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Integrales iteradas Integral doble

´ Area de una regi´ on en el plano.

Contenido:

1

Integrales iteradas ´ Area de una regi´ on en el plano.

2

Integral doble Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coordenadas polares

C´ alculo y an´ alisis vectorial

Integrales iteradas Integral doble

´ Area de una regi´ on en el plano.

Anteriormente, se vio c´ omo derivar funciones de varias variables con respecto a una variable manteniendo constantes las dem´as variables. Empleando un procedimiento similar se pueden integrar funciones de varias variables. Por ahora, lo que interesa es extender las integrales definidas a funciones de varias variables. Por ejemplo, al considerar y constante, se puede aplicar el teorema fundamental del c´alculo para evaluar

C´ alculo y an´ alisis vectorial

Integrales iteradas Integral doble

´ Area de una regi´ on en el plano.

Anteriormente, se vio c´ omo derivar funciones de varias variables con respecto a una variable manteniendo constantes las dem´as variables. Empleando un procedimiento similar se pueden integrar funciones de varias variables. Por ahora, lo que interesa es extender las integrales definidas a funciones de varias variables. Por ejemplo, al considerar y constante, se puede aplicar el teorema fundamental del c´alculo para evaluar Z 2y 2 2 3 2xydx = x2 y ]2y 1 = (2y) y − (1) y = 4y − y. 1

De manera similar se puede integrar con respecto a y, manteniendo x fija.

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´ Area de una regi´ on en el plano.

Ejemplos: Evaluar Z x 1. (2x2 y −2 + 2y)dy. 1  Z 2 Z x 2 −2 (2x y + 2y)dy dx. 2. 1

1

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´ Area de una regi´ on en el plano.

Ejemplos: Evaluar Z x 1. (2x2 y −2 + 2y)dy. 1  Z 2 Z x 2 −2 (2x y + 2y)dy dx. 2. 1

1

La integral del ejemplo 2 es una integral iterada. Los corchetes usados en el ejemplo 2 normalmente no se escriben. Las integrales iteradas se escriben normalmente como Z b Z g2 (x) Z d Z h2 (y) f (x, y)dydx y f (x, y)dxdy. a

g1 (x)

c

h1 (y)

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Ejemplos: Evaluar Z x 1. (2x2 y −2 + 2y)dy. 1  Z 2 Z x 2 −2 (2x y + 2y)dy dx. 2. 1

1

La integral del ejemplo 2 es una integral iterada. Los corchetes usados en el ejemplo 2 normalmente no se escriben. Las integrales iteradas se escriben normalmente como Z b Z g2 (x) Z d Z h2 (y) f (x, y)dydx y f (x, y)dxdy. a

g1 (x)

c

h1 (y)

Nota: Los l´ımites interiores de integraci´ on pueden ser variables con respecto a la variable exterior de integraci´ on. Sin embargo, los l´ımites exteriores de integraci´ on deben ser constantes con respecto a ambas variables de integraci´ on. C´ alculo y an´ alisis vectorial

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´ Area de una regi´ on en el plano.

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Integrales iteradas ´ Area de una regi´ on en el plano.

2

Integral doble Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coordenadas polares

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Integrales iteradas Integral doble

´ Area de una regi´ on en el plano.

A continuaci´on, se ver´a desde una nueva perspectiva un viejo problema, el de hallar el ´area de una regi´ on plana.

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Integrales iteradas Integral doble

´ Area de una regi´ on en el plano.

A continuaci´on, se ver´a desde una nueva perspectiva un viejo problema, el de hallar el ´area de una regi´ on plana. 1. Si R est´a definida por a ≤ x ≤ b y g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x), donde g1 y g2 son continuas en [a, b], entonces el ´area de R est´a dada por Z b Z g2 (x) dydx. A= a

g1 (x)

2. Si R est´a definida por c ≤ y ≤ d y h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y), donde h1 y h2 son continuas en [c, d], entonces el ´area de R est´a dada por Z d Z h2 (y) A= dxdy. c

h1 (y)

Nota: Si los cuatro l´ımites de integraci´ on son constantes, la regi´on de integraci´ on es rectangular, como ocurre en el siguiente ejemplo. C´ alculo y an´ alisis vectorial

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´ Area de una regi´ on en el plano.

