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Probabilidad (100402) Grupo 294

Tarea 3–Experimentos aleatorios y distribuciones de probabilidad

Estudiante: Hoover Quintero

Tutor Edgar Eliecer Blanco

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Bogotá D.C. 18 de abril de 2021

Desarrollo de actividades Actividad 1. Tabla comparativa de conceptos (Grupal). Tabla Comparativa de Conceptos Concepto

Definición

Variable que toma magnitudes y cambia sin Variable aleatoria seguir una secuencia predecible, es decir toma diferentes valores numéricos. 1 Variable aleatoria Variable que puede tomar cualquier valor numérico de un rango, enteros, fracciones, continua etc. 1 Variable aleatoria Variable que toma número limitado de valores que suelen ser enteros, producto de discreta un conteo. 1 Distribución de Conjunto de todos los posibles resultados probabilidad numéricos a los que se puede asignar un valor de ocurrencia. 1 Distribución de Conjunto de todos los posibles resultados probabilidad que presenta una variable aleatoria continua continua junto con su probabilidad. 1 Distribución de Conjunto de todos los posibles resultados, probabilidad mutuamente excluyentes, que presenta una discreta variable aleatoria discreta. 1 Medida de tendencia central, suma de los Media valores de una variable cuantitativa, dividida por el total de observaciones. 1 Medida de dispersión promedio más Desviación importante, es la raíz cuadrada positiva de la estándar varianza. 1 Media ponderada de todos los resultados Valor esperado posibles que presenta una variable aleatoria. 1

Varianza Función de probabilidad

Medida de dispersión definida como: Promedio de las desviaciones respecto a la media, elevadas al cuadrado. 1 Conjunto de probabilidades con las que una variable aleatoria discreta toma cada uno de sus valores. 2

Variable, formula, o imagen que representa el concepto

Conjunto de probabilidad con las que una variable aleatoria continua toma cada uno de sus valores. 2 Se ocupa de experimentos cuyo resultado Distribución solo puede ser uno de dos posibles, puesto binomial que son mutuamente excluyentes. 1 Aproximación de Cuando n tiende a infinito y p tiende a ser la D. binomial a la cero, de manera que el producto de np sea D. poisson constante. 4 Mide la frecuencia relativa de un evento en Distribución fusión a una unidad de tiempo, espacio o Poisson volumen. 1 Determina la probabilidad de tener un Distribución hipergeométrica determinado número de éxitos de una población con un número de éxitos. 1 La más importante, modela fenómenos, base Distribución de la inferencia por su relación con el normal teorema de límite central. 1 Su objetivo es convertir variables aleatorias Distribución normal estándar normales en estándar (z) mediante una formula de transformación. 1 Totalidad de valores de la población, Área bajo la curva constituyendo el 100% de la probabilidad. 2 Función de densidad

Aproximación normal a la binomial

Para evaluar probabilidades Binomiales siempre que p no esté cercano a 0 o 1. Es buena cuando n es grande. 3

Fuentes: 1. (Rodríguez, J., Pierdant, A., & Rodríguez, E., 2016); 2. (Universidad Carlos III de Madrid, 2009); 3. (Instituto tecnológico de Chihuahua, 2012); 4. (Universidad de Valencia, 2005).

Actividad 2. Ejercicios de aplicación (Individual) Tipo de ejercicios 1 – Distribución Binomial Literal A (Hoover Quintero) Si 22% de las piezas de computadores portátiles que fabrica una maquinaria recién ajustada son defectuosas, calcula la probabilidad de que en seis piezas elegidas al azar se obtenga: Datos para el desarrollo: Se desarrolla mediante la fórmula binomial que es,

( nx) ¿, dónde,

f ( x )=P ( X =x )=

x= número de piezas defectuosas de 6 elegidas al azar. n= número de ensayos = 6 piezas elegidas al azar p= probabilidad de que las piezas sean defectuosas = 22% = 0.22 1-p= probabilidad de que las piezas no sean defectuosas = 78% = 0.78 i.

Una pieza defectuosa. x= 1 pieza defectuosa

6! ¿ f ( 1 ) =P ( X=1 )= 6 ¿f ( 1 ) =P ( X=1 )= 1 1! ( 6−1 ) !

()

(

)

f ( 1 ) =P ( X=1 )=( 6 ) (0.22)( 0.28)f ( 1 ) =P ( X=1 )=0.3811 La probabilidad de que se obtenga una pieza defectuosa de 6 elegidas al azar es de 0.3811 = 38.11%

ii.

Ninguna defectuosa.

x= 0 piezas defectuosas

f ( 0 )=P ( X=0 )= 6 ¿ f ( 0 )=P ( X=0 )=( 1 ) (1)¿f ( 0 )=P ( X=0 )=( 6 ) (0.22)( 0.22) 0

()

f ( 0 )=P ( X=0 )=0.2252 La probabilidad de que no se obtenga ninguna pieza defectuosa de 6 elegidas al azar es de 0.2252 = 22.52%

iii.

