Haavelmo, Hotelling, Klein, Lange, Markowitz, Marschak, McKenzie, Modigliani, Mosak, Scarf, Shubik, Simon, Tobin y Wald, entre muchos otros. En 1939, la Comisión pasó de Colorado Springs (Colorado) a la Universidad de Chicago; pero después de una hostil oposición por parte del Departamento de Economía de esta universidad, se instaló en la Universidad de Yale en 1955, bajo la dirección del holandés (y futuro Premio Nobel en Economía de 1975), Tjalling C. Koopmans. Ya en un ambiente más propicio en la segunda parte de la década del cincuenta, y bajo la fuerte influencia del Value and Capital de Hicks y el Foundations de Samuelson, la Fundación Cowles y la revista Econometrica publicarían, entre ellos, algunos de los más importantes (si no los más importantes) trabajos matemáticos sobre la teoría del equilibrio general neowalrasiano: Koopmans (1951), Arrow & Debreu (1954), McKenzie (1954) y Debreu (1959)21 . No hay duda de que la Fundación Cowles sería el centro de operaciones de lo que hoy conocemos como “teoría neowalrasiana del equilibrio general”, que es la teoría que hoy aprendemos en nuestras aulas. 20 De

los cuales algunos fueron galardonados con el premio Nobel de Economía. dar una medida de la oposición que tenía el método matemático durante aquellos años, citamos al polaco Evsey Domar, quien afirmaba que la única conexión que tenía con los econometristas eran los ocho dólares que pagaba anualmente por su incomprensible journal (es decir, por el Econometrica); y también se narra la historia de que cuando invitaron a Joan Robinson a una de las reuniones de la Econometric Society, ella declinó sobre la base de que dificílmente podría ser observadora de un journal que ella no leía. 21 Para

152

Semana 5. La tradición alemana del equilibrio general

En especial, un momento particularmente crítico e importante en la historia del problema de existencia del equilibrio general competitivo (y, más ampliamente, de la economía matemática), ocurrió en la Universidad de Yale, en junio de 1949, cuando la Comisión Cowles reunió en congreso a un grupo interdisciplinario de cincuenta investigadores sobre el problema de la asignación eficiente de recursos: al fin y al cabo, eran necesidades prioritarias del mercado capitalista emergente y de la posguerra. De allí saldría la famosa monografía de memorias del congreso que llamaron Activity Analysis of Production and Allocation y que fuera publicada por Koopmans (como editor) en 1951. Con introducción del propio Koopmans, además de ser autor y coautor de otros tres artículos, estas memorias trajeron al terreno del problema de la asignación eficiente, el artículo clásico de George B. Dantzig en el que se presentaba el algoritmo simplex para la solución constructiva de problemas de programación lineal; además, en artículos del mismo Dantzig y de David Gale, comenzaría a formalizarse la teoría de la producción competitiva, a través de conjuntos (conos) convexos. Y fue quizás aquí, en estas memorias, a través de los artículos de Samuelson, Arrow, Georgescu-Roegen y del mismo Koopmans, que empezaría a reconocerse el análisis insumo-producto del profesor de la Universidad de Harvard, Wassily Leontief (Premio Nobel en 1973), como una herramienta práctica fundamental para la asignación de recursos y, por tanto, necesariamente conectado con el problema del equilibrio general competitivo. Precisamente sobre estos modelos, estudiaremos en el próximo capítulo.

Ejercicios (Observación: los ejercicios señalados con uno (∗) o dos asteriscos (∗∗) tienen, a juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.) 1. Pruebe que la economía tipo Wald x1 + 2x2 = 10 k1 p1 v1 + 4v2 = p1 x1 =

4x1 + 5x2 = 30 ;

k2 p2 2v1 + 5v2 = p2 x2 =

donde k1 , k2 > 0, tiene un equilibrio con todas las variables positivas, si, y sólo si, k1 4 1 < < 2 k2 5 ¿Qué interpretación económica podría darle usted a este resultado? 2. En el ejemplo anterior, se tiene que v1 < 0 si, y sólo si, kk12 > 45 ; y que v2 < 0 si, y sólo si, kk12 < 21 . Resuelva (si es posible) el sistema en cada uno de estos casos, haciendo el respectivo vi = 0.

Ejercicios

153

3. Encuentre (si existen) condiciones sobre los recursos r1 , r2 tales que el sistema Walras-Cassel x1 + 2x2 = r1

;

4x1 + 5x2 = r2

8 p1

;

x2 =

x1 =

v1 + 4v2 = p1

10 p2

2v1 + 5v2 = p2

tenga soluciones no-negativas. 4. Resuelva (si es posible) el sistema del ejercicio 1 anterior, si las demandas se cambian a 4 3 ; x2 = x1 = p1 + p2 p2 5. En el sistema Walras-Cassel ax1 + bx2 = 10 x1 =

;

10 , p1

v1 + 4v2 = p1

4x1 + 5x2 = 30 x2 =

;

1 p2

2v1 + 5v2 = p2

¿Existen valores de a y b (cambio tecnológico en la producción del recurso 1) para que este tenga un precio mayor o igual que un precio base p > 0? 6. Muestre que el sistema transformado del ejemplo 1 de la presente semana, satisface las hipótesis del teorema 1 de Wald. 7. (∗∗) [Infinitos equilibrios (Wald, 1936)] Considere el sistema económico tipo Wald x1 + x2 = 1 p 1 = v1

;

p2 = v2

f1 (x1 , x2 ) = p1

;

f2 (x1 , x2 ) = p2

donde estas funciones están dadas por: f1 (x1 , x2 ) = f2 (x1 , x2 ) = 1 siempre que

1 4

≤ x1 , x2 < 43 .

a) Muestre que este sistema no satisface la hipótesis f ) del teorema 1, pero sí satisface todas las demás hipótesis. b) Muestre que para todo λ ∈ [ 41 , 43 ], se tiene que x1 = λ, x2 = 1−λ, p1 = p2 = 1, v1 = v2 = 1 es un equilibrio del sistema. Esto muestra que si la hipótesis f ) no se satisface, podemos tener infinitos equilibrios.

154

Semana 5. La tradición alemana del equilibrio general

8. (∗) Pruebe que la condición e) del teorema 2 es equivalente a la desigualdad ′ xh (x) ij a12 a21 (6.10) que es la más sutil restricción del modelo de Leontief básico. ¿Qué significa? Veamos esto. x ¯2

L1 conjunto de posibilidades para (¯ x1 , x ¯2 )

L2

c2 1−a22

x ¯1

c1 1−a11

Figura 6.1. Condición Hawkins-Simon.

En la figura 6.1, dibujamos las restricciones: x ¯1 = a11 x ¯1 + a12 x ¯2 + c1

(recta L1 )

x ¯2 = a21 x ¯1 + a22 x ¯2 + c2

(recta L2 )

Si una economía busca producir un par de determinadas demandas finales c1 y c2 , ¿qué condiciones sobre los aij deben tenerse para que existan las cantidades positivas x ¯1 , x ¯2 correspondientes? De la figura 6.1 se ve claramente que el requisito es que la pendiente de la recta L2 sea menor que la pendiente de la recta L1 ; es decir, 1 − a11 a21 > a12 1 − a22

que es, exactamente, la condición (6.10), es decir, la condición mínima para que el sistema de Leontief pueda funcionar como un sistema económico 4 . 3 Ver

el Apéndice matemático al final del texto. puede ver que la condición (6.10) sobre A es la que garantiza que todas las entradas de la matriz (I2 − AT )−1 sean positivas (matriz positiva). 4 Se

162

Semana 6. Los modelos “lineales”

Para nuestro caso particular que venimos estudiando, tendremos entonces que los precios, relativos al salario de la mano de obra, son: (0.08)(1 − 0.25) + (0.28)(0.13) p1 = = 0.20 w (1 − 0.25)(1 − 0.25) − (0.625)(0.13)

(6.11)

(0.28)(1 − 0.25) + (0.08)(0.625) p2 = = 0.54 w (1 − 0.25)(1 − 0.25) − (0.625)(0.13)

Ahora: utilizando el álgebra matricial5 es posible generalizar el modelo de Leontief a n industrias. Sean: ¯ = [¯ X x1 , . . . , x ¯n ]T (Vector de cantidades totales de producción) X0 = [x01 , . . . , x0n ] (Vector de horas de mano de obra para cada industria) (Matriz de proporciones fijas de producción)

A = [aij ]i,j = 1,...,n T

A0 = [a01 , . . . , a0n ]

(Vector de proporciones fijas de mano de obra)

T

(Vector de consumos finales)

T

(Vector de precios)

C = [c1 , . . . , cn ]

P = [p1 , . . . , pn ]

Entonces el sistema estará definido por las ecuaciones matriciales ¯ = (In − A)−1 C X T −1

P = w (In − A )

A0 ;

(6.12) ¯ X0 = A0 X

(6.13)

si la inversa de (In − A) existe, donde In es la matriz identidad n × n.

Ejemplo 1. [Economía cerrada (Leontief, 1951)] Consideremos el siguiente ejemplo adaptado del The Structure de Leontief que representa a cuatro industrias agregadas en la economía de Estados Unidos en 1939 (tabla 6.3). Allí, la industria 1 representa agricultura, alimentos y minerales; la industria 2 representa manufactura, transporte y actividades del Gobierno. La industria 3 es el comercio exterior: con un poco de imaginación, las exportaciones son los insumos de esta “industria” y las importaciones son sus productos. Finalmente, la industria 4 son los hogares cuyo insumo es la mano de obra y el producto es la demanda final. Por ejemplo, en la tabla 6.3 aparece que la producción total de la industria 1 fue $20.615 billones de dólares, de las cuales $5.111 fueron a la industria 2; $0.833 fueron exportadas y $14.671 fueron consumidas.

Ind. 1 Ind. 2 Ind. 3 Mano de obra

Ind. 1 −−− 14.856 1.333 5.273

Ind. 2 5.111 −−− 1.500 63.575

Ind. 3 0.833 2.431 −−− −−−

Demanda final 14.671 49.848 −−− −−−

Tabla 6.3. Matriz insumo-producto de la economía. 5 Ver

el Apéndice matemático al final del texto.

Total 20.615 67.135 2.833 68.848

6.2. El análisis insumo-producto

163

El segundo paso en esta economía es la derivación de los coeficientes de productividad (aij = xij /¯ xj ), que se asumen constantes durante un período suficientemente largo de la economía, y esto lo hacemos en la tabla 6.4. Ind. 1 Ind. 2 Ind. 3 Mano de obra

Ind. 1 −−− 14.856/20.615 ≈ 0.72064 1.333/20.615 ≈ 0.06466 5.273/20.615 ≈ 0.25578

Ind. 2 5.111/67.135 ≈ 0.07613 −−− 1.500/67.135 ≈ 0.02234 63.575/67.135 ≈ 0.94697

Ind. 3 0.833/2.833 ≈ 0.29403 2.431/2.833 ≈ 0.85810 −−−

Demanda final 14.671/68.848 ≈ 0.21309 49.848/68.848 ≈ 0.72403 0

0

−−−

Tabla 6.4. Coeficientes de productividad.

Y esto nos lleva a resolver el sistema siguiente: 0.07613¯ x2 + 0.29403¯ x3 + 0.21309¯ x4 = x ¯1 0.72064¯ x1 + 0.85810¯ x3 + 0.72403¯ x4 = x ¯2

(6.14)

0.06466¯ x1 + 0.02234¯ x2 = x ¯3 0.25578¯ x1 + 0.94697¯ x2 = x ¯4 que arrojaría infinitas soluciones si no colocáramos la producción de una de las industrias como numerario. Escogiendo como tal a la industria 1, la solución de producción total necesaria (medida en billones de dólares) para la economía, es: (¯ x1 , x ¯2 , x ¯3 , x ¯4 ) = (1, 3.2566, 0.13742, 3.3397) lo que indica que, en equilibrio (oferta igual a demanda), por cada billón de dólares invertido en la producción de la industria 1 (agricultura, alimentos y minerales), la economía requerirá invertir $3.2566 billones en la producción de la industria 2 (manufactura, transporte y actividades del Gobierno), $0.13742 billones en importaciones (Industria 3), y $3.3397 billones de demanda de los hogares. Ejemplo 2. [Una economía abierta (Leontief, 1941)] La dificultad encontrada con el problema de las infinitas soluciones del problema anterior se resuelve cuando asumimos que una de las variables es independiente mientras las otras son dependientes. La ventaja de esta hipótesis es que permite la posibilidad de cambiar la distribución de la producción de la industria independiente y, así, se encontrarían los efectos sobre la producción de las industrias si varían los insumos de una industria dada. Consideremos, a manera de ilustración, el mismo ejemplo anterior de cuatro industrias, sólo que ahora

164

Semana 6. Los modelos “lineales”

colocamos la columna de hogares como variable independiente, lo que nos lleva a resolver un sistema de la forma ¯1 x ¯1 − 0.07613¯ x2 − 0.29403¯ x3 = X ¯2 −0.72064¯ x1 + x ¯2 − 0.85810¯ x3 = X

(6.15)

¯3 −0.06466¯ x1 − 0.02234¯ x2 + x ¯3 = X ¯1, X ¯2, X ¯ 3 (así, en mayúsculas) son los consumos de hogares correspondonde X dientes a cada una de las industrias 1, 2, y 3. Así, si se estimara que, durante ¯ 1 = 5 billones de dólares en bienes cierto período, los hogares iban a consumir X ¯ ¯ 3 = 1 bide la industria 1, X2 = 70 billones en bienes de la industria 2 y X llón en bienes importados (industria 3), ¿cuál sería la producción total de cada una de las industrias para que la economía produzca las cantidades necesarias así avaluadas? Resolviendo el sistema (6.15) entonces obtendríamos una sola solución: x ¯1 = 12.308 billones;

x ¯2 = 81.981 billones;

x ¯3 = 3.627 billones

(6.16)

Y, con esto, y utilizando la fórmula aij = xij /¯ xj , podemos calcular, por ejemplo, la cantidad de billones de dólares en salarios que cada una de las tres industrias requerirán durante el período en cuestión. En la industria 1 se requerirán (recurriendo a los coeficientes de la última fila de la tabla 6.4): x14 = a14 x¯1 = (0.25578)(12.308) = 3.1481 billones En la industria 2 se requerirán: x24 = a24 x¯2 = (0.94697)(81.981) = 77.6335 billones Y en la industria 3 se requerirán: x34 = a34 x¯2 = (0)(3.627) = 0 billones

N

Como era de esperarse, después de la publicación del The Structure de Leontief en 1941, comenzaría una avalancha de investigación matemática sobre las matrices no-negativas que, en 1949, condujeron al siguiente importante resultado de Hawkins y Simon: Teorema 1. [Condiciones Hawkins-Simon (1949)] Si las entradas de la matriz   1 − a11 −a12 ··· −a1n  −a21 1 − a22 · · · −a2n     .. .. ..   . . ··· .  −an1 −an2 · · · 1 − ann

6.2. El análisis insumo-producto satisfacen 1 − a11 > 0, 1 − a11 −a21 −a31

−a12 1 − a22 −a32

−a13 −a23 > 0, 1 − a33

165 1 − a11 −a21 ··· ,

−a12 >0 1 − a22

1 − a11 −a21 .. . −an1

−a12 1 − a22 .. . −an2

··· ··· ··· ···

>0 1 − ann −a1n −a2n .. .

entonces ambos sistemas, (6.12) y (6.13), del modelo Leontief tienen una única solución no-negativa. Demostración. Ver Nikaido (1968).



Así se tenían condiciones suficientes para que la matriz (In − A)−1 existiera, para que todos sus elementos fueran no-negativos, y, de manera indirecta, para que esta matriz inversa pudiera “aproximarse adecuadamente” mediante la serie de matrices In +A+A2 +... cuando se tiene la igualdad (Gale, 1960; Morishima, 1964; Nikaido, 1968): (In − A)−1 = In + A + A2 + A3 + ....

(6.17)

Y es esta ecuación la que nos lleva a conceptos fundamentales del análisis insumo-producto como, por ejemplo, a la distinción entre insumos directos e indirectos. En efecto: para alcanzar la demanda final x ¯f , debe, obviamente, ser producida, y para hacerlo habrá que producir una cantidad extra A¯ xf buscando conseguir los insumos directos requeridos. Son las siguientes rondas de requerimientos de insumos a las que esta literatura llama insumos indirectos. Así llegamos a que la cantidad total que necesita ser producida para satisfacer la demanda final x ¯f es x ¯f + A¯ xf + A2 x ¯f + ... = (In + A + A2 + ...)¯ xf

(6.18)

A los elementos de la matriz insumo-producto A se les llama coeficientes directos, y a los de la matriz (In − A)−1 se les llama coeficientes totales.

Para aclarar un poco más la diferencia entre coeficientes directos e indirectos, consideremos el siguiente ejemplo. Supongamos que el Gobierno, preocupado por el desempleo, está considerando dos programas alternativos de gasto público. El primer programa consiste en comprar una unidad del bien 4, y el segundo programa, una unidad del bien 32. El bien 4 puede ser más intensivo en mano de obra que el bien 32, en el sentido de que el primero requiere más mano de obra por unidad de producto que el segundo. Sin embargo, los insumos intermedios que se necesitan para producir el bien 32 pudieran ser más intensivos en mano de obra que los requeridos para producir el bien 4, y al fin de cuentas (después de considerar los requisitos directos e indirectos), puede suceder que el

166

Semana 6. Los modelos “lineales”

requerimiento total de la mano de obra para una unidad de demanda del bien 32 es mayor que para una unidad de demanda del bien 4. En este caso, tendría más sentido aceptar el segundo programa. Y argumentos similares se pueden utilizar en el caso, por ejemplo, de que el Gobierno decida reducir la polución: un sector puede parecer más limpio en el sentido de que no poluciona directamente, pero puede ser polucionador, si se aplica el concepto total del análisis insumo-producto. De otro lado, en la edición de 1951 de The Structure, Leontief también incorporó la inversión de manera endógena y, por lo tanto, tuvo que recurrir a lo que hoy se conoce como sistema insumo-producto dinámico. Allí distinguía entre dos tipos de inversiones: inversión en capital fijo e inversión en capital de trabajo (o inventarios). Para ello, en el primer caso, se asumía que, en cualquier tiempo t, una unidad de expansión de la capacidad productiva en un sector, requiere cantidades de todas las mercancías, y que la totalidad de estas cantidades están disponibles al mismo tiempo. También asumía que hay utilización total de la capacidad productiva. En términos formales, asume que el uso de inversión del bien i para la expansión del sector j está dado por bij [ xj (t + 1) − xj (t) ] donde los bij son parámetros P fijos no-negativos. Así, el total de usos de inversión del n bien i estará dado por j=1 bij [xj (t + 1) − xj (t)] que, en notación matricial, se escribe como X(t) = AX(t) + B[X(t + 1) − X(t)] + Y (t)

(6.19)

donde Y (t) es la inversión de uso neta, y B es la matriz n × n de coeficientes de capital. Pero, desafortunadamente, este sistema dinámico insumo-producto no ha sido tan exitoso como el correspondiente sistema estático en términos de su aplicabilidad. Y esto es, fundamentalmente, porque no es posible garantizar (aún bajo hipótesis “creíbles”), la no-negatividad de la trayectoria de niveles de producción, ni su estabilidad (ver, por ejemplo, Dorfman et al., 1958) [6] . A pesar de lo anterior, existe una versión modificada del modelo dinámico de Leontief, que ha encontrado aplicación práctica sustancial en la literatura de la planificación de desarrollo. En esta, una parte de las inversiones totales dentro de un período [0, T ] es asignada a la fecha terminal T , lográndose esto mediante un parámetro llamado el “factor de conversión flujo-inventario”. Más específicamente, las relaciones insumo-producto para el período terminal, se escriben en forma matricial como X(t + 1) = AX(t) + ρB[(X(t) − X(0)] + Y (t)

(6.20)

donde ρ es el parámetro mencionado. Desafortunadamente, esta aproximación tampoco es del todo consistente internamente ya que no existe criterio formal alguno que guíe la elección de ρ (ver Ten Raa, 2006). 6 El mismo Leontief (1961) y otros intentaron infructuosamente evitar estos problemas considerando una estructura temporal de inversión más compleja.

6.2. El análisis insumo-producto

167

Nota 1. [Sobre la relación entre el análisis insumo-producto y el Tableau Économique de Quesnay -Phillips (1955)-] El Tableau Économique de François Quesnay (1758) puede expresarse de una manera simple como un modelo insumo-producto. Según su propia experiencia como granjero del siglo XVIII, Quesnay construyó una tabla empírica en la que había tres sectores: granjeros, propietarios de la tierra, y artesanos. Los granjeros utilizaban dos unidades de su propio producto, dos unidades de servicio de renta comprada a los propietarios de la tierra, y una unidad de los bienes de los artesanos para producir cinco unidades de producto. Por su parte, los propietarios de la tierra utilizaban su ingreso para comprar una unidad de alimento y una unidad de los bienes de los artesanos. Y, finalmente, los artesanos compraban dos unidades de alimento y materias primas para transformarlas en dos unidades de producto. El resultado se puede escribir como en la tabla 6.5, donde las columnas (“sector de compras”) son los insumos (incluyendo las compras de alimentos y bienes artesanales por parte de los propietarios de la tierra), y las filas (“sector productivo”) son los productos. Es decir, esta es la matriz insumo-producto de un sistema de Leontief, donde todos los productos se convierten en insumos y, por lo tanto, no hay consumo final.

Granjeros Artesanos Propietarios

Granjeros 2/5 1/5 2/5

Artesanos 2/2 0 0

Propietarios 1/2 0 1/2

Tabla 6.5. Matriz A para el Tableau Économique I.

Pero existe un problema con la tabla anterior: no existe la matriz inversa dada por (I3 − A)−1 . Y la razón de esto es que la interpretación es inadecuada, pues lo correcto es tratar las compras de los propietarios de la tierra como demanda final y no como insumos. Después de todo, los servicios de la tierra no desaparecen aunque sus dueños sí. La nueva matriz A∗ que aparece en la tabla 6.6 se construyó, entonces, reemplazando los coeficientes 1/2 en la columna de los propietarios por ceros, ya que las compras de estos (alimentos y manufacturas), no pueden ser consideradas como insumos. Y ahora la matriz (I3 − A∗ )−1 sí existe:

Granjeros Artesanos Propietarios

Granjeros 2/5 1/5 2/5

Artesanos 1 0 0

Propietarios 0 0 0

Tabla 6.6. Matriz A∗ para el Tableau Économique II.

168

Semana 6. Los modelos “lineales”

∗ −1

(I3 − A )



   =  

5 2 1 2 1

5 2 3 2 1

 0     0   1

Y de la ecuación X = C(I3 − A∗ )−1 se obtiene, tomando X = (1, 1, 1), que los valores agregados (por unidad de producto) en cada uno de los tres sectores, están dados por el vector C = (0, 0, 1), lo que muestra que la tierra es el único origen de valor agregado (o producto neto, como lo llamaban los fisiócratas)7 . Nota 2. (El análisis insumo-producto y la teoría marxista del valor) De acuerdo con los trabajos de Morishima (1973) y Roemer (1981), la teoría marxista del valor y de la reproducción, podrían analizarse matemáticamente utilizando las herramientas del análisis insumo-producto. Suponiendo que aij es la entrada (i, j) de la inversa de Leontief (In − A)−1 ; entonces, si (l1 , l2 , . . . , ln ) son los coeficientes de mano de obra por unidad de producto,Pse tendrá que n la mano de obra total contenida en una unidad del bien j es i=1 li aij , y la similitud entre esto y la teoría marxista del valor-trabajo (Marx, 1867) es aparentemente clara. Y esto sería así ya que el modelo abierto de Leontief contiene, de manera implícita, una teoría del valor-trabajo, por cuanto un conjunto de precios que es proporcional a los coeficientes de necesidades totales de trabajo constituye un conjunto de precios de equilibrio para todas las demandas finales, y esto coincidiría, según algunos, con la definición que Marx proporcionó en el volumen I del Das Kapital (1867, p. 6): (...) ahora vemos que lo que determina el valor de cualquier artículo es la cantidad de trabajo socialmente necesaria, ó el tiempo de trabajo socialmente necesario para producirlo.

Lo anterior ha llevado, entonces, a especular sobre la influencia que pudo haber tenido Marx en Leontief (Bailey, 1994), pues si se hace la conexión Marx → Wilhelm Lexis → L. von Bortkiewicz → Leontief

y se asume que la transitividad también se da en el terreno intelectual, quizás Leontief sí haya sido influenciado, así sea inconscientemente, por Marx. Sin embargo, de esto no hay rastro específico en sus escritos; en su lugar, y como ya lo hemos señalado, Leontief reconoce su deuda intelectual más con la fisiocracia francesa y, particularmente, con Quesnay (que también tuvo una influencia explícita sobre Marx), y de allí, de ese origen común y no de otra forma, podría provenir quizás, la similitud en sus análisis.

7 Para

más sobre esto, ver Phillips (1955) y Maital (1972).

6.3. Tjalling Koopmans

6.3.

169

Tjalling Koopmans

Tjalling C. Koopmans nació en Graveland (Holanda) en 1910. A los diecisiete años, declinando la insinuación de sus padres para que fuera pastor protestante, estudió matemáticas en la Universidad de Utrech, e incursionó en la psicología y en la psiquiatría. Luego, en 1930, buscando estudiar algo “más cercano al mundo real” en donde pudiera aplicar las matemáticas aprendidas, decidió comprometerse con la física teórica. Pero la Gran Depresión de 1929-1934 sorprendió e impresionó a Koopmans. Viendo un orden mundial “desconfiable, inestable e (...) inequitativo”, trató de entenderlo como una “gran crisis del capitalismo” desde la perspectiva marxista y, por ello, el Das Kapital (vol. 1) de Marx, sería el primer libro de economía que estudiaría. Él mismo reconoce que de estos estudios surgiría posteriormente la idea de que era posible el análisis aislado de partes de la teoría económica, sin recurrir a la forma institucional socio-económica reinante. No obstante, el punto decisivo en la historia de Koopmans como economista no provino de la influencia de Marx, sino cuando conoció al principal economista matemático de Holanda de aquella época: Jan Tinbergen, quien en 1969 recibiría el Premio Nobel de Economía junto con Ragnar Frisch. Tinbergen tuvo una profunda influencia sobre el joven Koopmans: fue él quien le sugirió leer a Cassel y a Wicksell, y también lo familiarizaría con el campo de la estadística y su aplicación a los fenómenos económicos, en particular la teoría de los ciclos económicos en los cuales estaba trabajando Tinbergen a partir de los años de la Gran Depresión. Requiriéndose un modelo que mostrara por qué en esta crisis no podían emplearse todos los recursos económicos disponibles, Tinbergen planteó una formulación alternativa (Tinbergen, 1931), que conduciría al final al modelo keynesiano. En 1936 obtuvo su doctorado con el trabajo “Linear Regression Analysis of Economic Time Series” supervisado por Tinbergen y Kramers, y en ese mismo año reemplazó a su maestro en la Escuela de Economía de Rotterdam, pues él había sido llamado por la Liga de Naciones en Génova con el propósito de construir modelos de ciclos económicos más reales; en particular, allí, construyó uno de estos modelos para los Estados Unidos. También Koopmans trabajaría en 1938, en Génova, para la Liga de Naciones en la construcción de otro modelo de ciclos económicos, pero ahora para el Reino Unido, hasta que comenzó la Segunda Guerra Mundial; los Nazis invadieron Polonia y Noruega, y Koopmans decidió emigrar a Estados Unidos en 1940. Allí trabajó al comienzo como profesor asistente y, después, en 1942, como estadístico para la British Merchant Shipping Mission en Washington recolectando información y desarrollando modelos de minimización de costos en la utilización de barcos de carga controlados por Gran Bretaña y Estados Unidos. Fue allí que Koopmans se dio cuenta de que estos problemas encajaban bien en un modelo de “análisis de actividades” en el que cada una representaba la selección de una particular ruta de envío.

170

Semana 6. Los modelos “lineales”

En un memorandum sobre este problema del transporte, Koopmans sugería un método de solución basado en una profunda relación económica que llegaría a ser de la mayor importancia posteriormente; se dio cuenta que habían precios (uno en cada ubicación), asociado con cada plan óptimo de envío, haciendo que cada ruta en uso tuviera un beneficio de cero, en el sentido de que el precio de la mercancía en su destino igualaba al precio de la misma en su origen, más el costo de transporte por unidad a lo largo de la ruta. No hay duda de que esto sería de gran importancia en el posterior desarrollo de la programación lineal y en la construcción del modelo de análisis de actividades de producción. A mediados de 1944, Jacob Marschak lo invitaría a formar parte de la Comisión Cowles, en ese entonces ya afilidada a la Universidad de Chicago. A los 34 años, y en ese motivante ambiente, comenzaría su trabajo más importante en economía. En un principio se dedicaría a la construcción de modelos econométricos de ciclos económicos como los que, siguiendo indirectamente a Tinbergen y bajo la influencia directa de Haavelmo y Frisch, había construído en Génova. Después, inspirado en la experiencia adquirida en la British Merchant, también desarrollaría un modelo pionero de transporte (Koopmans & Reiter, 1951), que sería el origen del método analítico de asignación eficiente de recursos por el que mejor se le reconoce: el análisis de actividades. Fue en 1947, en una “breve pero importante conversación” con George Dantzig (pionero de la programación lineal y el método simplex), que Koopmans entendió que el modelo de transporte podría verse como un problema de asignación que era tratable con los métodos de la programación lineal y de la asignación competitiva. La estructura conceptual general era ahora clara para él: estudiar comparativamente ciertos objetivos teniendo determinados medios escasos al alcance. Así comenzaría una investigación que se desarrollaría, por etapas, tanto en Chicago como en New Haven (Connecticut), aquí ya como miembro-director de la ahora Fundación Cowles en la Universidad de Yale, que fue a donde se trasladó en 1955, y cambió de nombre la Comisión después de algunas dificultades encontradas en Chicago. Seguramente por sugerencia de Koopmans, en 1949 la Comisión Cowles reunió en Chicago a cincuenta de los más importantes científicos alrededor del problema de “la mejor asignación de recursos limitados en procura de fines deseados”, es decir, “asignación eficiente de recursos”. Entre ellos se contaban, Alchian, Arrow, Dantzig, Dorfman, Georgescu-Roegen, Kühn, Leontief, Morgenstern, Reiter, Samuelson, Simon y Tucker. De allí, en 1951, surgirían las famosas memorias editadas por el mismo Koopmans: Activity Analysis of Production and Allocation, en donde Koopmans reproduce su artículo sobre el modelo de transporte (capítulo XIV) en colaboración con Reiter, otro artículo sobre el problema de sustitución en el modelo insumo-producto de Leontief (capítulo VIII), y un largo artículo titulado Analysis of Production as an Efficient Combination of Activities (capítulo III) que se convertiría en la piedra angular del análisis de actividades. En este, influido por los modelos de equilibrio de Walras, Cassel, Wald y von Neumann, por el modelo insumo-producto de Leontief y por el problema de

6.3. Tjalling Koopmans

171

programación lineal de Dantzig, se describen las tecnologías mediante ciertos postulados (quizás los más sencillos posibles hasta tal momento), que permiten estudiar, con cierta generalidad y claridad, el papel de los precios en la utilización eficiente de los recursos, además de que lograba liberar el análisis competitivo de la herramienta paretiana del cálculo diferencial, adentrándolo en la lógica, en el análisis de conjuntos convexos y en la topología. En este artículo Koopmans también se interesó por el problema del bienestar económico, particularmente en la teoría de la producción. Observó que detrás de la “función objetivo” de los problemas de programación lineal de Dantzig podría percibirse la noción paretiana de bienestar (Pareto, 1909), la “función de bienestar social” de Bergson (1938) y también la “función de valor social” de Lange (1942). Entonces también creyó que con esta herramienta del análisis de actividades (y recurriendo a los precios como vectores de coordinación de la información entre centros de decisión de la economía), podrían hacerse cálculos económicos, tanto para un Estado socialista, como para uno capitalista e, inclusive, para uno mixto, una idea que ya venía de la escuela austríaca –en especial, von Mises (1935), Lange (1938) y Lerner (1944)–: La idea subyacente de los modelos de asignación construidos por ellos es la comparación de los beneficios a partir de usos alternativos de cada bien donde, si no se está dentro de mercados competitivos, pueda diseñarse un proceso administrativo que decida la asignación de ese bien.

Koopmans, 1951, p. 3. Como decíamos antes, Koopmans reconoce que en su análisis de actividades está presente la influencia de Leontief (1936; 1941; 1944) y su análisis insumoproducto de relaciones interindustriales. En particular, sus posibilidades de estimación empírica fueron adaptadas por Koopmans para responder a problemas cuantitativos planteados en términos de variables observables de tipo “más o menos agregativo”. En el análisis de actividades, las operaciones de una industria conformaban la “actividad”. Y, finalmente, la otra influencia importante que mencionábamos en el análisis de actividades fue la de George Dantzig y su técnica de asignación eficiente mediante la herramienta de la programación lineal y su método simplex de solución. Dantzig, en unión de un grupo de investigadores de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos, desarrolló técnicas lineales para el diseño de estrategias óptimas durante la Segunda Guerra Mundial (1938-1945), lo que devino en el estudio de actividades interdependientes dentro de organizaciones grandes. El método de Dantzig y sus colaboradores junto con los nuevos computadores electrónicos, iban a transformar el análisis de actividades en una herramienta para la solución de problemas económicos concretos. Precisamente en este sentido, algunos de los primeros trabajos publicados sobre programación lineal aparecen en Koopmans (1951). En 1957, tres años después de la publicación del Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy de Arrow y Debreu en donde ellos, además de incluir el comportamiento de los consumidores, generalizan en alguna medida el

172

Semana 6. Los modelos “lineales”

análisis de actividades, Koopmans publica el lúcido Three Essays on the State of Economic Science en donde, de una manera menos técnica, hace una pedagógica presentación del análisis de actividades, además de discutir el problema de la descentralización en la toma de decisiones y su relación con la eficiencia de Pareto, y un análisis de los problemas metodológicos en el qué-hacer de la teoría económica. Ya en los años sesenta en la Fundación Cowles, Koopmans centró mucha de su atención en un viejo problema desde los tiempos con Tinbergen en Holanda: la teoría del crecimiento económico, pero ahora bajo la óptica de la eficiencia y optimalidad en modelos dinámicos de producción. Entre otros, en 1963 publicó su influyente On the Concept of Optimal Economic Growth en el que, a la manera que hoy lo hacemos, y recurriendo al cálculo de variaciones, maximiza una suma de utilidades descontadas sujetas a una mano de obra creciendo de manera exógena, y a una producción (dividida entre consumo e inversión) determinada por una función dependiente de las variables capital y mano de obra8 . No hay duda (y ya lo habíamos afirmado en la semana 5), de que el impulso de Koopmans y la Fundación Cowles, fueron motores principales en el desarrollo de los estudios modernos en equilibrio general dinámico (con producción y consumo), en particular los modelos de crecimiento, y su íntima relación con el problema de la asignación eficiente y la descentralización a través de precios. Convencido de la importancia empírica del modelo de análisis de actividades y de los modelos dinámicos de crecimiento en la discusión sobre la planificación económica socialista de la Europa del Este, entre 1965 y 1970 haría extensos viajes a la Unión Soviética en donde, de manera importante, conocería al matemático soviético Leonid Kantorovich que, independiente de Koopmans y Dantzig, ya venía también estudiando, desde 1939, problemas de asignación y el papel de los precios al tratar de tomar la decisión óptima y, en particular, el problema de la programación lineal a partir de los trabajos de Karush (1939). Incluso había ya desarrollado un test de optimalidad y un algoritmo de solución muy similar (aunque más complicado), al método simplex de Dantzig. Todo esto apareció posteriormente en inglés (Kantorovich, 1960) bajo el título de Mathematical Methods in the Organization and Planning of Production. En 1975, ante el anuncio de ser el ganador del Premio Nobel junto a Kantorovich, Koopmans lamentó que no le fuera también otorgado a Dantzig y, en compensación, dedicó una tercera parte del premio a una beca en su honor en el IIASA (International Institute for Applied Systems Analysis) en Laxenburg (Austria), en donde, poco antes, Koopmans había estado durante un año interesándose en la aplicación de técnicas de optimización dinámica en el campo de la oferta de energía, y avanzando en algunos proyectos que Dantzig ya venía desarrollando allí. Koopmans continuó trabajando siempre alrededor del problema de modelar (estática y dinámicamente) el problema general de la asignación eficiente y de su implementación, hasta su muerte, en 1985, a la edad de 74 años. 8 Esto, en particular, conformaría una base para el estudio del problema del capital bajo equilibrio competitivo.

6.4. El análisis de actividades: eficiencia en la producción

6.4.

173

El análisis de actividades: eficiencia en la producción

La novedad de los modelos de análisis de actividades consistió en el empleo de un modelo lineal y en el intento por desarrollar una “teoría pre-institucional” de la asignación de recursos. En las obras de Lange y Lerner se había sugerido que, en teoría, tanto la competencia perfecta como la planificación socialista implicaban una asignación eficiente de recursos (aunque en la realidad esto no fuera cierto). Y la idea era que después de mirar el problema pre-institucional, podría entonces procederse al diseño de instituciones que se aproximaran al modelo. En el análisis de la producción, el primer requisito que Koopmans quiso satisfacer fue el de que nada debía presuponerse con respecto al ambiente institucional en el que se llevaba a cabo la producción, y que cualquier propósito de optimización debería separarse cuidadosamente del análisis mismo de la producción. Este propósito de Koopmans se apartaba de la teoría paretiana expresada en términos de funciones de producción que, obviamente, suponen que ya existe eficiencia en la organización productiva. Koopmans entonces reemplaza la función de producción con una descripción sistemática del proceso productivo en términos de la operación conjunta de una colección de actividades separadas, cada una caracterizada por relaciones fijas entre insumos y productos9 . Veamos, entonces, el modelo.

6.4.1.

Sobre los bienes

En el análisis de actividades, se asume que cada bien (o mercancía) es cualitativamente homogénea (es decir, con características cualitativas bien definidas) y continuamente divisible, desde el punto de vista cuantitativo (es decir, se puede dividir tanto como queramos). Además, asume que el mismo bien en dos diferentes lugares representan dos bienes diferentes. De estos, existe un número finito N , clasificados (sin yuxtaposición) entre l bienes finales (o de consumo), p bienes (factores de producción) primarios (por ejemplo, la mano de obra de distintas clases y el uso de la tierra), y N − l − p bienes intermedios (por ejemplo, carbón, hierro, acero, etc.). Cada bien puede existir en cualquier cantidad no-negativa en la que pueda producirse u obtenerse de la naturaleza. La conjunción o separación de cantidades de un mismo bien puede representarse mediante la suma o la diferencia de los números que miden dichas cantidades. Aquí, los bienes finales representan bienes y servicios cuyo consumo o disponibilidad constituye el fin reconocido de la producción; los bienes primarios son los que se extraen directamente de la naturaleza; y los bienes intermedios son aquellos que simplemente pasan de un estado de producción a otro sin ser deseados por sí mismos, ni encontrarse disponibles en la naturaleza. El término 9 Aunque, cabe advertirlo, esta no era una idea totalmente original: el análisis insumoproducto de Leontief (1936), el modelo de crecimiento de von Neumann (1937), los trabajos de Kantorovich (1939) y el modelo Walras-Cassel (1918), lo anticiparon en mucho sobre este punto.

174

Semana 6. Los modelos “lineales”

“naturaleza” designa la fuente de bienes que permanece por fuera del sistema productivo que se estudia.

6.4.2.

Sobre las posibilidades técnicas de producción

Las actividades básicas de producción son los métodos básicos de producción de la economía, y representan todo el conocimiento técnico disponible al comenzar el período de estudio. Koopmans asume que, desde el principio hasta el final del período de estudio, existe un número finito K de actividades de producción donde cada una de estas se describe formalmente mediante un N -vector conformado por los insumos (en tasas fijas) con que se pueden fabricar determinados productos (en tasas fijas). La k-ésima actividad para k = 1, 2, . . . , K fijo, estará entonces definida por un vector de la forma (ank )n=1,...,N en donde un coeficiente ank negativo indica la cantidad del insumo n que la actividad k requiere para producir los correspondientes bienes de esa actividad; por su parte, si ank es positivo es porque la actividad k produce esa cantidad del bien n; y, finalmente, si ank = 0 es porque la mercancía n no entra en la actividad k. 6.4.2.1.

Hipótesis de aditividad de las actividades básicas

Se asume que dadas dos actividades básicas cualesquiera, su suma es también una actividad (no necesariamente básica). Es decir, si a = (ank )n=1,...,N y b = (bnk )n=1,...,N son actividades básicas de producción de la economía, entonces su suma, a + b = (ank + bnk )n=1,...,N , también es una actividad productiva de la economía (ver figura 6.2). producto a+b a

b trabajo Figura 6.2. Aditividad de las actividades a y b.

Obsérvese que esto, a su vez, implica que no hay interacción entre procesos productivos: los modos de producción no se afectan unos a otros. En general, aquellos casos en los que existen interacciones (físicas, tecnológicas, etc.) no pueden abarcarse adecuadamente por este modelo. Sin embargo, Koopmans (1957, p. 83) afirma que: en aquellas situaciones en que exista interacción física, la aplicabilidad del presente modelo puede recuperarse en ocasiones reuniendo las actividades interrelacionadas en una única actividad, que tenga como producción neta para cada bien, la suma de las producciones netas de ese bien en cada una de las actividades que la constituyen, una vez tenida en cuenta su interacción.

6.4. El análisis de actividades: eficiencia en la producción 6.4.2.2.

175

Hipótesis de divisibilidad de actividades básicas

Se asume que toda actividad económica básica es susceptible de expansión o reducción proporcional continua. Es decir, si a = (ank )n=1,...,N es una actividad básica de la economía, entonces, para todo factor de proporcionalidad no-negativo c (es decir, número real no-negativo), también ca = (cank )n=1,...,N es una actividad productiva de la economía. Esto implica, en particular, que la inactividad, es decir, (ank ) = (0, 0, 0, . . . , 0) también es una actividad de la economía (figura 6.3). producto

3a

b

2a b

a

b

trabajo Figura 6.3. Proporcionalidad de la actividad a.

En términos geométricos, esto implica que la semirrecta que parte del origen y pasa por la actividad básica a = (ank )n=1,2,...N , está conformada también por actividades. En particular, este postulado asegura que cada actividad básica está regida por los rendimientos constantes a (de) escala. Ahora: bajo las hipótesis de aditividad y divisibilidad de las actividades básicas, queda claro entonces que toda actividad de la economía podrá escribirse como una combinación lineal de las n actividades básicas. Es decir, toda actividad de la economía (que en adelante llamaremos “actividad derivada”), podrá escribirse como y = Ax para algún K-vector de “intensidades” positivas x, donde la tabla 6.7 señala la matriz de actividades básicas a la que Koopmans llama matriz de tecnología o, simplemente, la tecnología de la economía. En A las actividades están descritas por las columnas. 

  A= 

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

aN 1

aN 2

··· ··· ··· ···

 a1K a2K   ..  . 

aN K

Tabla 6.7. Matriz de tecnología.

Nota 3. Es conveniente resaltar en este punto que para muchos economistas el término “linealidad” se asocia con limitación, restricción e inflexibilidad en las hipótesis. Sin embargo, Koopmans hace la observación de que su “modelo lineal” se relaciona con las hipótesis de proporcionalidad de los insumos y de los productos en cada una de las actividades elementales productivas, y con la hipótesis de que el

176

Semana 6. Los modelos “lineales”

resultado de llevar a cabo dos o más actividades es la suma de los resultados de cada una de estas actividades. Es decir, Koopmans estudia en su modelo tecnologías con rendimientos constantes a (de) escala (grado uno de homogeneidad), mas no linealidad en las funciones de producción. Así, los conos, los poliedros o conjuntos convexos similares son bien asimilados por la teoría de Koopmans10 (figura 6.4). y2

y2

y3

y1

y1

Figura 6.4. Actividades derivadas de producción: un cono y un poliedro.

Ejemplo 3. (Caso con tres actividades) Consideremos una economía en la que la matriz tecnológica está dada por   1 1 1 A =  −4 −3 −2 1 −4 7

Aquí se tienen tres actividades básicas (tres columnas) de tres mercancías (ver figura 6.5): un bien final (correspondientes coeficientes de la primera fila), un bien primario (correspondientes coeficientes de la segunda fila), y un bien intermedio (correspondientes coeficientes de la tercera fila). Por ejemplo, la primera actividad básica es un proceso que requiere cuatro unidades del bien primario para producir una unidad del bien final y una unidad del bien intermedio. El conjunto de todas las actividades de esta economía es, entonces, el poliedro conformado por los vectores de la forma y = Ax donde x es un vector no-negativo de dimensión 3 que está conformado por las “intensidades” con que se produce en cada una de las actividades. Por ejemplo, el vector y = (4, −12, 0) es alcanzable por la economía pues y = Ax donde x = (1, 2, 1). Cabe también observar aquí que, en la práctica, la matriz A tiene numerosas filas y columnas (tal vez, miles) con muchas posibilidades de sustitución, y en donde difícilmente aparecerá un producto aislado como el único resultado de un único proceso de producción: el análisis de actividades está diseñado para estudiar procesos que tienen múltiples productos finales, y también los casos en 10 Pero también funciones de producción curvilíneas con tal tipo de homogeneidad (sólo basta entender que las funciones de producción poliedrales del modelo permiten cualquier grado de aproximación).

6.4. El análisis de actividades: eficiencia en la producción

177

que un mismo producto es fabricado por diferentes actividades. Como en el caso de la matriz insumo-producto de Leontief. y3 (1, −2, 7)

(1, −4, 1)

b

b

y2 y1

b

(1, −3, −4)

Figura 6.5. Poliedro conformado por las tres actividades básicas.

6.4.2.3.

Limitaciones cuantitativas sobre los bienes primarios

Koopmans asume que ciertos bienes, que hemos llamado “primarios”, pueden “hacerse llegar” a la economía a partir de la Naturaleza, aunque a una tasa limitada constante, que depende del bien. Es decir, aunque también es cierto que podría aparecer como producto de alguna actividad económica (por ejemplo, la extracción de minerales de las minas, la producción de agua potable, etc.). Así, asume que cada bien primario puede extraerse de la naturaleza en cualquier cantidad no-negativa que no exceda una cota superior dada. Pero también asume que ninguna actividad básica es posible si todos sus factores primarios son nulos. Por ello, los conjuntos de producción tienen formas de conos o poliedros como los de la figura 6.4.

6.4.3.

El teorema de Koopmans

Koopmans buscaba cubrir una amplia variedad de casos, y por ello trató de asumir lo menos posible con respecto a la economía del análisis de actividades. Por ello aseguraba que sólo postularía la existencia de un conjunto específico de mercancías (las llamó mercancías deseadas) que la economía “requería”, caracterizando esto en términos de eficiencia: la cantidad neta total requerida por la economía de una mercancía deseada debe ser tal que cualquier aumento a esta producción, implique el decrecimiento de la producción neta total de otra mercancía. Así, el objetivo de la economía sería estudiar las producciones netas totales de los bienes deseados que resulten de modos eficientes de producción. Por ello demuestra el teorema básico de asignación eficiente, el cual asegura que una condición necesaria y suficiente para que una actividad y ∗ sea eficiente en la economía es que exista un vector de precios p = (pi )i=1,2,...,N (un precio para cada bien) tal que:

178

Semana 6. Los modelos “lineales”

i) pi > 0 cuando i es un bien final; pi ≥ 0 cuando i es un bien primario; pi = 0 cuando i es un bien primario que no se ha utilizado hasta el límite de existencias. ii) p · y ∗ = 0 (condición de beneficio cero) (ver figura 6.6). Y la interpretación es inmediata. En una asignación eficiente, existe un sistema de precios competitivos p que lo “sustenta” con la característica de que sus entradas son positivas para todos los bienes finales y para todos los bienes primarios que resulten ser escasos, aunque resultan ser cero para todas las mercancías primarias disponibles en cantidades muy superiores a las necesitadas, lo que las hace mercancías gratuitas. Y, de manera recíproca, si un sistema de precios competitivos satisface estas condiciones, entonces está asignando eficientemente. y2

p

y1 A

Actividades eficientes (en línea punteada)

Figura 6.6. Actividades eficientes.

Debemos también notar que el vector de precios p en el teorema es el que se esperaría que ocurriera bajo equilibrio competitivo (en particular ii) arriba), y sería Koopmans el primero en colocar condiciones explícitas para que un sistema de precios “sostuviera” una situación eficiente, una vez ésta fuera alcanzada 11 : descripción de la tecnología de la economía, de los recursos, y señalar a priori cuáles son las mercancías deseadas por la economía.

6.5.

Los Tres Ensayos... de Koopmans

Seis años después del artículo clásico de 1951 sobre el análisis de actividades para una economía de producción, y seguramente bajo la influencia del también clásico artículo de Arrow y Debreu (1954) -y, quizás, también del artículo de McKenzie (1954)- sobre condiciones para la existencia de equilibrio general competitivo (con consumidores y productores), Koopmans publicaría, a la manera axiomática bourbakista (Bourbaki, 1948)12 , una formulación más amplia 11 Koopmans

nada afirma acerca del proceso para alcanzar tal situación eficiente. Bourbaki es el seudónimo de un colectivo de matemáticos fundado en 1935 en la Escuela Normal Superior de Paris (entre ellos, Henri Cartan, Jean Dieudonné y André Weyl). 12 Nicolas

6.5. Los Tres Ensayos ... de Koopmans

179

del análisis de actividades en el que ahora incluye el comportamiento de los consumidores. El Three Essays on the State of Economic Science (1957) es la presentación menos técnica que se conozca sobre el análisis de actividades, sobre la asignación óptima de recursos y sobre los problemas de descentralización a través de precios. Con la escena del modelo de análisis de actividades puesta a través de las nociones entendidas anteriormente, no era muy complicado para Koopmans hacer explícitos los postulados económicos del análisis de actividades, y así los escribe: I)

Sobre los agentes de decisión: Existe un número dado de agentes que pueden subdividirse en l consumidores, m productores y p poseedores de recursos. Existe, también, un número finito n de bienes, subdivididos entre tipos de trabajos y otros bienes. Cada agente toma una decisión (para el período predeterminado) que consiste en la elección de una cantidad de cada tipo de trabajo y de cada bien; es decir, de un punto en Rn . Se asume que los conjuntos de planes de consumo son convexos, lo que necesariamente implica divisibilidad perfecta de los bienes y de los tipos de trabajo13 .

II)

Sobre los consumidores: El punto elegido por el i-ésimo consumidor debe pertenecer a un conjunto de consumo para i = 1, . . . , l, cuyos puntos tienen coordenadas no-negativas para todos los bienes distintos al trabajo. Para las cantidades de los distintos trabajos ofrecidos escogemos coordenadas negativas. Si una cantidad de estas es cero, ello indicará que el bien no es consumido o que el tipo de trabajo no es ofrecido. Sobre este conjunto existe, además, un preorden de preferencia completo para el i-ésimo consumidor; es decir, sobre este conjunto se define un preorden completo “4i ” (“menos preferido o indiferente a”)14 sobre los planes de consumo que describe la forma en que el consumidor elige entre las distintas alternativas de consumo. Se asume, además, que dado el plan de consumo x∗ = (x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ), el conjunto de planes de consumo x = (x1 , x2 , . . . , xn ) tales que x∗ 4i x, es convexo; es decir, que un consumidor preferirá la combinación convexa de las canastas, a una cualquiera de ellas. De esta forma, es más preferida o indiferente la combinación λx+(1−λ)x∗ (con λ ∈ (0, 1)) que las canastas x ó x∗ [15] .

Gerard Debreu y el propio Koopmans fueron muy influenciados por este grupo. Debreu fue estudiante de Cartan y mantuvo contacto cercano con Weyl. El trabajo del grupo Bourbaki fue una mirada de la matemática hacia su propio interior; es decir, una “matematización de la matemática” y, por ende, una separación de la física, que tanto había regido a las matemáticas hasta entonces. 13 Nótese aquí el esfuerzo de Koopmans por acercarse al trabajo de Leontief y, desde allí, a los economistas clásicos. 14 Un preorden completo es una relación reflexiva, transitiva y completa (ver Apéndice matemático al final del libro). 15 Esta condición es equivalente a la condición de cuasiconcavidad de las funciones de utilidad en el modelo paretiano estudiado en la semana 3.

180

Semana 6. Los modelos “lineales” De hecho, esta es la primera vez, en la historia de la economía matemática, que aparece un preorden de preferencias completo describiendo el comportamiento de elección del consumidor en un modelo de equilibrio general. Era claro que Koopmans intentaba evitar así las discusiones con respecto a la existencia de la función de utilidad. Sin embargo, la equivalencia entre las preferencias y la función de utilidad sería demostrada en 1952 por Gerard Debreu en Representation of a Preference Ordering by a Numerical Function, un año después de la publicación del trabajo de Koopmans (ver Debreu, 1954).

III)

Sobre los productores. El punto elegido por el j-ésimo productor debe pertenecer a un conjunto de producción para j = 1, 2, . . . , m cuyos puntos tienen una coordenada no-positiva para cada tipo de trabajo y para cada insumo, además de una coordenada positiva para cada tipo de bien producido. Este conjunto es independiente de las elecciones de los demás agentes.

IV)

Sobre los propietarios de los recursos. Cada poseedor de recursos controla una cantidad no-negativa de cada bien que no sea un tipo de trabajo, y elige desprenderse de una cantidad no-negativa de dichos bienes que no exceda las cantidades que posee.

V)

No-saciedad local. Dada una distancia positiva cualquiera, por pequeña que sea, para cada punto del conjunto de consumo de cualquier consumidor, existirá otro punto del mismo conjunto, preferido o indiferente al primero, y cuya distancia a él sea menor que la distancia dada.

VI)

Sobre los bienes. Existe un número finito de bienes, clasificados entre l bienes deseados, p primarios, y N − l − p intermedios. Cada bien puede existir en cualquier cantidad no-negativa en la que pueda producirse u obtenerse de la naturaleza. La conjunción o separación de cantidades de un mismo bien puede representarse mediante la suma o diferencia de los números que miden dichas cantidades.

VII)

Existencia de actividades básicas de producción. Existe un número finito m de actividades básicas de producción. Una actividad básica viene caracterizada por una cifra de producción neta para cada bien. Estas actividades son los métodos básicos de producción de la economía, y representan todo el conocimiento técnico básico disponible al comenzar el período de estudio.

VIII)

Sobre la aditividad de actividades. Dadas dos actividades básicas cualesquiera, existe una tercera actividad cuya producción neta de cada bien es la suma de las producciones netas de dicho bien en aquellas dos actividades.

IX)

Proporcionalidad de actividades. Si una actividad (básica o derivada) a es posible, también lo es toda actividad ka para cualquier factor de propor-

6.5. Los Tres Ensayos ... de Koopmans

181

cionalidad k no-negativo. Esto implica, en particular, que la inactividad es posible, es decir, que a = 0 es posible. X)

Disponibilidad de recursos. Cada bien primario puede extraerse de la naturaleza en cualquier cantidad no-negativa que no exceda una cota superior dada.

XI)

Sobre la imposibilidad de producción sin utilizar factores. Ninguna actividad (básica o derivada) es posible si todos sus factores son nulos.

XII)

Sobre la posibilidad de producción. Existe un punto con producción neta no-negativa de todos los bienes deseados, producción positiva de por lo menos uno de ellos, y producción neta igual a cero de los bienes intermedios.

Y fueron sólo tres las definiciones básicas que Koopmans requirió para establecer sus resultados: a) Se dice que una combinación de elecciones (una para cada agente) es un equilibrio de mercado si la suma neta de todas las cantidades de cada bien, elegidas por los productores y poseedores de recursos, es igual a la de todas las cantidades elegidas por los consumidores. b) Un equilibrio competitivo es una combinación de equilibrio de mercado y un sistema de precios (uno para cada bien) tales que si todos los “valores” se calculan a dichos precios, i) La elección de cada consumidor es preferida o equivalente a cualquier otra elección dentro de su conjunto de consumo. ii) La elección de cada productor da lugar al máximo beneficio alcanzable dentro de su conjunto de producción. iii) La cantidad de bienes ofrecidos iguala a la cantidad de bienes demandados. c) Un óptimo de Pareto es una combinación de equilibrio de mercado tal que no existe ninguna otra combinación de equilibrio de mercado, bajo la cual al menos uno de los agentes mejora en bienestar (medido por el preorden 4i ) y los otros agentes no empeoran. Y los siguientes son los dos resultados centrales (sin prueba) del modelo de Koopmans: Teorema 2. (Primer teorema del bienestar económico) Si en el modelo (lineal) de análisis de actividades se satisfacen los postulados I–V, cualquier equilibrio competitivo es un óptimo de Pareto. De este teorema, Koopmans no haría ninguna demostración explícita porque quizás se apoyaba, implícitamente, en Arrow & Debreu (1954). También es conveniente e importante recordar aquí que un óptimo en el sentido de Pareto puede

182

Semana 6. Los modelos “lineales”

ser una distribución de riqueza más desigual que lo que alguna noción normativa podría sugerir. Así que el título de “óptimo” puede ser, en este sentido, engañoso. Koopmans recomendó en su época que lo llamasen “estado eficiente desde el punto de vista de la asignación”. Pero hoy está tan arraigada la terminología “óptimo de Pareto” que quizás sólo sirva para recordar y homenajear al famoso economista franco-italiano. Finalmente, el segundo y fundamental resultado del modelo de Koopmans es el “dual” del teorema anterior: Teorema 3. (Segundo teorema del bienestar económico) En el modelo (lineal) de análisis de actividades, si se satisfacen los postulados I– XII, entonces a todo óptimo de Pareto se le puede asociar un sistema de precios, no todos nulos, tal que sea un equilibrio competitivo, después de haber llevado a cabo redistribución de la riqueza inicial. Este teorema, ya lo habíamos discutido, es el corazón de lo que hoy se llama “nueva economía del bienestar”. Tampoco de este haría ninguna demostración explícita. Quizás también se apoyaba, implícitamente, en Arrow y Debreu (1954). Notablemente, además, en los trabajos de Koopmans no aparece ningún teorema de existencia de equilibrio competitivo. Ejemplo 4. (Ejemplo sencillo de análisis de actividades) Supongamos que una economía está conformada por dos agentes (i = A, B) y tres bienes x, y, z. Los agentes tienen funciones de utilidad idénticas: ui = ln(xi ) + ln(yi ) + ln(zi ) y dotaciones WA = (1, 2, 3), WB = (2, 2, 2). Además el sector productivo opera con dos actividades: a1 = (2, −1, 0.5),

a2 = (0, 1, −1)

Para hallar el equilibrio competitivo, y haciendo pz = 1, encontramos que la condición de beneficio cero sobre la actividad 2 ((px , py , pz ) · a2 = py − pz = 0) obliga a que también py = 1. Similarmente, la condición de beneficio cero sobre la actividad a1 conduce a que px = 0.25 pues debe darse que (px , py , pz ) · a1 = 2px − py + 0.5pz = 0. Eso, obviamente, en caso de que ambas actividades sean utilizadas en equilibrio. Veamos si estos precios pueden sustentar un equilibrio para los consumidores también. La demanda agregada del bien x a los precios (0.25, 1, 1) es: x∗ =

3px + 4py + 5pz px (1) + py (2) + pz (3) px (2) + py (2) + pz (2) + = = 13 3px 3px 3px

Y, similarmente, las otras dos demandas agregadas son: y∗ =

px (1) + py (2) + pz (3) px (2) + py (2) + pz (2) 3px + 4py + 5pz + = = 3.25 3py 3py 3py

6.5. Los Tres Ensayos ... de Koopmans z∗ =

183

3px + 4py + 5pz px (1) + py (2) + pz (3) px (2) + py (2) + pz (2) + = = 3.25 3pz 3pz 3pz

Pero como las dotaciones agregadas ascienden a (3, 4, 5), las dos actividades tendrán que operar en la economía de tal forma que la diferencia (13, 3.25, 3.25)− (3, 4, 5) = (10, −0.75, −1.75) sea una combinación lineal de las actividades a1 y a2 . Y, efectivamente, es así pues: (10, −0.75, −1.75) = 5(2, −1, 0.5) + 4.25(0, 1, −1) Podemos notar que la asignación y = (y1 , y2 , y3 ) es eficiente si, y sólo si, puede ser sustentada por el vector de precios (0.25, 1, 1); es decir, si (0.25, 1, 1) · (y1 , y2 , y3 ) = 0; o, lo que es equivalente, si (0.25)y1 + y2 + y3 = 0, y, claramente, esta ecuación la satisface la actividad (10, −0.75, −1.75), con lo que se demuestra que es eficiente. N No hay duda de que con los trabajos de 1951 y 1957, Koopmans inspiró una parte sustancial de la literatura, no sólo de la existencia de equilibrio competitivo, sino de la construcción de mecanismos explícitos de descentralización a través de precios –por ejemplo, Arrow & Hurwicz (1960) y Malinvaud (1967)–. En particular, como lo afirmara el mismo Weintraub (1983, p. 27): (...) a mediados de 1949, y ciertamente en 1950, los economistas matemáticos tenían (1) algo de conocimiento sobre los intentos y éxitos al establecer la existencia del equilibrio en modelos económicos sensiblemente especificados; (2) una comprensión básica de formas útiles para modelar sistemas interrelacionados de elección restringida; y (3) técnicas de teoremas de punto fijo para demostrar la compatibilidad de estrategias o elecciones independientes. El problema de demostrar la existencia de un equilibrio competitivo era accesible. Faltaba llevar a cabo el resto del trabajo.

Y en 1954, los artículos publicados por Lionel McKenzie y por Kenneth Arrow & Gerard Debreu, así lo mostraron. Aunque el modelo de análisis (lineal) de actividades, sirve para aproximarnos a una mirada abstracta de las implicaciones sobre los precios de una utilización eficiente de los recursos, y del empleo de precios como medio para sostener usos eficientes, también se utilizó para darle solución numérica al problema práctico (de programación lineal) de encontrar la asignación más eficiente o beneficiosa al interior de una empresa. En particular, puesto que el modelo insumo-producto de Leontief podría verse como un caso especial del análisis (lineal) de actividades, cualquier estudio de aquél podría ser extendido al modelo general. Uno de los propósitos del trabajo de Koopmans había sido el de proveer de una base teórica que permitiera estimación numérica, por ejemplo, de los efectos sobre los niveles de actividad de las empresas individuales, de cambios dados en la composición de la demanda final hechos por las empresas que proveen al mercado de bienes finales. Los conceptos teóricos del análisis de actividades se adaptarían, en principio, a responder tales preguntas de política económica cuantitativa partiendo de variables observables de tipo más o menos agregativo.

184

Semana 6. Los modelos “lineales”

Sin embargo en 1957, en un artículo de Koopmans con Beckmann (Assignment Problems and the Location of Economic Activities), intentaron encontrar un sistema de precios y rentas capaces de sostener trayectorias eficientes de ubicación de actividades económicas. Y a pesar de recurrir al análisis de actividades, a la programación lineal y a la teoría de juegos, los resultados fueron negativos: ¡no existían tales precios! Extrañados y desanimados, al final del trabajo afirmaban: (...) este ejemplo de clara falla del sistema de precios, podría al final conducir a mejores intuiciones sobre las posibilidades y límites del sistema de precios como medio de asignación descentralizada de recursos indivisibles.

Y como era de esperarse, en la formulación “intertemporal” del análisis de actividades, de la que fue pionero Edmund Malinvaud (1967) y el mismo Koopmans (1964), también se encontrarían serios problemas.

6.6.

Lionel McKenzie

Lionel McKenzie fue estudiante de posgrado en economía de Princeton desde 1939 hasta 1941. Allí tuvo la oportunidad de ser alumno de Oskar Morgenstern, de escuchar a von Neumann cuando presentó su famoso artículo de 1932 sobre crecimiento (publicado en 1937), y de recibir una fuerte influencia del reconocido teórico del comercio internacional Frank Graham: Cuando fui estudiante de Frank Graham en el año académico 1939-1940, nos entregó un modelo de equilibrio general simple para el comercio internacional como ejercicio para el curso. El modelo incluía varios países y varias mercancías, y no conocíamos ningún algoritmo para resolverlo. Utilizábamos la prueba y el error.

McKenzie, 1974, p. 1. Vendría la guerra, y se trasladaría, después de su servicio militar, a Oxford (UK), para terminar su trabajo de tesis bajo la supervisión de John Hicks. Sin embargo, ciertas objeciones puestas a la tesis, hicieron que McKenzie se decidiera por un título inferior al de doctor (BLitt). Después, en 1949, ya como profesor en Duke, percibió que los trabajos pioneros de Koopmans sobre el análisis de actividades estaban en una dirección que podría llevarlo a resolver el problema de Graham y, en general, el problema de existencia de equilibrios competitivos en un modelo de comercio internacional. Así que le escribió a Jakob Marschak, director de la Comisión Cowles en Chicago, buscando un cargo de profesor visitante durante un año. Y, efectivamente, entre 1949 y 1950 asistió allí a los seminarios de Koopmans y del mismo Marschak, y tuvo como colegas a Chipman, Malinvaud, y, también, a Gerard Debreu, entre otros. En Cowles comenzaría el trabajo de McKenzie sobre la solución al problema del modelo de Graham, para el que ya entendía que podría haber traducción al lenguaje del análisis de actividades de Koopmans, pero al que aún le faltaba la demostración de existencia del equilibrio.

6.6. Lionel McKenzie

185

Recuerdo estar con Beckmann, Chipmann y Koopmans de regreso de la clase de este último, en donde se había discutido la relación entre análisis de actividad y equilibrio competitivo... [y le pregunté] a Koopmans acerca del problema de la existencia, y él contestó que era una cuestión muy profunda que hasta ese momento no había sido resuelta.

McKenzie en carta personal a Weintraub (1982) Ya de nuevo en Duke, revisando cuidadosamente las memorias recientemente publicadas por Koopmans (1951) del encuentro en Chicago sobre la teoría de la asignación, encontró referencias a los trabajos de Wald (1936) y de von Neumann (1937), y comenzó a pensar en que la solución a su problema de alguna forma estaba relacionado con una función que identificara la demanda social con la producción mundial, sobre una frontera de posibilidades de producción. Luego recordó que una situación así la había planteado Morton Slater (en otro contexto) en un artículo en Cowles, en donde utilizaba el teorema de punto fijo de Kakutani (1941), y entonces creyó tener exactamente lo que necesitaba para la prueba16 . Se preparó en teoría de conjuntos convexos y, utilizando algunas de las ideas de Wald, fundamentalmente la del axioma débil de preferencias reveladas sobre las demandas, tuvo el arsenal completo para obtener una de las primeras pruebas generales de la existencia de un equilibrio competitivo. Esa prueba apareció en On Equilibrium in Graham´s Model of World Trade and Other Competitive Systems (1954) que fue presentada en diciembre de 1952, en un encuentro de la Econometric Society. Curiosamente, el artículo de Arrow y Debreu (Existence of an Equilibrium of a Competitive Economy) sobre la existencia del equilibrio competitivo fue presentado allí mismo; ambos se basaban en el trabajo de Wald (1936) y recurrían a teoremas de punto fijo, aunque la aproximación matemática general fue diferente. Los dos artículos serían publicados en 1954 por la revista Econometrica, aunque esta parte de la historia tiene una zona un tanto obscura (Düppe & Weintraub, 2014). En efecto, aunque hoy la referencia típica al teorema de existencia de un equilibrio competitivo es el mencionado artículo de Arrow y Debreu, el relativamente ignorado trabajo de McKenzie fue publicado, también con una prueba general de existencia, inclusive meses antes en aquel año de 195417 . Quizás se percibió a la distancia que McKenzie sólo presentaba un modelo de comercio internacional, mientras que Arrow y Debreu describían una economía general, pero esto no tiene una explicación clara. Inclusive, la prueba de McKenzie ya se basaba en el teorema de punto fijo de Kakutani, mientras que la prueba de Arrow y Debreu se basaba en otra prueba de existencia de equilibrios: la presentada por John Nash (1950b, 1951) para la teoría de juegos y que, a su vez, se basaba en un teorema 16 Después notaría que von Neumann ya lo había utilizado (esencialmente) en su artículo sobre crecimiento de 1937. 17 Actualmente (3 de noviembre de 2016), el artículo de Arrow y Debreu presenta 4,951 citaciones en Google Scholar mientras que el de McKenzie presenta 374.

186

Semana 6. Los modelos “lineales”

poco conocido relacionado con puntos fijos –teorema de Eilenberg-Montgomery (1946)– [18] . Según las investigaciones de Düppe y Weintraub (2014), el nudo parece desatarse al observar dos motivos: uno, los detalles de las demostraciones de ambos artículos; y otro, la “sociología de la academia”. El primer motivo señala hacia que los economistas modernos consideran que el individualismo metodológico del modelo original de Arrow y Debreu (ampliado por Debreu en su Theory of Value de 1959) y sus métodos de demostración, permiten abarcar muchas de las posibles falencias del modelo competitivo (moneda, incertidumbre, los precios como señal de calidad, etc.), y que esto no es posible hacerlo con el modelo de McKenzie. Por ejemplo, se arguye que McKenzie sólo estudió el caso de rendimientos constantes a (de) escala en los sectores productivos. Pero esto no es argumento suficiente, ya que como el mismo McKenzie (1959) demostrara, una economía con sectores productivos presentando rendimientos constantes o decrecientes a (de) escala por sectores, puede sumergirse en una economía con rendimientos constantes a (de) escala del tipo tratado por McKenzie. Quizás en lo que sí es relativamente débil el modelo de McKenzie es en haber postulado, ad hoc, una demanda agregada continua que satisface la ley de Walras y una condición de frontera, pero que no puede deducirse del comportamiento individual de los consumidores ni de su distribución de riqueza, como mostraremos en la próxima semana 8. El otro motivo, el “sociológico”, señala hacia aquel comportamiento de darle crédito a aquellos que se conocen más. Y esto, en el caso de McKenzie, no jugó a su favor. En 1954, McKenzie no había alcanzado el título de Ph.D. y trabajaba en la Universidad de Duke, que en aquel entonces era relativamente poco conocida en el ámbito de los economistas. Por su parte, Arrow, en aquella época, era un estudiante de doctorado en Columbia bajo la supervisión de Harold Hotelling; y Gerard Debreu llegó a Estados Unidos de la Ecole Normale Supérieure de Paris, amparado por Maurice Allais, y trabajó en las universidades de Yale y Berkeley. En los años posteriores a 1954, Arrow y Debreu eran importantes académicos asimilados por prestigiosas universidades, mientras que McKenzie recibía el título de Ph.D en Princeton apenas en 1957, aunque luego pasó de Duke a la Universidad de Rochester, y allí colaboraría como chairman hasta 1966, en la fundación del doctorado en economía de esta universidad19 . McKenzie era, entonces, un outsider en el ámbito académico y profesional de los economistas. No obstante, ya en Rochester, obtuvo con los años un gran renombre, y no solo por la controversia sobre el crédito de ser pionero en la prueba de existencia del equilibrio general competitivo, sino por numerosas investigaciones sobre crecimiento económico y comercio internacional, principalmente. Por ejemplo, y 18 El lector muy interesado en los teoremas de puntos fijos aplicados a la economía, puede consultar McLennan (2008). 19 Quizás como curiosidad, el primer estudiante de este programa de doctorado fue el conocido economista y matemático Akira Takayama, renombrado por sus famosos textos de matemáticas para economistas.

6.7. El modelo Graham-McKenzie

187

de manera importante, McKenzie trabajó durante más de 25 años explorando problemas de planeación centralizada y sus trayectorias óptimas de acumulación de capital (turnpike theory), un tema central a las discusiones políticas y económicas de la época del capitalismo en evolución. E inspirado en Linear Programming and Economic Analysis de Dorfman et al (DOSSO) de 1958, McKenzie probó, a lo largo de muchos artículos y discusiones, que, en general, estas trayectorias óptimas eran cercanas a las soluciones del modelo de von Neumann que discutimos páginas atrás. Lionel McKenzie murió en 2010, a los 91 años.

El modelo Graham-McKenzie20

6.7.

El modelo de comercio internacional de Graham desarrollado por Mckenzie es uno de producción y comercio desde la perspectiva del análisis de actividades de Koopmans (1951), en el que los bienes primarios son las diferentes ofertas de mano de obra de los países; los bienes intermedios no aparecen explícitamente; y cada proceso productivo convierte la mano de obra de cada país en un bien final único (especialización). Más explícitamente, el modelo de McKenzie presenta J países indexados por j = 1, 2, . . . , J, donde cada uno tiene una dotación ηj > 0 de mano de obra, que es el único bien primario y que es ofertado inelásticamente. En adelante, notaremos η = (η1 , . . . , ηJ ). También asumiremos que existen K bienes de consumo indexados por i = 1, 2, . . . , K y que el conjunto de posibilidades de producción del país j está determinado por una matriz diagonal de actividades (es decir, no se admite la producción conjunta):  j a1  .. j A =. 0

··· .. . ···

 0 ..  . 

ajK

donde aji > 0 es la cantidad del i-ésimo bien producido por una unidad de mano de obra del j-ésimo país. Por lo tanto, el conjunto de posibilidades de producción del país j está definido por: j

Y =

(

K

y∈R

j

| y = A x para algún x ∈

RK +

tal que

K X i=1

xi = η

j

)

Así, el conjunto de posibilidades de producción mundial (J países) estará representado por Y η = Y 1 + Y 2 + ··· + Y J 20 Este modelo podría parecer aquí de un nivel superior al resto del texto. Sin embargo, su estudio preparará convenientemente al estudiante para asimilar los más abstractos conceptos presentados en la semana 7.

188

Semana 6. Los modelos “lineales”

Está claro que Y η es un conjunto compacto21 , convexo, y satisface una propiedad importante: si y ∈ Y η y 0 ≤ y ′ ≤ y (orden componente a componente) entonces y ť ∈ Y η (conjunto comprehensivo).

Ahora se asume (por la hipótesis del numerario) que los vectores de precios de los bienes finales p = (pi )K se escogen del simplex unitario dado por el PK i=1 K conjunto P = {p ∈ R+ | i=1 pi = 1}, y se define, para cada p ∈ P rη (p) ≡ m´ ax p · Y η

que es la función de beneficios máximos alcanzados por la producción mundial. Entonces se puede ver fácilmente que 0 < rη (p) < +∞ y que, además, esta función es continua. Ahora, por el lado de la demanda, el modelo de McKenzie asume que existe una función de demanda agregada continua y homogénea de grado 1 (en lugar de preferencias de los consumidores) definida por: f : P ◦ −→ RK + donde P ◦ es el interior del simplex P

[22]

, y que, además, satisface que:

a) (Ley de Walras) p · f (p) = rη (p) para todo p ∈ P ◦ . Por lo tanto, se gasta todo el ingreso. b) (Condición de frontera) Si pn → p ∈ P cuando n → ∞ pero pi = 0, entonces fi (pn ) → +∞. Así, si el ingreso es finito y el precio de un bien final se aproxima a cero, la demanda de este bien eventualmente excede la máxima producción alcanzable 23 . Luego McKenzie pasa a definir lo que se entendería por un equilibrio competitivo del modelo: un vector de precios p∗ ∈ P ◦ es un equilibrio competitivo si, y sólo si, f (p∗ ) ∈ Y η Es decir, si, a los precios p∗ , la demanda y la oferta coinciden. Y por consiguiente, también se tendrá que todo vector de producción de equilibrio y ∗ ∈ Y η estará sobre la frontera de Y η y el vector de precios de equilibrio p∗ será normal a Y η en ese y ∗ [24] .

Finalmente, entra a probar que en el modelo de Graham-McKenzie, para cada par (Y η , f ) existe un equilibrio competitivo, y para ello sólo recurre a un “profundo teorema topológico”: el ya mencionado teorema de punto fijo de Kakutani (1941) [25] . De esta manera, recurriendo al análisis de actividades de Koopmans, 21 Ver

el  Apéndice matemático al final del libro para la definición de este concepto topológico. PK = p ∈ RK p 0 es el conjunto definido por {x ∈ Rl | kxi − xk < r}. 7 Recordemos

7.2. El modelo Arrow-Debreu

203

analítica que coincide con la no-discontinuidad de las curvas de indiferencia. En la figura 7.2 se muestran dos casos en los que las hipótesis anteriores no se cumplen: en el panel a) la canasta S (bliss point) es de saciedad local; y en el panel b) el conjunto {xi ∈ Xi | xi ∗ 4i xi }, en gris, no es cerrado pues la canasta x′i no pertenece a este conjunto. (b3) (Hipótesis de cuasiconcavidad 8 ) Si xi1 y xi2 son dos canastas de Xi , y si t ∈ (0, 1), entonces xi1 4i xi2 implica xi1 4i txi2 + (1 − t)xi1 . (c) (Hipótesis de dotación interior) Si Wi es el vector de dotaciones iniciales del i-ésimo consumidor, entonces existe x0i ∈ Xi tal que x0i ≪ Wi (es decir, la componente 1 de x0i es estrictamente menor que la componente 1 de Wi ; la componente 2 de x0i es estrictamente menor que la componente 2 de Wi ; etc.). En la figura 7.3 se muestra, en el panel a) una preferencia que no satisface la hipótesis de cuasiconcavidad; y en el panel b) una preferencia que sí la satisface. Notemos, además, que la hipótesis de cuasiconcavidad implica que “las mezclas son al menos tan preferidas como el extremo menos preferido” (hipótesis de la dieta balanceda). En efecto, si xi1 ∼ xi2 entonces tendremos que tanto xi1 como xi2 son menos preferidos o indiferentes a txi2 + (1 − t)xi1 para todo t ∈ (0, 1). Bien 2

Bien 2

Crecimiento de las preferencias

Crecimiento de las preferencias txi2 + (1 − t)xi1 es estrictamente menos preferida que xi1

xi1 b

xi1

txi2 + (1 − t)xi1 es estrictamente preferida a xi1 b

xi2

xi2

(a)

Bien 1

(b)

Bien 1

Figura 7.3. Hipótesis de cuasiconcavidad.

7.2.2.3.

Consecuencias de las hipótesis del consumidor

Y con estas hipótesis y definiciones comenzamos a avanzar en la descripción del sector de consumidores del modelo. El primer lema (Debreu, 1954), permite establecer las condiciones bajo las cuales es posible “cardinalizar” mediante una función de utilidad el preorden de preferencias 4i del consumidor i, al asignar, de manera continua, un número a cada nivel de satisfacción. Lema 1. (Existencia de una función de utilidad) Bajo (a2) y (b2), existe una función continua Ui : Xi −→ R que satisface que Ui (xi1 ) ≤ Ui (xi2 ) si, y sólo si, xi1 4i xi2 . 8 También

conocida como “hipótesis de convexidad de las preferencias”.

204

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu

Demostración. Ver Debreu (1959, p. 58).



Obviamente, esta función Ui no es única, ya que cualquier transformación f ◦ Ui de Ui bajo una función f : R −→ R estrictamente creciente, también será una representación de 4i . Enseguida el modelo introduce los precios. Estos son el concepto institucional primitivo, y, junto con la noción de mercancía, son cuantificables y medibles. Cada precio está definido en unidades monetarias por unidad de mercancía, y, por tanto, en equilibrio solo existirán l − 1 precios relativos de una mercancía con respecto a otra, pues se le resta 1 por la aparición más adelante del concepto de “numerario”. Al nivel de precios dado por el vector p ∈ Rl+ (que siempre supondremos mayores o iguales a cero, por razones que más adelante se esclarecerán) definimos el presupuesto (o “riqueza”) del consumidor i, notado wi , así: (7.4)

wi = p · Wi

Esto es (de acuerdo con lo convenido anteriormente sobre que Wi no contiene las ofertas de trabajo al mercado) la suma de las cantidades positivas de las mercancías que tiene el consumidor multiplicadas por sus respectivos precios por unidad. Con esto, ahora definimos el conjunto de planes de consumo factibles al nivel de precios p (ver figura 7.4) como: (7.5)

Ti (p) = {xi ∈ Xi | p · xi ≤ wi }

Notemos que si alguna componente de xi es negativa (trabajo), entonces la multiplicación de estas horas trabajadas y del salario por hora sería negativa y, por tanto, puede pasar al lado derecho de la desigualdad p xi 6 wi y hacer parte de su presupuesto. Bien 1 (alimento)

p · x = wi

Bien 2

Xi Xi Ti (p) Ti (p)

Trabajo

p

p · x = wi

p Bien 1

Ocio

a)

b)

Figura 7.4. Conjuntos factibles Ti (p) de consumo a los precios p.

Es fácil ver que, para p fijo, este conjunto Ti (p) es no-vacío, cerrado y convexo. En efecto, en primer lugar es no-vacío por la hipótesis (c) de dotación interior. De

7.2. El modelo Arrow-Debreu

205

otro lado, Ti (p) es cerrado, pues si dada una sucesión de canastas {xin } ⊆ Ti (p) (es decir, satisfaciendo la condición de que p · xin ≤ wi para todo n) se tiene que {xin } → x para cierta x ∈ Xi , entonces, tomando límites en la desigualdad anterior, también se tendrá que p · x ≤ wi , o, lo que es equivalente, x ∈ Ti (p). Finalmente, probar que Ti (p) es convexo también es simple pues si se tiene que xi1 , xi2 ∈ Ti (p) y además t ∈ (0, 1), entonces txi1 + (1 − t)xi2 también pertenece a Ti (p) ya que p · (txi1 + (1 − t)xi2 ) = t(p · xi1 ) + (1 − t)(p · xi2 ) ≤ t(wi ) + (1 − t)wi = wi Ahora: continuando con la construcción del modelo, bajo las hipótesis del lema 1 anterior, definamos: Si = {p ∈ Rl+ | existe xi ∈ Ti (p) tal que Ui (xi ) es máximo en Ti (p)}

(7.6)

Estos son los vectores de precios para los cuales el consumidor puede maximizar su satisfacción Ui (que representa numéricamente a 4i ) con un plan de consumo factible, dado su presupuesto. Lema 2. Bajo (a1), (a2), (b2) y (c), si suponemos que Xi es acotado, se tiene que Si 6= ∅. Demostración. Basta aplicar el teorema de Weierstrass (ver Apéndice matemático). En efecto, aquí para cada p, se tiene que Ti (p) es cerrado y también es acotado (pues hemos asumido que Xi es acotado). Además, como Ui es continua en Xi , entonces también es continua en Ti (p) y, por tanto, existe al menos una canasta x∗i ∈ Ti (p) para la que Ui es máxima.  Y utilizando este lema 2, podemos ahora definir la correspondencia9 de demanda del i-ésimo consumidor, así: Di : Si −→ Xi

p 7−→ Di (p) = {xi ∈ Ti (p) | Ui (xi ) es máximo en Ti (p)}

Es decir, dado un nivel de precios, esta correspondencia le asigna todas las posibles canastas de consumo que maximizan la satisfacción del individuo de acuerdo a su restricción de presupuesto (ver figura 7.5). La razón de que sea una correspondencia y no una función la entenderemos con la figura 7.6. 9 Para la definición de la noción de correspondencia, ver el Apéndice matemático al final del texto.

206

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu Bien 2

Bien 1

p · x = wi b

b

Di (p)

Di (p)

p · x = wi

p

p Trabajo

Bien 1

Ocio

a)

b)

Figura 7.5. En las figuras a) y b) se muestra la formación de las respectivas demandas Di (p) a los precios p.

Lema 3. Bajo (b1), (b2) y (b3), si x∗i ∈ Di (p) entonces p · x∗i = wi . Demostración. Supongamos, por el contrario, que p · x∗i < wi . Entonces para r > 0 suficientemente pequeño, también sucede que p · x∗i < wi − r. Por lo tanto, toda canasta xi que esté a una distancia menor o igual que r de x∗i , también estará en Ti (p) pues, asumiendo kpk = 1 [10] se tiene que p · (xi − x∗i ) ≤ kpkkxi − x∗i k ≤ r, y, por tanto, p·xi ≤ p·x∗i +r < (wi −r)+r = wi . Con esto se demuestra que en una bola abierta alrededor de la canasta x∗i y de radio r, x∗i es el máximo de Ui y, por consiguiente, x∗i es punto de saciedad local, lo que es una contradicción.  Así, para maximizar su satisfacción, el consumidor debe gastar todo su presupuesto y, por lo tanto, no puede mantener ningún tipo de inventario. En características como estas se resalta la condición estática del modelo. Lema 4. Bajo (a1), (a2), (b1), (b2) y (c), si suponemos que Xi es acotado, la correspondencia de demanda Di (p) es semicontinua superiormente. Demostración. Si pn → p cuando n → ∞, con Ui (xin ) máximo en Ti (pn ) para las correspondientes canastas xin , y además Ui (xin ) −→ Ui (xi ) cuando n → ∞, entonces por la continuidad de Ui y la condición c) se tiene que xi es máximo en Ti (p).  10 Aquí podemos asumir esto, debido a la existencia del numerario; es decir, en nada afectará la restricción presupuestaria del consumidor i si en la desigualdad p · xi ≤ p · Wi (= wi ) multiplicamos a izquierda y a derecha por un escalar t > 0. Por lo tanto, podemos tomar el precio de P una de las mercancías como numerario y asumir queP todo vector de precios p = (p)m i=1 m m satisface Pm i=1 pi = 1. Pero como siempre se da que kpk ≤ i=1 pi entonces bastaría asumir que p = 1 para tener el resultado. Por lo tanto, asumir kpk=1 es adecuado aquí i=1 i porque simplifica los cálculos. Sobre este problema del numerario, comentaremos, de nuevo, más adelante en el lema 14.

7.2. El modelo Arrow-Debreu

207

El resultado anterior muestra que bajo tales hipótesis, se tiene cierta clase de continuidad de las correspondencias de demanda de los consumidores (ver figura 7.6). Lema 5. Bajo (b1), si Di (p) 6= ∅ entonces p 6= 0. Demostración. En efecto, si p = 0 entonces Ti (0) = Xi , y, por tanto, Di = {xi ∈ Xi | Ui (xi ) es máximo en Xi } Pero, entonces, por (b1), Di = ∅.  Este lema nos indica que si el consumidor está maximizando su satisfacción a niveles de precios dados, y no es un consumidor que se sacie, entonces no todas las componentes del vector de precios son nulas, es decir, no todos los bienes son gratuitos (o libres). Bien 2

Di (p) (3)

(1) b

B (2) p1

p2

(3) A (2)

b

A

B

(1)

p3

Bien 1

p1

p2

p3

p

Figura 7.6. Sobre la idea de correspondencia de demanda semicontinua superiormente. En el panel izquierdo, al vector de precios p1 le corresponden los planes de consumo óptimos del segmento horizontal (1), que colocamos en el panel de la derecha como el segmento vertical (1); al vector de precios p2 le corresponden los planes de consumo óptimos del segmento (2) que va del punto B al punto A, y que ilustramos en el panel derecho como el segmento vertical (2); al vector de precios p3 le corresponden los planes de consumo óptimos del segmento (3) que va del punto B verticalmente hacia arriba, y que ilustramos en el panel derecho como el segmento vertical (3); etc.

7.2.3.

Los productores

Un productor, por su parte, es una abstracción, tanto sobre las formas legales de organización (corporación, propietario independiente, etc.), como sobre los tipos de actividad (agricultura, manufactura, construcción, servicios, etc.). Cada productor debe elegir un plan de producción; es decir, una especificación de las cantidades de insumos necesarias para producir unas determinadas cantidades de productos, para el período en el que se desarrolla la actividad económica. Los insumos se representarán mediante números negativos y los productos mediante

208

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu

números positivos. Al conjunto de todos los planes de producción se le denomina el conjunto de producción de ese productor. En el modelo Arrow-Debreu existe un número entero positivo n de productores. Cada productor está indizado por j = 1, . . . , n. El j-ésimo productor elige un vector, su plan de producción yj , en un subconjunto no-vacío de Rl , que es su conjunto de producción Yj . 7.2.3.1.

Hipótesis topológicas

Asumiremos aquí que para todo productor j = 1, . . . , n: (d1) (Posibilidad de no-acción) 0 ∈ Yj . (d2) Yj es cerrado. Es decir, si una sucesión de planes de producción {yjk } del productor j, i.e., yjk ∈ Yj para k = 1, 2, . . . converge a un vector y ∈ Rl , entonces el vector y también es un plan de producción del productor j, i.e., y ∈ Yj . (d3) (Divisibilidad de mercancías) Yj es convexo. Es decir, si yj1 y yj2 son dos planes de producción en Yj , entonces para todo t ∈ (0, 1) se tiene que tyj1 + (1 − t)yj2 ∈ Yj . (d4) (Irreversibilidad) Yj ∩ (−Yj ) = {0} (ningún proceso productivo puede ser reversible; es decir, no se pueden obtener nuevamente los insumos a partir de los cuales fue fabricado el bien). (d5) (Libre disponibilidad de insumos) Para todo j = 1, ..., n se tiene que −Rl+ ⊆ Yj [11] . En la figura 7.7 se muestra un ejemplo típico de conjunto de producción que satisface (d1), (d2), (d3), (d4) y (d5). Producto

Yj Insumo

−R2+ Figura 7.7. Típico conjunto de producción en el modelo Arrow-Debreu.

La hipótesis (d3) es, tal vez, la que tiene más fuertes implicaciones sobre el comportamiento de la producción y esto merece un poco más de aclaración. Con 11 Nótese cómo esta hipótesis limita hasta cierto punto un análisis serio para problemas asociados con recursos no-renovables.

7.2. El modelo Arrow-Debreu

209

este como un propósito, comenzamos con tres definiciones muy importantes en la teoría de la producción. Definición 1. (Tipos de rendimientos a escala) Dada una producción yj , cambiar la escala de operaciones es multiplicar yj por un número t > 0. En Yj se tienen rendimientos no-decrecientes a escala si para cualquier yj ∈ Yj y t > 1 se tiene que tyj ∈ Yj . A su vez, en Yj se tienen rendimientos no-crecientes a escala si para cualquier yj ∈ Yj y 0 < t < 1 se tiene que tyj ∈ Yj . Y, finalmente, en Yj se tienen rendimientos constantes a escala si para cualquier yj ∈ Yj y t > 0 se tiene que tyj ∈ Yj . En la figura 7.8 podemos observar estos tres típicos comportamientos. Producto

Producto y b ty, t > 1

Producto ty, t > 1

b

b b

b

y

ty, t < 1

ty, t < 1

Insumo

Insumo

a) Rendimientos no-decrecientes a escala

y

b b

Insumo

b) Rendimientos no-crecientes a escala

c) Rendimientos constantes a escala

Figura 7.8. Tipos de rendimientos a (de) escala.

7.2.3.2.

Consecuencias de las hipótesis

Un resultado que relaciona la hipótesis (d3) con los rendimientos a escala, y especifica bien las limitaciones del modelo Arrow-Debreu, es el siguiente: Lema 6. Bajo (d1) y (d3), el conjunto de producción Yj tiene rendimientos no-crecientes a escala. Demostración. En efecto: si yj ∈ Yj y 0 < t < 1 entonces, por convexidad de Yj , se tiene que tyj = tyj + (1 − t)0 ∈ Yj .  Definición 2. (Producción agregada) Pn Dada una producción yj para cada productor, llamaremos a y = j=1 yj la producción total; y el conjunto Y =

n X

Yj

j=1

se llamará el conjunto de producción agregado.

210

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu

Este es el conjunto de todos los posibles planes de producción conjunta en la economía. Así, si y ∈ Y , es decir, si y = y1 + y2 + ... + yn con yj ∈ Yj , j = 1, 2, ..., n, obsérvese que se cancelan todas las mercancías que se transfieren entre productores. Por lo tanto, las coordenadas positivas de y representan productos que no han sido transferidos, en su totalidad, al sector productivo; y las coordenadas negativas representan insumos de productos que no han sido transferidos, en su totalidad, desde el sector productivo. Y con esta definición podemos mostrar que el comportamiento “macro” de esta economía es similar a su comportamiento “micro”: Lema 7. (De lo micro a lo macro) Bajo (d1), (d2), (d3), (d4), (d5) para todo j = 1, 2, . . . , n, tendremos que Yj satisface las mismas condiciones de Y ; es decir: (d1′ ) 0 ∈ Y (posibilidad de no-acción total) (d2′ ) Y es cerrado (d3′ ) Y es convexo (d4′ ) Y ∩ (−Y ) = {0} (irreversibilidad total) (d5′ ) −Rl+ ⊆ Y (libre disponibilidad de insumos totales) Demostración. Es una implicación casi directa del comportamiento individual de los productores. Veamos. En primer lugar, la condición (d1′ ) es inmediata pues, por (d1), 0 ∈ Yj para todo j y la suma de j ceros es cero. La condición (d3′ ) es también Pn fácil de probar pues la suma de conjuntos convexos es convexo: si yA = j=1 yjA Pn y yB = j=1 yjB para yjA , yjB ∈ Yj entonces, para 0 < t < 1 tyA + (1 − t)yB =

n X j=1

(tyjA + (1 − t)yjB ) =

n X

yjC

j=1

donde yjC = tyjA + (1 − t)yjB ∈ Yj pues Yj es convexo. Ahora veamos Pnque la condición (d4′ ) también es simple de probar: Sea y ∈ Y ∩(−Y ) con y = j=1 yj , yj ∈ Yj ; entonces yj ∈ Yj ∩ (−Yj ) = 0, y, así, yj = 0 para todo j y, por tanto, y = 0. De otro lado, mostrar (d5′ ) es también sencillo, pues como −Rl+ ⊆ Yj entonces, inmediatamente, −Rl+ ⊆ Y . Sin embargo, mostrar que Y es cerrado (d2′ ) no es tan simple. De hecho, Debreu (1959) debe recurrir a un concepto topológico que está más allá del propósito de este texto (cono asintótico y sus propiedades12 ) para demostrar (p. 41) que si todos los Yj son cerrados y convexos y, además, Y ∩(−Y ) = 0 entonces se tendrá que también Y será cerrado.  12 Sea S ⊂ Rl no-vacío, k ≥ 0 y S k = {x ∈ S | |x| ≥ k}. El cono asintótico de S es la intersección de todos los S k para k ≥ 0. Para más sobre conos asintóticos, ver Debreu (1959).

7.2. El modelo Arrow-Debreu

211

Ahora: dado un sistema de precios p y un plan de producción yj , el beneficio del j-ésimo productor es p · yj = ingresos - egresos. Con ello, definimos Sj = {p | existe yj ∈ Yj tal que p · yj es máximo} que es el conjunto de precios para los cuales el productor puede tener un plan de producción que le maximice el beneficio. Es fácil probar, utilizando el teorema de Weierstrass13 , que: Lema 8. Bajo (d2), si Yj es acotado entonces Sj 6= ∅. Demostración. Es una aplicación directa del teorema de Weierstrass tal como hicimos en el lema 2.  Podemos entonces, bajo estas hipótesis del lema 8, definir la correspondencia de oferta del j-ésimo productor Oj : Sj −→ Yj así: p 7−→ Oj (p) = {yj ∈ Yj | p · yj es máximo sobre Yj }

Es decir, los planes de producción que, a un nivel de precios dado, le maximizan el beneficio (ver figura 7.9). Producto

p·y =0

p · y es máximo en y ∗

C

de to en i s im cio rec efi

b los

b

y ∗ = Oj (p)

en

p

Insumo

Figura 7.9. Maximización del beneficio.

Y así podemos construir la función de beneficio del j-ésimo productor como: πj :

Sj −→ R

p 7−→ πj (p) = p · yi para yi ∈ Oj (p) Lema 9. Bajo d2), si suponemos que Yj es acotado, la correspondencia de oferta Oj es semicontinua superiormente sobre Sj (figura 7.10). 13 Ver

Apéndice matemático al final del texto.

212

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu

Demostración. La demostración es similar a la del lema 4. Producto

(1)

Insumo

A

(2)

 Oj (p)

(1) A

B

p1 p 2 (3) p3 p4

(2) B (3)

p1

p2

p3 p4

precios

Figura 7.10. Sobre la idea de semicontinuidad superior de la correspondencia de oferta. La justificación de esta figura es similar a la llevada a cabo en la figura 7.6.

Es simple (e importante) demostrar que: Lema 10. Sea yj ∈ Yj , j = 1, 2, ..., n, p un vector de precios y y = y1 + y2 + ... + yn la producción total; entonces y maximiza el beneficio de Y a los precios p si, y sólo si, yj maximiza el beneficio de Yj para todo j. Demostración. En efecto: basta reconocer que p · y = p · y1 + p · y2 + ... + p · yn y aplicar la propiedad de conjuntos que afirma que   n n X X Máx (Aj ) Aj  = Máx  j=1

j=1

para cualquier familia finita de conjuntos Aj ⊆ R (j = 1, . . . , n).



Lema 11. Bajo b1) y d5), si p ∈ Sj entonces todas las componentes de p son números positivos o ceros. Demostración. Si pk < 0 para el bien k, entonces no existiría yj ∈ Yj tal que p · yj es máximo, pues pk yjk → ∞ si escogemos convenientemente los planes yj ∈ −Rl+ con componente k-ésima yjk negativa.  En principio, en estos modelos pueden aparecer precios negativos, lo cual tiene algunas implicaciones con respecto al funcionamiento del mercado competitivo. Pero el lema anterior muestra que, bajo (b1) (no saciedad) y (d5) (libre disponibilidad de insumos), estos no pueden surgir.

7.2. El modelo Arrow-Debreu

213

Lema 12. Bajo las hipótesis d1), d2), d3), d4), y d5) se tiene que, Yj − Rl+ ⊆ Yj Demostración. Este resultado (Debreu, 1959, p. 42) también recurre al concepto de cono asintótico y sus propiedades, lo que lo ubica más allá del alcance de este texto.  El lema 12 asegura que si a un plan de producción posible se le adicionan algunos insumos, el plan debe seguir siendo posible. Nota 2. (Sobre las hipótesis de convexidad en conjuntos de consumo y producción) De las hipótesis sobre los consumidores y los productores, la condición que, quizás, se considera menos realista es la de convexidad de los conjuntos de producción. Sin embargo, hoy se entiende que esta hipótesis es menos crítica que lo que se creía. Porque si se está dispuesto a asumir que los agentes (consumidores y productores) de una economía competitiva son “pequeños” con respecto a la economía (más precisamente, si ellos conforman un “continuo” de agentes) y, por tanto, tienen un poder estratégico infinitesimal, el modelo puede ser dispensado de asumir la condición de convexidad en sus conjuntos de consumo y producción: aunque el comportamiento individual no satisfaga esta condición, en el agregado sí se tendrá (Rothenberg, 1960; Aumann, 1966; Farrell, 1967). Similarmente con la condición de continuidad: a pesar de que los agentes tengan comportamientos discontinuos en sus respectivas funciones, en el agregado surgirá la continuidad (Trockel, 1984).

7.2.4.

Los conceptos de economía y equilibrio competitivo

Al comienzo del período de la economía, existen unos consumidores, unas dotaciones individuales de mercancías, unas funciones de utilidad, y también unos productores con sus restricciones tecnológicas. Arrow & Debreu (1954) le dan una estructura formalista a esto, y lo llamarán una economía. Esta la definen por los conjuntos de consumo completamente preordenados por una relación de preferencia, los conjuntos de producción individuales, y las dotaciones iniciales agregadas. Por su parte, en una economía de propiedad privada, los consumidores son los dueños de las firmas; es decir, poseen una participación en los beneficios de las mismas y poseen todas las dotaciones iniciales. Y aunque el teorema de existencia de equilibrios competitivos probado por Debreu (1959) se refiere a una economía de propiedad privada, se mostrará más adelante que la estructura del modelo Arrow-Debreu admite economías que no son necesariamente de este tipo, y para las cuales también existe un equilibrio. Definición 3. (Economía) Una economía consiste en los siguientes elementos: para cada consumidor i = 1, . . . , m, un subconjunto no vacío Xi del espacio de mercancías Rl , completamente preordenado por 4i ; para cada productor j = 1, . . . , n; un subconjunto no

214

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu

vacío Yj de Rl ; y, para cada consumidor, una dotación inicial, Wi , de mercancías en Rl . Así, una economía es una tripla de la forma E = ((Xi , 4i ), (Yj ), W ) donde W =

Pm

i=1

Wi son los recursos totales de la economía.

Definición 4. (Economía de propiedad privada) Una economía de propiedad privada es una economía PmE = ((Xi , 4i ), (Yj ), W ) donde para cada i, existe un punto Wi ∈ Rl tal que i=1 i = W ; y para cada PW m par (i, j), existe un número real no-negativo θij tal que i=1 θij = 1 para todo j, que representa la participación del i-ésimo consumidor en los beneficios del j-ésimo productor. En este caso, el presupuesto del i-ésimo consumidor (a los precios p), estaría dado por wi = p · Wi +

n X

θij πj (p)

j=1

Definición 5. (Estado de una economía, exceso de demanda y equilibrio de mercado) Un estado de una economía es una (m + n)-tupla de puntos de Rl , (x1 , x2 , ..., xi , ..., xm ; y1 , y2 , ..., yj , ..., yn ) donde xi ∈ Xi , yj ∈ Yj , y que simplificamos por ((xi ), (yj )). La demanda neta en un estado ((xi ), (yj )) de la economía es x − y donde x=

m X i=1

xi

;

y=

n X

yj

j=1

Notemos que al formar x − y se cancelan todas las mercancías transferidas entre los agentes de la economía (cada una de estas transferencias aparece una vez como insumo, con signo positivo, y otra vez como producto, con signo negativo); por consiguiente, x − y describe el resultado neto de la actividad conjunta de los agentes. Por su parte, el exceso de demanda del estado ((xi ), (yi )) es z = x − y − W ; este describe el exceso de la demanda neta de todos los agentes sobre todos los recursos de la economía. Finalmente, un equilibrio de mercado es un estado ((xi ), (yi )) en el que el exceso de demanda es 0; es decir, x − y = W . Así que la demanda neta de todos los agentes iguala a los recursos totales. Con lo anterior, si ((xi ), (yi )) es un equilibrio de mercado de la Economía, entonces diremos que: a) xi es un consumo de equilibrio de mercado; al conjunto de i-ésimos consumos de equilibrio de mercado lo notamos Aic . b) yj es una producción de equilibrio de mercado; al conjunto de j-ésimos planes de producción de equilibrio de mercado, lo notamos Ajρ .

7.2. El modelo Arrow-Debreu

215

Definición 6. (Equilibrio competitivo) Un equilibrio competitivo de la economía de propiedad privada es una tupla ((x∗i ), (yj∗ ), p∗ ) de puntos de Rl tal que: a) Para todo i, x∗i es un mayor elemento (con respecto a 4i ) de   n   X θij p∗ · yj∗ xi ∈ Xi | p∗ · xi ≤ p∗ · Wi +  

[ 14 ]

j=1

b) yj∗ maximiza el beneficio relativo a p∗ sobre Yj , para todo j. c) x∗ − y ∗ = W (equilibrio de mercado). Con lo anterior, podemos ahora definir la correspondencia de exceso de demanda total: z : Rl+ → 7 Z = X − Y − W (⊆ Rl ) p → 7 z(p) = D(p) − O(p) − W donde D(p) =

m X

Di (p),

O(p) =

n X

Oj (p)

j=1

i=1

y, como sabemos, X=

m X i=1

Xi

;

Y =

n X j=1

Yj

;

W =

m X

Wi

i=1

Las dos primeras sumatorias se denominan correspondencia de demanda total y correspondencia de oferta total a los precios p, respectivamente. Los últimos tres son, todos, subconjuntos de Rl . Con esto, es inmediato demostrar que: Lema 13. Una economía de propiedad privada tiene un equilibrio si, y sólo si, existe un vector de precios p∗ ∈ Rl+ tal que 0 ∈ z(p∗ ). Y también es simple probar, utilizando la definición 4, el siguiente resultado: Lema 14. ((x∗i ), (yj∗ ), p∗ ) es un equilibrio si, y sólo si, ((x∗i ), (yj∗ ), tp∗ ) es un equilibrio para todo t > 0. 14 Obsérvese que aquí la parte del presupuesto correspondiente a salarios aparece en el término p∗ · xi pero con signo negativo y así, trasponiendo este término al lado derecho de la desigualdad, hará parte del presupuesto del consumidor.

216

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu

Demostración. En primer lugar, recurriendo a la definición 4, tenemos que el conjunto   n   X θij p∗ · yj∗ xi ∈ Xi | p∗ · xi ≤ p∗ · Wi +   j=1

es igual al conjunto   n   X θij tp∗ · yj∗ xi ∈ Xi | tp∗ · xi ≤ tp∗ · Wi +   j=1

en donde hemos cambiado p∗ por tp∗ . Y, similarmente, yj∗ maximiza el beneficio relativo a p∗ sobre Yj , para todo j si, y sólo, si yj∗ maximiza el beneficio relativo a tp∗ sobre todos los Yj , pues el conjunto Oj (p) = {yj ∈ Yj | p · yj es máximo sobre Yj } es igual al conjunto {yj ∈ Yj | tp · yj es máximo sobre Yj } = Oj (tp) como fácilmente se puede ver.



A través del lema 14 se sustenta una afirmación muy importante del modelo: se puede tomar el precio de una de las mercancías como “numerario” (es decir, como patrón de valor), y representar los precios de las otras mercancías en términos de éste 15 . Por lo tanto, si p∗ es un sistema de precios de equilibrio, entonces podemos suponer que ∗

p ∈P =

(

p = (ph ) ∈

Rl+

|

l X

h=1

)

ph = 1

(simplex unitario)

Y también se puede probar una proposición que, como veremos, caracteriza el tipo de aproximación neowalrasiana al análisis de los mercados: Lema 15. (Ley de Walras) Bajo las condiciones a1), a2), b1), b2), b3), c), para p ∈ Rl+ , se tiene que p · z(p) = 0. Demostración. Es inmediato a partir de la definición de z(p). En efecto, si tomamos 15 También por este motivo se dice que en el modelo Arrow-Debreu no tiene cabida el dinero a menos que solo tenga el papel de medio de cambio y no de activo financiero.

7.2. El modelo Arrow-Debreu

217

Pm xi = (xih )lh=1 ∈ Di (p), yj = (yjh )lh=1 ∈ Oj (p) y W = ( i=1 Wih )lh=1 entonces: p · z(p) = =

l X

h=1

ph · zh =

m l X X

h=1 i=1

= Pm

i=1 θij

= 1.

h=1

ph xih −

l X m X n X i=1 h=1 j=1

pues

l X



ph 

m X i=1

m l X X

h=1 i=1

ph θij yjh −

xih −

m X i=1

ph Wih −

l X n X

Wih −

n l X X

n X j=1



yjh 

ph yjh

h=1 j=1

ph yjh = 0

h=1 j=1



Esta omnipresente propiedad, que ya habíamos discutido desde la obra original de Walras hasta el modelo de McKenzie, es, en palabras del propio Patinkin (Eatwell et al (eds.), 1987, p. 328), “una expresión de la interdependencia entre las ecuaciones de exceso de demanda de un sistema de equilibrio general que emana de la restricción presupuestal”16 y será central a la crítica del modelo Arrow-Debreu como modelo macroeconómico con microfundamentación. Nota 3. (Sobre la compacidad de los conjuntos de consumo y producción) Debreu (1959, p. 47), recurriendo nuevamente a la noción de cono asintótico y sus propiedades (además de las hipótesis topológicas sobre cada conjunto de producción Yj ), muestra que en la prueba de la existencia del equilibrio, es suficiente asumir que los conjuntos de consumo y de producción son, no solo cerrados, sino, también acotados; es decir, compactos. Es por ello que, en adelante, asumiremos esta condición de compacidad en los conjuntos básicos 17 .

7.2.5.

El teorema de existencia de equilibrios competitivos

El siguiente es uno de los principales aportes a la teoría económica en el siglo pasado. En él se garantiza la existencia de los equilibrios en una economía competitiva de propiedad privada y, al hacerlo, Arrow y Debreu probarían que era posible cierta compatibilidad de intereses entre compradores y vendedores en un mercado en el que todos son agentes tomadores de precios sin incertidumbre. 16 De hecho, Lange (1942) asegura que en una economía de intercambio, la ley de Say es un caso particular de la ley de Walras. Y dado que la ley de Walras se tiene también para el caso en que los hogares y las firmas están sujetas a restricciones de cantidad, ella abriría el camino a importantes avances en la teoría monetaria y laboral (Patinkin, 1951). 17 Para discusiones sobre este concepto topológico, ver el Apéndice matemático al final del texto.

218

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu

Teorema 1. (Existencia de equilibrio competitivo) Si la economía de propiedad privada E = ((Yj ), (Xi , 4i , Wi , θij )) satisface a1), a2), a3), b1), b2), b3), c), d1), d2), d3), d4), d5), tiene al menos un equilibrio competitivo 18 . Demostración. Como los conjuntos de consumo y producción son compactos, entonces el conjunto de equilibrios de mercado para la economía también es compacto; y así lo son los conjuntos Aic y Ajρ . Sea K un cubo cerrado de Rl centrado en el origen que contiene en su interior estos (m + n) conjuntos, y definamos fi = Xi ∩ K, Yej = Yj ∩ K, y consideremos la economía X ei , 4i , Wi , θij )) F = ((Yej ), (X

Ahora probemos que existe un equilibrio para la economía F. Según el lema 13, es suficiente probar que existe p∗ ∈ P tal que 0 ∈ ze(p∗ ) que es el conjunto de vectores de excesos de demanda a los precios p. Lo haremos en varios pasos: e − Ye − {W } es un conjunto compacto, convexo y noi) Puesto que Ze = X e también es compacto, convexo vacío, entonces el producto cartesiano P × Z y no-vacío.

e −→ P definida para s ∈ Ze por u ii) La correspondencia u e:Z e(s) = {p ∈ P | e es semicontinua superiormente, lo que se demuestra p · s es máximo en Z} de la misma manera (utilizando el teorema de Weierstrass) que para las correspondencias de demanda y oferta (lemas 4 y 9). También se prueba fácilmente que u e(s) es un conjunto convexo, pues si t ∈ (0, 1) y p1 , p2 ∈ u e(s) entonces tp1 + (1 − t)p2 ∈ u e(s), ya que si p1 · s = p2 · s siendo ambos e máximos en Z, entonces (tp1 + (1 − t)p2 ) · s = tp1 · s + (1 − t)p1 · s = p1 · s e también es máximo en Z.

iii)

e ϕ : P × Ze −→ P × Z

(p, s) 7−→ (e u(s), ze(p))

donde ze(p) es la correspondencia de exceso de demanda para la F-economía que es semicontinua superiormente, pues u e lo es según ii) arriba; y ze también lo es porque las correspondencias de demanda y oferta lo son.

iv) Puesto que los conjuntos u e(s) y ze(p) son convexos, no-vacíos, entonces u e(s) × ze(p) es convexo y no-vacío.

v) Podemos entonces aplicar el teorema de punto fijo de Kakutani19 para e tales que (p∗ , s∗ ) ∈ ϕ(p∗ , s∗ ); o, lo que es lo encontrar p∗ ∈ P, s∗ ∈ Z,

18 La prueba de este (muy) importante teorema exige un nivel de abstracción mayor que la del resto del libro. Por lo tanto, requerirá del estudiante toda su atención y disposición hacia el trabajo abstracto. 19 Citemos aquí, por conveniencia, el teorema de punto fijo de Kakutani que dice: Si X es un conjunto de vectores compacto, convexo y no-vacío, y f : X −→ X es una correspondencia semicontinua superiormente tal que para todo x ∈ X, f (x) es no-vacío y convexo, entonces existe un p ∈ X tal que p ∈ f (p).

7.2. El modelo Arrow-Debreu

219

e ∗ ) y así, p∗ · s∗ ≥ p · s∗ para todo p ∈ P mismo, p∗ ∈ u∗ (s∗ ) con s∗ ∈ Z(p ∗ ∗ y p · s = 0 (lema 15). Luego p · s∗ ≤ 0 para todo p ∈ P , y tomando e ∗) = X e − Ye − {W }, p´s apropiados, llegamos a que s∗ ≤ 0 20 , s∗ ∈ Z(p entonces: n m X X yj − W ≤ 0 (*) x∗i − s∗ = i=1

j=1

e ∗ ), yj ∈ O ej (p∗ ). donde x∗i ∈ D(p

Pn Llamemos y = j=1 yj ; entonces y ∈ Y , y como s∗ ≤ 0, entonces, por el lema 12, y + s∗ ∈ Y ; luego existen yj∗ ∈ Yj , tales que y + s∗ =

n X

yj∗

(**)

j=1

Uniendo (*) y (**) obtenemos que: m X i=1

x∗i −

n X

yj∗ = W

j=1

es decir s∗ = 0 o bien 0 ∈ ze(p∗ ) para la economía F.

Ya es fácil probar que ((x∗i ), (yj∗ ), p∗ ) es también equilibrio para la economía E´, y esto queda como ejercicio (sencillo) para el lector.  En su momento, y a pesar de su fuerte énfasis abstracto y matemático, el teorema de existencia de la teoría del equilibrio general à la Arrow-Debreu sería un inmenso logro para la teoría neoclásica y abriría una puerta amplia a la investigación teórica (y también a la aplicada), sobre la base sólida de que el equilibrio competitivo existía. Se tuvo, al fin, una mejor comprensión de lo que el “todo afecta todo” podría significar. Ya este, finalmente, tuvo una contraparte formal. Nota 4. (Rendimientos crecientes en la prueba de equilibrio) Aunque quizás podría ser fácil pensar en un “continuo de consumidores” anónimos ante el mercado, no lo es ya en el caso de un “continuo de productores” con conjuntos de producción convexos (rendimientos decrecientes a escala). De hecho, aunque la hipótesis de convexidad podría parecer inevitable para la existencia del equilibrio competitivo, existen numerosos trabajos –siendo sus pioneros Farrel (1967) y Starr (1969)– que muestran que si (en un sentido preciso) los rendimientos constantes a escala son “relativamente pequeños” entonces el modelo no sufrirá dificultades en probar la existencia de un equilibrio competitivo de la economía Arrow-Debreu que está cerca del equilibrio de la economía con rendimientos constantes a escala (Blume, 2008; Starr, 2008). 20 Es

decir, cada una de las componentes del vector s∗ es menor o igual que cero.

220

7.2.6.

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu

Los dos teoremas del bienestar económico

Entre 1951 y 1952, Arrow y Debreu, separadamente, trataban y resolvían otro de los problemas centrales de la teoría del equilibrio general: el problema de las características de bienestar de los equilibrios competitivos. Y allí observaban que las condiciones (sobre todo de convexidad) bajo las cuales un equilibrio es óptimo de Pareto son distintas a las condiciones bajo las cuales un óptimo de Pareto se puede implementar como un equilibrio. Al fin y al cabo, la primera prueba es más algebraica y la segunda es más geométrica. Distinguir esto sería una de las más importantes contribuciones de Arrow y Debreu a la teoría básica del bienestar económico. Definición 7. (Estado sostenible) a) Dada una economía E, un estado (x = (xi ), y = (yi )) de E se dice sostenible si satisface: xi ∈ Xi para todo i, yj ∈ Yj para todo j, x − y = w. Es decir, un estado ((xi ), (yi )) es sostenible si xi es un consumo posible para el i-ésimo consumidor, i = 1, 2, ..., m, yj es una producción posible para el j-ésimo productor, j = 1, 2, ..., n, y es un equilibrio de mercado. Al conjunto de estados sostenibles de E lo notaremos por A. b) Dada una economía E, un consumo xi para el i-ésimo consumidor es sostenible si existe un estado sostenible cuya componente correspondiente a este consumidor es xi . Al conjunto de todos los consumos sostenibles, lo llamaremos conjunto de consumo sostenible de E. Definición 8. (Óptimo de Pareto) a) Definimos el preorden 4 sobre el conjunto A de estados sostenibles de una economía E así: ((xi1 ), (yj1 )) 4 ((xi2 ), (yj2 )), si, y sólo si, para todo i, xi1 4i xi2 . b) Un óptimo de Pareto de E es un elemento maximal de A para 4. Es decir, un estado ((xi1 ), (yj1 )) es óptimo de Pareto si no existe otro estado sostenible ((xi2 ), (yj2 ) tal que para todo i se satisfaga xi1 4i xi2 aunque para al menos un i se tenga xi1 ≺i xi2 . Un óptimo de Pareto, entonces, es un estado sostenible para el cual no existe otro estado sostenible tal que todos los consumidores se encuentren por lo menos en la misma situación, en términos de sus preferencias, y al menos alguno de ellos mejore. Y con esta definición ahora presentamos el que es considerado como el teorema central de la teoría de precios: Teorema 2. (Primer teorema de la economía del bienestar) Sea E = ((Xi , 4i ), (Yi ), W ) una economía tal que, para todo i, (a) Xi es convexo.

7.2. El modelo Arrow-Debreu

221

(b) Si xi1 y xi2 son dos puntos de Xi y si t ∈ (0, 1), entonces xi2 ≻i xi1

implica

txi2 + (1 − t)xi1 ≻i xi1

Un equilibrio ((x∗i ), (yj∗ )) relativo a un sistema de precios p, donde ningún x∗i es un consumo de saciedad, es un óptimo de Pareto. Demostración. En primer lugar, por las hipótesis del teorema, como x∗i maximiza la preferencia i sobre Ti (p) entonces x∗i también minimiza el gasto p · x sobre el conjunto además, G(x∗i ) = {xi ∈ Xi | xi i x∗i } (ver ejercicio 12 al final del capítulo); Pm Pn también −y ∗ minimiza p · x sobre −Yj . Por consiguiente W = i x∗i − j yj∗ Pn Pm minimiza p · x sobre G′ = i=1 G(x∗i ) − j=1 Yj . Sea ahora (x = (xi ), y = (yj )) un estadoPsosteniblePtal que x∗i 4i xi para todo i. Entonces como x − y = W , m n el punto i=1 xi − j=1 yj minimiza el gasto p · x sobre G′ , y por el lema 10, xi minimiza el gasto p · x sobre G(x∗i ) para todo i. Por lo tanto, p · x ≤ p · x∗i y así, xi 4i x∗i , lo que muestra que ((x∗i ), (yj∗ )) es un óptimo de Pareto.  En ocasiones, este teorema se lee afirmando que si la única preocupación es que la asignación de recursos sea óptima de Pareto (sin importar cuál sea la distribución de riqueza allí) entonces el mecanismo (precios) competitivo es un método descentralizado satisfactorio. Teorema 3. (Segundo teorema de la economía del bienestar) Sea E = ((Xi , 4i ), (Yi ), W ) una economía tal que, para todo i, (a) Xi es convexo. (b) Para todo xi1 en Xi , los conjuntos {xi ∈ Xi | xi1 4i xi }

y

{xi ∈ Xi | xi 4i xi1 }

son cerrados en Xi . (c) Si xi1 y xi2 son dos puntos de Xi y si t ∈ (0, 1), entonces xi2 ≻i xi1

implica

txi2 + (1 − t)xi1 ≻i xi1

(d) Y es convexo. Dado un óptimo de Pareto ((x∗i ), (yj∗ )) donde algún x∗i no es un consumo de saciedad, existe un sistema de precios p diferente de cero, tal que ((x∗i ), (yj∗ )) es un equilibrio competitivo relativo a p, siempre que p · x∗i 6= Mín{p · Xi }. Aquí, la dotación inicial Wi es cualquier asignación tal que p · Wi = p · x∗i . Demostración. La demostración, que sigue de cerca a Debreu (1959, p. 96) –y, por tanto, exigirá mucha atención y cuidado por parte del lector–, constará de dos partes:

222

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu

i) Probemos, en primer lugar, que si x∗i minimiza p · xi sobre el conjunto {xi ∈ Xi | x∗i 4i xi } y además p · x∗i 6= Mín{p · Xi }, entonces x∗i es el máximo elemento (con respecto a 4i ) del conjunto {xi ∈ Xi | p · xi ≤ p · x∗i }. En efecto: tomemos xi ∈ Xi cualquiera tal que p · xi ≤ p · x∗i . Entonces debemos tener que xi 4i x∗i porque si sucediera lo contrario, es decir, si xi ≻i x∗i , entonces, puesto que p · x∗i 6= Mín{p · Xi }, se tendría que p · x∗i < p · xi y, como sabemos que p · xi ≤ p · x∗i , tendríamos una contradicción21 . ii) Definamos ahora, para k fijo, H(x∗k ) = {xk ∈ Xk | xk ≻k x∗k } y consideremos el conjunto H ′ (x∗k ) = H(x∗k ) +

X i6=k

Gi (x∗i ) −

n X

Yj

j=1

donde G(x∗i ) = {xi ∈ Xi /xi i x∗i }.

Q

H′ p b

W

Figura 7.11. Hiperplano Q que “soporta” a H ′ .

Nótese que este conjunto H ′ junto con (Xi , 4i ) y Yj conforman una economía que puede sostener un estado ((xi ), (yj )) tal que xk ≻k x∗k y x∗i 4i xi para i 6= k. Y como ((x∗i ), (yj∗ )) es óptimo entonces W no pertenece a H ′ (x∗k ). Además, por a1), b1) y b2) los conjuntos H(x∗k ) y Gi (x∗i ) son convexos y así, también, por c1), H ′ (x∗k ) es convexo. Recurriendo al teorema de Minkowski 22 , existe un hiperplano Q que pasa por W y que “soporta” a H ′ (figura 7.11); es decir, existe p ∈ Rl diferenteP de 0, talPque p · a ≥ p · W para todo a ∈ H ′ . Es ya fácil ver que como W = i x∗i − yj∗ entonces x∗i minimiza p · a sobre Gi (x∗i ) y −yj∗ minimiza p · a sobre −Yj , para todo i, j. Y suponiendo que p · x∗i 6= Mín{p · Xi }, se tendrá, por I) arriba, que ((x∗i ), (yj∗ ), p) es un equilibrio.  21 El lector podrá reconocer aquí que este resultado es que “ la minimización del gasto implica la maximización de la utilidad”. Algo que ya fue estudiado en las semanas 1 y 2 del volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial). Allá no nos preocupó la condición p · x∗i 6= Mín{p · Xi } porque, dadas las hipótesis, el primer término era siempre distinto de cero y el segundo, cero, ya que Xi = R2+ . 22 El teorema de Minkowski afirma que si C ⊆ Rn es un conjunto convexo y p está en la frontera de C, entonces existe un hiperplano soporte de C en p; es decir, existe un hiperplano Q tal que p ∈ Q, y C está contenido en uno de los dos semiespacios cerrados determinados por Q. Para más sobre este teorema, ver el Apéndice matemático.

7.2. El modelo Arrow-Debreu

223

Es notable que las condiciones bajo las cuales un equilibrio competitivo es óptimo están incluidas en aquellas bajo las cuales un óptimo es un equilibrio competitivo. Y la diferencia está en la continuidad de las curvas de nivel y, fundamentalmente, en la convexidad del conjunto de producción agregado. Esta distinción se ha considerado como una de las mayores contribuciones de Arrow y Debreu, aunque ellos mismos no lo hubiesen resaltado de manera particular. Con esta diferencia se resalta que son los rendimientos no-crecientes a escala los que permiten que la señal de precios asigne eficientemente. Nota 5. (Sobre el “problema de la discontinuidad de la demanda”, una vez más) En New Concepts and Techniques for Equilibrium Analysis de 1962, Debreu presentaría condiciones aún más débiles para la existencia del equilibrio competitivo. En particular, trata con la condición c) y también con la condición p · x∗i 6= Mín{p · Xi }. Esta última se satisface si el vector de dotaciones iniciales está en el interior del conjunto de consumo de cada consumidor23 , es debilitada al punto de permitir que aún siga teniéndose la existencia del equilibrio competitivo y también el segundo teorema del bienestar. ¿Pero cuál es el origen de esta dificultad? En Arrow & Debreu (1954), ellos buscaban condiciones sobre las preferencias de los consumidores, de tal manera que las funciones de exceso de demanda fueran continuas. Y descubrieron un problema: que aún con preferencias monótonas, si el precio de cierta mercancía es cero entonces la cantidad demandada será indefinida. Y todavía más, si la dotación inicial del consumidor no es interior al conjunto de consumo, la cantidad demandada puede variar continuamente con precios positivos, pero quedar indefinida al precio cero, y no existir el equilibrio. Nota 6. (Un camino hacia algunas “fallas de mercado”) La demostración del teorema de existencia que acabamos de presentar, sigue a Debreu (1959) en sus líneas principales, luego de que éste bebiera en la fuente de los trabajos sobre existencia de equilibrios competitivos de McKenzie (1954), Gale (1955) y Nikaido (1968). Pero la demostración de Debreu, recurriendo directamente al teorema de punto fijo de Kakutani, difiere esencialmente de la original de Arrow & Debreu (1954) que está inspirada en la demostración de la existencia de equilibrios de Nash (1950b, 1951) en la teoría de juegos –ver volumen III (Competencia bajo equilibrio de Nash)–. En esta última prueba de existencia, en primer lugar asocian un juego generalizado con la economía dada; luego prueban que existe al menos un equilibrio de Nash del juego generalizado; y, finalmente, demuestran que, en el equilibrio de Nash, todos los mercados de la economía quedan vacíos (oferta igual a demanda). Esta aproximación es totalmente diferente a las demostraciones posteriores de Debreu, McKenzie, Gale y Nikaido, en donde se resuelve un sistema de funciones de exceso de demanda igualadas, cada una, a cero. Pero hay más: esto permite 23 En efecto: Si W está en el interior de X , existe x′ ∈ X tal que x′ 1 1 si   p x   py 0 y py = 0 (el bien y es gratuito) entonces el consumidor A, teniendo como restricción de presupuesto px xA = 0 (obtenida de hacer py = 0 en px xA + py yA = py ), nos conduciría a que xA = 0 y yA = t para cualquier t ∈ [0, 1]. Por su parte, el consumidor B, teniendo como restricción de presupuesto px xB = px , obtendría xB = 1, y así, para maximizar su función de utilidad, hacemos yB = 1, lo que, a su vez, por la condición de equilibrio yA + yB = 1, obliga a que yA = 0. Por lo tanto, x∗A = 0,

x∗B = 1,

∗ yA = 0,

∗ yB = 1,

p∗y = 0,

p∗x > 0

es un equilibrio competitivo de esta economía. Aquí, A “le cede” a B su dotación inicial que, en el mercado, es gratuita, debido a que hacerlo no le mejora su utilidad (función de utilidad Cobb-Douglas), pero sí se la aumenta a B debido a que tiene una función de utilidad lineal. La aparición de este “extraño” equilibrio se debe, sin duda, a que ambos consumidores comenzaron el intercambio con dotaciones iniciales nulas de alguna mercancía. iii) De otro lado, si px = 0 y py > 0 entonces el consumidor A, teniendo como restricción de presupuesto py yA = py (obtenida de hacer px = 0 en px xA + py yA = py ), nos conduciría a que yA = 1 y, buscando maximizar su utilidad, hará xA = 1. Por su parte, el consumidor B, teniendo como restricción de presupuesto py yB = 0, obtendría yB = 0, y así, para maximizar su función de utilidad, hace xB = 1; pero esto, por la condición de equilibrio xA + xB = 1, nos llevaría a una contradicción. Luego no existe equilibrio competitivo si el bien x es gratuito. Observemos que esta economía de intercambio satisface las hipótesis (a1), (a2), (b1) y (b2) del

226

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu teorema 1 (existencia del equilibrio general), pero no satisface la hipótesis (c), pues las dotaciones están en la frontera del conjunto de consumo R2+ . Sin embargo, todavía se mantiene la conclusión del teorema sobre la existencia de equilibrio competitivo.

iv) Ya sabemos que la curva de contrato de esta economía es yA = xA (pues la igualación de las tasas marginales de sustitución nos lleva a que yA /xA = 1) y esta condición se puede extender también al caso en que xA = 0. Probar que los dos teoremas del bienestar se satisfacen, es sencillo. En efecto, el primer teorema se tiene al observar que los dos equilibrios de la economía pertenecen a la curva de contrato yA = xA . Esta economía satisface todas las hipótesis del teorema 2 (primer teorema de la economía del bienestar) y, por tanto, como era de esperarse, se da su conclusión. v) De otro lado, si (xA , yA ) es un óptimo de Pareto con xA 6= 0 tendremos que la condición de igualdad entre la tasa marginal de sustitución y la relación de precios nos lleva, de yA /xA = py /px , a que py /px = 1, que es la correspondiente relación de precios de equilibrio. Sin embargo, aunque notamos que esto último no ocurre en el punto de equilibrio (0, 0), este también puede ser sustentado por dos precios de equilibrio: uno positivo y el otro nulo. Debe resaltarse aquí que a pesar de que en este equilibrio (0, 0) de esta economía no se satisface una (pero solo una) de las hipótesis del teorema 3 (segundo teorema del bienestar, i.e., la condición p · x∗i 6= Mín p · X), todavía se tiene su conclusión. Ejemplo 2. En la economía de intercambio puro uA (xA , yA ) = 3xA + 2 ln yA

;

WA = (2, 1)

uB (xB , yB ) = Mín{xB , yB }

;

WB = (0, 1)

seguramente tendremos que estudiar varios casos de precios posibles de equilibrio, debido a que la función del consumidor B no es estrictamente creciente en cada uno de sus argumentos, y además no posee ninguna cantidad del bien 1: i) Si los precios px y py son positivos, las funciones de demanda respectivas de los agentes A y B son xA =

4 py + , 3 px

yA =

2 px , 3 py

xB = yB =

py px + py

Obviamente, en el cálculo de estas últimas no podíamos utilizar las técnicas de optimización de Lagrange, ni tampoco relaciones de tasas marginales de sustitución. En su lugar, tuvimos que recurrir al siguiente argumento: si xB > yB en el óptimo, entonces, dejando fijo yB , podemos reducir un poco xB de tal forma que aún estemos en la misma curva de nivel de B que pasa por (xB , yB ), y esto necesariamente conduciría a un aumento

7.3. Ejemplos fundamentales

227

en el nivel de utilidad de A pues xA = 2 − xB . El caso xB < yB es similar. Ahora: de la condición de equilibrio xA + xB = 2, tendremos que   py 4 py + + =2 3 px px + py √

y, de aquí, los precios de equilibrio emergen: p∗y /p∗x = 10−2 , mostrando 3 que, en equilibrio, la mercancía x es más costosa. Las asignaciones de ∗ ∗ equilibrio son x∗A = yA ≈ 1.72 y x∗B = yB ≈ 0.28. ii) Ahora supongamos que px = 0 y py > 0. De la restricción presupuestal del consumidor B, px xB + py yB = py , llegamos a que yB = 1; y, al ser gratis el bien x, entonces escogiendo xB = t para t ∈ [1, 2] se maximizaría su utilidad que, en este caso, es 1. Sin embargo, de la restricción presupuestal del consumidor A, px xA + py yA = 2px + py , llegaríamos a que yA = 1 y, siendo x gratis, entonces A tomaría lo máximo que sea posible para maximizar su utilidad; es decir, xA = 2. Pero esto último haría imposible que se cumpliera la condición de equilibrio xA + xB = 2. Así que no existe equilibrio bajo estas condiciones de precio. iii) Algo distinto ocurre si asumimos que es el bien y el que es gratis: px > 0 y py = 0. En este caso, bajo un argumento similar al anterior, encontramos ∗ ∗ que otro equilibrio para esta economía es x∗A = yA = 2 y x∗B = yB =0 ∗ ∗ con px > 0, py = 0. Y la explicación es que, dado que el bien y es gratis y el consumidor B tiene una unidad de éste (que además no le da ninguna utilidad, pero que sí se la da al consumidor A), la única posibilidad de equilibrio aquí es que B “le ceda” esta unidad al consumidor A. iv) Mediante el método geométrico (figura 7.13), es decir, fijando una curva de nivel para el consumidor, digamos A, y “alejando” al máximo las curvas de nivel del consumidor B pero manteniéndonos sobre la curva de nivel de A previamente escogida, el lector puede mostrar que la curva de contrato de este intercambio es yA = xA con 0 < xA ≤ 2 (¿por qué tiene ser xA 6= 0?) v) El primer teorema del bienestar lo ilustramos notando que los dos equilibrios competitivos están en la curva de contrato. A su vez, el segundo teorema del bienestar lo ilustramos escribiendo, para el agente A, la ecuación ∂uA /∂xA = ∂uA /∂yA = px /py en un punto cualquiera [(xA , xA ), (2− xA , 2 − xA )] de la curva de contrato (recuerde el lector que estas asignaciones de óptimo de Pareto constituyen las (respectivas) dotaciones iniciales de los agentes) para 0 < xA ≤ 2. Por lo tanto, llegamos a que la relación de precios de equilibrio estará dada por p∗x /p∗y = (3/2)yA . Por ejemplo, la asignación paretiana equitativa (1, 1) tendría a p∗x /p∗y = 3/2 como rela∗ ción de precios de equilibrio, y la asignación de equilibrio x∗A = yA = 2, ∗ = 0 tendría a p∗x /p∗y = 3. ¿Podría el lector explicar por qué los x∗B = yB precios aquí (p∗x /p∗y = 3) son distintos a los del equilibrio en III) anterior (p∗x > 0, p∗y = 0)?

228

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu

(0, 2) yA

Óptimos de Pareto: yA = xA

B equilibrio (2, 2) •

•

equilibrio (1.72, 1.72)

•

A

xA

(2, 0)

Figura 7.13. Ilustración del ejemplo 2.

Ejemplo 3. Consideremos la economía de intercambio puro uA (xA , yA ) = Mín{xA , yA }, B

u (xB , yB ) = Mín{xB , yB },

;

WA = (1, 0)

;

WB = (0, 1)

Imaginemos la situación de dos tipos de agentes en la que uno de estos tiene una unidad de un bien complementario de otro bien, del que el otro agente tiene también una unidad 25 . Estudiemos los tres siguientes casos: i) Si ambos precios, px y py , son positivos, las funciones de demanda respectivas de los agentes A y B son: xA =

px = yA , px + py

xB =

py = yB px + py

(*)

Obviamente, en el cálculo de estas últimas tampoco pudimos utilizar las técnicas de optimización de Lagrange, ni relaciones de tasas marginales de sustitución. En su lugar, tuvimos que recurrir a un argumento similar al del ejemplo anterior. ii) Si px = 0 y py > 0 entonces, de la restricción de presupuesto del consumidor A, obtenemos que py yA = 0 y, así, las demandas son yA = 0 y xA = t1 para cualquier 0 ≤ t1 ≤ 1. De manera similar, de la restricción de presupuesto del consumidor B, obtenemos que py yB = py y, así, las demandas son yB = 1 y xB = 1. iii) Si px > 0 y py = 0 entonces, de la restricción de presupuesto del consumidor A, obtenemos que px xA = px y, así, las demandas son xA = 1 y yA = 1. De manera similar, de la restricción de presupuesto del consumidor B, obtenemos que px xB = 0 y, así, las demandas son xB = 0 y yB = t2 para cualquier t2 con 0 ≤ t2 ≤ 1. 25 Imaginemos el caso del uso de un zapato izquierdo y uno derecho. ¿Podría el lector dar algún otro ejemplo?

7.3. Ejemplos fundamentales

229

En el caso i), la condición de equilibrio es una identidad: py px + =1 px + py px + py y, por tanto, cualquier par de precios positivos (px , py ), y sus correspondientes demandas dadas por las igualdades (*), conforman un equilibrio. Podríamos intentar interpretar esto como si el intercambio pudiese llevarse a cabo en cualquier asignación sin que medie el mecanismo de precios. Geométricamente, esto se ve en la figura 7.14, donde, en el punto E pueden construirse infinitas “tangentes” a las dos curvas de nivel 26 . B

(0, 1) yA

infinitos equilibrios: xA =

Óptimos de Pareto: yA = xA

px = yA px + py

E•

A xA

(1, 0)

Figura 7.14. Ilustración del ejemplo 3.

Ahora: fijando una curva de nivel de cualquiera de los dos consumidores, y llevando las curvas de nivel del otro consumidor hasta el máximo nivel (figura 7.14), notaremos que los óptimos de Pareto de esta economía son las asignaciones de la recta yA = xA con 0 ≤ xA ≤ 1. Claramente, cualquier equilibrio competitivo es un óptimo de Pareto, y con esto queda ilustrado el primer teorema del bienestar. De otro lado, dado un óptimo de Pareto de la forma [ (xA , xA ), (1 − xA , 1 − xA ) ] para 0 ≤ xA < 1, hacemos de éste un equilibrio competitivo de la economía si (despejando px /py de la ecuación xA = px /(px + py )) asignamos la razón de precios xA p∗x = p∗y 1 − xA El caso xA = 1 se tiene con py = 0 y px > 0 cualquiera27 . Con lo anterior ilustramos el segundo teorema de la economía del bienestar. 26 En el caso del zapato izquierdo y derecho señalado en el pie de página anterior, y sabiendo que los “pedazos” de zapato no sirven de nada, el equilibrio competitivo indica que alguno de los dos debería cederle su zapato al otro. 27 ¿Cómo entendería el lector este precio nulo en el caso de los zapatos comentados en las dos anotaciones de pies de página anteriores?

230

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu

Ejemplo 4. Consideremos ahora la misma economía del ejemplo anterior, pero donde dotaremos al consumidor B de una unidad adicional de mercancía y, es decir: uA (xA , yA ) = Mín{xA , yA }

;

WA = (1, 0)

uB (xB , yB ) = Mín{xB , yB }

;

WA = (0, 2)

y veamos la diferencia de comportamiento de esta economía con respecto al ejemplo anterior. Consideremos los siguientes casos: i) Si ambos precios, px y py , son positivos, las funciones de demanda respectivas de los agentes A y B son: xA =

px = yA , px + py

xB =

2py = yB px + py

ii) Si px = 0 y py > 0 entonces las funciones de demanda respectivas de A y B son, para 0 ≤ t ≤ 1: xA = t,

yA = 0,

xB = 1,

yB = 2

iii) Si px > 0 y py = 0 entonces las funciones de demanda respectivas de A y B son, para 1 ≤ t1 ≤ 2 y 0 ≤ t2 ≤ 2: xA = 1,

yA = t1 ,

xB = 0,

yB = t2

En el caso i), la condición de equilibrio xA + xB = 1 nos lleva a que p∗y = 0 lo que es imposible por la hipótesis p∗y > 0. En el caso ii) la condición de equilibrio xA + xB = 1 nos lleva a xA = 0, y así, obtendremos el equilibrio x∗A = 0,

∗ yA = 0,

x∗B = 1,

∗ yB = 2,

p∗x = 0,

p∗y > 0

En el caso iii) la condición de equilibrio yA + yB = 2 nos lleva a yB = 2 − yA , y así, para 1 ≤ t ≤ 2, obtendremos los equilibrios x∗A = 1,

∗ yA = t,

x∗B = 0,

∗ yB = 2 − t,

p∗x > 0,

p∗y = 0

Ahora: para construir los óptimos de Pareto de esta economía, recurrimos a la figura 7.15 y a la forma geométrica de calcularlos: fijamos una curva de nivel de cualquiera de los dos consumidores, y después buscamos la curva de nivel del otro consumidor que sea lo más “lejana” posible del origen y que intersecte nuestra curva de nivel fija; las asignaciones correspondientes a esta intersección serán los óptimos de Pareto. Repetimos este procedimiento para otras curvas de nivel del mismo consumidor escogido previamente, y hacemos un poco de inducción visual sobre la forma que tendrá todo el conjunto de estos óptimos. De esta manera encontramos que los óptimos de Pareto de nuestra economía están conformados por las asignaciones en el paralelogramo gris de la figura 7.16.

7.3. Ejemplos fundamentales xB

231 xB

B

(0, 2)

Equilibrios competitivos

yA

yA

yB

xA

1

1

1

1

A •

B

(0, 2)

yB

Óptimos de Pareto (en gris)

A •

xA (1, 0) Equilibrio competitivo

(1, 0)

Figura 7.16. Ilustración ejemplo 4.

Figura 7.15. Formación de óptimos de Pareto en el ejemplo 4.

Comprobamos entonces el primer teorema de la economía del bienestar recurriendo a la figura 7.16: claramente, todos los equilibrios competitivos de esta economía están en el paralelogramo gris de óptimos de Pareto. De otro lado, si tomamos, para 0 ≤ xA ≤ 1, un óptimo de Pareto (xA , yA ) donde xA ≤ yA ≤ 1 + xA podemos hacer de éste un equilibrio competitivo de la economía si, despejando px /py de la ecuación xA = px /(px + py ), asignamos la razón de precios p∗x /p∗y = xA /(1 − xA ). El caso xA = 1 se tiene con py = 0 y px > 0 cualquiera. Ejemplo 5. Consideremos una economía de intercambio puro conformada por dos mercancías x y y, y dos consumidores A y B donde las preferencias están representadas por las funciones de utilidad uA (xA , yA ) = yA

;

uB (xB , yB ) = xB + yB

y las dotaciones de los consumidores son WA = (0, 1), WB mandas respectivas, en este caso, son xA = 0, yA = 1 para y     0 si ppxy > 1 1 + ppxy         py si ppxy < 1 xB = 1 + px yB = 0         si ppxy = 1  [0, 1]  [0, 2]

= (1, 1). Las deel consumidor A; si

px py

>1

si

px py

0

232

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu ∗ ∗ x∗A = 0 , yA = 1 , x∗B = 1 , yB = 1 , p∗x = 0 , py > 0

y que los óptimos de Pareto son las asignaciones resaltadas en negro en la figura 7.17. xB (0, 2) B

yA •

equilibrio competitivo

1 yB

A •

xA

(1, 0)

Figura 7.17. Ilustración del ejemplo 5.

Claramente, las dotaciones iniciales conforman un óptimo de Pareto, y así ilustramos el primer teorema de la economía del bienestar. Para confirmar el segundo teorema de la economía del bienestar, tomemos una asignación paretiana de la forma (0, yA ) con 0 ≤ yA ≤ 2. Entonces yB = 2 − yA ∈ [0, 2] y así, dada la correspondencia de demanda yB , una relación de precios que podría sustentarlo es px /py = 1. Ejemplo 6. (Una economía sin equilibrios competitivos pero con óptimos de Pareto) Finalmente, consideremos una economía de intercambio puro similar a la del ejemplo 5, conformada por dos mercancías x y y, y dos consumidores A y B, pero donde ahora las preferencias están representadas por las funciones de utilidad uA (xA , yA ) = yA

;

uB (xB , yB ) = xB + yB

y las dotaciones de los consumidores son WA = (1, 1), WB = (1, 0). Si px > 0, el individuo A querrá vender de x y comprar px /py unidades de y, las que no pueden ser ofrecidas porque B no tiene nada de ese bien. Por consiguiente, no puede existir ningún equilibrio con px > 0. Ahora: si px = 0 entonces B demandará una cantidad infinita de x y, por ello, tampoco puede existir equilibrio con px = 0. La conclusión es, entonces, que esta economía no tiene equilibrio. Sin embargo, es fácil comprobar mediante una simple caja de Edgeworth-Bowley que sí tiene óptimos de Pareto: son todos los pares (xA , yA ) y (xB , yB ) tales que xA = 0,

0 ≤ yA ≤ 1;

xB = 2,

yB = 1 − y A

No hay duda de que la dificultad con este ejemplo, en lo que respecta a la noexistencia de equilibrios competitivos, se debió a la forma de la función uA de

Ejercicios

233

esta economía y a que no satisfacía la condición c) de consumo: las dotaciones iniciales del agente B no son interiores al conjunto de consumo R2+ . No sobra resaltar que las dos condiciones “extrañas” de este ejemplo no pueden ser abarcadas simultáneamente por el modelo Arrow-Debreu de 1962, pues en tal caso sí hubiera existido el equilibrio competitivo. N Con los ejemplos anteriores hemos observado la alta dependencia sobre las condiciones de la economía para que exista (o no) el equilibrio competitivo. La pregunta que surge es: ¿Qué hacer si no existe el equilibrio? La teoría neoclásica homogeneizada se apoya entonces en el segundo teorema de la economía del bienestar, haciendo de los óptimos de Pareto (después de redistribución de dotaciones) equilibrios competitivos. Sin embargo, ¿y si la economía no tiene óptimos de Pareto? En estos casos la teoría se silencia. Sobre estas discusiones regresaremos en la semana 10.

Ejercicios (Observación: los ejercicios señalados con uno (∗) o dos asteriscos (∗∗) tienen, a juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.) 1. (Orden lexicográfico). Consideremos la siguiente relación definida sobre R+ así: (x1 , y1 ) 4i (x2 , y2 ) si, y sólo si, x1 < x2 o, en el caso en que x1 = x2 entonces y1 ≤ y2 . ¿Es esta relación un preorden? ¿Es completa? ¿Satisface la hipótesis de continuidad? 2. Responda las mismas preguntas que en el ejercicio anterior para el caso de las relaciones sobre R+ : a) (x1 , y1 ) 4i (x2 , y2 ) si, y sólo si, (x1 y1 )2 ≤ (x2 y2 )2 .

b) (x1 , y1 ) 4i (x2 , y2 ) si, y sólo si, Mín{x1 , y1 } ≤ Mín{x2 , y2 }. √ √ c) (x1 , y1 ) 4i (x2 , y2 ) si, y sólo si, x1 + y1 ≤ x2 + y2 . 3. En el ejemplo anterior, identifique (si es posible), en cada caso, una función de utilidad que represente la correspondiente relación sobre R+ . También grafique los conjuntos de indiferencia como curvas de nivel de las correspondientes funciones de utilidad. 4. (Conos de producción) Un subconjunto Y de Rl es un cono con vértice 0 (asumiendo 0 ∈ Y ) si siempre que y ∈ Y − {0} entonces también ty ∈ C para todo t > 0. Obviamente, un cono con vértice en 0 es un conjunto de producción con rendimientos constantes a escala. ¿Será que el recíproco de esta afirmación también es cierta? 5. Considere una economía de intercambio puro con las siguientes funciones uA (xA , yA ) = 2xA yA

uB (xB , yB ) = 2xB yB

234

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu con dotaciones WA = (2, 4), WB = (4, 4). Encuentre las funciones de excesos de demanda y los equilibrios competitivos (si los hay).

6. Realice el mismo ejercicio anterior pero ahora para las siguientes funciones: a) uA (xA , yA ) =

√ xA yA ;

uB (xB , yB ) =

√ xB yB

b) uA (xA , yA ) = (xA 2 + yA 3 )1/2 ; uB (xB , yB ) = (xB 2 + yB 3 )1/2 √ √ √ A B c) u (x , y ) = x − 1 + y − 2 ; u (x , y ) = xB − 1 + A A A A B B √ yB − 2 7. Considere la siguiente economía de intercambio puro de dos agentes y dos mercancías: 1/2 1/2 ui (xi , yi ) = 2 (xi ) + (yi ) i = A, B donde hay una unidad de cada bien. a) Encuentre las asignaciones óptimas de Pareto, y dibuje la curva de contrato en una caja de Edgeworth. b) Suponga que el agente A tiene una dotación (0.36, 0.64), y encuentre las asignaciones de equilibrio competitivo. Interprete este resultado. c) Compruebe el primer teorema del bienestar. d) Compruebe el segundo teorema del bienestar. 8. Considere la siguiente economía de intercambio puro de dos agentes y dos mercancías: 1

uA = (xA ) 3 + ln yA ,

uB = ln xB + ln yB

donde hay dos unidades de cada bien en la economía. a) Encuentre las asignaciones óptimas de Pareto, y dibuje la curva de contrato en una caja de Edgeworth. b) Suponga que el agente A tiene una dotación (1, 0), y encuentre las asignaciones de equilibrio competitivo. Interprete este resultado económico. c) Compruebe el primer teorema del bienestar. d) Compruebe el segundo teorema del bienestar. 9. Realice el mismo ejercicio anterior ahora para las siguientes funciones: √ a) uA (xA , yA ) = xA yA ;

√ uB (xB , yB ) = xB yB

b) uA (xA , yA ) = (xA )1/2 + yA 3 ; uB (xB , yB ) = (xB )1/2 + yB 3 √ √ √ A uB (xB , yB ) = xB − 1 + c) u √ (xA , yA ) = xA − 1 + yA − 2 ; yB − 2

Ejercicios

235

10. Considere la economía de intercambio de tres agentes: √ √ √ √ uA (xA , yA ) = 2( xA + yA ); uB (xB , yB ) = 2( xB + yB ) uC (xC , yC ) = xC donde WA = (wA , 0), WB = (wB , 0), y WC = (0, 1). Muestre que, en equilibrio, para i = A, B, se tiene que las demandas son xi =

pwi wi , yi = 1+p p(1 + p)

y para i = C su demanda es xC = p, yC = 0 evaluadas en el precio de equilibrio p 1 + 4(px + py ) − 1 p= 2 Asuma que x es “ocio” y y es un bien de consumo importante, e interprete este equilibrio. ¿Qué significa el hecho de que p dependa de la riqueza agregada de la economía? 11. (∗) Encuentre el equilibrio del problema de intercambio uA (xA , yA ) = (xA )α (yA )β ,

uB (xB , yB ) = (xB )δ (yB )γ

con 0 < α, β < 1, δ, γ > 0 y dotaciones WA = (WAx , WAy ), WB = (WBx , WBy ), y analizar los diversos cambios de este equilibrio, en respuesta a cambios en los parámetros fundamentales (α, β, δ, γ, WA , WB ) de esta economía. 12. (**) Asumiendo las hipótesis del teorema 2, pruebe que si x∗i maximiza la preferencia i sobre Ti (p) entonces x∗i también minimiza el gasto p · x sobre el conjunto G(x∗i ) = {xi ∈ Xi | xi i x∗i }. ¿Recuerda el lector lo estudiado en las semanas 1 y 2 del volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial)? 13. (*) Invitamos ahora al lector a probar un teorema central a la teoría del equilibrio general: las propiedades básicas de la función de exceso de demanda. Las características de esta, resumen el comportamiento macroeconómico del modelo Arrow-Debreu a partir del comportamiento microeconómico de sus agentes. Es decir, todo lo que se requiere para calcular los equilibrios competitivos y deducir sus características, parten de esta función. Teorema 4. (Propiedades de la función de exceso de demanda) La función de exceso de demanda agregada z(p) = (zx (p), zy (p)) para p = (px , py ) ≥ 0 pero p 6= 0 satisface que: i) z(p) es continua. ii) z(p) es homogénea de grado cero.

