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PROGRAMA DE INGENIERÍA MECATRÓNICA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA - UNAB LABORATORIO 4. DISEÑO DE FILTROS DIGITALES NRC

NOTA

INTEGRANTES William Fernando Quintero Quintana Ferney Parra Romero Juan David Navarro Nájera

CÓDIGO U00104379 U00109787 U00098111

TRABAJO PREVIO El diagrama de la figura 1 representa un sistema de control cuyo propósito es mantener el nivel del líquido en el tanque en un nivel deseado. El nivel del líquido se controla mediante un flotador cuya posición h(t) es vigilada. La señal de entrada del sistema en lazo abierto e (t).

Fig. 1 Sistema de control de nivel Los parámetros del sistema y ecuaciones son como sigue

Ra Ki Kb Jm JL N n= 1 N2

Resistencia del motor Constante de par Constante de fuerza contraelectromotriz Inercia del motor Inercia de carga Relación de engranes

Ka A N Kl Ko

Ganancia del amplificador Área del tanque Número de válvulas conectadas al tanque Constante que relaciona la posición del eje θc con el caudal de entrada q i

Constante que relaciona la altura del tanque h con el caudal de salida q o El modelo matemático del sistema eléctrico es

e a ( t )=R a i a ( t )+ K b ωm (t) 2

T m ( t )=k i i a ( t ) =( J m + n J L )

ω m ( t )= d ωm (t ) dt

d θm (t ) dt

θc ( t ) =n θm ( t )

Todas las válvulas conectadas al tanque desde el recipiente tienen las mismas características y son controladas simultáneamente por θ y. Las ecuaciones que gobiernan el volumen del flujo son como sigue:

q i ( t )=K l N θc (t)

q o (t)=K 0 h (t)

1. Determinar la función de transferencia

G ( s )=

A

dh(t) =q i ( t )−qo (t ) dt

h( s) en función de los parámetros del sistema. En el e (s )

informe debe anexar el procedimiento matemático. Función de transferencia

G( s)

G=

N∗ki∗kl∗n ( A∗JL∗Ra∗n + A∗Jm∗Ra ) s + ( JL∗Ra∗ko∗n2+ Jm∗Ra∗ko+ A∗kb∗ki)∗s2 + Kb∗ki∗ko∗ 2

3

2. Asumir un valor para cada parámetro del modelo matemático y determinar la función de transferencia G ( s ). Graficar el diagrama de magnitud en frecuencia y determinar el periodo de muestreo T m adecuado para discretizar la función de transferencia. Valor de los parámetros Función

de

transferencia

G( s) Diagrama de magnitud en frecuencia

Figura 1. Diagrama de Bode con integrador

Ya que tiene integrador, se vuelve a graficar y se obtiene un mejor diagrama

Figura 2. Diagrama de Bode sin integrador

Periodo de muestreo T m

Tm= 0.5764 Se utilizó un criterio de los -40 db con respecto al valor de los decibeles en el estado estable.

Figura 3. Diagrama de Bode para una ganancia en -40 dB.

Justificación de la selección de periodo de muestreo

-

Con este periodo de muestreo se tiene un periodo de muestreo aceptable ya que se puede evidenciar un buen seguimiento del seguimiento.

Evaluar la respuesta de la función de transferencia G ( s ) ante una entrada escalón unitario. Con el periodo de muestreo seleccionado, cuantas muestras se adquieren antes de estabilizar la variable. Respuesta ante una entrada escalón. Determinar el

sobrepaso, tiempo de levantamiento, tiempo de establecimiento y valor en estado estable.

Análisis de los resultados

Para una respuesta con una entrada escalón unitario tenemos un tiempo de establecimiento de 5.87, un tiempo de levantamiento 3.31, un sobrepaso de 0 y se establece en 20.

