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• Gissela Avila Vasquez

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22/08/2014

Investigación de Operaciones I

Ing. Enrique M. Avendaño Delgado [email protected]

Reglas de convivencia: • PUNTUALIDAD Hora de Inicio de Clase: 07:30

• ASISTENCIA Límite de Faltas: 5

• Exámenes en al Fecha Trámite en la Oficina correspondiente

• CELULAR en vibrador. No Mensajes de Texto, ni Internet Phubbing

• DESCANSO POR SESION (10 min a las 9.00)

Ing. Enrique Avendaño Delgado

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Ing. Enrique Avendaño Delgado

Formas de comunicación: Al término de Clase

[email protected]

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PREGUNTAS...?

REGLAS • ASISTENCIA • PUNTUALIDAD • EXAMENES EN LA FECHA • PARTICIPACION EN CLASES • HORIZONTALIDAD Ing. Enrique Avendaño Delgado

SIN TIMIDEZ...

Unidad 1 PROGRAMACION LINEAL

Ing. Enrique M. Avendaño Delgado [email protected]

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Historia de la Investigación de Operaciones: "Desde el advenimiento de la Revolución Industrial, el mundo ha sido testigo de un crecimiento sin precedentes en el tamaño y la complejidad de las organizaciones. Los pequeños talleres artesanales se convirtieron en las actuales corporaciones de miles de millones de dólares. Una parte integral de este cambio revolucionario fue el gran aumento de la división del trabajo y en la separación de las responsabilidades administrativas en estas organizaciones. Los resultados han sido espectaculares. Sin embargo, junto con los beneficios, el aumento en el grado de especialización creó nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. 7

Ing. Enrique Avendaño Delgado

Historia de la Investigación de Operaciones: Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el enfoque científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la Segunda Guerra Mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva.

Ing. Enrique Avendaño Delgado

Estrategia y Táctica

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Estrategia y Táctica • •

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Estos conceptos tienen validez tanto para el ajedrez, como para ciencias militares o políticas. La estrategia responde a la pregunta sobre qué debe hacerse en una determinada situación. Establecer un plan de acción propio, interpretar el plan del oponente, tener una orientación del curso que pueden tomar los acontecimientos en el futuro son los principales elementos que forman parte de una estrategia. La táctica contesta a la pregunta de cómo llevamos a cabo nuestros planes e ideas. Calcular con exactitud cada movimiento, encontrar maniobras, combinaciones o recursos para mejorar nuestra posición es competencia de la táctica. La relación entre los dos conceptos es fundamental. No es posible aplicarlos en forma independiente. Sin táctica la estrategia nunca podría concretarse, ya que no encontraríamos el camino para coronar con éxito los planes que diseñamos. Sin estrategia ni lineamientos generales, la táctica no tendría objetivos claros y su aplicación sería errónea.

Ing. Enrique Avendaño Delgado

Historia de la Investigación de Operaciones: Estimulados por el evidente éxito de la investigación de operaciones en lo militar, los industriales comenzaron a interesarse en este nuevo campo. Como la explosión industrial seguía su curso al terminar la guerra, los problemas causados por el aumento de la complejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron a ser primer plano. Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de investigación de operaciones durante la guerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente.

Ing. Enrique Avendaño Delgado

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DEFINICION: Es la aplicación del método científico a los problemas complejos de la dirección y administración de grandes sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero en la Industria, negocios, gobierno y defensa Sociedad de Investigación de Operaciones de Gran Bretaña

Es la aplicación del método científico, frecuentemente auxiliado por modelos y técnicas matemáticas para la solución de problemas sociales, de negocios y de decisión gubernamental. Universidad de Pennsylvania Ing. Enrique Avendaño Delgado

LA PL DESCANSA EN 4 SUPUESTOS:

• Divisibilidad

Este supuesto asegura que las variables de decisión pueden tomar cualquier valor fraccionario a cualquier nivel.

• Proporcionalidad • Aditividad

Toda características de costos, utilidades, utilización de recursos, contribuciones a las propiedades de los productos y demás, siempre serán en forma proporcional al valor de la variable asociada.

• Determinístico Todos los coeficientes de costos, los coeficientes tecnológicos y los valores para los niveles de recursos son conocidos determinísticamente. Todo efecto probabilístico o estocástico inherente se asume que se ha reducido

Este supuesto garantiza que el costo total es la suma de todos los costos parciales y que la contribución total en cada restricción es la suma de las contribuciones individuales. Esto es, no hay substitución ni efectos de interacción entre actividades

Ing. Enrique Avendaño Delgado

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3 CONDICIONES BÁSICAS: Variables de decisión y parámetros  Función Objetivo Restricciones Condiciones de No Negatividad

Ing. Enrique Avendaño Delgado

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL) • Todas las variables están restringidas a tomar valores positivos

Max (z) = C.X sujeto a:

AX

≤

b

Xi ≥ 0 ; i = 1,2,…n

Ing. Enrique Avendaño Delgado

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APLICACION

Ing. Enrique Avendaño Delgado

Ejemplo 1: Giapetto’s Woodcarving (Juguetes de madera Giapetto) Giapetto´s Woodcarving, Inc. Manufactura dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Un soldado se vende en 27 dólares y requiere 10 dólares de materia prima. Cada soldado que se fabrica incrementa la mano de obra variable y los costos globales de Giapetto en 14 dólares. Un tren se vende en 21 dólares y utiliza 9 dólares de su valor en materia prima. Todos los trenes fabricados aumentan la mano de obra variable y los costos globales de Giapetto en 10 dólares. La fabricación de soldados y trenes de madera requiere dos tipos de mano de obra especializada: carpintería y acabados. Un soldado necesita dos horas de trabajo de acabado y una hora de carpintería. Un tren requiere una hora de acabado y una hora de carpintería. Todas las semanas, Giapetto consigue todo el material necesario, pero sólo 100 horas de trabajo de acabado y 80 de carpintería. La demanda de trenes es ilimitada, pero se venden cuando mucho 40 soldados por semana. Giapetto desea maximizar las utilidades semanales (ingresos – costos), Diseñe un modelo matemático para la situación de Giapetto que se use para maximizar las utilidades semanales de la empresa. Ing. Enrique Avendaño Delgado

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Solución: Ejemplo 1: Giapetto’s Woodcarving) Al desarrollar el modelo para Giapetto se explotan las características que comparten todos los problemas de programación lineal. Variables de decisión: Se empieza por definir las variables de decisión pertinentes. En cualquier modelo de programación lineal, las variables de decisión deben describir por completo las decisiones que se tienen que tomar (en este caso, Giapetto). Evidentemente, Giapetto debe decidir cuántos soldados y trenes se debe fabricar cada semana. X1 :

Cantidad de soldados fabricados cada semana

X2 :

Cantidad de trenes fabricados cada semana

Ing. Enrique Avendaño Delgado

Solución: Ejemplo 1: Giapetto’s Woodcarving) Función Objetivo: En cualquier programación lineal, el que toma las decisiones desea maximizar (por lo regular, los ingresos y las utilidades) o reducir al mínimo (casi siempre, los costos) algunas funciones de la variable de decisión. La función que se desea maximizar o minimizar recibe el nombre de función objetivo. En lo que se refiere al problema de Giapetto, se observa que los costos fijos (como renta o los seguros) no dependen de los valores de x1 y x2. Por consiguiente Giapetto se puede concentrar en maximizar (ingresos semanales) – (costos de compra de materia prima) – (otros costos variables). Los ingresos y los costos por semana de Giapetto, se pueden expresar en términos de las variables de decisión x1 y x2, Sería una tonteria que Giapetto fabricara más soldados de los que pueden venderse, así que se supone que todos los juguetes producidos se venderán. Entonces.

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Solución: Ejemplo 1: Giapetto’s Woodcarving) Ingresos por semana

= Ingresos por semana proporcionados

por los soldados + ingresos por semana proporcionados por los trenes

 Dólares  Solados   Dólares  Trenes  Ingresos por semana         Soldado  Semana   Tren  Semana 

Ingresos por semana  27 X 1  21X 2 Ing. Enrique Avendaño Delgado

Solución: Ejemplo 1: Giapetto’s Woodcarving) Asimismo, Costos de la materia prima a la semana = 10x1 + 9x2 Otros costos variables a la semana = 14x1 + 10x2 Entonces, Giapetto quiere maximizar (27x1 + 21x2) – (10x1 + 9x2) – (14x1 + 10x2) = 3x1 + 2x2 Por consiguiente, el objetivo de Giapptto es escoger x1 y x2 para maximizar 3x1 + 2x2. Se utiliza la variable z para notar el valor de la función objetivo de cualquier PL. La función objetivo de Giapetto es:

F.O.

Max z  3x1  2x2

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Solución: Ejemplo 1: Giapetto’s Woodcarving) Restricción: A medida que X1 y X2 se incrementan, la función objetivo de Giapetto se hace más grande. Esto quiere decir que si Giapetto fuera libre para escoger cualquier valor para X1 y X2, la compañía podría tener unas utilidades arbitrariamente grandes al escoger X1 y X2 muy grandes. Desafortunadamente, los valores de X1 y X2 están controlados por las siguientes tres restricciones (con frecuencia llamadas limitaciones). Restricción 1: Se pueden usar cada semana no mas de 100 horas de tiempo de acabado. Restricción 2: Cada semana se pueden usar no más de 80 horas de tiempo de carpintería. Restricción 3: Debido a la demanda limitada, cuando mucho se deben producir cada semana 40 soldados.

