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• Diana Casanova

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INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE COATZACOALCOS.

División: Ingeniería Industrial.

Materia: Física.

Docente: Ing. De La Cruz Tadeo Nila Candelaria.

Investigación. Unidad 5 ``Cinematica del punto y del cuerpo rígido’’.

Alumna: Zapot Casanova Diana Guadalupe.

4to semestre

Grupo: C.

ÍNDICE.

Introducción.

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UNIDAD 5 ``CINEMÁTICA DEL PUNTO Y DEL CUERPO RÍGIDO’’. 5.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO: ECUACIONES DIFERENCIALES DEL

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MOVIMIENTO, MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO Y CAÍDA LIBRE DE CUERPOS. 10

5.2 MOVIMIENTO CURVILÍNEO: MOVIMIENTO PARABÓLICO, OSCILATORIO Y CIRCULAR 5.3. MOVIMIENTO DE CUERPO RÍGIDO: TRASLACIÓN Y ROTACIÓN.

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Conclusión.

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Referencias bibliográficas.

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INTRODUCCIÓN.

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UNIDAD 5 ``CINEMÁTICA DEL PUNTO Y DEL CUERPO RÍGIDO’’. 5.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO: ECUACIONES DIFERENCIALES DEL MOVIMIENTO, MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO Y CAÍDA LIBRE DE CUERPOS.

Movimiento rectilíneo Un movimiento es rectilíneo cuando su velocidad es constante en el tiempo, es decir, su aceleración es nula. Esto implica que la velocidad media entre dos instantes cualesquiera siempre tendrá el mismo valor. Además, la velocidad instantánea y media de este movimiento coincidirán. La distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad (rapidez) por el tiempo transcurrido. Esta operación también puede ser utilizada si la trayectoria del cuerpo no es rectilínea, pero con la condición de que la rapidez sea constante. Durante un movimiento rectilíneo uniforme también puede presentarse que la velocidad sea negativa. Por lo tanto, el movimiento puede considerarse en dos sentidos, el positivo podría ser cuando se mueve hacia la derecha y el negativo cuando se mueve hacia la izquierda.

El movimiento rectilíneo uniforme - MRU - se caracteriza por: •

Movimiento que se realiza en una sola dirección.

•

Velocidad constante; implica magnitud y dirección inalterables. 4

•

La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleración (aceleración=0) Sabemos que la velocidad v0 es constante, esto es, no existe aceleración.

la posición x en el instante t viene dada por: donde x0 es la posición inicial.

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado o movimiento unidimensional con aceleración constante, es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante.

Esto implica que para cualquier instante de tiempo, la aceleración del móvil tiene el mismo valor.

Un caso de este tipo de movimiento es el de caída libre, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la de la gravedad. También puede definirse el movimiento MRUA como el seguido por una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.

El movimiento uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales: 1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes. 2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo. 3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.

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El movimiento MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemática, respectivamente, son:

La velocidad v para un instante t dado es:

siendo v0, la velocidad inicial.

Finalmente, la posición x en función del tiempo se expresa por:

donde x0, es la posición inicial.

Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez lineal del móvil.

Derivación de las ecuaciones de movimiento

Para el cálculo de la velocidad en función del tiempo:

Integrando esta ecuación diferencial lineal de primer orden tenemos:

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integrando la ecuación:

sacando valores constantes de la integral:

resolviendo la integral:

donde: v0, es la constante de integración, corresponde a la velocidad del móvil para t = 0. En el caso de que el móvil esté en reposo para t = 0, entonces v0 = 0 Para el cálculo del espacio en función del tiempo, se toma la ecuación de la velocidad en función del tiempo y la definición de velocidad:

esto es:

despejando términos:

integrando la ecuación:

descomponiendo la integral:

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sacando valores constantes de la integral:

resolviendo la integral:

donde x0, es la constante de integración, que, teniendo en cuenta las condiciones iniciales, corresponde a la posición del móvil respecto del centro de coordenadas para t = 0 . En el caso de que el móvil esté en el centro de coordenadas para t = 0, es x0 = 0.

Cuerpos en caída libre

En este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo con el aire, es decir, se estudia en el vacío. El movimiento de la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado. La aceleración instantánea - debida sólo a la gravedad - es independiente de la masa del cuerpo, es decir, si dejamos caer un coche y una pluma, ambos cuerpos tendrán la misma aceleración, que coincide con la aceleración de la gravedad g.

Cuando la caída libre tiene lugar en el seno de un fluido como el aire, hay que considerar las fuerzas viscosas que actúan sobre el cuerpo. Aunque técnicamente la caída ya no es libre, desarrollaremos en adelante las ecuaciones incluyendo el término aerodinámico excepto en los casos en los que no proceda.

Tiro vertical

El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleración g, 8

aproximadamente porque la aceleración aumenta cuando el objeto disminuye en altura, en la mayoría de los casos la variación es despreciable).

La ecuación de movimiento se puede escribir en términos la altura y:

donde:

•

ay, vy, son la aceleración y la velocidad verticales

•

Fr, es la fuerza de rozamiento fluidodinámica (que es creciente con la

velocidad)

Cuando se desprecia en una primera aproximación la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, se alcanzan ligeras velocidades la solución de la ecuación diferencial para las velocidades y la altura vienen dada por:

donde v0 es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo v0 = 0 y h0 es la altura inicial de caída.

Fórmulas que se utilizan en este tema son:

d = V0t + gt^2 / 2 t= Vf –V0 / g 9

Vf = gt +V0 Vf^2 – V0^2= 2gd

5.2 MOVIMIENTO CURVILÍNEO: MOVIMIENTO PARABÓLICO, OSCILATORIO Y CIRCULAR Se conoce como: movimiento curvilíneo a aquel movimiento que es parabólico, oscilatorio o circular.

Cuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual viaja una partícula, es conveniente describir el movimiento por medio de los ejes de coordenadas n y t, los cuales actúan de manera normal y tangente a la trayectoria, respectivamente, y en el instante considerado tienen su origen localizado en la partícula. si su trayectoria es curva este movimiento puede ser oliptico.

Llamamos movimiento curvilíneo al movimiento que realiza una partícula o un móvil que sigue una trayectoria parabólica, elíptica, vibratoria, oscilatoria o circular.

Las magnitudes que utilizamos para describir un movimiento curvilíneo son las siguientes:

-Vector posición: sabemos que la posición en la que se encuentra una partícula o un móvil depende del tiempo en el que nos encontremos, es decir, que varía en función del tiempo. Por tanto, como podemos observar en la siguiente imagen, la partícula se encuentra en el punto P cuando estamos en el instante t, y su posición viene dada por el vector r.

-Vector desplazamiento: Cuando nuestra partícula pasa de estar en el punto P en el instante t, al punto P´en el instante t´, diremos que ésta se ha desplazado, y lo indicamos con el vector Dr , que como podemos observar en la imagen anterior, es el vector que une P y P´. 10

-Vector velocidad media: llamamos velocidad media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo que emplea en desplazarse, es decir:

Tanto el vector de la velocidad media, como el vector desplazamiento tienen la misma dirección. - Vector velocidad instantánea: Este vector se obtiene al hacer el límite cuando el Dt tiende a cero:

Este vector es tangente en el punto P a la trayectoria que sigue la partícula. - Vector aceleración media: De forma similar al caso de la velocidad media, la aceleración media es igual al cociente entre el incremento de velocidad y el incremento del tiempo 

Movimiento parabólico.

El movimiento parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. Algunos ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un movimiento parabólico son: proyectiles lanzados desde la tierra o desde un avión, el de una pelota de futbol al ser despejada por el portero. El movimiento de un cuerpo es parabólico si su trayectoria es una parábola, es decir una curva abierta, simétrica respecto a un eje y con un solo foco. El tiro parabólico, para su estudio puede considerarse como la combinación de dos movimientos que son un movimiento horizontal uniforme y un movimiento vertical rectilíneo uniformemente acelerado el movimiento parabólico es de dos tipos: horizontal y oblicuo. Parabólico horizontal: Se caracteriza por la trayectoria o camino curvo que sigue un cuerpo al ser lanzado horizontalmente al vacío resultado de dos movimientos independientes: un movimiento horizontal con velocidad constante y uno vertical el cual inicia con una velocidad cero y va aumentando su magnitud en la misma proporción de otro cuerpo que se dejara caer al vacío desde el mismo punto en el mismo instante. 11

Parabólico oblicuo: Se caracteriza por la trayectoria que sigue un cuerpo cuando es lanzado con una velocidad inicial que forma un ángulo con el eje horizontal. Movimiento Oscilatorio Si una fuerza cambia con el tiempo, la velocidad y aceleración del cuerpo también cambian con el tiempo. Un tipo de movimiento particular ocurre cuando sobre el cuerpo actúa una fuerza que es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. Si dicha fuerza siempre actúa en la dirección de la posición de equilibrio del cuerpo se producirá un movimiento de ida y vuelta respecto de esa posición. Este movimiento es un ejemplo de lo que se llama movimiento periódico u oscilatorio. En este tipo de movimiento, un cuerpo oscila indefinitivamente entre dos posiciones espaciales sin perder energía mecánica. En los sistemas mecánicos reales siempre se encuentran presentes fuerzas de rozamiento. Dichas fuerzas disminuyen la anergia mecánica según sigue el movimiento y se dice que las oscilaciones se amortiguan. Movimiento armónico simple: Se dice que una partícula que se mueve a lo largo del eje x presenta un movimiento armónico simple cuando su desplazamiento x, desde la posición de equilibrio, varía en el tiempo de acuerdo con la relación. X = A cos (wt+β) Donde A, w y β son constantes del movimiento. A: Amplitud. W: Frecuencia angular. β= Angulo constante.

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Movimiento circular. Un cuerpo o una partícula describen un movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia. En este movimiento el vector velocidad varia constantemente de dirección, y su magnitud o modulo puede estar variando o permanecer constante. Por tanto, en un movimiento circular una partícula se puede mover con rapidez constante o no, pero su aceleración formara siempre un ángulo recto con su velocidad y se desplazara formando un círculo. La aceleración que recibe la partícula está dirigida hacia el centro del circulo y recibe el nombre de aceleración normal, radial o centrípeta. El movimiento circular se efectúa en un mismo plano y es el movimiento más sencillo en dos dimensiones y en dos direcciones. Si se aplica la ley de newton a lo largo de la dirección radial, se encuentra que la fuerza centrípeta requerida es: Fr = mar = m

𝑣^2 𝑟

Al igual que la aceleración centrípeta, la fuerza centrípeta actúa hacia el centro de la trayectoria circular que describe la partícula. Dado que estas actúan hacia el centro de rotación, las fuerzas centrípetas producen un cambio en la dirección de la velocidad. La fuerza de tensión es la fuerza centrípeta. En general un cuerpo puede moverse en una trayectoria circular con la influenza de las fuerzas tales como la fuerza de fricción, la de gravedad o una combinación de fuerzas.

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5.3. MOVIMIENTO DE CUERPO RÍGIDO: TRASLACIÓN Y ROTACIÓN.

Cuando todas las partículas de un cuerpo rígido se mueven sobre trayectorias que son equidistantes, a partir de un plano fijo, se dice que el cuerpo experimenta un movimiento plano. Como se estableció antes, existes tres tipos de movimientos en un plano; en orden de complejidad creciente, son: Traslación: este tipo de movimiento ocurre si cualquier segmento lineal del cuerpo permanece paralelo a la dirección original durante el movimiento. Cuando las trayectorias de movimiento de cualesquiera dos partículas del cuerpo forman líneas rectas equidistantes, el movimiento se llama traslación rectilínea. Rotación en torno de un eje fijo: cuando un cuerpo regido rota en torno de un eje fijo, todas las partículas del cuerpo, excepto aquellas que se encuentran sobre el eje de rotación, se mueven sobre trayectorias circulares. Movimiento plano general: cuando un cuerpo está sujeto a un movimiento plano general experimenta una combinación de translación y rotación. 

Traslación.

Considere un cuerpo rígido sometido a un movimiento rectilíneo o curvilíneo de translación en el plano x-y.

Fig.16-3

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Posición: La posición de los puntos A y B en el cuerpo se especifica a partir del marco de referencia fijo x, y al utilizar los vectores de posición rA y rB . Velocidad: La velocidad instantánea de A y B se relacionan por medio de la derivada temporal de la ecuación de posición, lo que da como resultado vB = vA + drB/A/dt representando las velocidades absolutas. Aceleración: Por medio de la derivada temporal de la ecuación de velocidad se establece una relación similar entre las aceleraciones de A y B. 

Rotación.

Cuando un cuerpo gira en torno de un eje fijo, cualquier punto P ubicado en el cuerpo se desplaza siguiendo una trayectoria circular. Este movimiento depende del movimiento angular del cuerpo en torno al eje. Por esta razón primero se estudia las propiedades del movimiento angular antes del movimiento circular de P. Movimiento angular: Como un punto carece de dimensiones no tiene movimiento angular. Solo las líneas o los cuerpos presentan movimiento angular. Desplazamiento angular: El cambio en la posición angular que muchas veces se mide con el diferencial dθ y se conoce como desplazamiento angular. Velocidad Angular: La razón de cambio en la posición angular se conoce como velocidad angular ϖ (omega).

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Aceleración angular: La aceleración angular α mide el ritmo de cambio en la velocidad angular.

CONCLUSIÓN.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 

Berenson, M. (2006). Física. (4ª. ed.) México: Pearson Educación. (pag.21) (pág.48)

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Wackerly, D. D. (2010). Introducción a física. . (7ª. ed.) México: Cengage Learning. (pag.146)

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Walpole, R. E. (2012). Física para ingeniería y ciencias. (9ª. Ed) México: Pearson Educación (pág. 135)



Chao, L., (1989) Introducción a la Fisica. (4ª. ed.) CECSA, (pág. 35)



Christensen, H. Física paso a paso. (2 ª Ed) Trillas (pág. 70)

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

Daniel, W. Física y mecánica. (6 ª Ed) Mc Graw Hill, (pag.107)

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