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• Angelo Michel Rabanal Ibañez

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CALCULO II

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE FACULTAD DE INGENIERIA

Título:

ESFERAS DEFORMADAS Integrantes:

Profesor: JOSE LUIS PONTE BEJARANO

Departamento: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y MATEMATICAS

Curso:

CALCULO II

CALCULO II

1.- TEMA:

ESFERAS DEFORMADAS

2.-INTRODUCCION Cuando se hace uso de las integrales se pueden hacer una gran cantidad de cálculos. En este proyecto, se realizará el cálculo del volumen de dos esferas deformadas, modelos que se usan para examinar tumores en el campo medico. El volumen de estas “esferas” será calculado por medio de integrales triples. El cálculo se hizo en el programa de computadora Mathematica 5. Se incluye también el marco teórico de las correspondientes operaciones utilizadas para calcular estos volúmenes. Para el presente proyecto también necesitamos: Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

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3.-OBJETIVO El objetivo es lograr aplicar integrales múltiples por medio del uso de Mathematica para poder resolver problemas reales de una manera fácil y práctica. Aplicar y aumentar el conocimiento en integrales triples a las funciones con coordenadas esféricas utilizando el diferencial de volumen; mediante la posición espacial de un punto, usando una distancia y dos ángulos.

4.- PROBLEMAS

En los apartados a) y b), hallar el volumen de las esferas deformadas. Estos sólidos se usan como modelos de tumores. a)

b)

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5.-MARCO TEORICO Integral triple En el caso de las integrales triples se siguen los mismos pasos que en las integrales dobles Sea el paralelepípedo R sobre R

Sea f(x, y, z) una función continua

Definimos

Definición (Integral triple) Si f es una función acotada y, existe el elección de

y no depende de la

Los entonces se dice que f es integrable, y al valor de este límite se le llama integral triple sobre R, y se representa

Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces volumen. Propiedades. Se cumplen las mismas propiedades que en la integral doble. 

1. Toda función continua es integrable

= V representa el

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2. Linealidad, monotonía y aditividad



3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integración reiterada.

Integrales triples sobre regiones más generales Se repite el mismo proceso que en las integrales dobles. Se consideran los siguientes tipos de regiones: Tipo I: paredes frontal y posterior rectas).

(paralelepípedo

Las regiones del tipo II son aquellas en las que paredes izquierda y derecha planas).

con

(paralelepípedos con

Las regiones del tipo III son aquellas en las que e con fondo y tapa planas).

(paralelepípedos

Sus integrales triples se resuelven de manera análoga. Las regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I, II o III. Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1 y W es una región acotada de

entonces

Cambio de variables en integrales triples Es parecido al cambio de variables en integrales dobles.

A dxdydz se le llama elemento de volumen. Representa el volumen de un paralelepípedo infinitesimal dxdydz = dV. Sabemos que el volumen de un paralelepípedo en son

cuyos vectores

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En valor absoluto Por consideraciones análogas a las que hicimos para integrales dobles, el elemento de Volumen dV = dxdydz, resultado de transformar mediante T el elemento de volumen dudvdw es:

Podemos, pues, enunciar el siguiente resultado Teorema del cambio de variable para integrales triples