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• Kaztenny Guerrero

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CAPITULO 3. FUERZA ESPECÍFICA 3.1 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO. El concepto de impulso se puede introducir mucho antes del conocimiento sobre el cálculo diferencial e integral con algunas consideraciones. Si la masa no varía con el tiempo, la cantidad de movimiento se puede tomar como el simple producto entre la velocidad (v) y la masa (m). Según la segunda ley de Newton, si la masa “m” se aplica a la fuerza “F” aquella adquiere una aceleración “a”, de acuerdo con la expresión: 𝐹 = 𝑚𝑎 Multiplicando ambos miembros por el tiempo “t” en que se aplica la fuerza “F” : 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 Como 𝑎𝑡 = 𝑣 , tenemos: 𝐹𝑡 = 𝑚𝑣 Y finalmente:

𝐼 = 𝐹𝑡

Que es el equivalente cuando la fuerza no depende del tiempo. Un impulso cambia el momento lineal de un objeto, y tiene las mismas unidades y dimensiones que el momento lineal. Las unidades del impulso en el Sistema Internacional 𝑚 son [𝑘𝑔 𝑠 ]. Para deducir las unidades podemos utilizar la definición más simple, donde tenemos: 𝐹𝑡 = 𝑚𝑣 [𝑁𝑠] = [𝑘𝑔 Considerando que [𝑁] = [𝑘𝑔

𝑚 ], 𝑠

𝑚 ] 𝑠

y sustituyendo, resulta: [𝑘𝑔

𝑚 𝑚 𝑠] = [𝑘𝑔 ] 2 𝑠 𝑠

Y efectivamente: [𝑘𝑔

𝑚 𝑚 ] = [𝑘𝑔 ] 𝑠 𝑠

Con lo que hemos comprobado que ⌈𝐼⌉=⌈𝑀⌉ , por lo que el impulso de la fuerza aplicada es igual a la “cantidad de movimiento” que provoca, o dicho de otro modo, el incremento de la cantidad de movimiento de cualquier cuerpo es igual al impulso de la fuerza que se ejerce sobre él. Cantidad de movimiento. La cantidad de movimiento se define como el producto de la masa de un cuerpo material por su velocidad para luego analizar su relación con la ley de Newton a través del teorema del impulso y la variación de la cantidad de movimiento La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

Si una partícula de masa “m” se mueve experimentando un cambio de velocidad dV en un tiempo dt, este fenómeno ha sido provocado por una fuerza “F” que, en general, es la resultante de un sistema de fuerzas F1 que actúa sobre la partícula. El Momentum se define como el producto de la masa de un cuerpo y su velocidad. El cambio de momentum es: Cambio de momentum = m(∆v) En un sentido instantáneo:

Cambio de momentum= m(dv)

Siempre que la magnitud o dirección de la velocidad de un cuerpo cambie, se requiere una fuerza para llevar a cabo dicho cambio. La segunda ley de Newton del movimiento se utiliza con frecuencia para expresar este concepto en forma matemática; la manera más común es: 𝐹 =𝑚∗𝑎 Fuerza es igual a masa por aceleración; la aceleración es la rapidez de cambio de velocidad: 𝑣

𝑎=𝑡=

𝑣𝑓− 𝑣𝑖 𝑡

.

Sin embargo, puesto que la velocidad es una cantidad vectorial que tiene tanto magnitud como dirección, cambiando ya sea la magnitud o la dirección el resultado será una aceleración y por lo tanto se requiere una fuerza externa para provocar el cambio. En problemas de flujo de fluidos, un flujo continuo provoca que se presente una aceleración, por lo que es apropiada una forma diferente de la ecuación de Newton. Debido a que la aceleración es la rapidez de cambio de la velocidad la expresión 𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎 puede escribirse como: 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚

𝑑𝑉 𝑑𝑡

ó

𝐹𝑑𝑡 = 𝑚𝑑𝑉

𝑚

El término ∆𝑡 puede interpretarse como la velocidad de flujo de masa, esto es, la cantidad de masa fluyendo en un determinado lapso. Al primer término se le llama impulso y al segundo cantidad de movimiento. La ley del impulso expresada por la ecuación anterior indica que ambos términos deben ser iguales cuando se refieren a una partícula en movimiento. Si se considera ahora un escurrimiento permanente con gasto Q y se eligen dos secciones, 1 y 2, de dicho escurrimiento, la masa que fluye por cualquiera de ellas en un tiempo Δt, es: 𝑚= 2