Dos piezas defectuosas como máximo. x= de 0 a 2 piezas defectuosas Como ya se calculó P(X=0) =0.2252 y P(X=1) =0.3811, y se tiene que:

P ( X ≤2 ) =P ( X=0 )+ P ( X =1 ) + P( X =2) entonces falta calcular P(X=2)

f ( 2 ) =P ( X=2 )=

6! ¿ (62) ¿f ( 2) =P ( X=2)=( 2! ( 6−2 ) !)

f ( 2 ) =P ( X=2 )= (15 ) (0.05)(0.37) f ( 2 ) =P ( X=2 )=0.2687

Se tiene que,

P ( X ≤2 ) =P ( X=0 )+ P ( X =1 ) + P( X =2) P ( X ≤2 ) =0.2252+ 0.3811+0.2687 P ( X ≤2 ) =0.875 La probabilidad de que se obtengan dos piezas defectuosas como máximo de 6 elegidas al azar es de 0.2252 = 22.52%

Tipo de Ejercicio 2. Distribución Poisson Literal A (Hoover Quintero) El número promedio de derrames de crudo que se presentan en el río Magdalena es de 0.35 al mes. Cuál es la probabilidad de que el próximo mes se presenten: Datos para el desarrollo: Se desarrolla mediante la fórmula de poisson que es,

x

e−¿×❑ , dónde, f ( x )=P ( X =x )= ¿ x!

= promedio de derrames de crudo en el río Magdalena = 0.35 al mes. i.

Dos derrames. x= 2 derrames de crudo en el río Magdalena al mes x

−0.35

e e−¿×❑ ( ) f ( x )=P ( X =x )= ¿f 2 =P ( X=2 )= x!

f ( 2 ) =P ( X=2 )=

×0.352 2!

0.70469 ×0.1225 f ( 2 ) =P ( X=2 )=0.0432 2

La probabilidad de que se presenten dos derrames de crudo en el río Magdalena en un mes es de 0.0432 = 4.32%

ii.

Más de 1 derrame.

x= X>1 derrame de crudo en el río Magdalena al mes, como no puede haber medio derrame, entonces se asume de 2 derrames en adelante, es decir X ≥ 2. Se tiene que,

P ( X ≥2 ) =1−(P ( X =0 ) + P ( X =1 )) Por lo tanto, se debe calcular la probabilidad de que no ocurra ningún derrame y luego de que ocurra 1 derrame, así poder calcular la probabilidad de que ocurra más de 1 x

−0.35

e e−¿×❑ ( ) f ( x )=P ( X =x )= ¿f 1 =P ( X=1 )= x!

f ( 1 ) =P ( X=1 )=

×0.351 1!

0.70469 ×0.35 f ( 1 ) =P ( X=1 )=0.2466 1

La probabilidad de que se presenten un derrame de crudo en el río Magdalena en un mes es de 0.2466. x

−0.35

e e−¿×❑ ( ) f ( x )=P ( X =x )= ¿f 0 =P ( X=0 )= x!

f ( 0 )=P ( X=0 )=

× 0.350 0!

0.70469 ×1 f ( 0 )=P ( X=0 )=0.7047 1

La probabilidad de que no se presenten derrames de crudo en el río Magdalena en un mes es de 0.7047. Tenemos que,

P ( X ≥2 ) =1−(P ( X =0 ) + P ( X =1 ))P ( X ≥2 ) =1−( 0.7047+0.2466) P ( X ≥2 ) =1−0.9513P ( X ≥2 ) =0.0487

La probabilidad de que se presenten más de 1 derrame de crudo en el río Magdalena en un mes es de 0.0487=4.87%

Tipo de Ejercicio 3. Distribución hipergeométrica Literal A (Hoover Quintero) Cada uno de 15 air fryer de cierta marca ha sido regresada a un distribuidor debido a que el sistema de encendido digital se bloquea. Suponga que 9 de estos air fryer tienen un encendido digital defectuoso y que los otros 6 tienen problemas menos serios. Si los air fryer se examinan en orden aleatorio, Cuál es la probabilidad de que entre los primeros 8 examinados.

Datos para el desarrollo: Se desarrolla mediante la fórmula hipergeométrica que es,

k N−k ( x )( n−x ) f ( x )=P ( X =x )= , dónde, N (n) N= Los 15 air fryer que han sido regresados a un distribuidor k= 9 air fryer que tienen un encendido digital defectuoso n= Los primeros 8 air fryer examinados i.

