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Las maneras de multiplicar Para recordar los primeros decimales del número Pi (3,1415926535...) puede utilizarse la siguiente regla mnemotécnica: "Sol y luna y cielo proclaman al Divino Autor del Cosmo", en la que el número de letras de cada palabra representa la secuencia ordenada de los primeros decimales del número.

"Las matemáticas son complicadas". Cuantas veces escuchaste la expresión “Las matemáticas son complicadas” inclusive de boca de profesores de matemática, pero nada tan falso como eso. Para gran cantidad de personas las matemáticas constituyen el mecanismo mas agradable para pasar el tiempo. Para muchos las matemáticas es una ciencia entretenida, agradable, productiva aunque para otros sea un auténtico dolor de cabezas. Cuántos estudiosos se dedica n a estudiar, mejor escudriñar los misterios de los recovecos matemáticos hasta encontrar el ancho camino que los conduce a resultados sorprendentes y, por cierto, muy productivos; otros prefieren el angosto sendero de los atajos, como la calculadora, etc. Para corroborar lo que hemos expresado nos vamos a concentrar en una sola operación: la multiplicación. Pero ¿por qué estos métodos no se suelen enseñar en América Latina? "La historia dice que con el correr de los años se fueron dejando de lado estos métodos porque se le dio mucho más importancia al cálculo mental en América Latina", le dice a BBC Mundo Andrea Vázquez, profesora de matemáticas en Argentina, que entrena a estudiantes para participar en concursos nacionales de esa ciencia. Pero, David Wees, profesor de matemáticas canadiense y asesor en New Visions for Public Schools, una organización que brinda apoyo educativo a las escuelas públicas de Nueva York, Estados Unidos, tiene otra versión de los hechos. "Recientemente leí que la razón por la cual el método de multiplicación tradicional es de la forma en que es para ahorrar tinta y el papel. No estaba destinado a ser más fácil de usar, sino a preservar recursos ya que cuando se inventó, la tinta y el papel escaseaban", cuenta Wees. Pese a ello, piensa que los métodos alternativos son útiles. "Creo que no es una buena práctica llevar a los estudiantes directamente a la multiplicación obligándolos a recordar las tablas de multiplicación sin explicarles de dónde vienen, porque si se olvidan de una, ¿cómo pueden calcular cuál es la siguiente?". "El método de multiplicación japonés (o maya) es bastante necesario porque con él se puede reconocer la estructura general de la multiplicación y eso podría ser un buen comienzo", afirma Wees a BBC Mundo.

Existen otros métodos de multiplicación matemática bastante diferentes al método tradicional como el ruso o el egipcio, entre otros, aunque no se requiere la habilidad extra de dibujar. Y según los especialistas consultados, para muchos pueden ser útiles para mejorar la compresión del proceso de multiplicación. "Obviamente todo ayuda. La matemática en el mundo de hoy es abierta dentro y fuera de las aulas", asegura Vázquez. Es probable que el método para multiplicar que hayas aprendido en la escuela fuese el tradicional. Es decir, primero aprendes las tablas de multiplicar de memoria para luego resolver los cálculos número tras número. Pero si las cantidades a multiplicar tuvieran varias cifras habría que aplicar las tablas de multiplicar aprendidas y la regla de iniciar por la derecha, es decir multiplicar la última cifra del multiplicador (la cantidad que está abajo) por todas las cifras del multiplicando iniciando por la derecha y colocar el resultado debajo de la línea para separar las cantidades que se multiplican del resultados parciales que se van obteniendo, a partir del segundo estos resultado parcia se deben colocar corriendo un lugar a la izquierda y finalmente sumar las cifras en forma vertical, lo que constituye el resultado final y que se coloca debajo de una línea que lo separa de los resultados parciales

Pero si este largo procedimiento resulta complicado, existen otras alternativas para resolver una multiplicación como un cálculo matemático.

I. Algunos métodos para multiplicar que utilizan gráficas 1. El método maya, también conocido como japonés Hay varias teorías sobre el origen de este método. Unas sugieren que fue inventado por la civilización maya que existió en América Central hasta la llegada de los conquistadores en el siglo XV. Y es conocido como método japonés porque los profesores de ese país utilizan esta multiplicación visual con líneas para enseñar a los alumnos de primaria. Consiste en dibujar rectas paralelas y perpendiculares para representar los dígitos de los números a multiplicar. Tomemos por ejemplo 15 x 21. Procedimiento: Dibujamos una línea para representar el 1 y un poco separadas de las anteriores, otras 5 líneas paralelas entre si y a las anteriores, para representar el 5, así hemos representado el factor 15. Luego con el 21, como en el paso anterior pero perpendicularmente a las líneas trazadas dibujamos dos líneas paralelas para representar el 2 y una línea ligeramente separada de la anterior y paralela a las anteriores para representar el 1.

Resultado: 315 Para el resultado se trazan dos arcos, para separar los vértices izquierdo y derecho, como se muestra en la figura, se forman tres secciones y se cuentan las intersecciones de las líneas trazadas, en cada sección, si ninguna de ellas llega a diez, entonces las cifras de izquierda a derecha por si solas forman el resultado. Por el contrario si alguna o varias de las secciónes tienen intersecciones iguales a diez o mayores, entonces se toma la cifra de las unidades y las demás se suman al resultado de la sección siguiente a la izquierda y así en ese orden hasta la última sección.

Si la multiplicación fuera de factores de más de dos cifras, el procedimiento es el mismo pero ampliado, ya que se hace necesario representar cada cifra de cada factor con un número de líneas igual a su valor. Para mayor claridad de muestra la forma de multiplicar cantidades de tres cifras:

Resultado: 28314 Ahora presentamos un ejercicio de multiplicación con factores de numero diferente de cifras: 325 X 48

¿Como se aplicaría este proceso cuando uno o los dos números factores tienen ceros? Veamos cómo multiplicar 105x302=?.

Tomado de: http://retomania.blogspot.com.co/2011/12/multiplicacionesdiferentes.html PRIMERO: Se trazan las líneas de acuerdo a cada número. ¿Pero cómo representar el cero?, en ese caso trazamos 1 (una) línea como si fuera el número 1 pero con un color diferente o cualquier otra forma que la diferencie de las demás, como línea de rayas o rayas y punto o solo de puntos, etc..

SEGUNDO: Marcamos los puntos donde hay cortes o intersecciones de las líneas. No se tienen en cuenta los cortes donde interviene la línea de otro color o diferente (es el cero).

TERCERO: Procedemos a contarlos, según los grupos, que en el gráfico están diferenciados por los colores, como se ilustra en la figura.

CUARTO: Cuando se obtienen cantidades mayores que nueve, comenzamos de derecha a izquierda, dejando la cifra de las unidades y la de las decenas se la sumamos al resultado de la izquierda. El resultado final se toma de todos los números que quedaron y se comienza ahora de izquierda a derecha. Así 105x302=31710 tal como se puede comprobar efectuando la multiplicación.

Como se nota no es difícil, solo hay que tener paciencia y saber colocar las líneas. Investigación: 1. Prueba el método maya o japonés para multiplicar visualmente (sin necesidad de calculadora) 2. Prueba si con este método se pueden multiplicar fracciones. 3. ¿Cómo multiplicar tres o mas factores? ¿Es posible?

2. Método de multiplicación hindú o de celdillas o de celosía Tampoco está claro el origen del método de multiplicación hindú, pero marcó su paso por Asia. "El algoritmo de las gelosias (celosías en español) fue transmitido de India a China y a Arabia, de aquí hacia Italia durante los siglos XIV y XV, donde recibió el nombre de gelosia, debido al parecido que tenía con las persianas venecianas", según detalla Mario Roberto Canales Villanueva, en su Estudio Exploratorio sobre el uso de Modelos Alternativos para la Enseñanza y Aprendizaje de la Multiplicación en Honduras. El nombre de multiplicación de la celosía alude a la disposición de las cifras cuando se ha terminado la multiplicación que recuerda «a las mallas de madera o metal tras las que las mujeres, y sobre todo los maridos celosos, podrían observar sin ser vistos». El procedimiento (un algoritmo, es decir, un conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema) fue inventado por «los árabes alrededor del siglo XIII, transmitiéndolo posteriormente a Europa occidental.... Hay una descripción del método en una obra anónima de aritmética publicada en Treviso en 1478), así como en la Summa de arithmética, geometría, proporzioni di proporcionalita del matemático italiano Luca Pacioli (Venecia, 1494)». El mismo Ifrah reconoce que la disposición de los números es bastante peculiar, sin embargo el resultado final «se obtiene poco más o menos como en nuestra técnica actual, sumando los productos de las diversas cifras del multiplicando y el multiplicador». Supongamos que hay que multiplicar 325 y 243. Se empieza por dibujar una tabla de tres filas y tres columnas pues los dos números a multiplicar tienen tres cifras cada uno. A continuación se trazan las diagonales de cada celda de la tabla y se colocan los números a multiplicar empezando por el multiplicando (325) cuyas tres cifras encabezarán cada una de las columnas de izquierda a derecha. El multiplicador (243) se coloca al final de cada fila de abajo a arriba, es decir, el 2 al final de la última fila, el 4 al final de la fila central y el 3 al final de la primera fila. El resultado se puede ver en la siguiente figura:

3 0

7

7

8

7

2

0

0 6

1

1 4

0 2

0

0 2

8 0

9 19

5

0 1

6 7

5 5

2 4 3

9

7

5

solución: 325 X 243 = 78975 Las persianas venecianas se parecen mucho al gráfico del sistema de multiplicación hindú. En este método de multiplicación tenemos que construir una tabla. Vamos a usar el mismo ejemplo de antes: 1591 X 532 Se dibuja una tabla con un número de columnas igual al número de cifras que tenga el primer factor (en este caso cuatro columnas ya que 1591 tiene cuatro cifras) y con tantas filas como cifras tenga el segundo factor (en nuestro caso tres filas porque el segundo factor, 532,

1

5

0 0

2 5

4 5

1 3

7

0

0 5

2 5

1 2

4

1 5

0

0 8

9

5 0

7 1

0

3

3

2

2

0 8

13 15

13

11

2

6

4

1

2

RESULTADO: 1591 X 532 = 846412 Seguido se traza la diagonal a cada una de las celdas (de color rojo en el ejemplo) Entonces empezamos multiplicando cada una de las cifras del primer factor por cada una de las cifras del segundo factor y cada resultado se coloca en la celda de la intersección de la fila y la columna de las cifras que se multiplican y de la siguiente manera: si el resultado solo tiene unidades, esta se coloca debajo de la diagonal de la celda que le corresponda y sobre la misma se coloca cero, pero si el resultado es diez o mayor, entonces las unidades se colocan, como en el caso anterior, debajo de la diagonal y sobre la misma se colocan las decenas. Luego se suman las cantidades colocadas entre las diagonales tal como lo indican las flechas azules y finalmente se hacen los ajustes correspondientes como es el caso de que alguno o mas totales resultan diez o mayores, situación en la cual se debe dejar la cifra de unidades y las decenas se agregan a la cantidad de la izquierda, de esa forma hasta el final. El resultado está formado por las cifras finales colocadas en orden de izquierda a derecha.

