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HERRAMIENTAS DE LOGICA COMPUTACIONAL POLITECNICO GRANCOLOMBIANO

7 DE ABRIL DE 2020 GRUPO # 7 JENNIFFER ANDREA MONROY MENDOZA – CÓDIGO 1921025643 NESTOR DANIEL REDONDO BECERRA – CÓDIGO 1911024340 JHON STIVEN PARRA PEÑA – CÓDIGO 1711023539 INGRID LÓPEZ MORALES - CÓDIGO 1921024648

METÓDOS DE DEMOSTRACIÓN En la ciencia de las matemáticas, no se acepta una proposición como verdadera, si no tiene una demostración que evidencie su veracidad, aunque una proposición sea veraz para un grupo de casos no quiere decir que sea verdadera universalmente. A continuación se definen algunos de los métodos de demostración vistos en el escenario 4, es de aclarar que también nos apoyamos en el escenario 3 en relación a unos teoremas que hacen parte de los métodos de demostración. Descripción componentes tabla

1. 2. 3. 4.

Nombre del método: Hace referencia al método a describir. Descripción del método: Hace referencia a la descripción que entendemos del método, en nuestras propias palabras. Ejemplos del método: se define un ejemplo de acuerdo al método que se describe. Condiciones del método: Referenciamos las condiciones evidenciadas en los escenarios vistos a la fecha.

#

1

NOMBRE DEL MÉTODO Nuevo estilo de demostración (condicional)

DESCRIPCIÓN EN PALABRAS DEL MÉTODO Son proposiciones de la forma “si p entonces q” Se denota p→q

EJEMPLO DEL MÉTODO

Condicional de la siguiente proposición: Si ella entrega la tarea, aprueba el curso. P:ella entrega la tarea q:aprueba el curso condicional: p→q

2

Asumiendo el antecedente

Asumir que el valor izquierdo de la implicación es TRUE, y sí es posible, luego usar esa(s) hipótesis en la demostración.

A Λ ( B V ¬A) → B Hipótesis: A Λ ( B V ¬A) Ξ true Luego, A Ξ true ( B V ¬A) Ξ true

CONDICIONES DEL MÉTODO

El condicional material es una afirmación hipotética que no habla del mundo; es decir, no es posible saber el valor de verdad de A o B simplemente con observar la expresión «Si A, entonces B», sin ninguna información adicional. El condicional establece una relación entre A y B, pero no aclara su valor de verdad. 1. Al asumir que P es TRUE en P -> Q, todas las expresiones equivalentes a P también van a ser TRUE.

2. En una disyunción en la B Ξ (Axioma de la identidad) B Ξ true Ξ (Hipótesis ( B V ¬A) Ξ true) (1) B Ξ ( B V ¬A) Ξ (Hipótesis A Ξ true) A Ξ true Ξ B

parte izquierda, no se puede asumir que todos sus argumentos son TRUE, pero en una conjunción sí

Ξ (Al reemplazar A por B en ecuación (1)) B Ξ (B V ¬B) Ξ (Axioma del tercio excluido de la disyunción) (B V ¬B) Ξ true Ξ B true Ξ true Ξ Axioma de la identidad true

3

4

Demostración por contradicción

Implicación Mutua

Busca identificar la premisa o hipótesis como verdadera y demostrar una conclusión falsa o una tesis falsa llegando a contradicciones del tipo Q ≡ ¬ Q pudiendo de esta manera demostrar que si la contradicción es falsa, entonces la expresión booleana es un teorema.

Este método hace referencia a demostrar la veracidad entre dos expresiones de tipo Booleano.

EJEMPLO POR CONTRADICCIÓN (A → B) Λ ( ¬A → B) Ξ B Por contradicción: ¬((A → B) Λ ( ¬A → B) Ξ B) ¬((A → B) Λ ( ¬A → B)) Ξ ¬B Teorema de Morgan ¬(A → B) V ¬( ¬A → B) Ξ ¬B ¬(¬A V B) V ¬(A V B) Ξ ¬B (A Λ ¬B) V (¬A Λ ¬B) Ξ ¬B Axioma regla de oro (AV¬B Ξ A Ξ ¬B) V (¬A V ¬B Ξ ¬A Ξ ¬B) Ξ ¬B ¬B Ξ ¬B Ξ ¬B true Ξ true Ξ true true Implicación Mutua de la siguiente proposición condicional:

Cuando la expresión es una implicación PQ, la contradicción estará dada por forma P ʌ ¬Q buscando llevar a P a contradicción con ¬ Q.

