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• Anahi Torres Trinidad

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO CAMPUS TUXTLA GUTIÉRREZ INGENIERÍA BIOQUÍMICA B8A INGENIERÍA DE PROCESOS

“GRADOS DE LIBERTAD Y ALGORITMO DE LEE RUD”

M.C. ANA LAURA GUZMÁN RABASA

INTEGRANTE

NÚM. DE CONTROL

CADÓ GONZÁLEZ SILVIO FIGUEROA DÍAZ AMAYRANI FONSECA PÉREZ JORGE DE JESÚS TORRES TRINIDAD VICTORIA ANAHÍ

16270447 16270461 16270462 16270514

TUXTLA GUTIÉRREZ, CHIAPAS A 05 DE MARZO DE 2020

ÍNDICE INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................2 DESCRIPCIÓN DE CONCEPTOS...............................................................................................3 GRADOS DE LIBERTAD...........................................................................................................3 ALGORITMO DE LEE RUD.......................................................................................................3 EJERCICIOS...................................................................................................................................5 EJERCICIO 01.............................................................................................................................5 EJERCICIO 02.............................................................................................................................8 EJERCICIO 03...........................................................................................................................11 CONCLUSIONES..........................................................................................................................14 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS..........................................................................................15

INTRODUCCIÓN En general, el modelo de una planta completa contiene miles de ecuaciones e incógnitas. Más aún, un problema de diseño involucra un número significativamente mayor de incógnitas que de ecuaciones, siendo su diferencia los grados de libertad que deben especificarse para definir un sistema compatible (igual número de incógnitas que de ecuaciones). Existen numerosas alternativas para realizar esta asignación. Como se verá más adelante, necesitamos algoritmos prácticos que nos permitan realizar la tarea, más aún si lo debemos hacer computacionalmente (algorítmicamente). Por otra parte, dado que deben manejarse miles de ecuaciones, es la única forma de realizarlo. (Scenna, 1999) Es por ello que necesitamos herramientas numéricas para resolver sistemas de ecuaciones no lineales de gran dimensión, que sean lo suficientemente eficientes como para resolverlas rápidamente y sin problemas de almacenamiento en memoria. Este problema es típico tanto en simulación estacionaria como dinámica (Scenna, 1999) Dentro de este contexto, la primera sección de este proyecto se analizará la importancia de la aplicación del método de Lee-Rudd que es una herramienta muy útil para facilitar la selección de variables de diseño, así como se realizará un análisis del número mínimo de variables generalizadas independientes de un proceso o bien conocidos como grados de libertad. Por consiguiente, el objetivo de este trabajo es demostrar cuan necesario es determinar tanto las variables de diseño como los grados de libertad en un proceso sea la índole que sea puesto que de no realizar estos ejercicios se tornará difuso el panorama de trabajo del proceso además de que no será posible realizar un ejercicio de optimización del mismo.

DESCRIPCIÓN DE CONCEPTOS GRADOS DE LIBERTAD Se refiere al número mínimo de parámetros que necesitamos especificar para determinar completamente el número de reacciones de una estructura o problema. Los grados de libertad serán las variables que es necesario fijar de algún modo para que el sistema esté completamente determinado, y por tanto tenga solución única. Los GL podrán venir fijados externamente: perturbaciones al sistema, o internamente: mediante el sistema de control y la optimización. Para realizar el análisis se pueden formular todas las ecuaciones del proceso, contar las variables y ver el resultado, sin embargo, repetir este procedimiento en cada caso puede ser tedioso y propenso a que se cometan errores.

ALGORITMO DE LEE RUD Para problemas cuya modelación arroja grados de libertad positivos, situación que representa la inmensa mayoría de casos en el campo de la ingeniería química, dos aspectos son de importancia: a) La manera en que se van a satisfacer esos grados de libertad, lo cual implica seleccionar las variables de diseño que se requieren para poder resolver el problema, y b) La forma en que se va a resolver el sistema de ecuaciones resultante. Para este punto es muchas veces conveniente establecer el orden en el cual esas ecuaciones deben resolverse con objeto de minimizar los problemas numéricos en el proceso de solución. Para satisfacer los grados de libertad, se tienen dos aspectos. Primero se puede establecer el valor de algunas variables de acuerdo con estipulaciones establecidas, generalmente por alguna conveniencia, por ejemplo, que están contenidas en ecuaciones cuya solución sea muy difícil para obtener esas variables. Las demás variables que se requiere estipular deben entonces de seleccionarse de tal manera que se facilite la solución del sistema de ecuaciones resultante. El algoritmo de Lee-Rudd provee una herramienta muy útil para facilitar la selección de variables de diseño.

