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• denis torres

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Problemas de Ingenier´ıa Mec´ anica Din´ amica

Enero-Junio 2018

Contenido Cap´ıtulo 1. Introducci´ on a la Din´ amica . . . . . . . . 1.1. Posici´on, velocidad, aceleraci´on . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Posici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Aceleraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Interpretaci´on geom´etrica de la derivada . . . . 1.1.5. Interpretaci´on geom´etrica de la integral . . . . . 1.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatura consultada

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Cap´ıtulo 1 Introducci´ on a la Din´ amica Se inicia el estudio del movimiento. Aqu´ı no se tiene inter´es en las propiedades de los objetos ni en las causas de sus movimientos; el objetivo consiste s´olo en describir y analizar el movimiento de un punto en el espacio. Despu´es de definir la posici´on, velocidad y aceleraci´on de un punto, se considera el caso m´as sencillo: el movimiento a lo largo de una l´ınea recta. Posteriormente se muestra la manera en que el movimiento de un punto a lo largo de una trayectoria arbitraria se expresa y analiza usando diversos sistemas coordenados [Bedford & Fowler, 2008, p. 28].

1.1. 1.1.1.

Posici´ on, velocidad, aceleraci´ on Posici´ on

La posici´on de un punto P sobre una l´ınea recta respecto a un punto de referencia O puede describirse mediante la coordenada s medida a lo largo de la l´ınea desde O hasta P . El desplazamiento de P durante el intervalo de tiempo de t0 a t es el cambio en posici´on s(t) − s(t0 ), donde s(t) denota la posici´on en el tiempo t.

1.1.2.

Velocidad

La velocidad de P respecto a O en el tiempo t es la derivada de la posici´on s respecto a t (la raz´on de cambio de s).

v = l´ım

∆t→0

∆s ds = . ∆t dt

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´ n a la Din´ Cap´ıtulo 1. Introduccio amica

1.1.3.

Aceleraci´ on

La aceleraci´on de P respecto a O en un tiempo t es la derivada de la velocidad v con respecto a t (la raz´on de cambio de v).

∆v dv = . ∆t→0 ∆t dt

a = l´ım

Aplicando la regla de la cadena del c´alculo diferencial, es posible escribir la derivada de la velocidad con respecto al tiempo como. . . a=

dv ds dv = . dt ds dt

se obtiene una expresi´on alternativa para la aceleraci´on. . . a=

dv v ds

Si se conoce la aceleraci´on como una funci´on del tiempo. . . La aceleraci´on puede integrarse con respecto al tiempo para determinar su velocidad como una funci´on del tiempo. A es una constante de integraci´on. Z Z Z dv ⇒ dv = a dt ∴ v = a dt + A. a= dt Se pueden usar integrales definidas para determinar la velocidad, donde v0 es la velocidad en el tiempo t0 , y v es la velocidad en el tiempo t. Lo que muestra que el cambio en la velocidad del tiempo t0 al tiempo t es igual al a´rea definida por la gr´afica de aceleraci´on desde el tiempo t0 hasta el tiempo t. Z v Z t Z t dv = a dt ∴ v = v0 + a dt. v0

t0

t0

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´ n a la Din´ Cap´ıtulo 1. Introduccio amica

Al conocer la velocidad como una funci´on del tiempo. . . La velocidad pouede itegrarse con respecto al tiempo para determinar la posici´on como una funci´on de ´este. B es una constante de integraci´on. Z Z Z ds ⇒ ds = v dt ∴ s = v dt + B. v= dt Pueden usarse iintegrales definidas para determinar la posici´on. Donde s0 es la posici´on en el tiempo t0 , y s es la posici´on en el tiempo t. Este resultado muestra que el cambio en la posici´on del tiempo t0 al tienpo t es igual al a´rea definida por la gr´afica de la velocidad dede el tiempo t0 hasta el tiempo t. Z s Z t Z t ds = v dt ∴ s = s0 + v dt. s0

t0

t0

Cuando la aceleraci´on es constante a = a0 ; de las ecuaciones v=

ds dv dv ; a= ; a = v... dt dt ds

Z t Z v dv ⇒ a0 a0 = dt = dv ∴ a0 (t − t0 ) = v − v0 o´ v = v0 + a0 (t − t0 ). dt t0 v0 Z t Z s 1 ds = v0 + a0 (t − t0 ) ⇒ ds = [v0 + a0 (t − t0 )] dt ∴ s = s0 + v0 (t − t0 ) + a0 (t − t0 )2 . v= dt 2 t0 Z s Z v s0 dv 1 a0 = v ⇒ a0 ds = v dv ∴ a0 (s − s0 ) = (v 2 − v02 ) ´o v 2 = v02 + 2a0 (s − s0 ). ds 2 s0 v0 v = v0 + a0 (t − t0 ), 1 s = s0 + v0 (t − t0 ) + a0 (t − t0 )2 , 2 2 2 v = v0 + 2a0 (s − s0 ).

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´ n a la Din´ Cap´ıtulo 1. Introduccio amica

1.1.4.

Interpretaci´ on geom´ etrica de la derivada v=

x

ds dt

o v=

dx dt

y

a=

v

a te

te en i d

en

i nd

n

Pe

Pe

dx = v dt

dv = a dt

x t1

a

v t

dv dt

t1

t

t1

t

Figura 11.10

ción es igual a la pendiente de la curva v-t. Estas dos propiedades pueden utilizarse para determinar de manera gráfica las curvas de v-t y a-t de un movimiento cuando se conoce la curva x-t.

