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• LuceroMilagrosCubaMiranda

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Tratamiento de datos Experimentales

UNMSM

1. Objetivo: 

Obtener graficas de datos experimentales en tablas.



Construir ecuaciones experimentales e interpretar su comportamiento.



Tratar de obtener la grafica de la recta al ubicar o reubicar los pares de puntos de una tabla

2. Materiales: 

Hojas de papel milimetrado



Hojas de papel logarítmicas



Hojas de papel semilogaritmicas

Se trataran de ubicar en el papel milimetrado logarítmico y semilogarítmico los pares de puntos de las tablas de datos experimentales de los tres experimentos: 2.1 La medida de la intensidad de corriente eléctrica conducida por un hilo conductor de micrón, y de la diferencia de potencial aplicada entre los extremos de este. La tabla 2 muestra datos de este experimento. I (A)

V (V)

0.5 1.0 2.0 4.0

2.18 4.36 8.72 17.44

2.2 La medida del tiempo de evacuación de agua de un depósito a traves de una llave de cierto diámetro de salida. La tabla 2 muestra datos de este experimento, tomadas para cuatro llaves de diferentes diámetros y todas medidas a igual altura de agua del mismo depósito. h (cm.) d (cm.) 1.5 2 3 5

30 73 41.2 18.4 6.8

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10

4 tiempo (s) 43 26.7 23.7 15 10.5 6.8 3.9 2.2

1 13.5 7.2 3.7 1.5

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2.3 Medida de la actividad radiactiva del radón, donde el dia cero se detecto una desintegración de 4,3 x 1018 núcleos. Los porcentajes de experimentación de los demás días se muestran en la tabla 3. Tabla 3 T (días)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A (%)

10 0

84

70

59

59

41

34

27

24

20

17

3. Información teórica: Muchas leyes físicas implican una proporcionalidad entre dos cantidades medibles experimentalmente. Por ejemplo, la ley de Hooke establece que el estiramiento de un resorte es proporcional a la fuerza que lo deforma, y la segunda ley de Newton establece que la aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza neta aplicada. Muchos experimentos de laboratorio están diseñados para verificar esta clase de proporcionalidad. Si una cantidad y es proporcional a otra cantidad x, un gráfico de y vs x es una línea recta que pasa por el origen. Entonces, para averiguar si y es proporcional a x, Ud. puede graficar los valores medidos de y vs los valores de x y observar si los puntos resultantes yacen sobre una línea recta que pasa por el origen. Debido a que una línea recta es fácilmente reconocible, este método representa una manera simple y efectiva de evaluar proporcionalidad. Para ilustrar este uso de los gráficos, imaginemos un experimento para verificar la ley de Hooke. Esta ley, expresada comúnmente por F = kx, establece que la extensión x de un resorte es proporcional a la fuerza F que lo estira, o sea que x = F/k, donde k es la constante del resorte. Una forma simple de verificar esta ley es colgar un resorte verticalmente y suspender de él diferentes masas m. En este caso, la fuerza F es el peso de la masa suspendida, de tal forma que la extensión del resorte debiera ser x = mg/k = (g/k) m. Por lo tanto, la extensión x debiera ser proporcional a la carga m, y un gráfico de x vs m debiera dar una línea recta pasando por el origen. Si medimos x para una variedad de diferentes masas m y graficamos nuestros valores de x y m, los puntos resultantes casi con seguridad no yacerán exactamente sobre una línea recta. Supongamos, por ejemplo, que medimos la extensión x para ocho diferentes cargas m, obteniendo los resultados mostrados en la siguiente tabla: Carga m (gr) (D m: despreciable) Extensión x (cm) (D x = 0.3 cm)

200

300

400

500

600

700

800

900

1.1

1.5

1.9

2.8

3.4

3.5

4.6

5.4

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Estos valores están graficados en la siguiente figura, donde también se muestra una posible línea recta que pasa por el origen y está razonablemente cerca de todos los puntos.

Como era de esperar, los ocho puntos no están exactamente alineados. La cuestión es ahora si este resultado es debido a las incertezas experimentales o a errores que hemos cometido, o a la posibilidad de que la extensión x no sea proporcional a m. Para contestar esa pregunta, debemos examinar nuestras incertezas. Como es común, las cantidades medidas, extensiones x y masas m, están sujetas a incertezas. Por simplicidad supondremos que las masas usadas son conocidas con gran exactitud, de forma tal que la incerteza en m es despreciable. Supongamos, por otra parte, que todas las mediciones de x tienen una incerteza de aproximadamente 0.3cm. Para una carga de 200g, por ejemplo, la extensión estará probablemente en el rango 1.1 ± 0.3 cm. Nuestro primer punto en el gráfico cae en la línea vertical m = 200g, en algún lugar entre x = 0.8 ó 1.4 cm. Este rango se indica en la figura de más abajo, donde se muestra una barra de error asociada a cada punto indicando cuál es el posible rango para esa medición. Obviamente, si la relación entre x y m es lineal, deberíamos poder encontrar una línea recta que pase por el origen y pase también a través de todas o casi todas las barras de error. La figura muestra que tal línea existe, de tal forma que podemos concluir que los datos son consistentes con una relación lineal entre x y m. Hemos visto que la pendiente del gráfico x versus m es g/k. Midiendo la pendiente de la línea recta podemos, por lo tanto, encontrar la constante k del resorte. Dibujando las líneas de máxima y mínima pendiente que se ajustan a los datos razonablemente bien, podemos también encontrar la incerteza de este valor de k.

