LIBRO-CAPITULO2 TEORIA DE EXPONENTES.pdf
TEORIA DE EXPONENTES 2 CAPACIDADES Al estudiar este capítulo el alumno será capaz de: Identificar los elementos de l
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- Lucho Huarcaya Gonzales
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TEORIA DE EXPONENTES
2
CAPACIDADES Al estudiar este capítulo el alumno será capaz de: Identificar los elementos de la potenciación. Reconocer las propiedades de los exponentes. Analizar las propiedades de la teoría de exponentes y radicales. Aplicar las propiedades de la teoría de exponentes en la solución de ejercicios y problemas. Identificar y comprobar los teoremas de radicación. Aplicar las propiedades de las ecuaciones exponenciales. Reconocer las expresiones con operaciones que se repiten indefinidamente. Realizar operaciones de multiplicación, potenciación, división y radicación.
El último teorema de Pierre de Fermat, es uno de los teoremas más famosos de la historia de la matemática; cuyo enunciado es: No existen números enteros x; y; z que verifiquen la ecuación: , cuando n es mayor que dos El enunciado de este teorema quedó anotado en un margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto de Alejandría traducida al latín por Bachet publicado en 1621. La nota de Fermat fue descubierta póstumamente por su hijo Clemente Samuel, quien en 1670 publica este Libro con las numerosas notas marginales de Fermat. Concretamente Fermat escribió en el margen de la edición de La Aritmética de Bachet lo siguiente: “Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeña para ponerla” Recientemente, en 1994, Andrew John Wiles demostró este teorema. Por dicha demostración se ofrecieron cifras millonarias durante años. Wiles nació el 11 de abril de 1953 en Cambridge182, Inglaterra. Según afirma el propio Wiles, su interés por este teorema surgió cuando era muy pequeño.
25 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
2. TEORÍA DE EXPONENTES Son fórmulas que relacionan a los exponentes de las expresiones algebraicas de un solo término en las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación en un número limitado de veces.
Definiciones previas CASO
DEFINICIONES
EJEMPLOS
El exponente natural indica las veces que se repite la base. Exponente natural
𝑏𝑛
𝑏, 𝑠𝑖 𝑛 𝑏 𝑏 … 𝑏, 𝑠𝑖 𝑛 𝑛 n veces
Exponente nulo
Exponente negativo
Exponente fraccionario
Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es igual a la unidad.
(
)
(√
)
Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados y los cubos. Diofanto (III d.C.) ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación de las potencias. Así x, xx¸ xxx, etc. para expresar la primera, segunda, tercera potencias de x. Renato Descartes (1596-1650) introdujo la notación , , , , Aunque la palabra raíz proviene del latín radix, la radicación fue conocida por los hindúes y por los árabes mucho antes que por los romanos. Las reglas para extraer raíces cuadradas y cúbicas aparecieron por primera vez en textos hindúes.
Todo número diferente de cero elevado a un exponente negativo se invierte. ( )
Se expresa equivalentemente como los radicales donde el numerador de dicho exponente es el exponente del radicando y el denominador representa al índice del radical.
( )
√ √
√
26 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
2.1. Potenciación Es la operación aritmética que tiene por objeto multiplicar por sí mismo un número llamado base (b) tantas veces como indica otro número llamado exponente(n). Su algoritmo se expresa por: exponente
2.1. Ley de los signos de la potenciación: I) Si la base es positiva, la potencia es positiva así el exponente sea par o impar.
