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• Javier Pocasangre

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2. MODELO DE INVENTARIO PROBABILISTICO En los modelos probabilísticos, o estocásticos, algunos elementos no se conocen con certeza. Es decir, en los modelos probabilísticos se presupone que algunas variables importantes, llamadas variables aleatorias, no tendrán valores conocidos antes que se tomen las decisiones correspondientes, y que ese desconocimiento debe ser incorporado al modelo. Un ejemplo de modelo probabilístico podría ser la decisión de establecer una compañía de Internet mediante la venta pública de acciones de capital, antes de saber si el mercado para nuestra oferta será favorable (mercado en alza) y rendirá un alto precio de las acciones, o desfavorable (mercado sostenido) y el precio de éstas será bajo. Por lo tanto, un modelo de inventario probabilístico hace uso de una distribución de probabilidad para especificar el valor de la demanda o de otra variable desconocida. Este es precisamente el aporte de la estadística. Partiendo de esto, se han creado diversos modelos de inventario probabilísticos multiperiodos clasificados según la forma en que se revisa el inventario, modelos en los cuales la variación se debe a la incertidumbre y no a causas predecibles. La clasificación propone distinguir entre modelos de revisión continua y revisión periódica.

2.1

MODELOS DE REVISIÓN CONTINUA

También conocido como sistema de punto de reorden, sistema de cantidad fija o modelo Q. En este tipo de sistema de control de inventario, cada vez que realizamos el retiro de un artículo, se realiza el control del inventario restante, en otras palabras se revisa el nivel del inventario resultante teniendo en cuenta que:  

Si el inventario resultante está por debajo de determinado nivel, se coloca una nuevo orden. Si el inventario resultante no está por debajo del nivel, sigue consumiéndose.

Dicho esto, revisamos el inventario de forma constante por no tener certeza de la demanda o del tiempo de entrega, o tenerlos variables que es lo mismo. Esto en esencia es lo que significa un escenario probabilístico. En años más recientes, los sistemas de dos contenedores han sido sustituidos por sistemas de inventarios computarizados. Se hace un registro electrónico de cada adición al inventario y cada venta que ocasiona una salida, y la computadora siempre tiene el nivel actual del inventario.

(Por ejemplo, los dispositivos de lectura de códigos de las cajas registradoras de las tiendas detallan por un lado las compras y por el otro registran la venta de productos para ajustar los niveles de inventario actuales.) La computadora envía una orden en cuanto el nivel de inventario llega al punto de reorden.

2.1.1. MODELO EOQ PROBABILIZADO También conocido como EOQ con demanda probabilística, es una adaptación del modelo EOQ deterministico (clásico). Este es un proceso estocástico de inventario en el cual la demanda se describe mediante una distribución de probabilidad. Usan una aproximación que sobrepone una existencia constante de reserva sobre el nivel del inventario en todo el horizonte de planeación. El tamaño de la reserva se determina de tal modo que la probabilidad de que se agote la existencia durante el tiempo de entrega (el periodo entre la colocación y la recepción de un pedido) no sea mayor que un valor especificado. Sean L = Tiempo de entrega entre la colocación y la recepción de un pedido XL = Variable aleatoria que representa la demanda durante el tiempo de entrega µL = Demanda promedio durante el tiempo de entrega σL =Desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega B = Tamaño de la existencia de reserva α = Probabilidad máxima admisible de que se agote la existencia durante el tiempo de entrega y = Cantidad pedida (cantidad de unidades) D = Tasa de demanda (unidades por unidad de tiempo) t0 = Duración del ciclo de pedido (unidades de tiempo) R* = Punto de reorden y* = Cantidad económica de pedido (Cantidad por ordenar) K = Costo de preparación correspondiente a la colocación de un pedido ($/pedido) h = Costo de almacenamiento ($ por unidad en inventario por unidad de tiempo En el caso de un fabricante que administra su inventario de productos terminados, la orden será para llevar a cabo una corrida de producción de tamaño Y*. En el de un distribuidor o un comerciante (o un fabricante que reabastece su materia prima con un proveedor), la orden será una orden de compra de Y* unidades de productos. Una política de inventarios basada en estos dos números críticos es sencilla.

Política de inventarios: siempre que el nivel de inventario de un producto llegue a R* unidades, se coloca una orden de Y* unidades para reabastecerlo. Con frecuencia, esta política se llama política de punto de reorden.

Figura . Reserva de inventario impuesto al modelo clásico de CEP Fuente: “Investigación de Operaciones 6° Edición” de Taha Hamdy A., página 560

Figura . Probabilidad de que se agote la existencia, 𝑃{𝑧 ≥ 𝐾∝ } =∝ Fuente: “Investigación de Operaciones 6° Edición” de Taha Hamdy A., página 561

Ejemplo 1. Se cambian luces de neón en el campus de la U de A. Estas luces de neón se piden en forma periódica. Cuesta $100 iniciar una orden de compra. Se estima que una luz de neón en el almacén cuesta unos $0.02 diarios. El tiempo de entrega, entre la colocación y la recepción de un pedido es de 12 días. Si la demanda diaria es normal, con promedio D = 100 luces y la desviación estándar σ

= 10 luces, esto es, N(100, 10), determine el tamaño de la reserva tal que la probabilidad de que se agote la existencia sea menor que α = 0.05. Datos: D = 100 Unidades por día K = $100 por pedido h = $0.02 por unidad y por día L = 12 días σ = 10 luces α = 0.05 Paso 1: Primero se calcula la cantidad económica de pedido utilizando la fórmula que se presentó en la sección “Modelos estáticos de CEP: Modelo clásico de CEP”; tal y como se presenta a continuación: 𝑦∗ = √

2𝐾𝐷 ℎ

(1)

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝑦∗ = √

2 ∗ $100 ∗ 100 (2) $0.02

𝑦 ∗ = 1000 𝐿𝑢𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑒ó𝑛 (3) Paso 2: Con la cantidad económica de pedidos calculada se procede a obtener la longitud del ciclo correspondiente: 𝑡𝑜 ∗ =

𝑦∗ (4) 𝐷

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝑡𝑜 ∗ =

1000 (5) 100

𝑡𝑜 ∗ = 10 𝑑í𝑎𝑠 (6)

Paso 3: Como el tiempo de entrega L = 12 días es mayor que la longitud del ciclo t0* (=10 días) se debe calcular Le. Pero primero se calcula la cantidad de ciclos incluidos en L: 𝑛 = (𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ≤

𝐿 ) (7) 𝑡𝑜 ∗

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝑛 = (𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ≤

12 ) (8) 10

𝑛 = (𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ≤ 1.2) (9) 𝐿

El valor de 𝑡 ∗ es igual a 1.2 por lo que n será igual al entero mayo más próximo, 𝑜

en este caso n sería igual a 1 ciclo. 𝑛 = 1 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 (10) Paso 4: Ya conociendo la cantidad de ciclos incluidos en L se procede a calcular el tiempo efectivo de entrega (retraso) Le: 𝐿𝑒 = 𝐿 − 𝑛 ∗ 𝑡𝑜 ∗ (11) Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝐿𝑒 = 12 − (1 ∗ 10) (12) 𝐿𝑒 = 2 𝑑í𝑎𝑠 (13) Paso 5: El tiempo efectivo de retraso es igual a 2 días, con este dato se procede a calcular la Demanda promedio durante el tiempo de entrega (µL) y la Desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega (σL): 



Demanda promedio durante el tiempo de entrega (µL): 𝜇𝐿 = 𝐷*Le (14) 𝜇𝐿 = 100 ∗ 2 (15) 𝜇𝐿 = 200 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 (16) Desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega (σL): 𝜎𝐿 = √𝜎 2 ∗ 𝐿𝑒

(17)

𝜎𝐿 = √102 ∗ 2 (18) 𝜎𝐿 = 14.14 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 (19) Paso 6: Utilizando una tabla de distribución normal y el valor de α = 0.05 se puede conocer el valor de Kα:

Figura . Probabilidad de que se agote la existencia, 𝑃{𝑧 ≥ 𝐾∝ } =∝ Fuente: “Investigación de Operaciones 6° Edición” de Taha Hamdy A., página 561

0.045

Para conocer el valor de Kα, primero se ubica α = 0.05 en la tabla de distribución normal, el primer valor que conforma Kα es la parte entera y es el valor que se ubica en la primera columna, para este caso este es igual a 1.6; la segunda parte es el decimal que se encuentra en la primera fila de la tabla en este caso el valor de 0.05 no se encuentra en la tabla, pero si los valores 0.505 y 0.495 que se encuentran equidistantes a 0.05 por lo que se toma el valor medio entre 0.04 y 0.05, es decir, 0.045. De esta forma obtenemos que Kα=1.645.

Paso 7: Con el valor de K0.05 se calcula el tamaño de la reserva como sigue: 𝐵 ≥ 𝜎𝐿 ∗ 𝐾𝛼

(20)

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝐵 ≥ 14.14 ∗ 1.645 (21) 𝐵 ≈ 23 luces de neón (22) Paso 8: El último elemento que se debe calcular para determinar la política óptima de inventario es el Punto de reorden (R*):

𝑅 ∗ = 𝐵 + 𝜇𝐿 (23) Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝑅 ∗ = 23 + 200 𝑅 ∗ = 223 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 Paso 9: Para finalizar el ejercicio se debe escribir la conclusión. R// La política óptima de inventario con una reserva B establece comprar 1000 unidades siempre que el nivel de inventario baje a 223 unidades.

Ejemplo 2. Una tienda de música ofrece un CD de gran demanda. La demanda diaria del disco tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 200 discos y desviación estándar de 20 discos. El costo de tener los discos en la tienda es de $0.04 por cada uno y por día. A la tienda le cuesta $100 hacer un nuevo pedido. El proveedor suele especificar un tiempo de entrega de 7 días. Suponiendo que la tienda quiera limitar la probabilidad de que se le acaben los discos durante el tiempo de entrega a no más de 0.02, determine la política óptima de inventarios en la tienda. Datos: D = 200 Discos por día K = $100 por pedido h = $0.04 por unidad y por día L = 7 días

σ = 20 Discos α = 0.02 Paso 1: Primero se calcula la cantidad económica de pedido utilizando la fórmula que se presentó en la sección “Modelos estáticos de CEP: Modelo clásico de CEP”; tal y como se presenta a continuación: 𝑦∗ = √

2𝐾𝐷 ℎ

(1)

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝑦∗ = √

2 ∗ $100 ∗ 200 (2) $0.04

𝑦 ∗ = 1000 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠 (3) Paso 2: Con la cantidad económica de pedidos calculada se procede a obtener la longitud del ciclo correspondiente: 𝑡𝑜 ∗ =