Ejemplo: Utilizar una integral iterada para hallar el ´area del rect´angulo dado por el siguiente conjunto {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 3}.

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´ Area de una regi´ on en el plano.

Integrales iteradas Integral doble

Ejemplo: Utilizar una integral iterada para hallar el ´area del rect´angulo dado por el siguiente conjunto {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 3}. Soluci´ on: Z Z 3

4

dxdy = 3u2 .

A= 2

1

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Ejemplo: Utilizar una integral iterada para hallar el ´area del rect´angulo dado por el siguiente conjunto {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 3}. Soluci´ on: Z Z 3

4

dxdy = 3u2 .

A= 2

1

Nota: La regi´on de integraci´ on en una integral iterada no necesariamente debe estar acotada por rectas.

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´ Area de una regi´ on en el plano.

Ejemplo: Utilizar una integral iterada para hallar el ´area de la regi´on limtada o acotada por las gr´aficas de f (x) = x2 y f (x) = 4x − x2

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´ Area de una regi´ on en el plano.

Ejemplo: Utilizar una integral iterada para hallar el ´area de la regi´on limtada o acotada por las gr´aficas de f (x) = x2 y f (x) = 4x − x2

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´ Area de una regi´ on en el plano.

Soluci´ on:

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Soluci´ on:

Conclusi´ on: El ´area de la regi´ on es

8 2 u . 3

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´ Area de una regi´ on en el plano.

Con frecuencia, uno de los ´ ordenes de integraci´ on hace que un problema de integraci´on resulte m´as sencillo de como resulta con el otro orden de integraci´ on.

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´ Area de una regi´ on en el plano.

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Con frecuencia, uno de los ´ ordenes de integraci´ on hace que un problema de integraci´on resulte m´as sencillo de como resulta con el otro orden de integraci´ on. Ejemplo: Dibujar la regi´ on cuya ´area est´a representada por la integral Z Z 2

4

dxdy. 0

y2

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´ Area de una regi´ on en el plano.

Integrales iteradas Integral doble

Con frecuencia, uno de los ´ ordenes de integraci´ on hace que un problema de integraci´on resulte m´as sencillo de como resulta con el otro orden de integraci´ on. Ejemplo: Dibujar la regi´ on cuya ´area est´a representada por la integral Z Z 2

4

dxdy. 0

y2

Despu´es hallar otra integral iterada que utilice el orden dydx para representar la misma ´area y mostrar que ambas integrales dan el mismo valor.

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

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Integrales iteradas ´ Area de una regi´ on en el plano.

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Integral doble Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coordenadas polares

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Se sabe que una integral definida sobre un intervalo utiliza un proceso de l´ımite para asignar una medida a cantidades como el ´area, el volumen, la longitud de arco, etc. Se usar´a un proceso similar para definir la integral doble de una funci´ on de dos variables sobre una regi´on en el plano.

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Se sabe que una integral definida sobre un intervalo utiliza un proceso de l´ımite para asignar una medida a cantidades como el ´area, el volumen, la longitud de arco, etc. Se usar´a un proceso similar para definir la integral doble de una funci´ on de dos variables sobre una regi´on en el plano. Definici´ on (de integral doble) Si f est´a definida en una regi´ on cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integral doble de f sobre R est´a dada por n X

ZZ f (x, y)dA = l´ım

k∆k→0

R

f (xi , yi )∆Ai

i=1

siempre que el l´ımite exista. Si el l´ımite existe, entonces f es integrable sobre R.

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Integral doble Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coordenadas polares

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Una integral doble se puede usar para hallar el volumen de una regi´on s´olida que se encuentra entre el plano xy y la superficie dada por z = f (x, y).

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Una integral doble se puede usar para hallar el volumen de una regi´on s´olida que se encuentra entre el plano xy y la superficie dada por z = f (x, y). Volumen de una regi´ on s´ olida. Si f es integrable sobre una regi´on plana R y f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R, entonces el volumen de la regi´on s´ olida que se encuentra sobre R y bajo la gr´afica de f se define como

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Una integral doble se puede usar para hallar el volumen de una regi´on s´olida que se encuentra entre el plano xy y la superficie dada por z = f (x, y). Volumen de una regi´ on s´ olida. Si f es integrable sobre una regi´on plana R y f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R, entonces el volumen de la regi´on s´ olida que se encuentra sobre R y bajo la gr´afica de f se define como ZZ V = f (x, y)dA R

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Teorema (Propiedades de las integrales dobles.) Sean f y g funciones continuas en una regi´ on cerrada y acotada R del plano, y sea c una constante. ZZ ZZ 1. cf (x, y)dA = c f (x, y)dA. R

R

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Teorema (Propiedades de las integrales dobles.) Sean f y g funciones continuas en una regi´ on cerrada y acotada R del plano, y sea c una constante. ZZ ZZ 1. cf (x, y)dA = c f (x, y)dA. ZRZ

R

ZZ [f (x, y) ± g(x, y)] dA =

2. R

ZZ f (x, y)dA ±

R

g(x, y)dA. R

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Teorema (Propiedades de las integrales dobles.) Sean f y g funciones continuas en una regi´ on cerrada y acotada R del plano, y sea c una constante. ZZ ZZ 1. cf (x, y)dA = c f (x, y)dA. ZRZ

R

ZZ [f (x, y) ± g(x, y)] dA =

2. ZRZ

f (x, y)dA ± R

f (x, y)dA ≥ 0,

3.

ZZ

si

g(x, y)dA. R

f (x, y) ≥ 0.

R

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Teorema (Propiedades de las integrales dobles.) Sean f y g funciones continuas en una regi´ on cerrada y acotada R del plano, y sea c una constante. ZZ ZZ 1. cf (x, y)dA = c f (x, y)dA. ZRZ

R

ZZ [f (x, y) ± g(x, y)] dA =

2. ZRZ ZRZ R

si

g(x, y)dA. R

f (x, y) ≥ 0.

ZZ f (x, y)dA ≥

4.

f (x, y)dA ± R

f (x, y)dA ≥ 0,

3.

ZZ

g(x, y)dA,

si

f (x, y) ≥ g(x, y).

R

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Teorema (Propiedades de las integrales dobles.) Sean f y g funciones continuas en una regi´ on cerrada y acotada R del plano, y sea c una constante. ZZ ZZ 1. cf (x, y)dA = c f (x, y)dA. ZRZ

R

ZZ [f (x, y) ± g(x, y)] dA =

2. ZRZ ZRZ ZRZ 5.

R

f (x, y) ≥ 0.

g(x, y)dA, ZRZ

f (x, y)dA = R

si

g(x, y)dA.

ZZ f (x, y)dA ≥

4.

f (x, y)dA ± R

f (x, y)dA ≥ 0,

3.

ZZ

si ZZ

f (x, y)dA + R1

f (x, y) ≥ g(x, y). f (x, y)dA, donde R es

R2

la uni´on de dos subregiones R1 y R2 que no se sobreponen. C´ alculo y an´ alisis vectorial

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

El siguiente teorema establece que si f es continua en R, la integral doble de f en R es igual a una integral iterada.