236

Semana 7. El modelo Arrow-Debreu iii) z(p) satisface la ley de Walras: p · z(p) = 0. iv) Para cierto M > 0 se tiene que zk (p) ≥ −M para todo k y todo p. Sin embargo, el modelo de McKenzie (semana 6) nos enseñó una quinta [v)] propiedad fundamental de la función de exceso de demanda. ¿Cuál es esa? De hecho, algunos autores (ver, por ejemplo Jehle & Reny, 2001, p. 192) prueban la existencia de equilibrio competitivo para economías de intercambio, bajo las propiedades i), iii) y una similar a tal propiedad v).

14. (*) En lo que sigue se presenta el teorema más conocido de existencia de equilibrios competitivos para economías de intercambio. El ejercicio aquí consiste en que el lector haga una lectura juiciosa de él, justificando cada uno de los pasos recurriendo, si es necesario, al apéndice matemático. Teorema 5. (Existencia de equilibrios competitivos) Sean U i : R2+ → R (xi , yi ) → U i (xi , yi )

para i = A, B, funciones de utilidad continuas, monótonas crecientes estrictamente y cuasicóncavas estrictas y (wxA , wyA ) y (wxB , wyB ) las dotaciones iniciales de los consumidores A y B, respectivamente. Además, supongamos que si pj = 0, entonces zj (px , py ) > 0 para j = x, y. Entonces existe algún par de precios positivos (p∗x , p∗y ) tales que zx (p∗x , p∗y ) = 0 y zy (p∗x , p∗y ) = 0; es decir, existe un equilibrio competitivo para la economía descrita por estas funciones de utilidad y dotaciones iniciales. En efecto: como las funciones de demanda de los agentes son continuas, entonces también las funciones de exceso de demanda son continuas. Sea P = {(px , py ) ∈ [0, 1]2 | px + py = 1} y sea la función g : P → P definida por: gx (px , py ) =

px + Máx{0, zx (px , py )} 1 + Máx{0, zx (px , py )} + Máx{0, zy (px , py )}

gy (px , py ) =

py + Máx{0, zy (px , py )} 1 + Máx{0, zx (px , py )} + Máx{0, zy (px , py )}

Vemos que (gx , gy ) ∈ P , ya que: gx (px , py ) + gy (px , py ) =

px + Máx{0, zx (px , py )} 1 + Máx{0, zx (px , py )} + Máx{0, zy (px , py )}

+

py + Máx{0, zy (px , py )} 1 + Máx{0, zx (px , py )} + Máx{0, zy (px , py )}

=

px + py + Máx{0, zx (px , py )} + Máx{0, zy (px , py )} =1 1 + Máx{0, zx (px , py )} + Máx{0, zy (px , py )}

Ejercicios

237

Como P es un conjunto no-vacío, convexo y compacto, y g(·) es una función continua, por el teorema del punto fijo de Brouwer, existe al menos un punto fijo de g(·), (p∗x , p∗y ) ∈ P . Veamos que (p∗x , p∗y ) es un equilibrio competitivo. Tenemos que el punto satisface p∗x =

p∗x + Máx{0, zx (p∗x , p∗y )} 1 + Máx{0, zx (p∗x , p∗y )} + Máx{0, zy (p∗x , p∗y )}

p∗y =

p∗y + Máx{0, zy (p∗x , p∗y )} . 1 + Máx{0, zx (p∗x , p∗y )} + Máx{0, zy (p∗x , p∗y )}

de lo cual,
p∗x Máx{0, zx (p∗x , p∗y )} + Máx{0, zy (p∗x , p∗y )} = Máx{0, zx (p∗x , p∗y )}


p∗y Máx{0, zx (p∗x , p∗y )} + Máx{0, zy (p∗x , p∗y )} = Máx{0, zy (p∗x , p∗y )}.

Multipliquemos ambas ecuaciones por zx (p∗x , p∗y ) y zy (p∗x , p∗y ) respectivamente, obtenemos entonces
p∗x zx (p∗x , p∗y ) Máx{0, zx (p∗x , p∗y )} + Máx{0, zy (p∗x , p∗y )} = = zx (p∗x , p∗y ) Máx{0, zx (p∗x , p∗y )}.


p∗y zy (p∗x , p∗y ) Máx{0, zx (p∗x , p∗y )} + Máx{0, zy (p∗x , p∗y )} = =zy (p∗x , p∗y ) Máx{0, zy (p∗x , p∗y )}.

Sumando ambas igualdades obtenemos

p∗x zx (p∗x , p∗y ) + p∗y zy (p∗x , p∗y ) Máx{0, zx (p∗x , p∗y )} + Máx{0, zy (p∗x , p∗y )} = zx (p∗x , p∗y ) Máx{0, zx (p∗x , p∗y )} + zy (p∗x , p∗y ) Máx{0, zy (p∗x , p∗y )},

que por la ley de Walras es equivalente a zx (p∗x , p∗y ) Máx{0, zx (p∗x , p∗y )} + zy (p∗x , p∗y ) Máx{0, zy (p∗x , p∗y )} = 0. Si zx (p∗x , p∗y ) > 0 o zy (p∗x , p∗y ) > 0 se tiene que zx (p∗x , p∗y ) Máx{0, zx (p∗x , p∗y )} + zy (p∗x , p∗y ) Máx{0, zy (p∗x , p∗y )} > 0; por lo tanto, debe ser zx (p∗x , p∗y ) ≤ 0 o zy (p∗x , p∗y ) ≤ 0. Ahora, si se diera que zi (p∗x , p∗y ) < 0 para algún i = x, y, tendríamos que pj > 0. Pero entonces, p∗x zx (p∗x , p∗y ) + p∗y zy (p∗x , p∗y ) < 0 contradiciendo la ley de Walras. Así, debe ser zx (p∗x , p∗y ) = 0 y zy (p∗x , p∗y ) = 0.

Semana 8

Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

8.1.

Introducción

La celebración por la conquista de la gran síntesis neoclásica del modelo original de Pareto (mas no del de Walras), tal como aparece en Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy (1954) de Arrow & Debreu y, cinco años más tarde, en el Theory of Value (1959) de Debreu, dio origen a un aluvión de trabajos sobre el modelo mismo y sobre sus limitaciones como herramienta de análisis en situaciones de mercado reales. Muchos de ellos, obviamente, fueron desarrollos a resultados obtenidos entre 1954 y 1959, pero otros fueron respuestas novedosas a las notas colocadas al final de cada uno de los capítulos por parte del mismo Debreu en 1959. Por ejemplo, en el capítulo 2 (p. 36) decía: Dos importantes y difíciles problemas no los resuelve la aproximación que se estudia aquí: la integración de la moneda en la teoría del valor (sobre esto ver Patinkin (1957) y sus referencias) y la inclusión de las mercancías indivisibles.

Y en el siguiente capítulo (p. 49) afirmaba: Debemos hacer énfasis en tres fenómenos que el presente análisis no cubre: (1) las economías externas o diseconomías, es decir, el caso donde el conjunto de producción de un productor depende de las producciones de los otros productores (y/o sobre los consumos de los consumidores), (2) los rendimientos crecientes a escala, (3) el comportamiento de los productores que no consideran los precios como dados al escoger sus producciones.

Y en el capítulo 4 (p. 73) aseguraba que: Debemos hacer énfasis en que el presente análisis no cubre el caso donde el conjunto de consumo de un consumidor y/o sus preferencias dependen de los

239

240

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales consumos de los otros consumidores (y/o de las producciones de los productores).

Finalmente, en el capítulo 5 (p. 89), afirmaba: En este capítulo no se han estudiado dos importantes problemas: la unicidad y la estabilidad del equilibrio (sobre este punto, ver K. J. Arrow & L. Hurwicz (1958), K. J. Arrow, H. D. Block & L. Hurwicz (1959), y sus referencias).

Y a partir de allí comenzaría el acondicionamiento del modelo neowalrasiano Arrow-Debreu para que respondiera a, prácticamente, cualquier pregunta sobre los mercados, fueran ellos competitivos o no.

8.2.

Unicidad del equilibrio competitivo

Aunque Walras (1900) mostraba que para el caso de economías de intercambio con dos mercancías era posible la existencia de múltiples equilibrios (§68), negaba tal posibilidad cuando el número de mercancías en el mercado es muy elevado. (...) no habrá en general, para el caso de intercambio de varias mercancías, distintos posibles precios corrientes de equilibrio, como sucedía en el caso del intercambio de dos mercancías entre sí.

Walras, 1900, §156. Sin embargo, el tratamiento de Walras al hacer esta afirmación era puramente geométrico con un alto componente de intuición. De hecho, no es cierto que para economías con muchas mercancías solo exista un único equilibrio competitivo, como veremos adelante. Y aunque después de Walras, sería Wald (1936) el primero en preocuparse seriamente en el problema de la unicidad del equilibrio, anticipando el axioma débil de preferencias reveladas1 para la unicidad de equilibrios, Arrow & Debreu (1954) no tratan el problema aunque Debreu (1959) sí remite a Arrow & Hurwicz (1958) y Arrow, Block & Hurwicz (1959). En estos dos artículos, por primera vez, se muestra una condición general suficiente, aunque fuerte, para la unicidad y estabilidad del equilibrio competitivo del modelo Arrow-Debreu: la condición de sustitución bruta de mercancías –que, dicho sea de paso, implicará 1 Diremos aquí que la función de exceso de demanda z(p) de una economía Arrow-Debreu satisface el axioma débil de preferencias reveladas si p∗ · z(q) > 0 siempre que p∗ sea un equilibrio pero q no lo sea. Esto se da porque la condición de este axioma (ver I, Competencia bajo equilibrio parcial), se puede escribir como “q · z(q) ≥ q · z(p) implica p · z(q) > p · z(p) para todos los vectores de precios p, q” ya que z(r) = x(r) − W donde x(r) es el vector de demandas a los precios r y W es el vector de dotaciones iniciales de los agentes. Observemos que si p = p∗ es de equilibrio, entonces, dado que q · z(q) = 0 para todo p (por la ley de Walras) y z(p∗ ) = 0, entonces tendremos que p∗ · z(q) > 0 que es lo que afirmábamos antes. Observemos ahora que si todos los individuos son idénticos, esta propiedad se tendrá. Por consiguiente, si todos los agentes son idénticos, la economía satisface el axioma débil de preferencias reveladas ya que, al fin y al cabo, no existe comercio en equilibrio.

8.2. Unicidad del equilibrio competitivo

241

el axioma débil de preferencias reveladas (ver ejercicio 6 al final del presente capítulo)–. Y allí se definía así: la función de exceso de demanda z(p) satisface la propiedad de la sustituibilidad bruta si cuando pi > qi y pj = qj para todo j 6= i entonces zj (p) > zj (q) para todo j 6= i [2] . Y pasaban a probar el siguiente resultado: Teorema 1. (Unicidad del equilibrio) Si la función de exceso de demanda agregada de una economía Arrow-Debreu satisface la propiedad de sustituibilidad bruta, entonces el vector de precios de equilibrio es único, salvo por una multiplicación por escalar 3 . Demostración. Sea p un equilibrio y para cualquier q 6= p definamos m = m´ axi {qi /pi }, y digamos que este último es qk /pk . Definamos también r = mp. Entonces ri ≥ qi para cada i con igualdad para i = k y desigualdad para algún i 6= k. De esta manera, utilizando repetidamente la propiedad de sustitución bruta tendremos que zk (r) > zk (q). Por la homogeneidad de z(p) tendremos que z(r) = z(p) = 0, y, por tanto, zk (q) < 0. Así que q no es un equilibrio de la economía, y esto muestra que p es único salvo por una multiplicación por escalar.  Once años después, en 1970, en su artículo Economies with a Finite Set of Equilibria, mostraba que, bajo hipótesis de diferenciabilidad sobre las funciones de demanda de los individuos, las situaciones de multiplicidad de equilibrios en economías competitivas, no son un caso atípico pero que, aún así, en caso de multiplicidades, cada equilibrio es localmente único. Aquel artículo de Debreu de 1970 fue quizás el primer esfuerzo por formular comportamientos que, aunque no son universales, sí son genéricos (ver The Application to Economics of Differential Topology and Global Analysis: Regular Differentiable Economies, 1976). Las técnicas de la topología diferencial utilizadas aquí serían en adelante aplicadas a otros problemas económicos teóricos en los que genericidad es lo más que se puede obtener. Ejemplo 1. [Con funciones cuadráticas (Shapley & Shubik, 1977)] Supongamos que para a > 0 y x, y ≤ a se tiene una economía de intercambio puro con funciones de utilidad uA (xA , yA ) = xA + ayA − (yA )2 /2

;

uB (xB , yB ) = yB + axB − (xB )2 /2

con WA = (wA , 0) y WB = (0, wB ) y wA , wB > 0. Entonces, con px = 1 y py = p, vamos a calcularle a esta economía la función de exceso de demanda del bien y y a igualarla a cero, para hallar los equilibrios. Con este fin, y utilizando las técnicas aprendidas en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial), se 2 Si z(p) = (z (p)) es diferenciable, es fácil probar que esta condición es equivalente a i i ∂zi /∂pj > 0 para todo i 6= j. 3 Este teorema también es cierto si la condición de sustituibilidad bruta se reemplaza por la condición de preferencias reveladas (ver ejercicio 6 al final de este capítulo).

242

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

∗ ∗ llega a que yA = a − p ; yB = wB −

1 a + . Y, por lo tanto, p p2

x∗A = wA − (a − p)p

;

x∗B = a −

∗ ∗ zy (p) = yA + yB − wB = a − p −

1 p

1 a + p p2

y así, de zy (p) = 0 y simplificando, obtenemos que p = 1 es una raíz, y las otras soluciones (si existen) surgen de la ecuación cuadrática p2 + (1 − a)p + 1 = 0 que tiene como soluciones p a − 1 ± (1 − a)2 − 4 (*) p= 2 Y a partir de aquí, notamos que: a) Si a ≤ 3 entonces el único equilibrio es p = 1. b) Si a > 3 entonces tiene tres equilibrios que son p = 1 y las dos raíces de (*) arriba. Todo lo anterior muestra que la existencia y unicidad del equilibrio dependerá de que a y wA sean convenientemente escogidos en cada caso. Notemos también que, por la ley de Walras, zx (p) = −pzy (p) = a − ap + p2 − (1/p), y por tanto ∂zx /∂p = −a + 2p + (1/p2 ), que es mayor o igual que cero si a = 3, y sólo es cero en el equilibrio p = 1. Por lo tanto, aquí no se satisface la condición de sustituibilidad bruta pero el equilibrio sí es único. Sin embargo, en este mismo caso (a = 3) sí se satisface el axioma débil de preferencias reveladas pues: 1 4 + 2 + q2 > 0 q q para todo q > 0, q 6= 1, como lo puede comprobar el lector dibujando en Matlab (o similar) la función f (q) = 6 − 4q − 4/q + 1/q 2 + q 2 . N (1, 1) · (zx (q, 1), zy (q, 1)) = 6 − 4q −

Ejemplo 2. [Otra economía con tres equilibrios (Mas-Colell et al, 1995)] El siguiente ejemplo nos muestra una economía de intercambio puro con tres equilibrios. En ella aparecen dos consumidores, A y B, con funciones de utilidad uA (xA , yA ) = xA −

1 8(yA )8

;

uB (xB , yB ) = yB − 8

1

1 8(xB )8

donde WA = (2, r), WB = (r, 2) donde r = 2 9 − 2 9 (que se coloca así para que todo “funcione bien”). Bajo un procedimiento ya estándar, obtenemos las demandas a los precios px , py : xA = 2 +

rpy − px



py px

 98

;

yA =



px py

 91

8.2. Unicidad del equilibrio competitivo

xB =



py px

 91

;

243

rpx − yB = 2 + py



px py

 98

y, por lo tanto, el exceso de demanda (con py = 1, p = px ) para el bien x es: zx (p) = xA + xB − (2 + r) = r



   98   91 1 1 1 −1 − + p p p

(*)

Un poco de cálculo con Matlab (o similar) nos lleva a que la ecuación zx (p) = 0 tiene tres soluciones (precios de los equilibrios competitivos): p = 1/2, 1, 2; y además se puede mostrar que los bienes no son sustitutos brutos, es decir, que ∂zy /∂p ≤ 0 para ciertos p > 0. Esto último se puede hacer así: como por la ley de Walras zy = −zx /p entonces ∂zx − zx p ∂zy ∂p =− ∂p p2 x y esta última expresión es menor o igual que cero si, y sólo si, p ∂z ∂p − zx ≥ 0. Recurriendo a la expresión (*) de arriba para zx , tendremos que la condición inmediatamente anterior es equivalente a



2 9r 1 − p



  89   91 1 1 + 17 − 10 ≥0 p p

Una buena gráfica ayudará a señalar los precios p que satisfacen esto. De otro lado, tampoco se satisface el axioma débil de preferencias reveladas y para mostrarlo el lector puede seguir lo enseñado en el ejemplo 1 anterior. N Lo usual en los libros de texto es encontrar ejemplos de economías de intercambio con un sólo equilibrio o, quizás, con unos pocos equilibrios (que entonces son aislados): no es corriente encontrar ejemplos con infinitos equilibrios. Sin embargo, como lo mostrara Herbert Scarf (1960) en su famoso contraejemplo, esto ocurre muy comúnmente en el caso de no sustitución entre mercancías. Veamos un ejemplo típico de esto. Ejemplo 3. [Economía con infinitos equilibrios (Scarf, 1960)] Supongamos que la economía de intercambio está definida ahora por: uA (xA , yA ) = Mín{xA , yA },

WA = (1, 0)

uB (xB , yB ) = Mín{xB , yB },

WB = (0, 1)

Entonces, recurriendo al método geométrico estándar, el lector puede comprobar que las demandas marshallianas de esta economía son (para py = 1 y px = p) de la forma 1 p = yA ; xB = = yB xA = 1+p 1+p

244

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

y, por tanto, zx (p) = xA + xB − 1 = 0 y zy (p) = yA + yB − 1 = 0 para cualquier p > 0; es decir, todos los precios p son de equilibrio. De hecho, esta multiplicidad de equilibrios tiene una explicación parcial: z(p) = (zx (p), zy (p)) no satisface el axioma débil de preferencias reveladas y, por lo tanto, tampoco la hipótesis de sustituibilidad bruta. En efecto, basta observar que para que se satisfaga este axioma debemos tener que p∗ · z(q) > 0 para p∗ un equilibrio y q cualquier otro precio pero no de equilibrio. Sin embargo, esto no es posible porque todos los precios q son de equilibrio. N También en la década de los años setenta, Dierker (1972) y Mas-Colell (1977a) mostraron, utilizando el teorema de punto fijo de Brouwer (Brouwer, 1912), que inclusive bajo ciertas hipótesis de diferenciabilidad sobre las funciones de demanda de los individuos (que en los ejemplos más ilustrativos se cumplen), podrían contarse el número de equilibrios de una economía Arrow-Debreu de intercambio. Definieron el llamado índice de un equilibrio, como el signo del determinante del negativo de la matriz jacobiana de la función de exceso de demanda evaluada en equilibrio, a la que se le ha quitado la primera fila y la primera columna4 . Un resultado que obtienen es que la sumatoria de los índices de todos los equilibrios es siempre +1; y que (cuando es finito) el número de equilibrios de estas economías es siempre impar. En los años 1980, Mas-Colell (1985) y Kehoe (1985) extendieron estos resultados a economías Arrow-Debreu con producción, obteniendo, prácticamente, los mismos resultados “genéricos” de Debreu (1970).

8.3.

Estabilidad tâtonnement del equilibrio competitivo

Fue en el parágrafo §125 de sus Éléments donde Walras introdujo por vez primera, y de manera explícita, el propósito de su tâtonnement, es decir, de aquel movimiento de precios que se imaginaba al observar los mercados de la Bolsa y, particularmente, el Paris Stock Exchange, en donde nunca se realizaban transacciones fuera del equilibrio: Si la demanda es superior a la oferta, el precio de dicha mercancía en términos del numerario subirá; si es la oferta la que supera a la demanda, bajará. ¿Qué debemos hacer para probar que la solución teórica5 y la solución del mercado son idénticas? Simplemente comprobar que el alza y la baja [[de los precios]] son una forma de resolución por tâtonnement del sistema de igualdades de las ofertas y las demandas.

Walras, 1900, 12, §125. 4 Recordemos que la matriz jacobiana de z(p) = (z (p)) es la matriz de derivadas parciales i i (∂zi (p)/∂pj )i,j . 5 Es decir, matemática.

8.3. Estabilidad tâtonnement del equilibrio competitivo

245

Así, trataba de darle un aire de importancia empírica a su modelo matemático abstracto de equilibrio general. Sin embargo, este era un esfuerzo intuitivo pues cualquiera que fuera el estado al que pudiera arribar vía tâtonnement (suponiendo que arribara a alguno), nada garantizaba que fuera el mismo equilibrio determinado matemáticamente a partir del sistema de ecuaciones, ya que asumía que mientras transcurría el tâtonnement, las funciones de utilidad, los recursos totales, la tecnología, y la distribución de los recursos entre los agentes, se mantenían constantes. Más aún: en el proceso por tâtonnement, suponiendo que los tres primeros parámetros anteriores se mantienen constantes en el corto plazo, irán ocurriendo cambios paulatinos en la distribución de recursos que podrían conllevar a asignaciones que no son las del equilibrio original. Sin embargo, para el caso del intercambio, Walras siempre pensó que este mecanismo todavía funcionaría bien. Pero fue en el caso de la producción donde, en la última edición (1900) de los Éléments, tuvo que recurrir a transacciones con “tiquetes” [sur bons], que son, en esencia, contratos provisionales para comprar o vender cantidades dadas de servicios o productos a unos precios dictados por el subastador, precisamente a la manera de los contratos provisionales de las subastas que conocemos. Walras entendía que producir bienes y servicios toma tiempo, y quería evitar la contratación efectiva a “precios falsos”, pues notaba que en la producción, cuando se gritan unos precios y la demanda y la oferta, a esos precios, no son iguales, era necesario no solo gritar otros precios (como ocurre con el intercambio) sino que también habrá que manufacturar más (o menos) productos o prestar más (o menos) servicios. Bajo las reglas de los contratos provisionales en la forma de tiquetes, se evitaba llevar a cabo producciones efectivas más allá de las demandas de equilibrio, pues no podía contratarse ningún acuerdo productivo a menos que el sistema estuviera en equilibrio, y hacer esto implicó para Walras abandonar el aparente realismo de que gozaba su tâtonnement original. Aunque, de hecho, este mecanismo walrasiano de formación de precios de equilibrio, fue implementado de una manera tan poco creíble, que es casi imposible que pudiera ser tomado en serio. Por ello, metafóricamente asociaba el mercado con un lago empujado por el viento, en el que el agua continuamente buscaba su equilibrio sin nunca alcanzarlo (Walras, 1900). Después de Walras, el concepto mismo de estabilidad del equilibrio competitivo, tan socorrido como mal entendido, no recibiría ningún tratamiento sistemático en la literatura económica –excepto por la casi ignorada Escuela italiana y por Allais (1943)– hasta el artículo pionero de Samuelson de 1941. Ni siquiera Pareto realizó aportes esenciales a la teoría dinámica del equilibrio bajo competencia perfecta; solo hacía críticas simples como la siguiente: Walras consideraba solo el equilibrio estable. Se equivocaba en creer que a partir de un punto dado, los participantes en el intercambio deberían aproximarse continuamente al punto de equilibrio. Por el contrario, cuando el equilibrio es inestable, se alejarán de él.

Pareto, Economie Mathématique, 1911, §54.

246

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

En el mencionado artículo de Samuelson de 1941, éste centró toda su atención en la relación entre la que él llamaba “verdadera estabilidad dinámica” y la “estabilidad” propuesta por Hicks (1939)6 para el equilibrio competitivo, pero no propuso condiciones específicas de estabilidad: se limitó a condiciones generales de libro de texto. Estas condiciones tendrán que esperar hasta 1958 y 1959 cuando se publicaron On the Stability of the Competitive Equilibrium I (Arrow & Hurwicz), y On the Stability of the Competitive Equilibrium II (Arrow, Block & Hurwicz). Allí afirmaban que: El propósito [consistió] en construir un modelo dinámico formal cuyas características [[reflejaran]] la naturaleza del proceso competitivo y en examinar sus propiedades de estabilidad, dadas [[ciertas]] hipótesis con respecto a las propiedades de las unidades individuales o de las funciones de exceso de demanda agregada.

Arrow & Hurwicz, 1958, p. 523. Este primer avance al problema considera la siguiente regla simple de ajuste inmediato de precios, heroicamente asimilada al original tâtonnement walrasiano de una economía de intercambio puro: dpj = zj (p) dt

j = 1, 2, ..., l

(T )

donde p = (pj )lj=1 es un vector de precios cualquiera y z(p) = (zj (p))lj=1 es la función de exceso de demanda de la economía. Note que esta simple regla expresa, de manera dinámica, la famosa ley de la oferta y la demanda: en cada instante del tiempo se incrementará el precio de aquella mercancía para la que exista un exceso de la demanda agregada sobre la oferta agregada, y se reducirá el precio de la que se observe un exceso de la oferta agregada sobre la demanda agregada. La dificultad aquí es que esta regla simple de ajuste simultáneo de los mercados de las l mercancías, por sí misma, no garantiza que a partir de un par de precios iniciales, la economía tienda a través del tiempo a un equilibrio. Se requiere, nuevamente, que la función z(p) de exceso de demanda satisfaga, al menos, el axioma débil de preferencias reveladas mencionado antes en el problema de unicidad. Así lo afirma el siguiente teorema clásico sobre la estabilidad del tâtonnement, que Arrow & Hurwicz plantearan de manera rigurosa: Teorema 2. (Estabilidad del equilibrio competitivo)7 Si en una economía Arrow-Debreu el vector p∗ es de equilibrio y si la función de exceso de demanda z(p) satisface el axioma débil de preferencias reveladas, entonces p∗ es asintóticamente estable8 bajo la dinámica del tâtonnement definido en el sistema dinámico (T). 6 Según Hicks (1939a) la estabilidad del equilibrio competitivo se aseguraría si cada mercado ajustaba el primer precio en la dirección del exceso de demanda de cierta mercancía con todos los otros precios manteniéndose constantes. Luego se ajustaba el primero junto con un segundo precio de la misma manera; después tres precios, etc. 7 Esta prueba sigue los lineamientos de Allais (1943). Para una pueba general, ver Arrow, Block & Hurwicz, 1959. 8 Ver en el Apéndice matemático al final del texto, una introducción al concepto de estabilidad asintótica.

8.3. Estabilidad tâtonnement del equilibrio competitivo

247

Demostración. Consideremos el cuadrado de la distancia desde P un punto variable p(t) = (pj (t)) P a un equilibrio p∗ = (p∗j ) donde j (pj )2 = j (p∗j )2 Derivando, con respecto a P t, la función D(t) = j (pj (t) − p∗j )2 , obtenemos que para p 6= p∗ , X X X ˙ D(t) =2 p˙j (pj − p∗j ) = 2 (pj − p∗j )(zj (p)) = −2 p∗j zj (p) < 0 j

j

j

mostrando que D(t) decrece a medida que t crece. Por lo tanto, D(t) es una función de Lyapunov (ver Apéndice matemático) y esto garantiza que p∗ es asintóticamente estable. 

Dado que la hipótesis de sustituibilidad bruta implica el axioma débil de preferencias reveladas (ver ejercicio 6 al final de la presente semana), entonces el teorema anterior también se satisface bajo esta más típica (y restrictiva) condición; es decir, el equilibrio p∗ es globalmente estable si todas las mercancías son sustitutas brutas a todos los niveles de precios. Recordemos que esta condición implica que un aumento en un precio conllevará el aumento (inmediato) de la demanda (sobre la oferta) para todas las otras mercancías. Así, la ley de la oferta y la demanda conducirá a igualar la oferta a la demanda, si un aumento en cualquier precio de una mercancía implica un aumento en los excesos de demanda de las otras mercancías. Pero antes que Arrow & Hurwicz (1958), fue el propio Allais (1943) el primero en darse cuenta de esto. Y aunque su modelo no coincide exactamente con el sistema dinámico (T ) anterior –pues asumía que el ajuste de precios no se daba simultáneamente en todos los mercados sino, sucesivamente, en un mercado tras otro, un tanto a la manera de Hicks (1939a)–, la hipótesis de sustituibilidad bruta (gross substitutability) entre las mercancías, sí está implícita en sus hipótesis. Más allá de la condición de homogeneidad y de la ley de Walras (que son, aquí, hipótesis fácilmente aceptables), el teorema anterior incluye una particular condición que es muy restrictiva para que se dé la estabilidad del equilibrio: que cada mercancía sea sustituta (bruta) de la otra a todos los niveles de precios. Por lo tanto, afirmaciones que es corriente escuchar, haciendo llamados al movimiento de la libre oferta y demanda, para que nos “conduzcan” a estados de equilibrio (oferta = demanda), no tienen en estos teoremas ninguna sustentación teórica clara. Ejemplo 4. (Un ejemplo simple de estabilidad) Consideremos una economía de intercambio puro uA (xA , yA ) = xA yA ,

uB (xB , yB ) = xB yB

con dotaciones WA = (1, 2) y WB = (2, 2). Notemos que las funciones de exceso de demanda son: 3 2py − zx = Dx (px , py ) − Sx (px , py ) ≡ xA (px , py ) + xB (px , py ) − (wxA + wxB ) = px 2 3px zy = Dy (px , py ) − Sy (px , py ) ≡ yA (px , py ) + yB (px , py ) − (wyA + wyB ) = −2 2py

248

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

El único equilibrio competitivo de esta economía de intercambio es (tomando como numerario p∗y = 1): 5 5 4 ∗ p∗y = 1 x∗A = yA = 3 4 3 La dinámica tâtonnement de este ejemplo es: p∗x =

2py 3 dpx = − dt px 2

;

x∗B =

7 4

∗ yB =

7 3

dpy 3px = −2 dt 2py

que la podemos reducir, con px /py = p, así: dp 2 3 = − dt p 2 cuyo equilibrio es p∗ = 4/3, que es asintóticamente estable según el teorema 2, pues se cumple la condición de sustituibilidad bruta entre las mercancías: ∂zx /∂py > 0, y, ∂zy /∂px > 0. Recordemos que esto es suficiente para que z(p) = (zx (p), zy (p)) satisfaga el axioma débil de preferencias reveladas. Ejemplo 5. (Estabilidad con tres equilibrios) Según el ejemplo 1, para x, y ≤ 7/2 se tiene que la economía de intercambio puro con funciones de utilidad 2 uA (xA , yA ) = xA + 7yA /2 − yA /2

;

uB (xB , yB ) = yB + 7xB /2 − x2B /2

y WA = (wA , 0) y WB = (0, wB ) tiene tres equilibrios p = 1/2, 1, 2, con px = 1, py = p y función de exceso de demanda para el bien y igual a: zy (p) = 3.5 − p −

1 3.5 + 2 p p

La dinámica tâtonnement en este caso es: 3.5 1 dp = 3.5 − p − + 2 dt p p Y la figura 8.1 nos muestra que los equilibrios p = 1/2, 2 son asintóticamente estables mientras que el equilibrio p = 1 es inestable. Aquí la condición de sustituibilidad bruta no se satisface, pues, por la ley de Walras, se tiene que zx = −pzy = −3.5p + p2 + 3.5 − (1/p), y entonces la condición 1 ∂zx = −3.5 + 2p + 2 < 0 ∂p p

se da para algunos valores de p, como puede el lector comprobar muy fácilmente 1 graficando f (p) = −3.5 + 2p + 2 con Matlab. p •

1 2

•

1

•

2

Figura 8.1. Diagrama de fase para el ejemplo 5.

8.3. Estabilidad tâtonnement del equilibrio competitivo

249

Quedaría por mostrar que z(p) = (zx (p), zy (p)) tampoco satisface el axioma débil de preferencias reveladas. Por ejemplo, para el precio de equilibrio p = 1 debería darse que (1, 1) · (zx (1, q), zy (1, q)) > 0 para todo q > 0, q 6= 1/2, 1, 2. Pero no se dá, pues esta última desigualdad es equivalente (recurriendo a las expresiones para zx y zy señaladas arriba) a la condición 1 4.5 + 2 >0 q q y esta no se tiene para ciertos valores positivos de q (distintos a los equilibrios), como una gráfica simple en Matlab lo indica inmediatamente. N q 2 − 4.5q + 7 −

Un año después, avanzando un poco más sobre el artículo de Arrow & Hurwicz (1958), Arrow, Block & Hurwicz (1959) apresuradamente conjeturaron que el tâtonnement descrito por el sistema dinámico (T ) anterior, era siempre estable alrededor de un único equilibrio. Sin embargo, un ejemplo sencillo de Herbert Scarf (1960) probaría que estaban equivocados. Inclusive mostró que la inestabilidad era más la regla que la excepción. La razón de esto fue que Arrow, Block y Hurwicz solo estudiaron casos especiales, y, en ellos, siempre se satisfacía el axioma débil de preferencias revelada para las funciones de exceso de demanda agregadas. Y, sabemos, esta condición, al igual que la sustituibilidad bruta, no siempre se satisface. Veamos entonces el ejemplo de Scarf. Ejemplo 6. [Ejemplo clásico de no-convergencia (Scarf, 1960)] La economía de intercambio puro de tres consumidores uA (xA , yA , zA ) = Mín{xA , yA }

uB (xB , yB , zB ) = Mín{yB , zB } C

u (xC , yC , zC ) = Mín{xC , zC }

WA = (1, 0, 0) WB = (0, 1, 0) WC = (0, 0, 1)

tiene excesos de demanda (para cada una de las mercancías x, y, z) definidas por: pz −py + px + py px + pz px −pz + Zy = py + pz px + py −px py Zz = + pz + px pz + py

Zx =

Las ecuaciones de tâtonnement son: dpi = Zi i = x, y, z (*) dt cuyos equilibrios, todos, satisfacen la ecuación del rayo px = py = pz . Ahora: el único equilibrio de este rayo que intersecta al simplex definido mediante P = {(px , py , pz ) ∈ R3+ | px + py + pz = 1} es p∗ = (1/3, 1/3, 1/3). Veamos que si la dinámica tâtonnement tiene una condición inicial diferente a p∗ , la trayectoria es completamente inestable:

250

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales Notemos que, en general, el producto px py pz es constante, pues su derivada, al utilizar las ecuaciones (*), es: Zx py pz + Zy px pz + Zz px py = pz (px − py ) + py (pz − px ) + px (py − pz ) es igual a cero. Si la dinámica (*) comienza en un vector p = (px , py , pz ) ∈ P que satisface px py pz 6= 1/27 entonces nunca se convergerá a p∗ pues, aquí, el producto de sus tres componentes es (1/3)(1/3)(1/3) = 1/27.

Es claro que la no-sustituibilidad bruta de las mercancías en las funciones de utilidad es la razón por la que la dinámica tâtonnement no tiene el comportamiento esperado. De hecho, en esta economía de intercambio tampoco puede satisfacerse el axioma débil de preferencias reveladas (¡probarlo!). N Se ha argüido que los equilibrios competitivos son de interés solo si pueden alcanzarse a través de un proceso de ajuste razonable y, en este sentido, se creyó que lo que señalaba el ejemplo de Scarf era el fracaso final de la teoría general de la estabilidad del equilibrio competitivo. Y no estaban muy lejos de la realidad. En 1976, el matemático Steven Smale postuló otro mecanismo dinámico de precios (Método Global de Newton) que era una extensión del “tâtonemment” y que permitía acercarse al equlibrio competitivo (si fuera único), pero si se partía de un vector de precios muy cercano a la frontera del simplex unitario (es decir, donde algunos precios eran suficientemente cercanos a cero pero no cero). Con esto, no hubiera pasado de ser un mecanismo de precios más que intentaba resolver el problema planteado por Walras. Pero lo que también mostró Smale era que para lograrlo se requería de abundante información: se necesitaban saber todas las derivadas parciales de las funciones de exceso de demanda. El artículo de Smale abrió una intensa búsqueda sobre los límites informacionales en los procesos de convergencia al equilibrio competitivo. Por ejemplo, Saari y Simon (1978) se preguntaron si existía algún mecanismo en el que los equilibrios fueran localmente estables (asintóticamente) y que utilizara menos información que el Método Global de Newton. Y la respuesta fue negativa. De esta manera, el proceso tâtonnement con bienes sustitutos brutos en una economía de intercambio puro requiere de más información que el método de Smale. De hecho, Jordan (1982) mostró que en el modelo Arrow-Debreu, el proceso tâtonnement requería de n(l − 1) “mensajes” al mercado de n agentes y l mercancías. Y esto se ve claro en una economía de intercambio puro: debido a la Ley de Walras, cada uno de los agentes, excepto uno, requiere transmitir su vector de excesos de demanda para l − 1 bienes ya que se necesitan (apoyándonos también en la homogeneidad de grado cero de estas funciones) l − 1 precios. Posteriormente, ha habido muchos esfuerzos por construir procesos de ajuste de precios globalmente estables (Kamiya, 1990; Herings, 1997; Mukherji, 2008), y aunque han sido relativamente exitosos, sus hipótesis han tenido serias objeciones de falta de generalidad o de “realismo económico”, o, inclusive, de que el

8.4. Procesos non-tâtonnement

251

mecanismo mismo no tiene interpretación económica plausible. El problema está abierto, pero pareciera que se han perdido las esperanzas de encontrar mecanismos de precios interpretables económicamente y que converjan al equilibrio competitivo (en caso de que sea único) de manera asintóticamente estable a partir de cualquier vector inicial de precios. De hecho, los requerimientos informacionales de los procesos de ajuste de precios parecen ser tan grandes que solo casos aislados de economías particulares (y, por tanto, casos inútiles) parecen funcionar bien. Posiblemente el problema es que ignoramos lo que algunos autores reconocen (Gintis & Mandel, 2014) como las complejidades de las dinámicas del desequilibrio, y este es un concepto que requiere que nos apartemos de los dogmas de equilibrio y estabilidad tal como lo aprendieramos del legado de Walras. Sobre este problema discutiremos un poco más en la semana 10 [9] . El lector interesado en el estado del arte sobre el problema de la estabilidad del equilibrio competitivo, puede consultar Fisher (2011).

8.4.

Procesos non-tâtonnement

Desde otra vertiente, el fracaso del proceso tâtonnement como dinámica convergente al equilibrio también permitió el desarrollo de otra fuente de procesos dinámicos conocidos como non-tâtonnement, es decir, procesos en los que los intercambios pueden llevarse a cabo fuera del equilibrio mediante cierto tipo de negociaciones entre los agentes y no a través de los precios. Existen dos importantes procesos non-tâtonnement: uno es el conocido como proceso Edgeworth (Edgeworth, 1881), llamado así por Usawa (1962); y el otro, en respuesta a éste, es el proceso Hahn (Hahn, 1962; Hahn & Negishi, 1962). Edgeworth estaba convencido de que el proceso de ajuste propuesto por Walras era virtual, pues no había nada de funcional en él: mientras se realizaban las transacciones por tâtonnement, cambiaban las cantidades (dotaciones iniciales) a ser comerciadas, cambiaban las preferencias, etc. Y Walras, en carta a von Bortkiewicz (Jaffé, 1965), le respondió, en tono enojado, diciendo que Edgeworth creía que él estaba considerando ejercicios absolutamente inútiles al intentar demostrar que las operaciones de crecimiento y decrecimiento de los precios y 9 A pesar de las dificultades con la unicidad y estabilidad del equilibrio competitivo, hubo también un esfuerzo importante por parte de Hildenbrand (1983b, 1994) y Grandmont (1987, 1992) al sugerir que se le podía agregar al modelo Arrow-Debreu un poco más de estructura en el comportamiento agregado. Esta adición consistía en asumir que existían diferencias suficientes entre las características de los agentes como para pensar que había cierta distribución de preferencias y del ingreso en la economía agregada. Sin embargo, los trabajos de Villemeur (1998) y Hildenbrand & Kneip (2005) muestran que esta línea de investigación no ha dado sus frutos aún, pues ha habido dificultades con el concepto de “heterogeneidad”: el problema es que la heterogeneidad de los agentes no parece garantizar la dispersión de comportamientos en el agregado. Por ejemplo, Grandmont (1992) muestra que a pesar de la heterogeneidad, ciertas economías se comportan como si hubiera un gigantesco agente representativo con función de utilidad Cobb-Douglas. Actualmente, se cree que los problemas con el modelo competitivo son de su estructura misma y que no se resolverán con hipótesis sobre la distribución de características de los agentes.

252

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

de las cantidades de productos, no eran más que las soluciones por tâtonnement de las ecuaciones de intercambio, de producción y de formación de capital. Y, originado en esta disputa, una vertiente del problema de dinámicas convergiendo al equilibrio competitivo bajo non-tâtonnement, provino del mismo Edgeworth (1881). Fue él, como ya sabemos, quien introdujo la noción de curva de contrato que tiene más importancia que la de una simple curva conformada por óptimos de Pareto. Esta curva, después llamada el núcleo (core) de la economía (Shubik, 1959), comenzó a ser estudiada por Edgeworth para economías de intercambio con dos mercancías y dos tipos de agentes10 . Y aunque de manera un tanto confusa, fue allí mismo que mostraría un resultado sorprendente e iluminante: Bajo competencia perfecta, típicamente la curva de contrato se “contrae” hacia el equilibrio competitivo, a medida que el número de agentes (no de tipos) crece indefinidamente 11 . Pero, desafortunadamente, este resultado recibiría poca atención durante más de 80 años, quizás debido a la forma confusa en que Edgeworth presentó sus ideas. No obstante, en los 1960’s, esta observación informal de Edgeworth abrió un caudal de pensamiento sobre los problemas de formación de precios para “economías grandes”, completamente distinta a aquella de la igualdad entre oferta y demanda walrasiana. Planteaba que cierto tipo de negociación con posibilidades de recontratación (es decir, de non-tâtonnement) permitía la emergencia de los precios y, por tanto, de los mercados. No necesitaban asumirse, a priori, la existencia de ellos: éstos surgían endógenamente del modelo. En 1963, Debreu y Scarf publicaron A Limit Theorem on the Core of an Economy, en donde aparece una lúcida, elegante y breve demostración de las ideas de Edgeworth. Pero, nuevamente, el punto decisivo lo colocó la teoría de juegos. Desde la aparición del clásico Theory of Games and Economic Behavior de von Neumann y Morgenstern en 1944, el análisis de juegos coalicionales12 venía desarrollándose rápidamente. En 1953, Donald Gillies estableció un conceptosolución para estos juegos que dieron en llamar el núcleo (core)13 . En 1959, Martin Shubik encontró la conexión entre la curva de contrato de Edgeworth y el núcleo de un juego cooperativo, y Scarf, inspirado en esto, presentó en 1962 un notable análisis de la relación núcleo-equilibrio competitivo en economías de intercambio para un número contable de agentes de cada tipo. Debreu y Scarf entonces probarían una versión mucho más simple de este teorema de equivalencia entre el núcleo y los equilibrios competitivos a medida que el número de agentes de cada tipo crece. Fue aquí precisamente que Robert Aumann (1964) observó la posibilidad de generalizar el modelo con un número contable de agentes, a uno con un continuo de agentes que es, desde el punto de vista económico, la representación matemática 10 Muchos

agentes, pero sólo de dos tipos; digamos, trabajadores y empresarios. con competencia perfecta están perfectamente determinados” decía Edge-

11 “Contratos

worth. 12 También llamados “cooperativos”. 13 Algunos también lo acostumbran a llamar el “corazón” de la economía.

8.4. Procesos non-tâtonnement

253

más adecuada de una economía perfectamente competitiva. Aumann probó el teorema de equivalencia entre el núcleo y los equilibrios competitivos cuando la economía tiene un continuo de agentes, y esto con hipótesis mucho menos estrictas que las de existencia de equilibrios del modelo de Arrow & Debreu (1954). Hoy, los trabajos de Debreu, Scarf y Aumann han desembocado en una enorme actividad de investigación, particularmente en la teoría de juegos de mercado (ver Hart, 2004) con agentes continuos o atómicos (es decir, cuando el poder estratégico de algunos agentes es importante -por ejemplo, en monopolios-).

8.4.1.

Francis Edgeworth

De padre irlandés y madre española, Francis Ysidro Edgeworth fue educado en casa por tutores, y nunca estuvo expuesto a las escuelas públicas victorianas de la Irlanda de su tiempo. Fue a Dublin (1862) a estudiar matemáticas y literatura clásica, y luego a Oxford (1867) hasta completar el grado de Literae Humaniores en 1869. Hasta 1877 tuvo múltiples intereses: filosofía, ética, economía y matemáticas. Leyó a Platón, Aristóteles, Bentham, Cournot, Jevons, Gossen, algo de Marshall y también, fundamentalmente, a Mill y a Sidgwick. Sin embargo, aunque estuvo familiarizado con los trabajos de Laplace y Maxwell, y siempre estuvo al tanto de cualquier tratamiento matemático de la teoría económica de su tiempo, nunca fue muy hábil con las matemáticas. En estos años, su principal preocupación fue la relación entre ética y economía. Precisamente en 1877 publicó, de su propio bolsillo, una pequeña monografía que tituló New and Old Methods of Ethics. La primera mitad del libro está dedicada a una cuidadosa crítica filosófica del trabajo (que había sido publicado recientemente) de Henry Sidgwick sobre ética (The Methods of Ethics, 1874). Sorprendentemente, la segunda mitad la dedica al “significado del utilitarismo”, y allí mismo define el “utilitarismo exacto” como “(...) la mayor cantidad de felicidad de aquellos capaces de sentir (...)”. Luego utiliza (por primera vez en la historia de la economía matemática) la técnica de los multiplicadores de Lagrange para darle significado matemático a esa noción numérica de la “mayor cantidad de felicidad”. Cuatro años después, publica la obra por la que más se le reconoce: Mathematical Psychics (1881), en donde aparecen por primera vez las nociones de curva de indiferencia y curva de contrato. Y aunque las matemáticas y la ética en esta obra son prestadas de aquellos a quienes había leído, la concepción general y el tratamiento son de un alto nivel de originalidad. De hecho, lo fue tanto, que solo vino a ser comprendido a cabalidad más de 70 años después. Entre 1883-1884 comienza el período de las publicaciones de Edgeworth sobre teoría de la probabilidad. Seis artículos, el primero de los cuales se llamó The Law of Error fue publicado en 1883 en el Philosophical Magazine. En 1885 presenta su plan de investigación estadística para el resto de su vida: Methods of Statistics, que, al igual que sucediera con su Mathematical Psychics, solo fue apreciado por unos cuantos. El estudio de las probabilidades a priori, la Ley

254

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

de los Números Grandes, aplicaciones a los índices de precios y la noción de correlación, fueron objetos de estudio más desde la perspectiva de la filosofía de la estadística que desde la práctica empírica. En 1891, Edgeworth alcanzó la cátedra de economía política en Oxford, lugar que mantuvo hasta su retiro como profesor emérito en 1922. Durante este período y hasta su muerte, fue uno de los editores del Economic Journal. También fue presidente de la sección económica de la British Association for the Advancement of Science en 1889, y, en 1903, fue elegido miembro de la British Academy. Además, fue presidente de la Statistical Society desde 1912 hasta 1914. Así que no es de extrañar que Edgeworth fuera uno de los más visibles e influyentes economistas ingleses de la época, y su trabajo editorial alrededor del Economic Journal fue muy reconocido. Allí precisamente fue que alcanzó a tener esa inmensa familiaridad con la teoría económica y con los economistas de la época. Las revisiones de los libros y artículos realizados bajo su dirección eran notables por su enciclopédico conocimiento del área, su prodigiosa memoria, y su poder crítico. Aún así, Edgeworth nunca desarrolló sistema económico alguno, y sólo publicó un libro (Mathematical Psychics). Sus argumentos en ocasiones muy oscuros; sus imprecisiones en citas de los clásicos y también en sus cálculos algebraicos; sus interpelaciones poéticas y sus metáforas en lugar de las esperadas deducciones lógicas, podrían colocarnos en una errónea impresión de su trabajo. Pero es que Edgeworth es de aquellos autores que requieren leerlo, no una sino dos veces, como un todo. Solo allí se le encuentra coherente, con argumentos válidos y consecutivos, y su pensamiento se hace más vivo y más claro. Francis Edgeworth murió en febrero en 1926.

8.4.2.

Un proceso tipo Edgeworth y la noción de núcleo

Consideremos, inicialmente, una economía de intercambio puro conformada por l mercancías y n agentes tomados del conjunto N = {1, 2, . . . , n}, en donde cada uno de ellos se comporta bajo una función de utilidad típica ui , y unas dotaciones Wi para i ∈ N . Diremos, entonces, que una asignación x = (xi )ni=1 ∈ Rl está en el núcleo de esta economía si no existe ningún incentivo (en términos de las utilidades de cada agente) para que un subgrupo de los agentes se aparte de la economía, forme una subeconomía (de intercambio puro) y reciban más utilidad que la que les otorgaba la asignación x. Más precisamente: Definición 1. [Núcleo (core) de una economía de intercambio] i) Una coalición de agentes S ⊆ N protesta una asignación x = (xi ) de la economía de intercambio puro, si existe alguna otra asignación x′ = (x′i ) tal que X X x′i = Wi i∈S

i∈S

8.4. Procesos non-tâtonnement

255

y además ui (x′i ) ≥ ui (xi ) para todo i ∈ S con al menos una desigualdad estricta. ii) Una asignación de una economía de intercambio está en su núcleo si no puede ser protestada por ninguna coalición de esa economía. En otras palabras, en una asignación del núcleo, ninguna coalición tiene incentivos para no honrarla y formar una economía aparte. A esta característica se le conoce en la literatura como “estabilidad coalicional”. Teorema 3. (Caracterización del núcleo con dos agentes) El núcleo de una economía de intercambio puro de dos agentes (A y B), es el conjunto de todas las asignaciones Pareto-óptimas, x = (xi ), tales que para i = A, B (figura 8.2), ui (xi ) ≥ ui (Wi ) Demostración. En primer lugar, la coalición S consistente de los dos agentes no puede mejorar a ninguna asignación de óptimo de Pareto. Y en segundo lugar, la coalición S consistente de un solo agente i no puede mejorar a ninguna asignación x tal que ui (x) ≥ ui (Wi ).  Tipo B curva de contrato WB b

núcleo de la economía

b b

WA

Tipo A Figura 8.2. Núcleo de una economía de intercambio.

Ejemplo 7. Para la economía de intercambio puro ui (xi , yi ) = xi yi

;

i = A, B

con dotaciones iniciales WA = (4, 1) y WB = (1, 4), se tiene, igualando las tasas marginales de sustitución, que el conjunto de asignaciones Pareto-óptimas es { [(xA , yA ), (xB , yB )] | xA = yA , xA + xB = 5, yA + yB = 5 } Como la economía está conformada por solo dos agentes, el núcleo de esta economía lo encontramos en el conjunto de todas las asignaciones Pareto-óptimas [(xA , yA ), (xB , yB )] tales que uA (xA , yA ) ≥ uA (4, 1);

uB (xB , yB ) ≥ uB (1, 4)

256

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

Por lo tanto, el núcleo está dado por las asignaciones [(xA , yA ), (xB , yB )] tales que: xA = yA , xA + xB = 5, yA + yB = 5, xA yA ≥ 4, xB yB ≥ 4 que, simplificando, es:

{ [(xA , yA ), (xB , yB )] | xA = yA , xA + xB = 5, yA + yB = 5, 2 ≤ xA ≤ 3} Ejemplo 8. Supongamos una economía de intercambio con dos agentes (A y B) y dos mercancías (x y y), cuyas funciones de utilidad y dotaciones iniciales son: uA (xA , yA ) = xA (yA )2 ; B

u (xB , yB ) = xB yB

;

WA = (3, 1) WB = (1, 3)

Vamos a calcularle el núcleo y, para ello, primero, vamos a encontrar la ecuación que rige el conjunto de óptimos de Pareto. Pero, antes, recordemos que (ver semana 3) existe una forma marginalista que nos conduce a que esta ecuación es: 8xA (*) (Curva de contrato) yA = 4 + xA Y ya, para encontrar el núcleo de esta economía de intercambio, simplemente encontramos aquellos (xA , yA ) y (xB , yB ) en la curva de contrato que satisfagan: xA (yA )2 ≥ 3 ;

xB yB ≥ 3

(**)

Finalmente, recurriendo a la curva de contrato (*) e insertándola en la primera desigualdad de (**), llegamos, después de un poco de manipulación algebraica, a que xA debe satisfacer la desigualdad 64(xA )3 − 3(xA )2 − 24xA − 48 ≥ 0 que ocurre cuando, y sólo cuando, xA ≥ 1.06315. Similarmente, insertando en la segunda desigualdad de (**) se obtiene que xA debe ser menor o igual a 1.89697. Las asignaciones de núcleo estarán entonces determinadas por todas las [(xA , yA ), (xB , yB )] que satisfagan xA ∈ [1.06315, 1.89697], yA = 8xA /(4 + xA ), xB = 4 − xA , yB = 4 − yA . Nota 1. (Núcleo para más de dos agentes) Debe notarse aquí que el teorema 3 anterior no se satisface para más de dos agentes. Esto debido a que, en tal caso, estaríamos obligados a considerar protestas de más coaliciones que las únicas tres que surgen en el caso particular de dos agentes: {A}, {B} y {A, B}. La condición de optimalidad paretiana aparece, precisamente, cuando la coalición total {A, B}, protesta; y cuando son las coaliciones formadas por los individuos solos, las que protestan, entonces cada protesta individual vendrá de que la asignación no sea, en utilidad, mejor que la dotación inicial y, por ello, preferirían retirarse del intercambio.

8.4. Procesos non-tâtonnement

257

Un resultado notable que relaciona las asignaciones del núcleo con la asignación competitiva es el siguiente: Teorema 4. Todo equilibrio competitivo (x, p) de una economía de intercambio puro con dotaciones iniciales (Wi ), está en el núcleo de la economía. Demostración. Si no fuera así, habrá una subcoalición S ⊂ N que protestaría la asignación que le otorga el equilibrio competitivo, debido a que existe una distribución de los recursos totales de la economía, llamémosla x′ = (x′i ), tal que todos los miembros de S la prefieren o son indiferentes, pero al menos uno la prefiere, y, además, X X x′i = Wi (*) i∈S

i∈S

No obstante, al ser más preferida o indiferente que xi para todo i ∈ S con uno, al menos, considerándola preferida, debemos tener que p · x′i ≥ p · Wi para todo i ∈ S, pero, para al menos uno de ellos, la desigualdad es estricta. Por tanto, al agregar sobre el conjunto S obtendremos que X X p· x′i > p · Wi x′i

i∈S

i∈S

y, por consiguiente, la igualdad (*) no puede ser cierta. 

Este resultado permite entonces afirmar que, además de eficiencia Pareto, el equilibrio competitivo tiene “estabilidad coalicional”. Es decir, la asignación y los precios de equilibrio competitivo no generan incentivos para que los agentes puedan formar subeconomías aparte. Ejemplo 9. Supongamos que cierta economía competitiva de intercambio está determinada por: uA (xA , yA ) = xA yA ; uB (xB , yB ) = (xB )1/2 + (yB )1/2 con dotaciones respectivas WA = (3, 1) y WB = (4, 2). Mostremos que el equilibrio competitivo está en la curva de contrato. Dibujemos esto también en la frontera Pareto. Solución Después de recurrir al procedimiento estándar (ver semana 3), se llega a que
xA xA − (x2A − 12xA + 84)1/2 yA = 2 (xA − 7)

es la ecuación que rige la curva de contrato de esta economía. Por tanto, de estos óptimos de Pareto, las asignaciones de núcleo (ver figura 8.3) son aquellas en las que uA (xA , yA ) = xA yA ≥ uA (3, 1) = 3

258

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales uB (xB , yB ) = (xB )1/2 + (yB )1/2 ≥ uB (4, 2) = 2 + (2)1/2 ≈ 3.41 xB yA

3

7

6

5

4

3

2

1

0.5

2.5

1

2

1.5

1.5 Núcleo

1

2 2.5

0.5 A

B

1

2

3

4

5

6

3 7 xA

yB

Figura 8.3. Representación gráfica del núcleo.

Ahora: es simple mostrar que el equilibrio competitivo es xA ≈ 2.35, yA ≈ 1.38, xB ≈ 4.65, yB ≈ 1.62, px ≈ 0.59, py = 1 y que, por tanto, está en el núcleo. Finalmente, recordemos que la frontera Pareto se calcula sobre la curva de contrato así:
x2A xA − (x2A − 12xA + 84)1/2 A u (xA , yA ) = xA yA = 2 (xA − 7) uB (xB , yB ) = (xB )1/2 + (yB )1/2 = (7 − xA )1/2 + (3 − yA )1/2 1/2

= (7 − xA )

+

xA xA − (x2A − 12xA + 84)1/2 3− 2 (xA − 7)


!1/2

uB 3 Frontera Pareto 2 1 5

10

15

20

uA

Figura 8.4. Equilibrio en la frontera Pareto.

Y estas son, para 0 < xA < 7, las ecuaciones paramétricas (uA , uB ) de la frontera Pareto (figura 8.4). Se muestra, con una pizca de álgebra elemental, que el equilibrio competitivo está en la frontera Pareto de economía. N

8.4. Procesos non-tâtonnement

259

Ahora: para comprender el ya mencionado resultado central de contracción del núcleo hacia los equilibrios competitivos cuando estamos en presencia de “numerosos” agentes, requerimos del concepto de r-réplica de una economía de intercambio. Ésta consiste de r “copias” de cada uno de los consumidores originales (es decir, con las mismas funciones de utilidad y las mismas dotaciones iniciales). Obviamente, a cada una de estas economías se le puede calcular su respectivo núcleo. Inicialmente, notemos que si las funciones de utilidad son estrictamente cóncavas y estrictamente monótonas, entonces en el r-núcleo de una r-réplica de la economía, cualquier dos agentes del mismo tipo reciben la misma asignación (ver ejercicio 5 al final del presente capítulo). Pero más importante que esto: Teorema 5. (Contracción del núcleo) Si las funciones de utilidad de una economía de intercambio son estrictamente cóncavas y monótonas crecientes (estrictas) en cada uno de sus argumentos, entonces, si el equilibrio competitivo es único, éste es el límite, cuando r → ∞, de los respectivos núcleos de las r-réplicas de la economía. Demostración. La prueba general (para economías de intercambio y para economías con producción) se encuentra en Debreu & Scarf (1963), Debreu (1975) y Aumann (1979), donde además se aclaran las condiciones de velocidad de convergencia del núcleo al equilibrio competitivo y se muestra que, en el caso de múltiples equilibrios competitivos, la curva de contrato se contrae, no a uno, sino a varios equilibrios14 .  Ejemplo 10. [Ilustración (a manera de prueba) del teorema 5] Aquí daremos una orientación hacia la idea de que la única asignación que sobrevive a las réplicas de una economía de intercambio con dos agentes (tipo A y tipo B) y dos bienes, es el equilibrio competitivo (si es único). Supongamos que una economía de intercambio típica (paretiana) se replica r veces; es decir, tendremos r agentes tipo A y r agentes tipo B (r-réplica). Observemos (ver figura 8.5) que, entonces, algunas asignaciones del núcleo original ya no serán parte del núcleo de la r-réplica. En efecto: tomemos en la figura 8.5 una asignación C = (CA , CB ) (con CA para el agente A y CB para el agente B) que pertenece al núcleo original pero no es el equilibrio competitivo EC. Entonces, por la convexidad estricta de las curvas de nivel, podemos asegurar que existe un t con 0 < t < r tal que el agente A prefiera la combinación convexa DA =

    t t WA + 1 − CA r r

(*)

a la asignación CA . 14 Edgeworth se dio cuenta de esto pero tendió a enfocarse en el caso de equilibrio único (ver Newman, 1990).

260

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales B Núcleo EC CA b

b

Núcleo de 2-réplica

DbA b

WA

A Figura 8.5. Ilustración de la contracción del núcleo. La asignación CA , a pesar de estar en el núcleo original, ya no está en la 2-réplica de la economía. Notemos que CA no puede ser el equilibrio competitivo EC porque, entonces, el segmento de recta entre CA y WA no contendría una asignación DA que mejorara el bienestar de A.

De esta manera, la subcoalición de la r-réplica formada por r consumidores tipo A y r − t consumidores tipo B protestarían la asignación C si, mejor, se les entregara a los de tipo A la asignación DA , y, a los de tipo B, la asignación CB , pues estos últimos quedarían en la misma situación de utilidad, pero los de tipo A mejorarían. Con esto, solo restaría probar que la asignación entregada a esta subcoalición es, realmente, posible para la economía, y con ello demostraríamos que C ya no está en el núcleo de la r-réplica. Y, en efecto, así es, pues resulta que: rDA + (r − t)CB = (tWA + (r − t)CA ) + (r − t)CB = tWA + (r − t)(CA + CB ) = tWA + (r − t)(WA + WB ) = rWA + (r − t)WB

Como es de esperarse, el anterior proceso, al hacer r → ∞, mostraría que el rnúcleo va contrayéndose hacia el equilibrio competitivo EC, que es la hipótesis principal del teorema 5. N Este interesante resultado señala, entonces, la importancia de las asignaciones de equilibrio competitivo en economías de muchos agentes: podemos “llegar” a ellas, bien mediante el mecanismo de precios, mercancías sustitutas brutas (o preferencias reveladas) y tâtonnement, o bien mediante negociaciones tipo Edgeworth con asignaciones en el núcleo. Son dos mecanismos diferentes con un mismo resultado. Además, es notable observar que este teorema también nos muestra que una institución teórica tal como el mercado (precios) competitivo, es un resultado de cierto tipo de negociaciones sin clara institución previa. Nota 2. (No existencia del núcleo) Desafortunadamente, al igual que la existencia de equilibrio competitivo depende de condiciones específicas sobre la economía, la existencia de núcleo también

8.4. Procesos non-tâtonnement

261

depende de condiciones similares. Por ejemplo, si estamos en presencia de noconvexidades en el conjunto de producción, entonces el núcleo puede ser vacío y las firmas involucradas pueden no asignar eficientemente (Scarf, 1986). En la literatura se ha atacado de diversas formas el problema del núcleo vacío en una economía con tecnologías no-convexas (Brown, 1991). Una de estas es cierto tipo de colusión de productores que, limitando la competencia, aún puede asignar eficientemente, lo que da patente a la cartelización como respuesta eficiente (ver, por ejemplo, Anderson, 2008). Sobre este problema, discutiremos en el volumen III del curso (Competencia bajo equilibrio de Nash). Nota 3. (Equivalencia entre el núcleo y los equilibrios competitivos) Como afirmábamos antes, al teorema de contracción del núcleo también se le conoce como “teorema de equivalencia” debido a que si los agentes son infinitesimales ante el mercado, entonces, bajo ciertas condiciones razonables, el núcleo y los equilibrios competitivos coinciden. Es decir, los dos conceptos son equivalentes en economías competitivas modeladas con un continuo de agentes. Sobre esto, ver Aumann (1964).

8.4.3.

Otros procesos non-tâtonnement

Existen ciertos modelos en la literatura de procesos non-tâtonnement en los que los individuos se encuentran, negocian, comercian, y así siguen hasta que se agoten todas las posibilidades de beneficio. Los trabajos de Hahn y Negishi (1962)15 , Diamond (1971), Gale (1986a, 1986b), Fisher (1989), y Rubinstein & Wolinsky (1990) están en ese espíritu. Y bajo ciertas condiciones, tales procesos de negociación convergen al resultado competitivo. Sin embargo, en algunos de esos modelos, los precios juegan un papel muy diferente, ya que ellos son el resultado de negociaciones entre individuos que se miran “cara a cara” y que no operan a través de señales anónimas observadas por individuos aislados. Allí los precios surgen como señales de en qué términos se están llevando a cabo las transacciones en el mercado. Obviamente, también existen procesos non-tâtonnement que no convergen a la asignación competitiva. Inclusive, esta literatura permite observar la aparición de distintos precios para el mismo bien (ver, por ejemplo, Diamond, 1989). En estos casos los individuos buscan encontrar el precio más bajo pero con cierto costo. Es usual interpretar aquí la señal de mercado como una distribución de precios en lugar del precio mismo, y, además, se permite que los vendedores coloquen sus propios precios. De otro lado, los procesos non-tâtonnement también permiten pensar en términos normativos. Y aunque para muchos economistas actuales, el aspecto ético 15 El proceso Hahn fue propuesto por el mismo Hahn y por Negishi en publicaciones de 1962. Este mecanismo consiste en que los agentes (compradores y vendedores) inicialmente comercian, pero siempre, en cada etapa, alguno de ellos queda insatisfecho con las transacciones que llevó a cabo. Sin embargo, esto sucede asumiendo una (y sólo una) de dos posibilidades: o todos los vendedores vendieron lo que querían vender o todos los compradores adquirieron lo que querían comprar. Así, no puede suceder que se dé simultánemante que la demanda y la oferta estén insatisfechas.

262

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

de la justicia distributiva es extraño a su análisis (y sobre esto ya habíamos discutido en la semana 4), para algunos este es, precisamente, el principal objetivo del análisis económico; inclusive, dirían que su único propósito legítimo. Sin embargo, como asignar óptimamente pero con “justicia” es realmente difícil, entonces la literatura non-tâtonnement normativa se ha preguntado cómo llegar a acuerdos con estas características a través de la cooperación. En principio, es usual en la teoría microeconómica asociar la mencionada cooperación a través de acuerdos directos que estén en el núcleo que, ya sabemos, son asignaciones eficientes Pareto y estables (desde el punto de vista coalicional). Sin embargo, apartándonos del asunto del mecanismo mismo sobre cómo alcanzar una asignación de núcleo previamente escogida como “justa”, si el núcleo es vacío (y esto es usual en economías no-competitivas donde los agentes “colocan precios”) este tipo de cooperación no funciona. También se ha recurrido a reducir el problema de “asignación justa” a producir fórmulas mecánicas para dividir equitativamente el surplus cooperativo. Como un ejemplo de esto, hace ya más de sesenta años, Shapley (1953) planteaba una interesante solución. Para ilustrar su idea, supongamos que tenemos dos personas, A y B, donde A puede obtener $10, 000 por sí mismo y B puede obtener $30, 000 por sí mismo, pero que juntos pueden obtener $120, 000. Es natural preguntarse cómo podrían dividirse entre ellos los $120, 000; y una respuesta estándar es dividir el surplus de $80, 000 ($120, 000 − $10, 000 − $30, 000) en partes iguales, es decir, la persona A obtendría $50, 000 = $10, 000 + $40, 000 y la persona B obtendría $70, 000 = $30, 000 + $40, 000. Este principio, que no es equivalente a una distribución equitativa, es hoy conocido conocido como valor de Shapley. Para aplicar esto a una típica economía de intercambio, Harsanyi (1963) creó el concepto de solución igualitaria (Myerson, 1981; Kalai & Samet, 1985; Hart y Mas-Colell, 1995a, 1995b). Supongamos, para simplificar, que solo tenemos una economía de n =cardinal(N ) agentes de dos tipos, A y B; entonces la solución igualitaria debe ser una asignación Pareto óptima Eg(N ) = (Eg i (N ))i∈N tal que para cada i, j ∈ N Eg i (N ) − Eg i (N − j) = Eg j (N ) − Egj (N − i) es decir, lo que j contribuye a i es lo mismo que lo que i contribuye a j (midiendo la contribución de j a i mediante el cambio en el pago de i debido a la presencia de j). Lo que es notable aquí es que, en general, y a diferencia de la solución de núcleo y de valor de Shapley, la solución igualitaria no converge a la solución competitiva cuando el número de réplicas de la economía tiende a infinito, y esto implica que no tiene estabilidad coalicional –ver Hart (2002)–. Como se puede ver, para hacer del modelo de equilibrio general (y de sus equilibrios) una teoría del valor, se ha buscado justificarlo mediante ciertos modelos de negociación. Cómo se encuentran los compradores y los vendedores y cómo aprenden y proponen términos de negociación, inclusive cómo se asocian,

8.5. El modelo Arrow-Debreu bajo un criterio de incertidumbre

263

mostraría un camino de sustento a la teoría observando si señalan o no una trayectoria dinámica hacia unas asignaciones y precios competitivos. La solución de núcleo y otras formas de negociación, ya lo dijimos, lo logran bajo ciertas hipótesis, pero otras formas de negociación, no lo logran. Y el punto aquí es que, desafortunadamente, no hay teoría general. Es que, quizás, para confirmar o negar la importancia del programa de investigación non-tâtonnement, se requiere de una explosión en la teoría económica que tenga el impacto del modelo original de Walras.

8.5.

El modelo Arrow-Debreu bajo un criterio de incertidumbre

La teoría del equilibrio general, como casi toda la teoría económica hasta 1950, asumía que los agentes económicos operaban bajo certidumbre; es decir, que los consumidores, las firmas, los inversionistas, etc., conocían correctamente las consecuencias de sus acciones, o que al menos actuaban como si así fuera. De esta manera, los productores sabían qué productos podrían ofrecer a futuro, dados los insumos hoy; los inversionistas sabían qué precios prevalecerían en el futuro para los bienes que planeaban vender desde hoy, etc. Obviamente, los economistas y los agentes entendían que el mundo era incierto. Y la literatura mostraba que el comportamiento económico sólo podía ser explicado asumiendo que los agentes estaban advertidos de la incertidumbre. Aún así, no existía ninguna formulación general que permitiera la integración de la incertidumbre con la teoría económica estándar. Pero, en la teoría del equilibrio general, una simple re-interpretación del concepto de mercancía condujo a la extensión de los dos teoremas del bienestar. Hasta los años 1950, una mercancía era un bien o servicio cuyas características físicas, fecha y lugar de entrega estaban bien especificadas previamente. Bajo incertidumbre, la definición de mercancía especifica además un evento exógeno (que podría o no ocurrir para la fecha de entrega): bajo acuerdo de las partes, la fecha de entrega de la mercancía está condicionada a la ocurrencia de ese evento. Esto es lo que ahora se conoce en la literatura económica como mercancía Arrow-Debreu. Fue Arrow, en 1952, con su artículo The Role of Securities in the Optimal Allocation of Risk Bearing publicado en 1964 [16] , quien permitiera una trasposición inmediata de los resultados en una economía bajo certidumbre a una con incertidumbre, con la ventaja de que esta teoría no hace referencia alguna a la noción de probabilidad. La idea, tomada, extendida y enriquecida por Debreu en su artículo Economics under Uncertainty (Debreu, 1960), y por Roy Radner (1968) era, sin duda, simple (mas totalmente nueva) y llegaría a ser (aún hoy lo es) una herramienta estándar del análisis financiero. No hay duda de que fue uno de los momentos más importantes en la teoría económica neoclásica homogeneizada. 16 Y

posteriormente generalizada en Essays in the Theory of Risk Bearing de 1971.

264

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

La sustancia de este logro incluye la teoría de la asignación del riesgo y de los precios de activos riesgosos. Y en el fondo del problema, estuvo la idea de reconciliar la noción de equilibrio con la de expectativas a través de la noción de equilibrio de expectativas satisfechas (self-fulfilling expectations), también conocidas como de previsión perfecta, que devino en la noción de “expectativas racionales”. Era el nacimiento de la teoría dinámica del equilibrio general al incorporar la asignación de precios a los activos financieros (y, por ende, a los bienes de capital). La literatura naciente llamó “teoría del equilibrio general bajo incertidumbre” a esta área que ha llegado a ser de enorme importancia teórica y práctica. Para explicar de una manera relativamente simple este modelo, primero se introduce la noción de mercancía contingente a diferentes “estados del mundo” (“llueve”, “hace sol”, etc.), lo que le permite a Arrow adaptar bien la noción de consumo incierto como una mercancía estándar en el esquema del equilibrio general. Luego introduce el uso combinado de los mercados de títulos valores (“financial security markets”) y de los mercados de bienes spot –que son los mismos bienes a la vista (no bienes futuros)–. Los activos de títulos valores se transan antes de que se resuelva la incertidumbre acerca del verdadero estado del mundo. Luego de que se ha revelado este estado, los agentes recogen los dividendos de sus títulos valores y comienzan a negociar en el mercado de bienes spot. Algo que señala Arrow en el artículo es que bajo previsión perfecta de los precios de los bienes spot, los dos esquemas de mercado (el mercado completo de un lado y la combinación de mercados de títulos valores y mercados spot del otro) coincidirán. El punto aquí es que lo que se busca con los mercados de títulos valores es generar flujos de ingreso para negociar en los mercados spot. Era el origen de la teoría de precios de activos financieros, en donde se puede evitar exponerse a mercados contingentes solo permitiendo comerciar repetidamente títulos valores. Ejemplo 11. (Arrow, 1964; Duffie & Sonnenschein, 1989) Arrow ilustra los mercados de títulos valores mediante el siguiente ejemplo. Supongamos que un agente enfrenta dos estados del mundo: “lluvia” y “sol”; y dos mercancías: “maíz” y “trigo”. Entonces se tienen cuatro mercancías contingentes, aunque asume que ellas no están para la venta. En su lugar hay dos títulos de valores para la venta: el título 1 promete un dividendo de $3 unidades de cuenta (pesos, dólares, euros) con certidumbre; y el título 2 promete un dividendo de $2 si hay lluvia y $6 si hace sol (ver tabla 8.1). El agente puede comprar cualquier portafolio de estos dos títulos valores antes de que el clima se defina. Una vez que se conoce el clima entonces, como dijimos, los dividendos recibidos del portafolio pueden gastarse en mercados de bienes spot. Los precios de las mercancías spot también se muestran en la tabla 8.1: el precio del trigo es siempre $1 por saco, mientras que el precio del maíz es $1 por saco si llueve y $2 si hace sol.

8.5. El modelo Arrow-Debreu bajo un criterio de incertidumbre

Lluvia Sol

Dividendo d1 3 3

Dividendo d2 2 6

Precios maíz-trigo (1,1) (2,1)

265

Cantidades maíz-trigo (4,6) (1,4)

Tabla 8.1. Tabla para el modelo de Arrow (1964).

