• Author / Uploaded
• Ecinta permata br kacaribu

Citation preview

1. Diberikan A = {𝑘 ; 𝑘 ∈ 𝑁, 𝑘 ≤ 20}, B = {3𝑘 − 1, 𝑘 ∈ 𝑁}, dan C = {2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ 𝑁} Tentukan himpunan : a. 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 b. (𝐴 ∩ 𝐵)\𝐶 c. (𝐴 ∩ 𝐶)\𝐵 Jawaban : a. 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ {𝑘 ; 𝑘 ∈ 𝑁, 𝑘 ≤ 20} 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ {3𝑘 − 1, 𝑘 ∈ 𝑁} → 𝑥 ∈ {3𝑘 − 1, (3𝑘 − 1) ≤ 20 | 𝑘 ∈ 𝑁} → 𝑥 ∈ {3𝑘 − 1, 𝑘 ≤ 7 | 𝑘 ∈ 𝑁} 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ {3𝑘 − 1, 𝑘 ≤ 7 | 𝑘 ∈ 𝑁} 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ {2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ 𝑁} → 𝑥 ∈ {3𝑘 − 1, 𝑘 < 7 | 𝑘 ∈ 𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐺𝑒𝑛𝑎𝑝} → 𝑥 = {5, 11, 17} b. (𝑨 ∩ 𝑩)\𝑪 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ {𝑘, ; 𝑘 ∈ 𝑁, 𝑘 ≤ 20} 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ {3𝑘 − 1, 𝑘 ∈ 𝑁} → 𝑥 ∈ {3𝑘 − 1, (3𝑘 − 1) ≤ 20 | 𝑘 ∈ 𝑁} → 𝑥 ∈ {3𝑘 − 1, 𝑘 ≤ 7 | 𝑘 ∈ 𝑁} 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) \𝑥 ∈ 𝐶 = 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑑𝑎𝑛 𝑥  𝐶 → 𝑥 ∈ {3𝑘 − 1, 𝑘 ≤ 7 | 𝑘 ∈ 𝑁} 𝑑𝑎𝑛 𝑥  {2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ 𝑁} → 𝑥 ∈ {3𝑘 − 1, 𝑘 ≤ 7 | 𝑘 ∈ 𝑁} 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ {2𝑘, 𝑘 ∈ 𝑁} → 𝑥 ∈ {3𝑘 − 1, 𝑘 ≤ 7 | 𝑘 ∈ 𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐺𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙} → 𝑥 = {2, 8, 14, 20} c. (𝑨 ∩ 𝑪)\𝑩 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ {𝑘, ; 𝑘 ∈ 𝑁, 𝑘 ≤ 20} 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ {2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ 𝑁} → 𝑥 ∈ {2𝑘 + 1, (2𝑘 + 1) ≤ 19 | 𝑘 ∈ 𝑁} → 𝑥 ∈ {2𝑘 + 1, 𝑘 ≤ 9 | 𝑘 ∈ 𝑁}

𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) \𝑥 ∈ 𝐵 = 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) 𝑑𝑎𝑛 𝑥  𝐵 → 𝑥 ∈ {2𝑘 + 1, 𝑘 ≤ 9 | 𝑘 ∈ 𝑁} 𝑑𝑎𝑛 𝑥  {3𝑘 − 1, 𝑘 ∈ 𝑁} → 𝑥 ∈ {2𝑘 + 1, 𝑘 ≤ 9| 𝑘 ≠ 2, 5 𝑑𝑎𝑛 8; 𝑘 ∈ 𝑁} → 𝑥 = {3, 7, 9, 13,15, 17,19}

2. Gambarkan diagram untuk menyederhanakan dan mengidentifikasi himpunan berikut ini : a. A\ (B \ A) b. A \ (A \ B) c. 𝐴 ∩ (𝐵\𝐴) Jawaban : a. A\ (B \ A)

A

B

A

A

B

(B \ A)

A\ (B \ A)

b. A \ (A \ B)

A

B

A

(A \ B)

B

A \ (A \ B)

c. A ∩ (B \ A)

A A

B

(B \ A)

A

B

A ∩ (B \ A)

3.

Jika A dan B adalah Himpunan, tunjukan bahwa A ⊆ B jika dan hanya jika A ∩ B = A Penyelesaian : Misalkan A ⊆ B dan x ∈ A ∩ B Sehingga A ⊆ B, B=(B\A) ∪ A Sekarang x ∈ A ∩ B = A ∩ |(𝐵\𝐴) ∪ 𝐴| =|𝐴 ∩ (𝐵\𝐴)| ∪ |𝐴 ∩ 𝐴| = ϕ ∪ A =A X ∈ A dan sehingga A ∩ B ⊆ ……………………………………………………. (1) Jika x ∈ A , kemudian x ∈ A ∩ A =A , Kemudian x ∈ A dan x ∈ A Sehingga A ⊆ B (hipotesis), x ∈ A dam x ∈ B dan sehingga x ∈ A ∩ B A ⊆ A ∩ B ………………………….……………………………………………. (2) Solusi : dari (1) dan (2) kita dapat A = A ∩ B dan A ⊆ B

4.

Buktikan hukum De Morgan kedua [Teorema 1.1.4(b)]. Penyelesaian : Teorema 1.1.4(b): 𝐴\(𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴\𝐵) ∪ (𝐴\𝐶) Bukti : Untuk membuktikan teorema 1.1.4(b), maka : 𝑥 ∈ 𝐴\(𝐵 ∩ 𝐶) ⇌ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 ∩ 𝐶 ⇌ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∉ 𝐵 ∨ 𝑥 ∉ 𝐶) ⇌ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐶) ⇌ 𝑥 ∈ (𝐴\𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (𝐴\𝐶) ⇌ 𝑥 ∈ (𝐴\𝐵) ∪ (𝐴\𝐶)

5.

Buktikan Hukum Distributif : a. 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) b. 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) Pembuktian

:

a. 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑥 𝜖 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑥 𝜖 𝐴 ∩ (𝑥 𝜖 𝐵 ∪ 𝑥 𝜖 𝐶) = (𝑥 𝜖 𝐴 ∩ 𝑥 𝜖 𝐵) ∪ (𝑥 𝜖 𝐴 ∩ 𝑥 𝜖 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) b. 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑥 𝜖 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑥 𝜖 𝐴 ∪ (𝑥 𝜖 𝐵 ∩ 𝑥 𝜖 𝐶) = (𝑥 𝜖 𝐴 ∪ 𝑥 𝜖 𝐵) ∩ (𝑥 𝜖 𝐴 ∪ 𝑥 𝜖 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

6. Perbedaan simetris dari dua himpunan A dan B adalah himpunan D dari semua elemen yang termasuk salah satu dari A atau B tetapi tidak keduanya. Mewakili D dengan diagram. a. Tunjukkan Bahwa 𝐷 = (𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐴) b. Tunjukkan Bahwa D juga berlaku 𝐷 = (𝐴 ∪ 𝐵)(𝐴 ∩ 𝐵) Pembuktian

:

Are yang diarsir oleh garis biru menggambarkan D

A-B

B-A

a. Karena, area ini mencakup elemen yang ada di A & B tetapi tidak di persimpangan A&B. Maka dengan definisi D, kita mendapatkan: 𝑥 𝜖 𝐷 → (𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐴) ⊆ 𝐷 … … … (𝑖) 𝐷 = 𝑥 𝜖 𝐷, 𝑥 𝜖 𝐴 ∪ 𝑥 𝜖 𝐵 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝜖 𝐴 𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝜖 𝐴\𝐵 ∩ 𝑥 𝜖 𝐵 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑥 𝜖 𝐴 ∩ 𝐵, 𝑥 𝜖 𝐵\𝐴 = 𝑥 𝜖 𝐴 ∪ 𝑥 𝜖 𝐵 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥 𝜖 (𝐴\𝐵) ∪ 𝑥 𝜖 (𝐵\𝐴) = 𝑥 𝜖 (𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐴) = 𝐷 ⊆ (𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐴) Terbukti bahwa 𝑫 = (𝑨\𝑩) ∪ (𝑩\𝑨) b. 𝐷 = (𝐴 ∪ 𝐵)\(𝐴 ∩ 𝐵), 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑥 𝜖 𝐷, 𝑥 𝜖 𝐴 ∪ 𝑥 𝜖 𝐵, 𝑥 𝜖 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝜖 𝐴 ∪ 𝐵 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑥 𝜖 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝜖 (𝐴 ∪ 𝐵)\(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐷 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)\(𝐴 ∩ 𝐵)

𝐷 = (𝐴 ∪ 𝐵)\(𝐴 ∩ 𝐵), 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑥 𝜖 (𝐴 ∪ 𝐵) \(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑥 𝜖 (𝐴 ∪ 𝐵 )𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝜖 𝐴 ∪ 𝑥 𝜖 𝐵 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑥 ∉ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐷 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)\(𝐴 ∩ 𝐵) Terbukti bahwa 𝑫 = (𝑨 ∪ 𝑩)\(𝑨 ∩ 𝑩) 7.

Untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ. Misalkan 𝐴𝑛 = {(𝑛 + 1)𝑘 ∶ 𝑘 ∈ ℕ} a. Apa yang dimaksud dengan 𝐴1 ∩ 𝐴2 ? ⟹ A1 adalah himpunan dari kelipatan 2 yang merupakan himpunan bilangan genap ⟹ A2 adalah himpunan dari kelipatan 3 yang merupakan himpunan bilangan genap ⟹ Karena 𝐴1 ∩ 𝐴2 adalah himpunan semua kelipatan genap 3 Solusi yang lain adalah, 𝐴1 ∩ 𝐴2 = {6𝑘 ∶ 𝑘 ∈ ℕ} b. Tentukan himpunan ∪ {𝐴𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ} dan ∩ {𝐴𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ} Perhatikan bahwa 𝑛 + 1 ∈ 𝐴𝑛 dan tidak mengandung angka 1 Jadi, 𝑈𝑛 𝐴𝑛 = ℕ − {1}. Untuk semua 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ∉ 𝐴𝑛 dan karenanya ∩𝑛 𝐴𝑛 = ∅

8.

Gambarkan diagram pada bidang cartesius dengan perkalian A x B untuk menunjukkan himpunan A dan B. a. 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶| ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 3 ≤ 𝑥 ≤ 4}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 = | 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 2}

A

3

{(𝑥, 2): 𝑥 ∈ ሾ1,2ሿ ∪ ሾ3,4ሿ}

2 1 {(𝑥, 1): 𝑥 ∈ ሾ1,2ሿ ∪ ሾ3,4ሿ}

B

1

2

3

4

b. 𝐴 = {1,2,3}, 𝐵 = {𝑥 𝜖 ℝ ∶| ≤ 𝑥 ≤ 3} A

3 2 1 B

1

9.

2

3

4

Jika A:=B:={X ∈ 𝑅 ∶ −1 ≤ 𝑋 ≤ 1} dan merupakan subset C :={(x,y)} : x2 + y2 = 1 } atau A X B. Dalam hal ini merupakan fungsi ? buktikan Penyelesaian : C bukan merupakan fungsi . untuk (0, 1), (0, -1) ∈ 𝐶. Karenanya 0 memeiliki 2 garis yang berbeda. Jadi persamaan tersebut bukan merupakan fungsi. 1

10. Jika 𝑓(𝑥) ≔ 𝑥 2 , 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ∈ 𝑅. a) Tentukan hasil dari 𝑓(𝐸) dimana E:= {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 1 ≤ 𝑥 ≤ 2} b) Tentukan hasil invers 𝑓 −1 (𝐺) dimana G:= {𝑥 ∈ 𝑅: 1 ≤ 𝑥 ≤ 4}.

Penyelesaian : a) 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 → 12 ≤ 𝑥 2 ≤ 22 ↔ 1 ≤ 𝑥 2 ≤ 4 ↔ 1 ≤ 𝑥 2 𝑑𝑎𝑛 & 𝑥 2 ≤ 4 ↔

1

≤ 1&

1 1 ≤ 2 4 𝑥

𝑥 2 1 1 ↔ ≤ 2≤1 4 𝑥 1 1 1 → 𝑓(𝐸) = { 2 : ∈ 𝐸} = { 2 : 1 ≤ 𝑥 ≤ 2} = { , 1} 𝑥 𝑥 4 1

𝑓(𝐸) = {4 , 1}

b) 𝑥 ∈ 𝑅: 𝑓(𝑥) ∈ 𝐺 → 1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 4 1

1

f(x)=𝑥 2 → 1 ≤ 𝑥 2 ≤ 4 1

↔ 4 ≤ 𝑥2 ≤ ↔

1 ≤ 𝑥2 & 𝑥2 ≤ 1 4 1

1

↔ 𝑥 ∈ (−∞, − 2] ∪ [2 , −∞)& 𝑥 ∈ ⌊−1,1⌋ 1 1 ↔ 𝑥 ∈ [−1, ] ∪ [ . 1] 2 2 1

1

f’(G)= [−1, 2] ∪ [2 . 1] 11. Misalkan g(x) = 𝑥 2 dan f(x) = 𝑥 + 2 untuk setiap ∈ 𝑅 . Misalkan h adalah fungsi komposisi ℎ = 𝑔 𝑜 𝑓 a. Carilah hasil pemetaan langsung h(E) dengan E = { 𝑥 ∈ 𝑅|0 ≤ 𝑥 ≤ 1} , dengan memperhatikan h(x) = 𝑔 𝑜 𝑓(𝑥) = g(f(x)) = g(x+2) = (𝑥 + 2)2 b. Carilah pemetaan invers 𝑓 −1 (G) dengan g = {𝑥 ∈ 𝑅| 1 ≤ 𝑥 ≤ 4} Jawab: a.

