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• Jose Alexander

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\documentclass[12pt,a4paper]{article} \textheight=22cm \textwidth=18cm \topmargin=-1cm \oddsidemargin=-1cm \usepackage{amsmath} \usepackage{graphicx} \usepackage{titlesec} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4 subtitulos \titleclass{\subsubsubsection}{straight}[\subsection] \newcounter{subsubsubsection}[subsubsection] \renewcommand\thesubsubsubsection{\thesubsubsection.\arabic{subsubsubsection}} \renewcommand\theparagraph{\thesubsubsubsection.\arabic{paragraph}} % optional; useful if paragraphs are to be numbered \titleformat{\subsubsubsection} {\normalfont\normalsize\bfseries}{\thesubsubsubsection}{1em}{} \titlespacing*{\subsubsubsection} {0pt}{3.25ex plus 1ex minus .2ex}{1.5ex plus .2ex} \makeatletter \renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{5}{\z@}% {3.25ex \@plus1ex \@minus.2ex}% {-1em}% {\normalfont\normalsize\bfseries}} \renewcommand\subparagraph{\@startsection{subparagraph}{6}{\parindent}% {3.25ex \@plus1ex \@minus .2ex}% {-1em}% {\normalfont\normalsize\bfseries}} \def\toclevel@subsubsubsection{4} \def\toclevel@paragraph{5} \def\toclevel@paragraph{6} \def\l@subsubsubsection{\@dottedtocline{4}{7em}{4em}} \def\l@paragraph{\@dottedtocline{5}{10em}{5em}} \def\l@subparagraph{\@dottedtocline{6}{14em}{6em}} \makeatother \setcounter{secnumdepth}{4} \setcounter{tocdepth}{4} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[utf8]{inputenc} \renewcommand{\baselinestretch}{1.5}%interlineado \title{ANALISIS NUMERICO} \author{} \date{} \begin{document} %\maketitle \tableofcontents %indice \newpage %indice nueva pagina \section{DIFERENCIACI\'ON} \subsection{Diferenciaci\'on usando Aproximaciones} \subsubsection{Diferenciaci\'on Num\'erica} \textbf{EL TEOREMA DE TAYLOR} Teorema de taylor y su f\'ormula la serie de taylor es de gran valor en el e studio de los metodos numericos,en esencia ,la serie de Taylor proporciona un me dio para predecir el valor de una funci\'on en un punto en terminos del valor de

la funci\'on y de sus derivadas en otro punto en particular el teorema de Taylo r establece que cualquier funci\'on puede aproximarse por un polinomio. %\setcounter{equation}{1} aumenta el numero de la ecuacion \begin{equation} f(x_{i+1})=f(x_{i}) + f^{'}(x_{i})(x_{i+1}-x_{i}) + \frac{f^{'}(x_{i})}{2!}(x_{i +1}-x_{i})^2 + \frac{f^{'}(x_{i})}{3!}(x_{i+1}-x_{i})^3 +...+ \frac{f^{'}(x_{i}) }{n!}(x_{i+1}-x_{i})^n + R_{n} \end{equation} %permite crear ecuaciones sin numeracion %\begin{equation*} %\end{equation*} Obs\'ervese que debido a que la ecuaci\'on es una serie infinita, el signo igua l reemplaza al aproximaci\'on ,se incluye un t\'ermino residual para considerar todos los t\'erminos desde el n+1 hasta el infinito. Donde: \begin{equation} R_{n}=\frac{f^{(x+i)}(\xi)}{n+1}(h)^{n+1} \end{equation} %INSERTAR imagen y centrar %\begin{center} %\includegraphics{./imagenes/1_2.JPG} %\end{center} Y $\xi$ es un valor que se encuentra en alg\'un punto entre $x_{i+1}$ Con frecuencia es conveniente simplificar la ecuaci\'on (1) deniendo de paso o incremento h=$x_{i + 1}$ -$x_{i}$ expresando la ecuaci\'on \begin{equation} f(x_{i+1})=f(x_{i}) + f^{'}(x_{i})(h)+ \frac{f^{'}(x_{i})}{2!}(h)^2 + }(x_{i})}{3!}(h)^3 +...+ \frac{f^{'}(x_{i})}{n!}(h)^n + R_{n} \end{equation}

y $x_{i}$. un tama~no (1) como: \frac{f^{'

