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• Ana C Simanca

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Ondas Longitudinales. Universidad de Córdoba. Facultad de ingenierías. Programa: Ingeniería industrial. Integrantes: Luis Argumedo Fuentes, Daniel Carrascal, Luis Daniel Caicedo, Luis David Díaz. Resumen. En el siguiente se estudiará las características de las ondas longitudinales, se encontrará la ecuación característica de la onda para posición, velocidad y aceleración, y se comprobará experimentalmente la veracidad de la teoría relacionada y ecuaciones. Abstract. In the following, the characteristics of the logitudinal waves will be studied, the characteristic equation of the wave for position, velocity and acceleration will be found, and the veracity of the related theory and equations will be experimentally verified. Tópicos relacionados. Ondas, ondas longitudinales, ondas transversales.

Marco teórico. Una onda es, para la física, un movimiento periódico que puede propagarse en el vacío o en un medio físico. Longitudinal, por su parte, es aquello que se ubica o se desarrolla en la dirección o el sentido de la longitud. Cuando una onda viaja por una cuerda (por ejemplo, de izquierda a derecha como en la figura 15-1), las partículas de la cuerda vibran arriba y abajo en una dirección transversal (esto es, perpendicular) al movimiento de la onda. Tal onda se llama onda transversal (figura 15-4a). Existe otro tipo de onda conocida como onda longitudinal. En una onda longitudinal la vibración de las partículas del medio es a lo largo de la dirección del movimiento de la onda. Las ondas longitudinales se forman fácilmente en un

resorte estirado o Slinky al comprimir y expandir alternadamente un extremo. Esto se muestra en la figura 15-4b y se puede comparar con la onda transversal de la figura 15-4a.

Una serie de compresiones y expansiones se propagan a lo largo del resorte. Las compresiones son aquellas áreas donde las

espiras están momentáneamente cercanas. Las expansiones (a veces llamadas rarefacciones) son regiones donde las espiras están momentáneamente separadas. Las compresiones y las expansiones corresponden a las crestas y los valles de una onda transversal. Un ejemplo importante de una onda longitudinal es una onda sonora en el aire. Por ejemplo, una membrana de tambor en vibración comprime y rarifica alternadamente el aire en contacto con ella, lo que produce una onda longitudinal que viaja hacia fuera en el aire, como se observa en la figura 15-5. Como en el caso de las ondas transversales, cada sección del medio en el que pasa una onda longitudinal oscila una pequeña distancia, mientras que la onda puede viajar grandes distancias. La longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de onda tienen significado para una onda longitudinal. La longitud de onda es la distancia entre compresiones (o expansiones) sucesivas y la frecuencia es el número de compresiones (o expansiones) que pasan por un punto dado

Representación matemática de una onda viajera. Considere ahora una onda unidimensional que viaja a lo largo del eje x. Podría ser, por ejemplo, una onda transversal en una cuerda o una onda longitudinal que viaja en una varilla o en un tubo lleno de fluido. Supongamos que la forma de la onda es sinusoidal y tiene una longitud de onda particular l y frecuencia f. En t=0, suponga que la forma de la onda está dada por: D ( x ) =A × Sen

2π x, λ

por segundo. La velocidad de onda es la velocidad con la que parece moverse cada compresión; es igual al producto de la longitud de onda y la frecuencia, v=λf (ecuación 151). Una onda longitudinal puede representarse trazando una gráfica de la densidad de las moléculas de aire (o las espiras de un Slinky) versus la posición en un instante dado, como se muestra en la figura 15-6. Tal representación gráfica hace sencillo ilustrarlo que ocurre. Note que la gráfica se parece mucho a una onda transversal.

como se muestra mediante la curva sólida en la figura 15-13: D(x) es el desplazamiento de la onda (ya sea una onda longitudinal o transversal) en la posición x, y A es la amplitud (desplazamiento máximo) de la onda. Esta relación da una forma que se repite a sí misma cada longitud de onda, lo cual es necesario para que el desplazamiento sea el mismo en x=0 , x=λ , x=2 λ, etcétera (dado que Sen 4 π=Sen 2 π =Sen 0). Ahora suponga que la onda se mueve hacia la derecha con velocidad v. Entonces, después de un tiempo t, cada parte de la onda (de

hecho, toda la “forma” de onda) se movió hacia la derecha una distancia vt; véase la curva punteada en la figura 15-13. Considere cualquier punto sobre la onda en t=0: por ejemplo, una cresta que esté en alguna posición x. Después de un tiempo t, esa cresta habrá viajado una distancia vt, de manera que su nueva posición está a una distancia vt mayor que su antigua posición. Para describir este mismo punto sobre la forma de onda, el argumento de la función seno debe ser el mismo, así que sustituimos x en la ecuación 15-9 por ( x−vt): D ( x , t )= A × Sen

[

2π ( x−vt ) λ

]

Dicho de otra forma, si usted monta sobre una cresta, el argumento de la función seno, (2 π / λ)( x−vt ), permanece igual ( ¿ π /2 ,5 π /2 etcétera); conforme t aumenta, x debe aumentar a la misma tasa, de manera que ( x−vt ) permanece constante. La ecuación 15-10a es la representación matemática de una onda sinusoidal que viaja a lo largo del eje x hacia la derecha (x creciente). Da el desplazamiento D( x ,t ) de la onda en cualquier punto elegido x en cualquier tiempo t. La función D ( x , t )describe una curva que representa la forma real de la onda en el espacio en el tiempo t. Dado que v=λf (ecuación 15-1), podemos escribir la ecuación 15-10a en otras formas que con frecuencia son convenientes: D ( x , t )= A × Sen

( 2 πxλ − 2Tπt ) ,

k=

2π λ

Se llama número de onda. (No debe confundirse el número de onda k con la constante de resorte k; son cantidades muy diferentes.) Las tres formas, ecuaciones 1510a, b y c, son equivalentes; la ecuación 1510c es la más simple de escribir y es quizá la más común. La cantidad (kx −ωt), y su equivalente en las otras dos ecuaciones, se llama fase de la onda. La velocidad v de la onda a menudo se llama velocidad de fase, pues describe la velocidad de la fase (o forma) de la onda y se puede escribir en términos de ω y k: v=λf =

( 2kπ )( 2ωπ )= ωk ,

Para una onda que viaja a lo largo del eje x hacia la izquierda (valores decrecientes de x), comenzamos de nuevo con la ecuación 15-9 y notamos que la velocidad ahora es –v. Un punto particular en la onda cambia de posición por –vt en un tiempo t, de manera que se debe sustituir x en la ecuación 15-9 por (x +vt ¿. En consecuencia, para una onda que viaja hacia la izquierda con velocidad v, D ( x , t )= A sen ¿ A sen

[

2π ( x+ vt ) λ

]

( 2 πxλ + 2Tπt )

¿ A sen ( kx+ ωt ) .

Donde T =1/f =λ /v es el periodo; y D ( x , t )= A sen ( kx−t ) , Donde ω=2 πf =2 π /T es la frecuencia angular y

En otras palabras, simplemente se sustituye v en las ecuaciones 15-10 por –v. Observemos la ecuación 15-13c (o, igualmente, la ecuación 15-10c). En t=0 se tiene D ( x , t )= A sen kx ,

Que es con lo que comenzamos, una onda con forma sinusoidal. Si observamos la forma de en el espacio onda en un tiempo posterior particular t1, entonces tenemos

propósito de la ecuación 15-9. Suponga que la onda tiene alguna forma en t=0dada por D ( x , 0 ) =D( x)

D ( x . t ) =( kx +ωt 1 ) . Esto es, si tomamos una fotografía de la onda en t=t 1 ,veríamos una onda seno con una constante de fase ωf 1. Por lo tanto, para t=t 1 fijo, la onda tiene una forma sinusoidal en el espacio. Por otra parte, si consideramos un punto fijo en el espacio, por ejemplo, x=0 podemos ver cómo la onda varía en el tiempo: D ( 0 , t )= A sen ωt Donde empleamos la ecuación 15-13c. Ésta es la ecuación para movimiento armónico simple (sección 14-2). Para cualquier otro valor fijo de x, por ejemplo, x=x 1, D= A sen(ωt+ kx 1)que sólo difiere por una constante de fase kx 1. En consecuencia, en cualquier punto fijo en el espacio, el desplazamiento experimenta las oscilaciones del movimiento armónico simple en el tiempo. Las ecuaciones 15-10 y 15-13 combinan estos aspectos para darnos la representación para una onda sinusoidal viajera (también llamada onda armónica). El argumento del seno en las ecuaciones 15-10 y 15-13, en general, puede contener un ángulo de fase f ,que para la ecuación 15-10c es D ( x , t )= A sen ( kx−ωt +Ф ) . Para ajustar la posición de la onda en t=0 , x=0 ,tal como en la sección 14-2 (véase la figura 14-7). Si el desplazamiento es cero en t=0 , x=0 como en la figura 14-6 (o la figura 15-13), entonces f =0. Ahora consideremos una onda general (o pulso de onda) de cualquier forma. Si las pérdidas por fricción son pequeñas, los experimentos demuestran que la onda mantiene su forma mientras viaja. Así, se pueden emplear los mismos argumentos que utilizamos a

donde D( x ) es el desplazamiento de la onda en x y no necesariamente es sinusoidal. En algún momento posterior, si la onda viaja hacia la derecha a lo largo del eje x, la onda tendrá la misma forma, aunque todas las partes se habrán desplazado una distancia vt, donde v es la velocidad de fase de la onda. En consecuencia, debemos sustituir x por x−vt para obtener la amplitud en el tiempo t: D ( x , t )=D ( x −vt ) . De igual forma, si la onda se mueve hacia la izquierda, debemos sustituir x por x+ vt, de manera que

D ( x , t )=D( x +vt ) Objetivos. 1. Estudiar el comportamiento de una onda que se propaga en una dirección. 2. Diferenciar experimentalmente entre las ondas longitudinales y las ondas transversales. 3. Observar experimentalmente el comportamiento de las partículas de un medio cuando pasa una onda a través de él. Procedimiento.

1. Ingrese al link suministrado. 2. Marque la casilla “V”. 3. Obtenga la coordenada x de la posición de equilibrio de un punto rojo, para esto pulse clic sobre el punto. 4. Pulse el botón “play” para generar una perturbación. Pulse el botón

“pause” cuando dicha Escriba aquí laecuación .perturbaci ón llegue a la línea de puntos rojos. 5. Pulse ahora el botón “paso” hasta que los puntos rojos vuelvan a la coordenada x inicial. 6. Determine la longitud de onda, para esto mida la distancia entre dos grupos de puntos que estén muy juntos. Nota: La distancia se puede obtener al hacer la diferencia entre las coordenadas x de cada grupo. 7. Presione nuevamente el botón “play” y deje que la perturbación llegue al final. 8. Diríjase a la gráfica superior y determine la amplitud de la onda. Observe que el eje x representa el tiempo transcurrido, úselo para determinar el periodo. 9. Anote el valor máximo de la gráfica de la velocidad de la onda. A

T

f

λ

v

3. Con los datos obtenidos determine la frecuencia angular ω y el vector de onda k. w=2 π × 0.319 Hz ≅ 2 k=

Rad s

2π 2π Rad = ≅ 6.96 λ 0.903 m m

4. Escriba la ecuación de onda de la forma y (x, t) = A sin (kx - ω t), ¿Qué representa esta ecuación? y ( x , t )=0.2 × Sen(6.96 x−2 t ) 5. Determine la velocidad de la partícula en cualquier momento. y ( x , t )=0.2 × Sen(2 t−6.96 x ) v ( x ,t )=−0.4 ×cos (2 t−6.96 x ) x=1 t=1

v ( 1,1 )=−0.4 ×cos (2−6.96 )=−0.4 × cos( 4.96) m v ( 1,1 )=−0,098 s

Tabla 1. Propiedades de la onda. Evaluación. 1. ¿Alguno de los círculos viaja todo el camino a través de la simulación hasta el otro lado? Explique. R/ Ninguno de los círculos viaja todo el camino a través de la simulación hasta el otro lado, ya que, aunque los círculos si se desplazan en dirección de la propagación de la onda, su desplazamiento máximo está dado por la amplitud de onda, la onda solo transporta energía mas no materia. 2. Complete la tabla 1. TABLA 1.

6. Compare el valor medido en el procedimiento 9, con la velocidad de la onda (la de la tabla) y el valor de velocidad máxima vmax =Aω. ¿Qué puede concluir? Vmax=2 × 0.2=0.4 Este será el valor calculado luego el valor que arroja el simulador para la velocidad máxima es 0.4, los valores coinciden. 7. En sus propias palabras, describa como se observa en el simulador la diferencia entre la velocidad de fase y la velocidad de las partículas. A 0.2

T 3.13

f 0.319

λ 2.903

v 0.903

8. Determine la ecuación que represente la aceleración de una partícula. v ( x ,t )=0.4 ×cos ( 2 t−6.96 x ) a ( x ,t )

dv =−0.8× Sen (2t−6.96 x ) dt

9. Mencione fenómenos donde se presenten ondas longitudinales. R/ 2 fenómenos que presentan ondas longitudinales son las ondas sonoras y las ondas de presión. Conclusión. luego de realizar de la guía fue posible determinar la ecuación característica para la posición, velocidad, aceleración de una onda longitudinal a partir de las medidas del laboratorio incluyendo que los valores obtenidos coinciden con los valores arrojados por el simulador, demostrando la veracidad de la teoría relacionada y sus ecuaciones. Referencia. GIANCOLLI - FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA VOLUMEN I. página 398.