2.1. Otra forma de colocar las cuadriculas

2

6

5

4

0

2 4 2 0

8

7

1 4

4 2

3 5 2

6

4

3

4

4. Método gráfico Para aplicar este método hay que trazar una cuadricula con un numero de filas y columnas como cifras tengan los factores o cantidades que se van a multiplicar más tres adicionales. Para multiplicar 492 X 397 =? Se debe trazar una tabla o cuadricula de 6 filas por 6 columnas, tres por las cifras de los factores y las tres adicionales: 1 1

7

9

5

3

12

8

2

1

4

28

4

12

36

9

27

81

63

2

6

18

14

3

9

7

En la primera columna de la izquierda y de arriba hacia abajo y a partir de la tercera celda se coloca el primer factor, una cifra por cada celda.

En la ultima fila de abajo se coloca el segundo factor, las cifras se colocan de izquierda a derecha, una por cada celda. La primera fila de arriba y la última columna a la derecha son para colocar las unidades de las sumas parciales y que vendrían a formar el resultado final. La segunda fila de arriba y la penúltima a la derecha se colocan las decenas de las sumas parciales. Procedimiento: colocar los factores en la primera columna y en la última fila, según se muestra. Se multiplican cada una de las cifras del primer factor por cada una de las cifras del segundo factor y cada resultado, sin modificación alguna, se coloca en la celda de intersección de la fila y la columna en que están las cifras que se multiplican. Se suman las cantidades según las diagonales de izquierda a derecha iniciando por la de abajo del extremo derecho y continuando hacia la izquierda hasta la superior del extremo izquierdo, siempre referidas a la parte de la cuadricula que tiene los resultados de los productos cifras de los factores.

Al determinar la primera diagonal para la suma de los productos parciales, en este caso particular corresponde a la celda donde está el 14, se prolonga la diagonal hasta encontrar la celda de la última columna, en ella se coloca las unidades de la suma de los resultados parciales, en este caso solo está el 14, entonces se coloca el 4 y en la celda del lado izquierdo se colocan las decenas. Siempre en ese orden, las unidades en la celda exterior y las decenas en la celda interior; no siempre las decenas quedan en celdas contiguas, al llegar a las filas quedan desplazadas; lo que si debe cumplirse es que las decenas queden en la celda contigua al las decenas de la anterior diagonal, cada valor de decenas de una diagonal coincidirá con los valores de la otra diagonal, y quedará incluidas en su suma. El resultado final estará formado por las cifras colocadas en las celdas de la primera fila seguidas por las cifras de las celdas de la ultima columna a la derecha, en el orden de izquierda a derecha en la fila y de arriba hacia abajo en la columna.

5. Método de formación operacional (array, en i nglés) En este caso, como en el anterior, necesitamos una grilla o cuadrícula. El número de filas y columnas depende de la cantidad de cifras que tengan los factores y de su formación decimal, es

decir hasta cuantos elementos alcanza en su descomposición decimal, como unidades, decena, centenas etc. Multipliquemos: 452 X 3256 Como el primer factor tiene unidades, decenas y centenas, la cuadrícula debe tener tres columnas y al tener el segundo factor unidades, decenas, centenas y milésimas entonces se necesitan cuatro filas así: 400

50

2

Sumas parciales

3000 200 50 6 Totales

Como se puede notar se hace la descomposición decimal de las cantidades y se colocan en el encabezamiento de las columnas y de las filas. Luego, en cada celda se coloca el resultado de multiplicar los encabezamientos de las filas por todos y cada uno de los encabezamientos de las columnas y el resultado se coloca en la celda de la intersección, quedando de la siguiente manera:

3000 200 50 6 Totales

400

50

2

1200000 80000 20000 2400 1302400

150000 10000 2500 300 162800

6000 400 100 12 6512

Sumas parciales 1356000 90400 22600 2712 1471712

El resultado final se obtiene como el total de las sumas parciales de las filas o de la columnas, en este caso es: 452 X 3256 = 1471712.

6. Multiplicación utilizando círculos Para multiplicar cantidades utilizando círculos se deben dar los siguientes pasos: Paso 1: Se colocan los dos factores a multiplicar de manera lineal; se recomienda ubicar primero el factor menor y después el mayor, ejemplo multiplicar 23 x 52 Paso 2. Seleccionamos el primer dígito del primer factor y hacemos tantos círculos concéntricos como indique ese número (por ejemplo, si es 3 hacemos 3 círculos concéntricos).

Paso 3. Reproducimos o copiamos a la derecha esos círculos tantas veces como dígitos tenga el segundo factor (por ejemplo, si el segundo número es de 4 cifras, al final quedan 4 dibujos de 3 círculos concéntricos). Paso 4. Debajo de los primeros círculos hacemos lo mismo con el segundo dígito del primer número, y así hasta que se nos acaben las cifras del primer factor, es decir, si el segundo digito es 5, trazamos cinco círculos concéntricos, y los repetimos tantas veces como dígitos tenga el segundo factor. Paso 5. Procedemos a dividir los círculos de la primera columna de círculos en tantas partes como sea el valor de esa cifra, para lo cual trazamos líneas rectas o radios desde el centro hasta la circunferencia exterior (por ejemplo, si la primera cifra del segundo número es 5, dividimos todos los dibujos de la primera columna en 5 partes o sectores circulares). Paso 6. Hacemos el mismo procedimiento en cada columna, pero que la división coincida con su correspondiente cifra en el segundo factor y hasta que terminemos con las cifras, es decir si la segunda cifra del segundo factor es 4, todos los grupos de círculos concéntricos de la segunda columna deben quedar divididos en 4 sectores Paso 7. Trazamos líneas en diagonal de derecha a izquierda para separar los círculos pero sin que las líneas atraviesen los círculos, y estos queden agrupados en grupos dagonales Paso 8. Para cada grupo de dibujos separados por las líneas contamos y sumamos las partes en las que ha quedado dividido cada círculo. Paso 9. Finalmente, vamos de derecha a izquierda cogiendo esas sumas: tomamos la unidad del primer número y la escribimos al final de la diagonal, las decenas (si las tiene) se las sumamos al siguiente número que esté a la izquierda. Cogemos las unidades de ese número y las escribimos a la izquierda del que hemos escrito en la otra diagonal, y las decenas se las sumamos al siguiente. Haciendo esto hasta a, al final agotar las diagonales de círculos y así obtenemos el resultado de la multiplicación.

35 X 24

6

12

10

20

6

22

20

6

24

0

8

4

0

Ejercicio: multiplicar: 43 X 245

8 10

22 5

32 3

15 5

Resultado: 43 X 245 = 10535 La reducción se hace de derecha a izquierda, iniciando por el 15, dejamos las unidades 5 y la decena 1 la agregamos al 32 para formar 33, de este dejamos la 3 unidades y las 3 decenas las agregamos al 22 para formar 25, de este dejamos 5 y las 2 decenas las agregamos al ocho para formar 10, organizando de izquierda a derecha obtenemos: 10535 que es el resultado

7. Multiplicación por 9 utilizando las manos 2.1. Multiplicación por 9 utilizando los dedos

Lo primero es extender los dedos de ambas manos y gírarlas con las palmas hacia afuera y mentalmente enumere los dedos iniciando con 1 en el dedo meñique de la mano izquierda y finalizando con el 10 en el dedo meñique de la mano derecha (como se muestra en la imagen). Supongamos que queremos multiplicar 9 por 6. Doble el dedo que se encuentra señalado con el número seis o sea igual al número al que vamos a multiplicar por nueve. En nuestro ejemplo, es necesario doblar el dedo con el número 6, en ese caso es el pulgar de la mano derecha. Se cuenta el número de dedos a la izquierda del dedo doblado y nos determina el número de decenas de la respuesta; luego se procede a contar el número de dedos a la derecha del dedo doblado, en este caso son 4, eso nos indica el número de unidades. A la izquierda de nosotros, 5 dedos no están doblados, a la derecha hay 4 dedos. Por lo tanto, 9 · 6 = 54. La figura siguiente muestra en detalle todo el principio de "cálculo".

Multiplicación del 6 al 9 con los dedos Cuando tenía 8 años tuve que aprender las tablas de multiplicación. Nunca he sido bueno en memorizar ni listas ni tablas. Era fácil de aprender las tablas de 1-5, pero las de 6-9 me parecían mucho más complicadas ... Un año más tarde descubrí este truco en la radio y me salvó la vida. Desde entonces lo he enseñado a muchos otros niños. Pasé un mal momento en la escuela, yo era el único de mi clase que no sabía las tablas, así que espero que este truco sea útil para cualquier padre o maestro que sepa un niño en esta situación. ¡Comparte el conocimiento! Paso 1: Asignar Valores a los dedos

- Primero, pon las manos delante y con las palmas hacia ti, con los pulgares hacia arriba, como se muestra en el dibujo - En cada mano, asigna un valor de 6 a 10 a cada dedo iniciando en los dedos meñiques y finalizando en los pulgares Paso 2: Cómo Multiplicar

Paso 1. Elige los números que vas a multiplicar. Ejemplo: 7x8 Paso 2. Junta los dedos cuyos valores quieres multiplicar. Paso 3. Ahora, cuenta los dedos que están tocándose, mas los que están por debajo de ellos. Hay dos tocándose y tres por debajo para un total de 5 dedos, este número que ves representa las decenas (5 decenas)

Paso 4. Ahora multiplica los dedos por encima de los que se tocan de la mano izquierda, hay tres dedos y los de la mano derecha son dos dedos por encima de los que se tocan: entonces es 2 X 3 = 6; este número que calculas representan las unidades Ejemplo:. 3x2 = 6 (unidades ) Por lo tanto el resultado es 5 como decena y 6 como unidades, en consecuencia: 7 X 8 = 56

** En algunos casos, calcularás un número de unidades mayores de 9, en ese caso suma ambas cantidades ** Ejemplo: 7x6 - los dedos juntados + los por debajo -> 3 (representa 3 decenas) - Los dedos por encima de los juntados de la mano izquierda -> 3 - Los dedos por encima de los juntados de la mano derecha -> 4 -->3 x 4 = 12 (producto de ellos) Ahora tenemos 3 decenas y 12 unidades 3 (decenas) + 12 (unidades) = 30 (unidades) + 12 (unidades) = 42 Unidades

II. Métodos sin gráficos 1. Multiplicación Rusa Algunos pueblos de Rusia multiplican sin emplear la tabla pitagórica.

Para ello se escriben los dos factores uno al lado otro y se forman con ellos dos columnas: debajo del factor que está a la izquierda se toma la mitad en números enteros, es decir despreciando fracciones, y de esta mitad se toma también la mitad, y así sucesivamente hasta llegar á 1; debajo del factor que está a la derecha, y paralelamente, se escribe su doble, y así sucesivamente hasta emparejar con el último número de la columna de la izquierda. Como puede verse, en el ejemplo de al lado, se han tomado los números 22 y 6 como factores. Hecho esto se tachan de la columna de la derecha todos los números colocados enfrente de los números pares de la otra columna y se suman los números no tachados; esta suma será el resultado de la multiplicación: 22 x 6 = 132 Otro ejemplo: 37 X 19  37 18  9 4 2  1 resultado

