• Author / Uploaded
• Elvis Santiago Enrique

Citation preview

DOCENTE: Mg. MARIANO SANTIAGO, Heli ASIGNATURA: Métodos Numéricos INTEGRANTES: ALBORNOZ CORI, Joel

ESTEBAN FARFAN, Ricardo HILARIO RENTERA, Frank POZO EVANGELISTA, Lenin SANTIAGO ENRIQUE, Elvis SERRANO NOLASCO, Yenina

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

1

Ing. Civil diciembre 2016

• Por novedoso que parezca, el MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF) tuvo su origen basándose en el cálculo diferencial e integral propuesto y desarrollado por Sir Isaac Newton. • El MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS es un método numérico para la solución de problemas de alto grado de complejidad. En ingeniería civil, se emplea principalmente en el análisis de estructuras, donde se involucran geometrías complejas, variedad de cargas y distintos materiales, haciéndose complicado obtener una solución analítica directa con expresiones matemáticas. • La formulación que se propone por medio del uso del MEF permite que el problema sea planteado como una serie de ecuaciones simultáneas relativamente sencillas en lugar de requerir la resolución de ecuaciones diferenciales mucho más complejas. • Mediante el MEF se obtiene valores aproximados para las incógnitas, donde la exactitud de los resultados depende directamente del número de elementos usados en la división o “discretización” del elemento continuo original.

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

3

• La idea general del MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS es la discretización (división) de un elemento continuo en un conjunto de pequeños elementos (elementos finitos) interconectados por una serie de puntos llamados nodos. Las ecuaciones que rigen el comportamiento del elemento continuo regirán también en el elemento finito. • El objetivo es pasar de un sistema continuo del problema inicial con infinitos grados de libertad, cuyo comportamiento es regido por un sistema de ecuaciones diferenciales, a otro sistema con un número finito de grados de libertad cuyo comportamiento se modela por un sistema de ecuaciones lineales, el cual puede ser resuelto mediante el MÉTODO MATRICIAL DE LA RÍGIDEZ.

• Como ya se mencionó, los elementos finitos se definen por un número discreto de puntos llamados nodos, y sobre estos nodos se materializan las incógnitas fundamentales del problema. En el caso de elementos estructurales, estas incógnitas son los desplazamientos nodales, ya que a partir de estos podemos determinar el resto de incógnitas que nos interesan, como: tensiones y momentos. A todas estas incógnitas se les denomina grados de 4 libertad de cada nodo del problema. INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES…….Discretiza en puntos

ELEMENTOS BIDIMENSIOANLES…….Discretiza en áreas (rectángulos, triangulos)

ELEMENTOS TRIDIMENCIONALES…….Discretiza en volumenes (tetraedro)

1. CASO BARRA SIMPLE

a) UN SOLO ELEMENTO FINITO:

𝑓1 = 𝐾 𝑢1 − 𝑢2 𝑓2 = 𝐾 𝑢2 − 𝑢1

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

⟶

GL=2 ⟹ 𝐾

𝑓1 = 𝐾𝑢1 − 𝐾𝑢2 𝑓2 = −𝐾𝑢1 + 𝐾𝑢2

⟶

2×2

𝑓1 𝐾 = 𝑓2 −𝐾

−𝐾 𝑢1 𝐾 𝑢2

⟹ 𝐹 = K u

6

GL=3 ⟹ 𝐾

b) DOS ELEMENTOS FINITOS:

3×3

´´

´

𝑓2 = 𝑓2 ´ + 𝑓2 ´´

BARRA I : 𝑓1 𝐾 = 1 𝑓2 ´ −𝐾1

−𝐾1 𝑢1 𝐾1 𝑢2

⟶

𝑓1 𝐾1 𝑓2´ = −𝐾1 𝑓3 0

−𝐾1 𝐾1 0

0 𝑢1 0 𝑢2 0 𝑢3

BARRA II : 𝑓2 ´´ 𝐾 = 2 −𝐾2 𝑓3

𝑓1 0 0 ⟶ 𝑓2 ´´ = 0 𝐾2 0 −𝐾2 𝑓3

−𝐾2 𝑢2 𝐾2 𝑢3

0 −𝐾2 𝐾2

𝑢1 𝑢2 𝑢3

MATRIZ GLOBAL (ENSAMBLE): 𝑓1 𝐾1 𝑓2 = −𝐾1 0 𝑓3

−𝐾1 𝐾1 + 𝐾2 −𝐾2

𝑢1 0 −𝐾2 𝑢2 𝐾2 𝑢3 7

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

c) n ELEMENTOS FINITOS: GL=n+1 ⟹ 𝐾

𝑛+1 × 𝑛+1

GENERALIZANDO:

𝑓1 𝑓2 𝑓3 = ⋮ 𝑓𝑛

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

𝐾1

−𝐾1

0

0

⋯

0

−𝐾1

𝐾1 + 𝐾2

−𝐾2

0

⋯

0

0 0

−𝐾2 0

𝐾2 + 𝐾3 0

−𝐾3 𝐾3 + 𝐾4

⋯ ⋯

0 0

⋯

⋯

⋯

⋯

⋱

𝐾𝑛

0

0

0

0

𝐾𝑛

𝐾𝑛

𝑢1 𝑢2 𝑢3

8

TIPOS DE ELEMENTOS FINITOS DENTRO DEL CAMPO ESTRUCTURAS

ELEMENTO ARMADURA

Es una barra recta que esta diseñada para soportar cargas axiales, por ende solo tendrá deformaciones en ese eje. Las dimensiones de la sección transversal debe ser arbitraria, pero debe de ser mucho menor que la dimensión de su eje axial. No soporta cargas transversales a su eje. Cada nodo tiene 1gl.

ELEMENTO VIGA

Esta se deforma en la dirección perpendicular a su eje axial. Este soporta cargas transversales al eje. Cada nodo tiene 3 gl.

Depende de las cargas que actúan en los elementos y de su comportamiento

ELEMENTO MARCO

Posee propiedades del elemento viga y elemento armadura, porque puede deformarse ttansvesamente como axialmente. Es el elemento ideal para modelar estructuras. En cada nodo existen 6gl.

ELEMENTO SOLIDO 2D

Acepta solo cargas transversales, que implica deformación en el plano . Las estructuras que se pueden modelar son: Muros de cargas de edificios, sujeto a carga por peso propio y cargas vivas. Ejem. Tabiquerías.

ELEMENTO PLACA

Utilizado para el análisis de flexiones. Recibe cargas perpendiculares al plano.

ELEMENTO CASCARON

ELEMENTO SOLIDO

Un elemento cascaron soporta cargas que actúa en todas direcciones , acepta flexiones fuera del plano.

Este elementos puede tener cualquier forma. Tiene seis componentes de esfuerzos, : tres normales y tres cortantes. Tiene la forma de hexaedro o tetraedro con superficies curvas o planas.

Comúnmente, para determinar los esfuerzos y desplazamientos en sistemas mecánicos. Problemas, entre ellos Transferencia de calor, dinámica de fluidos, y electromagnetismo En Análisis Estructural

MEDICINA

ANÁLISIS Y DISEÑO DE FIJADORES EXTERNOS CON TRANSPORTACIÓN ÓSEA Las geometrías de producir un dispositivo (fijador) eficiente para

la distracción óseas

mecanismos de transportación óseas

fueron realizadas tomando en cuenta los requerimientos médicos

ingenieriles

Para generar la malla por el método de elementos finitos, se utilizó el software comercial NSC/Nastran (NSC/Nastran, 1997).

Mecanismo de transportación doble frontal

Mecanismo de transportación doble frontal sometido a fuerzas pico

INGENIERÍA

EN LA INDUSTRIA DE LA INGENIERÍA MECÁNICA (aeronáutica, biomecánica, y las industrias automotrices) Usan

Análisis de Elementos Finitos integrado en el diseño y desarrollo de sus productos

Detallada visualización de en donde las estructuras se doblan o tuercen, e indica la distribución del esfuerzo y los desplazamientos

PERMITE

Los programas computacionales

un amplio rango de opciones de simulación para controlar la complejidad de ambos, el modelado y el análisis de un sistema

La construcción de diseños enteros, su refinación y la optimización de éstos antes de que el diseño sea manufacturado.

EN LA INDUSTRIA DEL ACERO; ANALISIS DEL COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL Y FUNCIONAL DE PRODUCTOS TUBULARES.

INGENIERÍA

estos modelos fueron validados

utilizados INDUSTRIA DEL PETRÓLEO

mediante

RESULTADOS NUMÉRICOS

malla de elementos finitos

la comparación

su correspondiente

RESULTADOS EXPERIMENTALES

Tubos para pozos petroleros, sus uniones.

esquema de una unión cuplada

Tubos de conducción de gas y petróleo.

