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Universidad de los Andes Transferencia de calor - Práctica 1: conducción de calor radial

Gabriel Camilo Vásquez - 201024131 Adriana Catalina Mora - 201214194 Aura Cristina Ávila - 201212742 Carlos David Valencia - 201215300

Marco Teórico:

La trasferencia de calor por conducción se define como la trasferencia de energía de las partículas más energéticas de una sustancia hacia las adyacentes menos energéticas, como resultado de las interacciones de las partículas, y está gobernada por la ley de Fourier de trasferencia de calor que dicta que: Donde k es la constante de conductividad térmica que rige al material y q es el flujo de calor. El problema a analizar, a pesar de incluir elementos radiales y que pueden ser percibidos en de una manera tridimensional, se puede simplificar gracias a las condiciones de frontera adiabáticas dadas en las caras superior e inferior del disco y además de ello la uniformidad radial a través del mismo. Con este supuesto, se procederá a analizar el sistema y a caracterizarlo.

Objetivo: •

•

Determinar de manera experimental el perfil de temperaturas a través de una pared cilíndrica (conducción de calor radial) bajo condiciones de estado estable (adición y extracción de calor estable). Aplicar la ley de conducción de calor de Fourier para el caso de conducción radial bajo condiciones de estado estable, con el objeto de determinar el flujo de calor a través de una pared cilíndrica y la determinación de manera experimental de la conductividad del material (constante k).

Presentación de Datos:

Tabla 1. Datos de entrada del montaje experimental

Corriente (A) Voltaje (V) Flujo de agua (l/s) Control de Calefacción

3,48 21,1 1,29 88



Se pudo observar una condición estable con las siguientes temperaturas de salida (C°): Temperatura 1 (7mm) Temperatura 2 (10mm) Temperatura 3 (20mm) Temperatura 4 (30mm) Temperatura 5 (40mm) Temperatura 6 (50mm)



76,7 °C 69,6 °C 52,2 °C 38,4 °C 31,3 °C 24,4 °C









Figura 1. Se pueden observar los datos de salida en el software de la unidad de adquisición de datos armfield HT10X, los cuales están ya en estado estacionario.



Figura 2. El equipo utilizado en la toma de datos, en donde se puede apreciar los puntos de toma de temperatura, el aislamiento y el equipo armfield.

Análisis de resultados - Preguntas y Cálculos: I. Descripción del montaje experimental y esquema del mismo El montaje experimental consiste en un disco de material desconocido equipado con una resistencia eléctrica aislado térmicamente de tal forma que solo haya conducción unidireccional, el disco tiene instalado una resistencia eléctrica, mediante un conjunto de cables conectados uno tras otros desde el centro del disco hasta el borde del mismo con su respectivo módulo de adquisición de datos para realizar mediciones de temperatura. Para evitar sobrecalentar el montaje experimental el disco cuenta con un sistema de refrigeración, consistente en una bomba de agua que hace circular este fluido alrededor en la periferia del disco y así enfriarlo controladamente. Ver figura 2 y el esquema mostrado a continuación:



II.

perfil de temperaturas obtenido en el experimento y ajuste.



Gráfica 1. Perfil de temperaturas que se obtuvieron en el experimento, se puede observar como la temperatura disminuye conforme se aleja de la fuente de calor.

Temperatura (K)

Ajuste de la curva obtenida en el procedimiento experimental y = -27.05ln(x) + 217.38 R² = 0.9955

360 340 320 300 280 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Distanciaelcentrodel disco (m)



Gráfica 2. Perfil de temperaturas y línea de tendencia con ajuste logarítmico T(r), se puede observar una gran semejanza con la ecuación de conducción.

Teniendo en cuenta la ecuación proporcionada por la regresión y para un 𝑟 = 0,055 𝑚 se tiene el siguiente cálculo de la temperatura del disco: 𝑇 = −27,05 ∗ ln 𝑟 + 217.38 (𝐸𝑞. 1) 𝑇 = −27,05 ∗ ln(0.055) + 217.38 𝑇 = 295.83 𝐾 Utilizando las condiciones de frontera donde se toma una temperatura interna 𝑇: dada a un radio r con trasferencia de calor por conducción y una temperatura externa 𝑇; desconocida en contacto con un medio de convección (agua) cuya temperatura es desconocida, te tendrá la siguiente configuración:

Donde Se plantea que

𝑄:= = 𝑄;>? (𝐸𝑞. 2)

Resolviendo la ecuación diferencial se tendrá que 𝑇(@) = 𝐶B ln (𝑟) + 𝐶C Resolviendo, se dan las constantes de la ecuación 𝑇C − 𝑇B 𝑇C − 𝑇B 𝐶B = 𝑙𝑛(𝑟B ) 𝑟C 𝐶C = 𝑇B − 𝑟 ln ln C 𝑟B 𝑟B Finalmente reemplazando en la ecuación

𝑟 𝑟B 𝑇 𝑟 = 𝑟 ln C 𝑟B Calculando en base a los datos obtenidos ln

𝑇C − 𝑇B + 𝑇B

𝑇 = −27,05 ∗ ln 𝑟 + 217.38 Ecuación de ajuste H HI H FG J HI

FG

𝑇 𝑟 =

𝑇C − 𝑇B + 𝑇B Ecuación Teórica

Tabla 2. Temperatura experimental, teórica y de acuerdo a la regresión. Adicionalmente el error. Temperatura en base a la teoría [K]

Error porcentual

Dato

Distancia en r [m]

Temperatura experimental [K]

Temperatura según regresión [K]

