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• Cristian Francisco

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Modelos Matemáticos de Producción

4. CONTROL DE INVENTARIOS 4.1.

CONCEPTOS BÁSICOS PARA EL GESTIÓN DE LOS INVENTARIOS

La gestión de los inventarios es un elemento de gran importancia para cualquier organización productiva de bienes y/o servicios, ya sea pública o privada, el nivel de inventario de materia prima debe ser programado, almacenado y controlado para el buen desempeño de las actividades productivas. Las organizaciones de servicio por lo general en la estructura del suministro presenta elementos materiales que sin ser lo primordial en cuanto a lo que se esta ofreciendo, si es importante en el proceso de ofrecimiento del servicio. El inventario son los bienes y productos almacenados, en la manufactura se les conoce como los SKU (“Stock keeping Units”), los cuales se mantienen en un sitio de almacenamiento y comprenden: • Materiales y materias primas • Productos en proceso • Productos terminados • Suministros El inventario también comprende las herramientas, equipos y máquinas con el cual se realiza los procesos de conversión, ya sea de producción de bienes o de servicios., además comúnmente en las oficinas de las empresas públicas los elementos y suministros de oficina componen el inventario de los funcionarios en su actividad laboral.

4.1.1. Características de la demanda El tratamiento del problema del control del inventario y la selección del modelo de gestión depende directamente de la naturaleza de la demanda, para utilizar un modelo de control de inventario se tomará en cuenta si la demanda es independiente o dependiente, es decir, si el requerimiento del producto depende directamente del cliente, o si su requerimiento depende de la demanda de otro bien que se estructura con componentes que involucra el producto bajo análisis. Es importante analizar el comportamiento de la demanda en el sentido de si se puede considerar como constante o si tiene componentes estacionales, cíclicos y de tendencia, además si se puede considerar como determinada o si es necesario tratarla como un proceso aleatorio.

4.1.2. Elementos de un sistema de control de inventarios La función del control consiste en modificar algún aspecto de un sistema real para que obtenga un desempeño deseado en el sistema. El propósito del proceso de control es encaminar al sistema hacia el cumplimiento de sus objetivos, no es en sí un fin sino el medio para alcanzar el fin. Los sistemas por lo general cuentan con subsistemas de control los cuales incluyen elementos tales como la información de entrada y salida, sensores, comparadores, memoria y un activador del sistema, un sistema de control de inventario presenta esta estructura como se observa en la figura 4.1 Los dispositivos de control se diseñan de acuerdo a la política de inventarios deseada y son los puntos de renovación de los pedidos, la fijación de los períodos de revisión, tamaños de los lotes de compra y de producción, frecuencia de compra, y todas las

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reglas de acción que permiten un desempeño deseado para el sistema de producción bajo control. Los flujos de información son vitales para el funcionamiento de un sistema de control, sin ellos prácticamente no existiría o simplemente no sería funcional. En la figura 4.1 el flujo de información marcado representa un flujo de retroalimentación. El control de los inventarios consiste en un conjunto de técnicas que permiten mantener las existencias en un sistema de producción en los niveles deseados. En los sistemas de producción manufacturera es muy importante el control de los inventarios, pero en el sector de servicios en donde se consume en el momento de entrega y al no existir el elemento físico, se cobra poca importancia a las existencias y a los materiales.

Inventarios Inicial

Inventarios Final Conversión Consumo de inventarios

Sensor Medición del nivel de inventario

Discrepancia entre el inventario existente con el deseado Activador Inicia acción de reposición

Comparador Comparar el nivel de inventario con el deseado

Memoria Almacenamiento de Información para la reposición

Memoria Almacenamiento de nivel de inventario deseado

Figura 4.1. Elementos de un Sistema de Control de Inventarios

4.1.3. Definiciones y conceptos sobre inventario Inventario son las existencias de cualquier artículo o recurso utilizado en una organización ya sea de producción de bienes o servicios. Un sistema de gestión de inventario es el conjunto de políticas y controles que monitorean los niveles de inventario y determinan los niveles que se deben mantener, el momento en que las existencias se deben reponer y el tamaño de los lotes que las órdenes deben tener.

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La función de los inventarios es garantizar el suministro en la cantidad deseada y en el momento indicado, siendo importante la protección contra la incertidumbre. Algunas definiciones importantes sobre el inventario para la protección contra la incertidumbre son: •

Inventario de Seguridad “Safety Stock”. Es el que se mantiene para proteger la actividad productiva por riesgos presentes por la demora en el suministro, o por fluctuaciones en la demanda.

•

Inventario de desacoplamiento. Es aquel que se necesita entre dos etapas de proceso adyacentes, en donde las diferencias entre las tasas de producción no se pueden sincronizar, permitiendo así que el proceso funcione como se planea.

•

Inventario en tránsito. Se componen por los materiales que avanzan en la cadena del valor, los cuales se han ordenado en un momento determinado, pero por razones como el desplazamiento, y los tiempos de preparación y alistamiento de los pedidos no han sido recibidos.

•

Inventario de previsión o estacional. Se ocasionan cuando se acumula inventario en periodos donde el consumo es bajo y se utiliza para suplir deficiencias de la capacidad en periodos de demanda alta.

•

Inventario de ciclo. Se presenta cuando la cantidad de unidades compradas o producidas son mayores que las requeridas inmediatamente por la empresa, se presenta cuando se reducen los costos por unidad de compra o por que se incrementa la eficiencia en la producción.

Todas las organizaciones mantienen una provisión de inventario.(Chase & Aquilano) por razones tales como: •

Mantener independencia en las operaciones. Un suministro de materiales en un centro de trabajo permite que ese centro tenga flexibilidad en las operaciones.

•

Ajustarse a la variación de la demanda de los productos. El requerimiento de las existencias de seguridad amortigua las posibles variaciones en el consumo de los productos demandados.

•

Permitir una flexibilidad en la programación de la producción. La preparación y producción de lotes grandes permite aminorar los procesos de planeación y ejecución de la actividad productiva.

•

Proveer una reserva por la variación en los tiempos de entrega de las materias primas. Las demoras en las entregas por parte del proveedor en el despacho, dificultades en el transporte, escasez en las materias primas del proveedor y diferentes factores que hacen que los tiempos de entrega se prolonguen fuera de lo normal.

•

Reducción en los costos por trámites y procesos de compra y alistamiento, costos de envió y transporte (en la medida en que los lotes sean más grandes los costos agregados por unidad son más pequeños)

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4.2.

ESTRUCTURA DE LOS COSTOS DE LOS MODELOS DE CONTROL DE INVENTARIO

Para cuantificar los costos asociados al manejo de los inventarios se toman en cuenta los costos de compra o adquisición si se refiere a materias primas, de los costos de producción, proceso o ensamble si sé esta refiriendo a productos en proceso o productos terminados, los costos generados por las actividades de ordenar un proceso de compra o alistamiento de la producción, los costos ocasionados por el mantenimiento de los inventarios, y los costos de penalización por no disponer de los bienes en el momento indicado en la cantidad deseada. Para formular modelos de control de inventario, se debe tomar en cuenta la relación que existe de los diferentes tipos de costos en función de los niveles de inventario, es así como se describe a continuación los diferentes tipos de costo asociados al nivel de los inventarios.

4.2.1. Costos de Compra Son aquellos costos en que se incurre al realizar un proceso de compra como son el costo de ordenar la compra “setup cost”, y el costo relacionado al valor del inventario, que resulta de multiplicar el costo unitario “unit cost” por la cantidad requerida por unidad de tiempo y que se puede denominar costo de adquisición.

4.2.2. Costos de Producción Son los costos originados por la actividad productiva, y corresponden al costo de alistamiento, preparación de la actividad productiva “setup cost”,y el costo de producción que resulta del producto del costo unitario de producción “unit cost” por la cantidad producida.

4.2.3. Costos de Mantener Son los costos de tenencia de los inventarios “holding cost” e involucran el costo de almacenamiento, mantenimiento, seguridad, oportunidad, financiero, obsolescencia, deterioro o pérdida y todos aquellos costos que se incrementan en la medida que crece el nivel de inventario. Para estimar los costos de mantener se les podría clasificar en tres componentes: •

Costos de Capital. La no disponibilidad del capital invertido en el inventario, los costos financieros y todo lo que constituye la pérdida de dinero por la falta de liquidez en el momento en que las oportunidades se presentan. • Costo de Almacenamiento. Este tipo de costo involucra otro tipo de variables como el espacio, seguros, impuestos. Es de notar que en algunos de los casos este costo tiene un componente fijo, como por ejemplo un depósito que solo se puede utilizar para este fin. • Costos de obsolescencia, y depreciación. Son todos los costos asociados a la pérdida de valor por deterioro, hurto, pérdida u obsolescencia y se deben asignar a los artículos que presentan altos riesgos de perdida de valor por cualquiera de las anteriores variables.

4.2.4. Costos de Ordenar Son los costos que se causan cuando se toma la decisión de comprar o preparar un proceso productivo “setup cost” e involucran los costos de tramitar (Se pueden mencionar los costos por la mecanografía de la orden de compra, la expedición de la orden de compra, los costos de transporte, los costos de recepción, etc.) y los costos asociados a los recursos necesarios para alistar procesos de compra o producción.

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Normalmente los costos de ordenar son independientes de la cantidad de artículos, aunque algunas veces parte del costo de ordenar depende del nivel del tamaño del lote de compra.

4.2.5. Costos de Escasez Son los costos en que se incurre por no tener disponible inventario cuando es requerido “shortages cost”, implica costos de penalización por no entregar los pedidos a tiempo, “costos por unidades pendientes” y costos asociados a la perdida del cliente o participación del mercado en donde no se permite la escasez “costos por unidades faltantes” y el cliente no está dispuesto a esperar debido a la inmediata necesidad de consumo del bien demandado y en los cuales muchas veces no es posible cuantificar o medir el efecto por la falta de suministro de los bienes demandados.

4.2.6. Sistema de Clasificación de los Inventarios ABC La gestión y el mantenimiento de inventario en las empresas requieren de procesos complejos que consumen tiempo y dinero. De tal manera que es habitual centrarse en aquellos productos que son de vital importancia en la actividad de la empresa, y que si por alguna razón faltasen entonces ocasionarían grandes problemas en las organizaciones, por lo contrario otros bienes que en un momento en donde se requieren no se dispone inmediatamente pueden incurrir en demora sin causar un daño importante en la actividad de la empresa. En 1996, Villefredo Paretto, en un estudio sobre la distribución de la riqueza en Milán, encontró que un 20% de la población manejaba el 80% de la riqueza, de este estudio se desprende una lógica que se ha aplicado a muchas situaciones prácticas denominándose el Principio de Paretto. El principio de Paretto se puede aplicar a la gestión de los inventarios. En la práctica muy pocos artículos constituyen la mayor parte de la actividad comercial y productiva de una empresa, al controlar debidamente estos pocos artículos con los dispositivos adecuados y con los recursos suficientes, y controlar los demás bienes con menor rigurosidad facilita el proceso de administración de los inventarios. Para resolver este problema, el esquema de clasificación ABC divide los artículos de inventario en tres grupos distintos, Alto volumen expresado en unidades monetarias (A), moderado volumen (B) y bajo volumen (C). Los artículos del grupo A constituyen aproximadamente el 15% de los artículos, los del grupo B el siguiente 35% el restante 50% el grupo C. El inventario tipo A conforma aproximadamente entre un 70% y un 80% del valor del inventario. Los inventarios tipo B aproximadamente entre un 20% y un 25% del valor del inventario y el inventario tipo C entre un 5% y un 10% del valor del inventario. Como se muestra en la figura 4.2

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Porcentaje del valor del inventario 75% Inventario tipo A

20% 5%

Inventario tipo B Inventario tipo C 20%

50%

100%

Figura 4.2 Porcentaje lista de artículos de inventario

4.2.7 Índice de Rotación de Inventario El índice de rotación de inventario es una medida de desempeño utilizada para mostrar la liquidez de inventario de una empresa y la rapidez en que este es vendido a lo largo del tiempo. Indica las veces que en que se rota o se vende el inventario durante un período determinado. El índice de rotación de inventario (4.1) se determina dividiendo el costo de los artículos vendidos entre el promedio del inventario.

Ir = Indice de rotación =

Costo de artículos vendidos Costo del inventario promedio

(4.1)

La rotación del inventario se relaciona con las ventas reales; en consecuencia no se penalizan los altos niveles de inventario cuando las ventas son altas ni se recompensan los bajos niveles de inventario cuando las ventas son bajas. En la medida en el que el número de rotaciones es más grande, menos es el tiempo en promedio permanece un artículo en la empresa y tendrá mayor liquidez de inventario. El flujo de efectivo requerido para financiar el inventario también disminuye a medida en que se aumenta el número de rotaciones. Las variaciones en la rotación de los inventarios varían de una empresa a otra y de un sector industrial a otro. Las empresas de hoy en día buscan aumentar la rotación de inventario y disminuir la inversión en inventario, las empresas de alta tecnología presenta índices de rotación de cinco a seis rotaciones al año y empresas Japonesas experimentan hasta 40 rotaciones al año.

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4.3 MODELO DE CANTIDAD ECONÓMICA DE ORDEN (EOQ) En 1915 Ford. W. Harris desarrolló la famosa fórmula de cantidad económica de pedido (E.O.Q.). Posteriormente, está formula ganó una gran preferencia en la industria utilizándola a través de los esfuerzos de un consultor apellidado Wilson. Entonces, con frecuencia la fórmula recibe el nombre de EOQ de Wilson aun cuando la desarrolló Harris. La EOQ y sus variaciones son todavía utilizadas ampliamente en la industria para el manejo del inventario con demanda independiente. La derivación del modelo EOQ se basa en las siguientes suposiciones: •

La tasa de consumo o demanda requerida es constante, determinada, recurrente y conocida.

•

El tiempo de entrega “ Lead Time” es constante y se conoce.

•

No se permite inexistentes. Niveles de escasez ni pendientes, ni faltantes.

•

El material se adquiere o produce en grupos o lotes y el lote se coloca todo a la vez. Es decir, el reabastecimiento es instantáneo.

•

Se utiliza una estructura de costo específica de la manera siguiente: el costo unitario del producto “Unit Cost” es constante y no existen rebajas por compras en gran cantidad. El costo de mantener “Holding Cost”depende linealmente del nivel del inventario promedio. Existe un costo fijo de orden o de colocación de un pedido “Setup Cost” independiente del tamaño del lote de compra.

•

El producto es singular; no existe interacción con otros productos. La demanda es independiente.

Bajo estas condiciones, el nivel de inventario a lo largo del tiempo tiene un comportamiento como se muestra en la figura 3. Nótese en la figura un perfecto patrón de “diente de sierra”, debido a que el consumo es constante y los artículos son adquiridos en lotes de tamaño fijo. Al seleccionar el tamaño del lote de compra, existe un punto de sesgo entre la frecuencia de compra “número de pedidos por unidad de tiempo” y el nivel de inventario. Lotes pequeños producen compras frecuentes, luego se incurre en mayores costos de ordenar, pero un nivel bajo de inventario promedio, con costos más bajos en el mantenimiento del inventario. Si se compran lotes más grandes, por lo contrario la frecuencia de compra disminuye y se reduce el costo de ordenar, pero se incremente el nivel de promedio de inventario y por lo tanto se aumenta el costo de mantenimiento y almacenamiento de las existencias. Para establecer la política óptima (“cantidad económica de pedido”, “número de pedidos económicos a realizar por unidad de tiempo (período de planeación)”, “tiempo de consumo óptimo de un lote económico” y “el costo mínimo de inventario”) en donde se compensa la frecuencia de compra con el nivel promedio del inventario se utilizan los símbolos que se muestran en la descripción del modelo.

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4.3.1 Enfoque Tabular Para ilustrar el comportamiento de un sistema de control de inventario de cantidad económica de pedido se formula un ejemplo con las propiedades que caracterizan un problema de control de inventario de demanda independiente constante y determinada, reabastecimiento instantáneo y sin escasez, de tal manera, que se pueda tabular diferentes estrategias de compra con sus respectivos costos asociados. Ejemplo 4.1 Una empresa manufacturera elabora la producción en función de una materia prima cuyo consumo anual se estima en 160.000 unidades y es constante, el costo de adquisición por unidad es de 2.000 unidades monetarias, el costo de ordenar un pedido se ha calculado en 100.000 unidades monetarias por pedido, y el costo de mantener una unidad almacenada se ha calculado en 25% anual cargado al costo del inventario promedio. Se pide determinar la política óptima de control del inventario. La solución del problema mediante un enfoque tabular se muestra en la tabla4.1

Tabla 4.1. Solución del ejemplo 4.1 mediante un análisis tabular N

Q

t

20

160.000 80.000 40.000 20.000 10.000 8.000

1 ½ ¼ 1/8 1/16 1/20

32

5.000

1 2 4 8 16

COSTO FIJO

COSTO DE MANTENER 40’.000.000

COSTO VARIABLE 40’.100.000

COSTO TOTAL

320’.000.000

COSTO DE ORDENAR 100.000

320’.000.000

200.000

20’.000.000

20’.200.000

340’.200.000

320’.000.000

400.000

10’.000.000

10’.400.000

330’.400.000

320’.000.000

800.000

5’.000.000

5’.800.000

325’.800.000

320’.000.000

1’.600.000

2’,500.000

4’.100.000

324’.100.000

320’.000.000

2’.000.000

2’.000.000

4’.000.000

324’.000.000

1/32 320’.000.000

3’.200.000

1’.250.000

4’.450.000

324’.450.000

360’.100.000

Se observa que la solución de costo mínimo se presenta cuando se realizan 20 pedidos al año cada uno de 8000 unidades con una duración de 1/20 de año por cada pedido, se tomaron algunas estrategias y se hizo sensibilidad de las variables alrededor de los valores considerados como óptimos. Como característica importante se observó que dicha solución se presento cuando los costos de ordenar son iguales a los costos de mantener, lo que da origen al análisis con un enfoque algebraico.

4.3.2 Enfoque Algebraico Como se observó en el ejemplo 4.1 y en la solución bajo el análisis tabular, la política óptima se presenta cuando los costos de ordenar son iguales a los costos de mantener (4.2), si se emplean los símbolos que denotan el modelo y se formula esta hipótesis como una expresión algebraica, entonces:

R.S h.T .Q = Q 2

-8-

(4.2)

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Despejando Q se obtiene la expresión:

2.R.S = Q2 h.T Al resolver se obtienen dos raíces una positiva y una negativa, la cual se rechaza debido a que el dominio de la variable esta en los reales positivos es decir (Q≥0), en otras palabras niveles de inventario y de compra negativos no existen, por lo tanto, la expresión final es:

Q0 =

2.R.S h.T

(4.3)

Con el fin de presentar el modelo formalmente se presenta la definición de los parámetros y variables que intervienen en la construcción del modelo EOQ.

4.3.3. Enfoque diferencial

Objetivo: Determinar un plan de inventario (política de nivel) óptimo (costo mínimo) Función Objetivo: CT(Q),CT(N),CT(t): Función costo total de Inventario. Parámetros: C : Costo unitario de adquisición tc : Tasa de Consumo R : Demanda requerida durante el periodo de planeación donde R= tc*T S : Costo de ordenar un pedido “ Setup Cost” h : Costo de mantener “holding Cost” una unidad almacenada por unidad de tiempo T : Periodo de planeación I : Costo de mantener expresado como un porcentaje sobre el inventario promedio donde: h=CI Variables de Decisión:

Q : Tamaño de una orden de compra N : Número de ordenes de tamaño Q realizadas en el periodo de planeación T t : Tiempo de consumo de una orden de tamaño Q La representación gráfica del estado de los inventarios se muestra en la figura 4.3, en ella se observa el nivel de los inventarios a lo largo del horizonte de plasneación.

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Y(Cantidad) Función Agotamiento

t

t

t

N veces

t

X (Tiempo)

T Figura 4.3. Comportamiento de los niveles de inventario en función del tiempo.

Política Óptima

Q0 : Cantidad económica de pedido N0 : Número de pedidos óptimo en el período de planeación t0 : Tiempo de consumo óptimo por pedido CT0: Costo total óptimo de inventario Identidades:

N=

R tcT = Q Q

(4.4)

N=

T t

(4.5)

t=

Q tc

(4.6)

- 10 -

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Función Costo Total de Inventarios

CT (Q) = CR +

RS Q + hT Q 2

CT (Q) = CtcT +

(4.7)

tcTS Q + CIT Q 2

(4.8)

El propósito del modelo es encontrar el mínimo de la función

Minimizar CT (Q) = CR +

RS Q + hT Q 2

Para encontrar el costo mínimo se utiliza la optimización clásica derivando la función

∂CT (Q) RS hT =− 2 + ∂Q Q 2 Se iguala a cero (0) para encontrar puntos críticos

−

RS hT + =0 Q2 2

Despejando Q se obtiene:

Q2 = Q=±

2 RS hT 2 RS hT

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Dando origen a dos raíces una positiva y otra negativa la cual se rechaza por no estar en el dominio de la variable Q (Niveles de inventario negativo no existen), por lo tanto la cantidad económica de pedido será:

Q0 =

2 RS = EOQ hT

(4.9)

Q0 =

2tcTS = EOQ CIT

(4.10)

Se utiliza el criterio de la segunda derivada para comprobar si el valor es mínimo

∂CT (Q) 2 2 RS = 3 > 0 ⇒ El ∂ 2Q Q

punto es

mín imo

4.3.4 Enfoque Gráfico

Costo

Figura 4.4 Gráfico del comportamiento de los costos del Modelo EOQ Costo Total C.R+R.S/Q +h.T.Q/2 Costo Total Variable R.S/Q +h.T.Q/2 Costo de mantener h.T.Q/2

Costo Fijo C.R Costo de ordenar R:S/Q Q

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4.4 MODELO EOQ EXPRESADO EN UNIDADES MONETARIAS En determinadas situaciones es necesario expresar los requerimientos en unidades agregadas, debido a que los productos se adquieren en diferentes especificaciones y con costos diferentes ya sea por presentación, calidad, tamaño, o por otras razones como es la adquisición a un mismo proveedor de diferente mercancía. Una forma de agregar es expresando el consumo en unidades monetarias y a partir de esta información modelar la política óptima de inventario expresado en unidades agregadas.

Objetivo: Determinar un plan de inventario (política de nivel) óptimo (costo mínimo) Función Objetivo: CT(X): Función costo total de Inventario. Parámetros:

Ci : Costo unitario de adquisición del producto “i”, i=1,2,…m tci : Tasa de Consumo del producto “i”, i = 1,2,..., m Ai : Demanda requerida del producto tipo “i” expresada

en unidades monetarias,

i = 1,2,..., m

Donde

Ai = C i tci T

para cada i = 1,2,..., m

A : Demanda requerida expresada en unidades monetarias durante el periodo de planeación m

Donde;

A = ∑ C i tci T i =1

S : Costo de ordenar un pedido “Setup Cost” I : Costo de mantener “holding Cost” expresado como un porcentaje sobre el costo del inventario promedio. T : Periodo de planeación Variables de Decisión

X : Tamaño de una orden de compra, expresado en unidades monetarias X i : Tamaño de una orden de compra del producto “i” i = 1,2,..., m

N : Número de órdenes de tamaño X realizadas en el periodo de planeación T t : Tiempo de consumo de una orden de tamaño X Política Óptima

X 0 : Cantidad económica de pedido expresado en unidades monetarias N 0 : Número de pedidos óptimo en el período de planeación t 0 : Tiempo de consumo óptimo por pedido

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CT0 : Costo total óptimo de inventario

Identidades:

N = A = Ai X Xi

para cada i = 1,2,..., m

N=

T t

t = X .T A

(4.11)

(4.12)

(4.13)

Función Costo Total de Inventarios

CT ( X ) = A + AS + IT X X 2

(4.14)

El propósito del modelo es encontrar el mínimo de la función

Minimizar

CT ( X ) = A + AS + IT X X 2

(4.15)

Para encontrar el costo mínimo se utiliza la optimización clásica derivando la función

∂CT ( X ) = − AS2 + IT X ∂X 2 Se iguala a cero (0) para encontrar puntos críticos

- 14 -

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− AS2 + IT = 0 X 2

Despejando X se obtiene:

X 2 = 2 AS IT X = ± 2 AS IT Dando origen a dos raíces una positiva y otra negativa la cual se rechaza por no estar en el dominio de la variable Q (Niveles de inventario negativo no existen), por lo tanto la cantidad económica de pedido será:

X 0 = 2 AS = EOQUM IT

(4.16)

Se utiliza el criterio de la segunda derivada para comprobar si el valor es mínimo

∂CT ( X ) 2 2 AS = > 0 ⇒ El Q3 ∂2 X

punto es mínimo

Para desagregar se tiene:

N óptimo = A Xo

X i ,óptimo =

Ai N óptimo

(4.17)

para cada i = 1,2,..., m

CTo = A + 2 ASIT

- 15 -

(4.19)

(4.18)

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Si es posible y se conocen los costos unitarios se puede calcular las cantidades económicas de pedido, dividiendo las cantidades expresadas en unidades monetarias entre los costos unitarios así:

Qi ,óptimo =

X i ,óptimo Ci

para cada i = 1,2,..., m

(4.20)

4.5 MODELO EOQ CON ESCASEZ

Y(Cantidad)

Función Agotamiento Y=Qy-tcX

QX QY QS X

t1

t2

t1

t

t2

t2

t1

t

t

N veces

t1

t2

t

T

FIGURA 4. 5

Objetivo: Determinar un plan de inventario (política de nivel) óptimo (costo mínimo) Función Objetivo: CT(Qx,Qs), CT(Qy,Qs): Función costo total de Inventario. Parámetros: C: tc : R: S :

Costo unitario de adquisición Tasa de Consumo Demanda requerida durante el periodo de planeación donde R= tc*T Costo de ordenar un pedido “ Setup Cost” t1 - 16 -

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h: Costo de mantener “holding Cost” una unidad almacenada por unidad de tiempo b : Costo por unidad pendiente aplicado al promedio en escasez “Shortages cost” T : Periodo de planeación I : Costo de mantener expresado como un porcentaje sobre el inventario promedio donde h=CI Variables de Decisión Qy : Tamaño de una orden de compra Qx : Nivel máximo de almacenamiento Qs : Nivel máximo de escasez N : Cantidad de ordenes de tamaño Qy a realizar en el periodo de planeación T t : Tiempo de consumo de una orden de tamaño Qy t1 : Período de almacenamiento donde se consume un lote de tamaño Qx t2 : Período de escasez en donde se ocasiona un lote de unidades pendientes del tamaño Qs Política Óptima Qy0 Qx0 Qs0 N0

: Cantidad económica de pedido : Cantidad económica de almacenamiento : Cantidad máxima de unidades pendientes óptima : Número de pedidos óptimo en el período de planeación t0 : Tiempo de consumo óptimo por pedido t10 : Tiempo de almacenamiento óptimo por pedido t20 : Tiempo de escasez óptimo por pedido CT0 : Costo total óptimo de inventario Identidades:

N=

R tcT = Qy Qy

(4.21)

N=

T t

(4.22)

Qy tc

(4.23)

t=

- 17 -

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t1 =

Qx tc

(4.24)

t2 =

Qs tc

(4.25)

Qy = QX + QS

(4.26)

t = t1 + t 2

(4.27)

Función Costo Total de Inventarios

b.t .Q  h.t .Q  CT (QX , QS ) = C.QY + S + 1 X + 2 S .N 2 2   Realizando el producto de

N

(4.28)

y sustituyendo se tiene:

t T   t T   h.t .Q b.t .Q   t T  CT (QX , QS ) = CQY  c  + S  c  +  1 X + 2 S   c  2   QY   QY   QY   2 Remplazando

t1 y t 2

se tiene:

CT (QX , QS ) = Ct cT +

t cTS  h  QX  b Q   t T  +  . .QX + . S .QS . c  QY  2  t c  2  t c    QY 

Sustituyendo QY se tiene:

 hQX2 bQS2   t cT  tcTS CT (QX , QS ) = Ct cT + + + . QX + QS  2t c 2t c   QX + QS  Simplificando:

- 18 -

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FUNCIÓN COSTO TOTAL DE INVENTARIO

 h.T .QX2 + b.T .QS2  tcTS CT (QX , QS ) = CtcT + + QX + QS  2.(QX + QS ) 

(4.29)

El propósito del modelo es encontrar el costo mínimo entonces se utiliza la optimización clásica derivando la función costo total con respecto a QX y QS e igualando a 0 se tiene:

tCTS ∂CT (Q) 2(QX + QS )( . 2.h.T .QX ) − 2.(h.T .QX 2 + b.T .QS 2 ) =− + =0 ∂QX (QX + QS )2 (2(QX + QS ))2 tCTS ∂CT (Q) 2(QX + QS )( . 2.b.T .QS ) − 2.(h.T .QX 2 + b.T .QS 2 ) =− + =0 ∂QS (QX + QS )2 (2(QX + QS ))2 Se resuelve el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

. h.T .QX ) − h.T .QX 2 − b.T .QS 2 = 0 − 2.S .tc.T + 2.(QX + QS )(   . b.T .QS ) − h.T .QX 2 − b.T .QS 2 = 0  − 2.S .tc.T + 2.(QX + QS )( Restando la segunda de la primera se tiene:

(Q

X

+ QS )( . h.QX − b.QS ) = 0

De donde se obtienen dos raíces donde QX =-QS se rechaza por el dominio de las variables es positivo y la otra raíz da como resultado:

h QS = .QX b Remplazando en una de las ecuaciones del sistema que se está resolviendo se tiene: 2

h   h  − 2.S .tc.T + 2. QX + .QX .(h.T .QX ) − h.T .QX 2 − b.T . .QX  = 0 b   b  Factorizando y despejando

QX

se tiene:

 h  h 2.QX 2 .h.T .1 +  − QX 2 .h.T .1 +  = 2.S .tc.T  b  b

- 19 -

Modelos Matemáticos de Producción

b + h QX 2 .h.T .  = 2.S .tc.T  b  2.S .tc.T  b  QX 2 = .  h.T  b + h  QX = ±

2.S .tc.T  b  .   h.T b + h

Dando origen a dos raíces una positiva y otra negativa la cual se rechaza por no estar en el dominio de la variable Q (Niveles de inventario negativo no existen), por lo tanto la cantidad económica de almacenamiento será:

QX 0 =

2.S .tc.T  b   b  .   = EOQ.   h.T b+h b+h

(4.30)

El nivel óptimo en escasez será:

h 2.S .tc.T  b  h h  QS 0 = . .   = EOQ. .  b h.T b b + h b + h

(4.31)

La cantidad económica de pedido será:

QY0 =

2.S .tc.T  b + h  b + h .   = EOQ.   h.T  b   b 

Sustituyendo en la función costo total de inventario se tiene:

- 20 -

(4.32)

Modelos Matemáticos de Producción

CT 0 = Ct c T +

t c TS 2.S .tc.T  b + h  .   h.T  b 

2 2   2.S .tc.T  b   h 2  2.S .tc.T  b         h.T . .  .   + b.T . 2    h.T b  h.T  b + h    b + h      +  2.S .tc.T  b + h    2.( .  )   h.T b    

Simplificando y racionalizando se tiene la expresión:

b b+h

CT0 = Ct cT + 2 S .t c .T .h.T .

(4.33)

4.6. MODELO DE MANUFACTURA SIN ESCASEZ

Función Agotamiento

Y = Qy − t c X

Y (Cantidad)

Función Producción

Y = tp X Función Almacenamiento

Y = (t p − t c )X

Qy Qx X

t2

t1

t

t1

t2

t1

N

t

veces

T FIGURA 4.6

- 21 -

t2

t

Modelos Matemáticos de Producción

Objetivo: Determinar un plan de inventario (política de nivel) óptimo (costo mínimo) Función Objetivo: CT(QX),CT(QY): Función costo total de Inventario. Parámetros: CP : Costo unitario de producción tc : Tasa de Consumo tp : Tasa de Producción tp- tc : Tasa de Almacenamiento R : Demanda requerida durante el periodo de planeación donde R= tc*T S : Costo de ordenar un pedido “ Setup Cost” h : Costo de mantener “holding Cost” una unidad almacenada por unidad de tiempo T : Periodo de planeación I : Costo de mantener expresado como un porcentaje sobre el inventario promedio donde h=CpI Variables de Decisión

QY : Tamaño de una corrida de producción (lote de producción) elaborada en un tiempo “t1” y consumida en un tiempo “t” QX : Nivel de almacenamiento máximo por corrida de producción ocasionado en un tiempo “t1” y consumido en un tiempo “t2” N: Número de corridas de producción del tamaño “QY” programadas para ser realizadas en el periodo de planeación “T” t :Tiempo entre corridas de producción o duración de un ciclo productivo en donde se consume un lote de tamaño “QY” t1 : Periodo de producción de un lote de tamaño “QY” o tiempo donde se almacena un lote de tamaño “QX” t2 : Período ocioso de producción por ciclo productivo o tiempo de consumo de un lote de tamaño “QX” Política Óptima

QX 0 : Nivel máximo de almacenamiento óptimo por ciclo productivo. QY0 : Nivel óptimo de fabricación por corrida de producción. N0 : Número de corridas de producción óptima por período de planeación t0 : Duración óptima de un ciclo productivo.

t10 t20

: Período de producción óptimo por corrida de producción. : Período ocioso de producción óptimo por corrida de producción.

CT0 : Costo total óptimo de inventario.

- 22 -

Modelos Matemáticos de Producción

Identidades:

N=

R tcT = QY QY

(4.34)

N=

T t

(4.35)

QY tC

(4.36)

t = t1 + t2

(4.37)

t=

t2 =

QX tC

(4.38)

t1 =

QY tP

(4.39)

t1 =

QX t P − tC

(4.40)

 t  QY = QX . P   t P − tC 

- 23 -

(4.41)

Modelos Matemáticos de Producción

Se necesita determinar una función de costo total de inventario con respecto a una de las variables así:

h.QX .t   CT (QX ) = CP.QY + S + .[N ] 2  

(4.42)

Sustituyendo algunas identidades en la función costo total para poderla expresar en términos de una sola variable se tiene:

t T   t T  h.QX .t T  CT (QX ) = CP.QY . c  + S . c  + .  Y Y Q Q 2 t     

    S . t T c  + h.QX .T CT (QX ) = CP.tcT +    tP   2 Q X.      t P − tC   Racionalizando se obtiene la expresión:

COSTO TOTAL DE INVENTARIO

 S .t T   t − t  h.T .QX CT (QX ) = CP.tcT +  c . P C  + 2  QX .   t P 

(4.43)

El objetivo es determinar la política de costo mínimo, por lo que utilizando la optimización clásica, derivando con respecto a QX se tiene:

∂CT (QX ) − S .tcT   t P − tC  h.T = 2 . t  + 2 = 0 ∂QX Q X .   P  Despejando QX

- 24 -

Modelos Matemáticos de Producción

 2.S .tcT   t P − tC  QX 2 =  .   h.T   t P  Se obtienen dos raíces una positiva y la negativa que se rechaza por no estar el valor en el dominio de la variable (niveles de inventario negativo no existe)

QX = ±

2.S .tcT t P − tC . h.T tP

La cantidad económica de almacenamiento será:

QX 0 =

2.S .tcT t P − tC t . = EOQ. 1 − C h.T tP tP

(4.44)

El lote económico de producción es:

QY0 =

2.S .tcT tP tP . = EOQ. h.T t P − tC t P − tC

(4.45)

Sustituyendo la expresión anterior QX0 en la función costo total de inventario se obtiene:

  S .tcT CT (QX 0 ) = CP.tcT +   2.S .t T t − t c . P C  tP  h.T Despejando, racionalizando y simplificando se tiene:

- 25 -

 2.S .tcT t P − tC h . T . .  h . T tP   t − t . P C +   t P  2  

Modelos Matemáticos de Producción

CT (QX 0 ) = CP.tcT + S .tcT .

h.T t −t h.T 2.S .tcT t P − tC . P C + . . 2.S .tcT tP 2 h.T tP

Por lo tanto el costo total mínimo de inventario se obtiene realizando los cálculos de la siguiente expresión:

t P − tC tP

CT0 = CP.tcT + 2.S .tcT .h.T

(4.46)

4.7. MODELO DE MANUFACTURA CON ESCASEZ

Y (Cantidad)

Función Agotamiento FIGURA 4.7

Y=QY –tc *X

Función Producción Y=tp*X

Función Almacenamiento

Y=(tp-tc)* X QY QX

QS t1

t2

t3

t4

N Veces

t

t1

t2

t3

t

T

- 26 -

t4

X (tiempo)

Modelos Matemáticos de Producción

Objetivo: Determinar un plan de inventario (política de nivel) óptimo (costo mínimo) Función Objetivo: CT(QX,QS): Función costo total de Inventario. Parámetros: CP : Costo unitario de producción tc : Tasa de Consumo tp : Tasa de Producción tp- tc : Tasa de Almacenamiento R : Demanda requerida durante el periodo de planeación donde R= tc*T S : Costo de ordenar un pedido “ Setup Cost” h : Costo de mantener “holding Cost” una unidad almacenada por unidad de tiempo T : Periodo de planeación I : Costo de mantener expresado como un porcentaje sobre el inventario promedio donde h=CpI b : Costo por unidad pendiente aplicado al promedio en escasez “Shortages cost” Variables de Decisión QY: Tamaño de una corrida de producción (lote de producción) elaborada en un tiempo “t1+t2” y consumida en un tiempo “t” QX: Nivel de almacenamiento máximo por corrida de producción ocasionado en un tiempo “t2” y consumido en un tiempo “t3” Qs: Nivel máximo de escasez por ciclo productivo ocasionado en un tiempo “t4” y recuperado en un tiempo “t1” N: Número de corridas de producción del tamaño “QY” programadas para ser realizadas en el periodo de planeación “T” t : Tiempo entre corridas de producción o duración de un ciclo productivo en donde se consume un lote de tamaño “QY” t1: Periodo de producción en donde se recupera una escasez del tamaño “QS” t2: Período de producción por ciclo productivo en donde se ocasiona un almacenamiento de tamaño “QX” t3: Periodo ocioso de producción por corrida de producción, en donde se consume un lote de tamaño “QX” t4: Período ocioso de producción por ciclo productivo en donde se ocasiona una escasez del tamaño “QS” t1+t2: Periodo de producción por ciclo productivo en donde se elabora un lote de tamaño “QY” t2+t3 : Período de almacenamiento por corrida de producción en donde se ocasiona y se consume un lote de tamaño “QX” t3+t4 : Período ocioso de producción por ciclo productivo t1+t4: Periodo de escasez por corrida de producción en donde se ocasiona y se recupera una escasez de tamaño “QS”

- 27 -

Modelos Matemáticos de Producción

Política Óptima

QX 0 : Nivel máximo de almacenamiento óptimo por ciclo productivo. QY0 : Nivel óptimo de fabricación por corrida de producción.