Diberikan 𝑥 ∈ 𝐸 yaitu 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 sehingga 2 ≤ 𝑥 + 2 ≤ 3 kemudian menjadi 4 ≤ (𝑥 + 2)2 ≤ 9 untuk semua 𝑥 ∈ 𝐸 Karena h(E) [ 4,9] Jika y ∈ [ 4,9] , kita perhatikan bahwa 0 ≤ √𝑦 − 2 ≤ 1 dan h (√𝑦 − 2)= 𝑔 𝑜 𝑓(𝑥) (√𝑦 − 2) = g(f(√𝑦 − 2) + 2) = g(√𝑦) – (√𝑦)2 = y . bahwa y ∈ h(E) . [ 4,9] ⊂ h(E) dan oleh karena itu h(E) =[ 4,9]

b. Mencari pemetaan invers 𝑓 −1 (G) dengan g = {𝑥 ∈ 𝑅| 1 ≤ 𝑥 ≤ 4}  Dengan memperhatikan bahwa h(0) = (0 + 2)2 = 4 Yang diberikan 0 ∈ ℎ(𝐸) , dan oleh karena itu ℎ−1(G)≠ ∅  Diberikan 𝑥 ∈ ℎ−1(0) , kemudian diketahui bahwa h(E) ∈ 𝐺 kemudian 0 ≤ (𝑥 + 2)2 ≤ 4 yang memberikan −2 ≤ 𝑥 + 2 ≤ 2 oleh karenanya −4 ≤ 𝑥 ≤ 0. dengan x ∈ [ -4 ,0 ] oleh karena itu h(0) ⊂ [4,0]  Diberikan 𝑥 ∈ [4,0] ,kita mempunyai −2 ≤ 𝑥 + 2 ≤ 2 yang memberikan 0 ≤ (𝑥 + 2)2 ≤ 4 dan karena itu h(x) ∈ 𝐺. Dengan ini, x ∈ ℎ−1 (𝐺) dan [4,0] ⊂ ℎ−1(G) sehingga ℎ−1 (𝐺)=[4,0]

12. Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 dan 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝑅: −1 ≤ 𝑥 ≤ 0} & 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝑅: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1}. Tunjukkan bahwa 𝐸 ∩ 𝐹 = {0} 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝐸 ∩ 𝐹) = {0} . Ketika 𝑓(𝐸) = 𝑓(𝐹) = {𝑦 ∈ 𝑅 ∶ 0 ≤ 𝑦 ≤ 1}. 𝑓(𝐸 ∩ 𝐹) adalah proper subset dari 𝑓(𝐸) ∩ 𝑓(𝐹). Apa yang terjadi jika 0 dihapus dari himpunan E dan F ? Penyelesaian : 

𝐸 = {𝑥 ∈ 𝑅: −1 ≤ 𝑥 ≤ 0} 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝑅: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1} Ambil sembarang 𝑥 ∈ 𝐸: −1 ≤ 𝑥 ≤ 0 dan 𝑥 ∈ 𝐹: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, Maka akan ditunjukkan 𝐸 ∩ 𝐹 = {0} Pandang 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝑅: −1 ≤ 𝑥 ≤ 0}, maka E = [-1,0] Pandang F = {𝑥 ∈ 𝑅: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1}, maka F = [0,1]



Kemudian akan ditunjukkan 𝑓(𝐸 ∩ 𝐹) = {0}, 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , dan 𝐸 ∩ 𝐹 = 0, maka 𝑓(𝐸 ∩ 𝐹) = (0)2 = 0, (terbukti ) Akan ditunjukkan 𝑓(𝐸 ∩ 𝐹) adalah proper subset dari 𝑓(𝐸) ∩ 𝑓(𝐹) 1. Terlebih dahulu kita mencari himpunan 𝑓(𝐸) E = [-1,0], ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 𝑓(𝐸) = (−1)2 =1 𝑓(𝐸) = (0)2 =0 Maka 𝑓(𝐸) = ሾ0,1ሿ 2. Mencari himpunan 𝑓(𝐹) E = [-1,0], ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑓(𝐹) = (0)2