𝒃
𝒏
base
𝑏𝑛
𝑷
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 …𝑏
𝑃
n veces potencia
Teoremas Fundamentales de la potenciación
Ejemplo:
TEOREMA
a) (
)
b) (
)
1. Producto de Potencias de Igual Base
GENERALIZACIÓN
EJEMPLOS
1) 2)
II) Si la base es negativa, la potencia es positiva si el exponente es par: Ejemplo a) (
)
b) (
)
2. Cociente de Potencias de Igual Base
1) 2)
II) Si la base es negativa, la potencia es negativa si el exponente es impar:
3. Producto de Potencias de Diferente Base
(
Ejemplo a) (
)
b) (
)
4. Cociente de Potencias de Diferente Base
)
(
(
)
2)
(
)
1) ( ) 2)
2.2. Observación del teorema 5 (
1) )
( ) ( )
) 5. Potencia de Potencia (Ver 2.1)
1) {[( ) ] } {[( ) ] } 2) {[( ) ] }
27 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
Teoremas Fundamentales (continuación) TEOREMA
6. Exponente de exponente
GENERALIZACIÓN 𝑏𝑚 𝑛
𝑝
𝑏𝑚 𝑛
𝑝
𝑏
( ) 𝑏
I) Si el radicando es positivo, la raíz es positiva así el índice sea par o impar.
x
y 𝑚𝑥
2.3. Ley de los signos de la radicación:
EJEMPLOS
( )
𝑦
√
Ejemplo: a) √
7. Potencia de una raíz
b) √ (√
(√ )
√
)
√ II) Si el radicando es negativo y el índice es impar, la raíz es negativa. Ejemplo
2.2. Radicación
a) √
Es la operación aritmética inversa a la potenciación que consiste en hallar un número “r” llamado raíz (en la potenciación se llama base), que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad b, llamado radicando. Su algoritmo se expresa por:
índice de la raíz 𝒏
𝒓 ⇔ 𝒓𝒏
√𝒃
𝒃 𝒏
𝒏
𝟐
raíz símbolo de la raíz
radicando
8. Raíz de un producto
9. Raíz de un cociente
GENERALIZACIÓN
√
√
√
III) Si el radicando es negativo y el índice es par, la raíz no existe. Ejemplo a) √ b) √
Teoremas Fundamentales de la radicación TEOREMA
b) √
.
EJEMPLOS
√
√ √
√
√
√
√
√ √
28 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
Teoremas Fundamentales de la radicación (continuación)
2.4. Observación del teorema N° 10
√√√
√√ √
√
TEOREMA
GENERALIZACIÓN
10. Raíz de una raíz (Ver 2.4)
√√√
EJEMPLOS
√√√
√
√
11. Raíz de raíz con radicando
√
√
√
√
√
√
√
√
2.5. Algunas propiedades de la radicación
√
√
√
√
√
,
,
√
2.3. Casos especiales Son aquellas operaciones con exponentes y radicales que se repiten indefinidamente y que tienen una regla de formación. CASO
1
GENERALIZACIÓN √
√
√
√
√
…
Ejemplo: √
√
√
…
| |,
√
√
√ √
√
√
2
√ … √ Ejemplo: √
√ √ √ √ (
√ …
)
√ (
)
Ejemplo: 3
√
√ √
√ √
√
29 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
Casos especiales (continuación) CASO
¿Alcanzaría todo el trigo del mundo para pagar el juego de ajedrez?
GENERALIZACIÓN
4
√ (
)
√ (
)
Ejemplo: √
√
√
El ajedrez tiene su origen en un juego hindú denominado Chaturanga, que posiblemente se fusionó con otro juego griego denominado Petteia, ambos juegos existen desde la antigüedad, las primeras apariciones del juego actual son de los alrededores del año 500 de nuestra era, y llegó a Europa a través de los árabes.
√
√
√
5 √ Ejemplo: √
Cuenta la leyenda que el rey indio Iadava acababa de perder a su hijo en una batalla y un ciudadano (Sessa) que se enteró quiso alegrarlo enseñándole el juego del ajedrez. Parece ser que el rey quedó fascinado con el juego y era tan grande su agradecimiento que ofreció a Sessa para que él pidiese lo que quisiera.
6 √
√
√
Ejemplo: √
√
7 √
√
√
√
Ejemplo: √
√
Lo único que pidió Sessa fue trigo. Le pidió al rey que le diera un grano de trigo por la primera casilla del ajedrez, dos por la segunda, cuatro por la tercera, y así sucesivamente multiplicando por dos, hasta llegar a la última casilla, la número 64.
√
8 √ √ √ …
√
Ejemplo: √ √ √ …
√
El número de granos de trigo solicitado sería: S = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 263
9 √
√
√
…
√
Si “n” es par
√
√
√
… Si “n” es impar
√
S = 1 8 44 6 74 4 07 3 70 9 55 1 615( Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince).
30 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE EXPONENTES 2. Reducir: ⏟ …
1. Si y
⏟
…
⏟
…
⏟
…
⏟
…
( ) Solución:
Halla A+B Solución:
⏟
…
,
3. Reducir: (
4.Simplificar:
)
Solución:
Solución: ,
(
)
Factorizando ( (
) )
Producto de extremos y medios
√
31 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
6. Simplificar:
5. Reducir: √
Solución: Solución:
√
√
=
√
√ :
8. Efectuar:
7. Simplificar:
(
√
√
√
) ( )
√ √
√ √
√ √
√ √
√( )
Solución: √
√
√
√ ( ( )
(
Solución: ( )
√
)
=√
√
√
√
) ( )
√ √
32 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
9. Si
√
10. Si √
Y
Hallar:
√
√
√
√
Hallar: Solución:
√
Solución: (Por casos especiales 3)
P=
√
√
√
(remplazando el valor de S en V) Remplazando: √ en P
(√
P=
√
11. Si
√
√
√
√ ) √
Finalmente:
…
12. Si:
√ √ √ √ …
√
;
Hallar: Solución: (Por casos especiales 5)
Hallar:
Si: Solución: (Por casos especiales 1)
√
√
√
…
√
√ Si:
√ √ √ √ …
(√ )
Luego: √ √
Luego:
33 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
14. Si
13. Reducir:
Calcular: P=
√ Solución:
Solución: √
√ Remplazando √
( √
en P
P= P = 27
)
√
15. Simplificar:
16. Si se cumple:
√ √ √
√√√
Calcula: R=
Solución: Solución:
√ √ √
√√√
√
De
√
√
√ Remplazando en R
√
R= √ R = 3 + 3 + 9 + 27 = 42
34 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
APLICA TUS CONOCIMIENTOS 1) Calcular:
2) Hallar: √
( )
Respuesta: 1
3) Hallar el valor de:
( )
Respuesta: 2
Respuesta: 6
4) Reducir:
[(
)
(
)
(
)
]
Respuesta: 5
35 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
5) Reducir:
6) Calcula: [(
) ]
[(
) ]
Respuesta: 1
7) Hallar x en:
[
]
Respuesta: 1
8) Reducir:
√
Respuesta: 3
] [
√ √ √
√
Respuesta: 7
36 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
9) Hallar el valor de N:
√
√
10) Simplificar:
√
√ √
√
√
√
Respuesta: 7
11) Hallar el valor de:
12) Reducir:
√
√ √
√ √
√
√
√
√
Respuesta: 1
√
√
… …
Respuesta: 1
√
Respuesta: 24
37 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
13) Reducir:
14) Hallar: (
√
L
) Si:
√
√
√
√
√
√
√ √ √ …
√
√
√
…
Respuesta: 1 Respuesta: y
15)Hallar S en:
16) Si
,
Respuesta: 10 Respuesta: 256
38 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
2.6. Algunas observaciones y propiedades importantes
(
(
)
2.4. Ecuaciones exponenciales Son aquellas ecuaciones que llevan la incógnita en el exponente de una potencia, o puede encontrarse como base de la potencia.