Supongamos ahora que el plan del agente es consumir 4 sacos de maíz y 6 de trigo si llueve; pero, si hace sol, consumirá 1 saco de maíz y 4 sacos de trigo. Estos planes también los señalamos en la tabla 8.1. De acuerdo con los precios de las mercancías spot, este plan requiere de 1(4) + 1(6) = $10 bajo lluvia y de 2(1) + 1(4) = $6 bajo sol. Para financiar este plan de consumo estado-contingente (llamémoslo x) se requiere de un portafolio de títulos valores y = (y1 , y2 ) donde y1 es la correspondiente participación de d1 , y y2 es la correspondiente participación de d2 . Es decir, debe darse que: 3y1 + 2y2 = 10 ,

3y1 + 6y2 = 6

La solución de este sistema es y1 = 4 y y2 = −1. O sea que el agente financia el consumo x comprando 4 acciones del título valor 1 y recibiendo (en lugar de pagar) 1 acción del título valor 2. Así, en cada estado del mundo (llueve o hace sol) el agente obtiene en dividendos lo que necesita para pagar los respectivos planes de consumo contingentes. Es así como Arrow reemplaza los mercados de consumo contingentes por mercados de títulos valores y mercados spot. N Para fijar ideas del caso general, se asume la existencia de C mercancías y S estados del mundo, lo que conforma una economía con SC mercancías estadocontingentes disponibles para el mercado. Con una matriz x = (xsc )s∈S,c∈C de mercancías estado-contingentes se describe la situación. También supongamos que p = (psc )s∈S,c∈C es la matriz de precios asociados a las respectivas mercancías tipo sc, y que xisc es el número de mercancías tipo sc asignadas al agente i = 1, 2, . . . , n. Definimos, entonces, para i fijo, la matriz xi = (xisc ) y, así, el valor de mercado de xi a los precios dados p es: p · xi =

C S X X

psc xisc

s=1 c=1

Arrow asumió también que el dividendo ds del título valor s es 1 si el estado ocurre, y 0 si no ocurre; y además que todos los agentes saben, antes de negociar y antes de que se revele el estado verdadero, que si el estado s ocurre, entonces el precio spot de la mercancía c es psc . Esta última es precisamente la hipótesis de expectativas racionales (previsión perfecta) que Arrow introdujera por primera vez, de manera formalizada, en la literatura económica17 . Y antes de que el 17 Esta hipótesis ha sido ampliamente criticada y defendida. Los que la atacan aseguran que es imposible tal nivel de conocimiento y coordinación por parte de un “super-subastador”. Los que la defienden aseguran que a pesar de ser un concepto un tanto extraño, en algunos modelos multiperíodo de mercados de títulos valor-spot parece funcionar bien (ver Radner, 1966; 1972).

266

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

verdadero estado se revele, los títulos valores se negocian a los precios q = (q1 , q2 , . . . , qS ). Así, un portafolio y = (y1 , y2 , . . . , yS ) de los s títulos tendrá un valor de mercado q · y = q1 y 1 + q2 y 2 + · · · + qS y S

i ) y por su Por su parte, un agente i está definido por su dotación W i = (wsc función de utilidad ui sobre las mercancías estado-contingentes. Así, dados los precios de los títulos valores y de las mercancías spot, un plan alcanzable para el agente i es un portafolio y i y un plan de mercancías estado-contingentes xi = (xisc ) tal que, para cada estado s,

ps · xis ≤ ps · (Wsi + ysi )

(*)

donde ps = (ps1 , . . . , psc ) es el vector de precios de las mercancías spot en el estado s y donde los vectores xis y Wsi se definen de igual forma. La parte izquierda de la desigualdad (*) es el valor en el mercado spot del plan de consumo en el estado s, mientras que el lado derecho es la suma del valor en el mercado spot de la dotación en estado s más los dividendos del portafolio de títulos valores y en el estado s. Así, un plan alcanzable (xi , y i ) será un óptimo para el agente i si no existe ningún otro estado alcanzable (b xi , ybi ) tal que ui (b xi ) > ui (xi ). Por su parte, 1 1 n n [(x , y ), . . . , (x , y ), p, q] es un equilibrio de mercado de títulos valores-spot, si para cada i, el plan (xi , y i ) es óptimo para el agente i (en términos de su función de utilidad ui ) dados los precios p y q, y si, además, tanto los mercados de títulos valores como los mercados spot se vacían; es decir, si y 1 + · · · + y n = 0 y x1 + · · · + xn = 0, respectivamente. Con estas definiciones, Arrow demuestra, en primer lugar, el segundo teorema del bienestar en los mercados de títulos invocando el segundo teorema del bienestar en el mercado de mercancías contingentes, y garantizando, entonces, la existencia de precios p tales que ui (xi ) > ui (W i ) implica que p · xi > p · W i Y esto lo hace mostrando, notablemente, que el conjunto de asignaciones del mercado de mercancías contingentes es matemáticamente equivalente al mercado de títulos valores-mercancías spot. Sin embargo, solo hasta aquí podía llegar, pues como mostrara Oliver Hart en 1975, para probar el primer teorema del bienestar en un mercado de títulos valores-spot se requiere que todos los mercados sean completos, es decir, que todas las transacciones sean posibles. Y esto, en este contexto, no se da, a menos que se abra espacio a la intervención del gobierno: estamos en el terreno, nuevamente, de las fallas de mercado. Las ideas iniciadas por Arrow y Radner marcarían, entonces, el comienzo de la teoría de equilibrio general para los mercados de títulos valores (es decir, con cierta dinámica e incertidumbre), lo que, a su vez, allanaría el camino hacia los primeros modelos de la teoría moderna de los mercados financieros.

8.6. Cálculo de equilibrios competitivos y algoritmo de Scarf

8.6.

267

Cálculo de equilibrios competitivos y el algoritmo de Scarf El modelo walrasiano de competencia, aun cuando es suficientemente flexible para incorporar cierto número de modificaciones formales, está lejos de ser el sistema de referencia analítico exclusivo para el estudio de los problemas microeconómicos. Pero es un importante método de análisis y uno cuyo utilidad, esperamos, será incrementada por la habilidad de obtener soluciones numéricas específicas.

Scarf, 1973, p. 17. La Corporación Rand fue creada por la Fuerza Aérea de los Estados Unidos en la creencia de que la naturaleza de los métodos de guerra había cambiado fundamentalmente por los desarrollos tecnológicos y que eran necesarias nuevas ideas. Trabajando allí, en 1966, Scarf desarrolló un algoritmo para calcular equilibrios basado en un procedimiento específico para determinar puntos fijos (Scarf, 1967; Hansen & Scarf, 1973). De hecho, aquí el objetivo de Scarf era llevar el elegante modelo Arrow-Debreu al terreno de la implementación con datos reales y, de allí, a la arena del diseño de políticas económicas. La idea general del algoritmo de Scarf para calcular equilibrios competitivos consiste en tomar una red conformada por un número grande de puntos sobre el simplex unitario P =

(

p=

(pi )li=1

∈

Rl+

|

l X i=1

)

pi = 1

para después, mediante iteración, ir “cerrando” la red (con criterios guiados por cierta función g : P → P definida a partir de la función de exceso de demanda f : P → Rl ) alrededor de una posible solución de g(p) = p que arrojará los precios de equilibrio. ¿Y cómo se genera g(·) a partir de f (·)? Existen varias formas. Una, muy típica, es definir (Nash, 1950b) la función g = (g1 , g2 , · · · , gl ) así: M ax{pj + fj (p), 0} para j = 1, 2, · · · , l gj (p) = Pl i=1 M ax{pi + fi (p), 0} Pl Y se puede probar muy fácilmente que i=1 gj (p) = 1, además de que es continua, homogénea y, lo más importante, g(p∗ ) = p∗ si, y sólo si, f (p∗ ) ≤ 0. Veamos un ejemplo sencillo pero que ilustra bien este algoritmo. Ejemplo 12. (Arrow & Kehoe, 1994) Consideremos el simplex de la figura 8.6 ya dividido en subsimplexes que, en este caso, son pequeños triángulos cuyos vértices son de la forma (m1 /8, m2 /8, m3 /8) donde m1 , m2 , m3 son enteros no-negativos tales que D = m1 + m2 + m3 = 8. Cada uno de estos vértices tiene una etiqueta con el número 1,2 ó 3. A un vértice en la frontera se le coloca el 1 si m1 = 0; se le coloca el 2 si m2 = 0; y se le coloca

268

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

el 3 si m3 = 0. Así, por ejemplo, el vértice (1/2, 0, 1/2) recibirá el 2. En las esquinas, donde podrían haber más de dos etiquetas, se sigue alguna regla estipulada como escoger la menor etiqueta posible. De otro lado, en los vértices interiores se pueden colocar etiquetas arbitrarias. Aquí, un sorprendente resultado debido a Emanuel Sperner (1928) garantiza que esta forma de etiquetar, mostrará que algún subsimplex (un pequeño triángulo, en este caso) tiene las tres etiquetas 1, 2 y 3. Scarf llamó a éste un “subsimplex completamente etiquetado”. (0,0,1) 1 b

2

2

b

2

2 b

2 b

2 b

b

b

1 b

1 b

1 b

1 b

1

2

2

b

0, 38 ,

b

b

1 b

3 b

1 1

b

b

1 b

5 8




1

b

b

1

b

2

2 b

2 b

b

2 b

b

b

7 , 0, 18 8




2

2 b

2 b

b

2

(1,0,0)

b b

b

b b

b

3 b

3

3 b

b

b

1

b

b

3

3 b

1 b

b

b

1

b b

b

b

b

b

b

b

b

3

3

3

3

3

3

3

b

1 (0,1,0)




7 1 , ,0 8 8

Figura 8.6. Algoritmo de Scarf (Arrow & Kehoe, 1994).

¿Y por qué es tan importante este subsimplex completamente etiquetado? Porque si seguimos el algoritmo de Scarf, en él estará, precisamente, un punto fijo de la función g(·). Para ver por qué esto es así, supongamos que los vértices interiores no se etiquetan arbitrariamente sino que a un vértice p = (p1 , p2 , p3 ) le daremos ahora la etiqueta i si, sólo si, gi (p) ≥ pi donde g = (g1 , g2 , g3 ); si hay más de dos i que satisfacen la condición, entonces escogemos la menor de ellas. Ahora: en el subsimplex completamente etiquetado, los tres vértices satisfacen la propiedad de que, en uno de ellos, la función es más grande que su primera componente; en otro es más grande que la segunda componente; y en el tercero, más grande que la tercera componente. Entonces ahora suponemos que la división del simplex es muy fina (esto implicaría, en nuestro ejemplo, cambiar D = 8

8.7. El teorema Sonnenschein–Mantel–Debreu

269

por un D muy grande) y que, por tanto, los vértices del subsimplex (triángulo) completamente etiquetado están muy cerca unos de otros. Es aquí donde entra en escena la continuidad de g(·) pues eso garantizaría que aún dentro de ese triángulo particular se satisfaría que gj (p) ≥ pj . Y como tanto las componentes de g(p) como las componentes de p suman 1, nos llevaría a que g(p) es casi igual a p y este p serviría como punto fijo de manera aproximada. De esta manera el algoritmo de Scarf es, fundamentalmente, una búsqueda, mediante la función g(·), de un subsimplex completamente etiquetado dentro de una división muy fina del simplex. En la figura 8.6 se comienza la dinámica en el triángulo pequeño de la esquina inferior izquierda. En él solo aparecen las etiquetas 2 y 3 y, por lo tanto, manteniendo estas dos etiquetas, debe irse buscando, paso a paso, un triángulo que también tenga la etiqueta 1. Y allí se detiene el algoritmo. 18 N Entendiendo que esta técnica podría ser útil en determinar las consecuencias de cambios en los parámetros del modelo, algunos de los estudiantes de Scarf (Shoven & Whalley, 1972; 1973) desarrollaron aún más el algoritmo asumiendo que la economía podía estar sujeta a, inclusive, choques exógenos. En 1974, Taylor & Black mostrarían, sin embargo, que el algoritmo ignoraba algunos elementos técnicos importantes (segundas derivadas y curvaturas de las funciones implicadas), lo que lo hacía mucho menos efectivo que, inclusive, los métodos de Newton para el cálculo de raíces. Pero a pesar de estas debilidades del algoritmo, en 1982 Scarf presentaría una interesante ilustración de aplicación para el caso de una economía de 6 personas, en la que, después de 2200 iteraciones, se alcanzaba el equilibrio. Y esto, entre otros, generaría en aquel entonces un segundo aire en la literatura del algoritmo (conocida como la literatura del “Equilibrio General Aplicado”), buscando alternativas que hicieran de éste una herramienta útil y práctica. No obstante, los resultados actuales (Velupillai, 2006) no son muy alentadores, pues muestran que, de hecho, el algoritmo de Scarf es “no-computable”, es decir, no garantiza que el modelo Arrow-Debreu pueda resolverse numéricamente con la precisión requerida en cada caso.

8.7.

El teorema Sonnenschein–Mantel–Debreu

Una observación cuidadosa del problema de existencia, estabilidad y unicidad del equilibrio general según el modelo Arrow-Debreu, muestra que, al fin de cuentas, está referido a la función (o correspondencia) de exceso de demanda agregada. Por lo tanto, no fue extraño que se dirigiera mucha atención (desde la teoría económica) por parte de Arrow & Hahn (1971) a esta función. De hecho, estaban convencidos de que los fundamentos microeconómicos no implicaban suficiente estructura para que los excesos de demanda totales permitieran un tratamiento adecuado de los problemas de estabilidad y de unicidad. 18 La dinámica puede comenzar en cualquier triángulo de la figura. Invitamos al lector a intentar comenzar en, por ejemplo, el triángulo inferior derecho.

270

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

Hugo Sonnenschein (1973, 1974) fue más allá y se preguntó si los excesos de demanda de una economía tenían condiciones distintas a las que ya se conocían: continuidad, homogeneidad de grado cero, y la ley de Walras. Más específicamente, se preguntaba por las condiciones que debía satisfacer una función que transforma precios en cantidades para que fuera la función de exceso de demanda agregada de una típica economía de intercambio. ¿Eran aquellas las únicas condiciones que satisfacían? Y la respuesta fue afirmativa en el caso de dos bienes. Un año después, Mantel (1974) y Debreu (1974) respondieron esta pregunta más completamente (aunque Debreu utilizó hipótesis menos exigentes) en el sentido positivo: las tres condiciones no son sólo necesarias sino que también son suficientes; es decir, cualquier función continua z(·) del simplex unitario P que satisfaga la ley de Walras (p · z(p) = 0 para todo p ∈ P ) es idéntica (exceptuando, tal vez, la frontera) a la función de exceso de demanda de cierta economía de intercambio estándar (con al menos tantos agentes como bienes). A este teorema, la literatura económica lo conoció como el teorema SonnescheinMantel-Debreu (SMD). Es el siguiente: Teorema 6. (Teorema Sonnenschein-Mantel-Debreu) Sea z : P → Rl una función continua de una economía de intercambio puro tal que para todo p ∈ P , p · z(p) = 0. Entonces para todo ǫ > 0, existen l consumidores cuyas funciones de exceso de demanda individual, zi (p), suman z(·) sobre Pǫ = {p ∈ P | para todo i, pi ≥ ǫ} Pl Es decir, para todo ǫ > 0, z(p) = i=1 zi (p) para todo p ∈ Pǫ . Demostración. Ver Debreu (1974). 

Posteriormente, se profundizó y clarificó este resultado: Mantel (1976) lo extendió a funciones de utilidad homotéticas y dotaciones arbitrarias; Kirman y Koch (1986) mostraron que la hipótesis de dotaciones agregadas fijas, no cambiaba el resultado; Mas-Colell (1977b) mostró que dado cualquier conjunto compacto y no-vacío de precios estrictamente positivos, siempre es posible construir una economía de consumidores con preferencias estrictamente convexas, continuas y monótonas, de tal manera que los precios de equilibrio de la economía coincidan con aquel conjunto dado; Diewert (1977) halló restricciones (condiciones necesarias) a las derivadas de una función de exceso de demanda; Geanakoplos y Polemarchakis (1980) mostraron que, de hecho, estas eran las únicas condiciones sobre las derivadas; y Chiappori y Ekeland (1999) mostraron que los resultados del teorema SMD podían extenderse al problema cuando los agentes, en lugar de dotaciones iniciales, tuvieran un ingreso 19 . Pero todos estos esfuerzos fueron vistos por muchos como un resultado “negativo” para la teoría del equilibrio general según el modelo Arrow-Debreu. 19 Un

buen resumen de estos estudios se encuentra en Chiappori et al (2004).

8.7. El teorema Sonnenschein–Mantel–Debreu

271

Fundamentalmente, porque el teorema SMD significaría que las hipótesis que garantizan buen comportamiento a nivel microeconómico no transfieren buen comportamiento a nivel macroeconómico, y eso podría marcar el fin de muchas de las líneas de investigación futura que habían planteado Arrow & Hahn en 1971. Inclusive Arrow (1986) insistía en que la hipótesis de racionalidad tendría, entonces, pocas implicaciones a nivel agregado, y Kirman (1989) aseguraba que la teoría del equilibrio general no podía generar proposiciones empíricas “falseables” (es decir, que fueran elementos de una teoría científica)20 , dado que casi cualquier conjunto de datos parecería consistente con la teoría. Y así, esta teoría no podría ser un paradigma alrededor del cual se pudieran organizar y sintetizar los datos económicos: era una “teoría vacía” o “el emperador no tiene vestido” afirmaban algunos (ver Kirman, 1989). Ejemplo 13. Un ejemplo clásico de economía de intercambio en la que es imposible identificar las funciones de utilidad de donde provienen los excesos de demanda, es la siguiente: uA (xA , yA ) = (xA − ǫ)(yA + ǫ),

WA = (WAx , WAy )

uB (xB , yB ) = (xB + ǫ)(yB − ǫ),

WB = (WBx , WBy )

donde ǫ > 0 es suficientemente pequeño. Aquí, las demandas agregadas por los bienes x y y serán, respectivamente, Dx =

M1 + M2 , 2px

Dy =

M1 + M2 2py

donde M1 = px WAx + py WAy , M2 = px WBx + py WBy y, así, es imposible identificar ǫ y, por, tanto, las funciones de utilidad. Con esto se muestra una familia infinita de economías que tienen las mismas demandas agregadas y, por consiguiente, también los mismos excesos de demanda. N Era entonces claro que habrían muchos problemas en establecer resultados generales sobre la unicidad del equilibrio más allá de la genericidad demostrada por Debreu (1970) tal como lo señalan Ingrao & Israel (1990), Kehoe (1985, 1991) y Mas-Colell (1975, 1991). Y también surgirían problemas de resultados generales en estabilidad del equilibrio más allá de los teoremas de Arrow & Hurwicz (1958) como lo indican Sonnenschein (1973), Ingrao & Israel (1990), Rizvi (1990). Además de problemas de microfundamentación de la macroeconomía (Kirman, 1992; Rizvi, 1994), de fundamentación de los modelos de competencia imperfecta (Roberts & Sonneschein, 1977; Grodal, 1996), de estática comparativa (Kehoe, 1985; Nachbar, 2002, 2004), e inclusive, en la teoría del comercio internacional (Kemp & Shimomura, 2002). 20 El Falsacionismo es una teoría epistemológica (Popper, 1935) que afirma que solo las teorías que son refutables pueden hacer parte del corpus del conocimiento científico.

272

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

La entonces aparente pérdida de esperanza en el modelo neowalrasiano de equilibrio general redirigió, entonces, los esfuerzos hacia el pluralismo. Algunos de estos esfuerzos fueron la teoría de juegos clásica, la teoría de juegos evolutivos, la teoría de juegos de comportamiento, y también los métodos experimentales. Todo esto debido a que se pensó que la indeterminación de los comportamientos de equilibrio partiendo sólo de las funciones de exceso de demanda era una consecuencia de la falta de especificidad en la modelación sobre cómo interactúan los agentes unos con otros. Más aún: inclusive se llegó a dudar de si el individualismo metodológico era una conveniente hipótesis, y por ello, en su lugar, se sugirió que debía teorizarse en términos de grupos que actuaran de manera colectiva y coherente: fue el origen del análisis de los sistemas complejos (Kirman, 1989; 2004). Sin embargo, no todo estaba perdido para la teoría del equilibrio general. En 1996, Rosa Matzkin y Donald Brown presentaron un muy importante artículo en el que hacían reconsideraciones acerca del teorema SMD. Allí mostraron que, hasta cierto punto, la teoría del equilibrio general sí tenía status científico y que podía generar fuertes predicciones testables. Veamos cómo fue esto.

8.8.

Falsabilidad: el teorema Brown-Matzkin

SMD es un teorema, no una opinión. Y para estar en desacuerdo con él, deben reconsiderarse las premisas. Brown y Matzkin, en lugar de mirar de nuevo hacia la función de exceso de demanda agregada, consideraron la “variedad de equilibrio” (Balasko, 1975), que, bajo preferencias dadas de los agentes, es el conjunto de dotaciones y precios para los cuales el exceso de demanda es cero. Y señalaban que esta variedad conformada por variables exógenas (las dotaciones) y variables endógenas (los precios), era una forma alternativa de pensar las afirmaciones testables en la teoría del equilibrio general. En primer lugar, Brown y Matzkin comenzaron con el axioma débil de preferencias reveladas (Afriat, 1967)21 y se preguntaron cuáles eran las condiciones que, siguiendo este teorema, debían satisfacerse en equilibrio. Llegaron, como era de esperarse, a ciertas “desigualdades polinomiales de equilibrio” donde las variables observables son las dotaciones y los precios, y las no-observables son las utilidades marginales y los consumos. Con estas desigualdades, Brown y Matzkin recurren a un teorema conocido como el teorema de Tarski-Seidenberg (Van Den Dries, 1988) que demuestra que cualquier sistema finito de desigualdades polinomiales puede reducirse a otra familia finita equivalente de desigualdades polinomiales (donde los coeficientes del sistema son los precios y las dotaciones observables) para el que existe un algoritmo finito de solución22 . Y, finalmente, demuestran que el algoritmo termina en una solución y que las nuevas desigual21 Recordemos (ver volumen I, Competencia bajo equilibrio parcial) que este resultado es, en principio, la respuesta a la pregunta sobre cuándo un número finito de observaciones sobre precios y cantidades podía ser consistente con la maximización de la utilidad. 22 De hecho, este mismo argumento es el que está en el fondo del teorema de Afriat.

8.8. Falsabilidad: el teorema de Brown y Matzkin

273

dades polinomiales definen un subconjunto estricto de la variedad de equilibrio. Es decir, ¡el modelo de equilibrio general sí era refutable! Entonces, a continuación, los autores se preguntaron por la posibilidad de implementación empírica. Pero había una dificultad: las dotaciones podían ser datos difíciles de observar. Entonces procedieron a replantear su modelo en términos, no de dotaciones, sino de ingresos. De esta manera, los datos son precios e ingresos, que sí eran susceptibles de ser observados. Inclusive se avanzó este modelo bajo preferencias aleatorias (Carvajal, 2003; Carvajal, Ray & Snyder, 2004). En principio, también el problema de la implementación empírica estaba resuelto. Sin embargo, Brown y Matzkin, al deducir las restricciones exactas para el caso de dos agentes, preferencias homotéticas y una economía de producción Robinson Crusoe, también señalaron uno de los principales problemas de la implementación empírica: para aplicar el método a gran escala, se requeriría de un mecanismo muy eficiente que resolviera sistemas muy grandes de desigualdades polinomiales. Y sobre esta dificultad no existe más discusión que recurrir a artilugios como el de asumir que son apenas unos cuantos tipos de agentes pero cada tipo compuesto por una gran cantidad de agentes (a la manera de la replicación del núcleo). Solo que esto, obviamente, es apenas un caso particular. Desafortunadamente, los resultados relativamente exitosos para la falsabilidad, no han sido posible extenderlos para testear la unicidad, la estabilidad e, inclusive, la estática comparativa, pues racionalizar los datos no coloca restricciones sobre esto, excepto, hasta donde se sabe hoy, en casos particulares de economías de intercambio puro (Brown & Shannon, 2000). Por lo tanto, desafortunadamente estos tres problemas fundamentales (estabilidad local, unicidad local y estática comparativa) del equilibrio general competitivo aún no son refutables para un conjunto finito y conocido de datos sobre precios, ingresos y consumo agregado. Al final, lo que podemos decir es que si los únicos datos a los que tenemos acceso son de nivel agregado, la teoría del equilibrio general no genera restricciones; es decir, el teorema SMD sigue intacto, y mucha de la problemática por él generada, sigue intacta. A pesar de los resultados de Brown y Matzkin.

Ejercicios (Observación: los ejercicios señalados con uno (∗) o dos asteriscos (∗∗) tienen, a juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.) 1. Basado en los ejemplos 7, 8 y 9 de esta semana 8 muestre que los respectivos equilibrios competitivos son asintóticamente estables bajo la dinámica del subastador (tâtonnement). ¿En cada caso se tiene la condición de sustituibilidad bruta?¿Y la condición de preferencias reveladas? 2. (*) En los ejemplos 7, 8 y 9 de esta semana calcule los r-núcleos para r = 2, 3, e induzca que si r → ∞ entonces aquellos convergen al equilibrio.

274

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales

3. (Aliprantis et al (1990)). En la economía de intercambio puro descrita por: uA (xA , yA ) = (yA + 1)exA , uB (xB , yB ) = xB yB ,

WA = (2, 1)

WB = (2, 3)

a) Calcule los equilibrios competitivos. b) Dibuje los equilibrios en una caja de Edgeworth-Bowley. c) Decida sobre su estabilidad asintótica (local o global) en caso de que esto se dé. d) Calcule el núcleo y decida si los equilibrios competitivos están en él. 4. (**) (Ejercicio de lectura) Era claro que había una gran diferencia entre las matemáticas de los modelos de la tradición alemana y las del modelo Arrow-Debreu. De hecho, los modelos de Wald y von Neumann no requirieron de teoremas de punto fijo para probar la existencia de equilibrios. Por ejemplo, el modelo de Wald asumió el axioma débil de preferencias reveladas, algo que es cercano a reducir el modelo al problema de maximización de la utilidad de un agente representativo. Pero en los modelos de Arrow & Debreu (1954) y McKenzie (1954) no se hace ninguna hipótesis con respecto a las funciones de exceso de demanda: únicamente la continuidad en el simplex unitario. No era, entonces, extraño que la existencia de equilibrios competitivos fuera equivalente a la existencia de puntos fijos. Y, efectivamente, así lo probarían Usawa en 1962 y Nikaido en 1968. Veamos esto. Teorema 7. Sea P el simplex unitario en Rl , y sea Γ un subconjunto no vacío, compacto y convexo de Rl . Supongamos, además, que ϕ : P → P(Γ) [23] es una correspondencia semicontinua superiormente (correspondencia de exceso de demanda) que envía cada punto de P en un subconjunto convexo novacío de Γ, y que, también, p · x ≥ 0 para todo x ∈ ϕ(p) (Ley Walras). Entonces existe p∗ ∈ P tal que ϕ (p∗ ) ≥ 0. Usawa (1962) también ha probado que es cierto el teorema recíproco: Teorema 8. (Walras ⇒ Brouwer)

El teorema 6 implica el teorema de punto fijo de Brouwer. Demostración. En efecto: Sea f : P → P una función que satisface las hipótesis del teorema de Brouwer. Para p ∈ P definamos χ : P → P mediante la fórmula f (p) · p p − f (p) χ(p) = kpk2 23 P(Γ)

es el conjunto “partes de Γ”, es decir, todos los subconjuntos de Γ.

8.8. Falsabilidad: el teorema de Brown y Matzkin

275

Dadas las hipótesis sobre f (·), esta función χ(·) satisface las condiciones del teorema 6, como el lector puede fácilmente comprobar. En particular, note que la ley de Walras se satisface inmediatamente, dado que p·χ(p) = 0 para todo p ∈ P . Por lo tanto, existe p∗ ∈ P tal que χ (p∗ ) ≥ 0, que es f (p∗ ) · p∗ ∗ p ≥ f (p∗ ) kp∗ k2

Pero, de hecho, por la ley de Walras, tenemos que f (p∗ ) · p∗ ∗ p = f (p∗ ) kp∗ k2

Y si en esta igualdad vectorial sumamos sus componentes, y recordamos que p∗ y f (p∗ ) están en P , entonces llegamos a que f (p∗ ) · p∗ =1 kp∗ k2

por lo que f (p∗ ) = p∗ y esto demuestra el teorema de Brouwer.



La importancia de este resultado para la teoría del modelo competitivo Arrow-Debreu es que abrió la puerta a los intentos por llevar a cabo cálculos (aproximados) explícitos de equilibrios en economías reales, pues bastaba con encontrar algoritmos para el cálculo de puntos fijos. Y, efectivamente, esta aproximación comenzaría con los esfuerzos (posteriormente, relativamente frustrados) de Scarf y su algoritmo, que ya describimos brevemente en la sección 8.6. 5. (**) (Ejercicio de lectura: teorema de igual tratamiento en el núcleo) Consulte la demostración del teorema –ver, por ejemplo, Varian (1992)–, que afirma que si las funciones de utilidad son estrictamente cóncavas y estrictamente monótonas, entonces en el r-núcleo de una r-réplica de la economía de intercambio, cualesquier dos agentes del mismo tipo reciben la misma asignación. 6. (**) Pruebe que la condición de sustituibilidad bruta sobre la función de exceso de demanda agregada z(p) implica el axioma débil de preferencias reveladas . Luego pruebe el teorema 1 de unicidad del equilibrio competitivo bajo el axioma débil de preferencias reveladas en lugar de la hipótesis de sustituibilidad bruta de las mercancías. 7. Un granjero puede sembrar trigo o maíz. A su vez, las ganancias que obtendría dependerían de un estado del mundo, en este caso, el clima. Las ganancias del granjero están dadas en la tabla 8.2. Lluvia Sequía

Maíz $ 46,000 $ 15,000 Tabla 8.2.

Trigo $ 31,000 $ 24,000

276

Semana 8. Después de 1959: notas sobre tópicos fundamentales La probabilidad de lluvia es 50 % y la probabilidad de sequía es 50 %. La función de utilidad del granjero es U (W ) = ln(W ) + 100 donde W es el ingreso neto. a) Si debe elegir entre maíz o trigo, ¿Cuál elegirá sembrar? b) Si puede optar entre distintas proporciones de ambos cultivos (ingreso proporcional al área sembrada), ¿Cuánto sembrará de cada uno? c) Si existe un seguro para los que sólo cultivan maíz que paga $4, 500 si llueve y cuesta $2, 000, pruebe que la decisión óptima para el granjero será cultivar solamente maíz contratando el seguro, y no diversificar.

8. (Paradoja de Allais: una crítica a la teoría de la utilidad esperada) Suponga que, inicialmente, a usted le permiten elegir entre las siguientes situaciones, conocidas como loterías A y B: Loteria A: $1′ 000, 000 con probabilidad 1. Lotería B: $5′ 000, 000 con probabilidad 10 %; $1′ 000, 000 con probabilidad 89 %; $0 con probabilidad 1 %. De otro lado, ahora suponga que viene otra persona y le dice elija entre las siguientes loterías C y D: Lotería C: $5′ 000, 000 con probabilidad 10 %; $0 con probabilidad 90 %. Lotería D: $1′ 000, 000 con probabilidad 11 %; $0 con probabilidad 89 %. En cada caso elija entre las loterías (entre A o B en el primer caso; y entre C o D en el segundo caso). Comúnmente se observa que la gente prefiere la lotería A a la lotería B en el primer caso; y prefiere la lotería C a la lotería D en el segundo caso. ¿Coinciden estas decisiones con sus elecciones? Muestre que las elecciones de la gente son inconsistentes con la maximización de la utilidad esperada. Sobre esta discrepancia discutiremos de nuevo en el volumen III (Competencia bajo equilibrio de Nash).

Semana 9

Dinámicas y equilibrio general

9.1.

Introducción

Entre las dos guerras mundiales (décadas de 1920 y 1930), la teoría dinámica del equilibrio general paretiano recibió su impulso inicial de la Escuela italiana después de Pareto (Pomini & Tusset, 2014)1 . De hecho, se consideraba que el modelo estático estaba prácticamente terminado, y que el siguiente paso era adicionarle elementos dinámicos para lo que recurrieron a unas (para entonces) sofisticadas herramientas matemáticas. En particular, a diez años de la muerte de Pareto, uno de sus alumnos, Alfonso De Pietri-Tonelli [1883-1952], escribió un largo artículo sobre el maestro (publicado en 1935) y sobre los consecuentes desarrollos del modelo paretiano. Entre estos estaba, de manera muy importante, el de encontrar trayectorias óptimas de equilibrio competitivo que dependieran del tiempo, y el referente fundamental en este propósito, según De Pietri-Tonelli, era el trabajo del matemático y físico italiano Vito Volterra [1860-1940] sobre ecuaciones diferenciales e integrales aplicadas, principalmente, a la biología dinámica2 . Y efectivamente, en los 1920’s los norteamericanos Evans y Roos venían aplicando extensivamente las nuevas técnicas dinámicas de Volterra a la teoría económica. Evans fue alumno de Volterra en Roma entre 1910 y 1912, y Roos fue alumno de Evans en Rice Institute (Texas, USA). Evans sería el primero en incorporar el cálculo de variaciones clásico, y Ross el primero en utilizar expectativas acerca de variables futuras en modelos dinámicos à la Volterra. 1 Sobre

la Escuela italiana ya discutimos brevemente en la semana 2 del presente volumen. a su vez, en los trabajos de W. R. Hamilton y K. G. Jacobi.

2 Basado,

277

278

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general

Por su parte, Luigi Amoroso [1886-1955] que, como sabemos, fue alumno de Pantaleoni y colaborador de Pareto, avanzó por etapas hacia una teoría del equilibrio general dinámico también animado por los trabajos de Evans y Roos. Amoroso, en sus Lezioni di Economia Matematica (1921), La Dinamica dell’impresa (1933), La Teoria Matematica del Programma Economico (1939), The Transformation of Value in the Productive Process (1940) y Lezioni di Meccanica Economica (1942) así lo confirma. En La Dinamica dell’impresa, por ejemplo, postulaba que el costo total de una empresa era función, no solamente de la cantidad producida, sino también de la variación de ésta en el tiempo; así, escribía θ = θ(x, x) ˙ donde θ es el costo, x la cantidad producida y x˙ = dx/dt es la derivada de x con respecto al tiempo t. Después, afirmaba que el problema del empresario era maximizar, no solo los beneficios presentes, sino también los beneficios futuros descontados. Esto, entonces, se podría escribir matemáticamente como que la función a ser maximizada era Z ∞ (p(t)x(t) − θ)e−it dt 0

donde p(t) es el precio por unidad del producto en el tiempo t, e i es la “tasa de descuento intertemporal” que es el mismo coeficiente de impaciencia ya mencionado en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial). Aquí, entonces, Amoroso aplica el cálculo de variaciones y, mediante la ecuación de Euler3 , llega a una ecuación diferencial no-lineal de segundo orden en la función incógnita x, que es resuelta asumiendo que la elasticidad de la demanda es constante. Así, dada la producción inicial y su variación (también inicial), Amoroso mostraba cómo era posible determinar las cantidades que deberían producirse en cada instante t, dependiendo del precio en ese mismo instante y de los precios anteriores comenzando con el precio inicial. De esta forma mostraba cómo en la dinámica de la producción el pasado condicionaba el presente. Por lo tanto, en 1933 ya se había producido un avance crucial hacia el estudio del equilibrio general dinámico: la teoría de la producción dinámica. Posteriormente, en La Teoria Matematica del Programma Economico de 1938, Amoroso también atacó el problema del consumo de manera similar a como había hecho con la teoría de la producción. Así como la firma ajusta en el tiempo el uso de sus factores, también el consumidor ajusta sus consumos en el tiempo. Propuso entonces modificar la función de utilidad tradicional y escribió u = u(c, c) ˙ llamándola “ophelimidad lagrangiana” (para distinguirla de la ophelimidad paretiana), donde c es el vector de cantidades consumidas, y c˙ es la variación del 3 La ecuación de Euler es la condición de primer orden para que haya una solución a un problema intertemporal. Sobre esto, el lector interesado podrá encontrar más en el Apéndice matemático al final del texto.

9.1. Introducción

279

flujo de consumo (incorporando allí los posibles cambios de hábitos con el tiempo). Y luego suponía que los consumidores intentan determinar el máximo valor del funcional Z t1

u(c, c)dt ˙

t0

y arribaba a las correspondientes ecuaciones de Euler que son las condiciones de primer orden para aquel máximo. Sin embargo, estaba clara la dificultad al intentar resolver un sistema de ecuaciones diferenciales parciales como el planteado por Amoroso. Aún en los casos más simples. A través de sus trabajos, el italiano fue de aquellos (muchos) economistas de estilo decimonónico, que buscaba darle a la economía una condición científica haciendo analogías con las ciencias naturales, especialmente, con la física. Al fin y al cabo, la Naturaleza, según este criterio, se comporta según el “Principio de mínima acción” transformando la energía a un costo mínimo. Y en esto, además de sus trabajos en dinámica económica, anticipó al mainstream ya que solo hasta 1956, Samuelson y Solow intentarían demostrar la correspondencia entre el principio de conservación de la energía y la teoría óptima del capital. Posteriormente, algunos seguirían también en esta senda de equivalencia entre economía y física que, de a pocos, fue abandonada por la corriente principal. Desde otra vertiente, y también inspirado en los trabajos de Evans y Roos, Giulio La Volpe [1909-1996] publicaría uno de los más importantes aportes a la teoría de la dinámica del equilibrio general paretiano: Studi sulla teoria dell’equilibrio economico dinamico generale (1936), en el que, al igual que Amoroso, intentó desarrollar el modelo desde la perspectiva dinámica haciendo particular énfasis en los valores esperados. El hecho distintivo en el trabajo de La Volpe es que las valoraciones de utilidad (que él llama “función de evaluación de utilidad futura”) dependen de las expectativas que se forman en el tiempo t0 y que son válidas para todo período t en adelante. Por ello evalúa maximizando (mediante el cálculo de variaciones) la siguiente expresión: Z v ui (t, c0 (t0 , t), . . . , cm (t0 , t))dt t0

donde v es la expectativa de vida, c0 , . . . , cm son canastas de bienes y servicios cuya trayectoria óptima debe determinar, sujeta a la restricción presupuestaria (que involucra cantidades de mano de obra y otros bienes y servicios que el consumidor puede ofrecer y recibir en el futuro, la cantidad de beneficios de las empresas en que participa como accionista, y también las elecciones financieras durante el flujo temporal). Allí obtiene la correspondiente ecuación de Euler y la condición de transversalidad4 que, junto a la restricción presupuestal, arrojaba 4 Esta condición, en el modelo de La Volpe, asegura que en el estado final del período de vida, los ahorros debían ser nulos. Sobre la ecuación de Euler y la condición de transversalidad, ver el Apéndice matemático al final del texto.

280

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general

la solución de equilibrio5 . Era claro, entonces, que los trabajos de Amoroso y La Volpe eran los heraldos del estudio moderno de los modelos macroeconómicos a la luz del modelo de equilibrio general paretiano. Inclusive, un análisis a profundidad del trabajo de Amoroso, muestra que anticipó el núcleo principal de la teoría del consumo de los años 1950 y 1960, buscando sobrepasar las limitaciones de la función de consumo keynesiana (Keynes, 1936). Y La Volpe, por su parte, propuso una original teoría de la producción que permitía el análisis de diferentes clases de bienes de capital y de recursos naturales. Desde otra vertiente de la misma tradición, y como buen alumno de Amoroso, Giuseppe Palomba [1908-1986] asumió como propósito continuar con el principio epistemológico de la relación Economía-Física en la que su maestro había creído tanto. De hecho, Palomba (1969) sería el primero en aplicar las ecuaciones LotkaVolterra a la Economía y también recurriría al concepto de tensor (1966) de la geometría riemanniana (B. Riemann [1826-1866]), al concepto de grupo y de campo gravitacional (1976) e, inclusive, a las transformaciones de Lorentz asociadas a la teoría de la relatividad de Einstein. Por ejemplo, aplicaría estas transformaciones cuando quiso entender la formación del precio de los bienes de capital y su dependencia de la tasa de depreciación (¿qué sucede cuando las tasas de depreciación se aceleran mucho? ¿les sucederá lo mismo que a los cuerpos que viajan a la velocidad de la luz? ¿se desarrollarán nuevas coordenadas cuando se tienen altas velocidades de depreciación?). Y la teoría de grupos y de campos gravitacionales las utilizó cuando quiso estudiar problemas de formación de estructuras oligopólicas. Desafortunadamente, después de la Segunda Guerra Mundial este programa de investigación perdió vigor y la Escuela italiana comenzó a declinar. Otros programas tales como el de Samuelson-Frisch (modelos dinámicos lineales de ciclos económicos) de inspiración keynesiana parecían más convincentes y también más tratables analíticamente para economistas con débil formación matemática; en particular, la teoría del crecimiento económico de Samuelson-Solow, con su riqueza en aplicaciones y nivel interpretativo, acaparó toda la atención de la modelación dinámica. Además, quizás por escribir en italiano, los aportes de la Escuela italiana fueron relativamente marginales para el mainstream de la teoría económica, aunque algunos de ellos publicaran un tanto después en inglés, Roos fuera fundador de la Econometric Society en 1930 (con Irving Fisher como primer presidente y Amoroso como uno de sus miembros principales), y Fossati fuera el creador de la revista Metroeconomica en 1957. Entonces bien vale preguntarnos: ¿Y cómo fue, entonces, el desarrollo desde aquella orilla de la dinámica económica con perspectiva keynesiana que opacó a la Escuela italiana? En primer lugar, debe reconocerse que los primeros modelos matemáticos con elementos dinámicos, surgieron a finales de los años 1920’s y 5 Sin duda, La Volpe se anticipó a Hicks (1939a) –mas no a Hayek (1928)– en su concepto de “equilibrio intertemporal” que brevemente discutiremos enseguida.

9.1. Introducción

281

principios de los 1930’s, épocas estas en que las economías europeas experimentaban fuertes fluctuaciones e inestabilidad en el período entre las dos guerras mundiales. Estos primeros modelos, que describían fluctuaciones económicas, eran simples procesos lineales (regidos por ecuaciones lineales en diferencias de primer orden) que convergían (con o sin estabilidad) hacia cierto equilibrio, pero no producían ciclos, que era un problema que ciertamente debía entenderse. Y buscando entonces explicar la mecánica de los ciclos económicos, pasaron a ecuaciones de segundo orden orientados por dos conceptos centrales: el multiplicador keynesiano y el principio del acelerador. Y estas ecuaciones sí mostraban, en algunos casos, fluctuaciones cíclicas6 . Entre aquellos modelos lineales estuvieron dos de los artículos seminales de la dinámica económica: Propagation problems and impulse problems in dynamic economics de Ragnar Frisch (1933) y Interactions between multiplier analysis and the principle of acceleration de Samuelson (1939a), en los que ambos establecían tres ecuaciones con soluciones exponenciales convergiendo o divergiendo al equilibrio (y dando origen a ciclos) dependiendo esto de los parámetros fundamentales. El modelo de Samuelson, que respondía a una ecuación en diferencias de segundo orden y que generalizaba el modelo de Frisch, se convertiría en un referente de la teoría dinámica con énfasis keynesiano para los años venideros. Sin embargo, era claro que el modelo de Samuelson era limitado pues solo producía cuatro tipos de trayectoria: i) Oscilatoria (estable o explosiva); ii) No-oscilatoria (estable o explosiva); iii) De equilibrio estacionario; iv) Un ciclo de amplitud constante; y se requería de dinámicas más complejas que explicaran las economías reales7 . Algunos de los aportes más interesantes e innovadores que intentaron remediar esto fueron Kalecki (1935, 1937), Kaldor (1940), Harrod (1939, 1951), Hicks (1950) y Goodwin (1948, 1950, 1951, 1967, 1982), casi todos ellos incluyendo alguna versión del mecanismo acelerador-multiplicador, y haciendo énfasis, de alguna forma, en que la inversión era la principal variable que explicaba las fluctuaciones. Sin embargo, a pesar del éxito de ellos, y en particular de Goodwin en describir una teoría dinámica no-lineal de los ciclos económicos, el interés en este tema también fue decayendo hasta quedar casi abandonado. Como desde los años 1950 (después de la Segunda Guerra Mundial) hasta los años 1980, las economías centrales crecían en expansión sostenida y el fantasma de la Gran Depresión de los años 1930 venía desapareciendo, nació un gran interés en los procesos de crecimiento en detrimento de los ciclos y las recesiones. Y del lado teórico, regresaría el énfasis en los comportamientos del equilibrio surgido de procesos de optimización, basados en el éxito de los modelos neowalrasianos. Ya en los años 1980 regresaría el interés por los modelos dinámicos no-lineales, con una perspectiva más moderna y con economistas mejor equipados matemáticamente. 6 También

era la época del desarrollo inicial de las series de tiempo empíricas. el lector está interesado en una introducción a estos conceptos, puede consultar Monsalve & Özak (2018), volumen II. 7 Si

282

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general

La moderna teoría del caos y de complejidad, prestadas de las ciencias naturales, vinieron a jugar un papel central en el desarrollo de la teoría económica de hoy día. Al final, debe reconocerse que desde los tiempos de Walras, la microeconomía ha sido lenta en incorporar elementos dinámicos en el modelo de equilibrio general debido a la preponderancia en la corriente principal del modelo estático Arrow-Debreu y su dinámica tâtonnement y, también, en el contexto del equilibrio parcial, de las dinámicas de telaraña (cobweb models). Hoy los modelos de equilibrio general dinámicos se han adherido a la macroeconomía en el análisis dinámico de los mercados y del crecimiento económico (con y sin variables monetarias). Sobre algunos de estos modelos discutiremos en las próximas secciones de este capítulo.

9.2.

El concepto de equilibrio intertemporal [Es necesario] tratar un proceso de cambio como si consistiera de una serie de equilibrios temporales; esto nos permitirá utilizar el análisis de equilibrio en el terreno dinámico.

John Hicks, Value and Capital, 1946, p. 115 Existe un sentido muy importante (...) en el que el concepto de equilibrio puede ser de gran utilidad, [que es] incluyendo planes de acción que varían en momentos sucesivos del tiempo.

Friedrich Hayek, Pure Theory of Capital, 1941, p. 22. La noción de equilibrio intertemporal consiste en analizar posiciones de periodos cortos de una economía de mercado en secuencias de tiempo. Y la motivación era clara: quizás se requería de una dinámica conveniente para entender más adecuadamente la teoría del capital y de las tasas de interés. Este concepto, usualmente asociado con Hicks y su Value and Capital de 1939, también se reconoce a Lindahl (1929) y, de manera muy importante, a Hayek y su Pure Theory of Capital (1941) como heraldos fundamentales. De hecho fue el mismo Hayek quien lo llamara “equilibrio intertemporal” en su Das Intertemporale... (1928). La versión particular más utilizada de esta noción es la de equilibrio temporal, que consiste, fundamentalmente, en un equilibrio con incertidumbre. Para especificar este último concepto, supongamos que el tiempo se divide en una secuencia infinita de fechas discretas (que algunos las llaman “semanas Hicks”), y que en cada una de estas fechas abren los mercados de bienes y servicios spot y de futuros. Los agentes comerciarán, entonces, las mercancías que estén disponibles inmediatamente en cada fecha, y también comerciarán promesas de enviar mercancías específicas en fechas futuras, además de dinero y activos financieros, lo que hará de esta economía, como decíamos en la semana 8, una de mercados incompletos (Arrow, 1964; Debreu, 1959).

9.2. El concepto de equilibrio intertemporal

283

Para esta introducción al problema, supongamos que el estado de cierta variable de la economía en la fecha t = 0, 1, . . . , (si el lector lo desea, puede pensar que esta es “consumo en el tiempo t”) puede describirse mediante un número xt , y que, además, está completamente determinada por las previsiones (xei,t+1 )m i=1 de los i = 1, 2, . . . , m agentes de la economía acerca del comportamiento de la variable en el tiempo t + 1 a través de cierta relación xt = f (xe1,t+1 , . . . , xei,t+1 , . . . , xem,t+1 )

(*)

Esta función f estará determinada en un modelo de equilibrio general, por las preferencias, las dotaciones iniciales, las tecnologías, las políticas de gobierno, etc. El siguiente paso para la definición de un equilibrio intertemporal es determinar cómo se forman las expectativas; es decir, cómo cada agente i = 1, 2, . . . , m, construye, en cada fecha t, su expectativa xei,t+1 basándose en la información que tenga de esa variable en fechas pasadas y en la actual. Esto se modela asumiendo que existe una función g tal que xei,t+1 = gi (xt , xt−1 , . . . )

para i = 1, 2, . . . , m

(**)

Así, un equilibrio intertemporal para esta economía será una sucesión (xt )∞ t=0 que satisfaga las condiciones (*) y (**). De esta manera, el método del equilibrio intertemporal permite incorporar el hecho de que los agentes, de alguna forma, aprenden la dinámica del entorno económico solo gradualmente. Construir la función g, es decir, construir la forma en que los agentes forman sus expectativas (que pueden ser distribuciones de probabilidad o variables aleatorias), resulta ser muy complejo y puede implicar sofisticadas inferencias estadísticas o estimaciones de parámetros desconocidos; o, inclusive, puede ser el resultado de procesos inductivos hacia atrás llevados a cabo por los agentes. El reto planteado por la escasez de información sobre expectativas es, entonces, el de construir teorías testeables sobre cómo se forman las expectativas, y que permitan estimar relaciones económicas que incluyen expectativas no observables. Una de estas teorías, entre muchas, es la hipótesis de expectativas adaptativas, la cual asume que las personas cambian su expectativa de cualquier variable en solo una fracción de la diferencia entre el valor de la variable en el último período y el valor que estaba esperando que fuera en ese mismo período; es decir, para t = 0, 1, . . . , se tiene que para cierto 0 < α < 1, xei,t − xei,t−1 = α(xi,t−1 − xei,t−1 )

(***)

A esta hipótesis se le considera una aproximación simple que puede ser útil en ciertas condiciones; por ejemplo, cuando la variable xi,t está determinada en buena medida por sus valores pasados y no en otros casos. Otra teoría, con una forma muy particular e importante de formación de expectativas es la ya mencionada “teoría de expectativas racionales” (self-fulfilling expectations), en donde, para todo t = 0, 1, . . . , se tiene que xei,t+1 = xt+1

(****)

284

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general

Estudiar bajo qué condiciones esta hipótesis es conveniente en el sentido de que los agentes aprenden y que las expectativas e pueden converger, en el largo plazo, a las expectativas racionales, es un tema profundo de discusión en la teoría económica (Muth, 1961; Lucas, 1977; Grandmont, 1977; Friedman, 1979) que no avanzaremos aquí.

9.3.

El dinero bajo equilibrio general

Una de las mayores dificultades que se tienen con el modelo microfundamentado Arrow-Debreu es la inclusión del dinero, y han sido muchos los esfuerzos por incorporarlo. De hecho, este modelo es, por su misma concepción, un modelo real en el sentido de que el dinero no juega un papel esencial, más allá de ser un numerario de intercambio de bienes. Pero basta con notar que si l es el número de mercancías, entonces se requieren l(l − 1) 2 mercados (uno para cada par de bienes) solo con el propósito de intercambiarlos. Y ese proceso es ineficiente y costoso, además de requerir grandes cantidades de información no necesariamente disponibles. Ese es, precisamente, un problema que el dinero (como medio de intercambio) resuelve, aunque no sea claro cómo se puedan generar los incentivos adecuados para su uso por parte de los agentes racionales, sin violar alguno de los supuestos originales del modelo. 1 + 2 + 3 + · · · + (l − 1) =

En las últimas décadas, la literatura sobre cómo incluir el dinero en el modelo de equilibrio general es muy abundante, aunque la mayoría de ella puede enmarcarse en dos tipos de modelos. El primer tipo incorpora aquellos en que se incluye el dinero en la función de utilidad, y el segundo tipo abarca aquellos modelos que estudian la demanda de dinero para transacciones: los modelos cash-in-advance (dinero por adelantado), los de recursos reales, los modelos de búsqueda y los de generaciones traslapadas. Sobre ellos discutiremos brevemente enseguida, excepto el último, al que le dedicaremos un estudio un poco más detallado.

9.3.1.

El dinero en la función de utilidad

La primera aproximación al problema de incluir el dinero como un argumento de la función de utilidad fue debida a Sidrauski (1967). Allí, asumía que la función de utilidad era la de cierto agente representativo, y que se podía escribir, en el tiempo t, como ut = u(ct , zt ) donde ct es el consumo (agregado) per-cápita en el tiempo t y zt es el flujo de servicios del (o por mantener) dinero. Así, no es el dinero el que aparece en la función de utilidad sino el control que tiene el agente sobre los bienes, por el solo hecho de estar en posesión del dinero; es decir, es una medida de los servicios de

9.3. El dinero bajo equilibrio general

285

transacción en términos de bienes. Estos modelos asumen que zt es proporcional al stock de dinero per-cápita real mt . El paso siguiente es asumir que existe un agente representativo que escoge las trayectorias de consumo ct y los stocks de dinero per-cápita real mt , de tal manera que maximice la función de utilidad descontada U (ct , mt ) =

∞ X

β t v(ct , mt )

t=0

donde 0 < β < 1 es un factor de descuento. Con condiciones estándar sobre la función de utilidad ut , se asegura la demanda positiva por dinero, aún cuando éste no se utilice en la compra de bienes y servicios. Sin embargo, este tipo de modelos no explica por qué realmente el dinero arroja utilidad, es decir, por qué lo podemos colocar dentro de la función de utilidad, sin éste ser un bien de consumo típico. Al fin y al cabo, es la complicada red de transacciones que enfrenta diariamente un consumidor lo que lo obliga a demandar una cantidad positiva de medio de cambio y, en definitiva, de dinero. Y para comenzar a entender esta red es necesario resaltar que entre los bienes y el dinero hay una importante “asimetría”: “el dinero compra bienes, los bienes compran dinero, pero bienes no compran bienes” (Clower, 1967; Ostroy & Starr, 1990). Precisamente al intentar entender este problema, surgieron los modelos de demanda de dinero por transacciones que estudiamos enseguida someramente.

9.3.2.

Demanda de dinero por transacciones

Este tipo de modelos van más allá de la simple inclusión ad hoc del dinero en la función de utilidad, e intentan modelar las transacciones con dinero imponiendo condiciones en la forma en que los intercambios se llevan a cabo, o, también, incorporando los costos de transacción al comercio de bienes y servicios. Entre los modelos más conocidos están el de “restricciones de dinero por adelantado (cash-in-advance)”, “costos de recursos reales”, los “modelos de búsqueda” e, inclusive, el “modelo de generaciones traslapadas”. i) En el modelo cash-in-advance (Clower, 1967) el agente representativo enfrenta una restricción particular que consiste en que el gasto real en consumo en el tiempo t no puede exceder la cantidad de saldos monetarios reales que el agente trae consigo en ese período; es decir, ct ≤

Mt−1 Pt

(*)

donde ct es el consumo real en la fecha t, Pt es el nivel de precios en el periodo t, y Mt−1 es el saldo monetario nominal que trae del período t − 1. En este tipo de modelos, se asume que mantener dinero tiene un costo de oportunidad configurado por una tasa de interés nominal positiva. Por

286

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general lo tanto, si no se asume incertidumbre acerca de los ingresos futuros, el agente sólo mantendrá saldos monetarios para financiar su nivel deseado de consumo. Y se muestra que el dinero es un activo como cualquier otro, en el que su valor es igual al valor presente descontado de la secuencia de rendimientos (que son los mismos “servicios de liquidez”) generados por él (Walsh, 1998). También a los modelos cash-in-advance se les ha introducido incertidumbre (ver, por ejemplo, Svensson, 1985; Lucas & Stokey, 1987; Cooley & Hansen, 1989). Una de las ventajas de estos modelos, a pesar de su dificultad matemática, es que muestran velocidad variable de la circulación monetaria (algo que no se da bajo certidumbre) siempre que los saldos monetarios se establezcan antes de la resolución de la incertidumbre. Pero esto los ha llevado a predecir “desequilibrios” en el sentido de que el nivel deseado de consumo puede llegar a ser menor que la cantidad de saldos monetarios reales que se tienen a la vista, y así algunos saldos monetarios, no se gastarían. A los modelos cash-in-advance se les señala (ver Ostroy & Starr, 1990) de que, al fin y al cabo, el truco de colocar dinero por adelantado es tan arbitrario como colocarlo en la función de utilidad: no parecen ser características intrínsecas de una economía monetaria. Además, resaltan el hecho de que la restricción (*) limita las posibilidades de negociación de los agentes recurriendo a otras alternativas distintas al dinero.

ii) Los modelos de costos de recursos reales (Brock, 1974; 1990) fueron una respuesta a los modelos cash-in-advance –fundamentalmente, a su restricción (*)–. Aquí se asume que los costos de transacción (notados mediante una función que depende (negativamente) de los saldos monetarios a la vista m y (positivamente) del volumen c de transacciones) se representan mediante recursos reales que, a su vez, son utilizados en el mercado de bienes. Un hecho sobresaliente de estos modelos es que un aumento en el volumen de los bienes intercambiados aumenta los costos de transacción pero, a su vez, un aumento de los saldos monetarios reales promedio disminuye esos costos. Y aunque Feenstra (1986) y Wang & Yip (1992) mostraron que había una equivalencia funcional entre los modelos de costos de recursos reales y los de dinero en la función de utilidad, Walsh (1998) señalaba que esta equivalencia implicaba una redefinición de la variable consumo, y así los dos modelos no podían ser equivalentes. iii) A los modelos de búsqueda algunos los consideran una de las versiones más profundas del intento por incorporar el dinero en los modelos de equilibrio general. En ellos la idea es colocar los incentivos para que “surja” la demanda por dinero en las transacciones a través de su uso (únicamente) como medio de cambio. El artículo seminal de Kiyotaki & Wright (1993) muestra un modelo en el que el intercambio de bienes requiere de costos

9.3. El dinero bajo equilibrio general

287

significativos de búsqueda aleatoria entre los individuos que deben encontrarse en el mercado para poder comerciar (esta se conoce en la literatura económica como “doble coincidencia de deseos”). Y el dinero, aquí, podrá ser aceptado por todos los agentes en intercambio por bienes siempre que la probabilidad de que el negocio se haga cuando se tiene dinero sea mayor que la probabilidad de que el negocio se haga cuando solo se tienen los bienes. Otro importante modelo de búsqueda fue el de Banerjee & Maskin (1996). En él se rescata el hecho de que la teoría no puede descartar la posibilidad de tener mercados sin dinero: podrían haber pequeños mercados (física y geográficamente) en donde pudieran intercambiarse solo peras por manzanas. Sin embargo, la discusión se centra en que esto no ocurre cuando, por ejemplo, los vendedores de peras no aceptan manzanas a cambio. Pero ¿por qué ocurre esto? Ellos afirman que es debido a problemas informacionales pues el vendedor de peras puede no conocer bien el mercado de manzanas ni de otros bienes. Es así donde aparece, espontáneamente, el dinero como un bien correctamente discernido por todos los individuos, que media en cada transacción, y cuyo precio de mercado actual y futuro también son conocidos en términos de los bienes que ellos compran y venden usualmente. Finalmente, aunque los autores demuestran que el equilibrio asociado con este bien llamado “dinero” no es óptimo de Pareto, también demuestran que si pudiera producirse dinero legal (fiat model) sin costo alguno, entonces eso mejoraría el bienestar al eliminar la distorsión causada. Pareciera, entonces, que la aproximación de los modelos de búsqueda, en donde se muestra la emergencia del dinero como medio de pago, es la más satisfactoria desarrollada hasta hoy. Además, es menos arbitraria y mejor adaptada a los preceptos del modelo de equilibrio general ya que, en estos modelos, el dinero surge como resultado de la fundamentación misma del modelo. No obstante, no debe ocultarse que estas estructuras son muy complejas por su misma naturaleza formal y, sin duda, son menos útiles al momento de requerírseles para propósitos prácticos en política económica. iv) Por su parte, el modelo de generaciones traslapadas OLG (Allais, 1943; Samuelson, 1958) asume la existencia de un número infinito de consumidores y mercancías junto con las características de que las generaciones se traslapan (modelo escalonado) entre viejos y jóvenes en cada momento discreto t. Y esto genera diferencias esenciales con el modelo de equilibrio general. En particular, como veremos, aunque un equilibrio de una economía real (sin dinero) OLG puede no ser óptimo de Pareto, cuando se le incorpora, por ejemplo, fiat money, recupera su optimalidad. En parte por ello, se cree que el modelo OLG también podría ser una estructura adecuada para el estudio de problemas monetarios sustanciales a partir de la teoría del valor (McCandless Jr. & Wallace, 1991). Sobre este modelo discutiremos enseguida.

288

9.3.3.

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general

El modelo monetario de generaciones traslapadas 8

El modelo de generaciones traslapadas (Allais, 1943; Samuelson, 1958) es una estructura en la que en cada tiempo discreto t, existe un agente representativo que consume dos tipos de mercancías agregadas: “consumo” cuando es joven en el tiempo t y “consumo” cuando es viejo en el tiempo t + 1 como se muestra en la tabla 9.1 [9] . Aquí, el consumidor representativo maximizará una cierta función de utilidad sujeta a unas adecuadas restricciones (presupuestaria y de equilibrio de mercado) en un ambiente de competencia perfecta. Veremos que la existencia de un número infinito de mercancías junto con la característica de que las generaciones se traslapan, señalarán diferencias esenciales entre el modelo OLG y el modelo Arrow-Debreu: las economías OLG mostrarán, típicamente, un continuo de equilibrios que no son óptimos de Pareto; pero si existe un activo (por ejemplo, dinero legal (fiat model)) que permita ahorrar entre períodos entonces surgirá un equilibrio monetario que es óptimo de Pareto y en el que el activo mantiene un valor positivo constante determinado de forma endógena. Período Generación Generación Generación Generación

1 2 3 4

t joven

t+1 viejo joven

t+2 viejo joven

t+3

t+4

viejo joven

viejo

···

Tabla 9.1. Estructura demográfica del modelo OLG.

9.3.3.1.

El problema del modelo básico

El problema que debe resolver el consumidor representativo en su versión básica, puede caracterizarse mediante la maximización de una función de utilidad separable sujeta a restricciones: 8 El material correspondiente a este modelo fue tomado, parcialmente, de Monsalve (ed.) (1999). 9 Esta hipótesis de que la variable “c” agregada existe, tiene una formulación formal en la microeconomía moderna: se llama el “Teorema de la mercancía compuesta”, que muestra que si estamos interesados en modelar un mercado particular aisladamente (bienes de consumo), lo podemos hacer siempre que los precios de estos bienes se muevan en tándem (es decir, los precios de ellos suben todos o bajan todos). ¿Es esto creíble? Y sobre el problema de la existencia del agente representativo ya discutimos brevemente en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial), semana 8. Allí nos introdujimos en el concepto del “agente representativo” (consumidor o productor) de una economía competitiva bajo equilibrio parcial. Este concepto, dijimos allá, radica en que el comportamiento racional de este agente sea, precisamente, la suma de los comportamientos de los agentes competitivos individuales. Y bajo las hipótesis básicas del modelo de equilibrio parcial, mostrábamos que su existencia estaba asegurada. Sin embargo, en general, este compromiso de la teoría neoclásica homogénea consistente en agregar comportamientos para que ese agente representativo actúe “como si” fuese toda la economía, es una hipótesis difícil de asimilar, pues no es claro cómo pueden agregarse comportamientos heterogéneos para conformar uno solo que los “represente”. Sobre esto las críticas abundan (ver, por ejemplo, Kirman, 1992; Stoker, 1995).

9.3. El dinero bajo equilibrio general Maximizar y o ct ,ct+1 ≥0

sujeta a

289



U cyt , cot+1 = u (cyt ) + βu cot+1

pt cyt + pet+1 cot+1 = W y pt + W o pet+1

donde u′ > 0 y u′′ < 0 en R+ ; W y , W o son las dotaciones iniciales del agente cuando es joven (y) y viejo (o), respectivamente, con W y > W o ; pt y pet+1 son los precios para los períodos t y t + 1 (esperado); cyt , cot+1 son los consumos (mercancía agregada) en los períodos t y t + 1, cuando se es joven y viejo, respectivamente; y β ∈ (0, 1). A este β, ya sabemos, se le conoce como el coeficiente de impaciencia; es decir, β cercano a 0 significa que el consumidor es muy impaciente y β cercano a 1 significa que el consumidor es muy paciente (Böhm-Bawerk, 1889; Fisher, 1930). Un caso especial importante es suponer que el agente tiene expectativas racionales; es decir, que el precio esperado para el período t + 1 es igual al precio que verdaderamente regirá para ese período (pet+1 = pt+1 ). Bajo esta hipótesis y las impuestas sobre la función de utilidad, las condiciones suficientes y necesarias para la existencia de una solución de equilibrio a este problema son: βpt u′ (cyt ) = u′ (cot+1 ) pt+1

(9.1)

pt cyt + pt+1 cot+1 = pt W y + pt+1 W o

(9.2)

cyt + cot = W y + W o

(9.3)

como se prueba fácilmente con el método de los multiplicadores de Lagrange. Definición 1. y y o o Una asignación {(cyt , cot+1 )}∞ t=0 se dice autárquica si ct = W , ct+1 = W , para todo t ≥ 0; es decir, si en cada período t el agente representativo consume su dotación. Y bajo estas definiciones tenemos el siguiente resultado: Teorema 1. (Existencia de equilibrios) Bajo condiciones de no-arbitraje de precios, y co0 = W o , cy0 = W y , el único equilibrio de una economía OLG de intercambio puro es la autarquía, es decir, en equilibrio, no hay intercambio. Demostración. Empecemos observando que como las funciones de demanda, cyt (pt , pt+1 ) y cot (pt , pt+1 ) para todo t, son, en equilibrio, homogéneas de grado cero en precios, pt+1 . Reemplazando (9.3) en (9.2) tendríamos, se puede definir λ = pt pt W o − pt cot + pt+1 cot+1 = W o pt+1 Por consiguiente: cot+1 −

  cot 1 = Wo 1 − λ λ

290

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general

Y la solución de esta ecuación en diferencias es:   (µ − W o ) para µ ∈ R cot = W o − λt que insertando en (9.3) nos arroja la igualdad   (µ − W o ) y y ct = W + λt Pero como λ 6= 1, entonces por las condiciones iniciales co0 = W o , cy0 = W y , tenemos que µ = W o . Luego cyt = W y , cot = W o para todo t, por lo que de (9.1), λ se encuentra resolviendo λ=

βu′ (W o ) , u′ (W y )

pt+1 = λpt

En conclusión, bajo no arbitraje, el único equilibrio puede caracterizarse de la siguiente forma: En primer lugar, p0 > 0 fijo (condición inicial), y en segundo lugar, t  ′ βu (W o ) y o o y c0 = W , c0 = W , pt = p0 u′ (W y ) Y también,

cyt = W y ,

para todo t. 

cot+1 = W o

Ejemplo 1. Consideremos la siguiente economía de generaciones traslapadas de intercambio puro donde todos los consumidores tienen la siguiente función ordinal de utilidad y de dotaciones iniciales 1

1

u(cyt , cot+1 ) = (cyt ) 2 + β(cot+1 ) 2

W = (W y , W o ) = (2, 1)

,

El problema del consumidor representativo es, aquí, 1

(cyt ) 2 + β(cot+1 )1/2

Maximizar y o ct ,ct+1 ≥0

pt cyt + pt+1 cot+1 = 2pt + pt+1

sujeta a

cyt , cot+1 ≥ 0 Y las funciones de demanda son: cyt =

p2t+1 + 2pt pt+1 , pt pt+1 + β 2 p2t

cot+1 =

β 2 (pt pt+1 + 2p2t ) β 2 pt pt+1 + p2t+1

La condición para que el mercado se vacíe es cyt +cot = 3; así, haciendo λ = la solución general es de la forma siguiente: 1

1

pt = γ1 + γ2 (−(2) 2 β)t + γ3 ((2) 2 β)t

γ1 , γ2 , γ3 ∈ R

pt+1 , pt

9.3. El dinero bajo equilibrio general

291

pt+1 1 = −(2) 2 β < 0. Por pt consiguiente, supondremos γ2 = 0 porque, por hipótesis, los precios de equilibrio son no-negativos. Así, el equilibrio de la economía es, para t ≥ 0, 1

Bajo no arbitraje, γ1 = 0, y si λ = −(2) 2 β entonces

cyt =

p2t+1 + 2pt pt+1 , pt pt+1 + β 2 p2t

1

pt = po ((2) 2 β)t ,

cot+1 =

β 2 (pt pt+1 + 2p2t ) β 2 pt pt+1 + p2t+1

En este equilibrio no monetario, los agentes consumen todas sus dotaciones en el correspondiente período, como se observa al evaluar las funciones de demanda 1 en pt = po ((2) 2 β)t : 3

∗

cyt =

2β 2 + 2 2 β = 2, 1 β2 + 2 2 β

1

∗

cot+1 =

(2) 2 β 3 + 2β 2 =1 1 (2) 2 β 3 + 2β 2

Los consumos para cada generación son iguales a sus dotaciones iniciales; es decir, no existe intercambio entre generaciones, porque no existe un activo que les permita ahorrar de un período a otro. Definición 2. (Óptimo de Pareto) En una economía OLG de intercambio puro, diremos que una asignación factible, o′ C = (cyt , cot+1 ), domina en el sentido de Pareto a otra C ′ = (cy′ t , ct+1 ), si, y sólo si, para toda generación,


+ βu co′ u (cyt ) + βu cot+1 ≥ u cy′ t t+1 con al menos una desigualdad estricta. Una asignación es óptima de Pareto si, y sólo si, es factible y no existe ninguna asignación factible que la domine en el sentido de Pareto.

Quizás una de las más notables características del modelo OLG de intercambio puro es que, en general, el equilibrio autárquico no es óptimo de Pareto, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2. Veamos que la distribución inter-generacional de autarquía del ejemplo 1 anterior Generación 1 −→ (2, 1) Generación 2 −→ (2, 1) Generación 3 −→ (2, 1) .. .. .. . . . no es óptima de Pareto. Para ello consideremos la siguiente distribución intergeneracional: Generación 1 −→ (2, 3/2) Generación 2 −→ (3/2, 3/2) Generación 3 −→ (3/2, 3/2) .. .. .. . . .

292

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general

Notemos que esta distribución es equilibrio de mercado, es decir, cyt + cot = W y + W o , para todo t (excepto la generación 1). Sin embargo, para un β suficientemente cercano a 1 (β > 0.85) se tiene que ! ! 21 3 3 1 = (2) 2 + β Generación 1: u(2, 1) = (2) + β(1) < u 2, 2 2 ! ! 21 ! 12 3 3 3 3 1 1 = +β , Generación 2: u(2, 1) = (2) 2 + β(1) 2 ≤ u 2 2 2 2 ! ! 21 ! 12 3 3 3 3 1 1 Generación 3: u(2, 1) = (2) 2 + β(1) 2 ≤ u +β = , 2 2 2 2 · · · · · · 1 2

∗

1 2

Luego el equilibrio (p∗t , cyt , cot ) no es un óptimo de Pareto. 9.3.3.2.

∗

El modelo OLG monetario

Ahora supongamos que la economía de generaciones traslapadas funciona con dinero legal sin respaldo (fiat money) aceptado por convención; es decir, dinero que es emitido por una autoridad monetaria y que todos los consumidores aceptan por esta razón de confianza en su respaldo. A esta economía la llamaremos economía OLG monetaria. Enseguida mostraremos que los agentes tendrán incentivos para demandar dinero con el objeto de llevar, efectivamente a cabo, las transacciones y también para ahorrar. El problema de encontrar un equilibrio para una economía OLG monetaria consistirá aquí en resolver el siguiente problema del consumidor representativo:

Maximizar st ≥0

sujeta a

U (cyt , cot+1 ) = u(cyt ) + βu(cot+1 ) cyt = W y −

st pt

cot+1 = W o +

st pt+1

donde st representa el nivel de ahorro nominal en un bien durable alcanzado por el consumidor representativo en la generación t, que realiza cuando es joven y que gasta cuando es viejo. Además, asumiremos que el ahorro nominal de la generación t es igual a la cantidad de dinero legal Mt , que la autoridad monetaria pone a disposición de los agentes económicos de la generación t : st = Mt . Recurriendo a la técnica de los multiplicadores de Lagrange aplicados al problema de optimización anterior, es fácil entender la siguiente definición:

9.3. El dinero bajo equilibrio general

293

Definición 3. (Equilibrios monetarios) a) En una economía OLG monetaria, dada una sucesión de oferta de dinero s legal {Mts }∞ t=0 , Mt ≥ 0 para todo t, decimos que las sucesiones y ∞ o ∞ ∞ {pt }∞ t=0 , {ct }t=0 , {ct }t=0 , {st }t=0

donde pt > 0, cyt ≥ 0, cot ≥ 0 para todo t ≥ 0, forman un equilibrio monetario de expectativas racionales si, y sólo si, para todo t = 0, 1, . . . , se tiene que: βpt u′ (cyt ) = , u′ (cot+1 ) pt+1   st y y ii) ct = W − ; pt i)

cyt < W y cot+1

o

=W +



st pt+1



iii) Mts = st Es decir, una sucesión de precios y consumos forman un equilibrio monetario si cada consumidor maximiza su utilidad sobre su conjunto de presupuesto; en cada período hay equilibrio de mercado; y el ahorro nominal es igual a la oferta monetaria. b) Un equilibrio monetario estacionario se define como un equilibrio monetario tal que para todo t ≥ 0, Mt = M, pt = p, cyt = cy , cot = co para algunos números positivos M, p, cy , co fijos. El siguiente teorema muestra que, bajo ciertas condiciones, existe un único equilibrio monetario estacionario para toda economía OLG monetaria. Teorema 2. Si β es suficientemente cercano a la unidad, existe un único equilibrio monetario estacionario finito para la economía OLG monetaria. Demostración. Sea F : R2+ → R definida así:

    M M F (β, M ) = u′ W y − − βu′ W o + p p

para p fijo. Entonces F es una función diferenciable con continuidad en su dominio, y F (1, M ∗ ) = 0 donde M ∗ = p(W y − W o )/2; además, ∂F/∂M > 0 en R+ . Por el teorema de la función implícita (ver Lang, 1993) existe un intervalo abierto U alrededor de 1, y una función M : U → R+ definida por β → M (β) tal que M (1) = M ∗ = p(W y − W o )/2, F (β, M (β)) = 0 para todo β suficientemente cercano a 1 pero menor que 1, y donde M es una función diferenciable con continuidad. Notemos que, por homogeneidad en precios, M (β) = λ(β)p, y

294

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general

así p = (M/λ)(β) con λ : U → R+ función diferenciable con continuidad10 .  Así, se ha probado que el valor del dinero en el equilibrio monetario estacionario es M (β)/p > 0; luego éste mantiene un valor constante, bien definido, siempre. El dinero legal, en estos modelos, se presenta así con valor determinado endógenamente en el estado estacionario, contrastando esto con el modelo Arrow-Debreu en que el dinero presenta un valor positivo indeterminado reflejado en la existencia del numerario. 9.3.3.3.