19 38 76 152 304 608

608 + 76 + 19 = 703

703

2. Forma india de multiplicar La forma india de multiplicar consiste en una serie de productos parciales obtenidos de multiplicar las cifras del multiplicando por el multiplicador, así: Uno. Se multiplica la primera cifra de la izquierda del multiplicando por el multiplicador y se obtiene el primer resultado parcial Dos. A este primer resultado parcial obtenido se le agrega un cero y se le suma el producto de la segunda cifra hacia la derecha del multiplicando por el multiplicador y se obtiene un segundo resultado parcial Tres. A este segundo producto parcial obtenido se le agrega un cero y se le suma el producto de la tercera cifra del multiplicando por el multiplicador y se obtiene un tercer resultado parcial

Cuarto. Se continua de misma forma hasta cuando se multiplique la última cifra hacia la derecha del multiplicando, en este momento se obtiene el ultimo resultado parcial que se convierte en el resultado final. Ejemplo: Multiplicar 7583 X 9 7 x 9 = 63 630 + 5 X 9 = 630 + 45 = 675 6750 + 8 X 9 = 6750 + 72 = 6822 68220 + 3 X 9 = 68220 + 27 = 68247 7583 x 9 = 68247

Multiplicación egipcia Los egipcios llegaron a tener conocimiento de las operaciones matemáticas; en este punto es obligado decir que conocían (¡de sobra!) las cuatro reglas elementales de la aritmética, sumando y restando por acumulación o disminución y sustitución por los símbolos necesarios y multiplicando y dividiendo sin ningún problema. Precisamente la operación de multiplicar era muy curiosa, pues no necesitaban conocer ninguna “tabla de multiplicar”… se bastaban con doblar números y, luego, tener “buen ojo”. Veamos un ejemplo del proceso con nuestra simbología, aunque ellos lo hacían con sus símbolos. Vamos a realizar el producto 32 x 35 El método es el siguiente: se escribe en una columna el número 1 y en otra columna paralela se coloca uno de los factores; en este caso será el segundo. Sucesivamente se van duplicando los números y los resultados de esa duplicación se colocan debajo de su respectivo valor inicial formando columna hasta que, en la columna que inició por 1, no se rebase el otro factor del producto (ver la parte izquierda de la imagen siguiente):

Multiplicar 32 X 35  32  64 128 256 512  1024 2048

1 2 4 8 16 32 64

32 < 35 el ultimo duplo menor inmediato del otro factor 1 + 2 + 32 = 35 el otro factor

32 X 35 = 32 + 64 + 1024 = 1120

No seguimos porque el doble de 32 (64), que rebasa al factor 35.. A continuación, se observa qué números de la primera columna sumados dan como resultado el otro factor: fijaos que 35 = 1 + 2 + 32 Se toman los valores de la columna de la izquierda que hacen pareja con 1, 2 y 32 y el total es el resultado de la multiplicación. Seguimos el proceso: se suman los números de la derecha (indicados por flechas salientes) correspondientes a los sumandos anteriores (señalados por el signo de chequeo). Esa suma es el producto: 32 x 35 = 32 + 64 + 1024 = 1120 Alguien argumentará que este algoritmo es pesado y/o tedioso, pero lo hará desde el prejuicio que tiene por el conocimiento y uso de nuestro método tradicional. Los antiguos egipcios alegarían que no necesitaban, para nada, el aprendizaje de nuestras famosas tablas de multiplicar.

III. Otras clases de multiplicación 1. Origen de los números romanos y su multiplicación No siempre los números se han anotado de la misma manera que hoy. Para que nos demos cuenta de este hecho basta recordar las cifras romanas que utilizamos todavía en algunas ocasiones para dar relevancia a algún número en particular (numeración de los siglos por ejemplo). Llama la atención la realización de cálculos con dichos números pues hoy día sólo se utilizan los números romanos para designar una determinada cifra, pero no se calcula con ellas. Por ejemplo, si nos encontramos con que tenemos que multiplicar dos números romanos como XXV y IV, mentalmente hacemos la multiplicación con los números por todos conocidos, es decir 25 x 4 = 100, y anotamos el resultado con la cifra romana correspondiente que hemos aprendido es una C. ¿Cómo calculaban los romanos? ¿Desde cuándo se utilizan las números actuales? ¿Siempre se ha multiplicado de la misma manera con las cifras actuales? Estas cuestiones no se resuelven en los tratados de aritmética al uso ni en los manuales escolares. Por otra parte, no son asequibles textos que traten del tema si no se tiene un conocimiento amplio de las matemáticas y de su historia. Existe una obra enciclopédica: Historia Universal de las Cifras, de Georges Ifrah (Ed. Espasa, Madrid, 1997) que permite responder a las cuestiones anteriores y muchas otras ya que es una obra extensa (1996 páginas). Todo lo que se expone a continuación se basa en los contenidos de dicha obra. Las afirmaciones y conclusiones tomadas del texto se recogen entrecomilladas. Los romanos no conocían nuestra numeración decimal de posición ni el cero matemático ni las bases del cálculo escrito tal como lo practicamos hoy día. Los números y la aritmética que utilizamos actualmente y que están extendidos a nivel mundial se inventaron en

la India: «la invención de este sistema se produjo a mediados del siglo V d. C. y se debe a la civilización india». Tuvieron que pasar otros ocho siglos para que dicho sistema se instaurara en Europa: «se necesitaron más de cinco siglos para que se transmitieran las nueve cifras significativas a la Europa cristiana. A continuación, hubo todavía que esperar dos o tres siglos para que hiciera su aparición el cero junto con los métodos de cálculo indios, y un lapso de tiempo aún más considerable para que se propagaran y fueran definitivamente aceptadas en el mundo occidental...». Actualmente llamamos a las cifras "números árabes" pues fueron los sabios arábigo-musulmanes los primeros en aceptar dicho sistema transmitiéndolo a las demás culturas. Los números romanos, como los de otras civilizaciones antiguas, no se basan en el sistema decimal de posición sino que establecen símbolos para las cantidades. En realidad lo que hacen es contar. Ifrah utiliza un ejemplo clarificador para explicar el origen de los números romanos arcaicos y que me he permitido modificar para establecer ya los números romanos que todos conocemos: un pastor quiere contar sus ovejas utilizando un bastón de madera sobre el que hará tantas muescas como ovejas I I I I I I I I I I I I I I I I I I I . . 19 ovejas este proceder no es cómodo pues obliga a recontar las muescas cada vez que se quiera saber el número total de ovejas. El ojo humano puede distinguir fácilmente al primer golpe de vista (sin contar) uno, dos, tres o incluso cuatro trazos paralelos. Por tanto, para facilitar el proceso, el pastor cambia el tipo de trazo cada 5 marcas para que pueda ser reconocida al primer golpe de vista (también puede ser una coincidencia con el número de dedos de las manos) I I I I V I I I I X I I I I V I I I I . . .19 ovejas contar en este segundo caso es más sencillo que en el primero. Con el tiempo el trazo utilizado para el número 5 y para el número 10 se bastan a sí mismos, sin necesidad de transcribir los trazos que les preceden X V I I I I . . . . . . . . 19 ovejas La evolución posterior de este sistema de numeración pasa por abreviar. En lugar de escribir el número 4 con cuatro trazos, se anota con la forma IV, expresando así que el cuarto trazo de la serie se encuentra justo antes del "V". Del mismo modo, en lugar de escribir el número nueve con la forma VIIII, se escribe IX. El pastor escribirá finalmente XIX . . . . . . . . 19 ovejas Como sabemos, la numeración romana también establece símbolos especiales para el número 50 (L), 100 (C), 500 (D) y 1000 (M). Podemos pasar ya a las operaciones aritméticas con estos números romanos. «Para efectuar las operaciones aritméticas, los griegos, los etruscos y los romanos no utilizaron sus cifras, sino ábacos.... La palabra latina abacus deriva del griego abax o abakion, que significa "bandeja, mesa o tablilla".... Un instrumento empleado en Roma fue el ábaco de cera, una auténtica "calculadora" portátil que se colgaba al hombro. Este ábaco consistía en una pequeña plancha de hueso o madera bañada en una fina capa de cera negra, donde se delimitaban las columnas sucesivas y se trazaban las cifras por medio de un estilete de hierro». La estructura del ábaco, una serie de columnas sucesivas que marcan de izquierda a derecha las unidades, decenas, centenas, millares, etc., permite que se pueda utilizar para realizar operaciones aritméticas con cualquier tipo de numeración. A modo de

ejemplo voy a multiplicar 310 y 25 en el ábaco de cifras romanas. Se empieza por escribir el multiplicando (310) y el multiplicador (25) en la parte inferior de las columnas del ábaco (figura 1).

Figura 1. Después, se multiplica el 2 del multiplicador (que equivale a 20) por el 3 del multiplicando (que vale 300); se obtiene 6 (o mejor 6000). Se escribe entonces, en la parte superior, la cifra 6 en la cuarta columna (la de los millares). El proceso es el mismo en los demás pasos (figura 2).

Figura 2. Finalmente, se borran el multiplicando y el multiplicador y se procede a realizar las reducciones correspondientes en cada columna, comenzando por la que se ha asignado al orden de las unidades más bajas. No queda más que leer el resultado sobre las columnas (figura 3).

𝐂̅

̅ 𝐗

𝐈̅ VI I

C

X

I

II V V

VII VII

V

Resultado en números arábigos: 7750 Figura 3. En cuanto a la última cuestión planteada: ¿Siempre se ha multiplicado de la misma manera con las cifras actuales?, creo que resulta evidente responder que no siempre se ha multiplicado de la manera que lo hacemos hoy con los números actuales. En la obra de Ifrah se pueden encontrar varias formas de multiplicar que han precedido a la actual (al menos siete procedimientos con sus respectivas variantes). En realidad la cuestión no es más que un pretexto para exponer una de esas formas que más me llamó la atención, se trata de la multiplicación llamada "de la celosía".

2. Ábaco japonés y la multiplicación con él El ábaco japonés Está formado por un bastidor rectangular con una serie de bolas denominadas cuentas que se deslizan a lo largo de varillas o ejes, un ábaco puede contar con 13, 21 y 27 ejes; una barra horizontal divide el instrumento en dos partes, la superior comprende una hilera de cuentas con valor igual a cinco y en la parte inferior cuatro Hileras de cuentas de un valor igual a uno; en la barra horizontal aparece cada tres varillas un punto en alto relieve que representa el punto de mil, millón, la coma decimal entre otros, para un total de seis puntos que se numerarán de derecha a izquierda.

En el ábaco se escriben los números de izquierda a derecha, las cantidades se pueden escribir al lado derecho, en la mitad o a la izquierda. Preferiblemente se hace a la

derecha En el caso de que las cantidades tengan ceros para que no se preste a confusiones. El valor de las cuentas está determinado por su posición y solo adquiere su valor cuando se les desplaza hacia la barra horizontal.

Escritura de los números en el ábaco Cero (0): No acerque ninguna cuenta a la barra horizontal.

Cuatro (4): Suba cuatro cuentas de la parte inferior hasta la barra horizontal.

Cinco (5): Baje la cuenta que se encuentra en la parte superior; recuerde que esta cuenta tiene un valor de cinco; que antes de escribir una cantidad, el ábaco debe encontrarse en ceros.

Nueve (9):

Baje la cuenta de la parte superior y suba las cuatro cuentas de la parte inferior.

Quince (15): Suba una cuenta de las decenas y baje la cuenta superior en las unidades.

Noventa y siete (97): Escriba nueve cuentas en las decenas y siete en las unidades.

Ochocientos nueve (809): Escriba ocho cuentas en las centenas y nueve en las unidades.

Nota: La escritura de cantidades se puede hacer en cualquier parte del ábaco, es decir, en cualquiera de las clases; lo importante es el orden de las cantidades (unidades, decenas y centenas).

Procedamos con la multiplicación Para facilitar el proceso de aprendizaje de la multiplicación se debe: 1. El multiplicando (primer factor) se escribe en la primera clase. (Recuerde que clase es cada grupo de tres varillas separadas por puntos en alto relieve) 2. El multiplicador es decir el segundo factor se escribe en la séptima clase. 3. El producto de la multiplicación se escribe en la primera clase después de realizar la operación. 4. Recuerde que se debe escribir los ejercicios para posteriormente verificar o hacer las pruebas correspondientes. 5. Tenga en cuenta el número de cifras del multiplicador, ya que se debe aplicar la siguiente regla: número de cifras (+ 1) igual al número de espacios libres para realizar la multiplicación, aun cuando los espacios libres pueden ser mas, por ejemplo la primera clase completa. Ya se dijo mas arriba que la escritura en el ábaco se puede hacer en cualquier lugar, lo importante es determinar, en forma caprichosa, cual es el espacio de las unidades y de ahí en adelante las decenas, centenas, etc

Ejercicio Multiplicar: 64 X 8 =

Procedimiento: Se escribe el multiplicando, 64, a la derecha en la segunda clase, se deja tres espacios libres para colocar el resultado (recuerde que la regla del número de espacios libres es: número de cifras del multiplicador mas uno, en este 1+1=2, pero hemos decidido tres para ver el proceso completo, ya que algunas veces hay que borrar el multiplicando para escribir el resultado. 2.

A la izquierda,, en la séptima clase, se escribe el multiplicador, 8, de la parte superior se baja una ficha que vale 5, todas las fichas en el campo de arriba valen 5 y del campo de abajo se suben 3 fichas que cada una vale un a unidad, son tres unidades y el 5 de arriba representan el multiplicador 8.

3.

4.

5.

En este caso la varilla que seleccione será de unidades y a la izquierda las decenas y centenas, etc. Esta escritura es independiente de la del multiplicando. (Vea figura arriba) El multiplicando 64 se sitúa a la derecha en la segunda clase, en el campo de arriba, en la varilla de las decenas, se baja una ficha que vale 5 y en el campo de abajo se sube una que vale una unidad para un total de 6 decenas o sea 60 y en la varilla de las unidades en el campo de abajo se suben cuatro fichas de una unidad cada una para 4; en total son 64. Ahora se multiplica el multiplicador, 8 por el 4, las unidades del multiplicando: 4x8 = 32 y se escriben en la primera clase subiendo tres fichas en la varilla de las decenas para 30 y dos en la varilla de las unidades para 2 y el total de 32. Las 4 unidades del 64, en este momento se pueden borrar.

Finalmente se multiplica la cifra de las decenas, el 6, por el multiplicador quedando así: 6x8 = 48, que se entiendo son decenas 4 centena y 8 decenasy que se agregan al 32 que ya está en la primera clase, para eso las 8 decenas de 48 se agregan a las 3 decenas que están en la varilla de las decenas de la clase uno, para un total parcial de 11 decenas, entonces en esta varilla solo queda una decena y las otras 10 se convierten en una centena que con las cuatro centenas del 48 se convierten en 5 centenas en la varilla correspondiente, que se escriben así: una se baja una ficha en el campo de arriba de la primera clase y en la varilla de las centenas, una ficha por ser una centena en la varilla correspondiente, entonces se bajan dos fichas de las tres que hay y en las unidades quedan las 2 que ya estaban. Y que se leería: 5 centenas, una decena y dos unidades, 512 es el resultado (Ver figura abajo)

Segundo ejercicio: Ejecutar: 394 X 265

1.

Se escribe el el multiplicando 394 a la derecha, en la tercera clase, se dejan dos clases a la derecha para la solución y el multiplicador 265 a la izquierda en la séptima clase. Ver gráfico

Procedimiento: 1. Multiplique 4 de las unidades del multiplicando por 5 unidades del multiplicador, 4x5 = 20, sume 0 a las unidades de la primera clase y sume 2 a las decenas de la primera clase 2.

3.

4.

5.

Multiplique 4 de las unidades del multiplicando por 6 decenas del multiplicador, 4x6 = 24, sume 4 a las decenas de la primera clase y sume 2 a las centenas Ahora tendremos: 2 en las centenas (2 fichas subidas en el campo de abajo) 6 en las decenas (una ficha bajada en el campo de arriba y una subida en el campo de abajo) y 0 en las unidades Multiplique 4 de las unidades del multiplicando por 2 centenas del multiplicador, 4x2 = 8, sume 8 a las centenas de la primera clase, para eso, como tenemos 2 fichas en las centenas y ocho mas son diez, para eso bajamos las dos fichas y subimos una en la varilla de las unidades de mil. Ahora tenemos 1 fichas en las unidades de mil ( una fichas subida en el campo de abajo), 0 fichas en la varilla de las centenas, 6 en las decenas (una ficha bajada en el campo de arriba y una subida en el campo de abajo) y 0 en las unidades En este momento se puede borrar el 4 de las unidades del multiplicando, para no producir confusiones y sigue en orden el 9 de las decenas

6.

7.

8.

9.

.Multiplique 9 de las decenas del multiplicando por 5, unidades del multiplicador, 9x5 = 45, sume 5 a las decenas de la primera clase y sume 4 a las centenas de la primera clase Al sumar 5 a las decenas que tiene 6 entonces son 11, queda una centena entonces subimos la ficha de 5 del campo de arriba y dejamos una ficha arriba en esa varilla en el campo de abajo; correspondiente al otro 1 del 11 se suma a las centenas que con el 4 del 45 las centenas se aumentan 5 (1+4), que al tener 0 queda con 5, lo que se hace bajando una ficha en el campo de arriba. Multiplique 9 de las decenas del multiplicando por 6, decenas del multiplicador, 9x6 = 54, sume 4 a las centenas de la primera clase y sume 5 a las unidades de mil Al sumar 4 a las centenas y teniendo ya 5 en total son 10 que forma una unidad de mil y las 5 correspondientes al 5 del 54 nos da un total de 6 unidades de mil, se escribe entonces 0 fichas en las centenas y una ficha se baja en el campo de arriba y se sube una en el campo de abajo en la varilla de las unidades de mil. Multiplique 9 de las decenas del multiplicando por 2, centenas del multiplicador, 9x2 = 18, sume 8 a las unidades de mil de la primera clase y con las 6 que ya existen son 14, lo que corresponde a 4 unidades de mil y 1 decena de mil, lo que se indica con 4 fichas subidas en la varilla de unidades de mil en el campo de abajo; sume 1 a las decenas de mil y con la que viene de las unidades del son 2, se representa con 2 fichas en la varilla de las decenas de mil en el campo de abajo.

.Multiplique 3 de las centenas del multiplicando por 5, unidades del multiplicador, 3x5 = 15, sume 5 a las centenas de la primera clase y sume 1 a las unidades de mil de la segunda clase. Al sumar 5 a las centenas y al haber 9 son 14 centenas que se representan 4 fichas en el campo inferior de la varilla de las centenas de la primera clase, se sube la ficha del campo superior, agregamos la que viene de las 14 y una del 15, en la unidad de mil en la primera varilla de la segunda clase, como hay cuatro son 6, entonces se bajan la tres del campo de abajo y se baja una ficha del campo de arriba; ahora se agrega una a las decenas de mil, que val tener dos y subir una son tres en el campo de abajo de las decenas de mil

10. Multiplique 3 de las centenas del multiplicando por 6, decenas del multiplicador, 3x6 = 18, sume 8 a las unidades de mil de la segunda clase clase y sume 1 a las decenas de mil de la segunda clase Al sumar 8 unidades de mil y con las 6 existentes son 14, dejamos 4 en las unidades de mil y trasladamos las 10 restante en forma de 1 decenas de mil. Queda representada así: subimos la ficha del campo superior de unidades de mil de la segunda clase y subimos cuatro fichas en el campo de abajo de la misma varilla; agregamos ficha del 14 y otra del 18 entonces y subimos dos ficha en el campo de abajo en la varilla de las decenas de mil, para cuatro. 11. Multiplique 3 de las centenas del multiplicando por 2, centenas del multiplicador, 3x2 = 6, sume 6 a las decenas de mil de la segunda clase, y con las cuatro que hay forman 10, dejamos sin ficha las decenas de mil y agregamos una a las centenas de mil Definitivamente quedan todas en el campo de abajo: una ficha fichas, en las centenas de mil, cero fichas en las decenas de mil, cuatro en las unidades de mil, cuatro en las centenas, una en las decenas y cero en las unidades, en cifras sería: 104410.

2. Ábaco neperiano y la multiplicación con él Tomado de: http://enciclopedia.us.es/index.php/%C3%81baco_neperiano El ábaco neperiano es el ábaco inventado por John Napier para el cálculo de productos y cocientes de números. También llamado ábaco rabdológico (del griego ραβδoς, varilla y λóγoς, tratado). Napier publicó su invención de las varillas (virgŭla) en una obra impresa en Edimburgo a finales de 1617 titulada Rhabdologiæ. Por este método, los productos se reducen a operaciones de suma y los cocientes a restas; al igual que con las tablas de logaritmos, inventadas por él mismo se tranforman las potencias en productos y las raíces en divisiones. El ábaco consta de un tablero con reborde en el que se colocarán las varillas neperianas para realizar las operaciones de multiplicación, división, extracción de la raíz cuadrada o cúbica. El tablero tiene su reborde izquierdo dividido en 9 casillas en las que se escriben los números 1 a 9. Las varillas neperianas son tiras de madera, metal o cartón grueso. La cara anterior está dividida en 9 cuadrados, salvo el superior, divididos en dos mitades por un trazo diagonal.

Abaco de Napier (tablero y varillas).png

En la primera casilla de cada varilla se escribe el número, rellenando las siguientes con el duplo, triplo, cuádruplo y así sucesivamente hasta el nóncuplo del número al que corresponda la varilla. Los dígitos resultados del producto se escriben uno a cada lado de la diagonal y en aquellos casos en los que sea inferior a 10, se escriben en la casilla inferior o derecha, escribiendo en la superior izquierda un cero o dejándola vacía. Un juego completo como el mostrado en la figura consta de 9 varillas correspondientes a los números 1 a 9. En la figura, además, se ha representado la varilla 0, que realmente no es necesaria para los cálculos. Si nos fijamos en el conjunto de varillas de la figura, salta a la vista que no son más que la tabla de multiplicar, si bien distribuida de forma ingeniosa para facilitar su uso en los cálculos, como más adelante veremos.

Para poder realizar las operaciones generalmente necesitaremos más de un juego de varillas, ya que por lo común habrá cifras en las que los dígitos se repitan. Para disminuir el número de varillas necesarias, las originales de Napier constaban de 4 caras en las que se recogían los múltiplos de cuatro dígitos, de modo tal que las caras opuestas de la varilla sumaran 9 y estando los múltiplos correspondientes a los dígitos 5 a 9 invertidos como muestra la figura. Cada uno de los dígitos aparece en cuatro varillas diferentes, de modo que el juego completo de 10 varillas permite expresar números hasta de 10 cifras siempre y cuando un dígito no aparezca repetido más de 4 veces. Multiplicación Provistos del conjunto descrito, supongamos que deseamos calcular el producto del número 46785399 por 7. En el tablero colocaremos las varillas correspondientes al número, tal como muestra la figura, haciendo posteriormente la lectura del resultado en la faja horizontal correspondiente al 7 del casillero del tablero, operación que sólo requiere sencillas sumas, con llevada naturalmente de los dígitos situados en diagonal.

Abaco de Napier (ejemplo).png Comenzando por la derecha obtendremos las unidades (3), las decenas (6+3=9), las centenas (6+1=7), etc. Si algún dígito del número que deseamos multiplicar fuera cero, bastaría dejar un hueco entre las varillas. Supongamos que queremos multiplicar el número anterior por 96.431; operando análogamente al caso anterior obtendremos rápidamente los productos parciales del número por 9, 6, 4, 3 y 1, colocándolos correctamente y sumando, obtendremos el resultado total.

Abaco de Napier (ejemplo2).png

IV. Formas rápidas de multiplicar 1. Forma cruzada, de cruz, relámpago o rápida (método para cantidades de dos cifras) Esta forma de multiplicar es un método rápido de multiplicar y consiste en 1. Colocar los dos factores uno debajo del otro 2. Multiplicar la primeras cifras de los factores

3. Multiplicar las cifras en forma cruzada (la primera cifra del primer factor por la segunda cifra del segundo factor y multiplicar la segunda cifra del primer factor por la primera cifra del segundo factor) y sumar los dos resultados 4. Multiplicar las ultimas cifras de los dos factores 5. Los tres valores se colocan en el orden descrito y se ajustan según el siguiente procedimiento: de derecha a izquierda, si el resultado solo tiene unidades se deja como está; pero si tiene decenas se dejan las unidades y las decenas se suman al siguiente resultado de la izquierda y asi hasta la ultima cantidad.

Ejemplo: 4

46 X 52 =

6

1° 2°

1° 4 X 5 = 20 2° 4 X 2 = 8 y 6 X 5 = 30 3°

5

2

Orden: 20

8 + 30 = 38

Reducción: 20 38 12

3° 6 X 2 = 12

12 20 39 2

23 9 2 =2392

Otra forma de presentar la multiplicación cruzada

Ejemplo: Multiplicar 46 X 52 = 4

5

a. 4 x 5 = 20

b.

4

2

4 X 2 = - -8

6

5

6 X 5 = - 30

6

2

6 X 2 = - - 12

46 X 52 4 X 5 4 X 2 6 X 5 6 X 2 resultado

2392 358 X 47 3 X 4 = 1 2 3 X 7 = 2 5 X 4 = 2 5 X 7 = 8 X 4 = 8 X 7 = Resultado 1 6

1 0 3 3 8

5 2 5 2

6 6

= = = =

2 0 8 3 0 1 2 2 3 9 2

Multiplicar con un orden especial Hagamos la explicación apoyándonos en un ejercicio: Resolver: 452 X 576 Primero: uno de los factores se repite tantas veces como cifras tenga el otro factor y se escriben en columna y las cifra del otro facto se escriben, bien a la izquierda o a la derecha de la cantidad escrita en columna y separados con el símbolo de operación de multiplicación, como se indica: 4X

576

5X

576

2X

576

Se efectúan las multiplicaciones y se escriben al lado teniendo en que cada resultado se escribe debajo del anterior pero corriendo un espacio hacia la derecha, y se suman para obtener el resultado final, así: 4X

576 = 2 3 0 4

5X

576 =

2X

576 =

2880 1 152 260 35 2

Entonces: 452 X 576 = 260352. El resultado se puede colocar debajo de la operación:

Total

4X

576 =

5X

576 =

2X

576 =

2304 2880 1 152 260 35 2

Multiplicación en la antigüedad con fórmula Multiplicar: 26 X 14 Los antiguos utilizaban la siguiente fórmula: 𝑎∗𝑏 = 26 ∗ 14 =

(𝑎 + 𝑏)2 (𝑎 − 𝑏)2 − 4 4

(26 + 14)2 (26 − 14)2 − 4 4

(40)2 (12)2 26 ∗ 14 = − 4 4 26 ∗ 14 =

1600 144 − 4 4

26 ∗ 14 = 400 – 36 26 ∗ 14 = 364

2. Multiplicar cantidades de dos cifras que se comparan con un múltiplo de 10 Procedimiento. El procedimiento se cumple siempre, es necesario conocer las tablas básicas de multiplicar y la ley de los signos. Multiplicar 34 X 32 =?

Paso 1. Se selecciona el múltiplo de 10 con base en el cual se adelantará el procedimiento, preferiblemente el mas cercano a los valores de los factores, en este caso es 30 Paso 2. Se determina el exceso o defecto de los factores comparados con el múltiplo de 10 seleccionado, por ejemplo 34 comparado con 30 tiene +4 unidades y 28, tiene -2 unidades. Para fácil recordación se escribe en la siguiente forma: +4 -2 Excesos o defectos comparados con 30 34 X 28 =? Paso 3. Se efectúa la operación de suma algebraica de los excesos o defectos en forma cruzada con los factores, asi: 34 - 2 = 32 y 28 + 4 = 32, como se nota los resultados tienen el mismo valor y siempre será de esa manera Paso 4. El valor igual (32) obtenido de la suma algebraica de los excesos o defectos con los factores cruzados se multiplica con el múltiplo de 10 seleccionado (30): 32 X 30 = 960 Paso 5. Finalmente para obtener el resultado definitivo, se suma el valor obtenido de la multiplicación del múltiplo de 10 seleccionado por el valor de la suma de los factores con los exceso o defectos se le agrega algebraicamente el resultado de multiplicar los excesos o defectos entre si, ejemplo: (+4) x (-2) = -8, quedando así: Resultado definitivo: 960 + (-8) = 952 Ejemplo: 56 X 52 =? Múltiplo de 10 seleccionada: 50 Exceso de 56 respecto a 50: +6 Exceso de 52 respecto a 50: +2 Sumas de los factores cruzados con los excesos: 56 + 2 = 58 y 52 + 6 = 58 Producto del resultado iguales (58) con el múltiplo de 10 seleccionada (50): 58 X 50 = 2900 Producto de los excesos: 6 X 2 = 12 Resultado final: suma de resultado producto de resultados iguales por base seleccionada (2900) con producto de los excesos (12): 56 X 52 = 2900 + 12 = 2912 Ejercicio practico y con una base no necesariamente la mas cercana: 41 X 54 =? Base: 50, defecto de 41 es -9 y exceso de 54 es 4, sumas cruzadas: 41 + 4 = 45; 54 – 9 = 45 Producto base por sumas iguales: 45 X 50 = 2250; producto de excesos y defectos: -9x4=-36 Resultado final: 2250 + (-36) = 2214

La base puede ser mas lejana, pero las operaciones se vuelven mas complejas hasta el extremo que sería preferible calcular la operación por el método tradicional. 41 X 54 =? Base: 40; exceso de 41 es +1, exceso de 54 es +14; sumas cruzadas: 41+14=55 y 54 +1= 55 Producto: 55 X 40 = 2200; producto de excesos: 1 X 14 = 14; suma: 2200 + 14 = 2214. El mismo resultado. otra vez : 41 X 54 =? Base 100; defecto de 41: -59, defecto de 54: -46; sumas cruzadas: 41 -46 = -5 y 54 –59 = -5; Producto: base X resultados iguales: 100 X (-5) = -500; producto de defectos: (-59) X(-46) = +2714; suma: -500 + 2714 = 2214, lo mismo.

3. Multiplicar dos cantidades de dos cifras con complementos de cien Procedimiento. El procedimiento que se describe a continuación se cumple en todos los casos, pero en algunos el proceso puede adquirir cierta complejidad que es preferible multiplicar por el método tradicional. Per o en muchísimos caso facilita las operaciones y ayuda a ahorrar tiempo. Multiplicar: 96 X 92 = ¿ Paso 1. Se haya lo que le falta a cada factor para ser igual a 100; a 96 le falta 4 y a 92 le falta 8 Paso 2. Se suman los faltantes o complementos obtenidos y el resultado: 4 + 8 = 12 Paso 3. El resultado obtenido se resta de 100 y la diferencia obtenida constituyen las primeras cifras del resultado: 100 – 12 = 88 (primeras cifras del resultado) Paso 4. Los mismos complementos obtenidos en el paso 1 se multiplican y el resultado obtenido son las cifras restante del resultado: 4 X 8 = 32 Resultado final: 96 X 92 = 8832 Ejercicio: 89 x 97 =? Complemento de los factores: de 89 es 11 y 96 es 3 Suma de los complementos: 11 + 3 = 14 Complemento de la suma: 100 – 14 = 86 Producto de los complementos: 11X33 = 33 Resultado: 89 x 97 = 8633 En este método condicionado a factores de dos cifras, el máximo resultado es 9801 y el mínimo posible aparentemente es 121, pero puede bajar a 01. Para el efecto hay que hacer las siguientes aclaraciones: 1. Si uno de los factores o ambos son cantidades de una sola cifra, para desarrollar el procedimiento se le antepone un cero (0) a la cifra. 2. Es posible que la suma y el producto de complementos tengan menos o mas de dos cifras, en este caso si el producto de complementos resulta de tres cifras se la antepone un cero para completar las cuatro del resultado, y si la suma tiene menos

de cuatro cifras se le agrega ceros has igualar las cuatro cifras, se aclara que el cero que se antepone cuando el factor es de una cifra debe mantenerse para todas las operaciones. Para la aplicación de esto se parte de las cuatro cifras de resultado; 3. El complemento de la suma puede resultar negativo 4. El resultado, ahora, se obtiene sumando la suma y producto de complementos Ejemplo: 82 X 9 =? La operación se representa así: 82 X 09 =? Complementos de los factores: de 82 es 18 y de 09 es 91 Suma de los complementos: 18 + 91 = 109 Complemento de la suma: 100-109 = -09 (complemento negativo) Producto de los complementos: 18 X 91 = 1638 Resultado: se agrega al final dos ceros a -09 y queda -0900 y ahora se suma teniendo en cuenta los signos: 1638 -0900 = 738 Entonces 82 X 09 = 738 Ejercicio: 77 X 89 =? Complementos de los factores: de 77 es 23 y de 89 es 11 Suma de los complementos: 23 + 11 = 34 Complemento de la suma: 100-34 = 66, como tiene dos cifras se le agrega dos ceros al final, quedando 6600. Producto de los complementos: 23 X 11 = 253, como tiene tres cifras se le agrega un cero al inicio, quedando 0253 Resultado: se suman la suma y producto de las complementos de después de completados por ceros: 6600 + 0253 = 6853 Ejercicio: multiplicar 45 x 76 = ? Complementos de los factores: de 45 es 55 y de 76 es 24 suma de complementos: 55 + 24 = 79 complemento de la suma: 100 – 79 = 21 (como tiene dos cifras se le agrega dos ceros al final, quedando: 2100 Producto de complementos: 55 X 24 = 1320 Resultado: 2100 + 1320 = 3420.

