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La importancia de lo Verdadero y de lo Falso en la clase de matemáticas Claire Margolinas

Traducido por: Martín Acosta Gempeler Jorge Enrique Fiallo Leal

Facultad de Ciencias Escuela de Matemáticas

LA IMPORTANCIA DE LO VERDADERO Y DE LO FALSO EN LA CLASE DE MATEMÁTICAS Claire Margolinas Título original en francés: «De L’importance du Vrai et du Faux dans la Classe de Mathématiques» © 1993 La Pensée Sauvage, Editions Tous droits réservés pour tous pays ISBN: 2 85919 082 1 Traducido por: Martín Acosta Gempeler Jorge Enrique Fiallo Leal © Copyright 2009 Todos los derechos reservados ISBN: 978-958-8504-06-3 DISEÑO, DIAGRAMACIÓN E IMPRESIÓN: División de Publicaciones UIS Cra 27 con calle 9, Ciudad Universitaria Tel: 634 8418 - Bucaramanga - Colombia Correo-e: [email protected] Prohibida la reproducción parcial o total de esta obra, por cualquier medio sin autorización escrita del autor. Impreso en Colombia Printed in Colombia

Contenido PRÓLOGO INTRODUCCIÓN

9 11

CAPÍTULO 1: VALIDACIÓN

27

1.1 FASE DE CONCLUSIÓN 1.1.1 Necesidad de la fase de conclusión 1.1.2 Validación / Evaluación

28 28 30

1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7

VALIDACIÓN Situaciones no didáctica, didáctica, a-didáctica Situación a-didáctica El profesor y la situación a-didáctica Devolución Validación Incertidumbre del profesor Incertidumbre del alumno

34 34 36 38 40 43 45 48

1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5

EVALUACIÓN Análisis de la evaluación Cuestión de vocabulario Responsabilidad del alumno Complejidad del trabajo del alumno Efectos sobre la racionalidad

52 53 55 58 60 64

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La importancia de lo verdadero y de lo falso en la clase de matemáticas

1.4 SUJETO Y TEORÍA DE LAS SITUACIONES 1.4.1 Sujeto y “teoría de juegos” 1.4.2 La teoría de los juegos en el trabajo de Ratismba-Rajohn 1.4.3 Medio a-didáctico 1.4.4 Decisión, finalidad, conocimiento 1.4.5 Sujeto “racional” 1.4.6 Matemáticas y realidad 1.4.7 Medio matemático, “sujeto matemático” 1.4.8 Uso de la teoría de las situaciones 1.4.9 Una dificultad previsible

68 70 72 74 76 78 81 84

1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.5.6

SITUACIÓN, EPISODIO, FASE, PROCESO Situación: determinación y obligación. La cuestión de la observación Episodio, fase Procesos Situación, fase, proceso de formulación Situación, proceso, fase de validación

87 88 90 92 95 96 97

1.6 ANÁLISIS DE SITUACIONES DIDÁCTICAS 1.6.1 Situación de acción: fase de validación y aprendizaje 1.6.2 Situación de acción: medio para la validación 1.6.3 Situación de formulación: validación de los métodos 1.6.4 Situación de validación: gestión del medio a-didáctico

99

1.7 1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.7.4 1.7.5

PREGUNTAS SOBRE LA VALIDACIÓN Validación y aprendizaje Conocimientos necesarios para la validación Validación y situación de formulación Medio y situación de validación Descontextualización

66 67

100 104 109 113 117 118 119 120 121 122

CONTENIDO

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CAPÍTULO 2: CRITERIOS DE VALIDEZ

125

2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5

APRENDIZAJE Concepciones Empirismo Constructivismo Aprendizaje por adaptación Sujeto matemático

126 126 129 132 134 136

2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6

ANTICIPACIÓN, DECISIÓN, ACCIÓN Acción Decisión Anticipación Ejemplo Validación Rol del medio para la validación en el aprendizaje

138 139 141 142 144 146 149

2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4

ANÁLISIS DE SECUENCIA Análisis detallado de la actividad 1 Análisis de las actividades 2 y 3 Análisis del Módulo 2 “Conclusión”

151 152 155 161 164

2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4

CRITERIOS DE VALIDEZ Retiro del medio exterior para la validación Criterios de validez Debate bajo control del profesor Proceso de institucionalización

165 166 168 171 175

2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.5.5

NUEVO ANÁLISIS DE LA SECUENCIA Módulos 1 y 2 Una fase particular: comparación a 1mm Módulo 4: orden de los racionales Módulos 5, 6 y 7 Módulos 8 a 11

180 181 182 185 188 191

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2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4

PREGUNTAS SOBRE LA CONSTRUCCIÓN DE LA SECUENCIA Situación fundamental Metáfora fundamental Búsqueda de situación fundamental Preguntas abiertas sobre la construcción de conocimientos

193 194 196 198 204

CAPÍTULO 3: VERIFICACIÓN

209

3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4

DEMOSTRACIÓN Y VERIFICACIÓN La pregunta de la observación Proyecto del alumno Proyectos de prueba y de verificación Conclusión

210 210 212 213 220

3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5

ESTATUTO DEL ERROR Error en matemáticas Error en una situación a-didáctica Fase de refuerzo Error en la fase de refuerzo Estatuto del error y empirismo

223 224 227 230 232 234

3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3

PROCESOS DE VERIFICACIÓN Error y contradicción Corrección/rectificación Procesos, procedimiento y estrategia de solución

236 236 240 244

3.4 ANÁLISIS DE TRABAJOS EXPERIMENTALES 246 3.4.1 Una situación de prueba convertida en verificación 246 3.4.2 Un análisis en términos de prueba que parece objetable 253 3.5 PRACTICA DE LA VERIFICACIÓN 3.5.1 Proyecto del alumno 3.5.2 Presencia/ausencia de verificación 3.5.3 ¿Situación de verificación?

265 265 268 270

CONTENIDO

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CAPÍTULO 4: CONTROL 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6

UN ESTUDIO A-DIDÁCTICO DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Una modelización de la resolución Pregunta / Respuesta Pregunta / Resolución Resolución/resultado Resultado/Respuesta Dos planos con significados diferentes

271

272 272 273 275 276 277 278

4.2 PROCESO DE VALIDACIÓN Y PROCESO DE CONTROL 279 4.2.1 Validación: respuesta / pregunta 280 4.2.2 Proceso de control 281 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4

VALIDACIÓN Y ANOMIA Contradicción y desestabilización Anomia Validación y anomia Desigualdades de orígen didáctico

285 286 290 294 296

5.

CONCLUSIÓN

299

5.1 EXISTENCIA DE UN PARADIGMA 5.1.1 Tres estados del sistema didáctico 5.1.2 Paradigma

299 300 304

5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3

305 306 307 309

INNOVACION Y TEORIA Contrato didáctico e innovación Experiencia y deontología Difusión de la didáctica de las matemáticas.

BIBLIOGRAFÍA ANEXOS

311 325

7

Prólogo La escuela francesa de didáctica de las matemáticas es conocida en el mundo entero por sus posiciones teóricas y su rigurosidad científica. Específicamente, el trabajo de Brousseau ha sido ampliamente difundido en los países de habla hispana. El presente libro es un esfuerzo de sistematización y análisis de diferentes posiciones teóricas alrededor de la Teoría de las Situaciones Didácticas de Brousseau. El punto de vista de la validación sirve de articulación de esas diferentes posiciones, y ofrece una herramienta de análisis de las situaciones de clase y de las ingenierías didácticas, que es muy valiosa para los investigadores en Educación Matemática. Esperamos que esta traducción contribuya a la difusión de estas ideas en la comunidad de investigadores en Educación Matemática en el país y en América Latina, y que se convierta en una referencia teórica en los programas de especialización, maestría y doctorado. MARTÍN EDUARDO ACOSTA GEMPELER JORGE ENRIQUE FIALLO LEAL

Introducción La Didáctica de las Matemáticas es un campo de conocimiento que comenzó a desarrollarse aproximadamente desde los 70’s; desde entonces Francia se forjó un lugar especial en dicho campo. Hoy por hoy la comunidad de investigadores franceses se distingue por su espíritu afanoso y entusiasta, perfilado sistemáticamente para realizar actividades intelectuales y experimentales propias de la investigación, que los llevan a lograr resultados teóricos y a preocuparse menos por las teorías creadas y su respectiva articulación. El presente trabajo fue desarrollado a partir de la tesis El punto de vista de la validación: Prueba de análisis en la enseñanza de las matemáticas (Margolinas, 1989), cuyo punto de partida: “el punto de vista de la validación”, nos condujo a realizar un “intento de síntesis y de análisis en Didáctica de las Matemáticas”. De esta manera, esperamos poder responder a las necesidades de un público interesado en la Didáctica de las Matemáticas, quien además, tendrá la oportunidad de tener una visión global de ese campo de investigación, y entrar en una problemática particular: la de la validación.

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Por consiguiente, a continuación vamos a definir el marco del debate que esperamos fomentar. Luego examinaremos las posibilidades de validación de un trabajo teórico, antes de ver las que adoptaremos y que formarán nuestra metodología. Haremos, además, algunas observaciones generales sobre “el punto de vista de la validación” que nos darán una visión de conjunto, antes de exponer la estructura de nuestro libro.

EL DEBATE Es importante tener claro que el propósito de este trabajo es proponer y sostener un amplio debate sobre la teoría didáctica, y no sólo hacer un resumen sobre ella, ya que dicho debate debe darse en el seno de una comunidad científica determinada y especializada: la de los investigadores franceses de Didáctica de las Matemáticas. Así pues, pensamos que los trabajos producidos por esta comunidad durante los últimos diez años pueden comprenderse desde el interior de un paradigma, en un sentido análogo al que asume Kuhn (1970), teniendo en cuenta que Cita: “[...] los paradigmas, es decir los descubrimientos científicos reconocidos universalmente que, durante un tiempo, proveen a una comunidad de investigadores problemas tipo y soluciones” (ibídem, p. 11).

INTRODUCCIÓN

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Ahora bien, hablamos de « sentido análogo », dado que el carácter “universalmente reconocido” está ausente en el marco de la Didáctica de las Matemáticas, a pesar de que ha comenzado un movimiento de difusión, al menos en Europa, de los trabajos teóricos franceses (Alemania, Bélgica, España, Grecia, Italia y Suiza). Por lo tanto, nos parece necesario establecer la existencia de un paradigma, esencialmente basado en el trabajo teórico de Brousseau. Ciertamente el desafío es grande, pues según Kuhn (1970), la existencia de un paradigma y la adopción por parte de una comunidad de sus normas y métodos es un “requisito necesario para la ciencia normal; es decir, para la génesis y la continuación de una tradición particular de investigación” (ibíd., p. 30). En otras palabras, establecer esa existencia es una manera de considerar la cientificidad de una teoría y de los métodos de investigación de una comunidad. Así, nuestro trabajo puede comprenderse como uno de los trabajos típicos del funcionamiento de la ciencia normal: Cita: “La investigación de la ciencia normal se dirige a la articulación de los fenómenos y teorías del paradigma” (ibídem, p. 47, la cursiva es estilada del texto original). Por lo tanto, si este trabajo de síntesis nos lleva a introducir a veces un vocabulario nuevo, o a precisar y problematizar ciertos términos existentes, no debe entenderse como una nueva teoría y, además, debe tenerse presente que un trabajo de síntesis no es un trabajo de compilación, aunque requiera de un conocimiento profundo del campo estudiado. Se trata de sacar a la luz una articulación, de señalar los conceptos fundamentales y organizarlos. En

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todo caso, se trata de un trabajo teórico, cuya validación depende de la pertinencia, y no de la verdad, lo cual supone problemas de demostración.

LA VALIDACIÓN DE UN TRABAJO TEÓRICO Nos parece oportuno explicitar ciertas características que pueden permitir juzgar la pertinencia de un trabajo teórico.

La pertinencia de un trabajo teórico puede juzgarse por su capacidad de anticipar resultados experimentales Se trata de la validación aparentemente más evidente de un trabajo teórico. En una ciencia como la Didáctica, en la que la experimentación es sumamente costosa (por tiempo y ética), es imposible que un trabajo teórico general pueda esperar una validación únicamente por su capacidad de predicción1. La capacidad de predecir resultados experimentales no es un buen criterio de validación de un trabajo teórico, si se utiliza de manera aislada. El trabajo teórico exige una ruptura con relación a un método empírico que 1 Además, nunca es el caso, incluso para las ciencias «duras», pero no es nuestra intención desarrollar aquí la relación teoría/experiencia en general.

INTRODUCCIÓN

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asocie directamente efecto y causa. Esta ruptura puede conducir al sujeto, durante un tiempo, a no comprender eficientemente ciertos hechos “evidentes”: Cita: “De esta manera descubrimos lo que hacen todos los profesores en sus cursos pero que nuestro esfuerzo de sistematización no había permitido manifestar [...]” (Brousseau Guy, 1987, p. 46; el autor se expresa así a propósito de la institucionalización). Esta ineficacia temporal es fuente de objeciones contra los esfuerzos teóricos incipientes. Pero como lo señala Kuhn (1970, p. 39), Cita: “[…] para ser aceptada como paradigma, una teoría debe parecer mejor que sus oponentes, pero no es necesario que explique (de hecho no explica nunca) todos los hechos a los cuales puede enfrentarse”.

La validez de un trabajo teórico puede evaluarse por su grado de coherencia Aunque las interpretaciones empíricas permiten a menudo una buena comprensión de la realidad, no permiten una comprensión coherente. Para explicar todos los fenómenos es necesario recurrir a múltiples explicaciones diferentes. Así, una teoría permite, a partir de un número de postulados bastante reducido, una interpretación de un número bastante grande de fenómenos seleccionados.

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Por lo tanto, dicha coherencia va a la par con un trabajo de lenguaje. En las ciencias duras, con las que los matemáticos están más familiarizados, ese trabajo de lenguaje es tan avanzado que alcanza un lenguaje formal. Pero es banal decir que el lenguaje formal no es, en sí mismo, una prueba de cientificidad de un campo. Por el contrario, tenemos que insistir en el hecho de que el trabajo de lenguaje, no reducido al lenguaje formal, es indispensable para establecer una teoría científica. El lenguaje teórico no es nunca un lenguaje natural, aun si se le parece por la selección de palabras y la sintaxis. Se trata pues, como lo expresa Manonni (1988, p. 187) de Cita: “[...] crear un vocabulario no comprometedor: todas las ciencias comienzan necesariamente así”. De esta manera, una teoría busca crear un dominio de significado sobre los objetos que quiere trabajar, y el significado pasa necesariamente por una red semántica. El trabajo de lo que podría tomarse superficialmente como “vocabulario” es parte de la coherencia de una teoría, y por lo tanto de su cientificidad. Así es que debido a este trabajo de lenguaje, la teoría científica debe necesariamente alejarse de la comprensión común. ¡Las personas que hablan peyorativamente de “jerga” no utilizan esa palabra para hablar del lenguaje formal de las matemáticas, que es incomprensible para el común de los mortales! Cita: “[…] aunque hoy en día es corriente y seguramente legítimo, lamentarse por la separación cada vez más grande entre el científico profesional y sus colegas de otras disciplinas,

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se dedica muy poca atención a las relaciones esenciales que existen entre esa separación y el mecanismo intrínseco del progreso científico” (Kuhn, 1970, p. 43). Esta característica legítima de un campo teórico plantea muchos problemas a su difusión entre los posibles usuarios. Las preguntas de nuestra comunidad sobre la “didactificación” de la Didáctica de las Matemáticas, en particular en dirección de un público de profesores, nos parecen un signo de buena salud. Pero la necesidad de la coherencia no cubre únicamente el trabajo de lenguaje. Implica igualmente la consideración2 de los resultados experimentales y teóricos pasados. La consideración del pasado es una de las definiciones de “ciencia normal” de Kuhn (1970, p. 29): Cita: “En este ensayo, el término ciencia normal designa la investigación sólidamente fundamentada en uno o varios logros científicos pasados, logro que tal grupo científico considera como suficiente para constituir el punto de partida de otros trabajos” (ibídem, p. 29). En suma, el trabajo que abarca y reanaliza hechos explicables o no de trabajos pasados (testigos de una teoría anterior o de un estado anterior de la teoría), es uno de los aspectos fundamentales del trabajo científico.

2 Considerar no quiere decir aceptar.

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La pertinencia de un trabajo teórico puede medirse por las preguntas que permite plantear Una teoría se revela más adecuada que otra por la manera de jerarquizar los hechos, ya que Cita: “En ausencia de un paradigma o de una teoría que pretenda serlo, todos los hechos que podrían tener un rol en el desarrollo de una ciencia dada pueden parecer igualmente importantes” (Kuhn, p. 36, la cursiva es estilada del texto en francés). De esta manera, sólo al interior de una teoría puede decidirse lo que es importante o no, dado que “el paradigma abre perspectivas suficientemente vastas para producir toda clase de problemas por resolver” (ibíd., pp. 29-30). Es así como la creación de preguntas es de importancia capital: la experimentación gana sentido no como herramienta para validar la teoría, sino para responder esas preguntas, importantes en sí mismas, pues Cita: “[En el] período en el cual un paradigma funciona con éxito, los miembros de la profesión habrán resuelto problemas que se han planteado sin la adhesión al paradigma” (ibídem, p. 47).

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La pertinencia del trabajo teórico está bajo el control de una comunidad La constitución de un paradigma es indisociable de una comunidad científica que se reconoce por sus opciones teóricas y experimentales. La pertinencia de todo trabajo, y en particular de todo trabajo teórico, está bajo el control de esa comunidad.

LA METODOLOGÍA Retomemos los criterios que hemos enumerado para comprender los que pueden aplicarse a nuestro trabajo. 1. Como se trata de un trabajo de la teoría, el primer criterio (experimental) nos parece inabordable en el marco de un trabajo reducido. Este trabajo no comprende una parte “experimental” propiamente dicha. Utilizaremos a veces el término “observación” para relatar observaciones en el sentido de Claude Bernard (1865, ver cap. 1, §5) que hemos realizado en diversas circunstancias, y que corroboran e ilustran nuestras palabras. En ese mismo espíritu, introduciremos a veces “ejemplos” inventados, pero que deberán parecer suficientemente plausibles o ilustrativos al lector para permitir la misma función. Pero como lo veremos más adelante, la “realidad” no será tenida en cuenta únicamente de esa manera.

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2. El Criterio de Coherencia, con sus diferentes aspectos, será muy importante para nosotros. El primer aspecto que resaltamos, el del trabajo de lenguaje, nos llevará a intentar definir los términos que empleamos. Pero el trabajo de lenguaje no se reduce a una precisión de vocabulario, sino que comprende la constitución de una red semántica ordenada en la que se colocan las palabras del vocabulario, que pueden tener así el valor de “conceptos”. Dedicaremos una atención especial a organizar diferentes niveles de descripción. Otro aspecto del Criterio de Coherencia es la consideración de trabajos anteriores. Decidimos hacer aparecer lo más claramente posible los textos y los trabajos sobre los que nos basamos. Asimismo, la selección de textos de Didáctica de las Matemáticas sobre los cuales se basa nuestro trabajo debe estar en relación con el paradigma en el cual trabajamos. La escuela de pensamiento que nos interesa se expresa principalmente en la revista Recherches en Didactiques des Mathématiques. Vamos a privilegiar los textos de esta revista, sin limitarnos a ella necesariamente. Además, decidimos, con la perspectiva de abrir un debate, citar textos más o menos conocidos, con la suficiente extensión para evitar traicionar el pensamiento del autor. Nos parece importante que nuestro trabajo pueda motivar la lectura o relectura de los textos, al interior de una perspectiva de organización y de síntesis. El lector encontrará frecuentemente (desde la introducción) la palabra “Cita”. Esas citas no deben tomarse sistemáticamente como “referencias” que validan nuestro punto de vista; ellas tienen la

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función de reubicar nuestros análisis dentro de una corriente de pensamiento, en concordancia o en oposición. La necesidad de considerar el pasado no es exclusiva de la teoría, sino también de los hechos experimentales, y de sus interpretaciones. Nuestras “partes experimentales” consistirán esencialmente en reexaminar experimentaciones ya descritas que nos parecen adaptadas a nuestras ideas. Escogeremos la mayor parte del tiempo trabajos en los que nuestro análisis permite interpretar de otra manera los mismos hechos, o interpretar hechos no analizados, o incluso plantear nuevas preguntas. Esto nos permitirá también establecer una relación entre lo que decimos y la realidad experimental. 3. Trataremos de plantear nuevas preguntas. Los últimos de nuestros cuatro capítulos darán la oportunidad de plantear nuevas preguntas, actualmente abiertas, pero que presentan la doble característica de derivar más o menos directamente de nuestros análisis, y de estar lo suficientemente problematizadas como para orientar la investigación. 4. El último criterio hace parte naturalmente de las exigencias de un trabajo de tesis, del que resultó este libro: la confrontación, tanto con Colette Laborde, nuestro directora de tesis, como con nuestros relatores Michele Artigue y Nicolas Balacheff; nuestro presidente del jurado, Jean-Paul Bertrandias; y los otros miembros del jurado: Guy Brousseau e Yves Chevallard, quienes nos aportaron muchísimo, confirmando al mismo tiempo la existencia de una comunidad al interior de la cual nuestro trabajo tiene su sentido.

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A PROPÓSITO DEL “PUNTO DE VISTA DE LA VALIDACIÓN” Como lo dijimos al comienzo, este libro es fruto de una investigación sobre los procesos de validación. Este trabajo de síntesis lo desarrollamos desde el punto de vista de la validación. Pero, ¿qué entendemos por punto de vista de la validación? Para el matemático y para el didacta, el término validación evoca a menudo la problemática de la demostración. No pensamos que el punto de vista de la validación esté completamente comprendido en el de la demostración. Como veremos más adelante, nos interesamos en lo que pasa generalmente al final de un trabajo de resolución de problemas de matemáticas; es decir, en el momento en el cual se trata de saber si el resultado obtenido conviene al problema planteado. El punto de vista de la validación comienza entonces por el examen del final de la resolución. Ese punto de vista es un resultado de nuestro trabajo de investigación y no una premisa. Este libro debería permitir al lector recorrer con nosotros el camino que nos condujo a comprender la importancia de ese punto de vista. Pero antes de eso, queremos rápidamente señalar por qué la importancia de ese punto de vista no es fruto del azar, al tratarse de didáctica de las Matemáticas. El funcionamiento del conocimiento para el alumno debe acercase, gracias al aprendizaje, al funcionamiento del conocimiento en el saber de referencia, en este caso de las Matemáticas. Podemos plantear la hipótesis que el funcionamiento de los conocimientos matemáticos

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tiene características estables. Una de las funciones de las Matemáticas es permitir la anticipación de los resultados de una acción. La palabra “anticipación” cubre un movimiento doble: la predicción, y la garantía de validez de la predicción. Retomando el vocabulario que utiliza Bachelard (1949), digamos que las proposiciones matemáticas son apodícticas y no “asertóricas3”: Cita: “Una proposición “asertórica” es verdadera de hecho y no por necesidad. Ejemplo: “Napoleón murió en Santa Helena” (es cierto, pero habría podido morir en otro sitio). Una proposición “apodíctica” es necesariamente verdadera, dondequiera que uno esté”, Lercher (1985, p. 77). El descubrimiento del carácter apodíctico de las proposiciones matemáticas hace parte del aprendizaje: Cita: “Meditemos, por ejemplo, este pensamiento de Goethe (Máximas y Reflexiones): «Cuando el niño comienza a comprender que un punto invisible debe preceder el punto visible, que el camino más corto de un punto a otro es concebido como una recta incluso antes de trazarla sobre el papel, experimenta un cierto orgullo, una cierta satisfacción». Ese orgullo corresponde precisamente a la promoción intelectual que 3 Según la enciclopedia filosófica Simploké, ‘asertórico’ es un juicio cuya modalidad corresponde a la categoría de existencia, distinta de la necesidad. Son juicios verdaderos de hecho, pero no necesarios, es decir, verdades de hecho.

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hace pasar al niño del empirismo al racionalismo. En lugar de constatar, el niño se da cuenta de que comprende. Vive una mutación filosófica”, Bachelard (1949, p. 17). Ahora bien, esta “mutación filosófica” nos hace descubrir una de las paradojas de la enseñanza de las matemáticas: Si el alumno busca sólo una colección de recetas absurdas en los saberes matemáticos que quiere transmitirle el profesor, si no ha pasado del empirismo al racionalismo en lo que se refiere a su relación personal con las matemáticas enseñadas, el profesor no puede “forzarlo a entrar”. Inversamente, la consolidación de una relación racional con el conocimiento matemático pasa por la práctica de las matemáticas, y es una consecuencia de la enseñanza de las matemáticas. La entrada en una problemática apodíctica representa a la vez las etapas iniciales y finales de un aprendizaje de las matemáticas. Entonces esta relación crucial entre matemáticas y verdad apodíctica coloca el punto de vista de la validación en el centro de los problemas de enseñanza de las matemáticas.

EL PLAN Hasta ahora hemos presentado nuestro trabajo de manera muy general. Se trata ahora de entrar en los detalles. Veamos: En el Capítulo 1, titulado “Validación”, nuestro análisis concierne a un momento del estado del sistema didáctico en sentido estricto (profesor-alumno-saber) en el que el saber está presente en forma de problema a resolver.

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Así, nuestra atención se dirigirá específicamente al rol del profesor en la fase de conclusión, que comienza cuando el alumno termina de resolver un problema que se le presentó. Por ende, este capítulo se caracteriza por un nivel de descripción de la teoría de las situaciones a-didácticas, que se propone describir y estudiar los límites en los que se efectúan las acciones del profesor y el alumno. En el Capítulo 2, “Criterios de Validez”, nos centraremos en los estados sucesivos del sistema didáctico en sentido estricto, según la introducción de diferentes problemas, característicos de un mismo saber. Dicho estudio de la evolución del sistema didáctico nos permitirá tener en cuenta al alumno como quien aprende. Describiremos, posteriormente, específicamente la evolución de las fases de conclusión en un proceso de enseñanza. En este capítulo nos interesaremos en la ingeniería didáctica que Brousseau propone; y el nivel de descripción se basará en los conocimientos en juego en una secuencia. Esos dos capítulos pueden caracterizarse en general por su perspectiva de análisis a priori de los fenómenos. Por el contrario, los dos siguientes nos llevarán a estudiar fenómenos que sólo pueden revelarse a posteriori. Los Capítulos 3 y 4 se plantean problemas que surgen casi exclusivamente del punto de vista de la validación. Los trabajos presentados en estos capítulos son anteriores, cronológicamente hablando, a los capítulos precedentes. En el Capítulo 3, “Verificación”, ya no nos situamos al interior del sistema didáctico, pues nos interesamos exclusivamente en el alumno, y su funcionamiento fuera de clase en fase de validación. Además, en este capítulo situaremos el proceso de demostración al interior de los procesos de validación.

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Finalmente, el Capítulo 4, “Control”, se caracteriza únicamente por el estudio de fases finales de resolución. La problemática del control se parece a la de la verificación, en la medida en que se trata también de un funcionamiento del alumno. Se trata de estudiar la influencia de la anticipación de la fase de validación en la fase de resolución de un problema.

Validación 1 Como lo dijimos anteriormente, proponemos como hipótesis la existencia de un paradigma, caracterizado por la referencia a la teoría de las situaciones de Guy Brousseau. En este primer capítulo nos interesa la teoría de las situaciones en sentido estricto, es decir, las situaciones a-didácticas en la terminología de Brousseau (1986). En una primera parte (§1.1) expondremos nuestra problemática. Partiendo del final de la resolución de un problema por parte del alumno, definiremos lo que llamamos la fase de conclusión. Esta fase se caracteriza por dos actitudes posibles del profesor. Además, en este capítulo, nos interesan las opciones que tiene el profesor en esta fase en particular. Luego veremos (§1.2) cómo la fase de validación se inscribe en el paradigma de la teoría de las situaciones. Asimismo estudiaremos rápidamente una de las actitudes posibles que define la fase de evaluación (§1.3). Después, nuestro discurso será más teórico para tratar de caracterizar el tema en la teoría de las situaciones de Brousseau (§1.4); seguidamente, para definir los diferentes niveles de análisis subyacentes en los

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términos situaciones, fases y procesos (§1.5). Después analizaremos diferentes situaciones presentadas en trabajos experimentales publicados, enfatizando las fases de conclusión (§1.6). Esos análisis nos llevarán a plantear nuevas preguntas en (§1.7) que constituirán la conclusión abierta de este capítulo.

1.1 FASE DE CONCLUSIÓN Intentamos aquí exponer una de las limitaciones fundamentales que tiene el profesor, y las consecuencias que esa limitación tiene para la enseñanza de las matemáticas. El punto de vista adoptado es el de la validación, es decir que partiremos del final de la resolución de un problema por parte del alumno, teniendo claro que no se trata aquí de describir el “juego” del profesor, sino de subrayar una de las limitaciones que tiene: su responsabilidad en lo que llamaremos la fase de conclusión (§1.1.1). También mostraremos cómo el profesor sólo tiene dos opciones para manejar la fase de conclusión, opciones que llamaremos evaluación y validación (§1.1.2).

1.1.1

NECESIDAD DE LA FASE DE CONCLUSIÓN

En este numeral trataremos de dar por cierto la existencia de una limitación “universal” de la relación didáctica debida a la posición con respecto al saber. El intercambio didáctico es una comunicación asimétrica entre alguien que tiene un saber (el profesor) y alguien que debe adquirirlo (el alumno). Es la característica que permite

CAPÍTULO 1

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decir quién ocupa la posición de profesor o de alumno en una relación didáctica. El profesor tiene una responsabilidad, desde el punto de vista del saber que circula en su clase. ¿Pero es responsable de qué y frente a quién? Esta responsabilidad es limitada. Por ejemplo, la existencia de alumnos que el profesor reconoce como “rebeldes” en su clase no pone en duda su legitimidad (en la mayoría de los casos). Ahora, ¿cuál es la legitimidad del saber, en las formas que toma en la clase (saber transpuesto)? ¿Quién es juez de esta legitimidad: el inspector? ¿La noosfera? ¿Qué medios pueden utilizarse para juzgar el ejercicio de esta responsabilidad? Dichas consecuencias de la disimetría pertenecen a una problemática de la transposición didáctica (Chevallard, 1985a) –la cual no será abordada directamente en este libro–. Otra consecuencia se sitúa del lado del alumno: él debe aprender, y debe tener oportunidad de mostrar que aprendió. Eso implica que una parte del trabajo del alumno es necesariamente autónoma. Esta parte puede ser muy reducida; aún si imaginamos una clase en la cual el alumno sólo tiene que repetir de memoria frases dictadas por el profesor, ese trabajo de todas formas es autónomo. En ese trabajo que debe hacer sólo, el alumno puede equivocarse. En efecto, si esta posibilidad no existiera, querría decir que el alumno ya sabe lo que se supone que debe aprender en la relación didáctica. Esta posibilidad de error no indica la manera como será tratado el error en la clase. Sin embargo, independientemente de la manera como reaccione ante el error, la responsabilidad del profesor es garantizar que el alumno reconozca sus errores, ya que este debe tener oportunidad de conocer sus errores –en todas

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las situaciones en las cuales el alumno debe entregar un trabajo personal. Existe lo que llamamos fase de conclusión, en la cual el alumno accede a una información sobre la validez de su trabajo. Esta información debe ser pertinente desde el punto de vista del saber en juego. La fase de conclusión está bajo el control del profesor, y puede analizarse según el rol del mismo–. Por último, con el propósito de ofrecerle al lector claridad, en el numeral 5 precisaremos por qué hablamos de fase de conclusión y no de situación de conclusión. Los dos términos señalan dos niveles de análisis diferentes. El hilo conductor de nuestro trabajo es el estudio de las fases de conclusión.

1.1.2

VALIDACIÓN / EVALUACIÓN

Ahora bien, es de importancia crucial, tanto práctica como teórica, examinar las posibilidades que tiene el profesor para ejercer su responsabilidad en las fases de conclusión ya que en el espacio del aula de clase el profesor es responsable de la verdad en la misma. En consecuencia, lo que queremos mostrar aquí es que el ejercicio de esta responsabilidad puede hacerse de dos formas totalmente diferentes. En particular, la responsabilidad del profesor en la fase de conclusión no implica que deba enunciar directamente un juicio sobre la actividad del alumno. En efecto, la responsabilidad implica un derecho de observación del profesor en la fase de conclusión, pero no implica una acción, ni siquiera una mirada directa. Comencemos discutiendo la solución más clásica: 1. La fase de conclusión puede ser una fase de evaluación

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Diremos que la fase de conclusión es una fase de evaluación, cuando en esta fase la validez del trabajo del alumno es evaluada por el profesor4 en forma de un juicio sin apelación. Ese juicio no pide una reflexión por parte del alumno sobre la validez de su proceder: él sabe inmediatamente si es correcto o no. Ya no tiene nada que hacer con respecto a la validez. Las implicaciones didácticas de la opción clásica que consiste en ver la fase de conclusión únicamente como evaluación serán discutidas en el §1.3 de este capítulo. No obstante, para introducir ese problema, planteamos una observación teniendo en cuenta que el siguiente diálogo se da en una clase de IUT, sobre un ejercicio que incluye muchos cálculos sobre números complejos. Un alumno propone un resultado. Profesor: ¿Verificaste con un valor? Alumno: ¿Por qué? Profesor: Porque después de un cálculo tan largo, uno nunca está seguro. Alumno: Sí, pero no hay afán, ¡ya me daré cuenta en la corrección! Profesor: ¡Menos mal que hay una corrección! Alumno: Precisamente... Los profesores, en general, son conscientes de que los alumnos no verifican sus resultados espontáneamente, pero no se imaginan que esa situación pueda ser resultado 4 No discutiremos aquí la posibilidad de software inteligente que puede plantear problemas específicos.

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de una característica de su intercambio didáctico (ver cap. 3). Para nosotros, fase de conclusión y fase de evaluación no son sinónimos. En otras palabras, el profesor tiene otra alternativa para las fases de conclusión. Veremos, por ejemplo, que las construcciones de ingeniería de Guy Brousseau se basan en esta apertura de la relación didáctica. La existencia de una alternativa a la evaluación no es trivial. Sin salir de nuestra comunidad académica, podemos encontrar implícita la negación de esta posibilidad en Chevallard (1985a, p. 26): Cita: “En cuanto al profesor mismo, no podría, sin violar el contrato, sustraerse a la obligación de proponer, en forma de una corrección (más o menos elaborada) su propia respuesta al problema propuesto”. En nuestro trabajo nos opondremos a esta idea de que la “validación magistral” (ibíd., p. 27) hecha por el profesor sea una “deficiencia funcional y consubstancial del contrato” (ibídem), mostrando que la evaluación directa de parte del profesor es una posibilidad, pero no la única. La fase de conclusión puede ser una fase de validación Diremos que la fase de conclusión es una fase de validación, si el alumno decide él mismo sobre la validez de su trabajo. ¡Pero es necesario que esta posibilidad se haya preparado de antemano! En efecto, esta fase está bajo la responsabilidad del profesor, quien sólo puede dejar la decisión al alumno si la situación lo permite. En ese caso,

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la conclusión sólo puede resultar de la interacción con el medio N. del T. (véase §2 y §4). El profesor, cuando opta por esta posibilidad, “deja de querer” ser juez de la situación, pero mantiene su responsabilidad sobre ella. Sólo en ese caso, cuando el medio se ha organizado de manera que permita las fases de validación, podrá hablarse de devolución de una situación a-didáctica. El alumno es entonces responsable de la totalidad de sus acciones. Esas dos modalidades de fase de conclusión son las más importantes para nosotros. No podemos decir que se excluyan totalmente, pues existen fases de conclusión en las cuales el profesor interviene directamente sin evaluar; verbigracia es el caso cuando le propone al alumno un contraejemplo para que caiga en la cuenta de su error. Esa fase de conclusión no es una fase de evaluación, pues el alumno no valida su trabajo sólo, es decir que recibe ayuda en la parte crucial de su trabajo. Pero según nuestra definición, no se trata tampoco de una fase de evaluación, pues el profesor no juzga directamente. Para nosotros, generalmente esas dos alternativas de validación y evaluación se oponen, pero es posible que la definición que damos de la fase de evaluación no se adapte a todas las posibilidades. En todo caso no pretendemos que el profesor opte por una u otra de las posibilidades definitivamente, y en todas las fases de conclusión a las que se enfrenta. Nuestro análisis es “micro didáctico” y no tiene en cuenta el tiempo–.

N. del T. El término francés ‘milieu’ es un término específico de la Teoría de las Situaciones Didácticas, que no se agota con la palabra ‘medio’ en español.

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1.2 VALIDACIÓN El “punto de vista de la validación”, aunque es original en didáctica, no es totalmente nuevo. Se trata de una manera de considerar la teoría de las situaciones, y nuestro trabajo se basa, como se mencionó anteriormente, en el trabajo de Brousseau y sus alumnos. De modo que trataremos de restituir ciertos conceptos fundamentales descritos por Brousseau (1986), antes de dar nuestro propio punto de vista sobre su significado y su organización (§1.2.1). Defenderemos la idea de que la noción de situación a-didáctica es relativa al compromiso del alumno (§1.2.2), pero no corresponde de ninguna manera a un desentendimiento de parte del profesor (§1.2.3). El proceso de devolución (§1.2.4) resulta de un trabajo del profesor, posible gracias a la organización de las fases de validación (§1.2.5). Esas situaciones, que comportan fases de validación y un funcionamiento a-didáctico del alumno, se caracterizan por la incertidumbre: del maestro que debe ser garante de la verdad matemática (§1.2.6) y del alumno que debe forjar sus propios criterios de validez (§1.2.7). 1.2.1

SITUACIONES NO DIDÁCTICA, DIDÁCTICA, A DIDÁCTICA

Diremos que una situación es no didáctica si nadie la ha organizado para permitir un aprendizaje. Se trata de un problema que aparece “naturalmente” en la vida profesional o personal del sujeto. Las personas que participan en una situación no didáctica pueden ser profesor y alumno en otra situación, y por lo tanto las características de “profesor” y “alumno” no

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dependen de títulos particulares, sino de sus situaciones respectivas con respecto a un saber en juego en la relación. De esta manera, uno de los objetivos esenciales de la enseñanza es que los “ex-alumnos” sean capaces de utilizar los conocimientos adquiridos en clase, en situaciones no didácticas. En cuanto a la situación didáctica, es una situación que se da generalmente en la clase, entre un profesor y uno o más alumnos, alrededor de un saber que se enseña. De otra parte, la situación didáctica sólo concierne al sistema didáctico en sentido estricto, y no al conjunto del sistema de enseñanza, aunque los fenómenos que se dan en la clase no son independientes de él; además, en la situación didáctica, las intenciones de enseñar y aprender son claras. Es así como la situación didáctica se rige por el contrato didáctico, conjunto de obligaciones implícitas frente al saber, entre el profesor y los alumnos. Por último, una situación a-didáctica es una situación que puede ser vivida por el alumno como investigador de un problema matemático, independientemente del sistema de enseñanza. En el marco de la clase, Brousseau (1986, p. 49) la caracteriza así: Cita: “el alumno sabe perfectamente que el problema fue escogido para hacerle adquirir un conocimiento nuevo, pero debe saber también que ese conocimiento está totalmente justificado por la lógica interna de la situación y que él puede construirlo sin apelar a razones didácticas”. Se trata de una noción delicada, que vamos a precisar.

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1.2.2

SITUACIÓN A DIDÁCTICA

Desde el punto de vista del alumno, la situación es a-didáctica sólo si es consciente de utilizar exclusivamente un razonamiento matemático. Desde ese punto de vista, la noción de situación a-didáctica es relativa. Por lo tanto, el análisis a priori de las “situaciones a-didácticas” busca determinar si una situación puede ser vivida como a-didáctica por un alumno; se trata de buscar las condiciones necesarias. El análisis en términos de juego permite determinar si el juego puede llevarse a cabo, dada una relación “matemática” del alumno con su problema. El conjunto de las condiciones impuestas forma la situación a-didáctica. Queda el problema crucial de su establecimiento, que es temporal y siempre local. Por ende, la primera pregunta que se debe examinar es la relación entre las situaciones no didácticas, didácticas y a-didácticas. La pregunta de las relaciones entre esas diferentes situaciones justifica, además, el interés que tenemos en la distinción de los tres términos, que permite clarificar un debate normalmente obscuro. Las nociones de situaciones no didáctica y didáctica se excluyen mutuamente, pero la situación a-didáctica no está relacionada de ninguna manera por naturaleza a la una o la otra. El hecho de que una situación no didáctica pueda ser al mismo tiempo a-didáctica parece trivial, hasta el punto que algunos quisieran igualar esos dos términos. Sin embargo, una situación no didáctica no es necesariamente vivida como a-didáctica. Para los niños pequeños en particular, todo es ocasión de aprender. El hecho de que el universo entero no esté organizado por los padres o los

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educadores sino que obedece a una lógica propia, es una construcción intelectual. Las situaciones vividas por el niño son “institucionalizadas”. Lo que más nos interesa son las relaciones entre didáctica y a-didáctica. Es trivial que una situación didáctica no es necesariamente a-didáctica. Sin embargo, una parte de una situación didáctica puede ser vivida como a-didáctica. Podemos incluso afirmar que es necesario que tales coclusiones se produzcan, pues: Cita: “[El alumno] sólo habrá adquirido de verdad ese conocimiento cuando sea capaz de ponerlo en uso por sí mismo en situaciones que encontrará fuera de todo contexto de enseñanza y en ausencia de toda indicación intencional” (Brousseau, 1986, p. 49). Notemos primero que hay fases a-didácticas (o por lo menos así se espera) en todo proceso de enseñanza. El profesor que propone un problema de matemáticas a sus alumnos espera que ellos lo resuelvan, por lo menos en parte, como “matemáticos”. Cita: “Superando la ficción didáctica que somete al profesor al mito necesario que enuncia, el didacta debe saber reconocer lo a-didáctico en el corazón de lo didáctico (y no perseguirlo como una quimera al exterior de lo didáctico); y en cada instante, orientar su reflexión sobre el alumno, a la luz de la pregunta fundamental: ¿qué aprende o qué puede aprender en este momento?” (Chevallard, 1988a, p. 321).

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Si los alumnos (y esto sucede) tratan de razonar únicamente en términos de contrato, y el profesor tiene oportunidad de darse cuenta de esto, lo vivirá como un fracaso grave de su parte (ver por ejemplo, el famoso problema de “la edad del capitán” (equipo elemental, 1979)), y los muchos debates que suscitó (cf. Chevallard, 1983; Baruk, 1985). La necesidad de “fases a-didácticas” en la clase está relacionada con la existencia necesaria de un trabajo autónomo del alumno. Podemos ir aún más lejos: reconocer una situación como a-didáctica no es natural, y el trabajo de establecer tales situaciones es un trabajo didáctico. Incluso pensamos que uno de los roles fundamentales del profesor consiste en establecer una relación a-didáctica entre el alumno y un problema matemático. 1.2.3

EL PROFESOR Y LA SITUACIÓN A DIDÁCTICA

El personaje que nos interesa aquí –siguiendo la problemática del §1.1– no es el alumno sino el profesor. El problema de su rol es crucial, desde los puntos de vista teórico y práctico. ¿La problemática de las situaciones a-didácticas impone que el rol del profesor esté limitado en el tiempo? ¿Podría describirse una situación que comprenda una fase a-didáctica de la siguiente manera? 2. El profesor es activo, habla a la clase, y presenta el problema, a veces reducido a la consigna. Esta sería la fase de devolución. 3. El profesor no dice nada más, no interviene de ninguna manera pues el problema es ahora de los alumnos. Esta sería la fase a-didáctica, cuasi aislada del profesor.

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4. El profesor interviene de nuevo activamente para institucionalizar el saber. Esta sería la fase de institucionalización. Pensamos que esta descripción es una interpretación falsa de la idea de situación a-didáctica. Este punto merece discutirse, ya que esta interpretación nos parece muy generalizada. Cita: “En general, el análisis sólo se referirá a las situaciones a-didácticas, es decir al aprendizaje de los alumnos durante las fases situadas entre el momento en que se les propone el problema y ellos lo aceptan como suyo, y la primera intervención del profesor, por otra parte” (Iman Osta 1988, p. 12, cursiva estilada por la autora del texto en francés). Los textos que consultamos no son siempre tan claros en ese punto, pero esta interpretación nos parece bastante generalizada. Pensamos, por nuestra parte, que esa descripción no muestra el rol del profesor. En efecto, lo que caracteriza las fases a-didácticas no es el silencio del profesor, sino lo que él dice. Todos los que han tenido la oportunidad de ver las grabaciones de las clases del Centro para la Observación y la Investigación sobre la Enseñanza de las Matemáticas, directamente inspiradas por las situaciones escritas por Guy Brousseau, se han dado cuenta de que las profesoras no están silenciosas, sino que hablan e intervienen con frecuencia –pero no al azar–. Cita: “Todos tenemos tendencia a leer lo que nos sucede en la vida como algo que fue organizado para nosotros para darnos una lección. Para que

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un niño lea una situación como independiente de la voluntad del profesor, es necesaria una construcción epistemológico- cognitiva intencional” (Brousseau, 1987, p. 39, cursiva del texto en francés). La toma de consciencia por parte del alumno del conjunto de limitaciones de la situación, esencial para que el análisis de las condiciones necesarias esté relacionado con la realidad, es un proceso complejo. Hemos notado esta dificultad en Margolinas (1986), a propósito de las organizaciones sociales, después de una experimentación en clase que no había tenido en cuenta este problema. Cita: “¿La percepción de esas organizaciones sociales es evidente para el alumno? Podemos pensar que no. Incluso en las situaciones de comunicación, que son las más simples desde ese punto de vista, los alumnos pueden tener dificultades para anticipar lo que pasará con su mensaje. ¿Cuál es entonces el costo de establecer esas situaciones? ¿Cuál es el momento en que el alumno se compromete con conocimiento de causa?” (ibídem, p. 23). En el trabajo de Brousseau existe un concepto que puede explicar esos fenómenos: se trata del concepto de devolución. Veámoslo: 1.2.4

DEVOLUCIÓN

El término devolución aparece en la teoría de Brousseau al mismo tiempo que el de a-didáctico (es decir entre

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1985-86) tomado del vocabulario jurídico. Veamos cómo Brousseau (1987, p. 43) lo define: Cita: “La devolución era un acto por el cual el rey –por derecho divino– renunciaba al poder, para entregárselo a una cámara. La “devolución” significa: “ya no soy yo el que quiere, son ustedes quienes deben querer, pero yo les doy el derecho porque ustedes no pueden arrogárselo”. Es así como el rey, por derecho divino, sigue siendo rey. La devolución implica la voluntad de parte del rey de transferir una responsabilidad, pero si él puede “devolver” es porque es rey. Si la asamblea toma a cargo el poder, entonces legisla sola, en los límites que se habrá impuesto el rey mismo, y que son los de su poder. Desde esta plataforma, y haciendo un paralelo de ella con la educación, debemos ocuparnos de varias preguntas: 1. ¿A qué corresponde el poder real en la clase? 2. ¿Cómo realiza el profesor esa devolución? 3. ¿Existen condiciones devolución?

necesarias

para

la

Tratemos de responder la primera pregunta: Primero notemos que ese punto de vista, que consiste en precisar la devolución de parte del profesor, no es común. Cita: “No basta con “comunicar” un problema a un alumno para que el problema se convierta en su problema y que él se sienta el único responsable de resolverlo. No basta tampoco que el alumno

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acepte esta responsabilidad para que el problema que resuelve sea un problema “universal”, libre de presupuestos subjetivos. Llamamos “devolución” a la actividad por la cual el profesor trata de lograr esos dos resultados” (Brousseau, 1987, p. 39). En esta cita, por ejemplo, se describe en detalle el objetivo de la devolución: que el alumno asuma una responsabilidad. Por lo tanto, lo que el profesor debe realizar es una “actividad” especificada únicamente por su finalidad. Igualmente, en la descripción de un ejemplo de la devolución en una situación a-didáctica (ibídem, pp. 39-43, y Brousseau, 1986, pp. 53-56), lo que se detalla es la actividad del alumno. De este modo, en la devolución, el profesor se deshace de su responsabilidad específica del saber que debe enseñar. Eso quiere decir en particular que no se retira, no se convierte en espectador de la situación (o no necesariamente). En cuanto a la segunda pregunta, la devolución parece ser un proceso (véase §1.5) que dura todo el tiempo de la situación a-didáctica, y no sólo una fase de establecimiento, como en la descripción hipotética que hicimos en el §3. El profesor no sólo es responsable de una disciplina aceptable en la clase, sino también del compromiso persistente del alumno en una relación a-didáctica con el problema. El proceso (dinámico) de devolución es posible por la situación no aislada del profesor. Por consiguiente, la fase a-didáctica no es una fase aislada6. A continuación, y en el siguiente numeral, responderemos a la tercera pregunta planteada anteriormente. 6 Hubiéramos podido usar el término de semi-aislada, pero nos parece que puede prestarse a confusión, pues da la impresión de que el profesor no debe salir de su aislamiento.

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1.2.5

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VALIDACIÓN

Según lo expuesto, el proceso de devolución hace entrar al alumno en una situación a-didáctica, creando una ficción en la que la disimetría profesor-alumno ya no es funcional. Esta disimetría se realiza particularmente en la fase de conclusión, lo cual implica que una condición necesaria para que una situación permita un juego a-didáctico es que incluya un medio que permita una fase de validación. Es así como la necesidad de la fase de validación en el funcionamiento a-didáctico proviene entre otras de la paradoja fundamental de la enseñanza: el profesor no puede decirle al alumno lo que quiere que haga, y el alumno debe actuar de una manera determinada y pertinente desde el punto de vista del saber que el profesor quiere enseñar. La noción de fase de validación está relacionada con esa finalidad. La finalidad de las acciones del alumno en la situación a-didáctica, es resolver la tarea que ha aceptado. Pero es necesario que pueda anticipar cómo puede hacer para lograrlo, sin que ese cómo le sea revelado por el profesor. La noción de “finalidad” es fundamental en la teorización de Brousseau, como lo anota Colette Laborde (1988, p. 69): Cita: “Todo el trabajo que se hace para construir situaciones didácticas muestra la importancia acordada a la noción de finalidad. Me refiero a las características de las situaciones de acción, formulación, validación y de institucionalización que se basan principalmente en su finalidad”.

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La noción de fase de validación no está presente en esos términos en Brousseau y sus alumnos. Pero ellos sí expresan la necesidad de organizar el medio para permitir la validación. Por otra parte, Ratsimba-Rajohn (1981, p. 40) expone una alusión a la “auto-verificación”: Cita: “Es evidente que los dos juegos separados pierden las características de una buena situación didáctica que tenía el juego fundamental: la existencia de una posibilidad de auto-verificación por parte de los jugadores. Esta auto-verificación les permitía constatar por sí mismos su éxito o su fracaso, recomenzar tantas veces como quisieran, cambiar sus opciones o su estrategia hasta que estuvieran satisfechos con sus producciones y sin ningún aporte exterior de decisión sobre la corrección de sus acciones. Solo las relaciones entre las variables de situación determinan su decisión” (la cursiva es estilada del texto en francés). Brousseau (1986) utiliza el término “auto-controlable” en una nota de pie de página 70. Cita: “Pregunta auto-controlable: es decir que el alumno no sabe a priori cómo responder, pero podrá hacerlo cuando tenga una solución y sabrá si es exacta sin recurrir al profesor” (cursiva del texto en francés). Finalmente, en el §1.5 justificaremos la pertinencia del calificativo de “validación” y de la palabra “fase” en la expresión “fase de validación” y, además, expondremos

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otros usos de las palabras “verificación” y “control” (ver los Capítulos 3 y 4). 1.2.6

INCERTIDUMBRE DEL PROFESOR

Si la situación de aprendizaje está organizada para permitir la validación, entonces la conclusión proviene de la interacción del alumno con el medio. Ahora bien, si el profesor difícilmente puede aceptar el error en las fases de resolución del problema, aún menos en las fases de conclusión. ¡El alumno debe tener la oportunidad de reconocer la verdad o falsedad de su resultado, pero no debe equivocarse y quedar en el error precisamente en ese momento crucial! Es así como la garantía de la conclusión correcta sólo puede provenir del medio, organizado por el profesor, pero entonces él debe tener una confianza muy grande (y una teoría que permita esa confianza) para dejar que la situación evolucione. Veamos como Salin (1976, p. 10) había notado esta dificultad con anterioridad: Cita: “No hemos logrado todavía definir convenientemente la actitud del profesor frente a los errores de sus alumnos, en ese tipo de situaciones7. Si el modelo teórico propuesto por Brousseau funciona convenientemente en algunos casos (La Carrera del 208…) el profesor sólo es organizador de la situación pedagógica y existen otros factores, como la forma como los alumnos 7 Se trata de las « situaciones pedagógicas » descritas por Brousseau (1972). 8 “La carrera del 20” es una situación a-didáctica diseñada por Brousseau para trabajar el concepto de múltiplo.

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comparten el proyecto pedagógico del profesor, el grado de inmersión de los alumnos y del profesor durante la situación, el funcionamiento de los equipos; en resumen, la manera como cada uno se siente concernido por el trabajo en clase, que hacen que los profesores deban recurrir a menudo a la “corrección” tradicional del trabajo para garantizar que todos los alumnos reconozcan sus errores”. Así, Salin insiste en el problema de la devolución exitosa por parte del alumno. Pero la incertidumbre que describe es típica de la devolución de parte del profesor: el profesor debe renunciar a la parte de su responsabilidad específica del saber. Sólo conserva indirectamente su poder, por intermedio del medio y la situación que planificó. Por ende, estos dependen de la anticipación que sea capaz de hacer sobre la evolución de la situación. En cuanto a la disimetría profesor-alumno, ésta debe restablecerse, pues “el profesor debe crear las condiciones suficientes para la apropiación del conocimiento, y debe “reconocer” el momento en el cual se produce” (Brousseau, 1986, p. 51). Típicamente, es en las fases de institucionalización cuando el profesor retoma abiertamente su posición con respecto al saber matemático, y él es el garante de que el saber adquirido por el alumno es identificable socialmente. Cita: “Para el alumno y para el profesor, la incertidumbre sólo es aceptable si puede ser controlada. El profesor la controla gracias a las fases de institucionalización en las que fija el saber que todos en la clase deben tener en común.

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Controla los conocimientos y los medios de acción de los alumnos gracias a los ejercicios y problemas que les pide hacer” (Douady, 1984, p. 25). Pero la responsabilidad del profesor no se ejerce exclusivamente sobre el curso en conjunto. Su incertidumbre se manifiesta globalmente: “¿Cuál curso hacer? ¿Cuáles conocimientos han adquirido los alumnos? ¿Cuáles situaciones se inspeccionan con los conocimientos adquiridos?” (ibídem, p. 24). Pero dichos conocimientos se manifiesta también localmente, en particular en las fases de conclusión, cuando su responsabilidad está en juego: ¿Sabrán los alumnos concluir satisfactoriamente? ¿Cómo controlar la conclusión? Ciertamente, respecto a esta incertidumbre local del profesor, no basta que esté convencido de la eficacia de un proceso global. No bastará con decirle que no debe intervenir, pues esta orden, aún si se justifica globalmente, no le da ninguna garantía. Habría que ser capaz de decirle al profesor a qué debe referirse su intervención, y a qué no; por qué es posible que no intervenga, y cuál es el interés de esa actitud (que aumenta su incertidumbre). Por lo anterior, el estudio de las situaciones a-didácticas es de interés crucial para la investigación y para la ingeniería. Por ende, la pregunta de la formación de los profesores para la gestión de esas situaciones es una pregunta abierta.

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1.2.7

INCERTIDUMBRE DEL ALUMNO

Para hacer su trabajo, el alumno debe aceptar resolver problemas. Debe entonces soportar la incertidumbre en cuanto al éxito. Durante las fases a-didácticas, debe pensar que lo importante es ganar, aunque sabe que la meta es adquirir un conocimiento, ya que si el alumno estuviera seguro de lo que tiene que hacer, no habría aprendizaje, sería un juego y no un trabajo. Por ende, la incertidumbre está en el corazón del contrato de aprendizaje para el alumno. Es así como el proceso de devolución reposa en la posibilidad del alumno de sentirse responsable, incluso en la fase de conclusión. La situación a-didáctica debe permitir una retroacción del medio, interpretable por el alumno; es decir, en nuestro vocabulario, debe permitir una fase de validación. Cita: “Admitamos que el profesor prevé en su progresión una fase de acción. Para que la acción sea real, el alumno debe tomar iniciativas, optar por diversas posibilidades, debe poder plantear preguntas anexas e identificar jalones intermedios que sean pertinentes para su problema. Recordemos que la acción es eficaz si el alumno tiene control sobre los efectos producidos: eso le permite modificar las condiciones de producción cuando los efectos no son los esperados. Para que el juego de la acción pueda evolucionar satisfactoriamente, la situación debe dejar un margen de maniobra al alumno, permitiéndole jugar con sus comportamientos cognitivos propios. En otras palabras, la situación debe contener una

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parte de incertidumbre. De esta manera, tiene en cuenta las diferencias posibles entre los alumnos” (ibídem, p. 22). En efecto, el proceso de devolución mismo toma a su cargo la gestión de esta incertidumbre del alumno, que tratará a menudo que el profesor intervenga. Se trata de uno de los roles del profesor: saber lo que puede o no puede decir. Al reconocer este problema, buscamos caracterizar una parte de lo que corresponde al profesor, sin pensar que toda intervención de su parte sea negativa. El autor Ratsimba Rajohn, describe un caso en el que la gestión de esta fase, no prevista en el análisis a priori, queda a cargo del profesor, en una improvisación total, del siguiente modo: Cita: “El hecho de dejar la incertidumbre abierta mucho tiempo lleva a los alumnos a la desesperación y a desanimarse, declarando simplemente que es imposible. Notamos entonces que esta fase de gestión en muchos casos se deja a la intuición empírica, a veces benéfica, a veces desastrosa, del profesor y del observador, quienes se encuentran desprovistos y sienten la necesidad o la obligación de hacer algo frente a la incertidumbre de sus alumnos” (ibídem, 1981, p. 206). Para ejemplificar de una mejor manera lo que se ha expuesto, recurrimos a la siguiente situación –desarrollada en un jardín infantil– en la cual se puede vislumbrar con mayor facilidad que el desespero de los alumnos está en el corazón de una situación basada en un salto informacional

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(Digneau, 1980). Es un juego que consiste en poder decir una lista de objetos que la profesora escondió antes. Al comienzo, la profesora esconde entre 2 y 5 objetos, luego de pronto esconde 12 objetos, momento en el cual las estrategias precedentes de los alumnos (memorización) ya no funcionarán (frente a esa complejidad tendrán que utilizar “listas” dibujadas). Cita: [Relatamos aquí las intervenciones de la profesora, y algunas de los alumnos] Profesora: Voy a esconder unos objetos y la próxima vez, todos van a ganar –esconde objetos hasta que hay 12, los niños reaccionan: – –¡Yo no podré decir todo eso!… Cinco, seis…; ¡Eh, para! Profesora: Bueno, está bien; ¿tú vas a jugar MIC? MIC: No. Profesora: ¿No pueden lograrlo? Para ganar tienen que decirme todo eso. PUS: Yo no juego. Profesora: No está bien decir “no juego”; es demasiado fácil. Yo les propongo un juego, ustedes tienen que ver qué hacen para ganar. MER: LAS me dirá. Profesora: No, cada uno juega solo.

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GLE: Yo sé que voy a hacer: esta tarde cuando llegue a mi casa, como me voy a acordar, le pediré a mi tía que me marque los objetos para que yo sepa. Profesora: Pero yo no quiero jugar con las mamás, yo no les presto los objetos a las mamás, se quedan encerrados en el armario. MOA: Yo los voy a dibujar en mi casa. Profesora: ¿Por qué? Aquí tenemos todo lo que se necesita. MOA: Voy a dibujar para mostrárselos a mi mamá. La profesora espera que otros niños manifiesten la intención de dibujar para poner la caja de lápices sobre la mesa” (Peres, Jousson y Remy, 1981). En este aparte notamos que la profesora no se queda callada, a pesar de que los alumnos comprendieron perfectamente la consigna. Dicha actitud se debe a que su rol es crucial en el proceso de devolución, por ende, ella precisa los límites de la situación, incita a jugar, anima a los niños mostrándoles que está segura de que pueden ganar. Cita: [Respecto a la secuencia anterior] “La segunda condición [del rol del profesor] concierne a la manera como el profesor interviene en la actividad. Una interpretación errónea de ese tipo de trabajo podría llevar a pensar que debe permanecer neutro para no influenciar a los niños.

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Esa neutralidad debe limitarse estrictamente a los juicios que hace sobre sus propuestas. Por el contrario, los niños deben sentir que el profesor espera mucho de ellos, que está implicado en sus ensayos, que comparte la alegría del éxito y la decepción del fracaso; su comportamiento debe ser constantemente animador” (Carreyre y Salin 1986, p. 69, cursiva nuestra) Notemos que el hecho de que los niños estén en jardín infantil hace más explícita la devolución de la responsabilidad del saber. En un nivel más alto, se observará menos ese tipo de diálogo, pues los niños saben que los problemas que se les proponen en el colegio son problemas que ellos pueden y deben resolver, aún si parecen difíciles al comienzo.

1.3 EVALUACIÓN El estudio sistemático de la evaluación sobrepasa nuestros objetivos. Este estudio no es fácil pues las posibilidades que tiene el profesor en la fase de evaluación son numerosas. De modo que sólo trataremos aquí los aspectos que parecen tener consecuencias directas en el trabajo del alumno. Anteriormente, dimos una definición de la evaluación que parece a primera vista muy restrictiva. Vamos a ver que la responsabilidad del profesor en materia de validez lo conduce a muchas acciones (§1.3.1). Debido a esas implicaciones, entonces, podremos relacionar el significado y el uso que le damos a la palabra “evaluación” con el

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vocabulario usual (§1.3.2). Por consiguiente, la pregunta que planteamos a continuación es: ¿Cómo comprender el trabajo del alumno en esta fase?. Veremos que el trabajo del alumno, no limitado por la situación y, por lo tanto, « a su cargo » (§1.3.3) es pesado y complejo (§1.3.4). Dicho trabajo no está bajo el control de la responsabilidad del profesor y, consecuentemente, podremos plantearnos la pregunta del efecto de esa ausencia en la racionalidad del alumno (§1.3.5).

1.3.1

ANÁLISIS DE LA EVALUACIÓN

El análisis que queremos esbozar se refiere a las situaciones de resolución de problemas en las cuales la fase de conclusión es una fase de evaluación. Lo que nos interesa es comprender cuáles son las opciones del alumno en esa situación. Anteriormente –más precisamente en el §1.2– dejamos sin tratar la naturaleza de lo que se evalúa: sólo el resultado, o la resolución. Tampoco dijimos cuál es la naturaleza del mensaje del profesor: ¿únicamente “verdadero/falso” o “solución completa”? Sólo caracterizamos las fases de evaluación por la acción del profesor en cuanto a la validez. Entonces, para dar contestación a dicha pregunta, imaginaremos en un primer momento la siguiente situación “inverosímil” y examinaremos sus consecuencias: Un alumno resuelve un problema propuesto por el profesor y da un resultado. El profesor lo evalúa bajo la modalidad de “verdadero/falso” y sin comentario alguno sobre la selección.

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El mensaje emitido por esta caracterización de la evaluación nunca será recibido en la clase como una conclusión completa. Un mensaje de ese tipo está destinado en general sólo a un alumno, antes de que el profesor entregue a todo el grupo su propio resultado. Por tanto, el profesor puede dar esta clase de mensaje sólo individualmente, y los resultados de toda la clase sólo pueden validarse dando la solución. En tal fase intermedia, un mensaje “falso” busca como efecto que el alumno busque su error. En la observación del §1.2, tal mensaje habría llevado al alumno, en lugar de “esperar la corrección”, a preferir “no saber” y esperar. En efecto, por lo anterior, tal mensaje de parte del profesor no puede darse con frecuencia; debe ser excepcional, reservado a los buenos alumnos que avanzan rápido. Observación: Durante las sesiones de ejercicios en forma de “trabajos dirigidos”, cuando un alumno encuentra un resultado que sabe que es falso (después de una validación o de una evaluación) pero que no encuentra rápidamente el error en su razonamiento, llama al profesor para que se lo muestre. El profesor puede relanzar una vez más al alumno en esa búsqueda, pero no más, pues el alumno lo obligará rápidamente a “hacer su trabajo”.

Ahora, consideraremos otro tipo de mensaje característico de la fase de evaluación: El profesor da su propia solución del problema (eventualmente por medio de un alumno que pasa al tablero). El lector concordará con nosotros en que el mensaje que surge de esta opción cierra la resolución del problema

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para todos los alumnos, de manera aparentemente igual. Además, los alumnos que no llegaron al resultado saben lo que deberían haber hecho; los que llegaron al mismo resultado por otro camino piensan que tienen razón también, y los que lo hicieron igual están satisfechos. En suma, el problema “muere”, y ya no hay que resolverlo de nuevo –salvo en una evaluación escrita más adelante–. Así que, eventualmente, el profesor podrá dar un problema “del mismo tipo” para probar la comprensión de la solución.

1.3.2

CUESTIÓN DE VOCABULARIO

Hemos llamado “fase de evaluación” a una de las modalidades de la fase de conclusión. La palabra “evaluación” es muy común en el discurso sobre la enseñanza, donde tiene un sentido un poco diferente. La evaluación en el sentido corriente incluye no sólo la emisión de un juicio de tipo “verdadero/falso” (que puede transformarse en bueno/malo), sino también una “medida” de la calidad del trabajo. Como lo vimos anteriormente, la dinámica de la evaluación obliga al profesor en esta fase, a no permanecer en el marco estricto de un juicio del resultado. Por eso nuestro vocabulario difiere sólo aparentemente del vocabulario corriente. A continuación traemos a mención las definiciones propuestas por los autores Chevallard y Feldman (1986, p. 4 ápud Noizet y Caverna 1978, p.13) de ese término: Cita: “En su acepción más amplia, el término evaluación designa el acto por el cual, a propósito de un acontecimiento, de un individuo o de un

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objeto, se emite un juicio refiriéndose a un criterio (o más), sin importar cuáles sean los criterios y el objeto del juicio” Retomando esta definición, notemos que la palabra “evaluación” se refiere aquí implícitamente a dos evaluaciones: la del tipo resolución y la del resultado matemático de la resolución. Estas dos evaluaciones son diferentes y dependen de las exigencias de la enseñanza. Un alumno puede tener una “buena nota” aun si produce un resultado falso, si el error se considera menor. Pero puede tener una “mala nota” si produce un resultado correcto por medio de un razonamiento muy pesado o torpe. Por lo anterior, es que la evaluación del “método” o del “trabajo” del alumno (que a menudo degenera en una evaluación del alumno mismo) es el objeto de estudio de los investigadores en evaluación, ya que la evaluación se presenta a menudo como una nota, la mayor parte del tiempo asimilable a una “medida”. Por nuestra parte, compartimos el punto de vista de Chevallard y Feldman expuesto en el prefacio de su obra (1986): Cita: “La nota asignada por el examinador no es una medida, sino un mensaje. Ese mensaje interviene en una negociación, o una transacción, que firma una relación de fuerza entre el profesor y los alumnos, a propósito del saber enseñado. La diferencia se deja resumir en pocas palabras: al poner una nota, el profesor no dice “su trabajo vale tanto”, sino mas bien “yo le doy tanto… Y a buen entendedor...”.

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No obstante, puede que sea necesario que ciertas fases de conclusión sean fases de evaluación, como lo afirman Chevallard y Feldman (ibídem): Cita: “Cuando [...] el didacta trata de penetrar en la historia de la clase, debe darse cuenta: los hechos de evaluación que puede observar no son simplemente de existencia contingente, un mal necesario que podría ignorarse, sino un aspecto determinante del proceso didáctico –que regula a la vez los comportamientos del profesor y el aprendizaje de los alumnos”. Esto no está en contradicción con lo que afirmamos en el §1.2: lo que quisimos resaltar es que en cada situación, la fase de evaluación no es la única posibilidad de realización de la fase de conclusión. Para terminar, muy seguramente algunos de nuestros lectores notarán que nuestra utilización de la palabra “evaluación” (en traducción inglesa) es la misma de Voigt (1985), quien se interesa en los fenómenos micro en la acción didáctica; veamos un ejemplo grosso modo en este pasaje (ibídem, p. 80) en el cual, además, se puede detectar el sentido análogo de la palabra “fase” que le da este autor con el nuestro: Cita: “In the present episode, three phases can be distinguished; Phase 1: “Open” task set by the teacher, first offers from pupils and preliminary evaluation by the teacher –constituting the task.

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Phase 2: Guided development of the definite solution –fixing the solution. Phase 3: Evaluation of the method and of the result and reflection of the context-interpreting the method”.

1.3.3

RESPONSABILIDAD DEL ALUMNO

¿Después de una fase de evaluación, cuál es la responsabilidad del alumno? Desde el punto de vista del análisis puro de la situación, su trabajo terminó; el problema está resuelto. Incluso para el alumno que no llegó al resultado, en teoría no tiene nada que hacer ni nada más que buscar… ¡Pero no para el buen alumno! El buen alumno que no encontró el resultado correcto no descansará, después de la corrección, hasta comprender por qué se equivocó y dónde. Él lee el error como un síntoma de algo que no está bien. La mayor parte del tiempo es capaz de jerarquizar los errores (“solo fue un error de signo”). Muchos alumnos en situación de fracaso9 no le ven interés a ese trabajo que resulta largo y difícil, sino que se proyectan al futuro de la próxima resolución, como una nueva oportunidad: “tenemos que tratar de no equivocarnos en el próximo ejercicio…”. Observación: Los profesores hacen la corrección de una tarea antes de entregar las evaluaciones. Saben que si los alumnos conocen la evaluación, no estarán motivados para ese tipo de trabajo.

9 Ver Marie Jeanne Perrin-Glorian, 1991 These d’Etat Université de Paris VII, IREM de París.

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Hemos hablado del buen alumno. En efecto, lo que queremos señalar aquí, es que ese trabajo sobre el significado del error no adquiere su finalidad en el problema mismo. Las limitaciones didácticas no necesariamente llevan a tratar de comprender lo que produjo un error. Ese trabajo es responsabilidad del alumno. La decisión de hacer ese trabajo dependerá, por ejemplo, de su personalidad (curiosidad, agresividad contra el profesor, etc.) o de su historia personal (sabe que debe hacerlo si no quiere cometer el mismo error en la próxima evaluación), o de su medio socio-cultural (los padres “están detrás”, el “profesor particular” hará el trabajo con él, etc.). A menudo, la fase de evaluación se prolonga más allá de la simple resolución de un problema, en una tentativa del profesor de hacer delante de los alumnos el trabajo que deberían hacer personalmente sobre sus soluciones. Si identificó errores frecuentes, discutirá su naturaleza. O pasará al tablero a un alumno “débil” para corregir los errores o dudas en directo. A menudo, ese tipo de profesor tratará de negociar el sentido de la resolución al interior mismo de la nota, o de la corrección, asignando puntos a una resolución inteligente, aun si da un resultado falso por un error “menor”. Algunos profesores incluso instituyen con sus alumnos un contrato sobre la certeza; delante de cada resultado, el alumno indica su grado de certeza, y el profesor no anotará con la misma severidad un resultado falso que fue reconocido como “dudoso”. Finalmente, el hecho de que muchas “innovaciones” actuales pasan por un cambio en la evaluación sería un fenómeno interesante por analizar. La “pedagogía por objetivos”, por ejemplo, devuelve aparentemente la voz al alumno en la evaluación, pero sólo lo deja estatuir sobre características muy generales de su trabajo, y no cambia

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nada en las fases de conclusión, que siguen estando a cargo del profesor.

1.3.4

COMPLEJIDAD DEL TRABAJO DEL ALUMNO

¿Qué posiciones se pide que el alumno asuma? Veamos:

DURANTE SU PROPIA RESOLUCIÓN, DEBE RECONOCER EL PROBLEMA COMO UNA PREGUNTA PURAMENTE MATEMÁTICA, A-DIDÁCTICA. DEBE COMPORTARSE COMO UN “SUJETO MATEMÁTICO” Así que podríamos ofuscarnos cuando los alumnos no leen el problema como buenos lógicos: Cita: “Niños que como usted o como yo, como los que fuimos o como nuestros hijos, francesitos del primer cuarto de siglo XX que no están ni en IMP ni en IMPP, ni en hospital de día, ni en hospital psiquiátrico, niños “normales”, y destinados a ser ciudadanos del año 2000, para obtener la edad del capitán10 asociaron ovejas y cabras” (Baruk, 1985, p. 23).

10 Ver Equipo elemental del IREM de Grenoble, 1979, L’age du Capitaine, Grand N No 19, IREM de Grenoble y CRDP.

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Como lo señala Chevallard (1983), los alumnos leen el problema de la “edad del capitán”... como alumnos, sujetos a un contrato didáctico y no a una “lógica” todo poderosa. El autor distingue la cultura “profana” de las actividades ordinarias, de la cultura “científica”: Cita: “Entre las dos culturas hay una discontinuidad radical, que puede esquematizarse así: en la cultura ordinaria, el niño se plantea preguntas para las cuales recibe o no respuestas; en la cultura “científico-escolar”, el niño encuentra problemas y aprende a darles soluciones. Al resolver problemas, incluso estereotipados, “artificiales” o “inverosímiles”, el alumno aprende que puede, por sí mismo, producir respuestas a preguntas, siempre y cuando esas preguntas tengan la forma, bastante estrictamente definida, de problemas. Asimismo descubre que hay preguntas para las que hay una respuesta y, más importante aún, a las cuales él puede dar una respuesta por sus propios medios de alumno” (ibídem, p. 29, no reproducimos las partes del texto entre paréntesis o guiones). Chevallard, adicionalmente, resalta el carácter obligatoriamente fabricado y artificial de los problemas encontrados en clase, y la marca necesaria del contrato didáctico sobre la naturaleza misma de esos problemas. Pero la cuestión de la construcción de una racionalidad concebida por el alumno como una relación con el saber y con la verdad y no como una relación con la institución escolar, queda sin contestar. Así, la existencia del contrato didáctico no excluye la existencia de espacios en los que el alumno debe actuar como sujeto matemático y a-didáctico –notemos que el razonamiento de Chevallard se detiene

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cuando el alumno produce una respuesta, mientras que el nuestro comienza en ese preciso momento–. El profesor debe proponer al alumno problemas fabricados (artificialmente), para que éste se vea obligado a adoptar durante su solución (o una parte de su solución) una actitud pertinente desde el punto de vista de las matemáticas es sólo otra manera de enunciar la necesidad de trabajo autónomo del alumno–.

DURANTE LA EVALUACIÓN, EL ALUMNO DEBE LEER EL DISCURSO DEL PROFESOR DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA NECESIDAD MATEMÁTICA Por ende, el profesor espera que durante la fase de evaluación, el alumno tenga la actitud de matemático, que se esperaba de él en la fase de solución, sin que la situación obligue de ninguna manera a asumir esta actitud. A pesar de su relación privilegiada con el saber, el profesor sigue siendo (ante todo) una persona. El alumno puede analizar su discurso como discurso de otro sujeto de la institución (con más poder) o como el de un representante de un grupo de presión particular (los matemáticos, los profesores de matemáticas). El carácter de necesidad para un alumno acostumbrado al juego matemático, aparece en la resolución del maestro. Pero el mismo discurso será comprendido por otro como una retórica particular: la de los matemáticos. Hasta el punto que, lejos de tener una relación privilegiada con la realidad, el discurso matemático puede convertirse para el alumno en un discurso especialmente complicado y dudoso: “así es... en matemáticas”.

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DESPUÉS DE LA EVALUACIÓN DEL PROFESOR, EL ALUMNO DEBE ANALIZAR SU PROPIA SOLUCIÓN SIGUIENDO EL DISCURSO DEL PROFESOR Por lo general, el profesor espera que el alumno realice un trabajo reflexivo sobre sus errores, pero ese trabajo pertenece a la esfera privada del alumno. Es decir, el trabajo completo sobre la conclusión no está bajo el control del profesor. Por ello, el profesor puede sentirse aliviado como efecto de tal condición situacional, pues está en una posición de fuerza: puede reprochar al alumno su “falta de trabajo en casa”, en particular si fracasa de nuevo en un problema del mismo tipo. En el nivel de primaria, v.g., aconsejará a los padres que ayuden al niño. En todo caso, él no es responsable, ya que en la fase de evaluación termina su trabajo y comienza el trabajo del alumno. En esta fase algunos profesores tratan de ayudar al alumno haciendo observaciones sobre su trabajo. Por ejemplo, con el desarrollo de las hojas de cálculo, algunos incluso entregan al alumno una hoja de evolución de sus errores más frecuentes. Consecuentemente, en el discurso de los alumnos aparecerán reflexiones que normalmente son propias de los profesores: “confundo las adiciones con las multiplicaciones”. Y en la noosfera11 aparece un discurso que pide a los profesores “además de su clase” ayudar a los alumnos de manera individual. 11 El término “noosfera” designa las instancias que escriben textos oficiales sobre programas, o políticas educativas en general.

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Según aquello, el problema del trabajo reflexivo del alumno es de conocimiento de la noosfera, pero no es concebido como un problema que puede resultar de las opciones didácticas tomadas en la enseñanza (fases de evaluación sistemáticas). Por último, podemos justificar aquí el nombre de fase de evaluación. La fase de evaluación es un momento en la clase de realización del proceso de evaluación, que es más amplio, y que corresponde a lo que se llama normalmente “evaluación”.

1.3.5

EFECTOS SOBRE LA RACIONALIDAD

La actitud que se pide explícitamente al alumno es compleja. En la resolución de problemas, se espera que razone como matemático. En la fase de evaluación, debe interesarse (y, por lo tanto, reconocer) el saber matemático en el discurso del profesor. Más tarde, deberá examinar críticamente su resolución. La pregunta que surge es: ¿Cuál es el efecto de la evaluación en la racionalidad del alumno? Pero el alumno que decide adoptar una actitud uniforme, que consiste en poner todo en referencia al profesor, simplifica de manera importante su trabajo, sin necesariamente alterar sus resultados escolares. Tratará de resolver “como el profesor”; luego memorizará sus actitudes, su lenguaje, y después, eventualmente, tratará de jugar al “pequeño corrector” con su propio trabajo. Cita: “En la tercera fase [evaluación, ver cita 1.3.1] el proceso de solución está en parte problematizado. Para el alumno, es la oportunidad de reflexionar sobre su propia propuesta de solución y al mismo

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tiempo estabilizar habilidades provechosas para la solución de problemas. Como lo hemos mostrado, aun si un alumno no aprovecha esta oportunidad, puede “sobrevivir”. Es el caso cuando ocurre una diferenciación del alumno. Las condiciones durante la tercera fase también son desfavorables para una “retrospectiva” individual (Polya, 1945): el profesor no desarrolla la conexión entre la intuición y la racionalidad junto con sus alumnos. La problematización permanece confinada al proceso esperado de solución y no comienza con las ideas usadas por los alumnos para producir sus soluciones” (Voigt, 1985, p. 112). En ese caso, la clase de matemáticas, lejos de ser el lugar de la cultura científica como lo describe Chevallard, se convierte en el lugar de un temible conformismo. Cita: “Pues esta diferencia de autoridad es al mismo tiempo una amenaza para el proceso de aprendizaje: los rituales de adaptación y sumisión de parte de los alumnos inferiores, de estrategias de implementación y disciplina de parte de los profesores superiores. Existe un peligro de que esos mecanismos intervengan en caso de una distribución no equitativa de la autoridad; tienden a superponer y corromper el proceso de aprendizaje para el cual se estableció la organización social (Rumpf, 1973, p. 402, citado y traducido del alemán por Voigt 1985, p. 97).

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1.4 SUJETO Y TEORÍA DE LAS SITUACIONES En este numeral estudiaremos la teoría de las situaciones de Brousseau, tomando el punto de vista de la validación. Advertimos al lector que se trata de un tema un poco “técnico”, difícil de leer. El término teoría de las situaciones es apropiado para hablar de esa parte del trabajo de Brousseau. La palabra “teoría” puede aplicarse, pues es una “síntesis organizada de hipótesis explicativas” (Lercher, 1985). Pero si existe una teoría, es porque se asumió un determinado punto de vista sobre la realidad. Ninguna teoría puede describir “toda” la realidad. Para comprender sus usos, es necesario conocer sus límites. Es el trabajo que trataremos de realizar en este numeral . En oposición a lo que podría pensarse al leer las muchas publicaciones sobre este paradigma, la tarea no es fácil. Sin duda, la juventud de la teorización en didáctica obliga a los autores a no reducir explícitamente sus objetivos, dejando los límites vagos, pero reduciendo al mismo tiempo su alcance. Como Guy Brousseau se refiere a la teoría de los juegos en la exposición de la teoría de las situaciones, vamos entonces a partir de esta referencia (§1.4.1 y §1.4.2). Veremos luego que el análisis en términos de juego conduce a la noción central de medio a-didáctico (§1.4.3) y a la importancia de la finalidad (§1.4.4). Pero la referencia al juego implica también una reducción del modelo del alumno en cuanto sujeto (§1.4.5). Examinaremos también la pertinencia de esta reducción para el estudio de las situaciones a-didácticas en matemáticas (§1.4.6)

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e introduciremos las nociones de medio matemático y de sujeto matemático (§1.4.7). Después notaremos que esos análisis nos conducirán a delimitar un uso de la teoría de las situaciones (§1.4.8) y un dominio de pertinencia (§1.4.9).

1.4.1

SUJETO Y “TEORÍA DE JUEGOS”

La utilización de la “teoría de juegos” en ciencias humanas no es nueva, ni tampoco su crítica. Esta teoría se organiza en torno a la noción de “comportamiento racional” (Plon, 1976, p. 105), que trata de tener en cuenta no solamente “la persecución de la mayor satisfacción posible, sino también de tener en cuenta los azares debidos al comportamiento de terceros” (ibídem). Las reducciones de opciones y la noción de estrategia sólo pueden elaborarse si se excluye el sujeto psicológico en favor de un sujeto-jugador-que-decide. Cita: “El sujeto-jugador-que-decide está todavía ahí, pero especificado, sujeto racional a la medida de la satisfacción máxima: tiene en cuenta todas las posibilidades, todos los encadenamientos posibles, ya se trate de opciones que se le ofrecen o informaciones sobre los comportamientos posibles de otro jugador. [...] El sujeto-jugador-que-decide constituye la síntesis del homo oeconomicus y del homo aleator; se trata de ese superman que habita el mito cibernético; proponemos llamarlo homo strategicus” (ibídem, p. 113).

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Michel Plon atribuye el éxito de la “teoría de juegos” en ciencias humanas a esta operación de exclusión aparente del sujeto psicológico. Cita: “Sin embargo, los cálculos sabios, lejos de disolver el sujeto psicológico, se inscriben en la lógica de sus fantasmas: proyectos de dominación del futuro y de control de la historia, de su fin y de su origen. En resumen, de su reducción a la sucesión de instantes, a la crónica de las decisiones del sujeto” (ibídem, p. 130). De este análisis rápido de la teoría de los juegos, se derivan dos preguntas a las que queremos responder a continuación: ¿Cuál es el rol de la “teoría de los juegos” en la teoría de las situaciones de Brousseau? ¿Cómo puede caracterizarse el modelo del sujeto en la teoría de las situaciones? 1.4.2

LA TEORÍA DE LOS JUEGOS EN EL TRABAJO DE RATSIMBA RAJOHN

El trabajo de Harrison Ratsimba-Rajohn (1981 –tesis dirigida por Brousseau–, y 1982) toma en serio la referencia a la teoría de juegos. El formalismo complicado al que se enfrentó, le permite un análisis a priori sumamente fino del dominio de eficacia de las dos estrategias que estudia (ver, por ejemplo, los gráficos de su tesis, pp. 73-75). Aunque en el artículo de resumen de su tesis (1982), de este análisis sólo queda un cuadro (p. 78). De otra parte, la modelización formal se justifica en su trabajo particular

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por el número importante (cuatro) de variables didácticas consideradas a priori: bloqueo, número de acciones elementales, errores debidos a las manipulaciones, incertidumbre provocada. En las aplicaciones didácticas, sólo se utilizó la variable de bloqueo (ibídem, p. 18). Al retener esa variable, es posible hacer el análisis a priori sin formalismo, y no se diferencia de lo que podemos ver en otros trabajos12. La utilización rigurosa de la teoría de juegos se justifica difícilmente desde el punto de vista de la ingeniería didáctica, o del análisis de las situaciones. No está demás mencionar la ausencia de trabajos de ese tipo a partir de 1981, a pesar de que la práctica del análisis de situaciones se difundió y se perfeccionó. No nos parece que sea la eficacidad práctica la que explique la utilización de la teoría de juegos en el trabajo de Ratsimba-Rajohn. Empero, traeremos a colación algunos apartes importantes de la conclusión de su artículo (1982): Los resultados del análisis se sitúan, según él, en la identificación de las variables, dentro de las que distingue variables de juego, de estrategias, de jugadores y de comando. Cita: “Pero esta teoría del juego que hemos considerado no nos permitió prever a priori los comportamientos de los alumnos y del profesor en el momento de la producción de los estados intermedios del juego. En efecto, al hacer el estudio, hicimos abstracción del juego del profesor, del juego de los alumnos que tienen idea de cómo resolver el problema, y del juego de quienes no encontraron una estrategia. 12 Por ejemplo, Artigue y Robinet (1982), en el mismo volumen de la RDM.

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Sin embargo, el trabajo que realizamos muestra que era imposible prescindir del juego del profesor con sus alumnos” (ibídem, p. 111). Esta crítica pertinente abre todo un campo de investigación, el del “juego del profesor”, o de su “rol” –en ese campo es donde se sitúa nuestra distinción de las fases de conclusión. Vamos a ver que la idea del juego pudo ser útil para la teoría de las situaciones. Además nos parece normal que una teoría importada de un campo teórico a otro sólo sea útil si se transforma en una teoría intrínseca. Los límites de una teoría, cuando se ha transformado, pueden o no permanecer en la teoría nueva–.

1.4.3

MEDIO A DIDÁCTICO

El modelo propuesto por Ratsimba-Rajohn (1981) comporta un personaje extraño a primera vista: la “naturaleza”. Cita: “Para el caso de las medidas, aparentemente sólo hay un jugador; pero al analizar el juego, nos parece necesario introducir un segundo jugador «oculto» que representa la «naturaleza» o lo «fenomenológico»”(Ibíd., p. 40). Esta introducción, necesaria por el rigor del formalismo de la teoría de juegos, es incómoda, en particular cuando hay que justificar las “decisiones” que toma esa “naturaleza”. Cita: “Al describir las dos partes, tratamos de poner entre comillas el término “decidir” en el momento

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en que N [la naturaleza] actúa. En efecto, cuando es su turno, aparentemente toma una decisión –generalmente entre cuatro posibilidades–. Decimos “decisión” pues el jugador J debe ignorar (y efectivamente la mayoría de los jugadores J lo ignoran) el estado que N presentará, lo que da la apariencia de una decisión. Pero de hecho, las decisiones de N no se deben al azar, están determinadas. De manera que todo jugador J tiene la posibilidad de prever la tendencia general de los estados presentados por N. Por esta razón nos permitimos, al definir la optimalidad de una estrategia, restringirnos al estudio de las estrategias de J, en el caso en que la estrategia de N es fija” (ibíd., p. 45). Pero ¿quién es esta “naturaleza” que no “juega”, pero toma “decisiones” ocultas para el alumno? ¿Representa el juego del profesor de manera indirecta? ¿Su presencia opone un material concreto, “jugador” inerte, a los jugadores vivos, alumnos o profesor? Varios años más tarde (1986, RDM), Brousseau dio la solución a esas preguntas: Cita: “En el caso general, la situación didáctica no puede modelizarse como una simple comunicación, o como una simple interacción social. Es necesario hacer intervenir otro sistema. Esta necesidad se deriva de una de las cláusulas del contrato didáctico mismo, que implica el proyecto de su extinción; está sobreentendido, desde el comienzo de la relación didáctica, que debe llegar un momento en que se romperá. En ese momento, al terminar la enseñanza, el sistema enseñado supuestamente podrá enfrentar, con

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ayuda del saber aprendido, sistemas desprovistos de intenciones didácticas. El saber enseñado al alumno supuestamente le da la posibilidad de leer esas relaciones con esos sistemas como nuevas situaciones a-didácticas y por ese medio, darles una respuesta apropiada. El medio es el sistema antagónico del sistema enseñado, o más bien, previamente enseñado” (ibídem, p. 89, cursiva del texto en francés). Consecuentemente, la teoría del juego hacía necesario introducir otro sistema. Así fue como Brousseau caracterizó el medio a-didáctico, concepto fundamental en la teoría de las situaciones.

1.4.4

DECISIÓN, FINALIDAD, CONOCIMIENTO

Más allá de un concepto preciso, aun si es fundamental, el juego como metáfora guía de manera fundamental la metodología de Guy Brousseau. Para mostrarlo comentaremos un esquema inspirado directamente en un curso de didáctica para profesores dado por Brousseau en diciembre de 1988: Leyendo el esquema –de la siguiente página– partimos de que el sujeto tiene un cierto conocimiento. Delante de un problema, este puede optar entre varias estrategias. Así, la existencia de opciones es fundamental para que se trate de una situación de aprendizaje, y no de simple refuerzo (véase el Capítulo 2). Así que será el conocimiento el que le permitirá reducir las opciones para la solución. Finalmente, el problema, o más exactamente el medio, le devuelve los resultados o consecuencias de esas decisiones.

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Elección

Conocimiento

Así que la que hace posible esa retroalimentación, es la finalidad impuesta por la situación, ya que esta información puede modificar los conocimientos del sujeto, o su manera de utilizarlos. De modo que dicha modificación se traducirá entonces en una reducción más grande de las opciones, o en una apertura a otras estrategias, etc. Esta clase de esquema, o las otras versiones correspondientes a la dialéctica de la acción, resultan directamente de una problemática de juego. Lo que contará no será tanto el formalismo, poco operacional, sino la idea de considerar el problema como un juego13. En ese sentido, la “teoría de juegos” tuvo sin duda un rol productivo para la teoría de las situaciones. En conclusión, no podríamos insistir demasiado en la originalidad de este punto de vista. Lo que es original no es el hecho de poner la resolución de problemas en el centro 13 Para los diferentes sentidos de la palabra juego, ver Brousseau 1986 (pp. 76-77).

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de la didáctica de las matemáticas. Las investigaciones anglosajonas sobre “problem solving” tienen un punto de vista totalmente diferente. Sin entrar en detalles, la metodología de Schoenfeld (1985), por ejemplo, consiste más bien en partir de la manera de resolver problemas. Él se interesa directamente en los conocimientos del sujeto (la manera como los moviliza o no, etc.) y no en las interacciones entre el sujeto y el medio creadas por la institución o el problema.

1.4.5

SUJETO “RACIONAL”

En este numeral queremos abordar la pregunta sobre la modelización del sujeto en la teoría de juegos: ¿Qué pasa con el homo strategicus, violentamente criticado por Plon (1976)? Si examinamos el esquema anterior, o cualquier esquema sobre los diferentes tipos de situaciones a-didácticas, ¡vemos que el sujeto se reduce al “sujeto racional” de la teoría de juegos! El sujeto se ve de manera reducida; ¿Es esto un defecto de la teoría o su fuerza? Esta pregunta no es paradójica si se mira con profundidad. En efecto, el problema de la ciencia (en el sentido occidental del término) es operar reducciones sobre un objeto de estudio. Así que tal cuerpo material pesado será considerado como un punto material, tal gas será reducido a pelotas microscópicas elásticas. Los problemas relacionados con las reducciones aparecen cuando se trata de utilizar la teoría fuera de su campo de aplicación (cuya constitución es asunto de la ciencia). Entonces, la cuestión de la delimitación de un campo de validez es esencial, y en este numeral trabajaremos en ese sentido.

CAPÍTULO 1

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Respecto a las reducciones, hay que tener en cuenta que no todas son legítimas. Los elementos retenidos por Aristóteles como pertinentes para interpretar el movimiento de un cuerpo son su “naturaleza” (agua, tierra, aire, fuego) y su “lugar natural”. El objeto deja de moverse “cuando llega a su lugar natural”. Por lo tanto, la rapidez inicial, la fuerza aplicada, el movimiento en el vacío, etc. no tienen ningún correspondiente, y ningún sentido en la teoría de Aristóteles. Cita: “La física aristotélica es falsa, lo sabemos muy bien. Ha sido eliminada definitivamente. Pero sigue siendo una física, es decir una teoría altamente, aunque no matemáticamente, elaborada. No es ni una prolongación bruta y verbal del sentido común, ni una fantasía infantil, sino una teoría; es decir una doctrina que, partiendo de datos del sentido común, los somete a una elaboración sistemática extremamente coherente y severa”, Alexandre Koyre (1966, p. 17). A pesar de todo, el problema que plantea la teoría de Aristóteles es haber reducido el objeto de estudio quitándole las características que luego fueron identificadas como pertinentes. Por eso la revolución operada por Galileo es una revolución, incomprensible al interior de la teoría aristotélica (Françoise Balibar, 1984). En el marco de la teoría de las situaciones, es decir en la didáctica de las matemáticas, la cuestión es saber si una reducción del sujeto a un “sujeto racional” parece legítima a la vista de los fenómenos estudiados por la teoría, y cuáles limitaciones implican esta reducción para el alcance de la misma –notemos que lo esencial de las críticas a la teoría de juegos de Michel Plon se refiere a

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ese terreno. Michel Plon se interesa en la teoría de juegos aplicada a la economía, y considera que no es legítimo excluir el campo político de una teoría de la economía–. Finalmente, nuestra posición puede resumirse así: el hecho de operar una reducción no es un defecto, pero es necesario que pueda justificarse con relación al objeto al que se aplica, y que sea posible definir su dominio de validez.

1.4.6

MATEMÁTICAS Y REALIDAD

Para plantearnos la pregunta de la posible reducción a un “sujeto racional”, debemos hacerlo relativamente al alumno que aprende matemáticas en el marco de una modelización particular. Las matemáticas en este sentido son un dominio particular y, además, una de sus características es que funcionan sobre ellas mismas, tal cual lo lo hace notar Pierre Raymond (1975, pp. 58-59): Cita: “Las tesis que siguen tratan de dar a las Matemáticas el título de ciencia. La única manera de hacerlo es romper el texto matemático, cualquiera que sea, en dos niveles: uno que juega el rol de teoría y el otro el rol de realidad, el matemático y el matematizado. Esos dos niveles no están fijos de una vez por todas; solo son funciones. En particular, lo matematizado es de todas maneras teórico y por lo tanto variable, a diferencia de los datos naturales, o incluso sociales, que permanecen idénticos por largos períodos”. Por su parte, Apery (1982) señala la siguiente distinción del mismo tipo:

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Cita: “Al igual que el platónico, y al contrario del formalista, el matemático constructivo reconoce una cierta realidad de los objetos matemáticos, pero los distingue de los objetos materiales, atribuyéndoles únicamente las propiedades susceptibles de demostración” (ibídem, p. 63). Así que los matemáticos tienen una relación particular con la realidad; por ejemplo, el matemático que dice “1 + 5 = 6” no cuestiona esta proposición con el argumento que un águila y cinco ratones pueden resultar rápidamente menos de seis animales! Este ejemplo trivial merece un desarrollo. En efecto, no solamente el matemático no se desestabiliza, sino que no tiene ningún motivo para concebir una aritmética diferente para explicar ese fenómeno. Mientras que, frente al mismo problema, el biólogo no está en la misma situación, pués será consciente de que otros modelos igualmente válidos explicarán los fenómenos de depredación, y deberá justificar la pertinencia de tal modelo y delimitar su dominio de validez (estudio de una población particular, por ejemplo). Veamos ahora, para terminar, cómo MarieAlberte y Samuel Joshua (1987, p. 250) hablan de una distinción de este tipo entre Matemáticas y Física: Cita: “¡Un “problema de válvulas”N. del T. no es un problema de física! Desde el punto de vista de la Física, requiere una modelización del flujo del fluido (naturaleza, viscosidad, compresibilidad, naturaleza del orificio, turbulencia o no, etc.), N. del T. Problema de válvulas (probléme de robinets en francés), son problemas típicos del currículo de matemáticas francés, sobre el cálculo de tiempo en que se llenará un recipiente, si se abren válvulas con diferentes capacidades.

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que puede consistir en una hipótesis simple: flujo constante a razón constante, que servirá de marco “implícito” al discurso matemático”. 1.4.7

MEDIO MATEMÁTICO, “SUJETO MATEMÁTICO”

El medio a-didáctico introducido por Brousseau, independientemente de las formas, que toma en las distintas ingenierías, no es un medio material desde el punto de vista teórico. El medio a-didáctico debe tener (o poder tomar) el significado de un “medio matemático”. Incluso en el caso en que una situación dada se basa en la utilización de un medio material, ese medio no será considerado en toda su complejidad, y sólo se tendrán en cuenta sus características “matemáticas” –la palabra “matemática” significa aquí: lo que es matemáticamente pertinente en la situación–. Veamos un ejemplo para ilustrar lo que pasa cuando el medio no funciona como medio matemático. Se trata del problema del “rompecabezas” descrito en Nadine y Guy Brousseau (1987, pp. 137-140): A partir de un rompecabezas de cartón, los alumnos deben construir un nuevo rompecabezas “semejante”, más grande que el modelo, respetando la siguiente consigna: “el segmento que mide 4 centímetros en el modelo deberá medir 7 centímetros en la reproducción” (p. 138). Ese problema es difícil para los alumnos. Pueden a veces utilizar una estrategia (multiplicar por 2 y restar 1) que conduciría a construir un rompecabezas que se parecerá mucho al modelo, pero cuyas piezas no encajan perfectamente. Cita: “A veces los niños resuelven el conflicto cortando aquí y allá un poco hasta que las piezas

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encajan. Aunque la mayoría está consciente de que esto es una trampa, algunos creen que es una solución correcta. [Entonces] el profesor se ve obligado a establecer la verdad” (ibídem, p. 140, cursiva del texto en francés). Vemos aquí, por ende, que si los niños persisten en concebir la tarea como un problema material (obtener un rompecabezas que encaje más o menos), su relación con el medio no es a-didáctica y el profesor debe intervenir. La teoría de las situaciones a-didácticas sólo considera al alumno en la medida en que este entra en interacción con el medio matemático. Si el alumno entra en ese juego, sólo retiene lo que es matemáticamente pertinente en la situación. Por eso Brousseau considera únicamente el “sujeto matemático”. El sujeto matemático es la imagen del sujeto racional de la teoría de juegos. Pero nos parece que la reducción puede ser pertinente aquí para la constitución de una teoría, pues definirá los límites. En nuestra opinión, desde el punto de vista de las relaciones con ese “medio matemático”, la modelización del sujeto como “sujeto matemático” es pertinente. Desafortunadamente, no podemos hablar aquí de las muchas consecuencias de esta tesis. Sin embargo, una de ellas será la representación de la adquisición del saber en esta teoría. Si lo que nos interesa es la búsqueda de condiciones necesarias a través del medio a-didáctico, entonces sólo consideramos como observables las respuestas del sujeto al problema que se le presenta. Por ejemplo, se observará que “ese saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta en las nuevas respuestas que constituyen la prueba del aprendizaje” (Brousseau, 1986, p. 49).

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Siendo así, ¿cómo podemos hacer que el alumno considere un medio cualquiera, sobre todo si es material, como un medio matemático: cómo realizar la devolución del problema? ¿Cómo dar cuenta de los fenómenos de aprendizaje y no solamente de las “reacciones” del alumno? (Ver el Capítulo 2). Coincidiremos entonces en que el establecimiento de relaciones matemáticas con el medio es difícil, y fue por tal razón que Brousseau (1986) desarrolló el concepto de devolución más o menos al mismo tiempo que el de medio a-didáctico. Veamos cómo describe él la parte del fenómeno que nos interesa para un alumno de jardín infantil: Cita: “Tercera etapa: Devolución responsabilidad y de una causalidad:

de

una

Para aceptar una responsabilidad en lo que le pasa, el alumno debe considerar lo que hace como una elección entre diferentes posibilidades y luego ver una relación de causalidad entre las decisiones que tomó y sus resultados. En esta etapa, los alumnos pueden pensar, una vez terminada la acción, que el juego habría podido ser diferente. Eso supone que pueden recordar sus acciones y específicamente la parte de ellas que era pertinente o no. Esta devolución es delicada: la mayoría de los alumnos están dispuestos a aceptar la idea de que son responsables del resultado del juego, aunque no son capaces de establecer en ese momento que hubieran podido obtener un mejor resultado

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gracias a una decisión adecuada de su parte. Ahora bien, lo único que justifica la transferencia de responsabilidad es el conocimiento de esa relación” (ibídem, p. 54). Los análisis de situaciones a-didácticas realizados con la teoría de las situaciones suponen entonces que ese proceso de devolución de una responsabilidad y de una causalidad ya ha terminado y que el sujeto puede tomarse como un sujeto matemático sin reducción dramática.

1.4.8

USO DE LA TEORÍA DE LAS SITUACIONES

Sintetizando, lo que tratamos de mostrar en el numeral anterior podría exponerse así: 5.

La teoría de las situaciones sólo tiene en cuenta lo que llamamos sujeto matemático.

6.

Dentro del marco de una parte de la didáctica de las matemáticas esta reducción es viable.

Notemos que estamos afirmando sobre un punto preciso una especificidad de la didáctica de las matemáticas, fuera de la especificidad de su interés por los conceptos matemáticos. Nos parece que en Física o en otras materias, los tipos de relaciones entre el alumno y el medio son diferentes. En ese caso es posible que esa concepción del sujeto no sea viable. Los autores Johsua y Johsua (1987) muestran que establecer un problema en la clase (la devolución de

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Brousseau), supone aislarlo con referencia a un modelo que precisamente se quiere construir. Pero en Física aparecen problemas específicos: Cita: “Aislar un «fenómeno» en física es algo muy complejo científica y didácticamente; en el plano didáctico al menos, la situación aparece más fácil en matemáticas, donde ese «aislamiento» se hace en el interior de un espacio ya trabajado, o incluso abstracto” (ibídem, p. 251). Podemos esbozar aquí una delimitación del campo de validez de la teoría de las situaciones: se trata de una teorización de las posibilidades del alumno inmerso en el juego matemático, y no de una descripción de las acciones reales del alumno en la resolución de problemas, ni de una descripción de lo que sucede en realidad en la clase, en ningún momento del funcionamiento de la clase. La conclusión del artículo de Ratsimba-Rajohn que citamos aparece bajo nueva luz: es verdad que no pudo “prever todo”. Pero lo que resolvería el problema de los «estados intermedios” no es, como él lo dice, el estudio del juego del profesor con los alumnos. En efecto, en la clase el profesor no puede considerarse como “investigador matemático”, mientras que el alumno sí, si el proceso de devolución lo permite. El profesor quiere transmitir un saber, usando toda clase de estrategias complejas, que incluyen en especial las reacciones que prevé de parte de los alumnos. La “teoría de juegos”, por lo menos en la forma en la que la utiliza Ratsimba-Rajohn, no puede aplicarse al profesor, pues aunque el profesor está implicado en un juego con los alumnos, este juego es mucho más complejo –nos parece que todos los reproches hechos por Plon a la “teoría de juegos” al aplicarla a la Economía pueden

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hacerse también a la reducción del profesor si se le aplica la “teoría de juegos”–. Retomando la conclusión citada, Ratsimba-Rajohn describe precisamente lo que fue rechazado, es decir lo que no hace parte de la situación a-didáctica: “juego” del profesor, “juego” de los alumnos que tienen alguna idea para resolver (lo que no basta para comenzar a resolver), “juego” de los alumnos que no tienen ninguna idea para resolver. El concepto central de la teoría de las situaciones no es el sujeto, sino la situación, lo cual delimita una parte de su campo de validez. No pensamos que este límite sea negativo. Saber dónde está el límite abre el camino a otros trabajos teóricos, parciales también, que implican otras “reducciones” en la realidad de la clase. Ciertamente, como Georges Deveraux (1972), pensamos que la limitación es positiva: Cita: “Es precisamente la posibilidad de explicar «completamente» un fenómeno humano al menos de dos maneras (complementarias) lo que demuestra, por una parte, que el fenómeno en cuestión es a la vez real y explicable, y por otra, que cada una de esas dos explicaciones es «completa» (y por lo tanto válida) en su propio marco de referencia” (ibídem, p.13). Desde luego, el problema de los alumnos que no quieren entrar en una relación racional con el conocimiento, en particular, deberá abordarse con otros medios.

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1.4.9

UNA DIFICULTAD PREVISIBLE

El medio para la acción contiene un material (rompecabezas, en el ejemplo dado anteriormente), o directamente objetos matemáticos (como los números). Los medios para la formulación y la validación comprenden necesariamente interlocutores. Las situaciones de formulación o de validación tienen siempre una dimensión social, ya que los medios correspondientes contienen interlocutores, es decir, elementos productores y transformadores de lenguaje14. Además, para que un determinado medio sea vivido como un medio matemático, el alumno debe considerar a las personas que lo rodean (en la mayoría de los casos sus compañeros de clase) como sujetos matemáticos, es decir que sólo actúan desde el punto de vista del problema matemático propuesto, aunque esto es poco probable, ya se trate de otro alumno o del profesor. Sin embargo, el alumno integra la capacidad de comprensión de los implícitos cuando se dirige a personas de la misma cultura, sobre todo si conoce a esas personas –nos parece que ésta es en parte, la causa de las dificultades constatadas en el análisis a posteriori de la realización de experimentos de situaciones de formulación y de validación–. Muchos investigadores saben que en las situaciones de formulación pueden aparecer mensajes eficaces pero no pertinentes desde el punto de vista matemático, o incluso completamente falsos. Denise Grenier (1988) nos da ejemplos de ese tipo de dificultad. En una primera modalidad de experimentación de su secuencia de clase: 14 Sólo consideramos aquí los casos de interlocutores humanos. El caso de máquinas más o menos inteligentes necesita una reflexión específica.

