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FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

INFORME CALCULO DE AREAS Y VOLUMENES POR INTEGRALES DOBLES

AUTORES: CARRASCO ARRIETA, Roly Baresi CORTEZ ABAD, Isabel JIMENEZ RUIZ, Roberto Carlos PALACIOS PULACHE, Lenin Ismael POICON FERNANDEZ, Eduart Alexander SANTISTEBAN VENTURA, José Edgard

DOCENTE: NAMUCHE BURGOS, Graciela del Pilar.

PIURA – PERU

2016 ÍNDICE

1

I. II. III.

INTRODUCCIÓN OBJETIVOS DESARROLLO

CAPITULO I: INTEGRALES DOBLES 1.1.

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES

1.1.1 Área de una región plana R como integral doble 1.1.2 Volumen de un sólido 1.1.3 Volumen de un sólido de revolución 1.1.4. Ejercicio de aplicación CAPITULO II: CALCULO DEL VOLUMEN DE UN TANQUE ELEVADO IV. V.

CONCLUSIONES REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

ANEXOS

I.

INTRODUCCION

Este presente informe está basado en el estudio de las integrales dobles, muy importante en nuestra carrera profesional de la ingeniería civil, donde conoceremos un breve concepto de la integral de una función real de variable

2

real a funciones de varias variables. La integral doble tiene diversas aplicaciones tanto mecánicas como geométricas, pero su significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una función de variable real es el área. La definición de una integral doble, se debe recordar que la integral definida de una función real de variable real surge para una solución al problema del cálculo de área bajo una curva. En las integrales dobles su estudio es muy amplio el cual se requiere de mucha dedicación y concentración para un buen entendimiento. Donde calcularemos áreas o volúmenes que generalmente no se pueden encontrar de manera exacta, la cual depende de su forma (regiones planas y superficies), es por ello que se trata de encontrar un valor aproximado a través de particiones que, aplicando la integral doble, se logra determinar el área o volumen de dicha superficie. Este informe tiene la finalidad, determinar la expresión matemática que determine el área o volumen de superficies mediante integrales dobles y luego representarla en una maqueta utilizando las integrales dobles. También cuenta con dos objetivos específicos el primero, representar el marco teórico sobre las integrales dobles mediante la investigación de diferentes fuentes de consulta y el segundo demostrar gráficamente el dominio de integración del área o volumen de una superficie aplicando integrales dobles.

II. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL:

3



Determinar la expresión matemática que determine el área o volumen de superficies mediante integrales dobles.

OBJETIVOS ESPECIFICOS: 

Representar el marco teórico sobre las integrales dobles mediante la investigación de diferentes fuentes de consulta.



Demostrar gráficamente el dominio de integración del área o volumen de una superficie aplicando las integrales dobles.



Representar mediante una maqueta la perspectiva real de un tanque elevado a escala para un mejor entendimiento de la teoría explicada.

III. DESARROLLO CAPITULO I: INTEGRALES DOBLES 

Sea f: 2 → una función definida sobre la región rectangular cerrada D, dada por: R = [a, b] × [c, d]

R=

4

{(x, y) ∈R

2

}

a ≤ x ≤b ∧ c ≤ y ≤ d



Sea P una partición de la región D , la cual se logra con el producto cartesiano de las particiones P

x

y P

y

de los intervalos

respectivamente, como se muestra a continuación:

{x , x , x , Xn, x − , x , , x − , x } = {y , y , y , Yn, y − , y ,, y − , y }

P1 x = P2 y

0

0

1

1

2

i

2

j

1

i

n

1

n

1

j

m

1

m

Teorema ( Teorema de Fubini) Sif esintegrable enelrectangulo R = {(x, y) / a ≤ x ≤b, c ≤ y ≤ d}

1.1. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES a) Área de una región plana R como integral doble b) Volumen de un sólido

5

[a, b]

y

[c, d],

c) Volumen de un sólido de revolución 1.1.1.Área de una región plana R como integral doble Sea R una región acotada del plano xy, el ara de R está dada por:



EJEMPLOS: Intersecando entre xy = 2 y x + y = 3 se tienen los siguientes puntos de corte (1,2) y (2,1) Luego el área de la región está dada por:

1.1.2.Volumen de un sólido El volumen V de un sólido S limitado por, la parte superior de una superficie z= f (x, y) positiva y la parte inferior por una región R del plano XY (ver figura), está dado por:

6



EJEMPLO:

1.1.3.Volumen de un sólido de revolución Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos.

