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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA

ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

MÉTODOS NUMÉRICOS

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES NEWTON RAPSHON BISECCIÓN DOCENTE: : ING. CASTRO PÉREZ, Cristian ALUMNOS:

AYALA BIZARRO, Rocky G. CARDENAS HUAMAN, Royer J. GAMBOA SANTANA, HEDBER HUAMÁN CABRERA, Yelsin J. VARGAS ÑAUPA, Hilmar.

CIVIL YeDaRo

INGENIERÍA CIVIL - UNSCH YeDaRo

Copyright ©2013 Rocky Ayala Bizarro Published by UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRSITOBAL DE HUAMANAGA http://www.civilyedaro.wordpress.com License information. First printing, October 2013

Baja

A DIOS E

por iluminar y bendecir nuestro camino. F A nuestros padres, quienes nos apoyan de manera incondicional en nuestra formación académica; gracias a ellos por apostar siempre en la educación.

H

G

Índice General INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii CAPITULO 1 Sección transversal de un tubo cilíndrico.

v contra r

r

El perfil de velocidad para un fluido viscoso que fluye por un tubo tiene forma parabólica.

REFERENCIA TEÓRICA

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Pag.

1

1.1 Características físico-hidráulicas de un canal . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Datos Requeridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Método Cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.1 Método de Regla Falsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Método Abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.1 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

CAPITULO 2

IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL

−−−−

Pag.

9

2.1 Método Newton Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Sección transversal

Sir Isaac Newton Newton (1642-1726) . Ley de viscosidad dinámica.

τ yx

2.1.1 Sección Número de un tubo cilíndrico. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Sección Número 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.3 rSeccion 6 . . . .v .contra . . . .r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Sección Número 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.5 Sección 10 Circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 El perfil de velocidad para un 2.1.6 Sección 12 Rectangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 fluido viscoso que fluye por un tubo tiene forma parabólica. 2.1.7 Sección Número 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.8 Seccion de la figura N 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1.9 Sección 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Plástico de Bingham Newtoniano

Pseudoplástico

Dilatante

−

dv x

dy

CAPITULO

2.2 Método Bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.1 Sección 2.2.2 Sección 2.2.3 Sección Cuestionario

Número 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Número 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Número 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nro 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Conclusiones

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Pag.

57 62 72 77

78

CAPITULO

Bibliografía

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Pag.

79

INTRO DUCCIÓN os Métodos Numéricos son una herramienta muy poderosa para el desarrollo de múltiples problemas matemáticos, así lo comprobamos a medida que avanzamos este trabajo al resolver el tirante normal en la Ecuación de Manning para diferentes secciones de geometría compleja, para esto nos facilitamos de dos métodos muy eficaces (Newton Raphson y Bisección)

L

En el trabajo a continuación se plantea de manera sencilla los dos métodos numéricos mencionados y toda los procedimientos a detalle para poder calcular el tirante normal de las diferentes secciones de canales; entonces plasmamos un estudio sobre las propiedades hidráulicas y geométricas de los canales, sobre los metodos numéricos y también sobre la implementación de la programación en el MATLAB Tanto para el Método de Newton Raphson y Biseccion, se desarrollaron programas integrados en el GUIDE(The Graphical User Interface Development Environment) del MATLAB, para nueve secciones transversales, cada programa cuenta con su input y output de datos respectivamente donde lo novedoso fue desarrollar cada programa con una tabla de salida de iteraciones, para las secciones dadas, donde uno puede verificar lo necesario para poder intuir una respuesta adecuada. También incluimos algunas diferencias entre cada uno de estos casos, como son el método de Newton Raphson y el método Biseccion. Es importante leer y entender cada método numérico, estos métodos numéricos nos sirven para una gran utilidad y resolución de problemas. Lo verificamos en el salón de clases y en el desarrollo de este trabajo.

INGENIERÍA CIVIL -ElUNSCH GRUPO Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga Escuela Profesional de Ingeniería Civil Ayacucho, Octubre del 2013.

