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Implementacion de sistemas discretos En la practica, el diseño y la implementación de sistemas dixscretos se tratan con
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- Carlos Francisco Marte Bloise
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Implementacion de sistemas discretos
En la practica, el diseño y la implementación de sistemas dixscretos se tratan conjuntamente. A menudo el diseño del sistema esta determinado por el método de implementación y sus limitaciones como coste, tamaño, hardwarey potencia. De momento no se han desarrollado todavía las herramientas necesarias para considerar dichos aspectos. Sin embargo, tenemos ya la base necesaria para estudiar algunos esquemas de implementación para la realización de sistemas descritos mediante ecuaciones en diferencias lineales de coeficioentes constantes.
Estructura para la realización de sistemas lienales invariantes en el tiempo
Para empezar, consideremos el sistema de primer orden
( )
(
)
( )
(
)
( )
Que puede realizarse como se muestra en la figura 1.a . Esta realización del sistema usa retardos (memorias) independientes para las muestras de la entrada y la salida y se conoce como forma directa I.Observese que este sistema puede verse como la serie de dos sistemas lineales invariantes en el tiempo. El primero es un sistema no recursivo descrito mediante la ecuación: ( )
( )
(
)
( )
Mientras que el segundo es un sistema recursivo descrito por ( )
(
)
( )
Sin embargo, si se intercambia el orden en una serie de sistemas lineales e invariantes en el tiempo, la respuesta global del sistema no se altera. Por tanto, si intercambiamos el orden de los sistemas recursivos y no recursivos obtendremos una estructura alternativa Figura 1
para la realización del sistema descrito por la ecuación (1). La estructura resultante se muestra en
la figura 1.b. De esta figura obtenemos las ecuaciones en diferencias: ( )
(
( )
( )
)
( )
( )
)
( )
(
Que constituyen el algoritmo alternativo para el calculo de la salida del sistema descrito por la ecuación (1). En otras palabras, las dos ecuaciones en diferencias dadas por (3) y (4) son equivalentes a la ecuación (1). Un analissi detallado de la figura 1 muestra que dos de los elementos retardadores contienen la misma entrada ( ) y por tanto, la misma salida ( ). En consecuencia, estos dos elementos se pueden fundir en uno solo, tal y como se muestran en la figura 1.c Al contrario que la forma directa I, esta realización del sistema necesita un solo elemento retardador para almacenar ( ), y es, por tanto, más eficiente en términos de elementos de memoria. Se denomina forma directa II y es muy usada en la práctica. Estas estructuras pueden extenderse para la realización de los sistemas recursivos lineales e invariantes en el tiempo en general, descritos por la ecuación en diferencias.
( )
(
∑
)
∑
La figura 2 muestra la forma directa I correspondiente a este sistema. Esta estructura necesita retardadores y multiplicaciones. Se puede ver como la serie de un sistema no recursivo
( )
∑
(
)
( )
Y un sistema recursivo
( )
∑
(
)
( )
Figura 2
(
)
( )
Invirtiendo el orden de estos sistemas, como se hizo anteriormente con el sistema de primer orden, obtenemos la forma directa II que se muestra en la figura (3) para . Esta estructura se puede ver como la serie de un sistema recursivo ( )
(
∑
)
( )
( )
Seguido de un sistema no recursivo ( )
∑
(
)
Se observa que si , esta estructura exige un numero de retardadores igual al orden del sistema N. Sin embargo, si , la memoria necesita M elementos. La figura (3) puede facvilmente adaptarse para considerar este caso. Asi tenemos que la forma directa II requiere multiplicadores y * + retardadores. Dado que esta forma necesita el menor numero posible de retardadores se conoce también como forma canonica. Figura 3
Realizacion de sistemas FIR recursivos y no recursivos Se distinguen los sistemas FIR y los sitemas IIR, según la duración de la respuesta impulsional ( ) del sistema sea finita o infinita. También se distingue los sistemas reccursivos causal descritos por la relación entrada salida de la forma , (
( )
)
(
)
(
)-
( )
Y mediante un sistema lineal invariante en el tiempo, por la ecuación de diferencias
( )
∑
(
)
∑
(
)
(
)
De los sistemas causales no recursivos, los cuales no dependen de valores pasados de la salida y, por tanto quedan descritos por una relación entrada-salida de la forma ( )
, ( ) (
)
(
)-
(
)
Y mediante un sistema lineal invariante en el tiempo por la ecuación (10) con .
para
Los sistemas FIR siempre pueden realizarse como sistemas no recursivos. De hecho con , en (10), tenemos una relación entrada-salida de la forma
( )
(
∑
)
(
)
Supongamos que tenemos un sistema FIR de la forma ( )
∑ (
)
(
)
Para calcular la media móvil de la señal ( ). Evidentemente, este es un sistema FIR de respuesta impulsional. ( ) La figura (4) muestra la realización no recursiva del sistema. Supongamos ahora que reescribimos (13) como ( )
∑ (
(
)
, ( )
)
, ( )
Figura 4
(
(
)-
)-
(
)
Ahora (14) representa una realización recursiva del sistema FIR. La estructura correspondiente a esta realización se muestra en la figura (5).
Figura 5
En resumen, podemos considerar los términos FIR e IIR como características que distinguen dos tipos de sistemas y los términos recursivos y no recursivos como maneras de describir la realización e implementación de sistemas. [email protected]