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• Diego Masias

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TECSUP

Cálculo Diferencial e Integral

UNIDAD III

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES 1.

INTRODUCCIÓN Consideremos la ecuación y  f ( x) en donde f es una función. En muchas aplicaciones la variable independiente x puede cambiar ligeramente y es necesario encontrar el cambio correspondiente de la variable dependiente y. Un cambio en x se denota frecuentemente por el símbolo x (que se lee “delta x”). Por ejemplo, si x varía de x1 a x2, entonces:

x  x 2  x1 .

El número x es el incremento de x. Nótese que x 2  x1  x , es decir, el nuevo valor de x2 es igual al valor inicial x1 más el incremento x . El símbolo y se usa para denotar el cambio en la variable dependiente y que corresponde a x . Entonces:

y  f ( x 2 )  f ( x1 )  f ( x1  x)  f ( x1 )

En ocasiones se utiliza x para representar el valor inicial de la variable dependiente. En ese caso, para indicar un cambio (pequeño) de esta variable, se dice que x tiene un incremento x Ejemplo: Sea: y  3x 2  5 . Calcular y cuando x cambia de 2 a 2,1. Solución Deseamos calcular y cuando x = 2 y x  0,1 . y  f ( x  x)  f ( x)  f (2,1)  f (2)



 



 3(2,1) 2  5  3(2) 2  5  1,23

La notación de incremento puede usarse para definir la derivada de una función. Así: f ' ( x )  lim

x 0

y x

De dicha relación se advierte que si f ' ( x ) existe, entonces x  0 .

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y  f ' ( x ) cuando x

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O bien:

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y  f ' ( x).x Cuando x  0

... (1)

Ejemplo: Sea: y  3x 2  5 . Utilizar f ' ( x).x para estimar y cuando x cambia de 2 a 2,1. Solución Sea f ( x)  3x 2  5 , en el ejemplo anterior se vio que y  1,23 En este ejemplo, x = 2 y x  0,1 y y  6(2)( 0,1)  1,2

Obsérvese que el valor 1,2 coincide con el valor exacto hasta la primera cifra desconocida. DEFINICIÓN Se llama diferencial dx de la variable independiente x a dx  x Se llama diferencial dy de la variable dependiente y a dy  f ' ( x).x Ejemplo: El radio de un globo esférico mide 30cm y el error máximo en la medición es de 0,15cm. Estimar el máximo error que se comete al calcular el volumen de la esfera. Solución Consideremos primero la fórmula general que relaciona el radio con el volumen. Definimos: x = valor medido del radio. x = error máximo en x

Si se calcula el volumen V del cilindro usando el valor medido x, entonces: V

4 3 x . 3

Sea V el cambio en V correspondiente a x . Podemos interpretar V como el error en el volumen calculado debido al error x . Podemos estimar V como sigue: V  V' ( x).x  4x 2.x

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Finalmente, sustituimos los valores de x = 30 y x = 0,15 cm. Obtenemos: V  4(30)2 .(0,15)  540  1696

Por lo tanto, el error máximo posible en el volumen calculado debido al error de medición del radio es, aproximadamente, 1696 cm3. DEFINICIÓN Sea x una medida con un error máximo x . Por definición, (I) ERROR MEDIO 

x x

(II) ERROR PORCENTUAL = (ERROR MEDIO) X (100%)

Ejemplo: El radio de un globo esférico mide 30cm con un error máximo en la medición de 0,15cm. Estimar el error medio y el error porcentual para el valor calculado del volumen. Solución Tenemos que: V  1696cm3 el volumen calculado es V 

ERROR MEDIO 

4 (30)3  36000cm3 3

V 540   0,015 V 36000

ERROR PORCENTUAL  (0,015)(100%)  1,5% Podemos calcular también los errores respectivos en la medición del radio: ERROR MEDIO 

x 0,15   0,005 x 30

ERROR PORCENTUAL  (0,005)(100%)  0,5% Nótese que esto da un error porcentual del 1,5% para el volumen.

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BLOQUE II

1.

El radio de la tapa circular de un pozo de alcantarilla es de 40cm aproximadamente, con un error en la medición de 0,15cm. Utilizando diferenciales, estime el error máximo en el cálculo del área de un lado de la tapa. Calcule el error medio y el error porcentual.

2.

El lado de una baldosa cuadrada mide 30cm con un error en medición de 0,15cm. Use diferenciales para estimar el error máximo en el cálculo del área. Calcule el error medio y el error porcentual.

3.

Emplee diferenciales para estimar el incremento de en volumen de un cubo cuando sus lados cambian de 10 a 10,1cm. ¿Cuál es el incremento exacto del volumen?

4.

Un globo esférico se infla con gas. Use diferenciales para estimar el incremento del área de la superficie del globo cuando el diámetro varía de 60cm a 60,6cm.

5.

Un lado de una casa tiene la forma de un cuadrado coronado por un triángulo equilátero. La base mide 48pie con un error máximo en la medición de 1pulg. Calcule el área del lado y use diferenciales para estimar el error máximo cometido en el cálculo. Evalúe el error medio y el error porcentual.

6.

La arena que se escapa de un recipiente va formando un montículo cónico cuya altura es siempre igual a su radio. Use diferenciales para estimar el incremento del radio correspondiente a un aumento de 2cm3 en el volumen del montículo, cuando el radio mide 10cm.

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