7

El volumen del sólido (S) acotado inferiormente por R ∈ R2 y superiormente por la gráfica de f : R ∈ R2 → R (función no negativa en R), viene dado por:

1.1.4.EJERCICIO DE APLICACION  Calcular el volumen del solido limitado por el paraboloide z = 2 – x 2 – y2 y el plano 2z = 1 Proyección de la curva intersección:

       

8



9

 Un sólido está limitado por la superficie

Z =x2 − y 2

el plano XY, y los planos x

= 1 y x = 3. Calcule su volumen por doble integrales La intersección de la superficie con el plano XY es:

Z =X 2−Y 2

Y=X Y 2=X 2

Z =0

Y =−X

10

Y con los planos x=1 y x=3, las parábolas

Z =1− y 2

respectivamente

11

y

Z =9− y2

CAPITULO II: CALCULO DEL VOLUMEN DE UN TANQUE ELEVADO

 (x - h)2 + (y - k)2 + (z - R)2 = R2 X2 + y2 + (z - 3)3 = 9 (Z - 3)2 = 9 - x2 - y2 Z–3= Z=

√ 9−x 2− y 2

√ 9−x 2− y 2 + 3

12

 (x - h)2 + (y - k)2 = R2 X2 + y2 = 9 - x2 Y=±

D=−3 ≤ x ≤3 ∧−√ 9−x 2 ≤ y ≤ √ 9−x 2

√

2 2 9−x ⏟− y

√ 9−x

a2 2

∫

(¿+3)dydx 2

−√ 9− x

3

v =∫ ¿ −3

2

a =9−x



√

2

9−x − y ⏟

2

2

a2

√ 9−x 2

∫

(¿+3) dy dx 2

−√ 9− x

3

v=∫ ¿ −3

√ a2 − y 2 √ a2 − y 2 √ 9− x2

(¿) dy +

∫

3 dy

− √ 9−x 2 √9− x2

(¿+3) dy= √ 9−x 2

∫

− √ 9−x

∫

− √ 9−x

¿ 2

¿ 2

13

√ 9−x 2

2

∫ √ a2 −u2 du= u2 √ a2 −u2+ a2 arcsen ua +C



√ a2− y 2 √ 9−x 2

(¿)dy+

∫

( 3 ) dy

− √9 −x √ 9− x2

∫

¿

−√ 9−x

¿

2

¿ 2

2

(

y 2 √ a − y 2+ a2 arcsen ay +3 y 2

) 2

2 √9 −x y y 2 2 9−x ¿ √ 9−x − y + arcsen +3 y 2 2 √9−x 2 − √9− x

¿

(

)

(

√ 9−x 2 √0 + ( 9−x 2 ) arcsen(1)+ 3 ( √ 9−x 2 )

¿2

⏟

2

∏ 2

( π4 (9−x )+3 √ 9−x ) 2

3

¿∫ −3

¿2

)

2

[

2

( π4 (9−x ) +3 √ 9−x ) dx 2

3

2

3

π ∫ ( 9−x 2 ) dx +3 ∫ √3 2−x 2 dx 4 −3 −3

]

14

2

[

3 π 2 3 ¿ 2 x 2 ( 9−x ) x 9 x 4 −3 −3+ √ 9−x 2 + arcsen 2 2 3

(

¿4

[

π 9 π ( 27−9 )+3 . 4 2 2

¿4

[

18 π 27 π + 4 4

( ))

]

( )]

] 45 π .u3

IV. 

Las

aplicaciones

de

CONCLUSIONES las

integrales

dobles

están

estrechamente

relacionadas con estas dos ciencias exactas que son la física y la geometría

ya

que

se

pueden

analizar

figuras

y

cuerpos

simultáneamente en los ejes “x” y “y”.



Con pocas modificaciones podemos extender la aplicación de las integrales definidas para el cálculo de una región situada por debajo de una curva, al área comprendida de una región entre dos curvas.



Mediante el uso de integrales dobles es posible analizar tanto áreas y volúmenes en sistemas homogéneos como no homogéneos.

15

V. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 

ANEXOS

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