∑ 𝐹𝑖 = 𝑡=1

𝐹=

𝛾𝑄 ∆𝑡 𝑔

𝛾𝑄 (𝑉 − 𝑉1 ) 𝑔 2 𝛾𝑄 ∆𝑉 𝑔

De acuerdo con la segunda ley de movimiento, de Newton, el cambio de momentum por unidad de tiempo en el cuerpo de agua en un canal es igual a la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Al aplicar este principio a un canal de

pendiente alta (figura 3.1), puede escribirse la siguiente expresión para el cambio de momentum por unidad de tiempo en el cuerpo de agua contenido en las secciones 1 y 2: 𝑄𝛾 𝑔

(𝑉2 − 𝑉1 ) = 𝑃1 − 𝑃2

Se conoce como la ecuación de momentum.

Donde: Q : Es el gasto en m3/S; 𝛾 : Es el peso específico del agua en kg/m3, V : Es la velocidad en la sección 1 y 2; 𝑃1 𝑦 𝑃2 : Son las presiones resultantes que actúan en las dos secciones.

3.1.1 FUERZA HIDRODINÁMICA. Cuando se examina la aplicación de la segunda ley de movimiento de Newton en los problemas básicos de flujo permanente en canales abiertos, es conveniente comenzar con el caso de un problema general, como se muestra esquemáticamente en la (figura 3.1). Dentro del volumen de control definido en esta figura, hay una pérdida desconocida de energía y/o fuerza actuante sobre el flujo entre las secciones 1 y 2; el resultado es un cambio en la cantidad de movimiento lineal de flujo. En muchos casos, este cambio en la cantidad de movimiento se asocia con un cambio en el tirante del flujo.

Figura 3.1. Aplicación del principio de momentum.

Figura 3.2. Principio de momentum aplicado al flujo sobre un vertedor de cresta ancha. Para la aplicación del principio de Momentum o cantidad de movimiento, se considera que se satisface las siguientes condiciones: a) El canal es horizontal y de sección constante. b) Se desprecia los efectos de las fuerzas externas de fricción y del peso del agua. Luego θ=0 y Ff=0 Para el volumen líquido comprendido entre las secciones en estudio, se expresa la ecuación: ∑𝐹 =

𝛾𝑄 (𝑉2 𝑔

(3.1)

− 𝑉1 )

En la que “F” es la resultante de todas las fuerzas que actúan dentro del líquido, de masa específica, comprendida entre las secciones mencionadas. ∑F= P2-P1+Wsenθ-Ff. P1= Empuje hidrostático en la sección (1) P2= Empuje hidrostático en la sección (2) De acuerdo a la figura 3.1, se tiene: P2 - P1+ W senθ - Ff = Por lo tanto la expresión 3.1 queda :

𝛾𝑄 (𝑉2 𝑔

P2 - P1+ W senθ - Ff =

− 𝑉1 )

𝛾𝑄 (𝑉2 𝑔

− 𝑉1 )

Siendo : P1= 𝛾A1zg1 ; P2 = 𝛾A2zg2 ; zg1 y zg2 Las profundidades de los centros de gravedad de las secciones (1) y (2), además aplicando la condición a y b, de este modo, la ecuación anterior se transforma en la siguiente: 𝛾𝐴1 𝑧𝑔1 − 𝛾𝐴2 𝑧𝑔2 =

𝛾𝑄 (𝑉 − 𝑉1 ) 𝑔 2

Como en el movimiento constante: Q= A1V1=A2V2, dividiendo todos los términos por "𝛾" y agrupándolos convenientemente.

𝐴1 𝑧𝑔1 − 𝐴2 𝑧𝑔2 =

𝑄 𝑄 𝑄 ( − ) 𝑔 𝐴2 𝐴1

𝐴1 𝑧𝑔1 − 𝐴2 𝑧𝑔2 = 𝑄2 𝑔𝐴1

𝑄2 𝑄2 − 𝑔𝐴2 𝑔𝐴1

+A1zg1 =

𝑄2 𝑔𝐴2

+A2zg2

(3.2)

𝐹𝑒1 =

𝑄2 𝑔𝐴

+ 𝐴𝑧𝑔

(3.2a)