Equilibrios versus óptimos de Pareto

En esta sección mostraremos lo ya afirmado anteriormente: que la asignación de equilibrio de la economía monetaria OLG es mejor (en el sentido de Pareto) que la asignación de equilibrio de la correspondiente economía no monetaria. Veamos que, efectivamente, es así. Teorema 3. En una economía OLG monetaria, el equilibrio monetario estacionario es óptimo de Pareto. Demostración. Supongamos que para una cierta sucesión de números positivos {εt }∞ t=0 la distribución temporal (cy , co + ε0 ) (cy − ε0 , co + ε1 ) (cy − ε1 , co + ε2 )

· ·

· ·

(cy − εt−1 , co + εt )

mejora, en el sentido de Pareto, el equilibrio monetario estacionario; es decir, u(cy − εt−1 ) + βu(co + εt ) ≥ u(cy ) + βu(co ) Entonces βu(co + εt ) − βu(co ) ≥ u(cy ) − u(cy − εt−1 )

(9.4)

βu(co + εt ) − βu(co ) < βu′ (co )εt

(9.5)

Por concavidad estricta de la función de utilidad llegamos a que:

De (9.4) y (9.5), obtenemos que: βu′ (co ) >

u(cy ) − u(cy − εt−1 ) εt

(9.6)

10 Notemos aquí que la existencia del agente representativo evita que recurramos a teoremas de punto fijo.

9.3. El dinero bajo equilibrio general

295

Por otra aplicación de la concavidad de la función de utilidad, se llega a que: u(cy − εt−1 ) − u(cy ) < u′ (cy )(−εt−1 ) y así,

u(cy ) − u(cy − εt−1 ) > u′ (cy ) εt−1 De (9.6) y (9.7) obtenemos: 1=

(9.7)

εt u′ (cy ) < ′ o βu (c ) εt−1

Luego 0 < εt−1 < εt para todo t, y así, la sucesión {εt }∞ t=0 es monótona creciente. Debemos, entonces, considerar dos casos: i) Si εt → ∞ cuando t → ∞, la condición de recursos, cy − εt ≥ 0 para todo t, no se tendría, lo cual es una contradicción. ii) Si εt → ε cuando t → ∞, entonces tomando límites en la ecuación (9.4) y repitiendo el procedimiento de las ecuaciones (9.5), (9.6) y (9.7) se obtendría u′ (cy ) 1=

1 3

Los consumos de equilibrio en el estado estacionario son, entonces: cy =

4 1+β

;

co =

4β 1+β

y, a partir de la función de demanda de dinero, se puede encontrar la trayectoria de equilibrio de los precios. Asumiendo que la oferta monetaria es constante, la trayectoria es pt+1 = 3βpt − (1 + β)M . Y se verifica de nuevo el teorema 4. En particular, la figura 9.2 representa el comportamiento dinámico de los precios y se confirma que el estado estacionario monetario es inestable. pt+1 pt+1 = pt

p

p

pt

Figura 9.2. Dinámica de precios en el ejemplo 3.

El lector interesado en comenzar a entender sobre el grado en el que los teóricos del equilibrio general han logrado su objetivo declarado de integrar la teoría monetaria a la teoría del valor, puede comenzar con las extraordinarias notas suplementarias de Patinkin (1957) y continuar con Starr (2003, 2012).

298

9.4.

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general

El modelo de Ramsey con inspiración paretiana

En esta sección estudiaremos, en versión simple, un clásico modelo no-monetario, que, forzadamente, conecta la línea paretiana de la asignación estática con el problema dinámico de la asignación intertemporal bajo competencia perfecta, siguiendo la línea de Ramsey (1928). Aquí, consideraremos una economía que produce un único bien (o un bien agregado dentro de cierta categoría) y que en cada fecha t existen un mercado spot para este bien, un mercado para bonos o depósitos, y capital, y también un mercado de trabajo. Los consumidores deciden, en cada período de tiempo, cuánto trabajo y capital venden a las firmas, y cuánto consumen y ahorran. Las firmas deciden, en cada período de tiempo, cuánta cantidad de trabajo y capital comprar, y cuánto producir. Además, los consumidores deciden cuánto prestar o solicitar en préstamo dentro del mercado de bonos 12 . Estudiaremos primero a los productores, luego a los consumidores, y después la existencia de un equilibrio competitivo descentralizado por los precios. Después miraremos la economía desde una perspectiva descentralizada y confirmaremos los dos teoremas del bienestar económico. A renglón seguido, estudiaremos un poco el problema de las fallas de mercado que surgen por impuestos, entre otros.

9.4.1.

Los productores

El sector productivo de la economía está descrito por una función de producción agregada Yt = F (Kt , Nt ) donde Kt es el nivel de capital en el período t, Nt es la cantidad de trabajo en el período t, y F : R2+ → R+ es una función estrictamente creciente en cada uno de los argumentos, cóncava estricta, doblemente diferenciable con continuidad y exhibe rendimientos constantes a escala. Es decir, ∂F >0 , ∂Kt

∂F >0 ∂Nt

∂2F β −1 − (1 − δ) y también l´ımk→∞ f ′ (k) < β −1 − (1 − δ) para ciertos 0 < β, δ < 1 que definiremos más adelante. Así, f (·) estará definida en términos per-cápita, y   1 ∂F = f ′ (kt ) = Nt f ′ (kt ) ∂Kt Nt ∂F = f (kt ) + Nt f ′ (kt ) ∂Nt



−Kt Nt2



= f (kt ) − kt f ′ (kt )

Además, si la función de producción tiene rendimientos constantes a escala, los beneficios del sector productivo son cero en equilibrio. Asumiremos que el modelo, en términos per-cápita, está caracterizado por las siguientes ecuaciones: i) Dado un nivel inicial de capital k0 > 0, f (kt ) debe satisfacer ct + xt = f (kt ) donde xt es la inversión en el período t y ct es el consumo en el período t. Es decir, en cada período, lo producido por la economía se consume o se reinvierte en el sector productivo. ii) La inversión en el período t se utiliza para incrementar el nivel de capital del período (t + 1). Aquí, la ecuación de evolución del capital está dada por kt+1 = (1 − δ)kt + xt donde δ es la tasa de depreciación del capital (0 < δ < 1). Es decir, en cada período, el capital disponible para el sector productivo está conformado por el capital (depreciado) del período anterior más la inversión en este mismo período. El problema de la firma representativa es, entonces, Maximizar

ct ,xt ,kt ≥0

sujeta a

ct + pkt xt − wt − rt kt ct + xt = f (kt )

donde pkt es el precio del bien producido, wt es el salario, rt es el precio de renta del capital existente relativos al consumo del periodo t. Asumiremos, por simplicidad, que pkt = 1 (numerario). Luego el problema de la firma representativa será Maximizar kt ≥0

f (kt ) − wt − rt kt

300

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general

Por lo tanto, dado que f (·) es una función estrictamente cóncava y diferenciable con continuidad, las condiciones suficientes y necesarias para la existencia de una solución a este problema son: ∂F = f ′ (kt ) ∂Kt

(9.9)

∂F = f (kt ) − kt f ′ (kt ) ∂Nt

(9.10)

rt = wt =

Con las ecuaciones anteriores determinamos el comportamiento del productor representativo. Luego regresaremos a ellas cuando estudiemos el equilibrio competitivo descentralizado.

9.4.2.

Los consumidores

En esta economía se asume que existe un gran número de consumidores, y que el comportamiento de la economía agregada puede modelarse como si consistiera en un sólo consumidor representativo que vive infinitamente. Esta hipótesis de agentes de vida infinita no parece realista a primera vista, pero es justificable si se tiene en cuenta la incertidumbre que los seres humanos tiene sobre el momento preciso de su muerte o el interés que pueden tener en el bienestar de sus futuras generaciones. El consumidor representativo elige un plan de consumo c = (ct )∞ t=0 en su conX, donde se supone que X ⊆ R , es cerrado, no vacío junto de consumo Π∞ + t=0 y convexo13 . La función de utilidad del consumidor representativo está definida por ∞ X β t u(ct ) = u(c0 ) + βu(c1 ) + β 2 u(c2 ) + · · · U (c) = t=0

donde u : R+ → R es una función monótona creciente, cóncava estricta, y doblemente diferenciable con continuidad en el interior de X, y β ∈ (0, 1) es el factor de descuento. Este factor tiene exactamente la misma interpretación que en el modelo OLG.

La restricción presupuestal afirma que el consumidor representativo, en cada período, divide su riqueza (que es la suma de los salarios, el valor del capital y el valor de los bonos poseídos al comienzo del período) en consumo, inversión y compra de nuevos bonos, es decir, ct + xt + bt+1 = wt + rt kt + Rt bt donde Rt es la tasa de interés bruta (o, dada la normalización, el precio del consumo en el período (t − 1) en términos del consumo en el período t) y bt 13 Este ejercicio de agregar en una sola variable c el consumo de una economía, está basado en el criticable “mecanismo de agregación” de Hicks (1939a) que ya mencionamos en la semana 2 y también en el volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial).

9.4. El modelo de Ramsey con inspiración paretiana

301

es la cantidad de bonos o depósitos poseídos por el consumidor al comienzo del período t [14] . El problema del consumidor representativo es, entonces, Maximizar

ct ,xt ,kt+1 ,bt

∞ X

β t u(ct )

t=0

sujeta a ct + xt + bt+1 = wt + rt kt + Rt bt kt+1 = (1 − δ)kt + xt ct , kt+1 , xt ≥ 0

(9.11)

k0 > 0, b0 dados El lagrangiano correspondiente a este problema es [15] : P∞ t L= t=0 β {u(ct ) + λt [wt + rt kt + Rt bt − ct − xt − bt+1 ] +

θt [(1 − δ)kt + xt − kt+1 ] + γ1t ct + γ2t xt + γ3t kt+1 }

Dadas las hipótesis sobre u(·), las condiciones suficientes y necesarias para la existencia de una solución a este problema son [16] : u′ (ct ) − λt + γ1t = 0

ct : xt : kt+1 :

−λt + θt + γ2t = 0

−θt + βθt+1 (1 − δ) + βλt+1 rt+1 + γ3t = 0 bt+1 :

−λt + βλt+1 Rt+1 = 0

y las condiciones de transversalidad son

[17]

:

l´ım β T λT kT +1 = 0

T →∞

l´ım β T λT bT +1 = 0

T →∞

Dadas las condiciones sobre u(·) y f (·), la solución a este problema es interior; es decir, la solución al sistema está determinada por: ct :

u′ (ct ) = λt

(9.12)

14 Aunque las variables reales se han supuesto no-negativas, la variable monetaria b puede t tomar cualquier signo. En particular un valor negativo de bt representa un préstamo solicitado por el consumidor. 15 Notemos que los multiplicadores de Lagrange estándar están dados por los multiplicadores de Lagrange que utilizamos por el factor de descuento. Por ejemplo, el multiplicador de Lagrange estándar asociado a la restricción de factibilidad en el tiempo t está dado por β t λt . 16 Ver Monsalve & Özak (2018), volumen II. 17 Hemos necesitado considerar aquí la condición de transversalidad o condición de interioridad al infinito.

302

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general xt : kt+1 :

λt = θ t

λt = βλt+1 [(1 − δ) + rt+1 ]

bt+1 :

λt = βλt+1 Rt+1

(9.13) (9.14) (9.15)

y las condiciones de transversalidad son: l´ım β T λT kT +1 = 0

(9.16)

l´ım β T λT bT +1 = 0

(9.17)

T →∞

T →∞

La interpretación económica de estas condiciones es simple: (9.12) define el multiplicador de Lagrange como la utilidad marginal del consumo, es decir, es una medida de cuánto es valorada una unidad de consumo adicional en el tiempo t; (9.14) iguala el costo marginal de renunciar a una unidad de consumo hoy para convertirlo en capital, λt , con los beneficios de tal plan. Específicamente, los beneficios son el extra del producto total de mañana, dado por [(1−δ)+rt+1 ], multiplicado por el valor de tal producto mañana, dado por βλt+1 . La ecuación (9.16) (condición de transversalidad) afirma que el valor límite del nivel de capital desde la perspectiva del tiempo cero, es decir, β T λT multiplicado por la cantidad kT +1 , converge a cero. Aunque la imposición de una condición de transversalidad sobre bt es artificial, es necesaria desde el punto de vista económico. Si los consumidores pudieran elegir una sucesión {bt } no restringida, ellos siempre eligirían bt = −∞; es decir, pedirían prestado una cantidad infinita hoy y pagarían mañana pidiendo prestado de nuevo una cantidad infinita. Por tanto, los consumidores tendrían consumos infinitos en cada período. Es necesario entonces imponer una cota sobre la sucesión de préstamos. Una posible solución es imponer una cantidad máxima que pueda ser prestada; es decir, bt ≤ b para algún valor de b. Sin embargo, observemos que la condición de transversalidad es más débil que imponer una cota superior sobre la sucesión de préstamos. Después de cierta manipulación algebraica elemental, podemos, entonces, escribir las condiciones de primer orden así: u′ (ct ) = βu′ (ct+1 ) [(1 − δ) + rt+1 ]

(9.18)

u′ (ct ) = βu′ (ct+1 ) Rt+1

(9.19)

Y las condiciones de transversalidad así: l´ım β T u′ (cT )kT +1 = 0

(9.20)

l´ım β T u′ (cT )bT +1 = 0

(9.21)

T →∞

T →∞

Las ecuaciones (9.18) y (9.19) se conocen como las ecuaciones de Euler para el capital y los bonos, respectivamente. Reemplazando (9.9) en (9.18) se tiene que u′ (ct ) = [(1 − δ) + f ′ (kt+1 )] βu′ (ct+1 )

9.4. El modelo de Ramsey con inspiración paretiana

303

Esta regla, conocida como la regla de Ramsey-Keynes, que debe satisfacerse a lo largo de la trayectoria óptima, no es más que la condición clásica de eficiencia: tasa marginal de sustitución igual a la tasa marginal de transformación. De otro lado, la ecuación de Euler para bonos puede escribirse como u′ (ct ) = Rt+1 βu′ (ct+1 ) Es decir, la tasa marginal de sustitución de t a (t+1) es igual a la tasa de interés bruta en el período (t + 1).

9.4.3.

El concepto de equilibrio competitivo

Ahora integramos los dos sectores de consumidores y productores alrededor del concepto de equilibrio competitivo. Definición 4. Un equilibrio competitivo del modelo de crecimiento simple es una colección de sucesiones de precios {wt∗ }, {rt∗ }, {Rt∗ }, t = 0, 1, . . . , una asignación {c∗t }, {x∗t }, {kt∗ }, t = 0, 1, . . . , y una sucesión de bonos {b∗t } que resuelven simultáneamente los siguientes problemas: 1. Problema del productor: Maximizar ct ,xt ,kt

sujeta a

ct + xt − wt − rt kt ct + xt = f (kt ) ct , kt+1 , xt ≥ 0

2. Problema del consumidor: Maximizar

ct ,xt ,kt+1 ,bt+1

sujeta a

∞ X

β t u(ct )

t=0

ct + xt + bt+1 = wt + rt kt + Rt bt kt+1 = (1 − δ)kt + xt

ct , kt+1 , xt ≥ 0 b0 = 0, k0 > 0, x0 > 0, R0 > 0 dados

3. Las asignaciones son factibles: ct + xt = f (kt ) kt+1 = (1 − δ)kt + xt ct + xt + bt+1 = wt + rt kt + Rt bt

304

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general Por consiguiente, dadas las condiciones sobre u(·) y f (·), un equilibrio competitivo para el modelo de Ramsey aquí estudiado estará definido por las siguientes ecuaciones: ct + xt = f (kt )

(9.22)

kt+1 = (1 − δ)kt + xt

(9.23)

′

rt = f (kt )

′

(9.24)

wt = f (kt ) − kt f (kt )

(9.25)

ct + xt + bt+1 = wt + rt kt + Rt bt

(9.26)

u′ (ct ) = βu′ (ct+1 ) [(1 − δ) + rt+1 ]

(9.27)

′

′

(9.28)

l´ım β u (ct )kT +1 = 0

(9.29)

l´ım β T u′ (ct )bT +1 = 0

(9.30)

u (ct ) = βu (ct+1 )Rt+1 T

T →∞

′

T →∞

y b0 = 0, k0 > 0, x0 > 0, R0 > 0 dados. Es decir, un equilibrio es un conjunto de sucesiones de precios y una asignación tal que es factible –condiciones (9.22) y (9.23)–, la firma representativa maximiza el beneficio dada la tecnología –condiciones (9.24) y (9.25)–, y el consumidor representativo maximiza su utilidad sobre su conjunto de presupuesto –condiciones (9.26), (9.27) y (9.28)–. La mayoría de las condiciones son realmente estándar y no requieren explicaciones adicionales. Una que puede parecer peculiar es b0 = 0. Notemos que en esta economía de un agente representativo, b0 es tanto el valor inicial de los bonos para cada individuo como el valor medio de la economía. En esta economía debe ocurrir que la posición de activos netos sea cero. Así, b0 = 0 afirma que en periodo cero los mercados financieros están en equilibrio. En una economía con agentes heterogéneos es posible que bi0 sea diferente de cero. En este caso se requiere que la suma de bi0 sobre todos los individuos sea cero. Lema 1. En cualquier equilibrio competitivo, bt = 0 para todo t = 0, 1, . . . . Demostración. En equilibrio, la restricción presupuestaria del consumidor es wt∗ + rt∗ kt∗ + Rt∗ b∗t = c∗t + x∗t + b∗t+1

(9.31)

Reemplazando las ecuaciones (9.24) y (9.25) en la restricción presupuestaria del consumidor, se obtiene f (kt∗ ) − kt∗ f ′ (kt∗ ) + f ′ (kt∗ )kt∗ + Rt∗ b∗t = c∗t + x∗t + b∗t+1

(9.32)

Ya que en equilibrio, f (kt∗ ) = c∗t + x∗t , entonces Rt∗ b∗t = b∗t+1 . Como en equilibrio b0 = 0, el resultado se obtiene trivialmente. 

9.4. El modelo de Ramsey con inspiración paretiana

9.4.4.

305

El problema de un planificador central

Consideremos ahora el problema de cierto planificador central que quiere maximizar la utilidad del agente representativo sujeta a restricciones de factibilidad y a la sucesión dada de gastos del gobierno {gt }. El problema puede describirse de la siguiente manera: Maximizar ct ,xt ,kt+1

∞ X

β t u(ct )

(9.33)

t=0

sujeta a ct + xt + gt = f (kt ) kt+1 = (1 − δ)kt + xt ct , kt+1 , xt ≥ 0

dados

k0 > 0, x0 > 0 {gt }∞ t=0

dada

donde u(·) y f (·) satisfacen las mismas condiciones del problema descentralizado. El lagrangiano correspondiente a este problema es L=

∞ X t=0

β t {u(ct ) + λt [f (kt ) − ct − xt − gt ]

+ θt [(1 − δ)kt + xt − kt+1 ] + γ1t ct + γ2t xt + γ3t kt+1 }

Las condiciones suficientes y necesarias para la existencia de una solución a este problema son18 : ct : u′ (ct ) − λt + γ1t = 0 xt : −λt + θt + γ2t = 0

kt+1 : −θt + βθt+1 (1 − δ) + βλt+1 f ′ (kt+1 ) + γ3t = 0 l´ım β T θT kT +1 = 0

T →∞

ct + xt + gt = f (kt ) kt+1 = (1 − δ)kt + xt Ya que los requisitos sobre u(·) y f (·) son los mismos del problema descentralizado, entonces todas las soluciones son interiores; luego, todos los γit son cero, y las condiciones de primer orden pueden escribirse como u′ (ct ) = λt 18 Ver

Monsalve & Özak (2018), volumen II.

(9.34)

306

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general (9.35)

λt = θ t ′

λt = βλt+1 [(1 − δ) + f (kt+1 )]

(9.36)

l´ım β T θT kT +1 = 0 T →∞ (condición de transversalidad)

(9.37)

ct + xt + gt = f (kt )

(9.38)

kt+1 = (1 − δ)kt + xt

(9.39)

El sistema anterior se puede reducir a las siguientes ecuaciones: u′ (ct ) = (1 − δ) + f ′ (kt+1 ) βu′ (ct+1 )

(9.40)

(regla Ramsey-Keynes)

ct + xt + gt = f (kt )

(9.41)

kt+1 = (1 − δ)kt + xt

(9.42)

T

′

l´ım β u (ct )kT +1 = 0 T →∞ (condición de transversalidad)

(9.43)

Definición 5. (Equilibrio centralizado) Un equilibrio centralizado es una colección de sucesiones [{c∗T }, {x∗t }, {kt∗ }, {gt∗ }], t = 0, 1, . . . , que resuelven el problema (9.33). Dadas las condiciones sobre u(·) y f (·), un equilibrio centralizado para el modelo de Ramsey está definido por las ecuaciones (9.40) a (9.43). Definición 6. (Estado estacionario) Un estado estacionario para la economía centralizada se define como un equilibrio centralizado tal que para todo t ≥ 0, gt = g, kt = k ∗ , ct = c∗ , xt = x∗ para algunos números positivos g, k ∗ , c∗ , x∗ fijos. De la ecuación (9.34) y las ecuaciones (9.40) a (9.43), deducimos que un estado estacionario debe satisfacer δk ∗ = x∗ [ 19 ] (9.44) 1 = (1 − δ) + f ′ (k ∗ ) β

(9.45)

c∗ + x∗ + g = f (k ∗ )

(9.46)

′

∗

u (c ) = λ

∗

(9.47)

Teorema 5. (Existencia y unicidad del estado estacionario) Si g es pequeño (bajo nivel de gasto público), entonces la economía centralizada tiene un único equilibrio estacionario. 19 Es interesante observar, a partir de esta ecuación, que la inversión en el estado estacionario es apenas la suficiente para cubrir la depreciación del nivel de capital.

9.4. El modelo de Ramsey con inspiración paretiana

307

Demostración. Observemos que es suficiente mostrar que existe un único nivel de capital k ∗ que satisface (9.45) y que, en k = k ∗ , el nivel de consumo c∗ es no-negativo. Como l´ımk→0 f ′ (k) > β −1 −(1−δ) y l´ımk→∞ f ′ (k) < β −1 −(1−δ), entonces para niveles bajos de k, β[(1 − δ) + f ′ (k)] > 1 y para niveles altos de k, β[(1 − δ) + f ′ (k)] < 1. Ya que f es doblemente diferenciable, entonces f ′ es una función continua. Por tanto, existe k ∗ tal que β[(1 − δ) + f ′ (k)] = 1 20 .

Veamos que en el estado estacionario es único; es decir, que sólo un valor de k satisface (9.45). Ya que f (·) es estrictamente cóncava, entonces β[(1 − δ) + f ′ (k)] es mayor que 1 para valores pequeños de k y menor que 1 para valores grandes de k, sólo existe un valor de k para el cual β[(1 − δ) + f ′ (k)] es igual a 1.

Falta mostrar que (9.46) implica que c∗ es no-negativa. Suponiendo g = 0, veamos que f (k ∗ ) > δk ∗ . Observemos que es suficiente probar la condición f ′ (k ∗ ) > δ porque en el punto donde se interceptan f (·) y δk, la función f (·), al ser estrictamente cóncava, tiene que venir por encima de δk. Así, su derivada en el punto de intersección es menor que δ. Por tanto, para todos los puntos que f ′ (k) > δ, se tiene f (k) > δk. De la ecuación (9.45) se concluye que f ′ (k ∗ ) = (β −1 − (1 − δ)) > δ, ya que β −1 − 1 > 0. Por tanto, si g = 0, la economía posee un estado estacionario bien definido. Ya que la condición de existencia se satisface como una desigualdad estricta para g = 0, entonces también se tiene para valores de g suficientemente pequeños21 .  Una vez probadas la existencia y unicidad, analicemos algunas propiedades del estado estacionario, a partir de las ecuaciones (9.44), (9.45), (9.46) y (9.47): 1. El nivel de capital per-cápita es independiente de la forma de la función de utilidad. La curvatura de u se puede ignorar porque en el estado estacionario el consumo es constante y, por tanto, la utilidad marginal del consumo de hoy es igual al consumo descontado de mañana. Ya que solo importa la tasa marginal de sustitución entre consumo presente y futuro, la curvatura no juega ningún papel en la determinación del estado estacionario. 2. Un cambio pequeño en el gasto del gobierno no tiene impacto ni sobre la producción ni sobre el nivel de capital, pero sí implica un decrecimiento directo en el consumo. Este modelo no genera el resultado estándar según el cual el gasto del gobierno desplaza la inversión privada. 3. Las economías más pacientes en el consumo, es decir, aquellas con factores de descuentos β más altos tendrán niveles de capital más altos. Esto se tiene de (9.45) y del hecho de que f (·) es una función estrictamente cóncava, y por tanto, f ′ (·) es una función decreciente en k. 20 Observemos cómo la existencia del agente representativo evita la necesidad de la aplicación de algún teorema de puntos fijos. 21 Observemos que si g es suficientemente grande, no existe un estado estacionario. Por ejemplo, elíjase g tal que g > f (k∗ ). En este caso es imposible encontrar un valor de c∗ no-negativo.

308

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general

4. También se puede mostrar, utilizando un argumento similar al que se utilizó en el caso anterior que, para β constante, incrementos en δ implican un decrecimiento del nivel de capital. 5. La tasa de crecimiento de un país aumenta cuando la tasa de depreciación del capital aumenta o cuando el nivel de paciencia en el consumo decrece. 6. Finalmente, para ver el impacto de los cambios tecnológicos, modifiquemos la función de producción del modelo. Específicamente, supongamos que la función de producción es de la forma zf (k), donde z se interpreta como el nivel tecnológico. Entonces es posible mostrar que incrementos en z, es decir, mejoras en la tecnología, incrementan el nivel de capital del estado estacionario: suponiendo β y δ constantes, si z se incrementa, entonces k ∗ y x∗ aumentan. Sin embargo, nada implica directamente sobre el comportamiento de c∗ . Así, mejoras tecnológicas tendrán impacto directo sobre los niveles de capital e inversión, pero no es claro su impacto sobre el nivel de consumo. El modelo básico de Ramsey de este capítulo sugiere que, si nos restringimos a estados estacionarios para dar explicaciones de las diferencias en la producción o consumo per-cápita entre países, los determinantes son las diferencias en los factores de descuento, las tasas de depreciación y los niveles tecnológicos. Por supuesto, modelos más complicados sugieren un conjunto más amplio de factores que pueden explicar las diferencias en las variables per-cápita.

9.4.5.

Los dos teoremas del bienestar económico

En la semana 3 (ejercicio 9) se indicaba que una asignación óptima de Pareto maximiza la suma ponderada de las utilidades de los consumidores. Así, un equilibrio centralizado es un óptimo de Pareto del modelo de Ramsey. Ahora mostraremos que cualquier equilibrio competitivo del modelo de Ramsey es una solución del problema del planificador central. Advirtamos que, en esta sección, las letras en negrilla sin subíndice denotan una sucesión infinita; es decir, para cualquier {zt∗ }, z∗ = {z ∗ }, t = 0, 1, . . . , etc.

Teorema 6. (Primer teorema del bienestar) Sea [(w∗ , r∗ , R∗ ), (c∗ , x∗ , k∗ ), b∗ ] un equilibrio competitivo interior, entonces c∗ , x∗ , k∗ resuelve un problema del planificador central para ciertos niveles de gasto público.

Demostración. Las ecuaciones que determinan un equilibrio competitivo (9.27), (9.23) y (9.29) son las mismas ecuaciones (9.40), (9.42) y (9.43), respectivamente, que satisface un equilibrio centralizado. Para completar la prueba se necesita mostrar que la ecuación (9.41) del equilibrio centralizado también se satisface. Pero esto es inmediato haciendo g = f (k ∗ ) − c∗ − x∗ [22] .  22 Podemos suponer que la ecuación (9.22) se transforma en c + x + g = f (k ), donde g t t t t t es pequeño.

9.4. El modelo de Ramsey con inspiración paretiana

309

El siguiente teorema muestra que, dada una solución al problema del planificador, es posible encontrar una sucesión de precios tal que ella sea un equilibrio competitivo. Teorema 7. (Segundo teorema del bienestar) Sea (c∗ , x∗ , k∗ ) una solución interior al problema del planificador central. Entonces existen unos precios y una sucesión de bonos tal que [(w∗ , r∗ , R∗ ), (c∗ , x∗ , k∗ ), b∗ ] es un equilibrio competitivo de una economía con un agente representativo cuya riqueza monetaria inicial es b0 = 0 y su nivel de capital k0 > 0 iguala la dotación inicial de capital de la economía. Demostración. Notemos que la asignación es factible porque resuelve el problema del planificador. Para mostrar que la asignación soluciona los problemas del consumidor y la firma representativa, elíjase b∗ = 0. Consideremos los siguientes precios: w∗ = f (k∗ ) − k∗ f ′ (k∗ );

r ∗ = f ′ (k∗ );

R∗ = (1 − δ) + f ′ (k∗ )

A estos precios, las condiciones de primer orden de la maximización del beneficio de la firma, (9.24) y (9.25) se satisfacen. Para verificar que las ecuaciones de primer orden de la maximización de la utilidad del consumidor representativo se satisfacen, es suficiente verificar que (9.27) se cumple, porque por definición, (9.28) se satisface si (9.27) se satisface. Como la asignación resuelve el problema del planificador, entonces satisface (9.40), y por tanto (9.27). Ya que b∗ = 0, entonces, a los precios (w∗ , r ∗ , R∗ ), la restricción presupuestal del consumidor se satisface para todo t ≥ 0. Finalmente, falta verificar que la solución satisface las soluciones de transversalidad del problema del consumidor. Una de ellas, la condición de transversalidad para los bonos, se satisface trivialmente porque b∗ = 0. La segunda, la condición de transversalidad para el capital, es equivalente a la condición de transversalidad del planificador 23 .  En esta sección se ha probado que la solución al problema del planificador central es una asignación competitiva, aún en el caso en el que no existan mercados de futuro y los consumidores estén retringidos a un conjunto de mercados que permiten intercambios únicamente con período siguiente.

9.4.6.

Estabilidad del equilibrio

Se han mostrado las condiciones bajo las cuales existe un único estado estacionario para esta economía. En esta sección se mostrará, además, que la economía converge al estado estacionario y que éste es el único comportamiento posible en el largo plazo. Por simplicidad, asumiremos que gt = 0 para todo t ≥ 0. Por el 23 Este resultado puede extenderse al caso de muchos consumidores heterogéneos. En este caso, la proposición correcta es que cualquier asignación que resuelve el problema del planificador, la cual incluye promedios ponderados de las funciones de utilidad individual, puede ser soportada como un equilibrio competitivo dado que el planificador puede redistribuir los recursos iniciales. Ver, por ejemplo, Debreu (1959).

310

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general

teorema de la función implícita (Lang, 1993) el resultado también se tiene para niveles de gasto público pequeños. Omitiendo los subíndices de tiempo, siempre que no haya lugar a confusiones, la ecuación (9.34) se puede escribir, en términos de c(λ), como u′ (c(λ)) ≡ λ

(9.48)

Si se supone que l´ımc→0 u′ (c) = ∞, y l´ımc→∞ u′ (c) = 0, entonces la función c(λ) está bien definida, es continuamente diferenciable, l´ımλ→0 c(λ) = ∞, l´ımλ→∞ c(λ) = 0, y es una función decreciente en λ. Así, el sistema dinámico de la economía centralizada puede describirse mediante λt = (1 − δ) + f ′ (kt+1 ) βλt+1

(9.49)

c(λt ) = f (kt ) − kt+1 + (1 − δ)kt

(9.50)

Las ecuaciones (9.49) y (9.50) generan los valores de (kt+1 , λt+1 ) dados los valores (kt , λt ). Por tanto, si se conocen (k0 , λ0 ) es posible realizar iteraciones para analizar el comportamiento de kt , λt , cuando t tiende a infinito. Sin embargo, en este modelo, aunque se tiene una condición inicial k0 , no se tiene una condición inicial λ0 . De hecho, al analizar la ecuación (9.48) se observa que conocer λ0 es equivalente a conocer c0 , que es una variable endógena. Ya que es necesario tener dos condiciones iniciales para resolver el sistema dinámico, debe utilizarse alguna otra condición de frontera: la condición de transversalidad. Representemos (ver figura 9.3) el estado estacionario en términos de las ecuaciones (9.49) y (9.50). Para ello describiremos dos curvas. La primera muestra las combinaciones de (k, λ) que satisfacen kt+1 = kt en la ecuación (9.50). La segunda muestra las combinaciones (k, λ) que satisfacen λt+1 = λ en la ecuación (9.49). La primera curva consiste en las parejas ordenas (k, λ) que satisfacen δk = f (k) − c(λ) Esta relación se puede interpretar como una curva en el espacio (k, λ) o como una función λ(k) tal que δk ≡ f (k) − c(λ(k)). Por el teorema de la función implícita esta función es diferenciable y la derivada está dada por dλ f ′ (k) − δ = dk c′ (λ) Sea ka tal que f ′ (ka ) = δ. Entonces dλ/dk < 0 si k < ka , dλ/dk = 0 si k = ka , y dλ/dk > 0 si k > ka . Notemos que l´ımk→0 λ(k) = ∞ donde f (k) = δk. Observemos que dado k, si λ > λ(k), entonces c(λ) es muy pequeño y kt+1 es mayor que k. Por tanto, para combinaciones (k, λ) por encima de λ(k) se utiliza una flecha señalando hacia la derecha para indicar que, en tal región, el stock

9.4. El modelo de Ramsey con inspiración paretiana

311

de capital está creciendo. De forma análoga, para parejas (k, λ) debajo de λ(k), el stock de capital decrece y se utiliza una flecha señalando hacia la izquierda. La segunda curva consiste en las parejas ordenadas (k ∗ , λ) que satisfacen β[(1 − δ) + f ′ (k ∗ )] = 1 donde k ∗ es el estado estacionario24 . Observemos que si k < k ∗ , entonces β[(1 − δ) + f ′ (k)] > 1; así, λt+1 < λt . Por un argumento similar, si k > k ∗ , entonces λt+1 > λt . Si k = k ∗ , el valor de λ permanece sin cambio. Existe otra curva de interés y está determinada por el requerimiento de que la inversión sea no-negativa. La ecuación (9.50) exige que las combinaciones (k, λ) satisfagan f (k) − c(λ) ≥ 0 Esta condición no describe ningún comportamiento dinámico del sistema de ecuaciones en diferencia, sino que establece condiciones de no-negatividad que cualquier solución debe satisfacer. La figura 9.3 muestra las tres curvas del sistema dinámico de esta economía. En ella, el plano (k, λ) ha sido dividido en cuatro regiones determinadas por las dos primeras curvas que analizamos anteriormente, y para cada una de ellas se utilizan flechas para indicar la dirección en que se mueven k y λ. Por ejemplo, en la región I tanto el nivel de capital como el multiplicador de Lagrange son decrecientes. Por tanto, la pareja de flechas que apuntan hacia el sudoeste indica que si la economía comienza en tal región, las parejas siguientes (k, λ), estarán ubicadas al sudoeste del punto inicial. De forma similar se interpretan las flechas correspondientes a las otras regiones. λ

II III α

ρ f (k) − c(λ) = λk

λ∗ I

IV

f (k) − c(λ) = 0

k0

k∗

ka

k

Figura 9.3. Estabilidad del equilibrio estacionario. 24 Notemos

que k∗ es el único valor de k que satisface esta condición.

312

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general

Consideremos ahora lo que ocurre cuando el nivel de capital inicial es k0 y el planificador central escoge cualquier λ0 . Si el planificador central escoge unos λ grandes puede resultar en una trayectoria como α en la figura (9.3). Esta trayectoria se mueve hacia el sudeste durante algún tiempo, pero en cierto momento intercepta la curva en que λ se mantiene constante, y tanto λ como k aumentan. Por tanto, dado k0 , si el planificador central escoge una trayectoria como α eventualmente entrará en la región III. Si por el contrario, el planificador central escoge unos λ pequeños puede resultar en una trayectoria como ρ en la figura. Esta trayectoria se mantiene en la región II durante cierto tiempo, pero eventualmente entrará en la región I. De acuerdo a lo anterior, las regiones I y III, son absorbentes, en el sentido de que una vez una pareja (k, λ) pertenece a una de estas regiones, todos los valores futuros de (k, λ) inducidos por el sistema dinámico se mantendrán en dichas regiones. De forma similar, excepto posiblemente una trayectoria, las regiones II y IV son regiones transitorias, en el sentido de que aun si la condición inicial es tal que (k, λ) está en alguna de estas regiones, la dinámica del sistema hará que las trayectorias entren o en la región I o en la III. Finalmente, como todas las funciones son continuas, entonces existen infinitas trayectorias que ocupan todo el espacio. Luego, si para algún valor inicial de λ, que induce una trayectoria como α, ésta entra en la región III, y si para todo valor inicial de λ, que induce una trayectoria como ρ, ésta entra en la región I, entonces debe existir algún valor inicial de λ tal que la trayectoria correspondiente converge al estado estacionario (k ∗ , λ∗ ). Un argumento similar muestra que, empezando en la región IV, debe existir por lo menos una trayectoria que converge al estado estacionario (k ∗ , λ∗ ). Ahora se mostrará que todas las soluciones al problema del planificador central convergen a (k ∗ , λ∗ ). Para ello mostraremos que, a menos que el planificador central escoja la condición inicial correcta, es decir, un valor de λ0 sobre las flechas punteadas que apuntan a (k ∗ , λ∗ ), la trayectoria resultante viola alguna de las condiciones de primer orden. Teorema 8. (Estabilidad del estado estacionario) Supongamos que se satisfacen las ecuaciones (9.40), (9.41), (9.42), (9.43). Entonces todas las trayectorias solución del problema del planificador central convergen al estado estacionario (k ∗ , λ∗ ). Demostración. Primero, se ve que ninguna solución puede entrar en la región I, pues si una trayectoria entra en tal región, dado que ésta se mueve hacia el sudoeste, entonces en un tiempo finito se violará la condición de no-negatividad de la inversión25 . 25 Es posible mostrar que aun sin la condición de no-negatividad sobre la inversión, las condiciones convergirán en tiempo finito al punto de cero capital y cero consumo. Dado que u′ (0) = ∞, este punto no es un equilibrio.

9.4. El modelo de Ramsey con inspiración paretiana

313

Ahora mostremos que la solución tampoco puede entrar en la región III. En efecto: Ya que la ecuación (9.36) puede escribirse, multiplicando por β t a ambos lados, como β t+1 λt+1 = β t λt [(1 − δ) + f ′ (kt+1 )]−1 (9.51) y sabiendo que en la región III la sucesión {kt } es creciente y converge a km entonces, para valores grandes de t, kt , estará arbitrariamente cerca de km y converge a km monótonamente. Por tanto, al menos asintóticamente, la tasa de crecimiento del multiplicador de Lagrange β t λt satisface β t+1 λt+1 /β t λt = [(1 − δ) + l´ım f ′ (kt+1 )]−1 = [(1 − δ) + f ′ (km )]−1 > 1 t→∞

Entonces β λt crece asintóticamente a una tasa positiva, y por tanto, diverge al infinito. Luego, la condición de transversalidad, l´ımt→∞ β t λt kt+1 = 0, no se satisface porque el término β t λt está tendiendo al infinito, mientras el término kt+1 está convergiendo a km > 0. Finalmente, como los candidatos a solución no pueden entrar ni en la región I ni en la región III, y como las regiones II y IV son regiones transitorias excepto para las trayectorias que convergen al estado estacionario (k ∗ , λ∗ ), entonces todas las trayectorias solución convergen al estado estacionario, y es posible mostrar que existe una única trayectoria que converge a (k ∗ , λ∗ ). Aceptando esto por el momento, se sigue que se ha podido resolver el sistema de dos ecuaciones en diferencias no lineales con sólo una condición inicial. En términos matemáticos, dos condiciones de frontera son necesarias para resolver el sistema. En muchas aplicaciones, esas condiciones de frontera son las condiciones iniciales. En este modelo se utilizó una condición sobre los límites del producto de las dos variables como la segunda condición inicial.  t

Con esto, entonces, se han probado las condiciones bajo las cuales se tiene el equilibrio en el modelo determinístico de Ramsey, además de su unicidad y estabilidad. Las críticas a este modelo dinámico de naturaleza “autocorrectora”, vendrían después. En las dos últimas décadas del siglo XX numerosos estudios mostraron que la lógica detrás de este modelo es cuestionable pues, en particular, los ciclos (aún determinísticos) y el caos también son compatibles con una gran variedad de modelos de crecimiento económico à la Ramsey. Fue la época del apogeo de los modelos de equilibrio económico con mecanismos oscilatorios (Benhabib, 1992). Hoy en día, la teoría macroeconómica con microfundamentación basada en el modelo de equilibrio general neowalrasiano viene desarrollándose a lo largo de varias líneas. La última evolución es el desarrollo de una síntesis que combina las tradiciones neoclásica, poskeynesiana (ver semana 10) y de ciclo real dentro de modelos de equilibrio general dinámicos estocásticos. Esta síntesis se ha convertido, actualmente, en uno de los modelos principales para la elaboración de políticas macroeconómicas, aunque con serias críticas que hoy conforman una disidencia llamada “Macroeconomía postwalrasiana”. Sin embargo, una aproximación a lo largo de estas líneas sería una disgresión inmensa para este texto

314

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general

básico de microeconomía. El lector interesado puede consultar, por ejemplo, Colander (2006).

9.5.

Breve nota sobre equilibrio general computable y calibración

Una de las críticas que se le hacen a los cursos intermedios de equilibrio general es que, aunque ofrece algunas profundas comprensiones teóricas sobre el posible funcionamiento de los mercados, parecería que no va más allá de la relación entre equilibrios competitivos y óptimos de Pareto, del cómo asignar impuestos sobre ciertos bienes para que la riqueza social aumente, y del “todo afecta todo”. Así, queda en el aire la idea de que es un material para “pensar los mercados”, pero muy poco práctico en la comprensión de los fenómenos económicos y que, por lo tanto, es una parte escasamente importante de la teoría económica. Pero, desde cierta perspectiva particular (y sólo desde allí), esto no es verdad totalmente, y la teoría de los modelos de equilibrio general computable así lo demuestran, pues estos son una de las herramientas actuales más utilizadas en el desarrollo y planeación de políticas micro y macroeconómicas (ver, por ejemplo, Nicholson & Westhoff, 2007). Sin embargo, debemos enfatizar que éstos no están basados, aunque sí inspirados, en la teoría del equilibrio general à la Arrow-Debreu, y por supuesto, mucho menos, à la Walras. Se reconoce (ver Bandara, 1991) que el inicio de los modelos de equilibrio general computables fueron las tablas insumo-producto (1937, 1941) y el modelo de equilibrio general de Leontief, que (ya lo habíamos discutido en la semana 6) fue una herramienta de análisis muy importante para el Gobierno de los Estados Unidos a partir de la época de posguerra, aunque después sería utilizada en muchos otros países, y también detalladamente analizada por la academia. Y una de las herramientas más utilizadas por los modelos de equilibrio general computable es la de calibración. La calibración es una técnica econométrica de la teoría del equilibrio general computable en la que los parámetros del modelo se estiman recurriendo a criterios económicos en lugar de estadísticos. Es decir, calibrar es elegir valores para los parámetros del modelo basándose en observaciones microeconómicas, para luego comparar las predicciones del modelo con respecto a ciertas observaciones empíricas. Y para obtener los parámetros existen, fundamentalmente, y en forma muy resumida, estos tres enfoques: i) Los modelos de equilibrio general determinísticos computables (Shoven & Whalley, 1984), en donde se resuelve mediante linealización de las ecuaciones del modelo alrededor del equilibrio. Con una serie de datos, se calibra el modelo de tal forma que reproduzca esos datos. Si algunos parámetros no están determinados, se utilizan algunos ya establecidos en ejercicios anteriores.

9.5. Breve nota sobre equilibrio general computable y calibración

315

ii) Los modelos de equilibrio general estocásticos (Kydland & Prescott, 1982), se calibran utilizando el equilibrio en términos per-cápita o en unidades efectivas de trabajo. Y se eligen los parámetros de manera que el modelo en equilibrio dé origen a los valores de las variables endógenas que permitan reproducir exactamente los promedios de los datos reales. Esta es una metodología muy utilizada en los modelos macroeconómicos de equilibrio general. iii) En el enfoque econométrico tradicional los parámetros se eligen para minimizar algún criterio estadístico (por ejemplo, el error mínimo cuadrado) que no tiene ningún contenido económico. Es por esto que el investigador, al utilizar el método de calibración, usualmente sigue estos pasos: i) Formular una pregunta; ii) Escoger una teoría ya testeada; iii) Elegir formas funcionales y resolver el modelo; iv) Parametrizar y elegir los procesos estocásticos para las simulaciones; v) Correr los experimentos. Ya después vendría la ejecución (o no) de las políticas económicas basadas en el modelo: como se ve, en estos modelos computables de equilibrio general que sigan la técnica de calibración, está en juego (de manera importante) la experiencia, reputación y credibilidad del investigador. Hoy en día, inspirados en la teoría del equilibrio general (y sólo eso), los modelos de equilibrio general computable, junto con los métodos de punto fijo, siguen siendo dos herramientas muy socorridas (más la primera que la segunda) de la práctica empírica en economía. Y aunque no funcionan bien siempre y tampoco tienen una sólida representación teórica, es de reconocerse que los modelos de equilibrio general computable han sido un importante avance desde aquellos argumentos abstractos que solo buscaban la consistencia del razonamiento económico alrededor de la noción de equilibrio y su eficiencia, hasta hoy, cuando, de cierta forma, orientan esenciales discusiones prácticas de política económica. El lector interesado en profundizar en el estudio de este tipo de modelos puede consultar Dixon & Jorgenson (eds.) (2013).

Ejercicios (Observación: los ejercicios señalados con uno (∗) o dos asteriscos (∗∗) tienen, a juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.) 1. Consideremos la siguiente economía de generaciones traslapadas de intercambio puro G donde todos los consumidores tienen la siguiente función ordinal de utilidad y dotaciones iniciales

U cyt , cot+1 = ln (cyt ) + β ln cot+1 W = (W y , W o ) = (3, 1)

316

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general a) Plantee el problema del consumidor representativo. b) Escriba las funciones de demanda. c) Escriba las soluciones de equilibrio y pruebe que los agentes consumen todas sus dotaciones en el correspondiente período. d) Pruebe que la distribución inter-generacional de autarquía no es óptima de Pareto para β suficientemente cercano a 1. e) Encuentre el equilibrio monetario estacionario. f) Encuentre la trayectoria de precios de equilibrio y muestre que el equilibrio monetario estacionario es inestable.

2. Lleve a cabo el mismo ejercicio anterior, pero ahora con la siguiente economía de consumidor representativo: 1/2

U (ct y , ct+1 o ) = (ct y )

1/2

+ β (ct+1 o )

W A = (W y , W o ) = (d1 , 1) , d1 > 1 3. (*)(Ejercicio de lectura: choques permanentes en el modelo de Ramsey) Veamos ahora, dentro del modelo de Ramsey estudiado en este capítulo, los efectos dinámicos de algún cambio exógeno permanente en la productividad. Específicamente, supongamos que la tecnología está dada por zf (k), donde z es una parámetro que representa el cambio tecnológico, y que la economía está en su estado estacionario k ∗ (z). En t = 0, que se asume el tiempo presente, aparece un cambio exógeno permanente en la productividad que se indica como z ′ > z. El planificador central responderá a este incremento ajustando la inversión y el consumo para converger al nuevo estado estacionario. Se ha mostrado que el nuevo estado estacionario se caracteriza porque k ∗ (z ′ ) > c∗ (z ′ ). Esta última condición implica que λ∗ (z ′ ) < λ∗ (z). Entonces la primera curva de la figura 9.3 se desplaza hacia abajo, es decir, la función λ(k, z) es decreciente en z. Por su parte, la segunda curva se mueve hacia la derecha, porque k ∗ (z) es creciente en z. La figura 9.4 muestra las curvas viejas y nuevas y el conjunto de valores iniciales (k, λ) que originan trayectorias que convergen al estado estacionario 26 . Dada la nueva tecnología, la solución está sobre la trayectoria denotada γ. Sin embargo, en el tiempo cero el nivel de capital está dado y es igual a k ∗ (z). La única variable que puede ajustarse es λ0 . Por tanto, λ pasa del valor λ∗ al valor determinado por γ, el cual en la figura (9.4) es λ0 . Ya que u′ (c) = λ, entonces la disminución de λ aumenta el consumo. Y como el nivel de capital aumenta a su nuevo valor k ∗ (z ′ ), entonces la inversión aumenta. Notemos que el incremento inicial en el consumo es seguido de aumentos hacia el nuevo nivel del estado estacionario. 26 La figura (9.4) no incluye la condición de no-negatividad de la inversión para no complicar el gráfico.

9.5. Breve nota sobre equilibrio general computable y calibración λ

317

II “nuevo”

III

λ∗ λ0

“nuevo” γ

λ∗ (z ′ ) k∗ (z)

k∗ (z ′ )

k

Figura 9.4. Cambios exógenos en la productividad.

4. (**) (Ejercicio de lectura: población y cambio técnico en el modelo de Ramsey) En el modelo de Ramsey presentado en este capítulo se ha supuesto un nivel de población constante y la ausencia de progreso técnico. Es posible mostrar, al menos en algunos casos, que tanto el crecimiento de la población como el progreso técnico pueden ser acomodados fácilmente dentro del modelo, reinterpretando los parámetros. Veamos el caso en el que la población y la tecnología crecen a unas tasas dadas. Específicamente, sean Lt = (1 + n)t L0 (9.52) At = (1 + γ)t A0

(9.53)

donde Lt y At representan el nivel de población y la tecnología en el tiempo t, respectivamente. Supongamos que las preferencias están dadas por   ∞ X Ct t β Lt u (9.54) Lt t=0

donde Ct es el consumo total en el período t y β es el factor de descuento de esta economía. Es decir, la utilidad total depende del consumo por trabajador por el número de trabajadores. Supongamos, además, que la tecnología está dada por Ct + Xt = F (Kt , At Lt ) Kt+1 = (1 − δ ′ )Kt + Xt ,

K0 > 0

donde Xt es la inversión total en el período t y δ ′ es la tasa de depreciación del capital de esta economía. Observemos que el cambio tecnológico es aumentador en trabajo; es decir, que el cambio tecnológico incrementa la productividad del trabajo y no la productividad total. Para cualquier variable Zt , definimos zt ≡ Zt /At Lt . Así, zt está medida en unidades de trabajo efectivo. Por tanto, la tecnología esta dada por ct + xt = f (kt )

(9.55)

318

Semana 9. Dinámicas y equilibrio general kt+1 =



   xt (1 − δ ′ )kt + (1 + n)(1 + γ) (1 + n)(1 + γ)

(9.56)

′

1−δ Definamos δ = 1 − (1+n)(1+γ) . Observemos que la tecnología de esta economía es similar a la de la economía sin cambio técnico ni progreso de la población, excepto por la constante que divide a xt . Aunque esta constante afecta la definición del estado estacionario k ∗ , no afecta el análisis.

Reemplazando (9.52) en (9.54), las preferencias pueden escribirse como ∞ X

[β ′ (1 + n)]t L0 u(ct (1 + γ)t A0 )

(9.57)

t=0

Si u(ct (1 + γ)t A0 ) = φt v(ct ) para alguna función v, entonces puede utilizarse la formulación original del problema del planificador central. Es fácil probar que, si una función de utilidad satisface esta propiedad, entonces ésta debe ser una función CES (Constant Elasticity of Substitution) de la forma u(c) = c1−σ /(1 − σ) para algún σ > 0. En este caso u(ct (1 + γ)t A0 ) = u(ct )(1 + γ)(1−σ)t (A0 )1−σ Definimos β ≡ β ′ (1 + n)(1 + γ)1−σ . Entonces la función objetivo del planificador central está bien definida si β < 1, y está dada por ∞ X

β t u(ct )

t=0

El modelo determinado por las ecuaciones (9.55), (9.56) y (9.57) tiene exactamente las mismas propiedades que el modelo básico de planificación central estudiado en el capítulo.

Semana 10

Discusiones finales

10.1.

Introducción

Han pasado más de 60 años desde que se establecieron las condiciones para la existencia, unicidad y estabilidad de un equilibrio competitivo en el que hoy se conoce como modelo Arrow-Debreu. Por razones que la historia del desarrollo del capitalismo quizás ya ha evaluado, se tomó un camino muy específico y particular desde los economistas clásicos hasta ese modelo, pasando el conveniente cernidor por los aportes de cada uno de los pioneros neoclásicos. Este ha sido precisamente, el devenir de los nueve capítulos que acabamos de presentar en este volumen II, desde una perspectiva histórica y crítica. Sin embargo, aunque este camino es defendido a ultranza y enseñado a diario en universidades del mundo entero, se cree que quizás no fue el más apropiado para sintetizar los esfuerzos de tantos economistas a lo largo de más de doscientos años de tradición. El modelo de mercado Arrow-Debreu que aún hoy domina, no es, seguramente, el mejor zumo del conocimiento de los pioneros (clásicos, neoclásicos y otros), y tampoco es coherente con el mundo económico real que hoy enfrentamos. Requerimos de una mayor correspondencia entre el modelo teórico y la práctica en el terreno por parte del economista moderno. No obstante, para poder aclarar esta postura heterodoxa, es deber explicitar algunas de las principales debilidades del famoso modelo neowalrasiano, comenzando con su falaz relación con el proceso conocido como la “mano invisible” (Smith, 1776), para después discutir brevemente algunas otras posturas de la economía heterodoxa como alternativa al pensamiento dominante. 319

320

Semana 10. Discusiones finales

10.2.

Sobre la “mano invisible” de Adam Smith

Pero la renta anual de toda sociedad es siempre exactamente igual al valor de cambio de la producción total anual de su industria, es decir, es precisamente lo mismo que el valor de intercambio. Cada individuo se esfuerza, tanto como puede, en emplear su capital en la industria nacional, y por lo tanto para apoyar esa industria, en la que su producción puede ser de gran valor, cada individuo trabaja, indirectamente, para hacer que los ingresos anuales de la sociedad sean tan grandes como se pueda. Por lo general, el individuo no tiene la intención de promover el interés público, ni sabe cuánto lo promueve. Al preferir la industria interna sobre la industria extranjera solo busca su propia seguridad y cuando dirige la primera de modo que su producto sea el mayor valor que pueda, solo busca su propio beneficio, y en este, como en muchos otros casos, está guiado por una mano invisible al promover un fin que no era parte de su intención. (...) Persiguiendo su propio interés, frecuentemente promueve el de la sociedad más eficazmente que cuando él realmente tiene la intención de promoverlo. No son muchas las cosas buenas que vemos ejecutadas por aquellos que buscan obrar solamente por el bien público. Es una afectación; de hecho, no es muy común entre comerciantes (...).

A. Smith, The Wealth of Nations, 1776, Libro 4, Cap. 2,

IX. 1

(...) convertir la ciencia en ideología imposibilita cualquier intento por obtener mejores explicaciones científicas de los resultados sociales y económicos que queremos cambiar. En lugar de persuadir a la comunidad científica de las causas de la pobreza o el desempleo, simplemente tomamos una postura ideológica contra ellas. Así se abandona nuestro papel y deber como científicos. Y nuestra habilidad para cambiar y mejorar el mundo disminuye en cierto grado. Cualquier aproximación alternativa a la corriente dominante debe primero ser una aproximación identificable a la economía sobre la base de un análisis incisivo sobre lo que es, en lugar de juicios sobre lo que debería ser.

Hodgson, What is the Essence of Institutional Economics, 2000, pp. 321-22. En el plano puramente político, muchos críticos de la economía neoclásica homogeneizada aseguran que esta ha sido el sustento teórico de una agenda asociada con el desarrollo inicial y evolución del capitalismo y también del socialismo. En el primer caso, a menudo se toma para justificar las economías de mercado de propiedad privada, aunque, como lo señalara Lange en su debate con Hayek sobre “mercados vs. planeación”, el modelo podría manipularse para justificar, tanto el control de la economía por el Estado, como el mercado de propiedad privada. De hecho, la teoría pura del socialismo se basa en una confianza en la habilidad del gobierno de una economía planificada para implementar un óptimo social sin mercado. A su vez, el principio fundamental del capitalismo se 1 Aunque el término “mano invisible” ya había aparecido diecisiete años antes en The Theory of Moral Sentiments (1759), part 4, chap. 1.

10.2. Sobre la “mano invisible” de Adam Smith

321

basa en una inquebrantable fe en la habilidad de los mercados para alcanzar un óptimo social sin intervención del Estado. Es decir, afirman algunos, es la implementación de los dos teoremas del bienestar económico. Sin embargo, la pregunta que nos atañe aquí es: ¿qué relación tienen estos dos teoremas con la noción de la “mano invisible” de Smith? Para comenzar, resumamos en versión moderna los dos teoremas. El primero afirma lo siguiente: Teorema 1. (Primer teorema del bienestar económico) Las economías en que todos los agentes son tomadores de precios (competencia perfecta) tienen, bajo ciertas hipótesis, al menos un equilibrio competitivo y cada uno de estos es un óptimo de Pareto. El segundo teorema es una respuesta a cómo podría mediar el mecanismo competitivo de precios en alcanzar una mejor redistribución desde la eficiencia paretiana. La versión moderna de este resultado es la siguiente: Teorema 2. (Segundo teorema del bienestar económico) Bajo ciertas hipótesis, todo óptimo de Pareto puede hacerse un equilibrio competitivo (acciones descentralizadas en competencia perfecta), luego de una redistribución apropiada del ingreso. Sin embargo, a nivel teórico es conveniente advertir que existe un problema de incentivos con esta manera “justa” de alcanzar eficiencia y distribución del ingreso mediante el mecanismo de precios competitivos. De hecho, su implementación requiere que cada agente ignore (o considere muy pequeño) el no despreciable efecto que tienen, por ejemplo, las transferencias de ingreso (digamos lump sum) sobre la cantidad de horas trabajadas, y también el efecto de los impuestos a la renta sobre los incentivos a acumular riqueza (Mirrlees, 1971)2 . Y no mucho más puede decirse. La dificultad está en que aún hoy, acientíficamente, es común hacer de los dos teoremas del bienestar económico, las piedras angulares que sustentan la existencia de la “positiva y benigna mano invisible” que “conduce” a los agentes económicos a promover objetivos que no están dentro de sus intenciones pero que sí representan “intereses de la sociedad”. Esto apoyado en que, según afirman algunos, Smith y sus seguidores veían las instituciones (en particular, el mercado) como el resultado de un flujo de acciones individuales, aunque era claro que no entendían cuál era el modus operandi de aquella creación no intencional de instituciones sociales, ni tampoco de las características específicas de esos procesos de creación3 . Por ello, aún hoy en día, 2 En esto y en el diseño de mecanismos eficientes (no necesariamente mecanismos de precios competitivos) que busquen la posibilidad del óptimo social bajo agentes descentralizados, la teoría de juegos y el diseño de mecanismos tendrían la palabra a partir del trabajo seminal de Arrow y Hurwicz (1960). Sobre esto discutiremos en el volumen III (Competencia bajo equilibrio de Nash). 3 A pesar de haber llevado a cabo una revisión suficientemente cuidadosa de The Wealth of Nations y de The Theory of Moral Sentiments de Smith, sólo pude encontrar dos o tres pasajes que tratan sobre el mecanismo de precios y su papel en la asignación de recursos. El pasaje

322

Semana 10. Discusiones finales

no existe un solo argumento sólido que garantice que este “orden espontáneo” sea necesariamente beneficioso para la sociedad. Esto es así porque se puede observar que el modelo Arrow-Debreu no permite entender bien algunos de los problemas asociados a Smith y sus seguidores, entre los que se cuentan, por ejemplo, los de especificación de interacciones socioeconómicas (el teorema SMD es un anticipo de este problema que surge en el modelo de equilibrio general); los mecanismos de mediación institucional (cómo crear mecanismos que medien entre competencia y cooperación); las organizaciones jerárquicas institucionales, ignoradas casi totalmente por la tradición neowalrasiana que ha colocado los problemas históricos en un segundo plano de interés; el problema de la inconsistencia temporal que surge cuando se van tomando decisiones a medida que “pasa el tiempo”, y no desde el principio para todo el horizonte temporal; las economías en desequilibrio (por ejemplo, ciclos y caos), etc. De manera que afirmar que el modelo Arrow–Debreu responde a la pregunta de Adam Smith, es falso; y si se pretende que sea el sustento teórico de políticas económicas de libre mercado como mecanismo de distribución eficiente de recursos, también se falsea el modelo. De hecho, el tipo de mercado del modelo Arrow–Debreu es una pálida representación, no sólo del modelo original de Walras, sino de cualquier mercado real 4 . En lo que sigue se explica en alguna medida la anterior afirmación y se ofrece algo de bibliografía al estudiante interesado.

10.3.

Crítica a las hipótesis del modelo ArrowDebreu

Son múltiples las críticas dirigidas al modelo neowalrasiano por sí mismo. La primera va contra las características de los agentes. En efecto, el modelo nos ofrece una concepción de estos que, aunque analíticamente tratable, no tiene base real suficientemente sólida, pues son preferencias estáticas que sólo miran “hacia adentro”, excluyendo valores, pasiones y sentimientos como justicia, altruismo, reciprocidad, confianza, venganza, preocupación por la imagen social (por ejemplo, fama), etc., que también tienen impacto en la toma de decisiones y que van desarrollándose de manera dinámica, algunas de ellas con características aparentemente evolutivas (Dawkins, 1976). Desde la biología, la psicología, la sociología, la economía evolutiva y la economía experimental, ha surgido una en el que habla de la “mano invisible” trata de un tema muy diferente: de la inefectividad del deseo en el comercio de los bienes públicos como medio de promoción del bienestar general, y la mucho más grande efectividad cuando se persigue el interés propio. 4 Este evento nos recuerda la historia que alguna vez leí sobre cierta persona que perdió su billetera en un cuarto grande que estaba completamente oscuro, excepto por una minúscula luz en una esquina. Mientras el personaje en cuestión buscaba la billetera, alguien le preguntó “¿y por qué la buscas sólo en esa esquina?” y la respuesta fue clara: “pues porque aquí hay luz”.

10.3. Crítica a las hipótesis del modelo Arrow-Debreu

323

importante área hoy conocida como “economía del comportamiento” (behavioral economics) buscando precisamente, integrar en el concepto de “preferencia dinámica”, elementos tales como la diversidad, la naturaleza contexto-dependiente, las interacciones estratégicas con otros agentes, la evolución en el largo plazo (por ejemplo, los individuos no optimizan una función de utilidad esperada sino que aprenden, con la experiencia, a ir tomando mejores elecciones 5 ) y, también, la formación de creencias en el tiempo (Kahneman & Tversky, 1979; Kahneman, Knetch & Thaler, 1986; Kahneman, 2011). Numerosos experimentos pioneros tales como el tit-for-tat (Axelrod, 1984, 1997), el juego del ultimatum (Roth, Praniskar, Okuno-Fujiwara & Zamir, 1991) y el juego del dictador (Heinrich et al., 2005) han sugerido claramente que la economía del comportamiento podría estar apuntando en la dirección correcta. La segunda crítica, que también está relacionada con la anterior, es con respecto al ambiente institucional en que operan los agentes. En el modelo Arrow-Debreu, la única forma en que los agentes se comunican es a través del mercado. Allí desaparecieron todos esos detalles y estructuras institucionales que tan presentes estuvieron en los trabajos de los pioneros (Walras, Edgeworth, Marshall, entre otros). No obstante, en el caso de la economía neoclásica homogeneizada esta discusión se ha moldeado en la dicotomía “fallas de mercado” y “fallas de Estado”, considerándolas como eventos más comunes que excepcionales. Y de allí la mirada de que los mercados y el Estado son instituciones que se complementan y no que compiten. Afortunadamente ahora comienza a entenderse que no son las únicas instituciones que inciden en el comportamiento económico y, que en particular, los mercados se desarrollan por razones económicas, pero también culturales y sociales (North, 1990). De hecho, algunos señalan el impacto de las comunidades en pequeña escala, de las asociaciones no-gubernamentales e, inclusive, de las familias, como instituciones determinantes en el comportamiento económico de los agentes. Finalmente, una tercera crítica teórica importante al modelo de mercado de la economía neoclásica homogeneizada es la misma noción de equilibrio (Kirman, 2011). Este concepto que para varios de los pioneros neoclásicos (fundamentalmente, Walras, Edgeworth –quien hablaba de la “mecánica celeste” versus la “mecánica social”–, Jevons, Pareto y Fisher, entre otros), se originó en la asimilación de la economía a la física clásica, es el corazón de todos los modelos de equilibrio general que hemos estudiado en este texto. Es sobre el equilibrio que se hacen casi todas las indagaciones del modelo mismo: la unicidad, la estabilidad, la estática comparativa, etc. Y, por supuesto, el problema se traslada al equilibrio parcial en idénticas condiciones: al fin y al cabo, un equilibro parcial 5 A esta dinámica se le conoce como “adaptativa”, que no es más que un proceso de “ensayoerror” que modificaría el comportamiento del agente (Lucas, 1986). Sin embargo, se señala que estas modificaciones, si suceden independientemente para cada agente, serían un factor no muy importante, pues la ley de los números grandes reduciría la variabilidad en la distribución de la demanda agregada. Este problema dio origen a cierta literatura importante sobre cómo afectan las interacciones estocásticas a las preferencias de los individuos (Brock & Durlauf, 2001).

324

Semana 10. Discusiones finales

podría verse, sólo apelando a la formalidad, como un equilibrio general con “externalidades”; es decir, como un equilibrio general con variables de precios fijas que afectan el comportamiento competitivo de los agentes6 . Ahora: las dificultades derivadas al tratar el problema de que más allá de la optimalidad, cada equilibrio competitivo del modelo Arrow-Debreu también deba ser único y estable, ya fueron discutidos en la semana 8 (teoremas SMD y Brown-Matzkin). Sin estabilidad y unicidad se considera que el interés en un análisis práctico a partir del modelo, es extremadamente limitado; por ejemplo, la estática comparativa en presencia de multiplicidad de equilibrios, no tendría sentido. Por ello se hace la hipótesis del agente representativo en numerosos modelos neoclásicos (particularmente, en los dinámicos), pues así se garantiza la existencia de un único equilibrio. En otras palabras, el problema de fondo con los precios de equilibrio competitivo es que ni siquiera se sabe con certeza cómo se crean y se fijan. Cómo se negocia. Cómo se encuentra la demanda con la oferta. Sumado esto al hecho de que las mercancías están fechadas pero que este no es el tiempo en que se realizan los ajustes: la diversidad y la incompatibilidad de tiempos están presentes en el modelo. Y estos desajustes, desafortunadamente para esta teoría, no se resuelven invocando al imaginario subastador7 . Al final, es claro que el modelo de equilibrio general competitivo tiene un poder explicatorio débil respecto a cómo funcionan los mercados en el mundo real, y por ello queda, como aseguraba el mismo Walras, en el reino de la utopía y del pensamiento puro. Una persona (que no sea un economista adoctrinado) a quien quisiéramos explicarle que el modelo Arrow-Debreu es un mundo que nos permite “pensar” los mercados reales, quizás nos miraría con sorpresa. Nos diría, por ejemplo, que lo que ve afuera es un mundo donde varios mercados coexisten; donde se observan varios precios para una misma mercancía; donde los individuos tienen escasa información (sólo local); donde las preferencias cambian de un momento a otro, etc. Y no le podemos dejar todo esto a las fallas de mercado. En alguna parte de la historia que va de los pioneros neoclásicos hasta Arrow-Debreu, se perdieron elementos esenciales que, coadyuvados por argumentos heterodoxos, pudieron habernos arrojado, en este siglo XXI, algún modelo más sensato sobre cómo realmente funciona un mercado8 . Hoy en día, 6 Sobre el concepto de “externalidad” en una economía, estudiaremos en el volumen III (Competencia bajo equilibrio de Nash). 7 Sin embargo, como advertíamos antes, esta preocupación por los elementos institucionales quedó relegada y olvidada en el camino de Walras a Arrow-Debreu. Por ejemplo, lo decíamos en la semana 1, Walras (1874) siempre estuvo atento a la forma como operaban y se organizaban los mercados de sus distintos modelos; cómo se encontraban los agentes y cómo resultaba el cambio de precios a partir de esto. Similarmente, Marshall (1890) destacaba este aspecto de manera nítida. 8 Y es comprensible que haya algunas visiones más optimistas; por ejemplo, aquellos que creen que la calibración de modelos de equilibrio general es el camino para demostrar lo “útil” que puede ser el modelo. Esto ya lo discutimos y mostramos que es una falacia, pues el modelo de equilibrio general no es la base teórica de los modelos computables EGC.

10.4. Nota sobre la crítica poskeynesiana a la teoría neoclásica

325

existen múltiples salidas a la explicación ortodoxa de la economía. En lo que sigue señalaremos algunas de las que han sido amparadas bajo el término un tanto vago de teoría económica heterodoxa, y que en numerosos casos (no en todos), tienen una fuerte componente teórica con base empírica, buscando explicar la economía (y no solo los mercados) como la interacción de distintos procesos históricos de aprovisionamiento político, económico y social en el contexto de una economía capitalista.

10.4.

Nota sobre la crítica poskeynesiana a la teoría neoclásica

La escuela macroeconómica poskeynesiana es una escuela disidente de la escuela keynesiana (Keynes, 1936) aunque inspirada en ella. Surgió entre los años 1950 y 1960 principalmente como crítica a la “síntesis neoclásica”. Esta última, que fue el paradigma dominante durante la época de posguerra, fue una visión conjunta de importantes economistas tales como Hicks, Modigliani, Solow, Tobin y Patinkin, entre otros, alrededor de la creencia de que era posible crear un modelo que incorporara algunos elementos keynesianos (políticas fiscal y monetaria) dentro del modelo neowalrasiano, para responder a evidentes problemas macroeconómicos tales como el desempleo y las rigideces de salarios. Curiosamente, a pesar de que la teoría de los mercados imperfectos estaba a la mano, la síntesis neoclásica se decidió por la competencia perfecta y el tâtonnement. Inicialmente, fue muy exitosa estudiando empíricamente, por ejemplo, la curva de Phillips (relación entre la tasa de cambio de los salarios nominales y el nivel de desempleo), hasta el punto que no se interesaron por otros mecanismos de ajuste de los mercados. Inclusive se llegó al convencimiento de que si no aparecen casos “extraños” (por ejemplo, de trampa de liquidez), el esquema típico IS-LM (con una IS con pendiente negativa y una LM con pendiente positiva) era una formidable herramienta para integrar los problemas monetarios y la inversión al esquema del equilibrio general. Comenzaría, entonces, un desarrollo teórico y econométrico (principalmente) de la macroeconomía, basándose en cinco bloques fundamentales: la función de consumo, la función de inversión, la demanda y oferta de dinero, los mecanismos que determinan precios y salarios, y la teoría del crecimiento. Y esta era, a muy grandes rasgos, la situación a principios de los años 1970. Pero entre finales de los años 1960 y mediados de los años 1970, varias economías mundiales enfrentaron fuertes años de inflación, seguidos por períodos de estanflación debido a los precios del petróleo. Y a esto, la síntesis neoclásica no pudo responder. Estas y otras dudas conducirían posteriormente a una nueva síntesis más microfundada y menos empírica, conocida como la “Nueva síntesis neoclásica” (o “Nueva síntesis keynesiana”) que se basaba en comportamientos optimizadores de firmas y consumidores, aunque con presencia de distorsiones introducidas explícitamente (por ejemplo, las rigideces nominales).

326

Semana 10. Discusiones finales

Al incorporarle incertidumbre mediante procesos estocásticos, hoy a esta síntesis se le conoce como teoría del equilibrio general dinámico estocástico, y es una perspectiva vigente y activa de la investigación macroeconómica9 . La escuela poskeynesiana, por su parte, venía reconociendo desde muchos años atrás las dificultades en concepción de la síntesis neoclásica. Sin embargo, el carácter contradictor y disidente de esta corriente de pensamiento sólo puede revelarse explicitando sus principios, preocupaciones y objetivos. Dos reconocidos teóricos poskeynesianos tales como King (2003) y Lee (2004), señalan algunos criterios generales seguidos por esta escuela heterodoxa: a) Comencemos afirmando que el principio fundamental de la escuela poskeynesiana es el de la demanda efectiva. Es decir, la producción y el empleo están restringidos por la demanda y no por la oferta. Pero esto no sucede en el corto plazo únicamente, y tampoco es el resultado de imperfecciones del mercado ni de rigideces en precios o salarios, sino que es el resultado de las características del dinero y la incertidumbre. b) También se adhieren a seis principios del propio Keynes (1936): i. El mercado de productos (no el laboral) es el que determina la producción y el empleo. ii. El desempleo involuntario existe. iii. Un aumento en el ahorro no genera, automáticamente, un aumento equivalente en la inversión. iv. Una economía monetaria no es una economía de intercambio. v. La teoría cuantitativa del dinero solo se da bajo pleno empleo. Y la presión de los costos puede generar inflación antes de que se alcance el pleno empleo. vi. Las economías capitalistas están conducidas por los “espíritus animales” de los empresarios, que son quienes determinan los niveles de inversión. c) La ley de Say como regla de comportamiento del mercado, no es válida. d) El capitalismo, normalmente, no alcanzará el pleno empleo sin intervención del gobierno. e) Para regular la demanda efectiva se requiere de políticas fiscales y monetarias. f) El control de la inflación se lleva a cabo con políticas de precios y de ingresos más que con políticas monetarias restrictivas. 9 Algunos de los modelos estudiados en la semana 9 (el modelo de generaciones traslapadas y el modelo de Ramsey), cuando son llevados a su versión estocástica, están enmarcados en esta corriente.

