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• Matemáticas discretas

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Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos. División de Ingeniería Industrial.

AGOSTO – DICIEMBRE 2019. Nombre del Alumno:

Zapot

Casanova

Apellido Paterno

Diana Guadalupe.

Apellido Materno

Nombre(s)

ASIGNATURA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2 OPTIMIZACIÓN DE REDES.

Nombre del Docente:

Jiménez

Apellido Paterno

Carrera:

No Control:

Ing. Industrial

17081143.

Ventura

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN Apellido Materno

Semestre:

Fecha: 09/09/19

5°

Bricio. Nombre(s)

Grupo:

``B``

ÍNDICE.

Introducción.

3

2.1. Terminología.

4

2.2. Problema de la ruta más corta.

6

2.3. Problema de árbol de mínima expansión.

9

2.4. Problema de flujo máximo.

14

2.5. Problema de flujo de costo mínimo.

16

2.6. Programación lineal en Teoría de Redes.

19

2.7. Uso de software.

20

Conclusión.

24

Referencias bibliográficas.

25

2

INTRODUCCIÓN. Uno de los mayores desarrollos recientes en Investigación de Operaciones ha sido el rápido avance tanto en la metodología como en la aplicación de los modelos de optimización de redes. Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones como por ejemplo las redes de transporte, eléctricas en fin una inmensa lista que predominan en la vida diaria. La representación de redes se utiliza en áreas tan diversas como producción, distribución, localización de instalaciones en fin un sin número de áreas. De hecho, una representación de redes nos proporciona un panorama general tan poderoso y una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre los componentes del sistema que se utiliza casi en todas las áreas científicas, sociales y económicas. Dentro de los problemas más comúnmente resueltos mediante la modelación de redes se encuentran los ya vistos modelos de transporte, transbordo además de los muy conocidos modelos de determinación de cronograma de actividades para proyectos como lo son el PERT y el CPM. Se darán a conocer en este trabajo diversos tipos importantes de problemas de redes y algunas ideas básicas sobre cómo resolverlos.

3

UNIDAD 2 “OPTIMIZACIÓN DE REDES”. 2.1. Terminología. 

Red: conjunto de puntos y líneas que unen ciertos pares de puntos.



Nodos: Puntos (o vértices).



Arcos: Líneas, ligaduras, aristas o ramas. Se etiquetan para dar nombre a los nodos en sus puntos terminales.



Arco dirigido: Si el flujo a través de un arco se permite sólo en una dirección. La dirección se indica agregando una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco.



Arco no dirigido: Si el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones.



Red dirigida: Red que tiene sólo arcos dirigidos.



Red no dirigida: Todos sus arcos son no dirigidos.



Trayectoria: Sucesión de arcos distintos que conectan nodos.



Ciclo: Trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo.



Red conexa: Red en la que cada par de nodos está conectado.



Árbol: Red conexa (para algún subconjunto de n nodos) que no contiene ciclos no dirigidos.



Árbol de expansión: Red conexa para los n nodos que contiene ciclos no dirigidos.



Capacidad del arco: Cantidad máxima de flujo (quizá infinito) que puede circular en un arco dirigido.



Nodo fuente: Nodo origen, tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo excede el flujo que entra a él.



Nodo de demanda: Nodo de destino, donde el flujo que llega excede al que sale de él.



Nodo de trasbordo: Intermedio, satisface la conservación del flujo, es decir, el flujo que entra es igual al que sale.

4

Una red o grafo consiste de puntos, y líneas que conectan pares de puntos. Los puntos se llaman nodos o vértices. Las líneas de llaman arcos. Los arcos pueden tener una dirección asociada, en cuyo caso se denominan arcos dirigidos. Si un arco no tiene dirección normalmente se le denomina rama. Si todos los arcos en la red son dirigidos, la red se denomina una red dirigida. Si todos los arcos son nodirigidos, la red es una red no-dirigida. Dos nodos pueden estar conectados por un conjunto de arcos. Una trayectoria (path en inglés) es una secuencia de arcos distintos (con nodos no repetidos) conectando a los nodos. Una trayectoria dirigida desde nodo i al nodo j es una secuencia de arcos, cada uno de los cuales apunta al nodo j (si es que hay dirección). Una trayectoria no dirigida puede incluir arcos dirigidos apuntando en cualquiera de dirección. Una trayectoria que comienza y que termina en el mismo nodo se denomina ciclo y puede ser ya sea dirigida o no-dirigida. Una red está conectada si existe una trayectoria no-dirigida entre cualquier par de nodos. Una red conectada que no tiene ciclos se denomina árbol. Optimización de redes es un tipo especial de modelo en programación lineal. Los modelos de redes tienen tres ventajas importantes con respecto a la programación lineal. Pueden resolverse muy rápidamente. Problemas que con programación lineal tendrían 1000 filas y 30.000 columnas pueden ser resueltos en segundos. Esto permite que los modelos de redes sean usados en muchas aplicaciones (tal como la toma de decisión en tiempo real) para lo cual la programación lineal no es lo ideal. 5

Requieren en forma natural de soluciones enteras. Al reconocer que un problema puede formularse como algún modelo de red nos permitirá resolver tipos especiales de problemas de programación entera aumentando la eficiencia y reduciendo el tiempo consumido por los algoritmos clásicos de programación lineal. Son intuitivos. Los modelos de redes proveen un lenguaje para tratar los problemas, mucho más intuitivo que "variables, objetivo, restricciones". Obviamente los modelos de redes no son capaces de cubrir la amplia gama de problemas que puede resolver la programación lineal. Sin embargo, ellos ocurren con suficiente frecuencia como para ser considerados como una herramienta importante para una real toma de decisiones.

Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de estos cuatro modelos:  Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínima expansión).  Modelo de la ruta más corta.  Modelo del flujo máximo.  Modelo del flujo del costo mínimo.  Modelo de minimización de redes

2.2 Problema de la ruta más corta. Se trata de encontrar la ruta de menor distancia o costo entre en punto de partida o el nodo inicial y el destino o nodo terminal. Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino.

6

Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino. Algoritmo de la ruta más corta: 1. Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-pésimo nodo más cercano al origen. (Este paso se repetirá para n=1, 2, hasta que el n-ésimo nodo más cercano sea el nodo destino.) 2. Datos para la n-ésima iteración: n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos.) 3. Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: Cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.) 4. Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más

7

pequeña es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta más corta es la que genera esta distancia.

8

2.3 Problema del árbol de mínima expansión Este problema considera una red no dirigida y conexa. En ella se debe encontrar un árbol de expansión con la longitud mínima de sus arcos. El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en la solución del problema. Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características: 1. Se tienen los nodos de una red, pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo.) 2. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos. 3. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red. Una red con n nodos requiere sólo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante forme un árbol de expansión. Por tanto, el problema es hallar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras.

Algoritmo para el problema del árbol de expansión mínima. 1.- selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano. 2.- se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados. 9

3.- Empates. Los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solución óptima. No obstante, estos empates son señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas múltiples. Todas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las demás formas de romper los empates hasta el final. La manera más rápida de ejecutar este algoritmo en forma manual es el enfoque grafico que se ilustra enseguida.

Aplicación de este algoritmo al problema del árbol de expansión mínima La administración de seervada park necesita determinar los caminos bajo los cuales se deben entender las líneas telefónicas para conectar todas las estaciones con una longitud total mínima de cable. Se describirá paso a paso la solución de este problema con base en los datos que se dan a continuación. Los nodos y distancias para el problema se resumen enseguida, en donde las líneas delgadas ahora representan ligaduras potenciales.

A 7

2

2

0

B

5

D

4

3 4

C

T

5

1

1

7

E 10

En forma arbitraria, se selecciona el nodo 0 como inicio. El nodo no conectado más cercano a 0 es A. se conecta el nodo A al nodo 0

A 7

2

2 5

0

T

5 4

B

D

3 4

1

7

1

E

C 4

El nodo no conectado más cercano a cualquiera de los nodos 0 o A es el nodo B (más cercano a A). Se conecta el nodo B al nodo A.

A 7

2

2 5

0

4

B

D

3 4

T

5

1

7

1

C

E 11

El nodo no conectado más cercano a 0, A o B es el nodo C (más cercano a B). Se conecta el nodo C al nodo B.

A 7

2

2 5

0

T

5 4

B

D

3 4

1

7

1

E

C 4

El nodo no conectado más cercano a 0, A, B o C es el nodo E (más cercano a B). Se conecta el nodo E al nodo B.

A 7

2

2 5

0

T

5 4

B

D

3 4

1

7

1

C

E 12

El nodo no conectado más cercano a los nodos 0, A, B, C o E es el nodo D (más cercano a E). Se conecta el nodo D al nodo E.

A 7

2

2

5

5

T

4

0

B

D 3

4

1

7

1

E

C 4

El único nodo no conectado es el nodo T. Está más cerca del nodo D. se conecta el nodo T al nodo D.

A 7

2

2

5

5

T

4

0

D

B 3 4

1

7

1

C

E 13

Todos los nodos han quedado conectados, por lo que esta es la solución (optima) que se buscaba. La longitud total de las ramas es 14 millas. Aunque con este procedimiento a primera vista puede parecer que la elección del nodo inicial afectaría la solución final (y la longitud total de las ligaduras), en realidad no es así. Se sugiere que se verifique este hecho para el ejemplo, aplicando de nuevo el algoritmo, pero con un nodo inicial distinto de 0. Se considera que dentro de este capítulo el problema del árbol de expansión mínima es el que cae dentro de la amplia categoría de diseño de redes. En esta categoría, el objetivo es diseñar la red más apropiada para el problema dado (con frecuencia se trata de sistemas de transporte) y no de analizar una red ya diseñada. La referencia 8 proporciona una investigación en esta importante área.

2.4 Problema de flujo máximo. Se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es el de obtener la máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino. Características: 

Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino.



Los nodos restantes son nodos de trasbordo.



Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todos señalan hacia el nodo.



El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.

14

El problema de flujo máximo se puede formular como un problema de programación lineal, se puede resolver con el método simplex y usar cualquier software. Sin embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas mucho más eficientes. El algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de red residual y el de trayectoria aumentada.

Algoritmo de la trayectoria de aumento para el problema de flujo máximo: 

Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva. (Si no existe una, los flujos netos asignados constituyen un patrón del flujo óptimo).



Se identifica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento encontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se aumenta en c* el flujo de esta trayectoria.



Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa el paso 1.

Algunas aplicaciones: A continuación, se menciona algunos tipos de aplicaciones comunes del problema del flujo máximo. 1. Maximizar el flujo a través de la red de distribución de una compañía desde sus fábricas hasta sus clientes. 2. Maximizar el flujo a través de la red de suministros de una compañía de proveedores a las fábricas. 3. Maximizar el flujo de petróleo por un sistema de tuberías. 4. Maximizar el flujo de agua a través de un sistema de acueductos 5. Maximizar el flujo de vehículos por una red de transporte.

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En algunas de estas aplicaciones, el flujo a través de la red se puede originar en más de un nodo y también puede terminar en más de uno, aunque el problema de flujo máximo puede tener solo un origen y un destino.

2.5 Problema de flujo de costo mínimo. El problema del flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los modelos de optimización de redes; primero, abarca una clase amplia de aplicaciones y segundo, su solución es muy eficiente. Toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos. Considera un costo (o distancia) para el flujo a través de un arco. Puede manejar varios orígenes (nodo fuente) y varios destinos (nodos demanda) para el flujo, de nuevo con costos asociados. La razón por la que el problema de flujo de costo mínimo se puede resolver de modo tan eficiente es que se puede formular como un problema de programación línea y es posible resolverlo con una versión simplificada del método simplex llamada método simplex de redes.

A continuación, se describe el problema del flujo de costo mínimo. 1. La red es una red dirigida y conexa. 2. Al menos uno de los nodos es un nodo fuente. 3. Al menos uno de los nodos es un nodo de demanda. 4. El resto de los nodos son nodos de trasbordo. 5. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco 6. La red tiene suficientes arcos con suficiente capacidad para permitir que todos los flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos de demanda. 7. El costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad.

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8. El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de la red para satisfacer la demanda dada. (Un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del envío.)

Objetivo Tal vez el tipo más importante de aplicación del problema del flujo de costo mínimo es en la operación de la red de distribución de una compañía. Este tipo de aplicación siempre incluye determinar un plan para enviar bienes desde las fuentes (fábricas, etc.) a las instalaciones de almacenamiento intermedias (según se necesite) y después a los consumidores. Siendo así, el objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos a través de la red para satisfacer la demanda dada. Por ejemplo, considere la red de distribución de la International Paper Company (descrita en el número de marzo-abril de 1988 de Interfaces). Esta compañía es el mayor fabricante en el mundo de pulpa, papel y productos de papel, lo mismo que un importante productor de madera y triplay. Los nodos fuente en su red de distribución son esos bosques en los distintos lugares. Sin embargo, antes de que los bienes de la compañía puedan llegar a los nodos de demanda (clientes), la madera debe pasar por una larga secuencia de nodos de trasbordo. Una trayectoria típica por la red de distribución es:

Bosques

Maderería

Aserradero

Fábrica de papel

Plantas transformadoras

Almacenes Consumidores

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¿Cómo se realiza? Para la formulación del modelo considere una red conexa dirigida en la que los n nodos incluyen al menos un nodo origen y al menos un nodo destino. Las variables de decisión son:

xij= flujo a través del arco i→j, y la información dada incluye cij=costo por unidad de lujo a través del arco i→j, uij= capacidad del arco i→j, bj= flujo neto generado en el nodo i. El valor de bi depende de la naturaleza del nodo i, en donde bi>0, si i es un nodo fuente, bi>0, si i es un nodo de demanda, bi=0, si i es un nodo de trasbordo.

El objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos disponibles a través de la red para satisfacer la demanda dada. Usando la convención de que las sumas se toman sólo sobre arcos existentes, la formulación de programación lineal de este problema es:

Minimizar sujeta a para cada nodo i, y para cada arco i→j.

La primera suma en las restricciones de los nodos representa el flujo total que sale del nodo i mientras que la segunda representa el flujo total que entra al nodo i; así, la diferencia es el flujo neto generado en este nodo. No se garantiza que el problema posea soluciones factibles; esto depende en parte de qué arcos están presentes en la red y de sus capacidades. Propiedades de soluciones factibles: una condición necesaria para que un problema de flujo de costo mínimo tenga soluciones factibles es que 18

Es decir, el flujo total generado en los nodos origen es igual al flujo total absorbido por los nodos de destino. Si los valores de bi que se dan en alguna aplicación violan esta condición, la interpretación más común es que los recursos o las demandas (lo que tenga el exceso) representan en realidad cotas superiores y no cantidades exactas. Cuando esta situación se presente, se aumenta un destino ficticio para recibir los recursos que sobraban o bien se aumenta un origen ficticio para mandar el exceso de demanda. El paso análogo en este caso es que debe agregarse un nodo de demanda ficticio para absorber el exceso de recursos (se agregan arcos con cij=0 desde todos los nodos origen hasta este nodo), o bien debe agregarse un nodo origen ficticio para generar u flujo equivalente al exceso de demanda (se agregan arcos con cij=0 de este nodo a todos los nodos de demanda).

2.6 Programación lineal en teoría de redes. La programación lineal es actualmente la técnica matemática utilizada más actualmente gracias a que el algoritmo simplex es muy eficiente y al desarrollo de la computación. Lo que se busca con la aplicación de la programación lineal es resolver problemas comunes y a la vez muy variados de la empresa en donde en general se tienen necesidades por satisfacer con cierto número de recursos limitados o escasos y con el objetivo de lograrlo en forma óptima. Ejemplo Una empresa ha dejado de fabricar ciertos productos, liberando de esta forma las cargas de producción que tenían sus equipos en los departamentos de maquinado. Ahora se tienen horas máquina que se pueden utilizar en los productos denominados 1,2,3 de la siguiente manera: Máquina Horas por pieza de producto Horas Maq. Disponibles 1 2 3 por semana Fresadora 9 3 5 500 19

Torno 5 4 - 350 Rectificadora 3 - 2 150 Utilidad $/ pieza 50 20 25 Recomendación del Mínimo Mínimo Mínimo Depto. Vtas a Prod. 30 15 20 Formular un modelo de Programación Lineal para este problema 

Definición de variables a utilizar en el método de programación lineal

Sea: Xj = número de piezas de producto j(j=1,2,3) a fabricar para maximizar la utilidad. 

Función económica y objetivo:

MAX Z= 50X1 + 20X2 + 25X3 [ (Dls/Unidad) (Unidad/Sem)] = [Dls/Sem.] Sujeta a restricciones de horas máquina disponibles por semana Fresadora: 9X1 + 3X2 + 5X3 * 500 horas máquina fresadora Torno: 5X1 + 4X2 * 350 horas máquina torno Rectificadora: 3X1 + 2X3 * 150 horas maquina rectificadora Condiciones de signos pare las variables: X1 * 30 piezas X2 * 15 piezas X3 * 20 piezas 3.7 USO DE SOFTWARE Un minero ha quedado atrapado en una mina, la entrada a la mina se encuentra ubicada en el nodo 1, se conoce de antemano que el minero permanece atrapado en el nodo 9, para llegar a dicho nodo hay que atravesar una red de túneles que van conectados entre sí. El tiempo de vida que le queda al minero sin recibir auxilio es cada vez menor y se hace indispensable hallar la ruta de acceso al nodo 9 más corta. Las distancias entre nodos de la mina se encuentran en la siguiente gráfica dadas en cientos de metros. Resuelva mediante cualquier paquete de herramientas de investigación operativa que permita establecer la ruta más corta para poder así auxiliar al minero. 20

PASO A PASO

Primero

se

debe

ingresar

al

módulo

Network Modeling del

paquete WinQSB, una vez nos encontremos en este aparecerá el menú que se muestra en la siguiente gráfica, menú en el cual tendremos

que

opción Shortest

seleccionar

la

Path

Problem(Problema de la ruta más corta).

Además, en este menú emergente debemos de ingresar la cantidad de nodos que conforman la red del problema y tenemos la posibilidad de asignarle un nombre al mismo, en nuestro caso la cantidad de nodos de la red es igual a 9; click en OK y aparecerá la siguiente ventana.

21

En esta ventana se debe ingresar la magnitud de cada ramal correspondiente a cada relación entre los nodos, tal como veremos a continuación.

Damos click en Solve and Analize y tendremos un menú emergente en

el

cual

tendremos

que

seleccionar el nodo fuente y el nodo destino, tal como se muestra en la siguiente gráfica.

Una vez efectuada la selección tendremos la opción de ver el tabulado final y la opción de ver un paso a paso gráfico; para el tabulado final click en SOLVE y para el paso a paso click en SOLVE AND DISPLAY STEPS.

22

Podemos cotejar la solución que obtuvimos al plantear este problema como un modelo de transbordo con esta solución. La eficiencia se encuentra determinada en escoger la herramienta adecuada para resolver el problema planteado.

23

CONCLUSIÓN.

Existen diversos problemas de flujo en una red, podemos citar algunos mencionados en los primeros capítulos tales como: problema de flujo máximo, de la ruta más corta, problema de asignación, problema de transporte o el problema de circulación, los cuales, luego de alterar adecuadamente sus restricciones, pueden ser resueltos como problemas de flujo de costo mínimo. Durante la ejecución del algoritmo, se mantiene un pseudoflujo x que satisface las condiciones de optimización y se aumenta una cantidad determinada de flujo a través de la ruta más corta desde los nodos de exceso hasta los nodos de demanda en la red residual G(x) Existen problemas que a simple vista no parecieran poder modelarse como una red, pero una vez logrado tal modelamiento, es posible resolverlos con los algoritmos mencionados a lo largo del presente trabajo investigativo.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

Frederick S. Hiller y Gerald J. Liberman. Investigación De Operaciones. McGrawHill. Séptima Edición. 2002. Hamdy A. Taha. Investigación De Operaciones. Ediciones Alfaomega. Cuarta Edición. 1991 https://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingenieroindustrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/teor%C3%ADa-de-redes/ https://es.slideshare.net/herovalrey/optimizacion-de-redes

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