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• Oscar Leon

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• Vector euclidiano

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~-.L--I-'iGENIERÍA

WILLIAM LEROY

D.

F.

MECÁNICA

RILEY

STURGES

\, G

\

-r-_

L.,..i.'

Rf

EDITORIAL

.

REVERTE ,

S . A.

T,lhl,l 1.1>

FACTORES DE CON\ ERSION ENTRE LJ'\IDAOES '1 \- ()El U.S. rUSTO\1AR\-

S, STE\l

Magnitud

U.S.C.S a SI

SI a U.S.CS.

Longitud

1 in. .. 25,40 mm 1 I1 -0.3048 m 1 mi - 1.609 km I in.2 _ 645,2 mm 2 I ftl ... 0,0929 m 2 1 in.) _ lfí.39(l()l) mm) 1 frl _ 0,02832 m 3 I gal -3,785 L' 1 ¡n./s .. 0,0254 m is 1 (t/s -O,3048 m /s 1 mi/h -1.609 km/h I in./s 2 - 0,0254 m /rl 1 ft/s2 -O.3048 m /sl I slug .. 14,59 kg 1 ln. 4 .. 0.4162{11J6) mm 4 llb - 4,448N llb / ft -14.59 N/m I psi .. 6,895 kPa I k5i - 6,895 MPa 1 fI . lb - 1,356N' m 1 ft · lb . 1,356j 1 ft·lb/s - l,356W 1 hp -745,7 W

1 m .. 39,37 in. 1m .. :l.2BI ft 1 km -0.6214 mi 1 m' -1550 in.] 1 m' _ 10,76 ft1 1 mm) _ 61,02(1Q-6) in. 3 1 m 1 _ 35.31 ftl 1 L .. 0,2646 gal 1 m is -39.37in./s 1 m is -3.281 ft /s 1 km/h _0,6214 mi / h 1 m /52 _39.37in.. /s1 1 m /s 2 -3,281 ft /sI Hg ... 0.06854 slug 1 mm 4 .. 2.402(1Q-6) in.4 1 N .. 0,2248 lb 1 kN/m - 68,54lb/ ft 1 kPa .. 0.1450 psi 1 MPa _ 145,0 psi 1 N·m - 0,7376ft·lb 1 J .. 0.73A6 ft . lb 1 W --O.7376ft · lb /s 1 kW . 1.341hp

Superficie Volumen

Velocidad

Aceleración

M.", Momento segundo de superficie Fuerza Carga distribuida Presión o esfuerzo Momento (flector. de una fuerza o un par) Trabajo O cnergra Potencia

1

-Para el litro de usan los sfmbolos L y 1. Como "1" put.-de confund1f!ie ron el numero "1". él Niltiona1lnstltut~ or SIiIndards and Tedmology rcwmicnda para los Estados Unidos el srmbolo "L" (v. NIST spedal pubJication 811. s.ept.J99!).

Tdhld 8 .11

nATOIó ASTRO:'\iO\-1!( O~

Consllmtt' de Gr/lvdJJCWn Ullivn'sal

G _ 6,673 (10 -11) m ) I(kg . .,2).3.439 (lO -3) ft~ 1(lb . s~)

Sel Masa Radio medio

l.990(lo"')kg

1.364(1Q29) lb · 521ft

6%000 km

432000 mi

5.976(1024 ) kg 6370 km 23.93 h

4,095(1()2J) lb . s21 ft 3960 mi

Tierra

M... Radio medio Periodo de rotación

Luna

M... Radio mecHo Dlstanda media a la Tierra (entre centros) Excentriddad (e)

5.037(1():!1) lb 's2/ ft

7.3SO(lo")kg 1740 km 384000 km 0,055

1080 mi 239000 mi

SiMemu So/ar DistanI::UI media al Sol

Planeta

U.A!

Mel'C\Jrio Venus

0...""23

Laliena Marte Júpiter Saturno

CU87 1 1..521 5.2f1] 9.539

,

Diámetro medio (relativo a la TIerra)

0.206 0.007 0.017 0,093 0.D48 0.056

0,380 0.975 1,000 0,532 11,27 9,49

• La Unidad Astr0n6mica (UA) es igu-l .. lII dIstancia media de wTlIt'fTa.1 Sol. 1~9.6 (10') km ,. 92,,96(10') mI.

M."

(relativa a la TIerra)

0.05 0,81

1.00 0,11

317.8

952

.J

• La ulil17.ste libro se han in· troducido, aproximadAmente. 120 ejemplos dcs..1rrollados. Problemas para casa Este libro contiene una g ran selección de problemas qut:' i1uO. Estos problemas ti enen por misión que los estudiantes puedan comprobar cómo han ca ptado los conceptos tratad os en el ca pítulo. Como los problemas no se asocia n directamente a ningún apartado en particular. integran frecuentemente cuestiones diversas tratadas en el capítulo y por eUo se refieren a aplicaciones más realistas que las que puedan figu rar en un problema destinado a ilustrar un concepto concreto. Unidades SI Y unidades U.S.A, L,s empresas técnicas más importantes operan en un ámbito internacional. Además. la utilización del Sistema lntemacional de Unidades (SI) va imponiéndose cada vez más en los Estados Unidos. A consecuencia de ello, los ingenieros deben manejar con soltura tanto el sistema SI como el sis tema uses (U.5. Customary System) de unidades. En la versión española deesle libro sólo de suponerse ocupa un p unto del (.'Spacio. Los problemas de Mecánica se simplifican mucho cuando el cuerpo puede tratarse como punto materia l. Cuerpo rigido es un conjunto de puntos materiales que se mantienen a d istancias invariables unos de ol ros en tocio momento y en cuaJesquiera situaciones d e ca rga. El concepto de cuerpo rígido cons tituye una ideaüzación de la situación real ya que todos los cuerpos reales ca mbian hasta cierto punto su forma al someterlos a un sistema d e fuerzas. Cuando se supone que el cuerpo eS rígido (exento de deformación). no se necesitan las propiedades materiales del cuerpo para analizar las fuerzas y SlIS efectos sobre didlO cuerpo. En este libro. los cuerpos que tratemos. sal vo el caso de resortes deformab les. los consid eraremos r(gidos. La posición de un punto en el espacio se especifica utilizando medidas li neales y angulares respecto a un s¡"tema de coo rdenadas cuyo origen se si túa en cierto punto de referencia . El sistema básico de referencia que se utiliza como ayuda para la resol ución de problemas de Mecánica L'S un sistema inercial primario. consis tente en un sistema imaginario de ejes rectangulares que no se trasladan ni giran en el espacio. Las medidas efectuadas respecto a este sistema se denominan absolutas. Las leyes de la mecánica newtoniana serán vátidas en este sistema de referencia mientras las velocidadesque intervengan sean despreciables frente a la ce leridad de la luz que es de 300 000 km I s. Un si..tema de referencia solidario a la s uperficie t{'m..'Stren ~i + 69.44 ros ~j)

Ahora, la componente:r de esta ecuación da cl ángulo de deriva

~=

sen-I

53 13.6 MOVIMIENTO RElATIVO EN UN PLANO

.2269.44

= 16.74 ' (del norte- hacia el oeste)

Resp.

y la componente y da la celeridad absoluta del avión en la dirección norte V :: 69.44 ros 16,74'

b,

c:

66.50 mis = 239.4 kmlh

E1 tiempo que emplea en volar 250 km hada el norte será pues ;
¡ - 5 rad / s - constante, W,¡ = 3 rad / s, 2 => - 1 Orad I 52, IUL = WZ '" O)

w

a . la velocidad angular total w y la aceleración angular total a: del disco. b. La velocidad V " y la areleración .a " del punto E del borde del disco. 14· 140· Un motor eléctrico gira unas palas (v. fig. Pl4--140) con una celeridad angular constante a,. '"' 600 rpm. Al mismo tiempo. el mator gira en tamo a un eje vertical con una celeridad constante ro¿ = 5 rpm . Determinar, para el instante repre·

,

300 mm ~

l 00 mm

B

375 mm y

20'

Figura P14- 137 14· 138 El eje del disco de 250 mm de diámetro de la figura está montado sobre la plataforma giratoria de 800 mm de diámetro y gira con ella. Si . en el instante representado. ro¡ "" 10 rad /s, l ... 40 rad / s 2. W:! ",3 rad /s y 2 '" - 25 rad / 52. determinar P14~138

w

130

'1 m,

w

y

Figura P14- 140

sentado, la velocidad angular totallAJ y la aceleración angular total (J de las paJas. 1~- 141 La varilla de longitud 120 cm de la figura P14-141 est.'i conectada a las correderas A y B mediante rótulas. En el ins tante representado, x = 50 cm y la corredera A se mueve en el sentido negativo del eje x con u.na celeridad constante de 45 cm /s. Determinar

La velocidad v B Y la aceleración aB de la corredera B en ese instante. h. La velocidad angular w y la aceleración angular a de la varilla en ese instante. (Supóngase que la varitla no gira en tomo a su propio eje.) a,

, &O

el instante representado. y = 750 mm y la eorreclera B se mueve en el sentido positivo del eje y con una celeridad constante de 100 mm / s. Determinar La velocidad v A y la aceleración aA de la corredera A en ese ins tante. h. La velocidad angular lAJ y la acele ración angular O/ de la varilla en ese instante. (Supóngase que la varilla no gira en tornO a su propio eje. J.