10.5. Nota sobre la crítica sraffiana a la teoría neoclásica del valor

327

Y aunque los poskeynesianos no aceptan la hipótesis de que se requieren rigurosos microfundamentos para hacer teoría macroeconómica, también critican la corriente neowalrasiana en sus conceptos de equilibrio, de eliminación de la incertidumbre cuando se expresan en cantidades equivalentes a certidumbre, y la presencia ubicua de los agentes representativos. Creando su propio camino, la teoría de precios poskeynesiana (Lee, 1998) parte de un modelo con numerosos oligopolistas y no de un mundo imaginario de agentes tomadores de precios. Desde aquí establece la formación de los precios administrados que consiste en que las firmas le adicionan un markup (que es una medida del grado de monopolio que tiene la firma) a sus costos variables de producción, para luego vender tanto como puedan, dadas las condiciones de demanda. Así, los precios crecen sólo si los costos crecen o la demanda crece. Por este camino los poskeynesianos construyen una teoría de la distribución del ingreso a través de esos markups, que a su vez, determinan los salarios y los beneficios de las empresas10 . Ya por el lado de la demanda, esta escuela reemplaza los axiomas neoclásicos de elección racional por una teoría de preferencias lexicográficas, donde el efecto renta predomina sobre el efecto sustitución, involucrando allí los hábitos, las costumbres y las convenciones sociales, y apoyándose en criterios institucionales y evolutivos. No obstante, algunos autores de esta escuela reconocen que esta teoría de precios aún está en ciernes, incluyendo el hecho de que tampoco tienen criterios de bienestar económico que los distingan, excepto el deseo de que los mercados funcionen realmente “bien”. Esto, aseguran, requiere de un gobierno grande que estabilice los niveles de la actividad económica de un sistema capitalista inestable, y alcance el pleno empleo. Todo ello recurriendo a ciertos objetivos macroeconómicos y a una variedad de instrumentos (fiscales, monetarios y de crédito, especialmente), en cuyas bases están criterios como los señalados arriba. El lector interesado en avanzar un poco en el estudio de esta escuela heterodoxa de pensamiento puede consultar, entre otros, Weintraub (1959), Kaldor (1970), Robinson (1972), Harcourt (1987), Kalecki (1990), Palley (1996), Davidson (1999, 2002) y Pasinetti (2007).

10.5.

Nota sobre la crítica sraffiana a la teoría neoclásica del valor

Es bien sabido que, típicamente, la teoría neowalrasiana asigna precios mediante productividades marginales o costos marginales. Sin embargo, la visión de economistas clásicos tales como Smith, Ricardo y Marx, era que los precios se determinaban mediante el costo medio de producción que, sabemos, depende solo de la tecnología y de la distribución del ingreso –ver semana 6 del volumen I, Competencia bajo equilibrio parcial–. 10 Por lo tanto, los cambios en los markups también tienen consecuencias en la inflación y en la demanda agregada.

328

Semana 10. Discusiones finales

De hecho, los economistas clásicos diferenciaban entre precio de mercado y precio natural. El primero ya lo entendemos bien, y el segundo –que es una construcción teórica de Smith (1776) y Ricardo (1817), pero formulada matemáticamente por von Neumann (1946), Sraffa (1960) y Kurz & Salvadori (1997)–, se utiliza para describir el valor de una mercancía, alrededor del cual fluctúan los precios de mercado; es, en esencia, el precio de equilibrio de “largo plazo” de una mercancía que, en la teoría sraffiana (P. Sraffa [1898-1983]), es determinado por las “relaciones de producción” (es decir, por los procesos de producción de todas las mercancías por medio de mercancías y trabajo) y la distribución del ingreso. Sraffa muestra que dadas las relaciones de producción, los precios dependen de la distribución del ingreso y ambas medidas no pueden determinarse simultáneamente, por lo que la distribución del ingreso debe establecerse antes que los precios. Por lo tanto, una vez se tiene esta distribución, Sraffa calcula los precios naturales, mostrando así que la demanda no juega aquí ningún papel, y que el sistema sraffiano es inmune a las críticas del teorema SMD y su descendencia. El modelo sraffiano (Sraffa, 1960) es, entonces, una alternativa de teoría del valor y, en particular, de formación de precios que no recurre a la noción de marginalidad y tampoco a una medida agregada de capital. Según este modelo, esta medida no puede existir independientemente de los precios, pues el precio de un activo de capital es igual al valor presente de los beneficios que se genera utilizándolo (ver volumen I: Competencia bajo equilibrio parcial). En cada período, el precio del activo de capital lo determina la tasa de interés, que es igual a la tasa de beneficio, si estamos en competencia perfecta. A su vez, la tasa de beneficio es igual a la productividad marginal del capital. Por consiguiente, el precio del capital está determinado por la rentabilidad con la cual pueda ser empleado. Así, como la cantidad medida de capital depende de la tasa de beneficio, el beneficio no puede ser su producto marginal; es decir, para determinar la productividad del capital, hay que agregarlo, y esta agregación requiere que se conozca el precio del capital, para el que su productividad tiene que conocerse de antemano. Así, la tasa de beneficio y la productividad marginal son mutuamente dependientes. Y sabemos que la teoría neoclásica homogénea las determina endógena y unívocamente. Antes de comenzar, recordemos entonces de nuestros cursos de fundamentos de economía, que los clásicos concebían la producción como un flujo circular. Al principio del periodo de producción, existen ciertos insumos (x sacos de trigo). Luego estos insumos se transforman, después de un proceso largo, en productos (de ellos, y sacos de trigo ). Entonces la producción es viable si la producción neta (y −x) es positiva; es decir, si la economía es capaz de expandirse o reproducirse. Si esta producción neta se consume en su totalidad, entonces habrán x sacos de trigo al comienzo del siguiente periodo, y así el sistema se reproduce. Si sólo se consume parte de esta producción neta y el resto se invierte, la economía crece. Supongamos, entonces, el caso muy simple en que únicamente hay una mercancía en la economía (digamos, nuevamente, trigo). Para la producción de una unidad de trigo necesitamos a < 1 unidades de semilla de trigo (es decir, que se necesita

10.5. Nota sobre la crítica sraffiana a la teoría neoclásica del valor

329

menos de una semilla de trigo para producir un saco de trigo) y l unidades de mano de obra. Sea p el precio del trigo, w el salario (o precio de una unidad de mano de obra) y r la tasa de beneficio. Asumiendo que se pagan salarios al final del periodo de producción, los costos de producción serán: p = (1 + r)ap + wl

(*)

De donde haciendo p = 1 se obtendrá que w=

1 − (1 + r)a l

mostrando esta última ecuación que existe una relación inversa entre la tasa salarial w y la tasa de benficio r (que son dos variables desconocidas), lo que señala una característica esencial de las economías capitalistas: los capitalistas se mueven de sectores con bajas tasas de beneficios a sectores con altas tasas de beneficios; y, por su parte, los trabajadores se mueven de sectores con bajos salarios a sectores con altos salarios. Cuando la tasa salarial iguale a la tasa de beneficios, entonces el precio de mercado p será el precio natural. Mientras tanto, el primero fluctuará alrededor del segundo. Ahora: en el caso general de n mercancías, supongamos que sólo existe una técnica de producción para cada una de ellas, y que operan bajo rendimientos constantes a escala con proporciones fijas (es decir, que los factores son utilizados en proporciones fijas) y, además, no existe sustitución de insumos. Sea p = (p1 , p2 , · · · pn ) el vector de precios (uno para cada mercancía) y l = (l1 , l2 , . . . , ln ) el vector de insumos de mano de obra necesaria (que asumimos homogénea) en cada técnica de producción. Entonces, si aij es la cantidad de insumo j necesaria para producir una unidad de la mercancía i, entonces los costos de producción estarán dados por: p = (1 + r)Ap + wl (**) donde A = (aij ) es la matriz n × n que describe la tecnología de la economía. Y se muestra (ver Pasinetti, 1986) que esta economía es viable (y ya sabemos qué significa esto) si el máximo valor propio real de la matriz A es menor o igual que 1. Notemos que el sistema (**) consiste en n ecuaciones lineales con n + 2 incógnitas, pues la matriz A y el vector l están dados por la tecnología, pero el vector p y los escalares w y r sí son desconocidos. Sin embargo, haciendo p1 = 1 tendremos un sistema de n ecuaciones con n + 1 incógnitas y el sistema quedaría, en general, indeterminado. ¿Cómo se fija una de las incógnitas? El modelo sraffiano tiene varias posibilidades: i) que el salario w esté determinado socialmente como un salario de subsistencia o también por lucha de clases; ii) que la tasa de beneficio (que es la misma tasa de interés bajo competencia perfecta) esté determinada por el sector financiero. Los precios que resuelvan la ecuación (**) son precios naturales que, como habíamos afirmado antes, dependen de la tecnología (A y l) y de la distribución de riqueza (w y r).

330

Semana 10. Discusiones finales

Así, la teoría sraffiana es una teoría clásica de precios dependientes de la tecnología y la distribución (que eran problemas centrales al pensamiento de Smith, Ricardo y Marx), y sin referencia alguna al sector de demanda (consumidores), ni a productividades marginales y, tampoco, a unidades homogéneas de capital. El lector interesado en profundizar sobre la economía sraffiana puede ir, obviamente, al mismo Sraffa (1960), pero también podría considerar Pasinetti (1989), Hahn (1982), Bharadwaj, K. & Schefold, B. (eds.) (1990) y Garegnani (2005).

10.6.

Nota sobre la crítica institucionalista a la teoría neoclásica

No podemos ver, sentir, tocar y ni siquiera medir las instituciones; son construcciones de la mente humana. El caso es que aún los economistas neoclásicos más convencidos admiten su existencia y ciertamente las vuelven parámetros (implícita o explícitamente) en sus modelos. ¿Importan las instituciones? ¿Importan las tarifas, regulaciones y reglas? ¿Es que los gobiernos significan una diferencia? ¿Podemos explicar el cambio radical en bienestar económico cuando cruzamos la frontera entre los Estados Unidos y México? ¿Qué hace que los mercados trabajen o no trabajen, funcionen o no funcionen? ¿La honestidad en el intercambio significa una diferencia? ¿Vale la pena? (...) Quiero atribuir un papel mucho más fundamental a las instituciones en las sociedades; son el determinante subyacente del desempeño de las economías. Si queremos construir una teoría dinámica del cambio -algo que falta en la corriente principal de la economía y que fue tratado muy imperfectamente en la teoría marxista- debe edificarse un modelo del cambio institucional. Aunque es verdad que todavía nos faltan algunas de las piezas del rompecabezas, el esbozo de la dirección que debemos tomar es, creo yo, bien claro.

North, Institutions, Institutional Change ..., 1990, p. 139. La economía neoclásica homogeneizada asegura que los problemas económicos centrales son la asignación de recursos, la distribución del ingreso, y la estimación de los niveles de producción y precios. En definitiva, la economía la identifican con el mercado. En contraste, la economía institucionalista 11 establece que la prioridad debe estar en la organización y el control del sistema económico, incluyendo allí las estructuras de poder y la tecnología; todo con una visión holística y evolucionista. Es por esto que el mercado es apenas una institución que interactúa con otros complejos institucionales de la sociedad: la economía es mucho más que el mecanismo de mercado. Por lo tanto, los institucionalistas están interesados, fundamentalmente, en la formación y funcionamiento de las instituciones, en la interrelación entre los sistemas legales y los económicos, y entre el poder y las creencias. 11 Las instituciones son las leyes, las normas informales y convenciones que dan una estructura duradera a las interacciones sociales, políticas y económicas entre los miembros de una población. Las estructuras de propiedad, el dinero, el mercado explícito y los mercados implícitos en negociaciones, son ejemplos de instituciones.

10.7. Nota sobre la teoría de complejidad

331

En pocas palabras, podría decirse que la economía institucionalista: a) Es una teoría del cambio social enfocándose en el impacto de las instituciones sobre el desempeño económico general y sobre el proceso mismo de su evolución. b) Es una teoría del control social y de la elección social, enfocándose en las estructuras de poder, en la organización de los individuos en sociedades, y en cómo se ejerce el poder y la libertad en ellas. c) Es una teoría del papel económico endógeno de la política como proceso social fundamental a través del cual se afectan tanto las otras instituciones económicas como ella misma. El gobierno, las leyes y los sistemas de derechos no son datos exógenos (o dados) como en el modelo neoclásico homogéneo. Estas instituciones son endógenas a todo proceso económico. d) Finalmente, también es una teoría del desarrollo tecnológico y de la industrialización como fuerza principal de la evolución de la economía. Por todo ello, la teoría institucionalista se aparta del individualismo metodológico, del instrumentalismo, del concepto de equilibración, de la optimalidad paretiana y de la dualidad mercados competitivos-fallas de mercado. En su lugar se ha enfocado en análisis teóricos y empíricos de los problemas del mundo real tales como el desarrollo histórico de diferentes instituciones, de las relaciones entre el gobierno y la economía y, de manera importante, de los problemas del desarrollo económico 12 . El lector interesado en profundizar sobre la teoría económica institucionalista puede ir a los pioneros Hamilton (1919), Veblen (1919), Commons (1934), Mitchell (1937), Ayres (1944), Myrdal (1958), Kapp (1968) y Galbraith (1969) (quienes conforman la que hoy se conoce como la “vieja economía institucionalista”), o a la actual escuela conformada, de manera importante, por Hodgson (1988), North (1990) y Becker (1996). Y si está interesado en conocer los fundamentos de la nueva economía institucionalista puede ir a Williamson (2000), Ménard & Shirley (2008) u Ostrom (2008). 12 Cabe aquí resaltar que algunos de los pioneros neoclásicos tuvieron estas mismas preocupaciones. Por ejemplo, Walras, Marshall y Wicksteed defendieron ideas socialistas o semisocialistas, que los harían ver, a la luz de hoy, como economistas de izquierda. Walras, ya lo habíamos mencionado en la semana 2 del texto, tuvo como norte demostrar las ventajas de la regulación de precios y de la propiedad por parte del Estado de los monopolios naturales, incluyendo allí la tierra. De hecho, se han hecho estudios (Jolink, 1996) sobre que las ideas de Walras, en sus tres principales trabajos, corresponden más a un modelo evolutivo institucional. Por su parte, la preocupación central de Marshall fue el problema de la pobreza en la Inglaterra victoriana, animando a la formación de sindicatos de trabajadores. Y Wicksteed también defendía la nacionalización de la tierra, además de tener lazos personales con algunos movimientos socialistas radicales de su época.

332

Semana 10. Discusiones finales

10.7.

Nota sobre la teoría de complejidad

Nuestros hechos no son permanentes, ni repetibles, como los hechos de las ciencias naturales; cambian incesantemente, y cambian sin repetición. John Hicks, 1975, p. 320. (...) la economía neoclásica estándar resulta de una forma particular de mirar el mundo. La economía neoclásica heredó la visión del Siglo de las Luces, de que detrás de un aparente desorden del mundo, se halla Orden, Razón y Perfección. Y heredó mucho de la física de finales de los 1800´s, en particular, la idea de que grandes números de elementos idénticos interactuando podían analizarse colectivamente vía ecuaciones matemáticas simples. A mediados de los 1900´s esto condujo a la esperanza de que el corazón de la teoría económica podía capturarse en principios expresados mediante matemáticas simples y, por consiguiente, axiomatizados. Ciertas partes, tales como la macroeconomía o la teoría de instituciones, podrían haberse quedado afuera, pero el corazón de la teoría podía ordenarse, domesticarse, y reducirse a matemáticas. Brian Arthur, 2015, Complexity and the Economy, Prefacio, p. XX.

Desde el principio de la crisis financiera de los años 2007-2008, se ha creado una atmósfera muy crítica (especialmente en medios de comunicación y también en la academia), contra el qué-hacer de los economistas y, particularmente, contra la teoría neoclásica homogénea. Se asegura que la economía actual no opera en la forma establecida por el mainstream, al que se le considera simplista, rígido, e, incluso, inapropiado, y se le acusa como culpable de la crisis financiera, llamando, además, a una revolución en la manera de ver y pensar la economía. La economía no tiene vestido aseguraban unos (Kirman, 1989; Nadeau, 2008), y otros que la economía no puede reducirse a la lógica pura y ser enjaulada, pues tarde o temprano, se escapa para revelar su verdadera naturaleza (Arthur, 2015). Es por esto que cierto grupo de renombrados economistas: G. Akerlof, R. Axelrod, J. Buchanan, A. Kirman, H. Föllmer, D. Colander, B. Arthur, H. Gintis, P. Mirowski, entre muchos otros, ha venido impulsando otra alternativa al “pensamiento único ortodoxo”. La hoy conocida como economía de complejidad o economía compleja 13 –término acuñado por Arthur (1999)– busca estudiar la economía como un sistema adaptativo en formación y en desequilibrio constante, y evita colocar agentes frente a problemas bien definidos que han de llegar a cierto equilibrio utilizando razonamiento formal (Blaug, 2003). En decir, plantea agentes que deben intentar entender la situación que enfrentan, y que, explorando posibilidades, recurren a cualquier razonamiento que esté a la mano, para luego ajustarse a un resultado que, al alcanzarse, puede a su vez causar otro cambio en la situación que deben enfrentar enseguida. Así, la economía neoclásica se convierte en un caso especial de la economía compleja. Es, digámoslo así, una aproximación lineal a la curva de la economía compleja. 13 Traducido

del término “complexity economics”.

10.7. Nota sobre la teoría de complejidad

333

Curiosamente, la economía de complejidad reconoce como válidas muchas ideas empolvadas y/o ignoradas de economistas tales como Smith, Mill, Marx, Veblen, Mitchell, Keynes, Schumpeter, Shackle, e inclusive de autores “neoclásicos” tales como Walras, Marshall, Menger y Pareto. Por ejemplo, Marx aseguraba que los mercados inherentemente tienden a socavarse a sí mismos y que pueden generar crisis cíclicas y/o estructurales si están desarticulados de sus instituciones sociales y culturales. Y otros veían la economía como un sistema que emergía de cambios tecnológicos estructurales y de agentes que enfrentaban incertidumbre (Shackle, 1955). Para lograr este inmenso objetivo, la economía de complejidad ha venido recurriendo a una visión holística desde muchos frentes, con una teoría que ya no consiste en el descubrimiento de teoremas de amplia generalidad, sino en la comprensión profunda de los mecanismos que se crean y en la propagación de los cambios. Es por eso que apela al análisis de los sistemas dinámicos y complejos, a las analogías biológicas (modelos evolutivos); a la física estadística moderna, al análisis de redes, a la teoría de juegos clásica y no-clásica; a la economía experimental; a la economía del comportamiento (behavioral), a la modelación de simulaciones computacionales basada en agentes, y, también, a la economía institucionalista 14 . Actualmente, la Meca de la economía de complejidad es el Santa Fe Institute (New Mexico, USA) en donde se ha creado un exitoso centro de investigación interdisciplinario entre físicos, biólogos, sociólogos, antropólogos, matemáticos, ingenieros, estadísticos, y, por supuesto, economistas (Fontana, 2010). Hoy en día, ya existen muchos otros centros similares que también vienen impulsando el estudio de nuevos paradigmas económicos. Es una opción hacia donde podríamos dirigir nuestra atención. Para ahondar en la literatura sobre la economía de complejidad, de quien (algunos aseguran) será la “economía del siglo XXI” (Colander, 2008), el lector podría acudir a Waldrop (1992), Axelrod (1997), Anderson, Arrow & Pines (1988), Colander (2000), Blume & Durlauf (2006), Akerlof (2007), Farmer & Geanakoplos (2008), Fontana (2010), Kirman (2010), Holt et al. (2011), Helbing & Kirman (2013), Tisdel (2013), Colander & Kupers (2014), Arthur (2009, 2010, 2015) y Elsner et al (2015).

14 De hecho, se discute sobre que las matemáticas utilizadas en este nuevo paradigma ahora se alejan de formulaciones continuas, ecuaciones diferenciales y resultados estáticos, y se dirigen a unas matemáticas basadas en formulaciones discretas, razonamiento combinatorial y pensamiento algorítmico, en donde el computador no es solo tecnología sino una nueva clase de matemáticas con profundas consecuencias filosóficas.

Apéndice

matemático

Sobre las matemáticas de la teoría del equilibrio general

[1]

Este apéndice matemático es solo un conveniente resumen de las matemáticas básicas requeridas para el estudio del presente texto. Como podría suponerse, asume como prerrequisito las “Matemáticas de la teoría del Equilibrio Parcial” presentadas en la parte final del volumen I (Competencia bajo equilibrio parcial) de esta colección. No sobra advertir, sin embargo, que este apéndice no reemplaza ningún curso formal de matemáticas. Únicamente se presenta para que acompañe al estudiante, de primera mano, su comprensión de los resultados expuestos en el texto y la realización de los ejercicios propuestos.

A.1.

Producto cartesiano y clases de relaciones

Definición 1. [Par ordenado (K. Kuratowski, 1921)] Si a y b son dos elementos de un conjunto, el par ordenado con primera componente a y segunda componente b, simbolizado (a, b), se define mediante el conjunto {{a}, {a, b}}. Esto es, (a, b) ≡ {{a}, {a, b}}. Definición 2. (Producto cartesiano) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que se nota A×B, es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) con a perteneciente a A y b perteneciente a B; esto es, A × B = {(a, b) | a ∈ A , b ∈ B} Ejemplo 1. Si A = {−1, 0, 2} y B = {−1, 1}, entonces: A × B = {(−1, −1), (−1, 1), (0, −1), (0, 1), (2, −1), (2, 1)}

B × A = {(−1, −1), (−1, 0), (−1, 2), (1, −1), (1, 0), (1, 2)}

1 Este

apéndice está basado en Monsalve (2010b).

335

336

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

Definición 3. [Relación (Bourbaki, 1939)] Sean X y Y dos conjuntos no vacíos. Diremos que ℜ es una relación de X en Y (o de X a Y , o entre X y Y ) si, y sólo si, ℜ ⊆ X × Y . Si la pareja (x, y) está en ℜ, se escribe (x, y) ∈ ℜ, ó xℜy, y se dice que x está relacionado con y por ℜ (o según ℜ). Definición 4. (Dominio de una relación) El dominio de una relación ℜ de X en Y , que se denota Dℜ , es el conjunto de elementos de X que están relacionados por ℜ con algún elemento de Y ; esto es Dℜ = {x ∈ X| existe algún y ∈ Y tal que (x, y) ∈ ℜ} Definición 5. (Recorrido de una relación) El recorrido (o rango) de una relación ℜ de X en Y , que se denota Rℜ , es el conjunto de elementos de Y que están relacionados por ℜ con algún elemento de X; es decir, Rℜ = {y ∈ Y | existe algún x ∈ X tal que (x, y) ∈ ℜ} Definición 6. (Igualdad de relaciones) Dos relaciones ℜ1 , ℜ2 de X en Y son iguales si, y sólo si, son iguales como conjuntos. Definición 7. (Gráfica de una relación de números reales) Si X y Y son conjuntos no-vacíos de números reales, la gráfica de la relación ℜ de X en Y es el conjunto de todos los puntos (x, y) del sistema coordenado para los cuales (x, y) ∈ ℜ. Ejemplo 2. Dada la relación ℜ = {(−1, 1), (−1, 0), (1, 1), (1, 2)}, entonces Dℜ = {−1, 1}, Rℜ = {1, 0, 2}, y la gráfica de ℜ en el plano cartesiano es la de la figura A.1. y b

(1, 2) b

(−1, 1)

b

(1, 1)

b

(−1, 0)

x

Figura A.1. Plano cartesiano.

Y ahora nos concentramos en ciertos tipos particulares de relaciones de un conjunto en sí mismo, y que resultarán de notable importancia posteriormente. Definición 8. [Tipos básicos de relaciones (Bourbaki, 1939)] i) Una relación ℜ de X en X se llamará reflexiva si para todo x ∈ X, xℜx.

A.1. Producto cartesiano y clases de relaciones

337

ii) Una relación ℜ de X en X se llamará simétrica si para todo x, y ∈ X, xℜy implica yℜx. iii) Una relación ℜ de X en X se llamará transitiva si para todo x, y, z ∈ X, xℜy y yℜz implica xℜz. iv) Una relación ℜ de X en X se llamará completa si para todo x, y ∈ X, se tiene que xℜy ó yℜx. v) Una relación ℜ de X en X se llamará antisimétrica si para todo x, y ∈ X, xℜy y yℜx implica x = y. Ejemplo 3. (Ejemplos abstractos de relaciones) Si X = {a, b, c} entonces: i) La relación ℜ = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, c), (c, a)} es una relación reflexiva de X en X pues (a, a), (b, b), (c, c) ∈ ℜ. ii) Si X = {a, b, c}, la relación ℜ = {(a, b), (a, a), (b, a), (c, c), (c, a), (a, c)} es una relación simétrica porque (a, b), (b, a) ∈ ℜ y (c, a), (a, c) ∈ ℜ. ii) Si X = {a, b, c}, entonces la relación ℜ = {(a, b), (a, a), (b, c), (c, c), (a, c)} es una relación transitiva porque (a, b) ∈ ℜ , (b, c) ∈ ℜ y también (a, c) ∈ ℜ. Definición 9. [Tipos especiales de relaciones (Bourbaki, 1939)] i) Una relación ℜ de X en X se llamará un preorden si es reflexiva y transitiva. Y es un preorden completo si es, también, completa; en otro caso también se llamará un preorden parcial. ii) Una relación ℜ de X en X se llamará un orden parcial si es reflexiva, transitiva y antisimétrica. Y es un orden completo si, además, es una relación completa. iii) Una relación ℜ de X en X se llamará de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo 4. a) En los números reales R, la relación definida por aℜb si, y sólo si, a ≤ b es un orden completo. En efecto: ℜ es reflexiva porque a ≤ a para todo a ∈ R; es transitiva porque a ≤ b y b ≤ c implica a ≤ c para todo a, b, c ∈ R; es antisimétrica porque a ≤ b y b ≤ a implica a = b para todo a, b ∈ R; y es completa porque para todo a, b ∈ R, a ≤ b ó b ≤ a. b) En la familia de conjuntos {A1 , A2 , ..., An }, la relación Ai ℜAj si, y sólo si, Ai ⊆ Aj , es un orden parcial que no es completo pues dados Ai , Aj no podemos garantizar que Ai ⊆ Aj ó Aj ⊆ Ai .

338

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

c) En el conjunto de los números naturales {1, 2, 3, ...}, la relación aℜb si, y sólo si, b es divisible por a, es un orden parcial que tampoco es completo, ya que dados dos naturales a, b, no podemos asegurar que a sea divisible por b, o que b sea divisible por a. d) Si X está conformado por las parejas (0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (0,1), (1,1), (2,1), (3,1), (0,2), (1,2), (2,2) y (3,2) entonces la relación ℜ definida por (a, b) ℜ (c, d) si, y sólo si, a ≤ c y b ≤ d, es una relación de orden. Muestre que no es un orden completo. e) En un conjunto no vacío cualquiera de números, si definimos la relación aℜb si, y sólo si, a = b, es claro que es una relación de equivalencia sobre ese conjunto. Es, sin duda, la relación de equivalencia más elemental. f) Si X = Z, y aℜb si, y sólo si, a − b es par, es una relación de equivalencia sobre Z, como es fácilmente comprobado. ¿Y si cambiamos la palabra “par” por “impar”? g) Si X es el conjunto de todos los triángulos del plano y aℜb si, y sólo si, a y b son triángulos semejantes, entonces ℜ es una relación de equivalencia sobre X. Ahora: descomponer un conjunto dado en subconjuntos disjuntos entre sí, juega un papel muy importante en muchos problemas matemáticos. Por ejemplo, el plano R2 = R × R considerado como un conjunto de puntos, puede descomponerse en líneas paralelas al eje X; o en líneas paralelas al eje Y ; ó, inclusive, en discos concéntricos con centro en (0, 0). Otros ejemplos incluirían los habitantes de una ciudad descritos en términos de edad, o de estrato social, etc. A estas descomposiciones se les llama particiones del conjunto. Sin embargo, la posibilidad de estas particiones exige cierta condición, que consiste en que sobre el conjunto en cuestión se haya definido una relación de equivalencia. Veamos esto. Definición 10. (Clase de equivalencia) Si ℜ es una relación de equivalencia sobre X y a ∈ X, entonces la clase de equivalencia de a es [a] = {b ∈ X | bℜa} Teorema 1. (Relación de equivalencia y particiones) i) Toda relación de equivalencia ℜ sobre X determina una partición de X; es decir, determina una colección de subconjuntos de X, mutuamente disjuntos (que incluye al conjunto vacío) cuya unión es, precisamente, X; estos subconjuntos son, exactamente, las clases de equivalencia generadas por ℜ sobre los elementos de X. ii) Toda partición sobre un conjunto X define una relación de equivalencia sobre él.

A.2. Sistemas de ecuaciones lineales y algoritmo gaussiano

339

Ejemplo 5. (Ejemplos de clases de equivalencia) a) En el conjunto de los números enteros, Z, la relación de equivalencia aℜb si, y sólo si, a − b es par, divide el conjunto en dos clases de equivalencia: los números pares y los números impares. b) En general, también en el conjunto de los números enteros, Z, la relación de equivalencia aℜb si, y sólo si, a − b es divisible por un número natural fijo m, divide el conjunto de los enteros en m clases de equivalencia: los números enteros que al dividirlos por m tienen residuo 0; los números enteros que al dividirlos por m tienen residuo 1;...; los números enteros que al dividirlos por m tienen residuo m − 1.

A.2.

Sistemas de ecuaciones lineales y algoritmo gaussiano

Definición 11. (Sistema de ecuaciones lineales) Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un sistema de la forma a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .. .. .. .. . . . . . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm donde los coeficientes a11 , ..., amn ; b1 , b2 , ..., bm , son conocidos. Para un sistema de ecuaciones lineales sólo puede suceder que haya una única solución, no hayan soluciones o existan infinitas soluciones: este hecho es una característica esencial de la linealidad. Nunca encontraremos (como sí sucede en sistemas no-lineales) que el sistema tenga, por ejemplo, dos soluciones. Consideremos, por ejemplo, el sistema de ecuaciones (1): x + 3y − z = 1 3x − y + z = 0 x+y+z =2

(1)

Para ilustrar el algoritmo gaussiano, a este sistema le asociamos una “matriz” de coeficientes que llamaremos la “matriz aumentada”. Esta matriz consiste en los coeficientes de las variables y en las constantes que se encuentran en el lado derecho de las ecuaciones, colocados en el mismo orden en que aparecen en el sistema. Por ejemplo, la matriz aumentada de este sistema (1) es   1 3 −1 | 1 F1 3 −1 1 | 0 F2 1 1 1 | 2 F3

340

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

Aquí, las letras F1 , F2 , F3 representan las filas 1, 2, 3 de la matriz, respectivamente. Esto nos permitirá indicar, con claridad, las operaciones que efectuaremos sobre cada fila. Existen tres operaciones entre filas que pueden llevarse a cabo: 1. Multiplicar todos los elementos de una fila por un escalar no nulo k. 2. Sumar o restar un múltiplo escalar de una fila a otra. 3. Intercambiar dos filas. Las operaciones que acabamos de enunciar se conocen como operaciones elementales entre filas o, simplemente, operaciones fila. En nuestro caso, sumemos la segunda fila con −3 veces la primera fila y el resultado lo reemplazamos por la segunda fila. Esto lo indicamos por F2 ←→ F2 − 3F1 . Estas operaciones generan la siguiente matriz:   1 3 −1 | 1 0 −10 4 | −3 F2 ←→ F2 − 3F1 1 1 1 | 2

Podemos ahora restar la primera fila de la tercera y reemplazarla por la tercera fila (F3 ←→ F3 − F1 ), para obtener la siguiente matriz:   1 3 −1 | 1 0 −10 4 | −3 0 −2 2 | 1 F3 ←→ F3 − F1

1 la segunda fila de esta nueva matriz y la reemLuego, multiplicamos por − 10 1 plazamos por la segunda fila (F2 ←→ − 10 F2 ). El resultado es:   1 3 −1 | 1 0 1 − 2 | 3  F2 ←→ − 1 F2 5 10 10 0 −2 2 | 1

Ahora multipliquemos por 2 la segunda fila y sumémosla a la tercera fila, y el resultado lo colocamos en reemplazo de la tercera fila (F3 ←→ F3 + 2F2 ). Estas operaciones generan la siguiente matriz:   1 3 −1 | 1 0 1 − 2 | 3  5 10 6 0 0 | 85 F3 ←→ F3 + 2F2 5 Finalmente, multiplicamos la tercera fila por 56 y el resultado lo colocamos como tercera fila (F3 ←→ 56 F3 ). Obtenemos que:   1 3 −1 | 1 0 1 − 2 | 3  5 10 0 0 1 | 34 F3 ←→ 56 F3

A.3. Noción formal de matriz y sus operaciones

341

De esta forma podemos concluir que el sistema de ecuaciones lineales (1) es posible transformarlo, mediante operaciones fila, en el sistema x + 3y − z 2 y− z 5 z

=1 =

3 10

=

4 3

Notemos que en este punto ya podemos leer el valor de z en la última ecuación. Haciendo sustitución hacia atrás, podemos encontrar los valores que toman las demás variables. Así, z = 43 , y = 56 y x = − 61 ; y comprobamos que, efectivamente, es solución al sistema (1) original.

A.3.

Noción formal de matriz y sus operaciones

Definición 12. [Matriz (Sylvester, 1850; Cayley, 1858)] Una matriz (real) es un arreglo de números (reales) de la forma   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n     .. ..  .. ..  . .  . . am1 am2 · · · amn

donde aij se llamará la entrada ubicada en la i-ésima fila y la j-ésima columna. Para esta matriz, utilizaremos también la notación A = [aij ]m×n , donde m es el número de filas y n es el número de columnas. El tamaño de una matriz de m filas y n columnas lo indicamos por m × n. Si el número de filas coincide con el número de columnas, diremos que la matriz es cuadrada. Definición 13. (Suma de matrices) Si A y B son matrices m × n, su suma es la matriz m × n definida por la fórmula [aij ]m×n + [bij ]m×n = [aij + bij ]m×n Observemos que la suma de matrices tiene sentido únicamente para matrices que tienen el mismo número de filas y de columnas. Ejemplo 6. Sumemos las siguientes matrices:      5 1 3 −1 5+3  4 2 +  7 0 =  4 + 7 −5 12 −5 1 −5 − 5

  1−1 8 2 + 0  =  11 12 + 1 −10

 0 2 13

Teorema 2. (Propiedades de la suma de matrices) Supongamos que A, B y C son matrices compatibles (es decir, que las sumas pueden realizarse). Entonces:

342

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

a) A + B = B + A (se satisface la ley conmutativa) b) A + (B + C) = (A + B) + C (ley asociativa) c) k(A + B) = kA + kB, donde k ∈ R d) Para toda matriz A se tiene que A + 0 = A donde 0 es la matriz del mismo tamaño de A con todas sus entradas iguales a cero. Definición 14. (Multiplicación de un escalar por una matriz) La multiplicación de una matriz [aij ]m×n por un número (o escalar) k está definida como k[aij ]m×n = [k aij ]m×n Ejemplo 7. 

5 −3  4 −5

  −15 −3(1) −3(2)  = −12 15 −3(12)

  −3(5) 1 2  =  −3(4) −3(−5) 12

 −3 −6  −36

Definición 15. (Multiplicación de dos matrices) La multiplicación o el producto de una matriz m × p, A, por una matriz p × n, B, es una matriz m × n, C, cuya entrada cij está definida por cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aip bpj =

p X

aik bkj

k=1

para cada 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. En este caso, escribiremos C = AB. A continuación se muestran los elementos que son considerados en la matriz A y en la matriz B con el fin de obtener la entrada cij : 

c11  ..  .   ..  .   .  .. cm1

··· .. . c ij .. . ···

  c1n a11 ..   . .    .. ..  =   a i1 .    . ..    .. .  am1 cmn

···

··· .. .

··· ···

a ik .. .

··· ···

···

··· ··· ··· ··· ···

 b 11 a1p . ..    .. .    . a ip    .. ..    .   ... amp bp1

··· ··· ··· ··· ···

b 1j .. . b kj .. . b pj

··· ··· ··· ··· ···

 b1n ..  .   ..  .   ..  .  bpn

Observemos que en la multiplicación de matrices el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz. Ejemplo 8. Hallemos AB si A =

  2 −1 3 4

,

B=



0 1 −2 1

 5 1

A.4. Matriz traspuesta

343

Puesto que A es una matriz de tamaño 2 × 2 y B es una matriz de tamaño 2 × 3, el producto AB está bien definido y es una matriz de tamaño 2 × 3. Para obtener la primera fila de la matriz producto AB, multiplicamos los términos respectivos de la primera fila, [2 − 1], de A por cada uno de los respectivos términos de cada una de las columnas de B       5 1 0 y , 1 1 −2 respectivamente. Esto es,  (2)(0) + (−1)(−2) AB = •

(2)(1) + (−1)(1) •

(2)(5) + (−1)(1) •



Para obtener la segunda fila de AB, multiplicamos los términos de la segunda fila, [3 4], de A por los términos de cada una de las columnas de B. Así,   2 1 9 AB = (3)(0) + (4)(−2) (3)(1) + (4)(1) (3)(5) + (4)(1)   2 1 9 = −8 7 19 Observemos que para estas matrices no está definido el producto BA debido a la incompatibilidad de sus tamaños, es decir, que el número de columnas de B es distinto al número de filas de A. Teorema 3. (Propiedades de la multiplicación de matrices) Supongamos que A, B y C son matrices compatibles (es decir, que las multiplicaciones pueden realizarse) para la multiplicación. Entonces a) AB 6= BA (no se satisface la ley conmutativa) b) A(BC) = (AB)C (ley asociativa) c) A(B + C) = AB + AC (ley distributiva a derecha) d) (B + C)A = BA + CA (ley distributiva a izquierda) e) k(AB) = (kA)B = A(kB), donde k ∈ R f) Para toda matriz cuadrada A de tamaño n×n se tiene que AIn = In A = A

A.4.

Matriz traspuesta

Definición 16. (Traspuesta de una matriz) La traspuesta de una matriz A = [aij ]m×n , que denotaremos por AT , se obtiene de la matriz A escribiendo cada una de sus filas como columnas preservando el orden. Es decir, la primera fila de A corresponderá a la primera columna de AT , la segunda fila de A corresponderá a la segunda columna de AT , y así sucesivamente. Luego la matriz AT es de orden n × m. Así, AT = [aji ]n×m .

344

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

Ejemplo 9. Hallemos la traspuesta de la siguiente matriz:   1 4 5 −6 2 1 0 A= 3 −1 −3 −2 −8

Solución.  1 AT =  3 −1

4 5 2 1 −3 −2

T −6 0 −8

=



1  4   5 −6

3 2 1 0

 −1 −3  −2 −8

Teorema 4. (Propiedades de la traspuesta de una matriz) Supongamos que A y B son matrices compatibles (es decir, que las operaciones indicadas pueden realizarse). Entonces: a)

InT = In

b)

(A + B)T = AT + B T

c)

(kA)T = kAT , k ∈ R

d)

(AB)T = B T AT

A.5.

Producto interno (o punto) entre vectores

Definición 17. [Producto interior (Clifford, 1878)] El producto interior (o producto punto) entre los vectores x = (x1 , x2 P , . . . , xn ) y n y = (y1 , y2 , . . . , yn ) de Rn es el valor x·y = x1 y1 +x2 y2 +· · ·+xn yn = i=1 xi yi . Ejemplo 10.

(3, 12, 4, 1, −7)·(8, 1, −6, 3, −9) = (3)(8)+(12)(1)+(4)(−6)+(1)(3)+(−7)(−9) = 78. N Y aunque aquí podríamos recurrir a la nota anterior para deducir las propiedades algebraicas del producto interno, a partir de las propiedades de la multiplicación de matrices y de la definición de matriz traspuesta, preferimos abordar estas propiedades desde la definición inmediata. Teorema 5. (Propiedades del producto interior) Sean x, y, z vectores en Rn y k un número real. Entonces a) x · y = y · x b) x · (y + z) = x · y + x · z c) x · (ky) = (kx) · y = k(x · y) √ d) kxk = x · x

A.6. Determinante de una matriz

345

e) x · x = 0 si, y sólo si, x = 0 f) x · y = kxkkykcosh(x, y) (donde el símbolo h denota aquí el ángulo formado por x y y). Por lo tanto, si x·y = 0 y ambos vectores son no nulos, entonces x y y son dos vectores ortogonales pues, en tal caso, h(x, y) = π/2 .

A.6.

Determinante de una matriz

A.6.1.

Determinantes n × n

Ahora definiremos el determinante de una matriz n × n, y esto lo efectuaremos de manera recursiva; es decir, para calcular el determinante de una matriz de tamaño n × n, supondremos que ya sabemos cómo calcular el determinante de una matriz de tamaño (n − 1) × (n − 1). Así, puesto que ya sabemos cómo calcular el determinante de matrices 2 × 2 y 3 × 3, entonces podemos calcular el determinante de matrices 4 × 4 y, en consecuencia, podemos también calcular el de matrices 5 × 5, etc. Definición 18. (Determinante de una matriz n × n) Sea A una matriz n×n cualquiera, y sea A1j la matriz obtenida de A eliminando la primera fila y la j-ésima columna. El determinante de A está dado por la fórmula |A| = a11 |A11 | − a12 |A12 | + a13 |A13 | + · · · + (−1)n−1 a1n |A1n | Esta expresión se denomina expansión por cofactores. Aquí los cofactores son A11 , A12 , A13 ,...,A1n . Obsérvese también la alternancia en el signo de los sumandos. Ejemplo 11. Calculemos el siguiente determinante:

1 4 3 2

2 3 2 1

3 2 1 4

4 1 4 3



Solución. Utilizando la expansión por cofactores tenemos que este determinante es 3 2 1 2 1 1 4

1 4 3

4 − 2 3 2

4 2 1 1 4 + 3 3 2 4 3

4 3 2 3 1 2 4 − 4 3 2 1 2 1 4 1 3

y tenemos que calcular cada uno de estos determinantes 3 × 3. Pero el primer

346

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

determinante es 3 2 1 2 1 4 = 3 1 4 4 3 1 4 3

− 2 2 4 1 3

+ 1 2 1

1 4

= 3[(3)(1) − (4)(4)] − 2[(2)(3) − (4)(1)] + 1[(2)(4) − (1)(1)] = −39 − 4 + 7 = −36

Y, de manera similar, los valores para los otros tres determinantes son −44, 4, y −4, respectivamente. Por lo tanto, el determinante pedido es 1(−36) − 2(−44) + 3(4) − 4(−4) = 80. N Ahora: en la fórmula de expansión por cofactores de la definición inmediatamente anterior pareciera que la primera fila de la matriz juega un papel especial en el cálculo del determinante. Sin embargo, el siguiente teorema afirma que esto no es cierto, pues el determinante de una matriz puede calcularse expandiendo a través de cualquier fila o cualquier columna. Veamos este teorema, aunque su prueba no será presentada aquí. Teorema 6. [Cálculo del determinante por cofactores (Laplace, 1772)] Sean A una matriz n × n y Aij (i, j = 1, 2, . . . , n) la matriz obtenida de A eliminando la i-ésima fila y la j-ésima columna. Entonces a) Para cada fila i, |A| = (−1)i+1 (ai1 |Ai1 | − ai2 |Ai2 | + ai3 |Ai3 | + · · · + (−1)n−1 ain |Ain |) b) Para cada columna j, |A| = (−1)j+1 (a1j |A1j | − a2j |A2j | + a3j |A3j | + · · · + (−1)n−1 anj |Anj |) A cada uno de los términos de arriba de la forma Aij se le denomina un cofactor de A. A esta expresión también se le conoce como “expansión por cofactores”. Ejemplo 12. Calculemos el determinante siguiente expandiendo, por ejemplo, por la segunda fila. Observemos que, en este caso, la expansión va multiplicada por el factor (−1)2+1 = −1. Así, 1 0 −2 3 1 = −3 0 −2 + 1 1 −2 − 5 1 0 5 5 9 4 9 4 5 4 5 9 = −30 + 17 − 25 = −38

A.7. Propiedades de los determinantes

347

Nota 1. Para evitar errores posibles, resaltemos una vez más los signos que acompañan a los cofactores en una matriz 3 × 3:   (+) (−) (+) (−) (+) (−) (+) (−) (+)

¿Cuáles serán estos signos si la matriz es 4 × 4? ¿5 × 5?

A.7.

Propiedades de los determinantes

En esta sección examinaremos las propiedades más importantes que satisface el concepto de determinante de una matriz. Esto nos permitirá comprender sus propiedades lineales y, así, describir otras formas de calcularlo que podrían facilitar su evaluación en problemas concretos. Teorema 7. Para cualquier matriz A de orden n × n, det A = det AT .

Teorema 8. (Propiedad escalar del determinante) Si una matriz B se obtiene de una matriz A multiplicando cada elemento de una fila cualquiera de A por un escalar k, entonces det B = k det A. Ejemplo 13. Calculemos el determinante de la matriz  −6 8  15 20 3 4

 2 5 −1

Solución. Utilizando las propiedades del determinante se tiene que −6 −3 −3 4 8 2 4 1 1 15 20 5 = 2 · 15 20 5 = 2 · 5 · 3 4 1 3 4 −1 3 4 −1 3 4 −1 −1 4 −1 1 1 1 1 = 2 · 5 · 3 · 4 1 1 1 = 2 · 5 · 3 1 4 1 4 −1 1 1 −1 = 480

N

Como una consecuencia de la propiedad escalar del determinante se tiene el siguiente resultado: Corolario 1 Si A es una matriz cuadrada de tamaño n × n, y k un escalar, entonces det(kA) = k n det A

348

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

Teorema 9. (Propiedad aditiva del determinante) Denotemos el vector fila i de la matriz A de orden n × n por Ai , donde i = 1, 2, . . . , n y supongamos, en particular, que Ai = U + V , donde U y V son matrices 1 × n. Entonces,       A1 A1 A1  A2   A2   A2         A3   A3   A3           .   .  ..  = det  ..  + det  ..  . det A = det         U +V   U   V           .   .  .. . .      . . .  An An An

Esta misma propiedad se cumple si una fila cualquiera Ai es la suma de matrices n × 1, U y V . Ejemplo 14. a) Partiendo la tercera fila en (2, 0, 2) = (2, 0, 0) + (0, 0, 2), se tiene que 1 1 3 1 1 3 1 1 3 2 −1 4 = 2 −1 4 + 2 −1 4 = 14 + (−6) = 8 2 0 2 2 0 0 0 0 2 b) Partiendo la segunda fila 1 3 4 1 0 1 6 = 0 −3 4 9 −3

en (0, 1, 6) = (0, 0, 5) + (0, 1, 1), se tiene que 3 4 1 3 4 0 5 + 0 1 1 = −65 + 8 = −57 N 4 9 −3 4 9

Nos preguntamos ahora cómo varía el determinante de una matriz si intercambiamos dos filas cualesquiera de la matriz. La siguiente propiedad responde a esta pregunta: Teorema 10. (Propiedad de intercambio de filas del determinante) Si una matriz B de orden n × n se obtiene de una matriz A intercambiando dos filas cualesquiera de A, entonces det B = − det A En particular, si dos filas de la matriz A son iguales, el determinante de A es cero. Ejemplo 15. Veamos cómo se relaciona el determinante de la matriz de la matriz B, donde A y B son    1 6 3 3 4 A =  1 1 1 , B= 1 6 3 4 5 4 4

A con el determinante  5 3  4

A.8. Valores propios de una matriz cuadrada

349

Solución. Aplicando la propiedad escalar del determinante y la de filas sobre la matriz B se concluye que 1 1 6 3 3 4 5 det B = 4 1 6 3 = −4 3 4 5 = 4 1 3 1 1 1 1 1 1

propiedad de intercambio 6 1 4

3 1 5

= 4 det A N

Teorema 11. (Determinante del producto) Para todo par de matrices A y B de orden n × n se tiene que det(AB) = det A det B

A.8.

Valores propios de una matriz cuadrada

Si A = [aij ]n×n es una matriz cuadrada entonces λ es un valor propio de A si existe un x ∈ Rn , x 6= 0, tal que Ax = λx; es decir, (A − λI)x = 0. En forma expandida, esta última ecuación resulta en el sistema homogéneo (a11 − λ)x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + (a22 − λ)x2 + · · · + a2n xn = 0 .. .. .... . . ..

(1)

an1 x1 + an2 x2 + · · · + (ann − λ)xn = 0 donde x = (x1 , . . . , xn )T . Ahora: estamos interesados en una solución no trivial x 6= 0 y una condición suficiente y necesaria para que el sistema (1) tenga una solución no trivial es que el determinante de la matriz del sistema sea nulo; es decir, que:   a11 − λ a12 ··· a1n  a21 a22 − λ · · · a2n    det  . =0 . . .. .. ..  ..  . an1 an2 · · · ann − λ Así, los valores propios de la matriz A son las raíces del polinomio det(A − λI). A este polinomio se le llama polinomio característico de la matriz A. Puesto que por el teorema fundamental del álgebra (ver Monsalve (ed.), 2010b, volumen 0) todo polinomio de grado n tiene n raíces (que pueden ser número complejos y no todas necesariamente diferentes), entonces toda matriz tiene al menos un valor propio (y, a lo sumo, n valores propios diferentes) y, por tanto, al menos un vector propio. Para entender esto último mejor, ilustremos con algunos ejemplos.

350

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

Ejemplo 16. Calculemos los valores y vectores propios de la matriz   −5 2 A= 2 −2

Solución. Resolviendo det(A − λI) = 0, es decir,   −5 − λ 2 det =0 2 −2 − λ

se obtiene que

λ2 + 7λ + 6 = (λ + 6)(λ + 1) = 0 y, por tanto, los valores propios de A son λ1 = −1 y λ2 = −6. Calculando también los correspondientes vectores propios tendremos que:     x 0 es a) Para λ1 = −1, el sistema homogéneo [A − λ1 I] 1 = 0 x2 −4x1 + 2x2 = 0 2x1 − x2 = 0     x1 1 (obsérvese que satisface el sistema y un vector propio es = 2 x2 anterior). El espacio propio asociado al valor propio λ1 = −1 es el espacio generado por el vector propio (1, 2); es decir, h(1, 2)i.     x 0 b) Para λ2 = −6, el sistema homogéneo [A − λ2 I] 1 = es x2 0 x1 + 2x2 = 0 2x1 + 4x2 = 0     x1 2 y un vector propio es = (obsérvese que satisface el sistema x2 −1 anterior). El espacio propio asociado a este valor propio λ2 = −6 es el espacio generado por el vector (2, −1), es decir, el conjunto de vectores de la forma t(2, −1) para t ∈ R.

A.9.

La matriz inversa

Definición 19. [Matriz inversa (Cayley, 1858)] Sea A una matriz n × n. Si existe una matriz C, también n × n, tal que AC = CA = In entonces diremos que A es una matriz invertible (o no-singular) y que su inversa es C; esta matriz la denotamos por A−1 . Si tal matriz A−1 no existe, diremos que A es no invertible, o que es singular.

A.10. Dependencia e independencia lineal

351

Nota 2. (La matriz inversa, si existe, es única) Que podamos asignar esta notación unívoca (A−1 ) se debe a que, de hecho, la matriz inversa, si existe, es única. En efecto, si C y D son inversas de A, entonces CA = AD = In ; luego C = CIn = C(AD) = (CA)D = In D = D Ejemplo 17.  1 −3  3 −12 Si A =  −2 10 −1 6

0 −2 2 1

 −2 −6  5 3

entonces

A−1

Solución. Basta observar que:  0−3+0+4 1+3+0−4 0 − 12 + 0 + 12 3 + 12 − 2 − 12 −1 AA =  0 + 10 + 0 − 10 −2 − 10 + 2 + 10 0+6+0−6 −1 − 6 + 1 + 6   1 0 0 0 0 1 0 0 −1  = 0 0 1 0 = A A 0 0 0 1



0 1  1 −1 =  0 1 −2 2

0+6+0−6 0 + 24 − 6 − 18 0 − 20 + 6 + 15 0 − 12 + 3 + 9

 0 2 −2 2  3 −3 3 −2  2−6+0+4 6 − 24 + 6 + 12   −4 + 20 − 6 − 10 −2 + 12 − 3 − 6

Ahora mostramos las propiedades algebraicas de las matrices inversas que nos recuerdan (aunque no coinciden con) las propiedades algebraicas de los inversos de los números reales. Teorema 12. (Álgebra de inversas) Sean A y B dos matrices n × n inversibles; entonces a) In es invertible e In−1 = In b) A−1 también es invertible y además (A−1 )−1 = A. c) AB es invertible y además (AB)−1 = B −1 A−1 . d) A + B no es necesariamente invertible. e) Si A es invertible, entonces AT . también es invertible y (AT )−1 = (A−1 )T . f) Si AC = AD para ciertas matrices C y D, entonces C = D. g) det A−1 =

1 . detA

Si el lector está interesado en los métodos para calcular matrices inversas, puede consultar Monsalve (2017), volumen I.

352

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

A.10.

Dependencia e independencia lineal

La noción geométrica sobre las condiciones bajo las cuales dos vectores son colineales (es decir, que están sobre la misma recta) o no, y las consecuencias que de esto se desprenden, es lo que nos conduce a la fundamental noción de dependencia e independencia lineal. Definición 20. (Dependencia e independencia lineal) a) Sean β1 , β2 , . . . , βn ∈ Rn . Diremos que β = { β1 , β2 , . . . , βn } es un conjunto de vectores linealmente dependientes si existe un vector βi ∈ β que puede escribirse como combinación lineal de los restantes vectores en β; es decir, para ciertos escalares k1 , k2 , . . . , ki−1 , ki+1 , · · · , kn , se tiene que βi = k1 β1 + k2 β2 + · · · + ki−1 βi−1 + ki+1 βi+1 + · · · + kn βn o que k1 β1 + k2 β2 + · · · + ki−1 βi−1 − βi + ki+1 βi+1 + · · · + kn βn = 0 Esto es equivalente a decir que existe una colección de escalares k1 , k2 , . . . , kn no todos nulos tales que: (1)

k1 β1 + k2 β2 + · · · + kn βn = 0

Veamos esto. Ya que no todos los escalares k1 , k2 , . . . , kn son nulos, existe por lo menos uno distinto de cero. A este escalar lo podemos llamar ki . Despejando de (1) se tiene que βi = −

ki−1 ki+1 kn k1 β1 − · · · − βi−1 − βi+1 − · · · − βn ki ki ki ki

(2)

Así, βi es una combinación lineal de los otros elementos en β. y y β2 β2 β1 x

β1 x

b) Independencia lineal de β1 y β2 a) Dependencia lineal de β1 y β2 Figura A.2. Dependencia e independencia lineal.

A.10. Dependencia e independencia lineal

353

b) Un conjunto de vectores β = { β1 , β2 , . . . , βn } ⊆ V es un conjunto de vectores linealmente independientes si no son linealmente dependientes; es decir, si ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los otros vectores. Esto significa que si existe una colección de escalares k1 , k2 , . . . , kn ∈ R tales que k1 β1 + k2 β2 + . . . + kn βn = 0, entonces, necesariamente, k1 = k2 = . . . = kn = 0 (ver figura A.2). Ejemplo 18. Sean β1 = (1, 2), β2 = (2, 0) y β3 = (4, 3) vectores de R2 . Puesto que 23 β1 + 5 2 4 β2 + (−1)β3 = 0, entonces β1 , β2 y β3 son linealmente dependientes en R . En la figura A.3 podemos observar que β3 puede describirse como una combinación lineal de β1 y β2 ; de hecho, β3 = 23 β1 + 54 β2 .

✻

3 2 β1

β3 ✑ ✁ ✕ ✁ ✑✸ β1 ✁ ✑ ✁ ✁ ✑ ✁ ✑ ✕ ✁ ✁✁ ✑ ✁ ✁ ✑ ✁ ✁ ✑✑ ✲ ✲✁ ✲ ✁✑ β2 54 β2 Figura A.3. Ilustración del ejemplo 18.

Ejemplo 19. Sean β1 = (1, 1, 0), β2 = (2, 3, 4) y β3 = (4, 5, 4) tres vectores de R3 . Puesto que: 4β1 + 2β2 − 2β3 = 4(1, 1, 0) + 2(2, 3, 4) − 2(4, 5, 4) = (0, 0, 0) entonces β1 , β2 y β3 son linealmente dependientes. Ejemplo 20. Los vectores β1 = (1, 1, 0, 1), β2 = (1, 0, 0, 1), β3 = (1, −1, 0, 1) son linealmente dependientes en R4 ya que β1 − 2β2 + β3 = 0. Definición 21. (Base) Un conjunto β ⊆ Rm es una base para Rm si satisface que: a) β es un conjunto de vectores linealmente independientes en Rm ; y b) β genera Rm ; es decir, todo vector de Rm es una combinación lineal de vectores en β.

354

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

Ejemplo 21. (Base canónica para Rm ) El conjunto de vectores e1 = (1, 0, 0, . . . , 0) e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) .. . en = (0, 0, . . . , 0, 1) forma una base para Rm (base canónica). Solución. Los vectores e1 , e2 , · · · , en son linealmente independientes porque si existen constantes k1 , k2 , · · · , kn tales que k1 e1 + k2 e2 + · · · + kn en = 0, entonces (k1 , k2 , · · · , kn ) = 0 y así k1 = k2 = ... = kn = 0. Además, cualquier vector x = (x1 , x2 , · · · , xn ) puede ser generado por los vectores e1 , e2 , · · · , en , pues (x1 , x2 , · · · , xn ) = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en . Ejemplo 22. (Algunas bases canónicas) a) El conjunto β = { (1, 0), (0, 1)} es la base canónica de R2 . b) El conjunto β = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } corresponde a la base canónica para R3 . c) ¿Cuáles son, explícitamente, los cuatro vectores de la base canónica para R4 ? Nota 3. Una mirada geométrica al plano R2 o al espacio R3 , bastaría para convencernos de que las bases no pueden ser únicas. Pueden existir un número infinito de ellas y esto lo haremos explícito enseguida. Además, tal vez pueda ser claro para el lector que cada elemento de la base genera uno de los ejes respecto a los cuales se describirán todos los demás vectores del plano o del espacio. Por ejemplo, el típico plano R2 con ejes ortogonales es sólo una forma de describir los demás puntos del plano: la base típica es la canónica β = {(1, 0), (0, 1)}. Ejemplo 23. (Las bases no son únicas) Además de la base canónica, veamos que β = { (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1) } también es una base para R3 . Solución. Sea (x, y, z) ∈ R3 . Entonces una aplicación del método gaussiano nos muestra que (x, y, z) se puede expresar como combinación lineal de (1, 1, 0), (0, 1, 1) y (1, 1, 1): (x, y, z) = (y − z)(1, 1, 0) + (y − x)(0, 1, 1) + (x − y + z)(1, 1, 1)

A.10. Dependencia e independencia lineal

355

Además, los vectores de β son linealmente independientes porque si para algunos k1 , k2 , k3 tuviéramos k1 (1, 1, 0) + k2 (0, 1, 1) + k3 (1, 1, 1) = (0, 0, 0) entonces también tendríamos que k1 , k2 , k3 satisfacen el sistema de ecuaciones lineales k1 + k3 = 0 k1 + k2 + k3 = 0 k2 + k3 = 0 y llegaríamos a que k1 = k2 = k3 = 0, que a su vez implica que el conjunto β = { (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1) } forma una base para R3 . Es claro, entonces, que R3 (y, en general, Rn ) tiene infinitas bases. N Buscando describir las características esenciales de una base, tenemos el siguiente teorema: Teorema 13. Si β = { β1 , . . . , βm } es una base para Rm , entonces cualquier conjunto de vectores α = { α1 , . . . , αn } linealmente independientes en Rn no puede contener más de m elementos; es decir, n ≤ m. Por lo tanto, todas las bases de Rm tienen m vectores y esa será su dimensión. Y así: a) Cualquier subconjunto con más de m vectores es linealmente dependiente. b) Ningún subconjunto de V con menos de m vectores puede generarlo. Ejemplo 24. Un conjunto de cuatro vectores en R3 tal como β = { (1, 2, −3), (2, 1, −3), (2, −3, 4), (4, 7, −6) }, es linealmente dependiente. De hecho, c1 (1, 2, −3) + c2 (2, 1, −3) + c3 (2, −3, 4) + c4 (4, 7, −6) = 0 para c1 = − 70 9 , c2 =

32 9 ,

c3 = − 53 , c4 = 1.

Ejemplo 25. Confirmando el teorema 13, el conjunto de vectores { (1, 0, 0), (0, 1, 0) } no genera R3 pues, por ejemplo, el vector (3, 4, 2) no puede ser expresado como una combinación lineal de los vectores (1, 0, 0) y (0, 1, 0) como puede comprobarse fácilmente.

356

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

Ejemplo 26. Hallemos una base de R2 que contenga al vector (3, −5). Solución. Es suficiente encontrar un vector (x, y) que sea linealmente independiente del vector (3, −5); es decir, no debe existir k ∈ R, k 6= 0, tal que x = 3k

,

y = −5k

Tomemos, por ejemplo, x = 3, y = 5. Observemos que no existe k ∈ R tal que 3 = 3k y 5 = −5k. Luego, el conjunto { (3, −5), (3, 5) } forma una base para R2 .

A.11.

Rango de una matriz

Definición 22. [Rango columna de una matriz (Frobenius, 1878)] Si A ∈ Mm×n , definimos su rango (columna), que denotamos por ρ(A), como ρ(A) = dim{A1 , A2 , . . . , An } donde escribimos A de la siguiente manera: A = [A1 |A2 | · · · |An ] Es decir, el rango de una matriz es el máximo número de sus columnas linealmente independientes. Teorema 14. (Propiedades del rango de una matriz) Si A es una matriz m × n, entonces se tiene lo siguiente: a) ρ(A) = ρ(AT ) y ρ(AAT ) = ρ(AT A) = ρ(A) b) Si r(A) es el número de filas linealmente independientes (que también se le conoce como rango fila de A), entonces r(A) = ρ(A) c) Si m = n, entonces A es invertible si, y sólo si, ρ(A) = n. d) ρ(AB) ≤ Mín{ρ(A), ρ(B)}. e) ρ(A) ≤ Mín{m, n}. f) Si B es invertible, entonces ρ(AB) = ρ(A); y si C es invertible, entonces ρ(CA) = ρ(A). g) La operaciones fila sobre una matriz no alteran su rango (y, por tanto, el método gaussiano es un algoritmo para encontrar el rango de una matriz). h) ρ(A + B) ≤ ρ(A) + ρ(B).

A.11. Rango de una matriz

357

Definición 23. (Rango completo) Si A es una matriz m × n, diremos que A tiene rango completo (full rank) si, y sólo si, ρ(A) = Mín{m, n} Claramente, una matriz cuadrada tiene rango completo si, y sólo si, es invertible. Ejemplo 27. El rango de la matriz A=

 0 0

1 5 2 10

0 0



es ρ(A)=1 pues ρ(A) = ρ(AT ) y las filas de A satisfacen (0, 1, 5, 0) = 12 (0, 2, 10, 0). Por lo tanto, esta matriz no tiene rango completo. ¿Cuántas soluciones tendrá el sistema lineal Ax = 0 para x ∈ R4 ? Ejemplo 28. Encontremos el rango de la matriz 4 × 4  1 2 −3 −2 1 7 A=  2 5 −3 2 10 −2

 4 −5  4 7

¿Cuántas soluciones tendrá el sistema lineal Ax = 0 para x ∈ R4 ? ¿Tiene A rango completo? Solución. Realizando operaciones elementales de filas sobre la matriz A se tiene que   1 2 −3 4 F1 −2 1  F2 7 −5    2 5 −3 4  F3 F4 2 10 −2 7  1 0  0 0  1 0  0 0  1 0  0 0

 2 −3 4 5 1 3  F2 ←→ F2 + 2F1 1 3 −4 F3 ←→ F3 − 2F1 F4 ←→ F4 − 2F1 , 6 4 −1  2 −3 4 1 −11 19  F2 ←→ F2 − 4F3 1 3 −4  6 4 −1  0 19 −34 F1 ←→ F1 − 2F2 1 −11 19   0 14 −23  F3 ←→ F3 − F2 F4 ←→ F4 − 6F2 0 70 −115

358

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general   1 0 19 −34   0 1 −11 −19    23  F3 ←→ 1 F3 0 0 1 − 14 14 0 0 70 −115   F1 ←→ F1 − 19F3 1 0 0 − 39 14   0 1 0 − 519  14  F2 ←→ F2 + 11F3  0 0 1 − 23   14  0

0 0

0

F4 ←→ F4 − 70F3

Por tanto, ρ(A) = 3 y el sistema Ax = 0 con x ∈ R4 tendrá infinitas soluciones. Observemos que ρ(A) = 3 6= 4 = Mín{m, n} y, por tanto, A no tiene rango completo.

A.12.

Formas cuadráticas

Definición 24. [Forma cuadrática (Cayley, 1858)] Una forma cuadrática es un polinomio de grado 2 en varias variables; es decir, es un polinomio de la forma Q(x1 , x2 , . . . , xn ) =a11 x21 + a12 x1 x2 + · · · + a1n x1 xn +

a21 x2 x1 + a22 x22 + · · · + a2n x2 xn + · · · + an1 xn x1 + an2 x2 + · · · +

(1)

ann x2n

Ejemplo 29. Las siguientes son formas cuadráticas: a) Q(x, y) = x2 + y 2

b) Q(x, y) =

x2 y2 + 2 2 a b

x2 y2 − d) Q(x, y) = ax2 + bxy + cy 2 a2 b2 La razón por la cual estudiamos en este punto a estos polinomios específicos es porque una forma cuadrática puede representarse, convenientemente, en notación matricial, de la siguiente manera:    a11 a12 · · · a1n x1  a21 a22 · · · a2n   x2     T Q(x1 , x2 , . . . , xn ) = [x1 , x2 , . . . , xn ]  . .. ..   ..  = XAX  .. . ··· .  .  xn an1 an2 · · · ann c) Q(x, y) =

donde A = [aij ] es la matriz n × n conformada por los coeficientes que aparecen en la ecuación (1) anterior y X = (x1 , x2 , ..., xn ). Observemos que podemos asumir que A es simétrica ya que los pares de coeficientes similares a12 x1 x2 y a21 x2 x1 , etc., pueden escribirse con coeficientes iguales de tal forma que cada uno de ellos sea la mitad del coeficiente del producto correspondiente de las variables.

A.12. Formas cuadráticas

359

Definición 25. [Formas cuadráticas definidas positivas (y negativas)] a) Diremos que una forma cuadrática Q = XAX T , con A simétrica, es definida positiva si, y sólo si, XAX T > 0 para todo X 6= 0. Y diremos que Q es definida negativa si −Q es definida positiva.

b) Diremos, además, que Q = XAX T es semidefinida positiva si XAX T ≥ 0 para todo X. Además, diremos que Q es semidefinida negativa si −Q es semidefinida positiva. Ejemplo 30.

  a b x = XAX T es definida positiva a) Q = ax + 2bxy + cy = [x, y] b c y (figura A.4) si, y sólo si, 2

2

a) a > 0



b)

det A = ac − b2 > 0

ac − b2 2 b )y . pues ax2 + 2bxy + cy 2 = a(x + y)2 + a a b) Y, por tanto, es definida negativa (figura A.5) si, y sólo si, a) a < 0

b)

det A = ac − b2 > 0 z

z

x

y

x

Figura A.4. Forma cuadrática definida positiva.

Figura A.5. Forma cuadrática definida negativa.

Teorema 15. (Otra caracterización de las formas cuadráticas) a) La forma cuadrática Q = XAX T es definida positiva si, y sólo si, las submatrices Ak , k = 1, 2, . . . , n, donde   a a12 A1 = a11 , A2 = 11 , a12 a22   a11 a12 a13 A3 = a12 a22 a23  , ..., An = A a13 a32 a33 tienen determinantes positivos.

360

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

b) La forma cuadrática Q = XAX T es definida negativa si, y sólo si, las submatrices Ak , k = 1, 2, . . . , n satisfacen |A1 | < 0, |A2 | > 0, |A3 | < 0, ...

Ejemplo 31. Determinemos si la siguiente matriz es definida positiva, aplicando el teorema anterior:   7 2 4 2 1 A= 2 4 1 3

Solución. Observemos que:

7 |A1 | = 7 ; |A2 | = 2

7 2 2 = 10 ; |A3 | = 2 2 2 4 1

4 1 = 7 3

Como los determinantes de las submatrices de A son todos positivos, la forma cuadrática XAX T es definida positiva.

A.13.

Elementos básicos de topología en R2

Para describir los elementos básicos de la topología, comencemos entonces observando que la noción de sucesión de números reales puede extenderse fácilmente a sucesiones de puntos de R2 : Definición 26. (Sucesiones en R2 ) Una función f (·) cuyo dominio es el conjunto de todos los números naturales N (o de un subconjunto infinito de él) y cuyo rango es un subconjunto de R2 se denomina una sucesión de puntos de R2 . Una sucesión en R2 se notará por {(an , bn )}n∈N o, simplemente, {(an , bn )}. Definición 27. (Sucesiones convergentes en R2 ) Una sucesión {(an , bn )} de puntos de R2 converge al punto (L, M ) de R2 si, y sólo si, l´ım an = L y l´ım bn = M , y se escribirá que n→∞

n→∞

l´ım (an , bn ) = (L, M )

n→∞

Una sucesión que no satisfaga esta condición se dirá divergente o, simplemente, no-convergente. Ejemplo 32. Veamos si las siguientes sucesiones de puntos de R2 son o no convergentes:     n 1 1 n2 + 1 a) (an , bn ) = b) (an , bn ) = 4 + , , n n2 n + 1 n2 − 1     n+1 (−1)n 1 c) (an , bn ) = d) (an , bn ) = , + 2, n 3n n(n + 1) n

A.13. Elementos básicos de topología en R2

361

Solución. 1 1 = 0 y también l´ım 2 = 0, entonces a) Como l´ım n→∞ n n→∞ n   1 1 l´ım = (0, 0). , n→∞ n n2   n n2 + 1 b) l´ım 4 + = (5, 1) , n→∞ n + 1 n2 − 1     1 1 n+1 = , ,0 c) l´ım n→∞ 3n n(n + 1) 3 d) Como l´ım n = +∞, entonces la sucesión (an , bn ) = n→∞



 (−1)n + 2, n no n

(−1)n + 2 = 2. N n→∞ n El primer concepto topológico que estudiaremos es el de punto límite o punto adherente a un subconjunto del plano R2 : es convergente, aunque l´ım

Definición 28. [Punto adherente o punto límite (Cantor, 1872)] Sea S un subconjunto de R2 . Un punto (x0 , y0 ) ∈ R2 es adherente a (o punto límite de) S si existe una sucesión de puntos de S que converge a (x0 , y0 ). En otra forma, los puntos adherentes de S son los límites de las sucesiones convergentes de S. Al conjunto de puntos adherentes de S se le acostumbra notar por S. También a S se le llama conjunto clausura de S (figura A.6). y

b

punto adherente a S

b b b b

S x

Figura A.6. Conjunto clausura S.

En particular, observemos que cualquier punto (x0 , y0 ) de S es adherente a S: es suficiente tomar la sucesión cuyos puntos son todos iguales a (x0 , y0 ). Definición 29. [Conjunto cerrado (Cantor, 1872)] Un subconjunto S de R2 es cerrado en R2 si, y sólo si contiene a todos sus puntos adherentes; es decir, si S = S (figura A.7).

362

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general y

y

S

S

x a) Conjunto cerrado.

x b) Conjunto no cerrado.

Figura A.7. Conjunto cerrado y conjunto no cerrado.

Nota 4. Según la definición anterior, un subconjunto S de R2 es cerrado si, y sólo si dada una sucesión de puntos de S que converja, su límite también será un elemento de S. De manera que para definir si un subconjunto de R2 es (o no) cerrado, debe observarse si contiene a todos los límites de sucesiones del conjunto. Ejemplo 33. Calculemos los puntos límites de los siguientes conjuntos: a) {(x, y) ∈ R2 | x < y} b) {(x, y) ∈ R2 | |x| < 1, |y| < 1} c) {(x, y) ∈ R2 | 3x + 4y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0} d) {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0} Solución. Los conjuntos de puntos límites de estos conjuntos son, respectivamente: i) {(x, y) ∈ R2 | x ≤ y} ii) {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} iii) {(x, y) ∈ R2 | 3x + 4y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0} iv) {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0} Comparando a), b), c), d) arriba con, respectivamente, i), ii), iii), iv) abajo, se aprecia claramente que los conjuntos de los literales c) y d) son cerrados (pues ambos conjuntos coinciden), mientras que los conjuntos de los literales a) y b) de arriba no lo son. N El siguiente teorema describe una característica topológica fundamental de los conjuntos cerrados:

A.13. Elementos básicos de topología en R2

363

Teorema 16. T Si X es una colección de subconjuntos cerrados de R2 , entonces X es un X∈ X S subconjunto cerrado de R2 . Si X es finita entonces X es también un subX∈ X

conjunto cerrado de R2 .

Ejemplo 34.

a)

∞ T

n=1

b)

[1 −

1 1 1 1 , 2+ 2 ]×[3 − 2 , 4+ 2 ] = [1, 2]×[3, 4] es un conjunto cerrado. n n n n

n 1 n3 1 ,2 + ]×[ 3+ 3 ,4 + 3 ] = (0 , 3) × (3 , 5) no es n+1 n +1 n +1 n=1 n + 1 un conjunto cerrado (¿por qué no lo es?). ∞ S

[

Definición 30. (Disco abierto en R2 ) Un disco abierto (o bola abierta) en R2 con centro en (x0 , y0 ) y radio r > 0, denotado Dr (x0 , y0 ), está definido (figura A.8) como n o p Dr (x0 , y0 ) = (x, y) ∈ R2 | (x0 − x)2 + (y0 − y)2 < r y

b

(x0 ,y0 )

r

x

Figura A.8. Disco abierto.

Definición 31. [Conjunto abierto (Cantor, 1872)] Un subconjunto S de R2 es abierto en R2 (figura A.9) si para cada (x0 , y0 ) ∈ S existe r > 0 tal que el disco abierto Dr (x0 , y0 ) esté totalmente contenido en S; es decir, Dr (x0 , y0 ) ⊆ S. Así, un subconjunto S de R2 es abierto si alrededor de cada punto de S, se puede “colocar” un pequeño disco (no importa qué tan pequeño) que esté totalmente incluido en el conjunto S. Claramente, un disco abierto es un (y el más típico) conjunto abierto.

364

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general y

b

x

Figura A.9. Conjunto abierto.

Ejemplo 35. Consideremos los conjuntos del ejemplo 33, y determinemos si son conjuntos abiertos (figura A.10). Solución. y 1

y

y x=y 1

−1

x

x

x

−1

c)

b)

a) y

x

d) Figura A.10. ¿Son conjuntos abiertos?

Primero evaluemos los literales c) y d). En el literal d) se tiene que el punto (0, 0) ∈ R2 pertenece a {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0}; sin embargo, no existe r > 0 tal que Br (0, 0) ⊆ {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0}; luego este conjunto no es abierto en R2 . De forma similar en el literal c), para el punto (0, 0) en el conjunto {(x, y) ∈ R2 | 3x + 4y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0} no existe r > 0 tal que Br (0, 0) esté

A.13. Elementos básicos de topología en R2

365

incluido en el conjunto {(x, y) ∈ R2 | 3x + 4y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0}; por tanto, este conjunto tampoco es abierto en R2 . Por el contrario, puede mostrarse que los conjuntos de los numerales a) y b) sí son subconjuntos abiertos de R2 , y esto queda como ejercicio para el lector. Nota 5. Contrario a la intuición primaria, un subconjunto de R2 puede no ser abierto ni cerrado. Este es el caso, por ejemplo, del conjunto definido por {(x, y) ∈ R2 | 3x + 4y ≤ 5, x > 0, y > 0}. Ahora: un subconjunto de R2 puede ser abierto y cerrado; por ejemplo, el mismo R2 , y el conjunto vacío (∅), son subconjuntos de R2 que son, simultáneamente, abiertos y cerrados ¿Podría el lector explicar por qué? El siguiente teorema muestra que la relación fundamental entre conjuntos abiertos y cerrados no se da por negación de la característica de uno para llegar al otro, sino a través del complemento de conjuntos: Teorema 17. Un subconjunto S de R2 es cerrado si, y sólo si, su complemento en R2 es abierto. Y una condición similar a la del teorema 16 para los conjuntos cerrados, se da ahora para los conjuntos abiertos: Teorema 18. S Si X es una colección de subconjuntos abiertos de R2 , entonces X es un X∈ X T subconjunto abierto de R2 . Si X es finita, entonces X es un subconjunto abierto de R2 .

X∈ X

Otro de los conceptos topológicos fundamentales, es el siguiente: Definición 32. (Punto interior) Sea S un subconjunto de R2 . Un punto (x0 , y0 ) ∈ S es un punto interior de S si o

existe r > 0 tal que Dr (x0 , y0 ) ⊆ S. El interior de S, notado S, es el conjunto de puntos interiores de S. o

Obsérvese que un conjunto S es abierto si, y sólo si S = S. Ejemplo 36. Consideremos los conjuntos del ejemplo 33, y determinemos su interior. Solución. Los interiores de estos conjuntos son, respectivamente (figura A.10): a) {(x, y) ∈ R2 | x < y} b) {(x, y) ∈ R2 | |x| < 1, |y| < 1}

366

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

c) {(x, y) ∈ R2 | 3x + 4y < 5, x > 0, y > 0} d) {(x, y) ∈ R2 | x > 0} Definición 33. (Punto de frontera) Sea S un subconjunto de R2 . Un punto (x0 , y0 ) ∈ R2 es un punto de frontera de S si es punto límite tanto de S como de su complemento. La frontera de S, denotada ∂S, es el conjunto de puntos de frontera de S. Obsérvese que un conjunto es cerrado si, y sólo si contiene su frontera; es decir, si, y sólo si, ∂S ⊆ S. Ejemplo 37. Consideremos nuevamente los conjuntos del ejemplo 33, y determinemos su frontera (figura A.10). Solución. Las fronteras de estos conjuntos son, respectivamente: a) {(x, y) ∈ R2 | x = y} b) {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ 1, y = −1} ∪ {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ 1, y = 1}∪ {(x, y) ∈ R2 | x = −1, |y| ≤ 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 | x = 1, |y| ≤ 1} c) {(x, y) ∈ R2 | 3x + 4y = 5, x ≥ 0, y ≥ 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 | x = 0, 0 ≤ y ≤ 45 } ∪ {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 53 , y = 0} d) {(x, y) ∈ R2 | x = 0} Definición 34. (Conjunto acotado) Un subconjunto S de R2 es acotado si está contenido en algún disco abierto. Ejemplo 38. Determinemos si los conjuntos del ejemplo 33 son acotados (figura A.10). Solución. Los conjuntos de los literales a) y d) no están contenidos en ningún disco abierto y, por tanto, estos conjuntos no son acotados. Sin embargo, observemos que {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} ⊆ D√2 (0, 0) y {(x, y) ∈ R2 | 3x + 4y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0} ⊆ D2 (0, 0)

Por tanto, los conjuntos de los literales b) y c) sí son acotados. Definición 35. [Conjunto compacto (Fréchet, 1906)] Un subconjunto S de R2 es compacto si es cerrado y acotado.

Ejemplo 39. Determinemos si los conjuntos del ejemplo 33 son compactos (figura A.10).

A.14. El teorema de Weierstrass

367

Solución. El conjunto {(x, y) ∈ R2 | x < y} no es cerrado y no es acotado; por tanto, no es compacto. El conjunto {(x, y) ∈ R2 | |x| < 1, |y| < 1} no es cerrado, pero es acotado; por tanto, tampoco es compacto. El conjunto {(x, y) ∈ R2 | 3x + 4y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0} es cerrado y es acotado; por tanto, este conjunto sí es compacto. El conjunto {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0} es cerrado, pero no es acotado; por tanto, no es compacto. N Finalmente, después de mostrar esquemáticamente las nociones topológicas básicas, arribamos al teorema que muestra el comportamiento bajo transformaciones (funciones) continuas de tres tipos fundamentales de conjuntos desde el punto de vista de la topología: los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados y los conjuntos compactos. Teorema 19. (Preservación de características topológicas bajo continuidad) Sea f : R2 → R2 una función continua; es decir, si f = (f1 , f2 ) para ciertas funciones continuas f1 , f2 : R2 → R, entonces: i) Si S es cerrado en R2 , entonces f −1 (S) es cerrado en R2 . ii) Si S es abierto en R2 , entonces f −1 (S) es abierto en R2 . iii) Si T es compacto en R2 , entonces f (T ) es compacto en R2 . Ejemplo 40. Sea f : R2 → R2 la función continua definida por f (x, y) = (x2 +y 2 , 1). Entonces f −1 ((1, 1)) = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} y así el conjunto cerrado en R2 , {(1, 1)}, es “enviado hacia atrás” por la función continua f (·, ·) en el conjunto cerrado conformado por la circunferencia de radio 1. Ejemplo 41. Sea f : R2 → R2 la función continua definida por la función lineal f (x, y) = (x + y, x − y). Entonces, el conjunto compacto de R2 , [1, 0] × {0}, es enviado por esta función lineal, en el conjunto compacto {(x, x) | x ∈ [0, 1]}.

A.14.

El teorema de Weierstrass

Conocemos que si f : [a, b] → R es una función continua, entonces ésta alcanza un valor máximo y un valor mínimo, ambos globales (figura A.11). Este teorema, fundamental en la teoría de la optimización de funciones de una sola variable, se puede generalizar así:

368

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

Teorema 20. (Teorema de Weierstrass) Si f : S → R, con S ⊆ R2 compacto (es decir, cerrado y acotado), es continua, entonces alcanza un valor máximo y uno mínimo, ambos globales. f (x) máximo global b

mínimo global b

a

x b

Figura A.11. Máximo y mínimo global de una función continua sobre un conjunto compacto.

Este es, quizás, el resultado básico de la teoría de la optimización matemática. En particular, si S = {(x, y) ∈ R2+ | g(x, y) ≥ 0} es compacto, y la función objetivo f (x, y) es continua, entonces el problema de maximizar la función f (x, y) sujeta a S siempre tendrá solución.

A.15.

Matriz hessiana

Definición 36. [Matriz hessiana (Hesse, 1842; Sylvester, 1851)] La matriz hessiana de la función dos veces diferenciable con continuidad f (x, y) evaluada en el punto (x, y), denotada H(x, y), está definida como  2  ∂ f ∂ 2 f  ∂x2 ∂x∂y (x,y)    (x,y)   H(x, y) =    2  2 ∂ f ∂ f   ∂y∂x (x,y) ∂y 2 (x,y)

es decir, la matriz hessiana es la “segunda derivada” de una función de dos ∂2f ∂2f = ; la matriz hessiana es una variables. Además, sabiendo que, ∂y∂x ∂x∂y matriz simétrica. Utilizando esta matriz, podemos reescribir el teorema “de la segunda derivada para extremos relativos” así: ∂ 2 f a) Si el determinante de H(x0 , y0 ) es positivo y es negativo, es de∂x2 (x0 ,y0 )

cir, si la matriz hessiana es definida negativa en (x0 , y0 ), entonces f (x0 , y0 ) es un máximo relativo de f (x, y).

A.16. Optimización con restricciones de desigualdad

369

∂ 2 f es positivo, es de∂x2 (x0 ,y0 ) cir, si la matriz hessiana es definida positiva en (x0 , y0 ), entonces f (x0 , y0 ) es un mínimo relativo de f (x, y).

b) Si el determinante de H(x0 , y0 ) es positivo y

c) Si el determinante de H(x0 , y0 ) es negativo, entonces (x0 , y0 ) es un punto de silla de f (x, y). Ejemplo 42. (Comportamiento de las formas cuadráticas) Sea f (x, y) = ax2 + 2bxy + cy 2 + d; a, b, c 6= 0. Aquí, ∂f = 2ax + 2by ; ∂x ∂2f = 2a ; ∂x2

∂f = 2bx + 2cy ∂y

∂2f = 2c ; ∂y 2

(1)

∂2f = 2b ∂x∂y

Si b2 − ac 6= 0, entonces el único punto crítico es (0, 0), pues de (1), 2ax + 2by = 0 (2) 2a 2b
= 4 ac − b2 tiene única solución (0, 0) si, y sólo si el determinante 2b 2c es diferente de cero. Ahora: aplicando el teorema “de la segunda derivada para extremos relativos”, se tiene que 2bx + 2cy = 0

a) f (0, 0) es máximo local si a < 0, ac − b2 > 0. b) f (0, 0) es mínimo local si a > 0, ac − b2 > 0. c) f (0, 0) es punto de silla si ac − b2 < 0.

Ejemplo 43. Sea f (x, y) = x2 + xy + y 2 − αx − βy. Encontremos los máximos, los mínimos y los puntos de silla de esta función. Solución. El vector gradiente de f (· , ·) es ∇ f |(x,y) = (2x + y − α, x + 2y − β). Es2β − α 2α − β y y = . Además, te vector es igual a cero si, y sólo si x = 3 3 2 2 2 ∂ f ∂ f ∂ f = 2; = 2; = 1. La matriz hessiana de esta función es: ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y   2 1 H(x, y) = 1 2 ∂2f = 2 y det H(x, y) = 3 > 0, para todo (x, y) en el dominio de f (· , ·). Como ∂x2   2α − β 2β − α es un mínimo relativo de f (· , ·). entonces f , 3 3

370

A.16.

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

Optimización con restricciones de desigualdad

Otra caracterización fundamental de problemas de optimización es buscar valores extremos de una función f (x, y) cuando existen restricciones de desigualdad bien determinadas funcionalmente dentro del dominio de elección. Un problema que aparece muy comúnmente es, en su forma más simple, así: Maximizar sujeta a

f (x, y) g(x, y) ≥ 0

x≥0 y≥0

Ejemplo 44. (Soluciones de esquina) Consideremos el siguiente problema, Minimizar sujeta a

(KT)

x+y 2

x + y2 ≥ 1 x≥0 y≥0

Claramente, este problema es uno del tipo (KT) si hacemos f (x, y) = −(x + y) y g(x, y) = x2 + y 2 − 1. Es decir, el problema puede escribirse como Maximizar

sujeta a

− (x + y)

2

x + y2 − 1 ≥ 0 x≥0 y≥0

Aquí podemos encontrar las soluciones gráficamente: éstas son (1, 0) y (0, 1) (figura A.12). Y obsérvese que en ambos casos la restricción x2 + y 2 ≥ 1 se satisface con igualdad, pero que la solución no es interior a R2+ , como se estudiaba en el método de los multiplicadores de Lagrange. Estas soluciones se conocen como soluciones de esquina o borde (por obvias razones), y el método (de) Kühn-Tucker es útil para hallarlas analíticamente. y {(x, y) ∈ R2+ | x2 + y 2 ≥ 1}

1 solución

solución

0 0

1

x

Figura A.12. Solución gráfica del ejemplo 44.

A.16. Optimización con restricciones de desigualdad

A.16.1.

371

El algoritmo (de) Kühn-Tucker

Consideremos nuevamente la función lagrangiana (ahora extendida) L : R+ × R+ × R → R definida por L(x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y). Ya sabemos que las soluciones al problema del lagrangiano Maximizar sujeta a

f (x, y) g(x, y) = 0

(L)

x>0 y>0 están dentro de las soluciones a las condiciones de primer orden ∂g ∂f −λ =0 ∂x ∂x ∂f ∂g −λ =0 ∂y ∂y g(x, y) = 0 x>0 y>0 La dificultad ahora es que el problema de Kühn-Tucker Maximizar

f (x, y)

sujeta a

g(x, y) ≥ 0 x≥0

(KT)

y≥0

podría implicar soluciones de esquina, o también interiores, a la restricción g(x, y) = 0. Si la solución a (KT) es de esquina, digamos (0, y ∗ , λ∗ ) con y ∗ > 0, λ∗ ∈ R, entonces, siguiendo lo hecho para el problema lagrangiano, debemos tener que (0, y ∗ ) resuelve para cierto λ∗ ∈ R Maximizar sujeta a

L(x, y, λ) x≥0 y≥0

Así, L(0 + ∆x, y ∗ , λ∗ ) ≤ L(0, y ∗ , λ∗ ) para todo ∆x > 0 (¿por qué sólo para ∆x > 0 y no para ∆x < 0?). Ahora: por el teorema de Taylor estudiado en el curso de Cálculo diferencial, ∂L ∂ 2 L (∆x)2 ∗ ∗ ∗ ∗ L(0 + ∆x, y , λ ) = L(0, y , λ ) + ∆x + ∂x (0,y∗ ) ∂x2 (ζx ,y∗ ) 2

372

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

donde 0 < ζx < ∆x. Y como L(0 + ∆x, y ∗ , λ∗ ) ≤ L(0, y ∗ , λ∗ ) entonces ∂L ∂ 2 L (∆x)2 ≤0 ∆x + ∂x (0,y∗ ,λ∗ ) ∂x2 (ζx ,y∗ ,λ∗ ) 2

que dividiendo por ∆x y tomando el límite cuando ∆x → 0, es ∂L ≤0 ∂x (0,y∗ ,λ∗ ) ∂f ∗ ∂g −λ ≤ 0. Así, mientras la primera o, lo que es igual, a ∂x (0,y∗ ) ∂x (0,y∗ ) derivada del lagrangiano con respecto a x se anula si x∗ > 0, en la esquina (x∗ = 0) esta primera derivada es menor que o igual a cero (Figura A.13). En otra forma, el producto de x∗ y la derivada del lagrangiano en (x∗ , y ∗ , λ∗ ) ! ∂L (con respecto a x) siempre es cero: x∗ = 0. De esta manera ∂x ∗ ∗ ∗ tendremos que ∂f ∗ ∂g −λ ≤0 ∂x (x∗ ,y∗ ) ∂x (x∗ ,y∗ )

(x ,y ,λ )

y

∗

x

! ∂f ∗ ∂g =0 −λ ∂x (x∗ ,y∗ ) ∂x (x∗ ,y∗ )

Es claro que el papel de x y de y es simétrico, así que por un razonamiento similar tendremos que ! ∂f ∂f ∗ ∂g ∗ ∗ ∂g =0 −λ ≤0 y y −λ ∂y (x∗ ,y∗ ) ∂y (x∗ ,y∗ ) ∂y (x∗ ,y∗ ) ∂y (x∗ ,y∗ )

Finalmente, para (x∗ , y ∗ ) fijos, maximizar L(x∗ , y ∗ , λ) requiere λ∗ ≤ 0 (dado que g(x∗ , y ∗ ) ≥ 0). y

solución solución

x Figura A.13. En el problema (KT) las soluciones de esquina tienen pendiente negativa.

Este es, de forma heurística, el origen de las condiciones de primer orden del problema de Kühn-Tucker (KT), que ahora presentamos. Definición 37. (Condiciones de primer orden (CPO) (de) Kühn-Tucker) Si f (·), g(·) son funciones diferenciables con continuidad en R2+ y λ ≤ 0, definimos las condiciones de primer orden (CPO) del problema de Kühn-Tucker

A.16. Optimización con restricciones de desigualdad

373

(KT) de la siguiente forma: i) ii)

∂g ∂f −λ ≤ 0; ∂x ∂x   ∂g ∂f = 0; −λ x ∂x ∂x

∂f ∂g −λ ≤ 0; ∂y ∂y   ∂f ∂g y = 0; −λ ∂y ∂y

g(x, y) ≥ 0 λg(x, y) = 0

(CPO)

Nota 6. (Kühn-Tucker generaliza Lagrange) Observe que si g ≡ 0, x > 0, y > 0, las CPO son equivalentes a ∂f ∂g =λ ; ∂x ∂x

∂f ∂g =λ ; ∂y ∂y

g(·) = 0

y estas no son más que las condiciones de primer orden del método de Lagrange. Ahora nos preguntamos: ¿cuáles son las condiciones que garantizan que dentro de las soluciones a las condiciones de primer orden (CPO) siempre están las soluciones a nuestro problema de optimización? La respuesta la encontramos en el siguiente teorema: Teorema 21. (K-T=⇒CPO) Sean f (·) y g(·) cuasicóncavas y diferenciables con continuidad en R2+ . Si (x∗ , y ∗ ) resuelve el problema Maximizar sujeta a

f (x, y) g(x, y) ≥ 0

x≥0 y≥0

entonces existe un λ ≤ 0 tal que (x∗ , y ∗ ) satisface las condiciones de primer orden (CPO) siempre que se tenga alguna (y basta una) de las siguientes condiciones: i) La función g(·) es convexa en R2+ . x, y¯) ∈ R2+ tal que se cumple ii) La función g(·) es cóncava en R2+ y existe un (¯ g(¯ x, y¯) > 0. Ejemplo 45. Tomemos el problema Maximizar sujeta a

x+y 2

x + y2 ≤ 1 x≥0 y≥0

e intentemos resolverlo mediante el método de Kühn-Tucker, aplicando el teorema 21.

374

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

Solución. En este caso, f (x, y) = x + y, g(x, y) = 1 − x2 − y 2 . Puesto que estas funciones son cuasicóncavas y g(x, y) = 1 − x2 − y 2 es cóncava en R2+ , además de que para (¯ x, y¯) = (0.5, 0.5) se tiene g(¯ x, y¯) = 0.5 > 0, por el teorema 21 cualquier solución del problema de optimización (si existe) está entre las soluciones de las condiciones de primer orden: i) ii)

1 + λ(2x) ≤ 0;

x(1 + λ(2x)) = 0;

1 + λ(2y) ≤ 0;

y(1 + λ(2y)) = 0;

Estudiamos cuatro casos:

1 − x2 − y 2 ≥ 0

λ(1 − x2 − y 2 ) = 0

1. Si x > 0, y > 0, entonces, de ii), λ=−

1 6= 0; 2x

λ=−

1 6= 0 2y

lo que implica x = y. Del hecho de que√λ 6= 0, y de ii), tenemos que √ x2 + y 2 = 1; y así, x∗ = y ∗ = 22 , λ∗ = − 22 . 1 6= 0 y así, x2 = 1 ó x = 1. Sin 2x embargo, no se satisface i), pues 1 + λ(2 · 0) = 1  0.

2. Si x > 0, y = 0, entonces de ii), λ = −

3. Si x = 0, y > 0, entonces, de forma similar a lo analizado en el caso anterior, obtenemos que no se satisface i), pues 1 + λ(2 · 0) = 1  0.

4. Si x = 0, y = 0, entonces de ii), debe ser λ = 0, y no se satisface i). Por lo tanto, x = 0, y = 0 no es solución a las condiciones de primer orden.

Dado que f (x, y) = x + y es continua, y el conjunto restricción es compacto, por el f (·) alcanza un máximo. Vemos que, en 1., f (x∗ , y ∗ ) = √ teorema de Weierstrass ∗ ∗ 2; en 2., f (x , y ) = 1; y en 3., f (x∗ , y ∗ ) = 1. Por lo tanto, entre 1., 2., y 3. se llega a que el valor máximo de f (x, y) = x + y sujeta a las restricciones g(x, y) = 1 − x2 + y 2 ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0, se obtiene cuando √ √ 2 2 ∗ ∗ ∗ , λ =− x =y = 2 2 √ y el valor máximo es 2. Nota 7. (¿Falla el método Kühn-Tucker?) A la luz del método Kühn-Tucker (teorema 21), ¿el lector podría decir por qué en el ejemplo clásico presentado por Arrow y Enthoven (1961) Maximizar

xy

sujeta a

(1 − x − y)3 ≥ 0

x≥0 y≥0

se tiene como solución x = y = 1/2, pero no existe ningún λ que satisfaga las CPO en ese punto? N

A.16. Optimización con restricciones de desigualdad

375

Continuando con nuestra presentación del método Kühn-Tucker, ahora nos podríamos preguntar: ¿cuándo es cierto el recíproco del teorema 21? Es decir, si (x∗ , y ∗ ) es una solución de las (CPO), será entonces que también es una solución al problema de optimización (KT)? Una respuesta está en el próximo teorema, pero antes mostremos, precisamente, un ejemplo en el que las CPO, por sí mismas, no son suficientes para resolver el problema KT. El caso clásico, también presentado por Arrow y Enthoven en 1961, es Maximizar (x−1)3 sujeta a 2 − x ≥ 0 x≥0 cuyas soluciones de CPO arrojan x = 1, λ = 0, siendo la verdadera solución x = 2. Veamos entonces qué condiciones sobre f (·, ·) y g(·, ·) se requieren para que CPO ⇒ KT. Teorema 22. (CPO =⇒ K-T) Sean f (·) y g(·) cuasicóncavas y diferenciables con continuidad en R2+ . Si la tripla (x∗ , y ∗ , λ∗ ) satisface las (CPO) y se cumple alguna (y sólo una es suficiente) de las siguientes condiciones: ∂f ∂f a) 0 y g(x, y) ≥ 0 para algún x > 0, y ≥ 0; o bien ∂x (x∗ ,y∗ ) ∂f > 0 y g(x, y) ≥ 0 para algún x ≥ 0, y > 0; ∂y (x∗ ,y∗ )

c) ∇f |(x∗ ,y∗ ) 6= 0 y f (x, y) es dos veces diferenciable en una vecindad de (x∗ , y ∗ );

d) f (x, y) es cóncava; entonces (x∗ , y ∗ ) es solución al problema de optimización (KT). Ejemplo 46. Resolvamos el problema Maximizar sujeta a

2x+3y x+y ≤1 x≥0 y≥0

Solución. En este ejemplo, f (x, y) = 2x+3y y g(x, y) = 1−x−y. Dado que en este caso se cumplen las condiciones de los teoremas 21 y 22 (ya que tanto la restricción como

376

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

la función objetivo son lineales), las condiciones de primer orden nos entregan exactamente las soluciones. Estas son: i) ii)

2 + λ ≤ 0;

3 + λ ≤ 0;

x(2 + λ) = 0;

1−x−y ≥0

λ(1 − x − y) = 0

y(3 + λ) = 0;

Analizamos cuatro casos: 1. Si x > 0, y > 0, entonces de ii), λ∗ = −3 y λ∗ = −2, lo cual es imposible. 2. Si x > 0, y = 0, entonces de ii), λ∗ = −2 y x∗ = 1. Pero, de i), se tiene que λ = −2 no satisface 3 + λ ≤ 0. 3. Si x = 0, y > 0, entonces de ii), λ∗ = −3 y y ∗ = 1 y estas satisfacen todas las condiciones; por lo tanto, x∗ = 0, y ∗ = 1, λ∗ = −3 es una solución al problema. 4. Si x = 0, y = 0, entonces, de ii), λ∗ = 0, pero esta no satisface i). Vemos que el máximo se obtiene en x∗ = 0,

y ∗ = 1,

λ∗ = −3

y es igual a 3 (figura A.14). y

1 • solución

0 0

1

x

Figura A.14. Solución gráfica del ejemplo 46.

A.17.

Teorema de separación de Minkowski

El siguiente es uno de los teoremas más profundos de la teoría de optimización, que involucra la noción de convexidad. Los teoremas de existencia de hiperplanos separadores establecen, básicamente, que un conjunto convexo y un punto que no está en este, pueden separarse mediante un hiperplano; es decir, con el conjunto convexo de un lado y el punto del otro lado. Veamos en qué consisten estos dos teoremas centrales de la teoría de la optimización que, como notaremos, son consecuencia del teorema de Wierstrass.

A.17. Optimización en conjuntos convexos

377

Teorema 23. [Hiperplanos separadores (Minkowski, 1910)] Sea C un conjunto convexo y cerrado en R2 , y sea p ∈ Rn . Entonces se tiene uno (y solo uno) de los siguientes casos (figura A.15): a) p ∈ C. b) Existe un hiperplano H de R2 que contiene a p y tal que C está totalmente contenido en uno de los semiplanos abiertos determinados por H. En tal caso, se dice que H es un hiperplano separador. Y aun podemos enunciar un resultado más general: Teorema 24. [Otro teorema de Minkowski (1910)] Si C ⊆ Rn es un conjunto convexo y p está en la frontera de C, entonces existe un “hiperplano soporte” de C en p; es decir, existe un hiperplano H tal que p ∈ H, y C está contenido en uno de los dos semiespacios cerrados determinados por H (figura A.15). H

p•

C

Figura A.15. H es el hiperplano soporte de C en p.

Ejemplo 47. Supongamos que para x ≥ 0, y ≥ 0, definimos f (x, y) = xy,

g(x, y) = x2 + y 2

a) Al resolver el problema de optimización Maximizar sujeta a

f (x, y) g(x, y) ≤ R2 x≥0 y≥0

mediante el método de Kühn-Tucker, allí encontramos que la solución era (x∗ , y ∗ ) = ( √R2 , √R2 ). ¿Podría el lector ilustrar esto con una gráfica apropiada?

378

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

b) Al buscar una recta de la forma A(x − x∗ ) + B(y − y ∗ ) = 0 que pasa por el punto (x∗ , y ∗ ) y que lo separe del conjunto convexo {(x, y) ∈ R2+ | f (x, y) ≥ f (x∗ , y ∗ )} = {(x, y) ∈ R2+ | xy ≥

R2 } 2

encontramos que, como (A, B) es un vector normal a la recta, entonces podemos hacer A=

R ∂f ∗ ∗ (x , y ) = √ ∂x 2

y B=

R ∂f ∗ ∗ (x , y ) = √ ∂y 2

lo que nos lleva a que la ecuación de la recta es x + y =

A.18.

√ 2R.

El teorema de dualidad

Se quiere dar respuesta a dos interrogantes: primero, cómo resolver un problema lineal de mínimos; y segundo, cómo cambia la solución óptima ante cambios (pequeños) en las restricciones. Para ello, establecemos inicialmente el problema canónico (PL) Maximizar sujeta a

cT x Ax ≤ b

(PL)

x≥0

donde c, x ∈ Rn , A es una matriz m × n y b ∈ Rm . Este problema, que de ahora en adelante llamaremos problema primal, lo relacionamos con el siguiente problema dual (PD) Minimizar

bT y

sujeta a

T

(PD)

A y≥c

y≥0

donde y ∈ Rm , c y b son iguales a los del problema primal. Teorema 25. (Teorema de dualidad) Si el problema primal tiene solución óptima finita, entonces el problema dual también tiene solución óptima finita, y los valores de ambas funciones objetivo son iguales. Si el primal no tiene óptimo acotado, entonces el dual no tiene solución factible. Ejemplo 48. Para que veamos lo fuerte que puede ser esta relación primal-dual, consideremos

A.18. El teorema de dualidad

379

el problema Minimizar sujeta a

60x + 20y + 3z + 20w 3x + 6y − z + 2w ≥ 4 −4x + 2y + z + 5w ≥ 2

x≥0 y≥0

z≥0 w≥0

Un análisis directo nos llevaría a un problema en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones. Pero es posible escribir este problema así:  60 20  [x, y, z, w]  3 20  3 6 [x, y, z, w]  −1 2 

Minimizar

sujeta a

x, y, z, w ≥ 0

 −4  T 2 ≥ 4 2 1 5

Por tanto, el problema primal es Maximizar

[4, 2]

sujeta a



 x1 x2     60 3 −4   20 6  x1 2     −1 1  x2 ≤  3  20 2 5

x1 ≥ 0,

x2 ≥ 0

Y este problema primal sí puede dibujarse en un plano bidimensional como en la figura A.16. Allí, vemos que la solución óptima ocurre en x∗1 = 30/13, x∗2 = 40/13, y así z ∗ = x∗ = 0. De esta manera, el problema original se reduce a Minimizar sujeta a

  20 20   6 2 ≥ [4, 2] [y, w] 2 5 [y, w]

y ≥ 0,

w≥0

380

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

solución

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Figura A.16. Ilustración del ejemplo 50.

Cuya solución y ∗ = 8/13, w∗ = 2/13. Por lo tanto, el problema original tiene como solución al vector (0, 8/13, 0, 2/13).   60   20  = (4, 2) 30/13 = 200/13 (0, 8/13, 0, 2/13)  3 40/13 20

A.19.

Optimización en correspondencias: el teorema del máximo

Nuestros métodos hasta ahora están destinados a la optimización de funciones; es decir, de relaciones en que a cada número se le asigna otro número (y sólo uno). Desde 1939, el grupo francés Bourbaki desarrolló el concepto de correspondencia; es decir, relaciones en las que a cada número se le asigna no solo otro número, sino una colección de números. Las situaciones reales en que esto puede suceder son múltiples, y el objetivo de esta sección es describir algunos resultados sobre optimización en este tipo de estructura. Entre ellos, quizás el resultado más importante es el teorema del máximo, y para comprenderlo nos preparamos ahora. Definición 38. [Correspondencia (Bourbaki, 1939)] Si S, T ⊆ Rn , no vacíos, entonces una correspondencia ϕ de S en T es una función ϕ : S → P(T )

donde P(T ) es el conjunto de partes de T (es decir, todos los posibles subconjuntos de T ), y tal que, para todo s ∈ S, ϕ(s) 6= ∅ [2] . 2 En ocasiones, sin embargo, y si la notación no permite confusión, escribiremos simplemente ϕ : S → T.

A.19. Optimización en correspondencias: el teorema del máximo

381

Así, una correspondencia ϕ de S en T , le asigna a cada s ∈ S un conjunto no vacío ϕ(s) ∈ P(T ) (figura A.17). T

conjunto ϕ(s)

s

S

Figura A.17. Correspondencia ϕ(s).

Las nociones de continuidad en funciones de variables reales se trasladan a correspondencias de la siguiente manera: Definición 39. (Continuidad en correspondencias) i) Una correspondencia ϕ : S → P(T ) es semicontinua superiormente en un punto s ∈ S si cuando sn → s y tn → t con tn ∈ ϕ(sn ), entonces t ∈ ϕ(s). ii) Una correspondencia ϕ : S → P(T ) es semicontinua inferiormente en un punto s ∈ S si sn → s y t ∈ ϕ(s) implica que existe una sucesión {tn } con tn ∈ ϕ(sn ) tal que tn → t. iii) Una correspondencia ϕ : S → P(T ) es continua si es semicontinua superiormente e inferiormente. Nota 8. El lector puede observar que si para cada s ∈ S se tiene que ϕ(s) es un solo elemento (es decir, ϕ es una función), el concepto de semicontinuidad superior es equivalente a la continuidad de la función ϕ. Ejemplo 49. Sea S = T = [0, 5], y definamos ( 2 ϕ(s) = [1, 3]

si x 6= 2.5 si x = 2.5

Esta correspondencia (figura A.18) es semicontinua superiormente, dado que para toda sucesión {sn } con sn ∈ [0, 5] tal que sn → s sólo existe una única sucesión {tn } tal que tn ∈ ϕ(sn ) y tn → t : la sucesión {tn } = {2}, la cual converge a t = 2, y, claramente, t ∈ ϕ(s). Sin embargo, la correspondencia no es semicontinua inferiormente, ya que podemos tomar sn → 2.5 y 3 ∈ ϕ(2.5), pero no existe una sucesión {tn } que satisfaga tn → 3 tal que tn ∈ ϕ(sn ).

382

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general ϕ(s) 4 3 2 1 2.5

5 s

Figura A.18. Correspondencia semicontinua superiormente.

Teorema 26. (Caracterización de la semicontinuidad superior) La correspondencia ϕ : S → T es semicontinua superiormente sobre S si, y sólo si, su gráfico (ver figura A.19): graf ϕ = {(s, t) ∈ S × T | t ∈ ϕ(s)} es cerrado en S × T

[3]

.

T

t

s

S

Figura A.19. Una correspondencia ϕ(s) con graf ϕ cerrado.

Ejemplo 50. Sean S = [0, 10] y T = [0, 100], y definamos ϕ(s) = [s2 , s2 + 1]. Veamos que esta correspondencia es semicontinua superiormente mostrando que graf ϕ es cerrado. Solución. Sea {(sn , tn )} una sucesión en graf ϕ tal que (sn x, tn ) → (s, t). Veamos que (s, t) ∈ graf ϕ. En efecto, l´ımn→∞ s2n ≤ l´ımn→∞ tn ≤ l´ımn→∞ s2n + 1, es decir, 3S

× T es el producto cartesiano de S y T .

A.20. Teoremas de punto fijo

383

s2 ≤ t ≤ s2 + 1. Así que t ∈ ϕ(s) y, por lo tanto, (s, t) ∈ ϕ. Luego, graf ϕ es cerrado y, por el teorema 26, es semicontinua superiormente. N Ahora: dado s ∈ S, uno puede estar interesado en caracterizar los elementos ϕ(s) ⊆ T que maximizan cierta función continua f : S×T → R; y también puede estar interesado en conocer el comportamiento de la correspondencia de valores máximos, µ(s), de f (·) sobre ϕ(s). Una respuesta a estas dos preguntas está dada por el siguiente resultado muy importante en el análisis de correspondencias: Teorema 27. (Teorema del máximo) Sean S, T ⊆ Rn conjuntos no vacíos; si f : S × T → R es una función continua y ϕ : S → P(T ) es una correspondencia continua en s ∈ S, entonces:

a) f ∗ : S → R, definida por f ∗ (s) = m´ ax{f (s, t) | t ∈ ϕ(s)} es continua en S. b) µ : S → P(T ), s → µ(s) = arg m´ ax{f (s, t) | t ∈ ϕ(s)} es semicontinua superiormente.

Ejemplo 51. Corroboremos el teorema del máximo en el caso en que S, T = R, ϕ(s) = [−2, 2] para todo s ∈ R, y f (s, t) = st:

a) f ∗ : R → R, definida por f ∗ (s) = m´ ax{st | t ∈ [−2, 2]} = 2|s| es continua en R.

b) µ : R → R, definida por

  2 µ(s) = arg m´ ax{st | t ∈ [−2, 2]} = [−2, 2]   −2

si si si

s>0 s=0 s0 y>0

(L)

A.21. Teorema de la envolvente

385

Sin embargo, esto no es del todo cierto. Los valores de λ nos dan información muy valiosa sobre el óptimo al cual están asociados: miden cierta sensibilidad del valor óptimo de la función objetivo f (x, y) con respecto a ciertas variaciones de la función g(x, y). Para verlo, escribamos primero (y de nuevo) las condiciones de primer orden para un óptimo (x∗ , y ∗ , λ∗ ) (con x∗ , y ∗ > 0) del problema (L): ∂f ∗ ∂g − λ =0 ∂x (x∗ ,y∗ ) ∂x (x∗ ,y∗ ) ∂f ∗ ∂g −λ =0 (*) ∂y ∗ ∗ ∂y ∗ ∗ (x ,y )

(x ,y )

g(x, y) = 0

Ahora: si nuestro problema de Lagrange es: Maximizar sujeta a

f (x,y) g(x, y) = a x>0 y>0

a 6= 0

(L’)

una pregunta legítima es: ¿cómo varía la nueva solución con respecto a la
solución original (x∗ , y ∗ )? Para responder esto, supongamos que x∗ (a), y ∗ (a) son las nuevas soluciones. Entonces, sea L(x(a), y(a), λ) ≡ f (x(a), y(a)) − λ [g(x(a), y(a)) − a]

(**)


la función lagrangiana evaluada en funciones diferenciables de la forma x(a), y(a) , donde x(0) = x∗ y y(0) = y ∗ . Derivando con respecto a a, obtenemos ∂L ∂f ∂x ∂f ∂y ∂g ∂x ∂g ∂y = + −λ −λ +λ ∂a ∂x ∂a ∂y ∂a ∂x ∂a ∂y ∂a Evaluando en (x∗ , y ∗ ), obtenemos que ∂L = ∂a (x∗ ,y∗ )

! ∂g ∂x ∂f + −λ ∂x (x∗ ,y∗ ) ∂x (x∗ ,y∗ ) ∂a

! ∂g ∂y ∂f −λ + λ ∂y (x∗ ,y∗ ) ∂y (x∗ ,y∗ ) ∂a

Pero, de (*), los dos primeros términos del lado derecho de la última igualdad se anulan, y esto arroja el resultado: ∂L =λ ∂a ∗ ∗ (x ,y )

386

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general


Y de la definición de L(·) en (**), y del hecho de que x∗ (a), y ∗ (a) es la solución al problema (L’), es claro que ∂f ∂L = ∂a (x∗ (a),y∗ (a)) ∂a (x∗ (a),y∗ (a)) Por lo tanto,

∂f =λ ∂a (x∗ (a),y∗ (a))

Así, el multiplicador λ es la tasa de cambio del valor máximo de la función objetivo, con respecto a un cambio en el parámetro a de la restricción. Esta ecuación de sensibilidad del problema del lagrangiano es una versión del que se conoce también como teorema de la envolvente. Nota 9. Quizás no sobre aclarar que en el problema de Kühn-Tucker, la ecuación de sensibilidad es exactamente igual y la prueba es similar. N Pero aunque al anterior se le puede considerar un “teorema de la envolvente”, a continuación presentamos su versión más conocida y general, e invitamos al lector a probarlo e interpretarlo adecuadamente: Sean f (x, y, a) y g(x, y, a) funciones diferenciables con continuidad sobre R3 , donde (x, y) ∈ R2 , a ∈ R, y consideremos el problema de máximo de Kühn-Tucker Maximizar sujeta a

f (x, y, a) g(x, y, a) ≥ 0 x≥0 y≥0

Definamos la función de valor máximo como F (a) = f (x(a), y(a), a) donde (x(a), y(a)) es el punto donde se resuelve el problema de optimización para un valor de a particular. Teorema 30. (Teorema de la envolvente) ∂F (a) ∂L(x, y, λ) = ∂a ∂a (x(a),y(a))

donde L(x(a), y(a), λ) es la función lagrangiana

L(x(a), y(a), λ) ≡ f (x(a), y(a), a) − λ [g(x(a), y(a), a)]

(**)

Una aplicación típica del teorema de la envolvente es la siguiente: puesto que para a, b, α, Q > 0 cantidades conocidas, el problema de optimización Minimizar sujeta a

ax + by xy = Qα x>0 y>0

A.22. Sistemas dinámicos (continuos) en una dimensión

387

tiene como solución x∗ =



aQα b

1/2

,

y∗ =



bQα a

1/2

entonces, si definimos C(a, b, Q) = ax∗ + by ∗ , se tendrá que C(a, b, Q) = 2(ab)1/2 Qα/2 y así, por el teorema de la envolvente (teorema 6), se tendrá que α ∂C = α(ab)1/2 Q 2 −1 ∂Q

A.22.

Sistemas dinámicos (continuos) en una dimensión

Comenzamos definiendo los sistemas dinámicos (continuos) más elementales posibles: los sistemas en una dimensión. Definición 40. (Sistema dinámico continuo en una dimensión) Un sistema dinámico continuo en una dimensión es una ecuación diferencial de la forma x(t) ˙ = f (x(t), t) (C1D) donde t es la variable tiempo; x(t) : I → A es una trayectoria; x(t) ˙ ≡ dx/dt; f : A × I → R es una función diferenciable con continuidad; el conjunto A ⊆ R es abierto, no-vacío; y I es un intervalo abierto de la forma (a, +∞), donde a ∈ R ∪ {−∞}, o de la forma (−∞, a) donde a ∈ R ∪ {∞}. Definición 41. (¿Qué es resolver este sistema dinámico?) Resolver un sistema dinámico continuo x(t) ˙ = f (x(t), t) es encontrar todas las posibles trayectorias x(t) que satisfagan esta ecuación. A cada una de tales trayectorias x(t) se le conoce como una solución al sistema dinámico. Ejemplo 52. (Sistema dinámico lineal fundamental) El sistema x(t) ˙ = c x(t)

(es decir, f (x, t) = c x, con c constante para todo t)

lo podemos resolver fácilmente mediante antiderivación, encontrando que todas las soluciones x(t) tienen la forma x(t) = kect

para alguna constante k ∈ R

De hecho, observemos que k = x(0). A esta, por razones evidentes, se le llama la condición inicial del sistema dinámico. De manera que todas las soluciones al sistema dinámico lineal, tienen la forma (figura A.22) x(t) = x(0) ect

t ∈ (−∞, ∞)

Claramente, l´ımt→∞ x(t) = 0 si c < 0; x(t) = x(0) si c = 0; l´ımt→∞ x(t) = +∞ si c > 0 y x(0) > 0; l´ımt→∞ x(t) = −∞ si c > 0 y x(0) < 0.

388

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general x(t)

x(t)

x(0) •

x(0) • t

t

caso c > 0

caso c < 0

Figura A.22. Soluciones al sistema x(t) ˙ = cx(t) para x(0) > 0.

Ejemplo 53. (Un sistema dinámico no lineal) El sistema x(t) ˙ = x(t)2

(es decir, f (x, t) = x2 para todo t)

dx también es fácil de resolver mediante la antiderivación: Puesto que, aquí, = dt R dx R dx x2 entonces, si x 6= 0, 2 = dt, y así, = dt, y, por lo tanto, −x−1 = t + k x x2 para algún k ∈ R. Luego, todas las soluciones x(t) tienen la forma (figura A.23) x(t) = −

1 t+k

para algún k ∈ R;

ó

x(t) = 0 para todo t

donde la condición inicial, para las soluciones del primer tipo, es x(0) = − k 6= 0. En cualquier caso, notemos que l´ımt→∞ x(t) = 0.

x(t)

x(t)

x(0) •

t = −k

t

t t = −k

• x(0)

caso k > 0

1 si k

caso k < 0

Figura A.23. Soluciones al sistema x(t) ˙ = x(t)2 .

A.22. Sistemas dinámicos (continuos) en una dimensión

389

Ejemplo 54. Es fácil observar, mediante una aplicación directa de antiderivación, que el sistema x(t) ˙ =t (es decir, f (x, t) = t para todo x) tiene como soluciones x(t) =

t2 +k 2

para alguna constante k ∈ R

donde la condición inicial es x(0) = k. Notemos que siempre se tiene que l´ımt→∞ x(t) = +∞ (figura A.24). x(t)

•

x(0) t

Figura A.24. Solución al sistema dinámico x(t) ˙ = t.

Ahora: Al estudiar un sistema dinámico, podrían aparecer ciertas soluciones muy particulares que ayudan a entender este movimiento. A estas, la Física siempre las ha llamado “equilibrios”, y la teoría de las ecuaciones diferenciales y, en particular, la de los sistemas dinámicos, también ha adoptado este nombre. Definición 42. (Punto de equilibrio) Un punto x∗ ∈ A es un punto de equilibrio (o estacionario)4 del sistema dinámico continuo x(t) ˙ = f (x(t), t) si, y sólo si, f (x∗ , t) = 0 para todo t. Es decir, x(t) = x∗ para todo t ∈ I es una solución que, al satisfacer x(t) ˙ =0 para todo t, el sistema dinámico, una vez alcanzado el punto x∗ , permanecerá allí por siempre. Ejemplo 55. a) Para el sistema dinámico x(t) ˙ = c x(t), el único punto de equilibrio, si c 6= 0, es x∗ = 0. b) Para el sistema dinámico x(t) ˙ = x(t)2 , el único punto de equilibrio es ∗ también x = 0. c) Para el sistema dinámico x(t) ˙ = cx(t) + b, el único punto de equilibrio, con c 6= 0, es x∗ = −b/c . 4

También llamado punto fijo.

390

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

d) El sistema dinámico x(t) ˙ = x(t)2 + 1 no tiene equilibrios. De hecho, mediante antiderivación es fácil mostrar que la solución general es de la forma x(t) = tan(t + k) para k ∈ R. e) Para el sistema dinámico x(t) ˙ = x(t)2 − 1, los equilibrios son x∗ = 1, ∗ x = −1 (múltiples equilibrios). Mediante antiderivación se puede mostrar que, además de x∗ = 1 y x∗ = −1, todas las soluciones están dadas por las funciones 1 + e2t+k x(t) = 1 − e2t+k para algún k ∈ R. Note que l´ım x(t) = −1,

t→∞

l´ım x(t) = 1

t→−∞

N

El siguiente teorema afirma que, en general, todo sistema dinámico en una dimensión (bajo las condiciones antes establecidas) tiene solución única, aunque sólo sea “local”, es decir, en un intervalo alrededor de un “tiempo” t0 ∈ I: Teorema 31. [Existencia y unicidad local de soluciones (Lipschitz, 1876)] Si x0 ∈ A y t0 ∈ I, entonces existe una única solución x(t) al sistema dinámico x(t) ˙ = f (x, t), definida en un intervalo abierto alrededor de t0 donde x(t0 ) = x0 . Ejemplo 56. Por ejemplo, la solución local de x(t) ˙ = x(t)2 para t = 0 con x0 = 1 es, preci1 samente, x(t) = − . Esta solución no es global, es decir, no está definida en t−1 todo (−∞, ∞), pero sí en (−1, 1) que es un intervalo abierto alrededor de t = 0.

A.22.1.

Diagramas de fase unidimensionales

Por definición, resolver un sistema dinámico x(t) ˙ = f (x(t), t) es encontrar sus soluciones x(t). El primer método para lograr esto es el analítico: encontrar soluciones explícitas al sistema como hemos hecho en todos los ejemplos hasta ahora propuestos. La dificultad es que esto no siempre es posible, pues depende de qué tan simple sea la función f (x(t), t). El segundo método es el cualitativo: trazar descripciones de las soluciones sin tener expresiones explícitas de estas. Este método se conoce como el de diagramas de fase del sistema dinámico. Desafortunadamente, sólo es posible aplicarlo convenientemente cuando el sistema es “autónomo”. Definición 43. (Sistema dinámico autónomo) Un sistema dinámico x(t) ˙ = f (x(t), t) es autónomo si, y sólo si, f (x(t), t) = f (x(t)) para todo t ∈ I. Es decir, f (·, ·) no depende explícitamente de t; en otro caso, lo llamaremos no autónomo.

A.22. Sistemas dinámicos (continuos) en una dimensión

391

Para describir gráficamente el sistema autónomo x(t) ˙ = f (x(t)) mediante un diagrama de fase, simplemente dibujamos la función f (·) en un diagrama x vs f (x) (= x). ˙ Así, valores positivos de f (·) corresponden a valores positivos de x, ˙ y esto significa que x(·) es una función creciente. Para indicarlo en la gráfica, dibujamos flechas en el sentido de t creciente. De la misma forma, valores negativos de f (·) corresponden a valores negativos de x˙ y, por tanto, x(·) es una función decreciente de t; y para indicarlo, dibujamos flechas en el sentido de t decreciente. Claramente, los puntos de equilibrio serán las intersecciones de f (·) con el eje de abscisas, es decir, cuando f = 0. Así, encontramos que las flechas señalan la dirección en que x(t) se mueve en el tiempo, y esto nos da una solución cualitativa del sistema dinámico. Ejemplo 57. Al tratar de construir el diagrama de fase del sistema dinámico x(t) ˙ = cx(t) con c 6= 0, distinguimos dos casos: (a) c > 0, (b) c < 0. Notamos entonces (bajo la condición k 6= 0) que si c > 0 tendremos x(t) → ∞ cuando t → ∞ (caso a)); y que si c < 0, entonces x(t) → 0 cuando t → ∞ (caso b)) (figura A.25). Recordemos que, en este ejemplo, las soluciones explícitas son de la forma x(t) = kect para k ∈ R. x˙

x˙

•

caso c > 0

x

•

x

caso c < 0

Figura A.25. Diagramas de fase del sistema dinámico x(t) ˙ = cx(t), con c 6= 0.

Pero también podemos describir un sistema dinámico con un diagrama de fase unidimensional que es, sin duda, más sencillo. La técnica consiste aquí en que si x = x∗ es un equilibrio del sistema dinámico autónomo x(t) ˙ = f (x), entonces se estudian los signos de f (x) cuando x es un poco mayor que x∗ , y cuando es un poco menor que x∗ . Si el signo es positivo, entonces x˙ > 0, es decir, x crece, y las flechas irán hacia la derecha; y si es negativo, entonces x˙ < 0, es decir, x decrece, y las flechas irán hacia la izquierda. Por ejemplo, en lugar de las gráficas bidimensionales de la figura A.25, podríamos dibujar, respectivamente, los diagramas unidimensionales de la figura A.26, que son equivalentes y más simples.

392

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general • 0 • 0 Figura A.26. Diagramas de fase unidimensionales para x(t) ˙ = cx(t), c 6= 0.

Ejemplo 58. Para construir los diagramas de fase del sistema dinámico definido por la ecuación x(t) ˙ = x(t)2 − 1, primero escribamos el sistema de la siguiente forma: x˙ = x2 − 1 = (x − 1)(x + 1). Por lo tanto, los puntos de equilibrio son x∗ = 1 y x∗ = −1. El diagrama de fase correspondería a que: si x > 1 entonces x2 − 1 > 0 y las flechas se dirigen hacia la derecha; si −1 < x < 1 entonces x2 − 1 < 0 y las flechas se dirigen a la izquierda; y si x < 1 entonces x2 − 1 > 0 y las flechas se dirigen hacia la derecha (figura A.27). x˙

−1

•

•

1

x

•

x∗ = −1

•

x∗ = 1

Figura A.27. Diagramas de fase del sistema x(t) ˙ = x(t)2 − 1.

A.22.2.

Estabilidad unidimensional

Uno de los principales objetivos de los sistemas dinámicos es estudiar el comportamiento de sus soluciones cerca de un punto de equilibrio. Esto constituye la llamada teoría de la estabilidad. Quizás no sobre resaltar aquí que la importancia del concepto de estabilidad para sistemas dinámicos radica en el hecho de que en los cálculos implicados en la construcción de una máquina eléctrica, o en el estudio del vuelo de aeronaves, o de un proceso químico, etc., la dinámica sea o no estable determina en gran parte el éxito o fracaso del proceso analizado. La definición básica de estabilidad para sistemas dinámicos en una dimensión es la siguiente: Definición 44. (Estabilidad) i) Diremos que el punto de equilibrio x∗ del sistema dinámico x(t) ˙ = f (x(t), t) es estable si dado ǫ > 0 existen δ > 0 y t0 > 0 tales que |x(t0 ) − x∗ | < δ implica |x(t) − x∗ | < ǫ para todo t > t0 . En otro caso, diremos que x∗ es inestable (o no estable) (figura A.28).

A.22. Sistemas dinámicos (continuos) en una dimensión

393

ii) Diremos que el punto de equilibrio x∗ del sistema dinámico x(t) ˙ = f (x(t), t) es asintóticamente estable (o atractor) si es estable, y si, además, se tiene que l´ımt→∞ x(t) = x∗ (figura A.28). Es decir, un equilibrio es estable si cuando una solución comienza cerca de este equilibrio, permanecerá siempre cerca de él. Y, de la misma forma, este equilibrio es asintóticamente estable si cuando una solución comienza “cerca” de este, entonces convergerá allí.5 Determinar la estabilidad de un equilibrio mediante esta definición puede ser complicado. Por ejemplo, puede ser que no sea posible encontrar las soluciones explícitamente. En el caso de los sistemas de una dimensión no es, sin embargo, muy complicado establecerlo utilizando los diagramas de fase; el siguiente teorema confirma nuestra intuición dentro del gráfico cualitativo de los sistemas autónomos.

•

•

•

equilibrio asintótico estable

equilibrio inestable

x equilibrio estable

Figura A.28. Equilibrios estables e inestables.

Teorema 32. (Criterio de estabilidad para sistemas autónomos) Sea x∗ un punto de equilibrio del sistema dinámico autónomo x(t) ˙ = f (x(t)). Entonces (figura A.29): i) Si f ′ (x∗ ) < 0, entonces x∗ es asintóticamente estable. ii) Si f ′ (x∗ ) > 0, entonces x∗ es inestable. iii) Si f ′ (x∗ ) = 0, el criterio no permite decidir. 5

Existe también la noción de estabilidad asintótica global, significando esto que la condición de estabilidad asintótica l´ımt→∞ x(t) = x∗ se cumple, independientemente de la condición inicial x(t0 ). A la condición ii) de arriba, se le acostumbra entonces llamar estabilidad asintótica local.

394

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general x˙

x1

•

• x2

•

x3

• x4

x5

•

x

Figura A.29. Ejemplos de puntos de equilibrio estables e inestables. Los puntos de equilibrio x1 y x5 son asintóticamente estables y se tiene f ′ (x1 ) = 0 y f ′ (x5 ) < 0. Los puntos de equilibrio x2 , x3 , x4 son inestables con f ′ (x2 ) = f ′ (x4 ) = 0 y f ′ (x3 ) > 0.

Ejemplo 59. a) Si f (x) = c x; luego f ′ (x) = c y así: i) Si c < 0, entonces x∗ = 0 es asintóticamente estable. ii) Si c > 0, entonces x∗ = 0 es inestable. b) Si f (x) = x2 − 1; luego f ′ (x) = 2x y el comportamiento de los equilibrios, x∗ = 1, x∗ = −1, es i) Como f ′ (−1) = 2(−1) < 0, entonces x∗ = −1 es asintóticamente estable. ii) Como f ′ (1) = 2(1) > 0, entonces x∗ = 1 es inestable. Ejemplo 60. Determinemos los puntos de equilibrio de x(t) ˙ = x(x − 1)(2 − 3x), y apliquemos el teorema 32 para establecer su estabilidad (figura A.30). x˙

• 0

• 2 3

• 1

x

• 0

• 2 3

• 1

Figura A.30. Diagramas de fase del sistema x(t) ˙ = x(x − 1)(2 − 3x).

En primer lugar, tenemos que los puntos de equilibrio son x∗ = 0, x∗ = 1 y x∗ = 32 . Además, f ′ (x) = (x − 1)(2 − 3x) + x(2 − 3x) − 3x(x − 1)

A.23. Sistemas dinámicos (continuos) en dos dimensiones

395

a) Como f ′ (0) = −2 < 0, entonces x∗ = 0 es asintóticamente estable.
b) Como f ′ 23 = 32 > 0, entonces x∗ = 32 es inestable. c) Como f ′ (1) = −1 < 0, entonces x∗ = 1 es asintóticamente estable.

Los diagramas de fase de la figura A.30 corroboran a), b) y c).

A.23.

Sistemas dinámicos (continuos) en dos dimensiones

En esta sección ampliamos la discusión a los sistemas dinámicos continuos planares; es decir, en dos dimensiones. Y aunque las técnicas de análisis varían, los conceptos centrales se mantienen. Veamos esto. Definición 45. (Sistema dinámico continuo en dos dimensiones) Un sistema dinámico continuo en dos dimensiones es un par de ecuaciones diferenciales de la forma x(t) ˙ = f (x(t), y(t), t) y(t) ˙ = g(x(t), y(t), t)

(C2D)

donde t es la variable tiempo, x(t) ˙ = dx/dt, y(t) ˙ = dy/dt, f : A × I −→ R, g : A × I −→ R son funciones diferenciables con continuidad, A ⊆ R2 abierto no vacío, e I un intervalo abierto de la forma (a, +∞) con a ∈ R ∪ {−∞}, o de la forma (−∞, a) con a ∈ R ∪ {∞}. Definición 46. (¿Qué es resolver este sistema dinámico?) Resolver el sistema dinámico en
dos dimensiones (C2D) es encontrar todas las trayectorias posibles x(t), y(t) que satisfagan, simultáneamente,
las dos ecuaciones diferenciales. A cada una de estas trayectorias x(t), y(t) se le conoce como una solución del sistema dinámico. Definición 47. (Punto de equilibrio) Un punto (x∗ , y ∗ ) es un punto de equilibrio (o estacionario)6 del sistema dinámico x(t) ˙ = f (x(t), y(t), t),

y(t)= ˙ g(x(t), y(t), t)

si, y sólo si, f (x∗ , y ∗ , t) = 0,

g(x∗ , y ∗ , t)= 0

para todo t ∈ I. 6

También llamado punto fijo, aunque Poincaré los llamaba puntos singulares.

396

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

Observemos que, en este caso, x(t) ˙ = x∗ , y(t) ˙ = y ∗ para todo t ∈ I es una solución tal que x(t) ˙ = 0 y y(t) ˙ = 0; por tanto, si el sistema dinámico alcanza el equilibrio, permanecerá allí por siempre. Al igual que en el caso de sistemas unidimensionales, en el caso de sistemas bidimensionales, tal y como los establecimos en la definición 45, también tendremos un teorema de existencia y unicidad: Teorema 33. (Existencia y unicidad local de soluciones) Si (x0 , y0 ) ∈ A, t0 ∈ I, entonces existe una única solución (x(t), y(t)) al sistema dinámico x(t) ˙ = f (x, y, t) y(t) ˙ = g(x, y, t) definida en un intervalo abierto alrededor de t0 donde x(t0 ) = x0 y y(t0 ) = y0 . Para terminar esta sección establecemos la noción de sistema dinámico autónomo en dos dimensiones. Estos tendrán la virtud de permitir claras descripciones de la dinámica mediante sus correspondientes “diagramas de fase”, como veremos en la próxima sección. Definición 48. (Sistema autónomo) El sistema dinámico en dos dimensiones x(t) ˙ = f (x(t), y(t), t) y(t) ˙ = g(x(t), y(t), t) es autónomo si, y sólo si, f (x(t), y(t), t) = f (x(t), y(t)) y g(x(t), y(t), t) = g(x(t), y(t)) para todo t. Es decir, f (·, ·) y g(·, ·) no dependen (explícitamente) de t; en otro caso, lo llamaremos no autónomo.

A.23.1.

Diagramas de fase en dos dimensiones

Un diagrama de fase en dos dimensiones es una herramienta gráfica que, similar a la utilizada en el caso unidimensional, nos permite visualizar y tener una descripción cualitativa de la dinámica de un sistema bidimensional autónomo en su totalidad. En un plano cartesiano x vs. y, cada punto representará la posición del sistema (x, y) en un momento dado del tiempo. Además de esto, dibujaremos flechas en el sentido de t creciente: una flecha hacia el noreste indica que tanto x como y están creciendo en el tiempo; una flecha hacia el sur indicará que y está decreciendo, pero que x se mantiene constante; una flecha hacia el noroeste indicará que y está creciendo, pero que x está decreciendo; etc.

A.23. Sistemas dinámicos (continuos) en dos dimensiones

397

y(t) f > 0 g < 0

x˙ = f (x, y) = 0 g > 0 f > 0

f > 0 g < 0

y˙ = g(x, y) = 0 g > 0 f < 0

x(t) Figura A.31. Diagrama de fase en dos dimensiones.

Dibujamos en el plano cartesiano x vs. y, las curvas f (x, y) = 0 y g(x, y) = 0, y encontramos los puntos de equilibrio como sus intersecciones. Con esto se ha dividido el plano en varias regiones que deberán ser estudiadas de acuerdo al signo que allí tengan f (x, y) y g(x, y). De esta manera, por ejemplo, si en una región f (x, y) > 0 y g(x, y) < 0, entonces la flecha para x estará en dirección este y la flecha para y estará en dirección sur, dando como resultado que la dirección de las flechas en tal región será sureste, etc. (figura A.31). Veamos algunos ejemplos que aclaren este método. Ejemplo 61. El diagrama de fase del sistema dinámico x˙ = 2x + y

(= f (x, y))

y˙ = x − 2y

(= g(x, y))

lo construimos, sin hacer explícitas sus soluciones, de la siguiente forma: a) Primero, dibujamos en el plano los puntos (x, y) tales que f (x, y) = 0, es decir, 2x + y = 0; y después los puntos (x, y) tales que g(x, y) = 0, es decir, x − 2y = 0; siendo su punto de intersección el único equilibrio del sistema: (x∗ , y ∗ ) = (0, 0) (figura A.32). b) Luego observamos que se ha dividido el plano en cuatro regiones: región I (primer cuadrante), región II (segundo cuadrante), región III (tercer cuadrante), y región IV (cuarto cuadrante), (figura A.32). i) En la región I se tiene que f (x, y) =2x + y > 0 y ii) En la región

II

g(x, y)= x − 2y < 0

se tiene que

f (x, y) = 2x + y < 0 y g(x, y)= x − 2y < 0

398

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general iii) En la región

III

se tiene que

f (x, y) = 2x + y < 0 iv) En la región

IV

y g(x, y)= x − 2y > 0

se tiene que

f (x, y) = 2x + y > 0

y g(x, y)= x − 2y > 0

c) En tercer lugar, dibujamos la flechas: i) En la región I, puesto que f > 0 y x˙ = f , entonces x crece, y esto lo dibujamos con una flecha hacia el este. De manera similar, puesto que g < 0 y y˙ = g, entonces y decrece, y esto lo dibujamos con una flecha hacia el sur. La dirección de la dinámica en la región I será entonces en la dirección sureste. ii) En la región II, puesto que f < 0 y g < 0, entonces x decrece, y esto lo dibujamos con una flecha hacia al oeste, y y también decrece (y esto lo dibujamos con una flecha hacia el sur). La dirección de la dinámica en la región II será, entonces, en la dirección suroeste. Los casos iii) y iv) son similares. Ya con esta información, el diagrama de fase del sistema dinámico aparecerá como en la figura A.32. y(t) y˙ = x − 2y = 0

x(t)

x˙ = 2x + y = 0 Figura A.32. Construcción del diagrama de fase del sistema x˙ = 2x + y, y˙ = x − 2y.

A.23.2.

Estabilidad en dos dimensiones

De forma similar a los conceptos de estabilidad y estabilidad asintótica desarrollados para sistemas unidimensionales, en el caso de los sistemas bidimensionales tenemos la siguiente definición:

A.23. Sistemas dinámicos (continuos) en dos dimensiones

399

Definición 49. (Estabilidad bidimensional local) i) Diremos que el punto de equilibrio (x∗ , y ∗ ) del sistema bidimensional
x(t) ˙ = f x(t), y(t), t
y(t) ˙ = g x(t), y(t), t

es estable si dado ǫ > 0 existen δ > 0 y t0 > 0 tales que ||(x(t0 ), y(t0 )) − (x∗ , y ∗ )|| < δ implica ||(x(t), y(t)) − (x∗ , y ∗ )|| < ǫ para todo t > t0 . En otro caso, se dirá que (x∗ , y ∗ ) es inestable (figura A.33).

y(t)

y(t) (x∗ , y ∗ )

•

•

(x∗ , y ∗ )

x(t) equilibrio estable

y(t)

x(t) equilibrio asintótico estable

•

(x∗ , y ∗ )

x(t) equilibrio inestable

Figura A.33. Ejemplos de estabilidad e inestabilidad local.

ii) Diremos que el punto de equilibrio (x∗ , y ∗ ) del sistema dinámico bidimen
sional x(t) ˙ = f x(t), y(t), t
y(t) ˙ = g x(t), y(t), t es asintóticamente estable (o atractor) (figura A.33) si es estable con l´ım (x(t), y(t)) = (x∗ , y ∗ )

t→∞

Nota 10. Obsérvese que ambas definiciones de estabilidad son locales: describen el comportamiento del sistema cerca de un punto de equilibrio. Si un equilibrio (x∗ , y ∗ ) es estable para todas las condiciones iniciales x(t0 ), entonces diremos que es globalmente estable. En general, aunque deseable, la condición de estabilidad global es difícil de alcanzar.

A.23.3.

Sistemas lineales (continuos) en dos dimensiones

Como es ya costumbre, al intentar describir un fenómeno, inicialmente buscamos su descripción formal más simple posible, es decir, su estructura lineal.

400

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

Definición 50. (Sistema dinámico lineal) i) Un sistema dinámico lineal homogéneo (SDL) es un sistema de la forma x˙ = a11 x + a12 y

(SDL)

y˙ = a21 x + a22 y o, en forma más compacta, z˙ = Az,

donde z = (x, y),

A=

 a11 a21

a12 a22



(*)

ii) Un sistema dinámico lineal es no homogéneo si es de la forma x˙ = a11 x + a12 y + b1 y˙ = a21 x + a22 y + b2 o, en forma compacta, z˙ = Az + b,

b=

  b1 b2

Buscando resolver el SDL, recordemos que la solución a la ecuación z˙ = az es de la forma z(t) = z0 eat . Podríamos intentar una solución de este tipo asumiendo en el (SDL) que z = z0 eλt con z0 = (x0 , y0 ) como condición inicial. Reemplazando esto en (*), tenemos z˙ = Az = A(z0 eλt )

y

z= ˙ λz0 eλt = (λI)z0 eλt

Si igualamos ambas expresiones y dividimos a ambos lados por eλt encontramos que (A − λI)z0 = 0

Por tanto, podemos encontrar soluciones del SLD de la forma z = z0 eλt , si λ es un valor propio (o espectro) de la matriz A y z0 es un vector propio correspondiente al valor propio λ. De hecho, podemos decir aún más: Teorema 34. [Soluciones del sistema lineal (Poincaré, 1886)] i) La combinación lineal de cualquier par de soluciones del SDL también es una solución del SDL.7 ii) Si la matriz A del sistema SDL tiene dos valores propios λ1 , λ2 distintos y no es una matriz diagonal,8 entonces la solución general es una combinación lineal de las funciones eλ1 t y eλ2 t y tiene la forma x = αc11 eλ1 t + βc12 eλ2 t y = αc21 eλ1 t + βc22 eλ2 t 7 8

A esta característica de los sistemas dinámicos lineales se le conoce como principio de superposición. Si A es una matriz diagonal, entonces el SDL en dos dimensiones se transforma en dos SDL en una dimensión, y se pueden solucionar directamente aplicando los métodos ya estudiados.

A.23. Sistemas dinámicos (continuos) en dos dimensiones

401

donde el vector columna (c11 , c21 )T es un vector propio asociado a λ1 , y el vector columna (c12 , c22 )T es un vector propio asociado a λ2 ; y donde α, β ∈ R.9 iii) Si la matriz A del sistema SDL solo tiene un valor propio λ y no es una matriz diagonal, entonces la solución general es una combinación lineal de las funciones eλt y teλt , y tiene la forma x = (αc11 + βc12 )eλt + βc11 teλt y = (αc21 + βc22 )eλt + βc21 teλt donde α, β ∈ R y

  c (A − λI) 11 = 0 c21

A.23.3.1.



   c12 c (A − λI) = 11 c22 c21

(*)

Clasificación de los tipos de equilibrio

Ya hemos visto el comportamiento de varios sistemas particulares del (SDL). A continuación presentamos la definición formal de estos tipos de comportamiento. Definición 51. (Tipos de equilibrios de sistemas dinámicos lineales) Sea   a11 a12 A= a21 a22 la matriz del sistema (SDL) y λ1 , λ2 sus valores propios.

i) Si λ1 < 0 < λ2 , entonces el sistema es un punto de silla. ii) Si ambos valores propios tienen partes reales negativas, el sistema es un valle: a) Si λ1 = λ2 = λ < 0 y A = λI, el sistema es un foco convergente. b) Si λ1 < λ2 < 0, entonces el sistema es un nodo convergente. c) Si λ1 = λ2 < 0, entonces el sistema es un nodo impropio convergente. d) Si λ1 = a + ib, λ2 = a − ib, a < 0, entonces el sistema es una espiral convergente. iii) Si ambos valores propios tienen partes reales positivas, el sistema es una fuente. a) Si λ1 = λ2 > 0 y A = λI, el sistema es un foco divergente. b) Si λ1 > λ2 > 0, entonces el sistema es un nodo divergente. 9

Aquí asumimos que si λ = a + ib (a, b ∈ R, i2 = −1) es un número complejo, entonces eλt se calculará utilizando la fórmula Euler eibt = cos(bt) + i sen(bt) y así, e(a+ib)t = eat eibt (ver Monsalve (ed.), (2010), volumen 0).

402

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general c) Si λ1 = λ2 > 0, entonces el sistema es un nodo impropio divergente. d) Si λ1 = a + ib, λ2 = a − ib, a > 0, entonces el sistema es una espiral divergente.

iv) Si los valores propios son imaginarios puros, λ1 = ib, λ2 = −ib, entonces el sistema es un centro (o vórtice). A partir de los casos anteriores, es claro que un sistema lineal puede tener diferentes tipos de comportamiento en las vecindades de un equilibrio, dependiendo de sus valores propios. Para determinar bajo qué condiciones estamos en presencia de uno o de otro tipo, podemos también utilizar un criterio que no exige nuestro conocimiento explícito de los valores propios. Para este efecto, consideremos de nuevo el sistema dinámico lineal homogéneo (SDL) x˙ = a11 x + a12 y y˙ = a21 x + a22 y Aquí, la ecuación característica de la matriz de coeficientes   a a12 A = 11 a21 a22 es det(A − λI) = 0, donde λ ∈ R. Específicamente, a11 − λ a12 = λ2 − (a11 + a22 )λ + det A = 0 det(A − λI) = a21 a22 − λ

(*)

(**)

Ahora: si p ≡ a11 + a22 = Traza(A), q ≡ det A, ∆ ≡ p2 − 4q tendremos la igualdad (λ − λ1 )(λ − λ2 ) = λ2 − (λ1 + λ2 )λ + λ1 λ2

Al comparar esta con (**), observamos que p = λ1 + λ2 es la suma de los valores propios de A, y q = λ1 λ2 su producto.

De acuerdo a lo anterior, es inmediato el siguiente teorema de clasificación de los tipos de equilibrio: Teorema 35. (Clasificación de cuatro tipos de equilibrio) Si en la matriz de coeficientes   a a12 A = 11 a21 a22 del sistema dinámico lineal x˙ = Ax, definimos p ≡ Traza(A) = a11 + a22 , q ≡ det A; ∆ ≡ p2 − 4q, entonces: i) Si q > 0 y ∆ ≥ 0, entonces (0, 0) es un nodo. ii) Si q < 0, entonces (0, 0) es un punto de silla.

A.23. Sistemas dinámicos (continuos) en dos dimensiones

403

iii) Si q > 0 y p = 0, entonces (0, 0) es un centro. iv) Si p 6= 0 y ∆ < 0, entonces (0, 0) es una espiral.

Pero, además de esta clasificación general de los tipos de equilibrio, existe un criterio menos específico pero también muy útil para determinar su estabilidad: Teorema 36. (Criterio de estabilidad para sistemas lineales) Si en la matriz de coeficientes   a a12 A = 11 a21 a22

estable

del sistema dinámico lineal x˙ = Ax, definimos p ≡ Traza(A) y q ≡ det(A), entonces (figura A.34): i) Si p < 0 y q > 0, el equilibrio (0, 0) es asintóticamente estable; ii) si p ≤ 0, y q > 0, el equilibrio (0, 0) es estable; iii) si p > 0 ó q < 0, el equilibrio (0, 0) es inestable. q

asintóticamente estable

inestable p

inestable Figura A.34. Diagrama de criterios de estabilidad.

Ejemplo 62. a) Si A=

 −3 1

 1 −3

entonces p = a11 + a22 = −6 y q = det A = 8. Por el teorema 36, el equilibrio (0, 0) es asintóticamente estable. b) Si A=

  2 −4 1 −3

entonces p = a11 + a22 = −1 y q = det A = −2, y, por el teorema 36, el equilibrio (0, 0) es inestable. c) Si



0 1 A= −4 0



entonces p = a11 +a22 = 0 y q = det A = 4. Por el teorema 36, el equilibrio (0, 0) es estable.

404

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

d) Si

  −1 1 A= −1 −1

entonces p = a11 + a22 = −2 y q = det A = 2. Por el teorema 36, el equilibrio (0, 0) es asintóticamente estable.

A.23.4.

El método de Lyapunov

Otro de los teoremas básicos para el análisis local alrededor de equilibrios de un sistema dinámico no-lineal fue establecido por el matemático ruso Aleksandr M. Lyapunov [1857-1918] en 1892 en The General Problem of Stability of Motion. Veamos en qué consiste. Teorema 37. (Método de Lyapunov (1892)) Supongamos que (x∗ , y ∗ ) es un equilibrio del SDNL, y asumamos también que, para cierto ǫ > 0, existe una función continua y diferenciable10 V : Bǫ (x∗ , y ∗ ) → R tal que i) V (x∗ , y ∗ ) = 0 ii) V (x, y) > 0 para todo (x, y) 6= (x∗ , y ∗ ) iii)

dV (x(t), y(t)) ≤ 0 para toda solución local (x(t), y(t)) 6= (x∗ , y ∗ ) del sisdt tema no-lineal SDNL.

Entonces (x∗ , y ∗ ) es estable. Si, además, la desigualdad iii) es estricta, entonces (x∗ , y ∗ ) es asintóticamente estable. A la función V (·, ·) se le conoce como función de Lyapunov. Demostración. Hirsch & Smale (1974).



Nota 11. Si la vecindad mencionada en el teorema de Lyapunov es todo el plano R2 , entonces diremos que (x∗ , y ∗ ) es global y asintóticamente estable y, así, todas las soluciones se aproximan a (x∗ , y ∗ ) cuando t → ∞. Por lo tanto, sabremos que las soluciones son asintóticamente estables, aún sin saber cuáles son. El problema aquí es que no existe un método directo de obtener funciones de Lyapunov para un sistema dinámico específico, aunque algunos problemas particulares podrían sugerirla. 10 Recordemos

que Bǫ (x∗ , y ∗ ) es la bola abierta de centro en (x∗ , y ∗ ) y radio ǫ.

A.24. Optimización dinámica

405

Ejemplo 63. Veamos si el sistema x˙ = −2y , y˙ = x tiene una función de Lyapunov en el equilibrio (0, 0) de la forma V (x, y) = ax2 + by 2 Para ello, habría que encontrar los valores de a y b que harían que, en efecto, esta fuera una función de Lyapunov: i) V (0, 0) = 0 ii) V (x, y) > 0 para todo (x, y) 6= (0, 0) si a, b > 0

iii) Además, si (x, y) 6= (0, 0), entonces

dV = 2axx˙ + 2by y˙ = 2ax(−2y) + 2by(x) V˙ = dt lo cual satisface V˙ = 0 cuando a = 1 y b = 2; y, así, (0, 0) es estable.

A.24.

Optimización dinámica (caso discreto)

En numerosos problemas prácticos, podría parecer que es más conveniente una aproximación con variable discreta al problema de control óptimo, que una aproximación con variable continua (para el caso continuo, ver Monsalve & Özak, (2018), volumen II). Cada una tiene características diferentes, y cuál sea más conveniente siempre dependerá del problema en cuestión. De hecho, llevar a cabo la comparación entre ambos métodos es una excepcional posibilidad de aprendizaje. El problema canónico de control óptimo en el caso discreto se puede escribir así: Maximizar {c(t)}

sujeta a

A.24.1.

