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IN

1.1 DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA 1.2 TÉRMINOS SEMEJANTES 1.3 PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO 1.4 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1.5 SUMA Y RESTA 1.6 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 1.7 LA FACTORIZACIÓN 1.8 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, MÁXIMO COMÚN DIVISOR 1.9 SIMPLIFICACIÓN 1.10 FRACCIONES COMPLEJAS 1.11 VALOR NUMÉRICO 1.12 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

1

Lic. Christian Meruvia M. 1.1 Definición de álgebra Es la parte de la matemática que generaliza las operaciones utilizando letras, símbolos y números para este efecto. Se consideraba que el álgebra era la extensión de la aritmética la cual utiliza solo números, pero hoy en día se sabe que ciertas partes del álgebra no son relacionadas con la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.). Generalmente las letras que denotan a las variables (cantidades desconocidas) son las letras x,y,z,u,v,w entre otras. Las letras que generalmente se utilizan como constantes pueden ser las letras a,b,c,d,m,n entre otras.

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1.2 Términos semejantes Son aquellos que tienen la misma parte literal, solo los términos semejantes se pueden sumar y restar entre sí, para esto se suman o restan los coeficientes y se escribe la misma parte literal.

Ejemplos: 1

a)

5𝑥, −2𝑥,

b) c) d) e)

−8𝑥 3 𝑦 5 , 7𝑥 3 𝑦 5 , 10𝑥 3 𝑦 5 son términos semejantes porque tienen la misma parte literal o sea “𝑥 3 𝑦 5 ” 4√𝑥, −6√𝑥, √𝑥 son términos semejantes porque tienen la misma parte literal o sea “√𝑥” 2(𝑎 − 𝑏), −(𝑎 − 𝑏), 4(𝑎 − 𝑏) son términos semejantes porque tienen la misma parte literal o sea “(𝑎 − 𝑏)” 5 ∙ 3𝑥 , −4 ∙ 3𝑥 , 8 ∙ 3𝑥 son términos semejantes porque tienen la misma parte literal o sea “3𝑥 ”

2

𝑥 son términos semejantes porque tienen la misma parte literal o sea “x”

1.3 Partes de un término algebraico

IN

EXPONENTES

SIGNO

−3 𝑥 2 𝑦 3 COEFICIENTE PARTE LITERAL

1.4 Clasificación de las expresiones algebraicas 𝟒𝒎𝟓 𝒏𝟕

a) Monomio.- Es la expresión algebraica que tiene un solo término b) Polinomio.- Es la expresión algebraica que contiene más de un término b.1) Binomio.- Expresión que contiene dos términos

𝟐𝒙𝟓 − 𝟔𝒚𝟐

b.2) Trinomio.- Expresión que contiene tres términos

𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛

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b.3) Cuatrinomio.- Expresión que contiene cuatro términos

𝟖𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝟔𝒙𝒚𝟐 − 𝒚𝟑

1.5 Suma y resta Para sumar y restar términos semejantes, se debe tener en cuenta la siguiente regla:

Propiedades: a) 𝑎 + 0 = 𝑎

Neutro aditivo

b) 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

Propiedad conmutativa Propiedad asociativa

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c) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐

Términos semejantes con el mismo signo, se suman y el resultado lleva el mismo signo.

Ejemplos: a) 2 + 5 = 7

El 2 y el 5 tienen signos positivos por lo cual se suman y el resultado lleva el mismo signo (+)

b) −8 − 9 = −17

El 8 y el 9 tienen signos negativos por lo cual se suman y el resultado lleva el mismo signo (-)

c) −5𝑥 − 13𝑥 − 4𝑥 = −22𝑥

Los tres términos son semejantes por lo cual se pueden sumar y restar, en este caso los tres tienen signo negativo con lo cual se suman y el resultado lleva el mismo signo (-)

d) 12𝑚2 𝑛 + 𝑚2 𝑛 + 4𝑚2 𝑛 = 17𝑚2 𝑛 e) −2√𝑥 − 5√𝑥 = −7√𝑥

En este caso también se trata de términos semejantes con lo cual se aplica la misma

IN

regla.

Términos semejantes con signo distinto, se resta el mayor menos el menor y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplos:

a) −9 + 11 = 2

El 9 y el 11 tienen signos distintos por lo cual se resta el número mayor con el número menor o sea 11-9 y lleva el signo del número mayor (+)

b) −8 + 4 = −4

Al tener signos distintos se resta el mayor con el menor o sea 8-4 y el resultado lleva el signo del mayor en este caso (-)

c) −7𝑥𝑦 2 𝑧 3 + 𝑥𝑦 2 𝑧 3 = −6𝑥𝑦 2 𝑧 3 Al ser términos semejantes se pueden restar con lo cual se restan los coeficientes 7-1 y la respuesta lleva el signo del mayor o sea (-)

d) 12 ∙ 4𝑥 − 10 ∙ 4𝑥 = 2 ∙ 4𝑥 También son términos semejantes con lo cual se restan los coeficiente en este caso 12 y 10 llevando la respuesta el signo del coeficiente mayor o sea (+)

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Lic. Christian Meruvia M. Combinación de suma y resta Ejemplos: a) −8𝑎 − 14𝑎 + 5𝑎 − 𝑎 = −18𝑎 Los cuatro términos son semejantes, -8 y-14 se suman y lleva el signo (-) 0 sea -22, -22 con +5 se realiza la resta 22-5 que da 17 con el signo del mayor o sea -17 que a su vez se junta con -1 (que es el coeficiente de (-a), al ser signos iguales se suman y lleva el mismo signo, así tenemos -17-1 es igual a -18.

b) √𝑥𝑦 + 3√𝑥𝑦 − 5√𝑥𝑦 − 2√𝑥𝑦 = −3√𝑥𝑦

1.6 Multiplicación y división

Propiedades:

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1.6.1. Multiplicación

a) 𝑎 ∙ 0 = 0

Elemento absorvente

b) 𝑎 ∙ 1 = 𝑎

Neutro multiplicativo

c) 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎

Propiedad conmutativa

d) 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 e) 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 1

f) 𝑎 ∙ 𝑎 = 1

Propiedad asociativa

Propiedad distributiva

Un número multiplicado por su inversa es la unidad. (Inverso multiplicativo) 3

4

1

1

IN

Ejemplos: La inversa de 4 es 3, la inversa de 5 es 5, la inversa de 2 es 2

Ley de signos:

+ ∙ += + + ∙ −= − − ∙ += − − ∙ −= +

La ley de signos también se aplica a la división.

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Ejemplos: a) Multiplicar: 3𝑥 ∙ 5𝑥 2 = 15𝑥 3

Se multiplica los coeficientes, se multiplica la variable, o sea 𝑥 por 𝑥 2 es 𝑥 3

b) Multiplicar: (−5𝑥𝑦 3 )(2𝑥 3 𝑦 4 ) = −10𝑥 4 𝑦 7

Se aplica la ley de signos con los dos términos − ∙ += − se multiplica los coeficientes 5 ∙ 2 = 10, se multiplican las variables 𝑥 ∙ 𝑥 3 = 𝑥 4 𝑦 3 ∙ 𝑦 4 = 𝑦 7 (al multiplicar bases iguales se suman los exponentes)

c) Multiplicar: −3(3𝑚 + 𝑛)(−4𝑚 + 5𝑛)

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Existen 3 términos: −3, (3𝑚 + 𝑛), (−4𝑚 + 5𝑛), se puede multiplicar el primer con el segundo término y el resultado con el tercer término o se puede multiplicar el primer término con el tercer término y el resultado con el segundo término o el segundo con el tercer término. En este ejemplo multiplicaremos primero en segundo y tercer término aplicando la propiedad distributiva. −3(3𝑚 + 𝑛)(−4𝑚 + 5𝑛)

−3(−12𝑚2 + 15𝑚𝑛 − 4𝑚𝑛 + 5𝑛2 )

Uniendo los términos semejantes o sea −15𝑚𝑛 − 4𝑚𝑛

IN

−3(−12𝑚2 + 11𝑚𝑛 + 5𝑛2 )

Distribuyendo el -3 con los tres términos dentro del paréntesis

36𝑚2 − 33𝑚𝑛 − 15𝑛2

Signos o símbolos de agrupación

Son elementos que definen el orden en el que se realizará cualquier operación matemática. Los símbolos de agrupación en orden de prioridad son:

Paréntesis ( ) Corchete [ ] Llave { } Barras | | Cuando aparece un signo positivo delante un símbolo de agrupación, los términos que están dentro de dicho símbolo no cambian.

Ejemplo: +(𝟓𝒙 − 𝒚𝟐 − 𝒛) = 𝟓𝒙 − 𝒚𝟐 − 𝒛

Los signos no cambian

5

Lic. Christian Meruvia M. Cuando aparece un signo negativo delante un símbolo de agrupación, los términos que están dentro de dicho símbolo cambian.

Ejemplo:

−[𝟐𝒎 − 𝟑𝒏 + 𝒑] = −𝟐𝒎 + 𝟑𝒏 − 𝒑 Prioridad de las operaciones

Los signos cambian

Son las siguientes:

-

Primero se efectúan las operaciones que se encuentran dentro de los signos de agrupación ( )[ ]{ }| | Luego las potencias y raíces (en cualquier orden). Después las multiplicaciones y divisiones (en cualquier orden). Por último, las sumas y restas (en cualquier orden).

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-

PRIORIDAD

SÍMBOLO

Símbolos de agrupación

| |{ }[ ]( ) (𝒙)𝒏 , 𝒏√𝒙

Potenciación y Radicación Multiplicación y División

×,÷

La división también se puede expresar como dos puntos :

Suma y Resta

Ejemplos: a) 3 + 5 ∙ 23

+, −

Primero se calcula la potencia

Se realiza primero la multiplicación y luego la suma.

IN

3+5∙8

(ejemplo)

3 + 40 = 43

b) Reducir: −{−3[−7𝑎 + 6𝑥 − 2(−𝑎 − 7𝑥)] − 5[−12𝑎 − 10𝑥 − 3𝑎 − (−3𝑥 − 2𝑎)]} Se deben hacer desaparecer los símbolos de agrupación, primero los paréntesis, luego corchete y por último llaves. Para esto, se copia todo el ejercicio hasta encontrar los paréntesis y luego se realizan las operaciones correspondientes.

−{−3[−7𝑎 + 6𝑥 − 2(−𝑎 − 7𝑥)] − 5[−12𝑎 − 10𝑥 − 3𝑎 − (−3𝑥 − 2𝑎)]}

−{−3[−7𝑎 + 6𝑥 + 2𝑎 + 14𝑥] − 5[−12𝑎 − 10𝑥 − 3𝑎 + 3𝑥 + 2𝑎]}

Se reducen los términos semejantes que están dentro del

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA corchete.

−{−3[−5𝑎 + 20𝑥] − 5[−13𝑎 − 7𝑥]}

Se multiplica, distribuyendo.

.

−{15𝑎 − 60𝑥 + 65𝑎 + 35𝑥}

Se reducen los términos semejantes que están dentro del corchete.

−{80𝑎 − 25𝑥} → −𝟖𝟎𝒂 + 𝟐𝟓𝒙

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c) Reducir: −{−[−(𝑎2 − 2𝑎 − 3)(−𝑎 − 1)(3 + 𝑎)] − [−2𝑎3 − 𝑎4 + 6𝑎2 − 2(−10𝑎 − 4)]} −{−[−(𝑎2 − 2𝑎 − 3)(−𝑎 − 1)(3 + 𝑎)] − [−2𝑎3 − 𝑎4 + 6𝑎2 − 2(−10𝑎 − 4)]}

Distribuyendo

−{−[−(−𝑎3 − 𝑎2 + 2𝑎2 + 2𝑎 + 3𝑎 + 3)(3 + 𝑎)] − [−2𝑎3 − 𝑎4 + 6𝑎2 + 20𝑎 + 8]}|

−{−[−(−𝑎3 + 𝑎2 + 5𝑎 + 3)(3 + 𝑎)] − [−2𝑎3 − 𝑎4 + 6𝑎2 + 20𝑎 + 8]}

−{−[−(−3𝑎3 − 𝑎4 + 3𝑎2 + 𝑎3 + 15𝑎 + 5𝑎2 + 9 + 3𝑎)] − [−2𝑎3 − 𝑎4 + 6𝑎2 + 20𝑎 + 8]}

Distribuyendo

Ordenando, Reduciendo términos

semejantes.

IN

−{−[−(−𝑎4 − 2𝑎3 + 8𝑎2 + 18𝑎 + 9)] − [−𝑎4 − 2𝑎3 + 6𝑎2 + 20𝑎 + 8]}

−{−[𝑎4 + 2𝑎3 − 8𝑎2 − 18𝑎 − 9] − [−𝑎4 − 2𝑎3 + 6𝑎2 + 20𝑎 + 8]}

−{−𝑎4 − 2𝑎3 + 8𝑎2 + 18𝑎 + 9 + 𝑎4 + 2𝑎3 − 6𝑎2 − 20𝑎 − 8} −{2𝑎2 − 2𝑎 + 1}



Reduciendo términos semejantes.

−𝟐𝒂𝟐 + 𝟐𝒂 − 𝟏

d) Reducir: 𝑄 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )(𝑎 + 𝑏 + 𝑑) + (𝑎 + 𝑐 + 𝑑)(𝑏 + 𝑐 + 𝑑 ) − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 )2 𝑄 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑑) + (𝑎 + 𝑐 + 𝑑)(𝑏 + 𝑐 + 𝑑) − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)

Distribuyendo

𝑄 = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑑 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 + 𝑏𝑑 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑐 2 + 𝑐𝑑 + 𝑏𝑑 + 𝑑𝑐 + 𝑑 2 − (𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐2 + 𝑑 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐 + 2𝑏𝑑 + 2𝑐𝑑)

Reduciendo términos semejantes.

𝑄 = 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759-22676

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Lic. Christian Meruvia M.

1) Decimal exacto: Está compuesta por un número finito de decimales. a) Convertir 0,2 a fracción El 2 se encuentra en la posición de las decimas entonces:

2 10

Simplificando:

1 5

b) Convertir 4,25 a fracción El 5 se encuentra en la posición de las centésimas entonces:

425 100

Simplificando:

17 4

en fracción mixta: 4

1 4

456

Simplificando

999

152 333

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2) Decimal periódico puro: El periodo se repite infinitamente. a) Convertir 0,456456456456……… a fracción En este caso el periodo es 456 y se repite hasta el infinito, también se puede denotar como 0.456 En el numerador se coloca el número del periodo o sea 456, en el denominador se coloca tantos nueves como números tiene el periodo o sea tres nueves. b) Convertir 2,33333333………. a fracción El periodo es el número 3, se coloca en el numerador la parte entera con el número del periodo o sea 23 restándole la parte entera o sea 2 y en el denominador un nueve. 23−2 9

21

=

7

Simplificando

9

3

3) Decimal periódico mixto: La parte decimal contiene una parte no periódica y una parte periódica a) Convertir 0,0427272727……….a fracción También se puede denotar como 0,0427 La parte no periódica es 04, la parte periódica es 27, en el numerador se coloca la parte no periódica y la parte periódica o sea 0427 que es equivalente a 427 y se le resta la parte no periódica, en el denominador se coloca tantos nueves como números tiene la parte periódica o sea dos nueves y tantos ceros como números tiene la parte no periódica o sea dos ceros. 427−04 9900

=

423

Simplificando

9900

47

1100

3234−32 990

=

3202 990

IN

b) Convertir 3,234 a fracción La parte entera es 3, la parte no periódica es 2 y la parte periódica es 34. En el numerador se coloca el entero, la parte periódica y la no periódica y se le resta el entero con la parte no periódica o sea 3234-32, en el denominador dos nueves y un cero. Simplificando

1601 495

2

𝑥

3

e) Reducir:[− (−𝑥 + 7 𝑥 2 ) − (0,8𝑥 + 0,1)] − [− (− 5 − 0,333333 … . . ) − 2 5]

Se convierten los decimales a fracciones.

2

2

4

1

5

10

[− (−𝑥 + 𝑥 ) − ( 𝑥 + 7

𝑥

1

13

5

3

5

)] − [− (− − ) −

]

Se realizan las operaciones

2 4 1 𝑥 1 13 [𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 − ] − [ + − ] 7 5 10 5 3 5 2

4

1

7

5

10

𝑥 − 𝑥2 − 𝑥 −

𝑥

1

13

5

3

5

− − +

Sacando el mínimo común denominador de los denominadores 7, 5, 10, 3 o sea 210 Dividiendo el común denominador entre los denominadores y multiplicando el El resultado por el numerador.

210𝑥−60𝑥 2−168𝑥−21−42𝑥−70+546 210

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Reduciendo términos semejantes en el numerador

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INSTITUTO C.E.P.I. −60𝑥 2 +455

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Al ser el denominador un solo término (monomio), se puede separar el denominador

210

para los dos términos del numerador. −

60𝑥 2 210

+

455

Simplificando

210

𝟐

𝟏𝟑

𝟕

𝟔

− 𝒙𝟐 +

1.6.2. División a) División de un polinomio entre un monomio

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Cuando se divide un polinomio entre un monomio, se puede repartir el denominador entre todos los términos del numerador.

Ejemplos:

a.1) Dividir: 10𝑥 5 𝑦 6 𝑧 4 − 20𝑥 3 𝑦 8 𝑧 5 + 14𝑥 9 𝑦 3 𝑧 9 entre −2𝑥 4 𝑦 3 𝑧 2 Se escribe la división de la siguiente forma:

10𝑥5𝑦6 𝑧4 −20𝑥7 𝑦8𝑧5 14𝑥9𝑦3𝑧9 + + −2𝑥4𝑦3 𝑧2 −2𝑥4𝑦3𝑧2 −2𝑥4 𝑦3𝑧2

10𝑥5𝑦6𝑧4 20𝑥7𝑦8 𝑧5 14𝑥9𝑦3𝑧9 + 4 3 2 − 4 3 2 2𝑥4𝑦3 𝑧2 2𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥 𝑦 𝑧

IN

−

10𝑥 5 𝑦 6 𝑧 4 −20𝑥 7 𝑦8 𝑧 5 +14𝑥 9 𝑦 3 𝑧 9 −2𝑥 4 𝑦 3 𝑧 2

Se reparte el denominador a todos los términos del numerador.

Se aplica la ley de signos.

Se dividen o simplifican los coeficientes; para dividir las variables (letras) se restan los exponentes de cada variable.

−𝟓𝒙𝒚𝟑 𝒛𝟐 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 𝒚𝟓 𝒛𝟑 − 𝟕𝒙𝟓 𝒛𝟕

a.2) Dividir: 12𝑎𝑛+2 𝑏𝑚−3 − 8𝑎−𝑛−2 𝑏2𝑚+5 + 10𝑎−5𝑛+7 𝑏 −4𝑚−1 entre 4𝑎𝑛−1 𝑏 −2𝑚+3 12𝑎𝑛+2 𝑏𝑚−3 −8𝑎−𝑛−2 𝑏2𝑚+5 +10𝑎−5𝑛+7 𝑏 −4𝑚−1 4𝑎 𝑛−1 𝑏−2𝑚+3

12𝑎𝑛+2 𝑏𝑚−3 4𝑎 𝑛−1 𝑏−2𝑚+3

−

8𝑎 −𝑛−2 𝑏2𝑚+5 4𝑎 𝑛−1 𝑏−2𝑚+3

+

10𝑎 −5𝑛+7 𝑏−4𝑚−1 4𝑎 𝑛−1 𝑏−2𝑚+3

Se reparte el denominador a todos los términos del numerador.

Se simplifican los coeficientes; se restan los exponentes de las variables. 5

3𝑎𝑛+2−(𝑛−1) 𝑏𝑚−3−(−2𝑚+3) − 2𝑎−𝑛−2−(𝑛−1) 𝑏 2𝑚+5−(−2𝑚+3) + 2 𝑎−5𝑛+7−(𝑛−1) 𝑏 −4𝑚−1−(−2𝑚+3)

Realizando las

5 3𝑎 𝑛+2−𝑛+1𝑏 𝑚−3+2𝑚−3 − 2𝑎 −𝑛−2−𝑛+1 𝑏2𝑚+5+2𝑚−3 + 𝑎−5𝑛+7−𝑛+1𝑏 −4𝑚−1+2𝑚−3 2

operaciones.

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Lic. Christian Meruvia M. 𝟓 𝟑𝒂𝟑 𝒃𝟑𝒎−𝟔 − 𝟐𝒂−𝟐𝒏−𝟏 𝒃𝟒𝒎+𝟐 + 𝒂−𝟔𝒏+𝟖 𝒃−𝟐𝒎−𝟒 𝟐

b) División entre polinomios Partes de la división Dividendo Residuo

𝒂 (𝒄)

𝒃 𝒅

divisor Cociente

Se concluye en la siguiente relación:

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𝐃𝐢𝐯𝐢𝐝𝐞𝐧𝐝𝐨 = 𝐝𝐢𝐯𝐢𝐬𝐨𝐫×𝐂𝐨𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 + 𝐑𝐞𝐬𝐢𝐝𝐮𝐨

Pasos para realizar la división:

-

Se debe ordenar el dividendo y el divisor en forma descendente. Se debe completar los términos que falten con coeficiente 0. Se procede a dividir el primer término del dividendo con el primer término del divisor, el resultado es el primer término del cociente. Este cociente se multiplica por todos los términos del dividendo y se colocan debajo los términos del divisor con signos cambiados. Se realiza la suma algebraica. Se bajan el o los términos del dividendo necesarios. Se comienza el ciclo desde el primer paso hasta que el último término del dividendo haya bajado.

Ejemplos:

IN

-

a) Hallar el dividendo en una división sabiendo que el divisor es −𝑥 3 + 2𝑥 + 3, el cociente es −𝑥 2 + 1 y el residuo es −2𝑥 2 − 3𝑥 − 4 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 = −𝑥 3 + 2𝑥 + 3 Reemplazando en la ecuación:

𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = −𝑥 2 + 1

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 = −2𝑥 2 − 3𝑥 − 4

Dividendo = divisor×Cociente + Residuo

Dividendo = (−𝑥3 + 2𝑥 + 3)(−𝑥2 + 1) + (−2𝑥2 − 3𝑥 − 4)

Luego de reemplazar de realizan las operaciones

𝐷 = 𝑥 5 − 𝑥 3 − 2𝑥 3 + 2𝑥 − 3𝑥 2 + 3 + (−2𝑥 2 − 3𝑥 − 4) 𝐷 = 𝑥 5 − 𝑥 3 − 2𝑥 3 + 2𝑥 − 3𝑥 2 + 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 − 4

Reduciendo términos semejantes y ordenando.

𝑫 = 𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏

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b) Dividir: 3𝑥 3 + 21𝑥 2 + 21 𝑥 − 18 entre 𝑥 2 + 5𝑥 − 3 El dividendo y el divisor están ordenados en forma descendente y ambos están completos. Se procede a realizar la división: 3𝑥 3 + 21𝑥 2 + 21𝑥 − 18 −3𝑥 3 − 15𝑥 2 + 9𝑥

𝑥 2 + 5𝑥 − 3 3𝑥

Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del denominador aplicando la ley de signos, o sea 3𝑥 3 entre 𝑥 2 que resulta ser 3𝑥, este primer término del cociente se multiplica por todos los términos del divisor, los resultados se colocan a lado izquierdo debajo los términos del dividendo pero con signo cambiado y se realiza la suma algebraica en este caso 3𝑥 3 − 3𝑥 3 , 21𝑥 2 − 15𝑥 2 , −21𝑥 + 9𝑥.

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3𝑥 3 + 21𝑥 2 + 21𝑥 − 18 𝑥 2 + 5𝑥 − 3 3 2 −3𝑥 − 15𝑥 + 9𝑥 3𝑥 + 6 Cociente 2 6𝑥 + 30𝑥 − 18 −6𝑥 2 − 30𝑥 + 18 Residuo

1

2

8

5

c) Dividir: − 3 𝑥 4 + 5 𝑥 3 𝑦 − 15 𝑥 𝑦3 − 27 𝑦 4

0

entre

1

2

2

3

𝑥 2 + 3 𝑦2 − 5 𝑥𝑦

Ordenando en forma descendente respecto a “x” y ascendente respecto a “y” tanto el dividendo y el divisor, completando con coeficiente 0 los términos que faltan. 1 3

2 5

1 3

2 5

− 𝑥 4 + 𝑥 3 𝑦 + 0𝑥 2 𝑦 2 − 4 9

8 𝑥𝑦 3 15

−

5 4 𝑦 27

2 3

+ 𝑥4 − 𝑥3𝑦 + 𝑥2𝑦2 4 9

4

3 5

8 𝑥𝑦 3 15 8

−

5 4 𝑦 27 16

− 9 𝑥 2 𝑦 2 + 15 𝑥𝑦 3 − 27 𝑦 4 Residuo

2 3

− 𝑥𝑦 + 𝑦 2 8 9

− 𝑥2 + 𝑦2

IN

+ 𝑥2𝑦2 −

1 2 𝑥 2

Se divide el primer término del dividendo entre

el primer término del divisor o sea

1 3 1 2

=

2 3

Cuando se simplifican dos términos, bajan también dos términos.

7 9

− 𝑦4

d) Hallar el valor de “m” y “n” para que la siguiente división sea exacta: −𝑥 4 + 4𝑥 2 − 𝑚𝑥 − 𝑛 entre 𝑥 2 − 2𝑥 − 5 La expresión “sea exacta”, “sea divisible”, “tenga como factor” o expresiones similares, se refieren a que el residuo de la división entre los dos polinomios es cero. 𝐑𝐞𝐬𝐢𝐝𝐮𝐨 = 𝟎 (𝐝𝐢𝐯𝐢𝐬𝐢ó𝐧 𝐞𝐱𝐚𝐜𝐭𝐚)

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Lic. Christian Meruvia M. Ordenando y completando el dividendo y el divisor: −𝑥 4 + 0𝑥 3 + 4𝑥 2 −

𝑚𝑥 − 𝑛

+𝑥 4 − 2𝑥 3 − 5𝑥 2 − 2𝑥 3 − 𝑥2 −

𝑥 2 − 2𝑥 − 5 −𝑥 2 − 2𝑥 − 5

𝑚𝑥

+2𝑥 3 − 4𝑥 2 − 10𝑥 −5𝑥2 + (−𝑚 − 10)𝑥 − 𝑛

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+5𝑥2 − 10 𝑥 − 25 + (−𝑚 − 20)𝑥 − 𝑛 − 25 Para que la división sea exacta, el residuo se debe igualar a cero. + (−𝑚 − 20)𝑥 − 𝑛 − 25 = 0

Residuo

0 0 Para que toda esta expresión sea igual a cero, el coeficiente del término lineal o sea −𝑚 − 20 debe ser igual a cero y de la misma manera el término lineal o sea −𝑛 − 25 también se iguala a cero, de esta manera 0 + 0 = 0 −𝑚 − 20 = 0 −𝑛 − 25 = 0

Despejando la ecuación: −𝑚 = 20 Despejando la ecuación: −𝑛 = 25

//(−1) → 𝑚 = −20 //(−1 ) → 𝑛 = −25

Para que la división sea exacta, los valores que deben tener “m” y “n” son: Método de Horner Permite realizar divisiones de forma más rápida. Utilizando el ejemplo anterior:

𝒎 = −𝟐𝟎

𝒏 = −𝟐𝟓

- Hallar el valor de “m” y “n” para que la siguiente división sea exacta: −𝑥 4 + 4𝑥 2 − 𝑚𝑥 − 𝑛 entre 𝑥 2 − 2𝑥 − 5 Los coeficientes de dividendo son: −1, 0, +4, −𝑚, −𝑛 y los coeficientes del divisor son: 1, −2, −5

-1

0 -2

4 -5 -4

IN

-1

1 2 5

-2

-5

-m

-10 -10 -m-20

-n Coeficientes de Dividendo Se divide -1 entre 1, se suma 0 y -2 el resultado se divide entre 1 Se suma 4 -5- 4 el resultado se divide entre 1.

-25 -n-25

Por lo cual el cociente es: −𝑥 2 − 2𝑥 − 5 Por su parte el residuo es: (− 𝑚 − 20)𝑥 − 𝑛 − 25 = 0 Entonces: 𝑚 = −20 𝑛 = −25

Coeficientes del divisor. (El primer coeficiente con el mismo signo, los demás con signo cambiado) e) Hallar el valor de “k” para que el polinomio 𝑝(𝑥) = 3𝑥 2 − 𝑘𝑥 − 1 tenga como factor al polinomio 𝑞(𝑥) = −𝑥 + 2 Teorema de resto de Descartes Se puede seguir el método anterior, pero también se puede aplicar el método abreviado utilizando el teorema de Descartes. A continuación, mencionaremos los pasos a seguir: - Este método se aplica cuando el divisor es un término de la forma 𝑎𝑥 ± 𝑏, o sea no contiene términos al cuadrado o mayores. - Se iguala el divisor a cero y se despeja la variable. - El dividendo se iguala al valor del residuo. - Se reemplaza el valor de la variable. - Se despeja la incógnita.

12

-

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Paso 1: −𝑥 + 2 = 0

El divisor se iguala a cero y se despeja “x” →

Paso 2: 3𝑥 2 − 𝑘𝑥 − 1 = 0

El dividendo se iguala al valor del residuo en este caso se iguala a cero, por que el ejercicio pide que el dividendo tenga como factor al divisor o sea que el residuo sea cero.

Paso 3: 3 ∙ 22 − 𝑘 ∙ 2 − 1 = 0

Paso 4: 3 ∙ 4 − 2𝑘 − 1 = 0

𝒙= 𝟐

El valor de “x” se reemplaza en esta ecuación. →

12 − 2𝑘 − 1 = 0

→

−2𝑘 = −11

→

𝒌=

𝟏𝟏 𝟐

1.7 La factorización Factorizar o factorar una expresión significa volver a los factores que multiplicándose generaron una expresión.

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Caso 1: Factor común -

En todos los términos debe existir una variable común (una misma letra).

-

Se saca el factor común de los coeficientes (números) y de las letras, con las potencias menores de cada letra.

-

Se divide cada término entre el factor común.

- Ejemplos: a) Factorizar:

Como existe la variable “a” en los dos términos, se trata del caso factor común. La menor potencia es 1, por lo cual el factor común es “a”

IN

Se divide cada término entre el factor común, el resultado se coloca dentro del paréntesis:

b) Factorizar:

8a2b 16a2b3  24a5b2

En este ejercicio, las variables “a” y “b” se encuentran en los tres términos de la expresión por lo cual ambos son factor común, se escoge la menor potencia de “a” es 2 y de “b” es 1. El factor común de los coeficientes (números) es el número 8 puesto que este número se encuentra dentro el 16 y el 24.

8a2b 16a2b3  24a5b2

El factor común es:

8a 2b 1  2b2  3a3b 

Se divide cada término entre el factor común, el resultado se coloca dentro del paréntesis.

8a2b

c) Factorizar: 𝑎(𝑥 + 1) − 𝑥 − 1 𝑎(𝑥 + 1) − 𝑥 − 1

Se cambia de signo a −𝑥 − 1 sacando un signo (-)

𝑎(𝑥 + 1) − (𝑥 + 1)

El factor común es 𝑥 + 1

(𝑥 + 1)(𝑎 − 1)

13

Lic. Christian Meruvia M. Caso 2: Factor común por agrupación Se busca variables comunes entre dos o más términos del polinomio.

Ejemplos: a) Factorizar:

2axy  2bxy  5az  5bz  2cxy  5cz

Las variables “xy” se encuentran en el 1º, 2º y 5º término. La variable “z” se encuentra en el 3º,4º y 6º término. De esta manera se puede ordenar el polinomio asociando estos términos.

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2axy  2bxy  2cxy  5az  5bz  5cz

El factor común de los primeros 3 términos es “2xy” y el común de los últimos 3 términos es “5z”

2xy(a  b  c)  5z(a  b  c)

Los 2 paréntesis son iguales con la diferencia de los signos, para que el segundo paréntesis cambie de signos, se cambia de signo de +5𝑧 convirtiéndose en −5𝑧, esto logra que justamente los términos que están dentro del paréntesis cambien de signo.

2xy(a  b  c)  5z(a  b  c)

El nuevo factor común de los 2 términos, es el paréntesis (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)

b) Factorizar:

IN

(a  b  c)(2xy  5z)

 10ay  5ax  10by  5bx

La variable “y” se encuentran en el 1º Y 3º término. La variable “x” se encuentra en el 2º y 4º término. De esta manera se puede ordenar el polinomio asociando estos términos.

10ay 10by  5ax  5bx 10 y( a  b)  5x(a  b) 10 y(a b)  5x(a  b)

(a  b)(10 y 5x)

14

El factor común de los primeros 2 términos es “10y” y el factor común de los últimos 2 términos es “5x” Los 2 paréntesis son iguales con la diferencia de los signos, para esto se puede factorizar el signo (–) que hará que los signos del primer paréntesis cambie. El nuevo factor común de los 2 términos, es el paréntesis (a+b)

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c) Factorizar: 3𝑥𝑦 − 6𝑥 2 𝑦 − 1 + 2𝑥 3𝑥𝑦 − 6𝑥 2 𝑦 − 1 + 2𝑥

El factor común entre "3𝑥𝑦" y "6𝑥 2 𝑦" es "3𝑥𝑦"

3𝑥𝑦(1 − 2𝑥) − 1 + 2𝑥

Cambiando de signo.

3𝑥𝑦(1 − 2𝑥) − (1 − 2𝑥)

El nuevo factor común es (1 − 2𝑥)

(𝟏 − 𝟐𝒙)(𝟑𝒙𝒚 − 𝟏)

-

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Caso 3: Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.)

Para saber si se trata de un T.C.P. se extraen las raíces cuadradas del primer y último término una vez que el trinomio esté adecuadamente ordenado. El doble producto de estas raíces, debe ser el término del medio.

Ejemplos: a) Factorizar:

m2  2mx  x 2

m2  2mx  x 2

Se extrae la raíz cuadrada de 𝑚2 y 𝑥 2 , estas raíces son las bases

o sea “m” y “x”.

x

IN

m

El doble producto de estas bases o sea 2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑥 debe ser el término del medio. Si esto no ocurre, entonces no se trata de un T.C.P., si es así, se da la respuesta de la factorización que son las dos raíces (bases) en un paréntesis elevado al cuadrado. Cuando los tres signos del trinomio son positivos, en la respuesta el signo será positivo.

(m  x)2 b) Factorizar:

9 2 6 x y  6 xy 3 z 4  4 z 8 4

Se saca la raíz cuadrada del primer y último término.

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Lic. Christian Meruvia M. 9 2 6 x y  6 xy 3 z 4  4 z 8 4 3 3 x y 2

3

La primera raíz es 𝑥𝑦 3 , la segunda raíz cuadrada es 2𝑧 4 . Para ser 2 T.C.P. el doble producto de las 2 raíces deberá ser el término del medio.

2z 4 2

3 3 xy  2 z 4 2

El doble producto de la primera raíz por la segunda, es el término del

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medio.

3 ( xy3  2 z 4 )2 2

La respuesta son las dos bases, el signo es negativo debido a que el trinomio tiene signos intercalados o sea + - +.

Cuadrado Perfecto por adición y sustracción Ejemplos:

a) Factorizar: 9𝑦 4 + 5𝑦 2 𝑧 4 + 𝑧 8 9𝑦 4 + 5𝑦 2 𝑧 4 + 𝑧 8

3𝑦 2

𝑧4

El doble producto de las dos raíces es 6𝑦 2 𝑧 4 que no es el término del medio 5𝑦 2 𝑧 4 por lo cual no se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.

IN

Si a 5𝑦 2 𝑧 4 le sumamos 𝑦 2 𝑧 4 daría 6𝑦 2 𝑧 4 y con esto ahora si se trataría de un T.C.P. De esta manera, se suma y se resta 𝑦 2 𝑧 4 para no afectar la expresión.

9𝑦 4 + 5𝑦 2 𝑧 4 + 𝑧 8 + 𝑦2 𝑧4 − 𝑦2 𝑧4

Se suma 5𝑦 2 𝑧 4 y 𝑦 2 𝑧 4

9𝑦 4 + 6𝑦 2 𝑧 4 + 𝑧 8 − 𝑦2 𝑧4 (3𝑦 2 + 𝑧 4 )2 − 𝑦2 𝑧4

Se factoriza 9𝑦 4 + 6𝑦 2 𝑧 4 + 𝑧 8 ya que es un T.C.P. Ahora trata de una diferencia de cuadrados la cual se factoriza. (ver caso 4 de factorización)

(3𝑦 2 + 𝑧 4 + 𝑦𝑧 2 )(3𝑦 2 + 𝑧 4 − 𝑦𝑧 2 ) b) Factorizar: 𝑚4 + 𝑚2 𝑛4 + 25𝑛8 𝑚4 + 𝑚2 𝑛4 + 25𝑛8

El doble producto de la primera base por la segunda base es 10𝑚2 𝑛4 con lo cual no es un T.C.P.

𝑚4 + 𝑚2 𝑛4 + 25𝑛8 + 9𝑚2 𝑛4 − 9𝑚2 𝑛4 𝑚4 + 10𝑚2 𝑛4 + 25𝑛8 − 9𝑚2 𝑛4

16

Para que sea un T.C.P. se debe sumar y restar 9𝑚2 𝑛4 de esta forma aparecerá 10𝑚2 𝑛4 El trinomio 𝑚4 + 10𝑚2 𝑛4 + 25𝑛8 es un T.C.P. con lo cual se factoriza

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(𝑚2 + 5𝑛4 )2 − 9𝑚2 𝑛4 Factorizando por diferencia de cuadrados: (𝑚2 + 5𝑛4

+ 3𝑚𝑛2 )(𝑚2 + 5𝑛4 − 3𝑚𝑛2 )

Caso 4: Diferencia de Cuadrados -

Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos, estas raíces se llaman bases. El resultado resulta ser la primera base más la segunda base multiplicada por la primera base menos la segunda base.

Este caso de factorización se presenta cuando dos términos están como resta como por ejemplo: 𝑥 2 − 1,

16𝑚4 − 25𝑛8 ,

(𝑎 − 𝑏)2 − (3𝑎 − 2𝑏)2

Diferencia de cuadrados

Por su parte, la suma de cuadrados no se puede factorizar excepto algunos casos especiales. 𝑥 2 + 100, 𝑦 6 + 121

Sumas de cuadrados

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𝑎8 + 1,

Como el nombre indica, debe ser una diferencia, lo que indica que entre los 2 términos existe el signo (-). Si fuese + ya no sería diferencia de cuadrados si no una suma de cuadrados por lo cual no se podría factorizar por este método.

Ejemplos: a) Factorizar:

x2  36

x2  36

x

Se extrae la raíz cuadrada de 𝑥 2 que es 𝑥, la raíz de 36 es 6 .

6

( x  6)( x  6)

IN

Dentro de un paréntesis se coloca la primera raíz, el signo + y luego la segunda raíz. En otro paréntesis se coloca la primera raíz, el signo – y luego la segunda raíz.

4

b) Factorizar: − 𝑎8 + 1 9

4 1  a8 9

Primero se ordena el binomio:

4 1  a8 9

Se extrae la raíz cuadrada de 1 que es 1, la raíz cuadrada de 4 8 𝑎 9

es

2 4 𝑎 3

.

2 4 a 3

1 2 2 (1  a 4 )(1  a 4 ) 3 3

Dentro de un paréntesis se coloca la primera raíz o base, el signo + y luego la segunda raíz. En otro paréntesis se coloca la primera raíz, el signo – y luego la segunda raíz.

(a  b)  (b  c) 2

17

2

Lic. Christian Meruvia M. c) Factorizar: Existen 2 términos compuestos (a+b)2 y (b-c)2 de los cuales se pueden extraer la raíz cuadrada. Estos términos están como diferencia.

(a  b)2  (b  c)2

(a  b)

Se extrae la raíz cuadrada de (a+b)2 que es (a+b), la raíz cuadrada de (b-c)2 es (b-c)

(b c) Se desarrollan los paréntesis recordando que si existe un signo (–) antes de un paréntesis, los términos dentro de este cambian de signo.

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(a  b)  (b  c)(a  b)  (b  c)  a  b  b  ca  b  b  c

Luego de simplificar términos semejantes se tiene:

(a  2b  c)(a  c)

Combinación del caso 3 y caso 4 Ejemplo:

a) Factorizar: 4𝑥 2 − 𝑧 2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦 2 4𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 𝑧 2

Se ordena el polinomio adecuadamente, ya que se observa que los tres primeros

IN

términos conforman un trinomio cuadrado perfecto.

(2𝑥 − 𝑦)2 − 𝑧 2

Factorizando 4𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦 2 resulta ser (2𝑥 − 𝑦)2 , de esta manera se tiene ahora

una diferencia de cuadrados.

(2𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(2𝑥 − 𝑦 − 𝑧)

18

Se factoriza por diferencia de cuadrados.

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Caso 5: Trinomio de la forma: 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 -

Debe existir 3 términos de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Se coloca la raíz del primer término en 2 paréntesis, se busca 2 números que multiplicados den como respuesta el coeficiente “c” y sumados o restados den como respuesta el coeficiente “b”

Ejemplos:

x2  3x  4

a) Factorizar:

2

 x   x  

El signo del primer paréntesis es (-), para el signo del segundo paréntesis se hace ley de signos entre los dos signos en este caso (-)(-)=(+)

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x  3x  4

En 2 paréntesis se coloca la raíz de x que es x, en el primer paréntesis el primer signo, en el segundo paréntesis el producto de los dos signos.

2

Se busca dos números que multiplicados den 4 y como los signos de los paréntesis son distintos (- +) se busca dos números que restados den 3. 𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐𝒔 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝟑

Para el ejemplo, el primer signo es (-) y el segundo es (+) por lo cual se buscan 2 números que restados (por ser distintos) sea 3 y que multiplicados den 4. Dichos números son 4 y 1. Restados dan 3 y multiplicados 4. El número mayor se coloca en el primer paréntesis y el menor en el segundo.

 x  4 x  1

x2  8x  240

IN

b) Factorizar:

x2  8x  240

 x   x  

Para el ejemplo, el primer signo es (-) y el segundo es (+) por lo cual se buscan 2 números que restados (por ser distintos) sea 8 y que multiplicados den 240.

En este caso no es fácil de encontrar estos números para lo cual se puede descomponer el número 240

Agrupando adecuadamente se concluye que los números son el 20 o sea (2x2x5) y el 12 o sea (2x2x3). Estos números restados dan 8 y multiplicados 240.

 x  20 x  12

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Lic. Christian Meruvia M. c) Factorizar: 𝑥 2 + 11𝑥𝑦 + 28𝑦 2 Se busca dos números que multiplicados resulte 28 y sumados (por ser los signos de los paréntesis iguales) de 11. Además, que se debe colocar la otra variable que en este caso es “y”

(𝑥 + 7𝑦)(𝑥 + 4𝑦)

Caso 6: Trinomio de la forma: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Método 1: Método general -

Deben existir 3 términos de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (a distinción del anterior caso, el término cuadrático tiene coeficiente distinto de 1). Se multiplica el coeficiente del término cuadrático por el coeficiente del término independiente.

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-

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Término cuadrático

Ejemplos: a) Factorizar:

término lineal

término independiente

6x2 19x  20

En 2 paréntesis se coloca el número 6 y la raíz de 𝑥 2 que es x, en el primer paréntesis el primer signo, en el segundo paréntesis el producto de los dos signos.

6x2 19x  20

IN

Se multiplica el coeficiente del término cuadrático o sea 6 por el coeficiente del término lineal o sea 20.

De esta forma el trinomio se convierte en:

 6 x   6 x  

6x2 19x 120

Ahora se buscan dos números que multiplicados sea 120 y restados den 19. Estos números son 24 y 5 (para calcular estos números se puede descomponer el número 120).

 6 x  24  6 x  5  6x  24 6 x  5 6

6  x  4  6 x  5 6

Se divide la expresión entre el número 6 y se saca el factor común del primer y/o segundo paréntesis. En este ejemplo, se saca factor común del primer paréntesis que es 6. En el segundo paréntesis no existe factor común. El 6 del denominador se debe simplificar con el o los factores comunes que se han sacado en el numerador, en el ejemplo el 6 del denominador se simplificará con el 6 del numerador.

(𝑥 + 4)(6𝑥 − 5)

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b) Factorizar: 15𝑥 2 − 13𝑥 − 20 15𝑥 2 − 13𝑥 − 20

Se multiplica el coeficiente del término cuadrático por el coeficiente del término lineal.

15𝑥 2 − 13𝑥 − 300

Se abren 2 paréntesis, y se busca dos números que multiplicados den 300 y restados den 13.

(15𝑥 − )(15𝑥 +

)

(15𝑥 − 25)(15𝑥 + 12) (15𝑥− 25)(15𝑥+12)

Dichos números son: 25 y 12 Se divide toda la expresión entre el número 15 Se saca factor común del numerador, del primer paréntesis el 5 y del segundo paréntesis el 3.

15 5(3𝑥− 5)∙3(5𝑥+4)

Simplificando.

15

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(𝟑𝒙 − 𝟓)(𝟓𝒙 + 𝟒)

Método 2: Método de las aspas c) Factorizar: 20𝑥 2 − 11𝑥 − 42

Se buscan dos números que multiplicados den 20 y dos números que multiplicados den -42. 5

−6

4

7

6

4

−7

5 ∙ (−7) = −35 y 4 ∙ 6 = 24 Estos resultados se suman algebraicamente o sea −35 + 24 = −11, este resultado es el término del medio con lo cual solo basta dar la respuesta de la factorización como se muestra a continuación:

IN

5

Estos números pueden ser 5 ∙ 4 y −6 ∙ (7) Ahora se multiplican las diagonales y se suman las respuestas o sea 5 ∙ 7 = 35 y 4 ∙ (−6) = −24 Estos resultados se suman algebraicamente 35 − 24 = 11, esta respuesta no es el término del medio que en el trinomio es −11 así que se debe reordenar los números.

2

(5𝑥 + 6)(4𝑥 − 7)

d) Factorizar: 104𝑥 − 29𝑥 + 2 8

−1

13

−2

Se multiplican las diagonales o sea 8 ∙ (−2) = −16 y 13 ∙ (−1) = −13 Se suman algebraicamente estos números −16 − 13 = −29, como este número es el coeficiente del término central solo basta dar la respuesta de la factorización.

(8𝑥 − 1)(13𝑥 − 2)

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Lic. Christian Meruvia M. Caso 7: Suma y diferencia de cubos -

Deben existir 2 términos de los cuales se les extraerá la raíz cúbica. Estos 2 términos pueden estar como suma o resta.

- Ejemplos:

m3  64n9

a) Factorizar:

Se extrae la raíz cúbica de los dos términos (bases).

m

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La raíz cúbica de 𝑚3 es m y la raíz cúbica de 64𝑛9 es 4𝑛3

m3  64n9

Estas raíces (bases) se colocan dentro un paréntesis con el mismo signo de la expresión original. Dentro de otro paréntesis, se coloca el cuadrado de la primera raíz o base, la multiplicación de las 2 raíces y el cuadrado de la segunda raíz. Cuando el signo entre las 2 raíces es (+) los signos del segundo paréntesis se intercalan, el primero positivo, el segundo negativo y el tercero positivo.

4n3

 m  4n  m  m  4n   4n   3

2

3

Cuadrado de la primera base

 m  4n   m 3

b) Factorizar:

2

3 2

Multiplicación de las dos bases

 4mn3  16n6 

Cuadrado de la segunda base

Desarrollando

8x3 125 y6

IN

Se extrae la raíz cúbica de los dos términos.

8x3 125 y6

La raíz cúbica de 8𝑥 3 es 2x y la raíz cúbica de 125𝑦 6 es 5𝑦 2

Estas raíces o bases se colocan dentro un paréntesis con el mismo signo de la expresión original. Dentro de otro paréntesis, se coloca el cuadrado de la primera raíz, la multiplicación de las 2 raíces y el cuadrado de la segunda raíz. Cuando el signo entre las 2 raíces es (-) los signos del segundo paréntesis son todos positivos.

5y 2

2x

 2x  5 y   2x 2

2

 2x  5 y   4x 2

22

2   2 x  5 y 2   5 y 2   

2

 10 xy 2  25 y 4 

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Caso 8: Cuatrinomio Cubo Perfecto -

Se ordenan los cuatro términos en forma descendente. Se extrae la raíz cúbica del primer y último término El triple producto de la primera base al cuadrado por la segunda base debe ser el segundo término del cuatrinomio. El triple producto de la primera base por la segunda base al cuadrado debe ser el tercer término del cuatrinomio. Si cumple lo anterior, entonces el cuatrinomio es un cubo perfecto con lo cual se coloca la respuesta que es un binomio al cubo que contiene las dos bases.

Ejemplos: a) Factorizar: 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3

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Como se observa la expresión tiene 4 términos, se extrae la raíz cúbica de los dos términos de los extremos o sea a3 y b3. 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 a

b

3 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑏 3 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏2

La raíz cúbica de 𝑎3 es a y la raíz cúbica de 𝑏 3 es b

Para que este cuatrinomio pertenezca a este caso, debe cumplir que el triple producto de la primera raíz al cuadrado por la segunda raíz debe ser uno de los términos centrales. Y que el triple de la primera raíz por el cuadrado de la segunda raíz sea el otro término central. Si cumple estas 2 condiciones, se trata de un cuatrinomio cubo perfecto y la respuesta es un paréntesis elevado al cubo con las dos raíces. El signo de la respuesta depende a que, si el cuatrinomio original tiene todos los signos positivos, la respuesta lleva signo positivo. 3 (𝑎

+ 𝑏)

b) Factorizar: −48𝑥 2 𝑦 2 + 96𝑥𝑦 4 + 8𝑥 3 − 64𝑦 6

IN

Como se observa la expresión tiene 4 términos, pero primero se debe ordenar la expresión colocando en los extremos los términos de los cuales se pueden sacar raíz cúbica. 6 6 8𝑥 −48 48𝑥 −y64𝑦 Se extrae la raíz cúbica de los dos términos de los extremos o sea 8𝑥 3 y de 64𝑦 6 . 8x33  x2 2y𝑦2 2+ 9696𝑥𝑦 xy4 464

4𝑦 2

2x

3 ∙ (2𝑥)2 ∙ 4𝑦 2 = 48𝑥 2 𝑦 2 3 ∙ (2𝑥) ∙ (4𝑦 2 )2 = 96𝑥𝑦 4

La raíz cúbica de 8𝑥 3 es 2𝑥 y la raíz cúbica de 64𝑦 6 es 4𝑦 2

En este ejercicio, los signos de la expresión original son intercalados entre positivos y negativos por lo cual el signo de la respuesta es negativo.

El triple producto de la primera raíz al cuadrado por la segunda raíz debe ser uno de los términos centrales. Y que el triple de la primera raíz por el cuadrado de la segunda raíz sea el otro término central.