1. Discretizar el elemento continuo (dominio)

2. Escribir la matriz de rigidez local para cada elemento finito del dominio 3. Ensamblar la matriz global de rigidez para todo el elemento continuo 4. Aplicar las condiciones de frontera 5. Resolver el sistema de ecuaciones para determinar los desplazamientos 6. Post-proceso: una vez determinada los desplazamiento se calcula los esfuerzos axiales, cortantes y momentos. INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

16

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

17

Ejemplo aplicativo: Usar dos elementos para determinar el esfuerzo en el extremo de una barra cuya área es :

𝐴 = 3.141 × 10−4; 𝐸 = 200𝐺𝑃𝑎

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

18

1. Discretizamos elelemento continuo:

𝑢1 = 0 𝐹2 = 0 𝐹3 = 60 × 103 𝑁 𝐹1 = ? 𝑢2 = ? 𝑢3 =?

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

19

2. Escribir la matriz de rigidez local para cada elemento finito del dominio 𝐾𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =

𝐾=

𝐸𝐴 𝐿𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

=

𝐾 −𝐾

200 × 109

−𝐾 𝐾

𝑁 3.141 × 10−4 𝑚2 2 𝑚 0.025𝑚

𝐾 = 2.5128 × 109

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

𝑁 𝑚

20

Elemento 1:

9 9 𝑢1 𝑓1 = 2.5128 × 10 9 −2.5128 × 109 𝑢 𝑓2 −2.5128 × 10 2 2.5128 × 10

Elemento 2: 9 9 𝑢2 𝑓2 = 2.5128 × 10 9 −2.5128 × 109 𝑢 𝑓3 −2.5128 × 10 3 2.5128 × 10

Elemento 3:

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

21

3. Ensamblar la matriz global de rigidez para todo el elemento continuo

𝑢1 𝑓1 2.5128 × 109 −2.5128 × 109 0 𝑓2 = −2.5128 × 109 2.5128 × 109 + 2.5128 × 109 −2.5128 × 109 𝑢2 𝑓3 0 −2.5128 × 109 2.5128 × 109 𝑢3 4. Aplicar las condiciones de frontera

𝐹1 = −2.5128 × 109 𝑢2 5.025 × 109 −2.5128 × 109 𝑢2 = 60 × 103 −2.5128 × 109 2.5128 × 109 𝑢3 0

Resolviendo tenemos: 𝑢1 = 0; 𝑢2 = 2.3885 × 10−5; 𝑢3 = 4.7776 × 10−5

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

22

6. Post-proceso: una vez determinada los desplazamiento se calcula los esfuerzos axiales, cortantes y momentos.

𝜎3 = 𝐸 × 𝜀 𝜎3 = 𝐸 ×

𝑢3 𝐿

−4 𝑁 0.4771 × 10 𝜎3 = 200 × 109 2 × 𝑚 0.05𝑚

𝜎3 = 191.040𝑀𝑃𝑎

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

23

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

24

Ejemplo aplicativo: Calcular los elementos de la segunda columna de la matriz de rigidez de una barra de sección constante de longitud L, para las coordenadas indicadas en la figura, empleando la formulación de elementos finitos. Teniendo como consideración las 6 líneas de influencia.

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

25

RESOLUCIÓN Factores de forma de las líneas de influeincia: 𝜙1 𝑥 = 1 −

𝑋 𝐿

𝑋2 𝑋3 𝜙2 𝑥 = 1 − 3 2 + 2 3 𝐿 𝐿 𝑋 𝜙3 𝑥 = 𝑋 1 − 𝐿 𝜙4 𝑥 =

2

𝑋 𝐿

𝑋2 𝑋 𝜙5 𝑥 = 2 3 − 2 𝐿 𝐿 𝑋2 𝑋 𝜙6 𝑥 = − 2 1 − 𝐿 𝐿 INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

26

RESOLUCIÓN 𝐿

𝑘 𝑖,𝑗 = 0



𝐸𝐼𝜙𝑖´´

𝑥

𝜙𝑗´´

𝑥

𝑑𝑥

Calculo de k(1,2): 𝐿

𝑘 1,2 =

𝜙1

𝑥

=1−

𝑥 ⟹ 𝐿

0

𝐸𝐼𝜙1´´

𝜙1´

𝑥

𝑥

𝜙2´´

=−

𝑥

𝑑𝑥

1 ⟹ 𝐿

𝜙1´´

𝑥

=0

𝑘 (1,2) = 0 INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

27



Calculo de k(2,2): 𝐿

𝑘 2,2 = 𝜙2

𝑥

3𝑥 2 2𝑥 3 =1− 2 + 2 ⟹ 𝐿 𝐿

0

𝜙2´ 𝐿

𝑘 2,2 =

0 𝐿

𝑘

= 𝐸𝐼

2,2

0

𝐿

𝑘 2,2 = 𝐸𝐼 0

𝑘 2,2 INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

𝑥

𝐿

𝑥

𝜙2´´

𝑥

𝑑𝑥

6𝑥 6𝑥 2 =− 2+ 3 ⟹ 𝐿 𝐿

6 12𝑥 𝐸𝐼 − 2 + 3 𝐿 𝐿

𝜙2´´

𝑥

=−

6 12𝑥 + 𝐿2 𝐿3

2

𝑑𝑥

36 144𝑥 144𝑥 2 − 5 + 𝑑𝑥 𝐿4 𝐿 𝐿6

36𝑑𝑥 − 𝐸𝐼 𝐿4

36𝑥 = 𝐸𝐼 4 𝐿

𝐸𝐼𝜙2´´

𝐿 0

144𝑥 𝑑𝑥 + 𝐸𝐼 𝐿5

144𝑥 2 − 𝐸𝐼 5 𝐿 ×2 0

𝐿

𝐿 0

144𝑥 2 𝑑𝑥 𝐿6

144𝑥 3 + 𝐸𝐼 6 𝐿 ×3 0

𝐿

0 28

𝑘 2,2 = 𝐸𝐼 ×

36 72 48 − + 𝐿3 𝐿3 𝐿3

𝑘 2,2 = 12 

𝐸𝐼 𝐿3

Calculo de k(3,2): 𝐿

𝑘 3,2 =

0

𝜙2´´ 𝑥

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

𝐸𝐼𝜙3´´

𝑥

𝜙2´´

𝑥

𝑑𝑥

6 12𝑥 =− 2+ 3 𝐿 𝐿

29

𝑥 2 𝜙3 = 𝑥 1 − 𝐿 2 4𝑥 3𝑥 4 6𝑥 𝜙3´ 𝑥 = 1 − + 2 ⟹ 𝜙3´´ 𝑥 = − + 2 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 4 6𝑥 6 12𝑥 𝑘 3,2 = 𝐸𝐼 × − + 2 − 2 + 3 𝑑𝑥 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 0 𝐿

𝑘 3,2 𝑘 3,2

24 84𝑥 72𝑥 2 𝑘 3,2 = 𝐸𝐼 𝑑𝑥 3 − 𝐿4 + 𝐿5 𝐿 0 𝐿 𝐿 𝐿 24 84𝑥 72𝑥 2 = 𝐸𝐼 3 𝑑𝑥 − 𝐸𝐼 4 𝑑𝑥 + 𝐸𝐼 5 𝑑𝑥 𝐿 𝐿 𝐿 0 0 0 24𝑥 = 𝐸𝐼 × 3 𝐿

𝐿

𝐿

84𝑥 2 72𝑥 3 − 𝐸𝐼 × 4 + 𝐸𝐼 × 5 𝐿 × 2 𝐿 ×3 0 0

𝐿 0

24 42 24 − + 𝐿2 𝐿2 𝐿2 6𝐸𝐼 𝑘 3,2 = 2 𝐿

𝑘 3,2 = 𝐸𝐼

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

30



Calculo de k(4,2): 𝐿

𝑘 4,2 =

0

𝐸𝐼𝜙4´´

𝑥

𝜙2´´

𝑥

𝑑𝑥

6 12𝑥 =− 2+ 3 𝐿 𝐿 𝑥 𝜙4 = 𝐿 1 = ⟹ 𝜙4´´ 𝑥 = 0 𝐿 𝑘 4,2 = 0

𝜙2´´ 𝑥

𝜙4´



𝑥

Calculo de k(5,2): 𝐿

𝑘 5,2 =

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

0

𝐸𝐼𝜙5´´

𝑥

𝜙2´´

𝑥

𝑑𝑥

31

𝜙2´´ 𝜙5

𝑥

𝐿

𝑘 5,2 =

6 12𝑥 − 3 𝐿2 𝐿

𝐸𝐼 0

𝐿

𝑘 5,2 = 𝐸𝐼 0

𝐿

𝑘 5,2 = −𝐸𝐼 𝑘 5,2

0

𝑥

6 12𝑥 + 3 𝐿2 𝐿 𝑥2 2𝑥 = 2 3− 𝐿 𝐿 =−

6 12𝑥 + 3 𝑑𝑥 𝐿2 𝐿

144𝑥 2 144𝑥 36 − + 5 − 4 𝑑𝑥 𝐿6 𝐿 𝐿

144𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝐸𝐼 𝐿6

48𝑥 3 = −𝐸𝐼 6 𝐿

𝐿 0

144𝑥 𝑑𝑥 − 𝐸𝐼 𝐿5

𝐿

𝐿

72𝑥 2 36𝑥 + 𝐸𝐼 5 − 𝐸𝐼 4 𝐿 0 𝐿 0

𝑘 5,2 = 𝐸𝐼 − INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

−

𝐿 0

36 𝑑𝑥 𝐿4

𝐿 0

48 72 36 + − 𝐿3 𝐿3 𝐿3

𝑘 5,2 =

−12𝐸𝐼 𝐿3

32



Calculo de k(6,2): 𝐿

𝑘 6,2 = 0

𝑘

𝑥

6,2

6,2

= 𝐸𝐼 0 𝐿

𝑘 6,2 = −𝐸𝐼 INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

𝑥

𝑑𝑥

=−

𝐿

𝑘

𝑥

𝜙2´´

6 12𝑥 + 3 𝑥 𝐿2 𝐿 𝑥2 𝑥 𝜙6 𝑥 = − 1− 𝐿 𝐿 3𝑥 2 2𝑥 6𝑥 2 ´´ = 2 − ⇒ 𝜙6 𝑥 = 2 − 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 6𝑥 2 6 12𝑥 = 𝐸𝐼 2 − − 2 + 3 𝑑𝑥 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 0 𝜙2´´

𝜙6´

𝐸𝐼𝜙6´´

0

60𝑥 12 72𝑥 2 − 4 + 3 + 5 𝑑𝑥 𝐿 𝐿 𝐿

60𝑥 𝑑𝑥 + 𝐸𝐼 𝐿4

𝐿 0

12 𝑑𝑥 + 𝐸𝐼 𝐿3

𝐿 0

72𝑥 2 𝑑𝑥 𝐿5 33

𝑘 6,2

30𝑥 2 = −𝐸𝐼 4 𝐿 𝑘 6,2

𝐿

12𝑥 + 𝐸𝐼 3 𝐿 0

𝐿

72𝑥 3 + 𝐸𝐼 5 𝐿 ×3 0

𝐿 0

30 12 24 = 𝐸𝐼 − 2 + 2 + 2 𝐿 𝐿 𝐿 𝑘 6,2 =

6𝐸𝐼 𝐿3

RESUMEN: 𝑘 1,2 = 0 𝐸𝐼0 𝐿3 6𝐸𝐼 𝑘 3,2 = 2 𝐿 𝑘 4,2 = 0

𝑘 2,2 = 12

−12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 = 3 𝐿

𝑘 5,2 = INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

𝑘 6,2

34

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

35

Discretica el sistema continuo Definir el S.C.G

Determinar Fzas fijación o problema primario {qf }

Calcular las fuerzas finales

qF =qs+qf

Resolver el problema secundario

Definir el S.C.L Deformada

Calcular el vector d =[A]*D

Definir la matriz de compatibilidad [A] Calcular el P. secundarios qs

Diagrama fuerza cortante

=[K]*d

Determinar [k]

Determinar [K] =[A]T*k*[A]

Determinar Fzas fijación {qf}

Determinar Fzas equivalentes {Q}

Calcular el vector D =[K]-1*Q

Diagrama de fuerza axial

Diagrama Momento flector

288 X 12

288 X 12

NUDOS Y ELEMENTOS

COORDENADAS GLOBALES

DEFORMADA

COORDENADAS LOCALES

MOMENTO FLECTOR, TORSOR; FUERZA CORTANTE, FUERZA AXIAL.

REACCIONES

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

47

El método de los elementos finitos es un método numérico bastante necesario para la solución de problemas de ingeniería estructural, ya que nos proporciona todos los datos necesarios que se requiere. Los programas que ejecutan el método son el SAP2000 y el MATLAB, por el cual al ejecutar un problema en dichos programas obtendremos valores de las cuales son similares, en el caso del SAP2000 el programa el nos arroja valores mas precisos.

INTRODUCCION AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

48