Doble Implicación: Como veíamos en el archivo PDF de la lectura del escenario 3, el Teorema 41:

Se entiende que existe un tipo de implicación entre las dos expresiones A Y B como: 1. A → B 2. B → A 3. (A → B) ^ (B → A) Es decir dos expresiones pueden tener dos relacionamientos de mutualidad en viceversa.

5

Análisis de casos

Este método de demostración segmenta la expresión y los demuestra a partir de dos demostraciones diferentes. El análisis de casos reúne tres versiones diferentes bajo el mismo método: 1. Si se propone una expresión es una implicación que se antecede por una disyunción del tipo (P v Q  R) se debe demostrar cada uno de los casos: PQ y PR.

Si esta lloviendo, entonces llevo un paraguas. A: Está lloviendo B: Llevo un paraguas 4. A → B 5. B → A 6. (A → B) ^ (B → A)

Análisis de casos (desarrollaremos la tercera versión) A: Estamos en cuarentena. B: No tengo dinero. C: No salgo a bailar. Hipótesis: Si estamos en cuarentena o no tengo dinero entonces, no voy a bailar. AVBC (A  C) ʌ (B  C)

2.

Si se puede demostrar que reemplazar una de sus variables por true es un teorema y luego, reemplazar la variable por false también lo es, entonces toda la expresión propuesta será un teorema.

Ξ (Definición del condicional) ¬( A V B) V C Ξ (Ley de Morgan) (¬A ʌ ¬B) V C

Este es el ejemplo de implicación mutua, donde vemos que teniendo dos expresiones como A Y B podemos aplicar este método de demostración 1. A → B 2. B → A 3. (A → B) ^ (B → A) Para la tercera versión se debe tener cuidado y prestar mucha atención en la construcción de la expresión P ʌ Q con la que se va a validar R. Los procesos realizados en la versión uno y dos, serán eficientes si se logra una rápida reducción a teoremas del sistema, es decir, no pueden ser procedimientos largos ya que perderán su eficacia.

3. Para comprobar expresiones R se pueden construir expresiones de disyunción como P ʌ Q equivalentes a true y que cumplen la implicación de P con R y de Q con R (P R ʌ QR).

6

Contrapositiva

Son proposiciones de la forma: “si no q entonces no p” Se denota ¬ q → ¬p

Ξ (Distributividad de la disyunción) (¬A V C) ʌ (¬B V C) Ξ (Implicación) (A C) ʌ (B C)

Contra positiva de la siguiente proposición condicional: Si los tres lados son congruentes, entonces el triángulo es equilátero. P: los tres lados son congruentes Negación: ¬p: los tres lados no son congruentes q: el triángulo es equilátero Negación: ¬q: el triángulo no es equilátero Contrapositiva: ¬ q → ¬p Entonces: Si el triángulo no es equilátero, los tres lados no son congruentes.

Implicación y contrapositiva: Si una sentencia es verdadera, entonces su contra positiva es verdadera (y viceversa). Si una sentencia es falsa, entonces su contra positiva es falsa (y viceversa). Inversa y recíproca: Si la inversa de una sentencia es verdadera, entonces su recíproca es verdadera (y viceversa). Si la inversa de una sentencia es falsa, entonces su recíproca es falsa (y viceversa).

Negación: Si la negación de una sentencia es verdadera,

entonces la sentencia es falsa (y viceversa). Si la negación de una sentencia es falsa, entonces la sentencia es verdadera (y viceversa). Bicondicional: Si una sentencia (o su contra positiva) y la inversa (o su recíproco) son ambas verdaderas o ambas falsas, la misma puede ser llamada bicondicional lógico.

Referencias 1. Métodos de demostración, escenario 4, Politécnico Grancolobiano aula virtual. 2. Axiomas y teoremas de operadores Booleanos, escenario 3, Politécnico Grancolobiano aula virtual.