=0 𝑓(𝐸) = (1)2 =1 Maka 𝑓(𝐹) = ሾ0,1ሿ Karena 𝑓(𝐸 ∩ 𝐹) = {0} dan 𝑓(𝐸) ∩ 𝑓(𝐹) = ሾ0,1ሿ maka 𝑓(𝐸 ∩ 𝐹) merupakan proper subset dari 𝑓(𝐸) ∩ 𝑓(𝐹). Dikatakan proper subset karena ada minimal 1 anggota dari 𝑓(𝐸) ∩ 𝑓(𝐹) yang tidak ada di 𝑓(𝐸 ∩ 𝐹) Apa yang terjadi jika 0 dihapus dari himpunan E dan F? Jika 0 dihapus dari himpunan E dan F, maka: 𝐸 = {𝑥 ≥ −1, 𝑘𝑒𝑐𝑢𝑎𝑙𝑖 0} = {-1,1,2,3,....} 𝐹 = {𝑥 ≤ 1, 𝑘𝑒𝑐𝑢𝑎𝑙𝑖 0} = {1-1,-2,-3,...} (𝐸 ∩ 𝐹) = {−1,1} 𝑓(𝐸 ∩ 𝐹) = {1,1} 𝑓(𝐸) = {1,1,4,9, … } 𝑓(𝐹) = {1,1,4,9, … } Karena 𝑓(𝐸 ∩ 𝐹) = {1,1} dan 𝑓(𝐸) ∩ 𝑓(𝐹) = {1,1,4,9, … } maka 𝑓(𝐸 ∩ 𝐹) ⊆𝑓(𝐸) ∩ 𝑓(𝐹). 13. Misalkan f dan E, F (berdasarkan soal latihan nomor 12). Tentukan himpunan dari 𝐸\𝐹 dan 𝑓(𝐸)\𝑓(𝑓), serta tunjukkan tidak benar bahwa 𝑓(𝐸\𝐹) ⊆ 𝑓(𝐸)\𝑓(𝐹). Penyelesaian: Diketahui: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑥 ∈ ℝ E : = {𝑥 ∈ ℝ: −1 ≤ 𝑥 < 0} F : = {𝑥 ∈ ℝ: 0 ≤ 𝑥 < 1}

Ditanya: Himpunan dari 𝐸\𝐹 dan 𝑓(𝐸)\𝑓(𝑓), serta tunjukkan tidak benar bahwa 𝑓(𝐸\ 𝐹) ⊆ 𝑓(𝐸)\𝑓(𝐹). Jawaban: E \ F = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐸 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐹} (definisi selisih) E \ F = {𝑥 ∈ ℝ: −1 ≤ 𝑥 < 0} \ {𝑥 ∈ ℝ: 0 ≤ 𝑥 < 1} = {𝑥 ∈ ℝ: −1 ≤ 𝑥 < 0} Karena 𝑓(𝐸) = 𝑓(𝐹), sehingga 𝑓(𝐸)\𝑓(𝐹) = { } Maka, ∀𝑥 ∈ ℝ, −1 ≤ 𝑥 < 0 ⇒ 0 < 𝑓(𝑥) ≤ 1, 𝑓(𝐸\𝐹) = {𝑥 ∈ ℝ: 0 < 𝑥 ≤ 1}, yang tidak kosong. Dengan demikian, karena 𝑓(𝐸)\𝑓(𝐹) merupakan himpunan kosong, dan 𝑓(𝐸\𝐹) adalah himpunan tidak kosong, maka 𝑓(𝐸\𝐹) ⊈ 𝑓(𝐸)\𝑓(𝐹). 14. Tunjukkan jika 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 dan E, F adalah himpunan bagian dari B, dan 𝑓(𝐸 ∪ 𝐹) = 𝑓(𝐸) ∪ 𝑓(𝐹) dan 𝑓(𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ 𝑓(𝐸) ∩ 𝑓(𝐹). Penyelesaian: ∀𝑥 ∈ 𝑓(𝐸 ∪ 𝐹) ⟺ 𝑥 = 𝑓(𝑦) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑦 ∈ 𝐸 ∪ 𝐹 ⟺ 𝑥 = 𝑓(𝐸) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝑓(𝐹) ⟺ 𝑥 ∈ 𝑓(𝐸) ∪ 𝑓(𝐹) ∀𝑥 ∈ 𝑓(𝐸 ∩ 𝐹) ⟺ 𝑥 = 𝑓(𝑦) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑦 ∈ 𝐸 ∩ 𝐹 ⟺ 𝑥 = 𝑓(𝑦) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑦 ∈ 𝐸 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ∈ 𝐹 ⟹ 𝑥 ∈ 𝑓(𝐸) 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝑓(𝐹) ⟺ 𝑥 ∈ 𝑓(𝐸) ∩ 𝑓(𝐹) Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑓(𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ 𝑓(𝐸) ∩ 𝑓(𝐹). 15. Tunjukkan bahwa jika f : 𝐴 → 𝐵 and 𝐺, 𝐻 adalah himpunan bagian dari B, maka 𝑓 −1 (𝐺 ∪ 𝐻) = 𝑓 −1 (𝐺) ∪ 𝑓 −1 (𝐻) dan 𝑓 −1 (𝐺 ∩ 𝐻) = 𝑓 −1 (𝐺) ∩ 𝑓 −1 (𝐻) Jawaban : 𝑓: 𝐴 → 𝐵,G,H C B 𝑦 ∈ 𝑓 −1 (𝐺 ∪ 𝐻) ↔ 𝑓(𝑦) ∈ 𝐺 ∪ 𝐻 ↔ 𝑓(𝑦) ∈ 𝐺 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓(𝑦) ∈ 𝐻 ↔ 𝑦 ∈ 𝑓 −1 (𝐺)𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 ∈ 𝑓 −1 (𝐻) ↔ 𝑦 ∈ 𝑓 −1 (𝐺) ∪ 𝑓 −1 (𝐻)