14- I 4J La varilla de]25 cm de longitud representada en la figura PI4- 143 está conectada a las correderas A y B mediante rótulas. Cuando la corredera B pasa por el eje x (X II = 60 cm. YB= Ocm . 2:11: Ocm). la velocidad y la aceleración de la corredera A son y= 45 cm / s e y= - 15 cm /5 2. respectivamente. Para este instante. detenninar

.1. La velocidad " B y la aceleración a8 de la corredera B. h. La velocidad angular lAJ y la aceleración angular (J. (Supóngase que la varilla no gira en tomo a su propio eje.)

cm--1

,

y

, Figura

P14 - '~1

8 14- 1~2'

Figura 1'14- 141 La varilla de 1200 mm de longitud de la figura P14-

142 está conectada a las correderas A y 8 mediante) rótulas. En

,

14-144- Supóngase que la posición de la corredera B MI problema 14-142 viene dada por y (t) "" 1000 sen lit donde f se expresa en segundos. y en milímetros y 11 = I rad l s. Detenninar a. La velocidad VA y la aceleración aA de la corredera A en el instante t = 0.8 s. b. La velocidad angular w y la aceleración angular (J de la varilla en el instante f ,. 0,8 s. (Supóngase que la varilla no gira en torno a su propio eje.) 14-1 ~'i Supóngase que la posición de 1cia d rozamiento entre bola y tubo. detcrmiltar

3m

.L

a. La velocidad de la bola cuando sale del tubo. h. El tiempo que tarda la bola en AAlir del tubo.

Ib4

Fi~ur.,

P13-41

[5-42 Las masas de los bloques A y B de la fi},'Ura P1S-42 '>On

r-- &m

30 y 20 kg, respectivamente. Las polcas son de masa despreciable y muy pequeña ... Oetemlinar la aceleración de ambos bloQUt!5 y la tensión del cable para Ii! posición rcprsentada ,,;

a.

¡'A

",0111/'1.

b.

VA.

",5 m¡dad W y la resistencia del aire

dondeCn e:

P = 10 N

Figura P1 S-1 13

C15- 114 Se tira hacia la izquierda del carri to de 10 kg representa 10 kg. Si se rompiera el cable. d etermjnar qué

fUl.'r.t.a soportada cada pa r de barras y la fucrl.a que sobre el bloque ejercería el entramado Wl.l vez ' Iue las barras hubiesen glTado 30" a partir de su ~ici6n inicial horizontal. Despr&. cicnsc la., mnS de Iran.,formaciÓn A -13a y A- l3b. AIción angular 9 (20" "'" 9 1.8 m, por lo que el trabajo que la gravedad efectúa sobre el bloque B será

Ni la fuerza normal N !\id peso del bloqueA dectUan trabajo ya que actúan perpendicularmente al movimiento. Por último, considerando como 5islcmael conjunto de los dos bloques, cJ trabajo que efectUan las fu('rzas P f;e anulará por ser

la cuerda inextensible. Los dos bloques parten del reposo. por lo que la cnergra cinétka inicial del sistema será nula (Ti - O). En el instante final, las celeridades de 10$ dos bloqu~ n iguales y In energra cinética de la pareja de bloqUL'S será

Aplicando todos esos valores en la ecuación que traduce el teorema de las fuerzas vivas. se tiene 0 - 36,00 -+- 45,00 = ),823v}

VI:::r 1,534 mis

Resp,

PROBLEMAS 1- · 1 Un camión que pesa 37.5 kN va por una carrelera a 100 km / h cuando el conductor ve. de pronto. una res parada en s u camino a 60 m delante de él (fig. Pl7-J). Si el conductor tarda 0.4 s en pisar el freno y el coeficiente de rozamiento entre ruecb.s y calzada vale 0,5. ¿Puede: evitar el atropello sin dt::.v¡C a un lado? qu~ posición relativa a la res quedaría detenido el camión? Si el conductor debiera desviarse a un lado. detenninar la

,- .J ' Un Bocing 747 totalmente cargado tiene un peso en el despegue de 3300 kN Y sus motores desarrollan un empuje total de 1000 kN. Si se desprecian la resistencia del aire y el roza· miento entre los neumáticos y la pista, determinar qué longitud ha de tener ésta pa ra que la celeridad en el despegue sea de 225 km / h (fig. PI 7·3).

¿En

o 'oVh

225 kny'h

celeridad que llevarla el camión al pasar junio a la res.

-

100 krrv'h

f . - - - 60m -

Figura Plj·'

-

--j

Figura P17- 1

, - ·1 Un automóvil de masa 1200 kg recorre una arre!era d e montaña a 90 km / h cuando se produce un desprendimiento 60 mi delante d e él (fig. P17-2). La carretera es horizontal y el roe6cienle de rozamiento entre: ella y los neumáticos vale Os. Si el conductor tarda 0.4 s e n pisar el freno , ¿Podrá evitar estrellarse contra las rocas desprendidas. sin desviarse a u n lado? Si debe desviarse a un lado. detenninar la celeridad que 11e-vará el auto al pasar junto a las rocas desprendidas.

Figura P17·2

17-4 Un tren se mueve a 30 km / h cuando se le desprende el último vagón por rotura del enganche. En el instante en quesc desprende el vagón, se aplican automáticamente los frenos, trabando todas las ruedas del vagón desprendido. Si el coeficiente de rozamiento entre ruedas y ranes vale 0.2, detenninar la dis tillncia que recorrerá el vagón de nlasa ISO 000 kg ¡¡ntes de quedar detenido

a. Si la vía es horizontal. b. Si la 'Ira d~ende con una pendiente de 50. 17· ) Se catapulta un avión F15, que pcs.' 125 kN, desde la cubierta de un portaaviones mediante un ariete hidráulico (fig. PI7-S). Detenninar la fuerza med.ia quee;erce el ariete sobre el avión si en 90 m lo acelera desde el reposo hasta 257 km / h.

Figura PI7· ')

275

17.-6' Una bala de masa 10 g lleva una velocidad horizontal de 400 m I s cuando incide sobre un blanco de madera de 25 mm de grosor. Aun cuando el blanco la frena , lo atraviesa y cae en un estanque a 50 m (fig. PI 7-6). Determinar la fuerza media que el blanco ejerce sobre la bala.

- - -----400 ""

,

--

---_

-, ,

a. La celeridad del bulto cuando llega al punto más bajo de la rampa. h. La distancia d que rcoorrerá el bulto sobre la superficie horizontal antes de detenerse.

1m

50 m ~---< Figura P1 7-6

,,,----, ,

,-f- -

Cuando el avión de 125 kN de peso, citado en el pro.

bIema 17-5, regresa al portaaviones. lo detiene una combinari6n de rozamiento y cable que le dpliCil Ulld (uerL.cción y sentido d e la fuerza. Entonce. el trabajo efectu ado por la fuerza P cuando el punto pasa de la posición 1 a la 2 es U¡-t2

=

~

P ·dr =

= l'x 2 -

Px¡

X1 PdX= pJ~1 d,r

f"

"

( 17-10)

La integral tiene siempre el mis mo valor. independientemente de cuál sea el c.-unino seguido por el punto. Por tanto, c1trabajo efectuado por la fuerza P se obtiene restando el valor de Pr correspondien te a la posición inicial (posición 1) del valor de Px correspondiente a la posición fi nal (posición 2). Para la fue rza constante P, la función esca lar! v,. = - Px

(17- 11)

recibe el nombre de energía potencial de la fuerza . El valor de la energía potencial d epende de la situación del origen a partir del cual se m ide x. Para una posició n dada del punto. la energía potencia l puede ser posi ti va. negativa o nula, según sea la situación del origen. No obstante. el trabajo efectuado sobre el punto material por una fuerza con.stan te P viene dado por la diferencia de energ{a potencial

y esta diferencia

es la mis ma independientemente de cua l

~(J2.5)(0.IOOO)2

= 0,0625 J

Como no hay fuerzas no conservativas. U l(~ 2 - O. Como la cuenta parte del reposo. su energía cinética inicial es nula (TA - O); en la posición B, la energía cinética de la cuenta es

lb'

F'

Aplicando estos valores en la ecuación que traduce el teorema de las fuer-

zas vivas, se tiene 0+ 1.3853 + O =: 0.1 2742vj + 0.0625

",

de donde

Id fi~l.Irol

17·14

Va = 3.22 mis b.

Resp.

En la figura 17-14, puede verse el diagrama de sólido líbre de la cuenta rorrespondiente a la posición B. La componente de la aceleración de la cuenta. que es normal al alambre, es a~ .. ullT -- 3,22'/0,30 ,.. 34,56 m/s 2. Entonres, de la segunda ley de Ncwton, !F" = ma N , se tiene N- (12.5){0.IOOO) =

i.~1(34.56)

de donde N= 10,06N

PROBll\1A EIE\1P10

Resp.

17 h

Dos bloques csli1n unidos mediante un hilo inextensible y sin peso que pasa por pequeñas poleas de masa despreciable, según se indica en la ñgura 17-1511. Si se tira del bloque B hacia abajo 500 mm a partir de! su posición de equilibrio y se 'tuelta partiendo del reposo, determinar su celeridad cuando vuelve a su posición de equilibrio.

2.,

SOLUCIÓN

17.8 POTENCIA Y RENDIMIENTO

Los bloques A y B constituyen un sistema de puntos materiales en interilcción. Las ecuaciones que da el teorema de las fuerzas vivas para cada uno de ellos se pueden sumar y dan una ecuación semejante para el sistema

(al En la ecuación a, T representa la suma de la'! 6., '" 0,2207 m. Como la longitud del hilo es constante, el bloque A subirá cuando baje el B Y redprocamente. Con referencia a la figura 17-1Sd, la longitud del hilo en la posidón de equilibrio (yA =>- Yo ... 0) viene dada por l

= 2d+b+ c

T

T

(b)

Cuando el bloque A ascienda una distancia YA y el B descienda una distancia}/¡¡, la longitud de la cuerda vendrá dada por 101

Restando la ecuaciÓn b de la ecuación e, se tiene la relación de posiciones.!lH '" 2VN derivando esta COlación se tiene la relación de velocidades = YB =< 2YA = 2v A · Como el sistema se suelta partiendo del re poso, las energías cin~ticas iniciales d e los bloqlLes son nulas (TA), ... (T¡JI'" O. Cuando los bloques vuelvan a su posid ón de equilibrio. la suma de sus t!nergias cinéticas será

T

t'"

(T A) j + (T 8) ¡

'" ~(2)v~ + !(10)v~

= 5.25v ¡ 1 (lile nn rnmpcría el hilocuólndo el muchacho sacara de-.pacio el e detendril el bloque y la fuerza Pjdel resorte en esta posición en el caso en que

a. La mínima distancia b para la cual el peso recorrerla toda la varilla hasta la posición C. b. La celeridad que Ilevana el peso en C.

17-81

B

-

,,, ,

l

a . El movimiento inicial vaya hada la izquierda. b. El movimiento inidn l vaya hacia la derecha.

50N

Fisura P17·8.J 17-84 La fue r7.a rctardildor¡l, debida a la resistencia del aire, ejercida ..ub re un ciclis ta viene dada por

Figura PI":" -81

ril.=O, 8 v~

1 ;'-81" En un juego de habilidad. los l u gado~ hacen que se deo,licen monedas por una s uperficie de madera. según se indica en la figura P17-R2. Para ganar, la moneda hol de detenerse

entre las Irncas e y o de la superficie inferior. El coeficiente de rozamil'nto entre la .. monedas de 5 g Yel SUl'lo vale 0,2. las aristas son bruscas pero lisas y el punto dC"idc el cual el jugador ha de sol tar la moneda se halla a 1 m de la arista B. Determmar el ca m po de velocidades lr\icia les corrt.'spondientes a tiros ganadores.

1

1m

•Zil A• ••'.'•••••••II!.Bií... · 11 100 mri'i

i

e

D

"~~IIII~t ~ II

JOO mm 100 rnm

fi~ura

d onde [1 se t'xpr~ en metros por segundo. Si el ciclista puede desarrollar una polencia de 200 W, de tenninar 13 celeridad '-lue puede mantl'ner a. En el llano. b. SubIendo un.1 pendiente de 5°. (. Bajando una pcndicntede 5". T7-85 La presión en el cuerpo de bomba cilfndrico de la fjgu fa P17-85 e" invcrS.1rncnte proporcional al volumen (p = cons· tante / volumen). 1....1 pr~ión en el interior es igual a la atmosférie.1 (Polm - 1.013 X lOS Pa) cuando cll-mbolo de 25 N dc ¡X'SO t.ostá en x '"' 25 cm. Si d.~ldl . - 1.2 m is cuando.Y '" 25 cm. dctc.r· minar la carrera (Xmln y X"Oh) del (ómbolo.

, p

rp-82 Fi~ra

1 ""-111 Un peso d~ 2.5 N 'le dC"lhl"1I pur un .. "lIrilll1 t!Xenta de roz.lmiento. situ.lda en un p lano vcrllea\' 1que efectúa el roamienlo sobre el bloque A cuando ~ mueve de s u posición inicial x = O a la posición x ..... y luego a la xmln' C. La energía cinéllca T. la energfa potencial Vy la energía mecánica E. ,. T + V del .. istellla, lodo en función de x (O S x !> x""', y xm~. 2: .Y 2: Xmln)' vimiento, una fuerza efectúa el trabajo positivo P ds, y la otTa el trabajo negativo -p ds,; por tanto, la suma de los trabajos que las dos fuer.tea rígido. no existe ninguna ecuación sencilla que relacione los movimientos de los distintos puntos; no existe una expresión general de la energía cinética del cuerpo. En cambio. cuando el cuerpo es rígido. las velocidades de sus puntos están relacionadas por la ecuación de la velocidad relativa. Esta relación permite obtener Ulla fórmula particularmente sencilla que exprese la energía cinética de un cuerpo r{gido en movimiento plano. Por ejemplo. conc;idercmos el cuerpo reprt.'Sentado en la figuril 18-3. El punto A (.'S un punto cualquiera del cuerpo y r:: r plA = xi + yj + zk C'> el vector de posición trazado desde A hasta un punto arbitrario P de masa del cuerpo. La velocidad de llm estará relacionada con la velocidad del punto A por la ecuación de la velocidad relativa

am.