Donde: \begin{equation} R_{n}=\frac{f^{(x+i)}(\xi)}{n+1}(h)^{n+1} \end{equation}\\\\\\ \textbf{DIFERENCIACI\'ON NUM\'ERICA} Truncando la serie de Taylor, ecuacion (3) despu\'es del t\'ermino con l a primera derivada, se obtiene: \begin{equation} f(x_{i+1})=f(x_{i}) + f^{'}(x_{i})h + R \end{equation} De la acuaci\'on anterior se despeja la primera derivada obteniendo: \begin{equation*} f^{'}(x_{i})= \frac{f(x_{i+1}) - f(x_{i})}{h} - \frac{R}{h} \end{equation*}\\ Donde: \begin{equation*} \frac{R}{h}=\frac{f^{''}(\xi)h}{2!} \end{equation*}\\ o: \begin{equation*} \frac{R}{h}=O(h) \end{equation*}\\ donde la nomenclatura

\begin{equation*} O(h) \end{equation*}\\ significa que el error de truncamiento es de orden h,es decir, el error es propo rcional al incremento h elevado a la 1,aunque esta aproximaci\'on no implica nad a en relaci\'on con la magnitud de derivadas que multiplican h ,es extremadament e \'util para evaluar el error comparativo de los m\'etodos num\'ericos que se b asan en explicaciones de la serie de Taylor, ejemplo , si el error es o(h) y el incremento se reduce a la mitad , entonces el error tambi\'en se reducir\'a la m itad ,por otro lado , si el error es o($h^{2}$)y el incremento se reduce a mitad ,entonces el error se reducir\'a a una cuarte parte.\\ Por lo tanto, la estimaci\'on de la derivada, tiene un error de orden h,en otras palabras el error en nuestra aproximaci\'on de r\'ia ser proporcional al tama\~no del incremento, entonces, si la mitad se esperar\'ia que el error de la derivada se reduzca

truncamiento de la derivada debe este se divide a a la mitad.\\

La ecuacion 6 se le conoce con un nombre especial en an\'alisis num\'erico: diferencia finita dividida y generalmente se representa como \begin{equation} f^{'}(x)= \frac{f(x_{i+1}) - f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}} +O(x_{i+1}-x_{i}) \end{equation}\\ o \begin{equation} f^{'}(x)= \frac{\Delta f_{i}}{h} +O(h) \end{equation}\\ Donde $\Delta f_{i}$ se le conoce como la primera diferencia hacia delante y a h se le llama el tama\~no de paso incremento; esto es ,la longitud del intervalo sobre el cual se realiza la aproximaci\'on, se le llama diferencia "hacia delant e" , porque usa los datos en i e i + 1 para estimar la derivada (figura 1a).\\ En termino completo se le conoce como primera diferencia finita dividida. Esta diferencia dividida hacia delante es solo una de las tantas que pue den desarrollarse a partir de la serie de Taylor para la aproximaci\'on de deriv aci\'on de derivadas num\'ericas , por ejemplo las aproximaciones de la primera derivada utilizando diferencias hacia atras o diferencia centrales ,se pueden de sarrollar de una manera similar a la ecuaci\'on 1. Las primeras usan valores en $x_{i+1}y$ si (figura 1b),mientras que las segu ndas utilizan valores igualmente espaciados alrededor del punto donde la derivad a esta estimada (figura 1c)es posible desarrollar aproximaciones mas exactas de la primera derivada incluyendo terminos de orden mas alto de la serie de Taylor .Finalmente todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas de segundo orden ,tercer orden y de orden superiores. \textbf{Aproximaci\'on a la primera derivada con diferencias hacia atras} La serie de Taylor se expande hacia atras para calcular un valor anterior sob re la base del valor actual. \begin{center} \includegraphics[width=0.6\textwidth]{./imagenes/grafico1.JPG} \end{center} Figura 1a: La gr\'afica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada hacia adelante . \begin{center} \includegraphics[width=0.6\textwidth]{./imagenes/grafico2.JPG}