T X

v(kt , ct , t)

t=0

kt+1 − kt = g(kt , ct , t) k0 , kT +1 dados

Solución por el principio del máximo

Escribamos el lagrangiano estándar ( T ) X L= [v(kt , ct , t)] + µt+1 [g(kt , ct , t) − (kt+1 − kt )] t=0

Entonces, con un poco de trabajo algebraico, podemos reescribirlo así: L=

T X t=0

{v(kt , ct , t) + µt+1 g(kt , ct , t) + kt (µt+1 − µt )}

+v(k0 , c0 , 0) + µ1 g(k0 , c0 , 0) + k0 µ1 − kT +1 µT +1

(COD)

406

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

Las correspondientes condiciones de primer orden (COD) con respecto a ct son, para t = 0, 1, ..., T : i)

ii)

iii)

∂L = 0: ∂kt



∂g ∂v + µt+1 µt+1 − µt = − ∂kt ∂kt

∂L = 0: ∂ct



∂v ∂g + µt+1 =0 ∂ct ∂ct

∂L = 0: ∂µt

kt+1 − kt = g(kt , ct , t)

(∗)

(∗∗)

(∗ ∗ ∗)

Definamos aquí el hamiltoniano del problema de control óptimo, de la siguiente manera: H(k, c, µ, t) ≡ v(k, c, t) + µ g(k, c, t)

y así, las ecuaciones (∗), (∗∗) y (∗ ∗ ∗) inmediatamente anteriores se escribirán como: ∂H (kt , ct , µt+1 , t) (∗) µt+1 − µt = − ∂k ∂H (kt , ct , µt+1 , t) = 0 (∗∗) ∂c ∂H (kt , ct , µt+1 , t) = g(kt , ct , t) (∗ ∗ ∗) kt+1 − kt = ∂µ Y arribamos entonces al siguiente resultado:

Teorema 38. (Principio del máximo) Las condiciones de primer orden necesarias para resolver el problema (COD) son las ecuaciones (∗), (∗∗), (∗ ∗ ∗) anteriores. De otro lado, si v(k(t), c(t), t) y g(k(t), c(t), t) son cóncavas en (k, c), y µ(t) ≥ 0 para todo t ∈ [t0 , t1 ], entonces las ecuaciones (∗), (∗∗), (∗ ∗ ∗) también son suficientes para que c(t) sea una solución al problema (COD). También es cierta esta conclusión si v(k(t), c(t), t) es cóncava y g(k(t), c(t), t) es convexa en (k, c), y además µ(t) ≤ 0 en [t0 , t1 ]. Ejemplo 64. Resolvamos el problema Maximizar {c(t)}

sujeta a

T X

β t ln ct

t=0

kt+1 = w + (1 + r)kt − ct

k0 , kT +1 > 0 dados donde 0 < β, r < 1 y w > 0 son parámetros dados.

A.24. Optimización dinámica

407

Solución. Escribimos primero su hamiltoniano H(k, c, µ, t) = β t ln c + µ(w + rk − c) y, a continuación, las condiciones de primer orden:

De (1) obtenemos que

µt+1 − µt = −rµt+1

(1)

βt − µt+1 ct = 0 ct

(2)

kt+1 = w + (1 + r)kt − ct

(3)



1 1+r

(ct )2 =

βt µt+1

µt = µ0 Por su parte, de (2) obtenemos que

t

(4)

(5)

y así, de (4) y (5), y asumiendo temporalmente que µ0 > 0, encontramos la sucesión de controles: r t 1+r [β(1 + r)] 2 (6) ct = µ0 y, de (3) y (6), obtenemos que la sucesión de estados satisface r t 1+r kt+1 = w + (1 + r)kt − [β(1 + r)] 2 µ0

(7)

cuya fórmula explícita es posible: t

kt = k0 (1 + r) +

t−1 X

t−k−1

(1 + r)

k=0



w−

r

k 1+r [β(1 + r)] 2 µ0



(8)

con µ0 > 0 determinado por el valor de kT +1 . De otro lado, puesto que v(k, c) = β t ln c y g(k, c) = w + rk − c son cóncavas en (k, c), las ecuaciones (4), (6) y (8) resuelven efectivamente nuestro problema original. A.24.1.1.

Condiciones de transversalidad

Los casos de transversalidad son: 1. Punto terminal fijo: en este caso, la condición de transversalidad es la más simple: k(T ) = kT , que es la que hemos considerado en el caso canónico (COD).

408

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general

2. Línea terminal horizontal: en este caso (kT fijo pero T libre), la condición de transversalidad debe ser H(T ) = 0 donde H es el hamiltoniano del problema de control óptimo. 3. Superficie terminal: la condición k(T ) = kT con kT y T libres, excepto por la restricción k(T ) = ϕ(T ) nos lleva a la ecuación de transversalidad H(T ) = µ(T )ϕ′ (T ) donde µ(t) es el multiplicador dinámico de Lagrange. 4. Línea terminal vertical truncada: bajo la condición k(T ) ≥ kMín para un cierto kMín conocido, las condiciones de transversalidad resultan ser k(T ) ≥ kMín ,

µ(T ) ≥ 0,

µ(T )(k(T ) − kMín ) = 0

5. Línea terminal horizontal truncada: bajo la condición t1 ≤ tm´ax para un cierto tm´ax conocido, las condiciones de transversalidad son T ≤ tm´ax ,

H(T ) ≥ 0,

(T − tm´ax )H(T ) = 0

Ejemplo 65. Resolvamos el problema de línea terminal vertical truncada T X

Maximizar {c(t)}

β t ln ct

t=0

sujeta a

kt+1 = w + (1 + r)kt − ct k0 = 1, kT +1 ≥ 2 dados

Primero, escribamos las condiciones de transversalidad: kT +1 ≥ 2, µ(T + 1) ≥ 0, µ(T + 1)(kT +1 − 2) = 0 Y dado que hemos requerido que µ0 > 0 para que haya solución, entonces, de (4), tendremos que µ(T + 1) > 0. Así, kT +1 = 2, y solo restaría encontrar T a partir de la ecuación T

(1 + r) +

T −1 X k=0

T −k−1

(1 + r)



w−

r

k 1+r [β(1 + r)] 2 µ0



=2

Pero de aquí, desafortunadamente, no se puede extraer una fórmula explícita de T en términos de los parámetros fundamentales del problema. Sin embargo, sí se podría encontrar el valor de T , si conocemos valores numéricos específicos de los fundamentales.

A.24. Optimización dinámica A.24.1.2.

409

Control óptimo con horizonte infinito

El correspondiente problema general de control óptimo en el caso discreto con horizonte infinito se puede escribir así: ∞ X

Maximizar {c(t)}

v(kt , ct , t)

t=0

sujeta a

kt+1 − kt = g(kt , ct , t)

(COD)

k0 dado l´ım kt existe

t→∞

Definamos aquí el hamiltoniano del problema de control óptimo, de la siguiente manera: H(k, c, µ, t) ≡ v(k, c, t) + µg(k, c, t)

Aquí, las ecuaciones (∗), (∗∗) y (∗ ∗ ∗) inmediatamente anteriores, se escribirán como: ∂H (kt , ct , µt+1 , t) (∗) µt+1 − µt = − ∂k ∂H (kt , ct , µt+1 , t) = 0 (∗∗) ∂c ∂H kt+1 − kt = (kt , ct , µt+1 , t) = g(kt , ct , t) (∗ ∗ ∗) ∂µ l´ım H(t) = 0

t→∞

(∗ ∗ ∗)

Ejemplo 66. Para resolver el problema ∞ X

Maximizar {ct }

β t ln ct

t=0

sujeta a

kt+1 − kt = w + rkt − ct k0 dado l´ım kT

T →∞

dado

escribimos primero su hamiltoniano: H = β t ln ct + µt (w + rkt − ct ) con µt = µ0 ct =

r



1 1+r

t

t 1+r [β(1 + r)] 2 µ0

(4) (5)

410

Las matemáticas de la teoría del equilibrio general t

kt = k0 (1 + r) +

t−1 X

t−k−1

(1 + r)

k=0



w−

r

k 1+r [β(1 + r)] 2 µ0



(6)

y luego restaría probar que

l´ım H(t) = 0

t→∞

que, en este caso, se reduce a la condición típica de transversalidad l´ım µt kt = 0

t→∞

y que, a su vez, nos lleva a la condición l´ım µ0 k0 + µ0 [

t→∞

r   t−1 k 1 tX 1+r ] [β(1 + r)] 2 = 0 (1 + r)t−k−1 w − 1+r µ0 k=0

que, a menos que µ0 = 0, será equivalente a r   ∞ X k 1+r (1 + r)−k−1 w − k0 = [β(1 + r)] 2 µ0 k=0

de donde obtenemos que µ0 =

"

( wr

1 √ √ − k0 )( 1 + r − β)

#2

(7)

y esta determina los controles (ecuación(5)), y los estados (ecuación (6)). Además de la ecuación (7), la condición de que l´ımT →∞ kT existe, obligará a condicionar los parámetros fundamentales del modelo.

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Respuestas y sugerencias a los problemas impares

Semana 3 1

1.

a) El problema del consumidor A es Maximizar xA , yA >0

sujeta a

uA (xA , yA ) = 3ln(1 + xA ) + ln(1 + yA ) px xA + py yA = 3px + 4py

De las condiciones de primer orden (CPO) se obtiene que: px 3(1 + yA ) = py 1 + xA

;

px xA + py yA = 3px + 4py

Resolviendo estas dos ecuaciones, se tiene que las funciones de demanda del consumidor A son: px 1 15 py ; yA (px , py ) = + xA (px , py ) = 2 + 4 px py 4 b) El problema del consumidor B es: Maximizar xB , yB >0

sujeta a

uB (xB , yB ) = ln(1 + xB ) + 4ln(1 + yB ) px xB + py yB = 4px + 3py

De las CPO se obtiene que: px 1 + yB = py 4(1 + xB )

;

px xB + py yB = 4px + 3py

Resolviendo estas dos ecuaciones, se tiene que las funciones de demanda del consumidor B son: 4px 11 4 py ; yB (px , py ) = + xB (px , py ) = 5 px py 5 c) Las funciones de exceso de demanda están, entonces, dadas por: zx (px , py ) =

91 py −5 20 px

;

zy (px , py ) =

5px 91 − py 20

1 Este solucionario fue preparado por los economistas de la Universidad Nacional de Colombia-Sede Bogotá, Lina Castillo y Diego Ávila. A ellos mis agradecimientos.

445

446

Respuestas y sugerencias a los problemas impares d) Para determinar si las ecuaciones anteriores satisfacen la ley de Walras, basta con comprobar que px zx (px , py ) + py zy (px , py ) = 0, así se tiene que: 91 91 py − 5px + 5px − py = 0 px zx (px , py ) + py zy (px , py ) = 20 20 Por tanto, efectivamente, satisfacen la ley de Walras. e) Con la condición de eficiencia paretiana del teorema 2 y teniendo en cuenta que las dotaciones iniciales agregadas son (7, 7) se tiene para este caso que: px 3(1 + yA ) 1 + yB 8 − yA = = = py 1 + xA 4(1 + xB ) 4(8 − xA ) Obteniendo, entonces, que la curva de contrato es 4(5xA − 22) con 22/5 < xA ≤ 7 yA = 97 − 11xA f) Para determinar los precios relativos se iguala uno de los excesos de demanda a cero, de manera que zy (px , py ) = 5px /py − 91/20 = 0. Luego, la relación de precios es 91/100. Se toma como numerario p∗y y al reemplazar ello en las demandas, se tiene el equilibrio competitivo 91 557 p∗x = p∗y = 1 x∗A = ≈ 6.12 100 91 80 146 29 ∗ ∗ = 1.16 x∗B = ≈ 0.88 yB = = 5.84 yA = 25 91 25 La representación del equilibrio competitivo en la curva de contrato puede observarse gráficamente en la siguiente figura:

g) La asignación en la curva de contrato está determinada por:   i h 4(5xA − 22) 4(5xA − 22) , 7 − xA , 7 − donde 22/5 < xA ≤ 7 xA , 97 − 11xA 97 − 11xA Ahora bien: para hacer de ella un equilibrio competitivo hay que encontrar un par de precios (px , py ) tal que este óptimo de Pareto maximice las utilidades de A y B, sujetas a las respectivas restricciones presupuestales, que incluyen como dotaciones iniciales las asignaciones en la curva de Pareto. De las CPO se tenía que: 3(1 + yA ) px = py 1 + xA

4(5x −22)

que es equivalente a

A 3 1 + 97−11x px A = py 1 + xA

Luego,




px 27 = py 97 − 11xA ∗ , w B = x∗ y De esta manera, con las dotaciones iniciales w1A = x∗A , w2A = yA 1 B ∗ , el equilibrio competitivo está caracaterizado por: w2B = yB 27 px = py 97 − 11xA

con 0 < x∗A ≤ 7.

;

∗ yA =

4(5x∗A − 22) 97 − 11x∗A

;

x∗B = 7−x∗A

;

∗ yB = 7−

4(5x∗A − 22) 97 − 11x∗A

Semana 3 2.

447

a) El problema del consumidor A es Maximizar

3 1/2 uA (xA , yA ) = (x2A + yA )

xA , yA >0

sujeta a

px xA + py yA = 3px + 4py

De las (CPO) Condiciones de Primer Orden se obtiene que: 2xA px = 2 py 3yA

;

px xA + py yA = 3px + 4py

Resolviendo estas dos ecuaciones, se tiene que las funciones de demanda del consumidor A son: py xA (px , py ) = 6p3x py yA (px , py ) =





−py +

−py +

r

q

p2y

p2y

p3 + 18 x + 24p2x py

+

p3 18 px y

+

24p2x

3p2x

2



Debe tenerse en cuenta que para obtener valores no negativos de las demandas, se debe cumplir que xA > 0 y yA > 3xA /4. b) El problema del consumidor B es Maximizar

3 1/2 uB (xB , yB ) = (x2B + yB )

xB , yB >0

sujeta a

px xB + py yB = 4px + 3py

De las CPO se obtiene que: px 2xA = 2 py 3yA

;

px xB + py yB = 4px + 3py

Resolviendo estas dos ecuaciones, se tiene que las funciones de demanda del consumidor B son: py xB (px , py ) = 6p3x py yB (px , py ) =





−py +

−py +

r

q

p2y

p3 + 24 x + 18p2x py p3

p2y + 24 px + 18p2x y

3p2x

2



c) Las funciones de exceso de demanda están dadas por: py zx (px , py ) = 6p3x + py zy (px , py ) = 3p2x



−py +

py 6p3x



r

r

p2y

−py +

p2y

p3 + 18 x + 24p2x py

r

p2y + 24

2

p3x + 18p2x py

p3 + 18 x + 24p2x + py

r

p2y

2

−7

p3 + 24 x + 18p2x py



d) Para determinar si las ecuaciones anteriores satisfacen la ley de Walras, basta

448

Respuestas y sugerencias a los problemas impares con comprobar que px zx (px , py ) + py zy (px , py ) = 0, así se tiene que: px zx (px , py ) + py zy (px , py ) = py

" q

p2y

q

p2y

+

p3 18 px y

+

24p2x

p3

− py

p2y + 18 px + 24p2x + y

q

2

+

6p2x

q

p2y

+

p3 24 px y

+

p3

p2y + 24 px + 18p2x − 2py y

3p2x

18p2x



− py

2 #

− 7px − 7py

Mediante algún Software, como Mathematica, se comprueba que se satisface la ley de Walras, pues px zx (px , py ) + py zy (px , py ) = 0. e) Con la condición de eficiencia paretiana del teorema 2 y teniendo en cuentas que las dotaciones iniciales agregadas son (7, 7) se tiene para este caso que: xA xB 7 − xA = 2 = 2 (7 − yA )2 yA yB 2 − 14x y + 49x , se obtiene que la curva De la ecuación cuadrática (2xA − 7)yA A A A de contrato es



7 xA −

yA =

p

7xA − x2A

2xA − 7



con

0 < xA < 7

Observemos que si xA = 7/2 la ecuación cuadrática determina de manera inmediata que yA = 7/2, es decir, no queda indeterminado el valor de yA como parece a simple vista en la ecuación de la curva de contrato. Adicional a ello, recordemos que los óptimos deben ser internos a la caja de Edgeworth, por ello xA ∈ (0, 7).

f) Para determinar los precios relativos se iguala uno de los excesos de demanda a cero, de manera que zy (px , py ) = 0, y se toma como numerario p∗y . Al reemplazar el resultado en las demandas, se tiene el equilibrio competitivo p∗x ≈ 0.19

x∗A ≈ 4.08

p∗y = 1

∗ yA ≈ 3.79

x∗B ≈ 2.92

∗ yB ≈ 3.21

g) La asignación en la curva de contrato está determinada por:



xA ,



7 xA −

p

7xA − x2A

2xA − 7

 

 , 7 − xA , 7 −



7 xA −

p

7xA − x2A

2xA − 7

  

donde 0 < xA < 7. Ahora bien: para hacer de ella un equilibrio competitivo hay que encontrar un un par de precios (px , py ) tal que este óptimo de Pareto maximice las utilidades de A y B, sujetas a las respectivas restricciones presupuestales, que incluyen como dotaciones iniciales las asignaciones en la curva de Pareto. De las CPO se tenía que px 2xA = 2 py 3yA

Luego,

que es equivalente a

px = py 3



2xA

7 xA −

px 2xA (2xA − 7)2 = p py 147(xA − 7xA − x2A )2

p

7xA −x2 A

2xA −7


2

Semana 3

449 ∗ , w B = x∗ y De esta manera, con las dotaciones iniciales w1A = x∗A , w2A = yA 1 B B ∗ ∗ w2 = yB , el equilibrio competitivo está caracterizado por 0 < xA < 7 y:

2x∗A (2x∗A − 7)2 px = p py 147(x∗A − 7x∗A − (x∗A )2 )2 x∗B

=7−

x∗A

;

∗ yA

;

∗ yB

=

7 x∗A −

=7−

p

7x∗A − (x∗A )2

2x∗A − 7

7 x∗A −

p




7x∗A − (x∗A )2

2x∗A − 7




3. El problema del consumidor A es Maximizar

uA (xA , yA ) = (xA )1/2 + (yA )1/2

xA , yA >0

sujeta a

px xA + py yA = px + 2py

De las (CPO) Condiciones de Primer Orden se obtiene que: px (yA )1/2 = py (xA )1/2

;

px xA + py yA = px + 2py

Resolviendo estas dos ecuaciones, se tiene que las funciones de demanda del consumidor A son: px (px + 2py ) py (px + 2py ) ; yA (px , py ) = xA (px , py ) = px (px + py ) py (px + py ) El problema del consumidor B es Maximizar

uB (xB , yB ) = (xB )1/3 yB

xB , yB >0

sujeta a De las CPO se obtiene que: px yB = py 3xB

px xB + py yB = 3px + py

;

px xB + py yB = 3px + py

Resolviendo estas dos ecuaciones, se tiene que las funciones de demanda del consumidor B son: 3 9px 3 py xB (px , py ) = + ; yB (px , py ) = + 4 4px 4py 4 Las funciones de exceso de demanda están dadas por: zx (px , py ) =

py px



5px + 9py 4(px + py )



−

13 4

;

zy (px , py ) =

px py



13px + 17py 4(px + py )



−

9 4

Para determinar los precios relativos se iguala uno de los excesos de demanda a cero, de manera que   px 13px + 17py 9 zy (px , py ) = − =0 py 4(px + py ) 4

Después de realizar un poco de álgebra, reorganizar los términos y dividir en (py )2 se tiene  2 8px px −9=0 + 13 py py px , py

se tiene 13p2 + 8p − 9 = 0. Luego, se resuelve la ecuación cuadrática y √ como resultado la relación de precios es ( 133 − 4)/13. Se toma como numerario p∗y y al reemplazar ello en las demandas, se tiene el equilibrio competitivo √ 133 − 4 p∗y = 1 x∗A ≈ 2.82 p∗x = 13 ∗ ∗ yA ≈ 0.95 x∗B ≈ 1.18 yB ≈ 2.05 Con p =

450 5.

Respuestas y sugerencias a los problemas impares a) De acuerdo a la ecuación de equilibrio que afirma que las tasas marginales de sustitución técnica deben coincidir si se busca maximizar el beneficio v2y 4 v2x = 5 v1x 2v1y Con v2y = 3 − v2x y v1y = 7 − v1x se obtiene que 15v1x 56 − 3v1x

v2x =

Y reemplazando ello en las funciones de producción, se tienen las ecuaciones paramétricas de la FPP: 1

x=

9

(15) 4 (v1x ) 20 1

1

;

y = (7 − v1x ) 3

(56 − 3v1x ) 4



3−

15v1x 56 − 3v1x

 23

b) De acuerdo a la ecuación de equilibrio que afirma que las tasas marginales de sustitución técnica deben coincidir si se busca maximizar el beneficio 3v2y v2x = v1x v1y Con v1y = 7 − v1x y v2y = 3 − v2x se obtiene que v2x =

9v1x 7 + 2v1x

y reemplazando ello en las funciones de producción, se tienen las ecuaciones paramétricas de la FPP con 0 < v1x < 7: x=

3v1x 1

;

(7 + 2v1x ) 2

3

y = (7 − v1x ) 4



3−

9v1x 7 + 2v1x

 14

c) De acuerdo a la ecuación de equilibrio que afirma que las tasas marginales de sustitución técnica deben coincidir si se busca maximizar el beneficio 1

3

4(v2x ) 4 =

3(v2y ) 3 2

Con v2y = 3 − v2x y la ayuda de algún software se obtiene que v2x ≈ 0.41 y v2y ≈ 2.59. Luego 1

x = v1x + (0.41) 4

;

2

y = v1y + (2.59) 3

sumando ambas ecuaciones y teniendo en cuenta que v1x + v1y = 7 entonces la FPP está caracterizada por la recta y = 9.68 − x. d) En este caso, como las funciones de producción son lineales, para encontrar la FPP maximizamos la función de producción x sujeta a y = y¯, cualquier y¯ fijo y a las ofertas de los factores. Maximizar v1x , v2x >0

sujeta a

x = 5v1x + v2x v1x + 2v2x = 13 − y¯

Comparando las pendientes tanto de la función objetivo como de la restricción, puede notarse que la solución es v1x = 13− y¯ y v2x = 0. Por lo tanto, x = 5(13− y¯) y y = y¯, y así, la FPP estará definida mediante la recta y = 13 − x/5, como se observa en la próxima gráfica:

Semana 4

451

270+w px = 900−wAy . Basta insertar esta relación de py Ax 2p W +2p W px WAx +py WAy , xB = 100−xA , yA = x Ax3p y Ay , 3px y

7. La relación de precios de equilibrio es

precios en las demandas xA = yB = 90 − yA . Note que si WAx crece hacia 100 mientras WAy se mantiene constante, entonces ppx crece. Suponiendo py = 1 tendremos que el precio px crecerá. Así, por y ejemplo, en la medida en que el agente A vaya “monopolizando” todo lo que existe del bien x en la economía, más alto será el precio de este bien. 9. El problema es entonces Maximizar

α1 uA (xA , yA ) + α2 uB (xB , yB )

xA , yA , xB , yB >0

sujeta a

xA + xB = x ¯ yA + yB = y¯

donde su lagrangiano es L = α1 uA (xA , yA ) + α2 uB (xB , yB ) − λ1 (xA + xB − x ¯) − λ2 (yA + yB − y¯)

de las CPO se llega a que:

∂uA ∂L = α1 = λ1 ∂xA ∂xA

∂L ∂uA = α1 = λ2 ∂yA ∂yA

∂L ∂uB ∂L ∂uB = α2 = λ1 = α2 = λ2 ∂xB ∂xB ∂yB ∂yB Igualando cada correspondiente λ y dividiendo entre las CPO para simplificar los α se obtiene que: ∂uA ∂xA ∂uA ∂yA

=

∂uB ∂xB ∂uB ∂yB

Es decir, la caracterización de los óptimos de Pareto, de acuerdo al teorema 2 de este capítulo.

Semana 4 1. La siguiente tabla muestra las funciones de bienestar social, con su forma funcional y los axiomas que satisface cada una: Función de bienestar social Benthamita Bernoulli-Nash

Rawlsiana

Forma funcional Pn f (U1 , U2 , . . . , Un ) = i=1 Ui f (U1 , U2 , . . . , Un ) =

Qn

i=1

Ui

f (U1 , U2 , . . . , Un ) = Mín {Ui } ni=1

Axiomas éticos Axioma de eficiencia de Pareto Axioma de simetría Axioma de independencia de alternativas irrelevantes Axioma de invarianza escalar Axioma de eficiencia Pareto Axioma de simetría Axioma de monotonicidad individual fuerte Axioma de eficiencia de Pareto Axioma de simetría

452

Respuestas y sugerencias a los problemas impares

3. Se vio que si el “referendum” le pide al electorado escoger entre las políticas A y B, entonces una mayoría de dos tercios escogerá A. Entre las políticas A y C, una mayoría de dos tercios elige C y entre B y C, la mayoría de dos tercios escoge B. Con dicho “referendum” ninguna de las tres políticas es elegida como ganadora de Condorcet, pero es posible diseñar un “referendum” que escoja por regla de mayoría. Suponga que el “referendum” le pide al electorado escoger entre las políticas en un orden secuencial específico, lo que se denomina como método de votación por parejas con agenda fija. i) Si la agenda es A, B, C, entonces entre A y B, como se vio, eligen A. Luego B es eliminada y se pide al electorado elegir entre A y C, donde, como se vio, se elige C. Por tanto, la política ganadora por mayoría es C; pero el lector puede notar que ocurre lo mismo si la agenda es B, A, C. ii) Si la agenda es B, C, A, entonces entre B y C, como se vio, eligen B. Ahora, C es eliminada y se pide al electorado escoger entre B y A, donde, como se vio, se escoge como ganadora la política A. Nuevamente, el lector puede notar que A también gana si la agenda es C, B, A. iii) Si la agenda es C, A, B, entonces entre C y A, como se vio, escogen C. Ahora, A es eliminada y se pide al electorado elegir entre C y B, donde, como se vio, la mayoría elegirá B como la política ganadora. Pero este resultado es el mismo si la agenda es A, C, B. Por lo tanto, la elección, aunque se da por mayoría, puede cambiar pues depende del orden de la agenda. 5.

i) Organizando el ranking de las preferencias del comité de 21 miembros en una tabla se tiene que: Miembro 1

Miembros 2-8

Miembros 9-15

Miembros 16-21

A B C

A C B

B C A

C B A

De acuerdo al ranking Borda el candidato A recibe 2 puntos de los miembros 1-8 y 0 puntos de los miembros 9-21, para un total de 16 puntos. El candidato B recibe 1 punto del miembro 1 y de los miembros 16-21, 0 puntos de los miembros 2-8 y 2 puntos de los miembros 9-15, para un total de 21 puntos. Por su parte, el candidato C recibe 0 puntos del miembro 1, 1 punto de los miembros 2-15 y 2 puntos de los miembros 16-21, para un total de 26 puntos. Por tanto, el ganador Borda es el candidato C. ii) Organizando el ranking de las preferencias del comité de 60 miembros en una tabla se tiene que: Miembros 1-23

Miembros 24-25

Miembros 26-42

Miembros 43-52

Miembros 53-60

A B C

B A C

B C A

C A B

C B A

De acuerdo al ranking Borda el candidato A recibe 2 puntos de los miembros 1-23, 1 punto de los miembros 24-25 y 43-52 y 0 puntos de los miembros 26-42 y 53-60; para un total de 58 puntos. Por su parte, el candidato B recibe 1 punto de los miembros 1-23 y 53-60, 2 puntos de los miembros 24-42 y 0 puntos de los miembros 43-52; para un total de 69 puntos. Finalmente, el candidato C recibe 0 puntos de los miembros 1-25, 1 punto de los miembros 26-42 y 2 puntos de los miembros 43-60; para un total de 53 puntos. Por tanto, el ganador Borda es el candidato B.

Semana 5

453

Semana 5 1. Resolviendo las ecuaciones de manera secuencial, de las primeras dos ecuaciones se hallan los valores de x1 y x2 . Reemplazando ello en las siguientes dos ecuaciones, se obtienen los precios de los bienes y, finalmente, con las últimas dos ecuaciones se tienen los precios de los factores. x1 =

10 = x2 3

3k1 3k2 ; p2 = 10 10 k1 k1 k2 2k2 − ; v2 = − v1 = 5 2 5 10 Sabemos que los precios de los bienes deben ser estrictamente positivos, entonces de acuerdo a la segunda ecuación, k1 , k2 > 0. Lo mismo ocurre con los precios de los factores, ahora bien: p1 =

Si v1 > 0

se tiene que

k1
0

se tiene que

k1 4 1 < < 2 k2 5 Si la razón entre los parámetros k1 y k2 no está dentro de ese rango, los precios de los factores serán negativos, luego debería asumirse que el factor 1 o 2 es gratuito para garantizar la solución del sistema. 3. De las primeras dos ecuaciones se hallan los valores de x1 y x2 : 4r1 − r2 2r2 − 5r1 ; x2 = 3 3 Debe garantizarse que estos valores sean estrictamente positivos, para que los precios de los bienes no sean indeterminados, así: x1 =

Si x1 > 0

se tiene que

r1
0

se tiene que

r1 2 1 < < 4 r2 5

(∗)

Ahora reemplazandos los valores hallados en las ecuaciones de los precios de los bienes, y este resultado en las ecuaciones de los precios de los factores se obtiene que: 24 2r2 − 5r1 40 40 v1 = − 4r1 − r2 2r2 − 5r1 p1 =

; ;

30 4r1 − r2 16 10 v2 = − 2r2 − 5r1 4r1 − r2 p2 =

Como p1 = x8 , p2 = x10 , entonces basta con que x1 y x2 sean positivas para que los 1 2 precios de los bienes lo sean, es decir, la condición (∗). Ahora, partimos de la última ecuación para garantizar que los precios de los factores sean positivos, así: 1 r2 3

Si v1 > 0

se tiene que

r1
0

se tiene que

6 r2 < r 1 19

454

Respuestas y sugerencias a los problemas impares Reorganizando las desigualdades y dividiendo por r2 : r1 1 6 < < 19 r2 3

(∗∗)

Por tanto, (∗∗) garantiza que el sistema tenga soluciones estrictamente positivas. De manera que la condición para que el sistema Walras-Cassel tenga soluciones no-negativas puede reescribirse como: r1 1 6 ≤ ≤ 19 r2 3 donde para los casos en que la razón sea igual al límite del rango, uno de los factores será gratuito. 5. De la segunda y tercera ecuación se tiene el siguiente sistema: 10 x1 1 2v1 + 5v2 = x2 v1 + 4v2 =

Resolviendo el sistema se obtienen los precios de los factores v1 =

50 4 − 3x2 3x1

;

v2 =

20 1 − 3x1 3x2

Debe garantizarse que los precios de los factores sean positivos, así: Si v1 > 0

se tiene que

Si v2 > 0

se tiene que

25 x2 < x 1 2 x1 < 20x2

Reorganizando las desigualdades y dividiendo por x2 : x1 25 < < 20 2 x2

(⋆)

Ahora bien: de la primera ecuación es posible obtener los valores de x1 y x2 en términos de a y b: 50 − 30b 30a − 40 x1 = ; x2 = 5a − 4b 5a − 4b Luego la condición (⋆) puede expresarse en términos de los parámetros a y b: 25 5 − 3b < < 20 2 3a − 4

(∗)

Adicional a ello, para garantizar que tanto p1 y p2 como x1 y x2 tengan soluciones positivas, basta con que éstas últimas sean positivas: Si x1 > 0 : Si x2 > 0 :





5 > 3b 5 < 3b

y 5a > 4b y 5a < 4b

3a > 4 3a < 4

y 5a > 4b y 5a < 4b

(∗∗)

Por tanto, existen valores de a y b, restringidos por (∗) y (∗∗), para los cuales el sistema Walras-Cassel tiene soluciones positivas. 7.

a) Para este sistema existe un único factor de producción r1 = 1 > 0, luego satisface la hipótesis a). De la misma manera, los coeficientes técnicos a11 = a12 = 1, satisfaciendo así b) y c). Las funciones f1 (x1 , x2 ) y f2 (x1 , x2 ) son definidas positivas y continuas para cada par positivo (x1 , x2 ), debido a que son iguales a una constante (el precio) que es estrictamente positiva, lo que satisface d). Para el caso de la hipótesis e), sabemos que ésta implica que la demanda de un producto es 0 sólo cuando su precio es infinitamente grande; pero para este sistema

Semana 6

455 



se tiene que x1 , x2 ∈ 41 , 43 y además p1 = p2 = 1. Finalmente, la matriz de coeficientes técnicos es un vector columna de 1´s de dimensión 2, por tanto, su rango es 1 que es igual al número de factores de producción m, cumpliendo así g). Mostremos ahora que f ) no se satisface mediante un contraejemplo de la hipótesis. En primer lugar, debe tenerse en cuenta que A′1 representa el cambio en la demanda del bien x1 . Supongamos que A′1 = −ε, para un ε lo suficientemente pequeño; así, para que se siga cumpliendo la primera ecuación, debe tenerse que A′2 = ε. Como p1 = p2 = 1, entonces A′1 + A′2 ≤ 0. Por tanto, debería tenerse que p′1 x′1 + p′2 x′2 < 0 donde p′i = fi (x1 + ε, x2 − ε) para i = 1, 2. Como ε es suficientemente pequeño, entonces 14 ≤ x1 + ε, x2 − ε ≤ 43 , luego se tiene que f1 (x1 , x2 ) = f2 (x1 , x2 ) = 1, de manera que p1 = p2 = 1. Así A′1 + A′2 ≮ 0. Por tanto, no se cumple f ). b) Sea

1 4

≤ λ ≤

3 , 4

entonces multiplicando la inecuación por −1 y sumando 1 a





cada lado, puede mostrarse que 1 − λ ∈ 41 , 43 . Luego, dado que λ y 1 − λ están en ese intervalo, puede afirmarse que x1 = λ y x2 = 1 − λ, lo que satisface la primera ecuación del sistema. Ahora bien: se tiene que las funciones están dadas por f1 (x1 , x2 ) = f2 (x1 , x2 ) = 1, luego por las demás ecuaciones del sistema se tiene que p1 = p2 = 1 y v1 = v2 = 1. Por tanto, ese es un equilibrio del sistema de los infinitos equilibrios que existen, pues, a pesar de que λ está restringido a un intervalo puede tomar valores infinitos.

Semana 6 1. Con los coeficientes técnicos se obtiene que la matriz A es

h

0.25 0.04

0.02 0.15

i

y con las demandas finales, la matriz C estará dada por

h

150 200

i

¯ = (I2 − A)−1 C, y Para hallar la producción de cada industria se resuelve que X esto lleva a que x ¯1 = 108.5, x ¯2 = 164. 3.a) Aquí, X = (I2 − A)−1 C donde (I2 − A)−1 es la matriz

h

4 4

3 9/2

i

5. Asumanos inicialmente pz = 1. Con la condición de beneficio cero sobre la actividad a2 se tiene que px = 0.5; y con la condición de beneficio cero sobre la actividad a1 , se obtiene py = 1.1 pues (px , py , pz ) · a1 = 1.5 − 2py + 0.7 = 0 Sin embargo, estos precios no pueden sustentar una solución interna de equilibrio para los consumidores, pues a los precios (0.5, 1.1, 1): px + 4pz px + py + 2pz + = 2.7 6px 6px px + 4pz px + py + 2pz + ≈ 3.7 y∗ = 2py 2py px + py + 2pz px + 4pz z∗ = + = 2.7 3pz 3pz

x∗ =

456

Respuestas y sugerencias a los problemas impares Dado que las dotaciones agregadas son (2, 1, 6), la economía, a los precios calculados arriba, solo estaría en equilibrio si la diferencia (2.7, 3.7, 2.7) − (2, 1, 6) = (0.7, 2.7, −3.3) fuera una combinación lineal (con escalares no-negativos) de las dos actividades a1 y a2 . Como el lector podrá observar fácilmente, esto no ocurre (de hecho, uno de los dos escalares es negativo). Sin embargo, la asignación sí es eficiente sustentada por el vector de precios (0.5, 1.1, 1) pues (0.5)(0.7) + (1.1)(2.7) + (1)(−3.3) = 0. Por lo tanto, esta economía tiene un óptimo de Pareto que no es equilibrio competitivo. En la semana 7 ilustraremos que esta situación no es totalmente extraña.

Semana 7 1. La relación lexicográfica es un preorden completo que no satisface la hipótesis de continuidad. Y se puede demostrar, con un poco de dificultad -ver, por ejemplo, Debreu (1959)- que no es representable por ningún tipo de función continua de utilidad. 3.

a) u(x, y) = (xy)2 b) u(x, y) = M in{x, y} √ c) u(x, y) = x + y 6p +8p

6p +8p

5. Las funciones de exceso de demanda son zx = x2p y −6 y zy = x2p y −8. La x y relación de precios de equilibrio competitivo surge de zx = 0, de donde se obtiene que ppx = 34 . Las asignaciones de equilibrio se alcanzan evaluando esta última y

relación de precios en las demandas xA = yB = 7.

2px +2py py

px +2py px

; yA =

px +2py py

; xB =

2px +2py px

;

.

a) Las distribuciones óptimas de Pareto están dadas por todas las asignaciones de la forma [(xA , yA ), (xB , yB )] = [(xA , xA ), (1 − xA , 1 − xA )] en donde 0 ≤ xA ≤ 1. La caja de Edgeworth es un cuadrado de lado 1; y la curva de contrato es la diagonal del cuadrado que va desde (0, 0) hasta (1, 1). 0.64p +0.36p

0.36p +0.64p

x y x y = yA , x B = = yB . Por lo tanto, zx = b) xA = px +py px +py xA +xB −1 = 0 para todos los precios; igualmente zy = yA +yB −1 = 0 para todos los precios. Por lo tanto, cualquier precio es de equilibrio. La igualdad en las preferencias (a pesar de las diferencias en dotaciones) conduce a que el mercado (precios) no sea una señal adecuada para el proceso de asignación.

c) Es inmediato que todos los equilibrios competitivos (porque, en este caso, son infinitos) son óptimos de Pareto, pues ambos conjuntos coinciden. d) Es claro de c). 9.a

a) Las asignaciones de Pareto están dadas por el conjunto [(xA , yA ), (xB , yB )] = [(xA , xA ), (2 − xA , 2 − xA )] b) El equilibrio competitivo se caracteriza por xA =

px = yA px + py

;

xB =

px + 2py = yB px + py

Por lo tanto, los excesos de demanda zx = 0 = zy para cualquier par de precios. Por tanto, cualquier precio es de equilibrio. c) El primer teorema del bienestar se cumple, pues las asignaciones de equilibrio están en la curva de contrato. d) El segundo teorema del bienestar también se cumple, pues el conjunto de óptimos de Pareto coincide con las asignaciones del equilibrio.

Semana 8

457 α(p W

+p W

β(p W

)

+p W

)

x Ax y x Ax y Ay Ay , yA = , xB = 11. Las demandas son xA = (α+β)px (α+β)py WAx + WBx − xA , yB = WAy + WBy − yA . Y la relación de precios es

α(δ + γ)WAy + δ(α + β)WBy px = py β(δ + γ)WAx + γ(α + β)WBx 13.

i) z(p) es continua porque las demandas son funciones continuas de p (teorema del máximo). ii) z(p) es homogénea de grado cero en p porque las demandas son funciones homogéneas de grado cero en p. iii) z(p) satisface la ley de Walras según el lema 15 de este capítulo. iv) Para el vector W = Wx + Wy + Wz se tiene que el vector de excesos de demanda satisface (zx , zy , zz ) ≥ −W (desigualdad componente a componente). Encontrar M es inmediato.

Semana 8 1. En el ejemplo 7 el equilibrio competitivo corresponde a [(xA , yA ), (xB , yB )] = [(2.5, 2.5), (2.5, 2.5)] Las funciones de exceso de demanda son 5py 5 zx (px , py ) = − ; 2px 2

zy (px , py ) =

; p = (1, 1) 5 5px − 2py 2

La dinámica tâtonnement de este ejemplo dpx 5 5py − = dt 2px 2 con p =

px py

5 dpy 5px − = dt 2py 2

;

se tiene

dp 5p 5 = − dt 2 2 cuyo equilibrio, p∗ = 1, es asintóticamente estable, pues las funciones de exceso de demanda son homogéneas de grado cero, satisfacen la ley de Walras y la condición de sustituibilidad bruta. Por otro lado, en el ejemplo 8 se tiene que uA (xA , yA ) = xA (yA )2

;

WA = (3, 1)

uB (xB , yB ) = xB yB

;

WB = (1, 3)

con los procedimientos de la semana 3 se encuentran las demandas de cada consumidor 2px 2 py ; yA = + xA = 1 + 3px py 3 1 px 3 3py xB = + ; yB = + 2 2px 2py 2 Las funciones de exceso de demanda 5 11py − zx (px , py ) = 6px 2

;

zy (px , py ) =

11 5px − 2py 6

La dinámica tâtonnement de este ejemplo dpx 5 11py − = dt 6px 2 con p =

px py

;

11 dpy 5px − = dt 2py 6

se tiene dp 11 5 = − dt 6p 2

458

Respuestas y sugerencias a los problemas impares , es asintóticamente estable, pues las funciones de exceso cuyo equilibrio, p∗ = 11 15 de demanda son homogéneas de grado cero, satisfacen la ley de Walras y la condición de sustituibilidad bruta. Finalmente, en el ejemplo 9 se tiene que uA (xA , yA ) = xA yA

;

uB (xB , yB ) = (xB )1/2 + (yB )1/2

WA = (3, 1) ;

WB = (4, 2)

con los procedimientos de la semana 3 se encuentran las demandas de cada consumidor xA =

3 py + 2 2px

;

yA =

3px 1 + 2py 2

xB =

py (4px + 2py px (px + py )

;

yB =

px (4px + 2py ) py (px + py )

Las funciones de exceso de demanda py zx (px , py ) = px



9px + 5py 2(px + py )



9px + 5py 2(px + py )



11 − 2



−

px zy (px , py ) = py

;

La dinámica tâtonnement de este ejemplo dpx py = dt px

11 2

dpy px = dt py

;





11px + 7py 2(px + py )

11px + 7py 2(px + py )



−



−

5 2

5 2

x = 0, después de un poco de álgebra, organizando términos y dividiendo para dp dt en (py )2 se tiene

11 reduciendo p =

px py

√



px py

2

+

2px −5=0 py

y resolviendo la cuadrática 11p2 + 2p − 5 = 0 se halla el

equilibrio, p∗ = (2 14 − 1)/11, que es asintóticamente estable, pues las funciones de exceso de demanda son homogéneas de grado cero, satisfacen la ley de Walras y la condición de sustituibilidad bruta. ∂zx 9(px )2 + 10px py + 5(py )2 = > 0; ∂py 2px (px + py )2 3.

11(px )2 + 22px py + 7(py )2 ∂zy = >0 ∂pz 2px (px + py )2

a) Con el procedimiento de la semana 3 se obtienen las demandas de cada consumidor 2py +1 px 3py =1+ 2px

px −1 py px 3 = + py 2

xA =

;

yA =

xB

;

yB

Las funciones de exceso de demanda están dadas por: zx (px , py ) =

7py −2 2px

;

zy (px , py ) =

2px 7 − py 2

Para determinar los precios relativos se iguala uno de los excesos de demanda a cero, de manera que zy (px , py ) = 2px /py − 7/2 = 0. Luego, la relación de precios es 7/4. Se toma como numerario p∗y y al reemplazar ello en las demandas, se tiene el equilibrio competitivo 7 4 3 = 4

p∗x = ∗ yA

p∗y = 1 x∗B =

13 7

15 7 13 = 4

x∗A = ∗ yB

Semana 9

459 b) La representación del equilibrio competitivo en la curva de contrato puede observarse gráficamente en la siguiente figura:

c) La dinámica tâtonnement de este ejemplo 7py dpx −2 = dt 2px con p =

px py

;

dpy 7 2px − = dt py 2

se tiene

dp 7 = −2 dt 2p 7 ∗ cuyo equilibrio, p = 4 , es asintóticamente estable, pues las funciones de exceso de demanda son homogéneas de grado cero, satisfacen la ley de Walras y la condición de sustituibilidad bruta entre mercancías. d) La curva de contrato que rige esta economía es xA yA = 5 − xA Así, de estos óptimos de Pareto, las asignaciones del núcleo son aquellas en las que uA (xA , yA ) = (yA + 1)exp(xA ) > uA (2, 1) = 2exp(2) uB (xB , yB ) = xB yB > uB (2, 3) = 6 Reemplazando las asignaciones del equilibrio se nota que     3 15 ∗ uA (x∗A , yA )= ≈ 14.92 > uA (2, 1) ≈ 14.78 + 1 exp 4 7    13 13 ∗ uB (x∗B , yB )= ≈ 6.03 > uB (2, 3) = 6 7 4 Por tanto, el equilibrio competitivo está en el núcleo. 5. Consultar Varian, 1992, pp. 391-92.

Semana 9 1.

a) El problema del consumidor representativo consiste en maximizar la función de utilidad ln(cyt ) + β ln(cot+1 ) sujeta a pt cyt + pt+1 cot+1 = 3pt + pt+1 . β(3pt +pt+1 ) 3pt +pt+1 , cot+1 = (1+β)p . (1+β)pt t+1 y o La condición de equilibrio de mercado es ct + ct = 4. De aquí se obtiene que, bajo competencia perfecta pt = po (3β 2 )t con po > 0 como condición inicial. 3pt +pt+1 Y con este sistema de precios se llega a la autarquía: cyt = (1+β)p = 3 y t β(3pt +pt+1 ) ct+1 = (1+β)p = 1. t+1

b) Las funciones de demanda son cyt = c)

460

Respuestas y sugerencias a los problemas impares d) La distribución intergeneracional de autarquía definida por: Generación 1: (3,1); Generación 2: (3,1); Generación 3: (3,1); ... no conforma un óptimo de Pareto pues es mejorada por la distribución intergeneracional definida por: Generación 1: (3, 3/2); Generación 2: (5/2, 3/2); Generación 3: (5/2, 3/2); ..., ya que se cumple que cyt + cot+1 = 3/2 + 5/2 = 4, y también, para β > 0.45, que: Generación 1 : Generación 2 : Generación 3 :

u(3, 1) = ln 3 < ln 3 + β ln(3/2) = u(3, 3/2)

u(3, 1) = ln 3 ≤ ln(5/2) + β ln(3/2) = u(5/2, 3/2)

u(3, 1) = ln 3 ≤ ln(5/2) + β ln(3/2) = u(5/2, 3/2)

e) El estado estacionario en equilibrio monetario estacionario es, para β > 1/3, p=

M (1 + β) , 3β − 1

cy =

4 , 1+β

co =

4β 1+β

f) Para β > 1, y con oferta monetaria constante M , la trayectoria de equilibrio es pt+1 = 3βpt − (1 + β)M . Dado que 3β > 1 entonces esta dinámica de precios es inestable con respecto al estado estacionario.

Índice alfabético

Actividad (Koopmans), 171 Actividades básicas de producción (Koopmans), 174, 180 Acumulación factor de, 199 Aditividad de actividades (Koopmans), 174, 180 Agente representativo, 300 Agente(s) (Koopmans), 179 heterogéneos, 304 representativo, 304 Agregación de intereses, 117 de juicios, 117 Algoritmo de Kühn-Tucker, 371 Algoritmo simplex, 152 Allais, Maurice, 27, 40, 44, 88, 90, 113, 197, 247, 287 Allen, Roy, 32, 38, 46 Amoroso, Luigi, 30, 34, 35, 150, 278 Análisis costo-beneficio, 111 Análisis de actividades (Koopmans), 150, 152, 172, 173 Análisis insumo-producto, 157, 190

Arrow, Kenneth, 37, 51, 98, 115, 116, 130, 189, 195, 246, 247, 263, 269, 271, 282 Arrow-Debreu economía, 244 mercancía, 263 modelo, 233, 240 Asignación óptima de Pareto, 84, 88, 90, 91, 170, 172, 178, 179, 183, 227, 232, 255, 262, 291, 308 de equilibrio competitivo, 89, 170 de tarifas, 23 descentralizada, 184 eficiente de recursos, 152, 170, 173 equitativa, 89 intertemporal, 47 justa, 262 problema de, 46, 172 teoría de la, 47, 185 Atractor, 393 Auctioneer (Walras), 12 Aumann, Robert, 252 Aversión al riesgo, 126 Axioma 461

462 de eficiencia Pareto, 121 de independencia de alternativas irrelevantes, 123 de invarianza escalar, 122 de simetría, 122 Axioma(s) éticos, 121 Balasko, Ives, 272 Barone, Enrico, 2, 31, 107 Barreras a la entrada, 75 Base(s) canónica, 354 Baumol, William, 115 Beneficio cero bajo competencia perfecta, 14 Beneficio del empresario (Walras), 14 Bentham, Jeremy, 118, 127 Bergson, Abram, 46, 107, 113 Bernoulli, John, 119 Bien(es) (Koopmans), 173 canasta de, 46 de capital, 11, 16 de capital (Walras), 11 definición, 52 finales, 135, 178 intermedios, 18, 176 libres o gratuitos, 207 primarios, 135, 178 spot, 264 Bienestar económico, 20, 26 económico (Pareto), 32 función de, 113 máximo, 32 máximo relativo, 197 Nueva economía del, 105 teoría del, 97 teoremas, 88, 220 Bienestarismo, 114, 117 Billon regulateur (Walras), 19 Bimetalismo y monometalismo, 2, 19

Índice alfabético Black, Duncan, 115 Bohm-Bawerk, Eugene, 2 Boiteux, Marcel, 44 Bolsa de París, 52 Borda, Jean Charles, 105, 132 Bortkiewicz, Ladislaus, 150 Bourbaki (grupo), 178 Bowley, Arthur, 97, 150 Brock, William, 286 Brouwer, Luitzen, 383 Caja Edgeworth-Bowley, 51, 56, 64, 86, 97, 98, 100 Canastas combinación, 179 de bienes, 46 de consumo, 205 Capital, 5 (Debreu), 199 agregación, 47 bienes de, 11, 264 circulante, 18 de trabajo (Leontief), 166 dinámica del (Samuelson), 47 fijo (Leontief), 166 formación del, 4, 11, 141 nivel inicial de, 299 problema del, 39, 172 teoría del, 16, 32, 39, 133 y crédito (Walras), 16 y moneda, 195 Capitalista (Walras), 13 Características topológicas preservación bajo continuidad, 367 Carvajal, Andrés, 273 Cassel, Gustav, 27, 129, 133, 169, 196 Centro, 403 Ceteris paribus, 46 Chiappori, Pierre, 270 Chipman, John, 112 Ciclos límites, 43 Clase de equivalencia], 338 Clasificación de equilibrios, 402 Clifford, William K., 344

Índice alfabético Clower, Robert, 285 Coeficiente de expansión de una economía, 147 Coeficientes variables de producción (Walras), 15 Colusión, 261 Comisión Cowles, 139, 170 Comparación interpersonal de utilidades, 32, 97, 106 Competencia libre, 2 perfecta, 4, 10, 20, 24, 25, 30, 31, 75, 142, 252 Concavidad estricta, 63 Condición de frontera, 188 Condiciones (de) Kühn-Tucker, 372 Condiciones de equilibrio, 52, 136 Condiciones de transversalidad, 407 Condiciones Hawkins-Simon (Leontief), 164 Condorcet, Marie-Jean-Antoine, 105, 131 Conjunto abierto, 363 acotado, 366 cerrado, 361 compacto, 366 convexo, 60, 176, 196, 218 Consumidores, 54 Consumidores (Koopmans), 179 Continuidad en correspondencias, 381 Control óptimo con horizonte infinito, 409 Corporación Rand, 267 Correspondencia, 380 Costo(s) de producción, 11, 17, 32, 149 marginal, 302 unitario, 13 Cournot, Augustin, 1, 2, 23 Crédito (Walras), 2 Crecimiento

463 modelo de, 130, 137, 303 problemas de, 47 tasa constante de, 146 Criterio de compensación, 111 de compensación de Scitovsky, 111 de compensación Kaldor-Hicks, 109 de deseabilidad social, 109 de justa distribución, 88 Criterios de estabilidad para sistemas autónomos, 393 Cuasiconcavidad estricta, 85 Curva de indiferencia, 32 Curva(s) de contrato, 57, 64, 67, 68, 71, 83, 97, 226, 227, 252, 253 demanda, 138 indiferencia, 31, 35, 253 nivel, 10, 51, 64, 226, 227, 229 Düppe, Till, 185, 197 Dantzig, George, 152, 170 De Pietri-Tonelli, Alfonso, 30, 277 Debreu, Gerard, 44, 130, 150, 189, 195, 246, 252, 270, 282 Demanda, 39, 149 agregada, 246 apogeo de la teoría de la, 38 correspondencia de, 205, 218, 232 de los sindicatos, 134 de mercado, 5 exceso de, 78, 218, 269 final, 165 funciones de, 77, 139, 226, 230, 291 ley de la, 247 neta, 214 teoría de la, 107 total efectiva, 12 Derivada(s) positivas, 35 Determinantes

464 n × n, 345 del producto, 349 propiedad aditiva de, 348 propiedad de intercambio de filas de, 348 propiedad escalar de, 347 propiedades de los, 347 Diagrama de fase unidimensional, 390 Diagramas de fase en dos dimensiones, 396 Dinámica de tâtonnement, 246 Dinámica y estabilidad (Samuelson), 46 Dinámicas de desequilibrio, 251 Dinero demanda por transacciones, 285 doble coincidencia de deseos, 287 legal, 287 modelo de costos de recursos reales, 286 por adelantado (cash-in-advance), 285 Dinero (Walras), 11 Dinero bajo equilibrio general, 284 Disco abierto en R2 , 363 Distribución, 4 de la riqueza, 32 de los recursos, 245 del ingreso, 46 efectos de, 16 eficiente, 322 inter-generacional, 291 justa, 4, 22, 23, 88 temporal, 294 Divisibilidad de actividades (Koopmans), 175 Dominio no-restringido, 116 Dorfman et al (DOSSO), 187, 190 Dorfman et al. (DOSSO), 166 DOSSO, 166, 190 Duopolio (Wald), 141 Economía, 213

Índice alfabético abierta (Leontief), 158 cerrada (Leontief), 158, 162 con crecimiento uniforme, 145 con infinitos equilibrios, 243 de intercambio puro, 56, 77, 224 de propiedad privada, 53 del bienestar, 94 en equilibrio (Walras), 5 grande, 252 paretiana con producción, 95 paretiana de intercambio puro, 77 Robinson Crusoe, 95 Econometrica, 35, 150 Ecuación de Euler, 278 Ecuación(es) de equilibrio (Wald), 139 Jevons, 56 Euler, 278, 303 fabricación (Walras), 15 Jevons, 55 Lotka-Volterra, 280 Edgeworth, Francis, 2, 31, 55, 57, 85, 88, 97, 197, 251, 253 Efecto(s) ingreso, 38 sustitución, 38 Eficiencia, 112 condición clásica de, 303 criterio de, 89 del equilibrio general, 42 del trabajo, 54 económica, 43, 110 intertemporal, 45 paretiana, 110, 172 Eficiencia de una actividad (Koopmans), 177 Elasticidad de la demanda, 278 Empresario (Walras), 13 Encaisse désirée (Walras), 18 Equilibrio, 146 (Walras), 10 centro (vórtice), 402

Índice alfabético competitivo, 5, 73, 181, 236 competitivo (McKenzie), 188 competitivo paretiano, 73 competitivo y puntos fijos, 274 de mercado, 181 económico, 5 en modelos de generaciones traslapadas, 289 espiral, 402 espiral convergente, 401 estabilidad, 244, 246 foco divergente, 401 fuente, 401 general aplicado, 269 general computable, 314 intertemporal, 280, 282, 283 monetario en generaciones traslapadas, 293 nodo convergente, 401 nodo impropio, 401 punto de silla, 401 valle, 401 Escuela austríaca, 5 de Lausanne, 2, 34 italiana, 30, 35, 277 sueca, 134 Espiral, 403 Estática comparativa, 38, 39, 45, 46, 197 Estabilidad bidimensional, 399 Estabilidad coalicional, 255 Estabilidad del equilibrio competitivo, 244, 246 Estabilidad para sistemas lineales, 403 Estabilidad unidimensional, 392 Estados del mundo (incertidumbre), 264 Evans, Griffith, 35, 277 Excedente del consumidor, 38 Exceso de demanda, 77 Existencia y unicidad de soluciones, 390, 396 Expectativas racionales, 264, 265

465 Falsacionismo, 271 Fisher, Irving, 2, 20, 31, 41, 150, 280 Fisiócratas, 168 Formas cuadráticas, 358 comportamiento de segundas derivadas, 369 definidas negativas, 359 semidefinidas negativas, 359 semidefinidas positivas, 359 Fossati, Eraldo, 30, 36 Fréchet, Maurice René, 366 Friedman, Milton, 20, 47 Frisch, Ragnar, 46, 150, 169, 281 Frontera de posibilidades de consumo, 42 de posibilidades de producción, 46, 51, 65, 83, 95, 108, 185 concavidad, 70 de posibilidades de utilidad, 46, 87, 108 del conjunto de consumo, 226 Pareto, 42, 58, 87, 89, 108 Función de bienestar social, 171 Función de bienestar, 113–115 (Koopmans), 171 Axiomática, 118 benthamita, 118 Bernoulli-Nash, 119 rawlsiana, 119 utilitaria (Bentham), 118 Función de exceso de demanda Propiedades, 82 Función(es) Cobb-Douglas, 54 de produccíón (origen), 54 de producción Leontief, 159 Fundación Cowles, 150 Gale, David, 152, 165, 190 Geanakoplos, John, 270 Gobierno, 112, 158, 162, 165

466 fascista, 34 socialista, 32 y planificación central, 305 Goodwin, Richard, 281 Gorman, William, 112 Gossen, Heinrich, 11 Graham, Frank, 184, 187 Gran Depresión, 41, 151, 169 Gran frontera de posibilidades de utilidad, 108, 119 Grandmont, Jean, 39, 251 Gustos y obstáculos (Pareto), 30 Haberler, Gottfried von, 65 Hahn, Frank, 251, 261, 269 Harrod, Roy, 46, 109, 281 Harsanyi, John, 118, 262 Hart, Oliver, 266 Hart, Sergiu, 253 Hayek, Friedrich, 282 Hesse, Ludwig, 368 Hicks, John, 25–27, 32, 37, 39, 46, 77, 107, 130, 151, 184, 246, 280–282 Hildenbrand, Werner, 251 Hiperplano, 98 Hiperplano soporte, 222, 377 Hiperplanos separadores, 377 Hodgson, Geoffrey, 320 Homogeneidad condición de, 247 de grado cero, 270 en precios, 293 grado uno, 176 Hotelling, Harold, 88, 151, 186 Hurwicz, Leonid, 246, 247 Igualdad de relaciones, 336 Impuestos, 3, 21–23, 94, 110 Independencia de alternativas irrelevantes, 116, 132 Información restricciones de, 117 Ingreso neto (Walras), 17 Ingreso neto perpetuo (Walras), 16

Índice alfabético Intercambio, 17, 18 bajo competencia perfecta, 4, 142 bajo libre competencia, 32 beneficio individual del, 21 ecuaciones de, 143 puro, 224 puro (Walras), 11 sistema de, 142 teoría del, 26 Isnard, Achilles, 5, 10 Jaffé, William, 3, 5, 9, 22, 34, 251 Jevons, William, 2, 11, 15, 55 Juego(s) coalicionales (cooperativos), 252 de N personas, 150 de comportamiento, 272 de mercado, 253 de suma cero, 148 evolutivos, 272 experimentales, 272 Justicia conmutativa (Walras), 21 Kühn, Harold, 190 Kahneman, Daniel, 112 Kaldor, Nicholas, 27, 46, 107, 110, 281 Kalecki, Michal, 46, 281 Kantorovich, Leonid, 172 Karush, William, 172 Kehoe, Timothy, 244 Keynes, John M., 39, 47 Kirman, Alan, 270, 271 Knight, Frank, 115 Koopmans teorema de, 177 Koopmans, Tjalling, 151, 152, 169, 171, 173, 178, 184, 196 Kuhn, Harold, 190 La Volpe, Giulio, 30, 279 Laissez faire, 3, 3, 4, 22 Lancaster, Kelvin, 99 Lange, Oskar, 27, 74, 88, 90, 113, 151, 171

Índice alfabético Leontief, Wassily, 98, 152, 155, 157, 314 Lerner, Abba, 27, 51, 65, 88, 98, 171 Ley de Walras, 74, 78, 136, 188 Leyes del grano, 109 Leyes del maíz, 109 Liberalismo (A. Sen), 117 Libertad de escoger (Sen), 117 Libre competencia, 2 Lindahl, Erik, 282 Linealidad, 175 Little, Ian D. M., 111 Lyapunov, Aleksandr Mikhailovich, 404 Mínimo factor, 149 Máxima satisfacción colectiva (Pareto), 32 Máximo factor de expansión, 148 Método global de Newton, 250 simplex, 170 Método de Lyapunov, 404 Método Kühn-Tucker, 370 Malinvaud, Edmond, 44, 184 Mano de obra, 39, 53, 146, 158–160, 162, 165, 166, 168, 187, 199 Mantel, Rolf, 270 Marschak, Jacob, 170 Marshall, Alfred, 2, 11, 26, 31, 54, 105, 106, 137 Marx, Karl, 48, 168 Mas-Colell, Andreu, 244, 270 Matriz álgebra de inversas, 351 aumentada, 339 de coeficientes, 339 de coeficientes técnicos, 140 de tecnología, 175 hessiana definida negativa, 35 identidad, 162 insumo-producto, 158, 162, 165, 167, 191 inversa, 165, 167, 350

467 invertible, 350 jacobiana, 244 no-singular, 350 propiedades de la multiplicación, 343 propiedades de la suma, 341 propiedades de la traspuesta, 344 propiedades del rango de una, 356 rango completo, 357 rango de una, 356 singular, 350 suma de, 341 traspuesta, 343 Matriz hessiana, 368 Maximización, 45 de la utilidad, 53 del beneficio, 53, 75, 309 McKenzie, Lionel, 184, 187, 196 Mecanismo acelerador-multiplicador, 281 Mecanismo de agregación, 38, 300 Mejoramiento potencial Pareto, 111 Menger, Carl, 2, 5, 11, 129 Menger, Karl, 145, 150 Mercados spot, 264 Mercancía estado-contingente, 265 Metroeconomica, 36 Mill, John, 48, 106 Modelo Arrow-Debreu, 185, 186, 195, 250 de análisis de actividades, 169 de búsqueda, 286 de Cassel, 135 de generaciones traslapadas, 43, 47, 285, 287, 288 de McKenzie, 187 de Ramsey, 298 de von Neumann, 146 Graham-McKenzie, 187, 188 insumo-producto, 170, 183

468 IS-LM, 38, 39 monetario de generaciones traslapadas, 292 paretiano simple, 29, 51, 52 Pareto-Hicks, 29 Walras-Cassel, 173 Modelo Arrow-Debreu óptimo de Pareto, 220 concepto de economía, 213 consumidores, 199 divisibilidad de mercancías, 208 economía de propiedad privada, 214 ejemplos, 224 equilibrio competitivo, 213, 215 existencia de función de utilidad, 203 fallas de mercado, 223 función de exceso de demanda, 235 hipótesis, 198 hipótesis de continuidad, 202 hipótesis de convexidad, 213 hipótesis de cuasiconcavidad, 203 hipótesis de dotación interior, 203 hipótesis de no-saciedad, 202 implementación, 267 Irreversibilidad, 208 ley de Walras, 216 libre disponibilidad de insumos, 208 mercancías, 198 posibilidad de no-acción, 208 primer teorema del bienestar económico, 220 productores, 207 relaciones de preferencia, 201 rendimientos crecientes, 219 segundo teorema del bienestar económico, 221 teorema de existencia del equilibrio competitivo,

Índice alfabético 218 teoremas del bienestar económico, 220 Modelo Arrow-Debreu bajo un criterio de incertidumbre, 263 Modelo de Ramsey cambio técnico, 317 características del equilibrio, 307 consumidores, 300 equilibrio competitivo, 303 estabilidad del equilibrio, 309 población, 317 productores, 298 teoremas del bienestar, 308 Modelos de equilibrio general dinámicos, 277 Moneda (Walras), 19 Monetarismo, 40, 47 Monometalismo y bimetalismo, 19 Monopolio (Walras), 23 Moore, James, 112 Morgenestern, Oskar, 252 Morgenstern, Oskar, 60, 130, 184, 190 Motivo especulación, 40 Motivo precaución, 40 Motivo transacciones, 40 Mussolini, Benito, 34 Myrdal, Gunnar, 134 Núcleo de una economía de intercambio, 254 Núcleo de una economía, 252, 254 Teorema de equilivalencia, 261 y equilibrios competitivos, 261 Nash, John, 119, 123, 145, 185, 196 Negishi, Takashi, 251, 261 Neisser, Hans, 137 Nikaido, Hukukane, 141, 165 No dictadura, 116 No-saciedad local, 180 No-tâtonenment dinámicas, 251

Índice alfabético Noción de mercado (Walras), 52 de mercancía (Walras), 52 Nodo, 402 Nueva economía del bienestar, 107 Numerario, 12, 74 Oferta, 6, 39, 135, 218 agregada, 246 correspondencia de, 211 de dinero, 20 de los bienes, 11 de tierra, 146 de trabajo, 193 efectivas, 17 fija de bienes, 108 igual a demanda, 18 ley de la, 247 monetaria, 18, 19, 23, 295 total, 12 Oferta de mercado, 5 Oferta monetaria, 44 Ohlin, Bertil, 134 Ophélimité (Pareto), 31, 51, 83, 89 Optimo de Pareto, 82, 84–86, 181, 294 Orden lexicográfico, 233 Palomba, Giuseppe, 30, 280 Pantaleoni, Maffeo, 2, 24, 29–31, 34 Par ordenado, 335 Paradoja de Condorcet, 131 el votante, 116 Scitovsky, 112 Pareto, Vilfredo, 2, 25, 29, 32, 41, 46, 54, 63, 83, 85, 88, 90, 97, 107, 137, 197, 245 Pasinetti, Luigi, 47 Patinkin, Don, 74 Pigou, Arthur, 105, 106 Poinsot, Louis, 5, 13 Polemarchakis, Herakles, 270 Polinomio característico, 349 Popper, Karl, 271 Portafolio de títulos, 266

469 Preferencias, 26, 224, 239 ordinales de Pareto, 46 preorden de, 203 reveladas, 45, 138, 140, 189, 240, 241, 246, 249, 272, 274, 275 reveladas (Wald), 141 Preorden parcial, 337 Primer teorema de la economía del bienestar, 88 Primer teorema de la economía del bienestar (incertidumbre), 266 Primer teorema del bienestar económico, 308 Primer teorema del bienestar económico (Koopmans), 181 Primera Guerra Mundial, 134 Principio débil de Pareto, 116, 117 de escasez, 136 de igualdad (Walras), 21 de igualdad de condiciones, 118 de mínima acción, 279 de substitución, 133 Principio de correspondencia, 46 Principio del máximo, 405, 406 Proceso Edgeworth, 254 Procesos no-tâtonnement, 261 Productividad marginal (Walras), 15 Producto cartesiano, 335 Producto interior, 344 Producto social, 106 Productores (Koopmans), 180 Productores paretianos, 63 Programación lineal, 170, 190 Punto adherente o punto límite, 361 de frontera, 366 interior, 365 Punto de equilibrio, 389, 395 Punto de silla, 369, 402 Punto estacionario, 389

470 Puntos Borda, 132 Quesnay, François, 9, 167 Réplicas de una economía, 259 Radner, Roy, 51, 263, 265 Ranking Borda, 132 Rareté (Walras), 31 Rawls, John, 119, 127 Regla de mayoría, 105, 131 Regla(s) de libre competencia, 16 de los contratos provisionales, 245 de Ramsey-Keynes, 303 Ramsey-Keynes, 306 Relación antisimétrica, 337 completa, 337 de orden, 337 completo, 337 parcial, 337 de preferencia estricta, 201 de preorden, 337 completo, 337 dominio de una, 336 equivalencia, 337 gráfica de una, 336 reflexiva, 336 simétrica, 337 transitiva, 337 Rendimientos a escala, 209 constantes a (de) escala, 175 constantes a escala, 15, 75, 146, 176, 209 crecientes a escala, 239 decrecientes, 95 decrecientes a escala, 63, 75 no decrecientes a escala, 209 Renta(s), 5, 184 de la tierra, 14 excedente de la, 17 precio de, 299 Restricción de tecnológia, 198

Índice alfabético presupuestal, 12, 36, 38, 74, 136, 142, 198, 205, 225, 227, 228, 304, 309 tecnológica, 113 Revolución industrial, 24 Revolución marginalista, 196 Ricardo, David, 1, 48, 97 Ricardo,David, 106 Riqueza, 112 agregada, 235 distribución de la, 32 distribución justa de la, 4, 23, 88 monetaria, 309 redistribución de la, 91 social, 107 Robbins, Lionel, 99, 106, 115 Robinson Crusoe, 95, 96, 116 Robinson, Joan, 47 Roos, Charles, 35, 150, 277 Rybczynski, Tadeusz, 99 Salario, 5, 22, 39, 160, 164, 215, 299, 300 Samuelson, Paul, 27, 45, 47, 98, 99, 107, 113, 151, 245, 281, 287 Say, Jean Baptiste, 1 Scarf, Herbert, 252, 253, 267 Schlesinger, Karl, 27, 129, 137, 138 Schumpeter, Joseph, 31, 48, 150 Scitovsky, Tibor, 98, 107, 111 Segunda Guerra Mundial, 151, 171, 280 Segundo teorema de la economía del bienestar, 90, 182 Segundo teorema de la economía del bienestar (incertidumbre), 266 Segundo teorema del bienestar económico, 309 Seminario Menger, 129 Semisocialismo (Walras), 22 Sen, Amartya, 116, 118 Servicio capital, 11

Índice alfabético mano de obra, 11 tierra, 11 Servicios de disponibilidad (Walras), 18 Shapley, Lloyd, 126, 127, 262 Shubik, Martin, 252 Sidrauski, Miguel, 284 Simplex algoritmo, 152 Sistema de ecuaciones lineales, 339 paretiano, 52 Sistema autónomo, 396 Sistema dinámico autónomo, 390 Sistema dinámico continuo, 387, 395 Sistema dinámico lineal, 387 Sistema lineal continuo, 399 Sistemas de ecuaciones lineales, 339 de precios, 231 dinámicos, 43 interrelacionados de elección, 183 Slutsky, Eugen, 46 Smale, Steven, 250 Smith, Adam, 1, 5, 48, 88, 106, 155, 197, 320 Socialismo (Walras), 22 Sociología paretiana, 33 Solow, Robert, 47 Solución Bernoulli-Nash, 123 igualitaria, 262 igualitaria (Rawls), 127 utilitaria (Bentham), 126 Solución del sistema lineal, 400 Sonnenschein, Hugo, 270 Sraffa, Piero, 47 Stackelberg, Heinrich von, 137 Subastador, 12, 245 Sucesión convergente en R2 , 360 en R2 , 360 Surplus distribuible, 42 Sustituibilidad bruta, 247

471 Tâtonnement, 12–14, 17, 39, 46, 196, 247 Tableau Économique, 167 Tableau OEconomique, 9 Tasa común de renta, 17 constante de crecimiento, 146 de cambio, 134 de crecimiento, 147, 308, 313 de crecimiento de la producción, 146 de crecimiento sostenible, 146 de depreciación, 308 de depreciación del capital, 299, 308, 317 de descuento intertemporal, 278 de descuento típica, 43 de interés, 22, 40, 141, 146, 148, 149, 199 de interés (Allais), 43 de interés óptima, 47 de interés bruta, 300 de interés psicológica, 43 de interes, 147 de olvido, 43 de prima del seguro, 16 de productividades marginales, 64 de transformación, 95 marginal de sustitución, 55, 56, 85, 91, 95, 114, 226, 228, 255, 303, 307 Teoría cuantitativa del dinero, 19, 40, 133 cuantitativa del dinero (Cassel), 133 de juegos, 130, 145, 184, 190, 196, 252 de la máxima satisfacción social (Walras), 21 de la probabilidad, 253 de la producción (Walras), 13 de la satisfacción máxima (Walras), 6

472

Índice alfabético del del del del del del

bienestar, 107, 113 bienestar (Samuelson), 46 capital, 43 comercio internacional, 45 consumo (Samuelson), 45 crecimiento económico (Koopmans), 172 del equilibrio general (Allais), 42 del valor, 106 del valor (Marx), 168 monetaria (Allais), 43 monetaria (Walras), 17 walrasiana del capital, 16 Teorema Brown-Matzkin, 272 de dualidad (método simplex), 378 de existencia de equilibrio competitivo, 236 de igualación de precios, 46 de igualación de precios de factores, 100 de imposibilidad de Arrow, 116 de Kakutani, 145 de Koopmans, 177 de la envolvente, 38 de la máxima satisfacción social (Walras), 20, 82 de las redistribuciones equivalentes, 12 de Minkowski, 377 de punto fijo de Brouwer, 141, 196, 383 de punto fijo de Kakutani, 150, 185, 188, 218, 384 de separación de Minkowski, 191, 376, 377 de Weierstrass, 368 del bienestar económico, 88, 92, 308 del máximo, 380, 383 Eilenberg-Montgomery, 186 Heckscher-Ohlin, 99 minimax, 148, 190

Sonnenschein-Mantel-Debreu, 269 Stolper-Samuelson, 100 Teorema de equivalencia para economías grandes, 252 Teorema de la envolvente, 384, 386 Teoremas del bienestar económico (Allais), 44 Terrateniente (Walras), 13 Tinbergen, Jan, 46, 169 Tipos básicos de relaciones, 336 Trabajador (Walras), 13 Tradición alemana, 27, 129 paretiana, 25, 27, 117 Tradiciones poswalrasianas, 24 Transitividad hipótesis de, 131 Tucker, Albert, 190 Universidad de Lausanne, 3, 30 Usawa, Hirofumi, 251 Utilitarismo (Edgeworth), 253 Valor de mercado, 106 estándar, 106 natural, 106 Valores propios de una matríz cuadrada, 349 Vector(es) ángulo entre, 344 producto punto entre, 344 propiedades del producto interior, 344 producto interior, 344 Vectores propios de una matriz cuadrada, 349 Volterra, Vito, 35, 277 Von Hayek, Friedrich, 280, 282 Von Mises, Ludwig, 171 Von Neumann, John, 27, 60, 129, 130, 145, 146, 184, 190, 196, 252 modelo de, 144

Índice alfabético Von Thünen, Johann H., 54 Wald, Abraham, 27, 114, 129, 138, 153, 185 Walker, Donald, 3 Walras, Auguste, 1, 11, 12, 74 Walras, León, 1, 9, 11, 13–18, 20,

473 22, 24, 32, 88, 117, 135, 244, 245 Weintraub, E. Roy, 185 Wicksell, Knut, 22, 25, 134, 169 Wicksteed, Philip, 2, 31, 54 Zeuthen, Frederik, 137

Este libro, editado por el Centro Editorial de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Colombia, se terminó de imprimir y encuadernar en abril de 2018 en los talleres de Digiprint Editores en Bogotá, D.C. con un tiraje de 300 ejemplares, sobre papel Bond blanco de 70 gramos.