(16-6)

y la energfa cinética del punto podrá escribirse en la forma

dT =

I

~dm

v2 = 4am V · v

1 = íam(vl\ +w x r)

I

=

1 2a",

v~

+dm

Figura 18·3

( 16-7)

(v A +w x r )

V A' (W

1 x r) + 2dm

(W

x r)

( w x r)

Como el cuerpo co en el ca~ de Wl movimiento plano c ualquiera de un cuerpo rígido. la ecuación 18-12 se puede simplificar en gran mane ra eJjgicndo adecuadamente el punto A. Por ejemplo, cuando se toma el punto A en el centro de ma'>él G del cuerpo. tendremos rCrA = OY

T =

(18- 1:i 1

1 Aun cuando no resulte ~"Idente de lo dc..lucldo h¡¡~la ~hora. los resultado rígidos interconectados. En un tal sistema. T es la energ{a cinética total del sistema y U I ..... l (= V, + U t".!.2 - V 2) induye el trabajo que las fuerza s y momento.:; exteriores efectúan sobre el sistema. Tanto en el caso de un solo cuerpo rígido como en el de un sistema de cuerpos rfgidos interconectados, se deberá dibujar un diagrama de sólido libre que nos ac;cgure el haber identificado y considerado todas la8 fuerzas y momentos Aun cuando pueda parecer innecesario incluir en btema para el intervalo de movinticnto en cuestión. 18.5

POTENCIA

1...1 potencia. que es el trabajo efectuado por unidad de tiempo, se definió y esludió en el apartado 17.8 para el caso de un punto material. En el caso de un cuerpo rígido en movimiento plano. el trabajo efectuado debe incluir tanto el efectuado por pares como el eft.'Ctuado por fuerzas . Si sobre un cuerpo rígido se ejercen simultáneamente una fuerza P y un par de momento C = Ck, el tra· bajo que se efectúa sobre el cuerpo es dU = P · dr+C · d8

(18-11

en donde dr es d dL">plazamiento del punto de aplicación de la fuerza P y d(l ,.,. rlfJk es la rotación del cuerpo. Dividiendo la ecuación 18-21 por dI tendremoBI] \1 \ 1]1 \H'I ()

111 .l

YI\I caja de 15 kg está sUJeta al extremo de una cuerda inextensible arrollada soun tambor unifomw de 40 kg Y 600 mm de diámetro, según se indica en la ~a 18-7u. En el instante representado, la caja está cayendo a 9 m I s. Detenni.... el par constante e de freno que hay l:Jue aplicar al tambor para que la caja quede en reposo tras Coler 3 m . 50lUCIÓN EMÁTICA

Como la cuerda no se desliza sobre el tambor, cuando la caja holya cardo Ay - 3 e tambor habrá girado A9", Ay/r _ 3 / 0,3 - 10 rad. Además. si la caja cae a raaJn de v '"' 9 m I s, el tambor estará girando a razón de al '" vlr - 9 / 0,3 .. 30 rad / s.

IS , I~

figur;} , 8-7

'l4

TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS

Cl I'I¡ ÉTICA DEL CUERPO lUCIDO : \1fTODOS DE: TRABAJO \' [M RGIA

Como la caja está unida al tambor mediante una cuerda inextensible. el trabajo que ésta efectúa sobre el tambor y el que efectúa sobre la caja serán de igual valor absoluto pero de signos opuestos. por lo que no será necesario tenerlos en cuenta. Por tanto. caja y tambor se pueden tmtar como un solo sistema; en la figura 1S-7b puede verse su djagrama de sólido libre. Ni el peso dcllambor ni las fuer· zas que el eje le aplica efectúan trabajo. Las únicas fuerzas no conservativas que actúan sobre el sistema corresponden al par de freno e y su trabajo es

Ut~2 '" -C 118 .. -loe

Tomando el cero de cnergra potencial gravitatoria en el nivel de la altura ini· dal de la caja. la energía potencial inidal es nula (Vi _ O) Y la energía potcndal 6nal será VI: ( 15)(9,81)(- 3): - 441.51 El movimiento del t",mbor es de rotación en tomo a un eje fijo que pasa por su centro de masa, por lo que su energ/a cinética inicial será T, =- ~IGm2 donde 1G =. ~(40XO.3)2 - 1,800 kg . mI. La caja se mueve sólo con movimiento de traslación. por 10 que su energía cinética inicial será Te :: ~ mvI . Por tanto, la energía cinética inidal del sistema es

y la energía cinética final es nula (T,. O). Aplicando todos estos valores en la ecuación que traduce el tt.'Orema de la .. fue.rzas vivas. se tiene 1417,5 + O- loe:: 0 - 441,5 de donde

e", 185.9

m

NJ

Resp.

PROBLEMAS 18- 1' Una rueda uniforme. que pL"Sa 50 N, tiene 40 cm de diámetro y está en reposo cuando se pone en contacto con una correa transpo rtadora. sc.>gún se indica en la figura Pl8-1. El coeficiente de rozamiento cinético entre correa y rueda vale 1-11 0.1 Y la correa se mueve con velocidad constante de9 m Is. Dctcrminm el número de revoluciones que efectúa la rueda antes de rodar sin deslizamiento sobre la correa en movimknto.

'J

Figura PI8-'

18· l· Un volante uniforme de 10 kg Y 400 mm de diámetro está conectado a un par motor constante mediante una correa

mis Fisura PIS· 2

flexible flCgún .'>e tndica en la figura 1'18-2. Si el volante parte del reposo, detennmar el momento del par n~lrio para que el volante gira a 4200 rpm al cabo de 5 revoluciones. t lI· j El tambor unifonne de 125 N de peso representado en la figura PI8-3 ticne50 cm de diámetro y se hlltla en repo!lO in¡· cialmente. Al extremo de una cuerda flexible arrollada sobre el tambor, se aplica una fuerza de 50 N. Si la cuerda se desprende del tambor cuando éste haya efL'CIuado 3 revoluciones. determmar su velocidad angular final.

OON

120cm

SO N

-

:&!"=".. Figura PI 8-!) 18-6 Una bana uniformede 5 kg y 800 mm de longitud gira en un plano vertical según se indica l'n la figura PI8-6. Si se 'melta la barra partiendo del reposo en posición hor17.ont.. 1. determinar: 0

Figura P18-J

La velocidad angular de la barra cuando esté vertical. b. El módulo. direcciÓn y sentido de la reacciÓn que el pasador en B ejerce sobre la barra cuando ésta forma un ángulo de 750 con la horizontal.

.iII .

16--&' El volante de 5 kg de la Agura 1'18-4 tiene un diámetro de 200 mm y un radio de giro de 90 mm . Sobre él está arrollada una cuerda flexible unida a un r~rte de constante '- ,. 120 N/ m. Inicialmente, el volante gira en sentido horario a 20 rad / s y el n..osortc está estirildo 800 mm. Ot!tcrminar: El máximo alargamiento que sufrirá el resorte. La velocidad angular del volante cuando la cuerda se afto-

A

~.

•

Figura PlfHJ 18·7 Una barra unifonne, que pesa 25 N Y tiene una longitud de 90 cm. gira en un planoverhcal bajo la acciÓn de un par de 3.75 m . N según se indica en [a figura PI8-7. Si !>C suelta la bart.l partiendo del repo-; cuando está horizontal . detemlinar a . La velocidad angular de [a barra cuando está vertical. b. El módulo. direcciÓn y sentido de la reacción que el pasador B t'Jercc sobre la barra cuando ésta forma un ángulo de 60" con la ho rizontal.

t .. 120N/m N

Figura P18-4 A

18-." Una cala de peso 80 N pende de un hilo arrollado a un tambor uniforme de 90 cm de diámetro. locidad angular de 3 rad / s ~n S('nlido antihorilrio cuai,do está vertical (9 .. 0"), determinar su velocidad angular y el ..adulo. dirección y 'iCntido de la reacción que el go.t:ne ejerce MJbre la puertil cuando &.ta l'Sté horizontal (9 _ 90°).

"'~r-t

. n---/

,

, ,, , ,

~

/

18- 11 L., b.1ITa uniforme de la figura PI8-ll pesa 100 N Y put"" de girar exento de rozamientos ('fl tomo al pasador situado en 8 La constantl' y la longitud natural del rí.~orte son ~ = 800 N I m y ' O" 15 cm. nspt.'ctivamentt!. Si la barra lleva una velocidad aflo guiar de 3 rad / " en sentido antihorario cuando está horizontal delt!cminar su velocidad angular y el módulo, dirección y.;cnl!do de la reacción quccl pasador ejerce sobre la barra cuandu b u ~tá vertical. ~tando A directamcnte endma de B.

Figura P18- 11 18-12 Una baml unifomtc se halla en L>quilibrio sobrl' uno &. que se apoya en una superficie horizontal. según se indica en la figura 1)18-12. La superficie ofrece el rozamiento o;uficicnte parOl que no se produzca deslizamiento. Si se perturba la barra y comienza a C.1ct. determinar el ángulo (J que formar.1 con la vertical cuando: 'iuscxtrem~

Cambie de sentido la componente de rozamiento de la fuerza que el ~lIdo ejerce sobre la barra. h. Se anule la componente nonnal de la fuer...a que el ~u clo ejerce sobre la barra.

3.

Figura P18-9 1el·IO Un montante dc45 kg puede girar en un plano vertical scgun '-e lI1dica en la figura PI8-10. Lil con~tante y lillongitud natural del resorte 'lOn " _ 140 N / m y ' o" 2 11l. rC!>pcctivamente. S. la velocidad ilngular del montilnte es de 3 rad / ~ en sentid o horario cuando está verilea!' determinar la velocidad .angular del montmte y el módulo. dirección y sentido de la reacción que el pas.ldorcjerce "obre el montante cuando éste está honzontal.