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

El siguiente teorema establece que si f es continua en R, la integral doble de f en R es igual a una integral iterada. Teorema (de Fubini) Sea f continua en una regi´ on plana R. 1. Si R est´a definida por a ≤ x ≤ b y g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x), donde g1 y g2 son continuas en [a, b], entonces Z bZ

ZZ

g2 (x)

f (x, y)dA = R

f (x, y)dydx. a

g1 (x)

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

El siguiente teorema establece que si f es continua en R, la integral doble de f en R es igual a una integral iterada. Teorema (de Fubini) Sea f continua en una regi´ on plana R. 1. Si R est´a definida por a ≤ x ≤ b y g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x), donde g1 y g2 son continuas en [a, b], entonces Z bZ

ZZ

g2 (x)

f (x, y)dA =

f (x, y)dydx. a

R

g1 (x)

2. Si R est´a definida por c ≤ y ≤ d y h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y), donde h1 y h2 son continuas en [c, d], entonces ZZ

Z

d Z h2 (y)

f (x, y)dxdy.

f (x, y)dA = R

c

h1 (y)

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ZZ Ejemplos: Evaluar

Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord


4 − x2 − y 2 dA donde R es la regi´on

R

dada por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Ejemplos: Hallar el volumen de la regi´ on acotada por la superficie z = x2 + y 2 y los planos z = 0, y = 0, x = 0, y = 1 y x = 1.

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Ejemplos: Hallar el volumen de la regi´ on acotada por la superficie z = x2 + y 2 y los planos z = 0, y = 0, y = x y x = 1.

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Ejemplos: Hallar el volumen de la regi´ on s´ olida W acotada por la 2 −x superficie f (x, y) = e y los planos z = 0, y = 0, y = x y x = 1.

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Ejemplos: Hallar el volumen de la regi´ on s´ olida acotada por el paraboloide z = 4 − x2 − y 2 y el plano xy.

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Ejemplo: Hallar el volumen de la regi´ on s´ olida W acotada superiormente por el paraboloide z = 1 − x2 − y 2 e inferiormente por el plano z = 1 − y, como se muestra en la siguiente figura.

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Ejemplo: Hallar el volumen de la regi´ on s´ olida W acotada superiormente por el paraboloide z = 1 − x2 − y 2 e inferiormente por el plano z = 1 − y, como se muestra en la siguiente figura.

Soluci´ on: Igualando los valores z, se determina que la intersecci´on de las dos superficies se produce en el cilindro circular recto dado por

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Ejemplo: Hallar el volumen de la regi´ on s´ olida W acotada superiormente por el paraboloide z = 1 − x2 − y 2 e inferiormente por el plano z = 1 − y, como se muestra en la siguiente figura.

Soluci´ on: Igualando los valores z, se determina que la intersecci´on de las dos superficies se produce en el cilindro circular recto dado por 1 − y = 1 − x2 − y 2 ⇔ x2 = y − y 2

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Como el volumen de W es la diferencia entre el volumen bajo el paraboloide y el volumen bajo el plano, se tiene Volumen = Z Z √ Z Z √ y−y 2

1

√

0

−

y−y 2

1

2

2

(1 − x − y )dxdy − y−y 2

0

−

√

(1 − y)dxdy

y−y 2

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Entonces √ 1Z

Z Volumen =

−

0

y−y 2

√

(y − x2 − y 2 )dxdy y−y 2

√ 1

Z

x3 (y − y 2 )x − 3

= 0

=

4 3

Z

y−y 2



√

−

dy y−y 2

1

(y − y 2 )3/2 dy

0

  Z 1 4 1 = [1 − (2y − 1)2 ]3/2 dy 3 8 0

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Volumen =

=

1 6

Z

1 6

Z

π/2

−π/2

Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

cos4 θ dθ 2

2y − 1 = sen θ

π/2

cos4 θdθ

0

   1 3π π = = . 6 16 32

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Contenido:

1

Integrales iteradas ´ Area de una regi´ on en el plano.

2

Integral doble Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coordenadas polares

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Algunas integrales son mucho m´as f´aciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto es as´ı especialmente cuando se trata de regiones circulares y de integrandos que contienen x2 + y 2 .

