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Unidad 2

Ecuaciones y Funciones

Índice Contenido Ideas clave

3

Ecuaciones

3

Ecuación Lineal

3

Pendiente

4

Ecuación general de segundo grado

6

Función exponencial

7

Función logarítmica

8

Bibliografía

9

Tema 1. Esquema

2

Ideas clave Ecuaciones Comprende una igualdad donde se encuentra como mínimo una incógnita, que debe ser despejada por quien resuelve el ejercicio, obteniendo la igualdad de ambos lados de la ecuación. Ejemplo: 3x + 4 – 22 +18 -34 = -17x + 10 – 5 + 28 3x + 17x = 10 – 5 +28 -4 +22 -18 +34 20x = 67 𝑥=

67 20

Ecuación Lineal Es una igualdad que tienen una o más variables elevadas a la primera potencia, resolverlas significa encontrar el valor de las variables con los que se cumple la igualdad. Ejemplo: Dada la siguiente ecuación 2x + y = 10 utilice los siguientes valores para representar gráficamente la recta. X

-2

-1

0

1

2

Y

14

12

10

8

6

Procedemos a reemplazar cada valor de X en la ecuación dada. 2x + y = 10 2(-2) + y = 10 -4 + y = 10 Y = 10 + 4 Y = 14

2x + y = 10

2x + y = 10

2(-1) + y = 10

2(0) + y = 10

-2 + y = 10

y = 10

Y = 10 + 2 Y = 12

Tema 1. Test

3

2x + y = 10

2x + y = 10

2(1) + y = 10

2(2) + y = 10

2 + y = 10

4 + y = 10

Y = 10 - 2

Y = 10 - 4

Y=8

Y=6

Una vez encontrado cada valor de Y con respeto a X, se procede a graficar.

Pendiente Es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de las abscisas. Sean 𝑃1 (X1; Y1) y 𝑃2 (X2; Y2) dos puntos de una recta, no paralela al eje Y; la pendiente por medio de la fórmula:

𝑚=

𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1

Tema 1. Test

4

Por medio de esta definición, utilicemos dicha fórmula en el siguiente enunciado de problema: 

Ecuación de demanda

Suponga que los clientes demandarán 40 unidades de un producto cuando el precio es de $12.75 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18.75 cada una. Encuentre la ecuación de la demanda, suponga que es lineal. Determine el precio unitario cuando se demandan 37 unidades.

Sea (𝑥, 𝑦) = (𝑁u𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠, 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜), entonces se tienen los puntos. (40; 12.75) (25; 18.75)

 𝑚=

Calculamos la pendiente 18.75−12.75 25 −40



6

𝑚 = −15

𝑚=−

2 5

Utilizamos la ecuación de la recta

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1) 2

𝑦 − 12.75 = − 5 (𝑥 − 40) 2

𝑦 = − 5 𝑥 + 28.75 

Ecuación de demanda

Calculamos el precio cuando se demandan 37 unidades 2

𝑦 = − 5 (37) + 28.75

𝑦=−

𝑦=

74 5

+ 28.75

− 74 + 143.75 5

Tema 1. Test

5

𝑦 =

62.75 5

𝑦 = 13.95

Ecuación general de segundo grado Las ecuaciones de segundo grado son de la forma

ax2+ bx + c = 0, siendo a, b y c

números reales (siendo a distinto de cero), donde x recibe el nombre de variable o incógnita, a y b se llaman coeficientes de las incógnitas y c recibe el nombre de término independiente. Su fórmula es la siguiente: 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Ejemplo: 5x2 + 3x – 2 Reconocer: a: 5 b: 3 c: -2 Reemplazar en la formula. −3 ± √32 − 4 ∙ 5 ∙ −2 −3 ± √9 + 40 −3 ± √49 −3 ± 7 𝑥= 𝑥= 𝑥= 2∙5 10 10 10 −3+7 4 = 10 10

𝑥= X1= X2=

−3−7 10

=−

10 10

= -1

Tema 1. Test

6

Función exponencial Una función exponencial con base 𝑎 es una función de la forma (𝑥) = ax, donde 𝑎 y 𝑥 son números reales tal que 𝑎 > 0 y a es diferente de uno. Ejemplo: Dada la siguiente función y = 2x

Se procede a graficar la función:

Tema 1. Test

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Función logarítmica Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación 𝑓−1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si (𝑥) = 𝑏𝑥, en lugar de usar la notación 𝑓−1(𝑥), se escribe log 𝑏 (𝑥) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación log 𝑏 (𝑥)como el “logaritmo de 𝑥 con base 𝑏”, y llamamos a la expresión log 𝑏 (𝑥) un logaritmo. Ejemplo: Dada la siguiente función

Procedemos a graficar

Tema 1. Test

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Bibliografía 

Arya, J. C., & Lardner, R. (2009). MATEMÁTICAS APLICADAS. México: Pearson Educación.



ESPOL. (2006). Fundamentos de Matemáticas para bachillerato. Guayaquil: ESPOL.



Gallinari, A. (2003). Bases de Matemáticas. ESCET.

Tema 1. Test

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