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• joel jacinto

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN FACULTAD DE INGENIERÍA DE PRODUCCIÓN Y SERVICIOS DEPARTAMENTO ACADÉMCO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA LABORATORIO DE CONTROL II

EXPERIENCIA Nº 08 COMPENSACIÓN POR ADELANTO UTILIZANDO EL ANALISIS EN RESPUESTA EN FRECUENCIA I.- OBJETIVO: Diseñar compensadores de adelanto para satisfacer especificaciones dadas mediante el análisis de respuesta en frecuencia para sistemas lineales. II.- FUNDAMENTO TEÓRICO: DISEÑO DE COMPENSADORES DE ADELANTO El margen de fase de un sistema suministra información acerca del comportamiento de este desde el punto de vista de la estabilidad. El margen de fase se puede obtener a partir de diagramas separados de magnitud y fase en función de la frecuencia (Bode). Para obtener al margen de fase inicialmente se ubica en el diagrama de magnitud la frecuencia a la cual la magnitud es 0 db (frecuencia de cruce de ganancia), ωg; luego en el diagrama de fase se localiza el valor de la fase para esta frecuencia y se suma 180°. Cuando el margen de fase de un sistema es positivo pequeño el comportamiento del sistema, aunque estable es oscilatorio y en el caso de un valor negativo es inestable. El margen de fase de un sistema se puede mejorar colocando en cascada (serie) otro sistema llamado compensador en adelanto, el cual es básicamente un circuito eléctrico del tipo resistivo-capacitivo y puede incluir o no amplificadores operacionales. Se denomina de adelanto porque si por ejemplo se alimenta el circuito con una onda sinusoide de una determinada fase y frecuencia, la salida será otra sinusoide, pero con la fase adelantada. Primero se examinan las características en frecuencia del compensador de adelanto y luego se presenta una técnica de diseño para el compensador de adelanto mediante el uso de las trazas de Bode. Laboratorio de Control II

Julio 2020

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Características de los compensadores de adelanto. Considere un compensador de adelanto que tiene la función de transferencia siguiente:

Tiene un cero en s =-1/ T y un polo en s =-l/T. El valor mínimo de α está limitado por la construcción física del compensador de adelanto. La fase de Gc(jw) es:

El valor máximo de fase se encuentra en:

de donde:

y la frecuencia a la que ocurre la fase máxima es

El compensador en adelanto a la frecuencia máxima (ωm) atenúa en 10 log α. (3) Técnicas de compensación de adelanto basadas en el enfoque de la respuesta en frecuencia. La función principal del compensador de adelanto es volver a dar forma a la curva de respuesta en frecuencia a fin de ofrecer un ángulo de adelanto de fase suficiente para compensar el atraso de fase excesivo asociado con los componentes del sistema fijo. Considere el sistema de la figura 3

Suponga que las especificaciones del desempeño se dan en términos del margen de fase, del margen de ganancia, de las constantes de error estático de velocidad, etc. El procedimiento para diseñar un compensador de adelanto mediante el enfoque de la respuesta en frecuencia se plantea del modo siguiente: 1. Suponga el siguiente compensador de adelanto:

Se determina la ganancia del compensador de acuerdo con la condición de que debe cumplir el sistema compensado (usualmente el error en estado estable). 2. Usando la ganancia Kc determinada, se dibujan las trazas de Bode de G1(s), el sistema con la ganancia ajustada, pero sin el resto del compensador. Calcule el valor del margen de fase. 3. Determine el ángulo de adelanto de fase necesario que se agregará al sistema, es mejor sobreestimar dicho ángulo, por lo general se suman 5° más; esto debido a que la introducción del compensador modifica la curva de magnitud desplazando la frecuencia de corte hacia la derecha. 4. Determine el factor de atenuación α a partir de la ecuación (1). 5. Usando la ecuación 3 se calcula la cantidad de atenuación de magnitud (dB) del compensador, luego se establece la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado

es igual a ese valor. Seleccione ésta como la nueva frecuencia

de corte. Esta frecuencia corresponde a la frecuencia máxima de desfase, por lo tanto, con la ecuación 2 se determina el parámetro T del compensador. 6. Se calcula el cero y el polo del compensador:

Polo del compensador de adelanto: Cero del compensador de adelanto: 6. Usando los valores de Kc y el de α encontrados, se obtiene la función de transferencia del compensador diseñado:

7. Verifique el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. De no ser así, repita el proceso de diseño modificando la ubicación de los polos y ceros del compensador hasta obtener un resultado satisfactorio. III.- EQUIPOS Y MATERIALES A UTILIZAR: 1 computador con Matlab como herramienta de simulación IV.- PROCEDIMIENTO: 4.1 Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: KV ≥ 20 , MF ≥ 50º y MG ≥ 10dB.

Constante de error estático de velocidad. Parámetros del sistema Mp=0° Mg=∞ Kv= El compensador es

Gc ( s )=k

Ts+1 Donde K= Kcβ βTs+1

Sistema compensado

Gc ( s ) G ( s ) =

1 Ts+ 1 Ts+1 KG ( s )= G1 ( s ) Donde G 1 ( s ) =K 2 βTs+1 βTs+1 s +1

Determínanos la ganancia K que satisfaga el requerimiento.

Kvc=lim sG 1 ( s ) =lim sK s →0

s →0

1 =0 s +1 2

Como es un sistema tipo cero añadimos un integrador.

K G ´ ( s )Donde lim G´ ( s )=1 s→0 S K K 1 K 2 Gc ( s ) G (s)= G´ ( s ) G ( s )= G´ ( s ) 2 =G ´ ( s ) G1( s) Entonces Gc ( s ) G (s)=G´ ( s ) S S S s 2+1 s +1 G ( s )=

K 1 Ahora si determinamos la ganancia K con error estático de velocidad Kv=4 S s2 +1 K 2 Kvc=lim sGc ( s ) G ( s ) =lim s G´ (s ) 2 =4 entonces K =4 s s →0 s →0 s +1

G 1 ( s) =

Entonces G 1 ( s ) =

K 1 4 1 4 = 2 = 3 2 S s +1 S s +1 s + s n=[4] d=[1 0 1 0] g=tf(n,d) bode(g) margin(g)

Mp=-90° Wm=1.8rad/s

Como lo requerido es un Mp=60° asumimos parte del compensador G´(s)=(as+1) que tiene una fase de 90° una década arriba de la frecuencia de corte.

a=

10 =5.55=6 entonces G 1.8

´(s)=(6s+1)

G 2( s) =

K 1 24 s +4 (6 s+1) 2 = 3 S s +1 s +s

n=[24 4] d=[1 0 1 0]

g=tf(n,d) bode(g) margin(g)

MP=-1.91° Y Wm=5rad/s

De la gráfica vemos que necesita una fase de 50°+1.91° por lo que aumentamos un factor de primer orden G ´(s)=(bs+1) donde b=1/5 = 0.2 el sistema compensado queda de la forma.

G 2( s) =

4(6 s+ 1)(0.2 s+1) 1 4.8 s2 +24.8 s +4 = S s 2+1 s 3 +s

n=[4.8 24.8 4] d=[1 0 1 0] g=tf(n,d) bode(g) margin(g)

Mp=50° Wm=60.29rad/s

Como ya cumple con las especificaciones la función de transferencia es:

Gc ( s ) G (s)=

4.8 s 2+ 24.8 s+ 4 s3 + s

Función de transferencia a lazo cerrado es:

C( s) 4.8 s 2+24.8 s+ 4 = R( s) s 3+ 4.8 s 2 +25.8 s +4

n=[4.8 24.8 4]; d=[1 0 1 0]; g=tf(n,d) g2=feedback(g,1) step(g2) pause t=0:0.01:10; x=t; lsim(g2,x,t)

4.2 La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es:

Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones: El error en estado estable para una entrada rampa con pendiente 2π debe ser menor o igual a 10π, un margen de fase MF ≥ 45°, la frecuencia de cruce de ganancia

ωc >=

rad/seg G ( s )=

24 K s ( s+2)(s +6)

Calculamos la constante de error estático de velocidad

1 1 s+ T1 T2 1 Kc Kv=lim sGc ( s ) G ( s )=lim sKc =2020= entonces Kc=100 γ 1 s ( s+1 ) ( s +5 ) 5 s→0 s →0 s+ s+ T1 βT 2 100 G 1 ( s ) =KcG ( s ) entonces G1 ( s )= s ( s+ 1 )( s+5 ) s+

( )( )

1

n=[100]; d=[1 3 2 0]; g=tf(n,d) bode(g) margin(g)

|

MG|=10.5 dB W=2.24 rad/s

El ángulo requerido es de 60°+10=70° Hallando el ángulo necesario

sen ( φ )=

β−1 despejando β=−¿ ¿32.16 β +1

Si w=2.24 un década abajo será 0.224 entonces w=

1 1 = =0.0069 βT 2 32.16∗4.464

1 =0.224 entonces T 2=4.464 T2

El compensador en atraso seria

s+ 0.224 s +0.0069 La parte de compensación en adelanto debe contribuir con -24.4dB co una frecuencia 1.41 rad/s Construimos una recta que pase por la magnitud -24.4dB a una frecuencia de 1.41rad/s El intercepto por o dB no da una frecuencia de 2.64rad/s

β 1 =7.55 si β=32.16 =0.234 T1 T1 Entonce ya tenemos Gc(s):

1 1 s+ T1 T2 s +0.189 s+ 0.141 Gc ( s )=Kc =100 γ 1 s+2.640 s+ 0.01 s+ s+ T1 βT 2 s+ 0.234 s+0.224 1 Gc ( s ) G ( s ) =100 s +7.55 s+ 0.0069 s ( s +1 )( s+5 ) s+

( )( ) (

)(

(

)(

)

)

Función de transferencia lazo abierto

100 s 2 +45.8 s+5.2 s 5+ 13.56 s 4 +50.41 s 3+38.11 s 2+ 0.26 s

Función de transferencia lazo cerrado

100 s 2+ 45.8 s +5.2 s 5+ 13.56 s 4 +50.41 s 3+138.1 s2 +46.06 s+5.2

n=[100]; d=[1 6 5 0]; g=tf(n,d) nc=[1 0.458 0.052]; dc=[1 7.56 0.052]; gc=tf(nc,dc) ncn=conv(n,nc); dcd=conv(d,dc); gcg=tf(ncn,dcd) g2=feedback(gcg,1) bode(gcg) margin(gcg)

V.- CUESTIONARIO:

5.1. Comparando los resultados del compensador por adelanto en LGR y en Respuesta en Frecuencia Ud. A encontrado alguna diferencia en los resultados? Explique. El diseño de un compensador de atraso-adelanto mediante el enfoque de la respuesta en frecuencia se basa en la combinación de las técnicas de diseño analizadas en la compensación de adelanto y la compensación de atraso 5.2. ¿En el análisis de Compensación por adelanto en frecuencia el movimiento de la ganancia que beneficios nos trae en la compensación? 5.3. Al compensar la fase que modificaciones sufre el sistema en su respuesta transitoria? La parte de adelanto de fase del compensador modifica la curva de respuesta en frecuencia añadiendo un ángulo de adelanto de fase e incrementando el margen de fase en la frecuencia de cruce de ganancia. La parte de atraso de fase proporciona una atenuación cercana y por arriba de la frecuencia de cruce de ganancia y, por tanto, permite un incremento de la ganancia en el rango de frecuencias bajas a fin de mejorar el desempeño en estado estable VI.- OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES:

VII.- BIBLIOGRAFIA: