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PROBLEMARIO CORREGIDO DE INTERVALOS DE CONFIANZA [Subtítulo del documento]

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Índice Introducción………………………………………………………………………………2 Problemario………………………………………………………………………………4 Discusión…………………………………………………………………………………..31 Conclusión…………………………………………………………………………………31 Bibliografía………………………………………………………………………………….31

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Introduccion Un intervalo de confianza es un rango de valores, derivado de los estadísticos de la muestra, que posiblemente incluya el valor de un parámetro de población desconocido. Debido a su naturaleza aleatoria, es poco probable que dos muestras de una población en particular produzcan intervalos de confianza idénticos. Sin embargo, si usted repitiera muchas veces su muestra, un determinado porcentaje de los intervalos de confianza resultantes incluiría el parámetro de población desconocido.

En este caso, la línea negra horizontal representa el valor fijo de la media desconocida de la población, µ. Los intervalos de confianza azules verticales que se sobreponen a la línea horizontal contienen el valor de la media de la población. El intervalo de confianza rojo que está completamente por debajo de la línea horizontal no lo contiene. Un intervalo de confianza de 95% indica que 19 de 20 muestras (95%) de la misma población producirán intervalos de confianza que contendrán el parámetro de población. Utilice el intervalo de confianza para evaluar la estimación del parámetro de población. Por ejemplo, un fabricante desea saber si la longitud media de los lápices que produce es diferente de la longitud objetivo. El fabricante toma una muestra aleatoria de lápices y determina que la longitud media de la muestra es 52 milímetros y el intervalo de confianza de 95% es (50,54). Por lo tanto, usted puede estar 95%

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seguro de que la longitud media de todos los lápices se encuentra entre 50 y 54 milímetros. El intervalo de confianza se determina calculando una estimación de punto y luego determinando su margen de error. Estimación de punto Este valor individual estima un parámetro de población usando los datos de la muestra. Margen de error Cuando usted utiliza estadísticos para estimar un valor, es importante recordar que, sin importar lo bien que esté diseñado su estudio, su estimación está sujeta a error de muestreo aleatorio. El margen de error cuantifica este error e indica la precisión de la estimación. Usted probablemente ya entiende el margen de error, porque está relacionado con los resultados de las encuestas. Por ejemplo, una encuesta política podría indicar que el nivel de popularidad de un candidato es de 55% con un margen de error de 5%. Esto significa que el nivel de popularidad real es +/- 5% y, por lo tanto, se ubica entre 50% y 60%. Para un intervalo de confianza bilateral, el margen de error es la distancia desde el estadístico estimado hasta cada el valor del intervalo de confianza. Cuando un intervalo de confianza es simétrico, el margen de error es la mitad del ancho del intervalo de confianza. Por ejemplo, la longitud media estimada de un árbol de levas es 600 mm y el intervalo de confianza oscila entre 599 y 601. El margen de error es 1. Mientras mayor sea el margen de error, más ancho será el intervalo y menos seguro podrá estar usted del valor de la estimación de punto.

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1. Supongamos que usted tiene una muestra de tamaño n=10 de una distribución normal. Encuentre el valor, tal que solo 1% de todos los valores de t sean más pequeños n= 10 (tamaño de la muestra) Determinando los grados de libertad gl= 1-n = 9 Y 𝛼= 0.01. Dado que, queremos que solo el 1% de los valores sean t, menores, vamos a tomar en cuenta este valor, ya que es el que nos interesa que sea menor, el 1%. Buscando los valores en la tabla porcentuales de la distribución de tstudent 𝛼= 0.01 y gl= 9 =2.821

2. Un nuevo proceso para producir diamantes sintéticos puede ser operado a un nivel rentable sólo si el peso promedio de estos es mayor a .5 quilates. Para evaluar la rentabilidad del proceso, se generan seis diamantes que registran pesos de .46, .61, .52, .48, .57 y .54 quilates ¿Estas seis mediciones presentan suficiente evidencia para indicar que el peso promedio de los diamantes producidos por el proceso es más de .5 quilates? 𝑡=

Datos:

.5

= .53 s = 0.0558 n=6 µ = .5 t ≈ 1.322

quilates.

4

.53−.5 0.0558 √6

= 1.3169

T calculada es menor a la t de tablas, por lo tanto el peso promedio de los diamantes es más de .5

t = -2.015

4. Los derechos industriales y residuales descargados en nuestros ríos y arroyos absorben oxígeno y, por tanto, reducen la cantidad de oxígeno disuelto disponible para peces y otras formas de fauna acuática. Una agencia estatal requiere un mínimo de 5 partes por millón (ppm) de oxígeno disuelto para que el contenido de oxígeno sea suficiente para sostener vida acuática. Seis especímenes de agua tomadas de un río en un lugar específico durante la estación de aguas bajas (julio) dio lecturas de 4.9, 5.1, 4.9, 5.0 y 4.7 de oxígeno disuelto. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar que el contenido de oxígeno disuelto es menor a 5 ppm? Prueba usando α=0.05 Datos: = 4.93 s = 0.1366 µ=5 n=6

𝑡=

4.93−5 0.1366 √6

= −1.2552

5. Es un hecho reconocido que fumar tiene un efecto deletéreo en la función pulmonar. En un estudio del efecto de fumar sobre la capacidad de difusión del monóxido de carbono (DL) del pulmón, unos investigadores encontraron que en los fumadores actuales tenían lecturas del DL considerablemente más bajas que otros que no habían sido fumadores o que no habían sido fumadores. Las capacidades de difusión del monóxido de carbono para una muestra aleatoria de n=20 fumadores actuales aparecen a continuación: 103.768

88.602

73.003

123.086

91.052

92.295

61.675

90.677

84.023

76.014

5

100.615

88.017

71.210

82.115

89.222

102.754

108.579

73.154

106.755

90.479

a) ¿Estos datos indican que lectura media de DL para fumadores actuales es considerablemente más baja que 100 DL, que es el promedio para no fumadores? Use α=0.01 Solución: Se menciona en el problema que las lecturas de los fumadores actuales eran considerablemente más bajas de los que no habían sido fumadores o que no habían sido fumadores. Entonces, se tiene una muestra aleatoria de n=20. Entonces, se reordena la tabla considerando los valores de menor a mayor:

61.675

76.014

88.017

91.052

106.755

71.210

82.115

89.222

92.295

108.579

73.003

84.023

90.479

100.651

103.768

73.154

88.602

90.677

102.754

123.086

Con estos datos se saca la media que es de 89.22 y 90.479: Que es igual a1; este valor se busca en tablas, tomando en cuenta el valor de α=0.01 Que es: 31.821. Por lo tanto, es correcto que Estos datos indican que lectura media de DL para fumadores actuales es considerablemente más baja que 100 DL.

b) Encuentre un límite superior de confianza de una cola del 99% para la lectura media DL; para fumadores actuales. ¿este límite confirma las conclusiones del inciso a?

Datos: n=20

gl= 19

nc= 99%

6

ns=1%

1

Calculando: α100 = 0.01 𝛼

0.01

1- 2 = 1-

2

= 0.995

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