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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

INFORME DE LABORATORIO N°3

“”PÉNDULO FÍSICO Y TEOREMA DE

STEINER”” CURSO: FÍSICA I CÓDIGO: CB302-U INTEGRANTES: - DAMAS DELGADO, Alexander 20140116F - ORTIZ FERREL, Rodrigo Leonardo 20150087I - RAMOS TAYPE, Víctor Raúl 20150094E DOCENTE: - PEÑA YALICO, Vicente - SALCEDO TORRES, Joaquín - VALDIVIA MENDOZA, Héctor Giovanny

OCTUBRE DEL 2016 LIMA - PERÚ

EXPERIMENTO N°14: PÉNDULO FÍSICO Y TEOREMA DE STEINER

OBJETIVOS:

Determinar experimentalmente los períodos de oscilación de un péndulo físico a partir de éstos calcular los momentos de inercia.

FUNDAMENTO TEORICO: Centro de gravedad: El peso no actúa en un solo punto. No obstante, siempre se puede calcular la toca debido al peso del cuerpo, suponiendo que toda la fuerza de gravedad (el peso) se concentra en un punto llamado el centro de gravedad (en este texto se toma una gravedad constante es por ello que CM es igual a centro de gravedad).

Xcm=

∫ xdm ∫ dm

Periodo: Es el tiempo en que demora un cuerpo en dar una oscilación. Se mide en segundos (s). Péndulo físico: Un péndulo físico es un cuerpo suspendido de un eje de rotación que no pasa por su centro de masa. La frecuencia angular y el periodo para oscilaciones de amplitud pequeña son independientes de la amplitud, aunque depende de la masa m, la distancia d del eje de rotación a su centro de gravedad y del momento de inercia I con respecto al eje.

w=

√

mgd I

T =2 π

√

I mgd

Cálculo del momento de inercia: El teorema de los ejes paralelos relaciona los momentos de inercia de un cuerpo rígido de masa M alrededor de dos ejes paralelos: un eje que pasa por el centro de masa (momento de inercia Icm) y un eje paralelo que está a una distancia d del primero (momento de inercia Ip). Si el cuerpo tiene una distribución continua de masa, el momento de inercia se calcula por integración.

Parábola Mínimo - Cuadrática: El ajuste de curvas se hará en la forma de la ecuación de la parábola: F(x) = a0 + a1x + a2x2 Las ecuaciones que permiten calcular los coeficientes a 0, a1 y a2 son:

Donde: Xi y Yi son los valores tabulados que tenemos de datos. Luego se reemplaza los valores de Xi y Yi en las ecuaciones dadas.

Teorema de Steiner: En física, el teorema de Huygens-Steiner, teorema de los ejes paralelos o simplemente teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes. También puede usarse para calcular el segundo momento de área de una sección respecto a un eje paralelo a otro cuyo momento sea conocido. Debe su nombre al geómetra suizo del siglo XIX Jakob Steiner. Ip = Icm + Md2 Derivada parcial: En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, física matemática, etc. La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes.

MATERIALES  Una barra metálica de longitud L con agujeros circulares.

 Un soporte de madera con cuchilla

 Dos mordazas simples

 Un cronómetro digital

 Una regla milimetrada

EQUIPO ARMADO

Sujertar Sujertar sobre sobre la la mesa mesa el el soporte soporte de de madera madera con con las las mordazas mordazas simples. simples.

Ubicar el el centro centro Ubicar de masa masa de de la la de barra barra suspediondola suspediondola horizontalmente horizontalmente en cuchilla. en la la cuchilla.

El punto de apoyo de la barra en equilibrio sera el centro de gravedad CG de la barra.

Suspender la barra verticalmente por cada de uno de sus huecos en la cuchilla y hacerla oscilar separandola ligeramente de su su posicion posicion de de equilibrio.

Tomar Tomar el el tiempo tiempo que que emplea emplea en en 10 10 oscilaciones oscilaciones yy repetir repetir esta esta operacion operacion dos dos veces veces mas. mas.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

DATOS EXPERIMENTALES: # de hueco

l(cm)

t1(s)

t2(s)

t3(s)

# de oscilaciones

Periodo T (promedio)

1

51.1

16.86

16.83

16.74

10

16.81

2

46.1

16.52

16.48

16.52

10

16.51

3

41.1

16.38

16.29

16.37

10

16.35

4

36.1

16.04

15.99

16.08

10

16.04

5

31.1

16.07

15.96

15.96

10

16.00

6

26.1

16.34

16.28

16.25

10

16.29

7

21.1

16.75

16.74

16.77

10

16.75

8

16.1

18.11

18

18.1

10

18.07

9

11.1

20.43

20.56

20.56

10

20.52

10

6.1

27.18

27.1

26.83

10

27.04

T(s) vs I(cm) 30 f(x) = 0x^4 - 0x^3 + 0.12x^2 - 2.78x + 39.84 R² = 1

25 20 T (s)