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Cita: “Dos mensajes hacen referencia a la “N” o a la “Z” formada por el segmento que debían describir en la figura. Esta estrategia resuelve perfectamente el problema sin utilizar las propiedades de simetría y las diferencias entre los segmentos de tipo S y los de tipo NS” (ibídem, p. 237). Denise Grenier cuestiona entonces las características de la figura, y se propone “minimizar las posibilidades de descripción de manera perceptiva fácil” (ibídem, p. 239). Al decir minimizar, expresa la dificultad de impedir a priori toda estrategia de ese tipo. En la segunda realización de la secuencia, elaborada teniendo en cuenta las dificultades encontradas en la primera, aparece “un mensaje incoherente... que no lo es para los alumnos” (ibídem, p. 248). Cita: “Mensaje A6 (Jeremy y Sophie2) A causa de la posición de la recta de simetría, la figura no es simétrica. La recta de simetría está colocada oblicua. Los diálogos entre alumnos durante la confrontación confirman que para ellos no hay contradicción o incoherencia en esta frase. La explicación está contenida en la concepción amplia de recta de simetría que tienen muchos alumnos. Toda recta que divide una figura en dos partes que pueden superponerse es una recta de simetría. Pero algunas figuras “no se pueden doblar”. Existen entonces rectas de simetría «falsas» o «verdaderas». Uno de los alumnos de

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este binomio lo expresó claramente en la fase de confrontación” (ibíd.). En este ejemplo, la comunicación funcionó porque tanto los emisores como los receptores tenían la misma concepción. Por su parte, en lo que concierne las situaciones de validación, Nicolas Balacheff (1988a) consagra un numeral en la conclusión de su tesis a los problemas engendrados por la argumentación: Cita: “Esta aparición recursiva de las estrategias de argumentación natural nos sugiere que el tratamiento ad hoc de una refutación puede no sólo tener un significado específico de la actividad matemática, sino corresponder a una conducta en la que prima la exclusión de lo que se vería como una objeción y no sería tratado como una refutación y por lo tanto como una contradicción. Lo que se pone en duda no sería la racionalidad, aún contextualizada (p. e. en situación), de los alumnos, sino una referencia implícita a un modo de interacción” (p. 575, cursiva estilada del texto original en francés). Así mismo, Balacheff relaciona esta dificultad con la dimensión social de las situaciones de validación. Cita: “[…] a nuestro parecer, esta dificultad debida al carácter social de la comunicación lingüística es específica de las situaciones que incluyen un medio «humano» y no es totalmente reductible a las características particulares de cada situación” (ibídem).

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En conclusión, para esas situaciones, el análisis a-didáctico que tiene en cuenta únicamente los conocimientos, las opciones y las finalidades, no nos parece suficiente para predecir, comprender y eventualmente reducir esa clase de fenómenos. Habría que desarrollar un análisis a priori diferente, y, por lo tanto, otro trabajo teórico que permitiera completar la teoría existente.

1.5 SITUACIÓN, EPISODIO, FASE, PROCESO En este texto hemos usado palabras como “situación”, “fase” y “proceso”. Hay que tener presente que esas palabras no deben definirse en sí mismas, sino a la luz de las locuciones del tipo “situación de acción” o “fase de validación” o “proceso de devolución”. No obstante, salta el siguiente cuestionamiento: ¿Cuál es el sentido y el uso de esas palabras? Pues bien, veremos que la palabra “situación” caracteriza un nivel de descripción en términos de determinación o de limitación (§1.5.1). Nuestra problemática depende de otra manera de considerar la observación (§1.5.2). Por esta razón introdujimos sistemáticamente otro vocabulario. La palabra “fase” (§1.5.3) describe un momento del desarrollo de la interacción en clase; “proceso” (§1.5.4) describe un proyecto de los actores. Ilustraremos, finalmente, las diferencias introducidas con el ejemplo de la formulación (§1.5.5) y de la validación (§1.5.6).

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1.5.1

SITUACIÓN: DETERMINACIÓN Y OBLIGACIÓN

En su diccionario filosófico, Alain Lercher (1985) describe así la palabra “situación”: Cita: “La palabra ha tomado un sentido nuevo en la filosofía contemporánea, relacionado con el existencialismo. “El hombre está en situación”, dice Sartre. Eso significa que el hombre, inmerso en el mundo, no puede hacer como si estuviera fuera del mundo para percibirlo y conocerlo. Nuestros conocimientos, nuestros juicios, no son el producto de un espíritu puro, sino de un espíritu marcado por la lengua que hablamos, la cultura en la que construimos nuestros primeros conocimientos, las costumbres o creencias que nos inculcaron. La situación es el conjunto de las determinaciones a partir de las cuales pensamos, juzgamos, actuamos, aquí, ahora, tal como somos en un momento dado. Eso no impide que nuestros juicios o nuestros actos sean libres, y que seamos responsables; nuestra libertad aparece siempre en situación” (p. 316, cursiva estilada del texto orginial en francés). Esta definición de “situación” como un “conjunto de determinaciones” nos parece expresar el nivel de descripción asociado a esa palabra en didáctica. Pero la palabra “determinación”, como lo vemos en la cita, evoca características culturales, que no están bajo el control directo ni del individuo en situación, ni de su entorno.

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En la teoría de las situaciones en sentido estricto, no se estudian tanto las determinaciones, sino más bien las limitaciones que el profesor o el investigador pueden controlar deliberadamente en la situación. El medio se concibe como un conjunto de limitaciones dentro de las que el alumno es libre de ejercer su racionalidad. Esas limitaciones deben garantizar el funcionamiento pertinente de la actividad del alumno desde el punto de vista del saber que se enseña. La construcción de una situación a-didáctica dada necesita la búsqueda de las limitaciones pertinentes desde el punto de vista del saber. Así, las preguntas que plantean las situaciones didácticas en su complejidad: contrato didáctico, transposición didáctica (por ejemplo), implican el análisis de las determinaciones. Los fenómenos de transposición didáctica, en especial, llevan a buscar determinaciones fuera del sistema didáctico en sentido estricto, en la noosfera. Cuando Chevallard (1988b) habla de “situación de atribución de fracaso” es porque busca las determinaciones y el funcionamiento del discurso de fracaso. De esta manera, el análisis en términos de situación (ya sea el estudio de las limitaciones o de las determinaciones) no puede dar cuenta de todos los aspectos de la realidad. El interés de esas descripciones es su aspecto sistemático (en el sentido del análisis de los sistemas) que permite hacer previsiones, y por lo tanto validaciones experimentales. Ese nivel de descripción caracteriza el paradigma en el que nos situamos. Por el contrario, el análisis en términos de situación es insuficiente para dar cuenta de la observación, porque no permite una descripción a posteriori de los hechos observados que pueda ser diferente de los análisis a priori.

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1.5.2

LA CUESTIÓN DE LA OBSERVACIÓN

El análisis de los fenómenos que se presentan efectivamente en la clase nos obligará a introducir otros niveles de descripción. En efecto, los análisis del nivel de las situaciones se dedican únicamente a las limitaciones y determinaciones. Esos análisis nos permiten comprender una parte de la realidad compleja de la observación de clase. Sin embargo, no permiten describir directamente el desarrollo de esta realidad, ni producir las divisiones pertinentes. Por lo tanto, es necesario precisar de una vez que la pregunta por la observación se plantea de distintas maneras. La observación puede ser un medio en una investigación, constituyendo su parte experimental tal cual lo señala Guy Brousseau (1978b): Cita: “[La observación] implica un conocimiento previo de los fenómenos e implícitamente de las opciones, de las hipótesis que es necesario explicitar. Es más difícil de lo que parece y es muy complicado utilizarla de manera científica, pero tiene un valor irremplazable como medio de precisar las condiciones de la experiencia y hacerla reproductible” (ibídem, p. 133). Entendida en este sentido, si nos referimos al vocabulario de Claude Bernard (1985), se trata de experimento y no de observación: Cita: “La observación es lo que muestra los hechos; el experimento es lo que instruye sobre los hechos

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y lo que relaciona la experiencia con otras cosas” (ibídem, p. 40). No obstante, Bernard no subvalora el rol de la observación en las ciencias experimentales, sino que considera la observación y la experimentación como “los dos términos extremos del razonamiento experimental” (ibídem, p. 39). Para él, la observación sirve de base a la experimentación. Pero Bernard “olvida” (en su condición de médico la cosa es evidente) uno de los objetivos de la ciencia: comprender la realidad observada. Es decir que la observación es el punto de partida, pero también de llegada. En efecto, la pregunta por la observación nos parece muy importante en didáctica de las matemáticas. El análisis de las situaciones, y en especial el análisis de las limitaciones, se aplican hoy de manera completa únicamente a las situaciones experimentales; se trata de experimentos en el sentido de Claude Bernard. Como lo dice Yves Chevallard (carta del COED, dic., 1988) “la práctica de la observación naturalista de clase ha sido marginal, preliminar. Sin embargo, la investigación necesita los dos polos”. En suma, la observación, al igual que la experimentación, sólo es posible si el trabajo teórico permite analizar lo que se “ve”. La investigación de condiciones necesarias o de limitaciones, es decir el análisis de las situaciones, no basta para identificar los conceptos necesarios para la observación. Por esto, las nociones de episodios, fases y procesos que proponemos ahora (§1.5.3 y §1.5.4) tienen el objetivo de tener en cuenta dos aspectos de los intercambios observados en clase, aunque no pretendemos de ninguna manera que esas nociones sean herramientas suficientes para la observación, e introduciremos más adelante otras ideas que responden a esta exigencia (como la noción de proyecto en el Capítulo 3).

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1.5.3

EPISODIO, FASE

En este apartado resulta pertinente retomar el término “episodio” de Voigt (1985, p. 76): Cita: La sección desde la línea 491 hasta la 541 puede verse como un episodio, como una secuencia temáticamente cerrada de interacciones, pues su meta es establecer, resolver, y discutir una tarea nueva: “llenar la tercera línea y la tercera columna de la tabla””. Consecuentemente, un episodio depende de una observación particular, es una reconstrucción a posteriori. La determinación de un episodio corresponde al análisis de protocolos. Como lo veremos, no es el caso de las fases, que son descriptibles a priori al menos en parte. Según el uso común, la palabra “fase” significa “cada uno de los estados sucesivos de una cosa en evolución” (Diccionario petit Robert, 1978). Una fase es un momento del desarrollo efectivo de las acciones del profesor o del alumno. En una perspectiva de “observación”, una fase no es en general analizable a priori, pero si a posteriori. Por ende, la existencia de fases puede demostrarse en un análisis a priori. Pueden distinguirse a priori las fases posibles y las fases necesarias en el desarrollo de una situación. Pero el desarrollo efectivo sólo puede analizarse a posteriori, para determinar cuál fue su naturaleza. Anteriormente hablamos de fase de conclusión. Según nuestro análisis, la existencia de una fase de conclusión al terminar una solución de problema está determinada.

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Por otra parte, podemos analizar a priori la posibilidad de realización de una fase de validación. Pero las condiciones para la realización de una fase de evaluación siempre están reunidas, gracias a la presencia del profesor. Por eso sólo podremos determinar a posteriori cual fue la naturaleza de esa fase. El análisis a priori sólo nos da las condiciones de las posibilidades, pero ninguna limitación, es decir ninguna garantía. La existencia de simples condiciones de posibilidad se debe a que el rol del profesor no puede analizarse en términos de juego con limitaciones. La utilización de la palabra fase no es nueva en didáctica de las matemáticas. Los investigadores hablan con frecuencia de fases cuando quieren describir los momentos observados, explicables, pero no necesariamente previstos, de una situación de clase: Cita: “Llamamos fases de validación a esas discusiones espontáneas sobre la validez de las estrategias. Aparecen aquí como medios de acción. Los alumnos las utilizan como un medio para convencer a su compañero de que realice la acción planeada. Los medios de lograr la convicción pueden ser muy variados (autoridad, retórica, pragmática, validez, lógica). En la dialéctica de la formulación, escapan al control del alumno, y permanecen implícitos en oposición a otras validaciones que aparecen como objetivo u objeto de estudio”, Brousseau (1978a, p. 17).

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Cuando Brousseau habla de espontáneo, emplea un vocabulario ambiguo, pues todas las acciones de los alumnos que no están bajo el control del profesor son “espontáneas”. Pero aquí (se trata de una fase dentro de la Escena 3, “situación de formulación” de La Carrera de 20; ver Anexo 1) esa discusión no es producto del medio. Lo cual no quiere decir que sea producto del azar, ya que la realización de la formulación preparó el terreno para la validación, y las condiciones de debate de proposiciones están reunidas en gran medida. Sin embargo, algunos alumnos comienzan esas discusiones antes de que sean obligatorias en la situación. Desde el punto de vista de la reproductibilidad (véase Artigue, 1984a), la noción pertinente es la de situación y no la de fase. El hecho de que una fase se repita no quiere decir que sea reproductible. Sólo se podrá hablar de reproductibilidad si un análisis a priori muestra el carácter necesario de esta repetición. En ese sentido, lo que es reproductible es el análisis a priori. Por último, desde el punto de vista de las fases de conclusión, esta observación es muy importante. Podemos entonces hacer el análisis de las características de las situaciones para saber si se reúnen las condiciones para una fase de validación. Este análisis es necesario, tanto para el investigador como para el profesor. Pero las condiciones de una fase de evaluación siempre están presentes, y no podremos afirmar la reproductibilidad de las fases de validación.

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1.5.4

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PROCESOS

Para desarrollar este apartado necesitamos una noción que permita describir los proyectos de los actores tomando como referencia que la palabra “proceso” se refiere a un “conjunto de fenómenos concebido como activo y organizado en el tiempo” (Diccionario petit Robert 1978). No obstante, la noción del término en mención la desarrollaremos más profundamente en los Capítulos 3 y 4 . La mayoría de conceptos didácticos relativos a las determinaciones más que a las limitaciones pueden considerarse como procesos. Cita: “El concepto teórico en didáctica no es el contrato (el bueno, el malo, el verdadero o el falso) sino el proceso de buscar un contrato hipotético. Es el proceso el que representa las observaciones15 y debe modelizarlas y explicarlas” (Brousseau, 1986, p. 53). Ya hablamos del proceso de devolución para describir un proyecto del profesor que dura a lo largo de la situación didáctica. Hablaremos posteriormente, en el Capítulo 2, del proceso de institucionalización. En los Capítulos 3 y 4 abordaremos los procesos de verificación y de control, que son proyectos del alumno. Al igual que las fases, los procesos son en parte descriptibles a priori, pero deben reconstruirse a posteriori para comprender qué proceso se presentó efectivamente (ver proceso de prueba, proceso de verificación, en el Cap. 3).

15 Notemos que Brousseau relaciona aquí proceso y observación.

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1.5.5

SITUACIÓN, FASE, PROCESO DE FORMULACIÓN

Mostremos en un ejemplo el funcionamiento de los diferentes discursos asociados con estas nociones. Cuando hablamos de situación a-didáctica de formulación, se trata de situaciones en las que el medio (a-didáctico) se organiza para forzar al alumno a hacer funcionar su conocimiento para producir formulaciones. En el escenario de La Carrera a 20, Escena 3, los alumnos que han adquirido un conocimiento sobre el juego deben formularlo en el tiempo de concertación al interior del equipo pues no tienen ninguna certeza de ser elegidos como campeones. La formulación explícita de los conocimientos es producto de la situación. Cuando hablamos de fase de formulación, se trata de un momento en el que se formulan efectivamente los conocimientos en juego en la interacción didáctica. La construcción de situaciones de formulación busca que los intercambios esenciales en el juego correspondiente puedan analizarse como fases de formulación. Puede suceder, sin embargo, que surjan otras fases –como la fase de validación que nos describe Guy Brousseau (véase §1.5.3)–. Asimismo, pueden surgir fases de formulación en la realización de situaciones de acción, en especial si se prevé una interacción entre alumnos, pues favorece la formulación sin hacerla obligatoria. Ahora, cuando hablamos de proceso de formulación, lo hacemos para describir la elaboración temporal que permitirá la formulación de los conocimientos, y la evolución de esas formulaciones. Encontramos un uso frecuente de la palabra “proceso” (pero no de la locución proceso de formulación) con el sentido que encontramos

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en Saada y Brun (1984), quienes se interesan por la evolución de las producciones de los niños en una situación bastante larga: Cita: “Existe entonces una articulación entre la composición aditiva y la escritura, que se convierte en el instrumento de reflexión sobre el juego de dados. En efecto, como lo observamos en las diferentes fases de intercambios (formulación y reformulación) que se articulan a través de los argumentos entre escritor y lector, estos últimos utilizan un proceso de búsqueda de comprensión” (ibídem, p. 163, cursiva estilada del texto en francés).

1.5.6

SITUACIÓN, PROCESO, FASE DE VALIDACIÓN

Las diferencias que introdujimos nos permiten justificar y precisar aquí nuestro vocabulario sobre la utilización de la palabra validación; veamos: La situación de validación es una organización específica del medio para que “los mensajes intercambiados sean afirmaciones, teoremas, demostraciones, emitidos y recibidos como tales” (Brousseau 1986, p. 96). Así que la situación de validación busca la producción explícita de demostraciones por parte de los alumnos. En el caso de “La Carrera a 20”, esta situación se realiza en la escena final. Lo que caracteriza la situación de validación es el objetivo explícito de verdad de las afirmaciones.

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Las fases de validación, en el sentido que les hemos dado, describen un momento del desarrollo efectivo de las acciones del alumno, en el cual este accede por sí mismo a una información sobre la validez de su solución. La construcción de una situación de validación busca que los intercambios esenciales en el juego correspondiente puedan analizarse como fases de validación. Nicolas Balacheff estudió los procesos de validación y dio distintas caracterizaciones en textos sucesivos: Cita: “[Los procesos de validación] son constitutivos de la solución de problemas; aseguran la validez de su desarrollo y permiten decidir si el problema está resuelto” (Balacheff, 1985, cursiva nuestra). “Reservaremos aquí la palabra “razonamiento” para describir la actividad intelectual, generalmente no completamente explícita, de manipulación de informaciones, dadas o adquiridas, para producir nuevas informaciones. Llamamos proceso de validación a esta actividad cuando su finalidad es garantizar la validez de una proposición y eventualmente producir una explicación (respectivamente una demostración, o una prueba)” (ibídem, 1988a, p. 31, cursiva ajena al texto citado). El proceso de validación es entonces un desarrollo temporal, cuya finalidad no puede reducirse sólo al control de las situaciones de validación. Lo que caracteriza los procesos de validación es la búsqueda de la validez, que puede aplicarse a una acción o a una afirmación. El final del proceso marca el fin de una resolución de problema (y la palabra fin puede entenderse aquí igualmente en el sentido de finalidad). El calificativo de validación permite,

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así, centrar la atención en la problemática, explícita o no, de la validez de las acciones (en un sentido amplio) propuestas por el alumno.

1.6 ANÁLISIS DE SITUACIONES DIDÁCTICAS En la introducción, insistimos en que es importante que todo trabajo teórico tenga en cuenta los resultados y teorías pasados. Hasta ahora hemos estudiado algunos de los trabajos teóricos desde el punto de vista de la validación. Ahora queremos retomar algunos trabajos experimentales publicados. Nuestro objetivo es mirar si nuestro punto de vista nos permite mostrar el valor de nuevos hechos en las observaciones descritas, o analizar de manera diferente algunas de esas observaciones. El trabajo de Artigue y Robinet (1983) presenta un análisis de las fases de validación que retomaremos aquí. Comenzaremos preguntándonos por las relaciones entre situación a-didáctica y situación de aprendizaje (§1.6.1). Mostraremos luego cómo el análisis de las fases de validación permite prever el carácter necesariamente no a-didáctico de una situación de acción descrita por Vergnaud y Roucher (1983) (§1.6.2). Estudiaremos, seguidamente, una situación de formulación (Bessot y Eberhard, 1983) en la que analizaremos el rol del profesor en las fases de conclusión (§1.6.3); y, analizaremos, por último, una situación de validación (Brousseau, 1978a), comparando el funcionamiento completamente a-didactico de esta situación con la realidad experimental (§1.6.4).

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Para terminar, seleccionaremos situaciones experimentales que nos permitirán plantear nuevas preguntas, que servirán de base a la conclusión abierta de este Capítulo (§1.7).

1.6.1

SITUACIÓN DE ACCIÓN: FASE DE VALIDACIÓN Y APRENDIZAJE

Este artículo nos da el ejemplo de una descripción detallada de las condiciones de validación en una situación de acción. Después de haber reformulado esta descripción, nos preguntaremos por la ausencia de valoración de las propiedades de esas situaciones desde el punto de vista de la validación.

DESCRIPCIÓN DE LAS CONDICIONES DE VALIDACIÓN Decidimos hablar de la primera16 situación descrita en Artigue y Robinet 1983 (véase el Anexo 2). Los autores son sensibles a los problemas de la validación y precisan las hipótesis en las que se basa su situación: Cita: “Finalmente, el edificio reposaba sobre dos hipótesis que pueden parecer arriesgadas: [Primera,] la falta de destreza de los alumnos les impedirá construir a ojo pedazos aceptables; 16 Las otras situaciones tienen las mismas características, salvo la última, que debe evaluarse por los « criterios de validez » (ver el Cap. 2).

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para tener éxito, deberán utilizar una de las concepciones descritas. [Segunda,] su excelente percepción del círculo les impedirá considerar como correctos los dibujos imprecisos” (ibídem, p. 24). Estas hipótesis y la organización de los alumnos en grupos de cuatro permiten que la conclusión recaiga en los alumnos. Cita: “«Nota 2: para que se declare como bueno, un dibujo debe ser aceptado por los cuatro alumnos de una misma mesa». Los niños eran los únicos jueces de sus éxitos y fracasos respectivos. Habíamos escogido esta organización para evitar que el criterio de éxito sea la opinión del profesor con todos los inconvenientes conocidos que eso implica” (ibídem, p. 24). Así, la posibilidad de tales fases de validación en los grupos reposa en las hipótesis que los autores enunciaron. La primera hipótesis garantiza la imposibilidad de que las estrategias puramente perceptivas, no pertinentes con respecto al saber, resulten ganadoras. Es decir garantiza que el profesor no tendrá que intervenir para evaluar la “estrategia correcta”. La segunda hipótesis garantiza que las respuestas falsas no serán aceptadas. Las otras situaciones de la secuencia pueden analizarse de la misma manera.

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CONDICIONES DE POSIBILIDAD DE UNA FASE DE VALIDACIÓN Para las autoras Artigue y Robinet, el carácter de situación de aprendizaje no es intrínseco de las situaciones construidas. Cita: “Le habíamos presentado las situaciones a las profesoras como situaciones problema que debían permitirnos comprender mejor cómo funcionaban las diferentes concepciones de círculo en los alumnos. Pronto nos dimos cuenta, aunque no lo habíamos discutido, que esas 8 sesiones constituían a sus ojos las sesiones dedicadas en ese año a la enseñanza del círculo. Fueron utilizadas como tales, aparte del hecho de que durante la fase de trabajo individual o en equipos después de dar las consignas, las profesoras se propusieron intervenir lo menos posible para evitar perturbar las observaciones influyendo en tal o cual procedimiento” (ibídem, p. 13). La posibilidad de un funcionamiento a-didáctico de las situaciones construidas no es un resultado en sí. Las investigadoras pidieron a las profesoras que no intervinieran para no dañar la experiencia, mas no para favorecer el aprendizaje. Los resultados de aprendizaje, confirmados por un post-test, se presentan en la conclusión, como si no fueran previsibles desde la construcción de las situaciones. Cita: “No quisiéramos terminar sin abordar una pregunta que no era central pero nos parecía fundamental. Las situaciones de la experimentación fueron concebidas

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específicamente para responder a las preguntas planteadas sobre los modelos implícitos de círculo. Sirvieron de marco a la enseñanza y pensamos que efectivamente realizan las características que podemos esperar de situaciones de aprendizaje” (Ibíd., p. 62). Con respecto a “lo que podemos esperar de situaciones de aprendizaje” los autores se refieren a Douady (1980, p. 78): Cita: “Para favorecer la formación de un concepto, conviene proponer a los alumnos problemas que respondan al menos a las siguientes condiciones: – El enunciado es fácil de entender. – La respuesta no es evidente. – Una solución al menos parcial puede preverse gracias a los conocimientos adquiridos. – El o los métodos de resolución ya conocidos no son satisfactorios [...] en cambio, el dominio de determinados conceptos facilitaría la solución. – El concepto juega en el problema el rol que tiene en las ciencias o las prácticas en las que interviene de manera esencial”. No podemos detenernos en el hecho de que el punto de vista de Douady es fundamentalmente diferente del de Brousseau, sin estar en oposición. Las características retenidas son bastante globales, y es la pertinencia con respecto al saber en juego lo que se resalta. Después, Artigue y Robinet precisan una de las razones por las cuales, según ellas su secuencia no es un “modelo para los profesores”: Cita: “Si tal fuera nuestro objetivo, deberíamos garantizar la reproductibilidad de las situaciones

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propuestas (Brousseau, 1981). Esto supone que seamos capaces de determinar cuáles son las variables de comando del sistema, cuál es el campo de posibilidades, qué juego jugarán el profesor y el alumno” (p. 63, cursiva estilada del texto en francés). Por último, el análisis de las condiciones de posibilidad de la validación hechas por las autoras les permite, sin extensión de problemática, certificar las condiciones de posibilidad de una fase de validación, fundamental para el “juego” posible del profesor. Este ejemplo es paradójico; las situaciones con características positivas desde el punto de vista del saber y de la validación son raras y difíciles de construir. No obstante, las autoras no parecen considerar la construcción misma de su secuencia como un resultado. La atención que dedicamos a la validación nos permite revelar ciertas cualidades intrínsecas de las situaciones construidas.

1.6.2 SITUACIÓN DE ACCIÓN: MEDIO PARA LA VALIDACIÓN Se trata esta vez de analizar varias situaciones de acción. En el marco de esas situaciones (véase el Anexo 3), se previó un medio material importante. Hemos insistido en nuestro texto en el hecho de que el carácter material del medio para la acción no es necesario y lo describimos como un medio matemático. Ahora podremos ver que un medio material puede no ser utilizable como medio para la fase de validación.

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Nuestro análisis entonces buscará mostrar que en esta situación, el profesor debe intervenir para evaluar, independientemente de la forma de la evaluación.

EL MEDIO MATERIAL NO ES UN MEDIO PARA LA VALIDACIÓN La lección presentada en el Anexo 4 es la primera de una secuencia de aprendizaje bastante larga sobre el volumen (Vergnaud, Rouchier, et al, 1983). No se trata de una lección introductoria, sino que tiene por objetivo permitir el descubrimiento de “ciertas operaciones no triviales de comparación y medida, en especial sobre volúmenes llenos” (Ibíd., p. 76). Como notará el lector, en el anexo indicado, la presencia de un importante medio material y la ausencia de descripción de un rol particular del profesor en las tres primeras escenas, nos deja pensar que los autores presentan situaciones problema que permiten un funcionamiento autónomo y que el medio es medio para la validación. Vamos a ver que el análisis desde el punto de vista de la validación niega esta posibilidad. En la primera escena los alumnos deben comparar recipientes huecos “desde el punto de vista de lo que contienen”. Uno de los procedimientos esperados es llenar completamente un recipiente (1) y transvasarlo a otro (2), que lleva a la siguiente conclusión: si se desborda, es porque (1) contiene más que (2), si no se llena todo, es el contrario. El medio no es un medio para la validación. En efecto, si retomamos el procedimiento descrito, el material no

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permite responder por la validación de la clasificación, que depende completamente de la validez del procedimiento; v.g., imaginemos qué pasaría si un niño (como es corriente para sujetos más jóvenes) utilizara el siguiente procedimiento: comparar los volúmenes, es comparar las alturas de los recipientes; sólo una explicitación de la consigna permitiría descalificar este procedimiento. Pero aquí, “explicitación de la consigna” significaría una reformulación de la consigna (desde el punto de vista de lo que contienen) en la forma del procedimiento deseado... No obstante, en el nivel de quinto de primaria, donde se llevó a cabo el experimento, la tarea fue fácil para la mayoría de alumnos, y es plausible que esa configuración no se produjera (los alumnos sabían ya comparar dos recipientes huecos, y la Escena 1 sólo era una reutilización de sus conocimientos).

ROL DE UNA FASE DE BALANCE Nuestro análisis nos permite comprender una de las razones de la separación que hicieron los autores entre las Escenas 1 y 2. A primera vista, no hay diferencia entre esas dos actividades, pues se trata de comparar recipientes huecos. La utilización de la relación de orden sobre cuatro elementos en lugar de dos complica la situación, ¿pero amerita una separación? Nuestro análisis nos permite pensar que debe organizarse una fase de conclusión entre las dos escenas. El medio no permite tal fase, y el profesor debe intervenir rápidamente si aparece un procedimiento erróneo. Los autores indican efectivamente que “cuando termina la manipulación, el profesor solicita los resultados y las explicaciones de algunos grupos” (ibídem, p. 77).

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Esta fase de conclusión es indispensable, y es importante organizarla antes de la introducción de un número más grande de elementos. En efecto, el riesgo de error en la Escena 1 es débil, el profesor no tendrá que intervenir más que por un silencio aprobador, pero en caso de error de procedimiento será muy difícil corregir el tiro después, cuando los errores de seriación podrían aparecer. La fase de balance tiene aquí un carácter “intermediario” entre fase de validación y de evaluación, en la medida en que el profesor puede intervenir activamente en caso necesario.

INTERVENCIÓN PREVISIBLE DEL PROFESOR Pasamos directamente a la Escena 3, en la que se introducen objetos llenos. El problema comienza a ser difícil para los alumnos de ese nivel, y los procedimientos erróneos descritos (ver ibídem, pp. 79-83) muestran esa dificultad. Pero las características de la situación desde el punto de vista de la validación no cambian con respecto a la Escena 1. El medio no ofrece una retroacción que los alumnos puedan interpretar con respecto a la validez de su procedimiento, por lo que es necesario que el profesor intervenga para concluir. Miremos ahora la descripción de la Escena 4: Cita: “Es una fase de puesta en común de los resultados obtenidos y de los procedimientos utilizados por los diferentes grupos. Una serie definitiva de ocho objetos se elabora colectivamente. La exposición de los procedimientos la hace un alumno de cada grupo,

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delegado por el grupo. El profesor no decide sobre la corrección o la eficacia de un procedimiento y deja que la discusión se desarrolle libremente. Finalmente el profesor pregunta lo que fue comparado” (ibídem, p. 78, cursiva del texto en francés). ¿Cómo puede el profesor dejar que la discusión se desarrolle libremente si esta fase es la última de la lección sobre las comparaciones de volumen y que debe concluir? Si leemos en detalle el análisis propuesto sobre los procedimientos de los alumnos podemos comprenderlo: Cita: “[…] sobre el conjunto de las cinco clases, más de la mitad de los grupos no logró encontrar por sí mismos un procedimiento de comparación de volúmenes llenos entre ellos, o de un volumen lleno y un volumen vacío” (ibídem, p. 85, cursiva del texto en francés). Así que el profesor (o un “observador”) intervino, pero antes, en la fase de solución. Ciertamente, este ejemplo nos parece interesante pues muestra el interés del punto de vista de la validación en las situaciones de acción. Los autores utilizaron un medio material importante (e incluso muy restrictivo para el profesor). En sus análisis, apartaron al profesor implícita o explícitamente del corazón del problema, y podríamos esperar que las situaciones descritas sean situaciones que permiten un funcionamiento a-didáctico. Sin embargo, la situación no permite la decisión de las fases de conclusión por parte de los alumnos (validación) sino que obliga al profesor a evaluar.

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1.6.3

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SITUACIÓN DE FORMULACIÓN: VALIDACIÓN DE LOS MÉTODOS

Este ejemplo es una situación de formulación. Vamos a ver que en el caso de la formulación, la validación plantea un problema específico.

DESCRIPCIÓN DE LA VALIDACIÓN Estaremos de acuerdo en que muchas descripciones de situaciones dejan impreciso el rol del profesor, y las características de la situación desde el punto de vista de la validación, incluso si se trata de investigaciones sobre situaciones de aprendizaje en clase. En el ejemplo que escogimos (Bessot y Eberhard, 1983), el lector tiene que adivinar una parte de las informaciones sobre la validación, que son cruciales para comprender ciertas dificultades que encuentra el profesor en la gestión de la situación. Los autores comienzan por un análisis sumamente fino y detallado de las situaciones de medida, desde el punto de vista del saber; luego presentan sucintamente un proceso de aprendizaje construido a partir de su análisis. Si miramos la descripción de su secuencia, la Escena 1 (Anexo 4) es un juego de comunicación. En la descripción, puede adivinarse que una cierta validación de la medida del emisor se hace por superposición entre la franja del emisor y la escogida por el receptor después de recibir el mensaje. Esto no está indicado en el texto, simplemente puede suponerse por la existencia de la posibilidad de la validación con el material disponible. La confrontación podría justificar (en parte) la afirmación que “esta primera

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fase permitió a los alumnos en situación expresar las condiciones necesarias para que una designación permita comparar dos longitudes de objetos [...]” (ibídem, p. 310). Además, podemos prever que la profesora tiene un rol importante en la expresión de esas condiciones, pues esta formulación no es producto de la situación. No se sabe cómo se validan esas condiciones necesarias. Por consiguiente, la escena 1 describe una situación de formulación sin precisar la validación de la eficacia de un mensaje, aún cuando pueda imaginarse, y en cambio evoca la validación de la pertenencia del mensaje, aunque la situación no organiza esa validación.

UNA FASE DE CONCLUSIÓN EN LA QUE EL PROFESOR SE VE FORZADO A EVALUAR En cuanto a la Escena 3, la descripción detallada que viene en el artículo nos permite comprender mejor lo que pasó: La profesora recibe el resultado, pero no puede decirse que se producirá una fase de evaluación. El objetivo no es la medida (que todo el mundo sabe obtener por un medio u otro) sino la rapidez de los métodos (se trata de una carrera). El resultado de la carrera es conocido por los alumnos por una retroacción simple de la situación (se ve cuál equipo terminó primero). El problema que se plantea en el análisis de la validación, es saber si la rapidez basta para discriminar los métodos desde el punto de vista del saber, es decir de las estrategias pertinentes buscadas por el profesor. Es lo que piensan a priori los autores, después de un análisis del costo de las estrategias. En la secuencia realizada, la estrategia esperada no es mayoritaria y no es la del equipo ganador.

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Ante el fracaso de la fase de conclusión desde el punto de vista del objetivo didáctico, la profesora evaluará como mejor la estrategia esperada, sin que haya sido validada por la situación (el único equipo que la utilizó llegó de segundo): Cita: “Estamos ante un ejemplo de una “situación de pedagogía clásica en la que el profesor explota inmediatamente la afirmación correcta” (Brousseau, 1981). En efecto, el profesor valida17 un procedimiento minoritario que sólo algunos alumnos reconocen como interesante y cierra definitivamente la situación. Esta validación que concluye el debate puede identificarse con una institucionalización del procedimiento E. Si el profesor no hubiera cerrado la situación y por el contrario, hubiera propuesto otra carrera, ¿la evolución prevista de los procedimientos se habría dado?” (Bessot y Eberhard, p. 322). En esta parte de su artículo, hay una descripción larga de la situación y se comprende mejor cuáles son los medios de validación que funcionan en la situación. Se trata entonces de una situación en la que se prevé una validación por el medio (la estrategia ganadora es la que permite responder más rápido). Pero el profesor no reconoce esta fase de validación como una fase de conclusión pues resultó no pertinente con respecto al saber. Así, el profesor organizó entonces una fase de evaluación, obedeciendo a las imitaciones que describimos en el §1.1 –nuestro análisis revela una lógica en el comportamiento del profesor que no aparece en el artículo–. 17 Bessot y Eberhard emplean el verbo « validar » cuando nosotros diríamos « evaluar ».

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Cita: “Cuando construimos esta situación, pensábamos que el costo del procedimiento P1 provocaría su abandono y llevaría a los alumnos a construir escalas. Pero seis de los once equipos conservaron este procedimiento durante todo el juego. Como uno de esos equipos ganó el juego, los niños reforzaron la idea de que su fracaso resultó de una falla de organización. A pesar de todo, el profesor impuso a cada alumno la fabricación de una regla como lo hizo el segundo equipo” (ibídem, pp. 322-321, cursiva del texto en francés). ¡En lugar de “a pesar de todo”, nosotros diríamos “por eso”! Es decir: como la validación no funcionó, el profesor se ve obligado, no sólo a evaluar, sino a reforzar la estrategia que quería favorecer. Finalmente, este artículo resulta bastante típico de la descripción del rol del profesor en los trabajos de nuestro paradigma, ya que implícitamente el profesor interviene “lo menos posible”, sin que se sepa bien las condiciones que hacen posible esta actitud. Cuando se describe su rol, es porque los investigadores lo perciben negativo (incluso cuando el profesor es también investigador). Pensamos que la descripción de las condiciones de conclusión ayuda a comprender en cuáles situaciones se encuentran a la vez los alumnos y el profesor.

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1.6.4

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SITUACIÓN DE VALIDACIÓN: GESTIÓN DEL MEDIO A DIDÁCTICO

Aunque ya usamos la trama de “La Carrera al 20” (Brousseau, 1978a, ver el Anexo 1) anteriormente, volveremos a retomar aquí su análisis, ya que esta situación nos da una buena base para retomar las nociones de proceso de devolución, fase de conclusión y medio para la validación.

PROCESO DE DEVOLUCIÓN En la Escena 1, la profesora comienza una partida contra un niño. Las reglas del juego de “La Carrera al 20” son fáciles de mostrar en la acción, y sería inútil tratar de explicarlas sólo oralmente. La profesora muestra las reglas del juego jugando, pero se retira para dejar su sitio a un niño, ya que el juego completo de un niño contra la profesora habría impedido la devolución del juego a-didáctico, dado que cuando él juega contra la profesora, que sabe jugar, lo que trata de averiguar es cómo ella juega, y no cómo se puede ganar razonando. Observación: Para explicar el juego a una colega investigadora y profesora de matemáticas, le pedimos que jugara contra su hija de 18 años. Aunque la madre no había elaborado ninguna estrategia (no trataba de ganar sino de comprender el juego), su hija jugaba sumamente despacio, razonando sobre las jugadas de su madre, y tuvimos que interrumpir la partida.

La profesora se retira como adversario para permitir el proceso de devolución. Aunque se retira, durante todo el

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juego y en especial durante las Escenas 1 y 2, la profesora sigue responsable de las reglas del juego, y en último recurso, juzgará si hubo trampa o no. Observación: Llevamos a cabo la secuencia de “La Carrera a 20” con un grupo de adultos con dificultades. En el curso de la escena 2, dos jugadores se pelearon violentamente, pues uno de los dos había interpretado la regla así: “había que escoger antes de cada partida si se iba a jugar 1 o 2, y luego mantener esto durante toda la partida”. Está claro que nuestro rol en este caso era intervenir para explicar la consigna.

FASE DE CONCLUSIÓN La Escena 2 tiene las características de una situación de acción. Las fases de conclusión son fases de validación por el medio, pues los jugadores pueden saber si ganaron o no, sin la ayuda del profesor. Por otro lado, en la Escena 1, la profesora les dio a los niños los medios para jugar y saber si ganaron. El saber utilizado en la acción (la construcción de la serie de números de 3 en 3) está totalmente implícito, la validación por el medio no necesita ningún conocimiento especial. Así que el juego está constituido por cada partida, pero también por el conjunto de partidas jugadas. El medio se compone a la vez, en cada partida, de las dos series de números jugadas por los adversarios, pero también, en el conjunto de partidas, del juego de “La Carrera a 20”. Este segundo medio está aquí suficientemente implícito para no necesitar ser objeto de una fase de conclusión. Nadie decide si una estrategia es mejor que otra.

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Por ende, la clave de la situación siguiente, en la que debe expresarse la estrategia, es la ausencia de conclusión sobre ese punto. Ahora, la Escena 3 tiene características de una situación de formulación. El medio es mucho más complejo que en la escena posterior. Este está constituido por una parte por los miembros del equipo, que son “receptores” de las formulaciones. Pero el juego de los campeones, en su conjunto, tiene el rol de medio para la formulación. Este último medio no permite una fase de validación con el sentido de fase de conclusión que le damos nosotros. En efecto, las formulaciones no reciben una sanción sobre su verdad por intermedio de ese medio. Este ofrece retroacciones, puede guiar el proceso de validación de las formulaciones, pero no permite una validación, ni siquiera implícita. De modo que la Escena 2 no tiene una fase de conclusión; según lo que dijimos en el §1.2, tal configuración no debería ser posible para el profesor. Entonces, ¿debemos concluir que la descripción de la secuencia está incompleta y que aquí tenemos una fase de evaluación de las formulaciones? Esa fase no es necesaria, pues las formulaciones permanecen privadas, fuera de la escucha oficial del profesor (los alumnos están repartidos en equipos, hablan entre ellos tratando de que los otros no los oigan). El profesor no es responsable del hecho de que se produzcan formulaciones inexactas, y puede proponer otra situación sin concluir. Si fuera espectador de las formulaciones, podría verse obligado a intervenir, por lo menos organizando una “fase de balance” (Grenier, 1988, p. 314), intermediario “oportuno” entre validación y evaluación (véase §2.4).

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MEDIO PARA LA VALIDACIÓN La Escena 4 tiene las características de una situación de validación. Se trata de formular proposiciones (en el sentido lógico del término) y validarlas; para tal fin los alumnos deben entrar en un proceso de prueba. Para eso pueden utilizar el juego como un medio para la validación, en el marco de su argumentación. Por ejemplo: “tengo razón, ven a jugar conmigo y verás que te gano”. Es importante notar que las reglas de utilización del juego como medio para la validación deben discutirse, se trata del objeto del saber en esta fase, que es el aprendizaje de las reglas del debate. Por ejemplo, puede ser legítimo utilizar juegos truncados: “mi teorema es « para ganar, hay que jugar 14 », basta con jugar a partir de 14”. O el razonamiento puede permitir evitar el juego. Ahora, si el juego está incluido en el medio para la validación, entonces para que la realización de esta escena tenga características verdaderamente a-didácticas, se necesitaría que los alumnos mismos decidan totalmente la utilización o no utilización del medio formado por el juego (ver §1.7.4). Esta condición parece muy difícil de lograr en la práctica, lo cual está relacionado con la dificultad que señalamos en §1.4.7. En el video realizado en la Escuela Michelet en 1977, es con frecuencia la profesora quien sugiere a los niños que jueguen contra un miembro del equipo adversario para defender una proposición. Ella les recuerda igualmente que tienen que tratar de ganar (es decir que el juego ya no es lúdico, sino que simula un juego ideal donde nadie se equivoca). Ella interviene directamente en la relación de los alumnos con el medio para la validación,

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en contradicción con la ambición de realizar una situación a-didáctica de validación. Observación: Nosotros tuvimos una experiencia aun más amarga con el grupo de adultos del que hablamos anteriormente. Su dificultad para entrar en un juego racional hacía ilusoria su utilización autónoma del medio para la validación, aunque produjeron muchos teoremas correctos. ¡No encontramos en la acción, más que pedirles que jugaran sus teoremas contra nosotros! Dando a entender que como sabíamos jugar, sólo podíamos perder contra alguien que tuviera una verdad insuperable...

Para terminar, no está demás decir que nuestras críticas no tratan de cuestionar el interés de esta escena crucial de “La Carrera a 20” sino señalar una dificultad muy importante, consecuencia de la naturaleza de las situaciones de validación (ver también §2.7).

1.7 PREGUNTAS SOBRE LA VALIDACIÓN El propósito de este apartado es concluir abiertamente el Capítulo 1. Los análisis de situaciones que hicimos en el §1.6, aunque muestran el interés del punto de vista de la validación, nos conducen a otras preguntas. En especial, la problemática del aprendizaje, ausente hasta ahora en el capítulo, tiene que plantearse (y será desarrollada en el Capítulo 2). Retomaremos en orden los análisis del §1.6. En lo que concierne a las situaciones de acción, la primera pregunta

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será la relación entre validación y aprendizaje (§1.7.1), y la segunda las condiciones del medio para permitir la validación (§1.7.2). Sobre las situaciones de formulación (§1.7.3) y de validación (§1.7.4) nos preguntaremos por la complejidad de la validación. En el último , introduciremos el siguiente capítulo, mostrando que el medio no puede ser siempre material, o en todo caso exterior al alumno (§1.7.5).

1.7.1

VALIDACIÓN Y APRENDIZAJE

En el Capítulo 2, desarrollaremos los fundamentos de la teoría de las situaciones con respecto a las teorías de aprendizaje. En este nos limitaremos a la siguiente observación: cualquiera que sea la teoría adoptada, sólo hay aprendizaje porque recibimos informaciones exteriores a nosotros mismos. Hemos dicho que el profesor no puede enseñar sin dar oportunidad al alumno de tener informaciones conclusivas sobre su trabajo (§1.1), porque él es responsable del saber en la clase. Esta proposición es válida también para el aprendizaje y no solamente para la enseñanza, ya que el sujeto no puede aprender sin recibir informaciones conclusivas sobre su actividad. Por ende, la validación permite relacionar enseñanza (proyecto del profesor) y aprendizaje (proyecto del alumno). Si nos interesamos por el tipo de aprendizaje especial que se da en una relación adidáctica, esta observación tiene implicaciones importantes. En efecto, para que haya aprendizaje en las fases en que el profesor deja de aportar directamente las informaciones, es necesario que el medio permita las fases de validación. Esta observación

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es el motivo de nuestra sorpresa ante las dudas de Artigue y Robinet (1983, ver §1.6.1) en cuanto a la naturaleza de la situación de aprendizaje de su secuencia, pues todo estaba construido para permitir un aprendizaje, pero esta construcción no fue reconocida por ella misma.

1.7.2

CONOCIMIENTOS NECESARIOS PARA LA VALIDACIÓN

Cabe preguntarnos ¿cómo puede el alumno decidir sólo en la fase de validación? En una situación a-didáctica de acción, el sujeto está inmerso en un problema que no puede resolver completamente o eficazmente con sus conocimientos actuales. Desde el punto de vista de las estrategias, eso quiere decir que utiliza una primera estrategia (estrategia de base), para resolver el problema, y que esta estrategia no será suficiente (Ratsimba-Rajohn, 1982, p. 70; Douady, 1980 p. 78, citado en 1.6, §3). Pero debe estar en capacidad de saber que esta estrategia no es suficiente sin que tenga que crear para eso un conocimiento nuevo. Cita: “¿El alumno puede perder? ¿Lo sabe, conoce de antemano un estado entre varias posibilidades, sabe entre cuáles?” (Brousseau, 1986, p. 102). La retroacción del medio puede generalmente producir una interpretación más rica que una simple división de los resultados en correctos e incorrectos. Pero debe ser legible para el alumno con sus conocimientos actuales. Por lo menos en las situaciones (de acción y de formulación) en las que la validación no es un conocimiento buscado (situación de validación). A propósito de ello,

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este problema fue ilustrado en la situación de los volúmenes (Vergnaud, Rouchier, et al., 1983, §1.6.2); los alumnos estaban en una situación de acción, pero el medio no era utilizable como base para el razonamiento, y no permitía el funcionamiento a-didáctico de las fases de validación.

1.7.3

VALIDACIÓN Y SITUACIÓN DE FORMULACIÓN

Hasta ahora hemos hablado de las fases de validación de una manera global, colocándonos en la situación más general que es la de acción. No desarrollaremos la cuestión de la validación en las otras situaciones (formulación y validación), pero podemos formular algunas preguntas. En el ejemplo de las dos situaciones de medida (Bessot y Eberhard, 1983) encontramos el difícil problema de la validación en una situación de formulación. Desde el punto de vista de la acción, el resultado de un procedimiento es una acción sobre el medio (precedida en la mayoría de los casos por una anticipación). La validación en ganar-perder (o verdadero falso) basta para concluir sobre la acción y el procedimiento que guió la acción, si las variables de comando se escogen apropiadamente. Este nunca es el caso en las situaciones de formulación, en las que el resultado es doble: formulación por una parte, efecto de la formulación en una acción por otra. La validación del efecto de una acción, que proviene o no de una formulación, no plantea más dificultades que en situación de acción. Por el contrario, la conclusión sobre la formulación misma plantea problemas de adecuación y

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pertinencia que no pueden decidirse por la eficacia de las acciones que puedan resultar de ellas. Esta dificultad nos remite a lo que señalamos anteriormente: el límite de la modelización en términos de juego. La pertinencia de una formulación, y su validez desde el punto de vista del lenguaje, por ejemplo, es difícil de organizar en forma de juego a-didáctico, a menos que se posponga la validación a una situación de validación. Por tal razón, en la mayoría de los autores que han utilizado las situaciones de formulación en las secuencias de aprendizaje, vemos aparecer fases de balance, o de debate colectivo, que nos parecen consecuencia necesaria de las limitaciones relacionadas con la necesidad que tiene el profesor de mantener su responsabilidad en la fase de conclusión. No obstante, dichas fases deben caracterizarse desde el punto de vista teórico, lo cual haremos posteriormente en el Capítulo 2.

1.7.4

MEDIO Y SITUACIÓN DE VALIDACIÓN

En el ejemplo de la situación de validación de “La Carrera a 20” (§1.6.4) nos enfrentamos a la dificultad de la definición del medio para la validación en una situación de validación, y a la dificultad de definir las relaciones de los alumnos frente a ese medio. Así, pensamos que esta dificultad es general para las situaciones a-didácticas de validación. En efecto, si en las situaciones de formulación la validación es complicada porque debe hacerse a dos niveles (acción eventual del receptor, pertinencia de la formulación), ese problema es aún más delicado en el caso de las situaciones de validación.

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Del mismo modo, en esas situaciones, los alumnos deben considerar algunas de sus formulaciones como conjeturas, o proposiciones, y deben encontrar por sí mismos el medio de validarlas, para que de esta manera, el problema pueda llevarlos a pruebas intelectuales (Balacheff, 1988), es necesario que no encuentren directamente una respuesta a la validez de sus afirmaciones en un medio ya organizado. Deben entonces, convenir entre ellos las reglas del debate de prueba, para que, en efecto, las reglas del debate sean el objetivo del aprendizaje en las situaciones de validación. Consecuentemente, el profesor no puede tener una garantía a priori que la fase de validación vivida por los alumnos será aceptable para él como fase de conclusión. Finalmente, hacemos hincapié en que la organización de las situaciones de validación busca solamente garantizar que los alumnos tendrán oportunidad de emprender estrategias de prueba, ya que las limitaciones no pueden garantizar el funcionamiento a-didáctico de la situación.

1.7.5

DESCONTEXTUALIZACIÓN

Por último, esperamos que este capítulo haya contribuido al lector a explicitar ciertos fenómenos de validación, en las situaciones de acción en particular. No obstante, nuestro discurso podría dejar creer que la validación pasa necesariamente por un medio exterior al alumno, “antagonista del sistema enseñado”, como lo afirmó en algún momento Brousseau. Tal punto de vista nos impediría salir de la problemática de las situaciones a-didácticas “de aprendizajes iniciales”. Luego tenemos que plantear el problema

CAPÍTULO 1

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de la descontextualización y de la evolución de los conocimientos; en especial, si la validación siempre depende de un medio definido como exterior al alumno, ¿cómo es posible una descontextualización sin “efecto Jourdain”18? Esta problemática de los currículos o de las “secuencias” es esencial en una perspectiva de aprendizaje. El trabajo del alumno en situación a-didáctica puede provocar una micro-génesis; ¿pero después? ¿Sólo existe el trabajo de “institucionalización” reservado al profesor? Entonces, ¿debemos decir que toda secuencia didáctica debe pasar por una verdadera situación de validación? En el Capítulo 2, trataremos de mostrar que hay un aprendizaje de “criterios de validez” que no son necesariamente explicitables, pero que pueden permitir pasar de una situación a otra, y que el trabajo de institucionalización es un proceso en el que el profesor y los alumnos colaboran.

18

Brousseau, 1986, p. 42.

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Criterios de Validez 2 En este Capítulo nos ocuparemos del alumno en su rol de quien aprende. El §2.1 será consagrado a reubicar el paradigma de la Didáctica de las Matemáticas con respecto a determinadas teorías del aprendizaje. En el primer capítulo, como se acabó de discutir, nos ocupamos principalmente de las situaciones de “acción”; en la perspectiva del aprendizaje, ese término se presta a confusiones, y trataremos de determinar (§2.2) qué es lo que permite el aprendizaje en una situación de acción. Veremos que la fase de validación que caracterizamos como una modalidad de la fase de conclusión en el Capítulo 1, tiene un rol también en el aprendizaje. Además, el §2.3 será consagrado a un primer análisis de secuencia didáctica; ese trabajo de relectura de un trabajo experimental publicado nos permitirá introducir ciertas nociones que desarrollaremos después. De otra parte, en el capítulo anterior anunciamos que era necesario examinar lo que sucede en las fases de validación cuando no hay contexto material; es lo que haremos en el §2.4, discutiendo la pregunta de la institucionalización y de la contextualización. Así, la noción de criterio de validez nos

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permitirá retornar al análisis de la secuencia (§2.5) con nuevas herramientas. Como el anterior capítulo1, este se terminará con preguntas abiertas, sobre la construcción del currículo (§2.6).

2.1 APRENDIZAJE Luego de revisar rápidamente el vocabulario relativo al funcionamiento del alumno en nuestra comunidad (§2.1.1), estudiaremos dos concepciones opuestas de aprendizaje: Empirismo (§2.1.2) y Constructivismo (§2.1.3). Brousseau, quien retomó los principios del constructivismo en el marco del aprendizaje provocado, desarrolló el concepto de aprendizaje por adaptación (§2.1.4). Retomando algunas características de los conocimientos matemáticos, veremos cómo el “sujeto matemático” del que hablamos en el capítulo anterior, puede funcionar en la teoría de las situaciones incluso dentro de una problemática de aprendizaje (§2.1.5).