6 tengan un encendido digital defectuoso x= 6 air fryer con encendido digital defectuoso k N−k 9 15−9 9 6 ( ( ( x )( n−x ) 6)( 8−6 ) 6)( 2 ) f ( x )=P ( X =x )= f ( 6 )=P ( X=6 )= f ( 6 )=P ( X=6 )= ( Nn ) (158) (158 )

9! 6! ( )( 6 ! ( 9−6 ) ! 2 ! ( 6−2 ) ! ) ( 84 )( 15 ) f ( 6 )=P ( X=6 )= f ( 6 )=P ( X=6 )= ( 6435 ) 15 ! ( 8 ! ( 15−8) ! )

f ( 6 )=P ( X=6 )=

1260 f ( 6 )=P ( X=6 )=0.1958 ( 6435 )

La probabilidad de que 6 air fryer de los primeros 8 examinados tengan un encendido digital defectuoso es de 0.1958=19.58%

ii.

Entre 3 y 7 inclusive tengan el encendido digital defectuoso x= de 3 a 7air fryer con encendido digital defectuoso=3≤X≤7 Se tiene que, P ( 3≤ X ≤ 7 )=1−( P ( X =2 )+ P ( X=8 )) Ya que es imposible calcular P(X=0) y P(X=1), se empieza a calcular desde P(X=2), y como se quiere conocer la probabilidad de todo lo que está contenido entre 3 y 7, incluyéndolos, y sabiendo que la probabilidad del conjunto total es 1, entonces al restar P(X=8)+P(X=2), queda la probabilidad que se quiere averiguar. Se procede a calcular las probabilidades para X=2 y X=8. k N−k 9 15−9 9 6 ( )( ) ( )( ) ( x n−x 2 8−2 2 )( 6 ) f ( x )=P ( X =x )= f ( 2 ) =P ( X=2 )= f ( 2 ) =P ( X=2 )= ( Nn ) (158 ) (158 ) f ( 2 ) =P ( X=2 )=0.0056 La probabilidad de que 2 air fryer de los primeros 8 examinados tengan un encendido digital defectuoso es de 0.0056

k N−k 9 15−9 9 6 ( )( ) ( )( ) ( x n−x 8 8−8 8)( 0 ) f ( x )=P ( X =x )= f ( 8 )=P ( X=8 )= f ( 8 )=P ( X=8 )= ( Nn ) (158) (158) f ( 8 )=P ( X=8 )=0.0014 La probabilidad de que 8 air fryer de los primeros 8 examinados tengan un encendido digital defectuoso es de 0.0014 Se tiene que,

P ( 3≤ X ≤ 7 )=1−( P ( X =2 )+ P ( X=8 ))P ( 3≤ X ≤ 7 )=1−(0.0056+ 0.0014) P ( 3≤ X ≤ 7 )=1−0.007P ( 3≤ X ≤ 7 )=0.993La probabilidad de que entre 3 y 7 inclusive air fryer de los primeros 8 examinados tengan un encendido digital defectuoso es de 0.993=99.3%

Tipo de Ejercicio 4. Distribución normal Literal A (Hoover Quintero)

Suponga que la fuerza que actúa en una columna que ayuda a soportar un edificio está normalmente distribuida con media de 15.0 kilolibras (kips) y desviación estándar de 1.25 kilolibras (kips). Datos para el desarrollo: Se desarrolla mediante la fórmula de la variable aleatoria normal estándar (Z) que es z=

x−μ , donde, σ

=15 kips

=1.25 kips i.

¿Cuál es la probabilidad de que la fuerza sea más de 18 kilolibras? x= más de 18 kips, para lo cual se tomará un x=18.01 kips z=

x−μ 18.01−15 3 z= z= =2.4 σ 1.25 1.25

este resultado se busca en la tabla de distribución normal estándar (z) y da:

P(X>18) =0.0080=0.8%

ii.

¿Cuál es la probabilidad de que la fuerza esté entre 10 y 12 kilolibras? x= entre 10 y 12 kips, entonces 10≤X≤12 10−15 12−15 −5 −3 −5 −3 ≤z≤ ≤z ≤ ≤z ≤ −4 ≤ z ≤−2.4 este resultado se 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 busca en la tabla de distribución normal estándar (z) y da:

Ahora se suman las probabilidades: 0.00823, entonces P(10≤X≤12)= 0.00823=0.823%

Tabla links vídeos explicativos Nombre estudiante Hoover Quintero

Ejercicios sustentado s Pregunta x

Link video Explicativo

Bibliografía Instituto tecnológico de Chihuahua. (2012). Aproximación de la normal a la binomial. Ingeniería industrial: Instituto tecnológico de Chihuahua.

http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/002APR OXIMACION%20%20DE%20%20LA%20%20NORMAL%20%20A%20%20LA %20%20BINOMIAL.htm Rodríguez, J., Pierdant, A., & Rodríguez, E. (2016). Estadística para administración (2a Edición) (2.a ed.). Grupo Editorial Patria. Universidad Carlos III de Madrid. (2009, agosto). Tema 3: Probabilidad y variables aleatorias. Estadística I. Grado en administración de empresas. http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/aarribas/eng/docs/estI_grado/estI G_tema3.pdf Universidad de Valencia. (2005). Convergencia Binomia-Poisson. Modelos de probabilidad. https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de %20probabilidad/binopois.htm