5. Cómo multiplicar rápidamente con el 9, 99, 999 Comencemos multiplicando el 9 por una cifra: 2 x 9 = 18 3 x 9 = 27 7 x 9 = 63 Note que el resultado se puede obtener fácilmente: de la cantidad que multiplica al 9 le restamos una unidad, así: 2 -1 = 1 3 -1 = 2 7 -1 = 6

Se obtiene la primera cifra del resultado y la segunda cifra es la diferencia de 9 menos la primera cifra obtenida: 9-1 = 8; 9 – 2 = 7 y 9 – 6= 3, entonces 5 x 9 = 45 porque 5 (primera cifra) – 1 = 4 y 9 – 4 (primera cifra obtenida) = 5 Ahora vamos a multiplicar por 9, 99, 999, etc. Multiplicación por 9 Procedimiento válido solo para cantidades de una cifra Sabes que 6×9=54. Nos puede servir como ejemplo inicial para explicar la forma de operar. Lo puedes obtener así: A la primera cifra le quitamos un 1 (6-1=5). Después siempre hacemos 9 – la cifra resultante (9-5 =4) Es decir: 6×9=54 6-1|9-5 –> 5|4 –> 54 Multiplicación por 99 Procedimiento válido solo para cantidades de dos cifra Veamos otros ejemplos. 43×99= 4257 → 43-1=42 Se toma el primer factor y se le resta una unidad. 9-4=5 92=7 Fíjate que ahora resto 9- 4 (primera cifra de 42) y 9- 2 (segunda cifra 42), es decir de 9 se resta cada una de las dos cifras del resultado obtenido de restarle 1 al primer factor. Finalmente el 42 seguido de los resultados, en el estricto orden expuesto, forman la solución definitiva: 4257. 59 X 99 = 32 x 99 =

59 – 1 = 58 y 9 – 5 = 4 ; 9-8 = 1 entonces 59 x 99 = 5841 32 – 1 = 31 y 9 – 3 = 6; 9 -1 = 8 entonces 32 x 99 = 3168

Multiplicación por 999 Procedimiento válido solo para cantidades de tres cifra 378×999=377622 → 378-1=377 9-3=6 9-7=2 9-7=2 Imagínate el tiempo que te llevaría la operación anterior por el método tradicional. También se puede multiplicar por 1000 y restarle 378, aunque es más lento. Multiplicar por cualquier número de nueves Procedimiento válido para cantidades con un cantidad de cifras igual al número de nueves N = abcdef Si N x 999999 = ¿ implica abcdef x 999999 = ¿ Operamos abcdef – 1 = N – 1 y 9-a= a’ ; 9-b = b’; 9-c = c’; 9-d = d’; 9-e = e’; 9-f = f’. Resultado: N X 999999= (N-1) a’b’c´d’e’f’

Procedimiento: Ahora te toca a tí. ¿Te atreves a multiplicar sin calculadora? 562×999= 1.973×9999= 562×999= 561.438 1.973×9999= 19.728.027

Forma general para multiplicar cualquier cantidad por 9 Procedimiento: multiplique la cantidad por diez y al resultado réstele la cantidad, para multiplicar por diez es suficiente agregar un cero al final de la cantidad a multiplicar. Ejemplo: multiplicar 45 X 9 =? Multiplicar por 10: Se toma la cantidad a multiplicar 45 y se le agrega un 0, 450 Restamos la cantidad del resultado obtenido: 450 – 45 = 405 La justificación de este procedimiento es muy sencillo, cuando multiplicamos un número k por 9, lo que en realidad hacemos es sumar k + k + k... + k nueve veces. Cuando agregamos un cero a la derecha del número k obtenemos el resultado de multiplicarlo por 10, y cuando restamos k a este resultado obtenemos 9k, es decir 10k − k = 9k

Forma general para multiplicar cualquier cantidad por 99 Procedimiento: multiplique la cantidad por cien, 100 y al resultado réstele la cantidad, para multiplicar por 100 es suficiente agregar dos ceros al final de la cantidad a multiplicar. Ejemplo: Multiplicar 87 X 99 =? Procedimiento: se multiplica la cantidad 87 por 100, para eso le agregamos dos ceros al final y queda: 8700 Del resultado anterior restamos la misma cantidad 87: 8700 - 87 = 8613 Esta característica se puede trasladar a suma y facilitar la multiplicación por 11, 12, 13, … etc. o por 101, 102, 103, ... etc. Ejemplo. Multiplicar 68 x 11 =? Multiplicamos la cantidad 68 y la multiplicamos por 10 lo que se hace agregando un cero al final de la cantidad y queda: 680 Al resultado obtenido le sumamos la misma cantidad y queda: 680 + 68 = 748 Por 12 se agrega dos veces la cantidad, por 13 se agrega 3 veces, etc. Para 101, 102, etc. Se aplica el mismo procedimiento pero agregando previamente dos ceros.

Ejercicios. 56 x 12 = 56(10 + 2)= 560 + 112 = 672 87 x 15 = 87(10 + 5)= 870 + 435 = 1305 89 x 20 = 89(10 + 10)= 870 + 870 = 1740 76 x 13 = 760 + 228 = 988 458 x 14 = 458(10 + 4) = 4580 + 1832 = 6412 8794 x 103 = 8794(100 + 3)= 879400 + 25182) = 904582 48967 x 1005 = 48967000 + 244835 = 49211835

6. Multiplicar utilizando la ley distributiva Procedimiento. SE descompone la cantidad en sumandos fáciles de multiplicar, luego multiplicamos cada uno de ellos y finalmente sumamos lo resultados parciales. Ejemplo. Multiplicar 7 x 36 = ? Hallamos cantidades que sumadas den 36 pero fáciles de multiplicar por 7 7( 30 + 6) = 7 x 30 + 7 x 6 = 210 + 42 = 252 9 x 87 = 9(80 + 7) = 720 + 63 = 783 8 x 279 = 8(200 + 70 + 9) = 1600 + 560 + 72 = 2232

7. Truco para multiplicar por 5 Hay un método para multiplicar por 5 los números pares y otro para hacerlo con los números impares. Recuerda que los números pares son los que terminan en 2,4,6,8 y 0; los números impares son aquellos terminados en 1,3,5,7 y 9. Con números pares... Tomaremos como ejemplo la operación 12 x 5: Lo primero que debes hacer es encontrar la mitad de 12. Para hacerlo, divide 12 entre 2 o buscar el número que multiplicado por 2 te dé 12. En nuestro caso específico, la mitad de 12 es 6. 12 / 2= 6 y 6 x 2 = 12 Después, toma la cifra que te dio como resultado y agrégale uno 0. Por ejemplo, ya que encontramos que la mitad de 12 es 6, le adicionamos un 0 al número 6, lo que nos daría 60. Este sería el resultado de la operación 12 x 5. 12 x 5 = 60. ¿No me crees? Haz la prueba. Con números impares... Tomemos como ejemplo la operación 37 x 5: Lo primero que debes hacer es restarle 1 a la cifra que vas a multiplicar para obtener un número par. En nuestro ejemplo, a 37 le debes restar 1 y nos dará como resultado 36, que es un número par:

37 - 1 = 36 Ahora, encontraremos la mitad del número que nos dio como resultado en la resta. Por ejemplo, ya que nuestro resultado fue 36, la mitad sería 18. 36 / 2 = 18 y 18 x 2 =36 Por último, tomaremos esa mitad, le añadiremos un 5 y obtendremos el resultado de la multiplicación. Es decir, como encontramos que 18 es la mitad de 36, a 18 le agregamos un 5, que es igual a 185. Listo, ya encontraste el resultado de la operación. 37 x 5 = 185

8. Truco para multiplicar por 6 La tabla del 6 también tiene truco: Cuando multiplicamos un número par por el 6, el resultado está formado por la mitad del número que se multiplica y el propio número. Con los ejemplos se verá más claro: 6 x 4 = 24, 2 es la mitad de 4 6 x 6 = 36 , 3 es la mitad de 6 6 x 8 = 48 6 x 2 = 12 6 x 9 = 54

9. Truco para La tabla de multiplicar del 9 con las manos Coloca las dos manos abiertas y extendidas con las palmas hacia ti, te quedará el pulgar de la mano derecha hacia la derecha y el de la izquierda hacia la izquierda. Ahora numera los dedos desde el 1 hasta el 10 comenzando por el dedo pulgar de la izquierda con el número 1 y finalizando en el dedo pulgar de la derecha con el número 10.

Para efecto de la tabla de multiplicar se procede de la siguiente manera:

 para multiplicar 9 por 1 se dobla el dedo pulgar izquierdo, el que está numerado como número 1, los dedos que te quedan a la derecha del dedo doblado es el resultado (nueve dedos, el número nueve, resultado nueve)  Para multiplicar por 2 doblamos el dedo índice de la mano izquierda, el numerado como 2, ahora los dedos que quedan a la izquierda del doblado representan el primer digito del resultado, el 1 y los dedos que quedan a la derecha del índice doblado representan el segundo digito del resultado, en este caso 8, resultado final 18  Para multiplicar por 3 doblamos el dedo corazón de la mano izquierda, a la izquierda de él quedan dos dedos sin doblar y a la derecha 7, luego el resultado es 27  Para multiplicar 9 x 7 doblamos el dedo marcado como 7, es el dedo anular de la mano derecha, quedan 6 dedos a la izquierda y 3 a la derecha, luego el resultado de 9 x 7 = 63  Y asi se procede hasta el final.