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Si la mejor línea recta no pasa a través de un gran número de barras de error, o si los puntos están alejados una gran distancia respecto al tamaño de las barras de error, entonces nuestros resultados son inconsistentes con una relación lineal entre x y m. Esta situación se muestra en la figura siguiente. Con los resultados allí mostrados, tendríamos que comenzar por controlar nuestras mediciones y cálculos (incluyendo el cálculo de los errores) y considerar si x puede no ser proporcional a m por alguna razón. [En este caso, por ejemplo, los primeros cinco puntos pueden ajustarse a una línea recta pasando por el origen. Esta situación sugiere que x puede ser proporcional a m hasta aproximadamente unos 600 gramos, pero que la ley de Hooke deja de valer en ese punto y que a partir de allí el resorte comienza a estirarse más rápidamente.]

Hasta ahora hemos supuesto que la incerteza en la masa (que está graficada en el eje horizontal) es despreciable y que las únicas incertezas están en x, como lo indican las barras verticales. Si tanto x como m están sujetas a incertezas apreciables, la manera más simple de mostrarlas es dibujar barras de error verticales y horizontales, cuyas longitudes muestren las incertezas en x y m, respectivamente, como se muestra abajo. Cada cruz en este gráfico corresponde a una medición de x y m, en la cual x probablemente cae en el intervalo definido por la barra vertical y m cae en aquel definido por la barra horizontal.

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Una posibilidad un poco más complicada ocurre cuando una cantidad puede ser proporcional a una potencia de otra. (Por ejemplo, la distancia recorrida por un objeto que cae un tiempo t es d = ½ gt2 y es proporcional al cuadrado de t.) Supongamos que se espera que y sea proporcional a x2. Entonces, y = Ax2, donde A es alguna constante, y un gráfico de y versus x debería ser una parábola con la forma general de la figura (a) que se muestra más abajo. Si medimos una serie de valores (x, y) y graficamos y versus x, puede ser que obtengamos un gráfico como el que muestra la figura (b). Desafortunadamente, juzgar visualmente si un conjunto de puntos se ajusta a una parábola (o a cualquier otra curva, excepto una línea recta) es muy difícil. Una mejor forma de verificar que y es proporcional a x2 (y µ x2) es graficar y versus x al cuadrado. Tal gráfico debiera ser una línea recta, y eso sí es fácilmente verificable, como se ve en la figura (c).

a). Si y es proporcional a x2, un gráfico de y versus x debería mostrar una parábola con esta forma general. b). La bondad del ajuste parabólico es difícil de evaluar en un gráfico de y versus x. c). Por otra parte, un gráfico de y versus x2 debería resultar en una línea recta pasando por el origen, lo cual es fácil de verificar visualmente. (En el caso que se muestra, podemos ver fácilmente que por los puntos pasa una recta.)

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De la misma forma, si y = A xn (donde n es una potencia cualquiera), un gráfico de y versus xn debiera ser una línea recta, y graficando los valores observados de y versus xn deberíamos poder verificar fácilmente dicho ajuste. Existen muchas otras situaciones en las cuales una relación no lineal (es decir, una que resulta en un gráfico curvado, no lineal) puede convertirse en una relación línea mediante una hábil selección de las variables a graficar. Por ejemplo, es común el caso en que una de las variables y depende exponencialmente de otra variable x, en la forma y = A eBx. Para esta clase de relaciones, se puede ver fácilmente que el logaritmo natural de y es lineal respecto de x, es decir, un gráfico de ln(y) versus x debería ser una línea recta en el caso de una relación exponencial. Más adelante veremos algunos ejemplos de estas operaciones de linealización.