QS 0

: Nivel óptimo de escasez por corrida de producción.

N0 : Número de corridas de producción óptima por período de planeación t0 : Duración óptima de un ciclo productivo.

t10 t20 t30 t40

: Período de recuperación de la escasez óptima por corrida de producción. : Período de producción de un almacenamiento óptimo por corrida de producción. : Período ocioso de producción y de consumo óptimo por corrida de producción. : Período ocioso en donde se ocasiona la escasez óptima por corrida de

producción. CT0: Costo total óptimo de inventario.

Identidades:

N=

R tcT = QY QY

(4.47)

N=

T t

(4.48)

QY tC

(4.49)

t=

t = t1 + t2 + t3 + t4

(4.50)

t1 =

QS t p − tC

(4.51)

t2 =

QX t p − tC

(4.52)

- 28 -

Modelos Matemáticos de Producción

t3 =

QX tC

(4.53)

t4 =

QS tC

(4.54)

t1 + t2 =

QY tP

(4.55)

t1 + t 2 =

1 [QX + QS ] t P − tc

(4.56)

t3 + t 4 =

QX + QS tC

(4.57)

  tP t 2 + t3 =  QX ( ) t . t − t C P c 

(4.58)

  tP t1 + t 4 =  QS t . t − t ( ) C P c 

(4.59)

 t  QY = . P (QX + QS )  t P − tC 

(4.60)

- 29 -

Modelos Matemáticos de Producción

Función Costo Total de Inventarios

h .(t 2 + t 3 ).QX b .(t1 + t 4 ).QS   CT ( QX , QS ) = C P .QY + S + +  .N 2 2  Realizando el producto de

N

y sustituyendo

t 2 + t3 y t1 + t 4 se tiene:

t T   t T  h.QX CT (QX , QS ) = CQY  c  + S  c  + 2  QY   QY 

b.QS 2

(4.61)

     t cT   QX  t P  .  +    tc .(t p − tc )   QY 

     t cT   QS  t P  .     tc .(t p − tc )   QY 

Simplificando se tiene:

tcTS h.T .QX2 CT (QX , QS ) = C P tcT + + QY 2QY

 t P  b.T .QS2  t P  . . + 2Q . t − t  t t −  P C  P C Y

Sustituyendo QY se tiene:

 tP   2 2     ( ) hTQ + bTQ .  X S  t − t tcTS  P C  CT (QX , QS ) = C P tcT + +       (QX + QS ). t P   2(QX + QS ). t P    t P − tC    t P − tC   Simplificando:

- 30 -

Modelos Matemáticos de Producción

FUNCIÓN COSTO TOTAL DE INVENTARIO

CT ( QX , QS ) = C P tcT +

StcT QX + QS

t −t . P C  tP

  h .T .QX2 + b .T .QS2   +     2.( QX + QS ) 

(4.62)

El propósito del modelo es encontrar el costo mínimo entonces se utiliza la optimización clásica derivando la función costo total con respecto a QX y QS e igualando a 0 se tiene:

 t P − tc  2(QX + QS )( ∂CT (Q) . 2.h.T .QX ) − 2.(h.T .QX 2 + b.T .QS 2 ) StcT + =− . =0 ∂QX (QX + QS )2  tP  (2(QX + QS ))2  t P − tC  2(QX + QS )( ∂CT (Q) StcT . 2.b.T .QS ) − 2.(h.T .QX 2 + b.T .QS 2 ) + =− . =0 ∂QS (QX + QS )2  tP  (2(QX + QS ))2 Se resuelve el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

   t P − tC  2 2  − 2 . . + 2 . . . . = 0 S t c.T . ( Q X + QS )( h T Q X ) − h.T .QX − b.T .QS    t    P       − t t − 2.S .tc.T . P C  + 2.(QX + QS )( . b.T .QS ) − h.T .QX 2 − b.T .QS 2 = 0       tP    Restando la segunda de la primera se tiene:

(Q

X

+ QS )( . h.QX − b.QS ) = 0

(4.63)

De donde se obtienen dos raíces donde QX =-QS se rechaza por el dominio de las variables es positivo y la otra raíz da como resultado:

h QS = .QX b Remplazando en una de las ecuaciones del sistema que se está resolviendo se tiene:

t −t  h   h  − 2.S.tc.T . P C  + 2. QX + .QX .(h.T .QX ) − h.T .QX 2 − b.T . .QX  = 0 b   b   tP  2

- 31 -

Modelos Matemáticos de Producción

Factorizando y despejando

QX

se tiene:

t −t   h  h 2.QX 2 .h.T .1 +  − QX 2 .h.T .1 +  = 2.S .tc.T . P C   b  b  tP  t −t  b + h QX 2 .h.T .  = 2.S .tc.T . P C   b   tP  2.S .tc.T  b   t P − tC   QX 2 = . . h.T  b + h   t P 

QX = ±

2.S .tc.T  b  .  . h.T b+ h

 t P − tC    t  P 

(4.64)

(4.65)

(4.66)

(4.67)

Dando origen a dos raíces una positiva y otra negativa la cual se rechaza por no estar en el dominio de la variable Q (Niveles de inventario negativo no existen), por lo tanto la cantidad económica de almacenamiento será:

QX 0 =

2.S .tc.T  b  .  . h.T b + h  

 t P − tC   b    = EOQ.  . t b + h    P 

 tC  1 −   tP 

(4.68)

El nivel óptimo en escasez será:

h 2.S .tc.T  b  t P − tC h  h  t P − tC QS 0 = . .  = EOQ. . . . b h.T tP b b+ h tP b+ h (4.69)

El lote económico de producción será:

- 32 -

Modelos Matemáticos de Producción

QY0 =

tP tP 2.S .tc.T  b + h  b+ h .  = EOQ.  . . h.T  b  t P − tC  b  t P − tC (4.70)

Sustituyendo en la función costo total de inventario se tiene:

CT 0 = C P t c T +

St cT tP 2.S .tc.T  b + h  .  . h.T  b  t P − tC

 h.TQx 02 + b.T .Qs 02  +   2.(Qx0 + Qs 0 ) 

Simplificando y racionalizando se tiene la expresión:

CT0 = C P tcT + 2 S .tc .T .h.T .

b t . 1− C b+h tP

(4.71)

4.8. MODELO CON DESCUENTO En algunas situaciones en la realidad se presentan situaciones en donde se ofrecen descuentos por la compra en grandes volúmenes, lo cual implica la posible modificación de la política óptima de inventario. El proceso de decisión consiste en evaluar la política propuesta para acceder al descuento y la política óptima sin descuento. El modelo de control de inventario para esta situación entonces se formula de la siguiente manera: Objetivo: Determinar la política optima de inventario indicando si se acepta o no un descuento de acuerdo a unas propuesta establecida Función objetivo:

CT ( X ) : Función costo total de inventario

Variables de decisión

X : Cantidad expresada en unidades monetarias de compra sin aplicar descuento X (1 − d ) : Cantidad expresada en unidades monetarias de compra aplicando descuento N : Número de pedidos a realizar en el horizonte de planeación t : Tiempo de consumo de un pedido

- 33 -

Modelos Matemáticos de Producción

Parámetros

A : Requerimiento en unidades monetarias durante el horizonte de planeación sin aplicar el descuento S : Costo de ordenar un pedido I : Costo de mantener el inventario expresado como un porcentaje sobre el costo del inventario promedio T : Horizonte de planeación d : Porcentaje de descuento por la compra de cantidades superiores a una cantidad “L” L : Cantidad mínima permitida de compra para acceder al descuento

AS X  + IT  A + X 2 CT ( X ) = min imo   A(1 − d ) + AS + IT X (1 − d )  X 2

si si

X L   Y0 ≤ L 

(4.73)

(4.74)

El proceso de decisión se fundamenta en la siguiente interpretación, si el costo total de la alternativa sin descuento es menor que el costo total de la alternativa con descuento entonces no se acepta dicho descuento y se utiliza la política óptima EOQ, (como se visualiza en la figura 4.8)

Si por lo contrario el costo total de la alternativa con descuento es menor entonces se recomienda tomar el descuento y el tamaño del lote de compra o podrá ser el limite de compra mínimo “L”,(ver figura 9) dependiendo del dominio de la variable o una cantidad óptima por encima de ese limite “L” (como se observa en la figura 4.10)

Costo Función Costo total sin descuento

CTo Función Costo total con descuento

X Xo L Costo mínimo sin descuento Costo mínimo con descuento

- 35 -

Figura 4.8

Modelos Matemáticos de Producción

Costo Función Costo total sin descuento

CT0 Función Costo total con descuento

X X Costo mínimo sin descuento

Xo=L Costo mínimo con descuento FIGURA 4. 9

Se observa que el costo mínimo se presenta para la política con descuento, pero el dominio de la variable indica que la cantidad mínima a comprar es L que presenta el costo mínimo Costo Función Costo total sin descuento

Función Costo total con descuento

EOQX Costo mínimo sin descuento

X0 L

Costo mínimo con descuento FIGURA 4. 10

- 36 -

X

Modelos Matemáticos de Producción

Se observa que el mínimo costo se presenta con una política de descuento comprando una cantidad por encima de la cantidad mínima de compra para acceder al descuento.

Si al evaluar los costos de las dos alternativas el resultado es no aceptar la propuesta con descuento entonces se revisa para formular una contra propuesta en términos de dinero o en términos de descuento. Contraposición en términos del tamaño del lote de compra Variable de decisión

Y : Cantidad a comprar que se puede aceptar para aceptar la oferta de descuento. Para encontrar la solución se iguala la función costo total de inventario con descuento al costo óptimo sin descuento, de tal manera que el propósito es encontrar el valor de Y que al menos satisfaga el costo mínimo sin aceptar el descuento.