(2𝑥 − 4𝑦 2 )3

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23

Lic. Christian Meruvia M. Caso 9: Método de evaluación (Regla de Ruffini) -

Generalmente se utiliza para expresiones con potencias mayores a 2 Se coloca un tablero de Ruffini, donde en el lado derecho se colocan los coeficientes del polinomio, este polinomio debe estar ordenado en forma descendente y completar además los términos que falten con un coeficiente cero.

Ejemplos: a) Factorizar: 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥 − 1 El polinomio está ordenado en forma descendente y es completo.

ST C IT EP U T I O

Se colocan los coeficientes en un tablero de Ruffini 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1

1

1

−1

−1

En el lado izquierdo del tablero se colocan números

enteros de esta manera: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5…….

0

Residuo

Hasta que con alguno de estos números el residuo sea 0. Cuando el residuo es cero, solo basta dar la respuesta como se indicará posteriormente.

1

1

−1

−1

IN

1

1

1

Se empieza con el número 1

El primer número del lado derecho se baja.

2

Ese número se multiplica por el número que está a A la izquierda de la tabla o sea 1×1 = 1

Este valor se coloca debajo del segundo número. Se realiza una suma algebraica o sea 1 + 1 = 2 1

1

1

1

−1

1

2

2

1

−1

Se sigue el mismo procedimiento, se multiplica 2×1 = 2 este valor se coloca debajo del tercer número. Se realiza una suma algebraica o sea −1 + 2 = 1

24

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1

1

1

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

1 −1 −1

Se sigue el mismo procedimiento, como se puede observar el

1

2

1

residuo es cero con lo cual basta solo dar la respuesta a la factorización.

2

1

0

Si el residuo no hubiese sido cero, se borraba la tabla y se pasaba a hacer La prueba con el siguiente número o sea −1

(𝑥 − 1)(1𝑥 2 + 2𝑥 + 1)

El primer paréntesis lleva la variable en este caso “x” y el número que está a la izquierda de la tabla o sea 1 pero con signo cambiado 𝑥 − 1. En el segundo

ST C IT EP U T I O

paréntesis la variable disminuye en uno de la potencia original del polinomio o sea 𝑥 2 ya que el polinomio original tenía como mayor potencia 𝑥 3 con los coeficientes que quedaron como residuo. 1𝑥 2 + 2𝑥 + 1

(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 2𝑥 + 1)

El segundo paréntesis se puede volver a factorizar por el caso 5 el trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

b) Factorizar: 𝑥 4 − 3𝑥 2 + 𝑥 − 6

Se arma un tablero con los coeficientes de la expresión tomando en cuenta que se debe ordenar la expresión en forma descendente y como no existe el término cúbico se debe completar este término faltante con coeficiente 0.

𝑥 4 + 0𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥 − 6

2

1

IN

Probando con los números 1 𝑦 − 1 , el residuo no da cero, con lo cual se hace la prueba con el número 2.

1

0

−3

1

−6

2

4

2

6

1

3

0

2

Como el residuo es cero, basta dar la respuesta de la factorización.

(𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑) El término 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥 + 3 ya no se puede factorizar por Ruffini.

c) Factorizar: 𝑥 4 − 13𝑥 2 + 36 Este ejercicio se puede resolver por el caso 5: Trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑥 2 − 9)(𝑥 2 − 4)

Factorizando por diferencia de cuadrados.

(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) Ahora se factorizará el mismo ejemplo, pero por la regla de Ruffini.

25

Lic. Christian Meruvia M. Completando y ordenando el polinomio: 𝑥 4 + 0𝑥 3 − 13𝑥 2 + 0𝑥 + 36

2

1

1

0

− 13

2

4

2

−9

0

36

− 18 − 36 − 18

0

(𝑥 − 2)(𝑥 3 + 2𝑥 2 − 9𝑥 − 18) El término 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 9𝑥 − 18 se puede volver a factorizar por la regla de Ruffini. 1

2

−9

− 18

−2

0

18

ST C IT EP U T I O

−2

1

0

−9

0

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 2 − 9) Por último, la expresión 𝑥 − 9 se puede factorizar por diferencia de cuadrados con lo cual la factorización es: 2

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

Ejemplos varios: a) Factorizar: 7𝑚2 − 7 7𝑚2 − 7

El factor común de los dos términos es el número 7

7(𝑚2 − 1)

Ahora 𝑚2 − 1 se puede factorizar por diferencia de cuadrados.

IN

7(𝑚 + 1)(𝑚 − 1)

b) Factorizar: 𝑚3 + 12𝑚2 + 32𝑚 𝑚3 + 12𝑚2 + 32𝑚

El factor común de los tres términos es m

𝑚(𝑚2 + 12𝑚 + 32)

Se puede factorizar 𝑚2 + 12𝑚 + 32 mediante el caso 5

𝑚(𝑚 + 8)(𝑚 + 4) 2 2

2 2

𝑥

𝑥

c) Factorizar: (𝑥 + ) − (𝑥 − ) 2 2

2 2

𝑥

𝑥

(𝑥 + ) − (𝑥 − )

2

(𝑥 + ) 𝑥 2

Se puede factorizar por diferencia de cuadrados.

2

(𝑥 − ) 𝑥 2

2

2

𝑥

𝑥

𝑥

[(𝑥 + ) + (𝑥 − )] [(𝑥 + ) − (𝑥 − )] 𝑥

26

Desarrollando

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

2

2

2

2

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

(𝑥 + + 𝑥 − ) (𝑥 + − 𝑥 + ) 4

(2𝑥) ( ) = 8 𝑥

Suma y diferencia de potencias impares d) Factorizar: 𝑎5 − 𝑏 5 𝑎5 − 𝑏 5 𝑎

Se extrae la raíz quinta de 𝑎5 y 𝑏 5

𝑏 En el primer paréntesis las dos raíces o bases; en el segundo paréntesis, la primera raíz con potencia disminuida en uno a la original o sea potencia 4, posteriormente la primera variable va disminuyendo en su potencia y la segunda variable aumenta en su potencia. Cuando el signo del primer paréntesis es negativo, en el segundo paréntesis todos los signos son positivos.

ST C IT EP U T I O

(𝑎 − 𝑏)(𝑎4 + 𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏 2 + 𝑎𝑏 3 + 𝑏 4 )

e) Factorizar: 𝑥 5 + 1 (𝑥 + 1)(𝑥 4 − 1𝑥 3 + 12 𝑥 2 − 13 𝑥 + 14 )

Cuando el signo del primer paréntesis es positivo, en el segundo paréntesis se intercalan los signos.

(𝑥 + 1)(𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥 + 1) f) Al factorizar el polinomio:

4a 3 x 2  8a 2 x 3  2a 2 x  a 3  4ax4  ax2

La suma de sus 5 factores es:



IN

Agrupando:

     a  2ax4ax  a ax 4x 1 a  2axa4x 1 ax 4x 1 → a4x 1a 4ax2 a 2  2ax  a 2ax  a 2  ax2 4x 2 1 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

 2ax  x 2

→ a4x 1a  x 2

2

a2 x  12 x  1a  x a  x 

Sumando los 5 factores: a  2 x  1  2 x  1  a  x   a  x 

a  4x  2a  2x →

3a  6x

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Lic. Christian Meruvia M. 1.8 Mínimo común múltiplo, Máximo común divisor

Los números primos: Son números que se pueden dividir únicamente por sí mismos y por 1 siendo la respuesta de esta división un número entero. Los números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67…………………………….

ST C IT EP U T I O

El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales, es el menor número común de todos ellos. Ejemplo: Determinar el m.c.m. de los números 120, 360 y 270 Se descomponen los 3 números: 120 360 270 2 Mitad 60 180 135 2 Mitad 30 90 135 2 Mitad 15 45 135 3 Tercera m.c.m. 23 ∙ 33 ∙ 5 = 1080 5 15 45 3 Tercera 5 5 15 3 Tercera 5 5 5 5 Quinta 1 1 1 1

IN

El Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos o más números naturales, es el mayor número natural por el que se pueden dividir estos números. Ejemplo: Determinar el M.C.D. de los números 360, 252 y 240 Se descomponen los tres números por separado: 360 = 23 ∙ 32 ∙ 5 252 = 22 ∙ 32 ∙ 7 240 = 24 ∙ 3 ∙ 5 Para determinar el M.C.D. se escogen los números que estén en las tres descomposiciones con la menor potencia, en este caso el número 2 se encuentra en los tres y su menor potencia es 22 , el número 3 también se encuentra en las tres descomposiciones y su menor exponente es 3. Entonces el M.C.D.= 𝟐𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟐

28

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1.8.1. Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) Para determinar el m.c.m. de dos o más polinomios, se deben escoger todos los términos distintos con su mayor potencia.

Ejemplos: a) Determinar el m.c.m. de los siguientes monomios: 5𝑥 5 𝑦 4 𝑧 6 ; 15𝑥 3 𝑦 8 𝑧 5 ; 20𝑥 7 𝑦 2 𝑧10 El m.c.m. de los coeficientes 5, 15 y 20 es 60 Se escogen todas las variables comunes y no comunes de los tres términos con su mayor potencia en este caso: 𝑥 7 𝑦 8 𝑧10

𝟔𝟎𝒙𝟕 𝒚𝟖 𝒛𝟏𝟎

El m.c.m. es:

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b) Determinar el m.c.m. de los siguientes monomios: 8𝑚5 𝑛7 𝑝; 24𝑚2 𝑝2 ; 16𝑚9 𝑝 El m.c.m. de los coeficientes es 48 El mc.m.es: 48𝑚9 𝑛7 𝑝2

c) Determinar el m.c.m. de los siguientes polinomios: 𝑥 2 − 9𝑥 + 18; 𝑥 2 − 5𝑥 − 6; 2𝑥 2 − 2 Factorizando: 𝑥 2 − 9𝑥 + 18 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 6) 𝑥 2 − 5𝑥 − 6 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 6) 2𝑥 2 − 2 = 2(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

El m.c.m es: 𝟐(𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

d) Determinar el m.c.m. de los siguientes polinomios: 𝑎2 − 𝑎𝑏; 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ; 𝑎2 − 𝑏 2

IN

Factorizando: 𝑎2 − 𝑎𝑏 = 𝑎(𝑎 − 𝑏) 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑏(𝑎 + 𝑏)

𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) El m.c.m es: 𝒂𝒃(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) e) Determinar el m.c.m. de los siguientes polinomios: (𝑎 + 𝑏)2 ; 𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏 2 ; 𝑎3 𝑏 − 𝑎𝑏 3 Factorizando: (𝑎 + 𝑏)2 No se factoriza 𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏 2 = 𝑎2 𝑏(𝑎 + 𝑏) 𝑎3 𝑏 − 𝑎𝑏 3 = 𝑎𝑏(𝑎2 − 𝑏 2 ) = 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) El m.c.m es: 𝒂𝟐 𝒃(𝒂 + 𝒃)𝟐 (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)

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Lic. Christian Meruvia M. f) Determinar el m.c.m. de los siguientes polinomios: 𝑥 4 + 2𝑎𝑥 3; 𝑥 3 𝑦 − 4𝑎2 𝑥𝑦; 𝑥 2 𝑦 2 + 4𝑎𝑥𝑦 2 + 4𝑎2 𝑦 2 Factorizando: 𝑥 4 + 2𝑎𝑥 3 = 𝑥 3 (𝑥 + 2𝑎) 𝑥 3 𝑦 − 4𝑎2 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦(𝑥 2 − 4𝑎2 ) = 𝑥𝑦(𝑥 + 2𝑎)(𝑥 − 2𝑎) 𝑥 2 𝑦 2 + 4𝑎𝑥𝑦 2 + 4𝑎2 𝑦 2 = 𝑦 2 (𝑥 2 + 4𝑎𝑥 + 4𝑎2 ) = 𝑦 2 (𝑥 + 2𝑎)2 El m.c.m es: 𝒙𝟑 𝒚𝟐 (𝒙 − 𝟐𝒂)(𝒙 + 𝟐𝒂)𝟐

1.8.2. Máximo Común Divisor (M.C.D.) Ejemplos:

ST C IT EP U T I O

Se descomponen los términos y se escogen los términos comunes elevados a la menor potencia.

a) Determinar el M.C.D. de los siguientes monomios: 4𝑥 8 𝑦 4 𝑧 9 ; 8𝑥 6 𝑦 5 𝑧 4 ; 24𝑥 3 𝑦 8 El M.C.D. de los coeficientes es 4 Se escoge las variables comunes o sea la “x” y la “y” con las menores potencias. 3 4 El M.C.D. es: 4𝑥 𝑦

b) Determinar el M.C.D. de los siguientes polinomios: 9𝑥 3 (𝑥 + 3)2 ; 18𝑥 4 − 162𝑥 2; 6𝑥 4 (𝑥 2 + 4𝑥 + 3) Factorizando: 9𝑥 3 (𝑥 + 3)2

No se factoriza

18𝑥 4 − 162𝑥 2 = 18𝑥 2 (𝑥 2 − 9) = 18𝑥 2 (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

IN

6𝑥 4 (𝑥 2 + 4𝑥 + 3) = 6𝑥 4 (𝑥 + 3)(𝑥 + 1) El M.C.D. de los coeficientes es 3

𝟐 El M.C.D. son los términos comunes con su menor potencia o sea: 𝟑𝒙 (𝒙

30

+ 𝟑)

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1.9 Simplificación 1.9.1. Suma y resta de fracciones -

Se factorizan los denominadores que se puedan. Se halla el mínimo común divisor de todos los denominadores que resulta ser el mínimo común múltiplo. Este m.c.m. se divide entre cada denominador de las fracciones y se multiplica por su respectivo numerador. Se realizan las operaciones indicadas y se reducen los términos semejantes.

Ejemplos: 2𝑥−3 𝑥 2 +3𝑥−10

−

−3+𝑥 𝑥 2 −4

−

−𝑥−5 𝑥 3 +5𝑥 2 −4𝑥−20

ST C IT EP U T I O

a) Simplificar:

Se factorizan los denominadores:

𝑥 2 + 3𝑥 − 10 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 2)

Caso 5

𝑥 2 − 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)

Caso 4

𝑥 3 + 5𝑥 2 − 4𝑥 − 20 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)

Caso 9

El m.c.m. es: (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)

2𝑥−3

−3+𝑥

(𝑥+5)(𝑥−2)

−𝑥−5

− (𝑥+2)(𝑥−2) − (𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+5)

Se coloca una sola línea de fracción que tenga como

IN

denominador (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)

(𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+5)

Se divide el m.c.m. entre el primer denominador y se multiplica por el numerador

o sea (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 5) entre (𝑥 + 5)(𝑥 − 2) es: (𝑥 + 2) y esta respuesta se multiplica con el numerador respectivo. De la misma manera se procede a realizar esta operación con las otras fracciones.

(𝑥+2)(2𝑥−3)−(𝑥+5)(−3+𝑥)−(−𝑥−5) (𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+5)

Ahora se realiza la distributividad entre paréntesis para realizar la multiplicación.

2𝑥 2 −3𝑥+4𝑥−6−(−3𝑥+𝑥 2 −15+5𝑥)+𝑥+5 (𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+5) 2𝑥 2 −3𝑥+4𝑥−6+3𝑥−𝑥 2 +15−5𝑥+𝑥+5 (𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+5)

Reduciendo términos semejantes

𝑥 2 + 14 (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 5) INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759- 22676

31

Lic. Christian Meruvia M. b) Simplificar: −2𝑥+3 6𝑥 2 +4𝑥−10

−2𝑥+3 6𝑥 2 +4𝑥−10

−

2 3−3𝑥

2

−

Factorizando los denominadores y volviendo a escribir las fracciones.

3−3𝑥

Factorizando: 6𝑥 2 + 4𝑥 − 10 = 2(3𝑥 2 + 2𝑥 − 5) = 2(3𝑥 + 5)(𝑥 − 1) Factorizando: 3 − 3𝑥 = 3(1 − 𝑥) −2𝑥+3 2(3𝑥+5)(𝑥−1)

−

2 3(1−𝑥)

El binomio (𝑥 − 1) y (1 − 𝑥) son distintos pero sacando un signo (-) de uno de los

ST C IT EP U T I O

paréntesis se logra que cambie de signo, por ejemplo en el segundo paréntesis −(−1 + 𝑥). De esta forma los dos paréntesis ahora son iguales.

−2𝑥+3 2(3𝑥+5)(𝑥−1)

−

2

−3(−1+𝑥)

Este signo menos que se ha sacado para cambiar de signos al paréntesis, puede

ir a para al medio de la fracción con lo cual el menos que ya había se convierte en positivo.

−2𝑥+3 2(3𝑥+5)(𝑥−1)

+

2

3(−1+𝑥)

El m.c.m. es 6(3𝑥 + 5)(𝑥 − 1), dividiendo este m.c.m. entre cada denominador y

multiplicando por su numerador correspondiente.

3(−2𝑥+3)+2∙2(3𝑥+5) 6(3𝑥+5)(𝑥−1) −6𝑥+9+12𝑥+20

Realizando las operaciones.

Simplificando términos semejantes.

IN

6(3𝑥+5)(𝑥−1)

6𝑥 + 29 6(3𝑥 + 5)(𝑥 − 1) c) Simplificar:

𝑏2

𝑎2

𝑎2

𝑐2

𝑐2

+ (𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐) + (𝑐−𝑎)(𝑐−𝑏) (𝑏−𝑐)(𝑏−𝑎)

𝑏2

+ (𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐) + (𝑐−𝑎)(𝑐−𝑏) (𝑏−𝑐)(𝑏−𝑎) 𝑏2

𝑎2

−(𝑏−𝑐)(−𝑏+𝑎)

−

𝑏2

+ (𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐) + 𝑎2

Se cambia de signo a (𝑏 − 𝑎), (𝑐 − 𝑎), (𝑐 − 𝑏) sacando un (-)

𝑐2 (−)(−)(−𝑐+𝑎)(−𝑐+𝑏)

𝑐2

+ (𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐) + (𝑎−𝑐)(𝑏−𝑐) (𝑏−𝑐)(𝑎−𝑏)

32

Ordenando

El m.c.m. es: (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑐)

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−𝑏2 (𝑎−𝑐)+𝑎2 (𝑏−𝑐)+𝑐 2 (𝑎−𝑏)

Realizando la distributividad en el numerador se tiene:

(𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐)(𝑏−𝑐)

−𝑎𝑏 2 + 𝑏 2 𝑐 + 𝑎2 𝑏 − 𝑎2 𝑐 + 𝑎𝑐 2 − 𝑏𝑐 2 (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑐)

1.9.2. Multiplicación y División de fracciones -

Una división de fracciones se puede convertir en multiplicación invirtiendo el segundo término.

-

ST C IT EP U T I O

𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 ÷ = × 𝑏 𝑑 𝑏 𝑐

Un signo menos que se encuentra al medio de una línea de fracción, puede colocarse en el numerador o en el denominador pero no en los dos al mismo tiempo. 𝑎

−𝑎

𝑏

𝑏

− =

Ejemplos: a) Dividir:

4

÷

4

÷

6

5

−𝑏

6

Se invierte y se vuelve una multiplicación.

5

5

3 5

∙

Simplificando.

4 6 1 3 5

5

4 6

8

∙ =

6

𝑎

IN

3

3

=

2 b) Simplificar:

𝑎2 𝑥−𝑎𝑥 2 −2𝑎2 𝑦+2𝑎𝑥𝑦+𝑥 3 −2𝑥 2 𝑦 6𝑦 2 −13𝑥𝑦+5𝑥 2

Factorizando el numerador y el denominador: 𝑎2 𝑥 − 𝑎𝑥 2 − 2𝑎2 𝑦 + 2𝑎𝑥𝑦 + 𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦 = 𝑎2 𝑥 − 𝑎𝑥 2 + 𝑥 3 − 2𝑎2 𝑦 + 2𝑎𝑥𝑦 − 2𝑥 2 𝑦

𝑥(𝑎2 − 𝑎𝑥 + 𝑥 2 ) − 2𝑦(𝑎2 − 𝑎𝑥 + 𝑥 2 )=(𝑎2 − 𝑎𝑥 + 𝑥 2 )(𝑥 − 2𝑦) 6𝑦 2 − 13𝑥𝑦 + 5𝑥 2 = (2𝑦 − 𝑥)(3𝑦 − 5𝑥)

Ordenando

Factorizando por el método de factor común por agrupación.

Factorizando por trinomio de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

33

Lic. Christian Meruvia M. La nueva fracción luego de factorizar será: (𝑎2 −𝑎𝑥+𝑥 2 )(𝑥−2𝑦) Se observa que si cambiamos los signos del binomio (2𝑦 − 𝑥) se convertiría en el binomio del (2𝑦−𝑥)(3𝑦−5𝑥) numerador. Entonces se factoriza un signo menos para cambiar los signos. (𝑎2 −𝑎𝑥+𝑥 2 )(𝑥−2𝑦) −(−2𝑦+𝑥)(3𝑦−5𝑥) (𝑎2 −𝑎𝑥+𝑥 2 )

El signo menos delante del binomio (3𝑦 − 5𝑥) le puede afectar a este binomio o puede para al

−(3𝑦−5𝑥)

medio de la línea de fracción o puede ir al numerador.

−(3𝑦−5𝑥)

=

c) Simplificar:

(𝑎2 −𝑎𝑥+𝑥 2 )

=−

(𝑎2 −𝑎𝑥+𝑥 2 )

=

−(𝑎2 −𝑎𝑥+𝑥 2 )

Cualquiera de las respuestas es válida.

ST C IT EP U T I O

(𝑎2 −𝑎𝑥+𝑥 2 )

−3𝑦+5𝑥

−2𝑎2 𝑥+3𝑎2 𝑦

2𝑥 2 +4𝑥+3𝑥𝑦+6𝑦

∙

(3𝑦−5𝑥)

𝑥 2 −𝑥−6

−3𝑥𝑦+2𝑥 2 +9𝑦−6𝑥

(3𝑦−5𝑥)

∙

−2𝑥−3𝑦 −𝑎

Factorizando todos los numeradores y denominadores que se puedan factorizar: −2𝑎2 𝑥 + 3𝑎2 𝑦 = 𝑎2 (−2𝑥 + 3𝑦) Factor común 2𝑥 2 + 4𝑥 + 3𝑥𝑦 + 6𝑦 = 2𝑥(𝑥 + 2) + 3𝑦(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)(2𝑥 + 3𝑦) 𝑥 2 − 𝑥 − 6=(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

Factor común por agrupación

Trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

IN

−3𝑥𝑦 + 2𝑥 2 + 9𝑦 − 6𝑥 = −3𝑥𝑦 + 9𝑦 + 2𝑥 2 − 6𝑥 = 3𝑦(−𝑥 + 3) + 2𝑥(𝑥 − 3) = −3𝑦(𝑥 − 3) + 2𝑥(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)(−3𝑦 + 2𝑥)

Factor común por agrupación

Volviendo a escribir la expresión: (𝑥−3)(𝑥+2) 𝑎2 (−2𝑥+3𝑦) −2𝑥−3𝑦 ∙ ∙ (𝑥+2)(2𝑥+3𝑦) (𝑥−3)(−3𝑦+2𝑥) −𝑎

(𝑥−3)(𝑥+2) 𝑎2 (−2𝑥+3𝑦) −(2𝑥+3𝑦) ∙ ∙ −𝑎 (𝑥+2)(2𝑥+3𝑦) −(𝑥−3)(3𝑦−2𝑥)

Cambiando los signos de los términos que convengan cambiar.

Simplificando.

−𝑎 = −𝑎 +1

34

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INSTITUTO C.E.P.I. d) Simplificar:

−𝑥 2 +6𝑥−9 2𝑥 2 +𝑥−1

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA ÷

𝑥 3 −2𝑥 2 −5𝑥+6 𝑥 2 −1 2𝑥 2 +3𝑥−2

∙ 3𝑥−9

Factorizando todas las expresiones que se puedan factorizar: −(𝑥 2 −6𝑥+9) 2𝑥 2 +𝑥−1 −(𝑥 2 −6𝑥+9) 2𝑥 2 +𝑥−1

÷ ∙

−(𝑥−3)2

𝑥 3 −2𝑥 2 −5𝑥+6 𝑥 2 −1

∙

2𝑥 2 +3𝑥−2 2𝑥 2 +3𝑥−2

∙

𝑥 2 −1

(𝑥+2)(2𝑥−1)

(𝑥+1)(𝑥−1) 3(𝑥−3)

ST C IT EP U T I O

1 3

Factorizando por los distintos casos y simplificando.

𝑥 3 −2𝑥 2 −5𝑥+6 3𝑥−9

∙ ∙ (2𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−1)(𝑥+2)(𝑥−3) −

La división se convierte en multiplicación invirtiendo el divisor.

3𝑥−9

e) Simplificar la fracción algebraica:

a2  b2 b2 b 4b ab  a  2 2 2a  b a b a  2b 1 ab b a b a b

Desarrollando:

IN

a 2  b 2  a 2  b 2 ab  b 2 2a 2 ba  b 4b 4b ab a  a   → a 2 b  2 2 2 2 a  b b  2a  b a  b 2a a  b  a  2b b b b a b a b

2a 2 a  b ba  b 4b 2   a  bb 2 aa  b 2a

4b

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35

Lic. Christian Meruvia M. 1.10 Fracciones complejas Es la que tiene otras fracciones y operaciones en su numerador y/o en su denominador. Regla de los medios y los extremos -

La multiplicación de los medios se coloca en el denominador. La multiplicación de los extremos se coloca en el numerador. Una expresión que se encuentra en uno de los medios, se puede simplificar con un término de los extremos.

ST C IT EP U T I O

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

𝑎×𝑑 𝑏×𝑐

Ejemplos: 1

a) Simplificar:

2

1− − 2 𝑥 𝑥 1

1− 1

1

2

1− − 2 𝑥 𝑥 1

1− 1

1 𝑥2

IN

1 𝑥2

La línea de fracción principal se mantiene y se escoge las operaciones a realizar.

Colocando denominador 1.

1

2

1− − 2 𝑥 𝑥 1

1− 1

Sacando m.c.m. y aplicando la regla de los medios y extremos.

1 1 𝑥2

36

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

𝑥2 −𝑥−2 𝑥2 1 1− 2 𝑥 1

Colocando denominador 1, factorizando el denominador.

(𝑥−2)(𝑥+1) 𝑥2 1 1− 12 𝑥 1

ST C IT EP U T I O

Aplicando la regla de los medios y extremos.

(𝑥−2)(𝑥+1) 𝑥2 1 1− 2 𝑥

Sacando m.c.m.

(𝑥−2)(𝑥+1) 𝑥2 𝑥2 −1 𝑥2

Factorizando 𝑥 2 − 1

(𝑥−2)(𝑥+1) 𝑥2 (𝑥+1)(𝑥−1) 𝑥2

IN

𝒙−𝟐 𝒙−𝟏

Simplificando aplicando la regla de los medios y los extremos.

𝒂𝟐 𝒃𝟐

b) Simplificar:

La expresión: (

𝑎2 𝑏2

𝟐

𝟐 𝒃 𝟐

𝒂 𝟐

( 𝟐 + 𝟐 ) −[( ) −( ) ] 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 𝟐 (𝒂+𝒃) −(𝒂−𝒃)𝟐

+

𝑏2 𝑎2

2

𝑎 2

2 𝑏 2

𝑏

𝑎

) − [( ) − ( ) ] se puede factorizar por diferencia de cuadrados. Extrayendo la raíz cuadrada.

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37

Lic. Christian Meruvia M. 2

(

(

𝑎2 𝑏 2 𝑎 2 𝑏 2 + ) − [( ) − ( ) ] 𝑏 2 𝑎2 𝑏 𝑎

𝑎2 𝑏2

+

𝑏2 𝑎2

)

𝑎2 𝑏2

𝑎 2

𝑏 2

𝑏

𝑎

2

[( ) − ( ) ] 𝑏 2

𝑎 2

La primera base más la segunda bases por la segunda base por la primera base.

𝑎2 𝑏2

𝑎 2

𝑏 2

{( 2 + 2 )+[( ) −( ) ]}{( 2 + 2 )− [( ) −( ) ]} 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 (𝒂+𝒃)𝟐 −(𝒂−𝒃)𝟐 𝑎2 𝑏2

𝑎 2

𝑏 2

𝑎2 𝑏2

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎 2

𝑏 2

𝑏

𝑎

El denominador también es una diferencia de cuadrados.

𝑏

𝑎

𝑎

ST C IT EP U T I O

[ 2 + 2 +( ) −( ) ][ 2 + 2 −( ) +( ) ]

Distribuyendo las potencias.

(𝒂+𝒃+𝒂−𝒃)(𝒂+𝒃−𝒂+𝒃) 𝑎2 𝑏2 𝑎2 𝑏2

𝑎2 𝑏2 𝑎2 𝑏2

( 2 + 2 + 2 − 2 )( 2 + 2 − 2 + 2 ) 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 (𝟐𝒂)(𝟐𝒃) 2𝑎2

2𝑏2

( 2 )( 2 ) 𝑏 𝑎

La expresión

𝑎2 𝑏2

+

𝑎2

𝑏2

resulta ser

2𝑎2 𝑏2

ya que son términos semejantes.

Simplificando.

4𝑎𝑏 4 1 = 4𝑎𝑏 𝑎𝑏

𝑥 4 −(𝑥−1)2

𝑥 2 −(𝑥 2 −1)2

(𝑥 2 +1)2 −𝑥

𝑥 2 (𝑥+1)2 −1

− 2

IN

c) Simplificar:

+

−2𝑥 4 +2𝑥 3 +2𝑥 2 𝑥 4 −(𝑥+1)2

Se factoriza todos los numeradores y denominadores que se puedan factorizar: 𝑥 4 − (𝑥 − 1)2 = [𝑥 2 + (𝑥 − 1)][𝑥 2 − (𝑥 − 1)] = (𝑥 2 + 𝑥 − 1)(𝑥 2 − 𝑥 + 1)

Diferencia de cuadrados.

(𝑥 2 + 1)2 − 𝑥 2 = [(𝑥 2 + 1) + 𝑥][(𝑥 2 + 1) − 𝑥] = (𝑥 2 + 1 + 𝑥)(𝑥 2 + 1 − 𝑥)

Diferencia de cuadrados.

𝑥 2 − (𝑥 2 − 1)2 = [𝑥 + (𝑥 2 − 1)][𝑥 − (𝑥 2 − 1)] = (𝑥 + 𝑥 2 − 1)(𝑥 − 𝑥 2 + 1)

Diferencia de cuadrados.

𝑥 2 (𝑥 + 1)2 − 1 = [𝑥(𝑥 + 1) + 1][𝑥(𝑥 + 1) − 1] = (𝑥 2 + 𝑥 + 1)(𝑥 2 + 𝑥 − 1)

Diferencia de cuadrados.

−2𝑥 4 + 2𝑥 3 + 2𝑥 2 = 2𝑥 2 (−𝑥 2 + 𝑥 + 1) = −2𝑥 2 (𝑥 2 − 𝑥 − 1)

Factor común.

𝑥 4 − (𝑥 + 1)2 = [𝑥 2 + (𝑥 + 1)][𝑥 2 − (𝑥 + 1)] = (𝑥 2 + 𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 − 1)

38

Diferencia de cuadrados.

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Reescribiendo la expresión: (𝑥 2 +𝑥−1)(𝑥 2 −𝑥+1) (𝑥 2 +1+𝑥)(𝑥 2 +1−𝑥) (𝑥 2 +𝑥−1) (𝑥 2 +1+𝑥) 𝑥 2 +𝑥−1 𝑥 2 +𝑥+1

(𝑥+𝑥 2 −1)(𝑥−𝑥 2 +1)

− (𝑥 2

(𝑥−𝑥 2 +1)

− (𝑥 2

−

+𝑥+1)

−𝑥 2 +𝑥+1 𝑥 2 +𝑥+1

+𝑥+1)(𝑥 2 +𝑥−1) −2𝑥 2

+ (𝑥 2

+

+𝑥+1)

−2𝑥 2 𝑥 2 +𝑥+1

−2𝑥 2 (𝑥 2 −𝑥−1)

+ (𝑥 2

+𝑥+1)(𝑥 2 −𝑥−1)

Simplificando.

Ordenando los trinomios.

El m.c.m. es 𝑥 2 + 𝑥 + 1

𝑥2 +𝑥−1+𝑥2 −𝑥−1−2𝑥2 𝑥2+𝑥+1 −2 𝑥 2 +𝑥+1

ST C IT EP U T I O

𝑥2 +𝑥−1−(−𝑥2+𝑥+1)+(−2𝑥2 ) 𝑥2 +𝑥+1

Reduciendo términos semejantes.

1.11 Valor numérico

Es el valor de una expresión cuando se le asignan valores numéricos a las variables.

Ejemplos: 1

1

a) Si 𝑎 = − 3, 𝑏 = 2, 𝑐 = −1 Hallar el valor de 𝐸 =

(−𝑎+𝑏−𝑐)2 𝑎2 −𝑏2 𝑐

𝐸=

𝐸=

𝐸=

𝐸= 𝐸=

IN

Reemplazando los valores numéricos de las letras: 2 1 1 3 2 1 2 1 2 (− ) − ( ) ∙(−1) 3 2

(−(− )+ −(−1))

Desarrollando el numerador y denominador.

2 1 1 3 2 1 1 − ∙(−1) 9 4

( + +1)

1 3

1 2

( + +1)

(

(

1 1 + 9 4

2

Sacando m.c.m. en el numerador y denominador.

2+3+6 2 ) 6 4+9 36 11 2

)

6 13 36

La potencia 2 se distribuye para el numerador y denominador.

39

Lic. Christian Meruvia M.

Aplicando medios con medios y extremos con extremos.

121 36 13 36

𝐸=



b) Si 𝑎 + 𝑏 = 4 Determinar: 𝐸 =

𝐸=

121 13

𝑎∙𝑏 =3

y

𝑎3 +𝑏3 𝑎2 +𝑏2

ST C IT EP U T I O

𝐸=

112 62 13 36

Si se eleva al cuadrado miembro a miembro 𝑎 + 𝑏 = 4 resulta ser: (𝑎 + 𝑏)2 = 42 Desarrollando este binomio se tiene: 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 16

Pero se conoce que 𝑎 ∙ 𝑏 = 3 entonces reemplazamos este valor en la anterior ecuación: 𝑎2 + 2 ∙ 3 + 𝑏 2 = 16 Despejando: 𝑎2 + 𝑏 2 = 10 Por otro lado el numerador: 𝑎3 + 𝑏 3 se puede factorizar por suma de cubos: (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) Volviendo a escribir la expresión:

𝐸= 𝐸=

(𝑎+𝑏)(𝑎2 −𝑎𝑏+𝑏2 ) 𝑎2 +𝑏2 (4)(10−3) 10 2(7) 5

Reemplazando 𝑎 + 𝑏 = 4, 𝑎 ∙ 𝑏 = 3 y 𝑎2 + 𝑏 2 = 10

IN

𝐸=



𝐸=

14 5

c) Si: 𝑎√𝑎 = 3; determinar el valor de:

4𝑎3 √𝑎3 +𝑎6 √𝑎3 +√𝑎6

2

Se tiene que: 𝑎√𝑎 = 3 ; así que si se eleva miembro a miembro al cuadrado se tiene: (𝑎 √𝑎) = 32 2

Distribuyendo la potencia se tiene: 𝑎2 (√𝑎) = 9



𝑎2 ∙ 𝑎 = 9 

Si se vuelve a elevar al cuadrado miembro a miembro se tiene: (𝑎3 )2 = 92

𝑎3 = 9 

𝑎6 = 81

Reemplazando estos valores en la expresión original se tiene: 4∙9√9+81 √ 9+√81

40

Calculando los valores INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759-22676

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

36√90 3+9 36√90 12

Simplificando

3√90 = 3√32 ∙ 10 = 3 ∙ 3√10 = 9√10

1.12 Productos y cocientes notables

ST C IT EP U T I O

Productos notables (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3

(−𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3

(−𝑎 − 𝑏)3 = −𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 − 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2

Ejemplo:

1) Desarrollar por cociente notable: (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)

[(𝑎 + 𝑏) + 𝑐][(𝑎 + 𝑏) − 𝑐] = (𝑎 + 𝑏)2 − 𝑐 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 − 𝑐 2

IN

Cocientes notables

𝒂𝒏 ± 𝒃𝒏 𝒂±𝒃

1) 𝑎𝑛 − 𝑏 𝑛 es siempre divisible por 𝑎 − 𝑏, siendo n cualquier número par o impar. Todos los términos del resultado son positivos.

Ejemplo:

𝑎5 −𝑏5 𝑎−𝑏

= 𝑎4 + 𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏 2 + 𝑎𝑏 3 + 𝑏 4

2) 𝑎𝑛 − 𝑏 𝑛 es divisible por 𝑎 + 𝑏 siendo n un número entero par. Los signos del resultado se intercalan entre + y -. Si n es un número impar la división no es exacta.

Ejemplo:

𝑎4 −𝑏4 𝑎+𝑏

= 𝑎3 − 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 − 𝑏 3

3) 𝑎𝑛 + 𝑏 𝑛 es divisible por 𝑎 + 𝑏 siendo n un número entero impar. Los signos del resultado se intercalan entre + y -. 𝑎𝑛 + 𝑏 𝑛 no es divisible por 𝑎 − 𝑏 siendo n un número entero impar.

Ejemplo:

𝑎5 +𝑏5 𝑎+𝑏

= 𝑎4 − 𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏 2 − 𝑎𝑏 3 + 𝑏 4

4) 𝑎𝑛 + 𝑏 𝑛 nunca es divisible por 𝑎 + 𝑏 ni por 𝑎 − 𝑏 si n es un número entero par.

41

Lic. Christian Meruvia M.

PRÁCTICA # 1 26) 10𝑥 2 + 13𝑥 − 3

FACTORIZACIÓN: 1)

15𝑎2

+ 3𝑎

R. 3𝑎(5𝑎 + 1)

2) 𝑚2 + 2𝑚𝑥 + 𝑥 2

R. (𝑚 + 𝑥)2

3) −121 + 9𝑥 2

R. (3𝑥 + 11)(3𝑥 − 11)

4) 9𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 𝑦 2 5) −𝑚 + 2 + 5𝑚2 𝑛 − 10𝑚𝑛 6) −1 + 27𝑎3 7) −13𝑥 + 45𝑥 2 − 24 8) −𝑎2 + 𝑎 + 30 9) 15𝑚2 − 31𝑚 + 14 10) 144 − 𝑚2

27) 𝑥 4 − 22𝑥 2 − 75 28) 𝑎4 − 15𝑎2 − 10𝑎 + 24 29) 4𝑎2 − 169𝑏 2 30) 8𝑏 3 + 36𝑏 2 𝑐 + 54𝑏𝑐 2 + 27𝑐 3

ST C IT EP U T I O

R. (3𝑥 − 𝑦)2 R. (𝑚 − 2)(5𝑚𝑛 − 1)

R. (2𝑥 + 3)(5𝑥 − 1)

31) 𝑎2 𝑏 3 𝑐 5 − 𝑎𝑏 2 𝑑 3 + 𝑎4 𝑏𝑑 6

32) −4𝑞𝑥 + 6𝑝𝑥 + 2𝑞𝑧 − 2𝑞𝑦 + 3𝑝𝑦 − 3𝑝𝑧

R. (9𝑥 − 8)(5𝑥 + 3)

R. (3𝑝 − 2𝑞)(2𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

R. (6 − 𝑎)(𝑎 + 5)

33) −𝑥 2 + 35 + 2𝑥

R. (3𝑚 − 2)(5𝑚 − 7)

34) 𝑐 3 + 125𝑑 6

R. (12 + 𝑚)(12 − 𝑚)

35) 𝑎6 − 64𝑏 9

R. (7 − 𝑥)(𝑥 + 5)

R. (𝑎2 − 4𝑏3 )(𝑎4 + 4𝑎2 𝑏3 + 16𝑏6 )

36) 6𝑚𝑦 − 3𝑛𝑥 − 3𝑚𝑥 + 6𝑛𝑦

12) 6𝑥 2 − 11𝑥 − 35

37) 25 − 𝑥 2 − 16𝑦 2 + 8𝑥𝑦

R. 2(𝑥 2 + 4)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)

15) 2𝑥 3 − 𝑥 2 − 18𝑥 + 9 16) 𝑥 3 − 64

R. (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 4)

IN

14) 𝑥 4 + 5𝑥 3 − 20𝑥 − 16

17) 2𝑥 3 + 2 4 9

2 3

20) 𝑥 2 − 8𝑥 − 240

2 3

R. (4𝑚 − 1)3 R. (𝑥 − 20)(𝑥 + 12)

21) 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 3𝑥 2 + 4𝑥 − 4 22) 4𝑎2 𝑥 8 − 4𝑎2

R. (𝑥 − 4)(𝑥 2 + 4𝑥 + 16)

R. (1 + 𝑎4 ) (1 − 𝑎4 )

19) 64𝑚3 − 48𝑚2 + 12𝑚 − 1

R.(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)2

R. 4𝑎2 (𝑥 4 + 1)(𝑥 2 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

23) 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 7𝑥

R. 𝒙(𝒙 − 𝟕)(𝒙 + 𝟏)

24) 3𝑦 2 − 12

R. 3(𝑦 + 2)(𝑦 − 2)

25) 6𝑥 2 − 17𝑥 + 12

R. (𝑚 + 𝑛)(6𝑦 − 3𝑥)

38) 𝑎4 + 4𝑏 4

39) 𝑎4 + 2𝑎2 + 9

40) 125𝑥 3 + 1 + 75𝑥 2 + 15𝑥

R. 2(𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 + 1)

18) 1 − 𝑎8

R. 𝑎𝑏(𝑎𝑏 2 𝑐 5 − 𝑏𝑑3 + 𝑎3 𝑑6 )

R. (3𝑎 − 1)(9𝑎2 + 3𝑎 + 1)

11) 8𝑎2 𝑏 5 + 16𝑎3 𝑏 4 − 24𝑎5 𝑏 2

13) 2𝑥 4 − 32

R.(2𝑏 + 3𝑐)3

R. (3𝑥 − 4)(2𝑥 − 3)

41)

12𝑦 3 𝑚 + 40𝑥 4 𝑚 − 60𝑥 4 𝑛3 − 18𝑦 3 𝑛3

R. (2𝑚 − 3𝑛3 )(6𝑦 3 + 20𝑥 4 )

42) 9𝑥 2 − 16𝑥 − 80 43) 51𝑎2 𝑦 + 34𝑎𝑥 2 − 68𝑎𝑦 2 44) 104 + 8𝑥 − 30𝑥 2 45) 5𝑧(𝑥 − 2) + (𝑥 + 4)(𝑥 − 2)

R. (𝑥 − 2)(5𝑧 + 𝑥 + 4)

46) (4𝑦 − 1)(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) − (4𝑦 − 1) + (𝑥 + 𝑦 + 1)(−4𝑦 + 1) R. (4𝑦 − 1)(𝑧 − 2) 47) 1 + 𝑎10 − 2𝑎5 48) 3(𝑎 − 1) − 108 + (𝑎 − 1)2 49) 4𝑥 2 + 7𝑚𝑛𝑥 − 15𝑚2 𝑛2

R. (𝑎 + 11)(𝑎 − 10)

R. (4𝑥 − 5𝑚𝑛)(𝑥 + 3𝑚𝑛)

50) 36𝑥 2 − 159𝑥 − 105

R. 3(12𝑥 + 7)(𝑥 − 5)

42 Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com

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Lic. Christian Meruvia M. 51) Nivel B: Factorizando la siguiente expresión, los factores son:

16𝑎2 − 100 − 48𝑎𝑐 + 36𝑐 2 R. (4𝑎 − 6𝑐 + 10)(−6𝑐 − 10 + 4𝑎) 1 2 𝑥

52) Factorizar: (𝑥 + ) − 4 1 𝑥

1 𝑥

R. (𝑥 + + 2) (𝑥 + − 2) R. (𝑎2 − 6𝑏2 + 2𝑎𝑏)(𝑎2 − 6𝑏2 − 2𝑎𝑏)

54) Nivel C: Factorizar: 𝑥 2 + 5𝑥𝑦 + 4𝑦 2 + 2𝑥 + 5𝑦 + 1

R. (𝑥 + 4𝑦 + 1)(𝑥 + 𝑦 + 1)

55) Nivel C: Factorizar: 6𝑥 2 + 23𝑥𝑦 + 20𝑦 2 + 𝑥 + 6𝑦 − 2

R. (2𝑥 + 5𝑦 − 1)(3𝑥 + 4𝑦 + 2)

56) Nivel C: Factorizar: 𝑥 2 − 𝑦 2 − 𝑧 2 + 2𝑦𝑧 + 𝑥 + 𝑦 − 𝑧

R. (𝑥 + 𝑦 − 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 1)

57) Nivel C: Factorizar: (𝑥 + 1)(𝑥 + 3)(𝑥 + 4)(𝑥 + 6) + 8

R. (𝑥 2 + 7𝑥 + 10)(𝑥 2 + 7𝑥 + 8)

TÉRMINOS SEMEJANTES

ST C IT EP U T I O

53) Nivel B: Factorizar: 𝑎4 − 16𝑎2 𝑏 2 + 36𝑏 4

58) Reducir: −𝑥 − 3𝑥 + 5𝑦 − 8𝑥 + 𝑦 + 5𝑥 + 5𝑦 − 7𝑥 − 2𝑥 − 12𝑦 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑦 − 2𝑥 − 3𝑦 59) Reducir: −2𝑚𝑛 + 5𝑚 − 3𝑛 + 8𝑚𝑛 − 𝑚 − 𝑛 + 2𝑚 − 3𝑛 − 7𝑚𝑛 + 4𝑚 + 10𝑚 − 11𝑛 − 7𝑚𝑛 − 2𝑚 60) Reducir: 3𝑎𝑏 − 6 + 3𝑎 − 2𝑏 − 3𝑏 + 1 + 3𝑏 − 3𝑎 − 𝑏 − 𝑏 + 2𝑎𝑏 − 4 + 2𝑎𝑏 − 5𝑏 − 𝑎 − 𝑎 + 2𝑏 + 3𝑏 + 4𝑏 61) Reducir: −𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦 − 5𝑥 − 6𝑧 + 4𝑥 − 3𝑦 − 2𝑦 − 𝑦 + 2𝑧 + 8𝑥 − 7𝑧 − 5𝑥𝑦 + 2𝑥 + 2𝑥𝑦

IN

SIMPLIFICACIÓN

62) Eliminando los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes, la expresión: 2 x  3x  4 x  x  2 y   3 y  4 y   2 y



Es igual a:

R. −4𝑥 − 3𝑦 63) Reducir:

3 2 5 1    1   2  2a  5 a    2 a  4      2 a  0,4a   0,15 Es igual a:         R.  a 2  a  0,1 64) - 3x  2 y   x  2 y   2  x  y   3  2 x  1 65) 4𝑥 2 − {−3𝑥 + 5 − [−𝑥 + 𝑥(2 − 𝑥)]}





66) 2a  3 x  2   a  3 x  2   a  b  2  a  

43

R. 3𝑥 2 + 4𝑥 − 5 R. −3𝑥 + 4𝑏 − 8

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA 67) −(𝑥 + 𝑦) − 3(𝑥 − 𝑦) + 2[−(𝑥 − 2𝑦) − 2(−𝑥 − 𝑦)]

R. −2𝑥 + 10𝑦

68)  2a  b  3a  2b  4a  2b  2 a  b  1  2a  b

R.

69) 5(𝑥 + 𝑦) − {2𝑥 − 𝑦 + 2[−𝑥 + 𝑦 − 3 − 𝑥 − 𝑦 − 1]} + 2𝑥

R. 9 x  6 y  8





70) m  3  m  n       2m  n  2  3m  3n  3  m  

R. −6𝑚 + 𝑛 − 5

71) −3(𝑥 − 2𝑦) + 2{−4[−2𝑥 − 3(𝑥 + 𝑦)]} − {−[−(𝑥 + 𝑦)]}

R. 36𝑥 + 29𝑦

72) -3    a  b  4   a  b

R. a+7b

73)

a  b  2a  b  3 2a  b  3a  b  1 3 a  2 1  a 

74)

3 2 x2 x  3  5 4 x 2  3  4 x 

75)

  5  2 x  5 y  3 4 x  20 y  2 xy  3x 2  5xy  7 x 2   x  y  3xy  x 2  6 x 2 y  x 

 



ST C IT EP U T I O







R. a  9b  3





R. 72 x 2  78 x  45





IN

76) Expresar el área de la figura como un polinomio:

R. x 2  10x  21

77) Escribir un polinomio con las variables “x” y “y” que represente el área de la siguiente región:

R. 2𝑥𝑦 + 𝜋𝑦 2

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44

INSTITUTO C.E.P.I.

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

División de polinomios entre monomios 78) 6𝑚3 − 8𝑚2 𝑛 + 20𝑚𝑛2

79) 𝑥 𝑚+2 − 5𝑥 𝑚 + 6𝑥 𝑚+1 − 𝑥 𝑚−1 80) 𝑥 4 − 5𝑥 3 − 10𝑥 2 + 15𝑥

R. −3𝑚2 + 4𝑚𝑛 − 10𝑛2

−2𝑚

Entre

Entre

𝑥 𝑚−2

R. 𝑥 4 + 6𝑥 3 − 5𝑥 2 − 𝑥 1

R. − 5 𝑥 3 + 𝑥 2 + 2𝑥 − 3

−5𝑥

Entre

División de polinomios entre polinomios 81) 82)

a 4  a 2  2a  1 entre a 2  a  1 x 5  12x 2  5x entre x 2  2x  5

84)

m5  5m4 n  20m2 n3  16mn4 entre m2  2mn  8n 2 m6  m5  4m4  4m  m2  1 entre m3  m2  4m  1

85)

a 7  b7 entre a  b (Puede resolver por cociente notable) R. 𝑎6 − 𝑎5 𝑏 + 𝑎4 𝑏 2 − 𝑎3 𝑏 3 + 𝑎2 𝑏 4 − 𝑎𝑏 5 + 𝑏 6

R. 𝑚3 − 3𝑚2 𝑛 + 2𝑚𝑛2

ST C IT EP U T I O

83)

88)

21𝑥 5 − 21𝑦 5 entre 3𝑥 − 3𝑦 (Puede resolver por cociente notable) R. 7𝑥 4 + 7𝑥 3 𝑦 + 7𝑥 2 𝑦 2 + 7𝑥𝑦 3 + 7𝑦 4 a x3  a x entre a  1 R. 𝑎 𝑥+2 − 𝑎 𝑥+1 + 𝑎 𝑥 x n2  3x n3  x n4  x n5 entre x 2  x R. −𝑥 𝑛+3 + 2𝑥 𝑛+2 + 𝑥 𝑛+1

89)

1 3 35 2 2 3 1 2 1 1 x  x y  xy 2  y 3 x  xy  y 2 3 36 3 8 2 3 4 entre

86) 87)

90) El residuo de dividir el polinomio:

R.