𝑦∗ (4) 𝐷

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝑡𝑜 ∗ =

1000 (5) 200

𝑡𝑜 ∗ = 5 𝑑í𝑎𝑠 (6)

Paso 3: Como el tiempo de entrega L = 12 días es mayor que la longitud del ciclo t0* (=10 días) se debe calcular Le. Pero primero se calcula la cantidad de ciclos incluidos en L: 𝑛 = (𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ≤

𝐿 ) (7) 𝑡𝑜 ∗

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝑛 = (𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ≤

7 ) (8) 5

𝑛 = (𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ≤ 1.4)7 (9)

𝐿

El valor de 𝑡 ∗ es igual a 1.4 por lo que n será igual al entero mayo más próximo, 𝑜

en este caso n sería igual a 1 ciclo. 𝑛 = 1 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 (10) Paso 4: Ya conociendo la cantidad de ciclos incluidos en L se procede a calcular el tiempo efectivo de entrega (retraso) Le: 𝐿𝑒 = 𝐿 − 𝑛 ∗ 𝑡𝑜 ∗ (11) Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝐿𝑒 = 7 − (1 ∗ 5) (12) 𝐿𝑒 = 2 𝑑í𝑎𝑠 (13) Paso 5: El tiempo efectivo de retraso es igual a 2 días, con este dato se procede a calcular la Demanda promedio durante el tiempo de entrega (µL) y la Desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega (σL): 



Demanda promedio durante el tiempo de entrega (µL): 𝜇𝐿 = 𝐷*Le (14) 𝜇𝐿 = 200 ∗ 2 (15) 𝜇𝐿 = 400 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠 (16) Desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega (σL): 𝜎𝐿 = √𝜎 2 ∗ 𝐿𝑒

(17)

𝜎𝐿 = √202 ∗ 2 (18) 𝜎𝐿 = 28.28 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠 (19) Paso 6: Utilizando una tabla de distribución normal y el valor de α = 0.02 se puede conocer el valor de Kα:

Figura . Probabilidad de que se agote la existencia, 𝑃{𝑧 ≥ 𝐾∝ } =∝ Fuente: “Investigación de Operaciones 6° Edición” de Taha Hamdy A., página 561

0.055

Para conocer el valor de Kα, primero se ubica α = 0.05 en la tabla de distribución normal, el primer valor que conforma Kα es la parte entera y es el valor que se ubica en la primera columna, para este caso este es igual a 2.0; la segunda parte es el decimal que se encuentra en la primera fila de la tabla en este caso el valor de 0.02 no se encuentra en la tabla, pero si los valores 0.202 y 0.197 que se encuentran equidistantes a 0.02 por lo que se toma el valor medio entre 0.05 y 0.06, es decir, 0.055. De esta forma obtenemos que Kα=2.055.

Paso 7: Con el valor de K0.05 se calcula el tamaño de la reserva como sigue: 𝐵 ≥ 𝜎𝐿 ∗ 𝐾𝛼

(20)

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝐵 ≥ 28.28 ∗ 2.055 (21) 𝐵 ≈ 58.11 Discos (22) Paso 8: El último elemento que se debe calcular para determinar la política óptima de inventario es el Punto de reorden (R*):

𝑅 ∗ = 𝐵 + 𝜇𝐿 (23) Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝑅 ∗ = 58.11 + 400 𝑅 ∗ = 458.11 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠 Paso 9: Para finalizar el ejercicio se debe escribir la conclusión. R// La política óptima de inventario con una reserva B establece comprar 1000 unidades siempre que el nivel de inventario baje a 458.11 unidades. Ejemplo 3. Una compañía que fabrica televisores produce sus propias bocinas para utilizarlas en la fabricación de estos aparatos. Los televisores se ensamblan en una línea de producción y se necesita una bocina por televisor. Las bocinas se fabrican por lotes, pues no justifican toda una línea de producción y se pueden producir cantidades relativamente grandes en un tiempo corto. Por lo tanto, estas bocinas se colocan en inventario hasta que se necesitan para ser ensambladas en los televisores. La compañía está interesada en determinar cuándo producir un lote de bocinas y cuántas producir en cada lote. Es necesario tomar en cuenta varios costos: 1- Cada vez que se produce un lote, se incurre en un costo de preparación de 12 000 dólares. 2- El costo unitario de producción de una sola bocina es de 10 dólares. 3- La estimación del costo de mantener una bocina en almacén es de $0.30 por mes. 4- Costo por faltantes $1.10 por mes.

La demanda actual de bocinas es variable. Existe un tiempo de entrega de 1 mes entre ordenar una corrida de producción de bocinas y tenerlas listas para el ensamblado. La demanda de bocinas durante este tiempo de entrega es una variable aleatoria D que tiene distribución normal con media de 8 000 y desviación estándar de 2 000. Para minimizar el riesgo de interrumpir la línea de producción de televisores, la administración ha decidido que el inventario de seguridad de bocinas debe ser suficiente para evitar faltantes 95% del tiempo durante este periodo de entrega Datos: D = 8,000 Bocinas por mes K = $12,000 por pedido h = $0.30 por unidad y por mes L = 1 mes σ = 2000 bocinas α = 1-% de tiempo a evitar faltantes=1-0.95= 0.05 Paso 1: Primero se calcula la cantidad económica de pedido utilizando la fórmula que se presentó en la sección “Modelos estáticos de CEP: Modelo clásico de CEP”; tal y como se presenta a continuación: 𝑦∗ = √