A(1 − d ) + Se despeja entonces

X AS Y AS + IT (1 − d ) = A + + IT 0 Y X0 2 2

(4.75)

Y

A − Ad +

X AS Y AS + IT (1 − d ) = A + + IT 0 Y 2 X0 2

− Ad +

AS Y AS X + IT (1 − d ) = + IT 0 Y 2 X0 2

X  AS  AS Y =  Ad + + IT 0  − IT (1 − d ) Y X0 2  2   X  AS  IT  AS =  Ad + + IT 0 Y −  (1 − d )Y 2 X0 2   2   Se obtiene la función cuadrática

X  AS  IT  2  + IT 0 Y + AS = 0  (1− d )Y −  Ad + X0 2  2   Despejando

Y se tiene:

- 37 -

(4.76)

Modelos Matemáticos de Producción

Y=

− b ± b 2 − 4ac 2a

Donde:

 IT  a =  (1 − d )  2 

 X  AS b = − Ad + + IT 0  X0 2   c = AS Se toma la raíz positiva

Y=

 X  AS  Ad + + IT 0  + X0 2  

2

 X  AS  IT   Ad + + IT 0  − 4 (1 − d )( AS ) X0 2   2    IT  2 (1 − d )  2 

(4.77)

Contraposición en términos del descuento

Variable de decisión

d : Porcentaje o fracción de descuento que se puede aceptar para aceptar la oferta de descuento. Para encontrar la solución se iguala la función costo total de inventario con descuento al costo óptimo sin descuento, de tal manera que el propósito es encontrar el valor de d que al menos satisfaga el costo mínimo sin aceptar el descuento.

A(1 − d ) +

X AS Y AS + IT (1 − d ) = A + + IT 0 Y 2 X0 2

Se despeja entonces d

A − Ad +

X AS Y AS + IT (1 − d ) = A + + IT 0 Y 2 X0 2

- 38 -

(4.78)

Modelos Matemáticos de Producción

X AS Y  Y AS + IT −  IT d = A + + IT 0 Y 2  2 X0 2 X AS AS Y  Y − Ad −  IT d = − + IT 0 − IT X0 Y 2 2  2

A − Ad +

 1 1 Y  X −Y   −  A + IT d = AS  −  + IT  0  2   2   X0 Y   1 1  X −Y  AS  −  + IT  0  X0 Y   2   d= Y  −  A + IT  2  Factorizando el signo se tiene la expresión final

1 1  Y − X0   + IT  AS  −  Y X0   2   d= Y   A + IT  2 

(4.79)

El resultado de calcular el valor de d indica el mínimo descuento aceptable para poder aceptar la propuesta de compra.

4.9. MODELO DE CONTROL DE INVENTARIO PARA MÚLTIPLES PRODUCTOS CON RESTRICCIONES EN ESPACIO FÍSICO.

m

m

i =1

i =1

CT (Qi i = 1,2,...m ) = ∑ C i .tci T + ∑

m tci T .S i C .ITQi .+ ∑ i Qi 2 i =1

Sujeto a : (4.80) m

∑E Q

≤E

Qi ≥ 0

para cada i = 1,2,...m

i =1

i

i

Se construye la función Lagrange

- 39 -

Modelos Matemáticos de Producción

Función Lagrange m

m

i =1

i =1

L(Qi , i = 1,2,..m y λ ) = ∑ C i .tci T + ∑

m tci T .S i C .ITQi  m  .+ ∑ i − λ  ∑ Ei Qi − E  Qi 2 i =1  i =1 

Se deriva parcialmente con respecto a cada una de las variables así:

tc T .S C IT ∂L = − i 2 i + i − λE i = 0 ∂Qi 2 Qi

para cada i = 1,2,..., m

m ∂L = ∑ E i Qi = E ∂λ i =1

De aquí se desprende la siguiente expresión para determinar la política óptima

Qopt i =

2tci TS i C i IT − 2 Ei λ

para cada i = 1,2,..., m

Sujeto a : (4.81)

m

∑ E Qopt i =1

i

i

Qopt i ≥ 0

≤E para i = 1,2,..., m

Para encontrar la política óptima se debe experimentar con varios valores de λ comenzando con cero (0), hasta que se encuentre los diferentes valores de cantidad de compra, que cumplen la condición restrictiva. Posteriormente se calcula el costo óptimo, el número de pedidos óptimo y el tiempo de renovación del pedido.

Ejemplo 4.2 Una empresa comercial compro tres tipos de producto a diferentes proveedores, pero tiene una limitación en el espacio físico y podría afectar la política óptima sin restricciones, lo cual implica formular un política de control de inventario sujeto a las restricciones de espacio físico, la demanda de cada tipo de producto, el costo unitario de adquisición, el costo de ordenar y el espacio físico requerido por unidad de cada tipo de producto se muestra en la tabla se muestran en la tabla 4.2

- 40 -

Modelos Matemáticos de Producción

Tabla 4.2

TIPO DE PRODUCTO

DEMANDA

COSTO UNITARIO

ESPACIO MTS2 POR UNIDAD

COSTO DE ORDENAR

Producto 1

10000 Unid./mes

$1000

0.05

$120000/pedido

Producto 2

15000 Unid./mes

$1200

0.06

$150000/pedido

Producto 3

12000 Unid./mes

$4000

0.10

$144000/pedido

Se dispone de una bodega para almacenar hasta 2000 metros cuadrados, el costo de mantener en inventario se ha calculado en un 20% anual cargado al costo del inventario promedio. 1. Determine la política óptima sin restricciones 2. Determine la política óptima con restricciones, ¿Cuánto espacio se requiere para conservar la política sin restricciones?

- 41 -

Modelos Matemáticos de Producción

4.10. MODELO DE MANUFACTURA CON MÚLTIPLES PRODUCTOS SIN ESCASEZ

Función Producción Producto 1 Función Almacenamiento Y=(tp2-tc2)X

Y=tp1 X

Función Agotamiento Función Agotamiento

Y=Qy2-tc2 X

Y=Qy1-tc1 X

Y (Cantidad)

Función Producción Producto 2 Y=tp2 X

Función Almacenamiento Y=(tp1-tc1)X Qy Qx1

Qx2 X

t2

t1 t

t1

t2

t1

t

N

t2 t

T FIGURA 4. 11

La figura 4.11 representa el estado de los inventarios de dos productos manufacturados por una máquina compartida, mientras se esta fabricando uno de ellos se consume el inventario del otro, los dos productos tienen tasa de producción y consumo diferentes, pero su consumo es constante. Como muestra el diagrama de la figura 1 es posible que más de un producto compartan el mismo equipo, de tal manera que se puede formular el modelo de manufactura con múltiples productos.

- 42 -

(Tiempo)

Modelos Matemáticos de Producción

Objetivo: Determinar un plan de inventario (política de nivel) óptimo (costo mínimo) Función Objetivo: CT(QXi,i=1,2,…,m),CT(QYi,i=1,2,…,m), CT(N): Función costo total de Inventario.

Parámetros: CP : Costo unitario de producción del producto tipo “i”, i=1,2,…,m tci: Tasa de consumo del producto tipo “i”,i=1,2,…,m tpi : Tasa de producción del artículo tipo “i”,i=1,2,…,m tpi- tci : Tasa de almacenamiento del producto tipo “i”,i=1,2,…,m Ri : Demanda requerida del producto tipo “i” en el horizonte de planeación donde :

Ri = tci .T

para cada i = 1,2,..., m

Si : Costo de ordenar un pedido (preparación y alistamiento) del tipo “i” “ Setup Cost” Hi : Costo de mantener “holding Cost” una unidad almacenada del tipo “i” por unidad de tiempo, i=1,2,…,m T : Horizonte de planeación I : Costo de mantener expresado como un porcentaje sobre el inventario promedio donde h=Cpi .I para cada i=1,2,…,m

Variables de Decisión

Qyi :

Tamaño de una corrida de producción (lote de producción) elaborada en un

tiempo “(t1)i” y consumida en un tiempo “ti”,donde

Qxi :

i = 1,2,..., m

Nivel de almacenamiento máximo por corrida de producción ocasionado en un

tiempo “(t1)i” y consumido en un tiempo “(t2)i”,donde

i = 1,2,..., m m

N:

Número de corridas de producción programadas en donde se produce

∑ Qy i =1

i

para ser realizadas en el periodo de planeación “T”

t : Tiempo entre corridas de producción o duración de un ciclo productivo en donde se consume los lotes de tamaño “ Qyi ” donde, i = 1,2,..., m (t1)i : Periodo de producción de un lote de tamaño “ Qyi ”o tiempo de consumo de un lote de tamaño “Qxi”,donde

i = 1,2,..., m

(t2)i

: Período ocioso de producción por ciclo productivo o tiempo de consumo de un lote de tamaño “Qyi” ,donde i = 1,2,..., m Política Óptima

QX 0,i : Nivel máximo de almacenamiento óptimo por ciclo productivo de producto tipo “i”, i = 1,2,..., m QY0,i : Nivel óptimo de fabricación por corrida de producción de producto tipo “i”, i = 1,2,..., m

- 43 -

Modelos Matemáticos de Producción

N0 : Número de corridas de producción óptima por período de planeación

t0 : Duración óptima de un ciclo productivo. (t10)i : Período de producción óptimo por corrida de producción. i = 1,2,..., m (t20)i : Período ocioso de producción óptimo por corrida de producción. i = 1,2,..., m CT0 : Costo total óptimo de inventario. Identidades:

N=

Ri tc T = i Qy i Qyi

N=

T ti

ti =

Qyi tci

para cada i = 1,2,..., m

para cada i = 1,2,..., m

para cada i = 1,2,..., m

t i = (t1 )i + (t 2 )i

para cada i = 1,2,..., m

(4.82)

(4.83)

(4.84)

(4.85)

(t 2 )i

=

Qxi tci

para cada i = 1,2,..., m

(4.86)

(t1 )i

=

Qy i tpi

para cada i = 1,2,..., m

(4.87)

(t1 )i

=

Qxi tpi − tci

para cada i = 1,2,..., m

 tpi Qy i = Qxi .  tpi − tci

  

para cada i = 1,2,..., m

(4.88)

(4.89)

La función de costo total de inventario entonces se formula de la siguiente manera:

- 44 -

Modelos Matemáticos de Producción

m  h Qx t CT (Qxi , i = 1,2,..m ) = ∑  Cpi Qy i + S i + i i i 2  i =1 

  N 

(4.90)

La expresión indica que la función costo total de inventarios es igual a el costo de una corrida de producción por el número de corridas de producción programadas sobre un horizonte de planeación T, en donde el costo de una corrida comprende la suma de los l costos de producción de cada lote de los diferentes productos, los costos de preparación y alistamiento de cada tipo de lote de producto y los costos de mantener el inventario por tipo de producto. Sustituyendo algunas identidades en la función costo total para poderla expresar en términos de N por ser una sola variable se tiene:

m h TQxi   CT ( N ) = ∑  Cp i tci T + S i N + i  2  i =1 

(4.91)

m   tp − tc i hT CT ( N ) = ∑  Cp i tc i T + S i N + i Qy i . i 2 i =1   tp i m  h T tc T CT ( N ) = ∑  Cp i tc i T + S i N + i . i N 2 i =1 

 tp i − tc i   tp i

.