2 𝑥 3

3 2

− 𝑦

3𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 − 2𝑥 + 3

IN

entre 𝑥 + 1 es: R. 11 1 91) Si el polinomio 5x5  x 4  10x 3  2 x 2  5x  1 se divide entre el polinomio x  el cociente es: 5 4 2 R. 5𝑥 − 10𝑥 + 5

1 2 1 3 25 x  4 x  es el divisor; C ( x )  x  2 es el cociente y R( x)   x  1 es el 2 3 2 4 3 5 1 residuo, de una división de polinomios, entonces el dividendo es: R. 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 − 4 4 3 92) Si B( x ) 

93) Determinar el valor de “m” para que al dividir: 20x3  4x2  8x  m entre x  1 el residuo sea -3. R. 𝑚 = −11 94) Para que el polinomio x 4  3x 2  mx  n sea divisible entre el polinomio x 2  2 x  4 ; la suma de los valores m y n será: R. 2 95) Nivel B: Dados los polinomios: entre q(x) Cuando: R. p  6 q  25

p( x)  x 4  px2  q

y

q( x)  x 2  2x  5 ;

p(x) será divisible

96) Nivel B: Qué valor debe tener k para que el polinomio a 3  ka2b  4ab2  3b3 sea divisible entre el binomio a  3b R. 4 INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Call e Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759 -22676

45

Lic. Christian Meruvia M. 97) Calcular el valor de K para que la siguiente división sea exacta.

x5  2x4  x3  kx  2 entre x+2

R. 𝑘 = 5

6 x 4  11x 2  ax  b 98) Nivel B: Si el resto de la siguiente división E  es igual a (3x+2). 3x 2  3x  1 Determinar el valor de la constante “b”.

R. 𝑏 = 3

99) Determinar el valor de “k” para que la división sea exacta: 8x3 16x2  4x  k entre x  2 R. 𝑘 = 120 100) Nivel B: El polinomio p(x) = 27 +hx –h3 –x3 ,tiene como factor el polinomio q(x) = x-3, los valores de R. (0,

ST C IT EP U T I O

h son:

3 , 3 )

101) Calcular el valor de “m” para que el polinomio: −3𝑥 4 − 6𝑥 3 + 2𝑥 − 𝑚 sea divisible entre −𝑥 + 2 R. 𝑚 = −92 Simplificación: 102) Simplifique:

3𝑦 − 6𝑥 2𝑚𝑥 − 𝑚𝑦 − 2𝑛𝑥 + 𝑛𝑦

R.

3 𝑛−𝑚

103) Simplifique:

𝑦−𝑥−𝑧

R. 𝑥+𝑦+𝑧

IN

(𝑥 − 𝑦)2 − 𝑧 2 (𝑦 + 𝑧)2 − 𝑥 2

104) Simplifique: R.

13𝑥𝑦−6𝑦 2 −6𝑥 2 𝑥𝑦−2𝑥 2 +3𝑦 2

3𝑥−2𝑦 𝑥+𝑦

105) Simplifique:

R.

y  3x 2x  y

106) Calcular el valor numérico de:

46

6𝑥𝑦 − 9𝑥 2 − 𝑦 2 6𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 𝑦 2

21𝑥𝑦𝑧(𝑥+𝑦−𝑧) 𝑥 2 +𝑦2 +𝑧 2

1

para 𝑥 = − 2

1

𝑦=4

1

𝑧=8

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

3 8

107) Realizar las operaciones y simplificar 1 2 7 + + 2𝑥 + 2 1 − 𝑥 4𝑥 − 4 R.

𝑥−3 4(𝑥+1)(𝑥−1)

108) Realizar las operaciones indicadas, simplificar y marcar el resultado correcto:

R.

𝑛 𝑛2 +2

ST C IT EP U T I O

2n  1   2 n  1  n  2   n 1  n  2  n  

109) Realizar las operaciones indicadas, simplificar y marcar el resultado correcto. z 3 4z  1  2  2 2 z  3 4 z  3z  1 2 z  z  3 4𝑧 3 +13𝑧 2 +𝑧−8

R. (2𝑧+3)(𝑧−1)(4𝑧+1) 110) Simplificar:

2𝑥 2𝑥 3 + 2𝑥 2 1 + + 2 3 𝑥−1 1−𝑥 𝑥 +𝑥+1

R.

3𝑥−1 𝑥 3 −1

IN

111) Simplificar:

R.

𝑥+2 2𝑥−3

112) Simplificar: R.

𝑥 2 − 2𝑥 + 1 +

1−𝑥 4 𝑥 2 +2𝑥+1

−

2 𝑥+1

+2

2 𝑥+1

113) Nivel B: Reducir:

R.

𝑥+2 𝑥+1 4𝑥 2 + 6𝑥 + 3 + + 2 3𝑥 − 1 3 − 2𝑥 6𝑥 − 11𝑥 + 3

1

1

[

(𝑎+𝑏)3 𝑎3

+

1 𝑏3

3

] + (𝑎+𝑏)4 [

1 𝑎2

+

1 𝑏2

6

] + (𝑎+𝑏)4

𝑎𝑏

1 𝑎3 𝑏 3 𝑎+𝑏−𝑐 3 ) 𝑏−𝑐

114) Nivel B: Simplificar: 𝑀 = (

𝑎−𝑏+𝑐 3 ) 𝑏−𝑐

−(

𝑎−𝑏+𝑐 𝑎+𝑏−𝑐 ) ∙ ( 𝑏−𝑐 ) 𝑏−𝑐

− 6(

R. 8

47

Lic. Christian Meruvia M. Fracciones complejas

1 r r  1  r es equivalente a: 115) La fracción compleja r 1 r r  r 1 r 1+𝑟

R.

1−𝑟

116) Reducir la fracción compleja e indicar el resultado correcto:

R.

1 3x  y

ST C IT EP U T I O

2 1  x y yx 4x  4 y x  y  x y x y

117) Reducir la fracción compleja e indicar el resultado correcto:

b

a

a ab b 1 ab 1

R.

b(b  a ) a

IN

118) Reducir la fracción compleja e indicar el resultado correcto:

R.

x 1 y

x 2 2 y y 1 x

x y x  2y

119) Simplifique la siguiente expresión: 2

2− 1−

2 2−

2 𝑥2

R. 2𝑥 2

48

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INSTITUTO C.E.P.I. 120) Reducir:

1−

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA 1 1−

1 1−

1 𝑥

R. 𝑥 121) Nivel B: Luego de reducir, el denominador es: 𝑥2 1

1− 𝑥2

1 + 𝑥1 𝑥+𝑥

ST C IT EP U T I O

𝟏

R. 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝒙𝟐

122) Nivel B: Calcular A+B, si:

𝐴=[ R.

1

𝑥−2

𝑥+1 𝑥−1 − 𝑥−1 𝑥+1 𝑥−1 𝑥+1 + 𝑥+1 𝑥−1

𝑥 2 +1

2𝑥

] ∙ [2𝑎2 −2𝑏] ÷ 𝑎2 −𝑏

𝐵=

𝑥−1 𝑥+2 −

𝑥2 +2 𝑥−2 𝑥− 𝑥+1

R.

IN

123) Efectuar las operaciones y simplificar las siguientes fracciones: 𝑎 𝑥− 𝑥 1− 𝑥+𝑎 𝑎 1+𝑥−𝑎 −𝒂(𝒙−𝒂) 𝒙

124) Efectuar las operaciones y simplificar las siguientes fracciones:

R.

𝒙𝟐 −𝒙+𝟏 𝟐𝒙−𝟏

1 𝑥2 − 1 𝑥− 1 𝑥+𝑥−1

125) Efectuar las operaciones y simplificar las siguientes fracciones: 𝑥−𝑎 𝑥 𝑥−𝑎− 𝑥 1− 𝑥−𝑎 𝒂 R. 𝒙+𝒂

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Lic. Christian Meruvia M. 126) Efectuar las operaciones y simplificar las siguientes fracciones: 3 1 + 1 3 1+ 1 −1 + 1 1+𝑥 1−𝑥 R. 2 Multiplicación y división 127) Simplificar:

R. 𝑓 = 1

𝑥 3 − 7𝑥 + 6 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 + 2 ÷ ) ( ) 𝑥 2 − 2𝑥 − 15 𝑥 2 − 4𝑥 − 5

ST C IT EP U T I O

𝑓=(

128) Nivel B: Simplificar:

𝑏 2𝑏 2 𝑏2 3𝑏 2 2𝑎𝑏 2 ( + 2 )∙( + − 2 ) 2 𝑎+𝑏 𝑎 −𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏2 𝑓= 4𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑎 −𝑎−𝑏+𝑎+𝑏

R. 𝑓 = − 129)

𝑎 2

Simplificar:

𝑥 2 + 4𝑎𝑥 + 4𝑎2 2𝑎𝑥 − 4𝑎2 6𝑎 + 6𝑥 ∙ ∙ 3𝑎𝑥 − 6𝑎2 𝑎𝑥 + 𝑎 𝑥 2 + 3𝑎𝑥 + 2𝑎2

R.

4𝑥+8𝑎 𝑎𝑥+𝑎

R.

𝑚−𝑛−𝑥 𝑚

IN

130) Simplificar:

(𝑚 + 𝑛)2 − 𝑥 2 (𝑚 − 𝑛)2 − 𝑥 2 ∙ (𝑚 + 𝑥)2 − 𝑛2 𝑚2 + 𝑚𝑛 − 𝑚𝑥

131) Simplificar: 2𝑎3 + 2𝑎𝑏 2 𝑥3 − 𝑥 𝑥 ∙ ∙ 2 2 2 2𝑎𝑥 − 2𝑎𝑥 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 𝑥 + 1 R. 1 132) Simplificar:

1 x 1 x  2 1  x  x 1  x  x2  1 1 x 1 x x3  2 2 1 x  x 1 x  x R. 1

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

1 𝑏 Simplificar: 1 1− 𝑏 1 1+ 𝑏

1+

133)

R.

(𝑏+1)2 𝑏 (𝑏−1)

PROBLEMAS

R.

a  b  c  3d 6

ST C IT EP U T I O

134) En un curso de matemáticas se aplican 3 exámenes parciales y un final, sean a, b, c las calificaciones de los 3 primeros exámenes parciales y d es la calificación del examen final. Si la calificación definitiva se computa admitiendo que el examen final cuente como el promedio de los otros 3, entonces el promedio definitivo será:

135) Si tres resistencias en un circuito eléctrico, con resistencias x, y, z, se hallan conectadas en paralelo, la resistencia total se calcula con la siguiente expresión.

1 Cuál de estas expresiones representan lo mismo: 1 1 1   x y z

R.

xyz xy  xz  yz

R. (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑐)

IN

136) Factorizar: 𝑎2 𝑏 − 𝑎2 𝑐 + 𝑏 2 𝑐 − 𝑎𝑏 2 + 𝑎𝑐 2 − 𝑏𝑐 2

Hola, soy Albert y quiero que me ayudes a resolver algunos juegos y preguntas que te harán razonar, búscame al final de los temas. Un lechero dispone únicamente de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar leche?

51

ST C IT EP U T I O

IN

2.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN

2.2 PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES 2.3 ECUACIONES NÚMERICAS DE PRIMER GRADO O LINEALES 2.4 ECUACIONES DE PRIMER GRADO LITERALES

52

INSTITUTO C.E.P.I.

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

2.1 Definición de ecuación Es una igualdad entre expresiones donde existen una o más variables. Resolver una ecuación significa, hallar el o los valores de esas variables que satisfacen a esa ecuación. La base de las ecuaciones de primer grado es el de determinar el valor de la variable.

2.2 Propiedades de las ecuaciones

-

ST C IT EP U T I O

El axioma principal en las ecuaciones es que una ecuación se transforma en otra ecuación equivalente cuando se aplican operaciones elementales en ambos miembros. Si a los dos miembros de una ecuación se le suma una misma cantidad sea positiva o negativa, la igualdad se mantiene. Si a los dos miembros de una ecuación se le resta una misma cantidad sea positiva o negativa, la igualdad se mantiene. Si a los dos miembros de una ecuación se le multiplica una misma cantidad sea positiva o negativa, la igualdad se mantiene. Si a los dos miembros de una ecuación se le divide una misma cantidad sea positiva o negativa, pero distinta de cero, la igualdad se mantiene.

−2𝑥 + 3 = 4

IN

En la ecuación anterior se puede restar el número 3 a ambos lados de la ecuación: −2𝑥 + 3 − 3 = 4 − 3 Con esto la ecuación queda como:

−2𝑥 = 1

Ahora se puede multiplicar a ambos lados la ecuación por -1 para cambiar el signo de -2x −2𝑥 = 1 //(×−1) 2𝑥 = −1 Se divide ambos miembros entre 2 2𝑥 1 =− 2 2 1 2 Para simplificar la resolución de las ecuaciones, se puede asumir que un término puede “pasar” al otro lado de la ecuación con signo cambiado. Un coeficiente que está multiplicando, puede “bajar” a dividir al otro lado de la ecuación, en el ejemplo anterior: 𝑥=−

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Lic. Christian Meruvia M. −2𝑥 + 3 = 4

Pasando el número +3 al lado derecho de la ecuación con signo cambiado:

−2𝑥 = 4 − 3

Realizando las operaciones:

−2𝑥 = 1

Multiplicando miembro a miembro por -1 para que -2 cambie de signo. Al multiplicar por -1, cambian de signo todos los términos del lado izquierdo y derecho de la ecuación.

2𝑥 = −1

El coeficiente 2 que está multiplicando con la variable “x”, “baja” a dividir al lado derecho de la ecuación.

𝑥=−

1 2

También se podía llevar las variables al lado derecho y los números al lado izquierdo:

3 − 4 = 2𝑥 −1 = 2𝑥 1

−2 = 𝑥

El término -2x se lleva al lado izquierdo y el número 4 al lado derecho

ST C IT EP U T I O

−2𝑥 + 3 = 4

Realizando las operaciones:

El coeficiente 2 que está multiplicando con la variable “x”, “baja” a dividir al lado izquierdo de la ecuación. 1 2

Que es lo mismo que 𝑥 = − , lo que muestra que se puede despejar la variable no solo al lado

izquierdo de la ecuación sino también al lado derecho de acuerdo a la conveniencia.

2.3 Ecuaciones númericas de primer grado o lineales

IN

La ecuación de primer grado o lineal, podrá estar llena de símbolos de agrupación o sea paréntesis, corchetes y llaves o podrá tener fracciones. Lo primero que se debe realizar en la ecuación, es justamente hacer desaparecer los símbolos de agrupación y las fracciones. Una vez que la ecuación quede sin símbolos de agrupación, no tenga fracciones y se desarrollen todas las operaciones, quedarán términos que contienen la variable y números. Se llevan todas las variables a uno de los lados de la ecuación y los números al otro lado.

Ejemplos: a) Resolver la siguiente ecuación: −3𝑥 + 5 − 6𝑥 − 7 = 5𝑥 − 9 − 𝑥 Todos los términos que contienen la variable “x” se pueden llevar al lado izquierdo y los números al lado derecho. Cuando se lleva un término al otro lado de una ecuación, el término cambia de signo. −3𝑥 − 6𝑥 − 5𝑥 + 𝑥 = −9 − 5 + 7

54

Realizando operaciones entre términos semejantes:

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INSTITUTO C.E.P.I. −13𝑥 = −7

//(×−1)

13𝑥 = 7

𝑥=

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA Multiplicando la ecuación miembro a miembro por -1 para que -13 cambie de signo.

El coeficiente 13 que está multiplicando con la variable “x” pasa a dividir al lado derecho de la ecuación.

7 13 1

3

2

1

3

b) Resolver la siguiente ecuación: − {− 2 [− (− 5 𝑥 − 3) − 2] − 3𝑥} = − 5 𝑥 + 2 En este ejercicio, se debe hacer desaparecer los símbolos de agrupación y las fracciones. 1

3

2

2

5

3

1 3

2

1

3

5

2

Se copia hasta llegar al paréntesis.

ST C IT EP U T I O

− {− [− (− 𝑥 − ) − 2] − 3𝑥} = − 𝑥 + 1

3

1

− {− 2 [5 𝑥 + 3 − 2] − 3𝑥} = − 5 𝑥 + 2

El − que se encuentra delante el corchete se distribuye con los 2

términos que se encuentran dentro.

3

1

1

3

− {− 10 𝑥 − 3 + 1 − 3𝑥} = − 5 𝑥 + 2

El signo (-) que se encuentra delante la llave, hace que todos los términos de dentro cambien de signo.

3 10

1

1

3

𝑥 + 3 − 1 + 3𝑥 = − 5 𝑥 + 2

Una vez que ya no hay símbolos de agrupación, se debe hacer desaparecer los

denominadores mediante el mínimo común múltiplo, que en muchos casos es conveniente sacar un m.c.m. para los dos lados de la ecuación. En este caso el m.c.m. de 10, 3, 5 y 2 es 30

30

=

−6𝑥+45

Después de realizar las operaciones, el m.c.m. que está a ambos lados de la ecuación se

IN

9𝑥+10−30+90𝑥

30

simplifica. Una vez que no existen símbolos de agrupación y denominadores, se llevan todas las variables “x” al lado izquierdo y los números al lado derecho.

9𝑥 + 90𝑥 + 6𝑥 = 45 − 10 + 30 105𝑥 = 65 65

𝑥 = 105

𝑥=

Se suman los términos semejantes:

El coeficiente 105 pasa a dividir.

Simplificando

13 21

c) Resolver la ecuación:

𝑥+4 𝑥+2

−

−𝑥+2 𝑥−3

=

2𝑥 2 −5 𝑥 2 −𝑥−6

Para sacar el m.c.m. primero se debe factorizar los denominadores que se puedan factorizar: INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Call e Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759- 22676

55

Lic. Christian Meruvia M. 𝑥+4 𝑥+2

−

−𝑥+2 𝑥−3

2𝑥 2 −5

= (𝑥−3)(𝑥+2)

(𝑥+4)(𝑥−3)−(−𝑥+2)(𝑥+2) (𝑥−3)(𝑥+2)

El m.c.m. de los dos lados de la ecuación es: (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

2𝑥 2 −5

= (𝑥−3)(𝑥+2)

Con esto ya no existen denominadores, ahora se realizan las operaciones mediante la distributividad.

𝑥 2 − 3𝑥 + 4𝑥 − 12 − (−𝑥 2 − 2𝑥 + 2𝑥 + 4) = 2𝑥 2 − 5 𝑥 2 − 3𝑥 + 4𝑥 − 12 + 𝑥 2 − 4 = 2𝑥 2 − 5

𝑥 = 11

Como el término 2𝑥 2 se encuentra a ambos lados de la ecuación con el mismo signo, entonces se pueden simplificar.

ST C IT EP U T I O

2𝑥 2 + 𝑥 − 16 = 2𝑥2 − 5

Realizando operaciones entre términos semejantes:

1 1 1 1

d) Resolver la ecuación: [ [ [ 𝑥 − 1] − 1] − 1] = 0 3 3 3 2

1

Sacando m.c.m. para [ 𝑥 − 1] 2

1 1 1 𝑥−2

1 1 𝑥−2

[ [

3 3

] − 1] − 1] = 0

2

6

1 1 𝑥−2−6

[ [

3 3

6

1 𝑥−8 3

[

18

𝑥−26 54

] − 1] = 0 

− 1] = 0

=0

1 3

a

Sacando m.c.m. para



3

2

𝑥−2 6

−1

1 1 𝑥−8

[ [

3 3

1 𝑥−8−18

[

𝑥−2

18

6

] − 1]=0

]=0 

Distribuyendo

1 𝑥−26 3

[

18

1 3

a

𝑥−8 6

]=0

El número 54 que está dividiendo el lado izquierdo de la ecuación, pasa al lado derecho a multiplicar.

𝑥 − 26 = 0 ∙ 54

56

Distribuyendo

− 1] − 1] = 0

IN

[ [ [

3 3 3



𝑥 − 26 = 0



𝑥 = 26

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2.4 Ecuaciones de primer grado literales La base de las ecuaciones literales es la misma que las ecuaciones numéricas solo que ahora existen letras secuandarias o constantes que serían análogas a los números.

Ejemplos: 3 −2𝑥

Resolver la ecuación literal: − (

a)

3 −2𝑥

− ( 4

𝑚

6𝑥

3𝑥

4𝑚

−

4𝑛

𝑥

2 𝑥

𝑥

+ )= ( + )− 𝑛 3 𝑛 𝑚 =

18𝑛𝑥−9𝑚𝑥 12𝑚𝑛

2𝑥 3𝑛

=

+

𝑚

2 𝑥

𝑥

8𝑚−𝑛

𝑛

3 𝑛

𝑚

2𝑚

ST C IT EP U T I O

4

𝑥

+ )= ( + )−

2𝑥

3𝑚

−

8𝑚−𝑛

Distribuyendo

2𝑚

8𝑚−𝑛

Sacando el m.c.m. de los dos lados de la ecuación:

2𝑚

8𝑚𝑥+8𝑛𝑥−6𝑛(8𝑚−𝑛)

Desarrollando:

12𝑚𝑛

18𝑛𝑥 − 9𝑚𝑥 = 8𝑚𝑥 + 8𝑛𝑥 − 48𝑚𝑛 + 6𝑛2

Todos los términos que contienen la variable “x” se los lleva al lado izquierdo, los que no contienen la variable “x” se los lleva

al lado derecho de la ecuación.

IN

18𝑛𝑥 − 8𝑛𝑥 − 9𝑚𝑥 − 8𝑚𝑥 = −48𝑚𝑛 + 6𝑛2 10𝑛𝑥 − 17𝑚𝑥 = 6𝑛(−8𝑚 + 𝑛)

Sacando factor común de: 𝑛𝑥 − 8𝑚𝑥 que es “x”

𝑥(10𝑛 − 17𝑚) = 6𝑛(−8𝑚 + 𝑛)

𝑥=

6𝑛(−8𝑚+𝑛)

Realizando operaciones entre términos semejantes:

El término (𝑛 − 8𝑚) que está multiplicando, pasa a dividir al lado derecho.

La variable “x” ya está despejada.

10𝑛−17𝑚

𝑎

𝑏

𝑏 2

𝑎 2

b) Resolver la siguiente ecuación: 𝑥 − 𝑥 + (𝑥 ) = (𝑥 ) 𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑏 2

𝑎 2

− 𝑥 + (𝑥 ) = (𝑥 ) 𝑥 𝑏2

𝑎2

− 𝑥 + 𝑥2 = 𝑥2 𝑥

Desarrollando:

El m.c.m. es “𝑥 2 "

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57

Lic. Christian Meruvia M. 𝑎𝑥−𝑏𝑥+𝑏2 𝑥2

=

𝑎2 𝑥2

Todos los términos que contienen la variable “x” se los lleva al lado izquierdo, los que no contienen la variable “x” se los lleva al lado derecho de la ecuación.

𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 = 𝑎2 − 𝑏 2 𝑥(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2

El factor común de 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 es “x”: Factorizando en término de la derecha se tiene:

𝑥(𝑎 − 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) (𝑎 − 𝑏)

IN

𝑥 =𝑎+𝑏

ST C IT EP U T I O

𝑥=

El término (𝑎 + 𝑏)que está multiplicando con “x” pasa a dividir al lado derecho.

58

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PRÁCTICA # 2 1) Resolver la siguiente ecuación:

8𝑥 − 15𝑥 − 30𝑥 − 51𝑥 = 53𝑥 + 31𝑥 + 172

ST C IT EP U T I O

R. 𝑥 = −1 2) Resolver la siguiente ecuación:

9𝑥 − (5𝑥 + 1) − {2 + 8𝑥 − (7𝑥 − 5)} + 9𝑥 = 0

2

R. 𝑥 = 3

3) Resolver la siguiente ecuación:

5𝑦 − (3𝑦 − 7) − [4 − 2𝑦 − (6𝑦 − 3)] = 10

R. 𝑦 = 1

4) Resolver la siguiente ecuación:

IN

2𝑧(𝑧 + 7) − 90 = 5𝑧(𝑧 − 7) − 𝑧(3𝑧 − 4)

R. 𝑧 = 2

5) Resolver la siguiente ecuación:

3(2𝑦 + 1)(−𝑦 + 3) − (2𝑦 + 5)2 = −{−[−3(𝑦 + 5)] + 10𝑦 2 }

R. 𝒚 = −

𝟏 𝟐

6) Resolver la siguiente ecuación: 3(𝑦 − 1) −

2𝑦 − 3 15 4𝑦 − 1 1 + = +𝑦+ 4 6 3 12

R. 𝑦 = −3

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Lic. Christian Meruvia M. 7) Resolver la siguiente ecuación 1 2

1

1

3

6

(𝑥 − 1) − (𝑥 − 3) = (𝑥 + 3) +

8

R. 𝑥 = 5 8) Resolver la siguiente ecuación: 2𝑢 − (2𝑢 − 11 19

ST C IT EP U T I O

R. 𝑢 = −

3𝑢 + 1 2 𝑢+2 1 )= ( )− 8 3 6 4

9) Resolver la siguiente ecuación:

2𝑥 −

5

R. x= 2

3 𝑥 = +3 2 5

10) Resolver la siguiente ecuación

2𝑥 + 7 5 1 − = (𝑥 − 2) 3 2 3

3 2

IN

R. 𝒙 = −

11) Resolver la siguiente ecuación

3𝑥 − 2 = 2[4𝑥 − (3𝑥 + 5)]

R. 𝑥 = −8 12) Resolver la siguiente ecuación

3𝑥 −

2𝑥−1 3

= 3−𝑥

4

R. 𝑥 = 5

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13) Resolver la siguiente ecuación

1 2 − 2𝑥 = 3𝑥 − (3 − 𝑥) 5 1

R. 𝑥 = 2 14) Resolver la siguiente ecuación 5𝑥−1 𝑥+2

+3=

7𝑥+5 𝑥+2

−7

ST C IT EP U T I O

7

R. 𝑥 = − 4

15) Resolver la siguiente ecuación

40𝑥 − 15 =

14

R. 𝑥 = 11

150 − 5𝑥 4

16) Resolver la siguiente ecuación

2𝑥 − 5 5 − [(2 − 3𝑥) + 2𝑥 − (7𝑥 + 3)] = ( )−2 3

29

IN

R. 𝑥 = − 22

17) Resolver la siguiente ecuación:

2 − 7𝑥 1 = (5 − 6𝑥) 2 3

4

R. 𝑥 = − 9

18) Resolver la siguiente ecuación:

𝑥+

5 + 3𝑥 =𝑥+5 7

R. 𝑥 = 10

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-

61

Lic. Christian Meruvia M. 19) Resolver la siguiente ecuación:

𝑥−1=

5𝑥 − 3 1 − 𝑥 4 2

R. 𝑥 = 1 20) Resolver la siguiente ecuación:

R. 𝑥 = 3

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𝑥+2 𝑥−2 𝑥 2 + 78 2( ) − 3( )= 2 𝑥−2 2𝑥 + 3 2𝑥 − 𝑥 − 6

21) Calcular el valor de “x”:

1 1 1 1

[ [ [ 𝑥 − 1] − 1] − 1] = 0

2 2 2 2

22) Proporcionar la solución de la ecuación:

R. 𝑥 = 1560 23) Nivel B: Resolver: 1 2

𝑥 2 +8𝑥+17

1 1 1 1

( ( ( 𝑥 − 2) − 2) − 2) − 2 = 0

5 5 5 5

𝑥−3 2

=(

)

𝑥+4

IN

R. 𝑥 = −

𝑥 2 −6𝑥+10

R. 𝑥 = 14

24) Nivel C: Resolver la siguiente ecuación:

2 2𝑥 − 1 5 3𝑥 + 5 5 1 2 2 1 5 5 − ( − 2𝑥) − ( ) − (− 𝑥 − ) + = − 𝑥2 − 3 3 3 5 4 2 5 180 16 12

R. 𝑥 = −2 25) Nivel C: Resolver la siguiente ecuación: (𝑥 + 2)(𝑥 − 4) (𝑥 + 4)(𝑥 − 7) 5 − = 7(𝑥 + 3)(𝑥 − 5) 12(𝑥 + 5)(𝑥 − 8) 84 R. 𝑥 = −25

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ECUACIONES LITERALES 26) Resolver la siguiente ecuación: 2𝑥 − 3𝑎 11𝑎 −2= 2 𝑥 + 4𝑎 𝑥 − 16𝑎2 R. 𝑥 = 4𝑎 − 1 27) Resolver la siguiente ecuación:

𝑥 − 3𝑎 2𝑎 − 𝑥 1 − =− 2 𝑎 𝑎𝑏 𝑎

ST C IT EP U T I O

R. 𝑥 = 2𝑎 28) Resolver la siguiente ecuación:

3 𝑥 𝑥 1 𝑥 𝑥 5𝑎 + 13𝑏 ( + )= ( − )+ 4 𝑏 𝑎 3 𝑏 𝑎 12𝑎

R. 𝑥 = 𝑏

29) Resolver la siguiente ecuación:

2𝑥 + 𝑎 𝑏 − 𝑥 3𝑎𝑥 + (𝑎 − 𝑏)2 − = 𝑏 𝑎 𝑎𝑏

R. 𝑥 = 2𝑏

30) Resolver la siguiente ecuación:

𝑎𝑥 − 1 𝑏𝑥 − 1 + = (2 − 𝑎 − 𝑏)𝑥 𝑎 𝑏

1

IN

R. 𝑥 = 𝑎𝑏

31) Nivel C: Resolver la siguiente ecuación:

[(𝑎2 + 𝑏 2 )2 − 𝑎2 𝑏 2 ] ∗ (𝑎2 − 𝑏 2 ) 𝑏 2 (𝑥 − 𝑎) − 𝑎2 (𝑥 − 𝑎) = (𝑎 + 1)𝑏 2 − (𝑎2 + 𝑎)(𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 1)𝑎𝑏 𝑏 6 − 𝑎6

R. 𝑥 = −1 32) Nivel C: Resolver la siguiente ecuación: (𝑥 − 2)𝑚2 − 𝑛2 (𝑥 − 2) (𝑚 − 𝑛)(𝑚2 + 𝑚𝑛 + 𝑛2 )[(𝑚 + 𝑛)2 − (𝑚 + 𝑛)𝑛] = (𝑚 − 𝑛)(𝑚6 + 𝑚3 𝑛3 + 𝑛6 ) 𝑚(𝑚9 − 𝑛9 ) R. 𝑥 = 3 33) Resolver la ecuación en “x”:

𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 (1 − 𝑥) + 𝑎 (1 − 𝑥) 𝑏

=1

R. 𝑎 + 𝑏 INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759- 22676

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Lic. Christian Meruvia M.

IN

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Un caracol sube verticalmente por la pared de un pozo de 10 metros de altura. Durante el día sube 2 metros, y durante la noche resbala, retrocediendo un metro. ¿Cuántos días tardará en salir del pozo?

64

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IN

3.1 SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS 3.2 SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS 3.3 PROBLEMAS CON UNA, DOS Y TRES INCÓGNITAS.

65

Lic. Christian Meruvia M. 3.1 Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas (2x2) Los sistemas de ecuaciones, se pueden resolver con distintos métodos los cuales son: Método de sustitución, método de igualación, método de reducción y método de determinantes (este último método no se estudiará en este libro). La primera pregunta que surge es: ¿Cuál de los métodos es el mejor?; en realidad todos los métodos son importantes y depende cual usar de acuerdo al tipo de ejercicio que estemos resolviendo, es por esto la importancia de que el estudiante maneje todos los métodos.

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MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Este método consiste en despejar una de las variables en cualquiera de las dos ecuaciones y “sustituirla” en la otra ecuación, una vez realizada la sustitución, se ha anulado una variable convirtiéndose en una ecuación de primer grado.

Ejemplo:

3

−2𝑦 = 2 𝑥 a) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: { 2𝑥 − 3𝑦 = 17

(1)

(2)

Despejando la variable “y” en la ecuación (1): 3

//(×−1)

3

2𝑦 = − 2 𝑥 3 𝑦=− 𝑥 4

Multiplicando miembro a miembro por -1 para que la variable “y” cambie de signo.

IN

−2𝑦 = 2 𝑥

El coeficiente 2 que está multiplicando con la variable “y” pasa a dividir, de esa manera “y” está despejada.

Sustituyendo en la ecuación (2): 2𝑥 − 3𝑦 = 17 3

2𝑥 − 3 (− 4 𝑥) = 17

Una vez hecha la sustitución, la variable “y” ha desaparecido con lo cual la ecuación se ha convertido en una ecuación de primer grado.

9

2𝑥 + 4 𝑥 = 17 8𝑥+9𝑥 4

66

=

68 4

Sacando el m.c.m.

Realizando operaciones entre términos semejantes:

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𝑥=4 3 Reemplazando este valor en la ecuación 𝑦 = − 4 𝑥 para obtener “y”: 17𝑥 = 68  3



𝑦 = − 4 (4)

𝑦 = −3

Como par ordenado: (4, −3) MÉTODO DE IGUALACIÓN: Este método consiste en despejar una misma variable en ambas ecuaciones y luego igualar los dos lados derechos de ambas ecuaciones: 

a=c

b=c

ST C IT EP U T I O

a=b

Ejemplo:

a) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: {

𝑦=

𝑦=

3𝑥+34

5 −𝑥+7 2

(1) (2)

En ambas ecuaciones la variable “y” se encuentra despejada, por lo cual es práctico realizar la igualación de ambos lados derechos de las ecuaciones: Igualando (1) y (2): 3𝑥+34 5

=

−𝑥+7

Al haber realizado la igualación, la variable “y” ha desaparecido, convirtiéndose en una ecuación

2

IN

de primer grado donde la única variable es “x”. El m.c.m. de las dos fracciones es 10 pero en este ejercicio es práctico es pasar los dos denominadores que están dividiendo a multiplicar al otro miembro.

2(3𝑥 + 34) = 5(−𝑥 + 7)

Realizando la distributividad:

6𝑥 + 68 = −5𝑥 + 35

Llevando los términos con variable “x” al lado izquierdo y los números al lado derecho:

6𝑥 + 5𝑥 = 35 − 68

Realizando operaciones entre términos semejantes:

11𝑥 = −33 33

𝑥 = − 11



𝑥 = −3

Reemplazando en la ecuación (1):

𝑦=

3𝑥+34 5



𝑦=

3(−3)+34 5



𝑦=

−9+34 5



𝑦=

25 5



𝑦=5

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67

Lic. Christian Meruvia M. Como par ordenado: (−3,5)

MÉTODO DE REDUCCIÓN: Consiste en igualar los coeficientes de una de las variables para así poder reducir dicha variables. El sistema de ecuaciones puede estar lleno de símbolos de agrupación, denominadores, potencias, así que el primer paso para aplicar este método es ordenar el sistema en su forma general:

𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 { 1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2

ST C IT EP U T I O

Lo que significa que se puede ordenar primero la variable “x” después la variable “y” y al lado derecho el número o constante. Ejemplos: a) Resolver el siguiente sistema: {

−2𝑥 + 3𝑦 = 6 𝑥 − 2𝑦 = −5

(1) (2)

Se determina que variable es la que se va a reducir, en este caso conviene reducir la variable “x” puesto que basta con multiplicar por 2 la ecuación número (2) para así poder igualar los coeficientes. {

−2𝑥 + 3𝑦 = 6 𝑥 − 2𝑦 = −5

{

−2𝑥 + 3𝑦 = 6 2𝑥 − 4𝑦 = −10 −2𝑥 + 3𝑦 = 6 2𝑥 − 4𝑦 = −10 −𝑦 = −4

−𝑦 = −4

Como los coeficientes de la variable “x” son iguales y de signo contrario, se procede a reducir.

Una vez se hizo la reducción, solo queda la variable “y”

IN

{

//(×2)

//(×−1)

Multiplicando miembro a miembro por 1



𝑦=4

Reemplazando en la ecuación (2): 𝑥 − 2𝑦 = −5  𝑥 − 2(4) = −5



𝑥 − 8 = −5



𝑥 = −5 + 8

𝑥=3 b) Resolver el siguiente sistema: {

68

3𝑥 − 5𝑦 = 7 7𝑥 + 2𝑦 = −11

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Se escoge la variable a reducir, en este caso “x” (podría haber sido “y”), para igualar el coeficiente 3 con el coeficiente 7 y ya que no son múltiplos, la ecuación (1) se multiplica por 7 y viceversa la ecuación (2) se multiplica por 3. Para poder lograr que los signos sean distintos, una de las dos ecuaciones se debe multiplicar por -1.

3𝑥 − 5𝑦 = 7 7𝑥 + 2𝑦 = −11

{

{

//(×7) //(×−3)

21𝑥 − 35𝑦 = 49 −21𝑥 − 6𝑦 = 33

Se procede a reducir.

−41𝑦 = 82

Multiplicando miembro a miembro por -1 82



𝑦 = − 41



𝑦 = −2

ST C IT EP U T I O

41𝑦 = −82

Multiplicando miembro a miembro se tiene:

Reemplazando en la ecuación (1):

3𝑥 − 5𝑦 = 7



3𝑥 = −3 

𝑥 = −3

3𝑥 − 5(−2) = 7 3

Ejemplos varios:





𝑥 = −1

2𝑥−3

3.3

3𝑥 + 10 = 7

Resolver el siguiente sistema: {

2

𝑥

− 3 = − (−2𝑦 + 2)

2 𝑥−3

𝑥−5

= 𝑦+1 𝑦−4

IN

Tanto la ecuación (1) como la ecuación (2) están con símbolos de agrupación y fracciones. La primera idea es la de desarrollar cada ecuación y ordenarla en su forma general, o sea:

2𝑥−3

{

2

𝑥

− 3 = − (−2𝑦 + 2)

2 𝑥−3

𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 { 1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2

𝑥−5

= 𝑦+1 𝑦−4

En la segunda ecuación el m.c.m. es: (𝑦 − 4)(𝑦 + 1), pero en vez de sacar el m.c.m., se pueden pasar estos denominadores a multiplicar al otro miembro.

{

{

{

2𝑥−3 2 −3 2

𝑥

= 2𝑦 − 2

(𝑥 − 3)(𝑦 + 1) = (𝑥 − 5)(𝑦 − 4) 3(2𝑥−3)−4 6

=

12𝑦−3𝑥 6

𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 3 = 𝑥𝑦 − 4𝑥 − 5𝑦 + 20

9𝑥 − 12𝑦 = 13 5𝑥 + 2𝑦 = 23

//(×6)

El m.c.m. en la ecuación (1) es 6; se desarrolla la ecuación 2.

Ordenando la ecuación (1) y (2):

Se multiplica la ecuación (2) por 6 para igualar coeficientes:

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Lic. Christian Meruvia M. {

9𝑥 − 12𝑦 = 13 30𝑥 + 12𝑦 = 138

39𝑥 = 151 

Realizando la reducción: 151

𝑥=

39

Reemplazando en la ecuación (2):

=

897 39



5 ( 39 ) + 2𝑦 = 23 78𝑦 = 142



𝑦=

2

3.4



755

142



78

39

+ 2𝑦 = 23

𝑦=

El m.c.m. es 39

71 39

ST C IT EP U T I O

755+78𝑦 39

151



5𝑥 + 2𝑦 = 23

Resolver el siguiente sistema:

𝑥 {3 𝑥

5

− 𝑦 = −11 7

+ 𝑦 = 27

En este ejercicio donde la variable está en el denominador, se debe resolver directamente por reducción. No es conveniente sacar mínimo común múltiplo. Si se quiere reducir la variable “x” y para igualar los coeficientes, la ecuación (1) se puede multiplicar por 3 y la ecuación (2) por -2.

𝑥

5

− 𝑦 = −11 7

+ 𝑦 = 27 6 𝑥 6

−

{ −𝑥 − − 29 𝑦

15 𝑦 14 𝑦 29

= 87

𝑦

//(3) //(−2)

= −33

IN

2 𝑥 {3

= −54

= −87

Realizando la reducción.

//(−1)

Multiplicando por -1 para cambiar de signos:

“y” que está dividiendo pasa al otro miembro a multiplicar, 87 que está multiplicando pasa a dividir al otro miembro.

29 87

=𝑦

𝑦=

Simplificando:

1 3

Reemplazando en la ecuación (1):

70

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INSTITUTO C.E.P.I. 2

5

− 𝑦 = −11 𝑥 2 𝑥

15

−

1

𝑥=

3.5

= −11

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA 2



− 𝑥 2



𝑥

5 1 3

= −11

Realizando medios y extremos en la fracción:



= −11 + 15

2 𝑥

2



=4

4

5 1 3

=𝑥

1 2

2𝑚𝑥 − 3𝑛𝑦 = 2𝑚2 − 6𝑛2 Resolver el siguiente sistema literal: { 𝑥 𝑦 +𝑛=3 𝑚

ST C IT EP U T I O

La ecuación (1) está ordenada de la forma: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑥 = 𝑐1

En la ecuación (2) es preciso sacar m.c.m. para hacer desaparecer denominadoras:

2𝑚𝑥 − 3𝑛𝑦 = 2𝑚2 − 6𝑛2 {𝑛𝑥 + 𝑚𝑦 3𝑚𝑛 = 𝑚𝑛 𝑚𝑛

{

2𝑚𝑥 − 3𝑛𝑦 = 2𝑚2 − 6𝑛2 //(×𝑛) 𝑛𝑥 + 𝑚𝑦 = 3𝑚𝑛 //(×−2𝑚)

Una vez ordenadas las ecuaciones, se procede a igualar coeficientes multiplicando la ecuación (1) por n y la ecuación (2) por -2m

2𝑚𝑛𝑥 − 3𝑛2 𝑦 = 2𝑚2 𝑛 − 6𝑛3 { −2𝑚𝑛𝑥 − 2𝑚2 𝑦 = −6𝑚2 𝑛

IN

−3𝑛2 𝑦 − 2𝑚2 𝑦 = −4𝑚2 𝑛 − 6𝑛3

(−3𝑛2 − 2𝑚2 )𝑦 = −4𝑚2 𝑛 − 6𝑛3

𝑦= 𝑦=

−4𝑚2 𝑛−6𝑛3

−2𝑚2 −3𝑛2

Para poder despejar “y”, se puede sacar como factor común esta variable:

El paréntesis (−3𝑛2 − 2𝑚2 ) que multiplica a “y” pasa a dividir al lado derecho.

Factorizando el numerador por factor común:

−3𝑛2 −2𝑚2 2𝑛(−2𝑚2 −3𝑛2 )

Reduciendo:



𝑦 = 2𝑛

Reemplazando en la ecuación (2): 𝑛𝑥 + 𝑚𝑦 = 3𝑚𝑛  𝑛𝑥 + 𝑚(2𝑛) = 3𝑚𝑛 𝑛𝑥 = 3𝑚𝑛 − 𝑚𝑛



𝑛𝑥 = 𝑚𝑛



 𝑥=

𝑛𝑥 + 2𝑚𝑛 = 3𝑚𝑛 𝑚𝑛 𝑛



𝑥=𝑚

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71

Lic. Christian Meruvia M. a) Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas (3x3) Al igual que en el sistema de ecuaciones con dos incógnitas, el primer paso por el que se puede optar es el de 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1 ordenar el sistema en su forma general: {𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3

SISTEMA DE ECUACIONES INCOMPLETAS Son los sistemas a los que les falta uno o más términos en alguna de las tres ecuaciones.

3.3

ST C IT EP U T I O

Ejemplos: −2𝑥 + 3𝑦 = −5 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: { 3𝑥 − 5𝑧 = −11 𝑦 + 2𝑧 = −1

(1) (2) (3)

Este sistema es incompleto ya que falta una variable en cada una de las tres ecuaciones. En la ecuación (1) falta la variable “z”, en la ecuación (2) falta la variable “y” y en la ecuación (3) falta la variable “x”. En este tipo de sistemas la idea principal es la de reducir una de las variables entre la ecuación (1) y (2) en este caso la variable “x” de esta forma quedaría una nueva ecuación con las variables “y” y “z” que al realizar la reducción con la ecuación (3) arrojarían las respuestas. Reduciendo “x” entre (1) y (2): //(3) //(2)



IN

−2𝑥+3𝑦=−5 3𝑥−5𝑧=−11

−6𝑥+9𝑦=−15 6𝑥−10𝑧=−22 9𝑦 − 10𝑧 = −37

(4)

Reduciendo la ecuación (3) y la ecuación (4): 𝑦+2𝑧=−1 //(5) 9𝑦−10𝑧=−37



5𝑦+10𝑧=−5 9𝑦−10𝑧=−37

14𝑦 = −42



𝑦 = −3

Reemplazando este valor en la ecuación (1):

−2𝑥 + 3𝑦 = −5 −2𝑥 = 4





−2𝑥 + 3(−3) = −5



−2𝑥 − 9 = −5

𝑥 = −2

Reemplazando este valor en la ecuación (2):

72

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INSTITUTO C.E.P.I. 3𝑥 − 5𝑧 = −11 −5𝑧 = −11 + 6

3.4

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

 



3(−2) − 5𝑧 = −11 −5𝑧 = −5 

−6 − 5𝑧 = −11

𝑧=1

Hallar la suma de las raíces del siguiente sistema: {

−𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −9 2𝑥 − 𝑦 = 10 3𝑥 − 5𝑦 − 2𝑧 = 33

En este ejercicio, solo la ecuación (2) es incompleta puesto que no tiene la variable “z”. Entonces en esta ecuación se puede despejar la variable “y”. Despejando “y” en (2):



𝑦 = 2𝑥 − 10

−𝑦 = 10 − 2𝑥

//(×−1)

Se multiplica miembro a miembro por -1.

ST C IT EP U T I O

2𝑥 − 𝑦 = 10

Esta ecuación se sustituye en las otras dos ecuaciones: Sustituyendo la ecc. (2) en (1) y (3): En (1): −𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −9  −𝑥 + 2(2𝑥 − 10) − 𝑧 = −9 

−𝑥 + 4𝑥 − 20 − 𝑧 = −9 En (3):

3𝑥 − 5𝑦 − 2𝑧 = 33



3𝑥 − 𝑧 = 11

Desarrollando y ordenando

(4)

3𝑥 − 5(2𝑥 − 10) − 2𝑧 = 33

Desarrollando y ordenando

 −7𝑥 − 2𝑧 = −17 (5)

3𝑥 − 10𝑥 + 50 − 2𝑧 = 33

IN

Ahora quedan dos ecuaciones (4) y (5) con las mismas variables. Reduciendo (4) y (5): 3𝑥−𝑧=11 //(×−2) −7𝑥−2𝑧=−17



−6𝑥+2𝑧=−22 −7𝑥−2𝑧=−17

−13𝑥 = −39



𝑥=3

Reemplazando este valor en la ecc. (2): 𝑦 = 2𝑥 − 10



𝑦 = 2 ∙ 3 − 10



𝑦 = −4

Reemplazando estos valores en la ecc. (1): −𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −9  −3 + 2(−4) − 𝑧 = −9 −𝑧 = −9 + 3 + 8



−𝑧 = 2





−3 − 8 − 𝑧 = −9

𝑧 = −2

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 − 4 − 2 = −3 INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759 22676 -

73

Lic. Christian Meruvia M. 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4 Hallar la suma de las raíces del siguiente sistema: { 3𝑥 − 4𝑦 = −2 2𝑦 + 𝑧 = 6

3.5

(1) (2) (3)

En este sistema, la ecuación (1) es completa y la ecuación (2) y (3) son incompletas. Puede haber varias formas de resolver este sistema, una forma puede ser la de despejar la variable “x” en la ecuación (2) y despejar “z” en la ecuación (3). Luego sustituir estas dos ecuaciones en la ecuación completa o sea (1). De esta manera solo quedará una ecuación en función a la variable “y”. Despejando “x” en (2): 

Despejando “z” en (3): 2𝑦 + 𝑧 = 6 



3𝑥 = 4𝑦 − 2

𝑥=

4𝑦−2 3

ST C IT EP U T I O

3𝑥 − 4𝑦 = −2

𝑧 = 6 − 2𝑦

Sustituyendo estas dos ecuaciones en la ecuación (1):



𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4 4𝑦−2 3

4𝑦−2 3

+ 2𝑦 − (6 − 2𝑦) = 4 Al realizar la sustitución se tiene una ecuación de primer grado.

16𝑦 = 32



4𝑦−2



+ 2𝑦 − 6 + 2𝑦 = 4

3

3



6

𝑥=3



IN

4∙2−2



4𝑦−2+12𝑦−18 3

=

12 3

𝑦=2

Reemplazando este resultado en la ecuación: 𝑥

𝑥=

+ 4𝑦 − 6 = 4

=

4𝑦−2 3

𝑥=2

Reemplazando este resultado en la ecuación: 𝑧 = 6 − 2𝑦 𝑧 =6−2∙2



𝑧=2

La suma de las raíces es: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 + 2 + 2 = 6

SISTEMA DE ECUACIONES COMPLETAS Cuando el sistema de ecuaciones es completo, primero es recomendable ordenar el sistema en su forma 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1

general o sea: {𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

Luego de esto, se puede reducir una variable entre la ecuación (1) y (2) y la misma variable entre la ecuación (2) y (3). (También podría ser (1) y (2) con (1) y (3))

Ejemplo: 𝑥+𝑦 2

−(

a) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

55

− 3) = − (−3𝑧 − 12)

−2𝑥 − 3𝑦 + 4 = −3𝑧 13

𝑦 − 2𝑧 = −𝑥 + 6 { El sistema puede estar lleno de símbolos de agrupación, operaciones por realizar o fracciones, la primera idea será 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1 𝑎 la de realizar las operaciones para que quede en su forma general { 2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3 55

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𝑥+𝑦

− + 3 = 3𝑧 + 2 12 {−2𝑥 − 3𝑦 + 4 = −3𝑧 𝑦 − 2𝑧 = −𝑥

13 + 6

En la ecuación (1) y (3) se debe sacar el m.c.m. para hacer desaparecer denominadores, en la ecuación (2) solo se deben ordenar los términos.

−6(𝑥+𝑦)+36 12

=

36𝑧+55 12

−2𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = −4 {

6𝑦−12𝑧 6

=

−6𝑥+13 6

Desarrollando:

−6𝑥 − 6𝑦 + 36 = 36𝑧 + 55 { −2𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = −4 6𝑦 − 12𝑧 = −6𝑥 + 13

Ordenado las tres ecuaciones:

−6𝑥 − 6𝑦 − 36𝑧 = 19 { −2𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = −4 6𝑥 + 6𝑦 − 12𝑧 = 13

Ahora que el sistema está en su forma general, se debe reducir una de las variables

IN

(1) (2) (3)

entre la ecuación (1) y (2) y reducir la misma variable entre las ecuaciones (2) y (3).

Reduciendo “x” entre (1) y (2): (Se podría escoger cualquier variable de acuerdo a conveniencia) −6𝑥−6𝑦−36𝑧=19 −2𝑥−3𝑦+3𝑧=−4

//(×−3)



−6𝑥−6𝑦−36𝑧=19 6𝑥+9𝑦−9𝑧=12

3𝑦 − 45𝑧 = 31 (4) Reduciendo obligatoriamente la misma variable o sea “x” entre (2) y (3) (podía haber sido también (1) y (3)): −2𝑥−3𝑦+3𝑧=−4 6𝑥+6𝑦−12𝑧=13

//(×3)



−6𝑥−9𝑦+9𝑧=−12 6𝑥+6𝑦−12𝑧=13

−3𝑦 − 3𝑧 = 1 (5)

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75

Lic. Christian Meruvia M. Resolviendo el sistema entre la ecuación (4) y (5): 3𝑦−45𝑧=31 −3𝑦−3𝑧=1

−48𝑧 = 32



𝑧=−

32 48



𝑧=−

Reemplazando este valor en la ecuación (4):

3𝑦 − 45𝑧 = 31 3𝑦 = 1 

𝑦=

2 3

(también se puede reemplazar en la ecuación (5)) 2





3𝑦 − 45 (− 3) = 31

3𝑦 + 30 = 31

1 3

Reemplazando los valores de “y” y “z” en la ecuación (2):

−2𝑥 = −1



1



2

−2𝑥 − 3 (3) + 3 (− 3) = −4



ST C IT EP U T I O

−2𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = −4

𝑥=

−2𝑥 − 1 − 2 = −4

1 2

a) Problemas con una, dos y tres incógnitas

Para resolver problemas con ecuaciones, se pueden seguir los siguientes pasos: - Determinar si el problema necesita una, dos o tres variables. - Se debe especificar claramente que significa cada variable. - El enunciado del problema, se debe convertir en una o varias ecuaciones. - Se debe resolver la ecuación o sistema de ecuaciones e interpretar los resultados.

IN

Para que resulte más fácil el poder convertir el enunciado en una ecuación, se colocan a continuación algunos ejemplos: Sea “x” y “y” las variables: - El doble de “x”: 2x - La tercera parte de “x”:

1 3

𝑥 o

𝑥

3

2

- Las dos terceras partes disminuido en 5: 3 𝑥 − 5

- “x” excede en 10 a “y”: 𝑥 − 10 = 𝑦 - El cuádruplo de “x” es el triple de “y” disminuido en 2: 4𝑥 = 3𝑦 − 2 Las palabras “es”, “será”, “tiene”, “tenía”, “tendrá”, “era” y otras más, generalmente en la ecuación se traducen como el símbolo “=”. 𝑥

5

- La relación entre “x” y “y” es como 5 a 7: 𝑦 = 7

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Ejemplos: a) La diferencia de edades entre dos hermanos es de 10 años, si el doble de la edad del menor excede en 5 años a la mitad de la suma de las edades ¿Cuántos años tiene cada uno? Este problema se lo puede resolver con una o dos incógnitas, analicemos ambos casos para observar las diferencias. CON DOS INCÓGNITAS: Paso 1: Definimos las variables: 𝑥 → 𝐿𝑎 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 ℎ𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑦 → 𝐿𝑎 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 ℎ𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

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Paso 2: Se plantean las ecuaciones: 𝑦 − 𝑥 = 10 (𝐿𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑦 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟) 1 { 2𝑥 − 5 = (𝑥 + 𝑦) (𝐸𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑛 5 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎) 2

Paso 3: Se resuelve el sistema: −𝑥 + 𝑦 = 10 { 3𝑥 − 𝑦 = 10



𝑥=10 𝑦=20

La edad del hermano mayor es 20 y del menor es 10 años.

IN

CON UNA INCÓGNITA: Paso 1: Definimos la variable: 𝑥 → 𝐿𝑎 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 ℎ𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑥 + 10 → 𝐿𝑎 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 ℎ𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 Paso 2: Se plantea la ecuación:

1 2𝑥 − 5 = (𝑥 + 𝑥 + 10) 2 Paso 3: Se resuelve la ecuación: 4𝑥 − 10 = 2𝑥 + 10



2𝑥 = 20



𝑥 = 10

La edad del hermano mayor es: 𝑥 + 10 Reemplazando el valor de “x” se tiene: 20

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Lic. Christian Meruvia M. 3

b) Saúl gasta la mitad de su sueldo en comida, luego gasta las 5 partes de lo que le queda en diversión y por último gasta 300 Bs en servicios. Si después de esto aún le quedan 200bs. ¿Cuál era el sueldo de Saúl? 𝑥 → Es el sueldo de Saúl Planteando la ecuación:

𝑥−

𝑥 3 𝑥 − (𝑥 − ) − 300 = 200 2 5 2

Resolviendo la ecuación: 𝑥

3

3𝑥



𝑥 − 2 − 5 𝑥 + 10 − 300 = 200

10

=

2000 10

𝑥 = 2500 (El sueldo de Saúl era 2500 Bs)

ST C IT EP U T I O



2𝑥 = 5000

10𝑥−5𝑥−6𝑥+3𝑥−3000

c) Se tienen monedas de 10 y 20 centavos, se reparten estas monedas entre 30 niños tocándole a cada niño una sola moneda. Si en total se repartieron 5 Bs. ¿Cuántas monedas se repartieron de 20 centavos? 𝑥 → 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠 𝑦 → 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 20 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠 Planteando las ecuaciones: 𝑥 + 𝑦 = 30 { 0,10𝑥 + 0,20𝑦 = 5

𝑥 + 𝑦 = 30

100

{

20

𝑥 + 100 𝑦 = 5



IN

{ 10

10 centavos en Bs. Son 0,10. De igual manera 20 centavos son 0,20 Bs.

𝑥 + 𝑦 = 30 𝑥 + 2𝑦 = 50

𝑥 + 𝑦 = 30 1 {1 𝑥 + 5𝑦 = 5 10

//(×−1)



Reemplazando en la ecuación (1): 𝑥 + 𝑦 = 30  𝑥 + 20 = 30

{



𝑥 + 𝑦 = 30 { 𝑥+2𝑦 50 = 10 10

−𝑥 − 𝑦 = −30 𝑥 + 2𝑦 = 50

𝑦 = 20



𝑥 = 10

Se repartieron 10 monedas de 10 centavos y 20 monedas de 20 centavos.

d) Aumentando en 9 a los dos factores de un producto, el producto aumenta en 549. Hallar el mayor de los factores, si la diferencia entre ellos es 18.

x  Es uno de los números del producto. y  Es el otro número del producto.

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z  Es el producto. Entonces:

x y  z

(1) Aumentando 9 a los dos números: x  9   y  9  z  549 (2) Remplazando (1) en (2):

x  9   y  9  xy  549

ST C IT EP U T I O

Desarrollando: xy  9x  9 y  81  xy  549 → 9x  9 y  468→ x  y  52 (3) Por el planteamiento del problema (la diferencia de los números es 18): x  y  18 (4) (3) y (4)

2x  70 → x  35 Remplazando en (3): x  y  52 → 35  y  52 → y  17 El mayor de los factores es 35.

f) En un número de tres cifras, al sustraer de la cifra de las unidades la cifra de las centenas, la diferencia es 3; si la suma de sus cifras es 9 y si el número que resulta de invertir sus cifras excede en 9 al triple del número, hallar el producto de las cifras de dicho número.

x  La cifra de las centenas z

IN

y La cifra de las decenas

La cifra de las unidades.

El número es:

100x 10y  z

z  x  3 (1) →

z  x3

x  y  z  9 (2) 100z  10 y  x  9  3100x  10 y  z  (3)

Remplazando (1) en (2) y (3)

x  y  x  3  9 → 2x  y  6 100x  3  10 y  x  9  3100x  10 y  x  3 → 100x  300  10y  x  9  300x  30y  3x  9

 202x  20y  282→ 101x  10y  141 INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759- 22676

79

Lic. Christian Meruvia M. 2 x  y  6  101x  10 y  141 101x  106  2 x   141→ 101x  60  20x  141→

81x  81→ x  1

Remplazando en (1):

z  x  3 → z  1 3 → z  4 Remplazando en (2):

ST C IT EP U T I O

x  y  z  9 → 1 y  4  9 → y  4 El número original es: 100x 10y  z

1001  10  4  4  144

El producto de las cifras es:

1 4  4  16

g) Un recipiente contiene 16 litros de una mezcla que tiene 20 % de anticongelante. Se desea sacar una parte de la mezcla y reemplazarla por anticongelante puro con el fin de elevar el porcentaje de anticongelante en la mezcla al 25 %. La cantidad de la mezcla (en litros) que debe reemplazarse es:

x  Cantidad de anticongelante puro.

IN

0,20  16  x   x  0,25  16

3,2  0,2x  x  4 → 0,8x  0,8 → x  1 litro

h) Cierto número de personas alquiló un colectivo y realizó una excursión. Si hubieran ido 10 personas más, cada una habría pagado 5 bolivianos menos, y si hubieran ido 6 personas menos, cada una habría pagado 5 bolivianos más. El número de personas que fueron de excursión es:

x  Número de personas originalmente y Costo por persona Originalmente:

C  x  y (1)

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Luego: C  x  10   y  5  xy  5x  10 y  50 (2)

C  x  6   y  5  xy  5x  6 y  30

(3)

Igualando (1) y (2):

xy  5x  10y  50  xy →  5x  10y  50 (4) Igualando (1) y (3):

xy  5x  6 y  30  xy → 5x  6 y  30 (5)

 5 x  10 y  50  5 x  6 y  30 4 y  80 → y  20 Reemplazando en (4):

ST C IT EP U T I O

Reduciendo (4) y (5):

x  30

IN

 5x  1020  50 →

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81

Lic. Christian Meruvia M.

PRÁCTICA # 3 7) Resolver el sistema

Con 2 incógnitas

R. 𝑥 = 9; 𝑦 = 17

ST C IT EP U T I O

1) Resolver el sistema 7𝑥 − 9𝑦 = −90 { 2𝑥 − 3𝑦 = −33

R. 𝑥 = −2

2) Resolver el sistema

𝑥 − 3𝑦 = 7 { 4 3𝑥 − 12𝑦 = 36

R. 𝑥 = 4; 𝑦 = −2

8) Resolver el sistema 𝑥(𝑦 − 6) = 𝑦(𝑥 − 4) { 𝑥(𝑦 − 3) − 𝑦(𝑥 + 5) = 2

4

38 3 −𝑥 + 3𝑦 = −7 2𝑥 − 7𝑦 =

9) Resolver el sistema (𝑥 + 3)2 = (𝑥 + 2)2 − 3𝑦 { 3𝑥 + 2𝑦 + 3(𝑥 − 𝑦) = 6

R. 𝑥 = 11; 𝑦 = 4/3 4)

Resolver el sistema

IN

𝑥 + 𝑦 = −4 { 2 2𝑥 + 5𝑦 = −23

R. 𝑥 = 6; 𝑦 = −7

5) Resolver el sistema {

29 4 4𝑥 − 20𝑦 = −1

R. 𝑥 = 13/20; 𝑦 = −21/10

10)

Resolver el sistema 𝑥−2 𝑦−7 = 𝑥+2 𝑦−5 𝑥+1 𝑦−3 = {𝑥 − 1 𝑦 − 5

𝑦 − 5𝑥 =

R. 𝑥 = −3/2; 𝑦 = −1/4

R. 𝑥 = 4; 𝑦 = 8 11)

Resolver el sistema

6) Resolver el sistema 9 3 + = 27 𝑥 𝑦 5 4 + = 22 {𝑥 𝑦 R. 𝑥 = 1/2

82

𝑦 = −3

R. 𝑥 = − 21 ; 𝑦 = −2/7

3) Resolver el sistema {

1 3 3 − = 2𝑥 𝑦 4 1 5 4 + =− {𝑥 2𝑦 3

2𝑥 + 5 − (5 − 𝑦) = −60 { 17 𝑦 + 62 − (1 − 𝑥) = 40 2

R. 𝑥 = 40; 𝑦 = −60

𝑦 = 1/3

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Lic. Christian Meruvia M. 12) Resolver el sistema

Con 3 incógnitas

4𝑥 + 1 2𝑦 − 5 𝑥− = 9 3 { 3𝑦 − 2 𝑥 − 18 𝑦− = 7 10

18) Si "x” es mayor a "y” en tres unidades determinar el valor de “m” en el siguiente sistema.

3 x  m  5 y  2 x  3 y  3m  1

R. 𝑥 = −718/79; 𝑦 = −414/79 13) Calcular el valor de "𝑥 + 𝑦" 3

3 √𝑥 √𝑦 2 4 2 1 − = {√𝑦 √𝑥 3 −

=

R. m=5 19) Resolver el sistema: 𝑥 + 2𝑦 = 5 { 3𝑦 + 𝑧 = 9 −4𝑥 − 5𝑧 = −19

IN ST C IT EP U T I O

5

R. 𝑥 + 𝑦 = 13

14) Resolver y determinar la suma de las soluciones: 0,1𝑥 + 0,5𝑦 = 7 { 3 0,2𝑥 − 𝑦 = −2

R.

𝑥=1

𝑦=2

20) Resolver el sistema:

5

R. 30

Con 2 incógnitas literales

15) Resolver el sistema: Calcular el valor de “y” {

R. y 

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 1 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 1

R. 𝑥 = 2

1 2 7 + = 𝑥 𝑦 6 1 2 2 + = 𝑦 𝑧 3 2 1 7 {𝑥 + 𝑧 = 6

𝑦=3

𝑧=6

21) Resolver el sistema

1 ab

16) Resolver el sistema

R.

𝑧=3

𝑥−𝑦 =𝑚−𝑛 { 𝑚𝑥 − 𝑛𝑦 = 𝑚2 − 𝑛2 𝑥=𝑚 𝑦=𝑛

𝑦+2 = 𝑧+4 5 𝑧+4 𝑦− = 𝑥−6 2 𝑥−7 {𝑧 − 3 = 𝑦 − 5 𝑥−

R. 𝑥 = 10 𝑦 = 8

𝑧=4

17) Resolver el sistema 𝑥 𝑦 + =0 𝑎 𝑏 2 𝑥 2𝑦 2𝑏 2 − 𝑎 + = {𝑏 𝑎 𝑎𝑏 R. 𝑥 = −𝑎

22) Resolver el sistema 4 19 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = − 3 3 3 𝑧 21 5𝑥 − 𝑦 + = − 2 2 2 𝑧 7 { 3𝑥 − 2𝑦 − 3 = − 2

𝑦=𝑏 3

1

2

3

R. 𝑥 = − ; 𝑦 = ; 𝑧 = −5

83

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA 23) Realizar el siguiente sistema y determinar la suma de las raíces: 1 4 2 + + = −6 𝑥 𝑦 𝑧 3 2 4 + + =3 𝑥 𝑦 𝑧 6 5 6 − − = 31 {𝑥 𝑦 𝑧 R. −

13 6

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24) Resolver el siguiente sistema y determinar “z”: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 69 { 𝑥 = 𝑦+2 𝑦 =𝑧+2 R. 21

25) Nivel C: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones literal: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 2𝑎𝑏 {𝑏𝑥 − 𝑐𝑧 = 𝑏 2 − 𝑐 2 𝑎𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑎2 + 𝑐 2 𝑥=𝑏

𝑦=𝑎

𝑧=𝑐

IN

R.

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA PROBLEMAS CON UNA, DOS Y TRES INCÓGNITAS

24) Hallar 2 números cuya suma sea 24 y cuya diferencia sea 6.

R. 15 y 9

25) La suma de dos números pares consecutivos es 102. Halla esos números.

R. (50 y 52)

26) La suma de tres números impares consecutivos es 69. Busca los números.

R. (21,23 y25)

27) La suma de dos números pares consecutivos es 210. Halla esos números.

R. (104 y 106)

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28) La suma de dos números es 32 y uno de ellos es la séptima parte del otro. Halla los dos números. R. (4 y 28) 29) La suma de dos números consecutivos es 107. Calcula esos números.

R. (53 y 54)

30) La suma de dos números pares consecutivos es 54. Busca esos números.

R. (26 y 28)

31) La suma de dos números impares consecutivos es 36. Busca esos números.

R. (17 y 19)

32) Halla dos números sabiendo que uno es triple que el otro y su suma es 20.

R. (5 y 15)

33) Halla dos números sabiendo que uno excede al otro en 6 unidades y su suma es 40

R. (17y23)

34) Si dos números son tales que uno es el cuádruplo del otro y su suma es 125. ¿Cuáles son esos números? R. (25 y100)

IN

35) Se reparten bombones entre tres niños. Al 2º le dan el doble que al primero y al tercero el triple que al segundo. Si el total es de 18 bombones. ¿Cuántos bombones dan a cada niño? R. (Al 1º 2 bombones, al 2º 4 bombones y al 3º 12 bombones) 36) En un salón hay doble número de niñas que de niños y la mitad de adultos que de niños. Si en total hay 35 personas ¿Cuántos niños, niñas y adultos hay? R. (niños 10, niñas 20,adultos 5) 37) En una reunión hay 4 veces más niños que mujeres y de hombres 3 veces más que la mitad de mujeres. Si en total hay 91 personas ¿Cuántos niños, mujeres y hombres hay? R. (Niños 56, mujeres 14 y hombres 21) 38) En un avión viajan el cuádruple de hombres que de mujeres y la mitad de niños que de mujeres, en total viajan 165 personas. ¿Qué número corresponde a cada tipo de persona? R. (Hombres 120, mujeres 30 y niños 15) 39) Un hombre legó su fortuna de la siguiente manera: la mitad para su esposa, la tercera parte para su hijo, la octava parte para su sobrina y 180 € a una institución benéfica ¿Cuánto dinero poseía? R. (4320 €) 40) En una clase hay niños de 13, 14 y 15 años. De 14 años hay el doble que de 15 años y de 13 años el triple que de 14. ¿Cuántos niños hay de cada edad si en total hay 27 alumnos? R. (de 13 años 18 niños, de 14 años 6 y de 15 años 3 niños) INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Call e Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759- 22676

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Lic. Christian Meruvia M. 41) En un autobús viajan triple número de mujeres que de niños y doble número de hombres que de mujeres y niños juntos. En total viajan 60 personas. Calcula cuántos niños mujeres y hombres viajan en dicho autobús. R. (Niños 5, mujeres 15 y hombres 40) 42) Luis tiene 16 años más que Manuel y dentro de 4 años tendrá el doble. ¿Qué edad tiene cada uno? R. (Manuel 12 y Luis 28) 43) La hermana de Juan tiene 13 años más que él y dentro de 6 años tendrá el doble ¿Qué edad tiene cada uno? R. (Juan 7 años, hermana 20 años)

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44) Un padre tiene 25 años más que su hijo y dentro de 5 años tendrá el doble ¿Qué edad tiene cada uno? R. (hijo 20 años, padre 45) 45) Ana tiene 7 años más que Pedro y hace 1 año tenía el doble ¿Qué edad tiene cada uno? R. (Pedro 8 años y Ana 15) 46) María tiene 30 años más que Luis y dentro de 7 años tendrá el triple. ¿Qué edad tiene cada uno? R. (María 38 años y Luis 8) 47) Ana tiene 36 años menos que su padre y dentro de 8 años, su padre tendrá el cuádruplo de los que entonces tenga ella. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad? R. (Ana 4 años y padre 40) 48) La madre de Luis tiene 26 años más que él y dentro de 3 años tendrá el triple. ¿Qué edad tiene cada uno? R. (Luis 10 años, madre 36)

IN

49) Marisa tiene 20 años más que su hijo y dentro de 5 años tendrá el doble de edad que la que entonces tenga éste. ¿Qué edad tiene cada uno? R. (Marisa 35 años, hijo 15) 50) La diferencia de edad entre dos hermanos es de es de 5 años y dentro de 2 años uno tendrá doble que el otro. ¿Qué edad tiene cada uno? R. (un hermano 3 años, el otro 8 años) 51) La diferencia de edad entre un padre y un hijo es de 32 años y dentro de 5 años la edad del padre será el triple de la que entonces tenga el hijo. ¿Qué edad tiene cada uno? R. (Hijo 11 años, padre 43 años) 52) La diferencia de edad entre un abuelo y su nieto es de 48 años y hace 4 años el abuelo tenía 5 veces la edad del nieto. ¿Qué edad tiene cada uno? R. (Nieto 16 años, abuelo 64 años) 53) El perímetro de un rectángulo mide 34 m. Calcula sus dimensiones sabiendo que la base mide 7 metros más que la altura. R. (base 12 m y altura 5 m) 54) Una mujer de empresa planea invertir un total de 24.000Bs. Parte de él se pondrá en una caja de ahorros que paga el 9% de interés simple y el resto en un fondo de inversiones que produce 12% de interés simple. ¿Cuánto debe invertir en caja de ahorros para obtener una ganancia de 10% sobre su dinero después de un año?

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R. 16.000 55) Un agricultor dejo como herencia a sus dos hijos 92 Hectáreas, para que se las repartieran de tal forma que el doble de una de las partes sea igual a dos tercios de la otra. R. 23-69 56) Por un trabajo, a Martin le pagaron una suma de dinero. Gasto 50Bs. Y regalo a su hermano tres quintos de lo que quedaban. Si aún le sobran 70Bs. ¿Cuánto gano por el trabajo? R. 225

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57) Hallar dos números consecutivos múltiplos de 7 de tal forma que un medio del primero, mas dos tercios del segundo sea igual a tres medios del primero. R. 21y 14 58) Un campo rectangular que es de 20 metros más largo que ancho esta circundado de exactamente 100 metros de cercado. ¿Cuáles son las dimensiones del campo? R. 15-35 59) Un estudiante saca un puntaje de 75 y 82 en sus dos primeros exámenes. ¿Qué puntaje en el próximo examen elevara a 85 su promedio? R. 98 60) La señora Guerra invirtió parte de 10.000 Bs. En una caja de ahorros a 7% de interés simple. El resto invirtió en un título que producía 12%. Si recibió un total de 900 Bs. De interés por el primer año, ¿Cuánto dinero invirtió en el titulo? R. 4.000

IN

61) Ana recibe su sueldo, gasta 150 Bs. en útiles escolares para su hijo, hace compras para la casa con la mitad de lo que le quedo, con la tercera parte de lo último paga una deuda y le sobran 550 Bs. ¿Cuánto es el sueldo de Ana? R. 1.800 62) Hallar la dimensión de un rectángulo que tiene 200 cm. De perímetro, si el largo es triple que el ancho. R. 75 y 25 63) Javier es mayor que Diego con 5 años. El padre de ambos es mayor que Diego con 30 años. Si el doble de la edad de Javier más siete medios la edad de Diego es igual a trece octavos la edad del padre, ¿Cuántos años tiene cada uno? R. 10-15-40 64) ¿Cuál es la suma de tres números enteros consecutivos tales que si el menor se divide entre 4, el mediano entre 3 y el mayor entre 2, la suma de los cocientes resulta 10? R. 27 65) Un arquitecto de obra gana el doble de lo que gana un maestro albañil y el triple de lo que percibe su ayudante. Entre los tres juntos perciben 3300 bolivianos. ¿El maestro albañil de obra gana? R. 900 INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Call e Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759 22676 -

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Lic. Christian Meruvia M. 66) A y B empiezan a jugar teniendo A, el doble de lo que tiene B. A pierde $400 y entonces B tiene el doble de lo que tiene A. ¿Con cuanto empezó a jugar cada uno? A  800 R. B  400 67) Compre cuádruple número de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 caballos más y 5 vacas más tendría triple número de caballos que de vacas ¿Cuántos caballos y cuantas vacas compré? R. 40 caballos 10 vacas

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68) La edad actual de A es la mitad de la de B y hace 10 años la edad de A era los 3/7 de la edad de B. Hallar las edades actuales. R. 80 y 40 69) Si a los dos términos de una fracción se le añaden 3 el valor de la fracción es 1/2, y si a los dos términos se le resta 1 el valor de la fracción es 1/6. Hallar la fracción. R. 2/7 70) Un alambre de 21 metros se divide en dos partes, de modo que la longitud de una de ellas es las tres cuartas partes de la longitud de la otra. Hallar la longitud de cada parte. R. 9 y 12 metros. 71) El denominador de una fracción excede al numerador en 2 unidades. Si cada término de la fracción se aumenta en 5 unidades, la nueva fracción es 4/5. Hallar la fracción. R. 3/5 R. 6,7,8

73) Encontrar tres números pares consecutivos cuya suma sea igual a 36.

R. 10,12,14

IN

72) Encontrar tres números enteros consecutivos cuya suma sea igual a 21.

74) Cuantos litros de crema con 25% de grasa deberán añadirse a 80 litros de leche con 3% de grasa para obtener una mezcla que contenga 5% de grasa. R. 8 litros 75) Un colegio debe invertir 60000 bolivianos para ganar intereses y quieren ganar 5000 bolivianos de intereses. Para esto invierte en fondos del gobierno que le pagan un 8% y el resto a depósitos en un banco que le pagan el 10,5 %. ¿Cuánto debe invertir en cada opción con el objeto de obtener el ingreso requerido? R. 8000 y 52000 76) Pedro recibe su sueldo, gasta 150 Bs en ropa, con la mitad de lo que le queda realiza compras varias, y con la tercera parte de lo último paga de la luz, luego d esto le sobra 800 Bs ¿Cuánto es el sueldo de Pedro? R. 2550 Bs 77) El perímetro de un rectángulo es 500 metros, si el largo es 4 veces el ancho ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? R. 50 y 200

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78) José es mayor que Juan con 8 años y Rodrigo menor que Juan con 20 años, si la cuarta parte de la edad de Rodrigo más la edad de Juan es la edad de José menos 5 años. Determinar las edades. R. José 40 años, Rodrigo 12 años, Juan 32 años. 79) Daniel gasta la mitad de su sueldo en su alquiler, 3/8 del mismo en su alimentación y demás gastos. Al cabo de 5 meses ha ahorrado 500 Bs. Calcular el sueldo mensual. R. Bs 800 80) Hace 20 años, mi edad era el doble que la tuya. Si ahora tengo 3 años más que tú ¿Cuál es la suma de nuestras edades hace 10 años? R. 29

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81) Se reparten monedas de 20 y 50 centavos entre 105 personas. Si cada persona recibió una moneda y la cantidad total del dinero repartido es de 36 bolivianos, entonces la diferencia entre la cantidad de personas que recibieron 20 ctvs. y las que recibieron 50 ctvs. es: R. 5 82) Si a un número de 3 cifras que empieza en 2 se le suprime esta cifra, el número resultante es la quinta parte del original. ¿Cuál es el número resultante después de suprimirle el 2? Nivel B R. 50 83) Un propietario recibió Bs 12000 por el pago de la renta de 2 oficinas de todo el año; La renta mensual de una de las oficinas era 100 Bs mayor que la otra. ¿Cuál fue la renta mensual que recibió de cada una de la oficinas, si la más cara no estuvo alquilada 2 meses? R. 600; 500 84) Un hombre gasta la mitad de su sueldo mensual en el alquiler de una casa y la alimentación de su familia y 1/17 del sueldo en otros gastos. Al cabo de 1 año ha ahorrado 2700 Bs ¿Cuál es el sueldo mensual?

IN

R. 510

85) ¿Cuál es la suma de tres números enteros consecutivos tales que si el menor se divide entre 4, el mediano entre 3 y el mayor entre 2, la suma de los cocientes resulta 10? R. 10 86) Aumentando en 5 a uno de los factores de una multiplicación, el producto aumenta en 10 unidades, hallar la suma del multiplicando y el multiplicador si la diferencia de los números es 1. R. 5 87) En un número de tres cifras, al sustraer de la cifra de las unidades la cifra de las centenas, la diferencia es 3; si la suma de sus cifras es 9 y si el número que resulta de invertir sus cifras excede en 9 al triple del número, hallar el producto de las cifras de dicho número. R. 16 88) Un alambre de 65 metros de longitud se corta en 4 partes de modo que cada parte tiene como longitud igual a la parte anterior aumentado en su mitad. Calcular la longitud de la parte más pequeña. R. 8 metros 89) Pedro le dice a José: dame 18000 bs y así tendré el doble de dinero que tú y José le contesta: Lo justo es que tú me des 15000 bs y así tendremos cantidades iguales. ¿Cuánto tenia José? R. 84000 INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Call e Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759 -22676

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Lic. Christian Meruvia M. 90) Multiplico un número por 6 y añado 15 al producto; resto 40 de esta suma y la diferencia la divido entre 25 obteniendo como cociente 71 ¿Cuál es el número? R. 300 91) Compre cierto número de bueyes por 560000 bolivianos. Vendo 34 bueyes por 221000 bolivianos, perdiendo en cada uno 500 bolivianos. ¿A cómo hay que vender el resto para que la ganancia total sea de 213000 bolivianos? 92) Un librero adquiere 500 libros a 200 bolivianos cada uno y luego 6 docenas de libros a 6000 cada una. Si luego los vende todos por 193200, ¿Cuánto ganó en cada libro?

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93) Un capataz contrata a un obrero ofreciéndole 50 bolivianos por cada día que trabaje y 20 bolivianos por cada día que, a causa de la lluvia no puede trabajar. Al cabo de 23 días el obrero recibe 910 bolivianos. ¿Cuantos días trabajo y cuantos no trabajo? 94) Un importador que ha adquirido 80 sacos de frijoles a 300 bolivianos cada uno y que ha pagado además 20 por transporte de cada saco. Quiere saber cuánto tendrá que sacar de la venta de esa mercancía para ganar 60 por saco. 95) Un comerciante compro sombreros, pagando 4800 bolivianos por cada 16 sombreros. Sí los tiene que vender a 240. ¿Cuántos sombreros ha vendido, cuando su pérdida asciende a 1920 bolivianos? 96) Un padre y dos hijos tienen ocupaciones tales que el primero no puede estar en casa más que cada 15 días, uno de los hijos cada 10 y el otro cada 20, El 01 de enero están juntos los tres, Calcular la primera fecha que volverán a coincidir los tres de nuevo.

IN

97) En una reunión de la U.M.S.S. del área de Ciencias Económicas, se repartieron 18 sándwiches, 24 vasos de refrescó y 12 rebanadas de pastel. ¿Cuántos Docentes asistieron a la reunión y qué cantidad de sándwiches, vasos de refresco y rebanadas de pastel recibió cada uno? 98) Tres escuelas deciden hacer una colecta de dinero entre sus alumnos para donar a varias instituciones de beneficencia. Si la primera junta 120 mil, la segunda 280 mil y la tercera 360 mil pesos, ¿cuál es la mayor cantidad que recibirá cada institución de tal manera que sea la misma y cuántas instituciones podrán ser beneficiadas? R. 19 instituciones 40000 cada una. 99) Al hacer el corte del día en un restaurante, el administrador hace 3 rollos de billetes de la misma denominación, en el primero hay $1 350, en el segundo $1 700 y en el tercero $3 550, ¿cuántos billetes hay en cada rollo y de qué denominación son? R. 27, 34, 71 billetes de 50 $us 100) Una persona compra bolígrafos de 2 calidades por un valor de 300 Bs. , de la primera calidad adquiere 2 unidades más que de la segunda. Si por los bolígrafos de la primera calidad hubiera pagado el precio de la segunda, su costo hubiera sido de Bs. 200, inversamente si por los bolígrafos de la segunda calidad hubiera

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pagado el de la primera, el costo hubiese sido Bs. 100 ¿Cuántos bolígrafos de la segunda calidad hubiera comprado con Bs. 2000? R. 40

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101) Al dejar caer al suelo una pelota desde una altura h, se observa que cada vez que rebota se eleva una altura igual a los 2/9 de donde cayó; si luego del tercer rebote la pelota se ha elevado 16/27 de metro ¿Cuál es la altura H? Nivel B R. 12 metros

Las letras F. Cuente cuantas letras “F” tiene el texto siguiente. Sin usar el Mouse. Como siempre hágalo rápidamente:

FINISHED FILES ARE THE RESULT OF YEARS OF SCIENTIFIC STUDY COMBINED WITH THE EXPERIENCE OF YEARS

IN

Vió 3, 4 o 5.

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4.1 FORMA CANÓNICA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 4.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS 4.3 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

IN

4.4 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO LITERALES 4.5 ECUACIONES CON RAÍCES

4.6 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES 4.7 SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 4.8 PROBLEMAS 4.9 CAMBIO DE VARIABLE

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4.1 Forma general de la ecuación de segundo grado Se muestra a continuación:

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Siendo 𝑎 ≠ 0

𝑎 → Es el coeficiente del término cuadrático o de segundo grado. 𝑏 → Es el coeficiente del término lineal o de primer grado. 𝑐 → Es el término independiente.

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4.2 Ecuaciones de segundo grado incompletas

Son ecuaciones de segundo grado que no contiene o el término lineal o el independiente o sea:

𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0 o 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0.

4.2.1. Ecuaciones incompletas de la forma: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

Como ya se mencionó, son ecuaciones de segundo grado que no tienen el término lineal o de primer grado. Ejemplos:

a) Resolver: 3𝑥 2 − 5 = 0

5

𝑥2 = 3

El número 3 pasa a dividir:

IN

3𝑥 2 = 5

Extrayendo la raíz cuadrada miembro a miembro, cuando se hace esto se coloca ±

5

√𝑥 2 = ±√3 5 3

𝑥 = ±√

5

𝑥1 = √3

5

𝑥2 = −√3

b) Resolver: −2𝑥 2 − 4 = 0 −2𝑥 2 − 4 = 0 2𝑥 2 + 4 = 0 2𝑥 2 = −4

//(×−1)

Multiplicando por −1

Llevando el número 4 al lado derecho. El número 2 pasa al lado derecho a dividir.

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Lic. Christian Meruvia M. 4

𝑥2 = − 2 𝑥 2 = −2

Extrayendo la raíz cuadrada

𝑥 = ±√−2

Pero no existe raíz cuadrada de un número negativo en el campo de los números reales, con lo cual no existen soluciones.

4.2.2. Ecuaciones incompletas de la forma: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

Ejemplos:

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En este caso no existe el término independiente. Una de las raíces siempre es “0”

a) Resolver: −5𝑥 2 + 10𝑥 = 0 −5𝑥 2 + 10𝑥 = 0

Todos los términos pasan al lado izquierdo y se saca factor común que es “x”

−5𝑥(𝑥 + 2) = 0

Se iguala ambos términos a cero.

−5𝑥 = 0

⟶

𝑥+2=0

⟶

0

𝑥=5

⟶

𝑥1 = 0

𝑥2 = −2

IN

b) Resolver: −𝑥 2 = −12𝑥

−𝑥 2 = −12𝑥 𝑥 2 = 12𝑥

//(×−1)

Multiplicando miembro a miembro por -1.

Llevando todos los términos al lado izquierdo.

𝑥 2 − 12𝑥 = 0

El factor común es “x”:

𝑥(𝑥 − 12) = 0

Igualando a “0”

𝑥=0 𝑥 − 12 = 0

⟶

𝑥 = 12

Otra forma de mostrar la respuesta como elementos es: {0,12}

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4.3 Ecuaciones de segundo grado completas Para resolver este tipo de ecuaciones, se debe tener presente los siguientes puntos: -

-

La ecuación puede estar llena de símbolos de agrupación, denominadores u operaciones por realizar, el primer paso consiste en ordenar la ecuación en su forma: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 o sea el término cuadrático,

luego el lineal y por último el independiente. Luego de que la ecuación cuadrática se ha ordenado, existen dos caminos, una de ella es factorizar la expresión e igualar a “0” cada término y el segundo camino es utilizar la ecuación general de segundo grado.

Ejemplos:

−2𝑥 2 + 3𝑥 = −20 2𝑥 2 − 3𝑥 = 20

ST C IT EP U T I O

a) Hallar la suma de las raíces: −2𝑥 2 + 3𝑥 = −20 //(×−1)

Como el término cuadrático es negativo, se multiplica miembro a miembro por -1.

Ordenando en su forma: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

2𝑥 2 − 3𝑥 − 20 = 0

Factorizando por el método de las aspas o el método general:

(2𝑥 + 5)(𝑥 − 4) = 0 2𝑥 + 5 = 0

⟶

𝑥−4=0

⟶

Cada paréntesis se iguala a “0”

2𝑥 = −5

⟶

𝑥=−

5 2

𝑥=4

5

3

La suma de las raíces es: 𝑥1 + 𝑥2 = − + 4 = 2 2

IN

b) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación: (𝑥 + 3)3 = (𝑥 − 1)3 + 50𝑥 + 24 Desarrollando los binomios, recordando que un binomio al cubo se desarrolla de la siguiente manera: (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 (revisar el tema de potenciación) 𝑥 3 + 9𝑥 2 + 27𝑥 + 27 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3𝑥 − 1 + 50𝑥 + 24 𝑥 3 + 9𝑥 2 + 27𝑥 + 27 − 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 3𝑥 + 1 − 50𝑥 − 24 = 0 12𝑥 2 − 26𝑥 + 4 = 0

//(÷ 2)

6𝑥 2 − 13𝑥 + 2 = 0

Todos los términos pasan al lado izquierdo: Reduciendo términos semejantes.

Se puede dividir miembro a miembro entre 2.

Factorizando por el método de las aspas o el método general:

(𝑥 − 2)(6𝑥 − 1) = 0

Igualando cada paréntesis a “0”

𝑥−2=0

⟶

𝑥=2

6𝑥 − 1 = 0

⟶

𝑥=

1 6

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95

Lic. Christian Meruvia M. La fórmula general de la ecuación de segundo grado Es una fórmula que permite determinar las raíces de una ecuación de segundo grado:

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎 Donde: “a” es el coeficiente del término de segundo grado. “b” es el coeficiente del término de primer grado.

El discriminante

ST C IT EP U T I O

“c” es el término lineal.

Los términos que se encuentran dentro de la raíz cuadrada se llaman el discriminante:

𝑏 2 − 4𝑎𝑐

El discriminante sirve para saber si la ecuación de segundo grado tiene raíces en los reales o tiene raíces imaginarias. Si: 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0 Significa que la ecuación tiene 2 raíces reales.

𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0 Significa que la ecuación tiene raíces imaginarias.

Ejemplos: a)

IN

𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0 Significa que la ecuación tiene una sola raíz.

Resolver la ecuación: 2𝑥 2 − 5𝑥 + 1 = 0

Determinamos a, b y c: 𝑎=2 𝑏 = −5 𝑐=1

Reemplazando estos valores en la fórmula general: 𝑥= 𝑥=

−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

⟶

𝑥=

−(−5)±√(−5)2 −4∙2∙1 2∙2

⟶

𝑥=

5±√25−8 4

5±√17 4

Para la primera solución se utiliza el signo positivo y para la segunda solución el signo negativo.

𝑥1 =

96

5+√17 4

𝑥2 =

5−√17 4

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INSTITUTO C.E.P.I.

b)

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

Resolver la ecuación: 10𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0

Determinamos a, b y c: 𝑎 = 10

𝑏=1

𝑐=1

Reemplazando estos valores en la fórmula general:

𝑥=

−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐

⟶

2𝑎 −1±√−39

𝑥=

−1±√12 −4∙10∙1 2∙10

⟶

𝑥=

−1±√1−40 20

Se observa que el discriminante es negativo o sea -39 de esta forma se concluye que no existen

20

ST C IT EP U T I O

𝑥=

soluciones o raíces en los números reales.

4.4 Ecuaciones de segundo grado literales

La idea central sigue siendo la misma, una variable principal a despejar y otras letras secundarias o constantes. Para despejar la variable se puede factorizar la ecuación ordenada o utilizar la fórmula general. Ejemplo:

a) Resolver: 6𝑎2 𝑥 2 + 𝑎𝑏𝑥 + 3𝑎𝑥 − 𝑏 2 − 𝑏 = 0

El segundo y tercer término contienen la variable “x”, se procede a sacar el factor común entre estos dos términos: 6𝑎2 𝑥 2 + (𝑎𝑏 + 3𝑎)𝑥 − 𝑏 2 − 𝑏 = 0

3𝑎

IN

2𝑎

Factorizando por el método de las aspas:

𝑏+1

− 𝑏

(2𝑎𝑥 + 𝑏 + 1)(3𝑎𝑥 − 𝑏) = 0 2𝑎𝑥 + 𝑏 + 1 = 0 3𝑎𝑥 − 𝑏 = 0

⟶ ⟶

Igualando cada paréntesis a “0” 2𝑎𝑥 = −𝑏 − 1

𝑥=

⟶

𝑥=

−𝑏−1 2𝑎

𝑏 3𝑎

Si resulta difícil la factorización, se puede aplicar la fórmula general: 6𝑎2 𝑥 + (𝑎𝑏 + 3𝑎)𝑥 − 𝑏 2 − 𝑏 = 0 Se determina a, b y c.

𝑎 = 6𝑎2

𝑏 = 𝑎𝑏 + 3𝑎

𝑐 = −𝑏 2 − 𝑏

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97

Lic. Christian Meruvia M. Reemplazando estos valores en la fórmula general:

𝑥= 𝑥=

−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

⟶

𝑥=

−(𝑎𝑏+3𝑎)±√(𝑎𝑏+3𝑎)2 −4∙6𝑎2 ∙(−𝑏2 −𝑏) 2∙6𝑎2

−𝑎𝑏−3𝑎±√𝑎2 𝑏2 +6𝑎2 𝑏+9𝑎2 +24𝑎2 𝑏2 +24𝑎2 𝑏 12𝑎2 −𝑎𝑏−3𝑎±√(5𝑎𝑏+3𝑎)2

⟶

12𝑎2

𝑥1 =

𝑥2 =

−𝑎𝑏−3𝑎+5𝑎𝑏+3𝑎

−𝑎𝑏−3𝑎−(5𝑎𝑏+3𝑎)

𝑥2 =

12𝑎2

−𝑏 − 1 2𝑎

𝑥=

−𝑎𝑏−3𝑎±√25𝑎2 𝑏2 +30𝑎2 𝑏+9𝑎2 12𝑎2

−𝑎𝑏−3𝑎±5𝑎𝑏+3𝑎

4𝑎𝑏

⟶

12𝑎2

𝑥=

⟶

𝑥1 = 12𝑎2

12𝑎2

𝑥1 =

⟶

𝑏 3𝑎

ST C IT EP U T I O

𝑥=

⟶

𝑥2 =

−𝑎𝑏−3𝑎−5𝑎𝑏−3𝑎 12𝑎2

⟶

𝑥2 =

−6𝑎𝑏−6𝑎 12𝑎2

⟶ 𝑥2 =

−6𝑎(𝑏+1) 12𝑎2

4.5 Ecuaciones con raíces

IN

Muchas veces estas ecuaciones se convertirán en ecuaciones de primer o segundo grado luego de haber realizado las operaciones correspondientes. Al determinar las raíces o soluciones de este tipo de ecuaciones, pueden aparecer las llamadas “soluciones extrañas”. Este tipo de soluciones no satisfacen a la ecuación primitiva, por lo cual es recomendable reemplazar todas las soluciones halladas para ver cuales soluciones son válidas y cuales son extrañas. Ejemplos:

a) Resolver la siguiente ecuación:

2 x  x7 

8 x7

El término √𝑥 + 7 pasa al lado izquierdo a multiplicar:

2 x

x 78 x7

2 x  x  7  x  15

→

Para anular la raíz, se eleva miembro a miembro la

ecuación.

2 xx  7  x  15

2

xx  7

98



2

 2

 x  15

2

→





4 x 2  7x  x 2  30x  225

→

4x 2  28x  x 2  30x  225

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INSTITUTO C.E.P.I. 3x 2  2x  225  0

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA 32 x 2  2x  675  0

→

→

3x  273x  25  0 3

x1  9 x2  25 / 3 (Solución extraña)

Si se reemplaza la segunda solución en la ecuación primitiva, por ejemplo en √𝑥, la respuesta es √−

25 . 3

Como no existe raíz de número negativo esta raíz se anula o sea que es una solución extraña.

√𝑥 + 4 − 8 = −√5𝑥

ST C IT EP U T I O

b) Resolver la siguiente ecuación: √𝑥 + 4 + √5𝑥 = 8

Elevando miembro a miembro al cuadrado:

2

2

(√𝑥 + 4 − 8) = (−√5𝑥) 2

El paréntesis del lado izquierdo es un binomio, desarrollando se tiene:

(√𝑥 + 4) − 2 ∙ 8 ∙ √𝑥 + 4 + 82 = 5𝑥 𝑥 + 4 − 16 ∙ √𝑥 + 4 + 64 = 5𝑥

Al haber hecho esto, ahora solo hay un paréntesis.

Como hay un solo paréntesis, es conveniente llevar el término que contiene la raíz a un lado y todos los otros términos al otro lado.

−16 ∙ √𝑥 + 4 = 5𝑥 − 𝑥 − 4 − 64 −16 ∙ √𝑥 + 4 = 4𝑥 − 68

Para simplificar la ecuación, se puede dividir los dos miembros entre 4.

Elevando miembro a miembro al cuadrado.

IN

−4√𝑥 + 4 = 𝑥 − 17 2

Reduciendo términos semejantes:

(−4√𝑥 + 4) = (𝑥 − 17)2

Simplificando el lado izquierdo y desarrollando el lado derecho se tiene:

16(𝑥 + 4) = 𝑥 2 − 34𝑥 + 289

En este punto la ecuación ya yo tiene raíces y es ahora una ecuación de segundo grado.

16𝑥 + 64 = 𝑥 2 − 34𝑥 + 289

Ordenando la ecuación: (Nótese que también se puede ordenar la ecuación al lado derecho)

0 = 𝑥 2 − 50𝑥 + 225 (𝑥 − 45)(𝑥 − 5) = 0 𝑥 − 45 = 0 𝑥−5=0

⟶ ⟶

Factorizando el trinomio se tiene: Igualando cada paréntesis a “0”

𝑥 = 45 𝑥=5

Pero si reemplazamos el valor 𝑥 = 45 en la ecuación primitiva se tiene: √45 + 4 − 8 = −√5 ∙ 45

⟶

√49 − 8 = −√225

⟶

7 − 8 = −15

⟶

−1 = −15

Lo cual indica que esta solución no satisface a la ecuación original. Con lo cual se deduce que se trata de una solución extraña. 𝑥 = 45

Solución extraña.

𝑥=5

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99

Lic. Christian Meruvia M. c) Resolver la siguiente ecuación: √2𝑥 − 1 − √𝑥 + 3 + √3𝑥 − 2 = 0 Una primera idea es que una raíz quede a uno de los lados de la ecuación y las otras dos raíces al otro lado. √2𝑥 − 1 = √𝑥 + 3 − √3𝑥 − 2 2

Se eleva miembro a miembro al cuadrado. 2

(√2𝑥 − 1) = (√𝑥 + 3 − √3𝑥 − 2)

En el lado izquierdo se simplifica, en el derecho se desarrolla el binomio. 2

2

2𝑥 − 1 = (√𝑥 + 3) − 2 ∙ √𝑥 + 3 ∙ √3𝑥 − 2 + (√3𝑥 − 2)

Como queda una sola raíz, esta se lleva al lado izquierdo y todo lo demás al lado derecho.

ST C IT EP U T I O

2𝑥 − 1 = 𝑥 + 3 − 2√(𝑥 + 3)(3𝑥 − 2) + 3𝑥 − 2

Se simplifica y se realizan operaciones.

2√(𝑥 + 3)(3𝑥 − 2) = 𝑥 + 3 + 3𝑥 − 2 − 2𝑥 + 1

Reduciendo términos semejantes.

2√(𝑥 + 3)(3𝑥 − 2) = 2𝑥 + 2

Para simplificar la ecuación, se la puede dividir entre 2.

√(𝑥 + 3)(3𝑥 − 2) = 𝑥 + 1

Elevando miembro a miembro al cuadrado para simplificar la raíz que queda.

2

(√(𝑥 + 3)(3𝑥 − 2)) = (𝑥 + 1)2

Simplificando y desarrollando.

(𝑥 + 3)(3𝑥 − 2) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1

Realizando la multiplicación.

3𝑥 2 − 2𝑥 + 9𝑥 − 6 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1

Ordenando:

(2𝑥 + 7)(𝑥 − 1) = 0 𝑥=−

7 2

Factorizando por aspas.

IN

2𝑥 2 + 5𝑥 − 7 = 0

𝑥=1 7

Pero al reemplazar 𝑥 = − 2 se observa que es una solución extraña.

𝑥=1 d) Resolver la siguiente ecuación:

1 1 1 1    x 1 x 1 x 2 x 2

El m.c.m. de los dos lados es: √x+ 1; √x− 1;√x− 2; √x+ 2, pero para este ejercicio en específico, es conveniente sacar el m.c.m de cada lado y no para los dos lados; esto para facilitar la resolución.

100

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INSTITUTO C.E.P.I. (√𝑥−1)−(√𝑥+1) (√𝑥+1)(√𝑥−1) √𝑥−1−√𝑥−1 (√𝑥+1)(√𝑥−1)

(√𝑥+2)−(√𝑥−2)

=

=(

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA Desarrollando los denominadores.

(√𝑥−2)(√𝑥+2) √𝑥+2−√𝑥+2 √𝑥−2)(√𝑥+2)

⟶

−2 (√𝑥+1)(√𝑥−1)

−2(√𝑥 − 2)(√𝑥 + 2) = 4(√𝑥 + 1)(√𝑥 − 1)

−2(𝑥 − 4) = 4(𝑥 − 1)

4 √𝑥−2)(√𝑥+2)

Multiplicando.

−2𝑥 + 8 = 4𝑥 − 4

⟶

12 = 6𝑥

ST C IT EP U T I O

𝑥=2

⟶

=(

4.6 Propiedades de las raíces

Las raíces de unan ecuación de segundo grado se relacionan entre sí mediante dos propiedades:

Siendo 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 la ecuación de segundo grado y siendo 𝑥1 y 𝑥2 las raíces de dicha ecuación, se cumple que:

𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑥1 ∙ 𝑥2 =

𝑏 𝑎

𝑐 𝑎

Ejemplos:

IN

Mediante estas propiedades se pueden resolver distinto tipos de ejercicios:

a) Determinar el valor de “k” para que el producto de sus raíces sea 15. 𝑥 2 − 8𝑥 + 𝑘 = 0

En este tipo problemas se busca plantear 3 ecuaciones, dos que salen de las propiedades y una del planteamiento del ejercicio. En este ejercicio: 𝑎 = 1 𝑏 = −8 𝑐 = 𝑘 Reemplazando en las dos ecuaciones:

𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑥1 ∙ 𝑥2 =

−8 1

𝑘 1

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101

Lic. Christian Meruvia M. La tercera ecuación sale del planteamiento del ejercicio: “para que el producto de sus raíces sea 15” Esto significa: 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 15

De esta manera queda el sistema:

𝑥1 + 𝑥2 = 8 { 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑘 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 15 Se observa que lo más práctico es resolver el sistema formado por la ecuación (2) y (3): Igualando la ecuación (2) y (3):

𝑘 = 15 2

 6x  4  p  0 , sabiendo que la diferencia de sus

ST C IT EP U T I O

b) Determinar el valor de “p” en la siguiente ecuación: x raíces es 2.

Para las ecuaciones de segundo grado de la forma ax2  bx  c  0 , se cumple:

x1  x2  

Para el ejercicio:

a 1 b  6 c  4 p

Remplazando:

x1  x2  

x1  x2 

c a

IN

x1  x2  2

b a

6 b → x1  x2   → x1  x2  6 a 1

2 x1  8 → x1  4

Remplazando en: x1  x2  6 4  x2  6 → x 2  2

Remplazando en: x1  x2 

102

c a

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INSTITUTO C.E.P.I. 4 p → 1

42 

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

p4

c) Determinar el valor de “m”, si las raíces de la ecuación se diferencian en 2 unidades.

x 2  (m  3) x 

b = -(m+3)

x1  x2  

b a

 x1  x2  2  x1  x2  m  3  2 x1 .x2  m  4  4

m2 1 c= 4 x1 .x2 

c a

ST C IT EP U T I O

a=1

m2 1  0 4

Resolviendo el sistema:

m = -1/6

IN

d) Hallar el valor de la constante "k" de la ecuación la otra raíz.

k  2x 2  10x  3k  0 si una de las raíces es el reciproco de

Para las ecuaciones de segundo grado de la forma ax2  bx  c  0 , se cumple:

x1  x2  

b a

x1  x2 

c a

Para el ejercicio: a  k  2

b  10 c  3k

x1 

1 x2

Reemplazando:

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103

Lic. Christian Meruvia M. x1  x2 

3k c → x1  x2  k  2 a

3k   x1  x2  k  2    x1  1  x2

3k 1 en x1  x2  x2 k  2 :

1 3k  x2  k  2 x2

→

1

3k k  2

k  2  3k

→

→

ST C IT EP U T I O

Sustituyendo: x1 

k 1

4.7 Sistema de ecuaciones de segundo grado Ejemplo:

a) Hallar la suma de las raíces positivas de la siguiente ecuación: {

𝑥∙𝑦 =6 2𝑥 − 3𝑦 = −5

Se despeja “x” o “y” en la ecuación (1): 𝑥∙𝑦 =6

⟶

6

𝑥=𝑦

IN

Reemplazando en la ecuación (2) se tiene: 2𝑥 − 3𝑦 = −5

⟶

6

2 (𝑦) − 3𝑦 = −5

⟶

12 𝑦

−3𝑦 = −5

Sacando m.c.m se tiene: 12−3𝑦 2 𝑦

𝑦1 = −

=

−5𝑦 𝑦

⟶

12 − 3𝑦 2 = −5𝑦

0 = 3𝑦 2 − 5𝑦 − 12

⟶

⟶ (3𝑦 + 4)(𝑦 − 3) = 0

4 3

𝑦2 = 3 Reemplazando estos valores en la ecuación (1): 4

𝑥 ∙ (− 3) = 6

⟶

𝑥∙𝑦 =6

⟶

104

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𝑥∙3=6

⟶

⟶

9

𝑥∙𝑦 =6

𝑥1 = − 2

𝑥2 = 2

INSTITUTO C.E.P.I.

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

La suma de las raíces positivas es: 𝑥2

+ 𝑦2 = 2 + 3 = 5

4.8 Problemas Ejemplo:

ST C IT EP U T I O

a) Un comerciante compró cierto número de sacos arroberos de azúcar por un costo de 1000 Bs. Si hubiera comprado 10 sacos arroberos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5 Bs. menos. ¿Cuántos sacos compró?

x  Cantidad de sacos arroberos. y  Costo unitario de cada saco.

xy  1000 (El costo total está dado por la multiplicación del costo unitario y el número de unidades)

x  10 y  5  1000  xy  1000  x  10 y  5  1000

Despejando “x” en la ecuación (1):

1000 y

IN

x

Desarrollando la ecuación (2):

xy  5x  10y  50  1000→ xy  5x  10y  1050 Remplazando:

 5000  5000 10 y 2  1000  10 y  50 →   10 y  1050 →  50 1000  5 y y  y 

10y 2  5000  50y → 10y 2  50y  5000  0

(Dividiendo entre 10)

y 2  5 y  500  0 →  y  25 y  20  0 y  25 (El valor negativo se anula por tratarse de costo) Remplazando en

x

1000 : y

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105

Lic. Christian Meruvia M. x

1000 1000 → x → x  40 y 25

- Se compran 40 sacos.

4.9 Cambio de variable En ciertos ejercicios es necesario realizar un cambio de variable para facilitar los cálculos. Ejemplos:

ST C IT EP U T I O

1

a) Determinar el valor de “x”: 𝑥 + 𝑥 2 = 12 Realizando un cambio de variable: 1

𝑢 = 𝑥 2 Elevando miembro a miembro al cuadrado se tiene: 𝑢2 = 𝑥

Replanteando la ecuación con el cambio de variable. 𝑢2 + 𝑢 = 12

Resolviendo la ecuación de segundo grado se tiene: 𝑢2 + 𝑢 = 12  𝑢2 + 𝑢 − 12 = 0  𝑢=3

IN

𝑢 = −4

(𝑢 + 4)(𝑢 − 3) = 0

Para determinar “x” se reemplaza los valores hallados en el cambio de variable: (−4)2 = 𝑥  𝑢2 = 𝑥  𝑥 = 16 Pero al remplazar este valor en la ecuación primitiva, no satisface a dicha ecuación por lo cual se trata de una solución extraña. 𝑢2 = 𝑥



32 = 𝑥



𝑥=9 3

b) Resolver la siguiente ecuación: 2𝑥 3 − 5𝑥 2 − 3 = 0 Realizando un cambio de variable: 3

𝑢 = 𝑥2

Elevando miembro a miembro al cuadrado se tiene:

𝑢2 = 𝑥 3 Replanteando la ecuación con el cambio de variable.

106

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INSTITUTO C.E.P.I. 2𝑢2 − 5𝑢 − 3 = 0

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA  (2𝑢 + 1)(𝑢 − 3) = 0

1



𝑢 = −2

𝑢=3

Reemplazando en la ecuación primitiva: 3 2

𝑢=𝑥

3

 −2 = 𝑥 

3

3 = 𝑥2

2



𝑥=

1 3 (− 2) 2

 𝑥 = 33



3

1

 𝑥 = √4

(Solución extraña)

3

𝑥 = √9

IN

ST C IT EP U T I O

𝑢 = 𝑥2

3 2

1

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107

Lic. Christian Meruvia M.

Práctica # 4 1) Resolver:

9) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación:

𝑥=2

R.

−𝑥 2 + 4 = 0 𝑥 = −2

1 1 𝑥2 + 𝑥 − = 0 2 2

2) Resolver:

3) Resolver la siguiente ecuación: 7 10 𝑦2 − 𝑦 = 6 3 R. 𝑦 = 5/2

1 2

R. { , −1}

ST C IT EP U T I O

𝑥=0

R.

3𝑥 2 + 4𝑥 = 0 𝑥 = −4/3

10) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación: 1 1 1 − = 𝑦−2 𝑦−1 6

𝑦 = −4/3

R. {−1,4}

4) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación: (𝑥 − 1)3 − (𝑥 + 1)3 = −13 11 R. {√11 , −√ } 6 6

IN

5) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación: (𝑢 + 5)2 − (𝑢 + 4)2 = (𝑢 + 3)2 R. {0, −4}

6) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación: (𝑥 − 2)2 − (2𝑥 + 3)2 = −80 R.

25 {3, − } 3

7) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación: (𝑦 − 2)3 − (𝑦 − 3)3 = 37 R. {6, −1}

11) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación: 2z z+2 + =2 z+2 2z R. {2}

12) Resolver:

𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 = 0

𝑥 = 1 𝑥 = −1 𝑥 = 2

R.

𝑥 = −2

13) La suma de todas las raíces de la siguiente ecuación es: 𝑥 4 − 17𝑥 2 + 16 = 0 R. 0 14) Resolver: 1

8) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación: 4u − 1 2u + 1 = 2u + 3 6u + 5 4 1 R. {− , } 5 2

108

𝑥 + 𝑥2 − 6 = 0 R.

𝑥=4 5

15) Determinar “x”: 2𝑥 2 + 3𝑥 5 = 5

R.

𝑥=1

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA 16) Resolver: 1 2𝑥 2

R. 𝑥 = 4

+ 2𝑥 𝑥 = 1/4

−

1 2

−5 = 0

24) Nivel C: Calcular el valor de “x” en la siguiente ecuación: 𝑥−𝑎 𝑥−𝑎−1 𝑥−𝑏 𝑥−𝑏−1 − = − 𝑥−𝑎−1 𝑥−𝑎−2 𝑥−𝑏−1 𝑥−𝑏−2

17) Resolver:

R.

1 2 1 (𝑥 + ) + 4 (𝑥 + ) = 12 𝑥 𝑥 𝑥=1

18) Indicar el producto de las raíces de la ecuación: Nivel B:

𝑎+𝑏+3 2

25) Nivel B: Encontrar las soluciones para la ecuación: 𝑥2 − 𝑥 − 𝑎 𝑎2 = 𝑥 2 + 𝑥 − 3𝑎 𝑎2 + 2 R. 𝑥 = 𝑎2 − 1

26) Encontrar las soluciones para la ecuación:

R. 6 Ecuaciones Literales

2𝑥 − 𝑏 2𝑏𝑥 − 𝑏 2 = 2 3𝑥

19) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación: 4𝑚 𝑥 = 𝑥 + 2𝑚 2𝑚 R. {2m, −4m}

R. 𝑥 =

2𝑏 3

27) Resolver la ecuación literal:

R. 𝑥1 = −3𝑏 + 2 𝑥2 =b

IN

28) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación:

21) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación: 𝑥2 + 𝑎(𝑎 + 1) =𝑥 2𝑎 + 1

𝑎 𝑏

𝑥2 =

𝑏

√𝑥 2 + 2 − 3 = 0

R. {√7, −√7} 29) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación:

22) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación: 𝑎𝑏𝑥2 − (𝑎2 + 𝑏 2)𝑥 + 𝑎𝑏 = 0 𝑥1 =

2b 3𝑏 2 = −2𝑏 + 𝑥 𝑥

Ecuaciones con raíces

𝑎 𝑏

R. { , } 2 2

R. {𝑎, 𝑎 + 1}

𝑏

𝑥=2

𝑥−2+

20) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación: 𝑎𝑏 𝑥(𝑎 + 𝑏) 𝑥2 + = 4 2

R.

𝑥 =𝑎+1

ST C IT EP U T I O

1 + 𝑥 −1 1 + 2𝑥 −1 2 + 13𝑥 −1 = + 1 − 𝑥 −1 1 − 2𝑥 −1 1 + 𝑥 −1

R. 𝑥 =

2√𝑥 − 1 =

3𝑥 √2𝑥 + 5

R. {2,10}

𝑎

30) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación: 23) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación: 𝑥 2 − 2𝑏𝑥 + 𝑏 2 − 𝑎2 = 0 R. 𝑥1 = 𝑎 + 𝑏

𝑥2 = 𝑏 − 𝑎

√2𝑥 + √4𝑥 − 3 = 3 R. 𝑥 = 3

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109

Lic. Christian Meruvia M. 31) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación:

39) Si las soluciones de una ecuación cuadrática son: 1 1

{− 3 , 2} entonces la ecuación original es:

√𝑥 − 3 = √2𝑥 + 2 − 2

R. 6𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0 R. {7}

40) Si las soluciones de una ecuación cuadrática son: {2 + √3, 2 − √3} entonces la ecuación original es: R. 𝑥 2 − 4𝑥 + 1 = 0

32) Resolver: √2𝑥 + 5 − 2√𝑥 − 1 = 1 R. 𝑥 = 2 33) La suma de las raíces de la ecuación siguiente:

R. {1,6}

{4 +

6

=5

2 √5

,4−

√𝑥 + 3

} entonces la ecuación original

es:

R. 𝑥 2 − 8𝑥 +

34) Resolver:

2 √5

ST C IT EP U T I O

√𝑥 + 3 +

41) Si las soluciones de una ecuación cuadrática son:

76 5

=0

42) Una solución de la siguiente ecuación es:

√2𝑥 + 1 − √3𝑥 − 3 √2𝑥 − 8

𝑥+√𝑥 2 +𝑥+2

=1

𝑥−√𝑥 2 +𝑥+2

+

𝑥−√𝑥 2 +𝑥+2 𝑥+√𝑥 2 +𝑥+2

=−

10 3

R. 𝑥 = 1

4

R. {4; − 5}

35) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación:

√𝑥 + √𝑥 + 2 + √𝑥 + 1 + 3√𝑥 + 2 = 5

√𝑥 − √1 − 𝑥 + √𝑥 = 1 R. 𝑥 = 16/25

43) Nivel C: Para qué valor de “x” se verifica:

R. 𝑥 = 2

44) Nivel B: Resolver: 2𝑥 2 − 2𝑥 + √𝑥 2 − 𝑥 + 2 = 6

IN

36) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación:

R. 𝑥 = 2

√𝑥 + 3 + √2 − 𝑥 − √𝑥 + 8 = 0 R. 𝑥 = −3

45) Nivel B: Resolver: 𝑥 2 + 3𝑥 = √𝑥 2 + 3𝑥 − 3 + 3

𝑥=1

37) Resolver la siguiente ecuación:

1 1 1 1    x 2 x 2 x 3 x 3

R. 𝑥 = 1 46) Nivel B: Resolver: √𝑥 2 + 2𝑥 + 16 + √𝑥 2 + 2𝑥 + 9 = 7

R. 𝑥 = 6 38) Resolver:

1 √5+𝑥−√5−𝑥

R. 𝑥 = 4

3

1

4

√5+𝑥+√5−𝑥

− =−

R. 𝑥 = 0 47) Resolver la siguiente ecuación: 𝑥

√2 +

8𝑥 9

+ 2 = 𝑥 , el cuadrado de una de sus raices es:

R. 72

110

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA 48) Nivel B: Determinar la mayor raíz: 𝑥+√𝑥 2 +𝑥+1 𝑥−√𝑥 2 +𝑥+1

+

𝑥−√𝑥 2 +𝑥+1 𝑥+√𝑥 2 +𝑥+1

56) Calcular el valor de K de la siguiente ecuación: 5𝑥 2 − 8𝑥 + 𝑘 = 0 para que el producto de sus raíces sea 1/5.

= −11

R. 𝑥 = 3

R. 𝑘 = 1

49) Nivel C: Indicar el conjunto solución de la ecuación: 3

3

3

√(𝑎 + 𝑥 )2 + 4 √(𝑎 − 𝑥 )2 = 5 √𝑎2 − 𝑥 2

R. {0;

63𝑎 65

}

R. 𝑘 = −6

√𝑥 − 3 + √2𝑥 + 1 − 2√𝑥 = 0

de sus raíces es 2.

R. 𝑥 = 4

51) Encontrar las soluciones para la ecuación: √𝑥 + 4 + √𝑥 − 4 √𝑥 + 4 − √𝑥 − 4 R. 𝑥 = 4

58) Determinar el valor de “p” en la siguiente ecuación: x 2  6x  4  p  0 , sabiendo que la diferencia

ST C IT EP U T I O

50) Encontrar las soluciones para la ecuación:

R. 𝑝 = 4

59) Determinar el valor de “m”, si las raíces de la ecuación se diferencian en 1 unidad.

=𝑥−3

x 2  (m  4) x 

𝑥=5

52) Resolver:

m2 1  0 4

R. 𝑚 = −11/8

60) Nivel B: Determine la suma de los valores que puede tomar “a” para que la ecuación: (𝑎 + 1)𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 1 = 0; tenga una sola solución si “a” es un número real y diferente de -1

IN

𝟏 𝟏𝟏 √𝒙 − = 𝟓𝐱 − 𝟏𝟖 𝟔

R. x= ½

53) Nivel C: Determinar el valor de “x”: √17+2√72 √3+√8

57) Calcular el valor de K de la siguiente ecuación: 𝑥 2 − 5𝑥 − 𝑘 = 0 para que la diferencia de sus raíces sea 1.

= √𝑥 + 2√128 − 7

R. 4

R. 𝑥 = 66

61) Nivel B: Si “a” y “b” son raices de la ecuación: 𝑥 2 − 6𝑥 + 𝑐 = 0 ; entonces el valor de:

3

3

6

54) Nivel C: Resolver: √√𝑥 + 1 − √√𝑥 − 1 = √𝑥 − 1 R. 𝑥 =

5 4

Propiedades de las raíces 55) Calcular el valor de K de la siguiente ecuación: 3𝑥 2 − (2𝑘 + 2)𝑥 + (2𝑘 + 4) = 0 para que el producto de sus raíces sea 11. R. 𝑘 = 29/2

igual a:

𝑎2 +𝑏2 +2𝑐 : 9

es

R. 4

62) Nivel B: Si a y b son números reales de manera que las ecuaciones: (7𝑎 − 2)𝑥 2 − (5𝑎 − 3)𝑥 + 1 = 0 8𝑏𝑥 2 − (4𝑏 + 2)𝑥 + 2 = 0 Admiten las mismas raices, entonces el valor de “a+b”, es: R. 5

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111

Lic. Christian Meruvia M. Ecuaciones cúbicas

71) Resuelva el sistema: 𝑥 − √𝑥𝑦 − 𝑦 = −1 { 𝑥𝑦 = 36

63) Resolver: 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4𝑥 − 12 = 0 R. 𝑥 = 2

𝑥 = −2

𝑥 = −3

R.

64) Resolver: 18𝑥 3 + 45𝑥 2 − 2𝑥 − 5 = 0 R. 𝑥 = −

5 2

𝑥=−

1 3

𝑥=

𝑥2

𝑥 + √𝑥𝑦 + 𝑦 = 7 { 𝑥𝑦 = 4

+ 8𝑥𝑦 = 4 𝑥=𝑦

R. {(2/3,2/3), (−2/3, −2/3)}

73) Resuelva el sistema: 𝑥 3 + 𝑦 3 = 28 { 𝑥+𝑦 =4

67) Resolver el siguiente sistema:

IN 1

R.

𝑥=2

𝑦1 = −7

𝑥2 = 5

𝑦 = −1

𝑧=3 𝑧 = −3

76) Luego de resolver el sistema, hallar z: 𝑦2 = 27

3

3

3 √𝑥 + √𝑦 + 5 √𝑧 = 39

69) Resuelva el sistema: 7𝑥 − 5𝑦 = 29 { 𝑥𝑦 = 6 6 7

𝑦=1

𝑥2 + 𝑦2 = 5 {𝑦 2 + 𝑧 2 = 10 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 = 5

𝑦=1

𝑥 = −2

{𝑥 3 + 𝑦 3 = 5 𝑥 + 𝑦 = 35

𝑥1 = −

𝑥=3

75) Resolver el sistema:

68) Nivel B: Resuelva el siguiente sistema:

R.

𝑦=3

R. {(1,1)(−1, −1)}

𝑥 2 − 3𝑦 2 + 10𝑦 = 19 { 2 𝑥 − 3𝑦 2 + 5𝑥 = 9

𝑥2 = 8

𝑥=1

74) Resuelva el sistema: 1 − 2𝑥 + 𝑦 = 0 𝑥 1 − 2𝑦 + 𝑥 = 0 {𝑦

4𝑥 2 + 9𝑦 2 − 36 = 0 { 𝑥2 + 𝑦2 = 4 R. {(0,2), (0, −2)}

𝑥1 = 27 𝑦1 = 8

R. 5

R.

66) Resolver el siguiente sistema:

R.

72) Resolver el sistema e indicar la suma de sus raíces:

ST C IT EP U T I O

65) Resolver el siguiente sistema:{

1

𝑦=4

1 3

Sistemas de ecuaciones de segundo grado

R. {(−12, −5), (4,3)}

𝑥=9

{ 3√𝑥 + 5 3√𝑦 + 3√𝑧 = 31 3

3

5 √𝑥 + 3√𝑦 + √𝑧 = 7 𝑦2 = 6/5

R. 𝑧 = 343

70) Resuelva el sistema: 𝑥2 + 𝑦2 = 5 { 𝑥𝑦 = 2 R. 𝑥1 = 1 𝑦1 = 2 𝑥3 = −2 𝑦3 = −1

𝑥2 = −1 𝑥4 = 2

𝑦2 = −2 𝑦4 = 1

112 Call e Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA 4(3𝑥 + 2𝑦) = 7𝑥𝑦 77) Resolver: { 6(5𝑥 + 2𝑧) = 11𝑥𝑧 12(5𝑦 + 3𝑧) = 19𝑦𝑧

85 El producto de dos números es 675. Calcula

dichos números sabiendo que uno es el triple del otro. R. (15 y 45)

R. 𝑥 = 0 𝑦 = 0 𝑧 = 0 𝑥=2 𝑦=4 𝑧=6 78) Resolver el sistema: {

86) El producto de dos números es 450, sabiendo que uno excede a las otras 7 unidades, Calcula dichos números. R. (18 y 25)

𝑥3 + 𝑦3 = 9 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 3

R. (2,1)

87) El producto de dos números pares consecutivos es 624. Busca esos números. R. (24 y 26)

𝑥 2 + 𝑦 2 = 13 𝑥𝑦 = −6 R. (3, −2)(−3,2)(2, −3)(−2,3)

79) Resolver el sistema: {

ST C IT EP U T I O

88) Un número es 5 veces superior a otro y su producto es 320. Busca los dos números R. (8 y 40) (-8 y -40)

PROBLEMAS

80) La diferencia entre la base y la altura de un

rectángulo es 4 m. Halla las dimensiones sabiendo que el área es 60 m2

90) Si las ganancias de una empresa están expresadas por la siguiente solución: 3𝑥 2 − 65𝑥 + 180 Determinar el número de unidades x que produciría una ganancia de 80.

R. (base 10 m y altura 6cm)

81) La diferencia entre la base y la altura de un

IN

rectángulo es de 2 m. sabiendo que el área es 48 m2, halla la base y la altura del rectángulo. R. (base 8 cm y altura 6 cm) 82) La diferencia entre la base y la altura de un

rectángulo es de 2 m. Y el área es 24 m2. Halla la base y la altura del triángulo . R. (Base 4 cm y altura 6 cm)

1260.

Calcula R. (35 y 36)

91) Con un cierto número hago las siguientes operaciones; lo elevo al cuadrado, al resultado le quito 15 y lo multiplico por 3; al número así obtenido lo divido entre 6 y luego lo elevo al cubo, obteniendo un número al cual luego de aumentarle 19 unidades le extraigo la raíz cuadrada para obtener 12 como resultado final. Siendo positivo el número que tenía inicialmente. Dicho número es:

92) A tiene 3 años más que B, y el cuadrado de la edad de A sumado al cuadrado de la edad de B equivale a 317 años. Cuáles son las edades de A y B.

84) El producto de dos números positivos

es

R. 20 y 5/3

R. 5

83) El área de un cuadrado es 144 m2. Calcula su lado R. (lado 12 cm)

consecutivos números.

89) El marco de una pintura mide 20 cm. Por 14 cm. La pintura ocupa 160 𝑐𝑚2 . Encontrar el ancho del marco. R. 2 cm

dichos

R. 11 y 14

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113

Lic. Christian Meruvia M. 93) Un comerciante compró cierto número de sacos arroberos de azúcar por un costo de 1600 Bs. Si hubiera comprado 10 sacos arroberos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 8 Bs. menos. ¿Cuántos sacos compró?

IN

ST C IT EP U T I O

R. 40 sacos.

114

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-

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

Responda las preguntas una a una mentalmente y tan rápido como sea posible. NO SIGA SIN HABER RESPONDIDO LA PREGUNTA ANTERIOR, ¡Se sorprenderá con la respuesta! Ahora responda una suma a la vez:

ST C IT EP U T I O

Cuánto es: 15+6, 3+56, 89+2, 12+53, 75+26, 25+52, 63+32. Si, estos cálculos mentales no son tan difíciles, pero ahora va el verdadero test… Sea persistente, siga adelante… 123+5

IN

¡RÁPIDO! PIENSE UNA HERRAMIENTA Y UN COLOR………………………………

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115

ST C IT EP U T I O

5.1 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

5.2 DEFINICIÓN DEL DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

IN

5.3 DETERMINACIÓN DEL DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES 5.4 FUNCIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS 5.5 VALOR DE UNA FUNCIÓN 5.6 OPERACIONES CON FUNCIONES 5.7 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

116

INSTITUTO C.E.P.I.

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

5.1 Definición de función Es la relación entre dos conjuntos A y B, de forma que cada elemento de A le corresponde un único elemento del conjunto B. El tema de funciones es amplio, en este capítulo se analizarán solo conceptos básicos, ampliándose el estudio de las funciones en otras materias.

5.2 Definición de dominio y rango 5.2.1 Dominio

ST C IT EP U T I O

Es el grupo de valores donde está definida una función, o sea los valores que componen el conjunto de partida.

5.2.2 Rango o imagen

Es el grupo de valores que resulta de evaluar cada uno de los valores del dominio en la función, o sea los valores que componen el conjunto de llegada. Ejemplos:

IN

a) Hallar el dominio y la imagen de la siguiente función:

En este caso la función en el eje “x”, crece al lado izquierdo hasta −∞ y hacia el lado derecho hasta +∞ Por lo cual el dominio son todos los reales: 𝐷𝑜𝑚 = ]−∞, +∞[ = ℝ En el eje “y” la función tiene su punto más bajo en “0” y crece hacia arriba hasta +∞ Por lo cual el rango es: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = [0, +∞ [ INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759- 22676

117

Lic. Christian Meruvia M.

ST C IT EP U T I O

b) Hallar el dominio y la imagen de la siguiente relación:

En este caso la función en el eje “x”, crece al lado izquierdo hasta −∞ y hacia el lado derecho solo hasta 1. Por lo cual el dominio es: 𝐷𝑜𝑚 = ]−∞, 1] En el eje “y” crece hacia abajo hasta −∞ y hacia arriba hasta +∞ Por lo cual el rango o imagen son todos los reales: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = ]−∞, +∞[ = ℝ

5.3 Determinación del dominio y rango de funciones:

IN

5.3.1 Funciones cuadráticas Son las que tienen términos cuadráticos como por ejemplo: 𝑦 = −2𝑥 2 − 5 1 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 − 3 3 -

El gráfico de este tipo de funciones son parábolas.

-

Cuando el término cuadrático es positivo, la parábola es convexa.

-

Cuando el término cuadrático es negativo, la parábola es cóncava.

118

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INSTITUTO C.E.P.I. -

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

Para determinar el vértice de la parábola se puede utilizar la fórmula: 𝑣𝑥 = −

-

𝑏 2𝑎

En este tipo de funciones, el dominio son todos los reales. 𝐷𝑜𝑚 = ]−∞, +∞[ = ℝ

Ejemplos: a) Hallar el dominio y rango de la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 6𝑥 − 3 Al observar que el término cuadrático es positivo, se sabe que la parábola es convexa. En este tipo de funciones, el dominio son todos los reales, quedando por saber cuál es el rango o imagen.

ST C IT EP U T I O

𝐷𝑜𝑚 = ]−∞, +∞[ = ℝ Se determina el vértice con la fórmula:

𝑣𝑥 = −

En este ejercicio 𝑎 = 2

𝑏 = −6

𝑏 2𝑎

𝑐 = −3

Reemplazando estos valores en la fórmula: −6

𝑣𝑥 = − 2∙2

⟶

3

𝑣𝑥 = 2

Pero este es el vértice de la parábola solo en su coordenada “x”, para determinar la coordenada “y”, se reemplaza este valoren la función primitiva: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 6𝑥 − 3 15 2

𝑦 = 2𝑥 2 − 6𝑥 − 3

3 2

⟶

3

Por lo cual el vértice de la parábola se encuentra en el punto: 𝑉(2 , − Como la parábola es convexa, el rango será: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = [−

3

𝑦 = 2 (2) − 6 (2) − 3

IN

𝑦=−

⟶

15 ) 2

15 , +∞[ 2

b) Hallar el dominio y rango de la siguiente función: 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 4

𝐷𝑜𝑚 = ]−∞, +∞[ = ℝ 𝑎 = −1 Reemplazando estos valores en la fórmula:

𝑏=0 𝑣𝑥 = −

0

𝑣𝑥 = − 2∙(−1)

⟶

𝑐 = −4

𝑏 2𝑎

𝑣𝑥 = 0

Para determinar su coordenada en “y” se reemplaza este valor en la función primitiva. 𝑦 = −𝑥 2 − 4 ⟶ 𝑦 = −02 − 4 ⟶ 𝑦 = −4

119

Lic. Christian Meruvia M. Con lo cual el vértice está en 𝑉(0, −4) Como el término cuadrático es negativo entonces, la parábola es cóncava. El rango será: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = ]−∞, −4]

5.3.2 Funciones fraccionarias Son las que tienen la variable en el denominador como por ejemplo: 𝑓(𝑥) =

Ejemplo:

−𝑥 2 2𝑥 2 − 3𝑥 − 5

ST C IT EP U T I O

𝑦=

1 𝑥−4

3

a) Hallar el dominio y rango de la siguiente función: 𝑓(𝑥) = −2𝑥−8

Para determinar el dominio, se deben seguir los siguientes pasos: - Despejar la variable “y” En este caso la variable “y” ya está despejada. 3 𝑦= −2𝑥 − 8

Una vez despejada la variable, se debe igualar a “0” el denominador:

IN

-

−2𝑥 − 8 = 0

Despejando “x” se tiene: −2𝑥 − 8 = 0 ⟶ -

−2𝑥 = 8

⟶

𝑥 = −4

El dominio de la función serán todos los reales menos el valor encontrado, esto para evitar la división entre “0”. 𝐷𝑜𝑚 = ℝ − {−4}

Para determinar el rango, se debe seguir los siguientes pasos: -

Despejar la variable “x” 3

𝑦 = −2𝑥−8

120

⟶

𝑦(−2𝑥 − 8) = 3

⟶

−2𝑥𝑦 − 8𝑦 = 3

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-

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

Para despejar “x”, todos los términos que contengan estas variables se pasan al lado izquierdo y los demás términos al lado derecho. −2𝑥𝑦 = 3 + 8𝑦 -

2𝑥𝑦 = −3 − 8𝑦

⟶

𝑥=

−3−8𝑦 2𝑦

Una vez despejada la variable “x”, el denominador se iguala a “0” 2𝑦 = 0

-

⟶

⟶

0

𝑦=2

⟶

𝑦=0

El rango o imagen de la función serán todos los reales menos el valor encontrado, esto para evitar la división entre “0”. 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = ℝ − {0}

ST C IT EP U T I O

5.3.3 Funciones con raíces cuadradas En el caso de existir raíces cuadradas, para hallar el dominio o rango, se debe formar una inecuación con los términos de dentro la raíz mayor a cero. Ejemplo:

a) Determinar el dominio de la siguiente función: 𝑦 = √𝑥 + 2

Para restringir esta función, se forma una inecuación con los términos que se encuentran dentro de la raíz: 𝑥+2≥0

IN

Se resuelve la inecuación (ver tema de inecuaciones). 𝑥 ≥e−2 e

−2

El dominio es la solución de la inecuación: 𝐷𝑜𝑚 = [−2, +∞[

5.4 Funciones explícitas e implícitas Son funciones explícitas aquellas donde la variable dependiente está despejada: En este ejemplo “y” sería la variable dependiente. 𝑦 = 5𝑥 3 − 2𝑥 − 1 y → Es la variable dependiente x → Es la variable independiente Son funciones implícitas aquellas donde la variable dependiente no está despejada y se encuentra mezclada con la variable independiente: INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759-22676

121

Lic. Christian Meruvia M. 2𝑥 − 3𝑦 = 5𝑥 2 − 1

Ejemplo: a) Determinar el dominio y rango de la siguiente función: 𝑥 2 𝑦 − 4𝑦 + 1 = 0 Se observa que la función está en su forma implícita ya que la variable dependiente “y” no está despejada. El primer paso será despejar esta variable dependiente:

𝑦=

−1 −4

𝑥2

𝑥 2 𝑦 − 4𝑦 = −1

⟶

𝑦(𝑥 2 − 4) = −1

⟶

ST C IT EP U T I O

𝑥 2 𝑦 − 4𝑦 + 1 = 0

Una vez despejada la variable dependiente, la función está en su forma explícita, ahora se aprecia que es una función fraccionaria con lo cual para calcular el dominio, se procede a igualar a “0” el denominador. Dominio: 𝑥2 − 4 = 0 𝑥=2

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0

⟶ 𝑥 = −2

𝐷𝑜𝑚 = ℝ − {−2,2}

Para el rango, se debe primero despejar la variable “x” Rango: 𝑥 2 𝑦 = 4𝑦 − 1

IN

𝑥 2 𝑦 − 4𝑦 + 1 = 0

⟶

⟶

𝑥2 =

4𝑦−1 𝑦

⟶

4𝑦−1 𝑦

𝑥 = ±√

Se observa que es una función con raíz cuadrada, con lo cual se procede a formar una inecuación con los términos que están dentro de la raíz. 4𝑦 − 1 ≥0 𝑦 Resolviendo la inecuación: (Ver tema de inecuaciones) 4𝑦 − 1 = 0 𝑦=0

⟶

1

𝑦 = 4 (raíz del numerador)

(raíz del denominador)

122

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INSTITUTO C.E.P.I.

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

0

¼

Verificando los intervalos para: 𝑦 = 1

Reemplazando este valor en la inecuación primitiva: 4𝑦−1 𝑦

≥0

⟶

4∙1−1 1

≥0

⟶

3 ≥ 0 (Verdad)

ST C IT EP U T I O

Con lo cual el intervalo señalado por la flecha es verdad.

V

F

V

0

¼

El rango de esta función es: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = ]−∞, 0[𝑈[1/4, +∞[

5.5 Valor de una función Ejemplos:

Sea la función: 𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 − 1 Hallar: 𝑓(0)

a)

IN

Simplemente se reemplaza el valor de 𝑥 = 0 en la función. 𝑓(0) = −2 ∙ 03 − 3 ∙ 02 + 5 ∙ 0 − 1 Hallar: 𝑓(−1)

⟶

𝑓(0) = −1 (f de cero es -1)

𝑓(−1) = −2 ∙ (−1)3 − 3 ∙ (−1)2 + 5 ∙ (−1) − 1

⟶

𝑓(−1) = −2(−1) − 3 ∙ 1 − 5 − 1

𝑓(−1) = −7 Hallar: 𝑓(−𝑎+1) En todas las variables “x”, se reemplaza −𝑎 + 1 𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 − 1

⟶

𝑓(−𝑎+1) = −2(−𝑎 + 1)3 − 3(−𝑎 + 1)2 + 5(−𝑎 + 1) − 1

𝑓(−𝑎+1) = −2(13 − 3 ∙ 12 ∙ 𝑎 + 3 ∙ 1 ∙ 𝑎2 − 𝑎3 ) − 3(𝑎2 − 2𝑎 + 1) + 5(−𝑎 + 1) − 1

123

Lic. Christian Meruvia M. 𝑓(−𝑎+1) = −2(1 − 3𝑎 + 3𝑎2 − 𝑎3 ) − 3(𝑎2 − 2𝑎 + 1) + 5(−𝑎 + 1) − 1 𝑓(−𝑎+1) = −2 + 6𝑎 − 6𝑎2 + 2𝑎3 − 3𝑎2 + 6𝑎 − 3 − 5𝑎 + 5 − 1 𝑓(−𝑎+1) = 2𝑎3 − 9𝑎2 + 7𝑎 − 1

b) Si

1 √𝑎−1

𝑓(𝑎) =

𝑚

Hallar: 𝑓 (𝑚+1)

𝑚

Se reemplaza 𝑚+1 en todas las variables “a” de la función original.

)=

𝑚+1

1

1 √

Desarrollando:

𝑚 √𝑚+1−1

1

⟶

𝑚−(𝑚+1) 𝑚+1

√

1

ST C IT EP U T I O

𝑚

𝑓(

1

⟶

𝑚−𝑚−1 𝑚+1

Si se separase la raíz cuadrada quedaría:

−1 𝑚+1

√

Pero no conviene que exista raíz cuadrada de -1 por lo cual se procede a bajar al denominador el signo (-) para

√−1 √𝑚+1

evitar esto. 1

⟶

1 √−(𝑚+1)

1

Realizando medios con medios y extremos con extremos.

√1 √−𝑚−1

IN

√−𝑚 − 1

5.6 Operaciones con funciones Ejemplos:

a) Siendo 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 5𝑥 + 2 Hallar:

y

𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 4

−2𝑓(𝑥) +3𝑔(𝑥) 2

Reemplazando: −2𝑓(𝑥) +3𝑔(𝑥) 2 2𝑥 2 2

+

25𝑥 2

124

−

= 16 2

−2(−𝑥 2 −5𝑥+2)+3(5𝑥−4) 2

⟶

𝑥2 −

25 2

=

2𝑥 2 +10𝑥−4+15𝑥−12 2

=

2𝑥 2 +25𝑥−16 2

Distribuyendo el denominador:

𝑥−8

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INSTITUTO C.E.P.I. 𝑥−1

b) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥+1

y

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA 𝑥

𝑓(3)+𝑔(2)

𝑔(𝑥) = 𝑥−1 : hallar 1+𝑓(2)∙𝑔(2)

Se debe determinar: 3−1

1

𝑓(3) = 3+1 = 2 2

𝑔(2) = 2−1 = 2 2−1 1 𝑓(2) = = 2+1 3

1 +2 2 1 1+ ∙2 3

3 2

𝑓(3)+𝑔(2) 1+𝑓(2)∙𝑔(2)

ST C IT EP U T I O

Reemplazando estos valores en:

5.7 Composición de funciones

La composición de funciones se escribe como: 𝑓(𝑥) °𝑔(𝑥) y se lee “𝑔 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑓 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑥”o “𝑔 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑓”

𝑓(𝑥) °𝑔(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)]

Lo que significa en este caso que la función 𝑔(𝑥) se convierte en la variable de la función 𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

𝑔(𝑥) °𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

IN

𝑓(𝑥) °𝑔(𝑥) =

A excepción de casos especiales, se cumple que: 𝑓(𝑥) °𝑔(𝑥)

≠ 𝑔(𝑥) °𝑓(𝑥)

Ejemplos: a) Si 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 3𝑥 − 5 y 𝑔(𝑥) = −𝑥 − 5 Determinar 𝑓(𝑥) °𝑔(𝑥) y 𝑔(𝑥) °𝑓(𝑥) Para determinar 𝑓(𝑥) °𝑔(𝑥) se debe tener en cuenta que la función 𝑔(𝑥) “entra” a la función 𝑓(𝑥) o sea

𝑓[𝑔(𝑥)] , en la práctica esto quiere decir que en las “x” que hayan en 𝑓(𝑥) , se reemplaza 𝑔(𝑥) INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759 22676 -

125

Lic. Christian Meruvia M. 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 3𝑥 − 5

𝑔(𝑥) = −𝑥 − 5

𝑓(𝑥) °𝑔(𝑥) = −(−𝑥 − 5)2 + 3(−𝑥 − 5) − 5 𝑓(𝑥) °𝑔(𝑥) = −(𝑥 2 + 10𝑥 + 25) − 3𝑥 − 15 − 5 𝑓(𝑥) °𝑔(𝑥) = −𝑥 2 − 13𝑥 − 45 Para 𝑔(𝑥) °𝑓(𝑥) se tiene que: 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 3𝑥 − 5

ST C IT EP U T I O

𝑔(𝑥) = −𝑥 − 5

𝑔(𝑥) °𝑓(𝑥) = −(−𝑥2 + 3𝑥 − 5) − 5 𝑔(𝑥) °𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥

1

b) Determinar “x” si 𝑓(𝑥) = 𝑥

y

𝑔(𝑥) =

𝑥 𝑥+1

sabiendo que: 𝑓(−𝑥)𝑜𝑔(𝑥) = 2

1

Primero se determina 𝑓(−𝑥) = −𝑥 Ahora 𝑔(𝑥) “entra” a 𝑓(−𝑥) 1 𝑥 − 𝑥+1

IN

𝑓(−𝑥)𝑜𝑔(𝑥) =

Como el ejercicio dice que 𝑓(−𝑥)𝑜𝑔(𝑥) es igual a 2, entonces la expresión encontrada se iguala a este valor: 1 −

𝑥 𝑥+1

−

=2

𝑥+1 𝑥

=2

Para calcular el valor de “x”, se resuelve la ecuación formada. Se realiza medios y extremos.

⟶

−(𝑥 + 1) = 2𝑥

𝑥=−

1 3

c) Si

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4

⟶

−𝑥 − 1 = 2𝑥

⟶

−1 = 3𝑥

1

𝑔(𝑥) = −𝑥 − 1

ℎ(𝑥) = 𝑥

Determinar el valor de x si se cumple que: 𝑓{𝑔[ℎ(𝑥)]} = −4

126

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INSTITUTO C.E.P.I.

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

Otra forma de escribir la expresión es: [𝑓°(𝑔°ℎ)] = −4 1

Primero se calcula 𝑔[ℎ(𝑥)] = − 𝑥 − 1 =

−1−𝑥 𝑥

Esta expresión “entra” a 𝑓(𝑥) 2

𝑓{𝑔[ℎ(𝑥)]} = (

−1 − 𝑥 ) −4 𝑥

Esta expresión se iguala a −4 como indica el enunciado.

1+2𝑥+𝑥 2 𝑥2

− 4 = −4

− 4 = −4

⟶

1+2𝑥+𝑥 2 𝑥2

=0

⟶

1 + 2𝑥 + 𝑥 2 = 0

IN

𝑥 = −1

Para calcular “x” se resuelve la ecuación formada.

ST C IT EP U T I O

−1−𝑥 2 ) 𝑥

(

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127

Lic. Christian Meruvia M.

Práctica # 5 1) Indique el conjunto de pares ordenados que corresponden a una función: R.

1,3, 4,2,  1,5, 6,8

ST C IT EP U T I O

2) Indique si alguno de los siguientes diagramas es función de A en B

IN

3) Determinar el dominio y rango de la siguiente función graficada.

R.

Dom( f )  [2, [ Ran( f )  [0, [

Dominio y rango de funciones cuadráticas 4) Si

y  f ( x)  x 2  2x  1, siendo que x   indicar el dominio y rango de la función.

R.

128

Dom( f )  R Ran( f )  [0, [

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA 5) Determinar el dominio y rango de la función:

R.

y  x2  1

Dom( f )  R Ran( f ) ]  ,1]

6) Determinar el dominio y rango: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 8𝑥 + 4

R.

𝐷𝑜𝑚 = 𝑅

𝑅𝑎𝑛𝑔 = [−4, +∞[

7) Determinar el dominio y rango: 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4𝑥 + 4

R.

𝐷𝑜𝑚 = 𝑅

𝑅𝑎𝑛𝑔 = ]−∞, 8]

R.

𝐷𝑜𝑚 = 𝑅

𝑅𝑎𝑛𝑔 = [−4, +∞[

Determinar el dominio y rango: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4

ST C IT EP U T I O

8)

Dominio y rango de funciones fraccionarias

9) Determinar el dominio y el rango de la función: f ( x )  y  R.

Dom( f )  R  3

2x  1 x3

Ran( f )  R  2

10) Determinar el dominio y el rango de la función: y 

5 x  16 2

R. 𝐷𝑜𝑚(𝑓): 𝑅— {−4,4}

𝑅𝑎𝑛(𝑓): ]−∞, −5]𝑈]0, +∞[

IN

11) Hallar el dominio de la siguiente función implícita: R. 𝑅 − {1, −1}

𝑦 − 𝑦𝑥 2 − 3 = 0

12) Encontrar el dominio de la siguiente función: 𝑓 (𝑥 ) =

𝑥

𝑥 2 −𝑥−2

R. 𝐷𝑜𝑚 = 𝑅— {−1,2} 13) Determinar el dominio de la siguiente relación: 𝑥 − 𝑥𝑦 2 − 5 = 0 R.

𝐷𝑜𝑚 = ]−∞, 0[ ∪ [5, +∞[

14) Nivel B: Determinar el dominio y rango de la siguiente relación: 9𝑥 2 + 25𝑦 2 = 225 R. 𝐷𝑜𝑚 = [−5,5] 𝑅𝑎𝑛𝑔 = [−3,3]

129

Lic. Christian Meruvia M. Valor de las funciones y composición de funciones 15) Si

f ( x)  x3  1 hallar

f ( x  4)

R. x 3  12x 2  48x  65 Si

R. 17)

Si R.

18)

Si

g( x)  3x 2  4x 3x 2  2 x  1 𝑔(𝑡) =

1 𝑡−1 √

𝑎

Hallar: 𝑔 (𝑎+1)

 a  1

g( x)  x 2  3x  2

R. 4 x 2  12x  5 19) Si H(x) = R.

hallar g ( x  1)

ST C IT EP U T I O

16)

2x  6 3x

g 3x  5  g x  2

Hallar: 3𝐻(𝑥 − 2)

2𝑥+2 𝑥−2

20) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1

hallar:

y

IN

R. 2𝑥 2 − 3𝑥 − 8

𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3

Hallar: 2𝑓(𝑥) − 3𝑔(𝑥 − 1)

21) Si 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4𝑥 − 2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1. Hallar 𝑓𝑜𝑔 y 𝑔𝑜𝑓 R.

𝑓𝑜𝑔 = −𝑥 2 + 2𝑥 + 1

𝑔𝑜𝑓 = −𝑥 2 + 4𝑥 − 1

22) Determinar “x” Si 𝑓(𝑥) = −4𝑥 − 5 R. 𝑥 = −

𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1

y

y

𝑓𝑜𝑔 = 2

11 4

1

23) Determinar “x” Si 𝑓(𝑥) = 𝑥

𝑥

𝑔(𝑥) = 𝑥+1

y

sabiendo que: 𝑓(−𝑥)𝑜𝑔(𝑥) = 1

1

R. 𝑥 = − 2 24) Si 𝑓(𝑥) =

130

𝑥+1 𝑥−1

y

𝑥

𝑓(2)+𝑔(1)

𝑔(𝑥) = 𝑥+1 : hallar 1−𝑓(2)∙𝑔(1)

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INSTITUTO C.E.P.I. R. 25)

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

-7

𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 2𝑥 + 1

Si

1

𝑔(𝑥) = −𝑥 − 1

ℎ(𝑥) = −𝑥

Determinar el valor de x si se cumple que: 𝑓{𝑔[ℎ(𝑥)]} = 0 1 2

R. 𝑥 = ±√ 26)

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3

Si

1

𝑔(𝑥) = −𝑥 + 2

ℎ(𝑥) = 𝑥

Determinar el valor de x si se cumple que: 1

R. 𝑥 = 4 27)

ST C IT EP U T I O

𝑓{𝑔[ℎ(𝑥)]} = 1

Si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 − 𝑏

Y se sabe que: 𝑓(2) = 1

y

𝑓(3) = 4

Determinar a y b. R. 𝑎 = 3 28)

𝑏=5

Si 𝑓(𝑥) = −𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 − 𝑐 si: 𝑓(−1) = 0 R. 3

R. 𝑎 = 2 30)

𝑓(0) = −1

Hallar a,b,c si en la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 𝑐 𝑓(0) = 1 𝑓(−1) = 8 𝑓(2) = −1

IN

29)

hallar 2𝑎 + 2𝑏 − 3𝑐 𝑓(2) = −9

𝑏 = −5

𝑐 = −1

Si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 𝑐 Hallar:𝑎 + 𝑏 − 𝑐 Sabiendo que: 𝑓(0) = 10 𝑓(2) = −8 𝑓(−2) = −12 R.

6

Función de costo lineal 31) El costo de cada hoja de papel es de 0,3 Bs, siendo “y” el costo total y “x” el número de unidades. Determinar la función del costo total. R.

y  0,3x

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131

Lic. Christian Meruvia M. 32)

Por 80 bs. Compro 160 lapiceros. Determinar la función lineal del costo de los lapiceros. y=0,5x

R.

33) En el siguiente cuadro se tiene las ventas en función a la publicidad en miles de Bs. Para un producto. Completar el cuadro. Ventas

3

4

5

Publicidad

1

3

5

6

Problemas

ST C IT EP U T I O

R. 7

34) Expresar el área A de un cuadrado de lado x, en función de su diagonal D. R.

A  D2 / 2

35) Nivel B: Para cercar un corral rectangular se tiene 600 mts de malla de alambre, pero hay que dividir el corral en 3 partes por 2 cercos paralelos a un lado. Si se utilizan x metros de una pared de piedra como un lado del cercado, expresa el área del mismo como función de x si se tienden las divisiones paralelamente a la pared de piedra. R.

A  300 x 

3 2 x 2

IN

36) Los egresos de una empresa están dados por la siguiente función: 10𝑞 + 5000 , los ingresos están dados por: 15𝑞 + 3000. Si “q” es la cantidad de artículos producidos. ¿Qué cantidad mínima del artículo debe venderse para que la empresa obtenga ganancias? ¿Cuánto debe vender para ganar 1000 Bs? R. 𝑞 = 401 𝑞 = 600

Averigua en qué número está estacionado el automóvil.

132

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ST C IT EP U T I O

IN

6.1 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

6.2 APLICACIÓN EN LA ARITMÉTICA Y EN EL ÁLGEBRA

6.3 RACIONALIZACIÓN DE RADICALES

133

Lic. Christian Meruvia M. 6.1 Propiedades de la potenciación y la radicación Para resolver ejercicios de potenciación y radicación es imprescindible, conocer y aplicar correctamente las propiedades que a continuación se muestran. 1.

𝒂𝟎 = 𝟏

2.

𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏

4. 5.

6.

𝒂𝒎 𝒂𝒏

= 𝒂𝒎−𝒏

ST C IT EP U T I O

3.

para 𝒂 ≠ 𝟎

(𝒂𝒎 )𝒏 = 𝒂𝒎∙𝒏 𝒎

𝒎

Potencia de una potencia

𝒎

√𝒂 ∙ 𝒃 = √𝒂 ∙ √𝒃

𝒎

𝒎

𝒂

√𝒂 √𝒃

√𝒃 =

para 𝒃 ≠ 𝟎

𝒎

7.

(𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄)𝒎 = 𝒂𝒎 ∙ 𝒃𝒎 ∙ 𝒄𝒎

8.

(𝒃) = 𝒃𝒎

9.

𝒂−𝟏 =

𝒂 𝒎

𝒂𝒎

Potencia de la división

IN

𝒂 −𝟏 𝒃

𝒂 −𝒎

11. ( ) 𝒃

𝒏

√𝒂 𝒎

12.

𝟏

𝒂

=

10. ( )

13.

Potencia del producto

𝒃 𝒂 𝒃 𝒎

=𝒂

𝒃−𝒏

𝒂𝒎

𝒂

𝒃𝒏

134

= −𝒎

𝒃𝒎

=( ) = 𝒎 𝒂 𝒂

Potencia negativa

𝒎 𝒏

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INSTITUTO C.E.P.I. 14. 𝒂−𝒃 =

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

𝟏 𝒂𝒃

6.2 Aplicación en la aritmética y en el álgebra Aplicación en la aritmética Las anteriores propiedades se aplican a la aritmética, a continuación, se muestra un ejemplo ilustrativo: a) Determinar el valor de: 𝐴 = 22 − (−22 ) 

Nota: (−2)2 = 4



𝐴 =4+4

𝐴=8

−22 = −4

ST C IT EP U T I O

𝐴 = 4 − (−4)

1

2   b) El resultado de la siguiente expresión: 5 1   1     41 1   7 , es:   8  3  64  2   2  3  4 2 1  1        3  4  3

1

2

 1 7  4 5     4   8  3  32   3  9  4  1      2  16  3 

 5 5   1    2 

1

 2    4 3   7   4 8  3 3 1  2 4

IN

9 7 9 7  16  18  7  2  4    16  8  2  4  8 8 = = = 463 5 5  4 4 4

c) Calcular el valor de:

B

5 8 5 4





1 2

216.353.403 303.149.152

Se procede a descomponer todos los números. (3∙7)6 (5∙7)3 (23 ∙5)3

𝐵 = (2∙3∙5)3(2∙7)9(3∙5)2 𝐵=

36 ∙76 ∙53 ∙73 ∙29 ∙53 23 ∙33 ∙53 ∙29 ∙79 ∙32 ∙52

Distribuyendo las potencias

Aplicando la propiedad 2.

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135

Lic. Christian Meruvia M.

𝐵= 𝐵=

36 ∙53 ∙79

Aplicando la propiedad 3

23 ∙35 ∙52 ∙79 3∙5 23

𝐵=

⟶

15 8 3 √2

−6

√2

d) Determinar el valor de: 𝐵 = [ √2√2 ] Aplicando la propiedad 12: −6

𝐵 = [2 ]

Aplicando la propiedad 12

1

− 2 6

1 22 1 23

𝐵 = [2 ]

Aplicando la propiedad 3

1

1 26

− 2 6

𝐵 = [2 ] 1

𝐵=2

Aplicando la propiedad 4 potencia de una potencia

1

− 26 ∙2 6 0

𝐵 = 21 𝐵=2

Aplicando la propiedad 2

Aplicando la propiedad 1

IN

𝐵 = 22

ST C IT EP U T I O

√2

√2 3 √2

Aplicación en el álgebra a) Simplifique el siguiente cociente: [(𝑥 − 𝑦)−3 ]𝑛 ÷ [(𝑥 + 𝑦)𝑛 ]3 y exprese el resultado con exponentes positivos Para facilitar la resolución, se puede mostrar esta división de la siguiente manera: [(𝑥−𝑦)−3 ]𝑛 [(𝑥+𝑦)𝑛 ]3

136

Aplicando la propiedad 4, potencia de una potencia.

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INSTITUTO C.E.P.I. (𝑥−𝑦)−3𝑛

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA Aplicando la propiedad 13 se tiene:

(𝑥+𝑦)3𝑛 1 (𝑥+𝑦)3𝑛 ∙(𝑥−𝑦)3𝑛

Aplicando la propiedad 8 se tiene:

1 [(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)]3𝑛 1

Desarrollando (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) por distributividad o por diferencia de cuadrados: 3𝑛

1

O también (𝑥2−𝑦2)

(𝑥 2 −𝑦 2 )3𝑛

Cualquiera de las respuestas es válida. 𝑎 −2 −𝑏−2

b) Hallar el valor de 𝐴×𝐵 si 𝐴 = (

𝑎 −1 +𝑏−1

) 𝑎−1 +𝑏−1

(

𝑎−1 +𝑏 𝑎−2 −𝑏

−1 −2 ) ∙ (

1 1 𝑎+ 𝑏

(1

𝑎−2 ×𝑏

) ∙ (1

1 − 𝑎2 𝑏2

1 𝑎 −𝑏

(

𝑏+𝑎 𝑎𝑏 𝑏2 −𝑎2 𝑎2 𝑏2

(

𝑏+𝑎 𝑎𝑏 (𝑏−𝑎)(𝑏+𝑎) 𝑎2 𝑏2

𝑎𝑏

)∙(

1

(𝑏−𝑎) ∙ (𝑎𝑏(𝑏−𝑎))

𝑎 −2 ×𝑏−2

)

−1

) 𝑎−2 ×𝑏−2

Aplicando la propiedad 10 se tiene:

Aplicando la propiedad 9 y 14

Sacando m.c.m en las fracciones.

) ⟶ (

𝑏+𝑎 𝑎𝑏 (𝑏−𝑎)(𝑏+𝑎) 𝑎2 𝑏2

IN

)∙(

×(

−1 )

)

1 1 ∙ 𝑎2 𝑏2 𝑏−𝑎 𝑎𝑏

𝐵=(

y

−1

−2

𝑎−1 −𝑏

1 1 ∙ 𝑎2 𝑏2

𝑎−1 −𝑏−1

)

𝑎−1 −𝑏−1

ST C IT EP U T I O

−1

𝑎−2 −𝑏−2

𝐴×𝐵 = (

−1

1 1 ∙ 𝑎2 𝑏2 𝑏−𝑎 𝑎𝑏

⟶

)∙(

1 1 ∙ 𝑎2 𝑏2 𝑏−𝑎 𝑎𝑏

)

1 𝑎𝑏

1

) ⟶ ( 𝑏−𝑎 ) ∙ ( 𝑏−𝑎 )

Simplificando medios y extremos

Realizando medios con medios y extremos con extremos.

𝑎𝑏

1 (𝑏−𝑎)2

1

1 −𝑛

c) Simplificar la siguiente expresión:

2

⟶ ( ) 𝑏−𝑎

Las dos respuestas son válidas.

1 −2𝑛 𝑏 1 −𝑛 1 −2𝑛 (𝑏2 − 2 ) (𝑏− ) 𝑎 𝑎

(𝑎2 − 2 ) 𝑏

𝑎 −𝑚

No se puede aplicar la propiedad 11 ( ) 𝑏

(𝑎− )

𝑏 𝑚

= ( ) , debido a que para aplicar esta propiedad debe 𝑎

existir una sola línea de fracción. Entonces primero se debe sacar el m.c.m. INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759-22676

137

Lic. Christian Meruvia M. −𝑛 𝑎2 𝑏2 −1 𝑎𝑏−1 −2𝑛 ) ( ) 𝑏 𝑏2 −𝑛 𝑎2 𝑏2 −1 𝑎𝑏−1 −2𝑛 ( ) ( ) 2 𝑎 𝑎 𝑛 2𝑛 𝑏2 𝑏

(

Aplicando la propiedad 11.

( 2 2 ) ( ) 𝑎𝑏−1 𝑎 𝑏 −1 𝑛

𝑎2

𝑎

( 2 2 ) ( ) 𝑎𝑏−1 𝑎 𝑏 −1

Aplicando la propiedad 8

2𝑛

𝑛 2 𝑏 2𝑛 𝑏 2 𝑎2𝑏 −1 𝑎𝑏−1 ( 2 ) ( 𝑎 ) 𝑎 𝑎𝑏−1 2 𝑎2𝑏 −1

𝑛

𝑏 2𝑛

𝑏4𝑛

⟶

𝑎4𝑛

⟶ 𝑏 4𝑛

(𝑎)

ST C IT EP U T I O

𝑏2

(𝑎2) (𝑎)

Simplificando los medios con los extremos.

𝑏2𝑛

𝑏2𝑛

𝑎

𝑎2𝑛

∙ 2𝑛

⟶

Aplicando la propiedad 2.

𝑎−4𝑛 ∙ 𝑏 4𝑛

Cualquiera de las respuestas es válida.

𝑛

d) Calcular el valor de: 𝐴 = √

𝑛

𝐴= √

𝑛

𝐴= √ 𝑛

𝐴= √ 𝑛

4 𝑛+2 +22𝑛+2 20𝑛+1

4 𝑛 ∙4 2 +22𝑛 ∙22 20𝑛 ∙201

22𝑛 ∙4 2 +22𝑛 ∙22

Escribiendo 4𝑛 como 22𝑛 para igualar bases

Sacando factor común del numerador que es 22𝑛

20𝑛 ∙201 22𝑛 (4 2 +22 )

Descomponiendo el número 20 se puede escribir como 22 ∙ 5

20𝑛 ∙20 22𝑛 (4 2 +22 )

20𝑛+1

Aplicando la propiedad 2:

IN

𝑛

𝐴= √

4 𝑛+2 +22𝑛+2



𝑛

𝐴= √

22𝑛 (20)



𝑛

∙5)𝑛 ∙20

138

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22𝑛 ∙5𝑛 ∙20

𝐴= √

1

𝐴 = √ (22

5𝑛

INSTITUTO C.E.P.I. 𝑛

𝐴=

√1

 𝐴=

𝑛

√5𝑛

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA 1 5

6.3 Racionalización de radicales

ST C IT EP U T I O

Racionalizar significa eliminar las raíces del denominador de una fracción. 6.3.1 Racionalización de fracciones con denominadores con raíces cuadradas. Para racionalizar este tipo de fracciones, se debe multiplicar por su conjugada. La conjugada de √𝑎 + √𝑏 es √𝑎 − √𝑏 La conjugada de √𝑎 − √𝑏 es √𝑎 + √𝑏

Si se multiplica √𝑎 + √𝑏 por su conjugada o sea √𝑎 − √𝑏 sería (√𝑎 + √𝑏)(√𝑎 − √𝑏), desarrollando por

Ejemplos:

IN

distributividad, resulta ser: 𝑎 − √𝑎 ∙ √𝑏 + √𝑎 ∙ √𝑏 − 𝑏, se observa que los términos centrales se simplifican. Entonces para simplificar la multiplicación, se multiplica solo el primer término del primer paréntesis con el primer término del segundo paréntesis y el segundo término del primer paréntesis se multiplica con el segundo término del segundo paréntesis, sabiendo que los términos centrales se simplifican.

a) Racionalizar:

2

3 √2

Multiplicando el numerador y denominador por la conjugada. 2

√2 3√2 √2

∙



b) Racionalizar: √𝑥 √𝑥−√𝑦

2 √2 3∙2



2√2 6



√2 3

√𝑥 √𝑥−√𝑦 Multiplicando por la conjugada.

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139

Lic. Christian Meruvia M. √𝑥 √𝑥+√𝑦 ∙ 𝑥− 𝑦 √ √ √𝑥+√𝑦

c) Racionalizar:



𝑥+√𝑥𝑦

(Con lo cual la fracción está racionalizada)

𝑥−𝑦

2−√3 2+√3+√5

2−√3

Multiplicando por su conjugada o sea: (2 + √3) − √5

(2+√3)+√5 2−√3

ST C IT EP U T I O

Se asocian los términos del denominador de la siguiente manera:

∙

(2+√3)−√5

(2+√3)+√5 (2+√3)−√5

(2−√3)(2+√3−√5)

Distribuyendo:

Desarrollando:

(2+√3)(2+√3)−5

4+2√3−2√5−2√3−3+√15 4+2√3+2√3+3−5 1−2√5+√15 2−4√3 ∙ 2+4√3 2−4√3

La nueva conjugada es: 2 − 4√3

IN

Distribuyendo:

2−4√3−4√5+8√15+2√15−4√45 4−16∙3 2−4√3−4√5+10√15−4√3

2

∙5

−44 2−4√3−16√5+10√15 −44

1−2√5+√15 2+4√3







2−4√3−4√5+10√15−4√45 −44



2−4√3−4√5+10√15−4∙3√5 −44

4√3+16√5−10√15−2 44





Descomponiendo el numero 45

2−4√3−4√5+10√15−12√5 −44

2(2√3+8√5−5√15−1) 44

2√3+8√5−5√15−1 22

d) Racionalizar:

140

√𝑥−√𝑦 √𝑦−𝑦 2 √𝑥

2𝑥 2

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

La conjugada es: 2𝑥 2 √𝑦 + 𝑦 2 √𝑥 2𝑥 2 √𝑦+𝑦 2 √𝑥 √𝑥−√𝑦 ∙ 2𝑥 2 √𝑦−𝑦 2 √𝑥 2𝑥 2 √𝑦+𝑦 2 √𝑥

2𝑥 2 √𝑥𝑦+𝑦 2 𝑥−2𝑥2 𝑦−𝑦2 √𝑥𝑦



Ordenando:

4𝑥 4 𝑦−𝑦 4 𝑥

(2𝑥 2 − 𝑦 2 )√𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 2 − 2𝑥 2 𝑦 𝑥𝑦(4𝑥 3 − 𝑦 3 )

3

3

3

3

ST C IT EP U T I O

6.3.1 Racionalización de fracciones con denominadores con raíces cúbicas 3

3

3

3

Si se tiene √𝑎 + √𝑏 , su factor racionalizante es √𝑎2 − √𝑎 √𝑏+ √𝑏 2 3

3

3

3

Si se tiene √𝑎 − √𝑏 , su factor racionalizante √𝑎2 + √𝑎 √𝑏+ √𝑏 2

Esto debido a que 𝑎3 + 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) (Suma y diferencia de cubos) 3

3

3

3

Por ejemplo la conjugada de √𝑥 − 3√𝑦 es √𝑥 2 + √𝑥 3√𝑦+ √𝑦 2

Ejemplos: 1

a) Racionalizar 3

√𝑥−2

3

3

1 3

√𝑥−2

IN

La conjugada del denominador es √𝑥 2 − 2 √𝑥 + 22 3

√𝑥2 −2 3√𝑥+22

∙3

Al ser su conjugada, los términos centrales de la multiplicación se simplifican por lo cual resulta

3

√𝑥2 −2 √𝑥+22

práctico multiplicar el primer término con el primer término y el segundo con el segundo.

3

√𝑥2 −2 3√𝑥+22

3

√𝑥 2 −2 3√𝑥+4



3

√𝑥 3 −8

b) Racionalizar : 3

𝑥−8

𝑥 2 +𝑦 2 3

√𝑥 2 + √𝑦 2 3

3

3

3

El factor que permite racionalizar es: √𝑥 4 − √𝑥 2 ∙ √𝑦 2 + √𝑦 4 𝑥 2 +𝑦 2 3

3

√𝑥 2 + √𝑦

3

3

3

3

∙ 2 3

3

3

3

√𝑥 4 − √𝑥 2 ∙ √𝑦 2 + √𝑦 4

Multiplicando el denominador:

√𝑥 4 − √𝑥 2 ∙ √𝑦 2 + √𝑦 4

3

3

3

3

3

√𝑥 6 + √𝑦 6

3

3

(𝑥 2 +𝑦 2 )( √𝑥 4 − √𝑥 2 ∙ √𝑦 2 + √𝑦 4 )

⟶

3

3

3

(𝑥 2 +𝑦 2 )( √𝑥 4 − √𝑥 2 ∙ √𝑦 2 + √𝑦 4 ) 𝑥 2 +𝑦 2

141

Lic. Christian Meruvia M. Simplificando se tiene: 3

3

3

3

(𝑥 2 +𝑦 2 )( √𝑥 4 − √𝑥 2 ∙ √𝑦 2 + √𝑦 4 ) 𝑥 2 +𝑦 2

⟶

3

3

3

3

3

√𝑥 4 − √𝑥 2 𝑦 2 + √𝑦 4 ⟶ 𝑥 √𝑥 − √𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 3√𝑦

Nótese en este ejercicio como no se multiplicó el numerador por el factor que racionaliza, se dejó como multiplicación por que posteriormente se simplificaría con el numerador.

A RECORDAR √3 ∙ √3 = 3 √𝑎 ∙ √ 𝑎 = 𝑎 3

3

3

3

3

3

√2 ∙ √2 ∙ √2 = 2 √𝑎 ∙ √ 𝑎 ∙ √𝑎 = 𝑎

ST C IT EP U T I O

√2 ∙ √2 = 2

A RECORDAR

√𝑎3 = 𝑎√𝑎 √𝑎5 = 𝑎2 √𝑎 3

3

3

IN

√𝑎4 = 𝑎 3√𝑎 √𝑎11 = 𝑎3 √𝑎2

EJEMPLO: Efectuar la siguiente operación:

2 3 1 18  50  45 3 5 3 2 2 3 2 1 3 2 5 2  32 5 3 5 3 2 3 1 (3) 2  (5) 2  (3) 5 3 5 3 2 2 3 2  5 Rpta : 5 2  5

142

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

Dos padres y dos hijos van de pesca, logran atrapar 3 peces con lo cual cada uno tiene un pescado exactamente.

IN

ST C IT EP U T I O

¿Cómo es posible esto?

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143

Lic. Christian Meruvia M.

Práctica # 6 Desarrollar: (5𝑥 2 − 3𝑦 3 )2

2)

Desarrollar: (7𝑥 2 𝑦 3 − 3𝑚𝑛4 )2

3)

Desarrollar: (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2

4)

Desarrollar: (𝑥 − 𝑦 − 𝑧)2

5)

Desarrollar: (−𝑚 − 𝑛 − 𝑝)2

6)

Expresar sin exponente negativo y simplificar la expresión algebraica. [𝑥 2 (3 − 𝑦)(2 + 𝑧)3 ]4

ST C IT EP U T I O

1)

R. 𝑥 8 (3 − 𝑦)4 (2 + 𝑧)12

7) Expresar sin exponente negativo y simplificar la expresión algebraica. 7

𝑎4 𝑏 2 (𝑏 − 2) [ 3 ] 𝑐 (𝑏 − 1)

𝑎 28 𝑏14 (𝑏−2)7 𝑐 21 (𝑏−1)7

R.

8) Expresar sin exponente negativo y simplificar la expresión algebraica.

IN

−1 5

1

R. 𝑥 25 𝑦5 𝑧5

𝑥 3 𝑦 −2 𝑧 4 [( −2 −3 3 ) ] 𝑥 𝑦 𝑧

9) Expresar sin exponente negativo y simplificar la expresión algebraica. −2 3

15𝑥 −5 𝑦 3 𝑧 0 [( ) ] 𝑥 2𝑦 𝑥 42

R. 156 𝑦12 10) Expresar sin exponente negativo y simplificar la expresión algebraica. −2

4𝑎3 𝑏 4 [( −2 ) 3𝑐 R.

−1 3

9𝑎𝑏 −2 ( ) ] 2𝑐

1 29 𝑎21𝑏18 𝑐 9

144

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

11) Expresar sin exponente negativo y simplificar la expresión algebraica. 0

(√13𝑥) 𝑦2 𝑧−5 [ ] (3𝑥𝑦 −2 𝑦𝑧 3 ) R.

−𝑚

3𝑚 𝑥 𝑚 𝑧8𝑚 𝑦 3𝑚

12) Expresar sin exponente negativo y simplificar la expresión. −2

−1

3 7 −2 2 7 1 2 [( − ) ÷ (3 + − ) ] 2 5 5 15

ST C IT EP U T I O

1 3 299 −1 [4 ÷ 2 + 6 ]

{

R. 1/4

13) Simplificar:

}

1/2

 2  9 1/2 29    3 2 2      2     18    4   4   1 22 1 1   2 11 2 3 2

IN

R. - 32/27

14) Calcular el valor de:

E

2 x 5

2 x  4  36(2 x 2 )  2(2 x 3 )  4(2 x 1 )  6(2 x 1 )

R. E = 5 15) Calcular el valor de:

M

3

4 3 n

4 (8 )

4(4 ) 

1 n 2

R. M = 4

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145

Lic. Christian Meruvia M. 16) Calcular el valor de:

20n1 S  n2 2n2 4 2 n

R. S = 5 17) Calcular el valor de:

R. G = 2

18) Calcular el valor de:

216.353.803 154.149.302

ST C IT EP U T I O

G

3 3 A 3 3   

R. 𝐴 = 3

19) Calcular el valor de:

6

3

R.

2

IN

1  1 5   B  m1  m(m3 ) 2       

B=m

20) Calcular el valor de:

T n

2 n1 n2

4. 4 n

R. T = 2

21) Calcular el valor de: n n n 10  15  6 H  n n 5  2 n  3n

146

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

R. H = 30

22) Calcular el valor de: 1

 (2n1 )(5n1 )  2n (5n ))  n U   3 n n  (2 )(5 )  5  R.

U=2

23) Calcular el valor de x:

R.

X=

5 3

2 3 x 1  3 x 7 8 x 3  0

ST C IT EP U T I O

x 1 3

24) Calcular el valor de x:

 3    4

R. X =

7 2

x 1

.

4 9  3 16

IN

25) Calcular el valor de:

R. L = 64

Ln

256n1 n1 4 n

2

1

1 n 1 n

64 . 4 1

26) Calcular el valor de:

 2 n.12n 2 30n1 n  n1  6  n2 4 5  U n n  2 n1.5 n  25.10n  23.5 .14  7n

1

n    

R. U = 0.6

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147

Lic. Christian Meruvia M. 27) Calcular el valor de:

 5 2n.2 n1  50n  n1. n2 1   n  5  n 1  5 . 8  5   K n 1 5 1.n 5 1

R . K = 250

28) Hallar el valor de M:N si:

29) Calcular el valor de:

1

 a 1  b 1  N   2 2  y  a .b 



Q  x 1  y 1

R.

Q=

4 3

30) Simplificar.



1

Si x=2

1

W

a  (a 2  1) 2 a  (a  1) 2

R. W =

4a a 2  1

IN

31) Calcular el valor de:

R.

1 2 M:N = b  a 

ST C IT EP U T I O

 a 2  b 2   M   1 1  a  b  

 

L 3

6 1

 3   5

2

3

 3   5

3

4

5    3

1 2

y

y=4

1



a  (a 2  1) 2 1

a  (a 2  1) 2

6

5

5    3

10

R. L =

6

5

32) Calcular el valor de:

J R.

148

156.124.5 9.6 3 1011.313.5 4

J=1

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

33) Hallar la suma de los exponentes de las variables x, y, z después de simplificar

F a

b

xa b . yb

yb c . zc

c

a

zc xa

R.

0

34) Calcular el valor de:

R.

E=9

n

1 4

. 3n2 1 . 3n 3

ST C IT EP U T I O

En

9

35) Calcular el valor de:

 A 

1

R. A = x

36) Simplificar.

1 x

x  x2

x 1 2

  

x x 1

 

2 m3.7 2m1  2 m1.7 2m m B  m5 2 m . 3 2 .7  2 m1.7 2m1

IN

m

1

R. B = 1

37) Calcular.

C  n 1. R.

10n 1  6 n1  15n1

2 

n 1 1

 

 3 n 1

1

 

 5 n 1

1

C =30

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149

Lic. Christian Meruvia M. 38) Nivel B: Simplificar:

 





1



 a 2 3 4  16 .a.a 2 a 3 a 2 2 1          L 27 12 3   3 3 4  3 a   a a a. a  .     2

R.

L = a13

39) Determinar el valor de P: 72

ST C IT EP U T I O

 4 x 8   x  6 x  P 3 9  x. x    x  

R. P = x

40) Nivel B: Simplificar la expresión:

−

16 30

1 √√𝑥 𝑥

√√

𝑥

IN

𝐸=

R.

𝑥

[

E=

x

]

41) Calcular “x” en:

n

R.

x n  9n 1  81n  x n 3

x = 27

42) Simplificar: 𝐵 =

2𝑥

3−𝑥

√(3) 2

2 3𝑥−3

∙ (3)

1

+2

R. 2

150

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INSTITUTO C.E.P.I.

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

1

3

1 0 1 −(3) −( ) 3

= [√(−27)4 + ( ) 3

43) EI valor más simple de: 𝑁

1 2 −2−1

+ √(−2)2 + 44 ∙ 16−4

]

, es:

Nivel B: 𝑁 = 11

R.

44) Indicar el equivalente de:

156 ∙124 ∙59 ∙64 1011 ∙314 ∙54

R. 2

R.

(18)6 ∙(54)−3 ∙(8)−6 ∙(36)2

ST C IT EP U T I O

45) Encontrar un número que sea equivalente de: 𝑇 1 2

46) Nivel C: Hallar el valor numérico de: R. 22

𝑥

= (24)−2

∙(3)−6 ∙(0,5)4 ∙(27)5

1+𝑥−𝑥𝑥+1 1+2𝑥 𝑥

, siendo

𝑥𝑥 = 2

47) Nivel B: Obtener una expresión equivalente a:

R. 1

IN

√2 + √3 ∙ √2 + √2 + √3 ∙ √2 + √2 + √2 + √3 ∙ √2 − √2 + √2 + √3

48) Demostrar que √7 + 2√10 es igual a: √2 + √5

−1 49) Efectuar:

R. −

2

[

1−√3

3 √3−

1

]

1 √3− √3

𝟏 √𝟑 − 𝟐 𝟔

Racionalización 50) Simplificar: 4√50 − √72 + √8 R. 16√2 INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759-22676

151

Lic. Christian Meruvia M. 51) Simplificar:

−6√75 + 4√125

R. −30√3 + 20√5 52) Racionalizar y simplificar 4 2 + √3 R. 8 − 4√3

ST C IT EP U T I O

53) Racionalizar y simplificar 8

√5 − √8

R.

8√5+16√2 3

54) Racionalizar y simplificar:

2

√2 + √3

R. −2√2 + 2√3

55) Racionalizar y simplificar:

√𝑥

R.

√5𝑥−𝑥 5−𝑥

IN

√5 + √𝑥

56) Racionalizar y simplificar

𝑥

√𝑥 + √𝑦 R.

𝑥√𝑥−𝑥√𝑦 𝑥−𝑦

57) Racionalizar y simplificar 1 √3 − √2 + √5 R.

152

√30+√12−√18 12

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INSTITUTO C.E.P.I.

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA √5−√3−√2 √5+√3+√2

58) Racionalizar:

R.

3√10+2√15−5√6−6 6

3−√5

59) Racionalizar: R.

3+√5+√7

24√5+51√7−25√35−28 131

60) Racionalizar y simplificar: 3

√𝑥 √𝑥 − 2

3

R.

3

𝑥+2 √𝑥 2 +4 √𝑥 𝑥−8

61) Racionalizar: 3

ST C IT EP U T I O

3

𝑥 2 +𝑦 2 3

3

√𝑥 2 + √𝑦 2

3

3

R. √𝑥4 − √𝑥2 𝑦2 + √𝑦4

2 62) Racionalizar: 3 3 √4+ √5 3

R.

3

3

4 √2−2 √20+2 √25 9

R.

√5−√2+√3 √5+√2+√3

IN

63) Racionalizar: √15−√6 3

𝑥−1 64) Nivel B: Racionalizar y simplificar la siguiente fracción: 3 √𝑥 2 + 3√𝑥 +1 3

3

3

Sugerencia: La conjugada de √𝑎2 − √𝑎 + 1 𝑒𝑠 √𝑎 + 1 3

R. √𝑥 − 1

2𝑥−2𝑎 65) Nivel C: Racionalizar y simplificar la siguiente fracción: 3 3 √𝑥 2 + 3√𝑎𝑥 + √𝑎2 3

3

3

Sugerencia: La conjugada de √𝑥 2 + √𝑎𝑥 + √𝑎2 𝑒𝑠 3

3

3

√𝑥 − √𝑎

3

R. 2 √𝑥 − 2 √𝑎 66) Nivel B: Racionalizar:

𝑥+√𝑥 1+√𝑥+𝑥

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153

Lic. Christian Meruvia M. R.

𝑥 2 +√𝑥 𝑥 2 +𝑥+1

67) Racionalizar: 3

3

3

√7+ √2

3

4( √49− √14+ √4) 3

IN

ST C IT EP U T I O

R.

12 3

154

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ST C IT EP U T I O

7.1 DEFINICIÓN

7.2 PROPIEDADES

IN

7.3 INTERVALOS

7.4 TIPOS DE INECUACIONES

7.5 SISTEMAS DE INECUACIONES

155

Lic. Christian Meruvia M. 7.1 Definición A diferencia de las ecuaciones donde existe el símbolo “=”, las inecuaciones utilizan los símbolos:
𝑆𝑒 𝑙𝑒𝑒 "𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒" 𝑆𝑒 𝑙𝑒𝑒 "𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒"

≥

𝑆𝑒 𝑙𝑒𝑒 "𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒"

7.2 Propiedades

ST C IT EP U T I O

≤

Cuando una inecuación o desigualdad se multiplica o divide por un número negativo, la inecuación cambia de sentido.

−𝑥 ≤ −𝑎

//(×−1)

𝑥≥𝑎

Ejemplo: a) −𝑥 ≤ 3

Para despejar “x” se multiplica la inecuación por −1 //(×−1)

IN

−𝑥 ≤ 3

𝑥 ≥ −3

7.3 Intervalos 7.3.1 Intervalo abierto y cerrado Cuando el intervalo es abierto se grafica como un círculo justamente abierto límite del intervalo no está incluido.

y significa que el valor

Por ejemplo:

5

156

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

Este intervalo va desde −∞ hasta 5 pero como el valor 5 es abierto, no está incluido, lo que significa que el intervalo llega hasta 4,999999999999999……….. Cuando el intervalo es cerrado se grafica como un círculo justamente cerrado límite del intervalo está incluido.

y significa que el valor

Por ejemplo:

1

ST C IT EP U T I O

Este intervalo va desde −∞ hasta 1 y como el valor 1 es cerrado, está incluido, lo que significa que el intervalo llega hasta 1.

7.3.2 Tipos de Intervalos

Existen tres tipos de intervalos, el que va desde menos infinito hasta un número, el que va desde un número hasta más infinito y el intervalo que está entre dos números. Intervalo desde menos infinito hasta un número −∞, 𝒂

En este caso el intervalo es abierto.

𝑎

IN

En este caso el intervalo es cerrado.

𝑎

La respuesta de este intervalo se puede mostrar con intervalo solución (𝐼𝑠 ) o conjunto solución 𝐶𝑠 , ambas formas son válidas para mostrar la respuesta de una inecuación. Como intervalo solución: 𝐼𝑠 = ]−∞, 𝑎[ Cuando el intervalo es abierto. Un corchete al revés significa abierto. Nota: También el intervalo abierto se puede denotar con un paréntesis en vez de un corchete al revés. 𝐼𝑠 = (−∞, 𝑎) 𝐼𝑠 = ]−∞, 𝑎] Cuando el intervalo es cerrado. Un corchete significa cerrado. −∞ 𝑦 + ∞ Siempre son abiertos por lo que se escriben con un corchete al revés. 𝐶𝑠 = {𝑥/𝑥 < 𝑎} O solamente 𝑥 < 𝑎 cuando el intervalo es abierto. 𝐶𝑠 = {𝑥/𝑥 ≤ 𝑎} O solamente 𝑥 ≤ 𝑎 cuando el intervalo es cerrado.

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157

Lic. Christian Meruvia M. Intervalo desde menos infinito hasta un número 𝒂, +∞ En este caso el intervalo es abierto. 𝑎 En este caso el intervalo es cerrado. 𝑎 𝐼𝑠 = ]𝑎, +∞[

Cuando el intervalo es abierto.

𝐼𝑠 = [𝑎, +∞[

Cuando el intervalo es cerrado.

ST C IT EP U T I O

𝐶𝑠 = {𝑥/𝑥 > 𝑎} O solamente 𝑥 > 𝑎 cuando el intervalo es abierto. 𝐶𝑠 = {𝑥/𝑥 ≥ 𝑎} O solamente 𝑥 ≥ 𝑎 cuando el intervalo es cerrado.

Intervalo desde menos infinito hasta un número 𝒂 hasta un número 𝒃 a y b son abiertos

𝒂

𝒃

a y b son cerrados

𝒃

𝐼𝑠 = ]𝑎, 𝑏[

Desde a hasta b, ambos abiertos.

𝐼𝑠 = [𝑎, 𝑏]

IN

𝒂

Desde a hasta b, ambos cerrados.

𝐶𝑠 = {𝑥/𝑎 < 𝑥 < 𝑏} o 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 Donde a y b son abiertos.

𝐶𝑠 = {𝑥/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} o 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 Donde a y b son cerrados.

Ejemplos:

-2 𝐼𝑠 = ]−∞, 2]

158

𝐶𝑠 = {𝑥/𝑥 ≤ −2}

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−

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

1 3 1

𝐼𝑠 = ]− 3 , +∞[

𝑥

1

𝐶𝑠 = {𝑥 > − 3}

4

𝐼𝑠 = [0,4] 𝐶𝑠 = {𝑥/0 ≤ 𝑥 ≤ 4}

ST C IT EP U T I O

0

−𝟑

𝟐

El primer intervalo es ]−∞, −3] el segundo intervalo es ]2, +∞[ 𝑰𝒔 = ]−∞, −3]𝑈]2, +∞[

(La 𝑈 significa unión)

También se puede mostrar un intervalo abierto con un paréntesis ( ) y cerrado con corchetes [ ]

IN

7.4 Tipos de inecuaciones

Existen 4 tipos de inecuaciones, las lineales o de primer grado, las cuadráticas o segundo grado y de grado superior, las inecuaciones fraccionarias y las inecuaciones con valor absoluto. 7.4.1 Inecuaciones lineales o de primer grado En este tipo de inecuaciones la variable tiene potencia 1 o sea son de primer grado. Se resuelven igual que las ecuaciones de primer grado siempre tomando en cuenta que si la inecuación se multiplica o divide por un número negativo, la inecuación cambia de sentido. Ejemplos: a) Resolver la siguiente inecuación: 5𝑥 − 5 ≤ 2 + 2𝑥 Todas las variables “x” pasan al lado izquierdo, los números al lado derecho. INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759-22676

159

Lic. Christian Meruvia M. 

5𝑥 − 2𝑥 ≤ 2 + 5

7



3𝑥 ≤ 7

𝑥≤3

Graficando en la recta de los reales:

7 3

Entonces: 7

Intervalo solución: 𝐼𝑠 = ]−∞, ]

Conjunto solución: 𝐶𝑠 = 𝑥 ≤

1

2

3

5

b) Resolver la inecuación: 𝑥 − 1 3

2

3

𝑥

5

2

2

𝑥− < 𝑥−4−

10𝑥−12 30


108



3



//(×−1)

𝑥>

3

𝑥

2

2

< 𝑥−4−

Se saca el m.c.m.

45𝑥−120−15𝑥 30

7

ST C IT EP U T I O

3

108 20

10𝑥 − 45𝑥 + 15𝑥 = −120 + 12

Multiplicando miembro a miembro por -1.



𝑥>

27 5

IN

Graficando en la recta de los reales se tiene:

27/5 27

𝐼𝑠 = ] 5 , +∞[

𝐶𝑠 = 𝑥 >

27 5

7.4.2 Inecuaciones cuadráticas o de segundo grado y de grado superior Son inecuaciones donde la variable tiene grado dos o mayor. Pasos a seguir para resolver inecuaciones de segundo grado: - Se ordena la inecuación en su forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 , 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 - Se determinan las raíces (igual que en una ecuación de segundo grado) - Se grafican las raíces en la recta de los reales. - Se determinan cuales intervalos son falsos y cuales verdad. - Se muestra la respuesta como intervalo solución o como conjunto solución.

160

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

ST C IT EP U T I O

Dentro de los números reales generalmente identificados con la letra ℝ, se encuentran los números racionales que se denota con la letra 𝑄 y los irracionales 𝑄 𝑙 . Los racionales son aquellos que se pueden escribir como una fracción, por otro lado los irracionales no se pueden escribir como una fracción como por ejemplo el número π (3,141592………..) o el número e (2,718281…) O la raíz cuadrada de 2 (√2 = 1,414213 … … . . ). Dentro de los números racionales se encuentran, los números enteros 𝒁 y dentro los enteros, los naturales 𝑵. Los números enteros abarcan todos los números enteros ya sea negativos o positivos desde −∞, +∞. Los naturales son los enteros positivos desde 1 hasta +∞. 𝒁 = {… . . −𝟓, −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 … … … . . } 𝑵 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕 … … … … … … … … … … … … … }

NÚMEROS

REALES (ℝ)

IRRACIONALES (𝑸𝒍 )

IN

RACIONALES (𝑸)

IMAGINARIOS

ENTEROS (𝒁)

NATURALES (𝑵)

Ejemplos: a) Resolver la siguiente inecuación: 𝑥 2 ≥ 4 Ordenando se tiene: 𝑥 2 − 4 ≥ 0 Factorizando para hallar las raíces: (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) ≥ 0

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161

Lic. Christian Meruvia M. Igualando cada paréntesis a 0: 𝑥 + 2 = 0  𝑥 = −2

𝑥−2 = 0 

𝑥=2

Hasta este punto el procedimiento es exactamente igual al de una ecuación de segundo grado. Ahora se procede a graficar las raíces en la recta de los reales:

−2

2

ST C IT EP U T I O

Los puntos son cerrados por que el símbolo de la inecuación es ≥ o sea lleva el igual, si fuese > serían puntos abiertos. Existen 3 intervalos, el que va desde −∞ hasta el -2, el que va desde -2 hasta 2 y el que va desde 2 hasta +∞, ahora se determinarán cuáles de los intervalos son la solución de la inecuación. Para esto se reemplaza un valor en la inecuación primitiva para ver si ese intervalo donde se encuentra dicho valor es verdadero o falso. Generalmente se reemplaza el valor cero por la facilidad del cálculo, aunque puede reemplazarse cualquier valor. Cuando una de las raíces es justamente cero, entonces debe escogerse otro valor.

−2

Para 𝑥 = 0

2

(En este caso cero se encuentra en este intervalo)

IN

Reemplazando en la inecuación primitiva: 𝑥2 ≥ 4  02 ≥ 4  0 ≥ 4 (Falso) Cero no es mayor que 4.

Por lo cual el intervalo analizado es falso, luego se intercalan con los otros intervalos entre falso y verdad, los intervalos marcados con “verdad” son la solución de la inecuación.

V

F −2

𝐼𝑆 = ]−∞, −2]𝑈[2, +∞[

V 2

𝐶𝑆 = 𝑥 ≤ −2 𝑣 𝑥 ≥ 2

b) Determinar el conjunto de los enteros y naturales en la siguiente desigualdad: −2𝑥 2 − 9𝑥 > 7 −2𝑥 2 − 9𝑥 > 7

162

Ordenando:

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INSTITUTO C.E.P.I. −2𝑥 2 − 9𝑥 − 7 > 0

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA //(×−1)

Multiplicando por -1 para que el término cuadrático no sea negativo.

2𝑥 2 + 9𝑥 + 7 < 0

Factorizando para hallar las raíces.

(2𝑥 + 7)(𝑥 + 1) < 0

Igualando cada paréntesis a cero.

2𝑥 + 7 = 0



7

𝑥 = −2

𝑥+1=0



𝑥 = −1

ST C IT EP U T I O

Graficando las raíces en la recta de los reales.

7

−2

Para 𝑥 = 0

−1

Reemplazando en la inecuación primitiva: −2𝑥 2 − 9𝑥 > 7  0 > 7 (Falso)

F

V

−

−1

IN

7 𝐼𝑆 = ]− , −1[ 2

7 2

F

Pero como el ejercicio pide determinar el conjunto de los enteros naturales que satisfacen a la inecuación se debe 7

realizar un análisis extra. El primer entero que aparece en el intervalo solución es el número -3 puesto que − 2 es -3,5 pero no es entero y el primer número entero a la derecha es justamente el -3. Por el otro lado, el último número entero que aparece es el -2 puesto que -1 es abierto con lo cual ese valor no se toma en cuenta.

𝒁 = {−𝟑 − 𝟐} Se observa también que no existe ningún número natural dentro del intervalo solución con lo cual:

𝑵 = ∅ (El símbolo ∅ significa vacio)

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163

Lic. Christian Meruvia M. 7.4.3 Inecuaciones fraccionarias o racionales Son las que tienen una o varias variables en el denominador. 𝟏

Ejemplos:

≤𝟐

𝒙

𝒙−𝟐 𝒙𝟐 −𝟏

, las raíces son abiertas, cuando la inecuación es ≤ o≥, las raíces del numerador son cerradas y las raíces del denominador son abiertas para evitar la división entre cero. - Se grafican las raíces en la recta de los reales y se verifican los intervalos.

a) Resolver la inecuación: −3 >

2

𝑥

A diferencia de las ecuaciones, es errado querer pasar “x” que está dividiendo a multiplicar: 2

−3 >

𝑥



−3𝑥 > 2 (Erróneo)

Se pasan los términos al lado izquierdo: 2

−3 − > 0

IN

𝑥

Se saca el m.c.m.: −3𝑥−2 𝑥

>0

Ahora se procede a igualar el numerador y denominador a cero para determinar las raíces de la inecuación: −3𝑥 − 2 = 0  𝑥 = −

2 3

(Raíz del numerador)

𝑥=0

Raíz del denominador.

164

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INSTITUTO C.E.P.I.

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

Graficando en la recta de los reales:

2 3

−

0

Reemplazando el valor de 𝑥 = 1

2



𝑥

−3 >

2



1

−3 > 0 (Falso)

ST C IT EP U T I O

−3 >

F

V

F

2

−3

2 𝐼𝑆 = ]− , 0[ 3

𝑥+5 𝑥−6 𝑥+5 𝑥−6

≤ −

𝑥+5 𝑥−6

≤

𝑥−1 𝑥−3

IN

b) Resolver la siguiente inecuación:

0

𝑥−1

Se pasan los términos al lado izquierdo:

𝑥−3 𝑥−1 𝑥−3

≤0

Sacando el m.c.m.

(𝑥+5)(𝑥−3)−(𝑥−1)(𝑥−6) (𝑥−6)(𝑥−3)

≤0

𝑥 2 −3𝑥+5𝑥−15−(𝑥 2 −6𝑥−𝑥+6) (𝑥−6)(𝑥−3) 9𝑥−21 (𝑥−6)(𝑥−3)

≤0

9𝑥 − 21 = 0



Distribuyendo:



≤0

𝑥 2 −3𝑥+5𝑥−15−𝑥 2 +6𝑥+𝑥−6 (𝑥−6)(𝑥−3)

≤0

Igualando cada paréntesis a cero se tiene:

𝑥=

21 9



𝑥=

7 3

Esta raíz del denominador es cerrada.

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165

Lic. Christian Meruvia M. 𝑥−6=0



𝑥−3=0



𝑥=6

Las raíces del denominador siempre son abiertas.

𝑥=3

Las raíces del denominador siempre son abiertas.

Graficando las raíces en la recta de los reales.

7 3

3

6

𝑥+5 𝑥−6

≤

𝑥−1 𝑥−3



V

ST C IT EP U T I O

Reemplazando para el valor 𝑥 = 0 5

−6

≤

−1



−3

5

1

6

3

− ≤

F

7 3

(VERDAD)

V

3

F

6

7 𝐶𝑠 = ]−∞, ] 𝑈]3,6[ 3

IN

7.4.4 Inecuaciones con valor absoluto

La función valor absoluto presentada con el símbolo | | siempre representan distancias, el valor de un número positivo da como resultado un número positivo, en cambio, el valor absoluto de un número negativo es positivo.

|4| = 4

|−2| = 2

Se mencionan a continuación las inecuaciones de la forma |𝑥 + 𝑎| < 𝑏 y |𝑥 + 𝑎| > 𝑏 7.4.4.1 Inecuaciones de la forma |𝒙 + 𝒂| < 𝒃 (menor que)

Existen varias formas de resolver las inecuaciones, ahora se verá una de ellas. - A partir de la inecuación primitiva, se construyen 2 inecuaciones. - Para la primera, se copia exactamente la inecuación primitiva pero sin el símbolo de valor absoluto. -

Para la segunda, se copia el lado izquierdo pero sin el valor absoluto, se cambia el símbolo de desigualdad de < a > y el lado derecho se cambia de signo.

166

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INSTITUTO C.E.P.I. -

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

La respuesta final, será la intersección de las dos respuestas.

Ejemplo: a) Resolver la inecuación: |−𝑥 + 3| ≤ 5 Se forman 2 inecuaciones a partir de la primitiva:

−𝑥 + 3 ≤ 5



−𝑥 + 3 ≥ −5

Se resuelven ambas inecuaciones lineales. 

𝑥 ≥ −2



−𝑥 ≥ −8

ST C IT EP U T I O

−𝑥 ≤ 2

𝑥≤8

El símbolo  se lee “y” lo que significa que las respuestas se irán a intersectar que llega a ser la parte común

de las dos respuestas.

Graficando en la recta de los reales:

8

IN

−2

La solución es la intersección o sea la parte común de los gráficos.

𝑰𝒔 = [−𝟐, 𝟖]

7.4.4.2 Inecuaciones de la forma |𝒙 + 𝒂| > 𝒃 (mayor que)

Los pasos son idénticos a las inecuaciones “menor que”, simplemente que ahora las soluciones de las dos inecuaciones no se intersectan, se unen. Ejemplo: a) Resolver la inecuación: |3𝑥 − 2| > 4 Se forman 2 inecuaciones a partir de la primitiva:

3𝑥 − 2 > 4



3𝑥 − 2 < −4

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167

Lic. Christian Meruvia M. Se resuelven las dos inecuaciones lineales. 2



𝑥>2

𝑥 < −3

El símbolo  se lee “o” y significa que las dos gráficas se deben unir.

Graficando en la recta de los reales:

2

2

ST C IT EP U T I O

−3

𝟐 𝑰𝒔 = ]−∞, − [ 𝑼]𝟐, +∞[ 𝟑 7.5 Sistemas de inecuaciones

Para resolver los sistemas de inecuaciones, se debe resolver cada inecuación por separado e intersectar sus soluciones. Esta intersección es la solución final. Ejemplo:

IN

−2𝑥 < 4 a) Resolver el siguiente sistema de inecuaciones: { 𝑥 ≥ 0 −𝑥 > −5 Se resuelve cada inecuación independientemente:

𝑥 > −2 { 𝑥≥0 𝑥 0

El logaritmo con base negativa no existe en los números reales. Ejemplo: a) 𝑙𝑜𝑔−2 8

No existe.

Propiedad 4:

𝑙𝑜𝑔𝑎 (1) = 0

𝑙𝑜𝑔𝑎 0 = −∞

El logaritmo en cualquier base de 1 es siempre 0. Ejemplo:

Propiedad 5:

Aplicando la propiedad 1 se tiene: 50 = 1 (cualquier número elevado a 0 es 1)

IN

a) 𝑙𝑜𝑔5 1 = 0

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1 El logaritmo en una cierta base del mismo número es 1. Ejemplo: a) 𝑙𝑜𝑔7 7 = 1 b) 𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑥 = 1 Propiedad 6:

𝑎 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 𝑎 Un coeficiente delante de un logaritmo se puede convertir en potencia.

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175

Lic. Christian Meruvia M. Ejemplos: 5 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 3 = 𝑙𝑜𝑔2 35

El coeficiente se vuele potencia o viceversa.

a) 𝑙𝑜𝑔105

Cuando el logaritmo no muestra ninguna base como en el ejemplo se sobreentiende que es base 10.

𝑙𝑜𝑔10 105

Aplicando la propiedad 6:

5 ∙ 𝑙𝑜𝑔10 10

𝑙𝑜𝑔10 10 Por la propiedad 5 es 1.

5 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 1) = 4

𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 1)2 = 4 24 = (𝑥 + 1)2 16 = (𝑥 + 1)2

Aplicando la propiedad 6: Aplicando la propiedad 1:

ST C IT EP U T I O

b)

Sacando la raíz cuadrada, para simplificar la potencia.

√16 = √(𝑥 + 1)2 4=𝑥+1

Despejando “x”

𝑥=3

También se podía primero bajar a dividir el coeficiente 2, de la siguiente manera: 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 1) =

22 = 𝑥 + 1 𝑥=3

2

Aplicando la propiedad 1.

IN

𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 1) = 2

4

Obviamente es la misma respuesta, pero se quería mostrar la aplicación de la propiedad 6. Esta propiedad es de gran importancia porque permite, “bajar” la potencia y convertirse en un coeficiente. Esto es muy útil en ecuaciones exponenciales donde la variable no se puede despejar. c) Resolver la siguiente ecuación: 2𝑥 = 3 El valor de “x” es mayor a 1 (21 = 2) pero menor a 2 (22 = 4). Para saber exactamente el valor de “x” y ante la imposibilidad de despejar esta variable, se puede aplicar logaritmo a ambos lados de la ecuación como se muestra a continuación:

𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑙𝑜𝑔3

176

Ahora se puede aplicar la propiedad 6: Para despejar “x”, 𝑙𝑜𝑔2 pasa al lado derecho como división.

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INSTITUTO C.E.P.I. 𝑙𝑜𝑔3

𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

Nótese que log 3 y log 2 son números que se pueden determinar con el uso de una calculadora por ejemplo.

𝑥 = 1,5849 … … … … …

Se podía dejar el resultado anterior y no sacar su valor numérico.

Propiedad 7:

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏 ∙ 𝑐) La suma de dos o más logaritmos con la misma base, se convierte en un solo logaritmo como producto. Ejemplo: a) 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 − 2) + 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 3

𝑙𝑜𝑔3 𝑥 4 (𝑥 − 2) Propiedad 8:

ST C IT EP U T I O

𝑙𝑜𝑔3 [𝑥 ∙ (𝑥 − 2) ∙ 𝑥 3 ]

Los tres logaritmos que están como suma, se convierte en un solo logaritmo.

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎

𝑏 𝑐

La resta o diferencia de dos logaritmos con la misma base, se convierte en un solo logaritmo como división. Ejemplos: a)

𝑙𝑜𝑔4 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔4 𝑦

𝑙𝑜𝑔4

𝑥 𝑦

IN

2

b) 5 ∙ 𝑙𝑜𝑔9 𝑥 3 10

Como los dos logaritmos tienen la misma base, se aplica esta propiedad.

− 𝑙𝑜𝑔9 𝑥

𝑙𝑜𝑔9 𝑥 3 − 𝑙𝑜𝑔9 𝑥

Aplicando la propiedad 6 se tiene:

Aplicando la propiedad 8 se tiene:

10

𝑙𝑜𝑔9

𝑥3 𝑥

Se copia la base que es “x” y se restan los exponentes o sea:

10

𝑙𝑜𝑔9 𝑥 3 −1 7

𝑙𝑜𝑔9 𝑥 3 1

c)

2

Reducir: 3 ∙ 𝑙𝑜𝑔6 𝑥 2 − 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔6 𝑥 2 + 𝑙𝑜𝑔6 𝑥 − 3 − 𝑙𝑜𝑔6 7 2

Aplicando la propiedad 6 se tiene:

2

𝑙𝑜𝑔6 𝑥 6 − 𝑙𝑜𝑔6 𝑥 2 + 𝑙𝑜𝑔6 𝑥 − 3 − 𝑙𝑜𝑔6 7

Como los cuatro logaritmos tienen la misma base, se convierten en un solo logaritmo, los positivos van como producto en el numerador y todos los negativos van como producto en el denominador.

177

Lic. Christian Meruvia M. 2

𝑙𝑜𝑔6

𝑙𝑜𝑔6

− 𝑥 6 ∙𝑥 3

Se copia la base que es “x”

𝑥∙7

𝑥

2 6− −1 3

Realizando las operaciones.

7 13

𝑥3 𝑙𝑜𝑔6 7

𝑙𝑜𝑔6

√𝑥 13 7

Propiedad 9: Cambio de base

ST C IT EP U T I O

3

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 =

𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 =

1

𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 Esta propiedad es bastante útil cando se tienen logaritmos de distintas bases y se quiere llevar todo a una sola base común. Ejemplos: a)

Escribir 𝑙𝑜𝑔5 9 en base 7

𝑙𝑜𝑔7 9 𝑙𝑜𝑔7 5

𝑙𝑜𝑔3 4

IN

b) Hallar el valor de

𝑙𝑜𝑔3 2

Todas las propiedades funcionan en ambos sentidos, en este caso 𝑙𝑜𝑔2 4 escrito en base 3 sería: En sentido contrario

𝑙𝑜𝑔3 4 𝑙𝑜𝑔3 2

𝑙𝑜𝑔3 4 𝑙𝑜𝑔3 2

es 𝑙𝑜𝑔2 4

𝑙𝑜𝑔2 4 = 2 Propiedad 10:

𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑏

178

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INSTITUTO C.E.P.I.

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

Ejemplo: a)

Determinar el valor de 5𝑙𝑜𝑔5 7

Aplicando la propiedad 10 observando que el número esta elevado a un logaritmo que tiene la misma base se tiene como respuesta: 7

Propiedad 11:

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 𝐶 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝐶 1/𝑏

De aquí se concluye: 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 𝑎 𝑐

=

𝑐 𝑏

Esta propiedad es útil para convertir una potencia de una base en un exponente.

a) Simplificar: 𝑙𝑜𝑔23 5 1

3

ST C IT EP U T I O

Ejemplo:

𝑙𝑜𝑔2 53 = 𝑙𝑜𝑔2 √5

Propiedad 12: Cologaritmo

𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔𝑐 ( ) = 𝑙𝑜𝑔𝑐 ( ) 𝑏 𝑎

Ejemplo:

Convertir a logaritmo: 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔4 𝑥

𝑙𝑜𝑔4

1 𝑥

IN

a)

Propiedad 13: Antilogaritmo

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐

→

𝑏=𝑐

Esta propiedad hace referencia que cuando a ambos términos de una ecuación, quedan logaritmos de la misma base, se puede aplicar antilogaritmos a ambos lados lo que hace que los logaritmos desaparezcan. Ejemplo: a)

𝑙𝑜𝑔7 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔7 5

Aplicando antilogaritmo se tiene:

𝑥=5 Propiedad 14: Bases iguales potencias iguales

𝑎 𝑏 = 𝑎𝑐

→

𝑏=𝑐

Si bien esta propiedad pertenece al tema de potenciación, se puede utilizar en varios ejercicios de logaritmos. INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759 22676 -

179

Lic. Christian Meruvia M. Ejemplo:

a) Resolver: 3𝑥 = 35

Ya que las bases son iguales, también los exponentes lo son, por lo que se tienen que:

𝑥=5 Propiedad 15: Logaritmo natural

𝑙𝑛 𝑎 = 𝑏

→

𝑒𝑏 = 𝑎

El logaritmo natural es un logaritmo especial, se escribe 𝑙𝑛 y aunque no se escribe, tiene base 𝑒, siendo 𝑒 un número irracional que vale 2,71828182845…………….

ln 𝒆 = 𝟏

ST C IT EP U T I O

Al tener base 𝑒 y por la propiedad 5 se tiene que:

8.3 Valor de un logaritmo Ejemplos:

a) Determinar el valor de: 𝑙𝑜𝑔2 128 128 se puede escribir como 27 Entonces 𝑙𝑜𝑔2 128 = 𝑙𝑜𝑔2 27 7 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 2

Aplicando la propiedad 6 se tiene:

Aplicando la propiedad 5 se tiene:

7

1

27 es igual a 33 1

𝑙𝑜𝑔3 33

IN

b) Determinar el valor de 𝑙𝑜𝑔3 27

Por propiedad de la potenciación se tiene:

𝑙𝑜𝑔3 3−3 −3 ∙ 𝑙𝑜𝑔3 3

Aplicando la propiedad 6 se tiene: Aplicando la propiedad 5 se tiene:

−3

c) Determinar el valor de: 𝑙𝑜𝑔1 81 2

9

81 es 9 𝑙𝑜𝑔1 92

Por propiedad de la potenciación se tienen:

9

180

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INSTITUTO C.E.P.I. 1 −2

𝑙𝑜𝑔1 (9)

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

Aplicando la propiedad 6 se tiene:

9

1

−2 ∙ 𝑙𝑜𝑔1 9

Aplicando la propiedad 5 se tiene:

9

−2 d) Determinar el valor de: E  log5 125  log11 3 121  5 6

1 3

1 2

E

1 1 5 3 2  2 3 6

5 6

 E

1 1 5 log5 125  log11 121 2 3 6

ST C IT EP U T I O

E  log5 125  log11 121  

E

3 2 5    2 3 6

E 3

e) Determinar el valor de la siguiente expresión:

1 E 2 logb b  2  logb    logb 1 b

𝐸 = 2 + 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 −1 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 1

𝐸 = 2 + 2(−1) ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 + 0

E0

IN

E  220 →



8.4 Ecuaciones exponenciales Ejemplos:

2

a) Resolver la ecuación exponencial: 4𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = 2𝑙𝑜𝑔5 (−𝑥

2 +20)

Para igualar bases, se escribe 4 como 22 2

22∙𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = 2𝑙𝑜𝑔5 (−𝑥

2 +20)

Aplicando la propiedad bases iguales, exponentes iguales. 𝑎𝑏 = 𝑎𝑐 → 𝑏 = 𝑐

2 ∙ 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 2 = 𝑙𝑜𝑔5 (−𝑥 2 + 20) 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 4 = 𝑙𝑜𝑔5 (−𝑥 2 + 20) 𝑥 4 = (−𝑥 2 + 20) 𝑥 4 + 𝑥 2 − 20 = 0

Aplicando la propiedad 6. Como queda 𝑙𝑜𝑔5 a cada lado de la ecuación, se aplica la propiedad 13 (antilogaritmo) Ordenando la ecuación:

Resolviendo la ecuación:

181

Lic. Christian Meruvia M. (𝑥2 + 5)(𝑥2 − 4) = 0

𝑥2

0 0 + 5 = 0  𝑥 2 = −5 

𝑥2 − 4 = 0



𝑥 = ±√−5



𝑥2 = 4

Esta respuesta no es válida, no existe raíz cuadrada de un número negativo. 

𝑥 = ±√4

𝑥 = ±2

Otra forma de mostrar las respuestas es: {−2,2}

b) Encontrar el valor de “x”: 5𝑥 + 5𝑥 + 5 𝑥 = 75

ST C IT EP U T I O

Existen tres 5 𝑥 que son términos semejantes con lo cual 5𝑥 + 5𝑥 + 5𝑥 es 3 ∙ 5 𝑥 (ver página 4), se llegaría a la misma conclusión si se sacara factor común 5 𝑥 + 5 𝑥 + 5𝑥 = 5𝑥 ∙ (1 + 1 + 1) = 5 𝑥 ∙ 3 3 ∙ 5𝑥 = 75 5𝑥 =

75 3

5 𝑥 = 52



5𝑥 = 25



𝑥=2

Igualando bases.

c) Resolver la ecuación exponencial: 3𝑥+2 − 3 𝑥+3 + 3𝑥+4 = 7 Aplicando la propiedad de la potenciación:

3𝑥 ∙ 32 − 3𝑥 ∙ 33 + 3𝑥 ∙ 34 = 7 3 𝑥 (32 − 3 3 + 34 ) = 7 3 𝑥 ∙ 63 = 7 7

d) 𝑥 4−𝑥

Pasando a dividir el número 63



63

3𝑥 =

4−𝑥4−𝑥……..

𝑢 = 𝑥 4−𝑥

3

182

𝑢

1



9

3

= √𝑥

4−𝑥4−𝑥……..

𝑢 = 𝑥 4−𝑢  𝑢 = √𝑥

Calculando el valor de 32 − 3 3 + 34 = 9 − 27 + 81 = 63

3𝑥 =

IN

3𝑥 =

Sacando factor común que en este caso es 3 𝑥



3

√𝑥

3 =√ 𝑥

1

32



3 𝑥 = 3−2



𝑥 = −2

3 ………. √𝑥

3

√𝑥

3 ………. √𝑥

1

𝑥 = 𝑢4−𝑢 3

𝑥 = 𝑢𝑢

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

Igualando: 1

3

1



𝑢4−𝑢 = 𝑢𝑢

4−𝑢

=

3



𝑢

𝑢 = 12 − 3𝑢

 𝑢=3



x=3

8.5 Ecuaciones logarítmicas lineales o de primer grado a) Determinar el valor de “x”: −1 + 𝑙𝑜𝑔3 [7 + 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔4 (𝑥 + 1)] = 1 −1 + 𝑙𝑜𝑔3 [7 + 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔4 (𝑥 + 1)] = 1

ST C IT EP U T I O

𝑙𝑜𝑔3 [7 + 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔4 (𝑥 + 1)] = 2 32 = 7 + 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔4 (𝑥 + 1) 2 = 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔4 (𝑥 + 1) 1 = 𝑙𝑜𝑔4 (𝑥 + 1) 41 = 𝑥 + 1

Aplicando la propiedad 1 de los logaritmos se tiene:

Pasando el número 7 al lado izquierdo de la ecuación se tiene:

El coeficiente 2 que está al lado derecho de la ecuación, pasa a dividir al lado izquierdo.

Aplicando la propiedad 1 de los logaritmos se tiene:

Despejando “x” se tiene:



4−1=𝑥

El valor -1 pasa al lado derecho de la ecuación con signo cambiado.

𝑥=3

b) Resolver la siguiente ecuación logarítmica:

𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔4 (3𝑥 + 4) = 3 + 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 2 − 8)

IN

Es conveniente, que todas las bases de los logaritmos sean las mismas, en este ejercicio el logaritmo que tiene base 4 se debe llevar a base 2, de esta manera todas las bases serán iguales. 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔4 (3𝑥 + 4) = 3 + 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 2 − 8)

La base 4 se puede escribir como 22

𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔22 (3𝑥 + 4) = 3 + 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 2 − 8)

Aplicando la propiedad 11: 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 𝐶 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝐶 1/𝑏

1

𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 (3𝑥 + 4)2 = 3 + 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 2 − 8)

Como todas las bases son iguales o sea 2, se pasan todos los logaritmos al lado izquierdo.

1

𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 (3𝑥 + 4)2 − 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 2 − 8) = 3

Mediante la propiedad 6: 𝑎 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 𝑎 , el coeficiente 2 del segundo logaritmo se puede subir como potencia o sea:

2

𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 (3𝑥 + 4)2 − 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 2 − 8) = 3

𝑙𝑜𝑔2

𝑥(3𝑥+4) (𝑥 2 −8)

=3

Por la propiedad 7 y 8, las sumas y las restas se convierten en un solo logaritmo.

Aplicando la propiedad 1

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183

Lic. Christian Meruvia M. 23 =

𝑥(3𝑥+4) (𝑥 2 −8)



8=

𝑥(3𝑥+4) (𝑥 2 −8)

8(𝑥 2 − 8) = 𝑥(3𝑥 + 4)

Desarrollando:

8𝑥 2 − 64 = 3𝑥 2 + 4𝑥

Ordenando la ecuación cuadrática completa:

5𝑥 2 − 4𝑥 − 64 = 0

Factorizando por aspas:

(𝑥 − 4)(5𝑥 + 16) = 0

𝑥2 = −

16 5

ST C IT EP U T I O

𝑥1 = 4

Igualando cada paréntesis a 0 se tiene:

Se debe analizar la solución 𝑥2 = − 16

16 5

puesto que, si se reemplaza dicha solución en la ecuación original, se tendría: 16 2

16

𝑙𝑜𝑔2 (− 5 ) + 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔4 (3 (− 5 ) + 4) = 3 + 𝑙𝑜𝑔2 ((− 5 ) − 8) y al no existir logaritmo de un número negativo, esta solución se la considera como “extraña”. Con lo cual la única solución que satisface am la ecuación es: 𝑥 = 4

c) Despejar “x” en la siguiente ecuación: 𝑙𝑛(−𝑥 − 2) − 3 = 𝑙𝑛(𝑥 + 1)

IN

Como en cualquier logaritmo, todas las propiedades mencionadas también se aplican a los logaritmos naturales, con lo cual se llevan los logaritmos a un lado y al otro lado el número. 𝑙𝑛(−𝑥 − 2) − 𝑙𝑛(𝑥 + 1) = 3

𝑙𝑛

−𝑥−2 𝑥+1

𝑒3 =

=3

Aplicando la propiedad 8

Aplicando la propiedad 1, recordando que la base de un logaritmo natural es 𝑒

−𝑥−2

El denominador x+1 pasa a multiplicar al lado izquierdo

𝑥+1

𝑒 3 (𝑥 + 1) = −𝑥 − 2

Realizando la distributividad.

𝑒 3 𝑥 + 𝑒 3 = −𝑥 − 2

Para despejar “x”, todos los términos que tienen esta variable, se pueden enviar al lado izquierdo de la ecuación.

𝑒 3 𝑥 + 𝑥 = −2 − 𝑒 3

Sacando factor común:

𝑥(𝑒 3 + 1) = −2 − 𝑒 3

Pasando a dividir 𝑒 3 + 1

184

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INSTITUTO C.E.P.I.

𝑥=

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

−𝑒 3 −2 𝑒 3 +1 3

d) Determinar el valor de x en la siguiente ecuación: 𝑙𝑜𝑔3 (𝑙𝑜𝑔5 2𝑥 ) = 6 + 𝑙𝑜𝑔3 (𝑙𝑜𝑔5 2) 3

3

𝑙𝑜𝑔3 (𝑙𝑜𝑔5 2𝑥 ) − 𝑙𝑜𝑔3 (𝑙𝑜𝑔5 2) = 6 3

𝑙𝑜𝑔3

(𝑙𝑜𝑔5 2𝑥 ) (𝑙𝑜𝑔5 2)

6

 𝑙𝑜𝑔5 23 = 𝑙𝑜𝑔5 2𝑥

36 ∙ (𝑙𝑜𝑔5 2) = (𝑙𝑜𝑔5 2𝑥 ) 6

36 = 𝑥 3 







𝑥 = 32

6

 23 = 2 𝑥

36 =

(𝑙𝑜𝑔5 2𝑥 ) (𝑙𝑜𝑔5 2)

3

𝑥=9

ST C IT EP U T I O

33 = 𝑥

3

3

=6 

8.6 Ecuaciones logarítmicas cuadráticas o de segundo grado Al multiplicar: 𝑙𝑜𝑔 𝑥 ∙ 𝑙𝑜𝑔 𝑥 , resulta ser [𝑙𝑜𝑔 𝑥]2 que también se puede denotar como: 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 Este tipo de ecuaciones se manejan de manera similar a las ecuaciones de segundo grado. Ejemplos: a) Resolver la siguiente ecuación: 𝑙𝑜𝑔32 𝑥 − 12𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = −35 Ordenando de la forma: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑙𝑜𝑔32 𝑥 − 12𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 35 = 0

IN

Factorizando mediante el trinomio de la forma: 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

(𝑙𝑜𝑔3 𝑥 −)(𝑙𝑜𝑔3 𝑥 −) = 0

Se busca dos números que multiplicados den 35 y sumados den 12, estos números son 7 y 5

(𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 7)(𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 5) = 0

Igualando cada paréntesis a 0 se tiene:

𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 7 = 0



𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 7 

37 = 𝑥



𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 5 = 0



𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 5  35 = 𝑥



2

b) Resolver: 3−𝑙𝑜𝑔

2𝑥

3

− 2+𝑙𝑜𝑔

𝑥 = 37 𝑥 = 35

5

2𝑥

=4

El m.c.m. es: 4 ∙ (3 − 𝑙𝑜𝑔2 𝑥)(2 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥) 2∙4∙(2+𝑙𝑜𝑔2 𝑥)−3∙4∙(3−𝑙𝑜𝑔2 𝑥) 4∙(3−𝑙𝑜𝑔2 𝑥)(2+𝑙𝑜𝑔2 𝑥)

=

5∙(3−𝑙𝑜𝑔2 𝑥)(2+𝑙𝑜𝑔2 𝑥) 4∙(3−𝑙𝑜𝑔2 𝑥)(2+𝑙𝑜𝑔2 𝑥)

Distribuyendo:

16 + 8 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 36 + 12 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 30 + 15 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 5 ∙ 𝑙𝑜𝑔22 𝑥 5 ∙ 𝑙𝑜𝑔22 𝑥 + 15 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 50 = 0

//(÷ 5)

Ordenando:

Dividiendo miembro a miembro entre 5

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185

Lic. Christian Meruvia M. 𝑙𝑜𝑔22 𝑥 + 3 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 10 = 0

Factorizando el trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

(𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 5)(𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 2) = 0

Igualando a 0 cada paréntesis.

𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 5 = 0  𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = −5



𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 2 = 0



𝑥 = 2−5



𝑥=

1 32

𝑥=4

𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 2 

ST C IT EP U T I O

c) Resolver: 2 ∙ [𝑙𝑜𝑔3 𝑥]2 − 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 3 = 0

Tomando en cuenta que (𝑙𝑜𝑔 𝑥)2 es equivalente a 𝑙𝑜𝑔2 𝑥, se reescribe la ecuación: 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔32 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 3 = 0 Obsérvese también que el ejercicio podría haberse mostrado de la siguiente manera: 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 3 = 0 (por la propiedad 6: 𝑎 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 𝑎 ) La potencia se convierte en exponente: 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 ∙ 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 3 = 0, que resulta ser: 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔32 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 3 = 0

Factorizando el trinomio 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, mediante el método de aspas.

IN

(2 ∙ 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 3)(𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 1) = 0 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 3 = 0 3 2

3 =𝑥



𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 1 = 0 3−1 = 𝑥 



𝑥 = √33



𝑥=

2 ∙ 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 3



Igualando cada paréntesis a 0.



3

𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 2

Aplicando la propiedad 1

𝑥 = √27

𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = −1 1 3

Aplicando la propiedad 1

d) Resolver la ecuación: 𝑙𝑜𝑔𝑥 25 − 3 ∙ 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = −1 Generalmente cuando se tiene una base literal en este caso base “x”, se puede realizar un cambio de base mediante la propiedad 9.

186

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𝑙𝑜𝑔𝑥 25 − 3 ∙ 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = −1 𝑙𝑜𝑔5 25 𝑙𝑜𝑔5 𝑥

Realizando cambio de base a base 5

− 3 ∙ 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = −1

2−3∙𝑙𝑜𝑔5 𝑥∙𝑙𝑜𝑔5 𝑥 𝑙𝑜𝑔5 𝑥

=

𝑙𝑜𝑔5 25 tiene el valor de 2. El m.c.m. es 𝑙𝑜𝑔5 𝑥

−𝑙𝑜𝑔5 𝑥

𝑙𝑜𝑔5 𝑥 ∙ 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 es 𝑙𝑜𝑔52 𝑥

𝑙𝑜𝑔5 𝑥

2 − 3 ∙ 𝑙𝑜𝑔52 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = 0

Multiplicando por -1 y ordenando:

3 ∙ 𝑙𝑜𝑔52 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 − 2 = 0

Factorizando el trinomio de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 por aspas

(3 ∙ 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 + 2)(𝑙𝑜𝑔5 𝑥 − 1) = 0

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Igualando cada paréntesis a 0.

3 ∙ 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 + 2 = 0  3 ∙ 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = −2 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 − 1 = 0  𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = 1





𝑙𝑜𝑔5 𝑥 =

−2



3

2

𝑥 = 5− 3

𝑥=5

e) Hallar la suma de todas las soluciones de la siguiente ecuación logarítmica.

log2 ( x)  logx (2)  4  2 logx2 (4)

2 log2 2 2 log2 x  1 log2 4 log2 ( x)   4  logx 4   1  log2 x  4 log2 x  2  4 log2 x log2 x log2 x

Ordenando:

log2 x  4 log2 x  3  0

→ (log2 x  3)(log2 x  1)  0 → x1

IN

2

8

x2  2

f) Las soluciones de la siguiente ecuación logarítmica son:

Por la propiedad: loga x 

log2 x   logx 2 2 2  logx 2

logb x (Cambio de base) logb a

log2 2 log2 x   log2 x 2 log2 2 2 log2 x 𝑙𝑜𝑔22 𝑥 + 1 = 4 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 2





log22 x  1 log2 x 2 2 log2 x  1 log2 x



log22 x  1 2 2 log2 x  1

𝑙𝑜𝑔22 𝑥 − 4 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 3 = 0

log2 x  3log2 x  1  0 Igualando cada paréntesis a cero: INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759 22676 -

187

Lic. Christian Meruvia M. log2 x  3  0 → log2 x  3

Por la propiedad:

x  23 →

loga b  c → a c

b

x 8

log2 x  1  0 → log2 x  1 → x  21 →

x2

8.7 Sistemas de ecuaciones con logaritmos Mediante las propiedades de los logaritmos, se debe tratar de que queden ecuaciones sin logaritmos.

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a) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 𝑒 𝑥 ∙ 𝑒𝑦 = 𝑒5 (1) { 2𝑥 − 3𝑦 = −5 (2)

La ecuación (2), se encuentra en su forma más simple lo que significa que ya no se necesita realizar ninguna operación. En la ecuación (1) existe una multiplicación de bases iguales con lo cual se copia la base y se suman los exponentes.

{

𝑒 𝑥+𝑦 = 𝑒 5 2𝑥 − 3𝑦 = −5

En la ecuación (1) se aplica la propiedad 14 o sea bases iguales exponentes iguales:

{

𝑥+𝑦 =5 2𝑥 − 3𝑦 = −5

Ahora que las dos ecuaciones son lineales, se resuelve el sistema con el método de nuestra elección por ejemplo por el método de reducción:

𝑥+𝑦 =5 //(3) 3𝑥 + 3𝑦 = 15  { 2𝑥 − 3𝑦 = −5 2𝑥 − 3𝑦 = −5 5𝑥 = 10  𝑥 = 2

IN

{

Reemplazando en la ecuación (1): 𝑥+𝑦 =5  2+𝑦 =5 

𝑦=3

Otra forma de mostrar la respuesta como par ordenado es: (2,3) b) Determinar el valor de “x” y “y” 𝑙𝑜𝑔 (𝑥 − 2𝑦) − 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 √2𝑥 + 2𝑦 = 1 { 2 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔5 (−𝑦) = 𝑙𝑜𝑔5 2

(1) (2)

Aplicando las propiedades de los logaritmos en ambas ecuaciones: 2

(𝑥 {𝑙𝑜𝑔2 − 2𝑦) − 𝑙𝑜𝑔2 (√2𝑥 + 2𝑦) = 1 𝑙𝑜𝑔5 (−𝑥 ∙ 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔5 2

188

(1) (2)

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Aplicando la propiedad 8 en la ecuación (1) y la propiedad 7 en la ecuación (2)

𝑥 − 2𝑦 =1 { 2𝑥 + 2𝑦 𝑙𝑜𝑔5 (−𝑥 ∙ 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔5 2 𝑙𝑜𝑔2

−𝑥

{

𝑥 + 2𝑦 = 0 2

𝑦 = −𝑥

//(÷ 3)

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Aplicando la propiedad 1 en la ecuación (1) y la propiedad 13 en la ecuación (2): 𝑥 − 2𝑦 21 = { 2𝑥 + 2𝑦 𝑙𝑜𝑔5 (−𝑥 ∙ 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔5 2 Ordenando las ecuaciones: 4𝑥 + 4𝑦 = 𝑥 − 2𝑦 3𝑥 + 6𝑦 = 0 2(2𝑥 + 2𝑦) = 𝑥 − 2𝑦 2 {  {  { 2 2 𝑦 = −𝑥 𝑦 = −𝑥 𝑦=

Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1): 2

𝑥 + 2 (−𝑥) = 0



4

𝑥−𝑥 =0



𝑥 2 −4 𝑥

0

=𝑥

Resolviendo la ecuación de segundo grado incompleta: 𝑥2 − 4 = 0  𝑥2 = 4  𝑥 = ±√4  𝑥 = ±2

IN

Pero el valor 𝑥 = −2 es una solución extraña puesto que si este valor lo reemplazáramos por ejemplo en 𝑙𝑜𝑔5 𝑥, resultará ser 𝑙𝑜𝑔5 (−2) y al no existir logaritmo de un número negativo, esta solución no se considera por lo cual la única solución es:

𝑥=2

Reemplazando este valor en la ecuación (2): 2

2

𝑦 = −𝑥  𝑦 = −2  𝑦 = −1

{2, −1}

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189

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Práctica # 8 Ecuaciones exponenciales 1) La solución de la siguiente ecuación es: 2 x 1

R. 1

R. 8/9

0

ST C IT EP U T I O

4  16 2x

8) Encontrar el valor de: 𝑙𝑜𝑔√8 (16√2)

2) La solución o soluciones de la ecuación logarítmica es:

log3 x2

9

R. 𝑥 = 2

7) Encontrar el valor de: log7 9 78

log3 (2 x2 8)

3

9) Hallar el valor de: 10)

𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 − 𝟓𝒍𝒐𝒈𝟓𝟐 + 𝒍𝒐𝒈𝒄𝟐 ( ) − 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟐 𝒄 𝟔 𝟕𝟐𝟗

R. 𝑘 = −1

3) La solución de la siguiente ecuación es:

11)

9 x  81

Nivel B: Determinar el valor de E:

𝐸 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 ∙ 𝑙𝑜𝑔4𝑥 8 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑥 4 ∙ 𝑙𝑜𝑔2𝑥 8 ∙ 𝑙𝑜𝑔4 2𝑥 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 4𝑥

IN

R. 𝑥 = 4

4) Resolver e indicar la solución correcta:

2x2  2x3  2x4  2x5  2x6  31 R. 𝑥 = −2

2 x 1

3

R. 𝐸 = 9

12) Determinar el valor de:

 9 5

x2

0

13) Calcular el valor de x: b. log a = a. log x

6) La suma de las raíces de la ecuación:

4 4 R. 𝑥 = −3

4 1 𝑙𝑜𝑔3 +𝑙𝑜𝑔381 243

Ecuaciones logarítmicas de primer grado

R. 𝑥 = 1/8

x2

𝑙𝑜𝑔2 8−𝑙𝑜𝑔1 16

R. -5

5) El resultado de la ecuación:

190

R. 3

Determinar el valor de k:

𝑘=

𝑥 = −2

3−𝑙𝑜𝑔 125 𝑙𝑜𝑔2

R. 3

3x

 256

R. 𝑥 = 𝑎𝑏/𝑎 14) Determinar el valor de x: 1

5

𝑙𝑔2 𝑥 3 + 𝑙𝑔2 √𝑥 2 + 𝑙𝑔2 7 = 3

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

15

R. 𝑥 =

8 11 (7)

15) Aplicando la definición de logaritmos hallar el valor de x: 𝑙𝑜𝑔4 [𝑙𝑜𝑔3 (𝑙𝑜𝑔2 𝑥)] = 0

24) Resolver: 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − 2) + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = −1 + 4𝑙𝑜𝑔2 √𝑥 R. 𝑥 = 4 25) Resolver: 𝑙𝑜𝑔3 (2𝑥 − 1) − 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 − 4) = 2

R. 𝑥 = 8 16) Hallar el valor de x sabiendo que:

R. 𝑥 = 5

log1 x  log1 5x  28  2 7

7

26) Nivel B: Las soluciones de la siguiente ecuación son:

R. 𝑥 = 7 17) Resuelva la ecuación e indique la solución 1 correcta: log9 10x  5   log9 x  1 2 R. 𝑥 = 4

ST C IT EP U T I O

x

R.

18) La suma de las raíces de la ecuación es:

𝑥 = 10

27) Resolver:

log1 12x 2  log1 20x  9  1 3

R.

 101log x

𝑥 = 10−4

4 3x 2  7 x 1

𝑙𝑜𝑔7+𝑙𝑜𝑔16 𝑙𝑜𝑔64−𝑙𝑜𝑔7

𝑥=

3

28) Resuelva la ecuación e indique la solución correcta:

R. 𝑥 = 5

62t  6t  6  0

19) La solución de la siguiente ecuación es:

R. 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔6 2

2𝑥 𝑥2 3 ∙ 𝑙𝑜𝑔√𝑥 − 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔 ( ) = 𝑙𝑜𝑔 ( ) 5 √2

29) Determinar “x”: 36 (3𝑥 )𝑥−5 = 43 (2𝑥−5 )𝑥

IN

R. 𝑥 = 25/8 20) Resolver:

7log x 4

R. 𝒙 = 𝟐

30) Resolver la ecuación y hallar la solución correcta:

log3 8x 3  1  log3 4 x 2  2 x  1  2

log(35  x3 ) 3 log(5  x)

R. 𝑥 = 4

R. {2,3}

31) Resolver la siguiente ecuación exponencial:

21) Resolver: 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 5 − 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 4)

3lg3 x  lg3 (10  1)

R. 𝑥 = 4 22) Resolver: 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 4 = 3 23) Resolver: 𝑙𝑜𝑔4 (𝑥 2 + 5𝑥 − 8) = 2

𝒙=𝟑

R.

𝑥=2

R. 𝑥 = 2 32) Resolver la siguiente ecuación logarítmica:

ln x  2  ln1  x 

R. 𝑥 = −8 𝑥 = 3 R. x 

e2 e2  1

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191

Lic. Christian Meruvia M. 42) Resolver: 33) Nivel B: Despejar x en la siguiente ecuación:

R. 𝑥 = 8

𝑦 = −𝑙𝑛 (√𝑥 2 − 1 − 𝑥) R. 𝑥 = 34)

𝑙𝑜𝑔(𝑥+3) 2

+

𝑥 = 1/2

43) Resolver: 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔22 𝑥 − 11 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 5 = 0

𝑒 2𝑦 +1 − 2𝑒 𝑦

1

𝑙𝑜𝑔22 𝑥 − 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 3 = 0

R. 𝑥 = 32 𝑥 = √2

1 𝑙𝑜𝑔(𝑥+2) 2

= 1 + 𝑙𝑜𝑔2 10

44) Resolver: 2𝑙𝑜𝑔7 (𝑥 R.

R. 𝑥 = 2

𝑥=3

2 −7𝑥+21)

= 3𝑙𝑜𝑔7 4

𝑥=4

35) Resolver la siguiente ecuación: R. 𝑥 = 9

𝑙𝑜𝑔𝑥 2

Sistemas de ecuaciones logarítmicas y

ST C IT EP U T I O

𝑙𝑜𝑔5𝑥𝑙𝑜𝑔3√5 = 2𝑙𝑜𝑔23

exponenciales:

36) Determinar el valor de “x”:

12 − 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 1 𝑙𝑜𝑔𝑥 ( )= 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 R. 𝑥 = 125

37) Demostrar que 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏

=

1

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎

(Sugerencia utilice cambio de base)

38) Nivel B: La solución de la ecuación: (𝑙𝑜𝑔2 𝑥)(𝑙𝑜𝑔√𝑥 8)(𝑙𝑜𝑔𝑥 2 +15 2) = 1

45) El producto de las raíces del sistema de ecuaciones es:

2 x  y  8  x  y  7

R. -10

46) Nivel B: Hallar la suma de las raíces del siguiente sistema: 4𝑥+1 − 3𝑦+2 = 7 13 { 𝑥 4 + 3𝑦−1 = 3 R. 1

IN

R. 𝑥 = 7

Ecuaciones logarítmicas de segundo grado

47) Dado el sistema de ecuaciones, la solución es:

log2 x  4 log2 y  6   x  log2  y   2   

39) Resolver: 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑥 3 = 2 R. 𝑥 = 3

40) La solución de la siguiente ecuación es:

logx 9  3  log1 x  5

 23  43  R.  2 ,2   

3

R.

x = 1/9

41) Resolver:

1 2  1 5  log x 1  log x

R. 𝑥 = 100

192

3

x = √3

48) Resolver el sistema e indicar la solución correcta:

logx  y   logx  y   log 27  x y 9 e  e  e

R.

𝑥=6

𝑦=3

𝑥 = 1000

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Lic. Christian Meruvia M. 49) Resolver el siguiente sistema: { R.

log x – log 5 = log 2 log x 3 + log y 2 = log 1000

55) Determinar el valor de “x”:

−1

1

= 39

R. 𝒙 = 𝟐𝟕 56) Determinar el valor de “x”:

(10, ±1)

𝑥𝑥

1

(𝑥 𝑥 )−1 = 39

𝟏

R. 𝒙 = 𝟐𝟕

50) Resolver el sistema:

x  y  9  Log3 x  Log3 y  Log3 20

ST C IT EP U T I O

R. {(5,4)(4,5)}

51) Resolver:

9 x  y  27    4y  Log3 x  Log3  9   2    R.

𝑥=2

𝑦 = 1/2

Problemas de aplicación

R.

1 log 2

IN

52) La fórmula 𝑦 = 10000 ∙ 2𝑥 nos da el número de bacterias presentes en un cultivo después de x horas de proliferación; 10000 es el número inicial de bacterias. ¿Cuánto tardará este cultivo de bacterias en llegar a 100000?

53) La fórmula del monto del dinero invertido a interés



n

compuesto es: m  c 1  i es el tiempo en años. Si m  40000, c  10000, i  1 , el valor de n es:

R. 2 años 54) Cuando se estudió por primera vez el crecimiento demográfico de cierta ciudad, tenía una población de 22000 habitantes. La población P en función del tiempo (en años) crece de acuerdo a la fórmula:

P  22000 100,0163t ,

¿En qué tiempo la población será 220000 habitantes? R. 61 años INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Call enjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759 eB

-22676

193

Lic. Christian Meruvia M.

Realiza la siguiente suma rápido y sin calculadora: 𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟒𝟎 + 𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟎 + 𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟐𝟎 + 𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟏𝟎

IN

ST C IT EP U T I O

La respuesta es 5000 verdad ¿O no?

194

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ST C IT EP U T I O

9.1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS

IN

9.2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

195

Lic. Christian Meruvia M. Existen 3 tipos de progresiones: Las aritméticas, las geométricas y las armónicas. En este libro solo se analizarán las dos primeras. 9.1 Progresión aritmética (P.A.) 9.1.1 Definición Una progresión aritmética (P.A.) es una sucesión de números tal que cada uno de los términos posteriores al primero, se obtiene añadiendo al anterior un número constante llamada diferencia o razón aritmética. Ejemplo: 3, 7, 11, 15, 19,23…………………

ST C IT EP U T I O

En el anterior ejemplo, la diferencia o razón aritmética es 4, puesto que:

3 + 4 = 7; 7 + 4 = 11; 11 + 4 = 15; 15 + 4 = 19 … … … … … … … .. Aquí se debe notar que la razón aritmética se obtiene restando el segundo término y el primer término (7-3=4), o el tercer término menos el segundo (11-7=4), en general cualquier término menos su antecesor. 9.1.2 Fórmula de enésimo término

Esta fórmula relaciona el término final o enésimo término, el primer término, el número de términos y la diferencia o razón aritmética.

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

Donde:

IN

𝑎𝑛 → 𝐸𝑠 𝑒𝑙 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑜 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 (𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑡𝑛 ) 𝑎1 → 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑃. 𝐴.

(𝑎1 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑡1 )

𝑛 → 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑑 → 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎

Ejemplo: a) En la siguiente progresión determinar el décimo término: 4,7,10,13 … … … … … … Para ser una P.A. debe cumplirse que: 𝑑 = 7 − 4 = 10 − 7 = 13 − 10 = 3 Si una de las diferencias no fuese 3, ya no sería una P.A., esto significa que la progresión va de 3 en 3 números. Así que se podría completar los términos que faltan sumando la diferencia 4 hasta llegar al décimo término.

196

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4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31 +3 +3 Pero también podría utilizarte la fórmula del enésimo término: Datos: 𝑎1 = 4 𝑑=3

(La diferencia es 3)

ST C IT EP U T I O

𝑛 = 10 (El número de términos entre 𝑎1 y 𝑎10 es 10) 𝑎10 =? (Se quiere determinar el décimo término) Aplicando la fórmula se tiene:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

𝑎10 = 4 + (10 − 1) ∙ 3

→ 𝑎10 = 4 + 27

→ 𝑎10 = 31

Aquí es importante aclarar que si bien 𝑎1 se refiere al primer término, en realidad puede ser cualquier término desde se quiera formar la progresión. En el ejemplo anterior, se podría tomar el tercer término o sea 10 como el primer término de la progresión, pero teniendo cuidado que el número de términos entre el tercer término y el décimo término son 8.

IN

Aplicando la fórmula se tiene:

𝑎10 = 10 + (8 − 1) ∙ 3

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

→ 𝑎10 = 10 + 21

→ 𝑎10 = 31 (la misma respuesta)

Para determinar el número de términos que existen entre dos términos, se puede restar sus subíndices y sumar 1. En el ejemplo anterior, para calcular el número de términos entre 𝑎3 y 𝑎10 se restan sus subíndices y se le suma 1 o sea: 𝑛 = 10 − 3 + 1 = 8 Ejemplos: -

El número de términos entre 𝑎8 y 𝑎15 es: 𝑛 = 15 − 8 + 1 = 8

-

El número de términos entre 𝑎12 y 𝑎50 es: 𝑛 = 50 − 12 + 1 = 39

Relación de un término con el primer término INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759- 22676

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Lic. Christian Meruvia M. En muchos ejercicios, es conveniente llevar los términos en función del primer término para esto se toma en cuenta que: 𝑎2 = 𝑎1 + 𝑑

(El segundo término es el primer término más una razón)

𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑑

(El tercer término es el primer término más dos razones)

𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑑

(El cuarto término es el primer término más tres razones)

𝑎5 = 𝑎1 + 4𝑑

(El quinto término es el primer término más cuatro razones)

Ya así sucesivamente. En el ejemplo anterior se tenía la progresión 4,7,10,13 … … … … … … y 𝑑=3

ST C IT EP U T I O

Donde se conoce que 𝑎1 = 4

Si se quiere determinar el décimo término y utilizando la anterior relación, se puede decir que 𝑎10 = 𝑎1 + 9𝑑 Reemplazando los datos se tiene: 𝑎10 = 4 + 9 ∙ 3



𝑎10 = 31

9.1.3 Fórmula de la suma de términos

Para sumar los términos de una P.A. se puede utilizar la siguiente fórmula: 𝑆𝑛 =

(𝑎1 + 𝑎𝑛 ) ∙ 𝑛 2

IN

𝑆𝑛 → 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 Ejemplo:

a) En la siguiente progresión determinar la suma de los primeros 5 términos: 4,7,10,13 … … … … … … La razón sigue siendo 3, por lo cual el quinto término es 16. Si sumamos estos términos se tendría 4 + 7 + 10 + 13 + 16 = 50. O sea que la suma de los primeros 5 términos es 50. Ahora bien, si utilizamos la fórmula de la suma se tendría: 𝑆𝑛 =

(𝑎1 +𝑎𝑛 )∙𝑛 2



𝑆5 =

(4+16)∙5 2



𝑆5 = 50

Para un ejemplo sencillo como el anterior, se puede sumar los números uno por uno pero si se hablara de sumar los primeros cien términos por ejemplo, ya no sería práctico realizar la suma número por número, es aquí que la fórmula presenta gran importancia.

198

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Ejemplos varios: a) Si el segundo término de una P.A. es 10 y el sexto término 34, determinar la suma de los 10 primeros términos. Primera forma: Datos: 𝑎2 = 10 𝑎6 = 34

ST C IT EP U T I O

Para poder hallar la suma, primero se determina el décimo término. Para esto se calcula el número de términos entre 𝑎2 y 𝑎6 , 𝑛 = 6 − 2 + 1  𝑛=5 Cuando en una progresión se tienen 2 términos cualesquiera, estos sirven para calcular la razón. Aplicando la fórmula del enésimo término:

En este caso el enésimo término es 𝑎6 y el primer término es 𝑎2 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 24 = 4𝑑 



34 = 10 + (5 − 1)𝑑



34 − 10 = 4𝑑

𝑑=6

Con este dato, se pueden calcular los términos de la progresión:

4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58

Aplicando la fórmula de la suma: (𝑎1 +𝑎𝑛 )∙𝑛 2

Segunda forma: Datos:



𝑆10 =

(4+58)∙10 2

IN

𝑆𝑛 =



𝑆10 = 310

𝑎2 = 10 𝑎6 = 34 Se convierten los dos términos en función a 𝑎1 : 𝑎2 = 𝑎1 + 𝑑



𝑎6 = 𝑎1 + 5𝑑 

10 = 𝑎1 + 𝑑 34 = 𝑎1 + 5𝑑

Resolviendo el sistema de ecuaciones: {

𝑎1 + 𝑑 = 10 //(×−1) 𝑎1 + 5𝑑 = 34



{

−𝑎1 − 𝑑 = −10 𝑎1 + 5𝑑 = 34 4𝑑 = 24



𝑑=6

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199

Lic. Christian Meruvia M. Reemplazando en 1: 

𝑎1 + 𝑑 = 10

𝑎1 + 6 = 10



𝑎1 = 4

Una vez que se han determinado estos valores, el décimo término será: 𝑎10 = 𝑎1 + 9𝑑 𝑎10 = 4 + 9×6



𝑎10 = 58

Una vez se ha calculado 𝑎10 se determina la suma con la fórmula: 𝑆𝑛 =

(𝑎1 +𝑎𝑛 )∙𝑛 2

ST C IT EP U T I O

b) Hallar “x” para que los siguientes términos formen una P.A.: 2𝑥 − 5, −2𝑥 − 4, −𝑥 + 1 Para que los 3 términos sean una P.A. la razón o diferencia debe ser: 𝑑 = −2𝑥 − 4 − (2𝑥 − 5) O sea el segundo término menos el segundo.

Pero también la diferencia puede ser el tercer término menos el segundo o sea: 𝑑 = −𝑥 + 1 − (−2𝑥 − 4) Igualando las dos expresiones se tiene: −2𝑥 − 4 − (2𝑥 − 5) = −𝑥 + 1 − (−2𝑥 − 4)

Resolviendo la ecuación de primer grado se tiene: 4 𝑥=− 5

𝑆𝑛 =

IN

c) Si la suma de los 8 primeros términos de una P.A. es 96 y si el quinto término vale 13, hallar el primer término. Aplicando la fórmula de la suma: (𝑎1 +𝑎𝑛 )∙𝑛 2

 𝑆6 =

(𝑎1 +𝑎8 )∙𝑛 2

 96 =

(𝑎1 +𝑎8 )∙8 2



𝑎1 + 𝑎8 = 24

El ejercicio plantea que 𝑎5 = 13 Convirtiendo estas dos expresiones en función a 𝑎1 se tiene:



𝑎1 + 𝑎8 = 24 𝑎5 = 13



𝑎1 + 𝑎1 + 7𝑑 = 24



2𝑎1 + 7𝑑 = 24 (1)

𝑎1 + 4𝑑 = 13 (2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones entre (1) y (2): 𝑎1 = 5 𝑑=2

200

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d) La resta del cuarto y segundo término de una P.A. es 6 y la multiplicación del primer y tercer término es 91. Hallar el quinto término. Planteando las ecuaciones se tiene: 𝑎4 − 𝑎2 = 6

𝑎1 ∙ 𝑎3 = 91

Se lleva todos los términos en función a 𝑎1 𝑎4 − 𝑎2 = 6



𝑎1 + 3𝑑 − (𝑎1 + 𝑑) = 6 



2𝑑 = 6

𝑑=3

𝑎12 + 2𝑎1 𝑑 = 91

ST C IT EP U T I O

𝑎1 ∙ (𝑎1 + 2𝑑) = 91



Reemplazando el valor de la razón: 𝑎12 + 2𝑎1 ∙ 3 = 91



𝑎12 + 6𝑎1 − 91 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado se tiene: 𝑎1 = 7 𝑎1 = −13 Para hallar el quino término se tiene: 𝑎5 = 𝑎1 + 4𝑑 

𝑎5 = −1

𝑎5 = 19

e) Sobre una recta en el suelo hay una canasta y 30 manzanas. La canasta está a 3 metros de la primera manzana y las manzanas están a 1,5 metros una de la otra. Una persona parte de la canasta, recoge la primera manzana y regresa a ponerla en la canasta; después hace la misma operación con la segunda manzana y así sucesivamente ¿Qué distancia recorre en total para recoger las 30 manzanas?

IN

Es conveniente realizar un dibujo del problema:

3m

1,5 m

1,5 m

1,5 m 1,5 m

La persona parte de la canasta y avanza 3 metros hasta la primera manzana y regresa otra vez 3 metros hasta la canasta o sea 6 metros en total, la segunda vez avanza 4,5 metros hasta la segunda manzana y otros 4,5 metros de vuelta en total 9 metros, la tercera ver 6 metros de ida y 6 metros de vuelta o sea 12 metros y así sucesivamente. Ahora se puede armar los términos de la progresión de la siguiente manera: 6, 9, 12 … … … … … ..

De aquí se calcula la razón: 𝑑 = 12 − 9 = 9 − 6 = 3 Determinando 𝑎30 con la fórmula del enésimo término:  𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 𝑎30 = 6 + (30 − 1) ∙ 3



𝑎30 = 93

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201

Lic. Christian Meruvia M. Lo que significa que recorre 93 metros en recoger la última manzana, pero aún falta determinar la distancia total recorrida:

𝑆𝑛 =

(𝑎1 +𝑎𝑛 )∙𝑛 2



𝑆30 =

(6+93)∙30



2

𝑆30 = 1485

Lo que significa que la distancia total recorrida son 1485 metros.

ST C IT EP U T I O

f) Un individuo conviene en pagar una deuda de Bs. 36000 en 40 pagos parciales que forman una progresión aritmética. Cuando 30 de los pagos están cubiertos, el deudor fallece dejando una tercera parte de la deuda sin cancelar. Calcular el valor del primer pago. La suma de 40 pagos es 36.000 Bs.

S 40 

40 (2t1  39d )  1.800  2t1  39d 2

(1)

Los 30 primeros pagos suman

1  36.000  36000 3 2  36.000* 3  24.000 S30 

30 (2t1  29d )  1600  2t1  29d 2

(2)

IN

2t1  39d  1800  2t1  29d  1600  (1)

2t1  39d  1800  2t1  29d  1600 10d  200 d  20 Reemplazando d, se tiene 2t1  29d  1600

2t1  29(20)  1600 t1  510 El primer pago fue 510 Bs.

202

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Si se analiza la siguiente progresión: 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34,39 se observa que la suma del primer y el último término es 43, pero la suma del segundo término y el penúltimo término también es 43, de la misma manera el tercer término y el antepenúltimo término suman 43. En general: 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3,…………………..𝑎𝑛−2 ,𝑎𝑛−1 ,𝑎𝑛 entonces: 𝑎1 + 𝑎𝑛 = 𝑎2 + 𝑎𝑛−1 = 𝑎3 + 𝑎𝑛−2 … … … … … … … … … ..

g) La suma de los 6 términos centrales de una progresión aritmética creciente de 16 términos es 141 y el producto de sus extremos es 46. La razón de la progresión aritmética es:

ST C IT EP U T I O

Los términos centrales son: 𝑎6 , 𝑎7 , 𝑎8 , 𝑎9 , 𝑎10 , 𝑎11

Entonces: 𝑎6 + 𝑎11 = 𝑎7 + 𝑎10 = 𝑎8 + 𝑎9 = 𝑎1 + 𝑎16

𝑎6 +𝑎7 + 𝑎8 + 𝑎9 + 𝑎10 + 𝑎11 = 141

3(a1  a16 )  141 a1  a16  46 Re solviendo: a1  1

a16  46

IN

Luego: a16  a1  (16  1)d 46  1  15d d 3

y

h) Calcular la suma de los números pares comprendidos entre 49 y 201 (puede considerarla como la suma de los términos de una progresión):

a1  50 an  200 d 2 Determinando el número de términos:

an  a1  (n 1)  d

→ 200  50  (n  1)  2 → 150  (n  1)  2 →

150  (n  1) 2

75  n  1 → n  76 Determinando la suma:

Sn 

an  a1   n 2

→

Sn 

200  50  76 2

→

Sn  9500

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203

Lic. Christian Meruvia M. 9.1. Interpolación de medios aritméticos Entre dos números dados, es formar una progresión aritmética cuyos extremos sean los dos números dados. Se llaman medios aritméticos a los términos de una progresión aritmética que se hallan entre el primer y último término. Ejemplo: a) Interpolar 5 medios aritméticos entre 4 y 22

Datos: 𝑎1 = 4 𝑎7 = 22 𝑛=7

ST C IT EP U T I O

Como se busca interpolar 5 medios aritméticos entre 4 y 22 el número de términos de la progresión es 7 (los 5 medios aritméticos más los 2 extremos).

Aplicando la fórmula del enésimo término:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 𝑑=3



22 = 4 + (7 − 1)𝑑



18 = 6𝑑

IN

Con este dato se puede construir la P.A.

4, 7, 10, 13, 16, 19, 22

Los medios aritméticos son: 7, 10, 13, 16, 19

204

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9.2 Progresiones geométricas (P.G.) En la progresión 2, 6, 18, 54,162………………… Se observa que si al número 2 se multiplica por 3 da como resultado el siguiente término que es 6, y si multiplicamos ese número por 3 resulta ser el tercer término y así sucesivamente. La razón geométrica se determina dividiendo cada término entre el anterior o sea: 6

𝑟=2=

18 6

=

54 6

=

162 54

=3

Si alguna de estas divisiones no resultara ser 3, ya no se trataría de una

progresión geométrica.

ST C IT EP U T I O

9.2.1 La fórmula del enésimo término Para determina cualquier término de una progresión geométrica, se puede utilizar la siguiente fórmula:

𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑟 𝑛−1

Donde:

𝑎𝑛 → 𝐸𝑠 𝑒𝑙 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑜 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑎1 → 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑃. 𝐺. 𝑛 → 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑟 → 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎

También se debe tener en cuenta que: 𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑟

IN

𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑟 2 𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑟 3 𝑎5 = 𝑎1 ∙ 𝑟 4

Y así sucesivamente. 9.2.2 Fórmula de la suma de términos Para determinar la suma de los términos de una progresión geométrica, se puede utilizar la siguiente fórmula:

Sn 

a1  ran 1 r

;

r 1

Donde:

S n  Es la suma de los “n” términos en una progresión geométrica. INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759-22676

205

Lic. Christian Meruvia M. an  Es el enésimo término de la progresión a1  Es el primer término de la progresión geométrica.

r

Es la razón geométrica.

Ejemplo: a) El cuarto término de una P.G. es 54 y el segundo término es 6, determinar el octavo término y la suma de los ocho primeros términos. Datos:

𝑎2 = 6

ST C IT EP U T I O

𝑎4 = 54

Al igual que en las progresiones aritméticas, se puede determinar la razón cuando se tienen dos términos cualquiera de la progresión. El número de términos entre 𝑎2 y 𝑎4 es 𝑛 = 4 − 2 + 1 = 3 Aplicando la fórmula del enésimo término se tiene: 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑟 𝑛−1



𝑟 = √9



54 = 6 ∙ 𝑟 3−1



54 6

= 𝑟2

𝑟=3

Para calcular el octavo término, se aplica la fórmula del enésimo término, formando la P.G. desde 𝑎2 hasta 𝑎8 donde el número de términos es 𝑛 = 8 − 2 + 1 = 7 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑟 𝑛−1 

IN

𝑎8 = 6 ∙ 37−1

El primer término de la P.G.es

𝑎2 𝑟



𝑎8 = 4374

6

o sea 𝑎1 = 3 = 2

La suma de los términos se calcula aplicando la fórmula de la sumatoria.

Sn 

a1  ran 1 r



𝑆𝑛 =

2−3∙4374 1−3



𝑆𝑛 =

2−13122 −2

𝑆𝑛 = 6560 b) Una persona tiene 548000 Bs y gasta cada mes la mitad de lo que tiene. ¿En cuantos meses tendrá 17125 bs? 1

Este ejercicio se puede resolver por progresiones, donde la razón es 2 debido a que cada mes gasta la mitad de lo que tiene.

206

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Lic. Christian Meruvia M. Pero para este ejercicio en particular, es más práctico, armar la progresión dividiendo el monto original entre 2 hasta llegar al monto que quedará. 548000, 274000, 137000, 68500, 34250, 17125 Con lo cual se observa que después de 5 meses el monto es 17125

La razón es: 𝑟 =

,𝑥+2 𝑥−1

ST C IT EP U T I O

c) Determinar el valor de “x” para que los siguientes términos formen una progresión geométrica: 𝑥 − 1, 𝑥 + 2, 2𝑥 + 4

Pero también la razón es: 𝑟 = Igualando: ,𝑥+2 𝑥−1

=

2𝑥+4 𝑥+2

Resolviendo la ecuación:

,𝑥+2 𝑥−1

2𝑥+4 𝑥+2

=

2𝑥+4 𝑥+2

𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 2𝑥2 − 2𝑥 + 4𝑥 − 4 𝑥=4

𝑥 = −2





(𝑥 + 2)(𝑥 + 2) = (2𝑥 + 4)(𝑥 − 1)

𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0

𝑥=4

IN

Pero reemplazando 𝑥 = −2 no cumple con la condición de ser una P.G. Con lo cual: 21 2

d) La suma de los tres primeros términos de una progresión geométrica creciente es

21 ; si el segundo término es 2

igual a tres. Determinar la razón de la progresión geométrica.

Una progresión geométrica es una sucesión de números tal que cada uno de los términos posteriores al primero se obtiene multiplicando al anterior un número constante llamada razón geométrica.

a1  a2  a3 

21 2

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA Como se tiene el segundo término de la progresión, el primer término se conseguirá dividiendo este término por la razón, el tercer término se obtiene multiplicando el segundo término por la razón: a1 

a2 r

a3  a2  r Remplazando estas relaciones: a1  a2  a3 

21 → a2  a2  a2  r  21 2 r 2

Remplazando a2  3 :

3  3r  3r 21 3 21  → 6  6r  6r 2  21r → 6r 2  15r  6  0 →  3  3r  r 2 r 2

2r 2  5r  2  0 →

ST C IT EP U T I O

2

2r  42r  1  0 → r  22r  1  0 2

r 2 r  1

2

Como la progresión es creciente: r  2

IN

d) En una progresión geométrica de 4 términos, la razón es 5 y la suma de los términos es 312. Determinar el primer y último término. Aplicando la fórmula de la suma:

𝑆𝑛 =

𝑎1 −𝑟𝑎𝑛 1−𝑟



312 =

𝑎1 −5𝑎4 1−5



−1248 = 𝑎1 − 5𝑎4

Convirtiendo 𝑎4 en función a 𝑎1 se tiene: −1248 = 𝑎1 − 5𝑎1 ∙ 𝑟3 

−1248 = −624𝑎1



−1248 = 𝑎1 − 5𝑎1 ∙ 5 𝑎1 =

1248 624



3



−1248 = 𝑎1 − 625𝑎1

𝑎1 = 2

El último término es 𝑎4 𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑟 3

208



𝑎4 = 2 ∙ 53



𝑎4 = 250

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Práctica # 9 Progresiones aritméticas 1) Hallar la diferencia (razón) de una progresión aritmética de 15 términos, siendo el primer término  1 / 8 y el último 5 / 2 R. 3/16

a2  4 y a5  22 .

ST C IT EP U T I O

2) Hallar el término a23 de una progresión aritmética donde R. 130

3) Determinar la fórmula de enésimo término de la siguiente progresión aritmética: 13, 4, -5, -14… R. 22  9n 4) Encontrar la suma de los primeros 20 términos de la siguiente progresión aritmética: -1/2, 1/4,… R. 265/2 5) Calcula la suma de todos los números pares de 2 cifras. R. 2430

6) El séptimo término de una progresión aritmética es 28, el tercer término es 12 ¿Cuál es la suma de los 10 primeros términos? R. 220

IN

7) En la progresión 3, -2, -7………. El número que ocupa la posición 99 es: R. -487

8) La población de una ciudad está disminuyendo a una tasa de 500 habitantes por año. Si su población a principios de 1960 era de 20135, ¿Cuál era su población a principios de 1970? R. 15635 9) En un huerto hay 35 filas de árboles frutales, y en cada fila hay 5 árboles más que la anterior. Sabiendo que en la séptima fila hay 37 árboles, calcular los árboles que hay en la última fila y en la primera fila. R. 177 y 7 10) En un huerto hay 20 filas de árboles frutales, y en cada fila hay 3 árboles más que en la fila anterior. Sabiendo que en la fila número 8 existen 40 árboles, ¿Cuántos árboles hay en todo el huerto? R. 950 árboles. 11) Hallar la suma de los números impares de 3 cifras múltiplos de 3.

R. 82800

12) Si el primer día gano 10 ctvs el segundo 20 ctvs, el tercer día 30 ctvs ¿Cuánto gano en todo el mes? R. 46,50 Bs

209

Lic. Christian Meruvia M. 13) Cuantos medios aritméticos se deben interpolar entre 32 y 77 de tal manera que se forme una progresión aritmética cuya suma resultante incluyendo los extremos sea 545. R. 8 14) Interpolar 10 medios aritméticos entre 3 y 47 ¿Cuánto vale la razón? R. 4 15) Nivel B: Una persona conviene en pagar una deuda de Bs. 3250 en 10 pagos parciales que forman una 12

progresión aritmética. Cuando 2 de los pagos están cubiertos, el deudor sigue debiendo las partes de la deuda. 13 Calcular el valor del primer pago. R. 100

ST C IT EP U T I O

16) Nivel B: Las edades de 6 hermanos forman una progresión aritmética cuya suma es de 120 años, al nacer el menor de los hermanos el mayor cumplía 20 años. ¿Hace cuantos años la edad del tercero fue el triple de la edad del menor? R. 6 17) La suma del tercer y sexto término de una P.A. es 27, si el segundo término es 6. Determinar el décimo término.

R. 30

18) Un arquitecto diseña un teatro con 15 asientos en la primera fila, 18 en la segunda, 21 en la tercera, así sucesivamente. Si el teatro ha de tener 870 asientos de capacidad, ¿Cuantas filas debe usar el arquitecto en su diseño? R. 20 filas 19) Una P.A. está compuesta de 7 términos, el término central vale 12 y la suma del segundo y penúltimo término es 24. Hallar la suma de los 7 términos

R. 84

IN

Progresiones geométricas

19) Encontrar el término a7 de la progresión geométrica que tiene: a2  24 y a5 R. 3/4

3

20) Encontrar el término a25 de la siguiente progresión geométrica: ab2 , a 2b5 , a 3b8 ,......... ... R. a 25b74 21) Encontrar el valor de x de modo que x+7, x-3, x-8 formen una progresión geométrica de tres términos en el orden dado. R. 13 22) Si x-2,x+4,x+22 son los términos de una progresión geométrica .Calcular el valor de x. R. 5

210

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23) Encuentra la suma de los primeros 15 términos de la siguiente progresión geométrica: x/y, -1, y/x,………… R.

y 15  x15 yx13  y  x 

24) Una persona que originalmente tenía 300000 Bs gasta cada día la mitad de su dinero. ¿Después de cuantos días tendrá 9375 Bs? R. 5 25) Una persona ahorro bs. 128 en enero y de ahí en adelante solo ha podido ahorrar la mitad de lo que ahorro el mes anterior, ¿Cuánto ha ahorrado en el décimo mes y cuanto es su ahorro total? R.

a10  0,25; S10  255,75

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25) Cierto cultivo bacteriano crece duplicando su cantidad cada día. Al finalizar el primer día hay 1000 bacterias, ¿Cuántas habrá después de 10 días? R. 512000 26) Una sustancia radiactiva se desintegra de tal modo que al final de cada mes solo hay la tercera parte de lo que había al principio. Si había 75 gramos de la sustancia al principio del año, ¿Cuánto queda a mitad del año? R. 0,3086 27) Nivel B: Se observa que la población de cierta comunidad aumenta geométricamente en un factor de 2/3 cada año. Si la población es de 1000 al comienzo del primer año. Halla la población al comienzo del undécimo año. R. 165381 28) Nivel B: La suma de tres números en P.G. es 70, si se multiplican los dos extremos por 4 y el intermedio por 5, los productos están en P.A. Hallar el primer término. R. 10

127 . =87

IN

29) En una progresión geométrica el primer término es 8, el último es Hallar la razón y el número de términos.

1 8

y la suma de todos los términos es: R.

1

= 2

30) Nivel C: El primer término de una progresión aritmética es 2, y el primero, tercero y séptimo término de esta progresión forman una progresión geométrica. Hallar la suma de los primeros 7 términos de la progresión aritmética. R. 35 31) En una progresión geométrica de 4 términos, la razón vale 3 y la suma de sus términos es 40. Hallar el primer y último término. R. a1 =1

an=27

32) En una progresión geométrica el primer término es 20 y el último 640, si la razón es 2, el número de términos de la progresión es: R. 6

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211

Lic. Christian Meruvia M. 33) El primer término de una progresión geométrica es 3 y el sexto término es -729. La razón es: R. -3 34) Si el primer día gano 10 ctvs. El segundo 20 ctvs., el tercer día 40 ctvs. ¿Cuánto gano después de 15 días en total? R. 327670 ctv. 35) Un conejo muy particular está a 2 metros de una zanahoria, este conejo tiene la propiedad de saltar solo la R. No llega mitad del camino que tiene que recorrer. ¿En cuántos saltos llega a la zanahoria? 36) Nivel C: La capacidad del radiador de un camión es de 5 galones y se llena con agua. Se le saca un galón de agua y se reemplaza con un galón de anticongelante; después, se saca un galón de la mezcla y de nuevo se reemplaza por un galón de anticongelante. Este proceso se repite en forma indefinida ¿cuánta agua queda en el radiador después de haber

IN

R. 64/25 galones

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repetido 3 veces este proceso?

¿Cuál de los círculos del medio es más grande? ¿Seguro? Por qué no los mides con una regla para estar seguro.

212

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IN

10.1 BINOMIO Y TRINOMIO AL CUBO

10.2 EL BINOMIO DE NEWTON

10.3 PROPIEDADES DEL BINOMIO

10.4 GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DEL BINOMIO

213

Lic. Christian Meruvia M. 10.1 Binomio y trinomio al cuadrado y al cubo (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (−𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3

ST C IT EP U T I O

(−𝑎 − 𝑏)3 = −𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 − 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 𝑏 3 + 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) Equivalencia de Cauchy (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 𝑏 3 − 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏)

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 (𝑎 − 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 (𝑎 − 𝑏 − 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐

IN

10.2 El binomio de Newton El teorema del binomio es una fórmula con la cual se puede determinar directamente los términos del desarrollo del binomio. El término general de este desarrollo se escribe como: (𝑎 ± 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ± 𝑛𝑎𝑛−1 𝑏 ±

𝑛(𝑛 − 1) 𝑛−2 2 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) 𝑛−3 3 𝑎 𝑏 ± 𝑎 𝑏 … … … … … . . ±𝑏 𝑛 2! 3!

Siendo el símbolo ! el factorial de un número. 0! = 1 1! = 1 2! = 2×1 = 2 3! = 3×2×1 = 6 4! = 4×3×2×1 = 24

214

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INSTITUTO C.E.P.I. 5! = 5×4×3×2×1 = 120

ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA Etc.

Ejemplo: a) Desarrollar el binomio (𝑎 + 𝑏)5 5∙4 3 2 5∙4∙3 2 3 5∙4∙3∙2 4 (𝑎 + 𝑏)5 = 𝑎5 + 5𝑎4 𝑏 + 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 5 2 3∙2 4∙3∙2 Simplificando: (𝑎 + 𝑏)5 = 𝑎5 + 5𝑎4 𝑏 + 10𝑎3 𝑏 2 + 10𝑎2 𝑏 3 + 5𝑎𝑏 4 + 𝑏 5

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10.3 Propiedades del binomio 1) Si el signo que separa a los dos términos es positivo, todos los términos del desarrollo del binomio serán positivos, si el signo que separa a los dos términos es negativo, entonces los términos del desarrollo se intercalarán entre positivos y negativos. En el ejemplo anterior: (𝑎 − 𝑏)5 = 𝑎5 − 5𝑎4 𝑏 + 10𝑎3 𝑏 2 − 10𝑎2 𝑏 3 + 5𝑎𝑏 4 − 𝑏 5 2) Si el binomio se encuentra elevada a la “n” potencia, entonces el desarrollo del binomio tendrá “n+1” términos. En el ejemplo (𝑎 − 𝑏)5 se encuentra elevada a la potencia 5, por lo que el desarrollo del binomio tiene 6 términos. 3) Los coeficientes del desarrollo del binomio son simétricos, que consiste en que los coeficientes de términos equidistantes de los extremos son iguales. En el ejemplo, el primer y último término tienen coeficiente 1, el segundo y el quinto tienen coeficiente 5 y el tercer y cuarto tienen coeficiente 10. 4) El coeficiente del primer término es la unidad y del segundo es “n”.

IN

5) La suma de los exponentes a y b es siempre igual a “n” en cualquiera de los términos. 6) Mientras el primer término del binomio está en forma descendente (𝑎5 , 𝑎4 , 𝑎3 , 𝑎2 , 𝑎), el segundo término se encuentra en el desarrollo en forma ascendente (𝑏, 𝑏 2 , 𝑏 3 , 𝑏 4 , 𝑏 5 ) 7) Si en cualquiera de los términos el coeficiente se multiplica por el exponente de “a” y este producto se divide entre el exponente de “b” aumentado en 1, el resultado es el siguiente coeficiente del siguiente término. 10.4 Generalización del teorema del binomio (𝑎 ± 𝑏)𝑛 = 𝑐0𝑛 𝑎𝑛 ± 𝑐1𝑛 𝑎𝑛−1 𝑏 ± 𝑐1𝑛 𝑎𝑛−2 𝑏 2 ± 𝑐1𝑛 𝑎𝑛−3 𝑏 3 … … … … … . . ±𝑐𝑛𝑛 𝑏 𝑛 Siendo 𝐶𝑟𝑛 , la combinatoria de r en n (La combinatoria se pude denotar también como (𝑛𝑟)) La fórmula de la combinatoria es: 𝑛 𝑛! 𝐶𝑟𝑛 = ( ) = 𝑟 𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

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Lic. Christian Meruvia M. Ejemplo : a) Calcular el cuarto término del binomio (𝑎 + 𝑏)5 El binomio tiene 6 términos “n+1”, como se desea calcular el cuarto término se resta 6-4=2 que será la potencia del primer término. Como las dos potencias de los términos deben sumar 5, el término “b” debe tener potencia 3. 𝑎2 𝑏 3 Para calcular el coeficiente se debe aplicar la fórmula de combinatoria: 𝑛! 𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

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𝐶𝑟𝑛 =

En este caso como se quiere determinar el cuarto término, “r” es igual a 3 (se resta 1). 5!

𝐶35 = 3!(5−3)!

5×4×3×2×1



𝐶35 = 3×2××1×2×1



5×4×3×2×1

𝐶35 = 3×2××1×2×1 

𝐶35 = 10

De esta manera el término buscado es 10𝑎2 𝑏 3

Lo cual significa que, para determinar cualquier término, se puede utilizar la siguiente fórmula:

𝑛 ( ) 𝑎𝑛−𝑟 ∙ 𝑏 𝑟 𝑟

En el ejemplo anterior, si se quiere calcular el cuarto término, entonces 𝑟 = 3 (se resta 4-1).

(53)𝑎5−3 𝑏 3

IN

Con lo cual se tiene: 

(53)𝑎2 𝑏 3



10𝑎2 𝑏 3

b) En el siguiente binomio determinar el coeficiente del término

y4.

12

 3 1  y   y  El primer término será

y 36 , el segundo y 32 , el tercero y 28

El término buscado es el noveno. 12

El coeficiente será: ( 8 ) (Combinatoria de 8 en 12)

216

12! 12 1110  9 =  495 8!(12  8)! 4  3  2 1

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 1 c) Determinar el término central del binomio:  y  3  y  

8

- EL binomio tiene 9 términos 8  1  9 : - El desarrollo del binomio sin contar con los coeficientes tiene la forma:

a8  a 7 b  a 6b 2  a 5b3  a 4b 4 .......... . - El quinto término es el término central:

 

4

1 8! 1 8 7  65 1 C  y   3  →  y 2  12 →  10 → 70y 10 4!8  4! 4  3 2 y y y  4

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8 4

 1  d) Determinar el término independiente de  x 7   3 x  Por combinatoria:

 1  22 C21 x 7  3   x

 

21

→ C 21 x  22 7

1 x7

 

→

22

22! = 21!22  21!

;x0

22

e) Obtener el término central del siguiente binomio: 10

IN

a b    b a

tér min o central

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 1061

 10  a  T6      6  1  b  5

 b    a

61



5

10 ! a 5 b5  10  a   b            5 ! 5 ! b5 a 5  5  b   a  T6  

10  9  8  7  6  5!  3  2  7  6  6  42  252 1  2  3  4  5  5!

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Lic. Christian Meruvia M. f) Calcular el valor de “n” en el siguiente binomio, si los coeficientes de los lugares 7 y 8 son iguales. 𝑛 𝑛 ( 𝑥 + 𝑦) 8 El lugar 7, tiene como potencia 𝑛 + 1 − 7 o sea 𝑛 − 6 𝑛 𝑛−6

El coeficiente será: 𝐶6𝑛 ( ) 8

𝑛 𝑛−6

𝑛!



( ) 6!(𝑛−6)! 8

𝑛 𝑛−7

El mismo análisis para el lugar 8: 𝐶7𝑛 ( ) 8

𝑛!



𝑛 𝑛−7

( ) 7!(𝑛−7)! 8

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Como los dos coeficientes deben ser iguales, se igualan las anteriores expresiones:

𝑛! 𝑛 𝑛−6 𝑛! 𝑛 𝑛−7 = ( ) ( ) 6! (𝑛 − 6)! 8 7! (𝑛 − 7)! 8

𝑛 8

=

7𝑛

7!(𝑛−7)!

=𝑛−6

 

7𝑛 8

(𝑛−6)!

= (𝑛−7)!



7𝑛 8

=

(𝑛−6)(𝑛−7)(𝑛−8)(𝑛−9)………….. (𝑛−7)(𝑛−8)(𝑛−9)…………….

𝑛 = 48

IN

8

6!(𝑛−6)!

218

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Práctica # 10 1) Calcular el término central del siguiente binomio: (𝑥 2

− 2𝑦 3 )6

6 9

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R. −160𝑥 𝑦

2𝑥 3

2) Calcular el término independiente en el siguiente binomio: ( R. 495

𝑦2

+

𝑦4

12

) 4𝑥 6

15

1

3) Hallar el quinto término del siguiente binomio: ( − √2) 𝑎

R.

5460 𝑎11

1

4) Determinar el término central del siguiente binomio: ( − 3𝑥)

8

𝑦

R. 5670

𝑥4 𝑦4

IN

5) Nivel B: Hallar el número de términos del siguiente binomio, si se sabe que el coeficiente del cuarto

término es el doble que el coeficiente del tercer término. R. 5 𝑦 6

[(𝑛 − 3)𝑥 + (𝑛 − 1)𝑦]𝑛

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Estas son las últimas dos pruebas, fue un gusto trabajar contigo. No te olvides que todo lo que te Propones lo puedes conseguir. 1) Si en una carrera adelantas al que está segundo, ¿En qué posición quedas?

IN

2) Si la hija de María es la madre de mi hija. ¿Entonces yo que soy de María? a) Abuela b) Madre c) Hija d) Nieta e) Yo soy María

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TEMAS DE REPASO TEMA 1 Sistemas de numeración

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La actual base numérica que se utiliza es la arábica que tiene base 10 o sea que se utilizan 10 números con los cuales se pueden escribir cualquier número, estos números son el 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. Por ejemplo el número 58 es el dígito 5 y el dígito 8. Pero el sistema arábico no es el único, por ejemplo, los babilónicos utilizaban bases mixtas entre 10 y 60, los mayas utilizaban una base 20 y los incas una base decimal. Las computadoras utilizan una base binaria (base 2), solo se utilizan las cifras 0 y 1.

IN

Base 2 (Binaria) 3 4 5 6 7 8 9 10 (Decimal) 11 12 16 (Hexadecimal)

Cifras utilizadas 0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Lo que significa que cualquier número se puede escribir en cualquier base. 1.1 Conversión de un número que está en base 10 a otra base. Ejemplo: a) Convertir el número 39 a base 5 Se debe realizar divisiones sucesivas para convertir el número a base 5, lo que significa que el número 39 se debe dividir entre 5 y el cociente de esta división otra vez entre 5 y así sucesivamente hasta que el cociente sea menor que 5.

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Lic. Christian Meruvia M. 39 (4)

5 7 (2)

5 1

El número se escribe desde el último cociente y los residuos.

1245

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Nótese que en este número no puede aparecer nunca el número 5, puesto que en la base 5 solo existe los números 0, 1, 2, 3, 4. Como este número tiene base menor que la base 10, el número es mayor o sea 124 > 39

b) Convertir el número 56 a base 2

56 16 (0)

2 28 (0)

2 14 2 (0) 7 2 (1) 3 (1)

2 1

El número es 1110002

IN

2.1 Conversión de un número que está en otra base distinta de 10 a base 10 El paso opuesto sería convertir por ejemplo el número 1245 a base 10, eso se realiza de la

siguiente manera.

Cada cifra se multiplica por la base y se suman entre ellas, luego cada base (en este caso el 5) se eleva desde la base cero en forma creciente del término de la derecha al de la izquierda.

222

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Ejemplo: a) Convertir el número 1245 a base 10

1×52 + 2×51 + 4×50 Calculando se tiene: 1×25 + 2×5 + 4×1 = 39

b) Un mismo número se expresa en dos bases distintas, determinar el valor de “n”: 1001𝑛 = 2407

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Los dos números en distintas bases, son el mismo número en base 10 con lo cual se debe convertir ambos números a base 10. 1×𝑛3 + 0×𝑛2 + 0×𝑛1 + 1×𝑛0 = 2×72 + 4×71 + 0×70

𝑛3 + 1 = 98 + 28 + 0

𝑛3 = 125



3

𝑛 = √125

IN

𝑛=5



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Práctica # 11 1) El número 576 se representa en base 7 como:

R. 1450

R. 1821 3)

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2) El número 1396 en base 9 se representa como:

El número 105, en base binaria se representa como:

R. 1101001 4) El número

R. 716

8759 , se representa en base 10 como:

5) El número 15A712 , se representa en base 10 como:

IN

R. 2575

6) Si la edad de Hugo es LXI años, la edad de Carlos es 1011012 años y la edad de Juan es 40 años, entonces: a) Juan es el menos joven

b) Carlos es el más viejo

d) Carlos es mayor que Juan y menor que Hugo

c) Hugo es el más joven

e) Ninguno

7) Un número se representa por 281 y 353 en dos sistemas de numeración cuyas bases son dos números consecutivos. El número en base 10 es:

R. 235 8) Nivel B: Un número se representa por 1002 y 331 en dos sistemas de numeración cuyas bases son dos números consecutivos. El número en base 10 es:

R. 127

224

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TEMA 2 Números naturales

Ejemplos: a) Tres corredores salen del mismo punto y dan vueltas alrededor de una pista circular, el primero da una vuelta cada 3 minutos, el segundo da una vuelta cada 5minutos y el tercero da una vuelta cada 8 minutos. ¿Después de que tiempo los tres corredores pasan por el punto de partida juntos?

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Simplemente se debe calcular el mínimo común múltiplo de los tres corredores: 𝑚. 𝑐. 𝑚. = 120

Lo que significa que los corredores se encuentran en el punto de partida luego de 120 minutos.

b) Se tienen envases de 500, 380 y 460 litros de capacidad, se quiere llenar bidones pequeños de máxima capacidad de manera que no sobre líquido. ¿De qué capacidad deben ser estos bidones pequeños? ¿Cuantos bidones se pueden llenar? Para determinar la capacidad máxima de los bidones se debe calcular el máximo común divisor.

500 250 125 25 5 1

2 2 5 5 5

IN

Se descompone los números 500, 380 y 460.

500 = 22 ∙ 53

380 2 190 2 95 5 19 19 1

380 = 22 ∙ 5 ∙ 19

460 230 115 23 1

2 2 5 23

460 = 22 ∙ 5 ∙ 19

Para determinar el M.C.D. se escoge los números que se encuentran en las tres descomposiciones con su menor potencia. En este caso 22 y 5. 𝑀. 𝐶. 𝐷. = 22 ∙ 5 = 20 Entonces la capacidad de cada bidón pequeño es de 20 litros. INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759- 22676

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Lic. Christian Meruvia M. Para determinar cuántos bidones se pueden llenar se debe dividir la capacidad de los envases entre 20. 500 20

= 25 bidones

380 20

= 19 bidones

460 20

= 23 bidones

Total de bidones 25 + 19 + 23 = 67

c) ¿A cuánto tengo que vender los libros que se ha comprado a Bs. 6 para ganar en 15 libros el valor de la compra de5 libros?

Costo de cada libro 6 Bs

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𝑥 ⟶ 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎

Se quiere ganar el valor de la compra de 5 libros o sea 5×6 = 30 𝑏𝑠.

Si son 15 libros y se quiere ganar 30 bs., en cada libro se quiere ganar 2 bs.

Por lo cual cada libro se debe vender en 8 bs o sea 6bs del costo más 2 bs de la ganancia.

IN

d) Una persona pinta una habitación en 10 horas, otra persona pinta una habitación del mismo tamaño en 8 horas y una tercera persona pinta una habitación del mismo tamaño en 6 horas. ¿En qué tiempo pintarán las tres personas junta una habitación del mismo tamaño? 𝑥 ⟶ 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑛 𝑙𝑎 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛

12+15+20 120

=

1 𝑥



1 1 1 1 + + = 10 8 6 𝑥

47 120

=

1 𝑥

Este valor mostrado como fracción mixta: 2

226

 26 47

𝑥=

120 47

horas.

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e) Un grifo llena una piscina en 5 horas, otro grifo llena la misma piscina en 4 horas, mientras un desagüe saca el agua en 6 horas. Si se abren los dos grifos y el desagüe al mismo tiempo. ¿En cuánto tiempo se llena la piscina? 𝑥 ⟶ 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑛𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑖𝑠𝑐𝑖𝑛𝑎 1 1 1 1 + − = 5 4 6 𝑥 17 60

=

1



𝑥

60

𝑥 = 17



𝑥=3

9 17

Horas.

1 𝐴 1 𝐴

1

1

1

𝐵

𝐶

10

+ + = 1

1

𝐵

12

+ =

ST C IT EP U T I O

f) Los obreros A, B y C, terminan una obra en 10 días, los obreros A y B solos hacen la misma obra en 12 días. ¿En cuántos días terminaría la obra trabajando C solo? Trabajando A, B y C juntos.

Trabajando A y B solos.

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera: 1

1

1

+ 𝐶 = 10 12

1

𝐶

=

1

10

−

1

12



1

𝐶

=

1 60

IN

𝐶 = 60 𝑑í𝑎𝑠



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227

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Práctica # 12

R. 7

ST C IT EP U T I O

1) ¿Cuántos triángulos hay?

R. 8

IN

2) ¿Cuántos triángulos hay?

3) ¿Cuántos cuadrados hay?

R. 30

228

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4) ¿Cuántos cuadriláteros hay?

R. 11

R. 480

ST C IT EP U T I O

5) En una resta, si al minuendo se le agregan 2 unidades en las decenas y al sustraendo se le aumenta 5 unidades en las centenas, entonces la diferencia disminuye en:

6) En una resta, si al minuendo se le agregan 7 unidades en las decenas y 8 unidades; por otro lado, al sustraendo se le aumenta 2 unidades en las centenas, entonces la diferencia disminuye en:

R. 122

7) El producto de 2 números es 720; si se añaden 6 unidades al multiplicando, el producto es entonces 816. ¿Cuál es el multiplicador?

R. 16

IN

8) El cociente de la división de un número entero entre otro es 19 y el resto es 26. Si se suman el dividendo, el divisor, el cociente y el resto, la suma obtenida es 1011. ¿Cuál es el dividendo?

R. 919

9) A una fiesta ingresan un total de 350 personas, entre hombres y mujeres, recaudándose Bs 1850 debido a que cada hombre pagaba Bs 6 y cada mujer Bs 4. ¿Cuál es la diferencia entre el número de hombres y mujeres?

R. 100 10) Un estudiante se compromete a presentar a su padre la resolución de 8 problemas diarios. El padre da al hijo Bs 9 por cada problema bien resuelto y el hijo abona al padre Bs 6 por cada problema que deje de presentar o este mal resuelto. Al cabo de 20 días el hijo gano Bs 540 ¿Cuántos problemas resolvió bien el estudiante?

R. 100

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Lic. Christian Meruvia M. 11) Rocío, cada día gasta la mitad de lo que tiene más 20 Bs; si gasto todo en 4 días. ¿Cuánto gasto el segundo día? R. 160 12) Ocho personas realizan un viaje, cuyos gastos convienen pagar por partes iguales. Al término del mismo, tres de ellos no pudieron hacerlo y entonces cada uno de los restantes tuvo que pagar Bs 180 más. ¿Cuánto costó el viaje? R. 2400 13) Un grupo de alumnos acuerda hacer un viaje pagando cada uno el trasporte en partes iguales, cuyo costo total es Bs 150. A último momento deciden viajar otros 5 reduciendo el pago en Bs 1,5. ¿Cuántos alumnos viajan realmente y cuánto paga cada uno? R. 20 alumnos; Bs 7,5

R. 12

ST C IT EP U T I O

14) Un negociante tiene tres barriles de vino de 360, 480 y 600 litros, desea venderlos en recipientes pequeños de máxima capacidad de modo que no sobre vino en ninguno de los barriles. ¿Cuántos recipientes necesita?

15) 3 ciclistas dan vueltas alrededor de una pista circular, los tres salen del mismo punto, el primero tarda 2 minutos en dar una vuelta, el segundo 3 minutos y el tercero 10 minutos. ¿En cuánto tiempo pasarán los 3 juntos por la línea de partida? R. 30 minutos 16) Un fabricante de wiski tiene 3 barriles con las siguiente cantidades: 300 175 y 50 litros respectivamente. Desea vender este producto en recipientes pequeños de máxima capacidad, de modo que, no quede producto en ninguno de los barriles. ¿Cuántos recipientes pequeños necesita? R. 21

IN

17) El denominador excede al numerador de una fracción en la unidad. Si al denominador se le agrega 4 unidades, la nueva fracción es 2 unidades menos 13/6 de la fracción original. ¿Cuál es el numerador de la fracción original? R. 3 18) Una persona realiza un trabajo en 4 horas, otra persona realiza el mismo trabajo en 3 horas. ¿Si trabajan juntos, en cuanto tiempo terminan el trabajo? R. 12/7 19) Los obreros A, B y C hacen una obra en 18 días, pero se sabe que A y B realizan la misma obra en 30 días. ¿En cuántos días hace la obra C trabajando solo? R. 45 20) Un grifo llena un estanque en 2 horas, otro grifo lo llena en 4 horas, mientras un desagüe lo vacía en 6 horas. Si los tres se abren juntos al mismo tiempo, ¿En cuánto tiempo se llena el estanque? R. 12/7 hrs 21) Nivel B: Los tiempos empleados por dos pintores para pintar cada uno un metro cuadrado difieren entre sí en un minuto. Trabajando conjuntamente emplean una hora en pintar 27 metros cuadrados. ¿En cuánto tiempo pinta cada uno un metro cuadrado? R. 4 y 5 minutos

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22) ¿Cuánto costó lo que al venderse en 12517 Bs. Deja una pérdida de 1318 Bs.?

R. 13835 Bs.

23) ¿A cómo hay que vender lo que ha costado 9309 bolivianos para ganar 1315?

R. 10624 Bs.

24) Un ganadero compró 80 cabezas de ganado a 40 $us cada una. Vendí 30 a $us 45 y 25 a $us 48. ¿Cuánto debe obtener de las que quedan para que la ganancia total sea $us 400? R. 1050 $us 25) El lunes perdí 40 Bs, el martes gané 125 Bs, el miércoles gané el doble de lo que tenía el martes y el jueves después de perder la mitad de lo que tenía, me quedan 465 Bs. ¿Cuánto tenía antes de comenzar a jugar? R. 225 Bs

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26) Un estanque tiene 2 llaves, una de la cuales vierte 117 litros en 9 minutos y la otra 112 litros en 8 minutos, y un desagüe por el que salen 42 litros en 6 minutos. El estanque contenía 500 litros de agua y abriendo las 2 llaves y el desagüe al mismo tiempo se acabó de llenar en 48 minutos. ¿Cuál es la capacidad del estanque? R. 1460 litros 27) Vendí por 445 Bs. Los libros que me habían costado 885 Bs. Perdiendo así 4 Bs. En cada libro ¿Cuántos libros tenía? R. 110 28) Tres perros arrancan juntos en una carrera en una pista que es circular. Si el primero tarda 10 segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo en 11 segundos y el tercero en 12 segundos ¿Al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida? y ¿cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese tiempo? R.

IN

29) Un estanque se puede llenar por dos llaves, una de las cuales vierte 200 litros en 5 minutos y la otra, 150 litros en 6 minutos. El estanque tiene un desagüe por el que salen 8 litros en 4 minutos. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si estando vació, se abren al mismo tiempo las dos llaves y el desagüe, sabiendo que su capacidad es de 441 litros? R. 7 min. 30) Compré 80 libros por 5600 bolivianos. Vendí una parte por 5400, a 90 cada uno. ¿Cuántos libros me quedan y cuánto gané en cada uno de los que vendí? R. Quedan 20; gané 20 bolivianos. 31) Un reloj que adelanta 4 minutos en cada hora señala las 4 y 20. Si ha estado andando 8 horas, ¿Cuál es la hora exacta? R. 3 y 48 min. 32) Dos cintas de 36 metros y 48 metros de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo? R. 12 m. 33) Tres galgos arrancan juntos en una carrera en que la pista es circular. Si el primero tarda 10 segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo 11 segundos y el tercero 12 segundos, ¿al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida y cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese tiempo? R. 660 segundos. u 11 min.; el 1ro, 66; el 2do, 60; el 3ro, 55. INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759-22676

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Lic. Christian Meruvia M. 34) Una tubería vierte en un estanque 200 litros de agua en 3/4 de hora y otra tubería, 300 litros en el mismo tiempo ¿Cuánto vierten las dos juntas en 2 horas? 1

R. 1333 3 lts

IN

ST C IT EP U T I O

35) Raúl cumple años el día 17 de julio, sabiendo que el 20 de abril de 1995 fue martes diga que día fue el cumpleaños de Raúl ese año si se sabe que abril tiene 30 días, mayo 31 y junio 30. R. Día sábado

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TEMA 3 Proporcionalidad

a) Las edades de José y Pedro están en relación de 3 a1, si la edad de José excede en 10 años al doble de la edad de Pedro, determine la relación de la edad de José y Pedro dentro de 5 años. 𝑥 ⟶ 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐽𝑜𝑠é 𝑦 → 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑦

=

3 1

Las edades de José y Pedro están en relación de 3 a1

ST C IT EP U T I O

𝑥

𝑥

=

3

𝑦 1 { 𝑥 − 10 = 2𝑦

Resolviendo el sistema se tiene:

𝑥 = 3𝑦 { 𝑥 − 10 = 2𝑦

𝑥 − 3𝑦 = 0 { 𝑥 − 2𝑦 = 10



//(×−1)

IN

−𝑥 + 3𝑦 = 0 { 𝑥 − 2𝑦 = 10 𝑦 = 10 Edad de Pedro Reemplazando en (1):

𝑥 − 3 ∙ 10 = 0



𝑥 = 30 Edad de José

La relación de la edad de José y Pedro dentro de 5 años:

30+5 10+5

=

35 15

=

7 3

Repartición directa e inversa: b) Un padre desea repartir una herencia de 22000 bolivianos en forma directamente proporcional a las edades de sus 3 hijos de 10, 8 y 4 años respectivamente. ¿Cuánto le toca a cada uno? Se debe calcular la proporción que le toca a cada hijo. Se suman las tres edades: 10 + 8 + 4 = 22

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Lic. Christian Meruvia M. Cada edad se divide entre el total: 22

8 22

4 22

=

=

=

5 11

4 11

2 11

5

Lo que significa que al primer hijo le toca las 11 partes.

4

Lo que significa que al segundo hijo le toca las 11 partes.

2

Lo que significa que al tercer hijo le toca las 11 partes.

ST C IT EP U T I O

10

Estas proporciones se las multiplica por el número que hay que repartir: 5 11 4 11 2 11

∙ 22000 = 10000 ∙ 22000 = 8000 ∙ 22000 = 4000

También 10, 8 y 4 se puede dividir entre un número común sin que la proporción cambie, en este caso los tres números se pueden dividir entre 2, o sea 5, 4, 2

IN

c) Tres socios aportan en una empresa de la siguiente manera: el primero aporta 1000 bs durante 4 años, el segundo 2000 bs durante 3 años y el tercero 3000 bs durante 1 año. Si la empresa tiene una utilidad de 6500 bs, ¿Cuánto le toca a cada socio de la utilidad? El aporte total de cada socio es: Socio 1: 4×1000 = 4000 𝑏𝑠 Socio 2: 3×2000 = 6000 𝑏𝑠 Socio 3: 1×3000 = 3000 𝑏𝑠

Los tres números se pueden dividir entre mil: 4, 6, 3 Se suman los tres números: 4 + 6 + 3 = 13

234

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ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

Determinando las proporciones se tiene: 4

∙ 6500 = 2000 𝑏𝑠

13 6

∙ 6500 = 3000 𝑏𝑠

13 3

∙ 6500 = 1500 𝑏𝑠

13

ST C IT EP U T I O

d) Una persona quiere repartir un terreno de 6200 𝑚2 entre sus tres hijos en forma inversamente proporcional a sus edades, si las edades son 2, 3 y 5 años. ¿Qué superficie le toca a cada hijo? Se determinan las inversas de los números: 1

1

2

3

Se suman las inversas: +

+

1 5

=

1 1 1

, ,

2 3 5

31 30

Dividiendo cada número entre la suma: 15

=

31

1 3 31 30

=

1 5 31 30

=

10 31 6 31

IN

1 2 31 30

Cada una de estas proporciones se multiplica por el número que se quiere repartir: 15 31 10 31 6 31

∙ 6200 = 3000 𝑚2 ∙ 6200 = 2000 𝑚2 ∙ 6200 = 1200 𝑚2

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Lic. Christian Meruvia M. Regla de tres compuesta e) En una caravana que está a punto de salir, marchan 2000 personas y tienen provisiones para 10 días comiendo 3 raciones al día por persona. Si a último momento se integran 500 personas más ¿Cuántos días les alcanzará la comida si ahora comerán solo 2 raciones al día?

2000 personas_____________10 días______________3 raciones/día 2500 personas_____________ x _________________2 raciones/día

-

ST C IT EP U T I O

Se compara personas y raciones al día con la incógnita que es días, la pregunta empieza “si a más” si la respuesta es “más” significa que su relación es directamente proporcional, si la respuesta es “menos” significa que la relación es inversamente proporcional. A más días ¿más personas o menos personas? O sea la pregunta va dirigida a que si la caravana marcha más días, las provisiones alanzarán menos días (+ -) Inversamente proporcional. A más días ¿más raciones/día o menos raciones/día? O sea la pregunta va referida a que si la marcha dura más días, las raciones alcanzarán menos veces por día (+ -) Inversamente proporcional. La incógnita es siempre directamente proporcional.

Inverso

Directo

Inverso

IN

2000 personas_____________10 días______________3 raciones/día 2500 personas_____________ x _________________2 raciones/día

Si es directamente proporcional se coloca la relación tal como se muestra. Si es inversamente proporcional se coloca la relación invertida. 10 𝑥

=

2500 2

∙

2000 3



10 𝑥

=

25 2

∙

20 3



10 𝑥

=

5 6



𝑥 10

6

=5

𝑥 = 12 Días

236

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f) 20 obreros trabajando 5 horas al día durante 10 días, pueden cavar una zanja de 7 metros de largo, 2 de ancho y 6 metros de profundidad. ¿Cuántos obreros trabajando 2 horas y media al día durante 15 días, pueden cavar una zanja de 7 metros de largo, 4 metros de ancho y 3 metros de profundidad, pero con un terreno del doble de dificultad?

20 0breros______5 h/d_____10 días______7 m.l.______2 m.a.______6 m.p.______1 de dificultad X obreros______2,5 h/d_____15 días_____7 m.l._______4 ma.______3 m.p.______2 de dificultad

-

-

ST C IT EP U T I O

Se relaciona todo con obreros para ver si son directamente proporcional o inversamente proporcional. A más horas al día ¿Se necesitan más obreros o menos obreros? La respuesta es menos (+ -) Inversamente proporcional. Aunque la pregunta también se la podría haber realizado en sentido contrario o sea A más obreros se necesita trabajar menos horas al día (la misma conclusión) A más días para realizar el trabajo ¿Se necesitan más obreros o menos obreros? La respuesta es menos (+ -) inversamente proporcional A más metros de largo que tiene la zanja ¿Se necesitan más obreros o menos obreros? La respuesta es más (+ +) directamente proporcional.

Y así con los demás.

D

I

I

D

D

D

D

IN

20 0breros______5 h/d_____10 días______7 m.l.______2 m.a.______6 m.p.______1 de dificultad X obreros______2,5 h/d_____15 días_____7 m.l._______4 ma.______3 m.p.______2 de dificultad

El número 7 se puede simplificar porque da lo mismo que sea directo o inverso. 20 𝑥

=

2,5 15 2 6 1 5

∙

∙ ∙ ∙

10 4 3 2



20 𝑥

=

3 8



𝑥 20

=

8 3

1

𝑥 = 53 Obreros. 3

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Lic. Christian Meruvia M. g) 2 obreros realizan las

3 5

partes de una obra trabajando 10 horas al día en 30 días. ¿En cuántos días

terminarán la obra el doble de obreros si trabajan 8 horas al día? I

D

I

D

3

2 obreros_______ 5 partes _______10 horas/d_______30 días 2

4 obreros_______ 5 partes _______ 8 horas/d_______ x días

3

2

30 𝑥

4

= ∙ 2

𝑥 = 12

3 5 2 5

1 2

∙

8 10

ST C IT EP U T I O

Si se han avanzado las 5 partes de la obra, falta por concluir las 5 partes. 30



𝑥

=

12



5

𝑥

30

=

5

12

Días o sea 12 días y medio.

h) Una cuadrilla de 10 personas trabajando 6 horas por día, deben terminar una obra en 20 días. Al cabo de 15 días solo han terminado el 60 % de la misma. ¿Cuántas personas deben reforzar la cuadrilla para terminar la obra a tiempo trabajando 8 horas al día?

10 𝑥

8

= ∙

5

∙

IN

D I I D 5 personas____________6 h/d_____________15 días_____________60 % X personas____________8 h/d_____________ 5 días_____________40 % 60

6 15 40



10 𝑥

=

2 3



𝑥 = 15 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠

Lo que significa que habrá que reforzar con 5 personas fuera de las 10 que ya hay. i) En una construcción hay 3 secciones de obreros, la primera consta de 4 obreros y trabajan 8 horas al día, la segunda sección consta de 6 obreros y trabajan 6 horas al día, por último la tercera sección tiene 8 obreros y trabajan 6 horas al día. Si la primera sección gana 2000 bs, ¿Cuánto ganan entre las tres secciones?

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Regla de tres de la primera y segunda sección: D D D 4 obreros__________8 h/d__________2000 bs 6 obreros__________6 h/d__________ x bs 2000 𝑥

4 8

= ∙

6 6



2000 𝑥

=

8 9



𝑥 2000

=

9 8



𝑥 = 2250 𝑏𝑠 (Lo que gana la sección 2)

Regla de tres de la primera y tercera sección:

2000 𝑥

4 8

= ∙

8 6



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D D D 4 obreros__________8 h/d__________2000 bs 8 obreros__________6 h/d__________ x bs 2000 𝑥

=

2 3



𝑥

2000

=

3 2



𝑥 = 3000 𝑏𝑠 (Lo que gana la sección 3)

IN

Las tres secciones juntas ganan 2000 + 2250 + 3000 = 7250

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Práctica # 13

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1) Nivel B: En un corral hay “n” aves entre patos y gallinas. Si el número de patos es a “n”, como 5 es a 12 y la diferencia entre el número de gallinas y de patos es 18. ¿Cuál será la relación entre patos y gallinas, si se mueren 13 gallinas? R. 9/10 2) La razón de dos números es 7/3. ¿Cuál será la razón de la suma de los cuadrados a su diferencia de cuadrados? R. 29/20

3) El costo de un terreno es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de Cochabamba al terreno y directamente proporcional a su área, Un cierto terreno cuesta 5000 y otro de doble de área y situado a una distancia de Cochabamba cuádruple de la anterior. ¿Cuál es su valor? R. 625 4) Dos familias alquilan una casa común. Como hay un solo medidor de energía eléctrica pagan los gastos de iluminación de acuerdo al número de lámparas que cada familia usa: 8 y 12 respectivamente. A principio de mes el medidor señala 3769 Kwh y a fin de mes registra 4069 Kwh; si la tarifa es de Bs 0,125 el Kwh ¿Cuánto paga cada familia este mes? R. 15 y 22,5

IN

5) Dos ganaderos arriendan un pastizal por Bs 6545. El primero introduce 150 reses durante 180 días, dejándolas en el 10 horas al día. El segundo introduce 80 reses durante 260 días dejándolas 8 horas diarias. ¿Qué suma debe pagar el segundo ganadero? R. 2496 aprox. 6) Un estudiante que vive en el último piso de una casa, en una de sus salidas baja los escalones de 2 en 2 y lo sube de 3 en 3. Si en total dio 100 pasos. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera? R. 120 7) Para pintar un cubo de 10 cm. de arista se gastó 12 Bs. ¿Cuánto se gastará para pintar otro cubo de 15 cm. de arista? R. 27 8) Quince albañiles trabajando 12 horas diarias durante 16 días, pueden hacer una zanja de 4 metros de largo, 2 metros de ancho y 1,5 metros de profundidad. Si 20 albañiles trabajando “x” horas diarias, durante 18 días, pueden hacer una zanja de 3 metros de largo, 1,5 de ancho y 2 metros de profundidad. R. 6 9) Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días, después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Con cuántos días de retraso se terminó la obra? R. 9

240

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10) Una cuadrilla de 40 obreros se compromete a construir en 24 días cierta obra. Al cabo de 18 días han hecho 5/11 de la obra. ¿Cuántos obreros tendrán que reforzar la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado? R. 104 11) Una guarnición de 1500 hombres tiene víveres para 5 meses comiendo 2 raciones al día, si se retiran 500 hombres y se come 1 ración al día. ¿Cuántos meses alcanza la comida? R. 15 meses 12) Diez hombres se comprometen a hacer una obra en 20 días. Luego de trabajar 6 días juntos se Retiran 6 hombres. ¿Con cuántos días de retraso se termina la obra?

R. 21 días

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13) En una obra se han empleado tres secciones de obreros. La primera sección constaba de 3 obreros y trabajo 4 días a razón de 5 horas diarias la segunda sección constaba de 4 obreros y trabajo 4 días a razón de 5 horas diarias y la tercera sección constaba de 6 obreros y trabajo 5 días a razón de 4 horas diarias si la segunda sección recibió bs 320 ¿Cuánto recibieron entren las 3 secciones? R. 1040 14) Nivel B: 10 hombres trabajando en una construcción de un puente hacen las 3/5 partes de la obra en 8 días. Si se retiran 8 hombres ¿Con cuántos días de retraso se terminara el puente si el compromiso era de entregarlo en 20 días? 2

R. 14 3

15) Repartir 580 en partes directamente proporcional a 7,10 y 12

1

16) Repartir 670 en partes directamente proporcional a 0,4; 1/2; 1 3 2 3 3 4

17) Repartir 2410 en partes directamente proporcional a 0,6; 2 ;

R. 140,200,240 R. 120,150,400 R. 360,1600,450

IN

18) Repartir 33 en partes inversamente proporcional a 1,2 y 3

19) Repartir 415 en partes inversamente proporcional a 36,40 y 48

R. 18,9,6 32

50

24

R. 156 53 , 140 53 , 117 53

20) Un trabajo puede ser hecho por 13 personas en 28 días a razón de 6 horas diarias. Si 5 de ellas aumentaron su rendimiento en 20 %. ¿Cuánto tiempo tardaran si trabajan 8 horas diarias? R. 19 días 12 h. 21) Un inspector Municipal llega a visitar 60 establecimientos en una semana invirtiendo 8 horas cada día. ¿Cuántos establecimientos podrán visitar 3 inspectores en 2 semanas si se emplean 6 horas al día? R. 270 22) Nivel B: Doce hombres se comprometen a hacer una obra en 8 días. Luego de trabajar 3 días juntos se retiran 3 hombres. ¿Cuántos días de retraso termina la obra terminan la obra?

R. 1

2 3

días

23) Al quitar 18 a cada uno de los números la razón entre los mismos sería como 5 es a 7. Si la razón inicial de los mismos era como 7 es a 9. Hallar el número mayor. R. 81 INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL CURSOS PREUNIVERSITARIOS Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759-22676

241

Lic. Christian Meruvia M. 24) Si a/80=80/c. Hallar c, si: a/80=70/c – 5

25) Nivel B: Se tiene la siguiente serie:

72 𝑎

R. c = 40

𝑏

𝑐

=6=7=

84 𝑑

y se sabe que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 91. Hallar c-d

R. 7 26) 5/c=4/d=6/e. Sabiendo que c + d + e = 120, hallar c, d y e. R. c = 40, d = 32, e = 48. Porcentajes

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27) Una señora lleva al mercado 2000 huevos y encuentra que el 10% estaba en mal estado y solo pudo vender el 60% de los buenos ¿Cuántos quedaron sin vender? R. 920 28) ¿Cuál es el precio original de un artículo que se vendió en 110 Bs y está incrementado en un 10%?

R. 100 Bs.

29) Un artículo se ha rebajado un 40 %, si el monto de la rebaja fue 500 Bs. ¿Cuál era el precio original del artículo? R. 1250 Bs. 30) ¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que se vendió en Bs 180 habiéndose hecho un descuento del 20%?

IN

R. 225 Bs

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