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RELACIONES y FUNCIONES

una bola y una moneda en este orden, escribir un conjunto que muestre las distintas posibilidades para este suceso.

Producto Cartesiano Dados dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano al conjunto de todos los pares posibles de elementos, tomando el primer elemento del par del conjunto A y el segundo elemento del par del conjunto B. Por esta razón decimos que los pares son ordenados. Simbólicamente expresamos: A x B = {(x, y) / x  A, y  B} Los conjuntos A y B pueden ser un único conjunto, en cuyo caso tendremos A x A que se puede expresar con A2 . En consecuencia: A x B  B x A, dado que el par (x, y) no es igual al par (y, x) por ser ordenados. Luego el producto cartesiano no es conmutativo o

Plano cartesiano: Todo par ordenado escrito con números representa un punto del plano, donde la primera componente (el primer número) recibe el nombre de abscisa (eje x) y la segunda componente recibe el nombre de ordenada (eje y). Los pares ordenados ( 3 , 4 ) y ( 5 , 2 ) están representados en el siguiente plano cartesiano (gráfico):

Ejemplo: Determinar A x B si se tiene que :

A= {1,2,4}

Abscisa : X

B={a,b,c}

Ordenada . Y

AxB= Determinar: o Si A = {Juan, Pedro, Jorge} B= {María, Gloria} Determinar las parejas que se pueden formar. o

Si lanzamos primero un dado y luego una moneda, encontrar un conjunto que indique las distintas posibilidades de caída de ambos, dado y moneda en ese orden.

o

Una caja contiene 3 bolas de colores rojo, verde y blanco, y dos monedas de 1 sol y dos soles. Si se secan cada vez,

Ejemplo:

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.

Relación: Una relación del conjunto A en el conjunto B, es una regla que asigna a elementos del conjunto A uno o varios elementos del conjunto B. dicha regla puede escribirse como un conjunto de parejas ordenadas y es por tanto un sub. Conjunto de A x B. R: A B

 R  AxB

Ejemplo : Sean A = {x / x ÎR 1 < x £ 3 },

B = {x / x ÎR - 2  x < 2 }.

Su representación geométrica es:

El conjunto de pares ordenados que forman parte de R están formados por un elemento del primer conjunto y un elemento del segundo conjunto, en ese orden y satisfacen la condición que define esa relación:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR.

Al cambiar el orden de los elementos del par ordenado, debe invertirse la definición de la relación para que el resultado sea verdadero, obteniéndose una relación inversa a la dada.

Para el ejemplo anterior:

Dominio de una Relación.- Se llama dominio de una relación de A en B al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de una relación. Se denotan por Dom(R) y se simbolizan. R : A – B entonces Dom (R) = {x A/ B , (x,y)  R} Rango de una Relación.- Se denomina rango de una relación de A en B al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación. Se denota por Rang (R) y se simboliza: R : A – B entonces Rang (R) = {y A/ A , (x,y)  R} Representación grafica del dominio y rango de una relación

Ejercicios : Dado el conjunto A = {1,2,3,4,5} Hallar el dominio y el Rango de: R1= {(x,y)  AxA/ x + y = 8} Ejemplos: Sean A={1,2,3} y B={2,4,5,6} Se pueden formar las siguientes relaciones: R1= {(1,4),(2,5)(2,6)} R2= {(2,2),(3,4)} R3= {(x,y) AxB/ 2x+y6} R4= {(x,y) AxB/ x+y=7}

Hallar: P=(Sum elem. del Dom R2) – (Sum elem. del Rang R2) donde: R2 = {(x,y)  AxA / x + y 4 } Hallar Q=(Sum elem. del Rang R3)x(Número de elem. del Rang.R3) Donde: R3 = {(x,y)  AxA / 2x + y 6 } Relación Inversa.- Dada una relación directa de A en B denotada por: R = {(x,y)  AxB/ Sxy} se denomina relación inversa de R, al conjunto definido por: R-1 = {(y,x)  BxA / (x,y)  R}

Es decir: Dom (R-1)= Rang R Rang (R-1)= Dom R Ejemplo: Sea el conjunto B = {0, 2, 4,5} Determinar: S = (sum de los elem. Dom R4-1)- (sum de los elem.Rang 5-1) Sabiendo que: R4 = {(x,y)  BxB / x + y 6 } R5 = {(x,y)  BxB / 2x  y }

Relación transitiva .- La relación es transitiva si se cumple que de existir en la relación un par ordenado (x,y) y otro par ordenado (y,z) en la relación esta será transitiva si a su vez también exista en la relación el par ordenado (x,z) . Ejemplo Dado A = {2, 4, 6, 3} la siguiente relación en A2 es transitiva

R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}

Clases de Relaciones:

EJERCICIOS:

Relación Reflexiva.- una relación es reflexiva si todos los elementos del conjunto tienen su reflejo en la relación. R: A – A es reflexiva  Para todo x  A entonces (x,x)  R

Indicar si las relaciones mostradas son REFLEXIVA, SIMETRICA O TRANSTIVA 1.- Sea el conjunto A = { 1 , 2 , 3 } y la relación formada en A2

Relación Simétrica .- una relación es simétrica si la en la relación cada par ordenado tiene su inversa de faltar un inverso la relación deja de ser simétrica. R: A – A es simétrica  (x,y)  R entonces existe un (y,x)  R para todo par ordenado de la relación.

R = { (1,1) , (1 , 3) , (2 , 1) , (2 , 3) , (3 , 1) , (3 , 3) } transitiva ……………………………………. 2.- Sea el conjunto Sea H = {1, 3, 5}. y la relación formada en H2 R = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} reflexiva

Ejemplo Dado A = {3, 4, 2} la siguiente relación en A2 es simétrica R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)

………………………………………………. 3- En el conjunto E = {a, b, c} y la relación formada en E2 R = {(a, a), (a, b), (b, a)} simetrica

……………………………………………….

e) f)

4- En el conjunto C = {a, b, c} y la relación formada en C2

4.- Dados A = {2,3,4,5} y B = {4,6,9},  la relación tal que "x + y 8” , determine: a) Conjunto Solución b) Dominio, c) rango d) Diagrama de Venn-Euler e) Diagrama de coordenadas.

R = {(a, a), (a, b), (b, c), (a, c)} transitiva ………………………………………………. 5.- Sea el conjunto D = {1, 2, 3} y la relación formada en D2 R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3)} reflexiva ……………………………………………….

EJERCICIOS 1.- Dados los conjuntos A = {x/x  N B = {x/x  Z -2 = x < 2}

x