2.1.1

CONCEPCIONES

Aunque una de las especificidades de la mayoría de investigaciones francesas es el interés por el aprendizaje, este tema no es evidente. En general, se suele confundir aprendizaje y enseñanza, pues se considera como insignificante el paso entre lo que dice el profesor y lo que el alumno comprende. En esta visión de las cosas, el alumno aprende lo que el profesor dice, y no aprende nada de lo que el profesor no dice (ver §1.2). Todas las

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investigaciones experimentales han revelado, por el contrario, la existencia de “concepciones” del alumno, que sin ser erráticas, no son producidas directamente por la enseñanza. Entonces es imposible evitar estudiar la génesis de la relación personal del alumno con el saber. Como mencionamos anteriormente, en este Capítulo nos enfrentamos a un problema de vocabulario, producto de una falta de claridad teórica, que por ahora no trataremos de resolver. No obstante, por ejemplo, en los textos franceses, muchas palabras se refieren a los conocimientos del alumno; algunos autores prefieren unas palabras, que definen con mayor o menor precisión. Así, Gerard Vergnaud propuso el término de “teorema en acto” que “designa las propiedades de las relaciones identificadas y utilizadas por el sujeto en situación de resolución de problemas” (Vergnaud, 1981, p. 11). Por su parte, Guy Brousseau utiliza más bien la voz “modelo implícito” (Brousseau, 1981, p. 54). Mientras que Yves Chevallard (1988) introdujo el vocablo “relación con el saber”. Pensamos que esas diferencias de vocabulario abarcan posiciones teóricas profundamente diferentes, en especial entre esos tres autores, en cuanto a quien aprende –aunque no profundizaremos este tema–. Hablando de términos, la palabra más usada en la literatura didáctica, independientemente de la “escuela”, es la de concepción, que aparece cuando se habla de las operaciones de pensamiento del alumno, y en general del aprendizaje. El sentido que Daniele Coquin-Viennot le da aquí a esa palabra es representativo del uso corriente19 en 19 Señalamos que Flabiba El Bouzzaoui (1988), y Michele Artigue (1988) hacen una síntesis de los diferentes sentidos de esa expresión, y fijan su posición sobre su uso.

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los artículos (salvo los de Guy Brousseau, y el de Michele Artigue y Jacqueline Robinet, 1983): Cita: “¿Es posible definir un “grado de adquisición” del concepto en función del número y de la naturaleza de tareas realizadas? Analizando el tipo de errores cometidos, podría evaluarse, no solamente el grado de adquisición, sino también “la calidad” de la adquisición. Ese grado y esta calidad corresponderían a una representación que el niño se hace del concepto: una concepción. A diferentes estadios de adquisición corresponderían diferentes “representaciones” cada vez más precisas. Pero concepciones diferentes pueden también coexistir y estar más o menos disponibles según las situaciones” (Daniele Coquin-viennot, 1985, pp. 145-146). Por nuestra parte, nos contentaremos con utilizar de manera vaga la palabra “concepción”, y sólo utilizaremos otras palabras si nos referimos a la formulación de un autor en particular. No obstante, tenemos que precisar el nivel de descripción de esta palabra. Así, para nosotros la palabra concepción describe un modelo de comportamiento cognitivo del sujeto en situación, construido por el investigador. Aún es difícil no “deslizarse” y considerar efectivamente una concepción “presente en el alumno”, “que pertenece al pensamiento del alumno”. Todo lo que el investigador puede decir es que tal persona se comporta “como si” siguiera tal o cual modelo, en una situación dada. Puede suceder que el alumno mismo exprese lo que le permite actuar o razonar en tal o cual situación, y entonces podremos hablar de concepción expresada (cf. los

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“modelos expresados” en Aline Robert, 1982). Empero en la mayoría de los casos, las concepciones son implícitas para el alumno.

2.1.2

EMPIRISMO

No podemos hablar de aprendizaje sin evocar un modelo aún muy común en la noosfera: el modelo empirista. Esta concepción de aprendizaje rara vez es expresada, pues funciona como una “concepción espontánea” –e incluso como un “obstáculo” en el sentido de Brousseau (1983)–. Esta concepción es la responsable de la confusión entre aprendizaje y enseñanza que evocamos anteriormente. Hay que tener en cuenta que cuando hablamos de empirismo, es en referencia al análisis de Jean Piaget. Una de las herencias de nuestro paradigma a Piaget, es la oposición entre empirismo y constructivismo. Cita: “Se llama empirismo epistemológico la doctrina según la cual todo conocimiento proviene de la experiencia externa o interna, la experiencia concebida como una lectura o registro de propiedades completamente organizadas, ya sea en los objetos, ya sea en el sujeto” (Piaget, 1967, p. 37). “El problema fundamental [de la psicología] es establecer si la adquisición de conocimientos reposa sobre la experiencia únicamente o si comporta una parte de organización o de estructuración de las actividades del sujeto. Vemos así que es muy posible demostrar, gracias

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a los métodos experimentales de la psicología, que la génesis y el desarrollo de los conocimientos no corresponden al esquema empirista (ese es precisamente el resultado más claro de los trabajos que realizamos desde hace cuarenta años sobre la formación de conocimientos en el niño). Aunque históricamente, un gran número de psicólogos han sido empiristas, no es legítimo reducir a priori la psicología experimental al empirismo epistemológico. Pero es importante insistir en ese punto, pues esta asimilación ilegítima constituye implícitamente, y a veces explícitamente, la razón misma del anti-psicologismo de los fenomenologistas” (ibídem, p. 38). De este modo, Jean Piaget subraya como un resultado importante de sus trabajos el fracaso experimental (y teórico) de la concepción empirista de la construcción del conocimiento. Asimismo, puede decirse que uno de los resultados de los trabajos de Didáctica de las Matemáticas es la confirmación, en el dominio del aprendizaje provocado, de ese resultado obtenido por Piaget en el de la génesis “espontánea” de los conocimientos. Retengamos del empirismo la formación de conocimiento por la “lectura y registro de propiedades completamente organizadas”. En esta cita, hay que entender la lectura en el sentido más literal del término, sin que un trabajo interpretativo intervenga en la visión “pura de las propiedades”. En tal concepción del aprendizaje (como génesis provocada de la formación de conocimientos), el alumno registra el discurso del profesor. Si hay una intervención diferente a la palabra, los fenómenos serán vistos o tocados, lo

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que justifica la utilización intensiva de la ostensión como facilitadora del aprendizaje. No se puede entonces aprender nada cuando el profesor no habla o no muestra nada; no se tiene en cuenta la actividad de reconstrucción del saber. Si el saber se imprime así, casi directamente en el cerebro de quien aprende, es fundamental que no tenga ocasión de ver o escuchar producciones falsas desde el punto de vista del saber. “Todo el contenido de una lección de matemáticas debe ser matemáticamente correcto”. Como ya lo anotamos, esta aparente tautología no lo es en realidad, ni con respecto a la historia de la enseñanza, ni con respecto a la necesidad didáctica. Si insistimos en esta cuestión es por que la concepción empirista de la génesis de conocimientos nos parece aún muy difundida, en particular entre los profesores y en la noosfera. Sin embargo, no es nuestra función mostrar esto aquí, ya que se trata de una hipótesis que sólo se basa en nuestra experiencia personal. No obstante, las investigaciones sobre el tema aún son poco numerosas, tal vez porque adquieren sentido en la observación de clases “cualesquiera”. Así que se trata, en efecto, de una concepción que se ve en la acción; al respecto, Steinberg (1988, pp. 311-312) enuncia conclusiones de ese tipo, que ilustra con un episodio observado en una clase: Cita: “Las buenas intenciones de muchos profesores que quieren presentar de la manera más simple posible y explicar directamente, la obligación de explicitar completamente en clase el saber en todos sus significados, conduce a replegar completamente un nuevo saber que

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debe adquirirse a un saber ya conocido y, por lo tanto, a no aprender nada nuevo”. “[…] desde un punto de vista epistemológico, la elaboración de una comprensión auténtica del concepto es impedida, en el aparte de clase presentado, por una interpretación empirista del saber y la idea según la cual el sentido de un saber nuevo debe desprenderse completamente de conceptos fundamentales ya conocidos. Es necesaria otra concepción de la naturaleza epistemológica del saber matemático”.

2.1.3

CONSTRUCTIVISMO

La investigación en Didáctica de las Matemáticas en Francia toma de Piaget el punto de partida para la oposición fundamental entre empirismo y constructivismo, y toma en serio la concepción constructivista del conocimiento –precisamos de una vez que esto no quiere decir, de ninguna manera, que adherimos a toda la teoría piagetiana–. Retenemos evidentemente la hipótesis de construcción del conocimiento, ya que así no podemos asimilar conocimiento y saber. El conocimiento es una construcción personal, mientras que el saber proviene de una elaboración cultural. Consecuentemente, la importancia de la génesis del conocimiento en quien aprende motiva también nuestro interés por la génesis –histórica– del saber.

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Además, conservamos el fundamento de la construcción del pensamiento en la acción: Cita: “El punto de partida de una epistemología genética adaptada a los conocimientos psicológicos actuales [...] consistirá en proceder a la acción completamente, cuyos índices sensoriales sólo constituyen un aspecto: el pensamiento procede de la acción en su mecanismo esencial, que es el sistema de las operaciones lógicas y matemáticas, y por lo tanto, es el análisis de las acciones elementales y de su interiorización o mentalización progresivas quien debe revelarnos el secreto de la génesis de esas nociones” (Piaget, 1973, p. 26). También la importancia de los desequilibrios. Cita: “Es claro que en una perspectiva de equilibración, una de las fuentes de progreso en el desarrollo de conocimientos debe buscarse en los desequilibrios como tales, quienes obligan al sujeto a superar su estado actual y a buscar algo en direcciones nuevas” (Piaget, 1975, p. 17). Finalmente, como la concepción empirista, la concepción constructivista tiene muchas consecuencias en la enseñanza: Cita: “[…] de esta concepción del conocimiento se desprende una decisión sobre el aprendizaje: rechazo de dos concepciones de aprendizaje20, que sólo dejan un lugar reducido a la actividad constructiva del sujeto. 20 Notamos que Bessot y Richard utilizan en esta frase la palabra “aprendizaje” donde nosotros hubiéramos utilizado “enseñanza”.

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a. La noción nueva por aprender se le da ya estructurada al alumno, quien la aborda en situaciones de aplicación. b. La noción se descompone en unidades pequeñas cada vez más difíciles y la adquisición de la noción se hace de manera progresiva y continua. Nosotros, por el contrario, colocamos al alumno en un aprendizaje discontinuo, buscando situaciones que crean desequilibrios; esos desequilibrios son provocados por la confrontación de las estructuras de pensamiento del alumno con una realidad exterior, delante de la cual esas estructuras resultan insuficientes, incompletas; además, esos desequilibrios deben ser suficientemente grandes para permitir que el sujeto cuestione su sistema de pensamiento y busque nuevas formas de organización”, Bessot y Richard (1980, p. 398).

2.1.4

APRENDIZAJE POR ADAPTACIÓN

Como es sabido, Piaget se interesó esencialmente en la génesis natural del conocimiento, mientras que tal como hemos venido exponiendo, nosotros nos interesamos en el aprendizaje provocado. Así es que el lector concordará en que la búsqueda de una problemática en la cual el aprendizaje resulte de la enseñanza es un trabajo difícil si uno sale de un modelo empirista. Como se trata de relacionar un alumno, un profesor y un saber, la problemática debe buscarse en el interior de una teoría didáctica y no psicológica.

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Por su parte, Brousseau (1986), para hablar de su concepción de aprendizaje habla de aprendizaje por adaptación; veamos: Cita: “El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Ese saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por las respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje” (ibídem, p. 49). Esta concepción de aprendizaje es cercana a la de Piaget en muchos aspectos ya que el alumno construye su propio conocimiento; actúa en un medio fuente de desequilibrios. Y, además, la concepción de enseñanza asociada a esta concepción de aprendizaje está relacionada con la constitución del medio. Cita: “La concepción moderna de la enseñanza va a pedir al profesor que provoque en el alumno las adaptaciones deseadas, por medio de la selección cuidadosa de los “problemas” que le propone. Esos problemas, escogidos de manera que el alumno pueda aceptarlos, deben hacerlo actuar, hablar, reflexionar, evolucionar en su propio movimiento. Entre el momento en que el alumno acepta el problema como suyo y aquel en el que produce su respuesta, el profesor evita intervenir como proponente de los conocimientos que quiere ver aparecer” (ibídem, p. 49). Reconocemos aquí la problemática de las situaciones a-didácticas que estudiamos anteriormente, ya que es la componente de aprendizaje de esas situaciones la que

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se afirma aquí y que, por ende, es precisamente esta característica la que nos interesa en este Capítulo. El aprendizaje por adaptación le da importancia fundamental a la génesis del conocimiento por la constitución del sentido: Cita: “[…] admitimos que el sentido de un conocimiento proviene en buena parte del hecho que el alumno adquiere ese conocimiento adaptándose a las situaciones didácticas que se le proponen (devuelven)” (ibídem, p. 67). Por lo tanto, la historia didáctica del alumno (de la clase) no puede separarse de la teoría didáctica, aunque por ahora existen pocos desarrollos en esta dirección (ver Brousseau y Centeno, 1991).

2.1.5

SUJETO MATEMÁTICO

En la introducción afirmamos la importancia del aprendizaje del carácter apodíctico de las verdades matemáticas. A propósito de esto, Bachelard trata este tema para el niño que entra en ese tipo de racionalidad de “mutación filosófica”, ya que la entrada en una problemática racional representa a la vez las etapas iniciales y finales de la enseñanza de las matemáticas. Lo que encontramos aquí es la posibilidad, que puede presentarse, de construir una teoría didáctica a partir de un “sujeto matemático”. Esta teoría permite, entonces, tomar en cuenta las interacciones (y por lo tanto los aprendizajes) que se dan en el marco de un problema

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matemático. No obstante, el problema de lo que sucede antes de la “mutación” (que no se da de una vez por todas, sino en cada situación nueva) debe tenerse en cuenta en la didáctica. La problemática de las situaciones a-didácticas no basta; lo fundamental para este estudio es la situación didáctica, en especial con su componente de contrato didáctico. El profesor Guy Brousseau (1986, pp. 53-55) describe así el cambio de sentido radical que tiene un juego para los niños de pre-escolar de 5 años; veamos la siguiente cita: Cita: “PRIMERA ETAPA: Enfoque puramente lúdico. Los alumnos no han comprendido todavía que hay algunos resultados del juego que son más deseables que otros. Los niños juegan y se contentan con producir un efecto, cualquiera que sea. SEGUNDA ETAPA: Devolución de una preferencia. Los alumnos comprenden cuál es el efecto deseado, pero atribuyen los resultados, buenos o malos, a una especie de fatalidad o de azar. TERCERA ETAPA: Devolución de una responsabilidad y de una causalidad. Para aceptar una responsabilidad en lo que sucede, el alumno debe considerar lo que hace como una decisión entre diversas posibilidades y asumir una relación de causalidad entre las decisiones que toma y los resultados obtenidos. En esta etapa, los alumnos pueden darse cuenta, después de jugar, que el resultado habría podido ser diferente. Eso supone que pueden acordarse de algunas de sus acciones y, más aún, qué parte de ellas era pertinente o no.

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CUARTA ETAPA: Devolución de la anticipación. La relación entre la decisión y el resultado debe asumirse antes de la decisión; el alumno toma a su cargo la anticipación excluyendo toda intervención oculta. Aún si no está totalmente controlada, esta anticipación se considera como responsabilidad cognitiva del jugador y no solamente su responsabilidad social. QUINTA ETAPA: Devolución de la situación a-didáctica”. De lo anterior, surgen los siguientes cuestionamientos: ¿Cómo se opera ese cambio? ¿La devolución de las cuatro primeras etapas es una devolución en el mismo sentido que la de la quinta? ¿Hay una ley psicogenética que permite garantizar que los alumnos son capaces –a qué edad, bajo qué condiciones– de transformar el significado del juego? En el estado actual de nuestros conocimientos, esas preguntas siguen abiertas.

2.2 ANTICIPACIÓN, DECISIÓN, ACCIÓN A modo de presentación de esta sección, en la primera parte retomaremos las situaciones de acción para examinarlas desde la problemática del aprendizaje. Veremos entonces que el término de acción podría inducir a error (§2.2.1). En efecto, lo que permite el aprendizaje en la situación no es la acción, sino la decisión (§2.2.2) y sobretodo la anticipación (§2.2.3), y lo ilustraremos con un ejemplo (§2.2.4). De este modo, la necesidad de garantizar

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la repetición de situaciones con esas características (decisión y anticipación) nos llevará por otro camino a las ineludibles fases de validación (§2.2.5) y de medio para la validación (§2.2.6) en el marco de un aprendizaje por adaptación.

2.2.1

ACCIÓN

Retomemos el esquema de acción de Guy Brousseau (1986, p. 78). En él nos interesa lo que hace el alumno, denominado aquí “Jugador”. Si miramos la flecha que sale del jugador, leemos “acción, decisión, juego en el sentido 4”. Cita: “[El juego en el sentido 4] es a veces “la manera como se juega”, el play. En los casos en que se trate de procedimientos, usaremos los términos “táctica” o “estrategia”” (ibídem, p. 77).

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Este esquema deja abiertas muchas preguntas sobre la interpretación de la palabra “acción”. Según Lercher (1985, p. 167): Cita: “Acto y acción se oponen a pensamiento o palabra: pensar y hablar no tienen efecto sobre la materia [...]. En las relaciones entre el hombre y la materia inanimada, es seguro que sólo la acción tiene efectos”. En ese sentido de la palabra acción, es claro que una situación de acción debe permitir actuar, es decir producir efectos sobre una “materia”, que en el caso que nos interesa es un medio matemático. Pero la acción, vista en un sentido restringido, no basta para explicar el aprendizaje por adaptación. En una situación en la que sólo se da oportunidad de actuar, las oportunidades de aprendizaje se dejan al azar. Ejemplo: El niño que manipula envases de yogurt según las instrucciones precisas no tiene por qué aprender nada sobre los grupos de Klein. De esta manera, las limitaciones del sistema didáctico, en especial relacionadas con el tiempo didáctico (Chevallard y Mercier, 1987), no pueden tolerar esa ausencia de garantía de un progreso del conocimiento para todos, y en un tiempo determinado.

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2.2.2

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DECISIÓN

Debemos entonces considerar qué es lo que puede justificar, más allá de la acción, un aprendizaje en las situaciones de acción. Cita: “La primera función del saber será entonces informar las decisiones, permitir las decisiones en el curso de la acción” (Brousseau, 1983b, p. 195). Notemos, primero que todo, que la existencia de una decisión no está relacionada trivialmente a la de una acción. Ejemplo: Si le digo a mi vecino “pásame la sal”, y él me la pasa, realizó una acción, pero no tomó ninguna decisión. Examinemos este ejemplo más en detalle: El vecino educado tenía varias opciones: negarse, tomar el salero de la izquierda o el de la derecha, realizar otra trayectoria con la mano, etc. Pero no llamamos decisiones a esas opciones. Podemos imaginar situaciones en las que una acción tan banal podría tener todas las características de una decisión (si esta persona sabe que el salero de la derecha está conectado a un detonador, y no el de la izquierda, por ejemplo). Desde luego toda decisión está relacionada con una opción, y el significado de una acción sólo puede caracterizarse como decisión si el sujeto es consciente de la existencia de una opción para resolver el problema que se le propone, y que acepta entrar en esa perspectiva (es la problemática de la devolución). Además, en el aprendizaje de un saber dado, es necesario que la opción sea significativa desde

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el punto de vista de los conocimientos necesarios para la decisión. Retomemos la referencia de Brousseau (1986) al final del §2.1.5, a propósito de las etapas de la devolución de un problema. Notemos que en la primera etapa del juego, el alumno no toma ninguna decisión desde el punto de vista del saber; ni siquiera se da cuenta de que puede tomar una decisión. En la segunda etapa, quisiera tomar una decisión, pues comprende que algunos resultados no son favorables, pero no reconoce las opciones. Es entonces en la tercera etapa donde considera la existencia de opciones posibles, y asume la responsabilidad de lo que sucede, tomando en ese caso decisiones. De lo anterior, finalmente, se deduce que la necesidad de introducir opciones posibles para el alumno en el interior de la resolución de problemas está relacionada con el enfoque constructivista. En un enfoque empirista, el alumno puede recibir ayuda de manera que no tenga opciones significativas, en la medida en que se piensa que aprende imitando, por impresión.

2.2.3

ANTICIPACIÓN

Sin embargo, introducir la necesidad de una decisión en el curso de una acción, es decir, la posibilidad de una opción, no basta para garantizar un aprendizaje por adaptación, dado que la toma de conciencia del alumno de la existencia de diferentes opciones posibles (cuando ejecuta una decisión al mismo tiempo que una acción), no basta para garantizar que establezca una relación entre la

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decisión y el resultado de la acción. En efecto, para que sea capaz de decidir “con conocimiento de causa”, es necesario que pueda anticipar el alcance de las decisiones que toma –en el ejemplo dado por Brousseau (1986) de las cinco etapas dado anteriormente (§2.1.5), es lo que sucede en la cuarta fase–. De este modo, para que la anticipación sea necesaria en una situación, no basta con tener elecciones si los resultados de la acción –consecuencia de la decisión tomada– son tan inmediatos que se puede corregir paso a paso. Veamos en la siguiente cita del profesor Brousseau (1983b) como él relaciona explícitamente la aparición de modelos implícitos –es decir, el aprendizaje– con la anticipación. Cita: “Pero en otras circunstancias, el control continuo de la acción no es posible. Entonces hay que representarse la situación y a partir de informaciones parciales anticipar los resultados de las acciones previstas. La obligación de resolver con frecuencia problemas de ese tipo, caracterizados porque los medios perceptivos de control no funcionan y por la supresión de ciertas informaciones, es una condición necesaria para la aparición de modelos implícitos, o de representaciones” (Brousseau, 1983b, p. 210). La necesidad de la anticipación resulta de la ausencia de ciertas informaciones inmediatas. En efecto, la reflexión sólo es necesaria si no es posible la acción directa (al menos en un primer momento). Por ende, las situaciones concebidas de esta manera no son facilitadoras de la tarea inmediata del alumno (cf. Bessot y Richard, 1980).

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2.2.4

EJEMPLO

Para ilustrar nuestros propósitos sobre la anticipación, decidimos construir un ejemplo, o un “ejercicio de didáctica de las matemáticas”. Inventamos este ejemplo a propósito de un problema propuesto por Denise Grenier (1988, p. 17): “Imaginemos alumnos de secundaria para quienes hemos definido «la figura simétrica con respecto a una recta como la que se superpone perfectamente a la figura inicial si se dobla la hoja por esa recta”. Démosles una hoja de papel ordinaria con una figura dibujada en verde, y una recta. Propongamos la siguiente consigna: “Dibuja la figura simétrica de la verde con respecto a la recta»”. En nuestro ejercicio de didáctica, se trata de imaginar el mismo problema con o sin necesaria anticipación. Nuestra solución es la siguiente: En una primera modalidad, la hoja es ordinaria, y los alumnos tienen derecho a doblarla. La doblan y calcan la figura. Actúan, pero nos parece difícil considerar esta actividad como productora de aprendizaje en el nivel de secundaria. En una segunda modalidad, la hoja es de cartón rígido, los alumnos no pueden doblarla. Deben tomar la decisión del lugar donde dibujar la figura simétrica, reflexionar y anticipar la validez del resultado. Esta anticipación introduce una dimensión problemática en una tarea que era puramente mecánica. Esta modalidad conlleva un potencial de aprendizaje que la otra no tenía –no afirmamos de ninguna manera que

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eso sea suficiente para que sea una situación de aprendizaje, y aún menos una situación de aprendizaje de la simetría ortogonal, lo que necesitaría un análisis más detallado–. Observación: Dimos este ejemplo en forma de ejercicio a los participantes en un seminario sobre análisis de situación (Palermo, nov. de 1988). Una profesora asistente (matemática universitaria) tenía una opinión opuesta a la nuestra sobre esas dos modalidades. Ella afirmaba que la segunda era inaceptable pues los alumnos, en teoría, no tenían nada que hacer: como la definición dada estaba en términos de plegado, los alumnos debían rehusar resolver un ejercicio donde no es posible doblar. En cuanto a la primera, afirmaba, por el contrario, que se trataba de una actividad rica en aprendizaje. Su explicación fue la siguiente: “Los alumnos se darán cuenta que el dibujo obtenido doblando no es el que habían previsto”. Significativamente –tal como ella lo reconoció después– para justificar la posibilidad de aprendizaje en esta modalidad, reintrodujo la anticipación, no en la situación, sino en el trabajo del alumno.

En la primera versión, la anticipación está a cargo del alumno. En la segunda versión, el alumno produce una acción: la de dibujar el simétrico. Pero la imposibilidad de validar inmediatamente doblando es lo que la hace situación de aprendizaje, ya que el alumno actúa anticipando el plegado. El juego sobre los medios de control del alumno es una de las bases para la construcción de la secuencia de enseñanza sobre la ubicación en el espacio, realizada por Iman Osta (1988):

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Cita: “Una de las orientaciones principales de esta investigación es redefinir el estatuto y el rol de la percepción en el aprendizaje de conocimientos en geometría tridimensional. En la construcción de esta secuencia de enseñanza, la percepción adquiere dos roles contradictorios y complementarios: Primero, como medio de control intuitivo a disposición de los alumnos para interpretar la producción de representaciones gráficas, luego como obstáculo que hay que superar, construyendo otros medios de control basados en relaciones geométricas, relativas a las coordenadas” (ibídem, p. 9). Por último, el lector interesado podrá ver, en ese trabajo de Iman Osta, cómo ese punto de vista la condujo a utilizar un tipo de perspectiva particular presentando una gran cantidad de ambigüedades, al contrario de la decisión clásica que habría tomado una concepción empirista de aprendizaje.

2.2.5

VALIDACIÓN

Hasta aquí hemos resaltado tres actividades fundamentales del alumno en una situación a-didáctica de acción, para que pueda ser una situación de aprendizaje de matemáticas: acción, decisión y anticipación. Lo que nos interesa aquí son las condiciones de posibilidad de esas actividades. De lo expuesto anteriormente sabemos que la acción existe siempre que el alumno ejecuta un trabajo personal autónomo. Además, esta acción se ejerce sobre el medio,

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que puede o no ser material. Ahora, si queremos que el alumno únicamente actúe entonces ese medio no tiene ninguna condición. En cuanto a la decisión, esta existe si hay posibilidad de elegir en la acción, pero también es necesaria otra condición: la existencia de una finalidad de las acciones. Si todos los resultados son favorables, reconocer la existencia de posibles elecciones no basta para que podamos hablar de decisión (la falla del ejemplo del §2.2.2). Pero para que el alumno pueda reconocer que ciertos resultados son favorables y otros no, es necesario que reciba del medio informaciones pertinentes sobre la validez del resultado de la acción que realizó. Es decir, el desarrollo de la situación debe incluir una fase de conclusión. En el Capítulo 1 habíamos abordado la necesidad de la existencia de la fase de conclusión, partiendo de la posición del profesor en la relación didáctica, aquí la encontramos relacionada orgánicamente al aprendizaje en situación de acción. En consecuencia, la fase de conclusión de la que hablamos aquí, definida de la misma manera como una fase en la que el alumno accede a información sobre la validez de su trabajo, nos revela una característica necesaria para el aprendizaje por adaptación, que no resulta de la simple disimetría profesor-alumno: la fase de conclusión no debe (siempre) “matar” el problema de la decisión. En efecto, en la perspectiva del aprendizaje por adaptación, debemos considerar que el alumno aprende adaptándose a la situación. Así pues, él debe llegar a comprender la existencia de opciones, el interés de ciertas decisiones con respecto a otras. No obstante, es imposible que su primera estrategia sea la mejor, puesto que no tendría que

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buscar nada pues ya sabría, y la situación de aprendizaje no tendría sentido. Para que una situación problema sea una situación de aprendizaje, es necesario que el juego dure más allá del descubrimiento de un primer resultado, y de la conclusión relacionada con ese primer resultado. Esto es imposible si las fases de conclusión de la situación son siempre fases de evaluación. Como lo mostramos en §1.3.2, en la fase de evaluación, el profesor se ve obligado a entregar mucho más que un simple mensaje verdadero – falso21, puesto que debe dar su propia solución, y de esta manera “mata” el problema. Es evidente, entonces, que la posibilidad misma de considerar una situación como generadora de aprendizaje por adaptación implica la existencia de fases de validación y, por lo tanto, de un medio apropiado para la realización de esas fases (medio para la validación). Sin embargo, al afirmar esto, no consideramos simplemente la existencia de fases de validación como característica de una “buena situación” (véase §1.4.5, la cita de Ratsimba Rajohn), sino como necesaria para garantizar la posibilidad de un aprendizaje por adaptación. Si retomamos, para concluir, el ejemplo desarrollado en el numeral anterior, inspirado en la investigación de Denise Grenier, tenemos que afirmar la necesidad de una fase en la cual el plegado es posible (p. e., sobre una hoja idéntica a solicitud de los alumnos). Sólo si se reúnen las dos posibilidades de anticipación y de validación los alumnos “podrán darse cuenta que el dibujo obtenido doblando 21 Como lo anotamos en 1.2.3, el caso del mensaje verdadero - falso es un mensaje «límite» que no siempre mata el problema, y puede considerarse en la problemática de este numeral.

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no es el que habían previsto”, como lo reclamaba nuestra colega italiana.

2.2.6 ROL DEL MEDIO PARA LA VALIDACIÓN EN EL APRENDIZAJE En la perspectiva del aprendizaje por adaptación, pasamos de la acción a la decisión y a la anticipación, encontrando la necesidad de fases de validación. Pero esas fases sólo son importantes para que el alumno pueda continuar buscando el mismo problema. Es decir, que para él la situación puede repetirse, pues lo que debe evolucionar es su conocimiento, gracias a las validaciones aportadas por el medio. Esta componente de repetición del problema es importante en los trabajos de ingeniería de Brousseau, pero menos en los textos teóricos. Sin embargo, en su lista de lectura de las situaciones de acción de 1986 (p. 102), encontramos: Cita: “¿El alumno puede recomenzar? ¿La anticipación es premiada en el juego?”. Tomemos un ejemplo en un trabajo de ingeniería. A propósito de la primera situación de la secuencia “Los racionales y los decimales” (ver §2.3 y Anexos 5 al 8 para las descripciones), Brousseau (1981) se expresa así para mostrar que esta situación es de acción para los emisores y los receptores y no una situación de formulación, a pesar de su forma aparente de comunicación –notemos que aquí Brousseau relaciona repetición y aprendizaje tanto como conclusión y aprendizaje–:

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Cita: “[…] notemos, sin embargo, que la búsqueda de código no se repite. No hay dialéctica de la formulación. El código se asume de manera casi inmediata. La situación de comunicación no funciona mucho en situación de aprendizaje, sólo sirve para dar “sentido” a la fase de acción de los emisores y receptores. El carácter «óptimo» del mensaje no es comentado en ningún momento con los alumnos. Solo nos garantiza una buena aceptación de su parte” (ibídem, p. 104, cursiva del texto en francés). Como se conoce, la importancia de la repetición es una consecuencia de la opción constructivista, que está en la base del aprendizaje por adaptación, pues el alumno debe tener oportunidad de enfrentarse a un medio para tener que replantear cualitativamente su conocimiento. Además, las ocasiones de repetición en situación de acción permiten que el alumno tome conciencia gradualmente de lo que lo lleva a actuar, haciéndolo capaz de abordar las situaciones de formulación. Asimismo, la importancia de la repetición del mismo juego se debe igualmente a la naturaleza de la validación por el medio. La retroacción debida al medio es más rica que un simple “verdadero - falso”; v.g., en el ejemplo de la simetría ortogonal que dimos, el alumno que observa que las figuras no se superponen al doblar no ve solamente que se equivocó; también ve en qué se diferencian las figuras, sin que eso “mate” el problema. Y, en efecto, la cuestión de saber interpretar lo que vio un momento en el papel, cuando vuelve a la tarea de dibujo en cartón, ¡es un problema... de simetría!

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Por lo tanto, las informaciones que el alumno obtiene en la fase de validación son muy importantes, pues a través de ellas podrá anticipar cada vez mejor los resultados de sus estrategias, y modificar su conocimiento. Notemos, de paso, que en el caso de una fase de evaluación, basada en la palabra del profesor, esta riqueza de información es difícil de simular, aun si el profesor enfrenta de nuevo al alumno al problema después de manifestar su desacuerdo –lo cual no puede repetirse a menudo–. Entonces ¿cómo puede dar indicaciones positivas? Sólo puede hacerlo revelando una parte del problema, privando al alumno de una parte del trabajo interpretativo necesario para hacer evolucionar sus conocimientos.

2.3 ANÁLISIS DE SECUENCIA Nuestro propósito en esta sección es el aprendizaje; el marco de ingeniería que se presta más a nuestros análisis es el de las secuencias didácticas, pues sólo la construcción de una secuencia coordinada de lecciones permite el análisis de la evolución de los conocimientos. La secuencia que decidimos analizar aquí es la más completa, la más compleja y la más conocida del paradigma francés: la construcción de “Los racionales y de los decimales” descrita por Nadine y Guy Brousseau (1987). Esta secuencia tiene un rol fundamental en la construcción de la teoría de las situaciones. En particular, un trabajo teórico muy importante (Brousseau, 1980 y 1981) que analiza los fundamentos epistemológicos de esta secuencia.

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Si retomamos el análisis de esta secuencia, nuestro punto de vista será diferente del adoptado por Brousseau, pues nos interesa específicamente la lógica de la construcción de la secuencia desde el punto de vista de la validación. En el Capítulo 1 señalamos la importancia de las fases de validación en las situaciones de acción, formulación y validación. Vamos ahora a estudiar esas fases preguntándonos qué es lo que permite su funcionamiento –para hablar de esta secuencia utilizaremos, además de los textos publicados, las informaciones que hemos obtenido al observar el vídeo realizado en Burdeos en 1977, que es un montaje de esta secuencia–. El lector notará consecuentemente que, al contrario del capítulo anterior, este análisis precede aspectos teóricos que contienen nuestras tesis (§2.4 y §2.6) para facilitar la lectura. Además, nos permitiremos introducir “en la acción” un cierto número de palabras que incluiremos en la problemática en las siguientes secciones.

2.3.1

ANÁLISIS DETALLADO DE LA ACTIVIDAD 1

¿QUÉ APRENDIZAJE? Para dar inicio al análisis, es importante que el lector se remita al Anexo 5 para seguir la secuencia. Comenzaremos el análisis a partir de la fase 2, teniendo en cuenta que ya dijimos que esta es una situación de acción y no de formulación (cita de Brousseau, 1981, p. 104, ver §2.6).

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Analicemos la actividad de los receptores que reciben el primer mensaje. Una vez leído, los alumnos deben encontrar la calidad de papel correspondiente entre los cinco montones de hojas. Imaginemos que el mensaje recibido es E: 10=1mm. Los receptores pueden tomar 10 hojas de cada montón, medir, y escoger la calidad de papel más cercana de 1mm (o la estrategia equivalente que parte del espesor de 1mm); consideraremos esta como la “estrategia de base”. Empero, pueden utilizar procedimientos más sofisticados, pues ya han manipulado montones de hojas en la fase 1 para poner a prueba el código. Algunos espesores pueden distinguirse al tacto. Si el primer montón probado mide 2mm para 10 hojas, pueden concluir que hay que buscar en los montones “más delgados”. Incluso pueden decidir anotar las medidas hechas para utilizarlas en un próximo mensaje. De este modo, hay muchos procedimientos posibles, que se apartan más o menos de la estrategia de base. Lo que los receptores llevan a cabo, en la acción, son modelos implícitos22 de comparación de parejas, más o menos elaborados. La aparición de ese tipo de estrategias –que aquí son “privadas”, bajo el control exclusivo de los niños y que están fuera de la mirada del profesor–, es cada vez más probable a medida que el juego se repite (todos los grupos logran hacer dos o tres partidas de juego). La tarea de los emisores que utilizarían únicamente la estrategia de base sería fastidiosa y larga, mientras que lo gratificante es volver a jugar lo más posible –lo que corresponde en la mayoría de los casos a ganar lo más posible, pues el juego es fácil para los niños–. Además algunos emisores pueden 22 Empleamos esta expresión pues es la que utiliza Guy Brousseau en el mismo texto.

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darse cuenta que el mensaje será más preciso entre más hojas cojan, lo que aumenta considerablemente la tarea de los receptores y puede llevarlos a abandonar la estrategia de base.

VALIDACIÓN La conclusión sobre la eficacia del mensaje se da por comparación de la calidad del papel entre emisores y receptores. Aunque esta conclusión se lleva a cabo bajo la mirada de la profesora, está claro que no necesita evaluar. No hay conclusión sobre las estrategias utilizadas por los emisores, que son “privadas” y con frecuencia totalmente implícitas. No se trata entonces de una situación de formulación. Veamos a continuación cómo esta ausencia de presión para la formulación es explicitada por Brousseau: Cita: “[…] además, el enriquecimiento de esta representación podrá controlarse si, en un primer momento, se favorece el desarrollo del modelo implícito haciendo inútil la explicitación de los métodos (de comparación, por ejemplo)” (ibídem, p. 105, cursiva del texto en francés). Finalmente, la profesora no organiza una conclusión sobre la tabla realizada –esta fase se dará en la siguiente sesión–.

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2.3.2

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ANÁLISIS DE LAS ACTIVIDADES 2 Y 3

En la actividad 2, fase 1 (ver Anexo 6), se deben explicitar los criterios que permitieron implícitamente a los emisores establecer la acción sobre los mensajes, en especial para invalidar medidas incompatibles en la tabla.

MEDIO MATEMÁTICO En el vídeo, la profesora pregunta “¿Qué notaron?”. Varios niños levantan la mano; un alumno dice que cuando sólo hay una hoja de diferencia entre dos paquetes, las medidas pueden ser iguales. Los niños no toleran esta situación como normal, aunque desde un punto de vista real sólo se trata de una imprecisión natural. En este orden de ideas, Guy Brousseau nota que los niños quieren aplicaciones diferentes para papeles diferentes: Cita: “Notemos que no es realista de parte de los niños querer que aplicaciones diferentes indiquen tipos de papel diferentes: tienen ejemplos ante los ojos en los que para un mismo tipo de papel, y para un mismo número de hojas, se obtienen espesores diferentes, y donde el mensaje funcionó. Basta con tener resultados suficientemente cercanos unos de los otros y suficientemente lejanos de los otros resultados” (Ibíd., p. 106, cursiva del texto en francés). Según esta observación, los niños consideran el medio como un “medio matemático”; su exigencia de unicidad es teórica, y no exclusivamente práctica, relacionada con el contexto. Así que la utilización concreta de hojas de papel

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no queda descalificada, y los alumnos discuten sobre los medios para mejorar las medidas para que satisfagan mejor su exigencia de unicidad. En ese momento se dan cuenta de que es necesario utilizar muchas hojas, para alcanzar espesores del orden del centímetro y no solamente del milímetro (en el vídeo y las descripciones escritas).

ROL DE LA PROFESORA EN LA VALIDACIÓN En el vídeo la profesora insiste de nuevo después de este episodio: “¿Hay medidas que les molestan?”. Varias sugerencias aparecen sin justificación y son aceptadas si todos están de acuerdo. En el desarrollo de la clase, la profesora pasa al tablero a un alumno que sugiere que 4 hojas para 1mm deberían equivaler a 8 hojas para 2mm. De este modo, el episodio del alumno en el tablero resulta interesante y bastante largo. La profesora no discute el argumento presentado por el alumno, pero plantea exigencias sobre la manera de escribir (aplicaciones lineales representadas por flechas), pues se trata de “un sistema que ya estudiamos”. La clase sigue y ella protesta cuando el alumno se equivoca al utilizar el código. La profesora se aseguró de que todos comprendieron el razonamiento haciendo que distintos alumnos lo repitieran desde su puesto. Además pide la validación por medida a dos grupos diferentes. Este episodio presenta las mismas características desde el punto de vista de la gestión del medio para la validación que las que notamos en “La Carrera a 20” (Cap. 1, §1.6.4 y §1.7.4). Es la profesora quien decide la oportunidad de la validación con el medio material. No obstante, aunque

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la situación tiene características de una situación de formulación, las fases reservadas a la conclusión no están definidas por anticipado (no se dijo, por ejemplo: “digan sus observaciones y después todos midan”).

ROL DEL MEDIO MATERIAL La profesora organizó esas fases de validación. Escogió el momento en el cual un alumno hizo una formulación abstracta para exigir una validación experimental. En ese momento de la secuencia, los dos tipos de validación (intelectual y pragmática, retomando el vocabulario de Balacheff, 1988) están en el mismo plano, nadie tiene obligación de quedar convencido por un argumento. La profesora interviene para empujar a los alumnos a expresar sus razones, pero no interviene sobre la naturaleza de los argumentos propuestos. De hecho, no necesita hacerlo, pues son exactos, o rectificados por los otros alumnos. Los criterios para verificar la igualdad de las parejas fueron probados en la acción durante la primera actividad; el medio material de la primera actividad está todavía presente para servir de “salvaguardia”. La reanudación del juego en la tercera fase confirma lo que dijimos arriba: la manipulación material no queda descalificada; por el contrario, se mejora su precisión, y los criterios intelectuales de validación aparecen “además”, no “en lugar” de ella.

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¿UNA REVOLUCIÓN ? La actividad 3 es el comienzo de una “revolución”, desde el punto de vista de la validación. En la primera fase no hay validación de la escritura dada por la profesora ni por los alumnos con ayuda del medio material, aunque existe esa posibilidad. Lo que se valora ahora es el razonamiento, que fue explicitado en la lección anterior, y recordado al comienzo de esta nueva sesión. PREGUNTAS En el video, el rol de la profesora no es intervenir en los razonamientos de los niños que explican –en general muy bien– en el tablero, sino “teatralizar”, hacer más lento el ritmo, repetir. La profesora organiza los debates pero no interviene ès-qualité. En consecuencia, las preguntas que nos planteamos son las siguientes: •

¿Esta actitud es posible gracias a un aprendizaje?, ¿cuál?

•

¿Puede preverse teóricamente esta posibilidad de que el profesor se retire?

•

¿Cuál es el medio?

•

¿Cuál es el rol de la discusión colectiva?

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DESCONTEXTUALIZACIÓN, INSTITUCIONALIZACIÓN Desde el punto de vista de la validación, el comienzo de la fase 3 es del mismo tipo: el medio material sólo puede servir como apoyo del razonamiento, o para rechazar proposiciones muy erróneas (ciertas cualidades de papel se distinguen al tacto). De hecho, en el vídeo, en la discusión colectiva sólo se usan los razonamientos. Al final de la fase 3 ya no hay papel en la clase, no hay posibilidad de volver a una validación utilizando el medio material, y se ha terminado la descontextualización con respecto al material. De otra parte, la fase 4 tiene todas las características de una fase de institucionalización. La información que permite relacionar las parejas con las fracciones es cultural, y percibida como tal por los niños que reconocen las escrituras que ya han visto. El profesor hace funcionar en ese lenguaje cultural los logros del módulo. PREGUNTAS Esta descontextualización progresiva introduce las siguientes preguntas: •

¿Debe hablarse de situación, de fase o de proceso de institucionalización?

•

¿El profesor introduce una situación, es decir, limitaciones que hacen que los alumnos acepten los códigos culturales?

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•

¿O se trata de un proceso, es decir un trabajo a lo largo del módulo, en el cual la Escena 4 es una fase?

•

¿Cómo interpretar la “revolución” operada con respecto a la validación?

¿ANÁLISIS EN TÉRMINOS DE JUEGO? Antes de pasar al módulo siguiente, notemos que aunque la primera actividad tiene características de una situación de acción, en particular para los receptores, las otras actividades son difíciles de analizar desde el punto de vista de los esquemas de la teoría de las situaciones a-didácticas. Brousseau (1981, pp. 105-108) no las analiza desde este punto de vista, sino que señala que la tercera etapa es “la verificación del sistema de medida”. •

¿Puede caracterizarse un funcionamiento del conocimiento desde el punto de vista de la formulación y de la validación, aunque las situaciones no sean situaciones de formulación y de validación en sentido estricto?

•

¿El funcionamiento de la validación en esas situaciones implica la producción de pruebas (en el sentido de Balacheff, 1988)?

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2.3.3

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ANÁLISIS DEL MÓDULO 2

En el Anexo 7, el lector encontrará un resumen adaptado por nosotros que permitirá seguir nuestros análisis.

ROL DEL MEDIO MATERIAL Partamos directamente de la segunda fase del Módulo 2, actividad 1. El rol del material es muy interesante: En un primer momento, las hojas de papel quedan sobre el escritorio de la profesora y sirven para ponerse de acuerdo sobre lo que se llamará después la suma de dos espesores. Los alumnos pueden pasar al tablero para mostrar lo que sugieren pero el material no circula. De esta manera, la consigna pide la anticipación del resultado y señala que después se “verificará”. Es decir, el material sirve para mostrar la manipulación, que no se efectúa totalmente. Además, el profesor escribe en el tablero la suma de los espesores en juego (en el texto de 1987, 10/50 + 40/100). Por tal razón, los niños pueden imaginar mentalmente las manipulaciones, que son simples, pero no pueden realizarlas; por el contrario, pueden dejarse guiar por la evidencia de los números y dar la respuesta clásica: 50/150. –que es lo que efectivamente sucede, según el texto–.

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ANTICIPACIÓN DE LA VALIDACIÓN El profesor permite expresar todas las respuestas correctas e incorrectas, los resultados quedan escritos en el tablero y los niños pasan a explicar sus métodos. No se saca ninguna conclusión en ese momento, la profesora plantea la pregunta de la validación: “¿Cómo saber si el resultado es correcto?”. La profesora distribuye luego las hojas a algunos alumnos de manera que tengan a mano 50 hojas de tipo A (10/50) y 100 hojas de tipo B (40/50), y hace como si bastara con juntar los dos paquetes (valorizando la respuesta falsa,50/100), pidiendo con ello el espesor total del paquete y el número total de hojas. Luego pone en escena (en el vídeo, de manera muy teatral) la validación tomando una hoja de tipo A y una hoja de tipo B y pegándolas, continúa en voz alta hasta que algunos niños expresan que su respuesta no es correcta. Ella pregunta entonces si “¿hay alguien que quiera cambiar su apuesta antes de la verificación?”. La mayoría de los niños han encontrado entonces el resultado correcto “y declaran que la verificación es inútil”. La profesora pasa al tablero para hacer el cálculo a un alumno que no había encontrado, y los otros le ayudan. La validación material se hace (aún si los niños ya no le ven el interés).

ROL DEL PROFESOR Y DEL MATERIAL En este módulo, el desapego con respecto al material para llegar a validaciones intelectuales se produce interior de una sola fase. A continuación el material

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estará allí para mostrar el problema, y tal vez para servir en la validación en caso de conflicto, pero en teoría su rol ha terminado. Sin embargo, los alumnos están en situaciones de acción con respecto al saber en juego, y en las que las estrategias óptimas permanecerán implícitas (en particular la reducción al mismo denominador). El material sirve de base metafórica al razonamiento, pero no para la validación. No obstante, el profesor no entra aparentemente en fases sistemáticas de evaluación, y las conclusiones se dan en las discusiones colectivas entre niños. En el texto, se señala, por ejemplo, en la actividad 2 que (N. y G. Brousseau ,1987 p. 25): Cita: “Esta sesión no es una sesión de entrenamiento ni un control de conocimiento. El profesor no juzga el valor de los métodos empleados y en ningún momento dice cuál es el resultado correcto. Organiza y favorece para cada ejercicio el siguiente proceso: Búsqueda individual Puesta en común de resultados Confrontación de métodos Discusión y validación hecha por los niños”. De lo anterior se desprende que el rol del profesor es cuidar que cada alumno participe y facilitar la expresión y la difusión de los métodos pasando los más lentos al tablero. La actividad termina con un control escrito que será evaluado y corregido por el profesor, fuera de clase.

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PREGUNTAS Las preguntas que nos planteamos después de esta descripción son parecidas a las que ya planteamos, y son las siguientes: •

¿La naturaleza de la actividad 2 se analiza según la teoría de las situaciones a-didácticas?

•

¿El rol del profesor puede ser el que está descrito (confirmado por el vídeo)?

•

¿De dónde viene la posibilidad de conclusión, si no proviene del profesor ni del medio material que fue descalificado?

Por último, todas las otras actividades del Módulo 3 presentan las mismas características desde el punto de vista de la validación. A más de esto, el desapego del medio material nunca es completo, el material sirve para explicar las preguntas nuevas que se plantean (introducción de la sustracción, de la multiplicación por un entero, de la división por un entero).

2.3.4

“CONCLUSIÓN”

Las preguntas que hemos planteado son las que tratamos de responder en los próximos numerales (2.4 y 2.5). Sin embargo, a modo de síntesis de conclusión, podemos afirmar que la cuestión de la articulación de las situaciones entre ellas y de los módulos entre ellos no parece poder

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analizarse únicamente en términos de juego entre las tres dialécticas fundamentales de acción, formulación, validación –en el §2.6 retomaremos el análisis de esta secuencia, utilizando los instrumentos teóricos de los §2.4 y §2.5–.

2.4 CRITERIOS DE VALIDEZ En este numeral trataremos de responder la mayoría de preguntas que introdujimos en el anterior. De hecho, en las primeras divisiones de este, examinaremos la cuestión de saber de dónde puede venir la validación si se retira el medio exterior. Nos plantearemos primero el problema de la descontextualización, mostrando que se trata de un trabajo del alumno (ayudado por el profesor) (§2.4.1). Luego introduciremos los criterios de validez, y los conocimientos del alumno que permiten el funcionamiento de las fases de validación (§2.4.2). En los siguientes, veremos como el profesor puede tolerar la incertidumbre en las fases de validación, que son más frágiles porque reposan en parte en los conocimientos del alumno. Veremos, además, que las fases de balance permiten al profesor estar atento sin intervenir (§2.4.3). Finalmente, la institucionalización aparece como un proceso y podremos señalar algunas de sus características (§2.4.4).

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2.4.1

RETIRO DEL MEDIO EXTERIOR PARA LA VALIDACIÓN

En el §2.2 afirmamos la relación entre aprendizaje por adaptación y validación. Pero como lo anunciamos al final del Capítulo 1, no es posible que la conclusión provenga siempre de un medio exterior al alumno, pues no sería posible hacer una descontextualización. La contextualización es un trabajo indispensable para la enseñanza, como lo asevera Guy Brousseau (1986, p. 38): Cita: “[…] el trabajo del profesor es en cierta medida inverso al trabajo del investigador [matemático], debe producir una re-contextualización y una repersonalización de los conocimientos”. Así es que ese trabajo es responsabilidad exclusiva del profesor –aunque bajo el control de la noosfera–. Es decir que son decisiones personales en materia de recontextualización que el profesor debe hacer aceptar a los alumnos, a través de la búsqueda de un contrato didáctico adecuado y eventualmente la devolución de una situación a-didáctica. Pero el trabajo inverso es un esfuerzo del alumno con ayuda del profesor: Cita: “[…] pero [el profesor] debe también darle los medios a sus alumnos de encontrar en esta historia particular que les hace vivir, lo que es el saber cultural y comunicable que se les quiere enseñar. Los alumnos deben a su vez redescontextualizar y re-despersonalizar su saber de manera que puedan identificar su producción con el saber de la comunidad científica y cultural

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de su época” (Ibíd., p. 38, el estilo de la cursiva es del texto en francés). Surge entonces una pregunta: ¿Cómo puede el profesor ayudar al alumno a realizar ese trabajo? Examinemos primero la “re-descontextualización”: De manera brutal o progresiva, el profesor debe proponer al alumno situaciones a-didácticas en las que el contexto (el medio exterior al alumno) tenga un rol menor (o ningún rol), ya que si el alumno se liberara del contexto sólo para volverse dependiente del juicio del profesor, quien retomaría su rol de evaluador, el beneficio de la situación sería muy pobre. Si el medio exterior al alumno desaparece, ¿cómo es posible garantizar la existencia de fases de conclusión que no sean siempre fases de evaluación?, ¿cómo permitir al alumno vivir situaciones en las que su responsabilidad está comprometida, incluso en la fase de conclusión, sin que el medio exterior le dé retroacciones inmediatamente interpretables en términos de validación?, ¿el profesor puede gestionar esas situaciones dada su responsabilidad en la conclusión que describimos en el Capítulo 1? –estas son las preguntas que nos ocuparán en la continuación de este–. Finalmente, notemos, de una vez, que tales situaciones, en las que el medio exterior al alumno no tiene rol de medio para la validación, son difíciles de modelizar en términos de juego. El rol del conocimiento del alumno es aparentemente doble: herramienta para la toma de decisiones y para la validación. El “juego de la naturaleza” es también en parte el juego del alumno...

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2.4.2

CRITERIOS DE VALIDEZ

Si el medio es exterior al alumno, y el alumno es autónomo en las fases de conclusión, es porque tiene conocimientos que le permiten el funcionamiento de las fases de validación. Examinemos las fases de conclusión de la secuencia estudiada en el §2.3 desde el punto de vista de los conocimientos en juego. En el caso de una validación organizada con ayuda de un medio exterior, la interpretación de la retroacción del medio en términos de validación puede ser trivial. Es el caso, por ejemplo, en la primera actividad del módulo 1 de la secuencia que analizamos en §2.3.2 (el espesor de la hoja de papel). Basta con ver si la letra escrita sobre la hoja de control del grupo emisor es la misma que encontró el grupo receptor. Eso sólo necesita conocimientos de lectura... ¡del nivel de pre-escolar! Ya notamos que la evolución del conocimiento buscado por esta situación es la constitución, en la acción, de un modelo implícito de comparación de espesores (§2.3.1). Gracias a esta adquisición, en las actividades 2 y 3, los conocimientos sobre la comparación de espesores van a permitir progresivamente apartarse del medio exterior en las fases de conclusión (§2.3.2). Llamaremos criterio de validez a un conocimiento dado cuando sirve para que el alumno valide en una fae de conclusión. Con ese vocabulario, el Módulo 1 permite primero que todo la constitución de un modelo implícito de comparación de espesores –es decir, un conocimiento–.

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Este conocimiento será formulado en el contexto, después servirá progresivamente de criterio de validez en los nuevos problemas. De esta manera, en todo el módulo 1 se retira el medio exterior progresivamente. Notemos que a partir de la actividad 2, las situaciones no pueden analizarse en términos de juego. No puede hablarse de situación de validación, pues los criterios de validez sólo son implícitamente el objeto de las actividades 2 y 3 del módulo. Las situaciones de validación piden que la pregunta por la validación sea explícita. Este análisis nos permite, entonces, responder algunas de las preguntas planteadas en el §2.3.2. Dejemos de lado los problemas relacionados con la actitud del profesor y con la institucionalización, que serán tratados más adelante. Interpretamos la «revolución de la validación» como un cambio en la naturaleza del medio : de exterior a interior al alumno. Cita: “Los conocimientos evolucionan según procesos complejos. Querer explicar esas evoluciones únicamente por las interacciones efectivas con el medio sería un error, pues muy pronto los niños pueden interiorizar las situaciones que les interesan y «operar» con sus representaciones «internas», experiencias mentales muy importantes. [...] Pero la interiorización de esas interacciones no transforma la naturaleza: el diálogo con un oponente «interior» es menos rico que un diálogo verdadero, pero sigue siendo un diálogo” (Brousseau, 1986, p. 99).

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Los criterios de validez son los que permiten el funcionamiento de las fases de validación, es decir, la autonomía del alumno en las fases de conclusión. La puesta en juego y la utilización de los criterios de validez son progresivas a lo largo del módulo 1. Sólo se terminará de retirar el medio exterior cuando el profesor introduzca una hoja de papel “hipotética” al final de la fase 3. Ya notamos (§2.3.4) que la primera actividad del Módulo 2 presenta características particulares de utilización del medio en la fase de investigación. El medio exterior sirve, primero, para mostrar el problema, luego para simular la validación, posteriormente a realizarla completamente, pero en un momento en que es superflua. En la actividad, al preguntar (antes de la validación material, pero después de una “teatralización” de lo que será la validación) si algunos niños quieren cambiar su apuesta, la profesora garantiza que la anticipación (interior) de la validación (exterior) es posible. Así, la retirada del material es más rápida que en el Módulo 1. Varias fases del Módulo 2 (fase 3 actividad 1, actividad 2) se consagran al refuerzo y la difusión de los procedimientos de adición. La validación con el material nunca se da, aún si en teoría es posible. Lo que permitirá entonces la validación en el resto del módulo serán los conocimientos de los alumnos sobre las igualdades de fracciones (Módulo 1) y las adiciones de fracciones (Módulo 2), en especial en los casos de las diferencias y multiplicaciones. Desde el punto de vista de los criterios de validez, las situaciones que siguen son idénticas, ya que son las variables didácticas relacionadas con el sentido de los conocimientos en juego las que

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cambian la naturaleza de los objetivos en las diferentes situaciones –en un análisis rápido, veremos en §2.5 que sólo los cambios de criterios de validez se distribuyen en la secuencia de Nadine y Guy Brousseau–. Sostenemos, finalmente, que son los conocimientos, criterios de validez, los que permiten que las fases de conclusión funcionen como fases de validación. El medio está formado por un medio exterior al alumno y por los criterios de validez.

2.4.3

DEBATE BAJO CONTROL DEL PROFESOR

Las fases de validación, cuando se basan en conocimientos recientemente adquiridos, ofrecen pocas garantías al profesor de su buen funcionamiento. Con frecuencia, en la descripción de las secuencias, a partir de que las situaciones comportan un medio en parte interior al alumno, las fases de validación toman forma de debates colectivos. Retomemos aquí la noción de fase de balance introducida por Regine Douady (1984) y desarrollada por Denise Grenier (1988): Cita: “[…] entre el final de la solución del problema que se presentó a los alumnos y la situación de institucionalización propiamente dicha, nos pareció necesario intercalar una fase en la que los conocimientos utilizados por los alumnos se discuten con la clase entera para validarlos” (p. 35). En Grenier (ibídem, p. 315), el rol del profesor en esas fases no está bien definido:

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Cita: “[…] en nuestras dos secuencias, las fases de balance de las producciones de los alumnos se realizaron bajo el control del profesor, quien tomó decisiones en ciertos momentos, sea para abrir o cerrar el debate, sea para alimentarlo o re-centrarlo invitando a un grupo determinado a hablar. Esas fases contienen también momentos en los que el profesor deja que los alumnos discutan entre ellos”. “Mientras que las situaciones a-didácticas son completamente construidas, las fases de balance y de institucionalización se dejan a libertad del profesor. En la primera secuencia el profesor se presentaba como utilizador y le dimos “carta blanca”, su único punto de referencia eran los objetivos de aprendizaje previstos, decididos de común acuerdo con él” (ibídem, p. 316). En Brousseau, por el contrario, en distintas ocasiones, el rol del profesor está reducido estrictamente a la organización de esas fases, y se le prohíbe toda intervención sobre la validez de las estrategias y los métodos. El análisis que hicimos anteriormente nos muestra que esta actitud del profesor es posible gracias a una articulación de las fases de validación, basada en conocimientos establecidos en la secuencia. Sin embargo, las fases de balance parecen tener un mismo rol en los dos textos, y en todos aquellos donde las hemos encontrado, así: • El primer rol es permitir que los alumnos formulen públicamente sus métodos de solución pasando al tablero. Esos alumnos deben formular sus estrategias.

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• El segundo rol, simétrico del primero, es la difusión de los métodos. La importancia de la difusión de las estrategias fue mostrada por Michele Artigue (1984a) en una situación particular: Cita: “Así pues, los resultados de los diferentes análisis concuerdan para garantizar ciertos hechos, en particular: [1]la imposibilidad [...] de garantizar la viabilidad del sistema en el marco de un funcionamiento fuertemente aislado23 o incluso un funcionamiento en el que las interacciones entre alumnos se limitarían al interior de los equipos; [2] la posibilidad de una gestión de la clase en la que el profesor, sin aportar información, tendría el rol de organizador de la difusión a nivel global; [3] la alta probabilidad en el marco de tal funcionamiento de que aparezca un estado final de clase [...] en un tiempo compatible con las exigencias del sistema escolar; [y, 4] la imposibilidad de garantizar la ausencia de bloqueo” (ibídem, p. 205). Michele Artigue obtuvo esas conclusiones en el marco de una modelización particular, pero nos parecen bastante generalizables. • El tercer, y último rol de las fases de balance, es el que nos interesa más en el marco de nuestra problemática: Permitir al maestro decidir una fase de evaluación (eventualmente limitada) en caso en que la fase de validación no tenga las características que debe tener para él una fase de conclusión. 23 « aislado » se refiere aquí al aislamiento de los alumnos entre ellos, y no al aislamiento con relación al profesor.

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En el caso en que la fase de validación debería desarrollarse gracias a criterios de validez internos de los alumnos, no tiene suficiente garantía de funcionamiento para dejarla completamente privada. Al realizarla públicamente, el profesor se da la oportunidad de que las fases de balance funcionen como fases de validación, pero se reserva la posibilidad de intervenir en último caso. Pero si subrayamos el “para él”, es que la subjetividad del profesor se introduce inevitablemente en la gestión de las fases de balance. Al respecto, Denise Grenier (1988, p. 396) sugiere que esta propiedad permitiría un método de observación para el estudio de las representaciones de los profesores: Cita: “[…] la observación del profesor en situación de balance colectivo nos parece adaptada para identificar las representaciones del profesor a la vez sobre los alumnos y sobre el saber. En particular, observar al profesor en situaciones que los alumnos han desviado, puede permitir confrontar sus representaciones (ya identificadas, o expresadas por él) a su manera de enseñar”. Esta idea nos parece interesante pues la fase de conclusión no depende exclusivamente de un análisis a priori, debido a que el profesor no está limitado, ya que siempre existe la posibilidad de la fase de evaluación; sus concepciones pueden intervenir en las decisiones que toma. Por lo cual, el problema que se plantea para la ingeniería es poder prever cuál puede ser el rol del profesor en esas fases dado que la idea de “carta blanca” asociada a esas fases de balance nos parece incorrecta. En efecto, pensamos que el análisis de las condiciones de validación

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que hemos desarrollado, aunque es parcial, permite que el investigador haga un análisis a priori de tales fases, en función del avance de una secuencia dada. Así pues, no se trata aquí de un análisis de las limitaciones de la situación; se trata de analizar las alternativas que se abren, no las que se cierran.

2.4.4

PROCESO DE INSTITUCIONALIZACIÓN

A propósito de “institucionalización”, el profesor Guy Brousseau introdujo este concepto bastante tarde en su construcción teórica. Él cuenta que reconoció la existencia de ese fenómeno por la resistencia de los profesores a limitar su enseñanza a las situaciones problema propuestas. Cita: “Así fue que «descubrimos» (¡!) lo que hacen los profesores en sus cursos pero que nuestro esfuerzo de sistematización había hecho inconfesable: deben tomar nota de lo que los alumnos hacen, describir lo que sucede y que está en relación con el conocimiento buscado, darle un estatus a los sucesos de la clase, como resultados de los alumnos y como resultados del profesor, asumir un objeto de enseñanza, identificarlo, relacionar esas producciones con los conocimientos de los demás (culturales, o del programa), indicar para qué pueden servir, [...]. Laidentificación«oficial»delobjetodeconocimiento por parte del alumno y del aprendizaje de los alumnos por parte del profesor es un fenómeno

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social muy importante y una fase esencial del proceso didáctico: este doble reconocimiento es el objeto de la INSTITUCIONALIZACIÓN”. Brousseau (1987, p. 47). El carácter particular de la institucionalización merece un comentario: en Brousseau (1981, p. 113), la institucionalización interviene como situación de institucionalización, al lado de las situaciones de acción, de formulación y de validación. En esa época, Brousseau, en su presentación, hace como si esas “nuevas situaciones” fueran de igual naturaleza que las otras. No obstante, no da ninguna modelización esquemática del tipo “juego”, sin decir que sea imposible. Esto es coherente con la conclusión de Ratsimba-Rajohn (1981) que data de la misma época (ver Capítulo 1, §1.1.2), y en la cual evoca el juego del profesor, dando a entender su posible modelización al igual que el juego del alumno. Nos parece, luego, sumamente dudoso que sea posible o incluso deseable tal modelización, pues los defectos señalados por Plon (1976) serían pertinentes. Por su parte, Denise Grenier (1988, p. 313) retoma la expresión de “situación de institucionalización” pero afirma la singularidad de esta situación con respecto a las otras (acción, formulación, validación). En su texto, Denise Grenier utiliza alternativamente las palabras fase y situación de institucionalización, pero si utilizamos ese vocabulario en el sentido que le hemos dado (Cap. 1, §5) se trata de la fase de institucionalización. En efecto, Denise Grenier se pregunta cuándo comienzan esas fases en el curso de las discusiones colectivas bajo el control del profesor. Si se tratara de situación de institucionalización, es decir si las limitaciones fueran analizables a priori totalmente, en términos de opciones y finalidades, esta

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pregunta no tendría sentido. Por el contrario, la fineza de su análisis le permite distinguir en el desarrollo de una sesión fase de balance y fase de institucionalización, distinción que nos parece bastante pertinente. Entonces, la institucionalización es de cierta manera el movimiento inverso y complementario del de devolución. En particular, en la institucionalización el profesor retoma necesariamente su posición con relación al saber, ya que cuando “oficializa” una noción, relacionándola con el saber cultural, lo hace como “sabio”. En este punto, nos parece pertinente comparar las dos nociones de devolución y de institucionalización. Ya mostramos en el capítulo anterior (§1.4) que la devolución es un proceso que se desarrolla durante toda la situación a-didáctica. Eso no quiere decir que no pueda identificarse una fase de devolución en el desarrollo de una situación de clase, momento en el cual el proceso de devolución se realiza de manera evidente (durante la escenificación de la consigna, p.e.). Ahora, para saber si, al igual que para el proceso de devolución, podemos hablar de proceso de institucionalización, debemos determinar si hay acciones previas24 del profesor que conducen a la fase de institucionalización, o si se produce “ex abrupto” –lo cual vamos a discutir a continuación–. Uno de los disfuncionamientos clásicos de la institucionalización es el ya mencionado “efecto Jourdain”, por el cual: 24 La fase de institucionalización es una fase terminal y por lo tanto hablamos de ese proceso como algo que sucede “antes”, pero no de manera exclusiva, y podemos pensar que el proceso de institucionalización, en la medida en que no depende de una situación particular sino de un saber, debe proseguir después de una fase característica de institucionalización.

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Cita: “El profesor, para evitar el debate de conocimiento con el alumno y eventualmente la constatación de fracaso, admite reconocer el indicio de un conocimiento sabio en los comportamientos o en las respuestas del alumno, aunque estos en realidad se deban a causas y significados banales” (Brousseau, 1986, p. 42). De esto surgen los siguientes cuestionamientos que nos parecen pertinentes e interesantes: ¿Cómo puede garantizarse teóricamente que los comportamientos de un alumno no tienen causas y significados banales? ¿Cómo hacer para que la fase de institucionalización, en la que el profesor retoma su rol con respecto al saber, no corresponda a una simple superposición de conocimientos del profesor sobre las concepciones de los alumnos? En ese sentido, estas preguntas están relacionadas necesariamente con las de la descontextualización y la despersonalización del conocimiento, que ya vimos que resultan del esfuerzo conjunto del profesor y el alumno. Por su parte, la institucionalización reconcilia de cierta manera el conocimiento y el saber, y no puede permanecer dependiente de un contexto particular porque ¿cómo suprimir el contexto sin privar el conocimiento de sentido? Para nosotros, la institucionalización es un proceso, es decir, que el profesor, incluso fuera de las fases de institucionalización, tiene un proyecto que le permite conducir a las fases de institucionalización sin ruptura de sentido. En el desarrollo de la secuencia, ese proyecto necesita la utilización de conocimientos que funcionen como criterios de validez y permitan una descontextualización progresiva.

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Así, el profesor restablece progresivamente la disimetría desde el punto de vista del saber. En las fases de balance, el profesor puede intervenir, y las formulaciones de los alumnos se dan en su presencia. Pensamos que esas fases son cruciales para el proceso de institucionalización, pues el profesor puede permanecer en una actitud totalmente neutra, pero la calidad de formulación de las estrategias por parte de los alumnos no depende solamente de una eficacia del mensaje con relación a un problema matemático; esas formulaciones se dirigen también al profesor. Pero el análisis de las fases de balance muestran bien cómo el proceso de institucionalización, simétrico del proceso de devolución, no depende únicamente de la voluntad del profesor sino también de la del alumno. En efecto, cuando los alumnos comprenden el carácter a-didáctico de la situación, pueden seguir asumiendo la fase de balance, aceptando el funcionamiento de la clase (incluido el profesor) como el de una comunidad científica. En la secuencia del ejemplo, se ve en las descripciones de Nadine y Guy Brousseau que los alumnos no reclaman de manera sistemática la validación material, ya que aceptan salir del contexto, expresarse; participan activamente en el proceso que permitirá finalmente al profesor institucionalizar el conocimiento adquirido. Del lado del profesor, el funcionamiento de la validación a partir de criterios de validez elaborados por los alumnos y el carácter visible para él de ese funcionamiento en las fases de balance, le permiten comprender “donde van los alumnos” con respecto al sentido del conocimiento. Esta información es necesaria para evitar el “efecto Jourdain”. Resumiendo, pensamos que la validez de la fase de institucionalización se debe a la existencia de un

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proceso de institucionalización, en el que identificamos tres aspectos principales: • Abandono progresivo de la validación por el medio exterior para asumir una validación utilizando los criterios de validez. • Formulación de los conocimientos por parte de los alumnos, en situación de formulación o en fase de balance, • Control por parte del profesor, a priori o en fase de balance, de la posibilidad de una fase de institucionalización.

2.5 NUEVO ANÁLISIS DE LA SECUENCIA En este numeral queremos mostrar cómo la noción de criterio de validez permite describir esquemáticamente el funcionamiento de las fases de validación en la secuencia de Nadine y Guy Brousseau (1987). Ya no podemos describir, incluso de manera sucinta o en anexos, las actividades precisas de la secuencia, salvo cuando prestemos atención a una secuencia particular, puesto que no consideramos que resulte necesario un conocimiento detallado de la secuencia para leer este apartado, ya que nuestra problemática no es estudiar “todos” los aspectos de esta secuencia, sino únicamente el funcionamiento de la validación.

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2.5.1

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MÓDULOS 1 Y 2

Como ya analizamos en detalle estos módulos en el § 2.3, vamos a recorrerlos rápidamente.

VALIDACIÓN POR EL MEDIO MATERIAL En el Módulo 1 se introduce la situación de medida de una hoja de papel. En este módulo, la validación depende exclusivamente del medio material (medida del espesor de varias hojas utilizando un calibrador rudimentario). Pero los alumnos se ven forzados a construir medios intelectuales de comparación de espesores, utilizando las relaciones de proporcionalidad entre el número de hojas de un paquete y su espesor. Esos conocimientos remplazan poco a poco la medida en las fases de validación. Este módulo termina cuando la maestra relaciona las escrituras utilizadas para designar la escritura de una hoja de papel con la escritura de fracciones.

VALIDACIÓN POR CRITERIOS DE VALIDEZ En el comienzo del Módulo 2, los conocimientos construidos en el módulo anterior sirven de criterios para validar la comparación de las escrituras de fracciones. Esos criterios funcionarán como tales en los módulos siguientes, sin ser objeto de una formulación particular, teniendo en cuenta que el Módulo 2 busca el aprendizaje de la adición de fracciones. Las fases de validación de este se basan, además de los criterios de comparación de fracciones, en la manipulación material de las hojas,

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y en una interiorización de esta manipulación. En el resto del módulo, los conocimientos adquiridos sobre la adición de fracciones servirán de criterios para las fases de validación. Posteriormente, con la introducción de la multiplicación (espesor de un cartón grueso) aparecen nuevos conocimientos que servirán progresivamente como criterios para las fases de validación siguientes (en particular para la introducción de la división).

2.5.2

UNA FASE PARTICULAR: COMPARACIÓN A 1MM

Esta fase es la última de la actividad 4 del Módulo 2 (espesor de un cartón grueso), la cual está descrita en el Anexo 8.

DESCRIPCIÓN DE LA FASE DE VALIDACIÓN En la consigna (Anexo 8), la profesora pide al mismo tiempo la previsión y la prueba de la previsión. Una de las estrategias (estrategia 1) utilizada en la clase –la más frecuente según los autores– es la siguiente: Los niños dibujan una escala graduada que parece un pedazo de metro ampliado; esta escala está graduada hasta 6, y representa la parte del metro hasta 6 centímetros. Los niños identifican más o menos el punto de 57 milímetros en esta escala, luego dividen aproximadamente por 35 gráficamente. Esta división aproximada conduce a prever el espesor del cartón como mayor a 1mm. De este modo, este razonamiento utiliza una representación gráfica muy realista.

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La otra estrategia (estrategia 2) utilizada consiste en notar que el espesor de una hoja de 1mm puede representarse por 35/35 y que es más delgada que el cartón dado (57/35). Este razonamiento utiliza los criterios conocidos desde el Módulo 1 (comparación de fracciones) y eventualmente la metáfora de las hojas de papel para la igualdad 35/35=1. Consecuentemente, en el curso de la exposición de estrategias Cita: “[...] surgen observaciones por todas partes: “cada vez que el número de arriba (el numerador) es más grande que el número de abajo (denominador) el espesor es más grande que 1mm.” El profesor no las tiene aun en cuenta para no instalar demasiado pronto mecanismos en la mente de los niños (que son mayoría) que aún no han “visto” el problema” (Ibíd., p. 36). Esta nueva estrategia (estrategia 3) no es muy general en la clase en este estadio.

UNA ACTIVIDAD SIN CONCLUSIÓN En la continuación de la fase 3, para comparar todos los resultados en el tablero, se descalifica la primera estrategia por su costo. La segunda estrategia es utilizable, y permite eventualmente una justificación de la comparación “inmediata” de los denominadores y de los numeradores. Pero esta fase no se concluye, según el texto:

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Cita: “Esta última parte se desarrolla de manera informal y espontánea, por el placer de intercambiar ideas y discutirlas sin presión del profesor, quien escucha las observaciones de los alumnos sin intervenir, salvo si los niños piden una precisión o una explicación” (Ibíd., p. 37). De hecho, el tiempo reservado a esta fase es demasiado corto para que todos los alumnos puedan cambiar de estrategia, y adoptar la estrategia 3 (la ganadora). Por tanto, esta fase no tiene conclusión –la pregunta se retomará en el Módulo 4–. Esta fase nos parece interesante, pues puede imaginarse muy bien cómo transformarla en una actividad entera. Esta transformación se basaría en las variables numéricas para obtener una descontextualización progresiva, caracterizada por la descalificación de la estrategia 1 (si el número de hojas pegadas no permite una división gráfica simple), luego la descalificación de la estrategia 2 (cuando el número de fracciones que se debe comparar la hace costosa). Hablamos aquí, desde luego, de descontextualización en la medida en que esas estrategias corresponden a una secuencia de situaciones cada vez más abstractas, hasta un eventual retiro total del apoyo material, real o imaginario. Finalmente, no hay conclusión de esta fase, ni institucionalización (a fortiori). Veremos que esto puede tener un rol en el comienzo del Módulo 4.

CAPÍTULO 2

2.5.3

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MÓDULO 4: ORDEN DE LOS RACIONALES

FIN DEL PROCESO DE DESCONTEXTUALIZACIÓN CON REFERENCIA A LA METÁFORA DE LAS HOJAS DE PAPEL El Módulo 4 interviene después de un módulo sobre la reutilización de conocimientos adquiridos sobre las medidas de las hojas de papel en otros contextos (pesos, capacidades, longitudes); se trata de otro tipo de descontextualización. De este modo, el paso por otros contextos materiales, en el Módulo 3, marca el desapego con respecto a la metáfora de las hojas de papel. El profesor habla ahora de fracciones, y el trabajo es puramente numérico; el proceso de descontextualización ha terminado.

CRITERIO INTRODUCIDO POR EL PROFESOR El Módulo 4 se dedica al orden de los racionales y, en particular, a su comparación con 1. Son las dificultades de clasificación de los racionales las que conducen a la construcción de los números decimales en el Módulo 5. Los alumnos saben comparar racionales desde el Módulo 1, pero la única estrategia que tienen es la reducción al mismo denominador, que saben hacer funcionar en casos simples. Por esto, la primera actividad busca el aprendizaje de una estrategia rápida para la clasificación de los racionales (comparación con una escala entera).

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No se trata de clasificar los racionales sino las sumas de racionales, anticipando sin calcular. Aquí, el profesor es quien introduce la representación en forma de recta graduada, y quien explica el desplazamiento de las fracciones, con los enteros considerados como fracciones de igual denominador. El profesor introduce un conocimiento que deberá servir de criterio de validez para las actividades de varios módulos –recordemos que la comparación de las fracciones con la unidad sólo fue abordada superficialmente al final del Módulo 2–. Sin embargo, este conocimiento implicado en la validación no está claro para todos los niños (comparación del tipo fracción/entero). Además, como se trata de evaluar el tamaño de una suma de fracciones, tienen que utilizar implícitamente como criterio de validez un conocimiento sobre la compatibilidad de la adición y el orden. La formulación de este conocimiento es objeto de la tercera actividad.

DIFICULTAD DE LA VALIDACIÓN Las tres primeras lecciones de este módulo se caracterizan por una gran dificultad a nivel de la validación, que lejos de reposar sobre conocimientos bien establecidos, reposa sobre conocimientos aún no establecidos. La dificultad de estas tres primeras lecciones está señalada –en una nota de la p. 72–: Cita: “Esas tres actividades son muy difíciles para los niños y es posible economizarlas si el nivel de la clase no lo permite”.

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El hecho de que para nuestro análisis esas actividades se distingan de las otras desde el punto de vista de los criterios de validez nos parece interesante, sin que veamos en ello una “explicación”.

RETORNO A CRITERIOS DE VALIDACIÓN ANTERIORES La última fase de este módulo no presenta tantas dificultades desde el punto de vista de la validación. En efecto, se trata de un juego que opone dos equipos, en el que uno de los equipos debe “atrapar” (en un intervalo de longitud 1) una fracción escogida por el otro equipo. De este modo, la validación se hace al interior de cada equipo, y requiere la escritura de números enteros en forma de fracciones, teniendo en cuenta que los alumnos escogen casi siempre fracciones simples y que cada equipo comprende la mitad de los alumnos de la clase. Estas observaciones permiten prever que la validación es mucho más fácil de realizar que en las actividades anteriores. Las estrategias para la validación no deben explicitarse para el profesor sino solamente entre los niños; los alumnos pueden escoger fracciones que den valores simples para los enteros reducidos al denominador escogido (en particular los denominadores 10 y 5); los más rápidos pueden explicar sus razonamientos a los otros miembros del grupo. El texto señala que se juegan varias partidas de esta manera (3 ó 4) antes de jugar 2 contra 2. La difusión y la estabilización de los conocimientos necesarios para la validación están contempladas en ese tiempo de juego

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por mitad de clase. Durante el juego 2 a 2, el profesor puede intervenir en caso de conflicto. Notemos que los conocimientos objetivo de esta actividad no son los que permiten la validación. Se trata de reconocer fracciones más simples de encajonar que otras, y de descubrir estrategias de búsqueda en la localización por intervalos (es decir, de algunas propiedades del orden).

2.5.4

MÓDULOS 5, 6 Y 7

CRITERIOS DE VALIDEZ ANTIGUOS En la primera actividad del Módulo 5, el primer juego es el mismo que el de la última actividad del módulo anterior. A continuación, los intervalos serán de longitud inferior a 1. Se trata entonces de comparar fracciones bastante rápido. Los conocimientos que permiten la comparación se conocen desde mucho antes, y si los alumnos no los utilizan rápidamente (reducción al mismo denominador) el profesor podrá sugerírselo. Los cálculos que deben hacer los que dan la fracción son importantes. El motor de la evolución de las estrategias, es esta dificultad de las conclusiones sucesivas, a propósito de cada intervalo propuesto. Durante el desarrollo de la actividad, los niños pueden darse cuenta de que las fracciones decimales les simplifican mucho el trabajo; en caso contrario, en la segunda actividad, el profesor juega con la clase entera, y

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selecciona una fracción decimal. Así que el profesor podrá “soplar” la estrategia ganadora si es necesario. La fase de validación, aunque es pesada (y repartida en todo el juego de cierta manera, pues cada respuesta de un intervalo constituye una partida), está siempre en manos de los niños, basada en conocimientos adquiridos al final del Módulo 4. De otra parte, en la actividad 3 del Módulo 5, el profesor juega contra la clase y le muestra a los niños su propio modo de validación: la representación de los intervalos en una recta graduada. Para permitir la representación de las décimas, centésimas, etc., los segmentos se agrandarán. La actividad está formada por fases sucesivas en las que los niños deben apropiarse este nuevo marco, bajo el control del profesor (fase colectiva). Pensamos que la simplicidad del código propuesto por el profesor (ya introducido anteriormente en varias ocasiones pero sin un estatuto particular) puede permitir el funcionamiento de las fases de conclusión en forma de validación, en la medida en que se trata de fases colectivas, en las que los más rápidos adelantan a los que no han comprendido. La apropiación no es general, como lo señala el texto (p. 94).

NUEVO CRITERIO INTRODUCIDO POR EL PROFESOR En la actividad 4 del Módulo 5, el profesor introduce un nuevo código: la tabla de unidades, décimas, centésimas, etc., en la que escribe los límites inferiores de los intervalos

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que atrapan la fracción. Las fases de apropiación de esta tabla son colectivas y es posible que las conclusiones funcionen como evaluaciones, pero no es seguro. Al final de esta actividad el profesor introduce la escritura con coma, que los niños reconocen como práctica social. Además, el profesor da un ejercicio de tipo clásico para hacer individualmente, que será evaluado (seguramente); esta actividad cierra el Módulo 5.

PROCESO DE INSTITUCIONALIZACIÓN Este módulo ilustra para nosotros lo que llamamos proceso de institucionalización. Notamos que desde el comienzo del Módulo 4, la descontextualización con respecto a la metáfora de las hojas de papel ha terminado, mientras que en el Módulo 5 el profesor introduce poco a poco sus propios criterios, presentándolos implícitamente como una simplificación de la validación. Esta apropiación de los criterios dados por el profesor es progresiva, y le permite establecer la relación con los decimales como saber social. Al final del módulo, como suele suceder en las clases, no todos los alumnos se han apropiado los criterios aportados por el profesor. Esos criterios no son conocimientos para todos, y no pueden funcionar como criterios de validación. Los módulos siguientes (6 y 7) se consagraran en particular a la utilización de los conocimientos establecidos para los racionales en el marco de los decimales. Además, los criterios de validez que funcionan prácticamente en todas las actividades de estos módulos son los introducidos en el Módulo 5. Por último, se observa que en el marco de la enseñanza de las partes más algorítmicas, el profesor

CAPÍTULO 2

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parece seguir siendo el garante de la conclusión, tal vez en forma de evaluación.

2.5.5

MÓDULOS 8 A 11

NUEVO MEDIO MATERIAL, “EL ROMPECABEZAS” El Módulo 8 establece una ruptura con los módulos precedentes. La introducción del racional-medida ha terminado y la del racional-aplicación comienza. Se trata entonces de dar un nuevo significado a las fracciones introducidas anteriormente. La meta de este cambio de significado es la introducción de la multiplicación de dos racionales, que no es posible en el contexto del racionalmedida. En consecuencia, los Módulos 8 a 11 permiten dar sentido a la multiplicación de dos racionales, en un contexto en que uno representa una medida y el otro una aplicación lineal. De manera característica, el Módulo 8 reposa de nuevo sobre validaciones vía el material, material que tiene de nuevo un rol indispensable para el buen funcionamiento de las situaciones, en particular la del “rompecabezas” que forma la base de las tres primeras actividades de este módulo (ver §1 1.6). Al igual que en el primer módulo, al final del Módulo 8 el medio material estará presente, pero no se realiza la fabricación de las piezas.

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OTRO MEDIO MATERIAL, “LOS OPTIMISTAS” El Módulo 9, que introduce la idea de aplicación lineal, utiliza un medio un poco diferente (muchas ampliaciones de un dibujo de barco “optimista”). Este medio se utiliza primero para la validación, luego se remplaza poco a poco por tablas numéricas de las medidas pertinentes. Como en la secuencia anterior, el material se va retirando progresivamente, sin eliminarlo completamente. Está presente en particular para permitir la comparación de las consignas. A partir de la actividad 9, el medio material cede su puesto en la validación a la utilización de criterios de validez (propiedades de la proporcionalidad) establecidos en los Módulos 8 y 9.

PROCESO DE DESCONTEXTUALIZACIÓN Por su parte, el Módulo 10, que introduce la multiplicación de racionales, procede como el módulo de introducción de la adición (Módulo 2). Es decir, los niños deben poder evocar el modelo material para proponer un sentido de esta operación, pero sin utilizarlo: los optimistas correspondientes a las multiplicaciones (ampliación/ reducción) no están presentes. Puede verse, de hecho, que lo que se evoca no son los dibujos, sino las operaciones de ampliación y reducción. En este módulo se concluye la descontextualización, primero con la introducción de otros contextos (que son contextos “clásicos” de problemas de proporcionalidad). Ese módulo y el siguiente se diferencian de la primera parte de la secuencia (decimal-medida) por la introducción de muchos problemas “clásicos” de la institución escolar. Efectivamente, aquí el proceso de institucionalización no busca únicamente los conceptos

CAPÍTULO 2

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matemáticos mismos, sino también el aprendizaje de contextualizaciones clásicas que hay que abordar en clase (porcentajes, escalas, problema de tales, etc.). Esos módulos reproducen entonces el mismo esquema que la introducción de los racionales y de las operaciones, en el sentido que nos ha guiado en este capítulo.

2.6 PREGUNTAS SOBRE LA CONSTRUCCIÓN DE LA SECUENCIA En esta última sección del capítulo queremos concluir rápidamente el análisis de secuencia que desarrollamos en el §2.5. Pero sobre todo, queremos presentar las preguntas que quedan pendientes sobre el análisis de la secuencia, y los problemas teóricos relacionados con las mismas. La secuencia de los “decimales” se basa en la introducción sucesiva de nuevos medios materiales (hojas de papel, optimista25). En la teoría de Brousseau esos cambios se toman en cuenta gracias a la noción de situación fundamental (§2.6.1). Nos parece que el término de situacion es poco apropiado y hablaremos por nuestra parte de metáfora fundamental (§2.6.2). Trataremos de comprender luego los métodos de búsqueda de esas situaciones (o metáforas) fundamentales (§2.6.3). 25 No citamos aquí el rompecabezas, pues ese medio es de vida útil muy corta en la secuencia comparado con los otros, tiene un rol particular (ver Guy Brousseau, 1981, p. 61 donde sitúa este medio con relación al del «pantógrafo»).

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Veremos también que la literatura didáctica da dos pistas diferentes para la búsqueda de situaciones y la construcción de secuencias. Abriremos, finalmente, el debate (§2.6.4) sobre este tema, pues nos parece que esas pistas corresponden a concepciones diferentes de la construcción de conocimientos.

2.6.1

SITUACIÓN FUNDAMENTAL

Queremos sintetizar aquí las conclusiones que podemos sacar del análisis del §2.5. Tratamos de ilustrar el propósito del §2.4 en lo que respecta a los criterios de validación y el proceso de institucionalización. Nos parece que la primera observación que podemos hacer es la siguiente: muy pocas de las actividades descritas pueden analizarse de manera completa en términos de juego a-didáctico según la tipología acción/formulación/ validación. Sólo las situaciones que “ilustran” los diferentes sentidos de los conceptos enseñados en las secuencias pertenecen totalmente a ese tipo de análisis (en la parte de la secuencia que analizamos se trata de la medida de una hoja de papel, la construcción del rompecabezas homotético y el dibujo de barcos homotéticos26); se trata entonces de situaciones de acción. Desde el punto de vista del análisis a posteriori de la secuencia, son situaciones 26 No afirmamos que sean las únicas situaciones de ese tipo de la secuencia. En el Módulo 3 la situación de medida de longitudes estudiadas por Ratsimba Rajohn (1981), que introduce la medida por fraccionamiento de la unidad; en el Módulo 14 la situación del “pantógrafo” que da sentido a la aplicación de la multiplicación de dos racionales.

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que dan la impresión de engendrar otras. Veamos de qué manera, dado que se producen simultáneamente varios movimientos. Por una parte, el cambio de ciertas variables permite producir situaciones que corresponden a diferentes sentidos de los conceptos en juego en la enseñanza. Se trata de un aspecto de lo que Guy Brousseau (1983b, p. 199) llama una situación fundamental: Cita: “[…] encontrar una situación problema fundamental. Se trata: 3. De enunciar un problema cuya solución necesita sólo el uso del conocimiento (si es posible sin que intervengan otros conocimientos). 4. Hacer aparecer las variables (de esta situación) cuyos cambios provocan modificaciones cualitativas en las estrategias óptimas, lo que indica una modificación del significado del conocimiento buscado. Hacer aparecer las que cambian el estatuto cognitivo: – – – –

como medio de control de la acción como medio de comunicación como medio de prueba como algoritmo de referencia27...

27 Recordemos que en ese artículo Brousseau pone en el mismo plano acción/formulación/validación e institucionalización, y no es el caso de los escritos más recientes.

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5. Garantizar que la situación obtenida permite engendrar, gracias al sistema de variables, todos los problemas culturalmente conocidos en los que interviene el conocimiento”. Pero los cambios de variables utilizados en la secuencia no producen el cambio de estatuto de la situación fundamental según las tres dialécticas (acción, formulación, validación). De hecho, los cambios regulares que identificamos en la secuencia son los siguientes: Una secuencia coherente desde el punto de vista del saber (decimales-medida, por ejemplo) comienza por la introducción de un medio material que servirá para la validación en un primer momento. Luego ese medio será simplemente evocado y las fases de validación funcionarán gracias a los conocimientos que servirán de criterios de validez. Esos criterios de validez permitirán, finalmente, prescindir totalmente del medio material que ni siquiera será evocado. Y así quedará consumada la descontextualización con respecto al medio material.

2.6.2

METÁFORA FUNDAMENTAL

Desde el punto de vista del alumno, y del sentido que podrá darle a la situación, es muy importante que la situación inicial, que tenderíamos a llamar fundamental, admita un medio adaptado para una validación utilizando ese medio, sin que la validación implique ninguno de los conocimientos en juego en la secuencia al comenzar.

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Esta situación, con todas las características desde el punto de vista del medio exterior al alumno, debe poder vivir suficiente tiempo en la clase para convertirse en una metáfora fundamental, indispensable en particular para la descontextualización progresiva. Cabe notar que empleamos aquí la palabra “metáfora” en el sentido fuerte, ya que desde el punto de vista de la metáfora como simple procedimiento de lenguaje, se encuentra lo siguiente en el diccionario Robert: Cita: “Metáfora: Procedimiento de lenguaje que consiste en la transferencia de sentido (término concreto en un término abstracto) por sustitución analógica”. Pero más aún, la metáfora crea sentido, lo que la diferencia de la simple analogía. Así, el término metáfora nos parece dar cuenta de lo que es esencial en una “situación fundamental” pues una buena metáfora debe poder ayudar a razonar, usarse hasta el límite sin distinguirla rápidamente de la idea que la hizo nacer, desde el punto de vista del sentido. Es decir que debe contener el objeto, su estructura y sus propiedades, y si posible no aportar demasiadas perturbaciones anexas. Ejemplo: Una de las ilustraciones corrientes de las fracciones es la de “pedazos de pastel”. Pero ese medio no puede servir de base para una metáfora fundamental, pues sólo tiene un campo de pertinencia sumamente reducido. Tal imagen es inadaptada para comprender por ejemplo la operación 1/3 + 1/7. Por eso el medio de los pedazos de pastel no es bueno para una situación fundamental de adición de racionales.

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Así que la situación fundamental: •

Es una situación de aprendizaje de un conocimiento que corresponde a un concepto dado.

•

Ofrece una metáfora durable capaz de dar sentido a diferentes aspectos del concepto, tanto “sabias” como tecnológicas o culturales.

En suma, el concepto de situación fundamental es uno de los raros conceptos introducidos por Guy Brousseau que está directamente relacionado con el saber. En todo caso es el único que nos permite problematizar el significado de un conocimiento, que es el centro de todo el cuestionamiento del aprendizaje por adaptación. Por eso hablamos de metáfora, pues por medio de esa palabra, nos damos cuenta de la preservación del sentido de un concepto.

2.6.3

BÚSQUEDA DE SITUACIÓN FUNDAMENTAL

Una de las preguntas que quedan en suspenso es la de la búsqueda y la identificación de una situación fundamental. En efecto, en ciertos aspectos, la aparición de las situaciones fundamentales sigue siendo misteriosa. ¿Existen métodos para buscar tales situaciones? ¿Cómo reconocer el carácter fundamental de una situación? ¿Cómo encontrar las variables didácticas? ¿Cómo garantizar la relación entre estrategia

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óptima y conocimiento buscado? Estas preguntas ingenuas no pueden recibir respuesta inmediata actualmente. Sin embargo, nos conducirán a un comienzo de problematización, y a otras preguntas. Examinando lo que diferentes autores consideran como su estudio previo a la construcción de una secuencia, hemos identificado dos grandes tendencias: el análisis epistemológico y el análisis de las concepciones de los alumnos. Veamos:

ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO Guy Brousseau explica su “método” en la primera parte de su artículo teórico sobre los decimales: Cita: “Ese punto de vista no permite independizar la investigación y el estudio de las concepciones particulares del concepto de decimal y la determinación de las situaciones que podrían asociarse con él. Por eso aún no hay métodos naturales de investigación. Sólo se puede poner a prueba la selección de variables pertinentes a posteriori, para adquirir la convicción de que es buena. El método más tentador consiste en tomar los cambios de parejas “situación-concepción” donde fueron producidos por la humanidad, es decir, en la historia. El estudio de la génesis de los conceptos constituye el método más fecundo de la epistemología moderna [...]. El otro método interesa más a los matemáticos, y consiste en

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un estudio a priori de las diferentes maneras de constituir nociones. Vamos a conjugar esos dos métodos para buscar las preguntas para las cuales la construcción de los decimales es una respuesta adecuada” (ibídem, 1980, pp. 52-53). La palabra concepción se emplea aquí en un sentido diferente del que le dimos en el §2.1.1. En efecto, Brousseau no se sitúa “al nivel de las operaciones de pensamiento del alumno” cuando habla de concepciones. El método que sugiere el profesor es la búsqueda de los diferentes sentidos pertinentes del conocimiento a enseñar, recurriendo a la historia o al análisis matemático.

ANÁLISIS DE LAS CONCEPCIONES DE LOS ALUMNOS Nos parece que en la revista RDM aparece otro método. Para comprenderlo, examinaremos la función que pueden tener los trabajos sobre las “concepciones” de los alumnos. El estudio de las “concepciones espontáneas”28 de los 28 Notemos que las «concepciones espontáneas» no son equivalentes a las «estrategias de base». En efecto, puede preverse que existen estrategias de base sin recurrir a un estudio de las concepciones de los alumnos. Tomemos la actividad 1 del Módulo 1 de la secuencia de los racionales y de los decimales: la de las hojas de papel. Los receptores tienen una estrategia de base para saber a cuál calidad de papel se refieren, que consiste en contar y medir en las proporciones dadas todos los paquetes de hojas a disposición hasta encontrar el correcto. Esta estrategia de base no implica ningún conocimiento particular en ese nivel.

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alumnos ocupa un gran lugar en los artículos publicados en esta revista. Vamos a resumir las posiciones de diferentes autores a este respecto, y el rol que le atribuyen a esa clase de estudio. Los artículos sobre las concepciones de los alumnos son numerosos. Su metodología varía: cuestionarios papel/ lápiz (Maury, 1984, por ejemplo), entrevistas individuales (Ricco, Vergnaud y Roucher, 1983, p.e.), entrevistas en parejas (Sierpinska, 1985, p.e.). Cuando las investigaciones incluyen trabajos prácticos, los investigadores hablan de procedimientos, pero no de concepciones, pues las concepciones en ese sentido son una imagen estática. Entonces, ¿cómo justifican los autores el interés de esos estudios? La pregunta se plantea en la medida en que dichos estudios no se transponen directamente en el marco del sistema didáctico. Un interés que se evoca con frecuencia es el de mostrar que las concepciones erróneas subsisten globalmente después de la enseñanza (Grenier, 1988, p. 43, p.e.). Pero para los autores el interés principal parece residir en el conocimiento de las concepciones de los alumnos antes de la enseñanza: Cita: “Para que las situaciones-problema puedan conducir a una adquisición, deben basarse en los saberes29 anteriores de los alumnos y sobre sus modelos espontáneos30” (Jacqueline Robinet, 1983, p. 241).

29 El autor utiliza aquí la palabra “saber” donde nosotros habríamos usado “conocimiento”. 30 El autor utiliza la palabra “modelo” donde nosotros usaríamos “concepción”.

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Ahora veamos cómo algunos autores describen la utilización de esas concepciones espontáneas para la construcción de secuencias. Cita: “Hacemos la hipótesis que ciertos de esos modelos (no válidos) son muy resistentes y pueden ser movilizados mucho tiempo después del comienzo del aprendizaje de las probabilidades. En esta hipótesis, convendría construir situaciones que permitan a los alumnos descartar esos modelos erróneos. El conocimiento de los razonamientos espontáneos que pueden surgir por tal o cual factor es un elemento importante a tener en cuenta en la construcción de tales situaciones” Sylvette Maury (1984, pp. 209-210, cursiva estilada del texto en francés). La noción de “descarte” que enfatizamos allí está muy presente en las conclusiones de los artículos sobre las concepciones de los alumnos. Cita: “En mi proyecto, en efecto, el estudio realizado y discutido aquí no es una pre-experimentación, pues no se planea repetirlo; hablo más bien de fase exploratoria que permitió adquirir conocimientos sobre un terreno inexplorado hasta ahora y abrir hipótesis que podrán aclararse con experiencias didácticas: por ejemplo, la hipótesis de que para llegar a una buena noción de convergencia puede ser eficaz basarse explícitamente en el modelo dinámico para llevar a los estudiantes a precisarlo, a enriquecerlo o la hipótesis que para descartar la representación monótona en quienes la tienen,

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puede hacerse jugar eficazmente conflictos sociocognitivos en el seno de secuencias didácticas bien escogidas, etc.”, Aline Robert (1982, pp. 338-339, sin el texto entre paréntesis). La hipótesis de construcción de secuencia es aquí bastante clara, se trata de basarse en ciertas concepciones de los alumnos, enriquecerlas, y “descartar las otras concepciones”. Entonces, la pregunta de investigación de variables didácticas parece resolverse igualmente en una problemática de investigación exploratoria sobre las concepciones de los alumnos. Cita: “Hacemos la hipótesis en didáctica que una concepción tiene siempre un dominio de validez no vacío; es decir, existe un conjunto de situaciones problema que dicha concepción permite resolver. Entre más grande es su dominio de validez, más estable será la concepción en un alumno. Se convierte entonces en un verdadero conocimiento” (Grenier, 1988, p. 3). “Algunos elementos del problema tienen una influencia en los procedimientos de solución y en las respuestas de los alumnos, como por ejemplo, el contexto o las características de los datos del problema, las herramientas disponibles para resolverlo. A esos elementos los llamamos variables de la situación. Esas variables pueden identificarse a partir de las dificultades que los alumnos tienen en la solución del problema y las respuestas erróneas que dan. Los valores de esas variables pueden conducir a utilizar un

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conocimiento fuera de su dominio de validez, lo que conduce al error. El error constituye para el investigador un indicio de los límites de los conocimientos de los alumnos. El conocimiento del error puede ser, desde el punto de vista de la enseñanza, un medio para hacer evolucionar los conocimientos” (Ibíd., pp. 4-5). Finalmente, podemos resumir así la utilización de los estudios sobre las concepciones, como previos a la construcción de la secuencia. Las concepciones de los alumnos se identifican a partir de la resolución de determinados problemas. Esas concepciones tienen un dominio de validez, pues con ayuda de ciertas situaciones se obliga al alumno a salir del dominio de validez de sus concepciones, haciéndolos producir errores. El conflicto que surgirá de esta situación hará evolucionar las concepciones de los alumnos, en dirección del conocimiento buscado –el trabajo de Denise Grenier nos parece ejemplar para una construcción de este tipo–.

2.6.4

PREGUNTAS ABIERTAS SOBRE LA CONSTRUCCIÓN

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DE CONOCIMIENTOS ¿Qué modelos de construcción de conocimientos son subyacentes a los diferentes “métodos” de construcción de secuencias? •

Método 1. Se pone el acento sobre la importancia del sentido31 construido en la génesis de un conocimiento. Esta importancia dada al sentido conduce a análisis epistemológicos, matemáticos, y eventualmente culturales y tecnológicos previos a la construcción de la secuencia.

•

Método 2. El acento se pone en las concepciones erróneas, que deben cuestionarse. Este método privilegia el estudio de las concepciones de los alumnos previamente a la construcción de la secuencia.

Por una parte se insiste en la construcción de un conocimiento adecuado, por otra en el rechazo de un conocimiento inadecuado. Esos dos tipos de análisis conducen a preguntas diferentes sobre la construcción de conocimientos: •

Preguntas que surgen del Método 1: ¿Construir

31 Cuando hablamos aquí “del” sentido, se trata de un “genérico”, y no de un singular. No suponemos que un conocimiento tenga un sentido único. El análisis epistemológico, por el contrario, permite entre otros reconocer diferentes sentidos de un conocimiento, asociados a situaciones diferentes, como queda claro en Brousseau 1980 y 1981.

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un conocimiento adecuado basta para “borrar” las concepciones erróneas que existían antes del aprendizaje? ¿O esos nuevos conocimientos se superponen a los antiguos? ¿Cuál es el rol de la génesis de conocimientos en el sentido futuro de los conocimientos para el alumno? •

Preguntas que surgen del Método 2: ¿El rechazo de una concepción errónea permite necesariamente la construcción de un conocimiento adecuado? ¿Cómo garantizar que no aparecerá otra concepción errónea en su lugar? ¿Cuál es el sentido que el alumno da a un conocimiento adquirido de esa manera?

Nos parece que esas preguntas, cruciales para la construcción de una secuencia, merecen un trabajo sobre la construcción de conocimientos. Pero aquí sólo podemos plantear algunas preguntas abiertas sobre ese problema –la bibliografía exterior a la Didáctica de las Matemáticas francesa es muy amplia (en particular en filosofía, en historia de las ciencias y en psicología genética) y no hemos tenido tiempo de consultarla–.Simplemente esperamos mostrar con estas preguntas que sería útil un trabajo sobre este tema para el enriquecimiento del paradigma. Hemos identificado dos métodos a priori diferentes para la construcción de una secuencia. La cuestión es saber si esos análisis conducen a secuencias similares o diferentes. En particular, ¿esas secuencias se basan o no en una misma teoría (implícita) de la construcción de conocimientos? Notemos que esta pregunta no puede contestarse con una referencia común al constructivismo

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de tipo Piagetiano. En efecto, la pregunta que planteamos no proviene de la “micro didáctica”, que se ocupa de la evolución de los conocimientos como resultado de una situación particular, y para la que esta referencia común es esencial. Finalmente, en nuestra opinión, esos análisis diferentes son opuestos y pertenecen a teorías diferentes sobre la construcción de conocimiento. Si hablamos aquí de opinión, es para insistir en el carácter abierto de la pregunta. Por ende, damos nuestra opinión únicamente para mostrar que se trata de un verdadero debate, en la medida en que puede pensarse que los dos análisis evocados en el § 2.6.3 no son equivalentes –el trabajo necesario para que esta opinión pueda transformarse en tesis es demasiado importante para realizarlo aquí–.

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Verificación 3 Este capítulo introduce un nivel de descripción diferente de los anteriores ya que estudiaremos aquí los procedimientos de los alumnos en las fases de validación. Al contrario del capítulo anterior, centrado en el aprendizaje inicial de las nociones, ahora nos interesa el alumno como usuario de las matemáticas que ya aprendió. Comenzaremos entonces distinguiendo dos procesos fundamentales entre los procesos de validación: proceso de prueba y proceso de verificación32(§3.1). Además, reiteraremos que el proceso de verificación sólo tiene sentido porque es posible cometer errores; discutiremos entonces sobre los roles del error en la clase (§3.2). Luego describiremos el proceso de verificación (§3.3) y, de otra parte, el análisis de trabajos experimentales (§3.4) nos permitirá sacar a la luz la existencia de diferentes proyectos de los alumnos, analizables a posteriori. 32 La fecha de redacción de este capítulo (1989) explicará que no incluyamos ninguna referencia al libro de Granger, publicado posteriormente (1992). Este capítulo sólo es el comienzo de un trabajo que queda pendiente (ver especialmente la tesis de Sylvie Coppé, Universidad de Lyon 1).

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Terminaremos con preguntas sobre la práctica de la verificación en el marco escolar (§3.5).

3.1 DEMOSTRACIÓN Y VERIFICACIÓN La distinción de los procesos de prueba –o demostración– y de verificación no nos parece depender únicamente del análisis a priori de las situaciones a-didácticas (§3.1.1). En efecto, los alumnos pueden, en una misma situación, concebir proyectos muy diferentes (§3.1.2). Trataremos de distinguir los proyectos de prueba y de verificación (§3.1.3). Así, este análisis nos permitirá mostrar la existencia de dos procesos distintos (§3.1.4).

3.1.1

LA PREGUNTA DE LA OBSERVACIÓN

Nos interesa aquí el trabajo del alumno en una perspectiva de observación y de análisis a posteriori (Cap. 1, §5). Utilizamos el término de análisis a posteriori en oposición al de análisis a priori. El término análisis a priori, como se emplea la mayor parte del tiempo en nuestro paradigma, se aplica al análisis de las limitaciones de las situaciones a-didácticas. Ese término “a priori” no significa que el análisis se haga completamente antes de la experiencia. Señala, entonces, que el análisis a priori no depende de manera necesaria de la observación de la experiencia. Al contrario, el análisis a posteriori, aunque puede realizarse en parte antes de una observación, depende de manera

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necesaria de esta observación. Por lo tanto, es fundamental conocer la situación en la que está el alumno. Pero las limitaciones a-didácticas no pueden garantizar que el alumno desarrolle las relaciones previstas con el medio. Estudiando las relaciones entre situaciones didáctica, a-didáctica y no didáctica, subrayamos que la vivencia del alumno no depende completamente de las limitaciones aparentes de la situación (véase Cap. 1, §2.2); el alumno se encuentra dentro de un conjunto de determinaciones que pueden resultar más fuertes que las limitaciones de la situación. Las determinaciones debidas al contrato didáctico, por ejemplo, son suficientemente fuertes para que la lectura que hace el alumno de una situación dada sea muy diferente de la que podía esperarse según el análisis de las limitaciones a-didácticas. Además, las determinaciones debidas a la cultura pueden permitir al alumno hacer uso de numerosos implícitos en una comunicación, en particular con sus pares (véase en el Cap. 1 §4.9, §7.3 y §7.4). Es necesario, entonces, incluso en una perspectiva de validación experimental del análisis a priori, tener elementos que permitan comprender a posteriori cuál fue la relación de un alumno dado con su problema. Para resolver esta cuestión, el análisis a priori de las limitaciones a-didácticas no es suficiente. En la primera experiencia de clase que organizamos, nuestras limitaciones, que se basaban en su mayoría en variables sociales, resultaron muy pesadas y complicadas –el lector puede remitirse a Margolinas (1986) para un análisis detallado–. Al observar, nos dimos cuenta que los alumnos no habían interiorizado las limitaciones que queríamos someter a prueba; sin embargo, esta observación era solamente intuitiva, y en ese momento no teníamos medios de comprender cuál era retrospectivamente la situación

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vista por el alumno. Por lo tanto, esta observación de clase no nos permitió ni invalidar ni validar las limitaciones estudiadas en el análisis a priori, por no tener medios de comprender las acciones de los alumnos. Empero, esta cuestión nos parece importante en particular en el caso de la observación “naturalista” de clases (cuando el profesor acepta simplemente un observador sin cambiar su práctica). En ese marco, la observación de los alumnos no puede analizarse en detalle con las teorías existentes; debemos utilizar también la observación del profesor o de los alumnos para comprender en qué situación están y cuáles son sus metas. De este modo, nos parece que ese trabajo no es solamente empírico y que una reflexión teórica es posible. En este numeral queremos desarrollar, a propósito de los procesos de validación, elementos de análisis que permitan una mejor comprensión de ciertas observaciones. Desarrollaremos esos elementos antes de aplicarlos a dos trabajos experimentales en el apartado 3.4.