15

Polynomial ()

10 5 0 0

10

20

30

40 I (cm)

50

60

Momento de inercia vs I2 (m2) 0.80 0.70 0.60

f(x) = 1.84x + 0.2 R² = 1

0.50 Momento de inercia

0.40

Linear ()

0.30 0.20 0.10 0.00 0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 I2(m2)

CÁLCULOS Y RESULTADOS: 1. Llene la tabla 1 con las siguientes características:

# de hueco

L(cm)

t1(s)

t2(s)

t3(s)

# de oscilaciones

Periodo T (promedio)

1

51.1

16.86

16.83

16.74

10

1.681

2

46.1

16.52

16.48

16.52

10

1.651

3

41.1

16.38

16.29

16.37

10

1.635

4

36.1

16.04

15.99

16.08

10

1.604

5

31.1

16.07

15.96

15.96

10

1.600

6

26.1

16.34

16.28

16.25

10

1.629

7

21.1

16.75

16.74

16.77

10

1.675

8

16.1

18.11

18

18.1

10

1.807

9

11.1

20.43

20.56

20.56

10

2.052

10

6.1

27.18

27.1

26.83

10

2.704

2. a) Grafique T vs L, (T en el eje vertical y L en el eje horizontal)

T(s) vs I(cm) 3 2.5

f(x) = 0x^4 - 0x^3 + 0.01x^2 - 0.28x + 3.98 R² = 1

2 T (s)

1.5

Polynomial ()

1 0.5 0 0

10

20

30

40

I (cm)

3. b) A partir de la ecuación (14.1), con I1 dada por la ecuación (14.2), encuentre el valor de L para que el periodo tenga el valor mínimo.

Ecuación (14.1): T =2 π

√

I1 MgL

Donde: I1: Momento de Inercia del cuerpo respecto a un eje que pasa por O. M: Masa del sólido g: Gravedad L: Distancia del centro de gravedad del cuerpo (CG) al eje que pasa por O Ecuación (14.2): I1 = IG + ML2 Donde:

50

I1: Momento de Inercia del cuerpo respecto a un eje de referencia. IG: Momento de inercia respecto al centro de masa M: Masa de la barra L: Distancia del centro de gravedad del cuerpo (CG) al eje de referencia Reemplazando I1 : T =2 π

√

√

Ig + M L2 Ig M L2 =2 π + MgL MgL MgL

Derivamos el periodo e igualamos a cero para hallar su mínimo:

[√ ]

−Ig 1 + 2 dT Mg L g =π =0 dL Ig 1 + MgL g

1 Ig = g Mg L2

Para que sea igual a cero:

M L2=Ig

Pero el I (momento de inercia) de la barra es: Reemplazando:

√

1 M (L2 + A 2 ) 12 L= M L (longitud de la barra) = 110.2 cm A (ancho de la barra) = 3.8 cm

Ig=

1 M (L2 + A2 ) 12

M (masa de la barra) = 1.8825 kg L = 0.318 m

c) Compare el valor de L obtenido en b) con el que obtiene de la gráfica en a). De la gráfica podemos notar que el valor L que da el mínimo periodo es aproximadamente 30 cm y comparando notamos el teórico obtenido en b) ligeramente mayor.

d) ¿Cuál es el periodo para esta distancia? De su gráfico, ¿Puede deducir dos puntos de oscilación con el mismo periodo? Indíquelos. No se puede deducir dos puntos de oscilación con el mismo periodo debido a que la función es continua por ende hay solo un periodo para cada punto de oscilación. Del grafico notamos que el menor y único periodo es 1.6 s

3 .Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre utilizando la relación (14.1), el valor de I1 y llene la tabla 2 con las siguientes características:

#número de hueco

Eje de oscilacion l(cm)

(Periodo)2 T2 (s2 )

Momento de inercia l1

I2(m2)

1

0.51

2.826

0.67

0.2601

2

0.46

2.726

0.59

0.2116

3

0.41

2.673

0.51

0.1681

4

0.36

2.573

0.43

0.1296

5

0.31

2.560

0.37

0.0961

6

0.26

2.654

0.32

0.0676

7

0.21

2.806

0.28

0.0441

8

0.16

3.265

0.25

0.0256

9

0.11

4.211

0.22

0.0121

10

0.06

7.312

0.21

0.0036

4. Haga el grafico I1 vs L2, y ajústelo por el método de mininos cuadrados cuando los puntos obtenidos estén muy dispersos.

