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• Roly Pariona Silva

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CAPITULO 2 LA MÁQUINA GENERALIZADA DE ANILLOS ROZANTES

La máquina generalizada de anillos rozantes (MGAR) es la “herramienta” que será utilizada para la descripción matemática de todas las máquinas de anillos rozantes, tiene las siguientes características básicas:

(1)

Es de dos polos y tiene saliencia en el rotor tal como se muestra en la Figura 2.1.

(2)

Todos los devanados tienen el mismo número efectivo de vueltas: Nα = Nβ = ND = NQ = NS 2φ

Figura 2.1 Circuito magnético de la MGAR

2.1

PARAMETROS

Resistencias Las resistencias de cada devanado de la MGAR son: rα = rβ = ra; rD y rQ

Inductancias propias y mutuas

Para el cálculo de estos parámetros se sigue un procedimiento similar al utilizado en el capítulo anterior.

Al excitar solo el devanado “α α” con una corriente instantánea iα la

a)

inductancia propia magnetizante depende de la posición del rotor.

a.1)

Cuando el eje directo coincide con el eje magnético 1

s

(θ = 0 ó π )

Figura 2.2 Circuito magnético, fuerza magnetomotriz y campo magnético para Θ=0

Fα: f.m.m. del devanado α, cuyo valor máximo es

Fα max

Bαd:

valor máximo del campo magnético si el entrehierro fuera constante,

dado por

Bαd =

µo g

Fα max

Bm1d : valor máximo del componente fundamental del campo Bα, dado por

Bm1d = K d Bαd Kd : factor de forma del campo magnético en eje directo.

El flujo concatenado magnetizante para esta posición:

ψ αα m = ( N S 2φ ) 2

µo 4 D l . K d .iα = ( N S 2φ ) 2 λ dm iα g π 2

Entonces, la inductancia propia magnetizante para θ = 0 ó π será:

Lαm (θ =0) = ( N S 2φ ) 2 λdm = Lad a.2)

Cuando el eje cuadratura coincide con el eje magnético 1

s

(θ = ± π/2 )

Figura 2.3 Circuito magnético, fuerza magnetomotriz y campo magnético para θ = ± π/2

Fα max

Fα

:

f.m.m. del devanado α cuyo máximo es

Bαq

:

valor máximo del campo magnético si el entrehierro fuera

constante, dado por Bαq = Bm1q : por Kq

µo g

Fα max

valor máximo del componente fundamental del campo Bα, dado

Bm1q = K q Bαq :

En este

Factor de forma del campo magnético en eje cuadratura.

caso

ψ ααm = ( N S 2φ ) 2

µo 4 Dl . K q .iα y la inductancia propia g π 2

magnetizante será: Lαm (θ = ±π / 2 ) = ( N

S

2φ

) 2 λqm = Laq

Como Kq < Kd es fácil concluir que para θ = 0 se tendrá el valor máximo de la inductancia propia magnetizante del devanado α y que el valor mínimo se presenta cuando θ = ± π/2.

a.3)

Para una posición genérica θ

El flujo concatenado magnetizante de la bobina α puede expresarse en función de los flujos concatenados característicos ψ d y ψ q , tal como se muestra en la Figura 2.4.

Figura 2.4 Componentes del Flujo Concatenado Magnetizanteψ ααm

Entonces se puede escribir: ψ ααm

= ψ d .Cosθ −ψ q Senθ

Donde:

ψ d = Lad .iαd y ψ q = Laq iαq iαd = iα cos θ e iαq = −iα senθ Luego: ψ ααm = ( Lad .Cos

θ + Laq .Sen 2θ ) iα

2

Por lo tanto la inductancia propia magnetizante para una posición genérica θ será:

Lαm = Lad .Cos 2θ + Laq .Sen 2θ Expresando la inductancia de dispersión de forma análoga como:

Lασ = Lασ Cos 2θ + Lασ Sen 2θ Inductancia propia del devanado α Para una posición genérica θ estará dada por:

Lα = Ld .Cos 2θ + Lq .Sen 2θ

donde

Ld = Lad + Lασ ;

Lq = Laq + Lασ

Inductancia Mutua con el devanado β El flujo concatenado con el devanado “β”, en función de ψ d y ψ q , será:

ψ βα = ψ d .Senθ − (−ψ q ).Cosθ Desarrollando resulta:

ψ βα =

( Lad − Laq ) 2

Sen2θ .iα =

( Ld − Lq ) 2

.Sen2θ .iα

La inductancia mutua entre los devanados α y β no es nula debido a la saliencia y estará dada por:

M βα =

( Ld − Lq ) 2

Sen2θ

Inductancias Mutuas con los devanados D y Q El flujo concatenado con el devanado “D” será solo la componente ψd.