\end{center} Figura 1b: La gr\'afica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada hacia atras . \begin{center} \includegraphics[width=0.6\textwidth]{./imagenes/grafico3.JPG} \end{center} Figura 1c: La gr\'afica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada centrales \begin{equation} f(x_{i-1})=f(x_{i}) - f^{'}(x_{i})h + \frac{f^{''}(x_{i})}{2!}h^{2} - ..... + \f rac{f^{n}(x_{i})}{n!}h^{n} + R_{n} \end{equation}\\ truncando la ecuaci\'on despues de la primera derivada y reordenando los t\'ermi nos se obtiene \begin{equation} f^{'}(x_{i})= \frac{f(x_{i}) - f(x_{i-1} }{h}= \frac{\Delta f_{1}}{h} \end{equation}\\ Donde el error es o(h), y a $\Delta f_{i}$ se le conoce como primera dif erencia dividida hacia atr\'as .V\'ease (figura 1b) para una representaci\'on gr \'afica.\\\\\\ \textbf{Aproximaci\'on a la primera derivada con diferencias centradas} Una tercera forma de aproximar la primera derivada consiste en restar la ecuacion 8 de la expresi\'on de la serie de Taylor hacia adelante: \begin{equation} f(x_{i-1})= f(x_{i}) + f^{'}(x_{i})h + \frac{f(2)(x_{i})}{2!}h^{2} + ... \end{equation}\ Para obtener : \begin{equation} f(x_{i+1})= f(x_{i}) + 2f^{'}(x_{i})h + \frac{f(3)(x_{i})}{3!}h^{3} + ... \end{equation}\ en donde se despeja \begin{equation} f(x_{i+1})= \frac{f(x_{i+1}) - f(x_{i-1})}{2h} - \frac{f(3)(x_{i})}{3!}h^{2} - . .. \end{equation}\ \'o \begin{equation} f^{'}(x)= \frac{f(x_{i+1}) - f(x_{i-1})}{2h} - O(h^{2}) \end{equation}\ La ecuaci\'on 13 es una representaci\'on de las diferencias centradas de la primera derivada .Observe el error de truncamiento es del orden de $h^{2}$ e n contraste con las aproximaciones hacia delante y hacia atr\'as que fueron del

orden de h.h por lo tanto ,el an\'alisis de la serie de Taylor ofrece la informa ci\'on pr\'actica de que la diferencia centrada es una representaci\'on mas exac ta de la derivada (figura 1c)por ejemplo si disminuimos el tama\~no del incremen to a la mitad, usando diferencias hacia atras o hacia delante ,el error de trunc amiento se reducira aproximadamente a la mitad ;mientras que con diferencias centradas el error se reducira a la cuarta parte.\ \\\

\textbf{Ejemplo 1.} Use aproximaciones con diferencias finitas hacia adelante y hacia atras de O(h) y una aproximacion de diferencia centrada de O($h^{2}$) para estimar la primera derivada de \begin{equation*} f(x)= -0.1x^{4} - 0.15x^{3} - 0.5x^{2} - 0.25x + 1.2 \end{equation*}\ en x = 0.5 utilizando un incremento de h = 0.5. Repite el calulo con h = 0.25 Observese que la derivada se calcula directamente como: \begin{equation*} f^{'}(x)= -0.4x^{3} - 0.45x^{2} - 1.0x - 0.25 \end{equation*}\ y se puede utilizar para calcular el valor verdadero como $f^{'}(0.5)$ = -0.9125 . \textbf{Solucion.} Para h = 0.5; la funci\'on se emplea para determinar : \begin{equation*} x_{i-1}=0 => f(x_{i-1})=1.2 \end{equation*} \begin{equation*} x_{i}=0.5 => f(x_{i})=0.925 \end{equation*} \begin{equation*} x_{i+1}=1.0 => f(x_{i+1})=0.2 \end{equation*}\ Estos valores sirven para calcular las diferencias divididasa hacia delante (ecu acion 6) \begin{equation*} f^{'}(0.5)=\frac{0.2 - 0.925}{0.5}= -1.45 \end{equation*}\ La diferencia dividida hacia atras.Ecuacion 9, y la diferencia dividida centrada,Ecuacion 13, \begin{equation*} f^{'}(0.5)=\frac{0.2 - 1.12}{1.0}= -1.0 \end{equation*}\\\ Para h = 0.25 \begin{equation*} x_{i-1}=0.25 => f(x_{i-1})=1.10351563 \end{equation*} \begin{equation*} x_{i}=0.5 => f(x_{i})=0.925