3.1.2

PROYECTO DEL ALUMNO

En el marco de las situaciones a-didácticas, empleamos el término “finalidad” para designar el resultado favorable de un juego. Una de las preguntas más delicadas de la construcción de situaciones a-didácticas es la relación entre las finalidades de las situaciones y el sentido de los conceptos matemáticos en juego. Como dijimos en el anterior, la situación vista por el alumno y, en particular, la finalidad vista por el alumno

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pueden ser diferentes de lo que se previó en el análisis a priori. Pero es la finalidad vista por el alumno la que permite comprender el significado de sus acciones. Llamaremos Proyecto del Sujeto a la representación de la finalidad de una situación en la que se encuentra. Así pues, interesarse en el proyecto del alumno es una nueva manera de interesarse por la finalidad y la validación –nos situamos aquí en el marco de los procesos de validación, y la noción de proyecto nos permite comprender el significado del proceso–.

3.1.3

PROYECTOS DE PRUEBA Y DE VERIFICACIÓN

Nuestro propósito es distinguir en los procesos de validación (recordemos del Cap. 1, §5.6) dos procesos fundamentales: procesos de prueba y procesos de verificación. Trataremos de caracterizar, de manera no exhaustiva, los proyectos de prueba o de verificación asociados a esos procesos –notemos primero que las características que tratamos de subrayar anteriormente no tienden a oponer prueba y verificación–. Al caracterizar el proyecto de prueba delimitaremos de cierta manera su “complementario” con respecto al proyecto de validación. Ese complementario es el que llamamos “proceso de verificación” (ver §1.4 para la justificación del vocabulario).

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VERDADERO Y VEROSÍMIL En este parágrafo queremos sostener lo siguiente: •

El proyecto de prueba depende de la búsqueda de la verdad en un sentido que vamos a precisar.

•

Los proyectos de validación no corresponden todos a la verdad en ese sentido.

•

Existe un proyecto de validación que corresponde pragmáticamente a la verosimilitud.

Puede parecer paradójico el interés por lo verosímil en el marco de las matemáticas tal cual lo nota Nicolas Balacheff (1988a, p. 53): Cita: “La constitución de las Matemáticas como ciencia autónoma se caracteriza por la naturaleza de las preguntas que aborda y los medios que utiliza para garantizar la validez de una afirmación. Se desprende de los problemas externos para los que puede proponer métodos de resolución, y se consagra al estudio de los conceptos específicos que resultan de su desarrollo interno. Esto se manifiesta en particular en su historia por una evolución de las problemáticas de prueba” (cursiva ajena del texto citado).

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Lo que caracteriza a las Matemáticas es un proyecto de búsqueda de verdad apodíctica en oposición a las verdades asertóricas (ver del Cap. 2, §1). Las situaciones de validación se construyen de manera que susciten un proyecto de rigor y de verdad. Pero si observamos lo que pasa en otras situaciones, en ausencia de una validación directa, los criterios de validez permiten más juicios del orden de lo verosímil que de lo verdadero. De modo que lo que es verosímil es lo que puede considerarse como verdadero, lo que parece verdadero; además, según el diccionario Robert: Cita: “Verosímil: 1) Que tiene derecho a considerarse como verdadero; 2) [...] idea que uno se hace de la realidad; 3) Creíble”. Según 1) y 2), lo verosímil está estrechamente relacionado con criterios (el derecho) que dependen de la idea que uno se hace de lo real. Depende entonces de las concepciones de los alumnos, y del aprendizaje que las modifica. No hay una relación de inclusión entre lo verdadero y lo verosímil. En efecto, lo verosímil no siempre es verdadero, pero lo verdadero puede parecer contradictorio con una idea que uno se hace de la realidad, y no aparecer como tal –recordemos la frase de Cantor en una carta de Dedekind a propósito del isomorfismo entre R y R2: “lo veo pero no lo creo”–. Estaremos entonces de acuerdo en que lo verosímil no se privilegia en matemáticas, pues el esfuerzo de elaboración de la demostración, que las caracteriza, trata de transformar todo lo verosímil en verdades matemáticas. Pero toda una parte del trabajo de validación, que no

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se da en situación de validación, hace parte de una problemática de verosimilitud. Además, para el usuario de las Matemáticas, el problema, la mayor parte del tiempo, no es entrar en un proyecto matemático de prueba sino de controlar la manera como utiliza las herramientas matemáticas así que lo que toma importancia no es la verdad sino la verosimilitud.

VALIDACIÓN DE UNA ACCIÓN, VALIDACIÓN DE UN MENSAJE Nuestra segunda tesis es que el proyecto de prueba se aplica más específicamente a la validación de proposiciones (en el sentido lógico del término). Para entrar en un proyecto de prueba, es necesario que la formulación de una proposición que se trata de demostrar sea posible (es decir, que ya esté hecha o que la formulación haga parte de los objetivos de la situación). En las situaciones de validación, el objeto de la validación es un mensaje explícito. En el curso de la situación, ese mensaje tomará el estatuto de una afirmación en el sentido lógico del término. Cita: “Las situaciones de validación pondrán en presencia dos jugadores que se enfrentan a propósito de un objeto de estudio compuesto de los mensajes y descripciones que el alumno produjo por una parte, y del medio a-didáctico que sirve de referente a esos mensajes por la otra” (Brousseau, 1986, p. 108, cursiva del texto en francés).

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Por su parte, Nicolas Balacheff (1988) relaciona también prueba y formulación, pues la prueba es un tipo particular de explicación. Coincidimos entonces en que el proyecto de prueba se da, si existe una formulación (ya hecha o en construcción). Esa relación con la formulación no es característica de todos los procesos de validación, pues en la fase de validación puede tratarse de validar acciones que no tendrán que formularse en la situación dada (vimos un ejemplo en el cap. 1 en la situación del “rompecabezas”, y muchos otros en las situaciones de la secuencia de N & G Brousseau sobre los decimales). Es de nuevo el término de proyecto de verificación el que nos parece adaptado para designar el proyecto de validación en ese caso (validación de una acción). Notemos que desde el punto de vista de un análisis a priori, no es posible decir con certeza si, dada una formulación, el proyecto de un alumno dado será de prueba o de verificación. El proyecto de validación de una formulación puede no ser un proyecto de prueba para un alumno. Se trata de una condición necesaria pero no suficiente para entrar en un proyecto de prueba.

DEBATE DE PRUEBA Nuestra tercera tesis es que el proyecto de prueba se da en un debate (eventualmente interior o evocado). Podríamos decir, además, que el proyecto de prueba presenta una parte pública importante, lo cual no implica que el proyecto de validación tenga necesariamente esta característica; por ejemplo, si la pregunta por la validez de un resultado se sitúa en la óptica de simple eficacia

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del resultado. Allí, el carácter privado nos parece típico de un proyecto de verificación. Mientras que los autores a los que nos referimos, a propósito de las situaciones de validación y de los procesos de prueba, los sitúan en el marco de un debate. Así, Brousseau (1986) formula el juego de la situación de validación explícita en términos de proponente y oponente. Nicolas Balacheff (1982, p. 263) caracteriza la prueba como un discurso que comprende implícitamente al menos dos actores: Cita: “Llamamos explicación a un discurso que trata de hacer inteligible el carácter de verdad, adquirido por el locutor, de una proposición o de un resultado. Las razones pueden ser discutidas, rechazadas o aceptadas. Así que ciertas explicaciones se aceptan como prueba, otras no. Esta decisión puede ser objeto de un debate cuyo significado es la exigencia de determinar un sistema de validación común a los interlocutores” (cursiva del texto en francés). Notemos que “el carácter de verdad adquirido por el locutor” no puede provenir únicamente de la situación de validación misma sino que en parte se establece previamente, así como los criterios personales de validez, que deberán permitir “determinar un sistema de validación”. Así es que fuera de las situaciones de validación, la búsqueda de criterios de validez no es motivada por el carácter social de la situación. Por el contrario, puede

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decirse que pertenece a la esfera privada, o a un acuerdo colectivo tácito.

DUDA Y CERTEZA Llegamos a nuestra última tesis: el proyecto de prueba necesita una relativa certeza de los resultados de las acciones, mientras que el proyecto de verificación se da en una perspectiva de duda sobre un resultado de una acción. Esto puede parecer paradójico en la medida en que la prueba es producto de un deseo de certeza, como vamos a explicar. Ya subrayamos en nuestra última cita de Balacheff “el carácter de verdad adquirido por el locutor”. La prueba sólo se da cuando el que la enuncia está persuadido de la validez de la afirmación que defiende. Es decir, el comenzar un proceso de prueba necesita una certeza del proponente, aun si dicha certeza pueda vacilar en el curso de la dialéctica de pruebas y refutaciones. Es la característica del debate ya discutida. Si nadie duda de nada, simplemente no hay proyecto de validación. Este existe cuando un proponente tiene un buen grado de certeza de una proposición, puede defenderla ante oponentes y comenzar un proyecto de prueba. Por el contrario, en la mayoría de las fases de validación (fuera de las situaciones de validación), el trabajo del alumno parte de una duda sobre la validez de su resultado. Esa duda es constitutiva de la situación de aprendizaje pues proviene de la posibilidad de error de su parte (en el Cap. 1, véase §1.1 y §1.2). Pero en las situaciones no didácticas, la duda es también del profesional que sabe que no está exento de errores, aún en campos que domina bien.

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3.1.4

CONCLUSIÓN

En la sección anterior tratamos de dar ciertas características del proyecto de prueba, y mostramos que este no tiene en cuenta todos los proyectos de validación. Así que las características “complementarias” del proyecto de prueba fueron atribuidas al proyecto de verificación. Por lo tanto, ahora tenemos que precisar las relaciones entre esos dos proyectos. Al lado de las preocupaciones intelectuales de la prueba, existen maneras más pragmáticas de enfocar las cuestiones de validación, ya que estas se plantean cuando uno se interesa en la adecuación entre un resultado (que puede ser o no una afirmación) y una realidad (que puede no ser matemática). Por ende, el proceso de prueba adquiere su significado en el marco de un proyecto particular, el proyecto de prueba. Las situaciones de validación ponen al alumno en una situación en la que las limitaciones estudiadas a priori deben permitirle entrar en un proyecto de prueba. De modo que nos parece que el nombre de proceso de verificación conviene para hablar de otro tipo de proceso de validación, que depende de un proyecto diferente del proyecto de prueba. Antes de volver sobre las relaciones complejas entre proyecto de prueba y proyecto de verificación, debemos explicar la selección de la palabra verificación, pues esta palabra la emplean muchos investigadores, pero pocos la estudian. Veamos cómo Arlette Chevalier (1984) la define de manera contextualizada (ver §3.4 y Anexo 11): Cita: A la luz de estos ejemplos, precisamos el sentido que daremos al término VERIFICACIÓN en este capítulo:

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Hablaremos de verificación cada vez que encontremos el siguiente procedimiento: El alumno acaba de terminar un dibujo en el que colocó puntos. Efectúa una o varias medidas de ángulos o distancias que no utilizó para la construcción” (ibídem, p. 115). En el sentido de Chevalier, vemos que la verificación se produce después de una acción de resolución. La resolución de un problema no ha terminado necesariamente, pero el alumno toma un tiempo para examinar su resultado. Consecuentemente, el proceso de verificación se aplica aquí a las acciones de revisar la acción ya efectuada33. Respecto a Nicolas Balacheff, aunque él no define el término “verificación”, lo emplea con frecuencia en su tesis (1988) y en un artículo (1982) que estudiaremos en el §3.4. Cita: “ Si quisiéramos describir una génesis de la noción de prueba, tomaríamos esos comportamientos de verificación como una etapa de esta génesis. Pero no se trata de una estrategia de prueba de verdad, pues no hay examen de la necesidad del resultado, incluso después de la manifestación de una incertidumbre” (ibídem, 1988, p. 285).

33 Arlette Chevalier distingue la verificación, en la que los alumnos utilizan nuevas medidas (en su contexto) y el control, en el que los alumnos « verifican » lo que hicieron con las mismas medidas. No retomaremos esta distinción, que fuera de plantear dificultades de generalización, no nos parece necesaria.

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En el espíritu Chevalier y Balacheff, podríamos llamar proceso de verificación a la cadena de acciones que realiza el alumno (sólo o con ayuda) cuando quiere asegurar la validez de un resultado y trata de modificar las acciones o razonamientos que lo condujeron a proponer ese resultado. No obstante, esta definición no resuelve la cuestión de la distinción entre prueba y verificación; lo que es diferente son los significados de esos dos procesos en un proyecto del alumno mas no las acciones tomadas por separado. Por ejemplo, es posible verificar una demostración. O cuando se resuelve una ecuación de primer grado, si se encuentra un resultado numérico, un alumno puede decidir remplazar ese número en la ecuación. Pero esta acción puede corresponder a un proceso de prueba o de verificación. Si el proyecto del alumno es probar a otro alumno la validez de su método de solución, la eficacidad puntual de ese método revelada por el remplazo puede adquirir el significado de una prueba pragmática: “funciona”. Describimos anteriormente las oposiciones que pueden hacerse entre verdadero y verosímil, acción y aserción, debate público y monólogo privado, y entre duda y certeza ante un resultado. Esas diferencias serían características de dos proyectos diferentes pero en el estado actual de nuestros conocimientos, no son ni exclusivas ni se pueden jerarquizar. Esta reflexión nos permite diferenciar prueba pragmática de verificación. La prueba pragmática: “funciona porque lo hice”, busca convencer a un oponente de la validez general de una proposición. Es desde el punto de vista del observador matemático que esta prueba depende

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mucho de la contingencia y no puede ser aceptada como prueba intelectual; por ende, no es tan válida, desde el punto de vista de la búsqueda de la verdad, como una prueba intelectual. Pero cuando el proyecto del alumno es producir un argumento para defender una proposición, hablaremos de prueba pragmática, y no de verificación. Por el contrario, la misma acción será una verificación si el proyecto del alumno es asegurarse que no hay errores en el resultado de una acción particular. En ese proyecto, no hay búsqueda de generalidad ni de necesidad. En el §3.4 trataremos de hacer funcionar las características que hemos resaltado para recoger indicios que nos permitirán caracterizar los proyectos de los alumnos en una resolución de problema. Así podremos proponer algunos elementos para caracterizar mejor los proyectos de prueba y de verificación.

3.2 ESTATUTO DEL ERROR Antes de examinar el estatuto del error en la clase, miraremos su estatuto en la comunidad matemática (3.2.1). Veremos que en la clase, el estatuto del error cambia si el alumno está en una situación de aprendizaje por adaptación (3.2.2) o si está en una situación de reutilización (3.2.3 y 3.2.4). Además estudiaremos el hecho de que ese estatuto depende también de la concepción de aprendizaje, constructivista o empirista (3.2.5).

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3.2.1

ERROR EN MATEMÁTICAS

Aquí examinaremos el rol del error para el matemático. Para el matemático, el error y la búsqueda de errores forman parte integral del trabajo de investigación: Cita: “La resolución de un problema matemático pasa por dos etapas esenciales: 1) Redactar una respuesta 2) Preguntarse si esa respuesta tiene sentido En teoría, si la primera etapa la realiza alguien riguroso y exento de errores, como un computador, la segunda sería redundante e inútil. En la práctica, las dos etapas son necesarias: los errores, tanto menores como mayores, abundan y no podemos estar seguros de que no hay si no los controlamos” (Barry Cipra, 1985, p. 9). En el Capítulo 4 volveremos sobre las dos fases descritas por Cipra, aunque antes de ello podemos notar que simplemente él incluye naturalmente la posibilidad de error en el centro del trabajo científico. Así mismo, J. M. Levy Leblond, en su prefacio de Cipra (1985), afirma: Cita: “Quien practica la ciencia sabe que su fuerza no proviene de una infalibilidad intrínseca sino, por el contrario, de su capacidad de auto-corrección continua”. Para el matemático que trabaja en el marco de la “ciencia normal” (Kuhn, 1970) fuera de períodos de “revolución

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científica”, el estatuto del error es relativamente simple. Un enunciado que proviene de una cadena deductiva basada en enunciados verdaderos es verdadero o falso. Si es falso, es porque se cometió un error en alguna parte. Decisivamente el matemático no se desestabiliza al descubrir un error si este se produce en el círculo privado de su entorno de investigación cercano. En particular, se cuestionará fácilmente en ese marco, y no tendrá razones para sospechar (en un primer momento) una incoherencia de los fundamentos lógicos o matemáticos de su razonamiento. Por el contrario, es un alivio encontrar un error en su razonamiento, y no en los fundamentos de las matemáticas de su época; las revoluciones, científicas o no, nunca producen tranquilidad... En realidad, el matemático sólo sentirá amenazada su reputación si publica un resultado falso, sobre todo si el error es banal. No obstante, sabemos que el matemático utiliza intensivamente herramientas de validación y de rectificación de sus resultados. En teoría, la publicación de su trabajo debería someterlo al juicio no sobre su validez, sino sobre su pertinencia. Yves Chevallard (1983) muestra cómo el rol del error en la comunidad científica depende de la situación en la que se encuentra esa comunidad con respecto a la sociedad entera: Cita: “Vemos que paradójicamente, el contrato sabio elimina de las metas del intercambio oficial la pregunta por la validez de los “bienes” intercambiados, porque supone que el problema está resuelto. Imaginamos fácilmente lo que se produciría si no fuera así: el mercado científico sería

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invadido por una plétora de productos sin garantía previa, productos no controlados, y rápidamente incontrolables –como nos muestra el ejemplo de la cuadratura del círculo en la historia–. Una parte esencial del trabajo científico, que normalmente se efectúa fuera (y a salvo) de las miradas de la comunidad científica en su conjunto, ese trabajo que algunos llaman la “cocina” de la ciencia, estaría bruscamente a la vista de todos. El derecho al error, reconocido a cualquier investigador en los trasfondos de la ciencia, sería promovido a la escena oficial de la historia oficial de la ciencia, donde el error, aunque no está completamente ausente, tiene un rol bastante modesto. El debate científico, bajo un contrato completamente diferente del que rige hoy en día, se convertiría en una cacofonía” (ibídem, p. 25). Así mismo, los matemáticos que se interesan en la enseñanza de su disciplina a veces se sorprenden por las diferencias de funcionamiento entre su sistema comunitario y el del sistema didáctico: Cita: “Desafortunadamente, parece ser que se enseña sólo la primera etapa34. ¿Por qué? Los profesores no piensan que sus estudiantes son perfectos. Y los profesores tampoco son infalibles, como para estar a salvo de un control de su trabajo. Se equivocan si piensan que acabo de utilizar con fines retóricos el viejo truco pedagógico que 34 Esta cita viene enseguida de la que hicimos antes del mismo autor (Barry Cipra, p. 9).

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consiste en presentar dos direcciones equivocadas que se equilibran, para mostrar una tesis grandiosa. De hecho, no sé por qué la segunda fase no se enseña. Tal vez se debe a una sociedad secreta. Tal vez la CIA está detrás de todo. ¿Quién sabe?” (Cipra, 1985, pp. 9-10). Trataremos, por nuestra parte, de comprender esos fenómenos sin recurrir a las sociedades secretas...

3.2.2

ERROR EN UNA SITUACIÓN AͳDIDÁCTICA

Nuestro interés por el funcionamiento del error en la comunidad matemática proviene de un principio de base sobre el cual están de acuerdo prácticamente todos los didactas de las Matemáticas. Lo que el alumno piensa de las matemáticas en general cuando sale de la escuela y lo que sabe hacer con determinados conceptos particulares debe acercarse al máximo de lo que pensaría o haría un matemático. La mayor parte del tiempo, en nuestro paradigma, ese principio se aplica a las actividades del alumno: Cita: “Decimos que un alumno tiene conocimientos de matemáticas si es capaz de provocar su funcionamiento como herramientas explícitas en los problemas que debe resolver, tenga o no indicaciones en la formulación, si es capaz de adaptarlos cuando las condiciones habituales de empleo no se satisfacen completamente, para interpretar los problemas o plantear preguntas al respecto. Para obtener que los alumnos en

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conjunto adquieran conocimientos en ese sentido, nuestra hipótesis es que la enseñanza debe integrar en su organización momentos en donde la clase simule una sociedad de investigadores en actividad” (Regine Douady, 1986, pp. 12-13). Cita: “El trabajo intelectual del alumno debe ser en ciertos momentos comparable a esta actividad científica. Saber matemáticas no es solamente aprender definiciones y teoremas, para reconocer en qué momento aplicarlos; sabemos perfectamente que hacer matemáticas implica que uno resuelva problemas” (Guy Brousseau, 1986, p. 37). Los “momentos en los que la actividad del alumno es comparable a la de un matemático” son para Brousseau las fases a-didácticas35. En tales fases, el alumno-investigador matemático es totalmente responsable de un trabajo cuyo resultado positivo depende en parte de los saberes que está elaborando. En el caso del alumno, la situación fue construida y devuelta por el profesor para permitirle esa relación. El rol del error en tales situaciones es positivo. Esas situaciones, la mayor parte del tiempo, se organizan para que las estrategias de base de los alumnos conduzcan a errores. Así como el matemático, el alumno, gracias a la fase de validación, constata “que hay algo que no funciona” pero, en un primer momento, no sabe qué es. 35 Las consecuencias que deduce Regine Douady de los mismos principios son bastante diferentes, y le permiten afirmar la importancia de la “dialéctica herramienta-objeto” y del “juego de marcos” (ver Douady 1980, 1984 y 1986).

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–En el §3.3 desarrollaremos las acciones específicas que el alumno puede emprender en ese caso, pero notemos que está en una situación diferente del matemático al menos por dos aspectos: él sabe que debe ser capaz (salvo error del profesor) de solucionar el problema, incluso si para hacerlo tenga que modificar sus conocimientos; no puede siempre confiar en los fundamentos de su propio razonamiento–. Por otra parte, para dar un sentido a un error en una situación dada, hay que referirse al análisis a priori, ya que algunos errores son previstos por la situación, y característicos de un estado del conocimiento que se trata de superar. Así mismo, puede ser fundamental que surjan errores para permitir superar conscientemente concepciones erróneas. Ejemplo: En la situación de construcción de un rompecabezas homotético (Brousseau, 1981, pp. 6971), donde 4 cm en el original, deben dar 7 cm en la reproducción, casi todos los niños piensan que hay que agregar 3 cm a todas las medidas. La manifestación de este error (modelo aditivo en un problema proporcional) permite su superación.

Hemos visto, en efecto (en el Cap. 2, §2.6), que en la perspectiva del aprendizaje por adaptación, la repetición del mismo problema es lo que permite la evolución de los conocimientos. En la mayoría de situaciones se supone la existencia de una estrategia de base, que conduce a resultados falsos, o que resulta inadecuada (por su costo, por ejemplo). Las estrategias de base son las que están disponibles según los conocimientos anteriores de los alumnos. Imaginemos un caso en el que todos los alumnos utilicen inmediatamente la estrategia óptima. Tal hecho será interpretado por el profesor o el didacta

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como negativo, pues una situación prevista para producir aprendizaje resultó ser únicamente una situación de refuerzo. Por el contrario, el error es el motor de las situaciones que tratan de provocar un aprendizaje por adaptación, y como ya dijimos, el reconocimiento del error es responsabilidad del alumno en la fase de validación.

3.2.3

FASE DE REFUERZO

En la mayoría de secuencias de enseñanza, las fases de investigación y de construcción de conocimientos no son las únicas en las cuales el alumno resuelve problemas. A menudo el alumno debe responder preguntas sobre un saber que ya le fue enseñado. Más exactamente, debe reutilizar un saber que adquirió de manera más o menos contextualizada, y que ya fue institucionalizado. Inspirándonos en Regine Douady (1986), llamaremos esos momentos fases de refuerzo; esas fases se sitúan al final del proceso de aprendizaje de una noción: Cita: “El profesor pide a los alumnos que hagan ejercicios variados que necesitan las nociones recién institucionalizadas. Al hacerlo, los alumnos desarrollan costumbres y saber hacer, integran el saber social confrontándolo a su saber particular. Esos ejercicios sólo exigen lo que ya saben. Pero los alumnos los abordan con concepciones que han evolucionado y que les permiten enfrentar un campo de problemas más amplio” (ibídem, p. 19). En el marco de una enseñanza estructurada en “teoría y ejercicios”, “aprendo/aplico”, si aceptamos con Brousseau

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(1987) considerar que la parte de la “teoría” puede identificarse con una fase de institucionalización36, vemos que lo que describe Regine, en el marco de un proyecto de enseñanza diferente al clásico, se aplica muy bien a los “ejercicios clásicos”. En ese marco, el rol del error es diferente al que puede tener en una fase de investigación, o en una situación de aprendizaje por adaptación. En efecto, el problema viene después de la institucionalización, es decir, después de la parte “decisiva” del aprendizaje. Así que se supone que el alumno aprendió lo que ahora debe aplicar; esto recuerda la consigna “aprendo, aplico” de la enseñanza tradicional, pero en todo proceso de enseñanza existe una etapa después de la cual un cierto número de saberes se consideran como parte de los conocimientos del alumno. De este modo, las fases de refuerzo son los problemas propuestos al alumno en los que éste deberá utilizar esos conocimientos, sin que esas situaciones creen nuevos conocimientos –sería interesante preguntarse por el carácter necesario o coyuntural de tales fases, pero no entraremos en esa discusión–. Para concluir, en el marco de una enseñanza “tradicional”, las fases de refuerzo37 son las únicas en las cuales el alumno tiene que realizar un trabajo autónomo. El rol del error que vamos a describir en esas fases es el rol del error “a secas” –a continuación trataremos de comprender ese rol, y cuáles son las consecuencias para el aprendizaje de 36 Por nuestra parte, hablaríamos de discurso institucional en la medida en que la palabra institucionalización sugiere un proceso, ausente en el caso de la “teoría”. 37 Que pueden darse en parte fuera de clase.

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las matemáticas, si las fases de refuerzo son las únicas fases de trabajo autónomo del alumno–.

3.2.4

ERROR EN LA FASE DE REFUERZO

Comencemos por analizar esta situación desde el punto de vista del profesor: Pues bien, esta se trata de una fase de refuerzo ya que el profesor supone que el alumno ha adquirido un conocimiento, pero… ¿Hasta qué punto? ¿Este conocimiento es estable? ¿Todos los alumnos están en el mismo nivel? –estas preguntas recibirán respuesta en esta fase–. Hay que añadir, además, que en la medida en que un saber se supone adquirido, el error ya no es el motor de tal fase, pues desde el punto de vista del profesor el error no es necesario, y se interpreta como negativo. Cita: “La mayoría los profesores38 se preguntan por la causa del error en términos de vacíos, de falta, de noción incompleta” (Nadine Milhaud, 1980, p. 18). Como lo observa Nadine Milhaud, los profesores que revisaron trabajos de alumnos no hicieron ninguna pregunta sobre las situaciones didácticas que produjeron ese trabajo, y las interpretaron como situaciones de test (ibídem, p. 17). Las otras observaciones de Milhaud hacen creer que los test son las únicas producciones escritas a las que están acostumbrados los profesores interrogados. El reconocimiento del error en tales condiciones requiere 38 Que contestaron un cuestionario de Nadine Milhaud.

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siempre una reacción: una evaluación, y/o una acción pedagógica. Respecto al alumno, desde su punto de vista, en las fases de refuerzo, el error es una falta que no debería haberse cometido. Si fuera un buen alumno, no habría errores en su razonamiento pues ya le enseñaron todo lo que necesita para responder. Lo que queremos subrayar es que el carácter de falta atribuido al error por parte del profesor o del alumno, nos parece ante todo relacionado con la naturaleza de la situación de refuerzo, ya que tal fase se basa en la idea del refuerzo de conocimientos previamente adquiridos en la clase. En tal caso, el error no tiene el carácter de necesidad en el que hemos insistido para las fases de aprendizaje por adaptación. De no necesario a negativo solo hay un paso, que los alumnos y los profesores dan con frecuencia. Sin embargo, el contrato didáctico tiene en cuenta la posibilidad de entregar al profesor un trabajo con razonamientos falsos. Esta manera de hacer público su trabajo no es la misma que la publicación en la comunidad matemática: Cita: “En la interacción didáctica, contrariamente a lo que prevalece en la interacción sabia, la demostración propuesta por el alumno no se supone ipso facto correcta, y el problema de la validez es el objetivo mismo de la interacción. En consecuencia, proponer una demostración errónea, cuando uno es alumno, no es una falta grave: es una falta, simplemente –en el sentido escolar del término–.

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En un caso, se viola el contrato; en el otro, se cumple el contrato. Pues proponer una demostración correcta o no es otro asunto, por el cual uno será buen o mal alumno, sin ser excluido de la comunidad escolar (aún si la acumulación cuantitativa puede conducir a término a la exclusión de tal o tal filial al interior de esa comunidad)” (Chevallard, 1983, p. 26).

3.2.5

ESTATUTO DEL ERROR Y EMPIRISMO

La mayoría de los profesores tiene una concepción del error relacionada con la concepción empirista del aprendizaje (ver Cap. 2, §1). Veamos a continuación cómo Jean Marc Lévy-Le-Blond (Prefacio de Cipra, 1985), resume el estatuto del error en la enseñanza “clásica”: Cita: “La ciencia que se hace difiere de la que se enseña, pues esta última trata –sin éxito– de construir una barrera contra el error, mientras que la primera lo canaliza y lo evacúa”. Vimos, entonces, que el estatuto del error está relacionado con la situación en la cual se produce; positivo y necesario en las fases de búsqueda, o negativo e inútil en las fases de refuerzo. Pero en una concepción empirista de la construcción de conocimientos, el error puede crear “malos reflejos”, puede “imprimirse” en el espíritu del alumno en lugar de la respuesta correcta. Conviene entonces que el alumno evite las ocasiones de encontrar el error. La presentación

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de situaciones a-didácticas, en el marco de seminarios de formación rápidos, suscita reflexiones que tratan de “facilitar” el trabajo del alumno para evitar los errores. Observación: En un seminario de formación de un día que animamos en un GRETA , un responsable pedagogo, muy interesado, propuso la situación 4cm/8cm en la situación de construcción del rompecabezas homotético (en lugar de 4cm/7cm que le parecía difícil). Al hacerlo, modifica totalmente el sentido de la situación, pues la estrategia aditiva no aparecerá.

Como se puede deducir, no se cree que el alumno sea capaz de crear conocimientos; se trata, de hecho, de llenar su espíritu con los saberes aportados por el profesor. Así, el alumno se limita a recibir los contenidos correctos, y el problema consiste en prepararlo para eso, ya que como “recipiente neutro”, es incapaz de distinguir lo bueno y lo malo, y puede ser peligroso mostrarle el error. Una enseñanza totalmente exitosa, ideal para este caso, sería un curso en el cual el profesor no comete ningún error, seguido por un test en el que el alumno que comprendió perfectamente, no comete ningún error. Desde luego, el profesor responde a esta exigencia cuando las únicas fases de trabajo autónomo del alumno son las fases de refuerzo. En el ideal empirista, el profesor y el alumno no deberían equivocarse. Se trata de “construir una barrera contra el error” ya que aceptar los errores para “canalizarlos y evacuarlos”, cuestionaría de manera profunda el sistema de enseñanza. Vemos, entonces, que el estatuto usual del error en la clase de matemáticas proviene de una concepción empirista de aprendizaje. Esta concepción produce el modelo “aprendo/aplico” y la evacuación del error.

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3.3 PROCESOS DE VERIFICACIÓN En los dos capítulos anteriores estudiamos las fases de conclusión; aquí estudiaremos los procesos que se dan en esas fases, y que reunimos bajo la denominación procesos de conclusión. En el interior de esos procesos, estudiaremos particularmente los procesos de validación, que al igual que las fases de validación se caracterizan por la autonomía del alumno con respecto al profesor. En el §3.1 vimos que podíamos suponer la existencia de por lo menos dos procesos de validación: el proceso de prueba y el proceso de verificación. En el desarrollo de este apartado y sus respectivos niveles de estructuración, describiremos las etapas del proceso de verificación. La primera etapa de ese proceso es común a los dos procesos de validación: se trata del examen de un resultado. Veremos (§3.3.1) que lo que podría tomarse como contradicción desde el punto de vista del proyecto de prueba, sólo será un error o un resultado dudoso desde el punto de vista del proyecto de verificación. Después de reconocer un error en un resultado, el alumno puede entrar en una fase de rectificación (§3.3.2). Terminaremos este apartado afirmando que el proceso de verificación necesita la constitución de un procedimiento de solución, mientras que el proceso de prueba necesita además la constitución de una estrategia de solución (§3.3.3).

3.3.1

ERROR Y CONTRADICCIÓN

Queremos defender aquí la diferencia de la naturaleza entre error (reconocido por el alumno) y contradicción (reconocida por el alumno): la primera pertenece

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al proceso de verificación, la segunda al proceso de prueba. Veamos lo que dice Balacheff (1988a, p. 71) de la contradicción: Cita: “Retendremos las siguientes condiciones como necesarias para la toma de conciencia de una contradicción: iii.

Existencia de algo esperado: predicción o anticipación,

iv.

Posibilidad de construir la afirmación asociada a ese esperado y a su negación”.

Estas condiciones dependen de formulaciones explícitas. Además, encontramos aquí una de las características del proyecto de prueba (§1.3.2). Mientras que en el marco del proceso de verificación, encontraremos condiciones necesarias análogas, pero implícitas, y no formuladas. Así, el correspondiente a la condición i) es la existencia de una finalidad (del problema), que el alumno toma como proyecto de solución; y el correspondiente a la condición ii) es la posibilidad de tomar una decisión diferente de la que fue tomada para llegar al resultado. Utilizamos la palabra “decisión“ en el mismo sentido que en el §2.2, es decir “que una acción puede tomar las características de una decisión para un sujeto únicamente si tiene conciencia de una elección para resolver el problema que se le propone”. La decisión puede ser mínima (como escribir 2+3=5 en lugar de 2+3=6...) como lo veremos en el §3.4 –insistimos en que en el caso de la contradicción, se trata de condiciones, las citadas anteriormente, necesarias pero no suficientes–.

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De otra parte, los dos factores que permiten el reconocimiento por parte del alumno de un error o de una contradicción son: (1) Los conocimientos del alumno; (2) El proyecto del alumno. Balacheff identifica la primera condición: Cita: “La contradicción no existe por sí misma sino con respecto a un sistema cognitivo” (ibídem, p. 68). Además, Nicolas Balacheff opone “sistema cognitivo” de un alumno y de un profesor, y nos da un ejemplo que vamos a comentar: Cita: “Inversamente, los alumnos pueden reconocer una contradicción que para el profesor no existe: Para alumnos de 5° la suma de los ángulos de un triángulo no puede ser igual a 180° en todo triángulo, pues un triángulo pequeño no puede tener la misma medida de ángulos que un triángulo grande” (ibídem, p. 68). Dado ese conocimiento, la identificación de un error o de una contradicción dependerá del proyecto del alumno. Así un alumno que encuentra el mismo valor en dos triángulos muy diferentes puede pensar que se equivocó y buscará un error en sus medidas, lo cual lleva a aseverar que en ese caso tiene una duda sobre la fiabilidad de ejecución de las medidas con el transportador. Así que no ve ninguna contradicción. Para que haya contradicción,

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es necesario que la acción particular sea concebida como un experimento, que permite validar una proposición. En otras palabras, la mayor parte del tiempo el error no produce ninguna contradicción, ni para el matemático, ni para el alumno. Veamos el siguiente ejemplo, en el cual un error no produce ninguna contradicción pues no responde a ninguna pregunta. Ejemplo: Un alumno de terminal que escribe 8+7=12, lo considerará como un error de su parte (error estúpido, además).

Hay que añadir que, como está relacionado con lo verosímil (§1.3.1), el error depende de la idea que el alumno tiene de los problemas de matemáticas. Su estatuto puede depender en particular del contrato didáctico. Desde el punto de vista del saber transpuesto en la clase, lo que es permitido o no, no puede identificarse totalmente con lo que es válido matemáticamente: Ejemplo: En un examen, resolver un ejercicio con instrumentos que no están permitidos (sobre todo si simplifican notablemente el ejercicio) puede considerarse como “incorrecto”, y recibir un cero.

De este modo, para el alumno no siempre es fácil distinguir entre lo que está permitido (“¿puedo?”) y lo que es verdadero. El proceso de verificación, dentro o fuera de la clase, puede estar marcado por creencias de origen didáctico (en el sentido de “obstáculo didáctico”, es decir, producto directo de la enseñanza). Por ejemplo, la verosimilitud de un número encontrado en un resultado pertenece a lo “didáctico” y no depende del orden de la magnitud física (encontrar un número entero es más probable que otro número; los números entre 0 y 20 son más probables que otros).

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Finalmente, hasta aquí hemos hablado de error, pero como el error está relacionado con lo verosímil, no distinguimos el error claro, del supuesto error, o del resultado dudoso; sin embargo, desde el punto de vista del proceso de verificación, esas distinciones no son importantes.

3.3.2

CORRECCIÓN/RECTIFICACIÓN

Después de la fase de validación y el reconocimiento de un error claro o verosímil, debe comenzar un trabajo retrospectivo de la solución (si el proyecto (a-didáctico) del alumno es encontrar un resultado). Fernando Hitt (1979) señala que no hay identidad entre un error potencialmente visible y una contradicción39; él sacó esa conclusión de un cuestionario con dos preguntas, cuyas respuestas eran contradictorias (desde el punto de vista matemático). También afirmó que, incluso después de descubrir la contradicción, algunos de los alumnos no revisaron su proceso de solución. Por el contrario, mostró que en el caso de fracaso en la primera redacción del ejercicio, los alumnos que se dieron cuenta de una contradicción, y decidieron revisar, lograron resolver el ejercicio (revisar ibídem, pp. 104-105). En el marco didáctico, la naturaleza de la fase de revisión depende de la posición del profesor. Así como opusimos evaluación y validación, oponemos aquí corrección y rectificación. 39 La palabra «contradicción» fue utilizada por Hitt. En nuestro vocabulario, se trata de un error reconocido, pues los alumnos aparentemente no están en un proyecto de prueba (es difícil de decir con certeza pues se trata de cuestionarios en papel).

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Llamaremos fase de corrección al momento en el cual el profesor trata el error que aparece en el trabajo de un alumno40. Llamaremos fase de rectificación al momento en el cual el alumno trata por sí mismo la duda o el error que aparecen en su propio trabajo41. Detengámonos un momento en el vocabulario. En el Capítulo 1, distinguimos fase de validación y fase de evaluación desde el punto de vista del rol del profesor en la fase de conclusión. Ahora nos interesan los procesos que se llevan a cabo en las fases de conclusión, y los llamamos procesos de conclusión. Sinteticemos: En una fase de validación, el alumno es el actor principal y, por lo tanto, el proceso de validación depende de él. Ese proceso se separa en dos categorías, que son proceso de prueba y proceso de verificación. El proceso de verificación comporta una primera fase, que es la fase de validación; si esta fase desemboca en un resultado negativo, el proceso comporta una segunda fase, que es una fase de rectificación. Mientras que en una fase de evaluación, el profesor es el actor principal, el proceso de evaluación depende de él. El proceso de evaluación comporta una primera fase, la fase de evaluación. Si esta fase desemboca en un resultado 40 No tenemos en cuenta aquí la intervención de otro alumno. 41 Puede tratarse de un alumno sólo o de un grupo de alumnos que trabajan juntos.

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negativo, el proceso comporta una segunda fase, la fase de corrección42. Por su parte, validación y rectificación están relacionadas de manera natural, así como evaluación y corrección, pero esas relaciones no son exclusivas: •

Una fase de validación puede llevar a una fase de corrección. Para entrar en una fase de rectificación es necesario que el alumno tenga los medios de comprender lo que generó el error, o cómo podría hacer para resolver el ejercicio. El proceso de verificación comporta dos fases: validación y rectificación. Esas dos fases tienen relaciones dialécticas como la prueba y la refutación.

•

Una fase de evaluación puede llevar a una fase de rectificación. Ya discutimos este caso, en el Cap. 1, §1.3, y vimos que en un proceso de evaluación, generalmente es necesaria una fase de corrección. La gestión de lo verdadero en la clase está totalmente a cargo del profesor. Es difícil de decir a la vez al alumno que su resultado es falso y que él debe rectificarlo por sí mismo.

En el caso de una enseñanza basada en la evaluación y la corrección, se crean posiciones con respecto a la gestión de lo verdadero y lo falso, en una problemática parecida 42 La distinción entre proceso de prueba y proceso de verificación no es la misma. Nos parece que tal distinción puede existir dentro del proceso de evaluación. Pero no era el objeto de nuestro estudio.

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43N. del T. a la de la “topogénesis”43 del saber” propuesta por Chevallard (1985). La asimilación del error a la falta (§3.2) hace difícil la rectificación.

Retomando la fase de corrección, en ella el profesor puede intervenir al menos de dos maneras: (a) Puede señalar el error al alumno, lo que quiere decir que espera que reconocer el error le permitirá evolucionar. (b) Puede poner en escena el error como un fracaso, confrontando trabajos de alumnos, pero como lo señala Marie Helene Salin (1976): Cita: “[...] los profesores que practican esta clase de pedagogía no explicitan cómo el alumno puede superar su error. Parece que de manera casi mágica, basta con ver cómo los otros lo hicieron o lo que dicen sobre su propio trabajo, para convencerse de que el fracaso que constata comparándose con los otros es atribuible a tal o cual error que sabe identificar”. De modo que cuando el profesor siente que la corrección colectiva, económica para la gestión de la clase, no es eficaz, normalmente individualiza la enseñanza. Finalmente, en el vocabulario corriente, las fases de evaluación y de corrección están casi siempre reunidas bajo la palabra “evaluación”, lo cual es razonable en la medida en que son dos facetas del proceso de evaluación, pues son dirigidas por el profesor.

N. del T. La topogénesis se refiere al proceso en el que se le da un lugar (topos) a algo.

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3.3.3

PROCESOS, PROCEDIMIENTO Y ESTRATEGIA DE SOLUCIÓN

El trabajo de rectificación es un trabajo retrospectivo, ya que se trata de revisar el propio trabajo. El alumno debe entonces considerar la solución como un objeto de estudio, lo cual implica que tal cambio de punto de vista sólo es posible si se guardaron trazas del proceso de solución (al menos en la memoria). Si el alumno no es capaz de distinguir, en el desarrollo temporal de sus acciones, lo que es causa de un resultado y lo que no lo es, deberá comenzar cada vez (lo que llamaremos la forma trivial de rectificación). En el marco de la clase, el alumno normalmente se ve obligado a conservar una traza escrita de sus acciones, lo que le permite al profesor un trabajo de corrección. En un marco más general, no didáctico o a-didáctico, una persona que resuelve un problema no necesariamente conserva una traza de sus acciones. Esta observación nos lleva a hacer dos distinciones: El proceso de solución designa para nosotros el conjunto de las acciones y de los modelos de acción que se llevan a cabo temporalmente en la solución de un problema. El proceso de solución depende del sujeto actor y del momento y del contexto de su ejecución. El procedimiento de solución asociado a un proceso de solución dado es lo que el sujeto retiene conscientemente como algo que contribuye a encontrar un resultado. Para entrar en un proceso de rectificación que no sea trivial es necesario que se haya constituido un procedimiento (ver §3.4 para ejemplos).

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Anterioremente (en el §3.1), distinguimos prueba y verificación desde el punto de vista del proyecto del alumno. Acabamos de ver que el proceso de verificación depende de la constitución de un procedimiento. Esta constitución de un procedimiento es un primer paso en el distanciamiento del alumno con respecto a sus acciones. Pero el procedimiento es ampliamente contingente. El procedimiento, en cuanto memoria de un proceso, depende de acciones particulares. El alumno que entra en un proyecto de prueba debe tomar aún más distancia de sus acciones, ya que debe considerar lo que es necesario en el proceso para llegar al resultado, y desprenderse del carácter temporal y personal del proceso. Llamaremos estrategia de solución al método general que conduce al resultado. Ese término de estrategia lo emplean los investigadores en ese sentido, pero se trata entonces de una reconstrucción del investigador. Para que el alumno pueda entrar en un proceso de prueba, debe constituir, él mismo y conscientemente, la estrategia de solución del problema que se le planteó. Cita: “La posibilidad de tomar el proceso de solución y, en particular, la estrategia de enumeración, como proyecto de análisis, es una consecuencia necesaria de la elaboración de una prueba” (Balacheff, 1982, p. 301). De esta manera, el alumno sólo puede entrar en un proyecto ligado a la necesidad y no a la contingencia si elabora una estrategia de solución teniendo en cuenta que la constitución de una estrategia está relacionada con

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un lenguaje simbólico, y no con la simple utilización de símbolos disponibles, como es el caso del procedimiento.

3.4 ANÁLISIS DE TRABAJOS EXPERIMENTALES Los análisis de los dos trabajos experimentales que presentaremos a continuación buscan aclarar las diferencias que expusimos entre prueba y verificación, las cuales permiten renovar una parte de las interpretaciones y las observaciones de sus autores. Los trabajos que abordaremos se caracterizan por una cierta “desviación” de la tarea tal como fue concebida por el investigador.

3.4.1

UNA SITUACIÓN DE PRUEBA CONVERTIDA EN VERIFICACIÓN

Con el dispositivo experimental descrito en el Anexo 9, Nicolas Balacheff quería estudiar: Cita: “Las concepciones que tienen los alumnos sobre la prueba en matemáticas, y en particular [...] examinar las relaciones entre elaboración de la explicación, demostración y prueba” (1982, p. 279). Este artículo nos interesa porque Balacheff constata un desvío en la interpretación de la tarea, que conduce a los alumnos hacia procedimientos de verificación y no

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de prueba, en particular en el grado sexto. La situación comporta un componente de acción: encontrar el número de rectángulos; y de formulación: encontrar la mejor explicación de ese resultado (el animador insiste en esta consigna).

ANÁLISIS DE LA COMPONENTE DE ACCIÓN, DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA VALIDACIÓN No existe la posibilidad de validar utilizando el medio, y la acción se concibe aquí únicamente como un preludio a una situación de validación. La ausencia de validación inmediata se debe a la naturaleza misma del saber en juego (combinatoria), en el nivel en el que están los alumnos. Así que no hay forma de validar directamente el resultado numérico del número de rectángulos, del mismo modo que no es posible una evaluación (el rol del profesor fue definido en este sentido); por lo tanto, se plantea el problema de la conclusión de esta fase. Balacheff tiene en cuenta explícitamente la incertidumbre, y le parece que debe promover la búsqueda de una prueba. Nosotros pensamos, al contrario, según nuestro análisis del §1.3.4, que la incertidumbre de un resultado puede llevar a los alumnos a un proyecto de verificación, en particular en la conclusión de una fase de acción.

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ANÁLISIS DE LAS ESTRATEGIAS POSIBLES PARA LAS FASES DE VALIDACIÓN Y DE RECTIFICACIÓN En la fase de acción, se trata de obtener un resultado numérico. El conteo no organizado es una estrategia de base disponible para todos los alumnos. ¿Una vez encontrado un número, cómo concluir? Como lo dijimos, no es posible ninguna conclusión directa. El proceso de verificación implica, entonces, necesariamente una fase de rectificación y, por ende, será necesario constituir un procedimiento, y considerar la pareja procedimiento-resultado. Pero la estrategia de base para la acción descrita es un proceso, que no es directamente memorizable ni siquiera por escrito, pues la escritura requiere la aparición de una organización o de una notación. De este modo, la constitución de un procedimiento pasa necesariamente por una organización de las acciones; además, la presión para la constitución de un procedimiento se debe no sólo al proyecto de verificación, sino también a la obligación de enviar un mensaje con una explicación para los compañeros de equipo. Debería, entonces, ser posible observar modificaciones sucesivas debidas a la incertidumbre del resultado y a la obligación de formular, en el sentido de una organización creciente del proceso de conteo, y de la constitución de un procedimiento. Por el contrario, la constitución explícita de una estrategia no es necesaria en la medida en que no se pide ninguna generalización.

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OBSERVACIÓN EN SEXTO GRADO En el caso de los alumnos de este grado, la primera estrategia empleada no es siempre nuestra “estrategia de base”, sino: Cita: “[…] basada en una estructuración a priori del conjunto de los rectángulos solución: rectángulos pequeños, líneas [...]” (Balachefff, 1982, p. 284). Todos los grupos tuvieron incertidumbre del resultado. Esta incertidumbre surge en los términos siguientes: “¿No olvidamos uno o más rectángulos?”. Según el vocabulario de Balacheff (p. 290), ese criterio de validez es “egocéntrico”. El número de rectángulos, es el mayor número que yo pueda contar sin contar dos veces el mismo. Los alumnos de sexto grado no interpretan la consigna bajo el punto de vista de la necesidad. Los procedimientos de enumeración utilizados por los alumnos les parecen suficientemente seguros para no contar dos veces el mismo rectángulo, pero temen haber olvidado alguno. Cita: “esta incertidumbre sobre el resultado adquirido como resultado definitivo los lleva a retomar la investigación y no a una reflexión sobre el procedimiento utilizado” (ibídem). El recomenzar la investigación conduce a una organización del procedimiento; sin embargo, para los alumnos de ese nivel, esta operación es difícil:

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“[…] cuando los alumnos tienen el proyecto, en particular explícito, de encontrar nuevos rectángulos, sus tentativas pasan por un recomenzar el procedimiento. Parece que este procedimiento es percibido globalmente y no como articulación de operaciones elementales, lo que constituye un obstáculo mayor a una estrategia de prueba” (ibídem, p. 286). Según Balacheff, lo que se rectifica es la puesta en obra del método (procedimiento) y no el método mismo (estrategia), lo que confirma en este ejemplo la jerarquización entre esas dos técnicas de rectificación. De otra parte, como lo observa Balacheff, los proyectos de los alumnos pueden clasificarse en la rúbrica de verificación pero no de prueba. “pero no se trata de verdaderas estrategias de prueba pues no hay examen de la necesidad del resultado, incluso después de manifestar la incertidumbre” (ibídem, p. 285).

OBSERVACIÓN EN TERCER GRADO El caso de alumnos de noveno es un poco diferente, pues su estrategia de base es más elaborada, y explicitan con frecuencia la idea del procedimiento antes de comenzar la enumeración. Pero desde el punto de vista de la naturaleza de sus acciones y de sus intercambios (ver el texto más completo de Balacheff ,1981), nuestro análisis se confirma.

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ANÁLISIS DE LA FASE DE FORMULACIÓN DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA VALIDACIÓN Si pasamos a la componente de formulación, nos enfrentamos a una dificultad. La finalidad de los primeros intercambios escritos de resultados numéricos y de explicaciones es establecer un resultado numérico que parece aceptable para todo el equipo. En esos primeros mensajes, es importante ser suficientemente claro para que el otro equipo pueda comprender cómo se obtuvo el resultado, y eventualmente objetarlo. Después de establecer un resultado numérico, ya no hay duda y podría esperarse una desaparición de los procesos de verificación. Desde el punto de vista de la validación del mensaje, es difícil imaginar los criterios de validación. El carácter normativo “la mejor” sugiere la posibilidad de una evaluación (aún errónea). Por ende, esta dificultad puede provocar una tensión entre un tipo de mensaje eficaz para lograr la convicción de los compañeros y otro que parecería conforme a una mirada exterior. Podemos prever que entre más grande sea la incertidumbre (en sexto grado), más frecuente será el primer tipo de mensaje, lo que puede conducir eventualmente a una multiplicidad de mensajes hasta que el equipo tenga certidumbre del número de rectángulos. Por el contrario, en noveno es posible que la costumbre de ser evaluado sobre demostraciones conduzca a los alumnos a escribir mensajes de apariencia más “matemática”. De este modo, no vemos por qué la reducción de la incertidumbre debería conducir a estrategias de prueba intelectuales, basadas en la necesidad. El objetivo último

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es ponerse de acuerdo sobre un resultado explicado. La necesidad de una generalización en la que ese resultado pierda su contingencia no es evocada en la tarea.

OBSERVACIONES EN 6º Y 9º En sexto la producción de un mensaje eficaz en la comunicación, y la elaboración de un resultado numérico fiable, movilizan toda la energía de los alumnos; además, los mensajes son descriptivos, cada vez más organizados. Por otra parte, en noveno, el acuerdo sobre el número de rectángulos se obtiene más rápido, y se encuentra rápidamente un procedimiento sistemático. Cita: “En todos los binomios, la explicación retenida es una descripción de la enumeración para mostrar “como encontramos 18” (B3). Sólo un alumno, Pascal, no asume esta postura” (ibídem, p. 293).

EL CASO DE PASCAL Pascal es el único alumno que comienza un proyecto de prueba desde el comienzo. Su exploración trata de descubrir un razonamiento. Esto es confirmado por el hecho que el resultado falso que encontró (16), es remplazado por el resultado correcto (18) dado por el otro binomio después de una verificación de la enumeración sin modificar la naturaleza de lo que él busca. De modo que esta observación nos conduce a dudar que la verificación sea una etapa en la génesis de la prueba, como lo sugiere

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Balacheff (ibídem, p. 285). Para nosotros, se trata de dos proyectos diferentes desde el comienzo. La prueba puede comenzar con una duda sobre la verificación, pero no necesariamente.

CONCLUSIÓN En conclusión, podemos decir que la situación que construyó Balacheff ofrece un terreno excepcional para observar los procesos de verificación, en particular en la validación de la fase de acción. La formulación para los compañeros aparentemente tuvo efectos de “exportación”. El hecho de que los alumnos de sexto, para quienes la tarea de conteo es difícil y por lo tanto incierta, sean los que inician claramente proyectos de verificación y no de prueba, nos confirma el carácter específicamente intelectual de la búsqueda de la verdad. Notemos, finalmente, que el motor de las fases de validación y de rectificación observadas es la ausencia de conclusión inmediata. De manera que el caso de Pascal nos parece indicar cuán grande es la separación entre la búsqueda de una verdad apodíctica (prueba) y la de una verdad asertórica (verificación).

3.4.2

UN ANÁLISIS EN TÉRMINOS DE PRUEBA QUE PARECE OBJETABLE

El problema estudiado por Arlette Chevalier (1984, ver Anexo 10) es más difícil de trabajar, pues las preguntas

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a priori en esta investigación no son claras, dado que las preguntas sobre la prueba y la verificación son centrales en todo caso a posteriori, pues el autor consagra un capítulo a la verificación y varios a la prueba. Para tratar de hacer un análisis a priori centrado en la validación, debemos distinguir dos problemas: Problema 1: (Problema dado): Buscar el número mínimo de informaciones. 44N. del T. Problema 2: Construir una figura IREM44 a partir de las informaciones dadas.

En efecto el Problema 2, construcción de los 4 puntos, aún si no es necesario para resolver el problema 1, está planteado claramente en el enunciado. Dada la tarea de dibujo en la consigna y el carácter difícil de la prueba del Problema 1, podemos esperar un procedimiento de solución pasando por el Problema 2 como etapa del Problema 1.

ANÁLISIS DEL PROBLEMA 2 DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA VALIDACIÓN El Problema 2 es un problema de construcción. Se trata de un enunciado de existencia, la validación se da sobre la adecuación entre la construcción realizada y la pregunta. El resultado es el dibujo mismo. La construcción no es trivial, y necesita una buena utilización de instrumentos de construcción como el compás o el transportador, que N. del T. IREM significa Instituto de Investigación en la Enseñanza de las Matemáticas, y la consigna pide construir un cuadrilátero de vértices I, R, E, M.

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son difíciles de manipular para los alumnos de este nivel, especialmente en quinto y sexto grados. La validación no ambigua por un medio material es posible teóricamente ya que está evocada en el problema (superposición de la solución en papel de calcar y el dibujo realizado por el alumno) aunque el modelo no está disponible físicamente en la sala de experimentación –según lo dedujimos del texto que no lo precisa–. La fase de validación deberá reposar sobre criterios de validez. El número de datos es mayor de lo necesario, lo que confirma la consigna. Podemos pensar que los criterios de validez utilizarán la adecuación de la figura con el conjunto de datos del enunciado. Para algunos alumnos, una figura que responde a todos los datos del enunciado será exacta, lo que constituye una prueba de la construcción desde el punto de vista matemático mientra que otros se contentarán con muchos datos, o incluso con uno más de los que se usaron para dibujar. En efecto, desde el punto de vista de la validación, el Problema 2 presenta pocas dificultades para alumnos de ese nivel, que pueden disponer de por lo menos uno de los criterios citados.

ANÁLISIS DEL PROBLEMA 1 DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA VALIDACIÓN El Problema 1 no es tan simple; la prueba definitiva se basa en la igualdad de triángulos y el reconocimiento explícito de la ambigüedad provocada por la existencia de dos figuras simétricas posibles. Así que no hay posibilidad de validación directa por comparación de la respuesta con la pregunta planteada, aunque un posible criterio sería:

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“El número mínimo de informaciones es el número mínimo que necesito para resolver el Problema 2” (con uno o varios métodos) –reconocemos aquí lo que Balacheff llama egocentrismo–. La pregunta prevista cuando el alumno propone un resultado: “¿Estás seguro?” al evocar la posible incertidumbre, debería llevar a un proceso de verificación (fases de validación y/o de rectificación) sobre los dos problemas –o uno solo–, según la confianza de los alumnos en sus procedimientos. También es posible que en ese momento los alumnos que están muy seguros de su dibujo (o que no hicieron dibujo) busquen razones para su respuesta, es decir que comiencen un proyecto de prueba, pero solamente en el caso en que ya se haya adquirido la certidumbre de las acciones de solución, y para el Problema 1.

OBSERVACIONES Según Chevalier, todos los alumnos menos uno (REN, 5) comienzan con el segundo problema. Un alumno (GER 3) con grandes dificultades para usar los instrumentos, tratará un razonamiento. Esos dos alumnos no encuentran ni el resultado ni el razonamiento. Así que 51 de 53 alumnos buscan la solución del problema e incluso se detienen allí, ya que 10 alumnos de primer ciclo no logran construir una figura y no dan ninguna respuesta. Desde el punto de vista de la validación, la mayoría de los alumnos utiliza los criterios de validez evocados para el Problema 2. Chevalier nota también el caso interesante de JEN 4 , que sólo ve la posibilidad de validar con el modelo cuando se le pregunta “¿estás seguro?” y responde

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“ah, no sé... tal vez...necesito el calco” y no cambia de posición después de que el experimentador insiste (ibídem, p. 116). Como se puede deducir, ese alumno no utiliza ningún criterio de validez en el Problema 2. Chevalier observa, al igual que Balacheff, la gran proporción de verificación (90% de los procesos elementales45 –véase ibídem, p. 119–). Es difícil, según el texto, comprender si se trata de verificación del Problema 1 ó 2 ya que Chevalier no los distingue –pero, según lo que comprendemos, se trata sobre todo del Problema 2–. Finalmente, según el texto, los proyectos de los alumnos son mayoritariamente de verificación.

ANÁLISIS DEL PROBLEMA DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA RECTIFICACIÓN Como lo dijimos, la constitución de un procedimiento es muy natural en el Problema 2. El dibujo es una traza de las acciones, así que no es difícil reconstituir el orden de ejecución usando los trazos de construcción, o de memoria. En esas condiciones, es posible prever fases de rectificación para el Problema 2. Podemos distinguir varias posibilidades, en caso de duda sobre el resultado (que puede ser una figura de 2 a 4 puntos), veámosla: 1. El alumno puede verificar y rectificar la ejecución del dibujo, sin cuestionar su método. En la medida en que los alumnos no 45 Para la definición de proceso elemental ver la p. 35 del texto citado sobre la actividad.

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tienen borrador, un error de ejecución banal debería conducir a recomenzar el dibujo, conservando la misma estrategia. 2. El alumno puede rectificar el método de dibujo; es decir, por ejemplo, cambiar el orden o la naturaleza de las informaciones utilizadas, en particular si constata muchas incoherencias entre su dibujo y los datos, lo que puede conducirlo a dudar de la fiabilidad de utilización de un instrumento en particular. Ahora, si se comienza el Problema 1 considerando el 2 como etapa de solución, entonces este último corresponde al resultado de la modelización. 3. El alumno puede rectificar la modelización adoptada para el Problema 1; es decir, decidir, por ejemplo, continuar a mano alzada, o hacer un razonamiento, abandonando el dibujo, o construir un grafo, etc.

OBSERVACIONES El texto da pocas indicaciones sobre ese punto. Podemos identificar en el texto rectificaciones de tipo 1 y 2, relacionadas con el Problema 2, aunque también es posible que existan rectificaciones del tercer tipo, pero no podemos afirmarlo.

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ANÁLISIS DE CHEVALIER Vamos a describir el análisis de Chevalier sobre la verificación y su conclusión, antes de presentar nuestro propio análisis –esperamos ser fieles al espíritu de su texto–. Arlette Chevalier no distingue explícitamente los Problemas 1 y 2 como lo hicimos nosotros, pero todo parece indicar que tiene en cuenta el Problema 2 (ibídem, p. 126); así, para el análisis de la verificación, retiene como criterio de análisis la distinción entre cuatro procedimientos: Cita: “En el primer procedimiento, que designaremos por V∞ , el alumno observa una contradicción desde la primera verificación: concluye inmediatamente que la figura es falsa y decide corregirla o hacer una nueva. En el segundo procedimiento, que designaremos con V∞..., el alumno observa una contradicción desde la primera verificación, pero realiza otras antes de juzgar sobre la validez de la figura: esas otras verificaciones dan lugar a una nueva contradicción, o a una identidad entre la medida efectuada y el dato del enunciado. En el tercer procedimiento, que designaremos por Vi , el alumno constata que hay identidad entre la medida efectuada en la primera verificación y el dato correspondiente del enunciado. Concluye inmediatamente que la figura es correcta.

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En el cuarto procedimiento, que designaremos por Vi... , el alumno constata una identidad en la primera verificación, pero realiza otras antes de decidir sobre la validez de la figura: esas otras verificaciones pueden dar lugar a una nueva identidad, o a una contradicción” (Ibíd., p. 121). Arlette Chevalier considera que los procedimientos V∞ , y Vi..., corresponden a una utilización implícita de la noción de contraejemplo, mientras que los otros procedimientos corresponden, a un uso equivocado de esa misma noción, ya que el alumno no concluye inmediatamente que la figura es falsa, y confía en una sola verificación para concluir su validez. Estadísticamente, los alumnos prefieren los procedimientos V∞ y Vi..., (véase la Tabla 79, p. 125). Finalmente, la conclusión de Chevalier es la siguiente: Cita: “Los análisis anteriores nos permiten concluir que la noción de CONTRAEJEMPLO, que no se estudia sistemáticamente en el Primer Ciclo, es utilizada a partir de sexto por los alumnos de todos los niveles de secundaria” (ibídem, p. 127).

PROCEDIMIENTOS “V” SEGÚN NUESTROS ANÁLISIS Como hemos dicho anteriormente, Arlette Chevalier sólo examina el Problema 2, ya que el argumento que desarrolla para fundamentar su conclusión comienza por el enunciado de la proposición implícita utilizada por los

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alumnos: “Quiero construir una figura que verifique todos los datos del enunciado”. Eso supone un primer problema, pues no es la pregunta que planteó a los alumnos. Por otra parte, la formulación que ella hace supone una toma de posición sobre los criterios de validez utilizados por los alumnos en la construcción. Además, Chevalier supone implícitamente que el criterio utilizado es que para ser correcta (es decir, superponerse a la figura modelo), la figura debe verificar todos los datos del enunciado –comprendemos esta interpretación de Chevalier si la miramos a la luz de un proyecto de prueba (lo que refleja su vocabulario). En ese caso, la construcción sólo será exacta si se verifican todos los datos, aunque en un proyecto de verificación hay otros criterios de validez para garantizar la construcción con un buen grado de certidumbre–. Esas distinciones entre procedimientos “V” plantean el problema del significado de esas acciones para el alumno, es decir del proyecto del alumno. El significado de los diferentes procedimientos distinguidos por Chevalier cambia si el alumno está en un proyecto de prueba o de verificación. Ahora, retomemos los procedimientos de Chevalier desde el punto de vista del proyecto de verificación (fases de validación y de rectificación). El procedimiento V∞ es válido en una fase de validación, sin importar el criterio utilizado. En la medida en que se trata de entrar en un proceso de verificación, debemos observar también la continuación, es decir la fase de rectificación. Arlette Chevalier no lo hace, por lo que sólo podemos conjeturar. Es poco probable que una sola constatación permita un diagnóstico eficaz del origen del

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error; entonces es verosímil que a este procedimiento siga una rectificación trivial. El procedimiento V∞... es idéntico al anterior desde el punto de vista de la fase de validación. Las verificaciones que siguen al primer error constatado pueden comprenderse en una fase de rectificación, y pueden buscar un diagnóstico del error en la realización del método. El procedimiento Vi corresponde a la utilización del criterio de validez que evocamos: construir una figura que corresponda a una indicación suplementaria. Ese criterio se comprende en particular en el caso de un alumno muy seguro de su figura por otras razones (está seguro de su manipulación de los instrumentos, por ejemplo). El procedimiento Vi..., corresponde a la utilización de los otros criterios de validez que ya describimos. Esos criterios se comprenden en el caso de un alumno con dudas más o menos importantes de su realización. En cuanto a los procedimientos invalidantes, sólo la consideración del conjunto del proceso de verificación podría permitirnos interpretar las acciones de los alumnos. Si se observa la tabla de la página 125, notamos un aumento de la proporción de procedimientos V∞... (alrededor de 15% de sexto a octavo, pasa a 30% en noveno y décimo), lo que podría indicar una mejor utilización del diagnóstico en las tareas de construcción geométrica. Los procedimientos de validación (Vi y Vi...) no se diferencian desde nuestro punto de vista. El primero corresponde a la utilización de un criterio de validez particular (utilización de un dato más), que no tenemos ninguna razón para oponer a los otros (utilización de varios datos más, o de todos los otros datos). Podríamos

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concebir que en la perspectiva de un proyecto de prueba, este último criterio sea privilegiado, pero las tablas no dan detalles, pues Chevalier sólo distingue uno y varios.

PREGUNTAS SOBRE LA CONCLUSIÓN DE CHEVALIER El vocabulario de Chevalier está marcado por la problemática de la prueba: contraejemplo, contradicción. Más allá del simple vocabulario, su conclusión sólo es comprensible en esa problemática. Sin embargo, sólo le interesa el Problema 2, en el que constató proyectos de verificación. Además, el único indicio de proyecto de prueba en este problema podría ser la utilización del criterio de correspondencia de la figura con todos los datos del problema, pero ese criterio no fue identificado en su análisis. Respecto al Problema 1, podemos imaginar proyectos de prueba. Según los protocolos dados en los anexos, algunos alumnos entran en un proyecto de ese tipo cuando abordan este problema, después de haber resuelto satisfactoriamente, a sus ojos, el segundo. Por ejemplo, el alumno etiquetado como OLI 6 afirma: “Voy a ensayar a ver si puedo tener menos informaciones” (ibídem, p. 326). Pero las distinciones entre los procedimientos “V” tampoco son pertinentes si el dibujo realizado es un ejemplo genérico (Balacheff, 1988a). Expliquemos con un ejemplo: Imaginemos que un alumno quiere resolver explícitamente el Problema 1, y piensa “voy a tratar de hacer la figura con cuatro informaciones únicamente”, y constata que la figura, aunque corresponde a los datos

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utilizados, es falsa con respecto al menos un dato más. Para hacerlo podría utilizar un procedimiento V∞..., si verifica primero con un dato exterior y busca luego verificar que no cometió simplemente un error de medida. Entonces este alumno no concluirá la falsedad de la figura, que es contingente, sino la falsedad de la conjetura “cuatro datos bastan”. En ese caso, en el que un procedimiento V∞... es eficaz, el alumno habrá considerado la figura como un contraejemplo, en la medida en que esta figura responde negativamente una conjetura expresada (eventualmente interiormente). La distinction entre V∞ y V∞... no es pertinente para juzgar distinciones entre estos en este caso. Retomando las conclusiones, si las miramos en el texto, vemos que Chevalier valora los procedimientos V∞ y Vi en la medida en que considera esos procedimientos interpretando el funcionamiento del alumno en términos de descubrimiento de contraejemplos. Sin embargo, el concepto de contraejemplo sólo tiene sentido en un proyecto de prueba; sólo es válido en la perspectiva de una interrogación frente a un enunciado. En el proyecto de verificación, una figura falsa no constituye un contraejemplo, ni siquiera una contradicción; sólo es el signo de un error, y las verificaciones múltiples pueden ser sólo indicios de una tentativa de diagnóstico. En suma, la conclusión de Arlette Chevalier no nos parece acceptable, pues esta conclusión depende de una interpretación del proyecto del alumno como proyecto de prueba, que no parece ser confirmada por las observaciones. En particular, a pesar de que constata una desviación de la tarea propuesta hacia un problema de construcción, no usa esta distinción para comprender

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los diferentes significados de las acciones de los alumnos según si están en una u otra situación. Finalmente, esperamos haber mostrado en este ejemplo el interés conjunto del análisis a priori desde el punto de vista de la validación y del análisis a posteriori de los proyectos de los alumnos, en especial por medio del análisis de las fases de validación y rectificación.

3.5 PRÁCTICA DE LA VERIFICACIÓN Para concluir este capítulo, plantearemos algunas preguntas sobre la práctica de la verificación del alumno en una situación didáctica. Defenderemos primero la idea que el análisis del proyecto del alumno permite comprender la naturaleza de los procesos en juego (3.5.1). Luego haremos observaciones sobre la abundancia de procesos de verificación constatados en las situaciones experimentales (3.5.2). Finalmente, retomaremos la problemática que trabajamos en 1986, para criticarla: habíamos pensado construir situaciones de verificación (3.5.3), pero ahora pensamos que es inútil.

3.5.1

PROYECTO DEL ALUMNO

Para concluir los análisis del §3.4, tratamos de retomar los trabajos experimentales desde el punto de vista del alumno. En el caso de Balacheff, los alumnos se encuentran en un proyecto diferente del que estaba previsto a priori. En el de Chevalier, el punto de vista de la prueba adoptado por ella en el análisis a posteriori parece

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discutible si se examinan los problemas que tratan de resolver los alumnos, es decir, sus proyectos. En los dos casos, la mayoría de los alumnos están en un proyecto de verificación, cuando los investigadores esperaban o veían un proyecto de prueba. Pero, ¿cómo puede reconocerse a posteriori el proyecto de los alumnos? En los dos casos, los alumnos resuelven un problema que corresponde a una situación de acción: acción de conteo en Balacheff, de construcción geométrica (Problema 2) en Chevalier. El caso de este último es un poco especial, pues si los alumnos se detienen en el Problema 2, que es una construcción, la prueba de ese enunciado existencial puede hacerse por exhibición. En ese caso, el análisis a priori que hicimos no puede completarse con un análisis a posteriori, pues los hechos que podrían informarnos no eran objeto de la observación. Por el contrario, en el caso de la situación de Balacheff, construida explícitamente como situación de validación, podemos analizar los proyectos a posteriori. El hecho de que los alumnos formulen mensajes escritos no basta para afirmar que entraron en una problemática de formulación de su modelo de acción. Cuando se expresan, es para contar, describir su acción, como lo nota Balacheff. O sea, se expresan poco o nada sobre las razones de su acción, que sería una condición necesaria para una problemática de prueba (ver §1.3.2). Así que, como buscan validar el resultado de su acción, los alumnos se plantean naturalmente preguntas de verosimilitud. Pero no se plantean el problema de la verdad y de la generalidad de su resultado (ver §1.3.1). La duda que tienen sobre su resultado es evidente, pero sólo refuerza su proyecto de buscar una verosimilitud.

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Pero, ¡el único alumno que entra en un proyecto de prueba se desentiende de la falsedad del resultado numérico de su conteo! –hacemos referencia a Pascal–. Su certidumbre no está ahí, en el resultado de su acción, sino en la existencia de una posible sistematización del problema. Él busca un procedimiento que le dé la demostración rigurosa del caso general y, junto con ella, el resultado pedido (véase §1.3.4). Notemos entonces que la situación no preveía un debate contradictorio. Los alumnos no salen de la esfera privada en la que la solución se elabora, así que el egocentrismo de los procedimientos de respuesta al problema propuesto no logró evolucionar (ver §1.3.3). Los problemas, tal como fueron concebidos, piden un distanciamiento con respecto al proceso realizado en la acción. Pero los alumnos, aunque construyeron un procedimiento, necesario para la verificación, no llegaron a construir una estrategia explícita. En otras palabras, desde el punto de vista de la validación, el proyecto de los alumnos tiene todas las características que atribuimos al proyecto de verificación, opuesto al proyecto de prueba. Hacemos hincapié en que este análisis es un análisis a posteriori. Una parte de este análisis que intentemos realizar en el §3.4 en los análisis del punto de vista de la validación, no habría sido posible a priori. Pero no nos parece que podamos prever con un análisis a priori los proyectos de los alumnos. Sólo la combinación de los dos análisis (a priori/a posteriori) nos permite comprender la situación vista por el alumno, analizando las limitaciones de la situación como fue prevista a priori, y los proyectos de los alumnos a posteriori.

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3.5.2

PRESENCIA/AUSENCIA DE VERIFICACIÓN

Uno de los aspectos interesantes de los experimentos que analizamos es la presencia de numerosos procedimientos de verificación de parte de los alumnos46. Este hecho es notable, pues es común decir que “los alumnos no verifican”, lo que parece verdadero en una situación escolar normal. Cita: “El contrato didáctico opera así una división de responsabilidades y por lo tanto de tareas, que no se superpone a la división sabia. El investigador debe demostrar lo que afirma. Al alumno no se le reconoce esta capacidad, que se le asigna al profesor. Y quienes se sorprenden o se molestan por la reticencia de los alumnos a «verificar» sus producciones (por ejemplo, a verificar que los valores numéricos encontrados en la solución de una ecuación satisfacen esa ecuación) sólo resaltan una disposición profunda del contrato, generadora de un comportamiento en el que la mala voluntad del alumno no tiene nada que ver” Yves Chevallard (1983, p. 27). De hecho, fuera de las situaciones didácticas, el problema de la verificación se plantea en términos que no existen prácticamente nunca en la clase. Uno de los nudos de esta problemática es la importancia que se le da al resultado, es decir la finalidad de la solución. Estaremos de acuerdo, 46 Tres trabajos de grado de DEA de didáctica de disciplinas científicas en Lyon y Grenoble sobre el tema de la verificación, con el mismo tipo de metodología (entrevistas por parejas fuera de clase) confirman esta observación (Khantine-Langlois, 1988; Coppe, 1988; Jany, 1988).

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entonces, en que para el profesor la mayor parte del tiempo la importancia del resultado es marginal: “Lo que importa es que el razonamiento esté correcto”. Así mismo,para el profesor el resultado es un indicio de la actividad del alumno, y tiene un rol en las negociaciones didácticas, en particular en la evaluación. De modo que el resultado es un mensaje para el profesor, y no la respuesta a un problema. Ese fenómeno nos parece relacionado con la ausencia de un trabajo “privado” del alumno en la clase, pues en una enseñanza “clásica” el trabajo del alumno siempre está potencialmente bajo la mirada del profesor. Al contrario de Chevallard, no pensamos que se trate de una limitación del sistema de enseñanza, sino más bien una elección, en el sentido en que el trabajo del alumno, aún dentro del sistema didáctico, puede tener una componente a-didáctica en la que la responsabilidad del alumno sea total –esa elección concierne sobre todo las fases de conclusión–. Lo que vemos aquí en las situaciones experimentales, en las que el experimentador no tuvo problema para hacer aceptar su neutralidad, es la aparición de numerosas estrategias de verificación que no aparecen en otras condiciones. Para concluir, en el análisis que hicimos, la presencia de las verificaciones se debe a la ausencia de evaluación de parte del experimentador, quien solicita, por el contrario, en los dos casos, una validación de parte de los alumnos. Los capítulos anteriores en los que discutimos las condiciones de viabilidad de la ausencia de evaluación sistemática en la clase, nos llevan a pensar que la ausencia de verificación de parte del alumno no es un mal necesario

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sino contingente de las decisiones didácticas. Está claro que sólo las observaciones de clase, en el marco de una costumbre didáctica diferente de lo común en cuanto a la validación, podrían confirmar nuestra afirmación que sólo es una hipótesis.

3.5.3

͏SITUACIÓN DE VERIFICACIÓN?

Nuestro trabajo de tesis nació de un intento de problematización de la verificación. Nuestra primera preocupación fue buscar una finalidad de la verificación en una situación no didáctica propicia para este ejercicio (ver Margolinas, 1986). Luego construimos una situación a-didáctica “de verificación”. Nuestra hipótesis (implícita) era que la verificación pertenecía a una dialéctica particular. Ahora nos parece que este análisis no es suficiente, y desarrollamos otra reflexión teórica. En efecto, si uno de los funcionamientos del conocimiento puede ser revisar las acciones, la construcción de situaciones a-didácticas de verificación no es necesariamente un buen objeto para la Didáctica de las Matemáticas. De modo que los análisis que hemos hecho aquí tratan de mostrar que la introducción de tales situaciones no es necesaria para favorecer los proyectos de verificación (validación y rectificación) de los alumnos.

Control 4 En este capítulo examinaremos globalmente la solución de un problema, privilegiando el punto de vista de la validación. No se trata, como en el Capítulo 3, de examinar únicamente las acciones del alumno cuando ha obtenido un resultado, sino de comprender cómo el proceso de validación por venir influirá en la resolución –en nuestro trabajo de tesis, ese capítulo se basaba en una parte de observación experimental en el campo del álgebra; en este libro, vamos a generalizar nuestro estudio a la resolución de problemas–. De modo que, en una primera parte (§4.1 y §4.2) analizaremos un funcionamiento a-didáctico de la solución de problema. Estudiaremos primero el proceso de solución de problema (§4.1), luego el proceso de validación, que se realiza como resultado del proceso de solución (§4.2). Este análisis de la validación nos conducirá a estudiar un nuevo proceso, el proceso de control. Luego examinaremos un caso de un alumno en dificultad (§4.3). Ese último comenzará con la pregunta sobre el fracaso, y examinaremos las consecuencias posibles de algunas opciones didácticas en materia de validación.

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La importancia de lo verdadero y de lo falso en la clase de matemáticas

4.1 UN ESTUDIO A DIDÁCTICO DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Como un pequeño abrebocas, queremos mencionar rápidamente, complementando lo anterior, que desarrollaremos aquí una modelización de la actividad de solución de problemas, que nos llevará a definir dos planos con significados diferentes (§4.1.1). Ilustraremos luego esta modelización con ejemplos de álgebra elemental (§4.1.2 a §4.1.6). Veamos:

4.1.1

UNA MODELIZACIÓN DE LA RESOLUCIÓN

Resolver un problema, es ante todo plantearse una pregunta. Esta pregunta pide una resolución, que puede ser más o menos trivial según el tipo de problema y el nivel de conocimientos del sujeto que busca la respuesta. Tratar de responder la pregunta es la finalidad de la actividad de resolución, pero puede pasar por un trabajo matemático. En ese trabajo, la pregunta puede no ser olvidada, pero sí dejada en reposo si no se tienen elementos suficientes para poder responder. Desde el momento en que se piensa tener esos elementos, la resolución se detiene en un resultado, que permite dar la respuesta. Como lo veremos más adelante, lo que llamamos resultado puede ser cualitativamente muy diferente de la respuesta, incluso en el caso de un problema puramente matemático, sin referencia a un “problema concreto”. Empero, una pregunta puede no requerir ningún trabajo matemático.

CAPÍTULO 4

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Ejemplo: Resolver x - 2 = 0 provoca la respuesta “2 es el único número que sirve” en un alumno de bachillerato.

En adelante, ilustraremos el siguiente esquema que sirve de base para nuestra reflexión.

4.1.2

PREGUNTA / RESPUESTA

De antemano precisamos que el vocabulario (pregunta-respuesta) que utilizamos aquí está tomado voluntariamente del lenguaje común. Volviendo a nuestras reflexiones, plantear una pregunta es ante todo desear una información, y nos parece que resolver un problema es ante todo buscar una información sobre un conjunto de soluciones. Es lo que llamaremos la finalidad de la resolución de problemas. La relación entre pregunta y respuesta es compleja, y se basa, como gran parte de la comunicación, en implícitos de la situación de enunciación, ya que algo aceptable como respuesta en una situación puede no serlo en otra.

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Ejemplo: La respuesta al problema “resolver tal ecuación” está en gran parte determinada por la situación. Puede tratarse de dar una solución, o todas las soluciones, o la forma de las soluciones.

Enfatizando lo anterior, la noción de “pregunta” es compleja: para saber si una frase es una pregunta, no basta con mirar la ausencia o presencia de un signo de interrogación, porque la existencia de una pregunta depende del deseo del interlocutor de obtener una información de parte del destinatario. Esta información puede que la tenga el locutor mismo, como es el caso generalmente en las preguntas (cerradas) del registro didáctico. En el caso de preguntas abiertas, la información la necesita un locutor que no la tiene (por razones materiales o intelectuales). Ante una pregunta, el interlocutor puede producir diferentes discursos, que no siempre serán respuestas a esta pregunta. Enlazando lo expuesto en el capítulo anterior, la “respuesta” a la pregunta es un discurso en el que el interlocutor trata de reducir la incertidumbre contenida en la pregunta; entre más se reduce la incertidumbre, mejor es la respuesta. Ejemplo: Es esta naturaleza fundamental de la respuesta la que limita la posibilidad de responder S= {x ∈ R / 3x + 4 = 7x - 12} a la pregunta Resolver en R la ecuación 3x + 4 = 7x – 12. Esta “respuesta” no aporta ninguna información. Por el contrario, el conjunto S = {(x, y) ∈ R2 / y = 2x} sí es una respuesta a la pregunta Resolver en R2 el sistema (y = 2x y 2y = 4x) en la medida que da una información suplementaria sobre la localización de las soluciones (y además, la mejor posible).

CAPÍTULO 4

4.1.3

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PREGUNTA / RESOLUCIÓN

En una perspectiva a-didáctica, las nociones matemáticas que intervienen en la resolución de problemas tienen un carácter “de herramienta para la actividad matemática”, lo que introduce necesariamente una finalidad de la utilización de tales herramientas. A continuación redactamos un ejemplo que ilustra cómo la justificación y la finalidad pueden cambiar la naturaleza del trabajo. Ejemplo: Una persona con habilidad para el trabajo algebraico, delante del siguiente problema: resolver en R la ecuación (2x+3)/5=7, no está en la misma situación si esta ecuación se presenta sola, o como parte de un conjunto de ecuaciones de la forma (ax + b)/c=d. En el último caso, le conviene más resolver la ecuación literal y utilizar el resultado (cd – b)/a en todas las ecuaciones. Ese funcionamiento es típicamente algebraico, pues uno de los objetivos del álgebra es utilizar casos generales para liberarse de las limitaciones de la repetición de casos particulares parecidos. En el mismo ejemplo, si una de las ecuaciones es (2x+3)/5=1, la misma persona responderá inmediatamente 1.

El trabajo matemático, incluso si contiene fases relativamente automáticas, no es automático en su aplicación a una pregunta, incluso si esta pregunta fue formulada matemáticamente. De modo que volvemos a encontrar la relación entre finalidad y elección. La pregunta de la finalidad sólo tiene sentido si el sujeto tiene que elegir, tomar decisiones –en nuestro ejemplo, vemos que tales elecciones existen incluso en el caso del álgebra elemental–.

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4.1.4

RESOLUCIÓN/RESULTADO

Así como no podíamos definir “pregunta” sin “respuesta”, es imposible definir “resolución” sin “resultado”. Esos dos términos pertenecen al nivel matemático, que se caracteriza por su subordinación al nivel pregunta/ respuesta desde el punto de vista de la finalidad. Como lo mostramos en el nivel anterior, la elección del método de resolución está subordinada al plano de la pregunta, dado que depende de la situación y de la finalidad. Una vez elegido el método, la ejecución puede ser más o menos fácil, más o menos automática. En esta parte de ejecución, es posible olvidar la finalidad, pero sólo hasta cierto punto. En efecto, lo característico de un método de solución es ser finito. Pero lo que determina el fin no es el método mismo, sino la finalidad. Ejemplo: Si dividimos 25771 por 5555, la división es finita, pero no es necesario realizar todo el cálculo si la respuesta a la pregunta pide máximo una cifra después de la coma. La decisión de parar una resolución, incluso finita, no está determinada al interior de la resolución.

Llamamos resultado a la etapa final de la resolución. En consecuencia, la situación determina el resultado. A propósito de situación: esta la entendemos en un sentido amplio como conjunto de las limitaciones y de las determinaciones. En particular, los conocimientos del sujeto hacen parte de la situación, pues influyen en las decisiones que debe tomar (paso pregunta/resolución) y en el momento en el cual piensa haber encontrado la solución (paso resolución/resultado).

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Ejemplos: Pregunta 1: Resolver en R la ecuación 3x + 4 = 7x + 12. Resolución 1: La resolución escrita es: (- 4x = 8). Resultado: - 4x = 8. Resolución 2: La resolución escrita es: (3x - 7x = 12 - 4; - 4x = 8; x = 8/-4; x = - 2) (nota*) Resultado: x = - 2. Resolución 1 : La resolución escrita es: (3x-3+8x-12 = 11x+1: 11x-15 = 11x+1;

-15=1

Resultado: -15=1 Resolución 2: La resolución escrita es: (3x-3+8x-12=11x+1;3x+8x-11x=1+13+2;0x=16; x=16 /0;x= ∝).

Resultado: x= ∝

4.1.5

RESULTADO/RESPUESTA

La respuesta a la pregunta planteada no es de la misma naturaleza que el resultado final de la resolución. El resultado está determinado por la respuesta buscada, por una pregunta dada, en una situación dada. Pero la elaboración de la respuesta a partir del resultado depende de la resolución completa, y en particular del método adoptado. En la respuesta, se reconsidera el procedimiento de solución. * Para no entorpecer la lectura colocamos punto y coma en vez de hacer un punto aparte. Las combinaciones corresponden al texto escrito entre paréntesis.

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Ejemplos: (continuación de §4.1.4): Si por “resolver en R una ecuación” entendemos “cuál es el conjunto de todas las soluciones de la ecuación”, entonces la respuesta se presenta en forma de un conjunto de soluciones. Llamemos S ese conjunto. En el ejemplo 1, el Resultado 1 era - 4x = 8, el Resultado 2 era x = -2, en los dos casos la respuesta es S= {-2}. No nos equivoquemos, en esta escritura de S hay más que en la escritura de x = -2. La escritura en forma de singleton afirma también que el número 2 es la única solución de la ecuación, lo cual tendrá consecuencias para la validación (§4.2). No se trata de una cuestión de escritura, sino de sentido, en el marco del estudio a-didáctico. En el ejemplo 2, el Resultado 1 era -15=1, la respuesta S = φ resulta de una reducción al absurdo. Aquí vemos mejor la distancia entre lo que le permite a un sujeto retener su resolución y lo que fundamenta su respuesta a la pregunta planteada. En el ejemplo 2, el Resultado 2 era x = ∞ la respuesta es “la solución no existe, la ecuación es imposible”.

Este ejemplo nos muestra una vez más que la respuesta no es única, y que depende de lo que el interlocutor espera (en este caso, Emile Borel por ser el autor del libro de texto del cual tomamos el ejemplo).

4.1.6

DOS PLANOS CON SIGNIFICADOS DIFERENTES

SSi retomamos el esquema de base, podemos identificar dos planos con significados diferentes:

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•

El plano de la finalidad: el de la pregunta y la respuesta.

•

El plano del trabajo matemático: el de la resolución y el resultado.

La diferencia entre esos dos planos no depende del carácter “menos formal” del primero con respecto al segundo, sino de una relación de subordinación desde el punto de vista del significado. En una perspectiva a-didáctica, el trabajo matemático está finalizado por la respuesta, en una situación particular.

4.2 PROCESO DE VALIDACIÓN Y PROCESO DE CONTROL En una primera parte, continuaremos nuestro estudio de la resolución de problemas en una perspectiva a-didáctica. Adoptaremos el punto de vista de la validación. El esquema que hicimos anteriormente debe leerse a la inversa, ya que se trata de partir de la respuesta (4.2.1). Pero el punto de vista de la validación no quedaría completo si no tenemos en cuenta otras relaciones aparte del retorno entre la

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finalidad y el trabajo matemático. Veremos además que la finalidad interviene en el núcleo del desarrollo o del trabajo algebraico por el proceso de control (4.2.2), del que estudiaremos las diferentes componentes en el marco de la resolución de ecuaciones.

4.2.1

VALIDACIÓN: RESPUESTA / PREGUNTA

La validación directa, adecuación entre respuesta y pregunta, depende a la vez del tipo de respuesta y de las exigencias contenidas en la pregunta. Ejemplos: Ejemplo 1: Si la pregunta es «¿existe una solución en R para la ecuación 2x + 3 = 3?» la respuesta «sí» admite una validación inmediata puesto que cero es una solución (2x0 + 3 = 3). La misma respuesta permite otras justificaciones, como por ejemplo «se trata de ecuaciones de dos rectas no paralelas» (validación por cambio de marco); «una ecuación de este tipo tiene siempre una solución» (validación por propiedad

CAPÍTULO 4

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matemática48), etcétera. Pero en este ejemplo, el retorno directo a la pregunta para validar la respuesta es posible. Ejemplo 2: Retomemos la misma pregunta, pero demos la respuesta errónea «no». Como origen de esta respuesta, podemos imaginar el trabajo algebraico siguiente: 2x + 3 = 3; 2x = 0, x = 0/2 (respuesta). Ese trabajo algebraico es exacto hasta la interpretación del resultado en respuesta. Para validar (invalidar) esta respuesta, es necesario recurrir a una técnica de validación diferente del simple retorno a la respuesta. En efecto, validar la respuesta «no» a la pregunta de la existencia de una solución, requiere convencerse de que no hay ninguna solución, lo cual no puede hacerse directamente, incluso si uno no está en una óptica de prueba o de demostración. Ejemplo 3: Si la pregunta es «Encontrar el conjunto de la solución en R de la ecuación 2x + 3 = 3», en ese caso la respuesta {0} no puede validarse únicamente sabiendo que cero es una solución. El reemplazo sólo nos informa que cero es una solución de la ecuación. El hecho de que sea la única, requiere otros conocimientos, como por ejemplo que una ecuación del tipo ax + b = c (a ≠ 0) tiene siempre una única solución.

4.2.2

PROCESO DE CONTROL

En el Capítulo tres discutido anteriormente distinguimos proceso, procedimiento y estrategia de solución. Vimos además que los proyectos de verificación y de prueba 48 Para las técnicas de validación y de rectificación consultar a Mark Colina (1989, Cap. 3).

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pueden conducir a la constitución de procedimientos y/o de estrategias, cuando el simple hecho de resolver un problema no requiere más que un proceso de solución. Pero ese punto de vista corre el riesgo de dar a entender que la función de validación en la resolución de problemas sería únicamente retrospectiva. Ahora bien, la anticipación de la validación es fundamental en la constitución del proyecto del alumno, incluso durante la fase de resolución. En nuestro contexto, eso significa que el plano de la finalidad interviene directamente en el del trabajo matemático, según la relación de subordinación que ya describimos.

Llamaremos proceso de control el proceso de anticipación de la validación49.

Las relaciones de subordinación entre el plano de la finalidad y el del trabajo algebraico hacen parte del proceso de control. Esas relaciones sólo tienen sentido si se quiere responder de manera pertinente a una pregunta, es decir si se anticipa (parcialmente) la validación de la respuesta. En una situación didáctica, la finalidad interviene en el núcleo del trabajo particularmente a través del control.

49 Nuestra utilización del verbo « controlar » no corresponde a la utilización estricta de ese verbo en francés, donde significa exactamente lo mismo que verificar. Pero en el lenguaje de 1989, y desde hace algunos decenios, esa palabra ha sido contaminada por el sentido inglés del verbo equivalente (control) que significa dominar. Nos parece que esta acepción es la que predomina hoy en día en la lengua corriente.

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En lo sucesivo vamos a describir los puntos en los cuales se ejerce el control en la resolución de problemas y las consecuencias posibles del control desde el punto de vista a-didáctico, subrayando que esta descripción no es independiente de los análisis que hemos hecho con respecto a la validación (ver §4.1), y por eso este análisis será sucinto. Para nuestra descripción utilizaremos el siguiente esquema:

CONTROL 1: SELECCIÓN DEL MÉTODO La primera flecha de subordinación del plano del trabajo matemático al de la finalidad es la relación entre pregunta y resolución. ¿Dada una pregunta, es necesario emprender un trabajo matemático para responder esta pregunta? en el caso de respuesta positiva, la selección del método de trabajo depende de la naturaleza de la pregunta, es decir del tipo de respuesta que se busca.

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CONTROL 2: PROCEDIMIENTO Y ESTRATEGIA DE SOLUCIÓN Para que un proceso de validación pueda ejercerse en el trabajo matemático, es necesario que haya por lo menos la constitución de un procedimiento, o de una estrategia. Dicha constitución del procedimiento pasa por una memorización (por lo general escrita). Para nosotros, uno de los roles de lo escrito es permitir la constitución de un procedimiento o de una estrategia. De hecho, con respecto a este aspecto, el trabajo matemático y la demostración mantienen relaciones estrechas; por esta razón en la mayoría de los casos se trata de la constitución de una estrategia. Por ende, la escritura matemática permite a menudo mostrar la validez de una respuesta; así que para que el trabajo matemático pueda permitir esta operación de mostración, o de demostración, es necesario que el método de solución tenga estatuto de estrategia. Resaltamos el hecho de que la importancia que le damos aquí a la constitución de una estrategia no excluye la existencia de pasos «automáticos» en el trabajo matemático. Pero la reducción del trabajo matemático a un procedimiento de resolución, priva el plano del trabajo matemático de su relación con el plano de la finalidad. Es decir, elimina el control, por el cual expresamos las relaciones entre los dos planos. CONTROL 3: FIN DE LA RESOLUCIÓN Ya insistimos anteriormente en que el resultado (fin de la resolución) depende de la capacidad de dar la respuesta. Por eso el control se ejerce sobre el dato del resultado, en

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la medida en que éste depende del tipo de la respuesta que se debe dar. CONTROL 4: INTERPRETACIÓN La interpretación del resultado como respuesta necesita en la mayoría de los casos considerar la estrategia de solución en su conjunto, y no solamente el resultado. Se trata de una operación finalizada hacia la respuesta a la pregunta, y que tiene en cuenta la futura validación de esta respuesta.

4.3 VALIDACIÓN Y ANOMIA

N. del T.

A manera de conclusión rápida y abierta de este Capítulo, quisiéramos considerar la ausencia de validación de parte del alumno. Retomaremos para ello primero un episodio de entrevista realizada por Hasemann 1988 (§4.3.1). Introduciremos luego (§4.3.2) la noción de anomia, desarrollada por Chevallard (1988). Y, finalmente, nos preguntaremos sobre las relaciones entre validación y anomia (§4.3.3).

N. del T. Anomia es la dificultad de utilizar palabras adecuadas en la conversación.

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4.3.1

CONTRADICCIÓN Y DESESTABILIZACIÓN

Vamos a retomar aquí un caso descrito por Hasemann (1988, p. 151) en el cual se estudian «situaciones productoras de conflicto». Se trata de ejercicios que comprenden cálculos de fracciones, presentados en entrevista. Hasemann interroga alumnos de séptimo año alemán, correspondientes al quinto francés. Los alumnos interrogados rara vez se encuentran en contradicción, incluso cuando esta contradicción es patente para el observador matemático: Cita: «En la mayoría de los casos, los alumnos tienen confianza ciega en sus operaciones y si para un sólo y mismo ejercicio, hecho con métodos diferentes, obtenemos resultados diferentes, en la mayoría de los casos aceptan los dos resultados declarando que están correctos» (ibíd., p. 152). El caso que nos interesa es uno de los raros casos observado por Hasemann en el que una alumna reconoce una contradicción: Cita: «Yvonne (13 años) hace parte de los alumnos que declararon «los dos» resultados correctos; para ella las soluciones gráficas eran correctas y las operaciones falsas. Sin embargo, al final de la entrevista, Yvonne vivió un conflicto particularmente violento con ocasión del siguiente ejercicio: Inventa una historia en la que sea necesario adicionar tres cuartos de hora y media hora.

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Para resolver los problemas de adición de fracciones, Yvonne siempre había sumado los numeradores y los denominadores de las fracciones; así que ella obtuvo el resultado 4/6 de hora. Cuando se le pidió inventar una historia para este ejercicio, ella dijo una sobre el horneado de un pastel: un pastel debe hornearse primero durante tres cuartos de hora a una temperatura de 220° y luego media hora a 180°. Ella convirtió correctamente los tiempos de horneado en minutos y obtuvo así un total de 75 minutos igual a una hora y un cuarto. Pero esta niña sabía perfectamente que 4/6 de hora son más cortos que una hora y que una hora y cuarto es más largo que una hora. Sin embargo, aceptó primero las dos soluciones como correctas, hasta que se dio cuenta que eso tenía consecuencias para el pastel. Las dos soluciones a la vez no podían ser correctas; a pesar de todos sus esfuerzos no pudo encontrar ninguna falla en sus operaciones; cada vez que hacía una operación, era correcta para ella. Estuvo dudando entre los dos durante más o menos un cuarto de hora: las dos soluciones debían ser correctas, pero no podían serlo. De esta manera, finalmente, tomó conciencia de la incompatibilidad de sus resultados, lo que se tradujo en un acceso de tos que asustó al entrevistador: ya no podía hablar y fue necesario interrumpir la entrevista» (Ibíd., pp. 152-153). Esta observación nos parece particularmente interesante, y vamos a analizarla antes de continuar el examen del artículo de Hasemann: Desde el punto de vista estricto del trabajo matemático, el hecho de que las

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soluciones diferentes lleven a resultados diferentes no es necesariamente señal de una contradicción. Pueden presentarse varios casos: •

Los dos trabajos matemáticos no responden a la misma pregunta. Dos resultados, es decir, dos respuestas, pueden ser diferentes sin contradicción.

•

Se trata de dos trabajos matemáticos correspondientes a la misma pregunta, los resultados son diferentes, pero corresponden a una misma respuesta. En el marco de los cálculos de fracciones, por ejemplo, es frecuente llegar a números iguales representados por fracciones equivalentes.

•

Se trata de dos trabajos matemáticos que corresponden a la misma pregunta, los resultados son diferentes, porque ya hay varias respuestas y que cada solución sólo permite descubrir una parte.

En todos los casos, el examen del trabajo matemático no permite saber si esos dos resultados son compatibles o no. Para verlo es necesario colocarse en el plano de la finalidad. En el caso de Yvonne, que no se fijaba en el significado de los resultados diferentes en un marco puramente matemático, esos dos resultados son interpretados bruscamente como respuestas incompatibles (desde el punto de vista del pastel, como lo anota Hasemann, es decir desde el punto de vista de la pregunta planteada), en un marco familiar para ella y que ella misma eligió.

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Hasemann analiza los casos encontrados en términos de «frame» (ver su artículo para los desarrollos). De modo que interpreta la ausencia de conflicto general como la existencia de diferentes “frames” independientes según los métodos de cálculo, de manera que los resultados aritméticos diferentes no producen ningún conflicto (ibídem, p. 157). Y concluye: Cita: «sólo hay conflicto a partir del momento en que los alumnos ponen los problemas matemáticos en relación con aspectos de su saber sobre el mundo, pero solamente si esos aspectos son muy familiares y establecen relaciones entre su saber matemático y su saber sobre el mundo por su propia iniciativa» (ibídem). Nuestra interpretación difiere un poco de esta. En efecto, para el matemático no es necesario recurrir al tiempo de horneado de un pastel para ver una contradicción por el hecho de encontrar dos números diferentes para la suma de dos fracciones, y esto independientemente de los métodos utilizados. Creemos que este conocimiento: «la suma de dos fracciones es un número único», no es inaccesible para un alumno de séptimo, y que “el matemático» podría ser un compañero de Yvonne. Así, aunque sea indispensable un retorno al plano de la finalidad para experimentar una contradicción, no nos parece que el significado deba ser buscado fuera de las matemáticas, en un mundo «familiar». Como lo dijimos en el Capítulo 1: en las situaciones a-didácticas, el medio es un medio matemático.

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El medio introducido en una perspectiva de aprendizaje por adaptación, debe tener características que no están presentes naturalmente en el mundo familiar. El mundo familiar no es una metáfora natural fundamental, es decir, una contextualización eficaz. Yvonne, en pleno conflicto, es incapaz de encontrar un error en una de sus soluciones; la contextualización en términos de tiempo de horneado no le ofrece ninguna indicación en ese sentido. El rol del profesor, a partir de los aprendizajes «espontáneos» pasados, es precisamente permitir un aprendizaje que no se lleva a cabo espontáneamente en el medio material y cultural usual. En la perspectiva de un aprendizaje por adaptación, el profesor debe encontrar entonces un medio artificial conveniente desde el punto de vista del saber. Por ende, el malestar de Yvonne después de haber reconocido una contradicción, el estado que no puede superar con sus conocimientos, nos parece interesante. Vemos aquello que Yvonne gana cuando no busca un significado a los diferentes resultados que encontró hasta ahora (véase §3. 3).

4.3.2

ANOMIA

Nos parece necesario preguntarse por lo que carga el alumno cuando no quiere validar sus resultados y en general, cuando no quiere entrar en el juego matemático, ya que la entrada en la racionalidad necesita, en particular, una renuncia al funcionamiento mágico del mundo.

CAPÍTULO 4

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Observación: En un grupo de adultos con grandes dificultades (sociales y escolares en particular), introdujimos la siguiente situación: “El animador escribe un número (entero) en un papel, que esconde al grupo. Por turnos, cada participante propone un número. Si es el número escrito, el animador abre el papel y el participante ha “ganado”. Si no es el número, el animador indica si el número dicho es más grande o más pequeño que el número escondido”. Se trata de una variante del juego del observador. Este juego no fue fácil para el grupo con el cual trabajábamos. Al cabo de dos partidas, cuando todos comprendieron el juego, el animador agrega una regla suplementaria: el equipo (todo el grupo de cinco personas) debe ganar en un máximo de 20 preguntas. Comienzan discusiones entre los participantes cuando alguien da un número «inútil». Dos participantes siguen diciendo números incoherentes con respecto a las preguntas ya hechas por el grupo. Su argumento (que los otros no pudieron refutar) es que uno puede ganar igualmente al azar o razonando.

Este ejemplo nos llamó la atención, pues el argumento era falso de hecho. Algunos números podían ser eliminados por un razonamiento, y no había ninguna oportunidad de ganar diciendo un número fuera del intervalo mínimo, y los dos recalcitrantes tenían las mismas posibilidades intelectuales de comprenderlo que los otros. Pero para eso tenían, por una parte, que aceptar una responsabilidad en lo que sucede; por otra parte, renunciar a la omnipotencia del azar. Para personas desposeídas, la idea de tener una responsabilidad en lo que les sucede (el desempleo en particular) es difícil de aceptar, la entrada en una racionalidad corre el riesgo de hacerlos entrar en una crisis grave (con consecuencias más dramáticas que la tos

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de Yvonne). El rechazo del azar también es difícil cuando parece ser la única posibilidad de esperar. Estas observaciones nos parecen válidas para alumnos en dificultad en clases pequeñas, pues aceptar una parte de responsabilidad en lo que sucede alrededor de sí necesita sin duda una toma de conciencia. Guy Brousseau (1986, p. 54) tiene en cuenta esto, en la exposición de las diferentes devoluciones en el jardín infantil que ya hemos expuesto varias veces. Pero esta aceptación de responsabilidad de parte del niño necesita también una renuncia, que el psicoanálisis sin lugar a dudas nos ayudaría a comprender. Para describir la relación con el saber «de poca idoneidad» Yves Chevallard utiliza el término de “relación anómica” con el saber (1988b, p 85): Cita: «Consideremos paralelamente dos «escenas» didácticas: una en la secundaria inferior, otra en la secundaria superior. El profesor plantea a un alumno la siguiente pregunta: «¿Cuál es la solución de la ecuación 2x = 0 (resp. Ln x = 1)?». El alumno propone la respuesta 2 (resp. 0). El profesor le explica que esta respuesta es falsa e incluso «terriblemente falsa». Sin embargo, para algunos alumnos, la interpretación de la situación podría hacerse así: «¡Perdí! No era eso... habría podido ser eso, ¡pero no! Además, ¿cómo podría saberlo?”, o también: «Ah sí, ¡es Ln1 el que da cero, y no Ln 0 el que da uno!» (se sobreentiende: «¡Casi lo logro!»).

CAPÍTULO 4

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La pregunta (epididáctica) «¿cómo podría yo saber que tocaba hacer eso?», etc., es recurrente en algunos alumnos [...]. Tiende a señalar una relación con el saber que designaremos como anómica o heterónoma (la verdad no depende de mí, más que... los resultados de la lotería)» (ibídem, pp. 88-89). Tenemos entonces que Yves Chevallard analiza a la relación anómica desde el punto de vista de las determinaciones internas a la escuela: Cita: «Las descripciones anteriores ponían en evidencia implícitamente una característica más o menos marcada, de toda institución didáctica: para permitir el establecimiento de una relación no anómica con la escuela y con sus objetos (institucionales), la escuela debe crear, artificialmente, lo que podemos llamar una causalidad didáctica. Debe volverse sensible positivamente, visible, un sistema de relaciones causales entre la conducta del alumno y el veredicto de la escuela, por medio de sus agentes, a fin de reducir la incertidumbre en el seno de la institución. Es la clase, en la cual el alumno está puesto concretamente en relación con los saberes que la escuela enseña, el lugar principal de esta puesta en orden característica del universo didáctico» (ibídem, p. 90).