T1

0.007

349.85

351.5979108

310.5490149

11.2%

T2

0.01

343.05

341.9498535

299.5180604

12.7%

T3

0.02

325.35

323.2002223

290.9201753

10.6%

T4

0.03

311.55

312.2323911

296.5905548

4.8%

T5

0.04

304.45

304.4505911

294.6028378

3.2%

T6

0.05

297.55

298.414558

295.8364176

Radio total

0.055

0.6% Promedio 7.2%



Finalmente calculando el error como 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟% =

Discusión de resultados:

295.8364176



|OPQ;@ ?R;@:S;TUPQ;@ RVWR@:XR=?PQ| UPQ;@ ?R;@:S;

•

De acuerdo con el reloj calculado se puede decir que la ecuación que nos muestra la distribución de temperatura tiene una buena aproximación sin embargo hay que tener cuidado con un error como el del 12.7% que se atribuyen a errores experimentales ya que los otros errores son un poco más pequeños, este error experimental se presenta en base a condiciones como el tiempo esperarte estabilización del sistema que es determinado por el grupo en las impurezas del agua que refrigerar el disco. También en base a los cálculos realizados se puede ver cómo la temperatura disminuyendo al aumentar la distancia del centro del disco Cómo sabemos en el centro del disco se está proporcionando calor a partir de una resistencia entonces en la distribución de temperatura se ve como al aumentar la longitud la temperatura va disminuyendo. Finalmente también podemos comprar la regresión lineal obtenida con los datos teóricos y la temperatura experimental y se observa que son bastante cercanas.

•

En el caso de incrementarse el flujo de agua de refrigeración el nuevo perfil aumentaría su pendiente ya que la velocidad disminuye la temperatura exterior y debería incluirse en el modelo el proceso de convección ya que se pierde calor debido al paso del fluido

•

El calor conducido a través del disco asumiendo que el aislamiento del sistema es ideal se halla a partir de la Ley de Ohm, la relación del producto entre la corriente eléctrica y el voltaje será igual al calor que se generará (en condiciones ideales que no se produzca trabajo u otra forma de energía). Por ello y por la ecuación 2 se tendrá que:





•



𝑄:= = 𝑄;>? (𝐸𝑞. 2) 𝑄:= = 𝐼 ∗ 𝑉 𝑄:= = 3,48A ∗ 21,1𝑉 𝑄:= = 73,43 J Para hallar la conductividad del material se utiliza la ecuación que describe este caso de un disco unidimensional, se pude acudir a la ecuación: 2𝜋𝐾𝐿 (𝑇: ′ − 𝑇; ′) 𝑄= 𝑟 ln ( C 𝑟B ) Donde Q=73,43J ; L=3,2mm ; Ti’= 69,6 C°; To’=31,3 C° ; r1=10mm ; r2=40mm 𝐾 = 132,2 𝑊/𝑚𝐾

•

Utilizando la tabla adjunta en el apéndice, se podría afirmar que es probable que el material utilizado en esta función sea bronce o zinc. Sin embargo, debido a las condiciones del experimento y la asertividad de los resultados esperada, sería prudente decir que una posibilidad mayor sería para un disco de Zinc.

•

Por su alto coeficiente de conducción K, se puede afirmar que es un material conductor, esto quiere decir que es una material que permite un alto flujo de calor a través del mismo.





a. 5.3.6. En base a la conductividad k que obtuvo, que sucedería con el perfil de temperatura si la nueva conductividad fuera igual a 4*k? que sucedería si la nueva conductividad fuera 0,8*k? Dibuje los nuevos perfiles de temperatura (asuma que T1 se mantiene constante), concluya y discuta los resultados obtenidos. -Sabemos que la ecuacion de ajuste para la temperatura: y=-27.05ln(x)+217.38 es la que describe el perfil de temperaturas dentro del disco, y sabemos que la constante que acompaña al logaritmo natural depende de k, el cual esta dividiendo, por lo tanto se encoentran las siguientes ecuaciones para cada caso: y=-6.76ln(x)+217.38(K=4*K) & y=-33.81ln(x)+217.38(K=0.8*K)

Tabla 3. Perfil de temperaturas según el diferente k.



Conclusiones:

-

Una de las fuentes importantes de error que se presentan en el experimento, es la estabilidad del sistema. Aunque el tiempo de espera fue largo para garantizar que el sistema fuese estable las mediciones fluctuaban. Por otro lado, la variación en el caudal produce un coeficiente de convección variable y causa perturbaciones mínimas en la temperatura superficial del disco. Sin embargo, ninguno de estos efectos fue medido cuantitativamente por lo cual no es posible dar cuenta exacta de su contribución al error total en las medidas.

-

El modelo teórico utilizado se ajusta en gran medida a los datos experimentales según lo muestran las ecuaciones teóricas y de ajuste. Por lo tanto se puede concluir que la asunción de aislamiento ideal es correcta en este caso.

- Cuando se calculó la conductividad térmica del material con los dos primeros radios se obtuvo un valor alejado de los valores que proporciona la tabla anexa. Se cree que esto se debe a que la distancia entre las termocuplas a esos dos radios es mucho menor a la distancia entre las otras. Por lo tanto, además del grosor de la termocupla, la corta distancia pudo generar datos no certeros, es decir, los puntos correspondientes a r1 y r2 no están tan alineados con la línea de tendencia.

Bibliografía

V, J. H. (2008). A Heat Trasfer Textbook. Cambridge, MA: Phlogiston Press. Ghajar, Y. A.-A. (2011). Trasferencia de Calor y Masa. Mexico DF: Mc Graw Hill. Monografias.com. (s.f.). Potencia Eléctrica. Recuperado el 19 de 02 de 2016, de http://www.monografias.com/trabajos14/trmnpot/trmnpot2.shtml Fisica Net. (s.f.). Fisicanet.com.ar. Recuperado el 19 de 02 de 2016, de http://www.fisicanet.com.ar/fisica/termodinamica/tb03_conductividad.php





Apéndices