"6

r (

f----'_ j m " " "" " ,"" ,"

Figura P t 8-12

¡ ~

Una barra uniforme se halla en Ó'quilibrio con uno d(' extremos apoyado en un almnbre según ~ indica en la fir.n PIS-13. Una pequeña mUl'SCa practicada en el extremo de • barra impide que ésta je. 6;tc gira alreded o r de un efe vertical con una ccleridad angular ClbG (fig. 18-8b). Co mo el disco f\l(.' un plano indinado y se suelta a partirdd reposo. Si. inicialmente. AH apunta hacia arriba del plano indinado 15°. detcrminar la ct:leridad angular del s istema cuando AB apunte hacia abajo de di cho plano.

t 8-72 " La placa de 4 kg del problema 18-60 ~tá inicialmente en reposo y '>e aplic.l al árbol un momento constante M¡, que lo hace girar. Determinarqué valor debcrfa tener dicho momento para LJue la placa girase a 300 rpm al cabo de 5 revoluciones.

18-77 El sistema del problema 18-65 está inicialmente en reposo y se le aplica al cubo O un momento con re voluciones que efectuarla el yo-yo antes de alca nzar el reposo.

I.!OOmm -.l

SO 19

} fil1:ura P18-52

fjgur,¡ P18-84

lIS

t ~-":i

La barra AH repn-.entada ~n la figura Pl8-85a pesa 50 '. tiene una longitud de 0.9 m y pued~ girar en un p lano vertical. Una cuerda atada a la barra en B pasa por una polca pe-

quena de poco pea . En el apartado 19.7 consideraremos este tipo de problemas.

I'IHmLIM!\ IlfMI'I()

345

19.1 IMPULSO DE UNA FUERZA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN PUNTO MATERIAL

t'l t

Una pelota de ping-pong que tiene una masa de 5.67 g (0,2 onzas) tiene UI13 velocidad inicial V ¡ _ 2.4 j + 1.8 k mIs cuando una r1Haga de viento le ejerce una fuer¿a F -. 0.1391 ¡ N (t se expresa enscgundos). Determinare1 módulo,dirección y sentido de la velocidad de la pelota al cabo de 0,5 s. (El sentido posibVO del eje z es hacia arriba.) SOLUCiÓN

En la figura

19~2

ooe tiene el diagrama de sólido libre dI;! la pelota. donde aparecen la fu(!J"U F del viento. La masa de la pelOla, cxpre'lada en Id-

su peso W '" mg y

logramO'l. es 5.67(10- 3) kg

,,

y el impulso sobre la pelota dunnle 0,5 $ UJl suceso complicado. Aun cuando el sencillo análisis que harelllOlo a continuación permite rcsolwr mll chos problemas de choque que no se podrfan resolver de otra manera . hay que tener p resente que los resultados de estos cálculos son siempre aproximados.

Cl1'o.ÉTICO

19.4. 1

Choque central directo

30 1 19.4 CHOQUE DE CU ERPOS

Consideremos el movimiento de dos puntos materiales A y Balo largo de una recia común (la línea de impacto). como se indica en la figura 19·15a. Supon· dremos que la celeridad VAl es mayor que la celeridad VII, por lo que el punto A alcanzará al B y chocará con él. Además. dL' acuerdo ron las ob~rvadon~ generale. supondremos que durante el breve intervalo de impacto ill = I¡- I,: 1.

2. l. -'.

ELASTtCOS

-

La velocidad de uno o ambos puntos puede variar rllUdlo. La, =

(19-12b ·

"'8(V B/)¡

Por tanto, las componentes t de las velocidades de los puntos no cambian en el choque: !19-1Jd (V A ,)/ = (uAf),

119-Ub

(va,), = (vB/) I

En el caso del sistema constituido por el par de puntos materiales. no hay fuerzas impuL'iivas exteriores en ninguna dirección y por tanlo se conservará la cantidad de movimiento del sistema en las din..'Cciom!s 11 y t: IIIA(VA ,),

+ "' s(V/:I,), = m"(VA,), + III S{tllJj),

mA(VA,)" + "'s(V R,)" = "' .... (t'A')" + "'a(V 8,)"

(19-1-'" ,

119-14b

La ecuación 19-1411 eda A y se la deja girar en contacto con la rueda B. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre las ruedas vale 0.1. determinar: peso) se la eleva

a . El tiempo que transcurrirá hasta que las ruedas giren sin deslizamiento. b. Las velocidades angulares fmales de ambas ruedas. B

Figura P20-7 l O-O· La rueda escalonada de la figura 1'20-8 tiene una mas.l de 20 kg. un radio de giro de ISO mm y una velocidad inicial

500 newlon

mm

Figura P20-9

10-1 U" A la rueda uniforme A (200 mm de diámetro. 10 kg) se la eleva y da inicialmente una velocidad angular de 4500 rpm en sentido antihorario mientras la rueda uniform~ B (400 mm d~ diámetro. 20 kg) permanece en reposo (fig. P20-9). Se suelta entonces la rueda A y se la deja girar en contacto con la rueda B. Si el COt"fici~nte de rozamiento cinético entre las ruedas vale 0.1. determinar: a.

El tiempo que transcurrirá hasta que las ruedas giren sin deslizami~nto.

Figura P20-B

b. Las velocidades angulares finales de ambas ruedas.

415

10- 11 Las dos ruedas unifonnesA y B de la figura P2f).9están girando inicialmente juntas sin desliz.am~to cuando, de pronto.. se detiene la rueda B. La rueda A time un d¡jmetro de 20 0l"I. pe5i, 100 N Y lleva una veiocidad angular de.(5Ol) rpm en sentido antihoBrio; la rueda B tiene JO un de diimetro Y pesa 225 N . Si el ~te de rozamiento cinético entre las rued;as vale 0,2, determinar el tiempo que tardari en detelefSe la rueda A. 20· 12' Las dos ruedas uniformes A y B de la figura P2f).9están inicialmente en reposo y. de pronto. se aplica a la rueda A un momento constante M .. U m . N de sentido antihonrio. La rueda A tiene 200 mm dediámetroy una masa de 10 kg. mien· tras que la rueda B tiene un di4metro de 300 mm y una masa de 25 ka. Si los coeRdentes de rozamaento estático y cinético entre las ruedas valen. respectivamente, 0.2 y 0,1, detenninar las velocidades angulares de ambas roedasen t - Ss.. 15 s y 25 s.

20-11 Las dos ruedas uniformes A Y8 de la 6gUJ'a P20-9 estÚl inicialmente en reposo y. de pronto. se aplica a la rueda A un momento constante M - 4.5 m . N de sentido antihocario. la rueda A tiene 25 0l"I de di,fmetro y pesa 100 N, mientras que la rueda B tiene un di,fmetro de 40 cm y pesa 150 N. Si los coefi· cientes de rozamientoesUítico y cinético entre las ruedas valen 0,2 y 0,1. resp«t1vamente. determinar las vekJddades angulares de ambas ruedas en t _ S So 1S s y 25 S.

a. El instante t¡en el que la esfen comenzar,f a girar sin deslizamiento. b. La vdocidad del centro de masa en 'f' e La velocidad angulAr de la esfera en '1, 20· 1&' Una esfera hornog~19 deS kg y djjmetro 200 mm se baja hasta una superficie horizontal teniendo iK¡UéIla una velocidad .ngular inicial ~ _ 3IXX) rpm (fig. P20-14). Si el coe6ciente de rozamiento ~ vale 0..15.. determinar la vetocidad inicial Uo pua la cua.llas velocidades angular y 1in91 se .nularfan amb.s cuando la esfera dejara de desliz.arse. 10· 17 Unae:sfun1 ~ de30cm deditlimetroy80N de

peso rueda sin deslizamiento por un plano indinado (fig. P2(). 17). Si l. velocidad inicial de la esfera es de 6 mIs haOa arribi del plano y 9 - 10". determinar. a. El instante'l en el cual la eskR de;. de rodar hacia la parte: alta del plano. b. El instante Il en el cual la esfera rueda hacia abajo por el planoa9m /s.

!0-1~ . Una esfera ~ de S kg Y300 mm de diAmetro se baja hasta una superficie horizontal reniendo aquBla una velocidad angular inidal Oob " 3000 rpm Y velocidad de trasI... ción inicial nula Va - O (6g. P2f).14). Si el coeficiente de rozamknto cinético vale 0..15., determinar: a. El instante tf en el que la esfera comenzan a girar sin deslizamaento. b. La veJocidad del centro de masa en " c. La veloódad angular de la esfera en

t,

Fi¡;ura P20·1 7

20-11:1 Una esfera ~ de S k.g Y diimetro 200 mm se bija hasta un plano indinado animada de una velocidad angular inidal Oob- 3000 rpm y velocidad de traslación nula t70 _ O (fig. P20-l7). Si el coeficiente de rozamiento cinético vale 0,25 y 9 - 20'", derenninar: a. El instante '. en el cual la esfera COfn(!nZ,ará a rodar sin dtsliza.miento. b. la velocidad v del centro de masa y la velocidad angular .. en '¡. l. El instante 'l en el cual la esfera deja de rodar I\acia la parle alta del plano.

F¡~ura

PIO-14

20· 1; Unaeslera ~ de di,frnetro35 cm y peso 80 N se baja hasta una supHfic:ie horizontal teniendo aquélla UN velocidad angular inicial Oob - 3000 rpm Y una velocidad de traslación 00- 6 m Is (fig. P2().14). Si el coe6cientede roz.unien. to cinético vale 0,15. determinar:

...

20·19 Una eskn ~ de diirnetro 3S cm y peso 80 N se baja hasta un plano inclinado teniendo iKfUélla una velocidad angulAr inicial ~ _ 3000 rpm Y vekridad inicial de traslación nula t10 - O (6g. P20-17). Si el coeficien.te de rozamiento cinético vale 0.,25 y 9 - 20". detemilYr: a. El instanteo tI en el CUilI la esfera comenz..ar,f a rodar sin deslizamiento. b. la velocidad v del centro de masa y La vetocidad angular ..

en.,

10-20" Una esfera homogénea de 5 kg Y diámetro 200 mm se baja hasta un plano indinado teniendo aquélla una velocidad angular iniciallllJ " JOOO rpm (6g. P20-17). Si el coeficiente de rozamiento cinético vale 0.20 y 8 _ 15a • determinar la menor velocidad inicial vd que hará que la esfera deje de rodar y de deslizarse al mismo tiempo. 10-21 La balTa esbelta uniforme AB (W _ 15 N, (_ 60 cm) está descansando sobre una superficie horizontal exenta de rozamiento cuando recibe un impulso de 10 N . s ~n se indica en la figura 1>20-21. Si b .. 45 cm , detenninar.

La velocidad angu lar de la barra inmediatamente después del impacto. b. La velocidad del extremo A inmediatamen te después del impacto.

.l .

20-N~ En el caso de la barra esbelta del problema 20-22. determinar la distancia b para la cual sería nula la fuerza media que sobre la barra ejercería el pasador en A exento de rozamientos.

20-25'" Una barra esbelta uniforme AB de 12 m de longitud y 15 N de peso gira en un p lano vertical alrededor de un pasador exento de rozamientos situado en su centro. según se indica en la figura P20-25. Cuando la barra está horizontal. cae sobre la

barra un pedacito de masilla (W ... 2 N). Si la rotación inicial de la barra es de sentido anlihorario a 120 rpm y la masilla parte del reposo en ¡, .. 1.5 ffi. determinar:

La velocidad de rotación del conjunto barra-masilla inmedia tamente dc20-63 tiene 15 cm de lado y pesa 10 N. Estando su.. pendida de un alambre

Figura P10-bO

unido al punto medio del lado AB. recibe un impulso F.o.I '" -O.25i N . s en su vértice C. Suponiendo 6t suficientemente corto para poder despreciar las fucrr.as no impulsivas, determinar:

20-61 L1 placa delgada de la figura 1'2Q..61 es un triángulo equilátero de 45 cm de tado que pesa 25 N. E!.t.. ndo en equilibrio sobrt! un borde. recibe un impulso Fól '" - O,75i N . s t"n su

vértice A. Suponiendo tl.I suficientemente corto para poder

,l . El ángulo que foeman los vectores velocidad anguLary mo-

mento cinético inmediatamente dl>-

L"

~ aooN!m

~

Figura P21 -1b ! 1-J7 Un émbolo que pesa 12,5 N se halla en reposo ell una vertical exenta de rozamiento. Sobre él cae una pelota de peso lO N que se hallaba en un nivel de 4,5 m de altura soh reel embolo y rebota en éste segú n se indica en la figura P2 1-36. Si d roeJiciente de restitución del choque es e .. 0,6 Y la constante , del resorte es t = 500 N / m, detemlinar la posición y(t) del émbolo en función del tiempo a partir del instante del rebole. ~ fa

_1-J8' Un émbolo de 0,5 kg se halla en reposo en una guía exenta de rozamiento. Sobre él cae una pelota de 0.3 kg que se hallaba en un nivel a 4 m de altura sobre el émbolo y rebota en éste sq;ún se indica en la figura P21-36. Si el choque es perfectamente plás tico (e .. O) Y la constante del resorte es t '" 3JO N / m, detemlinar la posición yW del émbolo en función Jel tiempo a partir del instante en que choca [a bola contTa él. ~ cal

_ ·11J Un cilindro uni forme que pesa 35 N rueda sin dlosliza.uento por una s uperficie horizontal , según se indica en la 6z;ura P2 1-39. Los dos resortes están un.idos a un pequeño ~dor exento de rozamientos sit uado en el centro G del cilin.:fro de 20 cm de diámetro. Escribir la ecuación diferencial del IaOvimiento para la posición xdt) del centro de masa del ci [in-

11 --'1 Una rueda escalonada que pt."Sa 90 N ru~a sin df..'5li.zamjento JXIr un plano horizontal. según se indica en la figura P2 1-41. Los dos rcsortL"S están unidos a hilos arrollados de manera segura sobre el cubo central de 30 cm de diámetro. Si el radio de giro del cilindro escalonado vale 225 mm , escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición xd.t) del centro de mas.l del cilindro y detenninar la frecuencia y el periodo del movimiento vib rato rio resultante.

1000 N/m

\\\\'W.~~:A. 1400 N/m

b'--o-'l~\\\~ F~ura

1'11 --11

-Ib .:I

21-42- Un discodelgadode2 kgy radior - 200 mm pende por su borde de un pequeño pasador exento de rozamientos, según se indica en la figura P21-42. Escribir la ecuación diferencial del movim iento para la posición angular 1(1) del disco y determinar la frecuencia y el periodo del movimiento vibratorio resultante.

de equilibrio, la barra está horizontal. Si se hace descender 125 mm su extremo e y se suelta a partir del reposo, determinar:

a. La ecuación diferencial del movimiento para la posición angular fK l) de la barra, b. La máxima velocidad d el extremo bratorio resultante.

e en el movimiento vi-

200

figura P2t-42 11·43- Una placa delgada rectangular (450 mm por 300 mm) que pesa 75 N pende de u n pequeño pasador exento de rozamientos situado en el punto medio de su borde mayor. según se indica en la figura P21-43. Escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición angular (] (t) de la pli1ca y determinilr la frecuencia y el periodo del movimiento vi bratorio resultante.

167 N/m

figura P21 -45 21 ·46- Unil barra esbelta uniforme de 2 kgy 500 mm de longitud está conectada a un pivote eXl!nto de rozilmientos situado en B. según se indica en la figura P21-46. En la posición de equilibrio. la barra está horizontal. Si se hace descender 15 mm su extremo e y se suelta a partir del reposo. dctenrunar: a. La ecuación diferencial del movimiento para la posición angular 8(t) de la barra. b. La máxima velocidad del extremo e en el movimiento vibratorio resultante.

figu ra P11-43 21·44 Se sustituye el disco del problema 21-42 por un aro delgado de igual rnilsa y radio,segú n se indica en la figura 1~1-44. Escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición angular (J (1) del aro y determinar la frecuencia y el periodo del movimiento vibratorio resultante.