ψ Dα = Lad .Cosθ .iα entonces M Dα = Lad .Cosθ

la

inductancia

mutua

correspondiente

Luego será:

De forma similar, ψ Qα = − Laq . sin θ .iα y la inductancia mutua: M Qα = − Laq . sin θ

b)

Excitando ahora el devanado “β β” y procediendo en forma similar se obtienen las siguientes inductancias: Inductancia propia del devanado β

Lβ = Ld . sin 2 θ + Lq . cos 2 θ Inductancia Mutua con el devanado α

M αβ =

( L d − Lq ) 2

Sen2θ

Inductancias mutuas con los devanados D y Q

M Dβ = Lad . sin θ M Qβ = Laq . cosθ

c)

Al excitar los devanados “D” y “Q” del rotor:

Se debe remarcar que estos devanados están en el rotor y se mueven con los ejes d y q. Inductancia propia del devanado D

LD = LDσ + LDm ; LDm = Lad Inductancias Mutuas con los devanados α y β

M Dα = Lad .Cosθ

M Qα = − Laq . sin θ

M Dβ = Lad .sin θ

M Qβ = Lad . cosθ Inductancia Mutua con el devanado Q

M DQ = M QD = 0 Inductancia propia del devanado Q

LQ = LQσ + LQm ; LQm = Laq

2.2

ECUACIONES ELÉCTRICAS

Las ecuaciones de tensión de cada devanado se escriben de modo similar a las ecuaciones de la MGC. Por ejemplo:

v D = rD .i D + p(ψ DD + ψ DQ + ψ Dα + ψ Dβ ) , donde:

ψ DD = LD .i D , ψ DQ = 0 , ψ Dα = Lad .Cosθ .iα ,ψ Dβ = Lad . sin θ .iβ Al reemplazar se obtiene:

v D = rD .i D + LD pi D + 0. piQ + Lad p(cosθ .iα ) + Lad p(sin θ .i β ) Por lo tanto, las ecuaciones eléctricas de la MGAR son:

0 Lad p(cos θ ) Lad p (sen θ )  rD + LD p   iD  v D   0 rQ + LQ p − Laq p(sen θ ) Laq p(cos θ )  i  v   ( Ld − Lq )  Q   Q =  2 2 θ θ θ θ θ (cos ) − (sen ) + ( cos + sen ) (sen 2 ) L p L p r p L L p ad aq a d q v   iα   α  2   v   ( Ld − Lq ) i  β   Lad p (sen θ ) Laq p(cos θ ) p(sen 2θ ) ra + p ( Ld sen 2 θ + Lq cos 2 θ )  β    2

Si en estas ecuaciones se efectuará la diferenciación en los términos M p(f(θ).i) se obtiene expresiones que conformadas por:

M.f(θ) p (i) + M.f‘(θ). P (θ).i La presencia de estos términos muestra que aunque las ecuaciones de la máquina constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales lineales en las corrientes, algunos de sus coeficientes son funciones del tiempo y/o un producto de variables.

Está

característica desaparece solo si el rotor está inmóvil, restricción que es inaceptable.

Por lo tanto la solución directa de estas ecuaciones diferenciales representa un problema matemático complicadísimo.

2.3

TORQUE ELECTROMAGNÉTICO

Las ecuaciones eléctricas de la MGAR pueden ser escritas del siguiente modo:

v D  rD v    Q =  0  vα   0 v    β 0

0  i D  0  iQ    + ra 0   iα  0 ra   iβ 

0 rQ

0 0

0 0

 LD  0 p  M Dα M  Dβ

0 LQ

M Dα M Qα

M Qα M Qβ

Lα 0

M Dβ  i D  M Qβ  iQ    0   iα  Lβ   iβ 

ó también [ν] = [R] [i] + p {[L].[i] }

Si se supone inicialmente que el rotor está inmóvil, entonces:

p{[L] . [i] } = [L] p [i] y que las corrientes son llevadas desde cero hasta los valores especificados.

