Ingenieria Economica Tarquin 6 Edicion
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- Raul Diaz
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" INGENIERIA INGENIERIA " ECONOMICA ECONOMICA /
Leland Leland Blank, Blank, P. E. American University Emiratos Árabes Árabes Unidos American University of of Sharjah, Sharjah, Emiratos Unidos yy Texas A&M A&M University University
Anthony Anthony Tarquin, Tarquin, P. E. University Paso University ofTexas ofTexas at El Paso
Traducción: Traducción:
Javier Javier Enríquez Enríquez Brito Brito Investigación de Operaciones Mtro. en Investigación Operaciones Universidad Nacional Autónoma Autónoma de México México Universidad Nacional
Revisión técnica: técnica: Revisión
Filiberto Filiberto González González Hernández Hernández Departamento de Ingeniería Ingeniería Industrial Industrial Departamento Instituto Tecnológico Estudios Superiores Instituto Tecnológico yy de Estudios Superiores de Monterrey, Monterrey, CEM CEM
MÉXICO· BOGOTÁ· BOGOTÁ· BUENOS BUENOS AIRES· AIRES· CARACAS· CARACAS· GUATEMALA· GUATEMALA· LISBOA MÉXICO· LISBOA MADRID • NUEVA NUEVA YORK YORK • SAN SAN JUAN SANTIAGO MADRID JUAN • SANTIAGO AUCKLAND • LONDRES LONDRES • MILÁN MILÁN • MONTREAL· MONTREAL· NUEVA DELHI DELHI AUCKLAND NUEVA SAN FRANCISCO FRANCISCO • SINGAPUR SINGAPUR • ST. LOUIS LOUIS • SIDNEY SIDNEY • TORONTO TORONTO SAN
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Director Higher Higher Education: Education: Miguel Miguel Ángel Ángel Toledo Toledo Castellanos Castellanos Director Director editorial: editorial: Ricardo Ricardo A. del Bosque Bosque Alayón Alayón Director sponsor: Pablo Pablo Eduardo Eduardo Roig Roig V ázquez ázquez Editor sponsor: Editor Editora de desarrollo: desarrollo: Diana Diana Karen Karen Montaño Montaño González González Editora Supervisor de producción: producción: Zeferino Zeferino García García García García Supervisor
Ingeniería económica económica Ingeniería Sexta edición edición Sexta Prohibida la reproducción reproducción total total o parcial esta obra, obra, Prohibida parcial de esta por cualquier medio, medio, sin la autorización autorización escrita escrita del editor. editor. por cualquier
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McGraw-Hill McGraw-Hill Interamericana Interamericana
DERECHOS RESERVADOS 2006 respecto respecto a la sexta sexta edición edición en español español por DERECHOS RESERVADOS © 2006 por McGRAW-HILL/INTERAMERlCANA EDITORES, S. A. DE C. V. McGRAW-lllLLIINTERAMERICANAEDITORES, DE A Subsidiary ofThe McGraw-Hill Companies, Inc. Subsidiary ofThe McGraw-Hill Companies, [ne. Edificio Punta Santa Fe Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo Paseo de la Reforma 1015, Torre Prolongación Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Piso Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Delegación Álvaro Álvaro Obregón Obregón C.P. 01376, C.P. 01376, México, México, D. F. Miembro Miembro de la Cámara Cámara Nacional Nacional de la Industria Industria Editorial Editorial Mexicana, Mexicana, Reg. Reg. Núm. Núm. 736 736
ISBN ISBN 970-10-5608-6 970-10-5608-6 (ISBN (ISBN 970-10-3948-3 970-10-3948-3 edición edición anterior) anterior) ISBN -10: 970-10-5608-6 ISBN-lO: 970-10-5608-6 ISBN-13: ISBN-13: 978-970-10-5608-0 978-970-10-5608-0 Traducido Traducido de la la sexta sexta edición edición de: ENGINEERING ENGINEERING ECONOMY ECONOMY Copyright Copyright © MMV MMV by by The The McGraw-Hill McGraw-Hill Companies, Companies, Inc. Inc. All All rights rights reserved. reserved. Previous editions © 1976, 1983, 1989, 1998, and 2002. Previous editions 1976, 1983, 1989, 1998, and 2002. ISBN: ISBN: 0-07-320382-3 0-07-320382-3
6789012345 6789012345
09875432106 09875432106
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The McGraw'HiII Componies
,.,: ~
Este libro libro está dedicado dedicado a nuestras constante nuestras madres madres por por su constante motivación para tener todos los aspectos aspectos de nuestra tener éxito éxito en todos de nuestra vida.
CONTENIDO CONTENIDO~'/
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Prefacio
Capítulo Capítulo 1
xvii
Así Así COMIENZA COMIENZA TODO TODO Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica 1.1 1.2 1.2 l.3 1.3 l.4 1.4 1.5 l.6 1.6 1.7 l.8 1.8 l.9 1.9 l.l0 1.10 l.l1 1.11 l.12 1.12
Capítulo Capítulo 2
¿Por qué qué es importante importante la ¿Por la ingeniería ingeniería económica económica para para los los ingenieros ingenieros (y otros otros profesionales)? profesionales)? Papel de la ingeniería ingeniería económica Papel económica en en la la toma toma de de decisiones decisiones Realización estudio de ingeniería ingeniería económica económica Realización de un estudio Tasa tasa de rendimiento rendimiento Tasa de interés interés y tasa Equivalencia Equivalencia Interés Interés simple simple y compuesto compuesto Terminología Terminología y símbolos símbolos Introducción por computadora computadora Introducción a las las soluciones soluciones por Tasa de rendimiento rendimiento Tasa mínima mínima atractiva atractiva de Flujos estimación yy diagramación diagramación Flujos de efectivo: efectivo: estimación Regla del del 72: estimaciones estimaciones del para duplicar Regla del tiempo tiempo y tasa tasa de interés interés para duplicar una una cantidad de dinero dinero cantidad Aplicación de la hoja hoja de Aplicación de cálculo: cálculo: interés interés simple simple yy compuesto compuesto yy estimaciones estimaciones de flujos variables flujos de efectivo efectivo variables Ejemplos adicionales adicionales Ejemplos Resumen Resumen del del capítulo capítulo Problemas Problemas Problemas FI Problemas de de repaso repaso FI Ejercicio ampliado ampliado Efectos Ejercicio Efectos del del interés interés compuesto compuesto Estudio de de caso caso Descripción Estudio Descripción de las las alternativas alternativas para para la fabricación fabricación de revestimientos revestimientos para para refrigerador refrigerador
Factores: cómo el tiempo afectan al dinero tiempo y el interés interés afectan dinero 2.1 2.1 2.2 2.2 2.3 2.4 2.4 2.5 2.6 2.6 2.7 2.8 2.8 2.9
Factores PlF) Factores de pago pago único único (F/P (FIP y PIF) capital en en series uniformes Factores Factores de valor valor presente presente y de recuperación recuperación de capital series uniformes (P/A AlP) (PIA y AlP) Derivación fondo de amortización amortización y el factor factor de cantidad cantidad Derivación del del factor factor de fondo compuesta uniforme (A/F F/A) compuesta serie serie uniforme (A/F y F/A) Interpolación en tablas tablas de Interpolación de interés interés Factores de gradiente aritmético (P/G AlG) Factores gradiente aritmético (PIG y AlG) Factores gradiente geométrico geométrico Factores para para series series gradiente Cálculo de tasas interés desconocidas desconocidas Cálculo tasas de de interés Cálculo de años años desconocidos desconocidos Cálculo del del número número de Aplicación cálculo-análisis de sensibilidad básico Aplicación de las hojas hojas de cálculo-análisis sensibilidad básico Ejemplo Ejemplo adicional adicional Resumen Resumen del del capítulo capítulo Problemas Problemas
4 6 7
10 12 16 18 24 24 27 28 32 32 36 36 37 41 43 43 44 44
47 47 47 47 48
50 52 52 58
62 62 65 67 73 77 77 80 81 82 84 84
xx
CONTENIDO CONTENIDO
Problemas de repaso repaso FI Problemas Estudio de caso caso ¿Qué i,Qué diferencia diferencia pueden pueden hacer hacer los años Estudio interés compuesto? compuesto? y el interés
Capítulo 3 Capítulo
Combinación de factores factores Combinación 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
Capítulo 4 Capítulo
Tasas de interés interés nominales nominales y efectivas efectivas Tasas de 4.1 4.1 4.2 4.2 4.3 4.4 4.4 4.5 4.6 4.6 4.7 4.7 4.8 4.8 4.9 4.9
-
Capítulo Capítulo 5
Cálculos para series uniformes diferidas Cálculos para series uniformes que son diferidas Cálculos que involucran involucran series series uniformes uniformes y cantidades cantidades únicas únicas colocadas colocadas Cálculos aleatoriamente aleatoriamente Cálculos para gradiente diferido diferido Cálculos para gradiente Gradientes aritméticos aritméticos diferidos diferidos decrecientes decrecientes Gradientes Aplicación de las hojas hojas de cálculo: cálculo: uso de funciones funciones diferentes diferentes Aplicación Ejemplo adicional adicional Ejemplo Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Problemas de repaso FI Problemas repaso FI Ejercicio ampliado ampliado Preservación de tierra Ejercicio Preservación tierra para para uso público público
Fórmulas para interés nominal efectiva Fórmulas para las tasas tasas de interés nominal y efectiva Tasas de interés Tasas interés efectivas efectivas anuales anuales Tasas interés efectivas cualquier periodo Tasas de interés efectivas para para cualquier periodo Relaciones de equivalencia: equivalencia: comparación Relaciones comparación entre entre la duración duración del periodo periodo de pago capitalización (PP (PP versus pago y del periodo periodo de capitalización versus PC) PC) Relaciones Relaciones de equivalencia: equivalencia: pagos pagos únicos únicos con con PP PP :2: ~ PC Relaciones Relaciones de equivalencia: equivalencia: series series con con PP PP :2: ~ PC Relaciones Relaciones de equivalencia: equivalencia: pagos pagos únicos únicos y series series con con PP < PC PC Tasa Tasa de interés interés efectiva efectiva para para capitalización capitalización continua continua Tasas Tasas de interés interés que que varían varían con con el tiempo tiempo Resumen Resumen del del capítulo capítulo Problemas Problemas Problemas Problemas de de repaso repaso FI FI Estudio Estudio de de caso caso Financiamiento Financiamiento de de vivienda vivienda
90 93
94 96 101 106 111 111 114 117 118 119 125 127
128 128 130 134 140 144 145 147 153 155 157 159 160 165 168
HERRAMIENTAS HERRAMIENTAS PARA EVALUACiÓN EVALUACiÓN DE ALTERNATIVAS ALTERNATIVAS Análisis Análisis del del valor valor presente presente 5.1 5.2 5.2
174 174 176
5.3 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.6 5.6 5.7 5.7
Formulación Formulación de de alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyente excluyentess Análisis Análisis de valor valor presente presente de de alternativas alternativas con con vidas vidas iguales iguales Análisis Análisis de de valor valor presente presente de de alternativas alternativas con con vida vida diferente diferente Análisis Análisis de de valor valor futuro futuro Cálculo Cálculo y análisis análisis del del costo costo capitalizado capitalizado Análisis Análisis del del periodo periodo de de recuperación recuperación Costo Costo de de ciclo ciclo de de vida vida
5.8 5.8 5.9 5.9
Valor Valor presente presente de de bonos bonos Aplicaciones Aplicaciones de de la la hoja hoja de de cálculo: cálculo: análisis análisis de de VP VP yy periodo periodo de de recuperación recuperación
201 204 204
178
180 183 185 192 192 196 196
CONTENIDO CONTENIDO
Resumen del Resumen del capítulo capítulo Problemas Problemas Problemas de repaso FI FI Problemas de repaso Evaluación retiro del Seguro Ejercicio Ejercicio ampliado ampliado Evaluación de las estimaciones estimaciones de retiro Seguro ~ci~ ~ci~
Estudio recuperación de un programa programa Estudio de de caso caso Programa Programa de evaluación evaluación de recuperación de excusados muy baja baja descarga excusados (retretes) (retretes) de muy descarga
Capítulo Capítulo 6
valor anual Análisis del valor anual 6.1 6.2 6.3 6.4
Ventajas y aplicaciones valor anual Ventajas aplicaciones del análisis análisis del valor anual Cálculo valores del VA Cálculo de la recuperación recuperación de capital capital y de valores Alternativas de evaluación mediante el análisis valor anual Alternativas evaluación mediante análisis del valor anual permanente VA (valor (valor anual) anual) de una inversión inversión permanente Resumen del Resumen del capítulo capítulo Problemas Problemas Problemas de repaso FI FI Problemas de repaso Estudio caso Ambiente Ambiente cambiante valor anual Estudio de de caso cambiante de un análisis análisis de valor anual
Capítulo Capítulo 7
tasa de rendimiento: alternativa Análisis de de tasa de rendimiento: alternativa única 7.1 7.2 7.3 7.3 7.4 7.5 7.6 7.6
Capítulo Capítulo 8
Interpretación valor de una tasa tasa de rendimiento rendimiento Interpretación del valor Cálculos tasa de rendimiento rendimiento utilizando utilizando una ecuación ecuación de VP o VA Cálculos de la tasa Precauciones método TR Precauciones cuando cuando se usa el método Valores Valores múltiples múltiples de la tasa tasa de rendimiento rendimiento múltiples Tasa de rendimiento rendimiento compuesta: valores i* múltiples compuesta: eliminación eliminación de valores Tasa rendimiento de una una inversión bonos Tasa de rendimiento inversión en bonos Resumen del Resumen del capítulo capítulo Problemas Problemas repaso FI FI Problemas de Problemas de repaso Ejercicio pobre clasificación Ejercicio ampliado ampliado 1: El costo costo de una pobre clasificación crediticia crediticia mejor vender vender un negocio? negocio? Ejercicio Ejercicio ampliado ampliado 2: ¿Cuándo ¿Cuándo es mejor Estudio tasas de rendimiento rendimiento múltiples múltiples Estudio de de caso caso Bob Bob aprende aprende acerca acerca de tasas
tasa de rendimiento: alternativas múltiples Análisis de de tasa de rendimiento: alternativas múltiples 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7
¿Por necesario el análisis ¿Por qué es necesario análisis incremental? incremental? Cálculo flujo de efectivo para análisis Cálculo del flujo efectivo incremental incremental para análisis con TR Interpretación tasa de rendimiento rendimiento Interpretación de la tasa sobre sobre la inversión inversión adicional adicional Evaluación tasa de rendimiento rendimiento utilizando utilizando VP: incremental incremental y de punto punto Evaluación de la tasa de equilibrio equilibrio Evaluación Evaluación de la tasa tasa de rendimiento rendimiento utilizando utilizando VA Análisis TR de múltiples múltiples alternativas mutuamente excluyentes Análisis alternativas mutuamente excluyente s todos en uno Aplicación de hoja hoja de cálculo: Aplicación cálculo: análisis análisis VP, VA y TR, TR, todos Resumen del capítulo Resumen capítulo Problemas Problemas Problemas de repaso FI Problemas de repaso FI
xi
210 210 218 2W 2W
221
224 226 228 231 237 240 240 240 240 244 245
248 250 253 259 260 260 266 273 275 276 282 282
284 284 285
288 290 291 294 295 304
305 3ll 3ll 313 314 320
xii
CONTENIDO CONTENIDO
Capítulo Capítulo 9
Ejercicio ampliado Análisis de TR TR incremental incremental cuando Ejercicio ampliado Análisis cuando son son inciertas inciertas las estimadas de alternativas las vidas vidas estimadas de las las alternativas
321
Estudio de de caso Tantas opciones. opciones. ¿Puede padre un un recién recién Estudio caso 1 Tantas ¿Puede ayudar ayudar a su padre graduado graduado en ingeniería? ingeniería?
322
Estudio de de caso Estudio caso 2 tasas tasas de interés interés
324
beneficio/costo y economía público Análisis beneficio/costo economía del sector sector público 9.1 9.1 9.2 9.2 9.3 9.3 9.4 9.4
Proyectos del del sector público Proyectos sector público Análisis beneficio/costo beneficio/costo de un solo proyecto Análisis solo proyecto Selección alternativas mediante mediante el análisis B/C incremental incremental Selección de alternativas análisis B/C Análisis alternativas múltiples excluyente s Análisis B/C B/C incremental incremental de de alternativas múltiples mutuamente mutuamente excluyentes Resumen del del capítulo Resumen capítulo Problemas Problemas Problemas de de repaso repaso FI FI Problemas Ejercicio ampliado Costos para proporcionar proporcionar un un servicio Ejercicio ampliado Costos para servicio de camión camión bomberos contra incendios de bomberos contra incendios Estudio de de caso Estudio caso Alumbrado Alumbrado de carreteras carreteras
Capítulo 10 Capítulo
de decisiones: decisiones: método, TMAR y atributos atributos múltiples Toma de método, TMAR múltiples 10.1 10.1 10.2 10.2 10.3 10.3 10.4 10.4 10.5 10.5 10.6 10.6 10.7 10.7
10.8 10.8
_
Capítulo Capítulo 11
Comparación de alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyentes diferentes métodos métodos Comparación de excluyente s con con diferentes de evaluación de evaluación TMAR en relación relación al costo del capital TMAR costo del capital Mezcla deuda-capital deuda-capital propio propio y costo costo promedio promedio ponderado ponderado del del capital Mezcla capital Determinación del del costo del capital deuda Determinación costo del capital de deuda Determinación del del costo patrimonial (o social) TMAR Determinación costo del del capital capital patrimonial social) y de la TMAR Efecto de de la mezcla mezcla deuda-capital deuda-capital propio riesgo de inversión Efecto propio sobre sobre el riesgo de inversión Análisis de múltiples: identificación Análisis de atributos atributos múltiples: identificación e importancia importancia de de cada cada atributo atributo Medida de evaluación para atributos múltiples Medida evaluación para atributos múltiples Resumen del del capítulo Resumen capítulo Problemas Problemas Ejercicio ampliado Énfasis en lo correcto correcto Ejercicio ampliado Énfasis Estudio de de caso deuda o patrimonial? patrimonial? Estudio caso ¿Qué ¿Qué elegir: elegir: financiamiento financiamiento de deuda
TOMA PROYECTOS REALES TOMA DE DECISIONES DECISIONES EN PROYECTOS Decisiones de reemplazo conservación reemplazo y conservación Decisiones de 11.1 11.2 11.2 11.3 11.3 11.4 11.4 11.5 11.5
e
Análisis de VP VP cuando Análisis cuando están están presentes presentes múltiples múltiples
Fundamentos análisis de reemplazo Fundamentos del del análisis reemplazo Vida útil útil económica Vida económica Realización de reemplazo Realización de un análisis análisis de de reemplazo Consideraciones adicionales adicionales en un análisis análisis de de reemplazo Consideraciones reemplazo Análisis de reemplazo reemplazo durante periodo de Análisis durante un periodo de estudio estudio específico específico Resumen del del capítulo Resumen capítulo Problemas Problemas Problemas de de repaso repaso FI FI Problemas
326 326 328 334 334 339 342 349 349 357 358 360 360
(
362 362 364 367 371 373 376 379 382 382 387 390 391 400 401
406 408 411 418 424 425 432 432 440 440
•
(
CONTENIDO CONTENIDO
Ejercicio ampliado ampliado económica bajo condiciones cambiantes cambiantes Ejercicio Vida útil útil económica bajo condiciones Estudio de de caso caso Análisis Análisis de reemplazo equipo minero minero Estudio reemplazo para para equipo
Capítulo 12 12 Capítulo
Selección de proyectos proyectos independientes limitaciones Selección independientes con limitaciones presupuesta les presupuestales 12.1 12.2 12.3 12.4
Capítulo Capítulo 13 13
Análisis del punto punto de equilibrio equilibrio 13.1 13.2 13 .2 13.3 13 .3
-
Capítulo 14 14 Capítulo
Capítulo Capítulo 15 15
Panorama general general del racionamiento racionamiento de capital capital entre entre proyectos Panorama proyectos Racionamiento del capital capital utilizando utilizando el análisis análisis VP para Racionamiento para proyectos proyectos vida igual igual con vida Racionamiento de capital capital utilizando análisis VP para Racionamiento utilizando el análisis para proyectos proyectos de vida vida diferente diferente Formulación de problemas elaboración del presupuesto gastos Formulación problemas en la elaboración presupuesto de gastos capital utilizando lineal de capital utilizando programación programación lineal Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Estudio de de caso caso Educación Educación en ingeniería ingeniería para toda la vida vida Estudio para toda ambiente web en un ambiente web
Análisis de punto punto de equilibrio equilibrio para Análisis para un un proyecto proyecto único único Análisis de punto equilibrio entre entre dos alternativas alternativas Análisis punto de equilibrio Aplicación en hoja cálculo: uso SOLVER de Excel Excel para análisis Aplicación hoja de cálculo: uso de SOLVER para el análisis del punto punto de equilibrio equilibrio Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Estudio de de caso caso Costos Costos del proceso agua en una Estudio proceso de tratamiento tratamiento de agua una planta planta
xiii
441 442 442
444 446 446
448 451
455 459 459 460 460 463
466 468 475 480 480 484 484 484 484 490 490
REDONDEANDO EL ESTUDIO ESTUDIO REDONDEANDO Efectos de la inflación inflación Efectos 14.1 14.1 14.2 14.3 14.4
Comprensión del impacto impacto de la inflación inflación Comprensión Cálculos de valor valor presente ajustado por inflación Cálculos presente ajustado por inflación Cálculos de valor valor futuro futuro ajustados ajustados por por la inflación inflación Cálculos Cálculos de recuperación recuperación del capital capital ajustados ajustados por inflación Cálculos por inflación Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Problemas de de repaso repaso FI FI Problemas Ejercicio ampliado ampliado Inversiones de ingreso ingreso fijo contra las fuerzas fuerzas Ejercicio Inversiones fijo contra inflación de la inflación
Estimación de costos y asignación asignación de costos indirectos indirectos Estimación 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6
Comprensión de cómo cómo se logra logra la estimación estimación de costos costos Comprensión Índices de costos costos Índices Relaciones de estimación estimación de costo: costo: ecuaciones ecuaciones costo-capacidad costo-capacidad Relaciones Relaciones de estimación estimación de costos: costos: método método de factor factor Relaciones Tasa de costos costos indirectos indirectos tradicionales tradicionales y asignación asignación Tasa Costeo basado basado en actividades actividades (CBA) (CBA) para para costos costos indirectos indirectos Costeo
496 498 501 507 512 513 514 519 519
522 522 524 528 532 534 536 540 540
xiv
CONTENIDO
Resumen del capítulo Problemas Problemas de repaso FI Estudio de caso Estimaciones de costo total para optimizar dosis de coagulantes Estudio de caso Comparación de costo indirecto de una unidad de esterilización de equipo médico
545 546 556 556 559
(
Capítulo 16
Métodos de depreciación 16.1 16.2 16.3 16.4
Terminología de depreciación Depreciación en línea recta (LR) Depreciación de saldo decreciente (SD) y de saldo doble decreciente Sistema modificado acelerado de recuperación de costos (SMARC)
16.5 16.6
Determinación del periodo de recuperación del SMARC Métodos de agotamiento Resumen del capítulo Problemas Problemas de repaso FI Depreciación de la suma de dígitos anuales (SDA) Cambio entre métodos de depreciación Determinación de tasas SMARC Problemas del apéndice
16A.1 16A.2 16A.3
Capítulo 17
Análisis económico después de impuestos 17.1
Terminología para el impuesto sobre la renta y su relación con corporaciones (e individuos)
17.2 17.3
Flujo de efectivo antes y después de impuestos Efectos de los diferentes métodos de depreciación y periodos de recuperación sobre los impuestos Recobro de depreciación y ganancias (pérdidas) de capital: para corporaciones Evaluacióndespués de impuestos de VP, VA Y TR
17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9
Aplicaciones en hoja de cálculo: análisis TR incremental después de impuestos Análisis de reemplazo después de impuestos Análisis del valor agregado después de impuestos Análisis de proyectos internacionales después de impuestos Resumen del capítulo Problemas Estudio de caso Evaluación por deuda y capital propio
Capítulo 18
562
602 604 609 612 616 622 628 631 636 640 642 643
después de impuestos del financiamiento
Análisis de sensibilidad formalizado y decisiones de valor esperado 18.1 18.2 18.3 18.4
564 567 569 574 578 579 582 584 589 590 591 597 600
Determinación de la sensibilidad para variación de parámetros Análisis de sensibilidad formalizado utilizando tres estimaciones Variabilidad económica y el valor esperado Cálculos de valor esperado para alternativas
656
660 662 670 672 673
Materi Tac
CONTENIDO CONTENIDO
18.5
Capítulo 19
Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5
Apéndice Apéndice A
A.5 A.5 A.6 A.6
Introducción al uso Excel Introducción uso de Excel Organización (distribución) (distribución) de la hoja cálculo Organización hoja de cálculo Funciones de Excel Excel importantes importantes para ingeniería económica económica Funciones para la ingeniería SOLVER: herramienta de Excel Excel para análisis de equilibrio equilibrio y del tipo SOLVER: una herramienta para análisis "¿qué "¿qué si ...... ?" Lista de las funciones funciones financieras financieras de Excel Excel Lista Mensajes de error error Mensajes
básicos de los los informes de contabilidad contabilidad Elementos básicos las razones financieras y de las B.l B.l B.2 B.2 B.3
Materiales referencia Materiales de referencia Tablas Tablas de factores factores de interés compuesto compuesto interés Índice Índice
Interpretación de certidumbre, certidumbre, riesgo incertidumbre Interpretación riesgo e incertidumbre Elementos importantes importantes para toma de decisiones decisiones bajo Elementos para la toma bajo riesgo riesgo Muestras aleatorias aleatorias Muestras Valor esperado y desviación desviación estándar estándar Valor esperado Muestreo de Monte Monte CarIo Carlo y análisis análisis mediante simulación Muestreo mediante simulación Ejemplos adicionales adicionales Ejemplos Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Ejercicio ampliado ampliado Uso simulación y el GNA GNA de Excel Excel para análisis Ejercicio Uso de simulación para análisis de sensibilidad sensibilidad
Uso de hoja de cálculo cálculo y del programa programa Excel© Excel©de Microsoft Uso de Microsoft A.l A.l A.2 A.3 A.4
Apéndice Apéndice B
Evaluación de alternativas alternativas por árbol de decisión decisión Evaluación por etapas etapas utilizando utilizando un árbol Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Ejercicio ampliado ampliado Análisis de alternativas alternativas desde diferentes ángulos ángulos Ejercicio Análisis desde diferentes Estudio de de caso caso Análisis Análisis de sensibilidad sensibilidad en proyectos sector público: Estudio proyectos del sector público: planes suministro de agua agua planes de suministro
773 775 775 805 805
general El balance balance general Estado de resultados resultados y estado estado del costo costo de lo vendido vendido Estado Razones financieras financieras Razones Problemas Problemas
xv
676 681 681 690 690 691
696 696 698 702 709 714 714 720 720 730 730 735 735 740 740
742 742 742 742 747 747 749 759 759 760 763
764 764 764 766 766 767 772 772
PREFACIO J:: PREFACIO El propósito propósito principal principal de este principios y aplieste libro libro es presentar presentar en forma forma clara clara los principios aplicaciones una gran caciones del análisis análisis económico, económico, a través través de una gran diversidad diversidad de ejemplos ejemplos orientaorientados a la ingeniería, ingeniería, con con el apoyo apoyo de ejercicios ejercicios al final final de cada cada capítulo capítulo y opciones opciones de aprendizaje basadas en herramientas aprendizaje basadas herramientas electrónicas. electrónicas. A lo largo largo de todas todas las ediciones ediciones de este este título, presentar el material título, nuestro nuestro objetivo objetivo ha sido sido presentar material de la manera manera más más clara clara y concisa, concisa, sin sacrificar presacrificar el alcance alcance o la comprensión comprensión del lector. lector. En la sección sección que que sigue sigue a este este prefacio para facio se describe describe la secuencia secuencia de los temas temas y la flexibilidad flexibilidad con con que que se cuenta cuenta para seleccionar posibilitar el alcance seleccionar los capítulos, capítulos, a fin de posibilitar alcance de objetivos objetivos en otros otros cursos. cursos.
NIVEL NIVEL ACADÉMICO ACADÉMICO Y USO USO DE DE TEXTO TEXTO El mejor puede dar texto es para para enseñar mejor uso uso que que se le puede dar al texto enseñar o aprender aprender en una una carrera carrera universitaria y como como libro libro de referencia referencia para llevar a cabo cabo los cálculos cálculos básicos análisis universitaria para llevar básicos del análisis ingeniería económica. económica. El libro libro es adecuado adecuado para curso de un semestre semestre o un trimestre trimestre de ingeniería para un curso de análisis proyectos o análisis análisis económico económico de ingeniería, ingeniería, análisis análisis de proyectos análisis de costos costos en ingeniería. Además, Además, en en virtud éste se adapta ingeniería. virtud de la estructura estructura conductista conductista del del libro, libro, éste adapta perfectamente a las necesidades pretendan conocer por perfectamente necesidades de lps los lectores lectores que que pretendan conocer el material material por primera vez de forma forma independiente independiente y para para aquellos aquellos que sencillamente desean desean hacer hacer un primera vez que sencillamente repaso. Los Los estudiantes estudiantes deberían deberían contar contar con con un nivel nivel de conocimientos conocimientos de por por lo menos menos repaso. segundo segundo o tercer tercer semestre semestre de universidad universidad con con la finalidad finalidad de que que aprecien aprecien mejor mejor el contexto de ingeniería ingeniería que rodea rodea a los problemas. problemas. No No se requieren requieren conocimientos conocimientos previos previos contexto cálculo para para comprender comprender las operaciones operaciones que que se llevan llevan a cabo, cabo, aunque aunque el material material de cálculo será más significativo por lo tanto, significativo y, por tanto, el aprendizaje aprendizaje resultará resultará más más fácil fácil y ameno ameno si se está está familiarizado familiarizado con con la la terminología terminología de la ingeniería. ingeniería. Sin Sin embargo, embargo, el enfoque enfoque estructurado permite al practicante practicante que estructurado en el diseño diseño del texto texto permite que no conoce conoce los fundamentos fundamentos de la economía utilizar el texto para aprender, economía y la ingeniería ingeniería utilizar texto para aprender, comprender comprender y aplicar aplicar correctamente principios y técnicas para una correctamente los principios técnicas para una adecuada adecuada toma toma de decisiones. decisiones.
LO NUEVO NUEVO EN EN ESTA ESTA EDICIÓN EDICIÓN Para Para la sexta sexta edición edición se han han conservado conservado el diseño diseño y estructura estructura básicos básicos de las ediciones ediciones anteriores. anteriores. Sin embargo, embargo, hay hay cambios cambios considerables. considerables. Entre Entre los más más significativos significativos se encuentran encuentran los siguientes: siguientes: Más problemas al final nuevos. Más de 80% 80% de los problemas final de cada cada capítulo capítulo se revisaron revisaron o son son nuevos. Se actualizaron basan en el tiempo, impuesactualizaron los materiales materiales que que se basan tiempo, como como las tasas tasas de impuestos y los índices índices de costo. costo. Es más más visible visible la dimensión dimensión internacional internacional del del libro. libro. esta edición, edición, muchos muchos de los Problemas Problemas de Repaso Repaso de Fundamentos Fundamentos de Ingeniería Ingeniería En esta (FI) son nuevos. nuevos.
ESTRUCTURA ESTRUCTURA DE DE LA OBRA OBRA Y OPCIONES OPCIONES DE ESTUDIO ESTUDIO DE DE LOS LOS CAPÍTULOS CAPÍTULOS El texto por módulos, permite organizar texto se redactó redactó por módulos, lo cual cual permite organizar los temas temas de diversas diversas formas, formas, según según los diferentes diferentes objetivos, objetivos, estructuras estructuras y límites límites de tiempo tiempo en los cursos. cursos. Hay Hay un
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xviii xviii
PREFACIO PREFACIO
total de 19 capítulos capítulos repartidos repartidos en cuatro cuatro niveles. niveles. Como Como lo indica indica el diagrama diagrama de flujo flujo total de la página página siguiente, siguiente, algunos algunos capítulos capítulos se estudian estudian en orden orden secuencial; secuencial; sin embargo, embargo, el diseño por módulos permite una diseño por módulos permite una gran gran flexibilidad flexibilidad en la elección elección y orden orden de los temas. temas. La gráfica gráfica de estudio estudio progresiva capítulos -después -después diagrama de flujoflujoLa progresiva de los capítulos del diagrama muestra muestra algunas algunas de las opciones opciones para para abordar abordar capítulos, capítulos, antes antes de lo que que indica indica el orden orden numérico. Por Por ejemplo, ejemplo, si el curso curso incluye incluye el análisis análisis después después de impuestos impuestos en la primera numérico. primera parte del parte del semestre semestre o trimestre, trimestre, el capítulo capítulo 16 y las primeras primeras secciones secciones del del capítulo capítulo 17 se pueden pueden examinar examinar en cualquier cualquier momento momento después después del capítulo capítulo 6 sin el peligro peligro de omitir omitir información fundamental. fundamental. Hay Hay entradas entradas principales principales y alternativas alternativas para mayoría de información para la mayoría las categorías categorías de inflación, inflación, estimación, estimación, impuestos impuestos y riesgo. riesgo. Las Las entradas entradas alternativas alternativas se indican indican por por medio medio de una una flecha flecha punteada punteada sobre sobre la gráfica. gráfica. material del nivel nivel uno uno hace hace hincapié hincapié en las habilidades habilidades de cálculo básicas; así, El material cálculo básicas; estos capítulos capítulos constituyen constituyen un requisito requisito previo previo para para los capítulos capítulos restantes restantes de la obra. obra. estos Los Los capítulos capítulos del nivel nivel dos dos están están consagrados consagrados principalmente principalmente a las técnicas técnicas analíticas analíticas más más comunes comunes para para comparar comparar alternativas. alternativas. Aunque Aunque es recomendable recomendable cubrir cubrir todos todos los capítulos 5 capítulos de este este nivel, nivel, sólo sólo se hace hace referencia referencia amplia amplia a los dos primeros primeros -capítulos -capítulos y 66- en el resto resto de la obra. obra. Los Los tres tres capítulos capítulos del nivel nivel tres muestran muestran la forma forma de aplicar aplicar las las técnicas técnicas del del nivel nivel dos dos para para evaluar evaluar activos activos actualmente actualmente en uso uso o alternativas alternativas independientes; independientes; mientras mientras que que los capítulos capítulos del del nivel nivel cuatro cuatro resaltan resaltan las consecuencias consecuencias de los impuestos, impuestos, de la toma estimación de toma de decisiones decisiones y de otros otros conceptos conceptos en la estimación costos, costos, el costeo costeo basado basado en actividades, actividades, el análisis análisis de sensibilidad sensibilidad y el riesgo, riesgo, de acuerdo acuerdo con con el tratamiento tratamiento que que se les da utilizando utilizando la simulación simulación Monte Monte CarIo. Carlo.
Organización final de capítulo Cada Organización de los capítulos capítulos y de los ejercicios ejercicios de final capítulo Cada capítulo capítulo incluye incluye un objetivo objetivo general general y una una serie serie gradual gradual de objetivos objetivos de aprendizaje, aprendizaje, seguida seguida por por el material material de estudio. estudio. Los Los encabezados encabezados de sección sección corresponden corresponden a cada cada objetivo objetivo de aprendizaje; aprendizaje; por por ejemplo, ejemplo, la sección sección 5.1 contiene contiene el material material perteneciente perteneciente al primer primer objetivo del capítulo. capítulo. Cada Cada sección sección incluye incluye uno uno o más más ejemplos ejemplos ilustrativos ilustrativos resueltos resueltos a objetivo mano, bien, por mano, o bien, por ambas ambas técnicas, técnicas, a mano mano y por por computadora. computadora. Los ejemplos ejemplos se separan separan del material material del texto texto e incluyen incluyen comentarios comentarios referentes referentes a la solución, solución, así como como enlaces enlaces pertinentes a otros otros temas temas del libro. libro. Los Los resúmenes resúmenes al final final de cada cada capítulo capítulo fusionan fusionan de pertinentes manera nítida nítida los conceptos conceptos y temas temas principales principales cubiertos cubiertos con con el propósito propósito de reforzar reforzar manera el aprendizaje aprendizaje del estudiante estudiante antes antes de abordar abordar los ejercicios ejercicios de fin de capítulo. capítulo. Los Los problemas problemas no resueltos resueltos de fin de capítulo capítulo se agrupan agrupan y se clasifican clasifican según según el mismo mismo orden orden general general de las secciones secciones del capítulo. capítulo. Este Este enfoque enfoque brinda brinda la oportunidad oportunidad de aplicar aplicar el material material por por sección sección o programar programar la resolución resolución del problema problema cuando cuando se haya haya concluido concluido el estudio estudio del capítulo. capítulo. Los Los apéndices apéndices A y B tienen tienen información información complementaria: complementaria: una una introducción introducción elemenelemental a las hojas hojas de cálculo cálculo (Microsoft (Microsoft Excel) Excel) para para lectores lectores que que no se encuentran encuentran familiafamiliarizados rizados con ellas;'los ellas.los conceptos conceptos básicos básicos de la contabilidad contabilidad y de los informes informes corporativos, corporativos, y las respuestas respuestas finales finales a los problemas problemas selectos selectos ordenados ordenados por por capítulo. capítulo. Las Las tablas tablas de factores factores de interés interés se localizan localizan al final final de la obra obra para para que que resulten resulten de fácil fácil acceso. acceso. Por Por último, último, los forros forros internos internos permiten permiten una una consulta consulta rápida rápida de la notación notación de factores, factores, fórmulas fórmulas y diagramas diagramas de flujo, flujo, además además de una una guía guía del formato formato de las funciones funciones de la hoja hoja de cálculo cálculo más más comúnmente comúnmente utilizadas. utilizadas. En la contraportada contraportada aparece aparece un glosario glosario de términos términos comunes comunes y símbolos símbolos empleados empleados en la ingeniería ingeniería económica. económica.
N 1
~
el
xix
PREFACIO
Estructura por niveles
Capítulo 1 Fundamentos de ingeniería económica
Capítulo 2 Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
NIVEL UNO
Capítulo 3 Combinación
de factores
Capítulo 4 Tasas de interés nominales y efectivas
I Capítulo 7 Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única
Capítulo 5
Capítulo 6
Análisis del valor presente
Análisis del valor anual
Capítulo 9
Capítulo 8 Análisis de tasa de rendimiento: alternativas múltiples
NIVEL DOS
Análisis beneficio! costo y economía del sector público
I
I Capítulo 10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples
I
I NIVEL TRES
NIVEL CUATRO
J
l
Capítulo 12
Capítulo 11 Decisiones de reemplazo y conservación
Capítulo 13
Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales
Análisis del punto de equilibrio
I
I
I
I
Capítulo 14
Capítulo 15
Capítulo 16
Capítulo 18
Efectos de la inflación
Estimación de costos y asignación de costos indirectos
Métodos de depreciación
I $o
Capítulo 17 Análisis económico después de impuestos
Análisis de sensibilidad formalizado y decisiones de valor esperado
Capítulo 19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo
xx
PREFACIO
OPCIONES DE ESTUDIO DE LOS CAPÍTULOS
Ro Jol Jol Na Ct Se Le Jo: Jo
Los temas pueden estudiarse en el punto señalado o en cualquier punto de ahí en adelante (las entradas alternativas se indican con el símbolo -+ - - -) Progresión numérica a través de los capítulos 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Estimación de costos
Inflación
Análisis de sensibilidad adicional y riesgo
Fundamentos Factores Más factores i efectiva Valor presente Valor anual
o W
Ki
...•......••
R(
...•......••
7. Tasa de rendimi ento 8. Más TR 9. Beneficio/costo
10. 11. 12. 13.
Impuestos y depreciación
....
GI M Ja Ri -,
A
~----,
Elecciones Remplazo Presupuesto de capital Punto de equilib rio
~-----
,.---114.
-------
-------
Inflación
----------------
1 115.
Estimación
VV S1 D
" ----------
M
"
TI N F S,
1 116. 117.
Depreciación Después de impuestos
118. 119.
1 1
D
Análisis de sensibilidad
I
A 1-
Riesgo y simulación
1
G
e R
AGRADECIMIENTOS Hay mucha gente que labora en universidades, en la industria y la práctica independiente que colaboró en la elaboración de esta obra. Estamos agradecidos con cada uno de ellos por sus contribuciones y el privilegio que nos brindaron de trabajar con ellos. Algunas de estas personas son las siguientes: Roza Abubaker, American University of Sharjah Robyn Adams, 12th Man Foundation, Texas A&M University Jeffrey Adler, Mindbox, Inc., y originalmente de Rensselaer Polytechnic Institute Richard H. Bernhard, North Carolina State University Stanley F. Bullington, Mississippi State University Peter Chan, CSA Engineering, Inc.
Tamb anteri p
mejor en la: Estan
PREFACIO PREFACIO
Ronald Ronald T. Cutwright, Cutwright, Florida Florida A&M A&M University University John F. Dacquisto, Dacquisto, Gonzaga Gonzaga University University John John John Yancey Yancey Easley, Easley, Mississippi Mississippi State State University University New Mexico Nader Nader D. Ebrahimi, Ebrahimi, University University of of New Mexico Charles Charles Edmonson, Edmonson, University University of of Dayton, Dayton, Ohio Ohio Sebastian of Michigan Sebastian Fixson, Fixson, University University of Michigan Louis Louis Gennaro, Gennaro, Rochester Rochester Institute Institute of of Technology Technology Joseph Joseph Hartman, Hartman, Lehigh Lehigh University University John John Hunsucker, Hunsucker, University University of of Houston Houston Cengiz University, Turkey Cengiz Kahraman, Kahraman, Istanbul Istanbul Technical Technical University, Turkey Walter E. LeFevre, Walter LeFevre, University University of of Arkansas Arkansas Kim Kim LaScola LaScola Needy, Needy, University University of of Pittsburgh Pittsburgh Robert Robert Lundquist, Lundquist, Ohio Ohio State State University University Gerald T. Machulak, Machulak, Arizona Arizona State State University University Gerald Wisconsin, Platteville Mike Mike Momot, Momot, University University of ofWisconsin, Platteville James S. Noble, University of of Missouri-Columbia Missouri-Columbia James Noble, University Richard Richard Patterson, Patterson, University University of of Florida Florida Antonio Antonio Pertence, Pertence, Jr. Jr.,, Faculdade Faculdade de Sabara, Sabara, Minas Minas Gerais, Gerais, Brazil Brazil William William R. R. Peterson, Peterson, Old Old Dorninion Dorninion University University Stephen M. Robinson, Robinson, University University of of Wisconsin-Madison Wisconsin-Madison Stephen David David Salladay, Salladay, San San Jose Jose State State University University Mathew Sanders, Sanders, Kettering Kettering University University Mathew Sastri, formerly formerly ofTexas ofTexas A&M A&M University University Tep Sastri, Michael J. J. Schwandt, Schwandt, Tennessee Tennessee Technological Technological University University Michael Frank Sheppard, Sheppard, III, I1I, The The Trust Trust for Public Public Land Land Frank Sallie Sheppard, Sheppard, American American University University of of Sharjah Sharjah Sallie Don Srnith, Srnith, Texas Texas A&M A&M University University Don Alan Stewart, Stewart, Accenture Accenture LLP LLP Alan Mathias Mathias Sutton, Sutton, Purdue Purdue University University Ghassan Tarakji, Tarakji, San San Francisco Francisco State State University University Ghassan Ciriaco Valdez-Flores, Valdez-Flores, Sielken Sielken and and Associates Associates Consulting Consulting Ciriaco Richard West, Sanders and and West West Richard West, CPA, CPA, Sanders También deseamos deseamos agradecerle agradecerle a Jack Jack Beltrán Beltrán por por su precisión precisión al revisar revisar ésta ésta y las También anteriores ediciones. ediciones. Su trabajo trabajo ayudará ayudará a que que este este libro libro sea sea un éxito. éxito. anteriores Por último, último, serán serán bien bien recibidos recibidos los los comentarios comentarios y las sugerencias sugerencias del del lector lector para para Por mejorar tanto tanto el contenido contenido del libro libro como como el Centro Centro de Aprendizaje Línea. Contáctenos Contáctenos mejorar Aprendizaje en Línea. direcciones [email protected], [email protected], [email protected] [email protected]. en las direcciones [email protected] y [email protected]. Estaremos atentos atentos a sus opiniones. opiniones. Estaremos Lee Lee Blank Blank Tony Tarquin Tarquin
xxi
ESTtJ
RECORRIDO GUIADO GUIADO EJEMPLOS DEL CAPíTULO Los lectores EJEMPLOS Y EJERCICIOS EJERCICIOSDEL lectores de este libro cuentan cuentan con diversas diversas maneras maneras de reforzar problemas del final final del capítulo, problemas que se reforzar los conceptos conceptos que han aprendido. aprendido. Los problemas capítulo, los problemas presentan a lo largo del capítulo, problemas ampliados, prácticos y los problemas problemas de presentan capítulo, los problemas ampliados, los casos casos prácticos repaso de FI (Fundamentos Ingeniería) ofrecen (Fundamentos de Ingeniería) ofrecen al lector lector la oportunidad oportunidad de aprender aprender el análisis análisis económico en gran variedad variedad de formas. formas. Los diversos diversos ejercicios ejercicios implican implican formas sencillas sencillas de trabajo, trabajo, económico problemas de repaso repaso de un solo paso y la necesidad necesidad de responder responder ampliamente ampliamente a preguntas preguntas complejas complejas problemas aplican a la realidad realidad mundial. ejemplos que aparecen aparecen en el capítulo capítulo también también son una forma forma útil que aplican mundial. Los ejemplos reforzar los conceptos conceptos aprendidos. aprendidos. para reforzar
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PROBLEMAS PROBLEMAS :;;~:~:~,;:~'P,"dóo"'''Yb)m",",m,"" :~;~:~:~,;:~'P,"d;,""'Y b) m",",m,""
Ttpos de deproyectos TillOS proyectos 5.1 5.1
PROBLEMAS DE FIN DE CAPíTULO CAPíTULO PROBLEMAS Como en las ediciones ediciones anteriores, anteriores, cada cada capítulo capítulo Como contiene muchos muchos ejercicios ejercicios para para trabajo trabajo en casa casa que contiene representativos de la realidad realidad mundial. mundial. El 80% son representativos ejercicios que aparecen aparecen al final final del capítulo capítulo de los ejercicios revisados o son nuevos nuevos para para esta esta edición. edición. han sido revisados
¿Quéquicrcdccirsen'icioaller/Uuil'o? ¿Quéquicrcdccirsen'icioallemmivo?
Al evaluar proyectos con elmé\(xlodel el método del valor 5.2 Alcvaluarproyccloscon
~~i~n~~sC;~~~~~~e~~I~~~~~~b~~~~ti~~
5.3 ~~i~n~~Scyn~~~~~~e~~l~~~~~~b~~~~ti~~ 5.3
prescnrc.gcerro se sabe cuál(es) cuál(es) selccciona seleccionar r prescnlc,¿cómo
definen ingreso o proyecto proyecto de servicios: servicios: defi nen un ingreso
Cash flows
o
Land
$ 1" $ ·2$ 3 4
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urchases 4,000,000 3,000,000
Parks develo menl I I
2.250,000 1,687,500 1265,625
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949,219,:
17 J pro. 11.788.797 pU«h."" ,i: Pvatces r $
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PROBLEMAS DE DE REPASO PROBLEMAS REPASO FI
6.14 Pllra Paral:1$::llternat;v::lsmutua.mcntcexc1uycn· l:t$ahem:llivllsmutuamcnlecxcluyentcs quc sc se muestran a cOf\linuación. conünuacíéndeterles dctercuá.lo cuálcs deben sclcecionarsc. seleccionarse. mine euS.loeuáles Alt ...... ~tiv~
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EJEMPLOS ADICIONALES ADICIONALES EJEMPLO
1.19
~
DIAGRAMAS DIAGRAMAS DE FLUJO FLUJO DE DE EFECTIVO EFECTIVO Una empresa dedicada al alquiler de equipo gastó $2 500 en una nueva compresora compresora de $2500 aire hace 7 años. El ingreso anual por concepto del alquiler de la compresora compresora fue de $750. Además, los $100 gastados en mantenimiento mantenimiento durante el primer año aumentaron $25 cada
41
~-------------------------------------------------------------------------------------------------~-----------42
CAPÍTULO
1
Fundamentos
de ingeniería económica
año. La empresa tiene planes de vender la compresora al final del año siguiente en $150. Construya el diagrama de flujo desde la perspectiva de la empresa. Solución Denote ahora como el tiempo t = O. Los ingresos y costos para los años -7 a 1 (próximo año) aparecen en la siguiente tabla con los cálculos de flujo de efectivo neto efectuados mediante la ecuación [1.8]. Los flujos de efectivo neto (1 negativo y 8 positivos) aparecen en el diagrama de la figura 1.13.
Final
del año
Ingresos
-7 -6 -5
O
$
750 750 750 750 750 750 750 750 + 150
-4 -3 -2 -1
O 1
Costos
Flujo de efectivo neto
$2500 100 125 150 175 200 225 250 275
$-2500 650 625 600 575 550 525 500 625
$625
S
L
Sl S€
-
RE~
Lai
-7 -6
-5
-4
-3
-2
-1
o
1 Año
eval estu vale
dad
rés ~ P = $2500
el p
Figura 1.13 Diagrama de flujo de efectivo (ejemplo
1.19).
tabl: larg pue
EJEMPLO
1.20
DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO Claudia desea depositar una cantidad P de dinero ahora, de tal manera que pueda retirar una cantidad anual igual a A 1 = $2 000 anuales durante los primeros 5 años, empezando un año después del depósito, y desea retirar una cantidad anual diferente de A2 = $3 000 los siguientes 3 años. ¿Cómo se vería el diagrama de flujo de efectivo si i = 8.5% anual?
RESUMEN DEL CAPÍTULO RESUMEN DEL CAPÍTULO
Solución Solución La figura figura 1.14 1.14 muestra los diagramas diagramas de de flujo flujo de efectivo. efectivo. El El flujo flujo de efectivo efectivo negativo La muestra los negativo de salida P se presenta ahora. El El primer (flujo de efectivo efectivo positivo de entrada) entrada) para salida presenta ahora. primer retiro retiro (flujo positivo de para la serie A ll ocurre ocurre al final final del año año 1, YA ocurre en los los años años 6 a 8. serie YA22 ocurre A22 = $3000 $3000
=
Al $2000 Al = $2000
o O
t 1
2
3
4
5
6
7
8 Año
i=8.5% i=8.5%
p=? p=?
Figura Figura 1.14 Diagrama de flujo de efectivo con dos diferentes series A (ejemplo 1.20).
RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN ingeniería económica económica es la aplicación aplicación de factores factores económicos económicos y criterios criterios para La ingeniería para la evaluación de alternativas, alternativas, tomando cuenta el valor dinero en el tiempo. evaluación tomando en cuenta valor del dinero tiempo. El estudio de ingeniería ingeniería económica económica implica implica el cálculo cálculo de una medida específica de estudio medida específica valor económico económico de flujos de efectivo efectivo estimados estimados durante durante un periodo periodo determinado. determinado. concepto de equivalencia equivalencia permite entender en términos económicos la igualigualEl concepto permite entender términos económicos diferentes sumas sumas de dinero dinero en tiempos distintos. La diferencia diferencia entre entre intedad de diferentes tiempos distintos. rés simple simple (basado (basado exclusivamente exclusivamente en el principal) interés compuesto compuesto (basado (basado en principal) e interés el principal interés sobre sobre el interés) interés) se describió describió por medio fórmulas, principal y en el interés medio de fórmulas, gráficas. Este poder cálculo compuesto compuesto se nota tablas y gráficas. poder de cálculo nota particularmente particularmente a lo como en el caso del efecto efecto de la inflación inflación aquí exlargo de periodos periodos prolongados, prolongados, como puesto. TMAR constituye constituye una tasa de rendimiento como tasa La TMAR rendimiento razonable razonable establecida establecida como base para determinar si una alternativa alternativa es económicamente económicamente viable. TMAR siemsiempara determinar viable. La TMAR pre es superior superior al rendimiento inversión segura. segura. rendimiento de una inversión Asimismo, también aprendimos aprendimos lo siguiente siguiente respecto efectivo: Asimismo, también respecto de los flujos de efectivo: dificultades relativas estimación. Las dificultades relativas a su estimación. diferencia entre entre el valor estimado y el valor La diferencia valor estimado valor real. convención de final de año para efectivo. La convención para la ubicación ubicación de flujos de efectivo. cálculo del flujo de efectivo efectivo neto. El cálculo diferentes perspectivas determinar el signo del flujo de efectivo. efectivo. Las diferentes perspectivas para para determinar construcción de un diagrama diagrama de flujo efectivo. efectivo. La construcción
43
44
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
PROBLEMAS Conceptos básicos 1.1
¿Qué significa el término valor del dinero en el tiempo?
1.2
Mencione tres factores intangibles.
1.3
a) ¿Qué quiere decir criterio de evaluación? b) ¿Cuál es el criterio de evaluación principal que se usa en el análisis económico?
1.4
Analice la importancia de identificar las alternativas en el proceso de la ingeniería económica.
1.6
¿Cuál es la diferencia entre el interés simple y el compuesto?
1.8
1.12
Liste tres criterios de evaluación, además del económico, para seleccionar el mejor restaurante.
1.5
1.7
1.11
¿Qué significa tasa mínima aceptable de rendimiento?
1.13
1.10
Si las utilidades por cada acción de Ford Motor Company se incrementaron de 22 a 29 centavos en el trimestre entre abril y junio en comparación con el trimestre anterior, ¿cuál fue la tasa de incremento en las utilidades de dicho trimestre?
La compañía US Filter celebró un contrato, para una planta pequeña que desala agua, con el que espera obtener una tasa de rendimiento de 28% sobre su inversión. Si la empresa invirtió $8 millones en equipo durante el primer año, ¿cuál fue el monto de la utilidad en dicho año? Una compañía constructora que cotiza al público reportó que acababa de pagar un préstamo recibido un año antes. Si la cantidad total de dinero que pagó la empresa fue de $1.6 millones y la tasa de interés sobre el préstamo fue de 10% anual, ¿cuánto dinero recibió en préstamo la compañía un año antes?
1.15
Una compañía química que comienza a operar se fijó la meta de obtener una tasa de rendimiento de al menos 35% anual sobre su inversión. Si la empresa adquirió $50 millones como capital de riesgo, ¿cuánto debe percibir en el primer año?
¿Cuál es la diferencia entre financiamiento con deuda y con capital propio? Dé un ejemplo de cada uno.
La compañía Trucking Giant Yellow Corp. acordó comprar a la empresa rival Roadway en $966 millones a fin de reducir los costos denominados indirectos de oficina, por ejemplo los costos por nómina y seguros que tienen un monto de $45 millones al año. Si los ahorros fueran los que se planearon, ¿cuál sería la tasa de rendimiento de la inversión?
Cierta empresa de ingeniería que diseña construcciones terminó el proyecto de un dueto por el que obtuvo una utilidad de $2.3 millones en un año. Si la cantidad de dinero que invirtió la compañía fue de $6 millones, ¿cuál fue la tasa de rendimiento de la inversión?
1.14
Tasa de interés y tasa de rendimiento 1.9
Una compañía que ofrece una gran variedad de servicios recibió un préstamo de $2 millones para adquirir equipo nuevo y pagó el monto principal del crédito más $275 000 de intereses después de un año. ¿Cuál fue la tasa de interés del préstamo?
1.1l
1.11
Inti
1.21
1.2
1.2
1.2
Equivalencia 1.16
Con una tasa de interés de 8% por año, ¿a cuánto equivalen $10 000 de hoy, a) dentro de un año, y b) hace un año?
1.17
Una empresa mediana de consultoría en ingeniería trata de decidir si debe reemplazar su mobiliario de oficina ahora o esperar un
1.2
PROBLEMAS PROBLEMAS
año para hacerlo. Si espera espera un año, se piensa piensa que el costo $16000. costo será de $16 000. Con una tasa de interés interés de 10% por año, ¿cuál ¿cuál sería sería el costo costo equivalente equivalente hoy?
1.25
Es frecuente reciban frecuente que que las empresas empresas reciban préstamos que préstamos de dinero dinero con con acuerdos acuerdos que requieren pagos pagos periódicos periódicos exclusivamente exclusivamente requieren por concepto después paconcepto de interés, interés, para para después gar el monto una monto principal principal del préstamo préstamo en una sola exhibición. como éste, exhibición. Con un arreglo arreglo como una producuna compañía compañía que que manufactura manufactura productos químicos químicos para para control control de olores olores obtuvo obtuvo $400 000 a pagar pagar durante durante tres años al 10% de interés ¿Cuál es la diinterés compuesto compuesto anual. ¿Cuál ferencia pagada entre entre ferencia en la cantidad cantidad total pagada dicho acuerdo (identificado como plan dicho acuerdo (identificado como plan 1) yY el plan 2, con el cual la compañía compañía no paga paga intereses préstamo y lo intereses mientras mientras adeude adeude el préstamo paga paga después después en una sola exhibición? exhibición?
1.26
Cierta empresa empresa que manufactura manufactura a granel Cierta granel mezcladores en línea línea planea planea solicitar mezcladores solicitar un préstamo de $1.75 millones millones para para actualizar préstamo actualizar producción. Si obtiene obtiene el dinero una línea de producción. dinero ahora, puede tasa de 7.5% 7.5% puede hacerlo hacerlo con una una tasa de interés cinco años. Si interés simple simple anual por cinco lo obtiene tasa de interés interés obtiene el año próximo, próximo, la tasa será de 8% de interés interés compuesto compuesto anual, pero sólo será por cuatro años. a) ¿Cuánto ¿Cuánto interés (total) pagará pagará en cada cada escenario, escenario, y b) ¿la empresa ahora o empresa debe tomar tomar el préstamo préstamo ahora dentro dentro de un año? Suponga Suponga que la cantidad cantidad total cuando el total que se adeude adeude se pagará pagará cuando préstamo préstamo venza, venza, en cualquier cualquier caso.
¿Con qué tasa de interés interés son equivalentes equivalentes 1.18 ¿Con una inversión inversión de $40 000 hace hace un año y otra de $50 000 hoy? equivalen $100000 $100 000 1.19 ¿¿Con Con qué tasa de interés equivalen de ahora ahora a $80 000 de hace un año?
Interés Interés simple simple e interés interés compuesto compuesto 1.20
1.21
Ciertos certificados certificados de depósito depósito acumulan acumulan Ciertos interés simple simple de 10% anual. anual. Si una un interés compañía compañía invierte invierte ahora $240 000 en dichos certificados certificados para para la adquisición adquisición dentro dentro de tres años de una máquina máquina nueva, ¿cuánto ¿cuánto tendrá periodo de tendrá la empresa empresa al final de ese periodo tiempo? tiempo? banco local ofrece pagar pagar un interés interés Un banco local ofrece compuesto compuesto de 7% anual sobre las cuentas cuentas de ahorro ahorro nuevas. nuevas. Un banco banco electrónico electrónico ofrece ofrece 7.5% de interés interés simple simple anual por un certificado de depósito depósito a cinco años. ¿Cuál ¿Cuál certificado oferta atractiva para oferta resulta resulta más atractiva para una empresa presa que desea desea invertir invertir ahora ahora $1 000 000 para la expansión expansión dentro dentro de cinco cinco años de una planta? planta?
1.22 Badger Badger Pump Pump Company Company invirtió invirtió $500 000 hace cinco años en una nueva nueva línea línea de proproductos que ahora ahora reditúa reditúa $1000000. $1000000. ¿Qué tasa de rendimiento rendimiento percibió percibió la empresa empresa sobase de a) interés bre la base interés simple, y b) interés interés compuesto? compuesto?
Símbolos y hojas hojas de cálculo Símbolos cálculo
1.27
Defina los símbolos símbolos que se involucran involucran si una Defina compañía quiere saber saber compañía de construcción construcción quiere cuánto dentro de tres cuánto dinero dinero puede puede gastar gastar dentro años en lugar de gastar $50 000 para adquirir adquirir un camión camión nuevo nuevo hoy, cuando cuando la tasa es de interés compuesto compuesto anual. 15% de interés
1.28
Diga siguienDiga la finalidad finalidad de cada una una de las siguienfunciones disponibles disponibles en Excel. tes funciones Excel.
1.23 ¿Cuánto ¿Cuánto tiempo tiempo tomará tomará para para que una inversión se duplique duplique con 5% por año, con a) interés simple, interés compuesto. simple, y b) interés compuesto. 1.24 Una Una empresa empresa que manufactura manufactura oxidantes oxidantes termales termales regenerativos regenerativos hizo una inversión inversión reditúa $1 300000. 300000. hace diez años que ahora reditúa ¿De cuánto cuánto fue la inversión inversión inicial inicial con una tasa de 15% anual de a) interés interés simple, simple, y b) interés interés compuesto? compuesto?
45
a) b) c) d)
FV(i%,n,A,P) FV(i%,n,A,P)
IRR(firsccell:lasccell) IRR(firsccell:last_cell) PMT(i%,n,P,F) PMT(i%,n,P,F) PV(i%,n,A,F) PV(i%,n,A,F)
46
1.29
1.30
1.31
CAPÍTULO
1
Fundamentos
de ingeniería económica
¿Cuáles son los valores de los símbolos de ingeniería económica P, F, A, i Y n, en las funciones de Excel siguientes? Use a? para el símbolo por determinar. a) FV(7%,1O, 2000, 9 000) b) PMT(11 %,20, 14000) c) PV(8%,15, 1000,800)
1.35
Escriba el símbolo de ingeniería económica correspondiente a cada una de las funciones de Excel siguientes. a) PV b) PMT c) NPER d) IRR e) FV
1.36
¿En qué circunstancias puede quedar en blanco cierto parámetro que no se aplica en una función disponible en Excel? ¿Cuándo debe colocarse una coma en su lugar?
TMAR y costo de capital 1.32
1.33
1.34
Clasifique como segura o riesgosa cada una de las inversiones siguientes. a) Negocio de restaurante nuevo b) Cuenta de ahorros en un banco c) Certificado de depósito d) Bono del gobierno e) Idea de un pariente para hacerse rico rápido. Clasifique cada uno de los financiamientos que siguen como capital propio o con deuda. a) Dinero de ahorros b) Dinero de un certificado de depósito c) Dinero de un familiar que es socio del negocio d) Préstamo bancario e) Tarjeta de crédito Ordene de mayor a menor las siguientes tasas de rendimiento o interés: bono del gobierno, bono corporativo, tarjeta de crédito, préstamo bancario para negocio nuevo, interés sobre cuenta de cheques.
Califique de mayor a menor las tasas de interés que siguen: costo de capital, tasa de rendimiento aceptable sobre una inversión riesgosa, tasa mínima aceptable de rendimiento, tasa de rendimiento sobre una inversión segura, interés sobre una cuenta de cheques, interés sobre una cuenta de ahorros. Cinco proyectos diferentes tienen tasas de rendimiento calculadas de 8, 11, 12.4, 14 Y 19% por año. Una ingeniera quiere saber cuáles proyectos aceptar sobre la base de la tasa de rendimiento. Ella sabe gracias al departamento de finanzas que por lo general se usan fondos de la compañía, lo cual tiene un costo de capital de 18% por año, para financiar el 25% del capital de todos los proyectos. Después se le comunicó que el dinero obtenido por préstamos cuesta actualmente 10% por año. Si la TMAR se establece exactamente con el costo promedio ponderado del capital, ¿cuáles proyectos debieran aceptarse?
Duj
1.41
1.4:
PR
1.4~
1.4~
Flujos de efectivo 1.37
¿Qué significa la convención del final del periodo?
1.38
Identifique los siguientes flujos de entrada o salida de efectivo para Daimler-Chrysler: impuesto sobre la renta, interés sobre un préstamo, valor de rescate, reembolsos a los distribuidores, ingresos por ventas, servicios de contabilidad, reducciones de costo.
1.39
Construya un diagrama de flujo para los siguientes flujos de efectivo: flujo de salida de $10 000 en el tiempo cero, flujo de salida de $3 000 anual entre los años 1 y 3, y flujo de entrada de $9 000 entre los años 4 y 8 con una tasa de interés de 10% anual y un monto futuro desconocido en el año 8.
-
Construya un diagrama de flujo para encontrar el valor presente de un flujo de salida futuro de $40 000 en el año 5, con una tasa de interés de 15% anual.
En áre: ció¡
1.40
1.4'
1.4:
EJI
EF
47
EJERCICIO EJERCICIO AMPLIADO AMPLIADO
Duplicación del valor valor Duplicación
1.43
para calcular calcular el tiempo tiempo 1.41 Use la regla regla del 72 para que tomaría tomaría para para que una inversión inversión inicial inicial de $10 000 creciera creciera a $20 000, con una tasa de interés interés compuesto compuesto de 8% anual. anual.
Utilice Utilice la regla regla del 72 para estimar estimar la tasa necesitaría para que $5 000 de interés que se necesitaría convirtieran en $10 000 en cuatro cuatro años. se convirtieran
1.44
Si usted usted tiene ahora ahora $62 500 en su cuenta cuenta ahorros para para el retiro retiro y quiere quiere jubilarse de ahorros jubilarse cuando en ésta ésta haya $2 000 000, calcule calcule la cuando rendimiento que debe ganar la cuenta tasa de rendimiento cuenta para retirarse dentro de 20 años sin agregar agregar para retirarse dinero a la cuenta. más dinero
Calcule el tiempo tiempo que que se requiere requiere (de 1.42 Calcule acuerdo con la regla regla del 72) para para que el acuerdo dinero se cuadruplique cuadruplique con una una tasa tasa de dinero interés compuesto compuesto de 9% anual. interés
PROBLEMAS DE REPASO FI FI PROBLEMAS ejemplo de factor factor intangible intangible es 1.45 Un ejemplo a) Impuestos Impuestos materiales b) Costo de materiales Moral e) Moral Renta á) Renta tiempo que tomaría tomaría que el dinero dinero se 1.46 El tiempo duplicara con una tasa de interés interés simple simple de duplicara 5% anual es muy cercano cercano a a) 10 años b) 12 años e) 15 15 años á) 20 años
1.47
interés compuesto compuesto de 10% Con una tasa de interés anual, $10 $10 000 000 de hace hace un año ahora anual, año ahora equivalen a equivalen $8264 a) $8264 $9091 b) $9091 e) $11 000 á) $12 100
Una inversión inversión de $10 000 de hace nueve nueve 1.48 Una acumuló $20 000 de ahora. La tasa de años acumuló
compuesto ganada ganada sobre la inversión inversión interés compuesto está próxima a está muy próxima a) 6% b) 8% e) 10% á) 12%
1.49
mayor parte parte de los estudios estudios de ingeEn la mayor niería económica, económica, la mejor mejor alternativa alternativa es niería aquella que aquella mayor tiempo tiempo a) Durará Durará el mayor implantar b) Es más fácil de implantar Cuesta menos menos e) Cuesta correcta políticamente políticamente á) Es más correcta
1.50
El costo de la colegiatura en cierta universidad pública fue de $160 por hora-crédito hora-crédito hace pública cinco años. El costo actual (cinco años exactos después) es de $235. La tasa anual de increencuentra muy próxima próxima a mento se encuentra a) b) e) á)
4% 6%
8% 10%
AMPLIADO EJERCICIO AMPLIADO EFECTOS DEL DEL INTERÉS INTERÉS COMPUESTO COMPUESTO EFECTOS esfuerzo por mantenerse mantenerse dentro dentro de las normas normas de emisión emisión de ruidos ruidos en el En un esfuerzo procesos, National National Semiconductors Semiconductors necesita necesita utilizar utilizar instrumentos instrumentos de mediárea de procesos, compañía tiene tiene planes planes de comprar comprar nuevos nuevos sistemas sistemas portátiles portátiles al ción de ruidos. La compañía
~ ~ ser-s Sol·E
48
CAPÍTULO Fundamentos de ingeniería ingeniería económica CAPÍTULO 1 Fundamentos económica
costo costo de $9 000 cada cada uno. National estima que el costo final del próximo próximo año a un costo National estima $500 anuales anuales durante durante 3 años, después después de los cuales cuales los de mantenimiento mantenimiento será de $500 sistemas sistemas se desecharán desecharán a un costo costo de $2 000. 000.
Preguntas Preguntas 1.
2. 3. 4.
Construya el diagrama diagrama de flujo de efectivo. efectivo. Calcule Calcule el valor equivalente F desdesConstruya valor equivalente pués cálculos a mano, compuesto pués de 4 años, mediante mediante cálculos mano, para para una una tasa de interés interés compuesto de 8% anual. Determine cálculo. Determine el valor valor de F en la pregunta pregunta 1 utilizando utilizando una hoja hoja de cálculo. Determine costos de mantenimiento $300, $500 $500 y Determine el valor valor de F si los costos mantenimiento son de $300, $1000, cada uno de los 3 años. años. ¿Cuánto ¿Cuánto ha cambiado cambiado el valor $1 000, en cada valor de F? F? Calcule el valor dólares que se necesiCalcule valor de F F en la pregunta pregunta 1 en términos términos de los dólares necesitarán futuro con un ajuste ajuste de inflación incrementa la tarán en el futuro inflación del 4% anual. Esto incrementa tasa de interés interés del 8% a 12.32% anual.
ESTUDIO DE CASO DESCRIPCIÓN DE LA FABRICACIÓN DESCRIPCIÓN DE LAS LAS ALTERNATIVAS ALTERNATIVAS PARA PARA LA FABRICACIÓN DE REVESTIMIENTOS DE REVESTIMIENTOS PARA PARA REFRIGERADOR REFRIGERADOR Planteamiento del problema Planteamiento problema Las fábricas fábricas grandes de refrigeradores como Whirlpool, Las grandes de refrigeradores como Whirlpool, General Electric, subcontratar General Electric, Frigidaire Frigidaire y otras otras pueden pueden subcontratar de sus sus revestimientos de plástico el moldeo moldeo de revestimientos de plástico y tableros tableros de las las principales empresas subconsubconde puerta. puerta. Una Una de principales empresas tratistas nacionales Innovations Plastics. Se espera espera tratistas nacionales es Innovations Plastics. Se que aproximadamente aproximadamente años el mejoramiento de que en 2 años mejoramiento de mollas propiedades propiedades mecánicas mecánicas permita permita que que el plástico plástico moldeado soporte soporte cargas cargas verticales cada vez deado verticales y horizontales horizontales cada vez mayores, lo cual cual reduciría reduciría significativamente significativamente la necemayores, necesidad de las bisagras en alguna alguna estantería. estantería. Sin Sin sidad bisagras metálicas metálicas en embargo, para ingresar al mercado equipo embargo, para ingresar mercado se requerirá requerirá equipo moldeo de mejor calidad. El presidente de de la comcomde moldeo mejor calidad. El presidente pañía desea desea una sobre si Innovations pañía una recomendación recomendación sobre Innovations debería pensar ofrecer la nueva debería pensar en ofrecer nueva tecnología tecnología a los los prinprincipales fabricantes, fabricantes, así así como como una estimación de de la cipales una estimación la ininversión de capital capital necesaria entrar al mercado versión necesaria para para entrar mercado temtempranamente. pranamente. Usted como ingeniero Usted trabaja trabaja como ingeniero para para Innovations. Innovations. En En esta etapa, etapa, no se espera usted lleve cabo un anáanáesta espera que que usted lleve a cabo lisis económico económico de de ingeniería completo, en en virtud de lisis ingeniería completo, virtud de
que no hay suficiente información disponible. Se le que hay suficiente información disponible. le pide pide que formule alternativas que formule alternativas razonables, razonables, que que determine determine los los datos datos y estimaciones estimaciones necesarios necesarios para para cada cada alternativa alternativa y establezca (económicos y no establezca los los criterios criterios (económicos no económicos) económicos) que final. que deben deben aplicarse aplicarse para para tomar tomar la decisión decisión final.
Información Información Alguna en este este momento siAlguna información información útil útil en momento es la la siguiente: guiente: espera que que la equipo continúen continúen • Se espera la tecnología tecnología y el equipo vigentes aproximadamente 10 años años antes antes de que que se vigentes aproximadamente desarrollen nuevos desarrollen nuevos métodos. métodos. inflación y los impuestos impuestos sobre sobre la renta • La La inflación renta no no se tomarán en en cuenta cuenta en en el análisis. análisis. tomarán esperados sobre sobre el capital capital de de inin• Los Los rendimientos rendimientos esperados versión utilizados para para los los últimos versión utilizados últimos tres tres proyectos proyectos tecnológicos fueron las las tasas interés compuesto compuesto tecnológicos fueron tasas de de interés del 15,5 15,5 Y 18%. 18%. La de 5% 5% fue fue el criterio criterio para del La tasa tasa de para mejorar de seguridad seguridad para empleados en en mejorar un sistema sistema de para empleados un existente de de preparación de químicos. químicos. un proceso proceso existente preparación de
-
ESTUDIO DE DE CASO CASO ESTUDIO
• Un patrimonio supesupeUn financiamiento financiamiento de capital capital de patrimonio rior rior a los los $5 millones millones resulta resulta imposible. imposible. La La canticantidad dad del del financiamiento fmanciamiento de deuda deuda y su costo costo se desdesconocen. conocen. • Los Los costos costos anuales anuales de operación operación han han promediado promediado del costo costo inicial inicial del del equipo equipo principal. principal. un 8% del • El incremento incremento de los costos costos anuales anuales de capacitación capacitación los requerimientos requerimientos de salario salario para para el manejo manejo de y los los nuevos nuevos plásticos plásticos y del del nuevo nuevo equipo equipo de operaoperación pueden pueden variar variar de $800 $800 000 000 a $1.2 $1.2 millones millones de ción dólares. dólares. Hay Hay dos dos fábricas fábricas trabajando trabajando en la nueva nueva generación generación de equipos. equipos. Estas Estas dos dos opciones opciones se designan designan como como las alalternativas ternativas A y B.
Ejercicios Ejercicios del estudio estudio de caso caso 1. Aplique Aplique los los primeros primeros cuatro cuatro pasos pasos del del proceso proceso de toma de decisiones decisiones para describir en líneas líneas generageneratoma para describir les las alternativas alternativas e identifique identifique los los cálculos cálculos de nana-
turaleza económica que requerirán para para elaborar elaborar turaleza económica que se requerirán un análisis análisis de ingeniería económica económica para para el presipreside ingeniería dente. dente. 2. Identifique los factores factores y criterios criterios no no económicos económicos Identifique los que deben considerarse considerarse en en el momento momento de de elegir elegir alalque deben ternativa. ternativa. 3. Durante la investigación investigación que que lleva lleva a cabo cabo con con resresDurante la pecto la alternativa alternativa B con con el el fabricante, fabricante, usted usted se pecto a la entera de que que esta esta compañía compañía ya ya ha diseñado el proproentera de ha diseñado totipo una máquina máquina de de moldeo moldeo que que ha ha vendido vendido a totipo de una una compañía en en Alemania Alemania por por $3 millones millones (de (de dódóuna compañía lares). En En su investigación, investigación, usted usted descubre, descubre, además, además, lares). que la la empresa empresa alemana alemana no no aprovecha aprovecha toda toda la la capacapaque cidad cidad del del equipo equipo para para fabricar fabricar revestimiento revestimientoss plásplásticos. La La compañía compañía quiere quiere vender vender tiempo tiempo de uso uso del del ticos. equipo a Innovations, Innovations, para para que que ésta ésta fabrique fabrique sus sus proproequipo pios revestimientos revestimientos y los los distribuya distribuya en en Estados Estados UniUnipios dos. Esto Esto podría podría facilitar facilitar una una entrada entrada temprana en dos. temprana en mercado de Estados Estados Unidos. Unidos. Considere Considere ésta ésta como como el mercado la alternativa alternativa C y formule formule las las estimaciones estimaciones necesanecesarias rias para para evaluar evaluar C al mismo mismo tiempo tiempo que que las las alteralternativas nativas A A y B. B.
49
2 o o 1-
cómo Factores: cómo interés el tiempo tiempo y el interés afectan al dinero dinero afectan En el capítulo capítulo anterior anterior aprendimos aprendimos los conceptos conceptos básicos de la la ingeniería En su papel en la la toma de decisiones. El El flujo de efectivo efectivo resulta resulta económica y su fundamental económico. Los Los flujos de efectivo ocurren en fundamental en todo todo estudio económico. configuraciones y cantidades: cantidades: valores únicos aislados, series que muchas configuraciones son uniformes y series series que aumentan o disminuyen en cantidades o porcenson tajes constantes. El El presente capítulo realiza realiza deducciones deducciones para todos todos los factores utilizados comúnmente la ingeniería económica, que toman en cuencomúnmente en la ta el valor del dinero dinero en el tiempo. tiempo. La La aplicación de los factores se se ilustra mediante mediante el empleo empleo de sus sus formas Se incluyen las matemáticas y de un formato formato de notación estándar. Se las funciofunciones de las cálculo,, para trabajar trabajar de manera rápida con las las series nes las hojas de cálculo series de flujo de efectivo efectivo y para desarrollar análisis análisis de sensibilidad. sensibilidad . El El estudio estud io de caso caso se se enfoca en los impactos significativos significativos que el interés compuesto compuesto y el tiempo tiempo tienen sobre el valor y la la cantidad cantidad del de l dinero. dinero .
-
-
-
-
-
-
«« u u
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: deducir y usar los factores de ingeniería económica para explicar el valor del dinero en el tiempo.
Este capítulo ayudará al lector a: Factores FIP Y PIF
Factores PIA y A/P
I
1. Deducir y utilizar los factores de cantidad compuesta y de valor presente para pago único.
~
2. Deducir y aplicar los factores de valor presente y recuperación de capital de serie uniforme.
I
3. Deducir y emplear los factores de cantidad compuesta y fondo de amortización de serie uniforme.
I Factores FIA y A/F
I
4. Interpolación lineal para calcular el valor de un factor.
Interpole valores de factores
Factores PIG y A/G
I Gradiente
geométrico
Calcule;
,
~
,
5. Deducir y usar los factores del valor presente de gradiente aritmético y de serie uniforme.
6. Deducir y aplicar las fórmulas de gradiente geométrico.
7. Determinar la tasa de interés (tasa de retorno) de una secuencia de flujos de efectivo.
Calcule n
I
8. Determinar el número de años requeridos para lograr la equivalencia en una secuencia de flujos de efectivo.
Hojas de cálculo
I
9. Desarrollar una hoja de cálculo para realizar análisis de sensibilidad básico mediante las funciones de la hoja de cálculo.
52
CAPÍTULO CAPÍTULO 2
2.1
Factores: tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero Factores: cómo cómo el tiempo
FACTORES FACTORES DE PAGO PAGO ÚNICO ÚNICO (F/P (F/P Y P/F)
P=c
El El factor factor fundamental fundamental en en la ingeniería ingeniería económica económica es el que que determina determina la la cantidad cantidad de dinero periodos), a partir partir de de un valor único único dinero F que que se acumula acumula después después de de n años años (o periodos), un valor presente P con con interés una vez vez por por año por periodo). periodo). Recuerde presente interés compuesto compuesto una año (o por Recuerde que que el interés interés pagado pagado sobre interés compuesto compuesto se refiere refiere al interés sobre el interés. interés. Por Por consiguiente, consiguiente, si una cantidad P se se invierte invierte en en algún algún momento la cantidad cantidad de de dinero dinero F¡ que que se se una cantidad momento t = O, O, la habrá acumulado en en un año a partir del momento momento de de la la inversión inversión a una tasa de de habrá acumulado un año partir del una tasa interés de de i por anual será: será: interés por ciento ciento anual
o
F¡ =P+Pi =P+Pi
= P(1 P(1 + i) donde la la tasa tasa de de interés interés se expresa expresa en en forma forma decimal. decimal. Al final del del segundo segundo año, año, la donde Al final cantidad de de dinero dinero acumulada acumulada F la cantidad cantidad acumulada acumulada después después del del año año 1, más más cantidad F22 es la interés desde desde el final final del del año año 1, hasta final del del año año 2 sobre sobre la la cantidad cantidad total total F¡. el interés hasta el final F2=F¡+F¡i F2=F¡+F¡i
= P(1 P(1 + i) + P(1 P(1 + i)i
[2.1]
Ésta es la la lógica lógica que que se utiliza en el capítulo interés compuesto, compuesto, de de manera Ésta utiliza en capítulo 1 para para el interés manera específica en los los ejemplos ejemplos 1.8 y 1.18. 1.18. La La cantidad cantidad F se expresa expresa como: como: específica F22 se F22 = = P(l P(l + i + i + i22)) = P(1 + 2i + p) = P(1 i2) i)2 = P(l P(1 + i)2 En forma forma similar, similar, la la cantidad cantidad de de dinero dinero acumulada acumulada al final final del del año la En año 3, si se utiliza utiliza la ecuación [2.1], [2.1], será: será: ecuación
FigL Diag
La¡ únü cam fluj utili reci
clu SieJ mie cue el n
tor
F3 = F22 + F F3 = F22ii
es ( las
Al sustituir sustituir P(1 ii por simplificar, se obtiene obtiene Al P(1 + i)2 por F22 y simplificar, F3 i)3 F3 = P(1 P(1 + i)3 De acuerdo acuerdo con con los los valores valores anteriores, anteriores, por inducción matemática matemática es evidente evidente que que la la De por inducción fórmula puede generalizarse para años de de la siguiente manera: manera: fórmula puede generalizarse para n años la siguiente F=P(1 +it F=P(l +it
[2.2]
El factor factor (1 + ir se denominafactor denominafactor cantidad compuesta compuesta de pago único (FCCPU); (FCCPU); El de cantidad pago único pero general se se hace éste como como el factor Éste es el factor factor de pero en general hace referencia referencia a éste factor FIP. FIP. Éste de conversión que, que, cuando cuando se multiplica cantidad futura futura F de de una conversión multiplica por por P, produce produce la cantidad una inversión inicial inicial P después de de n años, años, a la la tasa tasa de de interés interés i. i. El El diagrama diagrama de de flujo flujo de de inversión P después efectivo se se muestra muestra en en la figura figura 2.1a. efectivo Invierta la situación situación para calcular el valor valor P para cantidad dada dada F que que ocuocuInvierta para calcular para una una cantidad rre en el futuro. futuro. Tan Tan sólo sólo resuelva la ecuación ecuación [2.2] [2.2] para periodos en resuelva la para P. rre n periodos 1-]] P- , -- 1 P-
ir
(l+i)" (1 +
-
'
[2.3]
yP rad per
SECCIÓN 2.1
Factores de pago único (F/P y P/F)
53
p=?
P = dado
i
o
= dado
n-2
2
i
n-l
o
n
= dado
2
n-2
F=?
n-l
n
F = dado b)
a)
Figura 2.1 Diagrama de flujo de efectivo para factores de pago único: a) determine
F y b) determine P.
La expresión entre corchetes se conoce como el factor de valor presente de pago único (FVPPU), o elfactor PIF. Tal expresión determina el valor presente P de una cantidad futura dada F, después de n años a una tasa de interés i. El diagrama de flujo de efectivo se muestra en la figura 2.1b. Observe que los dos factores derivados aquí son para pago único; es decir, se utilizan para encontrar la cantidad presente o futura cuando se tiene sólo un pago o recibo. Se ha adoptado una notación estándar para todos los factores. La notación incluye dos símbolos de flujo de efectivo, la tasa de interés y el número de periodos. Siempre está en la forma general (X/Y,i,n). La literal X representa lo que se busca; mientras que la literal Y representa lo que está dado. Por ejemplo, FIP significa encuentre F cuando P está dado. La i es la tasa de interés en porcentaje, y n representa el número de periodos implicados. En consecuencia, (FIP,6%,20) representa el factor que encuentra la cantidad futura F acumulada en 20 periodos si la tasa de interés es de 6% por periodo. La P está dada. La notación están dar, más simple de usar que las fórmulas y los nombres de los factores, se utilizará de aquí en adelante. La tabla 2.1 resume la notación estándar y las ecuaciones para los factores FIP y PIF. Esta información también está incluida dentro de los forros. Para simplificar los cálculos rutinarios de la ingeniería económica se han elaborado las tablas de valores del factor para tasas de interés desde 0.25 hasta 50%, y periodos del tiempo van desde 1 hasta grandes valores de n, dependiendo del valor i. TABLA
2.1
Factores F/P y P/F: notación y ecuaciones
Factor Notación
Nombre
(FIP,i,n)
Cantidad compuesta pago único Valor presente pago único
(P/F,i,n)
Encontrar /dado
Ecuación en notación estándar
Ecuación con fórmula de factor
Funciones de Excel
F/P
F = P(F/P,i,n)
F= P(l + i)"
FV(i%,n"P)
P/F
P = F(P/F,i,n)
P
= F[I/(l
+ i)"]
PV(i%,n"F)
54
CAPÍTULO CAPÍTULO 2
Factores: tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero Factores: cómo cómo el tiempo
Estas final del del libro, están ordenadas ordenadas de de acuerdo acuerdo con con facfacEstas tablas, tablas, que que se encuentran encuentran al final libro, están tores número de periodos n de de manera manera descendescentores a lo largo largo de la parte parte superior superior y con con el número de periodos dente discreto en en el el encabezado de cada cada tabla tabla enfatiza enfatiza el el dente a la izquierda. izquierda. La La palabra palabra discreto encabezado de que la convención convención de de final final de de periodo periodo y que que el el interés interés es comque dichas dichas tablas tablas utilizan utilizan la compuesto de interés. interés. Para Para un un factor, factor, tasa tasa de de interés interés y tiempo tiempo dados, dados, puesto una una vez vez cada cada periodo periodo de el valor la intersección intersección del del nombre nombre del del factor valor correcto correcto del del factor factor se encuentra encuentra en en la factor y n. Por /F,5 %, 10) encuentra en en la la columna /F de de la la tabla tabla Por ejemplo, ejemplo, el valor valor del del factor factor (P (P/F,5 1O) se encuentra columna P P/F 10 Este valor determina aplicando aplicando la la ecuación ecuación [2.3]. 10 en en el periodo periodo 10: 10: 0.6139. 0.6139. Este valor se se determina [2.3]. 1 (P/F,5%,1O) -(P/F,5%,1O) = =-(1 . (1 + 1 (1.05)10 (1.05)10
ir
1 1.6289 1.6289
= _1_ = 0.6139 =--=0.6139 Para la solución solución por computadora, el se calcula Para por computadora, el valor valor F se calcula con con la la función función VF VF usando usando el el formato formato Sol-R
VF(i%,n"P) VF(i%,n"P) Un signo signo = = debe debe preceder preceder a la se ingrese. Un la función función cuando cuando se ingrese. La La cantidad cantidad P se determidetermina utilizando utilizando la función función VP VP con el formato na con el formato VP(i%,n"F) VP(i%,I1"F) Estas funciones funciones se incluyen incluyen en ayuda en en Estas en la la tabla tabla 2.1. Consulte Consulte el apéndice apéndice A o la ayuda línea de Excel Excel para para mayor mayor información funciones VF línea información acerca acerca de de las las funciones VF y VP. Los Los ejemejemplos 2.1 2.1 y 2.2 ilustran ilustran soluciones soluciones con funciones. plos con computadora computadora para para ambas ambas funciones. EJEMPLO EJEMPLO
2.1 .
01F'y
3,370
=NPV(BI,B6:BI8)+B5
---4""'2""6-1.-----------+----+-----+------11 371 322 .~~------~~~_~----~2~80~1-----244 3,370
--------·1--·---_·_··_+_·····_····_·····
-+-----
---t----,
=SUM(C5:CI8)
Figura 3.18 3.18 Figura Determinación del valor presente total usando las funciones VPN y VP de la hoja de cálculo, ejemplo 3.9. Determinación
utilizando la función función SUMo Este Este método método toma toma más más tiempo tiempo de teclado, teclado, pero pero ofrece ofrece el valor valor utilizando para cada cada flujo flujo de efectivo, efectivo, si estas estas cantidades cantidades son necesarias. necesarias. Asimismo, Asimismo, la función función VP VP P para requiere que efectúe la entrada entrada de cada cada valor valor cero cero en el flujo' flujo' de efectivo. efectivo. no requiere que se efectúe Función VF: VF: No No resulta resulta eficiente eficiente determinar determinar PrT usando usando la función función VF, pues pues el formato formato Función contrario de la la función función VPN, VPN, no permite permite ingresar ingresar de manera manera directa directa las las referencias referencias VF, al contrario celdas. Cada Cada flujo flujo de efectivo efectivo primero primero debe debe llevarse llevarse al último último periodo periodo usando usando el formaformade celdas. to general general VF(15%,yearsJemaining"cash_flow), VF(15%,yearsJemaining"cash_flow), donde se suman suman usando usando la función función SUMo donde Esta función función SUM SUM luego luego se regresa regresa al periodo periodo O vía vía la función función VP(15%,13"SUM). VP(15%,13"SUM). En Esta En este caso, caso, tanto tanto la función función VPN VPN como como la función función VP, y de manera especial la primera, primera, manera especial este ofrecen un uso uso mucho mucho más más eficiente capacidades de las hojas de cálculo cálculo que que la ofrecen eficiente de las capacidades las hojas función VF. VE función Solución a mano mano Solución Existen numerosas numerosas formas formas de encontrar encontrar Prr.. Las Las dos más más simples simples probablemente probablemente sean sean los los Existen métodos del valor valor presente del valor valor futuro. Para un tercer tercer método, método, utilice utilice el año año 7 como como métodos presente y del futuro. Para punto de anclaje. anclaje. A éste éste se le conoce conoce como como el método método del del año año intermedio. intermedio. punto
s
116
CAPÍTULO
3
Combinación
de factores
Método del valor presente: Véase la figura 3.l9a. P T se encuentra utilizando, primero, los factores P/A para la serie uniforme, seguido del uso de los factores P/F para obtener el valor presente en el año O. PT=PA¡+PA2 PA¡ = ~¡
(PlF,15%,2) = A¡(P/A, 15%,3)(P/F,15%,2)
PT= ?
M
t
PA2 =?
PÁ¡ =?
PAI =? O
PÁ2 =? 3
2
Al
4
=
5
6
7
8
9
10
11
12
13
$1 000 A2
= $1
500
a) Método del valor presente
El el:
O
6
2
Al
=
7
8
$1 000 A2 = $1 500 b) Método del valor futuro
EJE~ FÁ¡ =? O
1
2
3
4
~
~
5
PÁ2 =?
PA2 =? 6
7
8
9
11
10
12
13
-
A¡ = $1000 A2
=
$1500
e) Método del año intermedio
Figura 3.19
FI
Cálculo del valor presente de la figura 3.17 mediante tres métodos, ejemplo 3.9.
el
EJEMPLO ADICIONAL
= 1 000(2.2832)(0.7561) = $1726
= A2(PlA,15%,5)(PlF,15%,8)
PA2 = P~2 (PIF,15%,8)
=
1 500(3.3522)(0.3269)
= $1644 Pr = 1726 + 1 644 = $3 370
Método del valor futuro: Véase la figura 3.19b. Utilice los factores FIA, FIP Y PIF. Pr= (FA! + FA2)(PIF,15%,13) FA! = F~! (FIP, 15%,8) = A!(FIA,15%,3)(FIP,15%,8) = 1 000(3.4725)(3.0590) FA2 = AzCFIA,15%,5)
= $10 622
= $10 113
= 1 500(6.7424)
= 20 735(0.1625)
Pr= (FA! + FA2)(PIF,15%,13)
= $3369
Método del año intermedio: Véase la figura 3.19c. Encuentre el valor equivalente de ambas series en el año 7 y luego utilice el factor PIF.
El valor PA2 se calcula como un valor presente; aunque, para encontrar el valor total Pr en el año O, debe tratarse como un valor F. En consecuencia, FA! = P,..! (FIP,15%,2)
=A¡(FIA,15%,3)(F/P,15%,2)
= 1 000(3.4725)(1.3225) PA2 =P~2 (PIF,15%,I)
= $4 592
=AzCPIA,15%,5)(PIF,15%,1)
= 1 500(3.3522)(0.8696)
= $4 373
Pr= (FA¡ + PA2)(P/F,15%,7) = 8 965(0.3759)
= $3 370
EJEMPLO ADICIONAL
EJEMPLO
3.10
VALOR PRESENTE MEDIANTE COMBINACIÓN
DE FACTORES Calcule el valor presente total de la siguiente serie de flujos de efectivo al i = 18% auual. Año Flujo de efectivo.
$
O
1
2
3
4
5
6
+460
+460
+460
+460
+460
+460
+460
7
-5000
117
118
CAPÍTULO 3 CAPÍTULO
Combinación de factores factores Combinación
Solución Solución El diagrama diagrama de flujo flujo de efectivo efectivo se presenta figura 3.20. 3.20. Como Como el ingreso ingreso en el año año O O El presenta en la figura igual a la serie serie A de los los años años 1 a 6, el factor factor PIA se puede puede utilizar utilizar para año 6 o para es igual para el año para el El problema resuelve en dos dos formas. formas. 7. El problema se resuelve
• p
e
Uso de de PIA El ingreso ingreso Po en el año año O O se suma suma al valor valor presente las cantidades cantidades PIA y n = 6: El presente de las Uso restantes, pues pues el factor factor PIA para colocará PAA en en el año año O. restantes, para n = 6 colocará PT=PO+PA-P PT=PO+PA-P F F 460 + 460(PlA,18%,6) 000(PlF,18%,7) = 460 460(P/A ,18%,6) - 5 000(PIF,18%,7) $499.40 = $499.40 Uso dePIA dePIA y n = 7: 7: Al Al usar usar el factor factor PIA para "valor presente" en el año año para n = 7, el "valor presente" se ubica ubica en Uso -1, , no no en en el año año O, ya ya que que P está está un periodo antes que que la primera necesario que que el -1 periodo antes primera A. Es necesario valor PA mueva un un año año hacia hacia adelante adelante con con el factor factor FIP. valor A se mueva P = 460(P/A,18%,7)(FlP,18%,I) 460(PIA,18%,7)(FIP,18%,l) - 5 000(PIF,18%,7) 000(PIF,18%,7) -5
= $499.38 $499.38 = A
s o o
2
= $460 $460 =
3
4
5
6
7
Año
i=18% i = 18% F== $5000 $5000 F
Figura 3.20 3.20 Figura Diagrama de de flujo flujo de de efectivo, efectivo, ejemplo 3.10. Diagrama ejemplo 3.10.
RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN capítulo 2 se derivaron derivaron las ecuaciones ecuaciones para calcular los valores valores presente, En el capítulo para calcular presente, futuespecíficas de flujo de efectivo. efectivo. En este capítulo capítulo se demostró demostró ro o anual de series específicas ecuaciones se aplican aplican a series de flujo de efectivo efectivo diferentes diferentes de aquellas aquellas que tales ecuaciones para obtuvieron las relaciones relaciones básicas. básicas. Por ejemplo, ejemplo, cuando cuando una serie para las que se obtuvieron uniforme no comienza comienza en el periodo factor PIA uniforme periodo 1, de todos modos modos se usa el factor PIA para para encontrar el valor valor presente valor de P se localiza localiza un periodo encontrar presente de la serie, sólo que el valor periodo valor de A, y no en el tiempo tiempo cero. Para Para gradientes gradientes geométricos geométricos y antes del primer primer valor aritméticos, el valor valor P está está dos periodos adelante del lugar lugar en que se inicia inicia el aritméticos, periodos adelante gradiente. Con esta información información es posible posible despejar despejar cualquier cualquier símbolo símbolo -P, -P, A Fgradiente. A o Fpara cualquier cualquier secuencia secuencia de flujo de efectivo efectivo concebible. concebible. experimentado algunas algunas de las fortalezas fortalezas de las funciones funciones de las hojas de Se han experimentado cálculo para determinar valores valores de P, F YA, una vez que el flujo de efectivo efectivo estimaestimacálculo para determinar ingresa en las celdas celdas de la hoja hoja de cálculo. cálculo. do se ingresa
3
119
PROBLEMAS
PROBLEMAS Cálculos de valor presente 3.1
3.2
Debido a que e143% de todas las fatalidades que ocurren en las autopistas se deben a cambios de carril no intencionados que efectúan los conductores distraídos, Ford Motor Company y Volvo lanzaron un programa para desarrollar tecnologías para impedir los accidentes ocasionados por conductores somnolientos. Un dispositivo que cuesta $260 detecta las marcas de los carriles y hace sonar una alarma cuando un automóvil pasa de uno a otro. Si estos dispositivos se instalaran en 100000 autos nuevos por año, comenzando dentro de tres años, ¿cuál sería el valor presente de su costo durante un periodo de diez años, con una tasa de interés de 10% anual? Un plan para obtener fondos en beneficio de las escuelas de Texas involucra un impuesto sobre la riqueza que podría recabar $56 para cada estudiante de cierto distrito escolar. Si hay 50000 estudiantes en el distrito, y el flujo de efectivo comienza dentro de dos años, ¿cuál es el valor presente del plan para gravar la riqueza durante un horizonte de planeación de cinco años, con una tasa de interés de 8% anual?
que los costos de producción disminuyan $100000 por año en cada uno de los próximos tres, y $200 000 anuales en los siguientes dos. ¿Cuál es el valor presente neto del ahorro en los costos si la empresa usa una tasa de interés de 15% anual sobre dichas inversiones? 3.5
Toyco Watercraft y un proveedor de refacciones tienen un contrato que involucra compras por $150 000 anuales, la primera compra se haría hoy y le seguirían otras similares durante los próximos cinco años. Determine el valor presente del contrato, con una tasa de interés de 10% anual.
3.6
Calcule el valor presente neto en el año O, de la serie de pagos siguiente. Suponga que i = 10% anual.
Año
Desembolso. $
Año
O
O 3500 3500 3500 5000 5000
6 7 8 9 10
1 2
3 4
5
Desembolso. $ 5000 5000 5000 5000 5000
Cálculos de valor anual
3.3
La empresa Amalgamated Iron and Steel compró una máquina nueva para doblar trabes grandes tipo 1 por medio de un pistón. La compañía espera doblar 80 trabes a $2 000 por unidad, durante cada uno de los primeros tres años, después de lo cual la empresa espera doblar 100 trabes por año a $2 500 por unidad hasta el año 8. Si la tasa mínima atractiva de rendimiento es de 18% anual, ¿cuál es el valor presente del ingreso esperado?
3.7
La utilidad bruta (porcentaje de ingreso que queda después de restar el costo de los bienes vendidos) de Cisco fue de 70.1 % del ingreso total para un periodo de cuatro años. Si el ingreso total fue de $5.4 mil millones durante los dos primeros años, y de $6.1 mil millones en los dos últimos años, ¿cuál fue el valor anual equivalente de la utilidad bruta durante dicho periodo de cuatro años, con una tasa de interés de 20% anual?
3.4
Rubbermaid Plastics planea adquirir un robot lineal para empujar partes hacia una máquina de moldeo por inyección. Debido a la velocidad del robot, la compañía espera
3.8
Las utilidades por las ventas de BKM Systems se muestran a continuación. Calcule el valor anual equivalente (años del 1 a 7), con una tasa de interés anual de 10%.
120
Año Año
CAPÍTULO CAPÍTULO 3
Desembolso, $ Desembolso,
Año Año
4000 4000 4000 4000 4000 4000
4 5 6 7
oo 1 2 3
3.9
3.10 ~!
~I
,
'1 1
Combinación Combinación de factores factores
Desembolso, Desembolso, $
5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000
Un ingeniero ingeniero metalúrgico metalúrgico decide decide reservar reservar cierta cierta cantidad cantidad de dinero dinero para para la educación educación universitaria de su hija recién nacida. Estima universitaria Estima que sus necesidades necesidades serán de $20 000 en los cumpleaños 20. Si cumpleaños números números 17, 18, 19 Y Y20. planea planea hacer hacer depósitos depósitos uniformes uniformes que comenzarán menzarán dentro dentro de tres años y continúa continúa así hasta hasta el año 16, ¿cuál debe ser el monto monto de cada depósito depósito si la cuenta cuenta gana un interés interés de 8% anual? anual?
Ingreso, Ingreso, $/Año Año
Egreso, Egreso, $/Año Año
O o
10000 10 000 800 800 900 900
2000 2000 200 200 300 300
3.11
Se espera una espera que el costo costo de operación operación de una caldera de polvo polvo de carbón, carbón, tipo ciclón, caldera ciclón, sea de $80000 $80000 por año. Si el vapor que se produzca sólo será necesario cinco años a necesario durante durante cinco partir de hoy (es decir, durante los años 1 a 5), ¿cuál equivalente en estos estos ¿cuál es el valor valor anual equivalente años del costo una tasa costo de operación, operación, con una de interés interés de 10% anual? anual?
3.15
ingeniero eléctrico eléctrico y empresario empresario hizo a Un ingeniero una instalación una instalación hidráulica hidráulica importante importante una propuesta propuesta que promete promete reducir reducir en al menos 15% cada año, durante los próximos próximos cinco años, el importe de la energía que esta compañía utiliza, por medio medio de la instalación instalación de protectores La protectores de descargas descargas patentados. patentados. La propuesta establece que el ingeniero obtendrá propuesta obtendrá $5 000 ahora y pagos anuales equivalentes equivalentes a 75% de los ahorros de energía logre energía que se logre con los dispositivos. Si se supone que los ahorros serán los mismos decir, mismos cada año (es decir, 15 %) Y que el importe importe de la energía energía de la instalación ¿cuál instalación es de $1 millón millón por por año, ¿cuál sería la cantidad equivalente cantidad anual uniforme uniforme equivalente (en los años 1 a 5) de los pagos para el ingeingepagos para niero? Suponga utiliza una Suponga que la instalación instalación utiliza interés de 6% anual. tasa de interés
¿¿Cuánto Cuánto dinero tendría tendría usted que pagar pagar cada año, en ocho pagos iguales, si comienza comienza dentro de dos años, para para saldar saldar un préstamo préstamo de $20 000 otorgado por un familiar, si la otorgado hoy por tasa de interés interés fuera de 8% anual? anual?
jubilación ingeniero industrial industrial planea planea su jubilación 3.12 Un ingeniero temprana temprana dentro dentro de 25 años. Él considera considera que puede puede reservar reservar cómodamente cómodamente $10 000 partir de hoy. Si planea planea comenzar comenzar cada año a partir retirar dinero dinero un año después después de que haga haga a retirar último depósito depósito (es decir, en el año 26), su último cantidad uniforme uniforme podría podría retirar retirar cada ¿qué cantidad año durante durante 30 años, si la cuenta cuenta obtiene obtiene una tasa de interés interés de 8% anual? 3.13
3.14
Calcule Calcule el valor valor anual en los años 1 a 10 de la siguiente serie de ingresos ingresos y egresos, si la tasa de interés interés es de 10% anual.
Año Año
1-6 7-10 7-10
antes de que se disponga sitios redisponga de gas en sitios motos. La empresa estima que el cambio a gas comenzaría ahorraría comenzaría dentro dentro de dos años y ahorraría $15000 interés de $15000 por año. año. Con una tasa de interés determine el valor por año equiva8% anual, determine equivalente (años 11aa 10) de los ahorros proyectados.
Una Una compañía compañía de instalaciones instalaciones rurales rurales proporciona proporciona energía energía a estaciones estaciones de bombeo bombeo medio de generadores generadores que usan usan diesel. por medio Surgió una alternativa alternativa con la que la instainstaSurgió lación podría usar gas natural para mover los generadores, generadores, pero pero pasarán pasarán algunos algunos años años
3.16
La Comisión planea acComisión Nacional Nacional de Agua Agua planea tualizar sistema SCADA controlar tualizar su sistema SCADA para para controlar tanto las bombas de pozo y de refuerzo, como el equipo equipo desinfectante, desinfectante, de modo modo que todo pueda La pripueda controlarse controlarse desde un solo sitio. La mera fase reducirá los costos de mano de obra y viajes en $28 000 por año. La segunda segunda fase reducirá adicioreducirá los costos costos en otros $20000 $20000 adicionales al año. Si los ahorros de la fase 11ocurren ocurren en los años O, 3, Y los de la fase II en O, 1,2 1,2 Y Y3, Ylos los años 4 a 10, ¿cuál anual equiequi¿cuál es el valor valor anual valente valente del sistema sistema actualizado actualizado en los años 1 a 10, con una tasa de interés anual? interés de 8% anual?
3.1
Cál
3.1
3.11
3.21
Pag
3.2J
121
PROBLEMAS
3.17
Un ingeniero mecánico recién egresado de la maestría planea comenzar su propia empresa de calefacción y aire acondicionado comercial. Podría comprar por sólo $600 al año un paquete para diseñar páginas web a fin de distribuir información. Si su negocio tiene éxito, comprará un paquete más elaborado de comercio electrónico que cuesta $4000 por año. Si el ingeniero compra hoy la página menos costosa (con pagos al principio de año), y adquiere el paquete de comercio electrónico dentro de un año (también con pagos al inicio de año), ¿cuál es el valor anual equivalente de los costos del sitio web para un periodo de cinco años (años 1 a 5), con una tasa de interés de 12% anual?
3.22
o
Año
Ingreso, $
Egreso, $
O 1-5 6-8 9-14
O 6000 6000 8000
9000 6000 3000 5000
Use el diagrama de flujo de efectivo que se muestra abajo para calcular la cantidad de dinero en el año 5, equivalente a todos los flujos de efectivo que se muestran, si la tasa de interés es de 12% anual. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 Año
$1000 $2000
Cálculos de valor futuro I
3.18
Las cuentas de ahorro para toda la vida, conocidas como LSA, permitirían que la gente invirtiera dinero después de impuestos sin que se gravara ninguna de las ganancias. Si un ingeniero invierte $10 000 ahora y $10 000 por cada uno de los 20 próximos años, ¿cuánto habría en la cuenta inmediatamente después de hacer el último depósito, si la cuenta crece 15% por año?
3.19
¿Cuánto dinero se depositó anualmente, durante cinco años, si una cuenta tiene hoy un valor de $100 000 y el último depósito se hizo hace diez años? Suponga que el interés que ganó la cuenta fue de 7% anual.
3.20
Calcule el valor futuro (en el año 11) de los ingresos y egresos siguientes, si la tasa de interés es de 8% anual. Año
Ingreso, $
Egreso, $
o
12000 800 900
3000 200 200
1-6 7-11
Pagos aleatorios y series uniformes 3.21
¿Cuál es el valor equivalente en el año 5 de la siguiente serie de ingresos y egresos, si la tasa de interés es de 12% anual?
3.23
Si gasta $10 000 ahora y $25 000 dentro de tres años, una compañía de recubrirnientos metálicos puede incrementar su ingreso en el periodo que va de los años 4 a 10. Con una tasa de interés de 12% anual, ¿qué ingreso adicional por año se necesitaría en los años 4 a 10 a fin de recuperar la inversión?
3.24
Sierra Electric Company estudia la compra de un rancho en las colinas para su posible uso futuro como granja de molino de viento. La propietaria del rancho de 500 acres lo vendería a $3 000 por acre si la compañía lo saldara en dos pagos: uno ahora y otro del doble al primero dentro de tres años. Si la tasa de interés de la transacción es de 8% anual, ¿cuál es el monto del primer pago?
3.25
Hace 20 y 21 años se hicieron dos depósitos iguales, los cuales permitirían que un jubilado retirara $10 000 ahora y $10 000 anualmente durante otros 14 años. Si la cuenta gana un interés de 10% anual, ¿de cuánto fue cada depósito?
3.26
Una compañía de concreto y materiales de construcción trata de que la parte para el fondo de retiro de sus empleados aportada por la empresa cumpla con la norma HB-301. La compañía ya ha depositado $20 000 en
122
CAPÍTULO
3
Combinación
de factores
cada uno de los últimos cinco años. ¿Cuánto debe depositar ahora a fin de que el fondo tenga $350 000 dentro de tres años, si crece a una tasa de 15% anual? 3.27
3.30
Encuentre el valor de la incógnita x de modo que los flujos de efectivo positivos sean equivalentes con exactitud a los negativos, si la tasa de interés es de 14% anual. $700
$700
Calcule el valor de x en el diagrama inferior, el cual haría que el valor presente equivalente del flujo de efectivo fuera igual a $15 000 si la tasa de interés fuera de 15% anual.
Gr
3.2
P = $15000
o
234567
Año
x $1000
+
o
1 2
4
3
5
6
7
8
10 11
9
3.31
$800
$800
Año
$950
3.28 ,
~I 1
"
111
Al tratar de obtener un préstamo quirografario de un banco local se pidió a un contratista que proporcionara una estimación general de sus gastos anuales. Un componente de los gastos se muestra en el diagrama de flujo de efectivo de la parte inferior. Convierta las cantidades que se indica en un monto uniforme anual de los años 1 a 8, con el uso de una tasa de interés de 12% por año.
o
2
3
4
5
6
7
8
Año
O 1 2 3 4
3.32
Año
O 1 2 3
t t
$1000
x
$2000
12 Año
Obtenga la cantidad de dinero en el año 3 que equivale a los flujos de efectivo siguientes, si la tasa de interés es de 16% anual. Cantidad,
$
900 900 900 900 3000
Año 5 6 7 8
Cantidad,
$
3000 -1500 500 500
Calcule el valor anual (años 1 a 7) de la siguiente serie de egresos. Suponga que i = 12% anual. Egreso, $ 5000 3500 3500 3500
Año 4 5 6 7
3.3
3.3~
Egreso, $ 5000 5000 5000 5000
$3000
3.33
$5000
3.29
Determine el valor en el año 8 equivalente a los flujos de efectivo que se muestran abajo. Utilice una tasa de interés de 12% anual. Año
F=?
O
o
2
3
Año
$1500 $2500
$2500
1 2 3 4 5
Determine el valor de x de los flujos de efectivo que se muestran abajo, de modo que el valor total equivalente en el año 8 sea de $20 000 con el uso de una tasa de interés de 15% anual. Flujo de efectivo, $ 2000 2000 x x x x
Año
Flujo de efectivo, $
6 7 8 9 10 11
x x x 1000 1000 1000
3.37
123
PROBLEMAS
Gradientes aritméticos diferidos 3.34
3.35
3.36
3.37
La ciudad de San Antonio estudia varias opciones para el abastecimiento de agua como parte de su plan a 50 años, el cual incluye la desalación. Se espera que un acuífero confinado produzca agua sin sal que generaría ingresos de $4.1 millones anuales durante cuatro años, después de lo cual la producción menor haría que el ingreso disminuyera $50 000 cada año. Si el acuífero se agota por completo dentro de 25 años, ¿cuál es el valor presente de la opción de desalar, con una tasa de interés de 6% anual? Exxon-Mobil planea vender cierto número de pozos productores. Se espera que éstos .generen 100000 barriles de petróleo anuales durante ocho años más, con un precio de venta de $28 por barril en los dos años siguientes, con un incremento de $1 por barril hasta el año 8. ¿Cuánto debe estar dispuesta a pagar hoy por los pozos una refinería independiente, si la tasa de interés es de 12% anual? Burlington Northern estudia la eliminación de un cruce ferroviario mediante la construcción de dos pasos elevados de doble carril. El ferrocarril subcontrata el mantenimiento de sus puentes de cruce por $11 500 por año; sin embargo, si se comienza dentro de cuatro años, se espera que los costos se incrementen en $1 000 anuales durante el futuro previsible (es decir, $12 500 dentro de cuatro años, $13 500 dentro de cinco, etc.). La construcción del paso elevado costaría hoy $1.4 millones, pero eliminaría el 100% de las colisiones entre autos y trenes, que tienen un costo promedio de $250 000 por año. Si el ferrocarril usa un periodo de estudio de 10 años, determine si debe construirse el paso elevado. Levi Strauss contrató con la compañía independiente U.S. Garment Corporation algunos de sus pantalones deslavados. Si el costo de operación por máquina de esta
última empresa es de $22 000 en los años 1 y 2, Y después se incrementa en $1 000 anuales hasta el año 5, ¿cuál es el costo uniforme equivalente por máquina (años 1 a 5), con una tasa de interés de 12% anual? 3.38
Los ingresos y egresos (en miles) de Herman Trucking Company se muestran abajo. Calcule el valor futuro en el año 7, con una tasa de 10% de interés anual.
Año
Flujo de efectivo, $
Año
Flujo de efectivo, $
O 1 2 3
-10 000 4000 3000 4000
4 5 6 7
5000 -1000 7000 8000
3.39
Peyton Packing tiene un horno de jamón con el flujo de costo que se muestra en la parte inferior. Si la tasa de interés es de 15% por año, determine el valor anual (en los años 1 a 7) de los costos. Año
O 1 2 3
Costo,
4000 4000 3000 2000
$
Año
4 5 6 7
Costo,
$
6000 8000 10 000 12000
3.40
Una compañía que comienza, dedicada a la venta de cera de colores pulidora para autos, recibe un préstamo de $40 000 con una tasa de interés de 10% anual, y desea reembolsarlo en un periodo de cinco años con pagos anuales tales que del tercero al quinto sean de $200 000 más que los dos primeros. Determine el monto de estos dos primeros pagos.
3.41
Para el flujo de efectivo que se muestra a continuación, encuentre el valor de x que hace que el valor presente en el año O sea igual a $11 000, con una tasa de interés de 12% anual.
124
Año O 1 2 3 4
CAPÍTULO
Flujo de efectivo, $
Año
200 300 400 x 600
5 6 7 8 9
3
Combinación
de factores
Flujo de efectivo, $ 700 800 900 1000 1100
3.45
3.46
Gradientes geométricos diferidos 3.42
3.43
3.44
En un esfuerzo para compensar la tendencia decreciente en la compra de líneas terrestres, SBC y Bell South (propietarios de Singular Wireless LLC) entablaron una guerra con Vodaphone para adquirir AT &T Wireless. Los $11 iniciales por acción subieron a $13 por el paquete de 2.73 mil millones de acciones de AT &T Wireless. Si cerrar la compra tomó exactamente un año (es decir, al final del año 1), ¿cuál sería hoy el valor presente (tiempo O) de la adquisición por las utilidades de $5.3 mil millones en el año 2, con incrementos de 9% anual hasta el año 11? Suponga que SBC y Bell South usan una tasa de rendimiento de 15% anual. Un alumno exitoso planea hacer una contribución a la comunidad de la universidad de la que se graduó. El donativo es para otorgarlo durante un periodo de cinco años y comienza hoy, con un total de seis pagos. Dará ayuda durante 20 años a cinco estudiantes de ingeniería al año, con la primera beca por entregarse inmediatamente (un total de 21 becas). El costo de la colegiatura es de $4 000 por año y se espera que permanezca así durante tres años más. Después de dicho tiempo (es decir, al final del año 4) se espera que la colegiatura aumente 8% anual. Si la escuela puede invertir el dinero y ganar interés a una tasa de 10% anual, ¿de cuánto deben ser los donativos? Calcule el valor presente (año O) de un arrendamiento que requiere hoy un pago de $20 000, y cantidades que se incrementan anualmente 5% hasta el año 10. Utilice una tasa de 14% de interés anual.
3.47
Determine el valor presente de una máquina que tiene un costo inicial de $29 000, con vida útil de 10 años y un costo de operación anual de $13 000 durante los cuatro primeros años, con incrementos de 4% de entonces en adelante. Emplee una tasa de interés de 10% anual. A-l Box Company planea arrendar un sistema de cómputo que costará (con servicio) $15000 en el año 1, $16 500 en el año 2, y cantidades que se incrementan 10% cada año de ahí en adelante. Suponga que los pagos del arrendamiento deben hacerse al principio del año y que se planea un plazo de cinco años. ¿Cuál es el valor presente (año O) si la compañía usa una tasa mínima atractiva de rendimiento de 16% anual? Dakota Hi-C Steel firmó un contrato que le generará ingresos de $210 000 hoy, $222 600 en el año 1, y cantidades que se incrementan 8% anual hasta el año 5. Calcule el valor futuro del contrato, con una tasa de interés de 8% anual.
3
A
3.
3.:
Gradientes decrecientes diferidos 3.48
Encuentre el valor presente (en el momento O) de los costos del proceso de cromado que aparecen en el siguiente diagrama de flujo. Suponga que i = 12% anual. p=?
• Pf
o
2
3
4
5
Año
3.:
1000 1200 1400 1600 1800 $2000
3.49
Calcule el valor presente (año O) de los flujos de efectivo siguientes, con i = 12% anual.
Año
Cantidad, $
O
5000 1000 900 800
1-5 6 7
Año 8 9 10 11
Cantidad, $ 700 600 500 400
3.5
PROBLEMAS
3.50
Para la tabla de flujo de efectivo que se muestra, calcule el valor uniforme anual equivalente en los periodos 1 a 10, si la tasa de interés es de 10% por año.
Año
Cantidad, $
o
2000 2000 2000 2000 2000 2500
1 2 3 4 5
3.51
3.52
Año 6 7 8
9 10
micos resistentes a la temperatura. Determine el valor presente (en el año O) de los costos que se muestran en el diagrama inferior, con el empleo de una tasa de 15% de interés anual.
Cantidad, $
o
2400 2300 2200 2100 2000
Prudential Realty tiene una cuenta en fideicomiso de uno de sus clientes administrativos propietarios, la cual en el presente contiene $20000. ¿Cuánto tiempo tomará agotar la cuenta si el cliente retira $5 000 ahora, $4 500 dentro de un año y cantidades que disminuyen de ahí en adelante $500 cada año, si la cuenta gana un interés de 8% anual?
125
DE REPASO FI
2
4
3
5
Año
1000 1200 1400 1600 $2000
3.53
1800
Calcule el valor futuro en el año 10, con i = 10% anual, para el flujo de efectivo que se muestra a continuación. F=?
o
El costo de los espaciadores de metal líquido que se usan alrededor de los cilindros de combustible en los reactores de reproducción ha estado disminuyendo debido a la disponibilidad de mejores materiales cerá-
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Año
4000 4200 4400 4600 4800 $5000
PROBLEMAS DE REPASO FI 3.54
El valor anual en el periodo que va de los años 4 a 8 de una cantidad x de dinero que se recibirá dentro de dos años es de $4 000. Con una tasa de interés de 10% anual, el valor de x se acerca mucho a a) Menos de $12 000 b) $12531 e) $12885 el) Más de $13000
3.55
La lotería Powerball de estados múltiples, con premio de $182 millones, fue ganada por un solo individuo que había comprado cinco boletos a $1 cada uno. La persona tuvo dos ofrecimientos: recibir 26 pagos
de $7 millones cada uno, el primero ahora y el resto al final de cada uno de los 25 años siguientes; o recibir un solo pago ahora, que sería equivalente a los 26 pagos de $7 millones cada uno. Si el estado usa una tasa de interés de 4% por año, el monto del pago en una sola exhibición estaría muy cerca de a) Menos de $109 000 000 b) $109355000 e) $116355000 el) Más de $117 000 000 3.56
La asistencia a El Paso Livestock Show & Rodeo ha venido en declive durante los cinco
126
CAPÍTULO
3
Combinación
de factores
últimos años. En el 2000, la asistencia fue de 25 880, Y en 2004 fue de 13 500 (una disminución de 15% anual). Si el precio promedio del boleto fue de $10 por persona durante dicho periodo de tiempo, ¿por cuál de las ecuaciones siguientes está representado el valor presente del ingreso en 1999 (es decir, 1999 es el tiempo O)para los años 2000 a 2004, con una tasa de interés de 8% anual? a) P = 250 880 {l - [(1 + 0.15)5/(1 + 0.08)5]}/ (0.08 - 0.15) = $1 322 123 b) P = 250 880 {1 - [(1 - 0.15)4/(1 + 0.08)4]}/ (0.08 + 0.15) = $672 260 e) P = 250 880 {1 - [(1 + 0.15)4/(1 + 0.08)4]}/ (0.08 - 0.15) = $1 023 489 d) P = 250 880 {1 - [(1 - 0.15)5/(1 + 0.08)5]}/(0.08 + 0.15) = $761390 •
¡!., I
'
¡
3.57
.111
3.58
3.59
Una compañía que manufactura monitores de sulfuro de hidrógeno planea hacer depósitos de modo que cada uno sea 5% más grande que el precedente. ¿Qué tan grande debe ser el primer depósito (al final del año 1), si todos se extienden del año 10 y el cuarto de ellos es de $1 250? Use una tasa de interés de 10% anual. a) $1312.50 b) $1 190.48 e) $1133.79 el) $1 079.80 Si se recibe un préstamo de $10 000 ahora, al 10% de interés anual, el balance al final del año 2 después de hacer pagos de $3 000 en el año 1 y $3 000 en el año 2, estará muy cerca de a) Menos de $5 000 b) $5800 e) $6100 el) Más de $7 000 El depósito anual que se necesita en el periodo que va de los años 1 a 5 para proporcionar un retiro anual de $1 000 durante 20 años, iniciando dentro de seis años, con una tasa de 10% de interés anual, está más cerca de
a) $1395 b) $1457 e) $1685 el)
3.60
3.61
3.62
3.63
EJE
Más de $1 700
El costo anual de mantenimiento de cierta máquina es de $1 000 durante los cinco primeros años, y $2 000 para los cinco años siguientes. Con una tasa de interés de 10% por año, el valor anual en los años 1 a 10 del costo de mantenimiento es el más cercano a a) $1255 b) $1302 e) $1383 d) $1426 Si dentro de diez años una compañía quiere tener $100 000 en un fondo de contingencias, la cantidad que debe depositar cada año entre los años 6 y 9, con una tasa de interés de 10% anual, está muy cerca de a) $19588 b) $20614 e) $21547 el) $22389 Si una persona comienza a ahorrar dinero por depositar $1 000 ahora y después incrementa su monto en $500 cada año hasta el año 10, la cantidad que habrá en la cuenta en este año, con una tasa de interés del 10% anual, está muy cerca de a) $21663 b) $35687 e) $43872 el) $56186 Si hoy se deposita una suma de $5 000, dentro de dos años otra de $7 000, y $2 000 cada año entre los años 6 y 10, la cantidad en este último con una tasa de interés de 10% anual, será la más cercana a a) Menos de $40 000 b) $40185 e) $42200 el) $43565
PRl
EIF naci no r gara rroll pro) fidei
nea, den terre años cant: lueg
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1. 1 2.
r
~ e l. r 1:
EJERCICIO AMPLIADO AMPLIADO EJERCICIO
EJERCICIO AMPLIADO AMPLIADO EJERCICIO PRESERVACIÓN DE DE TIERRA TIERRA PARA PARA USO USO PÚBLICO PÚBLICO PRESERVACIÓN El Fideicomiso Fideicomiso para para Terrenos Terrenos Públicos Públicos (Trust (Trust for Public Public Land) Land) es una organización organización nacional que compra compra y supervisa supervisa el mejoramiento mejoramiento de grandes grandes extensiones extensiones de terrenacional agencias gubernamentales gubernamentales en todos los niveles. niveles. Su misión misión consiste consiste en no para para las agencias garantizar la preservación preservación de los recursos recursos naturales, naturales, mientras mientras proporciona proporciona el desagarantizar necesario, aunque aunque mínimo, mínimo, para para el uso recreativo recreativo por el público. público. Todos los rrollo necesario, proyectos del fideicomiso fideicomiso son evaluados evaluados al 7% anual, y los fondos de reserva reserva del proyectos fideicomiso fideicomiso ganan ganan 7% al año. Un estado problemas de agua subterráestado del sur de Estados Estados Unidos, Unidos, con añejos añejos problemas subterránea, ha solicitado solicitado al fideicomiso fideicomiso encargarse encargarse de la compra compra de 10 000 acres de tierra tierra recarga acuífera acuífera y del desarrollo desarrollo de tres parques parques con diferentes diferentes tipos de uso en el de recarga serán adquiridos adquiridos paulatinamente paulatinamente durante durante los siguientes siguientes 5 terreno. Los 10 000 acres serán años con $4 millones millones gastados gastados inmediatamente inmediatamente en las compras. compras. Se espera espera que las cantidades cantidades de compra compra total anual disminuyan disminuyan 25% cada cada año hasta hasta el quinto quinto año y luego cesen para para este proyecto proyecto específico. específico. ciudad con 1.5 millones millones de habitantes habitantes inmediatamente inmediatamente al sureste sureste de este Una ciudad terreno depende por completo de este manto acuífero. Sus ciudadanos adquirieron una emisión de bonos bonos el año pasado gobierno de la ciudad ciudad ahora ahora tiene disponibles disponibles emisión pasado y el gobierno tierra. La tasa de interés del bono es un 7% anual efectivo. $3 millones para la compra de tierra. ingenieros civiles civiles que laboran laboran en la planeación planeación del parque parque intentan intentan comcomLos ingenieros pletar desarrollo durante durante un periodo periodo de 3 años, que inicia inicia en el año 4, cuando cuando pletar todo el desarrollo cantidad invertida invertida sea de $550 000. Se espera espera que los aumentos aumentos en los costos costos de la cantidad construcción sean de $100 000 cada cada año hasta hasta el año 6. construcción En una junta reciente, se tomaron tomaron los siguientes siguientes acuerdos: acuerdos: junta reciente,
•
Comprar ahora el incremento incremento inicial inicial del terreno. terreno. Utilizar Utilizar los fondos de la emiComprar sión de bonos bonos para para apoyar apoyar esta compra. compra. Tomar Tomar la cantidad cantidad restante restante de las reservas del fideicomiso. fideicomiso. Elevar Elevar los fondos restantes restantes del proyecto proyecto durante durante los siguientes siguientes 2 años en canticantianuales iguales. iguales. dades anuales Evaluar una alternativa alternativa de financiamiento financiamiento (sugerida (sugerida informalmente informalmente por un inEvaluar dividuo junta), en la cual el fideicomiso dividuo en la junta), fideicomiso proporcione proporcione todos los fondos, fondos, excepto excepto los $3 millones millones disponibles disponibles ahora, hasta hasta que el desarrollo desarrollo de los parinicio en el año 4. ques dé inicio
Preguntas Preguntas Utilice cálculos mano o por computadora computadora para para encontrar encontrar lo siguiente: siguiente: Utilice cálculos a mano cada uno de los 2 años, ¿cuál es la cantidad cantidad anual equivalente equivalente necesaria necesaria 1. Para cada para suministrar suministrar los fondos restantes restantes del proyecto? proyecto? para fideicomiso acordó acordó apoyar apoyar todos los costos, costos, excepto excepto los $3 millones 2. Si el fideicomiso millones procedentes de los bonos bonos ahora ahora disponibles, disponibles, determine determine la cantidad cantidad anual equivaequivacedentes aumentarse en los años 4 a 6, para para suministrar suministrar todos todos los fondos lente que debe aumentarse restantes del proyecto. proyecto. Suponga Suponga que el fideicomiso fideicomiso no cargará, cargará, ni al estado estado ni a restantes la ciudad, adicional al 7% sobre los fondos prestados. prestados. ciudad, ningún ningún interés interés adicional
127
4 o o
Tasas Tasas de de interés interés nominales nominales y efectivas efectivas En En todas las las relaciones de la la ingeniería económica hasta hasta ahora desarrolladas, la tasa tasa de interés ha ha sido un un valor constante anual. En En un alto porcentaje porcentaje de los la proyectos tasa de proyectos evaluados en la la práctica por ingenieros ingenieros profesionales, la la tasa interés compuesto diferentes a compuesto se se calcula calcula con mayor frecuencia para periodos periodos diferentes un son frecuentes. De un año; los periodos periodos semestrales, semestrales, trimestrales trimestrales y mensuales son hecho, en algunas evaluaciones de proyectos proyectos llegan a presentarse cálculos de interés compuesto compuesto semanal semanal y diario. Asimismo, en nuestras vidas personales, muchos de nuestros movimientos todo tipo tipo (hipomovimientos financieros -préstamos -préstamos de todo para vivienda vivienda,, tarjetas de crédito, crédito, automóviles, automóviles, muebles), cuentas de tecas para cheques y de ahorro, inversiones, planes de acciones, etcétera-, etcétera-, poseen tasas sas de interés compuesto compuesto para periodos periodos menores de un año. Este Este hecho requiere la de interés nominales y la introducción introducción de dos términos términos nuevos: tasas tasas de interés nominales
efectivas. efectivas.
t-
« u u
En tasas de inteinteEn este capítulo se se explicará y se se mostrará cómo aplicar las las tasas rés anto en rés nominal y efectiva ttanto en la la práctica de la la ingeniería como en situaciones de la efectila vida diaria. El El diagrama de flujo relacionado con la la tasa tasa de interés efectiva, ra va, localizado en el apéndice para para este capítulo, constituye constituye una referencia pa para las así como para las las secciones las secciones sobre las las tasas tasas nominales y efectivas, así relacionadas con el cálculo continuo capítulo también también se se continuo del interés. En En este capítulo llevan ivalencia de frecuencias de capitalización cap italización en comllevan a cabo cálculos de equ equivalencia b inación con frecuencias de flujo de efectivo binación efectivo.. El io de caso El estud estudio caso incluye una una evaluación de diferentes diferentes planes de financiamiento miento para para la la compra de una una vivienda.
e
-
-
-
-
-
-
OBJETIVOS APRENDIZAJE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: general: Efectuar Efectuar cálculos de de naturaleza naturaleza económica económica de interés y flujos Objetivo de tasa tasa de de interés flujos de de efectivo efectivo para para periodos periodos de de capitalización capitalización diferentes diferentes a un año. año.
Este Este capítulo capítulo ayudará al lector lector a:
--------_ ....•II Nominal Nominal y efectiva efectiva
1. Comprender fórmu las de las yefecComprender las las fórmulas las tasas de interés interés nomina nominall yefectiva.
de interés interés efectiva efectiva anual anual Tasa de
2. icar la fórmu la de la tasa de interés anual anua l efectiva. efectiva. 2. Deducir Deducir y apl aplicar la fórmula
3. Ca Calcular tasa de interés efectiva periodo. efectiva para cualquier cua lqu ier periodo. 3. lcu lar la tasa
de interés interés /efectiva efectiva Tasa de
Comparación entre entre PP y PC Comparación
4. Determinar Determinar e ell método método correcto 4. correcto para realizar cálculos cálcu los de equivaequivadiferentes periodos periodos de pago pago y de capitalización. lencia para diferentes cap italización.
Pagos únicos: PP ~ PC Pagos
5. Hacer cálcu cálculos periodos de pago pago iguales o 5. los de equivalencia equivalencia para periodos periodo de capitalización mayores que el periodo capitalización cuando cuando sólo se se presencantidades únicas. tan cantidades
Serie: PP ~ PC Serie:
I
6. Efectuar cálculos de equivalencia equivalencia cuando cuando se se presenta una serie gradiente o uniforme uniforme para periodos periodos de pago pago iguales o mayores gradiente periodo de capitalización. que el periodo cap italización. Realizar cálculos de equivalencia periodos de pago pago menomeno7. Realizar equivalencia para periodos
Único y en serie: serie: PP < < PC Único
res que el el periodo periodo de capitalización. res capitalización. utilizar 8. Calcular y uti lizar la tasa de interés efectiva efectiva para la capitalización capitalización
Capitalización continua continua Capitalización
continua. continua.
----Tasas variables variables
II
Considerar tasas de interés que varían con el tiempo 9. Considerar tiempo cuando cuando se se cálculos llevan a cabo cá lculos de equivalencia. equ iva lencia .