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Algunas integrales son mucho m´as f´aciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto es as´ı especialmente cuando se trata de regiones circulares y de integrandos que contienen x2 + y 2 . Las coordenadas polares (r, θ) de un punto est´an relacionadas con las coordenadas rectangulares (x, y) del punto, de la manera siguiente,

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Algunas integrales son mucho m´as f´aciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto es as´ı especialmente cuando se trata de regiones circulares y de integrandos que contienen x2 + y 2 . Las coordenadas polares (r, θ) de un punto est´an relacionadas con las coordenadas rectangulares (x, y) del punto, de la manera siguiente, x = r cos θ r2 = x2 + y 2

y y

y = r sen θ y tan θ = x

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Ejemplos: Utilizar coordenadas polares para describir cada una de las regiones mostradas en las siguientes figuras.

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Ejemplos: Utilizar coordenadas polares para describir cada una de las regiones mostradas en las siguientes figuras.

a) b)

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Ejemplos: Utilizar coordenadas polares para describir cada una de las regiones mostradas en las siguientes figuras.

a) b) Las regiones del ejemplo anterior son casos especiales de sectores polares R = {(r, θ) | r1 ≤ r ≤ r2 ,

θ1 ≤ θ ≤ θ2 }.

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Teorema (Cambio a coordenadas polares en una integral doble) Si f es continua en un rect´angulo R dado por 0 ≤ r1 ≤ r ≤ r2 , y θ1 ≤ θ ≤ θ2 , donde 0 ≤ θ2 − θ1 ≤ 2π, entonces ZZ Z θ2 Z r2 f (x, y)dA = f (r cos θ, r sen θ)rdrdθ R

θ1

r1

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ZZ Ejemplo: Evaluar

Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

(3x + 4y 2 )dA, donde R es la regi´on del

R

semiplano superior limitado por los c´ırculos x2 + y 2 = 1 y x2 + y 2 = 4.

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Ejemplo: Sea R la regi´ on comprendida entre los Z Z dos crculos 2 2 2 2 x + y = 1 y x + y = 5. Evaluar la integral (x2 + y)dA. R

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Ejemplo: Hallar el volumen del s´ olido limitado por el plano z = 0 y el paraboloide z = 1 − x2 − y 2 .

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Ejemplo: Utilizar las coordenadas polares para hallar el volumen de lapregi´on s´olida limitada superiormente por el hemisferio z = 16 − x2 − y 2 e inferiormente por la regi´ on circular R dada por x2 + y 2 ≤ 4 como se muestra en la figura.

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

Ejemplo: Utilizar las coordenadas polares para hallar el volumen de lapregi´on s´olida limitada superiormente por el hemisferio z = 16 − x2 − y 2 e inferiormente por la regi´ on circular R dada por x2 + y 2 ≤ 4 como se muestra en la figura.

Soluci´ on: En la figura, se puede ver que R tiene como l´ımites o cotas p p − 4 − y2 ≤ x ≤ 4 − y2, −2 ≤ y ≤ 2 p y que 0 ≤ z ≤ 16 − x2 − y 2 . C´ alculo y an´ alisis vectorial

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

En coordenadas polares, las cotas son 0≤r≤2

y 0 ≤ θ ≤ 2π

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Volumen de una regi´ on s´ olida Integrales dobles en coord

En coordenadas polares, las cotas son 0 ≤ r ≤ 2 y 0 ≤ θ ≤ 2π p √ con altura z = 16 − x2 − y 2 = 16 − r2 . Por consiguiente ZZ Z 2π Z 2 p V = f (x, y)dA = 16 − r2 rdrdθ 0

R

= −

= −

= − =

0

1 3

Z

1 3

Z

2π

h i2 (16 − r2 )3/2 dθ 0

0 2π

h √ i 24 3 − 64 dθ

0

2π 8 √ 3 3 − 8θ 0 3

√ 16π (8 − 3 3). 3 C´ alculo y an´ alisis vectorial