\end{equation*} \begin{equation*} x_{i+1}=0.75 => \end{equation*}\

f(x_{i+1})=0.63632813

Estos valores sirven para calcular las diferenciales divididas hacia adelante(ec uacion 6). \begin{equation*} f^{'}(0.5)=\frac{0.63632813 -0.925}{0.25}= -1.155 \end{equation*}\ diferenciales divididas hacia atras(ecuacion 9). \begin{equation*} f^{'}(0.5)=\frac{0.925 -1.10351563}{0.25}= -0.714 \end{equation*}\ diferenciales divididas centrada(ecuacion 13). \begin{equation*} f^{'}(0.5)=\frac{0.63632813 -1.10351563}{0.5}= -0.934 \end{equation*}\ Para ambos tama\~nos de paso ,la aproximaci\'on en diferencias centrales es mas exacta que las diferencias hacia adelante y hacia atr\'as.\\ \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline ------- & Hacia adelante O(h) & Hacia atr\'as O(h) & Centradas O($h^{2}$)\\ \hline Estimaci\'on & -1.155 & -0.714 & -0.934\\ \hline \end{tabular}\\\ \end{center} En las f\'ormulas anteriores ,las estimaciones tenian errores que fueron O(h);es decir los errores son proporcionales al cuadrado del tama\~no de paso .Ese nive l de exactitud se debe al n\'umero de terminos de la serie de Taylor que se util izaron durante la deducci\'on de esas formulas.Ahora se muestran f\'ormulas de m ayor exactitud utilizando mas terminos.\\\\ \subsection{Diferenciaci\'on usando Interpolaciones} \subsubsection{Formulas para la Primera Derivada} Las f\'ormulas mas utilizadas en la pr\'actica se buscan de forma que sean exact as para polinomios de grado menor o igual que n (es decir f\'ormulas de orden de exactitud n). Una manera natural de construir f\'ormulas exactas de orden n, co nsiste en recordar que el polinomio pn(x) que interpola en el sentido de Lagrang e y sobre un soporte de (n+1) puntos a una funcion f(x) que sea polin\'omica de grado menor o igual que n coincide con dicha funci\'on. Por ello es equivalente derivar la funci\'on polinomica f(x) que derivar su polinomio interpolador pn(x ). A todas las f\'ormulas de derivaci\'on que se obtienen derivando la expresi\' on del polinomio interpolador de Lagrange se las denomina f\'ormulas de derivaci \'on de tipo interpolatorio.\\ \textbf{F\'ormula con dos puntos de soporte:}\ Si se considera el soporte [x0 , x1] y una funcion f(x) de la que se conoce su v

alor en los puntos del soporte, el polinomio interpolador de Lagrange de tal funcion sobre el soporte escogido esta dado por: \begin{equation*} P(x)=f(x_{0}).\frac{x - x_{1}}{x_{0} - x_{1}} + f(x_{1}).\frac{x - x_{0}}{x_{1} - x_{0}} \end{equation*}\ \textbf{F\'ormula con tres puntos de soporte:} Sea ahora el soporte de tres puntos x0 < x1 < x2 y consideremos un punto x perte neciente al intervalo [x0, x2]. Sea adem\'as f(x) una funci\'on de la que se con ocen sus valores en los puntos del soporte. El polinomio interpolador de Lagrang e de f(x) sobre este soporte puede expresarse, utilizando la f\'ormula de Newton en diferencias divididas, mediante: \begin{equation*} P(x)=f[x_{0}] + f[x_{0},x_{1}].(x-x_{0}) + f[x_{0},x_{1},x_{2}].(x-x_{0}).(x_ x_{1}) \end{equation*}\\\\\\ \subsubsubsection{Utilizando dos Puntos de Soporte } Hallar la primera derivada: \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline i & 0 & 1\\ \hline x & -2 & 0\\ \hline f($x_{i}$) & 1 & -1\\ \hline \end{tabular}\\\ \end{center} \begin{center} Soluci\'on \end{center}\ Paso 1: De la f\'ormula interpoladora de Lagrange se tiene: \begin{equation*} P(x)=L_{0}(x).f(x_{0}) + L_{1}(x).f(x_{1}) \end{equation*}\ Derivando: \begin{equation*} f^{'}(x)=\frac{-1}{x_{1} - x_{0}}.f(x_{0}) + \frac{1}{x_{1} - x_{0}}.f(x_{1}) \end{equation*}\ Paso 2: Reemplazando los datos: \begin{equation*} f^{'}(x)=\frac{f(0) - f(-2)}{0 - (-2)} = \frac{-1 - (-1)}{0 - (-2)}=-1 \end{equation*}\ Paso 3: Comprobando en f\'ormula interpoladora de Lagrange:\\ %\begin{center} %\includegraphics[width=0.6\textwidth]{./imagenes/1.jpg}