4. Método de mínimos cuadrados. De la distribución lineal de puntos obtenida en el papel milimetrado, logarítmico o semilogaritmico se calcula la pendiente m y la ordenada b. El método de ajuste mas adecuado para una distribución lineal es la técnica de mínimos cuadrados Para aplicar esta técnica primero se construye una tabla de la forma: Xi X1 . . . . . Xp

Yi Y1 . . . . . Yp

Xi Yi X1 Y1 . . . . . Xp Yp

X2 X 11 . . . . . X 2p

∑ Xi

∑ Yi

∑ Xi Yi

∑ Xi 2

Se calculan la pendiente y la ordenada en el origen: m = (p ∑ Xi Yi - ∑ Xi ∑ Yi ) / (P∑ Xi 2 -(∑ Xi )2 ) b =

( ∑ Xi 2 ∑ Yi - ∑ Xi ∑ Xi Yi ) / (P∑ Xi 2 -(∑ Xi )2 )

donde p es el número de mediciones. Luego, la formula experimental es la ecuación de la recta y = m x + b. Una vez ajustada la distribución lineal, se procede a hacer los cálculos a fin de encontrar la formula experimental son: Y = b Xm ……………………………………………...Se grafica en papel logarítmico Y = b 10mx, y = be2.303 mx ………………………Se grafica en papel semilogaritmico

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Donde se considera que 10 = e2.303 Dado que en el ajuste lineal es por el método de los mínimos cuadrados la tabla se convierte en logarítmica y semilogaritmica, cuidando de colocar los valores con un mínimo cuatro decimales de redondeo en cada columna. Observe que en las ecuaciones de la recta en esas escalas son: log = m log x + log b,

y

logy = m x + log b

La ordenada en el origen b obtenida por la formula será b ’, que corresponde a logb, por lo que b se calcula como antilogaritmito de b ’. Así b = antilog b’. En ese caso de no ser necesario hacer el ajuste, m se calcula con la pendiente de la distribución lineal donde el valor de b se toma como el punto correspondiente al corte de la prolongación de la recta con e eje vertical. Se recomienda ver el método de los mínimos cuadrados en un libro de estadística. Métodos de aproximación de pares de puntos. Para utilizar este método debemos tener presente las siguientes a) Se aplica a graficas donde los puntos del eje horizontal están igualmente espaciados. b) Los puntos se dividen en dos grupos iguales.Un grupo para valores bajos de y, otro grupo para valores altos de y. c) A continuación se aparean los puntos uno de cada grupo. d) Luego se calcula la diferencia de los valores de y para cada par de puntos. e) A continuación se calcula el valor medio de las diferencias Δy. f) Por la primera consideración se sabe que la distancia Δx entre cada par de puntos es la misma, por lo tanto la pendiente de la recta ajustada será: m = Δy / Δx g) Se determina el valor medio de x y el valor medio de y h) como la mejor recta ajustada debe pasar por el punto (x, y) con una pendiente igual a m, entonces la ecuación de la recta será y = mx + (y - mx)

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5. APLICACIONES: 1.

Plantee y grafique en papel milimetrado los valores de las tablas 1, 2 y 3 V = V(I)

2.

t = t(h)

y

A = A(t)

Grafique las distribuciones no lineales: a) b) c) d)

Grafique t=t(h) en papel logarítmico Grafique A =A(t) en papel semilogarítmico Grafique t =t(d) en papel logarítmico Haga z =1/d2 y grafique t=t(z) en papel milimetrado

h (cm.) d (cm.) 1.5 2 3 5 3.

t = t(d)

30

10

4

1

tiempo (s) 43 26.7 23.7 15 10.5 6.8 3.9 2.2

73 41.2 18.4 6.8

z= 1 d2 0.44 0.25 0.11 0.04

13.5 7.2 3.7 1.5

Encuentre los nuevos valores ”yi” obtenidos usando la formula experimental con los valores de salida y i experimentales aplicado al caso t = t(h) Utilizando el método de mínimos cuadrados se tendrán para los siguientes casos: Tabla A Tabla B Xi Yi Xi . Yi Xi 2 Xi Yi Xi . Yi Xi 2 b=1.5 b=2.0 logt . logt . logt logh h2 logt logh h2 logh logh 1.863 1.477 3.340 3.727 1.615 1.477 3.092 3.230 1 1 1.633 1.000 2.633 3.267 1.375 1.000 2.375 2.749 2 2 1.427 0.602 2.029 2.853 1.176 0.602 1.778 2.352 3 3 1.130 0.000 1.130 2.261 0.857 0.000 0.857 1.715 4 4 6.054 3.079 9.133 12.107 5.023 3.079 8.102 10.046 ∑ ∑

b=3.0

1 2 3 4

Tabla C Xi Yi Xi . Yi logt logh logt . logh

2

Xi h2

1.265

1.477

2.742

2.530

1.021

1.000

2.021

2.042

0.833 0.568

0.602 0.000

1.435 0.568

1.665 1.136

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b=5.0

1 2 3 4

Tabla D Xi Yi Xi . Yi logt . logt logh logh

Xi 2 h2

0.833

1.477

2.310

1.665

0.591

1.000

1.591

1.182

0.342 0.230

0.602 0.000

0.944 0.230

0.685 0.461

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Tratamiento de datos Experimentales ∑

