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• Arturo Castillo

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Tema 2.2: Método del valor anual

Objetivo Los objetivos son explicar y demostrar los métodos principales para calcular el valor anual uniforme equivalente (VA) de un activo y como seleccionar la mejor entre dos alternativas con base en una comparación de valor anual. La alternativa seleccionada como la mejor será la misma que la seleccionada mediante el método de valor presente o cualquier otro método de evaluación cuando las comparaciones se realizan apropiadamente.

Sullivan, Wicks y Luxhoj (2004) nos dice lo siguiente acerca del valor anual: La Ingeniería Económica es la designación aplicada a todas las acciones que identifican, localizan y eliminan el coste innecesario en un diseño, en el desarrollo, obtención, manufactura y entrega de un producto o servicio, sin sacrificar la calidad esencial, la confiabilidad, el rendimiento, o el aspecto de mantenimiento, la confiabilidad y el coste. El valor anual (VA) de un proyecto es la serie equivalente anual de cantidades en dólares para un periodo establecido de estudio, que es equivalente a los flujos de entrada y salida de efectivo, con una tasa de interés que por lo general es la TREMA. Entonces, el VA (Valor anual) de un proyecto es la equivalente de los ingresos o ahorros anuales (R) menos sus egresos anuales (E), menos su cantidad equivalente de la recuperación de capital (RC). (

)

(

)

El proyecto tiene atractivo económico en tanto el VA sea mayor o igual a cero; en otro caso, no lo tiene. Un VA de cero significa que se obtiene un rendimiento anual exactamente igual a la TREMA. Cuando en la ecuación anterior los ingresos están ausentes, se designa a la medida que resulta como “costo anual uniforme equivalente”, o CAUE(i%). Es preferible un CAUE(i%) bajo que uno alto.

Coss Bu (2005) apunta que: El concepto del valor de dinero a través del tiempo revela que los flujos de efectivo pueden ser trasladados a cantidades equivalentes a cualquier punto del tiempo. Existen tres procedimientos que comparan estas cantidades equivalentes:



Método del valor anual equivalente.



Método del valor presente.



Método de la tasa interna de rendimiento.

Los tres métodos anteriores son equivalentes, es decir, si un proyecto de inversión es analizado correctamente con cada uno de estos métodos, la decisión recomendada será la misma. La selección de cuál método usar dependerá del problema que se vaya a analizar, de las preferencias del analista y, de cuál arroja los resultados en una forma que sea fácilmente comprendida por las personas involucradas en el proceso de toma de decisiones.

COMPARACIÓN

DE

ALTERNATIVAS

CON

VIDAS

ÚTILES

DIFERENTES. De acuerdo con Sullivan, Wicks y Luxhoj (2004) hacen de nuestro conocimiento lo siguiente: En la práctica, es común que haya un número limitado de alternativas factibles por considerar en un proyecto de ingeniería. El problema de decidir cuál de las alternativas mutuamente excluyentes debe seleccionarse se vuelve más fácil si se adopta la regla siguiente: Debe elegirse la alternativa que requiera la menor inversión de capital y produzca resultados funcionales satisfactorios, a menos que el capital incremental asociado con otra alternativa de mayor inversión se justifique con respecto a sus beneficios incrementales. De acuerdo con esta regla, se considera como alternativa base aquella que requiera la menor inversión de capital. La inversión de capital adicional por arriba de la que reclama la alternativa base generalmente provoca un aumento en la capacidad, la calidad, los ingresos o la vida útil, o

bien, disminuye los gastos de operación. Por lo tanto, antes de invertir dinero adicional, debe demostrarse que cada aumento de capital que pudiera evitarse es autofinanciable en relación con otras oportunidades de inversión disponibles.

Periodo de estudio Antes de poder realizar una elección entre las posibles alternativas factibles de un proyecto es necesario crear un periodo de estudio el cual nos servirá como método de comparación entre las vidas útiles, de esta manera lo enunciamos a continuación:

Sullivan, Wicks y Luxhoj (2004): A veces el periodo de estudio (análisis) se conoce como horizonte de planeación, y es el periodo seleccionado durante el cual se comparan las alternativas mutuamente excluyentes. La determinación del periodo de estudio para una situación de toma de decisiones puede verse influida por varios factores, por ejemplo, el periodo de servicio que se requiere, la vida útil de la alternativa de menor duración, la vida útil de la alternativa de mayor duración, la política de la empresa, etcétera. El punto clave es que el periodo de estudio que se seleccione debe ser apropiado para la situación de toma de decisiones que se investiga. Las vidas útiles de las alternativas que se comparan, en relación con el periodo de estudio que se eligió, pueden implicar dos tipos de situaciones: Caso 1: Las vidas útiles de las alternativas son iguales para todas ellas e iguales a la duración de periodo de estudio.

Caso 2: Las vidas útiles de las alternativas son diferentes entre sí y, por lo menos, una no es igual a la duración del periodo de estudio. El análisis y comparación de las vidas diferentes entre las alternativas es algo complicado. En tales casos, para realizar estudios de ingeniería económica, se adopta la regla de comparar alternativas mutuamente excluyentes durante el mismo periodo. La suposición de repetición y la de terminación simultánea son dos tipos de supuestos que se emplean para efectuar estas comparaciones.

La suposición de repetición implica dos condiciones principales: 1. El periodo de estudio para el que se comparan las alternativas es de duración indefinida, o bien, igual a un múltiplo común de las vidas de las alternativas. 2. Las consecuencias económicas que se estima que ocurrirán en la extensión inicial de la vida útil de una alternativa, también sucederán en todas las extensiones de vida sucesivas (reemplazos). Es poco común que se presenten ambas condiciones en situaciones reales de ingeniería, lo cual tiende a limitar el uso del supuesto de repetición, excepto en aquellas condiciones donde la diferencia entre la utilidad anual del primer ciclo de vida y la utilidad anual para más de un ciclo de vida de los activos implicados sea muy pequeña. La suposición de terminación simultánea utiliza un periodo de estudio finito e idéntico para todas las alternativas. Este horizonte de planeación, en combinación con ajustes apropiados para los flujos de efectivo que se estiman, ubica a las alternativas sobre una base común y comparable. Por ejemplo, si la situación supone la prestación de un servicio, se aplica el mismo requerimiento de periodo a cada una de las alternativas que se

comparan. Para forzar la coincidencia de las duraciones de los flujos de efectivo y del tiempo de terminación simultánea, se realizan ajustes (con base en suposiciones adicionales) en las estimaciones de flujo de efectivo de las alternativas de proyecto, cuyas vidas útiles son distintas del periodo de estudio. Por ejemplo, si una alternativa tiene vida útil más breve que la del periodo de estudio, para los años restantes podría suponerse y emplearse el costo estimado anual de contratación de las actividades implicadas. En forma similar, si la vida útil de una alternativa es más larga que el periodo de estudio, es común utilizar un valor de mercado vuelto a estimar como flujo de efectivo terminal al final de la vida de terminación simultánea del proyecto. A continuación se muestran los dos casos que se pueden presentar durante el periodo de estudio en relación a la comparación de las vidas útiles de las alternativas: Continuando con Sullivan, Wicks y Luxhoj (2004): Caso 1: Las vidas útiles son iguales al periodo de estudio. Cuando la vida útil de una alternativa es igual al periodo de estudio seleccionado, no se requiere realizar ajustes a los flujos de efectivo. En esta sección se analiza la comparación de alternativas mutuamente excluyentes empleando los métodos del valor anual equivalente y de tasa de rendimiento, cuando las vidas útiles de todas las alternativas son iguales a la del periodo de estudio. Se aprendió que los métodos del valor anual equivalente convierten todos los flujos de efectivo relevantes a sus montos presente, anual o futuro, equivalentes. Cuando se emplean estos métodos, la consistencia de las alternativas de selección proviene de sus relaciones de equivalencia. Asimismo, el rango económico de las alternativas mutuamente excluyentes

será el mismo al usar los tres métodos. Considere el caso general de dos alternativas A y B. Si (

)

(

)

(

) (

(

)

(

) (

(

)

Entonces (

) (

)

)

Y (

)

En forma similar, (

) (

)

)

Y (

)

La técnica más directa para comparar alternativas mutuamente excluyentes cuando todas sus vidas útiles son iguales al periodo de estudio, consiste en calcular el valor equivalente de cada alternativa, con base en la inversión total con i = TREMA. Entonces, se elige aquella alternativa de inversión con el mayor valor positivo equivalente. Y, en el caso de alternativas de costo, se selecciona la de valor equivalente menos negativo.

Ejemplo 2.1 Se estudian tres alternativas de inversión mutuamente excluyentes para implantar la automatización de una oficina en una empresa de diseño de ingeniería. Cada alternativa satisface los mismos requerimientos de

servicio (apoyo), aunque entre ellas hay diferencias en los montos de inversión de capital y los beneficios (ahorro en costos). El periodo de estudio es de 10 años, y las vidas útiles de las tres alternativas también son de 10 años. Se acepta que el valor de mercado de todas las alternativas es de cero al final de sus vidas útiles. Si la TREMA de la compañía es del 10% anual, ¿cuál alternativa debe seleccionarse en vista de las estimaciones siguientes? Alternativa A

B

C

Inversión de capital

$390,000

$920,000

$660,000

Ahorro anual en costos

69,000

167,000

133,500

SOLUCIÓN: Solución al ejemplo con el método del Valor Anual (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Con base en el método del VP, conviene seleccionar la alternativa C, puesto que tiene el VA más elevado ($26,118). El orden de preferencia es C > B > A, donde C > B significa que se prefiere a C sobre B.

Caso 2: Las vidas útiles de las alternativas son diferentes. Cuando las vidas útiles de las alternativas mutuamente excluyentes son distintas, puede usarse la suposición de la repetición para compararlas

si el periodo de estudio tiene longitud infinita o es un múltiplo común de las vidas útiles. Esto supone que las estimaciones económicas para el ciclo inicial de vida útil de una alternativa se repetirán en todos los ciclos de reemplazo subsecuentes. Como se estudió en la sección 5.3, esta condición es más firme de lo que parece para su aplicación práctica. Otro punto de vista consiste en considerar el supuesto de repetición como una conveniencia de modelado para propósitos de tomar una decisión actual. Cuando esta suposición es aplicable a una situación de toma de decisiones, la comparación de alternativas mutuamente excluyentes se simplifica. Un método de solución que se usa con frecuencia consiste en calcular el VA de cada alternativa durante su vida útil y seleccionar aquella que tenga el mejor valor (es decir, la que tenga el VA positivo más grande para alternativas de inversión y la que posea el VA menos negativo para alternativas de costo). Si la suposición de repetición no es aplicable a una situación de toma de decisiones, entonces necesita seleccionarse un periodo de estudio apropiado (suposición de terminación simultánea). Éste es el enfoque que se emplea con mayor frecuencia en la práctica de la ingeniería, porque los ciclos de vida de los productos se están haciendo cada vez más cortos. Es frecuente que una o más de las vidas útiles sea más corta o más larga que el periodo de estudio seleccionado. Cuando éste sea el caso, es necesario hacer ajustes en el flujo de efectivo con base en suposiciones adicionales, de manera que todas las alternativas se comparen durante el mismo periodo de estudio. En esta situación se aplican los siguientes lineamientos: 1. (Vida útil) < (Periodo de estudio) a) Alternativas de costo: Como cada alternativa de costo tiene que ofrecer el mismo nivel de servicio durante el periodo de estudio, podría ser apropiado contratar el servicio o rentar el equipo necesario durante los años que restan. Otro curso potencial de acción es repetir la parte de la vida útil

de la alternativa original, y luego usar un valor de mercado estimado para truncarlo al final del periodo de estudio. b) Alternativas de inversión: La primera suposición es que todos los flujos de efectivo se reinvertirán en otras oportunidades disponibles para la compañía con la TREMA al final del periodo de estudio. Una segunda suposición implica el reemplazo de la inversión inicial, con otro activo que tenga flujos de efectivo que tal vez sean distintos durante la vida restante. Un método conveniente de solución es calcular el VF de cada alternativa mutuamente excluyente al final del periodo de estudio. También puede usarse el VP para las alternativas de inversión, ya que el VF al final del periodo de estudio (digamos N) de cada alternativa es su VP que multiplica a una constante común (F/P, i%, N), donde i% = TREMA. 2. (Vida útil) > (Periodo de estudio): La técnica más común consiste en truncar la alternativa al final del periodo de estudio utilizando un valor de mercado estimado. Esto supone que los activos que se van a desechar se venderán en dicho valor al final del periodo de estudio. Ejemplo 2.2 Los datos que se presentan en la página 221 se estimaron para dos alternativas de inversión mutuamente excluyentes, A y B, asociadas con un proyecto pequeño de ingeniería para el que existen ingresos y también gastos. Tienen vidas útiles de cuatro y seis años, respectivamente. Si la TREMA= 10% por año, demuestre cuál es la alternativa más deseable empleando métodos de valor equivalente. Utilice la suposición de repetición.

Inversión de capital

A

B

$3,500

$5,000

Flujo de efectivo anual

1,255

1,480

Vida útil (años)

4

6

Valor de mercado al final de la vida útil

0

0

SOLUCIÓN: Solución al ejemplo con el método del Valor Anual El reemplazo de unos activos por otros supone que la estimaciones para el ciclo inicial de vida útil se repetirá en cada ciclo subsiguiente de reemplazo. En consecuencia, el VA tendrá el mismo valor para cada ciclo y para el periodo de estudio (12 años). Esto se demuestra en la siguiente solución por medio del VA, calculando 1) el VA de cada alternativa durante el periodo de análisis de 12 años, con base en los montos previos de VP, y 2) determinando el VA de cada alternativa durante un ciclo de vida útil. Con base en los montos de VP calculados con anterioridad, los valores de VA son (

)

(

)

(

)

(

)

A continuación se calcula el VA de cada alternativa durante un ciclo de vida útil: (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Esto confirma que ambos cálculos para cada alternativa arrojan el mismo VA, y de nuevo se seleccionaría la alternativa B porque tiene el valor más grande ($332).

A continuación se redactarán los métodos para convertir a CAUE (Costo Anual Uniforme Equivalente) los costos de inversión que tengan valor de salvamento:

MÉTODO DEL VALOR PRESENTE DE SALVAMENTO. Baca (1999) argumenta que: Valor de salvamento (VS), valor de rescate (VR) o valor de recuperación (VR) son sinónimos que significan el valor de mercado de un activo, en cualquier momento de su vida útil. Valor de mercado a su vez, significa el valor monetario al que puede ser vendido un activo en el año n. Vn activo siempre tiene una vida útil determinada (excepto terreno cuya vida útil es infinita), es decir, llega un momento en que el activo ya no puede ser utilizado para los fines para los que fue elaborado. Si la vida útil de un activo es muy larga, y al analista o tomador de decisiones le interesa un periodo mucho más corto de planeación, puede “cortar” artificialmente el tiempo para efectos de realizar análisis, en el periodo de planeación que es de su interés. La determinación del valor de salvamento puede tener varios aspectos. Si se está determinando sobre un activo que ya se posee y se desea remplazar, entonces el valor de salvamento es el valor monetario que se puede obtener por la venta de ese activo en el mercado, en el momento de tomar la decisión, y es relativamente sencillo calcular el valor de salvamento. Si por el contrario, el activo no se posee, se pretende adquirir y el horizonte de análisis es por ejemplo de 7 años, entonces la toma de decisión deberá estimar, con ciertas bases, cuál será el valor de mercado del activo al término de 7 años, a partir del momento en que se adquiera. Las bases para esta determinación pueden ser, la intensidad de uso que se le vaya a dar al activo y la vida fiscal del mismo. Un valor de salvamento estimado en el futuro siempre tendrá cierto grado de imprecisión. Por otro

lado, está la forma en que debe ser considerado el valor de salvamento dentro de un problema de toma de decisiones. El valor de salvamento siempre será un ingreso, pero es distinto el valor de salvamento de un activo que ya se tiene, al valor de salvamento de un activo que está por comprarse. Si el problema está analizado, el remplazo de un equipo que ya se tiene, entonces la suposición implícita es que, al realizar el remplazo, se vende la máquina que está en uso, lo cual provoca un ingreso, que disminuye el desembolso inicial que debe realizarse al comprar el equipo nuevo. Si el problema es seleccionar una alternativa, la de menor costo, de entre varias que se tengan disponibles, entonces el valor de salvamento también representa un ingreso, pero que se obtendrá hasta el final del periodo de análisis que declara el problema cuando al “cortar” artificialmente el tiempo, se supone que el activo se vende obteniendo un ingreso. El valor de salvamento al final del periodo de análisis puede ser cero, pero si el valor de salvamento no es de cero y no se considera que se vende, equivale a suponer que el inversionista abandonaría un activo que aún tiene cierto valor y que le puede proporcionar un ingreso, es decir, omitir la consideración del valor de salvamento, cuando este tiene un valor monetario al final del periodo de análisis es una consideración errónea al momento de tomar la decisión.

De acuerdo a Blank y Tarquin (1995): El método del valor presente de salvamento es el segundo de los métodos para convertir a CAUE los costos de inversión que tengan valor de salvamento. El valor presente de salvamento se resta del costo de inversión

inicial y la diferencia resultante de anualiza para la vida del activo. La ecuación general es: (

)(

)

Los pasos que deben seguirse en este método son los siguientes: 1. Calcular el valor presente del valor de salvamento mediante el factor P/F. 2. Restar el valor obtenido en el paso 1 del costo inicial P. 3. Anualizar la diferencia resultante sobre la vida útil del activo utilizando el factor A/P. 4. Sumar los costos anuales uniformes al resultado del paso 3. 5. Convertir todos los flujos de caja a equivalente anual y sumarlos al valor obtenido en el paso 4.

Ejemplo 2.3 Calcule el CAUE utilizando el método del valor presente de salvamento de una máquina que tiene un costo inicial de $8,000 y un valor de salvamento de $500 después de 8 años. Los costos anuales de operación (CAO) para la maquina se estiman en $900 y la tasa de interés 20% anual. SOLUCIÓN: Utilizando los pasos señalados atrás y la ecuación [

(

)] (

)

MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN DE SALVAMENTO. Conforme a Blank y Tarquin (1999) enuncian lo siguiente: Cuando un activo tiene un valor de salvamento terminal (VS), hay muchas formas de calcular el VA. El método del fondo de amortización de salvamento es probablemente, el método más simple de los tres métodos analizados y el que por lo general se utiliza. En el método del fondo de amortización de salvamento, el costo inicial P se convierte primero en una cantidad anual uniforme equivalente utilizando el factor A/P. Dado, normalmente, su carácter de flujo de efectivo positivo, después de su conversión a una cantidad uniforme equivalente a través del factor A/F, el valor de salvamento se agrega al equivalente anual del costo inicial. Estos cálculos pueden estar representados por la ecuación general: (

)

(

)

Si la alternativa tiene cualquier otro flujo de efectivo, éste debe ser incluido en el cálculo completo de VA. Lo cual se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.4 Calcule el VA de un aditamento de tractor que tiene un costo inicial de $8000 y un valor de salvamento de $500 después de 8 años. Si estima que los costos anuales de operación para la máquina son $900 y se aplica una tasa de interés del 20% anual. SOLUCIÓN: El diagrama de flujo de efectivo indica que:

Donde A1 = costo de la inversión inicial con un valor de salvamento considerado.

(

)

(

)

A2 = costo anual de operación = $-900 El valor anual para el aditamento es

. Figura 2.1- (a) Diagrama para costos de la máquina y (b) conversión a un VA. Tomado de Blank, Leland T. y Tarquin, Anthony J. 1999. Ingeniería económica cuarta edición Editorial McGraw-Hill Interamericana. México. (pp. 184).

Comentario: Comoquiera que el costo de operación ya está expresado como un costo anual para la vida del activo no es necesaria una conversión La simplicidad del método del fondo de amortización de salvamento debe ser obvia en los cálculos directos mostrados en el ejemplo. Los pasos pueden resumirse de la siguiente manera utilizando los signos correctos del flujo defectivo: 1. Anualizar el costo de inversión inicial durante la vida del activo por medio del factor A/P. 2. Anualizar el valor de salvamento mediante el factor A/F.

3. Combinar el valor de salvamento anualizado con el costo de inversión anualizado. 4. Combinar las cantidades anuales uniformes con el valor del paso 3. 5. Convertir cualquier otro flujo de efectivo en valores anuales uniformes equivalentes y combinarlos con el valor obtenido en el paso 4.

MÉTODO DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL. Respecto con Sullivan, Wicks y Luxhoj (2004) describimos lo siguiente: El monto de la recuperación de capital (RC) para un proyecto es el costo uniforme equivalente anual del capital invertido. Se trata de una cantidad anual que cubre los dos conceptos siguientes: 1. Pérdida de valor del activo; 2. Interés sobre el capital invertido (a la TREMA). Ejemplo 2.5 Por ejemplo, considere una máquina o cualquier otro activo que costará $10,000 los últimos cinco años, y tiene un valor de rescate (mercado) de $2,000. Entonces, la pérdida de valor de este activo durante cinco años es de $8,000. Además, la TREMA es del 10% anual. Es posible demostrar que sin importar el método de cálculo de la pérdida de valor de un activo durante el tiempo que se utilice, el monto equivalente anual de la RC es el mismo. Por ejemplo, si se supone pérdida de valor uniforme, se obtiene que el monto equivalente de la RC anual es de $2,310, como se ilustra en la tabla 4.2. Existen varias fórmulas convenientes por medio de las cuales puede calcularse el monto (costo) de la RC, para obtener el resultado que se

presenta en la tabla 4.2. Es probable que la más fácil de entender sea la que implica obtener el equivalente anual de la inversión inicial de capital y luego restarle el valor anual equivalente del rescate. Entonces, (

)

(

)

(

)

Donde I = inversión inicial para el proyecto S = valor de rescate (mercado) al final del periodo de estudio N = periodo de estudio del proyecto

Tabla 4.2- Cálculo del monto equivalente anual de la RC. Tomado de Sullivan, William G., Wicks, Elin M. y Luxhoj, James T. 2004. Ingeniería económica de DeGarmo duodécima edición. Editorial Pearson Educación. México. (pp. 162).

Si se aplica la ecuación anterior al ejemplo de la tabla 4.2, el monto de la RC es (

)

(

) (

)

( (

) )

Otra forma de calcular el monto de la RC consiste en agregar un monto de fondo de amortización anual (o depósito) al interés sobre la inversión original. Así, (

)

(

)(

(

)

)

Al aplicar la ecuación 4.6 al ejemplo de la tabla 4.2, el monto de la RC es (

)

( (

)(

)

)

(

(

)

)

Una forma más de calcular el monto de la RC es agregar el costo equivalente anual de la pérdida uniforme de valor de la inversión al interés sobre el valor de rescate: (

)

(

)(

)

(

)

Al aplicar al ejemplo anterior, (

)

(

)( (

)

(

) (

)

)

También, tenemos otra alternativa propuesta por Baca (1999) la cual se muestra a continuación: Cuando se adquiere un bien, por ejemplo, un auto, y se vende después de un año, se recuperará cierto porcentaje de su valor original. Este porcentaje disminuye conforme aumenta el número de años después de los cuales se hace la venta. La cantidad recibida se llama recuperación de capital y disminuye con el paso de los años, es decir, se recuperará cada

vez menos capital conforme el bien sea más viejo. La forma de expresar la recuperación de capital (RO es por medio del CAUE, anualizando la inversión inicial menos el valor de salvamento.

Ejemplo 2.6 En la tabla se muestran los datos sobre la compra y venta de un automóvil: valor de adquisición = 35 000 y valores de salvamento al final del año n.

Con una i =7% calcúlese la RC para los años 1 y 6. SOLUCIÓN:

Como la inversión inicial P siempre será mayor que el VS, aunque la P sea un desembolso, se toma con signo positivo. EI cálculo de la RC consiste en anualizar P y VS, por tanto, el RCn para n = 1,…, 6 es: RC1 = 35 000 (A/P, 7%,1) - 30 000 (A/F, 7%, 1)=$7450 una forma alternativa de cálculo es:

RC= (P - VS) (A/P, i, n) + VSi por tanto: RC1 = (35 000 – 30 000) (A/P, 7%, 1) + 30 000 (0.07) = $7 450 otra forma alternativa de cálculo es: RC= (P - VS) (A/F,i,n)+Pi por tanto: RC1 = (35 000 - 30 000) (A/F, 7%, 1) + 35 000 (0.07) = $7 450 empleando las fórmulas anteriores se tiene para n = 2, ..., 6: RC2= (35 000-25 000) (A/P, 7%, 2) + 25 000 (0.07) = $7 281 RC2= (35 000-25 000) (A/F, 7%, 2) + 35 000 (0.07) = $57 281 RC3= (35 000-20 000) (A/P, 7%, 3) +20 000 (0.07) = $7 116.5 RC3= (35 000-20 000) (A/F, 7%, 3) + 35 000 (0.07) = $5 7116.5 RC4= (35 000-15 000) (A/P, 7%, 4) + 15 000 (0.07) = $56 954 RC4= (35 000-15 000) (A/F, 7%, 4) + 35 000 (0.07) = $56 954 RC5= (35 000-10 000) (A/P, 7%, 5) +10000(0.07) = $6 797.5 RC5= (35 000-10 000) (A/F, 7%, 5) +35000(0.07) = $6 797.5 RC6= (35 000-5 000) (A/P, 7%, 6) + 5 000(0.07) = $6 644 RC6= (35 000-5 000) (A/F, 7%, 6) + 35 000(0.07) = $6 644 El resultado sólo confirma que se recupera menos capital conforme se vende un bien más viejo, o desde otro punto de vista, que adquirir un bien y venderlo muy rápido representa mayor costo que conservarlo un cierto número de años, sin tomar en cuenta los costos de mantenimiento.

COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS POR CAUE. De acuerdo con Blank y Tarquin (1995) se establece lo siguiente acerca de la comparación de alternativas por CAUE: El método de comparar alternativas por el costo anual uniforme equivalente es probablemente la más sencilla de las técnicas de evaluación presentadas en este libro. La selección se hace sobre la base del CAUE, escogiendo la alternativa que tenga el menor costo, como la más favorable. Evidentemente, los datos no cuantificables deben tomarse en consideración antes de llegar a una decisión final, pero en general se preferirá la alternativa que tenga el más bajo CAUE. Quizás la regla más importante que debe recordarse al hacer comparaciones por CAUE es que solamente debe considerarse un ciclo de la alternativa. Este procedimiento, por supuesto, está sujeto a los supuestos fundamentos de este método. Estos supuestos son similares a aquellos aplicables al análisis del valor presente, a saber: (1) las alternativas podrían necesitar del mínimo común múltiplo de años, o si no, el costo anual uniforme equivalente podría ser el mismo para cada porción del ciclo de vida del activo como para el ciclo entero, (2) los flujos de cada en ciclos de vida sucesivos cambian exactamente por tasas de inflación o deflación, y (3) cualquier fondo generado por el proyecto puede ser reinvertido a tasa de interés usada en los cálculos. Cuando la información es disponible puede ser que uno o más de estos supuestos no sean válidos, entonces un tipo de horizonte de planeación aproximado podría ser utilizado. Esto es, que los costos operados reales continuaran un periodo específico de tiempo (por ejemplo, el horizonte de planeación) y debe identificarse y convertirse en costo anual uniforme equivalente. Ejemplo 2.7

Los siguientes costos son los estimados para dos máquinas peladoras de tomates en una fábrica de conservas: Maquina A

Maquina B

Costo inicial

$26,000

$36,000

Costo anual de mantenimiento

800

300

Costo anual de mano de obra

11,000

7000

Ingresos adicionales gravables

….

2,600

Valor de salvamento

2,000

3,000

Vida útil, años

6

10

Si la tasa de retorno mínima requerida es de 15% anual, ¿Qué maquina debe seleccionarse? SOLUCIÓN. El diagrama de flujo de caja de cada alternativa se muestra en la figura sieguiente. El CAUE de cada máquina, utilizando el método del fondo de amortización de salvamento, se calcula así: (

)

(

(

)

(

Se seleccionara la maquina B, puesto que

) )

Figura 2.2- Flujos de efectivo para dos máquinas de pelar tomates. Tomado de Blank, Leland T. y Tarquin, Anthony J. 1999. Ingeniería económica cuarta edición Editorial McGraw-Hill Interamericana. México. (pp. 187).

Tema 2.3: Método de la tasa interna de retorno Objetivo Encontrar una tasa de interés en la cual se cumplen las condiciones buscadas en el momento de iniciar o aceptar un proyecto de inversión Usar la tasa interna de retorno (TIR) es una de las maneras más precisa de calcular el valor comparativo cuando las compañías compran diferentes proyectos de inversión y pueden tenerse en cuenta diferentes flujos de ingresos y egresos de efectivo. Usar la TIR permite a los gerentes decidir qué opción de inversión es mejor y si alguna de las opciones cumple con el retorno de inversión requerido por la compañía..

MÉTODO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

Esta es una herramienta de gran utilidad para la toma de decisiones financiera dentro de las organizaciones Este método consiste en encontrar una tasa de interés en la cual se cumplen las condiciones buscadas en el momento de iniciar o aceptar un proyecto de inversión. Tiene como ventaja frente a otras metodologías como la del Valor Presente Neto (VPN) o el Valor Presente Neto Incremental (VPNI) por que en este se elimina el cálculo de la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO), esto le da una característica favorable en su utilización por parte de los administradores financieros. La Tasa Interna de Retorno es aquélla tasa que está ganando un interés sobre el saldo no recuperado de la inversión en cualquier momento de la duración del proyecto. En la medida de las condiciones y alcance del proyecto estos deben evaluarse de acuerdo a sus características, con unos sencillos ejemplos se expondrán sus fundamentos.

Evaluación de proyectos individuales EJEMPLO Un terreno con una serie de recursos arbóreos produce por su explotación $100.000 mensuales, al final de cada mes durante un año; al final de este tiempo, el terreno podrá ser vendido en $800.000. Si el precio de compra es de $1.500.000, hallar la Tasa Interna de Retorno (TIR). SOLUCIÓN 1. Primero se dibuja la línea de tiempo.

2. Luego se plantea una ecuación de valor en el punto cero.

-1.500.000 + 100.000 a12¬i + 800.000 (1 + i)-1 = 0 La forma más sencilla de resolver este tipo de ecuación es escoger dos valores para i no muy lejanos, de forma tal que, al hacerlos cálculos con uno de ellos, el valor de la función sea positivo y con el otro sea negativo. Este método es conocido como interpolación. 3. Se resuelve la ecuación con tasas diferentes que la acerquen a cero. A. Se toma al azar una tasa de interés i = 3% y se reemplaza en la ecuación de valor. -1.500.000 + 100.000 a12¬3% + 800.000 (1 +0.03)-1 = 56.504 B. Ahora se toma una tasa de interés mas alta para buscar un valor negativo y aproximarse al valor cero. En este caso tomemos i = 4% y se reemplaza con en la ecuación de valor -1.500.000 + 100.000 a12¬4% + 800.000 (1 +0.04)-1 = -61.815 4. Ahora se sabe que el valor de la tasa de interés se encuentra entre los rangos del 3% y el 4%, se realiza entonces la interpolación matemática para hallar el valor que se busca. A. Si el 3% produce un valor del $56.504 y el 4% uno de - 61.815 la tasa de interés para cero se hallaría así:

B. Se utiliza la proporción entre diferencias que se correspondan: 3-4 3-i

=

56.504 - (- 61.815) 56.504 - 0

C. se despeja y calcula el valor para la tasa de interés, que en este caso sería i = 3.464%, que representaría la tasa efectiva mensual de retorno. La TIR con reinversión es diferente en su concepción con referencia a la TIR de proyectos individuales, ya que mientras avanza el proyecto los desembolsos quedan reinvertidos a la tasa TIO

Evaluación de proyectos individuales con análisis de reinversión EJEMPLO Una compañía le propone al gobierno construir un puente cuyo costo inicial es de $1.000.000 y necesita de $100.000 al final de cada año, como costos de mantenimiento y $500.000 por la cuota de amortización, con lo cual al final de este tiempo e puente será propiedad del estado. Si la TIO de la compañía es del 2.5% efectivo mensual, se pide determinar cual es la verdadera rentabilidad del proyecto con reinversión de los dineros que va liberando el proyecto, SOLUCIÓN 1. Se realiza la gráfica del problema

2. Puesto que los $500.000 y los $100.000 se encuentran enfrentados en el mismo periodo de tiempo la gráfica se podría simplificar a:

3. Teniendo claro lo anterior, se plantea y soluciona la ecuación de valor por medio dela metodología de la TIR

-1.000.000 + 400.000 a5¬i = 0 A. Se utiliza una tasa de interés i = 28% -1.000.000 + 400.000 a5¬28% = 12.802 B. Se utiliza una tasa de interes i = 30 % -1.000.000 + 400.000 a5¬30% = - 25.772 4. Se utiliza la interpolación matemática para hallar la tasa de interés que se busca.

5. Se utiliza la proporción entre diferencias que se correspondan: 28 - 30

=

28 - i

12.802 - (- 25.772) 12.802 - 0

Se tiene entonces que, la tasa de interés sería i = 28.664%, que representaría la tasa efectiva mensual de retorno. Pero en este ejemplo también se debe tener en cuenta los desembolsos reinvertidos a la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO) entonces, si la TIO de la compañía es del 2.5% se tiene que: 6. Al calcular las tasas equivalentes y despejando i (1 +0.025)12 = (1 +i)1 La tasa de interés sería i = 34.489% efectivo anual. Ahora analizando la TIR del proyecto sin reinversión es del 28.664% y la TIO es del 34.489%, se concluye que el proyecto sin reinversión de intereses no es recomendable; sin embargo, al incluir la inversión de intereses se debe tener en cuenta que el proyecto devuelve $400.000 al final de cada año los cuales podrían ser reinvertidos a la Tasa TIO. Por lo tanto habrá que calcular el valor final para esta serie de pagos anuales de $400.000 cada uno. 7. Se realiza la gráfica de la línea de tiempo.

8. Se calcula la ecuación de valor de la serie de pagos, pero ahora evaluada con la tasa i = 34.488%, para hallar el valor con reinversión de la TIO 400.000 s5¬34.488% = 3.943.055,86 En conclusión $1.000.000 invertidos hoy en el puente se convertirán al final de cinco años con reinversión de intereses en $3.943.055,86, por lo tanto su verdadera rentabilidad sería: 9. Línea de tiempo

10. Al hallar la tasa de interes en la ecuación de valor se obtiene: 3.943.055,86 = 1.000.000 (1 +i)5 En este caso la i = 31.57 con reinversión. Se observa entonces que la tasa de interés y por ende la rentabilidad total del proyecto con reinversión aumenta, pero esta no sobrepasa el 34.49% efectivo anual que es equivalente a la TIO del 2.5% efectivo mensual.

CÁLCULO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO PARA UN PROYECTO ÚNICO TASA INTERNA DE RETORNO TIR:

La tasa interna de retorno, es la tasa que obtienen los recursos o el dinero que permanece atado al proyecto. Es la tasa de interés a la cual el inversionista le presta su dinero al proyecto y es característica del proyecto, independientemente de quien evalué. La TIR es la tasa de interés que hace que la ecuación fundamental se cumpla, por lo tanto para su cálculo establecemos una ecuación de valor con fecha focal en el presente, en el futuro o al final de cada periodo como lo hicimos ante cedentemente. Ilustremos el concepto y el cálculo de la TIR con un sencillo ejercicio: Flujo de caja del proyecto:

La TIR, como se ha mencionado es la tasa que el proyecto le reconoce al inversionista sobre lo que le adeuda. En este caso el inversionista inicialmente le presta al proyecto $100, los cuales a final del primer periodo ascienden a $130, porque la tasa que reconoce es del 30%. Al final del primer periodo el proyecto cancela $60 por consiguiente el nuevo saldo es $70 y sobre este valor cancela una tasa del 30% por el segundo periodo para un total al final de este de $71, pero como cancela $41, el proyecto queda debiendo $50, los cuales cancela con $65 al final del tercer periodo. Se ha demostrado que realmente el proyecto reconoce una tasa

del 30% periódico sobre los saldos adeudados al final de cada periodo. Lo anterior narrado es más fácil demostrarlo con una tabla de amortización:

Para tomar la decisión con la TIR la debemos de comparar con la rentabilidad obtenida en otras alternativas análogas, como por ejemplo, con los mismos niveles de riesgo. Esta rentabilidad de invertir en oportunidades similares es la tasa de interés de oportunidad o el costo de capital promedio ponderado (CCPP) del cual hablaremos un poco más adelante. En resumen, cuando: o

TIR>CCPP Aceptar el proyecto.

o

TIRTIRB y además ambas tasas superan la tasa de interés de oportunidad del 5%, escogemos el proyecto A. Estamos partiendo del supuesto que ambos proyectos tengan el mismo nivel de riesgo y que los recursos de dinero son limitados, sino fuera así la capacidad de generar riqueza de la empresa seria ilimitado, ¿ocurre esto en la realidad? Verifiquemos los anteriores resultados con el criterio del VPN y establezcamos las conclusiones pertinentes:

Como el VPNB>VPNA y ambos valores son mayores que cero preferimos seleccionar el proyecto B. El orden arrojado por la TIR y el VPN ha sido totalmente contradictorio, ¿quién tiene la razón? Destruyamos la contradicción y mencionemos algunos métodos que nos aclaren la situación presentada: 1. El análisis marginal. En el análisis marginal encontramos la diferencia entre los dos proyectos, por lo general y si tienen inversiones iníciales diferentes, al de mayor inversión se le resta el de menor inversión y surge un nuevo proyecto que llamaremos el proyecto marginal o diferencia, luego nos focalizamos en evaluar este proyecto resultante:

Este proyecto resultante, sería lo que ocurre si decidimos invertir en el proyecto de mayor inversión con el excedente de no invertir en el de menor inversión. Partimos del supuesto que se efectuará inicialmente el de mayor inversión. Evaluamos entonces este proyecto diferencia con cualquiera de los criterios mencionados, si la TIR es mayor que el interés de oportunidad o si el VPN es positivo (mayor que cero) seleccionamos el de mayor inversión, si lo anterior no sucede escogemos el de menor inversión, pues si realizamos este, el excedente de no llevar a cabo lo estaremos invirtiendo a la tasa de oportunidad que será mayor que la TIR o el valor presente es igual a cero, lo cual es preferible que invertir en una alternativa que destruye valor. El interrogante que tenemos que resolver es si se justifica invertir el excedente a una tasa superior al interés de oportunidad. Luego de efectuar los cálculos hemos determinado los valores de: TIR= 7.93%. VPN5%=+$16.47. Conclusión: Se deberá escoger el proyecto B, el de mayor inversión, puesto que al realizarlo, sobre el excedente de no realizar el de menor inversión se obtiene una tasa mayor al 5%, que sería lo que gana si se realiza el A, el de menor inversión. Este ordenamiento fue el dado desde el principio por el VPN. El costo de tomar la decisión con un criterio inadecuado como seria escoger el proyecto A, el señalado por la TIR, es de $16.47, equivalente a la destrucción de valor y corresponde exactamente a la diferencia de los valores presentes netos (VPNA= $482.37, VPNB= $498.84). 2. La tasa interna de retorno incremental. TIRI.

En el método anterior, a través del análisis marginal encontramos la tasa de quiebre de las dos alternativas la cual corresponde exactamente a la tasa de interés de oportunidad. Donde estas son indiferentes. Lo anterior significa, que si la tasa de oportunidad es del 7.93% es indiferente la una o la otra, pero si la tasa de oportunidad es menor que esta se selecciona la de mayor inversión, puesto que es mejor invertir a la TIRI= 7.93% y no a una tasa menor. Si la tasa de oportunidad es mayor que la TIRI, se deberá escoger la de menor inversión, pues es mejor liberar recursos para invertir a una tasa superior. Veámoslo gráficamente: en unos ejes cartesianos representemos la tasa de interés en la abscisa y en la ordenada el VPN y dibujemos en ellos las funciones de los valores presentes netos de Ay B.

3. Verdadera tasa de rentabilidad. Es bueno precisar algunos conceptos de tasa de interés. Tasa interna de retorno. TIR. Es la característica del proyecto, independiente del evaluador o inversionista. Supone reinversión de los recursos liberados durante el horizonte de evaluación del proyecto a la misma tasa de retorno. Tasa de interés de oportunidad. CCPP. Corresponde a característica del inversionista y con esta tasa calculamos el VPN. característica fundamental del VPN es suponer reinversión a la tasa oportunidad, de acá las bondades de este criterio en la selección proyectos mutuamente excluyentes, donde la restricción es el dinero.

la La de de

Verdadera tasa de rentabilidad. VTR. Combina las características del proyecto, con las características del evaluador o inversionista. Supone que la reinversión de los recursos liberados por el proyecto se realiza a la tasa de oportunidad. Cuando evaluamos proyectos con este criterio, los cuales sean mutuamente excluyentes, las inversiones iníciales deben de ser totalmente iguales, de no ser así, como en este caso, las diferencias se reinvierten a la tasa de oportunidad. Ilustrémoslo con el siguiente diagrama de flujo de caja, para los proyectos A y B del ejercicio anterior y con una tasa de oportunidad del 5%:

F = P (1+i) N A: 1.636, 66= 800(1+VTR) 5 VTRA = 15.39% B: 1.657.69 = 800(1+VTR)5 VTRB = 15.69% En los diagramas destacamos el hecho de que se han convertido los flujos de caja en esquemas de pagos únicos, con un pago único de valor P y un pago único futuro que llamaremos el valor futuro de los flujos de caja (VFFF). El VFFF ya es un criterio para tomar la decisión, puesto que partimos en ambos casos del mismo valor presente y naturalmente donde obtengamos el mayor resultado futuro, siempre y cuando estén ubicados en la misma fecha, esa será nuestra decisión que nos permita optimizar los recursos. La VTR es la tasa de interés que haga equivalentes los pagos

únicos presente y futuros. De la ecuación del esquema de pagos únicos, se despeja el valor de esta tasa. Como la VTRB>VTRA, escogemos el proyecto A y de nuevo este criterio coincide con el ordenamiento preferencial dado por el criterio del VPN. En resumen: Hemos destacado el VPN como criterio o indicador de impacto global en la evaluación financiera de proyectos. La TIR, solamente evalúa impactos locales que no necesariamente impactan globalmente a la empresa como un sistema, cuyo objetivo es ganar más dinero. La TIR es importante para calcular la rentabilidad de los recursos, solamente de ese proyecto al cual se refiere. El VPN, permite realizar análisis de factibilidad, cuando sea positivo este indicador los proyectos son atractivos y además permite optimizar los recursos cuando el proyecto tenga un mayor VPN que otros. La TIR, solamente permite evaluar la factibilidad, cuando esta sea mayor que la tasa de oportunidad, pero definitivamente no permite optimizar los recursos. Cuando estamos evaluando proyectos para sistemas empresariales con ánimo de lucro, el criterio a emplear, proponemos sea el VPN. En empresas sin ánimo de lucro, el criterio apropiado puede ser la TIR, porque permite identificar la factibilidad financiera y la optimización de los recursos, corresponde a los criterios o indicadores de evaluación social, donde el dueño del proyecto, que es la población lo requiera con mayor necesidad y urgencia. Tasa interna de retorno múltiple Hasta ahora, le hemos adjudicado muchas dificultades a la TIR para evaluar proyectos, en empresas donde el objetivo sea maximizar u optimizar los recursos. Adicionalmente surge otro más. El proceso de evaluación financiera se ha realizado a proyectos convencionales, donde después de efectuar desembolsos proceden ingresos, pero definitivamente no todos los proyectos de inversión presentan este esquema y a veces después de los desembolsos iníciales prosiguen ingresos pero pueden ocurrir otros desembolsos futuros y se generan proyectos no convencionales. Para determinar la tasa de retorno, tal como se ha realizado, establecemos la ecuación de valor y en su forma más sencilla haciendo que el valor presente de los ingresos sea igual al valor presente de los egresos y se genera un polinomio de grado N. La ley fundamental del cálculo enunciada por Descartes, demuestra que hay n raíces o soluciones y tantas raíces reales (cortes en la abscisa de las íes de nuestro grafico anterior), cuantos cambios de signo existan en el polinomio.

Comprendámoslo con este flujo de caja:

VPI = VPE 15.000(1+TIR)-2 + 8.000(1+TIR)-3 + 14.500(1+TIR)-6 + 5.000(1+TIR)-7 = 7.000(1+TIR)-1 + 20.000(1+TIR)-4 + 15.000(1+TIR)-5 Al observar el diagrama de flujo de caja y el polinomio, advertimos que existen tres cambios de signo y por lo tanto hay tres raíces reales o tres tasas internas de retorno, ¿Por cuál nos decidimos?, ¿Cuál nos ayuda a tomar la decisión correcta?, etc., etc. Comprobemos en el polinomio con las siguientes tasas y verificaremos que con todas el polinomio se satisface: 5.27%, 45.72%, 62.39%. Algunos autores dan solución al conflicto anotado, conceptuamos que no vale la pena hacer esfuerzos si disponemos del indicador apropiado como es el valor presente neto.

ANÁLISIS INCREMENTAL Como lo describe Fernández (2012): Es una técnica que se utiliza en casi todas las especialidades para tomar decisiones acertadas al momento de escoger una opción que produzca el resultado deseado o buscado. El análisis incremental se basa en la medición de las diferencias entre las opciones a escoger, mostrando que variantes cambiaran en el futuro, al escoger una de las alternativas disponibles. En la publicación Artículos de Negocios, se describe el análisis incremental de la siguiente forma: “Análisis incremental es una técnica utilizada para ayudar a la toma de decisiones mediante la evaluación del impacto de los cambios pequeños o marginales. Sus orígenes están ligados a los principios de análisis marginal derivada por los economistas” Existen dos puntos muy importantes que siempre se deben de tomar en cuenta al momento de realizar cualquier análisis incremental. Primero: solo y nada más, se deben de medir los factores que sean diferentes entre las opciones a escoger. Todos aquellos factores que sean iguales entre las opciones, deben de ser ignorados; los factores cambiantes, en términos de contabilidad se les conocen como costo relevante. Segundo: si existe algún factor de valor que se perdió, se utilizó o gasto en el pasado, este factor no debe de tomarse en consideración al tomar una decisión de análisis incremental. Samaniego (2008) explica: “Un costo hundido es aquel en el que ya se ha incurrido independientemente de si se realiza o no el proyecto, por lo que no es relevante para la toma de decisiones, por lo que se deben suprimir en el análisis y la valuación de un proyecto” El coste de oportunidad Este es un factor, que al considerarse adecuadamente, puede ser de importancia al realizar un análisis incremental, ya que puede cambiar los resultados de una opción; por lo anterior, hay que comprender ampliamente su contexto. El coste de oportunidad se definió por primera vez en la Teoría de la Economía Social del economista y sociólogo Friedrich von Wieser. Sullivan (2004) afirma que: Procedimiento de análisis de la inversión incremental

El procedimiento de análisis incremental para la comparación de alternativas mutuamente excluyentes se sintetiza en tres etapas básicas: 1.- Arregle (clasifique en orden) las alternativas factibles con base en el aumento de la inversión capital. 2.- Establezca una alternativa base. a) Alternativas de costo – La primera alternativa (menor inversión de capital) es la base b) Alternativas de inversión: Si la primera alternativa es aceptable (TIR≥TREMA; VP, VF o VA con la TREMA, ≥ 0), se selecciona como la base. Si la primera alternativa no es aceptable, hay que elegir la alternativa que sigue en el orden de incremento de inversión de capital, y verificar los valores del criterio de rentabilidad (VP, etcétera). Continúe de esta manera hasta obtener una alternativa aceptable. Si no se obtiene ninguna, se elige la alternativa de no hacer nada. 3.- Utilice un método iterativo para evaluar las diferencias (flujos de efectivo incrementales) entre las alternativas hasta que se hayan considerado todas ellas. a) Si el flujo de efectivo incremental entre la alternativa siguiente (inversión de capital más grande) y la alternativa presente seleccionada es aceptable, hay que elegir la siguiente como la mejor alternativa presente. De otra manera, hay que conservar la última alternativa aceptable como la mejor presente. b) Repita y seleccione como la alternativa preferida a la última para la cual fue aceptable el flujo de efectivo incremental.

Wieser explico que: “El coste de oportunidad existe cuando se tiene más de una opción a escoger y no se pueden escoger todas las opciones debido a que los recursos son limitados. La opción a la que se renuncia, dentro de las capacidades adquisitivas, al aceptar la opción elegida, es el coste de oportunidad.” En contabilidad gerencial, las opciones están directamente relacionadas con ingresos, por lo tanto el coste de oportunidad es el ingreso que no se obtuvo al decidirse por cualquiera de las opciones disponibles, tomando en cuenta que las opciones siempre están dentro de las capacidades de quien toma la decisión.

Cómo funciona el análisis incremental El análisis incremental se obtiene comparando todos los costos relevantes de las opciones a escoger, restando los costos relevantes de la opción que se desea analizar, con los costos relevantes de la otra opción disponible. En el ejemplo obtenido de Kimmel, 2010: Observe el siguiente ejemplo en la tabla 1:

En este ejemplo, la opción B tiene $15,000 menos en ingresos que la opción A, la opción B tiene un ahorro incremental de costos de $20,000. Por lo tanto la opción B genera $5,000 más de ingreso neto que la opción A. Para comprender a mayor profundidad cómo funciona el análisis incremental, supongamos que una persona está buscando trabajo y tiene dos opciones, trabajar y vivir en el campo con ingresos de $10,000 al año o trabajar y vivir en la ciudad con ingresos de $15,000 al año, en ambas opciones, todos los gastos son fijos. Esta misma persona, viajo dos meses atrás al campo y a la ciudad, con el objetivo de conocer mejor sus opciones. La persona gasto $300 en su viaje al campo y $500 en su viaje a la ciudad. ¿Qué es lo que esta persona debe hacer si lo que desea es obtener el mayor beneficio económico de su decisión? Observe en la siguiente tabla, el análisis incremental para este caso:

El análisis incremental de este ejemplo, si la persona decide la opción de la ciudad, la suma de todos sus costos, $15,000 es igual a sus ingresos $15,000, dejando $0 como ingreso total o en otros términos, solo trabaja para poder pagar sus gastos. Si la persona decide la opción campo, la suma de todos sus costos, $6,840 es menor a sus ingresos $10,000 y la diferencia es su ingreso total $3,160. Como la persona está buscando el mayor beneficio económico, la decisión que debe de tomar después de haber realizado el análisis incremental es la opción campo, ya que los ingresos son mayores que la opción ciudad y su costo de oportunidad es mínimo o $0. Si la persona toma la opción ciudad, los ingresos que no obtuvo de la opción ciudad, $3,160, sería su costo de oportunidad. Nótese que los gastos realizados para conocer sus opciones, $300 en el campo y $500 en la ciudad, no se incluyeron en el análisis incremental. Estos gastos ocurrieron en el pasado, e independiente de la decisión que se tome, este dinero no se puede recuperar ni afecta el resultado de las opciones. Estos gastos son un ejemplo de costo hundido. Hacer o comprar Existen ocasiones en la cuales las opciones a escoger incluyen la decisión de hacer o comprar un producto, bien o servicio. Si se decide por la opción hacer, implica que se decidió crear o elaborar el producto, bien o servicio. Si se decide por la opción comprar, implica que se vaa obtener el producto, bien o servicio de una entidad o persona independiente. Decisiones clásicas de comprar o hacer son desarrollar las materias primas, la cadena de distribución o centros deservicio. Para tomar una decisión de hacer o comprar, hay que analizar varios factores cualitativos y cuantitativos. El análisis incremental ayuda a analizar los factores cuantitativos, pero no los cualitativos. La siguiente tabla, muestra algunos de los factores cualitativos que pueden estar presentes al momento de tomar una decisión de hacer o comprar:

Para las decisiones cuantitativas, se sigue el proceso de comparación de costos relevantes. Se obtienen todos los gastos o costos en los que se incurre si se decide por la opción de hacer el producto, bien o servicio y también todos costos que se incurren si se decide por la opción de comprar el producto, bien o servicio. Es importante solo incluir los costos relevantes e ignorar los costos irrelevantes y costos hundidos. Obtenidos todos los costos relevantes de ambas opciones, se realiza la comparación de estos mediante el análisis incremental. Como ejemplo supongamos que un negocio de tripletas elabora (opción hacer) su propio pan. Este negocio tiene una necesidad fija de producir 2500 panes al mes, tiene los siguientes costos:

•Material directo: $1,000 •Mano de obra directa: $1,500 •Costo de producción variable: $1,150 •Costo de producción fijo: $ 1,350 •Costos totales de manufacturación: $5,000 •Costo total por unidad (5000/2500): $2.00

Las tripletas se venden a $5 y utilizan un solo pan cada tripleta, el costo de los otros ingredientes de la tripleta es de $1 por tripleta. Una panadería le ofrece el pan a $1.50 por unidad. ¿Qué decisión se debe de tomar, si el objetivo es obtener mayores ganancias? Obsérvese la siguiente tabla con el análisis incremental de este ejemplo:

En este análisis incremental se observa que la opción hacer tiene un costo total mensual de$5,000 mientras que la opción comprar tiene un costo total mensual de $5,050. Como el objetivo del negocio de tripletas es obtener mayores ganancias, en este caso se debe de tomar la decisión por la opción hacer ya que minimiza los costos, lo que equivale a mayor ganancia. Tómese en cuenta que aunque se mencionan los ingresos de $5 por la venta de cada tripleta, que equivalen a $12,500 mensuales ($5 x 2,500 tripletas), y el costo de otros ingredientes es de $1 por tripleta o $2,500 mensuales ($1 x 2,500 tripletas), estos datos no son incluidos en el análisis incremental, ya que ninguno de estos cambia al decidirse por cualquiera de las opciones y caen en la categoría de costo irrelevante.

Tema 2.4 Análisis Beneficio/costo

Objetivo El objetivo del desarrollo de este tema se basa en enseñar a comparar dos alternativas sobre la base relación beneficio/costo (B/C) utilizando en conjunto el análisis del valor presente, valor futuro o costo anual, además, determinar si debe emprenderse un proyecto mediante la comparación de sus beneficios y costos. Aprenderemos a seleccionar la mejor de dos alternativas sobre la base de un análisis beneficio/costo y de esta forma también a seleccionar una alternativa entre varias que sean mutuamente excluyentes, a través del método de relación incremental B/C.

CLASIFICACIÓN DE BENEFICIOS, COSTO Y BENEFICIO NEGATIVO PARA UN PROYECTO ÚNICO. De acuerdo a Blank y Tarquin (1992): Clasificación de beneficios, costos y desbeneficios Como su nombre lo sugiere, el método B/C se basa en la relación de los beneficios a los costos asociados con un proyecto particular. Un proyecto se considera atractivo cuando los beneficios derivados de su implementación exceden a los costos asociados. Por lo tanto el primer paso en análisis B/C qué elementos constituyen beneficios y cuáles costos. En general, los beneficios son ventajas en términos de dinero, que recibe el propietario. Por otro lado, cuando el proyecto bajo consideración comprende desventajas para el propietario, éstas se conocen como desbeneficios (D). Finalmente los costos son gastos anticipados para construcción, operación, mantenimiento, etc, menos cualquier valor de salvamento. Calculo de los beneficios, desbeneficios y costos de un solo proyecto Antes

de

calcular

una

relación

B/C,

todos

los

beneficios,

desbeneficios y costos que se utilizarán en el cálculo deben convertirse a unidad monetaria común como en los cálculos de valor presente, valor futuro, o unidades monetarias por año, como en las comparaciones de costo anual. Hay varias formas de relaciones B/C. La relación convencional B/C, es probablemente la más utilizada y se calcula como sigue: ⁄

Una relación B/C mayor o igual a 1,0 indica que el proyecto evaluado es económicamente ventajoso. En los análisis de B/C, los costos no van precedidos por el signo menos.

La relación modificada B/C, es un soporte valiosísimo, incluye los costos de operación y mantenimiento (O & M) en el numerador y se trata de manera similar a un desbeneficio. El denominador, entonces contiene solamente el costo de inversión inicial. Una vez que las cantidades sean expresadas en términos de valor presente, valor anual o valor futuro, la relación modificada de B/C se calcula como ⁄ Una evaluación de beneficio/costo que no involucra una relación esta basada en la diferencia entre beneficio y costo, esto es B-C. en este caso si B-C es mayor o igual cero, el proyecto es aceptable.

Antes de calcular la relación B/C, verifiquese que en la propuesta con el CAUE más alto es la que produce mayores beneficios después de que costos u beneficios se han expresado en unidades comunes.

Ejemplo La fundación Compartir, una organización educacional sin ánimo de lucro, está contemplando hacer una donación de $1,5 millones de inversión para desarrollar la enseñanza de ciertas profesiones. La donación puede extenderse a un periodo de 10 años, creando unos ahorros estimativos de

$500.000anuales en salarios de profesores, tutoría de estudiantes y otros gastos. La fundación utiliza una tasa de retorno de 6% anual en todas sus donaciones. Un estimativo de $200.000 anuales podrían liberarse para otros programas de soporte de la investigación educacional. Para hacer este programa exitoso, en $50.000 de gastos anuales de operación se incurrirán por parte de la fundación en el control del presupuesto de O&M. utilice los siguientes métodos de análisis para determinar si el programa se justifica para un periodo de 10 años: (a) B/C convencional. (b) B/C modificado y (c) análisis B-C.

Solución. Las definiciones utilizadas en costo equivalente anual se basan: Beneficio: $500.000 anuales Costo de inversión: 1.500.000(A/P,6%,10)= $203.805 anuales Costo de O & M: $50.000 anuales Desbeneficios: $200.000 anuales. (a) Utilizando la ecuación para el análisis convencional B/C ⁄ El proyecto se justifica, ya que B/C > 1,0

(b) Por la ecuación B/C modificado separa los costos de inversión de los O&M. ⁄ El proyecto es, también justificado por el método modificado.

(c) B es el beneficio neto y los costos anuales de O&M se restan como parte de C (

)

(

)

En vista de que B-C > 0 la inversión se justifica nuevamente.

SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Según Thuesen, Fabrycky (1986): Alternativas de decision mutuamente excluyentes debido a que la aceptacion de una de las alternativas eliminara inmediatamente la aceptacion de una cuialquiera de las otras, las alternativas se consideran mutuamente ecluyentes. Comparacion entre alternativas mutuamente excluyentes. Es la diferencia futura entre las mismas el aspecto relevante para determinar la deseabilidad económica al comparar la una con la otra. La razon por la cual la diferencia entre alternativas es algo tan fundamental en la comparación de las mismas, se demuestra al comparar las Alternativas A1 y A2 de la Tabla 7.4.

Tabla 7.4. DIFERENCIAS ENTRE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Tomado de Thuesen H. G., Fabrycky W. J.,Thuesen G. J. 1986. Ingenieria economica primera edicion. Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana. (pp. 168)

Para comparar las dos alternativas descritas en la Tabla 7.4 es suficiente examinar el flujo de caja que representa la diferencia entre A1 y A2 porque la ventaja o la desventaja de A2 con respecto a A1 esta descrita totalmente por el flujo de caja de A2 menos el de A1. El flujo de caja que representa la Alternativa A2 puede verse como la suma de dos flujos de caja separados y diferentes como se muestra en la Figura 7.1

Figura 7.1. diferencia entre los flujos de caja de dos alternativas. Tomado de Thuesen H. G., Fabrycky W. J.,Thuesen G. J. 1986. Ingenieria economica primera edicion. Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana. (pp. 169).

Uno de estos flujos de caja es identicos de la Alternativa A1 y el otro representa la diferencia entre las Alternativas A1 y A2. Para decidir cual de las dos alternativas es economicamente mejor, es suficiente emplear la siguiente regla simple de decisión: Si el flujo de caja (A2 - A1) es económicamente deseable, la alternativa A2 es preferible a la A1. Si el flujo de caja A2 - A1 es económicamemte indeseable, la alternativa A1 es preferible a la A2. Si el flujo de caja que representa las diferencias entre las alternativas es económicamente deseable, entonces la Alternativa A2 que consiste en un flujo de caja que es la suma de uno como el de la Alternativa A1 y de un flujo de caja deseable, es claramente superior desde el punto de vista económico que la alternativa A1. Por otro lado, si la diferencia entre las alternativas se considera indeseable, la Alternativa A2 es inferior a la A1. el lector debe comprobar qué tan razonable es este argumento ya que es fundamental en la mayoria de los procesos decisorios. Para el ejemplo que se cito en la Tabla 7.4, la decision de llevar a cabo la alternativa A2 en vez de la A1 requiere una inversión adicional o incremental de $500 ahora y de $100 dentro de un año. Los ingresos extra que se esperan de la inversión adicional son de $500 al final de los años 2 y 3. ¿Justifican los ingresos adicionales la inversión extra? Es esta la pregunta que debe reponderse para determinar cual de las dos alternativas es mas deseable desde el punto de vista económico.

SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES UTILIZANDO EL COSTO INCREMENTAL. Según Blank y Taquin (1992): Selección de alternativas mutuamente excluyentes utilizando el análisis de la relación beneficio /costo incremental. A fin de utilizar la relación B/C como una técnica de evaluación para alternativas mutuamente excluyentes, debe calcularse una relación B/C incremental de una manera análoga a la utilizada para las tasas incrementales de retorno. Se selecciona el proyecto que tenga la relación B/C incremental ≥1,0 y requiera la mayor inversión justificada. El procedimiento por seguir es similar al que se utilizó en el análisis de la tasa de retorno, sin embargo, en un análisis B/C generalmente es conveniente calcular una relación B/C total de cada alternativa puesto que el valor presente total o el CAUE total debe calcularse en la preparación del análisis incremental. Aquellas alternativas que tengan una relación B/C total ˂1,0, podrán eliminarse inmediatamente y no será necesario considerarlas en el análisis incremental. El ejemplo 9.4 presenta una aplicación completa de la relación B/C incremental, a alternativas mutuamente excluyentes.

EJEMPLO Se aplica el análisis de la relación, incremental B/C para seleccionar la más ventajosa (TMAR =10% anual).

Solución. Primero se ordenan las alternativas en orden creciente, de menor a mayor costo inicial de inversión. El siguiente paso es calcular la relación B/C total y eliminar así aquellas que tengan B/C ˂1,0. Como se muestra en l tabla 9.3, la localización C puede eliminarse sobre la base de

su relación B/C total (0.97). Todas las otras alternativas son aceptables y deben, por lo tanto, compararse sobre una base incremental. Los beneficios y costos incrementables pueden determinarse como sigue:

Beneficios

incrementales:

aumento

del

valor

presente

entre

alternativas. Costos incrementales: aumento de costos de construcción entre alternativas.

Un resumen del análisis incremental B/C se presenta en la Tabla 9.3. Utilizando la alternativa aceptable que tenga el menor costo de inversión como defensor (A) y la siguiente alternativa aceptable de menor costo (B) como retador, la relación incremental B/C es 1,64, lo que indica que la localización B debe preferirse sobre A (por lo tanto eliminamos A

de

consideraciones posteriores). Utilizando B como defensor y D como retador, el análisis incremental nos conduce a B/C = 0,88, lo que favorece la localización B.

Como ésta tiene una relación incremental mayor que 1,0 y además es la mayor inversión justificable, en consecuencia se selecciona.

Comentario. Obsérvese que la selección de la alternativa no se hizo sobre la base de una relación B/C global, aunque en este caso la localización B seleccionada, resultó confidencialmente ser la mayor B/C total. La inversión incremental debe justificarse antes de seleccionar la mejor alternativa.

Tema 2.5: Análisis de sensibilidad OBJETIVO:

El análisis de sensibilidad es un examen del intervalo de valores de algún parámetro de un proyecto, con la finalidad de determinar su efecto sobre la decisión. La sensibilidad de las alternativas de inversión debe hacerse con respecto a los parámetros más inciertos. La sensibilidad de una o varias alternativas que tan sensible es la TIR o VPN del (los) proyecto(s) a cambios en las estimaciones de precio de venta, costos, cambios en la vida útil, cambios en el nivel de la demanda; etc. El análisis de sensibilidad es un examen del intervalo de valores de algún parámetro de un proyecto, con la finalidad de determinar su efecto sobre la decisión.

Una forma sofisticada de efectuar este análisis es por medio de la simulación (análisis repetitivo de los parámetros de un modelo matemático que describa al sistema (proyecto) y que se auxilia de la computación para usar distribuciones de probabilidad y cálculos estadísticos para determinar la sensibilidad de dichos parámetros).

Leland T. Blank y Anthony J. Tarquin (1999) afirman qué: El análisis económico utiliza estimaciones de sucesos futuros para ayudar a quienes toman decisiones. Dado que las estimaciones futuras siempre tienen alguna medida de error, hay imprecisión en las proyecciones económicas. El efecto de la variación puede determinarse mediante el análisis de sensibilidad. Algunos de los parámetros o factores comunes para hallar la sensibilidad son la TMAR, las tasas de interés, las estimaciones de vida, los periodos de recuperación para fines tributarios, todo tipo de costos, ventas y muchos otros factores. Generalmente, se varía un factor a la vez y se supone que hay independencia con otros factores. Este supuesto no es correcto por completo en situaciones del mundo real, pero es práctico puesto que en general no es posible para considerar en forma precisa las dependencias reales. El análisis de sensibilidad, en sí mismo es un estudio realizado en general en unión con el estudio de ingeniería económica; determina la forma como una medida de valor -VP, VA, TR o BK- y la alternativa seleccionada se verán alteradas si un factor particular o parámetro varía dentro de un rango establecido de valores. En este capítulo se utiliza el término parámetro, no factor. Por ejemplo, la variación en un parámetro como la TMAR no alteraría la decisión de seleccionar una alternativa cuando todas las alternativas comparadas retornan más de la TMAR; así, la decisión es relativamente insensible a dicho parámetro. Sin embargo, la variación en el valor de 1 puede indicar que la selección de alternativas es muy sensible a la estimación de la vida del activo. Generalmente, las variaciones en la vida, en los costos anuales y recaudos resultan de variaciones en el precio de venta, de operación a diferentes niveles de capacidad, de la inflación, etc. Por ejemplo, si un nivel de operación del 90% de la capacidad de sillas de una aerolínea se compara con el 50% en una ruta internacional nueva, el costo de operación y el recaudo por milla de pasajero aumentará, pero es probable que la vida anticipada disminuya solo ligeramente.

De ordinario, para aprender cómo afecta el análisis económico la incertidumbre de las estimaciones, se estudian diversos parámetros importantes. La graficación del VP, VA o TR versus el (los) parámetro(s) estudiado(s) es muy útil. Dos alternativas pueden compararse con respecto a un parámetro dado y calcularse el punto de equilibrio. Éste es un valor al cual las dos alternativas son equivalentes en términos económicos. Sin embargo, el diagrama del punto de equilibrio comúnmente representa sólo un parámetro por diagrama. Por tanto, se construyen diversos diagramas y se supone la independencia de cada parámetro. (En la sección siguiente se abordará cómo representar gráficamente diversos parámetros en una tabla de sensibilidad). En usos anteriores del análisis del punto de equilibrio, se calculó la medida de valor para dos valores de un parámetro solamente y se conectaron los puntos con una línea recta. No obstante, si los resultados son sensibles al valor de un parámetro, deben utilizarse diversos puntos intermedios para evaluar mejor la sensibilidad, en especial si las relaciones no son lineales. Cuando se estudian diversos parámetros, un estudio de sensibilidad puede resultar bastante complejo. Éste puede realizarse utilizando un parámetro a la vez mediante un sistema de hoja de cálculo, un programa de computador preparado especialmente, o cálculos manuales. El computador facilita la comparación de múltiples parámetros y múltiples medidas de valor y el software puede representar gráficamente de manera rápida los resultados.

LA SENSIBILIDAD EN LAS ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN.

El cálculo de valor esperado E(X) se utiliza en una diversidad de formas. Dos formas son: (1) preparar información que será incorporada en un análisis más completo de ingeniería económica y (2) evaluar la viabilidad esperada de una alternativa formulada completamente. El ejemplo 19.4 ilustra la primera situación y el ejemplo 19.5 determina el VP cuando se estiman la secuencia del flujo de efectivo y las probabilidades para un activo.

Ejemplo 1

Una empresa de energía eléctrica está experimentando dificultades en la obtención de gas natural para la generación de electricidad. Los combustibles diferentes del gas natural se compran con un costo extra, el cual se transfiere a la base de usuarios. Los gastos de combustibles totales mensuales están promediando ahora $7,750,000. Un ingeniero de esta empresa de servicio para la ciudad ha calculado el ingreso promedio de los últimos 24 meses utilizando tres situaciones de mezcla de combustible, a saber, totalmente cargado de gas, menos del 30% de otros combustibles comprados y el 30% o más de otros combustibles. La tabla 19.3 indica el número de meses que se presenta cada situación de mezcla de combustible. ¿Puede esperar la empresa de energía cubrir los gastos mensuales futuros con base en información de 24 meses, si continúa un patrón similar de mezcla de combustible?

Tabla 19.3 Información de ingresos y de mezcla de combustible. Situación de mezcla de combustible Cargado de gas

Meses en los pasados 24 12

Ingresos promedio $ por mes 5,270,000

30% otros

6

7,850,000

otros

6

12,130,000

Solución Usado los 24 meses de información, se estima una probabilidad para cada mezcla de combustible

Situación de mezcla de combustible Probabilidad de ocurrencia Carga de gas 1214 = 0.50 30% otros 6/24 = 0.25 30% otros 6124 = 0.25

La variable X representa el ingreso mensual promedio. Utilice la ecuación [19.1] para determinar el ingreso esperado mensual. (

)

(

)

(

)

(

)

Con gastos que promedian $7,750,000 el faltante de ingresos mensual promedio es de $7,750,000 -7,630,000 = $120,000. Para lograr equilibrio deben generarse otras fuentes de ingresos, o, solamente de ser necesario, pueden transferirse los costos adicionales a la base de usuarios en forma de un incremento en las tarifas. Ejemplo 2 La firma Tule Company tiene una inversión sustancial en equipo de paginación automática. Una nueva pieza del equipo cuesta $5oo y tiene una vida de 3 arios. Los flujos de efectivo anuales estimados aparecen en la tabla 19.4 dependiendo de las condiciones económicas clasificadas corno de recesión, estables o en expansión. Se estima la probabilidad de que cada una de las condiciones económicas prevalecerá durante el periodo de 3 años. Aplique el análisis de valor esperado y de VP para determinar si el equipo debe comportarse. Utilice una TMAR = 15%. Tabla 19.4 Flujo de efectivo y probabilidades, ejemplo 19.5

Año 0 1 2 3

Condición económica Recesión (Prob = 0.2) Estable (Prob = 0.6) En expansión (Prob = 0.2) Estimaciones del flujo de efectivo anual, $ $-5000 $-5000 $-5000 +2500 +2000 +2000 +2000 +2000 +3000 +1000 +2000 43500

Solución Determine primero el VP de los flujos de efectivo en la tabla 19.4 para cada condición económica y luego calcule E(VP) mediante la ecuación [19.1]. Defina los

subíndices R para la economía en recesión, S para la estable y E para la economía en expansión. Los valores VP ara las tres escenarios son: VPR = 5000 + 2500(P/F,15%,1)+ 2000(P/F,15%,2) + 1000(P/F,15%,3) = -5000 + 4344 = $-656 VPs = -5000 + 4566 = $-434 VPE = -5000 + 6309 = $+1309 Solamente en una economía de expansión los flujos de efectivo retornaran el 15% y justificaran la inversión. El valor presente esperado es: (

)

∑

()

(

)

(

)

(

)

Al 15% ( ) , de modo que el equipo de paginación no se justifica utilizando el análisis del valor esperado. Es correcto calcular el E (flujo de efectivo, FE) para cada año y luego determinar el VP de la serie E (flujo de efectivo) por que el cálculo del VP es na función lineal de los flujos de efectivo. El cálculo de E (flujo de efectivo) primero puede ser más fácil en el sentido de que de reduce el número de cálculos de VP. En este ejemplo, calcule E (FE) para cada año t = 0, 1, 2, 3 según la tabla 19.4. Luego, determine el valor presente, el cual es E(VP).

E(FE0) = $-5000 E(FE1) = 2500(0.2) + 2000(0.2) = $2100 E(FE2) = $2200 E(FE3) = $2100 E(VP) = -5000 + 2100(P/F,15%,1) + 2200(P/F,15%,2) + 2100(P/F,15%,3) = $-130

VALOR ESPERADO Y ÁRBOL DE DECISIÓN De acuerdo con Blank y Tarquin (2006): Los ingenieros y analistas económicos a menudo se enfrentan a estimaciones sobre un futuro incierto otorgando cierta confiabilidad apropiada a la información pasada, si existe. Lo anterior significa que utilizan la probabilidad y la muestra. De hecho el uso de análisis probabilístico no es tan común como debería. La razón para ello no radica en que los cálculos sean difíciles de realizar o entender, sino en que las probabilidades realistas asociadas con las estimaciones de flujo de efectivo son difíciles de efectuar. Para evaluar la deseabilidad de una alternativa, con frecuencia la experiencia y el juicio se emplean conjuntamente con las probabilidades y los valores esperados. El valor esperado puede interpretarse como un promedio de largo plazo observable, si el proyecto se repite muchas veces. Puesto que una alternativa especifica se evalúa o se aplica solo una vez, resulta una estimación puntual del valor esperado. Sin embargo, aun para una sola ocurrencia, el valor esperado es un número significativo. El valor esperado E(X) se calcula mediante la relación: ( )

∑

( )

Donde: = valor de la variable X para i desde 1 hasta m valores distintos. ( ) = probabilidad de que ocurra un valor especifico de X.

Las probabilidades siempre se expresan correctamente en forma decimal, aunque de ordinario se habla de ellas en porcentajes y con frecuencia se hace referencia a ellas como posibilidades. En todas las ecuaciones de probabilidad los valores P(Xi) para una variable X deben totalizar 1.0.

∑ ( ) (2.5.2.2) Para simplificar, por lo común se omitirá el subíndice i que acompaña a la X. Si X representa los flujos de efectivo estimados, algunos serán positivos y otros negativos. Si una serie del flujo de efectivo incluye ingresos y costos, y se calcula el valor presente a la TMAR, el resultado es el valor esperado de los flujos de efectivo descontados, E(VP). Si el valor esperado es negativo, se espera que el resultado global sea una salida de efectivo.

CÁLCULOS DE VALOR ESPERADO PARA ALTERNATIVAS El cálculo del valor esperado E(X) se utiliza en una diversidad de formas. Dos formas son: 1. Preparar información para incorporarla en un análisis más completo de ingeniería económica. 2. Evaluar la viabilidad esperada de una alternativa formulada completamente.

A continuación analizaremos un ejemplo de cada una de las formas: EJEMPLO 1 Una empresa de energía eléctrica está experimentando dificultades en la obtención de gas natural para la generación de electricidad. Los combustibles diferentes del gas natural se compran con un costo extra, el cual se transfiere al consumidor. Los fastos de combustibles totales mensuales están promediando ahora $7 750 000. Un ingeniero de esta empresa de servicio calculo el ingreso promedio de los últimos 24 meses utilizando tres situaciones de mezcla de combustible, a saber, totalmente cargado de gas, menos de 30% de otros combustibles y el 30% o más de otros combustibles. La tabla siguiente indica el número de meses que se presentó cada situación de mezcla de combustible, ¿La empresa de energía puede esperar cubrir los gastos mensuales futuros con base en información de 24 meses, si continua un patrón similar de mezcla de combustible?

SITUACION DE MEZCLA DE COMBUSTIBLE Puro gas < 30% otros ≥30% otros

ULTIMOS 24 MESES

INGRESO PROMEDIO. $ POR MES

12 6 6

5 270 000 7 850 000 12 130 000

Utilizando los 24 meses de información, se estima una probabilidad para cada mezcla de combustible. SITUACION DE MEZCLA DE COMBUSTIBLE Puro gas < 30% otros ≥30% otros

PROBABILIDAD DE OCURRENCIA 12/24 = 0.50 6/24 = 0.25 6/24 = 0.25

La variable X representa el ingreso mensual promedio. Utilice la ecuación (2.5.2.1) para determinar el ingreso mensual esperado: E(ingreso) = 5 270 000 (0.50) + 7 850 000 (0.25) + 12 130 000 (0.25) = 7 630 000 Con gastos que promedian $7 750 000, el faltante de ingreso mensual promedio es $120 000. Para lograr equilibrio deben generarse otras fuentes de ingreso, o transferir al consumidor los costos adicionales.

EJEMPLO 2 Lite-Weight Wheelchair Company tiene una inversión sustancial en equipo de doblado de acero tubular. Una nueva pieza del equipo cuesta $5000 y tiene una vida de 3 años. Los flujos de efectivo estimado dependen de las condiciones económicas clasificadas como recesión, estables o en expansión. Se estima la probabilidad de que cada una de las condiciones económicas prevalecerá durante el periodo de 3 años. Aplique el análisis de valor esperado y de VP para determinar si debe compararse el equipo. Utilice una TMAR = 15% anual. AÑO

CONDICION ECONOMICA RECESION ESTABLE (Prob. = 0.2) (Prob. = 0.6)

EN EXPANSION (Prob. = 0.2)

0 1 2 3

estimaciones de flujo de efectivo anual, $ $-5000 $-5000 +2500 +2000 +2000 +2000 +1000 +2000

$-5000 +2000 +3000 +3500

Solución Determine primero el VP de los flujos de efectivo en la tabla anterior para cada condición económica y después calcule E(VP) mediante la ecuación (2.5.2.1) defina los subíndices R para la economía en recesión, S para la estable y E para la economía en expansión. Los valores de VP para los tres escenarios son: = -5 000 + 2 500 (P/F, 15%, 1) + 2 000 (P/F, 15%,2) + 1 000 (P/F, 15%,3) = -5 000 + 4 344 = $-656 = -5 000 + 4 566 = $-434 = -5 000 + 6 309 = $+1309 Solamente en una economía en expansión los flujos de efectivo rendirán el 15% y justificaran la inversión. El valor presente esperado es: (

)

∑

( )

= -656(0.2) – 434(0.6) + 1309(0.2) = $-130 Al 15%, E(VP) < 0; de manera que el equipo no se justifica utilizando el análisis de valor

ARBOL DE DECISIÓN. esperado. La evaluación de alternativas puede requerir una serie de decisiones en las cuales el resultado de una etapa es importante para la siguiente etapa en la toma de decisiones. Cuando es posible definir claramente cada alternativa económica y se desea considerar explícitamente el riesgo, es útil realizar la evaluación utilizando un árbol de decisiones, el cual incluye:

     

Más de una etapa de selección de alternativas. La selección de una alternativa en una etapa conduce a otra etapa. Resultados esperados de una decisión en cada etapa. Estimaciones de probabilidad para cada resultado. Estimaciones del valor económico (costo o ingreso) para cada resultado. Medida del valor como criterio de selección, tal como E(VP)

El árbol de decisiones se construye de izquierda a derecha e incluye cada decisión y resultado posible. Un cuadrado representa un nodo de decisiones y las alternativas posibles se indican en las rumas que salen del nodo de decisión (figura 19.6a). Un círculo representa un nodo de probabilidad con resultados posibles y probabilidades estimadas en las ramas (figura19.6b). Dado que los resultados siempre siguen a las decisiones, se obtiene la estructura en forma de árbol de la figura 19.6c a medida que se define la situación completa. Generalmente, cada rama de un árbol de decisión tiene algún valor económico asociado en términos de costos o de ingresos o beneficios (al cual se hace referencia frecuentemente como reintegro). Estos flujos de efectivo están expresados en términos de valores VP, VA o VF y se muestran a la derecha de cada rama de resultados finales. Los valores del flujo de efectivo y de probabilidad en cada rama de resultados se utilizan para calcular el valor económico esperado de cada rama de decisión. Este proceso, llamado solución del árbol o desdoblamiento, se explica después del ejemplo 19.6, el cual ilustra la construcción de un árbol de decisiones.

Figura 1. Nodos de decisiones y de probabilidad utilizados para construir un árbol de decisiones.

Tema 3.1: Modelo de depreciación Objetivo Usar los metodos clasicos y aprobados por el gobierno para reducir el valor de la inversion de capital en su activo o recurso natural.

TERMINOLOGÍA DE DEPRECIACIÓN Según Blank & Tarquin (2006): A continuación se define algunos términos comúnmente utilizados en depreciación. La mayoría es aplicada tanto a corporaciones como a individuos que poseen activos depreciables. Depreciación es la reducción en el valor de un activo. El método empleado para depreciar un activo es una forma d tomar en consideración el valor decreciente del

activo para el propietario y para representar el valor (monto) de disminución de los fondos de capital invertidos en él. El monto de la depreciación anual D, no representa un flujo de efectivo real, ni refleja necesariamente el patrón del uso real del activo durante su posesión. Depreciación en libros y depreciación para efecto de impuestos son términos empleados para describir el propósito de reducir el valor del activo. La depreciación se toma en cuenta por dos razones: 1. Para la contabilidad financiera interna de una empresa o negocio. Esta es la depreciación en libros. 2. Para cálculos impositivos por disposiciones gubernamentales. Esta es la depreciación para efectos de impuestos. Costo inicial o base no ajustada es el costo del activo entregado e instalado que incluye precio de compra, comisiones de entrega e instalación, y otros costos directos depreciables en los que se incurre con la finalidad de preparar el activo para su uso. El término base no ajustada B, o simplemente base, se utiliza cuando el activo es nuevo; se emplea el termino base ajustada cuando se ha cargado alguna depreciación. El valor en libros representa la inversión restante y no depreciada en los libros, después de que el monto total de cargos de depreciación a la fecha se restó de la base. En general, el valor en libros, VL, se determina al final de cada año, lo cual es consistente con la habitual convención de final de año. El periodo de recuperación es la vida depreciable, n, del activo en años. Con frecuencia, existen diferentes valores n para las depreciaciones en libros y para efecto de impuestos. Estos valores pueden ser diferentes de la vida productiva estimada del activo. El valor de mercado, un término también empleado en el análisis de reemplazo, es la cantidad estimada que ingresaría activo se vendiera en el mercado abierto. Debido a la estructura de las leyes de depreciación, el valor en libros y el valor de mercados llegan a ser sustancialmente diferentes. Por ejemplo, el valor de mercado de un edificio comercial tiende a aumentar, pero el valor en libros se reducirá a medida que se consideren los cargos de depreciación. El valor de salvamento es el valor estimado de intercambio o de mercado al final de la vida útil del activo. El valor de salvamento, S, expresado como una cantidad estimada en dólares o como un porcentaje del costo inicial, puede ser positivo, cero o negativo debido a los costos de desmantelamiento y de remoción. La tasa de depreciación o tasa de recuperación es la fracción de costo inicial que se elimina cada año por depreciación. Dicha tasa, denotada por d, puede ser

la misma cada año, denominándose entonces tasa en línea recta, o diferente para cada año del periodo de recuperación. La propiedad personal, uno de los dos tipos de propiedad para los que se permite la depreciación, esa constituida por las posesiones tangibles de una corporación, productoras de ingresos, utilizadas para efectuar negocios. Se incluye la mayor parte de la propiedad industrial y de servicios: vehículos, equipo de manufactura, dispositivos para el manejo de materiales, computadoras y equipos de red, teléfonos, mobiliarios de oficina, equipo para procesos de refinación, activos de la construcción y muchos más. La propiedad inmobiliaria incluye el predio y todas sus mejoras: edificios de oficina, estructuras de manufactura, instalaciones de prueba, bodegas, apartamentos y otras estructuras. El terreno en si se considera propiedad inmobiliaria, pero no es depreciable. La convención de medio año supone que se empieza a utilizar los activos o se dispone de ellos a mitad de año, sin importar cuando ocurren realmente tales eventos durante el año. En este texto y en la mayoría de los métodos de depreciación para efecto de impuestos aprobados en estados unidos se considera dicha convención. Existen también convenciones de mitad de mes y de mitad de trimestre. La depreciación para efectos de impuestos debe calcularse usando el SMARC; la depreciación en libros puede calcularse utilizando algún método clásico o el SMARC. El SMARC incluye, de forma ligeramente diferente, los métodos SD y LR, aunque estos dos métodos no pueden utilizarse de manera directa si la depreciación anual será deducible de impuestos. Muchas compañías estadounidenses todavía aplican los métodos clásicos para llevar sus propios libros, debido a que estos métodos son más representativos de como los patrones de uso del activo reflejan la inversión de capital restante. Además, la mayor parte de los países aun reconocen los métodos clásicos en línea recta y de saldo decreciente para fines fiscales o de libros. A causa de la importancia vigente de los métodos de LR y SD, estos se explican en las siguientes dos secciones, antes del SMARC.

DEPRECIACIÓN EN LÍNEA RECTA (LR) Según Blank & Tarquin (2006):

La depreciación en línea recta deriva su nombre del hecho de que el valor en libros disminuye linealmente con el tiempo. La tasa de depreciación d=1/n es la misma cada año del periodo de recuperación n. La línea recta se considera el estándar contra el cual se comparan los otros modelos de depreciación. Para propósitos de depreciación en libros, ofrece una excelente representación del valor en libros para cualquier activo que se utilice de manera regular a lo largo de un número estimado de años. Como se dijo antes, en estados unidos no se usa directamente para la depreciación impositiva, pero es común que se utilice para fines fiscales en la mayor parte de los países. Sin embargo, el método estadounidense de SMARC. La depreciación LR anual se determina al multiplicar el costo inicial menos el valor de salvamento, por d. en forma de ecuación: Dt = (B – S)d

Donde t = año (t =1,2,……, n) D1 = cargo anual de depreciación B = costo inicial o base no ajustada S = valor de salvamento estimado d = tasa de depreciación = 1/n n = periodo de recuperación Puesto que el activo se deprecia por la misma cuantía cada año, el valor en libros después de t años de servicio, VL, será igual al costo inicial B menos la depreciación anual, por t. VLt = B - tDt Anteriormente se definió d, como la tasa de depreciación para un año especifico t. No obstante, el modelo LR tiene la misma tasa para todos los años, es decir,

Ejemplo 16.1 Si un activo tiene un costo inicial de $50000 con un valor estimado de salvamento de $10000 después de 5 años, a) calcule la depreciación anual, y b) determine y represente gráficamente el valor en libros del activo después de cada año, utilizando el modelo de depreciación en línea recta. Solución a) La depreciación de cada año para 5 años se encuentra mediante la ecuación (16.1). Dt = B-S/n = 50000-10000/5 = $8000 Ingrese la función SLN (50000, 10000, 5) en cualquier celda para desplegar la D, de $8000. b) El Valor en libros después de cada año t se calcula mediante la ecuación (16.2). Los valores VL se representan gráficamente en la se figura 16.2. Para los años uno y cinco, por ejemplo: VL1 = 50000 – 1(8000) = $42000 VL5 = 50000 -5(8000) =$10000 = S

DEPRECIACIÓN POR EL MÉTODO DE LA SUMA DE LOS DÍGITOS DE LOS AÑOS El método SDA constituye una técnica clásica de depreciación acelerada que elimina gran parte de la base durante el primer tercio del periodo de recuperación; sin embargo, la cancelación no es tan rápida como con SDD O SMARC. Dicha técnica puede utilizarse en los análisis de ingeniería económica, especialmente en las cuentas de depreciación de activo múltiples (depreciación de grupo y compuesta). Las necesidades del método implican la suma de los dígitos del año 1 hasta el periodo de recuperación n. El cargo de depreciación para cualquier año dado se obtiene multiplicando la base del activo, menos cualquier valor de salvamento, por la razón del número de año restante en el periodo de recuperación sobre la suma de los dígitos anuales, SUM. La mecánica del método comprende inicialmente encontrar S, la suma de los dígitos del total de años de 1 hasta el periodo de recuperación n. El cargo de depreciación para cualquier año dado se obtiene multiplicando la base del activo menos cualquier valor de salvamento (B - VS) por la razón del número de años restantes en el periodo de recuperación sobre la suma de los dígitos de total de años, S. Dt = (años depreciables restantes / suma de los dígitos del total de años) (base valor de salvamento) = (n - t + 1)/S (B - VS) Donde S es la suma de los dígitos del total de años 1 hasta n. S = "j = (n(n + 1))/2 El valor en libros para un año t se calcula como: VLt = B - (t(n - t/2 + 0.5)/S) (B - VS) La tasa de depreciación dt, que disminuye cada año para el método SDA, sigue el multiplicador en la ecuación: dt = n - t + 1 / S

DEPRECIACION DE SALDO DECRECIENTE (SD) Y DE SALDO DOBLE DECRECIENTE Según Blank & Tarquin (2006): El método de saldo decreciente por lo general se aplica como el método de depreciación en libros. Al igual que el método LR, el SD esta inherente en el

método SMARC, aunque el método SD por sí mismo no puede utilizarse para determinar la depreciación anual deducible de impuestos en Estados Unidos. Este método se usa de manera rutinaria en la mayoría de los países con fines de depreciación fiscal y en libros. El método de saldo decreciente también se conoce como el método de porcentaje uniforme o fino. La depreciación SD acelera la reducción del valor del activo debido a que la depreciación anual se determina multiplicando el valor en libros al principio de cada año por un porcentaje fijo (uniforme) d, expresado en forma decimal. Si d = 0.1, entonces cada año se elimina el 10% de valor en libros. Por lo tanto, la cantidad de depreciación disminuye cada año. La tasa de depreciación anual máxima por el método SD es el doble de la tasa en línea recta esto es:

En este caso, el método se conoce como de saldo decreciente doble (SDD). Sin n = 10 años, la tasa SDD seria 2/10 = 0.2, de manera que el 20% del valor en libros se remueve anualmente. Otro porcentaje muy utilizado para el método SD es 150% de la tasa LR, donde d = 1.5/n. La depreciación para el año t es la tasa fija d, multiplicada por el valor en libros al final del año anterior. ( )

t-1

La tasa de depreciación real para cada año t, relativa al costo inicial B, es: (

)t-1

Si el VLt-1 no se conoce, la depreciación en al año t se calcula usando B y d, de la ecuación: (

)t-1

El valor en libros en el año t se determina en una de dos formas; o utilizando la tasa d y el costo inicial B, o restando el cargo de depreciación actual anterior valor en libros. Las ecuaciones son: (

)

Es importante entender que el valor en libros en el método SD nunca llega a cero, porque el valor en libros siempre está disminuyendo en un porcentaje fijo. El valor del salvamento implícito después de n años es la cantidad VL n es decir, Valor de salvamento implícito = S implícito = VLn = B(1-d)n Si se estima un valor de salvamento para el activo, este valor S estimado no se emplea en los métodos SD o SDD para calcular la depreciación anual. Sin embargo, si el S implícito < S es estimado, es correcto dejar de cargar posteriores depreciaciones cuando el valor en libros este en o por debajo del valor del salvamento estimado. En la mayoría de los casos, el S estimado está en el rango de cero al valor S implícito. (Este lineamiento es importante cuando el método de saldo decreciente puede usarse directamente con fines de depreciación fiscal.) Si no se establece el porcentaje fijo d, es posible determinar una tasa fija implícita usando el valor S estimado, Si S > 0. El rango para d es 0 < d < 2/n. ( )1/n Las funciones DDB y DB de Excel se usan para desplegar cantidades de depreciación para años específicos (o cualquier otra unidad de tiempo). La función se repite en celdas contiguas de una hoja de cálculo pues la cantidad de depreciación Dt cambia con t. Para el método de saldo decreciente doble es: DDB (B,S,n,t,d) La tasa d es la tasa fija expresada como un numero entre 1 y 2. Si se omite, se supone que esta entrada opcional será 2 para DDB. Una entrada d = 1.5 hace que la función DDB despliegue cantidades del método de saldo decreciente al 150%. La función DDB automáticamente verifica para determinar cuando el valor en libros es igual al valor S estimado. Ninguna depreciación posterior se carga cuando esto ocurre. (Con la finalidad de permitir que se realicen cargos de depreciación de la cantidad LR porque la depreciación en saldo decreciente está determinado como porcentaje fijo del valor en libros del año previo, que es completamente diferente de los calculo RL en la ecuación [16.1]. La función DB debe utilizarse con cuidado. Su formato es DDB(B,S,n,t). La tasa fija d no se ingresa en la función DB; d es un cálculo inherente usando un equivalente en hoja de cálculo de la ecuación [16.11]. Además solo se mantienen tres dígitos significativos para d, de manera que el valor en libros puede ir por abajo del valor de salvamento estimado debido a errores de redondeo. En consecuencia, si se conoce la tasa de depreciación, siempre usa la función DDB para asegurar los resultados correctos.

Ejemplo 16.6 Un dispositivo para pruebas de fibras ópticas será depreciado con el método SSD. El dispositivo tiene un costo inicial de $25000 y un valor de salvamento estimado de $2500 después de 12 años. a) Calcules su depreciación y su valor en libros para los años 1 y 4. b) Calcule el valor de salvamento implícito después de 12 años. Solución a) La tasa de depreciación fija SSD es d = 2/n = 2/12 = 0.1667 anual. Use las ecuaciones [16.7] y [16.8]. Año 1: D1 = (0.1667)(25000)(1-0.11667)1-1 = $4 167 VL1 = 25000(1-0.1667)1 = $20 833 Año 4: D4 = (0.1667)(25000)(1-0.11667)4-1 = $2 411 VL4 = 25000(1-0.1667)4 = $12 054 Las funciones SDD para D1 y D4 son, respectivamente, DDB (25000, 2500,12, 1) y DDB (25000, 2500, 12,4). De acuerdo a la ecuación [16.10], el valor de salvamento implícito después de 12 años es: S implícito = 25 000(1-0.1667)12 = $2 803 Puesto que S estimado = $2 500 es menor que $2 803, el activo no está completamente despreciado cuando alcanza su duodécimo a; o de vida.

SISTEMA MODIFICADO ACELERADO DE RECUPERACION DE COSTOS (SMARC) Durante la década de 1980, en Estados Unidos se introdujo el SMARC como el método de depreciación impositiva requerido para los activos despreciables. Mediante el SMARC, el acta de reforma impositiva de 1986 definido las tasas de depreciación estatuarias que tomaban ventaja de los métodos acelerados SD y SDD. Las corporaciones tienen libertad de aplicar cualquiera de los métodos clásicos para depreciación en libros. Muchos aspectos del SMARC hacen referencia a asuntos específicos de la contabilidad de depreciación de la ley de impuestos.

El SMARC calcula los montos de depreciación anual utilizando la relación:

Donde la tasa de depreciación dt está dada en forma tabulada. Como para otros métodos, el valor en libros en el año t se determina restando la cantidad de depreciación de valor en libros del año anterior,

O restando la depreciación total durante los años 1 hasta (t-1) del costo inicial. VLt = Costo inicial – Suma de la depreciación acumulada ∑ El costo inicial B siempre se deprecia completamente, puesto que el SMARC supone que S = 0, aunque haya un salvamento positivo que sea realizable. Los periodos de recuperación del SMARC están estandarizados a los valores de 3, 5,7, 10,15 y 20 años para la propiedad personal. El periodo de recuperación de la propiedad inmobiliaria para estructuras comúnmente es de 39 años, aunque es posible justificar una recuperación de 27.5 años para la propiedad residencial en renta.

Las tasas SMARC de depreciación sobre propiedad personal (valores d t) para n = 3, 5, 7, 10, 15, 20 para su uso en la ecuación (16.12) se presentan en la tabla 16.2. Las tasas de depreciación SMARC incorporan el método SDD (d=2/n) y se cambian a la depreciación LR durante el periodo de recuperación como un componente inerte para la depreciación de la propiedad personal. La tasa SMARC empieza con la tasa SDD o tasa SD del 150%, y se cambia cuando el método LR permita una depreciación más rápida. Para la propiedad inmobiliaria, el SMARC utiliza el método LR para n = 39 a lo largo del periodo de recuperación. El porcentaje anual de la tasa de depreciación es d = 1 - 39 = 0.02564. Sin embargo, SMARC obliga a una recuperación parcial en los años 1 y 40 las tasas SMARC de propiedad inmobiliaria, en cantidades porcentuales son: Año 1 Años 2-39

100d1 = 1.391% 100dt = 2.564%

Año 40 = 100d40 = 1.177%

Advierta que todas las tasas de depreciación SMARC se presentan para 1 año más que el periodo de recuperación dado. También observe que la tasa del año extra es la mitad de la tasa del año anterior. Este hecho sucede porque hay una convención de mitad de año incorporada dentro del SMARC. Tal convención supone que toda la propiedad entra en servicio en el punto medio del año fiscal de instalación. Por consiguiente, para fines impositivos, se aplica el 50% de la depreciación SD del primer año. Así se elimina parte de la ventaja de la depreciación acelerada y requiere que se tome la depreciación de medio año en el ano n + 1.

DETERMINACIÓN DEL PERIODO DE RECUPERACIÓN DEL SMARC La vida útil esperada de una propiedad es estimada en años y se utiliza como el valor n en los cálculos de depreciación. Puesto que la depreciación es una cantidad deducible de impuestos, la mayoría de las corporaciones grandes e individuos desean minimizar el valor n. La ventaja de un periodo de recuperación más corto que la vida anticipada útil se capitaliza mediante el uso de modelos de depreciación acelerada que cancelamos del costo inicial en los años iniciales.

CAMBIO ENTRE MODELOS DE DEPRECIACIÓN El cambio entre modelos de depreciación puede ayudar a la reducción acelerada del valor en libros. El cambio de un modelo SD al método LR es más común porque generalmente ofrece una ventaja real, en especial si el modelo SD es el SDD. Las reglas generales de cambio se resumen aquí: El cambio se recomienda cuando la depreciación para e l año t mediante el modelo utilizando actualmente es menor que aquella par aun modelo nuevo. La depreciación seleccionada Dt es el monto más grande. Independientemente de los modelos de depreciación utilizados, el valor en libros nunca puede descender por debajo del valor de salvamento estimado. Se supone el VS estimado = 0 en todos los casos; el cambio dentro de SMARC siempre emplea un VS estimado de cero. La cuantía no depreciada, es decir VL, se usa como la nueva base ajustada para seleccionar la D más grande para la próxima decisión de cambio.

Al cambiar de un modelo SD se emplea el valor de salvamento estimado, no el valor de salvamento SD implicado, al calcular la depreciación para el nuevo método. Durante el periodo de recuperación solamente puede tener lugar un cambio.

MÉTODOS DE AGOTAMIENTO Según Blank & Tarquin (2006): Hay 2 métodos de agotamiento: el agotamiento por costos y el agotamiento porcentual. a) El agotamiento por costos: al cual se hace referencia algunas veces como agotamiento de factor, se basa en el nivel de actividad o uso, no en el tiempo, como en la depreciación. Este puede aplicarse a la mayoría de los recursos naturales. El factor agotamiento por costos para el año t, p es la razón del costo inicial de la propiedad con respecto al número estimado de unidades recuperables. Pt = inversión inicial Capacidad de recursos El costo por agotamiento anual es pt veces el uso del año o volumen de actividad. El agotamiento basado en el costo acumulado no puede exceder el costo inicial total del recurso. Si se estima nuevamente la capacidad de la propiedad en algún año futuro, se calcula un nuevo factor de agotamiento de costos con base en la cantidad no agotada y la nueva estimación de capacidad. b) El agotamiento porcentual: el segundo método de agotamiento, es una consideración, especial dada para recursos naturales. Cada año puede agotarse un porcentaje constante dado del ingreso bruto del recurso siempre que este no exceda el 50% del ingreso gravable del a compañía. Entonces, anualmente la cantidad agotada se calcula como: Porcentaje de la cantidad agotada = porcentaje * ingreso bruto del a propiedad Usando el agotamiento porcentual, los cargos totales por agotamiento pueden exceder el costo inicial sin límite. La cuantía del agotamiento cada año puede determinarse usando el método de costo o el método de porcentaje, como lo permite la ley. Agotamiento anual = % agotamiento si %agotamiento ≥ $agotamiento

=$agotamiento si % agotamiento < $agotamiento Los agotamientos porcentuales anuales par aciertos depósitos naturales se enumeran a continuación. Estos porcentajes se cambian de tiempo en tiempo cuando se reglamenta una nueva legislación.

Tema 3.2 Análisis Después De Impuesto Objetivo Conocer y aplicar métodos para la toma de decisiones económicas, tomando en cuenta flujos de efectivo después de impuestos con y sin financiamiento. De forma más específica se aprenderá a efectuar la aplicación de los conceptos de depreciación.

TERMINOLOGÍA BÁSICA PARA LOS IMPUESTOS SOBRE LA RENTA. De acuerdo a Rigss, Bedworth y Randhawa (2002):

Los impuestos sobre la renta gravan el ingreso personal y corporativo a tasas cada vez más altas para ingresos superiores Se basan en el ingreso neto después de las deducciones de gastos permitidas… Impuesto sobre la renta federal Las corporaciones nacionales normales están sujetas a las tasas de impuestos… progresivas, puesto que en general, las tasas más bajas se aplican a incrementos menores de ingreso gravable, y son cada vez más altas para ingresos mayores. Tasa de impuestos efectivo Los impuestos federales y estatales se pueden integrar en una tasa de impuestos marginal combinada (También conocida como tasa de impuestos compuesta efectiva) que representa la obligación fiscal corporativa total por su nivel de operación actual. Crédito de inversión Un crédito de inversión es una deducción directa de la deuda de impuestos, no de los ingresos.

GANANCIAS Y PÉRDIDAS DE CAPITAL. Según Blank, Tarquin (2006): La ganancia de capital (GC) es una cantidad en la cual se incurre cuando el precio de venta de un activo o propiedad depreciable excede su costo inicial. Al tiempo de vender el activo: Ganancia de capital=precio de venta-costo inicial GC=PV-P Ya que las ganancias de capital a futuro son difíciles de predecir, generalmente no se detallan en un estudio económico después de impuestos. Los activos que con el paso del tiempo incrementan su valor constituyen una excepción, como es el caso de edificios y terrenos. Si se incluye, la ganancia se tasa como un ingreso gravable ordinario a una tasa impositiva efectiva Te*.

El recobro de la depreciación (RD) ocurre cuando el activo depreciable se vende por una cantidad mayor que el valor actual. Recobro de depreciación=precio de venta-valor actual RD=PV-V El recobro de depreciación generalmente se encuentra presente en un estudio después de impuestos. Cuando el precio de venta excede al costo inicial, se presenta también una ganancia de capital y el ingreso grabable (IG) debido a la venta es la ganancia mas el recobro de depreciación. En este momento RD es el monto total de depreciación. La pérdida de capital (PC) ocurre cuando se vende un activo depreciable por menos de su valor actual. Pérdida de capital (PC)=valor actual-precio de venta PC=V-PV Un análisis económico generalmente no considera la pérdida de capital, debido simplemente a que no se puede calcular para una alternativa específica. Sin embargo, un estudio de reemplazo después de impuestos debería tomar en cuenta cualquier pérdida de capital si el defensor debe cambiarse a un precio sacrificio. Para propósitos del estudio económico, esto suministra un ahorro en impuestos en el año de reemplazo.

EFECTOS DE LOS DIFERENTES MODELOS DE DEPRECIACIÓN. Depreciación por el método de línea recta (LR) De acuerdo con Leland T. Blank, Anthony J. Tarquin(1992): El modelo de depreciación por línea recta es un método popular de depreciación y es utilizado como el estándar de comparación de la mayoría de otros métodos. La depreciación anual se calcula dividiendo el costo inicial o base del activo no ajustado menos su valor de salvamento por la vida útil del activo. En las fórmulas de depreciación, se usara B para la base no ajustada porque puede

ser diferente para los propósitos de depreciación que el costo inicial, llamado P. En forma de ecuación:

Donde: t = año (t=1,2,…,n)] Dt= cargo por depreciación anual B = costo inicial VS = valor de salvamento n=vida depreciable esperada o periodo de recuperación

Depreciación por los métodos de saldo decreciente (SD) y saldo doblemente decreciente (SDD)

De acuerdo con Leland T. Blank, Anthony J. Tarquin(1992): El método de depreciación del saldo decreciente, también conocido como método del porcentaje fijo o uniforme, es otra de las técnicas de amortización rápida. El máximo porcentaje de depreciación que se permite es de 200% (doble) de la tasa en línea recta. Cuando se utiliza esta tasa, el método se conoce como saldo doblemente decreciente (SDD). Así, si un activo tiene una vida útil de 10 años, la tasa en línea recta sería 1/n=1/10. La fórmula general para calcular la tasa de depreciación máxima para SD, en cualquier año, es dos veces la tasa en línea recta.

Cuando se utiliza depreciación por SD y SDD, el valor de salvamento esperado no debe restarse del costo inicial al calcular el costo de depreciación. Es importante recordarlo, pues hacerlo incrementaría la tasa por la cual se está amortizando. Aunque los valores de salvamento no se consideran en los cálculos de depreciación, un activo no puede depreciarse por debajo de una cantidad que se considere un valor de salvamento razonable o cero. Si el valor de salvamento se

alcanzara antes del año n, no se consideraría depreciación de allí en adelante excepto con los métodos SARC y AMARC.

ANÁLISIS DESPUÉS DE IMPUESTOS UTILIZANDO LOS MÉTODOS DE VALOR PRESENTE, VALOR ANUAL Y TASA INTERNA DE RETORNO. Según Baca Urbina (1999): En la práctica, hay empresas con equipos que producen ingresos por sí mismos, es decir, elaboran un producto ya terminado que, al venderse, proporciona un ingreso a la empresa. En tales casos, es posible hacer un análisis integral de la situación, en el cual se involucran depreciación e impuestos. Para el análisis económico de este tipo de casos se utiliza la técnica del VPN incremental. Esta técnica considera la situación económica actual del equipo usado, es decir, el que se pretende remplazar, es de inversión cero. La inversión en la maquina se hizo hace años y en este caso se utiliza el concepto de costo hundido, cuyo significado es que el pasado no influye en las decisiones económicas del presente, a las cuales solo influyen los datos presentes y los datos futuros. Por esta razón el pasado como concepto no existe en ingeniería económica. Este concepto, aplicado al análisis de remplazo, lleva a considerar a la inversión como cero, o como el valor en libros del equipo usado. A esta situación de inversión cero se suma una nueva inversión o incremento de inversión, que puede ser la compra de una maquina nueva. A este incremento de inversión debe corresponder un incremento de las ganancias parta justificar el desembolso extra en la compra del nuevo equipo, de tal forma que el análisis se encamina exclusivamente a obtener los incrementos, tanto de inversión como de FNE y con ellos calcular el VPN incremental. Según Blank, Tarquin (2006): Para un proyecto. VP o VA ≥ 0, el proyecto es financieramente viable debido a que se alcanza o se rebasa la TMAR (tasa mínima aceptable de rendimiento) después de impuestos. Seleccione la alternativa con el VP o VA que sea numéricamente mayor. También, si para una alternativa se incluyen solamente estimaciones de costo, considere el ahorro de impuestos que genera el CAO o gasto de operación

para obtener una FEN positiva y utilice el mismo parámetro para seleccionar una alternativa. Leland T. Blank, Anthony J. Tarquin (2006): Los siguientes pasos bosquejan un análisis de la tasa de retorno después de impuestos. 1. Ordene las alternativas por su costo de inversión inicial. Identifique B inversión con mayor inversión inicial. 2. Decida cuál relación usar entre las VP o CAUE para calcular el retorno incremental después de impuestos. Selecciona la ecuación apropiada (Tabla anexa). 3. Calcule los valores netos o incrementales del ΔFCDI para analizar el VP o CAUE (vidas útiles iguales). O, determine las relaciones CAUE para el análisis de vidas útiles diferentes. 4. Calcule el retorno incremental después de impuestos utilizando la ecuación correcta calculando manualmente por ensayo y error. EL B – A suscrito es usualmente omitido. 5. Compare el retorno TMAR después de impuestos. Acepte la alternativa B si el retorno es mayor que TMAR. De otra forma, seleccione la alternativa A.

*Tabla guía para los cálculos de la tasa de retorno después de impuestos utilizando el análisis incremental (La alternativa B tiene la mayor inversión inicial). Método utilizado para calcular

Vidas Útiles Iguales

Vidas Útiles Diferentes

Valor Presente VP

Haga para el FCDI para años

Haga para CAUE incremental para el mínimo común múltiplo

de años, ∑

Ecuación Utilizada Costo Anual Uniforme CAUE Ecuación Utilizada

(

) Haga la diferencia de sobre los respectivos

Haga para FCDI incremental para años (

.

)

Tema 4.3 Factores de deterioro y obsolescencia La vida económica de una alternativa (equipo o proyecto) se define como el periodo de utilización antes de ser desplazado por una alternativa más

económica. Los factores que intervienen en la determinación de la vida económica son la vida física, el deterioro y la obsolescencia. Teniendo en cuenta esos factores, se pueden tener los siguientes modelos para la determinación de la vida económica: a) Vida económica por vida física o deterioro físico: tenemos que el deterioro físico es el desgaste natural por el tiempo, se origina en el interior de la

propiedad

y

puede

ser

categorizado

como

curable

o

incurable.

En algunos equipos como las luminarias y las herramientas de corte, la vida económica obedece a su periodo de vida física. b) Vida económica por obsolescencia funcional: esta se origina al interior de la propiedad y se debe a características anticuadas además que como en el punto anterior, puede ser categorizada como curable o incurable. Los computadores, controles de proceso y equipos electrónicos, dependen fundamentalmente de su obsolescencia, se reemplaza aunque mantengan sus condiciones físicas en buen estado. c) Vida económica por deterioro externo u obsolescencia externa: proviene de factores exteriores a la propiedad y por tanto se considera incurable. d) Vida económica por gradiente combinado de deterioro y obsolescencia: en la mayoría de equipos e instalaciones los gradientes de deterioro y obsolescencia intervienen en la determinación de su vida económica. En la maquinas herramientas con control numérico priman la obsolescencia y en equipos de proceso químico es de mayor importancia el deterioro físico.

Tema 4.4 Determinación del costo mínimo de vida útil Según Blank & Tarquin (2004): A menudo un analista dese a conocer cuánto tiempo debe permanecer un activo o proyecto en servicio para minimiza su costo total, considerando el valor del dinero en el tiempo y los requerimientos de retorno. Este tiempo en años es un valor n y se denomina de varias maneras incluyendo costo mínimo de vida útil, vida útil económica, tiempo de retiro o tiempo de reemplazo. Sobre este punto, la vida útil del activo tiene que ser suministrada sin considerar como fue determinada. Indiferentemente a como se denomine, el valor n es el número de años que rinde a un mínimo costo anual. Este enfoque de estimar n como el costo mínimo de vida útil, utiliza los cálculos convencionales de CAUE. Para encontrar el costo mínimo de vida útil, se aumenta el valor de la vida útil,

llamada k, desde 1 hasta el máximo valor esperado para el activo N, esto es, k= 1, 2,…., N. para cada valor de k se determina el valor CAUEk usando

(

)

(

)

[∑

(

)] (

)

Donde VSk = valor de salvamento si el active se retiene k años CAOj = costo anual de operación durante el año j (j= 1, 2,…, k)

Tabla 10.1 Calculo del costo mínimo de vida útil de un activo actualmente poseído (1)

(2)

(3)

Vida útil k años 1 2 3 4 5

VSk $9.000 8.000 6.000 2.000 0

CAO (j = 1, 2,…,k) $2.500 2.700 3.000 3.500 4.500

(4)

(5) Costos Recuperación equivalentes y retorno de de capital operación $5.300 $2.500 3.681 2.595 3.415 2.717 3.670 2.886 3.429 3.150

(6) = (4) + (5)

CAUEk $7.800 6.276 6.132 6.556 6.579

EJEMPLO: Un activo comprado hace tres años es amenazado ahora por una nueva pieza de equipo. El valor comercial del defensor es de $13.000. Los valores de salvamento anticipados y los costos de operación anual durante los siguientes 5 años se dan en las columnas 2 y 3 respectivamente de la tabla 10.1. ¿Cuál es el costo mínimo de vida útil que se debe emplear al comparar este defensor con un retador si el valor del capital es de 10% anual? Solución. La ecuación (10.2) se utiliza para determinar el CAUEk para k= 1, 2,…., 5. La columna 4 en la tabla da el capital necesario y el retorno

requerido usando los dos primeros términos de la ecuación y la columna 5 da los costos equivalentes de operación para k años utilizando el ultimo termino de la ecuación CAUEk. Como un ejemplo, los cálculos para k=3 pueden determinarse como sigue: CAUE3 = 13.000(A/P, 10%, 3) – 6.000(A/F, 10%, 3) + [2.500(P/F, 10%, 1) +2.700(P/F, 10%, 2)+ 3.000(P/F,10%, 3)](A/P,10%,3) = $6.132 El costo mínimo de la tabla es $6.132 por año para k = 3, lo cual indica que 3 años será la vida útil restante anticipada de este activo cuando se compara con un retador.

Según Blank & Tarquin (1992): La vida útil económica (VUE) es el número de años n en que son mínimos los costos del valor anual (VA) uniformemente equivalente, tomando en consideración las estimaciones del costo más vigentes, durante todos los años que el activo pudiera suministrar el servicio.

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ANEXO: GLOSARIO Abscisa. Primera coordenada de un punto representado en unos ejes cartesianos. Activo. Conjunto de todos los bienes y derechos con valor monetario que son propiedad de una empresa, institución o individuo, y que se reflejan en su contabilidad. Adjudicar. Conceder o dar una cosa a la que aspiran varias personas o entidades. Alternativa. Opción entre dos o más cosas. Amortizar. Recuperar el dinero invertido en una empresa. Análisis. Método estadístico usado para cuantificar la importancia de cada uno de los factores actuantes en un fenómeno. Anualizar. Convertir a su equivalente anual una variable correspondiente a un período distinto del año. Apreciacion. Valoración objetiva o subjetiva de algo. Capital. Factor de producción constituido por inmuebles, maquinaria o instalaciones de cualquier género, que, en colaboración con otros factores, principalmente el trabajo, se destina a la producción de bienes. Cedente. Persona que trasfiere a otra un derecho.

Certidumbre. Obligación de cumplir algo. Ciclo. Período de tiempo o cierto número de años que, acabados, se vuelven a contar de nuevo. Comparación. Acción y efecto de comparar. Comparar. Fijar la atención en dos o más objetos para descubrir sus relaciones o estimar sus diferencias o semejanza. Confiabilidad. Cualidad de confiable: Dicho de una persona o de una cosa: En la que se puede confiar. Convencional. Perteneciente o relativo al convenio o pacto

Defensivo. Que sirve para defender, reparar o resguardar. Depreciación. Disminución del valor o precio de algo, ya con relación al que antes tenía, ya comparándolo con otras cosas de su clase. Deseabilidad. Cualidad de deseable: Digno de ser deseado: Aspirar con vehemencia al conocimiento, posesión o disfrute de algo. Estimación. Aprecio y valor que se da y en que se tasa y considera algo. Excedente. Que excede o sobra. Excluyente. Que excluye, deja fuera o rechaza. Factibilidad. Calidad o condición de factible. Focalizar. Centrar algo en un punto o aspecto determinados, generalmente cuando se considera más importante o relevante que otros. Gradiente. En ingeniería económica, es cuando ciertos proyectos de inversión generan flujos de efectivo que crecen o disminuyen una cierta cantidad constante cada período. Global. Que se refiere a todo un conjunto, y no a sus partes. Ilimitado. Interminable que es tan largo o grande que parece no tener término en el tiempo o el espacio. Incertidumbre. Falta de certidumbre. Incremento. pequeño aumento en el valor de una variable Inflación. Elevación notable del nivel de precios con efectos desfavorables

para la economía de un país. Ingreso. Caudal que entra en poder de alguien, y que le es de cargo en las cuentas. Inversión. Acción y efecto de invertir.

Lucro. Ganancia, beneficio o provecho que se consigue en un asunto o negocio. Marginal. Que es secundario o poco importante. Observable. Que puede ser observado: Examinar atentamente. Parámetro. Dato o factor que se toma como necesario para analizar o valorar una situación. Proyecto. Primer esquema o plan de cualquier trabajo que se hace a veces como prueba antes de darle la forma definitiva. Radicar. Dicho de una cosa: Estar o encontrarse en determinado lugar. Renta. Utilidad o beneficio que rinde anualmente algo, o lo que de ello se cobra Salvamento. Lugar en que alguien se asegura de un peligro Sensibilidad. Capacidad de respuesta a muy pequeñas excitaciones,

estímulos o causas. Sofisticada. Dicho de un sistema o de un mecanismo: Técnicamente

complejo o avanzado. Supuesto. Idea, juicio o teoría que se supone verdadera, aunque no se haya demostrado o confirmado, y a partir de la cual se extrae una consecuencia o una conclusión. Sustancial. Que constituye lo esencial y más importante de algo. Tasa. Relación entre dos magnitudes.