Luego : [i]

t

[ν] = [i]

t

t [R] [i] + [i] [L] p [i]

Como el sistema esta sin movimiento, no hay potencia mecánica de salida; por t lo tanto la potencia de entrada [i] [ν] puede ser solo disipada como calor, representado por [i]

t

t [R] [i], y una parte que se almacena [i] [L] p [i].

Luego la energía almacenada es :

t

t

∫ {[i ] [L] p[i ]dt} 0 t En esta ecuación, el integrando [i] [L] d [i] / dt es un escalar, que es también t t igual a d / dt { [i] [L] [i]}.

t Como la matriz [L] es simétrica, se cumple que [L] = [L] ; por lo tanto:

t

t

t

t ∫ {[i ] [L] p[i ]dt} = 1 / 2 ∫ {[i ] [L] 0 que se reduce luego a:

0

d [i ] + d [i ]t [L][i ]}dt dt dt

1 / 2 [i ]t [L]

d [i ] dt

Está energía almacenada es la energía magnética almacenada en el campo t magnético; Wm = ½ [i] [L] [i]. Con el rotor en movimiento desde una posición angular θ a otra θ + ∆θ, siendo constantes todas las corrientes, entonces p {[L] [i] } = {p [L]} [i].

Luego:

[i]

t

t t [ν] = [i] [R] [i] + [i] { d / dt [L] } [i]

Ahora el incremento de la potencia almacenada más la potencia convertida en mecánica estará dada por:

∆Pmag + Pmec =

[i]

t

{ d / dt [L] } [i]

Este desplazamiento ∆θ ocurrido en un ∆t, produce un cambio [∆L] en las inductancias, la energía almacenada inicial es: t t ½ [i] [L] [i] y al final es ½ [i] { [L] + [∆L] } [i], esta última es igual a ½ [i] t [L] [i]

+ ½ [i] t [∆L] [i] t Entonces el incremento en la energía almacenada es: ½ [i] [∆L] [i]. Como ∆t

es un escalar, puede dividir a ½ [i]

t

[∆L] [i] para definir el incremento en la

t potencia almacenada: ½ [i] { [∆L] / ∆t } [i] t Cuando ∆t tiende a cero, entonces la potencia almacenada = ½ [i] d / dt [L] [i]

Por lo tanto la potencia electromagnética es :

Pem = ½ [i ]t

d d [ L] dθ [ L][i ] = ½ [i ]t . [i ] dt dθ dt

Pem = ½ [i ]t

d [ L] [i ].Wmr dθ

El torque electromagnética será :

Te = ½ [i ]t {

d [ L]}[i ] dθ

2.4 TRANSFORMACIÓN DE LAS ECUACIONES ELÉCTRICAS DE LA MAQUINA GENERALIZADA DE ANILLOS ROZANTES Las ecuaciones eléctricas de la MGAR son:

νD = rD. iD + LD p iD + Lad p (Cosθ.i α) + Lad p (Senθ.i β)

(1)

νQ = rQ.i Q + LQ p i Q - Laq p (Senθ.i α) + Lad p (Senθ.i β)

(2)

2 2 να = ra. i α + p (Ld Cos θ + Lq Sen θ) i α + Lad p (Cosθ.i D)

- Laq p (Senθ. iQ) + (Ld – Lq) /2 p (Sen 2θ) (i β)

(3)

2 2 νβ = ra. i β + p (Ld Sen θ + Lq Cos θ) i β + Lad p (Senθ.i D)

+ Laq p (Cosθ.i Q) + (Ld - Lq) /2 p (Sen 2θ) (i α)

(4)

Factorizando las ecuaciones (1) y (2), e introduciendo nuevas variables se obtiene: νD = rD. iD + LD p iD + Lad p (i d) νQ = rQ.i Q + LQ p i Q + Laq p (i q) donde: id = Cosθ. i α + Senθ.i β iq = -Senθ. i α + Cosθ.i β Analizando las ecuaciones eléctricas en D y Q se aprecia que al haber efectuado “el cambio de variables” indicado en las ecuaciones (5), el efecto de los devanados estatóricos queda reducido a “un devanado en el eje d y otro en q”, acoplados magnéticamente con los devanados D y Q, respectivamente.