500 N/m

figura P21 ·46

Figura P21-44 21-45 Una barra esbelta uniforme que pesa 15 N Y tiene 1,5 m de longitud está COnectada a un pivote exento de rozamientos si tuadoenA, según se indica en la figura l~t-45. En la posición

•••

21 ·47 Dos barras esbeltas uniformes están soldadas según se indica en la figura P21 ·47. La barra ABe pesa 10 N Y en la posición de equilibrio está horizontal; la barra BD pesa 15 N Y en la posición de equilibrio está vertical,: el pivote está exento de rozamientos. Si se desplaza el extremo D 75 mm hacia la izquierda y se suelta a partir del reposo, determinar: ji ,

La ecuaci6n diferencial del movimiento para la posición angular 8(t ) de la barra.

b. La málOma velocidad dell'Xtremo O en el movimiento vibratorio resultante.

21-50· Un pcsode 6 kg pende del cilindro del problema 21-40 se indica en la figura P21 -50. mediante un pasador exento de rozamientos que pasa por su centro. Escribir la ccuad6n diferencial del movimiento pilra la posici6n YellJ del centro de masa del cilindro y dete rminar la frecuencia y d periodo del movimiento vibratorio resultante. se~ún

500 mm

60 cm

o Figura P21-.a7 21-48· Un pisapapeles de lat6n (8750 kg / m1) tiene forma dc sem idli nd ro (75 mm de longitud y 100 mm de diámetro). ~ cansa sobre una superfide plana horizontal, o;egún se indka en la figura 1'2148. Si el dlindro rueda "in dl.>slizanuento. escnbir la L'CUad6n diferencial del movimiento para la posid6n angular 8(1) del pisapapeles y determinar la frecuencia y el periodo del movimiento vibratorio resultante.

figura P21-50 21 -51 Repetir el problema 2)·33 para el caso en que ABC sea una harra esbelta unifo rme de 60 N de peso. 21-52· Repchr el problema 21-34 para el caso en que ABC sea una barra esbelta uniforme de masa 12 kg.

Figura P21-48 21-49 El hilo ligero atado al bloque de 50 N de la figura P21 49 está arrollado a un cilindro uniforme de 35 N. Si el hilo no se desliza por el dlindro. escri bir la ecuad6n diferencial del movimiento para la posición y( l ) del bloque de 50 N Ydetenninar la frecuencia y el periodo del movimiento vibratorio resultante.

21-53 Repetir el p roblema 21.J5 paTa el caso en que AB y Be '>Can barrac¡esbeltas uni formCidc pesos JON Y5 N, respectivamente. 21 ·54- Una barra esbelta uniforme de 5 kg Y400 mm de longi· tud está unida rigidamentl' a un cilind ro uniforme de 8 kg Y 300 mm de diámetro. según se indica en la figura P21·54. Si el cilindro rueda sin deslizamil'nto por la superficie horizontal. escribir la ecuaci6n diferencial del movimiento para la POSIción angula r 8(1) del cilindro y determinar la (recucncia y el periodo del movimiento víbratorio resultante.

667 N/m

Figura P21-49

Figura P21 -54

465

...

21.1

VIBRAClO"ES M[CANlCAS

El análisis de las vibraciones libres no amortiguadas hecho en los apartados anteriores sólo es una idealización de sistemas reales. ya que no tiene en cuenta la~ pérdidas de energía en los rozamientos. Una vez en movimiento. esos sistemas idealizados vibrarían indefinidamente con amplitud constante. Sin embargo.los sistemas reales pierden energfa en los roz., mientos y llegan a pararse a menos que exista una fuente de energía que los mantenga en marcha. Cuando la energía que pierda el sistema sea pequeña. los resultados obtenidos en los apartados antcriort."S t:.."Slán a menudo de acuerdo con los sistemas real~ . al menos durante intervalos de tiempo corlos. Para intervalos de tiempo más prolongados y cuando las pérdidas de energra no sean pequeñas. habrá que incluir los efectos de las fuerza s de rozamiento. Existen varios tipos de fuerzas de rozamiento que pueden robar energía mecánica de un sistema en vibración. De entre 1 del tknnino en .1 t..'"ll la l.'C\JaciÓn 21·20). respectivamente. 2 Como siempre. las constantes m. r y t pueden. o 110. l>('r valores del sistema real. Más bien de-ben interpretar.;!.' como coeficientes de la ecuación d.f('rencial del movimiento cu .... ndo seescribten formol nonnal -ec. 21·2Ob e y la constante del nsorll:>

guamienro supercrftico. El amortiguamiento crítico sólo tiene una importancia especial por ser el punto que separa 10'l movimientos aperiódicos de los oscilatorios amortiguados. Es decir. el amortiguamiento critico es la menor cantidad de amortiguamiento para la cua l no oscile el sistema. Además, un sistema con amortiguamiento crítico pasará aJ estado de reposo en menos tiempo que cualquier otro sistema que parta de las mismas condiciones iniciales.' En la figura 21-15 podemos ver curvas que representan el desplazamiento de un sislema. en los casos de sobreamortiguamiento y de amortiguamiento crítico, partiendo de un mismo desplazamiento inicial y con la misma velocidad inicial. 21.3.5

•••

21 .3 VIBRACIONES LIBR ES AMORTIGUADAS

Sistemas subamortiguados

Cuando el coeficiente de amortiguamiento e es menor que rIT• la razón de amortiguamiento (es menor que uno, el radical de la ecuación 21-23 es imaginario y las dos raíces Al y Áz son complejas conjugadas, ),, 1 = - ~w" ),, 2

+ i Wd

(21-29a)

= - ~w,,- imd

(21-29b)

donde y

Al aplicar estos va lores en la ecuación 21-24, la ecuación del desplazamiento qu(.>da en la rorma (21-301

Utilizando la fórmula de Euler (":f = cos r + i sen x, la ecuación 21-30 podrá cscribirse en la forma x(t) = e ~Q/. ! I (D 1 + D! ) cos Wd' + i(D 1- D 2) sen = e ~oU" (B cos wi + sen wdt}

e

= A e- ~1lI. ' cos (wd' - 41c)

wd' I (2 1-31.a) (2 1-31 b)

Las constantes 8 '" DI + O 2 Y C = i(D , - O2 ) o A = J Bz + C 2y ~c = tan- 181C deberán determinarse a partir de las condiciones inida lcs. En la figura 21-16 podemos ver una curva de desplazamiento correspondiente a la ecuación 21-31 . Al igual que en los casos anteriores. el desplazamiento tiende a cero cuando I tiende a infinito. Sin embargo, en este caso 1 0 en que la masa pasa por su posición de equilibrio.

bloque.

a. La ecuación diferencial que rige el movimiento. b. El periodo de la vibración resultante. c. La posición de la masa en función del tiempo. d. E.l primer instante tI > O en que se anula la velocidad de la masa.

1,5 kN/ m

Figura P21 -80 21-81 Un bloque que pesa 100 N sedesliza por una superficie horizontal exenta de rozamiento. según se indica en la figura f2l -8L Los dos resortes están sometidos a tracción en todo monlt.>llto y las poleas son pequeñas y exentas de rozamientos. S. se desplaza el bloque 75 mm a la izquierda de su posición de equilibrio y se s uelta dándole una velocidad de 1.25 m / s hacia la den>cha cuando 1 = 0, determinar.

21 -83° Los dos bloques de la figura P21-83 penden, en un pla· no vertical. de una barril de masa despreciable que está hori·

~.

La ecuación diferencial que rise el movimiento. b. El periodo de la vibración resultante.

