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INFORME CAÍDA LIBRE USANDO EL METODO MINIMOS CUADRADROS Y DIFERENCIAS FINITAS Laidy Sarmiento, Viviana Lara, Carolina Rodríguez, Juan Unibio UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS MEDIO AMBIENTE Y RECURSOS NATURALES – ING TOPOGRÁFICA 

vacío, todos los cuerpos tienden a caer con igual velocidad.

Resumen— El laboratorio de física sobre caída libre fue realizado usando un paracaídas hecho manualmente, una pelota de golf, y una pela de tennis. El objetivo de la práctica era ubicarse en cada piso del edificio con las masas respectivas, lanzarlas teniendo en cuenta la fricción (con paracaídas) y sin ella (sin paracaídas), tomar el tiempo respectivo que tiene su caída y la altura en la que está.

The physics lab on freefall was performed using a manually made parachute, a golf ball and a tennis ball. The objective of the practice was to locate each floor of the building with the respective masses, taking into account the friction (with parachute) and without it, take the respectful time that has its fall and the height it is in.

I. INTRODUCCIÓN

E

l presente trabajo de la materia métodos numéricos, es un informe acerca del tema caída libre; que es aquella caída donde un objeto es lanzado con una velocidad inicial igual a cero. Se dará una definición, formulas usadas, se mostrará y analizará los resultados obtenidos en el estudio experimental, con el objetivo de obtener un mejor conocimiento para manejar dos métodos numéricos: mínimos cuadrados y diferencias finitas, y no tener dificultades al realizar ejercicios sobre estos.

Un objeto al caer libremente está bajo la influencia única dela gravedad. Se conoce como aceleración de la gravedad. Y se define como la variación de velocidad que experimentan los cuerpos en su caída libre. El valor de la aceleración que experimenta cualquier masa sometida a una fuerza constante depende de la intensidad de esa fuerza y ésta, en el caso de la caída de los cuerpos, no es más que la atracción de la Tierra. Todos los cuerpos con este tipo de movimiento tienen una aceleración dirigida hacia abajo cuyo valor depende del lugar en el que se encuentren. los cuerpos dejados en caída libre aumentan su velocidad (hacia abajo) en 9,8 m/s cada segundo. La aceleración de gravedad es la misma para todos los objetos y es independiente de las masas de éstos. En la caída libre no se tiene en cuenta la resistencia del aire. Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que aceleración en caída libre no varía con la altitud, entonces el movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento con aceleración constante.

II. MARCO TEORICO En cinemática, la caída libre es un movimiento de un cuerpo donde solamente influye la gravedad. En este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo con el aire, es decir, se estudia en el vacío. El movimiento de la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado. Se conoce como caída libre cuando desde cierta altura un cuerpo se deja caer para permitir que la fuerza de gravedad actué sobre él, siendo su velocidad inicial cero. En este movimiento el desplazamiento es en una sola dirección que corresponde al eje vertical (eje "Y"). Es un movimiento uniformemente acelerado y la aceleración que actúa sobre los cuerpos es la de gravedad representada por la letra g, como la aceleración de la gravedad aumenta la velocidad del cuerpo, la aceleración se toma positiva. En el

Figura 1. Diagrama caída libre

2

-

Figura 2. Diagrama caída libre

Masa 2 con fricción.

4.

Después de obtener los tiempos y las alturas, sabiendo respectivamente el peso de las pelotas usadas, sobre el Excel que programamos utilizamos las formulas dadas en clase para graficar los resultados.

5.

En base a esos resultados se usa los métodos dados por el docente: mínimos cuadrados y diferencias finitas.

6.

Resultados y conclusiones.

III. MONTAJE 1.

Los materiales que se usaron para el laboratorio:

Un paracaídas hecho en casa.

Figura 3. Lanzamiento del paracaidas. Masa 1 = Pelota de tennis.

Masa 2 = Pelota de Golf.

Flexómetro o cinta métrica. 2.

3.

Un compañero se queda en el primer piso (lugar donde caerá la masa después de lanzarla) tomando el tiempo que demora en caer. Se obtiene el tiempo desde los respectivos pisos, cada uno teniendo su altura determinada que es tomada con el flexómetro. Serán 4 tiempos por piso: -

Masa 1 sin fricción. Masa 1 con fricción. Masa 2 sin fricción.

Figura 4. Labotario

3

0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

6,867 7,848 8,829 9,81 10,791 11,772 12,753 13,734 14,715

Figura 5. Paracaidas. IV. RESULTADOS PELOTA DE TENNIS SIN FRICCIÓN (TIEMPO-VELOCIDAD)

Gravedad Masa

9,81 0,05

m/s2 g

tiempo velocidad 0,67 0,93 1,19 1,39 4,18 1,045

ln(x)

ln(y)

ln(x)^2

-0,400 -0,073 0,174 0,329 0,030 0,008

1,883 2,211 2,457 2,613 9,164 2,291

0,160 0,005 0,030 0,108 0,304 0,076

Ilustración 1 SIN FRICCION (TIEMPO/VELOCIDAD) TENIS

6,573 9,123 11,674 13,636 41,006 10,251

B A

(TIEMPO-POSICION)

ln(y)^2 ln(x)*ln(y) LN(X)*Y 3,545 4,888 6,039 6,826 21,298 5,325

-0,754 -0,160 0,427 0,860 0,373 0,093

Método T 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

v 0,981 1,962 2,943 3,924 4,905 5,886

1,00 9,81

-2,632 -0,662 2,031 4,490 3,227 9,086

Σ PRO

ln(x)

ln(y)

-0,400 -0,073 0,174 0,329 0,030 0,008

0,789 1,445 1,938 2,249 6,421 1,605

tiempo

y(m)

0,67 0,93 1,19 1,39 4,18 1,045

2,202 4,242 6,946 9,477 22,867 5,717

ln(x)^2 ln(y)^2 ln(x)*ln(y) 0,160 0,005 0,030 0,108 0,304 0,076

0,623 2,088 3,756 5,057 11,525 2,881

-0,316 -0,105 0,337 0,741 0,657 0,164

LN(X)*Y -0,882 -0,308 1,208 3,121 3,139 7,161

Σ PRO

4

metodo tiempo 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

y(m) 0,049 0,196 0,441 0,785 1,226 1,766 2,403 3,139 3,973 4,905 5,935 7,063 8,289 9,614 11,036

Tiempo(s)

v(m/s)

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4

0,9810 1,7658 2,3936 2,8959 3,2977 3,6192 3,8763 4,0821 4,2467 4,3783 4,4837 4,5679 4,6353 4,6893 4,7324 4,7669 4,7945 4,8166 4,8343 4,8484 4,8598 4,8688 4,8760 4,8818

Ilustración 2 SIN FRICCION (TIEMPO/POSICION) TENIS B A

2,00 4,905

PELOTA DE TENIS CON FRICCIÓN (TIEMPO/VELOCIDAD) Gravedad Masa b Piso 2 3 4 5

9,81 0,05 0,1

m/s2 g kg/s

Tiempo Velocidad (m/s) Promedio (s) 1 1,4 1,9 2,1

Ilustración 3 CON FRICCION (TIEMPO/VELOCIDAD) TENIS

4,241180436 4,606726643 4,795271364 4,831446696

(TIEMPO/POSICION) Piso

Tiempo Promedio (s)

Y(Mm)

2 3 4 5

1 1,4 1,9 2,1

5,237 7,016 9,374 10,337

MASA b GRAVEDAD Δt

0,05 0,1 9,81 0,1

m/s2 g kg/s s

5

Tiempo(s)

Y(m)

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4

3,061 3,255 3,462 3,683 3,917 4,166 4,431 4,713 5,012 5,331 5,670 6,030 6,414 6,822 7,256 7,717 8,208 8,730 9,285 9,875 10,503 11,171 11,881 12,637

TIEMPO VELOCIDAD 0,904 1,014 1,134 1,274 4,326 1,0815

ln(x)

ln(y)

-0,101 0,014 0,126 0,242 0,281 0,070

2,182 2,297 2,409 2,526 9,414 2,354

8,868 9,947 11,125 12,498 42,438 10,610

ln(x)^2 ln(y)^2 ln(x)*ln(y) LN(X)*Y 0,010 0,000 0,016 0,059 0,085 0,021

4,763 5,278 5,804 6,378 22,223 5,556

-0,220 0,032 0,303 0,612 0,726 0,182

-0,895 0,138 1,399 3,027 3,669 8,232

Σ PRO

Metodo TIEMPO 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

VELOCIDAD 0,981 1,962 2,943 3,924 4,905 5,886 6,867 7,848 8,829 9,81 10,791

1,2 1,3 1,4 1,5

11,772 12,753 13,734 14,715

Ilustración 4 CON FRICCION (TIEMPO/POSICION) TENIS PELOTA DE GOLF SIN FRICCION (TIEMPO/VELOCIDAD)

Gravedad Masa

9,81 0,045

m/s2 g

Ilustración 5 SIN FRICCION (TIEMPO/VELOCIDAD) GOLF B A

1,00 9,81

6

(TIEMPO/POSICION)

TIEMPO

Y(m)

0,904 1,014 1,134 1,274 4,326 1,0815

4,008 5,043 6,308 7,961 23,321 5,830

ln(x)

ln(y)

ln(x)^2

-0,101 0,014 0,126 0,242 0,281 0,070

1,388 1,618 1,842 2,075 6,923 1,731

0,010 0,000 0,016 0,059 0,085 0,021

Ilustración 6 SIN FRICCION (TIEMPO/POSICION) GOLF

ln(y)^2 ln(x)*ln(y) LN(X)*Y 1,928 2,618 3,392 4,304 12,242 3,060

-0,140 0,022 0,232 0,502 0,616 0,154

-0,405 0,070 0,793 1,928 2,387 5,178

B A

PELOTA DE GOLF CON FRICCIÓN (TIEMPO/VELOCIDAD)

Σ PRO

Piso

Metodo T 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

Y(m) 0,04905 0,1962 0,44145 0,7848 1,22625 1,7658 2,40345 3,1392 3,97305 4,905 5,93505 7,0632 8,28945 9,6138 11,03625

2,00 4,905

2 3 4 5

Tiempo Velocidad Promedio (m/s) 1 3,936 Gravedad 1,4 4,218 Masa 1,9 4,350 b 2,4 4,393 Δt

Tiempo(s)

v(m/s)

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,9800 1,7422 2,3351 2,7962 3,1548 3,4337 3,6507 3,8194 3,9507

9,81 0,045 0,1 0,1

m/s2 g kg/s s

7

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4

metodo

4,0527 4,1321 4,1939 4,2419 4,2793 4,3083 4,3309 4,3485 4,3622 4,3728 4,3811 4,3875 4,3925 4,3964 4,3994

t 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

Ilustración 7 CON FRICCION (TIEMPO/VELOCIDAD) GOLF

y 117,035 118,427 119,835 121,260 122,702 124,160 125,637 127,131 128,642 130,172 131,720 133,286 134,870 136,474 138,097 139,739 141,400 143,082 144,783 146,504 148,246 150,009 151,793 153,597 155,424

(TIEMPO/POSICION)

Piso 2 3 4 5

Tiempo Promedio 1 1,4 1,9 2,4

Y (m) 131,618 135,617 142,101 155,706 Ilustración 8 CON FRICCION (TIEMPO/POSICION) GOLF 

ANALISIS DE LAS GRAFICAS  

De las ilustraciones 1 y 5 podemos observar que la velocidad va creciendo a medida que pasa el tiempo, es decir de manera lineal. De las ilustraciones 2,4 y 6 tienden a tener un crecimiento de manera potencial.

8



Las ilustraciones 3 y 7 tienden a un crecimiento de forma logarítmica. V. CONCLUSIONES

















Al momento de dejar caer una pelota con paracaídas actúa la “viscosidad” del aire por lo cual la velocidad comienza a tener un valor constante después de un determinado tiempo, teniendo en las gráficas un comportamiento o crecimiento de forma logarítmica. Cuando dejamos caer la pelota sin paracaídas no actúa ninguna fuerza de oposición de gran magnitud, por lo tanto podemos ver las gráficas y observa que la velocidad va aumentando con el transcurrir del tiempo de forma lineal. Para las gráficas de los datos donde los cuerpos no están sometidos a la fricción se realizó un ajuste por el método de mínimos cuadrados dado de la forma: ln(y) = a ln(x) + ln(b), y aplicando función exponencial y por propiedades logarítmicas obtenemos un ajuste y grafica de modo. Y = b X^a, que se logra observar de mejor forma en las gráficas 1, 2, 5 y 6. Para los datos donde los cuerpos se dejan caer con paracaídas, se realizó un ajuste por medio del método de diferencias finitas, los cuales los vemos representados en las gráficas 3, 4, 7 y 8. Al momento de utilizar los métodos numéricos nos damos cuenta que la diferencia entre los valores obtenidos experimentalmente y por el método no son tan desfasados. Al momento de realizar el experimento se pueden cometer errores en la toma de datos, en especial en el tiempo, al momento de caer la pelota y parar el cronometro, o en el momento que la dejan caer y no ser muy exactos en la coordinación de toma de datos. Se puede ver como al poner un coeficiente de fricción o “viscosidad” pueden cambiar radicalmente las velocidades siendo tal que las puede reducir a la mitad. Al momento de ejercer los cálculos en necesario tener todos los valores claros y en que unidades se van a utilizar para lograr hacer un buen trabajo y poder emplear el método de la mejor forma posible.