10. Otra forma para la tabla de multiplicar por 9 Para la tabla del 9 se toma el número por el que se multiplica el 9 se le agrega un cero y luego se resta el mismo número, ejemplo: 9 X 1 = 10 – 1 = 9 (al factor 1 se le agrega 0 y forma 10 y ahora se resta el mismo 1) 9 x 2 = 20 – 2 = 18 ( al 2 se le agrega 0 y forma 20, ahora le restamos el mismo 2) 9 X 3 = 30 – 3 = 27 9 X 4 = 40 – 4 = 36 . . . 9 X 10 = 100 – 10 = 90 9 X 11 = 110 – 11 = 99 9 X 12 = 120 - 12 = 108 . . . 12.

Multiplicar entre sí dos cifras superiores a 5

Para multiplicar dos cifras superiores a 5, en cada una de las manos representamos cada uno de estos números, para ello extendemos tantos dedos como la cifra supere a 5, porejemplo 8 supera en 3 a 5, deben extenderse 3 dedos; 7 supera a 5 en 2, deben extenderse 2 dedos, etc. Cada dedo extendido vale 10, si entre las dos manos hay 5 dedos extendidos en valor total es 50, si en cada mano hay extendido 2 dedos en total son 4 dedos, el valor total es 40, etc. Finalmente se multiplican los dedos doblados en una mano

por los doblados de la otra mano y se agrega este producto al valor obtenido de los dedos extendidos. Vamos al ejemplo:

Dedos extendidos: tres en una mano y dos en la otra, son 5 a 10 cada uno son 50 2 dedos doblados en una mano y 3 en la otra, multiplicados es 3x2 = 6 Sumados el 50 con el 6 nos da un total de 56 Entonces 8 X 7 = 56 13.

Tabla de multiplicar del 11 al 15 con los dedos

Se extienden los dedos de ambas manos y se colocan con los pulgares hacia arriba y las palmas hacia usted. Se numeran los dedos desde el meñique hasta el pulgar en ambas manos con los números desde el 11 el meñique hasta el 15 el pulgar. Para efectuar la operación de multiplicación se tocan los dos dedos que contengan los factores, uno en cada mano Se doblan el resto de dedos hacia el meñique, en cada mano Para obtener el resultado se cuenta el total de dedos doblados en cada mano y se agrega los dos que se tocan; a cada uno se da el valor de 10 y así se obtiene la primera parte. La segunda parte se obtiene multiplicando los dedos doblados mas el que se toca en una mano por lo mismo en la otra mano y es te resultado se suma con el anterior A la suma de los resultados anteriores y en todos los casos se suma el valor constante 100. Ejemplo. Multiplicar 12 X 14 =? Al tocar el dedo señalado con el 12 en la mano izquierda y el de 14 en la derecha y doblar los demás hacia el meñique, el panorama es el siguiente: Mano izquierda: tocándose 1 (el anular), doblado 1 (el meñique), total 2 dedos Mano derecha: tocándose 1 (el índice, doblados 3 (corazón, anular y meñique) total 4 dedos. Sumando lo de las dos manos es: 2 (izquierda) + 4(derecha) = 6 total y como cada uno se le da el valor de 10, el primer parcial es 60 Luego se multiplican los totales de dedos obtenidos en cada mano así: 2(izquierda) x 4(derecha) = 8, el segundo parcial es 8 Finalmente se suman los dos parciales y se le agrega 100: 60 (primer parcial) + 8 (segundo parcial) + 100 (Constante) = 168 Por lo tanto 12 X 14 = 168 14.

Truco para recordar como calcular la fracción de un entero. Método de la Z invertida

Se conoce como el truco de la Z invertida. Generalmente se presenta la información en la siguiente forma: Hallar

⅗ de 90.

El procedimiento consiste en iniciar en el denominador de la fracción y dirigirse al vértice de la Z donde se encuentra el entero y efectuar la división entre ellos. Acto seguido nos encaminamos al otro vértice de la Z y colocamos el resultado de la división. Finalmente el resultado de la división lo multiplicamos por el numerador y el resultado lo colocamos en el otro extremo de la Z

X3

54

18 de ⅗ 15.

÷5

90 entonces ⅗ de 90 es 54

Método védico de la multiplicación

El método védico consiste en cumplir un procedimiento fijo y que se establece gráficamente para procurar que no se nos olvide cuales son los pasos que hay dar y en que orden. Como este método esta diseñado para multiplicar cantidades de tres cifras, la representación se hace con seis figuras, que en nuestro caso hemos tomado círculos, cada circulo representa una cifra de la cantidad, los seis están distribuidos tres en una fila horizontal, que indica el multiplicando y los otros tres en otra fila en completo orden debajo de la otra, que representa las cifras del multiplicador y luego confeccionar cuatro formas mas iguales a la descrita, para un total de cinco. En cada grupo se trazaron líneas que unen algunos círculos de dos en dos y que indican las cifras que se multiplican en cada paso, cada paso se da en el orden de arriba hacia abajo. Ejemplo: Multiplicar 354 X 268

Paso uno: se multiplican las cifras de las unidades, se escribe solo las unidades de este resultado, si hubiere decenas se llevan para agregar al siguiente resultado. Ejemplo 4 X 8 = 32, se coloca el 2 como unidades del resultado final y se llevan 3) Paso dos. Se multiplican las cifras de las unidades y decenas en forma cruzada y se suman, se agrega las decenas que vengan de resultados anteriores. (Ejemplo: 5 X 8 + 4 X 6 + 3 = 40 + 24 + 3 = 67, se coloca el 7 como decenas del resultado final y las 6 decena se llevan) Paso tres. Se multiplican las centenas con las unidades en forma cruzada y las decenas entre si, se suman los tres resultados y se agrega las que vengan de resultados anteriores. (Ejemplo 3 X 8 + 4 X 2 + 5 X 6 + 6 = 24 + 8 + 30 + 6 = 68, se escribe el 8 como centenas del resultado final y las 6 se llevan) Paso cuatro. Se multiplican las centenas con las decenas en forma cruzada y se suman los resultados y se suma las que vengan de resultados anteriores. (Ejemplo 3 X 6 + 5 X 2 + 6 = 18 +10 + 6 = 34, se escribe 4 como unidades de mil del resultado final y 3 se llevan) Paso 5. Se multiplican las centenas entre si y al resultado se le agregan las que vengan de resultados anteriores. (Ejemplo 3 X 2 + 3 = 6 +3 = 9, se escribe 9 como decenas de mil del resultado final) Resultado final: 354 X 268 = 94872

Trucos para recordar las tablas de multiplicar Truco para recordar la tabla de multiplicar por 2 Para recordar la tabla de multiplicar por 2 se procede de la siguiente manera: Uno. Se escribe la tabla de multiplicar po2 completa sin los resultados, obviamente. 2X1= 2X2= 2X3= 2X4=

2X6= 2X7= 2X8= 2X9=

2X5= 2 X 10 = Dos. Para obtener los resultados de la multiplicación simplemente tomamos en numero que multiplica al 2 y lo sumamos consigo mismo. (Ejemplo 2 X 1 = 1 +1 = 2) 2X1=1+1=2 2X2=2+2=4 2X3=3+3=6 2X4=4+4=8 2 X 5 = 5 + 5 = 10

2 X 6 = 6 + 6 = 12 2 X 7 = 7 + 7 = 14 2 X 8 = 8 + 8 = 16 2 X 9 = 9 + 9 = 18 2 X 10 = 10 + 10 = 20

Con lo cual la tabla queda completa. 2 X 1 =2 2 X 6 = 12 2X2=4 2 X 7 = 14 2X3=6 2 X 8 = 16 2X4=8 2 X 9 = 18 2 X 5 = 10 2 X 10 = 20

Truco para recordar la tabla de multiplicar por 3 Para recordar la tabla de multiplicar por 3 se debe tener en cuenta las siguientes orientaciones: Primero. Trazar un símbolo de numeral, almohada, hashtag o gato como son los nombres con que se le conoce. Segundo: colocamos los números del 1 al 9 iniciando en la primera columna y desde abajo hacia arriba y luego hacemos lo mismo continuando en la segunda y después en tercera columna, constituyéndose en la ultima cifra de los resultados y le ponemos nombres a las filas de arriba hacia abajo como fila del 0, fila del 1 y fila del 2 Fila del 0

3

6

9

Fila del 1

2

5

8

Fila del 2

1

4

7

0

Tercero. Ahora a cada número de la primera fila le anteponemos el nombre 0 de la fila uno, igual con los de la segunda con el número 1 y tercera fila con el numero 2 Fila del 0

03

06

09

Fila del 1

12

15

18

30

Fila del 2

21

24

27

Al multiplicar en forma ordenada desde la izquierda de la primera fila y continuando en el mismo orden por la segunda y luego por la tercera tenemos todos los resultados de la tabla de multiplicar por 3, quedando completa así: 3X1=3 3x2=6 3X3=9 3 X 4 = 12 3 X 5 = 15

3 X 6 = 18 3 X 7 = 21 3 X 8 = 24 3 X 9 = 27 3 X 10 = 30

Trucos para recordar la tabla de multiplicar por 4 El procedimiento que se explica a continuación no satisface plenamente para hallar los resultados de la tabla de multiplicar por 4, pero da una guías apreciables que constituyen una ayuda invaluable. Las guías nos permiten establecer con absoluta seguridad la última cifra del resultado, más la primera cifra debe ser deducible por el operador. Para recordar la tabla de multiplicar por 4 es muy sencillo, solo tiene que aplicar estas orientaciones: Uno. Dibujar una estrella de David o estrella de 5 puntas; resaltar los vértices de las puntas y resaltar el punto medio entre cada dos puntas y luego colocamos los números desde el 0 hasta 9, se inicia con 0 en una de la puntas y se continua en el sentido de las manecillas del reloj incluyendo las puntas de la estrella y los puntos intermedios

1 0

2

9

3 4 8 5 7

6

Dos. Colocamos la tabla de multiplicar del 4, como es apenas natural sin los resultados: 4X1= 4X6= 4X2= 4X7= 4X3= 4X8= 4X4= 4X9= 4X5= 4 X 10 =

Tres. Para establecer los resultados de la tabla de multiplicar por 4 se procede de la siguiente manera: se sitúa en el punto donde está el 0 y dice 4 X 0 = 0, luego dice 4 X 1 y recorre la línea al lado del número 1 y al final encuentra el número 4 que es el resultado; luego dice 4 X 2 y continua la línea sin levantar la mano y llega al punto del 8 y esa es la solución; seguimos con 4 X 3 y continuamos recorriendo la línea y llegamos al punto de 2 que no es el resultado pero podemos deducir fácilmente que es 12; solicitamos 4 X 4, todo es continuar la línea sin levantar la mano y llegamos al punto del 6, que es la cifra final de la solución y que nos permite deducir que es 16; al continuar con 4 X 5 y segur la línea llegamos al 0 y deducimos el resultado como 20; para 4 X 6 la línea nos lleva al 4 y consideramos la solución como 24; para el 4 X 7 la línea nos lleva al 8 y la solución segura es 28; continuando con 4 X 8 la línea nos conduce al 2 para considerar como resultado el 32; para 4X 9 el camino llega al 6 para un resultado de 36 y finalmente sabemos que 4 X 10 es 40 por la regla que todo número multiplicado por 10 se le agrega un 0 al final. La tabla definitiva queda asi: 4X1= 4 4 X 6 = 24 4X2= 8 4 X 7 = 28 4 X 3 = 12 4 X 8 = 32 4 X 4 = 16 4 X 9 = 36 4 X 5 = 20 4 X 10 = 40