Derivando con respecto a N se tiene:

m h T  tc T  tp − tci ∂CT ( N ) m = ∑ S i − ∑ i . i 2  i ∂N  tpi i =1 i =1 2  N

m

 tpi − tci  tp i

∑ h T .tc T  N2 =

i =1

i

i

  = 0 

  

m

∑ 2S i =1

    

i

- 45 -

    

Modelos Matemáticos de Producción

m

 tp i − tci  tp i

∑ h TR  i

i =1

N optimo =

i

   (4.91)

m

∑ 2S i i =1

Para obtener los diferentes tamaños de lotes de producción, de inventario máximo y de los tiempos óptimos se sustituye en las identidades

Qy i , optimo =

tci T N optimo

t i ,optimo =

T N optimo

para cada i = 1,2,..., m

para cada i = 1,2,..., m

(4.93)

 tpi − tci   tpi

(4.94)

Qxi ,optimo =

tci T N optimo

(t 2 )i,optimo

=

Qxi ,optimo

(t1 )i,optimo

=

Qy i ,optimo

tci

tp i

(4.92)

  

para cada i = 1,2,..., m

para cada i = 1,2,..., m

(4.95)

para cada i = 1,2,..., m

(4.96)

- 46 -

Modelos Matemáticos de Producción

El costo total óptimo será:

m  h T tc T CT óptimo = ∑  Cp i tc i T + S i N óptimo + i . i  2 N óptimo i =1 

 tp i − tc i   tp i

.

    

(4.97)

4.11. MODELO PARA PRODUCTOS DEMANDADOS POR UN SOLO PERIODO Existen situaciones reales en donde los productos demandados son altamente perecederos, de tal manera que para periodos muy cortos, los productos son sustituidos por otros nuevos que a su vez van a tener una vida útil muy corta, en la teoría de los inventarios dichos problemas se conocen como el “problema del vendedor del periódico”. El problema del voceador consiste en que el vendedor de periódicos de la esquina recibe de los proveedores del periódico la cantidad ordenada por una sola vez, de tal manera, que si el nivel demandado por los clientes del voceador es mayor que las unidades disponibles, el vendedor de periódicos deja de percibir la ganancia por la venta de las unidades faltantes, por lo contrario, si el vendedor de periódicos compra más de las unidades demandadas, entonces el voceador se queda con las unidades no vendidas, incurriendo en perdidas, pues el paga por la compra de cada uno de los ejemplares, que al final del período de vida útil no valen nada. Entonces para determinar la política óptima de inventario se debe conocer la naturaleza y el comportamiento de la demanda, ya sea conociendo los posibles valores de la variable demanda aleatoria con su respectiva frecuencia o conocer la función de distribución de probabilidad de la demanda. Además es necesario conocer el costo asociado al tener que quedarse con el producto ofrecido al no ser demandado y el costo asociado a la demanda insatisfecha por no disponer del inventario requerido, y que incluye tanto la perdida de ganancia como la penalización por la no satisfacción de los clientes. Para comprender el proceso de selección de la mejor solución se utiliza el enfoque conocido como “Análisis Incremental”, el cual consiste en realizar un proceso de análisis secuencial de decisiones, en donde por cada paso existen dos alternativas. Para ilustrar el proceso de análisis incremental se formula el siguiente ejemplo: Un vendedor de periódicos recibe todas las mañanas un camión con los ejemplares del periódico diario para que lo venda a lo largo del día, el ordena las cantidades que el estima se podrán vender en el trayecto del día, de tal manera que solo puede ordenar una sola vez porl día, si la demanda de periódicos es mayor que la comprada entonces se incurre en un costo de penalización por escasez e involucra la perdida de ganancia más la insatisfacción del cliente, de otra parte si se demanda menos que la cantidad que el vendedor ordenó entonces se incurre en un costo asociado al mantenimiento del inventario el cual en esta situación el costo de no vender es perder el valor del costo de compra, por lo que el periódico al final del día se vuelve obsoleto. Para el ejemplo los costos son los siguientes: El costo de compra es de 10 unidades monetarias por periódico

- 47 -

Modelos Matemáticos de Producción

El costo de penalización se ha calculado en 30 unidades monetarias por unidad faltante Sobre la demanda de ejemplares de periódico se ha determinado que esta entre 20 y 30 unidades al día y la probabilidad estimada de acuerdo con los datos históricos es la siguiente (ver tabla 4.3):

Demanda de Periódicos al día X

Probabilidad de ocurrencia P(X)

20

0.03

21

0.05

22

0.08

23

0.10

24

0.12

25

0.12

26

0.15

27

0.13

28

0.10

29

0.07

30

0.05

Tabla 4.3 Se analiza el problema dado que se toma la decisión de comprar “i” periódicos, calculado la probabilidad de que se demande más de la cantidad comprada, así:

m

P( X ≥ i ) = ∑ P( X )

x=i

(4.98)

Donde m es el máximo valor que toma la variable aleatoria, para el ejemplo m = 30 El cálculo de las probabilidades acumuladas en donde la probabilidad de consumo es mayor o igual a la cantidad disponible se muestra en la tabla 4.4 Acción i

Demanda X

Probabilidad

P(X)

Probabilida d acumulada

P( X ≥ i )

20

20

0.03

1.00

21

21

0.05

0.97

22

22

0.08

0.92

23

23

0.10

0.84

24

24

0.12

0.72

25

25

0.12

0.62

26

26

0.15

0.50

27

27

0.13

0.35

28

28

0.10

0.22

29

29

0.07

0.12

30

30

0.05

0.05

Tabla 4.4

- 48 -

Modelos Matemáticos de Producción

Donde i : Indica la decisión de tener un nivel de inventario, (número de periódicos comprados) Para medir el costo esperado de la decisión de tener un nivel indicado “i” dado el evento de una demanda por debajo de ese nivel será:

E [i / ( X < i )] = h.P( X < i )

(4.99) El costo esperado por unidad de producto (periódico) asociado al tener “i” productos (comprar “i”ejemplares de periódico) y que la demanda real sea inferior al número de periódicos comprados es igual al costo en que se incurre por no vender una unidad “h” por la probabilidad de vender menos productos (periódicos) que los disponibles. Si por lo contrario el nivel de inventario es inferior a la cantidad demandada se calcula de la manera siguiente.

E [i / ( X ≥ i )] = b.P( X ≥ i )

(4.100)

El costo esperado por unidad faltante, al tener “i” ejemplares disponibles para la venta dado que la demanda sea mayor al nivel de inventario se calcula multiplicando el costo por unidad faltante por la probabilidad de que la demanda sea mayor o igual a la cantidad demandada.

DECISIÓN DE COMPRAR “I”

ALTERNATIVA DE TENER “I” PERIÓDICOS

PERIÓDICOS

P( X < i )

h

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0.00 0.03 0.08 0.16 0.28 0.38 0.50 0.65 0.78 0.88 0.95

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

ALTERNATIVA DE TENER MENOS DE “I” PERIÓDICOS

E [i / X < i ] P( X ≥ i ) 0.0 0.3 0.8 1.6 2.8 3.8 5.0 6.5 7.8 8.8 9.5 Tabla 4.5

1.00 0.97 0.92 0.84 0.72 0.62 0.50 0.35 0.22 0.12 0.05

b

E[X ≥ i ]

30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

30.0 29.1 27.6 25.2 21.6 18.6 15.0 10.5 6.6 3.6 1.5

Como de observa en la tabla 4.5 el costo de mantener en inventario más ejemplares se incrementa, pero a su vez se disminuye el costo de penalización por no disponer de inventario, hasta el punto en donde los costos de mantener una unidad adicional resulte más costosa que el costo de penalización, es evidente que en el ejemplo el número de periódicos a comprar debe ser de 27 ejemplares. Ahora bien, para realizar un procedimiento de cálculo con mayor rapidez, (note que cuando se obtiene la solución los costos de escasez son aproximadamente iguales a los

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Modelos Matemáticos de Producción

costos de mantener en inventario) entonces se busca una relación donde los costos de mantener son iguales a los costos de escasez así:

(1 − P( X

≥ i )).h = P( X ≥ i ).b

h − P( X ≥ i ).h = P( X ≥ i ).b h = P( X ≥ i )( . b + h) P( X ≥ i ) =

h b+h

(4.101)

Lo cual indica la probabilidad en que las perdidas esperadas son iguales. En el ejemplo

P ( X ≥ i *) =

h 10 = = 0.25 b + h 30 + 10

La respuesta del número de ejemplares que se deben comprar corresponde al valor que cubre la probabilidad de 0.25 como se observa en la tabla 4.5:

P ( X ≥ 27 ) = 0.35 ⇒ i = 27 ⇒ Comprar

27 ejemplares

P ( X ≥ 28) = 0.22 ⇒ i = 28 ⇒ No comprar el ejemplar

número 28

Entonces la regla general para determinar el tamaño del pedido (denomínese v) es:

v = Máximo P ( X ≥ i ) ≥ Rc i

(4.102)

En donde la razón crítica es:

Rc =

h b+h

(4.103)

Por lo tanto, ahora es más rápido determinar la cantidad de productos a ordenar, por ejemplo supóngase que para el ejemplo el costo de penalización se aumenta a $40 por unidad entonces:

Rc =

10 = 0 .2 40 + 10

De la tabla 4.5 se observa que el máximo “i” (número de periódicos a comprar) mayor que la razón crítica es: 28

- 50 -

Modelos Matemáticos de Producción

4.12. SISTEMAS DE REPOSICIÓN DE INVENTARIO CON CONDICIONES ALEATORIAS Notación y definiciones LT: Tiempo de entrega, tiempo de aprovisionamiento o tiempo de adelanto. “Lead Time” SS: Inventario de seguridad. “ Safety Stocks” s: Punto de reorden, o punto de renovación o colocación de pedido. “Order –Point” S: Nivel de inventario objetivo o nivel objetivo de renovación de pedido “Order- Up- toLevel ” R: Período de revisión “Periodic- Review” Q: Cantidad de la Orden de compra “Order Quantity”

4.12.1. SISTEMA DE REVISIÓN CONTINUA 4.12.1.1 Sistema de Cantidad Fija Y Punto de Reorden “ Order- Point, OrderQuantity” [Q,s] System” Para el control del nivel de inventario de bienes que requieran de un monitoreo constante se utiliza una estrategia basada en un sistema de pedido de cantidad fija ciclo variable en función del punto de reorden, en donde se solicitan pedidos de un tamaño “Q” que corresponde normalmente a la cantidad económica de pedido. Esto es, cada vez que el nivel de inventario desciende de un nivel determinado punto de reorden, “s”, es necesario la colocación de una orden de compra, la cual será recibida después de un tiempo de entrega, “LT” ; ahora bien, la determinación del punto de reorden se fija de tal manera que se disponga de una cantidad suficiente de inventario para cubrir la demanda durante el tiempo de entrega. La naturaleza aleatoria del tiempo de entrega y de la demanda hace que los tiempos entre los pedidos varíen y que se requiera de un inventario de seguridad que permita eliminar posibles demandas no satisfechas en los periodos de reposición del inventario. Esta política de revisión continua también se conoce como sistema [Q,s] o sistema Q donde Q expresa la cantidad o tamaño de compra y s denota el nivel del punto de reorden. •

Cálculo del punto de reorden cuando el consumo se distribuye normalmente

s : Punto de reorden tc( LT ) : Tasa de consumo

s = tc( LT ) + z ns .σ ( LT )

(4.104)

s = tc( LT ) + SS

(4.105)

o demanda requerida durante el tiempo de entrega (Lead

Time)

Z ( ns ) : Número

aleatorio normal estandarizado asociado al nivel de servicio al

cliente.(ns)

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Modelos Matemáticos de Producción

σ ( LT ) : Desviación estándar del consumo durante el tiempo de entrega. LT : Tiempo de entrega “Lead Time”. tc( d ) : Tasa de consumo o demanda requerida diaria. SS : Stocks de seguridad “Safety Stocks” σ ( d ) : Desviación estándar de la demanda diaria. Es importante observar que el consumo medio y la varianza (o la desviación estándar) se deben calcular para intervalo del tiempo de entrega, de tal manera, si se conoce por ejemplo el consumo diario y la desviación diaria de la demanda, entonces basándose en el teorema del límite central el cálculo del consumo durante el tiempo de entrega y la varianza se realiza de la siguiente manera:

tc( LT ) = LT .tc( d )

σ (2LT ) = LT .σ (2d )

σ ( LT ) = σ ( d ) . LT

Y(Cantidad)

Q

R SS LT

LT

LT

Figura 12. Sistema de Revisión Continua [Q,s] Punto de reorden=Tc*lt+stock seguridad

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X (Tiempo)

Modelos Matemáticos de Producción

4.12.1.2. Sistema Punto de Reorden, nivel superior de orden. “Order Point, OrderUp- to- Level [s, S] System” En este sistema también denominado de reposición opcional, se solicitan pedidos hasta un nivel objetivo,“S”, siempre y cuando el nivel de inventario este por debajo del punto de reorden “s”; en cualquier otro caso, no se solicita pedido. El cálculo del nivel objetivo “S” se puede estimar sumando el nivel de reorden con el tamaño del lote de compra “Q” así:

S =s+Q

Y el nivel de reorden “s” se estima de igual manera que el modelo [Q,s].

S

s Q

R SS LT

LT

LT

Figura 4.13. Sistema de Revisión Continua [S,s]

4.12.2. MODELO DE REVISIÓN CONTINUA CON ESTIMACIÓN DEL NIVEL DE SERVICIO AL CLIENTE

En el proceso de estimación del punto de renovación de pedido, en donde se requiere calcular las existencias de seguridad, y para ello la determinación del nivel de servicio, se puede utilizar el concepto de razón crítica de la manera siguiente:

s = tc( LT ) + z ns .σ ( LT ) s = tc( LT ) + SS

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X (Tiempo)

Modelos Matemáticos de Producción

Sea

P (tc( LT ) ≥ s ) : Probabilidad de que la tasa de consumo durante el tiempo de entrega sea mayor o igual al punto de renovación del pedido. b : Costo de penalización por unidad faltante h : Costo de mantener una unidad almacenada durante el horizonte de planeación. Como el número de veces en que se puede incurrir en escasez esta en función del número de pedidos y aplicando el concepto de equilibrio entre los costos de mantenimiento y los costos de escasez que se presenta en los modelos de demanda de un solo periodo se tiene:

[

]

h 1 − P (tc( LT ) ≥ s ) = b.N .P (tc( LT ) ≥ s ) h − h.P (tc( LT ) ≥ s ) = b.N .P (tc( LT ) ≥ s ) h = b.N .P (tc( LT ) ≥ s ) + h.P (tc( LT ) ≥ s ) P (tc( LT ) ≥ s )(b.N + h ) = h.

P (tc( LT ) ≥ s ) =

h b.N + h

Lo cual indica que cuando los costos de mantener en inventario son iguales a los costos de penalización por escasez se presenta costo mínimo con una probabilidad permitida de:

Rc =

h b.N + h

En otras palabras el nivel de servicio al cliente se calcula al encontrar una probabilidad de 1 − Rc . Entonces como se observa en la figura 14 el nivel de servicio al cliente corresponde al número

Z ( ns )

normal distribuido estandarizado (Ver anexo 1)

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Modelos Matemáticos de Producción

Rc

50%

Z =0

Z (ns )

Figura 4.14

4.12.3. SISTEMA DE REVISIÓN PERIODICA 4.12.3.1 Sistema de revisión periódica, nivel superior de orden. “Periodic- Review, Order- Up- to- Level [R,S] System” En un sistema de revisión periódica, o sistema [R,S], denominado también sistema P ,el nivel de inventario se verifica a intervalos fijos de tiempo Período de Revisión “R”, en donde se colocan ordenes variables dependiendo de un nivel de inventario objetivo. Para los cálculos del nivel objetivo y el periodo de revisión se tiene:

S = tc( LT + R ) + Z ( ns ) .σ ( LT + R ) S = tc( LT + R ) + SS S : Nivel objetivo. tc( LT + R ) : Demanda

requerida durante el tiempo de entrega ( Lead Time, “ LT”) y el

período de revisión.

Z ( ns ) : Número

aleatorio normal estandarizado asociado al nivel de servicio al

cliente.(ns)

σ ( LT + R ) : Desviación estándar del consumo durante el tiempo de entrega y el período de

revisión. LT : Tiempo de entrega “Lead Time”.

tc( d ) : Tasa de consumo o demanda requerida diaria. SS : Stocks de seguridad “Safety Stocks” σ ( d ) : Desviación estándar de la demanda diaria. tc( LT + R ) = ( LT + R).tc( d )

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Modelos Matemáticos de Producción

σ (2LT + R ) = ( LT + R).σ (2d )

σ ( LT + R ) = σ ( d ) . LT + R Y el período de revisión se calcula como la relación entre el la cantidad o tamaño del lote de compra (Normalmente corresponde a EOQ) y el consumo promedio diario o demanda en días.

R=

Q tc(d )

Y(Cantidad)

S

LT

LT R

X (Tiempo)

LT R

R

Figura 4.15. Sistema de Revisión Periódica [R,S]

Punto reorden = tasa consumo *lead time + stock de seguridad Teorema del límite central= n varibles aleatorioas con igulea medias y desviaciones X=miu+z*desviación Miu=LT*tasas de consumo Varianza=n*s2 Varianza(LT)=LT*desviación(d)2 desviación=raíz(LT*desviación(diaria))

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Modelos Matemáticos de Producción

4.12.3.2. Sistema de revisión periódica, Punto de Reorden, nivel superior de orden. “Periodic- Review,Order Point, Order- Up- to- Level [R,s, S] System” En este sistema de revisión periódica, se revisa el nivel de inventarios a intervalos fijos de tiempo período de revisión “R”,y si el nivel de inventario esta por debajo del punto de reorden, “s” entonces se coloca una orden de compra de la cantidad necesaria para llegar un nivel de inventario objetivo “S” La estimación del nivel objetivo “S”, y el cálculo del período de revisión “R” se realiza de igual manera que el sistema [R,S] y el calculo del punto de reorden como el sistema [Q,s]

Y(Cantidad)

S

s

X (Tiempo) LT R

LT R

R

R

LT Figura 4.16. Sistema de Revisión Periódica [R,S,s]

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Modelos Matemáticos de Producción

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