Se construye primero un matriz de incidencia, el cual consiste en formar un arreglo con renglones (o filas) que especifican las ecuaciones y columnas que identifican las variables contenidas en el sistema de ecuaciones. Se detecta la presencia de una variable en una ecuación mediante algún identificador en ese elemento de la matriz, se tiene la ausencia de ese identificador. En seguida se detecta la columna que contenga una sola X, lo cual representa que esa variable aparece únicamente en esa ecuación: se elimina esa columna (variable) y su correspondiente renglón (ecuación) y se repite el procedimiento con el sistema de ecuaciones reducido. Eventualmente, todas las ecuaciones se eliminan y las columnas que quedaron sin eliminar representan las mejores variables de diseño para ese problema. La solución entonces está dada por el proceso inverso al de la eliminación, o sea que la primera ecuación en eliminarse es la última en resolverse. Si el proceso de eliminación se cumple habiendo en cada paso una columna con un solo elemento de incidencia, significa que la solución del sistema de ecuaciones es secuencial y no requiere de la solución simultánea de algún subconjunto de ecuaciones o de soluciones mediante ensayo y error. El número de columnas sin eliminar en estos casos igual al número de grados de libertar del problema. El algoritmo de Lee-Rudd busca resolver de mejor manera el problema presentado, este algoritmo casi no presenta variables de reciclo, porque lo que se pretende es que se solucione eficazmente.

EJERCICIOS EJERCICIO 01 Se desea analizar el Sistema de condensación mostrado en la Figura 1. El diseño del equipo se basará en agua de enfriamiento como medio de condensación y se conocen otras variables de acuerdo a la información proporcionada. Figura 1. Esquema de intercambiador de calor del ejercicio 1.

Temperatura de la corriente D: 80°C Agua 15°C Flujo de D: 100 kg/h Para el equipo, U = 1000 kcal/h m2 °C Propiedades termodinámicas conocidas:

Restricciones: Th1= 80ºC Tc1= 15ºC mh=100 kg/h U = 1000 kcal/h m2 °C

a. Determine los grados de libertad del sistema. N= 6 VARIABLES M= 4 ECUACIONES F= N – M F= 6 – 4 F= 2 GRADOS DE LIBERTAD b. Aplique el algoritmo de Lee-Rudd para satisfacer los grados de libertad. EC. 1 2 3 4

Q X X X

Ch X X

Tc2

Th2 X

Q X X

EC. 1 2

EC. 2

Ch X X

Q X X

X X

X

X

Tc2 X X

Ch X X

Q X

A

X X

EC. 1 2 4

ΔT

Tc2

Th2 X

ΔT

X

X

Th2 X

X

Ch X

Tc2 X

c. Indique el orden de solución de las ecuaciones antes mencionadas. Fijar Ch

De la Ec. 01, Q= f(Ch)

Suponer Th2

De la Ec. 02, Tc2= f (Q, Ch)

De la Ec. 04, Calcular Th2

NO

¿Es Th2 supuesta = Th2 calculada? SI

De la Ec. 03, A= f (Q, ΔT)

EJERCICIO 02 Suponga que usted, en calidad de ingeniero en procesos, es contratado para formular un alimento. Según su experimentación, hay una etapa en la que realiza una mezcla de ingredientes (U, V, W, X, Y y Z). Conociendo que cada ingrediente tiene cierto valor nutricional. La etapa de mezcla se encuentra esquematizada en la figura 2. W

Z

U

X

Y

MEZCLADO

V Etapa siguiente Figura 2. Esquema del ejercicio 2.

Donde:

U: 8% proteína, 89%agua. V: 12% proteína, 70% carbohidratos, 3% grasas, 12% agua. W: 1% proteína, 11% carbohidratos, 85% agua. X: 22% proteína, 62% carbohidratos, 4% grasas, 10% agua. Y: 7% carbohidratos, 91%agua. Z: desconocida

a. Modele el sistema de ecuaciones del esquema anterior H2O -> 0.89U + 0.12V + 0.85W + 0.10X + 0.91Y Prot -> 0.08U + 0.12V + 0.01W + 0.22X CHO -> 0.70V + 0.11W + 0.62X + 0.07Y Gras -> 0.03V + + 0.04X Glob -> U+ V+ W X+ Y+ b. Determine los grados de libertad del sistema. N= 6 VARIABLES M= 5 ECUACIONES F= N – M F= 6 – 5 F= 1 GRADO DE LIBERTAD

=S =S =S =S Z=S

c. Aplique el algoritmo de Lee-Rudd para satisfacer los grados de libertad. Ec 1 2 3 4 5

U X X

V X X X X X

X

Ec. 1 2 3 4

U X X

Ec 2 3 4

U X

Ec. 2 4

U X

Ec. 4

W X X X

X X X X X X

X

Y X

Z

X X

X

V X X X X

W X X X

X X X X X

Y X

V X X X

W X X

X X X X

Y

V X X V X

X

X

W X

X X X X X

d. Indique el orden de solución de las ecuaciones antes mencionadas.