%\end{center} \begin{center} $L_{0}x=\displaystyle\prod_{j=1}^{1}\frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}= \frac{x - x _{1}}{x_{0} - x_{1}}= \frac{x - 0}{-2 - 0}=\frac{x}{-2}$\\ $L_{1}x=\displaystyle\prod_{j=1}^{1}\frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}= \frac{x - x _{1}}{x_{1} - x_{0}}= \frac{x + 2}{0 + 2}=\frac{x+2}{2}$\\ \end{center}\ Reemplazando en formula interpoladora de Lagrange: \begin{equation*} f(x)=\frac{x}{-2}.(1) + \frac{x + 2}{2}.(-1)= -x -1 \end{equation*}\\\ \begin{equation*} f^{'}(x)=-1 \end{equation*}\\ \textbf{CODIGO EN MATLAB}\ \begin{center} \includegraphics{./imagenes/ejercicio1.png} \end{center}\ \newpage \textbf{RESULTADO EN MATLAB}\\ \begin{center} \includegraphics{./imagenes/ejercicio1-resultado.png} \end{center}\ \newpage \subsubsubsection{ Utilizando Tres Puntos de Soporte } Hallar la primera derivada: \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline i & 0 & 1 & 2\\ \hline x & -1 & 0 & 1\\ \hline f($x_{i}$) & -2 & 2 & 1\\ \hline \end{tabular}\\\ \end{center}\ \begin{center} \textbf{Soluci\'on} \end{center}\ Paso 1: De la f\'ormula interpoladora de Lagrange se tiene: \begin{equation*} P(x)=f[x_{0}] + f[x_{0},x_{1}].(x - x_{0}) + f[x_{0},x_{1},x_{2}].(x - x_{0})(x - x_{1}) \end{equation*}\ Derivando: \begin{equation*} f^{'}(x)=f[x_{0},x_{1}] + f[x_{0},x_{1},x_{2}].((x - x_{0}) + (x - x_{1}))

\end{equation*}\ Donde: $f[x_{0}]=-2$\\ $f[x_{0},x_{1}]=\Delta[x_{0}]=4$\\ $f[x_{0},x_{1},x_{2}]=\Delta^{2}[x_{0}]=\frac{-7}{4}$\\ Paso 2: Reemplazando los datos: $f^{'}(x)= 4 - \frac{-7}{2}.(x+1) + (x - 0)= -7x + \frac{1}{2}$\\ Un numero para el que se desea derivar: 1\\ $f^{'}(x)=-7.1 + \frac{1}{2}= - 6.5$\\ Paso 3: Comprobando en f\'ormula interpoladora de Newton:\\ $f[x_{0}]=-2$\\ $f[x_{0},x_{1}]=\Delta[x_{0}]=\frac{f(x_{1}) - f(x_{0})}{x_{1} - x_{0}}= \frac{2 - (-2)}{0 - (-1)}= 4$\\ $f[x_{0},x_{1}]=\frac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}}= \frac{1 - 0}{1 - 0}= -3$\\ $f[x_{0},x_{1},x_{2}=\Delta^{2}[x_{0}]=\frac{f[x_{1},x_{2}] - f[x_{0},x_{1}]}{x_ {2} - x_{1}}= \frac{-3 - 4}{1 - (-1)}= \frac{-7}{2}$\\ Reemplazando en f\'ormula interpoladora de Newton:\\ $f(x)= -2 + 4(x - (-1)) - \frac{-7}{2}(x + 1)(x - 0)= -7x + \frac{1}{2}$\\ $ f^{'}(x)= -6.5$\\\\ \newpage \textbf{CODIGO EN MATLAB}\\ \begin{center} \includegraphics{./imagenes/ejercicio2.png} \end{center}\ \newpage \textbf{RESULTADO EN MATLAB}\\ \begin{center} \includegraphics{./imagenes/ejercicio2-resultado.png} \end{center}\ \subsubsection{Formulas para la Segunda Derivada} Se denomina f\'ormula de derivaci\'on num\'erica de tipo interpolatorio para apr oximar derivadas de orden k a cualquier formula obtenida derivando una vez la expresion del polinomio interpolador const ruido sobre un soporte de (n+1) puntos distintos. NOTA: Si el orden de derivaci\'on que fuese superior o igual al n\'umero de punt os (n+1) las f\'ormulas de tipo interpolatorio correspondientes se reduciran a f(k(x*) = 0, pues la derivada de orden k de un p olinomio de grado menor o igual que n, si n es inferior a k, es nula. Por dicho

motivo, en todo cuanto sigue, se supondra que n > k. Sea f(x) una funci\'on dos veces derivable en un cierto intervalo I de la recta real y sea x un punto de dicho intervalo. Consideremos ademas un soporte de (n+1) puntos ${fx_{0};x_{1};....;x_{n}}$ del i ntervalo I en el que se suponen conocidos los valores de la funcion f(x).Supondr emos que los puntos del soporte son todos ellos distintos y estan ordenados de m enor a mayor es decir que: $x_{0} < x_{1}