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• Miiguell Garcíía Pacheco

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Lanzamos un objeto de masa m con una velocidad inicial v0 dirigida hacia abajo. Suponiendo que la fuerza debida a la resistencia delaire es proporcional a la velocidad del objeto, determinemos:La ecuaci´on que modeliza el movimiento de dicho objeto. La distancia recorrida por el objeto en funci´on del tiempo. La velocidad del objeto en funci´on del tiempo. Soluci´on. Sobre el objeto act´uan dos fuerzas: una fuerza constante debida a la acción de la gravedad, dirigida verticalmente hacia abajo y de modulo F1 = mg, y una fuerza correspondiente a la resistencia del aire, contraria al movimiento y proporcional a la velocidad del objeto, F2 = −kv(t) = −kdx/dt , siendo x(t) la distancia recorrida por el objeto en su ca´ıda en un instante t. Consideramos como eje de coordenadas un eje vertical con el valor x = 0 en la posici´on desde donde lanzamos el objeto hacia abajo, correspondiente al instante inicial t = 0 (ver Figura 2.2). Figura 2.2: Fuerzas que act´uan en la caıda de un objeto. La fuerza total que act´ua sobre el cuerpo es: F = F1 + F2 = mg − kv. Aplicando la segunda ley de Newton, obtenemos la ecuacion diferencial quemodeliza este problema: Mdv/dt= mg − kv, con la condici´on inicial v(0) = v0. Resolviendo esta ecuaci´on diferencial de variables separables obtenemos v(t), la velocidad en cada instante t:mdv/mg − kv= dt, integrando se tiene:

−m/kln |mg − kv| = t + C1, |mg − kv| = C2e( –kt/m ), C2 = eC1 > 0, mg − kv = C3e (–kt/m) , C3 = ±C2, kv = mg − C3e (−kt/m) , C3 = 0, finalmente: v(t) =mg/k − Ce (−kt/m) , C

= 0.

Como mg − kv = 0 es solucion de la ecuacion diferencial, anadimos esta solucion, v(t) = mg/k , eliminando la condicion C = 0 y ası tenemos la solución general. Como nos interesa la soluci on particular que verifica la condicion inicial v(0) = v0, sustituimos la condicion y despejamos C: v0 =mg/k − C, por tanto: C =mg/k − v0. Sustituyendo C en la ecuaci´on, tenemos la soluci´on de la ecuacion diferencial, que nos da la velocidad del objeto en funci´on del tiempo: v(t) =mg/k − (mg/k − v0)e “−kt/m” .

Para obtener la distancia recorrida por el objeto en cada instante t, integramos v(t) respecto de t ya que v(t) =dx/dt: x(t) =Jv(t)dt =mg/kt +m/k(mg/k − v0)e “−kt/m “+ K. (2.38) Sustituyendo ahora la condici´on inicial x(0) = 0, calculamos la constante de integracion K : 0 =m/k(mg/k − v0) + K, por tanto: K =m/k(v0 –mg/k). Finalmente, sustituyendo K en (2.38) tenemos que la distancia recorrida porel objeto en cada instante t es:

x(t) =mg/k t +m/k(v0 –mg/k)(1 − e “−ktm” ).