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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA LABORATORIO N°3 TÍTULO: Modelado

INTEGRANTES:

Gerson Tenorio Garamendi

14190108

Flores Solís Marco Antonio

14190084

CURSO: Sistemas de control 1 – Laboratorio Sección 2

CICLO: 2017-II

FECHA DE REALIZACIÓN DEL EXPERIMENTO: 16-10-2017, 23-10-2017

FECHA DE ENTREGA DEL INFORME: 30-10-2017

PROFESOR: Malca Fernández, Jean Carlos

1

TABLA DE CONTENIDO: Página

OBJETIVO

3

INTRODUCCION

3

PROCEDIMIENTO

3

2

Objetivos: 1)

Familiarizar al estudiante con el modelado matemático de sistemas físicos para encontrar una función matemática que permita establecer posteriormente la ley de control.

Introducción: a. Función de transferencia La función de transferencia constituye un modelo de comportamiento del sistema que representa, permitiendo abstraernos de su naturaleza física. Dos bloques de igual función de trasferencia se consideran equivalentes desde el punto de vista de control, independiente de la tecnología con que se hayan construidos.

b. Modelado La técnica del modelado es aquella en donde a partir del sistema real aplicando leyes físicas y/o químicas de los elementos, se obtiene una función matemática que representa el comportamiento dinámico del sistema. Veamos con un ejemplo en qué consiste el proceso de modelado. La figura 1 representa un sistema eléctrico conformado por una fuente de tensión, una resistencia R y un capacitor C conectados en serie. La entrada u(t) es la tensión generada por la fuente de tensión, mientras que la salida y(t) es la caída de tensión en el condensador de salida.

A partir del sistema anterior, debemos deducir qué leyes físicas aplicar para la descripción de su funcionamiento. En este caso son las leyes de Kirchhoff de voltajes y corrientes (leyes de conjunto) y las específicas para la resistencia y el capacitor (leyes de los elementos). 1. Aplicando la ley de voltajes : 𝑢(𝑡) − 𝑉𝑅 (𝑡) − 𝑉𝑐 (𝑡) = 0 … (1) donde 𝑉𝑅 (𝑡) es el voltaje en la resistencia R y 𝑉𝑐 (𝑡) es el voltaje en el capacitor C 2. Aplicando la ley de Ohm: 𝑉𝑅(𝑡) = 𝑖(𝑡) ∗ 𝑅 3. Del circuito se observa que: 𝑉𝐶 (𝑡) = 𝑦(𝑡)

… (2)

… (3)

3

4. Reemplazando las ecuaciones 2,3 en la ecuación 1, se obtiene: 𝑢(𝑡) − 𝑖(𝑡) ∗ 𝑅 − 𝑦(𝑡) = 0 5. Además en el capacitador se cumple

… (4)

𝑖𝐶 (𝑡) = 𝐶 𝑑𝑉𝑐 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐶 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 … (5) 6. Por ser el circuito en serie se cumple que: 𝑖𝑐 (𝑡) = 𝑖(𝑡) 7. Sustituyendo la ecuación 6 en la ecuación 5:

… (6)

𝑖(𝑡) = 𝐶 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 8. Reemplazando la ecuación 7 en la ecuación 4:

… (7)

𝑢(𝑡) − 𝑅𝐶 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦(𝑡) = 0

… (8)

𝑅𝐶 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡)

… (9)

La ecuación 10 es la ecuación que modela al sistema eléctrico presentado en la figura 1. A partir de la ecuación 10 se puede obtener la función de transferencia del sistema (con condiciones iniciales nulas): 𝒀(𝒔)𝑼(𝒔)=𝟏𝑹𝑪𝒔+𝟏=𝟏𝑹𝑪⁄𝒔+𝟏𝑹𝑪⁄ …(11) Tanto la ecuación diferencial (ec.10) como la función de transferencia (ec.11) corresponden a modelos matemáticos del sistema, obtenidos mediante el modelo clásico.

Procedimiento: Para el desarrollo de la guía deberá fijar un valor determinado de R, R1, R2, C, L. a. Parte 1. Circuitos R-C i.

Halle la función de transferencia del circuito R-C de la figura 1, considerando la salida el voltaje en el condensador y la señal de entrada al voltaje aplicado.

4

Por Ley de Voltajes de Kirchoff: 𝑢(𝑡) = 𝑅𝑖 + 𝑦(𝑡) =

1 ∫𝑖 𝐶

1 ∫𝑖 𝐶

Aplicando Laplace: 𝑈(𝑠) = 𝑅𝐼(𝑠) + 𝑌(𝑠) =

𝐼(𝑠) 𝐶𝑠

𝐼(𝑠) 𝐶𝑠

Dividiendo: 𝑌(𝑠) 𝑅𝐶𝑠 = 𝑈(𝑠) 𝑅𝐶𝑠 + 1 Considerando R1=150/R2=150/C=47uF/L=100mF (década de inductancia): 𝑌(𝑠) 1 = 𝑈(𝑠) 0.00705𝑠 + 1 ii.

Usando Matlab obtener la respuesta de la FT ante una entrada escalón, impulso.

iii.

Repetir el circuito anterior tomando ahora la salida, al voltaje en la Resistencia. Ahora utilice Simulink.

Por Ley de Voltajes de Kirchoff: 𝑢(𝑡) = 𝑅𝑖 +

1 ∫𝑖 𝐶

𝑦(𝑡) = 𝑅𝑖 Aplicando Laplace: 𝑈(𝑠) = 𝑅𝐼(𝑠) +

𝐼(𝑠) 𝐶𝑠

𝑌(𝑠) = 𝑅𝐼(𝑠) Dividiendo: 𝑌(𝑠) 𝑅𝐶𝑠 = 𝑈(𝑠) 𝑅𝐶𝑠 + 1

5

iv.

Implementar el circuito y obtener la respuesta temporal del sistema.

Respuesta en el condensador:

Respuesta en la resistencia:

6

v.

Comparar las 3 respuestas obtenidas (Simulink, Matlab, Implementación)

Respuesta en Matlab:

Respuesta en implementación:

b. Parte 2: Circuitos R-L-C en serie. i.

Halle la función de transferencia del circuito R-L-C de la figura 2, tomando la salida en C

7

ii.

Usando Matlab o Simulink obtener la respuesta de la FT ante una entrada escalón, impulso, rampa.

Respuesta a escalon:

8

Respuesta a impulso:

iii.

Implementar el circuito y obtener la respuesta temporal del sistema.

9

iv.

Comparar las 3 respuestas obtenidas (Simulink, Matlab, Implementación)

Respuesta en Matlab:

Respuesta en implementación:

Respuesta en Simulink:

10

c. Parte 3: Circuito R-L-C en paralelo: i.

Halle la función de transferencia del circuito R-L-C de la figura 3, tomando la salida en R1. (1) 𝑣(𝑡) − 𝑖1(𝑡)𝑅1 − 𝐿

(2) – 𝐿

𝑑𝑖1(𝑡) 𝑑𝑖2(𝑡) −𝐿 =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑖2(𝑡) 1 𝑑𝑖1(𝑡) 1 𝑑𝑖3(𝑡) − ∫ 𝑖2(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐿 + =0 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡

(3) −

1 1 ∫ 𝑖3(𝑡)𝑑𝑡 − 𝑖3(𝑡)𝑅2 + ∫ 𝑖2(𝑡)𝑑𝑡 = 0 𝐶 𝐶

Aplicando Laplace: 𝐼1(𝑅1 + 𝐿𝑠) + 𝐼2(−𝐿𝑠) + 𝐼3(0) = 𝑉(𝑠) 𝐼1(−𝐿𝑠) + 𝐼2 (𝐿𝑠 +

1 −1 ) + 𝐼3 ( ) = 0 𝐶𝑠 𝐶𝑠

−1 1 𝐼1(0) + 𝐼2 ( ) + 𝐼3 ( + 𝑅2) = 0 𝐶𝑠 𝐶𝑠 Aplicando matrices:

(𝑅1 + 𝐿𝑠) 0 (

0

−𝐿𝑠 1 𝐿𝑠 + 𝐶𝑠 −1 𝐶𝑠

0 −1 𝐶𝑠

1 + 𝑅2 ) 𝐶𝑠

𝑉(𝑠) 𝐼1 (𝐼2) = ( 0 ) 𝐼3 0

Por regla de Cramer: 𝐼1(𝑠) =

𝐿 𝑅2 𝑉(𝑠) (𝐶 + 𝐿𝑠𝑅2 + 𝐶𝑠 )

𝐿 1 + 𝑅1𝑅2(𝐿𝑠 + ) 𝐶 𝐶𝑠 𝐿 𝑉𝑠( + 𝑅2𝐿𝑠) 𝐶 𝐼2(𝑠) = 𝐿 1 (𝑅1 + 𝑅2) + 𝑅1𝑅2(𝐿𝑠 + ) 𝐶 𝐶𝑠 (𝑅1 + 𝑅2)

Reemplazando para e0 y ei: 𝐸0(𝑠) = 𝐼1(𝑠)𝑅1 𝐸𝑖(𝑠) = 𝐼1(𝑠)(𝑅1 + 𝐿𝑠) + 𝐼2(𝑠)(−𝐿𝑠)

11

𝐿𝑅1 𝑅2𝑅1 ( 𝐶 + 𝐿𝑠𝑅1𝑅2 + 𝐶𝑠 ) 𝐸0(𝑠) = 𝐸1(𝑠) (𝐿𝑅1 + 𝐿𝑠𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅1 + 𝐿𝑅2) 𝐶 𝐶𝑠 𝐶 𝐸0(𝑠) 𝑅2𝐿𝑠 =1− 𝐸1(𝑠) 𝐿𝑠(𝑅1 + 𝑅2) + 𝐿𝑠 2 𝑅1𝑅2 + 𝑅1𝑅2

ii.

Usando Matlab o Simulink obtener la respuesta de la FT ante una entrada escalón, impulso, rampa.

Respuesta a escalón:

Respuesta a impulso:

12

iii.

Implementar el circuito y obtener la respuesta temporal del sistema.

iv.

Comparar las 3 respuestas obtenidas (Simulink, Matlab, Implementación)

Respuesta en Matlab:

13

Respuesta en implementación:

Respuesta en Simulink:

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