Capítulo

REFERENCIA TEÓRICA

1

MÉTODOS NUMÉRICOS En el presente informe utilizaremos el Lenguaje de Programación m (leguaje de programación de MATLAB), desde su entorno de desarrollo integrado (Integrated Development Environment -IDE), donde desarrollaremos el calculo del tirante normal para canales de diferentes formas geométricas; para este cálculo utilizaremos el Método de NewtonRaphson y el Método de Bisección (Cap 1). El procedimiento siguiente es un resumen de como poder hallar el tirante normal y las características hidráulicas en un canal.

1.1

Características físico-hidráulicas de un canal

Un canal es un conducto natural o artificial por donde fluye un líquido valiéndose únicamente de la acción de la fuerza de gravedad. Se caracteriza por presentar una superficie libre expuesta a presión atmosférica. Área hidráulica A Se refiere siempre a la de la sección transversal ocupada por el flujo en un canal, m2 . Perímetro mojado P Es la longitud de la línea de contacto entre el agua y la superficie mojada del canal, m. Profundidad del flujo o Tirante hidráulico Es la distancia vertical a la plantilla, medida desde la superficie libre del agua al punto más bajo de la sección transversal.

Ingeniería Civil

Pag. 1

1

d  y cos

bos tirantes es:

cho de la superficie libre o Espejo,TEÓRICA T, es el ancho de la sección del canal, medido al nivel Capitulo 1 REFERENCIA la superficie libre, m.

UNSCH

ofundidad hidráulica Tirante medio, D, es olaEspejo relaciónT entre el área hidráulica y el Anchoode la superficie libre A cho de la superficie libre, m. (1) D Es el ancho de la sección T del canal, medido al nivel de la superficie libre, m. T

gura 1. Elementos geométricos de un

BL

A

canal, sección transversal.

y

1

z P b

(a)

adalupe Estrada Gutiérrez

3

Radio hidráulico R

Es el parámetro utilizado para medir el efecto de la forma del canal y es el cociente del área hidráulica y su perímetro mojado, m. R=

A P

Talud z

Hidráulica Canales a la distancia Es la inclinación de lasLaboratorio paredes de la de sección transversalde y corresponde horizontal z recorrida desde un punto sobre la pared, para ascender la unidad de longitud a otro punto sobre la misma, generalmente se expresa 1: z. 2

Sf

V1 /2g

Sw y1

Q

Plantilla del canal

Plano de Referencia z

2

V2 /2g

y2 So

De acuerdo la figura, la pendiente longitudinal del canal, So = tanθ. Figura 2.con Elementos geométricos de un canal, sección longitudinal.

Radio hidráulico, R, es el parámetro utilizado para medir el efecto de la forma del canal y

1.2es elAplicación cociente del área hidráulica y su perímetro mojado, m.

Se realizo el programa la aplicación de Calculo de Tirantes para Múltiples A (2) R secciones con la finalidad de poder utilizar P los métodos numéricos para resolver la

Talud, z, es la inclinación de las paredes de la sección transversal y corresponde a la Ingeniería Civil Pag. 2 distancia horizontal z recorrida desde un punto sobre la pared, para ascender la unidad de longitud a otro punto sobre la misma, generalmente se expresa 1: z.

Capitulo 1

REFERENCIA TEÓRICA

UNSCH

ecuaciones no lineales de tirantes, esto se implemento y desarrolló en el programa MATLAB R2013a. El programa Calculo de Tirantes determina y halla las características hidráulicas de un Canal Trapezoidal, rectangular y triangular, para ello se partirá de la ecuación de Manning.

Q=

Donde: Q −→ Caudal (m3 /s) A −→ Area de flujo (m2 ) p −→ Perimetro mojado (m) s −→ Pendiente (m/m) n −→ Coef. de rugosidad

A5/3 P −2/3 s1/2 n

El programa calculara las características hidráulicas de un canal trapezoidal, rectangular y si se desea de un triangular.

Características: Tirante −→ y Espejo de agua −→ T Talud izquierdo −→ Z1 Talud derecho −→ Z2

Figure 1.1: Diseño geométrico de un canal De la geometría podemos calcular el área y perímetro el cual utilizaremos para el calculo del tirante(y) Tenemos por la geometría del canal el Área en función del Tirante y

A(y ) =

y2 (z1 + z2 ) + by 2

(2.1)

También se puede calcular el Perímetro en función del Tirante y

q

P (y ) = y ( (z12 + 1) + sqrt(z22 + 1)) + b

Ingeniería Civil

(2.2)

Pag. 3

Capitulo 1

REFERENCIA TEÓRICA

UNSCH

Con las ecuaciones 2.1 y 2.2estas reemplazando en la Fórmula de Manning se tiene una ecuación que dependerá netamente del tirante (y)

Qn F (y ) = A(y )5/3 P (y )−2/3 − √ s

(2.3)

Para calcular dicha ecuación se utilizara el método de Newton Raphson y Biseccion, que por métodos números calcula la raíz de una ecuación cualquiera

1.2.1 Datos Requeridos El programa necesita los siguiente datos para que pueda funcionar.

Nota Los datos de entrada se deben ingresar en el Sistema Internacional de Unidades (SI). Caudal Pendiente Coeficiente de Rugosidad Base Talud Izquierdo Talud Derecho

(Q) m3 /s (S) % (n) (b) m (z1) (z2)

1.2.2 Resultados Los resultados de aplicación creada dependerá de los datos ingresados, para ello se programó las siguientes salidas: El tirante El tirante se calcula con la ecuación ?? La velocidad es igual a: V =

Q A

(2.4)

Espejo de agua es igual a: T = z1 y + z2 y + b

Ingeniería Civil

(2.5)

Pag. 4

Capitulo 1

REFERENCIA TEÓRICA

UNSCH

Características: Tirante −→ y Espejo de agua −→ T Talud izquierdo −→ Z1 Talud derecho −→ Z2

Figure 1.2: Resultados que nos da el Programa Numero de Froude es igual a: √ V T Fr = √ gA

(2.6)

Tipo de flujo depende de la ecuación ?? y si: Fr = 1 : Flujo crítico Fr < 1 : Flujo subcrítico Fr > 1 : Flujo supercrítico Estos son los resultados que se obtendrá al ejecutar el programa.

1.3

Procedimiento

El procedimiento que se recomienda seguir es: 1 Se Creo la aplicación desde el entorno de desarrollo integrado de MATLAB. 2 Luego se diseñó la ventana principal de la aplicación utilizando los controles necesar-

ios. 3 Se asignar códigos a los eventos de los controles utilizados. 4 Declaración de las variables a nivel de funciones y como variables globales. 5 Implementar la aplicación con el uso de las instrucciones de decisión e iterativas.

Ingeniería Civil

Pag. 5

Capitulo 1

REFERENCIA TEÓRICA

1.4

UNSCH

Método Cerrado

1.4.1 Método de Regla Falsa

ulo Numérico

Luis Castellanos Es una versión mejorada 11 del Método de Bisección. Este método une los puntos extremos del intervalo con una línea recta, y la intersección de la misma con el eje “X” proporciona una mejor estimación de la raíz. Al reemplazar la curva de laFalsa función, por una recta, da una posición falsa de la raíz. 3. Método de Regla También sedel conoce comode Interpolación una versión mejorada Método Bisección. Lineal. El Algoritmo es idéntico al del Método de Bisección. Sólo cambia la manera de hallar Xr .

te método une los puntos tremos del intervalo con una ea recta, y la intersección de la sma con el eje “X” proporciona a mejor estimación de la raíz.

reemplazar la curva de la nción, por una recta, da una sición falsa de la raíz.

mbién se conoce terpolación Lineal.

como Gráfico 4. Método de la Regla Falsa

Algoritmo es idéntico al del Método delaRegla Falsa étodo deAlgoritmo Bisección.del Sólo cambia manera de hallar Xr.

Escoger valores iniciales X1 y Xu de tal manera que la función cambie de signo sobre

goritmo del Método de Regla Falsa: el intervalo.

Escoger valores iniciales y Xu de función cambie . Se halla Xel1 valor realtal (almanera trabajarque con la errores de tolerancia) de signo sobre el La intervalo. primera aproximación se determina con la fórmula: f (Xu )(.X1 − Xu ) Se halla el valor real (al trabajar con errores de tolerancia) Xr = Xu −

f ( X1 ) − f ( Xu )

La primera aproximación se determina con la fórmula

Se evalúa el producto de f (X1 ) × f (Xr ).

f ( X )( X  X u ) X r SiXfu(X1 )xf (Xur ) < 0 1→la raíz está en el 1er subintervalo → Xu = Xr f ( X )  f ( X u ) está en el 2do subintervalo → X = X Si f (X )xf (X 1) > 0 →la raíz 1

r

1

r

Si f (X1 )xf (Xr ) = 0 →la raíz es Xr . Fin. Se determina el error verdadero y el error acumulado (éste luego de la 2da iteración). Se evalúa el error acumulado. Si es menor o igual al error de tolerancia, Fin. Si es mayor, volver al paso 3. Ingeniería Civil

Pag. 6

Capitulo 1

REFERENCIA TEÓRICA

1.5

UNSCH

Método Abierto

1.5.1 Método de Newton-Raphson El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque Luis Castellanos 17 punto inicial a la raíz depende mucho de la o valor supuesto).Cálculo LaNumérico relativa cercanía del naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes geométricamente: grandes en el entorno Sedederiva la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja f ( X i )  0 cercano a la raíz. Una vez que se ha aumentan, lo cual exige seleccionar un f valor supuesto '(X i )  X i 1 i  recta hecho esto, el método linealiza la función porXla tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen deReordenando: dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas f ( X i )iteraciones hasta que el método haya X i 1  X i  f '(X i ) convergido lo suficiente.

Gráfico 5. Método de Newton-Raphson

Ejemplo:

Algoritmo del Método de Newton-Raphson Use el método de Newton-Raphson para hallar la raíz de la ecuación f(x) = e-x – x, con Xo=0.

0

f ( Xi ) − 0 Xi − Xi + 1 Reordenando :

-x f(x) = e-x – x  f’(x)f= -(eX –i )1 =

Xi + 1 = Xi −

f ( Xi ) f 0 ( Xi )

Expresamos la ecuación en la forma f(x) = 0, e identificamos la función “f”. En el ejemplo es: f (X ) = ex −

1 x

f 0 ( X ) = ex +

1 x2

Calculamos la derivada.

Ingeniería Civil

Pag. 7

Capitulo 1

REFERENCIA TEÓRICA

UNSCH

Construimos la fórmula de recurrencia. Xi + 1 = Xi −

exi − x1i exi +

1 x2i

Tomamos una estimación inicial de la solución. En este caso podemos tomar por ejemplo x0 = 1.0, y calculamos las siguientes aproximaciones. Desde el punto de vista práctico, si deseamos aproximar la solución con 6 decimales, podemos detener los cálculos cuando dos aproximaciones consecutivas coincidan hasta el decimal 8. En nuestro caso, obtendríamos: Podemos, entonces, tomar como solución x = 0.567143.

Ingeniería Civil

Pag. 8

Capítulo

IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL

2

2

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.1

Método Newton Raphson

h/ 3

2.1.1 Sección Número 2

h y

h/6

Nota: Para poder calcular el área para un “Y" general descompondremos en áreas parciales. R3 De acuerdo al gráfico y a las variables obtenemos las siguientes igualdades y ecuaciones: R1 = h6 W R2 = h h R3 = h3 R 1 -R R2

2

h-R3

R1

d

Ingeniería Civil

Pag. 9

1

IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL

UNSCH

P3 A3

h A2

P2

A1

P1

Cálculo del Perímetro y Área Total del Canal θ = cos−1



R2 −R3 R2 −R1



P1 = (π − 2θ )R1 A1 = (π − 2θ ) R21

2

h/ 3

Capitulo 2

P2 = 2θR2

h A2 = θR2 2 − {(R1 − R3 )(h − (R1 + R3 ))} P3 = πR3 A3 = π R23 d = R1 −

y 2

(h−(R1 +R3 ))R1 cos(θ ) R1 −R3

h/6

R3

Ɵ

h R2

1 -R R2

h-R3

R1

d

Ingeniería Civil

Pag. 10

Capitulo 2

IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL

UNSCH

R1 R1-y

y

T

Tramo 1: 

w1 = cos−1 1 − Ry1



q

T = 2 2R1 y + y 2 P = 2w1 R1 q

A = w1 R1 2 − (R1 − y ) 2R1 y + y 2

R3 w1

h-R3-y

R2

y

Tramo 2: w2 = sin−1



h−R3 −y R2



q

2

T = 2( R2 2 − [h − (R3 + y )] − R3 ) P = P1 + P2 − 2w2 R2 

A = A1 + A2 − w2 R2 2 +

2(

q

2

R2 2 −[h−(R3 +y )] −R3 )(h−R3 −y ) 4

Ingeniería Civil



− qR2 (h−R3 −y )R3 2

R2 2 −[h−(R3 +y )]

2



Pag. 11

IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL

w3

R3

Capitulo 2

UNSCH

Y+R3+h

h

y

Tramo 3: w3 = sin−1



y−h+R3 R3



q

T = 2 2R3 (h − y ) − (h − y )

2

P = P1 + P2 + 2w3 R3 A = A1 + A2 + w3 R3 2 +

q

2

2R3 (h − y ) − (h − y ) (y + R3 − h)

Interfaz del Programa Problema Aplicativo —-

Datos del Problema 3

Q = 2 ms h = 2m n = 0.014 S = 0.8m/m xi = 0.1

Ingeniería Civil

Pag. 12

Capitulo 2

IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL

UNSCH

Cuadro de Iteraciones

Cuadro de Iteración - Resultados f(xi ) f’(xi ) y(i+1)

Iteraciones

yi

1

0

2.562887809

1.8744069733

2.6

1

2

2.1

2.562887809

1.874406973

1.232694049

1.866134921

3

0.732694049

2.562887809

1.874406973

1.137273055

0.149733295

4

0.637273055

2.562887809

1.874406973

1.135428789

0.002902396

5

0.635428789

2.562887809

1.874406973

1.135428001

1.23976e-06

6

0.635428001

2.562887809

1.874406973

1.135428001

2.02501e-13

Ingeniería Civil

Ea

Pag. 13

Capitulo 2

IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL

UNSCH

2.1.2 Sección Número 4

0.387h

h

0.774h

0.226h

Figure 2.1: Canal de sección 4 La ecuación de Manning

Q=

Donde: Q −→ Caudal (m3 /s) A −→ Area de flujo (m2 ) p −→ Perimetro mojado (m) s −→ Pendiente (m/m) n −→ Coef. de rugosidad

A5/3 P −2/3 s1/2 n

Calculo del Área Hidráulica El área se calculara en función del tirante y. De la figura ??, de la geometría del canal: Para el Caso 1: A(y ) =0.0511hcos−1

(0.226h − y)2 − (0.226h)2 0.226h − y − 0.226(0.226h − y )h 0.226h 0.226h − y h

!

i

Para el Caso 2:  







 (0.613h − y )2 − (0.774h)2   A(y ) =0.0146h + 0.774h − 0.2272h (y − 0.0662h)   0.613h − y "

π 0.613h − y + 0.599h − sen−1 4 0.774h

!

#

"

π 0.613h − y − 0.599Sen − sen−1 4 0.774h

Ingeniería Civil

!

#

Pag. 14

Capitulo 2

IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL

UNSCH

Para el Caso 3: 



(0.387h)2 − (y − 0.613h)2  y − 0.613h  A(y ) =0.3608h + 0.387h(y − 0.0613h) + 0.1497hsen−1 0.387h 0.387h

!

Calculo del Perímetro Mojado El perímetro se calculara en función del tirante y. De la figura 2.33, de la geometría del canal: Para el Caso 1: −1

P (y ) =0.452hcos

−1

P (y ) =0.452hcos

0.226h − y 0.226h

!

!

0.226h − y ×y 0.226h

(1.1)

Para el Caso 2: "

!

#

"

!

#

0.613h − y π − sen−1 P (y ) =20.355h + 1.548h 4 0.774h π 0.613h − y P (y ) =20.355h + 1.548h − sen−1 4 0.774h

(1.2)

Para el Caso 3: y − 0.613h 0.387h

!

P (y ) =1.5708h + 0.774hsen

−1

y − 0.613h 0.387h

!

P (y ) =1.5708h + 0.774hsen

−1

(1.3)

Con las ecuaciones ?? y ?? 2.77 1.1 ?? 1.26estas reemplazando en la Fórmula de Manning se tiene una ecuación que dependerá netamente del tirante (y)

Qn F (y ) = A(y )5/3 P (y )−2/3 − √ s

(1.4)

Para calcular dicha ecuación utilizaremos el método de Newton Raphson, que calcula la raíz de una ecuación no lineal como esta.

Ingeniería Civil

Pag. 15

Capitulo 2

IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL

UNSCH

Con las ecuaciones ?? y ?? 2.77 1.1 ?? 1.26 estas reemplazando en la Fórmula de Manning se tiene una ecuación que dependerá netamente del tirante (y)

Qn F (y ) = A(y )5/3 P (y )−2/3 − √ s

(1.5)

Para calcular dicha ecuación utilizaremos el método de Newton Raphson, que calcula la raíz de una ecuación no lineal como esta. Utilizamos el algoritmo del método Newton Raphson Con los datos obtenidos, ya se puede utilizar el método de Newton Raphson para resolver la ecuación 2.3 no lineal y=y−

F (y ) F 0 (y )

(1.6)

En nuestro Programa Implementamos todo lo requerido para poder resolver el tirante de este tipo de secciones. Para un Valor inicial de “y” de : y = 0.1

Para el Caso 1:

0.226h

 0.226h-y

y T Figure 2.2: Canal de sección 8 con 2 metros de ancho

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Capitulo 2

IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL

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Para el Caso 2:



0.613h-y

0.774h

y

T

Figure 2.3: Canal de sección 8 con 2 metros de ancho Para el Caso 3:



0.387h

y

h 0.774h

T

Figure 2.4: Canal de sección 8 con 2 metros de ancho

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Figure 2.5: Ventana con los datos para el calculo de las caracteristicas hidraulicas de una seccion 8

2.1.3 Seccion 6

Figure 2.6: Canal de sección 6 La ecuación de Manning

Q=

Donde: Q −→ Caudal (m3 /s) A −→ Area de flujo (m2 ) p −→ Perimetro mojado (m) s −→ Pendiente (m/m) n −→ Coef. de rugosidad

A5/3 P −2/3 s1/2 n

Calculo del Área Hidráulica y el perimetro El área se calculara en función del tirante y. De la figura 2.33, de la geometría del canal:

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Calculo de algunas distancias conocidas d = R1 + R3 − h

(1.7)

(R1 + R3 − h)(R2 − R1) R1 R1 + R3 − h θ1 = arcsin( ) R1 r m=

 θ2 = arctan  

(1.8) (1.9) 2



)R2 R32 − ( (R1+R3−h )  R1 (R1+R3−h)R2 R1

 

(1.10)

Para el Caso 1:

Primer tramo 0