)
√
√
,
√
-Igualando exponentes y resolviendo la ecuación
Si
(
,
)
Si
Solución: Descomponiendo el exponente en el segundo miembro
Resolver: 4. Analogía de términos
=n √
√ √
√
√
5. Cambio de variable
√
T R I N Ó M I C A S
Si
)
-Igualando las bases y exponentes para luego resolver
√
√
Resolver: ( ) ( Solución: -Igualando las bases y resolviendo la ecuación
Resolver: (ecuaciones trascendentales)
√
M O N Ó M I C A S
√
EJEMPLOS Resolver: Solución: -Expresando el segundo miembro como potencia
Si
2. Igualdad de exponentes
√
3. Igualdad de base y exponente
√
√
GENERALIZACIÓN 1. Igualdad de bases
CASO
PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
O si
Son ecuaciones con tres términos y mediante un cambio de variable se convierte a una ecuación de segundo grado
√ Solución: Expresando el segundo miembro como exponente fraccionario
Resolver: Solución:(Usando las propiedades de las potencias
Haciendo el cambio de variable , (resolviendo) Sustituyendo y por e igualando exponentes x= 0; x= -1
39
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES 1. Resolver:
2. Resolver: Solución: Factorizando
Solución: Igualando exponentes(caso 1)
3x+5 = 6x + 20
(
Resolviendo la ecuación
)
(
)
6x -3x = -20 + 5 3x = -15 x= x= - 5
3. Resolver:
4. Resolver:
Solución: Por cambio de variable ( caso 5 )
Haciendo un cambio de variable y ordenando
Resolviendo la ecuación: y = 4 , y = -5 Sustituyendo “y” por
Solución: Factorizando
(
) (
)
e igualando exponentes
En el primer caso
(cumple la igualdad) En el segundo caso (no cumple la igualdad)
40 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
5. Resolver:
6. Resolver:
Solución: Igualando las bases para igualar los exponentes y resolver la ecuación
(
Solución: Expresando en bases iguales e igualando exponentes
)
7. Resolver:
Resolver:
Solución:
Solución:
Preparando en el segundo miembro para aplicar la analogía de términos (caso 4)
Aplicando el caso 2 de igualdad de exponentes
Para que las bases sean iguales consideramos el exponente igual a cero
√
41 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
APLICA TUS CONOCIMIENTOS 1) Demostrar que:
)
b)
c)
2) Resolver:
√
√
√
Respuesta: x=
3) Resolver:
4) Resolver:
Respuesta:
Respuesta:
42 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
:
5) Hallar a en:
6) Resolver:
Respuesta: a= 11 Respuesta: C.S={
7) Resolver: √
}
8) Resolver:
Respuesta x= 5 Respuesta: x= 9
43 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
9) Resolver:
10) Resolver:
Respuesta: x=
Respuesta: x=
11) Si
12) Resolver: Si
hallar el valor de √
Dar el menor valor de x
Respuesta: √
Respuesta:
√
44 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
13) Hallar “n” en:
14) Resolver: ( )
√
Dar el valor de
Respuesta:
Respuesta: n = 2
15) Resolver:
√
√
16) Resolver: √
Respuesta: x=
√
√
Respuesta: x= √
45 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
TAREA DOMICILIARIA
1) Reducir: ( )
RECUERDA
*
{[( ) ] }
a) 2
√
√
b) 130
b) 3
a) 2 4
√
√
√
e) 7
c) 4090
d) 6000
e) 7290
c) 4
d) 6
e) 7
)
4) Si
*
d) 6
3) Simplificar: √ √ √
a) 2 (
c) 4
2) Simplificar:
a) 100
√
b) 3
√
√
Hallar
b) 36
c) 128
d) 256
e) 512
√
…
√
5) Simplificar:
a) 2
b) 3
√
c) 4
√
d) 6
√
e) 7
46 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
6) Efectuar:
a) 5
√
b) 6
√ √
c) 7
√
√
+ √
d) 8
e) 11
RECUERDA
7) Reducir:
(
)
*En los radicales sucesivos a) 1
b) 2
c)
d)
e) 15
√ √ √ Si las bases son iguales
) ]
8) Calcular: [(
√ √
√
√
En el producto se tiene: a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
√
(
)
(todos los signos son positivos)
9) Resolver:
En el cociente a) 1
b) 2
c)
d)
e) 15
√
√
√
Se tiene:
a) 1
c)
d)
11) Simplifique: √
√
a) √
b) 2
√
√
10) Resolver:
b) √
c) √
)
(los signos son intercalados)
e) 15
√
(
√
√
d) √
e) √
47 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO