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Comprobación de las Leyes de la Óptica Geométrica Báez Martínez Aeyrotn Oliver, López Paleta Natalia, Tenorio Jiménez Montserrat Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas

Resumen Esta primera práctica está dividida en tres partes en cada una de las cuales se pretende demostrar una de las dos principales leyes de la óptica geométrica y un caso particular de ellas. En la primera parte se demostrará la Ley de la Reflexión, en la segunda la Ley de la Refracción o Ley de Snell y en la tercera parte una combinación de ambas, el fenómeno conocido como Reflexión Total Interna, con el que se mide l indice de refraccion del vidrio.

Introducción Aún si no tenemos conocimiento teórico alguno de física o de óptica podemos muy bien darnos cuenta (inconscientemente) de las propiedades de la luz. Al vernos en un espejo o al observar como un lápiz se “parte” dentro del agua somos testigos de las leyes básicas en las que se apoya la óptica; es decir la Ley de Reflexión y la Ley de Refracción. Y aunque no seamos conscientes de ello o no tengamos la información del porque suceden estos fenómenos, ellos son parte de nuestra vida cotidiana y son tan comunes para nosotros como la gravedad, el electromagnetismo o la fusión y la evaporación del agua -por mencionar algunos-. Así pues es de esperar que, en un laboratorio de óptica, el primer experimento a realizar sea, precisamente, uno relacionado con estas Leyes que son pilar de la óptica.

primero por Ibn Sahl en el siglo XIII y luego en el XVII fue enunciada por Willebrord Snel van Royen, por quien también lleva el nombre de Ley de Snell. Fig.01

Esta ley se refiere a que el rayo de luz, al incidir con un ángulo θ i respecto a la normal- en un medio con indice de refracción n 1 y pasar a otro medio con indice de refracción n 2 cambia de dirección con un ángulo θ t -respecto a la normal- que obedecen a la siguiente relación:

Marco Teórico La ley de Reflexión se refiere la propiedad que tienen ciertos materiales de reflejar la luz. En ellos la luz, al reflejarse, “rebota” con un ángulo igual al incidente con respecto a la normal de la superficie reflejante. En otras palabras el rayo de luz, al chocar contra la superficie reflejante, cambia de dirección en un angulo igual, con respecto a la normal, que con el que incidió. Hay que añadir que el rayo incidente, el rayo reflejado y la normal se encuentran sobre un mismo plano. Esto quiere decir que: (Ver Fig. 1)

θ i =θ r

La Ley de Refracción, por otro lado, fue descubierta

(Ver Fig.01)

n 1 sin ( θ i ) =n 2 sin ( θ t )

Donde n1 y n2 son dados experimentalmente. Además esta propiedad es simétrica, es decir que implica que las trayectorias de los rayos de luz son reversibles. O sea que si un rayo incidente sobre la superficie de separación con un ángulo de incidencia

θ i se refracta sobre el medio con un ángulo de refracción θ t , entonces un rayo incidente en la dirección opuesta desde el medio n 2 con un ángulo de incidencia θ t se refracta sobre el medio n 1 con un ángulo θ i . El fenómeno de la Reflexión Total Interna no es sino una consecuencia de la Lay de Snell. Esto sucede

cuando un haz de luz atraviesa un medio de indice de

cuadrado, sustituimos y luego simplificamos:

refracción n 1 e incide en la superficie de un medio de indice de refracción menor n 2 . Como sabemos el haz cambia de dirección de un ángulo θ i a uno θ t , sin embargo al ir aumentando θ i , θ t también lo hace (siguiendo la relación que nos da la Ley de refracción) hasta que sea igual a 90º con la normal, es decir paralelo a la superficie entre ambos medios. Este ángulo θ i al que le corresponde un θ t =90º se le llama ángulo crítico y, a partir de él, si θ i continúa aumentando, el haz de luz no será capaz de transmitirse al medio n2 y será reflejado en el medio

n1 .(Ver fig. 02)

Fig.02

En esté experimento, el prisma que utilizamos es uno de 90-45-45, de tal forma que tenemos:

sin θ 1 =n 2 sin θ 2 y n2 sin ( θ 2 −45 ) =−1

( 2 ) Ahora extendiendo constante a la parte derecha nos da: sin θ −45

y pasando la

sin θ 1 =n 2 sin θ 2 y n2 sin θ 2−n 2 cos θ 2 =− √ 2 Que sustituyendo la primera en la segunda y pasándolo al miembro derecho

n 2 −sin 2 θ 1 =( √ 2+sin θ 1 ) Despejando

n

22

:

n 2 =sin 2 θ 1 + ( √ 2+sin θ 1 )

Arreglo Experimental Este experimento se dividió en tres partes. Primera parte. Ley de Reflexión. Materiales empleados: Láser Espejo con base rotatoria Pantalla Flexómetro Se alineo el láser para que el rayo viajara paralelo a la superficie de la mesa. A la altura del rayo y a una distancia de alrededor de 1m se coloco el espejo en su base rotatoria con su superficie perpendicular al haz de luz de tal manera que el éste golpeara en el centro del espejo y regresara a la apertura del láser. Esta posición se tomo cómo inicial con θ i =0 A una distancia y=27.25in del espejo y paralela al haz del láser se coloco una pantalla. Ver Fig. 02 Se fue girando el espejo en sentido contrario a las manecillas del reloj y se registro, cada 2 grados, la posición sobre la pantalla en la que golpeaba el haz. De esta manera se tomo obtuvo la distancia x en función del ángulo en el que giraba el espejo.(Ver fig.03)

Multiplicamos todo por -1 y luego elevamos todo al cuadrado: 2 2 ( n2 cos θ 2 ) = ( √ 2+sin θ 1)

Utilizamos identidades trigonométricas en el coseno al cuadrado y extendemos la ecuación: 2

2

2

Ahora utilizamos de nuevo la primera ecuación pero al

2

2

−n2 cos θ 2=−√ 2−sin θ 1

n 2 −n 2 sin 2 θ 2 =( √ 2+sin θ 1 )

2

2

Fig.03

Segunda Parte. Ley de Snell Materiales empleados: Láser Espejo con base rotatoria Tina transparente de vidrio Agua Papel milimetrico Escuadra Flexometro Se alineo el láser para que el rayo viajara paralelo a la superficie de la mesa. A la altura del rayo y a una distancia de alrededor de 1m se coloco el espejo con el poste que lo sostiene a la base rotatoria paralelo a la superficie de la mesa, de tal manera que el haz del láser golpee en el centro del espejo y sea capaz de reflejarlo a la mesa. Ver la figura 04. Se tomó como ángulo inicial cuando la superficie del espejo está perpendicular al haz del láser, es decir cuando el haz reflejado “chocara” contra la abertura del láser. Se giro el espejo en contra de las manecillas del reloj un ángulo de 44º y se midieron los siguientes valores: Distancia de la superficie de la mesa al centro del espejo H1=12.3cm Distancia sobre la superficie de la mesa del centro del espejo al punto donde choca el láser con la mesa V1=11.75cm Este punto se marcó en una hoja milimétrica que se fijó a la mesa. También se marcó el punto justo debajo del centro del espejo.

Tercera Parte. Reflexión total interna y medición del indice de refracción del vidrio. Materiales empleados: Láser Base rotatoria Prisma triangular de vidrio Pantalla Flexómetro Escuadra Se alineo el láser para que el rayo viajara paralelo a la superficie de la mesa. A una altura 0.5cm menor que la altura del rayo y a una distancia de alrededor de 1m se colocó la base rotatoria en la que iría el prisma y, posteriormente y a una distancia x=36.4cm, se colocó la pantalla perpendicular a la superficie de la mesa y al rayo. (Ver fig. 05) Se marcó el lugar donde el láser golpeaba la pantalla (punto cero) y posteriormente se colocó el prisma sobre su base rotatoria para que una de las caras cuadradas pequeñas quedara perpendicular al láser y a la superficie de la mesa de tal manera que éste golpeara en dicha cara y regresara a la apertura del láser. En este momento el prisma reflejaba por completo el rayo de luz, posteriormente se giró poco a poco en el sentido de las manecillas del reloj hasta que llegó a su ángulo crítico en el que el haz “salía” paralelo a la hipotenusa del triángulo en el prisma y chocaba con la pantalla. En este punto se registró un ángulo θ p =6º que había girado el prisma y se marco el lugar donde el rayo golpeaba la pantalla y, por último, se midió la distancia y=42.3cm entre éste punto y el punto cero.

Fig.04

Sobre la hoja se colocó la tina y se le agregó agua hasta una altura H2=8cm Se midió, apoyándose en el papel milimétrico, la distancia entre el punto antes marcado y en el que ahora chocaba el haz del láser y se calculó la distanciaV2=5cm(Ver fig. 04)

Fig.05

para obtener los valores de la tabla 1.1 con los datos de la tabla 1.2. Resultados Los resultados obtenidos de la realización de los experimentos se mostraran a continuación en las tablas y gráficas correspondientes: Primera Parte (Ley de reflexión) Tabla 1.1 θ 2θ 20° 35.50° 22° 44.38° 24° 48.18° 26° 51.97° 28° 56.29° 30° 60.22° 32° 64.44° 34° 68.47° 36° 72.33° 38° 76.30° 40° 80.48° 42° 84.63° 44° 88.63° En un principio se obtuvo una tabla con las distancias x con las se generaron los datos para la tabla 1.1. Tabla 1.2 θ x 20 38.78 22 27.84 24 24.34 26 21.31 28 18.18 30 15.56 32 13.03 34 10.75 36 8.68 38 6.64 40 4.57 42 2.55 44 .65 Pero fueron necesarios realizar ciertas operaciones

Siguiendo la fig.06 y usando Y1=Yy X1=X además de

y x y despejando la función trigonométrica −1 nos queda la siguiente ecuación ф= tan y / x . tan ф=

Fig.06

De donde obtendremos el ángulo ф con lo que comprobaremos la ley de reflexión θi=θr. Analizando la tabla 1.2 vemos que hay un error de ± 0.5 debido a la graduación de los instrumentos de medición utilizados. Segunda parte (Ley de Refracción) Para esta parte solo fue necesario tomar una sola medición pero se necesitaron realizar más cálculos que a continuación se muestran.

θ i =arctan Fue

necesario

( )

calcular

( ) H1 V1

y

H2 θ t =arctan V2

. Una vez obtenidos los ángulos únicamente era necesario obtener el índice de refracción del agua en la siguiente ecuación:

n1 sin θ i =n 2 sin θ t Siendo n1 el índice de refracción del aire que es tomado como uno. Tras despejar n2 obtenemos:

n2 =

n1 sin θ i sin θ t

Sustituyendo valores obtenemos que n2=1.303. Parte tres (Reflexión total interna y medición del

Índice de refracción del vidrio)

Referencias

Para esta parte, igual que para la anterior, solo fue necesario tomar únicamente un dato para comprobar el fenómeno de la refracción total interna de un prisma de cristal. Usando el ángulo θ=45º− β donde

[1]http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/ondas/reflex_tr ans/prisma/prisma.html [2]Hecht, Eugene. ÓPTICA. Addisson Wesley Iberoamericana. Madrid 2000

β=arctan

( yx )=49 . 28º (Ver fig. 05) θ= 4 . 28º

Sustituyendo éste valor en la siguiente ecuación

n 2 =sen 2 θ+ ( √ 2 +senθ )

2

y despejando n.

n=√ ( sen 2 θ+ ( √ 2+senθ )

2

)

obtenemos el índice de refracción del prisma de vidrio n= 1.514... Obtivimos en valor del ángulo crítico de la siguiente manera:

θ c =45º−θ p =39º Con la que también podemos obtener n sustituyendo

θ c =39º en la siguiente relación: 1 sin θ c = n

De donde, despejando n, obtenemos el índice de refracción n=1.58... Conclusiones Analizando los valores obtenidos en la primera parte con los que se esperaba obtener hay una diferencia de ± 0.5 pues se esperaba 2θ al realizar las operaciones necesarias. De la segunda parte se concluye y observa que el valor obtenido en el índice de refracción es de 1.303 comparando este dato con el que se presenta en la tabla se observa que hay una diferencia de 0.03. Y por último, en la tercera parte, en donde se tenía que encontrar el índice de refracción total del prisma, hay un error de ± 0.6 que lo atribuimos al tipo de cristal del cual está elaborado del prisma (ya que en algunos libros n va de 1.52 a 1.58). Además, el hecho de que nuestros valores experimentales tengan estos errores lo podemos atribuir a dos factores: el primero a un error humano ya que al redondear las medidas obtenidas nos alejamos del resultado esperado y otro por la graduación de los instrumentos utilizados para este. Sin embargo observamos que con este arreglo experimental se logra un medición muy cercana a lo esperado por la teoría.