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4.3.3

VALIDACIÓN Y ANOMIA

La cuestión de la relación anómica con el saber nos parece que se puede interpretar igualmente gracias a las limitaciones de las situaciones51. Hemos insistido en el hecho de que la entrada en la racionalidad necesita una renuncia; no puede operarse si no aporta satisfacciones, de modo que aquí podría sernos útil de nuevo la interpretación psicoanalítica: Nos parece que una de las satisfacciones es la de poder prever, anticipar los resultados de las acciones, pues la ganancia será aquí en autonomía, el dominio del mundo que nos rodea. Si las Matemáticas no aportan al alumno la posibilidad de anticipar y de estar seguro del resultado de sus acciones, corren el riesgo de perder una gran parte de su interés. Para nosotros, la dificultad de asimilación de las Matemáticas está compensada por el placer que nos procura esta relación con la verdad y la certidumbre, fuera de toda relación de fuerza. La anticipación y la validación en las situaciones de aprendizaje parecen tener un rol fundamental en la constitución de una relación idónea con las Matemáticas. Para nosotros, la pregunta de la anomia está directamente relacionada con las elecciones didácticas de los profesores (o del sistema educativo), incluso dentro de cada situación particular, en las elecciones que se hacen en la fase de conclusión.

51 La existencia de esta explicación no pone en duda las explicaciones en términos de determinaciones (didácticas, sociológicas, etc.) sino que se superpone sin eliminarlas.

CAPÍTULO 4

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Las interpretaciones basadas en el análisis52 de las relaciones afectivas entre profesores y alumnos no nos parecen pertinentes para analizar la relación anómica, aunque a corto plazo es posible que los alumnos tengan más entusiasmo por las Matemáticas si el profesor manifiesta una actitud personal muy positiva. Pero esto no soluciona la cuestión de la relación de los alumnos con el conocimiento mismo (relación idónea). La autonomía creciente del joven, aunque debe ser apoyada afectivamente por la madre, y ser percibida positivamente por ella, no puede provenir exclusivamente de su deseo, que siempre es ambigüo (el deseo de que el niño crezca está combatido por el deseo de que se quede bebé, totalmente dependiente). En ese mismo orden de ideas, la «falta de motivación» de los alumnos proviene con más frecuencia de un sufrimiento (de no comprender, de no sentirse capaz de comprender) que de una banal «falta de interés». Desde el punto de vista de las limitaciones didácticas de las situaciones, hemos mostrado en el Capítulo 1, cómo la utilización sistemática de la evaluación hace recaer sobre el alumno (y sobre su familia o su medio social) la carga del trabajo de significación. El alumno puede aceptar la evaluación como el ejercicio de la responsabilidad del profesor, en la que él no tiene ningún lugar. Pero ejerciendo sistemáticamente su capacidad de evaluación, el profesor excluye de la esfera de la situación a-didáctica, es decir de la esfera matemática, la negociación con el alumno de un trabajo personal de reflexión. El peso creciente de la evaluación calificada en la clase tradicional puede 52 Al menos las que se refieren a la “psicología” en el sentido de “los medios”, y no al psicoanálisis.

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estar relacionado con una esperanza de negociar con el alumno una parte de su autonomía. Las interpretaciones de Chevallard nos muestran que esto no es suficiente para combatir la relación anómica con el saber, en particular en los medios culturalmente y socialmente dominados. Así que la anomia nos parece estar relacionada con la ausencia de momentos de responsabilidad completa (es decir, responsabilidad también en la validación) del alumno frente a un problema matemático. La cuestión de la viabilidad de las fases de validación que desarrollamos en los Cap. 1 y 2 es esencial, para reducir las incertidumbres del profesor y del alumno en los límites aceptables. La existencia de fases a-didácticas en el interior de la clase puede permitir al alumno, incluso temeroso por razones personales, asumir una responsabilidad, pues la clase es un medio protegido. El rol del profesor (Digneau, 1980) es limitar el riesgo debido a la aceptación de una responsabilidad, dar confianza al alumno en la posibilidad de tener éxito. De modo que el rol del profesor en las fases a-didácticas es más que nunca fundamental.

4.3.4

DESIGUALDADES DE ORIGEN DIDÁCTICO

En el Capítulo 1, estudiando las fases de conclusión, vimos que en una fase de evaluación el profesor pone en escena el trabajo interpretativo de la conclusión. Para esta puesta en escena, el profesor espera que el alumno se apropie de esa interpretación. Podríamos decir que lo que el profesor espera es que el alumno siga asumiendo el problema, y realice interiormente una fase de validación, apoyándose en los criterios de validez aportados por él mismo.

CAPÍTULO 4

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Pero el carácter privado, y no necesario desde el punto de vista de la situación, del trabajo esperado de la parte del alumno, está completamente a su cargo. Asimismo, en la perspectiva de una serie de secuencias, proponiendo distintos problemas y realizando delante del alumno un trabajo interpretativo, el maestro da la oportunidad al alumno de constituir un abanico de problemas representativos. El profesor da así la posibilidad al alumno de reconstituir un significado de manera privada, e incluso eventualmente una metáfora. Además, si el alumno, en su fuero interior, efectúa para él mismo un ir y venir entre preguntas y validaciones de esas preguntas, esta constitución privada de una dialéctica entre anticipación y validación le permite aprender y, por lo tanto, sacar provecho de la puesta en escena. Por consiguiente, estas constataciones nos llevan a buscar el origen didáctico de ciertas desigualdades escolares. En efecto, nuestro análisis de la evaluación muestra cómo por medio de una elección «micro didáctica» repetida, el profesor puede excluir de la esfera de influencia de la escuela una parte fundamental del aprendizaje de las Matemáticas. Precisando, se trata de la parte que concierne a la relación con la racionalidad matemática. Consideramos pues que el problema planteado por la enseñanza basada en la puesta en escena, es que este método no puede garantizar a priori el aprendizaje dado; que para tener garantías a priori, es necesario tener una teoría. En efecto, si se tiene en cuenta el carácter constructivista de la formación de conocimientos, las elecciones didácticas, en el nivel de la constitución de una o de varias clases, se basan en la puesta en situación y la búsqueda de limitaciones que garanticen el

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establecimiento de un estado a-didáctico en las fases de aprendizaje. Finalmente, la enseñanza basada en la puesta en escena no garantiza a priori un aprendizaje para todos. Nos parece, en efecto, que el alumno tendrá más oportunidades de leer el discurso del profesor estableciendo por sí mismo una relación entre ese discurso y una realidad matemática, si el profesor y el alumno están cercanos culturalmente, desde el punto de vista del saber en juego. Además, podemos notar qué es lo que pasa en los seminarios de investigación: un investigador expone un saber de manera muy descontextualizada, frente a un público que debería conocer el espacio de problemas que da sentido a ese saber y que, por lo tanto, puede comprender la exposición.

Conclusión 5 Para concluir este libro, tal como lo dijimos en la introducción, retomaremos la existencia de un paradigma en nuestra comunidad de investigadores (§5.1). Luego esbozaremos las relaciones entre la Didáctica de las Matemáticas como teoría y la innovación en la enseñanza de las matemáticas (§5.2).

5.1 EXISTENCIA DE UN PARADIGMA El trabajo de síntesis que realizamos permite evidenciar la existencia de un paradigma. Para hacerlo, necesitamos redefinir los tres estados del sistema didáctico (§5.1.1). Luego estableceremos lo que constituye las bases teóricas y metedológicas de nuestro paradigma, y elaboraremos una visión de los puntos en debate en nuestra comunidad (§5.1.2).

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5.1.1

TRES ESTADOS DEL SISTEMA DIDÁCTICO

El sistema didáctico está compuesto por lo menos de tres elementos: un saber matemático particular, un profesor, y un alumno. Lo que define al profesor y al alumno como tales es el proyecto del sistema didáctico, que es pasar de un estado inicial a un estado final con respecto al saber.

ESTADO DIDÁCTICO INICIAL

En el estado didáctico inicial, el profesor mantiene una relación privilegiada con el saber. Desde el punto de vista de la relación con el saber, existe una disimetría, constitutiva del sistema didáctico. Esto no quiere decir que el alumno no tenga ninguna relación con el saber antes de la enseñanza, sino que en el estado inicial esa relación es poco o nada adecuada. Sin la hipótesis de la disimetría, el sistema didáctico no tendría razón de ser.

CONCLUSIÓN

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Calificaremos de estado didáctico a un estado en el que la relación del alumno con el saber es inexistente o inadecuada, comparada con la relación privilegiada del profesor con el saber. ESTADO NO DIDÁCTICO FINAL El estado final es un estado no didáctico, en el que el profesor está ausente y en el que el alumno, o ex alumno, tiene una relación adecuada con el saber. Parafraseando a Guy Brousseau, podemos decir que el sistema didáctico contiene el proyecto de su extinción.

Calificaremos de estado no didáctico a un estado en el que la relación del alumno con el saber es independiente de la relación del profesor con el saber. Esta relación no didáctica puede establecerse en clase. Cuando es así, se trata de una relación con un saber que no hace parte de las metas de enseñanza y aprendizaje.

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PRIVADO/PÚBLICO Para definir el tercer estado del sistema didáctico, vamos a precisar los adjetivos público y privado. Para tal propósito ilustraremos el sentido de esas palabras con ejemplos de utilización que conciernen a una situación en la que hay por lo menos dos interlocutores potenciales A y B, y un referente parcialmente común Z. Llamamos formulación pública de A hacia B respecto de Z a una formulación de A sobre Z que potencialmente llega a conocimiento de B. Clarificando lo anterior, la palabra potencialmente, indica que B no tiene que interesarse en la formulación de A, y podrá ignorarla. Por ejemplo, escribir un artículo de periódico es un acto eminentemente público, pero nada asegura que los lectores potenciales leerán el artículo. Llamamos formulación privada de A hacia B con respecto de Z a una formulación de A sobre Z, que no llega a conocimiento de B. La importancia de esos adjetivos reside en su carácter relativo porque son relativos a un referente parcialmente común y a un interlocutor potencial. Por ejemplo, A puede expresarse públicamente hacia B, con respecto de un referente Z’ conservando como privadas sus formulaciones con respecto de Z. O también A puede expresarse públicamente a C pero ante B mantener la formulación privada.

CONCLUSIÓN

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ESTADO A-DIDÁCTICO Llamaremos estado a-didáctico a todo estado del sistema didáctico en el que el profesor tiene una relación privada con el saber, mientras que el alumno está en relación (privada o pública) con ese mismo saber. Con respecto al estado didáctico inicial y el estado no didáctico final, el estado a-didáctico constituye un estado intermedio en el que el profesor está presente, pero en el que el alumno actúa por cuenta propia. Desde el punto de vista del alumno, este estado es análogo al estado no didáctico final pues el alumno no percibe la relación del profesor con el saber, que está oculta a sus ojos. El alumno pone al profesor entre paréntesis.

En este estado hay una ruptura de la disimetría en las relaciones del alumno y el profesor con el saber.

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5.1.2 PARADIGMA Una vez precisadas esas nociones, podemos definir lo que constituye un paradigma para nuestra comunidad de investigadores. La parte central del paradigma se caracteriza por los estudios de los estados a-didácticos del sistema didáctico. Como lo dijimos, lo a-didáctico no se observa sino que se construye hipotéticamente. Desde el punto de vista del método, los estudios más característicos se basan en el análisis a priori, en el sentido de un análisis que no depende necesariamente de la observación (ver Cap. 3, §3.1). El rol de las experiencias está subordinado al análisis a priori, es decir que las experiencias permiten mejorar, o validar el análisis a priori. De otra parte, el carácter central de los análisis micro-didácticos52 en nuestro paradigma introduce una ruptura entre nuestra comunidad y la mayor parte de las otras comunidades de investigadores sobre el “mismo” tema. Para ello fue necesaria la gran sensibilidad de Guy Brousseau para permitir dicha ruptura. En las otras comunidades de investigadores que conocemos, los estudios macro-didácticos53 forman la mayoría de los trabajos. Pero esos estudios sufren a menudo por su apego a las opiniones y a los métodos culturales de la noosfera, cuyo rol es tratar ese nivel (definiciones de programas de enseñanza, etc.). Volviendo a nuestro paradigma, estos últimos años han comenzado muchos trabajos sobre el terreno de la concatenación de situaciones didácticas, Por ejemplo, 52 Es decir cuya unidad de base es una lección. 53 Cuya unidad de base es un campo conceptual.

CONCLUSIÓN

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varios equipos comenzaron de manera independiente estudios sobre la institucionalización como el de Roucher (1991); y sobre el rol del profesor en las secuencias de aprendizaje de una noción; entre este grupo destaca Brousseau y Centeno (1992) y Margolinas (1992). Es imposible permanecer en un marco estrictamente a-didáctico. Las nociones que pertenecen a ese nivel (en particular la de situación fundamental), y los métodos en los que se basan esos estudios (en particular los métodos de construcción de secuencia, §2.6), todavía no hacen parte de un acuerdo, sino que son materia de debate; debate fundamental porque es un debate didáctico –es importante precisar que los trabajos citados se declaran todos continuadores de la teoría de las situaciones–. Es en el terreno macro-didáctico donde están las diferencias más grandes, explícitas o no, en nuestra comunidad; más allá de las palabras utilizadas, las nociones antiguas, como la de transposición didáctica y de contrato didáctico no son aceptadas unánimemente. Yves Chevallard, quien trabaja de manera casi exclusiva ese nivel deanálisis, habla de una posible crisis que debería sacudir nuestra comunidad, por lo que reafirmamos la hipótesis de la existencia actual de un paradigma. De modo que la dificultad teórica, que consiste en trabajar la articulación de ese tipo de estudio con los estudios micro-didácticos no ha sido resuelta.

5.2 INNOVACIÓN Y TEORÍA En la introducción hablamos del carácter teórico de este libro, pero no podemos concluir sin tratar las relaciones entre teoría e innovación.

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5.2.1 CONTRATO DIDÁCTICO E INNOVACIÓN Guy Brousseau (1989) analizó muy bien la innovación como fenómeno del contrato didáctico: Cita: “Es indispensable que todo profesor, diariamente, comience su clase como si los conocimientos que propone a sus alumnos se descubrieran por primera vez y como si este encuentro fuera decisivo para… el futuro de la humanidad […]. Los medios de luchar contra la vejez son las renovaciones en las diferentes ramas del contrato: en las relaciones con el alumno, en las relaciones con el saber y con la comunidad de los matemáticos, en las relaciones con las situaciones de enseñanza […]. A priori la innovación corresponde a […] la actividad didáctica no enseñante del profesor. Es uno de los medios menos arbitrarios que tiene el profesor para encontrar la frescura en peligro de perderse, porque se supone que actúa sobre el acto de enseñar mismo. Aparece entonces como una necesidad imperiosa de cada profesor. Pero la innovación es un mecanismo DIDÁCTICO. Por lo tanto social, y un objeto de compromiso libidinal como la investigación; su análisis sistémico, una de las formas de la investigación en didáctica, muestra que el funcionamiento de la innovación conduce a resultados diferentes a los anunciados (Ibídem, pp. 62-63).

CONCLUSIÓN

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Brousseau desarrolla después un ejemplo detallado: el del método de Dienes, y concluye así: Cita: “En resumen, toda innovación en enseñanza, basada en una constatación de fracaso, debe borrar las innovaciones precedentes […] Termina por fracasar y, por consiguiente, ninguna innovación puede tratar las condiciones esenciales de la enseñanza” (Ibídem., p. 66). En sí, La innovación como fenómeno didáctico es un objeto de estudio de la teoría de la didáctica de las matemáticas. Pero no es algo simple, como lo dice Brousseau: Cita: “La innovación me permite comprar y acreditar la investigación sólo mientras esa misma investigación no cumpla plenamente su rol. Pero mi mano derecha-investigación debe ignorar lo que hace mi mano izquierdainnovación, [...] No deben confundirse los roles” (Ibídem, p. 67).

5.2.2 EXPERIENCIA Y DEONTOLOGÍA En el de Brousseau se ve cuál es la función didáctica de la innovación, por qué es necesaria. Se ve también que no puede identificarse con la investigación, cuya meta es acrecentar los conocimientos. No obstante, lo que no se ve claro es la naturaleza de la relación entre investigación e innovación: ¿contingente o necesaria? Nos parece que la pregunta crucial es la pregunta por la experiencia de clase, las preguntas deontológicas que surgen, y los actores que se manifiestan en ella:

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en particular el alumno y el profesor. Por su parte, la deontología se asume del lado del alumno como si fuera el único sujeto del sistema didáctico. Desde ese punto de vista puede admitirse la “hipótesis cero”54 como hipótesis deontológicamente aceptable. Pero la deontología relativaal profesor nos permite restricciones mucho más importantes. El profesor, cualquiera que sea la modalidad experimental, y cualquiera que sea su implicación como investigador (puede ser investigador, u observador del grupo de investigación, tanto en la fase de preparación como en la realización, de la clase), es responsable desde el punto de vista del saber. Sólo puede aprobar una enseñanza que él estime por lo menos tan buena como lo que habría hecho “sin experimentación”. Por otra parte, la experiencia es costosa para el profesor en términos de tiempo personal, de tiempo didáctico, de contrato didáctico; por lo tanto, sólo se comprometerá (por un lapso de tiempo importante) si piensa que puede aportar algo a sus alumnos, y no solamente... a la ciencia. Él estima, él piensa, es decir que sus propios criterios interactúan con los criterios derivados de las preguntas de investigación. De hecho contarán más, por su responsabilidad inmediata. Por otra parte, el profesor evalúa si “salió bien”, y se mezclan los criterios de la innovación con los de la investigación. En estas condiciones el trabajo del investigador será doble: debe asumir ser momentáneamente un innovador, y debe tomar medios de observación que le permitan explotar la experiencia para la investigación. 54 Es decir que el alumno no tenga que sufrir en la experiencia desde el punto de vista del aprendizaje –podríamos decir también que por lo menos tenga igual oportunidad de aprender en la experimentación que sin ella–

CONCLUSIÓN

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Ese “desdoblamiento de personalidad” puede ser muy difícil de vivir, sobre todo cuando no tiene el apoyo de una comunidad de investigación que se interesa en los resultados de la investigación y no en las crónicas de la innovación. Finalmente, para responder a la pregunta inicial de este apartado, la relación entre innovación e investigación en didáctica es necesaria y no contingente; es una relación conflictiva, que hace difícil la comunicación de los resultados de la investigación.

5.2.3 DIFUSIÓN DE LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS La Didáctica de las Matemáticas tiene vocación de ciencia experimental. Los resultados de las ciencias experimentales no son nunca las experiencias, sino las conclusiones de los análisis teóricos, validadas por las experiencias o las observaciones. El estudio de la transposición didáctica (Chevallard, 1985) nos muestra la importancia de los fenómenos de descontextualización se realiza también con respecto a las experiencias que sostienen la investigación. Pero como lo vimos anteriormente, las experiencias que se organizan en el marco de nuestras investigaciones presentan el carácter de innovación. La presión social y la representación del rol de la didáctica pueden conducir a la difusión de los experimentos como si fueran resultados naturales de la investigación, cuando sólo son componentes de su historia. Se trata entonces de una de las tentaciones más graves para la didáctica. Por eso, y por último para cerrar nuestras conclusiones y el extenso trabajo que expusimos en este libro, la Didáctica de las Matemáticas, como cuerpo de conocimientos en

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vía de constitución, tiene la obligación de difundir sus análisis teóricos, pues esta difusión busca la autonomía del alumno-didáctica frente a los problemas que la teoría permite resolver.

¡Les deseo buenos análisis didácticos, en toda autonomía!

Bibliografía APERY Roger (1982). Mathématique constructive. pp.5872, in Penser las mathématiques, Coll. «Point Sciences», éd. Seuil, Paris. ARSAC Gilbert (1987). L’origine de la démonstration: essai d’épistémologie didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 8, n° 3, pp. 267-312, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble. ARSAC Gilbert, BALACHEFF Nicolas, MANTE Michel (1992). Teacher’s role and reproductibility of didáctical situations. Educational Studies in Mathematics, 23 : 5 – 29. ARTIGUE Michèle (1984a). Contribution à l’étude de la reproductibilité des situations didactiques, Thèse d’Etat, Université de Paris VII, cd. IREM de Paris Sud. ARTIGUE Michèle (1984b). Modélisation et reproductibilité en didactique des mathématiques. Actes de la IIIe Ecole d’Eté de Didactique des Mathématiques, pp. 51-67, éd. Institut IMAG. Université de Grenoble I.

312

La importancia de lo verdadero y de lo falso en la clase de matemáticas

ARTIGUE Michèle (1988). Ingénierie didactique, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 9, n° 3, pp. 281-308, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble. ARTIGUE Michèle, ROBINET Jacqueline (1982). Conceptions du cercle, chez des enfants de l’école élémentaire. Recherches en Didactique, des: Mathématiques, vol 3, n° 1 pp. 5-64, éd. La Pensée Sauvage, Grenoble. BACHELARD Gaston (1949). Le rationalisme appliqué, ed. P.U.B. Paris, 1975. BALACHEFF Nicolas (1981). Elaboration d’explications par des élèves de 6e (resp de 3e) à propos d’un problème de combinatoire, Rapport de recherche, n° 224, ÏMAG. L’université de Grenoble I. BALACHEFF Nicolas (1982). Preuve et démonstration en mathématiques au collège. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 3, n° 3, pp. 261-304, ed. La Pensée Sauvage. Grenoble. BALACHEFF Nicolas (1985). Rapport de Recherche, IMAG, Grenoble. BLACHEFF Nicolas (1988a). Une étude des processus de preuve en mathématique chez des élèves de Collège, Thèse d’Etat. Université Joseph Fourier, Grenoble. BALACHEFF Nicolas (1988b). Le ocntrat et la coutume, pp. 15-26. In LABORDE et COLL, Actes du premier colloque Franco-Allemand de didactique des mathématiques et de l’informatique, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble. BALIBAR Françoise (1984). Galilée, Newton lus par Einstein, ed. P.U .F, Paris.

BIBLIOGRAFÍA

CLAIRE MARGOLINAS

BARUK Stella (1985). L’âge du capitaine, ed. Seuil, Paris. BERNARD Claude (1865). Introduction à la médecine expérimentale, ed. Flammarion, coll. Champs, 1984. BESSOT Annie, EBERHARD Madeleine (1983). Une approche didactique des problèmes de mesures, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 4, n° 3, pp. 293-324, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble. BOUVIER Alain et GEORGES Michel sous la direction de LE LIONNAIS François (1979). Dictionnaire des Mathématiques, P.U.F, Paris. BROUSSEAU Guy (1978a). Etude locale des processus d’acquisition en situations scolaires, Enseignement élémentaire des mathématiques n° 18, ed. IREM de Bordeaux. BROUSSEAU Guy (1978b). L’observation des activités didactiques, Revue Française de Pédagogie, n° 45, pp. 130-140. BROUSSEAU Guy (1980). Problèmes de didactique des décimaux, première partie. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 1, n° 1, pp. 11-58, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble. BROUSSEAU Guy (1980). Problèmes de didactique des décimaux, première partie. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 2, n° 1, pp. 11-58, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble. BROUSSEAU Guy (1983a). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques, Recherche en

313

314

La importancia de lo verdadero y de lo falso en la clase de matemáticas

Didactique des Mathématiques, vol. 4, n° 2, pp. 164-198, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble. BROUSSEAU Guy (1983b). Etudes de questions d’enseignement. Un exemple, la géométrie, Séminaire de didactique des mathématiques et de l’informatique, n° 45, IMAG, Grenoble. BROUSSEAU Guy (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 7, n° 2, pp. 33-115, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble. BROUSSEAU Guy (1988a). Cours de didactique fondamentale, Actes de l’Université d’été, Didactique des Mathématiques et formation des maîtres à l’école élémentaire, Olivet 2-8 Juillet 1988, Edition IREM Bordeaux. BROUSSEAU Guy (1988b). Le contrat didactique : le milieu, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 9, n° 3, pp. 309-336, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble. BROUSSEAU Guy (1988c). Les différents rôles du maître, Bulletin de l’A. M. Q, n° 23, pp. 14-24. BROUSSEAU Guy (1989). Utilité et intérêt de la didactique pour un professeur de collège, Petit x, n° 21, pp. 47-68, ed. IREM de Grenoble. BROUSSEAU Guy et CENTENO Julia (1991). Rôle de la mémoire didactique de l’enseignant, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 11, n° 2.3, pp. 167210, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble.

BIBLIOGRAFÍA

CLAIRE MARGOLINAS

BROUSSEAU Nadine et BROUSSEAU Guy (1987). Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire, Publication de l’IREM de Bordeaux. CHEVALIER Arlette (1984). Le problème QAT : symétrie, vérification. Algorithme de construction, La pratique de l’élève. Thèse de l’Université des Sciences et Techniques du Languedoc. CHEVALLARD Yves (1983). Remarques sur la notion de contrat didactique, in « sur l’analyse didactique », Publication de l’IREM d’Aix-Marseille, 1988. CHEVALLARD Yves (1985a). La transposition didactique, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble. CHEVALLARD Yves (1985b). Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans l’enseignement des mathématiques au collège (le partie), petit x, n° 5, pp. 51-94, ed. IREM de Grenoble. CHEVALLARD Yves (1988a). La dialectique entre études locales et théorisation : le cas de l’algèbre dans l´enseignement de second degré, pp. 305-323 in VERGNAUD et Coll, Didactique et acquisition des connaissances scientifique, actes du Colloque de Sèvres Mat 1987, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble. CHEVALLARD Yves (1988b). Notes sur la question de l´échec scolaire, Publication de l´IREM D´Aix-Marseille. CHEVALLARD Yves (1988b). Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans l’enseignement des mathématiques au collège (2e partie), pe.tit x. n° 19, pp. 43-72, éd. IREM de Grenoble.

315

316

La importancia de lo verdadero y de lo falso en la clase de matemáticas

CHEVALLARD Yves et FELDMAN Serge (1986). Pour une analyse didactique de l’évaluation, Publication de l´IREM d’Aix-Marseille., no 3. CHEVALLARD Yves et JOSHUA Marie-Alberte (1982). Un exemple d’analyse de la transposition didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 3, n° 2, pp. 159-239, éd. La Pensée Sauvage, Grenoble. CIPRA Barry (1985). Erreures, Ed. InterEditions, Paris, (traduction française de Misteaks. Ed. Birkhauser, Boston, 1983). COMITI Claude, BESSOT Annie et PARISELLE Claude (1980). Analyse de comportements d’élèves en cours préparatoire confrontés à une tâche de construction d’un ensemble équipotent à un ensemble donné. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 1, n° 2, pp. 171224, éd. La Pensée Sauvage, Grenoble. CONDILLAC (1798). La langue des calculs, édition critique par Sylvain Auroux et Anne-Marie Chouillet. éd. Presses Universitaire de Lille, 198t. COQUIN-V1ENNOT Danièle (1985). Complexité mathématique et ordre d’acquisition: une hiérarchie de conceptions à propos des relatifs. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 2, no 3. pp. 133-192. éd. La Pensée Sauvage, Grenoble. DEVEREUX Georges (1972). Ethnopsychanalyse complémentariste, coll. Champs, ed. Flammarion. Paris, 1985.

BIBLIOGRAFÍA

CLAIRE MARGOLINAS

DEVEREUX Georges (1980). De l´angoisse à la méthode, ed. Flammarion. Paris, traduction française du texte original en anglais (1967). DIGNEAU U Jean Marie (1980). Création d´un code à l´école maternelle. Etude d´un saut informationnel, D.E.A., Université de Bordeaux I. DOUADY Régine (1980). Approche des nombres réels en situation d’apprentissage scolaire (enfants de 6 à 11 ans). Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 1, n° l, pp.77-112, éd. La Pensée Sauvage. DOUADY Régine (1984). Jeux de cadre et dialectique outilobjet, Thèse d’Etat, Université de Paris VII. DOUADY Régine (1986). Jeux de cadre et dialectique outilobjet, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 7, n° 2, pp. 5-31, éd. La Pensée Sauvage. Grenoble. DUROUX Alain (1983). La valeur absolue: difficultés majeures pour une notion mineure. Petit x, n° 3, ed. IREM de Grenoble. EQUIPE « ELEMENTAIRE DE UIREM DE GRENOBLE » (1980). ¿Quel est l’âge du capitaine ? Bulletin de l’APMEPP. 323. pp. 235-243. GRANGER Gilles-Gaston (1992). La vérification. ed. Odile Jacob, Paris. GRENIER Denise (1988). Construction et étude du fonctionnement d’un processus d’enseignement sur la symétrie orthogonale en sixième. Thèse de l’Université Joseph Fourier, Grenoble 3.

317

318

La importancia de lo verdadero y de lo falso en la clase de matemáticas

HASEMANN K (l988). Conceptions « alternatives » des élèves, conflits conceptuels et leur importance pour les processif d’apprentissage en mathématiques, pp. 149159, in LABORDE et Coll, actes du premier colloque Franco-Allemand de didactique des matemhatiques et de l’informatique, éd. La Pensée Sauvage. Grenoble. HITT Fernando (1977). Comportement de « Retour en arrière » après la découverte d’une contradiction. Thèse de 3e cycle. Université I nuis Pasteur. Strasbourg. JOSHUA Marie Alberte et JOSHUA Samuel (1987). Les fonctions didactiques de l’expérimental dans l’enseignement scientifique (premier partie). Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 8, n° 3, pp. 231266, éd. La Pensée Sauvage. Grenoble. KUHN Thomas S. (1970). La structure de la révolution scientifique –traduction française, coll. Champs, ed. Flamniarion. Paris. 1983–. LABORDE Colette (1988). Divers aspects de la dimension sociale dans les recherches en didactique des mathématiques pp. 67-80. In LABORDE et Coll. Actes du premier colloque Franco-Allemand de didactique des mathématiques et de l’informatique, ed. La Pensée Sauvage. Grenoble. LERCHER Alain (1985). Les mots de la philosophie, coll. «Le français retrouvé », ed. Belin, Paris. MANONNI Octave (1988). «La psychanalyse et la science, in Un xi vif étonnement, ed. Denoël, Paris. MARGOLINAS Claire (1985). Ecriture des nombres et obstacle des infiniment petits chez des élevés de Troisième

BIBLIOGRAFÍA

CLAIRE MARGOLINAS

et seconde-. Séminaire de didactique des mathématiques et de l’informatique, n° 72, IMAG. Grenoble. MARGOLINAS Claire (1986). Eléments pour une problématique de la vérification. Séminaire de didactique des mathématiques et de l’informatique, IMAG. Grenoble. MARGOLINAS Claire (1989). Le point de vue de la validation : essai d’analyse et de didactique des mathématiques. Thèse de l´Université Joseph Fourier. MARGOLINAS Claire (1992). Le rôle du maître dans la gestion des phases de conclusion en situation didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 12 n° l, pp. 113-158, éd. La Pensée Sauvage, Grenoble. MARGOLINAS Claire, BESSOT Annie, DEPREZ Sylvain, EBERHARD Madeleine et GOMAS Bruno (1987). Une collaboration Recherche/Formation dans le cadre de la formation en dessin technique de travailleurs du bâtiment. Séminaire de l’Institut de Formation des Maîtres, Université Joseph Fourier, Grenoble. MAURY Sylvette (1984). La quantification des probabilités: analyse des arguments utilisés par les élèves de classe de seconde. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 5, n° 2, pp. 187-214. ed. La Pensée Sauvage, Grenoble. MAYR Ernst (1989). Historie de la biologie, ed. Arthème Fayard, Paris –traductions française du texte original en anglais, ed Belknap Press of Harvard University Press (1982)–.

319

320

La importancia de lo verdadero y de lo falso en la clase de matemáticas

NOIZET G., CAVERNI J-P (1978). Psychologie de l´évaluation scolaire, ed. P.U.F., Paris. OSTA Iman (1988). L’ordinateur comme outil d’aide, à l’enseignement. Une séquence didactique pour l’enseignement du repérage dam l’espace à l’aide de logiciels graphiques, Thèse de l’Université Joseph Fourier, Grenoble. PASCAL Denise (1980). Le problème du zéro. D.E.A., Universités d´Aix Marseille II et Bordeaux I. PIAGET Jean (1967). L´épistémologie et ses variétés, pp. 3-61, in; Logique et connaissance scientifique, Encyclopédie de la Pléiade n° 22 sous la direction de Jean Piaget, ed. Gallimard, Paris. PIAGET Jean (1973). Introduction à l´épistémologique génétique, coll. Bibliothèque de philosophie contemporaine, éd. P.U.F, Paris. PIAGET Jean (1975). L’équilibration des structures cognitives, coll. Etudes d’épistémologie génétique, ed. P.U.F., Paris. PLON Michel (1976). La théorie des jeux: une politique de l’imaginaire, éd. François Maspero, Paris. POLYA G. (1945). How to solve it, ed. University Press. Princeton. RATSIMBA-RAJOHN Harrison (1981). Etude de deux méthodes de mesures rationnelles: la commesuration et le fractionnement de l’unité, en vue d’élaboration de

BIBLIOGRAFÍA

CLAIRE MARGOLINAS

situations didactiques. Thèse de 3e cycle, Université de Bordeaux I. RATSIMBA-RAJOHN Harrison (1982). Eléments d´étude de deux méthodes de mesures rationnelles. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 3, n° 1, pp. 65113, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble. RAYMOND Pierre (1975). L’histoire et les sciences, ed. François Maspero, Paris. REGARD Gina (1989). Naissance d’un nouveau contrat. Séminaire du laboratoire de logotaxicometrie, Paris. RICCO Graciela, VERGNAUD Gérard et ROUCHER André (1983). Représentation du volume et arithmétisationentretiens individuels avec des élèves de 11 à 15 ans. Rechercher en Didactique des Mathématiques, vol. 4, n° 1, pp. 27-69, ed. La Pensée Sauvage. Grenoble. ROBERT Aline (1982). L’acquisition de la notion de convergence des suites numériques dans l’enseignement supérieur, Rechercher en Didactique des Mathématiques, vol. 3, n° 3, pp. 307-341, ed. La Pensée Sauvage. Grenoble. ROUCHER André (1991). Etude de la conceptualisation didactique en mathématiques et informatique élémentaire : proportionnalité, structures, itérativerécursives, institutionnalisation. Thèse de doctorat d’Etat, Université d’Orléans. RUMPF H. (1973). Divergierende Unterrichismuster in der Curriculu-mentwicklung, Zeitschrifi für Pädagogik, 3, pp. 391 -416.

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La importancia de lo verdadero y de lo falso en la clase de matemáticas

SAADA El Hadi. BRUN Jean (1984). L´élaboration des formulation dans un jeu en arithmétique. Rechercher en Didactique des Mathématiques, vol. 5, n° 2, pp. 1--11-185, éd. La Pensée Sauvage. Grenoble. SIFRPINSKA Anka (1985). Obstacles épistémologiques relatifs à la notion de limite, Rechercher en Didactique des Mathématiques, vol. 6, n° 1, pp.5-67, ed. La Pensée Sauvage. Grenoble. SCHNEIDER Odile (1979). Le passade des équations numériques aux équations paramétriques en classe de Seconde, D.E.A., Universités de Bordeaux I et de Marseille II. STEINBRING H. (I988). Nature du savoir mathématique dans la pratique de l’enseignant, pp. 307-316. In LABORDE et Coll, Actes du premier colloque Franco-Allemand de didactique des mathématiques et de l’informatique. ed. La Pensée Sauvage. Grenoble. SCHOENFELD Allan (1985). Mathamatical problem solving, ed. Academic Press, Orlando. TONELLE Jacques (1979). Le monde clos de la factorisation du premier cycle, D.E.A., Universités de Bordeaux I et Marseille II. VERGNAUD Gérard (1981). Quelques orientations théoriques et méthodologiques des recherches françaises en didactique des mathématiques, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 2, n° 2, pp. 215-232, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble.

BIBLIOGRAFÍA

CLAIRE MARGOLINAS

VERGNAUD Gérard, ROUCHIER André et al. (1983). Une expérience didactique sur le concept de volume en classe de cinquième (12 à 13 ans), Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 4, n° 1, pp.71-120, ed. La Pensée Sauvage. Grenoble. VOIGT Jörg (1985). Patterns and routines in classroom interactions, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 6, n° 1, pp. 69-118, ed. La Pensée Sauvage. Grenoble.

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Anexos ANEXO 1 DESCRIPCIÓN DE LA SITUACIÓN “LA CARRERA A 20” BROUSSEAU Guy (1978). Etude locale des processus d’acquisition en situations scolaires, Enseignement élémentaire des mathématiques, n° 18, ed. IREM de Bordeaux.

LA CARRERA DEL 20 La carrera comprende dos adversarios, que dicen un número por turnos. Se trata de lograr decir “20” de primero. El primero que juega tiene derecho a decir 1 ó 2. Sólo puede decirse un número si se obtiene sumando 1 ó 2 al número que acaba de decir el adversario.

GUIÓN Escena 1 La profesora explica la regla de la carrera y comienza una partida en el tablero contra un niño,

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luego le cede su puesto a otro niño. Los dos niños terminan la partida. Escena 2 Los niños juegan la carrera por parejas. Juegan varias partidas. Los números jugados se escriben, cada jugador utiliza una columna de una hoja. Escena 3 La clase se reparte en dos equipos adversarios. La carrera se realiza en el tablero entre dos campeones elegidos al azar por la profesora. Antes de cada partida se da un tiempo para que los equipos se pongan de acuerdo. Los equipos juegan varias partidas. Para cada partida se elige un campeón después del tiempo de concertación. Escena 4 La clase está separada en dos equipos. La profesora pide que enuncien proposiciones, que ellos mismos hayan descubierto y les permitan ganar. Cada equipo examina la proposición del equipo contrario, la acepta como verdadera o la rechaza como falsa. Los descubrimientos aceptados se escriben en el tablero y se cuentan como puntos para el equipo que los enunció.

ANEXOS

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ANEXO 2 DESCRIPCIONES DE SITUACIONES “CONCEPCIONES DEL CÍRCULO” ARTIGUE Michèle, ROBINET Jacqueline (1982), Conceptions du cercle chez des enfants de l’école élémentaire, Recherches en Didactiques des Mathématiques, vol. 3, n° 1, pp. 64, ed. La pensée Sauvage, Grenoble.

GUIÓN Material de la Escena 1 Cada alumno recibe un sobre con pedazos de disco cortados en cartón según radios (en pedazo de ponqué). Esos pedazos provienen de 3 ó 4 discos de radios diferentes. Los pedazos permiten reconstituir los discos salvo uno que está incompleto. Escena 1 Consigna 1: Hemos cortado discos diferentes, los pedazos están mezclados, ¿pueden reconstituir los discos? Consigna 2: Se nos perdió un pedazo de un disco. ¿Pueden fabricarlo con este cartón? Nota 1: Las consignas utilizan la palabra “disco”. Con las profesoras se convino que ellas presentarían el material y darían las consignas con los términos que los niños usaran espontáneamente. En la clase los niños hablaron de galletas y pedazos.

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Nota 2: Los cuatro alumnos de una misma mesa debían estar de acuerdo antes de aceptar un trazado como correcto. Los niños eran los únicos jueces de sus éxitos o fracasos.

ANEXOS

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ANEXO 3 DESCRIPCIÓN DE LA SITUACIÓN “COMPARACIÓN DE VOLÚMENES” Vergnaud Gérard, Rouchier André et al. (1983). Une expérience didactique sur le concept de volume en classe de cinquième (12-13 ans), Recherches en didactique des Mathématiques, vol. 4, n° 1, pp. 120, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble.

Aquí describimos la primera lección de la secuencia didáctica elaborada por los autores. El objetivo de la sesión es “comparar y medir volúmenes entre ellos”. Respetamos la descripción dada por los autores. Material para cada grupo de 4 niños 4 recipientes huecos, hechos con botellas de agua de distintas formas, marcados con redondeles de color. 2 sólidos llenos: uno hecho con cubos llenos en plástico, el otro en plastilina (bastante dura y poco maleable). 1 recipiente grande sin marcas que puede servir para las operaciones de inmersión de los sólidos llenos. Un platón de fotografía para recoger el agua durante las diferentes operaciones de transvase o inmersión.

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GUIÓN Escena 1 Cada grupo tiene un platón de fotografías, un recipiente sin marcas y 2 recipientes huecos marcados. El profesor les pide que “comparen los dos recipientes marcados” desde el punto de vista de lo que contienen, y que digan “cuál es el más grande”. Escena 2 Comparación de los cuatro recipientes huecos marcados. Escena 3 Comparación de los dos sólidos llenos. Escena 4 Puesta en común de los resultados y de los procedimientos. Elaboración de una serie definitiva de los objetos.

ANEXOS

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ANEXO 4 DESCRIPCIÓN DE SITUACIONES DE “MEDIDA” BESSOT annie, EBERHARD Madelaine (1983). Une aproche didactique des problèmes de mesure. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 4, n° 3, pp. 293-324, ed. La pensée Sauvage, Grenoble.

GUIÓN Escena 1 Se trata de un juego de comunicación. Cada alumno juega sucesivamente el rol de emisor y de receptor. Cada alumno tiene sobre su mes bandas de cartón de 44 cm o 46 cm, y un doble decímetro. El emisor debe escribir un mensaje de manera que el receptor reconozca una banda de la misma longitud. Escena 2 Ver el artículo Escena 3 (una sesión) Es una carrera de velocidad entre equipos de dos alumnos. Se trata de encontrar la longitud de una línea poligonal lo más rápido posible. Cada equipo recibe el dibujo idéntico de una línea poligonal. Limitaciones: La unidad es impuesta, está dibujada al lado de la línea poligonal. La profesora prohíbe

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a los alumnos que marquen el camino, pero les da una banda grande de papel sobre la que pueden escribir o que pueden recortar. Es la profesora la que acepta o rechaza los resultados propuestos por cada equipo.

ANEXOS

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ANEXO 5 ESPESOR DE UNA HOJA DE PAPEL En la descripción de la secuencia de Nadine y Guy Brousseau (1987) adoptamos su vocabulario (módulo, actividad, etc.). Esta secuencia es muy conocida, y el vocabulario teatral (guión, escena, etc.) nos parece más molesto que simplificador. De otra parte, “La escala” de descripción adoptada no siempre será la de los autores, sino que depende de nuestro propósito. No siempre será la misma según las lecciones.

MÓDULO 1 LOS NÚMEROS RACIONALES: Construcción Actividad 1: Espesor de una hoja de papel Preparación del material y el local El profesor coloca: Sobre una mesa delante de los niños: 5 montones de más o menos 200 hojas del mismo formato, del mismo color, pero de espesores diferentes, colocados en cualquier orden. Alguna de las diferencias de espesor no deben poder apreciarse al tacto. Sobre otra mesa, al fondo de la clase, otros 5 montones de 200 hojas de los mismos tipos colocadas en un oden diferente. 10 calibradores de plástico (2 por grupo de 5 niños). Una cortina que permita dividir la clase en dos.

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Primera fase: búsqueda de un código Los niños trabajan por equipos de 4 ó 5. Por su parte, la profesora hace constatar al tacto las diferencias de espesor de las hojas haciendo circular las hojas por los grupos. Hace decir cómo se distinguen las hojas en el comercio (según el peso). Consigna: “Van a tratar de inventar otro medio para designar y reconocer esos diferentes tipos de papel, y para distinguirlos según su espesor. Es un concurso entre grupos. Cada equipo va a pensar para encontrar una manera de designar los espesores de las hojas. Cuando encuentren una, van a ensayarla en un juego de comunicación. Pueden hacer ensayos con el papel y los calibradores”. Segunda fase: juego de comunicación “Para poner a prueba el código que acaban de encontrar, van a hacer un juego de comunicación. Durante el juego verán si la designación de los espesores de hojas que inventaron les sirve para reconocer el tipo de hoja designado. Los niños de un mismo equipo se separan en un grupo de receptores y un grupo de emisores, que se colocan de cada lado de la cortina. Los emisores escogen un tipo de papel. Envían un mensaje a los receptores que les permita encontrar el papel escogido. Los receptores utilizan los montones de papel sobre la mesa del fondo para encontrar el tipo de papel correspondiente al mensaje. Los emisores anotan el mensaje en una libreta de mensajes que envían a los receptores, y el nombre de su papel

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sobre una libreta de control que conservan. Cuando los receptores creen haber encontrado, escriben el nombre del papel encontrado en la libreta de mensajes. El profesor hace pasar los mensajes de los emisores a los receptores, recibe las respuestas de los receptores, controla que esa respuesta esté conforme a la elección de los emisores (confrontando la lireta de control y la respuesta de los receptores escrita en la libreta de mensajes) y constata, con todo el equipo, el fracaso o el éxito. Tercera fase: resultado de los juegos y confrontación de los códigos Los niños retoman sus puestos en equipos de cinco. El profesor anuncia una comparación de resultados y prepara una tabla de doble entrada Equipos x Tipos de papel en la que escriben los mensajes intercambiados y los resultados obtenidos por los equipos a medida que los exponen. Durante esta fase el profesor les pide a los niños que adopten un código común. Por parte, los niños pueden hacer observaciones sobre la tabla, pero el profesor no retoma esas observaciones, sino que propone examinar la tabla en la próxima sesión.

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ANEXO 6 Construcción de los números racionales Brousseau Nadine et Brousseau Guy (1987). Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire, Publication de l’IREM de Bordeaux, pp. 8-18.

MÓDULO 1 LOS NÚMEROS RACIONALES: Construcción Actividad 2: Comparación de espesores y parejas equivalentes Fase 1 y 2 Los niños examinan la tabla (ver Anexo 5) y proponen las correcciones que les parecen indispensables. Todo el grupo discute las correcciones. Completan la tabla (si faltan valores), los equipos realizan las medidas. Al final de la fase 2 la tabla queda completamente corregida y llena. Hay varios mensajes compatibles para cada tipo de papel. Fase 3: Juego de comunicación El mismo juego de la actividad 1 fase 2, con nuevos tipos de papel.

ANEXOS

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Actividad 3: Clase de equivalencia de parejas, número racional Fase 1: Noción de equivalencia de parejas La profesora pide recortar las actividades anteriores, luego consigna en el tablero las propuestas de escritura y pregunta: “¿Las escrituras que pongo en el tablero designan una de las hojas de papel que ustedes conocen? ¿Cuál?”, esta fase es colectiva. El profesor pregunta después: “¿Podrían encontrar otras escrituras para designar esos diferentes tipos de papel?”. Los niños buscan individualmente. El profesor traza columnas en la tabla que representan los diferentes tipos de papel en las que escribe una de las parejas encontradas en la actividad 2, y las nuevas proposiciones de los niños. Cada proposición se discute entre todos. Fase 2: Clasificación de los tipos de hojas Para cada tipo de hoja el profesor pide a los niños que escojan una pareja para designar el espesor de la hoja entre todas las parejas equivalentes que escribieron. Vuelve a hacer la tabla pero escribe únicamente las parejas escogidas, luego les pide a los niños que clasifiquen las hojas de la más delgada a la más gruesa. Los niños trabajan individualmente luego el profesor hace exponer por turnos los diferentes métodos usados. Todos los alumnos discuten los métodos. Se acepta un método si lo reconocen como bueno, se rechaza si no da ningún resultado.

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Fase 3 Para hacer funcionar esas estrategias, el profesor propone a los niños colocar entre cinco hojas de papel otra pareja que designe el espesor de una hoja de otro tipo (que no está presente dentro del material). “Fase 4”56 El profesor aporta información: parejas equivalentes, fracciones. Ejercicio de paso del código utilizado hasta el código de las fracciones. “¿Existen diferentes escrituras para designar el mismo espesor?”. N.B. Fin del Primer Módulo.

56 Esta parte está aparte pero no se llama fase en el texto original, tal vez debido a un olvido.

ANEXOS

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ANEXO 7 LOS NÚMEROS RACIONALES: OPERACIONES Brousseau Nadine et Brousseau Guy (1987). Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire, Publication de l’IREM de Bordeaux, pp. 8-18.

MÓDULO 2 LOS NÚMEROS RACIONALES: Operaciones Actividad 1: Espesor de un cartón Material Los montones de hojas y el calibrador. Fase 1: “¿Los espesores racionales son números?”. Discusión colectiva. Fase 2 “Aquí hay una hoja de tipo B y una hoja de tipo E, ¿quién es la suma de esos dos espesores en milímetros?”. Discusión coleciva dirigida por el profesor. “Hago una hoja nueva, más gruesa, pegando una hoja B contra una hoja E. ¿Pueden predecir desde donde están sentados cuál es el espesor de la nueva hoja? Luego verificaremos para ver quién adivinó”. Fase individual seguida de un recuento en común.

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Fase 3: Suma de varias fracciones

Actividad 2: ¿Qué debemos saber hacer ahora? Fase 1 y 2: Sumas de dos o tres fracciones. Discusión de los métodos, Ejercicios de entrenamiento.

Actividad 3: diferencia de dos espesores Fase 1,2 y 3: Significado de la diferencia de dos fracciones, diferentes cálculos de diferencias.

Actividad 4: Espesor de un cartón muy grueso Fase 1 Se utilizan hojas de diferentes colores para armar cartones monocromos. Cada grupo de alumnos debe predecir el espesor de cartones con 3, 5, 20, 100, 120 hojas. Los grupos escriben sus resultados en el tablero, los que terminan verifican los resultados de los otros. Fase 2: Discusión de resultados y Fase 3: Comparación a 1 mm57

57 Ver el Anexo 8 para los detalles.

ANEXOS

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Actividad 5: Cálculo del espesor de una hoja A partir del espesor de un cartón obtenido con un número dado de hojas, encontrar el espesor de una hoja. Luego el mismo problema con otros datos numéricos.

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ANEXO 8 ESPESOR DE UN CARTÓN MUY GRUESO Brousseau Nadine et Brousseau Guy (1987). Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire, Publication de l’IREM de Bordeaux, pp. 8-18.

MÓDULO 2 LOS NÚMEROS RACIONALES: Operaciones

Actividad 4: Espesor de un cartón muy grueso Fase 3 El profesor selecciona un resultado entre los de la tabla: 57/35, por ejemplo, y pide a los alumnos que lo observen. “Esta fracción designa el espesor del cartón realizado pegando 3 hojas marrón. ¿Tienen una idea del grosor del cartón? ¿Podrían decir y encontrar un medio de probar si es más grueso que 1 mm, menos grueso o igual?” Observación: No se hará ninguna manipulación material. El profesor pide luego a los alumnos que observen otros resultados de la tabla y que digan si pueden hacer declaraciones sobre los espesores.

ANEXOS

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ANEXO 9 LOS RECTÁNGULOS D’après BALACHEFF Nicolas (1982). Preuve et démostration en mathématiques au collège, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 3, n° 3, pp. 261-304, ed. La Pensée Sauvage, Grenoble.

El problema se propone fuera de clase a alumnos de secundaria (6º a 9º). El enunciado es el siguiente: ¿Cuántos rectángulos hay en esta figura?

Los alumnos trabajan por parejas: conforman equipos de dos parejas en concurso. Entre dos parejas de un mismo equipo, se comunican por escrito. El objetivo es: “Resolver un problema proponiendo la mejor explicación posible”. El equipo ganador es el que resuelva el problema y haya dado la mejor explicación posible.

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ANEXO 10 EL PROBLEMA QAT Chevalier Arlette (1984). Le problème QAT: symétrie, vérification. Algorithme de construction, La pratique de l’élève. Thèse de l’Université des Sciences et Techniques du Languedoc.

El problema se propone fuera de clase, en forma de entrevistas individuales poco dirigidas de una hora, con alumnos de secundaria (de 6º a 9º). Enunciado: En una hoja de papel de calcar, hemos colocado cuatro puntos I, R, E y M. Las informaciones sobre las distancias entre los cuatro puntos y sobre los ángulos obtenidos a partir de ellos son:

EIM=35°

IEM=14°

IRM=16°

IMR=131°

EIR= 63°

IER=48°

IRE=68°

IMR=136°

MIR=25°

MER=34°

MRE=52°

EMR= 93°

IE = 15,2 cm IR =12,3 cm

IM = 4,9 cm RM = 8,3 cm

RE= 14,5 cm EM = 31,5 cm

ANEXOS

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¿Cuál es el número mínimo de datos necesarios para dibujar los cuatro puntos sobre una hoja de manera que puedan coincidir con los de la hoja de calcar? Observaciones: La respuesta es 6 El experimentador presenta la hoja del enunciado a todo el grupo, luego las distribuye a los alumnos. Recuerda la notación para los ángulos. Rol del experimentador Durante toda la sesión, si el alumno tiene dificultades para utilizar un instrumento de dibujo, compás, transportador, etc., no se le dará ninguna ayuda. En el caso en que un alumno anuncie un resultado, cualquiera, se le plantea la siguiente pregunta: “¿Estás seguro de tu resultado?”. Si un alumno termina antes del minuto 40 y después de haberle planteado la pregunta anterior, se le pregunta: “Respondiste n (el número dado por el alumno). ¿Tu respuesta sigue siendo n si cambiamos la posición de los cuatro puntos y las distancias y los ángulos, pero siempre con cuatro puntos?”, y se colocan cuatro dedos en diferentes posiciones de la hoja. Durante toda la fase de búsqueda del problema el experimentador toma notas, y graba la voz. Solicita explicaciones para comprender el comportamiento del alumno antes, y después de cada dibujo. No interviene con preguntas si no es para comprender lo que el alumno hace y las preguntas son lo más neutras posible, no recuerdan ningún elemento del problema ni ninguna noción matemática. Anota cuidadosamente las frases

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del alumno, sus propias preguntas, los instrumentos utilizados, en qué orden y con qué facilidad los usan. Cuando el dibujo está terminado, trata de conocer los observables del alumno y sus ideas y cómo el alumno coordina observables e ideas planteando preguntas como “¿Qué piensas de esto?”.