2𝐾𝐷 ℎ

(1)

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝑦∗ = √

2 ∗ $12000 ∗ 8000 (2) $0.30

𝑦 ∗ = 25,298 𝐵𝑜𝑐𝑖𝑛𝑎𝑠 (3) Paso 2: Con la cantidad económica de pedidos calculada se procede a obtener la longitud del ciclo correspondiente: 𝑡𝑜

∗

𝑦∗ = (4) 𝐷

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula:

𝑡𝑜 ∗ =

25298 (5) 8000

𝑡𝑜 ∗ = 3.16 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 (6)

Paso 3: Como el tiempo de entrega L = 1 mes es menor que la longitud del ciclo t0* (=3.16) no es necesario calcular Le. Podemos decir que L=Le Paso 4: El tiempo efectivo de retraso es igual a 1 mes, con este dato se procede a calcular la Demanda promedio durante el tiempo de entrega (µL) y la Desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega (σL): 



Demanda promedio durante el tiempo de entrega (µL): 𝜇𝐿 = 𝐷*Le (7) 𝜇𝐿 = 8000 ∗ 1 (8) 𝜇𝐿 = 8000 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 (9) Desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega (σL): 𝜎𝐿 = √𝜎 2 ∗ 𝐿𝑒

(10)

𝜎𝐿 = √20002 ∗ 1 (11) 𝜎𝐿 = 2000 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 (12)

Paso 5: Utilizando una tabla de distribución normal y el valor de α = 0.05 se puede conocer el valor de Kα:

Figura . Probabilidad de que se agote la existencia, 𝑃{𝑧 ≥ 𝐾∝ } =∝ Fuente: “Investigación de Operaciones 6° Edición” de Taha Hamdy A., página 561

0.045

Para conocer el valor de Kα, primero se ubica α = 0.05 en la tabla de distribución normal, el primer valor que conforma Kα es la parte entera y es el valor que se ubica en la primera columna, para este caso este es igual a 1.6; la segunda parte es el decimal que se encuentra en la primera fila de la tabla en este caso el valor de 0.05 no se encuentra en la tabla, pero si los valores 0.505 y 0.495 que se encuentran equidistantes a 0.05 por lo que se toma el valor medio entre 0.04 y 0.05, es decir, 0.045. De esta forma obtenemos que Kα=1.645.

Paso 7: Con el valor de K0.05 se calcula el tamaño de la reserva como sigue: 𝐵 ≥ 𝜎𝐿 ∗ 𝐾𝛼

(13)

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝐵 ≥ 2000 ∗ 1.645 (14) 𝐵 ≈ 3290 bocinas (15) Paso 8: El último elemento que se debe calcular para determinar la política óptima de inventario es el Punto de reorden (R*):

𝑅 ∗ = 𝐵 + 𝜇𝐿 (16) Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝑅 ∗ = 8000 + 3290 𝑅 ∗ = 11290 𝑏𝑜𝑐𝑖𝑛𝑎𝑠 Paso 9: Para finalizar el ejercicio se debe escribir la conclusión. R// La política óptima de inventario con una reserva B establece comprar 25,298 unidades siempre que el nivel de inventario baje a 11,290 unidades.

FORMULAS 2𝐾𝐷

Cantidad económica de pedido;

𝑦∗ = √

Ciclo de pedido:

𝑡𝑜 ∗ =

Cantidad de ciclos incluidos en L:

𝑛 = (𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ≤

Tiempo efectivo de entrega:

𝐿𝑒 = 𝐿 − 𝑛 ∗ 𝑡𝑜 ∗

Tamaño de la existencia de reserva:

𝐵 ≥ 𝜎𝐿 ∗ 𝐾𝛼

Demanda promedio durante el tiempo de entrega:

𝜇𝐿 = 𝐷*L

ℎ

𝑦∗ 𝐷 𝐿 𝑡𝑜 ∗

)

Desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega: En la fórmula de σL se requiere que L sea un valor (redondeado a) entero.

𝜎𝐿 = √𝜎 2 ∗ 𝐿

Punto de reorden:

𝑅 ∗ = 𝐵 + 𝜇𝐿

2.1.2. MODELO EOQ PROBABILISTICO Este modelo permite faltante durante la demanda, como se ve en la figura. La política establece pedir la cantidad y siempre que el inventario baja al nivel R*. Como en el caso determinístico, el nivel para pedir R* (nivel de “reorden”) es una función del tiempo de entrega entre la colocación y la recepción de un pedido. Los valores óptimos de y* y R* se determinan minimizando el costo esperado por unidad de tiempo, que incluye la suma de los costos de preparación, posesión (almacenamiento) y de faltante. El modelo tiene tres hipótesis. 1- La demanda no satisfecha durante el tiempo de entrega se acumula. 2- No se permite más de un pedido vigente.