130
CAPÍTULO 4 CAPÍTULO
4.1
Tasas de interés nominales nominales y y efectivas efectivas Tasas de interés
FÓRMULAS FÓRMULAS PARA LAS TASAS DE INTERÉS INTERÉS NOMINAL NOMINAL Y EFECTIVA EFECTIVA
Ob: sici
En aprendimos que que la diferencia diferencia fundamental fundamental entre entre el interés interés simple simple y En el capítulo capítulo 1 aprendimos el interés interés compuesto compuesto consiste consiste en que que el interés interés compuesto compuesto incluye incluye el interés interés sobre sobre el interés periodo anterior, interés ganado ganado en el periodo anterior, mientras mientras que que el interés interés simple simple no no lo incluye. incluye. Aquí Aquí analizaremos analizaremos las tasas de interés interés nominal nominal yy efectiva, efectiva, que que implican implican la misma misma relación relación básica. básica. En En este este caso caso la diferencia diferencia estriba estriba en en que que los los conceptos conceptos de de nominal nominal y de de efectivo efectivo se deben deben aplicar aplicar cuando cuando se calcula calcula el el interés interés compuesto compuesto más más de de una una vez tasa de % mensual, vez al año. año. Por Por ejemplo, ejemplo, si una una tasa de interés interés es de de 1 1% mensual, deben deben tomarse tomarse en en cuenta cuenta los los términos términos nominal nominal y efectivo efectivo para para las las tasas tasas de de interés. interés. Comprender emplear correctamente Comprender y emplear correctamente las las tasas tasas de de interés interés efectivas efectivas es imporimportante para la práctica práctica de personales. Los tante para de la ingeniería ingeniería y de las las finanzas finanzas personales. Los proyectos proyectos de de ingeniería, ingeniería, según según se estudiaron estudiaron en en el capítulo capítulo 1, se financian financian a través través de de deuda deuda y de propio. Los de capital capital propio. Los intereses intereses por por préstamos, préstamos, hipotecas, hipotecas, bonos bonos y acciones acciones se babasan periodos más san en en tasas tasas de interés interés compuesto compuesto para para periodos más frecuentes frecuentes que que un un año. año. Un Un estudio estudio de de ingeniería ingeniería económica económica debe debe tomar tomar en en cuenta cuenta esos esos efectos. efectos. En En nuestras nuestras finanzas nuestros desembolsos finanzas personales, personales, administramos administramos la mayoría mayoría de de nuestros desembolsos e ingresos ingresos de periodos distintos los de efectivo efectivo para para periodos distintos a un un año. año. De De nuevo, nuevo, se presenta presenta el efecto efecto de de los cálculos un año. cálculos de de interés interés compuesto compuesto para para periodos periodos más más frecuentes frecuentes que que un año. Primero Primero analicemos una tasa de de interés interés nominal. nominal. analicemos una tasa
La
tasa con efe: non mis cias
La tasa de interés considera la interés nominal, nominal, r, es una una tasa tasa de interés interés que no considera capitalización de intereses. intereses. Por Por definición, definición, capitalización r == tasa por periodo periodo X número periodos tasa de interés interés por número de periodos
[4.1]
Una para cualquier periodo: 1 año, Una tasa tasa nominal nominal r puede puede fijarse fijarse para cualquier periodo: año, 6 meses, meses, 1 trimestrimestre, 1 mes, mes, 1 semana, semana, 1 día, día, etcétera. etcétera. La La ecuación ecuación [4.1] [4.1] se aplica aplica para para calcular calcular el tre, valor equivalente de periodo menor ejemplo, la tasa valor equivalente de r para para cualquier cualquier periodo menor o mayor. mayor. Por Por ejemplo, tasa nominal de de r = == 1.5% 1.5% mensual mensual es la misma misma que que cada cada una una de de las las siguientes siguientes tasas: nominal tasas: == 1.5% 1.5% mensual mensual x 24 meses meses r= = periodo de 2 años == 36% 36% por por un un periodo años
(mayor (mayor que que 1 mes) mes) tiem
== 1.5% 1.5% mensual mensual x 12 meses meses = == 18% 18% anual anual
=
(mayor (mayor que que 1 mes) mes)
== 1.5% 1.5% mensual mensual x 6 meses meses = = = 9% 9% por por medio medio año año
(mayor (mayor que que 1 mes) mes)
= 1.5% 1.5% mensual mensual x 3 meses meses = = = 4.5% 4.5% trimestral trimestral
(mayor (mayor que que 1 mes) mes)
= 1.5% 1.5% mensual mensual x 1 mes mes = 1.5% mensual mensual = 1.5%
(igual (igual a 1 mes) mes)
= 1.5% 1.5% mensual mensual x 0.231 0.231 mes mes = = = 0.346% 0.346% semanal semanal
(menor (menor que que 1 mes) mes)
po ni calc nom
Por cálc Esto tiem
------------------------------------------------------------------------------------~ SECCIÓN SECCIÓN 4.1
Fórmulas para para las tasas tasas de interés nominal y efectiva Fórmulas interés nominal efectiva
Observe ninguna de estas tasas nominales nominales menciona menciona la frecuencia Observe que ninguna frecuencia de la compocomposición. Todas ellas tienen tienen la forma: "r% por periodo periodo de tiempo tiempo t". t". Ahora consideremos tasa de interés Ahora consideremos una tasa interés efectiva. efectiva.
La tasa real real aplicable un periodo periodo de tiempo tiempo La tasa de interés interés efectiva efectiva es la tasa aplicable a un establecido. La La tasa interés efectiva efectiva toma cuenta la acumulación acumulación del tasa de interés toma en cuenta establecido. interés durante durante el periodo correspondiente. Por periodo de la tasa tasa nominal nominal correspondiente. Por lo geneinterés ral, se expresa tasa anual pero se puede puede utilizar utilizar cualquier ral, expresa como tasa anual efectiva efectiva ia' ia' pero cualquier periodo como base. base. periodo La frecuencia frecuencia de capitalización capitalización de la tasa efectiva efectiva se incluye incluye en el enunciado enunciado de la tasa nominal. frecuencia de capitalización capitalización no se menciona explícitamente, se nominal. Si la frecuencia menciona explícitamente, considera misma que el periodo periodo de r, tasas nominal nominal y considera que es la misma r, en cuyo caso caso las tasas efectiva poseen el mismo mismo valor. Los siguientes efectiva poseen siguientes enunciados enunciados corresponden corresponden a tasas nominales; sin embargo, valores de las tasas de interés nominales; embargo, los valores interés efectivas efectivas no serán serán los mismos durante periodos, como mismos durante todos los periodos, como consecuencia consecuencia de las diferentes diferentes frecuen frecuen-capitalización. cias de capitalización. mensualmente 4% anual, compuesto compuesto mensualmente
(composición (composición más frecuente frecuente que el periodo periodo establecido) establecido)
12 % anual, compuesto trimestralmente compuesto trimestralmente
(composición (composición más frecuente que establecido) el periodo periodo establecido)
compuesto diariamente diariamente 9% anual, compuesto
(composición más frecuente frecuente que (composición establecido) el periodo periodo establecido)
cuatrimestral, compuesto compuesto mensualmente 3% cuatrimestral, mensualmente
(composición más frecuente que (composición establecido) el periodo periodo establecido)
semestral, compuesto compuesto semanalmente semanalmente 6% semestral,
(composición más frecuente frecuente que (composición establecido) el periodo periodo establecido)
compuesto diariamente diariamente 3% trimestral, trimestral, compuesto
(composición más frecuente que (composición establecido) el periodo periodo establecido)
Observe que estas tasas hacen frecuencia de capitalización. capitalización. Todas Observe hacen mención mención de la frecuencia tienen compuesto m-mente". corresperiodo de tiempo tiempo t,t, compuesto m-mente". La m correstienen la forma: "r% por periodo ponde semana, o alguna alguna otra otra unidad fórmula para ponde a un mes, trimestre, trimestre, semana, unidad de tiempo. tiempo. La fórmula para calcular el valor interés efectiva efectiva para cualquier enunciado enunciado de tasa calcular valor de la tasa tasa de interés para cualquier tasa nominal efectiva, se estudia estudia en la siguiente siguiente sección. sección. nominal o efectiva, Para tomar cuenta debidamente debidamente el valor dinero en el tiempo, Para tomar en cuenta valor del dinero tiempo, todas todas fórmulas de interés, interés, factores, factores, valores valores tabulados tabulados y relaciones relaciones de hoja hoja de las fórmulas cálculo deben deben incluir incluir la tasa interés efectiva. efectiva. cálculo tasa de interés determinar la tasa interés efectiva efectiva antes de realizar Por lo tanto, es primordial primordial determinar tasa de interés realizar los cálculos del valor dinero en el tiempo tiempo para estudio de ingeniería ingeniería económica. económica. cálculos valor del dinero para un estudio especialmente cierto cierto cuando cuando se presentan efectivo en intervalos intervalos de Esto es especialmente presentan flujos de efectivo tiempo distintos distintos de un año. tiempo
131 131
132
CAPÍTULO CAPÍTULO 4
Tasas de interés nominales nominales y efectivas efectivas Tasas de interés
Las siglas RPA se utilizan utilizan en muchas situaciones Las siglas TPA y RPA en muchas situaciones financieras financieras individuales individuales en tasas de La tasa tasa porcentual porcentual anual en lugar lugar de de las las tasas de interés interés nominal nominal y efectiva. efectiva. La anual (TPA) (TPA) es que la de interés anual (RPA) (RPA) es la la misma misma que la tasa tasa de interés nominal, nominal, y el rendimiento rendimiento porcentual porcentual anual se utiliza en lugar de tasa de Las definiciones se utiliza en lugar de la la tasa de interés interés efectiva. efectiva. Las definiciones e interpretaciones interpretaciones para estos términos. de las mismas mismas para de este este capítulo capítulo son son las estos términos. base de hay dos unidades de tiempo asoSobre Sobre la la base de estas estas descripciones, descripciones, siempre siempre hay dos unidades de tiempo asoun enunciado relativo a una una tasa tasa de interés. ciadas ciadas con con un enunciado relativo de interés.
,
Periodo de de tiempo, periodo en Ésta es Periodo tiempo, es es el periodo en el que que se se expresa expresa el interés. interés. Ésta es la la t del del enunciado r% por por periodo periodo de tiempo t; por por ejemplo, ejemplo, 11% % mensual. mensual. La La enunciado de r% de tiempo unidad de tiempo de un un año por mucho más común, unidad de tiempo año es por mucho la la más común, de de ahí ahí que que se se suponga no se especifica unidad. suponga así así cuando cuando no especifica otra otra unidad. Periodo de capitalización capitalización o composición composición (pe), unidad de tiempo tiempo más más corta Periodo (PC), es la la unidad corta la que paga o gana gana interés, interés, el cual por el término término durante durante la que se paga cual se identifica identifica por capitalización en el enunciado enunciado de la tasa, ejemplo 8% 8% capitalización (o composición*) composición*) en tasa, por por ejemplo anual compuesto mensualmente. mensualmente. Si no no se especifica, anual compuesto especifica, entonces entonces se supone supone que que es año. de 1 año. Frecuencia de composición, número de veces que la capitalización Frecuencia composición, es el número de veces que la capitalización m ocurre ocurre dentro tiempo t.t. Si los periodos periodos de pe y de dentro del del periodo periodo de de tiempo Si los de capitalización capitalización PC de tiempo t son mismos, la la frecuencia por ejemplo tiempo son los los mismos, frecuencia de de capitalización capitalización es es 1, por ejemplo 1% mensual mensual compuesto mensualmente. 1% compuesto mensualmente.
c.hr
i 'd~:
tasa de mensualmente. Tiene Tiene un un periodo periodo de Considere Considere la la tasa de 8% 8% anual, anual, capitalizable capitalizable mensualmente. de tiempo t de un periodo periodo de pe de mes, y una una frecuencia tiempo de 1 año, año, un de capitalización capitalización PC de 1 mes, frecuencia de de m de veces por por año. Una tasa tasa de por año, de 12 veces año. Una de 6% por año, capitalizable capitalizable en en forma forma semanal, semanal, tiene tiene t= = 1 año, pe = = 1 semana, = 52, base en por año. año, PC semana, y m = 52, con con base en el estándar estándar de de 52 52 semanas semanas por año. En capítulos todas las tasas de interés tenían tenían valores valores de un En capítulos anteriores, anteriores, todas las tasas de interés de t y m de de un año. Esto significa las tasas tasas eran nominales, en virtud de año. Esto significa que que las eran tasas tasas efectivas efectivas y nominales, en virtud de que que se se utilizaba la la misma misma unidad unidad de un año. tasa efectiva utilizaba de un año. Se Se acostumbra acostumbra expresar expresar la la tasa efectiva sobre sobre la misma base base de tiempo que periodo de La tasa tasa efectiva la misma de tiempo que el periodo de composición. composición. La efectiva corresponcorrespondiente por d--etermina mediante fórmula diente por PC PC se d--etermina mediante la la fórmula
r% por por periodo tiempo t r% periodo de de tiempo r -. .,, = = ni períodos composicion por ni m periodos de composicion por t
[4.2] [4.2]
=
=
Tasa por !le PC = Tasa efectiva efectiva por =.
Como mensualmente; así, Como ejemplo, ejemplo, suponga suponga que que r = 9% 9% anual, anual, compuesto compuesto mensualmente; así, m = 12. La ecuación aplica para para obtener tasa efectiva menLa ecuación [4.2] [4.2] se se aplica obtener la la tasa efectiva de 9%/12 9%/12 = 0.75% 0.75% mensual, con un un periodo periodo de mensual. Es Es importante importante observar sual, con de composición composición mensual. observar que que el camcambio del periodo fundamental no altera periodo de bio del periodo fundamental t no altera el periodo de composición, composición, que que en en este este caso caso es un un mes. mes.
* Las Las expresiones capitalizable o compuesto compuesto se usan en forma indistinta en expresiones capitalizable se usan forma indistinta en español. español. NT. EJEMPLO EJEMPLO
4.1 4.1
. listan las las diferentes tasas de préstamo bancario bancario para para tres tres proyectos proyectos A continuación continuación se listan diferentes tasas de préstamo distintos equipo de electricidad. Determine cada inciso distintos de de equipo de generación generación de electricidad. Determine en cada inciso la la tasa tasa efectiefectiva considerando considerando el periodo periodo de de composición. composición. va
A ex
SECCIÓN 4.1
a) b) e)
Fórmulas para las tasas de interés nominal y efectiva
133
9% anual, compuesto trimestralmente. 9% anual, compuesto mensualmente. 4.5% por 6 meses, compuesto semanalmente.
Solución Aplique la ecuación [4.2] para calcular la tasa efectiva por PC para diferentes frecuencias de composición. La gráfica adjunta indica la distribución de la tasa de interés en el tiempo.
Periodo de composición
m
Tasa efectiva por PC
Trimestre
4
2.25%
,.."Io
nominal por t
a)
9% anual
b)
9% anual
Mes
12
0.75%
e)
4.5% por 6 meses
Semana
26
0.173%
Distribución a lo largo del periodo t
2.25%
2.25%
2.25%
2.25%
2
3
4
A veces no es evidente si la tasa establecida es nominal o efectiva. Básicamente existen tres formas de expresar las tasas de interés, como lo indica la tabla 4.1. La TABLA
4.1
Diversas formas de expresar las tasas de interés nominal y efectiva
Formato del enunciado de la tasa Tasa de interés nominal establecida, periodo de composición establecido Tasa efectiva establecida
Tasa de interés establecida; no se establece el periodo de composición
Ejemplos
del enunciado 8% anual compuesto trimestralmente Tasa efectiva de 8.243% anual con periodo de composición trimestral 8% anual o 2% trimestral
¿Qué se dice de la tasa efectiva? Se determina la tasa efectiva La tasa efectiva se utiliza directamente La tasa es efectiva sólo para el periodo establecido, la tasa efectiva debe calcularse para otros periodos
134 134
CAPÍTULO 4 CAPÍTULO
interés nominales nominales y efectivas efectivas Tasas de interés
columna de la derecha derecha contiene contiene el enunciado enunciado relativo relativo a la tasa de interés interés efectiva. efectiva. columna Para el primer primer formato, formato, no hay enunciado enunciado para para las tasas nominal nominal o efectiva; efectiva; aunque aunque Para periodo de composición composición éstá está definido. definido. Debe Debe calcularse calcularse la tasa efectiva efectiva (lo cual el periodo analiza en las siguientes siguientes secciones). secciones). En el segundo segundo formato, formato, la tasa establecida establecida se se analiza identifica como efectiva efectiva (también (también se le denomina denomina RPA), así que la tasa se utiliza utiliza identifica directamente en los cálculos. directamente cálculos. tercer formato, formato, no se identifica identifica la frecuencia frecuencia de composición; composición; por ejemejemEn el tercer dicha tasa es efectiva efectiva exclusivamente exclusivamente durante durante el periodo plo, 8% anual. En tal caso, dicha periodo composición) de un año. Para cualquier cualquier otro periodo, periodo, debe calcularse calcularse la tasa (de composición) efectiva. efectiva.
4.2 4.2
EFECTIVAS ANUALES ANUALES TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS
sección sólo se estudiarán estudiarán las tasas de interés interés efectivas efectivas anuales. anuales. Por lo En esta sección tanto, el periodo periodo fundamental fundamental t será de un año, y el periodo periodo de composición composición puede puede tanto, cualquier periodo periodo menor menor a un año. Por ejemplo, ejemplo, una tasa nominal nominal de 6% anual anual ser cualquier compuesta trimestralmente trimestralmente equivale equivale a una tasa efectiva efectiva de 6.136% 6.136% anual. Hasta Hasta compuesta empleadas en la industria industria y los negocios. negocios. Las literales literales ahora éstas son las tasas más empleadas utilizadas para para representar representar las tasas de interés interés nominal nominal y efectiva efectiva son las siguientes: siguientes: utilizadas
Cons nes 1 anuú
= tasa de interés interés nominal nominal anual r=
número de periodos periodos de capitalización capitalización o composición composición por año m == número = tasa de interés interés efectiva efectiva por periodo periodo de composición composición (PC) = = r/m r/m i=
Así, quier
i, = = tasa de interés interés efectiva efectiva anual ia
COID¡
\ ,
Como se señaló señaló antes, el análisis análisis de las tasas de interés interés nominal nominal y efectiva efectiva es Como análogo al del interés interés simple simple y compuesto. compuesto. Como en el caso del interés interés compuesto, compuesto, análogo efectiva en cualquier cualquier punto punto del año incluye incluye (capitaliza) (capitaliza) la tasa de una tasa de interés interés efectiva interés de todos los periodos periodos de composición composición previos previos del año. Por lo tanto, la deducdeducinterés fórmula para la tasa de interés interés efectiva efectiva es semejante semejante a la lógica lógica que se ción de una fórmula establecer la relación = P(1 + iy. i)". sigue para establecer relación del valor futuro F = valor futuro F al final de 1 año es el principal intereses acumulaacumulaEl valor principal P más los intereses P(i) durante durante el año. Puesto Puesto que el interés interés se puede puede capitalizar capitalizar varias veces dudos P(i) reemplaza i con la tasa anual efectiva efectiva ia•• Ahora Ahora escribamos escribamos la fórmufórmurante el año, se reemplaza la para para F al final de 1 año. año.
cono efect.
Ader antes
Esta, de tie
[4.3]
indica la figura 4.1, la tasa i por PC debe capitalizarse capitalizarse durante durante todos los m Como lo indica periodos obtener el efecto efecto total de la capitalización capitalización al final del año. Esto signisigniperiodos para para obtener también se representa representa de la siguiente siguiente manera: fica que F también F= = P(1 + i)m i)m
[4.4]
Jac est al]
SECCIÓN SECCIÓN 4.2 4.2
Tasas Tasas de interés interés efectivas efectivas anuales anuales
P(l P(l +
om == P(l
Fig ura 4.1 Figura Cálculo Cálculo del del valor valor futuro futuro a una una tasa tasa i, capitalizada capitalizada m veces veces en un año. año.
+ ia))
om-I
P(l + 0", - 1
P(l -2 P(l + 0", i)'"-2 P(l + i)3 i)3
Cantidades Cantidades en valor valor futuro futuro
P(l P(l + i)2 P(l + i) i)
P
I 2
3
'fr fr
7./
Tasa efectiva efectiva i por I Tasa por
- ---L-- --'--- -.L--
m-2 Periodo de capitalización capitalización Periodo
m-l
---'
periodo de capitalIzaCión capitalización penado de
m
Considere el valor valor F para valor presente Igualando estas dos expresioexpresioConsidere para un valor presente P de $1. Igualando nes para sustituyendo P por $1, se obtiene obtiene la fórmula fórmula para interés para F y sustituyendo para la tasa de interés anual efectiva efectiva i". i{l. anual 1 + i, (1 + i)1II 1 fa = (1 i, (1 (1 + i)1II -- 1 1 ia
= =
[4.5]
ecuación [4.5] [4.5] sirve para calcular la tasa de interés interés anual efectiva efectiva para Así, la ecuación para calcular para cualquier número de periodos composición cuando cuando i es la tasa para quier número periodos de composición para un periodo periodo de composición. composición. efectiva ia i, Y Y la frecuencia frecuencia de composición composición m tienen tienen valores valores Si la tasa anual efectiva conocidos, la ecuación ecuación [4.5] [4.5] se resuelve resuelve para determina la tasa de interés interés conocidos, para i y se determina efectiva por composición. efectiva por periodo periodo de composición. [4.6] [4.6]
Además, es posible determinar la tasa anual anual nominal definición de i nominal r utilizando utilizando la definición Además, posible determinar r/m. antes dada, es decir, i = rlm. r% anual anual r%
= (i% porPCjínúm, PCs por año) = = (i)(m) = porPC)(núm. de PCs por año)
[4.7J
expresión es la misma misma que la ecuación ecuación [4.1], donde donde PC representa Esta expresión representa el periodo periodo tiempo. de tiempo. EJEMPLO
4.2
135 135
_~_
Jacki obtuvo obtuvo una nueva tarjeta tarjeta de crédito crédito con con un nacional (MBNA), (MBNA), con con una tasa Jacki una nueva un banco banco nacional una tasa establecida de 18% 18% anual anual y un composición mensual. mensual. Para Para un saldo de $1 000 000 establecida un periodo periodo de composición un saldo del año, año, calcule calcule la tasa tasa anual anual efectiva efectiva y el adeudo adeudo total total al banco MBNA desdesal principio principio del banco MBNA
136
CAPÍTULO 4
Tasas de interés nominales yefectivas yefectivas
pués de un año, tomando en cuenta el hecho de que no se efectúa ningún pago durante el año. Solución Solución Hay 12 periodos de composición composición por año. Por lo tanto, m = = 12 e i == 18%/12 == 1.5% mensual. Si el saldo de $1 000 no se reduce durante el año, se aplica la ecuación [4.5] y enseguida la ecuación [4.3] para obtener la información enseguida información necesaria necesaria para Jacki.
ia = 0.015)12-- 1 = 0.19562 ía =(1(1 + 0.015)12 =1.19562 - 1 ==0.19562 F
== $1 000(1.19562) 000(1.19562) ::: ::::$1 $1 195.62
Jacki pagará utilización del dinero pagará 19.562%, o $195.62 más los $1 000 del saldo, por la utilización del banco durante el año.
En la tabla capitalizada durante durante diferentes diferentes tabla 4.2 se utiliza utiliza la tasa tasa de 18% anual, capitalizada periodos (anuales a semanales), semanales), para determinar las tasas interés anuales anuales efectiefectiperiodos (anuales para determinar tasas de interés vas durante durante estos periodos composición diversos. diversos. En cada cada caso, la tasa periodos de composición tasa del perioperiocomposición i se aplica aplica m veces durante el año. Mediante ecuación [4.5], la do de composición veces durante Mediante la ecuación tabla efectiva para frecuentabla 4.3 resume resume la tasa anual efectiva para tasas tasas nominales nominales utilizadas utilizadas con frecuencálculos se utiliza semanas y 365 días por cia. En los cálculos utiliza un total de 52 semanas por año. En la sección 4.8 se analizan analizan los valores columna correspondiente composición sección valores de la columna correspondiente a la composición continua. continua. Cuando se aplica aplica la ecuación ecuación [4.5] el resultado entero. Cuando resultado normalmente normalmente no es un entero. Por consiguiente, consiguiente, un factor factor de ingeniería económica no puede obtenerse directadirectaingeniería económica puede obtenerse mente factores de interés. alternativas para determinar mente de las tablas tablas de factores interés. Existen Existen tres alternativas para determinar el valor valor del factor.
• • •
lleva a cabo una lineal entre entre dos tasas tabuladas (según se Se lleva una interpolación interpolación lineal tabuladas (según indica sección 2.4). indica en la sección fórmula del factor factor sustituyendo sustituyendo i por Se utiliza utiliza la fórmula por ia•• crea una cálculo utilizando funciones, según según lo Se crea una hoja hoja de cálculo utilizando ia o i = r/m en las funciones, requiera función de la hoja cálculo. requiera la función hoja de cálculo.
En los ejemplos ejemplos resueltos emplea el segundo segundo método resueltos a mano mano se emplea método y el último último en las soluciones por computadora. soluciones por computadora.
"~,i'~f:I "'IiIIT1JV1,:!!'II[' "11I1:1;11I"'. Joshua trabaja para Watson Bio, una compañía compañía de ingeniería ingeniería genética de I&D. Él acaba de recibir un bono de $10 000 y desea invertir el dinero para los cinco años siguientes. Joshua vio un Ad en el sitio web de MBNAAmerica MBNAAmerica Bank Bank sobre las tasas de interés de los certificados certificados de depósito (véase figura 4-2). Él piensa piensa invertir invertir los $10 000 en un CD considera invertir todo a 5 años para la preservación preservación de su capital. En forma alternativa, considera efectiva anual en acciones para los dos años siguientes, en los que estima ganar una tasa efectiva de 10%. Una vez que haya obtenido este rendimiento rendimiento mayor por adelantado, entonces se
4.2
9%
2
4
12
52
Semestral
Trimestral
Mensual
Semanal
0.34615%
1.5%
4.5%
18%
Tasa por periodo de capitalización,
Anual
Frecuencia de capitalización por año, m
i
m
3
2
en cada uno~
4.5%
4.5%
2
9%
4
4.5%
WPDJlro11]U
~O.34615%
4.5%
9%
18%
Distribución de i durante los periodos de capitalización del año
r = 18% anual con frecuencia de capitalización
Cálculo de tasas de interés anuales efectivas aplicando la ecuación [4.5]
Periodo de capitalización
TABLA
=
=
18.81%
18%
(1.0034615)52 - 1 = 19.684%
(1.015)12 - 1 = 19.562%
(1.045)4 - 1 = 19.252%
(1.09)2-1
(1.18)1-1
Tasa anual efectiva, i.
S'
'J>
(;'
po
e
po ;:l
'J>
po
~.
~ o
(1)_ 'J> (1)
e> ...,
(1)
o-
'J>
po
'J>
~
iv
.¡:,
Z
O
o o >-
3 representará representará una alternativa. alternativa. incorrecto usar usar un un periodo recuperación sin rendimiento para realiEs incorrecto periodo de recuperación rendimiento para zar una una selección final de alternativas alternativas debido debido a que: zar
1. Ignora valor del Ignora cualquier cualquier rendimiento rendimiento requerido, requerido, ya que se omite el valor dinero dinero en el tiempo. tiempo.
Proyectos Proyectos y y alternativas alternativas
194 194
CAPÍTULO 5 CAPÍTULO
valor presente presente Análisis del valor Análisis
2. Ignora Ignora todos todos los flujos flujos de efectivo efectivo netos netos posteriores posteriores al tiempo tiempo nnpp'' incluincluyendo el flujo flujo de efectivo efectivo positivo positivo que que pudiera pudiera contribuir contribuir al rendimiento rendimiento yendo inversión. de la inversión. resultado, la alternativa alternativa seleccionada seleccionada sería diferente diferente de la elegida elegida mediante mediante Como resultado, análisis económico económico con base en los cálculos cálculos VP (o VA). VA). Este hecho se demuestra demuestra un análisis adelante en el ejemplo ejemplo 5.8. más adelante
EJEMPLO EJEMPLO
Solución Solución flujo de efectivo efectivo neto neto por cada año El pago a) El El flujo por cada año es de de $3 millones. millones. El pago único único de de $3 millomillones (lIámelo (llámelo VC VC por por valor cancelación) podría podría recibirse recibirse en cualquier momento nes valor de cancelación) cualquier momento dentro años del periodo del del contrato. contrato. La La ecuación ecuación [5.5] entonces se se ajusta dentro de los los 10 años del periodo [5.5] entonces ajusta para Ve. para incluir incluir el el Ve. 0= -p VC(P/F,i,n) 0= -P + FEN(P/A,i,n) FEN(PlA,i,n) + VC(P/F,i,n) En En unidades unidades de de $1000000, $1000000, 0= (P/A, 15%,n) + 3(P/F, 15%, n) 0= -18 -18 + 33(PlA, 3(PlF,15%, El 15% es 15.3 años. la años, El periodo periodo de de recuperación recuperación de 15% es np np = 15.3 años. Durante Durante el periodo periodo de de 10 años, el contrato contrato no no tendrá tendrá ningún ningún rendimiento rendimiento requerido. requerido. Si Halliburton Halliburton no no requiere requiere absolutamente absolutamente ningún ningún rendimiento rendimiento en en su su inversión inversión de de $18 $18 Si millones, millones, la la ecuación ecuación [5.6] [5.6] da da como como resultado resultado np = 5 años, años, como como sigue sigue (en (en millones millones de de dólares): dólares): 0= -18 + 5(3) + 3 0=-18+5(3)+3 Existe Existe una una diferencia diferencia significativa significativa en en np para para 15% 15% y 0%. 0% . Al Al 15% 15% este este contrato contrato debedebería ría estar estar vigente vigente por por 15.3 15.3 años, años, mientras mientras que que el periodo periodo de de recuperación recuperación sin sin rendirendimiento miento requiere requiere sólo sólo de de 5 años. años. Un Un tiempo tiempo más más largo largo se se requerirá requerirá siempre siempre para para i > 0% 0% por por la la obvia obvia razón razón de de que que se se considera considera el el valor valor del del dinero dinero en en el tiempo. tiempo. Utilice Utilice un un NPER(15%,3,-18,3) NPER(15%,3,-18,3) para para mostrar mostrar un un periodo periodo de de 15.3 15.3 años. años. Cambie Cambie la la tasa tasa de de 15% 15% aO% a 0% para para exponer exponer un un periodo periodo de de recuperación recuperación sin sin rendimiento rendimiento de de 55 años. años.
Sol-R Sol-R
d n
5.7
La jjunta directores de Halliburton Halliburton International International acaba acaba de autorizar autorizar 18 millones millones de dódóLa unta de directores lares para para un contrato contrato de diseño diseño de ingeniería ingeniería para para construcción construcción alrededor alrededor del del mundo. mundo. Se lares espera que que los servicios servicios generen generen un nuevo nuevo flujo flujo de efectivo efectivo neto neto anual anual de $3 millones. millones. El El espera contrato posee posee una cláusula de recuperación recuperación potencialmente potencialmente lucrativa lucrativa para para Halliburton Halliburton de contrato una cláusula $3 millones, millones, en cualquier cualquier momento momento que que se cancele cancele el contrato contrato por por cualquiera cualquiera de las las partes partes durante el periodo periodo del del contrato años. a) Si i = 15%, 15%, calcule calcule el periodo periodo de recuperarecuperadurante contrato de 10 años. ción. b) Determine periodo de recuperación recuperación sin sin rendimiento rendimiento y compárelo compárelo con con la resresción. Determine el periodo Éste será inicial para para determinar junta tomó puesta para para i = 15%. puesta 15%. Éste será un registro registro inicial determinar si la junta tomó una una decisión económicamente acertada. acertada. decisión económicamente
b) b)
p n
Comentario Comentario El El cálculo cálculo de de la la recuperación recuperación determina determina el el número número de de años años requerido requerido para para recobrar recobrar los los dólares dólares invertidos. invertidos. Sin Sin embargo, embargo, desde desde los los puntos puntos de de vista vista del del análisis análisis de de ingeniería ingeniería ecoeconómica nómica yy del del valor valor del del dinero dinero en en el tiempo, tiempo, el el análisis análisis de de recuperación recuperación sin sin rendimiento rendimiento no no es es un un método método confiable confiable para para elegir elegir la la alternativa alternativa adecuada. adecuada.
I
SECCIÓN SECCIÓN 5.6 S.6
Análisis del del periodo periodo de de recuperación recuperación Análisis
evalúan dos o más alternativas alternativas utilizando Si se evalúan utilizando los periodos periodos de recuperación recuperación para indicar indicar que una una es mejor mejor que la(s) otra(s), otra(s), la segunda desventaja del análisis análisis de para segunda desventaja recuperación (que pasa pasa por por alto el flujo de efectivo efectivo después después de np) quizá lleve a una una recuperación quizá lleve decisión económicamente incorrecta. Cuando se desprecia decisión económicamente incorrecta. Cuando desprecia el flujo de efectivo efectivo ocurrido después después de np' es posible posible favorecer vida corta, rrido favorecer los activos activos de vida corta, aun cuando cuando los activos de vida más larga larga producen casos, el análiactivos producen un rendimiento rendimiento mayor. mayor. En tales casos, análisis de VP (o VA) deberá método de selección. deberá ser siempre siempre el principal principal método selección. La comparacomparaactivos de vida corta corta y de vida larga larga del ejemplo ilustra el empleo ción entre entre los activos ejemplo 5.8 ilustra empleo incorrecto del análisis recuperación. incorrecto análisis de recuperación.
EJEMPLO EJEMPLO
5.8
. .
Dos piezas equivalentes equivalentes de equipo de inspección consideran para Dos piezas de un un equipo inspección de calidad calidad se consideran para su compra máquina 2 sea versátil y suficientemente compra en en Square Square D Electric. Electric. Se espera espera que que la máquina sea versátil suficientemente avanzada para máquina 1. ingreso neto neto mayor mayor que que la la máquina avanzada para proveer proveer un ingreso
Costo Costo inicial, inicial, $ FEN anual, anual, $ FEN
Máquina Máquina 1
Máquina Máquina 2
12000 3000 3000
8000 8000 1 000 (años (años 1 a 5) S) 3000 3000 (años (años 6 a 14) 14) 14 14
Vida Vida máxima, máxima, años años
7
El IS% anual anual y un paquete econóEl gerente gerente de de calidad calidad utilizó utilizó un un rendimiento rendimiento de de 15% paquete de análisis análisis económico [S.4] y [5.5] [S.S] para software utilizó utilizó las las ecuaciones ecuaciones [5.4] para mico para para computadora computadora personal. personal. El El software periodo de recuperación recuperación menor menor de 6.57 años a recomendar la la máquina máquina 1 ya ya que que tiene tiene un periodo recomendar 6.S7 años una IS%. Los una ii = 15%. Los cálculos cálculos se resumen resumen a continuación. continuación.
Máquina np = 6.57 años, que que es menor menor que que una una vida vida de de 7 años. Máquina 1: np 6.S7 años, años.
Ecuación utilizada: Ecuación utilizada:
0 = -12 0= -12 000 + 3 000(P/A,15%,n 000(P/A,15%,np) p )
Máquina 2: np np = 9.S2 9.52 años, años, que que es menor menor que que una una vida vida de de 14 Máquina 14 años. años.
Ecuación utilizada: utilizada: Ecuación
0= 0= -8 -8 000 + 11 000(P/A,15%,5) OOO(P/A,IS%,S) OOO(P/A, 15%,n IS%,np p - 5)(P/F, S)(P/F, 15%,5) lS%,S) + 3 OOO(PlA,
Recomendación: Seleccione la máquina Recomendación: Seleccione la máquina 1. l.
Ahora utilice utilice un un análisis análisis de de VP VP de 15% comparar las máquinas máquinas yy exponga cualquier Ahora lS% para para comparar exponga cualquier diferencia diferencia en la la recomendación. recomendación. Solución Solución Para cada cada máquina, máquina, considere considere el flujo flujo de de efectivo efectivo neto neto para para todos todos los los años años durante durante la la vida vida Para años. (máxima) estimada. estimada. Compárelos Compárelos con con el MCM MCM de de 14 (máxima) 14 años. VP, -12000 -12 - 12 000(P/F,15%,7) 000(P/F,lS%,7) OOO(P/A, IS%,14) = $663 $663 VP t = -12000 + 3 000(P/A,15%,14) VP -8 000 + 1 OOO(P/A, 15%,5) IS%,S) + 3 OOO(P/A, 15%,9)(P/F, IS%,9)(P/F,IS%,S) 15%,5) VP22== -8000
= $2470 $2470
195 195
196
CAPÍTULO 5 CAPÍTULO
Análisis del presente Análisis del valor valor presente
$3000 anual $3000 anual
ir!!!! lit T T
Máquina 11 Máqu;oo
Flujo de de efectivo efectivo que que se despreció Flujo se despreció con el análisis análisis de de recuperación recuperación con
111' " = 6.57 6.57 ",
Flujos de de efectivo efectivo que que se Flujos se despreciaron despreciaron debido debido al análisis análisis de recuperación recuperación
$12000 $12000 $3000 anual $3000 anual
+l---Uli
f----t---t--------+---r----t---+-+---+
10
T T
s
Máquina 2 Máquina
np 111'
II II
12
13
14
= 9.52 9.52
$8000 $8000
Figura Figura 5.6 Ilustración de recuperación recuperación y los los flujos flujos de de efectivo efectivo neto neto Ilustración de los los periodos periodos de que que se despreciaron, despreciaron, ejemplo ejemplo 5.8. 5.8.
Se puesto que que su VPes VP es numéricamente numéricamente mayor mayor que que el de la máquimáquiSe seleccionó seleccionó la máquina máquina 2 puesto na 1 al 15%. opuesto al de de la la decisión decisión tomada tomada con con el el periodo periodo de recuperecupe15%. Este Este resultado resultado es opuesto ración. VP toma toma en en cuenta cuenta el el incremento incremento del del flujo flujo de efectivo efectivo para para la la máquimáquiración. El análisis análisis de de VP na 2 en los últimos años. Como Como se observa en la figura figura 5.6 5.6 (para (para un ciclo ciclo de de vida vida de de cada últimos años. observa en cada máquina), recuperación desprecia desprecia todas las cantidades cantidades del del flujo flujo de de efectivo efectivo máquina), el análisis análisis de recuperación todas las que pudieran pudieran ocurrir ocurrir después que después del del tiempo tiempo de recuperación recuperación que que se ha alcanzado. alcanzado.
1 r
e
s e e q 1
F e e h n
le
e le
re
Comentario Comentario
Éste del por por qué qué el análisis análisis de recuperación recuperación es mejor mejor para para utilizarse utilizarse en en Éste es un buen buen ejemplo ejemplo del depuración inicial inicial yyen en evaluación depuración evaluación complementaria complementaria de riesgo. riesgo. A menudo, menudo, quizás quizás una una alteralternativa corta evaluada evaluada por por un análisis análisis de de recuperación recuperación pareciera pareciera más más atractiva, atractiva, nativa de vida vida más más corta cuando mayor vida vida posee posee flujos más tarde tarde en cuando una una alternativa alternativa de mayor flujos de efectivo efectivo estimados estimados más en su vida más atractiva vida que que la vuelvan vuelvan más atractiva económicamente. económicamente.
5.7
COSTO DE CICLO DE VIDA VIDA
(CCV) es otra extensión extensión del análisis análisis de valor El costo de ciclo de vida (CCV) valor presente. presente. El valor presente presente a una una TMAR valor TMAR establecida establecida se utiliza utiliza para para evaluar evaluar una una o varias varias alternaalternamétodo CCV, como tivas. El método como su nombre nombre indica, indica, comúnmente comúnmente se aplica aplica a las alternaalternacostos estimados tivas con costos estimados durante durante el periodo periodo completo completo de vida del sistema. sistema. Esto quiere decir que se estiman estiman los costos costos desde desde la etapa etapa inicial (necesita quiere inicial del proyecto proyecto (necesita evaluación) hasta hasta la etapa etapa final (etapa eliminación y desecho). aplicaciones evaluación) (etapa de eliminación desecho). Las aplicaciones
fa lil
SECCIÓN SECCIÓN 5.7
Costo Costo de ciclo ciclo de vida
típicas para para CCV son edificios edificios (construcciones (construcciones nuevas nuevas o adquisiciones), adquisiciones), nuevas nuevas líneas de productos, manufactura, aeronaves productos, plantas plantas de manufactura, aeronaves comerciales, comerciales, modelos modelos automovilísticos movilísticos modernos, modernos, sistemas sistemas de defensa defensa y otras por el estilo. Un análisis posibles ingresos) análisis de VP con todos los costos costos (y posibles ingresos) definibles definibles estimaestimaconsiderarían un análisis análisis CCv. CCv. Sin embargo, embargo, la amplia amplia definición definición del término término dos se considerarían CCV del periodo periodo de vida del sistema sistema requiere requiere estimaciones estimaciones de costo que generalgeneralmente se realizan realizan con un análisis análisis regular regular de VP. VP. También También para para proyectos proyectos grandes grandes de vida larga, los estimados exactos. Ello implica estimados a mayor mayor plazo plazo son menos menos exactos. implica que el análisis del costo costo de ciclo ciclo de vida no es necesario necesario en la mayoría mayoría de los análisis análisis de alternativas. porcentaje sustancial nativas. El CCVefectivamente CCVefectivamente se aplica aplica más cuando cuando un porcentaje sustancial de los costos durante periodo periodo de vida de un sistema, relativo a una inversión costos totales totales durante inversión inicial, inicial, serán serán los costos costos de operación operación yy mantenimiento mantenimiento (aquellos (aquellos posteriores posteriores a la compra, compra, como son trabajo, energía, mantenimiento mantenimiento y materiales). materiales). Por ejemplo, ejemplo, si Exxon-Mobil Exxon-Mobil está evaluando compra de un equipo evaluando la compra equipo para para una planta planta grande grande de procesamiento procesamiento químico químico por 150000 150000 dólares dólares con una vida de 5 años y un costo costo anual de $15000 $15000 (o 10% de costo inicial), justificado. inicial), el uso del análisis análisis CCV probablemente probablemente no estaría estaría justificado. Por otro lado, suponga suponga que General General Motors Motors considera considera los costos costos de diseño, diseño, construcconstrucmercadotecnia y entrega entrega de un modelo modelo nuevo automóvil. Si se estima estima que el ción, mercadotecnia nuevo de automóvil. costo costo total para para poner poner en marcha marcha este proyecto proyecto sea de $125 millones millones (sobre (sobre 3 años) y se espera espera que los costos costos totales totales anuales anuales sean de 20% de dicha dicha cantidad cantidad para para construir, construir, hacer hacer el mercadeo mercadeo y dar el servicio servicio a los automóviles automóviles por los próximos próximos 15 15 años (periodo riodo de vida estimada estimada del modelo), modelo), entonces entonces la lógica lógica del análisis análisis CCV ayudará ayudará a los ingenieros ingenieros de GM a entender entender el perfil perfil de los costos costos y sus consecuencias consecuencias económieconómitérminos de VP. (Por supuesto, supuesto, también también se calcularán calcularán los equivalentes equivalentes de vacas en términos valor anual.) La mayoría mayoría de las instituciones instituciones de defensa defensa y aviación aviación lor futuro y de valor requieren requieren del CCV donde donde al enfoque enfoque se le denomina denomina diseño de costo. El CCV generalmente ralmente no se aplica aplica a proyectos proyectos del sector sector público, público, debido debido a que los beneficios beneficios y costos costos para para la ciudadanía ciudadanía son difíciles difíciles de estimar estimar con mucha mucha exactitud. exactitud. El análisis análisis beneficio/costo beneficio/costo se aplicará aplicará mejor mejor en este caso, y se examinará examinará en el capítulo capítulo 9. Para entender entender cómo cómo funciona funciona el análisis análisis de CCV, primero primero se deben deben entender entender las fases y etapas sistema. Están etapas de la ingeniería ingeniería o desarrollo desarrollo del sistema. Están disponibles disponibles muchos muchos libros y manuales sistemas. Con frecuencia, manuales sobre desarrollo desarrollo y análisis análisis de sistemas. frecuencia, los estiestimados de CCV se clasifican para las principales clasifican en un formato formato simplificado simplificado para principales fases adquisición y operación, operación, y sus respectivas respectivas etapas. etapas. de adquisición Fase de adquisición: adquisición: Todas las actividades actividades anteriores anteriores a la entrega entrega de productos productos y servicios. servicios.
• Etapa Etapa de definición definición de requerimientos: requerimientos: Incluye Incluye la determinación determinación de las necesidades del usuario/cliente, usuario/cliente, su valoración valoración en relación relación con el sistema sistema anticesidades cipado, cipado, y la preparación preparación de la documentación documentación de los requerimientos requerimientos del sistema. sistema. • Etapa Etapa del diseño diseño preliminar: preliminar: Incluye Incluye estudio estudio de viabilidad, viabilidad, planes planes concepconceptuales etapa temprana, temprana, y decisiones decisiones de continuar continuar o no continuar. continuar. tuales y de etapa • Etapa Etapa de diseño diseño detallado: detallado: Incluye Incluye planes planes detallados detallados de recursos recursos como como capital, factor pital, factor humano, humano, instalaciones, instalaciones, sistemas sistemas de información, información, mercadeo, mercadeo, etcétera; habrá habrá adquisición adquisición de activos activos si se justifican económicamente. etcétera; justifican económicamente.
197 197
198
CAPÍTULO 5 CAPÍTULO
Análisis del valor presente Análisis del valor presente
operaciones: Todas las actividades actividades en funcionamiento, funcionamiento, los productos productos y Fase de operaciones: servicios están disponibles. disponibles. servicios Etapa de construcción construcción e implementación: compras, construcción construcción e • Etapa implementación: Incluye Incluye compras, implementación de los componentes componentes del sistema; sistema; pruebas; implementación pruebas; preparación, preparación, etcétera. generar productos servicios. Etapa de uso: Empleo sistema para • Etapa Empleo del sistema para generar productos y servicios. Etapa de eliminación eliminación y desecho: desecho: Cubre Cubre el tiempo clara al • Etapa tiempo de transición transición clara nuevo sistema; sistema; eliminación/reciclaje eliminación/reciclaje del viejo sistema. nuevo viejo sistema.
EJEMPLO EJEMPLO
55.9 .9
'
década de 1860 1860 General En la década General Milis Milis Inc. Inc. y Pilisbury PilIsbury Inc, Inc. se iniciaron iniciaron en en el el negocio negocio de de la la harina las ciudades ciudades gemelas Se Paul, harina en las gemelas de de Minneapolis Minneapolis y Sto Paul, Minnesota. Minnesota. En En el periodo periodo 200020002001 General General Mills MilIs adquirió acciones 2001 adquirió Pillsbury Pillsbury por por una una cantidad cantidad compuesta compuesta de de efectivo efectivo y acciones con valor valor de más más de 10 mil fue desacon mil millones millones de de dólares, dólares. El El compromiso compromiso de de General General Mills Milis fue desarrollar la línea línea de alimentos alimentos saludables saludables de rrollar de Pilisbury Pillsbury para para conocer conocer las las necesidades necesidades del del conconsumidor, especialmente especialmente en los los mercados preparada instantánea, satissumidor, mercados de de comida comida preparada instantánea, buscando buscando satisfacer los cambiantes cambiantes hábitos alimenticios y las facer hábitos alimenticios las necesidades necesidades de nutrición nutrición de la la gente gente que que trabaja y estudia estudia y no no tiene tiene tiempo tiempo ni interés interés en preparar preparar alimentos, alimentos. Ingenieros Ingenieros en en alimenalimentrabaja tos, preparadores preparadores de de alimentos seguridad de alimentos tos, alimentos y expertos expertos en seguridad alimentos realizaron realizaron muchos muchos estimados de costo costo conforme las haestimados conforme determinaron determinaron las las necesidades necesidades de los los consumidores consumidores y las habilidades combinadas combinadas de segura y con los bilidades de la compañía compañía para para producir producir de de forma forma segura con tecnología tecnología los nuevos productos productos alimenticios. alimenticios, En sólo se tomaron tomaron en cuenta nuevos En este este punto punto sólo cuenta estimaciones estimaciones de de costo, ningún ningún ingreso ingreso o ganancia, costo, ganancia. Suponga que que el estimado en un estudio Suponga estimado del del costo costo mayor mayor se realizó realizó con con base base en estudio de de 6 meses meses acerca de 2 nuevos nuevos productos productos que acerca que pueden pueden tener tener un periodo periodo de vida vida de 10 años años para para la compacompañía, Se Se omitieron omitieron de la ñía. la estimación estimación algunos algunos elementos elementos de de costo costo (por (por ejemplo, ejemplo, materia materia prima, prima, distribución del del producto producto y eliminación), 18% distribución eliminación). Utilice Utilice el el análisis análisis CCV CCV con con una una TMAR TMAR de de 18% industria para para determinar determinar el (El tiempo en la industria el grado grado de compromiso compromiso en en dólares dólares del del yp, VP. (El tiempo se inindica en años-producto. años-producto. Como son para signo dica Como los los estimados estimados son para costos, costos, no se precederán precederán por por un signo menos.) menos.) Estudio de los los hábitos hábitos del consumidor Estudio consumidor (año (año O) Elaboración preliminar preliminar del Elaboración del producto producto alimenticio alimenticio (año (año 1) Diseño preliminar del equipo/planta (año 1) Diseño preliminar del equipo/planta (año Diseños detallados detallados de producto Diseños producto y prueba de mercadeo mercadeo (años 1,2) prueba (años 1,2) Diseño detallado detallado de de equipo/planta (año 2) Diseño equipo/planta (año
$0,5 millón $0.5 millón 0,9 0.9 millón millón 0,5 0.5 millón millón
Adquisición de equipo equipo (años (años 1 y 2) Adquisición Mejoramiento de equipo equipo actual (año 2) Mejoramiento actual (año Nuevo equipo equipo adquirido adquirido (años (años 4 y 8) Nuevo
$2,0 millones anuales $2.0 millones anuales 1.75 millones 1.75 millones 2,0 (año 4) + 10% 2.0 millones millones (año por subsiguiente por compra compra subsiguiente 200000 (año 3) + 200000 (año 4% subsiguiente 4% anual anual subsiguiente
Costo anual anual de operación operación del (COA) (años (años 3-10) 3-10) Costo del equipo equipo (COA)
1,5 millones anuales 1.5 millones anuales 1,0 millón 1.0 millón
SECCIÓN 5.7
Mercadeo, año 2 años 3-10
Costo de ciclo de vida
$8.0 millones 5.0 millones (año 3) y -0.2 -0.2 millones
subsiguientes anuales subsiguientes año 5 solamente
3.0 millones extras
Recursos humanos, 100 empleados nuevos para 2 000 horas por año (años 3-10)
$20 por hora (año 3) + 5% anual
Solución Solución
El análisis de CCV se puede complicar complicar rápidamente rápidamente debido al número de elementos implicados. Calcule el VP por fase y etapa, y después sume todos los valores VP. VP. Los valores dólares.. están en unidades de millones de dólares Fase adquisición: Fase de adquisición:
Definición de requerimientos: requerimientos: estudio de consumidores VP= VP = $0.5 Diseño preliminar: producto y equipo VP= 1.4(P/F,18%,I) = $1.187 VP= 1.4(P/F,18%,I) Diseño detallado: producto y prueba de mercadeo y equipo VP = 1.5(P/A,18%,2) 1.5(P/A,18%,2) + 1.0(P/F,18%,2) 1.0(P/F,18%,2) = $3.067 Fase operaciones: Fase de operaciones: Construcción e implementación: implementación: equipo y COA Construcción
VP = 2.0(PIA,18%,2) 2.0(PIA,18%,2)++ 1.75(PIF,18%,2) 1.75(PIF,18%,2)++ 2.0(P/F,18%,4) 2.0(PIF,18%,4) + 2.2(P/F,18%,8) 2.2(P/F,18%,8) 11 (1.04)8 (1.04)8] ] (PIF,18%,2) = $6.512 1.18 (PIF,18%,2) [ 0.14 0.14
+ 0.2[
Uso: mercadeo mercadeo VP = = 8.0(P/F,18%,2) 8.0(PlF,18%,2) + [5.0(P/A,18%,8) 0.2(P/G,18%,8)](P/F,18%,2) [5 .0(P/A,18%,8) - 0.2(P/G,18%,8)](P/F,18%,2) 3.0(P/F,18%,5) + 3.0(P/F,18%,5) = $20.144 Uso: recursos humanos: (lOO (100 empleados)(2 empleados)(2 000 hr/año)($20/hr) hr/año)($20/hr) = $4.0 millones en el año 3 11 (1.05y] (1.05J] (PIF,18%,2) =$13.412 1.18 (PIF,18%,2) =$13.412 0.13
VP=4.0 VP=4.0[[
El CCV del compromiso compromiso total en este momento es la suma de todos los VP. VP = $44.822 (efectivamente (efectivamente $45 millones) comprometido de Como punto de interés, sobre 10 años a 18% anual, el valor futuro comprometido MilIs, hasta aquí, es VF = VP(F/P, 18%,10) = $234.6 millones. General Mills,
199 199
200
CAPÍTULO 5
Análisis del valor presente
y/o d
espec %
concr
truca
5.8 o
e
o
>
> .~
":g :;
"O E
E :l
:l
u
u
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'" ;>
u u
entid: tantes
u u
I--
Fase de adquisición
I~ -1
Fase de operación
~I I
Unm emisi pital "pagé
I~_ I
Fase de adquisición
+
~I
Fase de ~ operación
valor mún, $100 de bo el tiei veces semer establ
b)
a)
Figura 5.7 Envolventes
de CCV para costos comprometidos
y reales: a) diseño 1, b) diseño mejorado 2.
El CCV total para un sistema se establece o se asegura en una etapa temprana. No es frecuente tener de 75 a 85% del periodo de vida completo de CCV comprometido durante las etapas de diseño detallado y preliminares. Como se indica en la figura 5.7a, el CCV real u observado (curva inferior AB) rastreará el CCV comprometido a través del periodo de vida (a menos que algún error importante de diseño incremente el CCV total del diseño #1 sobre el punto B). El potencial para reducir significativamente el CCV total ocurre principalmente durante las primeras etapas. Un diseño y un equipo más eficientes pueden reponer la envolvente del diseño #2 de la figura 5.7b. Ahora la curva del CCV comprometido AEC se encuentra debajo de AB en todos los puntos, así como la curva CCV real AFC. Ésta será la envolvente inferior #2 que se busca. El área sombreada representa la reducción en el CCV real. Aunque una envolvente de CCV efectiva pudiera establecerse al inicio de la fase de adquisición, es frecuente que las medidas costo-ahorro que no fueron planeadas se introduzcan durante las fases de adquisición o al principio de la fase de operación. Estos ahorros aparentes pudieran incrementar el CCV total, como se ilustra en la curva AFD. Dicho estilo de costo de ahorros como un propósito determinado, impuesto frecuentemente por un manejo al principio de la etapa de diseño
E
cacior damei
emitei hasta] tados segun dos Vi mopa de Est con el dos po atrae 2 del bo convie vencin
SECCIÓN 5.8 SECCIÓN
presente de bonos bonos Valor presente
construcción, puede puede incrementar incrementar sustancialmente sustancialmente los costos costos más tarde, en y/o de construcción, especial en la porción porción posterior posterior a la venta venta en la etapa etapa de uso. Por ejemplo, ejemplo, el uso de especial concreto y acero de menor menor resistencia resistencia muchas muchas veces ha sido la causa causa de fallas esconcreto tructurales, incrementando incrementando de esta manera manera el CCV del periodo periodo global. tructurales, 5.8 5.8
VALOR PRESENTE PRESENTE DE BONOS BONOS VALOR
método probado probado a través tiempo para para incrementar capital consiste Un método través del tiempo incrementar el capital consiste en la emisión de un "pagaré", "pagaré", que es un financiamiento financiamiento por por medio medio de deuda, deuda, no de caemisión pital patrimonial, según se analizó analizó en el capítulo capítulo 1. Una Una forma forma muy común común de pital patrimonial, según "pagaré" es un bono bono (pagaré (pagaré a largo largo plazo plazo emitido emitido por por una corporación corporación o una "pagaré" entidad gubernamental, gubernamental, el prestatario, prestatario, para para el financiamiento financiamiento de proyectos proyectos imporimporentidad tantes). El prestatario prestatario recibe recibe ahora ahora dinero dinero representado representado por por la promesa promesa de pagar pagar el tantes). valor nominal nominal V del bono bono en una fecha fecha de vencimiento vencimiento establecida. establecida. Por Por lo covalor bonos se emiten emiten en la forma forma de cantidades cantidades de valor valor nominal nominal de $100, $100, mún, los bonos $1000, $5 000 o $10 000. El interés interés del bono bono J, I, también también denominado denominado dividendo dividendo $1000, bono, se paga paga periódicamente periódicamente entre entre el tiempo tiempo en que se obtiene obtiene el préstamo préstamo y de bono, tiempo en que se reembolsa reembolsa el valor valor nominal. nominal. El interés interés del bono bono se paga paga ce el tiempo veces al año. Los periodos periodos de pago normalmente son trimestrales trimestrales o veces pago esperados esperados normalmente semestrales. El monto monto de los intereses intereses se determina determina mediante mediante la tasa tasa de interés interés semestrales. establecida, llamada llamada tasa de cupón cupón de bono bono b. establecida, (valor llominal)(tasa llomillal)(tasa de cupón cupón de bono) bOllO) J1 == (valor número de periodos periodos de pago pago anuales anuales número Vb J= Vb 1=e
[5.8] [5.8]
Existen diversas diversas clasificaciones clasificaciones de bonos. bonos. La tabla tabla 5.1 contiene contiene cuatro cuatro clasificlasifiExisten caciones generales generales de acuerdo acuerdo con su entidad entidad emisora, emisora, algunas algunas características características funcaciones damentales y nombres objetivo de ejemplo. ejemplo. Por ejemplo, ejemplo, los bonos bonos del tesoro se damentales nombres u objetivo emiten en diferentes diferentes cantidades cantidades monetarias monetarias (desde (desde $1000), $1000), con diferentes diferentes periodos periodos emiten fecha de vencimiento vencimiento (letras hasta hasta un año; pagarés pagarés de dos a 10 años). En Eshasta la fecha Unidos, los bonos bonos del tesoro tesoro se consideran consideran una compra compra de bonos bonos sumamente sumamente tados Unidos, puesto que los respalda respalda la plena confianza y crédito crédito del gobierno segura, puesto plena confianza gobierno de EstaEstainversión segura, segura, indicada indicada en la figura figura 1.6 como nivel mínimínidos Unidos. La tasa de inversión establecer una TMAR, TMAR, es la tasa de cupón cupón sobre un valor valor o título del tesoro tesoro mo para establecer Estados Unidos. Unidos. En un segundo segundo ejemplo, ejemplo, las empresas empresas emiten emiten bonos bonos de deuda de Estados propósito de incrementar incrementar el capital, capital, aunque aunque éstos no se encuentran respaldacon el propósito encuentran respaldaninguna forma forma particular particular de garantía garantía colateral. colateral. La reputación reputación de la empresa empresa dos por ninguna compradores de bonos, empresa puede puede hacer hacer que la tasa de interés atrae a los compradores bonos, y la empresa interés para atraer atraer a más compradores. compradores. A menudo, menudo, los bonos bonos de deuda deuda se del bono flote flote para convierten en acciones acciones comunes comunes de la empresa empresa a una tasa fija, antes de la fecha fecha de convierten vencimiento. vencimiento.
201
202
CAPÍTULO
TABLA
5.1
Clasificación
5
Análisis del valor presente
y características de los bonos P
Clasificación
Emitidos por
Características
Ejemplos
Valores del Tesoro
Gobierno federal
Respaldo del gobierno ....-deEstados Unidos
Letras (:S: 1 año) Pagarés (2-10 años) Bonos (10-30 años)
Exención fiscal federal Emitidos frente a impuestos recaudados
Obligación general Ingreso Cupón cero Venta
Municipales
Hipotecarios
Gobiernos locales
Empresa
Empresa
De deuda
EJEMPLO
5.1 O
Respaldados por activos específicos o hipoteca Tasa baja/riesgo bajo en la primera hipoteca Juicio hipotecario, de no pagarse
Primera hipoteca Segunda hipoteca Escritura fiduciaria sobre equipo
Convertibles No respaldados por garantías colaterales, Subordinados Rendimiento alto o sí, en cambio, por la reputación de la empresa de desecho La tasa de bono puede flotar Tasas de interés superiores y riesgos mayores
~"
Procter and Gamble lnc. emitió 5 000 000 de dólares en bonos de deuda a 10 años con un valor individual de $5 000. Cada bono paga intereses trimestrales al 6%. a) Determine la cantidad que un comprador recibirá cada tres meses y después de 10 años. b) Suponga que un bono se compra en el momento en que tiene un descuento de 2%, es decir, un valor de $4900. ¿Cuáles son los intereses trimestrales y el monto final pagado a la fecha de vencimiento? Solución a) Aplique la ecuación [5.8] para calcular los intereses trimestrales. 1= (5 000)(0.06)
= $75
4
b)
El valor nominal de $5 000 se reembolsa después de 10 años. La compra del bono con un descuento proveniente del valor nominal no altera el interés ni los reembolsos finales. Por lo tanto, se conservan los $75 trimestrales y los $5 000 después de 10 años.
d d h
P
1 2, 3,
4,
A
•
SECCIÓN SECCIÓN 5.8
Valor Valor presente presente de bonos bonos
203
El cálculo cálculo de VP de un bono constituye constituye una ampliación ampliación del análisis análisis del valor presente. presente. Cuando Cuando una empresa empresa o agencia agencia gubernamental gubernamental ofrece ofrece bonos, bonos, los compracompradores potenciales pueden determinar potenciales pueden determinar cuánto cuánto estarían estarían dispuestos dispuestos a pagar pagar en términos términos de VP por un bono a una denominación denominación fija. La cantidad cantidad pagada pagada en el momento momento de la compra bono. Los compra establece establece la tasa de rendimiento rendimiento para el resto resto de la vida del bono. pasos pasos para para el cálculo cálculo del VP de un bono son los siguientes: siguientes: 1. Determine Determine 1, 1, el interés interés por periodo periodo de pago, utilizando utilizando la ecuación ecuación [5.8]. 2. Elabore Elabore el diagrama diagrama de flujo de efectivo efectivo de los pagos pagos de interés interés y el reembolso reembolso valor nominal. nominal. del valor 3. Establezca Establezca la TMAR TMAR o tasa de rendimiento rendimiento requerida. requerida. 4. Calcule Calcule el VP de los pagos de intereses intereses del bono bono y el valor nominal nominal a i == TMAR. TMAR. (Si el periodo periodo de pago de intereses intereses del bono bono no es igual al periodo periodo de capitalizacapitalizaTMAR, es decir, PP -:j:. PC, se aplica primero primero la ecuación ecuación [4.8] para para deción de la TMAR, terminar terminar la tasa efectiva efectiva por periodo periodo de pago. Utilice Utilice dicha dicha tasa y los principios principios de la sección relación PP ~ PC para sección 4.6 para para la relación para completar completar los cálculos cálculos del VP.)
Aplique el siguiente siguiente procedimiento: procedimiento: Aplique
VP ~ precio precio de compra compra del bono; si se alcanza alcanza o se supera supera el valor valor de la TMAR, TMAR, se compra compra el bono. VP < precio precio de compra compra del bono; si no se alcanza alcanza el valor valor de la TMAR, TMAR, no se compra compra el bono.
EJEMPLO EJEMPLO
.~-.,
5.11 5.11
Calcule Calcule el precio precio de compra compra que que usted usted estaría estaría dispuesto dispuesto a pagar pagar ahora ahora por por un bono bono a 10 años 4.5%, con la TMAR años de $5 000 000 al 4.5%, con intereses intereses que que se pagan pagan cada cada 6 meses. meses. Suponga Suponga que que la TMAR es de 8% anual compuesta trimestralmente. anual con con capitalización capitalización compuesta trimestralmente. Solución Solución Primero, determine determine el interés semestral. Primero, interés semestral.
= 5 000(0.045)/2 000(0.045)/2 11 =
= $112.50 $112.50 cada cada seis seis meses meses =
valor presente presente de todos todos los pagos pagos del del bono bono que que usted usted recibe recibe (figura (figura 5.8) 5.8) se determina determina de El valor dos formas. formas. dos
1.
Tasa efectiva semestral. Aplique Aplique el enfoque enfoque de la sección sección 4.6. 4.6. El periodo periodo de flujo flujo de Tasa efectiva semestral. efectivo es PP PP = = 6 meses, meses, y el periodo periodo de capitalización capitalización es de PC PC = = 3 meses; meses; PP PP > PC. PC. efectivo Calcule la tasa tasa de efectivo efectivo semestral; semestral; después después aplique aplique los factores factores PIA PIA y PIF PIF a los papaCalcule gos de intereses intereses y un ingreso ingreso de $5000 $5 000 en el año año 10. La La TMAR TMAR semestral semestral nominal nominal es gos = 8%/2 8%/2 = = 4%. 4%. De De m = = 2 trimestres trimestres durante durante 6 meses, meses, la ecuación ecuación [4.8] [4.8] da el siguiente siguiente r= resultado: resultado: ¡efectiva = = ¡efectiva
0.~4)2 4.04% durante durante 6 meses meses (1(1+ 0.~4 y-1-1 == 4.04%
Tasa Tasa ¡efectiva r efectiva
204
CAPÍTULO
5
Análisis del valor presente
d d
$5000
i
= 8%
anual, capitalización
a. ti
trimestral
1
$112.50
el
a Año
o
2
3
4
5
17
18
19
20
Periodo de 6 meses
1< rr
ti
e, l¡ e,
vp= ?
u Figura 5.8
.
Flujo de efectivo para el valor presente de un bono, ejemplo 5.11.
rr d
El VP del bono se determina para n = 2(10) = 20 periodos semestrales. VP = $112.50(P/A,4.04%,20) + 5 000(PlF,4.04%,20) = $3 788
2.
Tasa nominal trimestral. Se calcula por separado el VP de cada rendimiento de intereses del bono semestral de $112.50 el año O, con un factor P/F, y se suma el VP de los $5 000 en el año 10. La TMAR nominal trimestral es de 8%/4 = 2%. El número total de periodos es n = 4(10) = 40 trimestres, el doble de los que aparecen en la figura 5.8, en virtud de que los pagos son semestrales, mientras que la TMAR se capitaliza cada trimestre. VP = 112.50(P/F,2%,2) + 112.50(P/F,2%,4) + ... + 112.50(P/F,2%,40)
+ 5 000(P/F,2%,40)
= $3 788 Sol-R
Si el precio que se solicita es superior a $3 788 por el bono, que constituye un descuento de más del 24%, usted no adoptará la TMAR. La función VP (4.04%,20,112.50,5 000) de la hoja de cálculo muestra un VP de $3 788.
5.9
APLICACIONES DE LA HOJA DE CÁLCULO: ANÁLISIS DE VP y PERIODO DE RECUPERACiÓN
El ejemplo 5.12 muestra cómo elabomr una hoja de cálculo para el análisis VP, en el caso de alternativas de vida diferente y de un periodo de estudio específico. El ejemplo 5.13 demuestra la técnica y las deficiencias del análisis del periodo de recuperación para i > 0%. Para este segundo ejemplo, se muestran las soluciones a mano y por computadora. Algunas directrices generales resultan de utilidad para la organización de hojas de cálculo en cualquier análisis de VP. El MCM de las alternativas dicta el número
I
SECCIÓN 5.9 5.9 SECCIÓN
Aplicaciones de la hoja cálculo: análisis análisis de VP VP y periodo Aplicaciones hoja de cálculo: periodo de recuperación recuperación
de entradas para los valores entradas de renglón renglón para valores de inversión inversión inicial inicial y de salvamento/mercasalvamento/mercado, sobre la base base del supuesto recompra que requiere requiere el análisis supuesto de recompra análisis de VP. Algunas Algunas alternativas alternativas tendrán tendrán como como fundamento fundamento los servicios servicios (exclusivamente (exclusivamente flujos de efectivo de costos); mientras que otras se basarán basarán en los ingresos costos); mientras ingresos (flujos (flujos de efectivo efectivo de costos separadas costos y entradas). entradas). Se colocan colocan los flujos de efectivo efectivo anuales anuales en columnas columnas separadas a partir partir de las cantidades reduce la carga cantidades de inversión inversión y salvamento. salvamento. Esto Esto reduce carga de cálcucálculos numéricos numéricos realizada realizada antes de introducir introducir un valor valor de flujo de efectivo. efectivo. Se determinan los valores valores VP para para todas las columnas pertinentes para para una alternaminan columnas que sean pertinentes alternasuman para obtener el VP final. tiva y se suman para obtener cálculo pueden saturarse con mucha obstante, la coloLas hojas hojas de cálculo pueden saturarse mucha rapidez. rapidez. No obstante, cación de funciones funciones VPN encabezado de cada cada columna columna de flujo de efectivo, efectivo, y cación VPN en el encabezado inserción de una tabla de resumen independiente, permite sobresalgan los la inserción resumen independiente, permite que sobresalgan componentes y valores valores VP totales. totales. Finalmente Finalmente se coloca coloca el valor valor de la TMAR TMAR en componentes rendiuna celda celda independiente independiente de tal manera manera que el análisis análisis de sensibilidad sensibilidad sobre sobre el rendimiento pueda llevarse miento requerido requerido pueda llevarse a cabo con facilidad. facilidad. El ejemplo ejemplo 5.12 ilustra ilustra estas directrices. directrices.
Southeastern planes de abrir una nueva nueva mina empresa contemSoutheastern Cement Cement tiene tiene planes abrir una mina de roca. roca. La La empresa contempla dos planes para para la transportación pla dos planes transportación de la materia materia prima prima de la cantera cantera a la planta. planta. El plan plan A requiere requiere la compra para mover compra de dos dos máquinas máquinas para mover la tierra tierra y la construcción construcción de un área área de descarga planta. El plan B implica un sistema descarga en en la planta. El plan implica la construcción construcción de un sistema de transporte transporte de la plan. a) Determine, cantera planta. La cantera a la planta. La tabla tabla 5.2 contiene contiene los costos costos detallados detallados de cada cada plan. Determine, mediante un análisis de VP VP basado cálculo, qué qué plan debería elegirse elegirse si el mediante un análisis basado en la hoja hoja de cálculo, plan debería Después de apenas probledinero dinero se incrementa incrementa 15% 15% anual. anual. b) Después apenas 6 años años de operaciones, operaciones, un problema provocó el paro paro de de actividades mina ma ambiental ambiental de importancia importancia provocó actividades de Southeastern Southeastern en en la mina de roca. un periodo periodo de estudio para establecer roca. Utilice Utilice un estudio de 6 años años para establecer el mejor mejor plan plan (A (A o B) B) desde un punto punto de vista vista económico. económico. El valor mercado de cada cada máquina máquina para para mover mover la desde valor de mercado tierra tierra después después de 6 años años es $20000, $20 000, y el valor valor comercial comercial del sistema sistema transportador transportador desdesárea de puede recuperarse pués de 6 años pués años es sólo sólo $25 $25 000. 000. El área de descarga descarga puede recuperarse con con $2000.
Plan A para Máquina Máquina para mover mover la tierra tierra Costo Costo inicial, inicial, $ Costo Costo anual anual de operación, operación, $ Valor Valor de salvamento, salvamento, $ Vida, Vida, años años
--45000 --45000 -6000 -6000 5000 5000 8
Plan B
Área Área de de descarga descarga
Sistema Sistema transportador transportador
--28000 28000 -300 -300 2000 2000 12
-175000 -175000 --2500 2500 10000 10000 24
205
206
CAPÍTULO 5 CAPÍTULO
Análisis del del valor valor presente presente Análisis
Solución Solución a)
b) b)
La en La evaluación evaluación debe debe llevarse llevarse a cabo cabo a lo largo largo del del MCM MCM de 24 años. años. La La reinversión reinversión en las el área deslas dos dos máquinas máquinas removedoras removedoras de tierras tierras ocurrirá ocurrirá en los los años años 8 y 16, Y Yel área de descarga deberá deberá reconstruirse reconstruirse el año año 12. En el caso caso del plan plan B no hay necesidad necesidad de de ningún carga no hay ningún tipo los plaplatipo de reinversión. reinversión. Primero Primero construya construya los los diagramas diagramas de flujo flujo de efectivo efectivo para para los nes hoja de de nes A y B durante durante 24 24 años años con con la finalidad finalidad de comprender comprender mejor mejor el análisis análisis en en hoja cálculo F incluyen las inversiones, cálculo (figura (figura 5.9). 5.9). Las Las columnas columnas B, D Y YF incluyen todas todas las inversiones, reinversiones reinversiones y valores flujos de de valores de salvamento. salvamento. (No olvide olvide introducir introducir ceros ceros en todas todas las celdas celdas sin sin flujos efectivo; de otra otra manera, manera, lafunción lafunción VPN VPN dará dará un valor valor incorrecto incorrecto de VP.) Éstas Éstas coefectivo; corresponden rresponden a alternativas alternativas basadas basadas en servicios; servicios; de esta esta manera, manera, las las columnas columnas C, E y G muestran las estimaciones estimaciones de los los costos costos anuales anuales de operación operación (COA), (COA), señalados señalados como muestran como FE FE anual. anual. Las Las funciones funciones VPN VPN ofrecen ofrecen los montos montos del del VP VP en las celdas celdas del del renglón renglón 8, las cuales cuales están están sumadas sumadas por por la alternativa alternativa en las celdas celdas H19 H19 y H22. H22. Conclusión: es Conclusión: Se Se elige elige el plan plan B como como consecuencia consecuencia de que que el VP VP de los costos costos es menor. menor. Ambas el Ambas alternativas alternativas concluyen concluyen repentinamente repentinamente después después de 6 años, años, y se calculan calculan el valor Para llevar VP de de valor actual actual de mercado mercado o el valor valor comercial. comercial. Para llevar a cabo cabo el análisis análisis de VP un periodo estudio truncado figura 5.10 formaperiodo de estudio truncado abruptamente, abruptamente, la figura 5.10 incluye incluye el mismo mismo formato que imque la figura figura donde donde aparece aparece el análisis análisis de los 24 años, años, excepto excepto por por dos dos cambios cambios importantes. valores de mercado comerportantes. Las Las celdas celdas del renglón renglón 16 ahora ahora incluyen incluyen los los valores mercado y comercial, cial, y se eliminaron eliminaron todos todos los valores valores después después del del 16. En En el caso caso de las las nuevas nuevas funciones flujos de efectivo, renglón funciones VPN VPN para para los los 6 años años de flujos efectivo, véase véase las etiquetas etiquetas del del renglón 9. Las los Las celdas celdas D20 D20 y D21 D21 corresponden corresponden a los valores valores VP VP determinados determinados sumando sumando los valores valores VP VP adecuados adecuados en el renglón renglón 9. Conclusión: después Conclusión: Debería Debería haberse haberse elegido elegido el plan plan A, de saberse saberse que que concluiría concluiría después de 6 años años en la etapa etapa de diseño diseño de la mina mina de roca. roca.
Comentario Comentario La solución toda la La solución en en hoja hoja de cálculo cálculo para para el inciso inciso b se obtuvo obtuvo copiando copiando inicialmente inicialmente toda hoja cambios hoja de cálculo cálculo del del inciso inciso a en la hoja hoja 2 del del libro libro de trabajo trabajo de Excel. Excel. Después Después los los cambios mencionados emplea mencionados arriba arriba se llevaron llevaron a cabo cabo en la copia. copia. Existe Existe otro otro método método en el que que se emplea la misma misma hoja hoja de cálculo cálculo para para generar generar las las nuevas nuevas funciones funciones VPN, VPN, según según lo indican indican las las etiquetas figura 5.9, de etiquetas de celda celda de la figura 5.9, y en la hoja hoja de cálculo cálculo de la figura figura 5.9 5.9 después después de insertar· es más más insertar un nuevo nuevo renglón renglón 16 para para los los flujos flujos de efectivo efectivo del del año año 6. Este Este enfoque enfoque es rápido y menos menos formal formal que que el método método que que aquí aquí demostramos. demostramos. Sólo Sólo existe existe un peligro peligro real rápido real al al aplicar aplicar el enfoque enfoque de una una sola sola hoja hoja de cálculo cálculo para para resolver resolver este este problema problema (o cualquier cualquier análisis de análisis de sensibilidad). sensibilidad). La La hoja hoja de cálculo cálculo modificada modificada ahora ahora resuelve resuelve otro otro problema; problema; de manera flujos manera que que las las funciones funciones muestran muestran otras otras respuestas respuestas. . Por Por ejemplo, ejemplo, cuando cuando los los flujos de efectivo años, deben antiguas efectivo se truncan truncan a un periodo periodo de estudio estudio de 6 años, deben cambiarse cambiarse las las antiguas funciones funciones VPN VPN del del renglón renglón 8; o las nuevas nuevas funciones funciones VPN VPN deben deben sumarse sumarse en el renglón renglón 9. Sin Sin embargo, embargo, ahora ahora las las funciones funciones VNA VNA del del antiguo antiguo análisis análisis de VP VP a 24 24 años años muestran muestran respuestas incorrectas, incorrectas, o tal tal vez vez un mensaje mensaje de error error de Excel. Esto introduce introduce posibilidaposibilidarespuestas Excel. Esto des de error error en en la toma toma de decisiones. decisiones. Para Para obtener obtener resultados resultados correctos correctos y exactos exactos es des es necenecesario tomarse tomarse tiempo tiempo para para copiar copiar la primera primera hoja hoja en en una una nueva nueva hoja hoja de trabajo trabajo y efectuar sario efectuar los cambios cambios en la copia. copia. Guarde Guarde ambas ambas soluciones soluciones después después de indicar indicar lo que que cada cada hoja los hoja debe analizar analizar según según su diseño. diseño. Esto Esto proporciona proporciona un historial historial de lo que que se cambió cambió durante debe durante análisis de sensibilidad. sensibilidad. el análisis
SE
SECCIÓN SECCIÓN 5.9 5.9
Aplicaciones periodo de recuperación Aplicaciones de la hoja hoja de cálculo: cálculo: análisis análisis de VP VP y periodo recuperación
9 10 11 12
VP durante 24 años
Figura Figura 5.9 Solución la hoja Solución en la hoja de cálculo cálculo que que aplica aplica el análisis análisis de de VP, con con alternativas alternativas de vidas vidas diferentes, diferentes, ejemplo ejemplo S.12a. 5.12a.
207
208
CAPÍTULO 5 CAPÍTULO
l. ~
Análisis del valor valor presente presente Análisis
I!lIlilIt3 !!100m _ lSl 25.J
X Microsoft Microsoft EHcel EHcel -. Example 5_ 5.12 X 12
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Figura 5.10 5.10 Figura Solución en hoja hoja de cálculo cálculo para para un periodo periodo de estudio estudio de 6 años, años, que que aplica aplica el el análisis análisis de VP, VP, ejemplo ejemplo 5.l2b. 5.12b. Solución
EJEMPLO
5.13
... Biothermics ha aceptado fIrmar firmar un contrato contrato para para la adquisición adquisición de un software software desarrollado desarrollado Biothermics ha aceptado Australia para para la ingeniería ingeniería de seguridad, seguridad, el cual cual se está está introduciendo introduciendo en Norteamérica. Norteamérica. en Australia costo inicial inicial de los derechos derechos de licencia licencia es de $60 $60 000 000 con con cuotas cuotas anuales anuales por por derechos derechos de El costo 800 el primer primer año, los cuales cuales se incrementan incrementan $100 $100 cada cada año en lo sucesivo sucesivo y y hasta hasta que que el $1 800 acuerdo autorizado autorizado se venda venda a la otra otra parte parte interesada interesada o se dé por por concluido. concluido. Biothermics Biothermics acuerdo debe debe respetar respetar el acuerdo, acuerdo, por por lo menos menos 2 años. años. Determine Determine mediante mediante un análisis análisis en hoja hoja de cálculo cálculo y a mano mano el periodo periodo de recuperación recuperación (en años) años) con con i = = 8% 8% para para los dos casos: casos:
a) b)
venden los los derechos derechos de software por $90000 $90 000 en algún algún momento momento después después del Se venden software por año 2. año licencia no se vende vende para para el tiempo tiempo determinado determinado en en el inciso inciso a) el precio precio Si la licencia venta se incrementará incrementará a $120 $120 000 futuro. . de venta 000 en el futuro
Solución a mano mano Solución De acuerdo acuerdo con con la ecuación [5.4],, es necesario que VP VP = = OO en el periodo periodo de reposireposia) De ecuación [5.4] necesario que ción ción np "» al 8%. 8%. Formule Formule la ecuación ecuación de VP VP para años, y determine determine el número número de para n ~ 3 años, años que el VP VP cruza cruza el valor valor cero. cero. años a los que
SECCIÓN SECCIÓN 5.9
209
Aplicaciones análisis de VP VP y periodo periodo de de recuperación recuperación Aplicaciones de la hoja hoja de cálculo: cálculo: análisis
0= -60 000 - 1 800(PlA,8%,n) 800(PlA,8%,n) - 100(P/G,8%,n) 100(PlG,8%,n) + 90 000(PlF,8%,n) 000(PlF,8%,n) 0= -60 11., n,
años años
3
4
5
ValorVP ValorVP
$6562 $6562
$-274 $-274
$-6672 $-6672
La recuperación Por interpolación interpolación lineal, lineal, nnl'p== 3.96 años. años . recuperación de 8% ocurre ocurre entre entre 3 y 4 años. años. Por Si la licencia licencia no se vende precio se eleva eleva a $120 000. La ecuación vende antes antes de 4 años, años, el el precio La ecuación del VP VP para para cuatro cuatro o más más años años y el VP VP de n n. son son del
b)
0= 0= -60 -60 000 - 1 800(P/A,8%,n) 800(P/A,8%,n) - 100(P/G,8%,n) 100(P/G,8%,n) + 120 000(P/F,8%,n) 000(P/F,8%,n) años años
5
6
7
Valor Valor VP VP
$13 748
$6247 $6247
$-755 $-755
n, /1.,
La recuperación Por interpolación, interpolación, n11.1'= años. recuperación del del 8% ocurre ocurre entre entre los años años 6 yy 7. Por p= 6.90 años. Solución por . por computadora computadora figura 5.11 5.11 muestra muestra una una hoja hoja de cálculo cálculo que a) y b) La figura que lista lista los los costos costos por por derechos derechos de software esperado (columnas (columnas C yy E). E). Las Las funfunsoftware (columna (columna B), B), así así como como el precio precio de venta venta esperado que el periodo de ciones de $90,000) muestran ciones VPN VPN de la columna columna D (precio (precio de venta venta de muestran que periodo de
X
mm Sol-E ser- E
_o x I!!iiIilI3
Microsoft Excel - Example 5.13
-
-.~.A.»
Tasa de interés
·_··r-·····..·
Costo de Precio, .................•..• si se t1 VP, si se Precio, si se! VP, si se "'C'-' 1········..·_····_ _ _ - .. vende i:)steaño vende este año vende este año, vende este año
la licencia
o
, $(60,000)
.$(1,800)\----
2 $ (1,900) -3 -'$(2,000) $ --4 --$ (2:1 06) $-..-; $-(2,200) $-$(2,300) ¡
...... ~ r
~;-I-
__
......., J_ (2,400)
6,562 --I ($274) ~!OOO :11- $~2-::-C1--=,7=77=-1 (6,672) $ 120,000. $ 13,7 46 ······$126,000 ¡-$:::--~6~,2:-4:-::-7-j
~-=T-_--=== .
$12ü.óoo
Figura 5.11 Figura Determinación del periodo de recuperación con hoja de cálculo, Determinación cálculo, ejemplos ejemplos S.13a S.l3a y b.
-L-$":---l.(.;....75;..;;5-"-\)
210 210
CAPÍTULO 5 CAPÍTULO
Análisis del del valor valor presente presente Análisis
años, mientras mientras que que los los resultados resultados del del VPN VPN de la recuperación se encuentra encuentra entre entre 3 y 4 años, recuperación columna $120,000) indican columna F (precio (precio de venta venta de $120,000) indican un cambio cambio de de positivo positi va a negativo negativo en en VP VP años. Las Las funciones funciones VPN VPN reflejan reflejan las las relaciones relaciones que que aparecen aparecen en en la la solución entre 6 y 7 años. entre solución a mano, salvo salvo el hecho hecho de de que que el el gradiente gradiente del del costo costo de de $100 ha incorporado incorporado a los los costos costos mano, $100 se ha de la la columna columna B. B. de Si se requieren requieren valores valores de recuperación recuperación más más exactos, exactos, interpole interpole entre entre los los resultados resultados de de VP en en la hoja hoja de de cálculo. cálculo. Los Los valores valores serán serán los los mismos mismos que que los los de de la solución solución a mano, mano, a VP saber, 3.96 3.96 y 6.90 6.90 años. años. saber,
RESUMEN RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO método del valor valor presente presente para para comparar comparar alternativas alternativas implica implica la conversión conversión de toEl método dos los flujos flujos de efectivo efectivo a dólares dólares actuales actuales a la TMAR. elige la alternativa alternativa con el TMAR. Se elige mayor valor valor VPnumérico. VPnumérico. Cuando Cuando las alternativas alternativas poseen poseen vidas diferentes, diferentes, la compamayor comparación debe debe llevarse llevarse a cabo para para periodos periodos de servicio iguales. Esto Esto se efectúa ración servicio iguales. efectúa medianmediancualquier MCM MCM de las vidas vidas o de un periodo periodo específico te la comparación comparación sobre sobre cualquier específico de estudio. enfoques permiten permiten comparar comparar alternativas requiestudio. Los dos enfoques alternativas de acuerdo acuerdo con el requisito de servicios periodo de estudio, cualquier valor valor servicios iguales. iguales. Cuando Cuando se emplea emplea un periodo estudio, cualquier restante restante en una alternativa alternativa se reconoce reconoce a través través del valor valor de mercado mercado futuro futuro esperado. esperado. análisis del costo costo de ciclo de vida vida constituye constituye una una extensión El análisis extensión del análisis análisis del relativamente largas largas y con un alto porcentaje porcentaje de sus cosVP en sistemas sistemas con vidas relativamente tos de vida en la forma forma de gastos gastos de operación. operación. Si la vida de las alternativas alternativas se considera infinita, el costo método de comparación. valor CC considera infinita, costo capitalizado capitalizado es el método comparación. El valor calcula con la relación A/i, en virtud virtud de que el factor factor PIA PIA se reduce reduce a 1/i en el se calcula relación A/i, límite = oo. límite de n = El análisis análisis de recuperación recuperación permite permite calcular calcular el número número de años que se requieren requieren para para recuperar recuperar la inversión inversión inicial inicial más una una tasa de rendimiento rendimiento (TMAR) (TMAR) estableciestablecida. Se trata trata de una técnica técnica de análisis análisis complementaria complementaria aplicada aplicada principalmente principalmente en la depuración depuración inicial inicial de proyectos proyectos propuestos, propuestos, antes de efectuar efectuar una evaluación evaluación comcompleta medio del VP o de algún otro método. pleta por por medio método. La técnica técnica tiene tiene sus desventajas, desventajas, en especial = 0% se especial en el caso caso del análisis análisis de recuperación recuperación sin rendimiento, rendimiento, donde donde i = emplea emplea como como la TMAR. TMAR. Finalmente sobre bonos. El análisis Finalmente aprendimos aprendimos sobre análisis del valor valor presente presente permite permite determinar terminar si la TMAR TMAR se obtendrá obtendrá a lo largo largo de la vida vida de un bono, bono, dados dados valores valores específicos específicos del valor valor nominal, nominal, el periodo periodo y la tasa de interés interés del bono. bono.
e PROBLEMAS PROBLEMAS Tipos Tipos de proyectos proyectos 5.1
¿Qué quiere quiere decir decir servicio servicio alternativo? alternativo?
5.2
Al evaluar evaluar proyectos proyectos con el método método del valor presente, seleccionar presente, ¿cómo se sabe cuál(es) cuál(es) seleccionar
si son: a) independientes independientes y b) mutuamente mutuamente excluyentes? excluyentes? 5.3
Lea siLea el enunciado enunciado de los los problemas problemas siguientes guientes y determine determine si los flujos de efectivo efectivo definen servicios: definen un ingreso ingreso o proyecto proyecto de servicios:
PROBLEMAS PROBLEMAS
incluye incluye ambos ambos tipos tipos de de soporte soporte en en la la caja caja del del producto producto para para que que el el comprador comprador descarte descarte la la que que no no necesita necesita.... El El costo costo de de los los dos dos soportes soportes con con tornillos tornillos yy otras otras refacciones refacciones es de de $3.50. $3.50. Si Si el el marco marco de de la la pantalla pantalla de de la la chimenea chimenea se se rediseñara, rediseñara, podría podría utilizarse utilizarse un un soporte soporte universal universal único único cuya cuya fabricación fabricación costaría costaría $1.20. $1.20. Sin Sin embargo, embargo, las herramienherramientas nuevas nuevas costarían costarían $6 000. 000. Además, Además, las las bajas bajas en el inventario inventario significarían significarían $8 000 000 más. más. Si Si la la empresa empresa vende vende 1 200 200 chimeneas chimeneas por por año, ¿debería ¿debería conservar conservar los soportes soportes anteriores teriores o cambiar cambiar a los nuevos, nuevos, si se supone supone que que emplea emplea una una tasa tasa de interés interés de 15% anual anual y desea desea recuperar recuperar su inversión inversión en 5 años? años? Use Use el método método del valor valor presente. presente.
a) problema problema 2.12, 2.12, b) b) problema problema 2.31, 2.31, c) c) proproa) blema 2.51, 2.51 , d) d) problema problema 3.6, 3.6, e) e) problema problema blema 3.10, y f)f) problema problema 3.14. 3.14. 3.10,
5.4 Una Una ciudad ciudad que que crece crece con con rapidez rapidez se se ha ha 5.4 consagrado a conservar conservar la la integridad integridad del del veveconsagrado cindario. Sin Sin embargo, embargo, a los residentes residentes les les cindario. preocupa el tránsito tránsito y la la velocidad velocidad cada cada vez vez preocupa más intensos intensos en una una calle calle que que cruza cruza la la ciuciumás El administrador administrador de ésta ésta ha propuesto propuesto dad. El cinco opciones opciones independientes independientes para para dismidismicinco nuir el tránsito: tránsito: nuir l. Letrero Letrero de Alto Alto en la esquina esquina A. 1. Letrero de Alto Alto en la esquina esquina B. 2. Letrero Colocar un tope tope de baja baja altura altura en en el 3. Colocar punto C. punto 4. Situar un tope de baja altura en el punto D. 5. Cuesta reductora de velocidad velocidad en el Cuesta reductora punto E. punto
5.9
Pueden Pueden emplearse emplearse dos métodos métodos para para proproducir ducir anclajes anclajes de expansión. expansión. El método método A cuesta cuesta $80 000 000 iniciales iniciales y tendría tendría un valor valor de rescate rescate de $15 000 000 después después de 3 años, mientras sería de mientras que que su costo costo de operación operación sería $30 000 por año. El método B tendría $30000 tendría un costo inicial de $120 000, la operación costaría costaría $8 000 por por año, y el valor valor de rescate rescate después sería de $40 000. pués de sus 3 años de vida vida sería interés de 12% anual, anual, ¿cuál Con una una tasa de interés método sobre la base método debe usarse, usarse, sobre base del anávalor presente? presente? lisis de su valor
5.10
embotellada en En 2004, las ventas ventas de agua embotellada Estados Unidos Unidos fueron fueron por 16.3 galones galones los Estados persona. Una botella botella de Evian Evian Natural Natural por persona. Spring Water cuesta cuesta 401t. 40\t. Una instalación instalación Spring municipal de agua agua proporciona proporciona agua agua del municipal grifo con un costo de $2.10 por cada 1 000 promedio una persona persona bebe galones. Si en promedio botellas de agua al día, o usa 5 galones galones dos botellas obtiene dicha cantidad cantidad del grifo, diarios si obtiene ¿cuáles son los valores valores presentes presentes de tomar ¿cuáles embotellada o del grifo por persona persona agua embotellada durante 1 año? Utilice Utilice una tasa de interés durante compuesto mensualmente, mensualmente, y de 6% anual, compuesto 30 días por mes.
Entre las alternativas alternativas finales finales no puede puede haber haber Entre ninguna de las combinaciones ninguna combinaciones siguientes: siguientes: • Cuesta incluya uno o dos topes. Cuesta que incluya • Dos topes • Dos signos Alto signos de Alto Use las cinco opciones opciones independientes independientes y las restricciones para determinar número restricciones determinar a) el número total de alternativas posibles mutuamente alternativas posibles mutuamente excluyentes, excIuyentes, y b) las alternativas alternativas aceptables aceptables que son mutuamente mutuamente excluyentes. excluyentes. 5.5
¿Qué quiere decir el término servicio servicio igual?
5.6
¿Cuáles ¿Cuáles son los dos enfoques enfoques que pueden pueden utilizarse utilizarse para satisfacer satisfacer el requerimiento requerimiento de servicio servicio igual?
5.7
Defina Defina el término término costo capitalizado capitalizado y dé un ejemplo ejemplo realista realista de algo que podría podría analizarse con el empleo empleo de dicha técnica.
Comparación Comparación de alternativas. alternativas. Vidas iguales iguales 5.8 Lemon Hearth Products Products manufactura manufactura pantallas para para chimenea chimenea con puertas de vidrio que tienen dos dos tipos de soportes para montar el marco: uno en en forma forma de de "L" "L" que se usa para vamente para aberturas aberturas de de chimeneas chimeneas relati relativamente pequeñas, pequeñas, y otro otro en en forma forma de de "U" "U" que se emplea emplea para para todas todas las las demás. demás. La La compañía compañía
211 211
5.11 Un paquete paquete de software software creado por Navarro Navarro & Associates Associates puede usarse para para analizar analizar y diseñar torres de punta plana plana con tres tres lados,
212
CAPÍTULO CAPÍTULO 5
Análisis presente valor presente Análisis del valor
así como torres torres de cuatro cuatro lados lados que se sostienen solas. solas. Una licencia licencia de usuario único tienen usuario único costaría costaría $4 000 por año, mientras mientras que un sitio con licencia único de licencia tiene un costo costo único $15 000. Una compañía compañía consultora consultora de ingeniería geniería estructural estructural intenta intenta decidir decidir entre entre dos alternativas: la primera comprar ahora alternativas: primera es comprar ahora posterioruna licencia licencia de usuario usuario único único y posteriormente una para para cada mente una cada año durante durante los 4 siguientes siguientes (lo cual daría daría 5 años de servicio); servicio); la segunda segunda consiste consiste en comprar comprar ahora ahora un licencia. Determine Determine cuál estrategia estrategia sitio con licencia. debería debería adoptarse adoptarse con una tasa de 12% de interés periodo de planeación planeación interés anual, para un periodo de 5 años, por medio medio del método método del valor valor presente evaluarlas. presente para evaluarlas. 5.12
5.14 En la producción producción de un polímero polímero que reduce reduce las pérdidas pérdidas por fricción fricción en las máquinas, máquinas, pueden usarse procesos: el proceso proceso K pueden usarse dos procesos: tendría tendría un costo costo inicial inicial de $160 $160 000 y su operación costaría costaría $7 000 por trimestre, operación por trimestre, mientras su valor de rescate mientras rescate sería de $40 000 después proceso L tendespués de 2 años de vida. El proceso dría dría un costo costo inicial inicial de $210 $210 000, otro de operación trimestre, y un valor operación de $5 000 por trimestre, de rescate rescate de $26 000 al terminar terminar su vida de 4 años proceso debe años.. ¿Cuál ¿Cuál proceso debe elegirse elegirse con el criterio valor presente, presente, con una tasa de criterio del valor interés de 8% anual, interés anual, compuesto compuesto trimestraltrimestralmente? mente? 5.15
manufactura transductores transductores Una empresa empresa que manufactura de presión presión amplificada trata de decidir amplificada trata decidir entre las alternativas muestran alternativas de máquina máquina que se muestran a continuación. continuación. Compárelas Compárelas sobre la base de sus valores valores presentes presentes netos, con el empleo empleo interés de 15% anual. de una tasa de interés Velocidad Velocidad Velocidad Velocidad variable dual variable dual
Costo inicial, inicial, $ Costo Costo Costo de operación operación anual, anual, $/año $/año Reparación Reparación mayor mayor en el año año 3, $ Reparación Reparación mayor mayor en el año 4, $ Valor de rescate, rescate, $ Vida, Vida, años años
-250000 -250000 -231000 -231000
-224000 -224000 -235000 -235000 -26000 -26000
-140000 -140000 50000
10000
6
6
Comparación Comparación de alternativas alternativas durante durante diferentes periodos diferentes periodos 5.13
La NASA NASA estudia para usarestudia dos materiales materiales para vehículo espacial. ¿Cuál de los silos en un vehículo guientes costos costos debería debería seleccionarse seleccionarse sobre sobre guientes base de una comparación comparación de su valor valor prela base preinterés de 10% anual? sente, con una tasa de interés Material JX Material Material KZ KZ Material
-205000 Costo inicial, inicial, $ Costo -205000 Costo de mantenimiento, mantenimiento, $/año $/año -29000 -29000 Costo rescate, $ 2000 Valor de rescate, Vida, años años 2 Vida,
--235000 235000 -27000 -27000 20000 4
5.16
Se estudia para producir producir estudia entre dos métodos métodos para estuche de un monitor monitor portátil el estuche portátil de fotoionización ionización fabricado fabricado con material material peligroso. peligroso. Uno plástico y Uno de los estuches estuches sería sería de plástico y requeriría requeriría una inversión inversión inicial inicial de $75 000, tendría un costo costo de operación operación anual anual de y tendría $27 000, sin valor rescate después valor de rescate después de dos años. Un estuche estuche de aluminio aluminio requeriría requeriría una inversión de $125 000, con costos inversión costos anuales anuales de $12 000 y parte parte del equipo puede venequipo puede derse derse en $30 000 después después de 3 años de vida. Con una tasa de interés interés de 10% anual, ¿cuál estuche estuche debe usarse sobre la base del análisis de su valor valor presente? presente? El administrador administrador de ciertas ciertas instalaciones instalaciones de alta presentó a la GAO alta tecnología tecnología presentó GAO tres tres planes diferentes diferentes para operar infraestructura para operar infraestructura de producción producción de armas pequeñas. pequeñas. El plan A involucraría involucraría contratos contratos de 1 año renovarenovapagos de $1 000 000 al comienzo bles, con pagos comienzo cada año. El plan B sería un contrato contrato de de cada 2 años y requeriría requeriría cuatro pagos de $600 000 efectuaría cada uno, de los que el primero primero se efectuaría intervalos de 6 meses .... ahora y los otros tres a intervalos consiste en un contrato contrato de 3 años El plan C consiste implica un pago de $1 $1 500 000 millones millones e implica ahora y otro de $500 000 dentro de dos años. supone que GAO podría renovar cualSi se supone podría renovar quiera de los planes mismas condicondiquiera planes en las mismas ciones de quererlo quererlo así, ¿cuál ¿cuál de ellos ellos es ciones mejor, criterio del análisis análisis del valor valor mejor, según el criterio
o 5.
5.
5
PROBLEMAS PROBLEMAS
presente, con una tasa de interés de 6% anual, compuesto compuesto semestralmente? semestralmente?
taría a otras otras empresas empresas mineras mineras siempre taría siempre que produzfuera posible, actividad que se espera produzingresos de $12 000 por por año. Si la tasa tasa ca ingresos $12 000 rendimiento mínima mínima atractiva atractiva de la comde rendimiento pañía es de 15% anual, anual, ¿debería comprarse pañía ¿debería comprarse arrendarse la pala pala mecánica, mecánica, de acuerdo acuerdo o arrendarse análisis del valor valor futuro? futuro? con el análisis
Comparación Comparación del valor futuro futuro 5.17
5.18
5.19
Una Una estación estación de muestreo muestreo ubicada ubicada en un lugar remoto remoto puede puede obtener obtener energía energía ya sea de celdas celdas solares solares o de una una línea línea eléctrica eléctrica convencional convencional si es que ésta se lleva lleva al sitio. La instalación instalación de celdas celdas solares solares costaría costaría $12 600 y tendrían tendrían una vida útil de 4 años sin valor de rescate. Se espera espera que los costos anuales anuales por inspección, inspección, limpieza, limpieza, etc., sean de $1 400. La instalación instalación de una línea eléceléctrica nueva nueva costaría costaría $1 $111 000 y se espera espera que los costos costos de la energía energía sean de $800 por año. año. Como el proyecto proyecto de muestreo muestreo termiterminará en 4 años, se considera considera que el valor valor de rescate rescate de la línea línea es de cero. Con una tasa interés de 10% anual, ¿cuál alternativa alternativa de interés debe seleccionarse, seleccionarse, con el criterio criterio del análisis del valor valor futuro? futuro? El Departamento Departamento de Energía Energía propone propone nuevas reglas que ordenan ordenan un incremento incremento para para 2005 de 20% en la eficiencia eficiencia de lavadoras lavadoras de ropa, y de 35% para para 2008. Se espera espera que el aumento de 20% agregue agregue $100 al precio actual de una lavadora, lavadora, mientras que el de 35% sumará $240 al precio. Si el costo de la energía energía es de $80 por año con el 20% de incremento incremento en la eficiencia, eficiencia, y de $65 anuales anuales con 35% de aumento aumento en la misma, misma, ¿cuál ¿cuál de estos dos estándares resulta resulta más económico económico según el _ estándares análisis análisis del valor valor futuro, con una tasa de interés de 10% anual? Suponga Suponga una vida de 15 15 años para para todos los modelos modelos de lavadora. lavadora. Una Una compañía compañía minera minera pequeña pequeña explota explota carbón carbón a cielo abierto abierto y trata de decidir decidir si debería debería comprar comprar o arrendar arrendar una pala pala mecámecánica nueva. nueva. Si la compra, compra, costaría costaría $150 000 y se espera espera que tenga tenga un valor de rescate rescate de $65000 $65000 dentro dentro de 6 años. Como Como alternatialternativa, la compañía compañía podría podría arrendar arrendar la pala pala por por $30 000 por año, pero el pago del arrendaarrendamiento miento tendría tendría que hacerse hacerse al comienzo comienzo de cada año. Si la máquina máquina se adquiriera adquiriera se ren-
213 213
5.20
cierta operación operación de manufactura manufactura pueden pueden En cierta usarse tres tipos de barrenos barrenos para para perforar. perforar. usarse barato es uno de acero El más barato acero inoxidable inoxidable velocidad (HSS), pero pero tiene tiene una vida de alta velocidad corta que uno de óxido óxido de oro u otro de más corta nitrito de titanio. titanio. La compra compra de los barrenos barrenos nitrito costaría $3 500 y bajo bajo las condiciones condiciones HSS costaría usarían durarían durarían tres meses. meses. El en que se usarían costo de operación operación de dichos dichos aditamentos aditamentos costo sería por mes. Los barrenos barrenos de sería de $2 000 por óxido de oro costarían costarían $6 500 y durarían durarían 6 óxido meses, con un costo costo de operación operación de $1 500 meses, mensuales. nitrito de titanio mensuales. Los de nitrito titanio tendrían tendrían un costo de $7 000 y durarían 6 meses, con un costo por por operarlos operarlos de $1 200. Con Con una una tasa costo anual, compuesto compuesto mende interés interés de 12% anual, sualmente, ¿qué ¿qué tipo sualmente, tipo de barreno barreno debiera debiera usarse, según valor futuro? usarse, según el análisis análisis del valor futuro?
5.21
compañía El Paso Paso Electric E1ectric estudia estudia dos La compañía alternativas para para satisfacer regulaciones alternativas satisfacer las regulaciones estatales relacionadas relacionadas con el control control de la estatales contaminación en una una de sus estaciones estaciones gecontaminación neradoras. Dicha Dicha estación estación se localiza localiza en los neradoras. suburbios ciudad, a corta corta distancia distancia de suburbios de la ciudad, Ciudad Juárez, México. México. La estación produCiudad Juárez, estación produce actualmente VOC y óxidos actualmente exceso exceso de VOC óxidos de nitrógeno. cumplir nitrógeno. Hay dos propuestas propuestas para para cumplir las regulaciones: el plan plan A involucra involucra el las regulaciones: reemplazo de quemadores quemadores y el cambio cambio de gareemplazo sóleo a gas natural. natural. El costo costo inicial inicial de dicha dicha opción sería de $300 000, con $900 000 adiopción cionales combustible. cionales por por año en costos costos de combustible. plan B implica implica llevar llevar a México México lírieas de El plan fabrican gas para para muchos muchos de los sitios que fabrican ladrillos patios traseros y que utilizan utilizan ladrillos en los patios madera, llantas y otros materiales de desecho como combustible combustible para para sus hornos. hornos. La idea idea como plan B es que si se reduce reduce la que sustenta sustenta al plan
214
CAPÍTULO
5
Análisis del valor presente
contaminación por partículas responsable del esmog en El Paso, habría un beneficio más grande para los ciudadanos de los Estados Unidos, que el que se lograría con el plan A. El costo inicial del plan B sería de $1 200000 por instalar las líneas. Adicionalmente, la compañía eléctrica subsidiaría el costo del gas para los fabricantes de ladrillos por un total de $200 000 al año. El monitoreo extra del aire asociado con este plan tendría un costo adicional de $150000 por año. Para un periodo de duración del proyecto de 10 años y sin ningún valor de rescate para ambos planes, ¿cuál debería seleccionarse con el criterio del análisis del valor futuro, con una tasa de interés de 12% anual? Costos capitalizados I1
5.22
5.23
5.24
5.25
el estadio cada 5 años costaría $75 000. Si la ciudad espera dar mantenimiento a la instalación en forma indefinida, ¿cuál sería su costo capitalizado, con un interés de 8% anual? 5.26
5.27
Si una persona quisiera poder retirar $80 000 por año durante el resto de su vida, empezando dentro de 30 años, ¿cuánto tendría que tener en su cuenta para la jubilación (que percibe un interés de 8% anual) en a) el año 29, y b) el año O?
5.28
¿Cuál es el costo capitalizado (valor absoluto) de la diferencia entre los dos planes siguientes, con una tasa de interés de 10% anual? El plan A requiere un gasto de $50 000 cada 5 años para siempre (se comienza en el año 5). El plan B necesita un gasto de $100 000 cada 10 años para siempre (empieza en el año 10).
5.29
¿Cuál es el costo capitalizado de gastos por $3 000 000 ahora, $50000 en los meses 1 a 12, $100000 en los meses 13 a 25, y $50 000 en los meses 26 al infinito, si la tasa de interés es de 12% por año compuesto mensualmente?
5.30
Compare las alternativas siguientes sobre la base de su costo capitalizado, con una tasa de 10% de interés anual.
Pintar el puente Golden Gate tiene un costo de $400 000. Si dicha estructura se pintara hoy y cada 2 años de ahí en adelante, ¿cuál sería el costo capitalizado de los trabajos de pintura con una tasa de 6% de interés anual? El costo de ampliar cierta carretera en el Parque Nacional de Yellowstone es de $1.7 millones. Se espera que el costo de volverla a pavimentar y ejecutar otros trabajos de mantenimiento sea de $350 000 cada 3 años. ¿Cuál es el costo capitalizado de la carretera, con una tasa de interés de 6% anual? Determine el costo capitalizado de un gasto de $200 000 en el tiempo O, $25 000 en los años 2 a 5, y $400 000 anuales del año 6 en adelante. Use una tasa de interés de 12% anual. Una ciudad que intenta atraer a un equipo profesional de futbol planea construir un estadio nuevo, lo cual cuesta $250 millones. Se espera que los gastos de mantenimiento anuales asciendan a $800 000 por año. El pasto artificial tendría que sustituirse cada 10 años, con un costo de $950 000. Pintar
Cierta alternativa de manufactura tiene un costo inicial de $82 000, un costo de mantenimiento de $9 000 anuales y valor de rescate de $15 000 al final de su cuarto año de vida. ¿Cuál es su costo capitalizado, con una tasa de interés de 12% anual?
Costo inicial, $ Costo de operación anual, $/año Ingresos anuales, $/año Valor de rescate, $ Vida, años
5
5
5
e e
Pienso con base en petróleo
Pienso con base inorgánica
-250000
-110000
-130000 400000
-65000 270000
=
50000 6
20000 4
~
v v A
PROBLEMAS
5.31
Una alumna de la Universidad Estatal de Ohio quisiera establecer un fondo de donativos que concediera becas a mujeres estudiantes de ingeniería, por un total de $100 000 anuales para siempre. Las primeras becas se entregarían ahora y continuarían cada año. ¿Cuánto debe donar la alumna ahora, si se espera que el fondo gane un interés de 8% anual?
5.32· Un distrito municipal grande en infraestructura (MUD) analiza dos conductos de gran tamaño; el primero involucra la construcción de un dueto de acero que cuesta $225 millones, el cual cada 40 años necesitaría se le reemplazaran algunas partes, lo que costaría $50 millones. Se espera que el bombeo y otras operaciones tengan un costo de $10 millones por año. Una alternativa es construir un canal de flujo por gravedad que cuesta $350 millones más costos de operación y mantenimiento de $500 000 por año. Si es de esperar que ambos conductos duren para siempre, ¿cuál debe construirse, con una tasa de interés de 10% anual? 5.33
E
~
miento en el tiempo más corto no necesariamente es la de mayor atractivo económico. 5.36
Determine el periodo de recuperación de un activo cuyo costo inicial es de $40 000, con valor de rescate de $8 000 en cualquier momento de los primeros 10 años después de adquirido, y que genera ingresos de $6 000 por año. El rendimiento que se requiere es de 8% anual.
5.37
Accusoft Systems ofrece a los propietarios de negocios un paquete de software que mantiene los registros de muchas funciones contables a partir de las facturas de las ventas mediante transacciones bancarias. La licencia para el sitio cuesta $22 000 por concepto de instalación, e involucra una tarifa de $2 000 por trimestre. Si cierta empresa pequeña podría ahorrar $3 500 cada trimestre con la seguridad de manejar sus libros en casa, ¿cuánto tiempo tomará para que la empresa recupere su inversión con una tasa de interés de 4% trimestral?
5.38
Darnell Enterprises construyó un anexo a su edificio que tuvo un costo de $70 000. Se espera que otros gastos anuales asciendan a $1 850, pero los ingresos adicionales serán de $14 000 por año. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que la empresa recupere su inversión, con una tasa de interés de 10% anual?
5.39
Un proceso nuevo para manufacturar niveles de láser tendrá un costo inicial de $35 000, con costos anuales de $17 000. Se espera que los ingresos adicionales asociados al nuevo proceso sean de $22 000 por año. ¿Cuál es el periodo de recuperación con a) i = 0%, Yb) i = 10%, anuales?
5.40
Cierta empresa multinacional de consultoría en ingeniería que desea proporcionar alojamiento en hoteles de lujo a ciertos clientes estudia la compra de un conjunto de tres recámaras en la parte alta del estado de Montana, lo cual costaría $250 000. Las propiedades en dicha zona están aumentando su valor
Compare las alternativas que se muestran en la parte inferior, sobre la base de sus costos capitalizados, con el empleo de una tasa de interés de 12% anual, compuesto trimestralmente. Alternativa
Costo inicial, $ Costo semestral, $/6 meses Valor de salvamento, Vida, años
Alterna- Alternativa tiva F
G
-200000 -300000 -900000 40000 10000 30000 $
50000 2
70000 4
100000
Análisis de recuperación 5.34
¿Qué quiere decir recuperación sin rendimiento O recuperación simple?
5.35
Explique por qué la alternativa que recupera su inversión inicial con cierta tasa de rendi-
215
216
CAPÍTULO
5
Análisis del valor presente
con rapidez debido a que la ansiedad de la gente por alejarse de los desarrollos urbanos eleva los precios. Si la empresa gastara en promedio $500 al mes para las instalaciones y la inversión se incrementara con una tasa de 2% mensual, ¿cuánto tiempo pasará antes de que se pueda vender la propiedad en $100 000 más lo invertido en ella? 5.41
Un fabricante de marcos para ventana busca maneras de mejorar sus ingresos a partir de ventanas deslizantes con aislamiento triple que se venden sobre todo en la parte norte de los Estados Unidos. La alternativa A es un incremento en el marketing a través de radio y televisión, con la que gastaría un total de $300 000 ahora, y se espera un incremento en los ingresos de $60 000 por año. La alternativa B requiere la misma inversión para mejoras en el proceso de manufactura de la planta, lo que mejoraría las propiedades de retención de temperatura de los sellos que rodean cada panel de vidrio. Con esta opción los nuevos ingresos comenzarían a fluir con lentitud, pues se estiman $110 000 en el primer año, con un crecimiento de $15 000 por año conforme el producto gana reputación entre los constructores. La TMAR es de 8% anual y el periodo máximo de evaluación es de 10 años para cualquier alternativa. Use tanto el análisis de recuperación como el del valor presente, con el 8% (para 10 años), a fin de seleccionar la alternativa más económica. Mencione la razón o razones de cualquier diferencia entre los dos análisis para la alternativa seleccionada.
Costos del ciclo de vida 5.42
El Pentágono pidió a un contratista de alta tecnología que estime el costo del ciclo de vida (CCV) de un vehículo de apoyo de uso ligero. Su lista de conceptos incluía las siguientes categorías generales de costo: investigación y desarrollo (I&D), inversión no recurrente (INR), inversión recurrente
(IR), mantenimiento preventivo y correctivo (mant.), uso de equipo (eq.) y eliminación (elim.). Los costos (en millones) para el ciclo de vida de 20 años son los que se indican a continuación. Calcule el CCV con una tasa de interés de 7% anual.
Es! Dis Dis COi
Pru
D~
Año
O 1 2 3 4 5 6-10 11 Y más 18-20
5.43
I&D
INR
5.5 3.5 2.5 0.5
1.1
IR
Mant.
Eq.
Elim.
Irnj Ha
Cal ACI
5.2 10.5 10.5
1.3 3.1 4.2 6.5 2.2
0.6 1.4 1.6 2.7 3.5
1.5 3.6 5.3 7.8 8.5
S.2.7
Un ingeniero que manufactura software en una corporación aerospacial muy grande tiene la responsabilidad sobre un proyecto para diseñar, construir, probar e implantar AREMSS, una nueva generación de un sistema automático para programar mantenimientos rutinarios y expeditos. Los reportes de la terminación de cada servicio serán capturados por el personal de campo para que después el sistema los llene y archive. La aplicación inicial será en las aeronaves de la Fuerza Aérea que abastecen combustible en vuelo. Se espera que el sistema se utilice durante mucho tiempo para la programación de otras labores de mantenimiento de aviones, y una vez que se implante por completo tendrán que hacerse mejoras, pero se espera que funcione para programar en todo el mundo hasta 15 000 naves diferentes. El ingeniero, quien debe hacer la semana próxima una presentación de las mejores estimaciones de los costos durante un periodo de vida de 20 años, ha decidido emplear el enfoque del costo del ciclo de vida para calcularlos. Use la información que sigue para determinar el CCV del sistema de programación AREMSS, con el 6% anual.
S.
217
PROBLEMAS
Costo en el año ($, millones) Categoría
de costo
2
3
4
ayude a seleccionar proyectos durante los próximos 10 años. Se ha utilizado el enfoque del costo del ciclo de vida para clasificar los costos en desarrollo, programación, operación y apoyo para cada alternativa. Hay tres opciones en análisis identificadas como A (sistema sobre medida), B (sistema adaptado) y C (sistema actual). A continuación se presenta el resumen de costos. Use el enfoque del costo del ciclo de vida para identificar la mejor alternativa, con el 8% anual.
5 6 Y más 10 18
Estudio de campo 0.5 2.1 1.2 0.5 Diseño del sistema Diseño del software 0.6 0.9 Compras de hardware 5.1 Pruebas Beta 0.1 0.2 Desarrollo del manual del usuario 0.1 0.1 0.2 0.2 Implantación 1.3 0.7 del sistema 0.4 6.0 2.9 Hardware de campo Capacitación de instructores 0.3 2.5 2.5 Actualizaciones del software
0.06
0.7 0.6
3.0 3.7
Costo
5.44
5.45
El ejército de Estados Unidos recibió dos propuestas para un proyecto de diseño de barracas para los soldados de las unidades de infantería en entrenamiento. La propuesta A involucra un diseño muy básico y la construcción de paredes, ventanas, puertas y otros elementos de tipo estandarizado. Con esta opción, los costos de calefacción, aire acondicionado y mantenimiento serían mayores, y los de reemplazo lo serían más pronto que los de la propuesta B. El costo inicial de la alternativa A sería de $750 000, el de calefacción y aire acondicionado sería en promedio de $6 000 mensuales, y los de mantenimiento promediarían $2 000 al mes. Se requerirían remodelaciones pequeñas en los años 5,10 y 15 con un costo de $150000 en cada ocasión, a fin de que las instalaciones permanezcan funcionales durante 20 años. No tendrán valor de rescate. La propuesta B incluye diseño sobre medida y los costos iniciales de construcción serían de $1 100 000, los de calefacción y aire acondicionado de $3 000 por mes, y los de mantenimiento, de $1000 mensuales. No habría valor de rescate al final de la vida de 20 años. ¿Cuál propuesta debe aceptarse según el criterio del análisis del costo del ciclo de vida, si la tasa de interés es de 0.5% mensual? Un municipio de tamaño mediano planea desarrollar un sistema de software que lo
Alternativa A
Componente Desarrollo
Programación
Operación Apoyo B
Desarrollo Programación
Operación Apoyo
e
Operación
Costo
$250 000 ahora, $150000 en los años la4 $45 000 ahora, $35 000 en los años 1y 2 $50 000 en los años 1 a 10 $30 000 en los años 1a 5 $10 000 ahora $45 000 en el año O, $30 000 en los años 1a3 $80 000 en los años 1 a 10 $40 000 en los años 1 a 10 $175000 en los años 1 a 10
Bonos 5.46
Un bono hipotecario con valor nominal de $10 000 tiene una tasa de interés de 6% anual que se paga en forma trimestral. ¿Cuáles son el monto y la frecuencia de los pagos del interés?
5.47
¿Cuál es el valor nominal de un bono municipal que tiene una tasa de interés de 4% anual, con el pago de intereses por $800 semestralmente?
218 218
CAPÍTULO 5 CAPÍTULO
5.48 5.48
¿Cuál es la tasa tasa de interés interés de un bono bono de ¿Cuál $20 000 000 que que tiene tiene pagos pagos de de los los intereses intereses $20 500 semestrales semestrales y una una fecha fecha de venvende $1 500 cimiento de 20 años? años? cimiento
5.49 5.49
¿Cuál es el valor valor presente presente de un bono bono de ¿Cuál 000 cuyo cuyo interés interés es de 10% anual, anual, papa$50 000 gadero en forma forma trimestral? trimestral? El bono bono vence vence gadero tasa de interés interés en el mercado mercado en 20 años. La tasa anual, compuesto compuesto trimestraltrimestrales de 10% anual, mente. mente.
5.50
valor presente presente tiene un bono municipal municipal ¿Qué valor tasa de interés interés de 4% de $50 000, con una tasa semestrales? El bono vence anual, con pagos semestrales? interés en el mercado mercado en 15 años y la tasa de interés compuesta trimestralmente. trimestralmente. es de 8% anual, compuesta
5.51
General Electric Electric emitió certifiGeneral emitió 100 bonos bonos certificados hace valor nominal nominal de cados hace tres años con valor $5 000 cada cada uno e intereses intereses de 8% anual pagaderos en forma forma semestral. pagaderos semestral. Los bonos bonos tienen fecha de vencimiento tienen una fecha vencimiento de 20 años a partir partir de la fecha fecha en que se emitieron. emitieron. Si la tasa de interés interés en el mercado mercado es de 10% anual, compuesta anual, compuesta semestralmente, semestralmente, ¿cuál ¿cuál sería el valor bono para valor presente presente de un bono para un inversionista que quisiera quisiera comprarlo comprarlo hoy? inversionista
Análisis del del valor valor presente presente Análisis
las escuelas escuelas existentes existentes y construir construir otras otras nuenuevas. vas. Los Los bonos bonos pagarán pagarán intereses intereses semessemestrales trales a razón razón de 7% anual anual y vencerán vencerán en 30 años. Las Las comisiones comisiones bursátiles bursátiles asociadas asociadas con la venta venta de los bonos bonos serán serán de $1 millón. millón. Si la tasa tasa de interés interés en el mercado mercado se eleva eleva a 8% anual, anual, compuesta compuesta semestralmente, semestralmente, antes antes de que que se emitan emitan los los bonos, bonos, ¿cuál ¿cuál tendría tendría que ser el valor valor nominal nominal de los bonos bonos para para el distrito distrito escolar escolar con el fin de obtener obtener $200 $200 millones millones netos? netos? 5.53 5.53
distrito escolar escolar Charles Charles ton Independent Independent 5.52 El distrito necesita necesita recabar recabar $200 millones millones para para limpiar limpiar
Un ingeniero ingeniero que planea planea su jubilación jubilación pienpiensa que las tasas de interés interés en el mercado mercado disdisminuirán minuirán antes de su retiro, por por tanto, planea planea invertir invertir en bonos bonos corporativos: corporativos: piensa piensa adadquirir quirir uno de $50 000 que que genera genera intereses intereses a razón razón de 12% anual, pagaderos pagaderos trimestraltrimestralmente mente y con fecha de vencimiento vencimiento para para dentro de 20 años. ¿Por cuánto cuánto debería debería estar a) ¿Por estar dispuesto dispuesto a vender dentro de 55 años, si la vender el bono bono dentro tasa de interés interés en el mercado mercado es de 8% anual compuesto compuesto trimestralmente? trimestralmente? anual b) Si invirtiera intereses que recibiera, invirtiera los intereses recibiera, interés de 12% anual, con una tasa de interés anual, compuesto trimestralmente, trimestralmente, ¿cuánto compuesto ¿cuánto tendría (en total) inmediatamente inmediatamente destendría después de vender vender el bono pués bono dentro dentro de 5 años?
5.
5.
L
ci al
C C
v. PROBLEMAS PROBLEMAS DE REPASO FI FI
V
5.54 Para las alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyenexc1uyentes que se muestran muestran a continuación, continuación, deterdetermine cuál(es) cuál(es) deberían deberían seleccionarse. seleccionarse. Alternativa Alternativa
presente, $ Valor presente,
A B B C D D
-25000 -25000 -12000 -12000 10000 15000
SóloAA Sólo Sólo D SóloAy B c) SóloAy eyD d) Sólo C a) b)
5.55
El valor presente presente de $50 000 ahora, $10 000 por año en los años 1 a 15, y $20 $20000 000 anuales en los años 16 16 al infinito, infinito, con 10% anual, está muy cerca de:
5
5
PROBLEMAS DE DE REPASO REPASO FI FI PROBLEMAS
a) a) b) b) e) d) d)
Menos de $169 000 a) Menos b) $169580 $169580 b) e) $173940 $173940 e) $195 730 d) $195730
5.56 Cierta Cierta donadora donadora desea desea comenzar comenzar un fondo fondo 5.56 para su alma alma mater mater a fin de recabar recabar dinero dinero para para becas becas con con un monto monto de $40 000 anuaanuapara para comenzar comenzar en el año 5 y continuar continuar les, para forma indefinida. indefinida. Si la universidad universidad gana gana en forma anual sobre sobre el fondo, fondo, la cantidad cantidad que que 10% anual ella debe debe donar donar es muy muy cercana cercana a: ella a) $225470 $225470 a) $248360 b) $248360 $273200 e) $273200 $293820 d) $293820 5.57
anual, la canCon una tasa de interés de 10% 10%anual, tidad que debe depositar en su cuenta cuenta para para debe depositar el retiro retiro en los años O a 9 (es decir, 10 depósitos) para que usted pueda pueda retirar retirar $50 000 pósitos) para siempre, comenzara a hacerlo hacerlo por año para siempre, y comenzara dentro de 30 años, está muy cerca de: dentro cerca a) $4239 $4239 b) $4662 $4662 e) $4974 $4974 d) $547 $54711
Los problemas problemas 5.58 a 5.60 se basan basan en las estimaestimaciones ciones siguientes. siguientes. El costo costo del dinero dinero es de 10% 10% anual. Máquina X
Costo Costo inicial, inicial, $ Costo Costo anual anual, , $/año $/año Valor Valor de rescate, rescate, $ Vida, Vida, años años
-66000 -66000 --10 10 000 000 10 000 10000 6
Máquina Y
-46000 -46000 -15000 -15000 24000 3
5.58 El valor presente máquina X es muy presente de la máquina cercano cercano a: a) $-65270 $-65270 b) $-87840 $-87840 e) $-103910 $-103 910 d) $-114310 $-114310 5.59
Si se comparan comparan las máquinas máquinas con base en su valor presente, presente, el de la máquina máquina Y es el más parecido parecido a: a:
219 219
$-65270 $-65270 $-97840 $-97 840 $-103910 $-103910 $-114310 $-114310
5.60 5.60 El costo costo capitalizado capitalizado de la la máquina máquina X está está muy muy cerca cerca de: a) $-103910 $-103910 b) b) $-114310 $-114310 $-235990 e) $-235990 d) d) $-238580 $-238580 5.61 5.61
El costo costo para para dar mantenimiento mantenimiento a un momonumento numento en Washington, Washington, D.C. se expresa expresa en desembolsos desembolsos periódicos periódicos de $10 000 cada cada 5 años. Si el primero primero de ellos ellos ocurre ocurre ahora, ahora, el costo costo capitalizado capitalizado del mantenimiento mantenimiento con una tasa tasa de interés interés de 10% anual, anual, es de: a) $-16380 $-16380 b) $-26380 $-26380 e) $-29360 $-29360 $-41050 d) $-41050
5.62 5.62
Las alternativas alternativas que se muestran muestran abajo se compararán de acuerdo con el criterio compararán acuerdo criterio de sus costos capitalizados. capitalizados. Con un interés del 10% 10% anual compuesto continuamente, la ecuaanual compuesto continuamente, ecuación que representa capitalizado de representa el costo capitalizado . la alternativa alternativa A es:
Costo Costo inicial, inicial, $ Costo Costo anual anual, , $/año $/año Valor de rescate, rescate, $ Valor Vida, Vida, años años
Alternativa Alternativa A
Alternativa Alternativa B
-50000 -50000 -10000 -10000 13000 13 000 3
-90000 -90000 -4000 -4000 15000 6
PWAA = =-50000-10000(P/A, PW -50000-10000(P/A, 10.52%,6) 000(P/F,1O.52%,3) - 37 000(P/F ,IO.52%,3) PWA = =-50000-10000(P/A, b) PW -50000-10000(P/A, 10.52%,3) 13 000(P/F,IO.52%,3) 000(P/F,1O.52%,3) + 13 PWAA == [-50 [-50000(A/P, 10.52%,3) e) PW OOO(A/P, 10.52%,3) -10000++ 13 13OOO(AlF,IO.52%,3)]/O.1052 Ooo(AIF, 10.52%,3)]/0.1052 -10000 PWAA = = [-50000(A [-50 000(A/P,10%,3) -10 000 ++ d) PW /P,IO%,3)-10000 13 000(A/F,10%,3)] OOO(A/F,10%,3)]/0.10 13 /0.10
a)
corporativo tiene un valor nominal 5.63 Un bono corporativo de $10 000, una tasa de interés de 6% anual pagadero semestralmente, semestralmente, y una fecha de pagadero
220
CAPÍTULO CAPÍTULO 5
Análisis presente Análisis del valor valor presente
vencimiento partir de hoy. Si vencimiento de 20 años a partir persona compra una persona compra el bono en $9 000 cuando la tasa de interés mercado es de 8% interés en el mercado anual, compuesta monto compuesta semestralmente, semestralmente, el monto y frecuencia pagos de los intereses frecuencia de los pagos intereses que recibiría persona está muy cerca recibiría la persona cerca de: a) $270 $270 cada cada 6 meses meses b) b) $300 cada cada 6 meses meses cada 6 meses meses e) $360 cada d) $400 $400 cada cada 6 meses meses d) 5.64
11''1
el!
Un bono municipal que se emitió emitió hace hace 3 bono municipal nominal de $5 000 y una años tiene un valor nominal tasa de interés interés de 4% anual anual pagaderos tasa pagaderos semestralmente. El bono tiene una fecha fecha de semestralmente. vencimiento lafecha vencimiento de 20 años a partir partir de la fecha interés en el en que se emitió. Si la tasa de interés mercado es de 8% anual, compuesta compuesta semesmercado tralmente, el valor valor de n que debe usarse tralmente, usarse en ecuación PIA PIA para calcular el valor valor prela ecuación para calcular presente del bono bono es de:
j.
a) 34 b) 40 c) e) 68 d) d) 80
5.65
bono de $10 000 tiene una tasa de interés Un bono de 6% anual, pagadera pagadera trimestralmente. trimestralmente. El bono vence bono vence dentro dentro de 15 años. Con una tasa tasa de interés interés de 8% anual compuesto compuesto trimestrimestralmente, ¿por cuál ecuación ecuación de las siguiensiguientralmente, está representado tes está representado el valor valor presente presente del documento? documento? PW = = 150(PIA,1.5%,60) 150(PIA,1.5%,60) + 10 000 a) PW b)
e) d)
(PIF,1.5%,60) (PIF,1.5%,60) PW = 150(PIA,2%,60) + 10 000 PW = 150(PIA,2%,60) (PIF,2%,60) (PIF,2%,60) PW = = 600(PIA,8%,15) 600(PIA,8%,15) + 10 10000 PW 000 (PIF,8%,15) (PIF ,8%,15) PW = = 600(PIA,2%,60) 600(PIA,2%,60) + 10 000 PW (PIF,2%,60) (PIF,2%,60)
'.''''~
EJERCICIO AMPLIADO EJERCICIO AMPLIADO EVALUACIÓN DE DE LAS LAS ESTIMACIONES ESTIMACIONES DE DE RETIRO RETIRO EVALUACIÓN DEL SEGURO SEGURO SOCIAL SOCIAL DEL Charles, un ingeniero ingeniero en jefe laborado 18 años desde desde su graduación graduación de la Charles, jefe que ha laborado universidad, correo un informe informe de la administración administración del Seguro Seguro universidad, recibió recibió ayer por correo establecía que si él continúa continúa percibiendo intereses con la misma Social, que establecía percibiendo intereses misma tasa, el Seguro Social Social le proporcionará siguientes beneficios Seguro proporcionará los siguientes beneficios de retiro mensuales: mensuales:
• • •
Retiro normal completo de $1 500 mensuales mensuales Retiro normal a la edad de 66 con beneficio beneficio completo comenzando a la edad indicada. indicada. comenzando Retiro anticipado anticipado a la edad de 62 con beneficio beneficio reducido reducido en 25% comenzando comenzando Retiro a los 62 años de edad. Retiro prolongado incremento del beneficio comenzanRetiro prolongado a los 70 con incremento beneficio de un 30% comenzanaños. do a los 70 años.
Charles nunca nunca pensó mucho en la seguridad seguridad social; generalmente generalmente creía creía en ésta como como Charles pensó mucho deducción mensual mensual de su salario, salario, la cual le ayudaría ayudaría a pagar pagar los beneficios beneficios del una deducción Seguro Social Social en el retiro retiro de sus padres. embargo, ahora ahora ha optado optado por llevar llevar a Seguro padres. Sin embargo, análisis. Charles Charles decidió decidió ignorar siguientes consecuencias consecuencias con el tiemcabo un análisis. ignorar las siguientes po: impuestos impuestos sobre sobre la renta, incrementos en el costo de la vida e inflación. inflación. Tamrenta, incrementos supuso que los beneficios cada bién supuso beneficios de retiro retiro se recibirían recibirían en su totalidad totalidad al final de cada
af
m
ju si
1.
2.
E
ta
e
ni
3. 4.
ESTUDIO DE DE CASO CASO ESTUDIO
221
capitalización durante durante el año. Utilice Utilice una tasa de rendirendiaño; es decir, que no hay capitalización miento esperada esperada sobre la inversión inversión de 8% anual y considere considere una muerte muerte estimada estimada miento justo después de cumplir cumplir 85 años. Emplee Emplee una hoja hoja de cálculo cálculo para para llevar llevar a cabo el justo después siguiente procedimiento para Charles: siguiente procedimiento para Charles:
1.
2.
Calcule el valor valor futuro total de cada cada escenario beneficios hasta hasta la edad edad de 85 Calcule escenario de beneficios años. Elabore una gráfica gráfica de valor valor futuro acumulado acumulado anual de cada escenario escenario de bebeElabore neficios hasta hasta la edad de 85 años. neficios
informe también también mencionó Charles moría moría este año, su esposa esposa recibiría recibiría toEl informe mencionó que si Charles talmente el beneficio beneficio del retiro retiro con $1 600 mensuales mensuales durante durante el resto resto de su vida. Si talmente Charles y su esposa esposa tienen tienen 40 años ahora, determine determine lo siguiente siguiente respecto respecto de los bebeCharles neficios de la esposa esposa si ella comienza a recibirlos recibirlos a la edad edad de 66 y vive hasta hasta los 85: neficios ella comienza
3. 4.
presente ahora. Valor presente futuro para para su esposa esposa después después de los 85 años. Valor futuro
-~
-~ ESTUDIO DE CASO CASO ESTUDIO PROGRAMA DE DE EVALUACIÓN EVALUACIÓN DE DE RECUPERACIÓN RECUPERACIÓN DE DE UN UN PROGRAMA PROGRAMA DE DE PROGRAMA EXCUSADOS (RETRETES) (RETRETES) DE DE MUY MUY BAJA BAJA DESCARGA DESCARGA EXCUSADOS Introducción Introducción En muchas muchas ciudades ciudades del del suroeste suroeste de Estados Estados Unidos, Unidos, En ha extraído extraído el agua agua de los los mantos mantos acuíferos acuíferos subtesubtese ha rráneos con con mayor mayor rapidez rapidez de lo que que se recupera. recupera. El rráneos agotamiento concomitante concomitante de los suministros suministros de agua agua agotamiento subterránea ha ha forzado algunas de estas ciudades ciudades a subterránea forzado a algunas de estas tomar acciones que van van desde desde políticas políticas de precios precios restomar acciones que restrictivas hasta hasta medidas medidas de conservación conservación obligatorias obligatorias en trictivas establecimientos residenciales, residenciales, comerciales comerciales e industriaindustriaestablecimientos mediados de la década década de 1990, 1990, la ciudad ciudad ememles. A mediados prendió un proyecto proyecto para para motivar motivar la instalación instalación de exexprendió cusados con con muy muy baja baja descarga descarga de agua agua en las casas casas cusados existentes. Para Para evaluar evaluar la efectividad efectividad del del costo costo de este este existentes. programa, se llevó llevó a cabo cabo un un análisis análisis económico. económico. programa,
Antecedentes Antecedentes La esencia esencia del del programa programa de reemplazo reemplazo de excusados excusados La incluye un un descuento descuento del del 75% 75% en en el costo costo de los los acceacceincluye sorios (hasta (hasta $100 $100 dólares dólares por por unidad), unidad), a condición condición de sorios
que el excusado excusado no utilice utilice más más de 1.6 galones galones por por desque descarga. No hay límite límite para para la cantidad cantidad de excusados excusados recarga. No hay reemplazados por por individuos individuos o por por establecimientos establecimientos coemplazados comerciales. merciales.
Procedimiento Procedimiento Para evaluar evaluar el ahorro ahorro de agua agua logrado, logrado, si hubiera hubiera alPara alguno, durante durante el programa, programa, Ios registros mensuales mensuales de guno, los registros de uso de agua agua se monitorearán monitorearán en 325 325 participantes, participantes, los uso los cuales representan una muestra muestra de un tamaño tamaño aproxicuales representan una aproximado de 13%. 13%. Los Los datos datos de consumo consumo de agua agua obtenimado obtenidos abarcan abarcan 12 meses meses después después de dos meses antes antes y 12 meses de la la instalación de los los excusados excusados con con muy muy baja baja descarga. descarga. Si instalación Si casa cambió cambió de propietario propietario durante durante el periodo periodo de la casa de evaevaluación, no se incluirá incluirá en en los los registros registros de la muestra. muestra. luación, Puesto que que el consumo consumo de agua agua se incrementa incrementa dramátidramátiPuesto camente durante durante los meses meses calurosos calurosos del del verano verano debicamente debiriego del del césped, césped, el uso uso del del agua agua como como refresdo al riego refrescante, el lavado lavado de autos, autos, etcétera, etcétera, sólo sólo los meses meses de cante, de
222
CAPÍTULO 5 CAPÍTULO
Análisis del del valor valor presente presente Análisis
invierno de diciembre, diciembre, enero enero y febrero febrero se incluirán incluirán en invierno evaluación del del consumo consumo de agua, agua, antes antes y después después de la evaluación instalación de los los excusados. excusados. Antes Antes de llevar llevar a cabo cabo la instalación cualquier cálculo, cálculo, todos todos los registros registros de usuarios usuarios que que cualquier gastan un volumen agua elevado elevado (generalmente (generalmente en gastan volumen de agua negocios), cuyo cuyo consumo consumo mensual mensual promedio promedio exceda exceda los los negocios), CCF (1 (l CCF CCF = = 100 100 pies pies cúbicos cúbicos = = 748 748 galones) galones) se 50 CCF eliminarán. Además, Además, también también se eliminarán eliminarán aquellos aquellos eliminarán. cuyo promedio promedio mensual mensual sea sea de 2 CCF CCF o menos menos (antes (antes o cuyo después de la instalación), instalación), ya que que se cree cree que que ese ese bajo bajo después gasto de agua agua es una una condición condición anormal, anormal, como como en el gasto caso de una una casa casa en venta que estuvo estuvo desocupada desocupada duducaso venta que rante una una parte parte del del periodo periodo de estudio. estudio. Los Los 268 268 regisregisrante tros que que quedaron quedaron después después del del procedimiento procedimiento de depudeputros ración se utilizarán utilizarán para para cuantificar cuantificar la efectividad efectividad del del ración programa. programa.
Resultados Resultados Consumo de agua agua Consumo encontró que que el consumo consumo mensual mensual antes antes y después Se encontró después instalación de los los excusados excusados de muy muy baja descarde la instalación baja descarfue de 11.2 y 9.1 CCF, CCF, respectivamente, respectivamente, para para un proproga fue medio de reducción reducción de 18.8%. 18.8%. Cuando Cuando sólo sólo se incluyeincluyemedio ron los los meses meses de enero enero y febrero, febrero, antes antes y después después de ron los cálculos, cálculos, los los valores valores respectivos respectivos fueron fueron de 11.0 y los CCF, lo cual cual dio dio como como resultado resultado un ahorro ahorro de agua agua 8.7 CCF, 20.9%. de 20.9%.
Análisis económico económico Análisis La tabla tabla que que se muestra muestra a continuación continuación ilustra ilustra algunos algunos La los totales totales durante durante los primeros primeros 21 meses meses del del proprode los grama. grama. Resumen del del programa programa Resumen Número de participantes participantes Número Número de excusados excusados reemplazados reemplazados Número Número de personas personas Número Costo promedio del excusado excusado Costo promedio del Descuento promedio promedio Descuento
2466 2466 4096 4096 7981 7981 $115.83 $115.83 $76.12 $76.12
Los resultados resultados de la sección sección anterior anterior indican indican un ahorro ahorro Los mensual de agua agua de 2.1 2.1 CCF. CCF. En el caso caso del del participanparticipanmensual promedio del programa, programa, el periodo recuperación te promedio periodo de recuperación np, en años, años, sin considerar considerar el interés interés se calcula calcula con con la np, ecuación [5.7]. [5.7]. ecuación
(costo neto costo de instalación) instalación) (costo neto de de los los excusados excusados + costo ahorros ahorros anuales anuales netos netos por por cargos cargos de de agua agua y drenaje drenaje
=~------------------------------------~ =--------------------------------------~
n PP
El bloque bloque de tarifa tarifa mínima mínima por por cargo cargo de de agua agua es de $0.76 $0.62 $0.76 por por CCF. CCF. La La sobretasa sobretasa por por desagüe desagüe es de de $0.62 por $50 por por CCF. CCF. Aplique Aplique estos estos valores valores y un un costo costo de de $50 por instalación será: instalación y el periodo periodo de de recuperación recuperación será:
(115 .83 -76.12)+ 50 == ----'------------''----_..:...(1_15_._83_-_7_6_.1.....:2),-+_5_0_
nn pp
(2.1 (2.1 CCF/mes x 12 meses) meses) x (0.76 0.62)/CCF (0.76 + 0.62)/CCF == 2.6 2.6 años años
Excusados Excusados más más económicos económicos o costos costos de instalación instalación más más bajos bajos reducirán reducirán el periodo periodo de de recuperación, recuperación, mientras mientras que que al al considerar considerar el valor valor del del dinero dinero en en el tiempo tiempo se alargará alargará el el periodo periodo de de recuperación. recuperación. Desde Desde el punto punto de de vista vista de de la la utilidad utilidad que que genera genera el el suministro de suministro de agua, agua, el costo costo del del programa programa deberá deberá comcompararse pararse con con el costo costo marginal marginal de la la entrega entrega de de agua agua y el tratamiento es. El marginal c se tratamiento de de aguas aguas residual residuales. El costo costo marginal representará representará como: como: costo costo del del descuento descuento c = ---------------------- ------------------- - volumen de volumen de agua agua no entregada entregada volumen de agua residual no + volumen agua residual no tratada tratada En En teoría, teoría, la la reducción reducción en en el el consumo consumo de agua agua ocurrirá ocurrirá durante durante un periodo periodo indefinido, indefinido, puesto puesto que que el el reemplareemplazo nunca nunca se llevará llevará a cabo modelo de de menor menor cabo con con un modelo eficacia. Sin embargo, supoeficacia. Sin embargo, en en el el peor peor de de los los casos, casos, se supone que sólo que el excusado excusado tendrá tendrá una una vida vida productiva productiva de de sólo 5 años, años, después después de de los los cuales cuales se presentarían -presentarían fugas fugas de agua agua que que no se repararían. repararían. El El costo costo para para la la ciudad ciudad por por el agua sería: agua no no entregada entregada o el el agua agua residual residual no tratada tratada sería: $76.12 $76.12 c = ------------------------------------------------------(2.1 + 2.1 CCF CCF/mes)(12 /mes)(12 meses)(5 meses)(5 años) años) $0.302 $0.40 $0.302 $0.40 --o CCF CCF 1 000 000 galones galones Por sólo si la Por lo tanto, tanto, sólo la unidad unidad puede puede hacer hacer entrega entrega de de agua agua yy dar $0.40 dar tratamiento tratamiento al agua agua desechada desechada por por menos menos de de $0.40 cada cada 1 000 000 galones, galones, el el programa programa de de reemplazo reemplazo de excuexcusados se consideraría sados consideraría económicamente económicamente atractivo. atractivo. Para Para la la ciudad, sólo los sin ciudad, tan tan sólo los costos costos de de operación, operación, es es decir, decir, sin tomar capital, por tomar en cuenta cuenta el el gasto gasto del del capital, por el agua agua y los los
ESTUDIO DE DE CASO CASO ESTUDIO
servicios de aguas aguas residuales residuales que que no se gastaron gastaron fueron fueron servicios alrededor de $1.10 $1.10 por por cada cada 1 000 000 galones, galones, que que supesupede alrededor 000 galones. galones. considerablemente los $0.40 $0.40 porcada porcada 1 000 ran considerablemente Así, programa de reemplazo reemplazo de excusados excusados claramenclaramenAsí, el programa muy efectivo efectivo en lo que que se refiere refiere a los costos. costos. te resultó resultó muy
Ejercicios para para el estudio estudio de caso caso Ejercicios Para una una tasa interés de 8% y una vida para para los 1. Para tasa de interés una vida excusados de 5 años, años, ¿cuál ¿cuál sería sería el periodo excusados periodo de recurecuperación peración de los participantes? participantes? ¿Es el periodo 2. ¿Es periodo de recuperación recuperación de los participantes participantes más sensible a la tasa tasa de interés interés que que se utiliza utiliza o a la más sensible vida del excusado? excusado? vida del
223
¿Cuál sería sería el costo costo para para la ciudad ciudad si se aplicara aplicara una una 3. ¿Cuál tasa de interés interés de 6% anual anual con con una vida útil útil de 5 tasa una vida años de los excusados? excusados? Compare Compare el costo costo en $/CCF $/CCF años 000 galones galones con con los costos costos determinados determinados a una una y $/1 000 tasa de 0%. 0%. tasa 4. Desde punto de vista Desde el punto vista de la ciudad, ciudad, ¿el ¿el éxito éxito del programa es sensible: sensible: a) al porcentaje porcentaje del descuendescuenprograma costo del excusado?; excusado?; b) a la tasas tasas de interés, interés, to en el costo aplican tasas tasas del del 4 al 15%; 15%; e) a la vida vida del exexsi se aplican cusado, si se consideran consideran vidas vidas de 2 a 20 20 años? años? cusado, S. Qué Qué otros otros factores factores podrían podrían ser ser importantes importantes para: 5. para: ciudad al evaluar evaluar si el a) los participantes participantes y b) la ciudad programa constituye un éxito. éxito. programa constituye
6 o o
«« u u
Análisis del valor valor anual Con este capítulo capítulo ampliamos ampliamos nuestro repertorio repertorio de herramientas herramientas para la comparación de alternativas. En el capítulo capítulo anterior anterior estudiamos estudiamos el método método del VP. VP. Aquí Aquí analizaremos el método método del valor valor anual equivalente equivalente o VA. Por lo común, el análisis análisis del VA se se considera el más recomendable recomendable en virtud virtud de que el valor valor VA es fácil de calcular; la la mayoría de la la gente gente comprende comprende el concepto concepto de medida dida del valor -VA -VA en unidades monetarias monetarias anualesanuales- y los supuestos de este método método son esencialmente esencialmente los mismos que los del método método del VP. VP. Al valor valor anual también también se se le asignan otros nombres. Algunos Algunos de ellos son valor anual equivalente equivalente (VAE),costo (VA E), costo anual equivalente equivalente (CAE),equivalente (CAE), equivalente anual (EA) (EA) y valor valor anual uniforme uniforme equivalente equivalente (VAUE). (VAUE). La La cantidad cantidad del valor anual equivalente equivalente resultante es la la misma, independientemente independientemente del nombre nombre que se se le dé. dé. La La alternativa alternativa que se se elija con el método método del VA siempre será será la la misma que la elegida con el método cualquier otro método método para la alternativa elegida método del VP VP y con cualquier la evaluación de alternativas, siempre y cuando los métodos la métodos se se apliquen apliquen correctamente. En el estudio se observa que las hechas al al llevarse a estudio de caso, caso, se las estimaciones estimaciones hechas cabo el análisis análisis del VA son son sustancialmente distintas distintas después de la la instalación equipo. Las Lashojas análisis de sensibilidad sensibilidad y el análisis análisis de valor del equipo. hojas de cálculo, el análisis se combinan para para evaluar la la situación. anual se
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE OBJETIVOS Objetivo general: general: Llevar Llevar aa cabo cabo cálculos cálculos del del valor valor anual anual yy comparar comparar alternativas alternativas mediante mediante Objetivo el método método del del valor valor anual. anual. el Este Este capítulo capítulo ayudará ayudará al al lector lector a: a: Un ciclo ciclo de de vida vida Un
II
1. Demostrar Demostrar que que el VA VA necesita necesita calcularse calcularse exclusivamente exclusivamente durante durante un ciclo ciclo de de vida. vida.
VA Cálculo del del VA Cálculo
I
2. recuperación de de capital capital (RC)y (RC) y el VA aplicando aplicando dos dos 2. Calcular Calcular la recuperación métodos. métodos.
--~-Elección de de alternativas alternativas Elección
3. Elegir Elegir la mejor mejor alternativa alternativa sobre sobre la base de de un análisis del del VA.
VA mediante el VA mediante
VA de de una inversión VA inversión permanente permanente
4. Determinar Determinar el VA de una inversión inversión permanente. permanente.
226
CAPÍTULO 6
6.1
Análisis del valor anual
VENTAJAS Y APLICACIONES DEL VALOR ANUAL
•
DEL ANÁLISIS
En muchos estudios de ingeniería económica, el método del VA es el más recomendable cuando se le compara con el VP, el VF y la tasa de rendimiento (siguientes dos capítulos). Ya que el VA es el valor anual uniforme equivalente de todos los ingresos y desembolsos, estimados durante el ciclo de vida del proyecto o alternativa, cualquier persona familiarizada con pagos anuales, es decir, unidades monetarias anuales, puede entender con facilidad el concepto de VA. El VA, que posee la misma interpretación económica que el valor A utilizado hasta ahora, es el equivalente de los valores VP y VF en la TMAR para n años. Los tres valores se pueden calcular fácilmente, uno a partir del otro, por medio de la fórmula: VA
= VP(A/P,i,n) = VF(A/F;i,n)
[6.1]
El valor n en los factores representa el número de años para la comparación de alternativas de servicio igual. Éste es el MCM del periodo de estudio establecido del análisis del VP o VF. Cuando todas las estimaciones del flujo de efectivo se convierten a un VA, este valor se aplica a cada año del ciclo de vida y para cada ciclo de vida adicional. De hecho, una ventaja de interpretación y de cálculo radica en que
I
El VA debe calcularse exclusivamente para un ciclo de vida. Por lo tanto, no es necesario emplear el MCM de las vidas, como en el caso de los análisis del VP y del VF.
Supuesto del método del VP
Por lo tanto, el cálculo del VA durante el ciclo de vida de una alternativa determina el VA para todos los ciclos de vida futuros. Como en el caso del método del VP, existen tres supuestos fundamentales del método del VA que deben entenderse.
I
Secc.5.3
t
Cuando las alternativas que se comparan tienen vidas diferentes, se establecen los siguientes supuestos en el método del VA: 1. 2. 3.
Los servicios proporcionados son necesarios al menos durante el MCM de las alternativas de vida. La alternativa elegida se repetirá para los ciclos de vida subsiguientes exactamente de la misma forma que para el primer ciclo de vida. Todos los flujos de efectivo tendrán los mismos valores calculados en cada ciclo de vida.
En la práctica, ningún supuesto es necesariamente correcto. Si en una evaluación particular los primeros dos supuestos no son razonables, se debe establecer un periodo de estudio para el análisis. Obsérvese que para la suposición 1, el periodo de tiempo puede ser el futuro indefinido (para siempre). En la tercera suposición, se espera que todos los flujos de efectivo cambien exactamente con la tasa de inflación (o deflación). Si ésta no fuera una suposición razonable, deben hacerse estimaciones nuevas de los flujos de efectivo para cada ciclo de vida y nuevamente usarse un periodo de estudio. En la sección 6.3 se discute un análisis del VA para un periodo de estudio específico.
SECCIÓN 6.1
EJEMPLO
6.1
Ventajas y aplicaciones
227
del análisis del valor anual
'
En el ejemplo 5.2, relativo a las diferentes opciones de arrendamiento de una oficina, se llevó a cabo un análisis de VP durante 18 años, el MCM de 6 y 9 años. Consideremos sólo la localidad A, cuyo ciclo de vida es de 6 años. El diagrama de la figura 6.1 muestra los flujos de efectivo de los tres ciclos de vida (costo inicial, $15000; costos anuales, $3 500; devolución del depósito, $1 000). Demuestre la equivalencia al i = 15% del VP durante tres ciclos de vida y del VA durante un ciclo. En el ejemplo anterior, el valor presente calculado para la localidad A fue de VP = $-45 036. VP=S45036
1ft---------L
I
o
I
I
I
I
I I I I I I
.. :
3 ciclos de vida
I I I I
I
I
I
I
23456791011
I
I
I
I
I
I
I
12
13
14
15
16
17
18
$1000
o
1
2
3
4
5
6 Ciclo de vida 1 ;=15%
$1000
$3500
2
O
3
4
5
6
$15000
Ciclo de vida 2
SI 000
$3500 O
2
3
4
5
6
$15000
Ciclo de vida 3
$3500
$15000 O
2
4
5
6
7
j
9
10
11
Valores VP y VA para tres ciclos de vida (ejemplo 6.1).
13
j j VA=S7349
Figura 6.1
12
14
15
16
17
18
19
20 co ntinúa
228
CAPÍTULO CAPÍTULO 6
Análisis Análisis del del valor valor anual anual
Solución Solución Se calcula uniforme equivalente para todos de efectivo Se calcula el valor valor anual anual uniforme equivalente para todos los los flujos flujos de efectivo en el primer ciclo primer ciclo de vida. vida. 000(AlP,15%,6) + 1 000(AlF,15%,6) 000(AlF,15%,6) - 3500 $-7349 VA = -15 000(AlP,15%,6) 3500 = $-7349
Cuando Cuando se lleva lleva a cabo cabo el mismo mismo cálculo cálculo sobre sobre cada cada ciclo ciclo de vida, vida, el VA es de $-7 349. 349. Después para 18 años: Después se aplica aplica la ecuación ecuación [6.1] [6.1] al VP VP para años: VA = -45 036(AlP,15% 036(AlP,15%,18) $-7349 ,18) = $-7349
El un ciclo basado en iguales. El VA de un ciclo de vida vida y el VP VP basado en 18 18 años años son son iguales. Comentario Comentario Si se aplica primero se determina aplica la relación relación de equivalencia equivalencia entre entre el VF VF y el VA, primero determina el VF VF a partir del VP durante el MCM; MCM; luego luego se calcula calcula el VA (hay (hay pequeños errores de redondeo). partir del VP durante pequeños errores redondeo).
n (1 p e
VF VF = = VP(F/P,15%,18) VP(FlP,15%,18)
= = -45036(12.3755) ==$-557343 $-557 343 VA = ,18) = = VF(AlF,15% VF(AlF, 15%,18) = -557343(0.01319) = = $-7351 $-7351
1
a
El valor para llevar valor anual no sólo constituye constituye un excelente excelente método método para llevar a cabo estudios de ingeniería cualquier caso donde ingeniería económica, económica, sino que también también se utiliza utiliza en cualquier donde sea factible beneficio/costo). El método factible aplicar aplicar un análisis análisis de VP (de VF y de beneficio/costo). método del VA es particularmente particularmente útil en cierta reemplazo de cierta clase clase de estudios: estudios: estudios estudios de reemplazo activos retención para para minimizar minimizar costos activos y de tiempos tiempos de retención costos anuales anuales globales globales (ambos (ambos examinados punto de equilibrio examinados en el capítulo capítulo 11), estudios estudios de punto equilibrio y decisiones decisiones de fabri fabri-car o comprar relacionados con costos comprar (capítulo (capítulo 13), así como en todos los estudios estudios relacionados costos de fabricación producción, en los que la medida medida costo/unidad rendimiento/unifabricación o producción, costo/unidad o rendimiento/unidad constituye constituye el foco de atención. atención. Si se toman renta, algunas toman en cuenta cuenta los impuestos impuestos sobre sobre la renta, algunas grandes grandes empresas empresas e instituciones utilizan un enfoque instituciones financieras financieras utilizan enfoque ligeramente ligeramente distinto distinto del método método del VA, conocido término valor agregado, o EVA™. (El símbolo conocido con el término valor económico económico agregado, símbolo EVA constituye constituye una marca marca registrada registrada vigente vigente de Stern Stewart Stewart y Compañía.) Compañía.) Esta Esta técnica potencial de crecimiento técnica se centra centra en el potencial crecimiento de capital capital que una alternativa alternativa ofrece ofrece a una corporación. resultantes del EVA son el equivalente corporación. Los valores valores resultantes equivalente de un análisis análisis del VA de flujos de efectivo efectivo después después de impuestos. impuestos.
6.2 6.2
CÁLCULO CÁLCULO DE LA RECUPERACiÓN RECUPERACiÓN DE CAPITAL CAPITAL VALORES DEL VA VA Y DE VALORES
Una alternativa alternativa debería debería tener tener las siguientes siguientes estimaciones estimaciones de flujos de efectivo: efectivo: Inversión inicial P. P. Representa Representa el costo costo inicial inicial total de todos todos los activos activos y serviInversión inicial cios necesarios necesarios para empezar partes de estas inversioempezar la alternativa. alternativa. Cuando Cuando partes inversiovarios años, su valor valor presente presente constituye nes se llevan llevan a cabo durante durante varios constituye una inversión inicial equivalente. equivalente. Esta Esta cantidad cantidad se denota denota con P. inversión inicial
r r
e
"e r
5
t
SECCIÓN SECCIÓN 6.2 6.2
Cálculo recuperación de capital valores del Cálculo de de la recuperación capital y de valores del VA
Valor de salvamento valor terminal terminal estimado salvamento S. S. Es el valor estimado de los activos activos al final de su valor de cero si no se anticipa anticipa ningún salvamenvida útil. S tiene un valor ningún valor valor de salvamento; SS es negativo tendrá un costo negativo si la disposición disposición de los activos activos tendrá costo monetario. monetario. En periodos vida útil, S es el valor valor comercial periodos de estudio estudio más cortos cortos que la vida comercial estimaestimado o valor valor comercial comercial al final del periodo periodo de estudio. estudio. Cantidad anual A. Es la cantidad para alterCantidad anual cantidad anual equivalente equivalente (costos (costos exclusivos exclusivos para nativas entradas para para alternativas nativas de servicio; servicio; costos costos y entradas alternativas de ingresos). ingresos). A menumenuoperación anual (COA); (COA); así que la estimación estimación es, de do se trata de un costo de operación equivalente A. hecho, un valor equivalente
alternativa está conformado conformado por elementos: la El valor anual (VA) para una alternativa por dos elementos: recuperación del capital capital para la inversión inversión inicial inicial P a una interés establecida establecida recuperación una tasa de interés general la TMAR) TMAR) y la cantidad cantidad anual equivalente equivalente A. Las siglas siglas RC se emem(por lo general indicar el elemento elemento relativo capital. En forma forma de plean para indicar relativo a la recuperación recuperación del capital. ecuación, se tiene que ecuación, VA=-RC-A VA=-RC-A
[6.2]
como A son negativos negativos en virtud costos. La cantidad cantidad Tanto RC como virtud de que representan representan costos. determina a partir partir de los costos costos periódicos anual total A se determina periódicos uniformes uniformes (y posibleposiblemente ingresos) ingresos) y cantidades cantidades no periódicas. factores P/A y P/F P/F pueden mente periódicas. Los factores pueden ser necesarios para obtener, obtener, primero, primero, una cantidad cantidad presente después, el factor factor A/P necesarios presente y, después, AlP convierte esta cantidad cantidad en el valor valor A de la ecuación ecuación [6.2]. (Si la alternativa alternativa tiene que convierte proyecto de ingresos, ingresos, habrá estimaciones positivas positivas de flujos de efectivo efectivo ver con un proyecto habrá estimaciones cálculos del valor valor de A.) A.) en los cálculos recuperación de una cantidad cantidad de capital capital P comprometida comprometida para activo, La recuperación para un activo, valor del capital capital en el tiempo constituye un más el valor tiempo a una una tasa de interés interés particular, particular, constituye principio fundamental fundamental del análisis análisis económico. económico. La recuperación principio recuperación de capital capital es el anual equivalente equivalente de la posesión posesión del activo costo anual activo más el rendimiento rendimiento sobre la inver- . factor AlP A/P se utiliza utiliza para costo anual equivalente. equivalente. Si sión inicial. El factor para convertir convertir P a un costo valor de salvamento salvamento positivo positivo anticipado anticipado S al final de la vida útil del activo, hay un valor valor anual equivalente equivalente se elimina elimina mediante factor A/F costo su valor mediante el factor AlF Esto Esto reduce reduce el costo equivalente de posesión posesión del activo. Así, la RC igual a: anual equivalente Re es igual
Re = = -[P(A/P,i,n) -[P(A/P,i,n) - S(AIF,i,n)] S(AIF,i,n)] RC
[6.3]
cálculo de RC y VA se ilustra ilustra en el ejemplo ejemplo 6.2. El cálculo
EJEMPLO EJEMPLO
6.2
~:.: ..
Lockheed Martin Martin está está incrementando incrementando la fuerza fuerza de empuje adicional adicional del del motor principal de Lockheed de empuje motor principal cohetes, con con la finalidad finalidad de obtener obtener más contratos de lanzamiento lanzamiento de satélites satélites con con sus cohetes, más contratos empresas europeas europeas interesadas interesadas en inaugurar globales de de comunicaciocomunicacioempresas inaugurar nuevos nuevos mercados mercados globales nes. Se espera espera que que un equipo equipo de de rastreo rastreo colocado colocado en en tierra inversión de $13 $13 nes. tierra requiera requiera una una inversión millones, de los cuales cuales $8 millones millones se comprometen comprometen ahora, ahora, y los $5 millones millones, los restantes restantes $5 millones se gastan al final final del año año 1 del proyecto. proyecto. Se espera que que los de operación operación anuales anuales para gastan Se espera los gastos gastos de para
229
230
CAPÍTULO
6
Análisis del valor anual
el sistema comiencen a efectuarse el primer año y continúen a $0.9 millones anuales. La vida útil del rastreador es de 8 años, con un valor de salvamento de $0.5 millones. Calcule el VA para el sistema, si la TMAR actual de la corporación es de 12% anual. Solución Los flujos de efectivo (figura 6.2a) para el sistema de rastreo deben convertirse en una serie de flujos de efectivo de VA equivalente durante 8 años (figura 6.2b). (Las cantidades se expresan en unidades de $1 millón.) Los COA son de A = $-0.9 anuales, y la recuperación del capital se calcula mediante la ecuación [6.3]. El valor presente P el año O de las dos inversiones separadas de $8 y $5 se determina antes de multiplicar por el factor AlP. RC = -{[8.0 + 5.0(PlF,12%,I)](A/P,12%,8) = -{[12.46](0.2013)
n
p e
f 1
-0.5(AlF,12%,8)}
- 0.040}
:E q
= $-2.47
11
La interpretación correcta de este resultado es de gran importancia para Lockheed Martin, lo cual significa que en cada uno de los 8 años, el rendimiento total equivalente del rastreador debe ser de, por lo menos, $2470000 para recuperar justo la inversión del valor presente inicial más el rendimiento requerido del 12% anual. Esto no incluye el COA de $0.9 millones cada año. Como esta cantidad, RC = $-2.47 millones, es un costo anual equivalente, según lo indica el signo menos, el VA total se determina con la ecuación [6.2]. VA =
-
2.47 - 0.9
= $-3.37
n
millones anuales
p
Éste es el VA para todos los ciclos de vida futuros de 8 años, siempre y cuando los costos se eleven a la misma tasa de interés que la inflación; asimismo, se espera que los mismos costos y servicios se apliquen en cada uno de los ciclos de vida subsiguientes.
$0.5
o
2
1
3
4
5
6
e
d e 1
(
o
7 8
--
1
2
345
Ir----r--ll ~
$0.9
678
l l l ~l
VA=
n
a
e
s
?
s a
~ $5.0 $8.0 a)
b)
Figura 6.2 a) Diagrama
equivalente
de flujo de efectivo de los costos del rastreador (en unidades de $1 millón; ejemplo 6.2).
de satélite; b) conversión
a un VA
:E
r
e
SECCIÓN 6.3 SECCIÓN
Alternativas de evaluación evaluación mediante mediante el análisis análisis del valor valor anual anual Alternativas
Existe una segunda segunda forma, también correcta, para determinar la RC. CualquieCualquieExiste también correcta, para determinar ra de los métodos ofrece el mismo sección 2.3 se estableció estableció la métodos ofrece mismo resultado. resultado. En la sección relación entre los factores factores A/P siguiente manera: manera: relación entre AlP y A/F AlF de la siguiente (AlF,i,n) (A/F,i,n) = = (AlP,i,n) (A/P,i,n) - i
Ambos factores factores se encuentran encuentran presentes ecuación [6.3] de Re. Re. Si se sustituye sustituye Ambos presentes en la ecuación factor A/F, obtiene: el factor AlF, se obtiene:
231
I
Secc.2.3
t Factores Factores A/PyA/F A/PyA/F
RC = -{P(AlP,i,n) -{P(A/P,i,n) - S[(AlP,i,n) S[(A/P,i,n) - i]} i]} = = -[(P -[(P - S)(AlP,i,n) S)(A/P,i,n) + S(i)] S(i)]
[6.4]
lógica fundamental fundamental detrás detrás de esta fórmula. fórmula. Restar Restar S de la inversión inversión inicial inicial Hay una lógica aplicar el factor factor A/P, implica que se recuperará recuperará el valor valor de salvamento. salvamento. P antes de aplicar AlP, implica Esto reduce costo anual de propiedad embargo, el hecho Esto reduce la RC, el costo propiedad del activo. Sin embargo, hecho de queda compensado compensado cargando cargando el que S no se recupere recupere hasta hasta el año n de la posesión posesión queda interés anual S(i) S(i) a la RC. Re. interés ejemplo 6.2, la aplicación aplicación de esta segunda segunda técnica técnica para calcular la RC da En el ejemplo para calcular como resultado resultado el mismo mismo valor. como
RC = -{[8.0 -{ [8.0 + 5.0(P/F,12%,1) 5.0(P/F,12%,1) - 0.5](AlP,12%,8) 0.5](A/P,12%,8) + 0.5(0.12)} 0.5(0.12)}
= -{ -{ [12.46 =
0.5](0.2013) + 0.06} 0.5](0.2013)
= $-2.47 $-2.47 =
A pesar cualquier fórmula fórmula de RC da como como resultado resultado la misma misma cantidad, cantidad, es pesar de que cualquier mejor aplicar aplicar consistentemente consistentemente el mismo mismo método. método. En esta obra obra emplearemos emplearemos el mejor primer método (ecuación (ecuación [6.3]). primer método Para obtener obtener la solución solución por computadora, computadora, se emplea emplea la función Para función PAGO para para determinar exclusivamente la RC en una sola celda celda de la hoja hoja de cálculo. cálculo. La funfundeterminar exclusivamente general PAGO(i%,n,P,F) PAGO(i%,n,P,F) se vuelve vuelve a escribir escribir usando inversión inicial, inicial, como como ción general usando la inversión P y -S, -S, para valor de salvamento. salvamento. El formato formato es el siguiente: siguiente: para el valor PAGO(i%,n,P,-S) PAGO(i%,Il,P,-S) Sol-R Sol-R
Como Como ejemplo, ejemplo, determine determine el valor valor de la RC en el caso del ejemplo ejemplo 6.2 exclusivaexclusivamente. Como Como la inversión inversión inicial inicial se distribuye distribuye a lo largo de 2 años ($8 millones millones el año O Oyy $5 millones millones el año 1), la función función VP se inserta inserta en PAGO para determinar el para determinar equivalente P para O.La función completa completa para cantidad RC excluexclucosto equivalente para el año O. La función para la cantidad sivamente (en unidades PAGO(l2%,8,8+VP(l2%,1,-5),-O.5), sivamente unidades de $1 millón) es PAGO(l2%,8,8+VP(l2%, 1,-5),-0.5), donde insertado la función función VP indicada indicada con itálicas. itálicas. La respuesta, $-2.47 millones, millones, se ha insertado respuesta, $-2.47 aparecerá en la celda celda de la hoja cálculo. aparecerá hoja de cálculo. 6.3 6.3
ALTERNATIVAS EVALUACiÓN MEDIANTE MEDIANTE EL ANÁLISIS ALTERNATIVAS DE EVALUACiÓN ANÁLISIS DEL VALOR VALOR ANUAL ANUAL
El método método del valor valor anual por lo común común es la técnica técnica de evaluación evaluación más sencilla sencilla de llevar posee el menor llevar a cabo cabo cuando cuando se especifica especifica la TMAR. TMAR. La alternativa alternativa elegida elegida posee menor costo costo anual equivalente equivalente (alternativas (alternativas de servicio) servicio) o el mayor mayor ingreso ingreso equivalente equivalente
I
232
CAPÍTULO CAPÍTULO 6
Análisis Análisis del del valor valor anual anual
(alternativas ingresos). Esto implica implica que las directrices directrices de elección elección son las mis(alternativas de ingresos). mas que en el caso del método salvo que se emplea emplea el VA. método del VP, salvo Para alternativas exclusivas, calcule usando la TMAR. Para alternativas mutuamente mutuamente exclusivas, calcule el VA usando TMAR. Una alternativa: VA 2:: TMAR se alcanza alcanza o se rebasa. rebasa. 2: 0, la TMAR Una alternativa: mínimo o el ingreso ingreso máximo Dos o más más alternativas: alternativas: se elige el costo mínimo máximo reflejados en el valor (numéricamente más más grande). grande). reflejados valor VA (numéricamente resulta aceptable para una alternativa, Si en la sección sección 6.1 un supuesto supuesto no resulta aceptable para alternativa, se debe aplicar periodo de estudio. Después las estimaciones aplicar un análisis análisis de periodo estudio. Después estimaciones de flujos de efectivo periodo de estudio Este efectivo a lo largo del periodo estudio se convierten convierten en cantidades cantidades de VA. Este hecho ejemplo 6.4. hecho se ilustrará ilustrará más tarde tarde en el ejemplo EJEMPLO EJEMPLO
6.3
':"
f
PizzaRush, que que se encuentra encuentra ubicada ubicada en en el área área general general de de Los Los Ángeles, Ángeles, le le va va bastante A PizzaRush, bastante bien en en la competencia competencia que que tiene tiene que que ver ver con con ofrecer ofrecer un servicio de entrega entrega rápida. rápida. MuMubien servicio de chos chos estudiantes estudiantes de de las las universidades universidades del del área área trabajan trabajan de de tiempo tiempo parcial parcial entregando entregando órdeórdenes solicitadas por la la red red en en PizzaRush.com. PizzaRush.com. El El dueño, dueño, un ingeniero ingeniero graduado graduado en en sistemas nes solicitadas por sistemas y programas programas de computación computación en en la la Universidad Universidad del del Sur de California, California, tiene tiene planes de Sur de planes de comprar sistemas portátiles con el objetivo comprar e instalar instalar cinco cinco sistemas portátiles para para automóvil automóvil con objetivo de de incrementar incrementar la entrega. Los sistemas ofrecen un vínculo la velocidad velocidad y la la precisión precisión de de entrega. Los sistemas ofrecen un vínculo entre entre el programa programa de colocación colocación de de la la orden orden en en la red red y el sistema On-Star©(para (para las las direcciones direcciones generadas generadas de sistema On-Star? por para cualquier cualquier domicilio domicilio en en el área área de de Los Los Ángeles). Ángeles). El El resultado resultado que que se espera por satélite satélite para espera consiste en en lograr lograr un un servicio más rápido rápido y amable amable para para el el cliente, cliente, además además de de mayores mayores consiste servicio más rendimientos para PizzaRush. PizzaRush. rendimientos para Cada sistema sistema tiene tiene un un costo costo de 4 600 dólares, con con una una vida útil de 5 años años y se estima estima Cada 600 dólares, vida útil un salvamento de $300. El El costo sistemas es de un valor valor de salvamento de $300. costo total total de de operación operación de de todos todos los los sistemas de $650 para el primer primer año, año, los los cuales cuales se incrementan en $50 anuales en en lo sucesivo. La TMAR TMAR $650 para incrementan en $50 anuales sucesivo. La de 10%. Lleve a cabo cabo una una evaluación evaluación del del valor valor anual anual para para responder responder las las siguientes prees de 10%. Lleve siguientes preguntas del del dueño. dueño. Obtenga Obtenga la solución mano y por por computadora, computadora, como como se indica. indica. guntas solución a mano a) a) b) b)
e)
¿De cuánto necesario para ¿De cuánto es el ingreso ingreso nuevo nuevo anual anual necesario para recuperar recuperar la inversión, inversión, con con una una TMAR de de 10% anual? Obtenga Obtenga dicho dicho valor valor tanto tanto a mano mano como como con con computadora. computadora. TMAR 10% anual? El propietario propietario estima estima conservadoramente conservadoramente un un incremento incremento en los los ingresos ingresos de de $1 200 200 anuales para para los los cinco cinco sistemas. viable financieramente proyecto desde desde el punpunanuales sistemas. ¿Es ¿Es viable financieramente el proyecto de vista vista de de la la TMAR? TMAR? Resuelva Resuelva el problema problema a mano mano y por por computadora. computadora. to de Con base base en en la respuesta respuesta del del inciso inciso b), b) , use use la la computadora computadora para para determinar determinar cuál cuál es es el Con ingreso nuevo Rush para proyecto se justifique ingreso nuevo que que debe debe tener tener Pizza Pizza Rush para que que el proyecto justifique en en el aspecaspecto económico. costos de económico. Los Los costos de operación operación continúan continúan tal como como se estimaron. estimaron.
Solución mano Solución a mano a) y b) Los Los valores valores de de RC RC y VA responderán responderán estas estas dos dos preguntas. La figura el preguntas. La figura 6.3 6.3 muestra muestra el flujo de efectivo para los los cinco para calcular flujo de efectivo para cinco sistemas. sistemas. Aplique Aplique la ecuación ecuación [6.3] [6.3] para calcular la recurecuperación de de capital peración capital al 10%. 10%. RC 5(4 600)(A/P,IO%,5) 600)(A/P, 10%,5) - 5(300)(AlF,10%,5) 5(300)(A/F, 10%,5) RC ==5(4 = $5822 $5822 La viabilidad financiera sin calcular La viabilidad financiera puede puede determinarse determinarse sin calcular el el VA. Los Los $1 200 200 de nuevos nuevos ingresos son sustancialmente sustancialmente inferiores 822, que ingresos son inferiores a la la RC RC de $5 822, que aún aún no no incluye incluye los los costos costos
SECCIÓN 6.3
Alternativas
de evaluación
Figura 6.3
$1500
t
$1200
O
2
3
4
233
mediante el análisis del valor anual
Diagrama de flujo de efectivo para calcular VA (ejemplo 6.3).
5
$650 $700 $750 $800 $850 $23000
anuales. En efecto, la compra no está justificada económicamente. No obstante, para completar el análisis, hay que determinar el VA. Los costos anuales de operación e ingresos forman una serie con gradiente aritmético con una base de $55.0 el año 1, Y una reducción de $5.0 anuales durante 5 años. La fórmula del VA es: VA::: -recuperación del capital + ingreso neto equivalente :::-5822
+ 55.0 - 5.o(A/G,1O%,5)
::: $-5 362 Éste es el monto neto equivalente del año 5 para-recuperar la inversión y los costos de operación estimados al 1.0% anual de rendimientos. Así se demuestra, de nuevo, que definitivamente la alternativa no es viable desde un punto de vista financiero a la TMAR ::: 10%. Observe que los $1 2.0.0 anuales adicionales de ingresos estimados, compensados por los costos de operación, redujeron el monto anual requerido de $5 822 a $5 362. Solución por computadora La hoja de cálculo (figura 6.4) muestra los flujos de efectivo para la inversión, los costos de operación y el ingreso anual en columnas diferentes. Las funciones tienen un formato variable global para que el análisis de sensibilidad se lleve a cabo con mayor rapidez. a) y b) El valor de la recuperación del capital de $5,822 aparece en la celda B7, que se determina por medio de una función PAGO con una función incorporada VPN. Las celdas C7 y D7 también utilizan la función PAGO para determinar el equivalente anual de los costos e ingresos, de nuevo con una función VPN incorporada. La celda Fll presenta la respuesta final de VA = $-5,362, que es la suma de los tres componentes de VA en la fila 7. e) Para calcular el ingreso (columna D) necesario para justificar el proyecto, debe aparecer el valor de VA ::: $.0 en la celda Fll. Otras estimaciones conservan el mismo valor. Como todos los ingresos anuales de la columna D reciben su valor de la celda B4, hay que cambiar la entrada en B4 hasta que en Fll aparezca '$.0' lo cual ocurre en $6,562. (Estas cantidades no aparecen en las celdas B4 y Fll de la figura 6.4.) El dueño de PizzaRush tendría que incrementar el valor estimado del ingreso adicional, para el nuevo sistema, de $1,2.0.0 a $6,562 anuales para obtener rendimientos de 1.0%. Se trata de un incremento sustancial.
~
Sol-E
234 234
CAPÍTULO 6 CAPÍTULO
Análisis del del valor anual Análisis valor anual
Figura 6.4 Figura 6.4 Solución en [ejemplo 6.3 Solución en hoja hoja de de cálculo cálculo [ejemplo 6.3 a) y b)]. b)].
EJEMPLO EJEMPLO
6.4
: En el ejemplo ejemplo 5.12, el análisis análisis del del VP VP se llevó llevó a cabo cabo a) a) sobre MCM de 24 años años y b) En sobre el MCM sobre un planes para Southeastern Cement, sobre un periodo periodo de de estudio estudio de de 6 años. años. Compare Compare los los dos dos planes para Southeastern Cement, La TMAR TMAR es de de 15%. Resuelva Resuelva bajo las las mismas mismas condiciones condiciones aplicando aplicando el método método de de VA. La bajo por computadora. computadora. a mano mano y por Solución mano Solución a mano a) Aun Aun cuando cuando los los dos dos elementos elementos que que componen componen el el plan plan A, las las máquinas máquinas para para movimovimiento los adaptadores adaptadores de de descarga, descarga, tienen tienen diferentes diferentes vidas, vidas, el el análisis análisis de miento de de tierras tierras y los VA se lleva solo ciclo lleva a cabo cabo para para un un solo ciclo de de vida vida de de cada cada componente. componente. Cada Cada VA se encuentra encuentra formado formado por por la RC RC más más el el costo costo de de operación operación anual. anual. Apliquemos Apliquemos la la ecuaecuación para determinar determinar el monto monto de de Re. Re. ción [6.3] para VAAA = = RCmáquinas RCmáquinas + RCadaptadOr RCadaptador + COAmáquinas COAmáquinas + COAadaptador COAadaptador
== ==$-19 $-19 328 RCadaptadOr = -28 000(AlP,15%,12) + 2 000(AlF,15%,12) 000(AlF,15%,12) = = $-5096 $-5096 RCadaptador = -28 000(AlP,15%,12) RCmáquinas OOO(AlP,15%,8) 15%,8) + 10 000(AlF,15%,8) 000(AlF,15%,8) RCmáquinas -90 -90 OOO(AlP,
COA $-12 000 - 300 = $-12 $-12 300 COAAA total total = $-12
SECCIÓN SECCIÓN 6.3
235 235
Alternativas Alternativas de evaluación evaluación mediante mediante el análisis análisis del del valor valor anual anual
El VA total total para para cada cada plan plan es: VAA = -19 300 = $-36 $-36 724 724 -19 328 328 - 5096 5096 - 12 300 VAB = RC"ansp RCtran,portador COA,ran,porlador VAs ortador + COAtransp ortador -175 000(A/p,15 000(Alp,15%,24) 000(AlF,15%,24) $-29 646 646 = -175 %,24) + 10 000(A/F,15 %,24) - 22500 500 = $-29
b)
Elijaa el plan plan B, B, la misma misma decisión decisión que que la del del análisis análisis VP. Elij En con n = 6 en En el caso caso del del periodo periodo de estudio, estudio, efectúe efectúe el mismo mismo análisis análisis con en todos todos los los factores, factores, después después de actualizar actualizar los los valores valores de salvamento salvamento con con los valores valores residuales. residuales. RCmáquinas = -90 -90 000(A/P,15%,6) 000(AlP,15%,6) + 40 000(A/F, 000(AlF,15%,6) = $-19 $-19 212 212 RCmáquinas = 15%,6) = RCtransportador = 15%,6) + 2 OOO(A/F, 15%,6) = RCtran,portador = -28 -28 OOO(A/P, 000(AlP,15%,6) 000(AlF,15%,6) = $-7 $-7 170 170 VAAA = -19 38 682 -19 212 212 -7 -7 l70 l70 - 12300 12300 = $$-38 682
sportador + COAtransportador VAs VAB== RCtran RCtran,portador COAtransportador = -l75 %,6) - 2500 2500 -l75 000(A/P,15%,6) 000(AlP,15%,6) + 25 000(A/F,15 000(AlF,15%,6) $-45 886 886 = $-45
Ahora, Ahora, elija elija el plan plan A porque porque su VA de costos costos es menor. menor. Comentario Comentario Existe Existe una una relación relación fundamental fundamental entre entre los los valores valores VPy VPy VA del inciso inciso a). a). Como Como lo indica indica la ecuación tiene el VP ecuación [6.1] [6.1],, si se tiene VP de cierto cierto plan, plan, el VA se determina determina calculando calculando VA = VP(A/ VP(AI P,i,n); o si se tiene P,i,n); tiene VA, entonces entonces VP VP = VA(P/A,i,n). VA(P/A,i,n). Para Para obtener obtener el valor valor correcto, correcto, debe debe que el VP utilizarse utilizarse el MCM MCM en todos todos los los valores valores de n, en en virtud virtud de que el método método de evaluación evaluación VP una comparadebe debe aplicarse aplicarse durante durante un un periodo periodo igual igual en cada cada alternativa, alternativa, para para asegurar asegurar una comparación de servicio servicio igual. igual. Los Los valores valores VP, tomando tomando en en cuenta cuenta el redondeo, redondeo, son son los los mismos mismos ción que que los los determinados determinados en en el ejemplo ejemplo 5.12, 5.12, figura figura 5.9.
VP (PIA ,15%,24) = $-236 VP A = VAAA(PIA,15%,24) $-236 275 275 VPBs = VABB(PIA,15%,24) $-190 736 VP (PIA ,15%,24) = $190736 Solución por por computadora Solución computadora a) Véase Véase la figura figura 6.5a. Ésta Ésta cuenta cuenta exactamente exactamente con con el mismo mismo formato formato que que el que que se empleó empleó en en el caso caso de la evaluación evaluación de VP VP sobre sobre el MCM MCM de 24 años años (figura (figura 5.9), 5.9), para un ciclo de vida, y que salvo flujos de efectivo para salvo que que aquí aquí aparecen aparecen los flujos que las las funciofunciones funciones " PA nes VPN VPN localizadas localizadas en en los encabezados encabezados de cada cada columna columna ahora ahora son son funciones" PAGO GO"" con lafunción lafuncián VPN incorporada. Las Las etiquetas etiquetas de las las celdas celdas indican indican dos dos de las las funciofunciones PAGO, PAGO, donde donde el signo signo menos menos al principio principio garantiza garantiza que que el resultado costo nes resultado es un costo parte inferior en el VA (valor (valor anual) anual) total total de cada cada plan plan (celdas (celdas H19 H19 y H22). H22). (La (La parte inferior de la hoja de cálculo cálculo no aparece. aparece. El El plan plan B continúa continúa toda toda su vida vida con con el valor valor de salvamento salvamento hoja $10,000 $10,000 en en el año año 24, 24, y el costo costo anual anual de $2,500 $2,500 continúa continúa hasta hasta el año año 24.) 24.) Los valores RC Los valores RC y VA (valor (valor anual) anual) obtenidos obtenidos aquí aquí son son los los mismos mismos que que los los que que arrojó la solución solución a mano. mano. Se Se elige elige el plan plan B. arrojó
b)
PlanA: PlanA:
RCmáquinas= $-19,328 RCmáquin as= $-19,328 VAAA = $-36,725 $-36,725
Plan Plan B:
RC,ran,portador= $-27,146 RCtransportador= $-27,146
(en (en B8) B8) (en H19) H19) (en (en F8) F8)
RCadaptador= 5,097(en D8) RCadaptador=$$-5,097(en D8) VABB = $29,646 (en (en H22) $-29,646 H22)
En En la figura figura 6.5b, las las vidas vidas se reducen reducen para para el periodo periodo de estudio estudio de 6 años. años. Los Los valores valores residuales residuales estimados estimados el año año 6 se introducen introducen (16 (16 celdas celdas del del renglón) renglón) y se eHeli-
~ ~ Sol-E Sol-E
236
CAPÍTULO 6 CAPÍTULO
Figura 6.5 6.5 Figura Solución en en hoja boja de Solución cálculo donde donde se utiliza cálculo utiliza una comparación comparación del del VA una (valor anual) anual) de dos dos (valor alternativas: a) un ciclo ciclo alternativas: vida; b) un periodo periodo de de vida; estudio de 6 años años estudio (ejemplo 6.4). 6.4). (ejemplo
X Microsoft
Análisis del del valor valor anual anual Análisis
1Ir;:;¡ El
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Listo Listo
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b)
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minan todas todas las las cantidades cantidades COA COA más más allá allá de 6 años. años. Cuando Cuando el valor n en minan el valor en cada cada funfunción PAGO PAGO se ajusta ajusta de 24 años años a 6 en cada cada caso, caso, aparecen ción de 8, 12 o 24 aparecen nuevos nuevos valores valores RC, las celdas celdas D20 D20 y D21 exhiben exhiben los los nuevos nuevos valores valores VA. Ahora RC, y las Ahora se elige elige el el plan plan A, A, ya que que éste éste incluye incluye un VA de costos menor. menor. Este Este resultado resultado es el mismo ya de costos mismo que que el el que que se obtiene en el análisis análisis VP VP de la figura figura 5.10 5.10 para para el ejemplo ejemplo 5.12b. obtiene 5.12b.
SECCIÓN 6.4 SECCIÓN 6.4
VA (valor (valor anual) anual) de una una inversión inversión permanente permanente
Si los proyectos proyectos son independientes, independientes, se calcula calcula el valor valor de VA(valor VA (valor anual) anual) usanusando la TMAR. satisfacen la relación TMAR. Todos los proyectos proyectos que satisfacen relación VA 2:: 2:: O son aceptables. aceptables. 6.4 6.4
VA (VALOR ANUAL) UNA INVERSiÓN INVERSiÓN PERMANENTE PERMANENTE VA (VALOR ANUAL) DE UNA
En esta sección sección se estudia estudia el valor anual equivalente equivalente del costo costo capitalizado. capitalizado. La valor anual evaluación de proyectos sector público, como control control de inundaciones, inundaciones, canales canales evaluación proyectos del sector público, como riego, puentes escala, exigen exigen la comparación comparación de alternaalternade riego, puentes y otros proyectos proyectos a gran escala, tivas con vidas vidas de tal duración duración que podrían podrían considerarse considerarse infinitas infinitas en términos términos del análisis económico. económico. En este tipo de análisis, análisis, el valor análisis valor anual de la inversión inversión inicial inicial constituye el interés anual perpetuo sobre la inversión = constituye interés anual perpetuo ganado ganado sobre inversión inicial, inicial, es decir, A = Pi, la ecuación ecuación 5.3; sin embargo, embargo, el valor valor A también también es el monto monto de la recuperación recuperación de capital. (Esta misma fórmula se utilizará capital. (Esta misma fórmula utilizará nuevamente nuevamente cuando cuando se estudien estudien las razones razones beneficio/costo.) beneficio/costo.) Los flujos efectivo periódicos flujos de efectivo periódicos a intervalos intervalos regulares regulares o irregulares irregulares se manemanejan exactamente como jan exactamente como en los cálculos cálculos convencionales convencionales del VA; se convierten convierten a cantidades anuales uniformes equivalentes A para tidades anuales uniformes equivalentes para un ciclo. Esta Esta operación operación los anualiza anualiza automáticamente subsiguiente, según según se estudió estudió en la secautomáticamente para para cada cada ciclo de vida subsiguiente, ción 6.1.. Se suman suman los valores Re para ción 6.1 valores de A a la cantidad cantidad Re para determinar determinar el VA total, como ecuación [6.2]. como en la ecuación EJEMPLO EJEMPLO
6.5
"[' '7"J"
La propuestas para La Oficina Oficina de de Reciclaje Reciclaje de Estados Estados Unidos Unidos considera considera tres tres propuestas para incrementar incrementar la la capacidad capacidad del del canal canal de de desagüe desagüe principal, principal, en en una una región región agrícola agrícola de Nebraska. Nebraska. La La propropuesta sedimento y la puesta A A requiere requiere el dragado dragado del del canal, canal, con con el propósito propósito de remover remover el sedimento la maleza maleza acumulada acumulada durante durante los los años años anteriores anteriores de la operación. operación. La La capacidad capacidad del del canal canal tendrá tendrá que que mantenerse mantenerse en el futuro futuro cerca cerca del del flujo flujo máximo máximo para para el que que fue fue diseñado, diseñado, como como consecuencia consecuencia del del incremento incremento de la la demanda demanda de agua. agua. La La Oficina Oficina tiene tiene planes planes de comprar comprar equipo $650 000. Se espera equipo de dragado dragado y accesorios accesorios con con un un valor valor de de $650 000. Se espera que que el equipo equipo tenga tenga una salvamento de $17 000. Se estima una vida vida de 10 años años con con un valor valor de de salvamento de $17 000. Se estima que que los los costos costos anuales serán de un $50 000. anuales de operación operación serán un total total de de $50 000. Para Para controlar controlar la la maleza maleza en en el el canal canal y las Se las orillas, orillas, se rociarán rociarán herbicidas herbicidas que que no dañan dañan el medio medio durante durante la temporada temporada de de riego. riego. Se espera $120 000. espera que que el programa programa de control control de de maleza maleza tenga tenga un un costo costo anual anual de $120 000. La La propuesta propuesta B consiste consiste en en recubrir recubrir el canal canal con con concreto, concreto, lo cual cual tendrá tendrá un un costo costo inicial $4 millones. millones. Se Se supone supone que será permanente, inicial de $4 que el el recubrimiento recubrimiento será permanente, aunque aunque habrá habrá necesidad necesidad de de un un mantenimiento mantenimiento mínimo mínimo cada cada año año a un un costo costo de de $5 000. 000. Además, Además, se harán harán reparaciones recubrimiento cada $30 000. reparaciones del del recubrimiento cada 5 años años a un costo costo de de $30 000. La La propuesta propuesta C consiste consiste en en instalar instalar una una nueva nueva tubería tubería por por una una ruta ruta distinta. distinta. Los Los cálcucálculos son son los siguientes: un costo $6 millones; los los siguientes: costo inicial inicial de de $6 millones; $3 000 000 de de mantenimiento mantenimiento anual anual para el derecho derecho de paso paso y una una vida vida de de 50 50 años. años. para Compare sobre la Compare las las alternativas alternativas sobre la base base del del valor valor anual, anual, utilizando utilizando una una tasa tasa de de interés interés de de 5% 5% anual. anual. Solución Solución Ya que permanente, se calcula que se trata trata de de una una inversión inversión para para un proyecto proyecto permanente, calcula el VA para para un un ciclo ciclo de todos todos los los costos costos recurrentes. recurrentes. Para Para las las propuestas propuestas A y C, C, los los valores valores de RC RC se
237
238 238
CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual
determinan con nA nc= 50, propuesdeterminan con la ecuación [6.3], [6.3],con nA = 10 10 Y Ync= 50, respectivamente. respectivamente. Para la propuesta B, RC es sencillamente sencillamente igual a P(i). P(i).
Propuesta A Propuesta RC del equipo de dragado: -650 -650 000(AlP,5%,IO) 000(AlP,5%,1O) + 17 17 000(AlF,5%,IO) 000(AlF,5%,1O) Costo anual del dragado Costo anual del control de maleza Propuesta B Propuesta -4000000(0.05) RC de la inversión inicial: -4000000(0.05) Costo de mantenimiento mantenimiento anual Costo de reparación del recubrimiento: recubrimiento: -30 -30000 (AIF,5%,5) 000 (AIF,5%,5) Propuesta e Propuesta RC de la tubería: -6 -6 000 000 000(AlP,5%,50) 000(AlP,5%,50) Costo de mantenimiento mantenimiento anual:
s
$ -82824 -82824 -50000 -50000 -120000 -120000 $ -252824 -252824 $ -200000 -200000 -5000 -5000 -5429 -5429 -210 429 $ -328680 -328680 -3000 -3000 $ -331680 -331680
Se elige la propuesta propuesta B como resultado de que su VA VA de costos es el menor. Comentario Comentario reparación del recubrimiento recubrimiento en la propuespropuesObserve el uso del factor AlP AlP para el costo de reparación reparación AlF en lugar del factor AlP, AlP, en vista de que el costo de reparación ta B. Se aplica el factor AlF del recubrimiento recubrimiento empieza el año 5, no el año O, y continúa continúa indefinidamente indefinidamente a intervalos intervalos de 5 años. 000, Si la vida de 50 años de la propuesta C se considera considera infinita, RC = P(i) P(i) = $-300 000, 680 para n = 50. 50. Ésta es una diferencia diferencia económica económica pequeña. La forma en lugar de $-328 680 en que se consideren desde el punto de vista económico económico las vidas prolongadas prolongadas de 40 años o más constituye constituye una cuestión de práctica local. local.
Una ingeniera de Becker Consulting recibe un bono de $10 000. 000. Si hace un depósito depósito ahora a una tasa de interés de 8% anual, ¿cuántos años debe acumularse el dinero antes de $2 000 anuales por siempre? Utilice Utilice una computadora computadora para determidetermique ella pueda retirar $2 nar la respuesta. Solución Solución por por computadora computadora calcular La figura 6.6 muestra el diagrama de flujo de efectivo. El primer paso consiste en calcular el monto total, P,,, que debe acumularse hasta el año n, n, exactamente exactamente un año antes del $2 000. 000. Es decir, primer retiro de la serie perpetua anual A = $2
Ufi fIi Sol-R
P =~ ~ = 2 000 000 = $25 $25 000 000 i 0.8 "n 0.8
Utilícese la función NPER en una celda para determinar determinar cuándo el depósito inicial de Utilícese $10,000 se convertirá convertirá en $25,000 $25,000 (figura 6.7, 6.7, celda B4). B4). La respuesta respuesta es 11.91 11.91años. años. Si la $10,000
SECCIÓN 6.4
239
VA VA (valor anual) de una inversión inversión permanente permanente
$2000
o
1 1 +1-00
2 n-In = ? 01-_+-_2+----iI-_n--!-_1 _n,=I-?_t-_+-_-t----! ~--+---~--~ ~--~---1r---+---~--~--~J~(---t---;--~.~oo
$10 $10 000
= ?. p n =?
Figura Figura 6.6 6.6 Diagrama para determinar para un un retiro retiro perpetuo perpetuo (ejemplo Diagrama para determinar n para (ejemplo 6.6). 6.6).
ingeniera deja el dinero en la cuenta cuenta 12 años y si cada año gana un 8% de intereses, asegura por siempre los $2,000 anuales. La figura 6.7 también muestra una solución más general en hoja de cálculo en las celdas B7 a B 11. propósito de recibir 11. La celda B 10 determina la suma acumulada acumulada con el propósito cualquier cualquier cantidad (celda B9) siempre al 8% (celda B7), y B 11 11 incluye la función NPER formulada formulada en formato de referencia a celdas, para cualquier cualquier tasa de interés, depósito y cantidad acumulada.
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=NPER(8%"-1 0000,25000)
---- ... -... -.-.--.-.--. .. -.... -... -.... -..... --..... -..--..... -..--..•...• ----V---.---.- ... -...-j-------.-.----.·--·+····-·······················-·-1 .. .-..-.-.-.-. .-.... -.-...1--......;.....;...;.;;-4-.-.-------.- ..--.-+----.- ..-.-----. -+··-·-··-·-·····-·--·--·-----·1
._ _._._-----_._--_. __._---_._-_.
8% $10,000 $2,000 __.__ ._-------_.1/--.-.$25,00
- =B91B7 - -
+..-
-+ - --..-- ..-.-:
Listo
Figura Figura 6.7 Dos soluciones hoja de para determinar valor de Dos soluciones en en hoja de cálculo cálculo para determinar el valor de n aplicando aplicando la función función NPER (ejemplo (ejemplo 6.6). 6.6).
240 240
CAPÍTULO CAPÍTULO 6
Análisis del valor anual Análisis del valor anual
RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN
El método método del valor valor anual para para comparar menudo se prefiere prefiere sobre comparar alternativas alternativas a menudo sobre el método presente, ya que la comparación método del valor valor presente, comparación del VA tiene que ver con un solo ciclo ciclo de vida. Ésta Ésta es una ventaja ventaja diferente diferente cuando cuando se comparan comparan alternativas alternativas de vida distintas. para el primer primer ciclo para el segundo, distintas. El VA para ciclo de vida es el VA para segundo, tercero tercero y todos los ciclos ciclos de vida sucesivos, sucesivos, bajo ciertos ciertos supuestos. supuestos. Cuando Cuando se especifica especifica un periodo relaciona con dicho periodo de estudio, estudio, el cálculo cálculo del VA se relaciona dicho periodo, periodo, independienindependientemente de las vidas de las alternativas. alternativas. Como Como en el caso del método temente método del valor valor presente, el valor valor que queda periodo de estudio presente, queda de una alternativa alternativa al final del periodo estudio se reconoce calculando un valor valor comercial. comercial. reconoce calculando En el caso de las alternativas perpetuidad, el costo alternativas de vida a perpetuidad, costo inicial inicial se anualiza anualiza multiplicando trata de alternativas multiplicando sencillamente sencillamente P por i. Si se trata alternativas de vida finita, finita, el VA a través vida es igual al valor valor anual anual equivalente perpetuo. través de un ciclo ciclo de vida equivalente perpetuo.
PROBLEMAS PROBLEMAS 6.1
Suponga que una alternativa alternativa tiene 3 años Suponga calculó su valor de vida y que usted usted calculó valor anual durante este ciclo ciclo de vida. Si se le pidiera durante pidiera que proporcionara proporcionara el valor valor anual de la mispara un periodo periodo de estudio ma alternativa alternativa para estudio valor anual de 4 años, años, la estimación estimación del valor anual calculado para la alternativa vida de 3 calculado para alternativa con vida años, ¿sería válida para el periodo periodo de estudio de 4 años? ¿Sí ¿Sí o no? ¿Por ¿Por qué?
6.2 La máquina A tiene una vida de 3 años sin valor de rescate y suponga que el servicio que proporciona sería de solo 5 años. La alternatiproporciona máquina y va A implica volver a comprar la máquina conservarla durante 2 años únicamente. únicamente. ¿¿Cuál Cuál tendría que ser su valor de rescate después de 2 años para que su valor anual fuera el mismo con el ciclo de vida de 3 años y una tasa de interés de 10% anual? Año Año O o 1 2 3 4 5
Alternativa A, $ Alternativa -10 000 000 -7000 -7000 -7000 -7000 -7000
Alternativa B, Alternativa B, $ -20000 - 5000 -5000 -5000 -5000 -5000 -5000 -5000
Comparación de alternativas alternativas Comparación
6.3
Una empresa de consultoría consultoría en ingeniería ingeniería Una empresa estudia para sus diestudia dos modelos modelos de SUV para rectivos. El de la marca marca General rectivos. General Motors Motors tendrá un costo inicial de $26 000, tendrá costo inicial 000, uno de operación rescate operación de $2 000, 000, y un valor valor de rescate de $12 000 después de 3 años. Por otra parte, después el fabricado por Ford tendría un costo inicial fabricado tendría inicial de $29 000, uno de operación operación de $1 200, reventa de $15 000 una vez Y un valor de reventa transcurridos transcurridos 3 años. Con una tasa de interés interés de 15% anual, ¿cuál ¿cuál modelo modelo debe comprar comprar la compañía? compañía? Haga Haga un análisis análisis del valor valor anual.
6.4
Para Para desalojar desalojar los sedimentos sedimentos del agua, agua, una compañía compañía textil textil grande grande trata trata de decidir decidir cuál proceso proceso debe usar después debe usar después de la operaoperación de secado. secado. A continuación continuación se muestra muestra el costo costo asociado asociado con los sistemas sistemas de cencentrifugación banda compresora. trifugación y banda compresora. ComCompárelas sobre base de sus valores valores anuapárelas sobre la base anuales con el empleo empleo de una tasa de 10% por año.
PROBLEMAS PROBLEMAS
Costo Costo inicial inicial, , $ Costo Costo de operación operación anual, anual, $/año $/año Reparación Reparación mayor mayor en el año año 2, $ Valor de rescate, Valor rescate, $ Vida, Vida, años años
6.5
6.6
Centrífuga Centrífuga
Banda compresora compresora
-250000 -250000 -31000 -31000
--170000 170000 -35000 -35000
presión presión del agua agua alrededor alrededor del molde molde y de los productos productos químicos químicos involucrados involucrados en el proceso. proceso. El costo costo inicial inicial de la maquinaria quinaria para para el molde molde flotante flotante sólo es de $25 000, pero debido debido a la novedad novedad del propronostica que los costos costos de perceso, se pronostica sonal sonal y rechazo rechazo del producto producto sean mayores mayores que los del proceso proceso convencional. convencional. La comcompañía supone pañía supone que los costos costos de operación operación serán de $45 000 000 mensuales mensuales durante durante los serán primeros primeros 8 meses, meses, y que después después dismidisminuirán nuirán en $10 000 por mes de entonces entonces en adelante. adelante. Con este este plan no habría habría valor valor de rescate. rescate. Con una tasa de interés interés del 12% anual, mensual, ¿cuál anual, con capitalización capitalización mensual, ¿cuál proceso proceso debe debe seleccionar seleccionar la empresa empresa de acuerdo acuerdo con el análisis análisis del valor valor anual, para para un periodo periodo de estudio estudio de 3 años?
-26000 -26000 40000 40000 6
10000 10000 4
Un ingeniero ingeniero químico químico estudia estudia dos calibres calibres de tubería tubería para para transportar transportar productos productos destilados tilados de una refinería refinería al tanque tanque de una granja. granja. La compra compra de un tubo tubo delgado delgado costaría costaría menos (incluyendo (incluyendo las válvulas válvulas y otros accesorios) accesorios) pero tendría tendría una elevada elevada pérdida pérdida por fricción y, y, por lo tanto, un mayor mayor costo costo de bombeo. bombeo. Una Una tubería tubería con estas características costaría costaría $1.7 millones millones una vez racterísticas instalada instalada y tendría tendría un costo costo de operación operación de $12 000 por mes. Otra de mayor mayor diámediámetro costaría costaría $2.1 millones millones ya instalada, instalada, pero su costo costo de operación operación sería únicamente únicamente de $8000 $8000 por mes. ¿Qué calibre calibre de tubo es más económico, económico, con una tasa de interés interés de 1% mensual, mensual, según según el análisis análisis del valor valor anual? Suponga Suponga que el valor valor de rescate rescate es el 10% del costo costo inicial inicial para cada cada tubo al final del periodo periodo de 10 años del proyecto. proyecto. Polymer Molding, Inc. lnc. estudia Polymer Molding, estudia dos proceprocesos para para manufacturar manufacturar drenes de tormentas. tormentas. El plan A involucra involucra el moldeo moldeo por inyección inyección convencional, convencional, lo cual costaría costaría $2 millones millones porque requiere requiere elaborar elaborar un molde molde de acero. porque Se espera espera que el costo costo de la inspección, inspección, mantenimiento y limpieza del molde mantenimiento limpieza molde sea de $5 000 por mes. Como se espera que el costo de los materiales materiales para el plan A sea el mismo mismo para el B, este costo costo no se incluirá incluirá en la que para comparación. El valor de rescate para el plan comparación. estima que será de 10% del costo costo iniA se estima involucra el uso de un proceso cial. El plan B involucra innovador que se conoce conoce como compuestos compuestos innovador virtuales de ingeniería ingeniería en el que se usa un virtuales molde flotante, flotante, el cual utiliza utiliza un sistema sistema de molde operación que ajusta constantemente operación que ajusta constantemente la
241
6.7
Un ingeniero ingeniero industrial industrial analiza analiza la compra compra de dos robots para una compañía manucompañía que manufactura fibra óptica. El robot robot X tendría tendría un factura costo inicial costo inicial de $85 000, 000, otro anual de manmantenimiento tenimiento y operación operación (M&O) de $30 000, y un valor valor de rescate rescate de $40 000. El robot robot Y tendría tendría un costo inicial inicial de $97 000, costos de M&O M&O de $27 000 por año, y un valor valor de rescate rescate de $48 000. ¿Cuál ¿Cuál debiera debiera seleccioselecciocomparar su valor anual nar sobre la base de comparar con una tasa de interés interés de 12% anual? anual? Use un periodo periodo de estudio estudio de 3 años.
6.8
La medición medición precisa precisa del flujo de aire requiere quiere tubos rectos rectos sin obstrucciones obstrucciones para para un mínimo mínimo de 10 diámetros diámetros flujo arriba arriba y 5 diámetros diámetros flujo abajo del dispositivo dispositivo de mePara una aplicación aplicación en particular, particular, las dición. Para restricciones físicas físicas comprometen comprometen la distridistrirestricciones bución de los tubos, por lo que el ingeniero ingeniero bución planea instalar instalar los aparatos aparatos medidores medidores en un planea codo, aunque aunque sabe que las mediciones mediciones serán codo, precisas, pero suficientemente suficientemente buemenos precisas, control del proceso. proceso. El anterior anterior nas para para el control resulta aceptable aceptable sólo por es el plan A, que resulta años, después después de lo cual estará estará disponible disponible 2 años, sistema de medición medición de flujo más exacexacotro sistema mismos costos costos que el plan A, to y con los mismos
242
CAPÍTULO
6
Análisis del valor anual
cuyo costo inicial es de $25 000, con un importe por mantenimiento anual estimado en $4 000. El plan B involucra la instalación de una sonda sumergible de flujo de aire hecha de acero inoxidable y que puede instalarse dentro de un tubo con un transmisor localizado en un compartimiento a prueba de agua en la barandilla. El costo de este sistema es de $88 000, pero gracias a su exactitud no tendrá que reemplazarse en al menos 6 años. Se estima que su costo de mantenimiento sea de $1 400 anual. Ninguno de los sistemas tendrá valor de rescate. Con una tasa de interés de 12% anual, ¿cuál debe seleccionarse, con el criterio de comparar su valor anual? 6.9
Un ingeniero mecánico analiza dos tipos de sensores de presión para una línea de vapor de baja presión. ¿Cuál debe seleccionarse, con base en la comparación del valor anual, con una tasa de interés de 12% por año? Los costos se muestran a continuación. Tipo X Costo inicial, $ Costo de mantenimiento, $/año Valor de rescate, $ Vida, años
6.10
-7650 -1200
o 2
tendría un costo inicial de $160 000, otro de operación de $7 000 mensuales, y un valor de rescate de $40 000 después de 2 años de vida. El proceso L tendría un costo inicial de $210 000, otro de operación de $5 000 por mes, y un valor de rescate de $26 000 después de 4 años de vida. ¿Cuál proceso debe seleccionarse, de acuerdo con el análisis de valor anual, con un interés de 12% por año, compuesto mensualmente? 6.12
Proyecto Q Costo inicial, $ Costo anual, $/año
Tipo Y
Valor de rescate, $ Vida, años
-12900 -900
6.13
2000 4
Las máquinas cuyos datos se muestran en la parte inferior se analizan para mejorar un proceso automático de envoltura de caramelos. Determine cuál debe seleccionarse, según el criterio del valor anual, con el empleo de una tasa de interés de 15% por año.
Costo Costo Valor Vida,
inicial, $ anual, $/año de rescate, $ años
Máquina C
Máquina D
-40000 -10 000 12000 3
-65000 -12000 25000 6
Para producir un polímero pueden usarse dos procesos que reducen las pérdidas por fricción en las máquinas. El proceso K
-42000 -6000
o 2
Costo Costo Valor Vida,
Proyecto R -80000 -7000 en el año 1, con incremento de $1 000 por año 4000 4
Un ingeniero ambiental estudia tres métodos para eliminar un sedimento químico que no es peligroso: aplicación de tierra, incineración por capas fluidas, y un contrato para que la eliminación sea llevada a cabo por un particular. Determine cuál tiene el menor costo según el criterio de comparar su valor anual, con el 12% por año. Los detalles de cada método se muestran a continuación. Aplicación de tierra
6.14 6.11
Dos proyectos mutuamente excluyente s tienen los flujos de efectivo estimados que se indica a continuación. Utilice un análisis de valor anual para determinar cuál debe seleccionarse, con una tasa de interés de 10% anual.
inicial, $ anual, $/año de rescate, $ años
-110000 -95000 15000 3
Incineración -800000 -60000 250000 6
Contrato O -190000 O 2
El departamento de carreteras estatales trata de decidir si debe colocar baches en una sección pequeña de un camino local o repavimentarlo. Si se usa el método del
In
6.
6
6
PROBLEMAS PROBLEMAS
bacheo, se se requerirían requerirían aproximadamente aproximadamente bacheo, 300 metros metros cúbicos cúbicos de de material, material, con con un un costo costo 300 de $700 $700 por por metro metro cúbico cúbico (en (en el el sitio). sitio). AdeAdede más, al al mismo mismo tiempo tiempo tendrían tendrían que que mejomejomás, rarse las las cunetas cunetas aa un un costo costo de $24 $24 000. Estas Estas rarse mejoras durarían durarían al menos menos 22 años años yy después después mejoras tendrían que que volverse volverse aa hacer. hacer. El El costo costo anual anual tendrían mantenimiento preventivo preventivo en en la la carretera carretera del mantenimiento bacheada sería sería de $5000. $5000. La La alternativa alternativa es bacheada que el Estado Estado repavimente repavimente el camino, camino, con con que costo de $850 $850 000. Esta Esta superficie superficie duraría duraría un costo años si se le da da mantenimiento, mantenimiento, menos 10 años al menos que costaría costaría $2 000 000 por por año, y comienza comienza lo que dentro de 3 años. Cualquiera Cualquiera que que sea sea la alteralterdentro nativa seleccionada, seleccionada, el camino camino se reconsreconsnativa truiría por por completo completo dentro dentro de 10 años. Con Con truiría una una tasa tasa de interés interés de 8% anual, anual, ¿cuál ¿cuál alternativa debe debe seleccionar seleccionar el Estado, Estado, según según el nativa análisis del valor valor anual? anual? análisis Inversiones permanentes permanentes y proyectos proyectos Inversiones 6.15
¿Cuánto debe depositar usted en su cuenta ¿Cuánto debe depositar usted cuenta ahorros para para el retiro retiro si comienza comienza hoy y de ahorros continúa haciéndolo haciéndolo anualmente anualmente hasta hasta el continúa noveno año (es decir, 10 depósitos), noveno depósitos), si desea desea tener la capacidad capacidad de retirar retirar $80 000 por año para siempre, hacerlo dentro para siempre, y empieza empieza a hacerlo dentro de 30 años? Suponga Suponga que la cuenta cuenta gana un interés interés de 10% anual.
6.16
¿Cuál es la diferencia diferencia en el valor anual entre una inversión inversión de $100 000 anuales anuales durante durante 100 años, y una inversión inversión de $100000 $100 000 anuales para siempre, siempre, con una tasa de interés interés de 10% por año?
6.17
Una agente de bolsa afirma que puede ganar manera consistente consistente con el dinero 15% de manera de un inversionista. inversionista. Si ella invierte invierte $20 000 ahora, $40 000 dentro de dos años y $10 000 anuales hasta el año 11, comienza a hacer 11, Y Ycomienza esto cuatro años después de hoy, ¿cuánto ¿cuánto dinero podría podría retirar retirar el cliente cada año y para siempre, siempre, si si se se inicia dentro de 12 12 años, la agente de bolsa logra lo que dijo y la cuenta gana 6% 6% anual anual del del año año 12 12 en adelante? adelante? Ignore los impuestos. impuestos.
243 243
6.18 6.18 Determine Determine el el valor valor anual equivalente equivalente perpetuo perpetuo (en (en los los años años 1 al al infinito) infInito) de de una una inversión inversión de de $50 $50 000 000 en en el el tiempo tiempo Oy Oy $50 $50 000 000 anuales anuales de de entonces entonces en en adelante adelante (para (para siempre), siempre), con con una una tasa tasa de de interés interés de de 10% 10% por por año. año. 6.19 6.19 El El flujo flujo de de efectivo efectivo asociado asociado con con el el arreglo arreglo y mantenimiento mantenimiento de un un monumento monumento ubicado ubicado en en Washington, Washington, D.C., D.C., es de de $100 $100 000 000 ahora ahora y $50 $50 000 000 cada cada 5 años años para para siempre. siempre. DeterDetermine mine su valor valor anual anual equivalente equivalente perpetuo perpetuo (en (en los los años años 1 al infinito) infinito) con con una una tasa tasa de interés interés de 8% anual. anual. 6.20 6.20 El El costo costo asociado asociado con con el mantenimiento mantenimiento de caminos caminos rurales rurales sigue sigue un patrón patrón predecible: predecible: por por lo general general no existen existen costos costos durante durante los tres primeros primeros años, años, pero pero de ahí ahí en adelante adelante se requiere requiere un mantenimiento mantenimiento que que incluincluye pintar, pintar, control control de malezas, malezas, sustituciones sustituciones pequeñas, pequeñas, reparación reparación de cunetas, cunetas, etc. Para Para cierta cierta sección sección de una una autopista autopista se proyecta proyecta estos costos 000 en el año 3, que estos costos sean de $6 000 $7 000 en el 4, y cantidades cantidades que se increincrementan durante la vida esmentan $1 000 por por año durante perada dicha vía. Suponga Suponga perada de 30 años de dicha carretera simique es reemplazada reemplazada con una carretera equivalente perlar, ¿cuál es su valor valor anual equivalente petuo (en los años 1 al infinito) infinito) con una tasa petuo interés de 8% por año? de interés
6.21
filántropo que trabaja trabaja para establecer establecer un Un filántropo permanente quiere quiere depositar depositar dinero fondo permanente comenzando ahora y haciendo haciendo 10 cada año, comenzando depósitos más (es decir, 11 11 depósitos), depósitos), de depósitos disponible para inmodo que haya dinero disponible vestigaciones relacionadas relacionadas con la colonicolonivestigaciones planetaria. Si el monto del primer primer zación planetaria. depósito es de $1 $1 000 000, y cada uno de depósito sucesivos es mayor mayor en $100 000 al anlos sucesivos ¿cuánto habría habría disponible disponible para siemterior, ¿cuánto partir del año 11, 11, si el fondo percibe pre a partir una tasa de interés de 10% anual?
6.22 Para la secuencia secuencia de flujo flujo de de efectivo efectivo que que 6.22 se muestra muestra aa continuación continuación (en (en miles miles de de dólares), determine la cantidad de dinero dólares), determine cantidad de dinero que puede retirarse retirarse cada cada año año durante durante un que
244
CAPÍTULO
6
Análisis del valor anual
periodo infinito de tiempo, si el primer retiro se hará en el año 10 Y la tasa de interés es de 12% anual. Año Monto del depósito, $
6.23
anual. b) Si las opciones son independientes, determine cuáles son económicamente aceptables (todos los valores de dinero están en millones).
0123456 100 90 80 70 60 50 40
Una compañía que manufactura interruptores magnéticos de membrana investiga tres opciones de producción, las cuales tienen los flujos de efectivo que se muestran más abajo. a) Determine cuál opción es preferible con una tasa de interés de 15%
En la
empresa Costo inicial, $ Costo anual, $/año Ingreso anual, $/año Valor de rescate, $ Vida, años
-30 -5 14 7 10
Licencia -2 -0.2 1.5
Contrato O
-2 2.5 5
PROBLEMAS DE REPASO FI nida. El donador planea dar dinero ahora y para cada uno de los 2 años siguientes. Si el monto de cada donación es exactamente la misma, la cantidad que debe donarse cada año con i = 8% anual, es muy cercana a: a) $190820 b) $122280 e) $127460 d) $132040
Nota: La convención de signos que se emplea en el examen de FI puede ser contraria a la que aquí se utiliza. Es decir, que en el examen de FI, los costos pueden ser positivos y los ingresos negativos. 6.24
Para las alternativas mutuamente excluyentes que se muestran a continuación, determine cuál o cuáles deben seleccionarse. Alternativa
Valor anual, $/año
A B C D
-25000 -12000 10000 15000
6.27
¿Cuánto debe depositar cada año una persona en su cuenta de ahorros para el retiro, durante 10 años e iniciando ahora (es decir, años O a 9), si desea poder retirar $50 000 anuales para siempre, y empieza a hacer esto dentro de 30 años? Suponga que la cuenta gana un interés de 10% anual. a) $4239 b) $4662 e) $4974 d) $5471
6.28
Suponga que un graduado de ingeniería económica está agradecido y comienza un fondo en UTEP con la donación hoy de $100 000. Las condiciones del donativo son que se darán becas por un total de $10 000 anuales a estudiantes de ingeniería económica, a partir de ahora para continuar hasta el año 5. Después de eso (es decir, año 6), las becas se darán por una cantidad igual al interés que se genere sobre la inversión. Si la inversión
Sólo A Sólo D e) SóloAy B d) Sólo C y D
a) b)
6.25
6.26
El valor anual (en los años 1 al infinito) de $50 000 de hoy, $10 000 anuales en los años 1 al 15, y $20000 anuales en los años 16 al infinito, al 10% anual, está muy cerca de: a) Menos de $16 900 b) $16958 e) $17 394 d) $19573 Un alumno de West Virginia University desea comenzar un fondo que proporcione dinero para becas de $40 000 anuales, para comenzar en el año 5 y continuar en forma indefi-
Le de
le Cc Cc Va Vi
6.
ESTUDIO DE CASO
percibe una tasa efectiva de 10% anual, compuesto continuamente, ¿cuánto dinero para becas estará disponible del año 6 en adelante? a) $7380 b) $8389 c) $10 000 d) $11 611
o
b) -200 000(A/P,10%,5) - 60 000 + 20 OOO(A/F, 10%,5) c) -200 000(A/P,5%,1O) - 60 000 + 20000(A/F,5%,10) d) -200 000(A/P,10.25%,5) - 60 000 + 20000(A/F,1O.25%,5)
6.30
Los problemas 6.29 a 6.31 se basan en los flujos de efectivo siguientes, con una tasa de interés de 10% anual, compuesto semestralmente. Alternativa
y el la a
I'-
Costo Costo Valor Vida,
inicial, $ anual, $/año de rescate, $ años
X Alternativa
-200000 -60000 20000 5
El valor anual de servicio perpetuo para la alternativa X se denota con: a) -200000(0.1025) - 60 000 + 20000(0.1025) b) -200 000(A/P,10%,5) - 60 000 + 20000(A/F,1O%,5)
Y
c) -200000(0.10) - 60 000 + 20 000(0.10) d) -200 000(A/P,1O.25%,5) - 60 000 +
-800000 -10 000 150000
20000(A/F,1O.25%,5)
00
6.31 6.29
Al comparar las alternativas por medio del método del valor anual, el de la alternativa X está representado por: a) -200000(0.1025) - 60 000 + 20 000(0.1025)
El valor anual de la alternativa Y es el más cercano a: a) $-50000 b) $-76625 c) $-90000 d) $-92 000
ESTUDIO DE CASO
o
AMBIENTE CAMBIANTE DE UN ANÁLISIS DE VALOR ANUAL
o
Harry, el propietario de una distribuidora de baterías para
a
automóvil en Atlanta, Georgia, llevó a cabo un análisis económico hace 3 años, cuando decidió colocar protectores contra sobrevoltajes a sus principales equipos de pruebas. En seguida se resumen los cálculos empleados y el análisis de valor anual a una TMAR = 15%. Se compararon los protectores de dos diferentes fabricantes.
e e n
245
Costo de instalación Costo anual de mantenimiento Valor de salvamento Ahorros en reparación de equipo Vida útil, años
PowrUp
Lloyd's
$-26000
$-36000
-800 2000
-300 3000
25000 6
35000 10
La hoja de cálculo de la figura 6.8 es la que Harry empleó para tomar su decisión. La elección clara fue Lloyd's como consecuencia de que su VA fue considerablemente más grande. Se instalaron los protectores de Lloyd's. Durante una revisión rápida el año pasado (año 3 de la operación), se hizo evidente que los costos de mantenimiento y los ahorros en reparaciones no siguieron (ni seguirán) las estimaciones de hace 3 años. De hecho, el costo del contrato de mantenimiento (que incluye una inspección trimestral) se elevará de $300 a $1 200 anuales el próximo año y, después, se incrementará 10% anual los siguientes 10 años. Asimismo, los ahorros por reparaciones de los últimos 3 años fueron de $35 000, $32 000 y $28 000, según los mejores cálculos que Harry pudo hacer. Él cree que los ahorros
246
CAPÍTULO 6 CAPÍTULO
Análisis del valor valor anual anual Análisis
_[jX
G
11
IHI
r
LT~~--I 3 4 5
TMAR=
7
Año
6
L10 d's en versi n y valOlMantenimiento Ahorros ~ reparaciones de salvamento anual reparaciones ó
Jjvalores
e salvamento v~ $ _
anual
(6,64~::'_
(800): $
25,000
10 O $ (26,000)' $ 11 1 $ $ 12 2 $ $ 13 --3 -$-~
$ (80Q) $ (800L$ 800 $
2[,000 ~,OOO 25,000
14 15 16 17 18 19
(800); $ (800¡!$ (800)' $
25,000 25,000 25,000
20
4 5 6 7 8 9 10
$ $
$2,000!
$ $
t
$
(7,025)1 $
~.. (36,000) $
(300)1 $
$
$ $ $ $
$ (300)' $ (300) $ 300 $
$ $ $ ~ $ $ $
$ $ $ $ $ $ $
(300), $ (300)! $ (300) $ _(ª,-OO)$_ (300) $ (300) $ (300) $_
_L I
AA de PowrU de P owrU $ 17,558 $_17,558
35,000
AA de Lloyd' $ 27,675 27 ,675 35,000 35,00q 35,000 35,000 35,000 35,900 35,OOº_ 35,OOQ 35,000 35,oog
-1 T
Hoja 1 LisIO
Figura Figura 6,8 6.8 Análisis (estudio de de caso caso del del capítulo capítulo 6). Análisis de VA de dos dos propuestas propuestas de protectores protectores contra contra sobrevoltaje sobrevoltaje (estudio
disminuirán Por disminuirán $2 $2 000 000 anuales anuales de ahora ahora en adelante. adelante. Por último, último, estos estos protectores protectores de 3 años años de antigüedad antigüedad no valen nada en el mercado valen nada mercado en este este momento, momento, así así que que el valor de salvamento valor salvamento en 7 años años es cero, cero, no $3 000. 000.
Ejercicios para para el estudio estudio de caso caso Ejercicios 1. Trace Trace una una gráfica gráfica de los los costos costos de mantenimiento mantenimiento recién calculados calculados y las las proyecciones proyecciones de los los ahorros ahorros recién reparaciones, suponiendo suponiendo que que los protectores duen reparaciones, protectores durarán otros otros 7 años. años. rarán
Con estos nuevos cálculos, 2. Con estos nuevos cálculos, ¿cuál ¿cuál es el nuevo nuevo valor valor del para los los protectores Lloyd's? Utilice Utilice los los del VA para protectores Lloyd's? cálculos del cálculos del costo costo inicial inicial anterior anterior y de de los los costos costos de mantenimiento para los los primeros primeros 3 años. años. Si estos estos mantenimiento para cálculos hubieran efectuado efectuado hace hace 3 años, años, ¿aún cálculos se hubieran ¿aún sería elección más más económica? sería Lloyd's Lloyd's la elección económica? 3. ¿¿Cómo Cómo ha ha cambiado cambiado el monto monto de la recuperación recuperación del capital para para los los protectores Lloyd's de acueracuerdel capital protectores de Lloyd's do con con estos estos nuevos nuevos cálculos? cálculos?
7 o o 11-
«« u u
de de tasa de Análisis de rendimiento: alternativa alternativa rendimiento: ,, . uruca unlca Aunque la medida medida de valor económico económico citada más más frecuentemente Aunque la frecuentemente para un proyecto o alternativa alternativa es la la tasa de rendimiento rendimiento (TR), (TR), su proyecto su significado significado se malinterpreta con facilidad, facilidad, y los métodos métodos para determinarla malinterpreta determinarla muchas veces se se incorrecta.. En En este capítulo, capítulo, los procedim procedimientos interpreaplican de forma incorrecta ientos se se interprecorrectamente y se el cálculo d dee la la TR tan correctamente se explica el TR de una serie de flujo flujo de efectivo con base en las las ecuaciones de VP VP y VA. La TR efectivo VA. La TR se se conoce con muchos tasa interna de rendimiento rendimiento (TIR), (TIR), retorno retorno sobre la la inversión otros nombres: tasa (RSI)e rentabilidad (IR), (IR),sólo mencionar algunos. La La determina(RSI) e índice de rentabilidad sólo por mencionar determinala TR TR se se consigue utilizando utilizando un un proceso de ensayo y error o, de forma ción de la más rápida, mediante mediante funciones en una una hoja de cálculo. más cálculo . En algunos casos, casos, más más de un un valor de TR TR puede puede satisfacer la la ecuación de En VP o VA. VA. En En el el presente capítulo se se describe describe cómo reconocer reconocer esta posibilidad, VP esta posibilidad, así como un enfoque enfoque para encontrar encontrar los valores múltiples. múltiples. De manera alternaasí alternaposible obtener obtener un un solo valor de TR TR empleando empleando una tasa tiva, es es posible tasa de reinversión se establezca establezca de manera independiente independiente a los flujos de efectivo que se efectivo del proyecto. se considera una una alternativa alternativa.. En En el siguiente Aquí sólo se siguiente capítulo capítulo se se aplican principios en en el el caso caso de alternativas múltiples. múltiples. Por último, último, aquí se los mismos principios se analiza la la tasa tasa de rendimiento rendimiento para para una una inversión en bonos. analiza El estudio estudio de caso caso se se enfoca sobre series series de flujo de efectivo efectivo que tienen El tienen múltiples tasas tasas de rendimiento rendimiento. . múltiples
e
-
-
-
-
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: entender el significado de la tasa de rendimiento TR para una alternativa.
(TR) y realizar los cálculos de
Este capítulo ayudará al lector a: ____
D_e_fi_n_ic_iól"'n_d_e_T_R
~
2. Calcular la tasa de retorno mediante una ecuación de valor presente o valor anual.
TR utilizando VP y VA
3. Comprender las dificultades de usar el método de TR, en relación con los métodos de VP y VA.
Precauciones acerca de la TR
TR múltiples
TR compuesta
TR de bonos
1. Establecer el significado de la tasa de rendimiento.
I I
4. Determinar el máximo número posible de valores de TR para una serie de flujos de efectivo específica.
I
6. Calcular las tasas de interés nominal y efectiva para una inversión de bonos.
5. Calcular la tasa de rendimiento compuesta utilizando una tasa de reinversión determinada.
250 250
CAPÍTULO 7 CAPÍTULO
7.1
Análisis alternativa única Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativa única
INTERPRETACiÓN DEL VALOR UNA TASA INTERPRETACiÓN VALOR DE UNA RENDIMIENTO DE RENDIMIENTO
Desde la perspectiva dinero en préstamo, Desde perspectiva de una persona persona que ha recibido recibido un dinero préstamo, la tasa interés se aplica aplica al saldo manera que la cantidad cantidad prestada de interés saldo no pagado, pagado, de manera prestada y el interés último pago Desde la interés total se pagan pagan en su totalidad totalidad con el último pago del préstamo. préstamo. Desde perspectiva quien otorga otorga el préstamo, existe un saldo recuperado en cada cada perspectiva de quien préstamo, existe saldo no recuperado periodo tiempo. La tasa tasa de interés sobre este saldo no recupeperiodo de tiempo. interés es el rendimiento rendimiento sobre recuperado, de manera manera que la cantidad cantidad total prestada interés se recuperan forma prestada y el interés recuperan en forma exacta con el último rendimiento define define ambas ambas situaciones. situaciones. exacta último pago. La tasa de rendimiento tasa pagada sobre el saldo saldo no pagado Tasa de rendimiento rendimiento (TR) es la tasa pagada sobre pagado del dinero obtenido obtenido en préstamo, ganada sobre sobre el saldo saldo no recuperapréstamo, o la tasa tasa ganada recuperadinero inversión, de forma forma que el pago entrada final iguala iguala el saldo saldo do de una una inversión, pago o entrada exactamente a cero cero con el interés interés considerado. considerado. exactamente rendimiento está expresada expresada como como un porcentaje ejemLa tasa tasa de rendimiento porcentaje por periodo, periodo, por ejemplo, i = 10% anual. Ésta Ésta se expresa expresa como como un porcentaje considera el porcentaje positivo; positivo; no se considera hecho de que el interés interés pagado sobre un préstamo hecho pagado sobre préstamo sea en realidad realidad una tasa de rendirendimiento desde la perspectiva miento negativa negativa desde perspectiva del prestatario. prestatario. El valor valor numérico numérico de i puede puede oscilar en un rango rango entre entre -100% infinito, es decir, -100% -100% < i < oo. oo. En oscilar -100% hasta hasta el infinito, términos inversión, un rendimiento rendimiento de i = --100% significa que se ha perdido términos de una inversión, 100% significa perdido la cantidad cantidad completa. completa. definición anterior anterior no establece establece que la tasa sobre la canLa definición tasa de rendimiento rendimiento sea sobre tidad inicial inicial de la inversión, inversión, sino más bien sobre el saldo no recuperado, recuperado, el cual bien sobre varía con cada cada periodo siguiente ejemplo ejemplo ilustra ilustra tal diferencia. diferencia. periodo de tiempo. tiempo. El siguiente
EJEMPLO
7.1
O> $-35 $-35 519 519 Puesto que tasa de muy alta, Puesto que la tasa de interés interés de 6% 6% es muy alta, interpole interpole linealmente linealmente entre entre 5% 5% y 6%. 6%. 5.00 + i* = 5.00
946 - O (1.0) 6 946 (1.0) 6946 6946 - (-35 (-35 519) 519)
= 5.00 5.00 + 0.16 0.16 = 5.16% 5.16%
5] el
ra jo
s ara
Solución por por computadora computadora Solución Ingrese La entrada Ingrese los los flujos flujos de efectivo efectivo de la figura figura 7.3 7.3 en en la función función TASA. TASA. La entrada TASA(lO, TASA(10, 10,000, 500,000, 700,000) la fun10,000, --500,000, 700,000) despliega despliega i* = 5.16%. 5.16%. Es igualmente igualmente correcto correcto emplear emplear la función TIR. TIR. La La figura figura 7.4, 7.4, columna colurnnaB,B, muestra flujos de de efectivo efectivo y la función función TIR(B2:B12) TIR(B2:B12) ción muestra los flujos para obtener para obtener i*.
Sol-R Sol-R
Figura Figura 7-4 7-4 Solución hoja de para i* y gráfica valores VP VP contra Solución en hoja de cálculo cálculo para gráfica de de valores contra i, ejemplo ejemplo 7.2. 7.2. _ (fJ
a el
A Año
o .
1__ 2
B
H
Cantidad -$500000 $10,000 __420% $10,000 440%
--------3--------- ---$10:000 4.60%4
$10,000
4.80%
'*'- ----
$60,000 ',-,---------$60,000 -,':. ---------
+-~~------
$40,000 +----.A.~ $40,000 $20,000 +----='-;a-----$20,000 +----=.,~..-............- - - -
$O+--------~~-$O+---------=,~--
~------.~-"'--< -~
-$20,000 -$20,000 ~-----$40 ,000 ,000 +----.--.----r--.--~ -$40 +----.---.----,---.---~ 3.8% 4.2% 4.6% 5.0% 5.4% 5.8%
Ready
+--
x
258
CAPÍTULO 7 CAPÍTULO
m ~
Sol-E Sol-E
Análisis alternativa única única Análisis de de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativa
Para un análisis análisis más anterior procedimiento computadora. del anterior procedimiento por por computadora. Para más profundo, profundo, use use la la i* del efectivo y la TR son son las que las solu1,2. El diagrama diagrama de flujo flujo de de efectivo la relación relación TR las mismas mismas que las de la solución a mano. ción mano. La figura figura 7.4 7.4 muestra flujos de efectivo 3. La muestra los los flujos efectivo netos netos en la columna columna B. La función función TIR en la celda celda B14 5.16%. 4. La TIR en B14 despliega despliega i* = 5.16%. Con el propósito i*, la columna D despliega la columna despliega VP VP para para difedife5. Con propósito de de observar observar gráficamente gráficamente i*, rentes valores valores de i (columna (columna C). C). La función VNA rentes La función VNA se usa usa repetidamente repetidamente para para calcular calcular VP para en Excel contra i.i. La i* es ligeramente VP para la la gráfica gráfica de dispersión dispersión xy xy en Excel de VP VP contra La i* ligeramente menor que 5.2%. menor que 5.2%. Como se indica en la etiqueta etiqueta de en las funciones VNA. Como indica en de la celda celda D12, D 12, los los signos signos $ se insertan insertan en las funciones VNA. Esto proporciona proporciona referencias cual permite función VNA sea Esto referencias absolutas absolutas de celdas, celdas, lo cual permite que que la la función VNA sea correctamente "corrida" de (arrastrada con con el ratón). correctamente "corrida" de una una celda celda a otra otra (arrastrada ratón).
m ~
Sol-E
misma manera calcula utilizando ecuación VP, también De la misma manera que i* se calcula utilizando una una ecuación también puede puede determinarse de manera equivalente empleando empleando una determinarse manera equivalente una relación relación VA. Este Este método método se prefiere cuando cuando hay flujos flujos de efectivo efectivo anuales anuales uniformes solución a prefiere uniformes implicados. implicados. La solución mano es la misma misma que la del procedimiento procedimiento para para una una relación relación con base base en VP, execuación [7.2]. cepto que se utiliza utiliza la ecuación procedimiento para solución por computadora es exactamente exactamente el mismo El procedimiento para la solución por computadora mismo bosquejado líneas líneas antes utilizando función TIR. De manera interna, TIR TIR que el bosquejado utilizando la función manera interna, calcula la función función VNA diferentes valores obtiene VNA calcula VNA para para diferentes valores de i hasta hasta que se obtiene VNA = O. existe forma forma equivalente equivalente para para utilizar función PAGO, ya que ésta requiere (No existe utilizar la función requiere un calcular un valor valor fijo de i para para calcular valor A.) EJEMPLO EJEMPLO
7.3
: "
Utilice cálculos cálculos de con el propósito encontrar la flujos Utilice de VA con propósito de encontrar la tasa tasa de de rendimiento rendimiento para para los los flujos efectivo del ejemplo 7.2. 7.2. de efectivo del ejemplo Solución Solución 1. La La figura figura 7.3 7.3 muestra flujo de 1. muestra el diagrama diagrama de de flujo de efectivo. efectivo. Las relaciones formulan con con la ecuación [7.2]. [7.2]. 2. Las relaciones VA para para desembolsos desembolsos e ingresos ingresos se formulan la ecuación
•
VA OOO(A/P,i,IO) VADo =-500 = -500 OOO(A/P,i,lO) VARR = 10000 10000 + 700 700 OOO(A/F,i,lO) OOO(A/F,i,10) 0= -500 -500 OOO(A/P,i*,lO) OOO(A/P,i*,lO) +10 000 + 700 700 OOO(A/F,i*,lO) 0= +10 000 OOO(A/F,i*, lO)
3.
La solución solución de ensayo y error error genera los siguientes siguientes resultados: La de ensayo genera los resultados: En 5%, 0 $-4 $-4 826 826 En i = 6%, Por interpolación, 5.16%, igual Por interpolación, i* = 5.16%, igual que que antes. antes.
r
SECCIÓN SECCIÓN 7.3
Precauciones cuando usa el método método TR TR Precauciones cuando se usa
En conclusión, conclusión, para determinar i* a mano, elija VP, VA, o cualquier cualquier otra ecuaecuapara determinar mano, elija ción de equivalencia. mejor acostumbrarse utilizar uno solo de los equivalencia. En general, general, es mejor acostumbrarse a utilizar métodos con la finalidad métodos finalidad de evitar evitar errores. errores.
7.3 7.3
PRECAUCIONES PRECAUCIONES CUANDO CUANDO SE USA USA EL MÉTODO MÉTODO TR
El método tasa de rendimiento, rendimiento, por lo general, general, se utiliza utiliza en contextos método de tasa contextos de ingenieingeniería y negocios negocios para para evaluar proyecto, como se analiza para seevaluar un proyecto, analiza en este capítulo, capítulo, y para leccionar alternativa entre leccionar una alternativa entre dos o más, como como se explica explica en el siguiente siguiente capítulo. capítulo.
Cuando técnica de la TR resultará en Cuando se aplica aplica correctamente, correctamente, la técnica TR siempre siempre resultará una buena buena decisión, hecho, la misma misma que con un análisis VA una decisión, de hecho, análisis VP o VA (o VF). VF). Sin embargo, embargo, existen existen algunas algunas suposiciones suposiciones y dificultades dificultades con el análisis análisis de TR que deben mundo deben considerarse considerarse cuando cuando se calcula calcula i* y al interpretar interpretar su significado significado en el mundo real para para un proyecto proyecto específico. resumen que se ofrece específico. El resumen ofrece a continuación continuación se aplica aplica para para soluciones soluciones a mano y por computadora. computadora. •
•
•
•
Múltiples secuencia del flujo de efectivo efectivo neto Múltiples valores valores de i*. Dependiendo Dependiendo de la secuencia de desembolsos pueden existir una raíz real para para la ecuación desembolsos e ingresos, ingresos, pueden existir más de una ecuación TR, lo cual resulta resulta en más de un valor valor i*. Tal dificultad dificultad se examina examina en la siguiente guiente sección. sección. Reinversión a la tasa i*. Los métodos métodos VP y VA suponen Reinversión suponen que cualquier cualquier inversión positiva positiva neta (es decir, flujos de efectivo positivos netos netos una una vez que se efectivo positivos considera valor del dinero tiempo) se reinvierte reinvierte a la TMAR. TMAR. Pero Pero el considera el valor dinero en el tiempo) método TR supone reinversión a la tasa i*. Cuando método supone reinversión Cuando i* no está cerca cerca de la TMAR TMAR (por ejemplo, mayor que la TMAR), trata de ejemplo, cuando cuando i* es sustancialmente sustancialmente mayor TMAR), se trata una buena buena base base para para la una suposición suposición irreal. En tales casos, casos, el valor valor i* no es una toma de decisiones. Aunque con mayor mayor contenido toma decisiones. Aunque contenido computacional computacional que VP o VA a la TMAR, procedimiento para para emplear método TR y obtener TMAR, existe existe un procedimiento emplear el método obtener aun valor único único de i* positiva y este método método se un valor i*.. El concepto concepto de inversión inversión neta positiva analizan analizan en la sección sección 7.5. Dificultad computacional comprensión. En especial Dificultad computacional contra contra comprensión. especial cuando cuando se obtiene obtiene por ensayo mano, para para uno o múltiples valores de i*, una solución solución por ensayo y error error a mano, múltiples valores rápidamente se vuelven vuelven muy complicados. complicados. La solución los cálculos cálculos rápidamente solución con hoja de cálculo existen funciones cálculo es más sencilla; sencilla; sin embargo, embargo, no existen funciones en las hojas de cálcucálculo que ofrezcan mismo nivel nivel de comprensión para el aprendizaje aprendizaje como ofrezcan el mismo comprensión para como el que proporcionan las soluciones mano de las relaciones relaciones VP y VA. proporcionan soluciones a mano Procedimiento especial para Procedimiento especial para múltiples múltiples alternativas. alternativas. Utilizar Utilizar correctamente correctamente el método TR, para para elegir mutuamente excluyentes, método elegir entre entre dos o más alternativas alternativas mutuamente excluyentes, requiere un procedimiento procedimiento de análisis requiere análisis significativamente significativamente diferente diferente del que se usó en VP y VA. En el capítulo capítulo 8 se explica explica tal procedimiento. procedimiento.
En conclusión, conclusión, desde desde una estudio de ingeniería ingeniería económica, económica, los una perspectiva perspectiva de estudio métodos de valor anual o valor TMAR establecida establecida deberían deberían usarse métodos valor anual valor presente presente a una TMAR usarse
259
260
CAPÍTULO
7
Análisis de tasa de rendimiento:
alternativa única
en vez del método TR. Sin embargo, existe cierta ventaja con el método TR, pues los valores de tasa de rendimiento se citan muy frecuentemente. Y es fácil comparar el rendimiento de un proyecto propuesto con el de un proyecto en marcha.
de pc sa
Cuando se trabaja con dos o más opciones, y cuando es importante conocer el valor exacto de i*, un buen enfoque es determinar VP o VA a la TMAR, y luego realizar un seguimiento con la i';' específica para la alternativa elegida.
ti, cc sil
Como ilustración, si un proyecto se evalúa a la TMAR = 15% y tiene VP < 0, no hay necesidad de calcular i* ya que i* < 15%. No obstante, si VP > 0, calcule la i* exacta y repórtela junto con la conclusión de que el proyecto está financieramente justificado.
m
pr
o So
7.4
VALORES MÚLTIPLES DE LA TASA DE RENDIMIENTO
En la sección 7.2 se determinó una tasa de rendimiento i* única. En las series de flujo de efectivo presentadas hasta ahora, los signos algebraicos en los flujos de efectivo netos sólo cambian una vez, generalmente de menos en el año a más en algún momento durante la serie, lo cual se conoce como serie de flujo efectivo convencional (o simple). Sin embargo, para muchas series, los flujos de efectivo netos cambian entre positivo y negativo de un año al siguiente, de manera que existe más de un cambio de signo. A tal serie se le llama no convencional (no simple). Como se muestra en los ejemplos de la tabla 7.3, cada serie de signos positivos o negativos puede tener una longitud de uno o más. Cuando hay más de un cambio del signo en el flujo de efectivo neto, es posible que haya valores múltiples de i* en el rango de menos 100% a más infinito. Existen dos pruebas que se realizan en secuencia sobre las series no convencionales, para determinar si existen sólo uno o múltiples valores de i* que sean números reales. La primera prueba es la regla de los signos (de Descartes), la cual establece que el número total de raíces reales siempre es menor o igual al número de cambios de signos en la serie. Dicha regla se deriva del hecho
°
TABLA
.
7.3
Ejemplos de flujos de efectivo netos convencionales y no convencionales para un proyecto de 6 años Signos del flujo de efectivo neto
Tipo de serie O Convencional Convencional Convencional No convencional No convencional No convencional
+ +
1
2
3
4
5
6
+
+
+ +
+ +
+ + +
+ +
+ + + +
+ + + +
+ +
+ +
+
Número de cambios de signo 1 1 1 2 2 3
~
p
Fo> 2. La primera expresión proyecto de inversión neta es F¿ Fo = $+2 7.47% escribir F¡ F, por ecuación [7 [7.6]. O, utilice utilice e = 7.47 % para para escribir por la ecuación .6] .
Figura 7.9 Flujo de efectivo original (en miles), ejemplo 7.6.
$6800
$2000
Año Año
oo
1 $500 $500
2
$8100 100 $8
3
SECCIÓN 7.5 SECCIÓN
Tasa de rendimiento rendimiento compuesta: compuesta: eliminación eliminación de valores valores i* múltiples múltiples Tasa
Figura 7.10 7.10 Figura Flujo de de efectivo efectivo Flujo equivalente (en (en equivalente miles) de de la figura figura miles) 7.9 con con reinversión reinversión 7.9 en e = = 7.47%. 7.47%. en
$6800 $6800
Año Año
o
2
3
$6327.39 $6327.39
F, 000(1.0747) -500 -500 = $1 649.40 649.40 F¡ = 2 000(1.0747) Puesto que F¡ > O, O, use use e = 7.47% 7.47% para para calcular calcular F Puesto que F22• • 649.40(1.0747) - 8100 8100 = $-6 $-6 327.39 327.39 F22 = 1 649.40(1.0747) La figura figura 7.10 7.10 muestra muestra el flujo flujo de efectivo efectivo equivalente equivalente en este este momento. momento. Puesto Puesto La que F utilice ii'' para para expresar expresar F3. que F22 < O, utilice
F3 =-6 =-6 327.39(1 327.39(1 + i/) i') + 6 800 800 3. Defina Defina F3 = =O OY resuelva para para i' directamente. directamente. 3. Y resuelva -6327.39(1 800 = O -6 327.39(1 + i') + 6 800
i' = 1 + ¡'
6800 1.0747 6800 = 1.0747 6327.39 6327.39
7.47% i'i' = 7.47% La TRC TRC es 7.47%, 7.47%, que que es lo mismo mismo que que e, la tasa tasa de reinversión reinversión y el valor valor i~ q La determinado ejemplo 7.4, 7.4, figura figura 7.6. 7.6. Observe Observe que que 41.35%, 41.35%, que que es el segunsegundeterminado en en el ejemplo valor i*, ya'llo ya-no equilibra equilibra la ecuación ecuación de tasa de rendimiento. rendimiento. El resultado resultado del del do valor de la tasa valor futuro futuro equivalente equivalente para para el flujo flujo de efectivo efectivo en la figura figura 7.10, 7.10, si i' fuera fuera valor 41.35%, es: 41.35%, 6 327.39(F/P,41.35%,I) 327.39(F/P,41.35%,I) = $8 943.77"* 943.77"#- $6800 $6 800 b) b)
Para TMAR TMAR = e = 20%, 20%, la serie serie de inversión inversión neta neta es: Para
r, 000 Fo = +2 000
(F¿» O, use use e) (Fo>
F¡ = 2 000(1.20) 000(1.20) - 500 500 = $1 900 900
(F¡ (F, > O, use use e)
900(1.20) - 8 100 100 = $-5 $-5 820 820 F22 = 1L900(1.20)
(F (F22 < O, use use i/) i')
F3 = -5 -5 820(1 820(1 + i/) i') + 6 800 800
271
272
CAPÍTULO
7
Análisis de tasa de rendimiento:
alternativa única
Defina F3 = O Y resuelva para i' directamente: 1 + i' =
6800 5820
= 1.1684
i' = 16.84%
La TRC es i' = 16.84% a una tasa de reinversión mento marcado de i' = 7.47% con e = 7.47%.
de 20%, que representa
un incre-
Advierta que como ir; < TMAR = 20%, el proyecto no está justificado financieramente. Esto se verifica mediante el cálculo de VP = $-106 al 20% para los flujos de efectivo originales.
7.7
EJEMPLO
..
Determine la tasa de rendimiento compuesta para el flujo de efectivo de la tabla 7.6 si la tasa de reinversión es la TMAR de 15% anual. ¿Se justifica el proyecto? Solución Una revisión de la tabla 7.6 indica que los flujos de efectivo no convencionales tienen dos cambios de signo y que la secuencia de flujo de efectivo acumulado no comienza con un valor negativo. Existe un máximo de dos valores i*. Para encontrar el único valor de i', desarrolle la serie de inversión neta desde F¿ hasta FIO usando la ecuación [7.6] y e = 15%. Fo=O (F¡ > O, use e)
F¡ = 200 F2
= 200(1.15)
+ 100
= $330
(F2 > O, use e) (F3 > O, use e)
F3 = 330(1.15) + 50 = $429.50 F4
= 429.50(1.15)
F, = -1306.08(1
TABLA
7.6
- 1 800
306.08
(F4 < O, usar i')
Secuencias de flujo de efectivo y de flujo de efectivo acumulado, ejemplo 7.7 Flujo de efectivo,
Año
= $-1
+ i') + 600
Neto
O
O
1 2 3 4 5
200 100 50 -1800 600
$
Acumulado
O +200 +300 +350 -1450 -850
Flujo de efectivo, $ Año
Neto
Acumulado
6 7 8 9 10
500 400 300 200 100
-350 +50 +350 +550 +650
(
r r
SECCIÓN SECCIÓN 7.6 7.6
Tasa Tasa de rendimiento rendimiento de una una inversión inversión en en bonos bonos
Puesto Puesto que que no se sabe sabe si F5 es mayor mayor o menor menor que que cero, cero, en en todas todas las expresiones expresiones restantes restantes use use i'. i', F6 500 = = [-l [-l 306.08(1 306.08(1 + i') + 600](1 600](1 + i') + 500 500 F6 = F55(1 (1 + i') + 500 F7 400 F 7 = F66(1 (1 + i') + 400
F F 7(1 + i') + 300 Fag = F7(1 300 F9 = F F8g(1 (1 + i') + 200 200 FIO FJO
= F9(l (1 + i') + 100
Para Para calcular calcular i', i', la expresión expresión FlO FJO = = O se resuelve resuelve por por ensayo ensayo y error. error. La La solución solución determina determina justificado. Para que que i' i' = = 2l.24%. 21.24%. Como Como i' i' > TMAR, TMAR, el proyecto proyecto está está justificado. Para trabajar trabajar más más con con este este ejercicio y con con el procedimiento procedimiento de inversión inversión neta, neta, revise revise el estudio estudio de caso caso en en este este capítulo. capítulo. ejercicio Comentario Comentario Las Las dos dos tasas tasas que que satisfacen satisfacen la ecuación ecuación TR TR son son i~ = 28.71 28.71 % e i~ = 48.25%. 48.25%. Si se vuelve vuelve a trabajar trabajar este este problema problema a cualquier cualquier tasa tasa de reinversión, reinversión, el valor valor i' será será el mismo mismo que que estas estas tasas de reinversión; reinversión; es decir, tasas decir, si e = 28.71 28.71 %, entonces entonces i' = 28.71 28.71 %.
n
Existe una función Existe función de hoja hoja de cálculo cálculo llamada llamada TIRM TIRM (TIR modificada), modificada), la cual determina determina una tasa de interés interés única, cuando cuando se ingresa ingresa una tasa de reinversión reinversión e para para flujos de efectivo efectivo positivos. positivos. Sin embargo, embargo, la función función no realiza realiza el procediprocedimiento miento de inversión inversión neta para para la serie de flujo de efectivo efectivo no convencional convencional que se analiza analiza aquí, más bien bien requiere requiere que se proporcione proporcione una tasa financiera financiera para para los utilizados como como inversión inversión inicial. inicial. Entonces, Entonces, las fórmulas fórmulas para para los cálculos cálculos fondos utilizados TIRM y TRC TRC no son las mismas. mismas. La TIRM TIRM no producirá producirá exactamente exactamente la misma de TIRM misma respuesta resulten ser las mismas respuesta que la ecuación ecuación [7.6], a menos que todas las tasas resulten mismas valor sea una de las raíces relación de TR. y este valor raíces de la relación
7.6 TASA DE RENDIMIENTO RENDIMIENTO DE UNA UNA INVERSiÓN INVERSiÓN EN BONOS BONOS capítulo 5 el lector lector aprendió aprendió la terminología bonos y cómo cómo calcular calcular el En el capítulo terminología de los bonos inversión en bonos. bonos. La serie de flujo de efectivo efectivo para para una inversión inversión en VP de una inversión bonos bonos es convencional convencional y tiene una única única i*, la cual se determina determina mejor mejor al resolver resolver rendimiento basada una ecuación ecuación de tasa de rendimiento basada en VP de la forma forma de la ecuación ecuación [7.1]. Los ejemplos procedimiento. ejemplos 7.8 y 7.9 ilustran ilustran el procedimiento.
EJEMPLO EJEMPLO
7.8
~~~' x~·~
Allied Allied Materials Materials necesita necesita $3 millones millones en en capital capital de deuda deuda para para materiales materiales compuestos compuestos expandidos. b0l!0s de baja baja denominación expandidos. Está Está ofreciendo ofreciendo bonos denominación a un precio precio de descuento descuento de pagadero semes$800 bono de $1000 $800 para para un bono $1 000 a14% al 4% que que madura madura en en 20 20 años, años, con con interés interés pagadero semestralmente. tralmente. ¿Qué ¿Qué tasas tasas de interés interés nominal nominal y efectiva efectiva anuales, anuales, compuestas compuestas semestralmente, semestralmente, pagará pagará Allied Allied Materials Materials a un inversionista? inversionista?
273 273
274
CAPÍTULO 7 CAPÍTULO
Análisis de rendimiento: alternativa única Análisis de tasa tasa de rendimiento: alternativa única
Solución Solución un comprador recibirá de bonos es el interés interés de bono 11= = $20 El ingreso ingreso que que un comprador recibirá de la compra compra de bonos de bono $20 cada 6 meses valor nominal en 20 ecuación con con base en VP calcular cada meses más más el valor nominal en 20 años. años. La La ecuación base en VP para para calcular la tasa tasa de retomo es de retorno
0= 20(P/A,i*,40) + 1 000(P/F,i*,40) 0= -800 -800 + 20(P/A,i*,40) 000(P/F,i*,40) Resuelva por por computadora mano para para obtener 2.87% semestralResuelva computadora (función (función TIR) TIR) o a mano obtener i* = 2.87% semestralmente. interés nominal anual se calcula calcula al multiplicar multiplicar i* por mente. La La tasa tasa de interés nominal anual por 2. nominal = 2.87%(2) 2.87%(2) = 5.74% i nominal 5.74% anual, anual, compuesta compuesta semestralmente semestralmente Usando ecuación [4.5], [4.5], la tasa anual efectiva efectiva es Usando la ecuación tasa anual
ia = (1.0287)2 (1.0287)2 - 1 = 5.82% 5.82% ia
EJEMPLO EJEMPLO
7.9
. . Gerry es un recién incorporado incorporado a Boeing en California. California. Él Gerry un recién Boeing Aerospace Aerospace en Él tomó tomó un un riesgo riesgo financiero al comprar comprar un bono de una corporación 'diferente que ha incumplido su pago financiero bono de una corporación diferente que incumplido su pago de de bono de pagadero trimestraltrimestralintereses. Él Él pagó pagó $4 240 240 por por un bono intereses. de $10 $10 000 000 al 8% con con interés interés pagadero mente. El El bono bono no no ha ha pagado pagado intereses primeros 3 años mente. intereses durante durante los primeros años después después de de que que Gerry Gerry lo compró. hubiese pagado pagado durante años, y luego compró. Si el interés interés se hubiese durante los los siguientes siguientes 7 años, luego Gerry Gerry fuese capaz capaz de revender 000, ¿qué ¿qué tasa de rendimiento obtenido fuese revender el bono bono por por $11 000, tasa de rendimiento habría habría obtenido sobre la inversión? inversión? Suponga Suponga que que el bono está previsto previsto madurar después de de su años después sobre bono está madurar 18 años compra. Realice análisis mano yy por por computadora. compra. Realice análisis a mano computadora.
Solución Solución a mano mano El interés bono recibido recibido en El interés de bono en los años años del del 4 a 10 fue 1 = (lO 1= (lO 000)(0.08) 000)(0.08) 4
= $200 por = $200 por trimestre trimestre
La tasa tasa de rendimiento efectiva por trimestre puede determinarse resolver la ecuación La de rendimiento efectiva por trimestre puede determinarse al resolver ecuación VP desarrollada sobre sobre una que esta esta base VP desarrollada una base base por por trimestre, trimestre, puesto puesto que base hace hace PP PP = pc. Pe. 0= -4240 -4240 + 200(P/A,i* 12) 0= 200(P/A,i* por por trimestre,28)(P/F,i* trimestre,28)(P/F,i* por por trimestre, trimestre,12)
+ 11 OOO(P/F,i* por por trimestre,40) trimestre,40) La ecuación es correcta correcta para que es una 16.4% La ecuación para i* = 4.1 % por por trimestre, trimestre, que una tasa tasa nominal nominal de 16.4% anual, compuesta compuesta trimestralmente. anual, trimestralmente.
~
~
Sol-E Sol-E
Solución Solución por por computadora computadora La solución se muestra figura 7.11. 7.11. La de cálculo cálculo está está diseñada diseñada para calcular La solución muestra en la figura La hoja hoja de para calcular directamente una de interés interés anual anual de de 16.41 16.41 % en la celda celda El. El. Los ingresos de $200 directamente una tasa tasa de Los ingresos de $200 trimestralmente interés del bono convierten a pagos anuales equivalentes equivalentes de $724.24 $724.24 trimestralmente por por interés bono se convierten pagos anuales
I
F
1 (
I
1
275
RESUMEN DEL CAPÍTULO
VAen determinarse inicialmente usando la función VA en la celda E6. Podría determinarse inicialmente en la hoja de cálculo una tasa trimestral, pero este enfoque requeriría requeriría cuatro veces el número de entradas de $200, en comparación con las seis veces que $724.24 se ingresa aquí. (Una referencia referencia El, E6 YB6. Y B6. Sin embargo, al pulsar pulsar circular puede indicarse por Excel entre las celdas El, desplegaría la solución i* == 16.41 16.41%. La referencia referencia circular se evita si OK se continúa y se desplegaría se ingresan los 40 trimestres de $0 y $200 en la columna B, con los cambios necesarios en encontrar la tasa trimestral.) las relaciones de la columna E, para encontrar trimestral.) II!!Ir¿¡¡Ei
X Micros oft E"cel
Año
o 2 3 4 5 6 7 8 - 9 10
Cantidad
Tasa de rendimiento i'
-$4.240.00 $0.00
Valor nominal del bono
$0.00
Tasa de interés del bono
$0.00
Interés del bono/trimestre
$724.24
VP del interés del bono/año
$10.000 8% $200 $724.24
$724.24 $724.24 $724.24 $724.24 $724.24 $11.724.24
Figura 7.11 Figura Solución en hoja hoja de de cálculo cálculo de de i* para una inversión Solución para una inversión en bonos, bonos, ejemplo ejemplo 7.9. 7.9.
RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN rendimiento, o tasa de interés, interés, es un término común entendientendiLa tasa de rendimiento, término de uso muy común embargo, la mayoría gente puede dificultad do casi por todos. Sin embargo, mayoría de la gente puede tener tener gran dificultad calcular correctamente correctamente una secuencias de para calcular una tasa de rendimiento rendimiento i* para para todas las secuencias efectivo. Para algunos algunos tipos de series, series, es posible posibilidad un flujo de efectivo. posible más de una posibilidad
276
CAPÍTULO 7 CAPÍTULO
Análisis alternativa única Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativa única
de TR. El número número máximo máximo de valores valores i* es igual número de cambios igual al número cambios en los signos de la serie de flujo de efectivo Descartes de los signos). Adeefectivo neto (regla (regla de Descartes signos). Adepuede encontrarse una tasa positiva positiva única más, puede encontrarse una única si la serie del flujo de efectivo efectivo neto acumulado negativamente y tiene tiene sólo un cambio acumulado empieza empieza negativamente cambio de signo signo (criterio (criterio de Norstrom). Norstrom). Para todas las series de flujo de efectivo indicación de raíces raíces múltiples, múltiples, Para efectivo con una indicación tiene que tomarse tomarse una decisión tiene decisión sobre sobre si se deben deben calcular calcular las múltiples múltiples tasas interrendimiento compuesta, usando una tasa de reinversión reinversión externanas i* o la tasa de rendimiento compuesta, usando externamente determinada. Dicha general, se define define igual igual a la TMAR. TMAR. Aunque mente determinada. Dicha tasa, por por lo general, Aunque la tasa tasa interna tasa compuesta interna casi siempre siempre es más fácil de calcular, calcular, la tasa compuesta es el enfoque enfoque correcto, ventajas: se eliminan múltiples de rendimienrendimiencorrecto, ya que implica implica dos ventajas: eliminan las tasas múltiples por el proyecto, proyecto, utilizando utilizando to y se consideran consideran los flujos de efectivo efectivo neto liberados liberados por una tasa tasa de reinversión reinversión realista. realista. Sin embargo, múltiples tasas i*, o la una embargo, el cálculo cálculo de múltiples tasa de rendimiento rendimiento compuesta, con frecuencia herramientas computasa compuesta, con frecuencia incluye incluye herramientas computacionales. tacionales. Si no es necesaria necesaria una una TR TR exacta, exacta, se recomienda recomienda ampliamente ampliamente que que se usen usen métodos VP VP o VA con para evaluar justificación económica. los métodos con la TMAR TMAR para evaluar la justificación económica.
PROBLEMAS PROBLEMAS diato en los sitios de construcción. construcción. El costo costo del edificio edificio fue de $100 $100 000 y el contratista contratista acordó vendedor financiar acordó con el vendedor financiar la compra compra durante periodo de 5 años. En el acuerdo durante un periodo acuerdo se estableció mensuales deestableció que los pagos pagos mensuales bían hacerse sobre una amortización a 30 años, pero el saldo adeudado pero adeudado al final del año 5 debería pagarse en una una sola debería pagarse sola exhibición. exhibición. ¿Cuál monto de esta ¿Cuál fue el monto esta suma suma global, global, si la tasa tasa de interés préstamo fue de interés sobre sobre el préstamo 6% anual, compuesto mensualmente? compuesto mensualmente?
Comprensión de la TR TR Comprensión
7.1 ¿Qué rendimiento de ¿Qué significa significa una tasa de rendimiento 100%? 7.2 Un préstamo préstamo de $10 000, amortizado durante 5 años con una tasa de interés interés de 10% anual, requeriría abonos para terminar terminar requeriría abonos de $2 638 para de pagarlo pagarlo cuando cuando el interés se carga al saldo insoluto. Si el interés se carga al capital principal en lugar de al saldo insoluto, ¿cuál sería el balance balance después mismos después de 5 años, si los mismos pagos de $2 638 se hicieran hicieran cada pagos cada año? 7.3
7.4
A-l Loans Loans hace hace préstamos préstamos con el interés A-l interés pagado sobre principal en lugar pagado sobre el capital capital principal lugar de sobre Para un préstamo préstamo sobre el saldo insoluto. insoluto. Para de $10 000 pagadero pagadero a 4 años, al 10% anual, ¿qué pago pago por año se requeriría requeriría para reempara reembolsarlo en 4 años si el interés bolsarlo interés se cargara cargara al a) capital principal y b) saldo insoluto? capital principal insoluto? pequeño contratista Un pequeño contratista industrial industrial compró compró bodegas para para almacenar un edificio edificio de bodegas almacenar equipos y materiales inmemateriales que no necesita necesita de inme-
Determinación de TR TR Determinación de
7.5
¿Qué por mes obtendrá ¿Qué tasa de rendimiento rendimiento por obtendrá periodo de proun emprendedor emprendedor durante durante el periodo yecto de 211h h años, si invirtió yecto invirtió $150000 $150000 en la producción de compresores portátiles de aire producción compresores portátiles de 12 voltios? Sus costos estimados mensuaestimados mensuales son de $27 000, con ingresos ingresos de $33 000 por mes. por
7.6
Se pidió pidió a la empresa empresa Camino Camino Real Landfill Landfill instalara una membrana que instalara membrana de plástico plástico para para
"J
277
PROBLEMAS
impedir que las lec hadas se trasminaran hacia el agua subterránea. El área por cubrir era de 50 000 metros cuadrados y el costo de la membrana instalada fue de $8 por metro cuadrado. Para recuperar la inversión, el propietario del relleno sanitario cargó $10 por cada carga de camioneta, $25 por la de camión de cascajo, y $70 por la de vehículo compactador. Si la distribución mensual fue de 200 camionetas, 50 camiones y 100 vehículos compactadores, ¿cuál será la tasa de rendimiento que el dueño del relleno obtendrá sobre la inversión, si el área por llenar se adecua para 4 años?
7.7 Swagelok Enterprises fabrica accesorios y válvulas en miniatura. Durante un periodo de 5 años, los costos asociados con una línea de producto fueron los siguientes: costo inicial de $30 000 y costos anuales de $18 000. El ingreso anual fue de $27 000, y el equipo usado se vendió en $4 000. ¿Qué tasa de rendimiento obtuvo la compañía por este producto?
7.8 Barron Chemical usa un polímero termoplástico para mejorar la apariencia de ciertos paneles RY. El costo inicial de un proceso fue de $130 000, con costos anuales de $49000 e ingresos de $78 000 en el año 1, con incrementos anuales de $1 000. Se obtuvo un valor de rescate de $23 000 cuando el proceso se descontinuó después de 8 años. ¿Qué tasa de rendimiento tuvo la empresa por este proceso?
7.9 Una egresada de la Universidad de Nuevo México posee un negocio exitoso y quisiera iniciar un fondo por su cuenta para otorgar becas a estudiantes de ingeniería económica. Ella desea que las becas sean de $10 000 por año, y que la primera se otorgara el día de la donación (es decir, en el momento O). Si planea donar $100 000, ¿qué tasa de rendimiento tendría que alcanzar la universidad a fin de poder entregar las becas de $10 000 anuales para siempre?
7.10 La compañía PPG manufactura una amina epóxica que se usa para evitar que el contenido de envases con tereftalato de polietileno (TP) reaccionen con el oxígeno. A continuación se muestra el flujo de efectivo (en millones) asociado con el proceso. Determine la tasa de rendimiento. Año
Costo, $
O 1 2
-10
3 4
5 6
-4 -4 -4
-3 -3 -3
Ingreso, $ 2
3 9 9 9 9
7.11 Una ingeniera mecánica emprendedora comenzó un negocio para cortar llantas en tiras, a fin de aprovechar las ventajas que otorga una ley del Estado de Texas que prohíbe desecharlas completas en los rellenos sanitarios. El costo de la cortadora fue de $220 000 y se gastó $15 000 para conseguir energía de 460 voltios, además de otros $76000 en la preparación del sitio para ubicar la cortadora. Por medio de contratos celebrados con distribuidores de llantas, recibía un pago de $2 por llanta y manejaba un promedio de 12000 de éstas al mes, durante 3 años. Los costos anuales de operación por mano de obra, energía, reparaciones, etc., sumaban un total de $1.05 por llanta. También vendió algunos trozos de llanta a instaladores de fosas sépticas quienes las usan en los campos por drenar. La empresa generó $2 000 netos por mes y después de 3 años, la ingeniera vendió el equipo en $100000. ¿Qué tasa de rendimiento obtuvo a) por mes y b) por año (nominal y efectiva)?
7.12 Una compañía de Internet N a C proyectó los flujos de efectivo (en millones, vea la siguiente página). ¿Cuál es la tasa de rendimiento que obtendría si los flujos ocurrieran de acuerdo a lo planeado?
278
7.13
.~/,
I~~t : al I 7.14
CAPÍTULO
7
Análisis de tasa de rendimiento:
Año
Gasto, $
Ingreso, $
O 1 2 3 4
-40 -40 -43
15
7.15
Techstreet.com es un negocio pequeño de diseño de páginas web que proporciona servicios para dos tipos principales de sitios web: los de tipo folleto y los de comercio electrónico. Un paquete involucra un pago inicial de $90 000, y pagos mensuales de 1.4\t por visita. Una compañía de software para dibujo por computadora está analizando el paquete y calcula que va a tener al menos 6 000 visitas por mes, de las cuales espera que 1.5% terminen en una venta. Si el ingreso promedio por ventas (después de pagar tarifas y otros gastos) es de $150, ¿qué tasa de rendimiento mensual obtendría la compañía de software para dibujo si usara el sitio web durante 2 años?
7.16
Una persona entabló una demanda, ganó el juicio y obtuvo una compensación de $4 800 por mes durante 5 años. El demandante necesita ahora una suma bastante grande de dinero para hacer una inversión y ofreció al defensor de su oponente la oportunidad de pagar $110 000 en una sola exhibición. Si el defensor acepta la oferta y pagaran $110 000 ahora, ¿cuál sería la tasa de rendimiento que obtendría el defensor por la inversión realizada? Suponga que el pago próximo de $4 800 debe hacerse dentro de un mes.
12
-45
17
51
5
-46 -48
6-10
-50
63 80
La Universidad de California en San Diego, estudia un plan para construir una planta de 8 megawatts de cogeneración para satisfacer parte de sus necesidades de energía. Se espera que el costo de la planta sea de $41 millones. Con un costo de $120 por cada megawatt-hora, la universidad consume al año 55 000 de éstos. a) Si la universidad fuera capaz de producir energía a la mitad del costo que paga ahora, ¿qué tasa de rendimiento lograría por su inversión, si la planta de energía durara 30 años? b) Si la universidad vendiera un promedio de 12000 megawatt-hora por año en $90 cada uno, ¿qué tasa de rendimiento obtendría? Una nueva máquina de afeitar de Gillette llamada M3Power emite pulsos que hacen que la piel levante el pelo de modo que puede cortarse con más facilidad. Esto tal vez haga que las navajas duren más debido que habría menos necesidad de rasurar repetidas veces la misma superficie. El sistema M3Power (que incluye las baterías) se vende en $14.99 en ciertas tiendas y un paquete de cuatro navajas cuesta $10.99, mientras que las navajas M3Turbo, más convencionales, cuestan $7.99 en un paquete de cuatro. Si las navajas para el sistema M3Power duran 2 meses, en tanto que las M3Turbo duran sólo 1 mes, ¿qué tasa de rendimiento (nominal y efectiva) se obtendría si una persona comprara el sistema M3Power, a) por mes y b) por año? Suponga que la persona ya tiene una rasuradora M3Turbo pero necesita comprar navajas en el momento O. Use un periodo de proyecto de un año.
alternativa única
7.17
En el Army Research Laboratory, los científicos desarrollaron un mejor proceso de adhesión por difusión que se espera aumente en forma significativa el rendimiento de compuestos híbridos multifuncionales. Los ingenieros de la NASA estiman que los compuestos que se fabrican por medio del nuevo proceso procurarán ahorros en muchos proyectos de exploración espacial. A continuación se muestran los flujos de efectivo para un proyecto. Determine la tasa de rendimiento anual. Año t
Costo ($1 000)
O 1
-210
2-5
Ahorro ($1 000)
-150 100 + 60(t- 2)
7,
7
7
PROBLEMAS
7.18 a
s o o e e
e é a a
Una compañía acerera australiana, ASM International, afirma que puede lograrse un ahorro de 40% del costo de una barra de acero inoxidable para alambre si se reemplazan los hilos fabricados por deposiciones precisas de soldadura. Un fabricante estadounidense de remaches y accesorios para rellenar planea adquirir el equipo, por lo que un ingeniero mecánico de esta empresa preparó las estimaciones de flujo de efectivo siguientes. Determine la tasa de rendimiento (nominal) esperada por trimestre y por año. Trimestre
Costo, $
O
-450000 -50000 -40000 -30000 -20000 -10 000
1
2 3 4 5 6-12
el
279
servirá para financiar a 100 estudiantes con $10 000 para cada uno por año, ¿qué tasa de rendimiento debe lograr el donativo? 7.21
Ahorro, $ 10000 20000 30000 40000 50000 80000
Una fundación filantrópica recibió un donativo de $5 millones por parte de un próspero contratista de la construcción. Se especificó que como premio se entregarían $200 000 durante cada uno de los 5 años a partir de hoy (es decir, 6 premios) a una uni versidad involucrada en la investigación acerca del desarrollo de materiales compuestos en capas. De ahí en adelante, se harían entregas iguales al monto de los intereses generados cada año. Si se espera que el importe de los fondos del año 6 hasta el futuro indefinido sea de $1 000 000 anuales, ¿cuál es la tasa de rendimiento que obtendría la fundación?
Valores TR múltiples 7.19
Il-
de Il-
de
7.20
2)
Se piensa que una aleación de indio-galioarsénico-nitrógeno, desarrollada en Sandia National Laboratory, tiene usos potenciales en la generación de electricidad por medio de celdas solares. Se espera que el material nuevo tenga una vida más larga, y se cree que tendrá una tasa de eficiencia de 40%, lo que representa casi el doble del de las celdas solares convencionales. De usarse las celdas nuevas, la vida útil de un satélite de comunicaciones podría ampliarse de 10 a 15 años. ¿Qué tasa de rendimiento podría obtenerse si una inversión adicional de $950 000 generara ingresos extra de $450000 en el año 11, $500 000 en el 12, y cantidades que crezcan $50 000 por año hasta el año 15? Un donativo permanente a la Universidad de Alabama se destinará para premiar con becas a los estudiantes de ingeniería. Los premios se entregarán 5 años despúés de que se haga la donación global de $10 millones. Si el interés que genere el donativo
7.22
¿Cuál es la diferencia entre una serie de flujo de efectivo convencional y no convencional?
7.23
¿Cuáles flujos de efectivo se asocian con la regla de los signos de Descartes y el criterio de Norstrom?
7.24
De acuerdo con la regla de los signos de Descartes, ¿cuántos valores posibles de i* existen para los flujos de efectivo que tienen los signos indicados a continuación? a) ---+++-+ b) ------+++++ e) ++++------+-+---
7.25
En la página siguiente se muestra el flujo de efectivo (en miles) asociado con un método nuevo para fabricar cortadores de cartón, para un periodo de 2 años. a) Use la regla de los signos de Descartes para determinar el número máximo de valores posibles de la tasa de rendimiento. b) Use el criterio de Norstrom para determinar si sólo existe un valor positivo de la tasa de rendimiento ..
280
CAPÍTULO 7
Trimestre
Egreso, $
Ingreso, $
O
-20 -20 -10 -10 -10 -10 -15 -12 -15
O
1 2 3 4 5 6 7 8
7.26
'J'lIltl
o 1 2 3
o 1 2 3
7.28
7.29
-30000 20000 15000 -2000
Flujo neto de efectivo, $ -17000 20000 -5000 8000
Arc-bot Technologies, fabricante de robots con servomecanismos eléctricos de seis ejes, obtuvo para un departamento de envíos los
Año
Egreso, $
Ahorro, $
O
-33000 -15000 -40000 -20000 -13000
18000 38000 55000 12000
1 2 3 4
Flujo neto de efectivo, $
Un fabricante de fibras de carbono para espuma densa (que se usa en artículos deportivos, compuestos termoplásticos, aspas de molinos de viento, etc.) reportó los flujos de efectivo que se presentan en seguida. a) Determine el número de valores posibles de la tasa de rendimiento, y b) encuentre todos los valores de la tasa de rendimiento entre -50% y 120%. Año
flujos de efectivo que se aprecian a continuación. a) Determine el número posible de los valores de la tasa de rendimiento, b) encuentre todos los valores de i* entre 0% y 100%.
5 10 25 26 20 17 15 2
RKI Instruments manufactura un controlador de ventilación diseñado para vigilar y controlar el monóxido de carbono en estacionamientos cerrados, salas de calderas, túneles, etc. A continuación se presenta el flujo de efectivo neto asociado con una fase de la operación. a) ¿Cuántos valores posibles de tasas de rendimiento hay para esta serie de flujo de efectivo? b) Encuentre todos los valores de la tasa de rendimiento entre 0% y 100%. Año
7.27
Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única
O
Hace cinco años, una compañía hizo una inversión de $5 millones en un material nuevo de alta temperatura. El producto no fue bien recibido después de su primer año en el mercado. Sin embargo, cuando se reintrodujo 4 años después, se vendió bien durante un año. El financiamiento para efectuar investigación profunda a fin de di versificar sus aplicaciones costó $15 millones en el año 5. Determine la tasa de rendimiento de estos flujos de efectivo (se muestran en seguida con cifras en miles). Año O 1
Flujo neto de efectivo, $ -5000 4000
2
O
3
O
4 5
20000 -15000
Tasa de rendimiento compuesta 7.30
¿Qué significa el concepto tasa de reinversión?
7.31
Un ingeniero que trabaja para General Electric invirtió su bono anual en acciones de la compañía. Su bono fue de $5 000 durante cada uno de los 6 años pasados (es decir, al final de los años 1 a 6). Al final del año 7, él vendió acciones por $9 000 que usó para remodelar su cocina (ese año no compró acciones). En los años 8 a 10, de nuevo invirtió su bono de $5 000. El ingeniero vendió todas sus acciones remanentes en
7.3
7.3
PROBLEMAS PROBLEMAS
inmediatamente después después de que $50 000, inmediatamente última inversión inversión al final del año 10. hizo la última Determine el número número de valores posibles posibles a) Determine de la tasa de rendimiento de la serie de flujo de efectivo. b) Calcule Calcule la tasa de rendimiento rendimiento efectivo. compuesta. Use una tasa de reinversión reinversión de compuesta. 20% anual.
$
7.32
a al o o se n
a e 5
de efectivo, efectivo, $1 000 000 Flujo de
o O
-65 -65 30 84 -10 -10 -12 -12
1
2 3 44
7.33 Para Para la serie flujo de efectivo serie de flujo efectivo que se 7.33 muestra, muestra, calcule calcule la tasa de rendimiento rendimiento compuesta empleo de una puesta con el empleo una tasa tasa de reinreinversión versión de 14% anual. Año
Flujo de de efectivo, efectivo, $
oO
3000 3000 -2000 -2000 1000 1000 -6000 - 6000 3800 3800
1 2 3 44
r-
es u-
(es del só
7.34 Para el proyecto proyecto del material material de alta tempetempe7.34 Para ratura ratura que se describe describe en el problema problema 7.29, 7.29, determine determine la tasa tasa de rendimiento rendimiento compuesta compuesta si la tasa tasa de reinversión reinversión es de 15% anual. Los flujos flujos de efectivo efectivo (que (que se repiten repiten a conticontinuación), nuación), están están expresados expresados en unidades unidades de $1000. $1000. Año Flujo de de efectivo, efectivo, $ O 1
m-
2
YO
3
ero en
Bonos Bonos 7.35
Un bono bono municipal municipal que emitió emitió hace tres años la ciudad ciudad de Phoenix Phoenix tiene un valor nominal nominal de $25 000 y una tasa de interés interés de 6% que se paga paga semestralmente. semestralmente. Si hay que pagar pagar el bono 25 años después después de que se emitió, emitió, a) ¿cuáles ¿cuáles son la cantidad cantidad y frefrecuencia pagos por intereses cuencia de los pagos intereses del bono, y b) ¿qué usarse en la ¿qué valor valor de n debe debe usarse fórmula PIA para para encontrar presente fórmula PIA encontrar el valor presente de los pagos pagos restantes por intereses restantes por intereses del bono? Suponga que la tasa de interés interés en el bono? Suponga mercado es de 8% anual, compuesto compuesto semesmercado tralmente. tralmente.
7.36 7.36
Un bono bono hipotecario hipotecario de $10 000 con tasa interés de 8% anual que se paga forma de interés paga en forma trimestral se compró trimestral compró en $9 200. El bono bono se guardó hasta hasta que debió debió pagarse, guardó pagarse, es decir, 7 años en total. total. ¿Qué tasa de rendimiento años ¿Qué tasa rendimiento (nominal) meses (nominal) obtuvo obtuvo el comprador comprador por por 3 meses y por por año?
7.37 7.37
Un plan plan para para remodelar remodelar el centro centro de Steubenville, benville, Ohio, Ohio, requirió requirió que la ciudad ciudad emitiera bonos de obligaciones tiera bonos obligaciones generales generales con valor de 5 millones millones para para reemplazar reemplazar la invalor fraestructura. fraestructura. La La tasa tasa de interés interés del bono bono se anual, pagaderos pagaderos en forma forma trifijó en 6% anual, mestral, con con fecha fecha de repago repago futuro futuro del del mestral, capital capital principal principal para para 30 años años después. después. Las tarifas tarifas bursátiles bursátiles por por la transacción transacción fueron fueron total de $100 $100000. ciudad recibió recibió por un total 000. Si la ciudad $4.6 millones millones (antes de pagar pagar las comisiones comisiones mencionadas) mencionadas) generados generados por por la emisión emisión del bono, a) ¿qué ¿qué tasa tasa de interés interés (trimestral) (trimestral) bono, necesitan necesitan los inversionistas inversionistas para para comprar comprar los bonos?, b) b) ¿cuáles ¿cuáles son para para los inversionisinversionisbonos?, tas tas las las tasas tasas de rendimiento rendimiento nominal nominal y efectiva efectiva por por año? año?
compañía que fabrica fabrica discos para para emUna compañía bragues de carros de carreras, tuvo en uno de departamentos los flujos de efectivo efectivo que sus departamentos continuación. Calcule Calcule a) la se presentan presentan a continuación. tasa interna interna de rendimiento, tasa rendimiento, y b) la tasa de rendimiento compuesta, con el uso de una rendimiento compuesta, tasa de reinversión reinversión de 15% anual. Año
4 5
-5000 -5000 4000 4000
O O
OO 20000 20000 -15000 -15000
281
7.38 7.38 Un Un bono bono colateral colateral con con valor valor nominal nominal de de 000 fue comprado comprado por por un inversionista inversionista $5 000 Hay que que pagar pagar el bono bono dentro dentro de en $4 100. Hay 11 años con con una una tasa tasa de interés interés de 44% anual, 11 % anual, que que se paga paga de modo modo semestral. semestral. Si el inverinversionista sionista guardó guardó el el bono bono hasta hasta su vencimienvencimien-
282 282
CAPÍTULO CAPÍTULO 77
Análisis Análisis de de tasa tasa de de rendimiento: rendimiento: alternativa alternativa única única
to, ¿qué ¿qué tasa tasa de rendimiento rendimiento obtuvo obtuvo por por to, periodo semestral? semestral? periodo 7.39 7.39
ingeniero que que planeaba planeaba la educación educación Un ingeniero universitaria de su hijo hijo compró compró un cupón cupón universitaria cero corporativo corporativo (es decir, decir, que que no tiene tiene cero pagos por por intereses) por $9 250. El bono bono pagos intereses) por tiene un valor valor nominal nominal de $50 $50 000 000 y debe debe tiene pagarse en 18 años. Si el bono bono se conserva conserva pagarse hasta su vencimiento, vencimiento, ¿cuál ¿cuál es la tasa tasa de hasta rendimiento que obtendrá obtendrá el ingeniero ingeniero por por rendimiento su inversión? inversión?
miento miento semestral semestral que que logró logró un inversionisinversionista que que compró compró uno uno con con valor valor nominal nominal de $5 000 000 hace hace 4 años años y lo conservó conservó hasta hasta que que se lo solicitaron solicitaron 4 años años más más tarde? tarde? 7.41 7.41
7.40 Hace Hace cuatro hizo una una emisión emisión cuatro años, Texaco Texaco hizo de $5 millones millones de bonos bonos certificados certificados con una anual, que que se paga paga tasa de interés interés de 10% anual, en forma tasas de interés interés en forma semestral. semestral. Las tasas el mercado mercado disminuyeron compañía disminuyeron y la compañía recuperó los bonos bonos (es decir, los pagó pagó en recuperó forma premio forma anticipada) anticipada) con un 10% de premio sobre nominal (pagó millones sobre su valor valor nominal (pagó $5.5 millones retirarlos). ¿Cuál fue la tasa de rendirendipor retirarlos).
Hace Hace cinco cinco años, años, GSI, GSI, una una compañía compañía petrolera trolera de servicios, servicios, emitió emitió bonos bonos a 30 años años con La tasa tasa con valor valor de $10 $10 millones millones al 12%. La de interés interés en el mercado mercado disminuyó disminuyó lo suficiente ficiente para para que que la compañía compañía considerara considerara recuperar recuperar los los bonos. bonos. Si la la empresa empresa los los comprara comprara de nuevo nuevo en $11 millones, millones, a) ¿qué ¿qué tasa tasa de rendimiento rendimiento trimestral trimestral obtendría obtendría sobre sobre el desembolso desembolso de $11 millones, millones, y b) ¿qué ¿qué tasa tasa nominal nominal de rendimiento rendimiento anual anual lograría inversión de $11 millones? lograría sobre sobre la inversión millones? Recomendación: Recomendación: si gasta gasta $11 millones millones ahora, ahora, la compañía compañía no tendría tendría que que pagar pagar los intereses intereses semestrales semestrales del bono bono o pagar pagar el valor cuando venzan valor nominal nominal de éstos éstos cuando venzan dentro de 25 años. dentro
PROBLEMAS PROBLEMAS DE REPASO FI 7.42
Cuando el flujo de efectivo efectivo neto de una alCuando ternativa ternativa cambia cambia de signo signo más de una vez, efectivo es: se dice que el flujo de efectivo a) Convencional Convencional Simple b) Simple c) Extraordinario Extraordinario d) No convencional convencional
7.43
De acuerdo acuerdo con la regla regla de los signos signos de Descartes, Descartes, ¿cuántos ¿cuántos valores valores posibles posibles de la tasa de rendimiento rendimiento existen existen para el flujo de efectivo efectivo que tienen los siguientes siguientes signos?: ++++-----+-+---++ ++++------+-+---++ a) 3 b) 5 c) 6 d) Menos de 3
7.44
compañía manufacturera manufacturera pequeña pequeña obUna compañía $1 millón, lo reembolsó reembolsó tuvo un préstamo de $1
7.
7.
7 por por medio medio de pagos pagos mensuales mensuales de $20 000 durante 2 años más un pago global global único único de durante años. La tasa de inte$1 millón millón al final de 2 años. préstamo fue la más cercana cercana a: a: rés sobre el préstamo mensual a) 0.5% mensual mensual b) 2% mensual c) 2% anual d) 8% anual
7.45
criterio de N Norstrom, De acuerdo con el criterio orstrom, sólo positivo de la tasa de rendihay un valor positivo miento en una serie de flujo flujo de efectivo efectivo miento cuando éste: cuando Comienza como positivo positivo y cambia cambia de a) Comienza signo sólo una vez Empieza como como negativo negativo y cambia cambia de b) Empieza signo sólo una vez acumulado es mayor mayor que cero c) Su total acumulado acumulado es menor menor que cero d) Su total acumulado
7
PROBLEMAS
nisde que
peños tasa surara los 'qué dría
7.46
Una inversión de $60 000 dio origen a un ingreso uniforme de $10 000 anuales durante 10 años. La tasa de rendimiento sobre la inversión fue la más cercana a: a) 10.6% anual b) 14.2% anual c) 16.4% anual d) 18.6% anual
7.47
Para los flujos netos de efectivo que se muestran a continuación, el número máximo de soluciones posibles para la tasa de rendimiento es: a) O b) 1 c) 2 d) 3
y b)
nual nes? nes los el
7.48 000 ode intea a:
sólo nditivo ia de ia de cero cero
7.49
Año
Flujo neto de efectivo,
O 1 2 3 4 5 6
-60000 20000 22000 15000 35000 13 000 -2000
Suponga que a usted le proponen invertir hoy $100000 para recibir $10 000 anuales a partir del año 5 y que eso continuará siempre. Si aceptara la oferta, la tasa de rendimiento sobre la inversión sería de: a) Menos de 10% anual b) 0% anual c) 10% anual d) Más de 10% anual
283
7.50
Hace cinco años un alumno de una universidad pequeña donó $50 000 para establecer un fondo permanente para becas, de las cuales las primeras se entregaron 1 año después de que se donó el dinero. Si la cantidad entregada cada año (es decir, el interés) es de $4 500, la tasa de rendimiento que gana el fondo es lo más cerca a: a) 7.5% anual b) 8.5% anual c) 9% anual d) 10% anual
7.51
Cuando los flujos netos de efectivo son positivos y se generan antes del final de un proyecto y cuando estos flujos de efectivo se reinvierten con una tasa de interés mayor a la tasa interna de retorno, a) la tasa de retorno resultante es igual a la tasa interna de retorno b) la tasa de retorno resultante es menor a la tasa interna de retorno c) la tasa de retorno resultante es igual a la tasa de reinversión de retorno d) la tasa de retorno resultante es mayor a la tasa interna de retorno
7.52
Un bono hipotecario de $10 000 que se devuelve en 20 años paga intereses de $250 cada seis meses. La tasa de interés del bono está muy cerca de: a) 2.5% anual, con pagos trimestrales b) 5.0 % anual, con pagos trimestrales c) 5% anual, con pagos semestrales d) 10% anual, con pagos trimestrales
7.53
Un bono de $10 000 que vence en 20 años con interés de 8% anual pagadero trimestralmente, se emitió hace 4 años. Si el bono se comprara ahora en $10 000 y se conservara hasta su vencimiento, ¿cuál sería para el comprador la tasa efectiva de rendimiento por trimestre? a) 2% b) 2.03% c) 4% d) 8%
$
Un transportista de grandes cantidades de material compró un camión usado en $50 000, cuyo costo de operación fue de $5 000 por rnes, con ingresos promedio de $7 500 mensuales. Después de 2 años, lo vendió en $11 000. La tasa de rendimiento fue la más cercana a: a) 2.6% mensual b) 2.6% anual c) 3.6% mensual d) 3.6% anual
DE REPASO FI
-
-- --
1
--
-----
284 284
CAPÍTULO CAPÍTULO 7
Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativa única alternativa única Análisis
7.54 Una persona bono de persona compra compra en $4 000 un bono $5000 $5 000 con 5% anual, con intereses intereses que se pagan bono tiene tiene una pagan semestralmente. semestralmente. El bono fecha de vencimiento partir de vencimiento de 14 años a partir hoy. La ecuación ecuación para para calcular calcular en cuánto cuánto debe vender vender el bono persona para para dentro bono la persona dentro de 6 años, a fin de obtener una tasa de renrenobtener una dimiento dimiento de 12% anual, compuesto compuesto semessemestralmente, tralmente, es: a) 0 0== --44 000 + 125(P/A,6%,12) 125(P/A,6%,12) + x(P/F,6%,12) x(P/F,6%,12) b) 0 0== -4000 -4000 + 100(P/A,6%,12) 100(P/A,6%,12) + x(P/F,6%,12) x(P/F,6%,12) e) 0 0== -5000 -5000 + 125(P/A,6%,12) 125(P/A,6%,12) + x(P/F,6%,12) x(P/F,6%,12)
d) 0 0== --44 000 + 125(P/A,12%,6) 125(P/A,12%,6) + x(P/F,12%,6) x(P/F,12%,6)
7.55 7.55
Se encuentra venta un bono bono corporativo encuentra a la venta corporativo de $50 000 a pagarse pagarse en 20 años, con una paga en tasa de interés interés de 10% anual anual que se paga forma trimestral. inversionista lo comcomforma trimestral. Si un inversionista hasta su vencimiento, pra y lo conserva conserva hasta vencimiento, la rendimiento será tasa de rendimiento será la más cercana cercana a: a) 10% nominal nominal anual, compuesto trimescompuesto trimestralmente tralmente b) 2.5% por por trimestre trimestre e) Ambos Ambos incisos, incisos, a) y b), son correctos correctos d) 10% efectivo por año efectivo por
en de de de al de es ell cr El
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EJERCICIOS AMPLIADOS AMPLIADOS
EJERCICIO AMPLIADO 1: EL EL COSTO DE UNA UNA POBRE POBRE EJERCICIO AMPLIADO COSTO DE CLASIFICACIÓN CLASIFICACIÓN CREDITICIA CREDITICIA
Cl
Dos personas personas han solicitado préstamos de $5 000, cada una tasa de interés solicitado préstamos cada una, a una interés del 10% anual durante parte del acuerdo préstamo de Charles durante 3 años. Una parte acuerdo de préstamo Charles establece se paga paga a la tasa tasa de 10% compuesto blece que el interés interés " ... ...se compuesto cada cada año sobre sobre el saldo decreciente". que su pago pago anual será de $2 010.57, decreciente". A Charles Charles se le indica indica que 010.57, con vencimiento préstamo. cimiento al final de cada cada año del préstamo. Actualmente, Jeremy tiene una clasificación Actualmente, Jeremy tiene clasificación crediticia crediticia ligeramente ligeramente degradada, degradada, la cual préstamos del banco. banco. Jeremy tiene el cual fue descubierta descubierta por el ejecutivo ejecutivo de préstamos Jeremy tiene hábito pagar tarde sus facturas. banco aprobó préstamo, pero pero una parte parte de hábito de pagar facturas. El banco aprobó el préstamo, su acuerdo se paga paga a una tasa del 10% compuesta acuerdo establece establece que el interés interés " ... ...se compuesta cada cada año sobre sobre la cantidad pago anual cantidad original original del préstamo". préstamo". A Jeremy Jeremy se le dice que su pago será será de $2 166.67 con vencimiento vencimiento al final de cada año.
P
Preguntas Preguntas Responda mano, por por computadora Responda lo siguiente siguiente a mano, computadora o ambos.
1. Desarrolle Desarrolle un cuadro para Charles para Jeremy Jeremy de los saldos cuadro y una gráfica gráfica para Charles y para saldos no recuperados (cantidad total que se debe) justo justo antes de que venza venza cada pago. recuperados (cantidad total cada pago. intereses totales totales pagará pagará Jeremy Jeremy más que Charles durante los 2. ¿Cuánto ¿Cuánto dinero dinero en intereses Charles durante 3 años? años?
EJERCICIO AMPLIADO 2: ¿CUÁNDO MEJOR EJERCICIO AMPLIADO ¿CUÁNDO ES MEJOR VENDER NEGOCIO? VENDER UN UN NEGOCIO? estudios en la escuela escuela de medicina medicina e Imelda completó Luego de que Jeff Jeff terminó terminó sus estudios Imelda completó carrera en ingeniería, ingeniería, la pareja decidió poner sustancial de sus ahorros ahorros su carrera pareja decidió poner una parte parte sustancial
d(
D 1.
2. 3.
4.
ESTUDIO ESTUDIO DE DE CASO CASO
285
en propiedades 000 propiedades para rentarse. Con un fuerte préstamo préstamo bancario bancario y un pago de $120 $120000 de sus propios propios fondos, fondos, fueron fueron capaces capaces de comprar comprar seis casas a una persona persona que salía del negocio negocio de renta renta residencial. residencial. El flujo de efectivo efectivo neto sobre el ingreso ingreso por rentas rentas después después de todos los gastos e impuestos impuestos para para los primeros primeros 4 años fue bueno: $25 000 al final del primer aumentando en $5000 primer año, y aumentando $5000 cada cada año desde desde entonces. entonces. Un amigo amigo de Jeff Jeff lo presentó presentó con un potencial potencial comprador comprador de todas las propiedades propiedades con un estimado estimado de $225000 $225000 de efectivo efectivo neto después después de los 4 años de propiedad. propiedad. Pero ellos no venden, venden, pues quieren quieren permanecer permanecer en el negocio negocio un poco poco más, dado el creciente experimentado hasta creciente flujo de efectivo efectivo neto que han experimentado hasta el momento. momento. Durante Durante el año 5, una crisis económica económica redujo el flujo de efectivo efectivo neto a $35 000. En respuesta, respuesta, se gastaron gastaron $20 000 adicionales adicionales en mejoras mejoras y publicidad publicidad en cada cada uno de los años 6 y 7, pero pero el flujo de efectivo efectivo neto continuó continuó disminuyendo disminuyendo en $10 000 hasta el año 7. Jefftuvo Jefftuvo otra otra oferta oferta para vender en el año 7 por sólo $60 000. por año hasta para vender considerado demasiada demasiada pérdida, pérdida, así que ellos no aprovecharon aprovecharon la oportunioportuniEsto fue considerado dad. últimos 3 años, ellos han gastado gastado $20 000, $20 000 Y y $30 000 cada cada año En los últimos mejoras y costos costos de publicidad, publicidad, aunque aunque el flujo de efectivo efectivo neto del negocio negocio ha en mejoras sido de sólo $15 000, $10 000 y $10 000 cada año. Imelda y Jeff quieren quieren salir del negocio, negocio, pero no tienen tienen ofertas ofertas para para comprar comprar a Imelda cualquier precio tienen la mayor parte de sus ahorros ahorros comprometidos comprometidos en la renta renta cualquier precio y tienen mayor parte propiedades. de propiedades. Preguntas Preguntas Determine la tasa de rendimiento para lo siguiente: siguiente: Determine rendimiento para
1.
2. e a I
3. 4.
primero, si la oferta oferta de compra compra de $225 000 se hubiese hubiese Al final del año 4, primero, aceptado; segundo, segundo, sin la venta. aceptado; Después de 7 años, primero, primero, si la oferta oferta de "sacrificio" "sacrificio" de $60 000 se hubiese hubiese Después aceptado; y, segundo, segundo, sin vender. aceptado; Ahora, después después de 10 años, sin perspectiva perspectiva de venta. venta. Ahora, vendieran y diesen diesen como como caridad, caridad, suponga suponga una infusión infusión de efecefecSi las casas se vendieran para Jeff Jeff e Imelda, Imelda, después después de impuestos, impuestos, al final de este tivo neto de $25 000 para ¿Cuál es la tasa de rendimiento rendimiento durante durante los 10 años de propiedad? propiedad? año. ¿Cuál
&, • ,N-; o
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ESTUDIO DE CASO CASO ESTUDIO BOB APRENDE APRENDE ACERCA ACERCA DE DE TASAS TASAS DE DE RENDIMIENTO RENDIMIENTO MÚLTIPLES MÚLTIPLES BOB Antecedentes Antecedentes
tó
Cuando Bob Bob comenzó comenzó un internado internado de verano verano con con YAC, VAC, Cuando una compañía compañía distribuidora distribuidora de electricidad electricidad en una una ciuciuuna dad de la costa costa atlántica atlántica con con aproximadamente aproximadamente 275 275 000 000 dad
habitantes, su sujefe, Kathy, le dio dio un proyecto proyecto en su priprihabitantes, jefe, Kathy, mer día. día. Homeworth, Homeworth, uno uno de los los principales principales clientes clientes mer corporativos, acababa acababa de solicitar solicitar una una tasa tasa más más baja baja por por corporativos, kwh, una una vez vez que que su consumo consumo mínimo mínimo requerido requerido se exexkwh, ceda cada cada mes. mes. Kathy Kathy tiene tiene un reporte reporte interno interno del del DeDeceda
286 286
CAPÍTULO 7 CAPÍTULO
Análisis de de tasa tasa de de rendimiento: rendimiento: alternativa alternativa única única Análisis
partamento de de Relaciones Relaciones con con Clientes Clientes que que especifica especifica partamento los flujos flujos de de efectivo efectivo netos netos para para la la cuenta cuenta Homeworth Homeworth los durante los los últimos últimos 10 10 años. años. durante Año
1993 1993 1994 1994 1995 1995 1996 1996 1997 1997 1998 1998 1999 1999 2000 2000 2001 2001 2002 2002
efectivo ($1 000) 000) Flujo de efectivo
$200 $200 100 100 50 50 -1800 -1 800 600 600 500 500 400 400 300 300 200 200 100 100
reporte también también establece rendiEl reporte establece que que la tasa tasa de rendi50%, pero no se propormiento anual está entre entre 25 y 50%, miento anual está pero no proporciona mayor información. información no no está está lo ciona mayor información. Esta Esta información suficientemente detallada evalúe la sosuficientemente detallada para para que que Kathy Kathy evalúe licitud de la compañia. licitud compañía. Durante Bob y Kathy Durante las las siguientes siguientes horas, horas, Bob Kathy tienen tienen una serie de discusiones, una serie de discusiones, cuanto cuanto Bob Bob trabajaba trabajaba para para responder preguntas de responder las cada cada vez vez más más específicas específicas preguntas Kathy. Kathy. Lo Lo siguiente siguiente es una una versión versión abreviada abreviada de tales tales conversaciones. Kathy conversaciones. Por Por fortuna, fortuna, tanto tanto Bob Bob como como Kathy tomaron tomaron un curso curso de ingenieria ingeniería económica económica durante durante sus estudios estudios universitarios, universitarios, y sus profesores profesores cubrieron cubrieron el método método para para encontrar encontrar una una tasa tasa de rendimiento rendimiento única única para cualquier para cualquier serie serie de flujo flujo de efectivo. efectivo.
equipo cuando Homeworth Homeworth expandió expandió su su cacaequipo in situ, cuando pacidad tupacidad manufacturera manufacturera yy aproximadamente aproximadamente quin quintuplicó plicó el uso uso de de la la energía. energía. 2. 2. Una Una vez vez que que Bob Bob finalizó finalizó su análisis análisis inicial, inicial, Kathy Kathy le le dijo dijo que que ella ella había había olvidado olvidado decirle decirle que que la la tasa tasa de de rendimiento rendimiento ganada ganada externamente, externamente, sobre sobre los los flujos flujos de de efectivo efectivo positivos positivos de de estos estos grandes grandes clientes, clientes, está está colocada colocada en en un un consorcio consorcio de de capital capital de de riesgo riesgo estaestablecido blecido en en Chicago. Chicago. Ha Ha estado estado produciendo produciendo 35% 35% anual anual durante durante la la última última década. década. Ella Ella quería quería saber saber si todavía todavía existía existía tal tal rendimiento rendimiento y si la la cuenta cuenta HomeHomeworth worth era era financieramente financieramente viable viable a una una TMAR TMAR de de 35%. 35%. En respuesta a esta En respuesta esta pregunta, pregunta, Bob Bob desarrolló desarrolló el el procedimiento pasos esbozado procedimiento de cuatro cuatro pasos esbozado líneas líneas abaabajo, mayor cercanía jo, para para estimar estimar con con mayor cercanía la tasa tasa de de renrendimiento dimiento compuesta compuesta i' para para cualquier cualquier tasa tasa de de reinreinversión versión e y dos dos tasas tasas múltiples múltiples i'\ i~ e ii~. ~ . Él planea planea aplicar procedimiento para esta últiaplicar este este procedimiento para responder responder esta última pregunta y mostrar mostrar los los resultados ma pregunta resultados a Kathy. Kathy. raíces i* de la relación Paso 1. Determine Determine las raices relación VP VP para efectivo. para la serie serie de de flujo flujo de efectivo. tasa de reinversión reinversión e dada dada y los Paso 2. Para Para una una tasa valores i* del del paso paso 1, determine determine cuál cuál de dos valores siguientes condiciones condiciones se aplica: aplica: las siguientes
a) b) e)
entonces i' < i'~. i'\. Si e < iitt entonces i~, entonces entonces i' > i~ il. Si e > i~, i~1 < e < i~, entonces entonces i' puede puede ser ser Si i~ menor que que e o mayor mayor que que e, e i~1 i~ < i' < menor
q. i~.
Desarrollo Desarrollo de la situación situación 1. Kathy Kathy le pidió pidió a Bob Bob realizar realizar un estudio estudio preliminar preliminar para para encontrar encontrar la tasa tasa de rendimiento rendimiento correcta. correcta. Ella Ella sólo sólo quería quería un número, número, no un rango, rango, y no dos dos o tres posibles posibles valores. valores. Sin embargo, embargo, ella ella tenía tenía un interés interés pasajero pasajero en conocer conocer inicialmente inicialmente los valores valores de las múltiples múltiples tasas, tasas, si es que que existen, existen, para para determinar determinar si el reporte reporte de las relaciones relaciones con con clientes clientes era correcto correcto o sólo sólo un "disparo "disparo en la oscuridad" oscuridad". . Kathy Kathy le dijo dijo a Bob Bob que que la TMAR TMAR para para la comcompañía pañía es de 15% 15% anual anual para para los grandes grandes clientes. clientes. Ella Ella también también le explicó explicó que el flujo flujo de efectivo efectivo negativo negativo de 1996 fue provocado provocado por por una una actualización actualización del
Suponga un valor valor inicial inicial para para i' i' de acuerdo acuerdo Paso 3. Suponga con el resultado resultado del del paso paso 2. Aplique Aplique el mémécon todo de inversión inversión neta neta para para los periodos periodos 1 a todo Repita este este paso paso hasta hasta que que F" F" esté esté cerca cerca n. Repita o. Si esta esta Fn F" es un pequeño pequeño valor valor positipositide O. suponga otra otra i' que que resultará resultará en un pevo, suponga queño valor valor negativo negativo F", F,,, y viceversa. viceversa. queño Usando los dos resultados resultados Fn F" del del paso paso 3, Paso 4. Usando interpole linealmente linealmente i', i', de tal modo modo que que la interpole F" correspondiente correspondiente sea cercana cercana a cero. cero. DesDesF" luego, el valor valor i'i' final final también también puede puede de luego, obtenerse directamente directamente en el paso paso 3, sin obtenerse interpolación. interpolación.
-
ESTUDIO DE CASO
Finalmente, Kathy le pidió a Bob evaluar nueva3. Finalmente, mente los flujos de efectivo efectivo de Homeworth Homeworth a la TMAR de 35%, pero usando una tasa de reinversión de 45% para determinar determinar si la serie todavía estájusestá justificada.
Ejercicios Ejercicios del del estudio estudio de caso, caso. y 3. Responda las preguntas para Bob empleando 1, 2 Y una hoja de cálculo.
287
4. Si el procedimiento procedimiento de aproximación aproximación de i'i' que desarrolló Bob no está disponible, utilice los datos del flujo de efectivo original para aplicar el procedimiento básico de inversión neta, y responda los ejercicios 2 y 3, donde e es 35 y 45%, respectivamente. respectivamente. 5. A partir de este ejercicio Kathy concluyó que cualquier serie de flujo de efectivo está económicamente justificada justificada para cualquier tasa de reinversión que TMAR. ¿Se trata una conclusión sea mayor que la TMAR correcta? Explique por qué sí o por qué no.
o o 1-
« u u
Análisis de de tasa de de rendimiento: rendimiento: alternativas alternativas múltiples múltiples Este Este capítulo presenta los métodos métodos que se se utilizan para evaluar dos o más más alternativas mediante mediante una con base una comparación comparación de tasa tasa de rendimiento rendimiento (TR) (TR)con base en los métodos métodos de los los capítulos anteriores. La La evaluación mediante mediante la la TR, TR, desarrollada correctamente la efectuada con correctamente,, resultará resultará en la la misma selección que la los análisis VP, VA y VF, análisis del VP,VA VF, aunque el procedimiento procedimiento computacional computacional es es considerablemente derablemente diferente diferente para para las las evaluaciones mediante mediante la la TR. TR. El El primer primer estudio estudio de caso caso involucra opciones opciones múltiples múltiples para un un negocio negocio propiedad propiedad de una una persona durante durante varios años. El El segundo segundo caso caso explora series de flujo imiento y el flujo de efectivo efectivo no convencionales convencionales con múltiples múltiples tasas tasas de rend rendimiento uso del método método VP VP en esta esta situación situación..
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: seleccionar la mejor de las alternativas mutuamente excluyentes con base en el análisis de tasa de rendimiento sobre flujos de efectivo incrementales. Este capítulo ayudará al lector a: 1. Establecer por qué es necesario un análisis incremental para comparar alternativas con el método TR.
¿Por qué análisis incremental?
2. Preparar una tabulación del flujo de efectivo incremental para dos alternativas.
Flujos de efectivo incrementales
ás ase con nsieio ries yel
I
Interpretación
de-
I TR incrementales
mediante
3. Interpretar el significado de la TR sobre la inversión inicial incremental.
4. Seleccionar la mejor entre dos alternativas utilizando análisis de
VP
la TR de equilibrio o incrementales con base en el valor presente. TR incremental
5. Seleccionar la mejor entre dos alternativas utilizando un análisis
mediante VA
de la TR con base en el valor anual 6. Seleccionar la mejor entre múltiples alternativas utilizando un análisis incremental de la TR.
Múltiples alternativas
Hojas de cálculo
J
7. Desarrollar hojas de cálculo que incluyan evaluación de VP,VA y TR para múltiples alternativas de vida diferente.
290
CAPÍTULO 8 CAPÍTULO
8.1
Mutuamente Mutuamente excluyente excluyente
Análisis de de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas múltiples Análisis alternativas múltiples
¿POR QUÉ ANÁLISIS INCREMENTAL? QUÉ ES ES NECESARIO NECESARIO EL ANÁLISIS INCREMENTAL?
Cuando consideran dos o más alternativas mutuamente excluyentes, ingenieCuando se consideran alternativas mutuamente excluyentes, la ingenieidentificar la alternativa mejor econóría económica económica es capaz capaz de identificar alternativa que se considera considera mejor económicamente. demostró, para micamente. Como Como se demostró, para hacerlo hacerlo se utilizan utilizan las técnicas técnicas VP y VA. Ahora se examina examina el procedimiento emplear las técnicas procedimiento para para emplear técnicas de tasa tasa de rendimiento rendimiento con la finalidad finalidad de identificar identificar la mejor. Suponga una compañía utiliza una una TMAR Suponga que una compañía utiliza TMAR de 16% anual, y que la compacompapara inversión ñía tiene $90 000 disponibles disponibles para inversión y que se están evaluando evaluando dos alternatialternatirequiere una inversión tiene una tasa tasa vas (A y B). La alternativa alternativa A requiere inversión de $50000 $50000 y tiene interna it de 35% anual. La alternativa alternativa B requiere interna de rendimiento rendimiento i! requiere $85 000 y tiene tiene una i~ de 29% anual. Por intuición intuición se concluye alternativa es aquella aquella concluye que la mejor mejor alternativa produce la tasa de rendimiento rendimiento más alta, A en este caso. Sin embargo, neceque produce embargo, no necesariamente debe ser así. Aunque sariamente Aunque A tiene tiene el rendimiento rendimiento proyectado proyectado más alto, requiere también una una inversión inversión inicial inicial que es mucho mucho menor menor que el dinero dinero total total dispodispoquiere también nible ($90 000). ¿Qué sucede con el capital nible ¿Qué sucede capital de inversión inversión restante? restante? Por lo general, general, se supone que los fondos sobrante sobrante se invertirán supone invertirán en la TMAR TMAR de la compañía, compañía, como como se planteó en el capítulo capítulo anterior. Utilizando Utilizando dichos dichos supuesto, posible determinar determinar planteó supuesto, es posible las consecuencias consecuencias de las inversiones alternativas. Si se selecciona alternativa A, inversiones alternativas. selecciona la alternativa se invertirán invertirán $50 000 a una una tasa de 35% anual. Los $40000 restantes invertirán $40000 restantes se invertirán a la TMAR TMAR de 16% anual. La tasa de rendimiento rendimiento sobre el capital capital total total disponible, disponible, entonces, será el promedio estos valores. selecciona entonces, promedio ponderado ponderado de estos valores. Por lo tanto, si se selecciona la alternativa alternativa A, global = = 50000 TRA global 50000 (0.35) + 40 000(0.16) 000(0.16) A 90000 90000
26.6% == 26.6%
elige la alternativa alternativa B, se invertirán Si se elige invertirán $85 000 que producen producen 29% anual y los $5 000 restantes restantes generarán generarán 16% anual. Ahora, Ahora, el promedio promedio ponderado ponderado es
TRB global global B
==
85000(0.29) 85000(0.29) + 5 000(0.16) 000(0.16) 90000 90000
28.3% == 28.3%
Estos cálculos muestran aunque la i* para alternativa A es mayor, alternaEstos cálculos muestran que, aunque para la alternativa mayor, la alternapresenta la mejor mejor TR global global para para la inversión inversión total de $90 000. Si se realizara realizara tiva B presenta comparación VP o VA utilizando utilizando la TMAR TMAR i = 16% anual, se debería una comparación debería elegir elegir la alternativa alternativa B. Este simple ilustra un hecho hecho importante importante sobre método de la tasa tasa de Este simple ejemplo ejemplo ilustra sobre el método rendimiento para para comparar rendimiento comparar alternativas: alternativas:
Bajo valores de las TR de los proyectos proyectos no proBajo algunas algunas circunstancias, circunstancias, los valores porcionan el mismo mismo ordenamiento porcionan ordenamiento de alternativas alternativas que los análisis análisis de VP o de VA. Esta Esta situación realiza un análisis situación no ocurre ocurre si se realiza análisis de la TR del flujo de efectivo efectivo incremental incremental (descrito (descrito en la siguiente siguiente sección). sección). Proyectos Proyectos independ ientes independientes
Cuando proyectos independientes, independientes, no es necesario necesario el análisis Cuando se evalúan evalúan proyectos análisis incremental entre proyectos. Cada proyecto se evalúa evalúa por por separado, puede incremental entre los proyectos. Cada proyecto separado, y puede seleccionarse consecuencia, la única única comparación para cada proseleccionarse más de uno. En consecuencia, comparación para cada pro-
8.
E:
al
p: z~
o :M p
12.65%, lo opuesto es cierto; la inversión adicional en B no debe efectuarse, y se elige al vendedor A. Si TMAR es exactamente 12.65%, las alternativas son igualmente atractivas.
• • •
La figura 8.4, que es una gráfica de equilibrio de VP contra i para los flujos de efectivo (no incrementales) de cada alternativa en el ejemplo 8.3, proporciona los mismos resultados. Como todos los flujos de efectivo netos son negativos (alternativas de servicio), los valores de VP son negativos. Ahora, se llega a las mismas conclusiones usando la siguiente lógica: Si TMAR < 12.65%, seleccione B pues el VP de los flujos de efectivo de costo es menor (numéricamente mayor). Si TMAR > 12.65%, seleccione A pues ahora su VP de costo es menor.
•
Figura 8.3 Gráfica del valor presente de flujos de efectivo incrementales para el ejemplo 8.3 a diversos valores Si.
!'J.i de equilibrio es 12.65%
1800 1600
-+01-----
Para TMAR en este rango, -----t*"l--en elija
Para TMAR este rango, __ seleccione A
1400 1200 Y7
'"
]
1 000
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800
.S o > ".g
600
e
~ u
200
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-e
¡¡::
" e,
o
-e
:>
6 -200 -400 -600 Vendedor B -800
VendedorA
El to na
•
SECCIÓN 8.4
Evaluación
de la tasa de rendimiento
10
""V>
o >
-25000
E
-26000
'"t>
-27000
301
utilizando VP
Tasa de interés, %
Figura
11
Gráfica de equilibrio de los flujos de efectivo (no incrementales) del ejemplo 8.3.
12
13
14
15
16
.~
2
o
.~
~
Si TMAR es exactamente 12.65%, cualquier alternativa es igualmente atractiva. o
El siguiente ejemplo ilustra la evaluación de TR incremental y la tasa de rendimiento de equilibrio en gráficas para alternativas de ingreso. En el capítulo 13 se examina más a fondo el análisis de punto de equilibrio.
EJEMPLO
8.4
..."'
El Bank of America emplea una TMAR de 30% sobre alternativas para sus propios negocios que se consideran riesgosos, es decir, la respuesta del público al servicio que no se ha establecido bien por pruebas de mercadeo. Dos sistemas de software alternativos y los planes de mercadeo/entrega han sido desarrollados conjuntamente por ingenieros de software y el departamento de mercadeo. Éstos se utilizarán en un nuevo banco en línea y en servicios de préstamo a pasajeros en cruceros y en barcos militares en aguas internacionales. Para cada sistema, las estimaciones de inicio, ingreso neto anual y valor de salvamento (es decir, valor de venta a otra corporación financiera) se suman líneas abajo. a) b)
Realice el análisis de TR incremental por computadora. Desarrolle la gráfica VP contra i para cada alternativa y la incremental. nativa, si existe alguna, debe seleccionarse?
Inversión inicial, $1 000 Ingreso anual neto estimado,
$1000 Valor de salvamento, $1000 Vida competitiva estimada, años
Sistema
Sistema
A
B
-12000
-18000
5000 2500
7000 3000
8
8
¿Cuál alter-
m Sol-E
8.4
302
CAPÍTULO alternativas múltiples múltiples CAPÍTULO 8 Análisis Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas
Solución por por computadora computadora Solución a) Remítase usa en en las las celdas celdas B 13 YE13 YE13 para para despledespleRemítase a la figura figura 8.5a. 8.5a. La La función función TIR TIR se usa como una una herramienta herramienta de investigagar gar i* para para cada cada alternativa. alternativa. Se Se usan usan los los valores valores i* como investigación alternativas exceden exceden la la TMAR. TMAR. Si ninguna ción preliminar, preliminar, sólo sólo para para determinar determinar qué qué alternativas ninguna hace, la alternativa alternativa NH NH se indica indica automáticamente. automáticamente. En 30%; se lo hace, En ambos ambos casos, casos, i* > 30%; columretienen efectivo incrementales incrementales (columna (columna G = columretienen ambas. ambas. Se Se calculan calculan los los flujos flujos de efectivo naEfunción TIRresulta en Di* Di* = 29.41 29.41 %. Este Este valor valores ligeramenna E- columna columna B), y la función TIR resulta en es ligerameninferior a la TMAR; elige la alternativa alternativa A te inferior TMAR; se elige A como corno la mejor mejor elección elección económica. económica. La figura figura 8.5b 8.5b contiene contiene gráficas gráficas de de VP VP contra contra i para series de b) La para las las tres tres series de flujo flujo de de efectivo efectivo curva inferior inferior (análisis (análisis incremental) incremental) indica indica entre entre las las tasas tasas de interés interés de 25 y 42%. 42%. La La curva TR de equilibrio equilibrio en 29.41 29.41 %, que que es donde donde se cruzan cruzan las las curvas curvas VP VP de de las las dos dos la TR la misma; misma; con con TMAR TMAR = 30%, 30%, seleccione seleccione alternativas. alternativas. La La conclusión, conclusión, nuevamente, nuevamente, es la en la celda celda D5 D5 de de la la figura figura 8.5a) 8.5a) es ligeraligerala alternativa alternativa A pues pues su valor valor VP VP ($2,930 ($2,930 en mente mente mayor mayor que que la de B ($2,841 ($2,841 en F5). F5).
Comentario Comentario Con análisis, tanto tanto el el de de VP VP como como el el de de TR TR Con este este formato formato de hoja hoja de cálculo, cálculo, ambos ambos análisis, incremental, para demostrar demostrar la la conclusión conclusión del del anáanáincremental, se han han mejorado mejorado con con respaldo respaldo gráfico gráfico para lisis lisis de ingeniería ingeniería económica. económica.
Il!!lIri.l Ej x
'..: Mlelosoll Exeel
e a)
" ú ¡*
1,
39.31%,
l.
=VPN($Cll,$B$4:$B$ll)+$B$3
=-__
r
1. '1
a
= Ready
Figura Figura 8.5 Solución de TR TR incremental, incremental, b) b) gráficas gráficas de de VP VP Solución en hoja hoja de cálculo cálculo para para comparar comparar dos dos alternativas: alternativas: a) análisis análisis de contra i, ejemplo ejemplo 8.4. 8.4. contra
s r ( r
SECCIÓN 8.4
303
Evaluación de la tasa de rendimiento utilizando VP
$7,000 $6,000 $5,000 $4,000
o o o
b)
$3.000
'"eL
$2.000
5
$1,000
ro
>
.* para A: 39.31 %
¡
>
,..
$. $(1.000) $(2.000) $(3.000)
+--l---l----'-i-,---I--+--+--+----+----+----1 0.24
0.26
0.28
0.3\
~ l-tt-vP
•
I_Chartl
Sheetl
Sheet2
Sheet3
0.32
0.34
0.36
0.38
Tasa de interés,
i%
de A -+-VP de B....",.VP de
Incrl
0.4
0.42
0.44
Sheel:4
Figura 8.5 (Continuación.)
La figura 8.5b ofrece una excelente oportunidad para saber por qué el método de TR puede resultar en la selección de la alternativa errónea, cuando sólo se usan valores i* para elegir entre dos alternativas. A esto se le llama a veces el problema de inconsistencia de ordenación del método TR. La inconsistencia ocurre cuando la TMAR se establece menor que la tasa de equilibrio entre las dos alternativas de ingreso. Ya que la TMAR se establece con base en condiciones de la economía y el mercado, la TMAR se establece de manera externa a cualquier evaluación particular de alternativas. En la figura 8.5b, la tasa de equilibrio es 29.41 %, Y la TMAR es 30%. Si la TMAR se establecera más abajo que la de equilibrio, digamos a 26%, el análisis de TR incremental resulta en seleccionar correctamente B, puesto que f>.i* = 29.41 %, la cual excede a 26%. Pero si sólo se utilizaran valores i*, el sistema A sería erróneamente elegido, ya que su i* = 39.31 %. Este error ocurre porque el método de tasa de rendimiento supone reinversión al valor TR de la alternativa (39.31 %), mientras que los análisis VP y VA usan la TMAR como la tasa de reinversión. La conclusión es simple: Si se emplea el método TR para evaluar dos o más alternativas, use los flujos de efectivo incremental y ai* para tomar la decisión entre alternativas.
304
CAPÍTULO CAPÍTULO 8
8.5 8.5
m m Sol· sei-sE
Análisis Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas alternativas múltiples múltiples
EVALUACiÓN DE LA TASA DE RENDIMIENTO RENDIMIENTO EVALUACiÓN UTILIZANDO UTILIZANDO VA
La comparación de de alternativas con el método método TR, TR, realizado realizado de de manera manera correcta, correcta, La comparación alternativas con siempre conduce conduce a la la misma misma decisión decisión que que un un análisis análisis VP VP o VA, independientemente independientemente siempre de de si TR TR se determina determina con con una una ecuación ecuación basada basada en en VP VP o en en VA VA Sin Sin embargo, embargo, para para la técnica técnica basada basada en en VA, existen existen dos dos formas formas equivalentes equivalentes para para realizar realizar la evaluación: evaluación: usando los los flujos efectivo incrementales incrementales sobre sobre el MCM MCM de de vidas vidas alternativas, alternativas, tal tal flujos de efectivo usando como se hace hace para para la la relación relación con con base base en en VP VP (sección (sección anterior), anterior), o encontrando encontrando el como para los los flujos efectivo reales de de cada cada alternativa, alternati va, y estableciendo estableciendo la la diferendiferenVA para flujos de efectivo cia de de los los dos dos igual igual a cero para hallar hallar el el valor valor !1i*. !1i*. Desde Desde luego, luego, no no existe existe diferencia diferencia cia cero para entre entre los los dos dos enfoques enfoques si las las vidas vidas alternativas alternativas son son iguales. iguales. Ambos Ambos métodos métodos se resuresumen aquÍaquí, men Como flujos de Como el método método de de TR TR requiere requiere la comparación comparación de de servicio servicio igual, igual, los flujos efectivo MCM de las vidas. efectivo incrementales incrementales deben deben evaluarse evaluarse sobre el MCM vidas. Cuando Cuando se reresuelve a mano mano para para !1i*, !1i*, quizá quizá no no haya haya ventaja ventaja computacional computacional real real para para usar usar VA, suelve como se descubrió descubrió en en el capítulo capítulo 6. Se Se usa usa el mismo mismo procedimiento procedimiento de de seis seis pasos pasos de de como la sección sección previa (para cálculos cálculos con con base base en en VP), VP), excepto excepto que que en en el paso paso 5 se desadesala previa (para rrolla rrolla la relación relación con con base base en en VA. VA. Para por computadora, Para la comparación comparación por computadora, con con vidas vidas iguales iguales o diferentes, diferentes, los los flujos flujos de efectivo efectivo incrementales incrementales deben deben calcularse calcularse sobre sobre el MCM MCM de de las las dos dos vidas vidas alternaalternade tivas. Luego se aplica aplica la función función TIR TIR para para encontrar encontrar !1i*, Si", que que es la misma misma técnica técnica tivas. Luego desarrollada en en la sección sección anterior anterior y usada usada en hoja de de cálculo cálculo de de la figura figura 82. 8-2. desarrollada en la hoja
Usar la función función TIR de estaforma funciones estaforma es la manera manera correcta correcta de emplear emplear las funciones de hoja Excel para para comparar hoja de cálculo cálculo de Excel comparar alternativas alternativas con el método método TRTR El El segundo segundo método, método, basado basado en en VA, toma toma ventaja ventaja de de la suposición suposición de de la técnica técnica VA de para cada primero y todos de que que el valor valor VA equivalente equivalente es el mismo mismo para cada año año del del primero todos los los ciclos ciclos de de vida vida sucesivos. sucesivos. Ya sea sea que que las las vidas vidas sean sean iguales iguales o diferentes, diferentes, establezestablezca para los flujos flujos de efectivo para cada alternativa, la ca la relación relación VA VA para efectivo para alternativa, conforme conforme la relación relación siguiente siguiente y resuelva resuelva para para i*. i". [8-3] [8-3] V AY ciclos de vida VA Yciclos vida
8.
La La ecuación ecuación [8.3] [8.3] se aplica aplica solamente solamente a soluciones soluciones obtenidas obtenidas a mano, mano, no no en en soluciosoluciones nes por por computadora. computadora. Para equivalentes están base de Para ambos ambos métodos, métodos, todos todos los los valores valores equivalentes están sobre sobre la base de VA, de de manera manera que que la i* que que resulta resulta de de la ecuación ecuación [8-3] es la misma misma que que la !1i* !1i* enconencontrada usando trada usando el primer primer enfoque. enfoque. El El ejemplo ejemplo 8.5 8.5 ilustra ilustra el análisis análisis TR TR usando usando relarelaciones ciones con con base base en en VA, para para vidas vidas diferentes. diferentes. al EJEMPLO EJEMPLO
8.5
:.l,v ,,~t
Compare las alternativas de los vendedores vendedores A y B para para Verizon Verizon Communications Communications en el Compare las alternativas ejemplo 8.3, 8.3, empleando empleando un método método TR TR incremental incremental basado basado en en VA y la misma misma TMAR TMAR de ejemplo 15% anual. anual. 15%
Sé
si la SE
el re
SECCIÓN 8.6
Análisis TR de múltiples alternativas mutuamente mutuamente exc1uyentes excluyentes
Solución Solución
cta, ente ala ión: , tal o el renncia esusde reVA, s de esaujos manica 8.2. nes
Por referencia, la relación TR basada en VP, VP, ecuación [8.2], para el flujo de efectivo efectivo incremental del ejemplo 8.3 muestra que el vendedor A deberá elegirse pues ~i* ~i* = 12.65%. equivalente. Escriba un relaPara la relación VA, VA, existen dos enfoques de solución equivalente. ción basada en VA VA sobre la serie de flujo de efectivo incremental sobre el MCM de 10 años, o escriba la ecuación [8.3] para las dos series de flujo de efectivo real durante un ciclo de vida de cada alternativa. Para el método incremental, la ecuación VAes VA es 0=-5 000(AlP,~i,10) 000(AlP,~i,10) -11 -11 OOO(P/F,~i,5)(AlP,~i,lO) OOO(P/F,~i,5)(AlP,~i,lO) + 2 OOO(AlF,~i,lO) 0=-5 OOO(AlF,~i,lO) + 1 900
Es fácil ingresar los flujos de efectivo incrementales incrementales en una hoja de cálculo, como en la figura 8.2, columna D, y usar la función TIR(D4:D14) TIR(D4:DI4) para desplegar desplegar ~i* ~i* = 12.65%. utilizando las vidas Para el segundo método, la TR se encuentra encuentra con la ecuación [8.3] utilizando respectivas de 10 años para A y 5 años para B. VA VAAA =.-8 = -8 OOO(AlP,i,lO) - 3500 3500 VA 600 VABB = -13 -13 000(AlP,i,5) 000(AlP,i,5) + 2 000(AlF,i,5) 000(AlF,i,5) - 1 1600
VABB - VA VAAA• Ahora desarrolle O = VA
0= 900 0= -13 -13 000(AlP,i,5) 000(AlP,i,5) + 2 000(AlF,i,5) 000(AlF,i,5) + 8 OOO(AlP,i,lO) + 1 1900 La solución nuevamente produce un valor interpolado interpolado de i* = 12.65%. Comentario Comentario
ica dos leze la 8.3] cioVA, onela-
Es muy importante recordar que se debe usar el mínimo común múltiplo de las vidas importante recordar flujos de efectivo incrementales se realiza un análisis TR incremental cuando sobre los flujos VA. usando una ecuación basada en VA.
8.6 8.6
ANÁLISIS TR DE MÚLTIPLES ALTERNATIVAS ANÁLISIS ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES EXCLUYENTES MUTUAMENTE
sección considera considera la elección elección entre entre alternativas alternativas múltiples Esta sección múltiples que son mutuamente mutuamente excluyentes, utilizando utilizando el método método TR TR incremental. aceptación de una alternativa excluyentes, incremental. La aceptación una alternativa automáticamente excluye excluye la aceptación aceptación de cualquier cualquier otra. El análisis análisis está basado automáticamente basado relaciones VP (o VA) VA) para para flujos de efectivo efectivo incrementales entre dos alternaalternasobre relaciones incrementales entre tivas ti vas a la vez. Cuando se aplica aplica el método método de la TR Cuando TR incremental, incremental, toda toda la inversión inversión debe rendir rendir TMAR. Cuando Cuando los valores valores i* de varias alternativas exceden exceden la TMAR, al menos a la TMAR. varias alternativas TMAR, requiere la evaluación evaluación de la TR TR incremental. incremental. (Para (Para alternativas alternativas de ingreso, se requiere ingreso, si ni siquiera una i* ~ TMAR, TMAR, se selecciona selecciona la alternativa alternativa de no hacer siquiera hacer nada.) nada.) Para Para todas todas alternativas (ingreso (ingreso o servicio), servicio), la inversión las alternativas inversión incremental incremental debe justificarse justificarse por por separado. Si el rendimiento rendimiento sobre la inversión inversión adicional adicional iguala excede la TMAR, separado. iguala o excede TMAR, entonces debe hacerse hacerse la inversión inversión adicional adicional con el propósito entonces propósito de maximizar maximizar el rendimiento total del dinero dinero disponible, disponible, como analiza en la sección sección 8.1. rendimiento como se analiza
305
306
CAPÍTULO 8 CAPÍTULO
Análisis alternativas múltiples Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas múltiples
para el análisis múltiples mutuamente mutuamente excluPor lo tanto, para análisis de TR de alternativas alternativas múltiples excluyentes, se utilizan utilizan los siguientes yentes, siguientes criterios. criterios. Seleccione Seleccione aquella aquella alternativa alternativa que: 1. Exija la mayor inversión, inversión, y 1. justifica la inversión frente a otra alternativa 2. Indique que se sejustifica inversión adicional adicional frente alternativa aceptable. aceptable.
regla importante para aplicar múltiples con el Una regla importante para aplicar cuando cuando se evalúan evalúan alternativas alternativas múltiples método de TR incremental incremental es que una alternativa nunca debe compararse método alternativa nunca compararse con aqueaquella para para la cual cual no se justifica justifica la inversión inversión incremental. incremental. El procedimiento procedimiento de evaluación para múltiples múltiples alternatievaluación de la TR incremental incremental para alternatiresume más adelante. paso 2 se aplica vas de vidas iguales iguales se resume adelante. El paso aplica sólo a alternativas alternativas de ingreso, puesto que la primera primera alternativa ingreso, puesto alternativa se compara compara con NH (no hacer) hacer) cuando cuando se estiman defensor y retador estiman los flujos de efectivo efectivo del ingreso. ingreso. Los términos términos defensor retador son dinámicos en cuanto cuanto a que se refieren, alternativa que actualactualdinámicos refieren, respectivamente, respectivamente, a la alternativa mente selecciona (el defensor) defensor) y a aquella aquella que está retándola aceptación mente se selecciona retándola para para la aceptación una de cada pasos con base base en t..i*. t..i*. En la evaluación evaluación de cada cada pareja, pareja, existe existe una cada una. Los pasos para la solución mano o por computadora para solución a mano computadora son como como sigue:
1.
Sol-R
Ordene las alternativas alternativas desde desde la inversión inversión inicial inicial menor Ordene menor hasta hasta la mayor. mayor. RegisRegistre la estimación estimación de flujos de efectivo efectivo anual para cada alternativa alternativa de vida para cada vida igual. para alternativa para la primera primera alternativa. 2. Sólo para alternativa de ingreso: ingreso: Calcule Calcule i* para alternativa. De hecho, esto hace a NH el defensor, primera alternativa, hecho, defensor, y a la primera alternativa, el retador. Si i* < TMAR, vaya a la siguiente. Repita esto hasta TMAR, elimine elimine la alternativa alternativa y vaya siguiente. Repita hasta que i* :;::: ~ TMAR primera vez, y defina como el defensor. TMAR por primera defina dicha dicha alternativa alternativa como defensor. La siguiente paso 3. (Nota: Aquí Aquí es donde guiente alternativa alternativa es ahora ahora el retador. Vaya al paso donde la solución hoja de cálculo puede ser un rápido rápido asistente. solución por hoja cálculo por computadora computadora puede asistente. Primero para todas las alternativas, usando la función Primero calcule calcule la i* para alternativas, usando función TIR, y selecseleccione como el defensor defensor la primera ~ TMAR. TMAR. Denomínela como el cione primera para para la cual i :;::: Denomínela como defensor vaya al paso paso 3.) defensor y vaya 3. Determine Determine el flujo de efectivo retador y el defensor utiliefectivo incremental incremental entre entre el retador defensor utilizando relación: zando la relación:
Flujo de Flujo efectivo efectivo incremental incremental
flujo de efectivo retador efectivo retador
flujo de efectivo defensor defensor efectivo
Establezca la relación Establezca relación TR. Calcule t..i* para efectivo incremental incremental utilizando utilizando una ecuaecuaCalcule para la serie de flujos de efectivo VA. (VP se utiliza utiliza con mayor mayor frecuencia.) ción basada basada en VP o en VA. frecuencia.) t..i* :~ TMAR, el retador convierte en el defensor defensor y se elimina elimina el defensor defensor 5. Si t..i ;: : TMAR, retador se convierte retador y el defenanterior. Por el contrario, contrario, si t..i* t..i* < TMAR, TMAR, se descarta descarta el retador defensor permanece permanece contra próximo retador. retador. contra el próximo solamente quede quede una alternativa. alternativa. Ésta Ésta es la 6. Repita Repita los pasos pasos 3 a 5 hasta hasta que solamente seleccionada. seleccionada.
4.
Observe Observe que sólo se comparan comparan dos alternativas alternativas a la vez. Es muy importante importante que se comparen probable que se seleccione comparen las alternativas alternativas correctas, correctas, de lo contrario contrario es probable seleccione la alternativa equivocada. equivocada. alternativa
•
SECCIÓN SECCIÓN 8.6 8.6 Análisis AnálisisTR TR de de múltiples múltiples alternativas alternativas mutuamente mutuamenteexcluyentes excluyentes
EJEMPLO EJEMPLO
8.6 8.6
Caterpillar Corporation Corporation quiere quiere construir construir una una instalación instalación para para almacenaje almacenaje de de piezas piezas de de rereCaterpillar puesto cerca cerca de de Phoenix, Phoenix, Arizona. Arizona. Un Un ingeniero ingeniero de de planta planta ha ha identificado identificado cuatro cuatro diferendiferenpuesto tes opciones opciones de de ubicación. ubicación. En En lala tabla tabla 8.5 8.5 se se detallan detallan elel costo costo inicial inicial de de edificación edificación de de tes cimientos yy prefabricación, prefabricación, así así como como las las estimaciones estimaciones de de flujo flujo de de efectivo efectivo neto neto anual. anual. La La cimientos serie de de flujo flujo de de efectivo efectivo neto neto anual anual varía varía debido debido aa diferencias diferencias en en mantenimiento, mantenimiento, costos costos serie de mano mano de de obra, obra, cargos cargos de de transporte, transporte, etcétera. etcétera. Si Si la la TMAR TMAR es es de de 10%, 10%, utilice utilice elel análisis análisis de de TR TR incremental incremental para para seleccionar seleccionar la lamejor mejor ubicación ubicación desde desde el el punto punto de de vista vista económico. económico. de
TABLA TA13LA
8.5 8.5
Estimaciones para para cuatro cuatro ubicaciones ubicaciones posibles posibles de de construcción, construcción, Estimaciones ejemplo 8.6 ejemplo
Costo inicial, inicial, $ Costo Flujo de de efectivo efectivo anual, anual, $$ Flujo Vida, años Vida, años
A A
B B
e
D D
-200000 -200000 +22000 +22000 30 30
-275000 -275000 +35000 +35000 30 30
-190000 -190000 +19500 +19500 30 30
-350000 -350000 +42000 +42000 30 30
Solución Solución Todos los tienen una una vida 30 años aplica el Todos los sitios sitios tienen vida de 30 años y todos todos son alternativas alternativas de ingreso. ingreso. Se Se aplica procedimiento procedimiento bosquejado bosquejado líneas líneas arriba. arriba.
1. 2.
En la tabla tabla 8.6 se ordenan ordenan las alternativas alternativas por por costo costo inicial inicial creciente. creciente. Compare Compare la ubicación ubicación C con con la alternativa alternativa de no hacer hacer nada. nada. La La relación relación TR TR incluye incluye sólo sólo el el factor factor P/A. PlA. 0= .!190 .l190 000 000 + 19 500(PIA,i*,30) 500(PIA,i*,30) 0=
3. 3.
La columna columna 11 de de la tabla tabla 8.6 8.6 presenta presenta el el valor valor del del factor factor calculado calculado (PIA,ili*,30) (PIA,ili*,30) de 9.7436 = 9.63%. 9.7436 y de de ili~ ili~= 9.63%. Puesto Puesto que que 9.63% 9.63% < < 10%, 10%, se se elimina elimina la la ubicación ubicación C. C. Ahora Ahora la la comparación comparación es es A contra contra no no hacer hacer nada, nada, yy la la columna columna 2 muestra muestra que que ilil ilil== 10.49%, 10.49%, lo lo cual cual elimina elimina la la alternativa alternativa de de no no hacer hacer nada; nada; el el defensores defensor es ahora ahora Ay Ay el el retadores retador es B. La La serie serie del del flujo flujo de de efectivo efectivo incremental, incremental, la la columna columna 3, 3, yy ili* ili* para para una una comparación comparación BB aa A A se se deterITÚna determina aa partir partir de: de: 00== -275000 -275000 -- (-200 (-200 000) 000) ++ (35 (35 000 000 -- 22 22 000)(PIA,ili*,30) 000)(PIA,Lli*,30) == -75000 -75000 + + 13 13 000(PIA,ili*,30) 000(PIA,ili*,30)
4. 4.
5.5.
De De acuerdo acuerdo con con las las tablas tablas de de interés, interés, se se debe debe buscar buscar el el factor factor PIA PIA en en la la TMAR, TMAR, que que es es (PIA, (PIA, 10%,30) 10%,30) == 9.4269. 9.4269. Ahora, Ahora, cualquier cualquier valor valor PIA PIA mayor mayor que que 9.4269 9.4269 indica indica que que ili ili** será será inferior inferior al al 10% 10% yy es es inaceptable. inaceptable. El El factor factor PIA PIA es es 5.7692, 5.7692, de de modo modo que que B B es es aceptable. aceptable. Para Para fines fines de de referencia, referencia, ili* ili* == 17.28%. 17.28%. La La alternativa alternativa BB se se justifica justifica incrementalmente incrementalmente (nuevo (nuevo defensor), defensor), eliminando eliminando así así la la alternativa alternativa A. A.
307 307
308
CAPÍTULO
TABLA
8
8.6
Análisis de tasa de rendimiento:
alternativas
múltiples
•
Cálculo de la tasa de rendimiento incremental para cuatro alternativas, ejemplo 8.6
e o
C (1) Costo inicial, $ Flujo de efectivo, $ Alternativas comparadas Costo incremental, $ Flujo de efectivo incremental, (PIA, ói* ,30) Ói*(%) ¿Se justifica el incremento? Alternativa seleccionada
6.
-190000 +19500
$
A
B
(2)
(3)
-200000 +22000
-275000 +35000
D (4)
-350000 +42000
CaNH
AaNH
BaA
DaB
-190000 +19500 9.7436 9.63
-200000 +22000 9.0909 10.49
-75000 +13 000 5.7692 17.28
-75000 +7000 10.7143 8.55
No NH
Sí A
Sí B
No B
Al comparar D con B (pasos 3 y 4) se genera la relación VP; O= -75000 + 7 OOO(PI A,Ói*,30) y un valor PIA de 1O.7143(Ói* = 8.55%). Se elimina la ubicación D y sólo permanece la alternativa B, que se elige.
Comentario Una alternativa siempre debe compararse incrementalmente con una alternativa aceptable y la alternativa de no hacer nada puede resultar la única aceptable. Como C no estuvo justificada en este ejemplo, la ubicación A no fue comparada con C. Por lo tanto, si la comparación de B con A no hubiera indicado que B se justificara incrementalmente, entonces la comparación de D con A habría sido la correcta, en lugar de la de D con B. Para demostrar qué tan importante es aplicar apropiadamente el método de TR, considere lo siguiente. Si inicialmente se calcula la i* de cada alternativa, los resultados por alternativas ordenadas son los siguientes: Ubicación
i*,% Ahora aplique sólo el primer criterio establecido; grande cuya TMAR es de 10%o más. Se selecciona tró antes, ésta es la selección equivocada, ya que encima de la ubicación B no obtendrá la TMAR. De
D
11.56 es decir, se realiza la inversión más la ubicación D. Pero, como se demosla inversión adicional de $75 000 por hecho, ésta obtendrá solamente 8.55%.
Para alternativas de servicio (sólo de costos), el flujo de efectivo incremental es la diferencia de costos entre las dos alternativas. No existe la alternativa de no hacer nada ni tampoco el paso 2 en el procedimiento de solución. Por consiguiente, la alternativa de mayor inversión es el defensor inicial contra la siguiente inversión más baja (el retador). Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 8.7, usando una solución de hoja de cálculo para las alternativas de servicio de vidas iguales.
n
a
q d
J
SECCIÓN 8.6
Análisis TR de múltiples alternativas mutuamente
309
excluyentes
Conforme la capa de un derrame de petróleo de un tanque marino se mueve hacia la costa, OCUlTengrandes pérdidas tanto para la vida acuática como para las especies que se alimentan de la línea de playa y los habitantes de tal sitio, como las aves. Los ingenieros ambientalistas y los abogados de varias corporaciones petroleras internacionales (ExxonMobil, BP, Shell y algunos transportistas para productores de la OPEP) han desarrollado un plan para ubicar, estratégicamente a lo largo del mundo, equipo recién desarrollado que es bastante más efectivo que los procedimientos manuales para limpiar los residuos de petróleo crudo del plumaje de las aves. El Club Sierra, Greenpeace y otros grupos ecologistas están a favor de la iniciativa. Las máquinas alternativas de fabricantes en Asia, América, Europa y África están disponibles con los costos estimados en la tabla 8.7. Se espera que los costos anuales estimados sean elevados para asegurar prontitud en cualquier momento. Los representantes de la compañía han acordado usar el promedio de los valores TMAR corporativos, que resulta en TMAR = 13.5%. Utilice computadora y análisis TR incremental para determinar cuál fabricante ofrece la elección económica mejor. Solución por computadora Siga el procedimiento para el análisis TR incremental bosquejado hoja de cálculo de la figura 8.6 contiene la solución completa.
1. 2.
3. 4. 5.
en el ejemplo 8.6. La
Sol-E
Las alternativas ya están ordenadas en orden creciente de los costos iniciales. Éstas son alternativas de servicio, de modo que no hay comparación de 1 a NH. Los valores i* no pueden calcularse. La máquina 2 es el primer retador de la máquina 1; los flujos de efectivo incrementales para la comparación 2 a 1 están en la columna D. La comparación 2 a 1 resulta en t::..i* = 14.57% en la celda D17, al aplicar la función TIR. Este rendimiento excede TMAR defensor (celda D19).
=
13.5%, de modo que la máquina 2 es el nuevo
La comparación continúa para 3 a 2 en la celda E17, donde el rendimiento es muy negativo a t::..i* = -18.77%; la máquina 2 se mantiene como el defensor. Finalmente, la comparación 4 a 2 tiene una TR incremental de 13.60%, lo cual es ligeramente mayor que la TMAR = 13.5%. La conclusión es comprar la máquina 4, pues la inversión adicional está (marginal mente ) justificada.
TABLA
Costo Costo Valor Vida,
8.7
Costos para cuatro alternativas de máquinas, ejemplo 8.7
inicial, $ anual de operación, $ de salvamento, $ años
Máquina
Máquina
Máquina
1
2
3
-5000 -3500 +500 8
--6500
-10 000 -3000 +700 8
-3200 +900 8
m
Máquina
4 -15000 -1400 +1000 8
s
310 310
CAPÍTULO 8 CAPÍTULO
Análisis alternativas múltiples múltiples Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas
I!I[¡J Ej Rf¡J13
X M,crosoft E"cel E"cel
fl P el
~ 8 Año
Máquina 1 -$5,000 -$3,500 $500
o:
Máquina 2 -$6,500 -$3,200 $900
2 to 1 -$1,500 $300
2
=TIR(D8:D16) .. i' incremental ¿Incremenio justificado? Alternativa seleccionada
Figura Figura 8.6 Solución cálculo para para elegir cuatro alternativas de servicio, ejemplo 8.7. Solución en hoja hoja de cálculo elegir entre entre cuatro alternativas de servicio, ejemplo 8.7.
Comentario Comentario Como mencionó antes, posible generar una gráfica gráfica de de VP VP contra Como se mencionó antes, no es posible generar una contra i para para cada cada alternativa ya que que todos todos los los flujos negativos. Sin embargo, es alternativa de servicio, servicio, ya flujos de efectivo efectivo son son negativos. Sin embargo, para las incrementales en la misma misma forma posible generar generar gráficas gráficas de de VP contra i para posible VP contra las series series incrementales forma =O los valores 1'l.i* que ha realizado realizado previamente. previamente. Las Las curvas VP = que se ha curvas cruzarán cruzarán la línea línea VP 0,, en en los valores Ói* determinados determinados mediante mediante las las funciones funciones TIR. TIR. La de cálculo cálculo no incluye seleccionar la alternativa en en cada cada La hoja hoja de incluye lógica lógica para para seleccionar la mejor mejor alternativa etapa de la solución. Esta característica podría añadirse comparación usando usando el etapa de solución. Esta característica podría añadirse en cada cada comparación operador SI de de Excel, Excel, y las las operaciones operaciones aritméticas aritméticas correctas correctas para cada flujo flujo de de efectivo operador para cada efectivo incremental Si". Esto consume demasiado demasiado tiempo; analisEsto consume tiempo; es más más rápido rápido para para el analisincremental y valores valores 1'l.i*. tomar la decisión requeridas para para cada ta tomar decisión y luego luego desarrollar desarrollar las funciones funciones requeridas cada comparación. comparación.
La selección selección de altenativas altenativas múltiples excluyentes, con vidas múltiples mutuamente mutuamente excluyentes, vidas desiguales, utilizando fli* exige exige que se evalúen evalúen los flujos flujos de efectivo efectivo iguales, utilizando valores valores de fii* incrementales MCM de las dos alternativas incrementales sobre el MCM alternativas que se comparan. comparan. Ésta Ésta es otra otra aplicación principio de comparación hoja de aplicación del principio comparación de igual igual servicio. servicio. La aplicación aplicación de hoja cálculo cálculo en la siguiente siguiente sección sección ilustra ilustra los cálculos. cálculos.
E
n
a f, n e y d
I
SECCIÓN 8.7 SECCIÓN
Aplicación de hoja hoja de cálculo: Aplicación cálculo: análisis análisis VP, VA y TR, TR, todos todos en en uno uno
311
hacer la selección selección siempre siempre es posible posible depender depender del análisis análisis VP o VA de los Para hacer efectivo incrementales incrementales en la TMAR. TMAR. En otras palabras, encuentre /)'i* flujos de efectivo palabras, no encuentre /)'i* comparación pareada; pareada; en vez de ello, encuentre encuentre VP o VA a la TMAR. para cada comparación TMAR. Sin embargo, todavía todavía es necesario necesario realizar realizar la comparación sobre el número embargo, comparación sobre número de años análisis incremental incremental esté correctamente elaborado. MCM para que un análisis correctamente elaborado. 8.7 8.7
APLICACiÓN DE HOJA HOJA DE CÁLCULO: CÁLCULO: APLICACiÓN ANÁLISIS Vp, VA y y TR, TODOS TODOS EN UNO UNO ANÁLISIS
siguiente ejemplo ejemplo de hoja de cálculo cálculo combina combina muchas análisis El siguiente muchas de las técnicas técnicas del análisis económico que se han aprendido aprendido hasta hasta ahora: análisis (interna), análisis económico análisis de TR (interna), análisis de incremen tal, análisis análisis de VP y análisis análisis de VA. Ahora funcioTR incremental, Ahora que se dominan dominan las funcioposible realizar realizar una una amplia amplia variedad evaluaciones para nes TIR, VPN y VP, es posible variedad de evaluaciones para alternativas múltiples múltiples sobre una sola hoja de cálculo. cálculo. Para entender mejor cómo se alternativas Para entender mejor cómo funciones, sus formatos formatos deben deben ser desarrollos desarrollos por el lector, ya que forman y usan las funciones, etiquetas de celdas celdas en este ejemplo. ejemplo. Aquí no hay etiquetas Aquí se incluye incluye una serie de flujo de efectivo no convencional, convencional, para la cual es posible posible encontrar encontrar valores efectivo valores múltiples múltiples de TR, seleccionar tanto de alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyentes excluyentes como como de proyectos y seleccionar proyectos independientes. dependientes.
EJEMPLO
8.8
;:.~
Los teléfonos teléfonos de vuelo vuelo instalados instalados en los asientos asientos de los son Los los pasajeros pasajeros de las las líneas líneas aéreas aéreas son servicio esperado esperado por por muchos muchos clientes. clientes. Delta Delta Airlines sabe que un servicio Airlines sabe que tendrá tendrá que que reemplazar reemplazar 15 000 a 24 000 000 unidades unidades en pocos pocos años años en en sus sus aeronaves de 15000 aeronaves Boeing Boeing 737, 737, 757 757 Y algunos algunos 777. Cuatro Cuatro características características opcionales opcionales de manejo manejo de construyen una sobre 777. de datos, datos, que que se construyen una sobre otra, están están disponibles disponibles por fabricante, pero pero a un costo agregado agregado por otra, por el fabricante, un costo por unidad. unidad. Además Además de de costar más, más, se estima estima que que las opciones opciones de finalidad finalidad superior superior (por (por ejemplo, ejemplo, servicio servicio de costar conexión de video video con con base base en satélite) satélite) tendrán tendrán vidas Iargas, antes antes de que se requiera conexión vidas más más .largas, de que requiera siguiente reemplazo reemplazo por por las nuevas nuevas características características avanzadas avanzadas esperadas esperadas por consuel siguiente por los consumidores. Se espera espera que que las cuatro cuatro opciones opciones aumenten aumenten las las ventas anuales en cantidades cantidades midores. ventas anuales variables. Las Las filas filas 2 a 6 de la hoja hoja de cálculo cálculo en en la figura figura 8.7 incluyen incluyen todos los estimados estimados variables. todos los para las cuatro para cuatro opciones opciones. . a)
o
destivo otra ade
b)
Usando TMAR TMAR = 15%, 15%, realice realice evaluaciones evaluaciones TR, seleccionar el nivel Usando TR, VP VP y VA para para seleccionar nivel opciones que que resulta resulta económicamente económicamente más de opciones más prometedor. prometedor. Si puede los cuatro cuatro que que se consideconsidepuede elegirse elegirse más más de de un nivel nivel de opciones, opciones, considere considere los ran como como proyectos proyectos independientes. independientes. Si en en este este momento consideran limitaciomomento no se consideran limitaciopresupuestarias, ¿cuáles ¿cuáles son son las opciones opciones aceptables aceptables si la TMAR se incrementa nes presupuestarias, TMAR se incrementa a 20% cuando cuando puede puede elegirse elegirse más más de una una opción? opción? 20%
Solución por por computadora computadora Solución hoja de cálculo cálculo (figura (figura 8.7) 8.7) se divide divide en seis secciones: secciones: a) La hoja en seis Sección 1 (filas (filas 1,2): 1,2): valor valor TMAR TMAR y nombres nombres de alternativas D) en alternativas (A hasta hasta D) en orden orden Sección creciente de costo costo inicial. creciente inicial.
s ~
~Sol-E
Sol-E
312 312
CAPÍTULO CAPÍTULO 8
Análisis tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas alternativas múltiples múltiples Análisis de tasa
II!!iII'.€j Ei 1!If!J Eí
X Microsoft Idicrosolt E"cel EKcel
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Figura Figura 8.7 Análisis en hoja cálculo usando usando los métodos métodos TR, Análisis hoja de cálculo TR, VP VP y VA para para alternativas alternativas de de ingreso ingreso con con vidas vidas diferentes, diferentes, ejemplo ejemplo 8.8. 8.8.
• RE
Sección 2 (filas (filas 3 a 6): estimados Sección estimados de de flujo flujo de de efectivo efectivo neto neto por por unidad unidad para para cada cada alternativa. Éstas son alternativas alternativa. Éstas son alternativas de ingreso ingreso con con vidas vidas diferentes. diferentes. Sección 20): aquí aquí se despliegan despliegan flujos incremental. Sección 3 (filas (filas 7 a 20): flujos de efectivo efectivo real real e incremental. Sección 21, 22): 22): puesto puesto que que todas todas éstas alternativas de de ingreso, ingreso, los los valovaloSección 4 (filas (filas 21, éstas son son alternativas mediante la la función función TIR. TIR. Si una una alternativa alternativa pasa pasa la la prueba prueba res i* se determinan determinan mediante retiene y se agrega una una columna columna a la la derecha derecha de de su flujo flujo de de TMAR TMAR (i* > 15%) 15%) se se retiene se agrega efectivo real, real, para se determine incremental. Se Se insertaron efectivo para que que se determine el el flujo flujo de de efectivo efectivo incremental. insertaron las columnas F y H para para hacer hacer espacio espacio para para las las evaluaciones evaluaciones incrementales. incrementales. La La columnas F pasa la la prueba prueba i*. alternativa alternativa A no pasa Sección 5 (filas (filas 23 a 25): 25): las las funciones funciones TIR TIR despliegan despliegan los los valores valores tli* Lli* en en las las columnas columnas Sección F y H. la comparación de C Caa B toma toma lugar lugar sobre MCM de de 12 años. años. Puesto Puesto que que comparación de sobre el MCM tliLB 19.42% > 15%, 15%, elimine Lli~ _ B = 19.42% elimine B; B; la la alternativa alternativa C es el nuevo nuevo defensor, defensor, y D D es el años resulta resulta en en tlil}_c Llil5_c == siguiente La comparación comparación final final de de D D a C sobre siguiente retador. retador. La sobre 12 años 11.23% modo que que se descarta descarta D. La La alternativa alternativa C es la la elegida. elegida. 11.23% < 15%, 15%, de modo Sección 6 (filas (filas 26 incluyen los sobre la El valor valor VA sobre la Sección 26 a 29): 29): éstas éstas incluyen los análisis análisis VA y VP. El vida de cada cada alternativa con una vida alternativa se calcula calcula usando usando la función función PAGO, PAGO, la la TMAR, TMAR, con una
As me
puc tor
alu
VI alV ve; pei COI
cia qu TI< ést
313 313
RESUMEN DEL CAPÍTULO RESUMEN DEL CAPÍTULO
b)
función VNA VNA insertado. insertado. Además, Además, el valor valor VP VP se determina determina a partir partir del del valor valor VA función para 12 años, años, usando usando la función función VP. Para Para ambas ambas medidas, medidas, la alternativa alternativa C tiene tiene el para el mayor valor valor numérico, numérico, como como se esperaba. esperaba. mayor Conclusión: todos todos los los métodos métodos tienen tienen el mismo mismo resultado, resultado, la elección elección correcta correcta de de la Conclusión: alternativa C. alternativa Puesto que que cada cada opción opción es independiente independiente de las las otras, otras, y que que no no hay hay limitación limitación Puesto presupuestal en este este momento, momento, cada cada valor valor i* en la fila fila 21 de la figura figura 8.7 8.7 se compara compara presupuestal con TMAR TMAR = = 20%. 20%. Es una una comparación comparación de cada cada opción opción con con la alternativa alternativa de de no no con hacer nada. nada. De De las cuatro, las las opciones opciones B y C tienen tienen i* > 20%. 20%. Éstas Éstas son son aceptables; aceptables; hacer las cuatro, las otras dos dos no lo son. son. las otras
Comentario Comentario el inciso inciso a) se han han aplicado aplicado las dos dos pruebas pruebas de signos signos para para raíces raíces múltiples múltiples a la serie serie de En el de flujo de efectivo efectivo incremental, incremental, para para la comparación comparación de C a B B.. La La serie serie en sí misma misma tiene tiene flujo tres cambios cambios de signo, serie de flujo flujo de efectivo efectivo acumulado acumulado comienza comienza negativamente negativamente tres signo, y la serie también implica implica tres tres cambios cambios de signo. signo. Por Por lo tanto, tanto, pueden pueden existir existir hasta hasta tres tres raíces raíces y también reales. La La función función TIR TIR se aplica aplica en la celda celda F23 F23 para para obtener obtener f.i~_ = 19.42% 19.42% sin sin usar usar el reales. t.i~ _B = procedimiento de inversión inversión neta. neta. Dicha Dicha acción acción supone supone que razonable la presunción presunción de procedimiento que es razonable de reinversión al 19.42% 19.42% para para flujos flujos de de efectivo efectivo de inversión neta positiva. positiva. Si la TMAR TMAR = inversión neta reinversión 15%, o algnna alguna otra otra tasa tasa de ganancia, ganancia, fuese fuese más más apropiada, apropiada, tendría tendría que que haberse haberse aplicado aplicado el 15%, procedimiento de inversión inversión neta neta para para determina determina la tasa tasa compuesta, compuesta, que que sería sería diferente diferente de procedimiento de 19.42%. Dependiendo Dependiendo de la tasa tasa de reinversión reinversión elegida, elegida, la alternativa alternativa C puede puede o no estar 19.42%. no estar incrementalmente justificada contra B. Aquí, Aquí, la la suposición suposición que que se hace hace es que que el valor valor de incrementalmente justificada contra f.i* es razonable, razonable, de modo modo que que C está está justificada. justificada. t.i*
RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN como los métodos métodos de los valores valores presente, permiten encontrar encontrar la Así como presente, anual y futuro permiten mejor alternativa cálculos de la tasa de rendimiento rendimiento incremental incremental mejor alternativa entre varias, los cálculos pueden usarse usarse para para el mismo mismo propósito. propósito. Al emplear emplear la técnica técnica de la TR es necesario pueden necesario tomar en cuenta cuenta los flujos de efectivo incrementales si se trata trata de seleccionar seleccionar entre tomar efectivo incrementales entre alternativas mutuamente mutuamente excluyentes. excluyentes. Esto no fue necesario necesario para para los métodos métodos del alternativas VP, VA o VF. La evaluación evaluación de la inversión inversión incremental incremental se realiza realiza sólo entre entre dos VP, alternativas a la vez, empezando empezando con la alternativa alternativa de menor menor inversión inversión inicial. inicial. Una alternativas Una eliminada una alternativa, alternativa, ésta no se considera considera más. vez eliminada existen limitaciones limitaciones presupuestarias presupuestarias cuando cuando se evalúan evalúan proyectos proyectos indeSi no existen independientes aplicando aplicando el método método de TR, el valor TR de cada cada proyecto proyecto se compara compara pendientes TMAR. Puede Puede aceptarse aceptarse cualquier cualquier número, número, o ninguno, ninguno, de los proyectos. proyectos. con la TMAR. valores de la tasa de rendimiento tienen un atractivo atractivo natural natural para Los valores rendimiento tienen para la gerengerenfrecuencia, el análisis análisis de TR es más difícil difícil de establecer establecer y completar, completar, cia pero, con frecuencia, análisis VP o VA VA utilizando utilizando una TMAR establecida. Al realizar realizar un análisis análisis que el análisis TMAR establecida. tenerse cuidado cuidado con los flujos de efectivo efectivo incrementales; incrementales; de otra forma TR debe tenerse forma puede dar resultados resultados incorrectos. éste puede incorrectos.
TR TR Múltiple
314
CAPÍTULO 8
Análisis de tasa de rendimiento: alternativas múltiples
PROBLEMAS Comprensión de la TR incremental
8.1 Si la alternativa A tiene una tasa de rendimiento de 10% y laalternativaB otra de 18%, ¿qué nos dice eso acerca de la tasa de rendimiento sobre el incremento entre A y B, si la inversión que se requiere para B es, a) mayor que la requerida para A, y b) más pequeña que la que se pide para A?
8.2 ¿Cuál es la tasa de rendimiento conjunta sobre una inversión de $100 000, que rinde 20% sobre los primeros $30000 y 14% sobre los $70000 restantes?
8.3 ¿Por qué es necesario hacer un análisis in-
I,¡¡iji: ,1 ~ I I
~~ l,
cremen tal cuando se realiza el estudio de la tasa de rendimiento para alternativas de servicio?
8.4 Si todos los flujos de efectivo incrementales son negativos, ¿qué es lo que se sabe sobre la tasa de rendimiento sobre la inversión incremental?
8.5 El flujo de efectivo incremental se calcula como la diferencia: flujo de efectivo, - flujo de efectivo¿ donde B representa la alternativa con la inversión inicial más grande. Si los dos flujos de efectivo se intercambiaran de modo que B representara aquel con la inversión inicial más pequeña, ¿qué alternativa debería seleccionarse si la tasa de rendimiento incremental es de 20% anual, y la TMAR de la compañía es de 15% por año? Explique su respuesta.
8.6 Una empresa procesadora de alimentos estudia dos tipos de analizadores de humedad. La compañía espera que un modelo infrarrojo produzca una tasa de rendimiento de 18% anual. Un modelo más caro basado en microondas arrojaría una tasa de rendimiento de 23% anual. Si la TMAR de la empresa es de 18% anual, ¿podría el lector determinar cuál o cuáles modelo(s) debe(n) comprarse, únicamente con base en la informa-
ción que se da sobre la tasa de rendimiento, si a) cualquiera o ambos analizadores pueden seleccionarse, y b) sólo uno puede seleccionarse? ¿Por qué sí o no?
8.7 Para cada uno de los escenarios siguientes mencione si para seleccionar una alternativa se requiere el análisis de la inversión incremental, y diga por qué sí o no. Suponga que la alternativa Y requiere una inversión inicial más elevada que la alternativa X, y que la TMAR es de 20% anual. a) X tiene una tasa de rendimiento de 28% anual y Y tiene otra de 20% anual b) La tasa de rendimiento de X es de 18% anual y la de Y es de 23% anual e) X tiene una tasa de rendimiento de 16% anual y la de Y es de 19% anual d) X tiene una tasa de rendimiento de 30% anual y Y otra de 26% anual e) La tasa de rendimiento de X es de 21 % anual y la de Y de 22% anual
C C V V
8
(
(e
8
8.8 Una compañía de construcción pequeña ha reservado $100 000 en un fondo hundido para adquirir equipo nuevo. Si se invierten $30000 a 30%, $20000 a 25% y los $50000 restantes a 20% anuales, ¿cuál es la tasa de rendimiento conjunta de los $100 OOO?
8
8.9 Se dispone de un total de $50 000 para invertir en un proyecto para reducir los robos internos en un almacén de aparatos. Se estudian dos alternativas identificadas como Y y Z. Se determinó que la tasa de rendimiento conjunta de los $50000 es de 40%, con 15% como tasa de rendimiento sobre el incremento de $20 000 entre Y y Z. Si Z es la alternativa de costo inicial más elevado, a) ¿cuál es el monto de la inversión requerida para Y, y b) ¿cuál es la tasa de rendimiento sobre Y?
8.10 Prepare una tabulación de flujo de efectivo para las alternativas continuación.
que se muestran a
8
315 315
PROBLEMAS PROBLEMAS
to,si eden cio-
Costo inicial, inicial, $ Costo Costo de de operación operación anual, anual, $ Costo Valor de de rescate, rescate, $ Valor Vida, años años Vida,
8.11 cre-
que llll-
que 28% 18%
A Máquina A
Máquina B Máquina
-15000 -15000 -1600 -1600 3000 3000 3
-25000 -25000 --400 -400 6000 6
Una compañía compañía química química analiza analiza dos proproUna cesos para para fabricar fabricar un polímero polímero catiónicatiónicesos proceso A tendría tendría un costo costo inicial inicial de co. El proceso $100 000 000 y un costo costo de operación operación anual anual $100 $60 000. El proceso proceso B tendría tendría un costo costo de $60 inicial de $165 0000. 0000. Si ambos ambos procesos procesos inicial serían adecuados adecuados durante durante 4 años y la tasa tasa serían rendimiento sobre sobre el incremento incremento entre entre las de rendimiento alternativas es de 25%, 25%, ¿cuál ¿cuál es el monto monto alternativas costo de operación operación para para el proceso proceso B? del costo
16%
Comparación Comparación de la TR TR incremental incremental (dos alternativas) (dos alternativas)
30%
Cuando la tasa de rendimiento sobre el flujo 8.12 Cuando rendimiento sobre efectivo incremental incremental entre de efectivo entre dos alteralternativas es exactamente nativas exactamente igual igual que la TMAR, TMAR, alternativa debería debería elegirse, elegirse, aquella aquella ¿cuál alternativa con la inversión inversión inicial baja? inicial más alta o más baja? ¿Por ¿Por qué?
21%
8.13
cate de $100 $100 000 000 después después de cinco cinco años. El costo inicial inicial del proceso proceso Y sería de $800 $800 000, sus costos costos anuales anuales de $150 $150 000, 000, y después después de cinco cinco años años su valor valor de rescate rescate sería sería de $230000. $230000. a) ¿Cuál ¿Cuál es la tasa tasa de rendimiento rendimiento sobre sobre el incremento incremento de la inversión inversión entre entre las dos? dos? b) ¿Cuál ¿Cuál proceso proceso debería debería seleccionar seleccionar la compañía compañía sobre la base de un análisis de la tasa tasa de rendimiento, rendimiento, si la TMAR TMAR es de 20% 20% anual? anual?
Una firma de consultoría consultoría en ingeniería ingeniería prepretende decidir decidir si debería debería comprar comprar Ford ExExplorers o Toyota Toyota 4Runners directiplorers 4Runners para para los directivos de la compañía. compañía. Los Los modelos modelos en vos consideración costarían costarían 29 000 dólares para consideración espera el Ford y $32 000 para el Toyota. Se espera operación anual del Explorer Explorer que el costo de operación mayor que el de14Runner. de14Runner. sea $200 anuales mayor comercialización después después de Los valores de comercialización estiman en 50% del costo inicial inicial 3 años se estiman para para el Explorer Explorer y 60% para el Toyota. a) ¿Cuál es la tasa de rendimiento rendimiento relativa relativa a la del Ford, Ford, si se selecciona selecciona Toyota? Toyota? b) Si la TMAR TMAR de la firma es de 18% anual, ¿qué marca de vehículo vehículo deberá deberá comprar? comprar? marca
8.14 Una compañía compañía de plásticos plásticos analiza analiza dos procesos cesos de moldeo moldeo por inyección. inyección. El proceso proceso X tendría tendría un costo costo inicial inicial de $600 $600 000, costos anuales de $200 000, y valor de res-
8.15
Una Una empresa empresa que manufactura manufactura transductores transductores de presión amplificados presión amplificados trata trata de decidir decidir entre las máquinas cuyas características máquinas cuyas características se muestran muestran a continuación. continuación. Compárelas Compárelas sobre sobre la base de la tasa de rendimiento determine base rendimiento y determine cuál cuál debe elegirse elegirse si la TMAR TMAR de la empresa empresa es de 15% anual. anual. Velocidad Velocidad Velocidad Velocidad variable variable dual
Costo inicial, inicial, $ Costo Costo de operación operación anual, anual, $/año $/año Costo Reparación mayor año 3, $ Reparación mayor en el año Reparación mayor año 4, $ Reparación mayor en el año Valor de rescate, Valor de rescate, $ Vida, años años Vida,
-250000 -231000 -231000
-39000 -39000 50000 6
-225000 -225000 -235000 -235000 -26000 -26000 10000 10 000 6
administrador de una planta 8.16 El administrador planta procesadora procesadora alimentos enlatados enlatados intenta intenta decidir decidir entre de alimentos máquinas para etiquetar. Determine Determine cuál dos máquinas debería elegir elegir con el criterio criterio de la tasa de debería rendimiento con una TMAR TMAR de 20% anual. rendimiento
Costo inicial, inicial, $ Costo Costo de operación operación anual, anual, Costo $/año $/año Valor de rescate, rescate, $ Valor Vida, años años Vida,
Máquina A
Máquina B
-15000 -15000 -1600 -1600
-25000 -25000 --400 -400
3000 2
4000 4
Una planta planta que recicla recicla desechos desechos sólidos sólidos 8.17 Una considera dos tipos de tambos tambo s de almacealmaceconsidera namiento (vea tabla de la página página siguiente). siguiente). namiento Determine cuál cuál debe debe elegirse elegirse según según el Determine criterio de la tasa de rendimiento. rendimiento. Suponga Suponga' ' criterio TMAR es de 20% anual. que la TMAR
316
CAPÍTULO 8 Análisis Análisis de tasa de rendimiento rendimiento: : alternativas alternativas múltiples múltiples CAPÍTULO
valor valor de rescate rescate de $40 000 una vez transcurridos 5 años, pero se desconocen desconocen los coscurridos operación y mantenimiento. mantenimiento. DeterDetertos de operación alternativa S, mine el monto de éstos para la alternativa obtenga una tasa de rendirendide modo que se obtenga miento incremental incremental de 20% anual. miento
Alternativa Alternativa Alternativa Alternativa Q P Q -18 000 -18000 Costo inicial, $ Costo de operación operación anual, anual, $/año -4000 -4 000 1 000 Valor de rescate, $ 1000 Vida, años 3
8.18
continuación se presenta presenta el flujo de efectiA continuación vo incremental estimado entre las alternativas TMAR es de 20% anual, ¿cuál de J y K. Si la TMAR elegirse con base en la tasa de renellas debe elegirse dimiento? Suponga Suponga que K requiere requiere $90 000 dimiento? adicionales como como inversión inversión inicial. inicial. adicionales Año O O 1-3 4-9 10
8.19
-35000 -35000 -3600 -3600 2700 2700 6
oo 1 2 3
incrementales para las Los flujos de efectivo incrementales alternativas M y N se presentan presentan a continuacontinuaalternativas Determine cuál debería debería elegirse, elegirse, por por ción. Determine medio del análisis análisis de la tasa de rendimiento rendimiento medio VA. La TMAR TMAR es de 12% con base en el VA. alternativa N requiere requiere una inverinveranual y la alternativa inicial mayor. sión inicial
efectivo Flujo de efectivo incremental, $(K - J)
Año
-90000 -90000 +10 000 000 +20000 +20000 +5000 +5000
Una compañía compañía química química estudia estudia dos procesos procesos para aislar DNA. En seguida seguida se presenta para aislar DNA. presenta el flujo de efectivo incremental entre dos alterefectivo incremental nativas, J y S. La compañía compañía utiliza una TMAR TMAR de 50% por por año. La tasa tasa de rendimiento rendimiento sobre el flujo de efectivo efectivo incremental incremental que se muestra muestra es menos menos del 50%, pero la directora directora de la empresa empresa prefiere prefiere el proceso proceso más caro. La directora directora cree cree que que puede puede negociar negociar el costo costo inicial inicial del proceso proceso más caro caro para para reducirlo. ducirlo. ¿En cuánto cuánto tendría tendría que que disminuir disminuir el costo costo inicial inicial de la alternativa alternativa S, la de mayor costo costo inicial, para para que se tuviera tuviera una tasa de rendimiento rendimiento incremental incremental de 50% exacto? exacto? Año
8.21
Flujo de efectivo efectivo incremental, incremental, $(5 $(S - J) J) -900000 -900000 400000 400000 600000 600000 850000 850000
8.20 8.20 La alternativa alternativa R tiene tiene un costo costo inicial inicial de $100000, $100 000, costos costos anuales anuales de de mantenimiento mantenimiento y operación operación de $50 000, y un valor valor de rescate rescate de $20 $20 000 000 después después de 5 años. La La alternatialternativa S tiene tiene un costo costo inicial inicial de $175000 $175000 y un
oO 1-8 9 8.22
Flujo de efectivo efectivo incremental, $(N - M) -22000 -22000 +4000 +4000 +12000 +12000
Determine Determine cuál de las dos máquinas máquinas que se describen continuación debe describen a continuación debe seleccioseleccionarse, con el empleo narse, empleo del análisis análisis de la tasa tasa de rendimiento rendimiento basada basada en el VA, si la TMAR TMAR es de 18% anual. 5emiautomática Automática Semiautomática Automática
Costo Costo inicial, inicial, $ Costo Costo anual, anual, $/año $/año Valor Valor de rescate, rescate, $ Vida, Vida, años años
8.23 8.23
-40000 -40000 -100000 -100000 5000 5000 2
-90000 -90000 -95000 -95000 7000 7000 4
A continuación continuación se presentan presentan los flujos flujos de efectivo efectivo incrementales incrementales para para las alternativas alternativas X y Y. Y. Calcule Calcule la tasa tasa de rendimiento rendimiento increincremental mental por por mes mes y determine determine cuál cuál de ellas ellas debería debería seleccionarse, seleccionarse, por medio medio del análisis análisis de la tasa tasa de rendimiento rendimiento con base base en el VA. La TMAR TMAR es de 24% anual compuesto compuesto menmensualmente, sualmente, y la alternativa alternativa Y requiere requiere la inversión versión inicial inicial más elevada. elevada. Mes Mes
oo 1-23 24 24
Flujo de efectivo efectivo incremental, incremental, $(Y $(Y - X) -62000 -62000 +4000 +4000 +10 000 +10000
8.
317
PROBLEMAS
anscosetervaS, ndi-
8.24
alas nua, por iento 12% ver-
A continuación se muestra el flujo de efectivo incremental entre las alternativas Zl y Z2 (esta última tiene el costo inicial más alto). Use la ecuación de la tasa de rendimiento basada en el VA a fin de calcular la tasa de rendimiento incremental y decidir cuál alternativa debe elegirse si la TMAR es de 17% anual. Sea k = años 1 a 10. Año O 1-10
8.25
8.26
8.27
por medio del análisis de la tasa de rendimiento de la inversión incremental. La tasa de rendimiento de cada incremento de la inversión fue menor que la TMAR. ¿Cuál alternativa debería seleccionarse? Comparación 8.28
Flujo de efectivo incremental, $(Z2 - Z1) -40000 9000 - 500k
Con el fin de tener acceso a un puente colgante permanente se estudian dos diseños de camino. El costo de la construcción del diseño lA sería de $3 millones y el de mantenimiento sería de $100 000 por año. La construcción del diseño lB costaría $3.5 millones y su mantenimiento $40 000 al año. Use la ecuación de la tasa de rendimiento con base en el VA para determinar cuál diseño es preferible. Suponga que n = 10 años y la TMAR de 6% anual. Una compañía manufacturera necesita 3000 metros cuadrados para expandirse, debido a que acaba de ganar un contrato nuevo que dura 3 años. La empresa estudia la compra de un terreno en $50 000 para levantar ahí una estructura metálica temporal, con un costo de $90 por metro cuadrado. Al final de los 3 años la compañía espera poder vender el lote en $55 000 y la edificación en $60000. Otra alternativa de la empresa es arrendar el espacio a $3 por metro cuadrado al mes, pagaderos al principio del año. Utilice una ecuación de tasa de rendimiento basada en el VA a fin de determinar cuál es la alternativa preferible. La TMAR es 28% anual. Con objeto de automatizar una operación de manufactura, se estudia entre cuatro alternativas de servicio mutuamente excluyenteso Fueron calificadas en orden creciente de inversión inicial y después se compararon
B
C D
8.29
múltiples
Una compañía de recubrimiento s metálicos estudia cuatro métodos diferentes para recuperar los subproductos de metales pesados contenidos en los desechos líquidos de un sitio de manufactura. Se han estimado los costos de la inversión y los ingresos asociados con cada método. Todos ellos tienen una vida de 8 años. La TMAR es de 11% anual. a) Si los métodos son independientes porque es posible implantarlos en plantas diferentes, ¿cuáles son aceptables? b) Si los métodos son mutuamente excluyentes, determine cuál debería seleccionarse de acuerdo con la evaluación de la TR.
Método A
entre alternativas
Costo inicial. $
Valor de rescate, $
-30000 -36000 -41000 -53000
+1000 +2000 +500 -2000
Ingreso anual, $/año +4000 +5000 +8000 +10 500
Mountain Pass Canning Company determinó que para una fase de sus operaciones de enlatado puede usar cualquiera de cinco máquinas, cuyos costos se presentan a continuación. Todas tienen una vida de 5 años. Si la tasa de rendimiento mínimo atractiva es 20% anual, determine la máquina que debe elegirse de acuerdo con el análisis de la tasa de rendimiento.
Máquina
Costo inicial, $
Costo de operación anual, $/año
1 2 3 4 5
-31000 -28000 -34500 -48000 -41000
-18000 -19500 -17000 -12000 -15500
318
8.30
CAPÍTULO
alternativas
múltiples
de cada modelo de camión se presentan a continuación. La TMAR del contratista es de 18% anual y se espera que todos los modelos tengan una vida útil de 5 años. a) Determine la capacidad del camión que debe comprarse. b) Si han de adquirirse dos camiones de capacidad diferente, ¿cuál debería ser el tamaño del segundo?
Tamaño base del camión, metros cúbicos 8
Inversión inicial, $
Costo de operación anual, $/año
Valor de rescate, $
Ingreso anual, $/año
-30000 -34000 -38000 --48000 -57000
-14000 -15500 -18000 -21000 -26000
+2000 +2500 +3000 +3500 +4600
+26500 +30000 +33500 +40500 +49000
Un ingeniero de Anode Metals estudia los proyectos que se presentan en seguida, todos los cuales se estima duren indefinidamente. Si la TMAR de la compañía es de 15%
A B
C D E
8.32
Análisis de tasa de rendimiento:
Un contratista independiente que trabaja por su cuenta está por decidir qué capacidad debe tener el modelo de camión para basura que comprará. Él sabe que conforme el piso de su inversión se incrementa, también sube el ingreso neto, pero no está seguro de que se justifique el gasto incremental que se requiere para los camiones más grandes. Los flujos de efectivo asociados con la capacidad
10 15 20 25
8.31
8
anual, determine cuál debería seleccionarse, a) si los proyectos son independientes, y b)
si son mutuamente excluyentes.
Costo inicial, $
Ingreso anual $/año
Tasa de rendimiento de la alternativa, %
-20000 -10 000 -15000 -70000 -50000
+3000 +2000 +2800 +10 000 +6000
15 20 18.7 14.3 12
Se supone que todas las máquinas tendrán una vida de 10 años. ¿Cuál máquina, si hubiera alguna, debe seleccionar la empresa, si su TMAR es de a) 12% anual y b) 20% anual?
Para cierto proceso de producción debe comprarse sólo una de cuatro máquinas diferentes. Un ingeniero efectuó los análisis siguientes para seleccionar la mejor de ellas.
Máquina
Costo inicial, $ Costo anual, $/año Ahorros anuales, $/año TR,% Máquinas comparadas Inversión incremental, $ Flujo de efectivo incremental, TR sobre incremento, %
$/año
1
2
3
4
--44000 -70000 +80000 18.6
-60000 -64 000 +80000 23.4 2a 1 -16000 +6000 35.7
-72 000 -61000 +80000 23.1 3a2 -12000 +3000 21.4
-98000 -58000 +82000 20.8 4a3 -26000 +5000 14.1
8
8
319
PROBLEMAS
a es
8.33
D-
e-
be
Si son mutuamente excluyentes, con una TMAR de 9% anual, ¿cuál debe elegirse? e) Si la TMAR es de 12% anual y las propuestas se excluyen mutuamente, ¿cuál debería ser la elección?
Se estudia entre cuatro alternativas que se describen a continuación. a) Si las propuestas son independientes, ¿cuál debe seleccionarse con una TMAR de 16% anual?
b)
ae-
Alternativa A B
e o 8.34 se, b)
Tasa de rendimiento,
-40000 -75000 -100000 -200000
%
29 15 16 14
E F G
H
Inversión Tasa de de la rendimiento alternativa, $ de la alternativa, -20000 -30000 -50000 -80000
B
e
1 7 10
20 13
12
Tasa de rendimiento incremental en %, sobre el flujo de efectivo incremental, cuando se compara con la alternativa %
E
20 35 25 20
Se comenzó un análisis de la tasa de rendimiento para las alternativas de vida infinita que se presentan en la tabla de la página siguiente. a) Llene los espacios en blanco en la columna de la tasa de rendimiento de la alternativa y en las de la tasa de rendimiento incremental de la tabla.
A
e) ¿Cuál alternativa debe seleccionarse si son mutuamente excluyentes y la TMAR es de 16%? d) ¿Qué alternativa debe elegirse si se excluyen mutuamente y la TMAR es de 11%? e) Seleccione las mejores dos alternativas con una TMAR de 19%.
Se emprendió un análisis de la tasa de rendimiento para las alternativas de vida infinita que se presentan a continuación. a) Llene los espacios en blanco en la columna de la tasa de rendimiento incremental sobre la porción de flujo de efectivo incremental de la tabla. b) ¿De cuánto es el ingreso asociado con cada alternativa?
Alternativa
8.35
Inversión inicial, $
Tasa de rendimiento incremental en %, cuando se compara con la alternativa
F
G
H
11.7 11.7
¿Cuál es la alternativa por elegir si son independientes y la TMAR es de 21 % anual? e) ¿Qué alternativa debe escogerse si se excluyen mutuamente y la TMAR es de 24% anual?
b)
320 320
CAPÍTULO 8 CAPÍTULO
Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas alternativas múltiples múltiples Análisis
Inversión de Inversión Tasa de rendimiento de la rendimiento Alternativa alternativa, alternativa, $ de de la alternativa, alternativa, % Alternativa E F G
H H
000 --10 10 000 -25000 -25000 -30000 -30000 -60000 -60000
Tasa de rendimiento rendimiento incremental incremental en %, sobre sobre el flujo de de efectivo efectivo incremental, incremental, cuando cuando se compara compara con la alternativa alternativa E
25
F
G
H
20 20
4
4
30
PROBLEMAS DE REPASO FI PROBLEMAS 8.36
alternativa 1 requiere requiere una inversión inversión iniLa alternativa cial de $20 000 y producirá producirá una tasa de renalternativa C, que dimiento de 15% anual. La alternativa requiere inversión de $30 000, 000, generará requiere una inversión generará 20% anual. ¿Cuál enunciados que 20% ¿Cuál de los enunciados siguen es verdadero siguen verdadero respecto respecto a la tasa de rendimiento OOO? rendimiento del incremento incremento de $10 OOO? a) Es más de 20% 20% anual. b) Es 20% 20% exacto exacto anual. e) Está Está entre entre 15y 20% 20% anual. el) d) Es menos menos de 15% anual.
8.37 La tasa de rendimiento rendimiento para para la alternativa alternativa X es de 18% anual, mientras mientras que para para la Y es de 17% anual, y esta última requiere esta última requiere una inversión inicial más elevada. inversión inicial elevada. Si una una empresa tiene una tasa de rendimiento presa tiene tasa rendimiento mínimo mínimo atractiva de 16% por atractiva por año, a) la compañía compañía debe debe seleccionar seleccionar la alternativa X. nativa b) b) la empresa empresa debe debe elegir elegir la alternativa alternativa Y. Y. e) la compañía debe realizar compañía debe realizar un análisis análisis incremental incremental entre entre X y Y, Y, a fin de escoger escoger la mejor alternativa económica. mejor alternativa económica. el) d) la empresa empresa debe optar optar por por no hacer hacer nada. 8.38 8.38 Cuando Cuando se realiza realiza un análisis análisis de la TR TR de proyectos proyectos de servicio servicio mutuamente mutuamente excluexcluyentes, yentes, a) todos todos los proyectos proyectos deben deben compararse compararse con con la la alternativa alternativa de no hacer hacer nada. nada. b) debe debe seleccionarse seleccionarse más más de un proyecto. proyecto.
e) es necesario hacer un análisis análisis de inverinvernecesario hacer sión incremental incremental para para identificar identificar la mejor alternativa. jor alternativa. d) hay que que elegir elegir el proyecto proyecto con la TR inel) cremental elevada. cremental más elevada. 8.39 compararse dos alternativas alternativas que se exex8.39 Al compararse cluyen mutuamente mutuamente por por medio medio del método método cluyen de la TR, TR, si la tasa tasa de rendimiento rendimiento sobre sobre la alternativa alternativa con el costo costo inicial inicial más alto alto es menor que que la de aquella aquella con el costo costo inicial inicial menor más bajo, bajo, tasa de rendimiento rendimiento sobre sobre el increincrea) la tasa mento entre entre las dos es mayor mayor que que la tasa tasa mento de rendimiento rendimiento para para la alternativa alternativa de costo costo inicial inicial más más bajo. bajo. b) la tasa de rendimiento tasa rendimiento sobre sobre el increincremento es menor que la tasa de rendimienmenor rendimiento para para la alternativa alternativa de costo costo inicial inicial más bajo. e) la alternativa alternativa con con costo costo inicial inicial más más eleelevado puede ser la mejor de las dos alvado puede ser mejor ternativas. ternativas. el) d) ninguna ninguna de de las anteriores. anteriores. 8.40 8.40 A continuación continuación se presenta presenta el flujo flujo de efecefectivo incremental incremental entre entre dos alternativas. alternativas. Año Año
Flujo de de efectivo efectivo incremental, incremental, $
oo
-20000 -20000 +3000 +3000 +400 +400
1-10 1-10 10
E j
1 y s n
e n
s
EJERCICIO
0= -20 OOO(AlP,i,lO) + 3000 + 400(P/F,i, 1O) d) 0= -20 000 + 3 OOO(P/A,i,lO) +
La(s) ecuación(es) que puede usarse para obtener un resultado correcto para la tasa de rendimiento incremental es (son): a) 0= -20000 + 3 OOO(AlP,i,lO) + 400(P/F,i,1O) b)
400(AlF,i, 10)
A B
e D E
8.41
Inversión inicial, $ -25000 -35000 -40000 -60000 -75000
9.6 15.1 13.4 25.4 20.2
D
DyE B, D Y E
d) E 8.42
400(P/F,i,1O)
Tasa de rendimiento de la alternativa, %
Si las alternativas son·independientes y la TMAR ~s de 18% anual, la(s) que debe(n) seleccionarse es (son): a) b) e)
e)
Las preguntas 8.41 a 8.43 se basan en la tabla siguiente. Las cinco alternativas están en estudio por medio del método de la tasa de rendimiento.
0=-20000 + 3 000(AlP,i,10) +
Alternativa
321
AMPLIADO
Si las alternativas se excluyen mutuamente y la TMAR es de 15% anual, la que debe elegirse es,
8.43
Tasa de rendimiento incremental, en %, cuando se compara con la alternativa A
e)
E
d)
Ninguna
B
e
D
E
28.9
19.7 1.5
36.7 39.8 49.4
25.5 24.7 28.0 -0.6
Si las alternativas son mutuamente excluyentes y la TMAR es de 25% anual, la alternativa por seleccionar es, a) A b) D e) E d)
Ninguna
a) B b) D
EJERCICIO AMPLIADO ANÁLISIS DE TR INCREMENTAL CUANDO SON INCIERTAS LAS VIDAS ESTIMADAS DE LAS ALTERNATIVAS "Make-to-Specs" es un sistema de software bajo desarrollo en la Corporación ABC y será capaz de traducir versiones digitales de modelos computacionales tridimensionales, que contiene una gran variedad de formas de componentes con superficies maquinadas con alto grado de terminado (ultrasuave). El producto del sistema es el código de máquina numéricamente controlado (NC) para la fabricación de componentes. De manera adicional, "Make-to-Specs" construirá el código para terminado superfino de superficies con control continuo de las máquinas terminadoras. Exis-
322 322
CAPÍTULO CAPÍTULO 8
Análisis Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas alternativas múltiples múltiples
ten dos computadoras computadoras alternativas alternativas que pueden pueden proporcionar proporcionar la función función de servidor servidor para las interfaces interfaces del software software y la actualización actualización de bases bases de datos para datos compartidas compartidas sobre el piso de manufactura, mientras "Make-to-Specs" operando en modo manufactura, mientras "Make-to-Specs" está está operando paralelo. efectivo paralelo. El costo inicial inicial del servidor servidor y la contribución contribución estimada estimada al flujo de efectivo resumen a continuación. continuación. neto anual se resumen
Costo Costo inicial, inicial, $ Flujo de efectivo efectivo neto, neto, $/año $/año Flujo
Vida, años Vida, años
Servidor Servidor 1
Servidor Servidor 2
$100000 $100000 $35000 $35000
$200000 $200000 $50 más $5 000 000 $50 000 000 el año año 1, más anuales para los los años años 2, anuales para 3 Y 4 (gradiente). (gradiente). $70 para los los años años 5 $70 000 000 máximo máximo para adelante, incluso en adelante, incluso si se reemplaza el servidor. reemplaza servidor. 5u8
304 304
Las vidas estimadas ingeniero estimadas fueron elaboradas elaboradas por dos individuos individuos diferentes: diferentes: un ingeniero de diseño y un gerente esta etapa etapa del gerente de producción. producción. Ellos han solicitado solicitado que, en esta proyecto, vidas estimadas estimadas para para proyecto, todos los análisis análisis se desarrollen desarrollen empleando empleando ambas ambas vidas cada cada sistema. sistema.
Preguntas Preguntas Use análisis responder lo siguiente: análisis por computadora computadora para para responder siguiente:
1. Si la TMAR método VP o TMAR = = 12%, ¿qué servidor servidor debería debería seleccionarse? seleccionarse? Use el método VA para realizar VA para realizar la selección. selección. 2. Emplee TMAR Emplee análisis análisis de TR incremental incremental para para decidir decidir entre los servidores servidores con TMAR = = 12%. 3. Use cualquier sobre la hoja de cualquier método método de análisis análisis económico económico para para desplegar desplegar sobre cálculo el valor de la TR incremental servidor 2 con la vida cálculo incremental entre el servidor vida estimada estimada de 5 años y una vida estimada estimada de 8 años.
ESTUDIO ESTUDIO DE CASO CASO 1 TANTAS OPCIONES. OPCIONES. ¿PUEDE ¿PUEDE AYUDAR AYUDAR A SU PADRE PADRE UN UN RECIÉN RECIÉN TANTAS EN INGENIERÍA?! GRADUADO GRADUADO EN INGENIERÍA?! Antecedentes Antecedentes "No "No sé si venderlo, venderlo, expandirlo, expandirlo, arrendarlo arrendarlo o qué. qué. Pero Pero no creo que podamos creo que podamos seguir seguir haciendo haciendo lo mismo mismo durandurante muchos muchos años años más. más. Lo Lo que que realmente realmente quiero quiero hacer hacer es J1
conservarlo luego venderlo venderlo en en lo conservarlo durante durante 5 años años más más y luego que su esposa esposa Janise, Janise, a su que sea", sea", dijo dijo Elmer Elmer Kettler Kettler a su hijo, Gestory, hijo, John John Kettler, Kettler, y a su nueva nueva nuera, nuera, Suzanne Suzanne Gestory, mientras alrededor de de la mesa. mesa. mientras todos todos estaban estaban reunidos reunidos alrededor Elmer en torno torno Elmer estaba estaba compartiendo compartiendo sus sus pensamientos pensamientos en
consultor, Communications Communications and High Tech Solutions Solutions Engineering, Engineering, Accenture Accenture LLP. Basado en un estudio de Alan C. Stewart, consultor, LLP.
ESTUDIO ESTUDIO DE DE CASO CASO 11
Gulf Coast Coast Wholesale Wholesale Auto Auto Parts, Parts, una una compañía compañía de de aa Gulf la que que había había sido sido propietario propietario yy operado operado durante durante 25 25 años años la en los los suburbios suburbios sureños sureños de de Houston, Houston, Texas. Texas. El El negonegoen cio tenía tenía excelentes excelentes contratos contratos para para suministro suministro de de parparcio tes con con varios varios detallistas detallistas nacionales nacionales que que operaban operaban en en el tes área: NAPA, NAPA, Auto-Zone, Auto-Zone, O'Reilly O'Reilly yy Advance. Advance. De De mamaárea: nera adicional, adicional, Gulf Gulf Coast Coast opera opera una una tienda tienda de de partes partes nera reconstruidas que que abastece abastece aa esos esos mismos mismos detallistas detallistas reconstruidas con componentes componentes automotrices automotrices mayores, mayores, tales tales como como carcarcon buradores, transmisiones transmisiones yy compresores compresores de de aire aire aconaconburadores, dicionado. dicionado. En su casa, casa, después después de de la cena, cena, John John decidió decidió ayudar ayudar En su padre padre con con una una importante importante y difícil difícil decisión: decisión: ¿qué ¿qué a su hacer con con su negocio? negocio? John John obtuvo obtuvo apenas apenas el el año año pasapasahacer do un un grado grado en en ingeniería ingeniería de de una una importante importante universiuniversido dad estatal estatal en en Texas, donde completó completó un un curso curso de de ingeingedad Texas, donde niería económica. económica. Parte Parte de de su trabajo trabajo en niería en Energcon Energcon Industries consiste consiste en en realizar realizar análisis análisis básicos básicos de de tasa tasa Industries de rendimiento rendimiento y de de valor valor presente presente sobre sobre propuestas propuestas de para el aprobechamiento de energía. para aprobechamiento de energía.
Opciones Opciones En unas unas cuantas señor Kettler esbozó cincuantas semanas, semanas, el señor Kettler esbozó cinco opciones, co opciones, incluyendo incluyendo su favorita favorita de vender vender dentro dentro de 5 años. años. John John resumió resumió todos todos los estimados estimados sobre sobre un horizonte a 10 años. horizonte años. Las Las opciones opciones y estimaciones estimaciones se le dieron dieron a Elmer, Elmer, quien quien estuvo estuvo de acuerdo acuerdo con con ellas. ellas. Opción partes reconstruidas. Opción 1: Cesar Cesar la actividad actividad de partes reconstruidas. Detener Detener la operación operación de la tienda tienda de reconstruidos reconstruidos y concentrarse concentrarse en la venta venta de partes partes al por por mayor. mayor. Se espera reconsespera que que la remoción remoción de las las operaciones operaciones de reconstruidos una "casa truidos y el cambio cambio a una "casa de todas todas las partes" partes" costará costará $750 $750 000 000 el primer primer año. año. Los Los ingresos ingresos globales globales caerán caerán a $1 millón millón el primer primer año año con con un aumento aumento espeesperado de 4% rado 4% anual anual desde desde entonces. entonces. Los Los gastos gastos están están proproyectados primer año, yectados en $0.8 $0.8 millones millones el primer año, aumentando aumentando 6% anual anual desde desde entonces. entonces. Opción Opción 2: Contratar Contratar las operaciones operaciones de reconstruidos. reconstruidos. Tener Tener lista lista la tienda tienda de reconstrucción reconstrucción para para que que un contratista contratista se haga haga cargo cargo de las operaciones operaciones costará costará $400 $400 000 000 inmediatamente. inmediatamente. Si los gastos gastos permanecen permanecen iguales iguales durante durante 5 años, años, promediarán promediarán $1.4 $1.4 millones millones por por año, pero pero puede puede esperarse esperarse que que se eleven eleven a $2 millones millones por por año año en el año 6 y de ahí en adelante. adelante. Elmer Elmer piensa piensa
323 323
que que los los ingresos ingresos bajo bajo un un acuerdo acuerdo de de contrato contrato pueden pueden ser ser de de $1.4 $1.4 millones millones el el primer primer año año yy elevarse elevarse 5% 5% al al año año durante durante el el tiempo tiempo de de un un contrato contrato de de 10 años. años. Opción Opción 3: Mantener Mantener todo todo como como está está yy vender vender después después de de 55 años. años. (Opción (Opción favorita favorita de de Elmer.) Elmer.) No No hay hay costo costo ahora, ahora, pero pero la la tendencia tendencia actual actual de de beneficio beneficio neto neto neganegativo tivo probablemente probablemente continuará. continuará. Las Las proyecciones proyecciones son son de de $1.25 $1.25 millones millones anuales anuales para para gastos gastos yy $1.15 $1.15 millones millones anuales anuales en en ingreso. ingreso. Elmer Elmer tuvo tuvo una una valoración valoración el el año año pasado pasado y el reporte reporte indicó indicó que que Gulf Gulf Coast Coast Wholesale Wholesale Auto Auto Parts Parts vale vale un un neto neto de de $2 $2 millones. millones. El El deseo deseo de de Elmer Elmer es es vender vender completamente completamente después después de de 55 años años más más a este un trato este precio, precio, yy hacer hacer un trato en en el el que que el nuevo nuevo propietario propietario pague pague $500 $500 000 000 por por año año al final final del del año año 5 (momento los (momento de de venta) venta) y la la misma misma cantidad cantidad durante durante los siguientes 3 años. años. siguientes Opción tiene un cercaOpción 4: Transacciones. Transacciones. Elmer Elmer tiene un amigo amigo cercano está logranlogranno en en el antiguo antiguo negocio negocio de de autopartes autopartes que que está finaciero), al menos con el do arrasar arrasar (auge (auge finaciero), menos así así lo lo dice, dice, con comercio electrónico. electrónico. Aunque comercio Aunque la posibilidad posibilidad es riesgosa, riesgosa, está exortando exortando a Elmer Elmer a considerar considerar una está una línea línea de partes partes completamente nueva, en el negocio negocio básico completamente nueva, pero pero todavía todavía en básico que él ya conoce. conoce. La transacción le costaría costaría inmediataque La transacción inmediatamente Elmer un estimado estimado de $1 millón. millón. El El horizonte mente a Elmer horizonte años de gastos gastos e ingresos ingresos anuales anuales es considerableconsiderablea 10 años mente mayor que el de su actual actual negocio. Los gastos gastos se mente mayor que negocio. Los estiman en $3 millones millones anuales, anuales, y los ingresos, ingresos, en $3.5 $3.5 estiman millones cada cada año. año. millones Opción 5: Acuerdo arrendamiento. Gulf Gulf Coast Coast popoOpción Acuerdo de arrendamiento. dría arrendarse arrendarse a una compañía clave, clave, permaneciendo permaneciendo dría una compañía Elmer como como propietario compartiendo parte parte de los Elmer propietario y compartiendo gastos para para edificación, edificación, camiones camiones de reparto, reparto, seguros, seguros, gastos etcétera. Los Los primeros primeros estimados estimados para para esta esta opción opción son etcétera. $1.5 millones millones para para tener tener listo listo el negocio negocio ahora, ahora, con con de $1.5 gastos anuales anuales de $500000 $500 000 e ingresos ingresos de $1 millón millón gastos anuales durante durante un contrato contrato de 10 años. años. anuales
Ejercicios del estudio estudio de caso caso Ejercicios Ayude a John John con con el análisis análisis haciendo haciendo lo siguiente: siguiente: Ayude Desarrolle las series series de flujos flujos de efectivo efectivo directos directos e 1. Desarrolle incrementales (en unidades unidades de $1 000) 000) para para las cincinincrementales opciones como como preparación preparación para para un análisis análisis de co opciones TR incremental. incremental. TR
324
CAPÍTULO
8
Análisis de tasa de rendimiento:
2. Discuta la posibilidad de múltiples valores de tasa de rendimiento para las series de flujos de efectivo directos e incrementales. Encuentre cualesquiera tasas múltiples en el rango de O a 100%. 3. Si el padre de John insiste en que él hará 25% anual o más sobre la opción seleccionada durante los siguientes 10 años, ¿qué es lo que hará? Use todos
alternativas
múltiples
4. Prepare gráficas de VP contra i para cada una de las cinco opciones. Estime la tasa de rendimiento de equilibrio entre opciones.
m re
5. ¿Cuál es la mínima cantidad que debe recibirse en cada uno de los años 5 a 8 para la opción 3 (la que Elmer quiere) para que sea económicamente la me-
E
jor? Dada esta cantidad, ¿cuál debe ser el precio de venta, suponiendo el mismo arreglo de pago presentado en la descripción?
los métodos del análisis económico que ha aprendido hasta ahora (VP, VA, TR) de modo que el padre de John pueda comprender la recomendación de una forma u otra.
ESTUDIO DE CASO 2 ANÁLISIS DE VP CUANDO ESTÁN PRESENTES MÚLTIPLES TASAS DE INTERÉS2 Antecedentes
última clase y recuerdan que dijo: "El cálculo de la tasa
Dos estudiantes de ingeniería económica, Jane y Bob, podrían no concordar en cuál herramienta de evaluación debería emplearse para seleccionar uno de los
de rendimiento compuesta con frecuencia involucra a la computación. Si no es necesaria una TR real, se recomienda ampliamente que se utilice el VP o el VA co-
siguientes planes de inversión. Las series de flujo de efectivo son idénticas, excepto por sus signos. Ellos recuerdan que debe establecerse una ecuación de VP o VA para resolver para una tasa de rendimiento. Parece que los dos planes de inversión deberían tener idénticos valores de TR. Quizá los dos planes sean equivalentes y deberían ser aceptables.
rrespondiente aceptabilidad
Año
Plan A
Plan B
O
$+1900 -500 -8000 +6500 +400
$-1900 +500 +8000 -6500 -400
1 2 3
4
Hasta este punto en la clase, el profesor ha analizado los métodos de valor presente y valor anual a una TMAR dada para evaluar las alternativas. Él explicó el método de tasa de rendimiento compuesta durante la 2
Contribución
del doctor Tep Sastri (ex profesor
asociado,
ingeniería
a la TMAR para decidir de un proyecto."
acerca de la
Bob admitió que no está muy claro para él por qué la simplista "VP a la TMAR" se recomienda ampliamente. Bob está inseguro acerca de cómo determinar si una tasa de rendimiento "no es necesaria". Él le dijo a Jane: "puesto que la técnica de TR compuesta siempre genera un único valor TR y cada estudiante tiene una calculadora o una computadora con un programa de hojas de cálculo en ella, ¿a quién le importa el problema computacional? Yo siempre realizo el método TR compuesto". Jane era más precavida y sugirió que un buen análisis comienza con un simple enfoque de sentido común. Ella sugirió que Bob inspeccionara los flujos de efectivo y viera si podía elegir el mejor plan sólo mediante la observación de los flujos de efectivo. Jane también le propuso que entre los dos intentaran cada método que habían aprendido hasta el momento. Ella dijo: "Si experimentamos con ellos, quizá podamos comprender la verdadera razón por la que el industrial,
Universidad
de Texas A&M).
el
ESTUDIO DE DE CASO CASO 2 ESTUDIO
método VP VP (o el VA) correspondiente correspondiente a la TMAR TMAR se método recomienda sobre sobre el método método de tasa tasa de rendimiento rendimiento recomienda compuesta." compuesta."
Ejercicios del estudio estudio de caso caso Ejercicios Considerando su discusión, discusión, las las siguientes siguientes son son algunas algunas Considerando preguntas que que Jane Jane y Bob Bob necesitan necesitan responder. responder. de las preguntas Ayúdelos a desarrollar desarrollar las respuestas. respuestas. Ayúdelos Mediante simple simple inspección inspección de los los dos dos patrones patrones de 1. Mediante flujo de efectivo, efectivo, determine determine cuál cuál es el plan plan preferipreferiflujo otras palabras, alguien está ofreciendo los do. En otras palabras, si alguien está ofreciendo 'dos planes, planes, ¿cuál ¿cuál piensa piensa usted usted que que puede puede obtener obtener 'dos una tasa tasa de rendimiento rendimiento mayor? mayor? una ¿Qué plan plan es la mejor elección si la TMAR TMAR es a) 2. ¿Qué mejor elección 15% anual anual y b) 50% anual? Aquí Aquí se pueden pueden tomar tomar 15% 50% anual? dos enfoques: enfoques: primero, evaluar las las dos dos opciones opciones dos primero, evaluar usando análisis análisis VP VP a la TMAR, TMAR, ignorando ignorando las raíraíusando ces múltiples, múltiples, ya sea sea que que existan existan o no; no; segundo, segundo, dedeces terminar la tasa tasa interna rendimiento de los dos dos terminar interna de rendimiento planes. ¿Las ¿Las dos dos series series de flujo flujo de efectivo efectivo tienen tienen planes. los mismos mismos valores valores de TR? los de TR?
325
Realice un análisis análisis de de TR TR incremental incremental de de los los dos dos 3. Realice planes. ¿Todavía existen múltiples raíces para para la planes. ¿Todavía existen múltiples raíces serie de flujo flujo de efectivo efectivo que que limiten limiten la habilidad serie habilidad de Bob y de Jane Jane para para efectuar efectuar una una elección elección definitidefinitiBob va? Si es así, así, ¿cuáles ¿cuáles son? son? va? 4. Los Los estudiantes estudiantes quieren quieren saber saber si el análisis análisis de TR TR compuesto producirá producirá consistentemente consistentemente una una decisión decisión compuesto lógica y única única conforme conforme cambia cambia el valor valor de la lógica la TMAR. Para Para responder responder a esta esta pregunta, pregunta, averigüe averigüe TMAR. cuál plan plan debería debería aceptarse aceptarse si algún algún flujo flujo de efectiefecticuál periodo (fondos (fondos sobrantes sobrantes del proyecvo de fin de periodo del proyecganan a las las siguientes siguientes tres tres tasas tasas de reinversión. reinversión. to) ganan Las tasas tasas TMAR TMAR también también cambian. cambian. Las La tasa tasa de reinversión reinversión es 15% 15% anual; anual; la TMAR TMAR a) La 15% anual. anual. es 15% La tasa tasa de reinversión reinversión está está a 45% 45% por por año; año; la b) La TMAR está está a 15% por año. TMAR por año. La tasa tasa de reinversión reinversión y la TMAR TMAR son son ambas ambas e) La 50% anual. anual. de 50% Explique a Bob Bob y Jane Jane sus hallazgos hallazgos respecto respecto d) Explique estas tres tres diferentes diferentes combinaciones combinaciones de tasas. tasas. de estas
9 9 o o 11-
«« u u
Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía economía del sector público Los anteriores normalmente Los métodos métodos de evaluación de los capítulos anteriores normalmente se se aplican a las las alternativas del sector sector privado, privado, es es decir, a empresas y negocios negocios lucrativos lucrativos. Los Los consumidores, consumidores, clientes y empleados empleados se se valen de las las altery no lucrativos. nativas disponibles. iza la disponibles. En En este capítulo capítulo se se presenta y anal analiza la naturaleza econóeconómica de las ico . En rop ietarios y usuarios las alternativas alternativas en el sector públ público. En éste los p propietarios (beneficia rios) son los ciudadanos (beneficiarios) ciudadanos de la la entidad entidad gubernamental gubernamental: : ciudad, país, estado, provincia provincia o nación nación.. Los Los organismos organismos del gobierno gobierno proporcionan proporcionan los mecanismos para incrementar incrementar el capital (inversión) y los fondos fondos de operación operación para proyectos, proyectos, a través de impuestos, impuestos, pagos pago~ de derechos, emisiones de bonos y préstamos. Existen cterísticas y evaExisten diferencias diferencias sustanciales entre las las cara características luación económica económica de las las alternativas alternativas en en los sectores público público y privado, privado, según se sociedades entre los público y privase presentó presentó en en la la primera primera sección. sección. Las Lassociedadesentre los sectores sectorespúblico privado cada vez son más más frecuentes, en especial para proyectos proyectos grandes de construcción de infraestructura, como autopistas importantes, importantes, plantas de generación de energ ía, desarrollo energía, desarrollo de recursos recursos hidráulicos hidráulicos y otros similares. La n beneficio/costo C) se inalidad d e La razó razón beneficio/costo (B/ (B/C) se formuló formuló, , en parte, con la la ffinalidad de imprimir ico de la imprimir objetividad objetividad al al análisis económ económico la evaluación del sector sector público, público, lo cual e los intereses políticos Sin embargo, cual reduce el efecto efecto d de políticos y particulares. Sin embargo, siempre hay discrepancias predecibles p redecibles entre los ciudadanos ruciudadanos (individuos (individuos y g grupos) pos) respecto de la la evaluación y definición definición de los beneficios beneficios de una una alternatialternativa va.. En En este capítulo capítulo se se estudian las las distintas distintas modalidades modalidades del análisis B/C y el contrabeneficio inherente de una una alternativa alternativa.. El El análisis análisis B/C puede puede incluir cálcucontrabeneficio los de equivalencia VP, VA o VF. equivalencia basados en los valores VP,VA VF. Si Si se se aplica correctacorrectamente, costo siempre permitirá ism a alternatimente, el método método beneficio/ beneficio/costo permitirá elegir elegir la la m misma alternativa isis VP,VA VP, VA y TR. va que en el caso caso de los anál análisis El io de caso royecto del sector úblico p ara El estud estudio caso tiene tiene que ve verr con un p proyecto sector p público para mejorar e tráfico mejorar el alumbrado alumbrado de vías vías urbanas d de tráfico rápido. rápido.
-
-
-
-
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE OBJETIVOS APRENDIZAJE Objetivo general: general: comprender comprender la economía economía del sector público; realizar realizar una evaluación de proyecto, proyecto, Objetivo comparación de alternativas, alternativas, utilizando utilizando el método método de la razón beneficio/costo. beneficio/costo. así como una comparación
Este capítulo capítulo ayudará al al lector lector a: a: Este
_______
Sector público S_e_c_to_r~pu-·b-l-iC-O-----••
I1
1. Identificar Identificar las las diferencias diferencias fundamentales las alternativas alternativas 1. fundamentales entre las económicas de los sectores público público y privado. privado. económicas la razón razón beneficio/costo beneficio/costo para la la eva evaluación un solo 2. Utilizar la lu ación de un proyecto. proyecto.
B/C para para un solo proyecto proyecto S/C
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Selección de de alternativa alternativa Selección
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Alternativas múltiples Alternativas múltiples
I
3.. Elegir la la mejor mejor opción opción entre dos alternativas alternativas utilizando utilizando el 3 método de la la razón razón B/C incremental. incremental. método
II
4. Determinar Determinar la la mejor mejor opción opción entre alternativas alternativas múltiples múltiples con el método B/C incremental. incremental. método
328
CAPÍTULO 9
9.1
beneficio/costo yy economía Análisis beneficio/costo economía del sector público
¡;;
PROYECTOS PROYECTOS DEL SECTOR SECTOR PÚBLICO PÚBLICO
Los público son propiedad, los los utilizan utilizan y los Los proyectos proyectos del del sector sector público son propiedad, los financian financian los los ciudadanos nivel en proyectos en ciudadanos de de cualquier cualquier nivel en el el gobierno; gobierno; mientras mientras que que los los proyectos en el secsector privado son propiedad de Los proprotor privado son propiedad de las las corporaciones, corporaciones, asociaciones asociaciones e individuos. individuos. Los ductos de los los proyectos proyectos del los utilizan utilizan consumidores consumidores y ductos y servicios servicios de del sector sector privado privado los clientes de Prácticamente todos ejemplos de los capítulos clientes de manera manera individual. individual. Prácticamente todos los los ejemplos de los capítulos anteriores refieren al sector privado. En En los notables anteriores se refieren sector privado. los capítulos capítulos 5 y 6 se señalan señalan notables excepciones, donde el costo costo capitalizado capitalizado se planteó planteó como una extensión extensión del del análisis excepciones, donde como una análisis VP para alternativas vida larga perpetuas. VP para alternativas de vida larga e inversiones inversiones perpetuas. Los proyectos proyectos del público tienen tienen como principal proveer proveer serviLos del sector sector público como objetivo objetivo principal servicios buscando el bienestar bienestar público público y no no las Las áreas cios a la la ciudadanía ciudadanía buscando las ganancias. ganancias. Las áreas como bienestar económico públicos abarcan una gran como salud, salud, seguridad, seguridad, bienestar económico y servicios servicios públicos abarcan una gran cantidad requieren el Algucantidad de de alternativas alternativas que que requieren el análisis análisis de de la la ingeniería ingeniería económica. económica. Algunos nos ejemplos ejemplos del del sector sector público público son: son: Hospitales y clínicas Hospitales clínicas Parques y centros recreación Parques centros de recreación Servicios: agua, electricidad, electricidad, gas, alcanalcanServicios: tarillado y limpia tarillado limpia Escuelas: secundaria, institutos institutos Escuelas: primaria, primaria, secundaria, comunitarios, universidades universidades comunitarios, Desarrollo económico Desarrollo económico Auditorios Auditorios Campos Campos deportivos deportivos
Transporte: puentes, canales Transporte: carreteras, carreteras, puentes, canales Policía Policía y bomberos bomberos Juzgados y prisiones prisiones Juzgados programas de ayuda Vales de despensa despensa y programas ayuda para sectores protegidos para sectores des protegidos Capacitación Capacitación laboral laboral Albergues Albergues Servicios Servicios de emergencia emergencia Códigos y estándares estándares Códigos
~
Losp ran g indic: blico sectoi públii cuenc del S( cuent nativ: vos y en un
e B
e
1
Existen de Existen diferencias diferencias significativas significativas en en las las características características de las las alternativas alternativas de de los los sectores público y privado. sectores público privado.
1 1
Características Características
Sector Sector público público
Sector privado Sector privado
Pare tiona
Magnitud de Magnitud la inversión inversión
Más grande
Algunas grandes; la mayoría de medianas a pequeñas
de mi
A menudo menudo las para las necesidades del público las alternativas alternativas desarrolladas desarrolladas para las necesidades del servicio servicio público requieren posiblemente distribuidas varequieren grandes grandes inversiones inversiones iniciales, iniciales, posiblemente distribuidas a lo lo largo largo de varios Algunos ejemplos ejemplos de modernas, los rios años. años. Algunos de éstas éstas son son las las carreteras carreteras modernas, los servicios servicios de de transporte público, los transporte público, los aeropuertos aeropuertos y los los sistemas sistemas de control control de de inundaciones. inundaciones. Estimaciones Estimaciones de vida vida
Más larga (30-50 o más años)
Más corta (2-25 años)
Las vidas largas de de los los proyectos frecuentemente promueven del Las vidas largas proyectos públicos públicos frecuentemente promueven el uso uso del método del del costo costo capitalizado, capitalizado, donde donde el infinito infinito se se utiliza los costos costos anuaanuamétodo utiliza para para n, y los les se se calculan calculan con con la la fórmula fórmula A = = P(i). P(i). Al crecer n, especialmente especialmente para de 30 les Al crecer para más más de años, se se reducen las diferencias diferencias con con el valor calculado. Por ejemplo, a una = 7%, 7%, años, reducen las valor A calculado. Por ejemplo, una i = habrá una diferencia muy los 30 y 50 años, años, debido debido a que que (A/P,7%,30) (A/P,7%,30) = = habrá una diferencia muy pequeña pequeña a los 0.08059 Y (A (A/P,7%,50) = 0.07246. 0.07246. 0.08059 /P,7%,50) =
prorr dio a dos s estirr con 1 cios prorr acurr misn
I
El ce
mem
SECCIÓN 9.1 SECCIÓN
Flujo de efectivo efectivo Sin ganancia; estiman costos, Flujo de Sin ganancia; se estiman costos, anual estimado estimado beneficios contrabeneficios anual beneficios y contrabeneficios
Proyectos sector público Proyectos del del sector público
El ingreso ingreso contribuye contribuye a la ganancia; estiman los costos ganancia; se estiman los costos
Los proyectos sector público (también llamados llamados de propiedad geneproyectos del sector público (también propiedad pública) pública) no geneganancias; además, además, poseen costos pagados organismo gubernamental gubernamental ran ganancias; poseen costos pagados por por el organismo indicado y benefician ciudadanía. Sin embargo, embargo, los proyectos proyectos del sector sector púindicado benefician a la ciudadanía. blico generan consecuencias consecuencias indeseables, indeseables, como como lo manifiestan algunos blico a menudo menudo generan manifiestan algunos sectores de la población. dichas consecuencias consecuencias las que originan originan controversia controversia sectores población. Son dichas pública entre los proyectos. análisis económico económico debería debería considerar considerar tales conseconsepública entre proyectos. El análisis cuencias en términos económicos a un grado grado que sea posible análisis cuencias términos económicos posible estimar. (En el análisis sector privado, privado, las consecuencias consecuencias indeseables indeseables con frecuencia frecuencia no se toman del sector toman en cuenta o se consideran consideran como como costos.) costos.) Para análisis económico económico de altercuenta Para realizar realizar un análisis nativas consideran los costos costos (inicial (inicial y anual) anual) los beneficios nativas públicas, públicas, si se consideran beneficios positipositivos y los contrabeneficios contrabeneficios deberán deberán estimarse estimarse con tanta exactitud como como sea posible tanta exactitud posible en unidades unidades monetarias. monetarias. Costos: estimación estimación de gastos construcCostos: gastos para para la entidad entidad gubernamental gubernamental para para la construcoperación y mantenimiento ción, operación mantenimiento del proyecto, proyecto, menos menos cualquier cualquier valor valor de salvamento. vamento. Beneficios: experimentará el propietario, Beneficios: ventajas ventajas que experimentará propietario, el público. público. Contrabeneficios: desventajas Contrabeneficios: desventajas para para el propietario propietario cuando cuando se lleva lleva a cabo cabo el proyecto proyecto bajo consideración. consideración. Los contrabeneficios contrabeneficios pueden pueden consistir consistir en desdesventajas ventajas económicas económicas indirectas indirectas de la alternativa. alternativa. Es importante siguiente: importante anotar anotar lo siguiente: Es difícil estimar estimar y coincidir coincidir en en lo relacionado con el impacto impacto económico económico de Es difícil relacionado con contra beneficios para alternativa del sector sector público. los beneficios beneficios y contrabeneficios para una una alternativa público. Por ejemplo, ejemplo, suponga suponga que se recomienda desviación alrededor alrededor del área congescongesrecomienda una desviación tionada ¿Cuánto beneficiará conductor, en dólares tionada de una población. población. ¿Cuánto beneficiará al conductor, dólares por por minuto minuto de manejo, evitar --mediante desviación- 5 semáforos, semáforos, manejando manejo, poder poder evitar mediante esta desviaciónmanejando a un promedio comparación con la velocidad promedio de velocidad velocidad de 35 millas/hora, millas/hora, en comparación velocidad promepromeactual al pasar dichos semáforos semáforos que es de 20 millas/hora, deteniéndose en dio actual pasar por por dichos millas/hora, y deteniéndose semáforos en promedio segundos en cada cada uno? dos semáforos promedio 45 segundos uno? Las bases bases y normas normas para para la estimación de beneficios beneficios son siempre siempre difíciles difíciles de establecer establecer y verificar. estimación verificar. En relación relación estimados de flujo de efectivo efectivo de los ingresos ingresos del sector sector privado, con los estimados privado, los benefibenefiestimados son mucho difíciles de realizar ciertos cios estimados mucho más difíciles realizar y varían varían más en torno torno a ciertos promedios indefinidos. Asimismo, contrabeneficios de una alternativa que se promedios indefinidos. Asimismo, los contrabeneficios una alternativa acumulan también difíciles de estimar. De hecho, quizás el contrabeneficio contrabeneficio acumulan también resultan resultan difíciles hecho, quizás mismo desconozca en el momento llevar a cabo la evaluación. evaluación. mismo se desconozca momento de llevar Flnanclamíento Finandamiento
Impuestos, pago de de derechos, derechos, Impuestos, pago bonos, fondos de particulares bonos, fondos particulares
Acciones, Acciones, bonos, bonos, préstamos, préstamos, propietarios individuales propietarios individuales
El capital capital utilizado financiar proyectos sector público obtiene principalutilizado para para financiar proyectos del sector público se obtiene principalmente impuestos, bonos derechos. Los impuestos impuestos se recaudan mente de impuestos, bonos y pago pago de derechos. recaudan de los
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330
CAPÍTULO CAPÍTULO 9
Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía público Análisis economía del del sector sector público
propietarios -los ciudadanos ciudadanos (por ejemplo: ejemplo: impuestos impuestos federales federales a la gasolina gasolina para propietarios -los para carreteras pagados por todos los consumidores también es carreteras son pagados consumidores de gasolina)-. gasolina)-. Éste también el caso del pago pago de derechos, peaje en carreteras. derechos, como como las cuotas cuotas de peaje carreteras. Con frecuencia, frecuencia, se emiten bonos del Tesoro de Estados Unidos, bonos municipales, bonos para para fines emiten bonos Estados Unidos, bonos municipales, bonos especiales, tales como los bonos de utilidad distrital. Los prestamistas de la iniciativa especiales, como bonos utilidad distrital. prestamistas iniciativa privada llegan a patrocinar un financiamiento. También, los filántropos pueden privada llegan patrocinar financiamiento. También, filántropo s pueden ofrecer fondos para museos, parques y áreas verdes verdes a través través de.donaciones. fondos para museos, monumentos, monumentos, parques de.donaciones. Tasa de interés interés
Más baja Más baja
Más base en el costo Más alta alta con con base costo del del capital capital en el mercado mercado
A causa causa de que muchos muchos de los métodos financiamiento para sector métodos de financiamiento para proyectos proyectos del sector público se clasifican público clasifican como como de bajo interés, interés, la tasa de interés interés casi siempre siempre será más baja alternativas del sector sector privado. organismos guberbaja que para para el caso de las alternativas privado. Los organismos namentales están están exentos exentos de los impuestos impuestos que imponen imponen los organismos organismos de más alto namentales proyectos municipales pagar impuestos nivel. Por Por ejemplo, ejemplo, los proyectos municipales no tienen tienen que pagar impuestos estataestatales. (Por el contrario, privadas, así como contrario, las corporaciones corporaciones privadas, como los ciudadanos, ciudadanos, tienen tienen que pagar pagar los impuestos.) préstamos tienen bajos y los apoyos impuestos.) Muchos Muchos préstamos tienen intereses intereses bajos apoyos de programas federales pueden compartir programas federales sin requerimientos requerimientos de reembolso reembolso pueden compartir los costos costos proyecto. Esto del proyecto. Esto da como como resultado resultado tasas de interés interés de14 del 4 aI8%. a18%. Es frecuente frecuente que un organismo gubernamental gubernamental indique indique que todos los proyectos evalúen a una tasa espeorganismo proyectos se evalúen ejemplo, la Oficina Oficina de Administración Administración y Presupuesto Presupuesto de Estados Estados Unidos cífica. Por ejemplo, Unidos inglés) en cierta cierta ocasión ocasión señaló señaló que los proyectos federales (OMB, por sus siglas en inglés) proyectos federales deberían deberían evaluarse evaluarse al 10% (sin ajuste ajuste inflacionario). inflacionario). Como Como cuestión cuestión de estandarizaestandarizadirectrices para interés específica específica rinden debido ción, las directrices para usar usar una tasa de interés rinden beneficios beneficios debido a que las diferentes diferentes instituciones instituciones gubernamentales gubernamentales son capaces capaces de obtener obtener diferentes diferentes tipos de fondos provocar que proyectos proyectos de la misma fondos a diferentes diferentes tasas, lo cual llega llega a provocar misma clase sean rechazados ciudad o condado, condado, pero se acepten acepten en un distrito distrito o muclase rechazados en una ciudad nicipio vecino. vecino. Por consiguiente, tienden a incrementar nicipio consiguiente, las tasas estandarizadas estandarizadas tienden incrementar la consistencia ya debilitar manejo personal personal de las reglas. consistencia de las decisiones decisiones económicas económicas ya debilitar el manejo La determinación para una evaluación público es determinación de la tasa de interés interés para evaluación del sector sector público tan importante importante como como la determinación determinación de la TMAR TMAR en el análisis análisis del sector sector privado. privado. La tasa de interés interés del sector sector público público se denota denota con i; sin embargo, embargo, también también se le denomina distinguirla de la tasa tasa del sector sector privado. términomina con otros nombres nombres para para distinguirla privado. Los térmisocial. nos más comunes comunes son tasa de descuento descuento y tasa de descuento descuento social. Criterios de elección Criterios de alternativas alternativas
Criterios múltiples Criterios múltiples
Principalmente basado Principalmente basado en la tasa tasa de rendimiento rendimiento
Múltiples categorías de usuarios, usuarios, intereses Múltiples categorías intereses económicos económicos y no económicos, económicos, grupos grupos políticos ciudadanos hacen difícil la elección elección de una alternativa alternativa políticos y de ciudadanos hacen que sea más difícil sobre otra en la economía economía del sector sector público. Rara vez es posible elegir una alternatialternatisobre público. Rara posible elegir único fundamento. importante descriva con un criterio criterio como el VP o la TR como como único fundamento. Es importante describir y especificar especificar el criterio criterio y el método método de elección elección antes del análisis. análisis. Esto Esto ayuda ayuda a determinar perspectiva o el punto punto de vista realice la evaluación. determinar la perspectiva vista cuando cuando se realice evaluación. A continuación examina el punto tinuación se examina punto de vista.
[ Co del tari va, pre tor
Al¡ nÚI
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ve, ber
•
SECCIÓN 9. 9.11 Proyectos del sector público
a es a, es a
es.
or ás
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un eos es a-
Ambiente de Ambiente la evaluación evaluación la
Influido por la política política
Principalmente económico Principalmente económico
Con frecuencia públicas y debates proyectos frecuencia se organizan organizan asambleas asambleas públicas debates asociados asociados con proyectos del sector público para para complacer variedad de intereses sector público complacer la variedad intereses de los ciudadanos ciudadanos (propie(propietarios). funcionarios electos electos a menudo contribuyen a la elección elección de la alternatialternatitarios). Los funcionarios menudo contribuyen votantes, urbanistas, urbanistas, ambientalistas otros ejercerán va, especialmente especialmente cuando cuando los votantes, ambientalistas y otros ejercerán presión. El proceso proceso de selección una evaluación presión. selección no es tan "limpio" "limpio" como como en una evaluación del secprivado. tor privado. punto de vista vista del análisis público deberá El punto análisis en el sector sector público deberá determinarse determinarse anbeneficios y contra beneficios, tes de que se efectúen efectúen los cálculos cálculos de costos, costos, beneficios contra beneficios, plantee y se lleve a cabo Existen diversos yy antes antes de que se plantee cabo la evaluación. evaluación. Existen diversos puntos de vista para para cualquier puntos cualquier situación, situación, y las diferentes diferentes perspectivas perspectivas puealterar la clasificación clasificación del flujo de efectivo. efectivo. den alterar Algunos ejemplos perspectiva son los ciudadanos; municipales; el Algunos ejemplos de perspectiva ciudadanos; los impuestos impuestos municipales; número de estudiantes número estudiantes en la escuela escuela del área; la creación creación y conservación conservación de empleos; el potencial potencial de desarrollo particular de una una industria, pleos; desarrollo económico; económico; el interés interés particular industria, del sector banca, de la manufactura manufactura electrónica, muchos otros. En sector agrícola, agrícola, de la banca, electrónica, y muchos general, punto de vista vista del análisis incluya general, el punto análisis deberá deberá definirse definirse tan ampliamente ampliamente que incluya a aquellos costos de un proyecto proyecto y obtendrán beneficios. Una Una aquellos que asumirán asumirán los costos obtendrán sus beneficios. vez establecido, punto de vista vista ayudará beneficios y contraestablecido, el punto ayudará a clasificar clasificar costos, costos, beneficios contrabeneficios de cada beneficios cada alternativa, alternativa, como lo indica indica el ejemplo ejemplo 9.1.
do es a u-
la as. es o. e-
a n-
EJEMPLO EJEMPLO
9.1
.
El Comité de Proyectos para el Incremento Incremento del Capital (CPIC) de la ciudad de Dundee formado por ciudadanos, recomendó recomendó la emisión de bonos por $5 millones para la compra de un terreno para preservar áreas verdes de baja altitud y el hábitat de la vida silvestre al este de la ciudad en rápida expansión, cuya población población es de 62 000 habitantes. habitantes. A la propuesta se le conoce como Iniciativa Iniciativa de Adquisición Adquisición de Greenway. Los urbanizadores urbanizadores se opusieron rápidamente rápidamente a la propuesta propuesta por la reducción del terreno disponible para desarrollo comercial. El ingeniero ingeniero en jefe jefe y el director de desarrollo económico de la ciudad considerando realizaron los siguientes cálculos preliminares preliminares para algunas áreas obvias, considerando las consecuencias consecuencias de la iniciativa en mantenimiento, mantenimiento, parques, desarrollo comercial e inun15 años. La inexactitud inexactitud de dichos cálculos se daciones sobre un horizonte de planeación a 15 hace muy clara en el informe dirigido al ayuntamiento ayuntamiento de la ciudad de Dundee. Tales clasificados aún como costos, beneficios o contrabeneficios. contrabeneficios. Si se cálculos no han sido clasificados lleva a cabo la Iniciativa Iniciativa de Adquisición Adquisición de Greenway, los estimados serán los siguientes. Dimensión económica económica Dimensión
Estimados Estimados
1. Costo anual de $5 millones en bonos durante 15 15 años al 6% de tasa de interés de bono 2. Mantenimiento Mantenimiento anual, seguimiento y administración administración del programa programa
$300000 (años 1-14) $300000 300000 (año 15) $5 300000 $75 000 + 10% anual
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CAPÍTULO 9 CAPÍTULO
Análisis economía del del sector sector público Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía público
3. Presupuesto anual para desarrollo Presupuesto anual para el desarrollo de parques parques anual en en desarrollo desarrollo comercial comercial 4. Pérdida Pérdida anual de impuestos impuestos por 5. Reducción Reducción de por ventas estatales no ventas estatales no realizadas realizadas Ingresos anuales anuales municipales 6. Ingresos municipales provenientes del uso de parques provenientes del uso de parques y eventos deportivos deportivos regionales de eventos regionales proyectos de control control 7. Ahorros Ahorros en proyectos de inundaciones inundaciones de (personal y 8. Daños Daños a la propiedad propiedad (personal ciudad) no de la ciudad) no ocurridos ocurridos por inundaciones por inundaciones
$500000 (años (años 5-10) 5-10) $500000 $2000000 (años 8-10) 8-10) $2000000 (años $275000 + 5% 5% anual anual (años (años 8 en adelante) adelante) $275000 $100000 + 12% 12% anual anual (años (años 6 en adelante) adelante) $100000
de pr tm
El
ca de
$300000 (años (años 3-10) 3-10) $300000 $1400000 (años 10-15) $1400000 (años 10-15) $500000 (años (años 10 y 15) $500000
Pr Pu Pu
Identifique tres diferentes puntos de vista vista para análisis económico económico de de la propuesta Identifique tres diferentes puntos de para el análisis propuesta y clasifique los los cálculos cálculos consecuentemente. consecuentemente. clasifique
Al
Solución Solución Existen aquí aparecen aparecen tres. Los puntos objetivos se idenidenExisten muchas muchas perspectivas; perspectivas; aquí tres. Los puntos de vista vista y objetivos tifican cada cálculo cálculo se clasifica clasifica como como costo, costo, beneficio contrabeneficio. (La (La manera en tifican y cada beneficio o contrabeneficio. manera en que se realizará clasificación variará dependiendo de quién quién lleve lleve a cabo cabo el análisis. análisis. Esta Esta que realizará la clasificación variará dependiendo solución ofrece ofrece sólo sólo una lógica.) solución una respuesta respuesta lógica.) Punto vista 1: habitantes habitantes de la ciudad. ciudad. Objetivo: Objetivo: Maximizar calidad y bienestar de Punto de vista Maximizar la calidad bienestar de ciudadanos, siendo siendo la familia familia y el vecindario fundamentales. los ciudadanos, vecindario las preocupaciones preocupaciones fundamentales. Costos: 1,2,3, 1,2,3, Costos:
Beneficios: Beneficios: 6, 7, 8
Contrabeneficios: 4, 5 Contrabeneficios:
Punto vista 2: presupuesto ciudad. Objetivo: Punto de vista presupuesto para para la ciudad. Objetivo: Asegurarse Asegurarse de que que el presupuesto presupuesto encuentre equilibrado equilibrado y sea sea de de suficiente suficiente magnitud ofrecer servicios servicios a la ciudad ciudad en en se encuentre magnitud para para ofrecer rápido crecimiento. rápido crecimiento. Costos: 1,2,3,5 1,2,3,5 Costos:
Beneficios: Beneficios: 6, 7, 8
Contrabeneficios: 4 Contrabeneficios:
Punto vista 3: desarrollo desarrollo económico. económico. Objetivo: Objetivo: Promover desarrollo econóeconóPunto de vista Promover un un nuevo nuevo desarrollo mico, comercial e industrial industrial para creación y conservación conservación de empleos. empleos. mico, comercial para la creación Costos: 1, 2, 3, 4, 5 Costos:
Beneficios: 6,7,8 Beneficios: 6, 7, 8
Contrabeneficios: ninguno Contrabeneficios: ninguno
La clasificación de de los los estimados estimados 4 (pérdida (pérdida de de desarrollo desarrollo comercial) comercial) y 5 (pérdida (pérdida por La clasificación por reducción de de impuestos impuestos por cambia dependiendo dependiendo de de la perspectiva análisis ecoecoducción por ventas) ventas) cambia perspectiva del del análisis nómico. analista favorece favorece los objetivos del del desarrollo desarrollo económico económico de de la ciudad, ciudad, las las nómico. Si el analista los objetivos pérdidas del desarrollo desarrollo comercial comercial se consideran consideran como como costos costos reales, que se consiconsipérdidas del reales, mientras mientras que deran consecuencias consecuencias indeseables indeseables (contrabeneficios) (contrabeneficios) desde desde los los puntos de vista del presuderan puntos de vista del presupuesto de la ciudadanía. ciudadanía. También, También, todas las pérdidas de impuestos impuestos por puesto y de todas las pérdidas por por reducciones reducciones de por ventas del estado estado se interpretan interpretan como como costo costo real desde la perspectiva del presupuesto del ventas del real desde perspectiva del presupuesto y del desarrollo económico, económico, pero contrabeneficio desde desde la perspectiva del ciudadano. ciudadano. desarrollo pero como como un un contrabeneficio perspectiva del
Comentario Comentario Los contrabeneficios contrabeneficios pueden incluirse o pasarse alto en en un un análisis, análisis, según según se analiza analiza Los pueden incluirse pasarse por por alto sección. Esta Esta decisión decisión puede diferencia importante importante en en la acepen la siguiente siguiente sección. puede marcar marcar una una diferencia la aceptación de una una alternativa alternativa del del sector sector público. tación o rechazo rechazo de público.
El
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p; h.
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SECCIÓN 9.1 SECCIÓN
Proyectos del Proyectos del sector sector público público
Durante varias varias décadas, décadas, los proyectos proyectos grandes grandes del sector sector público sido Durante público han han sido desarrollados en forma forma cada cada vez más frecuente frecuente por socios tanto tanto públicos desarrollados públicos como como privados. sector privado privado y privados. Esta Esta es la tendencia tendencia en parte parte por la mayor mayor eficiencia eficiencia del sector también dichos proyectos. proyectos. también debido debido al alto costo que implica implica diseñar, construir construir y operar operar dichos El financiamiento posible financiamiento total por parte parte de la unidad unidad gubernamental gubernamental podría podría no ser posible medios tradicionales tradicionales de financiamiento financiamiento proveniente proveniente del gobierno con el uso de los medios gobierno -gravámenes, continuación se presentan algunos ejemplos ejemplos -gravámenes, impuestos impuestos y bonos-o bonos-o A continuación presentan algunos proyectos como como los arriba arriba descritos: descritos: de proyectos Proyecto
Algunos propósitos del proyecto proyecto
Puentes Puentes y túneles túneles
Aumento de la velocidad velocidad del tránsito; tránsito; reducir reducir los los congestionamienAumento congestionamientos; tos; mejorar mejorar la seguridad seguridad Incrementar la capacidad capacidad de manejo carga; dar Incrementar manejo de carga; dar apoyo apoyo al desadesarrollo industrial industrial rrollo Aumentar seguridad de los Aumentar la capacidad; capacidad; mejorar mejorar la seguridad los pasajeros; pasajeros; apoapoyar el desarrollo desarrollo yar Desalar agua agua para para consumo consumo humano humano; ; satisfacer satisfacer las Desalar las necesidades necesidades de riego e industriales; industriales; mejorar mejorar el tratamiento tratamiento de las riego las aguas aguas residuales residuales
Puertos y obras obras marinas marinas Puertos Aeropuertos Aeropuertos Recursos hidráulicos hidráulicos Recursos
En dichos negocios costo negocios conjuntos, conjuntos, el sector sector público público (gobierno) (gobierno) es responsable responsable del costo y los servicios vado (corporación) (corporación) servicios para para la ciudadanía, ciudadanía, mientras mientras el socio del sector sector pri privado responsabiliza de varios aspectos aspectos de los proyectos proyectos que se detallan detallan más adelante. se responsabiliza adelante. parte gubernamental gubernamental no puede puede obtener obtener una utilidad, utilidad, pero la(s) corporación(es) La parte corporación(es) involucrada(s) ganancia razonable; por lo general, general, el involucrada(s) sí pueden pueden tener tener una ganancia razonable; de hecho, hecho, por margen diseño, la margen de utilidad utilidad queda queda establecido establecido por escrito escrito en el contrato contrato que rige el diseño, construcción, construcción, operación operación y propiedad propiedad del proyecto. proyecto. Ra sido una tradición que tales proyectos de construcción los diseñe y financie una Ha construcción ya sea por unidad gubernamental, mientras que un contratista realiza la construcción medio de un contrato de un solo pago global (precio (precio alzado alzado * ) u otro de reembolso del costo (precios * ), que especifica el acuerdo acerca del margen de utilidad. En (precios unitarios unitarios*), propietario el riesgo en el éxito dichos casos, el contratista no comparte con el gobierno propietario del proyecto. Cuando se plantea una sociedad entre intereses públicos y privados, es común que el proyecto se contrate con un arreglo denominado construir-operar-transferir construir-aperar-transferir (BOT, por sus siglas en inglés), al que también se llama BOOT porque incluye el término propiedad. ** El proyecto administrado según BOT puede requerir que el contratista contratista se propiedad. financiarniento, y se responsabilice haga responsable en forma parcial o total del diseño y financiamiento, por completo de las actividades de construcción (el elemento constructivo), operación mantenimiento, durante cierto número de años. Después de dicho periodo de (operar), y mantenimiento, gubernamental se convierte en el dueño, una vez que se transfiere el tiempo, la unidad gubernamental título de propiedad (transferencia) sin ningún costo o a uno muy bajo. Este arreglo tiene varias ventajas, entre otras las que se mencionan a continuación: Mejor recursos Mejor eficiencia eficiencia de la empresa empresa privada privada para para la asignación asignación de recursos Capacidad para obtener fondos (préstamos) (préstamos) con base en la historia Capacidad para obtener historia financiera financiera gubernamental y privado privado de los socios gubernamental *En en el trabajo utiliza el término término *En el original,Jixed-price; original,Jixed-price; trabajo cotidiano cotidiano de los los proyectos proyectos gubernamentales gubernamentales se utiliza precio alzado, en los smo caso término cost-plus, cost-plus, que que precio alzado, incluso incluso en los contratos contratos que que se firman firman. . Es Es el mi mismo caso para para el término legalmente equivale equivale a precios unitarios. legalmente precios unitarios. **Own. NT. **OWI!.
333 333
334
CAPÍTULO 9 CAPÍTULO
•
Análisis economía del sector sector público Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía público
sector privado dirige los aspectos aspectos ambientales, ambientales, bursátiles seguridad, en El sector privado dirige bursátiles y de seguridad, general tiene tiene más experiencia experiencia los que por lo general La(s) corporación(es) corporación(es) contratante(s) contratante(s) tienen tienen la capacidad capacidad para obtener un La(s) para obtener rendimiento sobre la inversión inversión durante durante la fase de operación operación rendimiento sobre
•
Muchos de los proyectos alcance internacional internacional y en los países en vías de desarrollo desarrollo Muchos proyectos de alcance utilizan forma de propiedad supuesto, también también tiene tiene desventajas; desventajas; uno utilizan la forma propiedad BOT. Por supuesto, financiarniento comprometido comprometido en el proyecto tal vez de los riesgos es que el monto del financiamiento no cubra cubra el costo costo real de construcción construcción por ser considerablemente considerablemente mayor mayor al estimaestimacorporación privada obtenga una utilidad razonable do. Otro riesgo riesgo es que la corporación privada no obtenga utilidad razonable debido a la escasa escasa utilización infraestructura durante durante la fase de operación. operación. Para debido utilización de la infraestructura prevenir dichos problemas, problemas, el contrato original establece la posibilidad posibilidad de préstamos especiales con garantía garantía por parte gubernamental, así como como subsidios subsidios especiales parte de la unidad unidad gubernamental, especiales. El subsidio subsidio cubre cubre los costos costos más la utilidad (acordada en forma forma contraccontracespeciales. utilidad (acordada tual) si el uso fuera más bajo al nivel especificado. especificado. Dicho Dicho nivel nivel podría podría ser el punto punto equilibrio con el margen acuerdo. de equilibrio margen de utilidad utilidad considerado considerado en el acuerdo. Una BOTIBOOT, es el BOO (construir-poseer-operar), Una variación variación del método método BOTIBOOT, BOO (construir-poseer-operar), en el que la transferencia transferencia de la propiedad propiedad nunca nunca ocurre. ocurre. Esta Esta forma forma de sociedad sociedad entre público y lo privado privado puede puede usarse usarse si el proyecto proyecto tiene tiene una vida vida relativamente relativamente entre lo público corta tecnología utilizada utilizada se volviera volviera obsoleta rápidamente. corta o la tecnología obsoleta rápidamente.
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ANÁLISIS BENEFICIO/COSTO DE UN UN SOLO SOLO PROYECTO PROYECTO ANÁLISIS BENEFICIO/COSTO
(l n
razón beneficio/costo análisis fundamental fundamental para La razón beneficio/costo se considera considera el método método de análisis para proproyectos sector público. análisis B/C se creó para asignar mayor mayor objetividad objetividad a la yectos del sector público. El análisis para asignar economía del sector sector público, como una respuesta Congreso de Estados Estados Unidos Unidos economía público, como respuesta del Congreso aprobó el Acta Acta de Control Control de Inundaciones Inundaciones de 1936. Existen Existen diversas diversas variaciovariacioque aprobó razón B/C; B/C; sin embargo, embargo, el enfoque enfoque fundamental fundamental es el mismo. mismo. Todos los nes de la razón cálculos de costos costos y beneficios beneficios deberán deberán convertirse convertirse a una unidad unidad monetaria monetaria de equiequicálculos valencia común común (VP, VAo VF) aala descuento (tasa (tasa de interés). interés). La razón convalencia la tasa de descuento razón convencional B/C se calcula calcula de la siguiente siguiente manera: vencional manera:
te e
9.2
= VP de beneficios B/C = beneficios VP de costos costos
VA de beneficios beneficios VAde costos VAde costos
=
VF de beneficios beneficios VF de costos costos
(
11 'Y S
[9.1]
equivalencias para valor anual se utilizan Las equivalencias para valor valor presente presente y valor utilizan más que las del valor valor convención de signos para análisis B/C consiste consiste en signos positivos; para el análisis positivos; futuro. La convención costos irán precedidos Cuando se calculan calculan los valores así, los costos precedidos por por un signo signo +. Cuando valores de salvamento, se deducen deducen de los costos. costos. Los contrabeneficios contrabeneficios se consideran consideran de difedifesalvamento, rentes dependiendo del modelo rentes maneras, maneras, dependiendo modelo que se utilice. utilice. comúnmente, los contrabeneficios contrabeneficios se restan colocan Más comúnmente, restan de los beneficios beneficios y se colocan numerador. A continuación continuación se estudian estudian las distintas distintas modalidades. en el numerador. modalidades. directriz de la decisión decisión es simple: simple: La directriz B/C 2:: ~ 1.0, se determina determina que que el proyecto económicamente aceptable aceptable Si B/C proyecto es económicamente para estimados y la tasa tasa de descuento descuento aplicada. aplicada. para los estimados B/C < 1.0, el proyecto económicamente aceptable. aceptable. Si B/C proyecto no es económicamente
r
t
r
e
t.
SECCIÓN SECCIÓN 9.2
Análisis Análisis beneficio/costo beneficio/costo de un solo solo proyecto proyecto
valor B/C es igualo igualo está está muy cerca cerca de 1.0, los factores factores no económicos económicos ayudaayudaSi el valor rán a tomar mejor alternativa. tomar la decisión decisión de la mejor alternativa. La razón B/e B/C convencional, convencional, probablemente probablemente la más ampliamente ampliamente utilizada, utilizada, se calcula de la siguiente siguiente manera: manera: calcula
=
B-CB (beneficios --_c_o_n_tr_a_b_c_n_e_fi_c_io_s,,-) contra beneficios ) = B-CB B/C _(-'.-b_c_n_c_fi_c_io_s_· B/C= = costos costos C
[9.2]
ecuación [9.2], los contrabeneficios contrabeneficios se restan restan de los beneficios beneficios y no se agreagreEn la ecuación variaría de manera manera considerable considerable si los contrabeneficios contrabeneficios gan a los costos. El valor B/C variaría consideraran como como costos. Por ejemplo, ejemplo, si los números números 10,8 10,8 y 8 se utilizan utilizan para para se consideraran representar el VP de beneficios beneficios positivos, positivos, negativos negativos y costos, costos, respectivamente, respectivamente, el representar procedimiento correcto correcto da como como resultado resultado B/C :: (lO - 8)/8 = = 0.25; mientras mientras que la procedimiento inclusión incorrecta incorrecta de los contrabeneficios contrabeneficios en el denominador denominador da como como resultado resultado inclusión = 0.625, que es más del doble del valor valor correcto correcto de B/C de 0.25. B/C = 10/(8 + 8) = Entonces, resulta resulta claro que el método por el cual se manejan manejan los beneficios beneficios afecta afecta la Entonces, método por magnitud de la razón B/C. No obstante, obstante, sin importar importar si los contrabeneficios contrabeneficios se resmagnitud (correctamente) del numerador numerador o se suman suman (incorrectamente) (incorrectamente) a los costos costos en el tan (correctamente) denominador, una razón razón B/C menor menor a 1.0 calculada calculada por el primer primer método, método, siempre siempre denominador, producirá una razón B/C menor menor que 1.0 por el segundo segundo método, método, y viceversa. viceversa. producirá La razón B/e B/C modificada modificada incluye incluye los costos costos de mantenimiento mantenimiento y operación operación numerador y los trata de forma similar similar a los contrabeneficios. contrabeneficios. El de(M&O) en el numerador nominador, entonces, entonces, incluye incluye solamente solamente el costo costo de inversión inversión inicial. inicial. Una Una vez que nominador, cantidades se expresan expresan en términos términos de VP, VA o VF, la razón razón B/C modifimodifitodas las cantidades cada se calcula calcula de la siguiente siguiente manera: cada B/e modificada modificada
= =
(beneficios contrabelleficios costos M&O) M&O) (beneficios - contrabcncficios - costos inversión inicial inversión inicial
[9.3] [9.3]
Como se consideró consideró antes, cualquier cualquier valor valor de salvamento salvamento está está incluido incluido en el denoComo minador como como costo costo negativo. negativo. En efecto, efecto, la razón B/C modificada modificada producirá producirá un minador valor diferente diferente que el que arroja arroja el método método B/C convencional. convencional. Sin embargo, embargo, como valor sucede con los contrabeneficios, contrabeneficios, el procedimiento modificado puede cambiar la sucede procedimiento modificado puede cambiar magnitud de la razón pero decisión de aceptar aceptar o de rechazar rechazar el proyecto. magnitud pero no la decisión proyecto. medida de valor valor expresada expresada como como la diferencia diferencia entre beneficios beneficios y costos, La medida costos, que implica ningún ningún cociente, cociente, se basa basa en la diferencia diferencia entre el VP, el VA o el VF de no implica beneficios y costos, costos, es decir, B - e. C. Si (B - e) C) ~ 0, el proyecto proyecto es aceptable. aceptable. Este Este beneficios método ventaja de eliminar eliminar las discrepancias discrepancias antes observadas, observadas, cuando cuando los método tiene la ventaja contrabeneficios se consideran consideran como como costos, costos, puesto puesto que B representa representa beneficios beneficios contrabeneficios consecuencia, para para los números números 10, 8 y 8 se obtiene obtiene el mismo mismo resultado resultado netos. En consecuencia, importar la forma forma en que se consideren consideren los contrabeneficios. contrabeneficios. sin importar restan los contrabeneficios contrabeneficios de los beneficios: beneficios: Si se restan
C= = (lO (10 - 8) - 8 = =-6 B- e -6
suman los contrabeneficios contrabeneficios a los costos: costos: Si se suman
C= = 10 - (8 + 8) B- e
= -6 =
Antes de calcular calcular la razón razón B/C con cualquier cualquier fórmula, fórmula, se debe debe verificar alterAntes verificar si la alternativa con mayor mayor VA o VP de los costos costos también también produce produce mayores mayores VA VA o VP de nativa
335
336
CAPÍTULO CAPÍTULO 9
Análisis Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía economía del del sector sector público público
los beneficios. beneficios. Es posible posible que una alternativa alternativa con mayores mayores costos costos genere genere menores menores beneficios beneficios que otras alternativas, alternativas, lo cual hace hace innecesario innecesario seguir seguir considerando considerando la alternativa alternativa más costosa. costosa. EJEMPLO EJEMPLO
9.2
La Fundación Fundación Ford Ford está está contemplando contemplando una una asignación asignación de 15 millones millones de dólares dólares en becas becas La a escuelas públicas para escuelas preparatorias preparatorias públicas para desarrollar desarrollar nuevas nuevas formas formas de enseñar enseñar fundamentos fundamentos de ingeniería, ingeniería, que que preparen preparen a los estudiantes estudiantes para para su ingreso ingreso a la universidad. universidad. Las Las becas becas se otorgarán por por un periodo periodo de 10 años años y generarán generarán un ahorro ahorro estimado estimado de $1.5 $1.5 millones millones otorgarán anuales, en salarios salarios de personal personal docente docente y otros otros gastos gastos relacionados relacionados con con los los estudiantes. estudiantes. anuales, La fundación fundación utiliza utiliza una una tasa tasa de rendimiento rendimiento del del 6% anual anual para para las becas becas otorgadas. otorgadas. La Puesto que que el nuevo nuevo programa programa compartirá compartirá fondos fondos con con ciertas ciertas actividades actividades en curso, curso, se Puesto ha estimado estimado que que se destinarán destinarán $200000 $200 000 para para apoyo apoyo de dichas dichas actividades. actividades. Para Para hacer hacer exitoso exitoso el programa, programa, la fundación fundación incurrirá incurrirá en gastos gastos de operación operación anual anual de $500 $500 000 000 de su presupuesto presupuesto regular regular M&O. M&O. Emplee Emplee el método método B/C B/C para para determinar determinar si el programa programa de becas se justifica términos económicos. económicos. becas justifica en términos Solución Solución Utilice el valor valor anual anual como como base base unitaria unitaria equivalente. equivalente. Se Se usan usan los los tres tres modelos modelos B/C B/C para para Utilice evaluar evaluar el programa. programa.
s
VA VA de costo de inversión inversión
$15000 $15000 000(AlP,6%,10) 000(AlP,6%,1O) = $2 038 038 050 050 anuales anuales
VA de beneficio beneficio VA
500000 anuales anuales $1 500000
VA VA de contrabeneficio contrabeneficio
$200 $200 000 000 anuales anuales
VA VA del costo de M&O M&O
$500 $500 000 000 anuales anuales
Utilice la ecuación ecuación [9.2] [9.2] para para el análisis análisis B/C B/C convencional, convencional, donde donde el costo costo de mantenimanteniUtilice miento y operación operación (M&O) (M&O) se coloca coloca en en el denominador denominador como como un costo costo anual. anual. miento B/C = (1500000 (1 500 000 - 200 200 000) 000) B/C (2 038 038 050 050 + 500 500 000) 000)
1300000 = 0.51 0.51 1300000 22538050 538 050
proyecto no se justifica, que: B/C B/C < 1.0. El proyecto justifica, ya que: Mediante Mediante la ecuación ecuación [9.3], [9.3], la razón razón B/C B/C modificada modificada considera considera el costo costo de M&O M&O como como una una disminución disminución de los los beneficios. beneficios.
B/C B/C modificado modificado = (1500000 (1 500000 - 200 200 000 000 - 500 500 000) 000) = 0.39 0.39 2038050 2038050 Como justifica por Como se esperaba, esperaba, el proyecto proyecto tampoco tampoco se justifica por el método método B/C B/C modificado. modificado. Para Para el modelo modelo (B - C), B es el beneficio beneficio neto neto y el costo costo anual anual de M&O M&O se incluye incluye en los costos. costos.
B - C = (1 500000 500000 - 200 200 000) 000) - (2 038 038 050 050 + 500 500 000) 000) = $-1.24 $-1.24 millones millones justifica el programa. Puesto Puesto que que (B - C) < O, no se justifica programa.
SECCIÓN 9.2
Análisis beneficio/costo beneficio/costo de un solo proyecto
337
Aarón es el nuevo ingeniero de proyectos del Departamento Departamento de Transporte de Arizona graduarse en ingeniería (DTA). Después de graduarse ingeniería por la Universidad Universidad Estatal de Arizona, decidió experiencia en el sector público, antes de solicitar solicitar ingreso a alguna maestría. obtener experiencia convencional Con base en las relaciones de valor anual, Aarón realizó el análisis B/C convencional propuestas que aparecen a continuación. continuación. de las dos propuestas Propuesta de vía periférica: Nueva ruta alrededor de una parte de Flagstaff Flagstaff para seguridad y disminuir el tiempo de viaje promedio. mejorar la seguridad Fuente de la propuesta: Oficina Estatal del DTA para análisis de las principales vías públicas. Inversión inicial en valor presente: P = $40 millones. Mantenimiento anual: $1.5 millones. Mantenimiento millones. Beneficios anuales para el público: B = $6.5 millones. años. Vida estimada: 20 año. s. Financiamiento: 50-50 compartidos entre fondos federales y estatales; aplica una Financiamiento: tasa de descuento de 8% requerido federalmente.
Propuesta de mejora: Ampliación de la carretera a través de secciones de Flagstaff Flagstaff congestión de tráfico y mejorar mejorar la seguridad. para aliviar la congestión Fuente de la propuesta; Oficina de distrito local de Flagstaff Flagstaff del DTA. Inversión inicial en valor presente: P = $4 millones. Inversión Mantenimiento anual: $150000. $150000. Mantenimiento $650000. B = $650000. Beneficios anuales para el público: B Vida estimada: 12 años Financiamiento: 100% de los fondos estatales; aplica de manera usual una tasa de Financiamiento: descuento de 4%. convencional con la ecuaAarón utiliza una solución a mano para realizar realizar el análisis B/C convencional [9.2] y con VA VAcalculados calculados a18% anual, para la propuesta propuesta de la vía periférica periférica y con 4% ción [9.2] propuesta de mejora. anual para la propuesta Propuesta de la vía periférica: inversión = $40000 $40000 000(A/P,8%,20) 000(A/P,8%,20) = periférica: VA VA de inversión Propuesta $4074000 anual $4074000 B/C = _ __6_5_0_0 6_5_0_0 _00_0 _00_0__ _ _ = 1.17 (4074000 + 1 500000) 500000) (4074000 Propuesta de mejora: VA $4000 000(Alp,4%,12) 000(Alp,4%,12) = $426200 $426200 anual VA de inversión = $4000 Propuesta 65_0_0_0_0 B/C = ___ 650000 _ _ = = 1.13 1.13 (426200 + 150000) 150000) (426200 Ambas propuestas están económicamente económicamente justificadas, justificadas, ya que B/C > 1.0. a) b)
Realice el mismo análisis por computadora, utilizando utilizando un mínimo de cálculos. descuento para la propuesta La tasa de descuent9 propuesta de mejora no es segura, debido a que el DTA considerando solicitar fondos federales. ¿Es justificable económiestá considerando justificable en términos económicos si la tasa de descuento del 8% también aplica a ésta?
s
CAPÍTULO 9
338 338
Análisis beneficio/costo economía del sector público beneficio/costo y econolIÚa
Solución por por computadora computadora Solución a, Observe la figura 99.1a. .la. Los valores B/C de 1.17 y 1.13 se encuentran en B4 y D4 (en unidades de $1 $1 millón). millón). La función PAGO(i%,n,-P) PAGO(i%,n,-P) más el costo de mantenimiento mantenimiento VA de costos en el denominador. Observe las etiquetas de las celdas. anual calcula el VAde b) La celda F4 utiliza un valor i de 8% en la función PAGO. Por lo tanto, existe una diferencia real en la justificación diferencia justificación de la decisión. A una tasa de 8%, la propuesta propuesta de justificable. mejora ya no es justificable.
a, Sol-R Sol-R
Comentario Comentario 9.1b presenta una solución completa B/C en hoja de cálculo. No hay diferencias diferencias La figura 9.lb conclusiones de la hoja de cálculo de la Sol-R, pero sí se muestran los cálculos de la en las conclusiones propuesta modo, el propuesta y los resultados B/C aparecen con detalle en esta hoja. Del mismo modo, análisis de sensibilidad es fácil de realizar realizar en esta versión ampliada, debido a que se utilizan las funciones de referencia celdas. referencia a celdas.
l!l ~Sol-E Sol-E
1.13
=6.5/(1.5+
PAGO(8%,20,
-40))
=0.65/(0.15+
PAGO(8%,12,
-4))
--------------4----------"--------------+--------1------------+----------------+--------j---------.---t-
------
..- -- -.-.---
+---
+-
--- - ---.-
---. -- ..--
-----+- -
---
1·..··· ..····························+--
Figura Figura 9.1 Hoja de cálculo cálculo para B/e de de dos dos propuestas: Sol-R y b) solución solución ampliada (ejemplo 9.3). 9.3). Hoja para la la razón razón B/C propuestas: a) Sol-R ampliada (ejemplo
9
L
a e a d
SECCIÓN 9.3
339
Selección de alternativas mediante el análisis B/C incremental
. l·'
f••~¡U
E
H
8%
Tasa -de descuento = Proyecto
Me'ora
$4,000,000 $150,000 12
Inversió n inicial Mantenimiento
G
F
anual
..--.----------------
--
- -..--- -. _·_--------·-1--·+--_·,,:::::::··:::::=:+--_········-
.. ..
..$5,574.,ºªª .•.••...•.•......•.•••.•.•••.•.•.•........ l l~,5ºº,Qºº . ..... ····i1"7· Sí
1\1·········································
·f··························
.".............
l·····································
....-----------''----,,--+----_._---_ ..-_ _ =PAGO(C$2,C6,
-C4)+C5
1,"Sí","No")
Figura 9.1 (Continuación)
9.3
SELECCiÓN DE ALTERNATIVAS MEDIANTE EL ANÁLISIS B/C INCREMENTAL
La técnica para comparar dos alternativas mutuamente excluyentes utilizando el análisis beneficio/costo es prácticamente la misma que para el análisis TR incremental examinado en el capítulo 8. La razón B/C incremental (convencional) se determina al utilizar los cálculos de VP, VA o VF, y la alternativa de costo extra se justifica si dicha razón B/C es igualo mayor que 1.0. La regla de elección es la siguiente: Si B/C incremental
Si B/C incremental
- ---.-..
Sí
_._ __.._.__._--_._--+-_._-_ .._._._._._. __..+.._- _-_ _._.._\ =SI(Cll>
+-----.+-.-.---.--
;:::1.0, se elige la alternativa de mayor costo, debido a que el costo adicional es justificable en términos económicos. < 1.0, se elige la alternativa de menor costo.
Para llevar a cabo un análisis B/C incremental correctamente, se requerirá la comparación de cada alternativa sólo con otra alternativa, para la cual el costo incremental ya esté justificado. La misma regla se utilizó previamente en el análisis TR incremental.
.
340
TR incremental
CAPÍTULO
9
Análisis beneficio/costo
y economía del sector público
Existen factores especiales para el análisis B/C, que lo hacen ligeramente diferente del análisis TR. Como ya se mencionó anteriormente, todos los costos llevan un signo positivo en la razón B/C. También, el ordenamiento de las alternativas se realiza sobre la base de los costos totales en el denominador de la razón. Así, si dos alternativas, A y B, poseen inversiones iniciales y vidas iguales, pero B tiene un costo anual equivalente mayor, entonces B deberá justificarse frente a A desde un punto de vista incremental. (Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.) Si esta convención no se sigue correctamente, es posible obtener un valor de costo negativo en el denominador, que puede hacer incorrectamente que B/C < 1 y se rechace una alternativa de mayor costo que sea realmente justificable. Siga los siguientes pasos para realizar de manera correcta el análisis de la razón B/C convencional para dos alternativas. Los valores equivalentes pueden expresarse en términos de VP, VA o VF. 1. Determine los costos equivalentes totales para ambas alternativas.
2. Ordene las alternativas por costo equivalente total, de las más pequeñas a las
¡,¡¡n¡¡ ~~ I :r.
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mayores. Calcule los costos incrementales (¿lC) para la alternativa de mayor costo. Éste es el denominador en B/C. 3. Determine los beneficios equivalentes totales y cualquier contrabeneficio estimado para ambas alternativas. Calcule los beneficios incrementales (M) para la alternativa de mayor costo. (Es decir, ¿l(B - CB) si se consideran los contrabeneficios.) 4. Calcule la razón B/C incremental utilizando la ecuación [9.2], (B - CB)/C. 5. Utilice la guía para elegir la alternativa de mayor costo si B/C ~ 1.0. Cuando la razón B/C se determina para la alternativa de menor costo, se trata de una comparación con la alternativa de no hacer nada (NH). Si B/C < 1.0, entonces debería elegirse NH y compararse con la segunda alternativa. Si ninguna alternativa posee un valor B/C aceptable, deberá entonces elegirse la alternativa NH. En el análisis para el sector público, la alternativa NH es comúnmente la condición actual.
EJEMPLO
9.4
':~'f
La ciudad de Garden Ridge (Florida) recibió, de dos consultores de arquitectura, diseños para una nueva ala de cuartos para pacientes en el hospital municipal. Uno de los diseños deberá aceptarse para publicarse en la licitación de construcción. Los costos y beneficios son los mismos en la mayoría de las categorías, pero el director de finanzas de la ciudad decidió que los tres cálculos que aparecen a continuación son los que deberán considerarse para determinar qué diseño se recomendará, a lajunta del consejo de la ciudad, la próxima semana, y para presentarse a la ciudadanía en preparación del próximo referéndum relativo a bonos del mes entrante.
SECCIÓN SECCIÓN 9.3
nte difes llevan tivas se Í, si dos tiene un esde un convenvo en el a alterlarazón presar-
as a las mayor io esti) para contra-
ve. ata de tonces terna.En
Selección mediante el análisis B/C incremental incremental Selección de alternativas alternativas mediante análisis B/C
Diseño Diseño A Costo de construcción, construcción, $ Costo Costo Costo de mantenimiento mantenimiento de la construcción, construcción, $/año $/año Costo Costo del uso uso de pacientes, pacientes, $/año $/año
Diseño Diseño B
10 000 000 15 000 000 10000000 15000000 35000 55000 55000 35000 450000 200000 450000 200000
costo del del uso pacientes es un estimado estimado de de la cantidad cantidad pagada pagada por los pacientes sobre El costo uso de pacientes por los pacientes sobre el seguro permitido para para una una habitación hospital. La La tasa tasa de de seguro de de cobertura, cobertura, usualmente usualmente permitido habitación de hospital. descuento es de 5% 5% y la vida del edificio edificio se se estima estima en en 30 30 años. años. descuento vida del a) b)
Aplique B/C convencional para elegir Aplique un análisis análisis de la razón razón B/C convencional para elegir el diseño diseño A o B. Una hospital privado de la la ciudad ciudad vecina vecina Una vez vez que que los los dos dos diseños diseños se se den den a conocer, conocer, el hospital privado de de Forest queja porque diseño A reducirá reducirá los los ingresos ingresos de de su Forest Glen Glen presentará presentará una una queja porque el diseño hospital hospital municipal municipal por por aproximadamente aproximadamente $500 $500 000 000 anuales, anuales, como como consecuencia consecuencia de que de las las cirugías diurnas del del diseño diseño A duplicarán duplicarán sus que algunas algunas de las características características de cirugías diurnas sus servicios. Ridge argumenservicios. Posteriormente, Posteriormente, la asociación asociación de comerciantes comerciantes de Garden Garden Ridge argumenta que ingresos anuales por $400 que el diseño diseño B podría podría reducir reducir sus sus ingresos anuales por $400 000, 000, debido debido a que que se por sus patrocinadores como proeliminará eliminará un lote lote completo completo usado usado por sus patrocinadores como estacionamiento estacionamiento provisional. de la ciudad ciudad indicó indicó que que dichas dichas quejas quejas entrarán entrarán en en la visional. El director director de finanzas finanzas de evaluación de los los respectivos respectivos diseños. diseños. Reelabore Reelabore el análisis análisis evaluación como como contrabeneficios contrabeneficios de B/C para para determinar determinar si la decisión decisión económica económica continuará continuará siendo siendo la misma cuando los misma cuando los B/C contrabeneficios contrabeneficios no se tomen tomen en cuenta. cuenta.
Solución Solución a) Puesto han anualizado, razón B/C B/C Puesto que que la mayoría mayoría de los flujos flujos de de efectivo efectivo se han anualizado, la razón tomarán en cuenta incremental incremental utilizará utilizará valores valores VA. No No se tomarán cuenta estimaciones estimaciones de de contrabecontrabeneficios. procedimiento: neficios. Siga Siga los pasos pasos del siguiente siguiente procedimiento:
1. de los los costos costos de de construcción construcción y mantenimiento. mantenimiento. 1. El VA de los costos costos es la suma suma de VAAA == 10000 500 10000 000(AlP,5%,30) 000(AlP,5%,30) + 35 000 000 = $685 $685500 VAB = = $1 030750 = 15 000 000 000(AlP,5%,30) 000(AlP,5%,30) + 55 000 000 = 030750 2. El diseño manera que diseño B posee posee el mayor mayor VA de de costos, costos, de de manera que será será la alternativa alternativa a justificarse de modo valor del costo justificarse modo incremental. incremental. El valor costo incremental incremental es: l1.C 250 anuales /le = VAB $345 250 anuales B -- VAA A = $345 3. El VA de los beneficios deriva de de los los costos costos del del uso uso de de pacientes, pacientes, ya ya que que éstos beneficios se deriva éstos provienen beneficios para para el análisis análisis B/C B/C no no son los costos costos mismisprovienen del del público. público. Los Los beneficios son los menor costo por uso uso anual mos, sino mos, sino la diferencia diferencia si se elige elige el diseño diseño B. El menor costo por anual es beneficio diseño B. B. beneficio positivo positivo para para el diseño !lB = uso uso;A -- USOB uso, = $450 $450 000 000 - $200 $200 000 000 = $250000 $250000 anuales anuales l1.B La razón razón B/C B/C incremental incremental se se calcula calcula mediante ecuación [9.2]: [9.2]: 4. La mediante la ecuación
B/C = = $250000 B/C $250000 $345250 $345250
== 0.72 0.72
5. La indica que justifican los La razón razón B/C B/C es menor menor que que 1.0, lo cual cual indica que no se justifican los costos costos adiadicionales asociados asociados con con el diseño diseño B. Porlo elige el diseño Por lo tanto, tanto, se elige diseño A para para la la licilicicionales tación tación de construcción. construcción.
341
342 342
CAPÍTULO 9
b)
Análisis beneficio/costo economía del sector público beneficio/costo y ec.onomía
Los cálculos de pérdida de ingreso se consideran como contrabeneficios. contrabeneficios. Puesto que contrabeneficios del diseño B son $100000 $100000 menos que los del diseño A, esta los contrabeneficios diferencia se suma a los $250 000 de beneficios de B para dar un beneficio total de diferencia $350 000. Entonces, 000 B/C == $350 $350000 $345250 $345250
= 1.01 1.01
El diseño B se encuentra ligeramente ligeramente favorecido. favorecido. En tal caso, incluir los contra contrabebeneficios ha revertido la decisión económica anterior. Sin embargo, embargo, esto quizás hará Seguramente en el futuro cercano se la situación más difícil en términos políticos. Seguramente reclamarán nuevos contrabeneficios contrabeneficios por otros grupos con intereses específicos.
qu se pn se] co mt tal
na co iw
1.
Como en el caso de otros otros métodos, análisis B/C comparación Como métodos, el análisis B/C requiere requiere una comparación alternativas de servicios general, la vida útil esperada esperada para de alternativas servicios iguales. Por lo general, para un proyecto del sector sector público larga (25, (25,30 alternaproyecto público es larga 30 o más años), de manera manera que las alternaiguales. Sin embargo, cuando las alternativas alternativas potivas por lo regular regular poseen poseen vidas vidas iguales. embargo, cuando determinar los costos costos y los beneficios seen vidas diferentes, diferentes, el uso de VP para para determinar beneficios equivalentes requiere excelente valentes requiere que se utilice utilice el MCM MCM de las vidas. vidas. Se trata trata de una excelente oportunidad para emplear las equivalencias equivalencias del VA para costos y beneficios, oportunidad para emplear para costos beneficios, si se supone que es razonable aplique el supone razonable que el proyecto proyecto pueda pueda repetirse. repetirse. Por Por lo tanto, aplique análisis basado cuando se comparan comparan alternativas alternativas de análisis basado en VA para para las razones razones B/C B/C cuando vida diferente. diferente. vida
9.4
2. 3. 4.
5.
ANÁLISIS INCREMENTAL DE ALTERNATIVAS ANÁLISIS B/C B/C INCREMENTAL ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES EXCLUYENTES MÚLTIPLES MUTUAMENTE
El procedimiento fundamental para elegir una de entre entre tres o más alternativas alternativas muprocedimiento fundamental para elegir tuamente excluyentes excluyentes con el análisis análisis B/C incremental esencialmente el mismo tuamente incremental es esencialmente mismo sección anterior. Dicho Dicho procedimiento análique el de la sección procedimiento también también es paralelo paralelo al del análiincremental de la sección sección 8.6. 8.6. La directriz directriz para elegir es la siguiente: siguiente: sis TR incremental para elegir TR incremental
Elija alternativa de mayor costo que que se justifique con un incremental Elija la alternativa mayor costo justifique con un B/C B/C incremental ;:::1.0, 1.0, cuando cuando dicha dicha alternativa alternativa se ha comparado con con otra otra alternativa alternativa jus;::: ha comparado justificada. tificada. Existen dos tipos de estimados estimados de beneficios: estimación de beneficios beneficios directos Existen beneficios: estimación directos y beneficios basados en los estimados de costo por uso. El ejemplo 9.4 ilustra beneficios basados estimados por ejemplo ilustra correctamente el segundo segundo tipo de estimado implicado. Cuando Cuando se calcurrectamente estimado de beneficio beneficio implicado. calculan los beneficios beneficios directos, cada alternativa alternativa deberá deberá calcularse calcularse directos, la razón razón B/C B/C para para cada primero como como un mecanismo inicial que tiene como propósito primero mecanismo de selección selección inicial tiene como propósito eliminar las alternativas inaceptables. Por lo menos una alternativa deberá minar alternativas inaceptables. Por menos una alternativa deberá tener tener un B/C 2:: 1.0 para realizar un análisis B/C incremental. Si todas las alternativas B/C ~ para realizar análisis incremental. todas alternativas son inaceptables, la alternativa alternativa NH se indica indica como como elección. elección. (Éste es el mismo enfoque inaceptables, mismo enfoque
6.
7 E
SECCIÓN 9.4 9.4 SECCIÓN
Análisis B/C B/C incremental alternativas múltiples excluyentes Análisis incremental de alternativas múltiples mutuamente mutuamente excluyentes
para sólo alternativas alternativas de ingresos ingresos en el procedimiento TR de la que el del paso dos para procedimiento TR embargo, el término aplicable a los sección 8.6. Sin embargo, término alternativa alternativa de ingreso no es aplicable proyectos proyectos del sector sector público. público. Como Como en el caso de la sección sección anterior, anterior, donde donde se comparan comparan dos alternativas, alternativas, la selección de múltiples múltiples alternativas alternativas mediante incremental emplea emplea los selección mediante la razón razón B/C incremental costos equivalentes para ordenar menor a equivalentes totales, totales, para ordenar inicialmente inicialmente las alternativas alternativas de menor mayor. Por lo tanto, se realiza pares. También También recuerde recuerde que realiza la comparación comparación entre entre pares. todos los costos términos altercostos se consideran consideran positivos positivos en los cálculos cálculos de B/C. Los términos nativa del defensor retador se utilizan utilizan en este procedimiento, procedimiento, así defensor y alternativa alternativa del retador como en el análisis procedimiento para para el análisis análisis basado basado en el análisis análisis TR. El procedimiento análisis B/C incremental múltiples es el siguiente: incremental de alternativas alternativas múltiples siguiente: 1. Determine Determine el costo total equivalente equivalente para alternativas. (Utilice (Utilice equiequi1. para todas las alternativas. valencias para vidas iguales; iguales; emplee VA para vidas diferentes.) valencias de VA, VP o VF para emplee VApara diferentes.) Ordene las alternativas, alternativas, de menor costo equivalente equivalente total. 2. Ordene menor a mayor, por por costo 3. Determine totales (y cualquier Determine los beneficios beneficios equivalentes equivalentes totales cualquier contrabeneficio contrabeneficio estiestimado) para para cada cada alternativa. alternativa. 4. Estime razón B/C para para la primera primera alEstime únicamente únicamente beneficios beneficios directos: calcule calcule la razón ternativa ternativa según el orden. orden. (Esto hace, en efecto, efecto, la alternativa alternativa NH el defensor, defensor, y la primera alternativa, alternativa, el retador.) elimine al retador, retador, y vaya primera retador.) Si B/C B/C < 1.0, elimine vaya al siguiente retador. Repita Repita esto hasta elimina al defensor, defensor, y la sisiguiente hasta que B/C;:::1.0. B/C;::: 1.0. Se elimina guiente alternativa es ahora ahora el retador. (Para (Para análisis análisis por computadora, determidetermiguiente alternativa por computadora, alternativas inicialmente inicialmente y conserve conserve sólo las aceptables.) aceptables.) ne el B/C para todas las alternativas Calcule los costos costos incrementales incrementales (LlC) y beneficios 5. Calcule beneficios incrementales incrementales (LlB) (LlB) usando usando las relaciones relaciones = costo del retador defensor LlC = retador - costo del defensor LlB
= retador = beneficios beneficios del retador
beneficios del defensor beneficios defensor
[9.4] [9.4]
[9.5] [9.5]
Si se estiman relativos para para cada beneestiman los costos costos de uso relativos cada alternativa alternativa en lugar lugar de beneficios directos, mediante la siguiente directos, LlB LlB se puede puede determinar determinar mediante siguiente relación: relación: LlB retador LlB = = costos costos de uso del defensor defensor - costos costos de uso del retador
6.
Calcule para el primer primer retador retador comparado Calcule el B/C incremental incremen tal para comparado con el defensor. defensor.
B/C = = LlB/LlC LlB/ LlC
7.
[9.6]
[9.7] [9.7]
incremental ;:::1.0 ecuación [9.7], [9.7], el retador convierte en el 1.0 en la ecuación retador se convierte Si el B/C incremental;::: defensor, y se elimina elimina el defensor defensor anterior. Por el contrario, contrario, si el B/C incremental incremental < 1.0, elimine retador, y el defensor permanece frente elimine al retador, defensor permanece frente al siguiente siguiente retador. Repita quede una alternativa, alternativa, la cual cual será la Repita los pasos pasos 5 y 6 hasta hasta que solamente solamente quede elegida. elegida.
En todos los pasos pueden analizarse pasos anteriores, anteriores, los contrabeneficios contrabeneficios incrementales incrementales pueden analizarse reemplazando reemplazando LlB LlB con Ll(E Ll(B - CE), CB), como como en la razón B/C convencional, convencional, ecuación ecuación [9.2].
343
CAPÍTULO 9
344
EJEMPLO
s
Análisis beneficio/costo y economía del sector público
9.5 La Corporación para el Desarrollo Económico (CDE) para la ciudad de Bahía (California) y el condado de Moderna funciona como una organización no lucrativa. Ésta se encuentra en busca de un urbanizador que ubique un gran parque con un lago en la ciudad o en el área del condado. Se otorgarán incentivos económicos. En respuesta a una "convocatoria de propuestas" (CDP) lanzada a los principales constructores de parques acuáticos en el país, se recibieron cuatro propuestas. Mayores y más intrincados canales de agua y un parque de mayores dimensiones atraerán a más clientes; así que en las propuestas se solicitan distintos niveles de incentivos iniciales. Una de estas propuestas será aceptada por la CDE y se recomendará al Consejo de la Ciudad de Bahía y el Consejo de Administración del condado de Moderna. Las directrices aprobadas y los incentivos económicos ofrecen a los candidatos de la industria del entretenimiento recibir hasta $500000 en efectivo como incentivo para el primer año y un 10% de esta cantidad cada año durante 8 años en reducción de impuestos a la propiedad. Todas las propuestas satisfacen los requisitos de estos dos incentivos. Cada propuesta incluye una prestación por la que los residentes de la ciudad o del condado se beneficiarán de las cuotas de entrada rebajadas (uso de las instalaciones) del parque. Esta rebaja en las cuotas tendrá un periodo de vigencia tan prolongado como los incentivos de reducción de impuestos a la propiedad. La CDE ha calculado las cuotas de entrada totales anuales incluyendo el descuento para los residentes locales. Asimismo, la CDE ha estimado los ingresos por impuestos por ventas adicionales que se esperan por los cuatro diseños del parque. Dichos cálculos y los costos del incentivo inicial y la rebaja de impuestos anual del 10% se resumen en la parte superior de la tabla 9.1.
TABLA
9.1 Cálculos de costos y beneficios. y análisis B/C incremental para las cuatro propuestas del parque con lago (ejemplo 9.5)
Incentivo inicial, $ Costo del incentivo en impuestos, $/año Cuotas de entrada para los residentes, $/año Impuestos por ventas adicionales, $/año Periodo de estudio, años VA de costos totales, $ Alternativas comparadas Costos incrementaJes tle, $/año Rebaja en la cuota de entrada, $/año Impuesto por ventas extras, $/año Beneficios incrementales tlB, $/año Razón B/C incremental ¿Se justifica el incremento? Alternativa elegida
Propuesta 1
Propuesta 2
Propuesta 3
Propuesta 4
250000 25000 500000 310 000 8
350000 35000 450000 320000 8
500000 50000 425000 320000 8
800000 80000 250000 340000 8
66867
93614
133735
213 976
2-a-1 26747 50000 10000 60000
3-a-2 40120 25000 O 25000
2.24 Sí 2
0.62 No 2
4-a-2 120360 200000 20000 220000 1.83 Sí 4
SECCIÓN SECCIÓN 9.4 9.4
Análisis B/C incremental incremental de alternativas alternativas múltiples múltiples mutuamente mutuamente excluyentes excluyentes Análisis B/C
Efectúe un análisis Efectúe análisis a mano mano y por por computadora computadora para para llevar llevar a cabo cabo un estudio estudio B/C B/C incremental cremental y determinar determinar qué qué propuesta propuesta de construcción construcción del del parque parque es la mejor mejor desde desde una una perspectiva económica. económica. La La tasa tasa de descuento descuento empleada empleada por CDE es de 7% 7% anual. ¿Pueperspectiva por la CDE anual. ¿Pueden incentivos vigentes den utilizarse utilizarse las las directrices directrices de los los incentivos vigentes para para aceptar aceptar la propuesta propuesta ganadora? ganadora?
Solución a mano mano Solución El punto punto de vista vista que que adoptamos adoptamos para para llevar llevar a cabo cabo el análisis análisis económico económico es el de un un resiresidente dente de la ciudad ciudad o del del condado. condado. Los Los incentivos incentivos de efectivo efectivo del del primer primer año año y los incentiincentivos de reducción reducción de impuestos impuestos anuales anuales representan representan costos costos reales reales para para los los residentes. residentes. Los Los vos beneficios provienen beneficios provienen de dos dos fuentes: fuentes: los los cálculos cálculos de cuotas cuotas de entrada entrada reducidas. reducidas. y los los mingresos gresos incrementados incrementados provenientes provenientes de los impuestos impuestos por por ventas. ventas. Esto Esto beneficiará beneficiará a cada cada ciudadano indirectamente indirectamente a través través del del incremento incremento en la cantidad cantidad de dinero dinero disponible disponible para para ciudadano quienes utilizan utilizan el parque, parque, y mediante mediante los los presupuestos presupuestos de la ciudad ciudad y del del condado, condado, donde donde quienes depositan los los ingresos ingresos de los los impuestos impuestos por por ventas. ventas. Como Como estos estos beneficios beneficios deben deben calcucalcuse depositan larse larse indirectamente indirectamente a partir partir de las las dos dos fuentes, fuentes, los los valores valores B/C B/C de la propuesta propuesta inicial inicial no pueden calcularse para para eliminar eliminar al principio principio cualquier cualquier propuesta. propuesta. Se debe debe llevar llevar a cabo cabo un pueden calcularse análisis análisis B/C B/C incremental incremental para para comparar comparar las las dos dos alternativas alternativas al mismo mismo tiempo. tiempo. La tabla tabla 9.1 incluye incluye los los resultados resultados de la aplicación aplicación del del procedimiento procedimiento anterior. anterior. Los Los La valores beneficios. Ya valores equivalentes equivalentes VA se utilizan utilizan para para las las cantidades cantidades anuales anuales de costos costos y beneficios. que los beneficios deben deben derivarse derivarse indirectamente indirectamente de los los cálculos cálculos de las las cuotas cuotas de entrada entrada que los beneficios y los ingresos ingresos de los impuestos impuestos por por ventas, ventas, el paso paso 4 no no se incluye. incluye. 1. 1.
Para cada cada alternativa, alternativa, el monto monto de recuperación recuperación de capital capital durante durante 8 años años se encuenencuenPara tra tra determinado determinado y sumado sumado al costo costo del del incentivo incentivo de impuestos impuestos anuales anuales a la propiedad. propiedad. Para Para la propuesta propuesta 1,
VA de los impuestos los costos costos totales totales = incentivo incentivo inicial(A/P, inicial(A/P, 7%, 7%, 8) + costo costo de impuestos
= = $250 $250 OOO(A/P, OOO(A/P, 7%, 7%, 8) + 25000 25000 = = $66 $66 867 867 2. 3. 4. 5.
Las alternativas alternativas se ordenan ordenan según según los costos totales totales en VA de la tabla tabla 9.1. 9.1. Las los costos beneficio anual anual de una una alternativa alternativa es el beneficio beneficio incremental incremental de las las cuotas El beneficio cuotas de entrada entrada y las las cantidades cantidades de impuestos impuestos por por ventas. ventas. Éstas Éstas se calculan calculan en el paso paso 5. Este paso paso no se incluye. incluye. Este La La tabla tabla 9.1 9.1 muestra muestra los los costos costos incrementales incrementales o~lculados calculados por por medio medio de la ecuación ecuación [9.4]. [9.4]. En el caso caso de la comparación comparación entre entre 2 y 1,
t1C = $93 $93 614 614 - 66 867 = $26 $26 747 747 l1C
6.
Los beneficios beneficios incrementales incrementales para para una una alternativa alternativa son son la suma suma de las cuotas cuotas de entraentraLos los residentes residentes comparada comparada con con la la suma suma de las las cuotas cuotas de la alternativa alternativa con con los los da de los siguientes costos costos más más bajos, bajos, más más el incremento incremento en ingresos impuestos a las las venvensiguientes ingresos por por impuestos tas por por encima encima de los los correspondientes correspondientes a la alternativa alternativa siguiente siguiente de de menor menor costo. costo. Por Por tas consiguiente, los beneficios beneficios se determinan determinan incrementalmente incrementalmente para para cada cada par par de alteralterconsiguiente, nati vas. vas. Por Por ejemplo, ejemplo, cuando cuando se compara compara la propuesta propuesta 2 con con la propuesta propuesta 1, las cuotas cuotas nati entrada de los los residentes residentes se reducen por $50 $50 000 000 anuales anuales y los los ingresos ingresos en imimde entrada reducen por puestos por por ventas ventas se incrementan incrementan en $10 $10 000. 000. Entonces, Entonces, el beneficio beneficio total total es la suma suma puestos ambos: $60 $60 000 000 por por año. año. de ambos: En el caso caso de la comparación comparación entre entre 2 y 1, la ecuación ecuación [9.7] [9.7] se convierte convierte en: En B/C = $60 $60 000/$26 000/$26 747 747 = = 2.24 2.24 B/C
345
346
CAPÍTULO 9 CAPÍTULO
7.
Análisis economía del del sector sector público Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía público
La alternativa alternativa 2 evidentemente evidentemente está está justificada desde una incremental. La La La justificada desde una perspectiva perspectiva incremental. alternativa 1 se elimina, elimina, y la alternativa alternativa 3 constituye constituye el nuevo nuevo retador retador para para el defendefenalternativa sor sor 2. Este proceso repite para para el caso caso de la comparación comparación entre entre 3 y 2, el cual cual posee una Este proceso se repite posee una razón B/C B/C incrementa! incremental de 0.62, 0.62, como consecuencia de que que los beneficios incrementales razón como consecuencia beneficios incrementales son tanto, se elimina son considerablemente considerablemente menores menores que que el incremento incremento en costos. costos. Por Por lo tanto, elimina la propuesta propuesta 3, y la comparación resultado: comparación entre entre 4 y 2 da como como resultado: B/C = $220 $220 000/$120 000/$120 360 360 = 1.83 1.83 B/C Como B/C B/C > 1.0, 1.0, se conserva conserva la propuesta Como la propuesta 4 es la única única alternaalternapropuesta 4. Como la propuesta Como tiva tiva que que se conserva, conserva, es la elegida. elegida.
La recomendación recomendación para incentivo inicial inicial de $800 $800 000, 000, que que exceexceLa para la propuesta propuesta 4 requiere requiere un un incentivo límite de $500000 $500000 de los límites límites del del incentivo incentivo aprobado. aprobado. La La CDE CDE tendrá tendrá que que solicitar solicitar de el límite al Consejo Consejo de la Ciudad Ciudad y al Consejo del Condado Condado que que haga excepción en en las directridirectria! Consejo del haga una una excepción ces. Si la excepción excepción no se aprueba, aprueba, se acepta acepta la propuesta 2. ces. propuesta 2.
~
~Sol-E Sol-E
Solución por por computadora computadora Solución La figura figura 9.2 9.2 presenta hoja de cálculo cálculo que que incluye incluye los los mismos mismos cálculos cálculos que que los los de la La presenta una una hoja tabla 9.1. Las Las celdas celdas de la fila fila 8 incluyen incluyen la función función PAGO(7%, PAGO(7%, 8,-incentivo 8,-incentivo inicial) inicial) para para tabla 9.1.
inf me va
ha inc se]
lar
qu (el
mi
•
Figura 9.2 Figura Solución en hoja de cálculo para un análisis B/C E/e incremental alternativas mutuamente mutuamente excluyentes. incremental de cuatro alternativas
SECCIÓN 9.4
Análisis B/C incremental de alternativas múltiples mutuamente excluyentes
347
calcular la recuperación del capital para cada alternativa, más el costo tributario anual. Estos VA de los valores del costo total se utilizan para ordenar las alternativas para la comparación incremental. Las etiquetas de las celdas para las filas 10 a 13 detallan las fórmulas de los costos incrementales y los beneficios empleados en el cálculo de la razón B/C incremental (fila 14). Observe la diferencia en las fórmulas de las filas 11 y 12, las cuales permiten determinar los beneficios incrementales de las cuotas de entrada e impuestos por ventas, respectivamente. El orden de la resta entre las columnas en la fila 11 (por ejemplo, = B5 - C5, para la comparación entre 2 y 1) debe ser correcto con la finalidad de que se obtenga el beneficio incremental de las cuotas de entrada. Los operadores condicionales (SI) de la fila 15 aceptan o rechazan al retador sobre la base de la magnitud de B/C. Después de la comparación entre 3 y 2 con B/C = 0.62 en la celda D14, se elimina la alternativa 3. La elección final es la alternativa 4, como en el caso de la solución a mano.
Cuando las vidas de las alternativas son tan largas que se les puede considerar infinitas, los valores equivalentes VP o VA para los costos y beneficios se calculan mediante el costo capitalizado. La ecuación [5.3], A = P(i), permite determinar los valores VA equivalentes en el análisis B/C incremen tal. Si dos o más proyectos independientes se evalúan mediante el análisis B/C y no hay limitaciones presupuestales, no existe necesidad de alguna comparación de tipo incremental. La única comparación es la que se realiza entre cada proyecto por separado y la alternativa de no hacer nada. Los valores B/C del proyecto se calculan, y se aceptan aquellos para los que B/C ~ 1.0. Se trata del mismo procedimiento que se aplicó para elegir entre proyectos independientes mediante el método TR (capítulo 8). Cuando se imponen límites presupuestales, debe aplicarse el procedimiento de presupuestación analizado en el capítulo 12.
EJEMPLO
9.6
El Cuerpo de Ingenieros del Ejército quiere construir un dique sobre un río propenso a las inundaciones. El costo estimado de construcción y el beneficio promedio anual en dólares aparecen a continuación. a) Si se aplica una tasa anual de 6% y la vida del dique se considera infinita para los fines del análisis, elija el mejor lugar con el método B/C. Si ningún sitio es aceptable, más tarde se determinarán otros sitios. b) Si puede elegirse más de un sitio para el dique, ¿cuáles de ellos son adecuados de acuerdo con el método B/C? Sitio
Costo de construcción, millones de $
A B C D E
6 8 3 10 5
F
11
Beneficios anuales, $ 350000 420000 125000 400000 350000 700000
Costo capitalizado
CAPÍTULO 9 Análisis beneficio/costo y economía del sector público
348
•
RI
Solución a)
Los valores VA para la recuperación anual del capital del costo de construcción se obtienen mediante el costo capitalizado A = Pi, como se indica en la primera fila de la tabla 9.2. Ya que los beneficios se calculan directamente, la razón B/C relativa al sitio puede ser útil para llevar a cabo una depuración inicial. Sólo los sitios E y F tienen un valor B/C > 1.0,así que pueden evaluarse desde una perspectiva incremental. La comparación de E con NH se lleva a cabo en virtud de que no se requiere la elección de un sitio. El análisis entre las alternativas mutuamente excluyentes en la parte inferior de la tabla 9.2 se basa en la ecuación [9.7]. II beneficios anuales B/C incremental = -------II costos anuales
b)
El Y
m
ql V
ea
er nc In
hé
El sitio E se elige en vista de que solamente éste se justifica desde una perspectiva incremental. Las propuestas para el sitio del dique ahora son proyectos independientes. La razón B/C relativa al sitio se utiliza para elegir entre ningún sitio y los seis. En la tabla 9.2, B/C > 1.0 exclusivamente para los sitios E y F; éstos son adecuados, los demás no.
d( se eé
d, di
Comentario
e(
En el inciso a), suponga que se agrega el sitio G, cuyo costo de construcción será de $10 millones y el beneficio anual de $700 000. El sitio B/C es aceptable con una razón B/C = 700/600 = 1.17. Ahora, compare de manera incremental G con E; la razón incremental B/C = 350/300 = 1.17, a favor de G. En este caso, el sitio F debe compararse con el G. Ya que los beneficios anuales son los mismos ($700000), la razón B/C es cero y no se justifica la inversión adicional. Por lo tanto, se elige el sitio G.
m A
re ac pl
• TABLA
9.2
P
Aplicación del análisis de la razón B/C incremental para el ejemplo 9.6 (valores en $1 000) C
Costo de recuperación del capital, $ Beneficios anuales, $ B/C del sitio Decisión Comparación II Costo anual, $ II Beneficios anuales, $ II Razón (B/C) ¿Se justifica el incremento? Sitio elegido
180 125 0.69 No
E
A
360 300 350 350 1.17 0.97 Se conserva No Econ NH 300 350 1.17 Sí E
E B
D
F
480 420 0.88 No
600 400 0.67 No
660 700 1.06 Se conserva FconE 360 350 0.97 No E
PROBLEMAS PROBLEMAS
349 349
RESUMEN RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO El método método beneficio/costo beneficio/costo se emplea emplea principalmente principalmente en la evaluación evaluación de proyectos proyectos y la selección selección de alternativas alternativas del sector público. Cuando Cuando se comparan comparan alternativas alternativas mutuamente excluyentes, excluyentes, la razón incremental incremental B/C debe ser mayor mayor o igual a 1.0 para mutuamente que se justifique justifique económicamente económicamente el costo total equivalente equivalente incremental. incremental. El VP, VA o VF de los costos iniciales iniciales y los beneficios beneficios estimados estimados pueden pueden utilizarse utilizarse para llevar llevar a cabo un análisis B/C incremental. incremental. Si las vidas de las alternativas alternativas son diferentes, diferentes, deben emplearse emplearse los valores VA, VA, siempre y cuando la suposición suposición de la repetición repetición del proyecto proyecto resulte irrazonable. irrazonable. Para proyectos proyectos independientes, independientes, no es necesario necesario el análisis análisis B/C no resulte incremental. Se seleccionan seleccionan todos los proyectos proyectos con B/C ~1.0, siempre siempre y cuando cuando no incremental. limitación presupuestal. presupuestal. haya limitación La economía economía del sector sector público público es esencialmente esencialmente distinta distinta de la del sector sector privaprivado. En el caso de los proyectos proyectos del sector sector público, público, por lo general general los costos costos iniciales iniciales son altos, la vida esperada esperada es prolongada prolongada (25, 35 o más años) y las fuentes fuentes del capital menudo constituyen capital a menudo constituyen una combinación combinación de impuestos impuestos cobrados cobrados a la ciudaciudadanía, pago de derechos, derechos, emisiones emisiones de bonos bonos y préstamos préstamos de particulares. particulares. Es muy muy difícil para un proyecto proyecto del sector públidifícil realizar realizar cálculos cálculos exactos exactos de los beneficios beneficios para sector público. Las tasas de interés, interés, denominadas denominadas tasas de descuento descuento en el sector sector público, público, son menores menores que las correspondientes correspondientes al financiamiento financiamiento del capital capital de una corporación. corporación. Aunque Aunque la tasa de descuento descuento es tan importante importante como como establecer establecer la TMAR, TMAR, puede puede resultar resultar difícil difícil de definir, ya que diversos diversos organismos organismos gubernamentales gubernamentales pueden pueden tener tener acceso a diferentes diferentes tasas. Las tasas de descuento descuento estandarizadas estandarizadas son establecidas establecidas por ciertas federales. ciertas dependencias dependencias federales.
PROBLEMAS PROBLEMAS Economía Economía del sector sector público público 9.1
9.2
Señale la diferencia diferencia entre las alternativas alternativas del Señale sector público y las del privado sector público privado respecto respecto de las siguientes características: siguientes características: a) Magnitud Magnitud de la inversión inversión b) Vida del proyecto proyecto e) c) Financiamiento Financiamiento d) TMAR TMAR
Especifique Especifique si las siguientes siguientes características características se encuentran encuentran relacionadas relacionadas principalmente principalmente con proyectos proyectos del sector sector público público o del sector privado: privado: a) Ganancias Ganancias b) Impuestos Impuestos c) Contrabeneficios Contrabeneficios d) d) Vida infinita infinita
e) Pago de derechos derechos f) Bonos f) Bonos corporativos corporativos
9.3 Clasifique efectivo como como bebeClasifique cada cada flujo de efectivo neficio, costo. neficio, pérdida pérdida o costo. a) Ingreso generado por Ingreso anual de $500 000 generado almacenamiento de agua el turismo en un almacenamiento dulce. b) $700000 mantenimiento anual papa$700000 de mantenimiento gados gados por por los contenedores contenedores de los barcos a la autoridad puerto. autoridad de un puerto. e) Gasto de $45 millones para la construcconstrucc) Gasto millones para ción de un túnel en una una autopista autopista interestatal. estatal. Eliminación de $1.3 millones d) Eliminación millones por por conconcepto de salarios residentes de salarios para para los residentes un municipio, base en el comercio comercio municipio, con base internacional. internacional.
350
CAPÍTULO 9 CAPÍTULO
e)
f)
9.4
9.5
Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía economía del sector sector público público Análisis
Reducción de $375 $375 000 000 anuales anuales en en las Reducción reparaciones debidas debidas a accidentes accidentes auaureparaciones tomovilísticos, gracias gracias al mejoramiento mejoramiento tomovilísticos, de la iluminación. iluminación. de Pérdida de $700 $700 000 000 anuales anuales en en el ininPérdida greso de de los los agricultores agricultores a causa causa de de la greso compra de de los los derechos derechos de vía compra vía de una una autopista. autopista.
Durante sus sus 20 20 años años de de permanencia en los los Durante permanencia en negocios, Deware Construction Company Company negocios, Deware Construction siempre ha establecido sus sus contratos con un siempre ha establecido contratos con un arreglo a precio precio alzado alzado o por unitaarreglo por precios precios unitarios. . Ahora, ofrecido la la oportunidad oportunidad rios Ahora, se le ha ha ofrecido participar en en un de participar un proyecto proyecto para para proporproporcionar transporte de una autopista cionar transporte por por medio medio de una autopista que atravesaría con bases que atravesaría todo todo un un país, país, con bases internacionales, específicamente específicamente en en un internacionales, un país país africano. Si aceptara, aceptara, la africano. la compañía compañía trabajaría trabajaría como subcontratista subcontratista de una corporación como de una corporación europea más grande y se forma europea más grande se usaría usaría la la forma BOT de de contratación contratación con con el gobierno del BOT gobierno del país país africano. africano. Describa Describa para para el el presidente presidente Deware al menos cuatro de las diferende Deware menos cuatro de las diferencias significativas cias significativas que que son son de de esperar esperar si se se utilizara utilizara la la forma forma BOT BOT en en lugar lugar de de los los momodos más dos más tradicionales tradicionales de de contratación. contratación.
Si una una corporación corporación acepta acepta la la forma forma BOT BOT de de hacer hacer contratos, contratos, a) identifique identifique dos dos riesgos riesgos que que corre, corre, yy b) diga diga cuáles cuáles de de ellos ellos podría podría reducir reducir el el socio socio gubernamental. gubernamental.
Valor B/e B/C del proyecto proyecto 9.6
9.7
Los Los flujos flujos de de efectivo efectivo anuales anuales estimados estimados para para un un proyecto proyecto propuesto propuesto por por el el gobierno gobierno de de una una ciudad, ciudad, son son costos costos de de $450 $450 000 000 por por año, año, beneficios beneficios de de $600 $600 000 000 anuales anuales yy pérdidas pérdidas de de $100 $100 000 000 por por año. año. Determine Determine a) la la razón razón B/C, B/C, yy b) el el valor valor B B - C. C. Utilice Utilice algún algún software software de de hoja hoja de de cálculo cálculo (como (como Excel), Excel), el el análisis análisis del del VP VP yy una una tasa tasa de de descuento descuento de de 5% 5% anual, anual, para para determinar determinar que que el el valor valor B/C B/C es es de de 0.375 0.375 para para las las estiestimaciones siguientes, lo cual hace que el maciones siguientes, lo cual hace que el proproyecto yecto no no sea sea aceptable aceptable con con el el uso uso del del método método beneficio/costo. beneficio/costo.
a) Introduzca Introduzca los los valores valores y ecuaciones ecuaciones en en la hoja hoja de cálculo cálculo de modo modo que que puedan puedan cambiarse cambiarse con con el propósito propósito de de hacer hacer análisis análisis de sensibilidad. sensibilidad.
Costo Costo inicial inicial = = $8 millones millones = Costo Costo anual anual = $800 $800 000 000 anuales anuales = Beneficio Beneficio = $550 $550 000 000 anuales anuales = Pérdidas Pérdidas = $100 $100 000 000 anuales anuales b) Realice el análisis de sensibilidad Realice análisis de sensibilidad sisiguiente cambiando únicamente dos guiente cambiando únicamente dos celceldas Modifique la das de de la la hoja hoja de de cálculo. cálculo. Modifique la tasa de descuento a 3% por tasa de descuento 3% por año año y ajuste ajuste la hasta que la estimación estimación de de costo costo anual anual hasta que B/C = 1.023. 1.023. Esto Esto hace que el proyecto B/C = hace que proyecto sea apenas apenas aceptable, aceptable, de de acuerdo con el sea acuerdo con análisis beneficio/costo. análisis beneficio/costo. 9.8
Se espera que una eliSe espera que una norma norma propuesta propuesta para para eliminar arsénico contenido contenido en en el agua minar el el arsénico agua para para consumo de consumo humano humano tenga tenga un un costo costo anual anual de $200 por se acepta que en en el país $200 por hogar. hogar. Si se acepta que país hay la norma hay 90 90 millones millones de de hogares hogares y que que la norma podría año, ¿cuál podría salvar salvar 12 vidas vidas al año, ¿cuál tendría tendría que que ser ser el valor valor de de una una vida vida humana humana para para que que la la razón razón B/C B/C fuera fuera igual igual a 1.0? LO?
9.9
La La Agencia Agencia de de Protección Protección del del Ambiente Ambiente de de Estados Estados Unidos Unidos determinó determinó que que el el 2.5% 2.5% del del ingreso ingreso medio medio por por familia familia constituye constituye un un monto monto razonable razonable para para pagar pagar el el agua agua potapotable. ble. El El ingreso ingreso medio medio por por familia familia es es de de $30 $30 000 000 anuales. anuales. En En el el caso caso de de una una norma norma que que afecte afecte la la salud salud de de la la gente gente en en el el 11% % de de las las familias, familias, ¿cuál ¿cuál cantidad cantidad en en dólares dólares por por familia familia (para (para dicho dicho 11% % de de las las familias) familias) dedeberían berían ser ser los los beneficios beneficios de de salud salud para para que que la la razón razón B/C B/C sea sea 1.0? 1.0?
9.10 9.10 Use Use una una hoja hoja de de cálculo cálculo para para plantear plantear yy reresolver sol ver el el problema problema 9.9 9.9 yy después después aplique aplique los los cambios siguientes. siguientes. Observe Observe los los incremenincremencambios tos tos yy disminuciones disminuciones en en el el valor valor económico económico requerido requerido de de los los beneficios beneficios por por salud salud para para cada cada cambio. cambio. a) a) El El ingreso ingreso medio medio es es de de $18 $18 000 000 (país (país más más pobre) pobre) yy el el porcentaje porcentaje de de ingreso ingreso por por hogar hogar se se reduce reduce aa 2%. 2%.
PROBLEMAS PROBLEMAS
ingreso medio b) El ingreso medio es de $30 000 y se gasta 2.5 2.5% seguridad del agua, pero gasta % en seguridad pero incide en el 0.5% de hogares. hogares. sólo se incide debe e) ¿En qué porcentaje porcentaje de hogares hogares debe incidirse si se requiere que tanto incidirse requiere que tanto el beneficio por salud como como el ingreso ingreso beneficio por salud OOO?Suponga Suponga que se anual sea de $18 OOO? mantiene la estimación estimación de 2.5 2.5% del mantiene % del ingreso. ingreso.
9.11
9.12
9.13
bomberos de una ciudad ciudad mediana El jefe jefe de bomberos mediana estimado que el costo costo inicial inicial de una ha estimado una calcuestación nueva nueva es de $4 millones. millones. Se calcuadecuación anual son la que los costos de adecuación identificado que de $300 000. También se ha identificado beneficios para ciudadanos son de los beneficios para los ciudadanos $550000 anuales y las pérdidas $550000 pérdidas de $90 000. descuento de 4% por año Use una tasa de descuento para determinar determinar si la estación estación tiene justipara justificación económica, económica, por medio de a) la ficación por medio razón B/C convencional, convencional, y b) la diferencia diferencia razón B-C. B-C. parte de la rehabilitación zona Como parte rehabilitación de la zona central de una ciudad ciudad sureña sureña de los Estados Estados central Unidos, el Departamento Unidos, Departamento de Parques Parques y Recreación planea desarrollar el espacio espacio Recreación planea desarrollar debajo de varios varios pasos elevados a fin de debajo pasos elevados habilitarlos como como canchas canchas de basquetbol, habilitarlos basquetbol, boleibol, golfito golfito y tenis. Se espera espera que el boleibol, inicial sea de $150 $150 000 por mejoras costo inicial mejoras estima en 20 años. Se proyecta cuya vida se estima proyecta costo de mantenimiento que el costo mantenimiento anual sea de departamento espera espera que las $12 000. El departamento instalaciones sean usadas 000 instalaciones sean usadas por por 24 000 personas al año, con un promedio personas promedio de 2 horas una. El valor cada una. valor de la recreación recreación se ha establecido en forma forma conservadora conservadora en $0.50 $0.50 establecido descuento de 3% por hora. Con una tasa tasa de descuento ¿cuál es la razón anual, ¿cuál razón B/C B/C del proyecto? proyecto? requiere que la razón Se requiere razón B/C B/C sea de 1.3 para para proyecto nuevo control de inundacioinundacioun proyecto nuevo de control Mississines a lo largo de las riberas riberas del río Mississiestima el beneficio $600 000 ppi. Si se estima beneficio en $600 anuales y el costo costo total-de anuales total -de mantenimiento mantenimiento inicial en $300 000 por año, ¿cuál es el costo inicial máximo permitido permitido del proyecto? máximo proyecto? La tasa tasa de
351
descuento es de 7% anual y se espera espera una descuento vida años. Resuelva vida del proyecto proyecto de 50 años. Resuelva el problema problema de dos modos: a) a mano, y b) con una hoja cálculo programada hoja de cálculo programada para para efectuar análisis de sensibilidad. sensibilidad. tuar análisis 9.14
Use cálculo desarrollada desarrollada en el Use la hoja hoja de cálculo Problema 9.13 b) para determinar para determinar la razón Problema B/C, si el costo costo inicial inicial fuera fuera en realidad realidad de $3.23 millones y la tasa de descuento $3 .23 millones tasa descuento ahora fuera de 5% anual. fuera
9.15
La razón B/C modificada modificada es de 1.7 para el helipuerto helipuerto de un hospital hospital que pertenece pertenece a una ciudad. Si el costo inicial es de $1 000 000 Y anuales de $150 $150 000, ¿cuál ¿cuál los beneficios beneficios anuales costos de operación operación y es el monto monto de los costos mantenimiento cálculo, mantenimiento que se usaron usaron en el cálculo, aplicó una tasa descuento de 6% si se aplicó tasa de descuento anual? La vida anual? vida estimada estimada es de 30 años.
9.16 9.16
Calcule la razón estimaciones Calcule razón B/C B/C para para las estimaciones del siguiente siguiente flujo de efectivo, efectivo, con una tasa de descuento descuento de 6% anual.
ítem
Flujo de Flujo efectivo efectivo
VP de los VP de los beneficios, beneficios, $ VA de de las las pérdidas, año pérdidas, $ año Costo inicial, inicial, $ Costo Costos de de operación operación y mantenimiento, $/año Costos mantenimiento, $/año Vida del proyecto, años Vida del proyecto, años
3800000 3800000 45000 45000 2200000 2200000 300000 300000 15
9.17
Hemisphere estudia un contrato contrato BOT Hemisphere Corp. estudia para construir construir y operar operar una presa presa grande con infraestructura para generar energía energía elécelécinfraestructura para generar trica, en una nación desarrollo nación en vías de desarrollo espera que el costo del hemisferio hemisferio sur. Se espera inicial de la presa presa sea de $30 millones millones y el de operación y mantenimiento $100 000 operación mantenimiento de $100 anuales. Los beneficios control de anuales. beneficios por por el control inundaciones, desarrollo desarrollo agrícola, turismo, turismo, inundaciones, etcétera, se espera espera sean de $2.8 millones por etcétera, año. Con una tasa de interés de 8% anual, ¿debiera construirse construirse la presa ¿debiera presa con base en la razón B/C convencional? convencional? Se supone que la presa presa será un activo permanente permanente para el país. a) Resuelva Resuelva el problema problema con lápiz y papel.
~-----------------~=======================-=-==-==------------=--------------------------------~--------352
CAPÍTULO CAPÍTULO 9
Análisis beneficio/costo del sector público Análisis beneficio/costo y economía economía del sector público
b) Con una hoja de cálculo encuentre la razón
si el proyecto proyecto debería cabo, todebería llevarse llevarse a cabo, mando en cuenta periodo de estudio mando cuenta un periodo estudio de una tasa tasa de descuento 20 años y una descuento de 6% anual. b) Vuelva Vuelva a trabajar trabajar con el problema problema utilizando utilizando la razón razón B/C B/C modificada. modificada.
B/C, con una sola celqa para el cómputo. celda para cómputo. 9.18 El cuerpo cuerpo de ingenieros ingenieros del ejército ejército estadoestadounidense unidense estudia estudia la factibilidad factibilidad de construir construir una presa presa pequeña pequeña para para control control de inuninundaciones en un arroyo. arroyo. El costo costo inicial inicial del daciones proyecto sería de $2.2 millones, millones, con costos proyecto costos de inspección por $10 000 inspección y adecuación adecuación por anuales. Además, necesitaría una una reconsreconsAdemás, se necesitaría trucción trucción menor menor cada cada 15 años con un costo costo de $65 000. método B/C B/C para para de000. Utilice Utilice el método terminar presa, conterminar si debe construirse construirse la presa, siderando por inundación siderando que el daño por inundación se reduciría por año, duciría de $90 000 del costo costo actual actual por a $10 000. Suponga presa sería perSuponga que la presa manente manente y que la tasa de interés interés es de 12% anual. anmi.l. 9.19 Una Una compañía compañía que que construye construye autopistas autopistas tiene un contrato para hacer hacer en Colorado contrato para Colorado un camino una zona zona escénica camino nuevo nuevo a través través de una escénica y dos caminos rurales. Se espera espera que el costo de la carretera millones, con un carretera sea de $18 millones, estimado de $150 000. 000. También También gasto anual estimado se piensa por piensa que el ingreso ingreso anual adicional adicional por el turismo turismo sea de $900 000 anuales. anuales. Si se espera tenga una una vida coespera que la carretera carretera tenga mercial útil de 20 años, use una hoja de cálculo para determinar determinar si debe construirse, construirse, con una tasa de interés por medio medio interés de 6% anual, por de aplicar el método método a) B - C, b) B/C, e) B/C modificado modificado (además, (además, si el constructor constructor lo solicitara: programe programe la hoja cálculo para solicitara: hoja de cálculo para realizar use el realizar análisis análisis de sensibilidad sensibilidad y use operador para tomar tomar la decisión operador SI de Excel Excel para decisión sobre parte del sobre construir construir o no en cada cada parte del problema). problema). 9.20
La Oficina Estados Unidos Unidos Oficina de Quejas Quejas de Estados considera considera un proyecto proyecto de expansión expansión de los canales de riego en un área desértica. desértica. Se escanales costo inicial pera que el costo inicial del proyecto proyecto sea de millones, con costos costos anuales anuales de man$1.5 millones, mantenimiento de $25 000. a) Si se planea tenimiento planea que ingreso agrícola agrícola sea de $175000 $175000 anuaanuael ingreso realice un análisis análisis B/C determinar les, realice B/C para para determinar
9.21
a) Desarrolle Desarrolle en una una hoja hoja de cálculo, cálculo, y b)
para calcular use lápiz y papel, para calcular la razón B/C para canal debe debe drapara el problema problema 9.20 si el canal garse cada cada 3 años, con un costo de $60 000 y existe pérdida asociada proyecto existe una pérdida asociada con el proyecto de $15 000 anuales. anuales. Comparación de alternativas alternativas Comparación
9.22
Aplique el análisis Aplique análisis B/C incremental incremental con una tasa de interés para determinar tasa interés de 8% anual para determinar cuál alternativa Utilice alternativa debe seleccionarse. seleccionarse. Utilice periodo de estudio un periodo estudio de 20 años y suponga suponga que los costos por daños ocurrirían costos por ocurrirían en el año 6 del periodo periodo de estudio. estudio. Alternativa Alternativa Alternativa Alternativa A B
Costo inicial, Costo inicial, $ Costos anuales Costos anuales de operación y operación mantenimiento, $/año mantenimiento, $/año Costos del daño daño potencial, potencial, $ Costos del
9.23
600000 50000 50000
800000 70000
950000
250000
rutas se encuentran Dos rutas encuentran bajo consideración consideración para la construcción nuevo tramo tramo para construcción de un nuevo carretera interestatal. larga de una una carretera interestatal. La ruta ruta larga mide 25 kilómetros kilómetros y tendría tendría un costo inimide costo inicial de $21 millones. millones. La ruta ruta corta través corta a través de las montañas montañas abarcaría kilómetros con abarcaría 10 kilómetros millones. Los costos un costo costo inicial inicial de $45 millones. costos de mantenimiento mantenimiento se estiman estiman en $40 $40 000 000 anuales ruta larga larga y de anuales en el caso caso de la la ruta $15 000 ruta corta. 000 anuales anuales en el caso caso de la ruta Además, se requerirá requerirá una una reparación mayor Además, reparación mayor repavimentación cada y repavimentación cada 10 años a un costo costo de 10% del costo costo inicial inicial de cada cada ruta. Sin importar la ruta ruta que se elija, elija, se espera espera que el importar volumen de tráfico tráfico sea de 400 400 000 vehícuvolumen 000 vehícugasto de operalos al año. Si se considera considera un gasto opera-
9
353
PROBLEMAS PROBLEMAS
ción por por vehículo vehículo de $0.35 $0.35 por por kilómetro kilómetro y ción estima que que el valor valor del del tiempo tiempo de viaje viaje se estima reducido por por la la ruta ruta corta corta es de $900 $900 000 000 reducido anuales, determine determine qué qué ruta ruta debería debería elegirse elegirse anuales, aplicando un un análisis análisis B/C B/C convencional. convencional. aplicando Suponga una una vida vida infinita infinita para para cada cada ruta, una una Suponga tasa de interés interés de 6% anual anual y el hecho hecho de que tasa construirá uno uno de los caminos. caminos. se construirá 9.24 Un ingeniero ingeniero municipal municipal y un director director de de9.24 sarrollo económico económico de Búfalo Búfalo evalúan evalúan dos sarrollo lugares para para la construcción construcción de una una arena arena lugares deportiva de usos múltiples. múltiples. En la zona zona del deportiva centro, la ciudad ciudad cuenta cuenta con suficiente suficiente tecentro, rreno para para la arena. arena. No obstante, obstante, el terreno terreno rreno para la construcción construcción de un estacionamiento estacionamiento para tendrá un costo costo de $1 millón. millón. La zona zona oeste oeste tendrá encuentra a 30 kilómetros kilómetros del centro centro de se encuentra la ciudad; ciudad; sin embargo, embargo, el terreno terreno será será donado por un constructor constructor que sabe que en este sitio la arena varias veces el arena incrementaría incrementaría varias valor del resto de sus propiedades. propiedades. El terrevalor no de la zona zona del centro centro tendrá tendrá costos costos de construcción adicionales de aproximadaconstrucción adicionales aproximadamente $10 millones, mente millones, como consecuencia consecuencia de las modificaciones modificaciones en el trazo de la infraesinfraestructura, tructura, el estacionamiento estacionamiento y las mejoras mejoras en el drenaje. por su ubicación ubicación cendrenaje. Aunque Aunque por tralizada, habrá mayor mayor concurrencia tralizada, habrá concurrencia a la mayoría de los eventos realizados aquí. Esto mayoría eventos realizados generará generará mayores mayores ingresos ingresos a los vendedovendedores y comerciantes comerciantes locales locales por $350 $350 000 anuales. Además, Además, el asistente asistente promedio promedio no tendría tendría que viajar viajar tan lejos, lo cual rendirá rendirá beneficios anuales beneficios anuales de $400 000. Se espera espera que los demás costos costos e ingresos ingresos sean los mismos mismos en cualquier cualquier sitio. Si la ciudad ciudad utiliza liza una tasa de descuento descuento de 8% anual, anual, ¿dónde ¿dónde debería debería construirse construirse la arena? arena? Debe elegirse elegirse uno de los dos sitios. 9.25
Un país en rápida expansión expansión económica económica contrató la evaluación evaluación de la posible posible construcconstrucción de un puerto puerto nuevo para contenedores, contenedores, a fin de ampliar el actual. La costa occidental es más profunda, profunda, por lo que el costo costo de dragado dragado sería más bajo que el de la oriental. oriental.
Asimismo, Asimismo, en la costa costa occidental occidental se requerequeriría riría dragar dragar sólo sólo cada cada 6 años, años, mientras mientras que que en la la del oriente oriente sería sería necesario necesario hacerlo hacerlo cada cada 4 años. años. El dragado, dragado, cuyo cuyo costo costo se espera espera aumente aumente 10% cada cada vez, no se llevaría llevaría a cabo cabo en el último último año de la vida vida comercial comercial del puerto. puerto. Se estima estima que que las pérdidas pérdidas varíen varíen entre entre el oeste oeste (disminución (disminución del ingreso ingreso por por pesca) pesca) y el este este (pérdidas (pérdidas en pesca pesca y hotehotelería). Las cuotas cuotas para para las embarcaciones embarcaciones por por cada cada 20 pies STD equivalentes equivalentes se espera espera que sean sean más altas en el sitio occidental occidental debido debido a la mayor mayor dificultad dificultad para para manejar manejar las naves naves ocasionada ocasionada por por la presencia presencia de corrientes corrientes oceánicas oceánicas en la zona zona y al mayor mayor costo costo de la mano mano de obra obra en esa esa región región del país. Todas las estimaciones estimaciones que aparecen aparecen a continuacontinuación se resumen excepto el resumen en $1000000, $1000000, excepto ingreso ingreso anual anual y la vida. vida. Use un análisis análisis elaborado en hoja cálculo y una tasa de elaborado hoja de cálculo descuento de 4% anual anual para descuento para determinar determinar si debe construirse alguno alguno de los puertos. debe construirse puertos. No imprescindible que que el país construya es imprescindible país construya alguno de los puertos, opera alguno puertos, toda vez que ya opera uno con éxito.
Costo Costo inicial, inicial, $ Año Año O O Año 1 Año Costo de dragar, dragar, Costo $, Año Año O O M&O M&O anual, anual, $/año $/año Costo Costo del dragado dragado recurrente, $ recurrente, Pérdidas Pérdidas anuales, anuales, $/año $/año Cuotas anuales: anuales: Cuotas número de número embarcaciones embarcaciones de 20 pies pies STD STD a $/contenedor $/contenedor Vida comercial, comercial, Vida años años
Sitio en costa la costa occidental occidental
Sitio en costa la costa oriental oriental
21 O O 5
8 8 12
1.5 1.5 cada 6 años años 2 cada con un 10% 10% de con incremento en incremento cada ocasión ocasión cada 4
0.8 0.8 cada 4 años años 1.2 cada con un 10% 10% de con incremento en incremento cada ocasión ocasión cada 7
millones/año 5 millones/año $2.50 a $2.50 cada uno uno cada
millones/año 8 millones/año $2.50 a $2.50 cada uno uno cada
20
12
354
9.26
9.27
CAPÍTULO
9
Análisis beneficio/costo
y economía del sector público
Una empresa privada de servicios públicos evalúa dos programas de descuento para el ahorro del agua. El programa 1, que se espera que tenga un costo promedio de $60 por vivienda, incluiría un descuento del 75% de los costos de compra e instalación de un excusado de muy bajo flujo. Se planea que con este programa se consiga una reducción de 5% en el consumo general de agua por vivienda durante un periodo de evaluación de 5 años. Esto beneficiaría a la ciudadanía con hasta $1.25 por vivienda al mes. El programa dos incluiría el reemplazo del césped con un material sintético, que se espera que tenga un costo de $500 por vivienda, aunque contribuiría a la reducción del costo estimado de agua en $8 por vivienda mensualmente (en promedio). Si la tasa de descuento es de 0.5%, ¿qué programa debería adoptar esta empresa, si acaso lo hace? Aplique el método B/C.
9.28
Con objeto de proveer energía a un sitio remoto de investigación espacial, se dispone de alternativas solar y convencional. Los costos asociados con cada una de ellas se muestran a continuación. Use el método B/C para determinar cuál debe seleccionarse, con una tasa de descuento de 0.75% mensual, durante un periodo de estudio de 6 años.
9.29
Convencional
Solar
2000000 50000 O
4500000 10000 150000
Costo inicial, $ Costo de M&O, $/mes Valor de rescate, $
Costo inicial, $ Costo, $/año Beneficios, $/año Pérdidas, $/año
El Servicio Forestal de California evalúa dos ubicaciones para un nuevo parque estatal. La ubicación E requeriría una inversión de $3 millones y $50 000 anuales en mantenimiento. La ubicación W requeriría $7 millones para construir el parque, aunque el Servicio Forestal recibirá $25 000 adicionales cada año, por cuotas de uso del parque. El costo de operación de la ubicación W será de $65 000 anuales. El ingreso para los concesionarios del parque será de $500 000 anuales en la ubicación E y de $700 000 anuales en W. Los contrabeneficios relacionados con cada ubicación son de $30 000 anuales para la ubicación E y de $40 000 anuales para la ubicación W. Aplique a) el método B/C y b) el método B/C modificado para determinar qué ubicación, si es que se elige una, debe elegirse, con una tasa de interés de 12% anual. Suponga que indefinidamente se dará mantenimiento al parque.
Ingeniera Judy
Ingeniera Chen
Opción 1 Opción 2
Opción 1 Opción 2
Opción 1 Opción 2
90000 4000 29000 1500
75000 3800 30000 1000
J I
Tres ingenieros elaboraron las estimaciones que se muestran enseguida para dos métodos opcionales con los que se podría implantar tecnología nueva para construcción en un sitio de urbanización pública. Puede seleccionarse cualquiera de las dos opciones o el método actual. Prepare una hoja de cálculo para hacer análisis de sensibilidad B/C y determine si se elige la opción 1, la 2 o la de no hacer nada, por cada ingeniero. Para todos los análisis utilice una vida útil de 5 años y una tasa de descuento de 10% anual.
Ingeniero Bob
50000 3000 20000 500
(
90000 3000 35000 O
60000 6000 30000 5000
70000 3000 35000 1000
(
(
(
T 355
PROBLEMAS
9.33
Alternativas múltiples 9.30
A fin de controlar ligeramente las fumarolas de productos químicos utilizados en la irrigación, emitidos al entorno por una máquina mezcladora, puede usarse alguna de cuatro técnicas nuevas o continuar con el método actual. Los costos y beneficios estimados (en forma de disminuciones del costo por atención a la salud de los empleados) para cada método se presentan a continuación. Suponga que todos los métodos tienen una vida de 10 años, con un valor de rescate igual a 0, y determine cuál de ellos debe elegirse según el método B/C con una TMAR de 15% anual. Técnica 1
Costo instalado, $ AOC, $/año Beneficios, $/año
9.31
9.32
2
3
Utilice una hoja de cálculo para realizar el análisis B/C para las técnicas descritas en el problema 9.30, pero suponga que se trata de proyectos independientes. Los beneficios serían acumulativos si se usara más de una técnica, además del método actual. La Water Service Authority de Dubai estudia cuatro calibres de tubería para una línea de conducción nueva. Los costos por kilómetro ($/km) para cada calibre se dan en la tabla siguiente. Si se supone que todas las tuberías durarán 15 años y la TMAR es de 8% anual, ¿qué calibre debe seleccionarse, con base en el análisis B/C? Se considera al costo de instalación como parte del costo inicial? Calibre de tubería, milímetros
Costo del equipamiento inicial, $/km Costo de instalación, $/km Costo por usar, $/km por año
160
200
Sitio A
Sitio B
Sitio C
50 3 20
90 4 29
200 6 61
Costo inicial, $ Costo anual, $/año Beneficios anuales, $/año Contrabeneficios anuales, $/año
0.5
1.5
2.1
4
15000 19000 25000 33000 10 000 12 000 9 000 11000 15000 20000 19000 22000
140
El gobierno federal considera tres sitios para extracción de minerales en la Reserva Nacional de Vida Silvestre. Los flujos de efectivo (en millones) relacionados con cada sitio se muestran en seguida. Aplique el método B/C para determinar el lugar óptimo, si lo hay, si el periodo de extracción se limita a 5 años y la tasa de interés es de 10% anual.
240
9180 10510 13 180 15850 600
800
1400
1500
6000
5800
5200
4900
9.34
En un país asiático, durante los últimos meses se han propuesto siete diseños diferentes de puentes de cuota y se han elaborado estimaciones para conectar con el continente un complejo hotelero ubicado en una isla.
Ubicación A B C D E F G
Costo de construcción, $ en millones 14
Excedente de las cuotas anuales sobre los gastos, $100 000
9
4.0 6.1 10.8 8.0
12
7.5
6
3.9 9.3
8
22
18
Se ha constituido una sociedad públicaprivada y el banco nacional financiaría con una tasa de 4% anual. Se espera que cada puente tenga una vida útil muy larga. Use el análisis B/C para responder las preguntas que siguen. Resuelva el problema con una hoja de cálculo o con lápiz y papel. a) Si debe seleccionarse un puente, determine cuál es el mejor económicamente. b) Un banco internacional ha ofrecido financiamiento para un máximo de dos
356 356
CAPÍTULO CAPÍTULO 9
Análisis beneficio/costo y economía público Análisis beneficio/costo economía del del sector sector público
puentes adicionales, puentes adicionales, ya que se estima estima que el tránsito y el comercio entre la isla y el continente continente se incrementaría incrementaría en forma forma significativa. significativa. Por economía, economía, determine determine cuáles cuáles son los tres mejores mejores diseños diseños si no existiera presupuesexistiera restricción restricción en el presupuesanálisis. to para para los fines de este análisis. 9.35
alternativas identificadas identificadas como como X, Y Y Y Tres alternativas Z se evaluaron método B/C. evaluaron con el método B/C. La analista Joyce calculó calculó los valores valores B/C B/C en 0.92, 0.92, lista Joyce Y 1.29. Las alternativas alternativas se listan listan en 1.34 Y equivalentes totales creciencrecienorden de costos equivalentes tes. Ella necesidad de Ella no está está segura segura de la necesidad un análisis análisis incremental. incremen tal.
¿¿Qué Qué piensa piensa usted? usted? Si no se requiere requiere un análisis análisis incremental, incremental, ¿por ¿por qué es así?; si se requiere, requiere, ¿qué ¿qué alternativas alternativas deben deben compararse una perspectiva perspectiva incompararse desde desde una cremental? cremental? b) ¿Para proyectos nunca ¿Para qué tipo de proyectos nunca es necesario necesario un análisis análisis incremental? incremental? Si X, Y YY Z representan representan este tipo de proyecproyecpara los tos, ¿qué alternativas alternativas se eligen eligen para valores B/C calculados? calculados? valores B/C
a)
9.36
PRt
9.3~
Las cuatro cuatro alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluexcluyentes que aparecen yentes aparecen abajo abajo se comparan comparan con el método método B/C. B/C. ¿Qué ¿Qué alternativa, alternativa, si la hay, debe elegirse? elegirse?
9.3~
Alternativa Alternativa J
K L L M M
B/C incremental B/C incremental cuando cuando se se le compara compara con con la alternativa alternativa
Inversión Inversión inicial inicial (millones (millones de de $)
Razón B/C Razón B/C
J
K
lL
20 20 25 33 45
1.10 0.96 0.96 1.22 1.22 0.89 0.89
0.40 0.40 1.42 1.42 0.72
2.14 0.80 0.80
0.08 0.08
ciudad de Ocean Ocean View (California) (California) eva9.37 La ciudad lúa varias propuestas propuestas relacionadas relacionadas con el desecho de llantas llantas usadas. secho usadas. Todas las propuespropuestas incluyen incluyen el proceso proceso de trituración, trituración, pero cargos del servicio servicio y el manejo los cargos manejo de los desperdicios de la llanta llanta difieren difieren en cada cada desperdicios
Alternativa Alternativa P Q R S
Inversión inicial Inversión (millones de de $) (millones 10 40 40 50 80
M
plan. Se dio inicio inicio a un análisis análisis B/C B/C increincremental, pero el ingeniero llevaba a cabo mental, ingeniero que llevaba estudio se fue recientemente. recientemente. a) Llene Llene los el estudio espacios en la parte tabla corresponcorresponespacios parte de la tabla diente al B/C B/C incremental. incremental. b) b) ¿Qué ¿Qué alternaalternadiente tiva debería debería elegirse? elegirse?
9.41
B/C incremental B/C incremental cuando se se le compara compara cuando con la alternativa alternativa con Razón B/C Razón B/C
p p
1.1 1.1 2.4 2.4 1.4 1.4
2.83 2.83
1.5 1.5
Q Q
2.83 2.83
R R
s
9.4
.....,.....
357
PROBLEMAS PROBLEMAS DE DE REPASO REPASO PI FI
PROBLEMAS PROBLEMAS DE REPASO FI
9.38
Cuando Cuando se lleva lleva a cabo un análisis análisis B/C: Los beneficios beneficios y los costos costos deben deben expresarse presarse en términos términos de sus valores valores presentes. sentes. b) Los beneficios deben exbeneficios y los costos costos deben presarse presarse en términos términos de sus valores valores anuales. anuales. e) Los beneficios beneficios y los costos costos deben deben expresarse presarse en términos términos de sus valores valores futuros. d) Los beneficios beneficios y los costos costos pueden pueden expresarse en términos términos de VP, VA o VF. presarse
a) 0.92 0.92 b) 0.96 e) 1.23 d) 2.00
a)
9.39
En una razón razón B/C convencional, convencional, Los contrabeneficios contrabeneficios y los costos costos de mantenimiento mantenimiento y operación operación se restan restan de los beneficios. beneficios. b) Los contrabeneficios contrabeneficios se restan de los beneficios neficios y los costos costos de mantenimiento mantenimiento y operación operación se suman suman a los costos. costos. e) Los contrabeneficios contrabeneficios y los costos costos de mantenimiento mantenimiento y operación operación se suman suman a los costos. costos. d) Los contrabeneficios contrabeneficios se suman a los costos y los costos costos de mantenimiento mantenimiento y operación operación se restan restan de los beneficios. beneficios.
a)
9.40
9.41
análisis modificado modificado B/C: En el análisis a) Las pérdidas pérdidas y costos costos de M&O se restan restan de los beneficios. beneficios. b) Las pérdidas pérdidas se restan restan de los beneficios beneficios y los costos costos de M&O M&O se suman suman a los costos. costos. e) Las pérdidas pérdidas y costos de M&O M&O se suman a los costos. costos. d) Las pérdidas pérdidas se suman suman a los costos costos y los costos costos de M&O M&O se restan restan de los beneficios. beneficios. Cierta alternativa alternativa tiene los siguientes siguientes flujos Cierta de efectivo: efectivo: beneficios beneficios = = $60 000 anuales, anuales, pérdidas = pérdidas = $17 000 por por año, y costos costos = = $35 000 anuales. anuales. La razón razón B/C es lo más cercano cercano a:
evaluación de tres alternativas alternativas mutuamutua9.42 En la evaluación mente mente excluyentes excluyente s por medio del método método B/C, las alternativas alternativas se ordenaron ordenaron en términos del costo costo total equivalente equivalente creciente creciente (A, By By C, respectivamente), respectivamente), y se obtuvieron obtuvieron los siguientes siguientes resultados resultados para para las razones razones B/C: 1.1,0.9 Y 1.3. Sobre Sobre la base base de estos resulresul1.1,0.9 tados, usted usted debería: debería: Elegir A. a) Elegir b) Elegir Elegir C. Elegir Ay A y C. e) Elegir d) Comparar Comparar A y C desde un punto punto de visincremental. ta incremental.