Fijar V

De la Ec. 04, X = f(Y)

Suponer U

De la Ec. 02, W = f(X,Y)

De la Ec. 03 Y = f( X,W,V)

De la Ec. 01 U = f(W,V,X,Y)

¿Es U supuesta = U calculada? SI De la Ec. 05. Z = f(U,V,W,X)

NO

EJERCICIO 03 Se diseña un medio de cultivo para una cepa transformada, dicho medio es realizado mediante la adición de 5 corrientes de flujo complejas (f 1, f2, f3, f4 y f5), dichas corrientes son naturales y no puras por lo que su composición es diversa. Las corrientes de flujo tienen los componentes A, B y C en diferentes proporciones. Existe una etapa de mezclado simple para la elaboración de dicho medio de cultivo que se encuentra modelada bajo las siguientes ecuaciones de balance de materia: Balance general: 2f1+ 12f2+ 5f3+ 6f4+ 4f5 = 15 Para el componente A: 2f1+ f2 + f3 + 2f4= 37.5 Para el componente B: 8f1+ 6f2+ f3+ 8f4= 30 Para el componente C: 4f1+ 5f2+ 3f3= 22.5

a. Represente el tanque de mezclado con las corrientes de flujo, indicando la composición de cada una de ellas. F1 F2 F3

MEZCLADOR

F4

F5

b. Determine los grados de libertad del sistema. N= 5 VARIABLES M= 4 ECUACIONES F= N – M F= 5 – 4 F= 1 GRADO DE LIBERTAD

ETAPA SIGUIENTE

c. Aplique el algoritmo de Lee-Rudd para satisfacer los grados de libertad.

Ec. 1 2 3 4

F1 X X X X

F2 X X X X

F3 X X X X

F4 X X X

F5 X

Ec. 1 2 3 4

F1 X X X X

F2 X X X X

F3 X X X X

F4 X X X

F5 X

Ec. 2 3 4

F1 X X X

F2 X X X

F3 X X X

F4 X X

Ec. 3 4

F1 X X

F2 X X

F3 X X

F4 X

Ec. 4

F1 X

F2 X

F3 X

d. Indique el orden de solución de las ecuaciones antes mencionadas. Fijar f1

De la Ec. 04 f2=f (f1)

Suponer f3

De la Ec. 03, f4 = f (f1, f2)

De la Ec. 04 f3 = f (f1, f2, f3)

(Es f3 supuesta = f3 calculada)

De la Ec. 01, f5 = f (f1, f2, f3, f4)

CONCLUSIONES El análisis y diseño de procesos requiere de modelos que describan el comportamiento de los sistemas de ecuaciones. La resolución de ejercicios permite una mejor comprensión de los procesos a través de la generación de estrategias para dar solución a dichos problemas. Esto es posible mediante la elección de las variables de diseño o en el caso de un problema de optimización, realizando el ajuste de variables dadas por los grados de libertad de acuerdo al establecimiento de una función objetivo. Por lo anterior, es indispensable incorporar el fundamento teórico mediante actividades de investigación para posteriormente poder generar estrategias y dar solución a los problemas propios de la industria. Este trabajo nos permite realizar un análisis y diseño de procesos para entender la dependencia que guardan entre sí las diferentes variables involucradas, ejemplificar la determinación de los grados de libertad de los procesos y hacer un análisis de los diagramas de flujo. De la misma forma, a través de los ejercicios es posible establecer modelos matemáticos de un sistema de ecuaciones y a su vez poder encontrar la especificación de la secuencia de cálculo en la solución de dichos sistemas para la selección de las mejores variables de diseño y de recicle (algoritmo de Lee-Rudd).

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ponton, J.W., “Degrees of Freedom Analysis in Process Control”, Technical Report 1994-02 The University of Edimburgh, 1994. Bristol, E.H., “On a New Measure of Interactions for Multivariable Process Control”, IEEE Trans. Auto. Con., 1966, AC-11:133. Rudd, D. F. y C.Watson, Strategy of Process Engineering, John Wiley & Sons (1968). Scenna, N. (1999). Modelado, Simulación y Optimización de Procesos Químicos. Retrieved 3 March 2020, from https://www.modeladoeningenieria.edu.ar/images/descargas/libro/cap04.pdf