833 Nlm

167 N · sjm

N/m

Figura P21 ·83

zontill en la posición de equilibrio. Si ti .. 15 0Tl Y cuación diferencial 21·35. I'ueden rcfcril" O) y viceversa (ñg. 21 -24a). En realidad, a frecuencias muy bajas (n I COn ~ O). el s istema se halla esencialme nte en equilibrio estático; el ángulo de fase es cas i nulo ( ljI.3: O). el factor de amplificación L'S aproximadamente igual a uno (D I 1) Y la respues ta permanenteesxpCt):;:: (Posen nI) / t. Cuando la fu e rza perturbadora se aplica a frecuencias elevadas (O I ron > 1), la respues ta permanente está en su mayor parte el! oposició/I de fase con la fuerza perturbadora (90°< I¡f, < 180°), Es decir. la fuerza perturbadora se ejerce generalmente hacia la derecha (Posen ni > O) cuando el bloque se halla a la izquierda de su posición de equilibrio (x p < O) Y viceversa (fig. 21 -24b ). A frecuencia s muy elevadas (Q I rol!» 1), la respuesta está casi en oposición de fase total con la fuerLa perturbadora (ljIg a; 180 3 aumenlar x ....~ ,. A. también lo será la energía potencial (V .. V""" !(4 ~ 1 + 9" 2M 1). la velocidad !oCrá nula (,1" O) así como la energía cinética (T O). Escribiendo la ecuación que traduce la conse.rvadón de la energla entre estas do:. posiciúm.~ (T m~~'" O - O + \' tÑ') se tiene

,. --

50N

(e)

Por último. dó!'lOpcjando la pulsación propia en la ecuación e se tiene

({esp. (da, en función del tiempo t(O :S I :S;

10 S). c. Determinar el máximo valor de mpo t (O :c; t S 25 s). (Ens.iyensc otrQ'i valores de t ; p. ej .. t = 800 N I m O 4 r 833 N / m).

m"l.

figura P21-154

C2 1- 155 Un bloque que pc-s.l 125 N se desliza por una pecto a los planos xz e yz cs. por definición,

---: ~

~/¡

I

dl r y = xy dm

(A-S)

La suma de los productos de inercia de todos los elementos de masa del cuerpo respecto a los mismos planos ortogonales se denomina producto de inercia del cuerpo. Los tres productos de inercia del cuerpo rcpr('>Sentado en la figura A-8 son

," = f

xy dm

m

Iv:

f =f =

yz d",

IA-91

m

lu

zx dm

m

Los productos de inercia. como los momentos de inercia. tienen por dimensiones las de una masa multiplicada por el cuadrado de una longitud, ML 2. Su unidad de medida en el sistema SI es el kg' 01 2 . En el U.S. Customary system es el slug . ft2. El producto de inercia de un cuerpo puede ser positivo. negativo o nulo, ya que las dos coordenadas tienen signos independientes. El producto de inercia será positivo en el caso en que las coordenadas sean de igual signo y negativo si sus signos son opuestos. El producto de inercia será nulo cuando uno de los planos sea plano de simetría, ya que los elementos a uno y otro lado de dicho plano tendrán, dos a dos. productos de inercia de signos opuestos e igual valor absolulo que darán una s uma nula. Los métodos de integración utilizados para la determinación de momentos de inercia son igualmente aplicables a la de productos de inercia. Segun sea la manera de tomar los elementos. pod.rá ser nCCt.'Saria una integración simple. doble o triple. Los mOmentos de inerda de placas delgadas estaban relacionados con Jos scgtJndos momentos de superficie de las mismas placas. Análogamente. los productO'> de inercia se pueden relacionar con los segundos momentos mixtos de superficie de dichas placas. Si la placa tiene una densidad uniforme p. un

:

:, ,, ,, ,

, figu ra A· ij

,

'" -

MOMENTOS y PRODUCTOS DE

grosor uniforme t y una sección de área A. los productos de inercia serán. JXdefinición.

INERCIA I "'1 m

=-

f

xy dm =

".

1'1'" =

J

J

f

V

A

xy P dV =

xy P t dA

= pI

J

xy dA

=-

PI/lIJ A

V

yzdm = O

•

lu".= f ZXdm=O

•

Figura

A-~

donde los subíndices m y A representan productos de inercia de masa y segundos momentos mixtos de superficie. respectivamente. Los productos de inerci.a 1"2m e lum de una placa delgada son nuJos porque se supone que los ejes x e If se halJan en el plano medio de la placa (plano de s imetría). Podemos desarrollar un teorema de Steiner para productos de inercia mu~ parecido al desarrollado para segundos momentos mixtos de superficie en el apartado 10.2.5. Consideremos el cuerpo representado en la figura A-9, que benc un sistema de coordenadas xyz con origen en el cen tro de masa G del cuerpo y un sistema de coordenadas x'y'z ' con origen en el punto O'. En la figura \'~ mos que

= X+.t = y+y

x'

y'

z' = z+z El producto de inercia l;r'y.del cuerpo respecto a los planos x'y ' e y 'z' es. por definición, 1;r'Y' =

J • J J Jyx J x'y'dm = J e Ja cn la forma lx'~' = ~ / t cos Bx't cos ey't - / y cos e~,!! cos (}~'!! - [ ~ cos ex': cos By'r

+ / ty( cos

e X' ,r

cos

ey,y

+ cos

Bt'!!

cos 8y ")

+ l vz( co~ 8""!I cos 8y'~ + cos 8;.:'z cos By'Y) + 1:;.:( cos B"z cos

By';':

+

COS B;.:'1;

cos

ey)

(A-12b)

520 MOMENTOS Y PRODUCTOS DE IMRClA

Si los ejes xyz originales son ejes principales (como los representados en las figuras de la tabla 8-5), 1 = 1~ = 0 xv= 1 y~ x

y las ecuaciones A-12 se reducen a Ix'

=1

r

cos! 8x' x + 1V cos 2 e.l"v + 1: cos1

0.1"%

(A- U 'JI

y I xy = - /" cos 8.~,,, cos 8_~'r - 1~ cm, 8".y cos 8y' v

- 1: cos O"': cos 8~.:

La ecuación A-12n para los momentos de inerda es la equivalente tridimensional de la ecuación 10-14 para los segundos momentos de superficie. Utilizando un método similar. si bien mucho má ~ complicado. al utilizado con la ecuación 10-14 para localizar los ejes principales y determinar los segundos momentos de superficie máximos y mínimos, se pueden localizar los ejes principales y determinar los momentos de inercia máximo y mfnimo. El método conduce a las ecuacionc!'> siguientes: (/ ,,- 11,) cos 8p,,- lry cos 8py- l:rcos ep~ = O (/ iI-II') cos ()py-/y:cos 8 p:- I :)lC05 ()p" = O (/ 2- 11')

COS

(A-H

8pz- /acos Op,, - / n cos O/IV = O

Este sistema de ecuaciones tendrá solución no trivial si es nulo el determinante de los coeficientes de los cosenos directores. El desarrollo del determinante conduce a la siguiente ecuación cúbica para determinar los momentos principales de inercia del cuerpo correspondientt.'S al origen de coordenadas particular que se utiliza: I ~- (/" + Iy + Iz)

r¡-, + (/ xl v+ Iv/ z+ IJ,,- I'; y- I :: - 1;,,) 11,

- (1)vl :- l r l :~- / )l / ;,, - I);!I - 21 ,,~ 1 ~: l zr) =0

(A- 15¡

La ecuación A-15 nos da tres valores 1¡.12 e 13 para los momentos principales de inercia. Uno de ellos es el momento de inercia máximo del cuerpo para el origen de coordenadas que se utiliza. ullscgundo valor es el momento de inercia mínimo del cuerpo para el mencionado origen de coordenadas y el tercer valor es un momento de inercia inl'ermedjo que no tiene un significado especia 1. Los cosenos directores de los ejes principales de inercia se puede n obtener aplicando en las ecuaciones A-14 los tres valores '1 ' /2 e /1 que seobticncll de la ecuación A -15 y utilizando la relación adicional

Las ecuaciones A-14 y A- 15 son válidas para cuerpos de forma cualquiera. En el ejemplo que sigue 22

cuya soludón es

MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA

11 ::: ,~ -

'""",:::1

4,331 kg ·m 2

Resp.

= 1.N = 4,064 kg· m2

IJ '" l nun '" 0,399 kg · mZ

Resp.

Las direcciones principales se obtienen aplicando en las ecuaciones A-14. uno tras otro, los momentos principales. Tomando 1" . 1\ .. ImJx " 4.331 kg· m2:

(lr- I,,) cos 0pr- I}/vcos 0pv- I ucos Op%:::: O (1, - 1,.) cos Opv - Iv: ros 0P: - Ixy CUS 0px :::: O (I ~- lp)

cos 0¡>t- 1ucOl! 8p1: - ly : co~ Opy :::: O

- 3.284cos 01,r-0.628cos 61y - l ,256c{)~ 9 1: = O - 0,628 ros 6 1,r - 0,144 COS 9 1y - 0.3 14 Cos 6,: '" O - 0.256 COl! 8'1" - 0.314 COS

/\ v - 0,772 ('os 8 1l

=

c.)

O

Las ecuaciones a, junto con la relación que guardan los cosenos directores

dan por solución

ces 6 11" :: 0,0912 cos 6 = - 0,9652

o"',

6'r

::