9.43
Se evalúan evalúan cuatro proyectos proyectos independientes, independientes, con el empleo empleo de razones razones B/C, las cuales cuales son las siguientes: siguientes:
Proyecto Proyecto
A
Razón Razón B/C B/C
0.71
B C B C D D 1.29
1.07
2.03
Con base base en estos resultados, resultados, se debe Rechazar los proyectos proyectos B y C. a) Rechazar b) Seleccionar Seleccionar únicamente únicamente el proyecto proyecto D. e) Rechazar Rechazar solamente solamente el proyecto proyecto A d) Comparar Comparar los proyectos proyectos B, C y D, en
forma forma incremental incremental
9.44
Si dos alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyenexcluyentienen razones razones B/C de 1.5 y 1.4 para para las tes tienen alternativas alternativas de costo inicial menor menor y de costo inicial inicial mayor, respectivamente: respectivamente: a) La razón razón B/C sobre el incremento incremento entre mayor que 1.4. ellas es mayor b) La razón razón B/C sobre el incremento incremento entre encuentra entre entre 1.4 y 1.5 1.5.. ellas se encuentra e) La razón razón B/C sobre el incremento incremento entre menor que 1.4. ellas es menor alternativa de menor menor costo costo es la d) La alternativa mejor.
358
CAPÍTULO CAPÍTULO 9
Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía del sector público sector público Análisis economía del
Adei para hah:
EJERCICIO AMPLIADO EJERCICIO AMPLIADO
COSTOS COSTOS PARA PARA PROPORCIONAR PROPORCIONAR UN UN SERVICIO SERVICIO DE DE CAMIÓN CAMIÓN DE DE BOMBEROS BOMBEROS CONTRA CONTRA INCENDIOS INCENDIOS Durante muchos muchos años, años, la Ciudad Ciudad de Medford Medford ha pagado ciudad vecina vecina Durante pagado a una una ciudad (Brewster) por camión de bomberos cuando lo ha requerido. cargos (Brewster) por el uso de su camión bomberos cuando requerido. Los cargos $1 000 por evento, evento, cuando cuando el camión camión de bomberos de los últimos últimos años han sido de $1000 bomberos envía a un sitio de Medford, Medford, y de $3000 $3000 cada cada vez que el camión camión se activa. activa. sólo se envía No se ha cobrado cobrado ninguna ninguna comisión comisión anual. Con la aprobación aprobación del jefe servicios jefe de servicios municipales de Brewster, Brewster, el nuevo nuevo jefe contratado presentó costo municipales jefe de bomberos bomberos contratado presentó un costo considerablemente considerablemente mayor mayor al jefe jefe de bomberos bomberos de Medford Medford por el uso del camión camión de bomberos: bomberos:
Comisión Comisión fija anual Comisión de envío envío Comisión Comisión Comisión de activación activación
comisiones a 5 años pagadas $30 000 con comisiones pagadas por adelantado (ahora) (ahora) adelantado $3 000 por evento evento evento $8 000 por evento
Deb( contr
buen deSCl
Preg Medford ha diseñado diseñado una alternativa alternativa para comprar un caEl jefe jefe de bomberos bomberos de Medford para comprar mión mión de bomberos bomberos con las siguientes siguientes estimaciones estimaciones de costos costos para para el camión camión y la ampliación de la estación bomberos para para guardarlo: ampliación estación de bomberos guardarlo: Camión: Camión: Costo Costo inicial inicial Vida Costo por envío Costo por envío Costo Costo por activación activación Construcción: Construcción: Costo Costo inicial inicial Vida
Utih
1. 2.
$850000 $850000 15 años $2 000 por evento evento $7 000 por evento evento $500000 $500000 50 años
'
3.
también recopiló recopiló datos de un estudio estudio concluido concluido el año pasado actualiEl jefe jefe también pasado y los actualiestudio incluía incluía el cálculo cálculo de las reducciones seguro y de las zó. El estudio reducciones de la prima prima de seguro pérdidas ciudadanía experimentó experimentó teniendo disposición un pérdidas de propiedad propiedad que la ciudadanía teniendo a su disposición camión de bomberos. ahorros pasados cálculos actuales, actuales, si Medford Medford tucamión bomberos. Los ahorros pasados y los cálculos viera camión para siguientes: viera su propio propio camión para responder responder con mayor mayor rapidez, rapidez, son los siguientes:
(
4. 1
1 ~ (
l Promedio en Promedio pasado el pasado Rebaja en la prima seguro, $/año $/año Rebaja prima de seguro, Disminución pérdida de propiedad, Disminución de la pérdida propiedad, $/año $/año
100000 100000 300000 300000
Cálculo si se Cálculo posee el camión camión posee
200000 200000 400000 400000
1 1
EJERCICIO AMPLIADO AMPLIADO EJERCICIO
Además, el jefe jefe de bomberos bomberos de Medford Medford obtuvo número promedio promedio de eventos Además, obtuvo el número eventos para los 3 últimos últimos años yy determinó determinó el futuro camión de bomberos. bomberos. Cree Cree que para futuro uso del camión habido cierta cierta renuencia llamar al camión camión desde desde Brewster Brewster en el pasado. pasado. ha habido renuencia a llamar
Número Número de envíos envíos por por año año Número Número de de activaciones activaciones por por año año
Promedio en Promedio el pasado pasado
Cálculo si se posee el camión camión posee
10 3
15 5
Debe esquema de costo o comprarse Debe aceptarse aceptarse el nuevo nuevo esquema comprarse un camión. camión. La opción opción de no contar con servicio servicio de camión camión de bomberos aceptable. Medford contar bomberos no es aceptable. Medford tiene tiene una una buena buena puntuación puntuación por por sus bonos; bonos; para para todos los propósitos propósitos se utiliza utiliza una una tasa de descuento de 6% anual. descuento
Preguntas Preguntas Utilice siguiente: Utilice una una hoja hoja de cálculo cálculo para para llevar llevar a cabo cabo lo siguiente: evaluación B/C incremental 1. Efectúe Efectúe una una evaluación incremental para para determinar determinar si Medford Medford debería debería comprar comprar un camión camión de bomberos. bomberos. 2. Varios de los nuevos ciudad están están "furiosos" "furiosos" por nuevos miembros miembros del consejo consejo de la ciudad por la nueva comisión anual y el esquema nueva comisión esquema de costos. costos. Sin embargo, embargo, no desean desean ampliar ampliar la capacidad estación de bomberos capacidad de d~ la estación bomberos o poseer poseer un camión camión de bomberos bomberos que apenas apenas se utilizará utilizará un promedio promedio de 20 veces veces al año. año. Ellos Ellos creen creen que se puede puede convencer convencer a Brewster Brewster para para que reduzca reduzca o elimine elimine la comisión comisión anual anual de $30 000. ¿Cuánto ¿Cuánto debe reducirse reducirse la comisión comisión anual para para que se rechace rechace la alternativa alternativa de la compra compra del camión camión de bomberos? bomberos? 3. Otro miembro miembro del consejo consejo está está dispuesto dispuesto a pagar pagar la comisión comisión anual, aunque aunque desea desea saber saber cuánto cuánto puede puede cambiar cambiar el costo costo de $500 000 de la construcción construcción con la finalidad finalidad de que las alternativas alternativas sean igualmente igualmente atractivas. atractivas. Determine Determine este costo costo inicial inicial para para la construcción. construcción. 4. Finalmente, Finalmente, una propuesta propuesta de acuerdo acuerdo mutuo mutuo ofrecida ofrecida por por el alcalde alcalde de Medford Medford podría podría ser aceptable aceptable a Brewster. Brewster. Reduzca Reduzca la comisión comisión anual anual un 50% y los cargos por por evento evento al mismo mismo monto monto que el jefe jefe de bomberos bomberos de Medford Medford calcula calcula que costará ajuste (si parece costará poseer poseer el camión. camión. Medford Medford posiblemente posiblemente ajuste parece razonarazonable) la suma suma de reducción prima de seguro seguro y los cálculos reducción de la prima cálculos de reducción reducción por por pérdidas pérdidas de propiedad, propiedad, para para hacer hacer el acuerdo acuerdo con Brewster Brewster más atractivo atractivo que el hecho suma (para hecho de poseer poseer el camión. camión. Determine Determine esta esta suma (para los cálculos cálculos de la rebaja rebaja de la prima ¿Parece esta suma suma adecuada adecuada respérdidas de propiedad). propiedad). ¿Parece prima y de las pérdidas pecto anteriores? pecto de los cálculos cálculos anteriores?
359
360
CAPÍTULO
9
Análisis beneficio/costo
y economía del sector público
ESTUDIO DE CASO
n
f,
ALUMBRADO DE CARRETERAS
a
Introducción que un número des-
de accidente se valúa en $4 500. La forma ideal de determinar si la iluminación reduce los accidentes de trá-
proporcionado de accidentes de tráfico en carretera ocurren durante la noche. Existen algunas posibles explicaciones a este fenómeno, una de las cuales podría
fico es a través de estudios antes y después en un tramo de carretera. Sin embargo, esta clase de información no se encuentra disponible fácilmente, por lo que es
ser la escasa visibilidad. En un esfuerzo por determinar si el alumbrado en las carreteras brindaría beneficios económicos al reducir los accidentes nocturnos, se recopilaron datos referentes a las tasas de frecuencia de accidentes en tramos de ciertas carreteras con alumbrado y sin él. El caso que nos ocupa constituye un análisis de parte de esos datos.
necesario emplear otros métodos. Uno de ellos compara las tasas de accidentes de noche con los que ocurren durante el día en carreteras iluminadas y no iluminadas. Si las luces son benéficas, el índice de accidentes nocturnos con respecto a los diurnos será inferior en el tramo iluminado que en el tramo no iluminado. Si existe una diferencia, la menor tasa de accidentes puede traducirse en beneficios comparables con el costo de la iluminación para determinar su viabilidad económica.
Ciertos estudios han demostrado
Antecedentes
El siguiente análisis aplica esta técnica. La Administración Federal de Carreteras (AFC) asigna valores a los accidentes dependiendo de la gravedad del choque. Existen categorías de accidentes, la más
P
d d
n
e e
p
n
E (3
Análisis económico
severa de las cuales es la mortal. El costo de un accidente mortal se calcula en $2.8 millones. El tipo más común de accidente no es mortal ni deja lesionados, y sólo implica daños a la propiedad. El costo de este tipo
A continuación aparecen los resultados de un estudio específico realizado durante un periodo de 5 años. Para ilustrarlo, en este ejemplo se tomará en cuenta exclusivamente la categoría de daños a la propiedad.
E
al
Tasas de accidentes en carreteras
iluminadas y no iluminadas.
No iluminada
al
Iluminada
Tipo de accidente
Día
Noche
Día
Mortal Incapacitante Evidente Posible Daños a la propiedad
3 10 58 90 379
5 6 20 35 199
4 28 207 384 2069
Totales
540
265
2697
Noche 7 22 118 161 839 1147
Fuente: Michael Griffin, "Comparison of the Safety of Lighting Options on Urban Freeways", Public Roads, 58, otoño de 1994, pp. 8-15.
La razón entre los accidentes nocturnos y los diurnos, los cuales incluyen daños a la propiedad en tramos de carreteras no iluminadas e iluminadas, es de
Para cuantificar el beneficio, se aplicará la razón de la tasa de accidentes del tramo no iluminado sobre la tasa del tramo iluminado. Esto arrojará el número de acci-
199/379 = 0.525 Y 839/2 069 = 0.406, respectivamente. Tales resultados indican que la iluminación fue benéfica.
dentes que se evitaron. Por lo tanto, habrían ocurrido (2069)(0.525) = 1 086 accidentes en lugar de 839 si
-
ESTUDIO DE CASO
no hubiera existido iluminación iluminación en la carretera. La diferencia es de 247 accidentes. 500 por accidentes. A un costo de $4 $4500 accidente, esto resulta en un beneficio neto de: B = (247)($4 500) = $1 $1 111 111 500
determinar el costo de la iluminación, iluminación, se suponPara determinar drá que los postes de luz son postes centrales separadistancia de 67 metros entre sí con dos lámpados una distancia ras cada uno, que las lámparas son de 400 watts y que el costo de instalación es de $3 500 por poste. Tomando en cuenta el hecho de que esta información se reunió para 87.8 kilómetros (54.5 millas) de carretera ilumiinstalación de la iluminación iluminación es: nada, el costo de instalación 500( 87.8 ) Costo de instalación = $3 500( 0.067 500(1310.4) = 3 500(1310.4) = $4 586 400 El costo anual de la energía para 1 310 postes es Costo anual de la energía 1310 postes(2 lámparas/poste)(O.4 kilowattl = 1310 lámpara) x (12 horas/día)(365 días/año) ($0.08/kilowatt-hora) x ($0.08/kilowatt-hora) = $367 219 anuales información se recabó durante un periodo de 5 Esta información años. Por lo tanto, el costo anualizado (C) para i = 6% anual es: 400(A/P,6%,5) Costo anual total = $4 586 400(A/P,6%,5) + 367 219 = $1456030 $1 456030 =
361
La razón B/C es: $1 111500 111500 = 0.76 B/C = $1 $1456030 $1456030 Puesto que B/C < 1, justifica exclu1, el alumbrado no se justifica sivamente sobre la base de los daños a la propiedad. Con el objetivo de tomar una determinación final sobre la viabilidad económica del alumbrado es obvio que considerarse los beneficios beneficios asociados con tendrían que considerarse accidentes. las demás categorías de accidentes.
Ejercicios del estudio estudio de caso caso Ejercicios 1. ¿Cuál sería la razón B/C si los postes de luz se endistancia antes contraran separados el doble de la distancia indicada? 2. ¿Cuál es la razón de los accidentes mortales nocturnos con respecto a los diurnos? instalación 3. ¿Cuál sería la razón B/C si el costo de instalación fuera de sólo $2 500 por poste? evitarían en el tramo no ilu4. ¿Cuántos accidentes se evitarían estuviera iluminada? minado de la carretera si ésta estuviera categoría de daños a la propieConsidere sólo la categoría dad. Utilizando exclusivamente categoría de daños a 5. Utilizando exclusivamente la categoría la propiedad, ¿cuál debería ser la razón de los accidentes nocturnos con la carretera iluminada con respecto a los diurnos, con la finalidad de justificar justificar económicamente el alumbrado? económicamente
·
-
.
--
---
--
-----------------------
10 o o ~! \
«« u u
Toma de de decisiones: método, método, TMAR TMAR y atributos atributos múltiples múltiples Este Este capítulo capítulo amplía las las posibilidades posibilidades de un un estudio estudio de ingeniería económica. ya no se fundamentales señalados Aquí ya se especifican algunos de los elementos elementos fundamentales en capítulos anteriores. Como resultado, se se omiten omiten muchos de los aspectos del libro que eran evidentes evidentes en capítulos anteriores; así, así, esto nos permite permite abordar las las situaciones reales reales más más complejas complejas que se se presentan en la la práctica profeprofesional y yen en la la toma de decisiones. En royecto o comparar En los capítulos previos, el método método para para evaluar un un p proyecto comparar alternativas se contexto mismo del se definía, o se se hacía hacía evidente, evidente, a partir partir del contexto problema ier método problema.. Además, cuando se se aplicaba cualqu cualquier método se se daba por por conocida la la TMAR. Finalmente, sólo una una dimensión dimensión o atributo atributo -el -el económicoeconómico- consjuzga r la viabilidad económica tituía la la base para juzgar la viabilidad económica de un proyecto, proyecto, o la la base para ítulo se para elegir elegir entre dos o más más alternativas. alternativas. En En este cap capítulo se analiza analiza la la determideterminación de los tres parámetros: parámetros: método método de evaluación, TMAR y atributos. atributos. Se Se desarrollan y ejemplifican eterminar cada ejemplifican las las directrices directrices y las las técnicas para para d determinar uno de ellos. El El estudio estudio de caso caso analiza analiza la la mejor mejor forma de obtener obtener un un equilibrio equilibrio entre el financiamiento a través de deuda y de capital propio, financiamiento propio, utilizando utilizando un análisis análisis basado en la la TMAR.
e
-
-
-
-
-
M lIIi
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE OBJETIVOS Objetivo general: general: elegir elegir un método método y una TMAR TMAR adecuados adecuados para comparar comparar alternativas alternativas desde desde un Objetivo punto de vista económico, económico, y utilizando utilizando atributos atributos múltiples. múltiples. punto
lector a: a: Este capítulo Este capítu lo ayudará al lector Elección de de un método método Elección
1. Elegir un método método adecuado adecuado para comparar comparar alternativas alternativas 1. mutuamente excluyentes. excluyentes. mutuamente
Costo de capital capital y TMAR TMAR Costo de
Describir el costo del capital y su su relación con la la TMAR, 2. Describir considerando las las razones razones de variación de la la TMAR. considerando
--~--CPPC CPPC
II
deuda. 4. Estimar el costo del capital de deuda.
Costo del del capital capital de de deuda deuda Costo
costo del capital propio propio y explicar explicar cómo se se compara 5. Calcular el costo CPPC y la TMAR TMAR.. éste con el CPPC
Costo del del capital capital propio propio Costo
----------.,j II Mezclas Mezclas O-C altas altas
las empresas con las las mezclas 6. Explicar la relación del riesgo de las deuda-capital propio propio. . deuda-capital 7.. Identificar Identificar y desarrollar desarrollar factores factores de ponderación ponderación para los 7 atributos múltiples múltiples utilizados utilizados en la la elección elección de alternativas. alternativas. atributos
Atributos Atributos múltiples múltiples
Método Método de de atributos atributos ponderados ponderados
Entender la mezcla deuda-capital deuda-capital propio propio y ca calcular 3. Entender lcular el costo promedio ponderado ponderado de capita capitall (CPPC). (CPPC). promedio
I
8. Aplicar Aplicar el método método de atributos atributos ponderados la toma toma de 8. ponderados para la decisiones les. decisiones de atributos atributos múltip múltiples.
CAPÍTULO 10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples
364
10.1
COMPARACiÓN DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES CON DIFERENTES MÉTODOS DE EVALUACiÓN
En los cinco capítulos anteriores, se analizaron diferentes técnicas de evaluación equivalentes. Cualquier método (VP, VA, VF, TR o B/C) sirve para elegir una alternativa entre varias y obtener la misma respuesta correcta. Sólo se requiere un método para llevar a cabo el análisis de ingeniería económica, ya que cualquier método aplicado correctamente permite elegir la misma alternativa. Además, disponemos de información diversa sobre una alternativa con cada diferente método. La elección de un método y su aplicación correcta llega a resultar confusa. La tabla 10.1 ofrece un método de evaluación recomendable para diferentes situaciones, en caso de que éste no sea especificado en el salón de clases o en la práctica profesional. Los criterios fundamentales para elegir un método son la rapidez y facilidad de llevar a cabo el análisis. A continuación se interpretan las entradas de cada columna. /
Secc. 5.1 ./
t Ingreso o servicio
Periodo de evaluación: La mayoría de las alternativas del sector privado (ingresos y servicios) se comparan a lo largo de sus vidas estimadas iguales o diferentes, o durante un periodo específico. Los proyectos del sector público por lo general se evalúan utilizando la razón B/C y, por lo común tienen vidas largas que pueden considerarse infinitas para fines del cálculo económico.
TABLA
10.1 Método recomendado para comparar alternativas mutuamente . . excluyentes siempre Y.cuando efmétodo hO haya'sido 'preestablecido . ,~
3,
l'
''B'
"' ,,}
~
~
Periodo de evaluación
Tipo de alternativas
Método recomendado
Serie a evaluar
Vidas iguales de alternativas
Ingreso o servicio Sector público
VAoVP
Flujos de efectivo
B/C, basado en VAo VP VA
Flujos de efectivo incrementales Flujos de efectivo
B/C, basado en VA
Flujos de efectivo incrementales Flujos de efectivo actualizados Flujos de efectivo incrementales actualizados Flujos de efectivo
Vidas desiguales de alternativas
Periodo de estudio
Larga a infinita
Ingreso o servicio Sector público Ingreso o servicio Sector público
VAoVP
Ingreso o servicio Sector público
VAoVP
B/C, basado en VAoVP
B/C, basado en VA
Flujos de efectivo incrementales
pec los mé ció
::
SECCIÓN SECCIÓN 10.1
Comparación mutuamente excluyentes Comparación de alternativas alternativas mutuamente excluyentes
365
Tipo de alternativas: alternativas: Las alternativas privado tienen tienen estimaciones alternativas del sector sector privado estimaciones de flujos basadas en ingresos flujos de efectivo efectivo basadas ingresos (incluyen (incluyen ingresos ingresos y estimaciones estimaciones de costos) costos) o basadas en servicios (sólo incluyen estimaciones de basadas servicios (sólo incluyen estimaciones costos). costos) . Para Para alternativas de servicios, las alternativas servicios, se supone supone que la serie de flujo de efectivo efectivo de ingresos es igual igual para para todas todas las alternativas. ingresos alternativas. Método recomendado: Ya sea que un análisis mano o por por compuMétodo recomendado: análisis se lleve a cabo cabo a mano computadora, el método método recomendado recomendado en la tabla tadora, tabla 10.1 permitirá permitirá elegir elegir adecuadaadecuadamente una alternativa rápidamente como posible. mente alternativa de entre entre 2 o más, tan rápidamente como sea posible. Cualquier método se puede puede aplicar para obtener informaCualquier otro método aplicar en lo sucesivo sucesivo para obtener información adicional necesario, verificar verificar la elección. Por ejemplo, vidas adicional y, si es necesario, elección. Por ejemplo, si las vidas diferentes y se necesita aplicar primero son diferentes necesita la tasa de rendimiento, rendimiento, es mejor mejor aplicar primero el método TMAR y luego luego determinar determinar i* de la alternativa alternativa elegida, elegida, utilimétodo VA a la TMAR utilizando fórmula para donde i es la incógnita. incógnita. zando la misma misma fórmula para VA, donde Serie por por evaluar: para una alternativa evaluar: La serie serie estimada estimada de flujos flujos de efectivo efectivo para alternativa y la serie incremental entre 2 alternativas constituyen las únicas 2 opciones para incremental entre alternativas constituyen únicas opciones para la evaluación del valor anual o presente. El análisis mediante hoja de cálculo, evaluación valor anual presente. análisis mediante hoja cálculo, implica que se aplican aplican las funciones VPN o VP (para valor presente) presente) o la implica funciones VPN (para el valor función palabra actualizado actualizado se añade función PAGO (para (para el valor valor anual). La palabra añade como como recordatorio de que un análisis de periodo de estudio requiere que los cálculos recordatorio análisis periodo estudio requiere cálculos de flujos particular de los valores valores de salvamento mercado) flujos de efectivo efectivo (en particular salvamento y de mercado) se vuelvan vuelvan a examinar ya actualizar antes de que se lleve a cabo el análisis. examinar ya actualizar lleve análisis. método de evaluación, procedimiento esUna vez elegido elegido el método evaluación, debe seguirse seguirse un procedimiento pecífico. Estos procedimientos procedimientos fueron temas principales principales de los últimos últimos 5 capítupecífico. Estos fueron los temas capítuelementos importantes importantes del procedimiento cada tabla 10.2 resume resume los elementos procedimiento para para cada los. La tabla método: VP, VA, TR Y Y B/C. B/C. El VF se incluye como extensión extensión del VP. A continuacontinuaincluye como método: indicamos el significado significado de las entradas entradas de la tabla ción indicamos tabla 10.2. Relación de equivalencia: equivalencia: La ecuación ecuación fundamental fundamental para llevar a cabo cualquier Relación para llevar cabo cualquier análisis es una ecuación de VP o de VA. fórmula del costo costo capitalizado capitalizado análisis una ecuación VA. La fórmula ecuación de VP para (CC) es una una ecuación para una una vida a perpetuidad, perpetuidad, y la relación relación de VF probablemente determine a partir equivalente de VP. Además, probablemente se determine partir del valor valor equivalente Además, como se analizó analizó en el capítulo capítulo 6, VA es sencillamente sencillamente VP multiplicado como multiplicado por por el factor AIP correspondiente al MCM factor AIP correspondiente MCM de sus vidas. vidas. duración de una evaluaVidas de las alternativas alternativas yy periodo periodo para para el análisis: análisis: La duración una evaluasiempre será uno de los siguientes siguientes factores: factores: vidas iguales ción (el valor valor n) siempre iguales de alternativas, MCM diferentes, periodo estudio especificado, especificado, o las alternativas, MCM de vidas vidas diferentes, periodo de estudio infinito si las vidas son muy prolongadas. infinito prolongadas. análisis de VP siempre requiere alternativas. El análisis VP siempre requiere el MCM MCM de todas todas las alternativas. Los métodos TR y B/C incrementales requieren B/C incrementales requieren del MCM MCM de las dos métodos de TR alternativas comparadas. comparadas. alternativas El método análisis sobre sobre las respectivas método de VA permite permite un análisis respectivas vidas vidas de las alternativas. alternativas. La única excepción es para alternativas de vida diferendiferenúnica excepción para el método método de TR para para alternativas te utilizando efectivo incrementales. incrementales. Se debe debe utilizando una una relación relación VA parajlujos para flujos de efectivo
II /
Secc.6.1 Secc.6.1
I
t Cómo se relacionan Cómo relacionan VP, VAyVF VAyVF
/
366
10
CAPÍTULO
Toma de decisiones:
método, TMAR y atributos múltiples
utilizar el MCM de dos alternativas comparadas. Esto equivale a utilizar una relación VApara losflujos de efectivo reales sobre las vidas respectivas. Ambos enfoques determinan la tasa incremental de rendimiento Si". Series por evaluar: Se utiliza ya sea la serie de flujo de efectivo estimado o la serie incremental para calcular el valor de VP, el valor de VA y el valor i*, o bien, la razón B/C. TABLA 10.2
Método de evaluación
Características de un análisis económico de alternativas mutuamente excluyentes una vez determinado el método de evaluación
Relación de equivalencia
Vidas de las alternativas
Periodo de estudio para el análisis
Series por evaluar
Tasa de rendimiento; tasa de interés
Directriz de decisión: elección*
VP
Iguales
Vidas
Flujos de efectivo
TMAR
VP
Diferentes
MCM
Flujos de efectivo
TMAR
VP numéricamente mayor VPnuméricamente mayor
VP
Periodo de estudio
Periodo de estudio
TMAR
CC
De grande a infinito
Infinito
Flujos de efectivo actualizados Flujos de efectivo
Valor presente
''''''ft !
,I~I: \
Valor futuro
\1
VF
Lo mismo que para valor presente en vidas iguales, vidas diferentes y periodo de estudio Iguales o diferentes Periodo de estudio
VA Valor anual
Tasa de rendimiento
VA
TMAR
Periodo de estudio
Flujos de efectivo actualizados Flujos de efectivo
TMAR
Flujos de efectivo incrementales Flujos de efectivo incrementales Flujos de efectivo
Calcular !J.i*
Infinito
VPoVA
Igual
Vidas
VPoVA
Diferente
MCM del par
VA
Diferente
Vidas
VPoVA
Periodo de estudio
Periodo de estudio
VA VAoVP
*COSlO equivalente
Flujos de efectivo
De grande a infinito
mínimo
Igualo diferente Igual o diferente De grande a infinita
o ingreso equivalente
máximo.
MCM de pares Vidas Infinito
I
VF numéricamente mayor
Vidas
VA
VP Beneficio/costo
TMAR
VP numéricamente mayor CC numéricamente mayor
TMAR
VAnuméricamente mayor VAnuméricamente mayor VAnuméricamente mayor
Calcular !J.i*
Última!J.i* ~ TMAR Última !J.¡*~
Calcular !J.i*
TMAR Última !J.i* ~
Flujos de efectivo actualizados incrementales
Calcular !J.¡*
TMAR Última!J.i* ~
Flujos de efectivo incrernentales Flujos de efectivo incrementales Flujos de efectivo incrementales
Tasa de descuento Tasa de descuento Tasa de descuento
TMAR
Última /'J3/C ~ 1.0 Última /'J3/C ~ 1.0 Última /'J3/C ~ 1.0
1
E l(
b
SECCIÓN SECCIÓN 10.2 10.2
Tasa de rendimiento TMAR debe establecerse establecerse rendimiento (tasa de interés): interés): El valor valor de la TMAR para también es correcto correcto con la tasa tasa para completar completar el método método VP, VF o VA, VA, lo cual también de descuento público analizadas analizadas por por medio medio de descuento para para las alternativas alternativas del sector sector público la razón B/C. determinación de la tasa incremental incremental B/e. El método método de TR requiere requiere la determinación para dilema de tasas múltiples, múltiples, para elegir elegir una alternativa. alternativa. Aquí Aquí es donde donde surge el dilema si las pruebas necesariamente existe existe una una raíz real pruebas de los signos signos indican indican que no necesariamente única para una serie no convencional. convencional. única para Directriz alternativa se consigue consigue utilizando utilizando la Directriz de decisión: decisión: La elección elección de una alternativa directriz derecha. Siempre elegirse la directriz general general de la última última columna columna de la derecha. Siempre debe elegirse alternativa con el mayor mayor valor valor numérico numérico de Vp, Vp, VF o VA; VA; esto es correcto alternativa correcto en el ingresos y de servicios. métodos de flujo de caso de las alternativas alternativas de ingresos servicios. Los métodos efectivo elección de la alternativa alternativa del efectivo incremental incremental (TR y B/C) requieren requieren la elección mayor justificada, desde una una perspectiva perspectiva incremental, incremental, siempre mayor costo inicial inicial y justificada, siempre cuando ésta se justifique y cuando justifique frente a una alternativa alternativa justificada justificada por por sí misma. misma. Esto significa TMAR, o que la razón razón B/e B/C significa que la i* incremental incremen tal excede excede a la TMAR, incremental incremental es mayor mayor que 1.0.
EJEMPLO EJEMPLO
110.1 0.1
367 367
TMAR en en relación relación al costo costo del del capital capital TMAR
_o~-'
Lea haciendo caso caso omiso omiso del del métométoLea el enunciado enunciado del del problema problema de los los siguientes siguientes ejemplos, ejemplos, haciendo do de evaluación qué método método de de evaluación evaluación probableprobableevaluación utilizado utilizado en en el ejemplo. ejemplo. Determine Determine qué mente entre 2 o más más alternativas: alternativas: a) 8.6, mente sea sea el más más rápido rápido y fácil fácil de aplicar aplicar para para elegir elegir entre 6.5, e) 5.6, 5.6, á) el) 5.12. 5.12. b) 6.5, Solución Solución De métodos deberían deberían aplicarse aplicarse De acuerdo acuerdo con con el contenido contenido de la tabla tabla 10.1, 10.1, los los siguientes siguientes métodos primero. primero. ejemplo 8.6 se refiere refiere a cuatro alternativas de ingresos con El ejemplo cuatro alternativas de ingresos con vidas vidas iguales. iguales. Utilice Utilice VP a la la TMAR TMAR de 10%. 10%. (El método método de el valor valor VA o VP de TR TR incremental incremental se aplicó aplicó en en el el ejemplo.) ejemplo.) ejemplo 6.5 6.5 requiere requiere la elección elección entre entre dos dos alternativas sector público b) El ejemplo alternativas del del sector público con con vidas vidas diferentes, una una de las las cuales cuales es muy muy prolongada. prolongada. La La razón diferentes, razón B/C B/C de de los los valores valores VA es la mejor elección. elección. (Así (Así se resolvió resolvió el problema.) problema.) mejor Como el ejemplo ejemplo 5.6 implica implica dos dos alternativas alternativas de servicios, una e) Como de servicios, una de de las las cuales cuales tiene tiene una vida prolongada, prolongada, se puede puede utilizar utilizar ya sea sea VA o VP. una vida VP Puesto Puesto que que una una vida vida es larga, larga, costo capitalizado, capitalizado, como extensión del del método método VP, es mejor el costo como extensión mejor en en este este caso. caso. (Es (Es el método que se aplicó aplicó en el ejemplo.) ejemplo.) método que el) En En el ejemplo ejemplo 5.12 5.12 se encuentran encuentran presentes presentes vidas á) vidas considerablemente considerablemente diferentes diferentes para para dos alternativas de servicios. servicios. En En este este caso, caso, el el método la elección dos alternativas método VA es la elección adecuada. adecuada. (Se (Se utilizó el método método de VP VP sobre sobre el MCM.) MCM.) utilizó
a)
10.2 TMAR TMAR EN RELACiÓN RELACiÓN AL COSTO COSTO DEL CAPITAL CAPITAL 10.2 TMAR utilizado utilizado en la evaluación evaluación de alternativas El valor valor de la TMAR alternativas constituye constituye uno de parámetros más importantes importantes de un estudio. estudio. En el capítulo los parámetros capítulo 1, la TMAR TMAR se descridescrirespecto a los costos ponderados ponderados de deuda deuda y de capital sección bió con respecto capital propio. propio. Esta Esta sección
Tasas múltiples
Numéricamente mayor
368
CAPÍTULO CAPÍTULO 10
Fundamentos delaTMAR
Costo de oportunidad
Toma Toma de decisiones: decisiones: método, método, TMAR TMAR y atributos atributos múltiples múltiples
y las siguientes siguientes cuatro cuatro explican explican cómo cómo establecer establecer una TMAR bajo condiciones vauna TMAR bajo condiciones riables. riables. Para sentar las bases TMAR realista, inicialmente se calcula calcula por separaPara sentar bases de una TMAR realista, inicialmente por separacosto de cada cada tipo de financiamiento financiamiento de capital capital y, enseguida, enseguida, se pondera do el costo pondera la proporción entre fuentes fuentes de deuda deuda y de capital, capital, para calcular la tasa proporción entre para calcular tasa de interés interés propromedio medio pagada pagada por por el capital capital de inversión. inversión. Este porcentaje porcentaje recibe recibe el nombre nombre de costo de capital. salud financiefinanciecapital. Después Después se fija la TMAR TMAR con respecto respecto a éste. Además, Además, la salud ra de la empresa, empresa, los rendimientos esperados sobre sobre el capital rendimientos esperados capital invertido invertido y muchos muchos otros factores establece. Si no se establece factores se consideran consideran una vez que la TMAR TMAR se establece. establece ninguna, queda establecida establecida por estimaciones de flujos de ninguna, la TMAR TMAR de Jacto queda por las estimaciones efectivo neto del proyecto disponibilidad de los fondos fondos de capital. capital. Es decir, en efectivo proyecto y la disponibilidad realidad TMAR es el costo de oportunidad, cual es la i* del primer realidad la TMAR oportunidad, el cual primer proyecto proyecto rechazado debido a la no disponibilidad disponibilidad de fondos. rechazado debido Antes analizar el costo costo del capital, capital, repasemos fuentes principales Antes de analizar repasemos las dos fuentes principales de capital. capital.
representa el préstamo préstamo que se obtiene obtiene fuera El capital capital de deuda deuda representa fuera de la empresa, empresa, cuyo principal principal se reintegra reintegra a una una tasa tasa de interés interés establecida establecida de acuerdo acuerdo con un calendario incluye la obtención calendario específico. específico. El financiamiento financiamiento de la deuda deuda incluye obtención de un préstamo a través través de bonos, bonos, préstamos préstamos e hipotecas. hipotecas. El prestamista prestamista no participa participa préstamo rendimientos que resultan resultan de la utilización utilización de los fondos fondos de la deuda; deuda; de los rendimientos aunque existe existe el riesgo riesgo de que el prestatario prestatario no cubra cubra parte parte o el total total de los aunque obtenidos en préstamo. préstamo. El saldo pendiente pendiente del financiamiento financiamiento por por deudeufondos obtenidos indica en la sección pasivos del balance balance general general de la empresa. da se indica sección de pasivos empresa. patrimonial es el dinero dinero de la empresa compuesto por por los fondos El capital capital patrimonial empresa compuesto fondos de propietarios y las utilidades utilidades conservadas. conservadas. Los fondos propietarios, los propietarios fondos de los propietarios, además, se clasifican clasifican como como comunes comunes y productos productos de acciones acciones preferentes preferentes o además, capital de los propietarios propietarios para para una empresa empresa privada privada (sin emisión emisión de acciones). acciones). capital utilidades conservadas conservadas son fondos fondos retenidos retenidos anteriormente anteriormente en la empresa empresa Las utilidades para sección para la inversión inversión del capital. capital. El monto monto del capital capital propio propio se indica indica en la sección valores netos del balance balance general general de la empresa. empresa. de valores Para ilustrar ilustrar la relación relación que existe existe entre entre el costo costo del capital capital y la TMAR, TMAR, suponga Para suponga proyecto de un sistema computacional se financiará financiará completamente completamente con la que el proyecto sistema computacional emisión de bonos bonos por por $5000000 emisión $5000000 (100% del financiamiento financiamiento de la deuda), deuda), y consiconsidere que la tasa de dividendos bonos es 8%. Por lo tanto, tanto, el costo capital dividendos de los bonos costo del capital de deuda figura 1O.l. 10.1. Este 8% es el mínimo deuda es 8%, como como lo indica indica la figura mínimo para para la TMAR. TMAR. gerencia puede puede aumentar aumentar esta esta TMAR TMAR en incrementos incrementos que reflejen reflejen su deseo deseo de La gerencia obtener adicionales y su percepción ejemplo, la gerenobtener rendimientos rendimientos adicionales percepción del riesgo. riesgo. Por Por ejemplo, gerencia puede esta área. Supuede añadir añadir una una cantidad cantidad a todas todas las asignaciones asignaciones de capital capital en esta ponga cantidad es de 2%, que incrementa esperado a 10% ponga que esta cantidad incrementa el rendimiento rendimiento esperado (figura 10.1). Asimismo, sufi(figura Asimismo, si el riesgo riesgo relacionado relacionado con la inversión inversión se considera considera suficientemente adicional de cientemente importante importante para para garantizar garantizar la necesidad necesidad de un rendimiento rendimiento adicional 1%, la TMAR TMAR final es de 11 11%. enfoque recomendado El enfoque recomendado no se rige por por la lógica lógica anterior. En cambio, cambio, el costo costo del capital debería establecer establecer la TMAR. determina el capital (8% en este caso), debería TMAR. Luego, Luego, se determina valor i* a partir efectivo netos estimados. De acuerdo acuerdo con este partir de los flujos de efectivo netos estimados.
en
tOI
rie su si
tUl
D
La tOI
qu
pk
ac tal
rer
SECCIÓN SECCIÓN 10.2
TMAR TMAR establecIda establecida
Tt
11% 11 %
tt
TMAR en relación relación al costo costo del capital capital TMAR
Factor de riesgo Factor riesgo adicional adicional
1%
10% 10%
Figura Figura 10.1 Relación fundamental Relación fundamental entre el costo costo del del capital capital entre TMAR utilizada utilizada en en y la TMAR la la práctica. práctica.
Necesidad adicional Necesidad adicional de de un un rendimiento rendimiento esperado esperado
2%
lMAR1,% lMAR1
minima mín ima
8%
Costo Costo del del capital capital
enfoque, suponga suponga que se estima estima que el sistema sistema de computación computación genera genera rendimienenfoque, rendimien11%. %. Ahora Ahora se consideran consideran las necesidades factores de tos del 11 necesidades de rendimientos rendimientos y los factores riesgo adicionales adicionales para para determinar determinar si un 3% por encima de la TMAR TMAR de 8% es riesgo por encima suficiente para para justificar inversión del capital. capital. Después consideraciones, suficiente justificar la inversión Después de estas consideraciones, rechaza el proyecto proyecto la TMAR TMAR efectiva efectiva es ahora ahora 11 11%. %. Éste costo de oporsi se rechaza Éste es el costo tunidad analizado analizado anteriormente anteriormente --la la i* del proyecto establecido la tunidad proyecto rechazado rechazado ha establecido TMAR efectiva efectiva para alternativas de sistemas sistemas de computación computación a 11 11%, 8%-. TMAR para alternativas %, no a 8%-. Establecer la TMAR TMAR en un estudio estudio económico económico no constituye constituye un proceso exacto. Establecer proceso exacto. mezcla de deuda deuda y de capital capital patrimonial cambia con el tiempo entre proyecLa mezcla patrimonial cambia tiempo y entre proyecTMAR no es un valor tos. Asimismo, Asimismo, la TMAR valor fijo establecido establecido en toda toda la empresa, empresa, sino que varía de acuerdo acuerdo con los diferentes ejemdiferentes tipos de proyecto proyecto y oportunidades. oportunidades. Por ejemcorporación puede puede utilizar evaluar la compra compra de plo, una corporación utilizar una TMAR TMAR de 10% para para evaluar activos (equipo, (equipo, automóviles) automóviles) y una TMAR de 20% para inversiones de expansión, expansión, activos una TMAR para inversiones compra de pequeñas empresas. tales como la compra pequeñas empresas. TMAR efectiva efectiva varía como La TMAR varía de un proyecto proyecto a otro y a través través del tiempo tiempo como resultado de factores factores como como los siguientes: siguientes: resultado Riesgo del proyecto. proyecto. Cuando existe existe un riesgo (potencial o real) asociaasociaRiesgo Cuando riesgo mayor mayor (potencial determinados proyectos establecer una TMAR do con determinados proyectos propuestos, propuestos, la tendencia tendencia es establecer TMAR estimula por capital de deuda deuda para más alta, que se estimula por un mayor mayor costo de capital para proyectos proyectos consideran riesgosos. riesgosos. Esto normalmente significa que existe existe cierta que se consideran normalmente significa cierta prepreocupación porque porque el proyecto cumpla con los requerimientos ocupación proyecto no cumpla requerimientos de ingresos ingresos plaplaneados. neados. Oportunidad de inversión. inversión. está decidida decidida a invertir Oportunidad Si la gerencia gerencia está invertir en determidetermiTMAR debe reducirse estimular la inversión, nada área, la TMAR reducirse con el propósito propósito de estimular inversión, esperanza de recuperar con la esperanza recuperar los ingresos ingresos perdidos perdidos en otras áreas. Tal reacción reacción común oportunidad de inversión común a la oportunidad inversión puede puede crear crear gran gran confusión, confusión, cuando cuando las directrices para para proponer directrices proponer una TMAR TMAR se aplican aplican estrictamente. estrictamente. Entonces Entonces la flexiflexi bilidad cobra cobra un papel papel muy importante. bilidad importante. Estructura tributaria. tributaria. impuestos corporativos corporativos aumentan aumentan (como (como resulEstructura Si los impuestos resulmayores utilidades, capital, impuestos etcétera), tado de mayores utilidades, ganancias ganancias de capital, impuestos locales, locales, etcétera), presión para incrementar incrementar la TMAR. aplicación de un análisis análisis después después de hay presión TMAR. La aplicación
369
370
CAPÍTULO CAPÍTULO 10
Toma Toma de decisiones: decisiones: método, método, TMAR TMAR y atributos atributos múltiples múltiples
impuestos ayuda ayuda a eliminar eliminar esta razón para para que exista exista una TMAR fluctuante, fluctuante, en impuestos esta razón virtud virtud de que los gastos gastos que acompañan acompañan al negocio negocio tenderán tenderán a reducir reducir los impuestos puestos y los costos costos después después de impuestos. impuestos. Capital Capital limitado. limitado. Conforme Conforme el capital capital de deuda deuda y el capital capital patrimonial patrimonial se vuelven limitados, limitados, se incrementa incrementa la TMAR. Si la demanda demanda de capital capital limitado limitado vuelven excede llega a fijarse costo de excede la oferta, oferta, la TMAR llega fijarse en un nivel aún más alto. El costo oportunidad oportunidad desempeña desempeña un papel papel importante importante en la determinación determinación de la TMAR utiliza en realidad. realidad. que se utiliza mercado en otras corporaciones. aumenta en otras otras corporaciones. Si la TMAR aumenta otras Tasas del mercado empresas, en especial especial en competidoras, competidoras, una compañía compañía puede puede alterar alterar su TMAR, empresas, elevándola como como respuesta. respuesta. Dichas Dichas variaciones variaciones a menudo menudo se basan basan en cambios elevándola cambios interés sobre préstamos, préstamos, los cuales tienen tienen un impacto impacto directo directo en el en las tasas de interés capital. costo del capital. detalles del análisis análisis después después de impuestos impuestos carecen carecen de interés, interés, pero Si los detalles pero los efectos de los impuestos renta son de importancia, importancia, la TMAR puede puede increefectos impuestos sobre la renta incrementarse incorporando incorporando una tasa de impuestos impuestos efectiva efectiva mediante mediante la fórmula fórmula mentarse Tl\lAR después de impuestos impuestos 1\'1 AR an t es d e Impues .Impues t os = Tl\lAR después 1".'-l. = -------''------''-----------!'-----~--T1\'lAR 1" ,'"i. tasa de impuestos impuestos 11-- tasa efectiva o total, incluyendo incluyendo los impuestos impuestos federales, federales, estatales La tasa de impuestos impuestos efectiva estatales locales, es de 30% a 50% para para la mayoría mayoría de las corporaciones. corporaciones. Si se requiere requiere una y locales, una rendimiento después después de impuestos impuestos de 10% y la tasa efectiva efectiva de impuestos impuestos es tasa de rendimiento para el análisis análisis económico económico antes de impuestos impuestos es de 10%/(1 de 35%, la TMAR para 0.35) == 15.4%. 15.4%.
EJEMPLO EJEMPLO
10.2 10.2'
::v :E
Dos gemelos, gemelos, Carl Carl y Christy, Christy, se graduaron graduaron hace hace ya algunos algunos años años de la universidad. universidad. Desde Dos Desde graduación, Carl, arquitecto, ha ha trabajado trabajado diseñando diseñando viviendas viviendas en Bulte Bulte Homes. su graduación, Carl, un arquitecto, Homes. Christy, una una ingeniera ingeniera civil, civil, labora labora con con Butler Butler Industries Industries en el área área de partes partes estructurales estructurales Christy, análisis. Ambos Ambos residen residen en Richmond, Richmond, Virginia. Virginia. Han Han inaugurado inaugurado una una red red de comercio comercio y análisis. electrónico, a través través de la cual cual los constructores constructores del del área área de Virginia Virginia pueden pueden adquirir adquirir sus electrónico, sus planos de viviendas viviendas y materiales materiales de construcción construcción a precios precios mucho mucho más más bajos. bajos. Carl Carl y Christy planos Christy desean ampliarse ampliarse y convertirse convertirse en una una corporación corporación regional regional de comercio comercio electrónico. electrónico. Fuedesean Fueron al Banco América (BA) (BA) en Richmond Richmond con con la finalidad finalidad de obtener obtener un préstamo préstamo para ron Banco de América para desarrollo de negocios. negocios. Identifique Identifique algunos algunos factores factores que que podrían podrían provocar provocar que que la desarrollo la tasa tasa del del préstamo varíe varíe cuando cuando el BA BA entregue entregue el préstamo. Asimismo, señale señale el impacto impacto sobre préstamo préstamo. Asimismo, sobre la la TMAR establecida establecida en el momento momento en en que que Carl Carl y Christy Christy tomen tomen las decisiones decisiones económicas económicas TMAR para sus sus negocios. negocios. para Solución Solución En todos todos los casos, la dirección dirección de la tasa tasa de préstamo préstamo y la TMAR TMAR serán serán las mismas. mismas. De los casos, De acuerdo con con los cinco factores factores antes antes señalados, señalados, algunas algunas cuestiones cuestiones relativas relativas a la tasa acuerdo los cinco tasa del del préstamo son son las las siguientes: siguientes: préstamo
10.
Lal
ciar de ( tal ( nes den obti de (
par! ciar las j
Los
cla. deu mor se a
SECCIÓN SECCIÓN 10.3 10.3
Mezcla Mezcla deuda-capital deuda-capital propio propio y costo costo promedio promedio ponderado ponderado del del capital capital
préstamo podría podría incrementarse Riesgo del proyecto: La La tasa tasa del del préstamo incrementarse si la construcción construcción de viviendas se ha ha deprimido, deprimido, lo cual cual disminuye disminuye la necesidad necesidad de conectarse conectarse con con el viviendas e-comercio. e-comercio. Oportunidad podría incrementarse incrementarse si otras Oportunidad de inversión: La La tasa tasa podría otras empresas, empresas, que que ofreofrecen préstamo en otras cen servicios servicios similares, similares, ya han han solicitado solicitado un préstamo otras sucursales sucursales del BA, BA, en país. en la región región o en en el interior interior del del país. Impuestos: Si el estado estado eliminó eliminó recientemente recientemente los los materiales materiales para construcción de para la construcción viviendas de la lista lista de artículos artículos sujetos sujetos a impuestos impuestos por por ventas, ventas, la tasa tasa podría podría bajar bajar viviendas ligeramente. ligeramente. Limitaciones de capital: Suponga Limitaciones Suponga que que el equipo equipo de cómputo cómputo y los los derechos derechos de softposeen Carl propios recursos ware que que poseen Carl y Christy Christy se hayan hayan comprado comprado con con sus sus propios recursos y que que no hay hay préstamos préstamos pendientes. pendientes. Si no hay hay capital capital patrimonial patrimonial adicional adicional para para llevar llevar a no cabo reducirse la tasa cabo esta esta expansión, expansión, debería debería reducirse tasa del préstamo préstamo (capital (capital de deuda) deuda). . Tasas préstamos de mercado: La local del probablemente obtenga Tasas de préstamos La sucursal sucursal local del BA BA probablemente obtenga el dinero para sus préstamos desarrollo de un gran gran consorcio consorcio nacional. aumentadinero para sus préstamos de desarrollo nacional. Si aumentaron las las tasas préstamos de mercado para esta para este este ron tasas de préstamos mercado para esta sucursal sucursal del BA, BA, la tasa tasa para préstamo quizá se incrementará incrementará como como consecuencia consecuencia de que que el dinero dinero se está está volpréstamo quizá volviendo más más escaso. viendo
10.3 10.3 MEZCLA MEZCLA DEUDA-CAPITAL DEUDA-CAPITAL PROPIO PROPIO Y COSTO COSTO PROMEDIO PROMEDIO PONDERADO PONDERADO DEL CAPITAL mezcla deuda-capital deuda-capital propio identifica los porcentajes porcentajes de deuda deuda y finanfinanLa mezcla propio (D-C) identifica ciamiento de capital capital propio corporación. En una compañía compañía con una mezcla mezcla ciamiento propio para para una corporación. de deuda-capital propio de 40-60, proviene de fuentes deuda-capital propio 40-60, 40% de su capital capital proviene fuentes de capicapideuda (bonos, (bonos, préstamos hipotecas) y 60% de fuentes fuentes patrimoniales (acciotal de deuda préstamos e hipotecas) patrimoniales (acciones y utilidades utilidades conservadas). conservadas). mayoría de los proyectos La mayoría proyectos se financian financian con una combinación combinación de capital capital de deuda y patrimonial, patrimonial, que se hace disponible disponible específicamente específicamente para para el proyecto proyecto o se deuda obtiene fondos comunes corporación. El costo promedio ponderado ponderado obtiene de los fondos comunes de una corporación. costo promedio capital (CPPC) (CPPC) de los fondos se calcula calcula mediante mediante las fracciones fracciones relativas, relativas, a de capital partir fuentes de deuda deuda y capital conocen con exactitud, exactitud, tales frac frac-partir de fuentes capital propio. propio. Si se conocen ciones se utilizan utilizan para calcular el eppe; eppe; de otra manera, manera, se utilizan utilizan en la relación relación ciones para calcular fracciones históricas históricas para cada fuente: las fracciones para cada
eppe patrimonial) CPPC = = (fracción (fracción patrimol1ial)(costo patrimonlalucosto de capital capital patrimonial) (fracción de deuda)(costo deuda)(costo de capital capital de deuda) deuda) + (fracción
[10.1] [10.1]
términos de costo se expresan expresan como como porcentajes interés. Los dos términos porcentajes de tasas de interés. En virtud virtud de que prácticamente corporaciones cuentan cuentan con una mezprácticamente todas las corporaciones fuentes de capital, capital, el eppe eppe es un valor valor intermedio intermedio de los costos costos de capital capital de cla de fuentes deuda y patrimonial. conoce la fracción fracción de cada cada tipo de financiamiento financiarniento patrideuda patrimoniaL Si se conoce patrimonial -acciones -acciones comunes, comunes, acciones acciones preferenciales utilidades conservadasconservadas-, , monial preferenciales y utilidades amplía la ecuación ecuación [10.1] [10.1].. se amplía
371
372
CAPÍTULO 10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples
Figura Figura 10.2 10.2 Forma Forma general general de distintas curvas de costo distintas curvas costo de capital. capital. de
I1 I1
I1
Intervalo I1 Intervalo normal normal de __ _ _: I: operaciones operaciones I I1 I1 I1
oo
1I
1I 11I1
CPPC : CPPC ~mínimo ~mínimo 45% 45%
100% 100%
Capital porcentual deuda (mezcla (mezcla D-C) D-C) Capital porcentual de deuda
CPPC = = (fracción (fracción de acciones acciones comunes)(costo comunes)(costo de capital capital de acciones acciones comunes) comunes) CPPC (fracción de acciones acciones preferenciales)(costo capital de acciones acciones + (fracción preferenciales)(costo de capital preferenciales) preferenciales) (fracción de utilidades conservadas)(costo de capital capital de utilidades + (fracción utilidades conservadas)(costo utilidades conservadas) conservadas) (fracción de deuda)(costo deuda)(costo de capital capital de deuda) deuda) + (fracción [10.2] figura 10.2 indica indica la forma forma usual curvas de costo costo de capital. capital. Si 100% La figura usual de las curvas capital se obtiene obtiene de fuentes fuentes patrimoniales deuda, el CPPC CPPC iguala iguala el cosdel capital patrimoniales o de deuda, to del capital capital de dicha dicha fuente fuente de fondos. Prácticamente Prácticamente siempre siempre hay una mezcla mezcla de fuentes de capital capital implícita implícita en cualquier cualquier programa capitalización. Como Como ilustrailustrafuentes programa de capitalización. figura 10.2 indica indica un CPPC CPPC mínimo cerca de 45% de capital capital de deuda. deuda. La ción, la figura mínimo cerca mayoría empresas operan operan en un intervalo intervalo de mezclas ejemplo, para para mayoría de las empresas mezclas D-C. Por ejemplo, algunas compañías compañías un intervalo intervalo de 30% a 50% de financiamiento financiamiento de deuda deuda puede algunas puede aceptable a los prestamistas, incrementos en riesgo riesgo o en TMAR. TMAR. Sin embarembarser aceptable prestamistas, sin incrementos otra empresa empresa puede considerarse riesgosa riesgosa con apenas apenas 20% de capital capital de deuda. deuda. go, otra puede considerarse Hacen falta conocimientos conocimientos sobre sobre la habilidad gerencia, los proyectos actuales Hacen habilidad de la gerencia, proyectos actuales y la salud económica económica de la industria industria específica, específica, para determinar un intervalo intervalo razopara determinar razonable operaciones de la mezcla mezcla D-C en una compañía compañía específica. específica. nable de operaciones
d n
té e r(
L 1
1.0, se menos volátiles, volátiles, así que el premio premio resultante resultante puede puede ser menor; menor; cuando esperan mayores incrementa el premio. esperan mayores movimientos movimientos de precios, precios, así que se incrementa premio. títulos de valores valores permite identificar una acción, acción, un bono cualLa palabra palabra títulos permite identificar bono o cualquier otro instrumento instrumento que se utilice desarrollar capital. capital. Para Para entender entender mejor quier utilice para para desarrollar mejor cómo funciona funciona el MPAC, considere considere la figura figura 10.4. Ésta Ésta representa gráficamente la cómo representa gráficamente línea de títulos constituye un ajuste ajuste lineal mediante línea títulos de valores valores del mercado, mercado, la cual constituye mediante un análisis análisis de regresión, indicar el rendimiento esperado para diferentes diferentes valoregresión, para para indicar rendimiento esperado res de f3. 13. Si 13f3 = = O,O, el rendimiento aceptable (sin premio). rendimiento libre libre de riesgo, riesgo, R¡. RI , es aceptable premio). Conforme f3 13 se incrementa, crece la necesidad Conforme incrementa, crece necesidad de un rendimiento rendimiento con premio. premio. Los valores corporaciones valores de beta beta se publican publican periódicamente periódicamente para para la mayoría mayoría de las corporaciones
Inversiones segllras seguras Inversiones
--_±&!
378
CAPÍTULO CAPÍTULO 10
Toma múltiples Toma de de decisiones: decisiones: método, método, TMAR TMAR y atributos atributos múltiples
Línea de títulos
um esa
deu Rm Rm
----------------~'------¡--------------- --- ~=-----,---
Incremento Incremento del premio del premio para más más títulos títulos para de valores valores de riesgo de riesgo
enf nial ana anu mei
nes cia, des
•
Figura 10.4 10.4 Figura Rendimiento esperado Rendimiento esperado sobre sobre la la emisión emisión de acciones acciones comunes comunes utili zando el MPAC MPAC utilizando
Portafolio Portafolio del mercado mercado seleccionado seleccionado
oo
1.0 1.0
emisoras de acciones. acciones. Una vez terminado, costo estimado estimado del capital capital patriemisoras terminado, dicho costo patrimonial acciones comunes comunes puede incorporarse a los cálculos cálculos del CPPC CPPC de la ecuaecuamonial de acciones puede incorporarse ción [10.2].
EJEMPLO EJEMPLO
10.6
d
b e ti
5
El ingeniero ingeniero de de programas de control control de de SafeSoft, SafeSoft, una corporación de de servicios servicios de de la programas de una corporación industria presidente para para desarrollar una nueva nueva tecnología tecnología de industria alimentaria, alimentaria, convenció convenció al presidente desarrollar una programas de para garantizar de carnes prevé programas de computadora computadora para garantizar la seguridad seguridad de carnes y alimentos. alimentos. Se prevé que procesos para para preparar preparar carnes pueden llevarse que los los procesos carnes pueden llevarse a cabo cabo con con mayor mayor seguridad seguridad y rapirapidez utilizando un un programa programa de control dez utilizando control automatizado. automatizado. Una Una emisión emisión de acciones acciones comunes comunes constituye patrimonial se constituye una una posibilidad posibilidad de incrementar incrementar el capital capital si el costo costo del del capital capital patrimonial encuentra debajo debajo de 150/0. 15%. SafeSoft, SafeSoft, que que desde desde siempre siempre ha de 1.7, encuentra ha tenido tenido un valor valor beta beta de premio de sus acciones, aplica MPAC para para determinar aplica el MPAC determinar el premio acciones, en en comparación comparación con con otras otras corporaciones La línea títulos de valores del mercado corporaciones de de programas programas de computadora. computadora. La línea de títulos de valores del mercado indica busca un un premio premio de 50/0 por encima tasa libre riesgo. Si los bonos del indica que que se busca 5% por encima de la tasa libre de de riesgo. los bonos del Tesoro Unidos pagan pagan el 70/0, Tesoro de de Estados Estados Unidos 7%, calcule calcule el costo costo del del capital capital de acciones acciones comunes. comunes. Solución Solución premio del representado por por el término término (R la ecuación El premio del 50/0 5% se se encuentra encuentra representado (R",m -- Rf) de de la ecuación [10.7]. [10.7].
Re = = 4.0 1.7(5.0) Re 4.0 + 1.7(5.0)
= 12.50/0 12.5% =
Como este este costo costo es menor que el 150/0, 15%, SafeSoft SafeSoft debería debería utilizar utilizar alguna alguna mezcla finanComo menor que mezcla de financiamiento con con deuda deuda y con con capital capital propio este nuevo de inversión. inversión. ciamiento propio para para realizar realizar este nuevo proyecto proyecto de
E
P
q e 5
A 11
q e
10. Enl la p
SECCIÓN 10.6 10.6 SECCIÓN
Efecto de la mezcla mezcla deuda-capital deuda-capital propio propio sobre sobre el riesgo Efecto riesgo de de inversión inversión
En teoría, adecuadamente utiliza utiliza teoría, un estudio estudio de ingeniería ingeniería económica económica realizado realizado adecuadamente TMAR igual capital destinado destinado a las alternativas alternativas específicas una TMAR igual al costo del capital específicas en el estudio. combinación de capital capital de estudio. Por supuesto, supuesto, se desconoce desconoce tal detalle. detalle. En una combinación deuda y capital capital propio, propio, el CPPC calculado calculado fija el valor valor mínimo mínimo para deuda para la TMAR. TMAR. El enfoque más razonable razonable consiste consiste en fijar la TMAR TMAR entre entre el costo costo del capital enfoque capital patrimopatrimocorporación. Los riesgos riesgos inherentes inherentes a una alternativa nial y el CPPC de la corporación. alternativa deberían deberían analizarse por separado separado a partir partir de la determinación determinación de la TMAR, TMAR, como señaló analizarse como se señaló concuerda con la directriz directriz que indica indica que la TMAR TMAR no debería antes. Esto concuerda debería increincrementarse arbitrariamente, con el objetivo objetivo de tomar tomar en cuenta cuenta los diferentes mentarse arbitrariamente, diferentes tipos tipos de riesgos relacionados estimaciones de flujos de efectivo efectivo netos. Por riesgos relacionados con las estimaciones Por desgradesgramenudo la TMAR TMAR se fija sobre el CPPC como como resultado resultado de que la gerencia cia, a menudo gerencia no desea tomar tomar en cuenta cuenta el riesgo riesgo de elevar elevar la TMAR. TMAR. desea EJEMPLO EJEMPLO
10.7 10.7
La División División de Productos Productos de de Ingeniería Ingeniería de 4M 4M Corporation Corporation cuenta cuenta con La con dos dos alternativas alternativas mutuamente excluyentes, excluyentes, A y B, B, con con valores valores para para la TR TR de i'Á = 9.2% mutuamente 9.2% e i~ = 5.9%. 5.9%. El escenario de financiamiento financiamiento aún aún no se define, define, pero pero consistirá consistirá en alguno alguno de siguientes: escenario de los los siguientes: plan 1: utilizar utilizar todos todos los fondos patrimoniales, patrimoniales, que que actualmente actualmente generan generan rendimientos los fondos rendimientos de de plan para la empresa; empresa; plan plan 2: 2: utilizar utilizar fondos fondos provenientes provenientes de los los fondos fondos comunes 8% para comunes del del capicapicorporación, que que representan representan el 25% 25% del del capital capital de deuda, deuda, cuyo 14.5%, tal de la corporación, cuyo costo costo es de 14.5%, resto procedería procedería de los los mismos mismos fondos patrimoniales antes antes mencionados. mencionados. El capital y el resto fondos patrimoniales capital de de deuda actualmente actualmente es más más alto alto como como consecuencia consecuencia de que que la compañía compañía no deuda no obtuvo obtuvo todos todos programados sobre sobre acciones acciones comunes comunes para para los los últimos últimos dos sus ingresos, ingresos, programados dos trimestres, trimestres, y los los bancos le han han elevado elevado la tasa tasa de financiamiento financiamiento a 4M. 4M. Tómese Tómese una una decisión bancos decisión de de naturaleza naturaleza económica sobre sobre la base base de la alternativa alternativa A frente frente a B, B, de acuerdo acuerdo con económica con cada cada escenario escenario de financiarniento. . financiamiento
n
Solución Solución capital está está disponible disponible para para una una de las dos alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyentes. El capital excluyentes. En En el el plan 1, con con un un capital capital propio propio al 100%, 100%, el financiamiento financiamiento se conoce conoce específicamente, plan específicamente, así así que el costo costo del del capital capital patrimonial patrimonial es la TMAR, TMAR, es decir, decir, 8%. 8%. Solamente Solamente la que la alternativa alternativa A aceptable; la alternativa alternativa B no no lo es, es, puesto puesto que que su tasa tasa de rendimiento rendimiento calculada calculada de de es aceptable; 5.9% no excede excede la TMAR TMAR. . 5.9% De acuerdo acuerdo con con el plan plan de financiamiento financiamiento 2, con con una una mezcla mezcla D-C De D-C de 25-75, 25-75, CPPC CPPC
= 0.25(14.5) 0.25(14.5) + 0.75(8.0) 0.75(8.0) = = 9.625% 9.625% =
Ahora, ninguna ninguna alternativa alternativa es aceptable aceptable porque los dos dos valores valores de de la Ahora, porque los la TR TR son son menores menores que que TMAR = = CPPC CPPC = = 9.625 9.625%. La alternativa alternativa elegida elegida debería debería ser ser no la TMAR %. La no hacer hacer nada, nada, a menos menos que una una de las las alternativas alternativas tenga tenga que que elegirse elegirse forzosamente, forzosamente, en cuyo cuyo caso caso deben que deben tomarse tomarse cuenta los atributos atributos no económicos. económicos. en cuenta
10.6 10.6
EFECTO DE LA MEZCLA MEZCLA DEUDA-CAPITAL DEUDA-CAPITAL PROPIO PROPIO EFECTO RIESGO DE INVERSiÓN INVERSiÓN SOBRE EL RIESGO
sección 10.3 se presentó presentó el concepto concepto de mezcla mezcla D-C. Conforme Conforme se incrementa En la sección incrementa proporción de capital capital de deuda, deuda, se reduce reduce el costo capital calculado, la proporción costo del capital calculado, como como
379
380
CAPíTULO CAPíTULO 10
Toma de decisiones: método, TMAR TMAR y atributos múltiples Toma de decisiones: método, atributos múltiples
consecuencia ventajas tributarias tributarias del capital consecuencia de las ventajas capital de deuda. Sin embargo, embargo, el apalancamiento ofrecen los mayores mayores porcentajes porcentajes de capital capital de deuda deuda aumenta aumenta los lancamiento que ofrecen riesgos de los proyectos proyectos que la empresa empresa lleva a cabo. Cuando Cuando ya hay grandes grandes deudas, el financiamiento mediante fuentes propio) se financiamiento adicional adicional mediante fuentes de deuda deuda (o de capital capital propio) vuelve más difícil difícil de justificar, empresa se puede colocar en una situación vuelve justificar, y la empresa puede colocar una situación donde partes cada pequeñas de sí misma. misma. Este tipo de empresa donde posea posea partes cada vez más pequeñas empresa a recibe el nombre corporación altamente incapacidad para altamente apalancada. apalancada. La incapacidad para veces recibe nombre de corporación obtener capital capital de operaciones operaciones y de inversión implica una creciente dificultad dificultad obtener inversión implica una creciente compañía y sus proyectos. importante que se dé un equilibrio equilibrio para la compañía proyectos. Por lo tanto, es importante razonable patrimonial, que contribuya razonable entre entre el financiamiento financiamiento con deuda deuda y el patrimonial, contribuya a la salud financiera una corporación. financiera de una corporación. El ejemplo ejemplo 10.8 ilustra ilustra las desventajas desventajas de mezdesequilibradas. clas D-C desequilibradas.
rü pl:
co
bn
pu po un mi
Tres compañías manufactureras tienen las siguientes cantidades de capital de deuda y patrimonial, y mezclas D-C. Suponga que todo el capital patrimonial se encuentra en la forma de aeciones comunes.
Monto Monto del capital
A B C
Deuda ($ en millones) millones)
Capital propio
Alta productividad Bajo ritmo de desecho
TMAR
1
2
3
30 70 100
40 100 80
100 70 90
Usted ha utilizado los cuatro atributos por separado, para evaluar las dos propuestas de equipo en una escala de 0.0 a 1.0. El atributo económico se evaluó utilizando valores VP.
400
CAPÍTULO
Atributo
Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples
Propuesta A
Propuesta B
1.00
0.90 1.00
Economía Durabilidad Flexibilidad Mantenibilidad
0.35 1.00 0.25
¿
10
Elija la propuesta utilizando cada uno de los siguientes métodos: a) Valor presente. b) Evaluaciones ponderadas del gerente. e) Evaluaciones ponderadas del entrenador.
0.90 1.00
j
EJERCICIO AMPLIADO ÉNFASIS EN LO CORRECTO Un servicio esencial que se proporciona a los ciudadanos de una ciudad es la protección policiaca. Los crecientes niveles de criminalidad que incluyen las lesiones a las personas se han documentado en los suburbios cercanos de Belleville, un área histórica altamente poblada al norte de la capital. En la fase 1 del programa, el jefe de la policía ha elaborado y analizado con anticipación cuatro propuestas sobre la manera en que puede llevarse a cabo la supervisión y protección en las zonas residenciales objetivo. Como medida inmediata se dispone de más oficiales de policía con automóvil, bicicleta, a pie o a caballo. Cada alternativa ha sido evaluada por separado para calcular los costos anuales. La colocación de seis nuevos oficiales en bicicleta es evidentemente la opción menos costosa con un costo aproximado de $700 000 anuales. La siguiente mejor propuesta es la asignación de 10 nuevos oficiales a pie con un costo de $925 000 anuales. Las demás alternativas tendrán un costo ligeramente mayor que la opción de considerar policías a pie. Antes de entrar a la fase II, que consiste en un estudio piloto de 3 meses para probar uno o dos de estos enfoques en los vecindarios, se le ha pedido a un comité compuesto por cinco miembros (del personal de la policía y residentes de la ciudad) que ayuden, como representantes de los residentes y oficiales de policía, a determinar y jerarquizar los atributos importantes para ellos en esta decisión. Los cinco atributos aprobados de común acuerdo después de 2 meses de discusión aparecen abajo, seguidos por el ordenamiento de los atributos por cada miembro del comité, empezando por el de mayor importancia (calificación de 1) al de menor importancia (calificación de 5). Miembro del comité Atributo
1
2
3
4
5
Suma
A. Habilidad para acercarse a la ciudadanía B. Costo anual C. Tiempo de respuesta a una llamada o envío D. Número de manzanas (cuadras) en el área de cobertura E. Seguridad de los oficiales
4
5
3
4
5
21
3 2
4 2
1 5
2 1
4 1
14 11
2
3
2
9
Totales
-
5
15
-
3
15
-
4
15
-
5
15
-
3
15
20
-
75
ESTUDIO ESTUDIO DE CASO
401
Preguntas Preguntas 1. Defina pesos que pueden pueden utilizarse utilizarse en el método método de atributos ponderados Defina los pesos atributos ponderados para cada miembros del comité promepara cada atributo. atributo. Los miembros comité están están de acuerdo acuerdo en que el promedio simple cinco puntuaciones puntuaciones de atributos puede considesimple de sus cinco atributos ordenados ordenados puede consideindicador de la importancia tiene para para ellos como rarse un indicador importancia que cada cada atributo atributo tiene grupo. 2. Uno de los miembros recomendó y obtuvo miembros del comité comité recomendó obtuvo la aprobación aprobación del comité, comité, para reducir reducir los atributos para atributos que se tomaron tomaron en cuenta cuenta en la elección elección final, a sólo aquellos listados como número 1 por uno o más miembros miembros del coaquellos que fueron listados como número vuelva a calcular pesos como pidió en la mité. Elija Elija estos estos atributos atributos y vuelva calcular los pesos como se pidió pregunta l. pregunta l. 3. Un analista prevención de delitos analista de prevención delitos del Departamento Departamento de Policía Policía aplicó aplicó el método de atributos ponderados a los atributos pregunta 1. Los método atributos ponderados atributos ordenados ordenados en la pregunta valores presentan abajo. ¿Qué dos opvalores Rj R, obtenidos obtenidos con la ecuación ecuación [10.11] [10.11] se presentan ciones jefe de la policía policía para para su estudio piloto? ciones debería debería elegir elegir el jefe estudio piloto? Alternativa Alternativa
Automóvil Automóvil 62.5
A caballo 35.4
.atiE!!2 ESTUDIO ESTUDIO DE CASO CASO
¿QUÉ ¿QUÉ ELEGIR: ELEGIR: FINANCIAMIENTO FINANCIAMillNTO DE DE DEUDA DEUDA O PATRIMONIAL? PATRIMONIAL? La oportunidad oportunidad Pizza Hut Corporation ha decidido ingresar al negocio de servicio de alimentos y bebidas en tres estados dentro de su sección al sureste de Estados Unidos, con el nombre de Pizza Hut en su Hogar. Para la entrega de alimentos y el personal servicio, se comprarán comprarán alimentos personal de servicio, aproximadamente 200 camionetas con interiores hechos por encargo, todo lo cual tendrá un costo de $1.5 $l.5 millones. Se espera que cada camioneta tenga un uso de 10 años y un valor de salvamento salvamento de $1000. $1 000. viabilidad llevado a cabo el año paUn estudio de viabilidad sado indicó que un riesgo en un negocio de servicio a flujo domicilio podría generar un fIu jo de efectivo neto anual de aproximadamente aproximadamente $300 000 antes de impuestos en los tres estados. Las cuestiones después de impuestos tendrían que tomar en cuenta la tasa efectiva de impuestos de 35% que pagará Pizza Hut. DistriUn ingeniero que trabaja para Pizza Hut's Distribution Division ha laborado con la oficina de finanzas de la corporación, para determinar determinar la mejor forma de
recabar los $l.5 $1.5 millones de capital que se requieren para la compra de las camionetas. Existen dos planes viables de financiamiento. financiamiento.
Opciones de financiamiento financiamiento consiste en el financiamiento financiamiento de deuda para El plan A consiste 50% del capital ($750000), ($750000), con 8% anual con reempréstamo a un interés compuesto durante 10 bolso del préstamo 10 años y pagos uniformes de fin de año. (Se puede hacer la suposición simplificativa simplificativa de que $75000 $75000 del principal se pagan con cada pago anual.) El plan B consiste en el 100% de capital patrimopatrimonial reunido de la venta de acciones comunes de $15 por acción. El gerente de finanzas informó al ingeniero que las acciones están pagando $0.50 por acción en dividendos, y que dicha tasa de dividendos ha estado elevándose a un promedio promedio de 5% anual. Se espera que este patrón de dividendos continúe sobre la base del ambiente financiero actual.
402 402
CAPÍTULO CAPÍTULO 10 10 Toma Toma de de decisiones: decisiones: método, método, TMAR TMAR yy atributos atributos múltiples múltiples
Ejercicios del del estudio estudio de de caso caso Ejercicios 1. ¿Qué ¿Qué valores valores de de la la TMAR TMAR debería debería utilizar utilizar el el ingeinge1. niero para determinar el plan de financiamiento ópniero para determinar el plan de financiamiento óptimo? timo? 2. El El ingeniero ingeniero debe debe hacer hacer recomendaciones recomendaciones sobre sobre el el 2. plau de frnauciamiento al final del día. No sabe cómo plan de financiamiento al final del día. No sabe cómo considerar todos todos los los ángulos ángulos tributarios tributarios para para el el fificonsiderar nanciamiento de deuda en el plan A. Sin embargo, nanciamiento de deuda en el plan A. Sin embargo, cuenta con con un un manual manual que que contiene contiene fórmulas fórmulas para para cuenta el capital patrimonial y para deuda sobre impuestos el capital patrimonial y para deuda sobre impuestos flujos de de efectivo: efectivo: yy flujos Capital patrimonial: patrimonial: no hay ventajas ventajas tributarias tributarias (imCapital puesto sobre sobre la renta). renta). puesto Flujo de efectivo efectivo neto neto después después de impuestos impuestos Flujo = (flujo (flujo de efectivo efectivo neto neto antes antes de impuestos) impuestos) = tasa de impuestos) impuestos) (1 - tasa Capital de deuda: deuda: la ventaja impuestos sobre sobre la Capital ventaja en impuestos renta proviene del pago de intereses sobre préstamos renta proviene pago intereses sobre préstamos
Flujo Flujo de de efectivo efectivo neto neto después después de de impuestos impuestos == flujo flujo de de efectivo efectivo neto neto antes antes de de impuestos impuestos -- principal principal del del préstamo préstamo -- interés interés del del préspréstamo tamo -- impuestos impuestos Impuestos Impuestos == (ingresos (ingresos gravables)(tasa gravables)(tasa tributaria) tributaria) Ingresos Ingresos gravabies gravables == flujo flujo de efectivo efectivo neto neto -- interés interés del del préstamo préstamo El El ingeniero ingeniero decide decide olvidar olvidar cualquier cualquier otra conseconsecuencia cuencia sobre sobre impuestos impuestos y utilizar utilizar esta esta información información para para formular formular una una recomendación. recomendación. ¿Es A o es B el plan plan óptimo? óptimo? 3. Al gerente gerente de área área le agradaría agradaría saber saber cuánto cuánto varía varía el CPPC CPPC para para diferentes diferentes mezclas mezclas D-C, D-C, en especial especial cerca cerca del 15% al 20% 20% a cada cada lado lado del 50% 50% de la opción opción del financiamiento financiamiento de deuda deuda del planA. plau A. Trace Trace la curva curva del del CPPC CPPC y compare compare su forma forma con con la de la figura figura 10.2. 10.2.
NIVELTRES ~LTRES
Los e
econ nes E Prob tenci evalL
TOMA DE DECISIONES TOMA DECISIONES , EN PROYECTOS PROYECTOS REALES REALES
(
I
NIVEL NIVEL UNO UNO
NIVEL NIVEL DOS
NIVEL N IVEL CUATRO CUATRO
Así comienza comienza todo todo
Herramientas Herramientas evaluación para evaluación de alternativas alternativas
Redondeo Redondeo del estudio estudio
Capítulo 1 Capítulo Fundamentos Fundamentos ingeniería de ingeniería económica económica
\ ~;
diem
Capítulo 2 Capítulo Factores: Factores: cómo el tiempo tiempo cómo interés y el interés afectan al afectan dinero dinero
~~ Capítulo 3 Capítulo Combinación Combinación factores de factores Capítulo 4 Capítulo Tasas de Tasas interés interés nominales nominales efectivas y efectivas
Capítulo 5 Capítulo valor Análisis del valor presente presente Capítulo 6 Capítulo valor Análisis del valor anual Capítulo 7 Capítulo Análisis de tasa rendimiento: de rendimiento: alternativa única alternativa
Capítulo 11 Capítulo Decisiones Decisiones reemplazo de reemplazo conservación y conservación Capítulo 12 12 Capítulo Selección de Selección proyectos proyectos independientes independientes limitaciones con limitaciones presupuesta les presupuesta Capítulo 13 13 Capítulo
Capítulo 8 Capítulo Análisis de tasa rendimiento: de rendimiento: alternativas alternativas múltiples múltiples Capítulo 9 Capítulo Análisis beneficio/costo beneficio/costo economía del y economía sector público público sector Capítulo 10 Capítulo Toma de decisiones: decisiones: método, TMAR y método, atributos atributos múltiples múltiples
Análisis del Análisis punto de punto equilibrio equilibrio
Capítulo 14 14 Capítulo Efectos de Efectos la inflación inflación la Capítulo 15 Capítulo Estimación de Estimación costos y asignación de asignación indirectos costos indirectos Capítulo 16 Capítulo Métodos de Métodos depreciación depreciación Capítulo 17 Capítulo Análisis económico económico después de después impuestos impuestos Capítulo 18 Capítulo Análisis de sensibilidad sensibilidad formalizado y formalizado decisiones con decisiones valor esperado esperado valor Capítulo 19 Capítulo Más sobre variaciones y toma toma variaciones decisiones de decisiones riesgo bajo riesgo
técni L ti va r
punt dos f
de la vent: tallac
, F
e
Los Los capítulos en este nivel amplían el uso de los instrumentos instrumentos de evaluación económica a situaciones del mundo mundo real. real. Un Un gran porcentaje porcentaje de las las evaluaciones económicas implican más proyectos. más que la la selección de nuevos activos o proyectos. Probablemente Probablemente la la evaluación más más común realizada realizada es es la la del reemplazo o retención de un activo fijo. El reemplazo aplica los instrumentos tención El análisis de reemplazo instrumentos de evaluación la decisión económica correcta. eva lua ción para tomar tomar la Con frecuencia, la la evaluación involucra la la elección de proyectos proyectos indepenindependientes bajo la quiere de una dientes la restricción de un presupuesto presupuesto limitado. limitado. Esto re requiere técnica especial basada basada en los capítulos anteriores anteriores.. tanto, una alternaLos Los estimados estimados futuros ciertamente ciertamente no son exactos. Por tanto, fijos . El tiva no sería sería seleccionar sólo con base en los estimados estimados fijos. El análisis de punto de equilibrio punto equilibrio respalda el proceso de evaluación de un rango de estimados para P, tamaño P, A, F, F, ion, ion, y opera con variables como nivel de producción, producción, tamaño de la fuerza de trabajo, trabajo, diseño de costos, costo de materia prima y precio de la fuerza venta. Las Las hojas de cálculo aceleran este importante, importante, pero con frecuencia detallado, instrumento tallado, instrumento de análisis.
Nota importante: Si se consideran la la depreciación del activo y los imimNota importante: Si puestos anális;s después después de puestos en un un análisis de impuestos, impuestos, los capítulos 16 y 17 deben estudiarse estudiarse antes antes o junto con estos estos capítulos. Véase deben Véase el prefacio para más opciones. opciones. para
11 11 o o
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Decisiones de reemplazo reemplazo . ,, y conservaclon conservacion Uno de los análisis análisis de ingeniería económica económica que se se llevan a cabo con mayor un activo o sistema que se se frecuencia es es el de reemplazo o conservación de un encuentre en uso corriente. corriente. Éste Éste difiere difiere de los estudios estudios anteriores en que totodas las fundamental que responde un las alternativas eran eran nuevas. nuevas. La La pregunta pregunta fundamental análisis análisis de reemplazo sobre un un activo o sistema de uso actual es: es: ¿debería ¿debería reemplazarse más adelante? reemplazarse ahora o más adelante? Cuando un un activo se se encuentra en uso y su futuro, tendrá tendrá que reemplazarse en algún mosu función es es necesaria necesaria en el futuro, mento. Por lo tanto, tanto, en realidad un mento. un análisis análisis de reemplazo responde la la pregunpregunta de cuándo, cuándo, no si se se reemplazará reemplazará el activo o sistema. sistema. Por lo común, en un un análisis análisis de reemplazo primero primero se se toma la la decisión decisión económica de conservar o reemplazar ahora. Si Si la la decisión consiste en reemplazar, estudio está plazar, el estudio está completo. completo. Si Si la la decisión consiste en en conservar, conservar, las las estimaciones del costo y la la decisión se se revisarán revisarán anualmente anualmente para para garantizar que la la decisión de conservar todavía sea sea económicamente económicamente correcta. Este Este capítulo capítulo explica cómo llevar a cabo análisis análisis de reemplazo el año inicial y los años subsecuentes. Un Un análisis análisis de reemplazo es es una una aplicación del método método VA de comparación de alternativas de vida diferente, diferente, que se se analizó en en el capítulo capítulo 6. En En un un análisis análisis de reemplazo con un un periodo periodo de estudio estudio sin sin especificar, los valores VA se se determinan determinan con una una técnica de evaluación de costo denominada denominada análisis análisis de de vida útil económica económica (VUE) (VUE).. Cuando se se especifica el periodo periodo de estudio, estudio, el procedimiento difiere de cuando éste no se cedimiento difiere se especifica. En En este capítulo capítulo se se examinan nan tales procedimientos. procedimientos. El El estudio estudio de caso caso se se refiere a un análisis análisis de reemplazo de la la realidad, que implica equipo equipo en en su su lugar adecuado adecuado y un un posible posible reemplazo por por un un equipo equipo mejorado. mejorado.
Si Si la depreciación depreciación de un activo activo y los impuestos impuestos se consideran dentro dentro de un análisis reemplazo después de impuestos, análisis de reemplazo impuestos, los capítulos capítulos 16 16 y 17 deberán deberán analizarse antes junto con este antes o junto este capítulo. capítulo. El análisis análisis de reemplazo después de impuestos impuestos se incluye en la sección 17.7. reemplazo sección 17.7.
(
-
-
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: realizar un estudio de reemplazo para un activo o sistema en uso y uno que podría reemplazarlo.
Este capítulo ayudará al lector a: Fundamentos
I
1. Comprender los fundamentos y los términos de un análisis de reemplazo.
Vida útil económica
2. Determinar la vida útil económica de un activo que disminuya el total del costo anual.
Análisis de reemplazo
3. Realizar un análisis de reemplazo entre un defensor y el mejor retador.
Consideraciones
4. Entender cómo abordar los diversos aspectos que podrían presentarse en un estudio de reemplazo.
adicionales
Periodo de estudio
~
5. Realizar un análisis de reemplazo a lo largo de un número específico de años.
408
CAPÍTULO CAPÍTULO 11 11
11.1
Decisiones de reemplazo reemplazo y conservación Decisiones conservación
FUNDAMENTOS ANÁLISIS DE REEMPLAZO FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS REEMPLAZO
La necesidad de llevar a cabo un análisis de reemplazo surge a partir de diversas fuentes:
Rendimiento disminuido. Debido al deterioro Rendimiento disminuido. Debido deterioro físico, la capacidad capacidad esperada esperada de rendimiento a un nivel niv'el de confiabilidad confiabilidad (estar rendimiento (estar disponible disponible y funcionar funcionar correctamente cuando necesario) o productividad productividad (funcionar nivel rrectamente cuando sea necesario) (funcionar a un nivel dado de calidad presente. Esto Esto por por lo general calidad y cantidad) cantidad) no está está presente, general da como resultado incrementos niveles de desechos resultado incrementos de costo costo de operación, operación, altos niveles desechos y costos reelaboración, pérdida pérdida de ventas, ventas, disminución costos de reelaboración, disminución de calidad calidad y seguridad, como elevados elevados gastos gastos de mantenimiento, ridad, así como mantenimiento. Requisitos alterados. Requisitos alterados. El equipo equipo o sistema sistema existente existente no puede puede cumplir cumplir con los nuevos requisitos requisitos de exactitud, velocidad u otras especificaciones. nuevos exactitud, velocidad especificaciones, A mereemplazar por por completo reforzarlo nudo las opciones opciones son reemplazar completo el equipo, equipo, o reforzarlo mediante ajuste intensificación. mediante ajuste o intensificación, Obsolescencia. Como Como consecuencia consecuencia de la competencia competencia internacional internacional y del ráObsolescencia. pido avance instalados funciopido avance tecnológico, tecnológico, los sistemas sistemas y activos activos actuales actuales instalados funcionan aceptablemente, aceptablemente, aunque aunque con menor menor productividad productividad que el equipo equipo que se fabricará en breve, fabricará breve. La disminución disminución del tiempo tiempo que tardan tardan los productos productos en llegar al mercado mercado con frecuencia frecuencia es la razón razón de los análisis análisis de reemplazo reemplazo llegar anticipado, estudios realizados realizados antes de que se alcance alcance la vida vida útil anticipado, es decir, estudios económica calculada, calculada. económica Los análisis análisis de reemplazo reemplazo emplean emplean terminología terminología nueva nueva que, sin embargo, embargo, se encuenencuenrelacionada con los términos términos utilizados utilizados en capítulos capítulos anteriores. tra estrechamente estrechamente relacionada anteriores,
Defensor y retador retador son las denominaciones para dos alternativas mutuamente Defensor denominaciones para alternativas mutuamente excluyentes. retador es el excluyentes. El defensor defensor es el activo activo actualmente actualmente instalado, instalado, y el retador posible análisis de reemplazo compara estas dos alternatialternatiposible reemplazo, reemplazo. Un análisis reemplazo compara vas, cuando se haya elegido como la mejor opción de vas. El retador retador será el mejor mejor cuando haya elegido mejor opción reemplazo defensor, (Es la misma empleada anterioranteriorreemplazo para para el defensor. misma terminología terminología empleada mente análisis B/C de dos alternativas mente para para la TR incremental incremental y el análisis alternativas nuevas.) nuevas.) valores anuales utilizan como principal medida medida económica Los valores anuales se utilizan como principal económica de comparacomparación entre retador. El término término CAUE uniforme entre el defensor defensor y el retador, CAUE (costo (costo anual uniforme debido a que en la evaluación equivalente) puede utilizar utilizar en vez del VA, debido equivalente) se puede evaluación frecuentemente sólo se incluyen incluyen los costos; costos; se suponen suponen iguales iguales los ingresos ingresos frecuentemente generados por el defensor defensor o el retador, cálculos de equivaequivagenerados retador. Puesto Puesto que los cálculos lencia para el CA UE son exactamente mismos que para para el VA, aplicarelencia para CAUE exactamente los mismos aplicaremos el término cuando término VA. Por Por lo tanto, todos los valores valores serán negativos negativos cuando sólo se incluyan incluyan los costos, costos. Por Por supuesto, valor de salvamento una supuesto, el valor salvamento es una excepción, ingreso de efectivo lleva un signo positivo. excepción, pues constituye constituye un ingreso efectivo y lleva signo positivo, Vida útil útil económica para una alternativa número de años en los Vida económica (VUE) (VUE) para alternativa es el número que se presenta presenta el VA de costo bajo. Los cálculos para costo más bajo, cálculos de equivalencia equivalencia para determinar VUE establecen valor n de la vida vida para para el mejor mejor retador, retador, y determinar la VUE establecen el valor también establecen establecen el costo vida menor menor para para el defensor defensor en un estudio también costo de vida estudio de reemplazo. reemplazo. (La siguiente capítulo explica siguiente sección sección del capítulo explica cómo cómo calcular calcular la VUE a mano mano y por computadora, instalaVUE computadora, de cualquier cualquier activo activo actualmente actualmente instalado o nuevo.) nuevo.)
SECCIÓN SECCIÓN 11.1 11.1
Fundamentos del análisis reemplazo Fundamentos análisis de reemplazo
Costo monto de la inversión por Costo inicial inicial del defensor defensor es el monto inversión inicial inicial P empleado empleado por el defensor. defensor. El valor valor comercial comercial actual actual (VC) es el cálculo cálculo correcto correcto de P aplicado reemplazo. El valor valor justo justo de mercado mercado aplicado al defensor defensor en un análisis análisis de reemplazo. puede obtenerse valuadores profesionales, profesionales, revendedores revendedores o liquidadores puede obtenerse de valuadores liquidadores que conozcan valor de los activos usados. El valor valor de salvamento conozcan el valor activos usados. salvamento calculado principio calculado al final del año 1 se convierte convierte en el valor comercial comercial al principio del siguiente permanezcan correctos siguiente año, siempre siempre y cuando cuando los cálculos cálculos permanezcan correctos con el paso paso de los años. Resulta incorrecto emplear valor Resulta incorrecto emplear lo siguiente siguiente como como valor comercial para el costo valor de intercambio comercial para costo inicial inicial del defensor: defensor: el valor intercambio que no represente justo o el valor valor depreciado tomado represente un valor valor comercial comercial justo depreciado en libros libros tomado de los registros registros contables. mejorarse o incrementarse contables. Si el defensor defensor debe debe mejorarse incrementarse para que sea equivalente retador (en velocidad, velocidad, capacidad, para equivalente al retador capacidad, etcétera), etcétera), este costo para obtener costo se suma suma al ve para obtener el cálculo cálculo del costo costo inicial inicial del defensor. defensor. para la alternativa En el caso de incremento incremento del activo activo para alternativa del defensor, defensor, este activo separado separado y sus cálculos cálculos se incluyen incluyen en los cálculos cálculos del activo activo instainstaactivo lado, para para completar completar la alternativa alternativa del defensor. defensor. Entonces, Entonces, esta alternativa alternativa se compara retador a través través de un análisis reemplazo. compara con el retador análisis de reemplazo. Costo inicial recuperarse (amorinicial del retador retador es la cantidad cantidad de capital capital que deberá deberá recuperarse tizarse) al reemplazar reemplazar al defensor Dicha cantidad tizarse) defensor con un retador. Dicha cantidad es casi siempre valor de siempre igual igual a P, el costo inicial inicial del retador. Ocasionalmente, Ocasionalmente, un valor intercambio manera no real pudiera pudiera ofrecerse intercambio elevado elevado de manera ofrecerse por el defensor defensor al compararlo valor de mercado mercado justo. justo. En tal caso, se reduce reduce el flujo de compararlo con su valor efectivo requerido por el retador, y ello deberá efectivo neto requerido deberá considerarse considerarse en el anácantidad correcta correcta que el retador lisis. La cantidad retador debe recuperar recuperar y utilizar utilizar en el análisis menos la diferencia análisis económico económico es su costo inicial inicial menos diferencia entre entre el valor valor de intercambio valor comercial intercambio (VI) y el valor comercial (VC) del defensor. En forma forma de ecuaecuación sería representa el costo para la compañía sería P - (VI - VC), lo cual cual representa costo real para compañía debido valor debido a que incluye incluye tanto el costo costo de oportunidad oportunidad (por ejemplo, ejemplo, valor comercial comercial del defensor) defensor) como el desembolso desembolso en efectivo efectivo (por ejemplo, ejemplo, costo inicialvalor de intercambio) para adquirir inicial- valor intercambio) para adquirir al retador. Por supuesto, supuesto, cuando los valores valores comerciales mismos, el valor valor P del comerciales y de intercambio intercambio son los mismos, retador emplea en todos los cálculos. cálculos. retador se emplea El costo retador es la inversión necesaria para para adcosto inicial inicial del retador inversión inicial inicial calculada calculada necesaria quirirlo quirirlo e instalarlo. instalarlo. En algunas algunas ocasiones, ocasiones, el analista analista o el gerente gerente buscará buscará incrementar remanente mentar el costo costo inicial inicial con una cantidad cantidad igual igual al capital capital no recuperado recuperado remanente del defensor, registros contables defensor, como como aparece aparece en los registros contables del activo. Esto se observa observa más frecuentemente frecuentemente cuando primeras etapas cuando el defensor defensor funciona funciona bien en sus primeras etapas de vida, pero pero la obsolescencia tecnológica, o alguna razón, obliga obsolescencia tecnológica, alguna otra razón, obliga a considerar considerar un reemplazo. monto de capital recuperado se le denomina reemplazo. A este monto capital no recuperado denomina costo costo no recuperable o hundido, retador, porque porque haría haría hundido, el cual no deberá deberá sumarse sumarse al costo costo inicial inicial del retador, que el retador retador parezca parezca más costoso realmente es. costoso de lo que realmente Los costos costos no recuperables recuperables o hundidos hundidos son pérdidas pérdidas de capital capital que no pueden recobrarse recobrarse en un estudio estudio de reemplazo. reemplazo. Los costos costos no recuperables recuperables o hundidos se manejan manejan correctamente correctamente en la declaración declaración de ingresos ingresos de la hundidos corporación y son deducibles deducibles de impuestos. impuestos. corporación
409
410 410
CAPÍTULO CAPÍTULO 11 11
Decisiones Decisiones de reemplazo reemplazo y conservación conservación
Un análisis análisis de reemplazo reemplazo se lleva a cabo más objetivamente objetivamente si el analista analista toma toma en cuenta punto de vista de un asesor cuenta el punto asesor de la compañía compañía o de la unidad unidad que utiliza utiliza al defensor. Así, la perspectiva perspectiva tomada tomada es que ninguna ninguna alternativa alternativa de uso corriente corriente le pertenece pertenece a la compañía, compañía, y los servicios servicios suministrados suministrados por el defensor defensor podrían podrían comcomprarse prarse ahora ahora con una "inversión" "inversión" igual igual a su costo costo inicial inicial (valor (valor comercial). comercial). Esto es correcto correcto en realidad realidad debido debido a que el valor valor comercial comercial será una oportunidad oportunidad desperdidesperdiciada ciada de ingreso ingreso de efectivo efectivo si se responde responde negativamente negativamente a la pregunta: pregunta: ¿se debe reemplazar ahora? reemplazar ahora? Por lo tanto, el punto punto de vista vista del asesor asesor es una forma forma convenienconveniente de permitir permitir que la evaluación evaluación económica económica se lleve a cabo sin inclinarse inclinarse por alguna alguna alternativa. punto de vista externo. alternativa. A este enfoque enfoque también también se le denomina denomina punto externo. Como Como se mencionó mencionó en la introducción, introducción, un análisis análisis de reemplazo reemplazo es una aplicaaplicación del método método del valor valor anual. Por consiguiente, consiguiente, las suposiciones suposiciones fundamentales fundamentales para VA. Si el horipara un análisis análisis de reemplazo reemplazo se comparan comparan con las del análisis análisis del VA. zonte de planeacián periodo de estudio estudio no planeación es infinito, es decir, si se trata de un periodo específico, las suposiciones suposiciones serán las siguientes: siguientes: específico, servicios suministrados suministrados serán necesarios necesarios durante durante un tiempo tiempo indefinido. indefinido. 1. Los servicios 2. El retador retador es el mejor mejor retador retador disponible disponible ahora ahora y en el futuro para para reemplazar reemplazar al defensor. Cuando Cuando este retador retador reemplaza reemplaza al defensor defensor (ahora (ahora o más adelante), adelante), defensor. repetirá para para ciclos de vida subsecuentes. subsecuentes. esto se repetirá estimados de los costos costos para para cada cada ciclo de vida del retador retador serán los mis3. Los estimados mos.
SI
S
1
E
v p n
$ n
11.
Como Como se esperaba, esperaba, ninguna ninguna de estas suposiciones suposiciones es precisamente precisamente correcta. correcta. Esto se analizó analizó anteriormente anteriormente con el método método VA (y el método método VP). Cuando Cuando el sentido sentido de suposiciones se vuelve vuelve incorrecto, incorrecto, los cálculos cálculos para para las alternativas alternativas deuna o más suposiciones berán actualizarse actualizarse y se llevará llevará a cabo un nuevo nuevo análisis análisis de reemplazo. reemplazo. En la sección sección explica cómo cómo realizar realizar dicho procedimiento procedimiento de reemplazo. Cuando el hori11.3 se explica reemplazo. Cuando zonte de planeación planeación está limitado periodo de estudio zonte limitado a un periodo estudio específico, específico, no son válidas las suposiciones suposiciones antes mencionadas. mencionadas. El procedimiento procedimiento que se indica indica en la sección 11.5 muestra muestra cómo cómo efectuar efectuar el análisis análisis de reemplazo reemplazo en este caso. EJEMPLO EJEMPLO
11.1 11.1
Has acti: em¡; zo o se u den:
,_'5::
y~/
La División una enorme La División Arkansas Arkansas de ADM, ADM, una enorme corporación corporación de productos productos agrícolas, agrícolas, compró compró hace hace 3 años años una una niveladora niveladora de suelo suelo moderna moderna en $120 $120 000, 000, para para preparar preparar el terreno terreno de un sembradío sembradío de arroz. arroz. Cuando Cuando la adquirió adquirió tenía tenía una una vida vida útil útil estimada estimada de 10 años años y un valor valor de salvamento salvamento estimado estimado de $25 000 000 después después de 10 años, años, así así como como un COA COA de $30 $30 000. 000. El está deteriorando valor libros es de $80000. valor actual actual en libros $80000. El El sistema sistema se está deteriorando rápidamente; rápidamente; las las expectativas utilizarla por expectativas son son utilizarla por 3 años años más más y darle darle un valor valor de salvamento salvamento de $10000 $10 000 en la red internacional internacional de equipo equipo agrícola. agrícola. El COA COA se promedia pro media en $30 $30 000. 000. red Un Un modelo modelo mejorado mejorado guiado guiado por por láser láser se cotiza cotiza hoy hoy en $100000 $100000 con con un valor valor de intercambio El precio intercambio de $70 $70 000 000 por por el sistema sistema de uso uso actual. actual. El precio se elevará elevará la próxima próxima semana semana a $110 $110 000 000 cori con un valor valor de intercambio intercambio de $70 $70 000. 000. La La división división de ingenieros ingenieros de ADM calcula guiado por ADM calcula que que el sistema sistema guiado por láser láser tendrá tendrá una una vida vida útil útil de 10 años, años, un valor valor de salvamento salvamento de $20000 $20000 y un COA COA de $20 $20 000. 000. Se realizó realizó hoy hoy una una estimación estimación del del valor valor comercial comercial del sistema sistema de uso uso actual actual en $70 $70 000. 000.
Ala vez estu Cua min: plaz defe
serv con: que del (
SECCIÓN SECCIÓN 11.2 11.2
Vida útil Vida útil económica económica
otro análisis análisis de las las estimaciones, estimaciones, determine determine los los valores correctos que que Si no no se realiza realiza otro valores correctos se incluirán análisis de reemplazo lleva a cabo cabo hoy. incluirán si el análisis reemplazo se lleva
Solución Solución Tome en cuenta cuenta el punto de vista del asesor asesor y emplee emplee las las estimaciones estimaciones más actuales. Tome punto de vista del más actuales. Defensor Defensor
Retador Retador
VC = $70 p = VC $70 000 000 $30000 COA COA = =$30000 S = $10000 $10000 años n = 3 años
p = $100 $100 000 000 COA COA =$20 = $20 000 000 S= S= $20000 $20000 años n = 10 años
El costo costo original original del defensor, defensor, el COA COA y los los cálculos cálculos del del valor de salvamento, salvamento, así así como como el El valor de valor actual para el análisis reemplazo. Sólo Sólo deberán deberán emvalor actual en libros, libros, son son irrelevantes irrelevantes para análisis de reemplazo. emplearse los más actuales. Desde la perspectiva perspectiva del plearse los cálculos cálculos más actuales. Desde del asesor, asesor, los los servicios servicios que que sumisuministre defensor se se pueden obtener a igual costo que que el valor comercial del de nistre el defensor pueden obtener igual costo valor comercial del defensor defensor de $70000. Por Por lo tanto, éste es el costo costo inicial inicial del del defensor defensor para estudio. Los Los otros otros valo$70000. tanto, éste para el estudio. valores aparecen en la tabla. tabla. res aparecen
11.2
VIDA ÚTIL ECONÓMICA VIDA ECONÓMICA
Hasta ahora ahora se ha establecido establecido un valor estimado n de vida de una alternativa alternativa o Hasta valor estimado activo. realidad, inicialmente mejor estimación vida que se activo. En realidad, inicialmente no se conoce conoce la mejor estimación de vida empleará en un análisis análisis económico. económico. Cuando Cuando se lleva lleva a cabo un análisis empleará análisis de reemplareemplaanálisis entre entre alternativas alternativas nuevas, mejor valor valor para debería determinardeterminarzo o un análisis nuevas, el mejor para n debería utilizando las estimaciones estimaciones del costo costo actuaL A la mejor estimación de vida se utilizando mejor estimación vida se le denomina denomina vida útil económica. económica.
La vida útil útil económica número de años mínimos La vida económica (VUE) (VUE) es el número años n en que que son son mínimos los costos costos del valor anual (VA) uniforme equivalente, tomando considevalor anual uniforme equivalente, tomando en consideración estimaciones del costo costo más vigentes, durante durante todos años que que ración las estimaciones más vigentes, todos los años activo pudiera suministrar el servicio. servicio. el activo pudiera suministrar A la VUE también también se le conoce conoce como vida económica económica o vida de costo costo mínimo. mínimo. Una vez que se determina, determina, la VUE debería ser la vida vida estimada estimada del activo activo aplicada aplicada a un VUE debería estudio de ingeniería ingeniería económica, económica, si sólo se consideran consideran los aspectos aspectos económicos. económicos. estudio Cuando han pasado indica que el activo activo debería debería reemplazarse reemplazarse para Cuando pasado n años, la VUE VUE indica para minimizar los costos totales. Para Para llevar llevar a cabo correctamente correctamente un análisis análisis de reemminimizar costos totales. reemplazo, es importante importante que se determine determine la VUE VUE del VUE del retador, retador, así como la VUE defensor, ya que generalmente generalmente sus valores valores n no están defensor, están preestablecidos. preestablecidos. determina calculando calculando el VA total de los costos costos si el activo activo está en La VUE se determina servicio 1 año, 2 años, 3 años, etcétera, etcétera, hasta activo se servicio hasta el último último año en que el activo considere útiL El VA total de costos costos es la suma suma de la recuperación capital (RC), considere recuperación de capital inversión inicial inicial y cualquier cualquier valor salvamento, así como como el VA que es el VA de la inversión valor de salvamento, costo anual de operación operación (COA) (COA) estimado, estimado, es decir: del costo
411
412 412
CAPÍTULO conservación CAPÍTULO 11 11 Decisiones Decisiones de reemplazo reemplazo y conservación
VA total = = -recuperación -recuperación de capitalVA capital- VA del costo costo anual de operación operación = -RC -RC - VA VAde] COA [11.1] = del COA [11.1] La pequeño VA de de los los costos. costos. (Recuerde: (Recuerde: estos estos VA son los La VUE VUE es el valor valor n del del más más pequeño estimados valores VA serán números números negativos. negativos. Por Por estimados de costo, costo, de manera manera que los valores consiguiente, figura 11.1 muestra la forma forma consiguiente, $-200 $-200 es un costo menor menor que $-500.) $-500.) La figura 11.1muestra común elemento del VA total disminuye, disminuye, mientras mientras común del VA de la curva curva del costo. Un elemento que el segundo manera se crea crea la forma segundo elemento elemento aumenta, aumenta, y de esta manera forma cóncava. cóncava. Los dos factores factores del VA se calculan calculan de la siguiente siguiente forma.
Costo disminuido disminuido de la recuperación recuperación de capital. capital. La recuperación recuperación de capital capital Costo es el VA ésta disminuye disminuye con cada cada año de posesión. posesión. La VA de la inversión; inversión; ésta recuperación calcula por por medio medio de la ecuación ecuación [6.3], recuperación de capital capital se calcula [6.3], que se repite ~, que generalmente generalmente disminuye disminuye con el repite aquí. El valor de salvamento salvamento S, tiempo, calculado para para ese año. tiempo, es el valor comercial comercial (VC) calculado Recuperación de capital = -P(Alp,i,n) -P(Alp,i,n) + S(AlF,i,n) Recuperación capital =
ecuación completa completa para para el VA total de los costos La ecuación costos en k años es:
[~:
= -P(AI -peA! P,i,k) P,i,k) + Sk(A/ Sk(Al F, F. i.k)COA¡(PíF.i,j) JA!P, Total VA kk = i.k)- [~: COA¡(P/F.i,j) ]cA/P, i,k) i,k)
11.3] [[ 11.3J Mayores Mayores costos costos
o
Años Vida útil económica
ci ci el V,
ci
c.
[11.2] [11.2]
Incremento del costo costo del VA para Incremento para el COA. COA. Puesto Puesto que las estimaciones estimaciones del generalmente se incrementan COA generalmente incrementan con el paso paso de los años, aumenta aumenta el VA calcular el VA de las series de los años 1,2,3, 1,2,3, ... del COA, del COA. Para calcular COA, determine el valor presente presente de cada determine cada valor valor del COA COA con el factor factor P/F, P/F, y después redistribuya redistribuya este valor después valor P P en los años de posesión, posesión, empleando empleando el AlP factor AlP
Figura 11.1 Figura 11.1 valor anual anual de Curvas de valor Curvas de los elementos elementos de costo costo los que determinan determinan la vida vida que económica. útil económ ica.
El
o
er se fii
cc
fa 11
•
SECCIÓN
donde
11.2 Vida útil económica
413
P = inversión inicial o valor comercial actual Sk= valor de salvamento o valor comercial después de k años COAj = costo anual de operación por año j(j = 1 a k)
El VC actual se emplea para P cuando el activo es el defensor, y los valores comerciales futuros estimados de VC se sustituyen porlos valores S en los años 1,2,3, ... Para determinar la VUE por computadora, la función PAGO (incluyendo funciones de VPN cuando sean necesarias) se emplea repetidas veces para cada año en el cálculo de la recuperación de capital y del VA del COA. La suma de éstos será el VA total para k años de posesión. Los formatos de la función PMT para la recuperación de capital y los componentes del COA para cada año k, son los siguientes: Recuperación de capital para el retador: PAGO(i%,años,p,-VC_en_año_k) Recuperación C_en_año_k)
de capital para el defensor: PAGO(i%,años,actual_
Vc,-V
VA del COA: -PAGO(i%,años,VPN(i%,año_l_COA:año_.k~COA)+O) Cuando se elabora una hoja de cálculo, es recomendable que las funciones PAGO en el año 1 se lleven a cabo empleando el formato de referencias a celdas; después se deberá arrastrar hacia abajo la función a través de cada columna. La columna final que suma los dos resultados PAGO mostrará el VA total. Al ampliarse la tabla con un diagrama de dispersión xy de Excel, las curvas de costo se despliegan con la forma general de la figura 11.1, y se identifica con facilidad la VUE. El ejemplo 11.2 ilustra el cálculo de VUE a mano y por computadora. EJEMPLO
11.2
' -
Un activo del proceso de manufactura con 3 años de uso se considera que deberá reemplazarse antes de tiempo. Su valor comercial actual es de $13000. Sus valores comerciales futuros estimados, así como sus costos anuales de operación para los próximos 5 años, se indican en la tabla 11.1,columnas 2 y 3. ¿Cuál es la vida útil económica del defensor si la tasa de interés es de 10%anual? Resuelva el problema a mano y por computadora.
TABLA
Añoj (1) 1
2 3 4 5
11.1
Cálculo de los datos de la vida útil económica
VCj
COAj
(2)
(3)
$9000 8000 6000 2000 O
$-2500 -2700 -3000 -3500 -4500
Recuperación del capital (4)
VA del COA (5)
$-5300 -3681 -3415 -3670 -3429
$-2500 -2595 -2717 -2886 -3150
VAktotal (6) = (4)
+ (5)
$-7800 -6276 -6132 -6556 -6579
~Sol-E
'';;¡¡::S
414 414
CAPÍTULO CAPÍTULO 11 11
Decisiones Decisiones de reemplazo reemplazo y conservación conservación
Solución a mano mano Solución La ecuación ecuación [11.3] [11.3] se emplea emplea para calcular el VAk total total para 1,2,3 ... ... ,,5. La tabla tabla 11.1, 11.1, La para calcular para k = 1,2,3 5. La columna para el valor 000 (j columna 4, 4, muestra muestra la recuperación recuperación de capital capital para valor comercial comercial actual actual de $13 $13 000 O) más más el 10% 10% de rendimiento. rendimiento. En En la columna columna 5 se muestra muestra el equivalente equivalente del del VA del del = O) COA para años. Por Por ejemplo, ejemplo, los los cálculos cálculos para para k = 3 de de la ecuación ecuación [11.3] [11.3] son: son: COA para k años. total = -P(AlP,i,3) -P(Alp,i,3) 3) - [VP [VP del del COA[,COA COA[,COA2 2 y COA33](Alp'i,3) VA33 total + VC 33(AlF,i, (AlF,i,3) ](AlP,i,3) -13 OOO(Alp, 10%,3) 10%,3) + 6 000(AlF,1O%,3) 000(AlF,1O%,3) 500(PIF,1O%,I) = -13 - [2 500(PIF,1O%,I) 700(PIF, 10%,2) 10%,2) + 3 OOO(PIF, 1O%,3)](AlP, 1O%,3)](AlP, 10%,3) 10%,3) + 2 700(PIF,
= - 3415 --2 2 717 =-3415 717 = $-6132 $-6132 Se realiza realiza un cálculo cálculo similar similar para para cada cada año año del del 1 al 5. El costo costo equivalente equivalente menor menor (VA numéricamente numéricamente mayor) mayor) se presenta presenta en en k = 3. 3. Por Por lo tanto, tanto, la VUE VUE del defensor defensor es n = 3 $-6 132. En años, años, y el VA es $-6 En el análisis análisis de reemplazo, reemplazo, este este VA se comparará comparará con con el mejor mejor retador retador VA determinado determinado mediante mediante un análisis análisis similar similar de VUE. VUE.
~
~Sol·E Sol-E
Solución por por computadora computadora Solución Observe la figura figura 11.2, 11.2, donde donde se muestran muestran la hoja hoja de cálculo cálculo y el diagrama diagrama para este Observe para este ejemplo. para cualquier ejemplo. (Este (Este formato formato es un modelo modelo para cualquier análisis análisis de VUE; VUE; solamente solamente cambie cambie las las estimaciones estimaciones y añada añada filas filas para para más más años.) años.) Los Los contenidos contenidos de las columnas columnas D y E se describen brevemente continuación. Las Las funciones funciones PAGO PAGO aplican aplican los los formatos formatos para describen brevemente a continuación. para el defensor como como antes antes se describió. describió. Las Las etiquetas etiquetas de las las celdas celdas muestran muestran con con detalle defensor detalle el formato referencia a celdas para el año una referenreferenformato de referencia celdas para año 5. 5. Los Los símbolos símbolos $ se incluyen incluyen para para una cia absoluta absoluta de la celda, celda, necesana necesaria cuando cuando la entrada entrada se arrastra arrastra hacia columna. cia hacia la columna. Columna D: La La recuperación recuperación de capital capital es el VA de la inversión inversión de de $13 $13 000 000 (celda (celda B2) B2) en Columna el año para cada año O, O, para cada año año a partir partir del del 1 y hasta hasta el 5 con con un VC VC estimado estimado para para ese ese año. año. Por Por ejemplo, ejemplo, en en números números reales, reales, la función función PAGO PAGO de la referencia referencia a celda celda en en el año año 5 que aparece aparece en la hoja hoja de cálculo cálculo se lee: lee: PAGO(1O%,5,13,000,-O), PAGO(1O%,5,13,000,-O), que da como que que da como resultado resultado $-3,429. $-3,429. Esta Esta serie serie se grafica grafica en la figura figura U.2b, U.2b, donde, donde, en la leyenda, leyenda, se identifica la la recuperación recuperación de capital. capital. identifica
incorporada en Columna Columna E: La La función función VPN VPN incorporada en la función función PAGO PAGO calcula calcula el valor valor presente presente en en el año año O de todos todos los los estimados estimados de COA COA en en el año año k. Después Después se calcula calcula el VA del del CAO CAO durante durante k años. años. Por Por ejemplo, ejemplo, en el año año 5, el PAGO PAGO en en cifras cifras es: PAGO(lO%, PAGO(lO%, 5,VPN(10%,C5:C9)+0). El representa el COA COA del del año año O y es opcional. opcional. La La gráfigráfi5,VPN(1O%,C5:C9)+0). El "O" representa ca ca muestra muestra la la curva curva de de VA del COA COA que que se incrementa incrementa constantemente constantemente debido debido a los los aumentos anuales anuales del del cálculo cálculo del del COA. COA. aumentos Comentario Comentario La curva curva de recuperación recuperación de de capital capital que que aparece aparece en la figura figura 11.2b 11.2b (curva (curva media) media) no es La una forma forma realmente realmente cóncava cóncava a consecuencia consecuencia de los los cambios cambios en en el valor comercial estimaestimauna valor comercial anual. Si se calculó calculó el mismo mismo VC VC para cada año, año, entonces entonces la curva curva sería sería similar similar a la que que do anual. para cada aparece figura 11.1. aparece en en la figura 11.1. Cuando Cuando diversos diversos valores valores anuales anuales totales totales son son aproximadamente aproximadamente iguales, la curva curva será será plana varios periodos. Esto indica indica que que la VUE VUE es relativaiguales, plana durante durante varios periodos. Esto relativamente mente insensible insensible a los los costos. costos.
Fi a) eje
X
M,crosoft
Excel - Example
IlllriI t3
11 2
F
E
G
H
a) X
Nicrosott
1i!!I1§Ií!i
Excel - Example 11_2
--+-(Recuperació n de capilal)----(VA del COA)
--fJA
total)
(S9,OOO)
r-,
($8.000)
($7,000)
-.
-- Final de estudio
P=$ 750000 a) Retador (opción 1)
o
2
3
4
5
6
7
9
8
11
10
12
13 Año
I
COA= $30000 I I I I I I I
VC = $70 000 ..1
Defensor ~ actual RC 1---
."
= $146
475
Defensor de seguimiento
~
I
I
I
~ RC para otros proyectos
b) Defensor altemati vo (opción 2)
"
Figura 11.6 Diagramas de flujo de efectivo para un análisis de reemplazo (ejemplo 11.5).
con periodo de estudio de 10 años
El RC y el VA para los 10 años son: RCos = -900 OOO(AlP,10%,10) = $-146475 VADs = (-146475 - 50 000) (F/A, 1O%,7)(AlF, 10%,10) = $-116966
[11.5]
El VAo total del defensor es la suma de los dos valores anuales anteriores. Éste es el VA para la opción 2. VAo
= VAoA + VAos = -23534
-116
966
= $-140
500
La opción 2 incluye un costo menor ($-140 500 contra $-172 063). Conserve al defensor ahora y espere la compra del sistema de seguimiento dentro de 3 años.
Comentario El costo de recuperación proyecto por identificarse costo de recuperación del lo cual incrementaría el $-163357. La alternativa
del capital para el defensor de seguimiento lo absorberá algún para los años 11 a 13. Si no se realizara esta suposición, su capital se calcularía durante 7 años, no 10, en la ecuación [11.5], valor de RC a $-184869. Esto eleva el valor anual a VAo = (opción 1) del defensor todavía se elegirá.
SECCIÓN 11.5 11.5 Análisis estudio específico específico SECCIÓN Análisis de reemplazo reemplazo durante durante un periodo periodo de estudio
EJEMPLO
'ililll
11 .6
Hace el aeropuerto un nuevo nuevo carro bomberos. Como Hace 3 años, años, el aeropuerto O'hare O'hare de Chicago Chicago compró compró un carro de de bomberos. Como consecuencia número de vuelos, se requiere requiere de una nueva capacidad consecuencia del del incremento incremento en el número de vuelos, una nueva capacidad en la lucha Ahora se puede puede adquirir bomberos con lucha contra contra los los incendios. incendios. Ahora adquirir otro otro camión camión de de bomberos con la misma un camión puede sustituir misma capacidad capacidad o un camión con con el doble doble de de capacidad capacidad puede sustituir al actual. actual. A concontinuación tinuación aparecen aparecen las las estimaciones. estimaciones. Compare Compare las las opciones opciones al 12% 12% anual anual aplicando aplicando a) un periodo periodo de periodo de de estudio estudio de 12 12 años años y b) un periodo de estudio estudio de de 9 años años. .
El que tiene que se tiene actualidad en la actualidad Costo inicial inicial P, $ Costo COA, COA, $ Valor comercial, comercial, $ Valor Valor Valor de salvamento, salvamento, $ Vida, Vida, años años
Nueva compra compra Nueva
De doble De doble capacidad capacidad
-151000 -151000 (hace (hace 3 años) años) -1500 -1500 70000
-175000 -175000 -1500 -1500
-190000 -190000 --2500 2500
10% deP deP
12% 12% de de P 12 12
10% deP deP
12 12
12 12
Solución Solución
Identifique retención del camión posee actualmente Identifique la opción opción 1 como como retención camión que que se posee actualmente yy el increincremento con con un nuevo de la misma capacidad. Defina opción 2 como como un reemmento nuevo vehículo vehículo de misma capacidad. Defina la opción reemplazo con con el camión camión del del doble doble de capacidad. capacidad. plazo Opción 1 Opción
P,$ P,$ COA, COA, $
S,$ S,$ n, años años a)
Opción 2 Opción
El que tiene que se tiene en la actualidad actualidad
Incremento Incremento
Capacidad Capacidad doble doble
-70000 -70000 -1500 -1500 15 100 15100 9
-175000 -175000 -1500 -1500 21000 12 12
-190000 -190000 -2500 -2500 19000 12 12
En periodo de En el caso caso del del periodo de estudio estudio de de 12 12 años años de la opción opción 1, VAl = (VA del del camión camión que que actualmente actualmente se tiene) del incremento) incremento) tiene) + (VA del OOO(AlP,12%,9) 12%,9)+ 15 100(AlF, 12%,9) 12%,9)-- 1 500] 500] = [-70 OOO(AlP, + 15
[-175 000(Alp,12%,12) + 21 21 000 000 (AlF,12%,12) (AlF,12%,12) -1500] + [-1 75 000(Alp,12%,12) - 1 500]
= = -13 616 616 -
28882
= $-42 498 498 Estos cálculos cálculos suponen suponen que que los servicios servicios equivalentes equivalentes que que proporciona camión de de Estos proporciona el camión bomberos actual comprarse a $-13 616 616 anuales anuales durante durante los años años 10 10 a 12. bomberos actual pueden pueden comprarse 12. VA22 = -190 000(AlP,12%,12) 000(AlP,12%,12) + 19000 (AIF,12%,12) (AlF,12%,12) - 2 500 500
= $-32 386 386 Reemplace ahora ahora con con el camión camión de de bomberos bomberos del del doble doble de de la capacidad capacidad (opción (opción 2) Reemplace pues representa una una ventaja ventaja de $10 pues representa $10 112 112 anuales. anuales.
429
430
CAPÍTULO
b)
11
Decisiones
de reemplazo y conservación
El análisis para un periodo de estudio abreviado de 9 años es idéntico, salvo que n = 9 en cada factor; es decir, se admiten 3 años menos para que el incremento y los camiones del doble de capacidad recuperen la inversión del capital más 12% anual de rendimientos. Los valores de salvamento son los mismos en virtud de que se indican en forma de porcentaje de P todos los años: VAl
= $-46
539
VA2 = $-36 873
La opción 2 se elige nuevamente; no obstante, ahora la ventaja económica es menor. Si el periodo de estudio se abreviara más drásticamente, en algún momento la decisión debería invertirse. Si este ejemplo se resolviera con la ayuda de una computadora, los valores n en las funciones PAGO podrían reducirse para determinar si, y cuándo, la decisión de las opciones 2 a la 1 se invierte.
Si existen varias opciones para el número de años que el defensor puede mantenerse antes de reemplazarlo con el retador, el primer paso del análisis de reemplazo -opciones sucesivas y valores VA- debe incluir todas las opciones viables. Por ejemplo, si el periodo de estudio fuera de 5 años, y el defensor permaneciera en servicio 1, 2 o 3 años, deberían hacerse estimaciones de costos para determinar los valores VA para cada periodo de retención del defensor. En tal caso, hay cuatro opciones; llamémoslas W, X, y YZ. Opción W X Y Z
Defensor retenido
Servicio del retador
3 años 2 1
2 años 3 4 5
O
Los valores VA respectivos para la retención del defensor y el uso del retador definen los flujos de efectivo para cada opción. El ejemplo 11.7 ilustra el procedimiento.
EJEMPLO 11~
/7J
Amoco Canada cuenta con equipo de yacimiento petrolífero que puso en servicio hace 5 años, para el cual se solicita un análisis de reemplazo. Como consecuencia del propósito específico del equipo, se decidió que el equipo actual sirva 2, 3 o 4 años antes de que se le reemplace. El equipo tiene un valor comercial actual de $100 000, que se espera se reduzca en $25 000 cada año. El COA es constante en este momento y se espera que permanezca así: $25 000 anuales. El retador de reemplazo consiste en un contrato a precio fijo, que ofrecerá los mismos servicios a $60 000 anuales por un mínimo de 2 años y un máximo de 5 años. Aplique una TMAR de 12% anual para llevar a cabo un análisis de reemplazo durante un periodo de 6 años y determine en qué momento vender el equipo actual y comprar los servicios contractuales.
SECCIÓN 11.5 Análisis de reemplazo durante un periodo de estudio específico
431
Solución Puesto que el defensor se retendrá 2, 3 o 4 años, existen tres opciones viables (X, Y Y Z). Opción X y
Z
Defensor retenido
Servicio del retador
2 años 3 4
4 años 3 2
Los valores anuales del defensor se identifican mediante los subíndices D2, D3 Y D4 para representar el número de años que se retiene. VAD2 = -100 OOO(AlP, 12%,2) + 50 OOO(AlF, 12%,2) - 25 000 = $-60 585 VAD3 = -100 OOO(AlP, 12%,3) + 25 000(AlF,12%,3)
- 25000 = $-59 226
VAD4= -100 OOO(AlP, 12%,4) - 25 000 = $-57 923 En el caso de todas las opciones, el retador posee un valor anual de VAR = $-60000 La tabla 11.3 muestra los flujos de efectivo y los valores VP para cada opción durante el periodo de estudio de 6 años. Un cálculo muestra del VP para la opción Y sería: VPy
= -59
226(P/A,12%,3)
-60 OOO(F/A, 12%,3)(P/F, 12%,6) = $-244 817
La opción Z tiene el valor de VP del menor costo ($-240 369). Conserve al defensor los 4 años, después reemplácelo. En efecto, se obtendrá la misma respuesta si el valor anual, o el valor futuro, de cada opción se calculan a la TMAR. Comentario Si el periodo de estudio es demasiado amplio, posiblemente debería calcularse la VUE del retador y su valor de VAutilizarse para generar las opciones y la serie de flujo de efectivo. Una opción quizá incluya más de un ciclo de vida del retador para su periodo de VUE. Los
TABLA
11.3
Flujos de efectivo equivalentes y valores de VP para un análisis de reemplazo en un periodo de estudio de 6 años (ejemplo 11.7) Tiempo en servicio (años) Flujos de efectivo de VA para cada opción, $/año
Opción
Defensor
Retador
X Y
2 3 4
4 3 2
Z
1 -60585 -59226 -57923
2
3
4
5
-60585 -59226 -57923
-60000 -59226 -57923
-60000 -60000 -57923
-60000 -60000 -60000
6
Opción Vp, $
-60000 -60000 -60000
-247666 -244817 -240369
432
CAPÍTULO 11 11 Decisiones Decisiones de reemplazo yy conservación conservación
incluirse. Pase lo que pase, cualesquiera cualesquiera años ciclos de vida parciales del retador pueden incluirse. más allá del periodo de estudio deben ignorarse para llevar a cabo el análisis de reemplazo, o se les debe considerar explícitamente explícitamente con la finalidad de garantizar garantizar el hecho de que se mantenga la comparación de servicios iguales, en particular particular si se utiliza el VP para elegir la mejor opción.
11.
11.
RESUMEN RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO En un análisis de reemplazo es importante importante comparar comparar al mejor mejor retador retador con con el defenEn un análÍsis de reemplazo defenposee el menor sor. El mejor mejor retador retador (económicamente) (económicamente) es el que posee menor valor valor anual anual (VA) de costos para algún periodo de años. Si se especifican costos para algún periodo especifican la vida vida restante restante esperada esperada del del defensor defensor y la la vida vida estimada estimada del del retador, retador, se determinan determinan los los valores valores VA durante durante estos estos años y procede procede el análisis análisis de de reemplazo. reemplazo. Sin Sin embargo, embargo, si pueden hacerse estimacioestimacioaños pueden hacerse de posenes nes razonables razonables del del valor valor comercial comercial esperado esperado (VC) (VC) y del del COA COA para para cada cada año año de posesión, sión, los los costos costos (marginales) (marginales) año año por por año año permiten permiten determinar determinar al mejor mejor retador. retador. El análisis análisis de de vida vida útil útil económica económica (VUE) (VUE) se elaboró elaboró para para la determinación determinación de de la la El resultado, el menor mejor de servicio mejor cantidad cantidad de años años de servicio del del retador retador y, como como resultado, menor VA total total de de los los costos. costos. Los Los valores valores nRR YVARR que que resultan resultan se utilizan utilizan en en el procedimiento procedimiento del del análisis de reemplazo. reemplazo. En En el caso caso de la VUE VUE del del defensor defensor se puede puede llevar llevar a cabo cabo el análisis de la mismo mismo análisis. análisis. En los los análisis análisis de reemplazo reemplazo donde donde no se especifica especifica ningún ningún periodo periodo de estudio estudio En (horizonte de planificación), planificación), debe debe utilizarse utilizarse el método método del del valor valor anual anual para para compacompa(horizonte rar dos dos alternativas alternativas de de vida diferentes. El El mejor mejor VA determina determina el tiempo tiempo de de retenrar vida diferentes. retención del del defensor defensor antes antes del del reemplazo. reemplazo. ción Cuando se especifica especifica un periodo periodo de de estudio, estudio, en en el caso caso de de un un análisis análisis de de reemreemCuando plazo, es vital vital que las estimaciones estimaciones del del valor valor comercial comercial y el costo costo para para el defensor defensor plazo, que las resulten tan tan exactas exactas como como sea sea posible. Cuando la vida vida restante restante del del defensor defensor sea sea más más resulten posible. Cuando breve que que el periodo periodo de de estudio, estudio, resulta resulta esencial esencial que que el costo costo para para continuar continuar con con el breve servicio se calcule calcule con con especial especial cuidado. cuidado. Todas Todas las las opciones opciones viables viables para para utilizar utilizar al servicio defensor y al retador retador se enumeran enumeran y se determinan determinan sus sus flujos flujos de de efectivo efectivo equivalenequivalendefensor de VA. Para Para cada cada opción, opción, se usa usa el valor valor de de VP VP o VA para para elegir elegir la mejor mejor opción. opción. tes de Tal opción opción determina determina el tiempo tiempo de de retención retención del del defensor defensor antes antes del del reemplazo. reemplazo. Tal
PROBLEMAS PROBLEMAS Fundamentos del reemplazo reemplazo Fundamentos Identifique las las suposiciones suposiciones fundamentales fundamentales 11.1 Identifique que específicamente específicamente hace sobre sobre la alteralterque se hace nativa retadora retadora al realizar realizar un un análisis análisis de reemreemnativa plazo. plazo.
En un análisis análisis de de reemplazo, reemplazo, ¿qué valor 11.2 En ¿qué valor numérico debe debe usarse usarse como como costo costo inicial inicial numérico para el defensor? defensor? ¿Cuál ¿Cuál es el mejor mejor modo modo para de obtener obtener este este valor? valor? de
11
PROBLEMAS PROBLEMAS
11.3 ¿Por punto de ¿Por qué es importante importante solicitar solicitar el punto vista de un consultor para hacer hacer un análisis consultor para análisis de reemplazo? reemplazo? 11.4
Chris está cansada cansada de conducir conducir el usado y anticuado anticuado automóvil automóvil que adquirió hace dos años por $18 000. Estima Estima que ahora su valor es de $8 000. Un vendedor vendedor de carros le propuso el trato siguiente: "Mire, "Mire, le daré $10 000 por Eso representa por este este modelo modelo del año. año. Eso representa $2000 $2 000 más de lo que usted esperaba esperaba obtener obtener y $3 000 más del valor que indica indica el Kelly Blue Book. Nuestro Nuestro precio venta de un precio de venta coche nuevo para usted es de sólo $28 000, lo que significa respecto al significa $6 000 menos respecto precio de lista de $34 000 proporcionado proporcionado por el fabricante. Si considera considera los $3 000 adiciopropongo y la reducción nales del trato que propongo reducción de $6 000 del precio de lista, usted pagaría pagaría $9000 $9000 menos por el carro nuevo. Por lo tanto, le estoy proponiendo un trato muy bueno, con obtendría $2 000 más por su trasto el que obtendría lo que calculaba calculaba ganar. Así pues, viejo que 10 cerremos cerremos el trato ahora, ¿sí?" Si Chris ejecutara reemplazo en este cutara un análisis análisis de reemplazo este momento, ¿cuál sería el costo inicial correcto por a) el defensor, y b) el retador?
Mytesmall Industries compró 11.5 Hace 2 años, Mytesmall Industries compró por $600 000 equipo nuevo para para pruebas pruebas de microelectrónica. momento, espemicroelectrónica. En aquel momento, raba usarlo durante durante 5 años y después después cambiarlo o venderlo rescate de venderlo por su valor de rescate $75 000. La expansión negocios en expansión de los negocios mercados internacionales de nuevo desarrollo empuja empuja la decisión decisión de cambiarlo cambiarlo hoy por una unidad nueva que cuesta cuesta $800 000. 000. Si fuera necesario, el equipo actual podría conservarse por otros dos años, tiempo en el que tendría tendría un valor estimado mercado de $5 000. estimado en el mercado La unidad actual se valúa valúa en $350 000 en el mercado internacional y si se usara mercado internacional usara otros otros ocasionaría costos de mantenimiento 2 años ocasionaría mantenimiento operación (sin incluir incluir costos del operador) operador) y operación Determine los valores de $125 000 anuales. Determine P, n, n, s y COA para este defensor defensor si el anáde P, reemplazo se realizara realizara hoy. lisis de reemplazo
433 433
11.6
Buffett EnterpriEnterpriHace exactamente exactamente 2 años, Buffett sistema nuevo ses instaló por $450 000 un sistema para vigilar y controlar controlar sus líneas de procesos California, con una vida de manufactura manufactura en California, esperada de 5 años. En aquel entonces el valor en el mercado mercado quedó descrito relación descrito por la relación 4, $400000 - 50 OOOk 000k1.IA $400000 , donde k son los años transcurridos desde el momento de la compra. La experiencia experiencia previa con equipo para vigilar el fuego indica indica que sus costos anuales anuales de operación relación 10 000 + 10012. operación siguen la relación 10012. Si a lo largo del tiempo las relaciones relaciones son correctas, valores de P, S Y correctas, determine determine los valores COA para este defensor defensor si se llevara llevara a cabo un análisis de reemplazo: reemplazo: a) ahora, con un periodo de estudio periodo estudio especificado especificado de 3 años, y b) dentro de dos años, sin que se identificara identificara algún periodo periodo de estudio.
11.7
máquina que se compró Una máquina compró hace 1 año por $85 000 tiene un costo de operación operación más alto que el anticipado. anticipado. Cuando Cuando se adquirió adquirió se esperaba máquina se utilizaría utilizaría duran- • esperaba que la máquina mantenite 10 años con un costo anual de mantenimiento de $22 000 y un valor de salvamento salvamento de $10 000. Sin embargo, el último año, el mantenimiento mantenimiento de la máquina máquina le costó a la compañía compañía $35 000, y se espera espera que dicho costo ascienda ascienda a $36 500 este año y que se incremente en $1 500 cada año de ahí en adeincremente lante. El valor de salvamento salvamento se estima estima ahora en $85 000 - $10 OOOk, donde kk es el número de años desde máquina. desde la compra compra de la máquina. Ahora se calcula máquina será útil Ahora calcula que esta máquina máximo de 5 años más. Determine Determine los un máximo para un análisis valores de P, P, V, COA, n y S para de reemplazo reemplazo que se lleve a cabo ahora.
Vida económica económica de servicio servicio
11.8 Halcrow, Halcrow, lnc. lnc. espera espera reemplazar reemplazar un sistema sistema obsoleto instalado actualobsoleto de seguimiento seguimiento instalado actualsistema retador mente en máquinas máquinas CNC. El sistema retador tiene costo inicial tiene un costo inicial de $70 000, otro de operación anual estimado estimado en $20 000, una operación vida útil máxima máxima de 5 años, y un valor valor de rescate cualquier momento rescate de $10 000 en cualquier momento
434 434
CAPÍTULO 11 11 Decisiones Decisiones de de reemplazo reemplazo yy conservación conservación CAPÍTULO
en que que se se sustituya. sustituya. Con una una tasa tasa de de interés interés en de 10% 10% anual, determine determine la vida económica económica de del servicio y el monto monto correspondiente. correspondiente. Redel suelva este problema problema con ayuda de una calsuelva culadora portátil. culadora
relación relación SS = = P(0.85)n, P(0.85)n, en la que nn es el número número de años transcurridos transcurridos después después de la compra. compra. El costo costo de operación operación sería sería de $75 000 el primer primer año y aumentaría aumentaría $10 000 cada año a partir de entonces. entonces. Use = 18% anual. una i = a) Determine Determine la vida económica económica de servicio y el VA VA correspondiente correspondiente de este retadar. tador. b) Se esperaba justificara económiesperaba que se justificara económicamente camente la conservación conservación de la máquina máquina durante durante 6 años, pero no es así ya que la VES en parte (a) es considerablemente considerablemente inferior inferior a 6 años. Determine Determine la reducreducción en el costo inicial inicial que habría habría que negociarse negociarse para hacer que el costo anual equivalente posesión durante equivalente para para una posesión durante 6 años fuera igual en lo numérico a la esVA determinado para la VES timación de VAdeterminado calculada. Suponga calculada. Suponga que todas las demás estimaciones permanecen permanecen sin cambio, cambio, e estimaciones ignore el hecho de que este valor de P más bajo no haría haría aún una una VES recalculada recalculada bajo igual a 6 años. igual
11.9 Utilice una hoja de cálculo para resolver resolver el 11.9 problema 11.8 11.8 y grafique grafique la curva del VA VA problema componentes. a) con el empleo empleo total y sus componentes. estimaciones que se hizo originalmenoriginalmende las estimaciones estimaciones nuevas y más prete, y b) con estimaciones particular con una vida máxima máxima cisas, en particular esperada de 10 años, un COA que se increincreesperada 15% estimación mentaría 15 % al año a partir de la estimación rescate que inicial de $20 000, y un valor de rescate disminuya $1 $1 000 cada año a partir se espera disminuya partir estimación de $10 000 para el primer primer de la estimación año. 11.10 Se espera que un activo con costo inicial de $250000 tenga vida útil máxima de 10 años yY $250000 un valor de mercado que se reduzca $25 000 espera que tenga costo de por año. Se espera tenga un costo •• operación operación anual constante constante de $25 000 anual anual durante sucesivo se indurante 5 años y que en lo sucesivo incremente sustancial en 25% por cremente de manera manera sustancial por año. La tasa de interés es un escaso 4% anual anual, debido Service~ debido a que la compañía, compañía, Public Public Services Corp., Corp., es propiedad propiedad mayoritaria mayoritaria del munimunicipio y se le considera considera empresa empresa semiprivada semiprivada que que goza goza de las tasas tasas de interés interés propias propias de los proyectos proyectos públicos públicos para para obtener obtener préspréstamos. Verifique que que la Vida Económica Económica tamos. a) Verifique de Servicio Servicio VES es de 5 años. años. ¿La ¿La VES es sensible sensible al valor valor cambiante cambiante del mercado mercado y a las estimaciones estimaciones COA? COA? b) El ingeniero ingeniero a cargo cargo de hacer hacer el análisis análisis del reemplazo reemplazo dedeterminó terminó que que este este activo activo debería debería tener tener una una VES de 10 años años cuando cuando se enfrentara enfrentara contra contra cualquier cualquier retador. retador. Si la la serie serie COA COA fuera fuera cocorrecta, rrecta, calcule calcule el valor valor mínimo mínimo de de mercado mercado que que haría haría la VES VES igual igual a 10 años. años. Resuelva Resuelva el problema problema a mano mano o con con hoja hoja de de cálculo. cálculo. 11.11 Una Una trituradora trituradora nueva nueva para para materiales materiales comcompuestos puestos tiene tiene un costo inicial inicial de de P P= = $100 $100 000, yY puede puede usarse usarse durante durante un un máximo máximo de de 66 años. años. Su Su valor valor de de rescate rescate se se estima estima con con la la
11.12 a)
Formule una una hoja de cálculo cálculo general general (en Formule formato de referencia de celdas) formato referencia celdas) que inVA asociado para para cualdique la VES y el VAasociado quier activo retador que tenga una vida vida quier activo retador tenga una útil máxima máxima de 10 años. La La relación relación para para el VAdebe VA debe ser una una fórmula fórmula de celda celda única para calcularlo calcularlo por por cada cada año de la propropara piedad, mediante todas las estimaciones piedad, mediante todas estimaciones que sean sean necesarias. necesarias. que b) Use Use la la hoja hoja de de cálculo cálculo para para encontrar encontrar b) los valores de VES y VA para las estiestilos valores de VES para las maciones de la tabla siguiente. Suponga maciones de la tabla siguiente. Suponga que que ii = = 10% anual. anual.
Año Año
oO 1 22 33 44 55
Valor estimado estimado Valor de mercado. mercado, $ de
80000 80000 60000 60000 50000 50000 40000 40000 30000 30000 20000 20000
COA COA estimado, $ $ estimado.
oO 60000 60000 65000 65000 70000 70000 75000 75000 80000 80000
11.1:
11.1,
Año
o 1 2 3 4 5 6 7
11.1:
Aná
11.11
--------------------------------------------I!"r""' 435
PROBLEMAS
11.13 Un elemento para equipo tiene un costo inicial de $150 000, una vida útil máxima de 7 años, y un valor de rescate descrito por la relación S = 120 000 - 20 OOOk, donde k es el número de años transcurridos desde que se efectuó la compra. El valor de rescate no es menor que cero. La serie de COA se estima por medio de la fórmula COA = 60 000 + 10 OOOk. La tasa de interés es de 15% anual. Determine la vida económica de servicio, a) a mano con cálculos del VA normales, y b) por computadora con estimaciones de costo anual marginal. 11.14 Calcule la vida económica de servicio y el VA correspondiente para una máquina que tiene las siguientes estimaciones de flujo de efectivo. Use una tasa de interés de 14% anual y obtenga la solución a mano. Año
o 1 2 3
4 5 6 7
Valor de rescate, $ 100000 75000 60000 50000 40000 25000 15000 O
Costo de operación, $ -28000 -31000 -34000 -34000 -34000 -45000 -49000
11.15 Use los costos anuales marginales para calcular la vida económica de servicio para el problema 11.14, por medio de una hoja de cálculo. Suponga que los valores de rescate son las mejores estimaciones del valor futuro de mercado. Desarrolle una tabla en Excel de los costos anuales marginales (CM) y el VA del CM durante los 7 años. Análisis de reemplazo 11.16 Durante un periodo de 3 años, Shanna, gerente de proyectos en Sherholme Medical Devices, realizó análisis de reemplazo del equipo que se usa en los laboratorios de diagnóstico para detectar cáncer provocado por microondas. Ella tabuló los valores de VES y VA para cada año.
a) b)
¿Qué decisión debe tomarse cada año? A partir de los datos, describa cuáles cambios tuvieron lugar en defensor y retador durante los 3 años. Vida máxima, años
Años, VES
VA, $/año
Defensor Retador 1
Primer año, 200X 3 3 10 5
-10000 -15000
Defensor Retador 1
Segundo año, 200X + 1 2 1 10 5
-14000 -15000
Defensor Retador 2
Tercer año, 200X + 2 1 1 5 3
-14000 -9000
11.17 Un ingeniero aerospacial consultor en la compañía Aerospatial estimó los montos de VA de un insertador de remaches de acero muy preciso que ya posee la empresa, con base en los registros que ésta tiene para equipo similar. Si se conservara este número de años 1 2 3
4 5
Monto del VA, $/año -62000 -50000 -47000 -53000 -70000
Un retador presenta VES = 2 años y VAc = $-49 000 por año. Si el consultor debe recomendar ahora que se está tomando la decisión sobre reemplazar o conservar, ¿la empresa debe comprar al retador? la TMAR es de 15% anual. 11.18 Si se realizara un análisis de reemplazo y el defensor se seleccionara para conservarlo durante nD años, explique lo que debiera hacerse 1 año después si se identificara un retador nuevo. 11.19 BioHealth, empresa de arrendamiento de sistemas biotecnológicos, estudia la adqui-
436 436
CAPÍTULO 11 CAPÍTULO 11
Decisiones de reemplazo Decisiones reemplazo y conservación conservación
sición de un equipo equipo nuevo nuevo que sustituya sustituya un activo que ya se posee y que se compró compró hace 2 años en $250 000 y que se valuó en el mercado posible actualizarlo mercado en $50000. $50 000. Es posible actualizarlo por $200 000 ahora, lo que lo volvería volvería funfuncional durante durante otros 3 años de arrendamienarrendamiento, después después de lo cual el sistema sistema completo completo podría venderse circuito internacional podría venderse en el circuito internacional en una cifra estimada estimada de $400 000. El retaretador podría podría comprarse comprarse por $300 $300 000, tendría tendría una vida esperada esperada de 10 años y un valor valor de rescate rescate de $50 000. Determine Determine si la empreempresa debe actualizar actualizar o reemplazar, reemplazar, con una TMAR TMAR de 12% anual. anual. Suponga Suponga que las estimaciones de COA son las mismas mismas para estimaciones para alternativas. ambas alternativas. 11.19,uti11.20 Para las estimaciones del problema problema 11.19, utilice un análisis basado en una hoja de cálculo para determinar el costo inicial máximo para la actualización actualización del sistema sistema existente, existente, que haría haría que tanto el defensor defensor como como el retador retador estuvieran estuvieran en equilibrio. equilibrio. Si el sistema sistema actual se va a conservar conservar ¿se trata de una actualizaactualización máxima máxima o mínima? mínima?
11.21 Una compañía compañía maderera maderera que tala pinos finos para para ebanistería, ebanistería, evalúa evalúa si debe conservar conservar el sistema sistema existente existente para para aclarar aclarar o reemplareemplazarlo por uno nuevo. Los costos importantes importantes para para cada cada sistema sistema ya se conocen conocen o se estiman. Use una tasa de interés interés de 10% anual para: a) realizar realizar el análisis análisis del reemplazo, reemplazo, y b) determinar precio mínimo determinar el precio mínimo de revenreventa que es necesario para seleccionar necesario para seleccionar ahoahora al retador retador de reemplazo. reemplazo. ¿Es de esperarse esperarse una una cantidad cantidad razonable razonable por por el sistema sistema existente? existente? Sistema Sistema existente existente Costo hace 7 años, Costo inicial inicial hace años, $ Costo Costo inicial, inicial, $ Vida Vida restante, restante, años años Valor Valor actual actual en el mercado, mercado, $ COA, COA, $ por por año año Valor futuro futuro, , $ Valor
Sistema Sistema nuevo nuevo
-450000 -450000
5 50000 50000 -160000 -160000 O O
-700000 -700000 10 -150000 -150000 50000 50000
11.22 Hace Nuyork Port Hace cinco cinco años, la Nuyork Port Authority Authority compró compró varios varios vehículos vehículos de transporte transporte de contenedores contenedores en $350 $350 000 cada cada uno. El año pasado pasado se llevó llevó a cabo cabo un análisis análisis de reemplazo reemplazo con la decisión decisión de conservar conservar los vehículos embargo, este año vehículos 2 años más. Sin embargo, ha cambiado cambiado la situación, situación, ya que se estiesticada uno de ellos ellos ahora ahora tiene tiene un ma que cada valor mantuvieran en valor de sólo $8 000. Si se mantuvieran servicio, por actualiservicio, el costo costo de $50 000 por actualizarlos haría útiles hasta hasta por por 2 años más. zarlos los haría Se espera espera que el costo costo de operación operación sea de $15,000 el se$10 000 el primer primer año y de $15,000 gundo, sin ningún ningún valor de rescate. rescate. En forma alternativa, la compañía compañía puede comprar alternativa, puede comprar vehículo nuevo nuevo con VES de 7 años, sin un vehículo rescate y un costo anual equivalente equivalente valor de rescate 55540 por año. La TMAR a $$-55540 TMAR es de 10% actualizar los anual. Si el presupuesto presupuesto para para actualizar vehículos existentes existentes está está disponible disponible este este vehículos año, utilice utilice dichas para deterdichas estimaciones estimaciones para minar: a) cuándo cuándo debe debe reemplazar reemplazar la comcompañía vehículos actualizados, actualizados, y b) el valor pañía los vehículos rescate mínimo mínimo futuro futuro de un vehículo vehículo de rescate nuevo nuevo necesario necesario que indique indique cuál compra compra económicas sobre hecha ahora tiene ventajas económicas la actualización. actualización. Annabelle fue a trabajar trabajar este este mes para para Ca11.23 Annabelle terpillar, equipo terpillar, compañía compañía fabricante fabricante de equipo pesado. pesado. Cuando Cuando se le pidió pidió verificar verificar los resultados de un análisis análisis de reemplazo reemplazo que sultados había había concluido concluido a favor favor del retador retador (un elemento metal pesado mento nuevo nuevo de metal pesado que es parte parte del equipo procesamienequipo para para la planta planta de procesamiento de excavadoras), excavadoras), ella estuvo estuvo de acuerdo acuerdo principio porque porque los resultados resultados numéricos numéricos al principio favorecían al retador. favorecían
Vida, Vida, años años VA, $ por año por año
Retador Retador
Defensor Defensor
4 -80000 -80000
6 más más -130000 -130000
Llena pasadas del Llena de dudas sobre decisiones decisiones pasadas mismo tipo, averiguó averiguó y supo que se habían habían mismo realizado realizado cada cada dos años análisis análisis de reemreemplazo en tres ocasiones ocasiones anteriores anteriores para para la plazo
1
437
PROBLEMAS
misma categoría de equipo. La decisión era consistente para reemplazar con el retador de entonces. Durante su análisis, Annabelle concluyó que antes los valores de VES no se había determinado para comparar los montos de VA en los análisis efectuados hacía 6, 4 Y 2 años. Reconstruyó en lo posible los análisis para la vida estimada, VES y VA, según aparecen en la tabla siguiente. Todas las
cantidades de costo están redondeadas y en unidades de $1 000 por año. Determine los dos conjuntos de conclusiones del análisis de reemplazo (es decir, con base en la vida y en la VES) y decida si Annabelle estuvo en lo correcto en su conclusión inicial: de haberse calculado los valores de VES y VA, el patrón de las decisiones de reemplazo habría sido significativamente distinto.
Defensor Análisis realizado hace (años)
Retador
Vida, años
VA, $/año
VES, $/año
VA, $/año
Vida, años
VA, $/año
VES, $/año
5 6 3 6
-140 -130 -140 -130
2 5 3 1
-100 -80 -80 -100
8 5 8 4
-130 -120 -130 -80
7
6 4 2 Ahora
11.24 Herald Richter and Associates compró hace 5 años en $45 000 un graficador de señales de microondas para detectar la corrosión en estructuras de concreto. Para el resto de su vida útil, de hasta 3 años, se espera que tenga los valores en el mercado y los costos de operación anual que se muestran en seguida. Podría negociarse hoy un valor en el mercado calculado en $8 000. Año
Valor en el mercado al final del año, $
COA, $
1 2 3
6000 4000 1000
-50000 -53000 -60000
Un graficador de reemplazo con tecnología digital basada en Internet cuesta $125 000 y tiene un valor de rescate estimado de $10 000 después de su vida de 5 años, y un COA de $31000 por año. Con una tasa de interés de 15% anual, determine cuántos años más debería Richter conservar el
3 8 304
VA, $/año -80 -90 -120 -80
graficador existente. Resuelva el problema: a) a mano, y b) con una hoja de cálculo. 11.25 ¿Qué significa el enfoque del costo de oportunidad en un análisis de reemplazo? 11.26 ¿Por qué se sugiere que no se use el enfoque del flujo de efectivo cuando se realiza un análisis de reemplazo? 11.27 Hace dos años Geo-Sphere Spatial, Inc. (GSSI) compró en $1 500000 un sistema de posicionamiento GPS. El valor de rescate estimado fue de $50 000 después de 9 años. Actualmente, la vida esperada restante es de 7 años, con un COA de $75 000 por año. Una corporación francesa, La Aramis, desarrolló un retador que cuesta $400 000 y tiene una vida estimada en 12 años, un valor de rescate de $35 000 y COA de $50 000 por año. Si la TMAR = 12% anual, use una hoja de cálculo o solucione a mano (como se enseñó) para: a) encontrar el valor mínimo necesario para negociar ahora con la
438
CAPÍTULO11 Decisionesde reemplazo y conservación
finalidad de que el retador tenga ventajas económicas, y b) determinar el número de años para conservar al defensor en el equilibrio justo, aun si la oferta de negociación fuera de $150 000. Suponga que el valor de rescate de $50 000 puede obtenerse para todos los periodos de conservación durante 7 años.
compuestos, durante sus años primeros es más barato de operar y comprar, en $150000. Tiene una vida máxima de 6 años pero después de tres los valores de mercado y COA cambian de modo significativo debido al deterioro previsto del material empleado en su fabricación. Además, después de 4 años de uso, se prevé un costo recurrente de $40 000 por año para inspeccionar y repetir el trabajo con el material compuesto. Los valores de mercado, costo de operación y repetición del trabajo aparecen en la tabla. Basándose en estas estimaciones y con i = 15% anual, diga cuáles son los montos de la VES y VA para defensor y retador, y en cuántos años debe reemplazarse el sistema HBO actual. Resuelva este problema a mano (véanse los problemas 11.29 y 11.31 en los que aparecen más preguntas donde se usan estimaciones).
11.28 Hace tres años, Merey Hospital mejoró en
forma significativa su equipo de terapia hiperbárica a base de oxígeno (HBO) para dar tratamiento avanzado a problemas de heridas, infecciones óseas crónicas y lesiones por radiación. El equipo cuesta $275000 y después puede usarse durante tres años más. Si el sistema HBO se reemplaza hoy, el hospital podría obtener $20 000. Si lo conservara, se calcula los valores de mercado y costos de operación mostrados en la tabla. Un sistema nuevo, hecho de materiales Sistema HBO actual
Año
1 2 3 4 5 6
Valor de mercado, $
10000 6000 2000
COA, $
1
1
Sistema HBO propuesto Valor de mercado, $
-50000 -60000 -70000
11.29 En relación con las estimaciones del pro-
blema 11.29: a) Resuelva el problema con el empleo de una hoja de cálculo. b) Use la herramienta SOLVER de Excel para determinar el costo máximo perrnitido de la repetición del trabajo de los materiales compuestos del retador, en los años 5 y 6, de modo que el monto del VA del retador para 6 años sea exactamente igual al VA del defensor en su VES. Explique el efecto que este costo más bajo
65000 45000 25000 5000 O O
COA, $
Material del trabajo repetido, $
-10 000 -14000 -18000 -22000 -26000 -30000
-40000 -40000
de la repetición de trabajo tiene sobre la conclusión del análisis de reemplazo. Análisis de reemplazo estudio
durante un periodo de
11.30 Piense en dos análisis de reemplazo que se
ejecuten con el uso de los mismos defensores y retadores, así como con los mismos costos estimados. Para el primero no se especifica periodo de estudio; para el segundo se considera uno de 5 años.
1
PROBLEMAS PROBLEMAS
Mencione Mencione la diferencia diferencia en las suposisuposifundamentales de los dos análisis ciones fundamentales de reemplazo. reemplazo. Describa las diferencias diferencias en los proceproceb) Describa dimientos seguidos seguidos al realizar realizar análisis análisis dimientos reemplazo para para las condiciones. condiciones. de reemplazo
a)
11.31 Vuelva Vuelva a consultar consultar la situación situación y estimaestimaproblema 11.28. a) Realice el anáciones del problema lisis lisis de reemplazo reemplazo para para un periodo periodo de estudio fijo de 5 años. b) Si en lugar de la estudio compra del retador retador se ofreciera ofreciera al Mercy Merey compra Hospital un contrato contrato de servicios servicios complecompleHospital para terapia terapia hiperbárica hiperbárica de oxígeno, oxígeno, en tos para $85 000 por año si lo contrata contrata para para 4 o 5 años, o en $100 000 por un contrato de 3 años o menos, ¿qué opción opción o combinación combinación de opciones es la mejor mejor en cuanto cuanto a economía, economía, ciones defensor y el contrato? contrato? entre el defensor trabajo 11.32 Una máquina colocada en su lugar de trab::üo $-200 000 tiene un valor anual equivalente de $-200 para cada año de su vida útil máxima restante de 2 años. Se ha determinado que un reemplazo apropiado tiene valores anuales equivalentes de $-300 225 000 y $275 000 $-300 000, $$-225 $-275 1,2 por año, si se conservara durante 1, 2 o 3 años, respectivamente. ¿Cuándo debe la compañía reemplazar la máquina, máquina, si usa un horizonte de reemplazar planeación de 3 años? Use una tasa de interés de 18% anual.
11.33 Utilice cálculo para Utilice una hoja de cálculo para realizar realizar un análisis análisis de reemplazo reemplazo para para la siguiente siguiente situación: situación: un ingeniero ingeniero estima estima que el valor anual equivalente equivalente de una máquina máquina durandurante la vida útil de 3 años que le resta resta es de $90 000 $-90 000 anuales. anuales. Puede Puede reemplazarreemplazarse ahora o después después de 3 años por una máquina cuyo VA es de $$-90 quina 90 000 por año si conservara durante durante 5 años o menos, menos, y de se conservara $-110 000 anuales anuales si se tuviera tuviera entre 6 y $-110000 8 años. Ejecute el análisis análisis para para determinar determinar los a) Ejecute VA para periodos de estudio para periodos estudio de 5 a 8 duración, con tasa de interés interés años de duración, Seleccione el periodo de 10% anual. Seleccione periodo de
439
estudio con el VA más bajo. bajo. ¿Cuántos ¿Cuántos estudio usan tanto tanto el defensor defensor como como el años se usan retador? retador? ¿Pueden usarse usarse los VP para para seleccionar b) ¿Pueden seleccionar mejor duración duración del periodo periodo de estudio estudio la mejor decidir conservar conservar o reemplazar reemplazar al y decidir defensor? defensor? ¿Por ¿Por qué sí o no? Bakers emplea 11.34 Nabisco Nabisco Bakers emplea personal personal para operar operar el equipo equipo usado usado en la esterilización esterilización de las instalaciones instalaciones de mezcla, mezcla, horneo horneo y empaqueempaquetamiento tamiento en una una planta planta grande grande productora productora de galletas galletas y pastas, pastas, ubicada ubicada en Iowa. El gerente de la planta, quien se dedica dedica a recortar recortar costos sin sacrificar sacrificar calidad calidad y limpieza, limpieza, tiene proyecciones proyecciones de datos datos para para conservar conservar el sistema existente sistema existente hasta hasta su vida vida máxima máxima esperada perada de 5 años. Una Una compañía compañía contratista contratista le ha propuesto sistema de desinfección propuesto un sistema desinfección llave llave en mano mano por por $5 millones millones anuales anuales si Nabisco N abisco firma por un periodo periodo de 4 a 10 años, años, y de $5.5 millones millones por año para para un periodo periodo más corto. a) Con una una TMAR TMAR = 8% anual, anual, lleve lleve a cabo cabo un estudio estudio de reemplazo reemplazo para para el gerente gerente de la planta, planta, con un horizonte horizonte de planeación planeación fijo de 5 años, lapso lapso en el que se prevé prevé el cierre cierre de la planta planta debido al envejecimiento envejecimiento de sus instalainstalabido ciones y a la obsolescencia obsolescencia tecnológica. tecnológica. ciones realizar el análisis, análisis, tenga tenga en cuenAl realizar cuenimportar el número número de años ta que sin importar conserve el sistema desinfecque se conserve sistema de desinfección, se incurrirá incurrirá en un costo costo único único dución, rante el último último año año de la operación operación rante debido al cierre, cierre, por por concepto concepto de perdebido sonal y equipo. equipo. sonal ¿Cuál es el cambio cambio porcentual porcentual en el b) ¿Cuál monto monto del VA en cada cada uno de los 5 años del periodo periodo de estudio? estudio? Si se tomara tomara la decisión sistema de decisión de conservar conservar el sistema desinfección, sería la desventadesinfección, ¿cuál ¿cuál sería desventaja ja económica económica en el monto monto del del VA en comparación comparación con el del mejor mejor perioperioconservación en cuanto cuanto a ecoecodo de conservación nomía? nomía?
440
CAPÍTULO 11 11 CAPÍTULO
Decisiones reemplazo y conservación conservación Decisiones de reemplazo
Estimaciones actuales Estimaciones actuales sistema de de desinfección del sistema desinfección
Años de conservación conservación
o O 1 2 3 4 5
VA, $/año $/año VA,
Gastos de de cierre cierre Gastos Último año año de de conservación, $ conservación,
-2300000 -2300000 -2300000 -2300000 -3000000 -3000000 -3000000 -3000000 -3500000 -3500000
--3000000 3000000 -2500000 -2500000 -2000000 -2000000 000000 -1 000000 -1000000 -1000000 -500000
máquina que se compró compró hace 11.35 Una máquina hace 3 años en $140000 ahora ahora es muy lenta lenta para satisfa$140000 para satisfacer una una demanda demanda creciente. creciente. La máquicer máquimejorarse ahora ahora a un costo costo de na puede puede mejorarse venderse a una empresa pequeña $70 000 o venderse una empresa pequeña máquina actual actual tendrá en $40 000. La máquina tendrá un
costo anual de operación operación de $85 000. Si se costo mejora, actualmenmejora, la máquina máquina que se posee posee actualmente se mantendrá servicio 3 años más y mantendrá en servicio después se reemplazará después reemplazará con una una máquina máquina fabricación de dique será utilizada utilizada en la fabricación versas versas líneas de productos. productos. Esta Esta máquina máquina de reemplazo, servicios a la emreemplazo, que rendirá rendirá servicios presa ahora y por presa ahora por lo menos menos 8 años más, tencosto de $220 $220 000. Su valor drá un costo valor de salvamento vamento será de $50 000 los años 1 a 5; de después de 6 años, y de $10 000 $20 000 después adelante. Ésta tendrá costo de de ahí en adelante. tendrá un costo operación estimado estimado de $65 000 anuales. anuales. La operación empresa le solicita solicita a usted lleve a cabo empresa usted que lleve un análisis análisis económico económico al 20% anual utilizando zando un horizonte horizonte de tiempo tiempo de 5 años. ¿Debería la compañía compañía reemplazar ¿Debería reemplazar la máquimáquina que posee actualmente o debería debería hacerlo posee actualmente hacerlo años? ¿Cuáles ¿Cuáles son los VA? en 3 años?
1
I
I
PROBLEMAS DE REPASO FI PROBLEMAS esperaba que cierto cierto equipo equipo comprado comprado 11.36 Se esperaba $70000 tuviera hace 2 años en $70000 tuviera una vida vida útil de 5 años, con un valor valor de rescate rescate de $5 000. rendimiento fue menor esperado y Su rendimiento menor del esperado se actualizó por $30 000 hace un año. Ahora, creciente demanda demanda obliga obliga a que el equipo equipo la creciente renueve otra vez por $25 000 adicionales, adicionales, se renueve reemplace por costaría o se reemplace por otro nuevo nuevo que costaría sustituyera, el equipo equipo exisexis$85 000. Si se sustituyera, vendería en $6 000. Al realizar tente se vendería realizar un análisis de reemplazo, reemplazo, el costo costo inicial inicial que análisis debe usarse para para la máquina máquina que se posee posee actualidad es: en la actualidad $50000 a) $50000 $15000 b) $15000 e) $7000 $7000 d) $22000 $22000 el) análisis de fabricar/comprar fabricar/comprar durante durante 11.37 En un análisis periodo de estudio estudio de 4 años se adquiere adquiere un periodo subcomponente por contrato. El sishoy un subcomponente por contrato. tema retador retador necesario fabricar el comcomtema necesario para para fabricar
ponente interior de la empresa empresa tiene una ponente al interior vida útil de 6 años, y una vida económica económica servicio de 4 años. El contrato contrato actual actual de servicio puede extenderse hasta puede extenderse hasta por por 2 años más y el número opciones disponibles disponibles para número de opciones para tomar tomar la decisión decisión de fabricar/comprar fabricar/comprar es: a) Ninguna Ninguna b) Una Una e) Dos d) Tres económica de un activo activo es: 11.38 La vida vida útil económica activo aún a) El tiempo tiempo más largo que el activo desempeñará la función función por desempeñará por la cual se compró originalmente. originalmente. le compró generará el menor b) El tiempo tiempo que generará menor valor valor costos. anual de los costos. tiempo que generará generará el menor e) El tiempo menor valor valor presente costos. presente de los costos. d) El tiempo tiempo que se requiere requiere para para que 'su su valor comercial alcance alcance el valor valor comercial valor de salvamento originalmente estimado. estimado. vamento originalmente
EJERCICIO EJERCICIO AMPLIADO AMPLIADO
análisis de reemplazo reemplazo que se llevó llevó a 11.39 En un análisis determinó que el decabo hace un año, se determinó fensor debería debería conservarse conservarse 3 años más. Sin fensor embargo, ahora resulta resulta evidente evidente que algualguembargo, cálculos realizados realizados para nos de los cálculos para este año siguiente estaban estaban equivocados. equivocados. El proy el siguiente procedimiento correcto correcto que debe seguirse seguirse es el cedimiento siguiente: siguiente: Reemplazar ahora el activo activo actual. a) Reemplazar b) Reemplazar Reemplazar el activo actual dentro de 2 determinó el año pasado. años, según se determinó e) Llevar a cabo un nuevo análisis de reemreemplazo utilizando utilizando los nuevos nuevos cálculos. plazo cálculos. d) Llevar Llevar a cabo un nuevo análisis de reemti) reemplazo utilizando utilizando los cálculos cálculos del último plazo último año.
441
11.40 A continuación continuación se presentan 11.40 presentan los VA calculados para decidir entre entre conservar conservar o reempara decidir reemplazar estudio especificado. especificado. plazar sin periodo periodo de estudio Año 1 2
3 4
VA VA por por reemplazar, $/año reemplazar, $/año -25500 -25500 -26900 -27000
VApor VApor conservar, $/año $/año conservar, -27000 -26500 -25000 -25900
El defensor defensor debe debe reemplazarse reemplazarse a) Después Después de 4 años más. años. b) Dentro Dentro de otros 3 años. e) Una vez transcurrido transcurrido un año. d) Ahora. ti)
EJERCICIO AMPLIADO AMPLIADO EJERCICIO VIDA ÚTIL ÚTIL ECONÓMICA CAMBIANTES VIDA ECONÓMICA BAJO BAJO CONDICIONES CONDICIONES CAMBIANTES planta de procesamiento químico Gulf Gulf Coast Coast evalúa evalúa un nuevo sistema de bomLa planta procesamiento químico nuevo sistema bomestratégica desplaza desplaza líquidos altamente corrosivos corrosivos de tanques beo. Una bomba bomba estratégica líquidos altamente tanques especialmente revestidos lanchas intercosteras intercosteras a un muelle carga con instalaciopecialmente revestidos en lanchas muelle de carga instalaciorefinación previa almacenamiento. Debido calidad variable nes de refinación previa yy almacenamiento. Debido a la calidad variable de los químicos natural y a las altas presiones químicos en estado estado natural soporta el armazón armazón de la presiones que soporta bomba y los impulsores, sobre el número impulsores, se mantiene mantiene un registro registro sobre número de horas horas por por año bomba bomba funciona. funciona. Los registros registros de seguridad, seguridad, así como deterioro de los que la bomba como el deterioro componentes de la bomba, consideran puntos críticos de control control del sistema. sistema. componentes bomba, se consideran puntos críticos había planteado, estimaciones de costo Como se había planteado, las estimaciones costo de reconstrucción reconstrucción de mantenimantenimiento y de operación, operación, se incrementaron incrementaron de acuerdo acuerdo con el tiempo acumulado de miento tiempo acumulado operación que alcanza alcanza la marca estimaciones para esta bomba bomba operación marca de 6 000 horas. horas. Las estimaciones para esta siguientes: son las siguientes:
Costo Costo inicial: Costo de reconstrucción: Costo reconstrucción:
Costos de M&O: Costos M&O:
TMAR: TMAR:
$-800000 $-800 000 $-150000 registren las 6 000 $-150000 siempre siempre y cuando cuando se registren Cada reconstrucción costará un 20% más que horas. Cada reconstrucción costará la anterior. Existe Existe una tolerancia tolerancia de 3 reconstrucreconstrucciones como máximo ciones máximo $25 000 para para los años 1 a 4 anuales comenzando comenzando el año siguiente siguiente a la $40 000 anuales primera primera reconstrucción, reconstrucción, más el 15% anual anual a partir partir de entonces entonces 10% anual
442
CAPÍTULO 11 11 Decisiones de reemplazo y conservación conservación
Sobre la base del libro para el número número de libro de registros, registros, las estimaciones estimaciones actuales actuales para horas de funcionamiento funcionamiento anual son las siguientes: siguientes: Año Año 1
2 3 en adelante
Horas por por año
500 1500 1500 2000 2000
Preguntas Preguntas
Determine la vida útil económica económica de la bomba. 1. Determine bomba. 2. El supervisor planta le dijo al nuevo nuevo ingeniero planear supervisor de la planta ingeniero que sólo se debería debería planear bombas por lo general una reconstrucción, reconstrucción, debido debido a que este tipo de bombas general tiene su costo reconstrucción. Determine valor costo mínimo mínimo de vida antes de la segunda segunda reconstrucción. Determine el valor comercial para esta bomba, bomba, que obligará comercial para obligará a la VUE a llegar llegar a 6 años. 3. El supervisor planta también también le indicó supervisor de la planta indicó al ingeniero ingeniero de seguridad seguridad que no deberían planear una reconstrucción reconstrucción después horas de deberían planear después de cumplir cumplir las 6 000 horas operación, porque la bomba bomba será reemplazada reemplazada después operación, porque después de un total de 10 000 horas de funcionamiento. funcionamiento. El ingeniero ingeniero de seguridad seguridad desea desea conocer conocer el COA COA básico del año 1 para para que el equipo equipo tenga tenga una vida vida útil económica económica de 6 años. El ingeniero vigor del ingeniero supone supone ahora ahora que la tasa de crecimiento crecimiento de 15% entrará entrará en vigor año 1 en adelante. valor fundamental adelante. ¿Cómo ¿Cómo se comparará comparará el valor fundamental del COA COA con el costo reconstrucción después horas? costo de reconstrucción después de 6 000 horas?
ESTUDIO ESTUDIO DE CASO CASO
ANÁLISIS ANÁLISIS DE DE REEMPLAZO REEMPLAZO PARA PARA EQUIPO EQUIPO MINERO MINERO Tres Cementos, S. A., comprÓ compró hace 3 años un equipo usado de traslado de materia prima de la mina a los trituradores de roca. Cuando adquirió el equipo, éste tenía Un 10 años, S = un P = = $85 000, n = = lO = $5 000, con una capacidad anual de 180000 180 000 toneladas métricas. Ahora requiere un equipo equipo adicional adicional con capa.cidad se requiere cap~cida¿¡ de 240 000 toneladas métricas anuales. Dicho equipo se puede comprar por P = = $70 000, n = = 10 años, S S= = $8 000. No obstante, un asesor ha señalado que· que la compañía puede construir un equipo de transporte para llevar el material desde la mina. Este equipo tiene un costo $115000 con con-una estimado de $115000 una vida de 15 años y un salvamento despreciable. despreciable. Además cargará valor de salvamento Además cargará compañía re400 000 toneladas métricas anuales. La compañía
quiere algún sistema para trasladar el material al equipo de transporte ubicado en la mina. Se puede utilizar el equipo actual, pero éste tendrá capacidad capacidad de sobra. Si se compra un equipo nuevo de menor capacidad, exis$15000 para el equipo actual. te un valor comercial de $15000 requerirá un desembolEl equipo de menor capacidad requerirá de $40 000 con una estimación estimación de vida n so de capital de'$40 = 12 años yy S = = $3 500. La capacidad capacidad anual es de = tonel~das métricas a lo largo de este corto tra400 000 toneladas mantenimienmo. Los costos mensuales de operación, mantenimiento y seguro promedian promedian $0.01 por tonelada-kilómetro tonelada-kilómetro para los transportadores. transportadores. Se espera que los costos correspondientes al equipo de transporte sean de $0.0075 rrespondientes por tonelada métrica.
ESTUDIO DE DE CASO CASO ESTUDIO
La compañía compañía quiere quiere obtener obtener 12% de esta esta inversión. inversión. La Los registros registros muestran muestran que que el equipo equipo deberá deberá trasladar trasladar Los materia prima prima un promedio promedio de 2.4 kilómetros kilómetros de la la materia cantera al cojinete cojinete de trituración. trituración. El equipo equipo de transtranscantera porte se colocará colocará con con el objetivo objetivo de reducir reducir esta esta distandistanporte cia a 0.75 0.75 kilómetros. kilómetros. cia
Ejercicios del estudio estudio de caso caso Ejercicios pide que que determine determine si el equipo equipo anterior anterior debe debe 1. Se le pide ampliarse con con nuevo nuevo equipo equipo o si el equipo equipo de trastrasampliarse lado deberá considerarse considerarse como reemplazo. reemplazo. Si el lado deberá como reemplazo resulta más más económico, económico, ¿qué ¿qué método método reemplazo resulta transporte de material material deberá deberá utilizarse utilizarse en la la de transporte cantera? cantera? Debido a las las nuevas nuevas normas normas de seguridad, seguridad, el concon2. Debido trol de polvo en la cantera cantera y en el sitio sitio de trituración trituración trol de polvo convertido en un verdadero verdadero problema, imse ha ha convertido problema, e im-
443
plica que que debe debe invertirse invertirse nuevo nuevo capital capital para para mejomejoplica rar el ambiente ambiente de trabajo, trabajo, o de otra otra manera manera se imimrar pondrán multas multas elevadas. elevadas. El presidente presidente de Tres Tres CeCepondrán mentos, S. A., A., obtuvo obtuvo una una cotización cotización inicial inicial del mentos, subcontratista, que que se encargará encargará de toda toda la operaoperasubcontratista, ción de traslado traslado de materia materia prima prima y se evaluará evaluará en ción una cantidad cantidad base base anual anual de $21 000 000 y un costo costo vauna riable de 1 centavo centavo por por tonelada tonelada métrica métrica trasladada. trasladada. riable Los diez diez trabajadores trabajadores de la cantera cantera serán serán reubicados reubicados Los otra área área sin que que haya haya algún algún impacto impacto financiero financiero en otra sobre la estimación estimación de la evaluación. evaluación. ¿Debería ¿Debería tosobre marse en consideración consideración esta esta oferta oferta si la mejor mejor estiestimarse mación es de 380000 380000 toneladas toneladas métricas anuales métricas anuales mación trasladadas por por el subcontratista? subcontratista? Identifique las las trasladadas Identifique suposiciones adicionales adicionales necesarias necesarias para para replantear suposiciones replantear adecuadamente esta nueva pregunta pregunta del del presidente presidente adecuadamente esta nueva compañía. de la compañía.
Selección de de proyectos proyectos Selección independientes independientes
-
limitaciones con limitaciones presupuesta les
-
12 presu puesta les o o 1-
«« u u
En la la mayoría mayoría de las las comparaciones económicas anteriores, las las alternativas fueron mutuamente mutuamente excluyentes: sólo podría elegirse una. una. Si Si los proyectos no son mutuamente mutuamente excluyentes, son son clasificados como independientes independientes entre sí, sí, son tal como se analizó al principio del capítulo 5. Ahora aprenderemos técnicas se al principio 5. aprenderemos para independientes. Es Es posible posible selecp ara seleccionar de entre varios proyectos independientes. cionar cualquier cualquier número de proyectos desde ninguno ninguno (no (no hacer nada) nada) hasta hasta todos los proyectos viables. todos Virtualmente superior sobre la la cantidad de caVirtualmente siempre existe algún límite superior pital disponible disponible para invertir invertir en nuevos proyectos. proyectos. Dicho límite se se considera conforme se evalúa económicamente cada proyecto independiente. La técniconforme se evalúa económicamente cada proyecto independiente. La ca aplicada se denomina método de elaboración de presupuesto de capital, ca se método de elaboración de presupuesto de capital, también conocido como racionamiento de capital, que determina el mejor también conocido racionamiento determina mejor racionamiento económico de la inversión inicial de capital entre los proyectos racionamiento económico la independientes. El El método método de elaboración de presupuesto de capital es es una una independientes. aplicación del método método del valor presente presente.. En el estudio de caso caso se se echa echa un un vistazo a los dilemas de selección de proyectos que tiene una una asociación asociación profesional de ingeniería, que se se esfuerza esfuerza por atender atender las las necesidades de sus sus miembros con un un presupuesto limitado limitado en un mundo tecnológicamente un tecnológicamente cambiante.
e
-
-
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE OBJETIVOS Objetivo general: seleccionar seleccionar entre entre diversos diversos proyectos proyectos independientes independientes cuando cuando hay un límite límite Objetivo general: inversión de de capital. capital. a la inversión
Este capítulo capítulo ayudará al lector lector a: a: Este
I ---,------ I Racionamiento Racionamiento de de capital capital
Proyectos con vidas vidas iguales iguales Proyectos
seleccionar diversos proyectos proyectos VP para se leccionar entre diversos 2. Utilizar el análisis VP independientes con vidas igu iguales. independientes ales. VP para seleccionar seleccionar entre diversos proyectos proyectos 3. Emplear el análisis VP independientes con vidas diferentes. diferentes. independientes
Proyectos con vidas vidas desiguales desiguales Proyectos
Modelo de de programación programación lineal lineal Modelo
i-
razonamiento utilizado utilizado en el racionamiento racionamiento del 1. Explicar el razonamiento proyectos independientes. independientes. capital entre proyectos
I
ell problema problema de presupuesto presupuesto de capital utilizando utilizando 4. Resolver e programación lineal tanto tanto a mano como por por medio medio de programación computadora. computadora.
446
CAPÍTULO CAPÍTULO 12
12.1 12.1
I //
Secc. 5.1 Secc.5.1
I
Jt Mutuamente excluyentes e independientes
Selección proyectos independientes independientes con con limitaciones limitaciones presupuestales presupuestales Selección de proyectos
PANORAMA PANORAMA GENERAL GENERAL DEL RACIONAMIENTO RACIONAMIENTO DE CAPITAL CAPITAL ENTRE PROYECTOS PROYECTOS
El capital recurso escaso escaso para para todas todas las corporaciones; corporaciones; en conseconsecapital de inversión inversión es un recurso cuencia, virtualmente siempre existe una cantidad limitada para distribuirse entre cuencia, virtualmente siempre existe una cantidad limitada para distribuirse entre las oportunidades de inversión que compiten. Cuando una corporación tiene varias oportunidades inversión compiten. Cuando una corporación tiene varias opciones inversión, se debe debe tomar tomar una una decisión decisión de "reopciones para para colocar colocar su capital capital de inversión, "rechazo o aceptación" para cada proyecto. Efectivamente, cada opción indepenchazo aceptación" para cada proyecto. Efectivamente, cada opción es independiente realiza sobre la base base de proyecto proyecto diente de las otras, de manera manera que la evaluación evaluación se realiza por proyecto. La selección de un proyecto no impacta la decisión de selección para proyecto. selección proyecto impacta decisión selección para cualquier otro proyecto. proyecto. Ésta Ésta es la diferencia diferencia fundamental fundamental entre entre las alternativas alternativas cualquier mutuamente excluyentes excluyente s y los proyectos mutuamente proyectos independientes. independientes. El término proyecto sirve para identificar cada opción opción independiente. independiente. Usamos Usamos término proyecto para identificar cada el término conjunto para identificar una colección de proyectos independientes. término conjunto para identificar una colección proyectos independientes. El alternativa mutuamente mutuamente excluyente excluyente continúa cuantérmino alternativa continúa identificando identificando un proyecto proyecto cuando sólo puede elegirse uno entre varios. puede elegirse entre varios. Existen para los proyectos proyectos puramente puramente independientes: independientes: un proproExisten dos excepciones excepciones para yecto contingente es aquel que tiene una condición respecto de su aceptación yecto contingente aquel tiene una condición respecto aceptación o rechazo. Dos ejemplos de proyectos contingentes A y B serían los siguientes: rechazo. ejemplos proyectos contingentes serían siguientes: A no puede aceptarse a menos que se acepte B; y A puede aceptarse en lugar pero puede aceptarse menos acepte puede aceptarse lugar de B, pero ambos no son necesarios. Un proyecto dependiente es aquel que debe aceptarse ambos necesarios. proyecto dependiente aquel aceptarse o rechazarse con base en la decisión acerca de otro(s) proyecto(s). Por ejemplo, B rechazarse decisión acerca otro(s) proyecto(s). ejemplo, debe aceptarse si tanto A como C ~e aceptan. En la práctica, estas condiciones aceptarse como ~e aceptan. práctica, condiciones de complejidad pueden simplificarse mediante la formación de paquetes proyeccomplejidad pueden simplificarse mediante formación paquetes de proyectos relacionados, que sean económicamente evaluados por sí mismos como prorelacionados, económicamente evaluados por mismos como proyectos independientes con los proyectos restantes no condicionados. independientes proyectos restantes condicionados. El problema presupuesto de capital capital tiene tiene las siguientes problema de elaboración elaboración del presupuesto siguientes características: racterísticas:
1. Se identifican proyectos independientes independientes y están están disponibles disponibles las estiestiidentifican diversos diversos proyectos maciones del flujo de efectivo maciones efectivo neto. Cada proyecto proyecto se selecciona selecciona o se rechaza 2. Cada rechaza totalmente; totalmente; es decir, no es posible posible la inversión parcial parcial en un proyecto. inversión proyecto. limitante presupuestal presupuestal establecida 3. Una limitante establecida restringe restringe la cantidad cantidad total total invertida. invertida. Pueexistir varias limitantes limitantes presupuestales solamente durante den existir presupuestales solamente durante el primer primer año o durante varios varios años. Este simboliza mediante durante Este límite límite en la inversión inversión se simboliza mediante b. objetivo es maximizar maximizar el retorno sobre las inversiones alguna 44.. ..El El objetivo retorno sobre inversiones utilizando utilizando alguna medida de valor, usualmente usualmente el valor medida valor VP. naturaleza, en general, general, los proyectos independientes son bastante Por naturaleza, proyectos independientes bastante diferentes diferentes entre sí. Por ejemplo, ejemplo, en el sector sector público, ciudad puede entre público, el gobierno gobierno de una una ciudad puede desarrodesarrodiversos proyectos proyectos para para escoger: escoger: un proyecto de drenaje, llar diversos proyecto'de drenaje, un parque parque citadino, citadino, la ampliación de calles y el mejoramiento sistema de autobuses ampliación mejoramiento del sistema autobuses públicos. públicos. En el sector privado privado puede puede haber haber diversos sector diversos proyectos: prqyectos: una una nueva nueva instalación instalación de bodegas, bodegas, expansión de la base base de productos, productos, la mejora la expansión mejora en el programa programa de calidad, calidad, un nuevo nuevo sistema de información información o la adquisición sistema adquisición de otra otra compañía. compañía. El problema problema típico típico de la
elat ind: nen
tos.
Est diei yec
SECCIÓN SECCIÓN 12.1
Panorama Panorama general general del racionamiento racionamiento de capital capital entre entre proyectos proyectos
447
elaboración presupuesto de capital elaboración del presupuesto capital se ilustra ilustra en la figura 12.1 12.1.. Para Para cada cada proyecto proyecto independiente independiente hay una inversión inversión inicial, inicial, una vida del proyecto proyecto y flujos de efectivo efectivo netos estimados, estimados, que pueden pueden incluir incluir un valor valor de salvamento. salvamento. Se recomienda recomienda el método método de análisis análisis de valor valor presente presente para para seleccionar seleccionar proyecproyectos. El lineamiento de selección Ellinearniento selección es el siguiente: siguiente:
Acepte Acepte proyectos proyectos con los mejores mejores valores valores VP determinados determinados a la TMAR TMAR sobre sobre la vida del proyecto, proyecto, siempre siempre que no se exceda exceda el límite límite de capital capital para invertir. Este lineamiento proyectos indepenlineamiento no es diferente diferente del usado usado en la selección selección para para proyectos independientes dientes de los capítulos capítulos anteriores. anteriores. Entonces, Entonces, cada cada proyecto proyecto se compara compara con el proyecto no hacer hacer nada; es decir, no es necesario necesario el análisis análisis incremental incremental entre proyecproyec-
Figura Figura 12.1
Proyectos Proyectos independientes independientes Inversión Inversión injcial inicial
Características icas Características bás básicas de de de un problema problema de elaboración elaboración de de presupuesto de de capital. capital. presupuesto
Flujos Flujos de de efecti efecti vo neto estimados neto estimados
A.tmJ----
A. B~ -
Límite Límite de jnversión inversión capital de capital Inversión Inversión
r-@
BrED-- T c.
H ItIT3
@ Vjda Vjda (no puede puede (no invertir más invertir más que esto) esto) que
~
Elija de de O O a los 3 proyectos proyectos Elija
., Objetivo: Maxjmizar Maximizar Objetivo: valor VP VP de la selección selección el valor dentro del del límite límite de de capital capital dentro
448
CAPÍTULO CAPÍTULO 12
Selección Selección de proyectos proyectos independientes independientes con con limitaciones limitaciones presupuestales presupuestales
tos. Ahora Ahora la diferencia diferencia principal principal radica radica en que la cantidad cantidad de dinero dinero disponible disponible para invertir invertir está limitada. limitada. Por ende, se requiere requiere un procedimiento procedimiento de solución solución espara pecífico pecífico que incorpore incorpore dicha dicha restricción. restricción. Con anterioridad, entre anterioridad, el análisis análisis VP requirió requirió la suposición suposición de servicio servicio igual igual entre las alternativas. toda alternativas. Tal suposición suposición no es válida válida para para el racionamiento racionamiento de capital, capital, toda vez que no hay ciclo de vida de un proyecto proyecto más allá de su vida estimada. estimada. Sin embargo, la directriz embargo, directriz de la selección selección se basa basa en el VP sobre la vida respectiva respectiva de cada proyecto proyecto independiente. independiente. Esto significa significa que existe existe una suposición suposición implícita implícita de reinversión, que es el siguiente: siguiente: reinversión, Todos los flujos flujos de efectivo efectivo neto positivos positivos de un proyecto proyecto se reinvierten reinvierten a la TMAR TMAR desde desde el momento momento en que se realizan realizan hasta hasta el final del proyecto proyecto con vida más larga. larga. sección 12.3 se se"demuestra esta suposición suposición fundamental fundamental es correcAl final de la sección demuestra que esta correcta, cuando cuando se trata trata el racionamiento racionamiento de capital capital con base para proyectos proyectos con base en VP para diferentes. vidas diferentes. dilema del racionamiento racionamiento de capital capital entre proyectos proyectos independientes independientes tiene Otro dilema tiene relación con la flexibilidad flexibilidad del límite límite b de inversión inversión de capital. capital. El límite límite llega llega a relación deshabilitar marginalmente marginalmente un proyecto proyecto aceptable aceptable que se encuentra encuentra inmediatameninmediatamendeshabilitar te después después de la línea aceptación. Por Por ejemplo, ejemplo, suponga suponga que el proyecto proyecto A tiene tiene línea de aceptación. positivo a la TMAR. Si A provocará provocará que el límite de capital de $5 000 000 un valor VP positivo exceda por sólo $1 000, ¿A debería debería incluirse incluirse en el análisis análisis VP? Por lo general, general, un se exceda límite en la inversión inversión de capital capital es algo flexible, flexible, de manera manera que el proyecto proyecto A debelímite debeincluirse. En los ejemplos ejemplos contenidos contenidos en el capítulo capítulo no se excederán excederán los límites ría incluirse. límites de inversión inversión establecidos. establecidos. Es posible proyectos independientes. Como posible usar un análisis TR para elegir elegir entre proyectos independientes. Como estudió en los capítulos capítulos anteriores, anteriores, la técnica técnica TR quizá quizá no seleccione seleccione los mismos mismos se estudió proyectos que el análisis análisis VP, a menos menos que se desarrolle desarrolle análisis análisis TR incremental incremental proyectos MCM de las vidas. Lo mismo mismo es cierto cierto en el caso del racionamiento racionamiento de sobre el MCM capital. Por lo tanto, se recomienda recomienda el método para el racionamiento racionamiento de capital capital. método VP para capital proyectos independientes. independientes. entre proyectos
12.2 12.2
s
e
s e e
1
r 1
2
RACIONAMIENTO RACIONAMIENTO DEL CAPITAL CAPITAL UTILIZANDO UTILIZANDO EL ANÁLISIS ANÁLISIS VP PARA PROYECTOS PROYECTOS CON CON VIDA VIDA IGUAL IGUAL
Para seleccionar seleccionar entre proyectos proyectos que tienen tienen la misma misma vida esperada y para para no inverPara vida esperada inverlímite b, es necesario necesario formular, principio, todos los conjuntos tir más allá del límite formular, en un principio, conjuntos mutuamente mutuamente excluyentes: excluyentes: un proyecto proyecto a la vez, dos a la vez, etcétera. etcétera. Cada Cada paquete paquete factible debe tener tener una inversión inversión total que no exceda exceda b. Uno de tales paquetes paquetes es el factible proyecto de no hacer hacer nada nada (NHN). El número número total de conjuntos conjuntos para para m proyectos proyecto proyectos calcula usando usando la relación relación 2 El número número aumenta aumenta rápidamente rápidamente con m. Para = se calcula Para m = 4 existen existen 24 = = 16 paquetes, paquetes, y para para m = = 6, 26 = = 64 paquetes. paquetes. Luego Luego se determina determina el VP paquete a la TMAR. TMAR. Se selecciona selecciona el paquete paquete con el mayor mayor VP. de cada paquete 111 211I.•
4
1 r
,
SECCIÓN 12.2
Racionamiento del capital utilizando el análisis VP para proyectos con vida igual
Para ilustrar el desarrollo de los paquetes mutuamente excluyentes, considere estos cuatro proyectos con vidas iguales. Proyecto
Inversión inicial
A B C
$-10000 -5000 -8000 -15000
D
Si el límite de inversión es b = $25 000, de los 16 conjuntos, hay 12 posibles para evaluar. Los paquetes ABD, ACD, BCD Y ABCD tienen inversiones totales que exceden $25 000. Los conjuntos aceptables son:
Proyectos A B C D AB AC
Inversión total inicial $-10 000 -5000 -8000 -15000 -15000 -18000
Proyectos AD BC BD CD ABC No hacer nada
Inversión total inicial $-25000 -13 000 -20000 -23000 -23000
O
El procedimiento para resolver un problema de elaboración del presupuesto de capital utilizando el análisis VP es como sigue: 1. Desarrolle todos los conjuntos mutuamente excluyentes que tengan una inversión inicial total que no exceda el límite de capital b. 2. Sume los flujos de efectivo netos FENjl para todos los proyectos en cada conjunto j y cada año t desde 1 hasta la vida esperada del proyecto nj• Remítase a la inversión inicial para el paquete j en el momento t = O como FENjo• 3. Calcule el valor presente, VPj, para cada paquete a la TMAR. VPj = VP de los flujos de efectivo netos del conjunto - la inversión inicial t
'::::Ilj
VI»j = I,.FENj¡(PIF,i,t)
}'ENjo
[12.1]
I.=J
4.
Seleccione el conjunto con el valor VPj (numéricamente) mayor.
La selección de un valor de paquete VPj máximo significa que este paquete genera un retorno mayor que cualquier otro paquete. Se descarta todo conjunto con VPj < O, ya que éste no produce un retorno de la TMAR.
449
450
12 Selección de proyectos independientes
CAPÍTULO
con limitaciones
SEC
presupuestales
El comité de revisión de proyectos de Microsoft tiene $20 millones para asignar el próximo año al desarrollo de nuevos productos de software. Cualquiera de (o todos) los cinco proyectos en la tabla 12.1 pueden aceptarse. Todas las cantidades están en unidades de $1000. Cada proyecto tiene una vida esperada de 9 años. Seleccione el proyecto si se espera un retorno de 15%.
12.1
TABLA
Cinco proyectos independientes (unidades de $1 000)
de vida igual
Proyecto
Inversión inicial
Flujo de efectivo neto anual
Vida del proyecto, años
A B C D E
$-10 000 -15000 -8000 -6000 -21000
$2870 2930 2680 2540 9500
9 9 9 9 9
Solución Utilice el procedimiento anterior con b = $20 000 para seleccionar un paquete que maximice el valor presente. Recuerde que las unidades representan $1 000. Hay 25 = 32 paquetes posibles. Los ocho paquetes que no requieren inversiones iniciales mayores de $20 000 se identifican en las columnas 2 y 3 de la tabla 12.2. La inversión de $21 000 elimina el proyecto E de todos los paquetes.
Ge se el¡ de
de qu
ha mi
TABLA
12.2
Proyectos incluidos
(2) 1 2 3 4 5' 6 7 8
)
se el
Resumen del análisis de valor presente de proyectos independientes de vicia igual
A B C D A1C AD CD No hacer nada
Inversión inicial, FENjQ
(3) $-10000 -15000 -8000 l. -6'000 -18000 -16000 -14000
Valor
Flujo de efectivo neto anual, FENj (4)
i
$2870 2930 2680 2540 5550 5410 5220
.
O
presente, VPj
(5) $ +3 694
.1
-1019 +4788 +6120 .¡ '+8482 +9814 +10908
~
O
•
SECCIÓN 12.3 Racionamiento de capital utilizando el análisis VP para proyectos de vida diferente
2.
Los flujos de efectivo netos de paquete, columna 4, son la suma de los flujos de efectivo netos del proyecto individual. Utilice la ecuación [12.1] para calcular el valor presente de cada conjunto. Puesto que el FEN anual y las estimaciones de vida son los mismos en un conjunto, VPj se reduce a
3.
VPj = FEN/P/A, 15%,9) - FENjo 4.
La columna 5 de la tabla 12.2 resume los valores VPj con i = 15%. El conjunto 2 no genera el 15%, puesto que VP2 < O.La medida de valor más grande es VP7 = $10 908; por consiguiente, invierta $14 millones en e y D. Esto deja $6 millones sin invertir.
Comentario Este análisis supone que los $6 millones no utilizados en esta inversión inicial producirán la TMAR en alguna otra oportunidad de inversión no especificada. El retorno sobre el conjunto 7 excede el ;15% anual. La tasa real de rendimiento, utilizando la relación O = -14000 + 5 220(P/A,i*,9) es i* = 34.8%, que excede considerablemente la TMAR = 15%.
12.3
RACIONAMIENTO DE CAPITAL UTILIZANDO VP PARA PROYECTOS DE VIDA DIFERENTE
EL ANÁLISIS
Generalmente, los proyectos independientes no tienen la misma vida esperada. Como se estableció en la sección 12.1, el método VP para la solución del problema de elaboración de presupuesto de capital supone que cada proyecto durará el periodo del proyecto con la vida más larga, nL. Adicionalmente, se supone que la reinversión de todos los flujos de efectivo netos positivos es a la TMAR, desde el momento en que ocurren hasta el final del proyecto con vida más larga, es decir, desde el año nj hasta el año nL. Por consiguiente, no es necesario el empleo del mínimo común múltiplo de las vidas y es correcto utilizar la ecuación [12.1], con la finalidad de seleccionar conjuntos de proyectos de vida diferentes mediante el análisis VP con el procedimiento de la selección anterior. (
EJEMPLO
.:t!:
12.2
Para una TMAR = 15% por afto y'b = $20000, seleccione entre los sigui~ntes proyectos,. tT independientes. Resuelva a mano y por computadora. ¡,
Proyecto A B
C D
L
Inversión inicial
Flujo de efectivo neto anual
Vida del proyecto, 'años
$-8000 -15000 -8000 -8000
$3870 2930 2680 2540
6 9 5 4
451
452
CAPÍTULO
12
Selección de proyectos independientes
con limitaciones
SE
presupuestales
Solución a mano Los valores de vida diferente hacen que los flujos de efectivo netos cambien durante la vida del conjunto; no obstante, el procedimiento de selección es el mismo que el anterior. De los 24 = 16 conjuntos, ocho son económicamente factibles. Sus valores VP con la ecuación [l2.J] se resumen en la tabla 12.3. Como ilustración, para el paquete 7: VP7= -16 000 + 5 220(P/A,15%,4) + 2 680(P/F,15%,5) = $235 Seleccione el conjunto 5 (propuestas A y C) para una inversión de $16 000.
TABLA
12.3
Análisis del valor presente para propuestas independientes con vidas diferentes, " ~ejemplo 12.2. . .~
,1,,, 1"''''
¡i¡~~
Conjunto,
j
hl:~'
~sei-e
Proyecto
(1)
(2)
Inversión inicial, FENjo
(3)
Flujos de efectivo netos Año, t
FENjt
(4)
(5)
Valor presente, VPj (6)
1
A
$-8000
1-6
$3870
$+6646
2
B
-15000
1-9
2930
-1019
3
C
-8000
1-5
2680
4
D
-8000
1-4
2540
-748
5
AC
-16000
1-5
6550
+7630
6
3870
6
AD
-16000
1-4
6410
5-6
3870
1-4
5220
5
2680
7
CD
8
No hacer nada
-16000
O
+984
+5898 +235
O
O
Solución por computadora La figura 12.2 presenta una hoja de cálculo con la misma información que la de la tabla 12.3. Es necesario iniciar con el desarrollo de los conjuntos mutuamente excluyentes y los flujos de efectivo netos totales para cada año. El conjunto 5 (proyectos A y C) tiene el mayor VP (celdas de la fila 16). La función VPN se utiliza para determinar VP para cada paquete j sobre su vida respectiva, usando el formato VPN (TMAR,FEN3ño_1 :FEN_año_n)+inversión.
a
1 e f
SECCIÓN SECCIÓN 12.3 12.3
Racionamiento para proyectos proyectos de vida Racionamiento de capital capital utilizando utilizando el análisis análisis VP VP para vida diferente diferente
Iii!J§lEJ I!iII'iiU3
X "lIclOsoft tohcrosoft ExcelExcel . Example Example 12.2 12.2 BIe !;.dit ~iew !nsert f! Q> QBE QBE'' existe existe una una utilidad utilidad previsible; previsible; pero pero si Q Q < QBE' QBE (véase la figura entonces hay una pérdida. pérdida. En En el caso caso de de los los modelos modelos lineales lineales de de R y CV, a mayor mayor entonces hay una cantidad habrá habrá mayores mayores utilidades. utilidades. Las Las utilidades utilidades se calculan calculan de de la siguiente siguiente manera: manera: cantidad
Utilidades = = ingresos ingresos - costo costo total total Utilidades = R - CT CT =
[13.1] [13.1]
las funciones funciones de de ingreso ingreso y costo costo total total son son lineales lineales de de la cantidad cantidad Q, Q, es posible posible Si las obtener una una relación relación para para el punto punto de de equilibrio equilibrio al igualar igualar las las relaciones relaciones para para R y obtener CT, lo que que indica indica una una utilidad utilidad de de cero. cero. CT,
470
CAPÍTULO 13
Figura 13.2
$
Análisis del punto de equilibrio
Efecto sobre el punto de equilibrio cuando se reduce el costo variable unitario.
d
R
CTcon CV reducido
1 p f (
b n I I I I
Utilidades maximizadas
El punto I de equilibrio :. se mueve
e
:
u 1:
Utilidades
I
e
QPE
p
Q unidades por año
I Figura 13.3
$
Puntos de equilibrio y punto de utilidad máxima para un análisis no lineal.
CT
R
1 I I I I
1 I I
:-I I I I I I I I
! 1
I
Intervalo d~ utilidades ----.: I ! I I I I 1 !
Qp
Q unidades anuales
I I I I I I I I
Pérdidas
SECCIÓN 13.1 SECCIÓN
Análisis de punto punto de equilibrio equilibrio para un proyecto único Análisis para un proyecto único
R=CT R=CT rQ rQ
= FC + VC = = FC + vQ vQ =
donde donde
= ingreso ingreso por unidad unidad r= costo variable variable por unidad unidad v = costo Al resolver resolver para la cantidad de equilibrio QBE se obtiene obtiene para cantidad equilibrio QBE
el" O .CI,:~.,:; \ . . . " Lo,..". o.!' ,r ~ ~ . ~ , ,"~,') , ,
TABlA TABt:A
y
2
,
:
~
'
w
SMARC Valor de de n, años años Valor Descripción Descripción del del activo activo (propiedad (propiedad personal personal
e inmobiliaria) inmobiliaria) Dispositivos especiales especiales para manufactura y manejo, manejo, Dispositivos para manufactura tractores, tractores, caballos caballos de carreras carreras Computadoras periféricos, equipo Computadoras y periféricos, equipo de duplicación, duplicación, automóviles, automóviles, camiones, camiones, autobuses, autobuses, contenedores contenedores de carga, carga, algún algún equipo equipo de manufactura manufactura Muebles manufactura; Muebles de de oficina; oficina; algún algún equipo equipo de de manufactura; vagones motores, rieles; rieles; maquinaria vagones de de ferrocarril, ferrocarril, motores, maquinaria natural; toda agrícola; para petróleo petróleo y gas agrícola; equipo equipo para gas natural; la propiedad propiedad no contenida contenida en otra clase Equipo para transporte Equipo para transporte de agua, agua, refinación refinación de petróleo, petróleo, procesamiento producto agrícola, manufactura procesamiento de de producto agrícola, manufactura barcos de bienes bienes duraderos, duraderos, construcción construcción de de barcos Mejoramiento Mejoramiento a terrenos, terrenos, muelles, muelles, carreteras, carreteras, drenajes, drenajes, puentes, jardinería, jardinería, tuberías, puentes, tuberías, equipos equipos de producción producción energía nuclear, nuclear, distribución distribución de teléfonos teléfonos de energía Alcantarillados municipales, municipales, construcciones construcciones agrícolas, agrícolas, Alcantarillados cambio de líneas líneas telefónicas, telefónicas, equipo equipo de producción cambio producción de energía energía (vapor (vapor e hidráulica), servicios de agua agua de hi~ráulica), servicios Propiedad residencial residencial para arrendar (casa, (casa, vivienda vivienda Propiedad para arrendar móvil) móvil) Propiedad no residencial pero no Propiedad residencial adherida adherida al terreno, terreno, pero no terreno en en sí el terreno
SDG
Rango Rango del del SAD
3
3-5 3-5
5
6-9.5 6-9.5
7
10-15 10-15
10
15-19 15-19
15
20-24 20-24
20
\
25-50 25-50
27.5 27.5
40 40
39
40 40
largo que el SDG. La convención convención de mitad mitad de año se aplica aplica y se ignora ignora cualquier cualquier valor valor de salvamento, salvamento, como sucede sucede en el SMAR@ SMARC regular. Por lo común, común, el uso del SDA es una opción opción que tienen tienen las compañías, compañías, aunque aunque es requerido requerido en algunas algunas situasituaciones de activos activos especiales. especiales. Puesto Puesto que requiere tiempo para depreciar el actiacticiones requiere más tiempo para depreciar vo, y como se requiere requiere el modelo modelo LR (eliminando (eliminando así la ventaja ventaja de la depreciación depreciación acelerada), acelerada), en general, general, el SDA no se considera considera una opción opción en los análisis análisis económieconómicos. Sin embargo, preferida por negocios embargo, algunas algunas veces veces esta opción opción LR elegible elegible es preferida negocios jóvenes, quienes beneficio fiscal de la depreciación jóvenes, quienes no necesitan necesitan el beneficio depreciación acelerada acelerada duprimeros años de operación propiedad de los activos. rante los primeros operación yy de propiedad activos. De seleccionarse seleccionarse el SDA, existen dI disponibles. existen tablas tablas de tasas d, disponibles.
16.6
MÉTODOS AGOTAMIENTO MÉTODOS DE AGOTAMIENTO
Hasta punto, se ha estudiado para activos pueden reemplaHasta este punto, estudiado la depreciación depreciación para activos que pueden reemplazarse. zarse. El agotamiento, agotamiento, aunque aunque similar similar a la depreciación, depreciación, es aplicable aplicable sólo a los recursos pueden reemplazarse cursos naturales. naturales. Cuando Cuando se extraen extraen los recursos, recursos, éstos no pueden reemplazarse o comprarse puede serlo una máquina, comprarse de nuevo nuevo en la misma misma forma forma que puede máquina, una compucompu-
579
580
CAPÍTULO CAPÍTULO 16
Métodos de depreciación Métodos depreciación
tadora O una estructura. naturales extraídos tadora estructura. El agotamiento agotamiento es aplicable aplicable a depósitos depósitos naturales extraídos de minas, minas, pozos, pozos, canteras, bosques y similares. canteras, depósitos depósitos geotérmicos, geotérmicos, bosques similares. Hay dos métodos de agotamiento: por costos porcentual. métodos agotamiento: el agotamiento agotamiento por costos y el agotamiento agotamiento porcentual. IRS Publication Publication 535, Business Business Expenses, Expenses, se dan detalles En la IRS detalles sobre sobre los impuestos impuestos en Estados Estados Unidos. Unidos. por costos, hace referencia referencia algunas veces como El agotamiento agotamiento por costos, al cual se hace algunas veces como agotamiento de factor, se basa basa en el nivel nivel de actividad actividad o uso, no en el tiempo, tiempo, como tamiento como en la depreciación. puede aplicarse recursos naturales. naturales. El depreciación. Éste puede aplicarse a la mayoría mayoría de los recursos factor de agotamiento agotamiento por costos para denotado por p" es la razón costo factor por costos para el año t,t, denotado por PI' razón del costo inicial recurso con respecto respecto al número unidades recuperables. inicial del recurso número estimado estimado de unidades recuperables. costo inicial inicial costo PI 'd d d Pt = = capacl id capaci a . e recursos
der taje 50c ing
Va!
Uti
ex:
pei
[16.15] [16.15]
cej
por agotamiento multiplicado por por el uso o volumen volumen del año. El El cargo cargo por agotamiento anual anual es PI p, multiplicado agotamiento por costo total no puede puede exceder agotamiento por exceder el costo costo inicial inicial del recurso. Si la capacidad propiedad se estima nuevamente en algún año futuro, se determina capacidad de la propiedad estima nuevamente determina nuevo factor base en la cantidad un nuevo factor de agotamiento agotamiento por costos, costos, con base cantidad no agotada agotada y en la nueva nueva estimación estimación de capacidad. capacidad.
de de
EJEMPLO EJEMPLO
ca cu
qu
'1F ~~~
16.5 16.5
Temple-Inland Corporation Corporation ha ha negociado los derechos derechos para cortar madera extenTemple-Inland negociado los para cortar madera en una una extensión bosques de propiedad privada privada por por $700 pueden obtenerse 350 sión de bosques de propiedad $700 000. 000. Se Se estima estima que que pueden obtenerse 350 millones pies de tabla de madera. millones de pies de tabla de madera. a) a)
b)
Determine la cuantía Determine cuantía del agotamiento agotamiento durante durante los los 2 años años iniciales, iniciales, si se cortan cortan 15 y 22 millones millones de pies de tabla de madera. 22 de pies de tabla de madera. Después de los pies pies de tabla tabla recuperables recuperables totales totales se estiman 450 millones millones Después de 2 años, años, los estiman en en 450 desde momento en nuevo factor desde el momento en que que se compraron compraron los los derechos. derechos. Calcule Calcule el nuevo factor de de agotamiento por costos año 3 y posteriores. posteriores. agotamiento por costos durante durante el año
Solución Solución ecuación 16.15 16.15 para calcular PI p, en en dólares dólares por de tabla. a) Utilice Utilice la ecuación para calcular por millón millón de pies pies de tabla.
PI por millón millón de pies pies de tabla tabla P, = $700 $700 000 000 = $2 $2 000 000 por 350 350
S
b) b)
Multiplique PI por la cosecha para obtener Multiplique p, por cosecha anual anual para obtener el agotamiento agotamiento de $30 $30 000 000 en en el año año de $44 $44 000 000 en el año año 2. Continúe Continúe utilizando p, hasta agotado un de 1 y de utilizando PI hasta haber haber agotado un total total de $700000. $700000. Después de 2 años ha agotado total de Un nuevo nuevo valor valor PI Después años se ha agotado un total de $74 $74 000. 000. Un P, debe debe calcucalcularse con con base en la inversión $700 000 - 74 74 000 000 = $626 $626 000. 000. Además, Además, con con larse base en inversiÓn restante, restante, $700000 estimación de de 450 de pies de tabla, queda un de 450 la nueva nueva estimación 450 millones millones de pies de tabla, queda un total total de 450 - 15 - 22 22 == 413 de pies Para los los años años t = factor de de agotamiento agotamiento 413 millones millones de pies de tabla. tabla. Para = 3, 4, ...... , el factor por costos es ahora: ahora: por costos P, PI
_ $626 000 __$626 000 413 413
$1516 por cada millón de pies de tabla $1516 por cada millón de pies de tabla
L C(
e:
SECCIÓN SECCIÓN 16.6 16.6
Métodos Métodos de agotamiento agotamiento
El agotamiento porcentual, el segundo agotamiento porcentual, segundo método método de agotamiento, agotamiento, es una consiconsideración para recursos recursos naturales. naturales. Cada Cada año puede puede agotarse agotarse un porcenporcenderación especial especial dada para taje constante constante dado del ingreso ingreso bruto bruto del recurso, recurso, siempre siempre que éste no exceda exceda el compañía. Para Para petróleo petróleo y gas, el límite límite es 100% de 50% del ingreso gravable gravable de la compañía. ingreso gravable. gravable. Entonces, Entonces, anualmente anualmente la cantidad cantidad agotada agotada se calcula calcula como: ingreso Valor del ag()talrH agotamiento personal ::::porcentaje
Utilizando Utilizando el agotamiento agotamiento porcentual, porcentual, los cargos totales totales por agotamiento agotamiento pueden pueden exceder exceder el costo costo inicial inicial sin límite. límite. Generalmente, Generalmente, el gobierno gobierno de Estados Estados Unidos Unidos no permite permite que el agotamiento agotamiento porcentual porcentual se aplique aplique a pozos pozos de petróleo petróleo y de gas (excepto los pequeños pequeños productores productores independientes) independientes) ni a la madera. madera. La cuantía cuantía del agotamiento agotamiento cada año se determina determina utilizando utilizando ya sea el método método de costo costo o el método método de porcentaje, porcentaje, como lo permita permita la ley. Por Por lo común, común, la cuantía cuantía del agotamiento agotamiento porcentual porcentual se prefiere prefiere debido debido a la posibilidad posibilidad de descontar descontar más del costo original original de la inversión. inversión. Sin embargo, embargo, la ley también también exige que se prefiera prefiera la cuantía cuantía de agotamiento agotamiento por costos, costos, si el agotamiento agotamiento porcentual porcentual es menor menor en cualquier quier año. De esta manera: manera:
Se deben deben calcular calcular ambos ambos montos montos de agotamiento agotamiento (el agotamiento agotamiento por por cosagotamiento porcentual porcentual [% Agot]) y aplicar aplicar cada cada año la tos [$Agot] y el agotamiento siguiente lógica. siguiente Agotamiento anual
e
{%
¿¿
LR
SDD
'"2 40
ª" ...
30
o
O;
>
20
s= $10000
10 I
O
2
3
4
5
6 Año
7
8
9
10
11
592
CAPÍTULO 16 CAPÍTULO
Métodos depreciación Métodos de depreciación
1. El cambio recomienda cuando modelo cambio se recomienda cuando la depreciación depreciación para para el año tt con el modelo utilizado actualmente menor que aquella para un modelo modelo nuevo. nuevo. La depreutilizado actualmente es menor aquella para depremonto más grande. ciación ciación seleccionada seleccionada D, es el monto grande. Durante el periodo periodo de recuperación recuperación sólo puede puede ocurrir 2. Durante ocurrir un cambio. cambio. 3. Independientemente Independientemente de los modelos modelos de depreciación utilizados, el depreciación (clásicos) (clásicos) utilizados, valor en libros nunca puede puede descender valor de salvamento valor libros nunca descender por debajo debajo del valor salvamento estimodelo SD, el valor valor de salvamento mado. Cuando Cuando se cambia cambia un modelo salvamento estimado, estimado, no el valor de salvamento utiliza para para calcular para el valor salvamento implicado, implicado, se utiliza calcular la depreciación depreciación para nuevo método: método: se supone en todos los casos. (Esto no aplica nuevo supone S == O Oen aplica al SMARC, SMARC, pues éste ya incluye pues incluye el cambio.) cambio.) nueva base base ajustada 4. La cuantía cuantía no depreciada, depreciada, es decir, VL" se usa como como la nueva ajustada para seleccionar mayor para para la próxima próxima decisión para seleccionar la D, mayor decisión de cambio. cambio. En todas las situaciones, situaciones, el criterio criterio es maximizar maximizar el valor valor presente presente de la depreciadepreciación total, VP D' mejor estrategia modelos de D' La mejor estrategia de cambio cambio es la combinación combinación de los modelos depreciación producen el valor valor presente presente más grande. depreciación que producen grande. l=n l=n
VPD == LD¡{PIF,i,t) LDlPIF,i,t)
[16A.5]
,~l
Esta lógica lógica minimiza minimiza la obligación tributaria en la parte parte inicial periodo de recurecuEsta obligación tributaria inicial del periodo peración de un activo. peración activo. ventajoso de un modelo modelo de cancelación rápida como El cambio cambio es más ventajoso cancelación rápida como SDD al modelo LR. Tal cambio predeciblemente ventajoso ventajoso si el valor valor de salvamento modelo cambio es predeciblemente salvamento implicado que se calcula calcula usando ecuación [16.10] excede excede el valor salvamenimplicado usando la ecuación valor de salvamento estimado estimado en el momento compra; es decir, se debe cambiar cambiar si: momento de la compra; [16A.6]
VL = = B(1 - d)" > S estimado estimado II II
Puesto Puesto que se supone supone que el S será cero por por la anterior anterior regla regla 3 y que VL será será mayor mayor cero, el cambio cambio de un modelo siempre es ventajoso. ventajoso. Dependiendo que cero, modelo SD a LR siempre Dependiendo de cambio puede los valores valores de d y n, el cambio puede ser mejor mejor en los últimos últimos años o en el último último deduce el monto implicado inherente inherente al año del periodo periodo de recuperación, recuperación, lo cual deduce monto S implicado modelo modelo SDD. El procedimiento cambiar de la depreciación depreciación SDD a la LR es: procedimiento para para cambiar II II
1. Para cada año t, calcule calcule los dos cargos cargos por depreciación: 1. Para cada por depreciación: Para Para SDD: ParaLR: ParaLR: 2.
D SDD _I) = d(VL¡ d(VL'_I) SDD =
D LR LR -
VL'_1 VL' _1 nn - t+ t+ 1
[16A.7] [16A.8]
Seleccione el mayor mayor valor depreciación. La depreciación depreciación para cada año es Seleccione valor de depreciación. para cada
[16A.9] 3.
calcule el valor depreciación total, utilizando Si es necesario, necesario, calcule valor presente presente de la depreciación utilizando la ecuación [16A.5]. [16A.5]. ecuación
SECCIÓN 16A.2
Cambio entre métodos de depreciación depreciación
Es aceptable, aceptable, aunque aunque en general general no es ventajoso ventajoso financieramente, financieramente, afirmar afirmar que cambio tendrá tendrá lugar lugar en un año específico, específico, por ejemplo, ejemplo, dictaminar dictaminar un cambio cambio de un cambio SDD a LR en el año 7 de un periodo de recuperación de 10 años. Si bien es periodo recuperación bien habitual habitual enfoque no se utilice, utilice, la técnica técnica de cambio cambio funcionará funcionará correctamente correctamente para para que este enfoque cualquier modelo de depreciación. cualquier modelo depreciación. Para utilizar utilizar una hoja hoja de cálculo cálculo para para el cambio, cambio, primero primero comprenda comprenda las reglas reglas Para de cambio del modelo de depreciación y practique el procedimiento de cambio cambio modelo depreciación practique procedimiento cambio de saldo decreciente a línea recta. Una vez comprendido, la mecánica del cambio decreciente línea Una comprendido, mecánica cambio puede acelerarse mediante la aplicación de la función DVS (disminución acelerarse mediante aplicación función (disminución variable variable del cálculo. Ésta Ésta es una función función muy poderosa poderosa que determina determina la saldo) de la hoja de cálculo. depreciación para para el año 1 o el total durante durante varios años, para para el cambio cambio SD a LR. El depreciación formato de la función función es formato DVS(B,S,n,Cinicial,t_final,d,sin_cambios) DVS(B,S,n,Cinicial,Cfinal,d,sin_cambios) El apéndice apéndice A explica explica todos los campos campos en detalle, detalle, aunque aunque para para aplicaciones aplicaciones sencisencinecesarios los valores valores DI anuales anuales de SDD y LR, las siguientes siguientes son llas, donde son necesarios entradas correctas: correctas: entradas Unicial es el año (t-1) (t-1) Unicial Cfinal es el año t Cfinal opcional; se supone supone 2 para SDD, el mismo mismo que en la función función DDB d es opcional; sin_cambios es un valor valor lógico lógico opcional: opcional: sin_cambios FALSO u omitido: omitido: ocurre ocurre cambio cambio a LR, si es ventajoso ventajoso FALSO VERDADERO: se aplican aplican los modelos modelos SDD o SD sin consideración consideración de VERDADERO: cambio a la depreciación depreciación LR cambio Ingresar VERDADERO VERDADERO para para la opción opción sin_cambios sin_cambios provocará, provocará, en efecto, efecto, que la Ingresar despliegue las mismas cantidades de depreciación depreciación que la función función DDB. función DVS despliegue mismas cantidades analiza en el ejemplo ejemplo 16A.2d. 16A.2d. Esto se analiza
principal de The Outback Steakhouse compró una copiadora copiadora de imágenes de La oficina principal documentos en línea por $100 000, con una vida útil estimada de 8 años y un periodo de recuperación de depreciación depreciación impositiva presente de la derecuperación impositiva de 5 años. Compare el valor presente preciación total por a) el método LR, b) el método SDD y e) el cambio de SDD a LR. preciación computadora y represente represente gráficamente gráficamente los d) Realice el cambio de SDD a LR usando una computadora valores en libros. Utilice una tasa de i = 15% anual. Solución a mano mano Solución En esta solución no está involucrado el método SMARC. a)
La ecuación [16.1] determina la depreciación LR anual. DI = 100000 100000 - 0= 0= $20 $20000 000 D, 5
593
m m Sol·E
CAPÍTULO 16 Métodos de depreciación
594
Puesto que D, es la misma para todos los años, el factor P/A reemplaza P/F para calcular VP o. VPo = 20 000(P/A,15%,5) = 20 000(3.3522) = $67044 b)
e)
Para el SDD, d = 2/5 = 0.40. Los resultados se muestran en la tabla 16A.1. El valor VPD = $69915 excede el valor de $67044 para la depreciación LR. Como se esperaba, la depreciación acelerada SDD maximiza VPo. Utilice el procedimiento de cambio de SDD a LR. 1. Los valores SDD para D, en la tabla 16A.l se repiten en la tabla 16A.2 para compararse con los valores de DLR de la ecuación [16A.8]. Los valores DLR cambian cada año puesto que VL'_Ies diferente. Solamente en el año 1, DLR = $20000, el mismo calculado en la parte a). Para ilustración, calcule un valor DLR para los años 2 y 4. Para t = 2, VL¡ = $60 000 usando el método SDD y DLR= 60000-0 5-2+1
=$15000
Para t = 4, VL3 = $21 600 mediante el método SDD y DLR = 21 600 - O = $10 800 5-4+1 2. La columna "D, más grande" indica un cambio en el año 4 con D4 = $10 800. DLR
= $12960 en el año 5 se aplicaría sólo si el cambio ocurriera en el año 5. La depreciación total con cambio es $100000 comparada con la cantidad SDD de $92224. 3. Con el cambio, VPD = $73 943, el cual es un incremento tanto sobre el modelo LR como sobre el modelo SDD.
~Sol-E
Solución por computadora d) En la figura 16A.2, columna D, están como entradas las funciones DVS para deter-
minar que el cambio de SDD a LR tendrá lugar en el año 4. Las entradas "2,FALSO"
TABLA
16A.1
Modelo SDD de depreciación y cálculos de valor presente para el ejemplo 16A.2b
Año t
Dt
VL,
(P/ F, 15%, t)
Valor presente de
O 1 2 3 4 5
$40000 24000 14400 8640 5184
$100000 60000 36000 21600 12960 7776
0.8696 0.7561 0.6575 0.5718 0.4972
$34784 18146 9468 4940 2577
Totales
$92224
o,
$69915
SECCIÓN 16A.2 Cambio entre métodos de depreciación
16A.2
TABLA
Depreciación y valor presente que permite el cambio de SDD a LR, ejemplo 16A.2c
t
OSDD
VLt
DLR
mayor
P/F
Valor presente de Dt
O 1 2 3 4* 5
$40000 24000 14400 8640 5184
$100000 60000 36000 21600 12960 7776
$20000 15000 12000 10800 12960
$ 40 000 24000 14400 10 800 10 800
0.8696 0.7561 0.6575 0.5718 0.4972
$34784 18146 9468 6175 5370
Totales
$92224
Modelo 500
Año
595
Modelo LR
OT
Factor
$73943
$100000
*Indica años de cambio de la depreciación SDD a la LR.
I!III[¡J
X I.hcrosoft Excel . Example 16A.2 ~iew
lnsert
FQ.rmat
~
•••
~l~!
f.
L
~ W~ f
A 2 3
Año
4
O
e
I I
B
1
o
5
.y.p de deer.
100,000 60,000
$
40,000
1$ I $
$ $
24,000 14,400
$ $
36,000 21,600
$ $
8,640 5,184
$ $
12,960 7,776
$69,916
..
I , I
- ..--
Cambio SDD a LR Depr. VL con cambio
~
$ $ $ $
40,000, 24,000' 14,400
$
10,800
$
10.800
-4---+...................
1-1
..
E
$ $ $ i
F '-- ..-- -1..- I •.. _._ .•... _.....•........ +-
I1=SDD($C$4,O,S,$AS) 1=1~----
~===:::::r===+--·-·--·-
1f181
~.--_._--+-----+
F
i
l· . . . VLparaSDD--
1
$
---.-..-+1.-----.--
$100,000
ª
$60,000
O
$40,000
~
$20,000
Q)
o
R~y
Sheet3
-;:
J
1
VLconcambio
I
r-,
-......,.
-..
1
2
--
K
3
Año
-
1-.'==+= ,==+===:;===+==.11
C:::¡-DVS($E$4,O,S,$A4,$AS,2,FALSO)
---
I · ··-·····-----¡--~=+====+===r====~-
- ..~ --.
_ _.-~I-.---.--- ..~-----._+ .. _.. _ +-.- ..-+.. --~----.~.-~-----+------~----
12~1~11---______t--_·-~·-----_~------j------_~--·! Sheet2
I
1
s-
..--.+ ..
+ ..1
'\
e
--+-j
l.ll--- -
I ,
H
jI\
$80,000
e'"
O_"ªº-º--I-
- .. -t· 1·---..·"'--"-----
1
G
1
21,600
$
1\
II I
100,000 60,000 36,000
_ ______t.....:$:!:.};·7~31,,~ 94.~3H_ ..
I
,. 1
= VPN(lS%,BS:B9)
I
I
Modelo SDD Depr. I VL para SDD
1 2 3 4
~5heet1
lZI ,----' ~ • A..
105%·
~~
=
AI8
a
_ ó' ,x
º-at
.lb1itID@
~[g,~
12 __ _.
10015
t Sheet4
Sheet5
Shee;6'
Sheet7 ¡
--
--.......J ~~---~-'
~~~~~~~
Figura 16A.2 Cambio entre modelos de depreciación SDD a LR usando la función DVS de Excel, ejemplo 16A.2d.
596
CAPÍTULO CAPÍTULO 16
Métodos Métodos de depreciación depreciación
al final final de la función función DVS DVS son son opcionales opcionales (véase (véase la descripción descripción de de la función función DVS). DVS). Si se ingresa VERDADERO, se mantiene mantiene el modelo modelo de saldo ingresa VERDADERO, saldo decreciente decreciente a lo largo largo del periodo de recuperación, y las cantidades del periodo de recuperación, cantidades de de depreciación depreciación anual anual son son iguales iguales a las de la columna columna B. gráfica de de la la figura figura 16A2 16A.2 indica indica otra otra diferencia diferencia de B. La La representación representación gráfica en los métodos de depreciación. valor en libros para el modelos métodos depreciación. El El valor libros terminal terminal en en el año año 5 para modemientras que reduce a cero lo SDD SDD es VL VL55 = $7 776, 776, mientras que el cambio cambio de SDD SDD a LR LR reduce cero el valor valor libros. en libros. VP de depreciación. depreciación. Aquí Las VPN en la fila Las funciones funciones VPN fila 11 determinan determinan el VP Aquí los los resultados son los los mismos mismos que que los los de los los incisos incisos b) y e) anteriores. anteriores. El cambio cambio de SDD SDD resultados son LR tiene D' a LR tiene el valor valor mayor mayor VP VP D.
SMARC, los periodos 3,5,7 Y10 convención En el SMARC, periodos de recuperación recuperación de 3,5,7 Y 10 años con convención aplican en el cambio cambio de SDD a LR. Cuando Cuando sucede sucede el cambio cambio a de mitad mitad de año se aplican generalmente ocurre ocurre en los últimos LR, lo cual generalmente últimos 1 a 3 años del periodo periodo de recuperarecuperacualquier base carga en el año n + 1, de manera libros ción, cualquier base restante restante se carga manera que el valor valor en libros llegue a cero. Es usual aplicable permanezca después de llegue usual que el 50% del monto monto LR aplicable permanezca después haber ocurrido el cambio. cambio. Para Para los periodos haber ocurrido periodos de recuperación recuperación de 15 y 20 años, se aplica el SD de 150% con la convención convención de mitad cambio a LR. aplica mitad de año y el cambio valor presente depreciación VP DD siempre siempre indicará indicará cuál es el modelo El valor presente de la depreciación modelo más ventajoso. SMARC para (tabla ventajoso. Sólo las tasas SMARC para periodos periodos de recuperación recuperación SDG (tabla cambio SDD a LR. Las tasas SMARC SMARC alternativas alternativas para sistema 16.4) utilizan utilizan el cambio para el sistema depreciación alternativa alternativa tienen tienen periodos imponen de depreciación periodos de recuperación recuperación más largos e imponen modelo LR para recuperación. el modelo para todo el periodo periodo de recuperación.
L
Ll EJEMPLO EJEMPLO
16A.3 16A.3
ar
.~" ~,
g(
ejemplo 16A2, 16A.2, incisos incisos e) y d), el modelo cambio de SDD SDD a LR LR se aplicó aplicó a un En el ejemplo modelo de cambio un activo de $100 $100 000 000 y n= n= 5 años, años, produciendo = $73943 $73943 para 15%. Utilice SMARC produciendo VPDD = para ii= = 15%. Utilice SMARC activo para depreciar el mismo mismo activo activo utilizando años, y compacompapara depreciar utilizando un periodo periodo de de recuperación recuperación de 5 años, re los los valores valores VP VPD.
ei af
Sl pl
Solución Solución La 16A.3 resume cálculos de depreciación depreciación (utilizando (utilizando tasas 16.2), el La tabla tabla 16A3 resume los cálculos tasas de la tabla tabla 16.2), valor libros y el valor valor presente depreciación. Los Los valores valores VP VP D para los cuatro cuatro valor en libros presente de la depreciación. para los métodos son: métodos son: Cambio de SDD SDD a LR LR Cambio Saldo decreciente decreciente doble doble Saldo SMARC SMARC Línea recta Línea recta
$73943 $73943 $69916 $69916 $69016 $69016 $67044 $67044
El SMARC SMARC proporciona cancelación menos acelerada. Es Es decir, decir, en en parte debe a El proporciona una una cancelación menos acelerada. parte se debe que la convención convención de de mitad año no 50% de la depreciación depreciación SDD SDD del del primer que mitad de año no permite permite el 50% primer año (lo cual cual representa 20% del del costo costo inicial). inicial). Además, Además, el periodo del año representa al 20% periodo de recuperación recuperación del SMARC se amplía amplía al año año 6, reduciendo aún más VP D. D' SMARC reduciendo aún más el VP
ic D p el e;
SECCIÓN 16A.3
TABLA
t
16A.3
Determinación de tasas SMARC
Depreciación y valor en libros utilizando SMARC. ejemplo 16A.3 d,
Dt
VLt
$ 20 000 32000 19200 11 520 11520 5760
$100000 80000 48000 28800 17 280 5760 O
O
1 2 3 4 5 6
0.20 0.32 0.192 0.1152 1.1152 0.0576 -1.000
$100000 (=6
VPD = 2,D,(PIF,15%,t)
= $69 016
1= 1
16A.3
DETERMINACiÓN
DE TASAS SMARC
Las tasas de depreciación para SMARC incorporan el modelo de cambio de SD a LR para todos los periodos de recuperación SDG de 3 a 20 años. Durante el primer año, se realizan algunos ajustes para calcular la tasa SMARC. Los ajustes varían y, generalmente, no se consideran en detalle en los análisis económicos. La convención de mitad de año siempre se impone y cualquier valor en libros restante en el año n se deduce en el año n + l. Se supone el valor S = Opara todos los programas SMARC. Puesto que se utilizan diferentes porcentajes SD para los distintos valores de n, puede recurrirse al siguiente resumen para determinar los valores DI y VLI. Para identificar las depreciaciones SD y LR, respectivamente, se utilizan los símbolos DSD Y DLR• Para n = 3,5, 7 Y 10 Utilice la depreciación SDD con convención de medio año con cambio a la depreciación LR en el año t cuando DLR :2 DSD' Utilice las reglas de cambio de la sección 16A.2 y agregue medio año al calcular DLR para la cuenta de la convención de mitad de año. Las tasas de depreciación anuales son:
t=1 d
I
={±
[16A.10]
2 n
t=2,3,
...
597
598
CAPÍTULO 16 Métodos Métodos de depreciación depreciación
Los valores para cada valores de depreciación depreciación anuales anuales para cada año t aplicados aplicados a la base base ajustada ajustada son: son: DSD = dlVL dlVLt_1t)_ 1) SD = D D
= =
LR LR
[16A.ll] [l6A.ll]
VL 1 VL'_1 n - t + 1.5 t_
[16A.12] [l6A.12]
Cuando generalmente, en los últimos Cuando se realiza realiza el cambio cambio a una depreciación depreciación LR --generalmente, últimos 1 a 3 años del periodo periodo de recuperaciónrecuperación-, , cualquier cualquier valor valor en libros libros restante restante en el año n se retira retira en el año n + l. 1.
Para n = Y 20 Utilice Para = 15 15Y Utilice el SD de 150% con la convención convención de mitad mitad de año y el cambio cambio a LR cuando cuando DLR ~ D SD Mientras la depreciación depreciación LR sea más ventajosa, ventajosa, la LR ~ SD' ' Mientras depreciación depreciación SD anual se calcula calcula usando usando la forma forma de la ecuación ecuación [16A.7] [l6A. 7] = dlVL,_I) dlVLt_1) D SD SD =
donde donde
dd== ,t
EJEMPLO EJEMPLO
{
0.~5 0.~5
{ 1.50 n
tt=l =l
[16A.13]
tt=2,3, = 2,3 , ...
16A.4
Se ha comprado por $10 000 una máquina de tejer para un material que imita la gamuza recuperación SMARC a 5 años. a) Use las ecuaciones [16A.10] a periodo de recuperación con un periodo [l6A.12] para obtener la depreciación depreciación anual y el valor en libros. libros. b) b) Determine Determine las tasas de [16A.12] depreciación anual resultantes resultantes y compárelas con las tasas SMARC que se presentan presentan en la depreciación tabla 16.2 para n = 5.
S E
Solución Solución convención de mitad de año, utilice el procedimiento a) Con n = 5 Y la convención procedimiento de cambio de SDD a LR para obtener los resultados de la tabla l6A.4. l6A.4. El cambio a la depreciación depreciación LR, que ocurre en el año 4 cuando ambos valores de depreciación son iguales, se indica por $1152 DSD 152 SD = 0.4(2 880) = $1 DLR = = D
b)
2880 2880 1.5 5 - 4 + 1.5
= $1 $1 152 152 =
La depreciación LR de $576 en el año 6 es el resultado de la convención de mitad de año. Las tasas reales se calculan dividiendo los valores de la columna ""DI DI mayor" por el costo inicial de $10 000. Las tasas siguientes son las mismas que las tasas de la tabla 16.2. 4 2 3 5 6
¡-\ d,
0.20
0.32
0.192
0.1152
0.1152 ..
1
0.0576
1 t(
e
SECCIÓN 16A.3 Determinación de tasas SMARC
TABLA
16A.4
Montos de depreciación usados para determinar tasas SMARC para n = 5, ejemplo l6AA SDD
Años t
Depreciación
d,
Oso
OLR
0.2 0.4 0.4 0.4 0.4
$2000 3200 1920 1 152 691
$1818 1777 1371 1 152 1 152 576
LR
D, mayor VLt
O
el a
1 2 3 4 5 6
$2000 3200 1920 1 152 1 152 576
---
$10000 8000 4800 2880 1728 576 O
$10000
Resulta claro que es más fácil utilizar las tasas presentadas en la tabla 16.2 que determinar cada tasa SMARC empleando la lógica de cambio anterior. Pero la lógica que subyace a las tasas SMARC se describe aquí para aquellos interesados. Las tasas SMARC anuales pueden obtenerse utilizando la tasa aplicable para el método SD. Los subíndices SD y LR se insertaron junto con el año t. Para el primer año t = 1, 1 dSD1, =-n
Sólo para los propósitos de la suma, se introduce el subíndice i(i = 1,2, ... , t) en d. Entonces, las tasas de depreciación para los años t = 2, 3, "" n son: [16A,14]
l_iI,1
=
d
(
LR,I
di)
1=1
[16A.15]
n - t + 1.5
También, para el año n + 1, la tasa SMARC es la mitad de la tasa LR del año anterior n. d LR,II+1
=_1_
2d
[16A.16]
LR,n
Las tasas SD y LR se comparan cada año para determinar cuál es más grande y cuándo debería ocurrir el cambio a la depreciación LR.
599
600
CAPÍTULO 16 CAPÍTULO
EJEMPLO EJEMPLO
Métodos depreciación Métodos de depreciación
i' t""
16A.5 16A.5
Verifique las tasas tasas SMARC tabla 16.2 para un un periodo periodo de recuperación recuperación de Verifique SMARC en la tabla 16.2 para de 3 años. años. Las tasas son 33.33, 33.33, 44.45, 14.81 Y 7.41. 7.41. Las tasas en porcentaje porcentaje son 44.45, 14.81
16i
Solución Solución La tasa tasa fija para SDD = 3 es d == 2/3 2/3 = = 0.6667 Utilizando la convención mitad de La fija para SDD con con n = 0.6667. . Utilizando convención de mitad de año en en el año año 1 y las ecuaciones [16A.14] [16A.16], los son: año las ecuaciones [16A.14] a [16A.16], los resultados resultados son: d 0.5d = 0.5(0.6667) = 0.3333 elSD,1 = 0.5d = 0.5(0.6667) = 0.3333 SD•1 = el22•• d
La tasa tasa de de depreciación La depreciación acumulada acumulada es 0,3333, 0.3333. 0.6667(1 - 0.3333) 0.4445 dSO 0,3333) = 0.4445 SD,2,2 = 0.6667(1
(valor mayor) (valor mayor)
dLR,2,2 = 0.3333 = 0.2267 el = 1 - 0.3333 = 0.2267 LR 3 - 2 + 1.5
d33..
161
La tasa de depreciación depreciación acumulada acumulada es 0.3333 0.3333 + 0.4445 0.4445 = 0,7778, 0.7778. La tasa de dSD 0.6667(1 - 0.7778) 0.7778) = 0.1481 0.1481 SD•3•3 = 0.6667(1-
d ,3 = 1 - 0.7778 =0.1481 0.1481 dLR,3=1-0.7778 LR 3 - 3 + 1.5
Ambos valores valores son los mismos; mismos; cambie depreciación en línea línea recta. recta. Ambos son los cambie a la depreciación d¿ d 4•
La 50% de la última tasa LR. La tasa tasa es 50% la última tasa LR.
d = 0.5(d = 0.5(0.1481) 0.5(0.1481) = = 0.0741 d,4 = 0.5(dLRLR•3•)3 ) = 0.0741
16,
PROBLEMAS APÉNDICE PROBLEMAS DEL APÉNDICE Depreciación por suma Depreciación por suma de dígitos dígitos anuales anuales
16A.l 16A.l
Una compañía manufacturera europea Una compañía manufacturera europea tiene nuevo nuevo equipo inicial tiene equipo con un costo costo inicial 12000 euros, un valor salvamento de 12 000 euros, valor de salvamento estimado periodo de estimado de 2 000 euros euros y un periodo recuperación de 8 años. Use el método método recuperación SDA para para tabular tabular la depreciación depreciación anual anual valor en libros. y el valor libros.
16A.2 remoción de tie16A.2 Se espera espera que equipo equipo de remoción rra con un costo costo inicial inicial de $150 $150 000 tenga una vida estima que el vida de 10 años. Se estima valor de salvamento valor salvamento sea de 10% del costo inicial. inicial. Calcule Calcule el cargo cargo de depreciadeprecia-
valor en libros libros para ción y el valor para los años 2 y 7 utilizando utilizando el método método SDA.
16A.3 = $12 000, n == 6 años y S se estima 16A.3 Si B = estima en 15% de B, con el método método SDA determine a) el valor valor en libros libros después después de 3 mine años y b) la tasa tasa de depreciación depreciación y la cantidad cantidad de depreciación depreciación en el año 4. Métodos de cambio Métodos cambio
16A.4 Un activo tiene un costo 16A.4 Un activo tiene costo inicial inicial de $45 000, periodo de recuperación recuperación de 000, un periodo 5 años valor de salvamento años y un valor salvamento de $3 000. Utilice el procedimiento Utilice procedimiento de cam-
16
PROBLEMAS PROBLEMAS DEL DEL APÉNDICE APÉNDICE
depreciación SDD a LR, y calcucalcubio de depreciación valor presente presente de depreciación depreciación a i = = le el valor 18% anual.
16A.5
periodo Si B == $45 000, S == $3 000 y n == periodo recuperación de 5 años, use una hoja de recuperación hoja cálculo con i = = 18% anual para para maxide cálculo maximizar el valor valor presente presente de depreciación, depreciación, mizar considerando los siguientes siguientes métodos: métodos: considerando cambio de SDD a LR (éste se determinó determinó cambio problema 16A.4) y SMARC. SMARC. PuesPuesen el problema SMARC es el sistema sistema de depredepreto que SMARC ciación requerido requerido en Estados Estados Unidos, Unidos, cociación mente los resultados. resultados. mente
Industrias Hempsteed Hempsteed tiene una nueva 16A.6 Industrias nueva máquina de fresado fresado con B = = $110000, $110 000, n máquina Determine el = 10 años y S = $10 000. Determine programa de depreciación depreciación y el valor valor preprograma sente de depreciación depreciación a i = = 12% anual método SD de 175% para para los pricon el método primeros 5 años y cambio cambio al método método LR meros clásico para para los últimos últimos 5 años. Utilice Utilice clásico cálculo para para resolver una hoja de cálculo resolver este este problema. problema.
601
depreciación LR en algún algún punto depreciación punto en la vida vida del edificio? edificio? 16A.9 Si usted fuera de Estados 16A.9 usted reside reside fuera Estados Unidos, Unidos, investigue las leyes investigue leyes impositivas impositivas vigenvigentes para para depreciación depreciación (o recuperación recuperación de capital) capital) en su país, y compárelas compárelas con los métodos métodos clásicos clásicos de depreciación depreciación de LR y SD. También También compárelas compárelas con SMARC. En su comparación, comparación, resalte resalte cualquier cualquier diferencia significativa significativa en la filosofía filosofía de ferencia depreciación, periodos depreciación, periodos de recuperación recuperación y tasas de recuperación anuales. recuperación anuales. Tasas SMARC Tasas SMARC 16A.I0 Verifique 16A.I0 Verifique las tasas del periodo periodo de recuperación SMARC dado peración a 5 años para para el SMARC en la tabla tabla 16.2. Empiece Empiece con el modelo modelo SDD en el año 1 y cambie cambie a depreciadepreciación ción LR cuando cuando ofrezca ofrezca una tasa de recuperación cuperación mayor. 16A.ll 16A.ll
Un sistema sistema de grabación grabación de videos videos se compró hace años a un costo costo de compró hace 3 años 000. Se utilizaron $30 000. utilizaron un periodo periodo de recuperación de 5 años años y depreciación cuperación depreciación SMARC para cancelar la base. El sisteSMARC para cancelar ma será reemplazado reemplazado prematuramente prematuramente con un valor valor de intercambio intercambio de $5 000. ¿Cuál es la diferencia diferencia entre entre el valor ¿Cuál valor en libros y el valor libros valor de intercambio? intercambio?
Resuelva a mano o por computadora. computadora. Sea 16A.7 Resuelva B= 000, n == 8 años, S == $800 = $12 $12000, $800 e i = = 20% anual. a) Desarrolle Desarrolle el programa programa de depreciación y el VP de depreciación depreciación con depreciación método SDD. b) Realice Realice el cambio cambio a el método depreciación clásica clásica LR, y desarrolle desarrolle el depreciación nuevo programa programa de depreciación depreciación y el nuevo valor VPDD•• e) Determine Determine el programa programa valor SMARC y el valor valor VPDD para un periodo periodo SMARC recuperación de 7 años. ti) RepresenRepresende recuperación gráficamente las tres curvas de valor te gráficamente valor misma gráfica. gráfica. en libros sobre la misma
16A.12 Use cálculos en las ecuaciones 16A.12 Use los los cálculos las ecuaciones [16A.1O] a [16A.12] [16A.12] para determinar la [16A.1O] para determinar depreciación anual SMARC para depreciación anual SMARC para los siguientes = $50 000 y guientes datos de activo: B = un periodo periodo de recuperación recuperación de 7 años.
Reliant Electric Electric Company Company construyó construyó un 16A.8 Reliant edificio portátil portátil con un costo costo inigran edificio inisalvamento antianticial de $155 000 y un salvamento cipado de $50 000 después después de 25 años. cipado ¿Debería realizarse realizarse la depreciación depreciación a) ¿Debería mediante cambio de SDD a LR? b) mediante el cambio ¿Para qué valores valores de la tasa de depreciadeprecia¿Para uniforme, en el método método SD, sería sería ción uniforme, ventajoso cambiar cambiar de depreciación depreciación SD a ventajoso
16A.13 Las tasas de recuperación SMARC para 16A.13 recuperación SMARC para tres años son 33.33%, 33.33%, 44.45%, % 44.45%, 14.81 % Y 7.41 %, respectivamente. ¿Cuáles respectivamente. a) ¿Cuáles correspondientes para son las tasas tasas correspondientes para el modelo alternativo SMARC SMARC en línearecmodelo alternativo línea recta con la convención convención de medio medio año imimpuesta? Compare los valores puesta? b) Compare valores VP D para para = $80 000 e i = = estos dos métodos métodos si B = 15% anual.
17 o o
« u u
Análisis económico económico después de impuestos impuestos Este lo ofrece un inolog ía tributaria, Este capítu capítulo un panorama general de term terminología tributaría. tasas tasas de impuesto impuesto sobre la la renta y ecuaciones pertinentes pertinentes relacionadas con el análisis análisis económico económico después de impuestos. El cálculo para para la la conversión del fluj flujoo de efectivo estimado estimado antes de impuestos (FEAI), (FEAI), al al flujo de efectivo efectivo después de impuestos (FEDI), (FEDI), incluye la la consideración consideración de los efectos efectos significativos significativos de los impuestos que pudieran alterar la la decisión final, así así como el cálculo de la la magnitud del efecto efecto tributario tributario sobre el flujo de efectivo efectivo en la la vida de la la alternativa alternativa.. En En este capítulo se se explican las las comparaciones comparaciones entre alternativas mutuamente excluyentes, realizadas VA Y realizadas a partir partir de los métodos métodos de VP, VP,VA y TR, TR, después tomando en en cuenta implicaciones implicaciones tributarias tributarias importantes. importantes. Se de impuestos, tomando Se tributarios que ocurren al al presentan los estudios de reemplazo con los efectos tributarios momento de reemplazar al defensor. También se se analiza analiza el valor económico económico momento agregado después de impuestos impuestos en una una alternativa alternativa en el contexto contexto del análisis análisis agregado anual. Todos estos métodos métodos emplean los procedimientos procedimientos que se se estude valor anual. anteriores, con la la excepción de que ahora se se toman en en diaron en capítulos anteriores, consideración los efectos tributarios. tributarios. consideración Una evaluación después de impuestos realizada realizada por cualquier cualquier método método rereUna más cálculos que las las evaluaciones llevadas a cabo anteriormente. anteriormente. La La quiere más computadora es es una una herramienta que reduce significativamente significativamente el el tiempo tiempo de computadora análisis, debido debido a la la potencia potencia del formato formato de la la hoja de cálculo y de las las funciofuncioanálisis, nes que emplea emplea.. Se Se desarrollan los modelos modelos para para tabular tabular e ell flujo de efectivo efectivo nes computadora. . Se Se incluye información información después de impuestos a mano y por computadora adicional Estados Un Unidos -ley tributaria tributaria y tasas ad icional sobre impuestos federales de Estados idos -ley tasas tributarias actualizadas anualmenteanualmente- del Internal Revenue Revenue Service Service y sus sus putributarias más accesible, el sitio IRS IRSwww.irs.gov. blicaciones. De forma más www.irs.gov. Publications 542, Corporations, y 544, Sales Sales and Other Other Dispositions Dispositions of Assets Assets se se relaciona espeCorporations, capítulo.. En En la la última sección sección se se resumen resumen algunas diferencias cialmente con este capítulo Estados Un Unidos. en el ttratamiento ratamient o de los impuestos fuera de Estados idos. estudio caso brinda la la oportunidad oportunidad de llevar a cabo un un an análisis com-El estud io de caso álisis com pleto después de impuestos de deuda frente a ffinanciamiento pleto inanciam iento con capital prodepreciación del activo incluid incluida. Ésta es es una una aplicació aplicaciónn del modelo modelo d de pio, con depreciación a. Ésta e
generalizado del del flujo de de efectivo. efectivo. análisis generalizado
e
-
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•
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: realizar una evaluación económica de una o más alternativas, tomando en cuenta el efecto del impuesto sobre la renta y otras normas tributarias pertinentes a este caso.
Este capítulo ayudará al lector a: Terminología
1. Emplear correctamente la terminología básica, y las tasas de impuesto sobre la renta para individuos y corporaciones contribuyentes.
y tasas
FEAI Y FEDI
I
I
2. Calcular el flujo de efectivo antes y después de impuestos.
Impuestos y depreciación
3. Demostrar la ventaja tributaria de la depreciación acelerada y un periodo de recuperación acortado.
Recobro de depreciación
4. Calcular el impacto tributario del recobro de depreciación y las ganancias (o pérdidas) de capital.
y ganancias de capital
5. Evaluar alternativas empleando el análisis de VP,VA y TR después de impuestos.
Análisis después de impuestos
Hojas de cálculo
I Reemplazo después de impuestos
Análisis de valor agregado
Impuestos fuera de Estados Unidos
I
6. Elaborar hojas de cálculo que estructuren una evaluación después de impuestos de dos o más alternativas. 7. Evaluar al defensor y retador en un estudio de reemplazo después de impuestos. 8. Evaluar alternativas empleando el análisis de valor económico agregado después de impuestos. 9. Comprender el impacto después de impuestos de las leyes fiscales en otros países en los que no se incluye Estados Unidos.
604
CAPÍTULO CAPÍTULO 17
17.1 17.1
Análisis impuestos Análisis económico económico después después de impuestos
TERMINOLOGíA TERMINOLOGíA PARA PARA EL IMPUESTO IMPUESTO SOBRE SOBRE LA RENTA RENTA Y SU RELACiÓN RELACiÓN CON CON CORPORACIONES CORPORACIONES (E INDIVIDUOS) INDIVIDUOS)
A continuación términos y relaciones relaciones básicos básicos de impuestos impuestos continuación se describen describen algunos algunos términos corporativos ingeniería económica. económica. corporativos básicos básicos útiles útiles en los estudios estudios de ingeniería total proveniente proveniente de fuentes fuentes que producen producen El ingreso ingreso bruto, bruto, m, lB, es el ingreso ingreso total entradas cualquier ingreso ingreso de otras fuentes fuentes entradas en una corporación, corporación, incluyendo incluyendo cualquier como permisos. Los ingresos ingresos se declaran declaran como serían serían ventas ventas de activos, activos, regalías regalías y permisos. en la sección resultados. sección respectiva respectiva en el estado estado de resultados. impuestos con base base en el ingreso ingreso El impuesto impuesto sobre sobre la renta renta es el monto monto de los impuestos declararse a la institución institución federal federal (o de menor bruto que debe declararse menor nivel) nivel) gubernagubernaporcentaje del ingreso ingreso gravable mental. Un gran porcentaje gravable en Estados Estados Unidos Unidos se basa basa en la fijación Interno de Ingresos Ingresos (IRS), fijación de impuestos impuestos a los ingresos. ingresos. El Servicio Servicio Interno que forma forma parte Tesoro de Estados Estados Unidos, Unidos, recauda recauda los parte del Departamento Departamento del Tesoro impuestos. renta de una una corporación corporación generalgeneralimpuestos. Los pagos pagos del impuesto impuesto sobre la renta mente último pago pago del año se presenta presenta con la mente se realizan realizan trimestralmente, trimestralmente, y el último devolución tributaria tributaria anual. Los impuestos devolución impuestos son flujos de efectivo efectivo reales. reales. GO, incluyen incluyen todos los costos Los gastos de operación, operación, GO, costos corporativos corporativos en los que se incurre negocio. Dichos gastos son deducibles deducibles incurre en las transacciones transacciones de un negocio. Dichos gastos de impuestos Para las alternativas alternativas de ingeniería económiimpuestos para para las empresas. empresas. Para ingeniería económica, los costos anual de operación) operación) y el de M&O M&O (mante(mantecostos como como el COA (costo (costo anual nimiento y operaciones) operaciones) son aplicables nimiento aplicables en este este caso. Los montos calcularse en un estudio estudio económico económico y montos de lB y GO deberán deberán calcularse expresarse expresarse de la siguiente siguiente manera: manera: Ingreso gastos == lB - GO Ingreso bruto bruto - gastos partir del cual se calculan calculan los impuestos. impuestos. El ingreso ingreso gravable, gravable, IG, es el monto monto a partir En el caso de las corporaciones, depreciación D D y los gastos gastos de operación operación corporaciones, la depreciación son deducibles deducibles de impuestos, impuestos, por por lo tanto, "
'1
IG
= ingreso ingreso bruto bruto - gastos = gastos - depreciación depreciación =IB-GO-D =m-GO-D
[17.1]
equivalente decimal, decimal, del ingreso ingreso La tasa tasa de impuestos, impuestos, T, es un porcentaje, porcentaje, o equivalente gravable impuestos, tabulada tabulada de acuerdo acuerdo gravable que se debe en impuestos. impuestos. La tasa de impuestos, con el nivel de IG, es progresiva, mayores conforme conforme el progresiva, es decir, las tasas son mayores IG aumenta. para el cálculo cálculo de impuestos impuestos emplea emplea el valor valor aumenta. La fórmula fórmula general general para T aplicable aplicable de la siguiente siguiente forma.
Impuestos Impuestos
= (tasa de impuestos impuestos aplicable) aplicable) = (ingreso (ingreso gravable) gravable) X (tasa = = (IG)(T)
[17.2]
monto remanente remanente anual anual La utilidad utilidad neta neta después después de impuestos impuestos (UNDI) es el monto restando renta del ingreso ingreso gravable gravable de la corporación. corporación. restando los impuestos impuestos sobre sobre la renta
UNDI = ingreso impuestos = IG IG - (IG)(T) (IG)(T) ingreso gravable gravable - impuestos = = (IG)(l(IG)(l- T)
[17.3]
par ing (irr cal la r En mil der sos for
pw inc
cOI
las de alu est fijé eje
COI
nel los
SECCIÓN 17.1 Terminología para el impuesto sobre la renta
605
Ésta es la cantidad de dinero reembolsado a la corporación como resultado del capital invertido durante el año. Se trata de un componente del análisis de valor agregado después de impuestos. A la UNDI también se le conoce como ingreso neto (IN) o como utilidad neta de operación después de impuestos (UNODI). Las agencias, ya sean federales o locales, se fundamentan en diferentes bases para el cálculo del ingreso tributario. Algunas bases (e impuestos) además de los ingresos son: ventas totales (impuesto sobre ventas); valor tasado de la propiedad (impuesto sobre la propiedad); impuesto al valor agregado (IVA); inversión neta de capital (impuesto al activo); ganancias en juegos de azar (parte del impuesto sobre la renta); y valor al menudeo de artículos importados (impuesto a las importaciones). En diferentes países, provincias y distritos tributarios locales se emplean bases similares y diferentes para el cálculo de sus impuestos. Los gobiernos que no recauden el impuesto sobre la renta deberán utilizar bases diferentes además de los ingresos para generar impuestos. Ninguna institución gubernamental sobrevive sin alguna forma de ingreso por impuesto. La tasa de impuestos federal anual, T, se basa en el principio de la tasa de impuestos graduada, lo cual significa que las corporaciones pagarán tasas más altas al incrementarse sus ingresos gravables. La tabla 17.1 presenta los valores T para las corporaciones estadounidenses. Las tasas y los límites del IG varían con base en las normas tributarias y en la interpretación del IRS de las disposiciones fiscales y de las condiciones económicas. De manera adicional, cada año el IRS revisa y/o altera los límites del IG tomando en consideración la inflación y otros factores. A esta acción se le denomina indexación. A la porción de cada nuevo dólar del IG se le fija un impuesto mediante lo que se conoce como tasas tributarias marginales. Por ejemplo, examine las tasas de impuestos que aparecen en la tabla 17.1. Un negocio con un IG anual de $50000 posee una tasa marginal del 15%. Sin embargo, un negocio con un IG = $100000 paga el 15% por los primeros $50 000, el 25% por los siguientes $25 000, y el 34% sobre lo restante.
TABLA
17.1 Tabulador de la tasa federal del impuesto sobre la renta corporativa de Estados Unidos (2003) (mil = $ en millones)
Límites IG (1)
$1-$50000 $50001-75000 $75001-100000 $100001-335000 $335001-10 mil De $10 a 15 mil De $15 a 18.33 mil Más de $18.33 mil
(2)
Tasa de impuestos T(3)
Impuesto máximo para el rango IG (4) = (2)T
Impuesto máximo incurrido (5)= Suma de (4)
$50000 25000 25000 235000 9.665 mil 5 mil 3.33 mil Ilimitado
0.15 0.25 0.34 0.39 0.34 0.35 0.38 0.35
$7500 6250 8500 91650 3.2861 mil 1.75 mil 1.267 mil Ilimitado
$ 7500 13750 22250 113900 3.4 mil 5.15 mil 6.417 mil Ilimitado
Rango IG
606
17 Análisis económico después de impuestos CAPÍTULO 17
Impuestos = = 0.15(50 0.15(50 000) + 0.25(75000 0.25(75000 - 50 000) + 0.34(100 0.34(100 000 --75000) Impuestos 75000) = $22 250 = impuestos progresiva progresiva ofrece ofrece una ligera ligera ventaja ventaja a los negosistema de la tasa de impuestos El sistema negogeneran pequeños pequeños ingresos ingresos gravables. gravables. Las tasas marginales marginales se encuentran cios que generan encuentran entre la mitad mitad y el 30% superior superior para para los valores valores de IG que exceden exceden (aproximada(aproximadaentre mente) $100000, $100000, mientras mientras que los impuestos impuestos gravables gravables menores menores tienen tienen tasas mente) tasas del rango del 15 al 25%. El ejemplo ejemplo 17.1 l7.1 ilustra ilustra más detalladamente detalladamente el empleo empleo de las rango impuestos progresivas. progresivas. tasas de impuestos Debido a que las tasas tributarias tributarias marginales marginales varían varían de acuerdo acuerdo al IG, no es Debido posible establecer establecer directamente directamente el porcentaje porcentaje de IG pagado pagado como como impuesto impuesto sobre posible sobre la parte, un valor numérico individual, individual, la tasa de impuestos impuestos promedio renta. Por otra parte, valor numérico promedio calcula de la siguiente siguiente manera: manera: se calcula impuestos promedio promedio = = Tasa de impuestos
pagado de impuestos impuestos total pagado ingreso gravable gravable ingreso
= =
impuestos impuestos
IG
[l7.4] [17.4]
Para un negocio negocio pequeño pequeño con un IG = $100000, $100000, el gravamen gravamen federal federal del imimPara puesto sobre la renta renta se promedia promedia en $22250/100000 $22250/100000 = = 22.25%. 22.25%. Si el IG = $15 puesto millones, la tasa de impuestos impuestos promedio promedio (tabla (tabla 17.1) es de $5.15 millones/15 millones/15 millomillones, millo34.33%. nes = 34.33%. Como se mencionó mencionó anteriormente, anteriormente, existen existen impuestos impuestos federales, federales, estatales Como estatales y loPor simplificación, simplificación, la tasa de impuestos impuestos empleada empleada en un estudio estudio económico cales. Por económico generalmente es una sola cifra, la tasa de impuestos impuestos efectiva, Te' Te, que toma toma en cuenta generalmente cuenta impuestos. Las tasas de impuestos impuestos efectivas efectivas se encuentran encuentran en el rango todos los impuestos. rango del razón para para utilizar utilizar la tasa de impuestos impuestos efectiva efectiva es que los impues35 al 50%. Una razón impuesestatales son deducibles deducibles en los cálculos cálculos para para los impuestos impuestos federales. federales. La tos estatales La tasa de impuestos efectiva efectiva y los impuestos impuestos se calculan calculan de la siguiente siguiente manera: manera: impuestos
= tasa tasa estatal estatal + (1(1- tasa tasa estatal)(tasa estatal)(tasa federal) federal) Te = Impuestos = = (IG)(T (IG)(Te)e ) Impuestos
[17.5] [17.6]
departamento de seguridad de OnStar tiene un ingreso bruto anual de $2 750 000 con Si el departamento depreciación totales de $1 $1 950000, 950000, a) calcule el impuesto impuesto sobre la renta federal gastos y depreciación exacto de la compañía. b) Calcule el total de los impuestos estatales y federales si la tasa de impuestos estatal es de 8% y se aplica 34% para la tasa promedio de impuesto federal. Solución Solución empleando a) Calcule el IG por medio de la ecuación [17.1] y el impuesto sobre la renta empleando las tasas que aparecen en la tabla 17.1. 950000 = $800000 $800000 IG = 2 750 000 - 1 950000 Impuestos = 50 000(0.15) 000(0.15) + 25 000(0.25) + 25 000(0.34) 000(0.39) + (800 000 - 335 000)(0.34) 000)(0.34) + 235 000(0.39) = 7 500 + 6 250 + 8 500 + 91650 = 91650 + 158 100 = $272 000
1
t
I
SECCIÓN 17.1 l7.1
Terminología para el impuesto sobre la renta
Un procedimiento procedimiento más rápido emplea el monto que aparece en la columna columna 5 de la tabla 17.1, que es más cercano al IG total y suma el impuesto para el siguiente siguiente rango delIG. dellG. Impuestos b)
= 113900 113900 + (800000 (800000 =
335 000)(0.34)
= $272 000 =
La ecuación [17.5] [l7.5] determina la tasa impositiva impositiva efectiva. T,= 0.08 + (1- 0.08)(0.34) 0.08)(0.34) = 0.3928
7.6]. Calcule el total de impuestos usando la ecuación [1 [17.6]. Impuestos = (IG)(T (IG)(Te) (800000)(0.3928) = $314 240 e ) = (800000)(0.3928) cantidades no son comparables debido a que el impuesto en el inciso a no Estas dos cantidades incluye los impuestos estatales.
importante comprender indiviEs importante comprender cómo cómo difieren difieren los cálculos cálculos de los impuestos impuestos individuales y corporativos. comparacorporativos. El ingreso ingreso bruto de un contribuyente contribuyente individual individual es comparable con el ingreso reemplazado por salarios. ingreso del negocio negocio reemplazado salarios. Sin embargo, embargo, para para un ingreso gravable gravable individual, individual, la mayoría mayoría de los gastos cotidianos cotidianos y de trabajo trabajo no son deducibles Para los deducibles de impuestos impuestos en el mismo mismo grado que lo son para las empresas. empresas. Para contribuyentes bruto se calcula contribuyentes individuales individuales el ingreso ingreso bruto calcula de la siguiente siguiente forma: Ingreso Ingreso bruto = = lB = = salarios salarios + intereses intereses y dividendos dividendos + otros ingresos ingresos Ingreso gravable gravable = lB - exenciones exenciones personales personales Ingreso - deducciones deducciones estandarizadas estandarizadas o especificadas especificadas
Impuestos (IG)(1) Impuestos = = (ingreso (ingreso gravable)(tasa gravable)(tasa de impuestos impuestos aplicable) aplicable) = = (IG)(1) Para el IG los gastos de operación operación de la corporación corporación se reemplazan reemplazan por exenciones exenciones individuales y deducciones deducciones específicas. específicas. Las exenciones exenciones pueden pueden ser para para usted, individuales usted, su esposa, esposa, hijos y otros dependientes. dependientes. Cada exención exención reduce reduce el IG en aproximadamente aproximadamente $3 000 por año, en función función de las actuales actuales tolerancias tolerancias para para exenciones. exenciones. Así como como en la estructura estructura tributaria tributaria de una corporación, corporación, las tasas tributarias tributarias para individuos individuos se gradúan gradúan de acuerdo acuerdo con el nivel del IG. Como Como se muestra muestra en la tabla 17-2, varían tabla varían de 15% a 35% del IG. EJEMPLO EJEMPLO
17.2 17.2
.,.
Josh y Allison presentan una declaración matrimonia~ matrimonial mancomunada mancomunada de impuestos al IRS. Durante el año sus dos empleos les suministraron un ingreso combinado de $82 000. Durante el año tuvieron su segundo hijo y planean utilizar la deducción estándar de $9 500 aplicable al año. Los dividendos e intereses son por $3 350 Y una inversión en acciones de Yuna un fondo mutualista tuvo ganancias de $2 500 sobre el capital. Actualmente, las exenciones personales son de $3 100. a) Calcule el monto exacto del impuesto federal que se debe. b) Calcule la tasa de impuestos promedio. promedio. e) ¿Cuál es el porcentaje porcentaje del ingreso bruto que consumen los impuestos federales?
607
608
17 Análisis económico después de impuestos CAPÍTULO 17
TABLA TABLA
Tabulador de la tasa tasa federal federal del impuesto impuesto sobre sobre la renta renta 17.2 Tabulador individuos en Estados Unidos, para para declaraciones declaraciones de los individuos Estados Unidos, conjuntas conjuntas de solteros solteros y casados casados (2003) (2003) Ingreso gravable, gravable, Ingreso
de impuestos impuestos T Tasa de (1 ) (1
0.10 0.15 0.25 0.28 0.33 0.35
Declaración Declaración conjunta conjunta de casados casados (3) de
Declaración individual individual Declaración
(2) (2) 0-7000 0-7000 7001-28400 7001-28400 28401-68800 28 401 -68 800 68801-143500 68801 -143500 143501-311 950 143501-311 311 950 Más de 311
$
0-14000 0-14000 14001-56800 14001-56800 56801-114650 56801-114650 114651-174700 114651-174700 174701-311 950 174701-311 311950 Más de 311950
1j El
Solución Solución a) Josh y Allison tienen cuatro exenciones personales y la deducción estándar de $9 500.
Ingreso bruto == salarios + intereses y dividendos + ganancias de capital = 82000 82000 + 3 550 + 2 500 = = $88 050 = Ingreso gravable == ingreso bruto - exenciones - deducciones 88050 - 4(3 100) - 9 500 = 88050 = $66 150 La tabla 17-2 inillca indica 25% de la tasa marginal. Con el uso de las columnas 1 y 3 los impuestos federales son de 14000(0.10) + (56 800 - 14000)(0.15) 14000)(0.15) Impuestos = 14000(0.10) 56800)(0.25) = + (66 150 - 56800)(0.25) = $10 $10158 = 158 b)
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De la ecuación [17-4],
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. dde impuestos . 10 promedio 10-158 158 Tasa promedIO e lmpuestos = - = 15.4% 66150 66150
e)
Esto indica que al gobierno de Estados Unidos se le paga 1 de cada 6 dólares de ingreso gravable. Del total de $88 050, el porcentaje que se paga en impuestos federales es de 10 158/ 88050 = 11 11.5%. 88050 .5%.
E
Sé:
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Comentario Comentario
Ha habido un debate permanente en el Congreso de Estados Unidos acerca de lo aconsejable individuales que sería cambiar de una estructura fiscal progresiva a otra plana para causantes inillviduales estructura así se aplica en algunos países). Hay muchas maneras de (actualmente una estructura legislar sobre los impuestos y la cantidad que se eligiera para la tasa plana daría lugar a controversia real. Por ejemplo, la estructura fiscal de tasa plana tal vez no permitiría permitiría una controversia
e
el el
SECCIÓN 17.2 Flujo de efectivo antes y después de impuestos
hacer deducciones estándar o por conceptos específicos y sólo tendría la tolerancia tolerancia de exenciones personales. En este caso, si hubiera una tasa plana de impuestos tan baja como únicamente por las cuatro exenciones personales, personales, los 15.% del ingreso bruto reducido únicamente cálculos quedarían así: Ingreso bruto == $88 050 Ingreso gravable por la tasa plana = = 88 050 - 4(3 100) == $75 650 Impuestos con la tasa plana = 75 650(0.15) = $1l $11 348 En este caso, una tasa plana de 15% 15% requeriría que esta familia pagara 11.7% más de impuestos ($11 ($11348) $10158 que resultan de usar tasas impositivas 348) en comparación con los $10158 progresivas.
17.2 17.2
FLUJO FLUJO DE EFECTIVO EFECTIVO ANTES ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS IMPUESTOS
El término flujo de efectivo término flujo efectivo neto (FEN), citado citado previamente previamente en el texto, se identifiidentificomo el mejor mejor cálculo cálculo del flujo de efectivo efectivo real por año. El FEN FEN se determina determina có como como como la entrada entrada de efectivo efectivo menos la salida salida de efectivo. efectivo. Desde Desde entonces, entonces, el monto monto anual del FEN se ha empleado en numerosas clcasiones para realizar FEN empleado numerosas ocasiones para realizar la evaluación evaluación alternativas utilizando utilizando los métodos métodos del VP, VA, TR Y YB/C. Ahora que se toman de alternativas B/C. Ahora toman en consideración el impacto sobre el flujo de efectivo de depreciación y los impuesconsideración impacto efectivo depreciación impuesrelacionados, es tiempo tiempo de aumentar aumentar la terminología. terminología. Se reemplaza reemplaza el término término tos relacionados, de flujo de efectivo efectivo antes de impuestos impuestos (FEA!), y se introduce introduce el térmiFEN por el deflujo no nuevo flujo de efectivo nuevo flujo efectivo después después de impuestos impuestos (FED!). FEAI Y Yel FEDI son flujos efectivo reales; esto significa significa que representan representan El FEAI el FEDI flujos de efectivo estimación del flujo real de dinero, que entra entra y sale de la corporación, corporación, como como la estimación consecuencia de la alternativa. alternativa. Los ejemplos ejemplos de esta sección sección explican explican cómo cómo transconsecuencia formar los flujos de efectivo efectivo de antes de impuestos impuestos a después después de impuestos, impuestos, a mano mano formar computadora, empleando empleando las tasas de impuesto impuesto sobre la renta renta y otras normas normas y por computadora, tributarias pertinentes pertinentes que se describirán describirán en las siguientes siguientes secciones. secciones. tributarias Una vez que que se desarrollan desarrollan los cálculos cálculos para para FEDI, FEDI, se realiza realiza la evaluación evaluación Una económica aplicando aplicando los mismos mismos métodos métodos y las directrices directrices de elección elección apliaplieconómica cados en capítulos capítulos previos. previos. Sin Sin embargo, embargo, el análisis análisis se realiza realiza sobre sobre los cados cálculos del FEDI. FEDI. cálculos cálculo anual del FEAI FEAI deberá deberá incluir incluir la inversión inversión de capital capital inicial inicial y el valor valor de El cálculo salvamento para para los años en que ocurran. ocurran. Al incorporar incorporar las definiciones definiciones del ingreso ingreso salvamento bruto y los gastos de operación, operación, el FEAI FEAI para para cualquier cualquier año se define define como: bruto FEAI = = ingreso ingreso bruto bruto - gastos gastos - inversión inversión inicial inicial + valor valor de salvamento salvamento FEAI =IB-GO-P+S =IB-GO-P+S
[17.7]
Como se mencionó mencionó en capítulos capítulos anteriores, anteriores, P es la inversión inversión inicial inicial (generalmente (generalmente Como O) y S es el valor valor de salvamento salvamento estimado estimado para para el año n. Una Una vez que se en el año O) calculan todos los impuestos, impuestos, el flujo de efectivo efectivo después después de impuestos impuestos anual anual es: calculan FEDI = = FEAI FEAI - impuestos impuestos FEDI
[17.8]
609
610
CAPÍTULO 17
Análisis económico después de impuestos
donde los impuestos se calculan al emplear la relación (lG)(1) o (IG)(TeJ, como se señaló previamente. Por la ecuación [17.1] sabemos que la depreciación D se resta para obtener el IG. Es muy importante comprender la importancia que juega la depreciación en los cálculos del impuesto sobre la renta y en la estimación del FEDI. La depreciación no es un flujo de efectivo. La depreciación es deducible de impuestos sólo para determinar el monto del impuesto sobre la renta, aunque no representa un flujo de efectivo directo después de impuestos para la corporación. Por lo tanto, el estudio de ingeniería económica después de impuestos deberá basarse en las estimaciones del flujo de efectivo real, es decir, en los cálculos del FEDI anual que no incluyan la depreciación como un flujo de efectivo negativo. De acuerdo con esto, si la expresión FEDI se determina al emplear la relación del IG, la depreciación no deberá ubicarse fuera del componente IG. Las ecuaciones [17.7] y [17.8] ahora se combinan de la siguiente manera: FEDI
= lB -
GO - P + S - (lB - GO - D)(Te)
[17.9]
En la tabla 17.3 se muestran los encabezados de columna sugeridos para FEAI y FEDI con cálculos a mano y por computadora. Las ecuaciones se presentan con los números de las columnas, con la tasa impositiva efectiva Teempleada para calcular el impuesto sobre la renta. Los gastos E y la inversión inicial P tendrán valores negativos. El valor IG en algunos años puede ser negativo debido a que el monto de depreciación es mayor que (IB - GO). Es posible considerar esto en un análisis detallado después de impuestos que emplee normas para adelantar o retrasar pérdidas operativas. De hecho, es una excepción que el estudio de ingeniería económica considere
TABLA
17.3 Encabezados de columnas de la tabla para el cálculo de a) FEAI y b) FEDI
a) Encabezado de tabla para FEAI
Año
Ingreso Gastos bruto de operación lB GO
y
Inversión P salvamento
S (3)
FEAI (4) (1) + (2) + (3)
Inversión P y salvamento
Depreciación
=
(1)
(2)
b) Encabezado de tabla para FEDI Ingreso bruto Año
lB
Gastos de operación GO
S
D
Ingreso gravable IG
(4)
(5) = (1) + (2) - (4)
Impuestos (lG)(TJ
FEDI (7) (1) + (2) + (3) - (6)
=
(1)
(2)
(3)
(6)
SECCIÓN 17.2 Flujo de efectivo antes y después de impuestos
611
detalladamente estas características. características. En su lugar, el impuesto impuesto sobre la renta tan detalladamente asociado negativo negativo se considera considera como ahorros ahorros de impuestos impuestos anuales. anuales. La suposición suposición asociado impuesto negativo negativo compensará compensará los impuestos impuestos para para el mismo mismo año entonces es que el impuesto entonces generadoras de ingresos ingresos de la corporación. corporación. en otras áreas generadoras
EJEMPLO EJEMPLO
17.3 17 .3
TransAmerica espera iniciar un nuevo servicio de mayor alcance La compañía de seguros TransAmerica instalaciones pequeñas se construirán en aproximadamente aproximadamente 35 el próximo año. Algunas instalaciones continente. El personal de la compañia ciudades de alto riesgo en todo el continente. compañía ofrecerá servicapacitación y asesoría a los ciudadanos y funcionarios públicos de ciudades y cios de capacitación prevención de incendios, disminución disminución de robos y temunicipios (departamentos) para la prevención potenciales a visitar las mas similares. Se invitará a los afiliados actuales y a los clientes potenciales instalación tenga un costo inicial de $550000 $550000 con un instalaciones. Se espera que cada instalación valor de reventa (salvamento) de $150 000 después de 6 años, que es el periodo en que la junta TransAmerica aprobó esta actividad. actividad. La depreciación depreciación del SMARC junta de directores de TransAmerica recuperación de 5 años. Un equipo de ingenieros de seguridad, permite un periodo de recuperación fundamentales del incremento actuarios y personal financiero estima que los resultados fundamentales costos. Si se neto anual de la corporación serán de $200 000 en ingresos y de $90 000 en costos. emplea una tasa de impuestos efectiva de 35%, tabule los cálculos para FEAI y FEDI. Solución a mano mano y por por computadora computadora Solución 17.1 presenta flujos de efectivo antes y desLa hoja de cálculo que aparece en la figura 17.1 pués de impuestos. El formato de tabla, idéntico para ambos cálculos, a mano y por computadora, emplea 17.3. Los cálculos se analizan y se desarrollan de putadora, emplea el formato de la tabla 17.3. la siguiente forma:
FEAI: Los gastos y la inversión inicial aparecen como flujos de efectivo negativos. El $150000 es un flujo de efectivo positivo en el valor de salvamento (reventa) de $150000 año 6. El FEAI se calcula por medio de la ecuación [17.7]. En el año 6, por ejemplo, la etiqueta de celda indica que FEAI66 = 200 000 - 90 000 + 150000 150 000 = $260 000 FEAI FEDI: La columna E para la depreciación del SMARC (tasas que aparecen en la tabla 16.2 para n = 5) sobre el periodo de 6 años cancela la inversión entera de $550 000. El ingreso gravable, los impuestos y el FEDI, ilustrados en las etiquetas de celda para el año 4, se calculan de la siguiente forma: = lB - 00 GO - D = = 200 000 - 90 000 - 63 360 = = $46 640 IG4 = = (IG)(0.35) = = (46640)(0.35) (46 640)(0.35) = = $16 324 Impuestos =
FEDl44 = = lB - 00 GO - impuestos FEDl
= 200 000 =
16324 = $93 676 90 000 - 16324
depreciación del SMARC es lo suficientemente suficientemente grande para causar que En el año 2, la depreciación ($-66000). Como se mencionó antes, el impuesto negativo el IG sea negativo ($-66000). ($-23 100) se considera como ahorros ahorros de impuesto impuesto en el año 2, incrementando incrementando de ($-23 esta manera el FEDI.
m m Sol·E Sol·E
612 612
CAPÍTULO 17 CAPÍTULO
X Mlclosoft Excel- Example 17.3
Análisis económico económico después después de impuestos impuestos Análisis
Sr;¡U3
de los de los
la tas:
Esto I ecuac S niend exced hasta perac 1 2
Come estipi
recta del S acele Figura Figura 17.1 Cálculo del del FEA! FEA! y del del FEDI FEDI empleando empleando la depreciación depreciación del del SMARC una tasa tasa de de impuestos impuestos efectiva efectiva de de 35%, 35%, ejemplo ejemplo Cálculo SMARC y una 17.3. 17.3.
Comentario Comentario El SMARC deprecia a un valor valor de salvamento Posteriormente se mostrarán mostrarán El SMARC se deprecia salvamento de S = O. Posteriormente las implicaciones implicaciones tributarias tributarias debidas debidas al recobro recobro de depreciación depreciación cuando cuando un activo activo se venlas se venSMARC se aplica depreciar completamente completamente el el de en en una una cantidad cantidad mayor mayor que que 0, y el SMARC aplica al depreciar activo a cero. cero. activo
estar tan bl valor
• Se $5 se de mi 1
SI pa
17.3 17.3
EFECTOS EFECTOS DE LOS DIFERENTES DIFERENTES MÉTODOS MÉTODOS DE DEPRECIACiÓN DEPRECIACiÓN Y PERIODOS PERIODOS DE RECUPERACiÓN RECUPERACiÓN SOBRE LOS IMPUESTOS IMPUESTOS
Se La
pesar de que el SMARC método tributario depreciación requerido requerido en A pesar SMARC es el método tributario de depreciación Estados Unidos, Unidos, es importante por qué las tasas tasas de depreciación Estados importante comprender comprender por depreciación acelerada ventaja tributaria, tributaria, con respecto respecto al método método en acelerada dan a la corporación corporación una ventaja línea recta con el mismo mismo periodo periodo de recuperación. recuperación. Al existir mayores en los línea recta existir tasas mayores primeros años del periodo periodo de recuperación recuperación se requieren requieren menos menos impuestos primeros impuestos debido debido a que es mayor mayor la reducción reducción en el ingreso Para evaluar evaluar el efecto tributario ingreso gravable. gravable. Para efecto tributario
SR
pa du en
so $3
-----------------------------------------------~"I'I SECCIÓN 17.3 17.3 Efectos de los diferentes métodos de depreciación
613
de los modelos presente modelos de depreciación depreciación se utiliza utiliza el criterio criterio de minimizar minimizar el valor valor presente de los impuestos impuestos totales. Es decir, para para un periodo periodo de recuperación recuperación n, se debe elegir elegir la tasa de depreciación produzca el mínimo presente para para impuestos. depreciación que produzca mínimo valor valor presente impuestos. t=n
VP¡mPuesto2.(impuestosen año t)(PIF,i,t,) t)(PIF,i,t,) VP¡mPuesto2.(impuestos en el año
VP de depreciación
[17.10]
1=1
Esto equivale equivale a maximizar maximizar el valor valor presente presente de la depreciación depreciación total VP VPD,D , en la ecuación [16A.5]. ecuación Se comparan comparan ahora ahora cualesquiera cualesquiera dos modelos modelos de depreciación depreciación diferentes, diferentes, suposuponiendo niendo lo siguiente: siguiente: 1) una tasa de impuestos impuestos constante constante de un solo valor, 2) el FEAI FEAI excede excede cada monto monto de depreciación depreciación anual, 3) el método método reduce reduce el valor valor en libros libros hasta hasta llegar llegar al mismo mismo valor valor de salvamento, salvamento, y 4) se utiliza utiliza el mismo mismo periodo periodo de recurecuperación. peración. Sobre Sobre la base de estas suposiciones suposiciones se cumple cumple lo siguiente: siguiente: Los impuestos impuestos totales totales pagados pagados son son iguales iguales para para todos todos los modelos modelos de 1. Los depreciación. depreciación. 2. El valor valor presente presente de los impuestos impuestos es menor menor para para los modelos modelos de depredepreciación acelerada. acelerada. ciación
Como Como se planteó planteó en el capítulo capítulo 16, el SMARC SMARC es el modelo modelo de depreciación depreciación tributaria tributaria estipulado estipulado en Estados Estados Unidos, Unidos, y la única única alternativa alternativa es la depreciación depreciación en línea línea recta recta SMARC SMARC con un periodo periodo de recuperación recuperación ampliado. ampliado. La cancelación cancelación acelerada acelerada del SMARC SMARC siempre siempre ofrecerá ofrecerá un VP¡mpuesto VP¡mpuesto menor menor comparado comparado con modelos modelos menos acelerados. acelerados. Si el modelo modelo SDD aún estuviera estuviera disponible disponible directamente, directamente, en lugar lugar de incorporado en los cálculos cálculos del SMARC, SMARC, en términos términos generales generales SDD no sería estar incorporado bueno como como el SMARC. SMARC. Este hecho hecho sucede sucede porque modelo SDD no reduce reduce el tan bueno porque el modelo valor en libros libros a cero, lo cual se ilustra ilustra en el ejemplo ejemplo 17.4. valor
Se está llevando a cabo un análisis después de impuestos para una máquina nueva de propuesta para una línea manufacturera manufacturera de fibra óptica. El FEAI para la máquina $50 000 propuesta recuperación de 5 años, utilice el criterio se estima en $20 000. Si se aplica un periodo de recuperación de valor presente de los impuestos, una tasa de impuestos efectiva de 35% y un rendidepreciaciones clásica en línea recta, miento del 8% anual para comparar lo siguiente: depreciaciones requerida. Para fines de comparación comparación utilice un periodo de 6 años SDD clásica y SMARC requerida. para ajustar la convención de mitad de año impuesta por el SMARC.
en
Solución Solución La tabla 17.4 presenta un resumen de depreciación anual, ingreso gravable e impuestos DI = $10 000 para cada modelo. Para la depreciación depreciación clásica en línea recta con n = 5, D, D6:== O O(columna FEA! de $20 000 está totalmente totalmente gravado a 35% (columna 3). El FEAI durante 5 años y D6 en el año 6. porcentaje del SDD clásico de d = = 2/n 2/n = = 0.40 se aplica para 5 años. El valor de El porcentaje $50000 salvamento implícito es $50 000 - 46 112 = $3 888, de manera que no todos los $50000 son deducibles de impuestos. Los impuestos incurridos utilizando el SDD clásico serían $1 361 361 más que para el modelo LR clásico. $3 888(0.35) = $1
I J.
1
$10000 10000 10000 10000 10000 20000
$10 000 10000 10000 10000 10000 O --$50000
-
0;0.
_
- -- -.-.
= 0.35(4)
$ 3 500 3500 3500 3500 3500 7000 --$24500 $18386
Impuestos
(5)
---
$46112
$20000 12000 7200 4320 2592 O
D,
(6)
O 8000 12800 15680 17408 20000
$
IG
(7)
Saldo decreciente
= 0.35(7)
O 2800 4480 5488 6093 7000 --$25 861* $18549
$
Impuestos
(8)
doble clásico
_____________
$50000
$10 000 16000 9600 5760 5760 2880
D,
(9)
~_p_ue_s_to_s_ac_u_m_ul_ad_o_s,_$
*Mayor que otros valores puesto que hay un valor de salvamento implícito de $3 888 no recuperado.
VPimpueSlo
Totales
+20000 +20000 +20000 +20000 +20000 +20000
IG
D,
1 2 3 4 5 6
(4)
(3)
(2)
Línea recta clásica
FEAI
t
_
$24500 $18 162
$ 3 500 1400 3640 4984 4984 5992
~.
= 0.35(10) Impuestos
(11)
tI1",
$1,000
$O+---r---r-~~~~~ _$1,0004
5%
-$2,000
Tasa de rendimiento
Figura Figura 17.6 (ejemplo 17.10). Evaluación Evaluación después de impuestos de dos alternativas con una gráfica de VP en función de i (ejemplo
629
17 Análisis económico después de impuestos CAPÍTULO 17
630
EJEMPLO EJEMPLO
17.11
'. analizadores de En el ejemplo 17.6 se inició un análisis después de impuestos de dos analizadores células óseas, como resultado de un nuevo contrato de 3 años con la NBA. El criterio para analizador 1 se basó en el total de impuestos para los tres años. La solución elegir el analizador completa en hoja de cálculo se muestra en la figura 17.4. completa Continúe con el análisis en hoja de cálculo llevando a cabo una evaluación TR desContinúe pués de impuestos, suponiendo que los analizadores se venden después de 3 años a las $130000 para el analizador analizador 1 y $225 $225000 000 para el sumas calculadas en el ejemplo 17.6: $130000 analizador analizador 2. La TMAR después de impuestos es de 10% anual. Solución por por computadora computadora Solución actualizada de la hoja de cálculo de la figura 17.4 La figura 17.7 representa representa una copia actualizada (columna I) 1) se donde se incluye la venta del analizador en el año 3. La serie del FEDI (columna determina utilizando la ecuación: FEDI = FEAI - impuestos; el ingreso gravable se calcu[17.14]. analizador 2 se vende en 7.14]. Por ejemplo, el año 3, cuando el analizador la mediante la ecuación [1 = $225 000, el cálculo del FEDI es: S=
FEDI3 = = FEAI - (IG)(T (lG)(Te) FEDIJ e)
= lB =
RD)(Te) GO - P + S - (lB - GO - D + RD)(T e)
depreciación RD es la suma por encima del valor en libros recibido del El recobro de la depreciación incluyendo el valor año 3 en el momento de la venta. De acuerdo con la ecuación [17.12] e incluyendo en libros en la celda F18, RD = precio de venta - VLJ3 = 225 000 - 64 800 = $160 200 Ahora, se determina el FEDI el año 3 para el analizador analizador 2. FEDI3 = = 100 100000 O + 225 000 FEDIJ 000 - 10 000 + O (100 000 - 10 000 - 43200 43200 + 160200)(0.35) 160200)(0.35) - (lOO 315000 - 207 000(0.35) = $242 550 = 315000 18 de la figura 17.7 siguen el mismo orden. El FEDI Las etiquetas de celda de la fila 18 incremental se calcula en la columna 1. J. incremental comparar las alternativas bosquejadas Se aplica el procedimiento procedimiento para comparar bosquejadas en la sección 19 8.6. Éstas son las alternativas de ingresos, de manera que los valores globales i* (celdas 19 119) indican que las dos series del FEDI son aceptables. El valor tli* 6.i* = 23.6% (celda e 119) elige el analizador analizador 2. Esta decisión J19) también supera la TMAR = 10%; por lo tanto se elige alternativa que requiere la mayor inverse rige por la directriz del método TR: se elige la alternativa incremental. sión justificada justificada desde una perspectiva perspectiva incremental. Comentario Comentario En la sección 8.4, la figura 8.5b 8.5b demostró la falacia de elegir una alternativa alternativa basada excluincremental. En este ejemplo se demuestra demuestra el sivamente en la TR. Debe utilizarse utilizarse la TR incremental. mismo hecho. Si se elige la alternativa alternativa de la mayor i*, el analizador analizador 1 se elige incorrectaincorrectamente. Cuando tli* 6.i* supera la TMAR, la inversión inversión mayor se elige correctamente, correctamente, el analianalizador (Il (110 Oe zador 2 en este caso. Para verificar, el VP al 10% se calcula para cada analizador 120). De nuevo, el analizador analizador 2 gana sobre la base de su VP mayor de $93 905. 120).
17.~ CUal
reerr plaz: los V difer posil
O qu
cuan sacri los 8 ante: de le aplic dele
SECCIÓN SECCIÓN 17.7
Análisis reemplazo después impuestos después de impuestos Análisis de reemplazo
$ (225,000)
t~~}ºº:ºº~O jlf~:C@íj_____J
$
100,000
$ (10,000)
$
100,000
$ (10,000)
~-l----:~----+.+.
$ 225,000
·ifl~~~ -=_-~==:=~----------------
$
i $ 225 000 45,000 i $ 180,000
__T~,:@:iG)_~_º~,-0~ ...º.9~ __ f-7---;'::; $
43,200
I
$ 64 800
-----1---
=B18+C18-E18+(D18-F18)
5heet!
Sheet2
Sheet3
Sheet4
Sheets
Figura Figura 17.7 17,7 Análisis Análisis TR TR incremental incremental del del FEDI FEDI con con recobro recobro de la depreciación depreciación en el último último año año (ejemplo (ejemplo 17.11). 17.11).
17.7 17.7
ANÁLISIS DE REEMPLAZO ANÁLISIS REEMPLAZO DESPUÉS DE IMPUESTOS IMPUESTOS
Cuando recién instalado posible Cuando un activo activo recién instalado (el defensor) defensor) se enfrenta enfrenta al desafío desafío de un posible reemplazo, reemplazo, los impuestos impuestos llegan llegan a tener tener impacto impacto en la decisión decisión del análisis análisis de reemreemplazo. Tal vez los impuestos pero la diferencia plazo, impuestos no reviertan reviertan la decisión decisión final, pero diferencia entre entre los valores pueden ser considerablemente valores de VA antes de impuestos impuestos pueden considerablemente distintos distintos de la diferencia después después de impuestos. impuestos, Puede Puede haber haber cuestiones cuestiones de impuestos impuestos el año del diferencia posible reemplazo, debido debido al recobro de la depreciación depreciación o a la ganancia capital, posible reemplazo, ganancia de capital, o quizá pérdida de capital quizá haya haya ahorros ahorros de impuestos impuestos como como resultado resultado de una una pérdida capital cuantificable, precio de cuantificable, en el caso de que sea necesario necesario vender vender al defensor defensor a un precio sacrificio. sacrificio. Además, Además, el análisis de reemplazo reemplazo después después de impuestos impuestos no toma en cuenta cuenta operación ni la depreciación depreciación deducibles deducibles de impuestos impuestos en un análisis análisis los gastos gastos de operación antes de impuestos. para calcular impuestos, La tasa impositiva impositiva efectiva efectiva Te Te se utiliza utiliza para calcular el monto monto impuestos anuales anuales (o ahorros ahorros en impuestos) impuestos) a partir partir del IG. En este caso se de los impuestos aplica procedimiento que en el análisis aplica el mismo mismo procedimiento análisis de reemplazo reemplazo antes de impuestos impuestos capítulo 11, aunque aunque ahora ahora para cálculos del FEDI. El procedimiento debería para los cálculos procedimiento debería del capítulo
631
632
CAPÍTULO CAPÍTULO 17
Análisis económico de impuestos Análisis económico después después de impuestos
comprenderse proseguir. Se recomienda recomienda prestar prestar atención comprenderse cabalmente cabalmente antes de proseguir. atención espeespesecciones 11.3 y 11.5. cial a las secciones mano de un análisis reemplazo El ejemplo ejemplo 17.12 contiene contiene una solución solución a mano análisis de reemplazo después utiliza un supuesto depreciación después de impuestos, impuestos, el cual utiliza supuesto simplificado simplificado de la depreciación clásica ejemplo 17.13 se resuelve clásica en línea línea recta recta LR. En el ejemplo resuelve el mismo mismo tipo de probleproblema por aunque se incluyen detalles de la depreciación SMARC. por computadora, computadora, aunque incluyen los detalles depreciación del SMARC. Esto brinda oportunidad de observar observar la diferencia diferencia en los valores entre los brinda una una oportunidad valores VA entre dos supuestos supuestos de depreciación. depreciación.
EJEMPLO EJEMPLO
17.12 17 .12
:¡ . ,.~. Midcontinent compró equipo equipo para extracción de de carbón carbón hace años Midcontinent Power Power Authority Authority compró para la extracción hace 3 años por $600 000. 000. La gerencia descubrió descubrió que que tecnológicamente equipo es obsoleto obsoleto ahora. ahora. por $600 La gerencia tecnológicamente el equipo nuevo equipo. valor comercial Se ha ha identificado identificado un nuevo equipo. Si se ofrece ofrece un valor comercial de $400000 $400000 como como valor de reemplazo aplicando una valor de cambio cambio del del equipo equipo actual, actual, lleve lleve a cabo cabo un análisis análisis de de reemplazo aplicando a) una una TMAR TMAR de impuestos TMAR antes antes de impuestos de de 10% 10% anual anual y b) una TMAR después después de de impuestos impuestos de de 7% 7% anual. una tasa impuestos efectiva anual. Suponga Suponga una tasa de impuestos efectiva de de 34%. 34%. Como Como supuesto supuesto simplificador, simplificador, utilice depreciación clásica clásica en en línea con S S= O para ambas alternativas. alternativas. =O para ambas utilice la depreciación línea recta recta con
Defensor Defensor
Valor comercial, Valor comercial, $ Costo Costo inicial, inicial, $ Costo Costo anual, anual, $ Periodo de recuperación, recuperación, años Periodo años
.
,~
Retador Retador
400000 400000 -100000 -100000 8 ((originalmente) originalmente)
1000000 1000000 -15000 -15000 5
E d
Solución Solución Suponga mediante análisis VUE (vida útil económica) ha determinado Suponga que que mediante análisis VUE (vida útil económica) se ha determinado que que los los para el defensor, total para para el mejores valores valores de la vida vida son más de mejores son de más de 5 años años para defensor, y 5 años años en en total retador.. retador a)
En el caso análisis de reemplazo reemplazo antes antes de impuestos, valores VA. El En caso del del análisis impuestos, calcule calcule los los valores valor comercial inicial, Po Po = $-400 VA del del defensor defensor incluye incluye el valor comercial como como costo costo inicial, $-400 000. 000.
v
VAo = -400 -400 000(AlP,1O%,5) 000(AlP,1O%,5) -100 -100 000 000 = $-205520 $-205520 VARR = -1000 -1000 000(AlP,10%,5) 000(AlP,10%,5) - 15 000 000 = $-278 $-278 800 800
b)
En el paso paso 1 del procedimiento del reemplazo (sección En del procedimiento del análisis análisis de de reemplazo (sección 11.3), 11.3), elegimos elegimos el plan de mantenerlo los VA óptimo. óptimo. Se Se conserva conserva al defensor defensor ahora ahora con con el plan de mantenerlo los 5 años años que que restan. defensor tiene costo anual anual equivalente equivalente menor de $73 $73 280 comparado restan. El El defensor tiene un un costo menor de 280 comparado con retador. Esta Esta solución solución completa tabla 17.6 con el del del retador. completa se incluye incluye en en la tabla 17.6 (izquierda) (izquierda) con con objetivo de de compararla compararla con con el análisis análisis después después de impuestos. impuestos. el objetivo En análisis de reemplazo reemplazo después después de impuestos, no hay hay efectos tributarios En el caso caso del del análisis impuestos, no efectos tributarios para el defensor defensor que que no sean los los impuestos impuestos sobre sobre la renta. anual LR LR para no sean renta. La La depreciación depreciación anual es de $75 000, 000, que cuando el equipo equipo se adquirió adquirió hace años. es de $75 que se determinó determinó cuando hace 3 años. D, = 600000/8 600000/8 = $75 $75 000 000
t = 1 a 8 años años
Vi
SECCIÓN
17.7
633
Análisis de reemplazo después de impuestos
La tabla 17.6 muestra el IG y los impuestos al 34%. Los impuestos son en realidad ahorros en impuestos de $59 500 anuales, como lo indica el signo menos. (Recuerde que en el caso de los ahorros en impuestos en un análisis económico, se supone que hay ingresos gravables positivos en cualquier otra parte de la corporación con el fin de deducir el ahorro). Ya que sólo se estiman los costos, el FEDI anual es negativo, pero los ahorros en impuestos de $59 500 lo han reducido. El FEDI Y el VA al 7% anual son: FEDI = FEAI - impuestos = -100 000 - (-59 500) = $-40 500 VAo = -400 000(A/P,7%,5) - 40500 = $-138 056 En el caso del retador, el recobro de la depreciación sobre el defensor ocurre cuando éste se reemplaza, como consecuencia de que la cantidad de intercambio de $400 000 es mayor que el valor actual en libros. En el año O para el retador, la tabla 17.6 incluye los siguientes cálculos para llegar a un impuesto de $8 500.
TABLA
17.6 Análisis de reemplazo antes de impuestos y después de impuestos (ejemplo 17.12) Antes de impuestos
Edad del defensor
Año
Gastos de operación GO
PyS
Después de impuestos
FEAI
Depreciación O
Ingreso gravable IG
Impuestos* al O.341G
$-175000 -175000 -175000 -175000 -l75000
$-59500 -59500 -59500 -59500 -59500
$+250001 -215000 -215000 -215000 -215000 -215000*
$ 8500 -73100 -73100 -73 100 -73 100 -73100
FEDI
DEFENSOR 3 4 5 6 7 8 VA al 10%
$-400000
O 1
2 3 4 5
$-100000 -100000 -100000 -100000 -100000
O
$-400000 -100000 -100000 -100000 -100000 -100000 $-205520
$75000 75000 75000 75000 75000 VAal7%
$-400000 -40500 -40500 -40500 -40500 -40500 $-138056
RETADOR O 1 2 3 4 5 VA al 10%
$-1000000 $-15000 -15000 -15000 -15000 -15000
O
$-1000000 -15000 -15000 -15000 -15000 -15000 $-278 800
$200000 200000 200000 200000 200000 VAa17%
*
El signo menos indica ahorros en impuestos para el año.
1
Recobro de la depreciación en el intercambio del defensor.
*
Supone que el valor de salvamento del retador conseguido en realidad es S = O; no hay impuestos.
$-1008500 +58100 +58100 +58100 +58100 +58100 $-187863
634
CAPÍTULO 17 económico después de impuestos 17 Análisis económico
Valor en libros del defensor, año 3: Recobro de la depreciación: intercambio, año O: Impuestos sobre el intercambio,
VL3 = 600 000 - 3(75 000) = $375 000 RD3 =IG =400 =400 000-375 RD3=IG 000-375 000=$25 000=$25 000 Impuestos Impuestos = 0.34(25 000) = $8 500
depreciación en LR es $1 000 000/5 = $200 000 anuales. Esto resulta en el ahorro La depreciación de impuestos y el FEDI es:
del1 reta lib ceh yel
Impuestos = (-15000 (-15000 - 200 000)(0.34) = $-73 $-73 100 FEDI = FEAI - impuestos = -15000 (-73 100) = $+58100 $+58100 FEAI-15000 - (-73 retador se vende por $0; no hay recobro de la depreciación. El año 5, se supone que el retador VA para el retador retador al 7% de TMAR después de impuestos es igual a: El VA VA RR = -1 VA -1 000 000(AlP,7%,5) 000(AlP,7%,5) + 58 100 = $-187863 $-187863 Se elige de nuevo el defensor; no obstante, la ventaja anual equivalente equivalente se ha reducido de $73 280 antes de impuestos a $49 807 después de impuestos. conserve al defensor Conclusión: Por medio de cualquier análisis, conserve defensor ahora y planee mantenerlo otros 5 años. Además, planee evaluar los cálculos para ambas alternativas dentro de 1 año. Si y cuando los cálculos de flujo de efectivo cambien cambien considerablemente, lleve a cabo otro análisis de reemplazo. blemente,
va lóg] un
Comentario Comentario
Si el valor comercial intercambio) hubiese sido menor que el valor en libros actual del comercial (de intercambio) defensor de $375 000, se presentaría presentaría una pérdida de capital en el año O, en lugar de un recobro de la depreciación. El ahorro en impuestos resultante resultante reduciría reduciría el FEDI (que dismiFEDI fuera negativo). Por ejemplo, una cantidad comercial de $350 000 nuiría los costos si el FEDIfuera $-25 000 y un ahorro en impuestos de daría como resultado un IG de $350 000 - 375 000 = $-25 $-8500 $-8500 en el año O. El FEDI es, entonces, de $-1000000 $-1000000 = (-8 (-8 500) = $-991500. $-991500.
j,
EJEMPLO EJEMPLO
17.13 17.13
~
~Sol·E Sol-E
. Repita el análisis de reemplazo reemplazo después de impuestos del ejemplo anterior (17 .12b), utilizando una depreciación depreciación del SMARC de 7 años para el defensor y una depreciación del SMARC de 5 años para el retador. Suponga que se vende cualquiera cualquiera de los activos después de 5 años en exactamente exactamente su valor en libros. Determine si las respuestas son significativamente diferentes de las obtenidas cuando se formuló la suposición simplificadora simplificadora cativamente de la depreciación depreciación LR clásica. Solución Solución
La figura 17.8 muestra el análisis completo. Refiérase Refiérase a los rótulos de las celdas para obtener los detalles de los cálculos. El SMARC requiere muchos más cálculos que la depreciación LR, aunque el proceso se simplifica depreciación simplifica enormemente enormemente utilizando una hoja de defensor, pero ahora con una ventaja de $44 142 cálculo. De nuevo se elige retener al defensor, depreciación anuales. Esta cantidad se compara con los $49 807 de ventaja utilizando la depreciación LR clásica clásica y la ventaja de $73 280 antes de impuestos del defensor. Por lo tanto, los impuestos y el SMARC reducen la ventaja económica económica del defensor, aunque no lo suficiente como para revertir la decisión de conservarlo.
F Al
SECCIÓN 17.7 Análisis de reemplazo después de impuestos
635
Hay otras diferencias dignas de mención en lo que se refiere a los resultados entre la depreciación LR y SMARC. Hay recobro de la depreciación depreciación en el año O por parte del intercambio del defensor por $400 000, un valor mayor que el valor en retador debido al intercambio libros del defensor con una vida de 3 años. Esta cantidad, $137 620, que se encuentra en la celda G 18, se considera como un ingreso gravable ordinario. Los cálculos a mano del RD 018, y el impuesto relacionado relacionado son los siguientes: VL33 == = costo inicial - depreciación del SMARC para 3 años = depreciación total del SMARC para los años 4 a 8 == = $262380 $262380 ==
Fll) (celda FU)
= IG 100o == = valor de intercambio V~ RD == intercambio - V~ == = 400000 400000 - 262380 262 380 == = $137 620
(celda GI8) 018)
= 137620(0.34) 137620(0.34) == = $46 790 Impuestos ==
(celda H18)
ecuaciones de la hoja de cálculo que repiten esta Véase las etiquetas de las celdas para las ecuaciones lógica. El supuesto de que el retador se vende después de 5 años a su valor en libros implica un flujo de efectivo positivo en el año 5. El registro de $57,600 en la celda C23 de la
M
K
FEOI 400.000
._._-----.-- ------ ._~~~-------_._----!-._._.__.~-_._._-_._IGI2I
Depr.
137.620 $ '$(15,000)
0.2º0.0.
$ 2.0º,0.0.0.. $ $ 320.000
.!.. _ ... !~.2.·0ºº.J $
$
34'4 deIG
46791:
FEOI!
¡
$
1.046791 (
(~15,OOO) ..J [1.3,100JL$ ....58,IOº: 335.000 $ (113,900)' $ 98.900 , (20!,º0_OJ...$ .....J7.0,~~01!$ ... _~~,3~.0
115.200
Figura 17.8 17.8 Figura depreciación SMARC, ejemplo 17.13. 17.13. Análisis de reemplazo después de impuestos usando la depreciación
¡
,
.
-
636
CAPÍTULO CAPÍTULO 17
Análisis económico económico después después de impuestos impuestos Análisis
figura refleja este este supuesto, ya que que la depreciación depreciación prevista prevista del del SMARC año 6 figura 17.8 17.8 refleja supuesto, ya SMARC el año sería de 1000000(0.0576) 1 000000(0.0576) $57 600. 600. La ecuación de cálculo B 15-F24 15-F24 en la sería = $57 La ecuación de la hoja hoja de cálculo la celda C23 C23 determina determina este valor utilizando [Nota: Si la la celda este valor utilizando la depreciación depreciación acumulada acumulada en en F24. F24. [Nota: cantidad S = =O O se anticipa anticipa definitivamente cantidad definitivamente después después de de 5 años, años, habría habría una una pérdida pérdida de capicapital de $57600. Esto implicaría implicaría un un ahorro impuestos de 57600(0.34) $57600. Esto ahorro adicional adicional en en impuestos 57600(0.34) = $19584 $19584 en el año Por el contrario, valor de salvamento mayor que que el valor valor en en libros, libros, se año 5. Por contrario, si el valor salvamento es mayor estimarían un recobro estimarían recobro de de la depreciación depreciación y un impuesto impuesto asociado.] asociado.] La etiqueta etiqueta de la FEDI se obtienen La la celda celda indica indica que que las las estimaciones estimaciones del del FEDI obtienen mediante mediante las las columnas C, C, D y H. Por ejemplo, en en la celda 119, el FEDI como CI9 C 19 + D 19 columnas Por ejemplo, celda 119, FEDI se determina determina como D19 - H19. Aun cuando cuando las las columnas columnas C y D normalmente normalmente no no contienen entradas, esta esta forma H19. Aun contienen entradas, forma general del FEDI la fórmula general para para el el cálculo cálculo del FED! funciona funciona adecuadamente adecuadamente cuando cuando la fórmula se arrastra arrastra a columna 1. 1. Por cálculo del en la correctamente la la columna Por lo tanto, tanto, el cálculo del FEDI FEDI en la celda celda 123 refleja refleja correctamente venta de la la hoja hoja de de cálculo. venta del retador retador en en el año año 5 sin sin alterar alterar la fórmula fórmula de cálculo.
17.8 ANÁLISIS VALOR AGREGADO AGREGADO DESPUÉS ANÁLISIS DEL VALOR DESPUÉS
apar ento que el pl
(gen ranu verti yen den viste
DE IMPUESTOS IMPUESTOS
Valor agregado agregado Valor
término valor valor agregado emplea para indicar que un producto servicio ha El término agregado se emplea para indicar producto o servicio incrementado su valor desde la perspectiva incrementado valor desde perspectiva del propietario, propietario, un inversionista inversionista o un consumidor. Es posible apalancar significativamente significativamente las actividades actividades de valor agreconsumidor. posible apalancar valor agreproceso. Por ejemplo, las cebollas cebollas crecen crecen y se venden gado de un proceso. Por ejemplo, venden en una granja granja por por centavos la libra. En la tienda centavos la centavos tienda llegan llegan a venderse venderse a un precio precio de 25 a 50 centavos cuando las cebollas cebollas se cortan cortan y se recubren especial, pueden libra. cuando recubren con una una mezcla mezcla especial, pueden freírse en aceite aceite caliente caliente y venderse como aros de cebolla cebolla por dólares la freírse venderse como por varios varios dólares esta manera, desde la perspectiva consumidor, se ha incrementado incrementado el libra. De esta manera, desde perspectiva del consumidor, agregado por el procesamiento cebollas crudas crudas en la tierra valor agregado procesamiento de las cebollas tierra hasta hasta los cebolla que se venden comida rápida. aros de cebolla venden en un restaurante restaurante o en una tienda tienda de comida rápida. Anteriormente, en el análisis análisis de VA antes de impuestos impuestos se introdujo introdujo brevemenAnteriormente, brevemenagregado. Cuando Cuando el análisis análisis de valor agregado se realiza después de te al valor agregado. valor agregado realiza después impuestos, el enfoque enfoque es ligeramente ligeramente diferente diferente del análisis análisis de FEDI impuestos, FEDr que se planteó planteó capítulo, antes en este capítulo, alternativa será será la misma ambos La decisión respecto respecto de una una alternativa misma que para para ambos métodos, el de valor agregado y el de FEDI, cálculos de métodos, valor agregado FEDI, pues pues el VA de los cálculos valor económico económico agregado agregado es el mismo estimaciones de VA y para las estimaciones valor mismo que para deFEDI. deFEDI. análisis de valor agregado comienza comienza con la ecuación ecuación [17.3], la utilidad El análisis valor agregado utilidad neta neta desimpuestos (UNDr), (UNDI), que incluye incluye la depreciación depreciación del año 1 al año n. Este pués de impuestos Este análisis es diferente diferente del FEDI, donde la depreciación depreciación se ha eliminado eliminado específicaespecíficaanálisis FEDr, donde mente, de manera manera que sólo las estimaciones estimaciones del flujo de efectivo efectivo real se emplean emplean mente, Oal desde el año O al año n. término valor económico agregado indica el valor agregaEl término valor económico agregado (VEA) indica valor monetario monetario agregaalternativa a la corporación. corporación. La técnica estudia a continuación continuación do por una alternativa técnica que se estudia
Yaq depr con raci: de 1< tera
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este para unp man
idén deci agre des:
*A.l Chen
**w. New
SECCIÓN SECCIÓN 17.8
Análisis del valor valor agregado impuestos Análisis agregado después después de impuestos
apareció publicada en varios mediados de la década apareció publicada varios artículos* artículos* a mediados década de 1990 y desde desde entonces mucha popularidad popularidad como medio de evaluar entonces ha gozado gozado de mucha como un medio evaluar la capacidad capacidad que tiene tiene una corporación para incrementar incrementar su valor valor económico, corporación para económico, en especial especial desde desde el punto punto de vista vista de los accionistas. accionistas.
El VEA VEA anual monto remanente remanente de la utilidad utilidad neta neta después anual es el monto después de imimpuestos puestos (UNDI) (UNDI) en los libros libros de la corporación, corporación, después después de eliminar eliminar el cosVEA indica to del capital capital invertido invertido durante durante el año. año. Esto Esto significa significa que que VEA indica la contribución un proyecto proyecto a la ganancia neta de la corporación contribución de un ganancia neta corporación después después de impuestos. impuestos. El costo costo de capital capital invertido invertido es la tasa de rendimiento rendimiento después después de impuestos impuestos (generalmente valor TMAR) multiplicada por el valor valor en libros (generalmente el valor TMAR) multiplicada libros del activo activo durante el año. Éste rante Éste es el interés interés en que se incurre incurre por el nivel actual de capital capital invertido emplean diferentes diferentes métodos depreciación, tributaria vertido en el activo. (Si se emplean métodos de depreciación, tributaria yyen en libros, se utilizará utilizará el valor valor de depreciación depreciación en libros, debido debido a que representa representa de manera manera más exacta remanente invertido punto de exacta el capital capital remanente invertido en el activo activo desde desde el punto vista de la corporación). vista corporación). Las estimaciones estimaciones son de la siguiente siguiente manera: manera:
= = UNDI = UNDI -
VEA costo del capital invertido VEA = UNDI UNOI - costo capital invertido (tasa de interés interés después después de impuestos) impuestos) (tasa (valor en libros libros en el año año t - 1) (valor
= IG(l IG(l - Te) T.) =
(i)(VLt_t_11)) (i)(VL
[17.18]
Ya que ambos ambos valores, IG y el valor libros toman consideración la valores, el valor valor del lG valor en libros toman en consideración depreciación, el VEA VEA es una medida valor que incorpora incorpora el flujo de efectivo efectivo real depreciación, medida del valor cálculo del valor financiero aportado aportado a la corpocorpocon los flujos de no efectivo efectivo para para el cálculo valor financiero ración. Este valor financiero es el monto documentos públicos ración. Este valor financiero monto que se utiliza utiliza en los documentos públicos corporación (balance (balance general, general, estado estado de resultados, acciones, etcéetcéde la corporación resultados, reportes reportes de acciones, tera). Debido Debido a que las corporaciones corporaciones desean desean presentar presentar el máximo máximo valor valor posible, posible, a accionistas y a los dueños, dueños, el método apropiado desde desde el los accionistas método de VEA VEA podría podría ser más apropiado punto financiero que el método punto de vista vista financiero método de VA. VA. análisis VEA VEA es una serie de estimaciones estimaciones de VEA anuales. En El resultado resultado del análisis VEA anuales. análisis, se comparan comparan dos o más alternativas alternativas al calcular calcular las estimaciones estimaciones de VA este análisis, para después se elige elige la alternativa alternativa de mayor evalúa para el VEA VEA YY después mayor valor valor anual. Si sólo se evalúa Osignifica TMAR después después de impuestos, impuestos, de un proyecto, proyecto, VA> VA> O significa que está rebasada rebasada la TMAR manera agregado. manera que el proyecto proyecto será de valor valor agregado. Sullivan y Needy** demostrado que el VA de VEA Sullivan Needy** han demostrado VEA YY el VA del FEDI FEDl son idénticos en cantidad. cantidad. Así, se emplea emplea cualquiera cualquiera de los dos métodos métodos al tomar tomar la idénticos decisión. En una corporación, corporación, las estimaciones estimaciones anuales anuales del VEA indican indican el valor decisión. valor agregado generado generado por la alternativa, alternativa, mientras mientras que las estimaciones estimaciones anuales anuales de FEDl FEDI agregado describen el flujo de efectivo. efectivo. En el ejemplo ejemplo 17.14 se plantea comparación. describen plantea esta comparación. *A. Blair, Blair, EVA Fever; Management enero de de 1997 1997, , pp. 42-45; W. Freedman, Freedman, How do yOll add up? IIp? *A. EVA Feller, Management Today, enero pp. 42-45; How do you add Chemical Week, Week, 9 de de octubre, octubre, 1996, 1996, pp. 31-34. Chemical pp. 31-34. **W. G. Sullivan Sullivan y K. L. Needy, "Determination of of Economic Economic Value for a Proposed Proposed Investment Investment in Needy, "Determination Value Added Added for **W. New Manufacturing", en The The Engineering 45, núm. (2000), pp. New Manufacturing", en Engineering Economist, Economist, vol. vol. 45, núm. 2 (2000), pp. 166-181. 166-181.
637 637
17 Análisis económico después de impuestos CAPÍTULO 17
638
EJEMPLO EJEMPLO
17.14 17 .14
:~> Biotechnics Engineering Engineering ha desarrollado desarrollado dos planes mutuamente excluyentes para inverBiotechnics mutuamente excluyentes esperanza de incrementar incrementar sus ingresos generados por servisión en nuevo equipo con la esperanza cios de diagnóstico médico para cáncer a sus pacientes. Los cálculos se resumen a continuación. a) Utilice la depreciación depreciación clásica en línea recta, y una TMAR de 12% después de impuestos, una tasa impositiva problema por computadoimpositiva efectiva efectiva de 40%, y solucione solucione el problema computadora para realizar realizar dos análisis de valor anual después de impuestos: VEA y FEDI. FED!. b) Explique la diferencia fundamental entre los resultados resultados de los dos análisis.
l!l ~Sol-E set-a
Plan A
Plan B
Inversión inicial Ingreso bruto - gastos de operación
$500000 $500000 $170000 $170000 por año
Vida estimada Valor de salvamento
4 años Ninguno
$120000 $120000 $600 000 en el año 1, con decremento decremento de $50 000 por año 4 años Ninguno
Solución por por computadora computadora Solución a) Consulte la hoja de cálculo y las etiquetas de celda que aparecen en la figura 17.9. Evaluación información necesaria Evaluación VEA: toda la información necesaria para los cálculos VEA se determina en las columnas B a G. La utilidad neta después de impuestos (UNDI) que se muestra en la columna H se calcula utilizando la ecuación [17.3], lG IG - impuestos. impuestos. Los valores en libros (columna E) se emplean para determinar determinar el costo del capital 1,yy se aplican en el segundo término de la ecuación [17.18], invertido en la columna 1, _,), donde i es la TMAR después de impuestos de 12%. Esto representa representa el que es i(VLtt_,), monto de interés del 12% 12% anual, después de impuestos, para el capital actualmente actualmente invertido, como lo refleja el valor en libros al principio del año. La estimación estimación del 4. VEA anual es la suma de las columnas H e I1 (ecuación [17.18]) para los años 1 al a14. Note que para el año Note que no existe existe una una estimación estimación del del VEA VEA para año O, 0, puesto que la UNDI y el Finalmente, se selecciona selecciona el costo del capital invertido se calculan en los años 1 a n. Finalmente, VAmayor VA mayor del valor VEA (J21), lo cual indica que el plan B es mejor, y que el planA planA no tiene un rendimiento (Jl O). rendimiento de 12% (nO). Evaluación Evaluación FEDI: FEDI: como se muestra en las etiquetas de celda, se calculan las estimaciones estimaciones FEDI (columna K) usando la ecuación ecuación [17.8], lB - GO GO - P - impuestos. El VAde K21) de nuevo concluye que el plan B es mejor que el plan VA de FEDI (celda K2l) rendimiento TMAR después de impuestos de 12% (KI0). A, ya que éste no tiene un rendimiento (KI0). diferencia fundamental entre las series VEA y FEDI que aparecen en las b) ¿¿Cuál Cuál es la diferencia columnas J y K? Son claramente claramente equivalentes equivalentes desde el punto de vista del valor del dinero en el tiempo, dado que los valores anuales son los mismos en términos numéricos. Para responder considere que el plan A tiene una estimación estimación responder a la pregunta, considere obtener el VA constante de FEDI de $152 000 anuales. Para obtener VA de VEA, calcule a partir $-12 617 en los años 1 a 4, con una inversión inversión inicial de $500 000 que se distribude $-12 ya durante los 4 años de vida al emplear emplear el factor AIP AIP al 12%. Esto significa que un monto equivalente equivalente de $500 000(AlP,12%,4) 000(AlP,12%,4) = $164 617 se carga carga al flujo de efectivo de entrada en cada uno de los años 1 a 4. En efecto, el FEDI anual se reduce a consecuencia de dicho cargo. consecuencia
600,000, 500,000 I
$
300,000
I i
$ $ $ $
125,000 125,000 125,000 125,000
45,000 45,000 45,000 45,000
PLANB
$ $ $ $
$ $ $ $
18,000 18,000 18,000 18,000 $ $ $ $ 27.000
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27,000 ; $ 27,000 ¡ $ 27,000 , $
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$ 300.000 $ 300,000 -+-",$--,:3.Q-º,000 $ 300,000,
1,200,000 $ $
120,000 80,000
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100,00~~$_~40~,0~00~11.~$_-" $ $
300,000 200,000
=FI9-GI9
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1,200,000 SOO,OOO $ 600,000 $ 300,000 $
Figura 17.9 Comparación de alternativas al emplear los análisis de VEA y de FEDI, ejemplo 17.14.
$
_L~Q!\º.o-º-L
$ $
I I
500,000
n
mpuestos OAIG
Análisis de VEA Inversió n Deprecia - Valor en Ingreso mpuestos [Costo del --==;piP'--'-'--t-'='ciF!óC,n:'TL""'Rrl--':Ii\:'b':'ro":'s-~Vi;'L-+',g:-;ra::-v;;:ab=le;1G O."rTG- ---DNOI--Capl~ta;Tl-1i"'né:-v.+-'V"'EA=·---l
i$
I Inversió P
170,000 170,000 170,000 i 170,000 ;
-..,,-=---!'I"'B:----cG""'O.r,
$ $ $ $
lB - GOi
De reciació n L R
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s
$ $ $ $
FEDI
1.200,000 480,000 420,000 360,000 300,000 3,388
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Análisis
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$15,000 $15,000 $10,000 $10,000 $5,000 $5,000
$0 -$5,000 -$5,000
+--,---,---,--->r--, 5%
10% 10%
15% 15%
20
25% 25%
-$10,000 -$1 0,000 -$15,000 -$15 ,000 TMAR, TMAR, %
Figura 18.2 Figura Análisis de sensibilidad sensibilidad de VP para variaciones variaciones en la TMAR y la vida estimada, ejemplo 18.1.
x
18 Análisis de sensibilidad sensibilidad formalizado y decisiones de valor esperado CAPÍTULO 18
666
-$80,000 $30,000 $30,000
$25,000
$25,000 $25,000
$23,000
$20,000 $20,000
$21,000
'".&2
$0 -$5,000 ·$5,000
~ +--.------r-~ 8
10
12 12
-$10,000 · $10,000
$7,000
._+i -,"$5"",0",0,,-01________ $3,000
$15,000 $15,000
e e
$17,000
_
_
-$15,000 ·$15,000 Vida, Vida, años años
Figura 18.2 18.2 Figura (Continuación)
Figl {-80 000 Flujo de efectivo, = {80000 +27 000 - 2 000 000, 1
OO t = 1, . ,. t= 1,... t= t=
VPpara valores i de 10 a 25% y valores n desde 8 hasta 12 años. La función VPN calcula VPpara xy de dispersión. dispersión. Como indica la solución a mano, de la misma forma se realiza la gráfica xy variaciones de n. El VP es sensible a los cambios en TMAR, pero no es muy sensible a las variaciones
Cuando se considera considera la sensibilidad sensibilidad de diversos Cuando diversos parámetros parámetros para para una alternatialternatiutilizando una sola medida medida de valor, elaborar la gráfica valor, es útil elaborar gráfica del cambio cambio porporva utilizando centual para para cada cada parámetro parámetro contra contra la medida figura 18.3 ilustra centual medida de valor, valor. La figura ilustra la TR contra seis parámetros parámetros diferentes alternativa. La variación contra diferentes para para una una alternativa. variación en cada cada paráparámetro se indica indica como como una desviación estimación más probable metro desviación porcentual porcentual de la estimación probable en el eje horizontaL horizontal. Si la curva curva de respuesta acerca a la horizontal horizontal respuesta de TR es plana plana y se acerca en el rango de la variación total graficada para un parámetro, sensibilirango variación graficada para parámetro, existe existe poca poca sensibilidad de TR a los cambios cambios en el valor del parámetro. Ésta es la conclusión para el valor parámetro. Ésta conclusión para
Gráfi
cost vem a -J aum
gráf ners segr de e sens dd
pun sari: tenc
SECCIÓN 18.1
667
Determinación de la sensibilidad para variación de parámetros
50% .---------------------------------------------------------------------~
40%
~o..
.,o
30%
e
..o
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ESTUDIO ESTUDIO DE DE CASO CASO
Costo de de operación operación fijo fijo Costo Costo de operación operación variable variable Costo Impuestos para para derechos derechos de de agua agua Impuestos
180,520 180,520 46730 46730 48160 48160
Costos total total anual anual de M&O M&O Costos
$1 $1 060419 060419
Costos anuales anuales totales totales ==inversión inversión de capital capital Costos equivalente equivalente + costo costo de M&O M&O
693 693
Conclusión Conclusión Con Con base base en en el el costo costo por por vivienda vivienda mensual mensual más más bajo, bajo, la la alternativa alternativa 3 (una planta planta conjunta conjunta para para la la ciudad ciudad yy el el condado) condado) resulta resulta la más atractiva atractiva económicamente. económicamente.
Ejercicios Ejercicios del del estudio estudio de de caso caso
400 00(AIP,8%,20) 00(A/P,8%,20) = 28 400 060419 + 1 060419 060419 = 2 892 540 + 1 060419
= $3 952 959 mensual por vivienda vivienda para atender El costo promedio mensual el 95% de 4 980 viviendas es: Costo por vivienda = (3 952 959) ~ 2.- _1 _1__ _ _1_ 4980 0.95 12 4980 = $69.63 por mes
Alternativa 3 Alternativa Inversión total de capital = $29 600 000 Costo de M&O anual total = $867119 $867 119 Costo anual total
= 29600 29600 000(A/P,8%, 000(A/P,8%, 867119 20) + 867 119 = 3 014760 014 760 + 867 119 119
= $3881879 $3 881 879 Costo por vivienda
= $68.38 por mes
Alternativa Alternativa 4 Costo de capital total
= $29 000000 000 000
Costo de M&O anual total == $1 063 449 $1063449 Costo anual total
29000 (AIP,8%, = 29 000 000 (A/P,8%, 20) + 11 063 063 449 =2953650+ 11 063 063449 =2953650+ 449 == $4017099 $4017099
Costo Costo por por vivienda vivienda
== $70.76 $70.76 por por mes mes
1. Si el factor factor de consideraciones consideraciones ambientales ambientales era dar una una ponderación ponderación del doble de cualquiera cualquiera de los cinco factores restantes, ¿cuál sería su ponderación ponderación porcentual? centual? 2. Si los factores capacidad capacidad de suministro suministro del área y costo relativo pesaran 20%, y los cuatro factores restantes, 15% cada uno, ¿qué alternativas alternativas calificarían calificarían dentro de las tres primeras? 3. ¿En cuánto tendría tendría que disminuir la inversión inversión de capital de la alternativa alternativa 4 para hacerla hacerla más atractiva que la alternativa alternativa 3? 4. Si la alternativa alternativa lA lA atendiera el 100% de las viviendas en lugar del 95%, ¿en cuánto tendría que disminuir el costo mensual por vivienda? mur 5. 5. a) Realice un análisis de sensibilidad sobre los dos y el número parámetros de los costos de M&O y alternativa 3 side hogares para determinar si la alternativa gue siendo la mejor elección económica. En la tabla 18.6 se realizan tres estimaciones para cada parámetro. Los costos de M&O pueden variar parámetro. hacia arriba (pesimista) o hacia abajo (optimista) desde la estimación más probable presentada en la formulación del caso. El número estimado (4980) se determina como la estide hogares (4980) (opmación pesimista. Un crecimiento de 2 a 55% % (optimista) tenderá a disminuir el costo mensual por hogar. hogar. b) Considere el el costo mensual por hogar para la alb) 4, la estimación optimista. El número ternativa 4, 5% sobre 4 980, es es decir, decir, 5 230. 230. de hogares está 5% es el el número de hogares que tendrían que ¿Cuál es estar disponibles, con la finalidad de que esta estar el mismo mismo costo costo opción sólo tenga exactamente el por hogar que la alternativa 33 en en la estiestimensual por optimista de 55 230 230 hogares? hogares? mación optimista
694
CAPÍTULO
TABLA
Análisis de sensibilidad
18
18.6
formalizado
y decisiones de valor esperado
Estimaciones pesimista, más probable y optimista para dos parámetros Costos de M&O anuales
Alternativa lA Pesimista Más probable Optimista Alternativa 3 Pesimista Más probable Optimista Alternativa 4 Pesimista Más probable Optimista
+1% $1060419 -1%
+5% $867 119 0%
+2% $1063449 -10%
Número de hogares
4980 +2% +5%
4980 +2% +5%
4980 +2% +5%
19 o o 1-
u u
Más Más sobre sobre variaciones variaciones toma de de decisiones decisiones y toma bajo riesgo
Objl n
y
En este capítulo capítulo se se amplía nuestra capacidad para para analizar variaciones de estiEn la probabilidad probabilidad y tomar tomar decisiones bajo riesgo riesgo.. Las Lasbases maciones, considerar la bases analizadas incluyen distribuciones distribuciones de probabilidades, probabilidades, en especial sus sus gráficas analizadas y propiedades propiedades de valor esperado y de dispersión; muestreo aleatorio, aleatorio, y el uso de simulación para considerar las las variaciones en los estudios estudios de ingeniería económica.. económica Aunque elemental en su cobertura de variaciones y probabilidad, probabilidad, este cacaAunque elemental su cobertura pítulo presenta enfoques las primeras pítulo enfoques adicionales a los temas analizados en las la ingeniería económica secciones del capítulo capítulo 1: 1: el papel de la económica en la la toma de decisiones y el uso del análisis análisis económico económico en el proceso de solución de prodecisiones blemas. Dichas técnicas consumen más más tiempo tiempo que el uso de estimaciones estimaciones realizadas con certidumbre, certidumbre, de manera que deberían utilizarse para los parárealizadas metros considerados considerados esenciales. esenciales.
v
-
-
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE OBJETIVOS Objetivo general: general: aprender aprender a incorporar incorporar la toma toma de de decisiones decisiones bajo bajo riesgo riesgo a los análisis análisis de de ingeingeObjetivo niería económica económica utilizando utilizando los fundamentos fundamentos de de las distribuciones distribuciones de de probabilidad. probabilidad, el muestreo muestreo niería y la simulación. simulación.
Este capítulo capítulo ayudará al al lector lector a: a: Este Certidumbre y riesgo riesgo Certidumbre
---'-1--
II
Variables y distribuciones distribuciones Variables
2. Construir Construir la la distribución distribución de probabi probabilidad la distribución distribución lidad y la acumulativa acumu lativa para una variable. variable . aleatoria a partir partir de la d distribución istribución 3. Desarrollar Desarrollar una muestra aleatoria acumulativa de una variable. acumulativa variable.
Muestra aleatoria aleatoria Muestra
4. desviación estándar valor esperado esperado y la desviación estándar de de una 4 . Estimar el valor población población a partir partir de una muestra aleatoria. aleatoria .
Promedio y dispersión dispersión Promedio
-----
Monte Car!o Monte Cario y simulación simulación
Comprender los d diferentes enfoques para la la toma 1. Comprender iferentes enfoques toma de decisiones bajo certidumbre certidumbre y bajo riesgo riesgo.. decisiones
II
5. Utilizar el muestreo muestreo Monte Carlo y el enfoque Monte Cario enfoque de simulación simulación alternativa. para seleccionar seleccionar una alternativa.
CAPÍTULO CAPÍTULO 19
698 698
19.1 19.1
Más toma de decisiones bajo riesgo decisiones bajo riesgo Más sobre sobre variaciones variaciones y toma
INTERPRETACiÓN INTERPRETACiÓN DE CERTIDUMBRE, CERTIDUMBRE, RIESGO RIESGO E INCERTIDUMBRE INCERTIDUMBRE
Todas las cosas mundo varían, varían, unas con respecto respecto a otras, a través través del tiempo tiempo y cosas en el mundo con entornos entornos diferentes. diferentes. Se garantiza garantiza que ocurrirán ocurrirán variaciones variaciones en la ingeniería ingeniería económica para el futuro. Excepto para económica debido debido a su énfasis énfasis en la toma toma de decisiones decisiones para Excepto para análisis del punto punto de equilibrio, análisis de sensibilidad el uso del análisis equilibrio, el análisis sensibilidad y una introintroducción breve a los valores prácticamente todas las estimaciones ducción muy breve valores esperados, esperados, prácticamente estimaciones aquí aquí desarrolladas desarrolladas han sido ciertas; es decir, no se han ingresado ingresado variaciones variaciones en las cantidades relación utilizada. utilizada. cantidades dentro dentro de los cálculos cálculos de VP, VA, TR, TR, o de cualquier cualquier relación Por ejemplo, próximo será de ejemplo, la estimación estimación de que el flujo de efectivo efectivo del año próximo certidumbre. La certidumbre, certidumbre, por supuesto, supuesto, no está está presente ahora en $+4 500 es de certidumbre. presente ahora mundo real y con seguridad seguridad no lo estará estará en el futuro. Se pueden observar resultados resultados el mundo pueden observar grado de certidumbre, certidumbre, pero incluso ello depende depende de la exactitud exactitud y con un alto grado pero incluso precisión escala o del instrumento instrumento de medición. medición. precisión de la escala hecho de permitir estudio de ingeniería ingeniería económica económica El hecho permitir que un parámetro parámetro de un estudio implica que se introducen introducen riesgo, riesgo, y posiblemente, incertidumbre. varíe implica posiblemente, incertidumbre. Riesgo. El riesgo cuando se anticipa anticipa que habrá habrá dos o más valores Riesgo. riesgo está presente presente cuando observables para parámetro y es posible estimar la probabilidad probabilidad de que observables para un parámetro posible estimar cada valor ocurra. Como Como ilustración, ilustración, la toma toma de decisiones decisiones bajo cada valor ocurra. bajo riesgo riesgo se presenta cuando una estimación estimación de flujo de efectivo efectivo anual anual tiene tiene 50-50 50-50 presenta cuando 0$-1000 toda 1000 o $+500. Por lo tanto, prácticamente prácticamente toda de probabilidad probabilidad de ser 0$toma de decisiones decisiones se realiza toma realiza bajo riesgo. Incertidumbre. toma de decisiones decisiones bajo incertidumbre significa significa que hay Incertidumbre. La toma bajo incertidumbre observables, aunque aunque las probabilidades ocurrencia dos o más valores valores observables, probabilidades de su ocurrencia no pueden estimarse o nadie está dispuesto dispuesto a asignar asignar las posibilidades. pueden estimarse nadie está posibilidades. En el análisis de incertidumbre incertidumbre con frecuencia frecuencia se hace referencia valores obanálisis referencia a los valores servables como como estados estados de la naturaleza. naturaleza. Por ejemplo, ejemplo, considere considere que los esservables inflación nacional nacional en un país específico específico tados de la naturaleza naturaleza para para la tasa de inflación durante los próximos aumenta 5 a 10% durante próximos 2 a 4 años, son: permanece permanece baja, baja, aumenta cada año, o aumenta aumenta 20 a 50% 50% anualmente. anualmente. Si absolutamente absolutamente no hay indicada cación de que los tres valores valores sean probables igual, o de que uno es más cación probables por igual, probable que los otros, ésta es una afirmación afirmación que indica decisiones probable indica la toma de decisiones bajo incertidumbre. bajo incertidumbre. ejemplo 19.1 explica explica la forma forma como como un parámetro describirse y represenEl ejemplo parámetro puede puede describirse represengráficamente para toma de decisiones decisiones bajo riesgo. tarse gráficamente para prepararse prepararse para para la toma riesgo.
EJEMPLO EJEMPLO
19.1
j
Charles y Sue Sue son son estudiantes estudiantes de último año en una casarse el Charles último año una universidad universidad y piensan piensan casarse próximo año. Con Con base en conversaciones conversaciones con con amigos amigos recién casados, la pareja decidió próximo año. base en recién casados, pareja decidió hacer estimaciones separadas separadas de lo que que cada cada uno espera que que costará costará la ceremonia, ceremonia, con con la hacer estimaciones uno espera posibilidad que cada cada estimación estimación realmente observada se exprese exprese como posibilidad de que realmente observada como porcentaje. porcentaje. a) Sus estimaciones estimaciones separadas separadas se tabulan tabulan en la parte superior de la figura figura 19.1. 19.1. Construya Construya Sus parte superior
ea
SECCIÓN 19.1 Interpretación de certidumbre, riesgo e incertidumbre
Charles Costo estimado,
$
699
Sue
Posibilidad, %
Costo estimado,
65 25 10
8000 10000 15000
3000 5000 10000
Posibilidad,%
33.3 33.3 33.3
80 65
Charles
60
*'" -ti "O
~
40
:o ';;) o A..
25 20 10 O 2
3
4
5
6 7 8 Costo, $1 000
10
9
11
12
Sue 40
*.:8-g
33.3
33.3
33.3
7 8 9 Costo, $1000
10
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12
10
11
12
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~o A..
O 2
3
4
5
6
a) Valores específicos
Acuerdo
1 25-
~o
U
O 2
3
4
5
6
7 8 9 Costo, $1000 b) Rango continuo
Figura 19.1 Gráfica de las estimaciones de costo versus posibilidad
13
14
15
16
700
CAPÍTULO 19 CAPÍTULO
Más sobre variaciones decisiones bajo Más sobre variaciones y toma toma de decisiones bajo riesgo riesgo
posibilidad, dos dos gráficas: gráficas: una una de de los los costos costos estimados estimados de Charles Charles versus sus sus estimaciones estimaciones de posibilidad, y una Formule comentarios comentarios sobre sobre la forma forma de las las gráficas, gráficas, con con respecto cada una para para Sue. Sue. Formule respecto a cada una ellas. b) Después algún análisis análisis ellos ellos decidieron decidieron que que el costo costo de de la ceremonia ceremonia Después de de algún una de ellas. Y$10 000. valores entre deberá estar estar en en algún algún punto entre $7500 $7500 Y$10 000. Todos Todos los los valores entre los los dos dos límites límites deberá punto entre son igualmente igualmente probables con una de 1 en en 25. 25. Elabore Elabore una gráfica de estos estos son probables con una posibilidad posibilidad de una gráfica valores la posibilidad. posibilidad. valores versus la Solución Solución La figura figura 19.1a 19.1a presenta gráfica para estimaciones de de Charles Charles y Sue, Sue, con con las las a) La presenta la gráfica para las estimaciones escalas escalas de de costo costo alineadas. alineadas. Sue Sue espera espera que que el costo costo sea sea considerablemente considerablemente mayor mayor del del que espera espera Charles. Charles. Además, Sue asigna asigna posibilidades iguales (o uniformes) cada que Además, Sue posibilidades iguales uniformes) a cada valor. Charles asigna asigna una los valores de costo costo mínimo; valor. Charles una posibilidad posibilidad mucho mucho mayor mayor a los valores de mínimo; el 65% de sus sus posibilidades dedican a $3 000 000 y solamente solamente el 10% 10% a $10 $10 000, 000, que que es 65% posibilidades se dedican estimación de de costo costo medio Sue. Las Las gráficas gráficas muestran claramente las las diferentes diferentes la estimación medio de Sue. muestran claramente percepciones sobre los costos costos esperados esperados para percepciones sobre para su matrimonio. matrimonio. posibilidad de para el b) La La figura figura 19.1b 19.1b es la gráfica gráfica correspondiente correspondiente a una una posibilidad de 1 en 25 para continuo de costos costos desde desde $7 500 500 hasta $10 000. hasta $10 000. continuo
tann min metJ
Tom to d anál en u fom ríes¡
Comentario Comentario Una diferencia significativa significativa entre entre las estimaciones estimaciones de costo costo en en los los incisos incisos a) y b) estriba estriba Una diferencia en los los valores discretos y continuos. continuos. Charles Charles y Sue Sue primero estimaciones en valores discretos primero realizaron realizaron estimaciones específicas, discretas, discretas, con con las las posibilidades posibilidades asociadas asociadas con con cada cada valor. La estimación estimación en en específicas, valor. La acuerdo que que ellos ellos alcanzaron alcanzaron es un continuo de de valores desde $7 500 500 hasta $10 000 000 hasta $10 acuerdo un rango rango continuo valores desde con alguna alguna posibilidad posibilidad asociada asociada con con cada cada valor entre estos estos límites. límites. En En la siguiente siguiente sección sección con valor entre las dos variables -discretas se presenta se definen definen las dos clases clases de de variables -discretas y conse presenta el término término variable y se tinuas- que que se estudian estudian aquí. aquí. tinuas-
Antes iniciar un análisis análisis de ingeniería ingeniería económica, económica, es importante importante decidir decidir si el Antes de iniciar análisis realizará con certidumbre para todos todos los parámetros parámetros o si se introducirá análisis se realizará certidumbre para introducirá el riesgo. riesgo. A continuación presenta un resumen resumen del significado para cada continuación se presenta significado y uso para cada tipo de análisis. análisis.
Toma de decisiones Se trata trata de lo que se realizó realizó prácticamente prácticamente decisiones bajo bajo certidumbre certidumbre en todos los análisis hasta el momento. momento. Se efectúan análisis hasta efectúan e ingresan ingresan estimaciones estimaciones deterministas medidas de valor valor (VP, VA, VF, TR, Y la mini stas en las expresiones expresiones de las medidas TR, B/C) B/C) Y toma de decisiones basa en los resultados. resultados. Los valores valores estimados pueden consitoma decisiones se basa estimados pueden considerarse probablemente con toda toda la posibilidad posibilidad ubicada ubicada derarse como como los que ocurrirán ocurrirán más probablemente en la estimación habitual es una estimación estimación de un solo valor. Un ejemplo ejemplo habitual estimación del costo costo inicial realizada con certidumbre, P= Una gráfica inicial de un activo activo realizada certidumbre, por ejemplo, ejemplo, P = $50000. $50000. Una gráfica de P versus posibilidad tendrá tendrá la forma barra verversus posibilidad forma general general de la figura figura 19.1a con una barra posibilidad puesta puesta en ésta. Con frecuencia utiliza el tical en $50 000 y 100% de posibilidad frecuencia se utiliza término determinista, término determinista, en lugar lugar de certidumbre, certidumbre, cuando cuando se usan en forma forma exclusiva exclusiva estimaciones estimaciones de un solo valor. hecho, el análisis valores de un estimado De hecho, análisis de sensibilidad sensibilidad que usa diferentes diferentes valores estimado es simplemente simplemente otra otra forma forma de análisis análisis con certidumbre, certidumbre, excepto excepto que el análisis análisis se valores diferentes, valores resulrepite para valores diferentes, cada uno estimado estimado con certidumbre. certidumbre. Los valores
Tom para el us no e: mar
1
toma técni 1 análi riará se re
SECCIÓN SECCIÓN 19.1
Interpretación Interpretación de certidumbre, certidumbre, riesgo riesgo e incertidumbre incertidumbre
tantes de las medidas para determedidas de valor valor se calculan calculan y se ilustran ilustran de manera manera gráfica gráfica para minar la sensibilidad de la decisión a diferentes estimaciones para uno o más paráminar sensibilidad decisión diferentes estimaciones para parámetros. metros. Toma de decisiones decisiones bajo bajo riesgo riesgo Ahora Ahora formalmente formalmente se toma toma en cuenta cuenta el elemenelemento de posibilidad. difícil tomar tomar una decisión embargo, es más difícil decisión clara clara porque porque el posibilidad. Sin embargo, intenta considerar considerar la variación. Se permitirá permitirá que varíen uno o más parámetros parámetros análisis intenta en una alternativa. alternativa. Las estimaciones estimaciones se expresarán expresarán como como en el ejemplo ejemplo 19.1 o en formas un poco poco más complejas. complejas. En lo fundamental, fundamental, hay dos formas de considerar considerar el riesgo riesgo en un análisis: análisis: Análisis Análisis del del valor valor esperado. esperado. Utilice Utilice las posibilidades posibilidades y las estimaciones estimaciones de parámetro parámetro para para calcular calcular los valores valores esperados, esperados, E(parámetro), E(parámetro), mediante mediante fórmulas fórmulas como como la ecuación ecuación [18.2]. El análisis análisis arroja arroja series series de E(flujo E(flujo de efectivo), efectivo), E(COA) E(COA) y similares, similares, y el resultado resultado final final es el valor valor esperado esperado de una medida E(B/C) . Para medida de valor, como como E(VP) E(VP),, E(VA), E(VA), E(TR), E(TR), E(B/C). Para elegir elegir la alternativa, se-leccione se-leccione el valor valor esperado esperado más favorable favorable de la medida medida de valor. alternativa, forma elemental, elemental, esto es lo aprendido aprendido sobre los valores valores esperados esperados en el En forma capítulo 18. Los cálculos cálculos pueden pueden resultar resultar más elaborados, elaborados, aunque aunque el principio principio capítulo básicamente el mismo. mismo. es básicamente Análisis mediante mediante simulación. simulación. Utilice las estimaciones estimaciones de posibilidades posibilidades y Análisis Utilice parámetros, para para generar generar cálculos cálculos repetidos repetidos de la relación relación de la medida medida de parámetros, muestreo aleatorio aleatorio de una gráfica gráfica para para cada cada parámetro parámetro variable variable valor, con el muestreo similar a aquellos aquellos de la figura figura 19.1. Cuando Cuando se completa completa una muestra represimilar muestra representativa y aleatoria, aleatoria, se toma toma una alternativa alternativa utilizando utilizando una tabla o gráfica gráfica de sentativa resultados. En general, general, las gráficas gráficas forman forman parte parte importante importante de la toma toma los resultados. decisiones mediante mediante el análisis análisis de simulación. simulación. Básicamente, Básicamente, éste éste es el de decisiones enfoque analizado analizado en el resto de este capítulo. capítulo. enfoque decisiones bajo incertidumbre. incertidumbre. Cuando posibilidades no se conocen conocen Toma de decisiones Cuando las posibilidades para los estados estados de naturaleza valores) identificados identificados de los parámetros inciertos, para naturaleza (o valores) parámetros inciertos, decisiones con base en el valor valor esperado esperado bajo riesgo antes esbozado esbozado el uso de toma de decisiones opción. En efecto, efecto, es difícil difícil determinar determinar cuál criterio criterio utilizar utilizar aun para no es una opción. para todecisión. mar la decisión. fuera posible posible acordar acordar que que cada cada estado estado es igualmente igualmente probable, probable, entonces entonces Si fuera todos los estados estados tendrían tendrían la misma misma posibilidad posibilidad y la situación situación se reduce reduce a todos una toma toma de decisiones decisiones bajo bajo riesgo, riesgo, ya que que pueden pueden determinarse determinarse los valores valores una esperados. esperados. Debido a los enfoques enfoques relati relati vamente vamente inconclusos inconclusos y necesarios para incorporar incorporar la Debido necesarios para toma de decisiones decisiones bajo incertidumbre incertidumbre en un estudio ingeniería económica, económica, las toma estudio de ingeniería técnicas llegan llegan a ser bastante bastante útiles, útiles, aunque aunque están están más allá del alcance alcance de este texto. técnicas análisis de ingeniería ingeniería económica, económica, así como en todas las otras formas En un análisis formas de análisis y toma toma de decisiones, decisiones, los valores valores de parámetro parámetro observados observados en el futuro vaanálisis riarán respecto respecto del valor valor estimado estimado en el momento momento del estudio. estudio. No obstante, obstante, cuando cuando riarán realiza el análisis, análisis, no todos los parámetros parámetros deberán deberán considerarse considerarse como como probase realiza proba-
701
702
CAPÍTULO CAPÍTULO 19
Más bajo riesgo Más sobre sobre variaciones variaciones y y toma toma de decisiones decisiones bajo riesgo
bilísticos riesgo). Aquellos Aquellos que son estimables estimables con un grado grado de certidumbre certidumbre bilísticos (o bajo riesgo). relativamente elevado para el estudio. relativamente elevado deberían deberían fijarse para estudio. Por consiguiente, consiguiente, los métodos métodos muestreo, simulación simulación y análisis análisis de datos estadísticos estadísticos se emplean emplean selectivamente selectivamente de muestreo, considerados importantes importantes para el proceso decisiones. sobre los parámetros parámetros considerados proceso de toma toma de decisiones. Como se mencionó mencionó en el capítulo capítulo 18, los parámetros tasa de interés interés Como parámetros con base base en la tasa (TMAR, otras tasas de interés interés e inflación), inflación), por lo general general no se tratan tratan como como variables variables (TMAR, aleatorias en los análisis análisis que vienen vienen a continuación. continuación. Los parámetros como P, COA, aleatorias parámetros como costos de materiales materiales y unitarios, ingresos, etcétera, etcétera, son los objetivos objetivos en la toma toma n, S, costos unitarios, ingresos, decisiones bajo riesgo riesgo y en la simulación. simulación. Por Por lo común, variación anticipada anticipada de decisiones común, la variación interés está más encaminada encaminada por los enfoques enfoques del análisis análisis y predecible predecible en las tasas de interés sensibilidad, cubierto cubierto en las dos primeras secciones del capítulo capítulo 18. de sensibilidad, primeras secciones capítulo se concentra concentra en la toma toma de decisiones decisiones bajo riesgo riesgo en la El resto de este capítulo forma aplicada aplicada a un estudio estudio de ingeniería ingeniería económica. económica. Las siguientes siguientes tres secciones secciones forma proporcionan diseñar y realizar correctamente un proporcionan la base base material material necesaria necesaria para para diseñar realizar correctamente análisis de simulación simulación (sección (sección 19.5). análisis 19.2 19.2
ELEMENTOS IMPORTANTES IMPORTANTES PARA LA TOMA TOMA ELEMENTOS DE DECISIONES DECISIONES BAJO BAJO RIESGO RIESGO
Algunos fundamentos fundamentos de probabilidad estadística son esenciales esenciales para realizar coAlgunos probabilidad y estadística para realizar decisiones bajo riesgo riesgo mediante mediante el análisis del valor valor esperado esperado rrectamente la toma toma de decisiones rrectamente simulación. Estas Estas bases se explican explican aquí. (Si el lector lector ya está está familiarizado familiarizado con o la simulación. presente sección sección le servirá servirá de repaso.) repaso.) ellas, la presente Variable aleatoria aleatoria (o Variable) Variable) característica o parámetro puede tomar tomar Variable Es una característica parámetro que puede cualquiera entre diversos diversos valores. valores. Las variables variables se clasifican clasifican como como discretas discretas un valor cualquiera o continuas. continuas. Las variables variables discretas discretas tienen tienen diversos diversos valores valores aislados aislados y específicos, específicos, mientras que las variables variables continuas continuas pueden asumir cualquier cualquier valor valor entre entre dos límites límites mientras pueden asumir establecidos, llamados llamados rangos rangos de la variable. variable. establecidos, vida estimada estimada de un activo activo es una variable variable discreta. discreta. Como Como ejemplo, ejemplo, puede La vida puede esperarse que n tenga tenga los valores valores n = = 3, 5, 10 o 15 años y no otros. La tasa tasa de rendirendiesperarse miento es un ejemplo ejemplo de una variable variable continua; continua; i puede variar de --100% puede variar 100% a es miento -100% ::; ::;ii < oo. oo , El rango de valores valores posibles (discreto) e i (continuo) (continuo) se decir, -100% posibles para para n (discreto) muestra figura 19.2a. 19.2a. (En los textos textos de probabilidad, muestra en los ejes x de la figura probabilidad, las letras mayúsculas simbolizan simbolizan una variable, variable, por ejemplo ejemplo X, y las letras letras minúsculas, minúsculas, x, idenmayúsculas tifican un valor valor específico Aunque correcto, correcto, tal nivel nivel de rigor rigor en la tifican específico de la variable. variable. Aunque terminología no se incluye incluye en este capítulo. capítulo. terminología 00 00
número entre entre O O y 1.0 que expresa expresa la probabilidad forma Es un número probabilidad en forma decimal de que una variable variable aleatoria aleatoria (discreta (discreta o continua) continua) tome tome cualquier cualquier valor valor de decimal aquellos identificados identificados para simplemente la cantidad cantidad de poaquellos para ésta. La probabilidad probabilidad es simplemente sibilidad, dividida dividida entre 100. Por Por lo común, común, las probabilidades identifican como como sibilidad, probabilidades se identifican P(X¡) o P(X P(X = = X;), lo cual se lee como como la probabilidad variable X tome tome el probabilidad de que la variable valor realidad, para variable continua, continua, la probabilidad tome un valor de X; Xi. (En realidad, para una variable probabilidad de que tome valor es cero, como se mostrará mostrará en un ejemplo ejemplo posterior). suma de todas las solo valor posterior). La suma P(XJ para una variable variable debe ser 1.0, requisito analizado. La escala escala de probabilidad, P(X¡) requisito ya analizado. probabilidad,
Probabilidad Probabilidad
al la de Dj
ba di: nu
di
L, de
un
de
SECCIÓN
19.2
Elementos importantes
Variable discreta
para la toma de decisiones bajo riesgo
I
I
I
I
3
5
10
15
Figura 19.2 a) Escalas
de variables discretas y continuas y b) escalas para una variable versus su probabilidad.
Años
Vida estimada, n Variable continua
703
-100%
00
Tasa de rendimiento,
i
a)
1.0 0.8
~
Variable discreta
0.6
S2
En
S4> s3
Valor esperado esperado y desviación desviación estándar estándar Valor
SECCIÓN 19.4 19.4 SECCIÓN
Muestra: Muestra:
S2
= nmestra)2 = suma suma de (valor (valor de la muestra muestra - promedio promedio de la muestra)! tamaño tamaño de la muestra muestra - 1 1
L(X; _1')2 _1')2 __ L(A'; 11-1 1l-1
[19.11]
s=JSi s=p
En general, varianza muestral muestral se aplica general, la ecuación ecuación [19.11] de la varianza aplica en una forma forma más conveniente en términos cálculo. conveniente términos del cálculo. 2 rr nn --2 2 'L¡;X L¡;X n :EX n-2- 2 s = -' --X = -'- ' --X =--' ---X =-'-' ---X n-l nn-l- l n-l n-l n-l n-l n-l
22
22
La desviación utiliza el promedio promedio muestral base sobre desviación estándar estándar utiliza muestral como base sobre la cual medir medir la dispersión puede tener dispersión de la información información mediante mediante el cálculo cálculo de (X - X), que puede tener un signo menos precisa la dispersión menos o un signo más. Para Para medir medir en forma forma precisa dispersión en ambas ambas direcciones promedio, (X - X) se eleva direcciones del promedio, eleva al cuadrado. cuadrado. Con la finalidad finalidad de retomar retomar dimensión de la variable cuadrada de la ecuación ecuación [19.11]. a la dimensión variable misma, se extrae la raíz cuadrada término (X - X)2 se denomina media, e históricamente históricamente se ha El término denomina desviación desviación cuadrada cuadrada media, hecho hecho referencia referencia a s como como la raíz de la desviación desviación cuadrada cuadrada media. media. La t; t. en la segunda forma forma de la ecuación ecuación [19. [19.12] frecuencia para calcular S2. segunda 12] utiliza utiliza la frecuencia para calcular S2 . sencilla de combinar promedio y la desviación Una forma forma sencilla combinar el promedio desviación estándar estándar consiste consiste porcentaje o fracción muestra que está dentro en determinar determinar el porcentaje fracción de la muestra dentro de ±l, ±1, ±2 o ±3 desviaciones desviaciones estándar estándar de la media, media, es decir,
para t = para = 1, 2 o 3
X±ts X±ts
[19.13] [19.131
En términos probabilidad, esto se expresa términos de probabilidad, expresa como: P(X - ts :;, X + ts) P(X ~ X :;, ~ X
[19.14]
Prácticamente estarán siempre rango deX Prácticamente todos los valores valores muestrales muestrales estarán siempre dentro dentro del rango deX de ±3s, porcentaje dentro variará dependiendo pun±3s, pero el porcentaje dentro de ±ls variará dependiendo de la forma forma como como los puntos de información información están distribuidos distribuidos alrededor alrededor de X. El ejemplo ejemplo siguiente siguiente ilustra ilustra el cálculo de s para estimar CYe o e incorpora incorpora s con el promedio muestral utilizandoX cálculo para estimar promedio muestral utilizandoX ± ts.
EJEMPLO EJEMPLO
19.6
.
~
a) Utilice las dos dos muestras muestras del del ejemplo ejemplo 19.5 para estimar la varianza varianza de de la población Utilice las para estimar población y la desviación para las desviación estándar estándar para las facturas facturas de de electricidad. electricidad. b) Determine Determine los los porcentajes porcentajes de de cada cada muestra muestra que que están están dentro dentro de los los rangos rangos de de 1 y 2 desviaciones desviaciones estándar estándar de de la la media. media.
Solución Solución a) Solamente para fines de de ilustración, ilustración, se aplican aplican las las dos dos reacciones diferentes con con el Solamente para fines reacciones diferentes objetivo objetivo de de calcular calcular s de de las las dos dos muestras. muestras. Para Para la muestra muestra 1 (Norteamérica) (Norteamérica) con con n = 7, se utiliza utiliza X para para identificar L(X -X? identificar los los valores. valores. La La tabla tabla 19.3 19.3 presenta presenta el cálculo cálculo de de I:(X para la Ecuación resultantes S2 y s son: para Ecuación [19.11], [19.11], con con X = $116.29. $116.29. Los Los valores valores resultantes son:
-x:/
717
718
CAPÍTULO
19
Más sobre variaciones
y toma de decisiones bajo riesgo
S2 = 37743.40
6290.57
6 s=$79.31 Para la muestra 2 (Asia), utilice Ypara identificar los valores. Con n = 5 Y Y = 131, la tabla 19.4 muestra ~y2 para la ecuación [19.12]. Entonces, S2 = 97041 -2(131)2
4
4
= 42 260.25
-1.25(17161)
= 2 809
s=$53 TABLA
S
19.3
Cálculo de la desviación están dar utilizando la ecuación [19.11] con X = $116.29, ejemplo 19.6
_X>2
x
(X-X>
(X
$ 40
-76.29 -50.29 -41.29
5820.16 2529.08 1704.86 590.00 86.30 1824.14
66 75 92
-24.29 -9.29 +42.71
107 159 275
+ 158.71
--
25188.86 $37.743.40
$814
TABLA
19.4
Cálculo de la desviación estándar utilizando la ecuación [19.121con Y = $131, ejemplo 19.6
y $ 84 90 104 187 190 $655
y2 7056 8100 10816 34969 36100 97041
La dispersión es menor para la muestra asiática ($53) que para la muestra norteamericana ($79.31).
SECCIÓN 19.4 Valor esperado y desviación estándar
• •• I
I
I
I
I
-80
-40
O
40
80
x= 116.29
··t
120
l·
X±
l·
•
•
I
I
I
I
160
200
240
280
X
-1
ls
·1
X±2s a)
y=
•• • I
I
I
I
40
80
120
l·
••
1
O
l·
131
Y± ls
I
I
I
160
200
240
Y
·1
Y±2s
·1
b)
Figura 19.9 Valores, promedios y rangos de desviación estándar para las muestras a) norteamericana y b) asiática, ejemplo 19.6. b)
La ecuación [19.13] determina los rangos deX ± ls y X ± 2s. Cuente el número de puntos de datos de muestra entre los límites y calcule el porcentaje correspondiente. Veauna gráfica de los datos y de los rangos de desviación están dar en la figura 19.9. Muestra norteamericana
X ± 1s = 116.29 ± 79.31
para un rango de $36.98 a $195.60
Hay seis de siete valores dentro de este rango, o un porcentaje de 85.7%. X ± 2s
=
116.29 ± 158.62
para un rango de $-42.33 a $274.91
Aún hay' seis de los siete valores dentro del rango X ± 2s. El límite $-42.33 es significativo solamente desde la perspectiva probabilística; desde un punto de vista práctico, utilice cero, es decir, ninguna cuantía cobrada. Muestra asiática Y± ls = 131 ± 53
para un rango de $78 a $184
Hay tres de cinco valores, o 60%, dentro del rango. Y±2s=131±106
para un rango de $25 a $237
Todos los cinco valores están dentro del rango -y ± 2s. Comentario
Una segunda medida de dispersión de uso común es el rango, que simplemente es la diferencia del valor más grande menos el valor más pequeño de la muestra. En estas dos muestras, las estimaciones del rango son $235 y $106.
719
720
CAPÍTULO 19 CAPÍTULO
Más sobre variaciones decisiones bajo Más sobre variaciones y toma toma de decisiones bajo riesgo riesgo
Antes de continuar ingeniería económica, Antes continuar con el análisis análisis de simulación simulación en ingeniería económica, sería sería de interés resumir las relaciones relaciones de valor valor esperado para interés resumir esperado y de desviación desviación estándar estándar para una variable variable continua, puesto que las ecuaciones continua, puesto ecuaciones [19.8] a [19.12] [19.12] consideran consideran solamente variables discretas. principales estriban estriban en que el símbolo solamente variables discretas. Las diferencias diferencias principales símbolo de suma reemplaza por la integral rango definido variable, el cual suma se reemplaza integral sobre sobre el rango definido de la variable, cual se identifica reemplaza por por el elemento identifica como R, yyen en que P(X) P(X) se reemplaza elemento diferencialf(X)dX. diferencialj(X)dX. Para probabilidad continua Para una distribución distribución de probabilidad continua determinadaf(X), determinadafi.X), las fórmulas fórmulas son Valor esperado: esperado:
Varianza: Varianza:
E(X) = LXf(X) dX dX E(X) =Lx/(X)
Var(X)
= IRX2f(X)
[19.15] [19.15] 2
dX -[E(X)]
[19.16] [19.16]
Para numérico, utilice utilice nuevamente nuevamente la distribución uniforme del ejemPara un ejemplo ejemplo numérico, distribución uniforme ejem(figura 19.4) sobre sobre el rango plo 19.3 (figura rango R desde desde $10 hasta hasta $15. Si se identifica identifica la variable como X, X, en lugar variable como lugar de CIl ,, lo siguiente siguiente es correcto. correcto. 1 f(X) = j(X) = -- = = 0.2 5
$1O:S;X:S;$15 $10 ~ X ~ $15
E(X) X(0.2) dX 11s == 0.1(225 --100) 100) == $12.5 E(X) = = f X(0.2) dX = = 0.lX2 0.lX2115 RR
lO
2 Var(X) fX2(0.2) dX _ (12.5)2 = (12.5)2 Var(X) = = fX (0.2) dX - (12.5)2 = 0.2 X3115 X3rS - (12.5)2 RR 10 3 JO
1000) --156.25 156.25 = == 0.06667(3 0.06667(3 375 --1000) = 2.08 .J2.08 = $1.44 $1.44 (J" = = -J2 .08 =
(J"
Por consiguiente, uniforme entre = $10 y HH == $15 tiene tiene un valor valor consiguiente, la distribución distribución uniforme entre L = esperado punto medio medio del rango, como una desviación esperado de $12.5 $12.5 (el punto como se esperaba), esperaba), y una desviación estándar estándar de $1.44.
Ejemplo Ejemplo adicional adicional 19.10.
19.5
MUESTREO ANÁLISIS MUESTREO DE MONTE MONTE CARLa CARLO y ANÁLISIS MEDIANTE MEDIANTE SIMULACiÓN SIMULACiÓN
Hasta todas las decisiones tomado usando usando estimaciones Hasta aquí, todas decisiones sobre sobre alternativas alternativas se han tomado estimaciones con certidumbre, posiblemente de alguna prueba de la decisión través de certidumbre, seguidas seguidas posiblemente alguna prueba decisión a través un análisis valores esperados. utilizará un análisis de sensibilidad sensibilidad o de valores esperados. En esta esta sección sección se utilizará enfoque material de las secciones secciones anteriores, enfoque de simulación simulación que incorpore incorpore el material anteriores, para para facilitar una alternativa facilitar la decisión decisión de ingeniería ingeniería económica económica sobre sobre una alternativa o entre entre dos o más alternativas. alternativas. La técnica técnica de muestreo muestreo aleatorio aleatorio analizada analizada en la sección sección 19.3 se denomina denomina muestreo Monte Carlo. El procedimiento procedimiento general muestreo de Monte general que se indica indica a continuación continuación
e
SECCIÓN SECCIÓN 19.5 19.5
Muestreo mediante simulación simulación Monte CarIo Carlo y análisis análisis mediante Muestreo de Monte
utiliza el muestreo muestreo de Monte Monte CarIo para para obtener obtener muestras muestras de tamaño tamaño n para para paráparáutiliza metros metros seleccionados seleccionados de alternativas alternativas formuladas. formuladas. Dichos Dichos parámetros, parámetros, que se espera espera varíen varíen de acuerdo acuerdo con una distribución distribución de probabilidad probabilidad establecida, establecida, garantizan garantizan la toma toma de decisiones decisiones bajo riesgo. Todos los demás demás parámetros parámetros en una alternativa alternativa se consideran pueden estimarse precisión consideran en certidumbre, certidumbre, es decir, se conocen conocen o pueden estimarse con precisión suficiente para considerarlos suficiente para considerarlos en certidumbre. certidumbre. Un supuesto supuesto importante importante se hace, hace, generalmente sin darse cuenta. cuenta. neralmente parámetros son independientes, independientes, es decir, la distribución distribución de una una Todos los parámetros variable no afecta afecta el valor valor de ninguna ninguna otra otra variable variable de la alternativa. alternativa. A variable hecho se hace hace referencia referencia como la propiedad variables aleatorias aleatorias este hecho propiedad de las variables independientes. independientes. enfoque de simulación simulación aplicado aplicado al análisis de ingeniería ingeniería económica económica se resume resume El enfoque siguientes pasos pasos básicos. básicos. en los siguientes Paso 1: 1: Formulación Formulación de alternativa(s). alternativa(s). Prepare cada cada alternativa alternativa en la forma forma que que se Paso de Prepare va a considerar, considerar, utilizando utilizando el análisis análisis de ingeniería ingeniería económica, económica, y seleccione seleccione la va medida de valor valor sobre sobre la cual cual se basará basará la decisión. decisión. Determine Determine la forma forma de la(s) la(s) medida relación(es) para para calcular calcular la medida medida de valor. valor. relación(es) Paso 2: Parámetros Parámetros con con variación. variación. Seleccione los parámetros parámetros en cada cada alternativa alternativa que que Paso Seleccione considerarán como como variables variables aleatorias. aleatorias. Estime Estime los los valores valores de todos todos los los demás demás se considerarán parámetros (en certidumbre) certidumbre) para para el análisis. análisis. parámetros Paso 3: Determinación de las las distribuciones distribuciones de probabilidad. probabilidad. Determine si cada cada Paso Determinación de de Determine variable es discreta discreta o continua, continua, y describa describa una una distribución distribución de probabilidad probabilidad para para variable cada variable variable en en cada cada alternativa. alternativa. En En lo posible, posible, utilice utilice distribuciones distribuciones estándar estándar cada con la finalidad finalidad de simplificar simplificar el proceso proceso de muestreo muestreo y prepararse prepararse para para la sicon mulación en la computadora. computadora. mulación Paso 4: 4: Muestreo Muestren aleatorio. aleatorio. Incorpore el procedimiento procedimiento de muestreo muestreo aleatorio aleatorio de la Incorpore Paso sección 19.3 19.3 (los (los primeros primeros cuatro cuatro pasos) pasos) en en este este procedimiento, procedimiento, lo cual cual resulta resulta sección en una una distribución distribución acumulativa, asignación de NA, NA, la selección selección de NA NA y una una en acumulativa, la asignación muestra de tamaño tamaño n para para cada cada variable. variable. muestra Paso 5: Cálculo Cálculo de de la la medida medida de de valor. valor. Calcule n valores valores de la medida valor selecselecPaso Calcule medida de valor cionada de la(s) la(s) relación(es) relación(es) determinada(s) determinada(s) en el paso paso 1. Utilice Utilice las las estimacioestimaciocionada nes hechas hechas bajo bajo certidumbre certidumbre y los los n valores valores de la muestra muestra para para los los parámetros parámetros nes variables. (En este paso paso se aplica aplica realmente realmente la propiedad propiedad de las variables variables aleatorias aleatorias variables. (En este independientes. ) independientes. Paso Descripción de de la la medida medida de de valor. valor. Construya la distribución distribución de probabilidad probabilidad Paso 6: Descripción Construya medida de valor valor utilizando utilizando entre entre 10 y 20 20 celdas celdas de información información y calcule calcule de la medida medidas tales tales como como X, s, s, X X ± ts y las las probabilidades probabilidades relevantes. relevantes. medidas Paso 7: Conclusiones. Conclusiones. Formule conclusiones conclusiones sobre sobre cada cada alternativa alternativa y decida decida cuál cuál debe debe Paso Formule elegirse. Si la(s) la(s) alternativa(s) alternativa(s) se ha(n) ha(n) evaluado evaluado anteriormente anteriormente bajo bajo el supuesto supuesto elegirse. certidumbre para para todos todos los parámetros, parámetros, la comparación comparación de resultados resultados puede puede de certidumbre ayudar a determinar determinar la decisión decisión final. final. ayudar
ejemplo 19.7 ilustra ilustra este procedimiento procedimiento utilizando utilizando un análisis análisis de simulación simulación El ejemplo manual abreviado, abreviado, y el ejemplo ejemplo 19.8 utiliza utiliza la simulación simulación en hoja de cálculo cálculo para para manual mismos estimados. estimados. los mismos
721
722
CAPÍTULO CAPÍTULO 19
EJEMPLO EJEMPLO
Más Más sobre sobre variaciones variaciones y toma toma de decisiones decisiones bajo bajo riesgo riesgo
19.7
Yvonne principal de una una cadena Unidos Yvonne Ramos Ramos es la ejecutiva ejecutiva principal cadena de 50 gimnasios gimnasios en en Estados Estados Unidos Un vendedor vonne dos y Canadá. Canadá. Un vendedor de equipo equipo le ofreció ofreció al a Ivonne dos oportunidades oportunidades de largo largo plazo plazo souso bre un un nuevo nuevo sistema bre sistema de ejercicio ejercicio aeróbico, aeróbico, que que se carga carga a los los clientes clientes de acuerdo acuerdo con con el uso por encima pagadas por por éstos. por encima de las las tarifas tarifas mensuales mensuales pagadas éstos. Como Como incentivo, incentivo, la oferta oferta de ventas ventas incluye una garantía de ingreso ingreso anual anual para uno de los sistemas sistemas durante durante los los primeros años. incluye una garantía para uno primeros 5 años. Puesto un concepto nuevo y arriesgado Puesto que que se trata trata de un concepto completamente completamente nuevo arriesgado de generación generación de ingresos, un análisis de ingresos, Yvonne Yvonne desea desea efectuar efectuar un análisis cuidadoso cuidadoso de cada cada alternativa. alternativa. Los Los detalles detalles para los dos para dos sistemas sistemas son son los los siguientes: siguientes: un periodo periodo fijado fijado de n = 7 años Sistema Sistema 1. El El costo costo inicial inicial es P = $12000 $12000 para para un años sin sin valor No se ofrece neto anual. valor de salvamento. salvamento. No ofrece garantía garantía sobre sobre el ingreso ingreso neto anual. neto Sistema Sistema 2. El costo costo inicial inicial es P = = $8 000, sin valor valor de salvamento salvamento y un ingreso ingreso neto anual garantizado garantizado de $1 000 durante durante los los primeros años, aunque aunque después después de tal tal primeros 5 años, anual periodo, no no habrá habrá garantía. puede ser periodo, garantía. El El equipo equipo con con actualizaciones actualizaciones puede ser útil útil hasta hasta 15 15 años, pero el número años, pero número exacto exacto no se conoce. conoce. En En cualquier cualquier momento momento después después de los los primeros 5 años posible la cancelación costo de penalización. penalización. primeros años es posible cancelación sin sin costo
s
Para cualquier cualquier sistema, sistema, se instalarán instalarán nuevas del equipo equipo sin costos costos adicionales. adicionales. Para nuevas versiones versiones del TMAR de 15% anual, anual, utilice análisis de VP VP para determinar si ninguno, Si se requiere requiere una una TMAR utilice el análisis para determinar ninguno, uno ambos sistemas sistemas deberían deberían instalarse. instalarse. uno o ambos Solución a mano mano Solución Las estimaciones estimaciones hechas Ivonne para correctamente el análisis análisis de simulación simulación Las hechas por por Ivonne para utilizar utilizar correctamente incluyen en los los siguientes siguientes pasos. se incluyen pasos.
Paso 1: Formulación Formulación de alternativas. alternativas. Mediante el el análisis análisis de VP VP se desarrollan desarrollan rerePaso Mediante laciones para sistema 1 y para sistema 2 incluyendo incluyendo los parámetros parámetros cocolaciones para el sistema para el sistema nocidos con con certidumbre. certidumbre. El símbolo símbolo FEN FEN identifica identifica los flujos flujos de efectivo efectivo nocidos netos (ingresos) (ingresos) y FEN FENGG es el FEN FEN garantizado garantizado de $1 000 para sistema 2. para el sistema netos
= -PI -P, + FEN¡(P/A,15%,I1¡) FEN,(PIA,15%,I1,) =
[19.17] [19.17]
VP22 = -P -P2 2 + FEN FENGG(PIA,15%,5) VP (PIA,15%,5)
[19.18] [19.18]
VP,I VP
+ FENzCPIA, FENiPIA, 15%,n 15%,n22-5)(PIF, 15%,5) - 5)(P/F,15 %,5) Paso 2: Parámetros Parámetros con variación. variación. Yvonne Yvonne resume los parámetros estimados con con Paso resume los parámetros estimados certidumbre y efectúa efectúa supuestos supuestos acerca acerca de distribución de probabilidad certidumbre de la distribución probabilidad sobre tres parámetros como variables variables aleatorias aleatorias. . bre los tres parámetros tratados tratados como Sistema Sistema 1
Certidumbre. P, = $12000; $12000; nI 11, = 7 años. años. Certidumbre. PI Variable. FEN FEN, I es una variable continua, continua, distribuida distribuida uniformemente enVariable. una variable uniformemente entre L = $-4 000 H = $6 000 anuales, anuales, ya que se considera considera un ya que un proyecto proyecto de tre inversión de alto alto riesgo. inversión riesgo. Sistema Sistema 2
Certidumbre. = $8000; $8000; FEN FENGG = = $1000 $1000 durante durante los los primeros años. Certidumbre. P 22 = primeros 5 años. Variable. FEN FEN22 es una variable discreta, discreta, distribuida distribuida uniformemente enVariable. una variable uniformemente entre los valores valores L = = $1000 $1000 Y H = = $6 000 sólo sólo en en incrementos incrementos de $1000, $1000, es tre decir, $1 $1 000, $2000, $2000, etcétera. etcétera. decir,
SECCIÓN
19.5
Muestreo de Monte Carlo y análisis mediante simulación
723
Variable. n2 es una variable continua que está distribuida uniformemente = 6 Y H = 15 años.
entre L
Ahora, escriba de nuevo las ecuaciones [19.17] y [19.18] para reflejarJas maciones hechas con certidumbre.
esti-
VP¡ = -12 000 + FENj(PIA,15%,7)
= -12 000 + FEN¡(4,1604)
[19.19]
VP2 = -8 000 + 1000(PIA,15%,5)
+ FENiPIA, 15%,n2-5)(P/F,15%,5)
[19.20]
= -4 648 + FEN2(PIA,15%,n2-5)(0.4972)
Paso 3. Determinación de distribuciones de probabilidad.
Paso 4.
La figura 19.10 (lado izquierdo) muestra las distribuciones de probabilidad supuestas para FEN¡, FEN2 y n2' Muestreo aleatorio. Yvonne decide sobre una muestra de tamaño 30 y aplica los primeros cuatro pasos de la muestra aleatoria planteados en la sección 19.3. La figura 19.10 (lado derecho) muestra las distribuciones acumulativas (paso 1) Y asigna N A a cada variable (paso 2). Los N A para FEN 2 identifican los valores del eje x, de manera que todos los flujos de efectivo netos serán en cuantías de $1 000. Para la variable continua n2, se utilizan valores de NA de tres dígitos para lograr que los números salgan en forma pareja y se muestran en celdas solamente como «indexadores" para fácil referencia cuando se utiliza un NA para encontrar el valor de una variable. Sin embargo, el número se aproxima al siguiente valor de n2más alto, porque esprobable que el contrato se cancele en una fecha de aniversario. Además, ahora pueden usarse directa-mente los factores tabulados de interés compuesto para (~- 5) años (véase tabla 19.5). Una vez que se seleccione el primer NA en forma aleatoria de la tabla 19.2, la secuencia (paso 3) utilizada será proceder hacia abajo en la tabla de NA de
S..•.
I1
FEN, NA* 18 59 31 29 71
FEN2
n2
Valor
NN
Valor
NA*
Valor
Redondeado!
$-2200 +2000 -1100 -900 +3100
10 10 77 42 55
$1000 1000 5000 3000 4000
586 379 740 967 144
11.3 9.4
12 10 13 15 8
* Inicie aleatoriamente
con la fila 1, columna 4 en la tabla 19.2.
t Inicie con la fila 6, columna 14.
* Inicie con la fila 4, columna 6. § El valor n2es aproximado.
12.7 14.4 7.3
724
Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo
CAPÍTULO 19
NA
1.0
0.8
0.6
0.4 f(FEN,) 0.2
~t_~~-+V_M_ia~b_Ie_C_OtnM_._ua~ __ .¡.. _ - I I I I I . -4 -2 o 2 4 6
00-19
o L--+--t--+--t--+--t---4
o
-2
FEN,,$10oo
2
4
6
FEN" $1 000 F(FEN,)
NA
1.00
0.83
0.67 0.50
0.33 PCFEN,) 1
0.17
"6
o
o
2
3
4
FEN"$1
5
6
n
I
I
I
I
J
83-99
67-82
50-66
33-4 9
17-32
00-1 6
2
000
4 FEN"$1
6
000
NA
1.0
0.8
0.6
0.4 222-443
f(n,) Variable continua
1
0.2
9" O 6
10 ~, años
15
6
8
10 ~.
12 años
Figura 19.10 Distribuciones utilizadas para muestras aleatorias, ejemplo 19.7.
1415
19.5 Muestreo de Monte CarIo Carlo y análisis mediante simulación SECCIÓN 19.5
la columna y luego hacia arriba de la columna situada a la izquierda. La tabla 19.5muestra 19.5 muestra solamente los primeros cinco valores de NA seleccionados seleccionados para correspondientes tomados de las cada muestra y los valores de las variables correspondientes distribuciones acumulativas acumulativas en la figura 19.10 19.10 (paso 4). distribuciones Paso 5: Cálculo Cálculo de medida medida de valor. valor. Con los cinco valores muestrales en la tabla Paso 19.5, calcule los VP utilizando las ecuaciones [19.19] [19.19] y [19.20]. [19.20]. 19.5,
1. 2. 3. 4. 5.
VP¡ VP, VP¡ VP, VP¡ VP, VP¡ VP, VP¡
-12000 + (-2200)(4.1604) (-2200)(4.1604) = -12000 -12000 + 2000(4.1604) = -12000 -12000 + (21100)(4.1604) = -12000 -12000 + (2900)(4.1604) = -12000 = -12000 -12000 + 3100(4.1604) 3 100(4.1604) =
= $-16,576 = $-15,744 = $+897 $+897
1. 2. 3. 4. 5.
VP2 VP2 VP2 VP2 VP 2
= -4648 -4648 + 11 000(P/A,15%,7)(0.4 000(P/A,15%,7)(0.4 972) = = -4648 -4648 + 1 000(P/A,15%,5)(0.4 000(P/A,15%,5)(0.4 972) = -4648 -4648 + 5 000(P/A,15%,8)(0.4 000(P/A,15%,8)(0.4 972) -4648 + 3 000(P/A,15%,10)(0.4 000(P/A,15%,1O)(0.4 972) = -4648 = -4648 -4648 + 4 000(P/A,15%,3)(0.4 000(P/A,15%,3)(0.4 972) =
$-2 579 = $-2 $-2 981 = $-2 981 == $+6 507 $+2838 = $+2838 = $-107
=
$-21 153 = $-21153 = $-3 679
25 NA más para cada variable 19.2Yse Ahora, se han seleccionado 25 variable de la tabla 19.2 Yse VP. calculan los VP. Paso 6: Descripción Descripción de medida medida de valor. La figura 19.1la 19.1la y b presenta Paso presenta las distribuVP, y VP2 para las 30 muestras con 14 14 y 15 15 celdas, ciones de probabilidad probabilidad de VP¡ respectivamente, lo mismo que el rango de valores VP individuales y los valores deXy de s. de.Kydes. VP11•• Los valores de la muestra varían dentro de un rango de $-24481 $+12 962. Las medidas calculadas de los 30 valores son: hasta $+ 12 962.
X¡ = $-7729 $-7729 X¡ 190 s¡ = $10 190 $-3031 VP22•• Los valores de la muestra varían dentro de un rango de $-3031 $+10 324. Las medidas de la muestra son: hasta $+ 10 324.
X2 == $2 724 X S2
Paso 7. Paso
= $4 336 336 =
Conclusiones. Con seguridad, las muestras adicionales harán que la tendenConclusiones. distribuciones de VP sea más evidente, pudiendo reducir los cia central de las distribuciones conclusiones son valores s, que son bastante grandes. Por supuesto, muchas conclusiones distribuciones de VP, VP, aunque las siguienposibles una vez que se conocen las distribuciones aseveraciones parecen claras. tes aseveraciones Sistema 1. Con base en esta pequeña muestra muestra de 30 observaciones, Sistema observaciones, no no acepte esta alternativa. La probabilidad probabilidad de obtener una TMAR = 15% 15% es acepte relativamente baja, ya que la muestra indica una probabilidad relativamente probabilidad de 0.27 (8 de X¡ es bastante 30 valores) de que el VP sea positivo yX¡ bastante negativo. Aunque padeterminar que rece grande, la desviación estándar puede utilizarse para determinar
=
725
726
CAPÍTULO 19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo
~-'----XI±ISI----~,1 Frecuencia
Xl = $-7729
ni =30
(J
SI = $10 190 Rango = $37 443
U t
~
3 2
.. . ..-....
lo
1 O
-27
d
-24
-21
-18
a
. . .. . ... ... ... ~ ... f--
-15
-12
-6
-9
-3
O
3
6
r= 9
12
15
VPI, $1000 a) Sistema 1
l·
Frecuencia
X2 ±
5G = $2724
6 5
1-- VP>
4
•
-1
ls2
nz= 30 = $4 336 Rango = $13 355 S2
O
li d
3
Ti
2
....··
1 O -4
-3
-2
si
... -1
O
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
J
VP2, $1000 b) Sistema 2
li
SI n
Figura 19.11 Distribuciones 19.7.
s
de probabilidad
de valores VP simulados
para una muestra de tamaño 30, ejemplo
u
u
alrededor de 20 de los 30 valores de VP de la muestra (dos tercios) están dentro de los límites X ± l s, que son $-17 919 Y $2461. Una muestra más grande alteraría el presente análisis en alguna manera. Sistema 2. Si Yvonne está dispuesta a aceptar el compromiso de largo plazo que puede aumentar el FEN dentro de algunos años, la muestra de 30 observaciones indica que debe aceptar esta alternativa. A una TMAR de 15%, la simulación aproxima a 67% la posibilidad para un VP positivo (20 de los 30 valores VP en la figura 19.1lb son positivos). Sin embargo, la probabilidad de observar VP dentro de los límites X ± Ls ($-1 612 Y $7 060) es 0.53 (16 de 30 valores muestrales). Este hecho indica que la distribución muestral VP está dispersa más ampliamente alrededor de su promedio en comparación con la muestra de VP del sistema. Conclusión en este punto. Rechace el sistema 1; acepte el sistema 2, y observe cuidadosamente el flujo de efectivo neto, en especial después del periodo inicial de 5 años.
1 a e p e iJ
SECCIÓN SECCIÓN 19.5 19.5
Muestreo Muestreo de Monte Monte Carla Carlo y análisis análisis mediante mediante simulación simulación
727
Comentario Comentario Los Los estimados estimados en el ejemplo ejemplo 5.8 5.8 son son muy muy similares similares a los los mostrados mostrados aquí, aquí, excepto excepto que que todas las las estimaciones estimaciones se realizaron realizaron con con certidumbre certidumbre (FEN (FEN¡¡ = = $3 000, 000, FEN FEN22 = = $3 000 000 Y Y n22 todas = 14 años). evaluaron mediante años). Las Las alternativas alternativas se evaluaron mediante el método método del del periodo periodo de reemplazo reemplazo a una TMAR una TMAR = 15% 15% y se eligió eligió la primera primera alternativa. alternativa. No No obstante, obstante, el análisis análisis VP VP posterior posterior del del ejemplo ejemplo 5.8 5.8 seleccionó seleccionó la alternativa alternativa 2 basada, basada, en parte, parte, en el flujo flujo de efectivo efectivo mayor mayor anticipado en los últimos últimos años. años. anticipado
EJEMPLO EJEMPLO
19.8
".'
Ayude Ayude a Yvonne Yvonne Ramos Ramos a preparar preparar una una simulación simulación en hoja hoja de cálculo cálculo de Excel Excel para para el anáanálisis lisis de las las tres tres variables variables aleatorias aleatorias y de VP VP en el ejemplo ejemplo 19.7. 19.7. ¿Varía ¿Varía apreciablemente apreciablemente la distribución VP aquella desarrollada distribución VP de aquella desarrollada utilizando utilizando la simulación simulación manual? manual? ¿Parecen ¿Parecen aún aún razonables razonables las decisiones decisiones de rechazar rechazar la propuesta propuesta del del sistema sistema 1 y aceptar aceptar la propuesta propuesta del del sistema sistema 2? 2? Solución por por computadora Solución computadora Las figuras figuras 19.12 19.12 y 19.13 19.13 son son hojas hojas de cálculo cálculo que que logran logran la porción porción de simulación simulación del del Las análisis antes descrito, descrito, desde desde el paso paso 3 (determinación (determinación de la distribución distribución de probabilidad) probabilidad) análisis antes hasta el6 el6 (descripción (descripción de medida medida de valor). valor). La La mayoría mayoría de los los sistemas sistemas de hoja hoja de cálculo cálculo hasta son limitados limitados en la variedad distribuciones que que pueden pueden aceptar aceptar para para muestreo, muestreo, pero pero tieson variedad de distribuciones tienen disponibles disponibles aquellas aquellas típicas, típicas, tales tales como como la uniforme uniforme y la normal. normal. nen La figura figura 19.12 indica indica los los resultados resultados de una una muestra muestra pequeña pequeña de 30 valores valores (solamente (solamente La una porción porción de la hoja hoja de cálculo cálculo se imprime imprime aquí), aquí), a partir partir de las tres tres distribuciones distribuciones que que una utilizan funciones RAND RAND e IF IF (véase (véase secciÓn sección A.3, A.3, en el apéndice apéndice A.). A.). utilizan las funciones FENJ: J : Continua Continua uniforme uniforme desde desde $-4 $-4 000 000 hasta hasta $6000. $6000. La La relación relación en la columna columna FEN traduce los valores NA¡ (columna (columna A) en cantidades cantidades de FENl. FENl. B traduce los valores FEN2:2 : Discreta Discreta uniforme uniforme en incrementos incrementos de $1000 $1000 desde desde $1 000 000 hasta hasta $6000. $6000. FEN Las celdas celdas de la columna columna D despliegan despliegan FEN2 FEN2 en los los incrementos incrementos de $1000 $1 000 utiliutiliLas zando el operador operador lógico lógico SI para para traducir partir de los los valores valores NA2. NA2. zando traducir a partir n2: Continuo Continuo uniforme uniforme de 6 a 15 años. años. Los Los resultados resultados en la columna columna F son son valores n2: valores enteros obtenidos obtenidos utilizando utilizando la función función ENTERO ENTERO que que opera opera en los los valores valores NA3. NA3. enteros La figura figura 19.13 19.13 presenta las estimaciones estimaciones de las las dos dos alternativas alternativas planteadas planteadas en la sección sección La presenta las anterior. Los Los cálculos cálculos de VPl VP2 para para las las 30 repeticiones repeticiones de FEN1, FENl, FEN2 FEN2 y ~ n2 son son el anterior. VPI y VP2 equivalente en hoja de cálculo cálculo a las ecuaciones ecuaciones [19.19] [19.19] y [19.20] [19.20]. . El enfoque enfoque tabular tabular ememequivalente en hoja pleado aquí registra registra el número número de valores valores VP VP por debajo de cero cero ($0), ($0), y que que igualan igualan o pleado aquí por debajo exceden a cero cero utilizando operador SI. Por Por ejemplo, ejemplo, la celda celda C C17 contiene un 1, el cual cual 17 contiene exceden utilizando el operador indica que que VPI VPl > O O cuando cuando FENl FENl = = $3100 $3100 (en la celda celda B7 figura 19.12) 19.12) se utilizó B7 de la figura utilizó indica para calcular calcular VPl VPl = = $897 $897 por por medio medio de la ecuación ecuación [19.19]. [19.19]. Las Las celdas celdas en las filas filas 7 y 8 para muestran el número veces, en las las 30 muestras, muestras, que que el sistema sistema 1 y el sistema sistema 2 pueden pueden muestran número de veces,
mm Sol-E S ol-E
19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo
CAPÍTULO
728
~~~~~B~~==~C~~==~D~~==~E~~~~F~~~~G~~~~H~~ Muestra FEN1
12.5625
de 30 valores NA2
-$2,800
83.61761
simulados FEN2
$6,000
NA3
N, años
556.277
12 -----~-~-~+-----_._--_._-_.)"'"
66.7821 48.33241
$2,600 $800
77.86991 8.43079!
$5,000 $1,000
91.3044 457.749
7 11
39 .38e61-------~$1-00--·--52-:s63r--$4;OOO----914 .543------1521.5429i-·$~960--~57.4B191--- $4,000
698.762
13
44.49961 32.9911 i 96.02491
$400 -$800 $5,600
1.932231 70.6307i 61.0023¡
$1,000 $5,000 $4,000
744.262 190.814 714.668
13 8
99.6675 13.956i
$5,900 -$2,700
55.7741i 98.91Di
$4,000 $6,000
648.227 199.949
I Random
mber.
-----+------~------~~
PWvaloe$
=Si(C13< =19, 1000,Si(C13< =32-,2000,Si(C 13< =49,3000, Si(C13 < = 66,4000,$ i(C 13< = 82,5000,si(C13< = 100,6000,6000»»»
Figura 19.12 Valores muestrales
generados
utilizando
una simulación
en hoja de cálculo, ejemplo 19.8.
retornar por lo menos la TMAR = 15% debido al correspondiente VP ~ O.También se indican los promedios y desviaciones estándar de la muestra. A continuación se presenta una comparación entre la simulación manual y la de la hoja de cálculo. Sistema 2 VP
Sistema 1 VP
-X,$
s,$
Núm. de PV~O
-X, $
s,$
Núm. de PV~O
Manual
-7729
10 190
8
2724
4336
20
Hoja de cálculo
-7105
13199
10
1649
3871
19
SECCIÓN SECCIÓN 19.5
Muestreo de de Monte análisis mediante mediante simulación Muestreo Monte Cario Carlo y análisis simulación
$8,000 $1,000 15%
n
TMAR
5
Resultados del análisis i 10: !
I
=tJ~~~~~~;~·.l~~;~~;.~~~~~.F~]~20I:.' # VP > = TMAR
¡
_.-...+$r649
VP Desv Es!
$13,199
i
729 729
_
19 . t··y-
-
-+
-
'1
+ .
$3,871
Cálculos de valor presente
---------,-----:-==,..."..,-::-:T----::".........,..;-~---...,__::_::_--=-=c::_r---:-r-::-I
_--:":-'::-'-_--+~~~'+_-:+--+-_-'-'-"'----!
$7,763
1
$202 ($885) $2,045 $5,352 ($607)
1 O 1 1 O
($2,Z88)
O
¡
·+······················-1·······-··
. $5,333 ~1¡~~~~~~~~~~
= -8000-VA(l5%,5,l000)+VA(l5%,5" (VA(l5%,'Números Aleatorios'!FlO=(VA($B$4,$B$3,
5,'Números Aleatorios'!DlO»)
- 'Números Aleatorios'IB 1O» - $B$2
19.13 Figura 19.13 Resultados de 30 valores valores de VP VP simulados simulados en Resultados en hoja hoja de de cálculo, cálculo, ejemplo ejemplo 19.8. 19.8.
Para la simulación simulación de hoja hoja de cálculo, cálculo, 10(33%) 10(33%) de exceden cero, cero, mientras Para de los los valores valores VPl VPl exceden mientras que la simulación simulación manual manual incluyó incluyó 8(27%) 8(27%) valores resultados comparativos comparativos que valores positivos. positivos. Estos Estos resultados cambiarán cada cada vez vez que que se active active la cálculo puesto que la función función ALEATORIO cambiarán la hoja hoja de de cálculo puesto que ALEATORIO prepara (en (en este este caso) caso) para para producir producir un cada vez. definir ALEAse prepara un nuevo nuevo NA NA cada vez. Es posible posible definir ALEATORIO para para mantener mantener los los mismos mismos valores de los los NA. guía del del usuario de Excel. TORIO valores de NA. Véase Véase la guía usuario de Excel. La conclusión de rechazar rechazar la propuesta propuesta del del sistema sistema 1 y de de aceptar aceptar el sistema sistema 2 todavía La conclusión todavía es apropiada apropiada para para la simulación simulación de de hoja hoja de de cálculo cálculo como como lo lo es para que hay hay para la manual, manual, ya ya que posibilidades comparables comparables de que que VP;::C posibilidades VP ~ o. O.
730
CAPÍTULO
Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo
19
EJEMPLOS ADICIONALES
EJEMPLO
19.9
'
~',"
AFIRMACIONES DE PROBABILIDAD, SECCIÓN 19.2 Utilice la distribución acumulativa para la variable C, en la figura 19.4 (ejemplo 19.3, flujo de efectivo mensual para el cliente 1) para determinar las siguientes probabilidades: a)
Más de $14.
b)
Entre $12 y $13.
e)
No más de $11 o más de $14.
á)
Exactamente
$12.
Solución Las áreas sombreadas en la figura 19.14a a d indican los puntos en la distribución acumulativa F(C¡) utilizados para determinar las siguientes probabilidades. a)
La probabilidad de más de $14 por mes se determina fácilmente restando el valor de F(C,) en 14 del valor en 15. (Puesto que la probabilidad en un punto es cero para una variable continua, el signo igual no cambia el valor de la probabilidad resultante.) P(C, > 14)
P(C¡
s 15) -
P(C¡
F(15) - F(14)
s 14)
= 1.0 -
0.8
0.2 b)
P(12 ~ CI
s 13)
P(C¡ ~ 13)
= P(C¡
~ 12)
= 0.6
- 0.4
(0.2)
F(e¡)
F(e¡)
F(el)
1.0
F(el)
1.0
0.8
0.8 0.6 0.4
10
14 15
10
12 13
15
0.2 O
1011
14 15
el
el
el
a)
b)
e)
10
12
el d)
Figura 19.14 Cálculo de probabilidades de la distribución acumulativa para una variable continua que está distribuida de manera uniforme, ejemplo 19.9.
15
I
EJEMPLOS ADICIONALES ADICIONALES
P(C¡ :S $ 11) + P(C¡ > 14) 14) = [F(l1) [F(l1) - F(10)] F(10)] + [F(15) [F(15) - F(14)] F(14)]
e)
(0.2 - O) + (1.0 - 0.8) 0.2 + 0.2
0.4 0.4 P(C, P(C, = 12) = F(12) F(12) - F(12) F(12) = 0.0
d)
No hay área por debajo de la curva de distribución distribución acumulativa acumulativa en un punto para una variable continua, como se mencionó anteriormente. Si se utilizan dos puntos situados cerca, es posible obtener obtener una probabilidad, probabilidad, por ejemplo, entre 12.0 y 12.1, o entre 12 y 13, 13, como en el inciso b).
EJEM.PLO EJEM.PLO
19.10 19.10
_. . >
LA DISTRIBUCIÓN DISTRIBUCIÓN NORMAL, SECCIÓN 19.4 Camila es ingeniera ingeniera de seguridad seguridad regional de una cadena de franquicias de gasolina y de comida rápida. La sede principal qu~jas y varias demandas legales de empleados y clientes debido a ha recibido muchas quejas resbalones y caídas ocasionados por líquidos (agua, aceite, gas, refresco, etcétera) regaconcreto. La gerencia de la corporación corporación ha autorizado autorizado a cada dos sobre las superficies de concreto. localmente para aplicar a todas las superficies de concreto exterior exterior gerente regional actuar localmente un producto reciente de mercado, que absorbe hasta 100 veces su propio peso en líquido y, además, lo ha autorizado autorizado para cargar la instalación instalación en una cuenta de la sede principal. La carta de autorización autorización a Carnila Camila establece que, con base en su simulación simulación y en sus muestras población normal, el costo aleatorias aleatorias que suponen suponen una población costo de la instalación instalación localmente localmente organizada debe ser alrededor de $10 000 y casi siempre está dentro del rango de $8 000 a $12 000. Camila le pide a usted, TJ, graduado en ingeniería, escribir escribir un resumen completo sobre la distribución distribución normal, explicar explicar la afirmación del rango de $8 000 a $12 000 y explicar la frase "muestras aleatorias que suponen una población normal". Solución Solución Suponga que usted conservó este libro y un texto de estadística de ingeniería básica cuando respuesta a Camila utilizándolos, utilizándolos, además de se graduó y que ha desarrollado desarrollado la siguiente respuesta la carta de la sede principaL principal.
Camila:
constituye un resumen de la forma la sede principal La presente constituye principal parece estar utilizando utilizando la distribución normal. A manera de actualización actualización incluyo un resumen sobre la distribución distribución distribución normal. normaL Distribución normal, probabilidades yy muestras Distribución normal, probabilidades muestras aleatorias aleatorias
A la distribución distribución normal también se le conoce como curva de campana, distribución distribución gaussiana siana o distribución distribución de errores. errores. Ésta Ésta es, por un amplio amplio margen, margen, la distribución distribución de
731
732
CAPÍTULO 19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo
probabilidad de uso más común en todas las aplicaciones, aplicaciones, la cual sitúa exactamente exactamente la probabilidad probabilidad en cualquier cualquier lado de la media o del valor esperado. Se utiliza mitad de la probabilidad para variables continuas durante todo el rango de números. La normal se usa para predecir en forma precisa muchos tipos de resultados, tales como valores IQ*, errores en manucaracterísticas como tamaño, volumen, peso, etcétera; y la disfactura en determinadas características tribución de ingresos por ventas, costos y muchos otros parámetros de un negocio alrededor de una media específica, razón por la cual es factible aplicarla en esta situación. distribución normal identificada identificada por el símbolo N(Jl,cr), N(Jl,d), donde J1 J1. es el valor espeLa distribución d es la varianza, o medida de dispersión, puede describirse describirse de la siguienrado o media, y cr te manera: probabilidad (figura 19.15a) y la dispersión dispersión de la J1. ubica la distribución de probabilidad La media J1 distribución varía con la varianza S2 S2 (figura 19.15b), 19.15b), haciéndose haciéndose más dispersa y más distribución plana para valores mayores de la varianza. estimaciones se identifican como media muestral Cuando se toma una muestra, las estimaciones a. J1. y desviación estándar muestral s para a. X para J1 probabilidad ¡(X) f(X) para una variable X es bastante complicaLa distribución normal de probabilidad da, ya que su fórmula es: ¡(X) f(X) = =
~)2]}
~ ~ exp {_[CX {_[(X - ~)2 ]}
a-v2n: a-v2n:
2a2(y-
donde exp representa representa el número e = = 2.71828+ Y y se eleva a la potencia potencia del término -[ ]. En resumen, si X recibe valores diferentes, para una media dada J1 -[ J1. y desviación parecida a las de la figura 19.15a 19.15a y b. b. estándar a, se desarrolla una curva parecida inmanejable, se desarrollan muestras aleatorias y afirmaciones afirmaciones de Puesto que f(X) es tan inmanejable, probabilidad transformación, denominada denominada distribución distribución estándar estándar normal normal probabilidad utilizando una transformación, (DEN), la cual utiliza J1 ya (población) o -X y s (muestra) para calcular calcular los valores de la J1. ya Z. variable Z. Población:
Muestra:
desviación de la media
X-Jl X-Jl
estándar desviación estándar
s
Z=-------Z=----------------
Z= X-X Z= X-X
[19.21]
[19.22]
s
La DEN paraZ para Z (figura 19.15c) 19.l5c) es la misma misma que para X, X, excepto que ésta siempre tiene una O y una desviación desviación estándar de 1, y se identifica identifica por el símbolo N(O,l). NCO,!). Por media de O consiguiente, los valores valores de probabilidad curva DEN pueden pueden determinarse determinarse consiguiente, probabilidad bajo bajo la curva información exactamente. Siempre es posible transferir de vuelta los valores originales de la infOlmación de la muestra despejando despejando la ecuación [19.21] para X: X=Za+ X=Za+ J1 J1.
[19.23]
probabilidad para Z y X se resumen en la siguiente tabla y se Diversas afirmaciones de probabilidad muestran en la curva de distribución distribución para Z en la figura 19.15c. *Coeficiente intelectual, por por las siglas siglas en inglés. inglés. *Coeficiente intelectual,
733
EJEMPLOS ADICIONALES
f(X) • Dispersión
igual
(u¡ =U2
= U3)
• Medias crecientes
¡.L¡
¡.Lz
¡.L3
X
a) f(X) • Dispersión creciente (u¡ .>G
W'