Oleh karena itu, 𝑓 −1 (𝐺 ∪ 𝐻) = 𝑓 −1 (𝐺) ∪ 𝑓 −1 (𝐻)

Secara analog kesetaraan lainnya terbukti : 𝑦 ∈ 𝑓 −1 (𝐺 ∩ 𝐻) ↔ 𝑓(𝑦) ∈ 𝐺 ∩ 𝐻 ↔ 𝑓(𝑦) ∈ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑦) ∈ 𝐻 ↔ 𝑦 ∈ 𝑓 −1 (𝐺) 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ∈ 𝑓 −1 (𝐻) ↔ 𝑦 𝐶 𝑓 −1 (𝐺) ∩ 𝑓 −1 (𝐻) Sehingga, 𝑓 −1 (𝐺 ∩ 𝐻) = 𝑓 −1 (𝐺) ∩ 𝑓 −1 (𝐻) 16. Tunjukkan bahwa fungsi f didefinisikan oleh f(x):= 𝑥/√𝑥 2 + 1 ,x ∈ ℝ, adalah bijeksi dari ℝ ke { 𝑦 ∶ −1 < 𝑦 < 1}. Jawaban : 𝑥

f : ℝ → (−1,1), didefinisikan oleh, f(x) := √1+𝑥 2 Untuk menunjukkan : f adalah bijeksi : Satu-satu : f(x) = f(y) ⇒

𝑥 √1+𝑥 2

=

𝑦 √1+𝑦 2

…………. (i)

⇒ 𝑥 2 (1+ 𝑦 2 ) = 𝑦 2 (1 + 𝑥 2 ) ⇒ 𝑥2 + 𝑥2𝑦 2 = 𝑦2 + 𝑥2𝑦2 ⇒ 𝑥2 = 𝑦2 ⇒ |𝑥|= |𝑦| Dari (i) x & y ada beberapa tanda, maka x = y. Jadi f is fungsi satu-satu. Ke : Untuk setiap y ∈ ℝ, −1 < 𝑦 < 1, mari kita buktikan,

𝑥 √1+𝑥 2

=

𝑦 √1+𝑦 2

…………. (ii)

⟺ 𝑥 2 = (1 + 𝑥 2 )𝑦 2 ⟺ 𝑥 2 (1−𝑦 2 ) = 𝑦 2 ⟺ 𝑥2 =

𝑦2 (1− 𝑦 2 )

Dari (ii), x & y harus memiliki beberapa tanda, jadi 𝑥

x = √1+𝑥 2 𝑦

ingat bahwa , −1 < 𝑦 < 1 ⇒ (1−𝑦 2 ) > 0. Jadi, f ((1− 𝑦2 )) = y. Oleh karena itu, f adalah fungsi onto yang baik.

17. untuk a,b ∈ ℝ dengan a < b, buktikan explisit bijektif untuk A: = ⦃ x:a