Ing. Enrique Avendaño Delgado

Solución: Ejemplo 1: Giapetto’s Woodcarving) Se suponeque quelas la unidades cantidad de en existencia es Obsérvese de materia todos losprima términos en la ecuación ilimitada, así que no hay restricción alguna relacionada con esto. anterior son horas de acabado por semana. Para que una restricción El siguiente paso enlos el planeamiento un modelo matemático sea razonable, todos términos de lade restricción debe tener las para mismas el problema unidades. de Giapetto De lo contrario, es expresar unolas está restricciones sumando peras 1 a 3con en términos de de decisión X1 y X2,significado Para expresar la manzanas, porlas lovariables que la restricción no tendría alguno. restricción 1 de acuerdo con X1 y X2, obsérvese que: Total de hr de acabado  hr. de acabado  Soldados fabricados   hr de acabado  Trenes fabricados       Semana Semana tren semana  Soldado     

 2 X 1  1 X 2  2 X 1  X 2 Entonces la restricción 1 se expresa:

2 X 1  X 2  100

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Solución: Ejemplo 1: Giapetto’s Woodcarving) Para expresar la restricción 2 en términos de X1 y X2, nótese que Total de hr de carpinteria  hr. de carpinteria  Soldados fabricados   hr de carpinteria  Trenes fabricados       Semana Soldado Semana tren semana      

 1 X 1  1 X 2  X 1  X 2 Entonces la restricción 2 se expresa:

X 1  X 2  80 Obsérvese una vez más que las unidades de todos los términos en la ecuación anterior. Son las mismas (en este caso, horas de carpintería a la semana). Ing. Enrique Avendaño Delgado

Solución: Ejemplo 1: Giapetto’s Woodcarving) Por último, el hecho de que cuando muco se venden a la semana 40 soldados, se expresa limitando la producción semanal de soldados a máximo 40 de ellos. Así se tiene la siguiente restricción:

X 1  40 Por consiguiente, las ecuaciones de las restricciones horas de acabado y la demanda de mercado (2X1 + X2 = 0. Pero algunas variables podrían ser nrs en otros problemas. Por ejemplo, si Xi representa un saldo de efectivo de una empresa, entonces Xi podría ser considerada negativa si la empresa debe más dinero del que tiene a mano. En este caso sería conveniente clasificar Xi como nrs.

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Solución: Ejemplo 1: Giapetto’s Woodcarving) Variables:

X1 :

Cantidad de soldados fabricados cada semana

X2 :

Cantidad de trenes fabricados cada semana

F.O.

s.a.

Max z  3x1  2x2 2 X 1  X 2  100 X 1  X 2  80

X 1  40 X 1; X 2  0 Ing. Enrique Avendaño Delgado

EJEMPLOS Ing. Enrique Avendaño Delgado

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Ejercicio 1 La empresa Whitt Window tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de madera emplea 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo debe producir al día para maximizar la ganancia total.

Ing. Enrique Avendaño Delgado

Ejercicio 1 - Desarrollo

OBJETIVO: Maximizar la ganancia total por la venta de los dos tipos de ventanas.

CONDICIONES: Los trabajadores Doug, Linda y Bob no pueden exceder su capacidad de producción

VARIABLES DE DECISIÓN: Sean: X1 : la cantidad de ventanas con marco de madera a producir al día X2 : la cantidad de ventanas con marco de aluminio a producir al día

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Ejercicio 1 - Desarrollo Trabajador

V. Madera

V. Aluminio

Capacidad

Doug

√

X

6 Unidades

Linda

X

√

4 Unidades

Bob

6ft2/v

8ft2/v

48 Ft2/v

Ganancia

V. Madera

V. Aluminio

60$/v

30$/v

Ing. Enrique Avendaño Delgado

Ejercicio 1 - Desarrollo • El PL será:

Ing. Enrique Avendaño Delgado

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Ejemplo 2: La empresa el Manjar produce manjar blanco clásico y viajero y utiliza leche y azúcar, según tabla:

Lts de manjar blanco Clásico

Viajero

Disponibilidad diaria máxima

Leche

6

4

24 Lt

Azúcar

3

2

08 Kgr.

Util.( $)

5

4

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de manjar blanco viajero no puede ser mayor que 1 lt más del manjar blanco clásico. Y que la demanda máxima diaria para manjar viajero es de 2 lt La empresa desea determinar la mezcla óptima, que maximice la utilidad diaria. Ing. Enrique Avendaño Delgado

Definición de Variables X1 = Lts producidas diariamente, de manjar blanco clásico X2 = Lts producidas diariamente, de manjar blanco viajero Max z = 5X1 + 4X2 s.a. 6X1 + 4X2 = 3 Ing. Enrique Avendaño Delgado

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•

La proporción del viajero entre la producción total de manjar blanco del clásico y viajero no debe ser mayor que 0.5

X2

= 10 x1 + 2x2 = 0 Ing. Enrique Avendaño Delgado

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Determinar Z : Max Z = 6x1 + 7x2 s.a. -x1 + x2 ≤ 10 4x1 + 3x2 ≤ 52 3x1 + x2 ≤ 40 x1 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0 Ing. Enrique Avendaño Delgado

Determinar Z : min z = 13x1 + 5x2 sa 5x1 + 8x2 >= 30 -4x1 + 4x2