3- La distribución de la demanda durante el tiempo de entrega permanece estacionaria (no cambia) con el tiempo. Para deducir la función de costo total por unidad de tiempo, sean f(x) = Función de distribución de probabilidades de la demanda x durante el tiempo de entrega D = Demanda esperada por unidad de tiempo h = Costo de almacenamiento por unidad de inventario y por unidad de tiempo p = Costo de faltante por unidad de inventario K = Costo de preparación por pedido FORMULAS 𝐷

Cantidad de pedidos por unidad de tiempo

=𝑦

Costo de preparación por unidad de tiempo:

=

Inventario promedio:

𝐼 = 2 + 𝑅 − 𝐸{𝑥}

Costo esperado por mantener en inventario por unidad de tiempo:

=𝐻∗𝐼

Costo esperado por faltante:

𝑆 = ∫𝑅 (𝑥 − 𝑅)𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Ecuación 1:

𝑦∗ = √

Ecuación 2:

∫𝑅′ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑃𝐷

Ecuación 3:

𝑦̂ = √

Ecuación 4:

𝑦̃ =

𝐾∗𝐷 𝑦 𝑦

∞

2𝐷(𝐾+𝑝𝑆) ℎ 𝑦∗

∞

2𝐷(𝐾+𝑝𝐸{𝑥})

2𝐾𝐷

Ecuación 5 𝑦 ∗ = √

ℎ

𝑝𝐷 ℎ

ℎ

Los pasos del algoritmo son los siguientes: 2𝐾𝐷

Paso 0. Usar la solución inicial 𝑦1 = 𝑦 ∗ = √

ℎ

, y hacer 𝑅0 = 0. Igualar 𝑖 = 1 y

seguir en el paso i. Paso i. Usar 𝑦𝑖 para determinar 𝑅𝑖 con la ecuación (2). Si 𝑅𝑖 ≈ 𝑅𝑖−1 , detenerse; la solución óptima es 𝑦 ∗ = 𝑦𝑖 y 𝑅 ∗ = 𝑅𝑖 . En caso contrario, usar 𝑅𝑖 en la ecuación (1) para calcular 𝑦𝑖 . Igualar 𝑖 = 𝑖 + 1 y repetir el paso i. Ejemplo 1: Electro usa 1000 galones de resina por mes en el proceso de manufactura. Le cuesta $100 hacer un pedido para un lote nuevo. El costo de almacenamiento por galón y por mes es de $2, y el costo de faltante por galón es de $10. Los datos históricos indican que la demanda, durante el tiempo de entrega, es uniforme dentro del intervalo (0, 100) galones. Determine la política óptima de pedidos para Electro. Datos: D = 1000 galones por mes K = $100 por pedido h = $2 por galón y por mes p = $10 por galón f(x) =

f(x) =

1 𝑏−𝑎

, 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 = 100 𝑦 𝑎 = 0, f(x) =

1

1 100−0

=

1 , 0 ≤ x ≤ 100 100

, 0 ≤ x ≤ 100

100

E(x) =

𝑎+𝑏 2

=

0+100 2

= 50 galones

E(x) = 50 galones Paso 1: Primero se necesita comprobar que el problema tenga una solución factible. Se aplican las ecuaciones de 𝑦̂ y 𝑦̃ para obtener: 

𝑦̂:

2𝐷(𝐾 + 𝑝𝐸{𝑥}) 𝑦̂ = √ ℎ Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula:

𝑦̂ = √

2 ∗ 1000(100 + (10 ∗ 50) 2 𝑦̂ = 774.6 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠



𝑦̃: 𝑦̃ =

𝑝𝐷 ℎ

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝑦̃ =

10 ∗ 1000 2

𝑦̃ = 5000 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 Como 𝑦̃ ≥ 𝑦̂, existen soluciones únicas para 𝑦 ∗ y R*. Paso 2: Se procede a calcular la ecuación de S: ∞

𝑆 = ∫ (𝑥 − 𝑅)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑅

Se sustituyen los datos correspondientes y se opera: 100

𝑆=∫ 𝑅

𝑆=

(𝑥 − 𝑅)

1 𝑑𝑥 100

𝑅2 − 𝑅 + 50 200

Paso 3: Para conocer las soluciones únicas para 𝑦 ∗ y R* se utilizan la ecuación 1 y 2 además de hacer uso del algoritmo numérico desarrollado por Hadley y Whitin, a continuación se detalla el proceso:

1- Se aplica la ecuación 1 para obtener una ecuación para y* que se utilizara más adelante en el proceso: 2𝐷(𝐾 + 𝑝𝑆) 𝑦𝑖 = √ ℎ 2 ∗ 1000(100 + 10𝑆) 𝑦𝑖 = √ 2 𝑦𝑖 = √100,000 + 10,000𝑆 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐸𝑐. 𝐴 2- Se aplica la ecuación 2 para obtener una ecuación para R* que se utilizara más adelante en el proceso: ∞

𝑦∗ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑃𝐷 𝑅 Sustituimos con los datos correspondientes y sustituimos y* por yi: 100

∫ 𝑅

1 2𝑦𝑖 𝑑𝑥 = 100 10 ∗ 1000

Esta ecuación da como resultado:

𝑅𝑖 = 100 −

𝑦𝑖 𝐸𝑐. 𝐵 50

3- Ahora por medio de la ecuación 5, la ecuación de S y de las recién obtenidas ecuaciones A y B se obtendrá 𝑦 ∗ y R* por medio de iteraciones continuas de acuerdo al algoritmo anteriormente mencionado: Iteración 1: 

Se aplica la ecuación 5 y se obtiene y1:

𝑦∗ = √

2𝐾𝐷 ℎ

2 ∗ 1000 ∗ 100 𝑦1 = √ 2 𝑦1 = 316.23 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 

Se aplica la ecuación B para obtener R1, se debe sustituir y1 en la ecuación B:

𝑅𝑖 = 100 − 𝑅1 = 100 −

𝑦𝑖 50

316.23 50

𝑅1 = 93.68 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 Iteración 2: 

Se aplica la ecuación de S sustituyendo el valor de R1 para obtener un valor numérico de S: 𝑆=

𝑆=

𝑅12 − 𝑅1 + 50 200

93.682 − 93.68 + 50 200

𝑆 = 0.19971 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 

Con el valor de S ya calculado este se sustituye en la Ecuación A para obtener un valor de y* que en este caso sería y2: 𝑦2 = √100,000 + 10,000𝑆 𝑦2 = √100,000 + (10,000 ∗ 0.19971) 𝑦2 = 319.37 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠



Con y2 se puede calcular un nuevo valor de R2 por medio de la ecuación B:

𝑅𝑖 = 100 − 𝑅2 = 100 −

𝑦𝑖 50

319.39 50

𝑅2 = 93.612 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠

Iteración 3: A partir de la iteración 3 se repite el mismo proceso de la iteración 2 hasta que los cálculos arrojen valores similares entre ellos, en el caso de la iteración 3 el proceso sería: 

Se aplica la ecuación de S sustituyendo el valor de R2 para obtener un valor numérico de S: 𝑅22 𝑆= − 𝑅2 + 50 200 93.6122 𝑆= − 93.612 + 50 200 𝑆 = 0.20399 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠



Con el valor de S ya calculado este se sustituye en la Ecuación A para obtener un valor de y* que en este caso sería y3: 𝑦3 = √100,000 + 10,000𝑆 𝑦3 = √100,000 + (10,000 ∗ 0.20399) 𝑦2 = 319.44 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠



Con y3 se puede calcular un nuevo valor de R3 por medio de la ecuación B:

𝑅𝑖 = 100 −

𝑦𝑖 50

𝑅3 = 100 −

319.44 50

𝑅2 = 93.611 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 Los valores entre la iteración 2 y la iteración 3 son tan cercanos que se pueden aceptar los valores de la iteración 3 como los valores verdaderos, es decir: 𝑦 ∗ = 𝑦2 ≈ 319.44 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑅 ∗ = 𝑅2 ≈ 93.611 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 Paso 4: Para finalizar el ejercicio se debe escribir la conclusión. R// La política óptima de inventario indica pedir aproximadamente 320 galones siempre que el nivel de existencias baje a 94 galones. Ejemplo 2: Electro usa 1000 galones de resina por mes en el proceso de manufactura. Le cuesta $100 hacer un pedido para un lote nuevo. El costo de almacenamiento por galón y por mes es de $2, y el costo de faltante por galón es de $10. Los datos históricos indican que la demanda, durante el tiempo de entrega, es uniforme dentro del intervalo (0, 50) galones. Determine la política óptima de pedidos para Electro. Datos: D = 1000 galones por mes K = $100 por pedido h = $2 por galón y por mes p = $10 por galón 1

1

1

f(x) =𝑏−𝑎 , 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 = 50 𝑦 𝑎 = 0, f(x) = 50−0 = 50, 0 ≤ x ≤ 50 1

f(x) = 50, 0 ≤ x ≤ 50 E(x) =

𝑎+𝑏 2

=

0+50 2

= 25 galones

E(x) = 25 galones

Paso 1: Primero se necesita comprobar que el problema tenga una solución factible. Se aplican las ecuaciones de 𝑦̂ y 𝑦̃ para obtener: 

𝑦̂: 2𝐷(𝐾 + 𝑝𝐸{𝑥}) 𝑦̂ = √ ℎ Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula:

𝑦̂ = √

2 ∗ 1000(100 + (10 ∗ 25) 2 𝑦̂ = 591.6 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠



𝑦̃: 𝑦̃ =

𝑝𝐷 ℎ

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝑦̃ =

10 ∗ 1000 2

𝑦̃ = 5000 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 Como 𝑦̃ ≥ 𝑦̂, existen soluciones únicas para 𝑦 ∗ y R*. Paso 2: Se procede a calcular la ecuación de S: ∞

𝑆 = ∫ (𝑥 − 𝑅)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑅

Se sustituyen los datos correspondientes y se opera: 50

𝑆 = ∫ (𝑥 − 𝑅) 𝑅

1 𝑑𝑥 50

𝑅2 𝑆= − 𝑅 + 25 100

Paso 3: Para conocer las soluciones únicas para 𝑦 ∗ y R* se utilizan la ecuación 1 y 2 además de hacer uso del algoritmo numérico desarrollado por Hadley y Whitin, a continuación se detalla el proceso: 4- Se aplica la ecuación 1 para obtener una ecuación para y* que se utilizara más adelante en el proceso: 2𝐷(𝐾 + 𝑝𝑆) 𝑦𝑖 = √ ℎ 2 ∗ 1000(100 + 10𝑆) 𝑦𝑖 = √ 2 𝑦𝑖 = √100,000 + 10,000𝑆 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐸𝑐. 𝐴 5- Se aplica la ecuación 2 para obtener una ecuación para R* que se utilizara más adelante en el proceso: ∞

𝑦∗ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑃𝐷 𝑅 Sustituimos con los datos correspondientes y sustituimos y* por yi: 50

∫ 𝑅

1 2𝑦𝑖 𝑑𝑥 = 50 10 ∗ 1000

Esta ecuación da como resultado:

𝑅𝑖 = 50 −

𝑦𝑖 𝐸𝑐. 𝐵 100

6- Ahora por medio de la ecuación 5, la ecuación de S y de las recién obtenidas ecuaciones A y B se obtendrá 𝑦 ∗ y R* por medio de iteraciones continuas de acuerdo al algoritmo anteriormente mencionado: Iteración 1: 

Se aplica la ecuación 5 y se obtiene y1:

𝑦∗ = √

2𝐾𝐷 ℎ

2 ∗ 1000 ∗ 100 𝑦1 = √ 2 𝑦1 = 316.23 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 

Se aplica la ecuación B para obtener R1, se debe sustituir y1 en la ecuación B:

𝑅𝑖 = 50 − 𝑅1 = 50 −

𝑦𝑖 100

316.23 100

𝑅1 = 46.8377 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 Iteración 2: 

Se aplica la ecuación de S sustituyendo el valor de R1 para obtener un valor numérico de S: 𝑅12 𝑆= − 𝑅1 + 25 100 46.83772 𝑆= − 46.8377 + 25 200 𝑆 = 0.100001 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠



Con el valor de S ya calculado este se sustituye en la Ecuación A para obtener un valor de y* que en este caso sería y2: 𝑦2 = √100,000 + 10,000𝑆 𝑦2 = √100,000 + (10,000 ∗ 0.100001) 𝑦2 = 317.805 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠



Con y2 se puede calcular un nuevo valor de R2 por medio de la ecuación B:

𝑅𝑖 = 50 − 𝑅2 = 50 −

𝑦𝑖 100

317.805 100

𝑅2 = 46.822 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠

Iteración 3: A partir de la iteración 3 se repite el mismo proceso de la iteración 2 hasta que los cálculos arrojen valores similares entre ellos, en el caso de la iteración 3 el proceso sería: 

Se aplica la ecuación de S sustituyendo el valor de R2 para obtener un valor numérico de S: 𝑆=

𝑅22 − 𝑅2 + 25 100

46.8222 𝑆= − 46.822 + 25 200 𝑆 = 0.100997 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 

Con el valor de S ya calculado este se sustituye en la Ecuación A para obtener un valor de y* que en este caso sería y3: 𝑦3 = √100,000 + 10,000𝑆 𝑦3 = √100,000 + (10,000 ∗ 0.100997) 𝑦2 = 317.821 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠



Con y3 se puede calcular un nuevo valor de R3 por medio de la ecuación B:

𝑅𝑖 = 50 − 𝑅3 = 50 −

𝑦𝑖 100

317.821 100

𝑅2 = 46.8218 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 Los valores entre la iteración 2 y la iteración 3 son tan cercanos que se pueden aceptar los valores de la iteración 3 como los valores verdaderos, es decir: 𝑦 ∗ = 𝑦2 ≈ 317.82 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑅 ∗ = 𝑅2 ≈ 46.82 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 Paso 4: Para finalizar el ejercicio se debe escribir la conclusión. R// La política óptima de inventario indica pedir aproximadamente 320 galones siempre que el nivel de existencias baje a 47 galones. Ejemplo 1: En el ejemplo 1, suponga que la demanda durante el tiempo de entrega es uniforme entre 40 y 60 galones. Compare la solución con la que se obtuvo en el ejemplo 1, e interprete los resultados. (Sugerencia: en ambos problemas E(x), es igual, pero en este problema la varianza es menor.) Datos: D = 1000 galones por mes K = $100 por pedido h = $2 por galón y por mes p = $10 por galón 1

1

1

f(x) =𝑏−𝑎 , 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 = 60 𝑦 𝑎 = 40, f(x) = 60−40 = 20, 40 ≤ x ≤ 60 1

f(x) = 20, 40 ≤ x ≤ 60 E(x) =

𝑎+𝑏 2

=

40+60 2

= 50 galones

E(x) = 50 galones Paso 1: Primero se necesita comprobar que el problema tenga una solución factible. Se aplican las ecuaciones de 𝑦̂ y 𝑦̃ para obtener: 

𝑦̂: 2𝐷(𝐾 + 𝑝𝐸{𝑥}) 𝑦̂ = √ ℎ

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula:

𝑦̂ = √

2 ∗ 1000(100 + (10 ∗ 50) 2 𝑦̂ = 774.6 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠



𝑦̃: 𝑦̃ =

𝑝𝐷 ℎ

Se sustituyen los datos correspondientes en la fórmula: 𝑦̃ =

10 ∗ 1000 2

𝑦̃ = 5000 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 Como 𝑦̃ ≥ 𝑦̂, existen soluciones únicas para 𝑦 ∗ y R*. Paso 2: Se procede a calcular la ecuación de S: ∞

𝑆 = ∫ (𝑥 − 𝑅)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑅

Se sustituyen los datos correspondientes y se opera: 60

𝑆 = ∫ (𝑥 − 𝑅) 𝑅

1 𝑑𝑥 20

𝑆=

𝑅2 − 3𝑅 + 90 40

Paso 3: Para conocer las soluciones únicas para 𝑦 ∗ y R* se utilizan la ecuación 1 y 2 además de hacer uso del algoritmo numérico desarrollado por Hadley y Whitin, a continuación se detalla el proceso: 7- Se aplica la ecuación 1 para obtener una ecuación para y* que se utilizara más adelante en el proceso: 2𝐷(𝐾 + 𝑝𝑆) 𝑦𝑖 = √ ℎ 2 ∗ 1000(100 + 10𝑆) 𝑦𝑖 = √ 2 𝑦𝑖 = √100,000 + 10,000𝑆 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐸𝑐. 𝐴 8- Se aplica la ecuación 2 para obtener una ecuación para R* que se utilizara más adelante en el proceso: ∞

𝑦∗ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑃𝐷 𝑅 Sustituimos con los datos correspondientes y sustituimos y* por yi: 60

∫ 𝑅

1 2𝑦𝑖 𝑑𝑥 = 20 10 ∗ 1000

Esta ecuación da como resultado: 𝑅𝑖 = 60 −

𝑦𝑖 𝐸𝑐. 𝐵 250

9- Ahora por medio de la ecuación 5, la ecuación de S y de las recién obtenidas ecuaciones A y B se obtendrá 𝑦 ∗ y R* por medio de iteraciones continuas de acuerdo al algoritmo anteriormente mencionado: Iteración 1: 

Se aplica la ecuación 5 y se obtiene y1:

𝑦∗ = √

2𝐾𝐷 ℎ

2 ∗ 1000 ∗ 100 𝑦1 = √ 2 𝑦1 = 316.23 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 

Se aplica la ecuación B para obtener R1, se debe sustituir y1 en la ecuación B: 𝑅𝑖 = 60 − 𝑅1 = 60 −

𝑦𝑖 250

316.23 250

𝑅1 = 58.7351 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 Iteración 2: 

Se aplica la ecuación de S sustituyendo el valor de R1 para obtener un valor numérico de S: 𝑆=

𝑆=

𝑅12 − 3𝑅1 + 90 40

58.73512 − (3 ∗ 58.7351) + 90 40 𝑆 = 0.039999 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠



Con el valor de S ya calculado este se sustituye en la Ecuación A para obtener un valor de y* que en este caso sería y2: 𝑦2 = √100,000 + 10,000𝑆 𝑦2 = √100,000 + (10,000 ∗ 0.039999) 𝑦2 = 316.86 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠



Con y2 se puede calcular un nuevo valor de R2 por medio de la ecuación B:

𝑅𝑖 = 60 − 𝑅2 = 60 −

𝑦𝑖 250

316.86 250

𝑅2 = 58.7326 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠

Iteración 3: A partir de la iteración 3 se repite el mismo proceso de la iteración 2 hasta que los cálculos arrojen valores similares entre ellos, en el caso de la iteración 3 el proceso sería: 

Se aplica la ecuación de S sustituyendo el valor de R2 para obtener un valor numérico de S: 𝑆=

𝑆=

𝑅22 − 3𝑅2 + 90 40

58.73262 − 58.7326 + 90 40

𝑆 = 0.040158 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 

Con el valor de S ya calculado este se sustituye en la Ecuación A para obtener un valor de y* que en este caso sería y3: 𝑦3 = √100,000 + 10,000𝑆 𝑦3 = √100,000 + (10,000 ∗ 0.040158) 𝑦2 = 316.862 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠



Con y3 se puede calcular un nuevo valor de R3 por medio de la ecuación B: 𝑅𝑖 60 − 𝑅3 = 60 −

𝑦𝑖 250 316.862 250

𝑅2 = 58.7326 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠

Los valores entre la iteración 2 y la iteración 3 son tan cercanos que se pueden aceptar los valores de la iteración 3 como los valores verdaderos, es decir: 𝑦 ∗ = 𝑦2 ≈ 318.86 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑅 ∗ = 𝑅2 ≈ 58.73 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 Paso 4: Para finalizar el ejercicio se debe escribir la conclusión. R// La política óptima de inventario indica pedir aproximadamente 320 galones siempre que el nivel de existencias baje a 59 galones. Además, la cantidad de pedidos permanece más o menos la misma que en el ejemplo 1, pero R* es menor porque la función de distribución de probabilidades de la demanda tiene menor varianza en el rango de 40 a 60. Varianza rango 0 ≤ x ≤ 100: 𝜎2 =

(𝑏 − 𝑎)2 (100 − 0)2 = = 833.33 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 2 12 12

Varianza rango 40 ≤ x ≤ 60: 𝜎2 =

(𝑏 − 𝑎)2 (60 − 40)2 = = 33.33 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 2 12 12

EJEMPLO 1: Acerca de determinar la política de inventario de luces de neón, se determinó que la cantidad económica de pedido era CEP = 100 unidades. Si la demanda diaria es normal, con promedio D = 100 luces y la desviación estándar = 10 luces, esto es, N(100, 10), determine el tamaño de la reserva tal que la probabilidad de que se agote la existencia sea menor que α = 0.05.

EJEMPLO 1: Acerca de determinar la política de inventario de luces de neón, se determinó que la cantidad económica de pedido era CEP = 100 unidades. Si la demanda diaria es normal, con promedio D = 100 luces y la desviación estándar = 10 luces, esto es, N(100, 10), determine el tamaño de la reserva tal que la probabilidad de que se agote la existencia sea menor que α = 0.05. Se cambian luces de neón en el campus de la U de A a una tasa de 100 unidades diarias. Estas luces de neón se piden en forma periódica. Cuesta $100 iniciar una orden de compra. Se estima que una luz de neón en el almacén cuesta unos $0.02 diarios. El tiempo de entrega, entre la colocación y la recepción de un pedido es de 12 días.

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