0.80 0.70 0.60

f(x) = 1.84x + 0.2 R² = 1

0.50 Momento de inercia

0.40 0.30

Line

0.20 0.10 0.00 0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 L2(m2)

5. Del grafico anterior, y por comparación con la ecuación (14.2), determine IG y M.

I1 = IG + ML2 Comparando con la ecuación: y = 1.8386x + 0.1982 Podemos decir que:

I1 = 0.1982 kg.m2

M = 1.8386 kg

6. Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la formula analítica para una barra de longitud L y ancho b, I G = 1/12 M (L2 + b2). ¿Qué error experimental obtuvo? ¿Qué puede decir acerca de la masa? Utilizando la ecuación dada en el enunciado el L G teórico es 0.1907 El error experimental es 0.1907-0.1982/0.1907= 0.0393 Lo que sería un error de 3.93% Sobre la masa, notamos que la experimental sufre una variación con la teórica siendo menor que esta.

7. Halle la longitud del péndulo simple equivalente del hueco número 9. Aplicando la formula: T =2 π

√

I1 MgL

Reemplazamos:

T = 2.052 I1 = 0.22 M = 1.8825 g = 9.81

L = 0.112 8. Demuestre en forma analítica las relaciones (14.1) y (14.2).

Ecuación (14.2):

T =2 π

√

I1 MgL

Demostración: ζ = I 1 ω2

Donde:

ω = 2π/T Reemplazando: Pero: Por lo tanto:

ζ = Torque del cuerpo respecto a un eje que pasa por O ω = Frecuencia angular. ζ = I1 (2π/T)2 ζ = MgL MgL = I1 (2π/T)2

T =2 π

√

I1 MgL

Ecuación (14.2):

I1 = IG + ML2 Donde: I1: Momento de Inercia del cuerpo respecto a un eje de referencia. IG: Momento de inercia respecto al centro de masa M: Masa de la barra L: Distancia del centro de gravedad del cuerpo (CG) al eje de El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es

Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri.

En la figura, tenemos que

El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición xC del centro de masa desde el centro de masa.

9. Haga una lista de sus conclusiones y comentarios.

CONCLUSIONES: 

Mediante el teorema de Steiner se llegó a hallar la masa y el momento de



inercia con respecto al centro de gravedad de la barra. El periodo de oscilación de la barra disminuía hasta un cierto punto (punto 5) y de ahí en adelante nuevamente empezaba a aumentar. Dichas variaciones se debe a la distancia desde el punto de oscilación hasta el centro de masa de la



barra que origina una variación en la masa propiamente dicha. Mientras más nos acercamos al centro de masa de la barra los periodos correspondientes se hacen cada vez mayores. Esto se debe a la relación



inversamente proporcional que existe entre las longitudes y los periodos. Hay tres maneras de hallar el momento de inercia en un péndulo físico:



Teórico, experimental y gráfico. El mayor error al calcular el momento de inercia de un cuerpo está en el tiempo tomado al contar las oscilaciones pues nuestra reacción es muy lenta.

OBSERVACIONES: 

Se demostró experimentalmente el Teorema de Steiner, teorema de los ejes



paralelos. Se utilizaron los errores para los diversos instrumentos.



Si se cuenta mayor número de oscilaciones el periodo puede resultar más



exacto. La barra se asume como homogénea y los huecos que tienen son todos de las



mismas dimensiones. Cuando nos salía un valor muy distante del periodo lo descartamos y lo volvíamos a medir pues este afecta a la media.

RECOMENDACIONES:

  Se recomienda soltar de manera suave la barra metálica para no afectar la medición del periodo.    Para que el péndulo físico oscile es recomendable soltarlo en la línea de oscilación de lo contrario este girará.   Asegurar bien la mordaza de tal manera que no se tambalee al momento de manipular el péndulo.   Se recomienda seguir de guía para el ángulo máximo de oscilación los bordes del soporte de madera o aproximadamente un ángulo no mayor a 15°.

BIBLIOGRAFÍA



https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Steiner



https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_f%C3%ADsico



http://personal.us.es/jcuevas/docencia/Pendulo.pdf



Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Ingeniería. Manual de Laboratorio de Física General. Lima, Fabet, 2004, pp. 19, 82.



Sears, Zemansky. / Física universitaria, XII EDICIÓN / ADDISSON WESLEY LONGMAN, México, 1998