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´ n a la Din´ Cap´ıtulo 1. Introduccio amica

1.1.5.

Interpretaci´ on geom´ etrica de la integral

Al integrar las dos f´ormulas fundamentales v=

ds dt

o v=

desde el tiempo t1 hasta el tiempo t2 Z t2 v dt x2 − x1 =

dx dt

y

a=

dv dt

Z y

x2 − x1 = | {z }

∆x de t1 a t2

t2

v dt t1 | {z }

´ Area bajo la curva vt de t1 a t2

a dt t1

t1

Z

t2

v2 − v1 =

Z y

v2 − v1 | {z }

∆v de t1 a t2

=

t2

a dt | {z } ´ Area bajo la curva a-t de t1 a t2 t1

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´ n a la Din´ Cap´ıtulo 1. Introduccio amica

a

ción es igual a la pendiente d den utilizarse para determin a-t de un movimiento cuand Al integrar las dos fórm hasta el tiempo t2, se escribe

x2 2 x1 5

Área t2

t1

t

v

v2

t2 v2 − v1 = a dt t1

*

v1 Área t1

t2

t

x

x2

*

x2 − x1 =

t1

x1 t1

t2

t2

t

v dt

E

t2

v dt

t1

La primera fórmula expresa t1 hasta t2 es igual al cambio e ra 11.11). De manera simila medida bajo la curva a-t desd te ese intervalo de tiempo. para determinar de manera g se conoce su curva v-t o su c Las soluciones gráficas movimiento que se consider les y cuando x, v y a no son f ble utilizarlas de manera vent tintas partes, y cuando su an rente para cada una de sus pa gráfica debe tenerse el cuid v-t mide el cambio en x, no la bajo la curva a- t mide el cam ponde a un incremento en x del eje t mide un decremento Será útil recordar al dib velocidad es constante, se re zontal; la coordenada de posi t y se representará por medi ción es constante y diferent línea recta horizontal; v será

´ n a la Din´ Cap´ıtulo 1. Introduccio amica

1.2.

Problemas

Problema 1.1. La aceleraci´on de un punto es a = 60t − 36t2 ft/s2 . Cuando t = 0 s, s = 0 ft y v = 20 ft/s. ¿Cu´ales son la posici´on y la velocidad en funci´on del tiempo? Soluci´ on. C1 = 20, C2 = 0. v = (30t2 − 12t3 + 20) ft/s. s = (10t3 − 3t4 + 20t) ft.

Problema 1.2. Una part´ıcula se mueve sobre una l´ınea vertical con una aceleraci´on √ a = 2 v. Cuando t = 2 s, su desplazamiento es s = 64/3 ft y su velocidad v = 16 ft/s. Determinar el desplazamiento, la velocidad y aceleraci´on de la part´ıcula cuando t = 3 s. Soluci´ on. Si t = 3 s ⇒ s = 41.7 ft; v = 25 ft/s; a = 10 ft/s2 . Problema 1.3. Un tren var´ıa su velocidad uniformemente de 100 km/h a 50 km/h en una distancia de 500 m. ¿Cu´al es su aceleraci´on? Soluci´ on. a = −0.58 m/s2 .

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Literatura consultada [Bedford & Fowler, 2008] Bedford, A. & Fowler, W. Mec´anica para Ingenieros: Din´amica. M´exico, D.F. Editorial Prentice Hall. Quinta edici´on. 2008, 650 p´ags. [Beer et al., 2010] Beer F. P.; Johnston E. R. & Cornwell P. J. Mec´anica Vectorial para Ingenieros. M´exico, D.F. Editorial Mc Graw Hill. Novena edici´on. 2010. , 1361 p´ags. [Granville, 2004] Granville, William Anthony C´alculo Diferencial e Intgral. M´exico, D.F. Grupo Editorial Iberoam´erica, S.A. de C.V. Segunda edici´on, ISBN 968-7270-43-8, 1989, 1097 p´ags. [Hibbeler, 2010] Hibbeler, R. C. Ingenier´ıa Mec´anica: Din´amica. M´exico, D.F. Editorial Prentice Hall. D´ecimosegunda edici´on. 2010, 732 p´ags. [McLean & Nelson, 1979] McLean, W. G. & Nelson, E. W. Teor´ıa y Problemas de Mec´anica para Ingenieros: Est´atica y Din´amica. Edo. de M´exico. Editorial McGraw-Hill. 2.da ed. 2010, 402 p´ags. [Swokowski, 1989] Swokowski, Earl W. C´alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica. M´exico, D.F. Grupo Editorial Iberoam´erica, S.A. de C.V. Segunda edici´on, ISBN 968-7270-438, 1989, 1097 p´ags. [Resnick, a˜ no] Swokowski, Earl W. T´ıtulo. M´exico, D.F. Grupo Editorial Iberoam´erica, S.A. de C.V. Segunda edici´on, ISBN 968-7270-43-8, 1989, 1097 p´ags. [Zacar´ıas et al., 2016] Zacar´ıas Santiago, A.; Ram´ırez Flores, M. A.; Santos Caballero, M. G.; Granados Manzo, A.; Vera Medina, G.; Mota Lugo, A.; ´nez Castillo, C. Din´amica: Mec´anica para Ingenieros. M´exico, D.F. Grupo EdiJime torial Patria. Primera edici´on 2016, 472 p´ags.

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