3.687

3.079

6.766

UNMSM 7.373

∑

1.996

3.079

5.076

3.993

m = (p ∑ Xi Yi - ∑ Xi ∑ Yi ) / (P∑ Xi 2 -(∑ Xi )2 ) b = (∑ Xi 2 ∑ Yi - ∑ Xi ∑ Xi Yi ) / (P∑ Xi 2 -(∑ Xi )2 ) Tabla A: h = 1.5 mA = 17.8910269 / 11.7825778 = 1.600

bA = 46.2586651 / 11.7825778 = 0.02

Tabla B: h = 2.0 mB = 15.7115238 / 15.9018542 = 2.667

bB = 20.6497057 / 15.9018542 = 0.02

Tabla C: h = 3.0 mC = 16.94206 / 14.95333 = 2.667

bC = 33.73121 / 14.95333 = 0.003

Tabla D: h = 5.0 mD = 14.15509 / 11.98577 = 2.5

bD = 9.219501 / 11.98577 = 0.35

Hallando la formula experimental usando lo siguiente de acuerdo a la recta obtenida en el papel logarítmico Y = b.Xm YA = 0.02. XA1.600 YB = 0.02 XB2.667 YC = 0.003. XC2.667 YD = 0.35. XD2.5

Reemplazando los valores obtenidos en la nueva tabla:

h (cm.) d (cm.) 1.5 2 3 5

22.05 73 41.2 18.4 6.8

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9.46

4.41

1.48

tiempo (s) 43 26.7 23.7 15 10.5 6.8 3.9 2.2

13.5 7.2 3.7 1.5

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4.

Haga w = √h / d2 para las alturas y diámetros correspondientes a: t=

73.0

43.0

t (s) 73 s 43 s 26 s 15 s 10.5 s 3.9 s 1.7s 5.

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26.7

15.0

h (cm.) 30 10 4 4 10 10 1

10.5 d(cm) 1.5 1.5 1.5 2 3 5 5

3.9

1.5 W 2.434 1.405 0.888 0.5 0.351 0.126 0.004

Grafique t = t(w) en papel milimetrado. Si la distribución es lineal haga el ajuste respectivo. Luego encuentre la ecuación experimental correspondiente: t = t(h,d) 1 2 3 4 5 6 7 ∑

xi 73 43 26 15 10.5 3.9 1.7 173.1

M = 0.034

yi 2.434 1.405 0.888 0.5 0.351 0.126 0.004 5.708

xiyi 177.682 60.415 23.088 7.5 3.6855 0.4914 0.0068 272.8687

xi2 5329 1849 676 225 110.25 15.21 2.89 8207.35

b= -0.014

Por lo tanto: Y = 0.034.x – 0.014

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6. CUESTIONARIO 1. Halle los tiempos de vaciado del agua si : altura (h)

diámetro (d)

tiempo (t)

(cm.)

(cm.)

(s)

1º

20

4,0

12.32

2º

40

1,0

7.12

3º

25

3,5

4.50

4º

49

1,0

8.00

casos

2. Calcule el tiempo en que se ha desintegrado el 50% de los núcleos de radón:

3. Compare los valores Yia obtenidos usando la formula experimental con los valores de salida Yi experimentales aplicado al caso t = t (h)292708107.doc292708107.doc h (cm.) h (cm.)

22.05 30

9.46 10

4.41 4

1.48 1

Se observa que los valores son próximos 4 trace en papel logarítmico la grafica de lab. numero 2

5 Adjunte todo su trabajo de la parte 4 de aplicaciones.

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6. Bibliografía : Manual de laboratorio de física general Física…………………………..Manuel Alonso y Eduard Finn Encarta 2007 Biblioteca Premium http://jfinternational.com/mat-fis.html

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Índice

Introducción Dedicatoria Objetivo Materiales Información teórica Métodos de los mínimos cuadrados Aplicaciones Cuestionario Bibliografía Conclusiones

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INTRODUCCION Este trabajo esta hecho en base a los conocimientos dados por los antiguos físicos experimentales, en las cuales nos hemos determinado a utilizarlos en casos físicos para reflejarlo en representaciones graficas así poder captar mejor aquellos conocimientos dados por los físicos.

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Dedicatoria Este trabajo fue pensado y dedicado a todos esos hombres de ciencia de antaño, que se esforzaron en hacer comprender, lo misterioso de la física a base de graficas, y así poder aprovechar en avanzar en otros conocimientos.

Conclusiones:

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Se supo que los datos para simplificarlos y hacerlo mas entendible se pueden realizar graficas que resultan muy factibles Que a través de las graficas se pueden hallar datos que a través de muchas operaciones matemáticas demoraría mucho y seria más tedioso.

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