3. Diseñar un filtro pasabajos de segundo y cuarto orden, de forma que elimine el ruido de alta frecuencia, utilizando la función butter de Matlab. Justificar la selección de la frecuencia de −3 db (criterio de diseño para el fitlro digital), acorde a la dinámica del sistema. Discretizar el filtro utilizando la técnica de mapeo de polos y ceros, dado el periodo de muestreo T m seleccionado en el numeral anterior. En el informe se debe anexar el procedimiento matemático para discretizar cada filtro. Frecuencia

−3 db

1.09 [rad/seg]

Justificació n

La frecuencia a -3 db al ancho de banda. Filtro de segundo orden

Función de transferenci a G(s)

Función de transferenci a G(z )

Respuesta en frecuencia de G( s) y

G(z )

Respuesta ante una entrada escalón unitario de G( s) y G(z )

Ecuación de diferencias

y ( n )=x ( n−1 )+ ( 0.1266 ) x ( n−2 )−¿ +(1.1580) y ( n−1 ) −(0.4112) y (n−2)

Función de transferenci a G(s)

Función de transferenci a G(z )

Filtro cuarto orden

de

Respuesta en frecuencia de G( s) y

G(z )

Respuesta ante una entrada escalón unitario de G( s) y G(z )

Ecuación de diferencias -

y ( n )=x ( n−1 )+ ( 0.1266 ) x ( n−2 )−¿ +(1.1580) y ( n−1 ) −(0.4112) y (n−2)

¿Qué representa la frecuencia de −3 dB para el diseño de un filtro?

Respuesta.

PROCEDIMIENTO 4. Implementar en simulink el diagrama de bloques de la figura 2, configurar los bloques de la siguiente forma: el bloque Repeating Sequence Interpolated debe generar cinco cambios aleatorios de la variable manipuladora, que para este problema es la variable e (t) (garantizar que el tiempo que dura la señal sea el suficiente para estabilizar la variable del proceso, h(t)), el bloque LTI System se debe cargar con la función de transferencia G( s) y el bloque Unit Delay se debe configurar con los siguientes periodos de muestreo T m, 5 T m y 10 T m , donde T m es el periodo de muestreo seleccionado en el trabajo previo. Evaluar la respuesta transitoria de la variable h(t) para cada periodo de muestreo y determinar el número de muestras que se adquieren de la señal, para el primer valor de la señal e (t)

Fig. 2 Diagrama de bloques de simulink Señal e (t )

Periodo de muestreo

Señal h ( t )

Número de muestras

Tm 5Tm 10 T m Análisis de los resultados 5. Agregar ruido blanco a la señal h ( t ) utilizando el bloque band limited White noise de simulink (Fig. 3), configurar la potencia del ruido de forma que represente el ruido captado por un sensor. Filtrar la señal por medio del filtro de segundo y cuarto orden, para lo cual programar en un bloque de Matlab function de simulink el filtro diseñado en el trabajo previo. Los bloques Unit Delay se configuran con un periodo de muestreo T m.

Fig. 3 Filtros digitales -

Completar la siguiente tabla comparando la respuesta análoga (señal cada uno de los filtros digitales. Señal h ( t ) con respuesta transitoria de segundo orden Señal h ( t ) con respuesta transitoria de cuarto orden

-

h(t) con ruido) con la salida de

ruido y del filtro ruido y del filtro

¿Qué diferencias observa entre un filtro de segundo y cuarto orden en la respuesta transitoria? Respuesta.

-

¿Por qué razón, al aumentar el orden del filtro el retardo en la señal aumenta? Respuesta.

-

¿Qué se entiende por un filtro de fase cero? ¿Qué ventajas presentan estos filtros en la etapa de procesamiento de la señal? ¿Cómo se realiza su implementación? Respuesta.

6. Manteniendo las constantes del filtro digital, modificar el periodo de muestreo de cada bloque Unit Delay a 10 T m . Repetir las simulaciones del numeral anterior y completar la siguiente tabla. Señal h ( t ) con ruido y respuesta transitoria del filtro de segundo orden Señal h ( t ) con ruido y

respuesta transitoria del filtro de cuarto orden -

¿Qué efecto observa en la respuesta transitoria de la salida del filtro al modificar el periodo de muestreo? Respuesta.

-

¿La frecuencia de corte del filtro cambia al modificar el periodo de muestreo o se mantiene igual, debido a que no hubo cambio en las constantes del filtro? Respuesta.

CONCLUSIONES 7. Entre las conclusiones, analizar los siguientes puntos: - Efecto de modificar el periodo de muestreo en la etapa de adquisición de datos - Metodología para el diseño de un filtro digital - Criterios para la selección del periodo de muestreo. - Importancia de los filtros digitales en el procesamiento de la señal proveniente de un sensor. ANEXOS Código para los circuitos de orden 2:

Código para los circuitos de orden 4:

Código para el filtro de orden 2: