• Author / Uploaded
• bandy3110

Citation preview

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRICA Y ELECTRONICA

LABORATORIO I

Integrantes: David Santa Maria Zavaleta Andy Baldeon Urrunaga Curso: Métodos Numéricos Sección: N Profesor: Israel Manuel Diaz Acha

2020

Pregunta 1 1. Dada la siguiente ecuación:

tan(𝑥) = 1 + 𝑥 − 𝑥 2 , 𝑥 ∈ [0, 1] a. Muestre la existencia y unicidad de la solución de dicha ecuación en el intervalo dado. Calcule además el número de iteraciones necesarias por el Método de la Bisección para que el error sea menor a 10-6. Implemente un algoritmo en Matlab que permita visualizar la gráfica de la ecuación en el intervalo dado. Muestre la gráfica obtenida. Solución Existencia:

Unicidad:

Algoritmo en Matlab para la visualización del gráfico

b. Implemente un algoritmo en Matlab que permita aproximar por el Método de la Bisección, la solución de la ecuación con 6 cifras decimales exactas. Muestra el algoritmo y los resultados de su ejecución mediante una tabla detallada. Verifique si el numero de iteraciones en dicha aproximación de la solución coincide con el numero calculado en la parte (a). ¿Cuáles son sus conclusiones con respecto a este método? Solución

Resultados

Verificar el numero de iteraciones: El numero de iteraciones de la parte a.

Luego: El numero de iteraciones obtenidos según el algoritmo en Matlab es 18. Se logra observar que el numero de iteraciones son diferentes.

¿Cuáles son las conclusiones con respecto a este método? Las ventajas del método: -

Siempre converge Es óptimo para resolver una ecuación, cuando solo se sabe su signo

Las desventajas del método: -

permite calcular una sola raíz en un intervalo, cuando se puede tener otras. su convergencia es muy lenta, se necesita del Matlab para facilitar su procedimiento.

c. Implemente un algoritmo en Matlab que permita aproximar por el Método de la Regla Falsa, la solución de la ecuación con 6 cifras decimales exactas. Muestre el algoritmo y los resultados de la ejecución del algoritmo mediante una tabla detallada. Solución

Resultados:

d. Determinar el número de iteraciones que fueron necesarias en la parte © y compare con las de la parte (b). ¿Cuál de los dos métodos fue más rápido y a que se debe eso? Describa las ventajas y desventajas de un método con respecto al otro después de esta experiencia. Solución Entonces: tenemos que el método de la falsa posición converge con 8 iteraciones, mientras que con el método de la bisección se necesitó 18 iteraciones para lograr su convergencia, por lo tanto, el método de la falsa posición fue más eficiente (rápida) que el de la bisección, y esto se debe a que, en el método de la bisección al dividir el intervalo en parte iguales, no se toma en cuenta el valor de la función. por ejemplo, si el valor de la función está más cercana a la raíz sería más adecuado tomarla como intervalo, el método que aprovecha esta visualización es el de la falsa posición.

ventajas y desventajas de los métodos de la bisección y falsa posición. Bisección las ventajas del método: -

siempre converge es óptimo para resolver una ecuación, cuando solo se sabe su signo

las desventajas del método: -

permite calcular una sola raíz en un intervalo, cuando se puede tener otras. su convergencia es muy lenta, se necesita del Matlab para facilitar su procedimiento.

Falsa posición Ventajas -

Convergencia

Desventajas -

Su convergencia también es lenta en comparación con otros métodos. Uno de los extremos del intervalo no se modifica, para mejorar este método se propuso una modificación (Haming).

Pregunta 2 2. Dada la función siguiente: 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 3 + 𝑥 2 − 2, 𝑥 ∈ [0, 1] a. Muestre que la función f(x) es cóncava hacia arriba y creciente en el intervalo dado, Muestre que la ecuación f(x) = 0 tiene exactamente una solución en el intervalo dado. Implemente un algoritmo en Matlab que permita visualizar la gráfica de la función f(x) en el intervalo dado. Muestra el algoritmo y la gráfica obtenida. Solución Sea la función y sus respectivas derivada: 𝑓(𝑥) = 2 𝑥3 + 𝑥2 − 2 𝑓 ′ (𝑥) = 6 𝑥2 + 2𝑥 𝑓 ′′ (𝑥) = 12 𝑥 + 2 𝑆𝑖: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 → 2 ≤ 𝑓 ′′ (𝑥) ≤ 14 → 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 → 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑆𝑖: 𝑓 ′(0.1) = 0.26 𝑦 𝑓 ′(0.5) = 2.5 → 𝑓 ′ (0.5) > 𝑓 ′ (0.1) → 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 Algoritmo y gráficas

3

b. Muestre que 𝑔(𝑥) = √1 −

𝑥2 2

es una contracción en el intervalo [0, 1]. Muestre

que g(x) es cóncava hacia abajo y decreciente en dicho intervalo. Muestre que el punto fijo de g(x) es la solución de f(x) = 0. Implemente un algoritmo en Matlab que permita visualizar la gráfica de la ecuación g(x) = x en el intervalo dado. Muestre el intervalo y la gráfica obtenida. Solución 3 3 𝑦2 𝑥2 | √1 − 2 − √1 − 2 | |𝑥 − 𝑦|

Simplificando la expresión:

|𝑥 + 𝑦| 2

2

𝑦2 3 𝑦2 𝑥2 3 𝑥2 2 | (1 − 2 ) + (1 − 2 ) + (1 − 2 )1/3 (1 − 2 )1/3 | Vemos que es una contracción: 3

Si: 𝑥 = √1 −

𝑥2 2

→ 2 𝑥3 + 𝑥2 − 2 = 0 → 𝑓(𝑥) = 0

Vemos que es punto fijo de f(x). Algoritmo y gráficas