Truco para recordar la tabla de multiplicar por 5 Para recordar la tabla de multiplicar por 5 es muy sencillo, solo tienes que recordar las siguientes reglas: Regla uno: todo número par multiplicado por 5 da un resultado terminado en 0 y todo número impar multiplicado por 5 da como resultado un número terminado en 5 Regla dos. Se coloca la tabla de multiplicar, lógicamente sin los resultados. 5X1= 5X2= 5X3= 5X4= 5X5=

5X6= 5X7= 5X8= 5X9= 5 X 10 =

Regla tres. Seleccionamos los multiplicadores de 5 que sean pares, como 2, 4, 6 8 y 10. En estos casos el resultado se obtiene dividiendo el multiplicador por dos o hallarles la mitad y

lo que se obtiene es la primera cifra del resultado y la segunda cifra se obtiene de la regla que dice que toda cantidad par multiplicada por 5 termina en cero, entonces a los valores obtenidos le agregamos a cada uno el 0. Y obtenemos 10, 20, 30, 40, y 50 5X1= 5X2= 10 5X3= 5X4= 20 5X5=

5X6=30 5X7= 5X8=40 5X9= 5 X 10 = 5 0

Regla cuatro. Cuando el multiplicador de 5 es un número impar, como 1, 3, 5, 7, y 9 el resultado es una cantidad terminada en 5. En este caso del multiplicador impar primero le restamos una unidad y luego dividimos por dos y lo que se obtiene es la primera cifra del resultado (ejemplo el impar 3 le restamos 1 entonces queda 2 y a este lo dividimos por dos y obtenemos 2÷2 = 1, este es la primera cifra del resultado y recordemos que todo número impar multiplicado por 5 su resultado termina en 5, entonces: 5 X 1 = 05 5X6= 5X2= 5 X 7 = 35 5 X 3 = 15 5X8= 5X4= 5 X 9 = 45 5 X 5 = 25 5 X 10 = Y la tabla completa nos quedaría: 5 X 1 = 05 5 X 6 = 30 5 X 2 = 10 5 X 7 = 35 5 X 3 = 15 5 X 8 = 40 5 X 4 = 20 5 X 9 = 45 5 X 5 = 25 5 X 10 = 50 Nota: esta regla es válida para cualquier cantidad: 5 X 24 luego 24 ÷ 2 = 12 y agrego 0 al final es 120 resultado correcto 5 X 86 luego 86 ÷ 2 = 43 y agrego 0 al final es 430, resultado correcto 5 x 148 luego 148 ÷ 2 = 74 y agrego 0 al final 740, resultado correcto 5 X 35 luego (35 -1)÷2 = 34 ÷2 = 17 y agrego 5 al final 175, resultado correcto 5 X 237 luego (237-1) ÷2= 236÷2=118 y agrego 5 al final 1185, resultado correcto

Truco para recordar la tabla de multiplicar del 6 Para recordar la tabla de multiplicar por 6 es muy sencillo, solo tiene que seguir los siguientes pasos:

Paso uno. Se coloca la tabla de multiplicar sin los resultados como es natural 6X1= 6X6= 6X2= 6X7= 6X3= 6X8= 6X4= 6X9= 6X5= 6 X10 = Paso dos. Colocamos los resultados de 6 X1 que sabemos que cualquier cantidad multiplicada por 1 da como resultado la misma cantidad, entonces es 6. El resultado de 6 X 10, cumple con la regla que dice: toda cantidad multiplicada por el resultado se obtiene agregándole un 0, luego 6 X 10 = 60 6X1=6 6X6= 6X2= 6X7= 6X3= 6X8= 6X4= 6X9= 6X5= 6 X10 = 60 Paso tres. Seleccionamos los multiplicadores pares (como 2, 4, 6 y 8), para obtener el resultado de la multiplicación por 6 en estos casos solo tenemos que dividir el multiplicado par entre 2 y lo que se obtenga es la primera cifra del resultado (ejemplo 2÷2 = 1 ) y la segunda cifra es el mismo multiplicado (ejemplo en 6 x 2 tenemos 2÷2 = 1 esta es la primera cifra y el 2 es la segunda cifra, luego el resultado es 12) 6X1=6 6 X 6 = 36 6 X 2 = 12 6X7= 6X3= 6 X 8 =48 6 X 4 = 24 6X9= 6X5= 6 X10 = 60 Paso cuatro. Para hallar el resultado de los multiplicadores impares solo tenemos que sumar 6 al resultado del multiplicador par inmediatamente anterior, asi el 6 X 3 es el inmediatamente anterior que es 12 y le sumamos 6 para obtener 18 y asi sucesivamente 6X1=6 6 X 6 = 36 6 X 2 = 12 6 X 7 = 36 b+ 6 = 42 6 X 3 = 12 + 6 = 18 6 X 8 =48 6 X 4 = 24 6 X 9 = 48 + 6 = 54 6 X 5 = 24 + 6 = 30 6 X10 = 60 A continuación la tabla complete: 6X1=6 6 X 6 = 36 6 X 2 = 12 6 X 7 =42 6 X 3 = 18 6 X 8 =48

6 X 4 = 24 6 X 5 = 30

6 X 9 = 54 6 X10 = 60

Truco para recordar la tabla de multiplicar del 7 Para recordar la tabla de multiplicar del 7 se debe trazar dibujo parecido al numeral, almohada, hashtag y otros la llaman cara de gato y seguir los siguientes pasos: Paso uno. Seleccionado el símbolo de numeral, como lo he conocido siempre, distinguimos, de alguna manera, tres filas y tres columnas a las que nos referiremos en forma normal, primera segunda y tercera columna de izquierda a derecha y las filas de arriba hacia abajo

Paso dos. Se colocan en el símbolo de numeral los dígitos del 1 al 9 iniciando en la tercera o última columna y de arriba hacia abajo y continuando en la segunda y luego en la tercera y siempre en el mismo orden. El cero lo colocamos por fuera del símbolo a la derecha. 7

4

1

8

5

2

9

6

3

0

Paso tres. Se procede ahora a colocar a la izquierda o delante de las cifras escritas los números del 0 al 7. Se debe cumplir con los siguientes requisitos: 1. los números se colocan en orden iniciando por el 0 y finalizando por el 7. 2. iniciar en el extremo izquierdo de la primera fila y continuar hasta el extremo derecho 3. cada vez que se cambia de fila la siguiente se comienza con el ultimo numero colocado en la fila anterior; ejemplo si el ultimo numero colocado en la fila uno es el 2, en la fila dos el primer numero que se debe colocar es el mismo 2, se repite 4. el ultimo numero a colocar es el 7 y se le coloca a la izquierda del 0 que está por fuera del símbolo.

07

14

21

28

35

42

49

56

63

70

Y ahí tenemos la tabla de multiplicar del 7, fácil de elaborar y fácil de recordar, la explicación es mas larga que la elaboración.

Truco para recordar la tabla de multiplicar del 8

Para recordar con facilidad la tabla de multiplicar del 8, simplemente cumpla con los siguientes requisitos: Uno. Escriba, sin los resultados, toda la tabla del 8, pero en dos columnas, la primera del 1 al 5 y la segunda del 6 al 10. 8X1=8

8X6 =

8X 2=

8X7=

8X3=

8X8=

8X4=

8X9=

8X5=

8 X 10 =

Dos. Recordar que cualquier cantidad multiplicada por 1 siempre da como resultado la misma cantidad, entonces 8 X 1 = 8 y escribimos 8 en la parte correspondiente. Tres. A partir del segundo ( o sea 8 X 2 = ), colocamos los dígitos en orden desde el 1 hasta el 8, pero repitiendo el ultimo digito colocado en la primera columna cuando se inicia la segunda columna, es decir si el ultimo digito en la primera fue 4 en la segunda se inicia con 4 también, es decir se repite. (el 4 se repite) 8X1=8

8X6 =4

8X 2=1

8X7=5

8X3= 2

8X8= 6

8X4=3

8X9=7

8X5= 4

8 X 10 = 8

Cuatro. Ahora procedemos en sentido contrario. Comenzando en 8 X 10 y a la derecha del la cifra colocada empezamos a escribir los digito pares comenzando por cero (es decir 0, 2, 4, 6, 8), al llegar a 8 reiniciamos con el 0.

8X1=8

8X6 =48

8X 2=16

8X7=56

8X3= 24

8X8= 64

8X4=32

8X9=72

8X5= 40

8 X 10 = 8 0

Y ahí tenemos la tabla del 8, muy fácil de elaborar y de recordar.

Truco para recordar la tabla de multiplicar por 9 Para recordar con facilidad la tabla de multiplicar por 9 debes seguir los siguientes pasos: Paso uno. Escribes toda la tabla de multiplicar del 9 pero sin los resultados Paso dos. Recordar que toda cantidad multiplicada por 1 da como resultado la misma cantidad. Paso tres. A partir del segundo renglón o fila colocamos los dígitos desde el 1 hasta el 9 en posición de primera cifra del resultado 9x1=9 9X2=1 9X3=2 9X4=3 9X5=4

9X6=5 9X7=6 9X8=7 9X9=8 9 X 10 = 9

Paso cuatro. Ahora, a la derecha de las cifras escritas colocamos las cifras desde el 0 hasta el 8 en forma inversa, es decir comenzando por el último producto o 9 X 10, iniciando col cero y finalizando con el 8 9x1=9 9 X 6 = 54 9 X 2 = 18 9 X 7 = 63 9 X 3 = 27 9 X 8 = 72 9X4=36 9 X 9 = 81 9 X 5 = 45 9 X 10 = 90

Truco para una forma general para obtener el resultado de cualquier tabla de multiplicar Un método práctico alternativo para obtener el resultado de la multiplicación de dos dígitos sean cuales fueren. Regla. Dados los factores a multiplicar, trace tantas rectas paralelas horizontales como sea el valor de ese primer factor y luego haga lo mismo con el otro facto pero las rectas ´paralelas ahora deber ser verticales y que se corten con las horizontales. Se procede a contar los puntos en que las rectar se cortan y ese es el resultado. Ejemplo: 3 X 5

Numero de intersecciones: 15, entonces 3 X 5 = 15

Ejemplo: 6 X 9

Numero de intersecciones: 54 entonces 6 X 9 = 54

Tabla de Pitágoras para multiplicar Tabla de Pitágoras o pitagórica, también la llaman tabla rusa para multiplicar, es una presentación condensada de la tablas de multiplicar desde 1 hasta el 10 (en realidad esta tabla

puede confeccionarse tan grande como uno quiera)