Expresando

matricialmente

el

cambio

de

variables

se

obtiene

(“la

transformación”) la matriz que ha transformado las corrientes estatóricas iα e iβ:

id  Cosθ iq  =  − Senθ   

[i’] = [C2]

–1

Senθ  iα  iα  ; = Cosθ  iβ  iβ 

[i]

Cosθ  − Senθ 

Senθ  id  Cosθ  iq 

( 6)

[i] = [C2] [i’]

[C2] : matriz ortogonal.

Reemplazando en (3) y (4) las expresiones de i α e i β en función de las nuevas variables i d, i q; se obtiene las ecuaciones de tensión de los devanados α, β.

υα = ra.(id Cosθ − iq Senθ ) + p ( LdCos 2θ + LqSen 2θ ).(Cosθ id − Senθ iq ) + ( Cosθ .iq ) + Ladp (Cosθ .iD ) − Laqp ( Senθ .iQ )

Ld − Lq ) p ( Sen2θ ( Senθ .id + 2

υβ = ra.( Senθ id + Cosθ iq ) + p( LdSen 2θ + LqCos 2θ ).( Senθ id + Cosθ iq ) + ( Senθ .iq ) + Ladp ( Senθ .iD ) + Laqp (Cosθ .iQ)

Ld − Lq ) p ( Sen2θ (Cosθ .id − 2

Para “transformar” las tensiones να y νβ se utilizará el mismo cambio de variables:

α id  iq  =  

d q

Cosθ − Senθ 

β Senθ  Cosθ 

Por lo tanto debe efectuarse : Cosθ. να + Senθ.νβ = νd -Senθ. να + Cosθ.νβ = νq Resultando:

υα  υβ   

vd = ra . id + Ld . p id + Lad p iD ) − wmr Laq .iQ − wmr Lq .iq vq = ra .iq + Lq . p iq + wmr Lad .i D + Laq p iQ + wmr Ld .id υ D   rD + pL D υ   0  Q =  υ d   pLad    r υ q   wm Lad

0

pLad

rQ + pLQ

0

r m

− w Laq

ra + pLd

pLaq

wmr Ld

 pLaq  − wmr Lq   ra + pLq  0

i D  i   Q i d    i q 

La potencia se ha mantenido invariante en esta “transformación” y puede demostrarse fácilmente, desarrollando:

iD . v D + iQ . vQ + iα . vα + iβ . vβ = i D . vD + iQ . vQ + id . vd + iq . vq Este resultado es esperado porque la “Transformación” utilizada para efectuar el cambio de variables en las corrientes y tensiones es la misma matriz ortogonal [C2]

Es importante comentar que este “cambio de variable” ó “transformación” ha permitido eliminar las funciones de θ de las ecuaciones diferenciales originales, las nuevas son ecuaciones diferenciales lineales, si

wmr es constante.

Desde el punto de visita físico estas ecuaciones corresponden a una máquina generalizada de conmutador, cuyo estudio fue efectuado en el capítulo anterior.

En cuanto a la ecuación del torque de esta máquina transformada” estará dada por:

0  0  0 0 Te = [i D ,iQ ,id ,i q ]   0 − Laq  0  Laq

0 0 0 Ld

0  i D    0  iQ  Lq  i d    0  i q 

Te = ( Ld − Lq ) id .iq + Lad i D .iq − Laq .iQ .i d

2.5 ECUACIONES EN FUNCION DE FLUJOS CONCATENADOS Nótese que las ecuaciones eléctricas, para la condición de motor en el estator (corrientes entrando por los puntos), pueden ser expresadas de la siguiente manera:

v D = rD i D + pψ D vQ = rQ iQ + pψ Q v d = ra id + pψ d − wmr ψ q v q = ra i q + pψ q + wmr ψ d Los flujos concatenados están expresados por:

ψ D = LD i D + Lad id ψ Q = LQ iQ + Laq iq ψ d = Ld id + Lad i D ψ q = Lq iq + Laq iQ De manera similar la expresión del torque electromagnético se escribe como:

Te = ψ d iq − ψ q id

Para la condición de generador, en el estator las corrientes salen por los puntos, las ecuaciones resultan:

v D = rD i D + pψ D vQ = rQ iQ + pψ Q v d = −ra i d + pψ d − wmr ψ q v q = −ra iq + pψ q + wmr ψ d Los flujos concatenados están expresados por:

ψ D = LD i D − Lad id ψ Q = LQ iQ − Laq iq ψ d = − Ld id + Lad i D ψ q = − Lq iq + Laq iQ La expresión del torque electromagnético:

Te = ψ d iq − ψ q id