Cada miembro de esta igualdad se compone de dos partes. La primera parte es el empuje en el área mojada y la segunda, la cantidad de movimiento en la misma sección, ambas se refieren a la unidad de peso del fluido Puesto que ambas partes son básicamente fuerzas por unidad de peso del agua, su suma se denomina Fuerza Específica y se representa por el símbolo (Fe). Así, para el canal en las condiciones mencionadas: 𝐹𝑒1 =𝐹𝑒2 d d1

dc

C

Flujo Subcrítico Flujo Supercrítico

d2

M Mc

M

3.1.2 FUNCIÓN MOMENTUM O DE FUERZA ESPECÍFICA DEFINICIÓN. La fuerza específica, expresa el momentum del flujo que pasa a través de la sección del canal por unidad de tiempo y por unidad de peso del agua y la fuerza por unidad de peso del agua. Ahora bien; consideremos un canal de sección transversal cualquiera donde se produce el salto hidráulico y el volumen de control limitado por las secciones 1 y 2 (antes y después del salto, por el piso del canal y por la superficie libre figura 3.3).

Figura 3.3 Análisis del salto hidráulico.

3.1.3 ANÁLISIS DE LA CURVA M-d. Para un gasto dado, la función “M” es únicamente del tirante, de manera similar a la energía específica. Su representación geométrica en un plano M-d, consiste en una curva similar a la de E-d con la única diferencia que tiene asíntota exclusivamente en la rama inferior. Para un valor dado de la función “M”, la curva tiene dos posibles tirantes d1 y d2 que reciben el nombre de “conjugado menor y mayor”, y que, de acuerdo con la ecuación: Q2 Q2  z g 1 A1   z g 2 A2 gA1 gA2

(M1= M2) corresponde a los tirantes antes y después del salto.

Figura 3.4. Curvas de momentum y energía específica para un salto hidráulico.

Figura 3.5. Características del salto hidráulico, se aprecia el diagrama de Fuerza específica. CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL SALTO HIDRÁULICO. Las principales características de los saltos hidráulicos en canales rectangulares horizontales son: PÉRDIDA DE ENERGÍA: La pérdida de energía en el salto es igual a la diferencia de las energías específicas antes y después del resalto. Se puede demostrar que la pérdida es:

(d  d ) E  h f  E1  E2  2 1 4d1d2

3

(3.5)

La relación ΔE/E1 se conoce como pérdida relativa. Donde: d2= Tirante conjugado mayor o altura del salto, en m. d1= Tirante conjugado menor, en m. E1= Energía específica en la sección 1, en m. E2= Energía específica en la sección 2, en m. También se puede determinar la pérdida de energía del salto por medio de la expresión de 1 H Manning; V  R 2 / 3 * S 1 / 2 ; pero S  ; por lo tanto sustituyendo el valor de la n L

1 2/3 H  pendiente (S), en la ecuación de Manning, se tiene que: V  R *   n L

1/ 2

, despejando

a H de esta ecuación, tenemos que: 2

V * n  H f   2/3  L R  Donde: Hf=pérdida de energía por fricción en m. V= velocidad media, m/s. R= radio hidráulico, m. L= longitud del salto hidráulico.

(3.6)

n= coeficiente de rugosidad de Manning. 3.2.3 LONGITUD DEL SALTO HIDRÁULICO. La longitud del alto ha recibido gran atención de los investigadores pero hasta ahora no se ha desarrollado un procedimiento satisfactorio para su cálculo, sin duda esto se debe al hecho de que el problema no ha sido analizado teóricamente así como a las complicaciones prácticas derivadas de la inestabilidad general de fenómeno y la dificultad en definir las secciones de inicio y final del salto. Longitud del salto (L): Se define como la distancia medida entre la sección de inicio y la sección inmediatamente aguas abajo en que se termine la zona turbulenta (fig.3.25a,b y 3.26). En teoría, esta longitud no puede determinarse con facilidad, pero ha sido investigada experimentalmente por muchos ingenieros hidráulicos. La zona donde las turbulencias son notables y susceptibles de producir daños al canal mientras se estabiliza el flujo abarca una distancia conocida como longitud del salto y debe protegerse con una estructura adecuada llamada tanque amortiguador.

Figura 3.25a y b Longitud del salto hidráulico.

Figura 3.26

Ejemplo 3.1 Como se muestra en la figura, se está descargando agua de un depósito bajo una compuerta de esclusa a una velocidad de 18 m3/s en un canal rectangular horizontal de 3 m de ancho fabricado de concreto formado semiterminado. En un punto donde la profundidad, de 3 m, se observa que se presenta un salto hidráulico. Determine lo siguiente: a. b. c. d.

La velocidad antes del salto. La profundidad después del salto. La velocidad después del salto. La energía disipada en el salto.

Datos: Q=18 m3/s B=b=3m d=3m d1=1 m

Solución para el inciso a) Determinación del área antes del salto: 𝐴1 = 𝑏𝑑1 = (3)(1) = 3𝑚2 Determinación de la velocidad antes del salto: 𝑉1 =

𝑄 18 = = 6 𝑚/𝑠 𝐴1 3

Determinación del número de Froude: 𝐹=

𝑉 √𝑔𝑑

=

6 √(9.81)(1)

=

6 = 1.92 9.81

El flujo se encuentra en un rango supercrítico.

Determinación del conjugado mayor d2: 𝑑1 1 𝑑2 = ( ) (√𝑑1 + 8𝐹𝑟 2 − 1) = ( ) (√1 + 8(1.92)2 − 1) = 2.26 𝑚 2 2 Determinación del área después del salto A2: 𝐴2 = 𝑏𝑑2 = (3)(2.26) = 6.78𝑚2 Determinación de la velocidad antes del salto: 𝑉2 =

𝑄 18 = = 2.65 𝑚/𝑠 𝐴2 6.78

Determinación de la pérdida de energía: ℎ𝑓 =

(𝑑2 − 𝑑1 )3 (2.26 − 1)3 2 = = = 0.221 𝑚 4𝑑1 𝑑2 4(1)(2.26) 9.04

Esto significa que 0.221 N*m de energía se disipa de cada Newton de aguas conforme esta fluye a través del salto.

Ejemplo 3.2 Con base en la siguiente figura calcule la carga “H” sobre el vertedor y la altura “P” para que se presente un salto hidráulico claro al pie del cimacio indicado en la figura.

Datos: L=B=b= 22.0 m d1= 0.80 m d2= 4.20 m C= 2.10 Solución: Con los datos que se tienen se procede a determinar el número de Froude aplicando la ecuación del salto hidráulico para canales rectangulares, puesto que se conocen los tirantes conjugado mayor y menor respectivamente. 𝑑1 𝑑2 = [√1 + 8𝐹𝑟 2 − 1] 2 Despejando el número de Froude ( 𝐹𝑟 2 ): 2𝑑2 = 𝑑1 [√1 + 8𝐹𝑟 2 − 1] 𝑑2 2 ( ) = [√1 + 8𝐹𝑟 2 − 1] 𝑑1 𝑑2 2 ( ) + 1 = √1 + 8𝐹𝑟 2 𝑑1 Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación, se tiene: 2 2 𝑑2 [2 ( ) + 1] = (√1 + 8𝐹𝑟 2 ) 𝑑1

2 𝑑2 [2 ( ) + 1] = 1 + 8𝐹𝑟 2 𝑑1 2 𝑑2 [2 ( ) + 1] − 1 = 8𝐹𝑟 2 𝑑1 2

𝑑2

[2( )+1] 𝑑 𝐹𝑟 = √ 1

−1

8

Sustituyendo valores en la presente ecuación se tiene:

𝐹𝑟 =

2 𝑑2 ( ) + 1] −1 [2 √ 𝑑 1

8

=

2 4.2 ( ) + 1] −1 [2 √ 0.8

8

= 4.05

Cálculo de la V1, a partir de la ecuación de Froude: 𝐹𝑟 =

𝑉1

1

1

𝑉1 = 𝐹𝑟(𝑔𝑑1 )2 = (4.05)(9.81𝑥0.8)2 = 11.35

⇒

1 (𝑔𝑑1 )2

𝑚 . 𝑠𝑒𝑔

Determinación del área en la sección 1: 𝐴1 = 𝑏𝑑1 = (22)(0.8) = 17.6 𝑚2 Determinación del gasto aplicando la ecuación de continuidad: 𝑚3 𝑄 = 𝐴1 𝑉1 = (11.35)( 17.6) = 199.71 𝑠𝑒𝑔

Cálculo de la carga hidráulica H que actúa sobre la cresta del vertedor: Aplicando la fórmula de Francis y despejando H:

𝑄=

3 𝐶𝐿𝐻 2

2

⇒

2

𝑄 3 199.71 3 𝐻=( ) =( ) = 2.65 𝑚 𝐶𝐿 2.1𝑥22

Cálculo de la altura P del vertedor aplicando la ecuación de Bernoulli entre la sección 0 y 1: 𝑃 + 𝐻 = 𝑑1 +

𝑃 = 𝑑1 +

𝑉12 2𝑔

𝑉12 −𝐻 2𝑔

𝑃 = 0.8 +

(11.35)2 − 2.65 = 4.71 𝑚 19.62